OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
DECEMBER 2023STR. 121-160ŠT. 4LETNIK 70LJUBLJANAOBZORNIK MAT. FIZ.
C  KM Y 
2023
Letnik 70
4
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, DECEMBER 2023, letnik 70, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA Slovenije, Jadranska ulica 19, 1000 Ljubljana Telefon:
(01) 4766 500 Elektronska pošta: tajnik@dmfa.si Internet:
http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: SI56 0205 3001 1983 664
Mednarodna nakazila: Nova Ljubljanska banka d. d., Ljubljana, Trg republike 2,
Ljubljana SWIFT (BIC): LJBASI2X IBAN: SI56 0205 3001 1983 664
Uredniški odbor: Peter Legiša, Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik),
Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Ko-
bal, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Tadeja Šekoranja (tehnična
urednica).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Natisnila tiskarna DEMAT v nakladi 200 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 25 EUR. Naroč-
nina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Sofinancira jo Javna agencija za znanstvenoraz-
iskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz
naslova razpisa za sofinanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
© 2023 DMFA Slovenije
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, ključne besede in citirano literaturo.
Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma ra-
zumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo
za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF
ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik
med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
FILONOVA PREMICA
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2020): 01A20, 51M15, 51M16, 51M25
Filonova premica skozi izbrano točko v notranjosti danega kota seka njegova kraka
tako, da je razdalja med presečǐsčema najmanǰsa. Geometrijska konstrukcija Filonove
premice na splošno ni mogoča samo z neoznačenim ravnilom in šestilom. Problem vodi do
kubične enačbe, katere edini pozitivni koren natančno določa Filonovo premico. Pojasnili
bomo njene glavne lastnosti. Do Filonove premice pridemo tudi s presečǐsčem krožnice in
hiperbole.
THE PHILON LINE
The Philon line through a selected point inside a given angle intersects its two arms
in such a way that the distance between the intersections is the shortest. In general,
the geometric construction of a Philon line is not possible only with an unlabelled ruler
and pair of compasses. The problem leads to a cubic equation, whose only positive root
exactly determines the Philon line. We will explain its main properties. The Philon line
is also obtained by the intersection of a circle and a hyperbola.
Uvod
Zamislimo si vodna kanala (slika 1). Prvi ima smer vzhod–zahod in je širok
b, drugi, ki je širok a, pa vstopa vanj pod kotom ϕ. Na vodi plava tanka
ravna lesena letvica dolžine `. Kako dolga je še lahko letvica, da lahko
neovirano prehaja med kanaloma? V skrajnem primeru se letvica lahko
dotakne vogalov, krajǐsči pa robov kanalov. To pomeni, da je treba poiskati
najmanǰso dolžino letvice, ki ravno še dopušča tak ekstremen položaj. Na
sliki je ϕ < π − ϕ, zato je iskana ekstremna dolžina večja, če letvica oplazi
vrh kota π − ϕ, kot če se dotakne vrha kota ϕ.
Primer, ko je kot ϕ pravi, pogosto najdemo med nalogami poglavja o
ekstremih funkcije ene spremenljivke v matematični analizi. Spoznali bomo,
da naloga za splošne kote ni nič težja, če se jo lotimo prav.
V prispevku bomo nalogo reševali za kote med 0 in π in ugotovili, da pri
tem igra pomembno vlogo tako imenovana Filonova premica, ki je dobila
ime po antičnem mehaniku, matematiku in pisatelju Filonu iz Bizanca, tudi
Filonu Mehaniku, ki je živel v 3. stoletju pr. n. št.
O samem Filonu je malo znanega. Večinoma je deloval v Aleksandriji,
verjetno v slovitem Muzejonu, in na Rodosu. Napisal je delo Priročnik
mehanike, ki ga je sestavljalo 9 knjig, v katerih je obravnaval tudi nekaj
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 121
Marko Razpet
Slika 1. Problem plavajoče letvice in kanalov.
matematičnih problemov, najbolj pa se je posvetil gradnji pristanǐsč, me-
haniki, katapultom, oblegovalnim in obrambnim napravam ter menda celo
tajnopisom (glej [1]). V celoti je ohranjena v grščini le 4. knjiga, nekatere
pa v arabskem prevodu. V matematiki je reševal problem podvojitve kocke
in dal nekaj alternativnih dokazov trditev iz Evklidovih Elementov (eden
od teh je objavljen v [5]).
Filonova premica
Problema letvice in kanalov se lotimo najprej geometrijsko. Dovolj je obrav-
navati kot ϑ = ∠XOY z vrhom O in krakoma OX in OY (slika 2). Pri tem
je 0 < ϑ < π. Znotraj kota naj bo točka P , ki je od kraka OX oddaljena
za b, od kraka OY pa za a. Skozi P načrtamo premico, ki seka krak OX v
točki A, krak OY pa v točki B. Poiskati je treba tisto premico, za katero je
razdalja |AB| najmanǰsa. Tej premici rečemo Filonova premica skozi točko
P v kotu ϑ. Filonova premica je odvisna od kota in od točke v njem. S
preprostim sklepanjem ugotovimo, da obstaja taka premica. Če namreč A
dovolj oddaljimo od O, lahko razdalja |AB| doseže poljubno veliko vrednost,
če pa jo približujemo O, se B oddaljuje od O in spet |AB| doseže poljubno
veliko vrednost. Kasneje bomo to potrdili tudi z računom.
V trikotniku OAB označimo kota ob oglǐsčih A in B z α in β. Seveda
velja zveza α + β + ϑ = π in relaciji 0 < α < π − ϑ ter 0 < β < π − ϑ.
Razdaljo `(α) = |AB| = |AP |+ |PB| izrazimo s kotom α:
`(α) =
b
sinα
+
a
sinβ
=
b
sinα
+
a
sin(π − ϑ− α)
=
b
sinα
+
a
sin(α+ ϑ)
.
S tem smo na intervalu (0, π − ϑ) definirali pozitivno funkcijo ` : α 7→ `(α).
Njena prva dva odvoda sta
`′(α) = −b cosα
sin2 α
− a cos(α+ ϑ)
sin2(α+ ϑ)
=
a cosβ
sin2 β
− b cosα
sin2 α
,
122 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Filonova premica
Slika 2. Presečnica kota skozi dano točko.
`′′(α) =
b(1 + cos2 α)
sin3 α
+
a(1 + cos2 β)
sin3 β
.
Enačba `′(α) = 0 ima na intervalu (0, π−ϑ) eno samo rešitev α0, v kateri je
očitno lokalni minimum funkcije `. S kotom α0 je Filonova premica natančno
določena. Kot ob oglǐsču B pa je tedaj β0 = π − ϑ− α0.
Koordinatna obravnava
S funkcijo ` se da izpeljati lastnosti Filonove premice. Težava nastopi pri
reševanju trigonometrične enačbe `′(α) = 0. Laže pa vsa obravnava Filonove
premice poteka z uporabo koordinat. Točko P v kotu ϑ bomo opisali s
poševnokotnima koordinatama, tako kot kaže slika 3. Točko P projiciramo
vzporedno s krakoma OY in OX v točki P ′ in P ′′. Označimo e = |P ′′P | in
f = |P ′P |, ki ju imenujemo poševnokotni koordinati točke P za kot ϑ. Nato
vpeljemo še u = |P ′A| in v = |P ′′B|, ki ju bomo imeli za spremenljivki. Kot
bomo videli, sta med seboj odvisni. Pri tem seveda veljata zvezi a = e sinϑ
in b = f sinϑ.
Ploščino trikotnika OAB izrazimo kot vsoto ploščin paralelograma
OP ′PP ′′ in trikotnikov P ′AP ter P ′′PB:
ef sinϑ+
1
2
uf sinϑ+
1
2
ve sinϑ =
1
2
(e+ u)(f + v) sinϑ.
Po poenostavitvi dobimo preprosto zvezo med u in v: uv = ef .
121–131 123
Marko Razpet
Slika 3. Poševnokotni koordinati točke.
Kvadrat dolžine daljice |AB| izrazimo s kosinusnim izrekom:
|AB|2 = (e+ u)2 + (f + v)2 − 2(e+ u)(f + v) cosϑ.
Zaradi zveze uv = ef lahko izločimo v in dobimo najprej
z(u) = |AB|2 = (e+ u)2 + (f + ef/u)2 − 2(e+ u)(f + ef/u) cosϑ,
nato pa s poenostavitvijo
z(u) =
(e+ u)2
u2
(u2 + f2 − 2fu cosϑ).
Funkcija z : u 7→ z(u) je definirana, zvezna in odvedljiva na poltraku (0,∞),
njen odvod pa je
z′(u) =
2(e+ u)
u3
(u3 − fu2 cosϑ+ efu cosϑ− ef2).
Potreben pogoj za ekstrem funkcije z je enačba
u3 − (f cosϑ)u2 + (ef cosϑ)u− ef2 = 0, (?)
ki ima zagotovo vsaj en pozitiven koren, ker je za u = 0 izraz na njeni
levi strani negativen, za dovolj velik pozitiven u pa pozitiven. Eksistenco
minimuma funkcije z zagotavlja eksistenca minimuma funkcije `.
124 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Filonova premica
Če so u1, u2, u3 koreni enačbe (?), veljajo zanje Viètove formule
u1 + u2 + u3 = f cosϑ, u1u2 + u2u3 + u3u1 = ef cosϑ, u1u2u3 = ef
2.
Zadnja formula dopušča, da so vsi trije koreni pozitivni ali pa dva nega-
tivna in en pozitiven ali pa dva konjugirano kompleksna in en pozitiven.
Pokažimo, da prva možnost ne pride v poštev. Iz Viètovih formul dobimo
1
3
(u1 + u2 + u3) ·
1
3
(1/u1 + 1/u2 + 1/u3) =
1
9
cos2 ϑ.
Če bi bili vsi koreni pozitivni, potem bi bil prvi faktor v tej relaciji njihova
aritmetična sredina, drugi faktor pa obrat njihove harmonične sredine. Ker
harmonična sredina ne presega aritmetične sredine, je leva stran večja ali
enaka 1, kar bi pomenilo, da je cos2 ϑ ≥ 9, kar je protislovje. To pomeni,
da ima enačba (?) natančno en pozitiven koren ξ. Za Filonovo premico je
torej |P ′A| = ξ in |P ′′B| = η = ef/ξ. Hitro se da pokazati, da je η edini
pozitivni koren enačbe
v3 − (e cosϑ)v2 + (ef cosϑ)v − e2f = 0. (??)
Za razdaljo |AB| dobimo izraza
|AB| = e+ ξ
ξ
√
f2 + ξ2 − 2fξ cosϑ = f + η
η
√
e2 + η2 − 2eη cosϑ. (???)
Do podobnega izraza pridemo, če namesto koordinat e in f uporabimo
razdalji a = e sinϑ in b = f sinϑ:
|AB| = a+ ζ
ζ sinϑ
√
b2 + ζ2 − 2bζ cosϑ, (???′)
pri čemer je ζ pozitivni koren enačbe
w3 − (b cosϑ)w2 + (ab cosϑ)w − ab2 = 0, (?′)
V posebnem primeru, ko leži točka P na simetrali kota ϑ, je e = f =
ξ = η in |AB| = 4e sin(ϑ/2). Takrat je Filonova premica kar pravokotnica
v P na kotno simetralo.
Ko imamo Filonovo premico, vzporedno premaknemo trikotnik P ′AP
tako, da pade P v B, A v Q in P ′ v Q′′ (slika 4). Točka Q′′ je seveda na
daljici OB. Iz zvez |OB| = f + η = f + |OQ′′| sledi |OQ′′| = η. Ker pa je
še |Q′′Q| = ξ, sta ξ in η poševnokotni koordinati točke Q za kot ϑ.
121–131 125
Marko Razpet
Slika 4. Filonova premica skozi dano točko.
Lastnosti Filonove premice
V prispevku nekajkrat uporabimo paralelogramsko enakost, ki pove, da je
v paralelogramu vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal.
Točka Q je na Filonovi premici in ima, glede na to, kako smo do nje prǐsli,
lastnost |AP | = |QB|. Dokazali pa bomo, da je Q pravokotna projekcija
vrha O kota ϑ na Filonovo premico. V ta namen zapǐsemo paralelogramsko
enakost za paralelogram OQ′QQ′′:
2ξ2 + 2η2 = |OQ|2 + |Q′Q′′|2.
Nato zapǐsemo še kosinusna izreka za trikotnika Q′′Q′Q in Q′′QB:
|Q′Q′′|2 = ξ2 + η2 − 2ξη cosϑ, |QB|2 = ξ2 + f2 − 2ξf cosϑ.
Nazadnje izračunamo:
|OQ|2 + |QB|2 − |OB|2 = 2(ξ2 + η2)− (ξ2 + η2 − 2ξη cosϑ)+
+(ξ2+f2−2ξf cosϑ)−(f+η)2 = 2
ξ
(ξ3−(f cosϑ)ξ2+(ef cosϑ)ξ−ef2) = 0.
Pri tem smo upoštevali zvezo ξη = ef in enačbo (?), ki ji zadošča ξ.
Torej velja relacija |OQ|2 + |QB|2 = |OB|2 in trikotnik OQB je pravokoten
s pravim kotom ob oglǐsču Q.
126 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Filonova premica
Slika 5. K dokazu enakosti |SA| = |SB|.
Naj bo S sredǐsče daljice OP . Če skozi P poteka Filonova premica, ki
preseka kraka kota ϑ v točkah A in B, potem sta razdalji |SA| in |SB| enaki.
Ti dve razdalji sta dolžini težǐsčnic v trikotnikih OAP in OPB na skupno
stranico OP . Kot posledico paralelogramske enakosti dobimo (slika 5)
(2|SA|)2+ |OP |2 = 2|OA|2+2|AP |2, (2|SB|)2+ |OP |2 = 2|OB|2+2|BP |2.
Enakost |SA| = |SB| bomo dokazali, čim dokažemo, da je
δ = (|OA|2 + |AP |2)− (|OB|2 + |BP |2) = 0.
Dvakrat uporabimo kosinusni izrek in dobimo:
δ = (e+ ξ)2 + ξ2 + f2 − 2ξf cosϑ− (f + η)2 − η2 − e2 + 2ηe cosϑ.
Dobljeni izraz preoblikujemo v
δ=
2
ξ
(ξ3−(f cosϑ)ξ2+(ef cosϑ)ξ−ef2)− 2
η
(η3−(e cosϑ)η2+(ef cosϑ)η−e2f),
pri čemer upoštevamo, da je ξη = ef . Ker ξ zadošča enačbi (?), η pa enačbi
(??), je δ = 0 in |SA| = |SB|.
Lastnosti Filonove premice
|AP | = |QB|, OQ ⊥ AB, |SA| = |SB|
121–131 127
Marko Razpet
so poznali že antični matematiki Filon iz Bizanca, Apolonij iz Perge in
Heron iz Aleksandrije. Za ϑ = π/2 so jih uporabili za reševanje problema
podvojitve kocke.
Filonova premica, krožnica in hiperbola
Točka Q na Filonovi premici točke P v kotu ϑ = ∠XOY leži po Talesovem
izreku na krožnici K, ki ima za premer daljico OP . Če vpeljemo pravokotni
kartezični koordinatni sistem Oxy, kjer je krak OX pozitivni del abscisne
osi, os y pa v O pravokotna nanjo in orientirana na običajni način, ima K
sredǐsče v točki S((e+ f cosϑ)/2, (f sinϑ)/2) in enačbo
x2 + y2 − (e+ f cosϑ)x− (f sinϑ)y = 0. (K)
Kraka kota ϑ, podalǰsana v premici z enačbama y = 0 in x sinϑ−y cosϑ = 0
sta asimptoti hiperbole
y(x sinϑ− y cosϑ) = c,
kjer je c 6= 0 poljubna konstanta. Skozi točko P (e+ f cosϑ, f sinϑ) poteka
ena veja hiperbole H, ki ima enačbo
y(x sinϑ− y cosϑ) = ef sin2 ϑ. (H)
Teme T te veje leži na simetrali s kota ϑ in je od O oddaljeno 2
√
ef cos(ϑ/2),
gorǐsče F pa 2
√
ef (slika 6).
Slika 6. Določitev Filonove premice s krožnico in hiperbolo.
128 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Filonova premica
Izračunajmo drugo presečǐsče krožnice K in hiperbole H. Iz enačbe (H)
izrazimo x in ga vstavimo v enačbo (K), preuredimo in dobimo enačbo za
y:
y − f sinϑ
y sin2 ϑ
(y3 − (e sinϑ cosϑ)y2 + (ef sin2 ϑ cosϑ)y − e2f sin3 ϑ) = 0.
Rešitev y1 = f sinϑ je ordinata točke P , ustrezen x1 = e+ f cosϑ pa njena
abscisa. Druga rešitev je ničla drugega faktorja. Vanj vstavimo y = λ sinϑ,
okraǰsamo in dobimo enačbo
λ3 − (e cosϑ)λ2 + (ef cosϑ)λ− e2f = 0.
Primerjamo jo z enačbo (??) in zapǐsemo edino pozitivno rešitev λ = η.
Druga rešitev za y je zato y2 = η sinϑ. Za ustrezno absciso dobimo
x2 = ξ + η cosϑ. Točka s koordinatama x2 in y2 pa je ravno točka Q
na Filonovi premici. To pomeni, da se krožnica K in hiperbola H v primeru
e 6= f sekata v točkah P in Q, v primeru e = f pa se v P dotikata (slika 6).
Vzemimo na obravnavani veji hiperboleH poljubno točko s poševnokotni-
ma koordinatama u in v za kot ϑ. Njuni pravokotni koordinati sta
x = v cosϑ + u in y = v sinϑ. To upoštevamo v enačbi (H) in dobimo:
uv = ef .
Pri tem omenimo še eno lastnost hiperbole, ki je bila znana že Apoloniju
iz Perge. Če premica preseka hiperbolo v točkah P in Q, njeni asimptoti pa
v točkah A in B, potem imata daljici PQ in AB skupno sredǐsče, kar ima
za posledico relacijo |AP | = |QB|. Analitični dokaz je na primer v [4].
Točka P natančno določa krožnico K in hiperbolo H ter njuni presečǐsči
P in Q. Poševnokotna koordinata η točke Q je tudi koren enačbe (??), zato
je koodinata ξ = ef/η koren enačbe (?), kar pa pomeni, da je z′(ξ) = 0 in
premica skozi ustrezni točki A in B je Filonova.
Filonova premica za pravi kot
Za pravi kot se računi poenostavijo. Tedaj je a = e in b = f , enačbi (?)
in (??) za ξ in η se poenostavita v u3 = ab2, v3 = a2b, ki imata rešitvi
ξ =
3
√
ab2 in η =
3
√
a2b. Za razdaljo med točkama A in B pa dobimo
|AB| = (a2/3 + b2/3)3/2.
Enačbi krožnice K in hiperbole H se poenostavita v
x2 + y2 − ax− by = 0, xy = ab.
121–131 129
Marko Razpet
Slika 7. Primer Filonove premice za pravi kot.
Relevantne točke s koordinatami so:
A(a+ ξ, 0), B(0, b+ η), P (a, b), Q(ξ, η), S(a/2, b/2).
Po vǐsinskem izreku v pravokotnem trikotniku OAQ velja relacija η2 = ξa
oziroma a/η = η/ξ. Zaradi podobnosti trikotnikov P ′AP in P ′′PB dobimo
še relacijo ξ/b = a/η. To lahko potrdimo tudi z izrazoma za ξ in η. Našli
smo relacijo
a
η
=
η
ξ
=
ξ
b
.
Pravimo, da sta ξ in η srednji geometrijski sorazmernici dolžin a in b. Ker
ξ in η zadoščata enačbama y2 = ax in x2 = by, lahko srednji geometrijski
sorazmernici poǐsčemo tudi s presekom parabol y2 = ax in x2 = by. Tako
metodo so poznali že nekateri starogrški matematiki (več o tem najdemo na
primer v [3]).
Za a = 2b je ξ = b 3
√
2, kar pomeni, da ima kocka z robom ξ za prostornino
dvakratnik prostornine kocke z robom b. Takrat abscisa presečǐsča Q 6= P
krožnice x2 + y2 − 2bx − by = 0 in hiperbole xy = 2b2 reši star antični
problem podvojitve kocke.
Filon iz Bizanca, ki še ni poznal analitične geometrije, je problem reše-
val tako, da je načrtal pravokotnik OP ′PP ′′, mu očrtal krožnico, podalǰsal
stranici OP ′ in OP ′′ prek P ′ in P ′′ (tako kot na sliki 8), nato pa je pre-
mico vrtel okoli P malo v eno, malo v drugo smer, da je dosegel enakost
130 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Filonova premica
Slika 8. Podvojitev kocke.
|AP | = |QB| oziroma se ji dovolj natančno približal. Pri tem sta A in B
presečǐsči podalǰskov s to premico, Q pa njeno presečǐsče s krožnico. Če je
|P ′P | rob kocke, potem je |P ′A| rob podvojene kocke (v grščini in nemščini,
sicer z drugačnimi oznakami, je to razloženo v [2]).
Za konec
S Filonovo premico rešimo problem plavajoče letvice v kanalih iz uvoda tega
prispevka. S širinama a in b kanalov in za kot ϑ = max(ϕ, π − ϕ) zapǐsemo
enačbo (?′), poǐsčemo njeno pozitivno rešitev ζ in nazadnje izračunamo
iskano dolžino letvice po formuli v (???′).
Problem je znan tudi pod drugimi imeni, na primer problem najdalǰse
cevi, ki jo lahko nesemo iz enega hodnika v drugega, ali problem najkraǰse
lestve, ki jo lahko prislonimo na zid, pred katerim je ovira, na primer omara.
LITERATURA
[1] I. Asimov, Biografska enciklopedija znanosti in tehnike, Tehnǐska založba Slovenije,
Ljubljana, 1978.
[2] H. Diels in E. Schramm, Philons Belopoiika: viertes Buch der Mechanik, Verlag der
Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1919.
[3] T. Heath, A history of Greek mathematics, Vol. I, Dover Publications, New York,
1981.
[4] M. Razpet in N. Razpet, Trikotnik, enakoosna hiperbola in Bernoullijeva lemniskata,
Obzornik mat. fiz. 66 (2019), 41–53.
[5] A. Ostermann in G. Wanner, Geometry by its history, Springer, Heidelberg in drugje,
2012.
121–131 131
POSPLOŠITVE STIRLINGOVIH ŠTEVIL 1. VRSTE
ALEKS ŽIGON TANKOSIČ
Gimnazija Nova Gorica
Math. Subj. Class. (2020): 05A05, 05A10, 05A18, 05A19, 05A20
Rešitev za klasičen permutacijski problem posedanja n ljudi za k okroglih miz po-
dajajo Stirlingova števila 1. vrste. V zadnjem stoletju pa so se razvile razne posplošitve
teh števil, ki posplošujejo ta problem in k problemu dodajajo razne omejitve. Posplošitve
v grobem delimo na uporabne in teoretične. V članku si ogledamo štiri verjetno najbolj
znane posplošitve vse od predznačenih do (l, r)-Stirlingovih števil.
GENERALIZATIONS OF THE STIRLING NUMBERS OF THE 1ST KIND
The solution for the classical permutation problem of seating n people around k round
tables is given by the Stirling numbers of the 1st kind. In the last century, however, vari-
ous generalizations of these numbers have been developed, which generalize this problem
and add various restrictions to the problem. Generalizations are roughly divided into
practical and theoretical. In this article, we look at four of the probably most well-known
generalizations, from the signed to the (l, r)-Stirling numbers.
Uvod
Kombinatorika je obsežno področje matematike, ki se ukvarja s konstrukcijo,
lastnostmi in številom (praviloma) končnih matematičnih struktur. Kom-
binatorika se deli na vsaj 16 podpodročij, povezuje pa se še z vsaj petimi
drugimi področji matematike in tudi fizike. Stirlingova števila 1. vrste, ki jih
obravnavamo v tem članku, sodijo v preštevalno kombinatoriko, ki proučuje
načine preštevanja elementov dane končne množice struktur in lastnosti šte-
vil, ki jih pri tem dobimo. Zelo zanimive knjige o preštevalni kombinatoriki
so [4, 10, 11].
Koliko različnih možnosti imamo, da razporedimo n učencev okoli ene
okrogle mize? Pri tem štejemo dve razporeditvi za enaki, če ima vsak učenec
v obeh razporeditveh istega desnega soseda.
Najprej razporedimo učence v ravno vrsto, kar gre na n! načinov, nato
jih v dobljenem vrstnem redu posedemo za mizo. Če nastalo razporeditev
zavrtimo za 0 ali 1 ali . . . ali n− 1 sedežev, se desni sosedje ne spremenijo,
torej je teh n razporeditev med seboj enakih. Število različnih razporeditev
n učencev okoli okrogle mize je torej enako n!n = (n− 1)!.
Stirlingova števila 1. vrste ta problem posplošujejo na večje število miz.
Lahko jih definiramo na več načinov (glej [8, 9]).
132 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
Definicija 1 ([10]). . Stirlingova števila 1. vrste, označimo jih z oglatim
oklepajem
[
n
k
]
, s c(n, k) ali pa s S1(n, k), so števila permutacij velikosti n s
k cikli.
Opomba 2. Stirlingova števila 1. vrste so med drugim tudi:
• koeficienti v razvoju rastočih potenc (xn =
∏n−1
k=0(x+k)) po navadnih,
αn =
n∑
k=0
[
n
k
]
αk,
• vsote vseh možnih produktov n− k elementov iz množice [n− 1].
Slika 1. Grafični prikaz primera
[
4
2
]
. Tukaj liki različnih barv predstavljajo števila od 1
do 4. Vir: Wikipedia.
Primer 3. Izračunajmo
[
4
2
]
. Ta zapis predstavlja število vseh permutacij
velikosti 4 oz. množice [4] z natanko dvema cikloma. Poǐsčemo permutacije
132–145 133
Aleks Žigon Tankosič
velikosti 4, ki so produkt natanko dveh ciklov. Obstajajo tri permutacije z
dvema cikloma velikosti 2: (12)(34), (13)(24), (14)(23). Obstaja pa še osem
permutacij velikosti 4 z dvema cikloma, pri čemer je prvi cikel velikosti tri,
drugi cikel pa velikosti ena: (124)(3), (142)(3), (134)(2), (143)(2), (234)(1),
(243)(1), (123)(4), (132)(4). Možnosti seštejemo: 8+3 = 11, torej je
[
4
2
]
=
11 (glej sliko 1).
Oglejmo si še izračun z razvoji potenc in vsotami produktov. Izpǐsemo
vse razvoje in dobimo koeficiente, ki so Stirlingova števila 1. vrste:
α4 = α(α+ 1)(α+ 2)(α+ 3) =
= (α2 + α)(α2 + 5α+ 6)
= α4 + α3
+ 5α3 + 5α2
+ 6α2 + 6α
α4 = α4 + 6α3 + 11α2 + 6α.
Koeficienti si sledijo v zaporedju 1, 6, 11, 6, 1. Tretji koeficient predstavlja
vrednost
[
4
2
]
, ker je koeficient pri α2 enak 11, je
[
4
2
]
= 11.
Po vsotah produktov pa je
[
4
2
]
= 1 · 2 + 1 · 3 + 2 · 3 = 11. ♦
Nekaj lastnosti Stirlingovih števil 1. vrste
Navedimo še nekaj lastnosti Stirlingovih števil 1. vrste (glej [6, 8, 9]).[
n
k
]
= 0, k > n ∨ k < 0
[
n
n
]
= 1
[
n
1
]
= (n− 1)!
[
n
n− 1
]
=
(
n
2
)
134 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
[
n
n− 2
]
=
1
4
(3n− 1)
(
n
3
)
[
n
n− 3
]
=
(
n
2
)(
n
4
)
n∑
k=0
[
n
k
]
= n!
[
n
0
]
= δn,0
Ker je 00 = 1 in prav tako tudi x0 = 1, 00 = 1, x0 = 1, 00 = 1 in x0 = 1,
sledi, da je [
0
0
]
= 1.
Znano je, da za Stirlingova števila 1. vrste velja rekurzija (glej [6]):[
n
k
]
=
[
n− 1
k − 1
]
+ (n− 1)
[
n− 1
k
]
.
Omenimo še, da Stirlingova števila 1. vrste lahko definiramo tudi kot ma-
triko, pri kateri s pomočjo dveh stolpcev zapǐsemo rastoče produkte (glej
[3]).
1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 2 3 1 0 0 0 0 0
0 6 11 6 1 0 0 0 0
0 24 50 35 10 1 0 0 0
0 120 273 225 85 15 1 0 0
0 720 1764 1624 753 175 21 1 0
0 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1


1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

Naša prva posplošitev Stirlingovih števil 1. vrste, ki jo bomo obravnavali,
temelji ravno na inverzih Stirlingovih matrik.
132–145 135
Aleks Žigon Tankosič
Omenimo še Stirlingova števila 2. vrste, ki so števila vseh razdelitev mno-
žice [n] na k nepraznih, paroma disjunktnih, neurejenih množicB1, B2, . . . , Bk,
imenovanih bloki, katerih unija je A. Stirlingova števila 2. vrste označimo z
{
n
k
}
ali s S(n, k). Stirlingova števila 2. vrste imajo pri posplošitvah veliko pove-
zav s Stirlingovimi števili 1. vrste.
Predznačena Stirlingova števila 1. vrste
Vrednosti predznačenih Stirlingovih števil 1. vrste najdemo v inverzni Stir-
lingovi matriki 1. vrste. Znano je, da so nekatere vrednosti negativne [4].
Definicija 4. Predznačeno Stirlingovo število 1. vrste je:
s(n, k) = (−1)n+k
[
n
k
]
.
Očitno je, da velja [
n
k
]
= |s(n, k)|.
Iz Stirlingove matrike 1. vrste s pomočjo rastočih in padajočih potenc izpe-
ljemo inverzno Stirlingovo matriko. Oglejmo si primer:

1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 2 3 1 0 0 0 0 0
0 6 11 6 1 0 0 0 0
0 24 50 35 10 1 0 0 0
0 120 273 225 85 15 1 0 0
0 720 1764 1624 753 175 21 1 0
0 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1


1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

136 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste

1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 −3 1 0 0 0 0 0
0 −1 7 −6 1 0 0 0 0
0 1 −15 25 −10 1 0 0 0
0 −1 31 −90 65 −15 1 0 0
0 1 −63 301 −350 140 −21 1 0
0 −1 127 −966 1701 −1050 266 −28 1


1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

V inverzni Stirlingovi matriki 2. vrste dobimo enake vrednosti kot pri Stir-
lingovi matriki 1. vrste, le da so nekatere vrednosti negativne. Vrednosti pa
so, kot lahko ugotovimo, negativne po diagonalah. Padajočo potenco, ki se
nahaja v tej matriki, računamo po formuli: xn =
∏n−1
k=0(x− k).

1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 −1 1 0 0 0 0 0 0
0 2 −3 1 0 0 0 0 0
0 −6 11 −6 1 0 0 0 0
0 24 −50 35 −10 1 0 0 0
0 −120 273 −225 85 −15 1 0 0
0 720 −1764 1624 −753 175 −21 1 0
0 −5040 −13068 −13132 6769 −1960 322 −28 1


1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8


1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 3 1 0 0 0 0 0
0 1 7 6 1 0 0 0 0
0 1 15 25 10 1 0 0 0
0 1 31 90 65 15 1 0 0
0 1 63 301 350 140 21 1 0
0 1 127 966 1701 1050 266 28 1


1
α
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8

Dobljena matrika je Stirlingova matrika 2. vrste in v njej najdemo vrednosti
števil
{
n
k
}
. Prvotna matrika pa je matrika predznačenih Stirlingovih števil
1. vrste. Inverzi dokazujejo povezanost Stirlingovih števil obeh vrst.
132–145 137
Aleks Žigon Tankosič
Primer 5. Za zgled potencirajmo α5. Po matriki bo
α5 = 0 · 1 + 1 · α+ 15 · α2 + 25 · α3 + 10 · α4 + 1 · α5.
♦
Oglejmo si še inverzno relacijo med razvoji potenc in predznačenimi
Stirlingovimi števili 1. vrste, ki izhaja iz inverznih Stirlingovih matrik.
Izrek 6 ([8]). Če α zamenjamo z −α in namesto Stirlingovega števila 1.
vrste vstavimo predznačeno Stirlingovo število 1. vrste, dobimo
αn =
n∑
k=0
s(n, k)αk.
Stirlingova števila 1. vrste z negativnimi argumenti
Negativna cela števila se v Stirlingovem številu lahko nahajajo le, ko sta n
in k negativni števili, ali ko je n negativno celo število, k pa pozitivno celo
število. V preštevalni kombinatoriki nikoli ne uporabimo kombinacije, ko je
n pozitivno celo število, k pa negativno celo število. Tukaj bomo spoznali
zelo tesno povezavo med Stirlingovimi števili 1. in 2. vrste [1, 7].
Števili n in k sta negativni
Definicija 7. Za n, k ∈ Z− in k ≤ n velja[
−k
−n
]
=
{
n
k
}
oziroma [
k
n
]
=
{
−k
−n
}
.
S pomočjo preǰsnje definicije lahko skonstruiramo tabelo 1 za Stirlingovo
število 1. vrste, ko sta n in k negativni celi števili (glej [1]).
Število n mora biti po absolutni vrednosti manǰse od k, če želimo dobiti
vrednost večjo od 0.
Primer 8. Izračunajmo Stirlingovi števili:[
−4
−2
]
,
[
−4
−7
]
.
138 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
n|k −1 −2 −3 −4 −5
−1 1 1 1 1 1
−2 0 1 3 7 15
−3 0 0 1 6 25
−4 0 0 0 1 10
−5 0 0 0 0 1
Tabela 1. Vrednosti Stirlingovih števil 1. vrste z negativnimi argumenti za −1 ≥ n,
k ≥ −5.
Po definiciji je: [
−4
−2
]
=
{
2
4
}
,
[
−4
−7
]
=
{
7
4
}
.
Dobimo rezultata 0 in 350 (vrednost lahko preberemo iz Stirlingove matrike
2. vrste). ♦
Število n je negativno, k pa pozitivno
Oglejmo si rekurzijo, ki sledi iz eksplicitne formule za Stirlingova števila 2.
vrste (glej [6]).
Izrek 9 ([1]). Za izračun vrednosti pri n ∈ Z− in k ∈ N velja naslednja
rekurzivna zveza [
−n
k
]
=
(−1)n+1
n!
n∑
i=1
(−1)i+1
ik
(
n
i
)
.
Primer 10. Sedaj pa si oglejmo zgled uporabe rekurzivne zveze. Izraču-
najmo[
−5
3
]
=
1
120
(
5− 10
23
+
10
33
− 5
43
+
1
53
)
=
1
120
(
5− 10
8
+
10
27
− 5
64
+
1
125
)
.
Ko izračunamo vrednost izraza, dobimo
874863
25920000
. ♦
Ko skonstruiramo tabelo 2, se lahko hitro prepričamo, da za liha nega-
tivna števila dobimo pozitivne vrednosti.
Bellovo število je število vseh neurejenih razdelitev množice [n] in je
definirano z naslednjo vsoto
B(n) =
n∑
k=0
{
n
k
}
.
132–145 139
Aleks Žigon Tankosič
n|k 0 1 2 3 4
−1 1 1 1 1 1
−2 −12 1
3
4 −
7
8 −
15
16 −
31
32
−3 16
11
36
85
216
575
1296
3661
7776
−4 − 124 −
25
288 −
415
3456 −
5845
41472 −
76111
497664
−5 1120
137
7200
12019
432000
874853
25920000
58067611
1555200000
Tabela 2. Vrednosti Stirlingovih števil 1. vrste z negativnimi argumenti za −1 ≥ n, k ≤ 4.
Ni težko opaziti, da po preǰsnji enačbi velja (glej [1])
−∞∑
n=−1
[
−n
−k
]
= B(k)
in
−∞∑
n=−1
[
−n
k
]
= B(−k),
kjer je B(k) Bellovo število z naravnim številom in B(−k) Bellovo število z
negativnim celim številom. Če pa je tudi k negativno celo število, dobimo
−∞∑
n=−1
[
−n
−k
]
= B(n).
Primer 11.
−∞∑
n=−1
[
−4
2
]
= B(−2) ≈ 0,421
♦
Zelo zanimivo povezavo s padajočimi potencami imajo Stirlingova števila
1. vrste, ko je n negativno celo število in ko je k pozitivno celo število
(izpeljano po definiciji v [1]): za n ≥ 0 je
α−n =
∞∑
k=0
[
−n
k
]
αk.
Podobno velja tudi trditev, ko sta n in k negativni celi števili (izpeljano po
definiciji v [1]): za n ≥ 0 je
α−n =
∞∑
k=0
[
−n
−k
]
α−k.
140 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
r-Stirlingova števila 1. vrste
Broder je leta 1982 vpeljal r-Stirlingova števila obeh vrst [2].
Definicija 12. r-Stirlingova števila 1. vrste so števila permutacij množice [n]
s k cikli tako, da so števila 1, 2, 3, . . . , r v različnih ciklih. Označimo jih z[
n
k
]
r
.
Primer 13. Izračunajmo
[
4
2
]
2
. Zanima nas, koliko permutacij množice [4]
ima natanko 2 cikla, tako da števili 1 in 2 nista v istem ciklu. Možnosti je 6,
saj so možni cikli (134)(2), (143)(2), (243)(1), (234)(1), (13)(24), (14)(23).
Za grafični prikaz glej sliko 2.
Oglejmo si še primer uporabe definicije iz vsakdanjika. Recimo, da so
v učilnici 4 učenci. Na koliko različnih načinov jih lahko posedemo okrog
dveh okroglih miz, če učenec 1 ne sme sedeti za isto mizo kot učenec 2?
Rešitev je dano r-Stirlingovo število 1. vrste
[
4
2
]
2
. Hitro se lahko pre-
pričamo, da lahko to storimo na 6 načinov. ♦
Trditev 14 ([2]). Vrednosti 0-Stirlingovih in 1-Stirlingovih števil 1. vrste so
enake vrednostim Stirlingovih števil 1. vrste: za n > 0 velja[
n
k
]
0
=
[
n
k
]
,
[
n
k
]
1
=
[
n
k
]
.
Izrek 15 ([2]). Za r-Stirlingova števila 1. vrste velja trikotnǐska rekurzija:[
n
k
]
r
= 0, za n < r;[
n
k
]
r
= δkr, za n = r;[
n
k
]
r
= (n− 1)
[
n− 1
k
]
r
+
[
n− 1
k − 1
]
r
, za n > r.
Izrek 16 ([2]). Za n ≥ r > 1 velja[
n
k
]
r
=
1
r − 1
([
n
k − 1
]
r−1
−
[
n
k − 1
]
r
)
.
132–145 141
Aleks Žigon Tankosič
Slika 2. Grafični prikaz primera
[
4
2
]
2
.
Dokaz. Ekvivalenten zapis je:
(r − 1)
[
n
k
]
r
=
[
n
k − 1
]
r−1
−
[
n
k − 1
]
r
.
Desna stran šteje število permutacij s k − 1 cikli, pri katerih so števila
1, . . . , r− 1 nosilci ciklov (tj. najmanǰsi elementi ciklov), medtem ko število
r ni nosilec cikla. Možnosti je potemtakem
(r − 1)
[
n
k
]
r
,
saj lahko take permutacije pridobimo na r−1 načinov iz permutacij s k cikli,
kjer so števila 1, . . . , r nosilci ciklov, z dodajanjem tistega cikla, ki vsebuje
število r, na konec nekega cikla z manǰsim nosilcem. 
S pomočjo preǰsnjih rekurzij in lastnosti lahko skonstruiramo tabele vre-
dnosti za r-Stirlingova števila 1. vrste (glej tabeli 3 in 4). S pomočjo prej-
šnjih trditev pa lahko pokažemo, da so vrednosti pri r = 0 oz. r = 1 enake
vrednostim Stirlingovih števil 1. vrste.
142 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
n|k 2 3 4 5 6 7
2 1 0 0 0 0 0
3 2 1 0 0 0 0
4 6 5 1 0 0 0
5 24 26 9 1 0 0
6 120 154 71 14 1 0
7 720 1044 570 155 20 1
Tabela 3. Vrednosti 2-Stirlingovih števil 1. vrste za 2 ≤ n, k ≤ 7.
n|k 3 4 5 6 7 8
3 1 0 0 0 0 0
4 3 1 0 0 0 0
5 12 7 1 0 0 0
6 60 47 12 1 0 0
7 360 342 119 18 1 0
8 2520 2754 1175 245 25 1
Tabela 4. Vrednosti 3-Stirlingovih števil 1. vrste za 3 ≤ n, k ≤ 8.
(l, r)-Stirlingova števila 1. vrste
Leta 2021 sta Belbachir in Djemmada [5] definirala (l, r)-Stirlingova šte-
vila 1. vrste in predstavila njihovo kombinatorično interpretacijo. Analogno
definicijo (l, r)-Lahovih števil najdemo v [12].
Preden ta števila definiramo, omenimo še množico nosilcev ciklov. Naj
bo λ permutacija množice [n] z natanko k cikli c1, c2, . . . , ck. Množico no-
silcev ciklov označimo s cl(λ) in je množica najmanǰsih elementov ciklov te
permutacije:
cl(λ) = {min c1,min c2, . . . ,min ck}
Definicija 17. (l, r)-Stirlingova števila 1. vrste
[
n
k
](l)
r
štejejo število končnih
urejenih naborov l permutacij (σ1, σ2, . . . , σl) množice [n] z natanko k cikli,
kjer so števila 1, 2, . . . , r nosilci ciklov in velja
cl(σ1) = cl(σ2) = · · · = cl(σl).
Očitno je, da velja:
[
n
k
](l)
r
= 0 za n < r in
[
n
k
](l)
r
= δk,r za n = r.
132–145 143
Aleks Žigon Tankosič
Izrek 18 ([5]). Za n > r velja[
n
k
](l)
r
= (n− 1)l
[
n− 1
k
](l)
r
+
[
n− 1
k − 1
](l)
r
.
Dokaz. Nabor l permutacij množice [n] pod pogojem, da so števila 1, 2, . . . , r
nosilci ciklov, lahko dobimo:
• z vstavljanjem n-tega elementa za vsak element v vsaki permutaciji
nabora (λ1, . . . , λl) permutacij množice [n − 1] z natanko k cikli, pri
katerih so števila 1, 2, . . . , r prvi elementi v različnih ciklih in za katere
velja cl(λ1) = cl(λ2) = · · · = cl(λl), za kar je (n−1)l
[
n− 1
k
](l)
r
možnosti;
• tako, da n-ti element tvori cikel v vsaki od permutacij nabora (λ1, . . . , λl),
preostalih [n − 1] elementov pa mora biti razporejenih v (k − 1) ciklih
pod preǰsnjimi pogoji, za kar obstaja
[
n− 1
k − 1
](l)
r
možnosti. 
Izrek 19 ([5]). Za n ≥ r > 1 velja[
n
k
](l)
r
=
1
(r − 1)l
([
n
k − 1
](l)
r−1
−
[
n
k − 1
](l)
r
)
.
Dokaz. Preštejmo število naborov permutacij (λ1, . . . , λl) množice [n] z na-
tanko (k − 1) cikli, pri katerih so števila 1, 2, . . . , r − 1 nosilci cikla, število
r pa ni, za katere velja pogoj cl(λ1) = cl(λ2) = · · · = cl(λl). Možnosti lahko
preštejemo na dva načina.
• Preštejemo nabore permutacij (λ1, . . . , λl) množice [n] s (k−1) cikli, pri
katerih so števila 1, 2, . . . , r− 1 nosilci cikla in od teh odštejemo nabore
permutacij, pri katerih je r nosilec cikla. Tako dobimo:[
n
k − 1
](l)
r−1
−
[
n
k − 1
](l)
r
.
• Lahko pa preštejemo nabore permutacij (λ1, . . . , λl) množice [n] s k
cikli, pri katerih so števila 1, 2, . . . , r nosilci cikla, kjer nato dodamo
144 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
cikel z nosilcem r na konec nekega cikla z manǰsim nosilcem. Za to
imamo (r − 1) možnosti v vsaki permutaciji. Tako dobimo:
(r − 1)l
[
n
k
](l)
r
. 
Posledica 20 ([5]). Za n ≥ r in k = r velja[
n
r
](l)
r
= (rn−r)l.
Zahvala
Najlepša hvala prof. dr. Marku Petkovšku za neprecenjive nasvete in pod-
poro. Najlepša hvala mojim staršem za podporo in spodbude. Najlepša
hvala prof. dr. Matjažu Konvalinki za nasvet pri urejanju članka. Najlepša
hvala tudi anonimni recenzentki za natančen pregled in nasvete.
LITERATURA
[1] D. Branson, An extension of Stirling numbers, Fibonacci Quart. 34 (1996), 213–223.
[2] A. Z. Broder, The r-Stirling numbers, Discrete Math. 49 (1984), 241–259.
[3] G.-S. Cheon in J.-S. Kim, Stirling matrix via Pascal matrix, Linear Algebra Appl.
329 (2001), 49–59.
[4] Ö. Eğecioğlu in A. M. Garsia, Lessons in enumerative combinatorics, Grad. Texts
in Math. 290, Springer, Cham, 2021.
[5] H. Belbachir in Y. Djemmada, The (l, r)-Stirling numbers: a combinatorial appro-
ach, Filomat 37 (2023), 2587–2591.
[6] M. Konvalinka in P. Potočnik, Diskretna matematika I, Učbeniki – matematika 1,
Fakulteta za matematiko in fiziko UL, Ljubljana, 2019.
[7] D. E. Loeb, A generalization of the Stirling numbers, Discrete Math. 103 (1992),
259–269.
[8] M. Petkovšek in T. Pisanski, Combinatorial interpretation of unsigned Stirling and
Lah numbers, Pi Mu Epsilon J. 12 (2007), 417–424.
[9] M. Petkovšek in T. Pisanski, The Lah identity and the Argonauts, Pi Mu Epsilon
J. 11 (2002), 385–386.
[10] R. P. Stanley, Enumerative combinatorics. Vol. 2, Cambridge Stud. Adv. Math. 62,
Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
[11] H. S. Wilf, generatingfunctionology, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2006.
[12] A. Žigon Tankosič, The (l, r)-Lah Numbers, J. Integer Seq. 26 (2023), Art. 23.2.6,
16 str.
132–145 145
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 146 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha1, samozaložba, 2023, 177
str.
Vsakdo ima v svoji omari kakšen skrit
predalček, ki se ga boji odpreti, da ne bi
iz njega pogledali okostnjaki preteklosti.
To velja tudi za Slovence kot narod, za
Slovenijo kot državo, pa tudi za vse bivše
države, ki smo jim Slovenci, še ne tako
daleč v preteklosti, pripadali.
Vse prerado pa se zgodi, da tistih
skritih predalčkov nikoli ne odpremo. Pri
posameznikih je razlog v grozi, ki nas
prevzema ob misli, da bi obudili že davno
pokopane nepopravljive grehe, ki smo jih
zagrešili sami ali pa naši predniki. Pri
zanikanju skupinskega zgodovinskega
spomina pa obstajata predvsem dva po-
glavitna razloga. Po vsaki vojni, po vsaki
bitki, po vsakih volitvah zmagovita stran
pǐse zgodovino na novo. Pri tem skrbi
včasih s posebnimi propagandnimi službami, da skriti predalčki ostajajo
skriti in da vrata vanje ostanejo trdno zaprta. Drugi, še veliko huǰsi pro-
blem pa je, da ima vsaka omara, vsak spomin, omejen vek trajanja. Ko
omara preperi in razpade, je vsebina skritega predalčka za vse večne čase
izgubljena.
Pričujoča knjiga pa pred pozabo ohranja pomembna dejstva. Predstavlja
zagozdo, ki za vedno ohranja odprta vrata enega od skritih predalčkov slo-
venske zgodovine ter zgodovine slovenske znanosti in matematike. Prikazuje
namreč z dokumenti podprto življenjsko zgodbo po krivici zapostavljenega
slovenskega razumnika Iva Laha (5. 9. 1896–23. 3. 1979).
Avtor knjige je bil od mladosti povezan z Ivom Lahom in Lahovimi. Je
njegov daljni sorodnik (njegova stara mama je bila Ivova sestrična). Oba
izhajata iz istih krajev (Štrukljeva vas, kjer se je rodil Ivo Lah, je le 13 kilo-
metrov oddaljena od Cerknice, kjer je prebival Janez Mulec). Mulec je Laha
1Malo pred Božičem sem prejel v dar izvod te knjige, ki je izšla v samozaložbi v 100
izvodih. Dne 28. 12. 2023, le nekaj dni po njenem izidu, so njenega avtorja, Janeza Mulca,
pokopali.
146 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 147 — #2 i
i
i
i
i
i
Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha
poznal vse do njegove smrti, skoraj 40 let. To daje knjigi še poseben osebni
pečat, kar pa prav nič ne zmanǰsuje njene objektivnosti in verodostojnosti.
Knjiga namreč prinaša iz Lahove osebne zapuščine številne dokumente,
fotografije, zapiske itd., ki jih lahko vsak bralec interpretira po svoje. Raz-
kritja daleč presegajo pomen separatov Lahovih strokovnih in znanstvenih
del, ki jih je še za časa življenja zapustil Narodni in univerzitetni knjižnici.
Nekaj izvemo tudi o očetu Iva Laha oziroma o tem, kako ga je videl
Ivo. Po njem je namreč podedoval veselje do računanja, po drugi strani
pa je prek njega vsrkaval notranjsko praktično praznoverje. Ivov oče je bil
eden zadnjih mož daleč naokoli, ki je znal zdraviti živino z zagovarjanjem.
Zdravljenje s praznoverjem je bilo za revne kmete privlačneǰse od zdravljenja
z vero. Namesto 20 soldov, ki jih je računal Ivov oče za zagovarjanje, bi
bilo župnikovo zdravljenje s sveto mašo v farni cerkvi bistveno dražje. V
svojem dalǰsem spisu »Zagovarjanje (resnični dogodek)« Ivo na hudomušen
način razloži razliko med liberalci in klerikalci, ko kot fantič med odgovori
na župnikovo vprašanje »Kateri so grehi zoper vero?« našteva med drugim
»Če se kdo k liberalcem zapǐse . . . če kdo . . . zagovarja . . . «. Pojasni
tudi materino veliko bojazen, da ne bi bila zveličana, ker je prvi otrok
prezgodaj privekal na svet in je videla edino zagotovilo za odrešenje, če bi
kateri od obeh sinov pel novo mašo. Zato je podprla župnikovo priporočilo,
naj nadarjenega Iva pošljejo šolat v Ljubljano, čeprav pri hǐsi ni bilo veliko
denarja. Pa se ji želja ni uresničila niti pri Ivu niti pri njegovem mlaǰsem
bratu Jožetu, ki je leta 1945 skupaj s svojim osemnajstletnim sinom po
vrnitvi iz Vetrinj umrl v taborǐsču Teharje.
Po končani srednji šoli v Ljubljani je Ivo Lah leta 1915 vstopil v šolo
za častnike avstro-ogrske vojske kot enoletni prostovoljec. Zaradi vojne in
povojnih dogodkov je ostal v uniformi kar štiri leta. Mulčeva knjiga odkriva
fotografije vojaka, častnika Iva Laha, najprej iz Neumarkta na Južnem Tirol-
skem, potem pa iz zaledja soške fronte. Lah je med vojno prebolel trebušni
tifus. Po vojni pa se je pridružil Malgajevim borcem za severno mejo.
Patriotizem, ki ga je Ivo Lah izkazal v štirih letih v bojih v vojaški
uniformi, mu ni prinesel odrešitve, niti na nacionalni niti na osebni ravni.
Slovenija je izpod nadvlade Dunaja prǐsla pod nadvlado Beograda. Za Laha
in njegovo generacijo pa je to pomenilo, da je bil pripadnik vojske, ki je
izgubila vojno. Izgubil pa je tudi štiri pomembna leta v svojem akademskem
razvoju in je bil tako v bistveno slabšem položaju od študentov, ki so se
uniformi izognili.
Zanimivo je, da se je po končani vojni odločil za študij na Univerzi v
Zagrebu. Gotovo je imel tam bolǰse možnosti izpopolnjevanja v uporabni
matematiki kot v Ljubljani, kjer je na univerzi Josip Plemelj dajal ton v obli-
kovanju odnosa matematikov do uporabe matematike zunaj naravoslovja.
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 147
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 148 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Še preden je Lah leta 1925 diplomiral na filozofski fakulteti iz matematike,
je na Kraljevi visoki šoli za trgovino in promet leta 1923 opravil državni izpit
in bil prav tam eno leto asistent iz matematike. Čeprav je kasneje večkrat
predaval na univerzi, je svoje poslanstvo videl zunaj akademske sfere.
Lahov pristop k matematiki je bil podoben pristopu Jurija Vege in na-
sproten Plemljevemu. Medtem ko je Plemelj videl odlike matematike pred-
vsem v njeni globini in čistosti, ki je doumljiva le najbolǰsim in najsposob-
neǰsim matematikom, navadnim smrtnikom pa je popolnoma nedosegljiva,
sta videla Vega in Lah matematiko predvsem kot sredstvo za razumevanje
in izbolǰsevanje pojavov realnega sveta in sta se brez kakšnih manjvredno-
stnih kompleksov lotila ustvarjanja matematike. In tudi ona dva sta se
zapisala s svojim delom v zgodovino svetovne matematike. Seveda pa je
tudi med njima velika razlika. Medtem ko je Vega izhajal iz izbolǰsevanja
vsega, kar je bilo povezano s topnǐstvom, od zlaganja krogel v kopice do
balistike ter priročnikov za hitro računanje, pa je Laha zanimala uporaba
matematike pri družbenih podsistemih, v ekonomiji, demografiji, statistiki,
zavarovalnǐstvu, aktuarstvu. Beseda »aktuar« je prǐsla v moj besednjak
šele po slovenski osamosvojitvi, saj se je je pred tem držal, tako kot npr. be-
sede »renta« ali besedne zveze »prostovoljno zavarovanje«, pridih zatohlega
kapitalizma.
Med najpomembneǰsa Lahova dela lahko uvrstimo tri: eno predvojno,
dve pa povojni.
1. Bil je eden izmed vodilnih pionirjev aktuarstva v Jugoslaviji. Aktivno
se je udeleževal svetovnih aktuarskih kongresov. Doma pa je osnoval in
štiri leta, do Hitlerjevega napada na Jugoslavijo, urejal revijo »Glasnik
udruženja aktuara kraljevine Jugoslavije«. To je bila prva revija na teh
prostorih, ki je objavljala članke iz aktuarstva, demografije, statistike
in matematike.
2. Leta 1947 je izšla njegova trijezična knjiga »Računske osnovice životnog
osiguranja« [5].
3. Leta 1954 je objavil mednarodno odmeven prispevek v angleščini [6],
potem pa še v nemščini [7], v katerem je objavil koeficiente, ki pove-
zujejo naraščajoče potence s padajočimi in so jih v svetovni literaturi
poimenovali »Lahova števila«.
Zanimivo je, da noben od teh velikih Lahovih dosežkov pri pouku ma-
tematike v šoli ali na univerzi nikjer v Jugoslaviji ni bil omenjen, čeprav
smo Lahova števila poznali in smo jih pri poučevanju kombinatorike tudi
omenjali. Razumeti je treba, da je bila kombinatorika tudi kasneje dolgo
časa pri nas omalovaževana, zato se temu sprva nismo čudili. Nekega dne
148 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 149 — #4 i
i
i
i
i
i
Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha
je k meni prǐsel pokojni kolega prof. Marko Petkovšek in mi pokazal stran v
knjigi [3], kjer so avtorji pripisali odkritje Lahovih števil nekemu Ivu Lahu.
Šele ko sva se prepričala, da je človek, po katerem se imenujejo Lahova šte-
vila, Slovenec in sem ob prelomu stoletja, deset let po osamosvojitvi ter
vzpostavitvi demokratičnega sistema pri nas, stopil v stik z Lahovo hčerko
Marijo, smo izvedeli za revijo »Glasnik« in za knjigo »Računske osnovice«.
»Glasnik« bi se moral zapisati v zgodovino slovenske matematike, saj
za 12 let prehiteva Obzornik za matematiko in fiziko, ki je začel izhajati
leta 1949. Resnici na ljubo je bil »Glasnik« glasilo društva aktuarjev, ki je
vključevalo zelo specializirane matematike, ampak tedaj društva matema-
tikov sploh še ni bilo. Zanimivo je, da je bil član društva aktuarjev srbski
akademik, matematik Jovan Karamata, medtem ko v Sloveniji razen Laha
ni bilo med aktuarji poklicnega matematika.
Mulčeva knjiga ne govori veliko o aktuarjih in »Glasniku«. Prinaša pa
pomembne podatke, povezane z »Računskimi osnovicami«. Ivo Lah je bil
namreč član državne delegacije, ki se je v Rimu pogajala z Italijo o vojnih
reparacijah. Ni bil v prvi vrsti, ampak je v ozadju števila izračunal na osnovi
podatkov iz »Osnovic«. Medtem ko so politiki argumentirali »na pamet«,
jim je on dajal verodostojne, s števili podprte argumente za jugoslovanske
zahteve. Namesto argumenta moči je uporabljal moč argumentov, ki jih
je morala sprejeti tudi nasprotna stran. Tudi o tem nismo vedeli ničesar.
Skoraj neverjetno je, da so njegovo knjigo »Osnovice« razglasili za proti-
marksistično in jo odpeljali na uničenje, čeprav je le nekaj let poprej prav
ta knjiga pomagala komunistični oblasti. Po besedah njegove hčerke, naj
bi bil razlog za to nesprejemljiv citat »Natura non facit saltus« (Narava ne
dela skokov), ki naj bi zagovarjal evolucijo pred revolucijo.
Med pogovorom pred četrt stoletja mi je Marija Lah omenila, da se je
nekoč njen oče pohvalil, da celo neka števila imenujejo po njem. Ni pa
mi zaupala, da so tudi Lahova števila šteli za protimarksistična. O tem
žalostnem dejstvu lahko preberemo v Mulčevi knjigi. Ivo Lah zapǐse besede
na sliki 1.
Ta osnutek oziroma kopijo dopisa nadrejenemu je Ivo Lah napisal verje-
tno leta 1961, vsekakor pa med koncem leta 1960 in pred aprilom leta 1963.
Knjiga »An Introduction to Combinatorial Analysis« [10] je sicer izšla že dve
leti prej. Članek »Eine Näherungsformel zum Zinsfussproblem der Leibe-
rente mittels Poukka-Lahscher Zahlen« [2] je bil namreč objavljen oktobra
1960, aprila 1963 pa se je FNRJ preimenovala v SFRJ. Več kot petnajst
let, potem ko so ga leta 1945 diskreditirali, je nad njim viselo prekletstvo
»antimarksizma«.
Pa si oglejmo z matematične plati veličino Lahovega spoznanja. Lahova
števila so namreč dragulj, ki je ležal stoletja neodkrit vsem na očeh, tudi
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 149
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 150 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Slika 1. Dokument je v knjigi objavljen na strani 63.
največjim svetovnim matematikom. Razlog, da je čakal na Laha, stoji v
preprostem dejstvu, da ga »čisti« matematiki niso pričakovali, ker ga niso
potrebovali. Ivo Lah pa je števila odkril, ker jih je potreboval, v zapostav-
ljeni, aktuarski matematiki. Čudež Lahovih števil je v njihovi presenetljivi
raznovrstni uporabnosti. Ko sem po Google Scholar poiskal prispevke, ki
omenjajo »Lah number« sem dobil samo za leto 2023 kar 32 navedkov v
revijah iz raznih vej matematike in drugih znanosti. Eno od takih interpre-
tacij v klasični kombinatoriki sva našla in potrdila s pokojnim kolegom prof.
Markom Petkovškom v dveh prispevkih [8, 9]. Prav globoka zasidranost La-
hovih števil v kombinatoriki je razlog, da so ta števila in njihove posplošitve
še dandanes predmet intenzivnega raziskovanja.
Ivo Lah pa je do svojih števil prǐsel tako, da je zapisal povezavo med
naraščajočimi in padajočimi potencami, ki ji pravijo tudi Lahova identiteta.
V prostoru polinomov običajne potence xn, n = 0, 1, . . . sestavljajo bazo.
Znano je, da je zanimivih baz prostora polinomov več. Med njimi sta se
pri Lahovih aktuarskih problemih pojavili bazi naraščajočih potenc x(n) in
padajočih potenc (x)n. Pri tem je:
x(n) = x(x + 1) . . . (x + n− 1),
(x)n = x(x− 1) . . . (x− n + 1).
150 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 151 — #6 i
i
i
i
i
i
Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha
Ivo Lah je dognal, da se pri izražanju ene baze z drugo pojavljajo posebna
števila, ki se zdaj imenujejo Lahova števila. Zveza med naraščajočimi in
običajnimi potencami je bila že znana. Tam se kot koeficienti pojavljajo
Stirlingova števila prve vrste
[
n
k
]
. Prav tako je bila znana zveza med obi-
čajnimi potencami in padajočimi potencami. Zveza so Stirlingova števila
druge vrste
{
n
k
}
. Lah pa je s svojimi števili in s svojo zvezo (identiteto)
kompletiral trikotnik.
Omenimo še tri zanimivosti. Trikotnik na sliki ima svojevrstno simetrijo.
Če ga prezrcalimo prek navpične vǐsine, obrnemo puščice in zamenjamo
Stirlingova števila prve vrste s Stirlingovimi števili druge vrste, preide sam
vase. Jovan Karamata, ki je avtor omenjenih simbolov, je deloval tudi kot
aktuar in sta se z Lahom poznala. V »Osnovicah« Ivo Lah citira aktuarja
Roberta Fruchta [1], ki je takrat nekaj let deloval v Trstu, preden se je
preselil v Valparaiso in postal znan kot eden izmed pionirjev algebrajske
teorije grafov. Kako majhen je svet in še veliko manǰsi je svet matematike!
V Lahovi identiteti
x(n) =
n∑
k=1
⌊
n
k
⌋
(x)k
nastopajo nepredznačena Lahova števila⌊
n
k
⌋
=
n!
k!
(
n− 1
k − 1
)
.
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 151
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 152 — #7 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Oznake za Stirlingova števila je vpeljal Jovan Karamata [4], midva s
kolegom Petkovškom pa sva jih v obeh prispevkih v istem slogu razširila še
na Lahova števila:
⌊
n
k
⌋
.
Stirlingova števila in obe zvezi je odkril že dvesto let prej škotski mate-
matik James Stirling – Benečan, matematik z nenavadno razgibanim življe-
njem. Kot podpornik hǐse Stuartov se je mladi Stirling umaknil v Benetke.
Ko pa je tam odkril skrivnost benečanskega steklarstva, se je v strahu za
življenje s pomočjo Isaaca Newtona vrnil v Anglijo. Benečani so razvili ume-
tnost steklarstva že v antiki in so imeli stoletja monopol nad to pomembno
gospodarsko panogo. Pri čuvanju skrivnosti muranskega steklarstva niso
izbirali sredstev.
In Ivo Lah je zapolnil luknjo v znanju, ki je zijala vsem matematikom
na očeh dobrih dvesto let. Njegova števila naj bi bila protimarksistična.
Le ko pregledamo vsebino dokumentov v knjigi, lahko razumemo sistem, ki
je privedel do takšnih absurdnih zaključkov. Stvar je bila zelo preprosta.
Po koncu vojne so bili ljudje razdeljeni na »naše«, to je na pripadnike OF,
in na »sovražnike«. Najhuǰse sovražnike je režim likvidiral. Malo manj
hude sovražnike pa je »le« diskreditiral. Našel jih je s pomočjo špicljev, ki
so bili primerno indoktrinirani in radikalizirani, pogosto pa so jih našli kar
med »spreobrnjenimi sovražniki«, ki so si z lažnimi denunciacijami olaǰsali
življenje in izbolǰsali prihodnost. Medtem ko so Ivovega brata in njegovega
sina šli iskat v Avstrijo in so ju likvidirali, so Iva in njegovo ženo na podlagi
anonimnih ovadb razglasili za sovražnika ljudstva in jima odvzeli volilno
pravico. Ženo pa so celo za mesec dni (od 12. 5. do 10. 6. 1945) priprli.
Zanimive so obtožbe, ki sta jih bila deležna. Lahovo ženo je nekdo obtožil,
da naj bi med okupacijo imela doma Hitlerjevo sliko. Vsakemu študentu
prava priporočam, da naj prebere pritožbe, ki sta jih pisala zakonca Lah.
Ena od obtožb Ivove žene naj bi bilo dejstvo, da ni »prispevala k nabiralnim
akcijam, katere zakonito organizirajo ljudske oblasti«. V pritožbi navaja, da
je bila že pred vojno invalidsko upokojena, po vojni pa so ji odvzeli invalidsko
rento, tako da ni imela sredstev, s katerimi bi »prispevala k nabiralnim
akcijam«. Pripor in izguba volilne pravice sta povzročila, da so sosedje
sovražno gledali na zakonca Lah.
Ta stigma je spremljala Iva Laha tudi na njegovi strokovni poti vse do
smrti. Kot vrhunskega strokovnjaka ga je režim nujno potreboval. Tako je
bil v letih 1949/50 del jugoslovanske delegacije pod vodstvom Jožeta Bri-
leja, ki se je v Rimu pogajala o italijanskih reparacijah. Službeni kolegi pa
so o njem širili neresnične govorice in so ga na vsakem koraku onemogo-
čali. Hoteli so mu celo preprečiti udeležbo na pogajanjih v Rimu, češ da bo
ušel iz države. Iz ohranjenih dokumentov vidimo obupen boj pokončnega
posameznika proti skorumpiranemu sistemu. Nekje zapǐse, da ima sam več
152 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 153 — #8 i
i
i
i
i
i
Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha
znanstvenih objav kot vsi tisoči uslužbencev Zveznega urada za statistiko
in evidenco. Režim je potreboval rezultate njegovega dela, hkrati pa ga je
zaničeval in uničeval kot človeka. Odrekal mu je pošteno plačo. Po uspehu
pri pogajanjih v Rimu so ga premestili na drugo delovno mesto, s ciničnimi
besedami, da za tako izjemnega strokovnjaka pri njih ni prostora. Kasneje
so ga pahnili v pokoj z mizerno pokojnino, rekoč »da odžira kruh mlaj-
šim«. Ta del knjige o Lahu je vreden še posebej pozornega branja. Niso
bila torej sporna Lahova števila. Sporen je bil njih odkritelj, ki kljub stra-
hovitim pritiskom in diskreditacijam ni želel spoznati znanstvenih prednosti
marksizma.
Lah je v svojih ocenah, ki jih je pisal svojim nadrejenim, neizprosno
objektiven. Jugoslavija bi lahko od okupatorjev iztržila veliko več. Model,
ki ga je uporabil v pogajanjih z Italijani, bi se dalo brez truda uporabiti
tudi pri Avstrijcih, Nemcih in Madžarih. Pa je prǐslo leta 1952 do uničenja
arhivov socialnega zavarovanja okupatorskih oblasti. Lah ugotavlja, da so
državna podjetja, ki so skrbela za odpadni papir, sama spodbujala uniče-
vanje arhivov. Papir so kupovala po 3 din na kilogram, naprej pa so ga
prodajala za 17 din na kilogram in plačevala uslužbencem socialnega zava-
rovanja provizijo. Razlika v ceni je delovala kot magnet v skladu z doktrino,
da ima v Jugoslaviji ideologija prednost pred ekonomijo. Druga spodbuda
za uničevanje arhivov pa so bili ljudje, katerih podatki so bili zapisani v
arhivih, saj so se bali, da jih bodo označevali za sodelavce okupatorja.
Veličina Iva Laha je v njegovi odkriti skrbi za izbolǰsavo življenjskih
razmer delavstva in vlogi socialnega zavarovanja pri tem. Na to življenjsko
temo je objavil številne prispevke pred vojno in med vojno. Po vojni pa je
bila njegova zdravorazumska, ekonomska miselnost trn v peti in v ostrem
nasprotju z revolucionarno miselnostjo nove oblasti.
Glede na to, da Lahovo delo presega okvire matematike, bi morali nje-
gove spise poiskati in v celoti digitalizirati, kar pa zahteva veliko naporov
in znanja, saj jih je izjemno veliko in žal niso vsi locirani v NUK-u. V eni
svojih ohranjenih pritožb Ivo Lah omenja, da je v dnevnem časopisju po
vsej Jugoslaviji objavil skoraj tisoč poljudnih prispevkov. Za financiranje
takega projekta pa bi morala poskrbeti država.
Pa ne gre samo za Laha. Prav bi bilo, da bi javno rehabilitirali njega
in vse podobne razumnike, ki so se znašli v kolesju revolucije in porevo-
lucionarnih norosti. Žal pa stigma, ki je leta 1945 potiskala Iva Laha v
anonimnost, učinkuje še dandanes. Žalostno je, da je tri desetletja po osa-
mosvojitvi knjiga o življenjski poti Iva Laha morala iziti v samozaložbi in
da naša država še vedno ne zmore odstraniti ideoloških plašnic ob pogledu
na svojo zgodovino.
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 153
i
i
“Pisanski” — 2024/2/25 — 10:15 — page 154 — #9 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Zahvale:
Avtor je bil deležen podpore ARRS (raziskovalni program P1-0294 in raz-
iskovalni projekti J1-1690, N1-0140, J1-2481). Zahvaljuje se recenzentom
za skrbno branje, prof. Marku Razpetu pa še za pomoč pri oblikovanju v
LATEX-u.
LITERATURA
[1] R. Frucht, Sulle relazioni che esistono fra due tipi di formule proposte per il calcolo
approssimato delle rendite vitalizie, Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari 7
(1936), 327–339.
[2] W. J. C. de Heer, Eine Näherungsformel zum Zinsfußproblem der Leibrente mit-
tels POUKKA-LAHscher Zahlen, Blätter DGVFM 5 (1960), 101–104; dostopno
tudi na https://doi.org/10.1007/BF02809284.
[3] R. L. Graham, D. E. Knuth in O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-
Wesley, Reading, Mass., 1989.
[4] J. Karamata, Théorèmes sur la sommabilité exponentielle et d’autres sommabili-
tés rattachant, Mathematica (Cluj) 9 (1935), 164–178.
[5] I. Lah, Računske osnovice životnog osiguranja, Državni zavod socialnog osigura-
nja, Zagreb, 1947.
[6] I. Lah, A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics,
Boletin do Instituto dos Actuarios Portugueses 9 (1954), 7–15.
[7] I. Lah, Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften und Anwendung in der
mathematischen Statistik, Mitteilungsbl. Math. Statist. 7 (1955), 203–212.
[8] M. Petkovšek in T. Pisanski, The Lah identity and the Argonauts, The ΠME
Journal 11 (2002), 385–386.
[9] M. Petkovšek in T. Pisanski, The combinatorial interpretation of unsigned Stirling
and Lah numbers, The ΠME Journal 12 (2007), 417–424.
[10] J. Riordan, An introduction to combinatorial analysis, John Wiley & Sons, Inc.,
New York, 1958.
Tomaž Pisanski
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
154 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
i
i
“Dolinar” — 2024/2/25 — 10:17 — page 155 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Mednarodna matematična olimpijada (MMO) in umetna inteligenca
V zadnjem času sta v matematični skupnosti vseh, ki se ukvarjamo z mate-
matičnimi tekmovanji, veliko pozornost pritegnili dve novici.
Najprej je 17. novembra 2023 podjetje XTX Markets, ki se ukvarja s
trgovanjem na finančnih trgih, ustanovilo sklad v vrednosti 10 milijonov
dolarjev in razpisalo Nagrado AIMO (Artificial Intelligence Mathematical
Olympiad Prize, https://aimoprize.com/). Nagrada AIMO naj bi spod-
budila razvoj modelov umetne inteligence za reševanje matematičnih proble-
mov, pri čemer naj bi bili vsi koraki pri dokazovanju rešitve tudi razumljivo
logično utemeljeni, kot je to običaj v obstoječi matematični literaturi. Na-
tančneje, za prvi javno dostopni model umetne inteligence, ki bi osvojil zlato
medaljo na MMO, je namenjenih 5 milijonov dolarjev, preostalih 5 milijo-
nov dolarjev pa za pomembne vmesne dosežke na poti do končnega cilja. Za
primerjavo, leta 2000 je Clay Mathematics Institute za rešitev vsakega od
sedmih slavnih nerešenih matematičnih problemov ponudil nagrado v vǐsini
zgolj 1 milijon dolarjev (The Millennium Prize Problems). Od omenjenih
sedmih milenijskih problemov je bil do danes rešen le eden, in sicer je Gri-
gori Perelman leta 2002 dokazal Poincaréjevo domnevo. Za ta rezultat je
bil nagrajen tako z nagrado Milenij kot tudi s Fieldsovo medaljo, a je obe
nagradi zavrnil.
Druga odmevna novica je prǐsla 17. januarja 2024, ko je bil v reviji
Nature, eni od dveh najprestižneǰsih znanstvenih revij, objavljen članek,
v katerem avtorji predstavijo, kako so razvili model umetne inteligence
AlphaGeometry. Ta model uspešno reši naloge s področja evklidske ge-
ometrije, ki so primerljive težavnosti, kot so naloge na MMO, rešitve pa
so enostavno berljive tudi za ljudi (https://www.nature.com/articles/
s41586-023-06747-5). Na testu je AlphaGeometry od 30 nalog, katerih
težavnost je primerljiva z nalogami na MMO, uspešno rešil kar 25 nalog,
našel je celo posplošeno rešitev naloge z MMO 2004. Če bi bile na MMO
samo naloge s področja geometrije, bi AlphaGeometry najverjetneje že letos
osvojil zlato medaljo.
Hitrost, s katero padajo mejniki pri razvoju umetne inteligence, je res
neverjetna. Eden izmed prvih mejnikov je bil zagotovo leta 1997, ko je
IBM-ov računalnik Deep Blue premagal svetovnega šahovskega prvaka Ga-
rija Kasparova. Skoraj 20 let je nato minilo, da je računalnik leta 2016
premagal človeka v še kompleksneǰsi strateški igri go, ki je veljala za velik
izziv za umetno inteligenco. In čeprav se zdi, da je bilo to že davno, je minilo
komaj malo več kot leto dni, odkar je ChatGPT šokiral vse. Tako posame-
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 155
i
i
“Dolinar” — 2024/2/25 — 10:17 — page 156 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
zniki kot celotno človeštvo smo se začeli zavedati, da je umetna inteligenca
postala inteligentna, in to ne samo v nekaterih posebnih situacijah, temveč
tako rekoč povsod v vsakdanjem življenju. Umetna inteligenca je sposobna
pisati krasne govore, seminarske naloge, dobro analizirati projekte in pisati
računalnǐsko kodo. In je daleč od tega, da bi bila slaba na področju ume-
tnosti, pa naj bo to glasba ali slikarstvo ali pa filmski svet, kjer smo priča
stavkam zaposlenih zaradi strahu, kako bo umetna inteligenca vplivala na
njihove zaposlitve. Pri vsem omenjenem pa je vedno bolj izpostavljen velik
problem, ker ne vemo, kaj nastaja kot plod umetne inteligence in koliko so
rezultati umetne inteligence zanesljivi oziroma resnični.
Eno od področij, kjer je bilo še nedavno videti, da bo umetna inteligenca
potrebovala malo več časa, da bo dosegla ali presegla sposobnosti človeškega
uma, je bila matematika. Pri čemer tu niso mǐsljeni preprosti računski ma-
tematični problemi, temveč problemi z abstraktnimi koncepti, ki zahtevajo
dolgo zaporedje konciznih logičnih sklepov najvǐsjih kognitivnih stopenj člo-
veškega uma, kjer mora biti prav vsak korak rešitve utemeljen, tako da je
na koncu povsem jasno, da je rezultat resničen. Že na prvi pogled gre za
izjemno zahteven izziv za umetno inteligenco, zato ni presenetljivo, da si je
več razvijalcev modelov umetne inteligence izbralo za vstop v svet bolj zah-
tevnih matematičnih problemov ravno naloge z MMO. Na MMO sodeluje
več kot 600 tekmovalk in tekmovalcev iz več kot 100 držav, prav gotovo so
vsi sodelujoči med najbistreǰsimi umi v svoji generaciji iz svoje države. In
od vseh teh sodelujočih jih vseh šest nalog na MMO vsako leto reši manj,
kot je prstov na eni roki. Očitno so naloge na MMO izjemno težke, pa
vendar za rešitev nobene naloge z MMO ni treba poznati univerzitetne ma-
tematike, nobenih integralov, diferencialnih enačb, matrik itd. Potrebujemo
pa izjemno bistre ideje, abstraktno in občasno nekonvencionalno razmǐslja-
nje, natančno argumentiranje in jasno predstavitev rešitve. Zaradi vsega
naštetega so naloge z MMO odlično okolje za učenje umetne inteligence na
področju matematike in zdi se, da bo tudi MMO prispevala svoj majhen del
k temu, da bo na področju matematike umetna inteligenca vedno večkrat
premagala človeško. In to, upamo, da vsaj na področju matematike, na
pregleden in zaupanja vreden način.
LITERATURA
[1] AIMO prize, dostopno na: https://aimoprize.com/, ogled 12. 2. 2024.
[2] T. H. Trinh, Y. Wu, Q. V. Le, H. He in T. Loung, Solving olympiad geometry
without human demonstrations, Nature 625 (2024), 476–482, dostopno na: https:
//www.nature.com/articles/s41586-023-06747-5, ogled 12. 2. 2024.
[3] International mathematical olympiad, dostopno na: https://www.imo-official.
org/, ogled 12. 2. 2024.
Gregor Dolinar
156 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
i
i
“Kuzman-vabilo” — 2024/2/25 — 10:18 — page 157 — #1 i
i
i
i
i
i
Vabilo na redni občni zbor DMFA Slovenije z volitvami
Vabilo na redni občni zbor DMFA Slovenije z volitvami
(četrtek, 14. marca 2024)
Spoštovane članice in člani DMFA Slovenije. Vljudno vabljeni na redni
občni zbor DMFA Slovenije, ki bo potekal v četrtek, 14. marca 2024 ob 18.
uri na Fakulteti za matematiko in fiziko v Ljubljani. Ob občnem zboru bo
predvidoma potekal tudi spremljevalni program (vabljeno poljudno predava-
nje), natančneǰse informacije bodo objavljene na spletni strani www.dmfa.si
najkasneje do 7. 3. 2024. Predlog dnevnega reda občnega zbora je:
1. imenovanje delovnega predsedstva;
2. poročila o delu društva v letu 2023;
3. finančno poročilo 2023 in finančni načrt 2024;
4. pobude in predlogi članov∗;
5. volitve predsednika/predsednice in članov Upravnega odbora, Nadzor-
nega odbora in Častnega razsodǐsča DMFA Slovenije za mandatno ob-
dobje od 1. 9. 2024 do 31. 8. 2026∗∗;
6. razno.
∗ Pobude in predloge lahko člani in članice izrazite ustno na občnem zboru
ali pa jih pošljite v pisni obliki na naslov tajnik@dmfa.si do 13. 3. 2024.
∗∗ Voljene funkcije v Upravnem odboru DMFA Slovenije so: predsednik
društva, podpredsednik društva in tajnik društva, predsedniki znanstvenih
odborov (Slovenski odbor za matematiko, Slovenski odbor za fiziko, Slo-
venski odbor za astronomijo), tajniki stalnih komisij DMFA Slovenije (za
popularizacijo matematike v OŠ, za popularizacijo matematike v SŠ, za tek-
movanje Mednarodni matematični kenguru, za popularizacijo fizike v OŠ,
za popularizacijo fizike v SŠ, za popularizacijo astronomije, za pedagoško
in založnǐsko dejavnost, za informacijsko tehnologijo, za upravne in admini-
strativne zadeve), ter predstavnika Odbora za ženske in Študentske sekcije
DMFA Slovenije. Občni zbor izvoli tudi 3 člane Nadzornega odbora in 3
člane Častnega razsodǐsča.
Kandidati za voljene funkcije morajo biti članice oziroma člani DMFA
Slovenije, predlaga jih lahko vsak član ali skupina članov DMFA Slovenije
(s soglasjem kandidata). Za izpostavljene funkcije (predsednik društva in
predsedniki odborov) se priporoča pisno izražena podpora večje skupine čla-
nov, ki delujejo na relevantnem področju. Predloge s kratko predstavitvijo
in osebnimi podatki predlaganih kandidatov pošljite do 1. 3. 2024 na naslov
tajnik@dmfa.si. Za dodatna pojasnila se obrnite na predsednika DMFA
Slovenije, prof. dr. Primoža Potočnika, ali druge člane Upravnega odbora.
Boštjan Kuzman
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 157
i
i
“Mohoric” — 2024/2/25 — 10:19 — page 158 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
Zoisove nagrade in priznanja za leto 2023
Novembra 2023 so bile podeljene nagrade in priznanja za izjemne dosežke v
znanstvenoraziskovalni in razvojni dejavnosti. Zoisove nagrade in priznanja
prejmejo raziskovalke in raziskovalci, ki so s svojimi dosežki trajno prispe-
vali k razvoju znanstvenoraziskovalne in razvojne dejavnosti v Republiki
Sloveniji. Puhove nagrade in priznanja prejmejo zaslužni za izume, tehno-
loške in netehnološke razvojne dosežke in uporabo znanstvenih izsledkov z
vseh znanstvenih področij pri uvajanju novosti v gospodarsko in družbeno
prakso. Ambasador znanosti Republike Slovenije se podeljuje za pomembne
dosežke pri promociji in razvoju slovenske znanstvene in razvojne dejavnosti
v tujini.
V letu 2023 sta bili podeljeni dve Zoisovi nagradi za življenjsko delo.
Prvo nagrado je prejel Joso Vukman za življenjsko delo na področju mate-
matike, drugo pa Danilo Zavrtanik za življenjsko delo na področju fizike in
astrofizike osnovnih delcev.
Zoisove nagrade za vrhunske dosežke so prejeli Aleksey Kostenko na
področju matematične analize, Igor Križaj na področju toksinologije, Igor
Škrjanc na področju inteligentnih samorazvijajočih se sistemov ter Marko
Snoj na področju slovenskega jezika.
Priznanje ambasadorka znanosti Republike Slovenije za krepitev ugleda
slovenske astrofizike v družbi in v mednarodnem merilu je prejela Maruša
Bradač.
Zoisova priznanja so prejeli Uroš Cvelbar za pomembne dosežke na po-
dročju plazemske fizike, Lucija Peterlin Mašič za pomembne dosežke na po-
dročju farmacevtske kemije in toksikologije, Matjaž Finšgar za pomembne
dosežke na področju razvoja nekonvencionalnih orodij v analizni kemiji, Ma-
tej Černe za pomembne dosežke na področju raziskav vodenja kreativnega,
inovativnega in digitalnega dela, Marjetka Podobnik za pomembne dosežke
na področju strukturne biologije ter Irena Stramljič Breznik za pomembne
dosežke na področju znanstvenoraziskovalnega dela in razvijanja inovativnih
pristopov v jezikoslovju.
Med nagrajenci so tudi člani Društva matematikov, fizikov in astrono-
mov Slovenije Joso Vukman, Danilo Zavrtanik in Maruša Bradač.
158 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
i
i
“Mohoric” — 2024/2/25 — 10:19 — page 159 — #2 i
i
i
i
i
i
Zoisove nagrade in priznanja za leto 2023
Joso Vukman je zaslužni profesor Uni-
verze v Mariboru. Raziskovalno kariero
je začel pod mentorstvom Ivana Vidava.
Njegov raziskovalni opus obsega funkcio-
nalno analizo, teorijo kolobarjev in funk-
cijskih enačb. Dokazal je karakterizacijo
Hilbertovega prostora med vsemi normi-
ranimi prostori. Drugi pomemben do-
sežek obravnava reprezentacijo kvadra-
tnega funkcionala z bilinearnim funkci-
onalom. Njegove raziskave na področju
funkcionalne analize so vodile v teorijo kolobarjev. Vplival je na razvoj te-
orije funkcijskih identitet, ki je ena izmed najpomembneǰsih teorij zadnjih
trideset let v teoriji kolobarjev. Na njegovo pobudo so se na Univerzi v
Mariboru oblikovala raziskovalna jedra na področju funkcionalne analize,
algebre, topologije, teorije grafov in diferencialnih enačb in velja za zače-
tnika in utemeljitelja teoretične matematike na Univerzi v Mariboru.
Danilo Zavrtanik je dosegel izjemne raz-
iskovalne rezultate na različnih podpo-
dročjih fizike visokih energij. Znanstveno
delovanje je začel v Evropski organiza-
ciji za jedrske raziskave (CERN) z razi-
skavami osnovnih delcev z detektorjema
delcev OMICRON in CPLEAR, nadalje-
val pa z iskanjem Higgsovega bozona z detektorjem DELPHI. Kasneje se je
raziskovalno usmeril k astrofiziki visokoenergijskih kozmičnih delcev. Pri-
speval je k meritvam njihovega spektra ter študiju izvorov. Aktivno je sode-
loval pri zasnovi in izgradnji največjega observatorija za kozmične delce na
svetu Pierre Auger v Argentini, v zadnjih letih pa se posveča raziskavam vi-
sokoenergijskih kozmičnih fotonov z nastajajočim observatorijem Cherenkov
Telescope Array. Sodeloval je pri pridružitvi Slovenije CERN-u. Ustanovil
je Mednarodno podiplomsko šolo za znanosti o okolju v Novi Gorici in jo
dolga leta vodil ter razvil do uspešne Univerze v Novi Gorici, kjer je zdaj
sodelavec. Sodeluje tudi z Institutom »Jožef Stefan«.
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 159
i
i
“Mohoric” — 2024/2/25 — 10:19 — page 160 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Maruša Bradač je prejela priznanje am-
basadorka znanosti Republike Slovenije
za krepitev ugleda slovenske astrofizike
v družbi in v mednarodnem merilu. Je
svetovno uveljavljena astrofizičarka, ki
je svojo študijsko pot začela v Sloveniji,
doktorirala v Nemčiji in nadaljevala raz-
iskovalno kariero v Združenih državah
Amerike. S svojimi objavami in idejami
pomembno prispeva k meritvam obstoja
in lastnosti temne snovi ter prvih galaksij v mladem vesolju. Njene pionirske
raziskave jat galaksij do danes ostajajo najpomembneǰsi neposredni dokaz
obstoja temne snovi in njenih lastnosti. Ključna je bila tudi njena vloga pri
razvoju najnoveǰsega vesoljskega teleskopa James Webb. S svojo skupino
je sodelovala pri razvoju enega od ključnih znanstvenih instrumentov na
teleskopu – kamere NIRISS. Vodi tudi projekt Evropskega raziskovalnega
sveta (ERC). S podatki vesoljskega teleskopa James Webb proučuje obdobje
temnega veka vesolja. Je profesorica na Fakulteti za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani, ki je z njenim prihodom postala nov evropski center
za raziskave z Webbovim vesoljskim teleskopom.
Vsem nagrajencem, še posebej pa članom društva, izrekamo iskrene če-
stitke za nagrade, priznanja in dosežke.
LITERATURA
[1] Razglasitev prejemnic in prejemnikov državnih nagrad in priznanj na
področju znanosti, dostopno na https://www.gov.si/novice/2023-
10-13-razglasitev-prejemnic-in-prejemnikov-drzavnih-nagrad-in-priznanj-
na-podrocju-znanosti/, ogled 1. 2. 2024.
Aleš Mohorič
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in fiziko 70 (2023)
številke 1–4, strani 1–160
Članki — Articles
Relativna entropija kot mera presenečenja (Žiga Virk) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–13
Polarizacija mavrične svetlobe (Mojca Vilfan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14–24
O predstavitvi vseh praštevil s celoštevilskimi kvadratnimi formami
dveh spremenljivk (Marjan Jenko in Marko Petkovšek) . . . . . . . . . . . . 41–48
Rentgenska absorpcijska spektroskopija in teoretični izračuni
spektrov (Robert Hauko in Margerita Felicijan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49–67
160 Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4
i
i
“Mohoric” — 2024/2/25 — 10:19 — page 161 — #4 i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
Učinek metulja in rekurzivna zaporedja (Uroš Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . 81–90
Nobelova nagrada za fiziko 2020 – Črne luknje (Andreja Gomboc) . . . . . 91–100
Filonova premica (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste (Aleks Žigon Tankosič) . . . . . . . . . 132–145
Vesti — News
Marija Ahčin, Dunja Fabjan, Marjeta Kramar Fijavž, Aleš Mohorič,
Milena Strnad, Natalija Uršič in Tanja Veber prejeli priznanja
DMFA Slovenije za leto 2022 (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–37
Zasedanje Generalne skupščine IMU, Helsinki 2022 (Jasna Prezelj) . . . . 39–III
Devetindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Gregor Šega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–73
Ob 70. obletnici odprtja glavne stavbe Instituta »Jožef Stefan«
(8. 2. 1953) (Tatjana Peterlin Neumaier) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74–VII
Poročilo o 77. Občnem zboru DMFA Slovenije na Bledu
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101–102
Popravek (Urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Lovro Dretnik, Marica Kamplet, Boštjan Kuzman, Bela Szomi,
Soraya Sternad in Jasmina Žel prejemniki priznanj DMFA
Slovenije za leto 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102–108
Nežka Mramor Kosta imenovana za novo častno članico
DMFA Slovenije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108–110
Konferenca slovenskih matematikov ob 150. obletnici rojstva
Josipa Plemlja odlično uspela (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–112
Mednarodna matematična olimpijada (MMO) in umetena inteligenca
(Gregor Dolinar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–156
Vabilo na redni občni zbor DMFA Slovenije z volitvami
(četrtek, 14. marca 2024) (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Zoisove nagrade in priznanja za leto 2023 (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . 158–160
Letno kazalo (urednǐstvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–XV
Nove knjige — New books
Matej Brešar, Undergraduate algebra – a unified approach
(Klemen Šivic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113–117
Kit Yates, How to Expect the Unexpected, The Science of Making
Predictions and the Art of Knowing When Not To (Peter Legǐsa) . . 118–XI
Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha (Tomaž Pisanski) . . 146–154
Iz zgodovine — Miscellanea
Nekaj spominov na profesorja Nika Prijatelja (1922–2003)
(Peter Legǐsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–32
Urednǐstvo
Obzornik mat. fiz. 70 (2023) 4 XV
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, DECEMBER 2023
Letnik 70, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Filonova premica (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste (Aleks Žigon Tankosič) . . . . . . . . . 132–145
Nove knjige
Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha (Tomaž Pisanski) . . 146–154
Vesti
Mednarodna matematična olimpijada (MMO) in umetena inteligenca
(Gregor Dolinar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–156
Vabilo na redni občni zbor DMFA Slovenije z volitvami
(četrtek, 14. marca 2024) (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Zoisove nagrade in priznanja za leto 2023 (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . 158–160
Letno kazalo (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–XV
CONTENTS
Articles Pages
The Philon line (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131
Generalizations of the Stirling numbers of the 1st kind
(Aleks Žigon Tankosič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132–145
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146–154
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–XV
Na naslovnici: Fotografija na naslovnici kaže Sonce tik nad obzorjem. Ali bi iz nje
znali presoditi, ali kaže vzhod ali zahod? Sončni vzhod simbolizira nove začetke,
upanje in optimizem, zahod pa vzbudi občutek zaključka, refleksije in miru. V
statični fotografiji ne moremo ločiti sončnega vzhoda od zahoda, pri obeh so barve
neba simetrične, le spreminjajo se v obratnem poteku. Možne so sicer subtilne
razlike v barvah in odtenkih. Barve sončnega vzhoda so običajno nežne pastelne
barve, kot so roza, oranžna in vijolična, ob zahodu pa se prikažejo tople barve,
kot so oranžna, rdeča in zlata. Zjutraj je zrak običajno bolj čist, kar ustvari bolj
jasen videz, zvečer pa zrak lahko vsebuje več delcev, kar videz nekoliko zamegli.
Najlažje seveda presodimo, če vemo, v katero smer neba je bila kamera obrnjena
in ali je bil posnetek narejen zjutraj ali zvečer.