ASTRONOMIJA
Zorni koti nebesnih teles
sU sp sU
Marijan Prosen
Zorni kot je temeljni pojem astronomske geometrije. Najprej bomo obravnavali zorni kot Sonca, nato pa še zorni kot Lune, planetov in zvezd.
Zorni kot Sonca
Zvezd je nešteto. Ena od njih in nam najbližja je Sonce. To je velikanska krogla razbeljenih plinov (poenostavljeni model). Sonce vidimo ali ga opazujemo kot svetlo rumeno dobro vidno okroglo ploskvico (disk, krožec) na dnevnem nebu. Pri opazovanju moramo biti zelo previdni. Opazujemo ga s posebnimi zaščitnimi ocali s filtri, ki ne prepuščajo za naše oci njegove nevarne svetlobne žarke.
Zorni kot Sonca je kot, v katerem iz opazovališca na Zemlji, vidimo zelo oddaljeno Sonce.
Izracunajmo, koliko meri zorni kot a Sonca, ki je oddaljeno od Zemlje r = 150 milijonov km, njegov premer pa meri okoli 2R = 1400 tisoc km.
SLIKA 1.
(Trenutni) zorni kot a Sonca, O - opazovalec na Zemlji; namesto Sonca si lahko predstavljamo Luno, planet, zvezdo ali drugo vesoljsko telo.
Ker je Sonce vidno v majhnem zornem kotu, lahko upraviceno uporabimo enacbo (sorazmerje) za sre-dišcni kot v krožnici in njemu pripadajoci lok, ki je v tem primeru kar enak dolžini tetive. Velja a/360° = 2R/2nr, od koder sledi za zorni kot Sonca a = 2R ■ 360°/2nr = 1400000 km ■ 360°/2n ■ 150000000 km = 0,5° ( = 30'), kar je približna vrednost.
Zorni kot Sonca pri opazovanju z Zemlje meri polovico kotne stopinje ali 30 kotnih minut. To okroglo vrednost si zlahka zapomnimo.
Zorni kot Sonca pri opazovanju z Zemlje ni stalen. Spreminja se, ker se Zemlja giblje okrog Sonca po elipsi in se oddaljenost Zemlje od Sonca spreminja. Enkrat je Zemlja najbližje Soncu, drugic najdlje. Ko je najbližje v prisoncju ali perihelu, ima najvecji zorni kot 32,5'; ko je najdlje v odsoncju ali afelu, pa najmanjšega 31,5'. Povprecno meri 32', kar je okoli 0,5°, kot smo izracunali.
Pripomba. Ker se zorni kot Sonca s casom spreminja, bi vedno morali reci trenutni zorni kot. Enako velja za zorni kot Lune in planetov. Vendar bomo besedo trenutni v nadaljevanju izpušcali.
Zorni kot Lune
Luna je povprecno oddaljena od Zemlje r = 60R, njen radij pa je okoli 1 /4R, ce R pomeni radij Zemlje. Izracunajmo zorni kot Lune pri pogledu z Zemlje.
Ker je Luna zelo oddaljena od Zemlje in vidna v majhnem kotu, lahko spet uporabimo že prej navedeno enacbo a/360° = 2R/2nr, od koder za zorni kot Lune dobimo a = 2 ■ 1/4R ■ 360°/2n ■ 60R = 90°/n ■ 60 = 0,5°, kar je približna vrednost.
Zorni kot Lune pri pogledu z Zemlje meri polovico kotne stopinje ali 30 kotnih minut. To je vrednost,
20
PRESEK 45 (2017/2018) 5
ASTRONOMIJA
ki si jo zlahka zapomnimo. V prvem približku sta zorni kot Sonca in zorni kot Lune enaka 0,5°.
Luna se giblje po elipsi okrog Zemlje, ki leži v enem od gorišc elipse. Zato se oddaljenost Lune od Zemlje spreminja, s tem pa se spreminja tudi njen zorni kot pri pogledu z Zemlje. Spreminja se od 29,4' do 33,7'. Srednja vrednost zornega kota Lune je 31', prvi približek in vrednost, ki jo uporabljamo v šoli, pa je 0,5°.
Pri računanju Luninega zornega kota bi morali torej dobiti vedno vrednost a, ki leži med omenjenima skrajnima vrednostma, zapisano matematicno, kot interval 29,4' < a < 33,7' ali [29,4', 33,7'].
Ali je možno iz splošnih astronomskih podatkov, ki jih imamo vedno na razpolago in jih znamo na pamet, s preprostim računom, ki povezuje nekaj fizikalnih zakonov, izracunati oziroma primerno oceniti zorni kot Lune ob opoziciji s Soncem, tj. ob polni luni? Gre za oceno Luninega zornega kota, ki naj bi se ne razlikovala za vec kakor ±15' od srednje vrednosti 31', najbolje pa bi bilo, da bi izracunana vrednost padla znotraj intervala [29,4', 33,7']. Nalogo rešimo za splošni (ne posebni) primer, saj je polna luna razlicno oddaljena od Zemlje in od Sonca. Zato bo rezultat naloge bolj ocena, približna vrednost za Lunin zorni kot, ki je seveda ob vsaki polni luni nekoliko drugacen, vendar naj bi njena vrednost padla znotraj ali vsaj blizu navedenega intervala (kar je ostra zahteva).
Za reševanje naloge smo izbrali naslednje osnovne podatke: sprejeta gostota svetlobnega toka s Sonca na Zemlji (solarna konstanta) j0 = 1400 W/m2, ki je prakticno taka kot na Luni (razlika je le za 4 W/m2 (manj), kar zanemarimo glede na vrednost 1400 W/m2), radij Lune R, sij polne lune (opozicija s Soncem) m = 12,75 magnitude (srednja vrednost) in albedo (svetlobna odbojnost) Lune 5 = 0,12 (približna vrednost). Podatki so približni, zato lahko pricaku-jemo, da bo približen tudi rezultat.
Lunin zorni kot a pri opazovanju z Zemlje izra-cunamo iz a/360° = 2R/2nr, kjer pomeni R radij Lune in r oddaljenost Lune od Zemlje. Zorni kot v kotnih enotah je
■ a = 57,3° ■ (2R/r).
Gostota svetlobnega toka j0, ki pade s Sonca na Luno ob polni luni, je glede na gostoto svetlobnega toka, ki pade na Zemljo, kar j0 = 1400 W/m2.
Gostoto svetlobnega toka j, ki pade s polne lune na Zemljo, izracunamo iz osnovne astrofotometricne Pogsonove enacbe j/j' = 10-0'4(m-m/), kjer je j' = 10-8 W/m2 pri m' = 1 magnituda. Sledi, da je j = 10-8 ■ 10-°'4(-13'75) W/m2 = 32 ■ 10-4 W/m2.
Od Lune se odbije svetlobni tok j0 ■ nR2 ■ 5. V razdalji r pade na Zemljo tok z gostoto j0 ■ nR2 ■ 5/2nr2 (upoštevamo le od Sonca osvetljeno Lunino polkro-glo ob polni luni, obrnjeno proti Zemlji). Ta kvocient je enak gostoti svetlobnega toka j. Iz enakosti j0 ■ nR2 ■ 5/2nr2 = j dobimo 2R/r =
^Wjj'ö) = yl(8 ■ 32 ■ 10-4/1400 ■ 0,12) = 1,23 ■ 10-2 radiana in a = 0,71° « 42'.
Dobili smo rezultat, ki je nekako na meji. Ne pade ravno v postavljeni interval, precej se razlikuje tudi od srednje vrednosti 31' (35% relativna napaka). Vendar je za nas sprejemljiv. Solarna konstanta j0 je podana približno, napaka je pri j, kjer ni upoštevana vpojnost Zemljinega ozracja (ce jo upoštevamo, dobimo že boljšo vrednost za zorni kot 37'), vprašljiva je tudi 5, ki je zelo približna. Vsak netocen podatek vpliva na koncni rezultat, tako da ne moremo dobiti natancne vrednosti racunane kolicine.
V takem primeru je najbolje, da zorni kot izracu-namo iz neposredne zveze med premerom Lune in njeno trenutno oddaljenostjo od Zemlje, kar lahko natancno izmerimo z radarjem ali laserjem ali pa preberemo iz Astronomskih efemerid, radij Lune je konstanten.
Ce je bila Luna v casu polne lune od Zemlje npr. oddaljena r = 59R0, potem je bil njen zorni kot 2R/r = 2 ■ 1/4R0/59R0 = 1/118 radiana ali a = 29', kar je odlicen rezultat.
Na tak neposredni nacin vedno pravilno izracu-namo zorni kot Lune, ce imamo natancno podano oddaljenost Lune. Napaka se pojavi lahko samo zaradi nepravilno znanega premera Lune in njene oddaljenosti od Zemlje. Lunin premer ima stalno in znano vrednost, oddaljenost nam najbližjega vesoljskega telesa pa je tudi vsak trenutek zelo znana. Tako je tudi z izracunanim trenutnim zornim kotom Lune, ki se ne more dosti razlikovati od srednje vrednosti.
->
21	PRESEK 45 (2017/2018) 5

ASTRONOMIJA
—^ Zorni kot planeta
Zorni kot zvezde
Zorni kot a planeta je kot, v katerem iz površja Zemlje vidimo oziroma opazujemo planet kot majčkeno navidezno okroglo ploskvico (disk) na nebu. Ker je kot a zelo majhen, tudi za planete velja sorazmerje a/2R = 360°/2nr, kjer je r oddaljenost planeta, 2R premer planeta in R radij planeta.
Planeti se gibljejo okrog Sonca, seveda tudi Zemlja.
Oddaljenost planetov od Zemlje se neprestano spreminja. Zato se spreminja tudi njihov zorni kot, in to pri vsakem planetu od neke najmanjše do neke največje vrednosti; pri Veneri od 10'' do 65'', pri Jupitru od 30'' do 50'', Saturnu od 15'' do 21'', Marsu od 3,5'' do 25'', Merkurju od 5'' do 13'', Uranu od 3'' do 4'', Neptunu od 2,2'' do 2,4''. Iz teh podatkov ugotovimo, da ima Venera največji zorni kot, najbolj pa se spreminja pri Marsu. Vse to pojasnimo s spreminjanjem oddaljenosti planetov od Zemlje.
Ločljivost človeškega očesa je nekaj kotnih minut, tako da nobenega planeta z očmi ne ločimo oziroma ne vidimo v zornem kotu. Vse vidimo le kot svetle pike (točke) na nočnem nebu. Z daljnogledom premera objektiva 5 čm, ki ima ločljivost okoli 3'', pa že vidimo planete kot majčkene svetle okrogle plo-skviče, vse tja do Saturna. Ce želimo več in bolje opazovati planete, vzamemo zmogljivejši daljnogled.
Zgled
Mars zelo spreminja oddaljenost od Zemlje. Ima pre-čej sploščen tir, vendar bomo privzeli, da se giblje po krožniči. Izračunajmo zorni kot Marsa pri pogledu z Zemlje, ko je v neki povprečni opozičiji s Sončem in je od Zemlje oddaljen okoli 1/2 astronomske enote (ae.), če meri 1 ae = 1,5 ■ 108 km in je radij Marsa 1/2 radija Zemlje R0 = 6400 km.
Zorni kot a Marsa v povprečni opozičiji izračunamo iz a/2R = 360°/2nr, od koder sledi a = 2 ■ 1/2R0 ■ 360°/2nr = 6400 km ■ 360 ■ 60 ■ 60''/2n ■ 0,5 ■ 1,5 ■ 108 km « 18''. Ceprav smo računali s približnimi podatki, smo dobili kar dober rezultat, ki leži v ustreznem intervalu [3,5'', 25''] za vrednost zornega kota Marsa pri pogledu z Zemlje. S pet-čentimetrskim daljnogledom ga že razločimo oziroma vidimo v zornem kotu.
Sonce, Luno, planete vidimo v določenem zornem kotu. Kaj pa številne zvezde, ki jih na nočnem nebu vidimo le kot bolj ali manj svetle pike, kot točke brez razsežnosti? Z očmi jih res vidimo kot pike, toda z uporabo posebnih inštrumentov in posebnih načinov opazovanja pa tudi pri zvezdah zaznamo njihovo kotno razsežnost. Saj so to vendar velikanska vesoljska telesa, ogromne žareče krogle razbeljenih plinov (poenostavljeno) večinoma veliko večje od planetov, samo zelo, zelo so daleč. Zato so videti kot pike. Vse je tudi odvisno od zmogljivosti, natančneje, od ločljivosti inštrumenta, s katerim opazujemo. Na vprašanje, ali zvezde vidimo v zornem kotu, lahko odgovorimo z da. Neverjetno, a resnično. Najbrž ste presenečeni, ko ste zvedeli, da so tudi zvezde vidne v določenem zornem kotu, čeprav jih s prostim očesom zaznavamo kot pike na jasnem nočnem nebu. Imajo, ampak skrajno, rečemo ekstremno majhne zorne kote.
Pri pogledu z Zemlje je Sonče vidno v zornem kotu okoli 0,5° ali 30'; Venera, ko nam je najbližje, je vidna v kotu okoli 1', Jupiter v opozičiji s Sončem v kotu okoli 50'', Mars v opozičiji okoli 25'', Saturn 20'', Uran 4'', Neptun 2,4'', planetoidi pod 1'', vse zvezde pa pod 0,06''.
Torej: kot 0,06'' je največji zorni kot zvezde (meja), v katerem je sploh kakšna zvezda zaznavna z Zemlje, vse druge zvezde zaznavamo v manjšem zornem kotu.
Cloveško oko ima ločljivost okoli 5', daljnogled z odprtino (vhodno zeničo ali premerom objektiva) 5 čm okoli 3'', 10-čentimetrski okoli 1,4'', 1,2-metr-ski okoli 0,1'', šest-metrski optični zvezdni interferometer, ki je deloval v letih 1920-1930 na astronomskem observatoriju na gori Wilson (Kalifornija, ZDA), okoli 0,02'', 180-metrski intenzitetni zvezdni interferometer v Narrabriju (Avstralija), ki deluje od leta 1965 dalje, pa že okoli 0,0008'', kar je zelo velika ločljivost.
Poglejmo, kaj razločimo s prostim očesom, v kakšnem zornem kotu katero od nebesnih teles še vidimo. Lahko smo zelo razočarani, kajti na nebu razločimo samo Sonče in Luno in nič več. Tudi zornega kota Venere ne moremo zaznati s svojimi očmi, čeprav pogosto pripovedujejo, kako zelo velika je včasih Venera na nebu. A takrat je velika bolj zaradi
22
PRESEK 45 (2017/2018) 5
ASTRONOMIJA
svojega zelo močnega sija okoli -4. magnitude, kar daje vidni vtis velike navidezne velikosti planeta. Kaj šele, da bi s svojimi očmi zaznali zorni kot Marsa, Jupitra, ..., sploh pa zvezd. Oko odpove že takoj v začetku, na drugi oviri. Razširimo vhodno zenico, ostreje vidimo, manjši kot razločimo.
S pet-centimetrskim dvogledom že razločimo planete kot majčkene svetle okrogle ploskviče na nebu. Vse tja do Saturna jih vidimo v določenem zornem kotu, z Uranom in planetoidi pa so že težave. Vzamemo spet zmogljivejši daljnogled z večjo vhodno zeničo. Nekaj časa to gre, pri zvezdah se ustavi. Tudi z zelo ali najbolj zmogljivimi daljnogledi jih vidimo kot točke.
Toda kakšen daljnogled neki bi morali vzeti, da bi razločili zvezdo oziroma da bi jo videli v zornem kotu? Hm, seveda, dovolj zmogljiv, z zelo veliko ločljivostjo, morali pa bi si izmisliti še kakšen posebni način opazovanja. To je bila silna želja številnih astronomov preteklosti, vse od Galileja (1610) dalje, a se jim stvar ni posrečila.
Uresničili pa so jo na astronomskem observatoriju Mt. Wilson, v prvi četrtini prejšnjega stoletja. Najprej so izdelali in namenili opazovanjem 2,5-metrski reflektor (1917-1949 največji daljnogled na svetu) s teoretično ločljivostjo 0,06" in z nekoliko slabšo praktično ločljivostjo. Tako z njim ni bilo mogoče neposredno izmeriti zornega kota zvezde 0,06''. Potem pa so si genialči izmislili posebni šest-metrski nastavek, ki so ga pričvrstili na vrh obstoječega reflektorja. Z novo nastalim inštrumentom, imenovanim šest-metrski optični zvezdni interferometer, so povečali ločljivost na 0,02''. Z inštrumentom takšne ločljivosti pa so že mogli razločiti kot 0,06'', tj. izmeriti zorni kot zvezde.
S tem inštrumentom so z interferenčo svetlobe, ki je prihajala od merjene zvezde preko odbojev na štirih ravnih zrčalih v gorišče reflektorja, 13. dečembra leta 1920 prvič izmerili zorni kot zvezde. Ta, za vse astronomske dni najbolj slavna zvezda, je bila Betel-geza v ozvezdju Orion, njen izmerjeni zorni kot pa je bil 0,047''.
Prva, zgodovinska meritev zornega kota zvezde je tudi potrdila teoretične izračune 0,04'' za zorni kot te zvezde. Pri tedanji znani oddaljenosti zvezde so nato še določili radij zvezde in ga očenili na okoli 450 radijev Sonča. S tem so potrdili teoretične izračune in razmišljanja, da v vesolju obstajajo zvezde,
ki so po dolžinskih razsežnostih, tj. po radijih, veliko večje od Sonca, da torej obstajajo orjakinje in nadorjakinje.
S tem šest-metrskim in pozneje še s 15-metrskim optičnim zvezdnim interferometrom so od leta 1920 do leta 1939 izmerili zorne kote petnajstim zvezdam, ki so bile večinoma nadorjakinje poznega spektralnega tipa kot Betelgeza. Izmerjeni zorni koti pa so bili od 0,02'' do 0,05''. Z meritvami so prenehali po letu 1939 predvsem zaradi izredno velikih težav pri povečanju ločljivosti tega tipa zvezdnega interfe-rometra in smrti F. G. Peasa, ki je pravzaprav edini znal ravnati s tem inštrumentom.
Kmalu nato so v astronomsko prakso začeli uvajati nove načine merjenja zornih kotov zvezd, in si-čer večinoma iz Luninih zakritij ali okultačij zvezd (med drugo svetovno vojno in pozneje) in z intenzi-tetnimi zvezdnimi interferometri (od 1958 dalje).
Ločljivosti intenzitetnih interferometrov, skupaj s teorijo in načini opazovanja, so tako velike, da lahko izmerijo zorne kote zvezd prečej pod 0,001''. To je
SLIKA 2.
Na vrh, to je pred vhodno zenico novo izdelanega 2,5-metrskega reflektorja na zvezdarni Mt. Wilson, so pricvrstili kovinski tram s štirimi glede na optično os reflektorja simetričnimi ravnimi zrcali, in s tem sestavili šest-metrski optični zvezdni interferometer. Z njim so z interferenco svetlobe zvezde v gorišču reflektorja izmerili prvi zorni kot zvezde. Obsežno in zahtevno teorijo interferometričnih meritev zornih kotov zvezd tu pustimo ob strani, saj nas zanimajo samo rezultati meritev. (Foto: Wikipedia)
->
23	PRESEK 45 (2017/2018) 5

ASTRONOMIJA

SLIKA 3.
Lega najbolj slavne zvezde v zgodovini astronomije v ozvezdju Orion. (Foto: Andrej Guštin)
Betelgeze
tako majhen kot, za kakršnega so včasih mislili, da ga sploh ni mogoče izmeriti. Pisati o teh meritvah pa je že nova astronomska zgodba.
Želeli smo povedati, da imajo zvezde zorni kot, da je ta zelo, zelo majhen in da je tudi tako ekstre-mno majhne kote mogoče izmeriti. Odlična teorija, izbrani način opazovanja ter super tehnika in tehnologija naredijo svoje: nemogoče postane mogoče.
Do zdaj so izmerili zorne kote nekaj sto zvezdam. Največji zorni kot 0,057" ima zvezda R Zlate ribe, sledijo Betelgeza in Mira z 0,050'', Antares z 0,041'', Ras Algeti z 0,03°, Aldebaran in Arktur z 0,02'' ter druge zvezde, med njimi Sirij s skrajno majhnim zornim kotom 0,0059''.
Ob konču si za orientačijo oglejmo, kaj pomeni, da ima inštrument ločljivost 0,06'', da ima zvezda tak zorni kot ali da opazujemo v zornem kotu kotu 0,06''. Isto stvar lahko povemo na različne načine.
SLIKA 4.
Fizik Albert A. Michelson (1 852-1 931) - nobelovec 1 907. (Foto: University of Chicago)
SLIKA 5.
Nobelovec (1907) in astronom Francis G. Pease (1881-1938), (foto: UNC Charlotte ITS) - S fizikom A. A. Michelson sta bili duši in srci enkratnih ter edinstvenih interferometricnih meritev zornih kotov zvezd na astronomskem observatoriju Mt. Wilson. To je bil tako velik astronomski dosežek kot prve meritve oddaljenosti zvezd v sredini 1 9. stoletja (ali pa še večji).
24
PRESEK 45 (2017/2018) 5
ASTRONOMIJA
Naj bo x višina 10 km oddaljenega predmeta, ki ga opazujemo v kotu a = 0,06". Ker je kot skrajno majhen, lahko zapišemo x/a = 2nr/360°, kjer je r oddaljenost. Sledi x = nra/180° = n ■ 0,06'' ■ 10 000 m/180 ■ 60 ■ 60'' = 3 mm.
Ce gledamo v zornem kotu 0,06'', v oddaljenosti 10 km, razločimo pokončno daljico z dolžino tri milimetre ali razločimo točki, ki sta med seboj razmaknjeni za 3 mm. Taka ločljivost, da človeku vzame sapo. So pa še boljše.
Ko poznamo zorni kot zvezde, lahko pri znani oddaljenosti izračunamo radij zvezde.
Zgled
Izračunajmo radij R zvezde Antares v radijih R0 Son-ča, če je zorni kot Antaresa a = 0,041'' in oddaljenost r = 620 svetlobnih let (1 svetlobno leto je 9,5 ■ 1012 km), radij Sonča pa je R0 = 7 ■ 105 km.
Radij Antaresa v radijih Sonča dobimo iz 2R/2nr = a/360°, od koder sledi R/R0 = nra/ 360°R0 = n ■ 620 ■ 9,5 ■ 1012 km ■ 0,041''/360 ■ 60 ■ 60'' ■ 7 ■ 105 km « 840.
Antares je nadorjakinja z radijem, ki je približno 840-krat večji od radija Sonča. Ker zvezda pulzira (radij se ji spreminja za ±20%), njena površinska temperatura tudi niha za ±150 K. Mimogrede: An-tares ni navadna stačionarna ali stabilna zvezda, je spremenljivka.
Naloge
Sonče vidimo v prisončju v zornem kotu 32,5', v odsončju pa v zornem kotu 31,5'. Izračunajte, koliko merita najkrajša in najdaljša oddaljenost Zemlje od Sonča, če je radij Sonča 696 000 km. [147 milijonov km, 152 milijonov km]
■	Tudi Luno, planete in zvezde vidimo v določenem zornem kotu. Pri Luni in planetih se spreminja, pri zvezdah pa ne. Zakaj? Pojasnite!
■	Na sliki 6 je zgoraj v legi 1 in v legi 2 enako velika krogla (tj. krogla z enakim radijem). Kako je z zornim kotom, v katerem vidimo kroglo pri opazovanju iz točke O v obeh primerih? Opišite situačijo. Pri približevanju se nam zdi tudi gora večja.
1	a > P	2
1
SLIKA 6.
Luna je povprečno oddaljena od Zemlje 380 000 km, njen premer pa je okoli 3500 km. Izračunajte zorni kot Lune pri pogledu z Zemlje. [0,5°]
■	Trenutni zorni kot Lune je 30,5'. Koliko je Luna oddaljena od Zemlje, če je radij Lune 1740 km? [392 000 km]
Katere planete (če jih najdete na zvezdnem nebu) vidite v zornem kotu z opernim kukalom odprtine 2,5 čm (ločljivosti okoli 6'')?
Opazujte planete z daljnogledi različnih povečav in ločljivosti. Opazovanja skrbno skičirajte in komentirajte.
■	Izračunajte povprečni zorni kot Jupitra in povprečni zorni kot Saturna v povprečni opozičiji s Sončem pri opazovanju z Zemlje, če Jupiter kroži okrog Sonča v oddaljenosti 5 ae, Saturn v oddaljenosti 10 a e in je radij Jupitra enak 11 radijev Zemlje, radij Saturna pa enak 9,5 radija Zemlje;
1 ae = 1,5 ■ 108 km, radij Zemlje R0 = 6400 km.
[Povprečni zorni kot Jupitra je okoli 48'', Saturna
okoli 19''.]
■	Venera je v trenutku opazovanja od Zemlje oddaljena 105 milijonov km, njen radij pa je skoraj enak radiju Zemlje. Izračunajte njen trenutni
zorni kot. [25'']
■	Izračunajte radij zvezde v radijih Sonča R0 =
7 ■ 105 km za: a) Betelgezo a = 0,05'', r = 643 sv.l.; b) Sirij a = 0,0059'' in r = 8,6 sv.l. (vzamemo ga kot enojno zvezdo, čeprav vemo, da je dvojna) in č) Proksimo Kentavra a = 0,001'' in r = 4,25 sv.l. Rezultate komentirajte. [a) « 1050, b) « 1,7 in č) « 0,14]
_XXX
25	PRESEK 45 (2017/2018) 5