OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 63 ŠT. 4 STR 121-160 JULIJ 2016
C  KM Y 
2016
Letnik 63
4
i
i
“kolofon” — 2016/12/15 — 13:11 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JULIJ 2016, letnik 63, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2016 DMFA Slovenije – 2016 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
LOKSODROME NA KROŽNEM TORUSU
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 53A04, 53A05
V prispevku definiramo loksodrome na krožnem torusu in med njimi poǐsčemo skle-
njene. Pokažemo, kdaj obstajata ortogonalni družini sklenjenih loksodrom na krožnem
torusu.
LOXODROMES ON A RING TORUS
In this contribution we define loxodromes on a ring torus and we find closed ones
among them. We show when there exist orthogonal families of closed loxodromes on a
ring torus.
Torus
Če krožnico s polmerom b > 0 zavrtimo za kot 2π okoli premice v ravnini te
krožnice, dobimo ploskev, ki ji rečemo torus. Pri tem naj sredǐsče krožnice
opǐse krožnico s polmerom a > 0. Premica, okoli katere zavrtimo krožnico,
je os torusa. Krožnica s polmerom a, po kateri sredǐsče krožnice s polmerom
b obkroži sredǐsče torusa, je sredǐsčnica torusa. Njeno sredǐsče je sredǐsče
torusa. Da bomo torus lažje študirali in v zvezi z njim tudi kaj izračunali,
postavimo pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxyz tako, da je sre-
dǐsče torusa v koordinatnem izhodǐsču, os torusa pa je os z. Preostali dve
koordinatni osi pa sta postavljeni tako, kot smo navajeni (slika 1).
Oblika torusa je še najbolj odvisna od razmerja med a in b. Če je
a > b > 0, ima torus okoli svojega sredǐsča luknjo. Takemu torusu pravimo
krožni torus, saj ima obliko odebeljene krožnice in je še najbolj podoben
avtomobilski zračnici. Če je a = b > 0, se ta luknja popolnoma zapre in
takrat govorimo o rogatem torusu. Če namreč tak torus presekamo z ravnino
skozi njegovo sredǐsče pravokotno na os, vidimo v vsaki polovici v sredini
nekakšen rožiček vzdolž osi. Če je 0 < a < b, torus seka sam sebe, okoli
njegovega sredǐsča pa dobimo vretenu podoben del. Zato takemu torusu
rečemo vretenasti torus. Ker bomo v prispevku obravnavali samo krožne
toruse, bomo prilastek krožni izpuščali.
Torus v koordinatnem sistemu Oxyz, v katerem je O sredǐsče torusa, os
z pa os torusa, najenostavneje parametriziramo z
~r (u, v) = ((a+ b cos v) cosu, (a+ b cos v) sinu, b sin v),
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 121
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 1. Torus. Nekaj poldnevnikov in vzporednikov. Pomen parametrov.
pri čemer je −π < u ≤ π, −π < v ≤ π. Parametrizacijo najlažje razumemo,
če vzamemo točko na torusu in gledamo osni presek torusa skozi to točko
ter pravokotno projekcijo na ekvatorialno ravnino torusa z = 0.
S tem imamo na voljo analitično izražavo torusa, kar omogoča udobno
računanje. Območje parametrov u in v, ki sestavljajo urejene pare (u, v), je
kvadrat Q = {(u, v) : −π < u ≤ π, −π < v ≤ π}. Parameter u imenujemo
zemljepisna dolžina, v pa zemljepisna širina na torusu. Vsaki točki na torusu
ustreza natančno en par (u, v) v kvadratuQ. S parametrizacijo smo ustvarili
koordinatni sistem na torusu, nekako tako kot na globusu.
Krivulje na torusu
Pri konstantnem u dobimo poldnevnike na torusu, pri konstantnem v pa
vzporednike. Poldnevniki in vzporedniki na torusu se sekajo pod pravim
kotom. Vzporednik, določen z v = 0, je zunanji ekvator torusa, vzporednik,
določen z v = π, pa notranji ekvator torusa.
Če je K krivulja v kvadratu Q, se bo le-ta s funkcijo (u, v) 7→ ~r (u, v)
preslikala v krivuljo na torusu. Sedaj bomo poiskali na torusu tisto krivuljo,
ki njegove poldnevnike seka pod enakim kotom α. Iskano krivuljo bomo
imenovali loksodroma. Kot α 6= 0 bomo šteli za pozitiven, če je v presečǐsču
poldnevnika in loksodrome na njej du/dv > 0, in za negativen, če je du/dv <
0. Za kot α = 0 dobimo kar poldnevnik, za α = π/2 pa vzporednik na
torusu. Ta dva primera sta nezanimiva. Zato predpostavimo, da velja 0 <
|α| < π/2. Poiskati moramo tako povezavo med parametroma u in v, ki
definira krivuljo na torusu, ki seka njegove poldnevnike pod stalnim kotom
α. To bo nekaj takega, kot je v koordinatnem sistemu Oxy primerna relacija
122 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Loksodrome na krožnem torusu
med x in y, ki definira krivuljo v tej ravnini.
Kot α med krivuljama je kot med tangentama v presečǐsču teh krivulj.
Ker ima diferencial d~r krivulje isto smer kot njena tangenta, lahko kot med
njima hitro izrazimo. Diferencial v zvezi s prvo krivuljo označimo z d, v
zvezi z drugo pa z δ. Torej lahko izrazimo
cosα =
d~r · δ~r
|d~r| · |δ~r|
=
d~r · δ~r
ds · δs
.
Na ploskvi ~r = ~r (u, v) je
d~r =
∂~r
∂u
du+
∂~r
∂v
dv,
kvadrat diferenciala loka pa
|d~r |2 = ds2 = E du2 + 2F dudv +Gdv2,
pri čemer so Gaußovi koeficienti E,F,G definirani takole (več o tem v [3]):
E =
∂~r
∂u
· ∂~r
∂u
, F =
∂~r
∂u
· ∂~r
∂v
in G =
∂~r
∂v
· ∂~r
∂v
.
S preprostim računom dobimo za torus:
∂~r
∂u
= (a+ b cos v)(− sinu, cosu, 0),
∂~r
∂v
= b(− cosu sin v,− sinu sin v, cos v),
E = (a+ b cos v)2, F = 0, G = b2, ds2 = (a+ b cos v)2 du2 + b2 dv2.
Iskana loksodroma naj ima diferenciale označene z d, poldnevnik pa z
δ. Na poldnevniku se parameter u ne spreminja, zato je δu = 0 in izrazi se
poenostavijo:
d~r · δ~r = b2dvδv, δs2 = b2δv2, cosα = bdv√
(a+ b cos v)2 du2 + b2dv2
.
Dobljeno diferencialno enačbo preoblikujemo tako, da najprej zapǐsemo
1
cos2 α
= 1 + tg2 α = 1 +
1
b2
(
du
dv
)2
(a+ b cos v)2,
121–131 123
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
iz česar dobimo preprosto diferencialno enačbo(
du
dv
)2
(a+ b cos v)2 = b2 tg2 α,
ki razpade na dve diferencialni enačbi z ločljivima spremenljivkama:
du
dv
(a+ b cos v) = b tgα,
du
dv
(a+ b cos v) = −b tgα.
Ločimo spremenljivki:
du =
b tgα
a+ b cos v
dv,
du =
b tg(−α)
a+ b cos v
dv.
Obravnavali bomo samo primer α > 0, saj sta si rešitvi za α > 0 in α < 0
zrcalni glede na ravnino, ki vsebuje poldnevnik.
Za enolično rešitev dobljene diferencialne enačbe moramo poznati še
začetni pogoj. Brez škode za splošnost poǐsčimo tisto loksodromo na torusu,
ki poteka skozi točko A(a+b, 0, 0); ta ustreza parametroma u0 = 0 in v0 = 0.
Z integracijo dobimo
u = b tgα
∫ v
0
dν
a+ b cos ν
=
2b tgα
c
arctg(µ tg(v/2)),
kjer smo pri pogoju a > b > 0 označili
c =
√
a2 − b2 in µ =
√
a− b
a+ b
.
Vpeljani parameter c ima preprost geometrijski pomen. Za katerikoli toru-
sov poldnevnik ima namreč odsek njegove tangente, ki poteka skozi sredǐsče
torusa, dolžino c, merjeno od dotikalǐsča do sredǐsča torusa (slika 2).
Funkcija
f : v 7→ u = f(v) = 2b tgα
c
arctg(µ tg(v/2)) (1)
je definirana na intervalu (−π, π), je liha in ima v krajǐsčih ustrezni eno-
stranski limiti ±bπ/c · tgα. Funkcija f vpliva na obliko loksodrome na
torusu. Ta je odvisna od tega, v kakšni medsebojni relaciji so a, b in α
oziroma b, c in α.
124 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Loksodrome na krožnem torusu
Slika 2. Geometrijski pomen parametra c in kota ϕ.
Villarceaujeve krožnice na torusu
Najprej bomo obravnavali primer, ko graf funkcije f vključno z limitnima
točkama v krajǐsčih intervala (−π, π) poteka skozi oglǐsči (−π,−π) in (π, π)
zaprtja kvadrata Q. Ti dve oglǐsči namreč dasta na torusu isto točko
(b − a, 0, 0) na njegovem notranjem ekvatorju, kar pomeni, da je ustrezna
loksodroma sklenjena krivulja. To se zgodi pri pogoju tgα = c/b. Tedaj je
u = f(v) = 2 arctg(µ tg(v/2)).
Če uporabimo znane identitete s polovičnimi koti, dobimo za loksodromo
cosu =
b+ a cos v
a+ b cos v
, sinu =
c sin v
a+ b cos v
in jo lahko zapǐsemo v preprosti obliki:
~r (v) = (b+ a cos v, c sin v, b sin v).
Dobljena krivulja očitno leži na ravnini cz = by, ki je vzporedna z osjo x in
oklepa z ravnino z = 0 kot ϕ, za katerega je tgϕ = b/c oziroma sinϕ = b/a.
Kot med ravninama je seveda definiran kot kot med njunima pripadajočima
normalama. Ravnina cz = by seka torus še enkrat v prav taki krivulji, tako
da imamo opraviti s skladnima koplanarnima krivuljama. Ker za poljuben
vektor ~r (v) velja
|~r (v)− b~i | = |(a cos v, c sin v, b sin v)| = a,
je dobljena krivulja krožnica s sredǐsčem v točki S(b, 0, 0) in polmerom
a. Krožnici rečemo Villarceaujeva krožnica na torusu. Villarceaujeva kro-
žnica je skladna s sredǐsčnico torusa. Vse Villarceaujeve krožnice na torusu
121–131 125
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
dobimo z zasuki okoli osi torusa dveh Villarceaujevih krožnic skozi točko
A(a + b, 0, 0): ena oklepa v tej točki z zunanjim ekvatorjem kot ϕ, druga
pa −ϕ. Rekli bomo, da sta si tedaj Villarceaujevi krožnici sestrski. Slednja
ima enačbo
~r (v) = (b+ a cos v,−c sin v, b sin v).
Slika 3. Villarceaujeve krožnice.
Vsako Villarceaujevo krožnico dobimo iz osnovne in njej sestrske kro-
žnice z zasukom okoli osi torusa za neki kot, denimo ϑ. Do njene enačbe
pridemo z množenjem rotacijske matrike za kot ϑ glede na os z in vektorja
~r (v), ki ga transponiramo v stolpec: cosϑ − sinϑ 0sinϑ cosϑ 0
0 0 1
 b+ a cos v±c sin v
b sin v
 =
 (b+ a cos v) cosϑ∓ c sin v sinϑ(b+ a cos v) sinϑ± c sin v cosϑ
b sin v
 .
Potem ko dobljeni stolpec transponiramo v vrstico, dobimo:
~rϑ (v) = ((b+a cos v) cosϑ∓c sin v sinϑ, (b+a cos v) sinϑ±c sin v cosϑ, b sin v).
Slika 3 kaže družino na isto stran nagnjenih Villarceaujevih krožnic z razmi-
kom ∆ϑ = π/10. Skozi vsako točko na torusu potekajo štiri krožnice, ki
ležijo na torusu: poldnevnik, vzporednik in dve sestrski Villarceaujevi kro-
žnici. Kot ϕ med ravnino, ki seka torus v obeh sestrskih Villarceaujevih
krožnicah, in ekvatorialno ravnino torusa dobimo, če postavimo tangento
skozi njegovo sredǐsče na katerikoli njegov poldnevnik (slika 2). Očitno je
to v soglasju z relacijo sinϕ = b/a.
Drugačen pristop do Villarceaujevih krožnic na torusu poteka s preseki
torusa z ravninami. Izkaže se, da so preseki lahko krožnice samo tedaj, ko
126 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Loksodrome na krožnem torusu
ravnina poteka skozi sredǐsče torusa ali pa je vzporedna z njegovo ekva-
torialno ravnino. V slednjem primeru dobimo vzporednike na torusu. Če
presečna ravnina vsebuje os torusa, so preseki poldnevniki torusa. Kadar
pa ravnina poteka skozi sredǐsče torusa in oklepa z ekvatorialno ravnino kot
ϕ = ± arcsin(b/a), so preseki Villarceaujeve krožnice.
Bolj zavozlane loksodrome na torusu
Villarceaujeve krožnice so najbolj preproste loksodrome, ki enkrat samkrat
obkrožijo os torusa in enkrat njegovo sredǐsčnico. Od obeh polmerov, a in
b, ter kota α pa je odvisno, ali je loksodroma sklenjena krivulja ali ne in
kolikokrat obkroži os torusa in kolikokrat njegovo sredǐsčnico. V ta namen
si ponovno oglejmo funkcijo (1), ki povezuje parametra u in v. Parameter v
teče od −π do π, pri čemer za ±π upoštevamo ustrezni limiti, za parameter
u pa bomo morali sedaj dovoliti poljubno realno vrednost. S tem dopuščamo
možnost, da se loksodroma večkrat ovije okoli osi torusa. Krivulja u = f(v)
poteka skozi točki (±πb/c·tgα,±π) v ravnini parametrov (u, v). Ti dve točki
določata osnovni pravokotnik R (slika 4). Stranica v smeri osi u je dolga
2πb/c · tgα, v smeri osi v pa 2π. Pravokotnik R se ujema s kvadratom Q
samo tedaj, ko je tgα = c/b. Takrat je loksodroma Villarceaujeva krožnica.
Če je tgα 6= c/b, loksodroma ni sklenjena. V tem primeru se krivulja
začne in konča v različnih točkah na notranjem ekvatorju torusa. Da ohra-
nimo sekanje poldnevnikov pod kotom α še naprej, zlepimo n osnovnih
pravokotnikov s krivuljo u = f(v) vred v trak vzdolž osi u in to naredimo
tolikokrat, da je trak dolg nekemu celemu mnogokratniku števila 2π, denimo
m · 2π (slika 4).
To se bo seveda posrečilo pri primerni relaciji med polmeroma a in b ter
kotom α. Krivulja na k-ti kopiji osnovnega pravokotnika ima seveda enačbo
u = f(v) + k · 2πb
c
tgα =
2b tgα
c
(arctg(µ tg(v/2)) + kπ),
pri čemer izberemo k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Pri opisanem lepljenju osnovnih
pravokotnikov v trak vedno desno zgornje oglǐsče pravokotnika, na primer
Y , in levo spodnje oglǐsče X naslednjega pravokotnika na torusu očitno
dasta isto točko M na notranjem ekvatorju. Lihost funkcije f pa poskrbi
za gladkost loksodrome v točki M . Iz zahteve
n · 2πb
c
tgα = m · 2π
121–131 127
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 4. Nizanje osnovnih pravokotnikov.
dobimo pogoj za sklenjenost loksodrome na torusu:
b
c
tgα =
m
n
.
Pri tem sta si m in n tuji naravni števili. Loksodroma tedaj n-krat obkroži
sredǐsčnico torusa ter m-krat njegovo os. Oglejmo si nekaj primerov:
1. Vzemimo torus s polmeroma a = 5, b = 3 in na njem konstruirajmo
loksodromo s kotom α = π/4. Dobimo c = 4 in b/c · tgα = 3/4.
Loksodroma se štirikrat ovije okoli sredǐsčnice in trikrat okoli osi torusa.
2. Oglejmo si še torus s podatkoma a = 13, b = 5 in na njem konstruirajmo
loksodromo s kotom α = π/4. Dobimo c = 12 in b/c · tgα = 5/12.
Loksodroma se dvanajstkrat ovije okoli sredǐsčnice in petkrat okoli osi
torusa.
3. Nazadnje naj ima torus polmera a = 2, b = 1 in na njem konstruiraj-
mo loksodromo za kot α = π/6. Dobimo c =
√
3 in b/c · tgα = 1/3.
Loksodroma se trikrat ovije okoli sredǐsčnice in enkrat okoli osi torusa
(slika 5).
Ortogonalne sklenjene loksodrome na torusu
Dve sklenjeni loksodromi na torusu se lahko sekata. Oglejmo si, kdaj se
sekata ortogonalno. Če prva seka vse poldnevnike pod kotom α, kjer vza-
memo 0 < α < π/2, druga, ki je nanjo ortogonalna, seka poldnevnike pod
128 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Loksodrome na krožnem torusu
Slika 5. Loksodroma na torusu za a = 2, b = 1, α = π/6.
kotom β = α−π/2. Pri tem pa je −π/2 < β < 0. Pogoja sklenjenosti obeh
loksodrom sta
b
c
tgα =
m
n
, −b
c
tg β =
b
c
1
tgα
=
m1
n1
.
Pri tem sta si m in n ter m1 in n1 tuji naravni števili. Velja torej relacija:
b2
c2
=
1
(a/b)2 − 1
=
m
n
· m1
n1
.
Če se sklenjena loksodroma m-krat ovije okoli osi torusa in n-krat okoli
njegove sredǐsčnice, pri čemer je razmerje kvadratov njegovih polmerov
racionalno število in je izpolnjena zgornja relacija, potem se ortogonalna
loksodroma ovije okoli osi torusa m1-krat in okoli njegove sredǐsčnice n1-
krat.
Za a = 2 in b = 1 dobimo na primer
b2
c2
=
1
3
=
1
3
· 1
1
.
Lahko izberemo
b
c
tgα =
1√
3
tgα =
1
3
,
b
c
tg β =
1√
3
tg β = −1
1
in s tem
α = arctg
√
3
3
=
π
6
, β = − arctg
√
3 = −π
3
.
121–131 129
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 6. Ortogonalni zaključeni loksodromi na torusu.
Prva loksodroma se enkrat ovije okoli osi torusa in trikrat okoli njegove
sredǐsčnice. Druga loksodroma je Villarceaujeva krožnica, ki seka ekvator
torusa pod kotom π/6. Ta loksodroma se enkrat ovije okoli osi torusa in
enkrat okoli njegove sredǐsčnice.
Ker za a = 2, b = 1 lahko zapǐsemo tudi
b2
c2
=
1
3
=
3
4
· 4
9
,
najdemo drugi par ortogonalnih sklenjenih loksodrom s kotoma
α = arctg
3
√
3
4
, β = − arctg 4
√
3
9
.
Razmere na torusu so kar pestre (slika 6). Prva loksodroma se trikrat ovije
okoli osi torusa in štirikrat okoli njegove sredǐsčnice. Druga loksodroma pa
se štirikrat ovije okoli osi torusa in devetkrat okoli njegove sredǐsčnice.
Nekaj pripomb
Torus so poznali že nekateri antični matematiki. Beseda torus je latinska.
Še najlepša domača beseda zanj je svitek. V starih časih so ženske nosile
na glavah škafe in vedra. Na glave pa so si pred tem za ublažitev pritiska
namestile ravno prav trde svitke iz blaga. Tak svitek je omogočal, da so
najbolj spretne nosile polno posodo, ne da bi jo držale z rokami.
130 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Loksodrome na krožnem torusu
Beseda loksodroma izhaja iz grških besed λοξός, kar med drugim pomeni
v klasični grščini poševen, poprečen, in δρόμος, kar pa pomeni tek, steza,
pot. Loksodromo na sferi je prvi študiral portugalski matematik, astronom
in geograf Pedro Nunez (1502–1578), v latinščini Petrus Nonius. Po njem
se imenuje nonij, ki je sestavni del kljunastega merila. Besedo loksodroma
je skoval Willebrord Snel van Royen (1580–1626), tudi Snellius ali Snell,
po katerem pogosto imenujejo lomni zakon v optiki. Loksodrome lahko
definiramo na vsaki dovolj gladki rotacijski ploskvi.
Antoine François Joseph Yvon Villarceau (1813–1883), po katerem so
poimenovane Villarceaujeve krožnice kot poseben primer loksodrom na to-
rusu, je bil francoski astronom, matematik in inženir, tudi član znamenite
Académie des Sciences.
Za konec
Prispevek je nastal ob branju članka [1], ki ima napačno zapisan pogoj
ortogonalnih sklenjenih loksodrom. Avtor je napako popravil v [2]. Tudi
njegov pogoj, da je pri tem razmerje a/b racionalno, je prehud. Očitno
lahko zahtevamo, da je kvadrat razmerja a/b racionalen. Bralec lahko sam
preveri, da na primer za
a =
√
3, b = 1, α = arctg
√
2
2
, β = − arctg
√
2
dobimo par ortogonalnih loksodrom.
Glavni namen prispevka pa je pokazati lepoto torusa, okoli katerega
se ovijajo loksodrome. Lahko bi študirali tudi kakšne druge krivulje na
njem, na primer geodetke. Zato torus s krivuljami na njem pogosto najde
svoje mesto v upodabljajoči umetnosti, kar lahko opazujemo na številnih
fotografijah, objavljenih na svetovnem spletu.
Slike v prispevku so bile narejene z GeoGebro 5, ki omogoča risanje
prostorskih slik. Za izris prostorskih krivulj in ploskev v GeoGebri 5 potre-
bujemo njihove parametrične enačbe in območja parametrov. Nato jih je
treba le še pravilno vnesti v ukazni vrstici. Za prikaz krivulje na ploskvi, ki
je parametrizirana s parametroma u in v, moramo poznati še relacijo med
u in v in jo na primeren način vnesti v ukazni vrstici.
LITERATURA
[1] A. Emch, Note on the loxodromic lines of the torus, Amer. Math. Monthly 6 (1899),
136–139.
[2] A. Emch, Errata. Note on the loxodromic lines of the torus, Amer. Math. Monthly 6
(1899), 188.
[3] I. Vidav, Diferencialna geometrija, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 1989.
121–131 131
i
i
“Gologranc” — 2016/12/19 — 7:17 — page 132 — #1 i
i
i
i
i
i
UPORABA HALLOVEGA IZREKA
TANJA GOLOGRANC
Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko
Math. Subj. Class. (2010): 05C70
V članku z uporabo alternirajočih poti dokažemo Hallov izrek in na več primerih
prikažemo njegovo uporabnost v dokazovanju. Tak primer so latinski kvadrati, kjer z
uporabo Hallovega izreka dokažemo povezavo med latinskimi pravokotniki in latinskimi
kvadrati.
APPLICATIONS OF HALL’S THEOREM
In the paper we prove Hall’s theorem using alternating paths and we present three
proofs based on Hall’s theorem. One of them describes a relation between Latin rectangles
and Latin squares.
Uvod
Hallov poročni izrek je leta 1935 dokazal Philip Hall in pomeni začetek te-
orije prirejanj. V vsakdanjem življenju večkrat naletimo na problem, ki
ga lahko prevedemo na prirejanja in ga rešimo z uporabo Hallovega izreka.
Najbolj znan tak problem utemeljuje ime izreka in govori o tem, kako orga-
nizirati pare fantov in deklet tako, da bo vsako dekle dobilo fanta, ki si ga
želi. Hallov izrek se uporablja tudi zunaj teorije prirejanj in celo zunaj teo-
rije grafov. Z njim je tesno povezanih več pomembnih min-max izrekov, kot
so na primer König-Egerváryjev izrek iz teorije prirejanj, Ford-Fulkersonov
izrek iz teorije pretokov in Dilworthov izrek iz teorije delnih urejenosti.
Hallov poročni izrek
Za začetek vpeljimo nekaj osnovnih pojmov, ki so potrebni za razumevanje
Hallovega izreka. Dvodelni graf G = (V,E) je graf, katerega množico vozlǐsč
lahko razbijemo na dve disjunktni množici A in B tako, da vsaka povezava
iz E povezuje vozlǐsče iz množice A z vozlǐsčem iz množice B. V tem pri-
meru pǐsemo G = A + B. Množica M povezav grafa G = (V,E) se imenuje
prirejanje v grafu G = (V,E), če nimata nobeni povezavi iz M skupnih kra-
jǐsč. Popolno prirejanje v grafu G je prirejanje, v katerem krajǐsča povezav
132 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Gologranc” — 2016/12/19 — 7:17 — page 133 — #2 i
i
i
i
i
i
Uporaba Hallovega izreka
zajamejo vsa vozlǐsča množice V . V dvodelnem grafu G = A+B prirejanje,
v katerem so kot krajǐsča zajeta vsa vozlǐsča množice A, imenujemo polno
prirejanje množice A. Soseščina množice X je množica vseh vozlǐsč grafa
G, ki imajo kakega soseda v množici X. Označujemo jo z oznako N(X).
Vozlǐsče x grafa G = (V,E) je incidenčno s povezavo e ∈ E natanko tedaj,
ko je x krajǐsče povezave e. Povezavi e1, e2 grafa G = (V,E) sta sosednji
natanko tedaj, ko imata eno skupno krajǐsče.
Primer 1. Na sliki 1 sta dvodelna grafa G in H. Oba grafa imata s krepkimi
povezavami označeno največje prirejanje. Opazimo lahko, da v grafu G
obstaja polno prirejanje množice A, v grafu H pa ne.
G
A
B
H
A
B
Slika 1. Primer grafa s polnim in brez polnega prirejanja.
Izrek 2 (Hall, 1935). Dvodelni graf G = A+B ima polno prirejanje mno-
žice A natanko tedaj, ko za vsako podmnožico X ⊆ A velja
|N(X)| ≥ |X|.
Dokaz. Naj bo G = A + B dvodelni graf, ki ima polno prirejanje množice
A. Denimo, da obstaja X ⊆ A z |N(X)| < |X|. Ker morajo biti povezave
prirejanja paroma nesosednje, z nobenim prirejanjem ne moremo pokriti
vseh vozlǐsč množice X, kar pripelje do protislovja.
Drugo implikacijo bomo dokazali s kontrapozicijo. Dokazali bomo nasle-
dnjo trditev. Če je največje prirejanje M v G moči m < |A|, potem obstaja
A′ ⊆ A z |N(A′)| < |A|.
Naj bo torej M največje prirejanje v G moči m < |A|. Za bolǰse razu-
mevanje pobarvajmo povezave prirejanja M z rdečo barvo, druge povezave
grafa G naj bodo črne. Ker je m < |A|, obstaja vozlǐsče u ∈ A, ki ni inci-
denčno z nobeno rdečo povezavo. S P označimo množico vseh alternirajočih
poti, torej poti, na katerih alternirata črna in rdeča povezava in se začnejo
v u. Naj bo A′ =
⋃
P∈P(A ∩ P ) in B′ =
⋃
P∈P(B ∩ P ).
132–138 133
i
i
“Gologranc” — 2016/12/19 — 7:17 — page 134 — #3 i
i
i
i
i
i
Tanja Gologranc
Najprej dokažimo, da se nobena maksimalna pot iz P ne more končati
v B′. Denimo, da se maksimalna pot P konča v B′. Potem je število črnih
povezav na P za eno večje od števila rdečih povezav na P . Zato z zamenjavo
črnih in rdečih povezav na tej poti dobimo novo prirejanje grafa G, ki je
večje od M , kar je v nasprotju z izbiro M. Zato je vsako vozlǐsče iz B′
povezano z rdečo povezavo z vozlǐsčem iz A′ − {u}.
Obratno, vsako vozlǐsče v ∈ A′ − {u} je povezano z rdečo povezavo z
vozlǐsčem iz B′, in sicer z vozlǐsčem, ki je neposredno pred v na alternirajoči
poti, ki vsebuje v. Zato je M bijekcija iz A′ − {u} v B′, kar pomeni, da je
|A′| = |B′|+ 1.
Naj bo b ∈ B−B′ poljubno vozlǐsče, ki ima soseda a ∈ A′. Povezava ab ne
more biti rdeča, saj vozlǐsče u ni incidenčno z rdečo povezavo, za a različen
od u pa obstaja tak b′ ∈ B′, da je ab′ rdeča, torej ab ni rdeča. Naj bo P ∈ P
poljubna alternirajoča pot, ki vsebuje a. Tvorimo novo alternirajočo pot,
ki vse do vozlǐsča a sovpada s P , nadaljevanje pa nadomestimo s povezavo
ab. To pomeni, da obstaja pot v P, ki vsebuje b. Zato je b ∈ B′, kar je v
nasprotju s predpostavko. S tem smo dokazali, da vozlǐsča iz B−B′ nimajo
sosedov v A′, torej je NG(A
′) ⊆ B′. Zato je |NG(A′)| ≤ |B′| = |A′| − 1, s
čimer je izrek dokazan.
Z naslednjim primerom bomo utemeljili, zakaj Hallovemu izreku pravimo
tudi poročni izrek.
Primer 3. Naj bo {d1, d2, d3} množica deklet in {f1, f2, f3} množica fan-
tov. Recimo, da bi se dekle d1 želelo poročiti z enim izmed fantov f1, f2.
Tako se je odločilo tudi dekle d2, dekle d3 pa bi izbiralo med f1 in f3. Ali
lahko organiziramo poroko tako, da se vsako dekle poroči z želenim fantom?
Problem lahko prevedemo na prirejanje v dvodelnem grafu. Naj bo
G = D + F dvodelni graf, kjer je D množica deklet in F množica fantov.
Dekle di povežemo s fantom fj natanko tedaj, ko se dekle di želi poročiti s
fantom fj . Zanima nas, ali obstaja polno prirejanje množice D grafa G. Iz
Hallovega izreka sledi, da je treba preveriti, ali je izpolnjen Hallov pogoj.
Zanima nas, ali za vsako podmnožico D′ ⊆ D velja |N(D′)| ≥ |D′|. Ker je
pogoj izpolnjen, je organizacija take poroke mogoča.
Hallov izrek je možno formulirati tudi z uporabo sistema različnih pred-
stavnikov. Naj bo S končna množica in A1, . . . , An podmnožice množice S.
Zaporedju a1, . . . , an pravimo sistem različnih predstavnikov za A1, . . . , An,
134 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Gologranc” — 2016/12/19 — 7:17 — page 135 — #4 i
i
i
i
i
i
Uporaba Hallovega izreka
če je ai ∈ Ai in ai 6= aj za vsak i, j ∈ {1, . . . , n} in i 6= j. Tak sistem ne
obstaja vedno, npr. kadar je katera od množic Ai prazna. Hallov izrek pove,
kdaj sistem različnih predstavnikov obstaja.
Izrek 4. Družina A1, . . . , An nepraznih podmnožic množice S ima sistem
različnih predstavnikov natanko tedaj, ko vsaka unija katerih koli k množic,
1 ≤ k ≤ n, vsebuje vsaj k elementov.
Ekvivalentnost obeh izrekov je očitna, saj si lahko situacijo v izreku 4
predstavljamo kot dvodelni graf G = A + B, kjer je A = {A1, . . . , An},
B = S = {a1, . . . , am} in je vozlǐsče Ai sosednje vozlǐsču aj natanko tedaj, ko
je aj ∈ Ai. Potem prirejanje grafa G generira sistem različnih predstavnikov
za A1, . . . , An in obratno, vsak sistem različnih predstavnikov za A1, . . . , An
določa polno prirejanje množice A grafa G.
V primeru 3 je A1 = A2 = {f1, f2}, A3 = {f3, f1}. V uniji katerih koli
dveh množic sta vsaj dva fanta, v uniji vseh treh množic pa so vsi trije
fantje, zato je Hallov pogoj izpolnjen.
Uporaba Hallovega izreka v dokazovanju
V tem poglavju bomo z uporabo Hallovega izreka dokazali dva rezultata iz
prve polovice dvajsetega stoletja. Še pred tem vpeljimo nekaj pojmov.
Kolona matrike je vrstica ali stolpec matrike. Matriki, katere elementi
so ničle in enice, pravimo 0/1 matrika. Permutacijska matrika je matrika,
ki jo dobimo iz enotske matrike s permutacijo vrstic ali stolpcev. Povedano
drugače, to je matrika, ki ima v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu natanko
eno enico, vsi drugi elementi matrike so ničle. Elementom matrike pravimo
neodvisni, če so v paroma različnih kolonah.
Prvi izrek, ki ga bomo dokazali, je dokazal König v začetku dvajsetega
stoletja in je eden iz množice min-max izrekov. Dokazali ga bomo z uporabo
Hallovega izreka, ki bistveno poenostavi prvotni Königov dokaz.
Izrek 5 (König, 1916). Naj bo A poljubna kvadratna 0/1 matrika dimen-
zije n. Najmanǰse število kolon, s katerimi zajamemo vse enice v A, je enako
največjemu številu enic v A, ki so vse v paroma različnih kolonah.
Dokaz. Naj bo m najmanǰse število kolon, s katerimi zajamemo vse enice,
in M največje število paroma neodvisnih enic. Naj bo B največja neodvisna
132–138 135
i
i
“Gologranc” — 2016/12/19 — 7:17 — page 136 — #5 i
i
i
i
i
i
Tanja Gologranc
množica enic, torej |B| = M . Ko s kolonami pokrivamo vse enice, je treba
med drugim pokriti tudi enice iz B. Za te potrebujemo M kolon, kar pomeni,
da je m ≥M.
Za dokaz druge neenakosti vzemimo m = r + s kolon, ki pokrijejo vse
enice matrike A. V teh m kolonah naj r pomeni število vrstic (omenjene
vrstice označimo z R), s pa število stolpcev (omenjene stolpce označimo s
S). Za lažje razumevanje vrstice in stolpce matrike A permutirajmo tako,
da bo množica vrstic R pomenila prvih r vrstic, množica stolpcev S pa
prvih s stolpcev v permutirani matriki A′. Naj bo aij element matrike A
′,
ki je v vrstici i in stolpcu j. Ker z R ∪ S pokrijemo vse enice matrike A′,
je aij = 0 za vsak i, j, i > r in j > s. Za vsak i ∈ {1, . . . , r} definirajmo
Ai = {j; j > s in aij = 1}. Preverimo pogoj iz izreka 4. Denimo, da je
|Ai1 ∪ . . .∪Aik | = l < k za neki k, 1 ≤ k ≤ r, in za paroma različne elemente
i1, . . . , ik množice {1, . . . , r}. Potem bi namesto vrstic i1, . . . , ik izbrali l
stolpcev in s tem pokrili vse enice matrike A′, kar je v nasprotju z začetno
izbiro kolon. Zato je pogoj iz izreka 4 izpolnjen, kar pomeni, da obstaja
sistem različnih predstavnikov družine množic A1, . . . , Ar. Vsaka vrstica ima
torej svojega predstavnika j1 ∈ A1, . . . , jr ∈ Ar, s čimer smo dobili r enic
v paroma različnih kolonah (vrstice 1, . . . , r in stolpci s + 1, . . . , n). Enako
bi z uporabo Hallovega izreka na {Bj ; j = 1, . . . , s}, kjer je Bj = {i; i >
r in aij = 1}, dobili s enic v paroma različnih kolonah (stolpci 1, . . . , s in
vrstice r + 1, . . . , n). Skupaj dobimo m = r + s enic v paroma različnih
kolonah in zato M ≥ m.
Naslednji izrek, katerega dokaz je z uporabo Hallovega izreka zelo eno-
staven, sega v sredo dvajsetega stoletja. Govori o povezavi med določenimi
kvadratnimi celoštevilskimi in permutacijskimi matrikami.
Izrek 6 (Birkhoff, 1946). Naj bo A poljubna n× n matrika z nenegativ-
nimi celoštevilskimi elementi, v kateri ima vsaka vrstica in vsak stolpec vsoto
l. Potem je A vsota l permutacijskih matrik.
Primer 7.
2 0 1 0
0 1 0 2
0 2 0 1
1 0 2 0
 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
+

1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
+

0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0

136 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Gologranc” — 2016/12/19 — 7:17 — page 137 — #6 i
i
i
i
i
i
Uporaba Hallovega izreka
Dokaz. Izrek bomo dokazali z indukcijo po številu l. Če je l = 1, potem je
A kar permutacijska matrika, zato trditev velja.
Naj bo l > 1 in naj velja, da je vsaka n × n matrika z nenegativnimi
celoštevilskimi elementi, v kateri ima vsaka vrstica in vsak stolpec vsoto
l − 1, vsota l − 1 permutacijskih matrik.
Naj bo aij element matrike A, ki je v vrstici i in stolpcu j. Za vsak i ∈
{1, . . . , n} definirajmo Ai = {j; aij > 0}. Naj bo k ∈ {1, . . . , n} poljuben.
Poglejmo, koliko stolpcev pokrijemo z Ai1∪· · ·∪Aik , kjer so i1, . . . , ik paroma
različna števila iz množice {1, . . . , n}. Vsota elementov v vrsticah i1, . . . , ik
je natanko kl. Ker Ai1 ∪ · · · ∪ Aik vsebuje vse stolpce j, ki imajo v teh k
vrsticah neničelne elemente, je vsota elementov po vseh stolpcih j, kjer je
j ∈ Ai1 ∪· · ·∪Aik , vsaj kl. Seštevamo namreč po celotnih stolpcih, vsoto kl
pa dobimo, če seštevamo po teh stolpcih znotraj vrstic i1, . . . , ik. Ker je vsota
elementov poljubnega stolpca enaka l, bi v primeru, da je |Ai1 ∪ · · ·∪Aik | =
k′ < k, dobili, da je vsota po vseh stolpcih j, kjer j ∈ Ai1 ∪ · · · ∪ Aik ,
enaka k′l < kl, kar vodi v protislovje. S tem smo dokazali, da je pogoj
iz izreka 4 izpolnjen, iz česar sledi obstoj sistema različnih predstavnikov
j1 ∈ A1, . . . , jn ∈ An. Naj bo I ′ permutacijska matrika, ki ima v vsaki vrstici
i ∈ {1, . . . , n} enico v stolpcu ji, povsod drugod so ničle. Potem je A =
I ′ +A′, kjer je A′ matrika z nenegativnimi celoštevilskimi elementi, v kateri
ima vsaka vrstica in vsak stolpec vsoto l − 1. Po indukcijski predpostavki
lahko A′ zapǐsemo kot vsoto l − 1 permutacijskih matrik, s čimer je izrek
dokazan.
Latinski kvadrati
Latinski kvadrat je n × n matrika (ali tabela), napolnjena z n različnimi
znaki, tako da se vsak znak pojavi v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu na-
tanko enkrat. V našem primeru bodo znaki naravna števila med 1 in n.
Delni latinski kvadrat reda n dobimo tako, da zapolnimo nekatera polja
n × n matrike s števili 1, 2, . . . , n tako, da se vsako pojavi v vsaki vrstici
in v vsakem stolpcu največ enkrat. Seveda so lahko ta polja zapolnjena
tako, da delnega latinskega kvadrata ne moremo dopolniti do latinskega
kvadrata. Vprašanje, kdaj je to mogoče narediti, je prvi zastavil Trevor
Evans leta 1960, nanj pa je odgovoril Bohdan Smetaniuk leta 1961. V tem
članku se bomo omejili na dopolnjevanje posebnih primerov delnih latinskih
kvadratov, tako imenovanih latinskih pravokotnikov. Za m ≤ n je latinski
132–138 137
i
i
“Gologranc” — 2016/12/19 — 7:17 — page 138 — #7 i
i
i
i
i
i
Tanja Gologranc
pravokotnik reda m×n delni latinski kvadrat, ki ima popolnoma izpolnjenih
prvih m vrstic, preostala polja pa so prazna.
Primer 8.
D′ =
[
1 3 5 2 4 6
2 4 6 1 3 5
]
je latinski pravokotnik, ki ga lahko razširimo do latinskega kvadrata
D =

1 3 5 2 4 6
2 4 6 1 3 5
3 5 1 4 6 2
4 6 2 5 1 3
5 1 3 6 2 4
6 2 4 3 5 1

Izrek 9. Vsak latinski pravokotnik lahko razširimo do latinskega kvadrata.
Dokaz. Zadošča dokazati, da lahko za vsak m < n vsak latinski pravokotnik
D reda m× n dopolnimo do latinskega pravokotnika reda (m+ 1)× n. Naj
Dj označuje stolpec j latinskega pravokotnika D. Za vsak i ∈ {1, . . . , n} naj
bo Si = {j ∈ {1, . . . , n}; j /∈ Di}. Radi bi poiskali (m + 1)-vo vrstico, ki bo
skupaj z D tvorila latinski pravokotnik. Ker sistem različnih predstavnikov
množic S1, . . . , Sn vrne ustrezno (m+ 1)-vo vrstico, je treba dokazati pogoj
iz izreka 4. Vsaka množica Si ima n − m elementov. Vsak element se v
D pojavi natanko m-krat, torej v m različnih stolpcih. Posledično se vsak
element nahaja v natanko n−m množicah Si. Izberimo poljubnih k množic
Si1 , . . . , Sik in označimo njihovo unijo s S. Potem je
k · (n−m) =
∑
j∈{1,...,k}
|Sij | =
∑
j∈{1,...,k}
∑
x∈S:
x∈Sij
1 =
∑
x∈S
∑
j∈{1,...,k}:
x∈Sij
1 ≤
≤
∑
x∈S
(n−m) = |S| · (n−m),
od koder sledi, da je k ≤ |S|.
LITERATURA
[1] J. H. van Lint in R. M. Wilson, A course in combinatorics, Cambridge University
Press, New York, 1998.
[2] D. B. West, Introduction to graph theory, Prentice Hall, Upper Saddle River, 2001.
138 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Sega” — 2016/12/19 — 7:19 — page 139 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
TRIINDVAJSETO MEDNARODNO TEKMOVANJE
ŠTUDENTOV MATEMATIKE
Kot že nekaj let zapored je v Blagoevgradu v Bolgariji tudi letos od 25. do
31. julija potekalo 23. tekmovanje študentov matematike. Iz Slovenije sta se
ga udeležili dve ekipi. Fakulteto za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani
so zastopali Lenart Treven iz prvega letnika, Juš Kosmač iz drugega letnika,
Rok Havlas in Teo Kukuljan iz tretjega letnika ter Veno Mramor iz prvega
letnika druge stopnje študija. Fakulteto za matematiko, naravoslovje in
informacijske tehnologije Univerze na Primorskem pa so zastopali študenti
Mirza Krbezlija iz prvega letnika ter Marko Palangetić in Roman Solodukhin
iz tretjega letnika. Vodji ekip sva bila Gregor Šega in Slobodan Filipovski.
V dvodnevnem reševanju desetih nalog se je pomerilo 320 študentov,
razvrščenih v 72 ekip iz 48 držav. Običajno univerzitetno ekipo sestavlja od
tri do šest študentov, se pa na tekmovanje lahko prijavi vsak študent, tudi
če njegova univerza ne sodeluje. V ekipni razvrstitvi so univerze rangirane
po formuli »vsota najbolǰsih treh tekmovalcev plus povprečje vseh«.
Slika 1. Vodje ekip med ocenjevanjem nalog.
Naši ekipi sta bili tudi tokrat zelo uspešni. Prve nagrade sicer ni osvojil
nihče, so pa Teo Kukuljan, Veno Mramor, Marko Palangetić in Juš Kosmač
osvojili drugo nagrado, Roman Solodukhin tretjo nagrado, Mirza Krbezlija,
Lenart Treven in Rok Havlas pa pohvalo.
Ekipno smo dosegli devetindvajseto (ekipa Fakultete za matematiko in
fiziko) ter šestinštirideseto mesto (ekipa Famnit).
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 139
i
i
“Sega” — 2016/12/19 — 7:19 — page 140 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 2. Študenti Fakultete za matematiko in fiziko na izletu v Melnik.
Slika 3. Študenti Fakultete za matematiko in fiziko na podelitvi nagrad.
Študenti imajo po prihodu na tekmovanje en dan počitka, da vodje ekip
določijo tekmovalne naloge. Sledita dva tekmovalna dneva, ko je vsak dan
na razpolago pet ur za reševanje petih nalog. Popoldne in pozno v noč pa
sledi delo za vodje ekip, ki morajo oceniti študentske izdelke. Po končanem
drugem reševalnem dnevu je delo študentov opravljeno, tako da običajno
sledi en dan za oglede lokalnih znamenitosti, naslednji dan pa je na vrsti
podelitev nagrad. Pred tem je treba še uskladiti ocene komisije s pričakova-
nji študentov, tako da je na rezultatski lestvici običajno kar nekaj sprememb.
Letos je bilo nenavadno veliko število študentov, ki so se pritožili, da so do-
bili preveč točk. Vsem štirim je komisija ustrezno znižala rezultat, poleg
tega pa so dobili posebne nagrade za fair play.
Ker je od konca drugega tekmovalnega dne do podelitve nagrad več kot
52 ur, je to več kot dovolj časa tudi za druženje. Ta del je v pravilih še
140 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Sega” — 2016/12/19 — 7:19 — page 141 — #3 i
i
i
i
i
i
Triindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Slika 4. Ekipa Fakultete za matematiko in fiziko po podelitvi nagrad.
posebej poudarjen, se ga pa vedno manj upošteva. Tako letos ni bilo skoraj
nič organiziranih dejavnosti, niti športnih niti zabavnih. Se je pa povprečen
čas spanja tekmovalcev v zadnjih letih zagotovo močno povečal. Za bralce
z dobrim spominom naj omenim, da je od tradicionalnih ritualov ostala
bikova glava, narejena iz izdolbene lubenice (le da so organizacijo Španci
predali Američanu).
Oglejmo si še štiri naloge s tekmovanja ter njihove rešitve. Prvi dve naj
bi bili zelo lahki, tretja srednje težavnosti in četrta še malo težja.
Naloga 1. Naj bo x1, x2, . . . zaporedje nenegativnih realnih števil, za
katero velja
∞∑
n=1
xn
2n− 1
= 1. Dokažite, da velja
∞∑
k=1
k∑
n=1
xn
k2
≤ 2 .
Rešitev. Dvojna vsota običajno pomeni, da bo treba zamenjati vrstni
red seštevanja. Tako dobimo
∞∑
k=1
k∑
n=1
xn
k2
=
∞∑
n=1
xn
∞∑
k=n
1
k2
.
Sedaj pa opazimo
∞∑
k=n
1
k2
≤
∞∑
k=n
1
k2 − 1/4
=
∞∑
k=n
(
1
k − 1/2
− 1
k + 1/2
)
=
1
n− 1/2
.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 141
i
i
“Sega” — 2016/12/19 — 7:19 — page 142 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 5. Slavnostna večerja.
Nalogo smo rešili, saj imamo
∞∑
k=1
k∑
n=1
xn
k2
≤
∞∑
n=1
xn
n− 1/2
= 2
∞∑
n=1
xn
2n− 1
.
Dokazali smo še več, namreč strogo neenakost, saj je
∑∞
k=n
1
k2
< 22n−1 za
vsak n, vsi xn pa ne morejo biti enaki 0.
Ocene, ki smo jih uporabili v preǰsnji nalogi, se morda res ponujajo kar
same od sebe, a študenti, ki so jih malo drugače zastavili, so imeli težave
dokazati trditev. Recimo, poskusite oceniti vsoto recipročnih kvadratov z
integralom ustrezne funkcije. Naslednja naloga je prav tako zavedla kar
nekaj študentov, da so spregledali pomemben del rešitve.
Naloga 2. Naj bodo A1, A2, . . . , Ak realne n × n matrike, za katere
velja A2i 6= 0 za vsak 1 ≤ i ≤ k in AiAj = 0 za vsaka različna 1 ≤ i, j ≤ k.
Dokažite, da je k ≤ n in pokažite, da je možno k = n.
Rešitev. Primer, ko je k = n, je nabor matrik, kjer ima matrika Ai
število 1 v i-ti vrstici in i-tem stolpcu, vsi drugi elementi pa so enaki 0.
Naj bodo matrike Ai take kot v nalogi. Prvi pogoj pomeni, da obstajajo
taki vektorji ei, da je A
2
i ei 6= 0. Pokazali bomo, da so vektorji Aiei linearno
neodvisni. Recimo torej, da velja
∑k
i=1 ciAiei = 0. Ko to enakost pomno-
žimo (z leve) z Aj , dobimo
∑k
i=1AjciAiei = 0 oziroma (po drugi lastnosti)
cjA
2
jej = 0, od koder pa sledi, da je cj = 0 in vektorji so linearno neodvisni.
To pa pomeni, da jih ni več kot n, torej k ≤ n.
Le redki študenti so se dokopali do tako elegantne rešitve. Večinoma so
operirali z lastnimi podprostori in Jordanovimi kletkami, vendar pa jih je
potem večina spregledala, da bi bile kakšne izmed matrik načeloma lahko
nilpotentne.
142 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Sega” — 2016/12/19 — 7:19 — page 143 — #5 i
i
i
i
i
i
Triindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Naloga 3. Naj bodo a1, a2, . . . , an in b1, b2, . . . , bn realna števila, za
katera velja ai + bi > 0, 0 ≤ i ≤ n. Dokažite
n∑
i=1
aibi − b2i
ai + bi
≤
∑n
i=1 ai ·
∑n
i=1 bi − (
∑n
i=1 bi)
2∑n
i=1(ai + bi)
.
Rešitev. Ker velja αβ−β
2
α+β = β − 2
β2
α+β , je treba dokazati
n∑
i=1
bi − 2
n∑
i=1
b2i
ai + bi
≤
n∑
i=1
bi − 2
(
∑n
i=1 bi)
2∑n
i=1 ai +
∑n
i=1 bi
,
kar je ekvivalentno neenakosti
n∑
i=1
b2i
ai + bi
≥
(
∑n
i=1 bi)
2∑n
i=1 ai +
∑n
i=1 bi
,
ki zlahka sledi iz Cauchy-Schwarzeve neenakosti.
Naloga 4. Naj bo A n×n kompleksna matrika, katere lastne vrednosti
so po absolutni vrednosti manǰse ali enake 1. Dokažite, da velja
||An|| ≤ n
ln 2
||A||n−1 .
Za rešitve te naloge so ocenjevalci podelili enemu študentu 10 točk (kar
je najvǐsja možna ocena), enemu 9 in še štirim po eno točko. Preostalih 314
ni dobilo nobene točke. In to kljub temu, da pravzaprav velja strožja ocena,
namreč
||An|| ≤ n||A||n−1 .
Kogar zanima rešitev te naloge ali pa bi se rad poskusil v reševanju še
kakšne naloge s tekmovanja, si jih lahko ogleda na uradni strani www.imc-
math.org.uk. Tam pa ne bo našel nalog, ki so bile predlagane, a ne iz-
brane. Takih je bilo okoli 50, nekaj med njimi prav zanimivih. Recimo,
poskusite lahko poiskati polinom, ki ima tudi negativne koeficiente, vse
njegove vǐsje potence pa imajo le nenegativne koeficiente. Ali pa tako
konvergentno vrsto
∑∞
n=1 an, da vrsta
∑∞
n=1 an
3 ni konvergenta. Če pa
se raje ukvarjate s kotnimi funkcijami, določite lim supn→∞,n∈N(sinn)
n in
lim supn→∞,n∈N(sinn)
n2 (to vrednost sporočite članom ekipe FMF).
Gregor Šega
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 143
i
i
“Porocilo” — 2016/12/13 — 7:30 — page 144 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
STROKOVNO SREČANJE IN 68. OBČNI ZBOR DMFA,
MARIBOR, 14. IN 15. 10. 2016
Po dveh desetletjih in pol sta bila strokovno srečanje in občni zbor zopet
v Mariboru, in sicer na Fakulteti za naravoslovje in matematiko (FNM).
Matematični del strokovnega srečanja je potekal skupno s posodobitvenim
seminarjem za učitelje matematike Matematika: temelji, izkušnje, novosti,
ki ga je na FNM organiziral dr. Bojan Hvala. Za vsebino fizikalnega dela
strokovnega srečanja pa je poskrbel dr. Robert Repnik, prav tako s FNM.
Prijava na seminar je potekala po treh poteh. Tisti udeleženci, ki so želeli
dobiti točke, so se prijavili prek KATIS-a, drugi pa so se lahko prijavili po
DMFA strežniku oziroma na samem srečanju.
Povzetke in razporede predavanj smo že v začetku septembra objavili na
domači strani društva. Prav tako je bil predhodno objavljen tudi urnik.
V biltenu, ki smo ga tudi letos izdali v elektronski obliki, smo objavili
poročila o delu društva in povzetke predavanj. Nekaj strani pa smo name-
nili tudi spominu trem umrlim častnim članom društva: dr. Ivanu Vidavu,
dr. Josipu Grasselliju in dr. Janezu Strnadu.
Ker so povzetki predavanj objavljeni tudi na spletni strani društva, naj
navedemo le predavatelje in naslove predavanj v enakem vrstnem redu, kot
so se zvrstili:
Petek, 14. oktobra 2016
Prvo predavanje Matjaža Perca, Fizika socioloških sistemov, je bilo skupno,
potem pa so predavanja potekala v dveh skupinah.
Fizika:
• Mojca Čepič, Bernarda Urankar: Model varilskih očal kot primer so-
dobne aplikacije v pouku fizike
• Rok Capuder: Dijaški projekti iz fizike
• Mitja Rosina: Razmisli in poskusi – kako bi animirali dijake?
• Simon Ülen: Učenje v globino oziroma konceptualni pristop kot pomem-
ben dejavnik v učnem procesu priprave dijakov na splošno maturo iz
fizike in pri poučevanju fizike nasploh
• Tine Golež: Ohlajanje
• Samo Kralj: Tekoči kristali: poligon kozmologije in fizike delcev
• Andrej Guštin: Opazovanje Sonca s filtrom H-alfa
• Nada Razpet: Zrcala
• Robert Repnik, Miro Jaušovec, Marko Jagodič: Primerjava maturitetnih
nalog iz fizike na splošni in mednarodni maturi v Sloveniji ter splošni
maturi na Hrvaškem
144 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Porocilo” — 2016/12/13 — 7:30 — page 145 — #2 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in 68. občni zbor DMFA
Matematika:
• Boštjan Brešar: Teorija grafov: Od diskretnih razdalj do načrtovanja
porok
• Dominik Benkovič: Dva paradoksa iz verjetnosti in statistike
• Uroš Milutinović: Napaka kot učna metoda
• Bojan Hvala: Fermatova točka: preseženi mit in posplošitev
• Marko Razpet: Kovinska razmerja
• Klara Pugelj, Aleš Toman, Tomaž Košir: Predstavitev tekmovanja iz
statistike in finančne matematike
Ob 16.00 se je pričel občni zbor. Ker je bilo ob 16.00 prisotnih manj
kot polovica članov DMFA Slovenije, se je občni zbor v skladu s 16. členom
Pravil DMFA Slovenije pričel ob 16.30. V tem vmesnem času nam je An-
drej Guštin predstavil tekmovanja iz astronomije, ki se jih udeležujejo naši
tekmovalci.
Sobota, 15. oktobra 2016
Začeli smo z vabljenim predavanjem Vladimirja Batagelja: Omrežja, potem
pa smo se zopet razdelili na dva dela.
Fizika:
• Andreja Gomboc: (vabljeno predavanje) Zadnji trenutki v življenju zvezd
• Rene Markovič: Uporabnost fizike kompleksnih mrež
• Boris Kham: Križna palica
• Mitja Slavinec: Raziskovalno delo mladih
• Milan Ambrožič: Keplerjevi zakoni nekoliko drugače
• Vladimir Grubelnik: Uporaba tabličnega računalnika pri pouku fizike v
osnovni šoli
Matematika:
• Aleksander Vesel: Težki algoritmični problemi
• Iztok Banič: Matematika in matura
• Daniel Eremita: O praštevilskih dvojčkih
• Samo Repolusk, Jože Senekovič: Mentorstvo pri matematičnih razisko-
valnih nalogah
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 145
i
i
“Porocilo” — 2016/12/13 — 7:30 — page 146 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
68. občni zbor DMFA
Občnega zbora, ki se je pričel ob 16. uri, se je udeležilo 41 članov DMFA
Slovenije (od tega 11 članov upravnega odbora DMFA Slovenije). Imel je
naslednji dnevni red:
1. Otvoritev
2. Izvolitev delovnega predsedstva
3. Društvena priznanja
4. Poročila o delu društva
5. Razprava o poročilih
6. Vprašanja in pobude
7. Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2015
8. Dopolnitve in spremembe Pravil DMFA Slovenije
9. Razrešitve in volitve
10. Razno
Ad 1. Ker je ob 16.00 prisotnih manj kot polovica članov DMFA Slo-
venije, se prične občni zbor v skladu s 16. členom Pravil DMFA Slovenije
ob 16.30. Med čakanjem Andrej Guštin predstavi tekmovanja iz znanja
astronomije.
Ad 2. V delovno predsedstvo so izvoljeni: predsednik Mitja Rosina,
člana Marko Razpet in Robert Repnik, zapisnikar Janez Krušič. Overova-
telja zapisnika sta Milan Hladnik in Matjaž Željko.
Z minuto molka se občni zbor pokloni spominu na preminule častne člane
Ivana Vidava, Janeza Strnada in Josipa Grassellija. O njihovem življenju
in delu spregovorita Milan Hladnik in Aleš Mohorič.
Ad 3. Društveno priznanje prejme Bojana Dvoržak, profesorica ma-
tematike na Gimnaziji Bežigrad v Ljubljani. Utemeljitve prebere Boštjan
Kuzman.
Ad 4. Poročila o delu društva so objavljena v biltenu 68. občnega zbora,
ki je objavljen na domači strani DMFA: http://www.dmfa.si/ODrustvu/
Dokumenti/OZ2016-bilten.pdf. (Udeleženci občnega zbora so ga dobili
tudi v tiskani obliki.) Dodatnih poročil ni.
Ad 5. Poročila so sprejeta brez dodatnih razprav.
Ad 6. Potrjen je sklep upravnega odbora, da se prijavnina za ude-
ležbo na tekmovanjih v šolskem letu 2016/2017 ne spremeni, če se ne bodo
bistveno spremenili pogoji sofinanciranja. Za tekmovanja, ki se končajo z
mednarodno olimpijado (MaSŠ-A, FiSŠ, astronomija SŠ), je prijavnina na
najnižji stopnji 2,50 EUR, za vsa druga tekmovanja v organizaciji DMFA
Slovenije pa 1,50 EUR. Za udeležbo na vǐsjih stopnjah tekmovanja prijav-
nine ni. Dana je pobuda, da bi društveni statut (Pravila DMFA Slovenije)
jezikovno v celoti dopolnili (8. točka dnevnega reda) enakopravno tudi za
146 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Porocilo” — 2016/12/13 — 7:30 — page 147 — #4 i
i
i
i
i
i
Strokovno srečanje in 68. občni zbor DMFA
ženski spol. Prevladalo je mnenje, da naj to ureja preambula, členi pravil
pa naj ostanejo zapisani v moški slovnični obliki.
Ad 7. O sklepih nadzornega odbora je poročal Janez Krušič:
1. pravilnost finančnega poslovanja za leto 2015 je nadzorni odbor ugotovil
na svoji seji 22. 3. 2016,
2. z delom upravnega odbora je nadzorni odbor vseskozi seznanjen, bodisi
s prisotnostjo na sejah bodisi z zapisniki sej upravnega odbora,
3. v delu upravnega odbora do občnega zbora nadzorni odbor ni zaznal
nepravilnosti niti v tekočem letu in ne vidi ovir za njegovo razrešitev ob
koncu mandata.
Podatki iz bilance stanja in izkaza poslovnega izida za leto 2015:
Prihodki: 300.857 EUR
Stroški 294.718 EUR
Poslovni izid 6.139 EUR
Saldo 31. 12. 2015 92.267 EUR
Računovodsko in poslovno poročilo DMFA Slovenije za leto 2015 je so-
glasno sprejeto.
Ad 8. Predlog sprememb in dopolnitev Pravil DMFA Slovenije (v pri-
logi) je pripravila statutarna komisija v sestavi Janez Krušič, Maja Remškar
in Matjaž Željko. O predlaganih spremembah poroča Janez Krušič.
Ad 9. Na predlog delovnega predsednika občni zbor razreši dosedanji
upravni odbor, nadzorni odbor in častno razsodǐsče.
Mitja Rosina se članom razrešenih organov zahvali za njihovo uspešno
delo, občnemu zboru pa predlaga naslednjo kandidatno listo za voljene or-
gane DMFA Slovenije za obdobje 2016–2018:
I. UPRAVNI ODBOR:
Predsednik DMFA Slovenije Dragan Mihailović
Podpredsednica DMFA Slovenije Nada Razpet
Tajnik DMFA Slovenije Janez Krušič
1. Tajniki stalnih komisij DMFA Slovenije za:
popularizacijo matematike v osnovni šoli Aljoša Brlogar
popularizacijo matematike v srednji šoli Sandra Cigula
popularizacijo fizike v osnovni šoli Barbara Rovšek
popularizacijo fizike v srednji šoli Jurij Bajc
popularizacijo astronomije Andrej Guštin
Mednarodni matematični kenguru Gregor Dolinar
pedagoško dejavnost Robert Repnik
informacijsko tehnologijo Matjaž Željko
upravne in administrativne zadeve Ciril Dominko
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 147
i
i
“Porocilo” — 2016/12/13 — 7:30 — page 148 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
2. Predsedniki stalnih strokovnih odborov:
Slovenskega odbora za matematiko Boštjan Kuzman
Slovenskega odbora za fiziko Maja Remškar
Slovenskega odbora za astronomijo Andreja Gomboc
3. Predstavnik študentske sekcije DMFA Slovenije Vesna Iršič
II. NADZORNI ODBOR: Matej Brešar,
Andrej Likar,
Janez Seliger.
III. ČASTNO RAZSODIŠČE: Marija Vencelj,
Anton Suhadolc,
Zvonko Trontelj.
Vsi predlagani kandidati so soglasno izvoljeni.
Za izkazano zaupanje se udeležencem občnega zbora zahvali predsednik
Dragan Mihailović. Pove, da se bo trudil obdržati vse oblike dejavnosti
društva vsaj na dosedanji ravni, posebna pozornost pa bo posvečena pove-
zanosti z raziskovalno sfero.
Delovni predsednik seznani občni zbor s predlogom sestave drugih dru-
štvenih organov, ki jih imenuje upravni odbor.
Komisija za častne člane: predsednik Dragan Mihailović
člana: Zvonko Trontelj,
Peter Vencelj
Komisija za društvena priznanja: predsednik Dragan Mihailović
člana: Boštjan Kuzman,
Barbara Rovšek
Poverjenica za gospodarjenje s Plemljevo vilo je Mihaela Voskobojnik.
Računovodkinja in knjigovodkinja je Andreja Jaklič.
Ad 10. Mitja Rosina povabi k bolǰsemu izkoristku Plemljeve vile za dru-
štvene dejavnosti. Vse, ki se zanimajo za društvene strokovne ekskurzije, pa
prosi, da mu to javijo po elelektronski pošti na naslov mitja.rosina@ijs.si
Občni zbor se je končal ob 18. uri in 10 minut.
Nada Razpet in Janez Krušič
148 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Nagrade” — 2016/12/12 — 12:01 — page 149 — #1 i
i
i
i
i
i
BOJANA DVORŽAK, PREJEMNICA PRIZNANJA DMFA
SLOVENIJE
Bojana Dvoržak je diplomirala na Fakul-
teti za naravoslovje in tehnologijo Univerze
v Ljubljani, in sicer na Pedagoški smeri z
diplomsko nalogo Konstrukcije z ravnilom
in šestilom. Najprej se je zaposlila kot pro-
fesorica matematike na Gimnaziji Poljane,
od leta 1985 pa je zaposlena na Gimnaziji
Bežigrad. Ima naziv svetnica.
Bojana Dvoržak poučuje matematiko v
programu gimnazije, mednarodne šole in
mednarodne mature, in to na zelo različ-
nih nivojih. Na mednarodni šoli se mora
ukvarjati predvsem s tem, kako motivirati učence, v programu mednarodne
mature, kjer poučuje matematiko na vǐsjem nivoju, pa mora poleg svojih
pedagoških sposobnosti pokazati tudi svoje izredno matematično znanje.
Veliko učencev na mednarodni maturi pod njenim mentorstvom izdela razi-
skovalno delo Extended essay in njihovi izdelki so vselej zelo dobro ocenjeni.
Njen cilj ni samo dijake naučiti matematike, ampak jim vedno hoče poka-
zati tudi njeno uporabnost in jo učencem priljubiti. Pri vsem tem je zelo
uspešna.
Bojana Dvoržak je avtorica priročnikov Matematika na maturi (2000,
2001 in 2013), Matematika na poklicni maturi (2003) in Matematika na
splošni maturi (2014). Je tudi soavtorica uspešne zbirke učbenikov za gi-
mnazije in pripadajočih zbirk nalog, ki izhajajo od leta 2009. Učbeniki in
zbirke nalog so bili prevedeni tudi v italijanščino.
Izkušnje iz poučevanja v mednarodni šoli posreduje tudi drugim uči-
teljem matematike, med drugim na strokovnem posvetovanju v Mariboru
decembra 2011, dvakrat pa je vodila tudi seminar za tuje učitelje matema-
tike v Mostarju.
Bojana Dvoržak je izredno požrtvovalna profesorica. Vedno je pripra-
vljena pomagati, tudi zunaj rednih ur, in toliko časa vztrajati, da dijaki
usvojijo potrebna znanja. Pri tem ǐsče izvirne pedagoške prijeme, ki jih
posreduje drugim članom aktiva.
Poznajo jo tudi študenti pedagoške matematike, saj pri njej opravljajo
hospitacije. Bila je mentorica pripravnici in mentorica dvema tujima štu-
dentoma. Imela je več vzorčnih ur za tuje učitelje in goste šole.
Na podlagi predloga pripravila Nada Razpet
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 149
i
i
“Legisa” — 2016/12/19 — 7:27 — page 150 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
IZZIVI MATEMATIČNE SKUPNOSTI
Matematično izobraževanje
Ob petindvajsetletnici ustanovitve Evropskega matematičnega društva (EMS)
so organizirali okroglo mizo o izzivih za matematike. Po članku [1] v reviji
Newsletter of the EMS bom na kratko povzel nekatere zanimivosti s tega
srečanja in dodal še kako svojo misel.
Finec Ari Laptev je govoril o matematičnem izobraževanju. V osnovni
in srednji šoli je po njegovem težava v tem, da je izobraževanje izredno spo-
litizirano. Odgovorni na ministrstvih niso zmeraj kompetentni, pa vseeno
odločajo o pouku matematike.
Laptev je učil na univerzah v Angliji, Švedski in Rusiji. Ugotavlja, da so
razlike velikanske. Angleški profesorji imajo bistveno manǰse učne obvezno-
sti. Sam uči na Imperial College London in ima malo časa na razpolago za
predavanja iz Analize, tako da se morajo večino snovi študenti naučiti sami.
Pri tem jim sicer pomaga tutorski sistem, a Laptev nad poukom matema-
tike na angleških univerzah ni navdušen. Nekatere evropske države so kljub
bolonjskemu sistemu na srečo obdržale svoje odlične štiriletne inženirske
programe. Laptev hvali take programe v Nemčiji, Franciji in Švici.
Kako matematiki raziskujejo, objavljajo in obveščajo druge o
svojem delu
Italijan Roberto Natalini pravi, da zadnje čase matematiki bolj posegajo
tudi na druga področja znanosti ali pa probleme drugih strok uporabljajo
kot motivacijo. Več je tudi uporabe računalnǐskih metod. Tako se je meja
med uporabno in čisto matematiko precej zameglila.
Kljub temu pa ne moremo biti zadovoljni s podobo matematike v jav-
nosti. Raziskave so pokazale, da javnost daleč najbolj zanimajo raziskave v
medicini in okoljski znanosti. Matematika je v socialnih omrežjih in medijih
tudi bistveno manj zastopana kot recimo fizika ali biologija. Tolažba je, da
so po splošnem prepričanju standardi za objavljanje znanstvenih člankov
v matematiki vǐsji kot v drugih disciplinah. Matematični članki so veči-
noma napisani jasno in objektivno prikazujejo dosežke avtorjev. Seveda pa
so tudi izjeme: pritisk na zaposlene na univerzah, da veliko objavljajo, je
150 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Legisa” — 2016/12/19 — 7:27 — page 151 — #2 i
i
i
i
i
i
Matematične novice
privedel tudi na matematičnem področju do nastanka sumljivih in »ropar-
skih« revij, ki proti plačilu objavijo marsikaj . . . Za pomanjkljivo podobo
v javnosti smo deloma krivi tudi matematiki sami. Pogosto podcenjujemo
napor, potreben recimo za izdelavo dobrega filma o matematiki . . . Včasih
podcenjujemo tudi publiko, ki je pokazala presenetljiv interes za nekatere
filme o matematičnih osebnostih. Pozitiven dosežek na področju populari-
zacije pa je interaktivni portal Imaginary, o katerem sem v tej reviji že pisal.
Javnost tudi ne ve, da diplomanti z dobrim znanjem matematike porabijo
najmanj časa za pridobitev službe. Velik vpliv matematike v ekonomiji prav
tako ni dovolj znan.
Matematika in svet
Maria J. Esteban pravi, da so do konca 19. stoletja pomembni dosežki v
matematiki pogosto bili motivirani z reševanjem problemov v drugih stro-
kah. V dvajsetem stoletju pa za preceǰsen del matematičnega raziskovanja
zunanja spodbuda ni bila več potrebna; matematika je postala bolj zaprta
vase.
Raziskave v Združenem kraljestvu, Nizozemski in Franciji so pokazale,
da pomemben del gospodarstva sloni na uporabi zahtevne matematike (s
katero pa se ne ukvarjajo le matematiki, ampak tudi fiziki, inženirji . . . ).
V Franciji naj bi 15 odstotkov bruto domačega proizvoda in 9 odstotkov
delovnih mest bilo odvisnih od zahtevne matematike. Podobno je v drugih
dveh omenjenih državah. V Franciji približno 10 odstotkov matematikov
dela v podjetjih ali pa rešuje družbene probleme. Ocenjujejo, da se bo v
desetih letih to število podvojilo. Kje dobiti te ljudi? V akademskih krogih
uporabna matematika ni posebno cenjena; ukvarjanje z njo lahko včasih
ogrozi kariero. »Čisti« matematiki pogosto ne vedo, da je njihovo znanje
lahko uporabno tudi zunaj stroke.
Dobra novica je ustanovitev evropskega omrežja, ki naj bi povezovalo
matematike in industrijo. Podobna omrežja že dalj časa obstajajo v Nemčiji,
Nizozemski . . . Na EU-MATHS-IN imamo vseevropsko ponudbo zaposlitev
na področju uporabe matematike.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 151
i
i
“Legisa” — 2016/12/19 — 7:27 — page 152 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Matematika, statistika, veda o podatkih
Peter Bühlmann in Andrew M. Stuart obravnavata izzive v statistiki in vedi
o podatkih (data science, tudi podatkovna znanost). Veda o podatkih se je
razvila iz dolgo znane analize podatkov, ko so vanjo vstopili računalnikarji.
Skuša iz množice podatkov izvleči kar se da veliko informacij, tudi v pri-
meru, ko so ti podatki zajeti na razne načine in z raznimi metodami. Tudi
moderna in močna orodja, kot je strojno učenje, potrebujejo matematično
in statistično ogrodje za svoje delovanje. Treba je poznati omejitve upora-
bljene metode, oceniti možne napake. Predvsem pa je treba najti in preučiti
algoritme za vse te naloge.
Matematični modeli so lahko zasnovani na trdi znanosti, kot recimo v
meteorologiji. Tu gre za milijarde spremenljivk in milijone meritev v rednih
časovnih presledkih. Z uporabo fizikalnih zakonov skušamo od tod napove-
dovati vreme. Drug ekstrem je globoko učenje prepoznavanja obrazov, ki je
bolj ali manj zasnovano le na podatkih – slikah. Širjenje epidemij in prome-
tni tokovi so nekje vmes, preučevani z modeli, ki pa niso tako omejujoči kot
fizikalni zakoni. Strojno učenje nam bo morda omogočilo nove vpoglede in
nove matematične modele za nekatere pojave.
»Visoke dimenzije« so nova udarna beseda. Nanašajo se tako na veliko-
sti množice podatkov kot na velikosti modelov, denimo razsežnosti vektorjev
in matrik, ki nastopajo v modelih. Pomemben koncept je razpršenost, an-
gleško sparsity, ki je osnova zelo živih raziskav t. i. strnjenega (stisnjenega)
vzorčenja (snemanja, zajemanja). Angleški original za to je compressed sen-
sing ali compressive sampling. O tem nameravam več povedati v posebnem
prispevku. Naslednji primer so raziskave povezav med genskim zapisom in
boleznimi. Tu imamo zdaj milijone biomarkerjev in velike baze podatkov o
ljudeh in njihovih boleznih. To nas privede do naslednjega problema:
Prej omenjene velike baze podatkov so večinoma zelo heterogene. V me-
teorologiji imamo podatke zemeljskih postaj, vremenskih balonov, satelitov
itd. Vse to je treba uskladiti. V zdravstvu velike baze večinoma niso rezul-
tat dobro premǐsljenih eksperimentov. Izziv je, kako iz vsega tega izluščiti
dobre informacije.
LITERATURA
[1] Panel, Challenges for the Mathematicians, Newsletter of the EMS 100, junij 2016,
25–30.
152 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Legisa” — 2016/12/19 — 7:27 — page 153 — #4 i
i
i
i
i
i
Matematične novice
Matura v švicarskih gimnazijah
Zanimiva oddaja na švicarskem radiu SRF je pred kratkim problematizirala
znanje matematike pri švicarskih maturantih. Poskusil jo bom povzeti,
seveda pa je še bolje poslušati original [1].
V predzadnji PISA študiji (2012) so bili švicarski petnajstletniki po zna-
nju matematike v Evropi prav na vrhu. V Švici zadnja leta v gimnazijo pride
kakih 20 odstotkov tistih, ki so končali osnovno šolo. Pritiski na povečanje
tega deleža so veliki, posebno s strani priseljencev iz Nemčije, ki niso vajeni
take selektivnosti. Kljub tako ozkemu izboru gimnazijcev švicarske univerze
niso zadovoljne z znanjem matematike (večinoma devetnajstletnih) matu-
rantov. Vzrok je med drugim, da je sistem ocenjevanja zadnji dve desetletji
bolj liberalen. Mimogrede, dijaki iz mestnih predelov, kjer je delež uspešnih
na sprejemnih izpitih za gimnazijo tudi 60 odstotkov, se v povprečju slabše
odrežejo pri študiju.
Švica pozna ocene od 1 do 6. Ocene od 4 naprej veljajo kot zadovoljive.
Precej splošno sprejeta formula za ocenjevanje pisnih izdelkov je 1 + 5a/b,
kjer je a število doseženih, b pa maksimalno mogoče število točk. Rezultat
zaokrožijo na najbližjo polovično oceno. Rezultati pod 55 odstotkov torej
veljajo kot nezadovoljivi. Matematika je sicer obvezen predmet v gimnaziji,
a je mogoče končati gimnazijo in opraviti maturo tudi z zelo nizko oceno
iz matematike, če si dovolj dober pri drugih predmetih. Skoraj polovica
maturantov dobi pri matematiki oceno pod 4. Odstopanja od 4 navzdol
pri vsakem od 13 izbranih predmetov dobijo utež 2, odstopanja navzgor
utež 1. Vsota tako uteženih odstopanj mora biti nenegativna. Pol rezultata
na maturi prinesejo ocene zadnjega letnika, pol maturitetni izpit iz petih
predmetov. (Obvezni na maturi so matematika in dva uradna švicarska
jezika. Matura je stvar gimnazij, mogoče pa je delati tudi zvezno maturo.)
Mnogi dijaki se odločijo, da z matematiko ne bodo izgubljali preveč časa.
Petina maturantov ima na maturi oceno iz matematike 2,5 ali manj. Kasneje
pa, kot bomo videli, se zanemarjanje matematike pogosto izkaže kot zelo
zgrešeno.
Profesorji matematike na švicarskih gimnazijah se večinoma posvečajo
bolǰsim in bolj zainteresiranim dijakom. Tako preostali proti koncu gimna-
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 153
i
i
“Legisa” — 2016/12/19 — 9:33 — page 154 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
zije včasih ne sledijo pouku (ki seže dalj od našega programa).
Uspešno opravljena matura omogoča vpis na vse smeri univerze, razen
na medicino. Vendar je osip na univerzi velik, morda še večji kot pri nas.
Tudi družboslovni študiji namreč pogosto vsebujejo matematiko kot pred-
met. V oddaji je naveden primer študija politologije, pri katerem na prvem
izpitu iz matematike »pogrne« 35–40 odstotkov študentov. Na enem od
študijev ekonomije osip v prvem letniku znaša polovico vpisanih, precej na
račun neznanja matematike. Matematično modeliranje in znanje statistike
postajata pomembna v mnogih usmeritvah, ki prej tega niso poudarjale.
Zanemarjanje matematike v srednji šoli se tako številnim mladim ljudem
maščuje. Na univerzah (kot pri nas) opažajo celo neznanje osnov, kot so
računanje z ulomki, manipuliranje algebraičnih izrazov, preprosti besedni
problemi, procentni račun . . .
Nekatere švicarske gimnazije so se odločile, da ne bodo več dopustile
ignoriranja matematike. Deloma so sledile zgledu nekaterih uspešnih azij-
skih držav (Južna Koreja, Singapur . . . ), ki predpostavljajo, da ob določe-
nem trudu lahko skoraj vsak dijak obvlada osnovna matematična znanja.
Seveda pa so te švicarske gimnazije poskrbele tudi za pomoč dijakom. Or-
ganizirale so popoldanske matematične delavnice. V njih kot tutorji stareǰsi
dijaki ali maturanti (za 20 švicarskih frankov na uro) ponavljajo snov in
dajejo zastonj inštrukcije. Zmeraj pa je prisoten tudi kak profesor matema-
tike.
Druga ideja je katalog osnovnih matematičnih znanj, ki naj bi bil ožji
od sedanjega zahtevnega gimnazijskega programa, a bi še zmeraj pokril
potrebe večine univerzitetnih študijev. Seveda pa je slǐsati tudi opozorila,
da je preveč sprememb v kratkem času lahko problematično.
LITERATURA
[1] O. Frey, A. Vonmont in H. Wick, Knacknuss Mathe am Gymnasium, do-
stopno na: http://www.srf.ch/sendungen/wissenschaftsmagazin/knacknuss-
mathe-am-gymnasium-2.
[2] Neue Zuercher Zeitung, 26. 2. 2012, Du musst da rein!, dostopno na: http://www.
nzz.ch/du-musstda-rein-1.15284726.
Peter Legǐsa
154 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Kovic-2” — 2016/12/19 — 7:23 — page 155 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Stephen G. Krantz, Mathematical Publishing, American Mathe-
matical Society, Providence, Rhode Island 2005, 297 strani.
Izvrstno napisan priročnik za preživetje v
džungli matematičnega objavljanja, rezul-
tat avtorjevih bogatih prvoosebnih izkušenj,
namenjen predvsem amerǐskim bralcem
(zlasti v 6. poglavju, ki natančno obravnava
pravne zadeve v zvezi s pravicami in ob-
veznostmi avtorjev, lastnǐstvom copyrighta,
distribucijskimi pravicami itd.), bo zagoto-
vo našel hvaležno občinstvo tudi v Sloveniji,
saj so pravila igre objavljanja v mednaro-
dnih revijah iz leta v leto zahtevneǰsa, nji-
hovo dobro poznavanje in upoštevanje pa
lahko ob vse številneǰsi konkurenci briljan-
tnih umov pomeni odločilno prednost pri
polaganju temeljev za lastno uspešno akademsko kariero ter vzpenjanje po
akademski hierarhiji, ki zvesto kaže posameznikovo sposobnost prevzemanja
vse zahtevneǰsih vlog, od avtorskih do recenzentskih in urednǐskih.
Matematika kot raziskovalna in znanstvena dejavnost danes ne obsega le
natančnega formuliranja definicij, dokazovanja izrekov in reševanja proble-
mov na podlagi temeljitega preučevanja dela drugih matematikov preteklosti
in sedanjosti, ampak tudi pisanje in objavljanje kar se da kakovostnih in kar
se da številnih znanstvenih in strokovnih tekstov, od člankov in recenzij do
učbenikov in monografij za kar se da visoko rangirane matematične revije,
pa tudi za kar se da prestižne založbe, ki objavljajo matematične knjige1.
1Takšnih založb je potem, ko se je sredi XX. stoletja sesul sistem naročanja knjig po
matematičnih knjižnicah daleč po svetu, iz finančnih razlogov vse manj – monografije
s področja čiste matematike objavljajo takorekoč le še American Mathematical Society,
Springer, Marcel Dekker, Elsevier in Society for Industrial and Applied Mathematics
ter univerzitetne založbe, kot npr. Priceton University Press ali Oxford University Press).
Kako uskladiti medsebojno nasprotujoča si postulata kakovosti in kvantitete v objavljanju,
je gordijski vozel moderne matematike, s katerim se vsakodnevno muči vsakdo, ki se kot
matematik šele uveljavlja.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 155
i
i
“Kovic-2” — 2016/12/19 — 7:23 — page 156 — #2 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Kot pravi Krantz, se je moderna ideja recenzirane znanstvene revije
rodila šele leta 1665, ko je bila osnovana revija Philosophical Transactions of
the Roal Socety of London. Še v času Fermata so matematiki tako na Zahodu
kot na Vzhodu »objavljali« svoja odkritja predvsem v pismih kolegom (in to
pogosto le v obliki idej, hipotez, formul ali trditev brez dokazov, kot izzive
drugim matematikom: »Reši to, če znaš!«
Prve matematične revije, ki so matematikom dodobra otežile objavlja-
nje (oziroma zagrenile življenje!), so se v kratki zgodovini matematike poja-
vile šele razmeroma nedavno! Formuliranje rezultatov raziskovalnega dela v
obliki zaključene celote, ki se mora pokoravati določenim pravilom igre (be-
sedila morajo biti oblikovana po določenih standardnih aksiomih, slike pa
po postulatih posameznih revij, navajanje referenc tistih, ki obravnavanega
problema dotlej niso rešili, mora biti čim popolneǰse itd.) je izum matema-
tikov moderne dobe, ali bolje, urednikov matematičnih revij XX. stoletja,
ko je število matematičnih revij začelo strmo naraščati.
Danes je v svetu že več kot 1800 matematičnih revij, globalna hiperpro-
dukcija matematičnih člankov ob vse natančneje določenih pravilih oziroma
protokolih za njihovo pisanje pa postaja že resen problem, saj vpliva nega-
tivno tako na njihovo kvaliteto kot tudi na njihovo »biotsko raznovrstnost«–
tako se npr. vsebinska in oblikovna izvirnost ceni veliko manj kot hoja po
utečenih poteh predhodnikov ob zvestem upoštevanju vseh formalnih zahtev
konkretne revije2. Neizprosna gladiatorska maksima Objavljaj ali odjadraj!
(angl. Publish or perish! ), ki jo je leta 1942 formuliral sociolog Logan Wil-
son v knjigi The Academic Man: A Study in the Sociology of a Profession),
je zavladala v matematiki nekje od sredine XX. stoletja dalje; nekdanjo
kraljico znanosti je spremenila v globalno resničnostno igro zbiranja točk
iz objav in citiranosti člankov v uglednih matematičnih revijah; te točke
2Mnogi matematiki, ki se jim upira takšno prokrustovsko uniformiranje znanstvene
kreativnosti, zato uporabljajo tudi različne možnosti nerecenziranih objav svojega dela
na spletu (npr. z utemeljitvijo, da bo zgodovina tako ali tako ločila zrno od plev). Krantz,
ki sicer zagovarja že uveljavljeni sistem recenzij in urednikov kot nekakšen osnovni me-
hanizem za zagotavljanje kakovosti člankov, zainteresiranega bralca opozarja na spletno
stran http://info.lib.uh.edu/sepb/sepb.html, na kateri je poleg mnogih drugih stvari
mogoče dobiti tudi Scholarly Electronic Publishing Bibliography Charlesa W. Baileya, 185
strani dolg dokument o elektronskem založnǐstvu oziroma objavljanju člankov, knjig in
drugih dokumentov.
156 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Kovic-2” — 2016/12/19 — 7:23 — page 157 — #3 i
i
i
i
i
i
Mathematical Publishing
naj bi predstavljale objektivni, znanstveni, kvantitativni kriterij, s katerim
lahko matematiki v tekmi za akademske nazive dokazujejo svojo posebnost
in kvaliteto ter se potegujejo za finančna sredstva najrazličneǰsih razpisov za
znanstvene in raziskovalne projekte. Da pa lahko ta obsežna matematična
»založnǐska industrija« sploh nemoteno funkcionira, je treba poleg avtor-
skega dela (ki danes kot samoumeven predpogoj, da se ga sploh obravnava,
vključuje že tudi postavitev besedila v Tex-u tako rekoč skoraj v dokončni
obliki, od avtorjev pa pogosto zahteva tudi plačilo stroškov objave!) zago-
toviti tudi veliko dobro organiziranega recenzentskega in urednǐskega dela.
Knjiga, ki obravnava vse vidike objavljanja matematičnih besedil, na-
pisana iz zornega kota izkušenega dolgoletnega urednika in avtorja prav
takšnih besedil, je poučno branje za vse matematike, ki se morajo prej ali
slej dobro orientirati tudi v tem urednǐsko-recenzentskem labirintu. Tudi če
že imamo s tem vidikom matematične dejavnosti določene izkušnje iz prve
roke, ni odveč prebrati vsaj nekaterih ključnih poglavij takšnega priročnika,
kjer so natančno predstavljena pravila igre objavljanja3.
Vsakdo, ki so mu kdaj (bodisi po krivici bodisi po pravici) zavrnili kakšen
članek, pa tudi tisti, ki se pripravljajo na pisanje svojega prvega matematič-
nega članka (ali morda celo knjige!), bo v tem zelo koristnem priročniku našel
marsikakšen uporaben nasvet ali navodilo, ki mu bo pomagalo odpraviti to
ali ono pomanjkljivost v lastnem delu, na katero morda prej ni bil pozoren.
Komur pa je izobrazba že sama po sebi zelo pomembna vrednota, ki presega
pragmatično profesionalno fokusiranje na svoj matematični fevd, ta bo pro-
blematiko matematičnega pisanja in objavljanja v vseh njenih mnogoterih
vidikih (npr. kako izbrati primeren naslov, kako strukturirati besedilo, kako
3Njene definicije, aksiomi, postulati in protokoli obsegajo ne samo standarde glede
pričakovane strukture in kakovosti člankov (ki lahko variirajo od revije do revije), ampak
tudi etiko komuniciranja, ki temelji na načelu zaupanja in medsebojnega spoštovanja.
Urednikova dolžnost je sprejeti odločitev na podlagi poročil enega ali več recenzentov,
katerih mnenja pa se lahko tudi razlikujejo. Recenzentova dolžnost pa je, da uredniku
v dogovorjenem roku jasno poroča vsaj o tem, ali so rezultati danega članka pravilni,
novi in zanimivi, ali je članek razmeroma dobro napisan, ali citira vse prave vire, in
ali je vreden objave v tej konkretni reviji. Pri dalǰsem članku z ambiciozneǰso vsebino
je zaželeno še podrobneǰse in še bolj kritično poročilo, npr. o tem, ali je avtor uporabil
najbolǰsi možni pristop, ali vsebina in bistvo članka upravičujeta njegov obseg, ali je članek
dobro organiziran in lahko berljiv itd. Avtor sprejetega članka pa je med drugim dolžan
upoštevati recenzentove popravke in razmeroma hitro opraviti zadnje korekture.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 157
i
i
“Kovic-2” — 2016/12/19 — 7:23 — page 158 — #4 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
napisati povzetek, kako formulirati definicijo ali izrek, kako izbrati primerno
revijo, koliko in kje objavljati, kako je s copyrightom in drugimi pravnimi
zadevami itd.) preštudiral enako pozorno kot kakšno temeljno matematično
knjigo. Pisanje, pa tudi objavljanje člankov, ki vključuje tudi komunicira-
nje z uredniki in recenzenti, ki predlagajo določene popravke, je veščina,
ki se je velja naučiti podobno skrbno, kot se npr. pripravljamo na vozni-
ški izpit: celo povsem trivialne tiskovne napake se namreč ne oproščajo, še
več, mečejo slabo luč na celotno avtorjevo delo do te mere, da recenzent po
principu halo efekta praviloma omalovažujoče oceni tudi vsebino oziroma
tehtnost članka, ki jo je sicer veliko težje objektivno ovrednotiti4.
Poleg tega čisto utilitarnega vidika, s katerim si lahko pomagamo pri
lastnem avtorskem delu, pa je pomembno, da knjiga predstavi urednǐsko (in
recenzentsko) delo kot vrednoto, ki pomembno prispeva h kvaliteti besedil,
pa tudi k njihovi prepoznavnosti (tj. možnosti, da jih bodo prebrali tisti, ki
so jim namenjena). Avtor argumentirano polemizira s tezo, da dandanes,
ko lahko vsakdo objavi rezultate svojega dela na spletu, matematične revije,
ne klasične ne elektronske, niso več potrebne. Prav nasprotno, samo objava
v recenzirani in ugledni reviji prepreči, da avtorjevo delo ostane neopaženo
v poplavi milijonov člankov (in neštetih drugih informacij) na spletu!
Pogled v zakulisje matematičnega objavljanja je podobno zanimiv kot
pogled v zaodrje gledalǐsča. Pomaga nam razumeti, da matematika ne te-
melji le na individualnem delu, ampak tudi na sodelovanju mnogih. Bolǰse
poznavanje dela urednikov in recenzentov je dragoceno že samo po sebi (tako
kot velja to za vse znanje!), lahko pa pripomore tudi k bolǰsi komunikaciji
med avtorji, uredniki in recenzenti. Poleg nekaterih elementarnih stvari o
samem pisanju matematičnih besedil (npr. kako naj bo strukturiran članek,
kako izbrati ustrezen naslov, kaj sodi in kaj ne sodi v kakovostne recenzije
4Če nekoliko karikiramo, danes so formalne zahteve, ki jih revije in založbe postavljajo
matematikom, takšne, da npr. Galois (ki je svoja izredno pomembna odkritja zapustil v
pismu, v naglici načečkanem dan pred tem, ko je umrl v dvoboju, in so jih dešifrirali še
nekaj let, preden so spoznali njihovo pravilnost in pomembnost) nikakor ne bi izpolnjeval
osnovnih formalnih kriterijev, da bi se njegov prispevek sploh obravnaval. Že to, da
(zaradi nekonformistične narave mladega genija) zagotovo ne bi bil vzorno do zadnje črke
napisan v Tex-u, bi povzročilo, da avtorju (ki je, resnici na ljubo, imel podobne težave
z omejenimi umi že v svojem času!) sploh ne bi dali možnosti, da se uveljavi s svojim
delom!
158 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Kovic-2” — 2016/12/19 — 7:23 — page 159 — #5 i
i
i
i
i
i
Mathematical Publishing
itd.), bodo za zahtevneǰse bralce zanimiva tudi avtorjeva razmǐsljanja, izku-
šnje in nasveti v zvezi s pisanjem lastne matematične knjige. To je projekt
za zrele matematike, ki se ga ne gre lotiti zlahka, ne gre pa se mu tudi a priori
izogibati, čeprav ne prinaša neposrednih akademskih priznanj (npr. v obliki
točk za članke v uglednih revijah, ki so pomembne pri izvolitvah v nazive).
Knjiga ostane v obtoku dalǰsi čas, z njo lahko posamezen matematik bolje
predstavi svoje stalǐsče in rezimira delo drugih ter s svojim osebnim, nepo-
novljivim pristopom pomembno zaznamuje določeno matematično področje.
Nekatere najbolǰse knjige so v svoji vsebinski in oblikovni dovršenosti in do-
rečenosti tako uspešne, da dobesedno »ubijejo« oziroma izčrpajo določeno
tematiko (kar avtorji takih knjig včasih celo eksplicitno izjavijo!). Takšne
knjige so seveda sanje vsakega založnika, ki ga, drugače od urednika, ki bedi
nad kakovostjo prispevkov, mora skrbeti le finančni vidik igre objavljanja.
Ker po znanem Petrovem načelu (istoimensko knjigo imamo prevedeno
tudi v slovenščino) vzpenjanje po vsakršni hierarhiji naposled vsakogar pri-
vede na položaj, ki mu ni več kos (in na katerem dela samo še škodo ali pa
v najbolǰsem primeru od njega ni nobene koristi), morda velja tudi gornjo
knjigo prebrati le na hitro, saj sicer tvegamo, da bomo v igri objavljanja
predobri, s tem pa bomo poželi samo zavist in obrambne reakcije kolegov,
ki bodo v našem hitrem in nezadržnem prodiranju navzgor po hierarhiji
zbranih točk (ki naj bi služila objektivneǰsemu ocenjevanju kakovosti znan-
stvenega in raziskovalnega dela) videli nezaslǐsano nesramnost. Kljub mo-
rebitnim pomislekom o smiselnosti vztrajanja v takšni komediji pa velja –
tudi za nekoga, ki je že spregledal praznino igre objavljanja kot ene od raz-
ličic igre dokazovanja lastne posebnosti, ki so jo matematiki izpopolnili in
prignali do absurda – stara dobra maksima: Beri in pǐsi!, pa ne zato, da
boš deležen kakšnega posebnega priznanja, ampak kljub temu, da ga morda
ne boš, iz same ljubezni do matematike. Ta je namreč edino, kar na dolgi
rok v resnici šteje.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 159
i
i
“Kovic” — 2016/12/12 — 12:04 — page 160 — #1 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
W. S. Anglick, J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer-
Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 327 strani.
Knjiga, namenjena predvsem dodiplomskim
študentom, na kratko predstavi zgodovino
matematike oziroma nekaj izbranih mejni-
kov v njenem razvoju, osvetli pa tudi njeno
filozofijo. Posamezna poglavja, ki bolj ilu-
strativno kot sistematično obravnavajo po-
membne teme, ideje, metode in odkritja v
zgodovini matematike, se končajo z zanimi-
vimi nalogami, ki zainteresiranemu bralcu
omogočijo, da se bolje (kot bi se samo z
branjem) vživi v način razmǐsljanja mate-
matikov v preteklosti. Naj gre za povsem
matematično nalogo (npr. za reševanje ena-
čb tretje stopnje z uporabo Cardanovih for-
mul) ali za pisanje eseja (npr. o tem, ali sme
matematik v svoji knjigi objaviti pomembne rezultate kakega drugega ma-
tematika, ki mu jih je le-ta zaupal pod pogojem, da jih nikomur ne izda, ali
pa je to etično sporno, četudi je pravilno navedel in priznal njegovo avtor-
stvo), takšne naloge lahko obogatijo študentovo razumevanje matematike
(in so po svoje dobra priprava na kasneǰsa pisna dela (seminarske naloge,
diplomsko delo itd.), v katerih je treba poleg matematičnega znanja in spo-
sobnosti (reševanja problemov, računanja, dokazovanja itd.) pokazati tudi
jezikovno spretnost in urediti misli o določeni temi v smiselno celoto.
Knjiga je nastala na podlagi izkušenj avtorjev, ki sta vrsto let pouče-
vala prav takšen predmet. Zato je lahko dobra osnova za predavanja iz
zgodovine matematike, vendar ne na preveč zahtevni ravni in pod pogojem,
da predavatelj takšnega predmeta že iz drugih virov ve neprimerno več o
zgodovini in filozofiji matematike, kot je zapisano v tej knjigi. Vprašanje
je tudi, ali je smiselno pričakovati, da bodo bralci lahko samostojno rešili
nekatere zahtevneǰse matematične naloge, potem ko so jim bili le na kratko
predstavljeni osnovni koncepti, definicije in metode neke matematične te-
orije. Čeprav je res, da se je na podoben način naučil matematike Euler
160 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4
i
i
“Kovic” — 2016/12/12 — 12:04 — page 161 — #2 i
i
i
i
i
i
The Heritage of Thales
(ki ga je npr. v teorijo števil pritegnilo delo Fermata, ki za svoje trditve
in hipoteze praviloma ni podajal dokazov), pa je res tudi, da takšen način
dela zahteva izjemno nadarjenost, samostojnost in prodornost, tako torej ni
primeren za vsakogar.
Knjiga je razdeljena na dva dela: I. Zgodovina in filozofija matematike,
in II. Temelji matematike. Prvi del obravnava poleg zahodne matematike
(egipčanske, sumersko-babilonske, grške, renesančne ter matematike 17. in
18. stoletja) in nekaterih njenih najslavneǰsih rezultatov, pojmov in pro-
blemov (kot so npr. Pitagorov izrek, praštevila, pravilni poliedri, popolna
števila, problem nesoizmerljivih količin, konstrukcije z ravnilom in šestilom,
reševanje kubičnih in kvartičnih enačb) ter matematikov (kot so npr. Pi-
tagora, Evklid, Arhimed, Leibniz itd.) tudi matematiko Kitajske, Indije in
arabskih dežel. Drugi del obravnava različne vrste števil (naravna, cela, raci-
onalna, realna, kompleksna, kvaternione) ter poglavja, za katera ni povsem
jasno, po kakšnem kriteriju so bila izbrana in kako so lahko sploh obrav-
navana skupaj v okviru istega predmeta (npr. verižne ulomke, Hilbertov
deseti problem, lambda račun, intuistično logiko, Gödlove izreke, kategorije
itd.). Marsikateri matematik bo tem poglavjem morda zameril prav to – da
niso obravnavana v bolj standardnih okvirih področij in predmetov, kamor
naravno sodijo.
Po drugi strani pa bo bralec v knjigi našel veliko zgodovinskih podrob-
nosti in zanimivosti (npr. verze matematika Omarja Hajama, odlomek iz
Platonovih dialogov, dobeseden prevod odlomka iz Rhindovega papirusa
itd.) ter filozofskih komentarjev, ki jih v večini drugih, bolj sistematičnih
knjigah o zgodovini matematike ni.
Knjiga je torej bolj prepričljiva v smislu motivacije za študij zgodovine
matematike kot pa v prikazu same matematične tematike. Zasnova (pa tudi
sama izvedba) knjige o zgodovini in filozofiji matematike v obliki učbenika
z nalogami je po eni strani privlačna, po drugi pa problematična, ima svoje
dobre, pa tudi slabe strani. Tehtanje, katere od njih prevladajo, naj bo
prepuščeno njenim bralcem, ki se že zavedajo, da je svoje mnenje o delu
drugih treba argumentirati, obenem pa dopuščati tudi možnost, da v svojih
ocenah in sodbah nismo nezmotljivi.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 4 XV
i
i
“kolofon” — 2016/12/19 — 7:29 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JULIJ 2016
Letnik 63, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Loksodrome na krožnem torusu (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131
Uporaba Hallovega izreka (Tanja Gologranc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132–138
Vesti
Triindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Gregor Šega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139–143
Strokovno srečanje in 68. občni zbor DMFA
(Nada Razpet in Janez Krušič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144–148
Bojana Dvoržak, prejemnica priznanja DMFA Slovenije
(Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Matematične novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150–154
Nove knjige
Stephen G. Krantz, Mathematical Publishing (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . 155–159
W. S. Anglick, J. Lambek, The Heritage of Thales (Jurij Kovič) . . . . . . . . 160–XV
CONTENTS
Articles Pages
Loxodromes on a ring torus (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131
Applications of Hall’s theorem (Tanja Gologranc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132–138
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139–154
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–XV
Na naslovnici: Kolaž dopolnjuje članek Loksodrome na krožnem torusu na straneh
121–131. Na njem sta pogleda v rogati in vretenasti torus ter na krožni torus, ki
poteka skozi štiri manjše krožne toruse. V ospredju je krožni torus, na katerem
sta v različnih barvah narisani med seboj ortogonalni sklenjeni loksodromi (slika 6,
stran 130). Posamezne slike so narejene z računalniškim programom GeoGebra
5, kolaž pa je iz njih samodejno sestavila Picasa 3.