1 Georg Freiherrn von Vega, Landes-Mitstands des Herzogthums Kram, Ritters des milit. M. Th. Ordens, Oberstlieutenants des k. k. vierten Feldartillerie - Regiments, Mitglieds der gelehrten Gesellschaften zu Berlin, Erfurt, Göttingen und Prag, Vorlesungen über die Mathematik sowohl überhaupt zu mehrerer Verbreitung mathematischer Kenntnisse in den k. k. Staaten, als auch insbesondere zum Gebrauche des k. k. Artillerie>Corps. Erster Band. Rechenkunst und Algebra. Sechste Auflage. , Durchgesehen, verbessert und vermehrt von Wilhelm Matzka, öffentlichem ordentlichem Professor der Mathematik an der k. k. philosophischen Lehranstalt zu Tarnow, vormaligem Unterlieutenant und Lehrer der höheren Mechanik im k. k. Bombardier-Corps zu Wien. Wien. Fr. Beck's Universitäts-Buchhandlung. 1828. Gedruckt bei Z P. SoHinger. Bo e e e d e ^Veit der ersten Ausgabe von Vega's Vorlesungen über Rechenkunst und Algebra hat zwar die Anzahl, aber leider nicht immer in gleichem Maße die Brauchbar¬ keit, ähnlicher deutscher Werke namhaft zugenommen. Schon hierin liegt ein wesentlicher Grund, warum die¬ ses Lehrbuch, trotz seines Alters von 55 Jahren, be¬ sonders da, wo die Richtung des Lehrplanes mehr auf das Practische als auf das Scientisische zielt, selbst noch in der gegenwärtigen Zeit, welche durch die Errichtung so vieler, vorzüglich der Bildung von Gewerbsmännern gewidmeter, mathematischer Lehrkanzeln, die- Mathematik Lhatsächlich über alle Lobpreisungen erhebt, mit vielen von ihr in's Leben gerufenen Lehrbüchern in Absicht auf Zweckmäßigkeit Vortheilhaft sich messen kann. Noch mehr aber findet diese befremdende Erscheinung ihre Erklärung darin, daß Vega, vorzüglich in den ersten Gründen, sich zu den Borbegriffen und der Fassungskraft des Anfän¬ gers herabläßt, die Erläuterungen und Beweise aus der Natur der Gegenstände selbst schöpft, nicht aber in my¬ stische Zeichenspiele verhüllt; ihn dabei, indem er sich be¬ gnügt, das an sich Evidente, mit Übergehung weitläu¬ figer Beweise, blos anzudeuten, nur mit dem wesentlich¬ sten und nöthigsten mathematischen Hausbedarfs ausstat- IV tet; dagegen das ausgebreitetere, streng wissenschaftliche Studium der Mathematik dem fähigeren und reiferen Leser selbst überläßt. Bei diesen Vorzügen des Vega'- schen Lehrbuches machten es die, seit seinem ersten Auf¬ treten erfolgten ungemeinen Erweiterungen des mathe¬ matischen Wissens, der hiedurch vergrößerte Umfang des gewöhnlich zur Anwendung Kommenden, ferner der hö¬ here Stand der allgemeinen Volksbildung in der Öster¬ reichischen Monarchie, besonders aber die größere Masse von Vorkenntnissen der in die k. k. Artillerie eintreten¬ den Jünglinge, denen dieses Werk von dem Verfasser zunächst gewidmet ist, Wünschenswerth, dasselbe mittels einer umständlichen Durchsicht, theilweisen Überarbeitung und Vermehrung, jedoch mit sorgfältiger Bewahrung seiner mehr practischen als rein scientifischen Haltung, dem jetzigen Stande der mathematischen Wissenschaft näher zu rücken. Zu diesem zwar ehrenvollen, aber auch schwierigen Geschäfte von der Verlagshandlung aufgefordert, habe ich, mit Beachtung des unerläßlichen Zusammenhanges dieses Lehrbuches mit dem von mir bereits herausgegebe¬ nen zweiten Bande, die Anfangsgründe und das zu den gewöhnlichsten Rechnungen Erforderliche, dessen Darstel¬ lung sich bisher als hinreichend faßlich bewährte, im All¬ gemeinen nur wenig zu verdeutlichen mich veranlaßt ge¬ sehen; dagegen strebte ich mehr wissenschaftliche Strenge und größere Ausdehnung in diejenigen Parthien zu brin¬ gen, welche dem schon mehr vorbereiteten Leser zufal¬ len, und suchte, so viel möglich, Anwendungen des Er¬ lernten auf das Artilleriewesen zu zeigen. In dieser Ab¬ sicht habe ich der Lehre von der Lheilbarkeit der Zahlen v einen umfassenderen Abschnitt gewidmet, die Theorie der Kettenbrüche erweitert und strenger begründet, die Ex¬ traction der zweiten und dritten Wurzeln aus besonderen Zahlen, so wie die Anwendung der Proportionen faßlicher abgehandelt. Die an dem letzteren Orte aufgenommenen Vergleichungen einiger Maße und Gewichte verdanke ich großen Theils der ausgezeichnet freundschaftlichen Ge¬ fälligkeit des Herrn Joseph Jäckel, Oberbeamten des Zimentirungsamtes der k. k. Haupt - und Residenzstadt Wien; ich hoffe ihnen durch Anführung der Gesetze, Quellen und Autoritäten mehr Vertrauen verschaffen zu können. Die für die Artilleristen nothwendigen Be¬ rechnungen der Kugelhaufen schmeichle ich mir der erste auf eine besonders leicht faßliche Weise gelehrt zu haben. Aus der Combinationslehre nahm ich nicht viel mehr auf, als zur Aufstellung des binomischen Lehrsatzes, durch welchen ich die entbehrlichen Untersuchungen über das Lottospiel verdrängte, erfordert wird, und wandte diesen Satz auf die allgemeine Lehre von der Wurzelauszie¬ hung an. Die Theorie der Logarithmen suchte ich theils mehr zu erläutern, theils für wirkliche Rechnungen brauchbarer darzustellen. Ganz neu und bedeutend aus¬ gedehnter bearbeitete ich den Abriß der Analysis des Endlichen, und glaube mir als Verdienst anrechnen zu dürfen, daß ich das Wichtigste von Fourier's Vervoll¬ kommnung der Newton'schen Annäherungsmethode an die irrationellen Wurzeln der Zahlengleichungen der erste ohne Differentialrechnung und ohne geometrische Be¬ trachtungen zusammengestellt habe. Von den das Werk schließenden Tafeln endlich ist die der einfachen Factoren zusammengesetzter Zahlen in eine angemessenere Form ge¬ bracht und dabei mehr ausgedehnt worden; die übrigen VI wurden mit besonderer Genauigkeit auf's Neue berech¬ net, mit ähnlichen Tafeln verglichen und im Drucke so sorgfältig corrigirt, daß ihre Richtigkeit verbürgt wer¬ den kann. Gelingt es mir, durch die nunmehr bewirkte Über¬ arbeitung der, die reine Mathematik umfassenden, zwei ersten Bände von Vega's Vorlesungen über Mathema¬ tik, überhaupt zur Verbreitung des mathematischen Wissens und insbesondere zur Ausbildung der Zöglinge der k. k. Artillerie-Schulen und dadurch mittelbar zur Aufrechthaltung des Ruhmes einer Waffe, unter der durch achtzehn Jahre gedient zu haben, ich mir stets zur Ehre rechnen werde, Vortheilhaft mitzuwirken, so ist einer der sehnlichsten meiner Wünsche erfüllt. Tarnow im October 1837. Wilhelm Matzka. Erstes HaupLstück. Won den Rechnungsarten in ganzen Zahlen. I. Abschnitt. , S. Vorläufige Einleitung 1 i II. Abschnitt. Don der Addition 9 III. Abschnitt. Don der Subtraktion. 19 13 IV. Abschnitt. Von der Multiplikation 26 19 V. Abschnitt. Von der Division 85 25 VI. Abschnitt. Bon den Rechnungsarten mit ungleichnamigen Zahlen, welche gleichnamig gemacht werden können..46 84 VII. Abschnitt. Von den Rechnungsarten mit Buchstaben 52 43 VIII. Abschnitt. Von der Theilbarkcit der Zahlen 68 57 VIU Inhalt. Zweites Hauptstück. Won den Rechnungsarten mit gebrochenen Größen. I. Abschnitt. §. S. Von den Brüchen überhaupt... 71 82 II. Abschnitt. Von der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division der Brüche -. '87 92 III. Abschnitt. Von den Decimalbrüchen. 9S 101 IV. Abschnitt. Von den zusammenhängenden Brüchen. 107 IIS Drittes Hauptstück. Bon den Rechnungsarten mit Potenzen und Wurzeln. I. Abschnitt. Von den Potenzen und Wurzeln überhaupt.......... 113 141 II. Abschnitt. Bonder Ausziehung der Quadrat- und Cubikwurzel aus zusam¬ mengesetzten Größen insbesondere. 138 III. Abschnitt. Von den Wurzelgroßcn und ihren Rechnungsarten. ISS 177 Viertes Hauptstück. Von den Verhältnissen und Proportionen nebst ihrer Anwendung auf die Beantwortung verschiedener Rechnungsfragen. I. Abschnitt. Von den Verhältnissen.170 193 Inhalt. lX II. Abschnitt. §. S. Von den Proportionen.-. 177 ISS in. Abschnitt. Won der einfachen Regel Detri .. ISS LOS Vergleichung einiger Maße und Gewichte- - - - .. 1S8 SIS IV. Abschnitt. Äon der zusammengesetzten Regel Detri.- - LOO SSL v. Abschnitt. Won der Theilrechnung.- - «. LO7 SSO Fünftes Hauptstück. Bon den Gleichungen des ersten und zweiten Grades nebst ihrer Anwendung auf die Auflösung verschiedener Aufgaben. I. Abschnitt. Don den Gleichungen und ihrer Auflösung. LOS 2S3 II. Abschnitt. Von den algebraischen Ausgaben und ihrer Auflösung.216 262 III. Abschnitt. Berechnung des Durchschnittes oder Mittels mehrerer Größen - - 228 SOS Sechstes Hauptstück. Arithmetische und geometrische Reihen. Combina¬ tionslehre. Binomischer Lehrsatz. Logarithmen. I. Abschnitt. Don den Reihen überhaupt. 229 814 Von den arithmetischen Reihen. 232 317 Anwendung der Lehre von den arithmetischen Progressionen auf G eg en st ä n d e der Artillerie. l. Berechnung von Pyramiden cylinderförmiger Körper > - . - L3Z 322 II. Berechnung der Kugelhaufen. 236 324 X Inhalt. II. Abschnitt. §. S. Von den geometrischen Reihen »4t 342 III. Abschnitt. Einiges aus der Combinationslehre ..245 Z4> IV. Abschnitt. Von den Produkten binomischer Faktoren und dem binomischen Lehrsätze sür ganze positive Exponenten.2 iS 35 't V. Abschnitt. Allgemeine Lehre von der Ausziehung der Wurzeln jeden Grades aus besonderen Zahlen.LSI 36t VI. Abschnitt. Von den Logarithmen - . 255 372 VII. Abschnitt. Anwendung der geometrischen Reihen und der Logarithmen auf die Auflösung verschiedener Aufgaben 272 403 Siebentes Hauptstück. Lehre von den Functionen. I. Abschnitt. Erklärung und Eintheilung der Functionen 276 420 II. Abschnitt. Won den Grenzen der veränderlichen Größen, dem Unendlichen und der Stetigkeit der Variablen 280 424 III. Abschnitt. Don den ganzen rationalen Functionen und den höheren alge¬ braischen Gleichungen 283 428 Abhängigkeit der Coefficienten einer Gleichung von ihren Wurzeln 289 445 Umstaltungen (Transformationen) der Gleichungen 290 446 Inhalt. X! §. S. /^.Allgemeine algebraische Auflösung der Gleichungen 291 454 I. Auflösung der kubischen Gleichungen 291 455 II. Auflösung der biquadratischen Gleichungen ...... 291 457 ZU. Auflösung numerischer Gleichungen 292 458 I. Bestimmung der reellen Wurzeln: s) Grenzen der reellen Wurzeln 298 459 L) Berechnung der reellen Wurzeln: «) Berechnung der rationalen Wurzeln . 8l>4 481 /S) Berechnung der irrationalen Wurzeln 807 484 II. Berechnung der imaginären Wurzeln - - - 310 495 Auflösung von Gleichungen mit mehreren Unbekannten . 311 496 IV. Abschnitt. Don den unendlichen Reihen und ihrer Convergenz ...... 312 497 V. Abschnitt. , Won einigen Umstaltunaen (Transformationen) der Functionen einer Veränderlichen. Zerlegung ganzer rationaler Functionen in Faktoren .... 314 500 V. Zerfällung rationaler gebrochener Functionen in Partial- brüche 315 501 Lt. Entwicklung gebrochener rationaler Functionen in Reihen - - 317 507 N Binomischer Lehrsatz für jeden reellen Exponenten 318 511 ü. Entwicklung der Exponentiellen und Logarithmen in Reihen. 321 516 L'. Umkehrung der Reihen 823 524 VI. Abschnitt. Methode der unbestimmten Coefficienten. Theorie . . 824 528 Anwendung. I. Zerlegung gebrochener Functionen in Partialbrüche - 826 531 H. Entwicklung gebrochener rationaler Functionen in recurrente Reihen 326 533 III. Entwicklung der Potenz (1-j-w)» 826 583 IV. Entwicklung der Exponentialgrößen in Reihen - - 326 537 V. Entwicklung der Logarithmen in Reihen 326 539 VI. Umkehrung der Reihen 326 541 Inhalt. XU VII. Abschnitt. Differenz- und Summenreihen. Arithmetische Reihen. Figurirte Zahlen. Potenzreihen. Summirung einiger besonderer Reihen. §. S. Differenzreihen - - - 827 543 Summenreihen 331 548 Arithmetische Reihen 332 550 Figurirte Zahlen 333 554 Potenzrcihen. » . >334 557 Summirung einiger besonderer Reihen 336 563 VIII. Abschnitt. Bo» der Interpolation 337 568 Erstes Hauptstück. Bon den Rechnungsarten in ganzen Zahlen. I. Abschnitt. Vorläufige Einleitung. §. i. -xHedes Ding, für sich betrachtet, ist eine Einheit seiner Art; und mehrere Einheiten der nemlichen Gattung machen eine 3 ah l von solchen Einheiten aus. Z. B. sechs Menschen sind eine Zahl von Menschen, sieben Klaftern sind eine Zahl von Klaftern; acht Pfunde sind eine Zahl von Pfunden, u. s. w. Hiebei kann cs sich fügen, daß manche Einheit aus lauter gleichen Lheilen besteht, folg- lich wieder in Rücksicht ihrer Theile als eine Zahl angesehen werden kann; so ist eine Militär-Compagnie eine Zahl von Soldaten, ein Pfund eine Zahl von Lothen; weil eine Compagnie aus mehreren Soldaten, ein Pfund aus mehreren Lothen besteht. §. 2. Die Zahlen, und alle diejenigen Dinge, die aus mehreren gleichartigen Theilen bestehen oder wenigstens bestehend gedacht werden können, folglich durch Zahlen sich vorstellen oder messen lassen, z. B. Gewichte, die sich als Zahlen von Centnern, Pfun¬ den, Lothen; Entfernungen, die sich durch Zahlen von Klaftern, Schuhen, Zollen; Zeiten, die sich als Zahlen von Tagen, Stun¬ den und Minuten u. dgl. vorstellen lassen; überhaupt alle jene Din¬ ge, welche durch Hinzuthun oder Hinwegnehmen eines eben solchen Dinges vergrößert oder verkleinert werden können, pflegt man Größen zu nennen. Vega Vorles. I. Bd. 1 2 Erstes Hauptstück. §. 8. Diejenige Wissenschaft, welche die Eigenschaften der Größen untersucht, und hauptsächlich lehrt, aus einigen bekannten Größen andere unbekannte zu finden, die mit jenen in einer gewissen Ver¬ bindung stehen, wird überhaupt Mathematik, seltner Grö¬ ßenlehre, genannt. — Ueber ihre Abtheilung mag dem Anfänger Folgendes genügen. In Absicht auf Lehre und Anwendung (Theorie und Praxis) wird- sie eingetheilt in reine und angewandte Mathematik. Die erste beschäftigt sich mit der Vergleichung und Bestimmung der Größen, indem sie blos in Erwägung zieht, daß selbe durch Hinwegnehmcn oder Hinzuthun eines Gleichartigen klei¬ ner oder größer werden, ohne auf ihre übrigen Eigenschaften Acht zu haben. Die zweite ist eine Anwendung der reinen Mathematik, und zieht nebst der Eigenschaft der Größe auch noch die übrigen physischen Beschaffenheiten mit in Betrachtung. — Zur reinen Ma¬ thematik gehört die Arithmetik und die Geometrie; erstere beschäftigt sich mit unstetigen Größen, das ist, mit Grö¬ ßen, welche aus abgesonderten, und durch eigene Grenzen be¬ stimmten Theilen bestehen; letztere aber hat stetige Größen zum Gegenstände: das ist, Größen, deren Theile ununterbro¬ chen an einander hängen. Z. B. Sollte die Zahl der Ziegel auf einem Dache bestimmt werden, so ist dies ein Gegenstand der Arithmetik; sollte aber die Menge, des Schnees bestimmt werden, welcher das Dach bedeckt, so ist cs ein Gegenstand der Geome¬ trie. — Die angewandte Mathematik begreift in sich die prakti¬ sche Arithmetik und Geometrie, als Anwendungen der Lehren der reinen Mathematik für die Bedürfnisse des bürgerlichen Lebens, und die mathematische Physik (Naturlehre), de¬ ren Hauptlheile gegenwärtig die mechanischen, optischen und astronomischen Wissenschaften sind, zu denen sich wohl auch schon die noch in der Ausbildung begriffenen Lehren von der Wärme, Electricität und dem Magnetismus zählen lassen. Die erstem handeln von den Bewegungen der Körper und den Kräf¬ ten, die sie verursachen oder hemmen, die andern beschäftigen sich mit den Gesetzen des Sehens und den Eigenschaften des Lich¬ tes; und die Astronomie lehrt die Ausmessung der Körperwclt I. Abschnitt. 3 IM Großen, und stellt Untersuchungen über die Größe, Zusam- mcnordnung und Verbindung der Weltkörpcr, und ihre Bewegun¬ gen an. Jede dieser Wissenschaften wird wieder in verschiedene will¬ kürliche Theile zertheilt, und mit eigenen Namen belegt. *) In Rücksicht der Grenzen ihrer Untersuchungen zerfällt die Mathematik in die niedere (elementare) und höhere. Jene schränkt sich blos auf die faßlichsten Grundlehren ein, während diese als Fortsetzung der ersteren ihre Untersuchungen ins Unend¬ liche ausbrcitet. Die Absonderung beider gestattet jedoch manche Willkürlichkeiten. 4. Wir zählen im gemeinen Leben, nach der uns von Jugend auf bekannten Art, von eins bis zehn; und die Größe dieser Zahl zehn, so wie einer jeden der vorhergehenden, neun, acht, sieben, sechs u. s. w. ist uns sogleich bekannt, sobald wir sie uns nur denken, oder aussprechen hören; sodann zählen wir zehn und eins, zehn und zwei, zehn und drei; oder abgekürzt, eilf, zwölf, dreizehn u. s. f. bis wir auf eine Zahl kommen, die zweimal so groß ist als zehn, und diese nennen wir zwanzig; dann fangen wir wieder von eins an, bis wir auf Zahlen kommen, die drei — vier — fünf — sechs — sieben — acht — neun Mal so groß sind als zehn, und nennen sie dreißig, vierzig, fünfzig, sechszig, siebenzig, achtzig, neunzig; hierauf kommen wir zu einer Zahl, die zehnmal so groß ist als zehn, diese nennen wir Hundert. Dann zählen wir wieder von eins angefangen, und so erhalten wir zwei Hundert, drei Hundert.neun Hundert. Zehn Hundert nennen wir ein Tausend; tausendmal *) Außer den angeführten Theilen der Mathematik gibt es noch an¬ dere Wissenschaften, die zu den mathematischen gerechnet, und un¬ ter dem Namen technische Mathematik verstanden werden; dergleichen sind die Befestigungskunst, die bürgerliche Baukunst, die Wasserbaukunst, die Geschützkunst, die Markscheidekunst, die Steuer mann skunst u. dgl- ES sind Anwendungen der reinen und angewandten Mathematik, zu deren Ausübung man aber noch andere Kenntnisse und Künste no- thig hat; weßwegen sich ihre Benennungen in Kunst endigen. 1 * 4 Erstes Haupt stück. tausend eine Million; eine Million Millionen eine Billion; eine Million Billionen eine Trillion u. s. w. Wollen wir end¬ lich den gänzlichen Mangel von den zu zählenden Dingen doch auch als Zahl andeuten, so bezeichnen wir ihn durch das Wort: Null. §. S. Um die Zahlen nicht mit Worten schreiben zu müssen, hat man auf willkürliche Zeichen gedacht, wodurch man sie vorstellen und kürzer schreiben könnte. Einige Völker, als die Phönicier, Griechen und Hebräer, haben hiezu die Buchstaben ihres Alpha¬ bets gewählt, deren zehn ersten sie die Wcrthe von eins bis zehn beigelegt haben; den eilften ließen sie zwanzig, den zwölften drei¬ ßig u. s. f. gelten, so, daß der neunzehnte den Werth hundert be¬ kam, von wo aus sie wieder verschiedene Eintheilungen machten. Die Römer wählten zu ihren Zahlzeichen einige Buchstaben ihres Alphabets, I, V, X, I-, 6, Loder 10, LI oder 610, eins, fünf, zehn, fünfzig, hundert,- fünfhundert, tausend. Sie zählen die durch diese Zeichen vorgestellten Zahlen, wenn sie gegen die Rechte hin nicht wachsen, zusammen, als II zwei, VI sechs, XXVII sieben und zwanzig; wenn aber ein kleineres links neben einem größer» Zeichen steht, so rechnen sie es von dem größer» hinweg; als z. B. IV vier, IX neun, X6 vierzig u. s. w. Diese Zahlzeichen werden heut zu Tag noch zuweilen bei öffentli¬ chen Aufschriften gebraucht. §. k. Die gewöhnlichsten Zahlzeichen sind die sogenannten Ziffern, die uns so wie die Buchstaben des Alphabets bekannt sind; nem- lich l bedeutet für sich allein eins, 2 zwei, s drei, 4 vier, s fünf, k sechs, 7 sieben, 8 acht, g neun, o null. Sie werden die ara¬ bischen Ziffern genannt, weil wir sie von den Arabern sollen erhalten haben. Um mit diesen zehn Ziffern jede Zahl bezeichnen zu können, hat man durch eine allgemeine Übereinstimmung folgendes Gesetz angenommen: Wenn mehrere Ziffern in einer Zeile I. Absch nitt. 5 neben einander stehen, so bedeutet jede Ziffer an der folgenden Stelle gegen die Linke zehnmal so viel, als an der nächst vorhergehenden. Es bedeutet da¬ her bei einer durch die Zusammensetzung der angeführten Ziffern bezeichneten Zahl, z. B. bei 8746295, die erste Ziffer zur Rech¬ ten blose Einheiten oder sogenannte Einer, s (fünf); die Ziffer an der zweiten Stelle bedeutet Zehner, und zwar so viele Zeh¬ ner, als sie für sich allein Einheiten bedeuten würde, 9 (neun) Zehner oder abgekürzt neunzig, zusammen 95 (neunzig und fünf, oder nach dem Sprachgebrauchs fünf und neunzig); die dritte Ziffer bedeutet Hunderte, oder Einheiten der Hun¬ derte, 293 (zwei Hundert 95); die vierte bedeutet Tausende, 6295 (sechs Tausend 295); die fünfte Zehntausende, 46295 (46 Tausend 295); die sechste Hundcrttausende, 746295 (746 Tausend 295); die siebente Einheiten der Millionen, 8746295 (acht Millionen 746 Tausend 295). Nach diesen kommen die Zeh¬ ner, Hunderte, Tausende, Zehntausende, Hunderttausende der Millionen; endlich an der dreizehnten Stelle Einheiten der Bil¬ lionen u. s. w. Das aus den angeführten zehn Zahlzeichen und dem dabei angenommenen Gesetze abgeleitete Lehrgebäude, nach welchem ge¬ genwärtig alle gebildeten Völker die Zahlen anschreiben und lesen, und das auch wir in vorliegendem Lehrbuche ohne Ausnahme im¬ mer benützen werden, pflegt man das decadische System, oder die Decadik zu nennen, von dem griechischen Worte (zehn). §. 7. Die Ziffer 0 (Null) bedeutet für sich allein nichts, sondern erhöht nur den Werth der übrigen bedeutenden Ziffern, wenn diese dadurch weiter links zu stehen kommen. Wenn sich da¬ her bei einer mit Ziffern bezeichneten Zahl Nullen befinden, so ist dies ein Zeichen, daß an denjenigen Stellen, wo Nullen stehen, die dahin gehörigen Einer, Zehner, Hunderte oder Tausende rc. abgchen. Z. B. 70 zehn; 20 zwanzig; 400 vier Hundert; 801 acht Hundert und eins; 60040 sechszig Tausend und vierzig. In folgendem Schema kann man den Werth der Ziffern, der s Erstes Hauptstück. ihnen vermög ihrer Stelle zugehört, mit einem Blicke übersehen; es bedeutet nemlich die 21.2O.19Ü18.17.16.15.14.13.! 12.11.10.9. 8. 7. ! 6. 5. 4. 3. 2. 4. Stelle der Trillionen der Billionen der Millionen blose 8. 8. Wer nur einmal die Fertigkeit erlangt hat, jede mit drei Zif¬ fern bezeichnete Zahl richtig auszusprcchen, dem wird es auch sehr leicht sein, jede mit wie viel immer Ziffern geschriebene Zahl auszusprechen, und zwar auf folgende Art. Man theile die gegebene Zahl von der Rechten gegen die Linke in Gassen ein, gebe jeder Gasse drei Ziffern (die letzte links kann deren auch weniger erhalten); hinter der ersten Gasse mache man einen Punct, hinter der zweiten einen Strich , hinter der dritten ei¬ nen Punct, hinter der vierten zwei Striche, hinter der fünften ei¬ nen Punct, hinter der sechsten drei Striche: dann lese man;ede Gasse für sich, als wenn sie allein stände, und setze an der Stelle eines jeden Punctcs das Wort Tausend; an der Stelle eines Striches das Wort Million, bei zwei Strichen Billion, bei drei Strichen Trillion u. s. w., übergehe aber jede ganz mit Nullen besetzte Gasse mit Stillschweigen, so ist die Zahl richtig ausgesprochen. Z. B. die Zahl 84,„650.046„508.700,964.005 heißt: 84 Trillionen, 650 Tausend und 46 Billionen, 508 Tausend und 700 Millionen, 964 Tausend und 5. Eben so 5„640.000,300 ooo heißt 5 Billionen, 640 Tausend Millionen, und ZOO Tausend. Eben so läßt sich jede ausgesprochene Zahl ausschrei¬ ben, wenn man bei der höchsten Gasse links anfängt, die bedeu¬ tenden Ziffern gehörig anschrcibt, wo aber keine Hunderte, Zehner, oder Einheiten ausgesprochen werden, Nullen ansetzt, ferner über¬ all, wo die Worte Tausend, Millionen, Billionen rc. ausgespro- I. Abschnitt. 7 chen werden, die gehörigen Zeichen macht und nachsieht, ob alle Gassen vorhanden sind, und ob jede Gasse drei Ziffern habe, wo¬ bei jedoch die erste links stehende Gasse zuweilen nur zwei, oder auch gar nur eine Ziffer allein haben kann. Z. B. um folgende Zahl mit Ziffern zu bezeichnen: sechs und zwanzig Mausend und vier Millionen, neunmal Hundert und sechs Tau¬ send und acht, schreibe man 26; nach diesen folgen die Hun¬ derte und Zehner der Millionen, weil aber keine solche ausgespro¬ chen worden, so setze man an ihre Stellen zwei Nullen, und so¬ dann die vier Einheiten der Millionen, nemlich 26.004 Millionen; nach den Millionen folgen die Htmderttausende, in dem angeführ¬ ten Beispiele neun, man setze also S an; nach diesen kommen Zehn¬ tausende, hier keine, man schreibe also 0; nach diesen kommen sechs Einheiten der Tausende, diese werden auch angesetzt, und dann erhält man 26.004,906 Tausend; endlich schreibe man an die Stellen der nicht ausgesprochenen blosen Hunderte und Zehner zwei Nullen, und setze die acht letzten Einheiten an, so sieht die vorgelegte Zahl so aus 26.004,906.008. D mag hier noch bemerkt werden, daß die im vorhergehenden Paragraphen zusammen gestellten Einheiten, auf welche sich die von der Rechten gegen die Linke nach einander folgenden Ziffern der deca di sch, d. i. nach dem dekadischen Systeme (§.6), ge¬ schriebenen Zahlen beziehen, als: Einer, Zehner, Hunderte, Tau¬ sende, Zehntausende u, s. w. decadische Einheiten genannt, und dem eben Erklärten gemäß durch die Zeichen i, 10, 100, 1000, 40000 u. s. w. vorgestellt werden. §. 9. Die Zahlen, deren Einheiten noch mit keinem besonder« Na¬ men belegt sind, und welche sich daher noch auf jede Gattung von Größen beziehen können, werden .unbenannte Zahlen ge¬ nannt; z. B. die Zahl 28 ist in so lange eine unbenannte Zahl, als man sich noch alle Gattungen d?r Größen, als 28 Menschen, 28 Häuser, 28 Klaftern u. s. w. darunter vorstellen kann. Bezieht sich aber eine Zahl auf eine bestimmte Einheit, so ist sie eine benannte Zahl; z. B. 8 Menschen, 47 Gulden, 100 Bücher u. s. w. sind be¬ nannte Zahlen. 8 Erstes Hauptstück. §. IO. Zahlen sind gleichnamig, wenn die von ihnen gezählten Einheiten gleiche Namen führen, oder auf gleiche Namen gebracht werden können; im Gegentheile sind sie ungleichnamig. Z. B. v Klaftern und 4 Klaftern sind gleichnamige Zahlen; 7 Pfunde und K Meilen sind ungleichnamig; s Bombardiere und 2 Kanoniere sind zwar ungleichnamig, wenn aber die Rede von Artilleristen ist, -so sind sie gleichnamig; auch könnte man 2 Klaftern und s Schuh oder 5 Fuß für gleichnamig betrachten, wenn man sich einbildet, daß die Schuhe Theile einer Klafter sind. §. II. Zwei gleichnamige Zahlen oder Größen können auf die ein¬ fachste Art mit einander verglichen werden, wenn man untersucht, ob sie gleich groß seien, oder ob eine größer sei fals die andere; ungleichnamige Größen hingegen können nicht rpit einander vergli¬ chen werden. Man kann z. B. untersuchen, welches mehr oder grö¬ ßer sei, 5 Klaftern oder 2 Klaftern; eben so, welches größer sei, i Pfund oder 12 Loth, weil man sich cinbilden kann, daß ein Pfund aus 32 Leihen bestehe: aber man kann nicht untersuchen, Welches größer sei, 4 Klaftern oder S Pfund. Man hat, um die Gleich¬ heit zweier Größen auszudrücken, das Zeichen — gewählt, wel¬ ches zwischen zwei Größen gesetzt wird, die gleich groß sind, das heißt, deren eine für die andere gesetzt werden darf; z. B. i Kl. — K Sch., und wird gelesen: eine Klafter ist gleich S Schuh; 4 Gr. —12 Kr. Und um die Ungleichheit auszudrücken, bedient man sich des Zeichens > , welches zwischen zwei ungleiche Größen ge¬ setzt wird, so, daß die Spitze gegen die kleinere zu stehen kommt; z. B. I Fl. > 20 Kr. und wird gelesen: I Fl. ist größer als 20Kr.; eben so 4 Sch. l Kl. heißt 4 Schuh sind kleiner als i Klafter. Dieses ist die erste Vergleichung der Größen, womit die Ma¬ thematik ihren Anfang macht: sie gründet ihr Lehrgebäude auf die hieraus entspringenden Grundsätze (Sätze, deren Wahrheit ohne allen Beweis einleuchtend ist), schreitet dann zur C'rkenntniß anderer verborgener Wahrheiten fort, und führt uns auf diese Art an die Grenzen unseres Verstandes. II. Abschnitt. S §. 12. Grundsätze. I. Jedes Ganze ist seinen Theilen zusammen ge¬ nom men gleich, und ist größerals jeder seiner Lheile; z. B. I Kl. — 6 Sch.; I Fl. — 2V Gr. Hingegen 1 Kl. > 4 Sch.; is Gr. < I Fl. II. Gleiches kann für Gleiches gesetzt werden. Statt 18 Schuh kann man 3 Klafter setzen; statt ein Pfund kön¬ nen 32 Loth gesetzt werden. III. Wenn zwei Größen einer dritten Größe gleich sind, so sind sie auch unter sich gleich; istaber eine Größe größer, oder kleiner, als eine von zwei gleichen Größen, so ist sie auch größer, oder kleiner als die andere; z. B. I Fl. — 60 Kr. 1 Fl. — 60 Kr. 1 Fl. — 20 Gr. 3 Gr. I Fl. atzo auch 60 Kr- — 20 Gr. 3 Gr. 60 Kr. II. Abschnitt. Von der Addition. §. 13. Eine Zahl, welche so groß ist, als zwei oder mehrere Zah¬ len zusammen genommen, wird die Summe dieser Zahlen ge¬ nannt; so z. B. ist die Zahl 5 die Summe der Zahlen 2 und 3; weil 3 und 2 zusammen genommen 5 gibt. Eben so ist S die Sum¬ me von 2, 3 und 4 u. s. w. §. 14. Die Rechnungsart aber, nach welcher man die Summe meh¬ rerer gegebenen Zahlen findet, wird die Addition genannt: nerv¬ lich, addiren heißt die Summe mehrerer gegebenen Zahlen finden. Die zu addirendcn Zahlen heißen Posten oder Summan¬ den und müssen gleichnamig sein, sonst können sie nicht addirt werden; z. B. 3 Pfund und 4 Gulden können unmöglich in eine 10 Erstes Hauptstück. Summe gebracht werden; denn die Summe würde weder Pfunde noch Gulden bedeuten. Eben so kann auch von 5 Pfunden und 1 Lorhen die Summe weder 9 Pfunde, noch S Lothe sein: es wird aber weiter hinten gezeigt werden, wie derlei Zahlen, welche zwar ungleichnamig sind, doch aber auf gleiche Namen gebracht werden können, zu addiren sind. §. IS. Das Zeichen, dessen man sich bei der Addition bedient, ist ein aufrecht stehendes Kreuz, nemlich -t-, welches ausgespro¬ chen wird: mehr (plus), und anzeigt, daß diejenigen Zahlen oder Größen, zwischen welchen es steht, addirt werden sollen; z. B. 4 -t- z — 7; wird gelesen 4 mehr 3 ist gleich 7; 9 ck- 8 — 14; 5 -1- 8 — 17 u. s. W. Anmerkung. Hier muß der Anfänger sich in der Summi- rung zweier Zahlen, welche beide nur aus einer Ziffer bestehen, oder von denen eine aus zwei, und die andere nur aus einer Ziffer besteht, wohl üben; z. B. 8 und s sind 13; 9 und 8 sind 17; 24 und 7 sind 31; 48 und 9 sind 87; 86 und 8 sind 94 u. s. w. Dabei kann man sich gewisse Regeln machen, die einem Ungeübten gut zu Statten kommen können; z. B. man wüßte nicht geschwind, wie viel 26 und 9 sei, so erinnere man sich nur, daß 26 und 10— 36 sei; also um eins weniger gibt 35. Jngleichen man wüßte nicht gleich, wie viel 48 und 7 sei, so gebe man in Gedanken indessen 2 von 7 zu 48, so hat man 50, und s gibt SS; und mehr der¬ gleichen. §. 16. Grundsätze. I. Wenn man zu gleichen Größen Gleiches ad- dirt, so sind die Summen gleich. Beispiele. 4 -4- 3 — 7 1 Fl. --- 60 Kr. 2 -t- 6 — 8_ I Gr. — z Kr. also auch 4-t-3-t-2-p6^7-p8 1 Fl. -4- I Gr. — 63 Kr. Es ist daher einerlei, ob man die ganzen Größen oder alle Lheilc, woraus sie bestehen, zusammen addirt. H. Addirt man aber zu gleichen Größen Unglei- II. A d sch n ir k. II ches, sp ist jene Summe größer, wo das Größere a d dirt worden ist. Beispiele. 7-1-8 — 15 IKl. — 6 Sch. 5 > 4 I Sch. >4Zvll. alw auäff 7-r-8-l-S>15-r-4j also auch I Kl. -1-1 Sch. > 6 Sch. -t- 4Z. §. 17. Um nun Zahlen, wenn sie auch aus noch so viel Ziffern beste¬ hen, addiren zu können, beobachte man folgende Regeln. 1) Man schreibe die zu addirenden Zahlen so unter einander, daß die Einheiten unter die Einheiten, Zehner unter die Zehner, Hunderte unter die Hunderte u. s. w. zu stehen kommen; nemlich man ordne sie von der Rechten gegen die Linke gehörig unter einan¬ der; wodurch bei jenen Zahlen, die aus weniger Ziffern bestehen, die Stellen zur Linken leer bleiben; und ziehe darunter einen Querstrich. 2) Dann addire man erstlich die Columne der Einheiten, und setze die Summe hievon, wenn sie nur aus einer Ziffer besteht (wie hier vorausgesetzt wird), unter den Strich an die Stelle der Ein¬ heiten; nemlich im Beispiele Nr. i sagt man: 4 und i gibt 5 , und 3 gibt 8 Einheiten; auf die nemliche Art addire man nun auch die Columne der Zehner, indem man wieder sagt: 6 und 2 gibt 8, und i gibt g, und setze diese Summe, da sie wieder nur aus einer Zif¬ fer besteht, an die Stelle der Zehner; und so addire man ferner die Hunderte, Tausende, Zehntausend«: u. s. w.; so wird man die verlangte Summe erhalten, wie aus dem Beispiele Nr. 1 zu erse¬ hen ist. Befinden sich in einer Columne lauter Nullen, so wird auch in der Summe eine Nulle an die Stelle gesetzt, damit die folgen¬ den Ziffern ihren Rang behalten (§. 7), wie aus dem Beispiele Nr. 2 zu ersehen ist. Beispiele. Ne 1 l 02164 ^r 2 1 ^01 Zu addiren j Zn addiren f ^2 Summe 97898 Summe 16808 s) Besteht aber die Summe einer Columne aus zwei Ziffern, so schreibe man nur die erste Ziffer rechts unter die addirte Columne, und die andere Ziffer addire man zur folgenden Columne; nemlich 12 Erstes Hauptstück. im Beispiele Nr. 3 sagt man: 6 und 8 gibt 14, und S gibt 22, nemlich s Einheiten, und zwei Zehner; man schreibe deßwegen die 8 Einheiten an die Stelle der Einheiten, die 2 Zehner aber über¬ trage man zur Columne der Zehner, indem man ferner sagt: 2 ge¬ blieben und 5 gibt 7, und 6 gibt 13, und 1 gibt 14 Zehner, nem- lich 4 Zehner und l Hundert; folglich schreibe man die 4 Zehner an die Stelle der Zehner, und übertrage das i Hundert zur Co¬ lumne der Hunderte, und sage ferner: i geblieben und 4 gibt 5, und 8 gibt 13, und 7 gibt 20 Hunderte, nemlich kein oder 0 Hun¬ dert, und 2 Tausende; man schreibe demnach an die Stelle der Hunderte eine Nulle, damit die folgenden Ziffern ihren Werth be¬ halten, und übertrage die 2 Tausende zur Columne der Tausende; und so fahre man fort, bis keine Columne mehr vorhanden ist, so wird man die richtige Summe haben. Besteht eine Columne aus lauter Nullen, und cs ist etwas von der vorigen Columne geblie¬ ben, so muß cs an diese Stelle gesetzt werden, wie das Beispiel Nr. 4 zeigt. Beispiele. Nr 3 l 4186 N k 8084 Zu addiren Zu addiren Summe 8048 Summe 13242 > 4) Wenn viele Zahlen zu addiren sind, so kann es sich ereig¬ nen, daß die Summe irgend einer Columne aus 3 Ziffern bestehe; da setze man ebenfalls nur die erste Ziffer rechts unter die addirte Columne, und zähle die übrigen zur folgenden Columne; z. B. es wäre die Summe der Columne der Einheiten —124, so setze man die erste Ziffer 4 an die Stelle der Einheiten, und die übrigen 12 addire man zur Columne der Zehner. Man kann aber auch in dergleichen Fällen, wo gar viele Zah¬ len zu addiren sind, und also zu viele Aufmerksamkeit erfordert wird, die Zahlen in zwei oder mehrere Abteilungen oder Partien zertheilen, jede Partie insbesondere addiren, und die Summen davon in eine Hauptsumme bringen; z.B. es wäre folgende Addition zu verrichten: 87569 -t- 5498 -I- 3695 -t- 95678 -1- 3097 -1- 909-1-40895-1-3278-1- 78567 -1- 4039 -1- 97908 -1- 21706 -1- 6537 -1- 69578 -1- 59857 ; so könnte man, wse folgt, schreiben: III. Abschnill. 13 Summe Daß man nach diesen vorgeschriebenenRegcln die richtige Sum¬ me erhalte, erhellet aus (§. 12, Grundsatz I.), weil man auf diese Art alle Einheiten, Zehner, Hunderte, Lausende u. s. w., als alle Theile des Ganzen, welches hier die Summe heißt, zusammen zählt. §. 18. Zweifelt man, ob nicht in der Addition gefehlt worden, so ist die beste Probe, wenn man die Addition noch einmal wiederholt, und zwar das zweite Mal addire man von unten hinauf, wenn das erste Mal von oben hinunter addirt worden ist, oder umgekehrt; er¬ hält man nun in beiden Fällen einerlei Summe, so ist die Addi- tion höchst wahrscheinlich richtig. III. Abschnitt. Von der Subtraction. §. 19. Diejenige Zahl, welche anzcigt, um wie viel eine von zwei gegebenen Zahlen größer ist als die andere, wird die Differenz oder der Unterschied dieser Zahlen genannt; so z. B. ist 5 die Differenz der Zahlen 9 und 4; weil 9 um 5 größer ist als 4. §. 20. Die Rechnungsart, nach welcher die Differenz jeder zwei gege¬ benen Zahlen gefunden werden kann, wird die Subtraction genannt; ncmlich subtrahiren oder abziehen heißt die Differenz zweier gegebenen Zahlen finden. Won den Zahlen selbst wird die größere, von welcher abgezo- 14 Erstes Hauptstück. gcn wird, der Minuend, und die kleinere, welche abgezogen werden soll, der Subtrahend genannt. Auch hier müssen beide Zahlen, die von einander subtrahirt werden sollen, gleichnamig sein; denn sonst könnten sie ja gar nicht verglichen werden (§. 11). §. 21. Das Zeichen der Subtraction ist ein liegender Strich —welches ausgesprochen wird: weniger (minus), und wenn es zwischen 2 Zahlen oder Größen steht, anzeigt, daß die hinter dem Zeichen von jener vor dem Zeichen abgezogen werden soll; z.B. 15 — 7 — 8 wird gelesen: 15 weniger 7 ist gleich 8; II —5 --- 6; 9 — 2 — 7, u. s. w. Anmerkung. Die Anfänger müssen sich auch hier üben, um gleich die Differenz zweier Zahlen zu wissen, deren jede nur aus einer einzigen Ziffer besteht, oder von Venen der Minuend aus zwei, der Subtrahend aber nur aus einer Ziffer besteht; z. B. 9 — 2 — 7;8 — 3 -5; 17 — 8 — 9; 16 — 9— 7; 13 — 8 — 5 U. s. W. 8. 22. Grundsatz e. I. Wenn man von gleichen Größen Gleiches sub¬ trahirt, so sind die,Differenzen gleich. Beispiele. S-t-8 —9 IFl. —«OKr. _ 2-1-5 —7 _ iGr.^- 3Kr. alsoauch 3-t-6 —2 —5—9 —7; also auch 1 Fl. — 1 Gr. — 57Rr. Daher ist es einerlei, ob man die Meile einer Größe von dm Meilen einer andern Größe, oder die ganze Größe auf einmal ab¬ zieht. II. Subtrahirt man von gleichen Größen Unglei¬ ches, so sind die Differenzen ungleich, und zwar dort größer, wo am w eni gsten subtrahirt worden i st. Beispiele. 12-1-6 — 18 IZent. —lOOPf. 5> 4 80 Lvth < I Pf. also auch 12-1-6 —5< 18 —4; also auch 1 Z. — 30 P. >99 Pf. III. Zieht man von ungleichen Größen Gleiches III. Abschnitt. 15 ab, so ist dort dic Differenz größer, wo vorhin Grö ßercs war. Beispiele. 8 > 8 1 Tag 20 Stunden 1 — 4 80Min — I Stunde also auch 6 -t- 3 — L> 8 — 1 also auch 1 T^- 60 M. > 19 St. §.23. Sind nun zwei Zah len, die aus mehreren Ziffern bestehen, von einander abzuziehen, so verfahre man nach folgenden Regeln. 1) Man schreibe die kleinere Zahl unter die größere, so daß dic Einheiten unter die Einheiten, die Zehner unter die Zehner u. s. w. zu stehen kommen, wie bei der Addition, und ziehe dar¬ unter einen Querstrich. 2) Dann subtrahirc man zuerst die Einheiten der untern Zahl von den Einheiten der obern Zahl, so auch die Zehner von den Zehnern, die Hunderte von den Hunderten u. s. w. und schreibe die Differenz jedesmal an eben dieselbe Stelle, so hat man die ver¬ langte Differenz. Im Beispiele Nr. 1 sagt man:. 2 von s bleiben 3, 3 von 4 bleibt 1, 0 von 9 bleiben 9, 2 von k bleiben 4. Bleibt aber irgendwo gar nichts übrig, so muß an die Stelle eine Nulle gesetzt werden; nemlich im Beispiele Nr. s sagt man: i von 4 bleiben 3, 8 von 8 bleibt 0, 3 von 7 bleiben 4. Besteht die obere Zahl aus mehr Ziffern als die untere, so werden die noch übrigen Ziffern zur Differenz herunter gesetzt, wie im Beispiele Nr. 3 zu ersehen ist. Beispiele. Nr. I. 8915 Nr. 2. 784 Nr. 3. 23587 2032 381 482 Diff.. 4913 Diff. 403 Diff. 23155 3) Wenn eine Ziffer, von welcher man abziehen soll, kleiner ist, als die abzuziehende, so borge man von der nächst folgenden links eine Einheit, und bezeichne (so lange man noch wenig Fertig¬ keit im Rechnen besitzt), diese Ziffer mit einem Puncte, zum Zeichen, daß sie sodann um eins weniger gelte: diese geborgte Einheit gibt 10 Einheiten der vorhergehenden Stelle (§. 8.), deßwcgen vermehre man die Ziffer, von welcher abgezogen werden soll, um io Einhci- 16 Erstes Hauptstück. tcn, und ziehe die darunter stehende von ihr ab. So können im Bei, spiele Nr. 4 die 5 Einheiten von 3 Einheiten nicht abgezogen werden: man borge deßwegen einen Zehner, und sage: 5 von 13 Einheiten bleiben 8 Einheiten, und 3 von 5 bleiben 2 Zehner; ferner S Hun¬ derte von 8 Hunderten können nicht abgezogen werden: man borge also ein Tausend oder io Hunderte, und sage: g Hunderte von 18 Hunderten bleiben 9; und endlich i von 4 bleiben 3 Tausende. Kommt eine bedeutende Ziffer von einer Null abzuziehen, so borge man ebenfalls von der folgenden Ziffer eine Einheit, wo sodann aus v zehn wird. Ist aber eine Null von einer andern Null abzuziehen, so wird in der Differenz ebenfalls eine Null gesetzt, wie dies aus dem Beispiele Nr. s zu ersehen ist. Wäre die Ziffer, von welcher man borgt, ein i, so muß man sich sodann an dessen Stelle eine Null gedenken, wie es das Beispiel Nr. 6 zeigt. Beispiele. Nr. 4- 5863 Nr. 3. K03O Nr. 6. 8115 1933 2014 2057 3928 4016 6058 4) Wenn einer Ziffer, von welcher man nicht abziehen kann, eine oder mehrere Nullen Nachfolgen, so übergehe man alle Nullen, und borge von der nächsten bedeutenden Ziffer eine Einheit; diese gibt an der Stelle der ersten Null 10 Einheiten: eine davon hinweg geborgt bleibt eine 9; die geborgte Einheit gibt wieder an der Stelle der vorhergehenden Null io Einheiten, und eins davon geborgt bleibt wieder an dieser Stelle eine 9 u. s. w., woraus folgende Regel fließt: Wenn von einer oder mehr nach einander folgenden Nullen eins geborgt werden soll, so bor- ge man vonder nächst folgenden bed eutenden Ziffer eine Einheit, und bemerke alle übersprungenen Nullen mit einem Puncte, zum Zeichen, daß diesel¬ ben dann lauter 9 sind; wie es im Beispiele Nr. 7 und 8 zu ersehen ist. Beispiele Nr. 7. 6704 Nr. 8. 9000800106 6236 4S49I 638 348 8957368468" Die Richtigkeit dieses Verfahrens erhellet daraus, weil es IN. Abschnitt. ,7 einerlei ist, ob man die Einheiten, Zehner, Hunderte u. s. w. jede insbesondere, oder ob man die ganze kleinere Zahl auf einmal abzieht. (§. 22, Grundsatz 1.) §. 24. Da (vermög §. iS) die Differenz anzeigt, um wie viel die größere Zahl größer ist, als die kleinere, so können die Differenz und die kleinere Zahl als Theile der größern angesehen werden; addirt man demnach die Differenz zur kleinern Zahl, so muß die größere zum Vorschein kommen; welches zur Probe der Sub¬ traktion dienen kann. Auf denselben Grund fußt sich auch eine in vielen Fällen recht bequeme Ausführung der Subtraction, nemlich die durch das so¬ genannte Ergänzen des Subtrahcnds zum Minuend, wobei man eigentlich erforscht, wie viel Einheiten man dem Subtrahend bei¬ zuzählen habe, damit man den Minuend erhalte. Während man nemlich, wenn z. B. 7 von 18 abzuziehen sind, bei dem im von- gen Paragraphen gelehrten Verfahren eigentlich von 18 um 7 Ein¬ heiten zurückzählt und dadurch aus n geführt wird, zählt man bei der Subtraction durch Ergänzung von 7 aus allmächtig bis auf 18, wodurch man um n Einheiten vorschreitet. Soll auf diese Weise eine Zahl von einer andern abgezogen werden, so sucht man für jede Ziffer des Subtrahends ihre einziff- rige Ergänzung auf jene nächst höhere Zahl, welche auf die gleich¬ stellige Ziffer des Minuends sich endigt, notirt diese ergänzende Ziffer an der gleichnamigen Stelle in der Differenz, und zählt die etwa vorkommenden Zehner der Zahl, auf die man ergänzte, zur nächst höheren Ziffer des Subtrahends, welche man sofort aus die¬ selbe Weise behandelt. So sagt man im Beispiel Nr. 7: 6 und 8 (schreibe 8) gibt 14, bleibt 1; l und s gibt 6 und 4 (geschrie¬ ben 4) macht io, bleibt i; i und 3 sind 4 und 3 (schreibe 3) gibt 7; K und o (hier nicht geschrieben) gibt 6. Vorzüglich brauchbar ist diese Methode, wenn von einer Zahl mehrere andere zugleich abzuziehen sind. In einem solchen Falle ad- dirt man die gleichnamigen Ziffern der Subtrahende und ergänzt ihre Summe durch eine Ziffer, die man an der gleichnamigen Stelle der Differenz anschreibt, auf die nächst größere und mit der gleich- Vega Vorles. I. Bd. 2 Erstes Hauptstück. 78 mit deren Summe man wie mit der bleiben 198 367 112 38 19 sielligcn Ziffer des Minuends sich endigende Zahl, und zählt die bei dieser vorhandenen Zehner zu den Ziffern der nächst höheren Stelle der Äubtrahende, frühem verfährt. Z. B. Won subtrahirt Hiebei sagtman: 9, 8und2gibti9 und 8 (angeschrieben) gibt 27, 2 geblie¬ ben und i, 3 und 1 macht 7 und 9 (ge¬ schrieben) gibt 16, 1 geblieben und l sind 2 und 1 (geschrieben) sind 3. §. 25. Einige Beispiele zur Anwendung der Addition und Sub- traction. 1. Frage. Die Armee einer Monarchie besteht aus 238590 Mann Infanterie, 65840 Mann Cavallerie, 10830 Mann Artille¬ rie, und noch aus verschiedenen andern Corps 12640 Mann; wie stark ist wohl diese Kriegsmacht? Antwort. 238500 -t- 65840-1- 10830 -1- 12640 — 327810 Mann. 2. Frage. Die Stadt Trier wird in der Geschichte um 1300 Lahre älter als die Stadt Rom angegeben. Da nun Rom 753 Jahr vor Christi Geburt erbaut worden sein soll, wie alt war die Stadt Trier im Jahre 1802 ? Antwort. I300-1-753-t-I802—3855 Jahre. 3. Frage. Amerika ist von Christoph Columbus im Jahre 1492 entdeckt worden: wie lang war es nun im Jahre 1802, daß wir von diesem vierten Welttheile Wissenschaft haben? Antwort. 1802—1492 — 310 Jahre. 4. Frage. Eine Armee ist 280000 Mann stark ins Feld gezogen; im ersten Feldzuge verlor sie 25648 Mann; dagegen er¬ hielt sie 36800 Mann Recruten; im zweiten Feldzüge verlor sie 38794 Mann, erhielt aber 40500 Recruten; im dritten Feldzuge verlor sie 8456 Mann, und erhielt einen Zuwachs von 50000 Recru- tcn: wie stark ist wohl die Armee am Ende des dritten Feldzuges? Antwort. 280000-b 36800 -<-40500 4- 50000 — 25648 - L8794 — 8456 — 407300 — 72898 — 334402 Mann. IS IV. Abschnitt. Von der Multiplication. §. 26. Wenn eine und dieselbe Zahl ein oder mehrere Mal zu sich selbst addirt werden soll, so bedient man sich einer Rechnungsart, durch welche der Betrag viel geschwinder, als durch die gewöhnliche Addition gefunden werden kann; diese Rechnungsart wird die Mul¬ tiplication genannt. Die Zahl, welche etliche Mal genommen, oder addirt werden soll, nennt man den Multiplicand, und die¬ jenige Zahl, welche anzeigt, wie oft der Multiplicand zu nehmen ist, heißt der Multiplikator; beide zusammen heißen die Fak¬ toren, und der Betrag wird hier das Product genannt. Zwei Zahlen mit einander multipliciren heißt demnach eine Zahl so oft nehmen, als die andere Einheiten in sich enthält. Z. B. 4 mit 3 multipliciren heißt die Zahl 4 drei¬ mal, oder welches einerlei ist, die Zahl 3 viermal nehmen. In beiden Fällen kommt 12 zum Vorschein: 3 und 4 sind demnach die Factoren, und 12 ist das Product. Es ist daher bei der. Multiplication glcichgiltig, welchen Fac¬ tor man als Multiplicator annimmt, weil das Product dasselbe ist; und es zeigt jeder Factor mit seinen Einheiten an, wie oft der andere genommen werden muß, damit das Product zum Vorschein komme; oder, welches einerlei ist, wie ost der andere Factor in dem Producte enthalten ist. §. 27. Das Zeichen der Multiplication ist ein liegendes Kreuz X, oder auch nur ein Punct . ; es wird ausgesprochen: multiplicirt mit, oder Mal, und bedeutet, daß die Zahlen, zwischen welchen es steht, mit einander multiplicirt werden sollen; 2 * 2g Erstes Hauptstück. z. B. 6 X 8 — 48, wird gelesen : 6 multiplicirt mit 8, oder 6 Mal 8 ist 48; eben so 9.4 --- 36; 7.6 - 42 u. s. w. Sind 3 oder mehrere Zahlen mit dem Multiplicationszeichen verbunden, so bedeutet dies, daß das Product der vorhergehenden Zahlen immer mit der nachfolgenden zu multipliciren sei; z. B. 2.4.9 — 8.9—72. Anmerkung. Anfänger müssen die Products von zwei Zahlen, wovon jede nur aus einer Ziffer besteht, deren Zusammenstellung man das Einmaleins nennt, wohl auswendig lernen, wenn sie im Multipliciren Fertigkeit erlangen wollen; und es gibt auch hier gewisse Regeln, die sich ein Ungeübter zu Nutzen machen kann; z. B. man wüßte nicht geschwind, wie viel 9 Mal 7 ist, so kehre man es um, und sage 7 Mal 9, und es wird vielleicht geschwinder ein- fallen; oder man sage: 10 Mal 7 ist 70, 7 davon ist 63 u. dgl. Das Einmaleins ist am besten aus folgender Tafel, welche dcrpythagorische Rechentisch genannt wird, zu erlernen. 1 ? 2! 3> 4! S! 6! 7f 8^ 9 2 4, 6, 8 j 10 j 12 I 14 j 16 j 18 3 ? 6 1 9 ! 12 j IS 1 18 1 21 1 24 1 27 4 ? 8 1 12 1 16 1 20 ! 24 1 28 I 32 1 36 5 10 I IS 1 SO ! 28 I 30 1 35 >40 ! 4S H^2 j 18 j 24 1 30 j 36 s42 j 48 j 54 7 14 ! 21 ! 28 ! 35 1 42 I 49 1 S6 1 63 8 ? 16 j 24 1^32 j 40 j 48 1 56 ! 64 I 72 9 z 18 I 27 1 36 1 45 ! 54 ! 63 1 72 I 81 Der Gebrauch ist folgender: z.B. man wollte das Product von 6Mal 7 wissen, so niche man einen Factor, z. B. 6 in der ersten verticalen (herab laufenden) Reihe, und Len andern 7 in der obersten ho¬ rizontalen (nach der Breite laufenden) Reihe, und fahre mit dem Finger aus der ersten Reihe horizontal, und aus der andern vertical; und dort, wo beide zusammen treffen, findet man das Product 42. §. 28. Benannte Zahlen können nicht mit einander multiplicirt wer¬ den, wenn sie auch gleichnamig sind; denn wären z. B. 6 Fl. mit 3 Fl. zu multipliciren, was sollte wohl das Product 18 be¬ deuten? Wohl aber kann man eine benannte Zahl mit einer unbe-- nannten multipliciren, das heißt, man kann sie so vielmal nehmen, als man will; z. B. 6 Fl. 3 Mal genommen gibt zum Producte 18 Fl.; 4 Kr. X 5 — 20 Kr. u. s. w. IV. Abschnitt. 21 §. 29. Grundsätze. I. Wenn man gleiche Größen mit gleichen multi- plicirt, sö sind die Producte gleich. Beispiele. 8—8 4-3 2Gr.— 6Kr. 4—1 8 — 34-2 also auch 8.4^5.44-3.4 also auch 2 Gr. X 3 6 kr. X 3 4- 6 ke. X 2 nemlich 32—20 4-12 nemlich 10 Gr. — 18 kr. 4- 12 kr. Las ist 10 Gr. — 30 kr. Man erhält also einerlei Product, wenn man alle Theile einer Größe, oder die ganze Größe mir einer andern Größe multiplicirt. II. Multiplicirt man aber gleiche Größen mit ungleichen, oder ungleiche Größen mit gleichen, so erhält man verschiedene Producte; und zwar dort größere, wo die Factoren größer sind. Beispiele. 8 --- 6 4- 2 1 Gr. > 2 Kr. 4 > 3 _ _3 ^3 also auch 8.4>6.34-2.3 also auch 3 Gr. 6 Kr. §. 30. Sind nun zwei Zahlen mit einander zu m ulti p Ii c ir en, wovon eine nur aus blosen Einheiten, die andere aber aus mehre¬ ren Ziffern besteht, so beobachte man Folgendes. 1) Man schreibe den kleinern Factor unter den größern, und multiplicire damit zuerst die Einheiten, dann die Zehner, Hun¬ derte, Tausende des andern Factors, und schreibe die Producte, wenn dieselben nur aus einer Ziffer bestehen, jedesmal an eben dieselbe Stelle, so hat man das verlangte Product (§. 29, Grund¬ satz I.), wie es das Beispiel Nr. i zeigt. 2) Besteht aber ein Product aus zwei Ziffern, so setze man nur, wie bei der Addition, die erste Ziffer rechts, wenn es auch eine Null wäre, an dieselbe Stelle, und addire die andere zum folgenden Producte; nemlich im Beispiele Nr. 2 sagt man: 4 Mal 6 gibt 24 Einheiten, nemlich 4 Einheiten, und 2-Zehner; man setze deßwegcn 4 Einheiten an ihre Stelle, und behalte die 2 Zehner im Gedan¬ ken (man kann selbe auch an der Seite anmerken); ferner sage man: 4 Mal 7 gibt 28, und 2 gebliebene Zehner dazu geben 30 Zehner, 22 Erstes Hauptstück. nemlich keine Zehner, und 3 Hunderte; deßwegen setze man an die Stelle der Zehner eine 0, und behalte die 3 Hunderte wieder in Gedanken; ferner 4 mal i gibt 4, und 3 geblieben gibt 7 Hun¬ derte, und 4 Mal 8 gibt 32 Tausende. 3) Befindet sich im obern Factor eine Null, so muß auch im Producte eine Null gesetzt werden; wäre aber vom vorhergehenden Produkte etwas geblieben, so wird dies an diese Stelle gesetzt, wie es aus dem Beispiele Nr. 3 zu ersehen ist; indem man sagt: 4 Mal 8 gibt 32, 2 geschrieben, bleibt 3; 4 Mal 0 gibt 0, und 3 geblie¬ ben ist 3; 4 Mal i gibt 4; 4 Mal 0 gibt 0; und 4 Mal 5 gibt 20. Ist eine Zahl mit io zu multipliciren, so hänge man nur rechts eine Null an; denn dadurch erhält jede Ziffer einen zehnfachen Werth (§. 8 und 7), und folglich ist die ganze Zahl mit 10 multi- plicirt (§. 2S, Grundsatz I). Eben so wird eine Zahl mit 100 mul- tiplicirt, wenn man rechts 2 Nullen anhängt; mit 1000, wenn man 3 Nullen anhängt u. s. w. §. 32. Wären aber zwei Zahlen, welche beide aus mehreren bedeu¬ tenden Ziffern bestehen, mit einander zu multipliciren, so verfahre man nach folgenden Regeln. 1) Man schreibe den kleinern Factor unter den größeru, und multiplicire zuerst mit den Einheiten des untern Factors den gan¬ zen obern Factor (§. 30). 2) Dann multiplicire man auch auf eben diese Art mit den Zeh¬ nern des untcrn Factors den ganzen obern Factor: wornach aber die erste Ziffer dieses Productes nicht mehr Einheiten, sondern Zehner be¬ deutet;. denn im folgenden Beispiele Nr. i, im 2ten Producte sollte man eigentlich sagen: 20 Mal 3 gibt 60, statt daß man abgekürzt sagt 2 Mal 3 gibt 6; eben deßwegen bedeutet die zweite Ziffer dieses Productes Hunderte, die 3te Tausende u. s. w. Man schreibe daher IV. Abschnitt. 23 dieses Product so unter das vorige, daß die erste Ziffer an die Stelle der Zehner zu stehen kommt. 3) Auf eben diese Art multiplicire man mit den Hunderten des untern Factors den ganzen obern Factor, und schreibe dieses Product so unter die vorigen, daß die erste Ziffer, welche hier schon Hunderte bedeutet, an die Stelle der Hunderte zu stehen kommt. Und so multiplicire man mit jeder Ziffer des untern Factors den ganzen obern Factor, und rücke das Product aus der angeführten Ursache jedesmal um eine Stelle weiter gegen die Linke. 4) Hat der untere Factor eine oder mehrere Nullen in der Mitte, so überspringe man sie, und multiplicire nur mit den fol¬ genden bedeutenden Ziffern, rücke aber das Product um so viele Stellen weiter gegen die Linke, als man Nullen übersprungen hat; wie es das Beispiel Nr. 2 zeigt. 5) Sodann addire man diese besonder» oder Partialpro- ducte, so wie sie unter einander stehen, zusammen, und man er¬ hält das wahre Product (§. 29, Grundsatz I). 6) Hat einer oder beide'Factoren am Ende einige Nullen, so multiplicire man sie, als wenn die Nullen hinten nicht da wären, und hänge an das Product rechts so viele Nullen an, als deren beide Factoren zusammen haben; denn es ist im Beispiele Nr. s (vermög §. 31), 320 X 4600 — 32 X 10.46 X 100 — Diebeste Probe über die Multiplikation ist, wenn man sie noch einmal wiederholt: und man könnte das zweite Mal die Factoren verwechseln, das heißt, jenen zum Multiplicator an¬ nehmen, der vorhin der Multiplikand war. Erhält man nun ei¬ nerlei Product, so ist richtig multiplicirt worden. . Es wird zwar weiter hinten bei der Division (§. 44) noch 2t Erstes Hauptstück. cine Probe über die Multiplication gezeigt werden, die aber eben¬ falls nicht leichter als diese sein wird. §. 34. Einige Fragen zur Anwendung der Multiplikation. 1. Frage. Wenn eine Klafter 6 Schuh enthält, wie viel Schuh machen 49 Klafter? Antwort. 6 . 49 — 294 Schuh. 2. Frage. Ein Gulden hat ko Kreuzer; wie viel Kr. machen 285 Fl. und 48 Kr.? Antwort. 285 . «o -j- 45 — I7l45Kr. s. Frage. Ein Schuh Länge von einem gewissen Bauholze kostet 45 Kr.; wie viel Kreuzer kostet nun ein Baum, welcher 5 Klafter und 4 Schuh lang ist? Antwort. 5 Klafter und 4 Schuh machen 5 . 6 -i- 4 Sch. — 84 Schuh; mithin kostet der Baum 34 . 45 — 1530 Kr. 4. Frage. Wenn ein Soldat monatlich 3 Fl. bekommt, wie viel bekommen 3V Soldaten in einem Jahre? Antwort. 3 . 12 . 30 — 1080 Fl. . 5. Frage. Es soll eine Mauer von Ziegelsteinen errichtet werden: der Länge nach kommen 2600, der Dicke nach 8, und der Höhe nach 150 Ziegel zu liegen; wie viel Ziegel braucht man hiezu? Antwort. Da der Länge nach 2600, und der Dicke nach 8 Ziegel liegen sollen, so kommen in einer Schichte 8 . 2600 — 20800 Ziegel zu liegen; und da 150 solche Schichten über einander liegen sollen, so kommen zur ganzen Mauer 150 . 20800 — 208 . 15 . 1000 — 3120000 Ziegel. Mehrere Beispiele kann sich der Anfänger selbst leicht aufgcben. 2 S V. Abschnitt. Von der Division. §. ss. Es kommt zuweilen vor, daß man zu wissen nöthig hat, wie oft eine bekannte Zahl von einer andern bekannten abgezogen werden kann, bis nichts mehr übrig bleibt; oder welches einerlei ist, wie oft eine gegebene Zahl in einer andern gegebenen enthalten ist; z. B. man möchte gern wissen, wie viel 48 Schuh in Klaftern betragen; hier kommt es nur darauf an, daß man untersuche, wie oft 6 in 48 enthalten ist; weil 6 Schuh — L Klafter sind. Um nun dieses leichter, als durch eine öfters wiederholte Sub¬ traktion finden zu können, hat man eine besondere Rechnungsart eingcfü'hrt, welche die Division (Theilung) genannt wird. Di- vidiren oder theilen heißt demnach untersuchen, wie oft eine gegebene Zahl in einer andern gegebenen enthalten ist. Die Zahl, welche dividirt werden soll, heißt der Dividend; jene, durch welche dividirt wird, heißt der Divi¬ sor oder Th eil er; und die zu suchende Zahl, welche anzcigt, wie oft der Divisor in dem Dividend enthalten ist, wird der Q u o- tient genannt. In unserm angeführten Beispiele ist 48 der Divi¬ dend, 6 der Divisor, und 8 der Quotient; weil 6 in 48 genau 8 Mal enthalten ist. §. 3k. Da der Quotient mit seinen Einheiten anzeigt, wie oft der Divisor im Dividend enthalten ist, so kann (vermög §. 26) der Di¬ vidend als ein Product, wovon der Quotient und der Divisor die Factoren sind, angesehen werden; und es zeigt also auch der Divi¬ sor mit seinen Einheiten an, wie oft der Quotient im Dividend enthalten ist, das heißt, wie viel Theile man aus dem Dividend machen kann, deren jeder so groß, als der Quotient ist. Man kann demnach auch sagen: Dividiren heißt eine gcgebeneZahl 26 Erstes Hauptstück. in so viele gleiche Theile zertheilen, als eineanderc gegebene Zahl Einheiten in sich enthält. 48 durch 8 dividiren heißt dcßwegen auch, die Zahl 48 in 6 gleiche Theile theilen. 37. Das Zeichen der Division sind zwei über einander stehende Puncte, nemlich : , und wird ausgesprochen: dividirt oder ge- theilt durch. Dieses Divisionszeichen, wo cs zwischen 2 Zahlen oder Größen steht, zeigt an, daß die links-vor dem Zeichen stehen¬ de durch jene rechts nach dem Zeichen folgende Größe dividirt wer¬ den soll. Unser oben angeführtes Beispiel wird demnach so geschrie¬ ben, 48 : 6 — 8, und gelesen, 48 dividirt durch k ist gleich 8. Man pflegt auch die Division durch einen horizontalen Strich, über welchem der Dividend, und unter welchem der Divisor steht, anzudeuten; so heißt auch — 4, die Zahl 28 dividirt durch 7 ist gleich 4. §. 38. Eine benannte Zahl kann durch eine andere gleichnamige Zahl dividirt werden; so ist z. B, 12 Pf.: 4 Pf. — 3, und es zeigt hier der Quotient an, wie oft 3 Pf. in 12 Pfunden enthalten sind. Auch kann eine benannte Zahl durch eine unbenannte dividirt werden; z. B. is Fl. : 3 — S Fl., und hier zeigt der Quotient an, wie groß jeder Ehest wird, wenn man 1s Gulden in 3 gleiche Theile theilt; aber eine unbenannte Zahl kann nicht durch eine benannte, oder eine benannte Zahl durch eine gänzlich ungleichnamige dividirt werden. §. 39. Grundsätze. I. Wenn man gleiche Größen durch Gleiches di¬ vidirt, so sind auch die Quotienten gleich. Beispiele. 9 —8-1-3 6Gr. —I8Kr. 8—3 2—2 also auch 9:3 — 6:3-1-S:3 nemlich 3 — 2-l-4 also auch 6 Gr.: 2 — I8Kr.:2 nemlich 3 Gr.— 9 Kr. V. Abschnitt. 27 Es ist deßwegen auch einerlei, ob man ein Ganzes oder jeden seiner Theile durch eine und die nemliche Zahl dividirt. II. Dividirt man aber gleiche Größen dur.ch Un¬ gleiches, so sind die Quotienten ungleich, und zwar dort größer, wo der Divisor kleincrist. Beispiele. 12 — 9-1-3 2 Kl. —12 Sch. 4>3 _ . 2 < 3 also auch 12 : 4 12 Sch.: 3 nemlich 3 <3-1-1 nemlich 1Kl.> 4 Sch. Nimmt man daher bei ungeändertem Dividend den Divisor 2,3,4... Mal größer, oder kleiner an, so wird der Quotient 2, 3, 4 . . . Mal kleiner oder größer sein. III. Dividirt man hingegen ungleiche Größen durch Gleiches, so ist dort der Quotient größer, wo der Dividend größer ist. Beispiele. 12 >8 I0Gr.<35Kr. 4 — 4 5^5_ also auch 12:4 > 8: 4 also auch 19 Gr.: 5 <. 35 Kr. : z nemlich 3 >2 nemlich 2Gr. < 7 Kr. Nimmt man daher bei ungeä'ndertem Divisor den Dividend 2,3,4... Mal größer oder kleiner an, so wird auch der Quo¬ tient 2,3,4... Mal größer oder kleiner sein. §. 49. Wenn man bei einer Division den Dividend und Divisor mit einer und der nemlichen Größe mul- tiplicirt oder dividirt, so bleibt der Quotient un¬ geändert. Denn durch die Multiplicatiow des Dividends wird der Quo¬ tient vergrößert (§. 39, HI.), und durch die Multiplication des Divisors wird der Quotient verkleinert (§.39, II.). Wird nun der Dividend und Divisor mit derselben Zahl multiplicirt, so wird der Quotient eben so vielmal vergrößert als verkleinert, und folglich bleibt er ungeändert. Eben so wird auch der Quotient durch die Division des Dividends so vielmal verkleinert, als er durch die 28 Erstes Haupt stück. Division des Divisors vergrößert wird, wenn beide durch eine und die nemliche Zahl dividirt werden, und folglich bleibt er ganz unge ändert. §. 41. Wenn eine Zahl, die kleiner als hundert ist, durch eine ein¬ fache dividirt werden soll, so ist der Quotient schon aus dem Ein¬ maleins bekannt. Ist aber eine Zahl, die aus mehr als 2 Ziffern besteht, durch eine Zahl, die nur blose Einheiten enthält, zu divi- dircn, so verfahre man auf folgende Art. 1) Man schreibe den Dividend zur Linken, den Divisor zur Rechten, zwischen ihnen das Divisionszeichen, und hinter dem Di¬ visor setze man das Gleichheitszeichen, nach welchem der Quotient zu stehen kommt. 2) Dann untersuche man, wie oft der Divisor in der ersten links stehenden Ziffer des Dividends, oder wenn diese kleiner ist als der Divisor, in den zwei ersten Ziffern des Dividends enthal¬ ten sei; (im Beispiele Nr.' i sagt man: 4 in S geht 2 Mal) diesen gefundenen Theil des Quotienten schreibe man hinter das Gleich¬ heitszeichen, multiplicire damit den Divisor, schreibe das Product unter jene Ziffer des Dividends, in welche man dividirt hat, und ziehe es davon ab (man sagt in unserm Beispiele 2 Mal 4 gibt 8; 8 von 9 bleibt i). S) Zu dem Reste (i) hänge man die nächst folgende Ziffer des Dividends (4) rechts an (14), und dividire dieses wieder durch den Divisor; (4 in 14 geht 3'Mal); den Quotienten hänge man an den schon gefundenen Theil an, multiplicire damit den Divisor und ziehe das Product wieder von den Ziffern ab, in welche man dividirt hat (3 Mal 4 gibt 12; l2 von 14 bleiben 2). Zu dem Reste setze man wieder die nächst folgende Ziffer des Dividends (8) herunter, und dividire ihn wieder durch den Divisor (4 in 28 geht 7 Mal); den Quotienten wieder an den schon gefundenen ange¬ hängt, den Divisor damit multiplicirt, und das Product wieder ab¬ gezogen u. s. w. 4) Bleibt irgendwo gar kein Rest übrig, wie im Beispiele Nr. 2, so wird die folgende Ziffer des Dividends allein herunter gesetzt, und wie vorhin dividirt; wäre sie aber kleiner als der Di- V. Abschnitt. 29 visor, so muß zuerst in dem Quotienten eine Null angesetzt werden; sodann wird die folgende Ziffer des Dividends noch herunter ge- setzt, und wieder wie vorhin dividirt, wie es im Beispiele Nr. s zu ersehen ist. S) Hat man nun auf dieje Art alle Ziffern des Dividends schon herunter gesetzt, und ist bei der letzten Subtraction gar nichts übrig geblieben, so ist es ein Zeichen, daß der Divisor in dem Divi¬ dend genau enthalten sei; und zwar so oft, als der Quotient Ein¬ heiten in sich enthält; so ist im Beispiele Nr. i der Divisor 4 in S48 genau 237 Mal enthalten. Sollte aber bei der letzten Subtrak¬ tion noch ein Rest übrig bleiben, so ist es ein Zeichen, daß der Di¬ visor im Dividend nicht genau enthalten sei. So bleibt im Beispiele Nr. 3 bei der letzten Subtraction noch der Rest 2 übrig, welcher anzeigt, daß noch 2 durch 7 zu theilen übrig bleiben. In einem sol¬ chen Falle schreibt man den Rest über einen Strich, unter welchen der Divisor zu stehen kommt, und hängt diese angezeigte Division, welche man einen Bruch nennt, mit etwas kleinern Ziffern ge¬ schrieben, an den Quotienten an, zum Zeichen, daß der Quotient noch um etwas, welches aber keine ganze Einheit mehr betragen kann, vermehrt werden muß. Wie viel aber dieser Bruch betrage, wird weiter unten, bei der Lehre von den Brüchen, gezeigt werden. Daß man durch dieses Verfahren den richtigen Quotienten er¬ halte, ist aus (§.39, Grundsatz!.) leicht zu begreifen, weil man durch dasselbe die Einheiten, Zehner, Hunderte, Tausende,.. des Dividends, jede insbesondere, vom Höchsten angefangen, divi¬ dirt, und den Rest jedesmal zum Nächstkleinern addirt. Anmerkung. In der Ausübung pflegt man gemeiniglich die Division, wenn der Divisor nur aus einer Ziffer besteht, zu ver¬ richten, indem man jedesmal den Quotienten mit dem Divisor in 39 Erstes Hauptstück. Gedanken multiplicirt, das Product von dem betreffenden Divi- dend abzieht, und den Nest unterhalb ansetzt: z. B. 15776 : 6 — 2629-^- 3131 da sagt man: 6 in 15 geht 2 Mal: 2 Mal 8 ist 12; 12 von 15 bleiben 3; K in 37 geht b Mal; 6 Mal 6 ist 36; 36 von 37 bleibt I; 6 in 17 geht 2 Mal; 2 Mal 6 ist 12; 12 von 17 bleiben 5; 6 in 56 geht 9 Mal; 9 Mal 6 ist 54; 54 von 56 bleiben 2. §. 42. Besteht aber auch der Divisor aus mehreren Ziffern, so beob¬ achte man folgende Regeln: 1) Man ordne die Division wie im Vorigen (§. 4i), und dividire mit der ersten linken Ziffer des Divisors in die erste, oder wenn diese zu klein ist, in die zwei ersten Ziffern des Dividends; die gefundene Ziffer setze man an die Stelle des Quotienten hin, multiplicire damit den ganzen Divisor: das Product schreibe man unter so viel Ziffern des Dividends, als der Divisor Ziffern hat, wenn die erste Ziffer des Divisors kleiner ist, als jene des Dividends, wie im Beispiele Nr. 4; hätte man aber die zwei ersten Ziffern des Dividends dividiren müssen, wie im Beispiele Nr. 5, so muß auch das Product um eine Stelle weiter gegen die Rechte gerückt werden; sodann ziehe man dieses Product gehörig ab. 2) Zu dem Reste setze man die folgende Ziffer des Dividends herab, und dividire ihn wieder durch den Divisor; wenn er aber nicht darin enthalten ist, wie im Beispiele Nr. 5, so hänge man im Quotienten eine Null an, setze noch eine Ziffer des Dividends her¬ unter, dividire sodann wie früher in i) mit dem Divisor, und setze die gefundene Ziffer an die folgende Stelle im Quotienten. Mit dieser gefundenen Ziffer des Quotienten multiplicire man wie¬ der den ganzen Divisor, ziehe das Product gehörig ab, und setze übermal eine Ziffer zum Reste herunter u. s. w. 3) Sollte es sich ereignen, daß irgendwo ein Product zu groß ist, und von den Ziffern, in welche man dividirt hat, nicht abgezogen werden kann, so ist es ein Zeichen, daß der Quotient zu groß angenommen worden, und er muß daher vermindert werden. V. Abschnitt. 31 Wäre hingegen nach geschehener Subtraction der Rest noch größer als der Divisor, so ist es ein Zeichen, daß der Quotient zu klein angenommen worden ist, und er muß daher größer gemacht werden; worauf jedesmal zu sehen ist, weil nicht immer der ganze Divisor so oft im ganzen Dividend, als die erste Ziffer des Divisors in je¬ ner des Dividends enthalten ist. 4) Hat man nun auf diese vorgeschriebene Art alle Ziffern des Dividends schon herunter gesetzt, so ist die Division vollendet und man muß nur dem etwa noch vorhandenen Reste den Divisor unter¬ schreiben, und nach (§. 4i. Nr. 5) an den Quotienten anhängen, wie im Beispiele Nr. 5 zu ersehen ist. Beispiele. Nr. 4. Nr. s. 738364:2134 — 816 25882891:4257 — 6080^ 6402 25542 9816 34089 8536 34056 12804 331 12804 0 5) Ist eine Zahl durch 10 zu dividiren, so schneide man rechts eine Ziffer ab; dadurch wird jede Ziffer des Dividends io Mal klei¬ ner (§. 6), und folglich ist die ganze Zahl durch io dividirt (§.39, Grundsatz I.); eben so wird eine Zahl durch IOO dividirt, wenn man zwei, durch ivoo, wenn man drei Ziffern u. s. w. rechts abschneidet; die abgeschnittcnen Ziffern aber müssen, wenn es keine Nullen sind, als der Rest mit dem unterschriebenen Divisor an den Quotienten, wie vorhin, angehängt werden; z. B. 6837 Ps. wie viel Centner machen sie? Antwort: 6837 : IOO — 68^- Centner. 6) Haben beide, Divisor und Dividend, am Ende einige Nullen, so schneide man von beiden gleichviel Nullen ab, und di- vidire dann nach den vorigen Regeln; dadurch werden beide, Di¬ visor und Dividend, durch eine und die ncmliche Zahl dividirt; da¬ her bleibt der Quotient ungeändert. (§. 40.) Z. B.36000:600 — 360 : 6 — 60. 7) Hat aber nur der Divisor allein am Ende Nullen, so schneide man von dem Dividend rechts so viel Ziffern ab, als der 32 Erstes Hauptstück. Divisor am Ende Nullen hat, und dividire die übn'gcn durch die bedeutenden Ziffern des Divisors; dem Reste aber werden die ab- geschnittencn Ziffern wieder angehängt, und der ganze Divisor un¬ terschrieben ; denn es ist z. B. 2367 : 40« — (2300 -t- 67) : 400 — 2300 : 400 23.4 -t- 67 : 400 - S -t- -E- -t- S -I- 8 Anmerkung. Man pflegt auch öfters die Division so zu drd- nen, daß man den Divisor links, den Dividend in der Mitte, und den Quotienten rechts ansetzt, und alle drei durch lothrechtc Striche von einander absondert; übrigens aber wird die Division Bei der wirklichen Anwendung der Rechenkunst ist es am vor- thcilhastcsten, die Division jederzeit so anzusetzen, wie es in diesem letzten Beispiele geschehen ist, weil man auf diese Art weniger Platz dazu braucht. §. 43. In den Rechnungen, wo mehrere Zahlen durch eine und die¬ selbe Zahl dividirt, oder auch multiplicirt werden sollen, kann man sich die Arbeit um Vieles erleichtern, wenn man sich die Vielfachen dieser Zahl, am sichersten durch wiederholte Addition, bis zum Neun¬ fachen berechnet und in eine Tafel eintragt: hiedurch kann man nicht nur jedesmal den Theil des Quotienten richtig bestimmen, sondern man erspart auch das jedesmalige Multipliciren, weil man das betreffende Product nur aus der Tafel heraus schreiben darf; z. B. cs wären mehrere Zahlen durch 864 zu dividiren, so verfer¬ tige man sich nachstehende Tafel. V. Abschnitt. 33 ches man dividirt; man schreibe deßwegen im Quotienten 2, und ziehe das Product aus der Lasel bei 2, nemlich 1728, gehörig ab, setze die folgende Ziffer herunter u. s. w. -- §. 44. Da man (nach §. SS) den Dividend als ein Product ansehen kann, wovon der Quotient und der Divisor die Factoren sind, so kann die Division am besten geprüft werden, wenn man den Quo¬ tienten mit dem Divisor multiplicirt, und den etwa gebliebenen Rest zum Producte addirt; kommt nun der Dividend zum Vorschein, so ist die Division gut verrichtet worden. Und so kann man auch umgekehrt die Multiplication durch die Division prüfen, wenn man das Product durch den einen Factor dividirt, wo dann der andere Factor zum Vorschein kommen muß; allein, da die Division et¬ was beschwerlicher als die Multiplication ist, so wird man lieber die Multiplication durch die Wiederholung, wie im §. S3 gesagt worden, prüfen. §. 48. Einige Fragen zur Anwendung der Division. 1. Frage. Wenn 8 Personen 1248 Fl. unter sich gleich vcr- theilen sollen, wie viel bekommt jede? Antwort. 1248 Fl. : 8 — 186 Fl. 2. Frage. Eine Klafter hat 6 Schuh, und der Schuh 12 Zoll; wie viel betragen also 23400 Zoll in Klaftern ? Antwort. 23400 : 12 — 1930 Sch., und 1950 : 6 323 Kl. 3- Frage. Ein Jahr hat 81356928 Secunden, wie viel macht dieses Tage, Stunden, Minuten und Secunden aus? Veg>, Vorles. I. Bd. 3 34 Erstes Hauptstück. Antwort. Da 60 Sccundcn 'cine Minute ausmachen, so sind 31556928 Sec. — (31556928 : 6V) Mn. — 525948 Mn. 48 Sec.; ferner, da 60 Minuten eine Stunde ausmachen, so sind 525948 Mn. — (525948 : 60) St. — 8765 St. -t- 48 Mn.; endlich sind 8765 St. --- (8765 : 24) T. -- 365 Tage -t- 5St.; folglich hat das Jahr 365 T. 5 St. 48 M. und 48 Sec. 4. Frage. Es sollen 270000 Ziegelsteine in einen Haufen ge¬ schichtet werden, in jeder Schichte sollen der Länge nach 150, der Breite nach aber 60 Ziegel zu liegen kommen, wie viel müssen solche Schichten auf einander gelegt werden? Antwort. Da der Länge nach 150, und der Breite nach 60 liegen sollen, so kommen in eine Schichte 150 . 60 — 9000, und folglich^270000 : 9000 — 30 Schichten. 5. Frage. Wenn man zu einer Montur 6 Ellen Tuch braucht; wie viele Montirungen wird man aus 20 Stücken von diesem Tuche liefern können, wenn jedes Stück 36 Ellen hat? Antwort. Da in einem Stücke Tuch 36 Ellen sind, so ha¬ ben 20 Stück 36.20 — 720 Ellen; und weil man zu jeder Mon¬ tur 6 Ellen braucht, so bekommt man von allen diesen Ellen 720 : 6 ----- 120 Montirungen. VI. Abschnitt. Von den Rechnungsarten mit ungleichnamigen Zahlen, welche gleichnamig gemacht werden können. §. 46. Durch die bisher gezeigten vierRechnungsarten können nun auch ungleichnamige Zahlen, welche aus gleiche Namen gebracht wer¬ den können, addirt, subtrahirt, multiplicirt und dividirt werden, wenn man sie vorher auf gleiche Namen, und zwar auf Einheiten der kleinsten Gattungen bringt, wie in einigen Beispielen (§. 34) gezeigt worden ist; z. B. es wären 3 Kl. S Sch. 9 Zoll zu addi- VI. Abschnitt. 35 ren zu 4 Kl. 4 Sch. 8 Zoll; so sind 3 Kl. 5 Sch. -t- 9 Z. — (216 -t- 60 A- 9) 3. — 283,3., und 4 Kl. -t- 4 Sch. A- 8 Z. — (288 -i- 48 A- 8) Zoll — 344 Z.; folglich ist die Summe (285 A- 344) Z. — 629 Zoll; welches wieder in Klaftern, Schu¬ hen und Zollen ausgedrückt werden kann, wie es in einigen Bei¬ spielen (§. 45) gezeigt worden ist. Mein man hat auch hier besondere Rechnungsweisen einge- sührt, durch welche man geschwinder zum Zwecke kommt: es ist aber vorher bei einem wie beim andern nothwendig, daß man bei den Rechnungen, wo solche ungleichnamige Zahlen Vorkommen, die Eintheilung wisse, wie viel eine Einheit der größeren Gattung Einheiten der nächst kleineren Gattung enthält. Da jedoch nicht nur diese Eintheilungen selbst, besonders jene der Gewichte, Längenmaße und Münzen, fast in jedem Lande verschieden sind, sondern auch un¬ ter einem und dem nemlichen Namen in verschiedenen Ländern ganz ungleiche Dinge verstanden werden (so ist z. B. ein Kai'sergulden — 60 Kaiserkreuzer, ein Reichsgulden — 50 Kaiserkreuzer, ein Polnischer Gulden — 15 Kaiserkreuzer u. s. w.); so wollen wir uns hier blos an die in Österreich eingeführten Eintheilungen halten, welche aus Folgendem zu ersehen sind. I. Längenmaße. Längen werden mit der Klafter, dem Schuh, Zoll u.s.w., Wege mit der Meile, und Schnittwaren mit der Elle gemessen. Die Klafter theilt man in 6 Schuh oder Fuß; den bürgerlichen Fuß oder Werkschuh, in den Gewerben nach dem Duodecimal- Maße in 42 Zoll, jeden Zoll in 42 Linien, die Linie in 12 Punkte oder Scrupel, und den Punct in 12 Quinten; den geometri¬ schen Fuß bei Ländervermessungen (mit dem Werkschuh von glei¬ cher Länge) nach hem Decimal-Maße in io Zolle, jeden Zoll in io Linien. Klafter, Schuh, Zoll, Linien, Puncte, Quin¬ ten pflegt man oft durch die zur Rechten oben an der Ziffer der Ei¬ ner beigesetzten Zeichen o, i, n, m, iv, v, anzudeuten. So schreibt man z. B. 5° 4' 9" 10"' 7" statt 5 Klafter, 4 Schuh, 9 Zoll, io Linien, 7 Puncte, i i Quinten. 3 * 38 Erstes Hauplstück. Große Entfernungen werden durch Meilen gemessen, eine Österreichische Meile beträgt 4000 Wiener Klaftern; eine - halbe Meile nennt man eine Stunde Weges. Das Schnittwaren maß, die Elle, theilt man in halbe, Viertel-, Achtel-, Sechzehntel-, Zweiunddreißigstel-, oder in Drittel-, Sechstel-, oder endlich in Zehntel-Ellen. Bei dem Recrutenmaße bedient man sich des Schuhes zu 12 Zoll, theilt aber den Zoll in 4 Strich. — Die Höhe der Pferde wird mit der Faust gemessen, welche 4 Werkzoll betragt, die auch in 4 Strich unlergethcilt werden. — Tragweiten von Feuerwaffen, und andere im Militärwesen vorkommende Strecken, werden in Schritten angegeben, indem man 10 Schritt auf 4 Klafter rechnet. II. Flächenmaß e. Die Inhalte ebener begrenzter Flächen (Figuren) bestimmt man durch Quadrate (gleichseitige rechtwinklige Vierecke), deren Seiten entweder eine Klafter, einen Schuh, einen Zoll u. s. w. lang sind, und welche darnach eine Quadratklafter, ein Qua- tz ratschuh, ein Quadrat zoll u. s. w. heißen. Daher enthält die Quadratklafter 6.6 36 Quadratschuh, der Quadratschuh 12.12 — 144 Quadratzoll, der Quadcatzoll 12.12 — 144 Quadratlinicn, u. s. w. Grundstücke werden nach dem Joche gemessen, welches 16OO Quadratklafter beträgt. — Weingärten werden an manchen Orten nach Pfunden und Raheln gemessen. 24 Pfund machen ein Joch, und 12 Pfund heißen ein Viertel (Weingarten), i Ra¬ hel (oder Rachel) oder ein Achtel — 400 Quadratklafter, ein großer Rahen — 600 Quadratklafter; 2 Rähel — ein Vier¬ tel Weingarten — 800 Quadratklafter. Das Tagwerk Wiese — 800 bis 1200 Quadratklaster. III. Körpermaße. Die Größe der Körper (ihren Rauminhalt) bestimmt man durch Würfel (Kuben, von 6 gleichen Quadraten begrenzte Kör¬ per), die zur Seite eine Klafter, einen Schuh, einen Zoll u. s. w. haben, und bczichlich eine Kubik klafter, ein Kubikschuh, VI. Abschnitt. 37 §in Kubikzoll, u. s. w. heißen. Sofort enthält die Kubikklaster 6.6.6 — 2I6 Kubikschuh, der Kubikschuh 12.12.12 — 1728 Kubikzoll, u. s. w. » IV. H o h l m a ß e. Getränke, als Wein, Bieru. dgl. werden durch Eimer gemessen. Ein Eimer enthält 4S Maß klaren Getränkes, und eine Maß 4 Seitel. Einige nennen das halbe Seitel auch Pfiff, und s Pfiff ein Groß seitel. Getreide wird nach dem Metzen (festgestellt von Leo¬ pold I. am 5. Dec. I68S) gemessen; ein Metzen wird in halbe, Viertel - und Achtclmetzen, das Achtel in 2 Maßel (Mühlmaßel), das Maßel in 2 Halbmaßcl zu 2 Futtermaßel, jedes zu 2 Becher abgetheilt. 30 Metzen machen einen Muth, welcher kein wirkli¬ ches, sondern nur ein Rechnungsmaß ist; als Mehlmaß enthält er 31 Strich. Kalk mißt man mit dem Müt h el. Kohlen werden mit dem Stu dich gemessen. V. Gewichte. In der k. k. Österreichischen Monarchie sind gesetzlich fünferlei Gewichte (gewöhnlich Wiener oder Niederösterreichische genannt) im Gebrauche, nemlich: 1) DasMark- oder Münz-, auchValvationsgewicht, dessen man sich beim Münzwesen zum Abwä'gen des Silbers, und der daraus verfertigten Waren bedient. 2) Das Commercial- oder Handelsgewicht, wel¬ ches im gewöhnlichen Handel gebraucht wird. 3) Das Ducatengewicht, welches beim Abwägen des Goldes, und der aus Gold verfertigten Waren gebraucht wird. 4) Das Iuwelengewicht, womit Perlen und Edelsteine .gewogen werden. 5) Das Apotheker- oder Medicinalgewicht. Die Wiener Mark ist nach der von Kaiser Ferdinand'am i. August 1560 erlassenen Münzordnung so bemessen, daß 5 Wiener Mark genau 6 wahre C ö lnische Mark betragen, deren man 38 Erstes au pl stück. sich an vielen Orten Deutschlands bedient; und es wird die Wiener Mark, eben so wie die Cölnische, in 16 Loth, das Loth in 4 Quintel, das Quintel in 4 Pfennig, der Pfennig in 2 Heller, und der Heller in 128 Richtpfcnnig eingetheilt. Somit ist i Mark — 16 Loth — 64 Quintel — 256 Pfennig — 512 Heller — 65536 Richtpfcnnig. Ein Wiener Handelspfund wird in 82 Loth, ein Loth in 4 Quintel, und ein Quintel in 60 Gran eingetheilt.' Große Lasten werden durch den Centner von 100 Pfund, und Schiffs¬ frachten durch das Schiffspfund von 3 Centner gewogen. Demgemäß ist i Centner — ioo Pfund — 3200 Loth. i Pfund — 32 Loth — 128 Quintel — 7680 Gran. i Loth — 4 Quintel — 240 Gran. Dabei ist aber das Wiener Handelsgewicht um etwas Weniges leichter als das Wiener Markgewicht, indem ein Wiener Handelspfund seit dem Jahre 1756 um 298 Wiener Nichtpfennig leichter als 2 Wiener Mark ist, daher 130774 solcher Richtpfennige wiegt. Das Gewicht eines gesetzmäßigen kaiserlichen Ducatens, deren nach der Münzordnung vom i. Aug. 1560, 670 auf io Cölnische Mark, und 804 auf io Wiener Mark gehen, ist die Einheit des oben angeführten Ducatengewichts, und wird, nach den lan¬ desherrlichen Verordnungen vom 12. April 1753 und 17. April 1771, in 60 gleiche Theile getheilt, die man Ducatengrane nennt. Eine Wiener Mark enthält demnach.4824 Ducatengran. Das Gewicht der Juwelen wird durch Karate bestimmt; 8 Karat des Wiener Juwelengcwichts wiegen 388 Richt¬ pfennig des Wiener Markgcwichts; ein Karat wird noch in 4 Ju¬ welengran eingetheilt. EinWiener Apothekerpfund hat, nach der landesherrli- chenVerordnung vomll.April 1761, wie es fast überall gebräuchlich ist, 12 Unzen, und eine solche Unze besteht aus 2 genau eben so schwere^ Lothen, als das Handelsgewicht deren 32 hat. Eine Unze wird eingetheilt in 8 Drachmen oder Quintel; eine Drachme in 3 Scrupel, und ein Scrupel in 20 Apothekergran. VI. Ab sch ni lt. 39 Sofort ist: I Apothekerpfund --- 12 Unzen — 21 Loth — 96 Drachmen -- 288 Scrupel — 5760 Gran. i Unze — 8 Drachmen — 24 Scrupel — 48» Gran. I Drachme — 3 Scrupel — 6» Gran. Das Pfund Chocolatege wicht wiegt, kraft des landes¬ herrlichen Edicces vom 6. December 1781, nur 28 Loth des Han¬ delsgewichts. Bei den Gold- und Silberprobirwagen bedient man sich in ganz Deutschland eines kleinen Gewichts (gemeiniglich eines Pfennigs des Markgewichts), welches eine verjüngte oder sym¬ bolische Mark genannt wird; beim Silber theilt man diese verjüngte Mark in 16 Loth, und ein solches verjüngtes Loth in 18 S ilb e r g r a n; oder auch ein Loth in 4 Quintel, und ein Quin¬ te! in 4 Pfennig. Beim Gold aber wird die verjüngte Mark in 24 Goldkarat, und ein solcher Karat in 12 Goldgran eingetheilt. Zur Prüfung des Metallgehaltes der Erze benützt man als ein symbolisches Gewicht den sogenannten Bergcentner, welcher 1600 Wiener Richtpfennigen gleicht, und in 10» (symbolische) Pfund zu 32 Loth abgetheilt wird. Das Getreideprobirge wicht ist,jein symbolisches Ge¬ wicht, mit wächem man, zur Erforschung der Güte des Getreides, das Gewicht eines wirklichen Metzen Getreides nach dem Maße des symbolischen Metzens, von denen 1024 einen eigentlichen Metzen ausmachen, untersucht; es wiegt 2 Loth des Commercialgewichts, und stellt (symbolisch) 64 Pfund vor. VI. Zeitmaße. Die Grundeinheit der Zeit ist der Tag; er wird in 24 Stun¬ den, jede Stunde in 60 Minuten, die Minute in 60 Secunden, die Secunde endlich in 60 Terzen eingetheilt. 7 Tage machen eine Woche; 28, 29, 30 oder 31 Tage geben einen Monat; 12 Mo¬ nate ein Jahr. Ein gemeines Jahr hat 365, ein Schalt¬ jahr 366 Tage. In Geldgeschäften rechnet man das Jahr zu 360 und den Monat zu 30 Tagen. 100 Jahre heißen ein Säculum (Jahrhundert). 4« Erstes Haupt stück. VII. Geldrechnung. Geld rechnet man nach Gulden (Fl.) zu 20 Groschen oder KO Kreuzer, den Groschen (Gr.) zu 3 Kreuzer (Kr.), und den Kreuzer zu 4 Pfennig (Denar). Die vorzüglichsten Österreichischen Silbcrmünzen sind: Groschen zu 3, Fünfer zu 8, Zehner zu IO, Zwanziger zu 20 Kreuzer, Guldenstücke zu i Fl., Thaler zu 2 Fl., nach dem Zwan¬ zig-Gulden- oder Convcntionsfuß, welchem gemäß in 20 Gul¬ denstücken eine Mark reinen (feinen) Silbers enthalten ist. Gold¬ münzen sind: Ducaten zu 4Fl. 30 Kr., Souveraind'or zu i3Fl. 20 Kr., und halbe Souveraind'or zu K »zl. 40 Kr. VHI. Abzählung einzelner Dinge. Bei Dingen, die nach der Zahl verkauft werden, pflegt man 12 ein Dutzend, 45 eine Mandel, 30 einen Schilling, KO ein Schock zu nennen. Beim Papier machen 24 Bogen ein Buch, 20 Buch ein Rieß, und io Rieß einen Ballen. Beim Druckpapier machen 28 Bogen ein Buch. §. 47. Sind nun ungleichnamige Zahlen, welche aus gleiche Rainen gebracht werden können, zu addiren, so ordne man sie so, daß alle diejenigen, welche gleiche Namen haben, unter einander, und die von der klemmen Gattung rechts zu stehen kommen; dann fange man bei der kleinsten Gattung zu addiren an; enthält nun die Summe davon einige Einheiten der großem Gattung, so dividire man sie durch die Zahl, welche eine Einheit der großem Gattung ausmacht; den Rest schreibe man unter die addirte Stelle, und den Quotienten zähle man zur folgenden Gattung; und eben so fahre man nun weiter gegen die Linke von Gattung zu Gattung fort, wie cs folgende Beispiele zeigen. Beispiele. 8 Fl. 12 Gr. 2 Kr. 3 Dr. 10 - 18 - I - 2 - 2 - 17 - 2 - 3 - 2 6 - 9 - 1 - 1 - 48 Fl. 18 Gr. '2 Kr. I Dr. 22 St. 45 Milt. 27 Sec. 13 - 14 - 30 - 6 - 0 -20 - 42 Sc. 0 Min- 17 Sec. VI. Ab sch nitk. 41 Im ersten Beispiele sagt man: i und 3, und 2, und 3 sind 9 Dr., das ist 2 Kr. und i Dr. (weil 4 in 9 zwei Mal enthalten ist, und i übrig bleibt); i Dr. wird angesetzt, und 2 Kr. zur folgen¬ den Stelle addirt; 2 und l, und 2, und i, und 2 sind 8 Kr., das sind 2 Gr. und 2 Kr. (weil 3 in 8 zwei Mal enthalten ist, und 2 übrig bleiben); darum werden die 2 Kr. an die Stelle der Kreuzer ge¬ setzt, und die 2 Gr. wieder zur Stelle der Groschen addirt, nem- lich 2 -1- 12 -i- 18 -1- 17 -l- 9 — 58 Gr. — 2 Fl. und 18 Gr. (weil 20 in 58 zwei Mal enthalten ist, und noch 18 zum Reste läßt); also 18 wieder an die Stelle der Groschen gesetzt; endlich ist 2 -1- 8 -I- 10 -1- 2 -I- 26 — 48 Fl. §. 48. Sollen ungleichnamige gleichartige Zahlen von einander a tz- gezogen werden, so ordne man selbe wie bei der Addition (§. 47), fange von der kleinsten Gattung an, und subtrahire jeoe Gattung insbesondere. Ereignet sich aber, daß irgendwo bei-einer Gattung die obere Zahl kleiner ist, als die abzuziehcnde, so borge man von der nächst folgenden Gattung eine Einheit, vermehre dann die Zahl um so viel, als die ausgeborgte Einheit Einheiten dieser Gattung enthält, und verrichte die Subtraction. Beispiele. Von 36 Fl. 4 Kr- 3 Dr. Von 13 M. 0 M. 0 See. abzuziehen 9 - 16 - I - abzuziehen 10 - 29 - 40 - Diff. 26 Fl. 48 Kr. 2 Dr. Diff. 2 St. 30 M. 20 Ser. Zn dem ersten Beispiele können 16 Kr. von 4 Kr. nicht abge¬ zogen werden; man borge dcßwcgen einen Gulden, dieser macht 60 Kr., also hat man 64 Kr.; 16 davon bleiben 48 Kr. Eben so muß im zweiten Beispiele von 13 St- I geborgt werden: diese an die Stelle der Minuten getragen gibt 60 Mm.; dann wieder i da¬ von geborgt, und an die Stelle der Sekunden getragen, gibt 60 See.; wo sodann die Subtraction verrichtet werden kann. §. 49. Wenn ungleichnamige Zahlen, die auf einerlei Namen gebracht werden können, mit einer unibenannten Zahl multip.'icirt wer¬ den sollen, so fange man wieder bei der kleinsten Gattung zu mul- 42 Erstes Haupt stück. tipliciren an, ziehe aus dem Producte die etwa darin enthal¬ tenen Einheiten der großem Gattung durch die Division heraus, und addire sie zum folgenden Producte; der Rest aber wird an die Stelle gesetzt; und so auch bei den übrigen Gattungen. Beispiele. 24 Kl. 5 Sch. 7 Zoll 8 Cent. 24 Pf. 18 Loth multiplicirt mit 4 multtplicitt mit 9 99 Kl. 4 Sch. 4 Zoll 56 Cent. 21 Pf. 2 Loth Im ersten Beispiele sagt man: 4 Mal 7 sind 28 Zoll, nem- lich 2 Sch. und 4 Zoll (weil 42 in 28 immer 2 Mal enthalten ist, und 4 übrig läßt); man setzt deßwegen 4 Zoll an die Stelle der Zolle, und behält die 2 Schuh auf die künftige Stelle; ferner 4 Mal s sind 20, und 2 geblieben sind 22 Schuh, nemlich 3 Kl. und 4 Sch. u. s. w. §. 5«. Sollen dergleichen ungleichnamige Zahlen, durch eine unbe¬ nannte Zahl dividirt, das heißt in eine gegebene Anzahl glciDr Theile getheilt werden, so fange man bei der größten Gattung zu dividiren an, jeden Rest addire man zur nächst kleinern Gattung, nachdem man ihn vorher auf Einheiten dieser Gattung gebracht hat, und theile neuerdings, so erhält man den richtigen Quo¬ tienten. Beispiele. (10° 5' 9" 8'"): 4 — 2° 4' 5" 5'" (25 St. 8 Min. so See.): 6—4 St. n Min. 25,Sec. Im ersten Beispiele sagt man: 4 in 10 geht 2 Mal, und es bleiben noch 2° übrig; diese zu Schuhen gemacht geben 42', und zu 5' addirt sind 17'; 4 in 47 geht 4 Mal u. s. w. §. 54. Wären aber solche ungleichnamige Zahlen wieder durch derlei Zahlen, die mit ihnen gleichnamig gemacht werden können, zu di¬ vidiren, nemlich zu untersuchen, wie oft diese in jenen enthalten sind, so bringe man beide auf die kleinste Gattung, damit beide gleichnamig werden, und verrichte ddnn die Division so, als wenn es unbenanntc Zahlen wären. Vll. Abschnitt. 43 Beispiele. (I2FI. isKr. 2Dr.) : (i Ft. 4sKr. 2Dr.)--2954Dr.:422Dr. — 7 (14° 4'): (5' 40") — 840": 70" — 42 g (Zentner: 48 Loth - 9K00 L.: 48 S. - 533^. VII. Abschnitt. Von den Rechnungsarten mit Buchstaben. §. 32. Obwohl man durch die Ziffern oder Zahlzeichen jede Menge einer jeden Gattung von Größen vorstellen kann, so sind sie doch noch zu eingeschränkt, um damit allgemeine Rechnungen anlegen zu können, die für jeden ähnlichen Fall gelten; z. B. durch 5 kann ich nur 5 Menschen, 3 Gulden, 5 Pfund, aber keineswegs weder mehr noch weniger als fünf, nemlich weder acht noch eilf oder wie viel immer entweder Menschen oder Gulden oder Pfund, und dergleichen bezeichnen. Man müßte daher die Rechnung so oft von Neuem anfangen, als nur die mindeste Veränderung in der Angabe gemacht würde; ja es gibt Rechnungen und Untersuchungen, die durch blose Zahlzeichen entweder gar nicht, oder nur mit äußerster Schwierigkeit sich verrichten lassen. Man war deßwegen auf allge¬ meinere Zeichen bedacht, durch welche man nicht nur jede Gattung der Größen, sondern auch jede Menge der Einheiten sich vorstellen kann; und man hat hiezu das kleine lateinische Alphabet gewählt, weil es den meisten Völkern in Europa bekannt ist; durch a z. B. kann man 5, 8 oder ii Menschen; 5, ii oder 20 Gulden, 5, io oder 100 Pfund u. s. w. vorstellen; und so auch durch 6, e, -r, . . . L-, N, s: nur muß jeder Buchstabe den Werth, den man ihm Leim Anfänge ejner Rechnung beilegt, durch die ganze Rechnung bcibehalten. 41 ^Erstes Hauptstück. Zuweilen werden auch die großen Buchstaben dieses Alphabets genommen, ^-4, L, <7, ... X, V, 2; auch bedienen sich einige Schriftsteller der griechischen Buchstaben *)- Ferner bezeichnet man gewöhnlich Größen, die gemeinsame Merkmale besitzen, durch denselben Buchstaben, indem man ihn jedoch mit verschiedenen Abzeichen, als: Strichen oder Accenten, Puncten, Nummern, (Zeiger, Indices) versieht; wie a, ä, ä, K , K , K ) Kg, , K2 - Zur Unterscheidung der allgemeinen, durch Buchstaben dargestclltcn Zahlen, welche jede Menge von Einheiten ausdrücken, heißen die von uns früher behandelten, durch Ziffern darstellbaren Zahlen, welche nur eine bestimmte Menge von Einheiten vorstellen, auch noch besondere Zahlen. §. 83. Die Wissenschaft mit Buchstaben, oder vielmehr mit allgemei¬ nen durch Buchstaben vorgestellten Zahlen zu rechnen, wird die allgemeine Rechenkunst, oder die Algebra genannt. Hie¬ durch wird die Arithmetik in zwei Theile, nemlich in die Zah- len-Rechenkunst, oder die gemeine Arithmetik, und in die Buchstaben-Rechenkunst, oder die a llgemeine Arithmetik eingetheilt. §. 51. Bei den Rechnungsarten mit Buchstaben bedient man sich der nemlichen Operationszeichen, wie bei der Zaklenrechnung; so be¬ deutet -i- S, daß der Werth von a zum Werthe von S addirt werden soll; eben so heißt a -i- ö -z- « -r- s, daß die Werthe der *) Von den griechischen Buchstaben werden folgende zuweilen in den Rechnungen gebraucht. VII. Abschnitt. 43 Buchstaben a, S, o, zusammen addirt, und die Summe davon noch um 3 vermehrt werden soll. Soll ein Buchstabe von einem andern Buchstaben, oder von einer Zahl, oder auch eine Zahl von einem Buchstaben abgezogen werden, so verbindet man selbe durch das Subtractionszeichen (§. 21) , als a— s, a—20, S6—«; eben so bedeutet (s-t-ü) — (s-i-o), daß die Summe aus cr und o von der Summe aus cr und S abgezogen werden soll; z. B. es wäre a-30, S--20 und e—8, so ist der angeführte Ausdruck (a-t-S)—(; so wie es auch ei¬ nerlei ist, ob man schreibt «Sc, «öS, Sc«....; denn es sei z. B. «—4, S—7 und c—3, so ist 4-4-74-3-34-4-1-7 — 14; und 4.7.3 ---7.3.4—84; wohl aber ist «—s von S—K zu unterscheiden; denn das erste heißt, man soll ü von «, und das andere, man soll « von s abziehen. Eben so muß auch «: s von s: «unterschieden werden, weil im ersten Falle « durch S, und im andern S durch « dividirt wird. VII. Abschnitt. 17 Anmerkung. Den Anfänger darf es nicht befremden, daß man mit Buchstaben rechnet, da man doch noch nicht weiß, was jeder Buchstabe für einen Werth habe; denn er darf sich nur erin¬ nern, daß man mit den unbenannten Zahlen und Ziffern auch alle Rechnungsarten anstellt, ohne noch zu wissen, welche Größen als Einheiten ihnen zum Grunde liegen. 57. Jeder durch Buchstaben angeschriebene Ausdruck wird über¬ haupt eine algebraische Größe genannt; .und zwar heißt sie eine einfache, oder einnamige algebraische Größe (ein Mo¬ nom), wenn sie nur aus einem, oder auch aus mehreren Buchsta¬ ben besteht, welche nicht durch die Zeichen -1- und — an einander hängen; so sind z. B. die Größen 3«, 44a-, einnamige al¬ gebraische Größen. Besteht abc^eine Größe aus mehreren Theilen, die durch die Zeichen -I- und — verbunden sind, so ist sie eine mehrnamige algebraische Größe (ein Polynom), und zwar ist sie eine zwei-, drei-, vier-,.... namige Größe (ein Binom, Trinom, Quadrinom, ....), wenn sie aus 2, 3, 4 .>. . Thü¬ len besteht; so ist z. B. er-t-S eine zweinamige, s eine dreinamigc, —-18-t-ock—r, eine viernamige algebraische Größe u. s. w. Die Theile einer algebraischen Größe werden auch die Glieder dieser Größe genannt; man sagt demnach, eine Größe bestehe aus i, 2^ 3, 4 . . . Gliedern. §- 58. Die Glieder einer algebraischen Größe heißen gleichnamig, oder ähnlich, wenn sie einerlei Buchstaben mit den nemlichen Ex¬ ponenten enthalten; nur die Zeichen und Cocfficienten können ver¬ schieden sein; so z. B. sind 4«s-e, und — 3aü"o. gleichnamige Glieder. Eben so sind auch jene Glieder, die nur aus blosen Zah¬ len bestehen, gleichnamig. Bestehen aber die Glieder nicht vollkom¬ men aus den nemlichen Buchstaben, so sind sie ungleichnamige Glieder. Es sind daher in der algebraischen Größe 3 «ö — 3 «r -t- 5 «ü — 3 üotk nur das erste und dritte Glied 48 Erstes Haupt stück. gleichnamig; hingegen das zweite und vierte ungleichnamig, weil im vierten Gliede S nur den Exponenten 1 hat; so sind auch diese Glieder Sa"ö und 3 vermög des angeführten Grundsatzes sein muß. Hieraus fließt nun die Regel: gleiche Zeichen geben ein positives, unglei¬ che aber ein negatives Product. 4) Die Coefficienten beider Glieder werden mit einander mul- tiplicirt; so ist z. B. 2aX3eÄ—6aa6; 4a X—Sb——20ab; —3«x—5S0—4-ISabo. 5) Haben beide Glieder gleiche Buchstaben, so wird im Pro¬ dukte jeder gemeinschaftliche Buchstabe nur einmal geschrieben, und die Exponenten dieses Buchstaben werden zusammen addirt; z. B. 4«^xs«^—20«°; denn es ist 4a^XSa^—4.5.SK«.««—20.KKKK«—20a^ (§. 35); eben so ist ab"X—4abo——4a"b^a. Beispiele. I. (2a—3a^b4-ba-) X i2«'ö"Ä—i8a^b^ck4-6aöVät. II. («^—3a"-4-4ab^) X —2ab^a ——2a^-^e4-6a^ö^o—8a^b^a. III. (4a—304-b^e"') X 5«b"a-20a--"o—l50aS"o4-5ab^"c^ IV. (4a^—5b?) X 3a"^b^ — —I2a^ö^? 4-1Za^^b^'. V. O"—"4-z/"—"-) X a?"-'" — 4- §. 84. Sind beide Factoren mehrnamige Größen, so multiplicire man mit jedem Glicde des einen Factors, rechts oder links angefangen, den ganzen andern Factor nach den (im vorigen §. 63) gegebenen Regeln, und man hat das richtige Product (vermög §. 2g) ; wor- nach man nur noch die etwa darin befindlichen gleichnamigen Glie¬ der reduciren darf. 84 ErstesHauptstück. Beispiele. » I. r 2« —3ae - o Prod. — 6»^— 4s"L'-i-2sL-2 —g K-a? -t- 6 — 3a? — 6a^—43«^-4-8aa?-—Lev^ II. 2e" > 2»"--3S j Factoren. Prod. — 2a^'"-i-2««^—4«"-o"—3«'"-—3^-"-t-6//6". Iii. 2a^^-6'"-"—"i-' 4 3a'^-—8 / D'cictorcn. Prvd. --- -2g^Sm-7^,Sm-t-1^.3 1-4», §. «3. Wenn eine einnamige algebraische Größe wieder durch eine ein- namige zu dividiren ist, so kann die Division nur damals wirklich verrichtet werden, wenn sich alle Buchstaben des Divisors in dem Dividend befinden, und zwar nach folgenden Regeln. 4) Gleiche Zeichen geben einen positiven, ungleiche aber einen negativen Quotienten. 2) Der Coefficient des Dividends wird durch den Coefficien- tcn des Divisors dividirt. 3) Die Buchstaben, welche im Divisor und Dividend mit dem sinnlichen Exponenten enthalten sind, werden in dem Quotien¬ ten ganz hinweg gelassen; sind aber die Exponenten verschieden, so wird der Exponent des Divisors von jenem des Dividends abge¬ zogen. , 4) Die übrigen Buchstaben des Dividends, welche der Divi- . sor nicht zugleich gemein hat, werden im Quotienten mit ihren Ex¬ ponenten eingesetzt; so ist z. B. I2«d: 3K—4si; 5s"ö3aÄ: ——ga-a — 8a'"-^6:—2erS" —-t-4a-"-1-3—"e —Iga^S: — z . «»-hi—,, Die Richtigkeit dieser Regeln erhellet daraus, weil daS Pro¬ duct aus dem Quotienten in den Divisor jederzeit den Dividend zum Vorschein bringen muß. (§. 44.) VII. Abschnitt. 85 Wären aber nicht alle Buchstaben des Divisors in dem Divi¬ dend enthalten, so kann die Division nicht wirklich verrichtet wer¬ den , sondern man deutet in diesem Falle die Division durch den lie¬ genden Strich (Z. 87) an, und man kann diejenigen Factoren, die der Divisor und Dividend gemein haben, ganz hinweg lassen (§. 40); z.B. SaS-: ; 6«?-: —2«a^-——. 8o § §. 66. Besteht der Dividend aus mehreren Gliedern, der Divisor aber nur aus einem einzigen Gliede, so dividire man nach den erst gege¬ benen Regeln jedes Glied durch den Divisor, wenn er in jedem Gliede des Dividcnds enthalten ist; im Gegentheilc kann die Divi¬ sion entweder nur angezeigt, oder zum Theil verrichtet, und zum Theil angezeigt werden; z. B. (6«"ö—io«w) :2K—3«S—Sw; (4a"ö—2W-4-3K) :2S—2a"— t, 2S 67. Sind aber beide, Divisor und Dividend, zusammengesetzte Größen, so verfahre man auf folgende Art. 1) Mit dem ersten Gliede des Divisors dividire man in ein Glied des Dividends, so hat man den ersten Theil des Quotienten; mit diesem Quotientei; multiplicire man den ganzen Divisor, und ziehe das Product von dem Dividend ab. 2) In dem Reste wähle man wieder ein Glied, in welchem das erste Glied des Divisors enthalten ist, und dividire es, so hat man den zweiten Theil des Quotienten, welcher mit seinem Zei¬ chen zum ersten hinzugefügt wird; mit diesem gefundenen zweiten Lheile des Quotienten multiplicire man den ganzen Divisor, und ziehe das Product vom Dividend ab; den Rest dividire man wieder durch das erste Glied des Divisors, u. s. w. 3) Kommt man durch diese Operation einmal zu Ende, so daß alles genau ausgeht, .so ist es ein Zeichen, daß der Divi¬ sor im Dividend genau enthalten sei; im Gegentheilc muß man den noch vorhandenen Rest mit dem unterschriebenen Divisor an den 86 Erstes Hauptstück. Quotienten mittels des gehörigen Zeichens -t- oder — anhä'ngen, wie bei der Division mit Zahlen (§. 41, Nr. 8). Beispiele. 0 (12a^ö—24a^Lo—3«"öo^ck-8ÜK-t:^—I8So^):(3er"ü—Ktt-e-t- 3^o") —4»"—5v- ck-I2a*S—24a^-L'-s-I2K"öo^ — I ga^-e- -t- ZOa-«^—I —ISa'öe"ck-3Oaücb—löüo^ ck- — -t- v (a^—HZ) . -t-K^—«2- -t-a^ö— -t-a^S—a-^ — ck- -j-a-2— 0 («a"- aa.>-i-a-—L--):(3K-t-L')-2«-L--,—^!— -t-Ka -t-2«L —3aa?—L^-r-aü —3«L'— V!H. Abschnitt. 57 Die Multiplikation und Division zusammengesetzter algebrai¬ scher Ausdrücke erleichtert man sich namhaft, wenn man diese Aus¬ drücke auf gleiche Weise, nemlich entweder beide fallend oder beide steigend und nach dem nemlichcn Buchstaben ordnet, d. h. in beiden Ausdrücken die einzelnen Glieder -dergestalt auf ein¬ ander folgen laßt, daß in jedem Gliede der Exponent eines und desselben Buchstaben nicht größer im ersten Falle, oder nicht kleiner im andern Falle als bei dem vorhergehenden Gliede ist. So sind im Beispiele I. Kl, die Faktoren fallend nach a und steigend nach es geordnet, und im zweiten und dritten Beispiele dieses Para¬ graphen find Dividend und Divisor nach a fallend geordnet. Hiebei pflegt man den Rang oder die sogenannte Dimen¬ sion solcher Ausdrücke nach dem höchsten Exponenten des Buch¬ staben, nach welchem sic geordnet werden, anzugeben. So ist im letzten Beispiele der Dividend in Bezug auf« von der zweiten, der Divisor aber von der ersten Dimension. VIII. Abschnitt. Von der Theilbarkeit der Zahlen. §. 68. Erklärungen und Lehrsätze über Theilbarkeit im A l l g e m e i we n. Eine Zahl heißt durch eine andere theilbar, wenn sie durch diese getheilt keinen Nest (den Rest Null) gibt. Erstere Zahl nennt man in einem solchen Falle ein Vielfaches (Multiplum) der an¬ dern, und diese selbst einen Theiler (Divisor), ein Maß von jener. So ist z. B. 32 :4 — 8, folglich ist 82 durch 4 theilbar oder ein Vielfaches von 4, und umgekehrt ist 4 ein Theiler von 32. Eben so ist E durch -r theilbar oder ein Vielfaches von -r, ünd n ein Theiler von «n. Auf diese Erklärungen gründen sich folgende Lehrsätze. i. Jede Zahl ist durch i und durch sich selbst theil- bar; denn sie gibt durch i getheilt sich selbst, und durch sich ge¬ theilt i zum Quotienten ohne Rest. Zg E r ste s H a up tsrü ck. Aus diesem Grunde Pflegt man, wenn von den Thcilern einer Zahl die Rede ist, unter ihnen weder i noch die Zahl selbst aufzuführen. 2. Null ist durch jede Zahl theilbar. 3. Keine-Zahl ist durch eine größere theilbar; denn von keiner läßt sich eine größere weg nehmen. Folglich liegen alle Theiler einer Zahl zwischen i und ihr selbst, und somit hat jede Zahl sowohl einen kleinsten als auch einen grö߬ ten Theiler. 4. Ist jede von zwei Zahlen durch eine und die¬ selbe Zahl theilbar, so ist es auch ihre Summe und Differenz. Denn sind die Zahlen das größte gemein¬ schaftliche Maß zu suchen, und läßt die größere Zahl er, durch die kleinere ö gctheilt, den Rest o, so muß (nach §. 68, Nr. 7 und 8) jeder dem Dividend er und Divisor b gemeinschaftlich zukommende Theiler auch ein gemeinschaftlicher Theiler des Divisors S und des Restes o sein, und umgekehrt. Sonach muß auch der größte ge¬ meinschaftliche Theiler .des einen Zahlenpaares mit dem größten ge¬ meinschaftlichen Theiler des andern Zahlenpaares Übereinkommen. Denn könnte er bei dem einen Paare größer als bei dem andern sein, so müßte dieses zweite Paar auch an ihm einen gemeinschaftlichen Theiler haben, der sogar noch größer als der größte gemeinschaftliche Theiler dieses Paares sein müßte, was offenbar widersinnig wäre. Man vermag demnach statt der gegebenen zwei Zahlen « und ö leicht zwei andere kleinere t> und o aufzustellen, welche mit jenen ei¬ nerlei größten gemeinschaftlichen Theiler besitzen. Wiederholt man demnach die zu diesem Zwecke angewendete Division des zuletzt ge¬ brauchten Divisors durch den ausfallenden Rest, so ost es angeht; so erhält man eine Folge von abnehmenden Zahlen K, S, o, «k, . . . . r/, L, von denen zu Folge des Gesagten jede zwei unmittelbar auf einan¬ der folgenden, also auch die beiden letzten, den nemlichen größten ge¬ meinschaftlichen Theiler besitzen, wie die zwei ersten. Der größte gemeinschaftliche Theiler des letzten Zahlenpaares ist aber, weil die vorletzte Zahl durch die letzte getheilt den Nest Null darbietct, dieser letzte Divisor selbst; also ist er auch der größte gemeinschaftliche Theiler der beiden gegebenen Zahlen; was wir nachzuweisen hatten. Bei der wirklichen Ausführung der Rechnung in besonderen Zahlen ist es bequem, die eine der beiden gegebenen Zahlen in zwei abwärts laufende verticale Striche zu fassen, und zu ihrer Linken die andere Zahl, zur Rechten aber die sich darbictcnden Quotienten zu schreiben. Manche behalten den gewöhnlichen Ansatz der Division bei, und schreiben den Quotienten über das Divisionszeichen. 76 Erstes Hauptstück. Erstes Beispiel. Wenn der größte gemeinschaftliche Theilcr von 166934 und 544042 gesucht wird, so führt man folgende Rechnung. - Der letzte Divisor 46 ist also der größte gemeinschaftliche Thei- ler der gegebenen Zahlen. Zweites Beispiel. Sucht man zu 1449 und 442 den'größten gemeinschaftlichen Theiler, so hat man folgende Rechnung. 3 3 112S1S 1449 : 442 : 123 : 73 : SO: 23 : 4 : 3 : I 1826 369 73 SO 46 20 3 3 123 73 SO 2? 4 310 Da sich hier i als größter gemeinschaftlicher Theilcr zeigt, so sind die beiden Zahlen Primzahlen unter sich. Auf die nemliche Weise kann auch der größte gemein¬ schaftliche Theiler z'weier zusammengesetzter alge¬ braischer Ausdrücke gesucht werden, nur wird man hiebei zur Vereinfachung der Rechnungen noch Folgendes besonders be¬ achten. D Nimmt man das Ordnen beider Ausdrücke nach demselben Buchstaben fallend vor. 2) Sucht man nach der ersten Methode den größten gemein¬ schaftlichen Theiler aller Glieder beider gegebenen algebraischen Ausdrücke; dividirt dann jeden Ausdruck durch diesen gefundenen vm. Abschnitt. 77 gemeinschaftlichen Theiler, und merkt ihn als einen Factor des zu suchenden größten gemeinschaftlichen Theilers beider Ausdrücke vor. s) Bestimmt man noch von den Gliedern jedes einzelnen der zwei Ausdrücke den größten gemeinschaftlichen Theiler, welche bei¬ den Theiler daher keinen Factor mehr gemein haben, und dividirt (zur Abkürzung) jeden Ausdruck durch den seinen Gliedern ge¬ meinsamen Theiler. 4) Hierauf dividirt man den algebraischen Ausdruck von der höhern Dimension durch jenen von der niederen, bis man einen Rest von geringerer Dimension erhält, als von welcher der Divisor ist. 5) Um hiebei immer ganze Zahlen für die Quotienten zu fin¬ den, wird man, nachdem die dritte Regel bereits angewendet wor¬ den, den Dividend mit einer solchen Zahl multipliciren, damit sein so gewonnenes höchstes Glied, durch das höchste des Divisors theil- bar ausfällt. folgende, nunmehr leicht verstände 2w —4a?"—2w 0 2n-t-l 2w-»-l 4s?2 — 2w Soll z. B. der größte gemeinschaftliche Theiler der Ausdrücke I92aV-r-6«4, und 24-wb-t-ZS gesucht werden, so führt man liche Rechnung aus. . ,g2«V-I-6«» k4aV-t-2a^ ' 2"^L2a?-t-1 Z2a^-i-4^ 24Sa?-l-8S -t-i —2eo Es 'ist daher 3 der eine, und 2w -i- i der zweite Factor des größten gemeinschaftlichen Theilers dieser Ausdrücke, also dieser Theiler selbst 3(2a--i-l). 78 Erstes Hanptstück. Eben so findet man den größten gemeinschaftlichen Theiler .27—1 von 2-r—und 3272—827-1-5 durch folgende Rechnung. II. Ist z u m e h r e r e n Z a h l e n der größte gemeinschaftliche Theiler aufzusinden, so suche man zur ersten und zweiten Zahl den größten gemeinschaftlichen Theiler; dann bestimme man zu ihm und zur dritten Zahl den größten gemeinschaftlichen Theiler, und suche aus dieselbe Weise fortschreitend zu jedem zuletzt gefundenen größten gemeinschaftlichen Theiler, und zur nächst folgenden Zahl den grö߬ ten gemeinschaftlichen Theiler, bis alle Zahlen der Rechnung beigezo- gen sind. Z. B. Wenn von den Zahlen «828, 15015, 7738, 53599 der größte gemeinschaftliche Theiler zu suchen ist, so findet man zuerst von 6825 und 15015 den größten gemeinschaftlichen Theileri 365, dann von 1365 und 7735 - ----- 455, endlichvon455und 535'gg ------- gi, folglich ist 91 der geforderte gemeinschaftliche Theiler. §. 69. ft. Auflösung mehrgliedriger algebraisch er Ausdrücke in Facto ren. Die Herstellung derjenigen Ausdrücke, durch deren Multipli- cafion ein gegebener eingliedriger- algebraischer Ausdruck er¬ zeugt wird, unterliegt, wie wir dies in §. 69 ä. und e. kennen lernten, gar keiner Schwierigkeit;, allein bei weitem schwieriger, vorzüglich in VIII. Abschnitt. 79 manchen Fällen gestaltet sich die Ermittlung der Factoren von mehr- gliedrigen algebraischen Ausdrücken; weßwegen wir die Auflösung dieses Problems nach der Verschiedenheit'dieser Ausdrücke abtheilcn, und dort erklären wollen, wo wir bereits die erforderlichen Vor¬ kenntnisse besitzen, und dieses Rechnungsverfahren benöthigen. I. Das Erste, was mit einem in Factoren aufzulösenden, mehrgliedrigen algebraischen Ausdrucke vorgenommen werden muß, ist die Aufsuchung eines einnamigen Factors, wenn er einen solchen besitzt. In dieser Absicht sucht man (nach §. 69. x.) zu allen Gliedern des aufzulösenden Ausdruckes den größten — oder wenn man es vortheilhaster fände, nur irgend ei¬ nen— gemeinschaftlichen Theiler, und nimmt ihn mit beliebigem Vorzeichen (4- oder —) als den gesuchten einnamigen Factor an. Der zweite Factor, welcher nothwendig mit dem gegebenen Ausdrucke gleichviel Glieder enthält, wird dünn gefunden, wenn man den gegebenen Ausdruck (nach §. KK) durch diesen einnamigen Factor dividirt. Beispiele. 2«Sa?—ZÄAa?—ro(2«s—3ch/) r/4-S- —N(14-b) Kak-l-rv? —a?(K-t-a?) 81«',/,- — kg«?/,- —42«/^—2(4/,—ga-j-Zo—2/t) 4-48«"a^ — I2«"aa7 (3«ü—5a? 4-4o?). II. Es bleiben uns demnach für die Folge nur noch mehrglied¬ rige algebraische Ausdrücke, welche keinen einnamigen Factor besi¬ tzen, in lauter mehrgliedrige Factoren aufzulösen. Von diesen lassen sich manche, wenn sie 4, 6, 8, ....oder 9, 42, 15,... Glieder enthalten, dadurch in Factoren auflösen, daß man diese Glieder in Partien (Gruppen) zu je 2, 3, 4, ... . Gliedern dergestalt ab- zutheilen versucht, daß jede solche Partie die Herausstellung eines einnamigen Factors von der Beschaffenheit zuläßt, daß die sich erge¬ benden zweiten und mehrnamigen Factoren sämmtlicher Partien ganz gleich ausfallen. Gelingt dies, so wird man diesen, allen Par¬ tien gemeinschaftlichen Factor, wie einen einnamigen, gleichsam als 89 Erstes Hauptstück. wäre er nur ein einziger Buchstabe, oder ein-einziges Zeichen, her¬ ausheben, und den ihm angehörigen Mitfactor durch Division be¬ stimmen, was leicht geschieht, wenn man nur die mit ihm verbun¬ denen einnamigen Factoren mit ihren Zeichen nach einander hin¬ schreibt. Ausdrücke dieser'Art und ihre Behandlungswelse sieht man in folgenden Beispielen. ao-l-Sc-t-ack-i-Sck—c(a-t-S) -l-ck(a-t-S) — (a-t-S) (c-t-ck), oder auch, indem man das erste mit dem dritten und das zweite mit dem vierten Gliede verbindet, ac-l-S-^): 3«(4a?—Zao) 2«S-t-a?- 4a?—Sao (2ao—So—2aci-t-S-Z) : (3o/^2be—Ack/—2SÄ) -(2«—S) (o-Ä):(Z/--i-2S) . S/--1-2S Wegen der mit der Auflösung mehrgliedriger algebraischer Ausdrücke in Factoren meistens verbundenen Schwierigkeiten thut man aber gewöhnlich gut, wenn man die in den Rechnungen vor¬ kommenden Multiplikationen zusammengesetzter algebraischer Facto¬ ren nicht wirklich verrichtet, sondern nur andeutct, damit man die Factoren jederzeit vor Augen habe, und sie bei einer vorzunehmen¬ den Abkürzung nicht erst suchen darf. Vega Vorles. I. Bd. 6 Zweites Hauptstück. Bon den Rechnungsarten mit gebrochenen Größen. I. Abschnitt. Von den Brüchen überhaupt. 71. Em Bruch ist eine Größe, welche einen oder mehrere gleiche Theile einer Einheit enthält. Z. B. wenn man einen Gulden, eine Klafter u. dgl. in etliche gleiche Theile theilt, und einige solche Theile nimmt, so wird der Inbegriff dieser Theile in Rücksicht der ganzen Einh«t ein Bruch genannt. Um einen Bruch auszudrücken, sind also zwei Zahlen nöthig, wovon eine angibt, in wie viel gleiche Theile man eine ganze Einheit theilen soll, die andere aber, wie viel solche Theile den Bruch ausmachen, oder genommen werden müssen. Jene heißt der Nenner, und diese der Zähler des Bru¬ ches. Beide Zahlen trennt man im Schreiben durch einen liegenden Strich, indem man den Zähler über, und den Nenner unter den Strich setzt. So sind z. B. §, §, " Brüche, wovon die Zähler 2, 4, IZ, und die Nenner S, 5, 7 sind; und werden ausgespro¬ chen, zwei Drittel, vier Fünftel, dreizehn Sie¬ bentel. Die Brüche heißen so wie die ganzen Zahlen (§. 9) unbc- nannte Brüche, wenn die Gattung der Einheit, auf welche sich ein Bruch bezieht, noch unbestimmt ist; wenn im Gegcntheile es schon bekannt ist, welche Einheit einem Bruche zum Grunde liegt, I. Abschnitt. 83 so ist er ein benannter Bruch. Z. B. ist ein unbenannter Bruch, § Fl. aber ist ein benannter Bruch, und bedeutet, daß man einen Gulden in drei gleiche Theile theilen, und 2 solche Theile nehmen soll. §. 72. Ist nun bei einem Bruche der Zähler kleiner als der Nenner, so ist es ein Zeichen, daß man nicht alle Theile der ganzen Einheit nehmen soll, und daher ist der Bruch i; solche Brüche wer¬ den echte Brüche genannt; so sind z. B. -Z , E echte Brüche, so wie auch alle Reste der Divisionen (§. Li, Nr. 8) echte Brüche des Divisors sind. Ist aber der Zähler.eines Bruches dem Nenner gleich, wie 2-, so ist es ein Zeichen, daß alle Theile der Ein- 2 3 4 « hcit genommen'werden müssen ; daher sind solche Brüche — i. Wenn endlich der Zähler eines Bruches größer ist, als der Nenner, und folglich mehrere Theile genommen werden müssen, als eine Einheit deren enthält, so werden solche Brüche unechte, ge¬ nannt; z. B. —, 594, 3 2 ' W Za Brüche, deren Zähler Vielfache ihrer Nenner sind, und die daher eigentlich eine oder mehrere volle Einheiten darstellen, werden uneigentliche, alle anderen aber eigentliche genannt. So find z. — unergentüche, dagegen ergentücye Brüche. Alle echten Brüche sind auch eigentliche. §. 73. Ein Bruch, z. B. § eines Guldens, bedeutet (vermög §. 71^, daß 1 Fl. in vier gleiche Theile zu theilen, und der Quotient dreickal zu nehmen sei, nemlich - Fl. S; 4 4 4 4 4 es ist aber (vermög Z. Zs, Grundsatz I) auch weites einerlei ist, ob man dasGan- 4444, ze (1 Fl. 4- I Fl. 4- I Fl. - 3 Fl.), oder jeden Lhei! (! Fl.) von eben diesem Ganzen durch 4 dividirt; .folglich hüt man auch 81 Zweites Hauptstück. — Fl. ^^(vermög §. 12, Grundsatz IH), ncmlich d r e i V i e rtc! 4 4 eines Guldens nehmen, ist eben so viel als drei Gulden in vier gleiche Theile zertheilen, und diesen Quo¬ tienten einmal nehmen. Eben dieses gilt von jedem andern Bruche. Der Werth eines jeden Bruches ist daherder Quotient, welcher sich ergibt, wenn man den Zäh¬ ler durch den Nenner dividirt. Es ist hieraus zu ersehen, daß überhaupt jede (nach §. 37) durch einen liegenden Strich angezeigte Division als ein Bruch zu betrachten sei, bei welchem der Dividend den Zähler, und der Di¬ visor den Nenner vorstellt. §. 74. Wenn man den Zähler eines unechten Bruches durch seinen Nenner wirklich dividirt, so erhält man für den Werth des Bruches eine bloss ganze Zahl, wenn der Nenner in dem Zähler genau ent¬ halten ist; im Gegentheile erhält man eine ganze Zahl nebst einem Reste (nach §. 41, Nr. s), der ein echter Bruch sein wird (§.72). Um aber auch den Werth eines echten Bruches jederzeit be¬ stimmt angeben zu können, ist es, so wie bei der Rechnung mit ganzen benannten Zahlen, nothwendig zu wissen, was für eine Einheit ihm eigentlich zum Grunde liegt, und wie viel Einheiten der nächst kleineren Gattung in einer solchen Einheit, worauf sich der Bruch bezieht, enthalten sind. Wenn man nun mit der Anzahl der Einheiten kleinerer Gattung den Zäh- ler des Bruches multiplicirt, und dieses Product durch den Nenner dividirt, so erhält man den Werth des Bruches in bekannten Einheiten kleine¬ rer Gattung aus gedrückt; so z. B. ist 7», 7.60Kr. 420 Kr. -Fl- ----- —- -2sKr. 15 15 15 II-,, ii.eoKr. eeoKr. -27Kr.-l-^^.^"'-27Kr. -l-^Dr.-27Kr. 2Dr. 24 24 1. A b schnit t. 85 ^Kl. -^-Sch.--G-Sch.-i^Sch.-4^^2. 96 96 96 ' " ' 96 8" L'". 96 96 21 Pf. --L^22.Loth--i5^ Loth -15 Loth -1-2^Quintel. ---15 Loth 2 Quintel. 2 . 2.60^,. 120^,. 120-60^. „ — Stunden— -- Min. - — Mm. —-- Scc. — 30 Scc. 210 210 240 240 §. 75. Eine jede ganze Zahl kann zu einem uneigentlichen Bruche von einem verlangten Nenner gemacht werden, wenn man die Zahl mit dem gegebenen Nenner multiplicirt, und den Nenner unterschreibt; so ist z. B. 5---^----^; Auch kann jede Zahl als ein Bruch vorgestellt werden, dessen Nenner 1 lst; z. B. 4----—; K ——; M-t-w—- ° 1 1' 1 So kann auch jede ganze benannte Zahl als ein Bruch vorge- stcllt werden, der sich auf Einheiten einer größern Gattung bezieht, wenn man ihr diejenige Zahl als Nenner unterschreibt, welche an- zcigt, wie viel Einheiten dieser Gattung in einer Einheit der gro¬ ßem Gattung enthalten sind. So ist z. B. 25 Kr. -—Fl. 60^' 5 Schuh -^-Klafter; 11 Loth--^Pf. §. 76. Eine ganze Zahl nebst einem angehängten Bruche aber wird zu einem unechten Bruche gemacht, wenn man die ganze Zahl mit dem Nenner multiplicirt, zu dem Producte den Zähler des Bruches addirt, und den Nenner unterschreibt. So ist z. B. 86 Zweites H a u p t st ü ck. S H.3 8 58 3 38 II' -H-i- -- —- -j- . V 5 s o o o 5 b «0 ü Kt-'-t-Ü «->----t- - —-— o a o « L Fi. -t- 7 Kr. -- 3 Fl. -!- ^- Fl. -- 3^ Fl. Fl-. 1 Pf. -7- S Loth -- 4 Pf. -t- Pf- -- 4^ Pf. -- — Pf. §. 77. Wenn man bei ungcändcrtem Nenner den Zähler eines Bru¬ ches vermehrt, so wird der Werth des Bruches vergrößert; ver¬ mindert man aber den Zähler, so wird der Werth des Bruches ver¬ kleinert; und zwar wird der Bruch 2, 3, 4, ... . »Mal größer, wenn man den Zähler mit 2, 3, 4, . . .» multiplicirt; und 2, 3, 4, ... . »Mal kleiner, wenn man denselben durch 2, s, 4, . . . . »dividirt. Denn der Zähler zeigt (nach §. 71) an, wie viel Theile man für den Werth des Bruches nehmen soll. Vermehrt man nun den Zähler, so werden mehr solche Theile genommen als vorhin; daher wird der Bruch größer; und zwar wird er zweimal so groß, wenn man zweimal so viel Theile, dreimal so groß, wenn man dreimal so viel Theile, und »Mal so groß, wenn man »Mal so viel Theile nimmt, das ist, wenn man den Zähler mit 2, 3, .... » multiplicirt. Und aus der nemlichen Ursache wird der Bruch 2,3,.... »Mal kleiner, wenn man bei unverändertem Nenner den Zähler durch 2, 3, ...» dividirt, weil man dadurch 2, 3,...» Mal weniger Theile nimmt. Es ist darum von 2 Brüchen, welche gleiche Nenner haben, jener größer, der den größern Zahler hat. S.B S S ' 4 4 78. Eben so wird auch der Werth ein es Bruches v er- m-ehrt oder vermindert, je nachdem man bei unver¬ ändertem Zähler den Nenner verkleinert oder ver¬ größert, und zwar wird er 2, 3, 4,.... »Ma! größer, Z. Ab schnitt. 81 wenn man bei unverändertem Zähler den Nenner durch 2, 3, 4, . .. . »dividirt; hingegen 2, 8, 4,. . ..» Mal kleiner, wenn man den Nenner mit 2, s, 4,...» multiplicirt. Denn der Nenner zeigt an, in wie viel Lheile das Ganze ge- theilt werden soll (§. 7l). Vergrößert man nun den Nenner, so wird das Ganze in eine größere Anzahl T.heile getheilt; daher wird jeder Lheil kleiner, und zwar zweimal kleiner, wenn das Ganze in zweimal so viel Theile, dreimal kleiner, wenn das Ganze in drei¬ mal so viel getheilt wird, u. s. w.; daher wird auch der ganze Bruch 2, 3, 4,.... »Mal kleiner, wenn man den Nenner mit 2, 3,4,...» multiplicirt; und so umgekehrt, wenn man den Nenner dividirt. Von zwei Brüchen, die gleiche Zähler und verschiedene Nenner haben, ist deßwegen jener größer, welcher den kleinern Nenner hat; §. 79. Hingegen bleibt der Werth eines Bruches un¬ geändert, wenn man Zähler und Nenner mit einer und der nemlichen Zahl multiplicirt, oder dividirt. Denn durch die Multiplikation des Zählers wird der Bruch größer, und durch die Multiplikation des Nenners wird der Bruch kleiner; wird nun Zähler und Nenner mit einer und der nemlichen Zahl multiplicirt, so wird der Bruch durch die Multiplikation des Zählers so vielmal vergrößert, als er durch die Multiplicalion des Nenners verkleinert wird; und folglich verbleibt er ungeändert. Eben so wird der Werth des Bruches durch die Division des Zählers eben so vielmal verkleinert, als er durch die Division des Nenners vergrößert wird; folglich bleibt er ebenfalls ungeändert. So ist 4 3.2 4.2 6 K KO 8' S " ingleichen — 25:5 5 10:5 — 2' Die Richtigkeit des angeführten Satzes , so wie die des §. 77 und 78 erhellet auch übrigens aus §. 40, weil ein jeder Bruch als eine angezeigte Division anzusehen ist (§. 73). §. 80. Einen Bruch ab kürz en heißt, ihn ohne Veränderung seines Werthes durch kleinere Zahlen darstellcn; und man erreicht dies, gg Zweites Hauptstück wenn man (nach §. 69. s) eine Zahl aufsucht, welche sowohl im Zäh¬ ler , als auch im Nenner genau enthalten ist, und dann beide da¬ durch dividirt; z. B. 140 14 14:7 2 2U) " 21 " 21.7 " 8' 108 108:5 21 21:3 7 ^7^ I 210 " 2IV .5 " 42 " 42 : 3 " 14 " 14 : 7 "2' ZOa^' 30»^^ -.ZOs-ü? 60«"S^e " tzga^e: " 2l-o In der Ausübung kommt man mit der Abkürzung der Brüche am geschwindesten fort, wenn man in der Zerlegung einer vorgcleg- ten Größe in ihre Factoren sich eine Fertigkeit erworben hat. Denn wenn man die im Zähler und Nenner gemeinschaft¬ lich befindlichen Factoren ausstreicht, so ist die Abkür¬ zung schon fertig. Z. B. 210 2.3.6- 7 2^ -4^ 3.3.6 I I 1155 "3.5.7.11 "II' I80"2.2.3.3.5"2.2"4' —w) w — «a?? « Läßt sich aber keine Zahl ausfindig machen, die sowohl im Zähler, als auch im Nenner genau enthalten ist, das heißt, haben Zähler und Nenner keinen gemeinschaftlichen Factor oder sind sie Primzahlen unter sich (§. 69. k), so läßt sich auch der Bruch nicht abkürzen; und man sagt dann, der Bruch sei auf seine kleinste Benennung oder auf die möglich einfachste G estalt gebracht. §. 81. Sind Zähler und Nenner des abzukürzenden Bruches beson¬ dere Zahlen, so wird man (nach §. 69. A) ihren größten gemein¬ schaftlichen Thcilcr berechnen, und durch ihn den Zähler und Nen¬ ner des Bruches thcilen, wodurch dieser die möglich einfachste Form erlangen wird (§. 69. k). Besäße er diese vielleicht schon, so muß der gesuchte größte gemeinschaftliche Theiler des Zählers und Nen¬ ners der Einheit gleich ausfallen. Soll z. B. der Bruch ^n-abgekürzt werden, so stellt man zunächst folgende Rechnung an. I. Abschnitt. 89 2 1 1 14 10147 : 4031 : 2085 : 4946 : 139 8062 2085 1946 139 2085 1946 139 556 556 0 Da nun 139 der gesuchte größte gemeinschaftliche Theiler des Zahlers und Nenners ist, so dividire man beide durch ihn. 4031 : 139 — 29, 10147 : 139 — 73. 278 973 1251 417 1251 417 0 0 4031 29 Sonach ist-- — I0I47 73 §. 82. Wenn zwei oder mehrere Brüche den nemlichen Nenner haben, so werden sie Brüche von gleicher Benennung genannt; im Gegentheile heißen sie Brüche von verschiedener Benennung. Es können aber Brüche von verschiedener Benennung auf gleiche Benennung gebracht werden, und zwar auf folgende Art. 1) Man multiplicire jeden Zähler mit allen Nennern, nur mit seinem eigenen nicht, so erhält man dadurch bei jedem Bruche den neuen Zähler. 2) Sodann multiplicire man alle Nenner mit einander, so wird dieses Product der gemeinschaftliche Nenner der verwandelten Brüche sein. ZB^ - 4 1.3.5 2.2.5 4.2.3 15 20 24 '2' 3'5—2.3.5' 2.3.5' 2.3.5 — 30' 30' 30^ eben so ist - - — — 24«? z2Sa 36«S- 4' 3«' 2 24«b ' 24aö' 24ab' 24aS Daß auf diese Art die Werthe der Brüche ungeändert bleiben, erhellet aus §. 79; weil der Zähler und Nenner eines jeden Bruches mit einer und der nemlichen Zahl multiplicirt wird. Man kann demnach auch untersuchen, welcher von zwei Drill- 90 Zweites Hauptstück. chen, die verschiedene Zähler und Nenner haben, der größere sei, indem man sie vorher auf gleiche Benennung bringt. So ist z. B. 3 4 .,3 24, 4 2«.^ - r» -; wer - — — und - — — ist. 8 7 5 35 7 35 §. 83. Wären viele Brüche auf gleiche Benennung zu bringen, so würde nach der eben vorgeschriebenen Art der allgemeine Nenner zu groß ausfallcn, daher suche man ein solches Vielfache vom größten Nenner auf, in welchem alle übrigen Nenner ebenfalls ge¬ nau enthalten sind. Hat man ein solches Vielfache gefunden, so gibt dieses den allgemeinen Nenner; und um den neuen Zäh¬ ler bei jedem Bruche zu erhalten, dividire man den allgemeinen Nenner durch den alten Nenner, und multiplicire den Quotienten mit dem altenZähler, so hat man den neuerp, Zähler. Z.B. Es wären die Brüche Weiche Benennung zu bringen'; so ist das Dreifache von dem größten Nenner 8, nemlich 24, schon so be¬ schaffen , daß alle Nenner darin enthalten sind; darum nehme man 24 für den allgemeinen Nenner an, und die neuen Brüche sind 12 16 18 2V 21 24' 24' 24' 24' 24' Daß auch hier die Werthe der Brüche ungeändert bleiben, er¬ hellet ebenfalls daraus, weil der Zähler und Nenner eines jeden Bruches mit der ncmlichen Zahl multiplicirt wird. §. 84. Um aber das kleinste Vielfache mehrerer Nenner, in welchem sie alle genau enthalten sind, finden zu können, so suche man zu den zwei ersten Nennern die möglich kleinste Zahl auf, in welcher beide vollständig enthalten sind, indem man den einen Nen¬ ner durch ihr größtes gemeinschaftliches Maß di- vidirt, und den Quotienten mit dem andern Nen¬ ner multiplicirt; zu dieser gefundenen Zahl und zum nächst folgenden Nenner suche man wieder auf eben diese Art die kleinste Zahl auf, in welcher beide enthalten sind; und so fahre man fort, bis kein Nenner mehr übrig ist, und man folglich die verlangte !. Abschnitt. 9! Zahl gefunden hat. Z. B. Es soll die kleinste Zahl aufgesucht wer¬ den , worin die Nenner 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, genau enthalten sind, so ist 8,7, 6, 3, 4, 3, 2, —^168^-^810^-^840^-^840^—^840 ncmlich 8 und 7 haben keinen gemeinschaftlichen Factor; daher ist 8.7 — 56 die kleinste Zahl, in welcher beide genau enthalten sind. Ferner 56 und 6 haben zum größten gemeinschaftlichen Factor 2; 2 in 6 geht 3 Mal; 56 Mal 3 sind 168; 5 und 168 haben keinen gemeinschaftlichen Factor; daher ist 5.168—840 die kleinste Zahl, in welcher beide genau enthalten sind; übrigens ist 4, 3, 2 auch schon in 840 enthalten; daher ist 840 die gesuchte Zahl. §. 85. Wenn ein Bruch in einen andern verwandelt werden soll, dessen Nenner gegeben ist, so mul- tiplicire man den Zä hl er mit d e m geg eb en en N e n- ner, und dividire das Product durch den alten Nenner, so hat man den n e u e n Zä h l e r. Z. B. es sei in einen andern Bruch zu verwandeln, dessen Nenner — lOOO sein soll; so ist der neue Zahler — 86.1000:125—688; nemlich . Eben so, wenn der Bruch —IN einen andern verwan- 125 1090 ^6 delt werden soll, dessen Nenner 32 ist, so ist der neue Zähler 5 26- — 5.32:6 — 26§; daher Sollte hingegen em gegebener Bruch in einen andern verwandelt werden, dessen Zähler gegeben ist, so multiplicire man den Nenner des Bruches mit dem gegebe¬ nen Zähler, und dividire das Product durch den alten Zähler, so hat man den neuen Nenner. Z. B. der Bruch — soll in einen an- 4 dem verwandelt werden, dessen Zähler 12 ist, so ist der Nenner gleich-^^^-16, und der Bruch ist —> 3 16 Daß auf diese Art der Werth des Bruches ungcändert bleibe, erhellet aus §. 79. 92 Zweites Hauxtstück. §. 86. Wenn man zum Zähler und Nenner eines Bru¬ ches Gleiches addirt, so wird der Werth des Bru¬ ches geändert, und zwar vermehrt, wenn er ein ech¬ ter Bruch, hingegen vermindert, wenn er unecht er er-r-6 , . s er-l-e ist; nemlich cs rst —-, wenn S, und wenn ° ö S-1-0 0 S-i-o ist. Denn man bringe die Brüche auf gleiche Benennung, so hat man --7—- statt—, und --—- statt--—; wo ao So, S(S-t-o) b S(S-t-o) S-t-o wenn »So, wenn «>S ist. Und umgekehrt ist es, wenn man von dem Zähler und Nenner eines Bruches Gleiches ab- zreht; es ist nemlich >-—wenn aS ist. n. Abschnitt. Von der Addition, Subtraction, Multiplication und Division der Brüche. §. 87. Bei der Addition der Brüche beobachte man folgende Regeln. 1) Haben die Brüche gleiche Nenner, so addire man die Zähler, und unterschreibe der Summe den gemeinschaftlichen Nen¬ ner; z. B. — -I-— — 2-; 7 7 7 7 7 " 2a? z«2 ^.2 — ss ss gs — SS 2) Haben die zu addirenden Brüche verschiedene Nenner, so bringe man sie (nach §. 82 und 83) auf gleiche Benennung, ad- dire dann die Zähler, und unterschreibe der Summe den gemein¬ schaftlichen Nenner; z. B. II. Abschnitt. LS 2,4 k 704-844-90 244 ,, — -1- — -j- —-—. — - — 2—- 357 105 105 7,2,1, 7 ,5,3, IS 8 3 2 12 8 4 24 — 2 14-164-12 4-144-204-184-19 120 , " 24 "24 2o — — 8o4-6ab4- 15«2 Sab 2 4- 12«S 3) Sind nebst Brüchen auch Ganze zu addiren, so kann man sie entweder besonders addiren, oder vorher in unechte Brüche ver¬ wandeln (§. 76), und zu den übrigen Brüchen addiren; so ist z- B. Z§ 4- 7' 4-- — 3 4- 7 4--4-^-1-- 3 5 2 3 -104-^2^^,04-^-114-1? SO so 30 5§4-6z-t-7§4-8z ^ 84-104-94-6 12 — 26 4---28^ 12 b 2b I5«w4-5bw —6bw4-I5e 3 5 w I5w I5aw—bs?4-15o I5w §. 88. Bei der Subtraktion der Brüche beobachte man Folgendes. 1) Man bringe die Brüche auf gleiche Benennung, wenn sie noch verschiedene Nenner haben sollten, ziehe die Zähler von ein¬ ander ab, und unterschreibe der Differenz den gemeinschaftlichen Nenner; so ist z. B. 1—2 4 1 8 8 8 2' S_3 8 — 5 —II — —.6_I. 12 12 12 " 12 12 12 2' Zweites H -ni N st ü ck. 4^—1 sE —s 8 5^3. 8 8'8' — 4^ - S; ; 18K—2« I3K 4 14—12 2 7^ 21 21' 2« 3«—2a « Z- 3d " 3d' (ka-l--)- (5a-t-^)--6a-5a-^-^ <- 4<^ v 4s . 4d-3d d — K-i- -— a-t-. 4o 4a 4) Wäre aber der Bruch, von welchem abgezogen werden soll, kleiner als jener, welcher abzuziehen ist, so borge man von der ganzen Zahl des Minuends eine Einheit, mache sie zum Bruche von gleichem Nenner, addire die Zähler zusammen, und verrichte die Subtraction; z. B. I2z-3^l2^-L^E-z^8^. 94 2 3 der Bruch dadurch ebenfalls so vielmal vergrößert wird, als die Zahl Einheiten enthält (§. 78); allein da der Nenner nur sehr sel¬ ten sich durch die ganze Zahl genau theilen läßt, so ist es besser, sich der ersten Regel zu bedienen. Ist eine ganze Zahl nebst einem angehängten Bruche mit ei¬ ner ganzen Zahl zu multipliciren, so multiplicire man mit der gan¬ zen Zahl zuerst den Bruch, und hernach die Ganzen, ziehe aber die im ersten Produkte befindlichen Ganzen heraus, und addire selbe zum zweiten Producte; z. B. 5^.6—-l- 5.6 4- 5.6 4 4 2 --- 4 4- 4- SV — 34^. s«4--) .ci-KÄ4-- 8) Wäre aber ein Bruch mit einem andern Bruche zu multi¬ pliciren, so multiplicire man Zähler mit Zähler, und Nenner mit Nenner, so ist dieser neue Bruch das verlangte Product; nemlich ^X^—welches sich folgender Maßen erweisen läßt. SÄ o SÄ c ') Anfänger werden wohl thun, wenn sie den hier gegebenen Be¬ weis sinkt mit allgemeinen Brachen auch mit besonderen, übri¬ gens ganz auf dieselbe Weise durchführen. Dieser Wink findet auch sonst überall Anwendung, wo die allgemeinen Beweise dem Lernen¬ den nicht wohl cinleuchten. erc So K «o S - o -I— a 96 Zweites Hauptstück. Soll — mit — multiplicirt werden, so heißt dies, von dem Ä S Betrage des Bruches sollen a öte Theile, oder ein Ster Theil des¬ selben soll a Mal genommen werden. Allein der Ste Theil von — ist—:ö oder (nach §. 78)-^-, und dieser a Mal genommen gibt «r Ä SÄ St. svo 7 °° Zweites H a u p tstück. ISO ^-St. -t- i M. -- -- M. -i- z M. -- seM. 5 5 5.Pf -^S.----Pf.: - Pf. —- g^I'2 S ' 64 SS --^--17^; oder IS s 2 s 2 s.s -1^. §. 94. Einige Fragen zur Anwendung der Rechnungsarten mit Brüchen. 1. Frage. Zu einer gewissen Montur wird erfordert: zum Nocke sz Ellen, zur Weste z Ellen, und zu den Hosen Ellen Tuch; wie viel beträgt dieses zusammen? Antwort. -- 3^ Ellen. 2. Frage. Ein massiv gegossenes Kanonenrohr wiegt S6^ Centner, und nach der Bohrung hatte dasselbe nur 51^ Centncr; wie viel Metall ist herausgebohrt worden? Antwort. S6Z — S1§ — S6^ — Sl^ — 55^ — 51^ — 4^ Centner. 3. Frage. Wie viel muß man für einen Balken, welcher i'iKl.4Sch. 8Zoll lang ist, bezahlen, wenn jede Klafter davon S Fl. 17 Kr. kostet? Antwort. Da n Kl.4Sch.8Zoll — fn-l-- -l- Kl. k 6.42^ --- (ii-l-^-l-ZKl.--^Kl.,und sFl.i7Kr.-- (s -l- Fl. o s v tzg/ --- ^Fllist, so kostetder ganzeBalken EFl. — 55^- Fl. 60 9 60 S40 -62^ Fl. - 62 Fl. 13^-Kr. 4. Frage. Wie viel Patronen können von 3^ Centner Pulver erzeugt werden, wenn jede Patrone mit iE Pf. Pulver gefüllt wird? Itt. Abschnitt. so ist die gesuchte Anzahl der Patronen — sso:^ —200. 8. Frage. Es ist aus der Erfahrung bekannt, daß das Gold, 2 wenn es ganz ins Wasser getaucht wird, darin beiläufig — seines 2 Gewichtes verliere; das Silber aber verliert —, und das Kupfer 3 __ 3 . 2 8?' und 3 63 folglich ist der Vcr- ^^--^00721 Pfund 63 172 400932 — seines Gewichtes; wie viel wird nun ein Körper, wobei sich iß Pf. Gold, 35 Pf. Silber, und 2ß Pf. Kupfer befinden, an seinem Gewichte im Wasser verlieren? 2 2 Antwort. — von iß . 37 37 2 2 2 — von 3Z . 21 21 5 . S — von 2ß ----- — . 43 43 Z lust des Körpers im Wasser — — — 24 Loth beinahe. itti A ntw 0 r t. Da 3ß Cent. ----- 38» Pf., und 1^ Pf. — Pf. ist, III. Abschnitt. Bon den Decimalbrüchen. §. 93. Wenn man bei einer ganzen Zahl rechts hinter den Einheiten noch mehrere Ziffern anhängt, deren Werthe nach dem dekadischen Gesetze, so wie die der übrigen Ziffern (§. 6) von der Linken gegen die Rechte zehnfach abnehmen, so werden sie keine ganzen Einheiten, sondern Brüche vorstellen müssen; und zwar wird die erste neben den Einheiten Zehntel einer Einheit, die zweite Hundertel einer Einheit, die dritte Lau sendte l einer Einheit, u. s. w. bedcu- 102 Zweites Hauptstück. ten. Solche Brüche werden Decimalbrüche oder zehnthci- lige Brüche (Decimalen), und die Zahlen, welche Decimalbrüche bei sich führen, oft auchDccimalzahlen genannt. Damit dic>cl- bcn von den dabei befindlichen Ganzen unterschieden werden kön¬ nen, werden sie von den ganzen Einheiten durch ein Comma (,) abgesondert, wo dann die Ziffern links vordem Comma ganze Ein¬ heiten bedeuten, und jene rechts Decimalstellen oder Deci- malziffern genannt werden. So z. B. ist 33,7859 ein Decimal- bruch mit vier Decimalstellen, und bedeutet 35'ganze Einheiten, 7 Zehntel, 8 Hundertel, 5 Lausendtcl und 9 Zchntausendtel einer Einheit; nemlich es ist 10 100 1000 10000 , 7000 , 800 , 50 , 9 , — 3 o -r- —--t-l- -- 'I -777 ' 70000 10000 10000 10000 — zg -t- ^859 357859 — ' 10000 — 10000 ' 9 409 ingleichen ist 4,09 — 4 — z--- Eben so heißt o,43 kein 43 Ganzes, 4 Zehntel und 3 Hundertel — —; inglcichen 0,003 5 "1000' §. 96. Aus diesem ist zu ersehen, daß man im erforderlichen Falle ei¬ nem Decimalbrüche leicht seinen Nenner unterschreiben kann, indem derselbe jederzeit aus einer Einheit nebst so viel angehängten Ml- len besteht, als der Bruch Decimalstellen hat; und man kann da¬ her auch sagen: ein Decimalbruch ist ein solcher Bruch, der eine blose Einheit nebst einigen angehängten Nullen (eine decadische Einheit) zu seinem Nen¬ ner hat. Und umgekehrt, wenn ein mit seinem Nenner versehener Dc- cimalbruch in seiner echten Gestalt, das ist, ohne Nenner geschrie¬ ben werden soll, so darf man nur in dem Zähler von der Rechten gegen die Linke so viel Ziffern.für Decimalstellen abschneiden, als der Nenner Nul- II!. Ab sä! II lt t. IO3 len hat, wobei, wenn der Zähler nicht genug Zif¬ fern enthalten sollte, das links Fehlende durch Nullen ergänzt werden muß. Z. B. ^6 — — 86,501; —- — 0,56 ; - —0,0001. 1000 100 10000 §. 97. Auch ist hieraus zu ersehen, daß man an einen Decimalbruch rechts so viel Nullen anhängen kann, als man will, ohne daß da¬ durch der Werth des Bruches geändert wird. Denn es ist z. B. 7,58 —7,5800. Eben so kann auch eine blose ganze Zahl als ein Decimalbruch vorgestcllt werden, indem man nur eine beliebige An¬ zahl Nullen anhäugt, und dieselbe durch ein Eomma absondert; z. B. 12 — 12,000. Es ist daher sehr leicht, Decimalbruch e auf gleiche Benennung zu bringen, indem man an jene, welche weniger Dccimalstcllen haben, so viel Nullen hinten anhangt, damit jeder aus gleichviel Decimalstellen bestehe. §. 98. I. Es ist öfters erforderlich, einen gegebenen gewöhnlichen Bruch in einen Decimalbruch zu verwandeln, wel¬ cher demselben entweder vollkommen, oder auch nur bis auf eine bestimmte Decimalstelle am Werthe gleich ist; dieses geschieht auf folgende Art. 1) Ist er ein unechter Bruch, so dividire man den Zahler durch den Nenner, und man bekommt die ganzen Einheiten; wäre er aber echt, so muß an die Stelle der ganzen Einheiten eine Null gesetzt werden. 2) An den Rest hänge man eine Null, dividire dieses wieder durch den Nenner, so wird der Quotient Zehntel bedeuten; dieser wird mit dem Divisor multiplicirt, und gehörig abgezogen. An den Nest hänge man wieder eine Null, dividire dies wieder durch den Nenner , so hat man die Hundertel, u. s. w. s) Fährt man nun auf diese Art fort, und die Division geht einmal ohne Nest genau auf, so ist der gegebene Bruch dem gefun¬ denen Decimalbmche vollkommen gleich, welches bei allen denjeni¬ gen Brüchen Statt findet, deren Nenner 2, 1, 8, 16, 32, . . . 104 Zweites Hauptstück. 8, 25, 125, .... oder ein Product von diesen Zahlen ist, «end¬ lich keine andern Primfactoren, als 2 und 5 enthält, welche die einzigen Primfactoren der Zahl io sind. B e i s p i c l e. --76:125—0,608 7tzO 750 100 1000 1000 0 28 —-23:4—5,75 * 20 30^ 28 20 20 0 604 ^----694:32-21,6875. 32 4) Bei den übrigen Brüchen aber geht die Division zwar nie¬ mals zu Ende, doch aber darf man, auf die eben vorgeschriebene Art, die Division nur so lang fortsetzen, bis man zum zweiten Male einen und den nemlichen Nest erhält, wornach die Decimalen in der schon bekannten Ordnung wiederholt ohne Ende fortgehen. Beispiele. 5 7 -—5:3 — 1,6666 3 3_ 20 18 20 ^---6:7-- 0,857142857142 Ein solcher Decimalbruch heißt periodisch, und die Gruppe der stets wiederkehrenden Ziffern seine Periode. So sind 6, 63, 887142 die Perioden der eben gefundenen periodischen Decimal- brüche. Es ist bequem, bei periodischen Decimalbrüchen die Periode nur einmal anzuschreiben, und über ihre erste und letzte Ziffer, oder wenn sie nur aus einer Ziffer bestände, blos über diese einen Punct zu setzen. So ist nach obigen Beispielen 5 - 7 '' 6 - ----1,6; ——0,63; —0,857142. 3 II 7 7:11 —0,636363.... 11 66 40 33 70 III. Abschnitt. 105 S) Von den Decimalstellen der auf diese Weise entstehenden periodischen, oder anderer ohne Ende fortlaufender Decimalbrüche können nun so viel beibehalten werden, als es nur immer die Rich¬ tigkeit einer Rechnung erfordern mag, so daß die übrigen ohne merklichen Fehler gänzlich hinweg gelassen werden Wnnen; nur kann man, um den Fehler noch kleiner zu machen, die letzte beibehaltene Decimalziffer um eins v er- mehren, wenn die nachfolgeri'de Ziffer größer als 4 ist; z. B. - — o, 8571428k anstatt 0,85714285, weil die folgende 7 9'° Decimalziffer ein 7 ist. II. In manchen, wenn gleich seltenen Fällen, verlangt man gegebene Decimalbrüche in gewöhnliche oder gemeine Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, umzu- setzen. Hiebei benimmt man sich auf folgende Weise. 1) Bricht der Decimalbruch von selbst ab, oder wird er, ob* gleich er eigentlich ohne Ende fortläuft, absichtlich an irgend einer Decimalstelle abgebrochen; so verwandelt man ihn in einen gemeinen Bruch, indem man den Decimalstrich ausstößt, der so erhaltenen ganzen Zahl als Nenner einen Einser (i) mit so viel rechts folgenden Nullen, als der vorgelegte Decimalbruch Decimalstellen besitzt, un¬ terschreibt, und endlich diesen Bruch durch Abkürzung auf-kie kleinste Benennung bringt. So z. B. ist 3,875 —derohneEn- de fortlaufende Decimalbruch 3,I4I5S .... gibt, wenn man nur 2 Decimalstellen beibehält, 3,14 oder 2) Wenn aber der in einen gemeinen Bruch zu verwandelnde Decimalbruch periodisch ist, so schreibe man seine Periode nur ein¬ mal an, beseitige den Decimalstrich,. subtrahire von der so gewon¬ nenen ganzen Zahl die aus den, der Periode vorangehenden Zif¬ fern bestehende ganze Zahl, und schreibe unter den Rest als Nenner so viel Neuner(g), als die Periode Ziffern hat, nebst so viel nachfol¬ genden Nullen, als der Periode Decimalstellen vorangehcn. So z. B. ist 108 Zweites Haupt stück. . . 1752324 — 1752 1780572 17,52324 - -—---- . 99900 99900 I94SV8 84888 16209 " 11100 3700^ 925 142857 I 0,142857- --- 999999 7 Um uns von der Richtigkeit dieses Verfahrens zu überzeugen, erwägen wir, daß, wenn der periodische Decimalbruch 17,52324 aus einem gewöhnlichen Bruche, dessen Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, die wir vorläufig, so- lange wir sie nicht kennen, durch die Buchstaben « und S verstellen wollen, entstehen soll, bei der Thcilung des Zählers « durch den Nenners da, wo man die letzte Ziffer (4) der Periode (324) als Theilquotienten erhielt, der¬ selbe Rest wie dort bleiben muß, wo man die dieser Periode un¬ mittelbar vorangehende Ziffer (2) im Quotienten sand, oder daß wir, nachdem wir dem Zähler « nach und nach 5 Nullen ange- hängt, also ihn mit 100000 multiplicirt haben, den nemlichcn Rest erhalten müssen, als nachdem wir ihm nur 2 Nullen beigeschrieben, daher ihn mit 100 vervielfältigt haben. Nun gibt aber der lOOSOOsache Zähler «, ncmlich lOVOOO« durch den Nenner S gc- theilt zum Quotienten die Zahl I7S2324 demnach den Rest 106000«—17523245, ferner liefert der'ioofache Zähler, ncmlich 100« durch den Nenner s dividirt als Quotienten die Zahl 1752, daher als Rest 100«— 1752S. Setzen wir demnach diese zwei Reste gleich, so ist lOOOOO« —17523245 — 1OO«-1752S. Ziehen wir ferner von beiden gleichen RestenlOv« ab, und geben zu beiden 17523245, so erhalten wir 99900«—(1752324 —1752)5, unl). wenn wir beide gleichen Zahlen durch 999005 dividiren, K — 1752324 — 1752 ' 99900 ? wodurch der gesuchte gemeine Bruch bestimmt, und uvige Regel erwiesen ist *). *) Die allgemeine Giltigkeit dieser (übrigens nur selten zur Anwen¬ dung kommenden) Regel möge für die schon mit dem nächsten III. Abschnitt. 107 99. Bei der Addition der Decimalbrüche schreibe man dieselben, so wie auch die ganzen Zahlen, wenn sie dazu addirt werden sollen, dergestalt unter einander, daß die Striche, welche die Decimalstellm von den ganzen Einheiten absondern, gerade un¬ ter einander zu stehen kommen, und .addire übrigens wie bei den ganzen Zahlen; nur muß in der Summe das Comma ebenfalls an die vorige Stelle gesetzt werden. Beispiele. 3,64 23,07843 312 26,1733 0,923 25,73 7,5 6,0024 0,364 36,7135 30,00083 338,094 LOO. Bei der Subtraktion der Decimalbrüche ordne man sie so, wie bei der Addition, und.subtrahire wie gewöhnlich; Hauptstücks etwas vertrauten Leser in Folgendem nur ganz kurz an¬ gedeutet werden. Beginnt die erste Periode eines Decimalbruches nach der mtcn Decimalstelle, und besitzt jode Periode n Stellen, so muß der zu suchende ganzzahlige Zähler a durch den gleichfalls zu bestimmenden ganzzahligen Nenner,ü getheilt, dieselben Reste ge¬ ben, nachdem man an jenen zuerst m und später noch n Nullen an¬ gehängt, folglich ihn mit IO"' und 10'"^" (welcher Ausdrücke Be¬ deutung aus den 113 und 121 anticipirt wird), multiplicirt hat. Seien nun x und g die ganzzahlig-en Quotienten, Lis man nach Beischreibulig jener Nullen oder Verrichtung dieser Multiplika¬ tion erhalten, so sind IO"°-r — und 10"°^" a—Lx jene Reste, daher io"^"a— b? — io"'-r— Addirt man zu Leiden Aus¬ drücken und subtrahirt von beiden IO"*«, löst dann die Resul¬ tate, (nach 69. K) in Faktoren auf, so ergibt sich 10'" (io" - i)a-(§- »nd wenn man beide gleichen Zahlen durch I0"° (10" — I) ü theilt, " — r> (10"—1)10"°' woraus man, wenn man erwägt, Laß 10" — I eine mit u Neunern geschriebene Zahl andeutet, die Richtigkeit der gegebenen Vor¬ schrift allgemein bewiesen sieht. 108 Zweites Hauptstück. nur muß man dem Dccimalbruche, von welchem ein anderer mit mehr Decimalstellen begabter abgezogen werden soll, so viel Nul¬ len in Gedanken hinzufügen, damit beide gleichviel Decimalstellen Wenn ein gemeiner Bruch zu einem Dccimalbruche zu addi- ren, oder davon zu subtrahiren ist, so verwandle man selben in ei¬ nen Decimalbruch (nach §. 98); z. B. 3 3,465 -l- - -- 3,465 -l- 0,75 — 4,215; 17 > --1,34 — 2,8333 . . — 1,34 — 1,4933 . .. 6 §. 101. Hat man Dccimalbruche mit einander, oder Decimal- brüche mit ganzen Zahlen zu multipliciren, so verrichte man die Multiplikation, als wenn es lauter ganze Zahlen waren, und schneide im Vroducte von der Rechten gegen die Linke so viel De- cimalstellcn ab, als beide Factoren deren haben; indem man, wenn nicht genug Ziffern vorhanden sein sollten, den Abgang links mit überzeugen, wenn man den zu multiplicirenden Decimalbrüchen ihre Nenner unterschreibt, und sie (nach §. 89, Nr. 3) multiplicirt. §. 102. Ist ein Decimalbruch mit einer decadischen Ein¬ heit, z. B. mit 10, zu multipliciren, so rücke man nur das Comma um eine Stelle weiter gegen die Rechte; denn dadurch Hl. Abschnitt. 109 erhält jede Ziffer einen zehnfachen Werth. (§. 6). Ist er mit io» zu multipliciren, so rücke man das Comma um zwei Stellen rechts, mit 1000 um drei Stellen, u. s. w. Beispiele. 4,887 X10 — 45,87; 9,307 X 400-930,7 ; 0,538k X 4000 —538,6. Läßt man daher bei einem Decimalbruche das Comma, wel¬ ches die Decimalstellen absondert, gänzlich hinweg, und betrachtet ihn als eine blose ganze Zahl, so wird dadurch der Decimalbruch mit 4 nebst so viel angehängten Nullen multiplicirt, als Dcci- malstellen vorhanden waren. §. 103. Bei der Division der Decimalbruche, es möge ein Decimalbruch durch eine ganze Zahl, oder durch einen Decimal- bruch, oder auch eine ganze Zahl durch einen Decimalbruch zu divi- diren sein, beobachte man folgende Regel. Man schreibe den Divisor unter den Divikend in Gestalt ei¬ nes gewöhnlichen Bruches, hänge dem Zähler oder dem Nenner, je nachdem einer oder der andere weniger Decimalstellen hat, so viel Nullen an, daß beide gleichviel Decimalstellen haben, lasse dann das Comma, welches die Decimalstellen absondert, gänzlich hinweg, (indem man sich einbildet, daß Zähler und Nenner mit ei¬ ner und der nemlichen Zahl multiplicirt werden) und verwandle hierauf diesen Bruch (nach §. 98) in einen Decimalbruch, so hat man den richtigen Quotienten. Beispiele. 2,134:0,12 — — 17,7833; 0,120 420 0,0036 :4,8 — --- —— 0,00075 ; 4,8000 48000 24:0,006 -^-^^4000. 0,006 6 Wenn ein Decimalbruch durch eine ganze Zahl, die auch einige Decimalstellen haben kann, zu dividiren ist, so kann die Divi¬ sion auch kürzer, ohne daß man sie bruchwcise ansetzt, verrichtet 110 Zweites Hauptstück. werden, wie es in folgenden Beispielen zu ersehen ist. Im Bei¬ spiele Nr. 1 sagt man nemlich: 6 in 7 Ganzen geht iMal, und bleibt 1; 6 in 13 Zehnteln geht 2 Mal, und bleibt i; 6 in 15 Hun¬ derteln geht 2 Mal, bleiben 3; 6 in 36 Tauffndteln geht 6 Mal. Eben so sagt man im Beispiele Nr. 2:4 in o Ganzen geht 0 Mal; 4 in o Zehnteln geht o Mal; 4 in 6 Hunderteln geht i Mal, 43 von 63 bleiben 22, u. s. w. Beispiele. Nr. 1. - Nr. 2. 7,356: 6 — 1,226 0,06537 :4,3 — 0,0152 43 223 215 87 Soll endlich ein Decimalbruch durch eine der decadischen Ein¬ heiten 10, 100, 1000 rc. dividirt werden, so darf man nur das Eomma, um i, 2, 3, . . . Stellen weiter zur Linken rücken; da¬ durch erhalt jede Ziffer einen zehn-, hundert-, tausend-Mal kleinern Werth (§. 6 und 95); z. B. 53,436 : 10 — 5,3436; 32,43 : 100 — 0,3243; 5,38 : 1000 — 0,00538. §. 104. Wäre ein Decimalbruch mit einem gemeinen Bruche zu multi- plicircn, oder zu dividiren, so verwandle man entweder den Bruch in einen Decimalbruch, oder man sehe den Decimalbruch für eine ganze Zahl an, und verrichte die Multiplikation, oder die Divi- ffon (nach 8.89, Nr. i; und §.90, Nr.i—s); nur muß das Com- ma jederzeit an die gehörige Stelle gesetzt werden; z. B. ^„,^.3 2,04X3 6,12 2,04X-—---——— — 1,53; 4 4 4 ' ' -.0,342 --- 6X0,342 ^2^52^^^2^6. §. 105. Der Werth eines b enannten Decimalbruchcs wird in Einheiten kleinerer Gattung gefunden, wenn man ihn mit der Zahl multiplicirt, welche anzeigt , wie viel Einheiten kleinerer Gat- HI. Abschnitt. III tung !N cmer Einheit, worauf sich der Decimalbruch bezieht, ent¬ halten sind; so z. B. findet man 4,s Tag — 4 L. 7 St. 12 M. s,4i Kl. — 3 Kl. 2 Sch. 3 Zoll. 24 6 8,52 Zoll U. s. w. 106. Zuweilen sind Decimalbrüche mit einander zu multkplicircn, de¬ ren Product man nur mit etlichen Decimalstcllen richtig verlangt, oder öfters auch nicht in mehreren richtig erhalten kann. In solchen Fällen kann die sogenannte ab g ekürz te Multiplikation sehr geschwind auf folgende Art verrichtet werden. 1) Man schreibt die Ziffer der Einer des Multiplicators unter jene Stelle des Multiplicands, welche im Products noch vorkom¬ men soll, oder um das Product genauer zu erhalten, unter die nächst niedrigere rechts, die übrigen Ziffern aber in umgekehrter Folge so an, daß die niedrigste Ziffer die höchste wird. Leere Stellen über dem Multiplicator zur Rechten oder Linken denkt man sich mit Nul¬ len besetzt. 2) Nun multiplicirt man mit jeder Ziffer des Multiplicators emzeln den Multiplicand, von der gerade über ihr stehenden Ziffer anfangend, und schreibt die so erhaltenen Theilproducte wie Addi¬ tionsposten unter einander; dann ist die Summe das verlangte Product. Um aber die Fehler der letzten Ziffern rechts in den ein¬ zelnen Theilproducten einiger Maßen zu verbessern, beginnt man die Multiplikation nicht mit der gerade über dem Multiplicator ste¬ henden Ziffer, sondern mit ihrer rechten Nachbarin, setzt jedoch das Product nicht an, sondern zählt in Gedanken bis zu derjenigen nächsten Zahl aufwärts, deren Einerstelle mit der Ziffer 5 besetzt ist, und rechnet die Zehner dieser Zahl als Corrcctur (Verbesserung) zum ersten wirklich anzusetzenden Producte. Soll z. B. das Product der Decimalzahlen 3,6198 und 6,937 H2 Zweites Hauptstück. in 2 Decimalen genau gerechnet werden, so führt man folgende Rech¬ nung. 3,6498 7396 2189 328 II 2 25,30 Es ist nemlich hier bei der Multiplikation mit 6, 6X9—54, also 55 die nächst höhere mit s endigende Zahl und die Correctur 5, welche zu 6.4—24 addirt 29 gibt; u. s. w. Die Richtigkeit des Verfahrens erhellet sogleich, wenn man die ausführlichen Theilproducte in umgekehrter Ordnung der Zif¬ fern des Multiplicators berechnet, und hinter der Stelle, welche noch genau gefordert wird, einen Absonderungsstrich zieht. 3,6498 6,937 Denn die zur Linken des Striches, stehenden Ziffern sind die¬ jenigen, welche durch die abgekürzte Multiplicatiön erhalten werden. Die angeführte abgekürzte Multiplicatiön der Dccimalbrüche wird hauptsächlich in solchen Fällen gebraucht, wo die folgenden Decimalziffern des einen oder des andern Factors oder auch beider nicht bekannt sind. Eben so kann in dergleichen Fällen auch eine abgekürzte Di¬ vision bei den Decimalbrüchen mit Vortheil angewendet werden. Man fängt nemlich an, den Dividend durch den Divisor, wie sonst zu dividiren; nach jedesmaliger Multiplicatiön des Divisors mit der gefundenen Ziffer des Quotienten wird aber statt der dem Reste anzuhängenden Null immer eine Ziffer im Divisor rechts ausgestri¬ chen, wie es in nachstehenden Beispielen zu ersehen ist. I der Multiplicator 18 III. Abschnitt Divisor Dividend Quot. 0,58432^0,439865'0,75278 j 409024t 113 Divis. Divid. Quot. 0,6437 3,0756 4,778 2,5748 47 46 I Anmerkung Verschiedene andere nützliche Vortheile und Abkürzungen bei den Rechnungsarten, sowohl mit ganzen als auch mit gebrochenen Zahlen,, können beim mündlichen Vortrage beige-- bracht werden. So z. B. kann die Multiplikation, wenn die erste oder die letzte Ziffer des kleinern Factors ein 1 ist, auf folgende Art abgekürzt werden. 9180,8 Weil im letzten Beispiele in die Factoren 4.4 sich zerlegen läßt, so kann die Mul- 573,8,4 tiplication auch auf neben stehende Art verrichtet werden. 2295,2,4 Eine solche Abkürzung findet auch bei der Division Statt, 9180,8, wenn der Divisor in schickliche Factoren sich zerlegen läßt. Wäre eine Zahl z. B. 53897 mit 998 zu multi- 5389700ch2 Pliciren, so fände man das Product 53789206 wegen 107794 998—1000—2 auch auf neben stehende Art. 53789206 §. 106.* Einige Fragen zur Anwendung der Decimalbrüche. 1. Frage. Bei dem 60 pfundigen Bombenmörser ist das V-ga Vorles. I. Bd. 8 114 Zweites Hauptstück. Kammerstück 13,3520 Zoll, das Mittelstück-4,7435 Z. und das Mundstück 13,1763 Z. lang. Wie lang ist der ganze Mörser? Rechnung. 13,3320 4,7435 13,1763 Antwort. 31,2718 Zoll. 2. Frage. Der Bohrungsdurchmesser eines 24pfündigcn Kanonenrohres ist 5,7926 Zoll, derDurchmeffer der Kugel 5,4519Z.; wie groß ist sein Spielraum? Rechnung. 5,7926 5,4519 Antwort. 0,3407 Zoll-0,3407X12—4,09 Lin. 3. Frage. Das Scheibenpulver besteht aus 80 Gewichtsthei- len Salpeter, 12 Theilen Schwefel und 14 Theilen Kohle; wie viel von diesen Ingredienzen befindet sich in einem Pfunde dieses Pulvers ? und wie viel bedarf man von jeder, um 725 Pfund Pul¬ ver zu erzeugen? Antwort. Da 80 Pf. Salpeter, 12 Pf. Schwefel und 14 Pf. Kohle, zusammen 106 Pf. Scheibenpulver geben, so befinden sich in einem Pfunde Scheibenpulver — - 0,755 Pf. Salpeter, 106 -^—0,113 Pf. Schwefel, und ^-o,i32 Pf. Kohle, was man 106 106 auch so schreibt: Scheibenpulver — o,755 Salpeter-t-0,ii3 Schwe¬ fel-t- 0,132 Kohle. Man bedarf daher zu 725 Pf. Pulver 725X0,755-547,4 Pf. Salpeter, 725X0,113- 81,9 Pf. Schwefel und 725X0,132- 95,7 Pf. Kohle. 4. Frage. Im ordinären Schritt macht die Österreichische Infanterie in der Minute 95 Schritt, von denen 10 auf 4 Klafter gehen. Wieviel Fuß durchschreitet dieses Militär in einer Secunde? Antwort. Weil io Schr.-4Kl.-4.6-24 Fuß sind, so ist i Schr. - 2,4 Fuß, daher 95 Schr. - 95X2,4 - 228 Fuß, wel¬ che in einer Minute oder in 60 Secunden zurückgelegt werden; mithin durchschreitet die Infanterie in einer jeden Secunde — 60 3,8 Fuß. IV. Abschnitt. 115 5. Frage. Die Kammer der 7 pfundigen Haubitze hat im Durchmessers oder o, 53125 Granatendurchmesser, welcher selbst 5,49407 Zoll hält; wie viel Zoll beträgt der Durchmesser der Kammer? Antwort.— X 5,49407 , oder 0,53125 X 5,49407 — 2,9187 Zoll. 6. Frage. Ein 24 pfundiges Kanonenrohr aus Bronce ent¬ hält 9,90804 Kubiksuß und wiegt 4964 Pfund; wie viel wiegt ein Kubikfuß dicfes Kanonenmetalls? Antwort. 4964:9,90804 — 501 Pfund. IV. Abschnitt. Von den zusammenhängenden Brüchen. §. 107. I. Theilt man den Zähler und Nennereines echten Bru¬ ches durch seinen Zähler, und ist dieser in dem Nenner genau ohne Rest enthalten, so gleicht der so gewonnene Bruch dem gegebenen im Werthe, und besitzt, da sein Zähleri ist, die einfachste mög¬ liche Form. Kürzt man z. B. den Bruch durch seinen Zähler ab, so findet man ihn, weil 13 in 78 vollkommen 6 Mal begriffen ist, dem Bruche gleich, der sich durch keine kleineren ganzen Zahlen 6 darstellen läßt. Ist aber bei einem echten Bruche, wenn man seinen Zähler und Nenner durch den Zähler dividirt, der Zähler im Nenner nicht genau enthalten, so erhält man einen Bruch, dessen Zähler i und der Nenner eine ganze Zahl nebst einem angehängten echten Bruche ist. Verfährt man nun mit diesem echten Bruche eben so, so wird dadurch der vorgelegte Bruch nach und nach in einen zu! am men¬ ih äugend en (continuirlichen) oder Kettenbruch verwandelt, nemlich in einen Bruch, dessen Zähler i und der Nenner eine ganze 8 * Uti Zweites Hauptstück. Zahl nebst einem Bruche, wovon wieder der Zähler l und der Nen¬ ner eine ganze Zahl nebst einem eben solchen Bruche ist, der wieder nach demselben Gesetze gebildet ist. — Wendet man das hier be-- 210 schriebene Verfahren z. B. auf den echten Bruch an, so fin¬ det man, weil 1309, durch 2i0gctheilt, 6 zum Quotienten und 49 zum Reste gibt, 210 I 1309 K-I- 49 210 49 Wiederholt man diese Operation an dem echten Bruche 50 wird er, weil 210 durch 49 dlvidirt, 4 zum Quotienten und 14 zum Reste liefert, gleich i 4-I -I4 49 folglich ist 210 1 1309"-k- t-1 4^-14 Auf demselben Wege fortschreitend findet man allmälig 210 1_ __ I_ 1 - I 1309 «-I- 49 k-t-1_ tz-t -1 v-t-1 210 4-^14^ 4^-1 4-l-1_ 49 S-i- 7 S-t-1^ 14 2 und der letzte Bruch ist der dem gegebenen echten Bruche gleiche Kettenbruch. Dividirt man aber bei einem unechten Bruche so, als wenn man die in ihm begriffenen Ganzen ermitteln wollte, den Zähler durch den Nenner; so ergibt sich, wenn der Bruch ein eigent¬ licher, also der Zähler durch den Nenner untheilbar ist, als Quotient eine ganze Zahl mit einem ihr folgenden echten Bruche, den man sofort wieder nach der obigen Vorschrift in einen Kettenbruch umstal- ten kann; wornach der gegebene unechte Bruch einer ganzen Zahl nebst einem sich ihr anschließenden Kettenbruche gleich ausfällt. IV. Abschnitt. III So ist z. B. — 5-1- — und nach dem Vorhergehenden 180g I30S ' --5 -1-1 tz-r-I L-l-1_ , S^-l^ 2 Einen solchen Verein einer ganzen Zahl mit einem Kettenbruche, pflegt man gleichfalls, der Kürze und der größeren Allgemeinheit wegen, geradezu nur einen Kettenbruch zu nennen; daher die allge¬ meine Form der Kettenbrüche e-l-... sein wird, wenn wir unter a, S, e, o, . . . . ganze positive Zahlen verstehen, von denen a auch Null werden kann. Die Brü- e' ' man Theilbrüche, und ihre Nen¬ ner S, o, aber das Product aus einer eben solchen Zahl und aus dem Theilnenner ? selbst ist; weil in keinem der Glieder, aus denen die erwähnten Nenner und Zahler zusammengesetzt werden, ein Theilnenner öfter wie einmal als Factor erscheinen kann. Es ist demnach, wenn S, Zahlen bedeuten, die nicht aus -, berechnet werden, die allgemeine Form eines jeden der angeführten gemeinen Brüche, also auch desjenigen, der dem gegebenen Kettenbruche selbst gleicht. 2) Die vier durch den letzten Theilnenner-, nicht bestimmten Zahlen L, stehen jederzeit in dem merkwürdigen Zusammenhänge, daß. die Differenz nemlich gleich -4- i oder — i ausfällt, je nachdem der Kettcn- bruch, aus dem jener gemeine Bruch entsteht, eine ungerade oder gerade Anzahl von Theilnennern enthält. Daß dies bei den, aus den drei letzten Kettenbruchstheilen p, n-t—, M-t- tt-I-I gefundenen gewöhnlichen Brüchen r ? ' »-,-1-1 der Fall ist, leuchtet auf der Stelle ein, wenn man sie in der oben aufgestellten allgemeinen Form schreibt, weil hier i.i —o.v — ^-r ».0 — 1.1 --—i (m»-<-l).i — ---i ist. IV. Abschnitt. 123 Besitzt jedoch irgend einer dieser gewöhnlichen Brüche, auf welche man bei der Reduction des gegebenen Kettenbruches (i) trifft, z. B. der dem Kettenbruche - gleiche Bruch r-i-... «>-i-st' die Eigenschaft, daß «st,—«,st-ist; so wird, da der folgende, einen Lheilnenner A mehr auffassende Kettenbruch A-I-——- gleich L-l--- — A-t--si-, /t-t-l /«p-t-st'» «-^-t-st r-I-... ^«^-t-st,^ -t-'- -r-t-i also dem gewöhnlichen Bruche gleich aus- sällt, bei diesem die Differenz (A«-t-«,)st—«(^st-l-st,) —«,st— «st, —-k- 1, nemlich gleichfalls!, nur erhält sie das entgegengesetzte von dem,bei dem vorhergehenden Bruche bestehenden Vorzeichen. Da aber diese Differenz ^18,—^48 bei dem isten, 2ten, sten Bruche -t-i, —i, -t-i ist, so muß sie bei dem 4ten, sten, . ssten, rten, 8ten, .... Bruche —i, -t-i, —i, -t-i, —i, kurz -!-i oder— isein, je nachdem der Kettenbruch, aus welchem jener gemeine entsteht, eine ungerade oder gerade Anzahl von Theilnenncrn in sich faßt. 3) Die in dem Bruche befindlichen Zahlen und so wie 8 und 8, sind unter sich Primzahlen? Denn könnten und oder 8 und 8^ einen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, so müßte dieser (nach §. 68, 4) auch ein Theiler von der Differenz ^8,-^8, somit auch von 1 sein, was nur sein 124 Zweites H auptsiü ck. kann, wenn er i selbst ist; dann sind aber genannte Zahlen ^(ver¬ mög §. 69. k.) unter sich prim. 4) Der gemeine Bruch, auf welchen ein Kettenbruch zurückge- flchrt wird, besitzt die einfachste mögliche Form. Denn bezeichnen wir den Zahler und Nenner des dem gegebenen Kettenbruche (i) gleichenden gemeinen Bruches mit ? und I", so daß und (4) ik> - ^1/,-l-L -- ist; so hat man ---oder (nach 2) -iLii; folglich können p und I" keinen von i verschiedenen'gemeinschaftli¬ chen Theiler haben, weil sonst dieser auch der Zahl i zukommen müßte (Z. 68). . Man wird dies bereits an dem Kettenbruche s-t--— K^-I 4-t-I 2 bestätigt gesehen haben, da dieser in §. 1081. auf den, durch die mög¬ lich kleinsten Zahlen ausgedrückten Bruch zurückgeführt wur¬ de, während doch auch die, dem letztem gleichen Brüche und 20263 (nach §. 107) auf den nemlichen Kettenbruch führen; wor¬ aus man zugleich schließen kann, daß es überflüssig sei, die in Ket¬ tenbrüche zu verwandelnden gewöhnlichen Brüche vor dieser Ope¬ ration auf ihre einfachste Gestalt zu bringen. S) Unseren Untersuchungen und Annahmen zu Folge können wir den Kettenbruch IV. Abschnitt. 123 O in i »« l a-, - /--1-1 1 S-i-1 M-t-I »-1-I -i-^— M-t-I_ N-s-1 p auf den gewöhnlichen Bruch -l-—— oder — reduciren, wobei die Zahlen ^l, L, nicht aus dem letzten Theilnenner, son¬ dern nur aus den übrigen berechnet werden. Erforschen wir nun noch die Bedeutung dieser Zahlen. Hiezu wird uns die Bemer¬ kung behilflich sein, daß, bei der Zurückleitung dieses Kettenbruchs auf einen gewöhnlichen, die besondere Beschaffenheit der durch die Buchstabens, c, . . . . M, rr, ? vorgcstellten Theilnenner, ganze positive von Null verschiedene Zahlen zu sein, wie wir dies (§. 107) für die, unseren Betrachtungen vorgelegten, Kettenbrüche voraussctz-- ten, durchaus nirgends in Anwendung gebracht wurde; daher cs uns gestattet bleibt, ihnen jeden beliebigen Werth beizulegen, ohne daß wir eine Unrichtigkeit in dem Ausdrucke des reducirten Bru¬ ches zu besorgen haben. Setzen wir demnach zuvörderst, um die Bedeutung von zu ermitteln, den letzten Theilnenner o, so reducirt sich der Ausdruckblos auf^, allein dann über¬ geht gleichzeitig der vorgelcgte Kettenbruch in a-i--- oder weil- — o ist, S-j-1 n-1-I 1 I 44 126 Zweites Haupt stück. Bezeichnen wir nun den diesem Kettenbruche gleichen gemeinen Bruch mit — , so daß oder in a-t-t »r § ist; so stellt der Bruch — nichts anders als den reducirten Werth — desjenigen Kettenbruchs vor, der aus dem gegebenen Ketten¬ bruche durch Wegkverfung der beiden letzten Theilbrüche - entsteht; folglich ist, da (nach 4) beide Brüche die einfachste mög¬ liche Form besitzen, L—und .W. Ertheilen wir ferner zur Erforschung der Bedeutung des Bru- ches — dem Ausdrucke -— die Form -und nehmen n wir die Zahl-, so an, daß o werde, was eintreten wird, wenn wir/,-setzen, so verwandelt sich einerseits dieser Ausdruck in , andererseits übergeht der vorgclegte Kcttenbruch in — e-I- ... . I I M 4- M-t-I a-l-^- S-I-I N IV. Abschnitt. 127 Stellen wir demnach den diesem Kettenbruchc gleichen gemeinen Bruch /V durch — vor, d. h. sttzen wrr , i - " M-t-l n soD der Bruchs dem reducirtenWerthe-^ desjenigen Kettenbruchs gleichgeltend, der aus dem gegebenen durch Wegwerfung des letz-- ten Lheilbruchs ^hervorgeht; mithin muß, da (nach 4)jeder der beiden gleichen Brüche keine einfachere Gestalt anzunehmen vermag, ^4—tV und sein. Auf diesem Wege gelangen wir zur Erkenntniß der Wahrheit, daß, wenn die Kettenbrüche a-t--- ö-i-l von denen die ersteren zwei aus dem letzten entspringen, wenn wir in ihm einmal beide letzten Theilbrüche und dann nur den letzten Theilbruch allein weglassen, auf die gemeinen Brüche .15 W kV" sich reduciren lassen, immer der letztere Bruch — aus den zwei an- deren — und nach Anleitung des Ausdruckes (5) __ piv -t-i>5 oder der Ausdrücke (6) /itV-E gefunden werden könne. 128 Ä-t-1 Zweites H a u p t st ü ck. §. 109. s. Wird von einem Kcttenbruche a-t-7-, u. s. w. _ «r *) Um uns hier kurz fassen zu können, möge es uns gestattet sein, auch die ganze Zahl « allein unter der allgemeinen Benennung Kettenbruch zu begreifen. er-j-- ü-t-l o in welchem die Theilnenner «, s, o, e, . ganze po¬ sitive Zahlen sind, und nur der erste Theilnenner a in besonderen Fällen Null ist, blos das erste Glied a beibehalten, so ist dieses ge¬ wiß verschieden von dem Werthe L des gegebenen Kettenbruchs. > Behielte man aber die zwei ersten Glieder bei, so würde der Kettenbruch a-l- zwar auch nicht den vollen Werth L des gegebe- ü nen Kettenbruchs besitzen, allein der hier Statt findende Fehler würde — da man hier das früher Weggelassene, welches immer zwischen 0 und i liegt, doch durch etwas, gleichfalls zwischen 0 und L Begriffenes ersetzt — geringer als im vorigen Falle sein. Weil auch hier von dem letzten Nenner nur sein ganzzahliger Theil S bei¬ behalten wird, so wird man den hier unterlaufenen Fehler, der sich nicht über i erheben kann, mildern, wenn man den folgenden Theilbruch welcher gleichfalls die Einheit nicht übertrifft, hinzufügt und so den zusammenhängenden Bruch —nimmt. Da man diese e Schlußweisc bis zu dem letzten Thcilbruche des gegebenen Kettenbruchs, ohne Anstand fortsetzen kann, so sieht man leicht ein, daß jeder der Kettenbrüche a, 1 1 1 c IV. Abschnitt. 129 die nur aus i, 2, 3, 4, .... Anfangsgliedern eines Kettcnbruchs i K-I--- ^-t- ... bestehen, dem Werthe L dieses Bruches um so näher kommen , je mehr er solcher Glieder enthält, und daß er dem gegebenen Ket¬ tenbruche selbst nur dann gleich sein kann, wenn er alle Glieder desselben in sich faßt. Aus diesem Grunde werden die aus einigen ersten Theilbrüchenj eines Kettenbruchs gebildeten Kettenbrüche die Näherungswerthe oder Näherungsbrüche dieses Ketten¬ bruches genannt, und zwar der iste, 2te, ste, 4te, . . . ., je nach¬ dem er i, 2, 3, 4, . . . Theilnenner des Kettenbruchs enthält. Hieraus erhellet auch sogleich, daß jeder Näherungs¬ wert!) eines Kettenbruchs diesem um so näh er liegt, ein je späterer er ist. II. Vergleichen wir nun jeden Näherungswert!) eines Ketten¬ bruchs sowohl mit diesem als auch mit allen übrigen Näherungs- werthen, so finden wir Folgendes. Der erste Näherungswerth ist nicht nur kleiner als jeder spätere Näherungswerth, sondern auch kleiner als derKettenbruch.Denn dieser erste Näherungswert!) a ist nur ein Theil des Kettenbruchs sowohl, als auch jedes Nähe- rungswerthes. Der zweite Näherungswerth ist größer als je¬ der spätere Näherungswerth und als der Ketten¬ bruch. Denn dem eben erwiesenen Satze gemäß ist von den Ket¬ tenbrüchen c u. s. w. der erste der kleinste, folglich muß von den Kettenbrüchen Vega Vorles I. Bd. 9 130 Zweites Hauptsrück. mithin auch von den folgenden . o c-t- I der erste der größte sein. Es ist demnach der erste Näherungswerth der kleinste, der zweite aber der größte unter allen. Der dritte Näherungswerth ist kleiner, als je¬ der spätere Näherungswerth und als der Ketten¬ bruch. Denn dem letzten Satze zu Folge ist von den Ketten¬ brüchen 1 6 der erste der größte, folglich ist von den Kettenbrüchcn r i i - j- 1 ö-t- 1 1 o c-t-1 daher auch von den folgenden e o-t- i e-t- 1 «r-j- I e der erste der kleinste. Da diese Schlüffe auf dieselbe Weise sich bis zu dem letzten Nä- herungswerthe eines Kettenbruchs fortsetzen lassen, so überzeugt man sich: I) Daß von den Näherungswerthen eines Kettenbruchs der iste, Ste, Ste,7te,...kurz jeder ungeradstellige kleiner, da¬ gegen der 2te, 4ce, 6ste, ste, .... kurz jeder geradstellige IV. Abschnitt. 131 größer, nicht nur als jeder spätere Näherungswerth, sondern auch als der Kettenbruch selbst ist; 2) Daß demnach der Kettenbruch weil er größer als jeder ungeradstellige und kleiner als jeder geradstellige Näherungswerth ist — zwischen jedem ungeradstelligen und jedem geradstelligen Näherungswerthe, daher auch zwischen jeden zwei unmittelbar nach einander folgenden Näherungswerthen liegt. — Wollte man sonach sämmtliche Näherungswerthe mit Einschluß des Kettenbruchs in der Ordnung, wie sie vom ersten Näherungswerthe als dem klein¬ sten, bis zum zweiten als dem größten, zunehmen, in eine Zeile schreiben, so böte sich folgendes Schema dar: I. Nw.<3. Nw.- , 1 i i seinen Näherungswerth so muß, da weder ^7 noch größer als L werden kann, und ck zwischen L und L liegen soll, der Kettenbruch aus demselben ersten Theile a und überdies aus einem die Einheit gleichfalls nicht übersteigenden Bruche beste¬ hender zwischen und liegt, was nur möglich ist, wenn zwischen und L' liegt. Damit nun dies Statt finde, muß, wie sich auf dieselbe Weise zeigen läßt, wenn —-^7- und gesetzt wird, ^-^-k-^7, «lso^- werden. 1 - IV. Abschnitt. IS3 Nimmt man daher in dem Kettenbruche für r allmälig alle jene ganzen von Null verschiedenen Zahlen, die nicht größer als der gleichvielte Theilnenner- des Kettenbruchs L sind, nemlich die Zah¬ len i, 2, s,.... (A— 1); so nahem sich, wie leicht zu sehen, diese zwischen L und L-gelegenen Werthe von der Reihe nach dem Ket¬ tenbruche L und seinem Näherungswcrthe 6l immer mehr und mehr. Die so gebildeten Kettenbrüche nennt man (zwischen einen Näherungswerth und seinen zweiten Nachfolger) eingeschaltete Brüche (kraclious intermeüiLires), von denen übrigens wegen ihrer äußerst seltenen Anwendung diese ganz kurze Andeutung genügen wird. §. HO. Da die Näherungswerthe eines Kettenbruchs selbst wieder Ket¬ tenbrüche sind, so könnten alle einzeln nach der in §. 108 ertheilten Anleitung auf gewöhnliche Brüche zurückgeleitet, oder die redu- cirten Näherungswerth e des gegebenen Kettenbruches ge¬ sucht werden. Allein sowohl zur Vereinfachung als auch zur Prü¬ fung der Rechnung wird es vortheilhafter sein, diese Näherungs- werthe der Ordnung nach aus einander herzuleiten, wobei wir uns auf die Ergebnisse der im Sten Artikel des§. iv8 gepflogenen Unter¬ suchung fußen werden. Sehen wir nemlich die dort betrachteten drei Kettenbrüche als unmittelbar auf einander folgende Näherungs- werthe eines Kettenbruchs an, die auf gemeine Brüche reducirt Z" geben; so können wir, wie m§. io8 gezeigt wurde, den Aähler i? Nenners/ des reducirten Näherungswerthes^ bestimmen , indem wir mit seinem letzten Theilncnner den Nenners nächst vorhergehenden reducirten Näherungswertes multipliciren, und zum Producte den des zweiten vorhergehenden reducirten Näherungswerthcs addiren. 184 Zweites Hauptstück. Bon dieser Regel kann man jedoch, weil dem zu suchenden reducirten Näherungswerthe zwei bereits bestimmte vorangehen müssen, nur von dem dritten Näherungsbruche an Gebrauch machen. I Wollte man demnach den zweiten Näherungswerth, welcher o^- oder reducirt ist, aus dem ersten a berechnen, so müßte man den Nenner des zweiten auch in zwei Gliedern darstellen, also schreiben; welche Form sofort zeigt, daß der zweite redu- cirte Näherungswerth auch nach derselben Vorschrift gerechnet wer- den kann, wenn man dem ersten Näherungswerthe die Form i anweist, nemlich um ihn zu bilden, dem ersten Theilnenner a einen l unterschreibt, und noch vor ihm denBruch^ ansetzt, welcher nicht als Näherungswerth, sondern nur als Hilfsbruch anzusehcn ist. Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Forschungen zusammen, so erhalten wir zur Bestimmung sämmtlicher reducirten Nähcrungs- werthe eines Kettenbruchs folgende Vorschrift. Man schreibe die Theilnenner des Kettenbruchs vom ersten (welcher immer die dem Kettenbruche vorangehende ganze Zahl ist) angefangen, in einer Zeile neben einander. In die folgende Zeile setze man unter den ersten Theilnenner ihn selbst mit einem unterschriebenen 1, und vor diesen ersten reducirten Näherungswerth den Hilfsbruch Hierauf multi- Plicire man den N^ner dieses Näherungswerthes mit dem zweiten Theilnenner, addire zum Produkte den des vorhergehenden Bruchs und schreibe die Summe alsWf, zweiten Näherungs¬ werthes an. Überhaupt multiplicire man fortwährend den Wer des zuletzt angeschriebenen Bruchs mir dem nachfolgenden Theilnen¬ ner, vermehre das Product um den des nächst vorhergehen¬ den Bruchs, und setze die Summe als des diesem Theilnenner entsprechenden reducirten Näherungswerthes des Kettenbruchs an. IV. Abschnitt. 138 Sucht man z. .B. sämmtliche reducirten Nähcrungswerthe des Kettenbruchs 5^- 6-t-I 4^-1^ 3-t-I 2 so legt man nachstehende Rechnung an: Quotienten Nä'herungswerthe und rechnet wie folgt:, 6.5 -1-1 —31, 6.1 -t-0 —6 4.31 -t-5 — 129, 4.6 -1-1 —25 3.I2S-I-3I —418, 3.25-t-6 —81 2.4l8->-l29—965, 2.81-1-25 — 187. §. III. Von den mannigfaltigen Eigenschaften, der reducirten Nähe-- rungswerthe eines Kcttenbruchs heben wir für unseren Zweck nur folgende heraus. 1. Sowohl die Zähler als auch die Nenner der Näherungsbrüche eines Kettenbruchs sind um so größer, je spätere sie sind. Denn die Theilnenner sind der Voraussetzung gemäß, ganze positive von Null verschiedene Zahlen, daher muß sowohl der Zähler als auch der Nenner eines jeden Nä¬ herungsbruchs wegen der eben erklärten Bestimmungsweise dersel¬ ben jenen des nächst vorhergehenden Bruchs wenigstens einmal, und überdies noch den des zweiten vorhergehenden in sich begreifen. 2. Ein gewöhnlicher Bruch kann einem gegebe¬ nen Kettenbruche nur dann näher als einer seiner Näherungsbrüche liegen, wenn er durch größere Primzahlen unter sich dargestellt wird als dieser. Denn würde jener gewöhnliche Bruch in einen Kcttenbruch verwandelt, und sollte dieser dem gegebenen Kettenbruche näher als der erwähnte Näherungsbruch liegen, so müßte er nicht nur alle Theilnenner die- IS6 Zweites Hauptstück. scs Näherungsbruchs, sondern auch wenigstens noch einen mehr haben, mithin (nach dem vorigen Satze) gewiß auf einen, in grö¬ ßeren Zahlen ausgedrückten gewöhnlichen Bruch zurückkommen. Die nach einander folgenden reducirten Näherungsbrüche eines Kettcnbruchs drücken demnach die angenäherten Werthe desselben durch die kleinsten möglichen Zahlen mit der möglich größten Ge¬ nauigkeit aus. 3. Die Differenz zweier unmittelbar nach ein¬ ander folgenden Näherungsbrüche eines Ketten¬ bruchs ist, abgesehen vom Zeichen, gleich iget heilt durch das Product der beiden Nenner; nemlich von zwei nach einander kommenden Näherungsbrüchen und ^istder Denn es rst . Bezeichnet aber - den iV dem Näherungsbruchc^ unmittelbar nachfolgenden, und ? seinen letzten Theilnenner, so ist nach §. ios. (s), (K), und zugleich Hl, daher auch —— —— tv' —41^' 4. Da nach §. iog. II. der Kettenbruch zwischen jeden zwei unmittelbar nach einander folgenden seiner Näherungsbrüche liegt, so muß er jedem derselben näher liegen, als der eine dem anderen; daher HF ist der Näherungsbruch von demKeltenbruche«weniger als von ^vcrschieden,oderwenn man von denVorzeichen ab sieht, HF F Eß der spätere von beiden Nähe- IV. Abschnitt. 137 rungsbrüchcn dem Kettenbruche naher liegen, als der frühere, da- her muß der Näherungsbruch — von dem Kettenbruche L um mehr als die halbe Differenz der beiden Näherungsbrüche — und — ver¬ schieden, oderL—sein. Diese zwei Vergleichungen 1 M i welche aussagen, daß jeder Näherungswerth von sei¬ nem Kettenbruche um weniger, als r getheilt durch das Product aus seinem Nenner in jenen des fol¬ genden Näherungsbruchs, und um mehr als die Hälfte dieses Unterschiedes verschieden ist, bieten uns ein Mittel dar, über den Grad der Annäherung jedes redu- cirten Näherungswerthes an den Kettenbruch abzusprechen. Man sieht zugleich daraus, daß ein Näherungsbruch — um so weniger von dem Kettenbruche L verschieden sein wird, je größer der Nenner iV' des folgenden Näherungsbruchs — im Vergleich ge¬ gen jenen des ersteren, oder je größer der letzte Theilnenner n des tv folgenden Näherungswerthes ist. Weil (nach l. dieses §.) immer ist, so muß sein. Es ist demnach von einem Kettenbruche jeder seiner reducirten Näherungswerthe um weniger verschieden als um i getheilt durch das Product 188 Zweites HauptstüS. seines Nenners in sich selbst. Dieser Satz lehrt den Grad der Annäherung eines einzeln, außer Zusammenhang milden übri¬ gen, vorkommenden Näherungsbruchs schätzen. §. 112. Die Lehre von den zusammenhängenden Brüchen erweist sich besonders nützlich bei der näherungsweisen Abkürzung ge¬ wöhnlicher Brüche, deren Zähler und Nenner große Zahlen sind, wobei man nemlich solche Brüche mit einer nur geringen Verände¬ rung ihres'Werthes durch kleinere Zahlen auszudrücken beabsich¬ tigt. Dies geschieht,wenn man, geradeso als wollte man den vorge¬ legten Bruch (ohne sich vorher die Mühe des in §. 80 gelehrten Abkürzens desselben zu geben) in einen zusammenhängenden Bruch verwandeln, nach §. 107 die Theilnenncr desselben sucht, und dann die der Ordnung nach auf einander folgenden Näherungswerthe bestimmt. Diese Näherungswerthe sind die gesuchten abgekürzten Brüche, von denen jeder dem wahren Werthe des vorgelcgtenBruchs um so näher kommt, ein je späterer er ist. Zugleich sind au¬ ßer ihnen gar keine anderen Brüche möglich, welche durch kleinere Zahlen ausgedrückt wären und doch dem vorgelegtcn Bruche am Werthe näher kämen. Bisweilen ist ein nur aus wenigen Theilncn- nern (Quotienten) abgeleiteter Näherungswerth dem vorgelegten äußerst nahe gleich, und zwar dann, wenn sein Nenner bereits zwei- oder dreiziffrig und der nächst folgende Theilnenner beträcht¬ lich groß ist. i. Beispiel. Es sei ohne merkliche Veränderung seines Werthcs abzukürzen. Hier ist I 36 s 1 1 2 1 17 102764 : 100000 : 2764 : 496 : 284 : 212 : 72 : 68 : 4 8292 2480 284 212 144 68 68 17080 -"28^ 212 72 "H' "Ö" I6S84 496 IV. Abschnitt. ISS daher auch O, I, 86, 5, I, I, 2, I, 17 1 0 1 86 181 217 398 1013 1411 25000 0'1' I' 37' 186' 223' 409' 1041 ' 1450' 2S6Sl' Von diesen Näherungswerthen kann man, wenn keine gar zu große Genauigkeit erforderlich ist, statt des vorgclegtcn Bruchs 1 00000 nekumit, da er von diesem um weniger als — 102764 37.186 6882 — 0,00015/ aber auch um mehr als 0,00007, differirt. Wirklich ist 972972 100000 102764 — 0,973103 daher ihrUnterschied — 0,000131. 2. Beispiel. Die Zahl 3,1415926536, oder der Bruch 81415926536 10000000000 werde nahcrungsweise durch gewöhnliche Brüche dargestcllt. 797536 602864 Zweites Haupt stück. 140 Abstand von der gegebenen Zahl 355 » . Won diescnNäherungswerthen ist der vierte weil der sol- gende Quotient 292 sehr groß ist, der vorgelegtcn Zahl 3,141592653k sehr nahe gleich, da er von ihr um weniger als -'—- - 0,0000003 113.33102 3740526 verschieden ist. Um den Grad der Annäherung der einzelnen Näherungswer- the an die gegebene Zahl bcurtheilcn zu können, verwandeln wir sie in Decimalbrüche, und stellen sie der Ordnung nach zusammen. Gegebene Zahl — 3,141592653k daher der vorgelegte Bruch nahe genug gleich Drittes Hauptstück. Bon den Rechnungsarten mit Potenzen und Wurzeln. I. Abschnitt. Von den Potenzen und Wurzeln überhaupt. §. H3. Das Product, welches entsteht, wenn man eine Zahl mehrmal mit sich selbst multiplicirt, heißt eine Potenz oder Dignität dieser Zahl, wobei nothwendig die mit sich selbst zu multipicirende Zahl als unbenannt betrachtet werden muß. Die Zahl, welche mchrmal als Factor in der Multiplikation angesetzt wird, um eine Potenz hervorzubringen, heißt die Wurzel der hervorgebrachten Potenz; und die Zahl, welche mit ihren Einheiten anzeigt, wie oft die Wur¬ zel als Factor in der Multiplikation anzusetzen sei, um eine Potenz hervorzubringen, heißt der Exponent dieser Potenz. Insbesondere wird das Product, bei dem eine Zahl zweimal als Factor in der Multiplication angesetzt wird, die zweite Po¬ tenz oder das Quadrat dieser Zahl genannt; so ist z. B. s das Quadrat von s; weil 3.3 —9 ist; 36 ist das Quadrat von 6, und allgemein ist das Quadrat von 141 D ri t te s H au ptsr ü ck. nemlich alle geraden Potenzen einer negativen Wur¬ zel sind positiv, und alle ungeraden sind negativ. Man hat deßwegen (—«)- von —a" sorgfältig zu unterschei¬ den; denn und ——aX-t-a. §. II9- Es folgt hieraus: I. Jede ungerade Wurzel aus einer positiven Zahl ist positiv, und aus einer negativen Zahl ne¬ gativ; nemlich 3 3 und —«2——K. Is. Hingegen kann jede gerade Wurzel aus ei¬ ner positiven. Zahl sowohl positiv, als auch nega¬ tiv sein; z. B. sZ-l-a^ist sowohl -t-«, als auch — a, weil je¬ des mit sich selbst multiplicirt -r- a? gibt. Man pflegt daher auch bei Ausziehung der geraden Wurzeln jederzeit beide Zeichen vor der Wurzel anzusetzen, wo dann andere Umstände der Rechnungen, in denen sie vorkommen, entscheiden müssen, welches von beiden Zei¬ chen zu nehmen sei; so schreibt man z. B. ^z a? — ssi a, und zwar wenn es aus andern Umständen bekannt ist, es sei -t-« zum Quadrat erhoben worden; hingegen ist ^Z wenn es sonst ausgemacht ist, daß die negative Zahl—azum Quadrat erhoben worden sei. III. Sollte aber aus einer negativen Zahl eine gerade Wurzel gezogen werden, so läßt sich gar nicht denken, wie aus der Mul¬ tiplikation einer geraden Anzahl negativer Factoren ein negatives Product entstehen könne, und folglich ist cs unmöglich, eine solche Wurzel anzugeben. Solche gerade Wurzeln aus negativen Zahlen werden daher eingebildete (imaginäre) Zahlen genannt; so sind z. B. ^z — «, ^z — a* imaginäre Zahlen. Dagegen nennt man alle übrigen Zahlen mögliche, wirk¬ liche oder reelle. I. Abschnitt. 145 §. 120. Ein Product wird auf eine Potenz erhoben, wenn man jeden Factor insbesondere auf die ver¬ langte Potenz erhebt, und diese Potenzen mit ein¬ ander m ultiplicirt. Denn es ist z. B. (aSo)^-aSa. aSo. aSa—(vermög §.116); eben so ist (72) b— (6.3.4)^ — 6^.32.4^—216.27.64 — 373248. Und eben so kann auch umgekehrt aus einem Products eine beliebige Wurzel gezogen werden, wenn man aus jedem Factor die Wurzel insbeson¬ dere zieht, und diese Wurzeln mit einander multi¬ plicirt. So ist z. B. l/K-". l/-"-— ad; !/27a^— ^27-Za; ^576 — ^4/9.16 — l/4. i/g. ^16-2.3.4-^24. §. 121. Eine Zahl, welche am Ende Nullen hat, kann daher zum Quadrat erhoben werden, wenn man nur die bedeutenden Ziffern zum Quadrat erhebt, und hinten doppelt so viel Nullen anhängt, als deren die Wurzel hat. So ist z. B. (W)-—(S. 10)2—92.102 — 81.100 — 810». Eben so wird auch eine Zahl, die hinten Nullen hat, zum Cubus erhoben, wenn man. nur die bedeu¬ tenden Ziffern zum Cubus erhebt, und hinten drei¬ mal so viel Nullen anhängt, als deren die Wurzel hat. So ist z. B. (300)2—(8.100)2---27 . 1000900 —27000000. Und so ist auch wieder umgekehrt p/ 640000 — /64 X /10000 — 8.100 — 800 , 3 3 3 / 27000 — / 27 . / 1000 — 3.10 — 80. V?ga Dorlee. I. Bd. 10 14k Drittes Hauptstück. Hieraus folgt, daß so ost man ein Quadrat mit Ivo multi- plicirt, so ost wird dadurch die Wurzel mit iv multiplicirt, und so ost man den Cubus einer Zahl mit 1000 multiplicirt, so ost wird die dazu gehörige Wurzel mit io multiplicirt. §. 122. Soll ein Bruch auf eine Potenz erhoben wer¬ den, so erhebe man den Zähler und Nenner auf die verlangte Potenz. So ist z. B. /«v g K K i —) ----- --(vermög §. Hk); Es wird daher auch umgekehrt aus einem Bru¬ che eine Wurzel gezogen, wenn man aus dem Zäh¬ ler und aus dem Nenner die verlangte Wurzel zieht. So ist z. B. 3 —-7-. — l/ 8 - 2 °25 s/ 28 5 ' 27 3 s" ' V' l/27 §. 123. Es folgt aus diesem: I. Daß die Potenzen eines echten Bruches immer kleinerwerden, in je höhere Potenzen man den Bruch erhebt; denn wenn S>«ist, so ist i> 5, also >5 x daher auch ,u. s. w. II. Hingegen werden die Potenzen eines Bruches, der I ist, immer größer, in je höhere Potenzen man den Bruch erhebt; denn, wenn S < «ist, so ist i < f,folgli'ch-< -, und sofort auch I. Abschnitt. 147 III. Ware aber so ist jede Potenz, so wie auchssede Wurzel von immer — l; weil ein solcher Bruch gleich der Ein¬ heit, und sowohl jede Potenz, als auch jede Wurzel von i immer gleich i ist. IV. Hieraus ist auch zu ersehen, daß keine Potenz eines ei¬ gentlichen Bruches eine ganze Zahl werden kann; nemlich, wenn ein eigentlicher Bruch, folglich S in « nicht genau enthalten ist, . so kann keine der Potenzen ^s> ' n eine ganze Zahl sein. Denn denkt man sich den Bruch auf seine kleinste Be¬ nennung gebracht, so ist kein Factor von S in « enthalten; sonach kommt auch kein Factor von S"° in vor, und ist durch . nicht theilbar (§. 69. a. s). §. 124. Soll daher aus einer ganzen Zahl was immer für eine Wur¬ zel gezogen werden, und ist letztere keine ganze Zahl, so kann diese Wurzel auch kein Bruch sein. Z. B. obschon / 6 > sein muß als 2, und <3, so kann doch kein Bruch gefunden werden, welcher zu 2 addirt, vollkommen genau die Quadratwurzel aus 6 gibt; denn gäbe es einen solchen Bruch, so müßte die Potenz eines eigentli¬ chen Bruches eine ganze Zahl sein, was doch (vermög §. 123, IV.) nicht sein kann. Daß man sich aber dem Werthe einer solchen Wur¬ zel durch Decimalstellen so weit nähern könne, als es nur immer die Richtigkeit einer Rechnung erfordert, wird in der Folge gezeigt werden. §. 125. Alle solchen mit Wurzelzeichen behafteten Zahlen, deren Wur¬ zeln sich nicht vollkommen genau ausziehen lassen, nemlich die Wurzeln aus unvollkommenen Potenzen, werden irrationale 3 Zahlen genannt; so sind z. B. /2, /s, /9 irrationale Zahlen; im Gcgentheile heißen jene rationale Zahle», wo 10 * 148 Drittes H a u p t st ü ck. 3 sich die Wurzel genau ausziehen läßt; so sind /9, /8, /64, 3 /64 rationale Zahlen. Auch die algebraischen Größen (Ausdrücke), aus denen sich die angezeigtc Wurzel nicht genau ausziehen läßt, werden algebrai- 3 sche irrationale Größen genannt; so sind z. B. /a, / («2-,-«^), /«"b so lange irrational, bis man für die Grö¬ ßen unter dem Zeichen solche Zahlen annimmt, daß sich die Wur- 3 174 zel genau ausziehen läßt; hingegen sind /a^», ^/a"- al¬ gebraisch rationale Größen, weil sich die Wurzel genau ausziehen läßt; man möge für « und b was immer für rationale Zahlen setzen. §. 126. Jede Größe, die eine Null zum Exponenten hat, ist einer Einheit gleich zu achten; nemlicha° —l. Denn so lange »r eine ganze positive Zahl bedeutet, ist ---a" (vermög §. 65, Nr. 3); cs ist aber auch a"- — — — i (vermög§. 72); folglich auch «o— (vermög §. 12, Grundsatz III). Da nun «jede, sowohl einfache als zusammengesetzte Größe vorstellen kann, so ist auch jede Größe mit dem Exponenten Null einer Einheit gleich; so ist — i; ( I. Abschnitt. 11g Denn K«: K"------K--" (nach §. KZ, Nr.-S); und auch -— — (vermög §. 79); folglich auch (vermög §. 12, Grundsatz III). a"* Und so ist auch umgekehrt-^----«"-j denn^^- — i : « - i a"°, wo « und »r wie immer beschaffen sein können. Dieses gibt uns ein Mittel an die Hand, jeden Bruch in Ge¬ stalt einer ganzen Zahl vorzustellen, oder auch jeden Factor aus dem Zähler in den Nenner, und aus dem Nenner in den Zähler zu übertragen, wenn man bei den übertragenen Factoren die Zeichen der Exponenten ändert. So ist z. B. « I - acv-2; ——---- cs- ca? —"° rr^'o — «.o cv (cv -—er) . —« rr^.v (o-—«-.v ' /> /-(«"—cv')—' §. 128. Einnamige Potenzen können wieder zu andern Potenzen erhoben werden, deren Exponenten an¬ gegeben sind, wenn man den Exponenten der Po¬ tenz mit dem angegebenen Exponenten multipli- cirt, nemlich («-")" — Denn (a" ) -- — a'" . a" . . a"'.... — a'" t "> -tmlm-l- - > - Beispiele. (a'»ü-- )4 — . AM Kn AM Kn AM Kn — K^mKtn , (—a" 2___——a" ^6^— (ff.) Isa Drittes Hauptstück. Auch bei den negativen Exponenten gilt diese Regel; denn cs ist z. B. (nach §. 127.) ; --- — - -- . Es ist hier wieder zu merken, daß man bei einer negativen Größe das Zeichen — in -t- verwandeln müsse, wenn der gegebene Exponent, wie im B. s, eine gerade Zahl ist. Denn die Bezeich¬ nung (—ist (vermög §. 118) von — wohl zu unter¬ scheiden; (—rr" ) ist gleich; hingegen ist — (a'")4---— §. 129. Umgekehrt wird aus einer einnamigen Potenz eine Wurzel gezogen, wenn man den Exponenten der Potenz durch den Exponenten der Wurzel n 2 — d ividirt, nemlich p" ; so z. B. ist ffl« — iff«; 3 °- -c ° —lr —. -r- weil diese Wurzeln so beschaffen sind, daß, wenn man sie wieder auf die Potenz des Wurzel-Exponenten erhebt, die Größen unter dem Wur¬ zelzeichen, die Potenzen nemlich, zum Vorschein kommen. §. 130. Wenn man was immer für eine zweinamigc Größe a-t-ü (nach §- 113) zum Quadrat erhebt, so ist (a -l- L) " — (a -k- ü) (er -s- S) — a? -t- «S -j-aö-I-ü" oder (K-t-S)- . nemlich: das Quadrat einer jeden zwernamigcn Grö¬ ße besteht 1) aus dem Quadrate des ersten Th eile s, 2) aus dem doppelten Producte des ersten in den zweiten Theil, und Z) aus dem Quadrate des zweiten Th.eiles. Setzt man nun so ist 2«S——2«L- und ----:(—w)? —-l-w?; also («—w)2— --t-K s. Setzt man so ist 3a?s——3a-a?; JKÜ"^-.ZKX(—a?)? —4-3aa?"; und (—a?)3——L'3; folglich (a—a?)3—«3——L'3. Beispiele. (2aco——I2a"«^4-tz«a^^—a?''. (I— a?) b—i—Za?4-Z^— / 1>3 - 27a" 9a I f3a4—) —27a^-l-4 1--. ^2^ 248 (11)3—(104-1)3—10004-3004-304-1 —40004-331 —1331. (99)3—(904-9)3—729000 4-218700 4-2I8704-72S —7290004-241299—970299; oder auch (99)3— (100—1) 3--1000000-300004-300 —1 --970299. §.134. Ist eine mehrnamige Größe zum Cubus zu erheben, so stelle man sie ebenfalls (wie in §. 131) als eine zweitheilige dar, indem man alle vor dem letzten stehenden Glieder zum ersten, das letzte selbst aber zum zweiten Theil annimmt; erhebe sie nach der eben (§. 133) aufgestellten Regel zur dritten Potenz, und wiederhole I. Abschnitt. ISS dasselbe Verfahren, so lange es nothwcndig ist. So ergibt sich (a4-l>4-c) S— s(er-t-S) -4-a^ — («-t- S) b -s- Z (a-t--) -i-3 (a-t--) -t-ob — ^4-3«'-4-3aS^-d-^4-3(a4-S) -o-^3(«4-S)<:^o^ (I 4-a? — a?^) »14- 32? 4- 3a?^ 4-a^— 32?"— 6L—3^4- 3a?^ 4- 3a?°—a?°—1-i-Z.V—5^^4-327^—2?°. (S9S) S— (9004-904-9) ^—729000000-4-218700000 4- 218700004- 7299004-264627004^2405704-729 -997002999. §. 437. Grundsätze. I. Wenn man gleiche Zahlen zu gleichen Poten¬ zen erhebt, so sind die Potenzen einander gleich; erhebt man aber ungleiche positive Zahlen zu glei¬ chen Potenzen, so ist die Potenz der kleinern Zahl auch kleiner als die andere. Beispiel?. Es ist 8 — s -l- 3, Wenn «r — r>, also auch 8? — (5 4- 3)?, so ist auch «"* — ü"-, nemlich 64 — SS -t- 30 4-9. Ist aber « >- S, so ist auch a" > S«. II. Zieht man aus gleichen Zahlen gleiche Wur¬ zeln, so sind auch die Wurzeln einander gleich. Wenn man hingegen aus ungleichen positiven Zah¬ len gleiche Wurzeln zieht, so ist jene größer, die aus der größern Zahl gezogen wird. Beispiele. Es ist 64— 254-304-9, Wenn a— S, also auch s/ 64—/(25-4-30-1-9), - so ist auch/ a-/-, nemlich /64—/(s-l-3)2, Ist aber K> s, und 8—54-3. so ist auch/a>s/s. 154 Drittes Hauptstück. II. Abschnitt. Von der Auöziehung der Quadrat--und Cubikwurzel aus zusammengesetzten Größen insbesondere. §. 138. Wie aus einer einnamigen algebraischen Größe die Quadrat- und Cubikwurzel ausgezogcn werden kann, ist bereits (in §. 129) gesagt worden. Damit man aber auch die Quadrat-- und Cubikwurzel aus ei¬ ner gegebenen Zahl, wenn die Wurzel nur aus einer einzigen Zif¬ fer besteht, sogleich wissen könne, ist es erforderlich, daß man die zweiten und dritten Potenzen aller einfachen Zahlen von l bis 9 im Gedächtniß behalte, wovon die erster» ohnehin schon in dem Einmaleins enthalten sind. Zur kurzen Übersicht kann folgende Tafel dienen: Wurzeln > I ! 2 j > 4 i 5 i 6 j 7! 8 i 9,10 Quadratzahlen i I 1 4 § 9 > 16 ! 25 i 36 i 49 > 64 § 81 > 100 Cudikzahlen > 1> 8 ! 27 j 64 ! 125 > 2I6ffIlZ > 812 > 729 l HÖÖ woraus schon zu ersehen ist, daß die Quadratwurzel aus einer Zahl von einer oder zwei Ziffern, nur aus einer einzigen Ziffer bestehen könne, und daß diese Wurzel, wenn die gegebene Zahl nicht unter den Quadratzahlcn in der Tafel enthalten ist, irrational seist müsse (Z. 125); so ist z. B. z/?2> 8, und <9, folglich irratio¬ nal. Eben so ist auch daraus zu ersehen, daß die Cubikwurzel aus einer Zahl, die nicht mehr als 3 Ziffern enthält, nur aus einer ein¬ zigen Ziffer bestehen könne; so ist z. B. 3 l/999 9, weil 9^—729 ist; eben z so ist l/8i > 4, und < 5. §. 139. Wenn aus einer mehrnamigen algebraischen Größe die Quadratwurzel gezogen werden soll, so kann die Größe, wenn sie auch aus noch so viel Gliedern besteht, als das Quadrat einer zweinamigcn Wurzel angesehen werden; weil (vermög §. 132) jede mehrnamige Größe, als zweinamig vorgc- stellt, ins Quadrat erhoben werden kann. II. Abschnitt. ISZ Wenn man sich nun der Theile erinnert, aus welchen das Quadrat einer zweinamigen Größe zusam¬ mengesetzt ist, so ergeben sich für die Ausziehung der Quadratwur¬ zel aus einer mehrnamigcn Größe, z. B. aus «4-t-6 «s- -t- S« V—12-r-3-l-4-4 folgende allgemeine Regeln. s/ -2-" -t-«4 —4«"-^—i2«-3-t-4-4 : (2«^-t-6«S) —4«"-^—l2aü^-i-4-^ 0 1) Nachdem man den Ausdruck, dessen zweite Wurzel zu su¬ chen ist, nach einem Buchstaben (fallend oder steigend), hier nach « fallend, geordnet hat (§. 67), ziehe man aus seinem ersten Gliede die Quadratwurzel (gibt«?); diese setze man als das erste Glied der Wurzel hinter das Gleichheitszeichen; erhebe sie wieder zum Quadrat, und ziehe dies vom ersten Gliede ab, so wird es getilgt. 2) Da nun ferner noch das doppelte Product aus dem ersten und zweiten Gliede, in dem Reste enthalten sein muß, so dividire man das erste Glied (6^-) des Restes durch den doppelten gefun¬ denen ersten Theil (2a") der Wurzel, dann gibt der Quotient (3aS) das zweite Glied der gesuchten Wurzel. Mit diesem Gliede multiplicirc man den Divisor, so hat man das doppelte Product des ersten Theiles in den zweiten (6^-); ferner multiplicirc man eben dieses Glied der Wurzel noch mit sich selbst, so hat man das Qua¬ drat des zweiten Theiles (Sa^); zieht man nun beide von der ge¬ gebenen Größe ab, so hat man das vollständige Quadrat der gefun¬ denen zweinamigen Größe (a"-t-3aA) abgezogen. 3) Bleibt noch ein Rest übrig, so ist dies ein Zeichen, daß die gesuchte Wurzel mehr als zwei Glieder habe; man sehe deßwe- gen die schon gefundenen zwei Glieder als den ersten Theil der Wurzel an; und da das Quadrat dieses Theiles schon abgezogen I5K Drittes Hauptstück. ist, so dividire man wieder den Rest durch das Doppelte der schon gefundenen Wurzel (hier nemlich durch 2a--i-6aS), so wird der Quotient (—2^) das folgende Glied der Wurzel sein. Mit diesem neuen Gliedc multiplicire man wieder den Divisor, erhebe dasselbe auch zum Quadrat, und ziehe sowohl jenes Product als auch die¬ ses Quadrat von dem Dividend ab, so hat man bereits das Qua¬ drat der gefundenen dreinamigen Größe («-4-ZaS—2^) von der gegebenen Größe abgezogen. Und so könnte man auch, wenn noch ein Rest bliebe, das vierte Glied der Wurzel finden, indem man alle bereits gefundenen Glieder als den ersten Theil der Wurzel be¬ trachtet, und den zweiten durch die Division mittels des Doppelten aller schon gefundenen Glieder der Wurzel sucht, u. s. w. 4) Wenn nun die gegebene Größe ein vollständiges Quadrat ist, so wird die hier vorgeschriebene Operation einmal ein Ende nehmen; im Gegentheile aber, wenn die gegebene Größe kein voll¬ ständiges Quadrat sein sollte, so würde man auch mit diesem Ver¬ fahren nie zu Ende kommen, sondern die Gliederder Wurzel wür¬ den ohne Ende fortgehen, wie es im Beispiele III. zu ersehen ist. Beispiele. I. (4—8-/-1-4-S 2—2--«-. -1-4 —8r/-t-4r/r-l-^ § . 4 —8L-I-4F2 —4z?-i-4r/S-t-r/4 —4!/2-l-4«/b-j-F4 2 0 II. (a?—«L'-t-- -I-L^ —— :2a? 4 —— 4 0 II. Abschnitt. 187 Ikk. s/ (a-—L") -t-a- 2a 8«3 Ika" —: 2a ——- 4a^ — .^2 —— :2a- 4a- a ^,6 g,8 4a- 8a^ 64a^ — — 2-6 ^.8 --:2«—.... 8a^ tzlat> §. 140. Wenn aus einer mehrnamigen algebraischen Größe die Cubikwurzel gezogen werden sollte, so fließen aus den schon bekannten Theilen, aus welchen der Cubus einer zwci'namigen Größe (a-i-S)^—a^-i-3«^s'-t-3ab--t-ö^ zusammenge¬ setzt ist (§. 133), folgende allgemeine Regeln. 1) Aus dem ersten Gliedc der gegebenen und (nach §. 67) ge¬ ordneten Größe z. B. 8«^4-3Ka-b-i-s4Kb^'t-27b^, nemlich aus (8a-^) ziehe man die Cubikwurzel (2a), so gibt dieses Glied den ersten Theil der gesuchten Wurzel; den Cubus hievon ziehe man von der gegebenen Größe ab. 2) Da nun in dem Reste das dreifache Product aus dem Qua¬ drate des ersten Theiles, multiplicirt mit dem zweiten enthalten sein muß (§. i33); so dividire man ihn durch das dreifache Quadrat des schon gefundenen ersten Theiles (12«-), dann gibt der Quotient (3b) den zweiten Theil der gesuchten Wurzel. Mit diesem Quo¬ tienten multiplicire man den Divisor, so ist dieses (3Ka^b) das drei¬ fache Product aus dem Quadrate des ersten Theiles in den zweiten. Ferner multiplicire man das dreifache Quadrat des zweiten Theiles mit dem ersten (gibt 84«-?); dann erhebe man auch noch den zweiten Theil zum Cubus (gibt 27b^); und da alles dies in dem Reste enthalten sein muß (§. I3S), so ziehe man cs von demselben gehörig ab. IZ8 Dr i tte s H a ur rsl >1 ck. 8) Bleibt nun noch ein Rest übrig, wie im folgenden Beispiele II., so ist cs ein Zeichen, daß die Wurzel aus mehr als zwei Gliedern bestehe. Man sehe daher die schon gefundenen zwei Glie¬ der (2a?-i-w) als den ersten Theil der Wurzel an, und suche, wie vorhin, den zweiten; man dividire deßwegen den Rest durch das dreifache Quadrat der schon gefundenen Wurzel, so gibt der Quo¬ tient das dritte Glied der Wurzel. Mit diesem Quotienten multi- plicire man den Divisor; das dreifache Quadrat dieses Quotienten multiplicire man mit den vorhergehenden Gliedern der Wurzel; endlich erhebe man auch diesen Quotienten zum Cubus, und ziehe diese drei Products von dem Dividend ab. Und so wird dieses Ver¬ fahren bei jedem nachfolgenden Reste wiederholt, indem man jeder¬ zeit die schon gefundenen Glieder der Wurzel als den ersten Theil betrachtet und den zweiten sucht. 4) Kommt man nun durch diese Operation einmal zu Ende, so daß kein Rest mehr übrig bleibt, so ist die gegebene Größe ein vollkommener Cubus, wovon die Wurzel gesunden ist; im Gegen- theile aber, wenn die gegebene Größe kein vollkommener Cubus sein sollte, wie im folgenden Beispiele III., wird man auch mit dieser Operation nie zu Ende kommen. Beispiele. 3 I. (8«^-j-3K«"b-t-54KS^-t-27bb) — 2a-t-3ü 8K^S-^-54a^-t-27b^ j: I2a^ -t-3 6 b-t-S 4 « S?-l-2 7 - 3 0 3 II. (8a?b-t-i2w^—8üw^—8S^-i-48w^-l-27w—27) ---2cv"-l-a? -i-8a?6 —3 I2a^—30^—-35w3-t-4Z^-I-27w—27 .^^,4 —36«^—Z6a^-t-4Sn,2-^27^—27 . ,2w^-k-i2w^-l- Zcv" —36a^—36a?s— 27 -t- -t- -r- — — -t- 0 II. Abschnitt. 15 S Z Z.S lil. «-j- ' 8«" Scv« 4Qw^^ 9«^ 8l«s 243«" §. 144. Um die Regeln zu entdecken, welche uns bei dem Ausziehen der zweiten Wurzel aus besonderen Zahlen leiten, nehmen wir fol¬ genden Weg. 1. Wäre die gegebene Zahl, deren zweite Wurzel wir suchen, eine decadisch: Einheit von ungerader Ordnung, so daß ihrer einzi¬ gen geltenden Ziffer i entweder gar keine Null, oder eine gerade Anzahl von Nullen folgt, wie I, 400, 40000, 4000000, Ivooooooo,.... so ergäbe sich ihre Wurzel, da (nach §. 424) jeden zwei Nullen zur Rechten einer zweiten Potenz eine Null am Ende ihrer Wurzel entspricht, und weil (nach §. 423,111.), jede Potenz und Wurzel von 4 selbst wieder 4 ist, gleich 4, 40, 400, 4000, 40000,.... nemlich gleich einer decadischen Einheit, geschrieben mit 4 und der Hälfte der Nullen, welche die gegebene Zahl besitzt. 2. Ist aber die Zahl, deren zweite Wurzel gefunden werden soll, keine decadische Einheit ungeraden Ranges, so liegt sie ge¬ wiß zwischen zwei unmittelbar nach einander folgenden solchen deca¬ dischen Einheiten, daher befindet sich auch, weil (nach §. 437, Grundsatz II.) der größeren Zahl immer eine größere zweite Wurzel zukommt, ihre zweite Wurzel zwischen den zweiten Wurzeln dieser decadischen Einheiten, und wird, weil jede solche Einheit die klein¬ ste von allen jenen Zahlen ist, welche eben so viel Ziffern wie sie besitzen, mit so viel Ziffern als die kleinere aus diesen Einheiten geschrieben. — Soll z. B. die zweite Wurzel der Zahl 2438437K gesucht werden, so wird sie, da diese Zahl zwischen 4000000 und 400000000 liegt, zwischen 4000 und 40000 liegen, daher mit 4 Ziffern geschrieben werden. , 3. Um nun zuvörderst die an der höchsten Stelle, hier an jener der Tausende, stehende Ziffer oder die ganzen Tausende unserer Wurzel zu ermitteln, erheben wir nach und nach die, blos ganze Tausende in sich fassenden Zahlen 4000, 2000, 3000, .... 9000, 40000 jtzO Drittes Hauptstück. zur zweiten Potenz, wobei uns die Tafel der Quadrate einziffriger Zahlen (§. 138) gute Dienste leisten wird, und vergleichen diese Potenzen mit der gegebenen Zahl, immer beachtend, daß (nach §.137, Grundsatz II.) die zu suchende Wurzel größer oder kleiner als eine dieser Zahlen sein muß, je nachdem die vorgelegte Zahl grö¬ ßer oder kleiner als die zweite Potenz derselben Zahl ist. Hiebei fin¬ den wir nun, daß die gegebene Zahl 21381376 zwischen den zwei¬ ten Potenzen der Zahlen 4000 und 5000, nemlich zwischen 16000000 und 28000000, daher die verlangte Wurzel selbst zwischen 4000 und 5000 liegen, und sofort aus 4000 nebst einem Anhänge, der kein ganzes Tausend beträgt, bestehen muß. 4. Die zweite Potenz dieser aus den zwei Theilen 4000 und dem noch unbekannten Anhänge bestehenden Wurzel, muß nun, weil (vermög §. 117) jede Zahl die zweite Potenz ihrer zweiten Wurzel ist, der gegebenen Zahl 21381376 gleichen. Allein diese zweite Potenz besteht (zu Folge §. 130) vorerst aus der zweiten Potenz des ersten und bekannten Thcils 4000 der Wurzel, nemlich aus 16000000, welche sonach in der gegebenen Zahl gewiß enthal¬ ten sein, und daher von dieser abgezogen, in dem entfallenden Reste 5381376 die beiden noch übrigen Bestandstücke der zweiten Potenz der Wurzel liefern muß. 5. Dem gemäß begreift dieser Rest in sich zunächst das zwei¬ fache Product beider Wurzeltheile, oder das Product aus dem zwei¬ fachen ersten Theile der Wurzel in den zweiten, folglich ist in ihm dieser zweifache erste Wurzeltheil, hier 2 Mal 4000, nemlich 8009, wenigstens so oft enthalten, als der noch unbekannte zweite Wurzeltheil Einheiten in sich saßt. Bedenken wir zugleich, daß dieser noch zu suchende Wurzeltheil unter Lausend fallen, also der vollen Hunderte nicht mehr als S besitzen darf; so werden wir, wenn wir den Rest 5381376 durch den zweifachen bekannten Wurzeltheil 8000 dividi- ren, und nur den Stellenwerth der höchsten Ziffer des Quotienten bestimmen, an diesem Theilquotienten, hier 600, eine Zahl erhal¬ ten, die wenigstens nicht kleiner als der zu suchende Wurzeltheil sein kann. — Sollte hiebei, wie es zuweilen sich ereignet, dieser Theil- quotient größer als 900 aussallen, so würden wir ihn, weil der zu suchende Wurzeltheil nie mehr als 9 volle Hunderte in sich fassen kann, offenbar nur immer gleich 900 annehmen. ».Abschnitt. 161 k. Bisher fanden wir, daß die zweite Wurzel, welche wir bestimmen sollen, höchstens aus 40000-600 nebst einem Anhänge, welcher kein ganzes Hundert mehr beträgt, bestehen kann. Sehen wir den bekannten Wurzeltheil 40000-600 als ihren ersten Theil an, und bedenken wir, daß in der gegebenen Zahl 21381376 zu¬ nächst die zweite Potenz dieses Wurzeltheils, und da er selbst wie¬ der aus zwei Theilen 400» und 600 zusammengesetzt ist, die zweite Potenz seines ersten Theils 4000, nemlich 16000000, folglich, weil wir diese bereits abgezogen, in dem entfallenen Reste 5381376 die zwei weiteren Bestandtheile dieser Potenz enthalten sein müssen-, so werden wir gegenwärtig von dem Reste S38I376 sowohl das Product des zweifachen ersten Lheils, 8000, mit dem andern Theile 600, nemlich 4800000, als auch die zweite Potenz des andern Lheiis 600, nemlich 360000, und zwar sogleich beide Stücke mit ein¬ ander, oder ihre Summe 5160000 abziehen, wodurch der Rest 221376 sich ergibt. Hier machen wir jedoch die Bemerkung, daß von den eben berechneten zwei Subtrahenden, der erste 8000 Mal 6oo, der andere 600 Mal 600, daher ihre Summe nichts anders, als 8000 und 6oo Mal oder 86oo Mal6oo ist; weßwegen wir diese Summe 5160000 leicht finden können, wenn wir zu dem zuletzt verwendeten Divisor 8000 den gefundenen Theilquotienten 600 addiren, und ihre Summe 8600 mit eben diesem Theilquotienten oder neuen Wurzeltheile 600 multipliciren. — Sollte dieses abzu¬ ziehende Product, was nicht selten geschieht, größer als der vorige Nest oder gegenwärtige Minuend ausfallen, so wäre daraus zu schließen, daß der als Lheilquotient gefundene Wurzeltheil zu groß ist, daher schrittweise um eine Einheit in seiner höchsten Stelle ver¬ mindert, und neuerdings der vorbeschriebenen Behandlung unter¬ worfen werden muß. 7. Sehen wir gegenwärtig den Inbegriff der bereits berechne¬ ten Wurzeltheile 4000 und 600, nemlich 4600, wieder als den er¬ sten Bestandtheil der zu suchenden Wurzel an, so werden wir durch ihn, da seine zweite Potenz von der gegebenen Zahl 21381376 be¬ reits gänzlich weggenommen worden, aus dem gefundenen Reste 221376 den Stellenwerth der nächst kommenden Wurzelziffer offen¬ bar auf dieselbe Weise bestimmen, wie wir im Vorhergehenden aus dem Wurzeltheile 4000 und dem Reste 5381376 den folgenden' Vega Barles. 1. Bd. 162 Drittes Hauptstück. Wurzeltheil 600 berechneten. Denn in dem gegenwärtigen Neste 221376 ist gleichfalls das Product des doppelten schon bekannten Wurzeltheils 4600, nemlich 9200, und des noch zu suchenden, kein volles Hundert betragenden, Anhanges enthalten; daher werden wir nur zu untersuchen haben, wie oft 221376 die Zahl 9200 enthält. Da die hier vorzunehmende Division zum Stellenwerthe der höch¬ sten Ziffer des Quotienten höchstens 20 bietet, so erkennen wir, daß der noch unbekannte Theil der Wurzel nicht mehr als 2 volle Zehner in sich faßt; daher diese Wurzel selbst aus 4600-1-20 nebst einem Anhänge besteht, der keinen ganzen Zehner mehr beträgt. Nehmen wir sonach von der gegebenen Zahl zuvörderst die zweite Potenz des bekannten Theils 4600-1-20 ihrer zweiten Wurzel, oder da wir von ihr bereits die zweite Potenz des ersten Theils 4600 weggenommen, von dem erhaltenen Reste 221376 das doppelte Product beider bekannten Theile, 2.4600.20 oder 9200.20, und die zweite Potenz des zweiten bekannten Theils, 20.20 , also im Ganzen 9220.20 oder 184400 hinweg, so finden wir den Rest 36976. 8. Dividiren wir nun noch zur Bestimmung der letzten Ziffer der zu suchenden zweiten Wurzel, indem wir uns von denselben Gründen wie früher leiten lassen, den Rest 36976 durch den zwei¬ fachen bekannten Wurzeltheil 4620, nemlich durch 9240, so erhal¬ ten wir den Quotienten 4, welcher die letzte Ziffer der Wurzel ge¬ wiß nicht übertreffen kann. Bereinigen wir sofort, zur Bildung der Summe des Produktes 2.4620.4 oder 9240-4 und der Potenz 4.4, mit dem Divisor 9240 den ermittelten Quotienten 4, multi- pliciren mit diesem die gefundene Summe 9244, und ziehen das Pro¬ duct 36976 von dem vorigen Reste 36976 ab, so bleibt uns nichts werter übrig, zum Zeichen, daß 4624 die verlangte zweite Wurzel der vorgelegten Zahl 21381376 ist. 9. Die hier ausgeführte und erläuterte Rechnung läßt sich fol¬ gender Maßen zusammenstellen. n. Abschnitt. 163 s/2I38I376 — 40008- 600 4- 20 4- 4—4624 16000000 4600 53813767 b°°° 4(70 8160000 sHoo 4624 221316 : 184400 g2M ^369767 S-»» 36976 O 10. Bedenken wir endlich noch, daß bei den Bestimmungen der einzelnen Ziffern der geforderten zweiten Wurzel die vorkom¬ menden Nullen, weil sie nur dazu dienen, den geltenden Ziffern ihre gehörigen Stellen zu bewahren, gänzlich beseitigt werden können, zumal da sich leicht genau ermitteln läßt, welche Plätze jenen geltenden Ziffern eigentlich gebühren, und daß überdies für die Berechnung einer neuen Wurzelziffer mehrere der Endziffern der gegebenen Zahl gar nicht in Anspruch genommen, und jedesmal von den unmittelbar vorher außer Acht gelassenen Ziffern die beiden höchsten verwendet werden; so können wir obige Rechnung, indem wir die entbehrlichen Ziffern auslassen, auch in folgender, nunmehr für sich verständlicher, Form schreiben. l/21381376-4624 16 538 : 86 816 2213 : 922 1844 36976 : 92F4 36976 0 §. 148. Alles dies wohl erwogen, gibt für die Ausziehung der Qua¬ dratwurzel aus was immer für einer Zahl (z. B. aus 21381376) folgende allgemeine Regeln. i) Man theile die vorgelegte Zahl von der Rechten gegen die Linke in Classen von zwei Ziffern ein, nemlich 2i,38!i3i76; wobei für die letzte Classc links auch nur eine Ziffer übrig bleibt, wenn ii * 164 Drittes H a u p tstück. die gegebene Zahl eine ungerade Anzahl Ziffern hat; so muß die Quadratwurzel aus so viel Ziffern bestehen, als Classen vorhan¬ den sind, und überdies stehen auch die Ziffern der gegebenen Zahl, wie sie zu je zweien in Gebrauch genommen werden, von einander gesondert da. 2) Da nun das Quadrat von der höchsten Ziffer der Wurzel in der ersten Classe links (21) ganz enthalten sein muß (Z. 144, Nr. s), so ziehe man aus dieser Classe die Quadratwurzel, oder wenn es keine vollkommene Quadratzahl ist, so nehme man die nächst kleinere Quadratzahl (16), und ziehe die Wurzel daraus (4), so hat man auf diese Art die höchste Ziffer der Wurzel gefun¬ den, welche hinter dem Gleichheitszeichen angesetzt wird. Diesen ge¬ fundenen Theil der Wurzel erhebe man wieder zum Quadrate, und ziehe es von der ersten Classe ab. 3) Da in dem Reste (5), nachdem ihm die erste Ziffer der zweiten Classe (3) beigeschricben, und so die Zahl 53 gebildet worden, das doppelte Product aus der schon gefundenen Ziffer der Wurzel in die nächst folgende Ziffer, ganz enthalten sein muß (§. 144 , Nr. 2); so setze man zu dem Reste die erste Ziffer (3) der nächst folgenden Classe herunter, dividire diese Zahl (53) durch das Doppelte der schon gefundenen Ziffer (durch 4.2—8), so ist der Quotient (.6) die zweite gesuchte Ziffer der Wurzel, welche nicht blos neben der schon gefundenen Wurzelziffer, sondern auch neben dem Divisor rechts angesetzt wird, wornach man auch noch die übrige Ziffer (8) der zweiten Clasie dun Neste beischreibt; den vorher vermehrten Divisor (86) wird man hierauf mit dem Quotienten (6) multipliciren, und das Product (516) von dem ganzen Dividend (538) gehörig ab¬ ziehen, wie es in dem angeführten Beispiele zu ersehen ist. Man kann das Erklärte aber auch so verrichten, daß man zu dem Reste (5) sogleich beide Ziffern der folgenden Classe (38) auf einmal herunter setzt, und dieses (538) durch das Doppelte ider schon gefundenen Wurzel, jedoch dergestalt dividirt, daß die «letzte Ziffer (8) von der Division ausgeschlossen bleibt. l/2l!38>I3i76—4624 16 538 : 86 516 2213 : 922 1844 36976 : 9244 36976 0 n. Abschnitt. IKS 4) Besteht nun Vie Wurzel aus noch mehr Ziffern, so sehe man die schon gefundenen Ziffern (46) als den ersten Theil der Wurzel an, und suche wie vorhin, den zweiten Theil; man setze daher zu dem Neste (22) die folgende Classe (13) herunter, und di- vidire dies (2213) durch das Doppelte der schon gefundenen Wur¬ zel (92), so daß wieder die letzte Ziffer (3) von der Division frei bleibt; auf diese Art gibt der Quotient (2) die dritte Ziffer der ge¬ suchten Wurzel. Diesen Quotienten hänge man wieder rechts an den Divisor an, multiplicire den vermehrten Divisor (922) mit dem Quotienten (2), und ziehe das Product von dem Dividend gehörig ab. 5) Und so wird zu jedem Reste die nächst folgende Classe her¬ unter gesetzt, durch das Doppelte der schon gefundenen Wurzel so dividirt, daß die letzte Ziffer frei bleibe; der Quotient zu den schon gefundenen Ziffern der Wurzel hinzugefü'gt, auch rechts an den Divisor angehängt, sodann der vermehrte Divisor mit der gefundenen Ziffer der Wurzel multiplicirt, und das Pro¬ duct von dem Dividend abgezogen. 6) Sollte irgendwo das Product aus dem Quotienten in den vermehrten Divisor zu groß ausfallen, und nicht von dem betreffen¬ den Dividend abgezogen werden können, so ist dies ein Zeichen, daß der Quotient zu groß angenommen worden sei, und vermindert werden müsse. In dem folgenden Beispiele Nr. i bei der ersten Di¬ vision, muß man sagen, 4 in 16 geht 3 Mal, während es doch bei der gewöhnlichen Division 4 Mal ginge. Es ist aber bei der Auszie¬ hung der Quadratwurzel stets rathsam, den Quotienten anfangs lieber zu groß, als zu klein anzunehmen, weil man nach geschehener Subtraction nicht so geschwind, wie bei der gewöhnlichen Division entscheiden kann, ob der Quotient nicht zu klein angenommen wor¬ den sei. 7) Sollte irgendwo das Doppelte der schon gefundenen Wur¬ zel in dem betreffenden Dividend nicht enthalten sein, so muß in der Wurzel an der Stelle des Quotienten eine Null gesetzt werden; dann stelle man zu dem Reste noch beide Ziffern der nächsten Classe herunter, und fahre mit der Operation auf die vorgeschriebene Art fort, wie es im Beispiele Nr. 2 zu ersehen ist. 166 Drittes Aauptstück. 8) Sind nun bereits alle Elasten herunter gesetzt, und es geht die letzte Subtraction genau auf, so ist dies ein Zeichen, daß die gegebene Zahl eine vollkommene Quadratzahl sei, wovon die gefun¬ dene Zahl die Wurzel ist. Bleibt aber bei der letzten Subtraction noch ein Rest übrig, wie im Beispiele Nr. i, so ist dies ein Zei¬ chen, daß die gegebene Zahl kein vollkommenes Quadrat, und folg¬ lich die Wurzel dieser Zahl eine irrationale Zahlsei (§. 125), der¬ gestalt, daß die gesuchte Wurzel zwischen der gefundenen, 238, und zwischen der um eine Einheit vermehrten Zahl, 239, als zwischen zwei gefundenen Grenzen liegen müsse. Beispiele. Nr. 2. /65148l04164lo0-80920 «4 148 : 16 14804 : 1609 14481 32364 : 16182 32364 0 §. 146. Um sich aber auch dem Werthe einer irrationalen Wurzel durch Decimalstellm nach Belieben nähern zu können, verfahre man aus folgende Art. Nr. i. /5168176-238 4 168 : 43 129 3976 : 468 3744 232 Rest 1) Man hänge an die gege-/i4li5—37,61 bene Zahl (im neben stehenden Bei- 0_ spiele an 1415) , oder was einer- sig : 67 lei ist, man hänge, nachdem alle 469 vorhandenen Elasten schon her- 4600 : 746 unter gesetzt sind, an den letzten 4476 Nest (46) eine Classe, d. i. zwei 12400 : 752 Nullen an, dividire dies (4600) durch das Doppelte der schon ge¬ fundenen Wurzel (74) , so ist der Quotient (6) abevmal eine Ziffer der Wurzel. Da aber diese Wurzel (vermög §.121) zehnmal so groß ist, als die gesuchte, weil durch das Anhängen zweier Nullen das Quadrat mit ioo multiplicirt worden ist, so dividire man diese n. Abschnitt. 167 Wurzel durch 10, ncmlich man schneide von dieser Wurzel rechts eine Decimalstelle ab, so hat man die gesuchte Wurzel bis in die Zehntel richtig gefunden. 2) Will man dieselbe genauer haben, so hänge man abermal an den Rest (i24) eine Clafse Nullen an, und dividire dies wie¬ der durch das Doppelte der schon gefundenen Wurzel (752), ohne auf die Decimalstellen Acht zu geben, so wird der Quotient aus erst angeführter Ursache Hundertel bedeuten, und folglich die zweite Decimalstelle der gesuchten Wurzel sein. 8) Und so könnte man sich, ohne Ende fort, der Wurzel im¬ mer mehr nähern, wenn man jederzeit an den Rest eine Elaste Nul¬ len anhängt, und ihn sodann durch das Doppelte der schon gefun¬ denen Wurzel dividirt, ohne jedoch jemals zu einer solchen Wurzel zu gelangen, die mit sich selbst multiplicirt, die gegebene Größe vollkommen zum Vorschein bringt. Beispiele. Auf diese Art ist nun im letzten Beispiele l/5>2,236, aber auch s/5<2,237; setzt man die Ausziehung der Wurzel weiter fort, so findet man l/5>2,23606797, und l/5<2,23606798,u.s.w. §. 147. Wäre aus einem Decimalbruche, oder auch aus einer ganzen Zahl nebst einem angehängten Decimalbruche, die Quadratwurzel zu ziehen, so beobachte man Folgendes. i) Man hänge hinten eine Null an, wenn der Decimalbruch eine ungerade Anzahl Decimalstellen haben sollte; laste dann das 168 D r i t k e s H a u p tst ü ck. Comma außer Acht, und ziehe die Quadratwurzel, als wenn man cs blas mit einer ganzen Zahl zu thun hätte. 2) Da aber durch die Auslassung des Comma die gegebene Zahl mit i, nebst so viel angehängten Nullen, als Dccimalstel- len vorhanden sind, multiplicirt wird (§. 702); so wird eben da¬ durch die Wurzel mit 1 nebst halb so viel angehängten Nullen mul¬ tiplicirt (§.i2i). Man schneide daher von der gesun de¬ nen Wurzel so viel Deci malstellen ab, als in der Zahl Decimalclassen vorhanden sind, so hat man die verlangte Wurzel. s) Sollte man die Wurzel mit mehr Decimalstellen be¬ stimmen, so hänge man an den letzten Rest eine Classe Nullen, und verfahre übrigens, wie es (in §. 146) gesagt worden ist. Beispiele. o §. 148. Ist endlich aus einem gewöhnlichen Bruche die Quadratwurzel zu ziehen, so muß dieselbe (§. 122) aus dem Zähler und aus dem Nenner gezogen werden. Nur kann man sich die Arbeit erleich¬ tern, wenn der Nenner irrational ist, indem man den Zähler und Nenner mit dem Nenner multiplicirt, wodurch derselbe rational wird; so ist z. B. ,2 ,10 p/lO S,I622 ».Abschnitt. 169 Oder man verwandle den gegebenen Bruch in einen Decimal- bruch, und ziehe die Wurzel (nach §. 147). So ist z. B. ^0,375 —I/O,3750-0,«I.. §. ISS. Zur Feststellung der Vorschriften, nach denen aus besonderen Zahlen die dritte Wurzel gezogen wird, nehmen wir folgende Be¬ trachtungen vor. D Ist die Zahl, deren dritte Wurzel verlangt wird, eine de¬ kadische Einheit, die mit 1 und einer durch 3 theilbaren Anzahl nachfolgender Nullen geschrieben wird, wie I, 1000, lOOOOOO, 1000000000, .... so ist ihre dritte Wurzel, weil (nach §. 121) jeden drei, am Ende einer dritten Potenz stehenden Nullen eine Null am Schluffe ihrer Wurzel entspricht, und (§. 123. III.) die dritte Wurzel aus i selbst wieder i ist, gleich einer decadischen Einheit mit dem dritten Theile der Anzahl der vorhandenen Nullen, nemlich 1, 10, Ivo, 1000, .... 2) Wenn aber die Zahl, aus der die dritte Wurzel gezogen werden soll, keine, mit einer durch 3 theilbaren Anzahl von Nul¬ len sich endigende, decadische Einheit ist, so liegt sie sicher zwischen zwei unmittelbar auf einander folgenden solchen Einheiten; daher ihre dritte Wurzel (§. 137, Grundsatz II.) zwischen den dritten Wurzeln dieser Einheiten liegen, folglich aus eben so viel Ziffern als die kleinere von beiden bestehen wird. Ist z. B. die dritte Wur¬ zel aus der Zahl 408518488, welche zwischen 1000000 und 1000000000 liegt, zu ziehen, so wird selbe zwischen 100 und 1000 liegen, folglich mit 3 Ziffern geschrieben werden. 3) .Bedeutet aber die höchste Ziffer der zu suchenden Wurzel Hunderte, so wird man ihre Anzahl finden, indem man der Ord¬ nung nach die Zahlen 100, 200, 300, . . . , 900, 1000, etwa mit Benützung der in §. 138 aufgestellten Tafel der Cubik- zahlen von einziffrigen Zahlen, zur dritten Potenz erhebt, und mit diesen die gegebene Zahl 408518488 vergleicht, wobei man er¬ wägt, daß ihre dritte Wurzel zwischen jenen zwei von obigen Zah¬ len liegen muß, zwischen deren dritten Potenzen diese Zahl fällt. 170 Drittes Hauptstück. Da im gegenwärtigen Falle die gegebene Zahl zwischen 343000000 und 512000000, den dritten Potenzen der Zahlen 700 und 800, liegt; so muß die zu suchende dritte Wurzel aus 700 nebst einem Anhänge bestehen, der kein volles Hundert beträgt. 4) Der dritten Potenz dieser, aus zwei Thcilen, einem be¬ kannten (700) und einem unbekannten, zusammengesetzten dritten Wurzel muß jedoch, weil (zu Folge §. II7) jede Zahl der dritten Potenz ihrer dritten Wurzel gleicht, die gegebene Zahl 408518488 gleich sein; folglich muß in dieser zunächst die dritte Potenz des ersten Wurzeltheils 700, ncmlich 848000000, vollständig enthalten sein, und dann werden, wenn man von ihr diese Potenz hinweg nimmt, in dem sich ergebenden Reste 65518488 die noch übrigen drei Bestandstücke jener dritten Potenz vorkommen. 5) Unter diesen drei Bestandstücken befindet sich nun vor allem das Product aus der dreifachen zweiten Potenz des ersten Wurzel¬ theils, nemlich aus 3.700" oder 1470000 in den zweiten Theil. Untersuchen wir daher, wie oft in dem Reste 65518488 die drei¬ fache zweite Potenz des bekannten Wurzeltheils, 1470000, enthalten ist, so finden wir, indem wir jene Zahl durch diese dividiren, den Stellenwerth der höchsten Ziffer des Quotienten gleich 40; daher der noch unbekannte Wmzeltheil nicht mehr als 4 volle Zehner enthält, und die verlangte Wurzel aus,j700-i-40 nebst ei¬ nem, keinen ganzen Zehner betragenden, Anhänge besteht. Sollte bei einer solchen Theilung des Nestes durch die dreifache zweite Potenz des bekannten Wurzeltheils der Quotient größer als so ausfallen, so würden wir ihn, da der zu suchende Wurzcltheil nicht mehr als s volle Zehner in sich halten darf, jederzeit blos gleich so an¬ nehmen. 6) Da die zu fachende dritte Wurzel aus einem bekannten Theile 700-1-40 und einem noch unbekannten zusammengesetzt ist, so muß die gegebene Zahl zunächst die dritte Potenz des bekannten Theils, und weil dieser selbst zweitheilig, und die dritte Potenz sei¬ nes ersten Gliedes 700 bereits abgezogen ist, der Rest 65518488 die drei übrigen Bestandteile der dritten Potenz des bekannten Wur- zcltheils 70 -1-40 enthalten. Aus diesem Grunde werden wir von besagtem Reste abziehcn: erstens das Product der dreifachen II. Abschnitt. 171 zweiten Potenz des ersten Theils ?oo, in den zweiten 4g, nemlich 3.700?. 40 — 1470000-40 -58800000, welches wir finden, indem wir den gebrauchten Divisor 1470000 mit dem letzt gefundenen Wurzeltheile 40 multipliciren; zweitens das dreifache Product des ersten Theils 700 in die zweite Potenz des anderen 40, nemlich 3.700.4g-— 3360000; und drittens die dritte Potenz des zweiten Theils, nemlich 40^—64000. Am be¬ quemsten ist es, diese 3 Subtraktionen (nach §. 24) durch Ergänzung auf einmal zu verrichten, wornach der Rest 3294488 entfällt. Sollte die hier vorzunehmende Subtraktion, was sehr oft geschieht, nicht ausführbar sein, so gibt dies zu erkennen, daß der zuletzt be¬ stimmte Wurzeltheil zu groß ist, folglich allmälig um eine Einheit in seiner höchsten Ziffer zu verringern, und neuerdings zu versuchen kommt, bis sich endlich die Subtraktion vollbringen laßt. 7) Da nunmehr die beiden bekannten Theile 700 und 40 der zu su¬ chenden dritten Wurzel wieder in einen einzigen 740 vereinigt, und derselbe als ihr erster Theil angesehen werden kann , so werden wir aus ihm und dem zuletzt erhaltenen Reste 3294488 den nächst kom¬ menden Wurzeltheil auf dieselbe Weise suchen, wie wir aus dem Theile 700 und dem Reste 63518488 den folgenden Wurzeltheil 40 bestimmten. In dieser Absicht werden wir nemlich den letzten Rest 3294488 durch die dreifache zweite Potenz des bekannten Wurzel- theils 740, nemlich durch 3.740? oder 1642800 dividircn, wor¬ nach wir den erhaltenen Quotienten 2 als nächsten Wurzeltheil be¬ trachten. Aus den schon frühe! angewendeten Gründen werden wir von demselben Neste wieder folgende drei Zahlen abziehen, nemlich er¬ stens das dreifache Product der zweiten Potenz des ersten Theils 740 mit dem zweiten 2, d.i. 3.74g?.2 oder 1642800.2 —3285600, zweitens das dreifache Product des ersten Theils mit der zweiten Potenz des andern Theils 3.740.2?—8880, endlich drittens die dritte Potenz des zweiten Theils, 2^—8. Da diese Subtraktion Null zum Reste gibt, so ersehen wir, daß 742 die verlangte dritte Wurzel der vorgelegten Zahl 408318488 ist. 8) Die hier vollbrachte Rechnung läßt sich auf folgende Weise zusammenstellen. 172 Drittes Hauptstück. V/ 408518488 -700 -t- 40 -t- 2—742 343000000 74g ' 65518488:1470000 742 88800000 3360000 64000 3294488:1642800 3285600 8880 _8 0 9) Beseitigen wir noch, indem wir blos mit den geltenden Ziffern rechnen, diejenigen Nullen, die diesen geltenden Ziffern ihre Stellen anweiscn, und schreiben wir in den Rest jedesmal von den nachfolgenden Ziffern, nur die drei höchsten in Anspruch zu nehmen¬ den, so stellt sich unsere Rechnung, wie folgt, dar. r >/408518488—742 343 65518 : 147 588 336 64 3294488 : 16428 32856 888 8 0 §. 151. Alles dies in Betrachtung gezogen, gibt für die Ausziehung der Cubikwurzel aus jeder mit noch so viel Ziffern geschriebenen Zahl (z. B. 408518488), folgende Regeln. I) Man theile die gegebene Zahl von der Rechten gegen die Linke in Classen ein, und gebe jeder Claffe drei Ziffern, wo die letzte Claffe links auch nur eine, oder zwei Ziffern behalten kann; so wird die Wurzel aus so viel Ziffern bestehen müssen, als Classen vorhanden sind, und es werden die Ziffern so abgesondert sein, wie sie zu je dreien der Rechnung beigezogen werden. n. Abschnitt. 173 2) Da nun der Cubus der höchsten Ziffer der Wurzel in der ersten Classe links (in 408) enthalten sein muß (Z. 150, Nr. 3), so ziehe man aus dieser Classe die Cubikwurzel; oder wenn sie keine vollkommene Cubikzahl ist, so nehme man die nächst kleinere Cu- bikzahl (343), ziehe die Wurzel daraus (7), so gibt dies die erste Ziffer der gesuchten Wurzel; den Cubus hievon ziehe man von der ersten Classe ab; (343 von 408 bleiben 65). 3 3) Da in dem Reste (65) l/408,5i8M8--742 nebst der linken Ziffer der folgen- ——- den Classe (5) das dreifache Pro- 65518 : 147 duct aus dem Quadrate der ge- fundenen Ziffer in die nächst fol- 64 gende Ziffer, enthalten sein muß 3204488 : 16428 (§. 150, Nr. 5 und s); so setze Z2856 man zu dem Reste die erste Ziffer 888 derfolgendenClasse herunter (655), und dividire dieses durch das drei- v fache Quadrat der schon gefundenen Wurzel (147), so ist der Quotient (4) die zweite Ziffer der gesuchten Wurzel, wornach man auch noch die beiden übrigen Ziffern (18) der folgenden Classe her¬ absetzt. Man kann jedoch auch die ganze folgende Classe (518) auf einmal zu dem Neste (65) herabschreiben, jedoch muß man dann beider Division die zwei letzten Ziffern (18) des Di- vidends außer Acht lassen. Sodann multiplicire man mit dem Quotienten (4) den Di¬ visor (4.147 — 588); ferner multiplicire man das dreifache Qua¬ drat des Quotienten mit dem schon gefundenen ersten Theil (3.4?.7 — 336);endlich erhebe man auch den Quotienten(4) zum Cubus (64), setze diese drei Producte, welche dem Früheren (§.150. Nr.6)gemä'ß in dem Dividende enthalten sein müssen,so unter einander, daß immer das folgende um eine Stelle weiter zur Rech¬ ten gerückt wird, und ziehe sie (nach §. 24) durch Ergänzung von dem Dividend ab. 4) Zu dem Reste (3294) setze man die nächst folgende Classe (488) herunter, sehe die schon gefundenen Ziffern (74) als den ersten Theil der Wurzel an, und suche wie vorhin den zweiten 174 Drittes Hauptsiück. Lheil; zu diesem Ende dividire man diesen Liest (3294488) durch das dreifache Quadrat der schon gefundenen Wurzel (3.74^ —16428) dergestalt, daß wieder die letzten zwei Ziffern (88) von der Division frei bleiben, so ist der Quotient (2) die dritte Ziffer der gesuchten Wurzel; mit diesem Quotienten wird der Divisor multiplicirt (2.16428—32886); sodann multiplicire man auch das dreifache Quadrat desselben mit den vorigen schon gefundenen Ziffern der Wurzel (3.2A74—888); endlich erhebe man auch den Quotienten zum Cubus (2^—8) ; addire diese drei Produkte, wie vorhin, zusammen, und ziehe ihre Summe von dem Dividend ab, u. s. w. 8) Sollte irgendwo die Summe von den drei Produkten zu groß ausfallen, und von dem Dividend nicht abgezogen werden können, so ist dies ein Zeichen, daß der Quotient zu groß ange¬ nommen worden sei, und daher vermindert werden müsse. Wäre aber irgendwo der Divisor in dem betreffenden Di¬ vidend gar nicht enthalten, so muß in der Wurzel an der Stelle des Quotienten eine Null gesetzt werden; dann schreibe man noch eine Classe herunter, und verrichte die Division nach der erst vor¬ geschriebenen Art, wie es im folgenden Beispiele Nr. i zu ersehen ist. 6) Sind nun auf diese Art alle Elasten schon herunter gesetzt, und es geht die letzte Subtraktion ohne Rest genau auf, so ist die gegebene Zahl eine vollkommene Cubikzahl; bleibt aber bei der letzten Subtraktion noch ein Rest übrig, wie im Beispiele Nr. 2, so ist die gegebene Zahl keine Cubikzahl, und die gesuchte Cubik- wurzel daher eine irrationale Zahl, welche hier zwischen der gefun¬ denen Zahl (620),und der um eine Einheit vermehrten (621), als zwischen zwei Grenzen liegen muß. Nr. i. 3 /l311 O96>512— S08 125 6096 : 75 6096512 : 7500 60000 9600 512 0 e i i p r e l e. Nr. 2. 3 /2381368^596—620 216 22368 : 108 216 72 8 40596 : 11532 40596 Nest. II. Abschnitt. 175 §. 182. Will man sich einer irrationalen Cubikwurzel durch Decimal- stcllen nähern, so hänge man an die gegebene Zahl, oder was ei¬ nerlei ist, an den letzen Rest eine Classe Nullen, und suche auf die vorgeschriebene Art noch eine Ziffer der Wurzel. Da aber durch das Anhängen einer Classe Nullen die Zahl mit 1000 multiplicirt, und folglich dadurch ihre Cubikwurzel zehnmal so groß wird, als die gesuchte (§. 121), so dividire man die gefundene Wurzel durch 10; d. i. man schneide rechts eine Decimalstelleab, und es ist die Wur¬ zel bis in die Zehntel richtig gefunden. Und so können nach Belie¬ ben noch mehr Dccimalstellen der Wurzel gefunden werden, indem jedesmal an den Rest eine Classe Nullen angehängt, und die fol¬ gende Decimalstelle gesucht wird. §. 153. Ist aus einem Decimalbruche, oder aus einer ganzen Zahl nebst einem angehängten Decimalbruche, die Cubikwurzel zu ziehen, so hänge man an den Decimalbruch hinten eine oder zwei Nullen an, so daß immer die Anzahl der Dccimalstellen durch 3 thcilbar sei; dann ziehe man die Cubikwurzel, als wenn es blos eine ganze Zahl wäre, und schneide in der Wurzel so viel Decimalziffern ab, als Decimalclassen vorhanden sind, so ist dies die verlangte Wurzel. Denn durch die Auslassung des Cvmma wird die Zahl so oft mit 1000 multiplicirt, als Decimalclassen vorhanden sind; folglich ist die Cubikwurzel eben so oft mit io multiplicirt worden (§. 121); 176 Drittes Haupt stück, daher muß selbe auch wieder so vielmal durch 10 dividirt werden, was durch die Absonderung so vieler Decimalziffern, als Classen vorhanden sind, bewerkstelligt wird. Übrigens kann man, wenn die Wurzel mit noch mehr Deci- malstellen verlangt werden sollte, selbe nach Belieben bestimmen, indem man an den Rest jedesmal eine Classe Nullen anhängt, und die folgende Decimalziffer (nach §. 152) sucht. Beispiele. 3 I/O,!584>600—0,836 512 726ÖÖ': 192 576 216 27 12813000 : 20667 124002 8964 216 322944 Rest. §. 154- Wenn aus einem Bruche, dessen Nenner ein unvollkommener Cubus ist, die Cubikwurzel gezogen werden soll, so kann der Nen¬ ner rational gemacht werden, wenn man Zähler und Nenner mit dem Quadrate des Nenners multiplicirt. So ist z. B. z Qder man verwandle den Bruch vorher in einen Decimalbruch und ziehe die Cubikwurzel (nach §. 153) . Anmerkung. Wenn man eine Tafel der Quadrat- und Cubikzahlen besitzt, kann die Ausziehung der Quadrat- und Cubik¬ wurzel um Vieles erleichtert werden. Denn da dergleichen Tufeiu gewöhnlich die Quadrat-und Cubikzahlen aller Wurzeln von i bis 1000 enthalten, so findet man in denselben jedesmal die drei ersten Ziffern von der verlangten Wurzel, es möge die vorgclegte Zuhh aus welcher die Wurzel gezogen werden soll, aus was immer D einer Anzahl Ziffern bestehen, und entweder blos eine ganze Aulst 3 is/70,!957l944—4,14 64 6957 : 48 48 12 I 2036944 : 5043 20172 1968 64 0 III. Abschnitt. 177 sein, oder auch Decimalstellen bei sich führen. Z. B. wenn aus Z1,68S3 die Kubikwurzel zu ziehen ist, so hänge man hinten so viel Nullen an, daß die Decimalstellen sich genau in Elasten eintheilen lassen (§. 153), und sehe sie blos für eine ganze Zahl an, nemlich für .34685300. Nun findet man in den Tafeln die nächst kleinere Eubikzahl 34645976, und ihre Wurzel 326; daher sind die drei ersten Ziffern der gesuchten Wurzel —3,26; subtrahirt man nun diese Eubikzahl 34645976 von 34685300, so ist der Rest 39324. Will man aber diese Wurzel mit noch mehr Decimalstellen haben, so dividire man diesen Rest, nachdem man ihm drei Nullen angehängt hat, durch das dreifache Quadrat der schon gefun¬ denen Wurzel, und verfahre überhaupt nach §. 151 und 153. III. Abschnitt. Von den Wurzelgrößen und ihren Rechnungsarten. §. 155. Alle diejenigen Größen, welche mit Wurzelzeichen behaftet sind, werden insgesammt Wurzelgrößen (Radicale) genannt, und es werden hier vorzüglich jene darunter verstanden, wo sich die Wurzel nicht genau ausziehen läßt, z. B. 3 4 l/2, l/ar>2, l/go,u. dgl. Wurzelgrößen, bei denen der ncmliche Wurzel-Exponent vor kommt, werden Wurzelgrößen von der nemlich en Benen¬ nung genannt; im Gegentheile sind sie Wurzelgrößen von ver¬ schiedener Benennung. So sind z. B. l/5, l/«S^, l/7- 3 Wurzelgrößen von gleicher Benennung; hingegen sind l/5, l/S, l/« von verschiedener Benennung. §. 156. Jede Wurzelgröße kann, im erforderlichen Fal¬ le, ohne Wurzelzeichen als eine Potenz mit einem gebrochenen Exponenten geschrieben werden, wenn Vega Vorles. 1. Bd. 12 178 Drittes Hauptsrück. man dem Exponenten der Größe unter dem Zeichen den Wurzel-Exponenten als Nenner unterschreibt. Denn es ist (§. 129) , wo »« und n was immer ftir Zahlen vorstellen können; eben so ist 3^1. L 2 3 Ä 4 a; «S; ---(a"—; 3 « 3 -1 - — : p/-^-- —/a(a"—n") —«'(«2—2-2) —2-^ Und so kann auch wieder umgekehrt jede Größe, die zum Exponenten einen Bruch hat, mit dem Wurzelzeichen geschrieben werden, wenn man den Nenner alsExponentenderWurzel, und den Zähler als Exponenten der Größe unter dem Wurzelzeichen ansetzt. So ist z. B. a —/«2; So—/' (S?o) ; —2-2) — (a"—2-2); -l 3 («"—a?) — / («"—a?") 3 I l 2-2)2- 3 §. IS7. Wenn man bei einer Wurzelgröße sowohl den Exponenten der Wurzel, als auch den Exponenten der Potenz unter dem Zeichen mit der nemlichen Größe multiplicirt, oder dividirt, so bleibt die Größe ungeändert; nemlich z/a'" —z/«r^. Denn — /«--v (vermög §. 156); oder wenn so ist V a"----/V; eben so ist /«2--^; I 4 r. tz 133 — /(«'S); /« —^2---l/a. Man kann daher auch aus einer gegebenen Zahl die vierte Wurzel ziehen, wenn man zuerst die HI. Abschnitts 17S zweite Wurzel, und aus dieser noch einmal die zweite Wurzel zieht. Und eben so kann die sechste Wurzel gezogen werden, indem man aus der zweiten Wurzel die dritte Wurz el, od er au s d e r dritten Wurzel die zweite Wurzel zieht, u.s. w. 138. Wurzelgrößen, bei denen die Größe unter dem Zeichen sich in solche Factoren zerlegen läßt, daß einer oder mehrere von ihnen vollkommene Po¬ tenzen nach dem Wurzel-Exponenten sind, können zum Th eil rational gemacht werden, wenn man aus den Factoren, welche vollkommene Potenzen sind, die Wurzeln zieht, und selbe als Factoren außer¬ dem Zeichen ansetzt; z. B. /(«"'So"")--«e?/-. „r 1 Sm 1 Denn/(a"rS<-2"-)L"-a'"(vermög §, 120), und b">— /s (nach§. IS6); folglich / («"öo^)—ao-/d. Beispiele. 3 3 3 /(l6a*ö) ---/(2.8.^.«.»)—2a/(2KS) ; 2 / (8a^) — S / (2.4.^.«.^.S) —kaS-/ (2aS); 2 s/ («2«^—a/) --2f/a?"(«^—2a?/ («'—a?-) ; / (Za^o-t-kabo-t-S^o) —^/3o(a^-t-2«S-i-d^) — (K-I-S) /Zo. Durch die Abkürzung können zuweilen verschiedene irrationale Größen gleichartig gemacht, das ist, dergestalt verwandelt wer¬ den, daß sie unter dem Zeichen vollkommen gleiche, und vor dem Zeichen gleichnamige Größen enthalten. So z. B. scheinen die Ausdrücke 3/8a-ö und 4/i8a/S ungleichartig zu sein; zerlegt man aber die Größen unter dem Zeichen in Factoren, und zieht aus den rationalen Factoren die Wurzel aus, so ist s/8«'ö— S^/2.4.«r.ö—Ka/2S; und 4/l8a/S—4^/2^ bH-I2a/2S; folglich sind nun 6a/2ö und i2«/2ö gleichartige Glieder, so daß sie in ein Glied zusammen addirt werden können; 3/8«^S-»-4/l8cr^—I8a/2». * 12 180 Drittes Hauptstück. §. ISS. Und umgekehrt können die Größen vor dem Wurzelzeichen unter das Zeichen gebracht werden, wenn man sie auf die von dem Wurzel-Exponenten angegebene Potenz erhebt, und die Größen unter dem Zeichen damit multiplicirt; cs ist nemlich NI " NI a/b^tt-". b-n---/a".-; 3«/2a—/18«^; 3_ 3 2 s/ a' — s?? — / (8a?— 8a^) ; («—a?)/ —s/ (»—L-) " («-i-L-) — / (a^-—(« — a^). Hiedurch läßt sich entscheiden, welche von zwei Wurzelgrößen der nemlichen Benennung, die vor und unter dem Zeichen verschie¬ dene Größen haben, die größere sei; so ist z. B. 2/7>-3/S; weil 2/?-/28, und 3/3 —/27 ist. §. iko. Wurzelgrößen von verschiedener Benennung können ohne Veränderung ihres Werthes aufglei- chc Benennung gebracht werden, wenn man sie als Potenzen mit gebrochenen Exponenten vorstellt (§. iSK), dann diese gebrochenen Exponenten auf gleiche Benennung bringt, und endlich solche wie¬ der als Wurzelgrößcn anschreibt. Beispiele. / > Z. 6 6 < /2—2'—2°—/2°—/8 - 6 6 ' 5°—/5' —/25 / , ö — ur 12 > /3 — 3 —3*°---/36—/729 / - -L. 12 , 12 < /S--S'--s"--/5^/l28 ^3 - 12 12 I /7-7'-7" -/7»--/2401 III. Abschnitt. 181 1 1 3m 3m , 71 ,71 3m/r ,3771« 3^71 3i7i /cr- ---tt - ---« d --- / s o 3 — —- "— -- ZmTL ,71 3 3 377171 377171 / 77171)1 771« /tt 6---K e --LL 6 --- /tt e Mittels dieser Reduction der Wurzelgrößen läßt sich auch entschei¬ den, welche von zwei Wurzelgrsßen verschiedener Benennung grö- 4 6 4 12 6 ßcrsei. So ist z. B. z/8>/ll; weil /5---/125, und /11 12 —/l2I. §. 161. Wurzelgrößen werden addirt und fubtrahirt, wenn man sie durch das gewöhnliche Additions¬ und Subtraktionszeichen mit einander verbindet, und die etwa vorhandenen gleichartigen Glieder (nach §. 6i) reducirt; zuweilen werden aber erst dann gleich¬ artige Glieder erhalten, wenn man die Wurzelgrößen von gleicher Benennung (nach §. 168) !abkürzt. Beispiele. 7l/8-l-sz/8—12/8—24/2 l/S0—18—5l/2—3l/2—2l/2 l/ I6«^ö -7- l/ — l/ — I/ 84«^ü 3 3 3 —2al/2S-t-2«I/ö—al/'ö—S«l/2- — Ks/ü—al/2ö 2l/(l6l/l8)— l/(l2s/2) --2l/(l6.3 l/2) — l/ (4.3 1/2) 4 — 8 1/(3 l/2) — 2l/(3l/2) — 6l/(3l/2) —6l/l/l8 —6l/ IS 3 3 Sl/ (8-1- 16 l/S) — 2 l/(l -1- l/2ü) 3_3 — 3^8 (1 -1-2l/S)—2I/(I-I- ^/4.8) 3 3 3 — 6l/(l -1-21/5)— 2!/(l -1-2 I/S) ---4 l/(l-t-2l/S). §. 162. Sind Wurzelgrößen mit einander zu multipli- ciren, so müssen sie zuerst auf g leiche Benennung 182 Drittes Hauptstück. gebracht werden; dann multiplicire man sowohl die Größen unter dem Zeichen, als auch die Facto- ren vor dem Zeichen mit einand er; es ist nemlich 7?r n — ' al/b . c l/«t «o-"'" et'"" — acs/ü" . I/cl"' --- Beispiele. 31/6.41/2-12 1/12- 241/3 3 6 6 6 51/3.1/6-51/9. I/2I6 — 5 1/1944 ec 1/20.« 1/3-- I/ 1/20.6 1/3 ---1/(2 l/5) . 6 1/3 - 6 1/(6 1/5) 3I/(2I/IO).2 I/ (51/100) —61/(101/1000) — k^/lO. 10—60. Dieses Verfahren gilt auch, wenn einer oder beide Factoren mehr- mamig sein sollten. 21/3. (6 — s/7) — 121/3 — 21/21 al/öo. (Ll/aü— I/e) — 3« 1/aS-o — al/So^ — 3aöl/ao—aol/b (1/a-t-l/S) . (I/a-l/S) --1/a'-__^/a-_^.^/a-— 51/2.3 1/(4 -t- 6 1/2) --- 15 1/(8-«-l2 1/2) — 30 1/(2 -t- 3 1/2) 3 3 3l/(2 -I- 4 1/3) . 4 1/(6 -t- 2 s/g) 3 3 3 — 12 1/(12 -1-4 1/9-1-241/3-1-8 1/27) 3 3 ---12 l/(36-1- 41/9 -1-241/3) 3 3 --I2 1/ (9 .4 -I- 4 1/9 -1- 6. 4 1/3) --241/^9-t- (k-t-^3) §. 163. Bei der Division der Wurzelgrößen bringe man sie ebenfalls aus gleiche Benennung, schreibe dann den Divisor unter den Dividend iü Gestalt eines Bruches, und kürze ihn ab. Beispiele. 1/12:1/3 - l/-^- -1/4-2 183 3 9: /6- 9 —S , ---6/(3—/5)-1-2/(l5-5/5). Ware der Nenner dreinamig, so ändere man die Zeichen von zwei Gliedern des Nenners, und multiplicire mit diesem geänder-- ten Nenner sowohl den Zähler als den Nenner des Bruches; da¬ durch erhält man einen zweinamigen N.enner, den man wieder wie vorhin rational machen kann. Z. B. 4-/6 (4—/6) (4-l-/6> 10 8 8/(3— /5) 8 /(3— /S) (3 -1- /8) /(3—/5) — 3-/5 — (3— /5) (3 -1- / 5) 24/(3 — /5)-1-8/(15 —5/5) S/a — S /a? /s-l-/a? — (/«-j-/a?) (/« — /a?) — «— a? 3-»- /7 — (3-1-;/7) (4 4-/k) 42-1-3/6-1-4/7-1-/42 Ul. Abschnitt. , , , , s/ 72 /32 ,72 ,32 — /A— /4 — 4. 6 . , 2/216 ^,216 ^°8 2/6: 3/9--g-^^/^^-^z/^ 3 /84 „ / («"—a?") («^)-- (a-1-.r!) (s—a7) «—a? /(a—.^) " (tt-l-a?)^ «-4-ro ^/(a^-a?) 3 >/»>/« Besteht der Nenner aus zwei Gliedern, und es erscheinen blose Quadratwurzeln darin, wie sich der Fall in der Geometrie öfters ereignen wird; so kann derselbe rational gemacht werden, wenn man im Nenner das Zeichen eines Gliedes ändert, und mit diesem geänderten Nenner sowohl den Zähler als den Nenner deö Bruches multiplicirt; so ist b s ( / a— / a?) 184 Drittes Hauptstück. 2/6-1-3/lQ _ (2/6-1-3/10) (3/2-1-/3—/5) 3/2—/3-1-/3" (3/2- /3-1-/S)(3/2-t- /3-/5) 12/3-1 18/5—S/2-1-/30 10-1-2/15 (I2/31-I8/5—S/2-1-/3O)(lO—2/15) ' (10-1-2/15) (10—2/l5) 7/30-1-27/8—18/ 3 —30/2 __ — Und auf eine ähnliche Art könnte man' auch verfahren, wenn der Nenner mehr Glieder haben sollte. §. 164. Die Multiplication und Division der imaginären Größen ge¬ schieht zwar nach denselben Regeln, wie die der übrigen Wurzel- größcn; man pflegt aber gewöhnlich die Multiplication der Größen unter dem Wurzelzeichen nicht wirklich zu verrichten, sondern nur anzudeuten, damit man jederzeit vor Augen habe, daß die Wurzel aus dem Producte negativ genommen werden muß. So ist z. B. /—«X /—K-- / (—a>< — a) — / (—a)--—a. Würde man aber die Multiplication wirklich verrichten, so wäre /— «X/ —«,—/-/«/—-i-a, obschon augenscheinlich hier nicht -1-« angenommen werden darf, weil die Wurzel hieraus /-i-a, und nicht /-a gibt, wie es doch sein sollte. Eben so ist auch «/—s.e/—Ä--ao/(—öX—ck)—a<-X—/S/l--—ao/LÄ, wo die Quadratwurzel aus bck wieder negativ zu nehmen ist, weil das Product aus zwei negativen Factoren entstanden ist. Überhaupt ist es nur damals willkürlich, die Wurzel eines geraden Exponenten aus einer Größe positiv, oder negativ zu nehmen (§. us, II), wenn es noch unbestimmt ist, aus welchen Factoren, positiven oder negativen, das Product entstanden sei. Ist es hingegen be¬ stimmt, daß das Product aus zwei negativen Factoren entstanden sei, wie es bei / (—r>x—-y der Fall ist, so muß auch die Wur¬ zel negativ genommen werden, nemlich /(—sx—ck)---— /L6; und so müßte auch umgekehrt die Wurzel, -i-/-ck, positiv genom¬ men werden, wenn es bekannt wäre, daß das Product öck bei / (4-SX-l-M aus positiven Factoren entstanden ist. m. Abschnitt. 188 Um sich vor Irrungen zu sichern, ist es wohl am rathsamsten, die unter dem Wurzelzeichen eines geraden Wurzel-Exponenten ste¬ henden negativen Zahlen in zwei Factoren, von denen der eine—l ist, aufzulösen, beiden das Wurzelzeichen vorzusetzen, und wenn es angeht, aus dem andern Factor wirklich die Wurzel zu ziehen. So wird man s/a.s/—i statt s/—a, 2s/—i statt /—4 schrei¬ ben. Da bei dieser Gestaltung der imaginären Zahlen in vorzuneh¬ menden Multiplikationen beliebig vieler Factoren nur die imaginäre Zahl s/—1 mit sich selbst mehrmal zu multipliciren sein wird; so hat man nur folgende Potenzen von s/ —1 zu bemerken. (/-1)1--z/-I, (s/-!)----!, (s/-l)---(s/-l)-x »/ —1-- —s/-i, (/-0^--c(/-1)^2-- da man, wenn eine höhere Potenz als die 4te verlangt werden sollte, von dem Exponenten, so oft es angeht, offenbar blos 4 Einheiten wegwersen wird. Beispiele. as/ —SÄ.os/—Ä— as/ SÄ. s/ —iXo/L s/ —i---acs/bÄ^(s/—1)^ — — aeÄ s/ S as/ SÄ.os/—Ä— as/ öÄX«s/Ä. s/ —i^-aeÄs/ö. s/ —4 (4-1- s/ —8)(4— s/—3)— (4-t- s/3. s/—1)(4—s/3. s/— l) — 16-1-4 /3./—1 — 4 /3./—1-1-3—IS (s/2-t-s/—-2) (3-1-s/—6)—(s/2-^s/2.s/—I) (3-I-s/S.s/—I) —8 s/ 2-t-3 s/ 2. s/— I-t-2 s/S. s/— I—2 s/ S — 3 s/ 2—2 s/3-1-(3/2-1-2 s/3) s/— 1 s/ —aS : l/a—h/äs". s/ —1 s/a — s/H. s/ —1 s/ —aS : s/ — S— h/äs^. s/ —1 : s/ö.l/—1 —l/a — Z-I-I/—5 — (—3-t-l/S . i/—1) (3—s/S. !/— I) S-t-I/-S (3-t-i/S.l/—1)(3—s/S. I/—I) — —0^31/5.1/—1-1-31/6.!/—1-1-6 —4-1-61/5^—I S^-S " 14 — 2-»-3l/5 >/—I 7 (—1 -I- l/-3)(_i_I/-3) ---(—I -1-1/3.1/-I)(—I—l/S. I/-I) — I -»-3 — 4 186 Drittes Hauptstück. (—1-1- t/— S)» — (—i -t- l/z. >/—1)» — — 1-t-3 t/3.1/—1-t-S—St/S.l/—1—8 (-1 —l/—3)»^(—1—1)" — — I —3l/3 .l/—I-1-9-«-3l/3.l/—1—8. §. 163. 'Wurzelgrößen werden zu Potenzen erhoben, wenn man die Größen außer und unter dem Zeichen nach dem angegebenen Exponenten zur Potenz er¬ hebt; nemlich (« f/S)--— a--l/-". m — — Denn es ist (al/S)-- -(«-'")-- (vermög §. 129) — a"ö" (vermög §. 128) —(vermög §. 156). So ist z. B. (3^2-)^ ---9 I/4t»-; (^/Za2)S^^/27a°; b(3 I/(K-—a?)) »--27 l/ (^—^) s —27h^ («-—«?-)-. («2—E-) —27 . (a-— L?2) I/ («2—27'). Ware nun eine Wurzelgröße auf die Potenz des Wurzel-Ex¬ ponenten zu erheben, so erhebe man nur die Größe außer dem Zei¬ chen, und multiplicire dies mit der Größe unter dem Zeichen. So ist z. B. m »1 (al/S)------ K--S 3 (4l/2)b---64.2 —128; (al/ö)2----^ö (3l/—3)^——27; (—3l/—3)^——27 5 9 (1-t-;l/5)2---l-1-l/S-t- ----l-l/5 4 4 (2—l/2)S--8—121/2-1-12 —l 8—20—141/2 3 3 6 (l/a?— f/r/)2 — ^/s?2— 2>/ (s/z/b) §. 166. Und umgekehrt wird aus einer Wurzelgröße wieder eine andere Wurzel gezogen, wenn man aus der Größe vor dem Zeichen, und aus der Größe unter dem Zeichen die verlangte Wurzel zieht; was III. Abschnitt. 18? jedoch kürzer geschehen kann, wenn man vorher die Größe vor dem Zeichen (nach §. 159) unter das Zeichen wirft, und dann den Wurzel-Exponenten der gegebenen Größe mit dem Exponenten der ge- suchten Wurzel multiplicirt. So ist z. B. rr L n 1 s/ (a s/ö) — — /a" 8 3 6 6 6 /(2/l20) — t//960—/960—/61.13 — 2/lS 3 — 2 //l5. . §. 167. Da die Größen mit gebrochenen Exponenten als Wurzelgrö- ßen vorgestellt werden können (§. 156), so sind die gefundenen Regeln für die Rechnungsarten mit Wurzelgrößen auch für die Grö¬ ßen mit gebrochenen Exponenten anwendbar; nemlich es ist a L p . /» — —tt—- __ p /?^ Woraus zu ersehen ist, daß die gegebenen allgemeinen Regeln (§. 63, Nr. s) für die Multiplikation, und (§. 63, Nr. s) für die Division, auch für die Größen mit gebrochenen Exponenten Statt finden. Wodurch wieder die (im §. 128 und 129) für die Erhebung zu Potenzen, und Ausziehung der Wurzeln gegebenen Regeln auch für die gebrochenen Exponenten bestätigt werden. iss Drittes Hauptstück. Einige Beispiele zur Übung. r 2 3? 2a' (ab — S a') — 2 a's — 6 a^ ( verlangt, die Größe a?" aus Art' Ol-ede hinweg zu bringen. Dieses kann auf folgende AE^"-Man ^idire Glieder unter dem nem Kli ^^.^"lknige Größe, welche man aus ei- diese Ki-'^b schaffen will, und setze eben Ervonent^ Potenz des gemeinschaftliche» ch-n7-'"n-^"°b'°- °» d.m eu. (a«-^Sa?")?——a?"?> (a^a?""-t-S)?. , (a"'-t-Sa?'-)p ^a"°-t-Sa?"V. Denn (a-»^. Sa?")/' --—-(a?")p (^ —a?"?>(a'"a?-" -»--)?>. Z L - 7' Eben so ista?(a^a?—aa?^)'--a?.(a?^)'(a^a?—»—a)'—a?^(a^a? i-M- 2. 2 3 2 1 Jngleichen (a-'-t-a»!/) "-(«j,') 'd-t-a^j, ') HI. Abschnitt. 189 Und umgekehrt kann bei einer (durch Klammern angezeigten) Potenz einer zusammengesetzten Größe, jeder außer dem Zeichen (außer den Klammern) befindliche Factor hineingeschafft werden, wenn man den Exponenten dieses Factors durch den gemeinschaftlichen Exponenten dividixt, und mit diesem geänderten Factor jedes Glied unter dem Zeichen multiplicirt. So ist z. B. p p AP (a----^--L,--) ? — (!/'/) 7. (a"r-7-Sn") 2 I L r — L7 "(an—a?2)-—fn ".(an—n^)^—(an "— n") 2 an *(a2-t-n?) fa " n".(a"-t-n?)^ ^---(a"n"-t-a "n") . §. 169. Die bisher erworbenen algebraischen Kenntnisse setzen uns in den Stand, in der Zerfällung mehrgliedriger algebraischer Ausdrü¬ cke in Factoren, welche wir in §.69, li begannen, weiter vorzu- schreilen. I. Zunächst lassen sich alle zweitheiligen Ausdrücke, deren Glieder Potenzen nach einerlei positiven und ganzen Exponenten sind, in zwei Factoren auflösen, von denen wenigstens einer zwei¬ gliedrig ist. Bedeutet nemlich n eine ganze positive, a und S aber jede beliebige Zahl, so hat man die Differenz a" — --- — a-- —> - -l-a--—> K — «---2-2 -I- . .— 2 -j- r — g-»——---, weil es erlaubt ist, die Glieder «"-'s, ..atz'--», abzuziehen und wieder hinzuzugeben; folglich, wenn man nach §. 69, t», aus jeden zwei nach einander folgenden Gliedern ihren gemeinschaftlichen Factor heraushebt, s" — --- — l (a — -) 2^, — -) -t-a-r—SH» — -) -t-.,,.. .-s-aö"—? (a—ö) (a—-) , oder endlich, weil alle Glieder den Factor a—- besitzen, cr--—-------(a—tz) .^-yö---r-s-----'). ISO Drittes Hauptstück. Hiernach ist es leicht, auch die Summe in zwei Factoren aufzulösen; denn offenbar ist S" - — ( — oder —(S". —i), oder (nach §. 168) — — (S I/ — i)", daher wird -t- S» — a"— (Sl/ —i)", und somit erhält man nach dem Vorhergehenden (a—Sl/ —i) *-t- a"—?(Sl/ —l) -t-. .... -t-a (S,/-1)"-2-^- (S l/—I). Lassen sich in einzelnen Fällen die Zahlen a und S selbst wie¬ der als Potenzen desselben Ranges darstellen, so wird der erste der gefundenen zwei Factoren auf dieselbe Weise noch ferner aufgelöst werden können. Besonders oft vorkommende Ausdrücke sind jene, in denen zweite, dritte und vierte Potenzen erscheinen, also» —2, S oder 4 ist. Dem gemäß beachten wir folgende, aus obigen allgemeinen leicht abzuleitende, besondere Fälle. «2— S?— (a— S) (a-i-S) «,2^.-2—(a—S/— z) —2) «2—(«^-t-aS-t-SH (g2- s*--- («2) 2— (H2) 2^ (g2__z2) (g2 ^_tz2) — (a—S) (K-t-S) («2_j_z,2^ — (a— S) (K-t-S) (a-ö/—i) (a-t-S^—i). Don diesen Ausdrücken sagt der erste, nemlich «2—-2—(a-^-S) (a— S), daß die Differenz zweier Quadrate dem Pro¬ ducts der Summe und Differenz ihrer Wurzeln gleich ist, wofern die Wurzel des Subtrahends auch als Sub¬ trahend genommen wird. Beispiele. a2__2,2---.( / „ S -2 -2 oX , S > °»»cn°ch<>. is») > d°»n cmchi.) Ist hier insbesondere —4aa, also S — 2 l/ac, so ist «»-4.-274-0 eine vollständige zweite Potenz, nemlich 8 s — 0^1) (^2) 2r?-1-3mn-t-3»r—2—^ (l6»^-1-24»rn-l-24»r—16) —(4n-t-3m — zm -j- 4) (4» -i- Zm-1- 3m —1) — (n-t-1) (2K-1-SM—2) 2b^0^ t-26V-1- 2K^2-^4— tz4— §4 — — -> 2«2(tz2 «.2)- H4_j_2SV—c* ——I. —2a^(S^-1-o^) -l-S^—2-^o^-1-o^ ——— abzieht, so erhält man (a-t-ck—/,) —(«—/>), wo jedes wieder die nemliche Differenz ck hat; und daher ist (a-t-ck)—a— (a-t-ck-t-/-) — (a-t-/,) — (a-t-ck—/>) — (a—/)). Ein geometrisches Verhältniß .bleibt ungeäm dcrt, wenn man das erste und zweite Glied mit ei¬ ner und der nemlichen Zahl multiplicirt, oder auch beide durch dieselbe Zahl dividirt. Denn aus a-:a wird S-ME durch die Multiplication mit und durch die Division mit n; und cs ist wie auch a-:a—weil bei jedem dieser drei Verhältnisse der nemliche Quotient v Statt findet, und aus der Gleichheit der Quo¬ tienten auch die Gleichheit der Verhältnisse sich ergibt (§. 171). Es kann daher öfters ein geometrisches Verhältniß, dessen Glieder große Zahlen sind, viel einfacher dargestellt werden, wenn man beide Glieder durch eine und die nemliche Zahl dividirt. Durch die kleinsten Zahlen wird demnach ein Verhältniß dargestellt werden, wenn man seine beiden Glieder durch ihr größtes gemeinschaftliches Maß (§. «S, x) dividirt. Z. B. statt des Verhältnisses 18:K3 kann man schreiben K 21, und am einfachsten 2:7. Eben so kann auch ein geometrisches Verhältniß, worin ein Glied gebrochen ist, oder auch beide Glieder Brüche sind, zum leichteren Ueberblicke feiner Größe durch ganze Zahlen dargestellt werden, wenn man mit jedem Nenner, oder mit dem kleinsten ge- ».Abschnitt. 197 meinschaftlichen Vielfachen der Nenner beide Glieder des Verhält- 2 nifses multiplicirt. Z. B. statt des Verhältnisses : 5 kann man schreiben 2:15, und statt ^kann man schreiben 8:15. Überhaupt finden alle Veränderungen, welche mit den Brü¬ chen vorgenommen werden können, auch bei den geometrischen Ver¬ hältnissen Statt, weil jedes geometrische Verhältniß als ein Bruch angesehen werden kann, wovon das erste Glied der Zähler, und das zweite Glied der Nenner ist. §- 173. Das Verhältniß der Producte aus den ersten Gliedern zum Producte aus den zweiten Gliedern mehrerer geometrischer Ver¬ hältnisse heißt das zusammengesetzte Verhältniß dieser Verhältnisse. So ist z. B. von den Verhältnissen 12 : 3 wenn man beiderseits durch spiele. ist «n-o— ist K-:w—w:o, ist i:r/—LNK, ist nw—a—wnr-t--. §. 186. Wir haben also zwei Kennzeichen, aus denen wir auf die Rich¬ tigkeit einer Proportion schließen können; aus der Gleichheit der Verhältnisse, das ist, aus der Gleich¬ heit der Quotienten, 2t°"s aus der Gleichheit der Produkte der äußern und Mittlern Glieder. ' Sobald demnach in der Folge eines dieser Kennzeichen bei vier Größen eintritt, so können wir versichert sein, daß selbe in einer Proportion stehen. Z. B. 204 Viertes H a u p tstück. Wenn w—a und N— s ist, so ist auchw:z/-a:S; denn auch hier sind die Quotienten - und einander gleich, wenn man w—a durch z/— ö dividirt (§. LS, Grundsatz I). §. 187. Mit den 4 Gliedern einer Proportion können nun verschiedene Verwandlungen vorgenommen werden, bei denen die Proportion doch noch richtig bleibt; und zwar, da z. B. «L:a—-L:ö, und 5 : 3 — 10.6 , so ist I. Durch Verwechslung der gleichnamigen (äußern oder Mittlern) Glieder. ö: K—öL:aL, 6: 3—10:5, KL:öL— a: 5:10 — 3:6. II. Durch Umkehrung der Verhältnisse. a.KL—-:öL, 3:5 — 6:10. III. Durch übereinstimmende Addition der Glieder. KL : K -1-«L— -L : s -l-SL, 5 : 8 — 10 : 16, K : KL-l-a— ü : öL-t-S, 3 . 8— 6 : 16. IV. Durch übereinstimmende Subtraction. K : KL — K—ö : -L—ö, 3 : 2—6 : 4, K —KL : K---S —öL:S, —2 : 3——4 : 6, «L—K : KL —-L—-: -L, 2 : 5—4 : 10. Die Verbindung von III und IV gibt K-t-KL : a —KL—S-1-SL : s —-L, 8:—2 — 16:—4 a-i-KL : «L—K —ö-i-öL : SL—ü. 8: 2 — 16: 4 V. Wenn man ein äußeres und ein mittleres Glied mit der nemlichen Zahl multiplicirt. VI- Wenn man ein äußeres und ein mittleres Glied durch dieselbe Zahl dividirt. II. Abschnitt. 205 —: - — S- : S, und : 1 —19 : 6 , M »t 3 a S „ a» : — — S^: — , 5 1 — 10 : 2, i , --r k - ' a ", 1s — v- ? ? . a —- - I -s -. 2. w'»r -r ' m' 2 VH. Wenn man alle 4 Glieder zu derselben Po¬ tenz erhebt, oder aus ihnen dieselbe Wurzel Zieht. «2 man sich fragt, ob, wenn der Größen der einen Art 2, S, 4,.--' Mal mehr werden, der zugehörigen Größen der anderen Art 2, 8, 4, , Mal mehr oder weniger werden müssen. 5) Stelle man die zwei Verhältnisse entweder gerade so wie sie da stehen, einander gleich, wenn die beiden zusammengehörigen III. Abschnitt. 218 Größen sich im geraden Verhältnisse befinden, oder verkehre vorher das eine Verhältniß, wenn diese Größen im verkehrten Verhält¬ nisse stehen. K) Berechne man die unbekannte Zahl, indem man (nach §. 183), wenn sie ein U-res Glied der Proportion ist, das Product der beiden Glieder durch das bekannte dividirt. Man wird hiebei wohl thun, die Multiplikation nur anzuzeigcn, und das Resultat in Form eines Bruches darzustellen, bei welchem man, so weit es angeht, die Factoren des Zählers und Nenners durch ge¬ meinschaftliche Theiler dividirt. Beispiele. 1. Frage. Wenn Ellen Tuch 16 Fl. kosten; wie viel Ellen von diesem Tuche bekommt man für 10a Fl. ? Vorbereitung. 3,-EllenEllen 16 Fl. .100 Fl. Rechnung. 82«—ik:ioa 7 100 7 23 a?---.-— -.——175 ! 8---2lx. 2 16 2 4 Antwort. 21^ Ellen. Denn für 3 Mal so viel Gulden kauft man 3 Mal so viel El¬ len; folglich ist hier eine gerade Regel Detri anzuwenden (vermög §. 193 und 194). 2. Frage. Eine gewisse Anzahl Patronen wird in 8 Tagen von iso Mann verfertigt; man will aber diese Munition in 6 Tagen fertig haben; wie viel Mannschaft muß hiezu angestellt werden? Vorbereitung. : 8 Tage: 6 Tage *) iso Mann:m Mann. Antwort. 200 Mann. Rechnung. IS0. w—6.8 2,—^^—8.25—200 ') Der minder geübte Lernende wird gut thun, wenn er die umzukeh- renden Verhältnisse auf eine beliebige Weise, etwa wie hier durch Versetzung eine« Doppelpuncte« bezeichnet, welcher gleichsam andeu- let,daß durch das umzukehrende Verhältniß die Einheit dividirt werde. 214 Viertes Hauptstück. Denn kann man zu derselben Arbeit 2 Mal so viel Tage ver¬ wenden, so braucht man nur 2 Mal weniger Mannschaft; folglich ist hier eine verkehrte Regel Detri anzuwenden (vermög §. igz und iS 4). 3. Frage. Wie viel kosten 9 Pf. 24 Loth von einer Ware, wenn man i Fl. 30 Kr. für 5 Pf. zahlen muß? Vorbereitung. Rechnung. nFl.-.l Fl. 30 Kr.-a?:§ 9 Pf. 24 L.: 5 Pf. 5 i Fl. 30 Kr.--i^Fl.--r Fl. 9 Pf. 24 L.--9E Pf.---^Pf. Antwort. 2^ Fl. oder 2 Fl. 55; Kr. 4. Frage. Wenn 100 Mann in einer Nacht eine Transchee von 160 Klafter verfertigen können; wie viel Mannschaft muß an- gestellt werden, wenn in der nemlichen Zeit eine Transchee von 400 Klafter verfertigt werden soll? Vorbereitung. 100 Mann:a? 160 Kl.:400 Antwort. 2so Mann- 5. Frage. Wenn der jährliche Lohn eines Dienstbothcn 36 Fl. beträgt, wie viel gebührt ihm für 8 Monat und 12 Tage? Vorbereitung. 360 Tage: 8 Mon. 12 Tage —360:252 36 FI. Rechnung. 360:252-36:w ^252^252 , 360 10 Antwort. 25,2 Fl. oder 25 Fl. 12 Kr. 6. Frage. (Einfache Interessen-oder Zinsrechnung)- Wenn hundert Gulden Capital jährlich 3; Fl. Interessen brin¬ gen, wie groß muß das Capital sein, wovon man jährlich 1900 Fl- Interessen haben kann? Antwort. 28S7I; Fl. 2? —- 2.4.5 ---117:40-2^. 3 39 w: 5 2 4 3.39 Rechnung. 100:^—160: 400 100.400 a?-- - 10.2o—250. 160 HI. Abschnitt. 215 7. Frage. Eine Rikoschetbatterie in einer Transchee ist mit Patronen so versehen, daß sie durch 24 Stunden jede Stunde 20 Schüsse geben kann; man hat aber S2 Stunden lang keine frische Munition zu hoffen, und muß daher die vorhandenen Patronen für diese Zeit einthcilen; wie viel Schüsse können in jeder Stunde gemacht werden? Antwort. 15 Schüsse. 8. Frage. Es befinden sich in einer Festung 6000 Mann Besatzung, welche für 2 Monat mit Proviant versehen sind; nun wird die Festung mit einer Blokade bedroht; der Commandant er¬ halt Ordre sich durch 3 Monat und 10 Tage zu halten; cs ist die Frage, wie viel er von der Mannschaft aus der Festung fortschi- ckcn muß? Auflösung. Er schicke a? Mann fort, so bleiben 6000—a? Mann; folglich steht die Rechnung so: 6000:6000—a?—3^:2 6000:a?—3^:IZ, (nach §. 187. lV) daher a?—4.600—2400. Antwort. 2400 Mann. d. Frage. Nun setze man den Fall, die ganze Mannschaft müßte in der Festung bleiben; dann entsteht die Frage, wie viel Zwieback einem jeden Manne täglich zu geben sei, wenn sie für 2 Monat dergestalt mit Proviant versehen sind, daß jeder Mann täglich 2 Pf. Zwieback erhalten könnte? 2:a?—3;: 2 Antwort. 1,2 Pf. oder i Pf. 6,4 Loth. §. IS7. Die Regel Detri findet auch vorzüglich ihre Anwendung bei der Verwandlung (Reduktion) der Gewichte und Maße eines Or¬ tes in jene eines andern, wenn das Verhältnis!, welches sie gegen einander haben, bekannt ist. Z. B. wenn es bekannt ist, daß ein Cölncr Pfund sich zu einem alt Pariser Pf. verhält, wie 43 zu 45, ncmlich daß 45 Cölner Pf. 43 Pariser Pf. ausmachen, und es 216 Viertes Hauptstück. würde gefragt; wie viel 94 Pariser Pf. nach dem Cölner Gewichte betragen, so findet folgende Regel Detri Statt: 48 Cölner Pf. C. Pf. 45:w—43: 94 43 Pariser Pf.-.94P. Pf. 94.45 "--98^, daher sind 94 Par. Pf. — 98'^ Cöl. Pf. 98 Pf. ll,9 L. Cölnisch. Eben so, wenn es bekannt ist, daß sich eine Prager Elle zu einer Wiener Elle verhalt, wie ik zu 21, oder daß 16 Wiener Ellen 21 Prager Ellen ausmachen, und es wird gefragt, wie viel 30 Wiener Ellen in Prager Ellen verwandelt betragen, so ist 16 Wiener Ellen: 30 Wiener Ellen—21 Pr. Ell. :wPr. Ellen; also w—39' Pr. Eil. §. 198. Wir wollen bei dieser Gelegenheit einige zuverlässige Verglei¬ chungen der Gewichte, Längen- und Hohlmaße einiger Länder und Orte hieher setzen. Vergleichung einiger Maße und Gewichte. Frankreich. Von besonderer Wichtigkeit sind die Französischen Maße und Gewichte, weil mit ihnen gewöhnlich die übrigen verglichen werden. Die Grundeinheit der alten Französischen Längenmaße war der Pariser Fuß cku r-or), eingetheilt in 12 Zoll zu 12 Linien und jede dieser in 12 Scrupel oder Puncte. 6 Fuß machten eine Toise oder Klafter. — Flächenmaße hatte man: lllercüe eaun- et- /ÄT-ets, Quadrat von 22 Fuß Seite ^-484 Qua- dratfuß, ^4>/ie»t ckes eauw-et-/o?et« zu 100 I'er'c/re« von 22 Fuß Seite — 48490 Quadratfuß, lllercLe cke l>arrs, ein Qua¬ drat von 18 Fuß Seite -- 324 Quadratsuß, ^jvent cke I'ar/s zu 100 4>e^etres von 18 Fuß Seite — 32400 Quadratfuß — 990 Quadrattoisen. — Das Pariser Markgewicht (Yorcks cke mare) hatte als Grundeinheit das Pfund (Lrvee) — 2 Mrrcs-- 16 vnees — 128 — 9216 Einen Pariser Cubik- fuß destillirten Wassers bei seiner größten Dichte (4 Grad der hun- dertthciligen Thermometerskale von Celsius) fand Le/ee^e - tttneau wiegen 70 Pfund 141 Grains, und bei der Temperatur des schmel¬ zenden Eises (o°e.) 70 Pf. 130 Grains. — Das alt Pariser III. Abschnitt. 217 Hohlmaß für Flüssigkeiten war das Murrt «ta vr'n — S Ferrrttre- /es — Ztz Bettes — j 11 t'ocs —288 l'rrrtvs; I Drnre — 48 alt Pariser Eubikzoll nach Picard; jenes für trockene Waren der Setrer- 12 Lorsserrucr — 192 Drtrrrrrs; i Murrt rto Ltr — 12 Retters; 1 Äorsserru — K56 alt Pariser Eubikzoll. Das seit dem Jahre I79S eingeführte neue Französische oder metrische Maßsystem hat folgende Anordnung. Die Grundeinheit des Längenmaßes heißtMetr-e (Meter), die der Flächenmaße ^lr-s — Iva Quadratmeter, jene der Körpermaße Kter-e, Metr-e cuöe, die der H o h l m aße Lr'tro (Liter) — 0,001 Kubikmeter, endlich die der Gewichte 6lr-a»r- me (Gramm). Die Eintheilung und Vervielfachung geschieht durchaus nach der Zahl io (decadisch, decimal), und man bildet die Namen des zehnten, hundertsten, tausendsten Theils einer der genannten Grundeinheiten, indem man dem Namen dieser die Französischen Sylben «teer', centr, vorsetzt, so wie man ihm, um ihr Zehnfaches, Hundertfaches, Tausendfaches, Zehntausendfaches auszudrücken, die Griechischen Sylben rterrr, trsotrr, Lr'to, «rr/r-ra vorzusetzen hat. Von diesen abgeleiteten Einheiten sind folgende im Gebrauche: Dc-'errMerrr — 18 Met--e«, Meetomet^ö — 108 Metr-e«, ^trtoMs/r-r? (Wegmaß, Mrtte) — IOOO Mer-'es, M^r-rr/Mstr-e (Meile, Dr'euv) — 10000 Mätr SS. Dssimerr-s — 0,1 Mstr-o, Oerrttmetr e — 0,0 l Mst^s, Mrttrrne/r's — 0,001 Me/rs. Meotrrre — 100 Ares, Mz/rvrrrs — 10000 Ares, (Feldmaße) Oerrtrare — 0,01 Are. Deors/ere — 0,1 §tere. Deerrtrtre — 10 Lr'tre», Meetotrtrs — 100Litrss, Llrtotr'rre — 1000 Lr'tre» — Metro sube, Mzrrrrrtrtre -- 10000 Lrtros. Deertl/ro — 0,1 Lr'tre; Centitrtre — 0,01 Dr'trs, Mr'ttrtrtrs — 0,001 Lrtro. Dscayrrrmmo — io t?ra»r»re», tteoto^ra»r»rö — 100 Grammes, -- 1000 ttrrrMMss. Decr.yrrrMr?ro —0,1 LtirrMMe, Derrtr^raMme — 0,01 Gramme, ammo — 0,001 6, «mmv. 218 Viertes Hauptstück. Der Meter soll der io millionste Theil des nördlichen Qua¬ dranten des Erdmcridians, und das Gramm das Gewicht eines Cubikcentimeters des dichtesten destillirten Wassers (4"0) sein. Anfänglich wurde provisorisch der Meter zu 0,513243 Toisen, und das Gramm zu 18,841 Grains angenommen. Nachdem aber sämmtliche Messungen und Berechnungen auf das Sorgfäl¬ tigste ausgeführt waren, wurde (2. Nov. 1801) der Meter zu 0,513074 Toisen und das Gramm zu 18,82715 Grains definitiv festgesetzt, daher ist gegenwärtig, wenn irgend ein metrisches Maß ohne Zusatz genannt wird, immer das definitive gemeint. Außer diesem in wissenschaftlichen und amtlichen Verhandlun¬ gen gebräuchlichen metrischen Maßsysteme sind seit i8i2 für den bür¬ gerlichen Verkehr noch folgende mit den metrischen in leicht faßlichen Verhältnissen stehende Maße gesetzlich gestattet. Lä n g e n m aße: Die Toise, eingetheilt in 6 FußCpwcks)zui2Zoll("k'oucös) von 12 Linien ("Liy-res), haltend 2 Meter. Schnittwarenmaß: Die Elle —12 Decimeter, eingetheilt in und ä- Trockene Hohlmaße für den Kleinhandel. Das Lorsseau-- eingetheilt in ; und außerdem noch verdoppelt, DorMo -orsssearr Ltec^o^o. Überdies kann der Liter in,7, und abgetheilt werden. Als nasses Hohlmaß für den Ausschank von Getränken kann der Liter in untergetheilt werden. Gewichte: Das Pfund (Lr'vr-o), 'gleich einem halben Kilogramm, eingetheilt in 16 Unzen (V-roes) zu 8 t-z-os von 72 6-ams, wobei noch jede dieser Gewichtseinheiten in unter¬ getheilt werden kann; der (metrische Zentner) — 100 Kilo¬ gramm; der (Yorcks ckrr sorrrreau «te »rer', Schissstonne) —1000 Kilogramm. Dem Obigen und den amtlich publicirten Reductionstafeln ge¬ mäß ist 1 alt Pariser Fuß — 0,3248394 Meter, 1 alt Pariser Oua- dratfuß — 0,105521 Quadratmeter, 1 alt Pariser Cubikfuß-- 0,03427727 Cubikmeter, IaltPariserPfund — 489,5058 Gramm,! alt PariserLtE—268,220 Liter, ialtPariserS'6üer---i56,i0o Liter. Übrigens haben einzelne Städte auch noch besondere, gesetzlich erlaubte Localmaße als: Das vw/ro/2 Bordeaux-Wein — 228,09 Liter; 1 L-omreau — 4 ö«w r>/ues ("Ow/w/?) — K IVo-'fon« ---128 III. Abschnitt. 219 SO der hier gebräuchlichen Häringmaße sollen, nach dem Gesetze vom 8. October 1810, gehäuft die Vollhäringswrak- Last von 12 Tonnen rest cke ckorrse en nrae) betragen. F-Fe^e.Das Maß zur Abmessung der frischen Häringe ent¬ hält, nach dem Decret vom 8. Oct. I8iv, IS Kilogramm, ist ein abgekürzter Kegel von 330 Millimeter Höhe, 870 Millim. unterem und 8io Millim. oberem Durchmesser, also von 30,039 Liter In¬ halt. Das Pfund --- 0,408 Kilogramm; die Kl-- und Wein - --- so Liter; die ZMe/o/e Fabriksöl — 64 Liter. Endlich besitzt auch die Stadt in Bezug auf das Markgewicht eine Berühmtheit, da von ihr die Französische, Holl- ländische und Englische - Mark ihren Namen erhielt. In Frankreich war die - Mark — 8 Onee« — 64 6-os--- 160 --- 192 Lenre?« — 320 ZkaMös — 640 -- 4608 6^ar'ns. Zn Holland, wo sie im Jahre IS29 von Carl V. in der nemlichen Größe wie die damalige Französische eingeführt wurde, war die ülVo-s-Mark — 8 Unzen — 160 Engels — 1280 — 2360 DerrL^rES — 3120 ^4s; diese Holländische - Mark ist zum Theil jetzt noch der gewöhnliche Maßstab zur Vergleichung anderer Gewichte. In England ist die lr>oz,s-Mark — 1 7','6// - VVe/A/t^ — 12 Ounoe« — 240 --- 5760 Li-ai-r« --- 115200 iUrööS. Österreich. Zu der, bereits in §. 46 auseinandergesetzten, Eintheilung der Wiener oder Niederösterreichischen Maße und Gewichte sind noch folgende Vergleichungen beizufügen. Längenmaße. Die Pariser Klafter sand (1760) der Astro¬ nom Liesganig — i,02764 Wiener Klafter; ferner fand Professor Stampfer (1829) die halbe Toise — 36,99707 Wiener Zoll; da¬ her ist der Wiener Fuß nach Liesganig, dessen Vergleichung auch in dem auf allerhöchsten Befehl in der k. k. Staatsdruckerei zu Mai¬ land 1818 aufgelegten Werke: »Münz-Tariffe und Tabellen zur Vergleichung u. s. w.» angenommen wurde, — 0,3161023 Meter, nach Stampfer ---- o,3i608S Meter. Der in der Artillerie vormals 220 Viertes Hauptstück. gebrauchte Nürnberger Fuß, eingetheilt in 12 Zoll zu 10 Linien zu 10 Puncten betrug (nach Vega's Angabe) Wiener Fuß. Nach den von Pater Joseph Franz S. (1756) ausgeführten und in den Gesetzen (1756 L ss-.) anerkannten Vergleichungen ist die Wiener Elle — 2,465 Wiener Fuß, der Wiener Metzen — l,S47i Wiener Cubikfuß, der Eimer --- i,792O Eubikfuß, die Maß — 0,0448 Cubiksuß. — Der Stübich, Kohlenmaß, ist nach der Ver¬ ordnung vom i. Dec. 1570 — 2 Metzen; das Kalkmüthel nach der Verordnung vom 21. März 1755 und 29. August 1772 — 2;Metzen. Im Bergwesen benützt man als Längeneinheit die Schemnitzer Wergklafter eingetheilt in 10 Schuh — 100 Zoll — 1000 Linien — I0ÜOO Puncte. Das bei dem k. Nieder-Ungarischen Districtual- Werggerichte ausbewahrte Original der Schemnitzer Bergklafter hat gemäß dem Decrete der hohen Hofstelle vom 15. Juni 1822 beii 3,5°Ä. s Schuh 4 Zoll 10,92 Linien Wiener Maß. Hohlmaße. Zufolge der von Kaiser Franz I. am 2. März 1817 sanctionirten Zimentirungsamts-Instruction, im Einklänge mit der gesetzlichen Bestimmung vom 12. Juli 1762 hält der Wiener Wein-Eimer 40 Wiener Maß mit einem LÄlo von einer Maß, daher im Ganzen 4i Maß; ferner sowohl nach dieser Instruction, als auch nach den landesherrlichen Verordnungen vom 16. Aug. 1775, s. Mai 1805 , und 12. Dec. 1812 faßt der Wiener Bier-Eimer 42; Maß, (2; Maß LÄ/o), und vermög eben dieser Instruction der Maisch-Eimer 42 Maß (2 Maß <7«^o). — Das aus massiv gegossenen Messing im Jahre 1826 hergestellte Original des Wie¬ ner Wein-Eimers von 4i Maß hält, nach der von Jäckel, Oberbeamten des Wiener Zimentirungsamtes, vorgenommenen Untersuchung, bei 46° an destillirtem Wasser 13551279 Wiener Richt¬ pfennig, somit 58,0845 Liter und die Maß 1,4167 Liter. Gewichte. Vega (Vorlesungen S. 549, i. Bd. 3. Auch Wien 1802 , und Natürliches Maßsystem , Wien 1803 §. 2) fand durch unmittelbare Wägung Französischer Gewichts-Etalons das Gramm im Mittel — 13,714 Wiener Apothekergran. Hier¬ auf stützt sich das kaiserliche Münzdecret vom i. Nov. 1823, indem es die Wiener Mark — 280,644 Gramm, und das Kilogramm --- 233520 Wiener Richtpfennig erklärt. Sonach ist das Pfund des Wiener Handelsgewichts — 560,012 Gramm. — Das Nenngc- Hk. Abschnitt. 221 Wichts-Pfund der vollen eisernen Artillerie-Geschützkugcln beträgt, nach den von der k. k. Oberfeuerwerksmeisterei ausgeführten Rech¬ nungen im Mittel 0,817 Wiener Pfund. Außer den Wiener oder Niederöstecreichischen Maßen, welche gesetzlich vorgeschrieben sind, werden in den Provinzen auch noch eigenthümliche geduldet. Böhmen. Nach den von P. Franz (1756) ausgeführtm Vergleichungen und den gesetzlichen Bestimmungen (1764 und 1765) ist die Böhmische Klafter — 6 Fuß — 5,626 Wiener Fuß, dis Prager Elle, cingetheilt in;, !, x, — 1,879 W. Fuß; ein Strich Aussaat beträgt 800 Quadratklaster Ackerland; der Böh¬ mische Strich, Gerreidemaß, — 4 Viertel - 16 Metzen — 192 Seitel --- 1,5220 -Wiener Metzen; die Böhmische Maß (Pinte) — 4 Seitel — 1,350 Wiener Maß, der Eimer — so Maß klaren und — 32 Maß trüben Getränkes, das Faß — 4 Eimer; das Böhmische Pfund — 32 Loth — 128 Quentchen — 0,91847 Wiener Pfund, der Zentner -- 6 Stein — 120 Pfund. Galizien. Die Lemberger Elle eingetheilt in ist — 2 Fuß -- 263,287 alt Pariser Linien, die Galizische Klafter — 6 Fuß — 3 Ellen; der Lo^seo, Getreidemaß, — 32 t-ar-nieo — 128 L,-K--r — 2 Wiener Metzen; der Lonsee wird noch in der LlM-nreo und die Lre-ark aber in und ! unter- getheilt; das Bierfaß (VSeosks) — 36 L-ar-nreo — 144 L'wae-r — 2^ Wiener Metzen. Das gemeine Handelspfund — 32 Loth — 128 Quent — i Wiener Apothekerpfund, der Zentner — 100 Pfund. Kärnthen. Im Lavant-Thale ist ein Eimer — 2^- Wiener Wein - Eimer, der Tagbau, Flächenmaß, — 1200 Wiener Quadratklafter. Lombardisch - Venetianisches Königreich. Die Grundlage des seit i803 angenommenen metrischen Maßsy¬ stems ist der auch als Schnittwarenmaß dienende --- io — 100 — 1000 --- dem Französischen Meter. Die Einheit der Hohlmaße ist die Som« meseca --- io — 100 — looo bo^r — dem Hectoliter. Die Gewichtseinheit ist die LrS-7« — io Onoe — 100 — 1000 Ls- na»-r --- ivOOO — dem Kilogramm, I ZruHa ---- 10 L»-- I -- IO LuSr. — Im gewöhnlichen Verkehr 222 Viertes Hauplstück. bedient man sich jedoch meistens noch der alten Maße. Im Mailänder Gouvernementistdas Getreidemaß die Mailander IloFAr'a — 8 «raz-r — 82 Hrzzrz tazr — 1,462343 metrische Some, das Getränkmaß, die Mailänder Lz-szrta — S6Locc«/r — 0,755544 metrische Some. Nach einem Dccrete vom 1. 1803 ist die I-i-Lz-a z/r /zeso eso »reckrerna/e — 12 O/res — i Wiener Apothekerpfund. Im Benetianischen Gouvernement ist die Seiden Lz-acmo, Schnittwarenmaß, — 283 alt Pariser Linien; nach dem Werke: Vttvo/e zt« /?a te Mr'«»/'« e r -zesr -rrrovr e^o. M7azio, ^8^0, stKM/zez-zzr z-ezr/e ist die Wollen--, Leinen - und Baum¬ wollen-Lr-aecro — 0,680981 Meter; dieKlafter ttzrezrzr) — 6 Fuß fpreetr) — 72 vzres --- 864 Lrzree — 2,0864091 Meter; der-No-o, Getreidemaß, — 84,8602 Liter; die L/consra, Weinmaß, —-4zzr-z/roz-a — 2 Ons« — 128 Loaca/r — 158,609 Liter; die Lrüüz-zr AZ'ossa, Handelsgewicht, — 2 ttlaz-eLr 12 6zr- 06— 48 Suzrz-tt — 2304 bzrzatt — 9216 Szzrzrr -- 476,9987 Gramm, die LrSöz-a sottr/e — 12 One« — 48 9uzrz-/z — 1455 t7az-zrt« — 5820 ^z-zrzrr — 301,2297 Gramm, die Mzrzoo, Gold', Silber- und Iuwelengewicht, — 8 vzroe — 32 Sua--^ -7 192 Dezraz-r — 1152 — 4608 6z-zrzrr--- 238,4994 Gramm, die LiSbz-a zziöztzerzra/e, Arznei-Gewicht, - 12 0zrv6 — 96 Vz'azzrznt! — 288 8oz'u/zoZr — 5760 t-z azrr -- 1 Lr'S-za so/7z/s. Mähren. Nach P. Franz (1756) die Klafter -- 5,617 Wiener Fuß, der Metzen — 1,1482 Wiener Metzen, die Maß -- 0,756 Wiener Maß, das Pfund — 0,99992 Wiener Pfund. Schlesien. Nach P. Franz (1756) die Klafter — 5,493 Wiener Fuß, die Elle --- 1,830 Wiener Fuß, der Scheffel—4 Viertel — 16 Metzen — 64 Maßet — i,24i9 Wiener Metzen, der große Troppauer Scheffel — 2^ Wiener Metzen (Hofkanzleidccret vom 23. Nov. 1820), die Quart — 2 Seite! — 0,496 Wiener Maß, der Eimer — 80 Quart, das Pfund - 22 Loth --- 128 Quintel -0,94619 Wiener Pfund. HI. Abschnitt. 223 Siebenbürgen. Die Elle-- o, 8 Wiener Elle, der Kü¬ bel — 4 Viertel — 1,6 Wiener Metzen, der Eimer — 8 Wiener Maß, das Handelsgewichtspfund — 2 Wiener Mark (Jäckel's Angaben), das Piset zur Wägung des Waschgoldes — 1216 Wiener Nichtpfennig (Vega's Angabe). Steiermark. Das Steirische oder Grätzer Viertel, einge- theilt in 8 Maßet, ist nach dem im October 1836 von dem Grätzer Zimentirungsamte erstatteten Berichte — 64 Wiener Maß, der Startin, Getränkmaß, eingetheilt in und E, nach der Guber- nial-Verordnung vom 26. Jänner 1803, — 400 Wiener Maß oder 10 Wiener Eimer. Tyrol. Nach P. Franz (1756) die Klafter — 6,342 Wie¬ ner Fuß, die Elle eingetheilt in — 2,544 Wie¬ ner Fuß, der Korn-Star --- 0,4972 Wiener Metzen, die Maß — 0,573 Wiener Maß, das Pfund — i,005i6 Wiener Pfund. Ungarn. Grundeinheit des Hohlmaßes ist gesetzlich die Ungarische Halbe ("4/eck'a, lose) — 2 Seite! (Aes-roh,) — 4 Rimpcl MesLe/-/). Eine beglaubigte Copie des Originals, aus Weißblech verfertigt, enthielt nach Jäckcl's Untersuchungen (1. 1827), bei -1-15"K. 194688 Wiener Richtpfennig (— 833,71 Gramm) destillirten Wassers, daher die Ungar. Halbe — 833,7iX 0,001001567 — 0,8350 Liter. Der Ungarische (Preßburger) Metzen sowohl als der Eimer ist nach dcmReichstagsbeschluße vom Jahre 1807, seit 24. Juni 1808 — 64Halbe. Außerdem ist derimBiharcrComitate übliche Debrecziner große — 100 Halbe, der kleine <7seSe>- — 50 Halbe, der Odenburger Wein-Eimer ()4Lch) — 84 Halbe, der Pesther Metzen — 96 Halbe, der Kübel zu Knoppern 3;-Wiener Ei¬ mer. Das Tokaier Weinfaß (nach dem Reichstagsgesetze von 1807) — 2^ Preßburger Eimer -- 176 Halbe, das kleine Tokaier Wein¬ faß ()4/^K/KL) — 88 Halbe; und in Slavonien, die Ma, Getreidemaß, —224 Halbe. Baden. Nach dem Gesetze vom 10. Nov. 1810 ist der Fuß — 3 De¬ cimeter, und wird in 10 Zoll zu 10 Linien von 10 Punkten einge- thcilt. Die Klafter hält 6, die Nuthe 10, und die Elle 2 Fuß. Der Morgen, Flächenmaß, — 4 Viertel — 400 Quadratruthcn. 224 Viertes Hauptstück- Der Zuber, Getreidemaß, ----- io Malter — 100 Sester — iooo Mestlen — lOOOO Becher — 15 Hectoliter. Das Fuder, Flüssig- keitsmaß, — io Ohm — 100 Stützen ---- iooo Maß — 10000 Glas — iS Kiloliter. Das Pfund — 10 Zchnling — 100 Centaß — 1000 Pfennig — 10000 Aß — s Kilogramm; 1 Zentner - 10 Stein ----- 100 Pfund. Im Handel wird das Pfund in 32 Loth zu 4 Quint getheilt. Baiern. Seit dem ersten Jänner 1810 ist nach dem Gesetze vom 28. Febr. 1809 der Fuß — 129,38 altPariser Linien,daher — O,29I8ZS Meter, und wird sowohl decimal als auch duodecimal in Zolle, Linien und Puncte getheilt; die Klafter hält 6, die Ruthe 10 Fuß, die Elle 34; Duodecimalzoll. Das Tagwerk, Juchert oder der Morgen, Flächenmaß, — 400 Quadratruthen. Die Einheit des Hohlmaßes ist die Maßkanne zu 43 Decimal-Cubikzoll — 1,069027 Liter. Der Scheffel, Getreidemaß, — 6 Metzen — 208 Maßkan¬ nen. Der Eimer, Getränkmaß, — 64 Maßkannen. Das Pfund, Handelsgewicht, — ik Unzen — 32 Loth — 128 Quint - SI2 Pfennig — 7680 Gran — S60 Gramm; der Zentner — 100 Pfund. Das Medicinalgewichts-Pfundäst nach dem kön.Decrcte vom SO. Jänner 1811 — 360 Gramm, und wird in 12 Unzen — OK Drachmen ----- 288 Scrupel — 5760 Grän zertheilt. England. Kraft der Parlaments--Acte vom 17. Juni 1824 ist die Grund¬ einheit des Längenmaßes die Elle (Im/ierra/ Varis), eingerheilt in s Fuß zu 12 Zoll (Ine/res). Die Klafter bak/rE) hält 2, die Ruthe oder 5s, der sonA 220, und die (Meile) 1760 VarÄs. Nach^rorrzi's, «Ire's und Meo/iar»'s Vergleichungen ist der Meter — 39,371 Engl- Zoll, nach einer Messung Lager'« — 39,37079, nach einer an¬ dern — 39,37062 Engl. Zoll; daher der Englische Fuß im Mittel --- 0,304794 Meter. Der a/" Flächenmaß, — 4Koo^ o/" Lan-«tu-^or« destillirten Wassers in der Lust bei 62"F. und 30 Z. Barometerstand, ist daher — 4,54346 Liter. I hält 2; 1 Lus/ro^8 t?K/5o»s; 1 KaoL — 3 I — 8 , I t7/r«t«t/o/r — 12 Grundeinheit des Gewichts ist das Pfund Troygewicht — 12 vttnoe« — 240 — 5760 tr/'arttg. (Vergleiche ^or/es S. 219). Nebstbei gebraucht man noch das Pfund ^4oor> - ck!» - />or« — 16 vunoes — 256 Z)-'KM8 — 7000 4«r/)ö-r«/ ük>or/ 67-'«r>rs. I Zentner ((tu»rtaO " 112 Pfund ^4«>or> - - /?ors, 1 Lonne — 20 Zentner. Das tr>oF-Pfund ist nach einer Vergleichung in Paris -- 373,233, nach Weber — 373,2484, nach rmn — 373,2531 , nach Haßler — 372,2223 Gramm. Hannover. Nach dem Gesetze vom 19. Aug. 1836 und den vom Ministe¬ rium publicirten Vergleichungen ist die Grundlage des Längen-, Flächen-und Körpermaßes der Fuß, eingetheilt in 12 Zoll zu 12 Linien, — ii^ Zoll Englischen Maßes — o,2920947 Meter; die Elle hält 2, die Klafter 6, die Ruthe 16, und die Meile 25400 Fuß. Der Morgen, Feldmaß, — 120 Quadratruthen — 26,2ioi Are. Der Himten, trockenes Hohlmaß, — Cubikfuß —31,15166 Liter; i Malter — 6 Himten, i Last — 96 Himten. Der Anker, nasses Hohlmaß, — io Stübchen — 40 Quartier — Himter — 38,9396 Liter; der in Qstfriesland geltende Vierup --- itz Krug — Himten — 49,84266 Liter. Das Pfund, Handelsgewicht, eingetheilt in 32 Loth zu 4 Quentchen, ist dem Preußischen Pfunde oder 467,711 Gramm gleich; der Zentner soll 100, die Schiffslast 4ooo Pfund enthalten. Die bei dem Münzwesen geltende Cölnische Mark soll einem halben Pfunde gleich sein. Die Mark wird zum Wägen der edlen Metalle in 288 Gran eingetheilt; das Medicinal- gewichts-Pfund — 12 Unzen — 96 Drachmen — 288 Scrupel--- 5760 Gran — Z Handelsgewichts--Pfund; das Karat Juwelen, gewicht — s§ Apothekergran -- 205,537 Milligramm. Vega Dorles. 1. Bd. t5 22k Viertes Hauptstück. Hessen - Darmstadt. Seit 1821 ist der Fuß — io Zoll — 400 Linien — Meter, die Klafter — ioFuß, die Elle — 24 Zoll — 0,6 Meter, wird in^, r, - - - eingetheilt. Flächenmaß, der Morgen -- 4 Vier¬ tel — 400 Quadratklaster — 25 Are. Brennholzmaß, der Stecken --- Ivo Cubikfuß. Die Maß, Flüfsigkcitsmaß, hält 2 Liter; die Qhm — 20 Viertel — 80 Maß — 320 Schoppen — >60 Liter. Das (Bescheid, Fruchtmaß, ist der Getränkmaß gleich; der Malter --- 4 Simmer — 46 Kumpf — 64 Gescheid --- 256 Mäßchen — 428 Liter. Die Kalkbütte --- io Cubikfuß. Das Pfund — 32 Loth --- 428 Quentchen — 542 Richtpfennig --- 500 Gramm; der Zentner — 400 Pfund. Bei feinen Wägungen wird die Grundein¬ heit des Gewichts, das Loth, in 40000 Theilchen getheilt. Das Münzgewicht, die Cölner Mark zu Darmstadt, wiegt, nach der Darmstädter Amtszeitung vom 16. Juni 4820, 44,9670 Loth oder 233,8594 Gramm. Neapel. Nach Lur-r «kr Är/AAr'er-o's Mittheilung vom 42. September 4 826 (Jäckel's Münz-, Maß - und Gewichtskunde 2. Bd. S. 451) ist der Fuß — 0,26363 Meter, die L,«eaio (Elle) hält LZ, die LÄ-rna (Klafter) 8 Laimr. Das Fruchtmaß, der r'omol» --- 2 lilöLsett — 4 — 8 KiopeM — 24 M/sr/r-o wurde durch das Edict vom 49. Mai 4844 für 55,2344 Liter erklärt. Das Weinmaß, die ist —0,727027 Liter; der 47a--, 0 -- 2 Lotti — 24 Lorttt — 4440 <7«--o^e. Die Unze (Dnor'o) ist ini ganzen Königreiche — 26,73042 Gramm, allein der Lottos, Handelsgewicht, ist verschieden nach den einzelnen Städten. Der gewöhnlichste, der Neapolitanische Lottoio von 33Z Vnoeist 894,004 Gramm. Der LAniar-o (Zentner) — 100 Lottott'. Als Juwelengewicht wird die vnera in 520 eingetheilt. 'Die wird als Gold-, Silber-, Münz- und Seidengewicht in 42 — 360 — 7200 ^ar'ni, als Medicinalgewicht aber in 42 vnae — 420 0,-ammo— Z60 S'a^ott — 7200 getheilt und enthält, nach dem Gesetze vom 20. April 4848, 320,7644 Gramm. I». Abschnitt. 227' Niederlande. Seit dem 1. Jänner 1821 ist kraft der konigl. Verordnungen vom 2i. Aug. 1816 und 29. März I8I7 das metrische Maßsystem im Gebrauche. Die Längeneinheit ist die Niederländer Elle (M/s), welche dem Meter ganz gleicht; sie wird in 10 7>atttr zu 10 von 10 >87/-«6/1 getheilt; I 7t — ig Mo, 1 —1000 tMo. Der LttnÄö/-, Flächenmaß, hält 10 r-oe^o 2^ Igo Vre?-/can/6 oder I Hectare. Das Holzmaß ist MU86 — 1 LttbreL- — 1 Stere. Die Einheit der Hohlmaße ist der Cubikpalm, gleich dem Liter, und heißt bei trockenen Waren Lo/,, bei nassen aber Ltttt. 1 Last — so 4/uMett; 1 — I — 100 — 1000 7^0-///«-'/ — 10000 4/««r/ött. I /r'tttt —' 10 Maach'tm — 100 ; I 1^«^ — I go L«/r. Die Gewichts¬ einheit, das — 10 Ott« — 100 Loo-Zott — 1000 M-Af/'o« — 10000 Lor-ttöZs, ist dem Kilogramm gleich. Das Medicinalge- wichts-Pfund, Meckertta^ sottet, wiegt laut den kön. Verordnungen vom 30. Nov. 1817, und 21. Oct. 1819, 375 (VttttM- ms«), und wird in 12 A/e-ZrorttttZo Onoott — 96 Drachmen — 288 Z-wtt-ieZs — 5760 O--ertt6tt eingetheilt. Von dem vormaligen Holländischen Troy-Gewicht (Vergl. l/i-oz/e« S. 219), wurde die Mark in 8 Unzen — 160 Engels — 5120 As getheilt, und das Pfund, welches in 16 Unzen oder 32 Loth getheilt wurde, enthielt 10280 Holländische As. Zu Folge des Gesetzes vom 1. Febr. i809 wiegt das Kilogramm 2 Pfund E Loth 4,95 As, also 20805,8875 As oder 2,023919g Pfund des Holländischen Troy-Gewichts; hieraus folgt die Holländische Troy-Mark — 246,0842 Gramm. Nach 7.7/. tttttt Kwr'ttttett „ Ve-'Ziatt-ZoZZttL ovo/' ttoZmaö-rZo MKttZett e» L-stt-ro-Uett, , /86S", ist diese Mark — 4633,057 6, «ins //oral« ckö M«/-e «Zo 7^«/-r«, also — 246,0840 Gramm. Preußen. Nach der königlichen Maß - und Gewichtsordnung vom 16. Mai 1816 ist feit I. Jän. 1820 das Grundmaß der Längen der be¬ reits seit28.Oct. 1773 eingeführte sogenannte Rheinländische Werkfuß von 139,13 alt Pariser Linien oder 0,31385354 Meter, welcher in 12 15 » 228 Viertes Hauptstück. Zoll zu 12 Linien getheilt wird. Die Ruthe beträgt 12, der Faden beim Seewesen 6 Fuß, die Preußische Meile 2000 Ruthen. Das Lachter beim Bergbau — 8 Achtel --- 80 Lachterzoll - 800 Pri¬ men — 8000 Secunden — 80 Preuß. Zoll. Die Elle hält 2Sx Zoll. Der Morgen, Feldmaß,-- 180 Quadratruthen. Die Grund¬ einheit der Hohlmaße ist das Berliner Quart — 64 Cubikzoll — 1,1480313 Liter; der Scheffel, Getreidmaß, — 16 Metzen — 48 Quürt; der Eimer, Getränkmaß, — 2 Anker, — 60 Quart; 1 Oxhoft — 3 Eimer, i Ohm — 2 Eimer, i Biertonne — ioo Quart; die Tonne zum Messen des Salzes, Gypses, u. dgl. - 4 Scheffel; die^ Leinsaat - Tonne — 113 Quart. Das Preußische Pfund ist der 66ste Theil des Gewichts eines Preußischen Cubik- fußcs destillirten Wassers im luftleeren Raume bei der Temperatur von -t- IS Gr. Lüaumun, somit — 467,7110 Gramm, es dient als Handels - und Krämergewicht und wird in 32 Loth zu 4 Quent¬ chen getheilt. 1 Zentner — no Pfund, l Schiffslast — 4000 Pfund. Das Gold-, Silber-und Münzgewicht ist die Preußische Mark, oder das halbeHandclsgewichts-Pfund von 233,8833 Gramm, welches mit der, bei dem Preußischen Münzwesen früher gebrauch- -ten Cotner Mark genau übereinkommt; diese Mark wird bei Gold- und Silberproben in 288 Grän getheilt. Juwelen werden nach Ka¬ raten gewogen, von denen 160 auf 9 Quentchen gehen, und wel¬ che in . . getheilt werden. Das Medicinalgewichts-Psund — 12 Unzen — 96 Drachmen — 288 Scrupcl — 5760 Gran-- 24 Preußische Loth des Handelsgewichts. Von der gegenwärtig unter Preußischer Herrschaft stehenden Stadt Cöln führt die, von Kaiser Carl V. im Jahre 1524 als all¬ gemeines Münzgcwicht des Deutschen Reiches eingeführte und da¬ selbst zur sorgfältigsten Aufbewahrung deponirte, Cölner Mark ih"» Beinamen. Da jedoch dieses Grundmuster im Laufe der Zeit verlo¬ ren ging, und die von ihm abgenommencn und den verschiedenen Deut¬ schen Münzstätten mitgctheilten Copien, trotz ihrer Beglaubigungen, mitunter namhaft von einander differiren, so bleibt die Vergleichung^ weise Bestimmun des Gewichts der wahren Cölner Mark, ein äußerst schwieriges un durch Ermittlung des Gewichts der in den verschiedene; 5>rädten noch vorhandenen so genannten Cölner Mar¬ ken, annäherungsweise zu lösendes Problem. Von diesen beträgt nu» III. Abschnitt. 22S dem Obigen gemäß die Kölner Mark zu Berlin 233,868, jene zu Darmstadt 233,859 Gramm. Die Kölner Mark zu Wien ist, nach der von Kaiser Ferdinand I. am i. Aug. 1560 erlassenen Mü'nzvrd- nung — § Wiener Mark, welche, laut des kaiserlichen Münzdecrctes vom I. Nov. 1823, — 280,844 Gramm ist, daher die Kölner Mark zu Wien — 233,870 Gramm. lkMot sand im Jahre 1766 durch wirkliche Abwägung die Kölner Märk — 4403 alt Pariser Gräns, daher -- 233,864 Gramm. Am 16. Jan. 1799 fand die zur Prü¬ fung und Borgleichung der Maße und Gewichte des Ruhrdcparte- ments zusammengesetzte Commission durch eine genau angestellte Untersuchung die Kölner Mark — 23369 provisorische ee/r^naM- mos, demnach — 233,862 Gramm, welchen Werth auch das Gesetz vom9.k>r»r«r>o «/r VIII (30.Nov. 1799) angibt.Vielleicht dürfte man das letztere Verhältniß als das richtige ansehen. Rußland. Der Fuß ist dem Englischen gleich, und wird wie dieser in 12 Zoll getheilt; der Faden (Saschen) — 7 Fuß; die Werst, Wegmaß, — 500 Saschen; die Arschin (Elle), ein- getheilt in und in 16 Werschok — Saschen. Die Desä- tine, Feldmaß, 32oo Quadratsaschen. Das Gctreidemaß, der Tschetwert (Kuhl),, eingetheilt in 4 Osmin — 16 Pajok, oder in 8 Tschetwerik — 64 Garnitzen, enthält' nach altern und neuem Beob¬ achtungen 209,732 Liter, also 3,41031 Wiener Metzen; allein im Handel zu Triest, wo man eine Menge Gctreideladungen von Odessa erhalt, wird der Tschetwcrt zu 2^ S/sss« oder 3,38692 Wie¬ ner Metzen berechnet (Mßerung der Triester Börsedeputalion vom 12. Oct. 1832 in Folge der Hofkanzlci-Verordnung vom 24. Aug. 1830). Der Wedro (Eimer), Geträ'nkmaß, eingetheilt in io Stoof, — 760 Cubikzoll. Das Pfund, Handels-, Gold-, Silber- und Münzgewicht, eingetheilt in 96 Solotnik oder 9216 Doli, wiegt, nach 208 Vergleichungen einer Kopie des Russischen Normalpfundes im Münzhose zu Petersburg und einer Kopie des parlamentarischen Englischen Troy-Pfundes, 63t9,962 Engl. Troy -Grain; i Pud — 40 Pfund. Das in Rußland gebräuchliche Nürnberger Medicinal- pfund enthält 5522,507 Engl. Troy - Grain. (Dove's Repertorium 1837). 230 Viertes Hauptsrück. §. I9S. I. Mittels der angeführten Vcrgleichungszahlen der Gewichte und Längenmaße verschiedener Orte ist es nun leicht, eine ge¬ gebene Anzahl Pfunde, wie auch Klaftern und Fuße eines Or¬ tes in eine gleichgeltende Anzahl eines andern Ortes zu verwan¬ deln; z. B. da der Londner Fuß 0,304794 Meter, und der Wie¬ ner Fuß 0,346102 Meter beträgt, so ist der Wiener Fuß länger, als der Londner; und zwar dergestalt, daß ein Wiener Fuß zu einem Londner Fuß sich verhält, wie 0,3 46102: 0,304794, oder wie 316102:304794; eben so verhält sich auch der Wiener Zoll zum Londner Zoll, nach der zwölfthciligen Eintheilung: es sind da¬ her 304794 Wiener Fuß oder Zoll — 346102 Londner Fuß oder Zoll (vermög §. 182); was man den Reductionssatz für das Wiener und Londner Fußmaß zu nennen pflegt. Wäre nun eine gewisse Länge, welche, im Londner Fußmaße ausgedrückt, gege¬ ben ist, in das Wiener Fußmaß zu verwandeln; so muß man die gegebene Zahl mit dem Bruche ^ "^4 Wäre hinge¬ gen ein gegebenes Wiener Fußmaß in das Londner zu verwandeln, so muß man die gegebene Zahl mit multipliciren. Wenn mehrere gegebene Längenmaße mit einem Bruche zu multipliciren wären, so kann man einen solchen Bruch, oder ein solches Ver- hältniß oiach §. 142) in einen einfachen Ausdruck, ohne merkliche Veränderung des Werthes, verwandeln. Auf diese Art sin- det man, daß sei; denn es ist 1,03710, dagegen ^ — i,03704, folglich beträgt der Fehler nur 0,00006. Es sind daher nahe 27 Wiener Fuß -- 28 Londner Fuß. H. Die Lehre von der angenäherten Abkürzung der Brüche mit Hilfe der zusammenhängenden Brüche (nach §. 142) findet auch noch ihre Anwendung bei der Vereinfachung der Verhältnisse oder Neductionssätze von Maßen und Gewichten, so wie III. AbschnM. 231 auch verschiedener anderer Verhältnisse. Z. B. In unserer Artillerie ist festgesetzt, daß sich der Durchmesser einer eisernen Vollkugel zum Durchmesser der Bohrung der sie schießenden Kanone so verhalte, wie sich der Durchmesser einer 7 pfundigen Kugel zum Durchmesser einer 8 pfundigen verhält. Nun lehrt die Geometrie und Mecha¬ nik, daß die Durchmesser gleichförmig dichter Vollkugeln von dem¬ selben Stoffe (Eisen) sich wie die dritten Wurzeln aus ihren, durch die nemlichc Einheit gemessenen, Gewichten verhalten; folglich ist 3 3 Durchm. der 7 pf. Kugel: Durchm. der 8 pf. Kugel — f/7: l/8, daher auch 3 3 Kugeldurchmesser: Bohrungsdurchmcsser — l/7: l/8. 3 3 Erwägt man nun, daß das Verhältniß 1/7 8 auch in der 3 Form i:-z— geschrieben werden kann, so hat man nur mehr den 1/7 3 1/8 2 Bruch oder ^29312 der Kettenbrüche abzukürzen, l/7 was bereits in §. 112, 3. Beispiel geschah, wo der angenäherte 23 Werth — gefunden wurde. Daher ist jenes Verhältniß auch noch 23 gleich 1: — oder 22:23; nemlich Kugeldurchmesser: Bohrungsdurchmcsser — 22:23. Es ist demnach das Verhältniß des Durchmessers der Kugel zum Durchmesser der Bohrung bei unfern Kanonen dem Verhält¬ nisse der zwei Absolutzahlen 22 zu 23 gleich, d. i. wenn man dm Durchmesser der Kugel bei einer Kanone in 22 gleiche Theile theilt, so ist der Durchmesser der Bohrung um einen solchen Theil größer, so daß daher der Unterschied zwischen dem Durchmesser der Kugel und der Bohrung (d er Spielraum) — des Kugel- durchmcssers ist. Eben so findet man den Spielraum bei unfern metallenen Bombenmörscrn -- —- des Bombcndurchmesscrs, weil cs festgesetzt 232 Dierkes Hauptstück. ist, daß bei diesen Mörsern der Durchmesser der Bombe sich zum Durchmesser des Flugs verhalte, wie der Durchmesser einer 20 pfun¬ digen Kugel zum Durchmesser einer 23pfundigen, nemlich wie 3 1/20:1/23-1.1/^ — 1: — 1:1,04769-1: ^—2i:22. Endlich ist bei den eisernen (Stein-, Cöhornischen und Al¬ larm-) Mörsern Kugeldurchmesser: Flugdurchmesser — Durchmesser einer s pfundigen Kugel: Durchmesser einer K pfundigen Kugel der- 3 3 » selben Materie — I/g: i/6 — 16:17. IV. Abschnitt. Von der zusammengesetzten Regel Detri. §. 200. Die Rechnungsfragen, welche wir bisher durch die Regel Detri aufgelöst haben, waren alle so beschaffen, daß in denselben nur zwei eigentliche Verhältnisse in Betrachtung gezogen wurden, weil alle übrigen Umstände vollkommen einerlei waren. Es kommen aber sehr oft Rechnungsfragen vor, wo mehr als zwei Verhältnisse in Erwägung gezogen werden müssen. Z. B. Es würde gefragt: wenn 100 Fl. Capital in 12 Monaten S Fl. Zins brin¬ gen; wie viel Gulden Zins bringt ein Capital von 836 Fl. in der Zeit von 16 Monaten? Hier sieht man wohl ein, daß in dieser Frage drei verschiedene Verhältnisse vor¬ kommen, nemlich das Verhältniß der Zeit, des Capitals, und des Zinses. Inglcichen: Wenn gefragt würde; s Mann verfer¬ tigen in 6 Tagen 600 Faschinen, wenn sie täglich 8 Stunden arbeiten; wie viel Faschinen werden ISO Mann in S Tagen verfertigen, wenn sie täglich 1^ S tu n d c n a r b e it e n 's ,o kommen in dieser Frage vier Verhält¬ nisse vor, nemlich das Verhältnis, der Mannschaft, der Tage, der täglichen Arbeitsstunden, und der Anzahl der Faschinen. IV. Abschnitt. 233 Die Auflösung solcher Rechnungssragcn, worin mehr als zwei Verhältnisse vorkommen, pflegt man die zusammengesetzte Regel De tri zu nennen, so wie jene, worin blos zwei Ver¬ hältnisse vorkommen, die einfache Regel De tri genannt wird. Jede (einfache sowohl als zusammengesetzte) Regel Detri kann aus zwei Theilen bestehend angesehen werden, von denen jener, worin alle Glieder bekannt sind, der bekannte Fall, und der andere, worin sich die noch unbekannte Zahl befindet, der unbekannte Fall genannt wird. So ist im ersten der gegebenen Beispiele der bekannte Fall, daß ivaFl. Capital in 12 Monaten 3 Fl. Zins bringen; und im zweiten Beispiele ist der bekannte Fall, daß 5 Mann in 6 Tagen eoo Faschinen verfertigen, wenn sie täglich 8 Stunden arbeiten. Anmerkung. Die practischen Rechenmeister pflegen insbe¬ sondere jene zusammengesetzte Regel Detri, worin drei Verhältnisse vorkommen, die -um-ue zu yennen, weil eigentlich 5 Zahlen gegeben sind, wozu die sechste gefunden werden soll. Aus gleichem Grunde nennen sic die aus vier Verhältnissen zusammenge¬ setzte Regel Detri die /tsFre/a «e/irem, jene mit 5 Verhältnissen, novem , u. s. w. §. 201. Jede zusammengesetzte Regel Detri kann durch eine wiederholte einfache Regel Detri ausgelöst werden, indem man jedesmal nur zwei verschiedene Verhältnisse in die Rechnung nimmt, und alle übrigen Umstände für vollkommen einerlei ansieht. Z. B. die ober¬ wähnte Frage, wenn loo Fl. Capital in 12 Monaten 5 Fl. Zins bringen; wie viel Fl. Zins bringt ein Ca¬ pital von 836 Fl. in 16 Monaten, kann folgender Maßen aufgelöst werden: Man suche zuerst durch die einfache Regel Detri, wie viel dieses Capital von 836 Fl. in eben der Zeit von 12 Mona¬ ten Zins bringt, das ist, man lasse die Zeit gänzlich außer Acht, und ziehe nur das Verhältniß des Capitals und der Zinsen in Be¬ trachtung; so ist 100 Fl. C.:836 Fl. C.--S Fl.,Z.:z/Fl. S-, daher - 5.836 - 836 . IVO 2<)— 2Z4 Viertes Hauptstück. Da es nun bekannt ist, wie viel dieses Capital 836 Fl. in der Zeit von 12 Monaten-Zins bringt, so läßt sich wieder durch die Re¬ gel Detri finden, wie viel es in der gegebenen Zeit von 16 Mvna- naten Zins trägt, nemlich 12 M. -.16 M.--41M. Z.-.w Fl. Z., 41^.16 demnach w — —— S5n Fl. r». Eben so kann auch das zweite oben erwähnte Beispiel mit vier Verhältnissen durch die dreimal wiederholte einfache Regel Detri aufgelöst werden, indem man jedesmal nur zwei Verhältnisse in Erwägung zieht, und die übrigen außer Acht läßt; nemlich man suche zuerst die Anzahl der Faschinen (lr), welche die ISO Mann in eben der Zeit verfertigen werden, in welcher s Mann 600 Fa¬ schinen zu Stand bringen; so ist S M.-.1S0 M. — 600F..2 F-, alsv L—-30 -600 —go. 800—18000. Da esnunbckanntist/wicviel 5 Faschinen diese Mannschaft in 6 Tagen verfertigt, so läßt sich auch finden, wie viel Faschinen eben diese Mannschaft in den gege¬ benen 3 Tagen verfertigen werden, wenn man die täglichen Arbeits¬ stunden noch außer Acht läßt, nemlich 6 T.: 3 T. — 18000 F. , 3.18000 daher—-— — 9oooF. v Endlich !ziehe man auch noch die täglichen Arbeitsstunden mit in die Rechnung; so ist 8 St.: 12 St. — 9000 F. .L-F., mithin a?-- I2.9000 I12Z. 12 — I3S00 Faschinen, welche von ISO Mann in 3 Tagen verfertigt werden, wenn diese täglich 12 Stunden ar¬ beiten. Auf dieselbe Art könnte jede aus noch so viel Verhältnissen zusammengesetzte Regel Detri aufgelöst werden. §. 202. Um aber auch zu zeigen, wie jede zusammengesetzte Regel De¬ tri kürzer, als durch die wiederholte einfache aufgelöst werden könne, wollen wir die erste oben erwähnte Frage allgemein so stellen: Wenn Fl. Capital in m Monaten s Fl. Zins bringen (als der bekannte Fall); wie viel Zins trägt ein Capital von L' F!. in 41 Monaten (als der unbekannte Fall)? IV. Abschnitt. 233 Benennen wir die Anzahl Gulden Zins, welche 0 Fl. in »r Monaten bringen, mit Z, und jene, die dieses Capital in Lk Mo¬ naten trägt, mit 2, so hat man drei Reihen zusammengehöriger Großen, nemlich s Fl. Zins, o Fl. Capital, M Monate, Z - - L' - - M 2 - 0 - - tV - und sonach ist wie oben s:Z-o:e, wenn die Zeiten gleich und die Kapitale verschieden sind; Z:2^m:Ms wenn die Kapitale gleich, und die Zeiten verschieden sind; folglich auch L - E : L V, oder wenn man sich vorstellt, daß die unter einander stehenden Zahlen mit einander zu multipliciren sino. Es verhalten sich nemlich, wenn die Kapitale und Zeiten verschieden sind, die betreffenden Zinsen wie die Producte aus den Capitalen in die Zeiten; oder wie man zu sa¬ gen pflegt, die Zinsen stehen mit den Capitalen und Zeiten im zu¬ sammengesetzten Verhältnisse, d. h. das Verhältniß der Zinsen, rr:2, ist dem zusammengesetzten Verhältnisse aus jenem der Capi- tale, e:V, und dem der Zeiten, (beide letztere Verhält¬ nisse gerad genommen) gleich. Setzen wir nun statt der allgemeinen Zahlen wieder die oben gegebenen Werthe, so ist 5:2^100:836 12: 16, oder 5 :2--ioo.l2:836.l6, daher „ 5.16.836 836 . N-"»° Um noch ein anderes Beispiel zu geben, stellen wir die zweite oben angeführte Frage allgemein, wie folgt: M Mann verfer¬ tigen in r Tagen, wenn sie täglich s Stunden ar¬ beiten, / Faschinen; wie vie l.F aschin en werd en AI Mann in Tagen, wenn sie täglich « Stunden ar¬ beiten, verfertigen? 236 Viertes Hauptstück. Benennen wir die Anzahl Faschinen, welche diese llk Mann verfertigen würden, wenn sie ebenfalls r Tage, und täglich s Stunden arbeiten, mit f, die Anzahl Faschinen, die sie in !r Ta¬ gen verfertigen würden, wenn sie täglich s Stunden arbeiten, mit F, und endlich jene, die sie in lr Tagen verfertigen würden, wenn sie täglich « Stunden arbeiten, mit so ergeben sich hier 4 Reihen zusammengehöriger Größen, nemlich Faschinen, m Mann, r Tage, « Arbeitsstunden, f- » F - AL . 2- . , L' - M « und somit ist jf: f denn 3 Mal so viel Mann verfertigen bei einerlei Um¬ ständen 3 Mal so viel Faschinen; f :F— 2*, denn in 4 Mal so viel Tagen werden unter denselben Umständen 4 Mal so viel Faschinen fertig; F:2?-denn wenn der täglichen Arbeitsstunden 2 Mal so viel sind, so werten unter einerlei Umständen auch 2 Mal so viels Faschinen erzeugt; folglich auch (vermög §. iso), oder s:S, wenn man die Bedingung fest hält, daß die unter einander stehen¬ den Zahlen zu multipliciren sind. Es verhalten sich demnach die Zahlen der verfertigten Faschinen gegen einander wie die Produkte aus der Anzahl der Mannschaft in die Arbeitstage, und in die täglichen Arbeitsstunden; oder die Anzahl der Faschinen steht mit der Anzahl der Mannschaft, der Arbeitstage, und der täglichen Arbeitsstunden im zusammengesetzten Verhältnisse, oder endlich das Bcrhältniß der Anzahlen der Faschi¬ nen gleicht dem zusammengesetzten Verhältnisse aus den geraden Verhältnissen der Anzahlen der Mannschaft, der Arbeitstage, und der täglichen Arbeitsstunden. §. 2Ü3. Es kommen aber in manchen Rechnungsfragcn auch Größen vor, welche mit den Größen derjenigen Art, von welcher die ge- IV. Abschnitt. 237 suchte Größe ist, einzeln betrachtet, nicht, wie in den vorstehenden beiden Beispielen, in geradem, sondern in verkehrtem Verhältnisse stehen. Z. B. es wäre die Frage: Wenn M — 100 Mann in t — s Tagen k — 230 Klafter von einer Schanze verfertigen; wie viel Mannschaft müßte angestellt werden, wenn man die ganze Länge der Schanze von L — iooo Klafter in li — 2 Tagen fertig haben will? Benennt man nun die Anzahl der Mannschaft, welche diese L Klafter in r Tagen zu Stande bringen würde, mit M, und die Anzahl der Mannschaft, welche diefe Arbeit in l? Tagen ausführt, mit lti, so finden sich hier drei Reihen von zusammengehörigen Größen vor, nemlich M Mann, L Klafter, r Tage, M - L - r - lU - N 7 daher ist »r: M — L : L, denn 3 Mal so viel Mann verfertigen in der¬ selben Zeit eine s Mal längere Schanze, M: lli — li: r, und bcnöthigen zu einerlei Arbeit 3 Mal we¬ niger Tage, folglich (§. 190), oder — L.-L . „ M/c/! ivoo.100.5 und M — —— —- — 1000 Mann. 2.250 Nemlich das Werhältniß der Mannschaft ist dann erst dem zu¬ sammengesetzten Verhältnisse aus der Anzahl der Klaftern und der Anzahl der Tage gleich, wenn man vorher das Verhältniß der Tage umkehrt, d. h. das Verhältniß der Mannschaften gleicht dem zusammengesetzten Verhältnisse aus dem geraden Verhältnisse der Anzahlen von Klaftern und dem verkehrten der Tage. Als zweites Beispiel diene folgendes: Eine Festung, deren Besatzung M — tzgao Mann beträgt, ist dergestalt mit Proviant versehen, daß durch r — 90 Tage jedem Manne täglich ? — 2 Pf. Brot verabreicht werden können; nun werden iooo Mann fortge¬ schickt, und die übrigen lll --- 5000 Mann sollen durch 7 — iso 238 Vierte sHaupkstück. Tage ernährt werden; wieviel Pfund Brot können jedem Manne täglich gegeben werden? Benennen wir die Anzahl Pfunde, die jedem Manne gegeben werden könnten, wenn sie mit dem Proviant nur r Tage auskom¬ men dürften, mit P, und jene, die man jedem Manne geben kann, wenn sie llk Tage auskommen müssen, mit so hat man hier gleichfalls drei Reihen zusammengehöriger Größen, nemlich Pf. Brot, M Mann, t Lage, P - - M ° « k - M - Üp - und deßwegen ist denn man kann 4 Mal so viel Brot täglich jedem :P — M:»r Manne geben, sowohl wenn Lurch die nemliche Zeit 4 Mal weniger Mann zu verproviantiren und P: F sind, als auch wenn dieselbe Mannschaft während 4 Mal weniger Tagen zu verpflegen ist; folglich p:I> — (vermög §. 190), oder : i? — M: M L': r, und — 2.6000.90 — 2.6 9 43 " tlH 5000.130 — 513 " 65 — I Pf. 22 Loth beinahe. Es steht hier nemlich die Menge Brotes umgekehrt im zusam¬ mengesetzten Verhältnisse mit der Anzahl der Mannschaft, und mit der Zeit, oder das Verhältniß der Mengen Brotes gleicht dem zu¬ sammengesetzten Verhältnisse aus den- umgekehrten Verhältnissen der Mannschaften und der Tage. §. 204. Schon aus den hier behandelten Beispielen, mehr noch aber aus dem sogleich zu gebenden allgemeinen Beweise, wird man die Richtigkeit des folgenden Satzes erkennen. Steht eine Art von Größen mit mehreren an¬ dern Arten, einzeln verglichen, theils im geraden, theils im verkehrten Verhältnisse; so ist das Ver¬ hältniß jeder zwei Größen der ersten Art gleich dem zusammengesetzten Verhältnisse aus den Ver- lv. Abschnitt. 239 hältnissen der zugehörigen G roßen all er übrig en Arten, wofern diese Verhältnisse in der nemlichen oder in umgekehrter Ordnung genommen werden, je nachdem die betreffenden Größen mit jenen der ersten Art im geraden oder verkehrten Verhält¬ nisse stehen. Um diesen Satz allgemein zu beweisen, seien -4, L, 0,. L, L, id/, .ü, H und«, s, o, L, F, M, k, » zwei Reihen zusammengehöriger Größen verschiedener Arten von der Beschaffenheit, daß die Größen ^4, mit den Größen L, dann C, s, u. s. w. bis L, im geraden, mit den Größen AI, »r, u. s. f. bis iU, rr, aber im verkehrten Verhältnisse stehen. Denkt man sich nun noch andere Reihen zusammengehöriger Größen s, <7, L, L, AI, ü, ri, ferner ö, o, . . . . . L, L, AI, . . . . . r, H, u. s. w-, von denen jede zwei unmittelbar nach einander folgenden nur in den Quantitäten einer einzigen Art von Größen unterschie¬ den sind, so muffen diesen Reihen gewisse Größen der ersten Art, welche ss, x, X, -r, heißen mögen, zugehören, wornach die Gesammthcit der hier zu be¬ trachtenden Reihen folgende Zusammenstellung zuläßt. -4, S, 0, . . . . L, L, AI, . . . . !/, si, s, e, .... L, M,.... ü, n, s, c, . . . . L, L,AI, .... V, /7, x, c L, L,AI,.... kl, A, t-, e, . . . . L, I, A/, . . . . ll, Iss zr, ü, e, . . . . Zk, I, »r, . . . . !/, "r, o. L, I, m, . . . . I, ll, o, M, ... . Vergleicht man nun die ersten zwei Reihen mit einander, so zeigt sich, daß blos die ersten zwei Arten von Größen verschieden 240 Viertes H a u p tstück, sind. Da aber der Voraussetzung gemäß diese zwei Arten zusam¬ mengehöriger Größen, einzeln verglichen, oder wenn alle übrigen Umstände die nemlichen sind, mit einander im geraden Verhältnisse stehen, so hat man ^4 : jZ --- L : S. Ähnliche Proportionen ergeben sich aus der Vergleichung jeder zwei andern unmittelbar nach einander folgenden Reihen, daher im Ganzen nachstehende Proportionen: Multiplicirt man nun die gleichvielten Glieder dieser Propor¬ tionen, und kürzt die ersten Verhältnisse (nach §. 187, VI.) durch Division ab, so erhält man die Proportion ^4:« — LO.... I/.M.... ^ - öo.... 7. L4.... 47, welche den aufgestellten Lehrsatz in Zeichen ausdrückt. Für wirkliche Ausführungen von Rechnungen ist es bequemer und übersichtlicher, diese Proportion in der Gestalt ^4 : :7— 720:1139 gerade so zusammen zu setzen, als wenn die Buchstaben IV, V, 7 nicht Größen, sondern unbenannte Zahlen vorstellen würden. Wird hiemit daher auch zunächst dann und endlich was mit der Proportion 1401:1440 72g: 1189 2277.1831 «756:«866 246 V i e rt e S H a uptssück. Sollen nun die obigen 4 Proportionen zusammengesetzt werden, so liefert die Zusammensetzung der zwei ersten, wie gefunden wurde, 1^:2'—1401:1440 720:1139. 2277 «756 1351 ' «866^' 1139 ' 720 2277^ 1139 1351 ' 720 2277 6756 1139 1351 K8K6 r:L—2277:1351 verbunden, so ergibt sich auf dieselbe Weise W:L—1401:1440 720:1139 2277:1351, und wenn damit auch noch L:S—6756:6866 vereinigt wird, erscheint 1401:1440 720:1139 - 2277!1351 «756:6866; woraus ersichtlich ist, daß die Zusammensetzung jeder beliebigen Anzahl von solchen Verhältnissen zwischen Größen gerade so ausge¬ führt werden könne, als wenn an der Stelle dieser Größen Absolut¬ zahlen ständen. Man kann sich von der Richtigkeit dieses Verfahrens auch auf folgende Meise Überzeugung verschaffen. Den angegebenen Verhält¬ nissen gemäß ist "VI 720 11 —- F' 1> — -- 7, — 1440 ' 1139 ' 1401 »--Ml 1440 »--.Ml 1440 übereinkommt. IV. Abschnitt. 247 Als Endresultat dieser Aufgabe findet man nahe genug (nach 112) IV:S-5i:50, oder soil^— si«. Dies ist eigentlich der Grund der so berühmten Kettenregel, deren sich die Kaufleute bei der Vergleichung der Gewichte, Maße und Münzen, wie auch bei Wechselreductionen, u. dgl-, mit Vor- theil bedienen. Wir wollen den Gebrauch derselben durch ein Bei¬ spiel erläutern. Wenn ein Stück Holländisches Tuch von so Brabanter Ellen 26ü Holländische Gulden kostet, und ein Holländischer Gulden — 20 Stüver, 104 Stüver — i Holländer Ducaten, i Hollän¬ der Ducaten — 4 Fl. 28 Kr. Wiener Courant ist; wie viel kostet eine Wiener Elle von diesem Tuche, da 89 Wiener Ellen — ioa Brabanter Ellen sind? Bezeichnet man mit w die Anzahl Gulden Wiener Courant, welche eine Wiener Elle kostet, so lassen sich die Angaben der Auf¬ gabe auf folgende Weise zusammenstellen. « Fl. W. Cour. — i W. Elle 89 W. Ellen — ioa Brak. Ellen sa Brak. Ellen -- 26a Holl. Fl. I Holl. Fl. — 20 Stüver 104 Stüver — i Holl. Duc. i Holl. Duc. — 4^ Fl. W. Cour. Hieraus folgt aber zunächst h Fl. W. Cour. — i W. Elle i W. Elle --- Br. Elle i Br. Elle -- Holl. Fl. i Holl. Fl. — Stüver 1 Stüver Holl. Duc. 104 4- 1 Holl. Duc. ---^Fl. W. C. — lOOr 8S 260: SO 20: I 1-104 100 "" I' 89 100 "" 89 also M --i.^ 30 260 30 260 89 SO I 20 1 248 Viertes Haupt stück. Sofort ist offenbar 100 — „ 100 260 -- FI.W.C. -- 1 W. Ell. - E. -- i-nH-8- 260.20St-l 100.^.^-^H.D. I 89 30 1 104^ 20 1 4" Fl. W. Cour. 104 1 " 1 4^ 104 1 Dieser Werth von ev läßt sich aber auch als aus der Propor¬ tion 4^: 4 bestimmt ansehen, daher man ihn nach der Rees'schen Regel finden wird, wenn man alle Glieder der Proportion verticalen Strich schreibend, folgenden Ansatz bildet. Zu diesem Resultate gelangt man auch durch Auflösung mehre¬ rer einfacher Regel Deinen, indem man sich die Fragen, wie folgt, stellt. Wie viel (e) Brabanter Ellen beträgt i Wiener Elle, wenn 100 Brabanter Ellen 89 Wiener Ellen ausmachen? Wie viel Holl. Gulden kosten r Brabanter Ellen, wenn um 260 Holl. Gulden 30 Brak. Ellen gekauft werden? Wie viel (o) Stüver machen r» Holl. Gulden, wenn l HoH- Gulden 20 Stüver enthält? Wie viel (w) Holl. Ducaten betragen v Stüver, wenn iüt Stüver i Holl. Ducaten ausmachen? IV. Abschnitt. 249 Wie viel Fl. Wiener Courant machen diese w Holländer Ducaten, wenn i Holl. Ducaten E Fl. W. Cour, gibt? Man erhält auf diese Weise nachstehende Proportionen: r Br. Ell.: IOO Br. Ell. -- i W. Ell.: 89 W. Ell. rr H. Fl. : 269 H. Fl. — r Br. Ell.: 39 Br. Ell. v Stüver : 29 Stüver — uH. Fl. : i H. Fl. «7 H. Duc.: i H. Duc. — v Stüver : 194 St- a? Fl. W. C. : E Fl-W.C. -- wH. D. : i H. D. Schreibt man diese Proportionen, was gestattet ist, mit Be¬ seitigung der verkommenden Einheiten von Größen blos in Absolut- zahlen, und vertauscht die mittleren Glieder, so erhält man I 4-. ^60* Man kann daher die vorliegende Aufgabe auf folgende Weise ansetzen und ausrechnen. ferner 89.3.3.W---67. IOO, nemlich 801 >N7—6700; und endlich ^-6709:801 — 8 Fl. 21E Kr. 2Z0 Viertes Haupt stück. Der Rechnungsansatz ist demnach allgemein folgender: Man fangt mit der unbekannten Zahl an, indem man sie oben ansetzt, und neben ihr rechts hinter einen ab¬ wärts gezogenen Strich setzt m an j en e Größe, der sie im Werthe gleich sein soll; sodann kommt links diejenige Zahl, welche mit der zuletzt (rechts) ange- schriebenen gleichartig ist, und rechts neben ihr setzemandieZahl, welche in der Angabe mit ihr ei¬ nerlei Werth hat; ferner wird wieder zur Linken jene Zahl gesetzt, die mit der letzt geschriebenen gleichnamig ist, und neben ihr zur Rechten jene, welche mit ihr einerlei Werth hat; un.d so weiter bis man endlich rechts eine Zahl erhält, diemitder Unbekannten einerlei Namen führt. Übrigens wird wie bei der Rees'schen Regel (im §. 20S) verfahren. V. Abschnitt. Von der Theilrechnung. §. 207. Wenn ein Ganzes in mehrere ungleiche Theile getheilt werden soll, die ein bestimmtes Verhältniß unter einander haben müssen, so wird die Art, wie dies geschieht, die Theilrechnung, und insbesondere die Gesellschaftsrechnung genannt, wenn sie bei Handlungsgesellschaften angewendet wird, um den Gewinn und Verlust der einzelnen Personen nach einem bestimmten Verhältnisse zu berechnen. Z. B. Drei Kaufleute treten in eine Handlungsconi- pagnie; der erste legt a-4000 Fl., der zweite S—6400 Fl-/ d" dritte e—56oo Fl. ein; sie gewinnen mit dieser ganzen Einlage A— 12000 Fl.; wie viel gebührt nun einem jeden von ihnen? Hier ist es klar, daß der ganze Gewinn verhältnißmäßig nach den Einlagen getheilt werden muß, nemlich, daß sich die entfallen¬ den Gewinne wie die gemachten Einlagen verhalten, da derjenige 2,3,4,... Mal mehr gewinnen muß, welcher 2, s, 4,- -' Mal mehr als ein Anderer eingelegt hat. V. Abschnitt. 281 Benennen wir den noch unbekannten Gewinn des ersten" mit w, jenen des zweiten mitund den des dritten mit 8, so ist S:e—A:8, o:«—8:s?, also auch, wenn man die inneren Glieder dieser Proportionen ver¬ tauscht (§. 187,1.) ö:z,—a:L, c:8—«r:cv, oder o:8, und daher (nach §. 191) (er-t-S-i-a): (s?-j-r/-t-s) — Eben so lstjk a-4- 1-— -— -4ab-I weil jedes nach vorgenommener Reduction die Größe 5 -t- zum Vorschein bringt. Eine solche Bezeichnung, wodurch eine Größe auf doppelte Art ausgcdrückt wird, z. B. 9a5« —4,ga—nennt man eine Gleichung. Die Größen, zwischen welchen das Gleichheitszeichen steht, nennt man Th eile der Gleichung; und jene Größen, die auf einer oder der andern Seite des Gleichheitszeichens mit den Zeichen -e- 254 Fünfte« Hauptstück. oder — verbunden sind, heißen Glieder der Gleichung. Im letzt angeführten Beispiele besteht der eine Theil der Gleichung aus s, und der andere aus 2 Gliedern. §. 210. Solche Gleichungen, deren Richtigkeit durch den blosen An¬ blick, oder durch die Reduction der Glieder gleich in die Augen fällt, ohne daß es nöthig wäre, in Erwägung zu ziehen, was für Wcrthe die darin vorkommenden Buchstaben haben, oder wie selbe von einander abhängen müssen, werden identische Gleichun¬ gen genannt. Zuweilen aber ist es aus andern Umständen bekannt, daß zwei algebraische Ausdrücke einander gleich sein müssen, ohne daß beide die nemlichen Buchstaben führen, wo dann die Gleich¬ heit der zwei algebraischen Ausdrücke auch keineswegs durch eine bloss Reduction der Glieder, ohne auf ihren Werth zu sehen, ein¬ leuchten kann. Z. B. Das Gewicht einer Kugelpatrone sei a Pf., die dazu gehörige Kugel wiege S Pf., das Pulver hiezu sei o Pf-, und der Sack sammt Bindfaden wiege Pf.; so ist offenbar, daß a—ö-t-o-«-ck sein muß, welches nicht durch einen blosen Anblick der Gleichung, sondern erst aus der Bedeutung der Buchstaben «, ä, «und erfolgt. Eine solche Bezeichnung, wo zwei auf verschiedene Art ausgedrückte algebraische Größen einander gleich sind, in so fern man den darin vor¬ kommenden Buchstaben gewisse -Werthe beilegt, heißt eine wirkliche algebraische Gleichung. Seist bei den angeführten Umständen a—eine wirkliche algebrai¬ sche Gleichung. 4 Eben so kann auch 5«—— —a-f-ö-i-c eine wirkliche alge- 5 braische Gleichung sein, falls die Größen «, S , o so von einander abhängen, daß diese Gleichung Statt findet. §. 211. Die vorzüglichsten Eigenschaften der Gleichungen sind folgende. I) In jeder Gleichung kann man jedes Glied aus einem Theile der Gleichung hinweg schaffen, wenn man es in den andern Lheil der Gleichung mit verändertem Zeichen überträgt. Z. B. In der Gleichung 4«--SS—rnck-e kann das Glied —Sä auf die andere !. Abschnitt. 253 Seite des Gleichheitszeichens geschafft werden, indem man schreiet 4a— und so auch 4a— M— o-i-gö; (vermög §. IS und 22, Grundsatz I.) Man kann demnachauch zwciganz gleiche Größen, welche auf verschiedenen Seiten des Gleichheitszeichens stehen, gänzlich hinweg lassen. 2) Wenn man alle Glieder der Gleichung mit einer und der nemlichen Größe multiplicirt, oder dividirt, so bleibt die Gleichung noch richtig (vermög §. 29 und SS, Grundsatz!.). Man kann demnach in einer Gl eich ung j ed en b eliebig en Nen¬ ner eines Gliedes hinweg schaffen, wenn man alle Glieder der Gleichung mit diesem Nenner multipli¬ cirt, so wie man auch was immer für ein Glied von einem Coefsicienren (oder Factor) befreien kann, wenn man alle Glieder der Gleichung durch diesen Coefficienten (oder Factor) dividirt. Ist z. B. SaL -öc—a-t-So o gab eine Gleichung, und soll man dann das erste Glied -— von dem Nenner o, so wie auch von dem Coefficienten S befreien, so ist bo? ao-t-So? indem man alle Glieder mit o multiplicirt und durch s dividirt, oder Mlt - multiplicirt. ö Aus diesem erhellet auch, daß eine Gleichung noch richtig bleibe, wenn man die Zeichen aller Glieder verändert, weil man sich vorstellen kann, man habe die ganze Gleichung mit — I mul¬ tiplicirt; wenn also aS—-o—e-l-et ist, so ist auch -o—«- ——o — / Ss vom Wm- zelzeichen befreit werden, so ist — l/ös—o—und (— I/ öo) 2 — ; nemlich -o — c" — so -I- §. 212. Eine Größe aus einer vorgelegten Gleichung finden, oder vielmehr den Werth einer Größe aus einer gegebenen Gleichung bestimmen, heißt diese Größe durch die andern in der Gleichung vorkommenden Größen so ausdrücken, daß, wenn man diesen ge¬ fundenen Ausdruck, statt der Größe in der vorgelegten Gleichung substituirt, eine identische Gleichung zum Vorschein komme. Z. B. 4» Aus der Gleichung a -l-— as— g den Werth von S finden, heißt ö durch K und e so ausdrücken, daß, wenn man den gefun¬ denen Werth von S in dieser Gleichung substituirt, eine identische Gleichung zum Vorschein komme. Dieser Werth ist S — ——; man erhält ihn, wenn man (nach §. 2ii) trachtet, S ganz allein auf eine Seite des Gleichheitszeichens, und zwar positiv zu erhalten, und es vom Co- efficienten, vom Nenner und von dem etwa noch vorfindigen Expo¬ nenten befreit, was sich stets thunstäßt, wenn nur S nicht in der Gleichung mitzwei verschiedenen Exponenten erscheint,welcher Fall erst später betrachtet werden wird. Wäre nun in der vorgelegten Gleichung « und ein Zahlen bekannt, z. B. a—7, o—4, und von S wüßte man nur aus gewissen Umständen, ü hänge von « und c so ab, daß diean- . 46 geführte Gleichung « 4- — ao—Z Statt finden müsse, ohne noch eigentlich zu wissen, was S in Zahlen gelte, so ist durch diese §pe-' I. Abschnitt. 257 ration auch S in Zahlen bestimmt, wenn man in dem gefundenen . 3-e?s—oa?"> die Größe a? zu finden; so ist era?"">-i-ea?"«—a"s durch Übertragung der Glieder; a?^--- 5.2?"°^-sS durch die Division mit er; er a?"----t--a?"«-t-(^) —erb-t-(^^ Ergänzung des Quad. a.-"- -t- (rrS -t- ^2), Ausz. der Quadratwurzel, a?'"— — («s -l- , Übertragung der Glieder, a?-- (aS -t- , Ausz. der Mten Wurzel. 262 Fünftes Hauptstbck. Man sieht aus diesem letzten Beispiele, daß alle höheren Gleichungen, in welchen die Unbekannte nur in zwei Potenzen von solchen Exponenten erscheint, daß der eine Exponent der Hälfte des andern gleich ist, als quadratische.Glei¬ chungen behandelt werden können. ».Abschnitt. Von den algebraischen Aufgaben und ihrer Auflösung. §. 216. Eine algebraische Ausgabe ist das Verlangen, aus einigen schon bekannten Großen andere unbekannte, die unter gewissen Bedin¬ gungen von jenen abha'ngen müssen, durch die Rechnung zu finden. Z. B. Das Verlangen, eine Zahl zu finden, die um ihre eigene Hal ft evermehrt, die Zahl 12 zum Vorschein bringt, ist eine Aufgabe, worin die Zahl 12 bekannt, und eine andere von der verlangten Eigenschaft erst gesucht werden muß. Eben so ist das Verlangen, zwei Zahlen zu finden, die zusammen addirt die Summe 17, und von einander abgezogen, die Differenz 7 zum Vorsch ein bringen, eine Aufgabe, worin zwei Zahlen 17 und 7 bekannt sind, und zwei andere gefunden werden sollen. Erstere heißt eine Aufgabe mit einer unbekannten Größe, weil nur nach einer Größe gefragt wird; die andere aber ist eine Aufgabe mit 2 unbekannten Größen, weil zwei Zahlen gefunden werden sollen. Überhaupt heißt es eine Aufgabe mit 1, 2, 3, 4, . . . unbekannten Größen, wenn in ihr nach 1, 2, 3, 4, . . . unbekannten Größen gefragt wird. §. 217. Eine Aufgabe heißt bestimmt, wenn nur ein einziger Werth für jede zu suchende Größe gefunden werden kann, welcher den Bedingungen der Aufgabe Genüge leistet; können aber deren meh¬ rere gefunden werden, welche die verlangten Eigenschaften haben, so ist es eine unbestimmte Aufgabe. So z. B. sind beide oben Ik Abschnitt. 263 angeführten Aufgaben bestimmt; denn in der ersten kann die gefor¬ derte Zahl nur 8 sein; und in der andern sind die gesuchten Zahlen nur i2 und s, weil außer diesen keine anderen von der verlangten Eigenschaft gefunden werden können. Hingegen ist folgende Aufgabe : Zwei Zahlen zu finden, die mit einander multipli- cirt das Product 12 zum Vorschein bringen, eine un¬ bestimmte Aufgabe, weil verschiedene Zahlen diese Eigenschaft haben, als Z.4, 2.6, 1.12, 24. z und so unendlich viele Brüche. Eine Aufgabe hingegen, wo gar kein möglicher Werth gesunden werden kann, welcher der Aufgabe Genüge leistet, heißt eine unmögliche Aufgabe. §. 218. Um eine algebraische Aufgabe aufzulösen, pflegt man die Grö¬ ßen, die noch unbekannt sind, mit den letzten Buchstaben des Alpha¬ bets s, z/, . . . und öfters auch, um die Auflösung allgemein zu machen, die schon bekannten Zahlen mit«, S, a, . . . zu be¬ zeichnen; dann ist es nothwendig, daß man die Bedingungen, wie die unbekannten Größen von den bekannten abhängen müssen, wohl überlege, und selbe durch Gleichungen auszudrücken suche, wornach die unbekannten Größen aus den Gleichungen leicht nach den vor¬ hergehenden §§. zu entwickeln sind. Es läßt sich aber keine allge¬ meine Regel aufstellen, wie aus den gegebenen Bedingungen der Aufgabe, oder aus dem Zusammenhänge, den die bekannten und un¬ bekannten Größen unter einander haben müssen, die Gleichungen zu bilden sind; dazu wird ein gewisser Grad von Scharfsinn erfor¬ dert, den man durch fleißige Übung erhöhen kann. Es wird aber sehr dienlich sein, die Auflösung verschiedener Urten von Aufgaben hier aus einander zu setzen, wodurch ein fleißiger Anfänger in den Stand gesetzt wird, verschiedene dergleichen, und auch andere vor¬ kommende Aufgaben geschickt aufzulösen. Auflösung von Aufgaben mit einer unbekannten Größe. Z.2IS. i. Aufgabe. Eine Zahl zu finden, die um ihre eigene Hälfte vermehrt, 12 zur Summe bringt. 261 Fünftes Hauptstück. Auflösung. Die gesuchte Zahl sei ar, so ist - die Halste, also muß laut Bedingung ar -i- — 12 sein, woraus ar—8 folgt (§. 212). 2. Aufgabe. Eine Zahl von der Beschaffenheit zu finden, daß, wenn man sie durch 3 dividirt, eben so viel erhalten werde, als wenn man sa von ihr abgezogen hätte. Auflösung. Die Zahl fei—ar, diese durch 3 dividirt gibt zieht.man aber von ihr 30 ab, so hat man ar — 3st, also ist laut Bedingung -—ar—30; daraus findet man ar—45 (nach §. 212). 3. Aufgabe. Es wurde Jemand um seine monatliche Ein¬ nahme befragt, und er antwortete: Die Hälfte, das Drittel und daS Viertel zusammen genommen, übersteigt die Einnahme selbst um 2 Fl. Wie viel hatte er monatliche Einnahme? Auflösung. Die monatliche Einnahme sei — a? Fl-, so ist die Hälfte das Drittel und das Viertel zusammenstlst ar ar ar . -t- > Da dies um 2 Fl. größer sein soll, als die ganze Einnahme ar, so ziehe man 2 davon ab, und es wird der Rest der ganzen Einnahme gleich sein müssen; also ist laut Bedingung — 2---ar; woraus ar—24 folgt (§. 212). 4. Aufgabe. Es wurde Jemand gefragt, wie alt er sei, und er antwortete: Wäre ich noch einmal so alt, als ich wirklich bin, so hätte ich eben so viel über iva Jahre, als mir jetzt noch hie¬ von abgehen. Wie alt war dieser Mann? Auslösung. Die Anzahl seiner Jahre sei—ar; also gehen ihm von hundert noch ab 100—ar; wäre er noch einmal so alt, st II. Abschnitt. 26S hätte er 2a?; dann hätte er über 100 Jahre 2a?—400; also ist 100—a?—2a? -iOO; woraus man findet a? — «6^- Jahre. 5. A ufgabe. Ein Water bemerkte, daß er jetzt dreimal so alt sei als sein Sohn, und daß er nach 20 Jahren nur noch einmal so alt als dieser sein werde. Wie alt war jeder von beiden? Auflösung. Des Sohnes Alter sei a? Jahre; so ist der Water 3« Jahre alt; in 20 Jahren wird der Sohn a?-i-20, und der Water 3a?-i- 20 Jahre alt sein; da aber der Water dann noch einmal so alt als der Sohn sein soll, so ist Za? -l- 20 — 2 (a? -I- 20), woraus a? --- 20 folgt; es ist daher der Sohn 20, und der Water 60 Jahre alt. «.Aufgabe. Es wurde Jemand von einigen armen Leuten um ein Almosen gebeten: er wollte jedem 5 Kr. geben, hatte aber um 3 Kr. zu wenig in seinem Beutel; darauf gab er jedem nur 4 Kr. und da blieben ihm 2 Kr. übrig. Wie viel waren arme Leute, und wie viel Kreuzer hatte der Mann ? Auflösung. Die Anzahl der Armen sei — a?; hätte jeder 5 Kr. bekommen, so würde er Sa? Kr. ausgetheilt haben; da ihm aber 3 Kr. dazu fehlten, so war sein Geld Sa? — 3; ferner hat er jedem 4 Kr. gegeben; also hat er ausgetheilt 4a?Kr., und es blieben ihm 2 Kr. übrig; folglich war sein Geld auch — 4a? -t- 2. Es ist demnach sa?—3—4a?4-2; daraus folgt a? — s — der Anzahl der Armen, und sa?—3—22 — seinem gehabten Gelde in Kreuzern. 7. Aufgabe. Es hat Jemand einen Bedienten gedungen, mit dem Accorde, daß er ihm jährlich eine Livree nebst iso Fl. geben will; der Bediente blieb nur 8 Monat im Dienste, und der Herr gab ihm, nebst der Livree noch 86 Fl. Wie theuer ist die Liv¬ ree gerechnet worden? Auflösung. Die Livree koste a? Fl., so gebührte dem Be¬ dienten auf ein ganzes Jahr oder auf 12 Monat iso Fl. 4- -r? Fl.; 266 Fünftes Aauptstück. daher auf 8 Monat (iso-i-a?).^; und da er ihm nebst der Livree nur 86 Fl. gab, so muß n-t-86 —(150-l-a-). sein; woraus a? — 42 Fl. folgt. 8. A ufgabe. Einem Courier der vor s Tagen fort ist, und täglich io Meilen macht, wird ein anderer nachgeschickt, der täg¬ lich 12 Meilen macht. Zn wie viel Tagen wird er den ersten ein¬ holen? Auflösung. Um diese Aufgabe allgemeiner zu machen, sei die Anzahl der Tage, die der erste Courier voraus hat, —a, die Anzahl der Meilen, die er täglich macht, —d, die Anzahl der Meilen, die der zweite täglich macht, —c, die Anzahl der Tage, nach denen er den ersten einholt, —s; so Hat der erste schon voraus a.S Meilen, und während der w Ta¬ ge macht er noch S.s Meilen; also ist sein ganzer Weg, bis ihn der zweite einholt, — «ö-t-Sn?; der zweite aber macht in « Tagen ca? Meilen; und weil er den ersten eingeholt haben soll, so ist , , aö av-t--«—ew, woraus a?--- —7 solat. e—S Zn unserem Beispiele ist a--- s, - -- 10, e — 12, also 3-10 n — 15 Tage. Nach dieser Formel können verschiedene Aufgaben aufgelöst werden. Z.B. Es wurde Zemand gefragt, wie viel Uhr es sei; und er antwortete: Zch kann die Abtheilu Il¬ gen der Minuten nicht mehr genau unterscheiden, nur so viel bemerke ich, daß der Minutenzeiger den Stundenzeiger zwischen 7 und 8 Uhr decke. Wie viel Uhr war es wohl? Hier ist in unserer Formel a — 7; weil um 7 Uhr der Stun¬ denzeiger sich schon 7 Stunden lang von 12 hinweg bewegt hat, der Minutenzeiger aber um 7 Uhr genau aus 12 Uhr wies; S weil der Stundenzeiger in einer Stunde nur eine Stundenabthei- lung zurücklegt; 0—12, weil der Minutenzeiger in jeder Stunde ganz herum läuft; also ist « Stunden. Es war demnach 7,^ Uhr — 7 Uhr 88^- Minuten. II. Abschnitt. 267 Ein feindliches Corps ist vor 2 Tagen aufgc- krochen, und macht täglich 3 Meilen: man willdem- selben nachsetzen, um es in K Tagen einzuholen; wie viel Meilen müssen täglich gemacht werden? Hier ist in der Formel «—2,ö—3,w — 6, daher findet S(a-i-n) s.8 , man v - -4 Meilen, a? K 9. Aufgabe. Zwei Regimenter, welche « — 8ü Meilen von einander entfernt sind, brechen zugleich auf, und marschiren gegen einander, um ihre Garnisonen zu wechseln: das erste macht täglich S ---- 4, und das zweite täglich e -- 3 Meilen; in wie viel Tagen werden sie einander begegnen? Auflösung. Die Anzahl der Lage fei — in dieser Zeit macht das erste Regiment öa? Meilen, und das zweite es? Meilen. Da sie aber einander begegnen, so haben beide zusammen den gan¬ zen Weg gemacht, folglich ist Sn-t-on—«, woraus « — folgt. Sie werden also den zwölften Tag einander begegnen. ia. Aufgabe. Vormals mußte jeder Hauseigenthümer einer Stadt jährlich das 7tel seines Zinserträgnisses als Zinssteuer con- tribuiren; da er aber jetzt das 6stel hievon jährlich zahlen muß, um wie viel muß er seine Inwohner steigern, damit er sein voriges Ein¬ kommen behalte? Auflösung. Es sei der jährliche Ertrag eines Hauses — « Fl. gewesen; hievon hat er Zinssteuer entrichtet Fl., folglich ist ihm verblieben Fl. Er steigere nun seine Inwohner um n Fl. ; . . a -t- a? so ist der Ertrag a -t- w, wovon nach Abzug der Zinssteuer ——- ihm—bleibt; und da er das ncmliche Einkommen behalten soll, so ist 6« 7 — k ' woraus s folgt. Er muß also jeden Inwohner um den Lösten Theil des vorigen Zinses steigern. 268 Fünftes Hauptstück. n. Aufgabe. Zwei Compagnien werden zu einer Arbeit an- gestellt; man weiß, daß die erste Compagnie allein in a — 26 Tagen, und die zweite allein in ü—16 Tagen mit dieser Arbeit fertig würde. Wie viel Tage werden beide zusammen damit zu thun haben? Auflösung. Da die erste Compagnie in a—26 Tagen mit der Arbeit allein fertig würde, so macht sie täglich den Theil von der ganzen Arbeit; und die zweite aus der nem- 1 1 lichen Ursache — der ganzen Arbeit. Die Anzahl der Tage, welche sie brauchen, wenn sie beide zusammen arbeiten, sei — n,so macht die erste ^Compagnie in « Tagenden Theil^-, und- die zweite den Theil^-von der ganzen Arbeit; beide Theile müssen aber dre ganze Arbeit ausmachen, folglich ist - -1- — 1, woraus " folgt; nemlich - -- -s^ Tage. , folglich «K-j-sZS-t-^e -t- K-s-^-1- c: -1- - .. multiplicirt man nemlich jede einzelne Summe mit der Zeit, in welcher sie zahlbar ist, und dividirt die Summe der Produkte durch die ganze Schuld, so hat man die Zeit, nach welcher alle Zahlun¬ gen auf einmal geschehen können. Soll der Kaufmann z. B. in drei Terminen folgende Zahlungen leisten, als: 2832 Fl. nach 3, 288g Fl. nach s und I450FI. nach 16 Monaten, so kann er dieselbe auch nach 2832.3-1-256!). 9l-1450-16 2832-1-256!)-t-1450 entrichten. — 8 Monaten auf einmal 19. Aufgabe. Ein Frauenzimmer wurde um ihr Alter be¬ fragt, und sie antwortete: Meine Mutter hat mich im losten Jahre ihres Alters geboren; wenn man nun meine Jahre mit den Jahren meiner Mutter multiplicirt, so kommen die Jahre Mathusalems zum Vorschein, der 969 Jahre gelebt hat. Wie alt war jede? Auflösung. Die Tochter sei Jahre alt, so ist die Mutter 2-1-40 Jahre alt; folglich ist a-»-,-40)—969; woraus n---—20^ z/ 1369—17 (nach §.215) gefunden wird, weil der zweite Werth, — 57, da nur positiv sein kann, nicht zu¬ lässig ist. 20. Aufgabe. Ein Vater stirbt, und hinterläßt ein Ver¬ wögen von «—70000 Fl., und eine gewisse Anzahl Kinder; gleich Vega Vorles. I. Bd. ' 18 274 Fünftes Hauptstück. nach des Vaters Tode starben 2 Kinder davon, und durch diesen Umstand bekam jedes Kind um 4000 Fl. mehr, als es bekommen hätte, wenn keines gestorben wäre. Wie viel waren anfänglich Kin¬ der vorhanden? Auflösung. Ihre Anzahl sei — a? gewesen; und da 2 da¬ von gestorben, blieben noch 2. Im ersten Falle hätte jedes be¬ kommenFl., und da 2 gestorben, bekommt jedes weil aber letzteres um 4000 Fl. mehr sein soll als das erste, so ist eine verwickelte quadratische Gleichung, woraus (nach §. 218) ge¬ funden wird -j-oder —5, wo jedoch nur der erste Werth genommen werden kann, da a? nicht negativ werden darf. 2i. Aufgabe. Ein Oberfeuerwerksmeister hatte unter seinem Commando 20 Unterofficiere, theils Obcrfeuerwerker, theils Feuer¬ werker; er gab jeder Partie 24 Feuerballen zu schnüren, und es . ereignete sich, daß jeder Oberfeuerwerkcr um einen Feuerballen mehr, als ein Feuerwerker schnüren mußte. Wie viel waren Ober¬ feuerwerker, und wie viel Feuerwerker? Auflösung. Die Anzahl der Oberfeuerwerker sei — so ist die Anzahl der Feuerwerker —20— Ein jeder Oberfeuer- 24 werkcr mußte demnachFeuerballen, und jeder Feuerwer- ker 2g Feuerballen schnüren; weil aber die erste Anzahl der Feuerballen um i größer sein soll als die zweite, so 24 24 * — 2gH^- hieraus folgt a? — 34 /676 — 34 26 - » Oberfcuerwerker. Hier sicht man leicht ein, daß das Zeichen — genommen werden müsse; denn würde man das Zeichen -1- nehmen, st wäre L-34-t-26-60, da doch in allem nur 20 Unterofficiere waren. Man muß deßwegen bei algebraischen Rechnungen das dop- II. Abschnitt. 278 pelte Zeichen vor den Wurzeln (§. us, II.) bis zu Ende der Rechnung beibehalten, wo sich dann erst entscheiden laßt, welches von beiden genommen werden kann, um nicht auf falsche Resul¬ tate geführt zu werden. 22. Aufgabe. Ein Hauptmann des Bombardier-Corps wurde gefragt, wie viel er bei seiner Compagnie Oberfeuerwerker, Feuerwerker und Bombardiere habe, und wie viel jeder täglich Löhnung erhalte? Er sagte: ich habe dreimal so viel Bombardiere, und Mal so viel Oberfeuerwerker als Feuerwerker; jeder Oberfeuerwerker hat täglich so viel Kreuzer als Feuerwerker, jeder Feuerwerker um 4 Kr. mehr, als Oberfeuerwerker, und jeder Bombardier nur den dritten Theil so viel Kr., als Feuer¬ werker sind; und die tägliche Löhnung aller dieser Leute beträgt 52 Fl. 48 Kr. Wie viel Oberfeuerwerker, Feuerwerker und Bom¬ bardiere hatte dieser Hauptmann, und wie viel Löhnung hatte jeder täglich? Auflösung. Die Anzahl der Feuerwerker sei —n, so ist die Zahl der Oberfcuerwerker —, und die der Bombardiere — 3n; folglich haben alle Oberfeuerwerker täglich ^Xn—, alle Feuerwerkern ^--t-4^ — — -i- 4n, und alle Bombardiere ^3^3 ' Sn. — ^.2. Es ist demnach 2n^ 2n? -t- -t- 4n n- — 82 . 60 -t-48; daraus folgt —— b (§, 218), endlich N---36, weil der zweite Werth n——87für die vorliegende Aufgabe unzulässig ist- Er hatte demnach 36 Feuerwerker, 24 Oberfeuerwerker und 108 Bombardiere; jeder Oberfeuerwerkcr erhielt täglich 36, jeder Feuerwerker 28, und jeder Bombardier i2 Kr. 18 * 278 Fü nfte s H auptsi ü ck. 23. Aufgabe. Zwei legen zusammen in eine Handlung a — 2000 Fl>; der erste ließ sein Geld durch m — 17 Monat liegen, und erhielt an Einlage sammt Gewinn ü — 1710 Fl.; und der andere ließ sein Geld durch n— 12 Monat liegen, und erhielt an Einlage sammt Gewinn 0 — iv40 Fl. Wie groß war eines reden Einlage? Auslösung^ Es sei die Einlage des ersten — n Fl., so ist die Einlage des zweiten — a — L-, und der Gewinn des ersten — s —ihr gestammter Gewinn aber ist — K-r-c —a; folglich ist (nach §. 2N8) —a.) : —a:. Es ist demNtich l«/r -t- (»r — Lg (ö — — M (S -I- 0 — tt) Diese Gleichung (nach §. 21s) aufgelöst, gibt 4 st S/r-I-eMX^ ö/r 1 - K- III 4 V «— --) -I- 4" - , 2 t. »r-»r ' V M—» / m—n-I wobei, da das Radical größer als die beiden ersten Glieder zu¬ sammen ist, nur das obere Zeichen genommen werden kann; daher ist für den angegebenen besonderen Falla.- —1200. Auflösung der Aufgaben mit mehreren unbekann¬ ten Größen. §. 22g. Wenn in einer Aufgabe nach zwei, oder mehreren Größen gefragt wird, so bezeichne man jede unbekannte Größe mit einem besonder« Buchstaben, und suche sodann wieder die Bedingungen der Aufgabe durch Gleichungen auszudrücken. Kann man nun aus den Bedingungen.der Aufgabe eben so viel Gleichungen, von denen keine weder die Folge anderer ist, noch anderen widerspricht, ablei¬ ten, als man unbekannte Größen angenommen hat, so ist es ein Zeichen, daß die Aufgabe bestimmt sei; reichen hingegen die Bedingungen der Aufgabe nicht zu, so viel Gleichungen ansetzen zu können, als man unbekannte Größen angenommen hat, so ist die Aufgabe unbestimmt. So kann in der unbestimmten Aufgabe (§. 217), zwei Zahlen zu finden, die mit einander multiplicirt das Product a---i2 zum Vorschein n. Abschnitt. 277 bringen, wenn man die eine gesuchte Zahl mit w, und die andere mit - benennt, nur folgende Gleichung angesetzt werden, a?-—a; weiter läßt sich keine Gleichung aus dieser Bedingung mehr an¬ setzen. Fügt man hingegen zu obiger Bedingung noch die hinzu: daß die zwei gesuchten Zahlen von einander abgezogen die Differenz «t-4 zum Vorschein bringen muffen, so findet noch folgende Glei¬ chung Statt, s?— wo w die größere, und - die kleinere ge¬ suchte Zahl vorstellt, und die Aufgabe ist dann bestimmt. §. 22!. Hat man nun aus den Bedingungen der Aufgabe so viel Gleichungen abgeleitet, als unbekannte Größen vorhanden sind, so muß man trachten, mit den Gleichungen solche Veränderungen vorzunehmen, und dieselben so unter einander zu verbinden, daß man zuletzt eine Gleichung erhalte, worin sich nur eine einzige unbekannte Größe befindet, die man daraus bestimmen, und durch Substitution in den vorigen Gleichungen eine unbekannte Größe nach der andern entwickeln kann. Die Art aber, wie dies geschehen kann, ist mannigfaltig, und es wird am besten sein, wenn eine Art nach der andern in wirklichen Beispielen gezeigt wird, weil es ohnehin nur auf die Gestalt der Gleichungen selbst ankommt, welche Art zu wäh¬ len ist, damit der Zweck am kürzesten erreicht werde. Aus obi¬ gen Gleichungen und a?—können die unbekann¬ ten Größen a.- und - auf folgende Art entwickelt werden. Man suche aus jeder Gleichung den Werth von einer und der¬ selben unbekannten Größe, z. B. von als wenn - schon be¬ kannt wäre; aus der ersten folgt , und aus der zwei¬ ten cs ist also auch (§. !2, Grunds, m.) —'--k--, woraus - — — -i- folgt; oder wenn man die für « und oben angenommenen Wertste setzt, so ist -—2 oder —6. Diesen Werth substituire man nun in einer der vorhergehenden Gleichungen, so findet man a- — f/( Secunden. Man will von diesen zwei Sätzen 60 Pfund zusammen mengen, so daß eine eben so lange Brand¬ röhre aus dem neuen Satze verfertigt, durch 30 Secunden brenne. Wie viel muß von jedem Satze genommen werden? Hier hat man a— ö— r,, 0 —6t) Pfund, «—45, jZ—20, ^—30 Sekunden, also w r/ 60 i; ° s °d" ^7 r, , . ^-12, MtthM L—24, und zc—36; nemlich man wird 24 Pf. des' schärfern Satzes mit 36 Pf. des mattem vermengen. 5. B e i sp iel. Eine ärarische Salpeter-Läuterungsanstalt soll 400 Klafter 36zölliges Brennholz beziehen; der Lieferant hat aber nur so und 40zölliges derselben Qualität; wie viel von jeder Sorte hat der Verwalter anzutragen? Hier ist «— a?, ö— 0—400 Klafter, «-Sy, 40, 36 Zoll, also , somit ^--160, und Z/--240; *) Man nennt ein Silber 10, 13, I5löthig, wenn in einer Mark von 16 Lothen nur 10,13, 15 Loth reinen Silbers, folglich 6, 3, I Loth Zusatz an Kupfer enthalten sind. 286 Fünftes Hauptstück. nemlicl» cs sind 160 Klafter des so, und 240 Klafter des 40zölligcn anzutragen. Es wird dem Lernenden nützlich sein, jedes der gegebenen Beispiele auch speciell aufzulösen. s. Aufgabe. Zwei Kanoniere haben zusammen ivoo Pa¬ tronen gefüllt, und gleichviel Pulver verwendet; der erste spricht zum zweiten: Hätte ich so viel Patronen, als du gefüllt, so hätte ich 18 Centner Pulver verarbeitet; und der zweite antwortet: Hätte ich blos so viel Patronen wie du gefüllt, so würde ich nur 8 Centner Pulver verarbeitet haben. Wie viel Patronen hat jeder gefüllt, und mit wie viel Pulver? Auflösung. Die Anzahl der Patronen des ersten sei — und die des zweiten— r/; so ist das verwendete Pulver des ersten nach seiner Aussage Centner; und das verwendete Pulverdes zweiten ist nach seiner Aussage (§. 196). Da aber beide gleich¬ viel verwendet haben sollen, so ist . Ferner ist r/ a? . n-t-r/— tooo, weil beide mit einander rooo Patronen gefüllt haben sollen. Aus der ersten Gleichung ist , nemlich a?—isi^'^obei jedoch die Natur der Aufgabe nur den positiven Werth zuläßt; substituirt man diesen Werth in der andern Gleichung, so 2v ist -t-N^iooo,woraus r/ —600 folgt. Also a:—Ivoo—tzgo---4OO, und das von jedem verwendete Pulver ist —— -- 12 t/ Centner. Wäre aber die Bedingung der Aufgabe folgender Maßen ge¬ stellt: Der erste spricht zum zweiten: Hätte ich jede Patrone mit so viel Pulver gefüllt, wie dli die deinigen, so würde ich nur »-S62; Pf. Pulver ver¬ wendet haben; und der zweite sagt: Hätte ich meine Patronen mit so viel Pulver gefüllt, wie du die deinigen, so hätte ich S—1562; Pf. verwendet; so wäre ».Abschnitt. 287 wieder, wenn man die Anzahl der Patronen des ersten mit w, und die des zweiten mit z/ benennt, w-t-z/—iooo. Ferner ist das Pulver, welches der zweite zu einer Patrone verwendet hat,— Pf.; und das Pulver, welches der erste zu einer Patrone verwendet hat, Pf.; folglich hat der erste zu allen Patro- nen —Pf., und der zweite — Pf. verwendet; es ist demnach — , weil beide gleichviel Pulver verwendet haben sollen. 9 Aus der zweiten Gleichung ist wenn v 25 man für -7, und die andere A—6 Stunden geöffnet war. Wie viel Stunden müssen beide zugleich geöffnet werden, damit selbe ein Behältniß von Zr—ioa Eimer anfüllen? Auflösung. Hier sieht man leicht ein, daß es nur auf die Menge des Wassers ankommt, das jede Röhre in einer Stunde gibt. Es sei darum die Menge des Wassers, welches die erste Röhre in einer Stunde liefert, — w Eimer, so gibt sie in Stun¬ den , und in Stunden /lo Eimer. Die Menge des Wassers, das die zweite Röhre in einer Stunde gibt, sei — so liefert sie in 0 Stunden oz/, und in A Stunden Eimer. Es ist dem¬ nach K, und /iD-r-A!/—Ä. Aus der ersten Gleichung ist «—oz, ,7—A» -, und aus der zweiten ist w ——, c» rt— z/z, also auch—-— — 288 Fünftes H a u p tstück. 21.7—2.31 woraus -/ - - -- s E-mer, und 21_ Z . g n — -— — S Eimer folgt. Beide Röhren zusammen geben also 5-»-3—8 Eimer in einer S.tunde; folglich brauchen sie, um ivg Eimer zu füllen, — 12; Stunden. 7. Aufgabe. Zwei Zahlen zu finden, deren Summevon der Summe ihrer Quadrate abgezogen die Differenz -r-78, und deren Summe zu ihrem Produkte addirt die Zahl SS zum Vorschein bringt. Auflösung. Es sei die größere Zahl — w, und die klei¬ nere — so ist laut Bedingung 2,2 -1-^/2 —E-— r, — K, (/t) a (L) Wenn man hier, so wie bisher gezeigt worden, arbeiten wollte, so würde man auf eine Gleichung vom vierten Grade stossen; jedoch lassen sich aus diesen Gleichungen die unbekannten Größen auf folgende Art bestimmen. Man multiplicire die Gleichung (L) mit 2, addire sie dann einmal zur Gleichung (M, und ziehe sie auch von derselben ab, so erhält man durch die Addition —a?—r/-t-2a7r,-t-2L'-j-2r/—2a, nemlich —2«, (t?) und durch die Subtraktion erhält man a)—w—?/—2a?!/—2.i?—2// — 0, nemlich (io—r/)2— 0, oder (w—S(a7-t-r/). (0) Nun sehe man («->-?/) in der Gleichung (<7) für eine einna- mige Größe an, und ergänze das Quadrat, so ist woraus rs-i-?/——^l/(2«-1-^)--i2 oder—iS ist. LMe Werthe substituire man in der Gleichung (0), so ist (w—.12 oder—3SZ also ko—!/— id/L6—^6 oder^/sd./— l. ».Abschnitt. 289 Da nun L-t-z,— 12 oder auch —13, undrv— z/— k; —6; -1-/39./—1; —/39./—I, so ist (vermög §. 222, Aufg. 1) a?-9; 3; ;(—I3-l-/39./—I); ^(—13—/39./—I), und r/-3; 9; ^(—13—/39./—I) ; ^(—13-«-/39./—I), von denen nur 3 und 9 reelle Werthe sind. Oder auch: man benenne die halbe Summe der zwei gesuchten Zahlen mit a?, und die halbe Differenz dieser Zahlen mit z,; so ist (vermög §. 222, Aufg. i) die größere gesuchte Zahl —D-i-zs, und die kleinere —rv—z,; folglich ist laut Bedingung der Aufgabe o-r/) 2—Sa?—K , nemlich 2a?^-j-2zr^—2a?—a, (rt) und (a?-1-^) (a?—ZO -t-2a?— nemlich —A^-t-2a?---^a. (L) Multiplicirt man nun die Gleichung (L) mit 2 , und addirt selbe zu der Gleichung (rt), so erhält man 4^-1-2a?—2a, woraus man (nach §. 215) findet — I^/(8a-1-I) —1^25 a? —-t-t. — —— — tz oder —6'. 4 4 Substituirt man ferner diese gefundenen Werthe in der Glei¬ chung (L), so ergibt sich für den ersteren Werth z,— ^3, und für den anderen zr—/—I; folglich ist die größere gesuchte Zahl «-i--/—k-^3—g oder 6—3—3, und die kleinere a?—z/—6—3—3 oder6-i-3—9, wie vorhin, wenn man nur die reellenZahlen beachtet. 8. Ausgabe. Es sind drei Klumpen Metall, jeder aus Gold, Silber und Kupfer zusammen geschmolzen: 'm ersten sind 2 Loth Gold, 4 Loth Silber, 8 Loth Kupfer, im zweiten 3 Loth Gold, 9 Loth Silber, s Loth Kupfer, im dritten io Loth Gold, 5 Loth Silber, 15 Loth Kupfer. Wie viel Loth müssen von jedem Klumpen genommen wer- dkn, damit man einen vierten Klumpen erhält, worin 4 Loth Gold, 6 Loth Silber und 9 Loth Kupfer enthalten sind? Auflösung. Man nehme vom ersten Klumpen a? Loth, vom zweiten z, Loth, und vom dritten s Loth; B?go Vorles, 1 Bd. 19 298 Fünftes Hauptstück. so ist beim ersten L. Gold, L. Silber, und — L. Kupfer., Es ist demnach laut Bedingung 2a? 3» 102 , — —I— —4. 14 18 3V 4a? Sv 52 — -j- " -l-— —8, 14 18 38 8a? ISS 14 ^18^38^. woraus a?—7, r/—6, und 2—k gefunden wird. S. Aufgabe. Drei spielten mit einander Pharo : im ersten Spiele hatte der erste die Bank; die zwei übrigen setzten jeder die Hälfte ihres Geldes, und sie gewannen; im zweiten Spiele hatte der zweite die Bank; die beiden übrigen setzten die Halste ihres Geldes, und gewannen ebenfalls; hierauf übernimmt der dritte die Bank; die zwei übrigen setzten wieder die Hälfte ihres Gel¬ des, und auch hier verlor der Banquier. Am Ende des dritten Spieles zählten sie ihr Geld, und sanden, daß jeder 27 Duca- ten hatte. Wie viel hatte wohl jeder im Anfänge? Auflösung. Es sei die Anzahl der Ducaten, welche der erste beim Anfänge des ersten Spieles hatte,—w, jene des zweiten ----/, und die des dritten — 2; so hat am Ende des ersten Spieles . V 2 2a? — v—2 der erste w — — Ducaten, der zweite -i- Ducaten, der dritte Ducaten. Am Ende des zweiten Spieles hat 2a?-z/—2 2a?—r/—s ka?—3?/—32 der erste —- --, II. Abschnitt. 291 8 8 , 2lr/—Ka?-KL 8 7?,—2a?— 4 '' " 8"" 8 ' . . i,L ka?-3.r/—3L 7,r/—2n—2T 23«—4n—4v und der dritte---—-/—- —---—-1- 4 8 8 addirt, so erhält man S4r/—27« —--4.27. (0) Wird.ferner die Gleichung (U) mit 2, die Gleichung (<7) aber mit 3 multiplicirt, und dann jene von dieser abgezogen, so ist 812—54.!/ -- 27. (L) Endlich gibt die Summe von (S) und (L) -^--5.27, woraus L--20 folgt. sr/ 2n—?/— L ZL 7r/—2N-2L der zweite -- —-?-. — —-, 2 4 4 4 > SL 3« 9« und der dritte — -r- — - 2 4 4 Und am Ende des dritten Spieles hat . - Kn—3?/—.3« kn—3//—3« 18ar—9v—9L der mre --- - ---— 4 . 7.?/—2.» der zweite Dieser Werth für « in (L) substituirt, gibt r/—2K; und beide Werthe in (^4) substituirt, gebens—35. Es hatte demnach im Anfänge der erste 35, der zweite 2K, und der dritte 20 Du¬ katen. io. Aufgabe. Drei Regimenter werden zu einer gewissen Arbeit angestellt: das zweite und dritte Regiment haben eine solche Arbeit mit einander in n — 2 s und wenn man von der vierten jede der ersten drei Gleichungen abzieht, erhält man iii iii iii Will man hierin für seinen Ausdruck setzen, so ergibt sich i i/i i i> i i/i woraus », z, und L selbst sehr leicht gefunden werden. n. Abschnitt. 2SS Im vorliegenden Falle ist a —70, t-—84, o—iro, daher i i i >_i i_i t_1 tt"2>-70 84 I4o/^6o' w "60^70 "420' III III I N 60 84-"210' 2 "60 Ilarios' und sonach u—60, w—420, 210, und 2—105. II. Aufgabe. Eine Zahl zu finden, die aus drei Ziffern von solcher Beschaffenheit besteht, daß die Summe der Ouadrate der einzelnen Ziffern, ohne auf ihren Rang zu sehen, — 104, das Quadrat der Mittlern Ziffer um 4 größer sei, als das doppelte Product der beiden äußern, endlich daß, wenn man von der ge¬ suchten Zahl die Zahl 5S4 abzieht, die gesuchten 3 Ziffern, aus welchen die Zahl besteht, in verkehrter Ordnung zum Vorschein kommen. Wie heißt diese Zahl? Au flösung. Es sei die erste Ziffer links — w, die mittlere —.7, und die letzte —2, so ist nach den Bedingungen, und wenn die (durch §.6) bestimmten Stellenwertheder einzelnen Ziffern beachtet werden: (1) —104, (2) z/? —2^2—4, (S) I00w-k-l0r/-»-2—594—I002-4-I0//-1-W. Aus (3) findet man 99^—992—594, also (4) a?—L—6. Subtrahirt man die Gleichung (2) von (1), so wird folglich, wenn man hieraus die zweite Wurzel zieht, und nur den hier zulässigen positiven Werth beachtet, (5) co-j-2—10. Aus der Gleichung (4) und (5) ist sofort w—8, 2—2; und mit diesen Werthen liefert die Gleichung (2) «2—4-1-2^2—4-1-32—36, also 6. Somit ist die gesuchte Zahl 862. Folgende Beispiele wird ein fleißiger Anfänger nunmehr selbst leicht ausarbeiten können. I. Pythagoras wurde gefragt, wie viel er Schüler habe. Er antwortete: Zähle ich drei so eben aufgenommene Schüler hinweg, so studirt die Hälfte die Philosophie, der dritte Theil die Mathe- 291 Fünftes Haupt stück. matik, und die übrigen, welche sich noch im Stillschweigen üben, sammt den drei Schülern, welche ich eben jetzt angenommen habe, machen den vierten Theil meiner vorher gehabten Schüler aus. Antwort. Pythagoras hatte zur Zeit der an ihn gestellten Frage 39 Schüler; nemlich 3 Neulinge, 18 Philosophen, 12 Ma¬ thematiker, und K Schweigsame. II. Eine Heidin ging in den Tempel Jupiters, und bat, er möchte ihr Geld, das sie bei sich hatte, verdoppeln; Jupiter that es, und sie opferte zur Dankbarkeit 2 Drachmen. Mit dem Überreste ging sie in den Tempel des Apollo, bat ein Gleiches, und opferte abermal zur Dankbarkeit für die Verdopplung ihres nunmehrigen Geldes 2 Drachmen, fand aber mit Verwunderung, daß sie der Verdopplungen ungeachtet nichts gewonnen habe. Nun ist die Frage, wie viel sie im Anfang Geld gehabt habe? Antwort. 2 Drachmen. Hs. Ein Sterbender hinterließ eine schwangere Frau, und ein Vermögen von 9000 Fl. Sein letzter Wille war dieser: gebärst du einen Sohn, so soll derselbe von der Verlassenschast 8 Mal so viel als du haben; gebärst du hingegen eine Tochter, ft nimm du 2 Mal so viel wiesle. Nun fügte cs sich, daß die Frau einen Sohn und eine Tochter gebar. Wie soll nun das Vermögen im Sinne des Testamentes getheilt werden? Antwort. Die Frau erhält 2000, der Sohn 6000, und die Tochter lOOv Fl. IV. Ein Meister dingt einen Gesellen mit den Worten auf: für jeden Tag, den du für mich arbeitest, zahle ich dir 7 Groschen, und für jeden Tag, den du für deine Geschäfte anwendest, zahlst du mir für die Kost s Groschen. Nach SO Tagen trat der Gesell aus diesem Dienste; er machte mit seinem Herrn die Abrechnung, und es fügte sich, daß der Gesell vom Meister zwei Gulden zu fordern hatte. Nun ist die Frage, durch wie viel Tage dieser Gesell für feinen Herrn, und durch wie viel Lage er für sich gear¬ beitet hat? Antwort. Der Gesell arbeitete für seinen Meister 19, alft für sich sr Tage. II. Abschnitt. 293 V. Zwei Bauern säeten mit einander 2L Metzen aus; der erste spricht zum zweiten: wenn mir jeder Metzen so viel wieder bringt, als du gesäet hast, so werde ich 4 35 Metzen bekommen. Wie viel hatte jeder gesäet? Antwort. Der eine 15, der andere S Metzen. VI. Ein Kaufmann vermehrt sein Vermögen jährlich um den dritten Theil; nimmt aber am Ende eines jeden Jahres lügo Fl. zur Erhaltung seiner Familie hinweg; und wird doch dabei am Ende des dritten Jahres doppelt so reich, als er im Anfänge des ersten Jahres war. Wie reich war dieser Kauf¬ mann? Antwort. Er besaß moo Fl. VII. Es hatte Jemand zwei Goldstufen zu verkaufen; er begehrte für jedes Loth des ersten Stückes halb so viel Gulden, als das zweite Stück Lothe wog, und die Anzahl dieser Gulden betrug eben so viel, als beide Stücke zusammen Lothe hatten. Der Käufer nahm beide Stücke, und zahlte für jedes Loth eines jeden Stückes eben so viel Gulden, als Lothe in dem Stücke ent¬ halten waren; und nach diesem Vergleiche betrug die ganze Zah¬ lung 45 Fl. Wie viel Loth wog jedes Stück? Antwort. Das eine Stück wog 6, das andere 3 Loth. VIII. Acht Pferde haben in sieben Wochen eine Wiese von 4oo Quadratklaftern dergestalt abgewcidet, daß sie sowohl das Gras, welches im Anfänge bereits da stand, als auch jenes ver¬ zehrten, welches während dieser Zeit nachwuchs. Auf die nemliche Art haben 9 Pferde in 8 Wochen eine Wiese von 509 Quadrat- klaftern abgcweidet. Wie viel Pferde werden auf eben diese Art durch i2 Wochen auf einer Wiese von KOO Quadratklaftern sich ernähren können? Antwort. 8 Pferde. IX. Zwei Zahlen zu finden, deren Summe, Product, und Differenz der Quadrate einander gleich sind. Antwort. Diese Zahlen sind entweder o und o, oder die größere ist , die kleinere - 2S6 Fünftes Hauptstück. §. 223. Bei den verwickelten quadratischen Gleichungen von der Ge¬ stalt S, ^d auch in verschiedenen anderen Fällen kommt der Ausdruck zum Vorschein; dieser Aus¬ druck läßt sich noch abkürzen, wenn ö ein vollkommenes Qua¬ drat ist; es ist nemlich l/s — I/ —ü) d). Um dies cinzusehen, erwäge man, daß die zweite Potenz einer Größe von der Form 1/-^ l/s die Gestalt l/-s besitzt, welche, wenn ?/ und «rational sind,mit derForma^ffk/ö,in welcher a und ö gleichfalls rational gedacht werden, übereinstimmt; daher setze man, indem man sich unter N und s noch ferner zu bestim¬ mende Zahlformen vorstellt, — pH l/s, und es ist l/S — l/«)« — Z/iff2 l/z/« -1- L. Ist nun unseren Annahmen zu Folge sowohl l/L als auch irrational, so kann,weil die Differenz ungleicher irrationaler Zahlen nicht Null zu werden vermag, sondern immer irrational ausfallen muß, diese Gleichung nur bestehen, wenn die irrationalen Glieder ihres ersten Theils den irrationalen Gliedern ihres zweiten Theils gleich, und folglich auch die rationalen Glieder den rationalen gleich sind. Demnach ist 1/L—2l/^«, und aus diesen Gleichungen findet man S, und L— z a—; ^/«2—ö; es ist daher p" (,'«-1-^«-—>). Z- B. -^-2l/2 —s-l- l/8 — I-t-l/2, 7-1-1/48—2-1-1/3, 11—61/2 — 1/72—3—1/2. Von der Auflösung der undestimmten A ufgaben. §. 224. Wenn aus den Bedingungen einer Aufgabe nicht so viel Glei¬ chungen abgeleitet werden können, als unbekannte Größen vorhan¬ den sind, so ist es ein Zeichen, daß die vorgelegte Aufgabe unbe- ».Abschnitt. 297 stimmt sei; denn es können für jede unbekannte Größe mehrere, ja zuweilen unendlich viele Werthe gefunden werden, die theils positiv, theils negativ, ganz, oder gebrochen sind, und die Bedingungen der Aufgabe erfüllen. Die Art, wie selbe gesunden werden, ist folgende. Man schaffe (nach §. 22i) durch Verminderung der Gleichungen so viel unbekannte Größen weg, als es möglich ist, so wird man zuletzt eine Gleichung erhalten, in welcher sich noch eine unbekannte Größe mehr befindet, als anfangs Gleichungen zu we¬ nig waren. In dieser letzten Gleichung sehe man nur eine einzige Größe für unbekannt an, für die übrigen unbekannten Größen aber nehme man beliebige Werthe an, und bestimme erstere dadurch; diese Werthe substituire man in den vorhergehenden Gleichungen (wie§. 221), so werden auch die übrigen weggeschafften unbe¬ kannten Größen gefunden. Als Erläuterung dieses Verfahrens mögen folgende Beispiele dienen. 1. Aufgabe. Drei Zahlen zu finden, deren Summe —iS, die Summe der ersten und dritten aber der Differenz gleich sei, wenn man die erste von der zweiten abzieht. Auflösung. Benennt man die erste Zahl mit w, die zweite mit ze, und die dritte mit s, so ist laut Bedingung 18, (F) und 2?, (L) Aus der Gleichung (-4) ist ^-15— z,— s, und aus (L) ist V— L V—L ; also auch 15— z/— L-- — woraus N--10—(c>), eine Gleichung, worin noch 2 un¬ bekannte Größen sind; weitaus den Bedingungen der Aufgabe nur 2 statt z Gleichungen abgeleitet werden konnten. Man nehme demnach in bcr Gleichung (L) für « einen beliebigen positiven oder negativen, ganzen oder gebrochenen Werth an, bestimme dadurch ze, und sub¬ stituire beide Werthe in der Gleichung (^), so läßt sich auch w finden. Essei«—1, 2, S, 4, 3,.... so ist s^, 9, 8Z, 87,.... 9r, s-, und w—4^, JZ, s, 2ZV I;, - 4j, 4;. 298 Fünftes Haupt stück. 2. Aufgabe. Vier Zahlen von der Beschaffenheit zu finden, daß ihre Summe —18 ist, und die Summe aus der ersten, dem Zweifachen der zweiten, dem Dreifachen der dritten, und dem Vierfachen der vierten so beträgt. Auflösung. Es sei die erste Zahl —w, die zweite —die dritte —2, und die vierte ---u, so ist laut Bedingung: w-s- 2^ 2k—18, (^4) und w-j-2z/-t-82-l-4u—80. (L) Aus der Gleichung (M ist w—18—?/—-2-u, und aus (ll) ist w—80—2-/-82—4u; also auch 18—V—2—— Z o—2//—32—Irr, woraus folgt ^-82—22-8», (0), eine Gleichung, die noch 8 unbe¬ kannte Größen enthält, weil aus den Bedingungen der Aufgabe nur 2 statt 4 Gleichungen abgeleitet werden konnten. Man nehme demnach in der Gleichung (6) für 2 und « willkürliche Wcrthe an, bestimme daraus und substituire diese Werthe in (^), läßt sich auch P finden. 2-- I, 2, und rr— 2, 8, so ist r/— 24, 19, und w—— 9, — k, Es sei nun z. B. 3, 4, 8, 6, 4, S, k, 7, 14, 9, 4, —I, 3, 0, 3, 6, . . . — I, . . . — 7, . . . —29. Und so könnte für 2 und u jeder beliebige andere Werth an¬ genommen werden, wo sich dann zr und a? bestimmen läßt. Dar¬ aus sieht man , daß eine Aufgabe um so unbestimmter ist, je mehr unbekannte Größen in. der letzten Gleichung übrig bleiben. 3. Aufgabe. Ein Kausmann ist 100 Fl. schuldig; stm Gläubiger begehrt zweierlei Tuch dafür; die Elle vom ersten kostet 9 Fl., und vom zweiten 7 Fl. Wie viel soll er ihm von jeder Gattung geben? Auflösung. Es sei die Anzahl der Ellen von der ersten Gattung —a?, und von der zweiten —z/, so muß 9w-l-7-—roa sein, woraus - -- und da keine Gleichung mehr vorhanden ist, so muß wieder für n ein beliebiger Werth angenom¬ men werden. Weil aber hier in dieser Aufgabe keine unbekannte Größe negativ erscheinen darf, so kann rv nur so groß angenom- II. Abschnitt. 299 mm werden, damit 9w —z- -- s 4- -- - (M Es sei — O, so ist ü— 20—?. Dieser Werth in der Gleichung (B) substituirt, gibt ^4—3(7—I; und dieser Werth in der Gleichung (A) substituirt, liefert w — 6 6'— 4. (D sei das Regiment w Mann stark, so muß w w . , , w—g , w-t-8 so wie auch---, und H. -Abschnitt. 803 Diesen Werth für ,r- substituire man in dem dritten Aus-- . 66—i—s ee—4 e drucke ——, so muß--- ——— — e — i -t— 4 ' ' 4 4 2 6' emeganzeZahlsein; setztmandaher — 0, so ist 0 — 20. Schreibt man noch diesen Werth für 6 in der Gleichung (C),so ist endlich L- —) 21- — i. Setzt man nun S— 4, 2, s, . . . . so ist w—44, 23, 35, . . . . S. Aufgabe. Ein General wurde gefragt, wie stark sein Regiment sei. Er antwortete: Mein Regiment, das, beiläufig gesagt, nicht 2000 Mann stark ist, kann ich zwar 5, 6 und 7 Mann hoch stellen, ohne daß mir ein Mann übrig bleibt; wollte ich cs aber 44 und 43 Mann hoch stellen, so würde ich im ersten Falle 9 Mann zu viel, und im zweiten 8 Mann zu wenig haben. Wie stark war nun das Regiment? Auflösung. Es lede von den Zahlen - , ganz und positiv sein. Die drei ersten Bedingungen werden offenbar erfüllt, wenn man w— 5.6.7.^l—240^ setzt. Um der vierten Bedingung zu genügen, setzen wir w— 9 "H-— s, woraus w—44ö-t-s folgt; P_l-8 44L-t-47 dieser Werth von w in^- gesetzt, gibt———,was wieder eine ganze Zahl sein muß; daher setzen wir I4L4-47 20-6 —— — 0, woraus L — c' —11- —n-, oder wenn —^—20,also 6 — 44v-i-3 gesetzt wird, K — iso-i-2 folgt. oder wenn man ferner 6—96-1-4 setzt, «7^-3! °ff° 9L-1-3I , —daher 46—4 —-— —46, Mithin 304 Fünftes Hauptstück. Sofort ist «---4430-1-31, mithin I43vck-3I—210^4, .. 07^1—31 »nd . und endlich 6—6 — 36-1-6 —226—9-1-126—2I06ck-I3. Sonach ist «—300306-1-1890. Da nun a?<2000 sein soll, so muß 6—0, daher «---1890 sein. Das Regiment war also 1890 Mann stark. Diese Beispiele zeigen deutlich genug, wie man in dergleichen Fällen zu verfahren habe; nur ist noch zu erinnern, daß, wenn in einer solchen Gleichung die Coefficienten von « und z, einen gemein¬ schaftlichen Factor haben, welchen das übrige Glied in der Gleichung nicht besitzt, und folglich die Gleichung sich nicht mehr abkürzen läßt, sich die unbekannten Größen « und - in gan¬ zen Zahlen nicht finden lassen. Denn es sei in der allgemeinen Gleichung ^4«-i-L—6z,, wo ^4, 6, 6 ganze Zahlen vorstellen, ^4 und 6durch a thcilbar, ncmlich — o, und --6; Laber sei durch« nicht theilbar, so ist — 6z,, und — 6z, —L^. Wären nun « und z, ganze Zahlen, so sind auch 6« und Lz, ganze Zahlen, und folglich auch ihre Differenz eine ganze Zahl, welches aber hier nicht ist, da L durch a nicht theilbar ist- So z. B. lassen sich aus der Gleichung 9«—45z,—4 die unbekannten Größen « und z, nicht in ganzen Zahlen bestimmen, weil man zuletzt den Ausdruck ^42ü—^erhält. Wohl aber lassen sich aus der Gleichung 9«—isz,—k die Größen « und Z/ i" ganzen Zahlen finden, weil die Gleichung durch 3 abgekürzt, 3«— Sz,— 2 gibt, wo die Coefficientcn von « und keinen gemein¬ schaftlichen Factor mehr haben. 96ck-3I 46—4 6 — 76—3-1-— II. Abschnitt. 305 IO. Aufgabe. Zwei Quadratzahlen zu finden, deren Summe wieder ein vollkommenes Quadrat ist. Erste Auflösung. Es sollen «2, z,?, und a»2 diese Zahlen sein. Ferner sei s-^4-t-r/, so ist ^,2 „ ^2 2^-lz,-i-, nemlich —woraus z/ -- , und also folgt. Nun kann für « und ^4 jeder beliebige Werth angenommen werden, wodurch sich r/ und s bestimmen lassen; nur muß, wenn die drei Quadrate lauter ganze Zahlen sein sollen, n? ein Vielfa¬ ches von ^4, und n-i-^4 eine gerade Zahl sein. Es sei z. B. ^I, I, I, . . . 2, 2, . . . S, S, . . . und ev—Z, 5, 7,. . .4, 6, . . . 9, 15, . . . so ist N— 1, 12, 24, . . . 3, 8, . . . 12, 36, . . . Und L — 8, 13, 25, . . . 5, 10, . . . 15, 8S, . . . Zweite Auflösung. Aus der Gleichung a?" -r- «2 folgt L? — r/2--,2,r, oder (2-t-N)(2— N)—und somit L' L' Setzt man nun -- -re, so wird --— n? m « dann ergibt sich durch Addition und Subtraclion dieser Gleichungen s «2-1-1 -/ I , eu N L oder wenn man jeden dieser drei gleichen Brüche mit r> bezeichnet, L L 2r» «2—«2 -j- 1 daher L—2rru, — («2—i)„, und 2 --- («" -t-i)v. Diese Ausdrücke lösen die Aufgabe, wenn man für « und v beliebige rationale Zahlen schreibt. » Setzt man «— —, und u—so wird s?— 2M^ r/—und L—»»2-1-^ woraus für r,-, und L ganze rationale Zahlen gefunden werden, wenn man für M und n beliebige, von Null verschiedene, ganze Zahlen annimmt. So z. B. für M—2, -r—l wird ^--^4, »/"3,2—5. Dega Volles. I. Bd. 20 S06 Fünftes H au pt stück. II. Aufgabe. Drei Zahlen von der Eigenschaft zu finden, daß sowohl die Summe von allen, als auch von je zweien eine voll¬ kommene Quadratzahl sei. Auflösung. Bezeichnet man die drei gesuchten Zahlen mit L-,und die Wurzeln dervierQuadratzahlcn mit u,--, so hat man ae-t-zzck-L— u? ; ^^-2—L-i-a?—und Aus diesen vier Gleichungen, die sieben unbekannte Größen enthalten, erhält man, wenn zuerst die Summe der drei letzten mit der ersten verglichen, und dann von der ersten jede folgende ab¬ gezogen wird, 1'2-t-S? ck-s? — —L —u"—t'. Hat man für s, r, u solche Rationalzahlen gefunden, daß der ersten Gleichung Genüge geleistet wird, so lassen sich a?, z, und s leicht bestimmen. Solche Zahlen sind z. B. r—19, s—20, u—2i, daher rv---80, ?/—4i, «--320. Da nun diese Aufgabe sehr unbestimmt ist, so setze man noch einige willkürliche Bedingungen hinzu, aber doch so, daß die Auf¬ gabe noch immer unbestimmt 'bleibe. Man nehme z. B. an, daß die Wurzel -- um 1 kleiner als u, und s um l kleiner als sei, st erhält man folgende Gleichungen: -----rr—I, «---n— 2, und r^-ku—5, woraus ro—2tt—I, 4u—4, u"—6u-t-S, s—^s/(ku—S) folgt. Und NUN muß man trachten, eine solche Zahl für u anzunch- men, daß I/ (Ku—8) eine vollkommene Quadratzahl wird. Setzt man u—s, so ist auch s—und daher n-9, z,- ik, und «--o; setzt man aber u--9, so ist s—^7, a?—17, U—32, und s-S2i setzt man ferner u—2i,so ist L---4I, -/--80, undL-S20' Man kann auch für u gebrochene Zahlen setzen; z. B. füru--; k— aki2, L-—2, -/—2, und s——2, u. s. w. 12. Aufgabe. Zwei Zahlen von der Beschaffenheit zu finden, daß die Differenz ihrer dritten Potenzen der Differenz der Zahlen selbst gleich sei. Auflösung. Es sei a? die eine, und z/ die andere Zahh st ist vermög Bedingung a-n — daher (a,—z/) g. Dieser Gleichung geschieht zunächst Genüge, wenn w—-/-o, und dann, wenn 1---0 ist. II. Abschnitt. Zg? Im ersteren Falle ist a?—r/, daher sind beide gesuchten Zahlen gleich, jedoch sonst beliebig groß. Im andern Falle findet sich —(4—Za?") -2- Um diesen Ausdruck rational zu machen, setze man I/ (4—Sa??) —na?— 2, 4-r, so ist 4—Za??-?r?a??—4na?-t-4.und daraus a? —HH' Setzt man ferner diesen Werth für a? in (-4), so ist , er"—2rr—Z n?-t-2»—3 »?-t-3 er jeden beliebigen Werth annchmen, und dadurch a? und z? bestimmen; für n-6 ist a?--^, und oder— Mehrere hieher gehörige analytische Untersuchungen findet man in L. Eulers vollständ. Anleit, zur Algebra II. LH. §. 226. Es gibt Aufgaben, welche bestimmt zu sein scheinen, und doch wirklich unbestimmt sind; z. B. drei solcheZahlen zu finden, daß die Summe der ersten und zweiten —40, die Summe der zweiten und dritten — log, und die Differenz der dritten und ersten —60 sei. Benennt man die drei Zahlen mit a?, s, so ist laut Bedin¬ gung a?-l-F— 40, r/l-L —100, UNdL—a?— 60, wo es scheint, daß die Aufgabe bestimmt sei, weil eben 10 viel Gleichungen als unbekannte Größen vorhanden sind. Allein die letzte Bedingung zeigt keine neue Eigenschaft der unbekannten Größen an, sondern wiederholt nur dasjenige, rbas die zwei ersten Bedingungen ausgedrückt haben, oder sie ist eine Folge der beiden anderen; denn man darf nur die erste Gleichung von der zweiten abziehen, so hat man die dritte; folglich hat man eigentlich blos zwei wesentlich verschiedene Gleichungen, und die Aufgabe ist unbe¬ stimmt; daher findet man (nach §. 224) die Werthe der unbe¬ kannten Größen, nemlich für a?— I, 2, 3, 4, ..39, Wird 39, 38, 37, 36, ..4? und S-tzi 62, 63, 64, 65,.09. / ' 20 * n?-»-3 Und nun kann man für z.B. 1,2, 3, 4, 5, 6, 308 Fünftes Hauptstück. §. 227. Endlich gibt es Aufgaben, deren Auflösung unmöglich ist, das ist, wo für die unbekannten Größen gar keine zulässigen Werthe gefunden werden können, welche den Bedingungen Genüge leisten. Dieses ereignet sich entweder, wenn die Bedingungen der Aufgabe sich selbst widersprechen, oder auch wenn die Aufgabe ratio¬ nale, positive, oder ganze Zahlen fordert, und doch nur irratio¬ nale, negative, oder gebrochene von der verlangten Eigenschaft gefunden werden können. Sowohl eines als das andere erfahrt man (wo die Unmöglichkeit nicht ohnehin schon aus den Bedin¬ gungen klar in die Augen fallen sollte), wenn man aus den Glei¬ chungen entweder etwas Ungereimtes, oder für den Werth einer unbekannten Größe eine imaginäre Wurzel (§. 119, HI.), oder auch einen negativen, oder gebrochenen Werth findet, den die Natur der Sache nicht zuläßt. Beispiele. 1. Aufgabe. Drei Zahlen zu finden, wo die Summe der ersten und zweiten —28, die Summe der zweiten und dritten —30, und die Differenz, wenn die dritte von der ersten abgezogen wird, —15 ist. Auflösung. Benennt man die drei Zahlen mit n, r/, so ist laut Bedingung w-t-r/—28, 30, und Subtrahikt man die erste Gleichung von der zweiten, so ist «—n? —2; und diese Gleichung zu der dritten addirt, gibt s? — s-l-L—w—17, nemlich 0—17, welches ungereimt ist; und folglich ist diese Aufgabe unmöglich. 2. Aufgabe. Es kauft Jemand einige Ellen Tuch, und gibt für jede Elle eben so viel Gulden, als Ellen Tuch da sind; er verkauft sie wieder, und bekommt für alle Ellen zweimal so viel Gulden, als Ellen da waren, und gewinnt bei diesem Handel 5 Fi- Wie viel Ellen waren es? A u f l ö s u n g. Es sei n die Anzahl Ellen Tuch, so ist M Auslage, und 2w die Einnahme, folglich ist laut Bedingung w"—2w—5, woraus man findet w—1^2/—i. Die Aufgabe ist demnach un¬ möglich. III Abschnitt. S»!> 3. Aufgabe. Zn einem Zeughause sind dreimal so viel Kanonen als Mörser; und als man 8 Kanonen und 3 Mörser wegführte, blieben nur noch halb so viel Mörser als Kanonen. Auflösung. Es sein die Anzahl der Mörser, so ist 3n jene der Kanonen; und nachdem 6 Kanonen und 3 Mörser weg- geführt waren, blieben noch n—3 Mörser und 3n—8 Kanonen. Es ist also laut Bedingung - ---w—3, woraus n——i folgt. Da aber hier keine negative Zahl Statt finden kann, so ist die Auf¬ gabe unmöglich. 4. Aufgabe. Zwanzig Personen, theils Männer, theils Weiber, waren in einer Gesellschaft; es waren aber 6 Männer mehr als Weiber. Wie viel waren Männer, und wie viel Weiber? Auflösung. Benennt man die Anzahl der Männer mita?, und die der Weiber mit .v, so ist a? —12^, und 7'- Weil aber hier kein Bruch zugelassen werden kann, so ist die Auf¬ gabe ebenfalls unmöglich. LLI. Abschnitt. Berechnung des Durchschnittes oder Mittels mehrerer Größen. §. 228. I. Unter Mittel (Mittelgröße, Mittelwerth, Durchschnitt) mehrerer positiver oder negativer Größen be¬ greift man eine Größe, welche nicht größer als die größte, und nicht kleiner als die kleinste aus ihnen ist, wofern man jede Größe für größer als eine andere erklärt, wenn diese von jener abgezogen, einen positiven Rest übrig läßt. Sind nemlich a, S, irgend welche Größen, von denen die kleinste L, und die größte 1/ heißen mag, so ist jede Größe m ein Mittel genannter Größen, wenn ist, oder wenn die Differenzen M—L, A—»» Positiv sind, wobei verschwindende (Null werdende) Differenzen auch für positiv erachtet werden sollen. SIO Fünftes Hauptstück. Man ersieht hieraus sogleich, daß Größen, welche nicht sämmtlich einander gleich sind, unzählig viele Mittel besitzen, und daß mehreren durchgehends gleichen Größen nur ein Mittel zukommt, welches nichts anderes als'jede dieser Größen selbst sein kann. II. Da nach der obigen Voraussetzung L die kleinste, und - die größte der Größen a, ö, a, . . . . deren Anzahl er sein mag, vorstellt, so müssen sowohl die Differenzen «— L, S— L, o-L,.... als auch A—a, s—ö, ck,.... positiv sein. Somit sind auch die Summen derselben (a-t-N-t-c-j- -...)—nL, und —(a-t-ü-s-o^- --.-), daher auch die nten Theile dieser .... positive Größen, woraus sogleich erhellet, daß a-t-ü-t-6-l- .... er ein Mittel der er Größen a, S, c, . . . ist. Man nennt selbes das arithmetische Mittel (oder auch nur schlechthin das Mittel) dieser Größen. Man findet demnach das arithmetische Mittel mehrerer Größen, indem man ihre algebraische (mit Rücksicht, ob diese Größen positiv oder negativ sind, gebil¬ dete) Summe durch die Anzahl der Größen divi- d r r t. III. Bezeichnen ferner «, jZ, ^, . . . irgend welche positive Zahlen, so müssen, wenn mit ihnen die positiven Differenzen «— L, S—L, o— L, . . . und -e—a, A—ü, F—c, . . . MUlti- plicirt werden, auch die Differenzen «a— «L, jZS—.und «A —AS, positiv ausfallen. Hiernach sind auch ihre Summen ..)—(«-t-jZ-t-^-1- ->--)L, und --), folglich, wenn man durch die gleichfalls positive Zahl dividirt, auch die Quotienten III. Abschnitt. SII ---- ' " positiv, woraus cinleuchtet, daß auch --- - ein Mittel der Größen«, S, c, .... ist, wofern nur«, jZ, )>,.... positive Zahlen bedeuten. Man nennt dies das zusammenge¬ setzte arithmetische Mittel jener Größen. IV. Sind ferner a, ö, e, .... irgend welche positive Zah¬ len, Don denen L die kleinste, s aber die größte ist, und stellen außerdem auch «, D, .... solche positive Zahlen vor, so muß, weil sowohl L^«, L als auch ist, nicht nur a», sondern auch a«, P ö^, folglich und sein, woraus man L ...., A erhalt, und sich nach der aufgestellten Erklärung überzeugt, daß ...'. ein Mittel der Zahlen a, S, o, .... ist. Gibt n die Anzahl dieser Zahlen an, und setzt man so wird — n, daher ist auch V^aSo.... ein Mittel der n positiven Zahlen«, S, «, .... Man pflegt cs das geometrische Mittel dieser Zahlen zu nennen, und könnte vorhergehendes das zusammengesetzte geometrische Mittel nennen. 312 Fünftes H a iiptstück. V. Man wendet die Berechnung des Mittels mehrerer Grö¬ ßen vorzüglich dann an, wenn sich für die zu bestimmende Größe mehrere Werthe darbieten, von denen man nicht anzugcben ver¬ mag, welcher eigentlich der wahre sei. Solche Fälle ergeben sich bei physikalischen und mechanischen Versuchen, bei practisch-geome¬ trischen Vermessungen, beim Finanzwesen, u. m. dgl. Gewöhnlich nimmt man hier nur das arithmetische Mittel, weil es leichter als das geometrische berechnet werden kann. Das Gesagte mag durch folgende Beispiele erläutert werden. 1. Beispiel. Ein kais. Österreichischer 60pfündiger Mörser erreichte im August 1783 bei einer Ladung von 1,7 Pfund unter 43 Grad Elevation bei dem ersten Bombenwürfe 146, bei dem zweiten 152, bei dem dritten 142, und bei dem vierten 145 Wie¬ ner Klafter. Wie groß ist die Wurfweite dieses Mörsers im Mittel? . 146-1-152-1-142-1-145 585 Antwort. --- — — 146 Klafter. 4 4 2. Beispiel. Das'reine Erträgniß eines Gutes belief sich im ersten Jahre auf 2145 Fl. so Kr., im zweiten auf 3256 Fl. 45 Kr., im dritten auf 2869 Fl. 40 Kr., im vierten auf 2788 Fl- 50 Kr., im fünften auf 2829 Fl. 50 Kr., im sechsten auf 268S Fl- 26 Kr. Was ist das Erträgniß dieses Gutes im Durchschnitte? Rechnung. 2145 Fl. 30 Kr. 3256 - 45 - 2869 » 40 - 2788 - 50 - 2829 - 50 - 2689 - 36 - .6) 16580 - II -- Antwort. 2763 Fl. 22 Kr. 3. Beispiel. Jemand kauft mehrere Quantitäten Weihen, und zwar: von der ersten Sorte 28 Metzen zu 110 Groschen, - . zweiten - 36 - zu 114 - dritten - 40 - zu 108 -- vierten - 25 - zu 117 Was kostet der Metzen im Durchschnitte? III. Abschnitt. SIS 28 M. zu HO Gr. kosten 28.110-3080 Gr. so M. zu 114 Gr. - 36.114—4104 - 40 M. zu 108 Gr. -- 40.108—4320 - 23 M. zu 117 Gr. - 25.117-2925 - 129 Metzen kosten zusammen 14429 Gr. daher kostet i Metzen m Gr- 2 Kr. 2 Dr. — 5 Fl. 35; Kr. 4. Beispiel. Eine kais. Österreichische kpfündige Kanone erreichte im Mittel aus ii Schüssen 1211 Schritt, eine zweite eben so construirte, geladene und gerichtete Kanone erreichte bei 13 Schüs¬ sen im Mittel 1326 Schritt, und eine dritte eben solche Kanone bei io Schüssen im Mittel 1416 Schritt. Welches ist die mittlere Schußweite dieser Geschützgattung? Rechnung. 11.12II—13321 13.1326-17238 10.1416^ 14160 34? 44719 : 34—1315. Antwort. 1315 Schritt. Sechstes Hauptstück. Arithmetische und geometrische Reihen. Combinationslehre. Binomischer Lehrsatz. Logarithmen. I. Abschnitt. Von den arithmetischen Reihen. Von den Reihen überhaupt. §. 22S. ^ine Folge von Größen, welche nach einem bekannten Gesetze wachsen, oder abnehmen, wird überhaupt eine Reihe Oeries), oder .Progression, und zwar im ersten Falle eine steigende, und im andern eine fallende Reihe genannt. Die Größen, welche die Reihe bilden, heißen die Glieder der Reihe. So z. B. ist I, 2, 4, 8, 16 eine steigende Reihe von 5 Gliedern, wo die Glieder nach dem Gesetze, daß jedes nachfolgende Glied doppelt so groß ist, als das nächst vorbergehendc, wachstn- Hingegen ist 24, 18, 12, 6 eine fallende Reihe von 4 Gliedern, wo jedes nachfolgende Glied aus dem nächst vol' hergehenden entsteht, wenn man dieses um 6 vermindert. §. 230. Es ist daraus zu ersehen, daß, wenn einmal das Gesetz einer Reihe bekannt ist, und einige ihrer Anfangsglieder bereits berechnt sind, die Reihe nach Belieben fortgesetzt, und jedes Glied derselben, welches man auch immer will, bestimmt werden könne;, wie auch, daß man die Summe von jeder Anzahl Glieder der Reihe durch I. Abschnitt. SIS die Addition finden könne. Allein wie beschwerlich wäre es nicht, wenn man, um z. B. das tausendste Glied einer Reihe zu bestim¬ men, vorher alle 999 Glieder entwickeln müßte? Noch beschwer¬ licher wäre es, 1000 Glieder (nach §. 17) zu addircn, um die Summe einer solchen Reihe von lOvo Gliedern zu erhalten. Es ist deßwegen nothwendig, daß man bei jeder verkommen¬ den Reihe einen algebraischen Ausdruck ausfindig mache, der in sich diejenige Zahl enthält, welche die Stelle des gesuchten Gliedes an¬ gibt, daher der Stellenzeiger (Index) dieses GlWes genannt wird, und von uns stets mit » bezeichnet werden soll, und der zugleich-so beschaffen ist, daß man, wenn in jenem Ausdrucke»—! gesetzt wird, dadurch das erste Glied der Reihe erhalte, und wenn man »—2, »—3, »—4, u. s. f. setzt, dadurch auch das zweite, dritte, vierte Glied der Reihe, u. s. f. zum Vorschein komme. Ein solcher, den Stellenzciger » enthaltender, algebraischer Ausdruck, der dieie Eigenschaft hat, wird deßwegen das allgemeine, oder das »te Glied der Reihe genannt. So z. B. ist in der Reihe 2, 5, 8, II, 14, das allgemeine Glied —3»—l; denn setzt man nach einander i, »—2, »—3, »—4, u. s. w., so erhält man das erste, zweite, dritte, vierte Glied, u. s. w. der angeführten Reihe. Eben so sind in den Reihen die -rten Glieder I- s, IO, IS, 20, 2S, . . . . SN. 4, 7, 10, 13, 16, ... - Stt-t-I- Hl- I, 4, 9, 16, 25, ... - n". IV " - IV- I, 3, 6, 10, IS, ... . - V- S, 6, 12, 24, 48, . . . - S-2"^- Auf gleiche Weise kann man auch bei jeder Reihe einen an¬ dern algebraischen, den Stellenzeiger » in sich begreifenden Aus¬ druck aufsuchen, welcher die Eigenschaft hat, daß, wenn man in lhrn nach einander »—i, »—2, » — 3, »—4, u.s-w.setzt, da¬ durch die Summe von einem, von zwei, von drei, von vier Glic- dern, u. s. w. der Reihe zum Vorschein komme; ein solcher Aus¬ druck wird die Summenformel, oder die Summe von » Gliedern der Reihe genannt. 316 Sechstes Hauptstück. So z. B. ist in der Reihe 2, 5, 8, n, 14,-... dieSum- . , 3rr"-^rr menformel —-— ; denn setzt man in dieser Formel rr—i, .so er¬ hält man blos das erste Glied 2; setzt man ferner er-2,dami rr—3, er—z, u. s. w., so erhalt man 7, is, 26, 40, u. s. w. für die Summe von 2, 3, 4, 5,.... Gliedernder Reihe. Eben so sind die Summenformeln der fünf oben angeführten Reihen folgende: Zer^-l-g-r 3rr2-l-Zn . 2»^-t-3^-4-er , . — beri.; —-— bcill.; —— - bei IN.; er^-t-3er2-t-2er , . --- ber lV.; 3(2" —i) bel V.; weil jede dieser Formeln so beschaffen ist, daß sie die Summest vieler Glieder der betreffenden Reihe zum Vorschein bringt, als man den Buchstaben er Einheiten gelten läßt. §. 231. Wäre in einer Reihe die durch den Stellenzeiger, oder durch die Anzahl der addirten Glieder ausgedrückte Summenformel schon bekannt, so ließe sich das rrte Glied leicht daraus bestimmen. Denn man setze nur rr—i in der Summensormel start rr, so wird »ran die Summe von er—i Gliedern ha¬ ben; zieht man dann diese Summe von jener von" Gliedern ab, so wird auf diese Art das rrte Glied erhalten; weil die erste Summe von rr Gliedern um dieses rrte Glied größer ist, als die zweite Summe von rr—i Gliedern. Z- D. 2» der Reihe 3, 7, n, is, 19, .... ist die Summe von rr Glie¬ dern —2rr--l-rr; folglich ist die Summe von rr—i Gliedern-- 2(rr—I)^2rr?—Zrr-l-4 ; zieht man nun diese Summe von der Summe von rr Gliedern ab, so ist (2rr--t--r) — (2rr.2—3rr-t-i) —4rr—I— dem rrten Glieds dieser Reihe. Diese Regel aus der Summenformel vonrr Gliedern das allge¬ meine Glied abzuleiten, ist überall anwendbar, sobald bei was immer für einer Reihe chie Summenformel für bekannt angenom¬ men wird. Allein gewöhnlich wird aus dem bekannten Gesetze der Reihe zuerst das rrte Glied, und aus diesem sodann die Summen¬ formel bestimmt. Wie aber dies zu geschehen habe, muß bei M Gattung von Reihen insbesondere gezeigt werden. Abschnitt. 317 Bon den arithmetischen Neih en. §. 232. Eine Reihe, in welcher gleiche Differenzen erhalten werden, wenn man jedes Glied von dem nächst folgenden abzieht, wird eine arithmetische Reihe oder Progression genannt. Z. B. i, 4, 7, io, is, .... ingleichen 12, IO, 8, 6, .... sind arithmetische Reihen, weil in beiden die Differenzen beständig sind. In der ersten Reihe ist die beständige Differenz — s, und in der zweiten ——2. Man sieht hieraus, daß bei einer arithmeti-' schen Reihe nur zwei Glieder, oder das erste Glied, und die Diffe¬ renz hinreichen, um die Reihe, so weit cs beliebt, fortsetzen zu können. Es sei nun das erste Glied einer arithmetischen Reihe —a, und die Differenz —in der Bedeutung, daß jedes Glied vom nächst folgenden abgezogen werde, so ist das zweite Glied —a-i-Ä; daraus folgt das dritte Glied der Reihe —a-l-2-t; ferner das vierte —a-t-3-r, das fünfte —a-1-46, u. s. w. Es kann daher jede sowohl steigende, als auch fallende arithmetische Reihe von gleichen Differenzen.durch nachstehende Formel vorgestcllt werden: Stelle i, 2, s, 4, m Reihe a, (a-t-rt), (a-s-2ff), (a-t-3^), . . . . e Differenz wo «r bei einer steigenden Reihe eine positive, und bei einer fallen¬ den eine negative Größe bedeutet. Z. B. Man setze in dieser For¬ mel und Es haben aber der «weite und siebente zusammen 92 Fl., und der vierte und eilste zusammen 71 Fl. erhalten; folglich ist w— r/-i-«— 6Z/-92 , und 2?—Zz/-t-«—IVL—71; daraus folgt «—S8^, und z/—3;. Es bekam demnach der zweite Fl., der vierte 47^ Fl., der siebente 37^- Fl., und der eilste 2S'- Fl. Bega Vorl-s. 1 Bd. 2Z 322 Sechstes Hauptstück. VI. Es läßt Jemand einen Brunnen graben, mit dem Accorde,' daß er für die erste Klafter 5 Fl., für die zweite n Fl., für die dritte 17 Fl., und so für jede folgende Klafter, weil die Arbeit immer beschwerlicher wird, um 6 Fl. mehr als für die nächst vor¬ hergehende zahlen wolle. Der Brunncnmeister bringt einen Brun¬ nen zu Stande, welcher 2; Klafter tief ist. Wie viel Bezahlung gebührt ihm dafür? Da die Zahlungen der ganzen Klaftern in einer arithmetischen Reihe steigen, so müssen auch jene für die halben Klaftern in einer solchen Reihe zunehmen. Es sei nun w Fl. die Gebühr für die erste halbe Klafter, und z/ die Differenz, um welche für jede nach¬ folgende halbe Klafter mehr bezahlt werden muß, als für die vor¬ hergehende; so kostet die zweite halbe Klafter w-t-z/, die drille die vierte w-t-szz, und die fünfte w-i-4z/. Da aber laut Accord für die erste Klafter s Fl., und für die zweite ii Fl. bezahlt werden, so ist w-i-(w-l-z/) --5,und (w-i-2z/)-I-(a?-i-Sz/)-li; daraus folgt w—und z/---^- Es gebühren demnach dem Brunnenmeister 7 IS 19 28 SI SI-l-7 3 - — -1- --I-— — — --- — —23i FI. 4^4^44^44 2 " " ck/r Dasselbe erhält man, wenn man in s — an -t- (w—D, «—8, ck—6,und n—2^ setzt. Anwendung der Lehre von den arithmetischen Pro¬ gressionen auf Gegenstände der Artillerie. I. Berechnung von Pyramiden cylinderförmiger Körper. §. 235. Walzen- oder cylindersörmige Körper, wie z. B. Pulverfässer, Geschützpatronen, Kartätschenbüchfen, Würste (aus Reißig verfertigt zu Erdverkleidungen), u. m. dgl. werden in Haufen, Reihen, oder sogenannte Pyramiden dergestalt aufgeschichtet, daß jede einzelne Schichte oder Lage um ein Stück weniger als die unter ihr le¬ gende enthält. Liegen demnach « Stücke in der untersten von » I. Abschnitt. 323 Schichten, in der obersten dagegen r, und in der ganzen Pyramide «Stücke, so ist, da hierck——i wird, a-l-r »(»-!) r— K— N-4-I, s —-—->», oder s—a»—-- 2 2 Befinden sich solcher Pyramiden von gleichem Inhalte an einander zu einem ganzen Stoße zusammengestellt, so ist, wenn der Gesammtinhalt mit - bezeichnet wird, 1. Beispiel. Die Fässer eines Pulvermagazins sind in 7 Reihen, zu 3 hoch, und die unterste Schichte zu 287 aufge¬ schichtet; wie viel Fässer liegen in einer Reihe? wie viel Fässer und Zentner Pulver (2 Centner in jedem Fasse angenommen) ent- hältjdas ganze Magazin? Hier ist »—3, a—237, ?—7, also liegen in einer Reihe 3 2 «-3.237-^-—711—3—738 Fässer, folglich im ganzen Ma¬ gazin §—7.708—4956 Fässer, daher 2.4956—9912 Centner Pulver. 2. Beispiel. Zn einem Artillerie-Laboratorium steht eine Pyramide von Kartätschenbüchsen zu drei Reihen, und 10 Lagen hoch, von denen die unterste 50 enthält; wie groß ist der Inhalt der Pyramide? Hier hat man»—io, a-50, ?—3, daher in einer Reihe 10.9 S—50.10-^—-500—45—455, und im Ganzen §-455.3—1365 Büchsen. 3. Beispiel. Auf einem Artillerie-Übungsplätze stehen 12 Pyramiden von Reißig - Würsten zu 5 hoch, und einer Wurst an der Spitze; wie viel Würste sind hier im Ganzen? Gegenwärtig ist »—5, t — 1, also a- » — 5, ? — 12, und «---25—^^—15; daher befinden sich auf diesem Platze §---12.15-180 Würste. 21 324 - Sechstes Hauptstück. II. Berechnung der Kugelhaufen. §. 236. Gcschützkugeln von derselben Größe (von einerlei Kaliber) werden in den Laboratorien, Depots und Zeughäusern der Artil¬ lerie in Haufen (wohl auch Pyramiden genannt), aufgeschichtet. Die gewöhnlichen Kugelhaufen, von denen wir gegenwärtig nur die vollkommen ausgeschichteten betrachten wollen, bilden regelmä¬ ßige, entweder drei - oder vierseitige Pyramiden (Spitzsäulen), oder lange, theils ganz gerade, theils rechtwinklig gebrochene dreiseitige Prismen (meistens lange Kugelhaufen genannt). Die langen Kugelhaufen stehen theils ganz frei, theils sind sie entweder nur mit einem, oder auch mit beiden Enden an solche lange Haufen, oder an vierseitige (nie aber an dreiseitige) Pyramiden angelehnt. In den dreiseitigen Pyramiden ruht jede Kugel auf 3, in allen übrigen Kugclhaufen dagegen auf 4 Kugeln. Bei den dreiseitigen Pyrami¬ den bilden die am Boden, in der Grundfläche, liegenden Kugeln ein regelmäßiges Dreieck, bei den vierseitigen dagegen ein regelmä¬ ßiges Viereck (Quadrat); alle Seitenflächen der Pyramiden sind regelmäßige Dreiecke, daher zu oberst blos eine Kugel liegt, und die Spitze bildet. Bei den geraden langenHaufen ist die Grundfläche ein Rechteck, die kleineren Seitenflächen regelmäßige Dreiecke, die größeren aber Trapeze. Die regelmäßigen dreieckigen Seitenflächen, welche bei den Kugelhaufen vorkommen, werden kurz Sciten- dreiecke genannt. Die oberste Zeile der langen Kugelhaufen heißt der Kamm oder Rücken, die mit ihm gleichlaufenden (parallelen) Zeilen der Grundfläche aber werden G rundzeil en genannt. Bei allen Haufen heißen die kurzen schief liegenden Kanten die Eckseiten, und enthalten immer so viel Kugeln, als der Haufen Schichten besitzt. §. 237. Dor Allem wollen wir die Anzahl der Kugeln, oder den In¬ halt eines solchen Seitendreieckes, welcher durch A bezeichnet wer¬ den soll, bestimmen, wenn -r die Anzahl der in einer feiner Seiten liegenden Kugeln, oder die Zahl der Zeilen, aus denen es sich zu¬ sammengesetzt betrachten läßt, bezeichnet. I. Abschnitt. S2Z Da in der Spitze oder der ersten Zeile des Dreieckes eine Kugel, in jeder folgenden eine mehr, und in der letzten Zeilen Kugeln liegen, so bilden die Anzahlen der in den nach einander fol¬ genden Zeilen befindlichen Kugeln die natürliche Reihe der Zahlen 1 i, 2, s, . . . n, welche eine arithmetische ist, und»-—zur Summe hat. Somit enthält ein Seitendreieck (I) n - Kugeln, d.h.man findet den Inhalt eines Seitendreieckes, in« dem man das (arithmetische) Mitteldcr erstenundletzten Zeile mit der Anzahl der Zeilen multiplicirt. Z. B. Ein Seitendreieck von 17 Zeilen oder 17 Kugeln Seite enthält 17. — 17. S —153 Kugeln. §. 238. Bevor wir noch die in den verschiedenen Kugelhaufen enthalte¬ nen Anzahlen von Kugeln, oder die Inhalte dieser Haufen in allgemeinen Ausdrücken bestimmen, wollen wir uns zur Abkürzung dieser Untersuchung die Bemerkung dienen lassen, daß icdcr wm- kelrecht gebrochene Haufen sehr leicht in einen geraden von demselben Inhalte aus¬ gestreckt werden könne. Denn bricht sich ein Kugelhaufen an einem Ecke, wie in Fig. 1 bei <7, so kann man ihn immer so ansehen, als wenn er an dieser Stelle aus zwei geraden Haufen und LtTLo, von denen der letztere an den er¬ steren sich anlehnt, bestände, und man sieht sogleich ein, daß man in Gedanken den zweiten Haufen, mit dem ersten in einerlei Rich¬ tung, in die Lage bringen kann, wornach der gerade Hau¬ fen Aec? denselben Inhalt wie der gebrochene enthält. Ver¬ fährt man auf die nemliche Weise mit allen Ecken eines gebrochenen Haufens, so läßt sich jeder durch einen geraden von demselben Inhalte ersetzen, weßwegen zu unserer Untersuchung nur noch ge¬ rade, und zwar entweder frei stehende, oder mit einem, oder mit beiden Enden angelehnte, Kugelhaufcn übrig bleiben. 32k Sechstes Hauptstück. §. 23S. Wir beginnen diese Inhaltsbestimmungen der Kugelhaufm an dem mit einem Ende angelehnten Kugelhaufen als dem einfachsten. Ein solcher Kugelhaufen laßt sich, wie man an jenem in i leicht sieht, aus eben so viel, unter sich und mit beiden dreieckigen Endflächen, nicht nur gleich großen, sondern auch gleich liegenden Seitendreiecken zusammengesetzt anse¬ hen , als wie viel Kugeln in seinem Rücken oder in jeder seiner Grundzeilen sich befinden. Liegen demnach im Rücken oder in einer Grundzelle r-, und in jedem Dreiecke H Kugeln, so faßt der ganze Haufen r- Mal oder Kugeln, folglich ist, wenn s die Anzahl Kugeln, oder den Inhalt dieses Haufens vorstellt, (2) s— oder wenn man, nach Gleichung (i) für seinen Ausdruck n-t-1 n- —herstellt, 2 Z. B. In dem Rücken eines einseitig angelehnten Haufens von 18 Schichten liegen 40 Kugeln, folglich istn—18, r-—40, und der Inhalt des Haufens -40-9. iS.40-8840 Kugeln. §. 240. Mit Benützung des eben Gefundenen können wir nun leicht die Inhalte § und K einer drei- und vierseitigen Kugelpyra¬ mide von »Schichten berechnen; denn stelltF'/A. 2 eine drei-, und^> 3 eine vierseitige Pyramide, jede von » Schichten vor, und stellt man in Ge¬ danken die dreiseitige Pyramide auf eine horizontal gehaltene Kante ^4« so auf, daß die mit ihr nicht zusammen- stoßende Kante OD gleichfalls wagrecht wird, und rückt man die in dieser Lage I. Abschnitt, erhaltene Pyramide an die vierseitige der¬ gestalt an, daß, wie l<'rL. 4 zeigt, die Kante der dreiseitigen Pyramide an die Kan¬ te F'S der vierseitigen sich anlegt, folg¬ lich die obere Kante es der dreiseitigen an die Spitze der vierseitigen sich an¬ schließt; so bildet man aus dieser drei- und vierseitigen Kugelpyramide einen einseitig angelehnten Kugel¬ haufen von er Schichten und er4-i Kugeln im Rücken, welcher demnach im Ganzen (er^-i)^ Kugeln in sich faßt; daher ist (4) «4-S—(er4-1)^. Um nun zu dieser, die beiden Unbekannten s und K enthalten¬ den Gleichung noch eine zweite zwischen denselben Unbekannten zu finden, erwägen wir, daß in der Men Schichte der dreiseitigen Pyramide, wenn die Schichten von oben nach unten gezählt wer¬ den, ein regelmäßiges Dreieck von eer Kugeln in der Seite, also (nach §. 2S7) von Kugeln im Ganzen, dagegen in der »rten Schichte der vierseitigen Pyramide ein Quadrat von err Ku¬ geln in einer Seite, folglich von eer Zeilen zu eer Kugeln, und im Ganzen von eer Mal eer, d. i. von -er? Kugeln liegt. Sofort be¬ finden sich in den beiden Men Schichten zweier dreiseitigen Pyra- nnden 2 Mal ^^lich eer (eer 4-1), oder rer-4-eer Kugeln, folglich um eer Kugeln mehr als in der Men Schichte der viersei¬ tigen Pyramide. Da nun sowohl jede der zwei dreiseitigen Pyra¬ miden, als auch die vierseitige aus er Schichten besteht, so enthalten, wie sich leicht ergibt, wenn man »er nach und nach t, 2, 3, 4, ....er sein läßt, die beiden i<"», 2"", 3"", 4'°», . . . er"" Schichten der zwei dreiseitigen Pyramiden um i, 2, 3, 4,..--" Kugeln mehr, als die ebensovielte Schichte der vierseitigen Pyramide, mithin begreift das Paar dreiseitiger Pyramiden, um , , » er (er 4-1) IA-24-34-44- .... 4-er, oder (nach §. 237) um —2 , folglich, weil dieser Ausdruck auch den Inhalt eines an den Pyramiden 327 Sr'A. 4. 328 Sechstes Hauptstück. verkommenden Seitendrei'eckes angibt, um ^Kugeln mehr als die vier¬ seitige Pyramide, oder cs ist (s) 2s— Zu der nun leicht ausführbaren Bestimmung der beiden Zah¬ len s und K addiren wir zuvörderst, um s zu suchen, die zwei, sie als Unbekannte enthaltenden Gleichungen (4) und (s), dann zie¬ hen wir, um 8 zu finden, von der verdoppelten ersten Gleichung die zweite ab, und theilen jedes Resultat gleichzeitig durch 3. Auf diese Weise ergibt sich der Inhalt der dreiseitigen Pyramide rr-t-2. (k) s und jener der vierseitigen (7) 2 (8) (S) s s— -- 2.3 §. 241. Gegenwärtig steht der Bestimmung der Anzahl der Kugeln, welche in einem beiderseits angelehntcn, oder in einem frei stehen¬ den Kugelhaufen sich befinden, keine Schwierigkeit mehr entgegen. I. Ein beiderseits angelehnter Kugelhaufen von er Schichten und von e- Kugeln im Rücken läßt sich entweder, wie die LfK,. s verdeutlichet, dadurch, daß man von einem einseitig angelehnten Kugel- Haufen von n Schichten und von r--i-i Kugeln im Rücken, also von (r'-t-l)H « — 2.3 So enthält z. B. eine dreiseitige Pyramide von iS Schichten iS.16.17 _ g,Kugeln, eine vierseitige dagegen von gleichfalls iS Schichten K — — 8 . S . 31 ---1240 Kugeln. 3 Schreiben wir endlich noch für seinen bekannten Ausdruck , so ergibt sich rr(rr-t-i) (ir-k-2) °---und n(rr-l-l) (2-r-t-l) 6. (14) —-— Kugeln hmweg- l. Abschnitt. S2S Kugeln im Ganzen, an seinem liegenden Ende, eine vierseitige Pyramide von w Schichten, somit von nimmt, erzeugt, oder wie Fry. 6 Nach¬ weis! , aus einem einseitig angclehnten Kugelhaufen von n Schichten, und von 7—lr Kugeln im Rücken, also von O—-r)^X Kugeln im Ganzen, und aus einer an seinem liegenden Ende ange¬ fügten dreiseitigen Pyramide von n Schichten mit zwei wagrecht liegenden Kanten, mithin von ^Kugeln zusammengesetzt den¬ ken. Somit ist die Anzahl der in diesem Haufen vorsindigen Kugeln nach der ersten Borstellungsweise s—und nach der andern S---O—daher nach beiden Zk-—2n-t-2 (10) s—-H. 8 Zur fernern Umstaltung dieses Ausdruckes bedenken wir, daß in einem solchen Haufen jede lange Zeile einer jeden Schichte um eine Kugel kürzer als die der auf ihr ruhenden Schichte ist, folg¬ lich ist seine Grundzeile um so viel Kugeln kürzer wie der Rücken, als wie viel Schichten über der Grundschichte oder unter dem Rü¬ cken liegen, nemlich um»—l; und sonach ist, wenn die Zahl der Kugeln einer Grundzeile vorstellt, (H) A——(n—i), folglich (12) F-t-rr—i, A-t-I. Schreiben wir daher in dem für s gefundenen Ausdrucke (10) einmal für , und ein zweites Mal für n den durch die Gleichun¬ gen (i2) dargebotenen Ausdruck, so ergeben sich die Gleichungen (18) s—-, 3 SSO Sechstes Hauptstück. Ersetzen wir endlich noch in (io) und (13) die Größe . er(n-t-i) . „ . . .. durch —-— , so finden wir die Formen K(n-l-l)(Zr-—2n-t-2) (IS) -- , er(er-t-l) (3j»-t-n—I) 2^3 So liegen z. B. in einem langen beiderseitig angelehnten Hau¬ fen von 36 Kugeln im Rücken und 17 Schichten, da hier»'—ZK, II. Ein langer frei stehender Kugel Haufen von » Schichten und »> Kugeln im Rücken kann entweder, wie 7 zeigt, aus einem einseitig angelehnten Kugelhaufen von n Schichten und r-—1 Kugeln im Rücken, daher von O—i)zX Kugeln im Ganzen, und aus einer an sein hängendes Ende angeschobenen vierseitigen Pyramide von » Schichten, folglich von Kugeln Inhalt zusammengestellt, oder dadurch erzeugt gedacht werden, daß, wie in LrF. 8 ersichtlich ist, von einem einseitig angelehnten Kugelhaufen, welcher n Schichten, »--t-n Kugeln im Rücken, folglich O-l-n)^ Kugeln im Ganzen enthält, an seinem hängenden Ende eine dreiseitige Pyramide von n Schichten, also von "1""^ Kugeln weggenommcn wird. Nach der ersten Vorstellungsweise ergibt sich der Inhalt dieses Haufens . . 2n-l-j «— <>—1) eX -1- ——und nach der zweiten s- (-- -t-m) -— somit nach beiden , 3-'^2tt-2 , (16- 6 —- b I. Abschnitt. S3L Die weiteren Umstaltungen dieses Ausdruckes ergeben sich aus der Betrachtung, daß in einem solchen frei stehenden Kugelhaufen jede längere Zeile einer jeden Schichte um eine Kugel mehr als die der auf ihr liegenden Schichte enthält; daher müssen in der Grund¬ zeile um so viel Kugeln mehr wie im Rücken liegen, als wie viel Schichten über der Grundschichte oder unter dem Rücken sich befin¬ den, folglich um n—i Kugeln. Mithin ist, wenn - die Anzahl der in einer Grundzeile befindlichen Kugeln andeutet, (N) F——i, und hieraus (18) 7—F —rr-i-1, n—A—7-1-1. Setzen wir demnach für 7 oder er diese Ausdrücke in der Glei¬ chung (ik), so übergeht diese in die Formen OS) s (-«) 3 Schreiben wir endlich noch in den Gleichungen (ik) und (IS) für seinen Ausdruck , so erscheinen die Gleichungen . er(er-«-l)(37-1-2er—2) --7;-> er (er -1-1) (3.-—er-t-l) 2.3 8 — 2.S So z. B. befinden sich in einem frei stehenden Kugel¬ baufen von 17 Schichten und 3K Kugeln im Rücken, wobei »-,7, P, Kugeln. 242. Äußerst bemerkenswerth ist der Umstand, daß die Berechnung der Inhalte aller Arten von Kugelhaufen auf eine sehr einfache Regel sich zurückführen läßt, welche durch folgende Betrachtung gefunden werden kann. Vergleichen wir die Ausdrücke (2), (6), (7), welche wir für die Inhalte des einseitig angelehnten Haufens, der dreiseitigen 382 Sechstes H auptstück. und vierseitigen Pyramide fanden, wenn jeder dieser Kugelhaufen aus er Schichten besteht, also Kugeln in einem Seitendreiecke besitzt, unter einander, indem wir sie dabei in den Formen cX chr schreiben; erwägen wir ferner, daß der einseitig angelehnte Haufen, sowohl in dem Rücken als in jeder mit ihm gleichlaufenden Grund¬ zeile r-, folglich in diesen drei parallelen Zeilen r'-t-r'-t-r'Kugeln, dann die dreiseitige Pyramide, wenn zwei ihrer nicht zusammen¬ stoßenden Kanten horizontal-gedacht werden, im Rücken n und in jeder mit ihm gleichlaufenden Grundzeile nur i Kugel, also in diesen drei parallelen Zeilen-r-4-1-4-1 Kugeln, endlich die viersei¬ tige Pyramide, in ihrer Spitze oder in ihrem Rücken blos l, und jede von den zwei parallelen Grundzeilen aber n, folglich in allen drei parallelen Zeilen i-j-n-4-n Kugeln enthält: so leuchtet ein, daß in den letzteren Ausdrücken der Inhalte dieser drei Haufen, der erste Factor die Gesammtzahl der in dem Rücken des be¬ treffenden Haufens und in den mit ihm gleichlaufenden beiden Grundzeiten enthaltenen Kugeln angibr, folglich diese Ausdrücke, sobald man die Summe der erwähnten drei parallelen Zeilen des Kugelhaufens mit a bezeichnet, auf den einzigen Ausdruck «- zurückgeführt werden können. Nun läßt sich aber, wie wir nachge¬ wiesen haben, jeder andere, wie immer gestaltete, gerade oder gebro¬ chene, Kugelhaufen aus den erwähnten drei Haufen, theils durch schickliches Aneinandersetzen, theils durch Hinwegnehmen construi- ren. Bezeichnen daher a, < a", .... die Summen der drei parallelen Zeilen an den hiezu verwendeten Haufen, so stub " s ' ""3-' ^ "s'' die Inhalte dieser Haufen, folglich ist -t- -4- oder 3 z — z — g — ^r Inhalt des ganzen Kugelhaufens. Allein auch in diesem Ausdrucke stellt der erste Factor offenbar nichts anders vor, als die Ge- I. Abschnitt. 888 sammtzahl der in seinen drei parallelen Zeilen enthaltenen Kugeln, folglich ist, wenn Ai diese Summe von Kugeln andeutet, der Inhalt jedes Kugelhaufens durch (22) s — — H ausgedrückt. Erwägen wir endlich noch, daß — auch das (arithmetische) Mittel der drei parallelen Zeilen angibt, so kann der besagte Inhalt, wofern M dieses Mittel bezeich¬ net, auch durch (28) «— angegeben werden. Somit wird der Inhalt jedes Kugelhaufens berechnet, wenn man zu dem Rücken beide mit ihm gleichlaufenden Grundzeiten addirt, diese Summe mit dem Seitendreiecke multiplicirt, und das Pro¬ duct durch 3 Lheilt; oder kurz, wenn man das Mit¬ tel seiner drei parallelen Zeilen mit dem Seiten¬ dreiecke multiplicirt. So liegen z. B. bei einem vierseitigen, in sich zurückkehrenden, Kugelhaufen von -r Schichten und e- Kugeln im Rücken, an der innern Grundlinie r-—40—i), und in der äußern r--t-4O—i), also ist die Summe der drei parallelen Zeilen —40 —i)-i-r-t-4(n—D—3e-, und ihr Mittel r-; ferner ist der Inhalt des Seitendreieckes , mithin der Inhalt des Kugelhaufens selbst wie bei einem einseitig ange¬ lehnten Haufen, was män leicht richtig finden wird. §. 243. So wie wir die Inhalte der Kugelhaufen aus ihren Construc- tionen und Abmessungen (Zahl der Schichten oder Eckseite, Rü¬ cken und Grundzeile) zu berechnen gelernt haben, eben so läßt sich Zeigen, wie die Abmessungen eines Kugelhaufens von gewählter Form, welcher eine gegebene Anzahl von Kugeln enthalten soll, bestimmt werden können. Bezeichnen wir, wie früher mit « die bekannte Anzahl der Kugeln, die der Haufen fassen soll, mit er die Anzahl seiner Schichten oder die Eckseite, und ertheilen wir ihm 834 Sechstes Hauptstück. I. die Gestalt einer dreiseitigen Pyramide, so haben wir eigentlich nur aus der Gleichung n(m-t-I) (n-I-2) (8) s— die Eckseite n zu suchen. Da diese Gleichung in Bezug auf er vom dritten Grade ist, und deßwegen von uns noch nicht aufgelöst wer¬ den kann, so benützen wir ihre besondere Form, um den zu suchen¬ den Werth von n zwischen zwei Grenzen einzuschließen, auf fol¬ gende Weise. Ertheilen wir der Gleichung die Form n(n-t-l)(n-l-2)—6s, so lehrt ein einziger Blick, daß, weil im ersten Theile sowohl der zweite als dritte Factor größer als der erste n ist, das ganze Pro¬ duct, welches den Werth 6s besitzt, größer als aber anderer¬ seits auch, weil das Product n(n-l-2), oder n^-t-2» der beiden äußern Factoren kleiner als die zweite Potenz (n-i-i)^—^-i-2n-t-i des Mittlern Factors ist, kleiner als (n-<-i)^ ausfallen, folglich n36s sein muß. Demnach ist 3 3 (24) Nl/6s. 3 Liegt sofort l/6s zwischen den beiden ganzen Zahlen er und 3 n-t-1, so kann die gesuchte Eckseite er von l/6s um keine ganze Einheit verschieden sein. Daher folgende Regel: Will man die Eckseite einer dreiseitigen Pyra¬ mide, welche eine bestimmte Anzahl Kugeln fassen soll, berechnen, so multiplicire man diese Anzahl mit 6, und ziehe daraus die dritte Wurzel nur in ganzen Zahlen. Diese Wurzel kann von der verlangten Eck¬ seite nicht um mehr als eine Einheit differiren. Deßwegen substi- tuire man dieselbe für rr in der Formel ^("-i-i) O-t-2) 2.3 ' die gegebene Anzahl der Kugeln zum Vorschein, so läßt ft sich genau in eine dreieckige Pyramide schichten, deren Seite die gefundene dritte Wurzel ist; fällt aber die nach jener Formel be¬ rechnete Zahl kleiner als die gegebene Anzahl der Kugeln aus, so I. Abschnitt. 838 wurde man noch Kugeln übrig behalten, wenn man der Pyramide die durch jene Wurzel angezeigte Anzahl von Schichten geben wollte; ist endlich die berechnete Zahl größer als die der gegebenen Kugeln, so muß die Eckselte der Pyramide um eine Kugel kürzer, als die dritte Wurzel anzeigt, genommen werden, um eine vollständige Pyramide nebst einem Überschüße an Kugeln zu erhalten. Sollen z. B. K80 Kugeln in eine dreiseitige Pyramide ge- 3_ 3 schichtet werden, so ist ^/6.680 — 1/4080 — iS, und 13.16.17 ——- — s.8.17—680; folglich lassen sich 680 Kugeln in eine dreiseitige Pyramide vonis Schichten ganz genau bringen. Wären aber 1332 Kugeln in eine solchePyramide zu schichten, so hätte man - 3 Ig.20.21 1/6.1332 —1/7992 —19, und ———---19.10.7 —1330, folglich würden 2 Kugeln übrig bleiben. Hätte man endlich S00 Kugeln in eine derlei Pyramide zu schichten, so wäre -- 3 I4ÜS.I6 V6.5OO—!/3000—14, aber-—— — 7.8.16—S60, folg¬ lich könnten nur 13 Kugeln zur Eckseite genommen, und dadurch --^^^- — 13.7.8—488 Kugeln in eine Pyramide unterge¬ bracht werden, wornach noch soo-485-48 Kugeln übrig blieben. II. Soll die gegebene Anzahlvon Kugeln in eine vierseitige Pyramide geschichtet werden, so ist aus der Gleichung m(-r-t-i) (2-r-I-l) (g) --- gleichfalls die Eckseite w zu bestimmen. Schreibt man selbe, um der Auflösung einer Gleichung des dritten Grades auszuweichen, in der Form (n-l-i)-3», so zeigt eine der früheren ähnliche Betrachtung, daß ^<3», z,, also 3 I 3 (25) N-L1/3S, n-t-,,>1/3» ist, 3Z6 Sechstes Hauptstück. 3 daher l/s« ebenfalls von der Eckseite rr um keine ganze Einheit ver¬ schieden sein kann. Man wird daher die gegebene Anzahl der Ku¬ geln mit 3 multipliciren,daraus die dritte Wurzel blos in ganzen Zahlen ziehen; dann wird entwe¬ der diese Wurzel selbst, oder die um eine Einheit von ihr verschiedene Zahl die Eckseite der viersei¬ tigen Pyramide sein; welches, wie vorher (I) bei der drei- fertigen Pyramide, jedoch mittels der Formel -—- zu untersuchen kommt. III. Will man eine gegebene Anzahl von Kugeln in einen ein¬ seitig angelehnten Haufen bringen, so hat man nicht nur die Eckseite sondern auch den Rücken r- dieses Haufens aus der Gleichung (3) s —- r' zu berechnen, welche Aufgabe im Allge¬ meinen unbestimmt ist, allein dadurch, daß als Werthe von m und r nur ganze positive Zahlen zugelassen werden können, bedeutend ein¬ geschränkt, ja sogar bisweilen unmöglich gemacht wird. Zu ihrer Lösung ertheilen wir dieser Gleichung die Form nO-l-i)-'—2«, aus der wir leicht erkennen, daß n, w-t-i, und r- Factoren von 2» sein müssen, und daß die allgemeine Auflösung n—i, wodurch wird, für uns nicht brauchbar ist, weil hiebei sä'mmtliche Kugeln nur in eine Zeile zu bringen wären, was wohl theoretisch, aber nicht practisch zulässig ist. Man wird daher die Anzahl der in einen einseitig angelehnten Haufen zu schichtenden Kugeln verdoppeln, und sä'mmtliche Theiler dieser Zahl mit Ausschluß der Einheit (nach §. 69, e) aufsuchen. Findem sich unter diesen Lheilern zwei nur um eine Einheit verschiedene, so kann der kleinere von ihnen für die Eckseite" angenommen werden. Dividirt man endlich noch die verdoppelte Anzahl durch das Product dieser zwei Theiler, so gibt der Ouotient den Rücken oder die ihm gleiche Grundzeile des Haufens. I. Abschnitt. 837 Z. B. Sollen 864 Kugeln in einen einseitig angelehnten Haufen geschichtet werden, so ist die verdoppelte Anzahl 2.364—728, wovon die Theilcr 2, 4, 7, 8, 43, 14, 26, 28, 52, 56, sind, unter denen nur 7, 8, und 13, 14 für unfern Zweck brauchbar sind. Nehmen wir demnach zuerst n -- 7, so ist r'— — — —— 13; Wahlen wir aber er — 13, so wird 728 52 ----- -. — — — 4. 13.14 13 Es kann somit entweder die Eckseite 7 und der Nucken 13, oder jene 13 und dieser 4 Kugeln erhalten. In sehr vielen Fällen wird aber diese Auflösungswcise unbrauch¬ bar, weil 2s entweder gar keine Theiler von der angegebenen Ei¬ genschaft, oder blos für die wirkliche Anwendung ungeeignete zu liefern vermag. Diese erheischt nemlich, daß die Anzahl der Schich¬ ten eines Kugelhaufens nach der Größe und dem Gewichte der zu schichtenden Kugeln so bemessen werde, damit er weder von selbst zusammenrolle, noch ohne Schwierigkeit von Arbeitern aufgeschich¬ tet, und umgekehrt wieder an seinem Kamme abgehoben werden könne. Aus diesen Gründen gibt man im Allgemeinen den Kugel- Haufen eine um so geringere Anzahl von Schichten, je größer und schwerer die Kugeln sind; doch ist man hierin bei den kleinsten Ku- steln auch durch den Umstand beschränkt, daß die aus ihnen aus¬ gestellten Haufen bei beträchtlicher Höhe sehr leicht zusammenrol¬ len. Aus diesem Grunde pflegt man in der k. k. Artillerie bei den Vollkugeln von kleineren Calibern nicht über 20, und bei den grö¬ ßer» nicht über 15 Schichten hinaus zu gehen; die lOpsündigen Granaten höchstens zu 12, die 30pfündigen Bomben höchstens zu 10, und die 60pfündigen Bomben höchstens zu 6 hoch zu schichten. Hat man sich daher durch die oben erläuterte Untersuchung überzeugt, daß die gegebene Anzahl von Kugeln nicht völlig genau M einen brauchbaren Haufen geschichtet werden könne, so wählt man für die Eckseite -r des zu bildenden Haufens eine den ange¬ führten Umständen anpassende Zahl, und berechnet dann den Rü- cken --, entweder unmittelbar aus der Gleichung Vega Vorles. I. Bd 22 838 Sechstes Hauptstück. (28) oder, nachdem man vorerst das Seitendreieck nach der Gleichung m(n-l-l) (I) bestimmt hat, vermög der Gleichung (2) aus s (27) 7---^. Da hiebei für r- eine ganze Zahl nebst einem angchängten ech¬ ten Bruche erhalten wird, so kann man diesen entweder ganz weg- lassen, oder durch eine volle Einheit ersetzen, je nachdem man entweder einige Kugeln übrig behalten, oder den Haufen nicht ganz auszuschichten gesonnen ist. So z. B. kommen, wenn 800 zwölfpfündige Bollkugeln zu schich- g.io tcn wären, und man 9 Schichten wählt, in ein Dreieck — —45 Kugeln, daher erhält der Kamm — i7^, nemlich cntwe- der 17 oder 18 Kugeln, je nachdem man entweder 800—17.45- 35 Kugeln übrig behalten, oder 18.45—800^10 Kugeln fehlen lassen will. IV. Beabsichtigt man eine gegebene Anzahl von Kugeln ent¬ weder in einen beiderseitig angelehnten oder frei stehen¬ den Haufen zu schichten, so hat man die Eckseiten und ent¬ weder den Rücken r- oder die Grundzeile - mit Hilfe der Gleichung n(n-i-i) -°" ' zu bestimmen, wenn man die Gleichungen (15) und (21) auf diese gemeinsame Form stellt, folglich -4 die Summe der drei parallelen Zeilen des Haufens andeuten läßt. Weil nun diese Gleichung auch (29) rr(-r-l-I)Al—6s gibt, und die hier vorkommenden Buchstaben nur ganze positive Zahlen vorstellen, so müssen -r-i-i, und Factoren oder Theiler von 6s sein; wobei jedoch die Auflösung n—i, welche den Gleichungen (15) und (2i) zu Folge A—r'—s liefert, ans denselben Gründen, wie oben unstatthaft bleibt. 2s —m(n-l-l) ' I. Abschnitt. 33g Man wird daher, falls man eine gegebene An¬ zahl von Kugeln in einen beiderseits angelehnten oder frei stehenden Haufen schichten will, alle, die Einheit übertreffenden, Theiler der sechsfachen Anzahl suchen. Finden sich nun unter ihnen zwei blos um eine Einheit differente, so wählt man den kleineren für die Eckseite, und theilt durch das Pro¬ duct beider jene sechsfache Anzahl; der Quotient ist dann die Summe der parallelen Zeilen des Haufens. Nun ist den Gleichungen (15) und (2i) gemäß (SV) —8r'^2(-r—1)—I), wobei die obern Zeichen auf den beiderseits angelchnten, die untern dagegen auf den frei stehenden Kugelhaufen sich beziehen; daher findet man den Rücken des Haufens , und die Grundzeile (n—!) A--— , oder wenn man es vorzieht, nur die eine dieser Zahlen auf diesem Wege zu suchen, die andere mir Rückblick auf die Gleichungen (li), (12), (i7), (18) nach einer der Gleichungen (33) <7—I), A>(n—-I). Erhält man bei den letzten Rechnungen für den Rücken und die Grundzeile F eine ganze positive Zahl, so läßt sich die Aufgabe vollständig auflösen. Um den Sinn der hier erklärten Bestimmung des Rückens und der beiden gleichen Grundzeilen aus der bereits bekannten Summe dieser drei Linien zu verstehen, und dadurch dieseRechnungs- weise leichter im Gedächtnisse zu behalten, läßt sich folgende Betrach¬ tung anstellen. Da in dem ft-i°»°h-nd7n Kugelhaufen der Rücken um so viel Kugeln weniger wie die Grundzeile enthält, als wie viel Schichten ^7^ liegen, oder als wie viel die um kiue Kugel verkürzte Eckscite beträgt, so würde man, wenn man 22 * (31) (32) Z40 Sechstes Hauptstück. diese drei Zeilen (den Rücken und die beiden Grundzeiten) unter sich ausgleichen, d.i. gleich lang denken wollte, entweder, falls zu¬ nächst der Rücken des Haufens gefunden werden soll, jeder der zwei Grundzeilen die Kugeln, um welche sic als der Rücken ist, we"gnAmen, daher auch der Summe aller drei Zeilen das Doppelte der Anzahl von Kugeln Rächen' "omach der dritte Theil der so v-rnunert-n Summe der drei parallelen Zeilen der ge¬ suchte Rücken sein muß, aus dem sonach die Grundzeile durch der MS'" Kugeln leicht zu berechnen ist; oder man würde, wofern man die Grundzeilen zuvörderst berechnen wollte, mit ihnen den Rücken dadurch ausgleichen, daß man ihm, folg¬ lich auch derSummeder dreiparallelenZeilen, die Kugeln, um welche er als jede Grundzcilc ist, wornach wieder der dritte Theil der so vergrößerten Summe jener drei Zeilen die Grundlinie angibt, aus der durch Nähme der Lb»fchüffig°n Kugeln derRückm des Haufens sogleich berechnet ist. Sollen z. B. 4280 Kugeln in einen beiderseits angelchnten Haufen geschichtet werden, so hat man 6s—28680; hievon sind die Theilcr 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, u. f. w. Von diesen sind zu untersuchen n — 2, S, 4, 8, 15, ^4—4280, 2140, 1284, 856, 107, A —1426^, 712^, 427/ 284, 31 welche und liefern, woraus erhellet, daß nur eine der drei letzten Arten zu schichten zulässig ist, unter denen man daher nach den Umständen wählen wird. Allein auch hier wird sich in den meisten Fällen die Aufgabe nicht vollständig in ganzen Zahlen auflösen lassen, weßwegen man wieder die Eckseite oder die Anzahl der Schichten n den oben angeführten Rücksichten entsprechend wählt, daraus nach ^4— ———die Summe 2l der drei parallelen Zeilen, oder wegen der Gleichungen (22) , (23) zuvörderst den Inhalt der drei des Seitendreiecks hierauf das Mittel I. Abschnitt. sir parallelen Zeilen M , und dann erst die Summe dieser drei Zeilen —8l>I oder ^4 — berechnet, sofort aber nach den Gleichungen (31) , (82) , (33) , den Rücken und die Grundzeile bestimmt, wobei man wieder den an den Werthen dieser Linien hängenden echten Bruch entwe¬ der beseitigt, oder als eine ganze Einheit rechnet, je nachdem man Kugeln erübrigen, oder den Haufen unausgcschichtet lassen will. Wollte man z. B. 4283 Stück 24pfündige Bollkugeln in einen frei stehenden Haufen schichten, so würde man sich bald von der Unausführbarkeit der ersten Auflösung überzeugen, folglich etwa 14 15 die Eckseite -r —14 wählen, diese gäbe /X — - ' — 105, daher 40,7 , ^4 — 122, oder auch dircct . 6.4283 4283 ... 122—2.13 -4 — —----122, somit den Rucken — -- 14.15 35 b 96 — - —32 und die Grundzelle 32-1-13—45. 32-1-45-1-45 Mein in diesem Haufen würde man nur 105. g —35.122 — 4270 Kugeln'unterbringen, folglich noch 13 Kugeln übrig behalten. V. Auch folgende Bestimmungsweise der Abmessungen langer Kugelhaufen aus ihrem Inhalte dürfte wegen ihrer Leichtfaßlichkeit bemerkenswert!) sein. Man wählt die Eckseite des Haufens nach den oben angegebenen Rücksichten, berechnet die ihr entsprechende dreiseitige Pyramide, bildet in Gedanken aus dem zu bestimmenden frei Kngelhaufm durch der dreiseitigen Pyramide einen langen einseitig angelehnten Kugelhaufen, theilt seinen bekannten Inhalt durch den eines SeitendreieckeZ, und vermlndert den Quotienten um I, damit die Grundlinie des zu be- 342 Sechstes Hauptstück. stimmenden Hausens zum Borschein komme. Auf eine ähnliche Weise läßt sich eine vierseitige Pyramide verwenden, um den Rü¬ cken des Haufens zu bestimmen. VI. Übrigens mag noch erwähnt werden, daß man zur Ab¬ kürzung der Bestimmung der Cvnsiruction und Dimensionen der Kugelhaufen aus ihren Inhalten eigene Tafeln berechnet hat, von denen eine hinreichend ausgedehnte in Bega's logarithmisch-trigo¬ nometrischen Tafeln, 2 Bände, Leipzig 1797 ausgenommen ist. VII. Daß man endlich nicht völlig ausgeschichtete Kugelhau¬ fen entweder zweckmäßig in volle Haufen zcrthcilt, oder zu solchen Haufen ergänzt, und dann um den Zusatz wieder verkürzt vorstel¬ len, endlich die Bestandstücke einzeln, und aus ihnen den Inhalt des gegebenen Haufens bestimmen müsse, dürfte wohl jedem ein¬ leuchten, und leicht ausführbar werden. II. A b s ch n itt. Von den geometrischen Reihen. §. 244. Eine Reihe, in welcher man immer gleiche Quotienten erhält, wenn man jedes nachfolgende Glied durch das vorhergehende divi- dirt, wird eine geometrische Reihe genannt. So z. B.smd I, 2, 4, 8, 16, 82; . . . ingleichen 81, 27, 9, 3, I, 7, geometrische Reihen; weil in der ersten der beständige Quotient 2, und in der andern erhalten wird, wenn man jedes nachfolgende Glied durch das nächst vorhergehende dividirt. Man erhält demnach bei einer geometrischen Reihe das folgende Glied aus dem nächst vorhergehenden, wenn man dieses mit dem Quotienten nmlti- plicirt. Es erhellet hieraus, daß, wenn das erste Glied und der Quotient einer geometrischen Reihe gegeben sind, die Reihe nach Belieben fortgesetzt werden könne. Es sei z. B. das erste Glied einer Reihe -2, und der Quotient -3, so ist das zweite Glied —6, das dritte —18,u.s. w. , II. Abschnitt. 313 Ist nun allgemein das erste Glied —und der Quotient, mit wel¬ chem man jedes vorhergehende Glied multiplicircn muß, um das folgende zu erhalten, — so hat man nachstehende allgemeine Formel für jede geometrische Reihe: Stellen i, 2, 3 , 4, s , Glieder «, K-, a-z, «c/^, . . . . r, wo - bei einer steigenden Reihe >i, hingegen bei einer fallenden z-1.2.3.4, ---54>L —1.2. 3.4.3, und allgemein (I) ^—1.2.84 n. Die Anzahl aller möglichen Versetzungen von n durchg ehends verschiedenen Elementen wird dem¬ nach durch das Product i. 2. 3. 4. ... n angegeben. Z. B. Die bei einer achtzehnpfündigen Feldkanone eingctheil- tcn 12 Kanoniere können ihre Nummern und beziehungsweise Vcr- richtungenaufi.2.3.4.5.6.7.8.9.10. II. 12—479001600 ver¬ schiedene Weisen unter sich vertheilen. — Mit den neun bedeuten¬ den Ziffern lassen sich 1.2. 3.4.5 .L.7.8.9 —362880 verschiß dene neunziffrige Zahlen schreiben. II. Wenn aber unter rr Elementen K gleiche ferner S andere gleiche, dann noch o andere gleich^ u. s. w. vorkommen, die übrigen aber verschieden sind, so denke man sich anfänglich alle » Elemente verschieden, und ihre gesanM ten 1.2.3 ... n Versetzungen dergestalt in Partien abgctheilb III. A b sch n itl. S47 daß die Eomplexionen jeder solchen Partie sich blos in der Anord¬ nung jener, einstweilen als verschieden betrachteten, a Elemente von einander unterscheiden, wahrend in ihnen alle übrigen n— a verschiedenen Elemente genau dieselben Stellen in der ncmlichen Ordnung einnehmen. Jede Partie erhält hier so viel Complcxionen, als genannte a Elemente Versetzungen zulassen, nemlich i. 2. s... a; daher ist die Anzahl der Partien — ' Läßt man nun die «Elemente wieder einander gleich sein, so werden auch alle Com- plexionen einer Partie völlig gleich; folglich behält man nur noch so viel verschiedene Versetzungen, als Partien vorhanden sind. Die Anzahl der Versetzungen von w Elementen, unter denen bloss , ., < .... , l .2.3.... n , . gleiche vorkommen, wrrd daher durch --ausgcdruckt. Kommen außer den angeführten eder Partie die in allen ihren Versetzungen vorkommende Complexion der -er er¬ sten Elemente hinweg, so enthalten diese ? (n—m) plexionen gewiß alle Combinationen der gegebenen er Elemente zur mten Classe. Wenn nun auch noch diese Complcxioncn auf die Weise in Abtheilungen gebracht werden, daß jede derselben nur solche Complexionen enthält, in denen die nemlichen Elemente, jedoch in allen möglichen verschiedenen Stellungen vorkommen; so besteht jede derlei Abtheilung aus so viel Complexionen, als wie viel Mal sich die in ihr erscheinenden err Elemente versetzen lassen, nemlich aus i.2.3...rer Complexionen, und daher ist die Zahl dieser Abtheilungen — —-— 1.2.3 ..er— . Da xZ " I.2...(n—m)Xl.2.--.M endlich bei der Bildung von Combinationen zu irgend einer Classe nicht auf die Stellung der Elemente ankommt, folglich Combina¬ tionen, welche einerlei Elemente, jedoch in verschiedener Ordnung besitzen, für gleich gehalten werden, so ist die Anzahl der verschie¬ denen Combinationen von den gegebenen er Elementen zur Een blasse nur so groß als dieAnzahl der zuletzt gebildeten Abtheilungen. Mithin ist die Anzahl der möglichen Combinationen bon » Elementen zur rrrten Classe ohne Wieder¬ holungen (S) - 1.2... (n—»») X1.2... .eer schreibt man diesen Ausdruck, da weder eer noch er — eer größer er ist, in einer der Formen 350 Sechstes Hauptstück. 1.2.8.. .. (»r — »r) . (er — err -t- l) (er — i) er 1.2. S.... (er—err) Xl.2.3....err ' 1.2.3 m.(M-^i)....er ....... -7---- , und dlvidirt den Zahler und 1.2.3.. ... nrX I - 2 ... (er—err) Nenner dieser Brüche durch i .2.3....(er—eer), und I.2.3...M, so läßt sich die gesuchte Anzahl von Combinationen auch durch er(er—I) (er—2) .... (er—M-I-I) (4) -' oder durch (»r-l-l) (m-t-2) ....(er — i)er , (5) - 1.2.3.'... (er-eer) ausdrucken. Bon d.e- sen Ausdrücken wählt man gewöhnlich den ersten oder zweiten, je nachdem -er kleiner oder größer als - ist; für -er— - selbst werden beide Ausdrücke identisch (einerlei). Z. B. Aus den 90 Nummern der gewöhnlichen Zahlenlotterie können —4005 Amben, so.89.88 90.89.88.87 n—3-117480 Lernen,1—^—-—4 -- 2555190 Qua- So. 89. 88. 87. 88 Urnen, b — 43949268 Quinternen zusammen gestellt werden, während ö aus ihnen heraus gezogene Zahlen nur 4-5 , 5.4.3 54.32 —— —io Amben,—— -io Lernen, ———5 Quaternen, 4.^3 1.2.3.4 5.4.3.2.1 . — I Qumterne geben. _ In den Paragraphen 232. und 244 lernten wir, daß von den 5 Größen <2 (oder -), welche bei arithmetischen und geometrischen Reihen gewöhnlich be¬ trachtet zu werden pflegen, immer 2 sich finden lassen, wenn die übügen s bekannt sind. Da nun von 5 Größen 3 auf^-^ verschiedene Weisen gegeben werden können, und durch sie jedes Mal 2 Größen bestimmt sind; so vermag man in Allem 2.10-20 ver¬ schiedene Fragen in Absicht auf erwähnte 5 Größen zu stellen. Wegen des häufigen Vorkommens des Ausdruckes (4) in sehr vielen mathematischen Untersuchungen pflegt man ihn der Kürze wegen, IH. Abschnitt. 351 vielleicht am bequemsten, durch das Symbol (Sinnbild, Zeichen) (m)- welches man kurz »rr über M» lesen kann, darzustellcn. Daher soll in der Folge stets , n(-r—i) (K—2) M-t-i) 1.2.3.M gehalten werden. Aus der Gleichheit der Ausdrücke (4) und (s) folgt demnach auch noch , , / n > 0—2).... (M-t-i) I. 2. 3 .... O — M) welche Gleichung, da der letzte Factor »r-i-i im Zähler auch durch er — (n— M)-t-1 dargestellt werden kann, nichts anders 'st <^s („ —wr)' sonach hat man (8) " V II. Soll die Anzahl der aus er Elementen mög¬ lichen Combinationen zur »rten Classe mit Wieder¬ holungen, wobei »r jede beliebige positive ganze Zahl vorstellen kann, gefunden werden, so bezeichne man diese Anzahl von Combi¬ nationen einstweilen durch das Symbol tO, und denke sich aus jenen rr Elementen alle möglichen Combinationen der nächst niedri¬ geren m — iten Classe gleichfalls mitWiederholungcn ausgestellt, deren Anzahl somit durch zu bezeichnen sein wird. Sofort verbinde man mit jeder dieser t.'«-, Eombinationen nicht nur jedes der gc--. gebcnen n Elemente, sondern auch noch jedes ihrer eigenen »r— i Elemente; dadurch erhält man zuerstNL'm—i,und dann (»r—I)t7m—i, folglich im Ganzen (n-i-M—i) tO-i Complexionen, unter denen jede mögliche Combination der er Elemente zur Een Elaste noth- wendig m Mal vorkommt. Denn dem vorgezeichneten Verfahren gemäß ist sie, wegen jeder in ihr etwa enthaltenen Gruppe von /, gleichen Elementen, Mal entstanden, weil sie, nach Absonderunq eines jeden dieser Elemente, eine rrr—istcllige Complexion zu- eü'ckläßt, welche dieses Element ?—I Mal enthält, und gewiß in obiger M —iten Eombinativnsclasse erscheint. Diese wurde aber mit dein abgesonderten Elemente ein Mal, in so fern es unter den gegebe¬ nen /r Elementen vorkommt, und /r — i Mal, in so fern cs unter den eigenen 7-—1 gleichen Elementen der »r—i stelligen Complexion ^griffen ist, also in Allem i-t-?-i, d. i. Mal verbunden. Da 352 Sechstes H a u p tstück. dieses eben so von jedem andern Elemente, selbst dann, wenn es nur ein Mal in einer Complexion vorkommt, folglich die obige Zahl-» aufi sich reducirt, gesagt werden kann; so erhält man jede Complexion der mten Classe so oft, als wie viel Elemente sie besitzt, nemlich m Mal. Man hat demnach M — (n -j- m — l) N-t-M—I und hieraus t?«— Läßt man hierin den Classenzeiger m nach und nach um eine Einheit abnehmen,oder allmälig in M— i, rn—2,.... 3, 2, l über¬ gehen, und erwägt man, daß die Anzahl der Combinationcn von » Elementen zur ersten Classe offenbar n ist, so gesellen sich zu obiger Gleichung noch die folgenden: N-i-M—2 "-2 > rr-e-M— Z n,- 2 Multiplicirt man endlich alle diese m Gleichungen mit ein- ander, so erscheint 2.Z....M- oder nach der in I. gewählten Bezeichnung (6) folglich ist die Anzahl aller möglichen Combinationen von rr Elementen zur »rten Classe mit Wiederho¬ lungen gleich (-r-t-2).(rr-t-M—I) /-t-t-M-tV (9)-—--——- , oder t M / 1.2.3 .... M . Z. B. Acht von Null verschiedene Zahlen kann man zu zweien aus 86 Arten, zu dreien auf---'—120 Arten, zu viere» auf ^^0 " — 330 Arten, u. s. w. zu Summen oder P"- ducten verknüpfen, wenn sie sich wiederholen dürfen. III. Abschnitt. 383 §. 248. 3. Das Variiren. Wird aus jeder von mehreren abgesonderten Reihen von Ele¬ menten, auf alle möglichen Weisen, eines zur Bildung von Comple- xionen genommen, so heißt diese Operation das Variiren; und jede solche Complexion, welche eben so viel Elemente in sich faßt, als Reihen vorhanden sind, wird eine Variation genannt. Sind n Reihen gegeben, von denen die erste die zweite die dritte r- Elemente,», s. f. enthält, so lassen sich die? Elemente der ersten Reihe mit den-Elementen der zweitenRcihe,da jedes Ele¬ ment der einen Reihe mit einem jeden der anderen verbunden wird, zu Complexionen vereinigen, welche selbst wieder, mit jedem der Elemente der dritten Reihe verknüpft,-,-»- Complexionen liefern; folglich ist die Anzahl der Variationen sämmtlicher in n Reihen verteilten Elemente gleich dem Producte (40) der Elemcntenmcngen dieser Reihen. Z. B. Multiplicirt man vier algebraische Ausdrücke, welche der Ordnung nach aus 5, 7, S, n Gliedern bestehen, mit einander; so enthält das (nicht reducirte) Product 3.7.S. n —3463 Glieder. Hat man demnach n Reihen, deren jede M Elemente in sich saßt, so ist die Anzahl aller möglichen Variationen gleich (41) M". Bestände z. B. jeder der eben erwähnten vier Ausdrücke aus 0 Gliedern, so enthielte das Product g^—6561 Glieder. Sind insbesondere die Elementenrcihen unter sich vollkommen gleich oder identisch, so sind die Variationen ihrer Elemente eigent¬ lich nichts anders, als die Permutationen aller Combinationen mit Wiederholungen für die Elemente einer einzigen Reihe zur so viel¬ ten Classe, als wie viel Reihen gegeben sind. 3. B. Mit 5 Ziffern, wie 4, 3, 8, 7, S, können 5^—23 zweiziffrige, 5^—123 dreiziffrige, 5^-623 vierziffrige Zahlen, ß f- geschrieben werden, wenn jede Ziffer sich wiederholen darf. 23 Dega Borles. I. Bd. Sechstes Hauxtstiick. 351 IV. Abschnitt. Von den Producten binomischer Factoren und dem binomischen Lehrsätze für ganze positive Exponenten. §. 24S. Bestimmen oder entwickeln wir die einzelnen Glieder des aus -r zweigliedrigen (binomischen) Factoren bestehenden Produktes (1) O-t-a) (27-t-ö) O-»-o)....O-t-r) O-r-k), so sehen wir leicht ein, daß wir diese Glieder finden, indem wir auf alle möglichen Weisen aus jedem Factor ein Glied hcrausheben, und sämmtliche diese n Glieder mit einander multipliciren, oder was dasselbe ist, von den durchgehends aus zwei Elementen beste¬ henden n Rechen 27, S «7, e 27, k 27, L alle möglichen Variationen ihrer 2» Elemente aufstellen, und die in einer solchen Variation begriffenen n Elemente mit einander multipliciren. Auf diese Weise erhält das Product (l) vermög §. 248 (II) im Ganzen 2" Glieder, die sich aber, sobald ist, durch folgende Betrachtung auch auf eine geringere Anzahl zusammcnziehen lassen. Das erste Glied sämmtlicher Factoren ist nemlich durchaus dasselbe, und zugleich muß jedes Glied des Pro- ductes (i) mit Ausnahme eines einzigen, welches nur aus den zweiten Gliedern der gesammten Factoren besteht, das erste Glied eines oder mehrerer Factoren in sich aufnehmen, daher als einen seiner Factoren eine Potenz von enthalten, deren Exponent, weil das Product (i) aus n Factoren zusammengesetzt ist, höchstens n werden kann. Hebt man demnach aus allen jenen Gliedern dieses Productcs, welche die nemliche Potenz von 27 enthalten, diese als gemeinschaftlichen Factor heraus, und ordnet die so gewonnenen Glieder nach den Potenzen von 27, von der nterr angesangen bis IV. Abschnitt. SZZ zur ersten, fallend, und fügt am Schlüße noch das oben erwähnte, die Zahl rv gar nicht, oder, wenn man dies lieber will, die Potenz enthaltende Glied bei; so reducirt sich das entwickelte Product auf rr-l-i Glieder, mit deren ausführlicher Bestimmung wir uns gegenwärtig befassen wollen. 1) Was das Anfangsglied oder das die höchste,nemlich »te Potenz von a?, enthaltende Glied anbelangt, so ist dieses offen¬ bar nichts anders als das Product sämmtlicher ersten Glieder a? der » Factoren, folglich — 2) Das erste Glied nach dem Anfangsgliede wird gefunden, indem man auf alle möglichen Weisen nur von einem einzigen Factor den zweiten, von allen »—i übrigen den ersten Bestandtheil zu einem Producte verknüpft. Da man nun einen der » zweiten Bestandtheile a, S, Lauf» ver¬ schiedene Arten wählen kann, so muß das fragliche Glied des zu entwickelnden Produktes dem Producte aus der Potenz a?»-' in die Summe aller erwähnten zweiten Bestandtheile der binomischen Fac¬ toren, also dem Ausdrucke - oder wenn man, um abzukürzen, die Summe setzt, dem einfacheren Ausdrucke gleich sein. 3) Zur Bildung des zweiten Gliedes nach dem Anfangsgliede wird man auf alle möglichen Weisen aus zwei Factoren die zweiten Glieder hcrausheben, und sie mit den ersten Gliedern der übrigen »—2 Factoren multipliciren, oder von den " zweiten Gliedern a, S, o,....r, L der Factoren alle möglichen »(»__i) "H— Combinationen der zweiten Classe ohne Wiederholung bilden, in jeder solchen Combination die Elemente mit einander multipliciren, und die Summe aller dieser Producte, d. i. aö-t-ao-;-.... -t-SL-1— .-t-r'L, noch mit der Potenz multipliciren. Dadurch wird dieses Glied, wenn man mit -6- dw erwähnte Summe bezeichnet, 4) Das dritte Glied nach dem Anfangsgliede erhält man, indem man auf alle möglichen Weisen aus drei Facto- 2S * 356 Sechstes Hauptstück. rcn die zweiten Glieder nimmt, und mit den ersten Gliedern der übrigen » — 3 Factoren multiplicirt, oder von sämmtlichen »zivei- , »t'n—1)(»—2) „ tcn Gliedern alle möglichen-- Combinationen der dritten Classe ohne Wiederholungen ausstcllt, in jeder Combination die Elemente mit einander multiplicirt, und die Summe dieser Producte mit der Potenz multiplicirt. Setzt man sofort diese Summe von Producten —so ist das fragliche Glied — 5) Aus dem bisher genommenen Gange dieser Untersuchung läßt sich leicht ersehen, daß allgemein dasmte Glied nach dem Anfangsgliede, nemlich dasjenige, auf welches— wenn man, wie es hier geschehen und in der Folge noch öfter vorkommen wird, die m-i-i Glieder des Productcs mit den Nummern oder Stellenwcisern 0, l, 2, 3, 4, ... . »r—i, mr, . . . . » bezeichnet — der Stellenzeiger oder die Nummer m trifft, nach folgender Vorschrift entwickelt werde. Man nimmt auf alle möglichen Weisen von »r Factoren des Produktes (i) die zweiten Glieder, und vereinigt sie durch Mul¬ tiplikation mit einander und mit den ersten Gliederns der übrigen n—»r Factoren, oder was dasselbe ist, man bildet sämmtliche Combinationen aus den n zweiten Gliedern der binomischen Facto¬ ren zur »rten Classe ohne Wiederholungen, multiplicirt in jeder dieser Combinationen, deren Anzahl, nach §. 247 (4), (5), ent- I) (n —2) .... O—M-t-l) weder durch - - 2.3....M -oder »(»-!)(»—2).... (m-s-l) 2 2. z.... (n— M)- angegeben wird, die Elemente mit einander, und die Summe dieser Producte noch mita?"—"'. Aus diese Weise ergibt sich, wenn die erst erwähnte Summe mit -l« bezeichnet wird, das mte, oder, wie man zu sagen pflegt, das allgemeine Glied der Entwicklung des Productcs In der That gewinnt man aus ihm die mit den Nummern 1,2, 3,.... belegten und schon früher entwickelten Glieder, indem man in ihm für m die Zahlen r, 2, 3,.... setzt, weil die Buch' IV. Abschnitt. 357 staben -4i, ^2, in beiden Fällen dieselben Summen ver¬ stellen; ja sogar das Anfangsglied erhält man, wenn man nimmt, und -4g—i gelten läßt, folglich zugesteht, daß, wenn man aus den gegebenen n Elementen sogenannte Nullionen, d. i. Combinationen zur Elaste 0 ohne Wiederholungen bildet, die Ele¬ mente als Zahlen mit einander multiplicirt, und die Productc ad- dirt, das Resultat für jede Anzahl n von Elementen gleich i sei, und daß in §. 247 die Ausdrücke (3) und (4) selbst für m— o dem Ausdrucke (5) gleich bleiben, mithin wie dieser in i übergehen. K) Das Schlußglied der Entwicklung des Produktes, auf welches die Nummer n trifft, ist, wie wir schon früher nachwiescn, das Product der zweiten Glieder sämmtlicher binomischen Factoren. Auch mit ihm harmonirt obiger Ausdruck des allgemeinen Gliedes, weil selber für m— n in oder übergeht, welches vermög 5) nichts anderes als das Product sämmtlicher zweiten. Glieder der Factoren ist. Durch die bisher durchgeführte Untersuchung haben wir dem¬ nach die Überzeugung gewonnen, daß das Product (2) (w-t-o) .... tw-t-i) (w-t-L)— -l-.4„-iw4-^ ist, wobei die Coefficicnten ^1, -^2, ^3, ...» .... —1, -4^ aus den zweiten Gliedern - sind, als Products ihrer Elemente ansiehr, und diese addirt. Auf diese Weise findet man z. B. (3) (ch^-S) — w2-t-(a-t-S)w-t-ab, (w (,x-t--) (w-I-o) (w-t-M — -t- (a- -t-aa Se 4-ack) 2? " U- s. w. 358 Sechstes Hauptstück. (4) O— a) (w—ü) — L-— (a-I-k,) L--t-aü, (a-—a) (E-S) O-e) O-l-ü-t-c)^ -t- (aü -t-ao -t- ba) a?—«üo, O—a) (ai—ö) (a?— e) O' —ck)——(a-t-ü-t-c-i-ck)a^ -»- (a--»-ao-t-ack-t-L6-j-Sck-t-6ck)L" —(aöc-t-«üÄ-t-acck-l-öeck) L-t-aöeck, U. s. W. §. 25a. I. Für sehr viele Forschungen im Gebiete der Algebra ist der Fall besonders wichtig, wo die zweiten Glieder a, S, o,... .r, k sämmtlicher » binomischen Factoren gleich sind, folglich das eben untersuchte Product in die Potenz O-t-a)" übergeht. Hier rcdu- ciren sich alle Glieder, aus denen die Coefficienten - ^2 , , . . . « ...» —1 , zusammengesetzt sind, auf die Potenzen a, «b, , r, s"; und da die Anzahlen jener Glieder nO—I) nO—1)0—2) -r(rr—I) ... (n— n, -,-,...-—-—-,...", i 1.2 1.2.3 1.2....M sind, so hat man . — . nO—1) "(»r—1)(^—2) z 1.2 1.2.3 . n-0—1)0—2) .... O—nr-t-1) —-a 1.2.3.. -. »r nO—I) 0—2) .... (M-k-I) " 1.2.3.... O—M) ' . nO—I) , . , . ^»-r——n» ^„_i—na"-', — a" . Demnach ist (8) (a?-t- a)" ---a?" -i- -raw"-' -t- - «^^—2 rrO—1)0—2) , , -I--—-a^"— --j-. ... 1.2.3 nO—I) O—2) ... O—m-") __ 1.2.3 ... m nO—I) -t- —— a"— IV. Abschnitt. SZ!) worin der Factor von a"a-"-'--, sobald ist, gewöhnlich durch den ... - n(n—I) (-r—2) ... lhm gleichen Ausdruck -— - ersetzt wird. I 2.S...(n—»r) ' Diese zuerst von Newton aufgestellte Entwicklung jeder durch einen positiven ganzen Exponenten angedeuteten Potenz eines Bi¬ noms wird der binomische oder Newton'sche Lehrsatz genannt. Besondere Fälle, deren Richtigkeit sich auch durch successive Multiplicationen nachweisen läßt, sind folgende: (w-t-a)2—-i- ßaV-t- -t- (w-t-a)b—6«^ U. s. w. Ik. Zur besseren Auffassung des binomischen Lehrsatzes unterwer¬ fen wir die Glieder 1.2 1.2 der Entwicklung der Potenz deren Anzahl n-i-i ist, noch einer weitern Untersuchung, welche uns Folgendes erkennen läßt. 1) Jedes Glied enthält nebst einer Potenz des ersten sowohl als des zweiten Theils des potenzirten Binoms noch einen dritten Factor, welcher nicht blos durch den Exponenten der Potenz, son¬ dern auch durch den Stellenzeiger des Gliedes bestimmt wird. Diese Factorcn sind der Reihe nach n(-r—i) nO—i)(rr—2) -r(-r—l) 1, m, - . . , n, I, 1.2 ' I.2.S 1.2 ' heißen Binomial - Coefficienten, und werden den Ergeb¬ nissen unserer bisherigen Untersuchungen gemäß aus einem der zwei gleichen allgemeinen Ausdrücke (6) —i) (m—2)... (rr—m-t-I) -r(n—i)(n -2).. - 0^1) ! . 2.3 7. .M ' I.2. S... (»-M) erhalten, wenn man für m der Ordnung nach die "-t-! Zahlen V, l, 2,s,...»r—!,» setzt. 260 Sechstes Hauptstück. Die Exponenten der Potenzen des ersten Theils w des Binoms nehmen in den nach einander folgenden Gliedern von dem Ex¬ ponenten er des Binoms selbst schrittweise um i bis o ab, wäh¬ rend die des zweiten Theils a von o an stets um eine Einheit bis zum Exponenten er des Binoms wachsen. Hiedurch ist man in den Stand gesetzt, nicht nur die Binomial-Coefficienten der einzel¬ nen Glieder, sondern auch die ihnen zukommenden Potenzen der beiden Bestandtheile des zu erhebenden Binoms, somit diese Glie¬ der selbst vollständig zu bestimmen. 2) Die Anzahl der zu berechnenden Binomial-Coefficienten reducirt sich jedoch durch den Umstand, daß die Coeffi- cicnten der vom Anfänge und Ende gleich weit ent¬ fernten Glieder gleich sind, auf die Hälfte. Denn offen¬ bar sind die Potenzen (a.'-t-K)'-, (cr-1-a?)'-, in denen blos die Glieder des Binoms ihre Plätze vertauschen, ganz gleich, folglich auch ihre Entwicklungen w"* rr-s-— - D"—«2-j - 1.2 -r(rr—1) ' L'«"—"-t-rrLtt" i-t-rr", 1.2 rr(rr—x) und a" 1.2 v(v—I) 1 2 ? -j-rrrr^-1 -i-w", von denen jede nur die in umgekehrter Ordnung geschriebene an¬ dere ist, woraus die angeführte Gleichheit der Coefficientcn erhellet. Die Richtigkeit dieser Behauptung ist übrigens auch in der Gleichheit der allgemeinen Ausdrücke (6) der Winomial-Coefficien- ten begründet; denn bietet der erste dieser Ausdrücke den Coefficien- ten des vrten Gliedes nach dem Anfangsgliede, so liefert der zweite, weil er aus dem ersten entsteht, wenn in ihm vr in rr—"r übergeht, auch den Eoessicienten des -r— vrten Gliedes nach dein Anfangsgliede, welches jedoch, weil in Allem n-t-i Glieder vor¬ handen sind, zugleich das »rte Glied vor dem Schlußgliede ist- s) Will man, was in vielen Fallen, vorzüglich bei Rechnun¬ gen mit besonderen Zahlen, sehr bequem ist, ein Verfahren, jedes Glied mit Ausnahme des Anfangsgliedes, aus dem unmittelbar vorhergehenden zu bestimmen, kennen lernen; so setze man in dem (9) K a? »—M-I-I M IV. Abschnitt. Skl allgemeinen Ausdrucke des Men Gliedes nach dem Ansangsglicde »(»—I) (»—2) .... (»—M-t-2)(»—r-r-t-I) (7) --—----, 1.2. S.... (M—I)m UM das nächst vorhergehende Glied zu erhalten, M— I an die Stelle von -w, wodurch man für dieses den Ausdruck »(»—!)(»—2) .... (m—M-l-3) (»—M-l-2) (8) -—--- 1.2.3.... (M—2) (»r—I) findet. Hieraus ergibt sich das Verhältniß jenes Men Gliedes zu diesem »r—iten, oder die Zahl, welche angibt, wie ost in jenem Men Gliede dieses »r—ite enthalten ist, und mit der man dem¬ nach das M—ite Glied multipliciren muß, um das Mezu finden, gleich Schreibt man hier in dem Bruche—für «die Zah¬ len i, 2, s, 4, 5,....»—!,», so ergeben sich die Brüche »—1 -r—2 »—3 »—4 3 2 1 l' 2' 3' 4^' .2' »—I ' deren Zähler von dem Potenz-Exponenten »an bis 1 um eine Einheit abnehmen, während die Nenner von L an bis zu jenem Exponen¬ ten um eine Einheit wachsen, und mit denen von dem ersten Gliede angefangen, die nach einander folgenden Glieder schrittweise, st wie noch überdies mit dem unveränderlichen Verhältnisse K des zweiten Theils des Binoms zum ersten multiplicirt werden. Bezeichnet man demnach die Glieder, aus denen die entwi¬ ckelte Potenz des Binoms besteht, mit I, II, III, IV, .... so hat man (IO) (ar-j-s)-- — I II III -1- IV -t-.. und zugleich I— n", II---I Ill--Ii.^-, IV-IIl.^^ 2 ro 3 U. s. W. 362 Sechstes Hauptstück. Gewöhnlich pflegt man diesen Ausdruck des binomischen Lehr¬ satzes folgender Maßen darzustcllen: 1 II III IV > -NS „ n—I a n—2 K (11) (n-I-a)--—-j-II —--l-IH- la? 2a? zn Suchen wir, um den Vorgang durch ein B e i spi el zu er¬ läutern, die Potenz (2-1-32?)«, so ist die Reihe der als Multipli- 5 4 3 2 1 catoren zu verwendenden Brüche -, -, -, -, 1 2 3 4 5 und das Verhältniß des zweiten Theils des Binoms zum ersten s«" . , — i > daher V - IV 5 Z2? I--2«—32, 11—32 -——24022 1 2 III—2402? —7202^, IV—7202^. —I080L«, V—10802«. ^---8102«, VI-8102«.^ -2432'°, 4 2 3 2 und somit (2-1-32?)« — 82 -l- 2402? -1-7202^ -1-10802« -1- 8102« -t- 248«'°- 4) Aus dem Ausdrucke (9) ersieht man deutlich, daß in der entwickelten Potenz des Binoms der Coefficient des mten Glie¬ des nach dem Anfangsgliede aus jenem des nächstvorherge¬ henden m—iten Gliedes durch Multiplikation mit dem Bruche (12) erhalten werde. Beachtet man zugleich, daß -r—»r-t-i, zu Folge des Ausdruckes (8), der in dem »r-iten Glieds dem ersten Be- standtheile des potenzirten Binoms zufallende Exponent, und die Anzahl der dem zu suchenden mten Glieds vorangehenden Glie¬ der ist; so wird d er Bin o mi al-Co effic i e nt j ed cs G lie¬ bes gesunden, indem man den des nächst vorange¬ henden Gliedes mit dem Exponenten, nach welchem in demselben der erste Beftandtheil des Binoms potenzirt wird, multiplicirt, und durch dieAnzahl der Glieder, welche dem zu suchenden vorgehen, d-- vid irt. IV. Abschnitt. S6S S) Ferner wollen wir noch bemerken, daß der Bruch (12) so lange größer als i ist, als M<-r—m-i-i oder m<^^ bleibt, -r-t-i daß er ferner für oder M—, was nur bei ei¬ nem ungeraden Exponenten n eintreten kann, in 1 selbst übergeht, und daß er dann kleiner als i ausfallt, sobald oder rr-I-I wird. Verbinden wir hiemit noch die durch 2) erkannte Wahrheit,so ist klar,daß die Bino mial-Co effi ciente n vom Anfänge und Ende der Entwicklung einer Potenz eines Binoms herein bis gegen die Mitte in völlig gleichen Schritten wachsen, und daß daher bei einem ungeraden Exponenten des Binoms die bei¬ den mittelsten Coefficienten gleich und am größten sind, bei einem geraden Exponenten aber der mit¬ telste Coesficient selbst der größte ist. K) Die Coefficienten, welche einer bestimmten Potenz des Bi¬ noms zukommen, können aus jenen der nächst niedrigeren (deren Expo¬ nent um 1 kleiner ist) sehr einfach berechnet werden. Denn setzt man in dem allgemeinen Ausdrucke der Binomial-Coefficienten x-rX n(-r— I) (n —2) ... (-r—M-l-2 ) (n—M-t-l) VM/— I . 2 . 3....(m — l) M I statt N, so Übergeht er in /n—iX 0—1)0—2)0 — 3) ... Q-M-t-l) Q—m) »r / — 2 . 3....(»r — 1) m Subtrahirt man nun diesen Ausdruck von jenem, so erhält man, nach Herausnahme der den beiden Ausdrücken gemeinschaft¬ lichen Factoren die Differenz /n— — (n- 1) (n— 2) Q—8)...Q-M-t-I) ^^»—IX nr / 2 . 3 .... (M — I) I/ Es wird demnach jeder Binomial-Coefficient einerPotenz eines Binoms gefunden, wenn man in der um einen Grad niedrigeren Potenz (deren Exponent nemlich um i kleiner ist) den eben so vielten Coefficienten zu dem nächst vorhergehenden addirt. 3K4 Sechste« Hauptstück. Da nun die Binomial-Coefficienten der ersten Potenz i, i sind, so lassen sich aus ihnen jene der 2ten, sten, 4ten, Sten,... Potenz durch einfache Additionen berechnen und in folgende Tafel bringen. In dieser Tafel wird nemlich jeder Cocfficient erhalten, wenn man den über ihn stehenden und den vor diesem links befindlichen addirt; z. B. 5 —4-t-i; iO-k-r-4. Anmerkung. Da sich jedes Polynom auch als Binom dar¬ stellen läßt, indem man eines seiner Glieder zum ersten, und den Inbegriff aller übrigen Glieder zum zweiten Theil des Binoms nimmt; so kann man nach Vorstehendem auch die Glieder jeder Po¬ tenz eines beliebigen Polynoms entwickeln, und hiefür sogar eine allgemeine Vorschrift oder Formel, welche der polyn omischo Lehrsatz genannt zu werden pflegt, aufstellen, wobei wir jedoch, wegen ihrer zu seltenen Anwendung, nicht verweilen. V. Abschnitt. Allgemeine Lehre von der Ausziehung der Wurzel" jeden Grades aus besonderen Zahlen. §. 2SI. Das Ausziehen einer Wurzel aus einer besonderen Zahl man gewöhnlich auf die Weise aus, daß man i. die Ziffern der zu suchenden Wurzel, dann 2. entweder blos die ho Ziffer oder mehrere höchsten Ziffern derselben, und endlich 3- zunächst folgende Ziffer bestimmt. V. Abschnitt. 268 Als Grundlage der Bestimmungsweise der Anzahl der Ziffern, mit denen die zu suchende Wurzel geschrieben wird, dient nachste¬ hender Lehrsatz. Die »te Potenz einer r-ziffrigcn Zahl besteht höchstens aus »r- und wenigstens aus 1 (oder aus mehr als »r-—», aber aus nicht mehr als»?-) Ziffern. Denn ist eine --ziffrige Zahl, so muß einerseits, weil die kleinste von solchen Zahlen mit der Ziffer i und r-—i nachfolgenden Nullen geschrieben wird, mithin—10"-^ ist, K^lO"-*, und an¬ dererseits, weil die kleinste der ziffrigen Zahlen aus i und Nullen besteht, somit IO"ist, und da eine jede Zahl kleiner als jede andere mit mehr Ziffern geschriebene ist, a3r—3, /,<3r-«-I, ?^3»'. So z. B. besteht die 2te Potenz einer kziffrigen Zahl wenig¬ stens aus 2.K—1—n und höchstens aus 2.6 — 12 Ziffern; die 2te Potenz einer zziffrigen Zahl aus 13, 14 oder iS Ziffern; die ?te Potenz einer 2ziffrigen Zahl wenigstens aus 8 und höchstens aus 14 Ziffern. 366 Sechstes Haupt stück. §. 252. Sonach ist es leicht, die Anzahl Ziffern, mit denen eine Wurzel einer gegebenen Zahl geschrieben wird, zu berechnen. Th eilt man nemlich dieAnzahl der Ziffern, woraus die Zahl besteht, deren Wurzel man sucht, durch den Wurzel-Exponenten, und rechnet statt eines im Quotienten etwa vorkommenden echten Bruches eine volle Einheit, so gibt dieser Quotient die verlangte Anzahl Ziffern der Wurzel. Denn behalten die eben gebrauchten Buchstaben die ihnen bei¬ gelegte Bedeutung, so folgt aus den erwiesenen Vergleichungen i), sogleich Bezeichnet nun - diejenige ganze Zahl, auf die man geführt wird, wenn man durch n dividirt und den im Quotienten etwa vorkommenden echten Bruch für eine ganze Einheit rechnet; so iß _ v gewiß und ->7-1, also auch und nemlich und I, woraus, weil r- und - ganze Zahlen sind, >-—- folgt, wie behauptet wurde. Die hier erklärte Bestimmung der Anzahl Ziffern der Wurzel läßt sich offenbar auch ohne Rechnung dadurch ausführen, daß man die Ziffern derjenigen Zahl, deren Wurzel man sucht, von der Rechten gegen die Linke in Abtheilungen (Clafsen) von so viel Ziffern, als der Wurzel-Exponent Einheiten enthält, absonderh wornach die Anzahl dieser Clafsen, wenn man eine etwa nicht vollzählige höchste Classe doch auch für eine ganze zählt, die ver¬ langte Anzahl Ziffern der Wurzel angibt. So z. B. besteht die 2te Wurzel der 7 und Sziffngen 3akM aus 4, die ste Wurzel der iz, 14, I5ziffrigen Zahlen aus 8c und die 5te Wurzel der 6, 7, 8, s, ivziffrigen Zahlen aus 2 Ziffern. §. 253. I. Die Bestimmung einer oder einiger höchsten Ziffern der Wurzel einer Zahl gründet sich auf folgenden Satz. V. Abschnitt. 3K7 Läßt man von der nten Wurzel einer besonde¬ ren Zahl einige, etwa r-, von dieser selbst aber m Mal so viel, nemlich niedrigste Ziffern hinweg, so ist die von den durch die übrigen höchsten Ziffern der Wurzel vorgestellte Zahl die Wurzel der grö߬ ten in derjenigen Zahl enthaltenen ganzzahligen »ten Potenz, welche aus den übrig gebliebenen Ziffern jener besonderen Zahl besteht. Stellt nemlich die Zahl vor, welche die r- letzten Ziffern der nten Wurzel einer besonderen Zahl besitzt, wornach alle ganzen Zahlen von 0 angcfangen bis an io'' (diese ausgeschlossen) bedeuten kann, und bilden ihre übrigen höchsten Ziffern die Zahl «; machen ferner die Endziffern derjenigen Zahl, deren -rte Wurzel verlangt wird, die Zahl aus, welche sonach alle gan¬ zen Zahlen von o bis an io"'' (mit Ausnahme dieser) vorstellen kann, und bedeutet I8I643 ausmachen, 87 die von den beiden höchsten Ziffern dieser esten Wurzel gebildete Zahl ist. III. Wir wollen noch darauf aufmerksam machen, daß aus der obigen Vergleichung er<(«-i-i)--, welche (vermög §. 280) auch in der Form »(»—!) „ ,, angesetzt werden kann, da noch gleichzeitig also posit'0 ist, auch --l-ns-t-l M- Läßt man ferner § eine ganze Zahl bedeuten, welche kleiner als « ist, so muß mithin sein. V. Abschnitt. LtzS Wird dies mit verbunden, so fällt _ -r(-r—i) '-t-'n—§---2^.... somit auch a— S-----, -I-nS-t-i aus. Versucht man daher bei der Ermittlung einiger, etwa höchsten Ziffern der nten Wurzel einer Zahl, für die von ihnenvorge- stellte Zahl nach und nach immer größere und größere Zahlen, die über¬ haupt durch S angedeutet werden mögen, erhebt sie zur nten Potenz, und zieht diese von der durch ebenso viel,nemlichr-höchste Elasten der gegebenen Zahl ausgedrückten Zahl« ab; so ist der entfallende Nest a— 6" größer,oder wenigstens eben so groß (kurz nicht kleiner), als -rC-r— v ) -- 1.2 so lange die angenommene Zahl S noch zu klein ist. Erreicht diese Zahl § die rechte Größe «, so fällt jener Rest kleiner aus als der angegebene Ausdruck. Eine noch weitere Vergrößerung von S würde endlich zu Potenzen führen, welche a bereits übersteigen. Bei dem Ausziehen der zweiten Wurzel ist n—2, also a—ö'^2§-t-I und«—»2<2«-t-I; folglich ist die als Wurzel zu versuchende Zahl ä so lange zu klein, als der Rest «-S- nicht kleiner als 2S-I-I ausfällt, und die wahre Zahl « erkennt man daran, daß der Rest a—wirklich kleiner als 2«-t-i wird. Für das Ausziehen der dritten Wurzel hat man s, daher a—Und a—«b<3o?-l-3«-t-1, und somit ist die für die Wurzel gewählte Zahl § so lange zu klein, als der Rest a—nicht kleiner als 3Z2-!-3Z-i-i— ist, während jene Zahl « die rechte ist, bei welcher der Rest a— kleiner als 3^-«-3»4-i—3«(°l-t-i)-l-i ausfällt. §. 284. Bei der Verwendung der bereits berechneten Ziffern der Wur¬ zel einer besonderen Zahl zur Bestimmung ihrer nächst kommenden Bega Vorles. I. Vd 370 ' S e chstes H a u p lstü ck. Ziffer hält man sich an folgende Vorschrift. Man erhebe die von den schon berechneten höchsten Wurzelzisfcrn gebildete Zahl « zur Potenz des Wurzel-Exponen¬ ten -r, und ziehe diese von derjenigen Zahl «ab, welche aus eben so viel höchsten Classen dervor- gelegten Zahl besteht, als wie viel solcher Wurzel¬ ziffern bekannt sind. Dem Reste hänge man rechts die nächst folgende Ziffer S der gegebenen Zahlan,theiledensovergrößertenRest io(«r— durch n»"-*, nemlich durch das Product aus dem Wurzel-Exponenten er und der um einen Grad nie¬ drigeren -r—iten Potenz des schon bekannten Wür¬ ze Ith ei ls «; und nehme für die nächst kommende Ziffer der Wurzel den entfallenden ganzziffrigen Antheil 4- dieses Quotienten, so oft er nicht größer als s ist; setze jedoch, falls er größer als S aus¬ fiele, g für die gesuchte Ziffer st an, da diese höch¬ stens 9 werden kann. Um uns von der Richtigkeit dieses Rechnungsverfahrens zu überzeugen, sei diejenige Zahl, welche von den, der Ziffer § fol¬ genden niedrigeren, r-—l Wurzclziffern gebildet wird, und c die Zahl, welche aus den, nach der Ziffer S der gegebenen Zahl kom¬ menden, »r—I Ziffern besteht; so ist ro-'cr-l-io^'st-!-/der Aus¬ druck der -rten Wurzel aus der gegebenen Zahl 'ldh dahcr (lo^-t-io^st-^)" — Nun hat man aber do'-L-l-io-'-rst-l-?)'- — kdv'' L-l-IO'—'st) 'st)" wenn man erwägt, daß sowohl als auch st^o ist, und wenn man von den Entwicklungen der Potenzen der verkommenden nome nur die ersten und höchsten Glieder beibehält. Zugleich hl io-"—'; daher auch 10^ NU---'st < 21 ' V. Abschnitt. g?1 Theilt man sofort diese Vergleichung durch IO"'—so übergeht sie in IO»", oder, weil die hier verglichenen Zahlen ganz sind, in io»" Cio« -t-S, woraus IO(«—r-.")-l-ü D< —— folgt. Bezeichnet demnach - die in dem Quo- 10 («— Renten -——- enthaltene ganze Zahl, so ist die verlangte Ziffer Da dieselbe jedoch auch nie über 9 steigen kann, so muß man sie gleich 9 annehmen, so oft der Quotient - größer als 9 ausfällt. Insbesondere hat man bei dem Ausziehen der zweiten Wurzel 10 (s— —— > und bei jener der dritten Wurzel I0(«— Dem Lernenden wird cs gegenwärtig sehr leicht fallen, aus dem hier Gesagten die allgemeinen Regeln für die Ausziehung jeder Wurzel aus besonderen Zahlen auf dieselbe Weise, wie wir sie für die Ausziehung der zweiten und dritten Wurzel in §. 145 und 151 gegeben haben, wohl geordnet, zusammen zu stellen, oder auch, indem er den Exponenten n durch 2 oder s ersetzt, die Richtigkeit des eben citirten Verfahrens bei dem Ausziehen der zweiten und dritten Wurzeln in voller Allgemeinheit und Strenge nachzuwcisen. Wir verweilen hiebei nicht, da wir noch in der Lehre von den Logarithmen (§. 268) ein weit bequemeres Mittel zur Berechnung der Wurzeln aus besonderen Zahlen kennen lernen werden. Auch möchte es wenig Schwierigkeiten machen, die allge¬ meinen Regeln aufzustellen, nach denen jede Wurzel aus einem alge¬ braischen geordneten Polynom gezogen werden kann, da sie den in §- 139 und 140 von der Ausziehung der zweiten und dritten Wur^ Zel gegebenen ähnlich sind. 272 Sechstes Hauptstück. VI. Abschnitt. Won den Logarithmen. §. 255. Wenn man eine und dieselbe, übrigens beliebige Zahl« nach einander auf verschiedene Potenzen erhebt, so werden die Exponen¬ ten die Logarithmen der hervorgebrachten Potenzen genannt. Z. B. Es sei s, K"—a, a? —u. s. w., so ist M derLoga- rithme von S, n der Logarithme von o, -o der Logarithme von ä, und wird bezeichnet: m —lo-xS, » —loxa, ,1—lox ct. Und so ist der Logarithme einer jeden andern Zahl/"derjenige Exponent, auf welchen a erhoben werden muß, damit wo möglich / zum Vorschein komme. Vermag man die Logarithmen aller Zahlen zu bestimmen, indem man immer nur dieselbe Zahl a erhebt, d. h. lassen sich alle Zahlen als Potenzen einer und der nemlichen Zahl «darstellen; so erhält man ein logarithmisches System, wovon die Zahl « die Grundzahl genannt wird, weil sie den einmal angenommenen Werth beständig beibehält, und das System gleichsam auf derselben erbaut wird. §. 256. Es sei nun auch s, u. s. w.; so hat man wieder ein logarithmisches System, wovon die Grundzahl und also m- lox-, n—ioxund lox« ist. Ist nun so ist wegen auch ö—wie auch a—r-, u. s. w- (§. 137, Grundsatz I.), und man hat eben dasselbe System. Ä aber ^1 von « verschieden, so sind es verschiedene Systeme und auch die Zahlen b, e, sind von r-, s verschieden, das heißt: Gleiche Zahlen haben in einerlei Systeme auch gleiche Logarithmen, und in verschiedenen Syste¬ men verschiedene Logarithmen. Und umgekehrt, gleichen Logarithmen entsprechen in einerlei Sy¬ steme auch gleiche Zahlen, und in verschiedenen Systemen verschiedene Zahlen. Vl. Abschnitt. S7Z §. 257. Die merkwürdigsten allgemeinen Eigenschaften der Logarith¬ men sind folgende. 1) Man setze in der Gleichung «"----S den Exponenten »r—o, so ist (vermög §. I2K) S—i, und also o—log l; das heißt, in jedem Systeme ist der Logarithme von i—o. 2) Setzt man aber m- 1, so istb—a, und also i—log«, nemlich in jedem Systeme ist der Logarithme von der Grundzahl —i. 3) Nimmt man die Grundzahl a reell und positiv, dabei größer als i, oder kurz »>i an, so ist (vermög §. 123, II) S>1, wenn m eine positive Zahl, und (vermög §. 127) Sei, wenn M eine negative Zahl bedeutet, zugleich aber auch S reell und po¬ sitiv; das heißt, in jedem logarithmischen Systeme, wo die Grundzahl reell, positiv und größer als i ist, sind dieLogarithmcn der reellen positivenZa Ih¬ len, welche die Einheit übersteigen, positiv, und die Logarithmen der echten reellen positiven Brü¬ che sind negativ. 4) Ware aber die Grundzahl « reell, positiv und kleiner als I, so ist (vermög 8-123, I) SCI, wenn m positiv; und (ver¬ mög §. i27) Sr»l, wenn M negativ und auch hier S reell und po¬ sitiv ist; nemlich in jedem logarithmischen Systeme, wo die Grundzahl reell, positiv und kleiner als list, sind die Logarithmen der echten reellen positiven Brüche positiv, und die Logarithmen der reellen Positiven Zahlen, welche die Einheit überstei¬ gen, sind negativ. Da es nun, wie in der Folge deutlich zu ersehen sein wird, wünschenswerth bleibt, die Logarithmen der reellen positiven Zahlen reell und zugleich die der ganzen Zahlen Positiv zu erhalten; so sieht man hieraus, daß es am zweckmäßig¬ sten ist, für die Grundzahl eine reelle positive Zahl, welche größer als i ist, anzunehmen; hiedurch erhalten nur die reellen positiven Zahlen reelle Logarithmen, die Logarithmen der negativen Zah¬ len hingegen werden dann unmöglich (imaginär); zugleich sind die Logarithmen aller die Einheit übersteigenden Zahlen positiv, wäh¬ rend jene der unter der Einheit liegenden negativ ausfallen. 37L Sechstes Hauptstück. Im Verlaufe unserer weiteren Untersuchungen über die Loga¬ rithmen wollen wir daher stets nicht nur die Grundzahl, welche zu verschiedenen Potenzen erhoben werden soll, reell, positiv und größer als i, sondern auch die Exponenten (Logarithmen), nach denen sie potenzirt wird, wenigstens reell, wenn auch sowohl po¬ sitiv als negativ annehmen, wornach die hervorgebrachten Poten¬ zen (die Zahlen) gleichfalls immer reell und positiv, jedoch bald größer, bald kleiner als i ausfallen. Wir machen diese Bemer¬ kung hier ein für alle Mal, um in der Folge die Beiwörter: reell und positiv unterdrücken zu können. Bei diesen Einschränkungen nun ist es leicht, die Möglichkeit nachzuweisen, jede Zahl als Potenz einer anderen darzustellen, oder ihren Logarithmen zu bestimmen, wenn die letztere als seine Grundzahl angenommen wird. Denn ist «reine beliebige Zahl, gleich¬ viel ob größer oder kleiner als i (jedoch niei selbst, weil i potenzirt keine andere Zahl als wieder i selbst gibt), und bildet man alle ihre durch ganze (positive oder negativc)Exponenten angegebenen Potenzen ....«-s, a-», «-s, a--, a-r, «r^, welche in dieser Ordnung fortwährend steigen oder fallen, je nach¬ dem a>-i oder ist, so muß jede andere Zahl - selbst, so wie auch jede ihrer gleichfalls nach ganzen Exponenten gebildeten Potenzen s--», ö-2, s-l, s°, Kl, H-, -3, -4, also allgemein die Potenz s?, wenn /- eine beliebige ganze Zahl vorstellt, entweder mit einer der obigen Potenzen von a, z. B. wenn n gleichfalls eine ganze Zahl andeutet, mit er" völlig Übereinkom¬ men, oder zwischen zwei unmittelbar nach einander folgenden Po¬ tenzen von er, wie er" und er"---*, liegen. Im ersten Falle ist a", und daher folglich ist, wenn m den Exponenten,nach welchen man die Grundzahl«r potenziren muß, um die Zahl S zu finden, oder den Logarithmen der Zahl ö für die Grundzahl «r vorstellt, somit, wenn allgemein ögesetzt wird, der gewünschte Loga- er nthme M — - - Im zweiten Falle aber, wo zwischen er" und » -- r liegen kommt, muß auch - oder er"- zwischen er? und er?^?> folglich , VI. Abschnitt. S73 m zwischen - und -i- liegen. Man kann demnach für den zu suchenden Logarithmen m immer zwei rationale Zahlen - und * ni. i --t-- finden, welche nur um — von einander verschieden sind, zwischen denen jener Logarithme liegt, und von denen er daher ein¬ zeln um weniger als , ja sogar von demjenigen, dem er näher liegt, um weniger als —absteht. Da sich nun die Zahl ,-ganz nach Belieben vergrößern, folglich der zwischen - und -t- - bestehende Unterschied so weit man es immer wünschen mag, verkleinern läßt; so kann man, wenn man für den verlangten Lo¬ rr rr 1 garithmen »r willkürlich eine der zwei Zahlen - und - -t- - annimmt, den hiebei unvermeidlichen Fehler jedenfalls unter ja sogar, wenn man die an ihm näher liegende dieser beiden Zahlen ermitteln kann, unter herabbringen, somit auch immer diesen Logarithmen von S mit jeder verlangten Schärfe, wenn gleich m den meisten Fällen nicht völlig genau, bestimmen. Hiezu laßt sich noch beifügen, daß, wenn (was wir fortan im¬ mer voraussetzen wollen) die Grundzahl « größer als 1 ist, auch, je größer die Zahl ist, desto größer der dazu gehörige Logarithme ausfällt; weil dann S in der Gleichung immer um so größer wird, je größer man r» annimmt. 5) Wenna^-^s und «" -eist, sy jst auch«'" .K" —"—So (§. 29, Grundsatz I.), und also M-i-rr—InxSe. Es ist aber auch , und -r—ioxo; folglich ic>§So — lo^S-t-Io§o; das heißt, der Logarithme eines Produktes be¬ steht aus der Summe der Logarithmen der Fac¬ to r en. Daß dieser Satz sich auch auf ein Produkt mehrerer Fac- toren erstrecke, ist leicht einzusehen. Denn es sei s—rt/ , so ist IvgSc—lo^ S-t-IoKck/---IogS-t-IogÄ-t-iog/. 376 Sechstes Hau xtstück. . 6) Da und a"—e, sofist auch (§. SS, Grundsatz I.) ü S a"—" — ; also M —-r — lox- ; oder wenn man für m und -r die gleichen Werthe Io§r> und lo^o setzt, so ist lo-^—InxS —lo^o; ncmlich der Logarithme eines Quotienten besteht aus dem Logarithmen des Di- vidends weniger dem Logarithmen des Divisors; oder der Logarithme eines Bruches besteht aus dem Logarithmen des Zählers weniger dem Logarith- mendesNenners. 7) Da a"»— s ist, so ist auch — a'''» (vermög §. IS7, Grundsatz I.) und also — ----r; oder lox^—; nemlich der Logarithme einer Potenz besteht aus dem Logarithmen der Wurzel s multiplicirt mit dem Exponenten -- der Potenz. 8) Da a"'—ö; so istauch l/S—a'' (vermög §. 1S7, Grund¬ satz H.) ; daher lox l/ü — und endlich loxs/ö — nemlich der Logarithme einer Wurzelgröße s/Sbesteht aus dem Logarithmen der Potenz S dividirt durch den Wurzel-Exponenten--. Aus diesen angeführten Sätzen erhellet nun, daß cs bei der Berechnung der Logarithmen nur nöthig sei, die Logarithmen der Primzahlen 2, s, 8, 7, n, . .. . zu berechnen, weil die übrigen durch eine blose Addition oder Multiplikation leicht daraus zu bestimmen sind. §. 258. In dem gewöhnlichen logarithmischen Systeme, welches das gemeine, oder Briggische System genannt, und am meisten in der Mathematik gebraucht wird, hat man die Grundzahl gesetzt. Es ist sodann, weil io'-IO, Iv"—IO«, 70? —1000 , 10^-Ivooo,..-' ist' iosslv—I, loglVO-2, iogiooo—s, loxlOOOO-4, u. s. w. VI. Abschnitt. 377 Eben so ist, weil »3 1 ^7 io^-l/10, 10'—l/10, 10^--i/lO, IO"-l/tO' ist, 3 I -7- " — loA^IO, Ic>;;l/lü, - —loxl/lO, —---Io§ I/lO«. Hieraus erhellet, daß die Logarithmen der rationalen Po¬ tenzen der Grundzahl ganze rationale Zahlen, die Logarithmen der mit gebrochenen Exponenten versehenen Potenzen der Grund¬ zahl rationale Brüche, und die Logarithmen aller übrigen Zahlen irrational sein müssen, weil es nicht möglich ist, eine rationale Grundzahl auf irgend einen Exponenten zu erheben, daß eine solche Zahl vollkommen genau zum Vorschein komme. §. 259. übrigens kann man im Brigg'schen Systeme doch sicher schlie¬ ßen, daß die Logarithmen der Zahlen zwischen i und io kleiner als i, und größer als 0 sein müssen; daß die Logarithmen der Zahlen zwischen io und IOO aus einer Einheit nebst einem echten Bruche, die Logarithmen der Zahlen zwischen IOO und 1000 aus zwei Einheiten nebst einem echten Bruche, die Logarithmen der Zahlen zwischen 1000 und ivooo aus drei Einheiten nebst einem echten Bruche, überhaupt, daß der Logarithme einer je¬ den ganzen Zahl aus so viel ganzen Einheiten, als die Zahl Ziffern hat, weniger l, nebst einem echten Bruche bestehen müsse, welche Brüche nur nähc- rungsweise durch Decimalbrüche ausgedrückt werden können, die der Wahrheit um so näher kommen, je mehr Decimalstcllen man bei denselben zu bestimmen trachtet. Auch wird dcßwegen die Zif¬ fer des Logarithmen, welche die ganzen Einheiten anzeigt, die Kennziffer oder Charakteristik genannt; weil man diele sogleich kennt, sobald die Anzahl der Ziffern von der dem Loga¬ rithmen zugehörigen Zahl bekannt ist; und umgekehrt, weil man aus der Kennziffer eines Logarithmen sogleich erkennt, aus wie diel Ziffern die demselben entsprechende Zahl bestehen muß. Außerdem nennt man den ganzzahligen Inbegriff der Decimalzisfern des Loga- rithmendieMantisse. Soistz.B.lox 726—2,8609366, also 2 die Charakteristik und 8609366 die Mantisse des Logarithmen von 726; eben so hat man lox 10026—4,ooii277, daher ist 4 die Charak- 378 Sechstes Hauplstück. teristik und 00II277 die Mantisse dieses Logarithmen. Es begreift sich leicht von selbst, daß man hierbei der Mantisse die an dm ersten Decimalstellen befindlichen Nullen zur Begegnung von Mi߬ verständnissen nicht weglasscn dürfe, weil die Mantisse H277 dem aus s Decimalziffern bestehenden Logarithmen 4,H277 angehören würde. Deßwegen ist cs auch gut, die Mantisse nicht als ganze Zahl zu lesen, sondern ihre Ziffern von links nach rechts einzeln aus¬ zusprechen. Auch ist leicht einzusehen, daß in eben diesem Brigg'schen Systeme der Logarithme einer Zahl, welche hinten Nullen bei sich führt, dem Logarithmen der bedeutenden Ziffern in seinen Decimal¬ stellen vollkommen gleiche, und nur in der Charakteristik um eben so viel Einheiten größer sei, als die Zahl hinten Nullen hat. So z. B. ist log 3564OOO— log 3564X1000—loglOOO-t-Iog 35K1-- 3-t-Iox 8564. Eben so ist auch log 654,89 —log—log 65489-2, logo,0936—iog -^^--10x936—4; das heißt, dec Logarithmeeines Decimalbruches ist in den Decimalstellen dem Logarithmen eben dieser Zahl als einer ganzen Zahl betrachtet, völlig gleich, und nur allein in der Charakteristik um eben so viel Einheiten kleiner, als Decimalstellen bei der vorgelegten Zahl vorhanden sind. Die Logarithmen aller mit denselben bedeutenden Ziffern ge¬ schriebenen ganzen Zahlen und Decimalbrüche, besitzen daher durch¬ gehends dieselbe Mantisse. So z. B. bestehen die Logarithmen der mit den nemlichen bedeutenden Ziffern geschriebenen Zahlen 237000 , 2370 , 2,37 , 0,0237 , 0,0000237 aus derselben Mantisse 3747483, wie jener, welcher der aus den nemlichen gelten¬ den Ziffern bestehenden ganzen Zahl 237 angehört, und unterschei¬ den sich nur in der Kennziffer. Man wird demnach blos die Mantissen der Logarithmen von ganzen Zahlen zu suchen haben- 260. Man kann sich aber dem Logarithmen einer Zahl, welche keine vollkommene Potenz von der Grundzahl ist, hinreichend nä¬ hern, wenn man etwa auf demselben Wege, welcher uns (w §- 257, 4) zur Erkenntniß der Möglichkeit, Logarithmen überhaupt VI. Abschnitt. 379 zu bestimmen, leitete, nach und nach eine solche irrationale Potenz der Grundzahl aufsucht, welche von der gegebenen Zahl nur um einen so kleinen Bruch verschieden ist, daß er bei einer verkommen¬ den Rechnung für nichts geachtet, und der Exponent jener Potenz für den verlangten Logarithmen, ohne einen erheblichen Fehler zu begehen, gesetzt werden darf. Eine andere Methode besteht dem We¬ sentlichen nach in Folgendem. Wenn z.B.der Briggische Logarithme von s zu berechnen wäre, so suche man, da 5 zwischen ia", und io* liegt, zwischen diesen zwei Potenzen (nach §. 184) die mittlere geometrische Proportionalzabl —iv'—S,1622776601. Da nun iü^<5 ist, so suche man zwischen 10° und io die mittlere Pro- 3 3 portionale —iü"—5,623413251. Da aber io">5 ist, suche man zwischen io^ und io wieder die mittlere Proportionale —io° — 5 4,216965034. Ferner suche man wieder zwischen 10° und It? die mittlere Proportionale — io"--- 4,869675252. Auf diese Art fahre man fort, und suche jedesmal zwischen der nächst kleinern und nächst größern schon bekannten Potenz der Grundzahl die mittlere geometrische Proportionale, so wird man sich immer mehr und mehr der Zahl 5 nähern; und man kann die Arbeit so lange fortsetzen, bis man eine Potenz erhält, die nicht mehr merklich von der Zahl 5 verschieden ist. So z. B. würde man, wenn man auf diese Art 22 mittlere Proportionalen sucht, die Potenz io"""" —3,000000864 . . . erhalten, welche von der Zahl 5 nicht mehr U"'E^oWo verschieden ist. Man kann darum in den Rechnungen, ", I , , 2931693 IWÖWÖ mehr zu achten rst, log 5-- —0,6989700 . . . setzen, wo nur die sieben ersten Dccimalziffern richtig sind, weil die Potenz der Grundzahl nur bis auf die siebente Decimalstelle übereinstimmt. 38V Sechstes Hauptstück. Man sieht hieraus, daß man die Arbeit noch weiter fortsetzen, und jede mittlere Proportionale mit mehr als sieben Decimalstellen entwickeln müßte, wenn man den Logarithmen mit mehr als sieben Decimalstellen richtig bestimmen wollte. Beiläufig auf diesen zwei ungemein beschwerlichen Wegen hat der Engländer Heinrich Briggs und zwar auf dem crstenWege die Logarithmen von 2 und 7, auf dem zweiten aber die Logarithmen der Zahlen voni bis 20000 und von 9000a bis lOOOOOmit il Deci¬ malstellen berechnet; hernach hat Adrian Vlacq die Lücke von 20000 bis 90000 mit 10 Decimalstellen ausgcfüllt, welche Logarith¬ men sodann in ordentliche Tabellen eingetragen wurden, so, daß man zu jeder Zahl, die zwischen diese Grenzen fällt, den dazu gehöri¬ gen Logarithmen, und umgekehrt zu jedem gegebenen Logarithmen die entsprechende Zahl sogleich finden kann.'Solche Tabellen sind unter dem Namen logarithmische Tafeln allgemein bekannt. Weiter hinten, bei der Lehre von den unendlichen Reihen (die aber zu Briggs und Dlacq's Zeiten noch nicht bekannt waren), wird gezeigt werden, wie die Logarithmen aller Zahlen auf eine ungemein kürzere Art hätten berechnet werden können- Übrigens macht die genaue Kenntniß der Wesenheit der Logarith¬ men, welche beide Gelehrte in ihren Werken an Tag legen, und die kurze Zeit, in der sie so ausgedehnte Tafeln zu Stande brach¬ ten, es höchstwahrscheinlich, daß sie sehr zweckmäßigeHilfstafeln und Rechnungsmethoden besaßen, welche jedoch seither in Verges¬ senheit geriethen. §. 261. Der logarithmischen Tafeln gibt es heutigen Tages eine Menge. In den meisten sind die Logarithmen mit sieben Decimal- ziffern anzutreffen, weil dieselben säst in allen Fällen hinlängliche Genauigkeit gewähren, doch enthalten einige auch blos 6 oder 5, ja sogar nur 4 Ziffern, je nach den Zwecken, für welche sie be¬ stimmt sind. Gewöhnlich geben sie nur die Mantissen der ganzen Zahlen an, weil die Kennziffer leicht aus der Anzahl der Ziffern, womit die Zahl geschrieben wird, durch Verminderung um 1 ge¬ sunden werden kann. Die Tafeln von 7stelligen Logarithmen ent¬ halten in der Regel die Logarithmen aller ganzen Zahlen von I 100000 in ihrer natürlichen Folge. Es wäre überflüssig, ausführ¬ liche Beschreibungen von verschiedenen logarithmischen Tafeln hier Vl. Abschnitt. 281 einzurücken, und deren Einrichtungen zu erläutern. Es ist am be¬ sten, bei dieser Gelegenheit, eine logarithmische Tafel in die Hand zu nehmen, und deren Einrichtung, wie auch den Gebrauch der¬ selben aus der beigefügten Einleitung zu erlernen. Hiezu dürfte vorzüglich dienlich sein, Vega's Logarithmisch-trigonome¬ trisches Handbuch, anstatt der kleinen Vlacqui- scheu, Wölfischen, und andern dergleichen meistens sehr fehlerhaften log a r ith m i sch-trigono metri scheu Tafeln, für die Mathematik-Beflissenen einge¬ richtet; Leipzig in der Weidmann'schen Buchhand¬ lung i8vv, welches gegenwärtig stereotypirt ist, im Jahrei 837 schon die 16. Auflage erlebte, und bei seiner Vollständigkeit und Nich¬ tigkeit in einem verhältnißmäßig sehr billigen Preise steht. Den¬ jenigen, welche sich mit der ausübenden Mathematik beschäftigen, dürften Vega's Logarithmisch-trigono metrisch en Ta¬ feln nebst andern zum Gebrauchender Mathematik «ingerichteten Tafeln und Formeln in zweiBänden; Leipzig in der Weidmann'schen Buchhandlung 1797, sehr nützlich sein; so wie diejenigen, die äußerst feine mathema¬ tische Berechnungen zu machen haben, Bega's vollständige Sammlung größerer logarithmisch-trigonometri¬ scher Tafeln (TAessrE« M Leipzig in der Weidmann'schenBuchhandlung I7S1, hiezu geeignet finden werden. §. 262. I. Das Allgemeinste, was sich über die Einrichtung der Tafeln der Logarithmen der Zahlen sagen läßt, ist beiläufig Folgendes. mehreren, vorzüglich älteren Tafeln, laufen sämmtliche Zahlen, von der kleinsten angefangen, in verticalen Columnen (Spalten) w natürlicher Folge bis zur größten fort; zu ihrer Rechten stehen auf denselben (horizontalen) Zeilen die ihnen angehörigen Loga- rithmen oder auch nur die Mantissen derselben, deren Gesammthcit abermals in verticalen Spalten, ununterbrochen wachsend, fortläuft. Uni jedoch solche Tafeln ohne Schmälerung ihres Inhaltes auf einen M'el kleinern Raum zusammenstellen zu können, hat man folgende, »mischen den Zahlen und ihren Logarithmen bestehende, Beziehun- Len benützt. Während die Zahlen von einer bestimmten angefan- 382 Sechstes Hauptstück. gen bis zu dem Zehnfachen derselben fortlaufen, wachsen dem früher Erläuterten (§. 259) gemäß ihre Logarithmen im Ganzen nur um eine Einheit, zugleich liegen zwischen diesen zwei Grenzen desto 'mehr Zahlen, je größer sie sind. So z. B. Es muß demnach die den Logarithmen zuwachsende Einheit in desto mehr, wenn auch ungleiche Theile zerfällt, und daher jeder solche Theil um so kleiner, folglich auch der Unterschied zwischen den Logarithmen je zweier unmittelbar nach einander solgenderZah- len um so geringer werden, je mehr Zahlen zwischen die beiden Grenzen fallen. So wird in unserem Beispiele die Einheit, um welche die Logarithmen der Zahlen von i bis 10 zunehmen, nur in S Theile, bei jenen - io -- 100 aber in so - bei denen - 100 1000 schon in soo - u. s. w., kurz in den nach einander folgenden Intervallen immer in io Mal mehr Theile getheilt. Hieraus folgt nothwcndig, daß die Logarithmen von nur um einige Einheiten unterschiedenen Zahlen in desto mehr ersten Ziffern/ also ihre Mantissen in ihren ersten Decimalziffern übereinstimmen müssen, und daß die Vergrößerung einer solchen Ziffer nach desto mehr, der Zahl zuwachsenden, Einheiten eintritt, je größer diese Zah-' len sind. So z. B. beginnen die Mantissen der Logarithmen aller Zah' len von ion bis i25 mit o, jene von 126 bis 158 mit i, die Mam tissen von 399 bis 407 mit 60, jene von 603 bis 6i6 mit 73/ von 1000 bis 1023 mit 00, die von 3020 bis 3090 mit 48 von 3020 bis 3026 mit 480, von lOOOO bis 10023 mit 000, u. s. rv>' wie man sich leicht mittels einer Logarithmentafel überzeugt kann. VI. Abschnitt. 383 Wegen dieser Eigenschaften der Logarithmen behalt man seit Newton in größeren logarithmischen Tafeln die Nebeneinander- stellung der Zahlen-- und Logarithmen--Colunmen gewöhnlich nur bis zur Zahl ivO oder iovo bei, je nachdem die Tafel bis looog oder looooo sich erstreckt; in der späteren Abtheilung aber trennt man zur Ersparung von Raum, die immer widerkehrenden Ziffern o, I, 2, 3, 4, s, s, 7, 8, g der Einer der Zahlen ab, und stellt sie in die oberste horizontale Zeile, während man die aus den übrigen Ziffern bestehenden Zah¬ len in der ersten verticalen Spalte nach der natürlichen Ordnung fortlaufen läßt. Sofort setzt man mit Weglassung der ohnedies leicht bestimmbaren Kennziffern in verticalen Colunmen die mit obigen io Ziffern überschrieben sind, vor den Mantissen der mit einerlei Ziffer der Einer .sich endigenden Zahlen, die letzten 3 oder 4 Ziffern, während man die gleichen 2 oder 3 Anfangsziffern in die mit o überschriebene Spalte ausnimmt. Sonstige besondere und cigenthümliche Einrichtungen der Lo¬ garithmentafeln müssen aus der ihnen beigefügten Erläuterung und wirklichen Anschauung derselben erlernt werden. II. Soll nun zu einer bekannten ganzen Zahl die Mantisse ihres Logarithmen aus einer logarithmischen Tafel entnommen werden, und ist jene Zahl in der zu Gebote stehenden Tafel noch enthalten, so wird man die Zahl aufsuchen und die ihren Loga¬ rithmen angehörige Mantisse herausnehmen, was bei genauer Kennt- niß der Einrichtung der Tafel und nur einiger Übung äußerst leicht ist. Wäre aber diese Zahl in der Tafel nicht mehr enthalten, so wird man die oben gemachte Bemerkung über die unmerklichen Änderungen der Zunahme der Logarithmen von benachbarten Zah¬ len benützen, von denen wir vorläufig noch etwas umständlicher handeln wollen. Wenn man in den logarithmischen Tafeln die Logarithmen von drei nach einander folgenden Zahlen vergleicht, so findet man, daß die Differenzen immer mehr und mehr einander gleichen, je größer die den Logarithmen entsprechenden Zahlen werden, und Zwar so, daß dieselben, wenn die Zahlen schon größer als iooo sind, Mr noch in der siebenten Decimalstelle um einige wenige Einheiten 284 Sechstes Hauptstück. von einander unterschieden sind. Nähern sich aber die Zahlen schon gegen loovo, so betragt der Unterschied in der siebenten De-- cimalstelle keine ganze Einheit mehr; als z. B. Hier sind demnach die Differenzen um keine Einheit in der sie¬ benten Decimalstelle mehr verschieden. Nimmt man aber drei Zahlen an, die um keine ganze Einheit von einander verschieden sind, so trifft dies schon bei den Zahlen, die nur 1000 übersteigen, so viel als vollkommen überein; als z. B. Man kann demnach den Satz für richtig annehmen, daß, wenn bei Zahlen, die größer als 1000, und um keine Einheit mehr von einander verschieden sind, die Zunahmen (der Zahlen) 2, 3, 4, . . . Mal größer werden, auch d>'e Zunahmen der Mantissen ihrer Logarithmen 2, 3, 4, . . . Mal sich vergrößern, oder daß die Differenzen der Zahlen sich gegen ein¬ ander verhalten, wie die Differenzen der den Zah¬ len zugehörigen Logarithmen, oder wie die Diffe¬ renzen der Mantissen dieser Logarithmen. Denn ist (1032—^0SI)^.(^03I;-^ySI)--- (1ox 1032 —los 1031) : (Io- 1031^- Io- 1031) ; nemlich 1:^-0,0004210:0,0002105 oder auch (I032-I03I) : (1031;—1O31) — . (mantIo^I032—mnntIo§103I):(mÄntIo§103I;—mantloglOL > nemlich l:;—4210:2105. VI. Abschnitt. 383 §. 263. MitHilfe dieses Satzes kann man nunauch den Logarithmen einerZahl finden, welche die Grenzen der Tafeln über¬ steig es wäre nach einer Tafel, welche nur die Logarithmen der Zahlen von Ibis ioooo enthält, der Logarithme von 5462389 zu finden, so. verfahre man auf folgende Art. Man schneide von der Zahl so viel Ziffern durch ein Komma ab, daß man eine ganze Zahl nebst einem Decimal- bruche erhalte, welche zwischen die Grenzen der Tafel fällt. In unserm Beispiele ist sodann 5462,389, wozu eigentlich der Logarithme gesucht wird. Aus dem gefundenen loZ 5462,389 folgt dann unmittelbar Ic>§ 5462389, weil (vermög §. 259) diese zwei Logarithmen in den Decimalstellen vollkom¬ men gleich sind, oder dieselbe Mantisse haben. Da nun mont lox 5462,389> mont ioZ 5462, und auch mantlttx5462,389 < mantlox5463 sein muß; svsei mgnt inZ 5462,389 — mont1o^5462-t-^, wobei man, um beque¬ mer zu rechnen, die Mantissen der Logarithmen einstweilen wie ganze Zahlen behandelt; und es ist (vermög §.262), weil diese drei Zahlen um keine ganze Einheit von einander unterschieden sind, (5463 — 5462) : (5462,389 — 5462) — (mantlog5463—MLntIox5462):(montIoA5462,389—mantlox5462); nemlich, wenn montlog 5463 —nmntlox 5462 ---H gesetzt wird, 1:0,389—^folglich o,389/X. Um daher diejenige Zahl zu finden, welche man der Mantisse des Logarithmen der nächst kleineren Zahl zuzugeben hat, um jene des gesuchten Loga¬ rithmen zu erhalten, multiplicirt man den von der gegebenen Zahl abgeschnittenen Decimalbruch mit dem Unterschiede der Mantissen der Logarith¬ men der nächst kleineren und größeren Zahl. End¬ lich setzt man dieser Mantisse die ihr (vermög §.259) angehörige Charakteristik vor, so hat man den ge¬ suchten Logarithmen. Vega Verles. I. Bd. 25 386 Sechstes Hauptstück. Zn unserem Beispiele ist ingnt lor; 3463—7374312 mrmt Ic>x 3462—7373317 oder abgekürzt Differenz 795) ^05 Abgeschnittencr Decimalbruch — v,389j""'^ ^830 7155 2385 6360 636 _2385_ ?! Product 309,255—lt 309,2-^ daher ist mant loss 5462—7373517 Zugabe p— 309 inant loss 5462389—737382K und folglich Inx 5462389—6,737382«. Soll überhaupt von einer ganzen Zahl, welche in einer be¬ stimmten Logarithmentafel nicht enthalten ist, die Mantisse ihres Logarithmen gesucht werden, und muß man von ihrer Rechten den Decimalbruch a abschneiden, damit die zurückbleibende ganze Zahl Al noch in der Tafel vorkomme; so wird die gesuchte Man¬ tisse (nach §. 259) mit jener der Zahl^-t-a ganz Übereinkommen. Nun liefert die Tafel nicht blos die Mantissen des Logarithmen von ^4, sondern auch jene M des Logarithmen der nächst größeren Zahl^4-t-i, daher auch den Unterschied beider, AI—»r, welcher der Kürze wegen mit bezeichnet werden mag. Wächst daher, während die Zahl von ^4 bis ^4-t-i um l zunimmt, die Mantisse von M bistllumeX-.14—m; so muß, wenn die Zahl von Amrur bis ^4-t-a um« wächst, die Mantisse von man, um«Mal^oder«^-^zu- nehmen, (welche Zunahme zr man auch mittels der nunmehr leicht an¬ zusetzenden Regeldetri i :«-zX: zt bestimmen kann), folglich wird die gesuchte Mantisse des Logarithmen von ^4-t-a gleich M-t-ss ge¬ funden. Daß man bei dieser Division die Ergänzung ^der Mantisse nur in Ganzen ohne weitere Annäherung bestimmen müsse, ist leicht einzu¬ sehen; weil diese Ganzen (vermögt 262) nur zehnmillionte Theü' chen sind, und die achte Decimalstelle ohnehin nicht mehr richtig erhalten wird; weßwegen auch die letzte Ziffer um i vermehrt werden muß, wenn der Rest größer als zist. *) Gewöhnlich sind diese Proportionaltheile mit Weglassung der Zehntel nur in corrigirten ganzen Einheiten berechnet. 23 * VI. Abschnitt. S87 Die angeführte Bestimmung der Ergänzung za der Mantisse kann auch noch, statt durch eine Regeldetri oder Multiplikation, blos durch eine einfache Addition ausgeführt werden. Enthält nem- lich der Decimalbruch «, welcher von der gegebenen Zahl abge¬ schnitten wurde, vom Decimalstriche an die Ziffern », st, folglich «. Zehntel, /Z Hundertel, Tausendtel, u. s. w.; so ist « st -— -j- —— -p- -., 10 IVO Ivoa ' mithin die Ergänzung ? " i i »d,-°uch Nun läßt sich aber sehr leicht zu jeder Differenz der Man¬ tissen der Logarithmen von der nächst größeren und nächst kleineren in der Logarithmentafel enthaltenen Zahl ein Täfelchen berechnen, in welchem das i, 2, 3, . . . Sfache des zehnten Theils dieser Differenz aufgeführt ist, und aus dem sonach zu den bekannten Decimalziffern «, st, - die Beträge der Products st^, entnommen werden können. Solche Täfelchen befinden sich wirklich in den meisten neueren Logarithmentafeln und man pflegt die i, 2, 3, . . . Sfachen des zehnten Theils der betreffend en Mantissen-Differenz die den Ziffern i, 2, 3, . . . S entsprechenden Proportionaltheile der Differenz (par¬ tes proportionales clilkerentiae) zu nennen. *) H Bezeichnen wir nun die obigen Products st^, 7 — ,..., welche daher auch die den Ziffern «, st, entsprechenden Proportionaltheile der Mantissen-Differenz sind, der Kürze wegen mit«', st', /, . . so wird die Ergänzung der Mantisse P—or'-t-— g'-t— 10^ 100^ Z88 Sechstes Hauptstück. Hier kann man die Thcilung durch io, 100, . . . auch sehr leicht dadurch ausführen, daß man bei dem Untereinanderschrei- ben der Proportionaltheile c?, . jede folgende mit ihrer Endziffer um eine Stelle an der Rechten herausrückt. Somit wird man, um die Ergänzung der nächst kleineren Mantisse zur gesuchten zu finden, für die von der gegebenen Zahlrechts abgeschnittenen Ziffern, in ihrer Folge von der Linken gegen die Rechte, die entsprechenden Proportionaltheile aus der Tafel her¬ ausnehmen, und diese unter der nächst kleineren Mantisse derge¬ stalt ansetzen, daß jede folgende um eine Stelle rechts herausge- rückt wird. Hierauf addirt man diese Zusätze zur Mantisse, behält jedoch in der Summe nur eben so viel Ziffern für die ge¬ suchte Mantisse bei, als deren in den Mantissen der Tafel Vorkommen, und corrigirt die Endziffer nach der ersten weggelassenen Ziffer. Es leuchtet wohl von selbst ein, daß man in der Herausnahme von Proportionaltheilen nicht weiter zu gehen habe, als bis die höchste Ziffer des zuletzt eingeschriebenen Proportionaltheils über die Endziffer (Einer) der Mantisse rechts herausragt, oder an die Stelle der Zehntel zu stehen kommt. Zur Erläuterung dieses Verfahrens suchen wir mit Hilfe einer Tafel, welche die Logarithmen der Zahlen bis loooso in 7 Stel¬ len enthält, den Logarithmen von 78423659. Schneiden wir S Ziffern am Ende hinweg, und suchen nunmehr nur die Mantisse des Logarithmen der Zahl 78423,689, so gibt die Tafel inant IoA 78424 — 8944490 niLnt lo^ 78423 — 8944438 also ist ihre Differenz — 55 ferner hat man mant loss 78423 —8944435 Proportionaltheil zur Ziffer 6 — 33 - - - 5 — 28 - _- - g— 50 daher ist Iimnt loZ 78423659 — 8944471 UNd lox 78423659—7,8944471. Damit die Rechnung vereinfacht werde, genügt es, blos die letzten 3 oder 4 Ziffern der Mantisse, welche eine Abänderung er¬ fahren, aus der Logarithmentafel abseits zu schreiben, und an sie VI. Abschnitt. 389 die Proportionaltheile zu fügen, nachdem man die Differenz der Mantissen, zwischen welche die gesuchte fallt, mittels Subtraction in der Tafel selbst bestimmt hat. Darnach steht die nunmehr leicht begreifliche Rechnung, wie folgt. log 78423689-7,8944471 4435 33 28 50 4471 §. 264. Wenn man auf diese Art den Logarithmen zu einer Zahl sucht, die aus 8 Ziffern besteht, so findet man, daß wegen der achten Ziffer der Logarithme in der siebenten Decimalstelle höchstens um 4 Einheiten größer werden kann, und zwar nur dann, wenn die erste Ziffer der Zahl ein i, und die achte ein 9 ist; in den übrigen Fällen aber ist meistens der Logarithme einer Zahl mit 8 Ziffern dem Logarithmen der 7 ersten Ziffern bis in die siebente Decimalstelle vollkommen gleich, oder um eine Einheit in der letzten Decimal¬ stelle verschieden. Wenn demnach zu einer Zahl, welche aus mehr als 8 Ziffern besteht, der Logarithme gesucht werden soll, so suche man denselben nur zu den 7 oder 8 ersten Ziffern auf, und setze die gehörige Charakteristik vor. Z. B. Es wäre log 1009345976 zu suchen; so findet man (nach §. 263) inant log 10093459 — 0040400, und log 1009345976—9,0040400. Eben so findet man msnt log 7985435—9022986 und log 798543598 — 8,9022986. Hat aber eine Zahl hinten Nullen bei sich, so suche man nur zu den bedeutenden Ziffern den Logarithmen, und vermehre die Charakteristik um so viel Einheiten, als hinten Nullen folgen (vermög §. 259). §. 265. Wenn zu einer Decimalzahl, d.i. zu einer ganzen Zahl nebst einem angehängten Decimalbrüche, der Logarithme gesucht werden soll, so darf man überhaupt nur (nach §. 263) den Loga¬ rithmen aufsuchcn, als wenn es lauter Ganze wären, und die Cha¬ rakteristik um so viel Einheiten vermindern, als Dccimalstcllcn vorhanden sind. Noch einfacher und eben so einleuchtend ist es, 290 Sechstes Hauptstück. die Charakteristik nur nach den Ganzen der Decimalzahl so zu be¬ stimmen, als wenn ihnen keine Decimalen folgten, indem man die Charakteristik um i kleiner als die Anzahl der zur Linken des Deci- malstriches befindlichen Ziffern nimmt. So ist z. B. lox 798,5435 —lox 7985435 —lox 10000 —2,9022988 Ivx 7,985435 —iox 7985435 —lox 1000000-0,9022986. Hätte aber der Decimalbruch gar keine Ganzen, wäre er nemlich ein echter Decimalbruch, und die Anzahl der Decimalstellen wäre daher größer als die Charakteristik, so ziehe man so viel Einheiten ab, damit die Charakteristik Null werde; die übrigen noch abzuzichenden Einheiten aber hänge man hinten an den Logarith¬ men mit dem Zeichen — an. Z. B. Es ist log 0,008432 - lass - lox 8432—Io§ 1000000 — 3,9259306—6—0,9259306—3. Man kann jedoch auch zur Charakteristik die Ergänzung der Anzahl der am Anfänge des echten Decimalbruches stehenden Nullen auf io wählen, und dem Logarithmen noch io abzuziehendc (subtractive) Einheiten anhängen. Im letzten Beispiele ist nemlich auch Io§0,008432—logO,0084320000—iog84320000—loKl0000000000 —7,9259306—10. Der Grund dieser Bestimmungen der Charakteristik von De- eimalzahlen liegt in Folgendem. Es sei allgemein « irgend eine mit s Ziffern decadisch geschriebene Zahl, welche sich mitck Deci¬ malstellen endigt; so ist lO^s eine oziffrige ganze Zahl, deren Lo- garithme die Mantisse m besitzen mag. Bei diesen Annahmen ist los io^--o—ioder (nach §. 257, Nr. 5 und?) lox lo^-t-Iox 1-s-M, oder (vermög §.258) iox s— io—inck, wenn man die Charakteristik durch eckige Klammern auszeichnet. Durch diese Gleichung wird die erste De- stimmungsweise in Zeichen ausgedrückt. Schreibt man aber dieselbe Gleichung in der Form ioxL—tc-ck—i^M, so drückt sie die zweite Bestimmungsweise aus, so lange folglich die Decimalzahl noch eine mit o—ck Ziffern geschriebene, von Null verschiedene, ganze Zahl bei sich führt. Ertheilt man ihr ferner, VI. Abschnitt. SOI wenn e ist, die Form log L — tot -t-m —(256,3K und diejenige ganze Zahl, deren Logarithme in der Man- üssc mit dem gegebenen übereinftimmt, —7525636; aus welcher S9t Sechstes Hauptstück. erst nach Beschaffenheit der Charakteristik die Ganzen von den De- cimalstcllen abgeschnitten werden müssen. Nun ist die Charakteristik des gegebenen Logarithmen —3, daher die ihm angehörige Zahl —7525,63k (vermög §. 259); wäre aber die Charakteristik -k, so wäre die Zahl —7525636 ohne Decimalstellen. Sollte hingegen die Charakteristik >6 sein, so muß die dazu gehörige Zahl aus mehr als 7 Ziffern bestehen. Da sich aber die achte Ziffer schon nicht mehr bestimmen läßt, weil (vermög §. 26L) die Logarith¬ men zweier Zahlen, die aus 8 Ziffern bestehen, und nur um einige Einheiten von einander verschieden sind, die 7 ersten Dreimal- ziffern vollkommen gleich haben; so hänge man hinten noch so viel Nullen an, daß man die der Charakteristik entsprechende Anzahl der Ziffern erhält. So z. B.ist 8,8765432-Iox 752563609. Auch hier lassen sich die Tafeln der Proportionaltheile der Dif¬ ferenzen der nach einander folgenden Mantissen mit vielem Bor- theile benützen. Denn behalten wir die in §. 263 verwendete Be¬ zeichnung bei, so finden wir aus dem für die Ergänzung der Mantisse aufgestellten Ausdrucke 10^ 100^ 1090 weil vck der größte in enthaltene Proportionaltheil ist, mittels des Täfelchens dieser Proportionalcheile, sogleich die ihm angehörige Ziffer «. Aus diesem Ausdrucke finden wir ferner oder wenn wir IO(^—setzen, ; ' 19^ 190 folglich, da der größte in enthaltene Proportionaltheil ist, mittels desselben Täfelchens die Ziffer D. Der letzte Ausdruck gibt ferner auch noch io(^i —. .. oder wenn io(^—^)--^ gesetzt wird, -t- j^-t- . . ., folglich finden wir, weil/der größte in ^begriffene Proportionaltheil ist, auf dieselbe Weise die Ziffer und wenn wir so sortfahren, auch die etwa noch übrigen Ziffern. VI. Abschnitt. 395 Um demnach diejenige Zahl zu finden, deren Logarithme ge¬ geben ist, wird man von seiner Mantisse die nächst kleinere in der Logarithmentafel enthaltene und zugleich auch diese von der nächst größeren in der Tafel vorkommenden abziehen, und zu der letzteren Differenz das ihr angehörige Täfelchen der Proportionaltheile su¬ chen. Hierauf nimmt man aus diesem den möglich größten in der ersten Differenz enthaltenen Proportionaltheil, zieht ihn von der Differenz ab, und hängt dem Reste rechts eine Null an, die Ziffer aber, welcher dieser Proportionaltheil angehört, schreibt man zu derjeni¬ gen Zahl, welche der nächst kleineren Mantisse der Tafel entspricht, rechis bei. Auf dieselbe Weise verfährt man mit dem neuen Reste und jedem späteren allmälig hervortretenden, bis die höchste Ziffer des letzten subtrahirten Proportionaltheils unter die Endziffer (Ei¬ ner) der Mantisse zu stehen kommt, wo man zuweilen auch den nächst zustimmenden größeren Proportionaltheil nimmt, und die ferneren Bestimmungen von Ziffern einstellt, weil sie nicht mehr richtig sein können. Z. B. Sucht man die Zahl des Logarithmen 8,8765482, so ist: gegebene Mantisse —8765432 nächst kleinere - --87654II Rest 5 Zahl der nächst kleinern Mantisse 75256 also Zahl der gegebenen Mantisse 7525636 UNd 3,8765432 --- Io- 7525.636. Auch hier kann man wie in §. 263 nur die letzten 3 oder 4 Ziffern für die Rechnung beibehaltcn, wornach diese folgende Gestalt erhält. 398 Sechstes Hauptstück. 3,8765432—lox 7525,636 3432 Hier wäre zu 40 der nächst 5444 zustimmende Proportionaltheil 4i 24 und seine Ziffer 7, welche jedoch 47 von der richtigen 6 um 4 differirt. Dies läßt uns erkennen, daß 35 man mittels der Tafel der Propor- "g tionaltheile höchstens 2 Ziffern verläßlich bestimmen könne. §. 267. Wäre aber zu einem Logarithmen, dessen Charakteristik 0 ist, und bei welchem hinten noch einige Einheiten mit dem negativen Zeichen angehängt sind (§. 265), die zugehörige Zahl zu suchen; so setze man der Zahl, welche den Decimalstellcn des Logarithmen entspricht, so viel Nullen vor, als hinten am Logarithmen Ein¬ heiten abgezogen sind, wovon aber eine für die Ganzen abgeschnit¬ ten werden muß. Z. B. Es wäre 0,9868747—3 ein gegebe¬ ner Logarithme; man soll die zugehörige Zahl finden; so entspricht der Mantisse des Logarithmen die Zahl 97023, und folglich ist die gesuchte Zahl 0,0097023. Bestände aber die Charakteristik eines Logarithmen aus einem von Null verschiedenen positiven Theile und aus io negativen Einheiten (mögen diese nun wirklich angeschrieben sein oder nicht); so findet man die Anzahl der in dem echten Decimalbruche voran stehenden Nullen gleich der Ergänzung der positiven Charakteristik auf die Zahl io; Z- B- ist 6,9868747—40 oder auch nur 6,9868747—loxO,00097023. Sollte aber der zu einem negativen Logarithmen zugehörige Bruch gefunden werden, so addire man zu ihm eine ganze positive Zahl, die abgesehen vom Zeichen größer als er ist, (am besten 10) ziehe sie wieder ab, nachdem man ihn selbst von jener positiven Zahl subtrahirt hat, und verfahre dann, wie eben gesagt worden; oder man suche die Zahl auf, als wenn der Logarithme positiv wa", setze selbe zum Nenner eines Bruches, wovon der Zähler 4 ist, so hat man den gesuchten Bruch (§. 257, Nr. 6). 3. B. Es s« —2,4353665 ein gegebener Logarithme; man soll den dazu gehöri¬ gen Bruch finden, so ist 2,4353665---IoL 272,5 , und also VI. Abschnitt. 39? —2,4353665— lox-^— ; oder weil —2,4353665—0,5646335—3, 272,5 und 5646335 — mimt lox 366972 ist; so ist — 2,4353665 — loxO,00366972, oder endlich —2,4353665—10—2,4353665—10 — 7,5646335—10— lox 0,00366972. §. 268. I. Wenn man nun mit einer logarithmischen Tafel versehen ist, so können die bei großen Zahlen sehr beschwerlichen Multiplikationen und Divisionen durch eine blose Ad¬ dition und Subtraction verrichtet werden. Z. B.Es sei in derElci- chungL---^, a—628723, S —83629, 0---567023, so kann a- auf folgende Art in Zahlen gefunden werden. Es ist lox a?—lox (§. S56), und loxw—loxa-— lox o (§. 257, Nr. 6); endlich loxs?—lox«-t-!oxö—lox o (§.257, Nr. 5). NUN ist lox a- 5,7984594) ... . , . > addirt lox S— 4,9223569s ^Iox«S-IO,72081631 . lox e- 5,7536007s" loxw— 4,9672156 daher a?—92729 die gesuchte Zahl. H. Eben so kann die Erhebung zu Potenzen mittels der Logarithmen durch eine blose Multiplikation, und die Aus¬ ziehung der Wurzeln durch eine blose Division geschehen. 39343 Z. B. Es wäre der Bruch — — zur dritten Potenz zu erhe- 85vL /39543X8 bcn, so setze man der Kürze wegen w—dann ist (§.257, Nr. 7) lox n-3.lox^^~ --3(lox 39543—lox 8564). Nun ist 8564 10x39543—4,59706961 . , lox 8564—3,9326767) 0,6643929 3 MUlt. lox a?— 1,9931787 somit S7---98,441622. 398 Sechstes Hauptstück. s Auf dieselbe Art kann aus der Gleichung n — wenn z.B.a—563,28,ö—7934 ist, die GrößewinZahlen entwickelt werden. , lox 4«?b lox 4 -t- lox -t- lox - Denn es ist lox a? — -:- — —--- o v lox 4-t-2 lox K-1-Iox L 5 NUN ist lox a — 2,7507243 (X2 lox — 5,5014486 lox 4 — 0,6020600 lox b — 8,8994922 10,0030008 (:5 lox w — 2,0006002 und w — 100,1383. 3 g Es sei noch zu entwickeln, so ist ,35 lox 5—lox 7 lox w— lox l/ - -----> folglich lox 5— 0,6989700 lox 7— 0,8450980 lox- — 9,8538720—10 7 ---29,8538720—30 (!3 lox w— 9,9512907—10 Und w— 0,8939036. In diesem Falle müssen ncmlich die negativen Einheiten, welche hinten angehängt sind, so eingerichtet werden, daß die Di¬ vision ohne Rest aufgeht, weßwegen in unserem Beispiele 20 hw- zugegeben und wieder hinweg genommen wurde, um im Quotien¬ ten gleichfalls —io zu erhalten. Eben so ist zur Berechnung von /g > 2 H 2?-- Vil/ ' (los 9—lox II) und folglich lox 9—0,9542425 loxll —1,0413927 9,9128498—10 (X3 89,7385494—40 (.4 lox w—9,9346373—10 daher w---0,860275. VI. Abschnitt. 399 Daß geübte Rechner zur Vereinfachung der Rechnung die subtractiven Zehner svwohl als auch die in der positiven Charak¬ teristik verkommenden Zehner, ohne Irrungen sich Preis zu geben, weglassen, haben wir bereits (im §. 265) bemerkt; nur mag noch beigcfügt werden, daß einem mit —ia behafteten Logarithmen, wenn er durch eine Zahl zu dividiren ist, ein Zehner weniger, als der Divisor Einheiten hat, hinzuzuzählen und wieder abzurech- nen ist, wenn der Quotient wieder 10 subtractive Einheiten erhal¬ ten soll, was aus den zwei letzten Beispielen deutlich zu erse¬ hen ist. §. 269. In den Rechnungen, wo Logarithmen theils zu addiren, thcils abzuziehen sind, kann man sich der dekadischen Ergänzung bedienen. Die decadische Ergänzung einer Zahl ist der Abgang, den man zu ihr addiren muß, damit die nächst fol¬ gende Potenz von 10 zum Vorschein komme; so ist z- B. 3 die decadische Ergänzung von 7, weil 7-1-3 —10, die decadische Ergänzung von 76 ist 24, weil 76-1-24—100 ist, u. s. w. Die decadische Ergänzung eines Logarithmen erhält man leicht, ohne denselben aus der Tafel h e r a u s sch r e i b e n zu dürfen, wenn man ihn v o n io (welche Zahl die gewöhnlich vorkommenden Loga¬ rithmen nicht übersteigen) auf die Weise subtra- hirt, daß man von der Charakteristik angefangen jede Ziffer des Logarithme n von 9 und die letzte bedeutende Ziffer rechts von io abzieht. So z. B. ist die decadische Ergänzung von lox 15 — 8,8239087 ; die deka¬ dische Ergänzung von lass 20 —8,6989700,». s-w. Wenn nun in einer Rechnung einige Logari'th- Menzu addiren und wieder einige davon abzuzie¬ hen vorkommen, so schreibe mandie zu addiren- den Logarithmen unter einander, und unter diesel¬ ben die dekadischen Ergänzungen der zu subtrahi- renden Logarithmen; addire dann alles dies zu- samm en,und lasse bei der Summe der Kennziffern so viel Zehner hinweg, als decadische Ergänzungen vorhanden sind, so hat man das richtige Resultat. 400 Sechstes H auptst ü ck- 74256.2045.0,00347 Z.B. Es sei aus der Gleichung w-- - - oder aus loga?- Iog74256-t-!og2045-4-Iog0,0v347—1og2,5K—Iog203,47 die Größe s zu entwickeln; so ist log 7425k—-4/8707316 log 2045—3,3106933 log 0,00347—0,5403295—3 dec. Erg. log 2,58—9,5917600 dec. Erg. log 203,47—7,K9I499K Summe 26,0050140—3 folglich log ^—6,0050140—3 -3,0050140 und L —1011,612. Die zu umständliche Bezeichnung der decadischcn Ergänzung von Logarithmen macht es jedoch räthlich, von ihr gar keine Kenntniß zu nehmen, und blos die in §. 267 erörterte Umstaltung eines negativen Logarithmen in einen andern (sogenannten halb- positiven), welcher aus einem positiven Logarithmen und einer negativen Charakteristik besteht, zu benützen. Auf diese Weise ge¬ staltet sich obige Rechnung folgender Maßen: log 74256—4,8707318 log 2045 — 3,3106933 log 0,00347-7,5403295—10 —log 2,56-9,5917600—10 —Iog 203,47—7,6914996—IO loga?---Z, 0050140 1011,612 wobei noch die subtractiven Zehner von jedem geübten Rechner weggelassen werden. Übrigens wird man keine dieser zwei nahe verwandten Me¬ thoden anwenden, wenn sehr viele Logarithmen abzuziehen Md, weil man dann offenbar schneller mit der Rechnung zu Stande kommt, wenn man die Summe der negativen Logarithmen von jener der positiven abzieht. VI. Abschnitt. 401 §. 270. Der besondere Vortheil, den die logarithmischen Tafeln ge¬ währen, besteht darin, daß man mit Hilfe derselben die unbe¬ kannten Exponenten aus einer Gleichung leicht entwickeln kann; denn es sei z.B.a----b, so ist Ic>A«-----IogS, und (vermög §. 257,Nr.7) nlog a ----- log s ; also a?----- - Eben so aus der Gleichung folgt log a- — log nemlich a?. log a-t--a?. log o—Ma?. log ö—n. log und Ma?, log ö—a?. loga —-a?. log«?—a.logS; ,, tt.log S endlich a? —--— -:—-:-- M.log-— log« — -.logo Auch kann aus folgender Gleichung mittels der Logarithmen a? gefunden werden ; denn es ist - — «r e"- — - - o- und (nach §. 213) I // s- , „ ma? , , nemlich ^. löge?----log-—- 2 , S-t-l/S--I-4KÄ endlich a? --- —,-. log - M . log o " 2a Übrigens erleichtert man sich auch hier, wie in so vielen andern Fällen, die Rechnung, indem man nicht unmittelbar die Unbe¬ kannte a?, sondern lieber eine andere Unbekannte vorher, und dann aus ihr erst mittelbar a? bestimmt. Man erzielt dieses, wenn man einen, die Unbekannte a? in sich begreifenden, Ausdruck als eine kigenthümliche neue Unbekannte durch einen einzelnen Buchsta¬ ben, z. B. z,, darstellt, dieselbe in die gegebene Gleichung ein- Vega Vorles. I. Bd. 26 402 Sechstes Hauptstück. führt, und aus dieser bestimmt, endlich aber aus der zwischen ihr und w bestehenden Gleichung die letztere Größe sucht. So würde man im letzten Beispiele e- —r/ setzen,wodurch man und hieraus r/— findet. Überdies hat man 2loss- — los c—los V, daherL'— —j—-, und wenn man für obigen Ausdruck schreibt, 2 , bck-l/, n——j— Io- —, wie vorher. MI0A6 ° 2« §. 271. Wenn einmal für ein System die Logarithmen berechnet sind, so kann der Logarithme einer jeden Zahl für jedes andere System leicht daraus gefunden werden. Denn es sei in dem berechneten Systeme für die Grundzahl « der Logarithme was immer für einer Zahl ü gleich m, und für eine andere Grundzahl der zu suchende Logarithme eben dieser Zahl gleich s?, nemlich lossS—m für die Grundzahl a, und lox s-a? für die Grundzahl^; so ist (vermög §. 285) s und auch s , folglich , und für einerlei System «lo^ lox a; also w . Sind lox die hier gebrauchten Logarithmen aus dem Systeme, dessen Grund-'. zahl« ist, so wird loga- 1, also Soll z. B. aus dem berechneten Briggischen Systeme der Loga- rithme s von jeder Zahl S für die Grundzahl ^l—5 berechnet werden,so ista? —^—X IoZ brixö--— loAkri^S ° ° 0,6989700 —I,430k766Xlossdrix S. Man darf demnach nur den Briggischen Logarithmen einer Zahl mit 1,4306766 multipliciren, so hat man den Logarithmen von der nemlichen Zahl für die Grundzahl s. 403 VII. Abschnitt. Anwendung der geometrischen Reihen und der Logarithmen auf die Auflösung verschiedener Aufgaben. §. 272. Um den Gebrauch der logarithmischen Tafeln durch eine flei¬ ßige Übung sich eigen zu machen, kann folgende Anwendung der geometrischen Reihen und Logarithmen auf die Auflösung einiger Ausgaben nützlich sein. 1. Aufgabe. Es hat Jemand einen Metzen Weitzen ausge- säet; die Ernte hievon säet er im zweiten Jahre wieder ganz aus, und von dieser zweiten Aussaat hat er wieder die ganze Ernte im dritten Jahre ausgesäet, u. s. w. Wie viel würde er wohl auf diese Art im zehnten Jahre ernten, wenn man annimmt, daß jeder Metzen Aussaat jährlich 4 Metzen Ernte bringt? Auflösung. Da hier die Ernten in einer geometrischen Reihe stehen, indem im ersten Jahre die Ernte 4, im zweiten Jahre I6,im dritten Jahre 64Metzen,u.s. w. beträgt; so wird in der Gleichung (§. 244,1.) a—4, -—4, er—IO, folglich durch Substitution dieser Werthe t — 4.4? — 4*0 , oder log r -----10 log 4 --- 6,0206000 ; daher r — 1048576 Metzen. 2. Aufgabe. Es setzt Jemand in die Lotterie, und zwar das erste Mal s Groschen; dupptirt aber jedesmal seinen vorher¬ gehenden Einsatz. Wieviel wird er wohl durch 12 Setzungen ver¬ spielen ? Auflösung. Dahier die nach einander folgenden Einsätze die geometrische Reihes, 6, 12, 24,... formiren, so wird in den Gleichungen (§.244,1. und H.) s—, a—3, -—2, rr—12; folglich durch Substitution dieser Werthe «r <-12— r—s.2", und s— —---3(2"—i). Nun ist log 2" — 12 log 2 — 3,6123600 und also 2"— 4096, folglich » — 3(4096—I) —3.4095—12285 Groschen — 614^ Fl. 26 * 401 Sechstes Hauptstück. Man sieht aus dieser Auflösung, daß man auch in den Glei¬ chungen, wo die unbekannte Größe sich nicht unmittelbar loga¬ rithmisch entwickeln läßt, doch einzelne Glieder derselben mittels der logarithmischen Tafeln entwickeln kann, wodurch sich dann die unbekannte Größe leichter ergibt. 2. Aufgabe. Zwischen i und 2 sollen noch II Glieder der¬ gestalt eingeschaltet werden, daß eine geometrische Reihe von 13 Gliedern entstehe. Auflösung. Weil hier das erste Glied der Reihe a-l, das letzte Glied S—2, und die Anzahl der Glieder »—13 sein 12 soll; so ist (§. 244, I.) 2 —i.-^, folglich -----s/2, und loLs 2 los - — -^----o,0250858. Nun ist aber die Reihe a, a-2, K^»,...in!msolcheTheilezutheilen,daßalleTheilewie- der in einer zusammenhängenden geometrischen Reihe stehen, und folglich eine Reihe zum Vorschein komme, welche m Mal so viel Glieder hat, als die Hauptreihe. Auflösung. Es sei M das erste Glied der gesuchten Reihe, und - ihr Quotient, so ist die Reihe «7, MF, MF-, . . . MF----! ; NF--», MF"-11, . . . MF^"-- I; MF-"-, MF^I, - Da nun die Summe von den m ersten Gliedern dieser Reihe dein ersten Gliede der Hauptreihe gleich sein muß, so ist M-j-MF-t-MF? -j- MF"-- Da ferner die Summe von den folgenden m Gliedern dieser Reihe dem zweiten Gliede der Hauptreihe gleich sein muß; sv ist MF"> -t- MF"- .,.. 1 — VII. Abschnitt. 403 Multiplicirt man nun die Gleichung (^) mit , so ist -t- a7A^^-t- -z-.... -j- l (6) folglich auch a-—«r,'", (vermög §. 12, Grunds. HI.); nemlich und l/-. Nun summire man in der Gleichung (^) den ersten Theil der¬ selben (nach §. 244, II.); so ist die Summe §,^-1^—2, L-(N"-—i) - --- mithin N-l -,—1 ^(-"—1) , a(l/-—D -— a, woraus a?— —--— I -—1 folgt. Es ist demnach die gesuchte Reihe a(l/-—I) a(l/-—DD- « r(D-—DD-^ -—1 ' 1 ' 1 Sollz.B. in der geometrischen Reihe 7, 86, 448,... jedes Glied in drei solche Theile getheilt werden, daß wieder eine zusammen¬ hängende geometrische Reihe entstehe; so ist wegen a—7, -—8, und m- s das erste Glied der gesuchten Reihe 3 7(1/8—I) 3 —--- -z, ulid der Quotient — D8 — 2 ; daher ist die verlangte Reihe i, 2, 4, 8, 16, 82,.... Summirt man ferner n Glieder der angeführten Reihe (0) (nach §. 244), so ist zunächst a(D -—I) „_,^o(l/-—Dl/-"-' 1 -—i und «(D-— Dl/-"—a(I/--p (--D(D--D a(l/-—D (!/-"— D a(D-" —D m — 4 (--D (l/--D So z. B. ist die Summe von 7 Gliedern der erst gefundenen 3 Reihe — —— -8"l/8-i-K4.2—1-127. 406 Sechstes Haupt stück. Die nemliche Summe würde man erhalten, wenn man in der Hauptreihe gleichsam - Glieder summirt, das ist, wenn man in den Gleichungen I. und II. (§. 244) statt er substituirt. Man sieht hieraus, in welchem Sinne man in der allge¬ meinen Summenformel für n eine gebrochene Zahl annehmen kann. Nach dieser Formel läßt sich auch folgende Aufgabe aus¬ lösen. S. Aufgabe. Es bestellt Jemand bei einem Juwelier einen Diamanten mit dem Accorde, daß er ihm für den ersten Karat, den der Diamant wiegt, 40 Fl., für den zweiten Karat 120 Fl-, für den dritten Karat 360 Fl., u. s. w., nemlich für jeden folgen¬ den Karat drei Mal soviel, als für den vorhergehenden zahlen wolle. Nun ist das Gewicht des Diamanten 3^ Karat; wie viel muß er dem Juwelier bezahlen? Auflösung. Da hier die Werthe der ganzen Karate in einer geometrischen Progression steigen, so müssen die Wer¬ the der Theile derselben ebenfalls in einer solchen Reihe wach¬ sen; und es ist, wenn man die obige Formel hier anwendet, a-40, ---3, m—4, und n—13; folglich der ganze Werth des Diamanten s —--- —20(1/3"—i). 4 Nun rst zur Bestimmung von I/s" lox l/S»---^25», L daher IvZ 3—0,47712i 3 (XI3 14318639 2 6,2025769 ( :4 Iog1/3"---1,5506442 wozu die Zahl 35,634 gehört; folglich «--20.34,534--690,68 Fl- —690 Fl. 41 Kr. Mithin kostet das letzte Viertel Karat 4 4 40(1/3-1)1/3" 4 4 -2--20.3^(1/3—I)--540(1/3-l) -540.0,3I607--I70,68 Fl. -170 Fl. 41 Kr. VII. A b sch ni tt. 407 Würde man aber für dieses letzte Viertel Karat den vierten Theil von 40.Z3-40.27—108g Fl. rechnen, welche der ganze vierte Karat kosten würde; so hätte man 270 Fl., welches um 90 Fl. 19 Kr. zu viel ist. Weit mehr würde man fehlen, wenn man für den Werth des Diamanten 40-1-40.3 4-40.3--l-40.3^ rechnen wollte, wo für das letzte Viertel Karat um SOS Fl. 6 Kr. zu viel bezahlt würde. K. Aufgabe. Es hat Jemand ein Faß Wein, welches «—Ivo Maß enthält, wovon jede Maß v—36 Kr. kostet; er zapft b—1 Maß ab, und füllt das Faß wieder voll mit Wasser an. Nachdem sich das Wasser mit dem Weine vollkommen vermischt hat, zapft er abermal S— i Maß ab, und füllt das Faß wie¬ der mit Wasser an. Wie oft kann nun dieses wiederholt werden, damit jede Maß der Vermischung, welche sich noch im Fasse befin¬ det, «t—24 Kr. werth sei? Auflösung. Da hier vorausgesetzt wird, daß sich das Wasser mit dem Weine jederzeit völlig genau vermenge, so läuft bei jedem Abzapfen wieder ein Theil Wasser mit heraus; und zwar verhält sich bei jedesmaligem Abzapfen die ganze Vermi¬ schung zu der Menge der Vermischung, die abgezapfr wird, wie die Menge Wein, die sich in der ganzen Vermischung be¬ findet, sich zu der Menge Wein verhält, die beim Abzapfen mit herausfließt; nemlich es ist jedesmal «; S— wie die Menge.Wein, die noch im Fasse ist, zur Menge Wein, die unter den S Maßen mit abgezapft wird. Nun sind nach dem ersten Abzapfcn noch «—S s Maß Wein im Fasse; folglich S) : - (« — ö) — der Menge Wein, die bei dem zweiten Abzapfen mit herausfließt; und cs bleiben also nach dem zweiten Abzapfen noch (a—ü) — («—-) — Maß WM im Fasse. Ferner ist wieder a : s — -—— der Menge Wein, die beim dritten Ab- (a-S)2 »(a— fapfen ausflicßt; und es bleibt noch im Fasse-'— 408 Sechstes Hauptstück. (a-ö)- — —; eben so findet man, daß nach dem vierten Abzapfen (a—„ (A— —, nach dem fünften Abzapfen -;—, und folglich nach -r dem rrten Abzapfen - Maß Wein noch im Fasse verbleiben, wovon jede Maß o Kr. werth ist. Also ist der Werth der ganzen Wermlichung Xc, weil das Wasser hier keinen Werth haben soll. Da aber jede Maß der Vermischung ck Kr. werth sein soll; so ist auch der Werth der Vermischung ack Kr., folglich («— o —und sofort n1og(a—— (n— i) loga— log«-t-logck, woraus log«—log «r log«—log(a-S) ' Nun ist in unserem Beispiele « —100, ö— I, a— S —99, 0 — 36, ck — 24, mithin log c—1,5563025 log « — 2,0000000 log ck—1,3 802112 Iog(a—») —1,9956352 Diff. —0,1760913 Diff. --0,0043648 N---I7609I3 :43648—40,3 174592 449930 Folglich ist n—40 nebst einem Bruche. Wenn nemlich die Abzapfung 40 Mal wiederholt wird, so ist die Vermischung im Fasse noch etwas besser als ein Wein, wovon eine Maß 24 Kr. kostet. Wiederholt man aber die Abzapfung 41 Mal, so ist eine Maß der Vermischung nicht mehr 24 Kr. werth. 7. Aufgabe. Es legt Jemand ein Capital «--20000 Fl- zu e—5 Proc. jährlichen Interessen an, und schlägt mit Ende eines jeden Jahres die Interessen zum Capitale, oder was einerlei ist, er erhebt selbe, und legt sie gleich wieder als ein Capital an. Wie groß wird nun dieses Capital nach der Zeit von Jahren sein? Auflösung. Da 100 Fl. Capital in einem Jahre § Fl- Interessen bringen, so bringt jeder Gulden Fl. Interesse" VII. Abschnitt. 409 während eines Jahres, und mithin ist jeder Gulden des angelegten Capitals nach Verlauf dieses Jahres i -1- Fl. Werth. Setzt man daher r n —^greift man unter /, den Werth eines Guldens des Capitals mit Zuschlag der Zinsen von einem Jahre, so beträgt der Werth des Capitals « nach einem Jahre «r?. Man muß demnach jedesmal das Capital am An- fangedes Jahresmit p—i -t- multipliciren, um dasCapitalsammtJnteressen am End e di e ses Jah- res zu erhalten. Es ist sofort das Capital sammt Interessen am Ende des iten Jahres — - - - 2ten - — - - - sten -- — folglich ist das Capital sammt Interessen am Ende des nten Jah¬ res«—ap", und Io§s—ioga-t-nIoAp. Nun ist in unserem Beispiele a—20000, c—5, n—12, daher 1,05, un d Io§/> -0,0211893 (Xl2 log,,"—0,2842716 loxa --4,3010300 log« —4,5553016 mithin « —35917,125 Fl.-S59l7Fl.7zKr. Diese Formel kann aber nicht unmittelbar angewendet werden, um den Anwachs des Capitals zu berechnen, wenn die Anzahl der Jahre n ein Bruch sein sollte. Denn es sei in der obigen Aus¬ gabe m—so ist der Anwachs des Capitals nach M Jahren und dieses als ein Capital betrachtet, trägt noch in der Zeit von Jabren - 400- Fl. Interessen, weil eben dieses Capital Fl. in einem ganzen Jahre Fl. an In¬ teressen bringt; mithin ist das Capital sammt Interessen nach I oe n-1-- Jahren (1-1-^). 410 Sechstes Hauptstück. Würde man aber, um den Anwachs des Capitals nach m-t- Jahren zu bestimmen, in der obigen Formel n-m-,- fttzm; so » - wäre « — a/- . /-v, welches augenscheinlich nicht ein¬ ander gleich sein kann. Um den Fehler deutlicher durch ein wirk¬ liches Beispiel einzusehen, sei oben er—12; Jahre; so ist das Ca¬ pital nach 12 Jahren angewachsen auf 35917,125 Fl., und dieses trägt noch in Jahre 897,93 Fl., weil 1OO Fl. in dieser Zeit E Fl. Interessen bringen. Mithin ist die ganze Summe nach 12Z Jahren s—36818,06 Fl. Würde man aber in der obigen Formel 2 5 »---12^ setzen, so wäre «---20000. (1,05) °, was logarithmisch entwickelt, 36804,1 Fl. gibt, daher beinahe um 11 Fl. zu wenig ist. Beträchtlicher würde der Fehler sein, wenn das anfängliche Capital größer wäre, oder wenn es durch eine größere Anzahl Jahre immer auf die angeführte Art vermehrt würde. In den k. k. Staaten werden die Interessen in den öffentlichen Fonds halbjährig ausbezahlt. Wollte man mit Ende eines jeden halben Jahres die Interessen wieder zum Capitale schlagen (welches hier sehr leicht angeht, weil die Interessen gewöhnlich um 8, auch 14 Tage vor dem verfallenen Termine schon ausgezahlt werden), so würde der jAnwachs dieses Capitals beträchtlicher sein, als im vorigen Falle. Z. B. Es legt Jemand in das Wiener Banco-Amt ein Capital von 25000 Fl. zu 3; Proc. jährlichen Interessen, und mit Ende eines jeden halbenJahres die Interessen wieder als ein Capi¬ tal an; wie hoch wird dieses Capital in 20 Jahre» anwach>en? Wendet man hier obige Formel an, so ist a —25000, n — 40 halbe Jahre, und daher p —1,0175 und IOK /> —0,0075 344 (X40 io§ p»—0,3013760 IOK « ---4,3979400 s —4,6993160 s —50039,8 Fl. VII. Abschnitt. 411 Würde man aber nur mit Ende eines jeden Jahres die Inter¬ essen zum Capitale schlagen, so wäre in der Formel «—25000, N--20, und o--3i--z--3,5, nemlich/>--1,035; folglich lo-r-, -0,0149403 (X20 loxp'-—0,2988060 Io§« —4,3979400 Io§» —4,6967460 « —49744,6 Fl., also UM: 295 Fl. weniger als vorhin. §. 273. wobei noch o—ioo(p—i) Statt findet. Nach jeder dieser Formeln können nun verschiedene hieher ge¬ hörige Rechnungsfragen beantwortet werden. i. Frage. In einer Provinz befinden sich zwei Millionen Menschen; wenn nun diese Summe jährlich um den fünfzigsten Theil, das ist um 2 Proc. zunimmt; wie .groß würde wohl die Anzahl der Menschen nach 100 Jahren sein? Antwort. Hier ist «--2000000, p—1,02, n— 100, folg¬ lich nach der Formel I. Ivxjo—0,0086002 nioxjo-0,8600200 Io§«—6,3010300 IoAS-7,1610500 UNd » — 14490000 beinahe.' 2. Frage. Es hat Jemand nach 4 Jahren eine Summe von kOOO Fl. ohne Interessen zu fordern; wie viel ist sie jetzt werth, wenn die Interessen zu 4 Proc. und Interessen von Inter¬ essen gerechnet werden? Antwort. Hier ist »—6000, n—4, und?--i,04, folglich nach der Formel II. 412 Sechstes Hauptstück. Iog/>--0,0170333 »los/,—0,0681332 log«--3,7781513 loga- 3,7100181 und a-5128,827 Fl. --5I28 Fl. 4gz Kr. S. Frage. Ein Wucherer leiht Jemanden 600 Fl. und läßt sich dafür einen Schuldbrief von 800 Fl. ausstellen, die nach drei Jahren ohne Interessen zahlbar sind. Wie viel Interessen nimmt dieser jährlich von lOü? Antwort. Hier ist a—600, «—800, n—s, folglich nach der Formel III. log S—2,9030900 loga- 2,7781513 nlogx—0,1249387 (.3 log-,--0,0416462 UNd />—1,1006, -»—1-0,1006, somit e—10,06; das ist etwas mehr als 10 Proc. 4. Frage. Wie lang muß ein Capital liegen, damit es sammt den Interessen auf eine Summe anwachse, die noch einmal so groß ist, als das anfängliche Capital, wenn die Interessen zu 4 Proc. vorgeschrieben sind, und jährlich zum Capitale geschla¬ gen werden? Antwort.Hierists-2a,/>-i,o4,folglich nachderFormellV. „ -- !^2«-Iog a 2 0,3010300 .xe log? log 1,04 0,0170333 nebst einem Bruche, nemlich nach 18 Jahren wird die Summe schon größer als das Doppelte des anfänglichen Capitals sein. §. 274. Aufgabe. Ein Capital a wird angelegt, und nach Verlauf eines jeden Jahres nicht nur um seine gefallenen Interessen zu § Proc., sondern auch überdies um eine Summe ö vermehrt- Wie groß wird wohl die ganze Summe s nach » Jahren sein? Auflösung. Der Anwachs des Capitals a nach »Jah¬ ren ist nach der vorigen Aufgabe «-»--, wo -» wie vorhin VII. Abschnitt. 413 Der Anwachs der Summe S, die nach Verlauf des ersten Jahres, oder mit Anfang des zweiten angelegt wird, ist —weil diese Summe nur durch w—i Jahre anliegt. Der Anwachs der Summe ö, die nach Ende des zweiten Jahres angelegt wird, istS?"--. Eben so ist der Anwachs der Summe s, welche mit Ende des dritten Jahres angelegt wird, —u.s.w. Endlich ist der Anwachs der Summe v, welche am Ende des vorletzten, oder mit Anfang des letzten Jahres angelegt wird, —weil diese Summe nur ein Jahr liegt. Es stehen demnach die Summen, auf welche die jährlich zugelegten Theile S anwachsen, in folgender geometrischen Reihe: ü?, .... hievon ist die Summe Addirt man nun zu diesem Betrage noch den Anwachs des Eapitalsa, so erhält man«—-- Es sei z.M. a-6000, S—500, rr—io, und die Interessen seien zu 5 Proc. vorgeschrieben, nemlich p—1,05; so ist ap-- —9773,87 ) wenn man jedes insbesondere loga- und —1,551828 ) rithmisch entwickelt, also p"-r—1-0,551328. Mithin — — 5788,94, und s-15562,31 Fl. Setzt man aber in dieser Aufgabe S-a, d.h. nimmt man an, daß die jährliche Zulage dem anfänglichen Capitale gleich ist; so wird a?(?"—1) s —- ?—1 und I. log«—loga-t-Iogzo-t-Iogs-,"—I)—log (p—I), II. loga- logs-t-log (z>—i) — logp—log (/,"—I), III log taz>-)-s(p—1)1— loga l«8? * Jede dieser Formeln löst nun wieder verschiedene hieher ge- lwrige Rechnungsfragen auf, von denen jeder einige nach Belieben Zahlen aufsetzen, und mit Hilfe der Logarithmen entwickeln kann. Sechstes Hauptstück. 411 I. Frage. Ein Kaufmann war verpflichtet, durch 6 Jahre hinter einander, mit Anfänge eines jeden Jahres 4000 Fl. zu bezahlen; er hat aber gar nichts bezahlt. Wie viel ist er am Ende des sechsten Jahres schuldig, wenn die Interessen zu 4 Proc. und Interessen von Interessen gerechnet werden? Antwort. Hier ist a—4000, n—6, o—4,nemlich/>—1,04; folglich hat man nachstehende Rechnung. Iox/> —0,0170323 loxa -3,6020600 Iox/>"—0,1021998 lox/, --0,0170333 />"--1,265318 IoK(/>"-1)--9,4237667 />'-—1—0,265318 —!o§(/> —I)—1,3979400 />—1—0,04 log» --4,4408000 UNd » —27593,07 Fl. 2. Frage. Es hat Jemand nach zwanzig Jahren eine Summe von 10000 Fl. ohne Interessen zu erheben; er will aber dafür während dieser zwanzig Jahre mit Anfang eines jeden Jah¬ res eine dergestalt bestimmte Summe erhalten, daß die Schuld nach zwanzig Jahren ganz getilgt sei. Wie viel kann ihm jährlich gegeben werden, wenn die Interessen zu 4 Proc. vorgeschrie-- ben sind? Antwort. Hier ist»—loooo, n—2v, e—4, also />--iM, folglich nach der Formel II. auf nachstehende Weise zu rechnen. !ox/> —0,0170333 log s -4,0000000 Io§/>"—0,3406660 <>—D -8,6020600 />"—2,19112 —log /> --9,9829667 />"— 9,9240445 ^ p —1—0,04 Io§ a —2,5090712 Und « --322,902 Fll> welches jährlich für diese Schuld bezahlt werden kann, weil die,e Summe zu 4 Proc. angelegt, und jährlich auf die angeführte Art vermehrt, in zwanzig Jahren eine Summe von 10000 Fl- zu>» Borschein bringt. §. 275. Aufgabe. Ein Capital a wird zu a Proc. angelegt und die Interessen werden jährlich zum Capitale geschlagen; dagegen Vll. Abschnitt. 418 aber wird mit Ende eines jeden Jahres eine. Summe S hinweg genommen; wie groß wird der Rest« nach er Jahren noch sein? Auflösung. Das Capital «, wenn nichts davon genom¬ men wird, bringt in er Jahren die Summe «/>" zum Vorschein (vermög §. 273); und die Summe s, die mit Ende des ersten Jahres hinweg genommen wird, kann ebenfalls als ein Capital angesehen werden, welches in er—i Jahren auf b/,"—' anwach¬ sen würde, wenn es durch diese Zeit immer angelegt bliebe. Eben so wächst die Summe S, welche mit Ende des zweiten Jahres hin¬ weg genommen wird, als Capital betrachtet, auf u. s.w. und die Summe S, welche am Ende des vorletzten Jahres hin¬ weg genommen wird, auf S/,. Endlich ist, da am Ende des letzten Jahres ebenfalls noch S Fl. hinweg genommen werden, nach »Jahrendas Capital«/-" um ' vermindert worden. Diese Reihe (nach §. 244, II.) summirt, gibt />(»"— folglich rstl. - „ — S(p"—I) L IN. IoAs(/,—I)K—S)—IoFl(/r—I)a-Sl I V. n----j- loxlS—(/»—!)K)—loxtb—(/>—!)«) , log? Einige Beispiele zur Anwendung dieser Formeln. I. Frage. Es legt Jemand ein Capital von 30000 Fl. zu 4 Proc. an, und nimmt jährlich von den Interessen 800 Fl. zu seinem Unterhalte weg; den Überrest aber schlägt er zum Capi- tale. Wie groß wird dieses Capital nach iS Jahren sein? Antwort. Hier ist «—soooo, V---800, »—iS, und 4, nemlich /,—1,04, daher nach der Formel I. folgende Rechnung auszuführen. Sechstes Hauptstück. log/, ---0,0170333 851665 log/,"—0,2554993 /-"---1,800941 /,"—!---0,800941 /, —1—0,04 a/,"—54028,23 ck —16018,82 und K —38009,41 Fl. - ? —L log- —2,9030900 Iog(/>"—l)-9,9036005 —Iog(/,—I ) ---1,3979400 log ck—4,2046305 2. Frage. Es hat Jemand durch sechs Jahre hinter einan¬ der eine Rente von 500 Fl. zu genießen, und ist gesonnen, diese Rente zu verkaufen; was wird sie wohl jetzt werth sein, wenn die Interessen zu 3^ Proc. vorgeschrieben sind? Oder was das¬ selbe ist: Es will Jemand seinem Freunde ein jährliches Auskom¬ men von 500 Fl. bei einer allgemeinen Leihbank durch sechs Jahre anweisen; wie groß muß das Capital sein, welches bei dieser Bank zu erlegen ist, wenn die Interessen zu 3^ Proc. gerechnet wer¬ den, und am Ende des sechsten Jahres das Capital sammt den Inter¬ essen verzehrt sein soll? Antwort. Hier ist das unbekannte Capital —a, die jähr¬ liche Rente ö—500, n-6, o---3^-, mithin/,—1,035; und da am Ende des sechsten Jahres das Capital sammt den Interessen verzehrt sein soll; so ist der Rest L---o, folglich nach der Formel II. a— — - und nachstehender Maßen zu rechnen. mithin a ---2664 Fl- 3. Fra g e. Es ist ein Rittergut zu verkaufen, und cs mel¬ den sich drei Käufer; der erste will dafür 34500 Fl. sogleich bar bezahlen; der zweite bietet 38000 Fl. aber so, daß er 6000 Fl- sogleich, und vier Jahre hinter einander mit Ende eines jeden vil. Abschnitt. 417 Jahres 8000 Fl. erlegen will; der dritte bietet 40000 Fl., jedoch so, daß er 4000 Fl. sogleich, und sechs Jahre hinter einander mit Ende eines jeden Jahres 6000 Fl. erlegen will. Wer hat nun am meisten geboten, wenn die Interessen zu s Proc. gerechnet werden? Antwort. Man untersuche, so wie im vorhergehenden Bei¬ spiele, wie viel die 32000 Fl., welche der zweite in vier Termi¬ nen bezahlen will, für jetzt werth sind; nemlich man setze in der Formel II. ö—8000, n—4, -o—1,05, L—0. Man findet für den jetzigen Werth dieser Zahlungen «—28367,8. Mithin ist der Anbot des zweiten -6000-1-28367,6—34367,6 Fl. Eben so bestimme man aus der Formel II., wie viel die sechs Zahlungen des dritten für jetzt werth sind, indem man S—6000, n—6, zo—i,os, K—0 setzt; und man findet fürden jetzigen Werth a—30454,2. Mithin ist der Anbot des dritten —4000-1- 30454,2 — 34454,2 Fl.j folglich hat der erste den größten Anbot gemacht. 4. Frage. Es soll eine gegenwärtige Schuld von iooo Fl. in fünf jährliche Zahlungstermine eingetheilt werden, damit am Ende eines jeden Jahres eine gleiche Summe bezahlt wird. Wie groß muß diese Summe sein, wenn die Interessen zu 5 Proc. vorgeschrieben sind? Antwort. Man sehe die Summe, welche alle Jahre be¬ zahlt werden soll, als eine Rente an, wovon der gegenwärtige Werth iooo Fl. ist ; also ist hier «—IOOO, n—5, 0—5, ->—1,05, K—0; folglich nach der Formel III. ö—230,97 Fl., welche in jedem Termin bezahlt werden müssen. 5. Frage. Es hat Jemand ein Capital von lOOOOO Fl. zu 5 Proc. anlicgen; allein mit den Interessen hievon kann er seinen Aufwand nicht bestreiten; er braucht jährlich eine Summe von 6000 Fl., und ist daher bemüssigt, vom Capitale mit Ende eines jeden Jahres so viel hinweg zu nehmen, daß dieses sammt den gefallenen Interessen 6000 Fl. beträgt. In wie viel Jahren wird wohl der Mann ein Bettler werden, wenn er so fortfährt? Antwort. Hierist «—lOOOOO, S—6000, ?—l/05, K—0; folglich nach der Formel IV. 1og6000—log 1000 log 1,05 Vega VoHes, I. Bd. 27 418 Sechstes Hauptstück. /, 6000> , Io°s6 0,7781513 . °° -- 0,«2IIM °° -° °-" nahe. Wollte man nun misten, wie viel ihm nach verflossenen 36 Jahren noch übrig bleibt, so setze man in der Formell. «—100000, S—6000, 1,05, n—36; so findet man «—4IKS,7 Fl., welche mit Anfang des sieben und dreißigsten Jahres noch vorhanden sind. Dieses bringt in diesem Jahre noch 208,2 Fl. Interessen; mithin hat dieser Mann am Ende des sieben und drei¬ ßigsten Jahres 4S7i,S Fl. zu empfangen, wo sodann das ganze Capital sammt Interessen verzehrt ist. Man wurde aber fehlen, wenn man » — y g2n 8ss 36,724 Jahre—36 Jahre 264Tage setzen, nemlich behaupten wollte, daß dieser Mann denselben Aufwand durch 36 Jahre und 264 Tage machen könne; denn der Rest 4163,7 Fl., welcher nach verflossenen 36 Jahren verbleibt, bringt in 264 Tagen 150,6 Fl. Interessen; also hat er nach Verlauf dieser Zeit in Allem 4314,3 Fl-; er braucht aber in dieser Zeit zu seinem Aufwande 4339,7 Fl.; mithin hat er um 25,4 Fl. zu wenig. 6. Frage. Eine Gemeinde hat von ihrer Herrschaft eine Summe von 20000 Fl. ausgeborgt; dagegen hat sie der Herr¬ schaft einen Wald, welcher jährlich 1500 Fl. reinen Nutzen bringt, indessen zum Unterpfand gegeben. Wie viel Jahre kann die Herrschaft diesen Wald mit Recht benützen, wenn die Interessen zu 5 Proc. und Interessen von Interessen gerechnet werden? Antwort.Hierist «—20000,S—I5OO,?—I,O5, und es wird, weil das ganze Capital durch Benützung des Waldes getilgt sein soll, L—o^' folglich nach der Formel IV. n — — WA 1,05 !o§3 4771213 , IoA^Ö5 Hi893 — 22 Lahre beinahe, durch welche die Herr schäft den Wald mit Recht benützen darf. Und wenn man nun in der Formel I. n—22, «—20000, S—igoo, und 1,05 M- so findet man «--747,4 Fl., welche die Gemeinde der Herrschest nach verflossenen 22 Jahren bei der Zurücknahme des Waldes noch p bezahlen hat. Gesetzt aber, die Herrschaft hätte das Pfand durch 30 Jahre benützt, und nun sollte liquidirt werden; so wäre, nach VII. Abschnitt. 419 derFormell. K——I82i9,4; nemlich dieHerrschaft müßtederGe- meinde nebst dem Walde auch noch eine Summe von 13219,4 Fl. zurückgcben. Anmerkung. Die hier angeführten Rechnungsaufgaben mögen hinreichen, um den Nutzen einzusehen, welchen die Loga¬ rithmen auch bei den, im gemeinen Leben vorkommenden, Rechnun¬ gen verschaffen; und wieschweres einem blos mechanischen Rechner, dem die Theorie der Logarithmen ganz unbekannt ist, fallen müsse, der¬ gleichen Aufgaben aufzulösen. Indessen kann doch der fleißige Leser sich über alle vorhergehenden Formeln verschiedene numerische Beispiele aufsetzen, um sich den Gebrauch der Logarithmen recht geläufig zu ma¬ chen, und seinen Scharfsinn in der planmäßigen Anlage solcher Rechnungen zu üben, damit >r dieselben nicht blos möglichst kurz und einfach, daher zugleich so schnell und sicher als thunlich aus- sühren, sondern auch durch die möglich leichteste Revision von ihrer Richtigkeit sich überzeugen könne; welche Vorlheile ihm jedoch das sonst bei manchen Anfängern gebräuchliche nach einander An¬ schreiben mehrerer Logarithmen in der laufenden Zeile durchaus nicht gewähren wird. 2? * Siebentes Hauptstück. Lehre von den Functionen. I. Abschnitt. Erklärung und Eintheilung der Functionen. cw §- 276. «^ci unseren bisherigen Untersuchungen der Größen oder viel¬ mehr der sie darstellenden Zahlen haben wir da, wo selbe durch allgemeine Zeichen (Buchstaben) vorgestellt werden, zu zeigen uns bemüht, wie der Werth einer oder einiger von solchen Größen aus einer oder mehreren anderen berechnet werden könne, wenn jeder von den letzteren ein einziger bestimmter Werth beigelegt wird. Die¬ ses bereits von uns besichtigte Gebiet der Mathematik nennen wir, wie schon (§. 83) erwähnt, allgemeine Arithmetik (Buchstaben- Rechenkunst), oder wohl auch, in so fern in ihm gelehrt wird, unbe¬ kannte Zahlen mit Hilfe von Gleichungen durch bekannte allge¬ mein zu bestimmen, Algebra. Ein noch weit ausgedehnteres Feld von mathematischen Forschungen eröffnet man sich aber dadurch, daß man nicht sowohl die Werthbestimmung der Größen, sondern ihren Zusammenhang unter einander, ihre wechselweise Abhängig¬ keit, und ihre gleichzeitige Veränderlichkeit zum Gegenstände der Untersuchungen wählt. Dieses Gebiet der Mathematik heißt Ana¬ lysis, und soll gegenwärtig in einigen der vorzüglichsten Partien von uns betreten werden. §. 277. Eine Größe, welche von anderen Größen abhängt, d. h- deren Werth durch die Werth e der letzteren Größen bedingt und bestimmt l. Abschnitt. 421 wird, folglich Änderungen erfahren kann, wenn die Werthe dieser abgeä'ndertwerden,heißteineFu nc tion (abhängige, dependmte Größe) von den ihr zum Grunde liegenden Größen, welche selbst wieder die G ru n d größ e n der Function genannt werden. Ist aber eine Größe von der Einwirkung anderer völlig frei, so wird sie von ihnen unabhängig (independent) genannt. Die Beschaffenheit des Zusammenhangs der Function mit ihren Grundgrößen bedingt die Form der Function. Diese Abhängigkeit einer Function von ihren Grundgrößen kann theils der¬ gestalt ausgesprochen werden, daß sich die abhängige mit ihnen, entwe¬ der allein, oder in Gesellschaft von anderen Hilfsgrößcn, in Gleichun¬ gen bringen läßt, theils kann sie blos überhaupt erkannt werden, ohne daß die Aufstellung solcher Beziehungsgleichungen gelingt. Eine Abhängigkeit der letzteren Art ist jedoch nicht geeignet, Gegen¬ stand analytischer Forschungen zu sein; daher werden wir es in der Analysis nur mit Abhängigkeiten — Functionen — der ersten Art zu thun haben. Bei diesen wird zur Erleichterung der For¬ schungen unser Streben stets dahin gerichtet sein, nach Beseitigung aller Hilfsgrößen die Function allein in dem einen, die Grundgrö¬ ßen aber in den anderen Theil einer Gleichung zu bringen, d. h. die Function durch die Gmndgrößen auszudrücken. Functionen, bei denen dies geschehen ist, heißen gesonderte, entwickelte (explicite), die andern aber ung esonderte, unentwickelte (implicite). Aus diesem Grunde wird selbst jeder algebraische Aus¬ druck eine entwickelte Function, oder auch nur schlechthin eine Func¬ tion der in ihm stehenden allgemeinen Größen genannt. Z. B. Der Werth eines aus Zinseszinsen anliegenden Capitals wird durch den ursprünglichen Betrag desselben, durch die Procente, und die Zeit seines Anliegens dergestalt bestimmt, daß, wenn « das wirklich angelegte Capital, o die jährlichen Procente, und /r die Anzahl der Jahre, während welcher es liegt, vorstellt, der fragliche Werth « des Capitals (nach §. 272, 7. Aufg.) durch die Gleichung « —-j- dargeboten wird. Somit ist«, so wie auch schon der Ausdruck -r (1 -1- allein, eine Function, und zwar eine gesonderte von den Größen a, e, n. Aber auch jede dieser letzteren 422 Siebentes Kauptstück. Größen ist wegen dieser Gleichung eine, jedoch ungesondcrte Func¬ tion der beiden übrigen und der Größe s. — Eben so hängt die Länge des Weges, den ein sich bewegender Körper durchlauft, von den Stärken und Richtungen der Kräfte, welche auf ihn wirken, und von der Zeit ab, während welcher er sich bewegt; allein diese Abhängigkeit läßt sich in manchen Fällen, namentlich bei den vom Winde oder Wasser fortgetriebenen und bei belebten Körpern, nicht durch Gleichungen aussprechen. §. 278. Die Erforschung der Abhängigkeit einer Function von ihren Grundgrößen pflegt man sich gewöhnlich dadurch zu erleichtern, daß man von dem Einflüße einiger derselben gänzlich absieht, indem man ihnen bestimmte Werthe beilegt, während man die übrigen verschiedene Werthe annchmen läßt. In dieser Rücksicht werden die Grundgrößen der Functionen m verand erliche (variable), und in beständige (constante) oder unveränderliche (inva¬ riable) abgetheilt, von denen man als eigentliche Grundgrößen gewöhnlich blos die ersteren nennt. — Nach diesen Begriffen pflegt man die Analysis auch als die Lehre von den Functionen anzusehen. Die beständigen Größen bezeichnet man, so lange es frei steht, mit den ersten, und die veränderlichen mit den letzten Buchstaben des Alphabets. Ferner stellt man die entwickelten Functionen, ent¬ weder, in so fern sic gleichfalls veränderlich und zwar relativ (dependent, abhängig) veränderlich sind, wenn man die Grund¬ größen als absolut (independent, unabhängig) veränderlich an¬ sehen will, durch die letzten Buchstaben des Alphabets, wie z. B- eine Function von ar. durch X, eine von ze durch eine von und ze durch kl, oder, um größere Übersicht in den analytischen Opera¬ tionen zu gewinnen, dadurch vor, daß man die Zeichen ihrer ver¬ änderlichen Grundgrößen, neben einander und durch Beistriche gesondert, hinschreibt, mit Klammern umgibt, und einen der Buch staben s, Z', 4?, c?, 4>, u. dgl., welche deßwegen Functionö- zeichen heißen, vorsetzt. So bezeichnen in einer bestimmten Un¬ tersuchung die Symbole/"(ar), §-(», ^(ar),.... verschieden ge¬ formte (unähnliche) Functionen derselben variablen Größer und /-<>, s,....), L(n, z/, L,....) verschieden geformte I. Abschnitt. 423 Functionen der Veränderlichen rv, L,....; wahrend die Sym¬ bole /"O), /"(-/) ganz gleich gestaltete (ähnliche), nur in der Bezeichnung der veränderlichen Größe sich unterscheidende, Func¬ tionen vorstellen. Das Symbol /Oz/), worin die veränderlichen Größen durch kein Comma geschieden sind, deutet eineFunction des, wie eine einzige Größe betrachteten, Productes a?z/ an. Der besondere Werth, welchen eine solche allgemeine Func¬ tion von einer oder mehreren Veränderlichen sür bestimmte Werthe dieser Veränderlichen annimmt, wird kurz dadurch vorgestellt, daß diese Werthe in dem Symbole der Function statt der Zeichen der Veränderlichen angesetzt werden. So ist /(«) der Werth der Func¬ tion /O) für a?— «;/( - Größe der zweiten Ordnung, indem man die andere als eine unendlich Größe der ersten Ordnung ansieht. In demselben Sinne spricht man auch von einer unendlich Größe der sten, 4ten, ....»rten Ordnung, wenn das Verhältniß einer unendlich Größe der 2ten, Sten, ....»r—iten Ord¬ nung zu einer andern von derselben Ordnung ein unendlich Kleln/s der ersten Ordnung ist. So ist z.B., wenn a? eine unendlich kleine Größe vorstellt, 2? eine unendlich Größe der zweiten Ordnung, eine der dritten Ordnung, u. s. w. §. 281. Aus den bisher gegebenen Erklärungen von den endlichen und unendlichen Größen fließen folgende Lehrsätze. 1) Eine endliche Größe bleibt in ihrem W er the ungeändert, wenn man ihr eine unendlich kleine addirt oder subtrahirt. Bezeichnet nemlich u eine unend¬ lich kleine, - eine endliche Größe, so ist Denn der eigent¬ liche Sinn dieses Satzes ist blos der, daß bei der unendlichen Ab¬ nahme der Größe n sowohl die Summe s-t-re, als auch die Diffe¬ renz s u gegen die Grenze s convergirt, was an sich klar ist. 2) Eine unendlich kleine Größe von was immer für einer Ordnung wird durch eine unendlich kleine Größe einer höheren Ordnung weder vermehrt, wenn sie ihr addirt, noch vermindert, wenji sie ihr abgezogen wird. Ist nemlich n ein unendlich Kleines irgend einer Ordnung und v ein unendlich Kleines einer höheren Ordnung, so istu^'^"' Denn es istu^v--u(i^ ^), und das Verhältniß unendluh «.-Abschnitt. 427 klein, weil » eine unendlich kleine Größe von einer höheren Ord- nung als u ist; daher muß (nach 1.) I, und somit «Ev— u sein. 3) Eine unendlich große Größe von was immer für einer Ordnung wird nicht geändert, wenn in an ihr eine endliche oder auch eine unendlich große Größe von niedrigerer Ordnung addirt oder sub- trah irt. Ist nemlich p eine unendlich große Größe irgend einer Ordnung, - eine endliche oder eine unendlich große Größe niedri- - gcrer Ordnung, so ist -o. Denn man hat ? diü wo jeden Falls, es mag § endlich, oder unendlich groß von niedri¬ gerer Ordnung als sein, das Verhältnis; unendlich groß, da- her das umgekehrte - unendlich klein,somit(nach i.) —i ausfällt, wornach sein muß. §. 282. Ändert sich eine absolut veränderliche Größe, indem sie, bei dem Übergange von einem bestimmten Wcrthe entweder zu einem anderen entfernteren, oder zu einem unmittelbar angrenzenden, be¬ nachbarten Werthe, alle denkbaren Zwischeüwerthe durchwandert, blos allmälig, nicht aber sprungweise; so sagt man im ersten Falle, sie sei innerhalb dieser zwei Werthe oder Grenzen, und im anderen, sic sei in der Nachbarschaft (Nähe) jenes bestimmtenWerth es stetig (continuirlich); im Gegcnthcile heißt sie unstetig (discontinuirlich). Eben so heißt eine Function von einer Veränderlichen a? innerhalb der Grenzen ar—a und ar—s stetig, wenn, während diese Veränderliche von der einen Grenze zur anderen alle denkbaren Zwischenstufen durchgeht, auch die Function stetig, um unendlich kleine Größen, sich ändert. Fallen aber in der Nachbarschaft eines bestimmten Werthes der Ver¬ änderlichen «7—die Unterschiede der Werthe der Function nicht unendlich klein aus, oder wird die Function für den bezeichneten Werth selbst unendlich groß, oder springt sie an dieser Stelle Plötz- 428 Siebentes Hauptstück. lich aus dem Positiven in das Negaäve, aus dem Reellen in das Imaginäre; so sagt man, sie sei in der Nachbarschaft des Wert h es der Veränderlich en n unstetig, oder er¬ leide dort eine Unterbrechung ihrer Stetigkeit. 3 So ist z. B. für alle reellen positiven Werthe, welche die Null übersteigen, stetig, aber bei dem Uebergange der Verän¬ derlichen a? aus dem Positiven durch Null in das Negative, tritt die Function bei a?— o aus dem Reellen in das Imaginäre, und ist daher in der Nähe dieses Werthes unstetig. m. Abschnitt. Von den ganzen rationalen Functionen und den höheren algebraischen Gleichungen. §. 283. Jede ganze rationale Function einer Veränderlichen w muß eine Summe von Gliedern der Form Aa?-»ffein, wo ^4 eine vonIs?" -j- Ki/" -t- -I- Da? -t- Dl/ -I- die allgemeinste Form einer ganzen rationalen Function der zweiten Ordnung von den Veränderlichen n und zc. §. 284. I. Der Werth, den eine ganze rationale Function einer Verän¬ derlichen a?, auf welche Art von Functionen unsere gegenwärtigen Untersuchungen sich cinschränken werden, für irgend einen angege¬ benen Werth a dieser Veränderlichen, annimmt, könnte zwar durch Berechnung ihrer einzelncA Glieder gefunden werden; allein leichter geschieht dies auf nachstehende Weise. Bezeichnen wir nemlich die ganze rationale und fallend geordnete Function (i) durch indem wir setzen, so übergeht sie für a?—« in (3) /"(s) — žiga" -I- und kann, wie leicht zu sehen, nach und nach folgende Gestalten annehmen. — s(^o«-i-^4,)K ? -t- ... - -t- — ^lj) «-b- a -b- --^s^ a"-b .... u. s. w. Setzen wir demnach (4) D„ — -4g, D, — §2 —aD, -t-^2? Dg —«Dz i — «D„—2 D —«D/I—1 r- -t . 438 Siebentes Hauptstück. so wird (S) /'(a) , und wir sehen, daß, wenn wir der Ordnung nach die Größen So, Sz, s? ,... Sn—1, Sn nach Anleitung der vorstehenden Gleichungen berechnen, die letzte von ihnen der verlangte Werth /^(a) der Function ist. Um daher den Werth einer ganzen rationalen Function für einen gewissen Werth der Veränderlichen zu berechnen, schreibe man, bei fallender Anordnung der Glieder, ihre Coefficienten, nachdem die etwa fehlenden durch Nullen ersetzt worden, mit ihren Qualitätszeichens-^-,—) ohne fernere Absonderung in eine Zeile; mul- tiplicire den ersten Coefficienten mit dem bezeichneten Werthe der Ver¬ änderlichen und addire zum Produkte den zweiten Coefficienten; die Summe multiplicire man wieder mit dem Werthe der Verän¬ derlichen und vermehre das Product um den nächst folgenden Coeffi¬ cienten; und auf dieselbe Weise fahre man fort, bis man auch den letzten Coefficienten beigezählt und eine Summe gefunden hat, die der verlangte Werth der Function ist. In einem Schema von Zeichen läßt sich diese Rechnung etwa folgender Maßen darstellen. (6) ^o4- ^l4- ^r4- ^lz4-...-4- l4-^n -t-aSo-t-ttSi-t-aüz-t-.' - - 4-aS^—2-1-aS^—, S,>4- Si^- Sz-,-....-;- S„_r-l- S„. Soll z. B. der Werth der Function für n—2 berechnet werden, so geschieht dies auf folgende Weist- 2—1-1- 8-1- 0-1-24 -1-4-4- 64-28-1-56 ^(2)—80. 2-1-3-1-14-1-28-1-80 Hiebei ist 2.2-4, 4— i- 3, 2. 3—6, 64- 8—14, 2.14—28, 284- 0—28, 2.28-56, 564-24-80. /ss«) II. In manchen Fällen kann es jedoch, weil ---a" ist, auch gut sein, zuerst! den Werth des Verhältnisses oder der ge-' brochenen Function für w---s, nemlich 431 (S) 24:2--i2, 12:2- 6, »4:2— 7, 6:2- 8, -1-12-1-14-1-6-1-8 12-1-0—12, 6- 1-8—14, 7- 1— 6, 8- 1-2— S. (7 ) —— --- 4- ——7- -I--1- - - -1- 1- A„ a" a" * a"—a zu berechnen und ihn mit a" zu multipliciren. Man sieht nemlich auf den ersten Blick, daß man diese gebrochene Function auf die nemliche Art, wie die ganze Function (s) behandeln könne, und daß, wenn man zur Abkürzung (8) 111. Abschnitt. _A,, —i An— z 2"---16 8 80--/"(2). V — — <» — Bn-I-An-r ' 9l -1-An—2 9/r— L5 —1 — --- K -S« und /'(K)-K'S^ sein werde. Man wird daher den Werth des Verhältnisses einer ganzen rationalen, fallend geordneten Function zu jenem der höchsten in ihr vorkommenden Potenz der Veränderlichen für einen gegebenen Werth der letzteren berechnen, indem man ihre Coefficienten in ver¬ kehrter Ordnung in eine Zeile schreibt, den gegenwärtig ersten von ihnen durch den Werth der Veränderlichen dividirt und zu dem Quotienten den folgenden Coefficienten addirt, hierauf diese Summe wieder durch den Werth der Veränderlichen theilt und den Quotienten um den folgenden Coefficienten vermehrt, und auf diese Weise fortfährt, bis man auch den letzten Coefficienten eingezählt und so das verlangte Verhältniß bestimmt hat. Multiplicirt man endlich noch dieses Verhältniß mit dem Werthe der höchsten Potenz der Veränderlichen, so hat man auch den geforderten Werth der ganzen Function. Z. B. Für obigeFunction nimmt man folgende Rechnung vor. 24-1- 0-1- 8—1-1-2 433 Siebentes Hauptstück. §. 283. I. Bei den im gegenwärtigen Abschnitte vorzunehmenden Un¬ tersuchungen werden wir öfters in die Lage kommen, eine ganze rationale und nach ihrer Veränderlichen fallend geordnete Function (2) - durch ein Binom von der Form a?—a, in welcher « eine beliebige, von a? unabhängige, Zahl vorstellt, zu dividiren, und sowohl den Quotienten, als auch den von a? unabhängigen Rest zu bestimmen. Obgleich hiezu die bereits in §. 67 ertheilten Vorschriften ausrei¬ chen würden, so gestattet doch die besondere Gestalt des Dividends und Divisors eine sehr vortheilhaste Vereinfachung derselben, die wir daher kennen lernen wollen. Führen wir nemlich die Division zuerst nach den erwähnten Vorschriften bis dahin aus, wo der Rest von a? unabhängig ausfällt; so gestaltet sich die Rechnung, wie folgt. ,.r?— Vergleichen wir die Ausdrücke (io^ der Coefficienten des, bei dieser Theilung von /-(a?) durch cr—a, entfallenden Quotienten, den wir mit (a?) bezeichnen, daher (II) l (^) — setzen wollen, mit obigen (4) in §. 284 erhaltenen, so zeigt sich, daß sowohl die Coefficienten Lg, Li, Sx, . ...L»-, des Qu»-' tienten/',(L),welcher,wie derDividend /-(^gleichfalls eine ganze m. Abschnitt. 4S3 rationale'Function, aber von dem nächst niedrigeren, n-iten, Grade wird, als auch der, von der Veränderlichen w unabhängige, Rest genau so berechnet werden, als wollte man nach den in §. 284, I. erörterten Schritten den Werth des Dividends />(» für m—er bestimmen, und daß darnach jener Rest S« nichts anders als der für er—er entfallende Werth /'(a) der dividirten Function ist. Soll z. B. 3a^—4n»-«-2a^—L-t-4 durch w—3 getheilt werden, so nimmt man folgende Rechnung vor: 34-0— 44- 2— 14- 4, 4-9 4-274-694-2134-636, 34-94-23 4-714-2124-640; demnach ist der Quotient 3^4-9^4-232^-^.7^4-212 und der Rest 640. II. Die hier besprochene Division läßt sich aber auch so ausführen, daß man das steigend geordnete Polynom (2) zuerst durch den mit ent¬ gegengesetzten Zeichen genommenen Divisor, d. i. durch er—erbis dahin dividirt, wo das letzte Glied des Dividends zu theilen kommt, und daß man nachher alle Zeichen des Quotienten ändert. Hiebei ist folgende Rechnung zu führen. (-4« 4- ^4a-,w 4-^,«"-'4- -4nw"):(a—w) —-l- S» «So-Sn«_ (9» -t--4a-i) 2.-l--4a-2L'2 KSl2.'— (9t 4--4a-2)w?4--4„—zerS (9a—L 4--4,) er"-' 4-.4,>^" erQ„_—9a—,ev" (9a-, 4--4g)er" o — — 4-9l2r " er 4-9227^ 9<> ->--4a—I ' « 4-9a-,er'--' r OaN " t er—er 9a—24--4, er 9a — 9a—,4-^1,, Mithin ist (-4geo-- 4- er"- 4- -4zer"-^ 4- -... 4- -4a—,w 4- -4a) : (a? — er) — 9„er" — 9o—9eL — 92^-9a-tw"-' 4-—^ Vega Vorlcs. I. Bd. 28 431 Siebentes Hauptstück. Die Vergleichung der Ausdrücke (12) und (8) läßt leicht erkennen, daß man die mit entgegengesetzten Zeichen behafteten Coefficienten S», Si,...S---i des zu suchenden Quotienten —Sc>—Si^— S-a^ —-S---i^-*>so wie den Coefficienten des Restes S«n" gerade so findet, als wollte man den Werth des Ver¬ hältnisses berechnen. Denn die Quotienten, welche bei den in der letzteren Rechnung vorzunehmenden Theilungen durch «ent¬ fallen , sind die verlangten (»oefficienten, und die letzte Summe A /(a) . oder ist der Factor von w" im Reste. Z. B. Soll 2a?3-l-E2-t-i8w—24 durch w—4 gethcilt werden, so führt man folgende Rechnung: —24-1-18-1-1-1-2, — 64-3-1-1, — 24:4——6, -1-12:4 —-1-3, 4-18—6-4-12, -1- 14-3-4- 4, -1-12-1-4-1-3, -1-4:4—-1-1, -1- 24-1---t- daher ist der Quotient 6—3cr—cr? und der Nest 3^. §. 286. I. Manche Untersuchungen erheischen eine solche Umstalkung einer ganzen rationalen Function (2) /O) —-1-^„^4-^, daß sie nicht nach Potenzen von ihrer Veränderlichen n, sondern noch den Potenzen einer, von ihr um eine bestimmte Zahl a unterschie¬ denen Veränderlichen a,-« fortläust. Zu diesem Zwecke benutzt man die Bemerkung, daß identisch «?—a-i-(^—») ist. Substi- tuirt man nemlich in der Function (2) für n das Binom a), so verwandelt sie sich (nach §. 250) in eine ganze rationale Function der nemlichen,nten, Ordnung von der Veränder¬ lichen a.-—a, mithin ist (13) /O) -Eg («?—«) --(s—a)--- »4-Mz (w—a) - - ... (a?—«) wobei die von a? und a?—« unabhängigen Coefficienten tu,, ^/2,...^ entweder durch wirkliche Potenzirung des Bi¬ noms K-1-(a7-K)nach dem binomischen Lehrsätze(§.250), oder aber auch nach folgenden Betrachtungen bestimmt werden können- Der eben gefundene Ausdruck der Function/"<» gibt, durch »—er dividirt, die Function HI. Abschnitt. 438 Akg ((n) durch w—« allmälig sich darbietenden, Quotienten, welche mit /'s«», /3(^)1.... ^-l(n), />-.(» bezeichnet werden sollen und folgende Formen besitzen. (14) /t(s) — So a?'-- 1-t- —Mg(a?— a)"— —a) "—2 -t-M^_2 (»'—«) /H(M) --- -1- (7i <72 - -t- -1- —M„(cr—«)"—(^x.—«) » (^'—nr) z - —Mg (cr—s)-<-Mi Berechnet man nun nach Anleitung der §§. 285 und 284 aus^, ^2,....^ die Coefficienten «», 0»^ ^us diesem die Coefficienten <7», 6'1, t7z,.... 6),, u. >. f-, ^0' -r-r und M„, wobei <7o--Sn,.--- sich das ganze Rechnungsgeschäft nach §. 284 (K) im su^.in wenhange auf folgende Weise bildlich darstellen. 28 Siebentes Hauptstück. /4»^» /4,-1- ^z-t-- - -t- ^—2^- /4«—l-1-^4n -s-a^o-t-aÄ, - - --1-«^«—z-t-^ün—2-t-«ö^—j Lg-t- Lt^- l8,-t- Lz-t-> .--l- Ln—2-t- -l-abo^rrt^,-1-KO,-1- .'' -t-LkOn—2 47o-t- (^,-t- t>2-<- t7z-t- ' (^1—2^4- 1 -1-KHo"1-aH, -t-aD,-t-«' *' -1-aHn—s Dn^t- z>2-t- I)z-t-. ...-f- Hn—3 -1» -t-K^O't-a^, 4^o-t- -t-al/g I/O ^1/, I/n Ilg-t- I»,-^ 4^2 "l- ^z-t- - - -»t- Dn—2^- Hieraus so wie aus (is) und (14) folgt (IS) M, —---/" (K) Is^-l—<7„-i —Z', (a) lttn—2 —2—/2 (^) 4tn—z—Hn— z—/z (a) lt/z —^z —//!—z (a) lt/2 —1^2 —^—2 (a) M, — 7>, -/>--, («) ÄIo —4§0 -/--(a) und (17) /"(cr) --/-„(a)(^—K)"-t-^_, (a)(^r-«)"-'-<- -- -t-/, (a) (ae—a) (a) (27—a) ->-/(«). Es sind demnach die verlangten Coefficienten M», lt/,, Mz, M„ nichts anders als die letzten Glieder ^r, ^z,....^_z, 0„-2, c(,-l, der in (15) nach und nach gewonnenen und immer um ein 6!i^ sich verkürzenden Reihen; weßwegen selbe am Ende der Rechnung (15) in einer Zeile angeschrieben zu werden pflegen. Soll z. B. die Function ^27)—Zs7^ 4a7^-t-a7^—27^-^-227^—3777^1 Hl. Abschnitt. 437 mit der Variablen 27—2 vorgestellt werden, so führt man folgende Rechnung. g— 44- I— 14- 2— 34- I 4- 64- 44- 104- 184- 404-74 34- 24- 84- 94- 204- 374-78 4- «4- 164- 424-1024-244 34- 84- 214- 514-1224-281 4- 64- 284- 984-298 34-144- 494-1494-420 4- 64- 404-178 34-204- 894-327 4- 64- 52 34-264-141 4- 6 34-32 8 34-324-1414-3274-4204-2814-75. Somit ist die gegebene Function auch /O) -- 3 O — 2) « 4- 32 O — 2) ° 4- 1410 — 2)»4-327 0—2) ° 4-420 0—2) "4-2810—2) 4-7 5 und die allmälig sich ergebenden Quotienten sind /i O) — 3a?5 4-2a.-4 4-5a?b 4-ga^ 4-20^ 4-37 — 30 —2)5 4- 320— 2)4 4- 1410-2)54-3270—2)5 4-420 O — 2)4-281 /»O)—327^4-82^ 4-212? 4-5127 4-122 — 3 0—2) 4-i-32 0—2) 5-1-I4I 0-2)54-3270-2) 4-420 /zO) ---32? 4-1427?-i-49ä7-1-I49 —3 0—2) 54-32 0—2)54-1410—2) 4-327 /tO) —32? 4-2027 4-89 --30-2)54-320—2)4-141 /s O)—3274-26 -30—2)4-32 /sO)— 3. Es dürfte jetzt wohl nicht schwer sein, einzusehen, wie man in der Function /O) die Veränderliche 2? schrittweise in 27—„, O—a) —S —27— (a 4- ö) , s2?— O 4-S) 1 —c—27— O 4- S 4-o),... «—O4-S4-04--»-) umsetzen könne. Hieraus wird dann sogleich 438 Siebentes Hauptstück. einleuchten, daß man, wenn a eine positive ganze Zahl ist, statt von der Veränderlichen w auf sogleich zu übergehen, der Reihe nach auf wlfli, (a?ljl2)lssi—wlssz,... wifia vorschreiten könne, und dabei den Vortheil habe, daß keine Multiplikationen, sondern blos Additionen und Subtrak¬ tionen vorzunehmen sind. Nach diesen Betrachtungen lassen sich in obigem Beispiele die Coefficienten auf folgende Weise bestimmen. 3^-11-1-26 3-1-14-1- 26-t- 23-1- 10-1- 0— I, Coefficienten für L— 1. 3-1-17-1- 43-1- 86-1- 76-1- 76-1-75 3-1-20-1- 63-1-I29-1-205-1-28I 8-H23-1- 86-1-215-1-420 3-1-26-1-112-1-327 3-1-29-1-141 3-1-32-1-141-1-327-1-420-1-281-1-75, Coefficienten für w—2. Das hier erörterte, äußerst vortheilhafte Rechnungsverfahren wurde zuerst von Lackrrr cke Lors/aur-ent empfohlen. II. Drückt man die eben vorgekommenen Coefficienten Ln, Ll, sonach c>0, u. s. w.l'is ^0, ^2,' -der Reihe nach durch die Coefficienten der vorgelegten Functionund durch die Zahl« nach Anleitung von (10) und (15) aus; oder bestimmt man, nachdem man in dieser Function anstatt w das Binom a-t-(w —«) substituirt hat, nach dem binomischen Lehrsätze (§. 250) die Coefficiententilg, 51,, Hkz,...^ der nacheinander folgenden Potenzen von w—a; so findet man III. Abschnitt. 43!) (18) M»— - 1)^1«" -2-1-- 1.2. M--, —»r 0—1) -1o«"-^-1- (n— I) 0—2) a" -^-i- .... -1-3 .2 —zK-t-2.1^»— z 1.2.3. SI»—z—»O— 1) O—2).4g»'--^-i- -1-0—4)0—2) o—3)4.ir-"-I- o—2)^2^"-3-l- ..- " ' -1-2^»—2^-)-^!»—1> Diese Function/^O) nennt man vorzugsweise die abgelei¬ tete oder derivirte Function (Ableitung, Derivation) der vorgelegten Function/"O). Bildet man ferner nach demselben Gesetze die abgeleitete Func¬ tion von/^O), welche durch /"O) vorgestellt werden soll und die zweite abgeleitete von/'O) heißt; so hat man /""(«) — -r O — I)^1oa:"^ -I- O — I) O— 2)-4i^—3-1- ....-1-3.2 4»-z-»-1-2.1-4»-2. Führt man diese Aufstellung der abgeleiteten Functionen von /"(«) allmälig bis zur »ten aus, von wo an alle folgenden ver¬ schwinden, und bezeichnet man im Zusammenhänge mit ^O), /"O)O), /-O),... O) , /c--) O) die iste, 2te, 3te, Lle, er—ite, erte Ableitung von /°O), welche in Bezug auf ihre Ableitungen die primitive oder Stammfunction genannt zu werden pflegt; so sicht man mit einem Blicke, daß, wenn man in der Function /O) und ihren Ab¬ leitungen « für w schreibt, diese besonderen Werthe /-(«), /"-O), f"(a), /""O), ....^"-"(a), ^>O) 410 Siebentes Hauptstück. mit den zweiten Theilen der Gleichungen (18) Übereinkommen, und demnach die Coefficienten ....Ll,-,, II« durch folgende Gleichungen bestimmt werden. 09) ^-2-- , 1.2.3...(»-1) ' 1.2.z...» vergleicht man diese Ausdrücke mit den bereits in (16) qefun- denen, so hat man <-») /ic°>.... ..(a) -- -—-——. /> --- —l—- I.2.3...(^—I) ' 1.2.3...» woraus jedoch, wie leicht zu sehen ist, nicht gefolgert werden darf, daß leiel en Beziehungen auch zwischen jenen Functionen von^bestehen, aus denen diejeAusdrücke durch die Annahme a.'— a entstanden sind. Substituirt man die Ausdrücke Os) in die Gleichung (IS), so ergibt sich folgende merkwürdige Darstellung der Function/^). 1.2^ 1.2.3 " " 1^2- (a?—a)---»-! —-— -(n—a)". 1.2...(N—I) 1.2...N Setzt man hierin noch a-s, also a^-s, so wird 1.2 1.2.3 , /"(")(«) ... -l- —----- --— 2 . I.2...O—I) ^1.2.3-..» Anmerkung. Es dürfte leicht einzusehen sein, daß,wenn man in der letzten Gleichung /(«)'--«'- nimmt, /"(a-i-L) —und/V(K)---ma'--i, /"(«)— . («) (n_^)... z . z. i r-2 1.2.3 -l- ——--d- HI. Abschnitt. 411 ist, und daß man also hierin eine zweite Ableitung des binomischen Lehrsatzes (§. 25o) besitzt, sobald man ihn nicht zur Auffindung der Ausdrücke (18) verwendet hat. §. 287. Bei den ganzen rationalen Functionen handelt es sich sehr ost um jene Werthe ihrer Variablen, sür welche diese Functionen ver¬ schwinden, oder auf Null sich reduciren, daher insbesondere bei einer Function von nur einer Veränderlichen a?, wie (2), um jene Werthe von für welche die Gleichung (23) /"(n) —2-i- ... 0 Statt findet. Daß wenigstens in einzelnen Fällen solche Werthe gefunden werden können, ersieht man z. B. an der Gleichung (24) 2a,b— g./,-? —4a?-t-3—S, welche besteht, wenn a? eine der Zahlen —i, s ist. Eine Gleichung, in der eine ganze rationale algebraische Function einer Veränderlichen der Null gleich gestellt wird, heißt algebraisch; der erste Theil derselben wird auch die Func¬ tion oder das Polynom der Gleichung genannt. Ein Werth der Veränderlichen a?,odcr wie man hier gewöhnlicher sagt, der Unbekannten, durch welchen die Gleichung realisirt (ver¬ wirklicht) wird, folglich ihr Polynom verschwindet, heißt eine Wurzel der Gleichung. Die Wurzeln einer Gleichung suchen, heißt dieselbe auflösen. Der höchste Exponent, welchen die Unbekannte in der Glei¬ chung an sich trägt, gibt sowohl den Grad ihres Polynoms, als auch den der Gleichung selbst an, und heißt ihr Rangs- oder Ordnungs-Exponent. Ist die Gleichung von einem höheren Grade als vom zweiten, so wird sie eine höhere genannt. (Vergl. §. 213). Gleichungen des dritten Grades nennt man auch cu bische, so wie jene des vierten b i guadrati sehe. —Ist das Polynom einer Gleichung (nach §. 87) geordnet, so heißt auch sie selbst geordnet. Dieses Ordnen wird fallend vorgenommen, außer es würde das Gegen¬ teil ausdrücklich verlangt. — Bevor man aber eine Gleichung, deren beide Theile algebraische Functionen einer Veränderlichen lind, ordnen kann, muß man diese zuerst ganz und rational ma- 442 Siebentes Hauptstück. chen, indem man die Brüche durch Multiplication mit den Nen¬ nern und vorkommende Wurzelgrößen meistens dadurch weg¬ bringt, daß man eine nach der andern allein in den einen Theil der Gleichung schafft und beide Theile nach dem Wurzel-Exponenten potenzirt._Die Gleichung heißt ferner nach Beschaffenheit ihres Polynoms v o l l st ä n d i g oder,u n v o l l st ä n d i g. Endlich werden die Coefficientcn des Polynoms auch die der Gleichung genannt. Der erste von ihnen (welcher nemlich vor der höchsten Potenz der Unbekannten steht), wird immer positiv und meistens gleich i gemacht, indem man, wenn er negativ wäre, alle Zeichen der Gleichung ändert, oder falls er von i verschieden wäre, die ganze Gleichung durch ihn dividirt. Beispiele. r 42?—2w^ I. Dle Gleichung---— 8—Sw 2 4 geordnet, gibt -^2? —^w?—sw-i-8—o, IS oder —22?—^w-t-i2—0, und ist daher eine vollständige cubische. II. Die Gleichung ioa—20w^---^—4a? gibt geordnet a?— 52?-j-25w—I2S— 0, und ist somit eine unvollständige biquadratische. 3 III. Ist die Gleichung l/sw-t-1/2w^---2 3 zu ordnen, so hat man 1/2^---2— s/ sw, also Iw?—8—121/Sw-t-I8w—Sws/Sw, oder 2w2—I8w—8--—(3w-k-I2)i/3w, daher 4^—72a?-j-2g2a?-1-288w-t-64—27a?-1-2Ikw'->-4S2r, endlich 42/— -SdEb-j- 76M-—1442.-1-64—0. §. 288. . I. Jede ganze rat ionale Function ein er einzig Veränderlichen verschwindet wenigstens für erne in d e r a ll g e mei n en F o r m />-i--!/—i, w 0 u n d - r e e Zahlen vorstellen, begriffe nenWerth der Vera »der III. Abschnitt. 443 liehen, oder was dasselbe ist, jede algebraische Gleichung von einer Unbekannten hat wenigstens eine Wurzel von der Form —1. Für diesen Satz haben zwar Aamss und Beweise geliefert, allein keiner derselben beschränkt sich auf die bisher von uns vorgetragenen Lehren und auf die unserem ge¬ drängten Lehrvortrage eingerä'umten Grenzen; wcßwegen ihr Stu¬ dium dem weiter vorgeschrittenen Leser empfohlen bleiben mag. II. Ist a eine Wurzel einer Gleichung von der Veränderlichen 27, so ist ihr Polynom durch 27—a (ohne Rest) theilbar, folglich das Product aus«—« und einer um eine Rangsstufe niedrigeren Function von 27. Denn damit « eine Wurzel der Gleichung (23) sei, must /"(a)---g sein; allein/'(a) ist nach §. 285 der Rest, welcher über¬ haupt für jeden Werth von a aus der Theilung von ^(27) durch 27— K entspringt, und da dieser Rest im gegenwärtigen Falle ver¬ schwindet; so ist in der That/"(27) durch 27—a theilbar, folglich, wenn /1 O) den entfallenden Quotienten vorstellt, /"(^) ---- O—a) O). Die im Folgenden öfters in Gebrauch kommende Differenz 27—er pflegt man den, der Wurzel a zugehörigen, Wurzelfactor zu nennen. III. Jede Gleichung hat genau so viel Wurzeln, als ihr Ordnungs-Exponent Einheiten enthält, und ihr Polynom läßt sich als das Product des ersten Coefficienten und sämmtlicher Wurzelfac- toren darstellen. Denn nach dem ersten Lehrsätze verschwindet die der Glei¬ chung (23) angehörige Function ^(27) des nten Ranges gewiß für einen bestimmten Werth 27—«i, folglich gibt sie (nach II.) durch a, getheilt, eine Function /,(27) vom nächst niedrigeren, "—iten,Range ohne Rest, oder es ist/'(2-) —(27—ai)/)(27). Mein vermög I. muß es für die neue Function />(27) gleichfalls einen sie annullirenden Werth 27--K2 geben, folglich/,(27) (nach H) das Product aus 27—«2 und einer Function/), (27) vom nächst nicdu- geren, n—2 ten, Range, nemlich /",(2?) —(2—«r) /j, (27) sein. Setzt 444 Siebentes Hauptstück. man diese Schlüsse fort, so gelangt man offenbar, da der Rang der als Quotienten oder zweite Factoren nach und nach auftreten¬ den Functionen ununterbrochen um eine Stufe sinkt, nach n—i Schritten, wofern man diese Functionen mit /)(«), />,», /)„O),..../>-si<», und die siean- nullirenden Werthe von cr mit az, «z, «t,..«»a--be¬ zeichnet, zu einer Function /^-i, (a?) vom ersten Grade, welche, da der erste Coefficient der Function /(a,) ist, zu Folge §. 285, die Form oder —a„) annimmt, wenn man —setzt. Die hier gepflogene Untersuchung liefert demnach -^0 im Ganzen folgende zwei Serien von Gleichungen. (25) /'(«i)-0, /X«2)- 0, /'„(«z)- 0, /)„(at)-0j .... /in— 2> (a»- 1) —0, /c»— 1) (a^) — o, (26) /" (a?) — (a?—a,)/", (a?) /', (a?) —(a?—«2)/i,(a?) — O—as)/',,,«» /(n-2/(a?) -- (w—«n-i)/^c»-i) />-1)» — (a?—«n) ^o- Aus den letzten Gleichungen findet man leicht (27) /'» —(«,—«,)/',(-?) — (.»—«,) (cv—«2)/),» ---(cr—«i) (L>—az) («—«,)/',„» ---(a?—«i) (w—«2) . . . (a?—a„-i)/'(«-i)» — -Ki)(S—K2) - - -(^—Sn—l) (^ »^0- Die Gleichungen (25), vereint mit (26), so wie die Glei¬ chungen (27) allein, oder blos die letzte von diesen, nemlich (28) /'»--4g(«—Ki)«>-a2)(>—az) . . . liefern /°(ai)---0, /'(a2)--0, /(az)--», . . . /,(a0--0; folglich verschwindet die Function/><» der Gleichung (23) für ' »Werthe «i, Kz, »z, . . . a« ihrer Veränderlichen a-, und die! Werthe sind Wurzeln jener Gleichung. Hl. Abschnitt. 445 Zugleich sieht man leicht ein, daß dieselbe Gleichung außer den erwähnten rr Wurzeln keine mehr haben kann. Denn könnte « noch eine, von jeder aus ihnen verschiedene, Wurzel sein, folglich das Polynom /*(«) auch noch für a?—« verschwinden; so müßte auch das ihm identisch gleiche Product in (28) für eben diesen Werth « in Null übergehen, was unmöglich ist, da ein Product nicht verschwinden kann, wenn keiner seiner Factoren Null ist. Mithin hat die Gleichung (2s) weder mehr,noch weniger als n Wurzeln, und ihre Function /"(n) läßt sich, der Gleichung (28) zu Folge^ als das Product aus ihrem ersten Coefficienten und aus stimmt- lichen Wurzelfactoren darstellen. So z. B. hat §. 287 die Glei¬ chung (24) keine anderen Wurzeln als die drei erwähnten -^-1, s, und es ist —AL?—4^-t- 8—2 (a--i-I) (a — (w—8) — (n-l-I)(2a?—I)(M—Z). übrigens kann manche Gleichung doch auch weniger verschie¬ dene Wurzeln als ihr Ordnungs-Exponent Einheiten besitzen, wenn nemlich einige derselben, mithin auch ihre Wurzelfactoren gleich sind. Von einer solchen Gleichung sagt man dann: sie besitze gleiche, wiederholte oder mehrfache Wurzeln, und zwar nennt man eine Wurzel 2,3, 4,....--fach, wenn das Poly¬ nom der Gleichung durch die2te, 8te, 4te,....--te Potenz ihres Wurzelfactors theilbar ist. Wurzeln, welche nicht öfter als einmal in der Gleichung vorkommen, heißen demnach einfache Wurzeln. So ist z. B. 3 eine zweifache oder doppelte Wurzel der Gleichung (29) —i2a^-s-l7a^-l-6a?—9—0, Veil ihr Polynom durch (a?—3)? ohne Rest sich theilen läßt. §. 289. Abhängigkeit der Coefficienten einer Gleichung von ihren Wurzeln. Da nach dem eben Erwiesenen in der Gleichung (23) das Polynom dem Producte 446 Siebentes Ha u prstü ck. ^4g(n— K,) (2?—Kz) (N—Kg) ... (a?-a») identisch gleich ist, so sieht man (nach Z. 24S) leicht ein, daß die¬ jenigen ihrer Coefficienten - -^2 7 ^3, , . . . . , . . . » —l) -^4^1 welche dem ersten nachfolgen, aus diesem und den Wurzeln Kz ) ^2 ) ^3 ? —1 , Kn der Gleichung dadurch berechnet werden können, daß man von allen mit entgegengesetzten Vorzeichen genommenen Wurzeln -Kz, Kg, Kz, — K4, .......... — Kn—I, -—Kn sämmtliche Combinationen ohne Wiederholungen zu den Classen I, 2, S, 4, ....M,.... n— 1, rr bildet, in jeder Combination die Elemente mit einander und mit dem ersten Coefsicientcn multiplicirt und die Products von der nemlichen Combinations-Classe addirt. Dem gemäß gleicht z. B. der Coefficient des zweiten Glie¬ des dem Produkte aus dem ersten Coefficienten ^g und der Summe aller mit entgegengesetzten Zeichen genommenen Wurzeln, nemlich es ist ^1 —( Kl—KZ—Kg .«. —K/I—I-—Kn), und der letzte Coefficient ^1» ist dem Producte aus dem ersten Coefficienten und aus allen entgegengesetzt genommenen Wurzeln gleich, nemlich KZ Kg .... Kn» Z. B. In der Gleichung (24) sind die entgegengesetzt ge- nommenen Wurzeln 1, —und 2(1—^ — 8) -2X—2^-—3 2(—— I . S-t- ^.3)--2X-2---4 §. 290. Umstaltungen (Transformationen) der Gleichungen- Aus jeder Gleichung können verschiedene andere hergeleitet werden, deren Wurzeln mit jenen der gegebenen in mancher e Beziehungen stehen. Wir wollen gegenwärtig die wichtigsten von >e III. Abschnitt. 447 ftn Herleitungen neuer Gleichungen, welche gewöhnlich Trans¬ formationen (Umwandlungen, Umstaltungen) der gegebenen genannt werden, kennen lernen. Hiebei pflegt man die gegebene Gleichung die zu transformirend e und die aus ihr hergeleitete die transfor mirte Gleichung zu nennen. I. Veränderung der Zeichen der Wurzeln. Soll aus einer Gleichung eine andere hergeleitet werden, deren Wurzeln sich von jener der gegebenen blos im Borzeichen unter¬ scheiden, so ändere man das Zeichen des 2ten, 4ten, Sten,... kurz jedes geradstelligen Gliedes. Denn sollen in der Gleichung (so) lN-r-^4«— a die Zeichen der Wurzeln geändert werden, so hat man für ar offen¬ bar —ar zu setzen. Dadurch übergeht diese Gleichung in -4-(—!)"-* .. ... —0- oder wenn man noch durch (—1)" dividirt, in —.... .. .-t-(—I)"-^-i«-t-(—i)"^--y, welche Gleichung das beschriebene Verfahren lehrt. Z. B. Aus der Gleichung (24) erhält man auf dem angcdeutetcn Wege die folgende: 2a?b-4-s^—4cr—3—0, welcher die Wurzeln i, ——3, die entgegengesetzten von jenen der gegebenen Gleichungen, zugehören. Diese Verwandlungsweise der Gleichungen kann mit Vortheil benützt werden, wenn man sich der Bestimmung negativer Wurzeln ganz überheben will, da man diese vorläufig in positive umzusetzen vermag. II. Vergrößerung oder Verminderung der Wurzeln. Ist aus der, die Unbekannte a- enthaltenden, Glei¬ chung (so) eine neue für die Unbekannte zu schaffen, deren Wurzeln von jener der vorgelegten durchgehends um eine und die¬ selbe bestimmte Größe a differiren, folglich durch a?—a sich vor¬ stellen lassen; so hat man blos nach Anleitung des §.286 die Function der gegebenen Gleichung für die Variable cu—« einzurichten, und dann in der so gewonnenen Gleichung (31) Mo(a?—K)---i-M(n— s)"---*- ... (a?—«) -(2-—«) statt a?— a die neue Unbekannte z/ zu schreiben. 418 Siebentes Hauptstü ck. Z. B. Hat man die Gleichung 3w4-38w2—222—4—0 in eine andere zu verwandeln, deren Wurzeln um 8 größer sind; so wird man sie zuerst (nach §. 286) für die Unbekannte 24-3 oder 2—(—3) cinrichten, wozu folgende Berechnung der Coefficienten vorgenommen wird. 34- 0— 38— 22— 4 — 94- 27-1- 24— 6 3— 9— 84- 2—10 — 9-l- 84—138 8—18-t- 46—136 — 9-t- 81 8—27-1-127 — 9 8-364-127—136—10. Auf diese Weise nimmt die gegebene Gleichung die Form 3(24-3)^—36 (2,4-3) ^4-127 (s?4-3)2—136(2-1-3)—10-0 an,folglich ist,wenn man 2-4-3—- setzt, die verlangte Gleichung 3-^—36-^4-127-2—136-—10—0. III. Beseitigung des zweiten Gliedes. Soll die Gleichung (30) in eine andere verwandelt werden, der das zweite Glied fehlt; so wird man ihre Wurzeln (nach II.) um die Zahl vermindern. Denn umsetzt man in der gegebenen Gleichung (30) (nach II. und §. 286) die Variable 2 in w—«, so erhält-man (31) MgO—ar)"-j-Ki(w—a)"—l-j- ...4-M--0, oder wenn man w—a-- annimmt, M>-"4-Mi----'-t-.. .4-M-—0. Damit nun hier das zweite Glied fehle, ist « so zu wählen, daß M— o werde. Man hat aber nach §. 286(Gl. 18) daher muß o, ... . nemlrch a—-—werden. III. Abschnitt. 449 Soll B. aus der Gleichung —l2er^-s-4la?—42 — 0 das zweite Glied weggebracht werden, so wird man die Unbe¬ kannte a.- (nach HI. und§. 28«), weil i, ^4i——12, »—z, —-12 also a—- — ---4 ist, in al—4—-/ umsetzen. Hiezu dient fol¬ gende Rechnung. I —124-41—42 4- 4-324-36 I— 8-1- 9— « 1- 4—I« 1—4—7 -1- 4 I-i- 0— 7— 6. Die neue Gleichung, in der das zweite Glied mangelt, ist daher —7 z/—6—0. IV. Vervielfachung und Theilnng der Wur¬ zeln. Soll eine Gleichung (30) in eine andere verwandelt wer¬ den, deren Wurzeln m Mal so groß sind, als die der gegebenen; so schreibt man unter die Glieder der, nöthigen Falls vervollstän¬ digten, Gleichung eine geometrische Reihe, deren erstes Glied i und der Quotient m ist, multiplicirt dann je zwei über einander stehendej Glieder und schreibt zugleich das Zeichen z/ der neuen Un¬ bekannten für Denn damit die neu einzuführende Unbekannte z/—ma.- werde, hat man in der gegebenen Gleichung (30) L" setzen, wo¬ durch sie in N" r r/"—? z/ E E"E" oder, wenn mit multiplicirt wird, in die Gleichung stch verwandelt, aus der die Richtigkeit des beschriebenen Verfah¬ rens erhellet. Vega Verles. I. Bd. 29 4S0 Siebe n te s H auptst ü ck. Wenn man z. B. die Gleichung deren Wurzeln i, 2, —i, —2 sind, in eine andere verwandeln will, in der die Wurzeln doppelt so groß als die der vorgelegten sind, so schreibt man Folgendes: rr^-i-OL'b— 4 — 0 I, 2, 4, 8, !6 multiplicirt und ersetzt a- durch - -4 -j-0^—20-/? -t-OZt-t-64—0. Die transformirte Gleichung ist daher r/^—20zc"-t-64—0 und besitzt die Wurzeln 2,4, —2, —4. Sollen die Wurzeln der transsormirten Gleichung diexten Theile von jenen der gegebenen werden; so kommt blos in der er¬ wähnten geometrischen Reihe der Quotient m -- - zu nehmen, und übrigens mit ihr wie früher zu multipliciren oder, was das¬ selbe ist, durch i, zu dividiren. Mittels der Vervielfachung oder Theilung der Wurzeln kann man zuweilen aus einer Gleichung die irrationalen Coefficienten wegschaffen. Z. B. Um aus der Gleichung —4w" l/ 3-t-I2a.'—241/ 3—0 die irrationalen Coefficienten zu entfernen, schreibe man unter diese Gleichung die geometrische Reihe I, l/3, 3, 3s/3, und dividire oder multiplicire die Glieder der Gleichung mit den, gleichstelligcn der Reihe. Im ersten Falle erhält man, wenn man die neue Unbekannte mit z/ bezeichnet, r/3 — 4^2 4^ —_ g- oundM--n» z/ s dagegen im zweiten Falle, wenn s die Unbekannte vorstellt, — i2s"-t-3kL—2tk-OUnd a?---Ll/3. V. Wegschaffung der gebrochenen und kürzung der zusammengesetzten Coefficienten. im vorhergehenden Artikel erklärte Transformation gibt uns fern" noch ein Mittel an die Hand, aus jeder Gleichung, ohne den er¬ sten Coefficienten abzuändern, die gebrochenen Coefficienten i" beseitigen, und zusammengesetzte Coefficienten von überflüssigen 8^' III. Abschnitt. 451 toren zu befreien. Zum ersten Zwecke sucht man, sobald alle ge¬ brochenen Coefsicienten auf die kleinste Benennung gebracht sind, entweder (nach §. 84) ihren kleinsten allgemeinen Nenner, und nimmt diesen zum Quotienten der aufzustellenden geometrischen Reihe von Multiplikatoren; oder man wählt, um zugleich die mög¬ lich einfachsten Producte zu erhalten, zu diesem Quotienten zuerst einen Primfactor des ersten Nenners und verrichtet die Multipli¬ kation, nimmt dann wieder zum Quotienten einer neuen Reihe einen Primfactor des ersten der noch übrigen Nenner, multiplicirt und wiederholt dasselbe Verfahren, bis alle Nenner entfernt sind. Sofort gibt das Product der Quotienten der einzelnen Reihen jenen der Totalreihe und zeigt an, wie oft die Wurzeln der trans- sormirten Gleichung diedergegebenen enthalten. Sollen z. B. aus der Gleichung die Brüche beseitigt werden, so multiplicire man zuerst mit I, 2, 4, 8, dadurch erhält man die Coefsicienten S S 32 — 5 3 15' multiplicirt man diese mit I, 5, 25, 425, 125 800 so werden sie 2—3-1- -4- -^7; und multiplicirt man sie endlich noch mit I, 3, S, 27, so übergehen sie in 2 — S 375 -t- 7200; solglich ist die transformirte Gleichung 2z^— 9!,r -i-Z7g!/ -I-7200--0 UNd z,— 2.5.3U--30-r. Verlangt man dagegen, daß zusammengesetzte ganzzahlige Coefsicienten von Factoren befreit werden; so wähle man eitien Primfactor des ersten nicht verschwindenden Coefsicienten nach dem Anfangs-Coesficienten zum Quotienten einer geometrischen Reihe von 29 * 452 Siebentes H au pl stück. Divisoren; dividire, wofern es angeht, auf die bekannte Weise, und wiederhole möglichen Falls diese Operation. Hat man z. B. die Coefficicnten der Gleichung 3^-20^-1-9000^—2000—0 zu vereinfachen, so dividirt man durch I, 2, 4, 8; dies verschafft die Coefficicnten L— 10 -1- 2230 — 250 die wieder durch i, 5, 23, 125, getheilt S— 2 -1- so — 2 geben; daher ist die transformirte Gleichung w er s^—2^-t-so--2-0 und VI. Ausscheidung der gleichen Wurzeln. Be zeichnen wir mit a irgend eine von den vielfachen Wurzelnder Gleichung (23) /"(w) --- und richten wir diese Gleichung (nach II.) für die Unbekannte L-a ein, so daß sie die Gestalt (31) /Xw) -4/o (L—a) " -t-.v, (w-a) "-r -I-.V2 (w—a)"^-i-" ...-I-M^t(w—«) -t-lU^-0 erhält, worin die Coefficicnten Ai,, Ai,,... Ai« nach §. 286 bestimmt werden; so muß ihr Polynom /"O), weil die Wurzel«, wenn sie mehrfach ist, wenigstens eine zweifache sein wird, minde¬ stens durch die zweite Potenz des Wurzelfactors w—a theilbar sein, oder sich zwei Mal nach einander durch w—a ohne Restthcilen lassen. Damit aber das Polynom durch w—s theilbar sei, muß Sin—0 sein, und damit es auch noch der entfallende Quotient Lio O—a) -t-.V, (2,—a) ---2 -i-... (w—a) -l-Ai«-> ' muß gleichzeitig A/n-,—0 sein. Umgekehrt, wenn für einen be¬ stimmten Werth die Coefficicnten Ai« und Ain-, mit einan¬ der verschwinden, ist die Function/"(2?) der Gleichung (2S) oder (31) durch (w-a)2 theilbar, mithin a gewiß eine vielfache un zwar wenigstens eine zweifache Wurzel dieser Gleichung. Da nun « der allgemeine Repräsentant sämmtlicher mehrfachen Wurzeln der .vorgelegten Gleichung ist; so werden die von « abhängigen EE- IN. Abschnitt. 453 cicnten tN» und lU)--, nur für jene Werthe von « zugleich ver- schwinden, für welche ihr größter gemeinschaftlicher Theiler in die Null übergeht, weßwegen im Einklänge mit §. 28K, Gl. (18) und (ig) von den Ausdrücken - -»- -r-A»—, der größte gemeinsame Theiler sammt den ihn annullirenden Wer-- then von -4 —0 die etwa vorkommenden gleichen Wurzeln ausgeschieden werden, so findet man von ihrem Polynom und seiner Ableitung 7w6-l-Zga^-i-3üw4— 24a?b—45^,2— den größten gemeinschaftlichen Theiler —Ja?—2 , durch welchen jenes Polynom getheilt den Quotienten —a?—2 451 Siebentes Hauptstück. liefert, weßwegen die Gleichung —2—0 lauter verschiedene Wurzeln besitzt, so wie die Gleichung — Zx—2 — 0 alle gleichen Wurzeln der gegebenen darbietet. VII. Befreiung einer Gleichung von den be¬ reits bekannten Wurzeln. Ist man auf was immer für eine Weise zur Kenntniß einer Wurzel a?— a einer Gleichung (23) gelangt; so wird man diese (zu Folge §. 288, 1l. und lll.) von ihr befreien, indem man ihr Polynom durch den Wurzelfactor a-—s so viel Mal nach einander dividirt, als eine wievielfache Wurzel —1)2. Allgemeine algebraische Auflösung der Gleichungen. §. 2Si. Eine Gleichung allgemein algebraisch auflösen Heß ihre Wurzeln als algebraische Functionen der Coefficicnten dar¬ stellen. Eine solche Auflösung gelingt jedoch, wie gezeigt haben, wofern keine besonderen Beziehungen (Rel-'' tioncn) zwischen den Coefficienten Statt finden, durchaus nicht- sobald der Grad der Gleichung den vierten übersteigt, weßwcgcu wir nur die des dritten und vierten Grades vornehmen können. Hl. Abschnitt. 455 I. Auflösung der kubischen Gleichungen. Soll eine cubische Gleichung allgemein aufgelöst werden, so bringe man sie, wenn es noch nicht geschehen wäre, vorerst mittels Theilung durch den ersten Coefficienten und durch Annullirung des zweiten Gliedes (§. 2S0, III.) auf die Form 0. Um eine Wurzel dieser Gleichung zu bestimmen, setze man indem man selbe aus zwei noch unbekannten Theilenund « zu¬ sammengesetzt ansieht; dadurch erscheint (z, -t-«)-4-S —ü oder s) —o. Fügt man nun zu dieser, den Unbekannten -/ und « vorgezeich¬ neten, Bedingung noch die bei, daß sie auch die Gleichung «-I-3Z/2 —0 erfüllen sollen, so reducirt sich jene Gleichung auf g. Von diesen zwei Gleichungen bietet die erste «— — — , 2^/ daher die andere o oder ör,»-- — ; b r- - «->-1 woraus (nach§.2i5)-/--l/j — i — — a Z folgt. Hiedurch wird oder (nach §. IK3) -t-- Auf diese Weise findet man « _s/ -4- tt- i/ -s/(- -4- 2^ als den Ausdruck einer Wurzel der gegebenen kubischen Gleichung, welche gewöhnlich die Card an'sche Formel genannt wird. 3 _ 3 -1/(—3—^/27-t-9)-—^9, 3 3 —4(1/9-t-1/3) 1/3; endlich 3 3 4S6 Siebentes Hauptstück. Dividirt man das Polynom dieser Gleichung, in der Absicht, ihre beiden andern Wurzeln zu finden, durch den Wurzelfactor n— 0-4-L), so erhalt man, (nach §. 285 und §. 29o, VII.) die Gleichung 2?--^-(z,-^L)a?-i-a^-(z/^-L)"—0, welche durch die Substitution a——3-2 in -0, sich verwandelt^ und w I/—3 darbietet. Setzt man sonach, in der Absicht die Wurzeln der kubischen Gleichung 0 aufzustellen, zur Abkürzung 3 ^^V^"^27 Ä'--- V-t-L V—« , , ferner --— 1/S---, und bezeichnet die Wurzeln der aufzulösenden Gleichung mit wi, ; so finden sich für dieselben die Ausdrücke a?,——H), a?z—I, -s/— I- 1. Beispiel. Sind die Wurzeln der Gleichung «Z—I2r^-j-57rr—94—0 zu suchen, so setze man (nach §. 290, HI.) zur Beseitigung deS zweiten Gliedes u—4—a? oder ; dadurch erhält man —0, und somit ist a—9, S— K, 3 _3 A-I/(-3-l-f/27^-9) —1/3 3 3 p--z(I/9-l/3) 3 3 2^1 —1/3—1/9, 33 „ „ ^r--i(l/9-l/3)—z(l/9-l-I/3) 1/3.1/—4, 3 3 3 3 ^z--i(I/9-1/3)-t-z (l/9->-l/3) 1/3.1/—I, welche Wurzeln um 4 vergrößert die 3 Werthe von » geben. 2. Beispiel. Sucht man die Wurzeln der Gleichung a^-t-6co-^2g-0, so findet man zc—1/(—io-t-Kl/3), s---s/(—40—kl/r)- 7-— — ö- —a m. Abschnitt. 4S 7 Obwohl nun hier alle Werthe von 27 irrational zu werden scheinen, so zeigt sich doch nach vorgenommener Untersuchung N—-i-i-l/S, L— —1—1/3; daher wird i, -——3, und L't-—2, L72---I-3l/—1, 27z—1-^3l/—I. II. Auflösung der biquadratischcn Gleichungen. Hat man eine Gleichung des vierten Grades aufzulösen, so bringe man sie nöthigen Falls vorläufig auf die Form und setze indem man wieder », v, rv die noch zu suchenden Bcstandthcile von 27 sein läßt. Aus dieser Annahme folgt a??- (vrv-i-AM-^rw), oder, wenn man der Kürze wegen sttzs, 272—^-t-2(E-t-?E-l-r«v) «2—/>—2 (vw -t-w« -s-rrv). Die erneuerte Quadrirung gibt 27 4 2/72-2 -t-j)2 — („2^,2 ^2^2) (« ^-v -s-tt') , oder wenn man vV-r-u^u2_^z,2^2—»2^2^— annimmt und 27. statt u-t-v-t-ro schreibt, —2-72/-^2— g z/ . g, , oder endlich L-^—2/7272—8l/r-. 27^/72—4^—0. Diese Gleichung, welche die Wurzel rr^-v^-rz, besitzt, ist, so wie die aufzulöscnde, vom vierten Grade und von ihrem zweiten Gliede befreit. Sie wird mit dieser identisch, wenn —2/7---«, —8l/7°—s, //—4-—0, , a —4o N-MXch gesetzt wird. Da nun obigen Annahmen gemäß, von den drei Größen , v?, ,^2 hj? Summe /7, die Summe ihrer Amben - und ihr Product 7- ist; so lasten sie sich (vermög §. 28S) als die drei Wur¬ zeln der Gleichung z^—/^-s-yA—7°—0 °d„ 2^ 16 V4 ansehen. Ist diese aufgelöst, so kennt man die zweiten Potenzen 488 Siebentes Hauptstück. von u, v,w, daher auch diese Größen selbst und die verlangte Wurzel n.Permutirt man dabei,wegen der Gleichung s/r-—uvw -- — die Vorzeichen von u, v, ro auf alle jene möglichen Weisen, bei denen sich für ihr Product das entgegengesetzte Zeichen von S e» gibt, so gelangt man zu allen 4 Wurzeln der Gleichung. Z. B. Soll die Gleichung 25^-l-60a?—26 —v aufgelöst werden, so ista— —25, S—6g, a---—26, . . »25-769 225 „ daher - -z,- - g. IV L 9 25 . . Die Wurzeln dieser Gleichung sind 4, mithin «/---^7^, «—7^2, ro —7^7^- Hieraus folgen, weil s positiv ist, sonach avV negativ werden muß, die 4 zu suchenden Wurzeln S 5 a?.-2-2^2- S 5 3, S 5 -2s----»-2"2-»--— 2, 3 5 Wt — 4-2-1-2—I. » Auflösung numerischer Gleichungen. §. 292. Aus der eben erläuterten allgemeinen Auflösung der Gleichun¬ gen des dritten und vierten Grades läßt sich zur Genüge entneh men, mit wie großen Schwierigkeiten man bei noch höheren Gra den zu kämpfen haben dürfte, zumal da die Wurzeln sich nicht a algebraische, sondern nur als transcendente Functionen der CoG- cienten darstellen lassen. Diese Schwierigkeiten bewogen die Ana¬ lysten, mehr auf die Auflösung der sogenannten numerische oder Zahlengleichungen, deren Coefficienten nemlich M bene besondere Zahlen sind, und auf welche man in den Anw düngen der Analysis auf bestimmte Probleme am Ende «nm Hl. Abschnitt. 489 stößt, ihren Scharfsinn zu werfen. Die wichtigsten der bisher ge¬ lungenen Entdeckungen in diesem Gebiete wollen wir, so weit sie unserem Zwecke zusagen und unsere bisherigen Lehren ausrcichen, möglichst kurz erörtern, dabei aber zur Vereinfachung der Unter¬ suchungen voraussetzen, daß die Coefficientcn durchgehends reell seien. Übrigens richten wir hiebei unser Augenmerk vorzüglich auf die reellen Wurzeln, weil fast immer blos sie, die imaginären da¬ gegen nur äußerst selten, zu suchen sind. I. Bestimmung der reellen Wurzeln. a. Grenzen der reellen Wurzeln. §. 293. Jede zwei reelle Zahlen, zwischen denen die reellen Wur¬ zeln einer Gleichung liegen, heißen Grenzen und zwar die grö¬ ßere von ihnen die obere, die kleinere aber die untere Grenze dieser Wurzeln. Die Kenntniß solcher Grenzen gewährt desto mehr Vortheil, je enger oder näher dieselben an einander lie¬ gen, d. h. je kleiner der absolute Werth (der numerische oder Zahlwerth) ihrer Differenz, nemlich jene Zahl ist, die sich nach Weglassung des Vor - oder Qualitätszeichens (->- oder—) die¬ ser Differenz darbietet. Obgleich es Methoden gibt, die Grenzen der Wurzeln einer Gleichung direct zu berechnen, so findet man es doch meistens bequemer zu erforschen, ob und wie viel reelle Wurzeln innerhalb zwei gewählter Gren¬ zen sich befinden. Hiebei läßt man sich von den Ergebnissen folgender Untersuchungen leiten. §. 294. Erhält die Function einer Gleichung, für zwei bestimmte reelle Werthe ihrer Veränderlichen, Werthe von entgegengesetzten Zeichen; so liegt zwischen jenen Werthen der Veränderlichen we¬ nigstens eine reelle Wurzel. Sind nemlich bei der Glei¬ chung für L— a und die Zeichen der Werthe/°(a) und/(S) der Function/°(ch dieser Wurzel ist jenem des letzten Gliedes entg gengesetzt. Denn setzt man in /(«) für w der Ordnung na —c», o, -t-co, so übergeht diese Function in—ao, HI. Abschnitt. 4SI Ist nun positiv, so liegt wenigstens eine Wurzel zwischen o und —c», und ist daher negativ; ist dagegen ^4» negativ, so be¬ findet sich zum wenigsten eine Wurzel zwischen o und -t-oo, und ist demnach positiv. 2) Jede Gleichung geraden Ranges, in der bas letzte Glied negativ ist, hat wenigstens zwei reelle Wurzeln, und vo n di e sen ist di e eine posi¬ tiv, die andere negativ. Denn setzt man auch hier in der Function /"O) für ar die Werthe —22, 0, -t-w, so erlangt sie die Werthe -t-oo, -t-w, folglich liegt, wenn negativ ist, gewiß eine reelle Wurzel zwischen 0 und -^22, und eine zweite zwischen 0 und —«0. §. 295. Ein Paar gleicher Zeichen zweier unmittelbar nach einander folgender Glieder des Polynoms einer Gleichung heißt eine Zeichenfolge, ein Paar ungleicher Zeichen aber ein Zeichen- Wechsel. Die Zahl der Zeichenfolgen und Wechsel einer Gleichung zusammen ist offenbar ihrem Rangs-Exponenten gleich. So z. B. hat die Gleichung ar?—2ar°—3ar^—gar^— 3ar^— ar?-s-ar -l-I--0 im Ganzen 2 Zeichenwechsel und s Zeichenfolgen. §. 296. Sei re eine von ar unabhängige veränderliche Größe und man übersetze die in der Gleichung (23) ff(ar) — sungirende Veränderliche ar (nach §. 290, II.) in ar—re. Besieht man die sich darbietende transformirte Gleichung (32) ff(ar) --/l-(re) (ar-re)"-I-/).-i (re) (ar-re)"-'-t- ... . - -l-/z (re) (ar - re) (re) (ar—re) -s-ff(re) —0, indem man auf die in §. 286, I. erörterte Berechnung ihrer Coef- sicienten, wo man blos re für a zu setzen har, Rücksicht nimmt, so erkennt man leicht Folgendes. I) Für re-0 rcducirt sich die Gleichung (32) auf ff(ar) (o)ar"-s-(0)ar"-?->-l-ff?(0)a?-t-/)(0)ar-t-/'(0) —^gar»-l-^1^---l-i-^^_2n"-t^"-iar-1--t„—0; ihre Eoefficienten sind demnach die der gegebenen Gleichung (23) selbst. 462 Siebentes Hauptstück. 2) Ist die Größe » und läßt man ihren Zahlwerth von Null an allmälkg durch alle denkbaren Zwischenstufen bis ins Un¬ endliche wachsen; so muß, weil der erste Coefficient /j, (u) fort¬ während ungeändcrt bleibt und zugleich positiv vorausgesetzt wird, der zweite Coefficientweil er stets Ag-uve Zusätze er¬ hält, ununterbrochen folglich endlich einmal nAu» werden und von da an auch immer bleiben. Ist dieser Zustand ein¬ getreten, so wird von hier an der dritte Coefficient stets positive Zu¬ sätze erhalten, mithin ununterbrochen wachsen, folglich gewiß einmal positiv werden und fortan positiv bleiben. Besitzt aber dann der dritte Coefficient dieselbe Eigenschaft wie der erste, so muß er gerade so, wie dieser auf den zweiten und dritten wirkte, auf den vierten und fünften einwirken, folglich endlich einmal den vierten für immer.^Eariv und den fünften ununterbrochen positiv machen. Setzt man diese Art zu schließen fort, so zeigt sich, daß, nachdem der Zahlwerth der negallven Größe u einmal hinreichend groß, wenn auch noch nicht unendlich groß geworden ist, nicht nur sammt- liche Coefficienten von der Null verschieden und insbesondere die ungeradstelligen positiv, die geradstelligen aber ausfallen, folglich die transformirte Gleichung lauter Mch-nwechsn besitzt. Es sei nun u-p einer der Werthe von re, für welche die transformirte Gleichung mit der Veränderlichen a?—- lauter Zcichenwechsel und durchgehends von Null verschiedene Coefficienten besitzt, und re-- einer derjenigen Werthe, für welche die transformirte Gleichung in a,— rc—a?—- lauter Zeichenfolgen und gleichfalls durchaus von Null verschiedene Coefficienten hat, so ist nicht nur nemlich positiv, sondern auch, weil weder eine fernere Verminderung von rr im ersten, noch eine weitere Vergrößerung des Werthes von rc im andern Falle ein Verschwinden des letzten Coefficienten /(««) hervorzubringen vermag, ? eine untere und - eine obere Grenze der reellen Wurzeln der Gleichung /"(»)-o oder der von ihr nur in der Bezeichnung der Unbekann¬ ten verschiedenen —o. III. Abschnitt. 4KS Lassen wir demnach die Größe » von bis oder auch von —Oo bis -l-c» stetig wachsen, so müssen alle anfänglich vorhan¬ denen Zeichenwechsel, deren Anzahl durch den Rangs-Exponenten der Gleichung angegeben wird, nach und nach in lauter Zeichen¬ folgen übergehen. Dabei kann aber während des successiven Auf- steigens der Veränderlichen u von irgend einem Werthe zu einem höheren, in der Reihe der Zeichen der Coefficienten (33) (st) , /n— , (u) , s (st) , " -/2 (re) , /1 (^) » /^(^) der transformirten Gleichung, so lange keine Änderung eintreten, als nicht einer dieser Coefficienten zu Null wird, weil erj als ste¬ tige Function von « nur auf diese Weise sein Zeichen zu ändern vermag. §. 297. Erforschen wir gegenwärtig die Änderung der Menge vonZei- chenwechseln, welche bei einem bestimmten Werthe L der Veränderlichen rr durch das Verschwinden von Coefficienten der transformirten Gleichung (32) herbeigeführt wird, und besehen wir l) den Fall, wo nur der letzte Coefficient /"(st) ver¬ schwindet, also /'(L)—0 und somit L eine Wurzel der Gleichung /"(n) —0 ist. Bezeichnen r und L zwei essentiell (wesentlich, ihrer Natur nach) positive Größen, so ist leicht einzusehen, daß sich dieselben immer so klein annehmen lassen, damit, während des allmäligen Wachsens der Veränderlichen von u—r durch u—/» bis n- L-t-L, der letzte Coefficient /?<» blos ein einziges Mal aus dem indas M7 durch Null übergehe, folglich fortwährend Achm-, was nur eintreten kann, wenn der vorletzte Coefficient in diesem Bereiche ununterbrochen poWv" bleibt. Dies hat zur Folge, daß an der Stelle rc—ein Zeichenwechsel in eine Zeichenfolge sich verwandelt, oder ein Zeichenwechsel verloren geht, wie man aus folgenden zwei Schemen noch deutlicher ersieht. 446 Siebentes Hauptstück. Die Reihe der Zeichen der Coefficienten der transformirten Gleichung verliert demnach jedes Mal einen Zeichenwechsel, wenn die veränderliche Größe « bei ihrem stetigen Übergange von einer untern Grenze zu einer obern -,oder von—o?bis -t-oo eine Wurzel der gegebenen Gleichung über¬ schreitet. 2) Nehmen wir an, daß für den Werth /r der Verän¬ derlichen rr von den Coefficienten der transformirten Gleichung in u nur ein mittlerer />0), der letzte aber nicht verschwinde, und wählen wir wieder r und L so klein, daß dieser Coefficient /^O) in dem Bereiche von n—Zr—r bis »---/r-l-k nur ein einziges Mal verschwinde, also aus dem NeMven Postttve* übergehe; so muß der unmittelbar vorhergehende Coeffi¬ cient in diesem Intervalle stets pHA" sein. Besitzen nun der dem verschwindenden Coefficienten/>(n) vorangehenderer(«) und der ihm nachfolgende r--i(^) verMedene Leichen, so finden bei den drei consecutiven Coefficienten r-i-i i», vor dem Überschreiten des Werthes u—/r und nach demselben A" Zeichenwechsel Statt, folglich gehen an dieser Stelle rr--ä r^in Zeichenwechsel verloren. Noch deutlicher weisen dieses die nachstehenden vier Schemen aus. II!. Abschnitt. 463 Verschwindet daher an einer Stelle u—Zrblos ein einziger mittlerer Coefficient, so gehen, wenn die ihn cinschließenden verschißene Zeichen besi¬ tzen, Zeichenwechsel verloren. 8) Sollten für einen gewissen Werth u—Zr der Veränder¬ lichen n mehrere nach einander folgende mittlere Coefficienten, etwa Z^O), /---(u), - > - verschwinden; so lassen sich auch hier die Größen r und Z-so klein annehmen, daß in dem Intervalle von n—Zr—r bis n--Zr-s-L keiner dieser g Coefficienten öfter als ein Mal zu Null werde. Geht nun hiebei der erste Coefficient aus dem durch Null in das über, so muß der ihm vorangehende fort¬ während posiA" sein, und der ihm folgende zweite Coefficient r(u) vor dem Verschwinden abnchmen und nach demselben zm»hmm, daher, obgleich er verschwindet, immer auch bleiben, ncmlich im AsiNven" Gebiete zuerst der Null sich nähern und, nachdem er sie erreicht, sich wieder von ihr entfernen. Dies hat zur Folge, daß der dritte Coefficient/>-?(») wieder aus dem Negativen in das Asitwe' übergeht, folglich auch der vierte, trotz seines Verschwindens, stets pösiuv" illeibt. Bei den Zeichen der g ver¬ schwindenden Coefficienten i(n),z^-r(M,—/>— wechselt daher, wie die Fortsetzung der begonnenen Reihe von Schlüssen nachweist, vor dem Verschwinden immer das positive mit dem negativen ab, undzwarhaben alle ungeradstelligen das entgegen¬ gesetzte Zeichen des ersten ihnen vorangehenden nicht verschwindenden Coefficienten />pi(re), und sind demnach, weil dieser immer v°nuv° bleibt, ^gativt während die geradstelligen mit dem voraus- gehenden ersten nicht verschwindenden einerlei Zeichen besitzen, also wie er posüw sind; folglich findey, von dem ersten vorangehenden nicht verschwindenden Coefficienten («) an, bis zu dem letzten verschwindenden ,,^(u)in Allem g Zeichenwechsel Statt; nach dem Verschwinden aber nimmt jeder Coefficient das Zeichen des Vega Vorles. I. Bd. ^0 4K6 Siebentes Hauptstück. ersten vor ihnen stehenden nicht verschwindenden an, somit gehen bei diesen g-l-l Coefficienten im Ganzen Zeichenwechscl verloren. Ist nun g eine ungerade Zahl, so daß der letzte verschwindende Coefficient in dem betrachteten Intervalle sein Zeichen ändert und vor seinem Verschwinden das Zeichen des ersten vorausgehendcn nicht verschwindenden besitzt; so vergrößert sich, wenn dieser mit dem ersten nachfolgenden nicht verschwindenden Zeichen hat, durch den Beitritt dieses letzteren Coefficicnten, vor der Stelle u—die Anzahl der vorhandenen Zeichenwechsel um nach dieser Stelle aber um f'^en, oder bei den g verschwin¬ denden und den sie begrenzenden nicht verschwindenden 2 Coefficien- ten finden vor der erwähnten Stell? ^,nach derselben ^"Zeichen- Wechsel Statt, mithin geht bei diesen g-t-2 Coefficicnten die gerade Zahl giffi vonZeichenwechscln verloren. Ist dagegen p eine gerade Zahl, so daß der letzte verschwindende Coefficient in dem untersuchten Intervalle keine Zeichenänderung erfährt und mit dem ersten vorange¬ henden nicht verschwindenden fortwährend das nemliche Zeichen beibehält; so erhält die Reihe der Zeichen, falls dieser mit dem ersten nachkommenden nicht verschwindenden />-»(«) veM-d-m Zeichen besitzt, durch den Beitritt dieses letzteren Coefficienten, so¬ wohl vor, als nach der Stelle u—L, Zeichenwechsel mehr, oder bei den in Betracht genommenen p-l-2 Coefficienten bestehen vor der angeführten Stelle nach ihr aber Zeichenwechseh folglich geht hier jedes Mal die gerade Zahl g von Zeichenwechseln verloren. Verschwinden demnach an einer Stelle mehrere unmittelbar auf einander folgende matt¬ iere Coefficienten, so geht immer eine gerade An zahl von Zeichenwechseln verloren, und zwar eben so viel, als Coefficienten verschwinden, wenn die Zahl dieser gerad; oder um eins wenigere wenn die Zahl der verschwindenden Coefficienten ungerad ist und die an sie grenzenden zwei Coefficienten verschiedene Zeichen haben. 7H. Abschnitt. 4K7 4) Betrachten wir den Fall, wo für u—7r am Ende mehrere, namentlich g, nach einander folgende Coeffi- cienten zugleichverschwinden, folglich (vermög §.288, III.) k eine t-fache reelle Wurzel der Gleichung /'(a-)^o ist; so ver- liert die Reihe der Zeichen des Polyno msdcr trän s- formirten Gleichung, nach dem eben durchgesührten Beweise, g, nemlich ebenso viel Zeichenwechsel, als wie viel solcher Coefsicienten verschwinden, oder als wie viel¬ fach jene reelle Wurzel ist. 5) Tritt endlich der Fall ein, daß für rr—7r am Ende g, in der Mitte an mehreren getrennten Stellen g,, g", g"/,.... Coefsicienten verschwinden, so wird man die Menge der in den einzelnen Partien verloren gehenden Zcichenwechsel be¬ stimmen und ihre Gesammtzahl berechnen. §. 298. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen lassen sich nunmehr auf folgende Weise zusammenfassen. Vermindert man in der Gleichung /'(a,-)- o die Veränderliche w um die von ihr unabhängige Veränderliche u so, daß m-rr die Unbekannte der transformirten Gleichung (82) werde, und läßt man diese Variable n von einer untern Grenze p der reellen Wur¬ zeln der Gleichung oder /'O)—y bis zu einer oberen Grenze oder, wenn man es vorzieht, von —w bis -l-«a stetig wachsen; so treten bei der Reihe der in der transformirten Glei¬ chung vorkommenden Coefsicienten, welche sowohl für als auch für alle zwischen — c» und gelegenen Werthe von u lauter, also n, Zeichenwechsel, und nicht blos für n—sondern auch für alle zwischen - und -i--» liegenden Werthe von u lauter, nemlich gleichfalls n, Zeichenfolgen enthält, folgende bemerkenswerthe Umstände ein. 1) Bei dem Durchgänge der Variablen u durch jede ein- oder vielfache reelle Wurzel der Gleichungverliert diese Reihe so viel Zeichenwechsel, als wie vielfach diese Wurzel ist. 2) Dieselbe Reihe kann aber auch bei solchen Wcrthcn von n Zeichenwechsel verlieren, für welche nicht der letzte Coefficicnt sondern einer oder einige der mittleren verschwinden, und die so * 468 Siebentes Hauxtstück. daher keine Wurzeln von /"(2?) —0 sind. In diesem Falle ist die Anzahl der verloren gegangenen Zeichenwechsel stets gcrad und zwar eben so groß als die der verschwindenden Coefficienten, wenn diese gerad, oder um eins U°ncr, wenn diese ungcrad und der die¬ sen Coefficienten zunächst vorhergehende mit dem ihnen unmittelbar solgenden entgegengesetzte Reichen besitzt. 8) Kann an einer oder an mehreren getrennten Stellen blos ein Coefsicient, dessen benachbarte entgegengesetzte Zeichen haben, auf Null reducirt werden; in diesen Fällen erfolgt in der Zahl der Zeichenwechsel gar keine Änderung. 4) Die Anzahl der Zeichenwechsel in der Coefficienttnreihe nimmt beständig ab, nie kann ein neuer Zeichenwechsel zuwachsen, noch ein verlorner zurück gewonnen werden. 5) Besitzt nun die Gleichung /°(w)- v lauter, folglich ", reelle Wurzeln, so können von sämmtlichen ursprünglich vorhan¬ denen Zcichenwechseln gar keine durch das Verschwinden von mittleren Coefficienten verloren gehen. Sind aber von ihren » Wurzeln blos v reell, folglich n—imaginär, so müssen r Zeichen¬ wechsel wegen des Verschwindens von Schlußcoefficienten, also die übrigen »—> wegen des Verschwindens von mittlerenCoefficienten, sich verlieren. Da im letzteren Falle die Zeichenwechsel nur zu vollen Paaren verschwinden können, so muß auch die Gesammtzahl der durch das Verschwinden von mittleren Coefficienten verloren gehenden Zeichenwechsel, daher auch die ihr gleiche Anzahl der imaginären Wurzeln gerad sein. Erwägt man noch, daß bei denselben Werthen von», sür welche mittlere Coefficienten der transformirten Gleichung (22) verschwinden, auch bei angemessener Abänderung der Coefficienten der ursprünglichen Gleichung (23), Schlußcoefficienten annullirt werden, folglich jene Werthe in einem solchen Falle als reelle Wurzeln der gegebenen Gleichung auftreten können, während ft im Früheren nicht als solche erscheinen, folglich durch imaginäre vertreten sind: so dürfte es immerhin vcrstattet sein, imaginäre Wurzeln einer Gleichung als eben so viel verloren gegangene reelle anzusehen, und daher auch zu ftS^' daß bei dem Verschwinden von mittleren Coefficienten eine eben so große Zahl von reellen Wurzeln als.von Zeichenwechseln verloren geft- III. Abschnitt. 489 6) Fehlen demnach in einer Gleichung einige, etwa g, mittlere Glieder, (indem ihre Coefficienten Null sind), so besi tztsie, weil sie sich als transformirte einer andern ansehen läßt, deren Wurzeln von den ihrigen um eine reelle Größe differiren, gewiß imaginäre Wurzeln und zwar entwe¬ der p, wenn g gerade; oder wenn g ungerade ist, und die an die fehlenden Glieder angrenzenden en"g-g°'ng°s-tzte Zeichen haben. — Dieser Satz wurde zuerst von Se Sus gelehrt. §. 299. Die eben zusammengcstellten Resultate bieten sogleich folgen¬ den, im Wesentlichen zuerst von FVsr-ln- ausgesprochenen, Satz, und mit ihm ein sehr geeignetes Mittel, die reellen Wurzeln der Gleichungen zu begrenzen. Sind « und - irgendzwei reelleZahlen, von de¬ nen sdiekleinere, mithin S— s positiv ist, und trans- sormirt man eine gegebene Gleichung /<»—0 so, daß ihre Veränderliche ein mala?—« und ein zweites Mal a?—S wird; so hat die vorgelegte Gleichung nicht mehr zwischen «und S liegende reelle Wurzeln (gleiche auch als verschiedene gezählt), als um wie vieldic erste transformirte Gleichung (mit der Veränderlichen w—a) in ihren Coefficienten mehr Zeichen wechsel besitzt, wiediezweite (mit der Veränderlichen «?--). Die Richtigkeit dieses Satzes leuchtet sogleich ein, wenn man in obigen Untersuchungen die Veränderliche u, von —22 bis -l-c» alle denkbaren reellen Zahlen-» daher auch die beiden gewählten Grenzen a und ö durchschreiten läßt. Denn die Anzahl der Zei- chenwechsel, um welche die transformirte Gleichung mit der Ver¬ änderlichen a?—u für u—«, d. i. die transformirte mita? —s, mehr Zeichenwechsel als die transformirte mit a?—u für d. i. die transformirte mit a?— S besitzt, kann nie kleiner als die Anzahl der während des Überganges von u—« bis § durch das Verschwinden von Schlußcoessicienten verloren gegangenen Zeichenwcchsel sein. Da aber jeder dieser verlornen Zeichenwcchlel auf eine zwischen s und - liegende reelle Wurzel der Gleichung Siebentes Hauptstück- /(u)--o oder der von ihr nur in der Bezeichnung der Unbekann¬ ten differirenden Gleichung /'(w)--o hindeutet; so kann diese Gleichung zwischen genannten Grenzen nicht mehr reelle Wurzeln haben, als Zeichenwechsel in demselben Intervalle verloren gehen, oder als um wie viel Zeichenwechsel die transformirte Gleichung mir L-—a mehr besitzt wie die transformirte mit w—S. Bezeichnet demnach c» die Anzahl Zeichenwechsel der transfor- mirten Gleichung mit w—a, und st die der transformirten mit -S; so ist immer «^st, und die Menge der zwischen «und b befindlichen reellen Wurzeln der Gleichung/'(^)-O nicht größer als die Differenz «—st der Anzahlen dieser Zeichenwechsel. Erwägt man noch, daß (nach §. 298, 5) die Zahl der imaginären Wur¬ zeln nur gerad sein kann, so gilt allgemein, daß, wenn «-st ungerade ist, zwischen «und ö wenigstens eine re¬ elle Wurzel der Gleichung liegt, und, daß, wenn -e-/Z gerade ist, entweder eben so vie l reelle Wur¬ zeln vor kommen, oderaber alle imaginär oder end¬ lich in geraden Anzahlen einige reell, andereima- ginär sein können. Ist demnach insbesondere 1) Die Differenz «-st---o, so besitzt die Gleichung/^)-« zwischen a und ö keine reelle Wurzel. 2) Ist aber «—st—i, so hat die Gleichung eine einzige, reelle Wurzel zwischen « und §. 300. Von obigem Lehrsätze ist der nachstehende, von /-vsearte« zu¬ erst aufgestellte, eine einfache Folgerung. Eine Gleichung hat nicht mehr reelle Wurzeln als sie besitzt. Denn die von der Gleichung /"(«)---o abstammendc transfer mirte Gleichung (S2) mit der Veränderlichen rv-rr hat (nach §.296) für n— o dieselben Coefficienten wie die gegebene folglich wie diese u, Zeichenwechsel und k Zeichenfolgen, wobei ist. Für n--n besitzt aber diese transformirte Glei¬ chung ,r Zeichenwechsel, also liegen nach Fourier's Satze zwi¬ schen—c» und 0 nicht mehr als n—w, das ist k reelle Wurzeln, III. Abschnitt. 47t oder die Gleichung /'s»-o hat nicht mehr als k negative reelle Wurzeln. Für rz—-siav dagegen hat die transformirte n Zeichen¬ folgen, daher gar keinen -Wechsel, folglich liegen, demselben Satze gemäß, zwischen o und -l-c» nicht mehr als w—v, das ist reelle Wurzeln, oder die Gleichung /V»')— o besitzt nicht mehr als ru positive reelle Wurzeln. SOI. Durch Fourier's Satz ist man nun in den Stand gesetzt, die Grenzen der reellen Wurzeln einer Gleichung /"<»—o zu ermit¬ teln. Hiezu bedarf es weiter nichts, als die willkürliche Größe rz, um welche man die Veränderliche 2? der gegebenen Gleichung ver¬ mindert, so lange abzuändern, bis die transformirte Gleichung mit w—rz, von der übrigens blos die Coefficientcn, am bequemsten nach Büdan's Methode, (§. 290, Ik. und §. 286) berechnet wer¬ den, einerseits lauter Zeichenwechsel, andererseits lauter Zeichenfol¬ gen erhält. Am bequemsten ist es, hiezu die Null und die so¬ wohl negativ, als positiv genommenen decadischen Einheiten, nem- lich die Zahlen 0, ^l,^tO, ^lOO, ... zu wählen. Um dann zu erforschen, ob und wie viel reelle Wurzeln zwischen zwei solchen Zahlen liegen, wird man blos in den ihnen entsprechenden trans- formirten Gleichungen die Zeichenwechsel abzählen, und aus dem Unterschiede dieser Anzahlen auf die Menge der zwischen jenen Zah¬ len liegenden reellen Wurzeln nach obigen Regeln (§. 299) schließen. Fügt es sich hiebei, daß für einen gewissen Werth der Ver¬ änderlichen rz ein oder mehrere Coefficientcn in der Mitte oder am Ende in Null übergehen; so wird man die ihnen vor und nach dem Verschwinden zukommenden Zeichen leicht nach folgender, gleich¬ falls von Fourier zuerst angegebenen und aus den (in §. 297, 2 und 3) gepflogenen Untersuchungen unmittelbar fließenden, Re¬ gel vom doppelten Zeichen bestimmen und das erstere über das andere unter die Null setzen. Man schreibt ne mlich un¬ ter alle Nullen der verschwindenden Coefficientcn dasZeichendesihnen zunächstvor hergeh en den nicht verschwindenden, ferner über die erste Null dae> entgegen gesetzte dieses Zeichens und läßt über den folgenden Nullen die Zeichen ohne Unterbrechung 2 Z. W. verloren. ? 2 Z. W. verloren. Z.W. verloren. Z.W. verloren. Z. W. verloren. Z. s. -s Z.» 0 Z.W. 3. 3. 3. 3. 3. (io) -k- -l- -t- Vergleicht man chenreihen, so sieht man, daß (nach §. 29S) sowohl zwischen —io und —i, als auch zwischen —i und o eine reelle Wurzel liegt, da¬ gegen keine zwischen 0 und i sich befindet, und daß endlich von den zwischen i und io angedeuteten drei Wurzeln sicher eine reell ist, jedoch noch unbestimmt bleibt, ob die beiden anderen verloren ge¬ gangen und durch imaginäre ersetzt sind oder nicht. 2. Beispiel. Aus der Gleichung (35) —4^7»—3w-t-23 —0 entspringen nach dem bekannten Verfahren folgende Zeichcnreihen: (o) 472 Siebentes Hauptstück. abwechseln. Bon diesen Doppelzeichen hat man fernerdas untere zu nehmen, wenn man mit dieser Coefficientenreihe die einem g^'ßVrVn Werthe der Veränderlichen u entsprechende vergleichen»)!!!. Zur Erläuterung dieses Verfahrens mögen folgende Beispiele dienen. i. Beispiel. Die Gleichung (34) —24a?^-l-g8a?^—46a?—101—0 gibt, für folgende in Klammern eingefaßte Verminderungen »ihrer Veränderlichen, nachstehende Zeichen der Coefficienten ihrer trans- formirten Gleichung. (—io) (- D ( 0) —l— s -t-l- 4 -l-3 -p- -p- — 8 -I- -t- -l- 0 die Mengen von W.l W. * W.s 0 28 l 3 Z.W. verloren. Zeichenwechseln dieser Zei- (D do) Hieraus entnimmt man leicht, daß bei dem Werthe o znm reelle Wurzeln, bei i aber keine verloren gehen, folglich die Glei¬ chung gewiß zwei imaginäre Wurzeln besitzt, und daß zwischen i und io zwei reelle Wurzeln liegen, aber auch verloren gehe" können. III. Abschnitt. 473 §. 302. Hat man durch das eben erläuterte Verfahren einige von reellen Zahlen begrenzte Intervalle gefunden, in denen mehr als eine reelle Wurzel einer Gleichung liegen können; so wird man, um zu erforschen, ob sie daselbst wirklich vorhanden sind oder verloren gingen, jene Intervalle durch Annahme beliebiger, jedoch wo mög¬ lich eine einfache Rechnung gestattender, Zwischenwerthe in kleinere Intervalle so weit unterabtheilen, bis in keinem derselben mehr als eine reelle Wurzel liegt, oder aber mehr als ein Paar reellerWur- zeln verloren geht, folglich sämmtliche reellen Wurzeln von einan¬ der getrennt sind. Allein diese Operation kann sich zuweilen sehr in die Länge ziehen und zwar um so mehr, je weniger die in ei¬ nem bestimmten Intervalle liegenden oder verloren gehenden reel¬ len Wurzeln von einander verschieden sind, und sie könnte sogar nie zu Ende gehen, wenn die vorhandenen reellen Wurzeln völlig gleich sind. Als Mittel, dieses unsichere Probiren abzukürzen, dient theils die Ausscheidung der gleichen Wurzeln, theils eine sogleich zu erörternde Prüfung, ob und wie viel Paar reelle Wurzeln in einem gegebenen Intervalle verloren gehen. Zur Einleitung dieser Untersuchung zählt man, in den Zei¬ chenreihen der zwei transformirten Gleichungen mit den Verän- derlichenw—aundw—S, von der Linken gegen dieRechtedie bestehen¬ den Zeichenwechscl, zieht nach je gleichviel Zeichen die letztere Anzahl von der ersteren ab und notirt den jedesmaligen Überschuß, welcher Index der Zeichenwechsel genannt zu werden pflegt, zwischen den zwei zuletzt betrachteten Zeichen. Z-B-Die der Veränderlichen w—i und w—io zukommenden transformirten Gleichungen der Gleichung (34) bieten mit einander verglichen folgende Reihe von Indices dar. (i) -t- -k- — -k- -l- — 0 0 1 2 2 3 (kV) -k- -l- -k- -l- -k- -l-. Von diesen Indices, die wir allgemein mit (36) bezeichnen wollen, kann, wie aus ihrer Berechnungswehc einlcuch- let, keiner von seinen beiden Nachbarn um mehr als i dipc uren. Ferner gibt der letzte Index an, wie viel reelle zwilchen 474 Siebentes Hauptstück. a und S liegende Wurzeln die Gleichung /"(w)-o höchstens haben kann. Im Allgemeinen zeigt jeder Index an, durch höchstens wie viel zwilchen « und S liegende Werthe von u der Coefficient /m(u), zu dem er gehört, auf Null gebracht werden kann, oder daß die Gleichung /^(u) —0 oder -.g zwischen a und - nicht mehr als reelle Wurzeln habe. §. 303. I. Endigt sich demnach bei einem Intervalle, welches von zwei für die Veränderliche n substituirten Zahlen begrenzt wird, die Reihe der Indices mit i, so ist in demselben eine, aber auch nicht mehr als eine, reelle Wurzel der vorgelegten Gleichung enthalten. Übersteigt jedoch der letzte Inder die Einheit, so bleibt noch zu Prüfen, ob nicht durch das Verschwinden von MittellCoefficienten ein oder einige Paar reelle Wurzeln in dem zu durchforschenden Intervalle verloren gehen. In dieser Absicht sucht man den letzten oder am meisten rechts stehenden Index i, welcher, wenn ihm die Bezeichnung zugehört, andeutet, daß die Gleichung in dem Intervalle von rc—a bis rc—- eine einzige reelle Wurzel hat. Auf diesen letzten Index i folgt zur Rechten nothwendig der Index 2; denn dieser Index kann von seinem Vorgänger nicht um mehr als i differiren, mithin blos o, i, 2 werden. Könnte er l sein, so wäre man, gegen die Voraussetzung, nicht bei dem letzten Index l stehen geblieben; sollte er aber v sein können, so müßte ihm unter den späteren Indices ein größerer und namentlich i ^l- gen,weil der letzte Index nach der Voraussetzung größer als! ist, und jeder folgende den unmittelbar vorhergehenden höchstes um l übertreffen kann; dann hätte man aber wieder nicht, wie es sei» soll, den letzten Index i gewählt. Vor dem letzten Index l kau» allerdings einer der Indices 2, i, o stehen. Befindet sich o vor ihm, so lassen sich jeden Falls die Grenzen « und » so ver¬ engern, daß dies geschieht; wornach die den drei Coefsicien- ten , /^--i(u) entsprechenden drei Indices r'm-1 die Zahlen v, I, 2 sein, und alle späteren Indice die Einheit übersteigen werden. Findet sich in dem schon hinreichend zusammengezogenen Intervalle von «---a bis w-S eine solche Gruppe von Indices o, i, 2 wirklich vor; so steht noch zu unter¬ suchen, ob die in demselben angedeuteten zwei Wurzeln der Gle> Hl. Abschnitt. 475 chung/m-i (rch —v existiren oder verloren gehen. Da nun hier dem Coefficienten /m^O) der Index o angehört, so kann er in diesem Bereiche von « bis S sein Zeichen nicht ändern; dagegen muß, weil der folgende Coefficient /mO) den Index i besitzt, /mO) das entgegengesetzte Zeichen von /m^t(a), und /m(ü) das nemliche Zeichen wie /m^i(S), somit das entgegengesetzte von /m(a) haben. Demnach ändert der Coefficient /m(u) in dem In¬ tervalle von s bis S gewiß ein Mal, aber auch nur ein einziges Mal, sein Zeichen und geht dabei durch Null. Endlich muß, weil /m-i(u) den Index 2 besitzt,/'m—i (a) das entgegengesetzte Zeichen von/^(a), und/m-i(S) dasselbe Zeichen wie/m(S), daher, weil /m(-) und /m(a) mit entgegengesetzten Zeichen behaftet sind, mit /«—l(«) einerlei Zeichen haben. Mithin sind —ffm(^ muß, weil m essentiell positiv ist, und der Annahme gemäß « positiv sein soll, /m(a,..e) mit — /«-»(a) also, da — M/m («...«) /m— ,(ö) III. Abschnitt. 477 und gleiche Zeichen haben, auch /^(„(e...b) mit/l»-i(ö) daher auch mit/^(-) gleiche Zeichen haben. Somit sind die Quotienten /"r—r(K) /m— M/m(«... e) M/m(a) ' I- . /m— l(ö) , /m— t(b) so wie ——-und —„ ... vositiv, daher nicht nur ihren numerischen Werthen, sondern auch den Quotienten der numerischen Werthe ihrer Dividende und Di¬ visoren gleich. Da nun aber der Coefsicient/m(w), wenn immer negattv bleibt, fortwährend ^mmn und seine zwei äußersten Werthe /«(») und /'«(S) entgegengesetzte Zeichen besitzen; so muß sein Zahlwerth in dem von a und - begrenzten Intervalle von jenem des Coefficienten /«(») bis 0 abnehmen, dann wieder von o bis zu dem Zahlwerthe von /«M wachsen; folglich wird,weil/m(a...o) und/m(o) einerlei Zeichen haben, also mit einander diesseits 0 lie¬ gen, der Zahlwerth von />»(<-) größer als jener von/^(a...e), somit auch der Quotient ^^1: kleiner als — ^7"'^ sein. Eben so ist, weil und /l--(S) einerlei Zeichen haben, folglich mit einander jenseits 0 liegen, der Zahlwerth von /m(ö) größer, als der von /m(o....S), daher der Quotient " stets kleiner als ' Demnach ist (42) />-—,(«) , (si) /m— i(a) M/m («....b) m/me) M/m (d) und wegen (4i) auch " .,7 — —„ . . —K. Wenn daher für" einen zwischen a und S liegenden reellen Werth von « der Coesficient />,—i(u) verschwindet, oder die Glei¬ tung zwischen a und S eine reelle Wurzel hat; so wird 478 Siebentes Hauptstück jederzeit sowohl die Gleichung (4i), als auch die Ungleichung (4z) erfüllt. Fällt sonach bei einer Gleichung i(ö) /m—,(a) " (^) M«, nemlich (44) /^ -i(ö) M/m (S) - M/>-(a) > aus; so kann die Gleichung /»--l(u)—o in dem In¬ tervalle von n— a bis r<—ü keine reelle Wurzel lie¬ gen haben, sondern die zwei in demselben ange¬ deuteten Wurzeln sind sicher verloren gegangen, also durch imaginäre ersetzt. Hieraus läßt sich jedoch keineswegs der umgekehrte Satz fol¬ gern, daß, wenn die Ungleichung (43) erfüllt wird, die zwei Wurzeln der Gleichung welche in dem Intervalle von bis n— L angedeutet werden, reell sind, weil sie, trotz der Erfüllung dieser Ungleichung, verloren gehen, oder imaginär sein können, sondern nur so viel ist gewiß, daß, wenn diese Un¬ gleichung nicht erfüllt wird, keine reelle Wurzel in dem erwähn¬ ten Intervalle vorhanden ist, weil, wenn dies denkbar wäre, gerade diese Ungleichung gegen die Voraussetzung Statt haben müßte. IV. Hat man demnach zwei Grenzen « und S angenommen und die Coefficienten /)„(a), /in-l(a), /-„.(S), berech¬ net, so wird man, um die Natur der beiden für die Gleichung /'m-iCr«)—0 angedeuteten Wurzeln kennen zu lernen, /«-i(a) durch m/m(a), und /m-i(ö) durch m/^(S) ohne Rücksicht auf die Vorzeichen dividiren. Fällt dabei einer dieser Quotienten oder wenig¬ stens die Summe beider, eben so groß oder größer, kurz nicht kleiner als der Unterschied S—« der Grenzen aus; so sind die fraglichen Wurzeln gewiß imaginär. Ist aber die Summe erwähnter Quotienten klei¬ ner als die Differenz der Grenzen, so läßt dies erkennen, daß der Abstand dieser Grenzen noch zu groß ist, als daß man mittels des beschriebenen Verfahrens die Natur der Wurzeln ermitteln könnte, weßwegen man diesen Abstand durch Substitution einer zwischen « und S gelegenen Zahl u—ck in zwei Lheile theilen und den Coeffi- cienten /m-, (ck) bestimmen wird. III. Abschnitt. 47S Erhält dieser das entgegengesetzte Zeichen von dem der Coeffi- cienten («) und (S); so sind beide Wurzeln reell und in besondere Intervalle abgeschieden, eine von ihnen liegt zwischen --i(b) gleich, so muß man auch noch die zwei ihm vorangehenden Coefficienten/^.i(2_^^g^>_^Z0— 0 nehmen kann. Da nun 80 nur die noch nicht untersuchten Theiler S, 6, iS, 30 hat, so wird man die Zahl -l-S versuchen, welche sich gleichfalls als Wurzel zeigt, und die herabgesetzte und in den Zei¬ chen geänderte Gleichung 3a?-t-11«-t-6—0 liefert. Man untersucht nunmehr, weil diese Gleichung keine posi¬ tiven Wurzeln hat, die negativen Theiler —2 und —3, und findet, daß —3 eine Wurzel ist und endlich die Gleichung — 3a- — 2-0 2 sich ergibt, aus welcher w - folgt. Die Wurzeln der gegebenen Gleichung sind daher 2 4, S, 3, —» §. 306. Sollten demnach sämmtliche rationale Wurzeln einer Glei¬ chung bestimmt werden, so wird man nöthigen Falls diese Glei¬ chung zuerst durch die in §. 287 und 290 angegebenen Mittel von irrationalen und gebrochenen Coefficienten befreien und den ersten Goefficienten auf -l-i bringen, sofort von dieser Gleichung alle ganzzahligen Wurzeln berechnen und hieraus jene'der gegebenen herleiten. /Z. Berechnung der irrationalen Wurzeln. §. 307. Hat man jede der reellen Wurzeln einer Gleichung m eigene Grenzen eingeengt, so kann man die Berechnung derselben mit jeder gewünschten Schärfe auf folgende, von Newton angegebene und von Fourier vervollkommnete, Weise ausführen. IH. Abschnitt. 483 Ser « die untere und S die obere Grenze der zu suchenden reellen Wurzel o, und seien dieselben einander bereits so sehr ge¬ nähert, daß den vier letztenCoefficienten /z (n),/r(«),(ff), /(«) die Indices o, 0, o, i zukoinmen, folglich jeder der drei ersteren in dem erwähnten Intervalle sein Zeichen beibehält, daher fortwäh¬ rend wenn sein Vorgänger stets Uaüv ist. Bei diesen Voraussetzungen ist nach den Gleichungen (SS) und(4v)(in §. 303), wenn man dort »r-1 setzt, (48) e — K— oder o— S — - /»(«- -e) /l(S...o) Bezeichnet man nun mit A diejenige der Grenzen « und S, an welcher der vorletzte Coefficient /°,(^) den größten Zahlwerth erhält; so wird, je nachdem er mit dem ihm vorangehenden/2 (ff) verschiedene oder einerlei Zeichen besitzt, A—« oder A— S sein und />(.-) dasselbe Zeichen wie />(.-) haben. Denn bleibt der Coeffi¬ cient in dem ganzen Intervalle von n— a bis re—- ^«8- /"i(rr) dagegen ss nimmt der letztere ununterbrochen ab' und sein Zahlwerth ist für re—« am größten; dann ist aber /'s«), weil er mit /"(S) sowohl als auch mit /»(«) entgegengesetzte Zei¬ chen haben muß, mit/2 (ff) gleich bezeichnet. Sind hingegen beide Coefficienten /j. (re) und /i(re) mit einander fortwährend fAffv; so nimmt der letztere ununterbrochen ab, und seinZahlwcrth wird für re---b am größten; dann ist jedoch /"(S), weil er mit /"(«) ent¬ gegengesetzte, mit /)(S) aber einerlei Zeichen haben muß, mit /2 (ff) gleich bezeichnet. Heißt man demnach diese Grenze <7, bei welche? der vorletzte Coefficient den größten Zahlwerth besitzt und der letzte Coefficient mit dem drittletzten einerlei Zeichen hat, die äußere; so ist, wofern man nur die Zahlwerthe vergleicht, /,(«. ..o)(a...ü), —F/°,(b) /i-(«...d), /i(ü)-ö/-(a...S), /-(a) und die Gleichung (SO) /-(«) ^/-(S)—ä/-. (ö) -1-S-/2 («... S), während wir, wenn wir von re—s auf re—S vorschreiten, das Schema (SD /-(«), /".(«), /(«) .... S/)(«...-), F/",(«)-i-^/r(«---^> («) -t-F/2 (a... S) , /(S) und die Gleichung (82) /'(S) --/(«) («) -i- §2/2 («... S) finden. Substituiren wir diese Werthe, so wird im ersten Falle Z/---Z — /i (s) /, (A) und im zweiten S^—Z—zr. /t(A) /t(^) Nimmt man nun so haben />»(§) und Al- A v-7schi-d-ne Zeichen, daher ist daher gewiß «V Demnach wird jede der Grenzen s' und S* von der zwischen ihnen liegenden Wurzel o mn weniger als , folglich auch um weniger als eine Decimal-Einheit der />-1-27tcn Ordnung verschie¬ den sein, oder die Wurzel 0 wird mit jeder der Grenzen a' und gewiß bis zur /)-z-2-ten Dccimalstelle Übereinkommen. §. SOS. l. Am zweckmäßigsten ist es, aus der äußeren Grenze nach Anleitung der Gleichungen (46) einen, der zu bestimmenden Wur¬ zel 0 näher liegenden, Werth (53) 1^---^ daher auch immer (SS) S' < S-. Sei nun io--' oder die, leicht zu bestimmende, kleinste Decimal-Einheit, welche nicht kleiner als der Quotient ist , und sei 10-» oder diejenige kleinste Decimal-Einheit, welche nicht kleiner als die Differenz a ist; so ist /2(6)i HI. Abschnitt- 487 Bezeichnet noch L die innere von den Grenzen a und b, nemlich jene, bei welcher der Zahlwerth des vorletzten Coefficientcn am kleinsten ist, oder der letzte und drittletzte Coefficient entgegen¬ gesetzte Zeichen haben; so ist /j (k) /-(«-.. b) ist, so hat man, wenn man blos auf die Zahlwerthe der vergliche¬ nen Größen sieht, - /.(-) /-.(»)' 488 Siebentes Hauptstück. zu berechnen. Um aber hiebei genau angeben zu können, wie weit man sich der Wurzel genähert habe, werde der Zahlwerth von f(-) durch jenen vondergestalt getheilt, daß manmltder-r-t-2-tm Decimalstelle die Theilung abbricht und diese Stelle nicht wie ge¬ wöhnlich mit der nächst kleineren, sondern mit der nächst größeren Ziffer besetzt, oder, was dasselbe ist, die nach der gewöhnlichen Division erhaltene Endziffer um eine Einheit erhöht. Stellt nun den auf diese Weise abgeä'ndertenWerth des vollständigen Quotienten vor, so wird man, wenn man ihn statt dieses letzteren verwendet, einen angenäherten Werth finden, welcher von der zu bestimmenden Wurzel o gewiß um we¬ niger als eine Decimal-Einheit der p-l-2-ten Ordnung differirt, je¬ doch noch untersucht werden muß, ob er größer oder kleiner, oder vielleicht gerade so groß als diese Wurzel ist, welch letzter Fall aber nur bei rationalen Wurzeln, deren Bestimmung sich auch nach dersel¬ ben Methode ausführen läßt, vorkommen kann. Denn istdieser" Grenze, mithin gA^als diegesuchteWurzelo^so hat man sie,um sie dieser gleich zu machen, noch um etwas zu vermindern' Sub^M /"(A) nun den vollkommen genauen Zahlwerth des Quotienten so'jerhä'lt man eine Größe welche nur noch um eine Zahl G, die weniger als eine Decimal-Einheit der /)-l-2- ten Ordnung beträgt, größer als die Wurzel v ist; woraus einleuchtet, daß man, um ge¬ nau die Wurzele zu erhalten,einen noch um diese ZahlGgtößeren Zahlwerth hätte sollen. Subtrahirt man demnach Zahlwerth des Quotienten welcher jenen vollständigen wirklich um eine Zahl n übersteigt, die kleiner als eine solche De¬ cimal-Einheit ist, so findet man einen Werth welcher um diele Zahl n L- als r ist, und der folglich von der Wurzel«selbst blos noch um den Zahlwerth des Unterschiedes 6—n jener zwei die III. Abschnitt. 48S genannte Decimal-Einheit nicht erreichenden Zahlen G und n, mit¬ hin gewiß um weniger als um eine solche Decimal-Einheit differirt, weil man im ersten Falle ). Da nun G und», positiv und kleiner als 2?" immer auch ihre Differenz kleiner als ^7^ , jedoch negativ, positiv oder Null, je nachdem 6 kleiner, größer oder eben so groß als n ist, und demnach ist auch der Näherungswerth / ^er' größer eben so groß als die gesuchte Wurzel e. II. Man wird demnach, um sich der zu suchenden Wurzel 0 zu nähern, aus der äußern Grenze welche bis zur -'ten Decimal- stelle mit der Wurzel übereinkommt, einen bis zur/^->-2-ten Decn malstelle, mithin um zo-t-- Decimalziffern weiter sich erstreckendeu Näherungswerth / der Wurzel e nach der Gleichung berechnen, in welcher dre Einschließung des Quotrenten deuten soll, daß man die Theilung bei der /»-1-2-tenDecimalzist^ einstelle und diese Ziffer um i vergrößere. Da es jedoch hiebei un Hl. Abschnitt. 491 bestimmt bleibt, ob dieser Nähcrungswcrth größer oder kleiner als die gesuchte Wurzel ist; so wird man auf die gewöhnliche Weise den Werths) berechnen, und ihm, wenn er sich g^cr als dje Wurzel zeigt, eine Decimal-Einheit der letzten Ordnung su^hire», um zwei Grenzen zu finden, zwischen denen die Wurzel liegt. Hl. Beginnt man die Rechnung mit den zuletzt berechneten Grenzen vom Neuen, so wird man, da der Werth von p bei Ver¬ engerung der Grenzen wenigstens nie kleiner als vorher ausfällt, von den bis zur ---l-2-ten Decimale reichenden Näherungswerthen bis zurzo-l-2O-t-2-)— Z/i-i-l-ten Stelle,daher um 2<>-i-§) wei¬ tere Decimalziffern sich nähern. Eine dritte Annäherung gibt bis zur 7/r-t-8-' ten Stelle, also um 4mehr, richtige Ziffern, u. s. w. Hieraus wird zugleich ersichtlich, daß eine wirkliche Annäherung nur da erst beginnen kann, wo die Summe p-i--^i ist. IV. Um das hier beschriebene Verfahren zu erläutern, wenden wir es auf folgendes Beispiel an. Es sei /'(L-) — L'3 4L?2—7w -1-4 — 9 die aufzulösende Gleichung. Da die nach §. 301 leicht vorzuneh-- mende Untersuchung zeigt, daß sie 3 reelle Wurzeln hat, von denen die erste zwischen —io und —i, die zweite zwischen 0 und i, die dritte endlich zwischen i und io liegt; so wollen wir die mittlere bestimmen, und mit der Bildung der hiezu erforderlichen Reihe von Eoefficienten und Indices beginnen. /s(u) /lO) /(«) (a) Eoefficienten: -i-i — i — 7-1-4 -1-1 — 3 — 10 — 6 -1-1 — 2 — 12 Indices: o o o 1 (1) Eoefficienten: -i-i — i — 12 — 6 die Indices sind hier o, 0, O, l; daher können wir die Näherung versuchen. Die untere Grenze ist a—0, die obere b—l, die äußere 6—i, die innere L--«-o, daher 7. Ferner ist der größte Zahlwerth des drittletzten Eoefficienten/2(6)—4, folglich - - — 0,5..., wozu die nächst höhere Decimal-Emhert 1 4S2 Siebentes Hauxtstück. gehört. Setzt man daher 1—so wird o. Außerdem ist S-S—a-i—O-I, folglich i- gesetzt, gibt ----0, und so¬ fort woraus erhellet, daß die Grenzen noch nicht genug zusammengezogen sind. Nehmen wir daher einen Zwischenwerth «—0,5 an, so ist folgende Rechnung auszuführen. Obgleich hieraus erkannt wird, daß die Wurzel zwischen den engeren Grenzen o und o,5 liegt, so würde man doch auch hier noch P--O und ----o, also /--i--—0; ferner §---o,5—0,4—o,i---^ , mithin )-—0,375, /i(-)---10,25, folglich bis zur NI. Abschnitt. 493 -i-— o-l-2 — 2ten Decimalstelle der Quotient Vl(A)^ ——0,375:—10,28—0,04, wenn man sogleich die letzte Ziffer um i erhöht. Daraus folgt als der erste Näherungswerth 7---g,g—0,04—0,46, welcher.wenigstens bis o,oi genau ist. Weil man aber nicht weiß, ob er größer oder kleiner als die Wurzel ist, so wird man, um auch noch die fernere Annäherung ausführen zu können, die Coefficienten für »—0,46 berechnen. f'ü (rr) /rfu) /i(») /"(») (0,4) -1-1 —2,8 — 9,72 -1-0,624 0,06 -1-0,06— 0,1644—0,598064 -t-I —2,74— 9,8844-1-0,030936 -1-0,06— 0,1608 -1-1 —2,68—10,0452 -1-0,06 (0,46) -1-1 -2,62—10,0452-1-0,030936. Da in der gegenwärtigen Aufgabe für alle Werthe von «, welche kleiner als die Wurzel sind, der letzte Coefficient positiv aus¬ fällt, so ist der genäherte Werth 0,46 kleiner als die Wurzel. Wir nehmen daher als untere Grenze 0,000229268409 ^^)>" 10,06141517- --«,00002279 ; UNd sofort der dritte Näherungswerth ^" — 0,4631—0,00002279- 0,46307724, welcher von der Wurzel höchstens in der 8ten De¬ cimalstelle um eine Einheit differiren kann. Wir brechen hier die Rechnung ab, da ihr fernerer Gang aus dem Vorstehenden zur Genüge einleuchten dürfte, und bemerken nur noch, daß die andere positive Wurzel s, 19852321..-und die negative —i,66160042.. .ist. Zur Übung möge der Lernende folgende Beispiele rechnen. .»°—7a?-1-7 —o ^--—3,04891734; -4-1,35689587; 1,69202147. 2a?—5—0 « ---2,09455148154232659148238654057930. «---—3,353855; -1-0,476452; -1-1,877403. m. Abschnitt. 498 n*—8a^—l2a??-k.200w—360—O a?——5,044; 8,2209; 3,8098; 6,314. — 2ü?" -s- 2 a?—I --- 0 D —0,64074598. Übrigens wird er sich eine reichliche und nützliche Übung ver¬ schaffen, wenn er die hier gelehrte Methode auf die Berechnung der reellen Wurzeln der binomischen oder reinen höheren Zahlen- glcichung 2.'"—a—o, d. i.auf die Ausziehung der Wurzeln aus be¬ sonderen Zahlen anwendet. II. Berechnung der imaginären Wurzeln. §. 310. Die imaginären Wurzeln algebraischer Gleichungen mit einer unbekannten Große sind (nach §. 288, I.) immer in der allgemei- nen Form />-«--lZ—i enthalten, wofern/, und - reelle Zahlen ver¬ stellen. Dieser Form wegen muß, sobald ?^--lZ—i ir¬ gend eine imaginäre Wurzel einer Gleichung /*<»-0 von lauter reellen Coefficienten ist, auch /,—-sZ—i eine zweite imaginäre Wurzel derselben Gleichung fein. Denn setzt man in jener Gleichung eo---/,^-lZ—i, so re- ducirt sich ihr Polynom offenbar auf die Form 4>^r?sZ—i—o, wobei nur gerade, S aber blos ungerade Potenzen von - enthält. Allein diese Gleichung kann nur durch solche reelle Werthe von /> und - realisirt werden, für welche o und H— o wird. Da cs jedoch hiebei nicht auf die Vorzeichen von S> mithin auch nicht auf jene von - ankommt, so müssen beide Ausdrücke p-t--sZ—i und /-—-IZ—i zugleich Wurzeln der Gleichung ^(ev)--o sein. Solche zwei imaginäre Wurzeln pflegt man conjugirte (ge¬ paarte) zu nennen. Der vorstehende Lehrsatz bietet zugleich ein Mittel, die imagi¬ nären Wurzeln einer Gleichung zu berechnen. Man wird nemlich nach dem sogleich zu beschreibenden Verfahren diejenigen zusammen¬ gehörigen reellen Werthe von /, und - bestimmen, welche die Glei¬ chungen k— 0 und ö—o zugleich befriedigen. 496 Siebentes Hauptstück. Diese kurze Andeutung möge hier genügen, da man bei wirk¬ lichen Anwendungen nur selten imaginäre Wurzeln zu suchen hat. Sollten sie aber doch in besonderen Fällen gefordert werden, so kann man sich die Bestimmung derselben dadurch erleichtern, daß man vorerst alle reellen Wurzeln sucht, und durch Beseitigung der¬ selben (§. 290, VII.) den Grad der Gleichung so weit als möglich herabsetzt. Auflösung von Gleichungen mit mehreren Unbe¬ kannten. §. 811. I. Sind zwei algebraische Gleichungen mit zwei Unbekann¬ ten aufzulösen, so wird man aus ihnen eine der beiden Unbekannten eliminiren. Zu diesem Zwecke schafft man, wenn in beiden Gleichun¬ gen die nemliche höchste Potenz der einen Unbekannten vorkommt, diese Potenz allein nach den bekannten Methoden hinweg; ist aber die höchste Potenz dieser Unbekannten in der einen Gleichung nie¬ driger als in der andern, so wird man jene Gleichung mit einer sol¬ chen Potenz derselben Unbekannten multipliciren, damit die höchsten Potenzen gleich werden, folglich die erstere Elimination sich aus¬ führen läßt. Auf diesem Wege gelangt man schrittweise zu Glei¬ chungen von fortwährend niedrigeren Graden, und beseitigt allmälig sämmtliche Potenzen der zu eliminirenden Unbekannten von der höchsten bis zur niedrigsten, bis man endlich eine Gleichung erhält, in der nur die andere Unbekannte vorkommt. Löst man sonach diese auf, und setzt die gefundenen Wurzeln in ehre Gleichung, welche die zuerst eliminirte Unbekannte blos in einer einzigen Po¬ tenz enthält, so kennt man auch diese. Z. B. Soll aus den Gleichungen (a) L,?- y, (/Z) ( 3//—I) s -r- 2--— 2- 0 die Größe a? eliminirt werden, so zieht man, um zu beseitigen, (D von («) ab; dies gibt (/) (F—1)2'—(2!?-r-z,-t-i)---g. Wird diese mit w multiplicirt, damit sie kn (Z,— 1)2,2- übergehe, folglich aus ihr und aus («) die Potenz w* elimid werden könne; so findet man IV. Abschnitt. 497 Schafft man noch aus den um einen Grad niedrigeren Glei¬ chungen ()-) und (ö) die Größe w hinweg, so ergibt sich die Gleichung (r) S^-t-I0z?-i-zr/--v. Hieraus folgt ze-O; —S; — . Endlich ist zu Folge der Gleichung (^) 2-?-l-z/-l-i -- -, v—I . . 2 daher w——-i; —4;- s II. Bei mehr als zwei Gleichungen mit mehreren Unbekann¬ ten schafft man, nach der eben beschriebenen Methode, zuerst eine Unbekannte aus allen Gleichungen weg, wodurch die Anzahl der Gleichungen um eine verringert wird. Hierauf eliminirt man auf dieselbe Weise eine zweite Unbekannte, dann eine dritte, u. s. w., bis man endlich zu einer Gleichung mit einer einzigen Unbekannten gelangt. Kennt man die verschiedenen Werthe dieser Unbekannten, so lassen sich auch nach und nach jene der übrigen finden. IV. Abschnitt. Von den unendlichen Reihen und ihrer Convergenz. §. 312. Eine Reihe wird unendlich genannt, wenn man die Anzahl der zu betrachtenden Glieder derselben ins Unendliche wachsen laßt. In dieser Hinsicht kann allgemein jede Reihe, selbst eine solche, deren Glieder von einem bestimmten an durchgehends Null sind, und die, wie man sonst zu sagen pflegt, mit diesem Gliede ab bricht, wie dies z. B. bei den nach ganzen positiven Exponenten gebildeten Potenzen eines Binoms der Fall ist, als eine unendliche angesehen werden. Die Summe aller Glieder einer unendlichen Reihe läßt sich dlos dazumal als eine bestimmte (determinirte) Größe betrachten, Beg, Borles. I. Bd. 82 498 S iebentes Hauptstück. und behandeln, wenn sie von einer gewissen endlichen Größe um so weniger differirt, je mehr von ihren Gliedern summirt werden. Man nennt dann eine solche unendliche Reihe convergirend und jene fixe Größe die Grenze ihrer Summe oder wohl auch die Summe der Reihe selbst. Gibt es dagegen keine derlei endliche Grenze, so heißt die Reihe divergirend. Eine unendliche Reihe convergirt desto rascher, je weniger Anfangsglieder zu sum- miren sind, um die Summe der ganzen Reihe bis zu einem be¬ zeichneten Grade genau zu finden. Nur solche rasch convergirende Reihen sind zur wirklichen Berechnung der von ihnen dargestellten Größen brauchbar. Kennt man die von der Anzahl» der summirten Glieder ab¬ hängige Summenformel einer Reihe, so kann leicht entschieden werden, ob diese, falls man sie als unendlich ansehen würde, conver- gire und wie ihre Summe ausgedrü'ckt werde. Denn diese Summe wird die Grenze sein, der sich die Summenformel der Reihe bei der unendlichen Vergrößerung der Anzahl n ihrer Glieder ohne Ende nähert. Je nachdem daher, für n—«o, die Summenform endlich oder unendlich ausfällt, convergirt oder divergirt die zu untersuchende Reihe. Soz. B. divergirt die unendliche arithmetische Progression a, a-t-ck, a-t-2ck, ... .«-t-(n—l)ck, .... weil ihre Summe s -- -fürn--oc>, unendlich groß ausfällt. Bei der unendlichen geometrischen Progression «, ... er-"-*, etc. dagegen, deren Summenformel ist, hat man, um über ihre Convergenz absprechen zu können, auf den Quotienten - zu sehen. Ist so wächst (nach §. I2S) mit» zugleich ins Unendliche, also ist für auch «-c», und die Reihe divergirt- Selbst für ---l, wo «---a-j-cr-r-a-l-...wird, divergirt str- *) Man pflegt das unendliche Fortlaufen einer Reihe dadurch anzudeulen, daß man, sobald aus den ausgeschriebenen AnfangSgliedern derselbe" ihr Bildungsgesetz leicht entnommen werden kann, einige Punkte oder ein etc. schreibt. IV. Abschnitt. 4gg Nur wenn -—a,)...(a?—a»). Hiernach kann man auch jene Wurzelfactoren a?— und ro l, welche von einem Paare conjugirter imagi¬ närer Wurzeln /--t-,?!/—i und i herstammen, mein reelles quadratisches Product (s?—i) (^— — O—a.-"—vereinigen. V. Abschnitt. 801 1. Beispiel. Soll a-4—Ka^-i-iiL?—kw Factoren zer¬ legtwerden, so bestimmt man die Wurzeln der Gleichung n*—kn'-^-iin-—Sn—0, und da diese o, I, 2, »sind, so findet man jenes Polynom —n(n—-1) (n—2) O—z). 2. Beispiel. Istn^-^-2n^-b-2n^-t-nz,-t-n^—zn——Zz, in Factoren zu zerfallen, so wird die Gleichung n'-i-2 (zc-t-Dn*-^ »)n——o aufgelöst, und weil ihre Wurzelni, —sind, findet man den gegebenen Ausdruck — (n(n—i) (n-t-z/-t-3). Zerfällung rationaler gebrochener Functionen in Partialbrüche. §. »IS. Nach den für die Addition und Subtraction der Brüche (§. 87 und 88) erthcilten Vorschriften können auch mehrere ratio¬ nale gebrochene Functionen, sowohl allein als mit einer oder mit mehreren ganzen rationalen Functionen in eine einzige gebrochene Function zusammengezogen werden. Daraus leuchtet, wenigstens für einzelne Fälle, die Möglichkeit ein, umgekehrt eine gegebene rationale gebrochene Function in eine ganze rationale und in meh¬ rere gebrochene Functionen oder sogenannte Partialbrüche zu zerfallen, nemlich als die algebraische Summe dieser darzu- stellen. Bei dieser Aufgabe, welche uns gegenwärtig beschäftigen soll, bemerken wir zuvörderst, daß, weil der Nenner der algebraischen Summe mehrerer Brüche durch jeden ihrer Nenner theilbar ist, auch der Nenner eines jeden Partialbruches ein Factor des Nen¬ ners der zu zerlegenden gebrochenen Function sein muß, weßwe- gen vor allem Anderen dieser Nenner (nach §. 314) in seine Fac- torcn aufzulösen kommt. Überdies laßt sich leicht erkennen, daß die Aufgabe allgemein besehen, unbestimmt ist, theils, weil die An¬ zahl der zu suchenden Partialbrüche von 2 an ins Unbestimmte va- niren kann, theils, weil die Wurzelfactoren des Nenners aus un¬ zählig viele Weisen zu Nennern einer bestimmten Anzahl von Par- iialbrüchen verbunden werden können, theils endlich, weil selbst 502 Siebentes Hauptstück. - die bereits gefundenen Partialbrüche dadurch sich abändern lassen, daß man zu dem Zähler des einen eine beliebige ganze rationale Function algebraisch addirt, und den Betrag dieser Zugabe von einem anderen Bruche algebraisch subtrahirt. Die Ausgabe wird jedoch bestimmt, wenn die Anzahl der Par- t-albrüche, so festgcstellt wird, daß sie nur von 2 bis zu dem höchsten Exponenten des Nenners aufsteigen kann, und wenn man verlangt, daß die Nenner keiner zwei Partialbrüche einen gemeinschaftlichen Theiler besitzen, und daß der Zähler eines jeden Partialbruches von einem niedrigeren Grade als sein Nenner sei, oder kurz, daß die Partialbrüche echt gebrochene Functionen werden sollen; wobei nur noch zu bemerken kommt, daß zu den Partialbrüchen einer unecht gebrochenen Functionnocheine ganze rationale Func¬ tion, deren Dimension die des Nenners zu jener des Zählers ergänzt, sich gesellen müsse. Denn sei von einer gebrochenen rationalen Function em echter Partialbruch — , dessen Nenner mit keinem der übrigen einen gemeinschaftlichen Theiler besitzt, und sei die Summe aller übrigen Partialbrüche sammt der etwa vorhandenen ganzen Func¬ tion — ; so haben auch I» und S keinen gemeinschaftlichen Thei¬ ler. Wären nun die Brüche und nicht bestimmt, sondern ließen sich noch zwei andere Brüche und von denselben Nennern und v, aber von verschiedenen Zählernund ange¬ ben; so wäre n jv - H», lV " g — ' und hieraus ergäbe sich -- folglich auch —, -- - V. Abschnitt. 503 Da nun sowohl p als/,/, mithin auch ihre Differenz von niedrigerem Range als ist, so muß, selbst wenn man alle Theiler, welche und mit einander gemein haben sollten, beseitigen möchte,doch noch wenigstens ein linearer Factor von ? im Zähler übrig bleiben. Aus dem nemlichen Grunde muß auch in dem Zähler des zweiten Bruches mindestens ein linearer Factor von v stehen bleiben. Noch mehr solcher Factoren müßten in beiden Zählern übrig behalten werden, wenn die Nenner p—und - einen gemeinschaftlichen Theiler besäßen. Da aber ?und S, folglich auch die von ihnen stehen gebliebenen Factoren, keinen ge¬ meinschaftlichen Theiler besitzen; so könnte es offenbar Werthe von « geben, für welche entweder und mit ihm von den beiden, so weit als möglich an sich und gegenseitig abgekürzten, Brüchen der erste, nicht aber der zweite, oder für welche S und mit ihm der zweite Bruch, nicht aber der erste, auf Null reducirt würde; was mit der gefolgerten Gleichheit dieser Brüche für jeden Werth ihrer Veränderlichen im Widerspruche stände, und die Voraussetzung der Unbestimmtheit von und als unzulässig erklärt. Ist insbesondere der Nenner ? die einer --fachen Wurzel a der Gleichung äV—o entsprechende Potenz O—so läßt sich der Bruch , da man seinen Zähler ? (vermög §. 286) auf eine einzige Weise nach den Potenzen von a?— a mit constanten Coeffi- cienten entwickeln kann, in r- völlig bestimmte Partialbrüche von den Nennern a?—a, (n—a)?, (a?—a)^,... (a:-«)'-auflösen, deren Zähler nicht von a: abhängen. Man kann demnach für einen bezeichneten Factor des Nen¬ ners, wofern er mit den übrigen Factoren desselben keinen ge¬ meinschaftlichen Theiler besitzt, nur einen einzigen Partialbruch, dem er als Nenner dient, bestimmen, was für einen Weg man üb¬ rigens auch einschlagen möge. Hat man daher auf was immer für eine Weise diese Partialbrüche und allenfalls auch die noch zu ihnen gehörige ganze rationale Function gefunden; so muß ihre Summe der vorgelegten gebrochenen Function gleich sein. SOL . Siebente« Hauptstück. /><» /(a) (a?— a)^(L-) §. SI6. Um den Vorgang bei der Zerfä'llung rationaler gebrochener /^(27) Functionen in Partialbrüche kennen zu lernen, sei-^—-eine solche Function, und i) der Fall zu betrachten, wo der Nenner ^(27) das Pro¬ duct eines linearen Factors a und eines, durch diesen nicht theil- baren Factors ^>(27),nemlich ^(27)---(27—0)^(2?) ist. Multiplicirt man demnach den gegebenen Bruch , /(27) /^(27) 27—a, so wird (27—a) — — —7—, ' F(n) ^>(27) und wenn man dem zweiten Theile der Gleichung seinen für 27-a entfallenden speciellen Werth subtrahirt und wieder addirt, /"(27) /-(27) /-(a) /-(a) (27—a) ^7— — ———- — n -e- —oder auch ^(27) ^,(27) ^(a) ^-(a) . /"(«) . . ^>(a) ^>(27) Der Zähler des letzten Bruches ist eine ganze rationale Func¬ tion, welche für 27—a in Null übergeht, daher (nach 8- 288) durch n— a ohne Rest theilbar ist. Sei ch O) die aus dieser Thei- lung als Quotient entspringende ganze rationale Function, nemlich ^7^ ?(^) > — ch(2?) oder /"(.27) — —^^(L7)---(27-a)ij>(^)> P(a) 27—a so hat man . /(^) __ F(27) 2>(27) — <^(a) cf(L) folglich, wenn man wieder durch 27-a dividirt, /^(a) /(cv) /«(n) >x(a) ch(2?) F(27) (27—«)^>(27) 27—» P (27) V. Abschnitt. 58g 2) Kommt aber in dem Nenner F(a?) des zu zerlegenden Bruches eine Potenz eines linearen Factors vor, so daß Z'(-v) — O— und x(a?) durch w—a nicht ohne Rest theilbar ist; so hat man /O) — ff(^) I ^(27) (cr—a)"-» ' (M-a)P(cr) » E — * t ?(a) , (a.'——a y>(a7)) folglich /(.D) P(a) if>(-v) (a? a)^(a?) (2? a)'' (27—a)''—^(27) Besteht demnach der Nenner eines in Partialbrü'che aufzu- lvsenden Bruches aus irgend einer Potenz eines linearen Factors, (die erste mit einbegriffen), und aus einem zweiten durch ihn nicht theilbaren Factor; so findet man denjenigen Partialbruch, welcher diese Potenz des linearen Factors zum Nenner hat, wenn man dieselbe aus dem gegebenen Bruche hinweg läßt und in dem so abge- änderten Bruche für die Veränderliche denjenigen Werth setzt, bei welchem der wcggelassene Factor verschwindet. Subtrahirt man hierauf den gefundenen Partialbruch von dem gegebenen Bruche und kürzt im Reste Zahler und Nenner durch den linearen Factor ab, so erhalt man noch den ergänzenden Bruch, welcher selbst wie¬ der auf dieselbe Weise weiter zerlegt werden kann. Es läßt sich übrigens leicht begreifen, daß dieselbe Regel auch Anwendung findet, wenn die linearen Factoren die Form a-t-Sar besitzen, da a-t-ba,—SsL—(—^)^ ist. 8) Wiederholt man dieses Verfahren, entweder bei allen line¬ aren Factoren des Nenners oder an den nach und nach übrig blei¬ benden Brüchen; so findet man, nachdem man von der vorgeleg¬ ten gebrochenen Function allmälig sämmtliche Partialbrüchc abge¬ zogen hat, zum Reste entweder eine ganze rationale Function, wenn die zerfällte unecht; oder Null, wenn sie echt gebrochen ist. Im ersten Falle kann man diese ganze rationale Function, aber auch SOK Siebentes Hauptstück. finden, indem man noch vor dem Aufsuchen der Partialbrüche den Zahler der vorliegenden gebrochenen Function durch den Nenner so weit theilt, bis der Rest von geringerer Dimension als der Di¬ visor ist, wornach nur noch die dem Quotienten beizufügende echt gebrochene Function in Partialbrüche aufzulösen kommt. Endlich läßt sie sich, wie man mit geringer Mühe einsieht, auch noch fin¬ den, wenn man d'en zu zerlegenden Bruch durch diejenige Potenz der Veränderlichen dividirt, deren Exponent den Uberschuß der Di¬ mension des Zählers über jene des Nenners um i übersteigt, von dem so erhaltenen echten Bruche die den Potenzen der Veränderli¬ chen entsprechenden Partialbrüche sammt dem ergänzenden Bruche bestimmt und diese darnach wieder mit der vorher als Divisor ge¬ brauchten Potenz multiplicirt. i. Beispiel. Soll der Bruch zerlegt werden, dessen Nenner ---a?(a-t-ar) (a—a?) ist und der daher auch in der Form «-)' geschrieben werden kann, so wird man aus seinem Nenner einzeln die Factoren a?, a-t-a?, a— m weglassen und die sie annullirenden Werthe 0, — a, a, in den abgeänderten Brüchen I I L sa-j-a?)(o—' L (a — co) ' L(a-l-rr) setzen, woraus für die Zähler die Werthe i ii a- ' "" 2a- ' 2a- entspringen. Demnach ist i _ i 1 i i «-w—s(a-j-s)(a—a?) a-a? 2a^(a-t-cv) 2a-(a a-a?— in Partialbrüche zu zerlegen, so gibt die Division 2^—aa'b—2a-a?--t-a^-t-l I a-w— 2a?-t-a-b a-L—' V. Abschnitt. 807 daher nach dem i. Beispiele i i I — — 2a? -s- a -j—— —-. 2a^(a-»-a?) 2a^(a—a?) 2. Beispiel. Hat man den Bruch . > in Partialbrüche zu zerfallen, so ist der erste Partialbruch 3-t-I—2 I „ 2(a?-i)b" (^1)" '""° Ergänzung S^-t-a:—2 . I 2a^-<-a?—8 2a?-t-8 (a?—I)^(a?r-i-i) (a?— I) ^(a?—I)2(a?2-i-i)^(a?—i)r(^r^i) Hieraus findet man den zweiten Partialbruch 2-t-S 5_ " 2(a?—1)2 " 2^a?—I)^ ' ... .... 8a?2—4a?—I 8a?-»-l Md s-m- E-g-NjUNS °- z Daraus folgt der dritte Partialbruch —— , und die Ergänzung desselben 3a?—2 3a?—2 "" 2(a?2)^i) 2(a?-t-s/—I) (a?-s/—I) ' 3-2l/—1 3^-2l^—I oder in Partialbrüche aufgelöst 4(a?-t/—i) Demnach ist der vorgelegte Bruch gleich I 8 3 3 —2l/—I i 3^-2l/ —I (a?-i)-^2 (a?— I)- "2(a?—1) 4(a?-t-l/—1) t/—1) t'. Entwicklung gebrochener rationaler Functionen in Reihen. §. 317. Die Leichtigkeit, mit der sich die Werthe ganzer rationaler Functionen für bestimmte Werthe ihrer Veränderlichen berechnen lassen, trachtet man auch den übrigen Functionen dadurch zu ver¬ schaffen, daß man sie, wo möglich, in convergirende unendliche Reihen zu verwandeln oder zu entwickeln sucht, die nach den Potenzen der Veränderlichen fortlaufen. Gelingt dies, so nennt man die Reihe die Entwicklung der Function. 808 Siebente- Hauptstück. Ser nun „ , „—- eine gebrochene rationale Function, deren Zahler und Nenner entwe¬ der eine endliche oder eine unendliche Anzahl vonsteigend geordneten Potenzen der Veränderlichen enthält, und versuchen wir sie in eine convergirende Reihe zu entwickeln. Zu diesem Zwecke würde zwar weiter nichts als die ganz ge¬ wöhnliche Division auszusühren sein; um aber das Mdungsgesetz der Glieder des Quotienten augenfällig darzustellen, ist es von Vortheil, den Zähler und Nenner der gegebenen Bruchfunction durch das von a? freie Glied des Nenners zu dividiren, und in dem sich ergebenden Nenner von dem ersten Gliede, welches jederzeit i werden muß, alle folgenden mit veränderten Zeichen zu subtra- hiren. Nach dieser Vorbereitung haben wir es demnach nur noch mit gebrochenen Functionen von der Form ... zu thun. Theilen wir nun wirklich, so erscheint als erster Theil des Quotienten a», und wenn wir diesen, um ihn den folgenden Thei¬ len analog (ähnlich) zu bezeichnen, durch vg vorstellen, der Nest (al-t-öi<7g)L-i-(a2-t-S20g)a?2-t- (a» -t- Die zweite Division gibt, wenn wir a^-t-öivo—jetzen, den Quotienten und den Rest (a, -t- k,-, -t- ^0»)^ -l- (a, -t- ^04 -i- Sz0<>)a^ -k- ... Die dritte Division, bei der wirsr-t-b^i-l-dr^o—setzen, lie¬ fert den Quotienten §2^' und den Rest (a, («4 -t- br^r -t- -t- ' Setzen wir diese Operation fort, und nehmen dabei zur Ab¬ kürzung vr—ai-t-diSg kz —«r-^^40,---Ar^O e,—a» --- ä, o, -t- ör^i 't' ^»<^0 Vt—-t-btko k, — üz -i-Azvt -j- "t- özSr -l-ötSr -t- dg V. Abschnitt. sos so erhalten wir a„-t-aiL?-l-a2^-t-azLb-t-... , —77-1-7—r—7 — cg-t-0iS-t-0zL"-t-0za7^ -t-- - -, wofern der Quotient, eine convergirende Reihe ist, nemlich (nach §. »iS) der Zahlwerth der Grenze des Verhältnisses n kleiner als i ausfällt. Eine genauere Betrachtung obiger Division daß die Glieder des Quotienten und somit auch ihre Coefficienten ag,c,,c,,c,,... nach fol¬ gendem Gesetze gefunden werden. Sein erstes Glied ist das erste des Zählers. Das zweite Glied, welches die erste Potenz der Veränderlichen in sich schließt, wird gefunden, wenn man sein er¬ stes Glied mit dem ersten des subtractiven Theils des Nenners multiplicirt und zum Producte das zweite Glied des Zählers ad- dirt. Überhaupt wird jedes Glied des Quotienten erhalten, wenn man auf alle möglichen Weisen eines der schon berechneten Glieder des Quotienten mit einem solchen Gliede des subtractiven Theils im Nenner multiplicirt, damit in dem Producte jederzeit diejenige Potenz der Veränderlichen, welche das zu bestimmende Glied des Quotienten führen soll, vorkomme, und die Summe aller dieser Producte noch um das mit derselben Potenz der Veränderlichen begabte Glied des Zählers vermehrt. Hiebei kann man, um Ordnung im Rechnen zu halten, bei hen bereits bestimmten Gliedern des Quotienten vom letzten an zurück, dagegen bei jenen des subtractiven Theils des Nenners vom ersten an, vorwärts schreiten. Weil bei diesen Reihen jedes Glied aus den vorhergehenden berechnet wird, pflegt man dieselben vorzugsweise recurrirende (zurücklaufende) zu nennen, obgleich diese Benennung eigentlich allen, nach einem unveränderlichen Gesetze fortschreitenden Reihen zukäme, da, wenn durch die GleichungM^—/"(n) die Abhängigkeit des allgemeinen Gliedes von ausgesprochen wird, aus ihr und aus giner oder mehreren ihrer Folgerungen ""-l—I), /^("—2), Un-z—/(»—- - - bie Größe " nebst einer oder einigen Constanten auf verschiedene Weisen eli- s 1 8" I 8 " I 8 I S " Ik * I I 147 2 S ' Ik 147 256 128 " 256' I 1 1_ 1181 128 2 1024 2048 ' 1 S I 1 S 37827 . '128 "^ 16 1024 ^ 2 32768 ^ 65536 510 Siebente« Hauptstück. minirt und so die Abhängigkeit des Gliedes von seinen Vor¬ gängern ""-2, .... gefunden werden kann. Die Reihe der Coefficienten S,, »r, S»,.... des subtracti- ven Theils des Nenners nennt man die Relations-Skale und die allgemeine Gleichung 0"—. .. -s-btt—-j-b "6» das Bil d u n g s g e s etz der recurrirenden Reihe. I. Beispiel. Soll der Bruch 27 1.27- 13.27^ 1.3.5.27^ 2?2 2.4.2^ 2.4.6.2^ 2.4.6.8.2^ in eine recurrirende Reihe entwickelt werden, so ertheilt man ihm vorläufig die Form 1 i i , i . i , i i , i , I—(-27-s- -27?-27?-4» —-27 ....) 8 128 1024 32768 und findet nach und nach als seine Entwicklung die convergirende Reihe IS 147 , 1181 , 37827 , -27-t---27?-2? -t-27^.. . . . 2 16 256 2048 65536 indem man die Cofsicienten folgender Maßen berechnet. 1 i 2 2' 1 9 2 16 I 147 -"2 — 256 1 1181 2 2048 8 U. s. w. 2. Beispiel. ——^—3 gibt zunächst d —2-«-27-1-27^ durch—2 abgekürzt, ,^^ 777^ M ist daher V. Abschnitt. 511 m m(m-t-l)(m-t-2) -L -1- - s" —--av -.. I 1.2 1.2.S Daß nicht nur diese Anfangsglieder, sondern auch alle folgen¬ den nach dem leicht zu überschauenden Gesetze fortlaufen, läßt sich War fast mit Gewißheit aus dem Umstande erwarten, daß der Di¬ vidend nur 1 und der Divisor eine nach einem unveränderlichen besetze vorschreitende Reihe ist; allein völlig streng kann dies nur nachgewiesen werden, wenn man daS allgemeine Glied der recur- rirenden Reihe (nach §. 317) entwickelt. Dieses müssen wir jedoch wegen der Weitläufigkeit der hierauf Bezug nehmenden Untersu¬ chung und wegen der Beschränktheit des uns bemessenen Raumes unterlassen. 0. Binomischer Lehrsatz für jeden reellen Ex¬ ponenten. §. 818. Nach Anleitung des §. 2sa läßt sich die Potenz (l-t-w)", wofern der Exponent n ganz und Positivist, in eine geschlossene ganze rationale Function verwandeln, indem , n »O— I) „ n(n—I)(n—2) „ (I-t-w)"—I -t- -l--1-IH-' " gesunden wird und diese Reihe mit dem n-i-i ten Gliede abbricht. Es fragt sich nun aber auch, wie die Entwicklung dieser Potenz sich gestalte, wenn der Exponent in was immer für eine reelle, positive oder negative, ganze oder gebrochene, rationale oder ir¬ rationale Zahl übergeht. Sei demnach, um dies zu erforschen, erstens »zwar ganz, aber negativ, nemlich n——m, wenn m eine ganze positive Zahl andeutet; dann ist (i-t-w)"--(i-^2?)-'»--oder nach§. 25a _ 1_ M —I) . —I) (M—2) 1 — 2, --2>r -1---—- 1 1.2 1.2.3 Diese gebrochene rationale Function läßt sich (nach §- 317) in eine recurrirende unendliche Reihe verwandeln, und man erhält - L ^hxx nach dem Erwiesenen L 1.2 1.2.2 Zieht man nun die hier angezeigte Wurzel nach dem, am Schlüße von §.254 angedeuteten, Verfahren; so erhält man r e/ e r/» — ,-- , — w^-t—, i is i . s . r mithin wieder eine unendliche Reihe, die wegen des gesetzmäßigen Fortschreitens der Reihe, auS welcher die Wurzel gezogen wird, und wegen des ununterbrochen regelmäßigen Ganges der Wurzel- Extraction gleichfalls dem vor Augen liegenden Bildungsgesetze ge¬ horcht; wovon wir jedoch den strengen Beweis aus den Gründen, welche wir schon oben anführten, zu übergehen genöthigt, sind- Setzt man endlich noch — — n, so wird wieder r is I.2S Ist endlich drittens der Exponent er eine irrationale Zahl, so kann er immer als die Grenze angesehen werden, der sich eiu rationaler Bruch bei dem angemessenen unendlichen Wachsen des Zählers und Nenners ohne Ende nähert; dann haben aber auch 512 Siebentes Haupt stück. Setzen wir in der letzten Gleichung wieder m——n, so er¬ scheint selbst für einen negativen ganzzahligen Exponenten dieselbe Entwicklung , n r»(n—i) , n(n—i)(n—2) , (I-t-s)-----! -k- -l-" in welchem Falle jedoch die Reihe nicht, wie bei einem positiven ganzzahligen Exponenten, abbxicht, sondern ohne Ende fortlä'uft. Ist aber zweitens der Exponent n rational gebrochen, r übrigens positiv oder negativ, nemlich n — wofern L eine po¬ sitive, » aber eine positive oder negative ganze Zahl vorstellt; so hat man V. Abschnitt. SI» die Glieder im zweiten Theile der vorletzten Gleichung die gleich¬ vielten Glieder in der letzten Gleichung zu Grenzen und daher gilt auch diese. Die hier aufgestellte Entwicklung der Potenz (i-sia-)» in eine unendliche Reihe gilt demnach für alle reellen Werthe des Exponen¬ ten n, jedoch blos unter der Voraussetzung, daß sie convergire, was um so rascher geschehen wird, je tiefer der Zahlwerth von 27 unter I liegt. Setzt man in der letzten Gleichung n und multiplicirt sie mit a", so erfolgt . n , I) „ „ (a-t-S)"--«-- -t- -»- I 1.2 »(»-!)(»-2) „ , welche Gleichung der (für jeden reellen Exponenten n giltige) b si¬ nom i s ch e Lehrsatz genannt wird. Nach ihm kann nicht nur jedes Binom, sondern auch jedes Polynom, wenn cs vorher auf die bekannte Weise als ein Binom dargestellt worden ist, nach jedem reellen Exponenten potenzirt werden. §. »IS. I. Von den besonderen Anwendungen dieser Formel mögen folgende bemerkt werden. .... a? I.w? 1.3.2-3 I.S.8 2-4 " ——6— 2^ 2.4 «^ 2.4.S.a^ 2.4 « 8 «^ 12-1^12-3 8 2-4 ^"-^-2 « 8 «3 " 128 ,b 2- 2.2-^ 2.8.2-3 2.8.8.2-4 (a —z. g.g.„s —2 8 9.12 »" I 2' I 2'2 5 10 . s «2^9 a°^-8I a^ 24S a" Vega Vorles. I. Bd. da 25 i . --— — , und somit 3028 121 ' 1 1.25" 1.3.2^ 514 Siebentes Hauptstück. H. Daß man die beiden letzteren Reihen, vorzüglich, wenn sie rasch convergiren, nemlich, wenn oder sehr klein ist, zur Berechnung von zweiten und dritten Wurzeln aus ganzen positi¬ ven Zahlen verwenden könne und wie dies geschehe, wird aus der Auflösung folgenden Beisp ieles zur Genüge einleuchken. Soll i/30 mittels der vorletzten Reihe berechnet werden, so kann man 30 durch 25-1-5 oder durch 38—6 vorstellen. Das letz¬ tere ist zweckmäßiger, weil im ersten Falle n 5 1 . 6 I — — - -, mr anderen aber ist. rr^ 25 5 a) ' («I^a) 1.2.2 1.2.3.4 Anmerkung. Die Benennung »natürliche Logarith¬ men'^ dürfte sehr angemessen sein, da in der That diejenigen Lo¬ garithmen, auf welche die Erfinder derselben, Neper, ein Schotte, und Byrg, ein Deutscher, geriethen, mit den natürli¬ chen Logarithmen so genau, als es die, diesen Mathematikern zu Gebote gestandenen, minder vollkommenen Berechnungsweisen gestatteten, in den Ziffern Übereinkommen und (weil man sie so¬ wohl als auch die Zahlen, denen sie zugehören, so viel wie mög¬ lich als ganze Zahlen darzustellen suchte) blos in der Stellung des Decimalstrichcs oder im Vorzeichen von ihnen sich unterscheiden; was darauf hinweist, daß ihre Grundzahl von jener der natürli¬ chen Logarithmen nahe genug eine Potenz ist, welche zum Expo¬ nenten eine positive oder negative Decimal-Einheit besitzt. Schnei¬ det man nemlich von den Neper'schen Logarithmen und den Zah¬ len, denen sie angehören, 7 Decimalstellen ab, und nimmt die Logarithmen negativ, so werden sie natürliche; es ist nemlich 818 Siebentes Hauptstück. I lV irep lO^lV und lox nop äV—— io1^; folglich läßt sich K—°,oooonol für Neper's Grundzahl anschen. Schneidet man ferner von Byrg's Logarithmen 5, und von den Zahlen, de¬ nen sie zugehören, 8 Decimalstellen ab, so verwandeln sich seine Logarithmen in natürliche; nemlich es ist 1^— logchyrg itsslV tV und log b)-rg lV —10^ folglich kann man nahe für die Grundzahl von Byrg's Logarithmen betrachten. Um sowohl dieses als auch sonst noch cinzusehen, wie die Er¬ finder der Logarithmen auf die irrationale Grundzahl 2,7t828>8..., nicht aber auf die Grundzahl 10 gcriethen, welche wir (in§. 259), für so vortheilhaft erkannten, möge folgende Erläuterung dienen. Neper verglich die Glieder einer geometrischen Reihe K, a-, a-?, ..... . . . mit den gleichstelligen Gliedern einer arithmetischen Reihe », «-t-ä, «ck-2F, oe-l-Zä, . - . 7, - . . und nannte jedes Glied der arithmetischen Reihe den Logarithmen des gleichvielten Gliedes- der geometrischen; er setzte nemlich -r—log S. Diese Benennung gründete er darauf, daß einerseits das geometrische Verhältniß a-":« oder abgekürzt -".i das »fache des Verhältnisses «-.« oder und andererseits das arithme¬ tische Verhältniß (oe-t-nF)—« oder nF—v das »fache des Verhält¬ nisses (oe-t-ä)—« oder F—o ist, folglich oder vielmehr », als Zahl der Vervielfachung des Verhältnisses angesehen werden kann, wcßwegen er aus den Wörtern (Verhältniß) und (Zahl) das Wort Xo^-Lp-L-pw; (Zahl der Verhältnisse) zusammensetzte—Auf dieselbe Weise verglich auch Byrg, den man für den mit Neper gleichzeitigen Eindecker der Logarithmen halten kann, eine geometrische Reihe mit einer arithmetischen, nur ge¬ brauchte er nicht die Benennung »Logarithmen». Nach dem Obigen ist folglich und hier- V. Abschnitt. SIS l ssV aus Nun nahmen jedoch beide Gelehrten zum ersten Gliede ihrer arithmetischen Reihe Null, nemlich «-0, daher ist weil aber ""H ihnen 0 der Logarithme von er ist, daher ik—er mit ü zusammcngehört, und dieses auch mit der letzten Gleichung harmonirt; so kann man, nach unserer Erklärung von den Logarithmen (§. 288), immerhin die Grundzahl derNe- i per'schen und Byrg'schen Logarithmen A—setzen. Ferner wähl¬ ten sie, um in ihren geometrischen Reihen fast alle reellen positi¬ ven Zahlen zu erhalten, den Quotienten - nur wenig von der Einheit verschieden, nemlich y—i-t-v. Insbesondere wählte Byrg größer als t, folglich v positiv, Neper dagegen kleiner als I, mithin v negativ. Endlich nahmen beide für die Differenz S der arithmetischen Reihe eine ganze positive Zahl, welche mit dem Zahlwcrthe von v in den Ziffern, nicht aber in der Stellung des Decimalstriches übereinkommt, nemlich S—ffno'n, wobei das obere Zeichen auf Byrg's, das untere auf Neper's Logarithmen sich bezieht. Dadurch wird die Grundzahl // — (l -t- v) i -l- — l(i -t-„) lo»-. H^rte man nun n wirklich unendlich klein an- nehmen können, fo wäre (i-r-v)"—/r, folglich die Grundzahl --- - A--/r ro»- geworden. Weil man aber v nur sehr klein annehmen i konnte, so mußte auch nur beinahe die Grundzahl/»"w- wer¬ den. Insbesondere nahm Byrg (Arithmetische und Geometrische Progreß-Tabulen. Prag. ttz20) zum'ersten Glieds seiner geome¬ trischen Reihe er—looooooov und zum zweiten a-— loootoooo, daher den Quotienten i.ovvi und somit o,ov0t; ferner setzte er die Differenz der ariihnretischen Reihe 5—tv,also —it?v, so daß r----s wurde. Hiernach ist seine Grundzahl S20 Siebentes Hauptstück. i i -—((1,0001)°-°°°^"'"°"", oder wenn man (i,000i)O-o«->l —2,718146...-welches (nach §. 2SS) die Grundzahl der Byrg'-- schen Logarithmen wäre, wofern man von ihnen s, und von ihren Zahlen 8 Decimalstellen abschnitte, alS ein Näherungswerth von ä—2,7182818 . . . ansieht, beinahe Neper dagegen (iVIiriüci s^OAnritinnoruin (innonis Zescriptiv. ÜiciinburKi. !6I4) wählte zum ersten Gliede seiner geometrischen Reihe a—loooooos, zur zweiten «-—9999999, daher zum Quotienten -—O,9S9SSS9 —1—0,0000001, und sonach v——o,ooooooi; ferner zur Differenz seiner arithmetischen Reihe F— i, folglich ——io^ und n—7. So- >- IN —o ovooool mit ist seine Grundzahl-— 1,(1—0,000000i)-o,oovoooi^ _i oder wenn man die Zahl (l—o,000000 1—2,718281S7..., welche (nach §. 2S5) die Grundzahl der Nepcr'schen Logarithmen wäre, falls man dieselben negativ nähme und sowohl von ihnen als auch von den Zahlen 7 Decimalstellen abschnitte, als einen Nähe¬ rungswerts) von ä gelten läßt, nahe Übrigens mag noch bemerkt werden, daß einige Scbriftsteller selbst jetzt noch die natürlichen Logarithmen aus geometrischen Gründen hyperbolische nennen, obgleich die Unschicklichkeit dieser Benennung schon längst allgemein anerkannt ist. S. S22. I. Subtrahirt man von beiden Ehesten der Gleichung (4) (in §. S2i) die Zahl 1 und dividirt durch sr, so übergeht selbe in a*—1 . wda)? a^(ssta)^ ——— -j- -— « 2 2.2 Läßt man nun s? ohne Ende abnehmen, so reducirt sich diese Gleichung auf . 1 (S) I.a------ , woraus man ersieht, daß der natürliche Logarithme einer Zahl die Grenze ist, der sich das Verhältnis, - , bei der unendlichen Abnahme von w, ohne Ende nähert, und daß er demnach nähe- V. Abschnitt. 821 rungsweise berechnet werden könne, indem man aus der Zahl « immer höhere und höhere Wurzeln, etwa wiederholt die zweite Wurzel zieht, und den Uberschuß dieser Wurzel über die Einheit mit dem Wurzel-Exponenten multiplicirt. Zieht man aber aus irgend einer reellen positiven Zahl « all-- mälig höhere und höhere Wurzeln, so nähern sich diese immer mehr und mehr der Einheit, daher kann man jederzeit einen so großen end¬ lichen Wurzel-Exponenten er finden, daß i/a—i-x-« und der Zahl¬ werth von« schon kleiner als i ausfällt; wornach « —(i-l-2)" sein wird. Setzt man nun in der Gleichung (5) « — (1-^-2)", (I —I so übergeht sie in erl^d-t-L)-- ---, —1 folglich ist L (i -t-L) --- oder wenn (i-t-L)"- nach dem binomischen Lehrsätze entwickelt wird, I, (i --- s -l-' - s- (na?—I) (na?—2) _ -4-2^ 2.3 (na?—t) (na?—2) (na?—3) -4-.---L" -l- - - - 2.3.4 Da jedoch in dieser Gleichung a? unendlich klein und n endlich vorausgesetzt ist, so hat man eigentlich («) - - - - Die hier vorkommende Reihe convergirt (nach §. 313) sicher, wenn der Zahlwerth von -r-, wie hier vorausgesetzt wurde, kleiner als i ist, und eignet sich daher zur Berechnung natürlicher Loga¬ rithmen. II. Wählt man gegenwärtig eine beliebige Zahl n zur Grund¬ zahl eines logarithmischen Systems, welches wir durch Vorsehung der Cylbe bezeichnen wollen, so ist (nach §. 27t) (l-l-2) — -I-») oder wenn man der Kürze wegen S22 Siebentes Haupt stück. setzt, I,oz,(I-i-s)—^(I-1-s), nemli'ch (8) I^Ossd 4--)-d(L —— Diese Zahl d — , womit die natürlichen Logarithmen zu multipliciren sind, um in Logarithmen desjenigen Systems, dessen Grundzahl o ist, verwandelt zu werden, nennt man den Modul des letztem Systems oder der Grundzahl«. Da überdies mitRü'cksicht auf die Gleichung (s) (9) — I ist, so leuchtet ein, daß der Modul des logarithmischen Systems welches zur Grundzahl « hat, die Grenze ist, der sich bei dem unend¬ lichen Abnehmen von das Verhältniß ohne Ende nähert, weßwegen er blos von der Grundzahl « allein abhängt. Daß übri- a? I gens für a— /r der Modul i werde, ist aus -4—^ klar. III. Aus der Gleichung (8) lassen sich noch andere, mehr convergirende und für die Berechnung von Logarithmen brauch¬ barere Reihen ableiten. Zu diesem Zwecke setzen wir in ihr statt s, wodurch I I I (I—s) —.4 (—L— - -) erhalten wird, welche Gleichung von (8) subtrahirt die Gleichung I-r-B 111 (10) d — «3-t- -l- übrig läßt. Die hier vorkommende Reihe bietet bereits den Vo>- theil, daß alle ihre Glieder einerlei Vorzeichen besitzen und, sobald L ein kleiner echter Bruch ist, rasch convergiren. Setzt man dem¬ nach indem man rr>i supponirt, so erfolgt ./11 i > (11) Vrr V. Abschnitt. 52S Um mit Hilfe dieser Reihe die Logarithmen aller ganzen Zahlen berechnen zu können, wozu es genügt, auf diesem Wege nur jene der Primzahlen zu suchen, weil aus ihnen die der zusam¬ mengesetzten Zahlen durch Addition leicht berechnet werden können, »4-1 w w-I-r, setze man -----.also»—-; dadurch wird (12) DoA— — 2-4-4- X- ) 4- -s ——- ) 4-'- ' Da diese Gleichung auch noch die Gestalt (13) I^ogw-I^OM4-2.4-4--I-) 4---- anzunehmen vermag, so gibt sie auch Anleitung, wie man aus dem Logarithmen einer Zahl jenen einer größeren Zahl berech¬ nen könne; zugleich ist sie die unerschöpfliche Quelle von anderen weit mehr convergirenden Reihen, deren Kenntniß jedoch gegen¬ wärtig, wo die erforderlichen Logarithmentafeln bereits berechnet sind, keinen erheblichen Nutzen darbietet. Deßwcgen soll nur noch bemerkt werden, daß man mittels der vorstehenden Reihen I^ox not 10-2,3025851..., folglich den Modul des Briggischen Systems — ——-— 0,4342345... findet. ' luOgrmtIO ' IV. Nimmt man in der Gleichung (13) die Zahl w um eine die Einheit nicht übersteigende Zahl v größer als z/, nemlichw—z?4-v a?— r, v / r>>2 / an, so wird " 2-/ '' folglich I.ox (-/4-u)--1.0^4-24^-^) 4-(l4-^)(A ' Ist nun die Zahl ?/ so groß, daß schon das zweite Glied 24. —4;^2 auf zu bestimmende Decimalziffer des Logarithmen keinen Einfluß mehr nimmt, so hat man äußerst nahe , 4 I-o§ (N-1-V)—DiOxz/—- v, S24 Siebentes Hauptstück. ja sogar für v---i auch noch ^4 (z/ck-l)— Aus diesen zwei Gleichungen folgt Lox (z/-t-v)—I^oxr/-vLoA daher auch I.VA (z/ck-I)—I^oxr/z, wodurch die in §. 263 erörterte Verwendung der logarithmischen Proportionaltheile begründet ist. 1?. Umkehrung der Reihen. §. 323. I. Ist eine Potenz einer veränderlichen Größe zr durch eine unendliche, nach Potenzen einer anderen Veränderlichen ar fortlau¬ fende, convergente Reihe ausgedrückt, und will man umgekehrt eine Potenz der letzteren Veränderlichen ar durch eine unendliche conver- girende Reihe der ersteren r, ausdrücken; so heißt dieses Problem die Umkehrung der Reihen und kann auf folgende Weise gelöst werden. Seien ar und z, durch die Gleichung verbunden, in welcher der Exponent »r von Null verschieden sein, folglich kein constantes Glied vorkommen soll; und man suche die Potenz ar' durch ex auszudrücken. Zur Vereinfachung der Auflösung dieser Aufgabe setze man i ar"*—rr, also ar— ferner, nachdem man die vorliegende Beztt-' hungsgleichung durch getheilt hat, ^4? — —v, —«i, —«2, - - - -«0 -"0 und endlich ; dadurch wird Um die Ausgabe aufzulösen, wird cs hinreichen, wo möglich/ zuerst rr durch v auszudrücken, weil dann die Potenz ar' oder er V. Abschnitt. S2S leicht durch r>, folglich wegen v— , auch durch zc ausgedrückt werden kann. Zu diesem Zwecke schreiben wir die letzte Gleichung in der Form v— u(l und. bestimmen hieraus i U —v -'---;--n I -t-aiU^-I-aTU^-l-azU^-l- ... Setzen wir noch zur ferneren Vereinfachung ro, so haben i Wir U—V-' ... Entwickeln wir den letzten Bruch (nach §. 217) in eine uw- endliche Reihe, so erhalten wir wo die Coessicienten «l, °c"i, ... aus den bekannten «i, «r, a,, . . . ohne Schwierigkeit berechnet werden können. Setzen wir ferner den letzteren Ausdruck von u in die Gleichung ro—, so ergibt sich > - ch'' oder, da die letzte Potenz nach dem binomischen Lehrsätze (§> 218) entwickelt die Function I -t- ftw -1--I- . .. darbietet, in welcher die Coessicienten gi, gr, s>3, - - - durchge¬ hends bekannte Ausdrücke sind, w —-). Nun ist nach dem Obigen oder wenn wir für den ersten Factor rs seinen Ausdruck schreiben, und nach verrichteter Multiplikation -i-«2«' -i-^2«^ -i- 2«'^ -t- .. .) oder u —. - ). Setzen wir auch hierin an die Stelle des ersten Factors ro sei Nen Ausdruck, so erhalten wir -t-v 1*^(1 also 526 Siebentes Hauptstück. oder nach vollbrachter Multiplikation Wiederholen wir dieses Verfahren so weit als nöthig, so finden wir als Resultat der Umkehrung der Reihe v—re-i-«zre"''-i-K2re^'-_i_Kzre"^-j-a4re^^^- i Um noch«- zu bestimmen, erwäge man, daß «—u", mithin — r ex-—rem, oder, wenn man — — - setzt, «-—re? ist. Hiernach fin¬ det man «-'—. . . )? oder —- - - )? oder, wenn man diese Potenz nach dem binomischen Lehrsätze (§. St8) entwickelt, nemlich Schreibt man hierin für v, r' ihre Ausdrücke und » I Dl Dr , La, Ll, L-, Lz,. - . statt so hat man endlich die verlangte Potenz «--La---- -t-Li!/"- -t-LzZ/"- -t-'"' wo nur noch (nach §. 313) die Convergenz der gefundenen unend¬ lichen Reihe zu untersuchen ist. II. Um das hier in Anwendung gebrachte Rechnungsverfahrcn durch ein Beispiel zu erläutern, soll die Reihe 2 ^2.3 2.3.4 umgekehrt und « durch z, ausgedrückt werden. Hier ist I 1 -H— — —^— - -H-» - - 2 2 . 3 2 . 3.4 « ar? «s 2 2^3 2.3.4 V. Abschnitt. 527 oder wenn die gebrochene Function in eine Reihe entwickelt wird, 11 1 Daraus folgt , I I " 2 12 man für den ersten Faktor „ 1 (1—2 2, * * ^"720^' ' ' oder wenn « seinen Ausdruck schreibt, 12 2^12'^ 720'^' ro—vv"-4- V^a?( " a? -t- —-a?"... ) - ^2^ Vz 12 I8Ü / Hieraus findet man wieder E—»—--a^".-.) ( a? -I—) 2^ 2 12 > 3 12 180 > I 1 , . 1 3 oder a?— v-v? -l-- r^-1-A a? (—--t-na?-)- 2^3 4 40 Die hinreichend ausgedehnte Fortsetzung der Rechnung gibt endlich «---z, — welche Reihe sicher convergirt, wenn der Zahlwerth von z, kleiner als i ist. Bei diesem Beispiele kann man sich leicht von der Nichtigkeit des Resultates überzeugen. Setzt man nemlich in der Glei-- chMg (3), (§. 321) a?-i- - -I-— so verwandelt sie sich in i -s-z,, folglich ist ro--D,(l oder nach §. 322, Gleichung (K) Hl. Enthält die umzukehrende Reihe ein constantes Glied, ist nemlich in der vorgelegten Gleichung m—o, folglich S28 Siebentes Hauptstück. so hat man r/t—-l-- - - > oder wenn man -s setzt, wo die Umkehrung nach der früher beschriebenen Weise ausgeführt werden kann. VI. Abschnitt. Methode der unbestimmten Coefficienten. §. S24. I. Soll eine in der endlichen Form auftretende Function einer Veränderlichen für jeden zwischen zwei be¬ stimmten Grenzen «und st liegenden rccllenWerth ihrer Veränderlichen, ohne daß eines ihrer Glie¬ der unendlich groß ausfällt, verschwinden; so wüch¬ sen ihre sämmtlichen Co efficienten ^4, L, tch . - K Null sein. Besicht nemlich die Gleichung für alle zwischen w—« und L—st liegenden reellen Werthe von so ist ^l-o, L^o, L'---cr, . . . M-o. Denn wollte man die Richtigkeit dieser Behauptung nicht zu¬ gestehen, so sei die Anzahl der Glieder der zu betrachtenden Function. Nun könnte man in der bestehenden Gleichung für die Variable w gewiß immer verschiedene, von einander völlig unab- hängige, zwischen « und st liegende Werthe von der Beschasfenheit setzen, daß keine dor so gewonnenen Gleichungen eine Folge einer anderen ist. Aus diesen Gleichungen ließen sich aber die nur in der ersten Potenz verkommenden r- Coefficienten ^4, , t), - > durch jene gewählten -- Werthe von w bestimmen und die für sie gefundenen Ausdrücke in die supponirte Gleichung einführen. Könnten nun einige oder alle diese Coefficienten von Null verschie¬ den ausfallen; so müßte die so modisicirte Gleichung auch noch VI. Abschnitt. S2S für jeden der unzähligen übrigen, zwischen c» und D gelegenen, Werthe von L- Statt finden und folglich eine Abhängigkeit jedes solchen Werthes von den früher substituirten r- Werthen mit Be¬ stimmtheit zu erkennen geben, welche Abhängigkeit jedoch schlech¬ terdings undenkbar und ungereimt ist, weil sämmtliche zwischen c» und jZ liegenden Werthe von w der Gleichung Genüge leisten sollen, mithin nicht von einander abhängig sein können. Werden dagegen alle Coefficienten ohne Ausnahme gleich Null, so tritt keine solche Ungereimtheit ein, folglich kann nur dieser Fall Statt finden. II. Da dieser Satz nothwendig für jede noch so große Anzahl von Gliedern der Function "-i-bewiesen ist, so läßt sich seine Giltigkeit auch dann noch zugestehen, wenn diese Function aus unendlich viel Gliedern besteht oder eine un¬ endliche Reihe ist, und die Veränderliche falls diese Function insbesondere ganz, also keiner der Exponenten s, ü, e, ... ne¬ gativ wäre, alle reellen Werthe von —02 bis -1-22 anzunehmen vermag. Gilt nemlich die Gleichung deren erster Lheil eine ganze Function ist, für alle möglichen Werthe von so hat man stets ^-0, L-O, . . . §. 825. !. Sind zwei ganze Functionen, in denen die nach einander folgenden Potenzen der veränderli¬ chen Größe dieselben Exponenten besitzen, füralle reellen Werthe dieser Veränderlichen gleich; so müssen die Coefficienten der glcichhohen Poten¬ zen beider Functionen gleich sein. Ist nemlich für alle möglichen Werthe von w so hat man .4—«, L—sZ, C—. - Denn dieser Gleichung läßt sich die Form V.g« Lories- l- Bd. 24 53V Siebentes Hauptstück. rrtheilen, in welcher sie (vermög §. S24, I.) nur für -4 —0, />'—^—9, <7—^-9, . . .- nemlich für^i--«, L--/Z, . . . bestehen kann. I I. Auf diesen Satz gründet sich diejenige Verwandlungsweise der Functionen einer Veränderlichen, welche die M eth ode der un¬ bestimmten Coefficienten heißt. Diese besteht dem Wesent¬ lichen nach darin, daß man die zu verwandelnde Function einer anderen Function von gewählter Form, gewöhnlich einer nach den Potenzen der Variablen, meistens steigend, geordneten unendlichen Reihe gleich stellt, in dieser die vorkommenden unveränderlichen Coefficienten vorerst als unbekannt oder unbestimmt ansieht und nachher dadurch berechnet, daß man auf cigenthümliche Weisen, die jedoch nicht auf völlig bestimmte Regeln zurückgeführt werden können, zwei gleiche ganze Functionen derselben Veränderlichen aufzustellcn sucht, sofort die Coefficienten der in ihnen erscheinen¬ den gleichhohen Potenzen der Veränderlichen einander gleich setzt und aus diesen Gleichungen die in ihnen stehenden noch unbe¬ stimmten Coefficienten ermittelt. III. Sollteaber die vorgclegteFunction sich nicht aufdiewill- kürlich gewählte Form zurückführcn lassen, so wird dieses daraus erkannt, daß man bei Berechnung der unbestimmten Coefficienten aufWidersprüche stößt. Da man jedoch umgekehrt, wenn diese Cocffi- cienten ohne Ungereimtheit sich bestimmen lassen, nicht immer mit voller Sicherheit behaupten kann, daß die gegebene Function die ihr zugedachte Form anzunehmen vermag; so ist es erforderlich, die Zulässigkeit dieser Form auf eine, von der cinzuleitenden Rech¬ nung unabhängige, Weise in vorhinein nachzuweisen, weil nur da¬ durch jeder weitere Zweifel sich beseitigen läßt. Um wenigstens in einigen von jenen Fällen, wo die gegebene Function in eine un¬ endliche Reihe aufgelöst werden soll, diese Form schon voraus mit Bestimmtheit angeben zu können, dient folgender Lehrsatz. Werden zwei oder mehrere Functionen von der Form , wo das von a? unab¬ hängige Glied ^4 von Null verschieden und » reell ist, entweder zu einander addirt, oder von einander subtrahirt, oder mit einander multiplicirt, oder wird eine solche Function durch eine zweite divi- Vl. Abschnitt. 53 t dirt, oder nach einem ganzen positiven Exponenten potenzirt, oder zieht man aus ihr eine durch einen ganzzahligen Exponenten angedeutcte Wurzel, oder erhebt man sic zu einer von was immer für einem reellen rationalen oder irrationalen Expo¬ nenten angegebenen Potenz, so erhält man jeder¬ zeit wieder eine eben so gestaltete Function zum Re sultate. Die Richtigkeit dieses Satzes erhellet aus der unmittelbaren Ausführung und dem ununterbrochen gesetzmäßigen Fortschrciten der angeführten Operationen und läßt sich zu leicht Nachweisen, als daß dies nicht dem Leser selbst überlassen bleiben sollte. §. 326. Schreiten wir nun zur Anwendung der Methode der unbestimmten Coefficienten und nehmen wir zum ersten Probleme I. die Bestimmung der Partialbrüche gebroche¬ ner Functionen. Nach den in §. 3t5 gepflogenen Untersuchun¬ gen läßt sich die Form der Partialbrüche einer gebrochenen Func¬ tion bestimmt angeben. Man wählt ncmlich zu Nennern der Par- tialbrüche die Factoren des Nenners des zu zerlegenden Bruches so, daß kein Nenner eines Partialbruchcs mit jenen der übrigen einen gemeinschaftlichen Theiler habe; zum Zähler eines jeden ein¬ zelnen Partialbruchcs aber schreibt man eine ganze rationale mit unbestimmten Eoefficienten ausgcstattete Function, deren Dimen¬ sion nur um i geringer als die ihres Nenners ist; endlich schreibt man, falls die zu zerlegende gebrochene Function unecht wäre, zu sämmtlichen Partialbrüchen noch eine ganze rationale Function bei, deren Dimension jene des Nenners zur Dimension des Zählers ergänzt. Bringt man nun aus der Gleichung, welche in dem einen Thcile die zu zerlegende gebrochene Function und in dem andern alle ihre Partialbrüche sammt der ganzen Function enthält, die Nenner durch Multiplikation hinweg; so gelangt man jeden Falls zur Gleichheit zweier ganzer rationaler Functionen, aus welcher sich die zur Ermittlung der noch unbestimmten Eoefficienten erfor¬ derlichen Gleichungen folgern lassen. Da in diesen Gleichungen kei- 34 * 532 Siebente« Hauptstück- ner dieser Coefficienten mit einem Ändern multiplicirt wird, so kön¬ nen diese Coefficienten und somit auch die verlangten Partialbn'iche leicht gefunden werden. i. Beispiel. Hat man den Bruch in Partial- bn'lche aufzulösen, so setze man I I ^4 L 0 - . — —--_, w(a— a?) (a-i-L) L? a—w «-t-« und beseitige die Nenner, wodurch man I—^4(a—L?) oder — folglich L-t-e—0, —^1-t-ü—0, und somit ^2 > e-- — 2^ erhält. ^arnach ist —^.s — «2^ 2«r^—2a^(a-t-^) 2. Beispiel. Der Bruch --'werde m Partialbrüche zerlegt. Hier setzt man a^L!—a? «—a-t-a? folglich hat man I —a? -t- 2a^a? -t-co-—2a?^—-I- (aL -t-a t7-t- a^0) -v-l- (—^4-t-S- (a-F'- und hieraus a^—I, 2a^—1, —^4-b-L— a'I'—0—0, L—0, ^—2. , Diese Gleichungen geben -I--s , c-- 0-,-.,°-»^--^ «r 2a^ 2»? und somit ist ' I—L?-t-2a^L-t-a?"—2w^ 1 1—a-t-—1)^2 («—i)^2(a?—1)^ 2(a?^-t-l)' somit durchgehends dieselben Resultate wie in §. SIS. II. Die Entwicklung gebrochener rationaler Functionen in recurrente Reihen wird, nach der Me¬ thode der unbestimmten Coefficienten, wie folgt, ausgeführt. Soll die Function '— in eine unendliche Reihe umgestaltet werden, so besitzt diese (nach §. S25, II.) die Form , sodaß gesetzt werden darf. Schafft man nun den Nenner weg, so wird ---LgL'o-l-Lgt'i Lv-t-LgL'z^-t-Lg t'z -I-Lie« -I-L2t7o -^«2^1 2?^ -t- . -t-L-c-a und hieraus findet man zur Bestimmung der Coefficienten 6„, 6r, t7z,- - - die Gleichungen Ito 60 — .tj, -1-6,6o—-4, -t-6, 6, -t-I^bu— «0 6z -<-6, <72 -1-626, -t- 6z6ü -^1- u. s. w. III. Dste Entwicklung der Potenz (1-i-a?)" läßt sich für jeden reellen Exponenten » mit Hilfe unbestimmter Cocffic:enttn auf folgende Weise finden. Vermög §. S25 II- ist man berechtigt, zu setzen. Das hier vorkommende unveränderliche Glied -4u laßt 231 Siebentes Hauptstück. sich sehr leicht durch den Umstand bestimmen, daß für co—g die Po¬ tenz (i-k-a?)" in i" oder i, die angenommene Reihe aber in übergeht, wornach ^g —i sein muß. Dadurch wird Zur Bestimmung des Coefficientcn ^4i subtrahiren wir beider¬ seits i und dividiren durch a?; dies gibt Lassen wir nun in dieser Gleichung a? unendlich klein oder auch dcull werden, so reducirt sich ihr zweiter Theil auf folglich ist der Werth des Verhältnisses — —- für einen unendlich kleinen Werth von a? oder für 27—o. Um aber unter dieser Voraussetzung den Werth dieses Verhält¬ nisses zu finden, sei zuerst n eine ganze positive Zahl; dann gibt (nach §.ik9,i.) die Theilung von (i^-w)"— i oder von l (l-t-27) — Illi (I -1-^) --- l-^ (1-^27) 2^. (i durch cr oder (i^)—i den Quotienten (1-l-a?) '-t- (1-b- a7) "-2-^.(I 2^. d^.«,) -l-1, welcher für 27-0 in i-i-i-j-i^... .-j-i-^.i-t-i oder-r übergeht. Mithin hat man, wenn a7^g wird, -— 7r, so lange n ganz und po¬ sitiv ist. Besitzt aber n einen negativen ganzzahligen Werth m, ist nemlich n——r?r, so wird I (I-t-a7)-"--i i— (i-^-a?)"- n — cr — cr(l-j-L7)"- I (l-t-a?)"-—i (l-t-a7)'-- ' ss ' Da nun für der erste Factor des letzten Ausbruches —-t, der zweite aber m wird, so ist für n -- o, das VerlMniß (I-t-a?)"—I g. -- oder —n, wie vorher. Stellt ferner n einen rationalen Bruch s vor, in wel¬ chem k nur xine positive, r aber eine positive oder negative ganss Zahl ist, so wird V!. Abschnitt. 533 _ (l-s-27)"-I (I 1 —1 Ü7 L S L Da nun immerhin i-i-», also i-t-ro—(i-i-»^ und L —i gesetzt werden kann, so hat man (I-i-n)"—1 l °d» auch -- c--^-»'-> Allein für a?-o wird auch »—o, und für diesen Werth redu- cirt sich im letzten Verhältnisse der Vorsatz aufr, der Nachsatz auf —I r , folglich ist für L — 0 das Verhältniß --- — oder ebenfalls wie früher.- Ist endlich der Exponent »irratio¬ nal, so dient er dem rationalen Bruche - bei dem unendlichen Wach¬ sen des Nenners L und des Zählers r als Grenze, folglich hat auch ln diesem Falle sdas Verhältniß -bei der unendlichen Abnahme von a? zur Grenze den Exponenten ». Es ist demnach für a)—g bei jedem reellen Exponenten daher auch und sonach (l-l-w)"—-- - - Stellt NUN r? eine von a? völlig unabhängige Veränderliche vor, so erhält man auf die ncmliche Weise Multiplicirt man die letztere Gleichung mit (i-t--)", so über¬ geht sie in (i-t-L) »(l-l-a?) "i/4---I2 (1-t-a?) - Mein der erste Theil dieser Gleichung ist auch --b(l(i-l-x) lll(i" — ci-l-a?(l -> 536 Siebente« Hauptstück. oder, wenn man in dem Ausdrucke von (l-t-w)" anstatt 2 die Größe w(i v) setzt, hat man 2? oder ln— -t-S^z 2^2—n(n—r) 8-4z — (er—2)^r (er—S)^s --I-t-erae(l -I-z,)-l-^2^(l - -4- » j -»-2^2 —er-^-erer27-j-er^2^^-I-n^1za7^... Berücksichtigt man nunmehr die Veränderlichkeit von a?, so erhält man hieraus die Gleichungen 2-4,-1-n — erer S^z-4-2^2—er^r 3-4z —n ^3 (I-^ae)"(i-i-z,)"--ti ^(i -' -^^r(i -1-.-z,)-.,-^--4^"-(i - Entwickelt man nunmehr die im letzten Ausdrucke befindlichen Potenzen von i -t- z, nach dem Muster der für (i-l-^)" aus¬ gestellten Entwicklung, und ordnet man den ganzen Ausdruck nach N, so erfolgt (I -l-n) " (I - — I -t-rr^ ->-... -t--4^«"- — -4--(l -l-2?) (n -I-2-4,2? -4-^(I-l-a?)2(^^-)_,- Vergleicht man gegenwärtig die für (i-i-n)'-(i^r/)'-gewon¬ nenen zwei Ausdrücke, in so fern man vorerst blos r, als veränder¬ lich, folglich die von ihr unabhängige Größe 2? als constant an¬ sieht ; so liefert die Gleichstellung der Coefficienten von l/ chic Gleichung (l —er(I -I-a?)" oder, wenn man im ersten Lheile die Multiplication verrichtet und im zweiten für (i-l-n)-- seine Entwicklung schreibt, n-t-2-42!2?-t-s-4z!a?2-^4^!^s^- (m—n.4, 537 folglich .2.3 1-2' "" 1.2.3 I)(-r—2) (»—3) ^4---- VI. Abschnitt. -N(n-I) n(»—!)(»—2) -"r— 4z- 1 . 2 . 3.4 . - . »(»—!)(»—2) . und allgemein — (N—M-t-l) 1.2.3. . . i, M Substituirt man diese Ausdrücke, so ergibt sich die bekannte Formel K m(n—1) . ^(rr—i) (rr-2) (1^)----!^ - -A_—- -r (-r—i) (tt—2)... (»r—M-j-l) ... 1.2.3.... M IV. Entwicklung der Exponentialgrößen in Reihen. Soll die Exponentielle mit Hilfe der Methode -der unbestimmten Coefficienten in eine unendliche Reihe aufgelöst wer¬ den, so supponiren wir die Zulässigkeit folgender Gleichung welche für wo a°—i wird, nur bestehen kann, wenn ^o—i ist, weßwegcn I4-2I1 ^4-^2^ ^4-^Za^-4-... 4-2ln-o"4"' * 4 sein muß. Vertauschen wir hierin die Veränderliche a? mit der von ihr ganz unabhängigen Variablen so erhalten wir a-' — I4-^i//4-'1r^"4-^z-^4- Das Product dieser zwei Gleichungen ist ... 4--4ncv"4-... (I 4-^1, *4--t"N^4-...) ...)-1-... Schreiben wir jedoch in obiger Entwicklung von die Sum¬ me «4-r/ statt ro, so erscheint ---I4-Ai (a?4--/) -I- Ar(L-i--/)4- (« 4- Z/) ^4- - > - ...4-^(^4^)"-1-.-- oder, wenn wir die hier vorkommenden Potenzen von L-4-.v nach dem binomischen Lehrsätze entwickeln und die Glieder nach - ordnen, -»-z/(Aii-i-2^lAr-»-3-4za^-i- ... 4-»^,,«"-^4-) -t-«/-(^24-...)-,-... S38 S i eb ente s H a u ptstü ck. Vergleichen wir nun diese zwei Ausdrücke von und nehmen dabei blos auf die Veränderlichkeit von ze Rücksicht, indem wir vor der Hand a,- als unveränderlich betrachten, so liefert die Gleichhaltung der Coefficienten von die Gleichung —... —. -1-^1 -'-4-- aus welcher, wenn wir nunmehr die Veränderlichkeit von w cintre- folgen. Dem bisher Gefundenen gemäß ist also und somit nur noch der Werth von zu bestimmen. L Zu diesem Zwecke setzen wir folglich s durch verwandelt sich die letzte Gleichung in — «Z »4 Wird hierin insbesondere s— i, so ergibt.sich — ii l 1.2^1.2.3^1.2.34 in welcher Gleichung (nach §. 32i) der zweite Theil nichts ande¬ res als die von uns mit L bezeichnete Zahl 2,7182818 . . - welche den natürlichen Logarithmen als Basis dient, weswegen und mithin ist. Substituiren wir noch für diesen Werth I>a, so folgt endlich (s-I a) (L-I.K) _ s?2 ^j.2.3 ^I.2.S.L VI. Abschnitt. 7SS V. Entwicklung der Logarithmen in Reihen. Soll in einem logarithmischen Systeme, dessen Grundzahl a ist, und dessen Logarithmen wir durch Vorsetzung der Sylbe bezeichnen werden, der Logarithme des Binoms 14-w in eine unendliche Reihe entwickelt werden; so nehme man an, es könne diese Reihe, weil sie für E—o, eben so wie I^o§(i4-a?), verschwin¬ den muß, die Form - - besitzen, folglich die Gleichung (I-s-a?) -4-.4^w"4- - bestehen. Ersetzt man hierin die Veränderliche w durch eine von ihr ganz independente Variable z?, so muß auch Löss (14-!/) —... somit, wenn man beide Gleichungen addirt, ^0§(l4-a?) 4-I^OK (l-t-r/) —- -- 4-d«a.-"4-... 4-4-^2.^4- ... sein. Es ist jedoch auch (L 4- a?) 4-I,ox (14-^) — (I4-a?) (14-r/) t - I4^ar — tl4-a?4-(l4-N7)^ — tl4-a-(l4- r/)g, und wenn man in der für (14-^) aufgestellten Entwicklung ^(l4-^^r/) statt schreibt, (l-j-cr)-i-LtOss 1-^2? r/)^4-. > .4-^--n"(I 4- ' - - oder endlich, wenn man die im zweiten Theile der Gleichung ver¬ kommenden Potenzen entwickelt, und alles nach ordnet, k.OA (44-w)4-I^0ss (14-?/) —^i-i'4-42«^4--tz.V4-... 4-^a?" 4-^(14-ro) (^l4-2^2N-i-34zM"4- - - - 4-rrdnw"-^4-- ) 4-N2(l-j-^)2(42-i- .--) 4- Hältman diese zwei Ausdrücke von 1.0^ (i 4-^)4-l-ox d-t--) an einander und setzt, indem man vorläufig blos v als veränderlich, -n aber als constant ansieht, die in ihnen vorkommenden Coeffi L"' —^1- I 540 Siebentes Hauptstück. cienten der ersten Potenz von r/ sich gleich; so hat man (4 -i-w) (^t -l- -l- 3 -l-... -k-...) oder -t- -t-2^ Läßt man gegenwärtig auch die Größe w veränderlich werden, so erhält man die Gleichungen L-ox (4-1-w) --- w^>. Um den Coefficienten ^4, zu bestimmen, bemerke man, daß, weil a die Basis des in Untersuchung stehenden Logarithmen ist' i . l - (ek-. . . ) sein müsse; mithin ist auch 1,1^ i oder, wenn die letzte Potenz (nach III.) entwickelt wird, i-^ (i-^(i-2^ > ,. 1.2 1.2.3 Läßt man hierin w ohne Ende abnehmen oder in Null über¬ gehen, so erfolgt i __2,7182818...-^^ 1.2 1.2.3 1.2.3.4 - 1 1 . wornach mithin -Ua und wird. VI. Abschnitt. 841 Dem gemäß ist für die Logarithmen, denen die Grundzahl a angehört, 2 3 4 Für natürliche Logarithmen insbesondere ist a—Zr, llla- I^Z»?--i, daher lb>(i-^)— 2?— VI. Umkehrung der Reihen. Besteht zwischen einer Veränderlichen rv und der von ihr abhängigen Größe - die Relation ... und soll umgekehrt die Potenz a?- durch die Variable - ausgedrückt werden; so kann diese (zu Folge §. 323) nur die Form besitzen, in welcher blos noch die Coefficienten Lg, S,, Sg,... zu bestimmen sind. In dieser Absicht bilden wir von z? nach den r r-t-» r-z-2» . . Exponenten .... die Potenzen r . - u-2i .1-1-3" L- L-- N", x , -/ "'N dadurch erhalten wir — (^g.L^-1-Al^-»- ---a,'' - -oder weil die letzte Potenz (vermög §. SI8 und 328, HI.) die Form - annimmt, in welcher die Coesiicienten «y, as, . . . aus den Coefficienten ^o, ^i, bestimmt werden, z, -) S^azL--»- S"-I-. ... Ferner ist s4r Siebentes Haupt stück- "(Sn-s-Si^-r-b^ae^-t-SzL^-t- - - - ) »-t- 2« ^2-- ---^-. - - ) —coL' '^^-,-czw-^ °"-I- ,-i- 3„ ->3" -/ —L-'-""(^o-l-^i^"-l-^2^'"-I-) "° — —.) — ckgL-^ - U- s. W. Substituirt man nun diese Ausdrücke in jenem von a-°, so e» gibt sich und hieraus folgen die Gleichungen 1 Kt^o^ögLi—0 62^0^^181 Kz üg ^-^2^1 ^vi^2 "j-i/oöb —0 u. s. w. aus denen, weil rr», «1, «2, . . . b«, öi, Sz, . . . og, «z,--" üg, ckl, ckr,. . . u. s. w. durch 2lg, ^1,, ^2, - - - ausgedrückt sind, die Coefficienten Lg, L,, Lz, . . . leicht berechnet werden rönnen. Beispiel. Soll nach der Gleichung , I .«?' I.3.a?b 1.3 .5 . "2 2.4 2.4.6 2.4.6.8 die Potenz a? durch ausgedrückt werden, so setzt man, we> L—3, »r—I, »—t, r—2 ist, -v- --L„r/6-»-L,^-l-SL«zZ, - ,e -1- Hieraus erhält man 0 'r '2 -l- /2 «0-4 «i--—4 «2--I «s--0 «r-0 «n-t- —0 oder 5«o^6«i -t-4«2"0 7 So-t-9«,-l-8«2^4«z-0 81 «0-r-2 8«l-t-2 8«r-I-20Sz-l-8«»--0 und wenn man die Rechnung weiter ausdehnt, auch die späteren Coefficienten —s. Sonach ist 4z/§—4r?-l--"; was man auch findet, wenn man bedenkt, daß die gegebene Glei¬ chung nichts anders ist als VII. Abschnitt- 64S Erhebt man aber den Ausdruck von r? zur 2ten, Sten, 4ten, u. s. w. Potenz und setzt die Ausdrücke dieser Potenzen in der letzten Gleichung, so verwandelt sich diese in L?-i- 7^0, VII Abschnitt. Differenz- und Summenreihen. Arithmetische Reihen. Figurirte Zahlen. PotenZreihen. Summirung einiger besonderer Reihen. §. L27. Disferenzreihen. Zieht man in einer Reihe oder auch in einer bloS willkürlichen Folge von Größen, welche durch (l) rr», , «2, «z, ... "71, , - - - 414 Siebentes Hauptstück. bezeichnet werden mögen, jedes Glied von dem unmittelbar nach¬ folgenden'ab; so erhält man eine Reihe von Differenzen, welche die Differenzreihc der vorgelegten Reihe genannt wird. Ver¬ fährt man mit dieser Reihe gerade so , wie mit der ersten und wie¬ derholt dieses Verfahren'belicbig ost, so gewinnt man nach und nach eine Kette von Reihen. Von diesen nennt maw die anfänglich vorhandene die Hauptreihe und die aus ihr auf die vorbe- schriebene Weise gewonnenen der Ordnung nach ihre iste, 2te, Sie, 4te,...rtte,... Differenzreihe. Deutet man nun die Dif¬ ferenz zweier nach einander folgender Glieder dadurch an, daß man dem Subtrahend den Buchstaben vorschreibt, welcher, wieder Buchstabe L. bei der Bezeichnung der natürlichen Logarithmen, keineswegs einen Multiplicator, sondern ein bloses Operationszei¬ chen vorstellt; so erhält man in der ersten Differenzreihe die Glieder (2) , Hrzz, . ^rz„, . . . Nach der nemlichen Bezeichnung sind die Glieder der zwei¬ ten Differe nzrei h e ^^rz,, ^^rrz^, ^rrXrz^, ... oder, wenn man zur Abkürzung dem Buchstaben rX die Anzahl seiner Wiederholungen, den -Wiederholungsexponenten, rechts oben beischreibt, Auf dieselbe Art werden die Glieder der dritten Disl^ renzreihe mit (4) ä^rzg, r^rz^, . und allgemein jene der rt e n D iffer e n z r e i h e mit (5) rVrzg, ^rzz, ^iZz, . . . r^rz«, . . - bezeichnet, und dabei ist ^rzu—rz; —rkg ^rzi—rz2 —rz, ^«2—rzz —rzz ^rz^ — /Z/, j'i — n /j ^rza--/Xrz, ^rz,---^r,2 ^rzz —z^rzz (6) — —r^rzi — —^rz„ Vrz„-^- 'r/g _' Ni- VH. Abschnitt. S4S Hier übersieht man mit einem Blicke, was übrigens in der Anordnung der Subtraktionen selbst begründet ist, daß jede Verti- cal-Columne in die nächst rechts folgende übergeht, wenn man allen ihren Gliedern den Buchstaben z^ vorsetzt, und daß jede Zeile in die unmittelbar unter ihr stehende sich verwandelt, wenn man in ihr alle Zeiger des Buchstaben rr um i vermehrt. Zugleich ist aus dem Gange der Rechnung klar, daß man jede Differenzrcihe, z. B. die >lle, als eine Hauptreihe und die nachfolgende,--t-ite, ^-t-2te, r--t-ste, ... als die iste, 2te, Ste, . . . Differenz- reihe derselben ansehen könne. §. 328. Da die Glieder jeder Differenzreihe aus jenen der nächst vor¬ hergehenden berechnet werden, so müssen sie auch auf die Glieder der Hauptreihe sich zurückführen, folglich durch diese sich ausdrü¬ cken lassen, weßwegen wir gegenwärtig irgend ein Glied einer beliebigen Differenzreihe durch die Glieder der Hauptreihe allge¬ mein darstellen wollen. Nach den Gleichungen (6) ist —r/n und ferner folgt aus der ersten Gleichung durch Erhöhung der Zeiger von re 2 daher ist 2—2»^ Weiters hat man z^re,-^. und wegen der eben gefundenen Gleichung ^.1— z —2re^ ^.2 , mithin auch re». Dann ist z^re„—z^re„^_,—z^re« und wegen der letzten Gleichung jvlglich 4—i-l-re». Verfolgt man den Gang dieser Rechnung, so erkennt man bald, daß der vorhandene Zeichenwechscl ohne Störung fort beste¬ hen muß, und daß, abgesehen von den Vorzeichen, der Eoefficient jedes Gliedes in dem Ausdrucke einer Differenz gefunden wird, mdem zu dem Eoefficienten des eben so vielten Gliedes in dem Ausdrucke der unmittelbar vorhergehenden Differenz der vor dem- Wega Vorles. I. Bd. 54f> Siebentes Hauptstück. selben stehende addirt wird. Da nun in dem Ausdrucke der ersten Differenz Hu» die Zahlwerthe der Coefficientcn i, i sind; so müs- scn nach (§.250,K.) die Coefficientcn 5 welche in den Ausdrücken der nach einander kommenden Differenzen H?u„, erscheinen, zugleich die den Exponenten 2, s, 4, . . . entspre¬ chenden Binomial-Coefficientcn sein. Man hat daher allgemein, wenn man der Kürze wegen die in §.247 gewählte Bezeichnung der Binonüal-Coefficienten anwendet, (7) u»^,—" §. S2S. Soll irgend ein Glied der Hauptreihe durch ein ihm voran¬ gehendes rem und durch die eben so vielten Glieder der nach einander folgenden Differcnzreihen Hu«, . ausgedrückt werden; so läßt sich dieses auf folgende Weise leisten. Nach den Gleichungen (K) ist und wenn man jedem Gliede der ersten Gleichung den Buchstaben H verschreibt, Hu»,^.Hum-l-H^u,», mithin auch u»,^. 2—"m-t-2Hum-l-H"um. Hieraus folgt wieder durch Vorsetzung des Buchstaben H und weil Um^, A«U»I^. 2 ist, Setzt man diese Schlüsse fort und erwägt, daß die hier ver¬ kommenden Coefficientcn gerade so, wie die in der vorhergehende" Untersuchung aufgetretenen, gefunden werden, mithin wieder die Binomial-Coefficienten sind; so hat man (8) -t- Wird nun n, also -----u—m gesetzt, so erfolgt, n>o-' fern m<-r ist, VII. Abschnitt. 517 (S) Na — I Soll insbesondere m- y sein; so ergibt sich (lO) N„ —Nn-t-0)^» §. 3S0. Es läßt sich auch jedes Glied r/„ der Hauptreihe durch ein ihm vorangehendes und durch die eben so vielten Glieder von r-—I anfänglichen Differenzreihen, nemlich durch Z^»m, . . . z^-inmUnd durch die von dem mtenGliede bis zum n—r-ten fortlaufenden n—Glieder der ^ten Differenz¬ reihe, nemlich durch, ZX^rr^ z,. . . ZX''»«-^, ausdrücken. Denn nach den Gleichungen (6) ist und aus Gl. (8) folgt durch das Vorschreiben des Buchstaben A _1) '"m. Addirt man diese Gleichung zur Gleichung (8) und berück¬ sichtigt, daß (nach §.250,e.) und (nach Gl. 6) ist, so wird —-z„r-t- ( ^ZX-Um^t- '' Hieraus erhält man wieder zXrr-ae/">2 Welches, in die Gleichung rr«^2 — rrm^, gebracht, wegen den Ausdruck X. 4 / X ^(^,)zX'-'^ ZS * J48 Siebentes Hauplsiiick. liefert. Darnach ergibt sich folglich, weil «m-l-^i-z »-Um-i-n^-i-und /X^^kmi-2 ^"»^2 ls! / Die Fortsetzung dieser Schlüsse nebst der Bemerkung, daß allgemein ^u^--t-^'''^um^-'— ist, bietet den Ausdruck '' - -^-(r-0 Setzt man in demselben n, also ,--^p— n— m und »i-^,2—er—,-, so erhalt man (l 1) und insbesondere für M —0, (12) U„---Ua-I-0)^"o^(2)^^"o'<->-(,.^1)^" "° §. S3I. Summenreihen. Wird das in §. S27 beschriebene Verfahren umgekehrt, indem statt der wiederholten Subtraction die Summirung so ausfü'hrt, a man in der Hauptreihe (1) das erste Glied »a allein nimmt, an hiezu das zweite Glied rr, addirt, zur Summe ug-i-ui das dr Glied «r gibt, und so der Ordnung nach immer wieder zur zu vu. Abschnitt- 519 erhaltenen Summe das folgende Glied zahlt; so entsteht eine neue Reihe, welche die jummirendc oder Summe »reihe der ge¬ gebenen oder Hauptreihe (i) heißt. Diesem Verfahren gemäß ist jedes Glied der Summenreihe die Summe von eben so viel An- fangsgliedern der Hauptreihe, als das wie vielte es ist. — Leitet man nun noch aus der eben gefundenen Summenrcihe auf dieselbe Weise wieder ihre Summenreihe ab, so heißt diese die zweite Sum¬ me n r e i h e, daher jene frühere auch die e r st e S u m m c n r e i h e der Hauptreihe; und auf die nemliche Weist findet man die dritte, vierte Summenreihe, u. s. w. Ein für die folgenden Untersuchungen wichtiger Satz fließt aus der Betrachtung der ersten Columne der Gleichungen (6), denen gemäß »t-Uo-I-Aug ^2— ist; denn die Summe dieser Gleichungen bietet und für o dar. Diese Gleichung weist nemlich nach, daß eine mit Null begin- nende Hauptreihe ü, «2, ^2, ^s, ' ' ' - l ' ' auch als die Summenreihe ihrer Differenzreihe ZXu», Zäre»,.... Zr«^—i,... sich ansehen läßt; wobei jedoch jedes Glied dcrHauptreihe von den Anfangsgliedern der Differenzreihe um eines weniger in sich ver¬ einigt, als die wie vielte Stelle es in der Hauptreihe cinnimmt. Da man nun auf die nemliche Weise, wie man von der Hauptreihe auf die erste Differenzreihe schloß, von dieser auf die zweite Differenzreihe, und von dieser wieder auf die dritte, u. s. w. schließen kann; so läßt sich leicht einschen, daß die Hauptreihe (r) als die r- te Summenreihe ihrer r- ten Diffc- renzreihe ZVr^,, Zl^Ui, .... angesehen werden kann, wenn nicht nur von der Hauptreihe, sondern auch von ihren ersten , —' 55Ü S i e v e n teS H au ptstü ck. Differenzreihen das Anfangsglicd Null ist, nemlich wenn die Glieder rr», rAu«, Null sind, was nach der Gleichung (io) nur einzutreten vermag, wenn die ersten r- Glie¬ der u„, rr,, r,2,- -.i der Hauptreihe selbst Nullen sind. In diesem Falle ist aber von den n-di Gliedern /Vre«, der ,-ten Differenzreihe die e-te Summe das Glied der Haupt- reihc, für welches man der Gleichung (io) gemäß den Ausdruck (IZ) r/^.— -l- und nach der Gleichung (12) den Ausdruck (14) erhält. Will man nun von der Hauptreihe (1) auf ihre >'te Sum¬ menreihe, deren Glieder durch (15) ^Uz, ... bezeichnet werden mögen, übergehen; so wird man das Glied in dann in der Gleichung (13) die Differenzen ,....in n», , - - - , in der Gleichung (i4) aber die Differenzen in rr„, er,, umsetzen; darnach erhält man für das n-r-ite Glied der ^ten Summenreihe der Hauptreihe (1) die Ausdrücke Insbesondere liefert die Gleichung (16) für i die Summe von n-j-i Gliedern der Hauptrcihe durch ihr erstes und durch die ersten Glieder von er Differenzreihen ausgcdrückt, nemlich (18) ^rr« —rto-t-rr^- .... -^rr^ §. SS2. Arithmetische Reihen. Eine Reihe, bei welcher eine der Differenzreihen lauter gleiche Glieder enthält, heißt eine arithmetische und zwar vom vil. Abschnitt. 551 »-ten Range, wenn ihre »-te Differenzreihe aus durchaus gleichen Gliedern besteht. Won einer solchen Reihe w», . - - läßt sich sowohl das allgemeine Glied als auch die Summenformel Su« leicht durch ihr erstes Glied und durch das Anfangsglied ihrer Differenzreihen darstellen, wenn manin den Gleichungen (io) und (18) von der Differenz^un angefangen alle folgenden verschwinden, nemlich . . —y sein läßt. Es ist nemlich das allgemeine oder n-i-ite Glied (IS) - und die Summe von n-t-i Gliedern (20) Will man mir »r den Stellenzeiger des allgemeinen Gliedes der Reihe oder die Anzahl der summirten Glieder andeuten, so wird man n-t-i—W, daher -r— m— i setzen. Dann ist von der Reihe u», U2, ....re».--, das Mte Glied und die Summe von r/r Gliedern Verrichtet man in den zweiten Theilcn der beiden letzten Glei¬ chungen die Multiplikationen der Factorcn derBinomial-Eoefficienten und ordnet alles nach den Potenzen von m, so nehmen sic die Form an: (23) 1 — «o -i- a ,»r -I- «' -t- UzM -t-s,»-'' (24) Hieraus folgt, daß jeder Ausdruck von der Form «g-t-«i m-r-»L -l-.. - das allgemeine Glied, und jeder Ausdruck von der Form . die Summe einer arithmetischen Reihe des -°ten Ranges verstellen könne. — Diese Bemerkung kann man benutzen, um die Ausdrucke des allgemeinen Gliedes und der Summe einer arithmetischen Reihe 552 Siebentes Hauptstück. zu bestimmen, wenn man den Rang dieser Reihe, und im ersten Falle irgend welche m-t-i Glieder, im anderen rrr-i-i Anfangsglie¬ der kennt. Man setzt nemlich in den allgemeinen Formen (23) und (24), indem man die daselbst vorkommendcn Coefficienten für un¬ bekannt ansieht, für den Stellenzeiger m sowohl, als auch für und SU«-, die m-t-i zusammengehörigen bekannten Werthe und sucht dann aus diesen »r-t-i Gleichungen die noch unbestimmten m-t-i Coefficienten, in Bezug auf welche jene Gleichungen durch¬ gehends vom ersten Grade sind. Zur Erläuterung dieses Paragraphen mögen folgende Bei¬ spiele dienen. i. Beispiel. Man suche das allgemeine Glied und die Summe der arithmetischen Reihe dritten Ranges, welche mit den Gliedern i, 4, io, 2v anfängr. Bildet man in der Absicht, die Formeln (21) und (22) anzuwcnden, ihre Differenzrcihen, so be¬ ginnt die erste mit 3, 6, IO, die zweite mit 3, 4, die dritte mit l; daher ist u„—i, cl>Un--3,^Ug—3, 1. Bezeichnet man ferner das m te Glied dieser Reihe mit und die Summe von m Glie¬ dern mit so wird Substituirt man nunmehr diese Werthe in den Gleichungen (2i) und (22), so findet man das allgemeine Glied 2 2.3 I I - I , »r(M-i-l) (Nr-l-2) 3 2 6 1.2.3 und die Summe „ , m(M—i) -7r(»r—i)(»r—2) M(m—1)(»r—2)(W^S) — nr -f- Z --s- Z---— 1--- 2 2.3 2.3.4 L . »r(m-»-I) (M-t-2) (M-l-3) — . »i-I- — m- -1— ,- 4 24 4 24' 1.23.4 Will man sich aber der Gl. (23) und (24) bedienen, so W man in ihnen m--i; 2; 3; 4, dann ;4; io; 20 und Kllm-t—Sm—I; S; 15; gende Gleichungen 4— 4A2-^-8^z 10—Ko-^-ZKi-^- 9K2-j-2?Kz 20 Kg66^2-^64^3 35; dadurch gewinnt man fol- 1— ^2-1- -4z-i- 5-2-4,-^. 4^2-i- 8^3->- 15—3-4i-^ S^z^-27^z-t- 35 —4^-i-l6^2-l-64.4s^-2S64t VII. Abschnitt. SS 1.2.3 1.2 3 Setzt man dagegen in den s, ferner M—i; 2; r'— 2/ 2^—2^1-^—4^2 3^ -^- 6^—Ko^3K^-^-9K2) Gl. (23) und (24) r/m-1—s, mr M-I; 2; Z; 2(,-^-M; Z(e--I-2<> ; 3/--i-2Ä; so erhält man die Gleichungen — ^2-j- ^!z 3^2^—2^i-^4^2-1- 8^4» S^4i-i-9^2-t-27^4z, . , III und aus ihnen a<>—0, «i-«r-«s--; i ii i ^-4' ^"^4' '"4' ^"24' sofort wie oben t«— 2. Beispiel. Bei einem geraden langen Kugelhaufen von n Schichten oder von der Eckseite » liegen im Rücken Kugeln; dieser ruht auf 2 Zeilen, von denen jede ---l-ck Ku¬ geln enthält. Dabei ist in einem langen beiderseits angelehn- ten Haufen et —— 1, in einem einseitig angelchnten 0, in einem frei stehenden --l-2(n—I)ch SSL Siebentes Hauptstück. und hieraus «o-o, r-—«t, «2—et, ^l —-^r—2^> -^s— folglich dieselben Ausdrücke von d und » wie vorher. Bezeichnet man die Lange der Grundzeile mit § und den Inhalt eines Seitendreicckes mit so ist bekanntlich n-§-(a—1)6, und A -,»(»?"), mithin ergibt sich auch auf diese Weise die be- kannte Formel s—— - §. sss. Figurirte Zahlen. I. Bildet man von der Reihe (23) I, a, 0, 0, 0, 0, . . . , indem man a irgend eine positive ganze Zahl vorstellen läßt, die nach einander kommenden Summenreihen, so sind diese folgende: (26) 1, 1-t-a, I-t- s, 1-i- a, 1-t- a, .... I, 2-t-a, S-t-2a, 4-l- Sa, 5-i- La,.... L, S-t-a, K-t-Sa, 10-t- 6a, i5-t-l0a,.... I, 4-t-a, 10-t-La, 2v-1-I0a, SS-l-20a,.... u. s. w. Diese Summenreihen liefern, von der2ten angefangen, die figu- rirten Zahlen und zwar enthält die 2te, ste, Lte, Ste,..- Summenreihe die sigurirten Zahlen der itcn, 2ten, Sten, Lten,-.- Ordnung ; man könnte sogar die Glieder der ersten Summenreihe als figurirte Zahlen der Oten Ordnung ansehcn. Soll nun von der Reihe der sigurirten Zahlen der mten Ordnung das allgemeine odernte Glied r und die Summe s gesucht werden; so hat man nur zu erwä¬ gen, daß diese Reihe die »r-t-ite Summenreihe der vorgelegten Hauptreihe, also r das nte Glied der ten Summenreihe, und ihre Summe das Glied der folgenden m-^2ten Summen¬ reihe ist. Man wird daher in der Gleichung (17) »o- 1,u,—a, «2—0, «3—0,«t--o,...; »—1 statt und wenn man r—sucht, M-l-i statte, zurBestimmung von s—aber »r-t-2 für r' setzen. Auf diese Weise ergibt sich VH. Äb schnitt. 855 oder (27) I) (n— i)n(-r-t-i)..Or-t-M—I) 1-2.3...»» I . 2 . 3 . . . »t s— ^(»-s-1) (»-j-2)...(»-j-»r) (»—i)»(»-t-i)...(»-t-m) ^4.2 . S.... (M-t-1) -1 1 . 2 . S .... oder auch (28) ----- z . . . M tM-t-(-r-i) (a-s-I)z, n(»-t-l)(»r-t-2)...(»-t-»r—I) ^4 . 2 . 3... (m^-l) ' (---E. II. Insbesondere nennt man die Reihe der sigurirten Zahlen der 2 ten Ordnung (29) I, S-t-s, 6-I-3a, I0-t-6a, lS-l-10«,. auch noch die Reihe der Polygonalzahlen und zwar die Reihe der 3, 4, s, K, 7, ... r eckigen Zahlen oder der Trigonal- (Tri¬ angulär-) , Letragonal- (Quadrat-), Pentag onal-,Hera- gonal-,Heptagon al-Zahlen, u.s.w., je nachdem a die Werthe O, I, 2, 3, 4, .... e—3 erhalt. Setzt man daher in der Reihe (29) für « diese Werthe, so findet man die Anfangsgliedcr, und wenn man in den Gleichungen (28) nicht nur für a die genannten Werthe, sondern auch noch»»—2 setzt, das allgemeine Glied und die Summe folgender Reihen: die Dreieck-oder Lrigonalzahlen: n(n-t-l) n(rr-«-l) (n-»-2) H" ---—; die Viereck- oder Tetragonalzahlen: „ »(/»-t-1)(2»t-t-D die Fünfeck- oder Pentagonalzahlen: »(3»—I) rr^(»-t-I) I-l-S-t-12-^22-l-3S4-l--— -—H i und allgemein die r-eckzahlen: I (3r—3) -j- (6r—8) -4- (I0r—IS)-t-- - l2^.(»-l) (r-2)) -- l3>(«-l) (--2)1. 1 . 2 . 3.4 3.4 55k Siebentes Hauptstück. Die Benennung dieser Zahlen stammtdaher, daß man eine durch eine Dreieck--, Viereck-, Fünfeckzahl, u. s. w. angegebene Menge von Puncten, kreisrunden Platten oder Scheiben, Kugeln,», dgl. in ein regelmäßiges (gleichseitiges und gleichwinkliges) Dreieck,Viereck, Fünfeck, u. s. f. zusammenstellen kann; wie z.B. ^2'^ I.2.3.4 1^. Endlich mag hier noch erwähnt werden, daß mehrere mathematische Schriftsteller unter den Reihen sigurirter Zahlen jene verstehen, welche aus den Reihen (2«) für den speciellen Werth a-o hervorgehen, indem sie die 2te, ste, 4te, ste,.... Summen- rcihe der Reihe 3 k; 4 g; 5 12. HI. Ferner werden die sigurirten Zahlen der 3ten Ordnung (so) 1, 4-t-a, I0-I-4a, 20-l-I0a, 35-420«, auch noch Pyramidalzahlen und zwar 3, 4, 5, 6, ... r seitige Pyrami¬ dalzahlen genannt, je nachdem a die Wcrthe O, i, 2, 3,..." annimmt; weil sich eine von einer solchen Zahl angegebene Menge von gleich großen Kugeln in eine regelmäßige 3, 4, 5, 6,... r seitige Pyramide, (deren Grundfläche ein regelmäßiges 3, 4, s, 6,..-reck und die Seitenflächen regelmäßige Dreiecke sind) schlichten las¬ sen. Setzt man daher in der Reihe (30) und in den Gleichungen (28) wr—3 und für a obige Werthe, so findet man die dreiseitigen Pyramidalzahlen: 144410^-20 n(n-4I)(n42) ,r (n-4I)(1r42)(»-I-S ) 1.2.3 — die vierseitigen Pyramidalzahlen: n(n-t-1)(2n-l-1) n(»-j-1)-(n-«-2) 1-45-414-1-304 ' -t-— —" 1.2.3 die fünfseitigen Pyramidalzahlen: »^(n-t-I) »(«4I)(»42)(3n4l) 1 -1- 6 -i-18 -1-40-j-... -4------- 1.2 1.2.3.4 und die rseitigen Pyramidalzahlen: l4(^4l)4(4r—2)4(l0r—10)4 .... rr(Kg-I) l(m—1)r—(2tt—5)1 n(»4-I)(/r42) l(r-2)n-(r'^. VII. Abschnitt. gg7 (ZI) I, V, v, v, v, .... oder die iste, 2te, ste, 4te, .... summirende Reihe der aus lauter gleichen Gliedern bestehenden Reihe (S2) I, I, I, I, i, .... die Reihe der figurirten Zahlen der i sten, 2 ten, 2 ten, 4ten,... Ordnung nennen. Nach ihnen ist demnach, wenn man in den Gleichungen (26) «—o setzt, die Reihe der figurirten Zahlen der m ten Ordnung ' 1.2 ' 1.2.3 -hr allgemeines Glied (M-t-I) (M^-2) (M-t-S)..(M-t-M—l) " I 2 (er-1) ' °»d !h„ Summ. (M-t-2) (M-t-3) (m-t-4) ... (M-t-w) " I 2 s7^ (»—!)' Insbesondere hat man, wenn o, 1,2,3,.... ge¬ setzt wird, i-t-i-t- i-t- -i-i-» , , -r(»-t-1) I-t-2-t- S-t- 4-1--i-n— ——— I-t-S-t- n(»-t-I) -r(-r-t-l)(»4-2) n(»-t-I) (-r-I-2) »(»-t-1) (n -l-2)(n -t-S) I-1-4-1-10-1-20-!-1- ^2.z " 1.2.3.4 U. s. W. §. L34. Potcnzreihen. I. In manchen Fällen ist. es von Vortheil, die Summe der -»ten Potenzen einer arithmetischen Progression (ersten Ranges) zu kennen, in welcher « das erste Glied, et die Differenz und e das letzte Glied ist. Stellt man zu diesem Zwecke die erwähnte Summe durch «(§"')vor, so daß Z(^)^«"--1-(K-^)-"-l-(a-1-2ck)--'-t-' - - ' -t-l" ist, und bezeichnet man. für einen Augenblick das zweite Glied der ZZ8 Siebentes Hauptstück. arithmetischen Reihe mit ü, das dritte mit o, u. s. w. , endlich das vorletzte mit s, so ist a-t-ck, c—b-l-ck,.... s-t-ck, und daher, wenn man die Glieder der Reihe S, e,... l, k-t-ck zur m-i-iten Potenz erhebt, > Summirt man diese Gleichungen und bezeichnet die Summe der m—iten, wr—2ten, m—Sten,... Potenzen der gegebenen arithmetischen Reihe durch S(t"--i), so ersolgt -t- mithin auch ) -rr « (k"-- ») -t- et^S ^ --(r-r-et)'"^^—a^. Ersetzt man hierin den Exponenten »r nach und nach durch rn—I, m—2, M—s,... so ergeben sich die Gleichungen — (t-I-et)"-— a"' » VII. Abschnitt. sss )-l- --(t-t-Ä) "-—1— a---- 1 — (t-I-Ä)"---—gm-r U. s. W. Addirt man nun jene Gleichung zu den aus ihr entsprungenen, nachdem man sie derReihe nach mit solchenZahlen/to>^i,^r,^z,-. multiplicirt hat, welche den Bedingungsgleichungen C"7-)^l u. s. w. Genüge leisten, so wird ihre Summe K(r") ---^g L s(L-t-ch)'"— Dazu findet man aber aus den vorstehenden Bedingungs¬ gleichungen '--° D- '-° 42 KVS/ -V^, ^g--0 S0 8 V?/ ^„-y, u.s.w. " «6 I0VS/ SSO Siebentes Hauptstück. daher die letzte Gleichung durch Einführung dieser Werthe in fol¬ gende übergeht. (s-t-ey"-*'—-a""' (e-t-ck)"—a" - (m-t-I)Ä — 2 etc. Die hier vorkommenden Zahlen I i i s so' 42' "so' kk'"" werden die Bernouillischen Zahlen genannt, weil sie von Jakob Bernouilli zuerst in der Analysis entdeckt wurden. Wir wollen sie der Ordnung nach mit .» , .... bezeichnen, so daß wir fetzen K.-- , «4-—- , Lz- - , . ... Trägt man diese Buchstaben in die letzte Gleichung ein, so erhält man die verlangte Summenformel S(s"-) — a"-t- («-t-2ck)"--t- (a-t-3ck)»--i- (s-t-Ä)"^—a'"^ (s-t-ck)'"—a"" (m-t-l)Ä 2 -t- Li^(7) 0) k (s -1- ck) m-»— -t-etc. Diesem Ausdrucke läßt sich noch eine andere Gestalt ertheilen, indem man erwägt, daß der obigen Bezeichnung gemäß «l (s-l-ck) (a-t-cs) "°-i- (» -r- 2 (M-s-I)Ä 2 —-^etc. ist, und man folglich gegenwärtig für das letzte Glied anschcn und es gleichfalls mit e bezeichnen, mithin r statt r-l-6 schreiben kann, wornach man erhalt (a-j-et) (er-t-2Ä) («-t-zck) -j-t" -l-«i -l-S- a—7) -l-etc. II. Diese Reihe bricht für jeden positiven ganzzahligen Ex¬ ponenten m mit jenem Gliede ab, in welchem der Exponent von e oder von «, für gerade Wertste von M, auf i und, für unge¬ rade, auf 2 herabgesunken ist, für jeden anderen Exponenten läuft sie ohne Ende fort. Mit ihrer Hilfe lassen sich auch die Bernouillifchen Zahlen berechnen; denn setzt man in der letzten Gleichung a—o, 1, e—i, M—2r-, indem man r-ganz und Positiv supponirt, also 1; so erhält man wornach jede Bernouillische Zahl aus allen vorhergehenden bestimmt werden kann. §. S3S. Aus der gefundenen allgemeinen Summenform der m ten Po¬ lenzen der Glieder einer arithmetischen Reihe (ersten Ranges) cr- Vegq BsrI-s. I. Bd. N"!—S „M—I ^m-7 I . 2 _ __ - 4^ 7r» 8 «v, —a„.7r"-^«,.7r -j-am.»"- Die Addition dieser Gleichungen liefert >8 -Tt"») — »0^ (n") ^«1-8 (7t . . . 562 Siebentes Hauptstück. gibt sich nunmehr leicht die Summe der »r ten Potenzen der natürlichen Zahlen, indem man nur a—o, et-1, t—n setzt. Auf diese Weise erhält man allgemein «(»"-) — . 7t">^ 71"» "TTl-t-I S' .. ° 6 I. 2.Z (nsn-t-l))- 7r 77(7^1) (6?^-t-S7r"-j-7r—1) ^5- und insbesondere —7» . 7i» 7» «(7,')-— - 2 2 7t» 7t- 7t^ 7t» S(7t»)-^- ' l?"" .— u.s.w. 528 30 2.3.5 ' ' Mit Hilfe dieser Ausdrücke läßt sich aus dem allgemeinen Gliedc einer Reihe, wenn dasselbe eine ganze und rationale Function des Stellenzeigers 7r, nemlich daher die Reihe selbst eine arithmetische vom »rten Range ist, die Summenformel leicht finden. Denn schreibt man die,e Gleichung in der Form Nn—au7r"-4-ai-r'-t-Kz7r"-t-aglr»-j-.. .-j-SmTr'" und setzt für 7t die Zahlen 0, 1,2, 3, ...7t, so erhält man die Gleichungen tto —tto.OO-^-K^ .0 ^-^-tt2.0 st-^A.0b-^-.' "t — «0.1. I ^->-«2.1-. 1 "s—«0.2"-j-a,.2 '-i-«2.2'->-«z. 2 - «o. SO-j-rr, .3 ^«2.3"-^-az. 3»-i-8'" 7t(7t-^-l) VII. Abschnitt. 563 worin nur noch für «(n°),«(aH, . . -«(»'") die eben gewon¬ nenen Ausdrücke zu setzen sind. Beispiel. Bei allen vollständig ausgeschichtcten geraden Kugelhaufen liegen in dernten Schichte von oben, wenn sich in der obersten Zeile --und in jeder darunter liegenden um-r mehr befin¬ den (vergleiche §. 332) m Zeilen zu r--^(n—i)ck Kugeln, also zusam¬ men —i)^ —(>-—l sei, ins Unendliche auslaufen; so findet man ihre Summe, wenn man obigem Ausdrucke die Form « (-— -/ IX ck » (-— I)? -V . ertheilt und n ohne Ende wachsen läßt. Hiebei nimmt nicht nur unendlich ab, sondern auch der Bruch weil das Verhältniß seines nächst späteren Werthes zu ihm den Quotienten 1 1 -i- N - besitzt, welcher von einem gewißen Index m angesangen, sicher einmal kleiner alsi ausfällt (§. SIS); daher verschwindet das zweite Glied und diese Summe wird a(-—!)-«-ck (-—1)2 s ' Beispiele. ISS? S^4^8^IK^' ' -b 1 2 8 4 s 3^9 27 81 4 I 4 12 82 _I2 S 4 2^6^18^64^ " 2^2.-^2.^2 . 2 . » I 2 L 7 H 9 1§, 10 10^ 10^ ^lO^IO^ 1l? 1" 10 ^""8^ VH. Abschnitts SKS III. Soll die Summe der Reihe 6 _ « « « S(d-^Ä)' (S-^Ä) (S-^Zch' (S-^2Ä) (S-^ZÄ)''' sS^(-r-i)Ät (d-s-n-t) gefunden werden; so zerfalle man (nach §. 316) jedes Glied, indem man ö als veränderlich ansieht, in zwei Partialbrüche, oder was zu demselben Resultate führt, man zerlege das allgemeine Glied in zwei Partialbrüche und setze in dem so erhaltenen Ausdrucke a a für » der Ordnung nach i,'s, 3,... Auf diese Weise nimmt die Summe der Reihe die Gestalt an « a öÄ-"Ä(Ü-j-Ä) a a Ä(S^--Y ",k(s^-2ch a a Ä(S->-2zl eZ^(H-^rreZ) 2 l öder s—i____-- («-t-I) (s-t-1-t-Ä)... ta-t-t-t-f»—I)ÄI Für N—co wird s— I. I 5» 2 S 4 Z. B. - -j---r.-1- --.--r-.... — I 2^2.3^2.34 2.3.4.5 2 4 6 8 I - —————— -5-. ————— —4— .————. .... — / , 3 3.5 3.8.7 3.5.7.S VI. Die Schwierigkeiten, welche sich der allgemeinen Sum¬ mation der Reihen entgegenstellcn, gaben Veranlassung, auf den in §. 231 angedeuteten Umstand, daß man eine Reihe kennt, sobald ihre Summenformel gegeben ist, eine (jedoch mehr sinnreiche als brauchbare) Summirungsweise von Reihen zu gründen. Man nimmt nemlich, um sich eine Sammlung von summi'rtcn Reihen zu verschaffen, beliebige von dem Stellenzciger» abbängige Functionen als Summenformeln von Reihen an, die man findet, in¬ dem man in diesen Functionen n durch n—i ersetzt, diese Resultate von den angenommenen Functionen abzieht und rn den Resten ale> den Ausdrücken der allgemeinen Glieder jener Reihen m— i, 2,3,4,... wvl. 568 Siebentes Hauptstück. Eine solche Function von n, welche die Summe einer Reihe vorstellen soll, muß aber mit dem Stellenzeiger n zugleich ver¬ schwinden. Denn gibt/>Ot) die Summe einer Reihe an, so ist /" (»)— /Vn— i) ihr allgemeines Glied, welches für m—i auch die Summe von einem einzigen Gliede darbieten muß; weßwegen f (!)—/" (v)-/" (I), nemlich />(<))—o wird. Nimmt man z. B. den mit n verschwindenden Ausdruck i für die Summenformel einer Reihe an, so ist ihr allgemeines Glied s—I—^I->-2(n—I)-t-3(n—1)^2"-'— oder s—n(8-t-3n)2"—' und die Reihe selbst beginnt mit n, 56, 2g4,64ü, 1840/ 4gg2,... daher ist H-t-56-t-204-t-640-^I840-^4S92^-. - - -i-n(8-t-3n)2"-' — (l-z-2n-z-3»^) 2"—i. VH!. Abschnitt. Interpolation. §. 337. > I. Sei wieder wie in §. 327 (1) ecz, Az, .... eine beliebige Folge oder Reihe von Größen, und man denke sich zwischen je zwei Glieder dieser Reihe »r—i Glieder so eingeschal¬ tet (i n t e r p 0 l i r t), daß eine neue Reihe entsteht, deren Glieder mit (2) ... I, v?,»— I, r?2m, V2M^1,<" bezeichnet werden sollen, von denen jedoch die Glieder (3) No, , V2M - .... mit jenen der Reihe (I) Übereinkommen. Deutet man, in der Absicht für die zu interpolirenden Glieder einen allgemeinen Ausdruck aufzusinden, die Differenzen der neuen Reihe (2) durch den Buchstaben § an, so läßt sich jedes beliebige Glieds diestr Reihe (nach §.32S, Gl. IO) auf folgende Wehe ausdrückcn. Vlil. Abschnitt. Zg9 Sollen nun in diesem Ausdrucke die Differenzen Fvg, .... der Reihe (2) wo möglich durch die Differen¬ zen .... der Reihe d) ersetzt werden; so erwäge man, daß (nach §. 328, Gl. 7) (5) ^rrn—rr,—rrg --vm—vg r/2—2»j-^r/u—2o^,-„ /^,^0—!/s—Z »2 —Ast—vzm—2vrm-t-SUm—Vst —4Az-t-6»2--4Ai-t-Ast—Vtm—4vs^kvrm—4vm-s-vst etc. ferner, daß (nach §. Z2g, Gl. io) (6) vg -t-^^Fvg-t-O^O'va-i-^^^vst-t-^^^vg-t-. ete. ist, folglich die Gleichungen (s) durch Substitution der letzten Aus¬ drücke in folgende übergehen: (7) LAst—Svst-t--t- KM—8 ^X^Ast—M^ö^vst-i-M^-'—-— ö^vst-t- /V ^Ag — - Subtrahirt man nunmehr, in der oben angedeuteten Absicht, die Gleichung (4) von der Summe der Gleichungen (7), nachdem man diese mit den dergestalt gearteten unbestimmten Multiplikatoren ^3, d»,... multiplicirt hat, daß sic die Gleichungen (8) — ^(2) ^(2^)'^ ^^'"0 370 Siebentes Hauptstück. erfüllen; so erhält man —r>„^, -— -v», daher wegen (S) -l-vl, - Die Gleichungen (8) liefern aber für die Multiplicatoren ^z, ... die Ausdrücke n(n— V«) I.2.M- . n (n—m) (»—2m -/13—--- 1.2.3 .m^ n(n—m) (n— 2m) (» — 3m) /" 1.2. 3. L.m^ X4 u. s. w.; deßwegen ist auch (11) Ni m jz)/uo-r-kNi -, VI/ V2/ Vs/ wofern von einer gewissen Differenzreihe an alle folgenden ver¬ schwinden. Bedenkt man nun einerseits, daß der zweite Lheil dieser Glei¬ chung aus jenem der in §. 329 gefundenen Gleichung (10), nemlich aus (12) - erhalten wird, wenn man hierin » mir vertauscht, und anderseits, daß die Indices der Glieder der Reihe (1) die m ten Theile der Indices der Glieder der Reihe (3), nemlich jener Glieder der Reihe (2) sind, deren Indices durch m theilbar sind; so kann man sich erlauben, die aus der Reihe (1), durch Einschaltung von m—1 neuen Gliedern zwischen jede zwei unmittelbar auf ein¬ ander folgende Glieder, erzeugte Reihe (2) auch durch die Zeichen >Hl. Abschnitt. -571 "a, «i, »„e/^5,...«2--,r»2,«2 ... vorzustellen, indem man nemlich mittels der durch »r gebrochenen Zeiger auf die angeführte Einschaltung dergestalt hinweist, daß all¬ gemein das mit bezeichnete Glied eigentlich das Lte von den zwischen rr, und ree---, eingeschalteten (interpolirten) »r—1 Glie¬ dern darstcllt. Auf diese Weise dehnt man die Giltigkeit der Glei¬ chung welche eigentlich nur da, wo n durch »r theilbar ist, Statt findet, auf alle, selbst auf jene Fälle aus, wo n durch m nicht ohne Nest sich theilen läßt, und erklärt daher die aus (II), durch Substitution von statt hervorgehende Gleichung xwv /"X (13) M iLrrg-j-/ M «r - Vi/ V2/ Vs/ für sämmtliche ganzzahligen positiven Werthe von M und » giltig, wenn anders von einer bestimmtenDifferenzreihe angefangcn alle übri¬ gen verschwinden. II. Will man die Einschaltung nicht nach dem Glieder^, son¬ dern erst nach dem Gliede beginnen, so läßt sich dies so ansehen, als interpolirte man nicht in der Reihe (i), sondern in der Reihe ^7^1, ^7»^2) ^7^3) » daher es einleuchtet, daß die zur Darstellung eines eingeschalteten Gliedes dienende Gleichung aus (13) gewonnen werde, wenn man fämmrliche Zeiger von » um »' vergrößert, folglich in u- und in übergehen läßt. Auf diese Weise erhält man m (14) X -rV /^X / rr >. Vi/ X2/ Vs/ oder (IS) m rr(n— m) n(n-m)(n-2m) 1.2.3»^ Diese Gleichung, nach deren Anleitung die in der Reihe (i), von dem Gliede angefangen, zwischen je zwci Nachbargliedcr cinzuichalten- den m— i Zwischenglieder berechnet werden können, pflegt man die 572 Siebente- Haupt stück. allgemeine Inte rpolations forme! zu nennen. Sie setzt für ihre Anwendung voraus, daß die Differenzen der gegebenen Reihe, wenigstens von einer bestimmten an, fort¬ während abnehmcn, so daß eine von ihnen entweder völlig Null werde oder wenigstens ohne merklichen Fehler der Null gleich ge¬ achtet, mithin die vorgelegte Reihe nahe genug für eine arithmetische angesehen werden darf. Ist die Reihe eine arithmetische, also eine dieser Differenzen bestimmt Null, so kann » beliebig groß gewählt werden; wenn dies jedoch blos angenähert richtig ist, so pflegt man, um mehr Sicherheit in das Rechnungsresultat zu bringen, nur im¬ mer zwischen die Glieder «n und r^r einzuschaltcn, folglich n<»r oder einen echten Bruch sein zu lassen. Seht man noch in der Gleichung (14) zur einfacheren Dar¬ stellung derselben » stattso erhält man OK) , welche mit Gl. (8) in§. 829 der Form nach übereinkommt; wobei nur noch zu bemerken ist, daß die Differenz er —-- jeden positiven rationalen Bruch vorzustellen vermag, welcher, wie eben erwähnt wurde, in jenen Fällen echt ist, wo die vorgelegte Reihe nicht voll¬ kommen arithmetisch ist. §. SS8. Man wendet die Interpolation vorzüglich bei jenen Reihen an, von denen die Art ihres Fortschreitcns entweder gar nicht bekannt oder wenigstens sehr verwickelt ist, wenn man einige ihrer Glieder bereits bestimmt hat und noch andere zwischen sie hinein fallende suchen will. Hiebei muß jedoch eine ihrer nach einander kommenden Differenzreihen nahe genug aus gleichen Gliedern bestehen, mithin die nächstfolgende nur Glieder enthalten, die wenig von Null differiren. I. B e i sp iel. Sollen zwischen jede zwei benachbarte Glieder der Reihe I, 25, 81, I6S, 28g, 441, 625,.... drei neue Glieder so eingeschaltet werden, daß dadurch eine nach demselben Gesetze fort¬ laufende Reihe entstehe; so hat man: Hauptreihe I, 25, 81, Ikg, 289, 441, «25,... erste Diffcrenzreihe 24, 5k, 88, 120, 152, 184, ... zweite Differenzreihe 32, 82, 32, 82, 32, VIII, Abschnitt. g?z daher ist für die Anwendung der Formel (15) o, «H, — I, —24, ^"«„—32, —...— o, M—z, M—4 und sonach er n(-r—4) «„-In - 24-t--^n - 32--I^6»-^N'—4n oder 4 Setzt man hierin »--(01,1,2,3, (4), 5, 6, 7, (8), 9, IO, II, (12),.... so erhält man die Reihe O), 4, 9, IO, (28), Z6, 49, «4, (81), IVO, 121, 144, (169),.. in welcher die cingeklammertcn Glieder die der gegebenen Reihe, die übrigen aber die zwischen sie eingeschalteten sind. 2.Bei spiel. Man denke sich die Briggischen Logarithmen bloS von den unter loo liegenden ganzen Zahlen in 7 Decimalstellen berechnet und es werde verlangt, daß man die Mantisse von Io§9463 mittels der Interpolation suche, ohne die Gesetze des Fortschreitens dieser Mantissen zu kennen oder zu berücksichtigen. Dieser Forderung kann auf folgende Weise entsprochen werden. Da die Briggischen logarithmischen Mantissen blos von den Ziffern der decadisch geschriebenen Zahlen, nicht aber von der Stellung des Decimalstrichcs abhängen; so wird man diesen in der gegebenen Zahl 946 3 so stellen, daß die zu seiner Linken stehende ganze Zahl unter denjenigen Zahlen sich befindet, deren Logarithmen man kennt, oder was dasselbe ist, man wird von dem Briggischen Logarithmen der Zahl 94,63 die Mantisse suchen. Dem gemäß ist die hier zu betrach¬ tende Hauptreihe die der Mantissen von den Logarithmen der Zahlen 94, 95, 96, 97, 98, nemlich die Reihe 9731279, 9777236, 9822712, 9867717, 99I226I,.... Don ihr ist die erste Differenzreihe 45957, 45476, 45605, 44544, .... die zweite Differenzreihe —481, —471, —461, .... die dritte Differenzreihe 10, 10, 574 Siebentes Hauxtstück. Bei dieser kann man stehen bleiben, da ihre Glieder sehr nahe gleich ausfallen. Weil nun hier die Mantisse von lox 94,63 oder von Io§(94 zu suchen ist; so hat man zwischen die Man¬ tissen der Logarithmen von 94 und 95 eigentlich lov—1—99 Glie¬ der einzuschalten und von diesen das 63 ste zu bestimmen; folglich ist für die Formel (15) ,-^94, M—100, n—63, «^9731279, /^-45957- -481, ^»^---10, ... --o, n^-i-2—mant log 94,63; daher auch "^—9731279 n — --- 28952,9 n(m—rr)(2M—») 1.2.ZM3 — 0,5 manllog94,63 — 9760288, welches Resultat selbst noch in der letzten Stelle richtig ist. §. 339. Das Problem der Interpolation läßt sich auch noch von einem anderen Gesichtspunkte aus betrachten. Nach den von uns (in §.337) gepflogenen Untersuchungen enthält die Formel c,v «, - das allgemeine und vollständige Verfahren der Interpolation, wo¬ fern n jede positive Rationalzahl vorstcllt, und von einer bestimm¬ ten Differenz an alle folgenden Null werden. Entwickelt man mm den zweiten Theil dieser Gleichung nach den Potenzen von erscheint er, wofern die»rteDiffercnzreihe entweder ganz oder wenig- VIII. Abschnitt. g75 nahe gleiche Glieder enthalt, folglich die gegebene Äauptreihe eine arithmetische vom M ten Range ist, in der Form (17) n«- «»chai-r-i-arN'-I-' - > -s-a^n"' einer ganzen rationalen Function von n, welche endlich und vom m ten Grade ist. Die Aufgabe der Interpolation besteht demnach auch blos in der Auffindung dieser Function, welche entweder völlig oder wenigstens hinreichend genau die gesuchten Glieder der Reihe darstellt. Wenn sonach allgemein eine veränderliche Größe von einer anderen nauf irgend eine noch unbekannte Weise abhängt, jedoch für einige Werthc n,, Nz, wz,...w^dcr Grundveränderlichen n die entsprechenden Werthe -g, z,i, z/?, ... der abhängigen Ver¬ änderlichen z, bekannt sind; so läßt sich der Sinn des Interpo¬ lations-Problems auch so auffassen, daß man die Art der Abhängig¬ keit der Größe zc von a?, nemlich in der Gleichung z/—/(a?) die Form der Function/"(w), entweder wo möglich ganz genau oder doch wenigstens mit hinreichenderRichtigkcit, ermitteln solle. Zu diesem Zwecke setzt man nemlich man wählt für z/ eine ganze rationale Function von w, welche aus eben so viel Gliedern besteht, als wie viel Paare zusammenge¬ höriger Größen von w und?/ bekannt sind, und bestimmt ihre un¬ bekannten Coefficienten a,, a?, «z,.... ««, indem man in der angenommenen Gleichung jene Paare correspondircnderWerthe sub- stituirt und die so erhaltenen Gleichungen nach den bekannten Me¬ thoden auflöst. Beispiel. Man habe mit einem Bombenmörser unter einerlei Elevationswinkel mit den Ladungen von 2v, so, 4g, so, 60 Loth Pulver die Wurfweiten von 80, 260, 420, sso, KSg Klafter erreicht, und soll die Wurfweiten bestimmen, welche man mit den zwischen 2g und 60 Lethen lie¬ genden verschiedenen Pulverladungen erreichen würde. Zu diesem Zwecke bezeichne man mit w irgend eine in Lethen ange¬ gebene Pulvcrladung und mit?/die mit ihr zu erreichende Wurfweite, 376 Siebentes Hauptstück. und setze, da zu den hier gegebenen 3 Paaren zusammengehöriger Werthe von w und 5/ (weil ohne Ladung keine Wurfweite erreicht wird) noch das 6stc Paar w—0 und 0 sich gesellt, ^4-^-. Lw-s--t-Sa: Z-t--t- oder auch, da wegen w—0 und r/—0 auch al—0 sein muß, blos Sw-t-Sw'^-Sa^-t-La^-t-Sw^. Hierin setzt man w—20; 30; 40; 50; 60; und z/—80; 260; 420; 550; 650; dann noch zur Vereinfachung der Bestimmung der Coefficienten S—A, S—S— K---—/P-- —-—; ' 10 100 1000 10000 darnach erhält man!folgende Gleichungen: 4f3-4° 8^^- I6ä^t^ 32§ 26—3«-^ SD-j, 27/-t- 81§-I- 243§ 42—4«-t-I6jZ-4- 64^ 256ä-t-I024s 55—5«-t-25jZ-t-125^4- 625Z-I-3125S 65 —6»4-36si-^216^-l-1296S^-7776§. Hieraus ergibt sich 3456 3398 883 . 106 S 144' "l44' 144'^—144'?— 144' daher 3456 3398 883 106 144'^1440' — 14400'^"144000' 1440000 und sonach —69I2000w-I-679600w2—17660w^212w4—w? V— —- > 288000 So z.B. findet man für die Ladung von 45 Lothen, wenn man s--4S setzt, die Wurfweite z/—488 Klafter. §. 340. In der letzt erwähnten Darstellung gestattet das Interpo- lations - Problem noch eine andere bemerkenswerthe Lösung. Seien wieder VIH. Abschnitt. 577 Fo, N», Nü, .... z,"- die »r-t-i Werthe vonzc, welche den besonderen Werthen der Veränderlichen ar entsprechen. Erwägt man nun, daß in der allgemeinen Jnterpolationsformel (§. 337, Gl. 15) die Größen No' ^1, r/z,.... II, keiner höheren Potenz als in der ersten erscheinen können; so bleibt es immerhin verstattet, den allgemeinen Ausdruck von - r'n der Gestalt -t-Xzzrz-i-- ' - -i-Xml/m zu schreiben, indem man unter den Factoren X„, X„ Xr, - Xm... solche Functionen von ar begreift, daß die erste Xg blos fürar,—ar„ auf I, für jeden andern Werth von ar aber aufNull, die zweite X, nur für ar, auf i, für alle übrigen Werthe von ar dagegen auf Null sich reducirt, und kurz, daß jede Function X« nur fürar—a-„ in i, für jeden anderen Werth von ar aber in Null übergehe. Soll aber eine Function X„ so bestimmt werden, daß sie, den Werth ar» ausgenommen, bei welchem sic—i wird, für sämmtlichc Werthe ^.-g, ar„ wz, ... ar»-,, «r--> verschwinde; so muß sie (nach §. 288, III.) durch das Product (ar—ar,,) (ar—ar,) (ar—wz)... (ar—ar»-,) (ar—ar,,^.,) ...(ar—ar»,) theilbar sein, folglich, wennL eine von ar unabhängige Größe vor¬ stellt, die Form X»—Li(ar—a-g) (ar—ar,) (ar—ar»—,)(ar—ar» u,,) (ar—ar«) besitzen. Damit aber für ar--ar» auch noch X»-i werde, muß I —X(ar»—ar„) (ar»—ar,)...(ar»—ar»—,) (.rr» ar»^_ ,)... (rr» ar»,) sein, daher erhält man, indem man die vorhergehende Gleichung durch diese dividirt, — (ar—ar„) (ar— ar,) ... (ar—ar,,-,) (ar —ar» i)... (ar — ar ,») " (ar„—a?o) (ar»—ar,) ...(ar»—ar»—i) (ar»—ar» 4- i). ,.(ar»—ar^) Setzt man nunmehr in diesem allgemeinen Ausdrucke von X» für »r nach und nach die Zahlen 0, 1, 2, ...m, so findet man die Functionen X», X„ Xr,...X», und wenn man diese in dem irr ,v angenommenen Ausdrucke substituirt, Wega Vorles. i Bd. 37 578 Siebe-nte« Hauxtstüct. (27—L',) (L— 2?r) (27—27z)...(27— 27m) (27p—27i) (27p—27z) (27p —27z) ..(27p—27m) 4 (27—27p ) (27—27z) o-27z)... (27—27m) (27,—27p) (27,—27z) (27,—27z) ... (271 —27m) (27— 27g) (27-27,) (27-27z)... (27-27m) (27z—27p) (272—271) (27z—27z) ... (27z—27m) (27—27p) (27— 27l) (27 27z) . . . (27—27m) (27z—27p) (27z—27,) (27g—27z)... (27g—27m) ' Z/n V- L^- (27— 27p) (27—27,) (27—27z). . .(27—2 7m-l) (27m—27p) (27m—27,)(27m—27z)... (27m—27m-l) ' Diese Gleichung heißt nach ihrem Erfinder die Lagrang ra¬ sche Interpolationsformel und gewährt in der Anwen¬ dung den Bortheil, daß sich die einzelnen Bestandtheile derselben mit Hilfe der Logarithmen berechnen lassen. Anhang einiger Tafeln. I. Tafel der Primfactoren aller Zahlen von I bis 16397. II. Tafel der Potenzen aller Zahlen von 1 bis 100. IH. Tafel der zweiten Potenzen aller Zahlen von i bis 1000. I V. Tafel der dritten Potenzen aller Zahlen von i bis iooo. V. Tafel der zweiten Wurzeln aller Zahlen von 1 bis 1000. VI. Tafel der dritten Wurzeln aller Zahlen von 1 bis 1000. VII. Tafel zur Verwandlung der Fuße, Zolle, Linien und Puncte des zwölftheiligen Maßes in Decimal- theile der Klafter, des Fußes und des Zolles, wie auch umgekehrt. In der Tafel der Primfactoren sind alle durch 2, 3 und 5 nicht theilbaren zusammengesetzten Zahlen von l bis 16397 in ihre einfachen Factoren aufgelöst; weßwegen diese Zah¬ len nach ihrer natürlichen Folge in vcrtiealen Columnen geordnet, und ihre Primfactoren ihnen rechts beigesctzt sind, wodurch die Aufsuchung dieser Factoren für sich klar wird. Sollte die Zahl, de¬ ren Primfactoren man sucht, in der Tafel nicht enthalten sein, so ist dies ein Zeichen, daß selbe eine Primzahl sei. So findet man z. B., daß die Zahl 4199 aus den einfachen Factoren 13. 17. 19'zusammengesetzt sei; sie werden einfach genannt, um sie von den übrigen zusammengesetzten Factoren 221—13.17, 247—13.19, 325 — 17.19 zu unterscheiden, durch welche die gege¬ bene Zahl gleichfalls theilbar ist. Eben so findet man, daß 4177 eine Primzahl sei. Die durch 2, 3 und 5 theilbaren Zahlen sind in der Tafel weggeblieben, weil die Factoren 2, 3 oder 5 einer Zahl gleich bei ihrem Anblicke in die Augen fallen (§. 69, t>). Würde nun eine durch 2, 3 oder 5 theilbare Zahl, z. B. 111972 in ihre einfachen Factoren zu zerlegen sein; so sieht man gleich, daß 111972 — 2.2.3. 9331 sei; nun findet man in der Tafel 9331—7. 31.43, folglich ist I1I972 —2.2.3.7.31.43. Die darauf folgende Tafel der Potenzen enthält die 4te, ste, 6stc, 7te und 8te Potenz aller Zahlen von i bis Ivo, und kann sowohl bei der Auflösung der höheren Gleichungen, so wie auch bei dem Einschalten oder Zntcrpoliren und in andern Fällen gute Dienste leisten. Mittels dieser Tafel findet man auch die Potenzen von 1,0; i,i; 1,2; 1,3; . . . 9,9; l» wie die Potenzen von 0,01; 0,02; 0,03; . . . 0,99; wenn man nur für die gesuchte Potenz die gehörigen Decimalziffern in der Tafel absondert. Die Tafeln der zweiten und dritten Potenzen, wie auch die Tafeln der zweiten und dritten Wur¬ zeln bedürfen keiner Erläuterung. Daß diese Tafeln auch auf einige Decimalbrüche angewcndct werden können, wird jeder bei dem ersten Anblicke selbst einsehen. Eben so einfach und deutlich lh die Einrichtung der letzten Tafel. Tafel der Primfactoren. 581 Bega Vorles. I. Wd. 38 882 Tafel der Primfactoren. Tafel der Primfactoren. 583 S8 584 Tafel der Primfactrren. Tafel der Primfaetoren. 883 S8K Tafel der Prim fac tore n. Tafel der Primfactvren. 387 S88 Tafel der Primfactoren. Tafel der Primfactoren. 589 590 Tafel der Primfactoren. Tafel der Prim facto rett 591 592 Tafel der Primfactor en. Tafel der Primfactoren. 5SS Tafel der Potenzen 591 alle» Zahle» von 1 bis 100. sss 598 Tafel der zweiten Potenzen «««^>4 «»«KS S»«SS S»««S »««>«>» «-«SS S»«SS ««««« ««««r» ««N«« ql^l^ 616295051 618470208 620650477 622835864 625026375 627222016 629422793 631628712 633839779 636056000 638277381 640503928 642735647 644972544 647214625 649461896 651714363 653972032 656234909 658503000 660776311 663054848 665338617 667627624 669921875 672221376 674526133 676836152 679151439 681472000 683797841 686128968 688465387 690807104 693154125 695506456 697864103 700227072 702595369 704969000 707347971 709732288 712121957 714516984 716917375 719323136 721734273 724150792 726572699 860085351 862801408 865523177 868250664 870983875 873722816 876467493 879217912 881974079 884736000 887503681 890277128 893056347 895841344 898632125 901428696 904231063 907039232 909853209 912673000 915498611 918330048 921167317 924010424 926859375 929714176 932574833 935441352 938313739 941192000 944076141 946966168 949862087 952763904 955671625 958585256 961504803 964430272 967361669 970299000 973242271 976191488 979146657 982107784 985074875 988047936 991026973 994011992 997002999 1000000000 604 Tafel der zweiten Wurzeln aller Zahlen von t bis MO. SOS 80k Tafel der zweiten Wurzeln aller Z a hIe n v ott 1 bis 1000. «07 6S8 Tafel der dritten Wurzeln aller Zahlen v y n 1 bis lOOli. kos 61lt Tafel der dritten Wurzeln aller Zahlen von 1 bis 1000. 611 612 Verwandlung der Fuße, Zolle, Linien und Puncte des zwölftheiligen Maßes in Decimaltheile der Klafter, des Fußes und des Zolles; wie auch umgekehrt. Berichtigungen Seite 30 Zeile 4 von oben statt 3151. setze man 3152 3 , 37 -St - 9v. mttmst. l- M' E — 84 — 1 v- 0. — 100 — 11 v. o. — 187 — 4 v. u. — 220 16 v. o. — 220 — 18 v. 0. — 893 7 v. U. _ 458 — 7U.8V. 0. st. s. M. ^Fl. -- st. 14 s. m. 24 st. Ls.m. ? st. 2 s. m. IS st. 12 s. m. 21 1 1 st' 48 s' 58 st. 26 s. m. 36 537 — 7 v. o. st. a^-j- s. m. a^-'.