Das Horizontalpendel in seiner Verwendung als Erdbebenmesser. Von F*. Raffaelle Stiattessi. Sonderabdruck aus der Monatsschrift „Die Erdbebenwarte“, 1903, Nr. 11 und 12, II. Jahrgang. ©©©©■© Druck von Ig. v. Kleinmavr & Fed. Bamberg. Sonderabdruck aus der Monatsschrift «Die Erdbebenwarte», Nr. n und 12, II. Jalirg , 1903. Das Horizontalpendel in seiner Verwendung als Erdbebenmesser.* Von P. Raffaelle Stiattessi. In der «Rivista di fisica, Matematica e Scienze Naturali», herausgegeben in Pavia (Jahrgang II, Heft 24) liat der Verfasser bereits eine Abhandlung unter dem gleichen Titel veroffentlicht. Dort wurde auch angedeutet, dafi gelegentlich in einer Fachzeitschrift eine eingehende Untersuchung nach der mathematischen Seite hin veroffentlicht werden wird. Nachdem auf diesem Gebiete von anderer Seite nichts weiter unternommen worden ist, soli nun hier als Fortsetzung und zur Illustrierung der angeftihrten Abhand¬ lung die mathematische Seite nžiher beleuchtet vverden. Mit Plorizontalpendel bezeichnet man jenen Apparat, der in seiner Hauptsache aus einem Gewichte besteht, das in einem Punkte aufgehangt und in einem zweiten, nicht in der gleichen Vertikale liegenden, jedoch mit dem ersteren steif verbundenen Punkte unterstiitzt ist. Das Plorizontalpendel in seiner typischen Form nach Rebeur von Paschwitz eignet sich zum bezeichneten Studium sehr gut und ist (Fig. I) aus einem gleichschenkligen Dreieck ABC gebildet, das beim Scheitel C mit einem Gevvichte D beschwert, mit der Basis AB in A aufgehangt und in B gestiitzt ist. Das System kann somit nur um die Basis AB schwingen. Ware die Basis AB vertikal, so wurde sich das Pendel im indifferenten Gleichgewicht befinden. Ist die Basis AB aus der Vertikalen gegen D geneigt, was auch in unserem Falle angenommen wird,** so kann sich das Pendel nur in einer einzigen Ebene in Ruhe befinden. Wie schon bemerkt, kann das Gewicht D bei den in der Astronomie und als Erdbebenmesser in Vervvendung stehenden Horizontalpendeln nur in einer beinahe und anscheinend horizontalen Ebene schwingen, denn AB ist meistenteils nur unbedeutend gegen die Plorizontalebene geneigt. Die Bezeichnung «PIorizontalpendel» trifft somit nicht vollkommen zu. * Originalabhandlung italicnisch, die Ubersetzung in die deutsche Sprache besorgten die Herren V. Bračič und Prof. Haring. ** Der Zeichner hat dies in Fig. 1 Ieider nicht zum Ausdruck gebracht. 2 So zahlreich die Formen sein konnen, die man diesen Pendeln gibt, in den Hauptumrissen lassen sich doch alle auf die Type Rebeur- Paschwitz zuruckfiihren. Wir wollen uns daher nur mit dieser letzteren befassen. Soli sich ein Plorizontalpendel im Gleichgewichte befinden, so ist es notwendig und hinreichend, dafi sich die Dreiecksebene, die das Pendel bildet, in der Vertikalebene der Basis AB befindet. Das Dreieck, welches das Pendel bildet, ist bestimmt durch den Auf¬ hangepunkt A, den Unterstiitzungspunkt B und den Schwergewichtspunkt C des Systems (Fig. II). Da die Schwermasse bei C verhaltnismafiig bedeutend ist, kann man ruhig den Schvverpunkt in derselben liegend annehmen. Diese Annahme findet sofort ihre Bestatigung, wenn man beachtet, dafi der virtuelle Aufhangepunkt des Pendels, wenn es sich in der einzigen Gleichgewichtsebene befindet, nur in der Verlangerung der durch den Punkt C gezogenen Vertikalen EC liegen kann; in Wirklichkeit ist aber das Pendelsystem in A aufgehangt und in B untersttitzt, der virtuelle Auf¬ hangepunkt kann sich somit nur in der Verlangerung von BA befinden Ein Gleichgewicht findet also nur dann statt, wenn BA die Verlangerung von EC trifft. EC mufi also in der Ebene von BA liegen, in der gleichen Ebene mufi auch BD, das mit EC parallel ist, liegen. Daraus geht hervor, dafi in der Gleichgewichtslage das System einem einfachen Vertikalpendel entspricht, das in H den Aufhangepunkt besitzt. Die Schwingung von C durch den Ruhepunkt wird ebenso erfolgen, wie bei einem Pendel mit der Lange HC; nur wird hiebei ein Bogen beschrieben, dessen Sehne senkrecht auf AB steht, wahrend sie beim Vertikalpendel senkrecht auf HC sein wird. Soli die Lange HC des einfachen Vertikalpendels, das dem Plorizontal¬ pendel entsprechen soli, gefunden werden, so setze man <£ DBA = r/> und fiille das Lot CF = d. Man hat sodann im rechtvvinkligen Dreieck HFC HC = —.— = d cosec w. srn cp Man sieht aus dieser Formel, dafi die Lange des Pendels und daher auch das Quadrat der Schwingungsdauer mit der Distanz CF = d und mit der Kosekante des Winkels DBA, der Abweichung von der Vertikalen, gerade proportioniert ist. In den Grenzen von 0° bis 90° nimmt die Kose¬ kante mit dem VVachsen des Winkels ab, die Dauer der Schwingungs- periode wachst daher mit der Abnahme des Neigungswinkels DBA. Was die Empfindlichkeit des Apparates anbelangt, so weifi man, dafi ein kurzes Pendel infolge seiner Kurze Erschiitterungen und Stbfie von kurzer Periode leicht empfindet; horizontale Pendel werden daher auf Stbfie von solehen Erschiitterungen beinahe gar nicht reagieren, weil sie langen Pendeln entsprechen, werden aber filr Abweichungen von der Vertikalen cher empfanglich sein und dieselben besser wicdergcben. 3 Die Lange von AB hat auf die Lange des korrespondierenden Verti- kalpendels keinen Einflufi; hingegen hSngt die Schwingungsweite des Punktes C, wenn die Ebene, zu der die beiden Punkte AB gehoren, sich neigt, wohl von der Distanz der Punkte A und B ab. Man sehe einmal, wie sich der Apparat verhalt, wenn sich die Stiitze neigt. Die Neigung kann man in zwei rechtwinklige Koordinaten zerlegen, von denen die eine parallel zur Ruheebene, die andere senkreebt darauf steht. Untersucht man nunmehr den Effekt jeder einzelnen Verschiebung getrennt, so findet man folgendes: Es sei ABC (Fig. III) ein Horizontalpendel mit der Ruhelage in der Vertikalebene DE. Dieses Pendel neige man so in der Vertikalebene D h, dafi der Winkel DBA mit der Vertikalen DB entvveder grofier oder kleiner wird, z. B. so weit, dafi BA die Lage von BA' einnimmt; dann befindet sich das Pendel in der Position A'BC' in Ruhe, liegt noch in der gleichen Vertikalebene DE und hat noch keine Schvvingung vollzogen. N ur der Neigungswinkel von der Vertikalen hat sich geandert. Es wird daher der virtuelle Aufližingepunkt des korrespondierenden einfachen Vertikalpendels naher an C fallen, wenn, wie in unserem Falle, der Neigungsvvinkel zu- genommen hat, dagegen sich von C entfernen, wenn dieser Winkel abnimmt. Im ersteren Falle wird die Schwingung in kilrzerer Zeit vollzogen sein und, da die Horizontalpendel hauptsachlich bei der Untersuchung von Schwingungen mit langer Periode Anwendung finden, wird man sagen, die Empfindlichkeit des Pendels hat abgenommen; das Gegenteil im zweiten Falle, d. h. wenn die Schwingungsperiode eine langere Zeitdauer benotigt. Dann fassen wir den Vorgang ins Auge, wenn die Neigung des Pendels aus der ursprunglichen Gleichgewichtsebene seitlich erfolgt. Das Pendel ABC (Fig. IV) hat den Bogen AA' seitlich zur Ruhelage DE zurtickgelegt und hat die Stellung A!BC' eingenommen. Ziehen wir auf die Ebene MN, die auf der Ebene DE senkrecht steht, die Vertikalen AQ und A!R, so wird die Ebene AR auf BE gleichfalls senkrecht stehen und folglich auch QR auf BE, der Projekti on von AC, senkrecht stehen. RQ ist daher der Sinus von AA', bezogen auf den Radius QA — QA', und A'R ist der Kosinus hiezu. Ferner ist EBE' der Neigungsvvinkel der beiden Ebenen ABC und A’BC'; BD ist parallel zu A'R und liegt gleichfalls in der Ebene A'BC'. Das heifit, DB ist immer die Schnittlinie der beiden Gleichgewichtsebenen, was soviel sagen will, als dafi das System um BD rotiert, wobei sich der Punkt D', der in der von A' auf BD gefallten Senkrecliten liegt (denn A'D' mufi parallel zu RB sein), auf dieser Geraden hebt oder senkt. Es wird BD' der Kosinus des Rotati.onswinke!s AA' und D"D' die Funktion 1 — cos AA' sein. Dies bevveist, dafi sich ein beliebiger Punkt wie A, der mit B 4 steif verbunden ist, bei der Rotation senkt oder hebt, und zwar um ein Stiick, dessen vertikale Projektion jener Funktion des Rotationsbogens entspricht. Dieses Prinzip lafit sich beim Schwerpunkt C nicht anwenden. Zu bemerken ist auch, dafi, wenn man den Weg, den der Punkt C zuriicklegt, auf einer zu MN parallelen und infolgedessen im gleichen Bogen rotie- renden Ebene darstellt, der Weg von C auf dieser Ebene nicht ein auf einer Horizontalebene, sondern auf einer geneigten Ebene beschriebener Kreisbogen sein wird. Vom Winkel CBC', der durch den soeben beschriebenen Bogen gemessen wird, kann man auf den Winkel EBE' und von diesem auf den Rotationswinkel ABA' schlielSen. Jetzt wollen wir die Beziehungen der trigonometrischen Funktionen des Winkels ABA' zu jenen des Winkels EBE' und CBC' untersuchen. Man setze AQA! = «, d. h. are AA' = a D"BA = BAQ = cp und EBE' — &, ferner BA = t Wir haben dann BQ — t sin ep AQ = teosep und QR — QA sin a — t cos ep sin a Aber tg EBE’ = tg QBR — (weil BQR ein rechter Winkel ist), daher t cos cp sin a tgir = - - -= sm a cot cp und t sm cp ’ sina — tgStgcp .(I) Bezeichnen wir nun den Winkel DBC = ip und are CC' — /9 und betrachten das Dreikant, das wir durch Errveiterung der Ebenen ABC und ABC’, die die Schnittlinie BD haben, erhalten, so kennen wir den Winkel DBC und den Keil C(D"B)C', welcher den Winkel EBE' zum MaC hat; wir haben dann cos CBC' = cos D"BC cos D'BC' — sin D"B C sin D'BC' cos EBE' cos (t — cos ip cos i// — sin ip sin ip' cos d- es ertibrigt noch D'BC, das wir mit ip' bezeichnet haben, zu bereclinen. Das Dreieck D'BA! ist in D' rechtwinklig, daher ist cos D'B A = BD' ~BA' BD’ — AR = AQ cos a AQ = teosep, BA = t, daher ist cos D'BA' — cos a cos cp s Wenn D’BA' = cp', so wird cos ep' = cos a cos ep ein Wert, der in unsere Gleichung (I) eingelegt folgendes ergibt: tga sin a cos a cos cp tg 3 sin cp cos cp' cos cp ’ das heifit tg!) , , tg!) . — 7 smep und cos m = - - smep coscp' tga Oder, wenn man statt (I) sin 2 a = tg 2 3 tg 2 cp und statt coscp' = cos a coscp cos 2 cp' cos 2 a = -— schreibt, cos 2 cp wird man hab en „ I cos 2 rp' 1 = Ao-2 5 po-i (p _l_ - unc j auch 71 cos 2 cp cos 2 cp — cos 2 qp' 1 = tg 2 0 tg 2 cp cos 2 cp und cos 2 cp' cos 2 cp 1 — tg 2 3 tg 2 cp Mit diesen Formeln ist einigermafien schwer zu rechnen, da cp' von cp samt dem unbekannten a abhangt, ebenso ip' von ip; es empfiehlt sich daher anzunehmen, daG 3 durch (S gegeben ist, oder besser, dafi der zwischen C C' beschriebene Bogen gleich jenem von EBE' ist; bei dieser Annahme bleibt uns die einzige Formel sina == tg3tgcp .( 1 ) Wenn wir nunmehr annehmen, dafi sidi die Ebene MN um den Winkel y aus den beiden zu den Ruhelagen senkrechten Ebenen neigt, so konnen wir die beiden Komponenten mit a und «' bezeichnen. In Hinsicht auf die Komponente a erhalten wir die Formel sin a — tg 3 tg (cp + a') .( 2 ) und mit Bezug auf die andere Komponente sina' = tg3' tg(cp. +a) .( 3 ) weil der Winkel cp von der anderen Komponente modifiziert wird. Um a und a’ zu finden, entwickle man das zweite Glied der Gleichung (2). sina = tg 3 tgcp± tga' 1 + tg cp tg a' Man hat dann und setzt man 2 tg- sin a i + *g* tgcc' = 2 tg tg 2 so hat man 2 tg , 1 + tg 2 tg(f (i — tg* ±2 tg ~~ , -’—,-- tgO , a a 1 _ t g”-- _|_ 2tg- tgcp 2 2 Der Einfachheit halber konnen wir die Ausdriicke, in welchen a zum Quadrat erhoben vorkommt, unberiicksichtigt lassen; da a ein C( unbedeutender Bogen ist, ist — um so kleiner. CJ Es bleibt uns daher sin a 2/^- 2 und /ga' — 2tg Unsere Gleichung lautet dann: 2 tg 2 = tg3 tgrp± 2 tg - 1 + 2 tg 2 tg - “ aus (5) in die Gleichung (4) ein, dann haben wir 2 tg~ — tgfptg 0 ± tgcf tg 3' tg d ± tg &(+ 2 tg | tg ,9') dah er wird ± 24 f|(l + tgd tg O') = — sin a' : sin {)' und auch a : & — a ': 0’ 9 Im allgemeinen dient diese Proportion zur Bestimmung der Ver- groGerung von Horizontalpendeln. Doch mufi man wohl vor Augen halten, daG ein solcher Ausdruck nicht vollkommen zutrifft und nur dann aufgestellt werden kann, wenn man gelten laGt, daG die Bogen AA' und C C' in parallelen Ebenen liegen, was ja nicht ganz zutrifft. Eine genauere Proportion erhalten wir, wenn wir die Formel (6) Bringen wir bei dieser Formel das Pendel um z. B. den Bogen a = 1" aus der Ruhelage und berechnen 0, so finden wir das Verhaltnis Dies kann als das Verhaltnis zur Ermittlung der VergroGerung an- gesehen werden. Das doppelte Vorzeichen im Ausdruck sin (45 0 + d) laGt ersehen, daG die VergroGerung verschieden ausfallt, je nachdem d mit dem po- sitiven Vorzeichen genommen wird, d. h. wenn die Abweichung « in der einen Richtung, oder t) mit dem negativen Vorzeichen genommen wird, d. h. wenn die Abweichung « in der anderen Richtung erfolgt. Mit zwei Horizontalpendeln allein kann man somit den Wert der Bodenneigung nicht ermitteln. Man erreicht dies leicht mit vier Pendeln, von denen zwei und zwei gegeneinander gestellt sind. In diesem Falle lauten die vier Formeln, wenn wir die Abweichung der Instrumente von der Vertikalen mit cp bezeichnen: (a) sina = tg d tg(cp a') (c) sina = tgd"tg{cp — a') (b) sina' = tg <)■’ tg (cp -j- a) (d) srna' = tgO f " tg{cp — a) Dividieren wir die Formeln (a) und (c) durcheinander, so erhalten wir a +rr _ tgit umwandeln und fur setzen; dann konnen wir schreiben sin sin d ’ 2 ’ 2 sin (45 0 + »9) ’ sin (45 0 + 0 ■') 2 ’ sin (45° + >9) tg d tg(

— tg&" sin2a' = tg i) sin 2(p ig & sin 2 a' und hieraus (tg &'' — tg■&•) sin 2cp — {tg&" -\- tg{f)sin2a' und sinla' — sin2cp sin 2 a' = sin 2 cp tg»" — tg» tg#' -f tg d sin (&" — $) und auch sin (5-'' -j- &) Ebenso erhalt man aus den Formeln [p) und [d) . n sin (&"' — S') szfi 2 d — siii&cp . , tt f . Sl?l (^7 —j— x) J Monatsschrift: Die ErdbebenuJarte II. Jahrgang Nr. 11 u. 12. Das Horizontalpendel von R. Stiattesi. ./ ŠiiM.tftk /fijCllČIdiOdClj. COBISS NARODNA IN UNIVERZITETNA KNJIŽNICA 00000500203