kisl^ns m univerritetns knjiLnies v l.jud«Mi Lehrbuch der Geometrie. Zum Gebrauche der Unter-Realschulen. Verfaßt von Wr. Franz Mozhnik, Professor an der k. k. technischen Akademie in Lemberg. Mit 6 Kupfcrtafeln. Kostet ungebunden 22 Kr. C. M. Gebund. in ledern. Rücken 28 Kr. C. M. --- - Wien, L8S6. Im Verlage der k. k. Schulbücher-Verschleiß-Admini¬ stration bei St. Anna in der Johannes-Gasse. 110268 In den öffentlichen Schulen sind, besondere Ermäch¬ tigungen des Ministeriums des Kultus und Unterrichtes ausgenommen, nur die vorgeschriebenen, mit dem Stämpel des Schulbücher - Verlages versehenen Bücher zu verwenden, auch dürfen diese Bücher nicht gegen Höhere als die auf dem Titelblatte angegebe¬ nen Preise verkauft werden. Einleitung. 8. 1. Körper. Dilles, was einen Raum einnimmt, heißt Körper. Ein Buch z. B. nimmt einen Raum ein, ist also em Körper; eben so sind ein Kasten, eine Tafel, ein Zimmer, ein Würfel, eine Kugel, Körper, weil sie alle einen Raum einnehmcn. Jeder Körper nimmt den Raum nach drei Richtungen ein, oder er hat drei Ausdehnun¬ gen, nach der Länge, nach der Breite und nach der Höhe. Von einem Kasten kann man sagen, daß er sich von der Rechten gegen die Linke d. i. in die Länge, von der Vorderseite gegen die Rückseite d. i. in die Breite, und von unten nach oben d. i. in die Höhe ausdehnt; so ist auch ein Zimmer lang, breit und hoch; eben so eine Kirche. Statt der Höhe wird bei vielen Körpern auch Tiefe oder Dicke gesagt. Ein Graben ist lang, breit und tief; so auch ein Keller, ein Brunnen. Ein Buch ist lang, breit und dick; eben so eine Tafel, ein Lineal. A2 Ein 4 Em Körper dehnt sich nach seinen drei Rich¬ tungen nicht immer weiter aus, er hört nach allen Seiten irgendwo auf; so hört ein Zimmer an den Wänden, an der Decke und am Fußboden aus. Da, wo ein Körper aufhvrt, sind seine Gränzen. — Ein Körper ist also ein nach allen Seiten beglänz¬ ter Raum. §. 2. Fläch en. Die Gränzen der Körper heißen Flächen. Die vier Wände eines Zimmers, der Fußboden, die Decke desselben sind Flächen, weil sie einen Körper, näm¬ lich das Zimmer, begränzen. Flächen sieht man ferner an der Außenseite eines Kastens, eines Buches, einer Walze, eines Eies u. s. w. Wie viele Flächen kommen an einem Kasten vor? — wie viele an einem Buche, an einer Ta¬ fel, an einem Würfel, an einer Walze, an einem Zuckerhute, an einer Kugel? Bei einer Fläche darf man sich nur die Länge und die Breite, aber keine Dicke denken, weil man sonst einen Körper hätte, während die Fläche nur die Gränze eines Körpers ist, nur der Ort, wo der Kör¬ per aufhört. So ist z. B. die Wand eines Zimmers, wenn auch ihre Dicke betrachtet wird, keine Fläche, sondern ein Körper; als Fläche, als Gränze des Zim¬ mers, darf man sich nicht die ganze Wand denken, sondern nur das Äußere, was man daran sieht, und dieses Äußere der Wand hat keine Dicke. Ein Blatt Papier ist ein Körper, weil es lang, breit und dick ist; betrachtet man aber nur die ein e Seite als Grän- re 5 ze des Blattes, als Fläche, so darf man dabei auf die Dicke keine Rücksicht nehmen, sondern nur auf die Länge und die Breite. — Eine Fläche hat also nur zwei Ausdehnungen, die Länge und die Breite. Jede Fläche hört sowohl nach der Länge als nach der Breite irgendwo auf. Wo eine Fläche aufhört, da sind ihre Gränzen. Jede Fläche ist also begränzt. 8- 3. Linien, Die Gränzen der Flächen heißen Linien. Wo z. B. eine Wand aufhört, da sind Linien; jede Wand hört nach vier Seiten auf, und wird daher von vier Linien begränzt. Wie viele Gränzlinien kommen in einem gewöhn¬ lichen Zimmer vor? — wie viele an einem Buche, an einem Würfel, an einer Walzte, an einer Kugel? Von einer Linie kann man nur sagen, daß sie lang ist, nicht aber, daß sie lang und breit ist, da sie keine Fläche, sondern nur die Gränze einer Fläche ist; eben so wenig kann man sagen, daß eine Linie lang, breit und dick ist, da sie sonst ein Körper seyn müßte. — Eine Linie hat daher nur Eine Aus» dehnung, nämlich die Länge. Eine Linie kann man, da sie nur Länge besitzt, gar nicht zeichnen. Die Linien, die wir auf der Ta¬ fel oder auf dem Papiere zeichnen, haben immer etwas Breite und Dicke, sind also keine eigentlichen Linien, sondern Körper; sie sind aber auch nur Zei¬ chen der Linien, und müssen als solche so viel Brei¬ te und Dicke haben, als nöthig ist, um sie dem Auge sicht- 6 sichtbar zu machen. Auf dem Papiere, das dem Auge nahe ist, zieht mau die Linie nur mit einer geringen Breite und Dicke; an der Tafel, wo sie auch in der Entfernung noch gesehen werden soll, erhalt sie darum auch mehr Breite und Dicke. Jede Linie hort auf zwei Seiten auf, oder, sie wird auf zwei Seiten begränzt. 8- 4. Punkte. Die Gränzen der Linien heißen Punkte. Be¬ trachtet man z. B. eine Linie an dem Buche, so sieht man, daß sic auf zwei Seiten aufhört; die Orte, wo sie aufhört, sind Punkte. Wie viele Gränzvunkte sind an dem Buche, in dem Zimmer , an der Tafel, an einem Zuckerhute, an einer Kugel? Von einem Punkte können wir nicht sagen, daß er lang oder breit oder dick ist. Wäre der Punkt nur etwas lang, so wäre er eine Linie; hätte er Länge und Breite, so wäre er eine Fläche; hätte er Länge, Breite und Dicke, so müßte er ein Körper scyn. Ein Punkt ist aber weder ein Körper, noch eine Fläche, noch auch eine Linie, sondern nur die Gränze einer Linie. — Ein Punkt hat also keine Ausdehnung. Einen Punkt kann man, da er keine Ausdehnung hat, gar nicht sehen, und daher auch nicht zeichnen. Der Punkt, den man mit Bleistift, Feder oder Kreide macht, hat, wenn er auch noch so klein gemacht wird, doch immer etwas Länge, Breite und Dicke, ist also ein Körper und nicht ein Punkt; er ist nur das Zei¬ chen des Punktes, und muß als solches so viel Länge, Brei- 7 Breite und Dicke bekommen, daß er von dem Auge gesehen werden kann. 8. 5. Entstehung der Linien, Flächen und Körper. Bewegt man z. B. einen Bleistift immer fort, so wird sich auch die Spitze desselben, der Endpunkt, immer fort bewegen; nimmt man nun an, daß dieser Endpunkt während der ganzen Bewegung feine Spur zurückläßt, so entsteht dadurch eine Linie. — Durch die Bewegung eines Punktes entsteht also eine Linie. Läßt der ganze Bleistift, während er in einer andern Richtung, als er sie selbst hat, fortbcwegt wird, auch überall seine Spur zurück, so bildete diese eine Fläche. — Durch die Bewegung einer Linie entsteht also eine Fläche. Bewegt man nun auch eine Fläche, z. B. ein Blatt Papier, in einer andern Richtung, als sie die Fläche selbst hat, so bildet ihr Weg einen Körper. — Durch die Bewegung einer Fläche entsteht also ein Körper. 8. 6. Eintheilung der Linien. Die Linien werden in gerade und krumme eingctheilt. Eine gerade Linie, auch bloß Gerade, heißt diejenige Linie, deren alle Punkte in derselben Rich¬ tung liegen. Ein gespannter Faden stellt eine gerade Linie vor. Ei- 8 Eine krumme Linie ist diejenige, deren Rich¬ tung sich immerfort ändert. An einer Walze sieht man krumme Linien. Figur 1 stellt eine WeradeZFig. 2 und 3 aber stellen krumme Linien dar. Eine Gerade entsteht, wenn sich ein Punkt im¬ mer in derselben Richtung fortbewegt; eine krumme Linie, wenn der sich bewegende Punkt ununterbrochen seine Richtung ändert. 8. 7. Die gerade Linie. Die Gerade hat folgende Eigenschaften: 1. Durch einen Punkt lassen sich unzählig viele gerade Linien ziehen; durch zwei Punkte aber kann nur Eine Gerade gezogen werden, die zwischen jenen zwei Punkten eine bestimmte Größe haben muß. Durch zwei Punkte ist daher sowohl die Richtung als die Größe einer geraden Linie vollkommen bestimmt. — Zur Benennung eines Punktes setzt man neben das Zeichen desselben einen Buchstaben; nm daher eine Gerade zu benennen, braucht man nur deren Endpunkte mit Buchstaben zu bezeichnen und diese zusammen zu stellen. In Fig. 1 heißt die gerade Linie, welche zwi¬ schen den Punkten und V liegt, die Gerade 2. Die Gerade ist die kürzeste Linie, welche von einem Punkte zu einem andern gezogen werden kann. Die Gerade dient daher auch dazu, um die Ent¬ fernung oder den Ab stand zweier Punkte von ein¬ ander darzustellen. So zeigt .4.1! (Fig. 1) die Entfer¬ nung der zwei Punkte von ^4 und U an. Um — 9 — Um eine gerade Linie auf dem Papiere zu ziehen, bedienet man sich des Lineals. Wie prüft man die Richtigkeit eines Lineals? 8. 8. Die Kreislinie. Unter allen krummen Linien ist die Kreislinie die beachtungswürdigste. Sie ist diejenige krumme Linie, deren alle Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte gleich weit entfernt sind. Der Punkt, von welchem alle Punkte der Kreis¬ linie gleich weit abstehen, heißt der Mittelpunkt oder das Zentrum; die ganze Kreislinie selbst wird auch Umfang oder Peripherie des Kreises genannt. Fig. 4 stellt eine Kreislinie vor, wovon O der Mittelpunkt und ^«60der Umfang ist. Man kann sich die Kreislinie auf folgende Art entstanden denken. Es bewege sich die Gerade so um den festen Punkt O herum, daß sie wieder in ihre ursprüngliche Lage zurückkehrt; der Punkt be¬ schreibt wahrend dieser Bewegung die Kreislinie Zur Zeichnung der Kreislinie bedient man sich des Zirkels. Eine Gerade, welche vom Mittelpunkte zu irgend einem Punkte des Umfanges gezogen wird, heißt ein Halbmesser des Kreises; z. B. 0^, OK, oo. Der Halbmesser zeigt also den Abstand der Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte an. Da alle Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte gleich weit ab- ste- 10 stehen, so folgt, daß alle Halbmesser in einem Kreise gleich sind. Eine Gerade 4.0, welche von einem Punkte des Umfanges durch den Mittelpunkt bis an die entgegen¬ gesetzte Seite des Umfanges gezogen wird, heißt em Durchmesser (Umnxwei-). Jeder Durchmesser be¬ steht aus zwei Halbmessern, und ist daher doppelt so groß als ein Halbmesser. Die Gerade , welche von einem Punkte des Umfanges zu einem andern Punkte desselben gezogen wird, heißt Sehne. Jeder Theil des Umfanges, wie 4Ü, wird ein Kreisbogen genannt; die Hälfte des Umfanges heißt insbesondere ein Halbkreis, und der vierte Theil ein Quadrant.^ Der Umfang eines jeden Kreises wird in 360 gleiche Bogen, welche man Grade nennt, eingetheilt. Es kommen daher auf den Halbkreis 180, auf den O-uadranten 90 Grade. Die Eintheilung des Halbkrei¬ ses in Grade steht man an dem Transporteur (Fig. 5), bei welchem die scharfe Kante 4.8 den Durchmesser, und der Einschnitt 6 den Mittelpunkt vorstcllt. Jeder Grad wird wieder in 60 gleiche Theile Minuten; und jede Minute in 60 Secunden ein¬ getheilt. Man bezeichnet die Grade, Minuten und Se¬ kunden durch die Zeichen °, um z. B. einen Bogen von 17 Graden, 28 Minuten und 58 Secun- den auözudrücken, schreibt man: 17" M 58". 8. 9. 11 9. Eintheilung der Flächen, Man unterscheidet ebene und gekrümmte Flächen. Eine ebene Fläche, auch bloß Ebene, ist eine solche Fläche, in welcher sich nach allen Richtun¬ gen hin gerade Linien ziehen lassen; z. B. die Wand eines Zimmers, die Fläche eines Tisches. Wie prüft man mit dem Lineale, ob eine Fläche eben ist? Eine gekrümmte Fläche ist diejenige, in wel¬ cher sich nicht nach allen Richtungen gerade Linien ziehen lassen; z. B. die äußere Fläche eines Baumes, bei der man nur nach einer Richtung, nämlich nach der Länge, die Fläche einer Kugel, bei der man in keiner Richtung gerade Linien ziehen kann. Die Lage einer Ebene ist durch drei Punkte, welche nicht in einer geraden Linie liegen, vollkommen be¬ stimmt. Um dieses einzusehcn, nehme man erstlich nur Einen Punkt als gegeben an; durch diesen lassen sich unendlich viele Ebenen in allen denkbaren Richtungen legen. Auch durch zwei Punkte ist die Richtung der Ebene noch nicht bestimmt; denkt man sich nämlich durch die zwei Punkte eine gerade Linie gezogen, und durch diese Gerade eine Ebene gelegt, welche sich rings um die Gerade drehet, so kann diese Ebene da¬ bei noch unzählig viele Lagen annehmcn, und geht doch in jeder dieser Lagen durch die zwei gegebenen Punkte. Wird aber noch "ein dritter Punkt außer jener Geraden angenommen, durch welchen die Ebene bei 12 bei ihrer Umdrehung durchgehen muß, so wird unter allen frühem Lagen der Ebene nur Eine einzige seyn, in welcher die Ebene sowohl durch die zwei Punkte in der Geraden, als auch durch den dritten außer ihr liegenden Punkt geht. Durch drei Punkte, welche nicht in einer geraden Linie liegen, läßt sich also nur Eine einzige Ebene gelegt denken; oder, was gleich¬ viel ist, eine Ebene ist durch drei nicht in Einer Gera¬ den liegende Punkte ihrer Lage nach vollkommen bestimmt. Zur Benennung einer Ebene braucht man nur die drei Punkte, durch welche sie gelegt ist, mit Buch¬ staben zu bezeichnen, und diese zusammen zu stellen. In Fig. 8 heißt die ebene Fläche, welche durch die Punkte » und geht, die Ebene ^80. 8. 10. Eintheilung der Körper. Es gibt eckige und runde Körper. Eckige Körper heißen diejenigen, welche lauter Ebenen zu Gränzen haben; z. B. ein Kasten, ein Würfel. Runde Körper sind solche, welche nicht bloß von Ebenen begränzt werden; z. B. eine Walze, wel¬ che von zwei ebenen und einer gekrümmten Fläche, eine Kugel, welche von Einer einzigen gekrümmten Fläche begränzt wird. 8. 11. Winkel. Bisher ist an den Körpern, Flächen und Linien nur das Ausgedehntseyn betrachtet worden; ein zwei- 13 zweiter Gegenstand, der dabei zu berücksichtigen kommt, ist die Abweichung in der Richtung, welche Winkel genannt wird. Wenn zwei verschiedene Linien von demselben Punkte ausgehcn, so heißt die Abweichung in ihren Richtungen ein Lin i cnw inkel, ebener Winkel, gewöhnlich auch geradezu Winkel. Je zwei Linien, die an den Enden der Tafel zusammenstoßen, bilden mit einander einen ebenen Winkel. Ein Winkel, der von zwei Flächen gebildet wird, heißt ein Fläch en winkel; z. B. der Winkel zwischen der Decke eines Zimmers und einer Wand. Wenn sich mehr als zwei Flächen in einem Punkte vereinigen , so haben sie gegenseitig verschie¬ dene Richtungen, und bilden also auch einen Winkel, welcher ein körperlicher Winkel oder eine kör¬ perliche Ecke heißt. Eine körperliche Ecke ist also die gegenseitige Neigung von drei oder meh¬ rer» Flächen, welche in Einem Punkte Zusammen¬ treffen. Körperecken steht man im Zimmer, am Kasten, am Buche u. s. w. Ein Winkel wird um so größer, je mehr die Linien oder Flächen, von denen er begränzt wird, in ihren Richtungen von einander abweichen. Zur Wiederholung des bisher Vorgenommenen soll man hier die verschiedenartigsten Körper durch wirkliche Anschauung betrachten, und bei jedem der¬ selben angeben, wie viele Punkte, wie viele und was für Linien, wie viele und was für Flächen daran vorkommen, ob daher der Körper ein eckiger oder ein runder ist; ferner, wie viele ebene, wie viele Flächen-, und wie viele Körpcrwinkel derselbe enthält. 8. 12. — 14 — §. 12. Messen der Raumgrößen. Alles, was durch Zusetzung gleichartiger Theile vermehrt, und durch Hinwegnahme derselben vermin¬ dert werden kann, heißt Größe. Da die Linien, Flä¬ chen und Körper, so wie die Linien-, Flächen - und Körperwinkel einer Vergrößerung und einer Vermin¬ derung fähig sind, so sind sie auch Größen; sie wer¬ den, weil sie im Raume vorkommen, Raumgrößen genannt. Da der Punkt keine Ausdehnung hat, also weder vergrößert noch verkleinert werden kann, so ist er keine Naumgröße. Bei jedem Dinge nimmt man insbesondere auf zwei Sachen Rücksicht, auf die Große des Ganzen, und auf die Lage seiner Theile d. i. auf die Form. Die Größe eines Dinges bestimmen, heißt das¬ selbe messen. Um eine Raumgröße zu messen, muß man irgend eine Raumgröße derselben Art als Einheit annehmen, und untersuchen, wie oft diese als Einheit angenom¬ mene Größe in der Andern enthalten ist. Jede Größe kann daher nur durch eine Größe derselben Art ge¬ messen werden, also eine Linie nur durch eine Linie, eine Fläche nur durch eine Fläche, ein Körper nur durch einen Körper, ein Winkel nur durch einen Winkel. §. 13. Gleiche, ähnliche und cougrueute Raum¬ größen. Zwei Raumgrößen können zwar verschiedene Form, über dabei doch gleiche Größe habem So kann eine rund 15 rund begränzte Wiese eben so viel Raum einschließen, als eine viereckige; hier ist also die Form verschieden, die Große gleich. Ein Stück erweichtes Wachs kann bald zu einer Kugel, bald zu einem Würfel verarbei¬ tet werden; die Größe bleibt immer dieselbe, die Form ist verschieden. — Raumgrößen nun, welche einerlei Größe haben, -^sie mögen dann in der Form übereinstimmen oder nicht, heißen gleich. Das Zeichen der Gleichheit ist —. Umgekehrt können zwei Raumgrößen dieselbe Form haben, während sie sich in der Größe unterscheiden; z. B. zwei Kreise , oder zwei Würfel, welche ver¬ schiedene Größe haben. — Raumgrößen, welche einerlei Form haben , sie mögen in der Größe übcreinstimmen oder nicht, heißen ähnlich. Das Zei¬ chen der Ähnlichkeit ist. Raumgrvßcn, welche einerlei Größe und ei¬ nerlei Form haben, heißen congruent. Zwischen zwei congruenten Größen wird, da sie gleich und ähnlich sind, das Zeichen gesetzt. Zwei congrucnte Raumgrößen müssen, wenn die eine an die Stelle der andern ge¬ legt wird, in allen ihren Ausdehnungen zusammenfal¬ len, und sich daher vollkommen decken. 8.^4. Geometrie. Die Lehre von den Raumgrößen wird G e o m e- trie genannt. Sie zerfällt in zwei Haupttheile: in die Pla¬ nimetrie und die Stereometrie. Die Planimetrie oder ebene Geometrie handelt von jenen Raumgrößen, welche in einer und der- 16 derselben Ebene liegen; die Stereometrie aber be¬ schäftigt sich mit jenen Raumgrvßen, welche sich nicht in einer einzigen Ebene liegend vorstellen lassen. So liegen zwei Gerade, welche von einem und demselben Punkte ausgchen, in einerlei Ebene; die Kreislinie liegt in einer einzigen Ebene; die Betrach¬ tungen darüber gehören daher in die Planimetrie. Wenn man hingegen von verschiedenen Punkten, außerhalb einer Ebene, Linien nach derselben zieht, wenn man zwei Ebenen auf einander gestellt denkt, so befinden sich diese Raumgrößen nicht in Einer einzigen Ebene, son¬ dern nehmen noch einen Raum außerhalb dieser Ebene ein; dieses gilt auch von allen Körpern, welche, wenn man sie aus irgend einer Ebene liegend denkt, nicht mit allen ihren Gränzen in diese Ebene fallen, son¬ dern auch noch einen Raum außerhalb derselben ein¬ nehmen; von solchen Raumgrößen handelt die Stereo¬ metrie. Die Geometrie wird auch in die theoretische und die praktische cingctheilt. Die theoretische Geometrie beschäftiget sich mit den Eigenschaften und der Ausmessung der Raumgrößen an und für ^ch selbst; die praktische lehret die Anwendung der theoretischen Lehren, sowohl im Allgemeinen, als insbesondere dazu, um einzel¬ ne Theile der Erdoberfläche zu messen, und auf dem Papiere zu verzeichnen. Er- Erster Theil. Die Planimetrie. Erstes Hauptstüek. Gerade Linien in Beziehung auf einander. K. 15. ^ei den geraden Linien hat man vor Allem auf zwei Sachen Rücksicht zu nehmen, auf die R i ch- tung und aus die Größe derselben. Bei einer einzigen Geraden kann weder von deren Richtung noch von deren Größe die Rede seyn; man kann von einer Geraden nur sagen, welche Richtung sie in Beziehung auf eine andere Gerade hat, und eben so kann man von ihr nur angeben, welche Länge sie im Vergleiche mit einer andern geraden Linie hat. Richtung und Größe sind also Eigenschaften, welche eine Vergleichung voraussctzen, und weil zu jeder Ver¬ gleichung wenigstens zwei Dinge erfordert werden, so müssen auch bei der Betrachtung der Richtung und Größe wenigstens zwei gerade Linien vorausgesetzt werden. Geometrie. B I. 18 I. Richtung der Geraden. 8. 16. Parallele und nicht parallele Linien. Wenn man zwei Gerade, welche in einer Ebene liegen, in Hinsicht ihrer Richtung mit einander ver¬ gleicht, so findet man, daß sie entweder dieselbe oder eine verschiedene Richtung haben. Wenn zwei gerade Linien dieselbe Richtung haben, so daß sie überall gleich weit von einander abstehen, so heißen sie parallel; wenn aber ihre Richtungen von einander abweichen, so daß sie sich auf einer Seite nähern, aus der andern ent¬ fernen, so heißen sie nicht parallel. Die nicht pa¬ rallelen Linien werden nach jener Richtung hin, wo sie sich nähern, ko uv ergirend, nach der andern Rich¬ tung divergirend genannt. So sind (Fig. 6) und 00 parallele Linien, (Fig. 7) und 0? kon- vergirend, NN und kl) divergirend. Daß L.D mit 6V parallel ist, drückt man so aus: ^8 si 6V. Zwei parallele Linien können, weil sie durchaus gleich weit von einander entfernt bleiben, nie zusam¬ mentreffen, wenn man sie auch noch so weit verlängert; zwei nicht parallele Linien aber müssen, hinlänglich ver¬ längert, sich in einem Punkte durchschneidcn, und zwar auf derjenigen Seite, nach welcher sie konvergiren. Parallele Linien bemerkt man an Häusern, Thu¬ rm, Fenstern u. dgl. Man pflegt in der Ausübung häufig auch solche Linien, welche nicht parallel sind, aber in ihrer Richtung.so wenig abweichen, daß sie sich erst in einer sehr großen Entfernung schneiden, als parallel anzunehmcn. Die Sonnenstrahlen fahren di¬ vergirend aus, aber wegen der Ungeheuern Entfernung der 19 der Sonne von der Erde kann man Sonnenstrahlen, welche auf zwei nahe liegende Orte der Erde auffal¬ len, fast ohne Fehler als parallel betrachten. Wenn man einen Körper fallen läßt, bewegt er sich in der Richtung gegen die Mitte unserer Erde; die Linien, in welchen zwei frei fallende Körper sich bewegen, würden also, wenn man sie verlängern könnte, im Mittelpunkte der Erde zusammenkommen; weil jedoch die Entfernung bis zur Mitte der Erde sehr groß ist, so ist für eine kleine Strecke der Erde die Abweichung in den Richtungen jener beiden Geraden so gering, daß man sie füglich als parallel annehmen darf. 8- 17. Begriff des Winkels. Die Abweichung der Richtungen zweier Geraden, die in einem Punkte Zusammentreffen, heißt ein Win¬ kel; die Geraden, welche den Winkel einschließen, nennet man die Schenkel, und ihren Durchschnitts- Punkt den Scheitel des Winkels. Man bezeichnet einen Winkel entweder durch den Buchstaben am Scheitel, oder durch einen kleinen Buch¬ staben, den man in die Öffnung des Winkels setzt, oder durch drei Buchstaben, wovon zuerst der Buch¬ stabe an dem einen Schenkel, dann der Buchstabe am Scheitel und zuletzt der Buchstabe am andern Schen¬ kel ausgesprochen wird. In dem Winkel (Fig. 8) ist 4 der Scheitel, und ^.0 sind die Schenkel; der Winkel heißt da¬ her: Winkel oder Winkel m, oder Winkel L^rO oder Ein Winkel wird desto größer, je mehr seine Schenkel von einander abweichen. Die Länge der Schen- B2 kel 20 kel hat keinen Einflß ans die Größe eines Winkels, denn wenn die Schenkel noch so weit verlängert werden, so behalten sie doch dieselben Richtungen, also bleibt auch die Abweichung ihrer Richtungen d. i. der von ihnen gebildete Winkel unverändert. 8. 18. Vergleichung zweier Winkel. Um zwei Winkel hinsichtlich ihrer Große mit ein¬ ander zu vergleichen, denke man sich dieselben so über einander gelegt, daß der Scheitel des einen Winkels auf den Scheitel des andern fällt, und daß ein Schen¬ kel des einen längs einem Schenkel des andern zu liegen kommt. Sodann sehe man auf die Lage der bei¬ den andern Schenkel. Fallen diese nicht zusammen, so sind die beiden Winkel ungleich, und zwar ist der¬ jenige aus ihnen der kleinere, dessen zweiter Schenkel zwischen den Schenkeln des andern Winkels liegt. Wenn aber die Schenkel der beiden Winkel in einander fal¬ len, so sind diese Winkel einander gleich; und umge¬ kehrt: wenn zwei Winkel einander gleich sind, so müs¬ sen sie sich so über einander legen lassen, daß ihre Schenkel in einander fallen. Winkel, deren Schenkel nach derselben Seite parallel laufen, sind einander gleich; denn die Schenkel haben gleiche Richtungen, also ist auch die Abweichung der Richtungen in beiden Win¬ keln dieselbe. Ist (Fig. !)) 4vsvL, und 46^06, so ist der W. «46 - 6Dj . D» 8. 19. Entstehung der Winkel durch die drehende Bewegung. Einen Winkel kann man sich auch durch die dre¬ hen- 21 hende Bewegung einer Geraden entstanden denken. Dreht sich die Gerade 48 (Fig. 10) um den einen ihrer Endpunkte .4., bis sie nach und nach in die La¬ gen 4(1, 4V , 4tK , ... zu stehen kommt, so sieht man, daß sie von ihrer ursprünglichen Lage 411 immer mehr abweicht; die Große dieser Abweichung ist nun der Winkel. Die drehende Bewegung ist von der fort¬ schreitenden wesentlich verschieden; während man durch die fortschreitende Bewegung einer Geraden ohne Ende zu immer neuen Lagen kommt, führt die dre¬ hende Bewegung nur so lange aus neue Lagen, bis eine volle Umdrehung vollendet ist, d. h. bis die Ge¬ rade wieder in ihre ursprüngliche Lage gekommen ist; durch weitere drehende Bewegung wiederholen sich die Lagen, welche schon bei der ersten Umdrehung durch¬ laufen wurden. Die ganze Umdrehung gibt also den größten an einem Scheitel möglichen Winkel; bei ihm fallt der zweite Schenkel mit dem ersten zusammen. 8. 20. Gerade, hohle, erhabene Winkel. Betrachtet man die verschiedenen Lagen, in welche die Gerade 4.11 während einer ganzen Umdrehung kommt, so bemerkt man sehr verschiedene Winkel, denen man auch verschiedene Namen beilegt. Hat die Gerade die Hälfte von der ganzen Um¬ drehung gemacht, wo sie also in die Lage 4k gekom¬ men ist, so haben die beiden Schenkel 4L und 4k gerade entgegengesetzte Richtung, und liegen in einer geraden Linie; ein solcher Winkel 114k heißt, darum ein L2 ein gerader. Ein gerader Winkel ist also der¬ jenige, dessen beide Schenkel gerade entgegengesetzte Richtung haben, und daher in einer geraden Linie liegen. Ein Winkel, zu dessen Entstehung weniger als die halbe Umdrehung nvthig ist, heißt ein hohler, z. B. LE, LE, LE Ein hohler Winkel ist also kleiner als ein gerader. Ein Winkel, zu dessen Beschreibung mehr als eine halbe Umdrehung erforderlich ist, heißt ein er¬ habener, z. B. LE. Ein erhabener Winkel ist also größer als ein gerader. 8- 21. Rechte, spitzige, stumpfe Winkel. Da in der Geometrie meistens nur hohle Winkel vorkommen, so werden dieselben wieder besonders untergetheilt. Ein hohler Winkel, zu dessen Erzeugung genau der vierte Theil einer Umdrehung nvthig ist, heißt ein rechter, wie LE. Ein rechter Winkel ist also die Hälfte eines geraden. Um einen rechten Winkel zu erhalten, braucht man nur irgend ein Stück Papier zweimal so zu¬ sammen zu legen, daß die Buglinien genau auf ein- ander fallen. Ein hohler Winkel, zu dessen Entstehung weni¬ ger als der vierte Theil einer Umdrehung nöthig ist, heißt ein spitziger, z. B..LE. Ein spitziger Win¬ kel ist daher kleiner als ein rechter. Ein hohler Winkel LE, zu dessen Erzeugung mehr als der vierte Theil einer Umdrehung erfordert Wird, heißt ein stumpfer. Ein stumpfer Winkel ist al- — 23 — also größer als ein rechter, aber kleiner als ein gerader. Statt des geraden Winkels pflegt man gewöhn¬ lich zwei Rechte, statt des durch die ganze Umdre¬ hung erzeugten vier Rechte zu sagen. Aus dieser Erklärung folgt: 1. Alle Winkel, welche auf einer Seite einer Geraden um denselben Scheitel herum neben einander liegen, betragen zusammen immer zwei Rechte. 2. Alle Winkel, welche um einen Punkt herum neben einander liegen, betragen - zusammen genommen immer vier Rechte. 8. 22. Senkrechte und schiefe Gerade. Wenn eine Gerade auf einer andern Geraden so aufstcht, daß sie sich weder auf der einen noch auf der andern Seite zu ihr hinneigt, so sagt man, sie steht auf ihr senkrecht. Man kann auch sagen: eine Gerade steht auf einer andern senkrecht, wenn sie mit ihr zwei gleiche Winkel bildet. Wenn eine Gerade mit einer andern zwei un¬ gleiche Winkel bildet, so steht sie aus ihr schief. Wenn (Fig. 11) der Winkel 400 — «00 ist, so ist 00 senkrecht auf 4V, was man so bezeichnet: 00 4V; dagegen steht 00 auf 4« schief. Eine Senkrechte bildet also mit der Geraden, worauf sie senkrecht steht, zwei rechte Winkel; eine Schiefe bildet mit der andern Geraden einen spitzigen und einen stumpfen Winkel. Die Senkrechte wird auch Loth oder Perpen¬ dikel genannt. Be-- — 24 Besonders merkwürdig sind solche zwei Senk¬ rechte, deren eine vertikal, die andere horizon¬ tal ist. Eine vertikale Linie ist nämlich diejenige, die ein unten mit einem kleinen Gewichte beschwerter Faden anzeigt; jede daraus senkrechte Gerade heißt horizontal. An was für Gegenständen bemerkt man vertikale und horizontale Linien? 8. 23. Messen der Winkel. Bei der Messung deG Winkel wird irgend ein bekannter Winkel als Einheit angenommen, und dann untersucht, wie oft dieser als Einheit angenommene Winkel in dem zu messenden enthalten ist. Die Einheit des Winkelmaßes ist der rechte Winkel. Nm jedoch auch kleinere Winkel messen zu können, nimmt man gewöhnlich den neun¬ zigsten Theil eines rechten Winkels, nämlich einen Grad, als Maß an. Zur Vorstellung eines Winkel¬ grades gelangt man am leichtesten durch die Einthei- lung des Kreises. Wenn man den Umsang eines Krei¬ ses in 360 gleiche Bogen theilt, so wird jeder solche Theil ein Grad sehn. Denkt man sich nun zu jedem Theilungspunkte einen Halbmesser gezogen, so entste¬ hen um den Mittelpunkt herum 360 kleine Winkel, welche alle unter einander gleich sind, weil bei je zweien, wenn sie über einander gelegt werden, die Schenkel zusammen fallen. Jeder solche Winkel, der einem Bogengrade entspricht, wirb nun auch ein Grad, und zwar ein Winkel grad genannt. Jeder Wwkelgrad wird in 60 kleinere Winkel, welche man Mi- 25 Minuten nennt; und jede Minute wieder in 60 Winkelchen, welche Sekunden heißen, eingetheilt. Die Bezeichnung der Grade, Minuten, Sekunden bei den Winkeln ist dieselbe, wie bei den Bogen. Die Größe eines Winkels ist vollkommen bestimmt, wenn man angibt, wie viel Grade und Gradtheile er enthält. Aus dem Vorhergehenden folgt: 1. Ein hohler Winkel enthält immer weniger als 180", und zwar insbesondere ein spitziger weniger als 90", ein rechter 90", ein stumpfer mehr als 90". 2. Ein gerader Winkel hat 180". 3. Ein erhabener Winkel enthält mehr alö 180". 24. Gebrauch des Transporteurs. Der Transporteur (Fig. 5) dient, um Win¬ kel auf dem Papiere zu messen, und um Winkel auf das Papier aufzutragen; jedoch beides nur dann, wenn cs sich dabei um keine große Genauigkeit handelt. 1. Um einen Winkel auf dem Papiere zu mes¬ sen, d. h. um zu bestimmen, wie viel Grade ein aus dem Papiere verzeichneter Winkel enthält, setzt man den Mittelpunkt des Transporteurs so über den Schei¬ tel des Winkels, daß der Halbmesser über den einen Schenkel zu stehen kommt; dann zählt man von die¬ sem Halbmesser angefangen die Grade bis zu jenem Theilstriche, durch welchen der zweite Schenkel durch¬ geht; die daselbst stehende Zahl zeigt an, wie viel Grade jener Winkel enthält. — Ist der zu messende Winkel ein erhabener, so mißt man mit dem Trans¬ porteur nur den Überschuß über 180"; man legt näm¬ lich den einen Halbmesser so auf den einen Schenkel des 26 des Winkels, daß der andere Schenkel in die Fläche des Transporteurs fällt; dann zählt man die Grade von dem andern Halbmesser angefangen bis zu dem Theilpunkte, den der zweite Schenkel abschneidet; ad- dirt man diese Grade zu 180", so hat man die ge¬ suchte Große des Winkels. 2. Um einen Winkel aufs Papier aufzutra¬ gen, d. i. um einen Winkel zu verzeichnen, welcher eine gegebene Anzahl Grade enthält, lege man den Mittelpunkt des Transporteurs über jenen Punkt, wo¬ hin der Scheitel, und den Halbmesser über jene Ge¬ rade, in welche ein Schenkel des Winkels fallen soll; dann bemerke man den Thcilstrich, bei welchem die gegebene Anzahl Grade, vchr jenem Halbmesser an ge¬ zählt, stehet; zieht man durch den Scheitel und diesen Thcilstrich eine Gerade, so ist der verlangte Winkel verzeichnet. — Enthält der zu verzeichnende Winkel mehr als 180°, so ziehe man zuerst 180° davon ab, dann lege man den einen Halbmesser des Transpor¬ teurs gehörig über die Gerade, in welche ein Schen¬ kel fallen soll, bemerke den Ort, wo die übrig geblie¬ bene Anzahl Grade, von dem zweiten Halbmesser an gerechnet, zu lesen ist, durch einen Punkt, und ziehe dadurch den andern Schenkel. 8^25. Nebenwinkel. Zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemeinschaftlichen Schenkel haben, und deren beide an¬ dern Schenkel in Einer geraden Linie liegen, heißen Nebenwinkel; sie entstehen, wenn ein Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus verlängert wird. So ist (Fig. 11) ^06 ein Nebenwinkel von L06, und H.OO ein Nebenwinkel von LOO. Da 27 Da alle Winkel, welche auf einer Seite einer Geraden um denselben Scheitel herum neben einander liegen, zusammen zwei Rechte oder 180° betragen, so gilt von den Nebenwinkeln der Satz: Je zwei Nebenwinkel betragen zusam¬ men genommen zwei Rechte oder 180°. Aus diesem Satze folgt: 1. Ein rechter Winkel hat einen rechten Nebenwin¬ kel, ein spitziger Winkel einen stumpfen, und ein stumpfer einen spitzigen; was sich auch schon aus der bloßen Anschauung ergibt. 2. Wenn ein Winkel bekannt ist, so findet man sei¬ nen Nebenwinkel, wenn man den bekannten Winkel von 180°- abzieht. Ist z. B. der Winkel (Fig. 12) gleich 58", so ist der Nebenwinkel 180° — 58° — 122°. 3. Gleiche Winkel haben auch gleiche Nebenwinkel. §. 26. Scheitelwinkel. Zwei Winkel, welche von denselben zwei geraden Linien auf entgegengesetzten Seiten ihres Durchschnitts- Punktes gebildet werden, heißen Scheitelwinkel; sie entstehen, wenn beide Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus verlängert Mrden. So ist (Fig. 13) a der Scheitelwinkel von a, und b der Scheitelwinkel von 0. Da zwei Scheitelwinkel von denselben zwei Gera¬ den gebildet werden, und diese auf der einen Seite ihres Dürchschnittspunktes eben so von einander abweichen, als auf der andern, so ergibt sich hinsichtlich der Schei¬ telwinkel folgender Satz: Je zwei Scheitelwinkel sind einander 28 Dieser Satz kommt häufig in Anwendung, wenn man die Größe eines Winkels a, dessen Inneres unzu¬ gänglich ist, z. B. den Winkel, den zwei Mauern eines Gartens oder eines Hauses bilden, von Außen messen will. Man legt zu diesem Ende längs der beiden Mauern zwei Latten, die über den Scheitel des Winkels a her- vorragcn, und auf der Außenseite einen Scheitelwinkel von s, nämlich den Winkel c bilden; diesen Winkel kann man nun wirklich messen, und seine Große ist zu¬ gleich die gesuchte Größe von a. Könnte die Größe von n nicht auch mit Hülfe des Satzes von den Nebenwinkeln bestimm werden? §. 27. Gegen- und Wechselwinkel. Wenn zwei gerade Linien von einer dritten ge¬ schnitten werden, so entstehen um die beiden Durch¬ schnittspunkte acht Winkel. Die vier Winkel, welche zwischen den beiden geschnittenen Geraden liegen, heißen innere, die andern vier aber äußere Winkel. So sind (Fig. 14) LL und 6V die beiden geschnittenen Geraden, Lk ist die Schneidende; c, , c werden wir am sichersten erhalten, wenn wir alle drei neben ein¬ ander um denselben Scheitel herum anbringen. Es sei 6 dieser gemeinschaftliche Scheitelnder Winkel v liegt schon an demselben, man braucht also am Scheitel 6 nur noch zwei Winkel anzubringen, die so groß sind als a und b. Zu diesem Ende zieht man durch den Punkt 6 die VL 4», wo dann ck so groß als sein Wcchselwinkel a, und 6 so groß als sein Wechselwinkel d ist. Die Summe der Winkel a, b, e wird offenbar eben so groß scyn, als die Summe der Winkel ck, c, v; die Winkel <1, e, « betragen nun zusammen 1 80°; also müssen auch a, d, o zusammen 180° betragen. Die 38 — Die Summe aller Winkel eines Dreieckes ist also 186° oder zwei Rechte. l Aus diesem Lehrsätze folgt: ! 1. In einem Dreiecke kann nur Ein Winkel em rechter, und nur Ein Winkel ein stumpfer scyn; jedes Dreieck hat daher wenigstens zwei spitzige Winkel. 2. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel bekannt sind, so findet man den dritten, wenn man die beiden gegebenen Winkel addirt, und ihre Summe von 180° abzieht. Ist z. B. ein Winkel 65°, der andere 87°, so ist ihre Summe 152°, daher der dritte Winkel 180° — 152° — 28°. 3. Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich zwei Winkeln eines andern Dreieckes, so müssen auch die dritten Winkel in beiden Dreiecken gleich scyn. 4. Winkel, deren Schenkel auf einander senkrecht stehen, find einander gleich, sobald beide spitzig oder beide stumpf sind. Es sei (Fig. 20) NX -l_ .411 und NO ; so ist zu beweisen, daß die spitzigen Winkel N und gleich sind. Zu diesem Ende betrachtet man die zwei Dreiecke N01> und .4Xk; es find in demselben die Winkel an als Scheitelwinkel gleich, die Winkel v und X sind als rechte gleich; daher müssen auch die dritten Winkel gleich scyn, nämlich N — In Hinsicht der Winkel werden die Dreiecke in spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige ein- getheilt. Spitzwinklig heißt ein Dreieck .4L0, wenn alle Winkel spitzig sind(Fig.21); rechtwinklig, wenn Ein Winkel ein rechter ist (Fig. 22); stumpfwinklig, wenn Ein Winkel ein stumpfer ist (Fig 23). — Im rechtwinkligen Dreiecke heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite LO die Hypothenuse; die bei- 39 beiden Seiten .48 und ^46, welche den rechten Winkel einschließen, werden Katheten genannt. Um ein beliebiges recht- oder stumpfwinkliges Dreieck zu verzeichnen, braucht man nur einen rechten oder stumpfen Winkel zu bilden, und durch zwei Punkte seiner Schenkel eine gerade Linie zu ziehen. Wenn man in einem rechtwinkligen Dreiecke eine Kathete als Grundlinie annimmt, so stellt die andere Kathete selbst die Höhe vor. Wird in einem stumpfwinkligen Dreiecke eine der Seiten, welche den stumpfen Winkel cinschließen, z. B. .4.8 als Grundlinie angenommen, so kann die von der Spitze auf die Grundlinie gezogene Senkrechte nicht innerhalb des Dreieckes hineinfallen, weil man sonst ein Dreieck mit einem stumpfen und einem rechten Win¬ kel erhielte, was nicht möglich ist; die Höhe 60 wird also außerhalb des Dreieckes liegen, und es muß die Grundlinie -48 über -4 hinaus verlängert werden. II. Das Viereck. 8. 35. Allgemeine Eigenschaften. Ein Viereck ist eine von vier geraden Linien cin- geschlossene Figur. Die Gerade 80 (Fig. 24), welche zwei gcgen- überstehende Endpunkte verbindet, heißt eine Diagonale. Wie viele Diagonalen können in einem Vierecke gezogen werden? Wenn man die Winkel eines vorgezeichnetcn Vier¬ eckes mißt und addirt, so bekommt man, kleine Fehler abgerechnet, 360" zur Summe. Dieses führt auf fol¬ genden Lehrsatz. In 40 In einem Vierecke beträgt die Summe aller Winkel 360°, oder vier Rechte. Daß dieser Satz allgemein giltig ist, läßt sich aus dem in Bezug aus die Winkel eines Dreieckes erwie¬ senen Satze herleiten. Zieht man in dem Vierecke ^KOv (Fig. 24) eine Diagonale KV, so zerfällt das¬ selbe in zwei Dreiecke, und es betragen alle Winkel des Viereckes eben so viel als die Winkel beider Drei¬ ecke zusammen genommen; die Winkel in jeder der zwei Dreiecke betragen nun 180° oder zwei Rechte, also die Winkel des Viereckes 360° oder vier Rechte. Wenn in einem Vierecke alle vier Winkel gleich sind, so ist jeder von ihnen 90° oder ein Rechter. §. 36. Eintheilung der Vierecke. Wenn man bei den Vierecken auf die w c ch s e l- seitige Lage der Seiten Rücksicht nimmt, so kommt man auf drei verschiedene Fälle: es ist möglich, daß keine Seite mit einer andern parallel ist; daß zwei gegenüberstehende Seiten parallel sind, die zwei an¬ dern aber nicht; oder daß jede zwei gegcnüberstehende Seiten parallel sind. Ein Viereck, worin keine Seite mit einer andern parallel ist, heißt einTrapezoid (Fig 24); ein Viereck, worin nur zwei gegenüberstchcnde Seiten parallel sind, die zwei andern aber nicht, heißt ein Tr ap e z (Fig. 25); ein Viereck endlich, in welchem je zwei gegenüberste¬ hende Seiten parallel sind, wird einParallelvgramm genannt (Fig. 26). Die Parallelogramme werden mit Rücksicht auf die Größe der Seiten und der Winkel in mehrere Arten untergetheilt. Ein 41 Ein Parallelogramm 4vlll), in welchem weder alle Seiten noch alle Winkel gleich sind, heißt einRhomboid (Fig. 24); ein Parallelogramm, worin alle Seiten gleich sind, ein R ho m b u s (Fig. 27); ein Parallelogramm, worin alle Winkel gleich sind, cin R e chteck (Fig. 28); ein Parallelogramm endlich, in welchem alle Seiten und alle Winkel gleich sind, ein Quadrat (Fig. 29). In einem Rechtecke ist jeder Winkel ein Rechter; im Rhomboid und Rhombus kommen nur spitzige und stumpfe Winkel vor, darum werden diese zwei Figuren auch schiefwinklige Parallelogramme genannt. In einem Trapeze stellt der Abstand der beiden parallelen Seiten I)L (Fig. 25) die Höhe vor. In einem schiefwinkligen Parallelogramme kann man was immer für eine Seite als Grundlinie an¬ nehmen : die Senkrechte, die darauf von der gegen¬ überstehenden Seite gefällt wird, ist dann die Höhe. Nimmt man im Rhomboid (Fig. 26) die Seite 4Ii als Grundlinie an, so ist Obl die Höhe. In einem Rechtecke wird von zwei zusammensto¬ ßenden Seiten die eine als Grundlinie angenommen, die andere ist die Höhe. M. Das Vieleck. 37. Allgemeine Eigenschaften. Jede geradlinige Figur wird auch ein Vieleck oder Polygon genannt. Die Vielecke werden nach der Anzahl ihrer Seiten in dreiseitige oder Dreiecke, vierseitige oder Vierecke, fünfseitigc oder Fünfecke u. s. w. eingetheilt. Je- 42 Jede gerade Linie, welche zwei nicht unmittel¬ bar auf einander folgende Eckpunkte des Vieleckes ver¬ bindet, heißt Diagonale. Wie viele Diagonalen kann man in einem Dreiecke ziehen, wie viele in einem Vier-, Fünf-, Sechsecke u. s. w.? Wie groß das Maß aller Winkel eines Vieleckes (Fig. 30) zusammen ist, wird man am sichersten finden, wenn man dasselbe in Dreiecke zer¬ legt. Zu diesem Ende nehme man irgendwo im Innern des Vieleckes einen PunktO an, und ziehe von diesem zu allen Eckpunkten gerade Linien. Dadurch erhält man so viele Dreiecke, alö das Vieleck Seiten hat; die Win¬ kel eines solchen Dreieckes betragen 2 Reckte, daher die Winkel aller Dreiecke 2mal so viel Rechte, als Dreiecke da find, also 2mal so viel Rechte als das Vieleck Seiten hat. Unter diesen Winkeln der Dreiecke kommen nun alle Vicleckswinkel vor, aber überdies auch noch die Winkel um den Punkt O herum, die nicht zum Vielecke gehören, und die zusammen 4 Rechte betragen. Um da¬ her bloß die Summe der Vicleckswinkel zu bekommen, muß man von der Winkelsumme aller Dreiecke noch 4 Rechte abziehcn. Daraus folgt: In jedem Vielecke betragen alle Winkel zusammen zweimal so viel Rechte, als das Vieleck Seiten hat, weniger vier Rechte. In einem Fünfecke betragen alle Winkel 2mal 5 Rechte weniger 4 Rechte, d. i. 6 Rechte oder 540°; in einem Sechsecke betragen sie zweimal 0 Rechte weniger 4 Rechte, d. i. .8 Rechte oder 72t-"; u. s. w. §. 38. Besondere Arten der Vielecke. . Ein Vieleck, dessen alle Seiten gleich sind, heißt gleichseitig; hat das Vieleck alle Winkel gleich, so heißt 43 heißt es gleichwinklig; sind alle Seiten unterein¬ ander, und auch alle Winkel untereinander gleich, so wird dasVielcck ein regelmäßiges oder reguläres genannt. So ist z. B. der Rhombus ein gleichseitiges, das Rechteck ein gleichwinkliges, das Quadrat ein re¬ guläres Viereck. -- Wie man regelmäßige Vielecke am leichtesten ver¬ zeichnet, wird bei der Lehre vom Kreise angeführt werden. Weil in einem regelmäßigen Vielecke alle Winkel gleich sind, so findet man die Größe eines derselben, wenn man zuerst die Summe aller Winkel bestimmt, und diese Summe durch die Anzahl der Winkel dividirt. So beträgt ein Winkel des regulären Dreieckes . . 60°, „ „ Viereckes . . 90°, „ „ Fünfeckes . . 108°,^ „ „ Sechseckes . . — 120°, u. s. w. >—»Stcs'— Drittes Hauptstück. Kongruenz der geradlinigen Figuren, I. Kongruenz der Dreiecke. 39. ..' Kongruenz fälle. Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sic dieselbe Größe und dieselbe Form haben. Da zwei kongruente Dreiecke, wenn sic über einander gelegt werden, in allen ihren Grenzen zusammcnfallcn und einander vollkommen decken müssen; so müssen die glcichliegenden Seiten und Win- 44 Winkel in beiden Dreiecken gleich seyn. In kongru¬ enten Dreiecken müssen also die Seiten, welche den gl eich enWinkeln gegenüberliegen, gleich seyn; und eben so müssen dieWinkel, welche den gleichen Seiten gegenüberliegen, gleich seyn. Es ist nicht nöthig, daß man von allen sechs Stücken zweier Dreiecke wisse, daß sie gleich sind, um auf die Kongruenz der Dreiecke schließen zu können; es gibt Fälle, wo man schon daraus, daß beide Dreiecke nur einige Stücke gleich haben, auf ihre Kongruenz und somit auf dieGleichheit der noch übrigen Stücke schließen kann. Diese Fälle heißen Kongru enz fälle. Es sind vorzüglich folgende: 1. Wenn in zwei Dreiecken eine Seite und die ihr anliegenden Winkel wechselsei¬ tig gleich sind, so sind die beiden Dreiecke kongruent. Um dieses zu beweisen, nehmen wir an, daß (Fig. 3l.) die Seite 41t — VO, der Winkel 4^v und 8 — 0 ist (die gleichen Seiten sollen in der Fi¬ gur durch Striche, die gleichen Winkel durch Bögen angedeutet werden). Es ist zu zeigen, daß das Dreieck .480 mit dem Dreiecke VO0 kongruent ist, oder, daß die beiden Dreiecke über einander gelegt sich voll¬ kommen decken. — Man denke sich das Dreieck 480 so auf das Dreieck V00 gelegt, daß die Punkte 4 und 8 genau in die Punkte v und L fallen, was möglich ist, da 48 — 1)0 ist. Weil der Winkel 4 — 0, so muß dann auch die Seite 40 längs der Seite 1)0 fallen; und weil der Winkel 8^-0 ist, muß auch die Seite 80 längs der Seite 00 fallen. Wenn aber die Seiten 40 und 80 genau längs der Seiten 00 und KO zu liegen kommen, so muß gewiß auch 45 auch der Durchschnittspunkt 6 der erstem in den Durch¬ schnittspunkt k der letztem fallen. Die beiden Dreiecke lassen sich also so über einander legen, daß sie in allen ihren Grenzen zusammenfallen, folglich sind sie kon¬ gruent , oder es ist das Dreieck 486 OLk. 8- 40. 2. Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel wechselseitig gleich sind, so sind die beiden Dreiecke kongruent. Es sei (Fig. 32) die Seite 46 — vk, die Seite 86 --- üb', und der Winkel 6— k'; so ist zu beweisen, daß das Dreieck 480 VLk' ist. — Man denke sich das Dreieck 480 so über das Dreieck VLk gelegt, daß der Punkt 6 in den Punkt k, und die Seiten 6.4 und 68 längs den Seiten V0 und kL fallen, was möglich ist, da nach der Voraussetzung der Winkel 6 — k ist. Da ferner die Seite 6.4 — k°I> ist, so muß auch der Punkt .4 in den Punkt 0 fallen; und da eben so die Seite 68 —b'L ist, muß auch der Punkt 8 in 8 fallen; daher muß auch die Seite 48 auf die Seite VL zu liegen kommen. Die beiden Dreiecke decken sich also vollkommen^ und sind daher kongruent. 41. 3. Wenn in zwei Dreiecken alle drei Seiten wechselseitig gleich sind, so sind die beiden Dreiecke kongruent. Die Voraussetzung ist hier: es sei (Fig. 33) die Seite .48 VV, die Seite 40 — Ob", und die Seite 80 -- 8^; zu beweisen ist, daß unter dieser Voraussetzung das Dreieck 486 VLb ist. — Man be- — 46 — beschreibe aus 4 mit dem Halbmesser >40 den Kreis¬ bogen mn, und aus 8 mit dem Halbmesser 80 den Dogen pg, so durchschneiden sich diese beiden Bogen im Punkte 0. Ferner beschreibe man aus 0 mit dem Halbmesser LL den Bogen r», und aus L mit dem Halbmesser LI? den Bogen tu, so durchschneiden sich diese zwei Bogen im Punkte L. Nun denke man sich das Dreieck 480 mit seinen Kreisbogen so auf DKL gelegt, daß die Punkte 4 und 8 in die Punkte v und L fallen, was möglich ist, da nach der Voraus¬ setzung die Seite 48 — OK ist. Weil ferner die Seite 40 — VL ist, so muß auch der Bogen ma in den Bogen rs, und wegen 80 KL, auch der Bogen pg in den Bogen tu fallen. Wenn aber die Bogen mn und pq genau auf die Bogen rs und tu zu liegen kommen, so muß auch der Durchschnittspunkt der er¬ ster«, nämlich 6, in den Durchschnittspunkt L der letztem fallen. Die beiden Dreiecke fallen also in allen Hren Grenzen zusammen, und sind somit kongruent. 8. 42. In Hinsicht der rechtwinkligen Dreiecke fin¬ det noch folgender Kongruenzfall Statt: Wenn in zwei rechtwinkligen Dreiecken die Hypothenuse und eine Kathete gleich sind, so sind die beiden Dreiecke kongruent. Es sei (Fig. 34) die Hypothenuse 80 — LL, und die Kathete 48 — VL. Man beschreibe aus 8 mit dem Halbmesser 86 den Bogen m», welcher die Kathete .40 im Punkte 0 durchschneidet ; eben so be¬ schreibe man aus L mit dem Halbmesser Dl? den Bo¬ gen pg, welcher die Kathete 81? im Punkte L durch¬ schneidet. Nun lege man das Dreieck 48s) mit seinem Bogen so auf das Dreieck DLL, daß die Punkte 4 47 und L in die Punkte v und 14 fallen, was möglich ist, weil nach der Voraussetzung 4B — VC seyn soll. Da die Winkel 4. und o als rechte einander gleich sind, so muß die Kathete .46 längs der VC, und weil l!0 — LC ist, auch der Bogen mn in den Bogen pq fallen; es muß daher auch der Durch schnitispunkt von 4.6 und mu, nämlich 6, in den Durchschnittspunkt C von VC und pg fallen. Die beiden Dreiecke werden sich also vollkommen decken, und sind demnach kongruent. §. 43. Bestimmende Stücke eines Dreieckes. Da kongruente Dreiecke gleiche Größe und gleiche Form haben müssen, so folgt, daß durch die Stücke, aus deren Gleichheit man auf die Kongruenz zweier Dreiecke schließen kann, die Größe und die Form eines Dreieckes vollkommen bestimmt wird. Die Stücke, welche ein Dreieck vollkommen bestimmen, werden be¬ stimmende Stücke genannt. Die bestimmenden Stücke eines Dreieckes sind daher: 1) eine Seite und die beiden anliegenden Winkel; 2) zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel; 3) alle drei Seiten. Ein rechtwinkliges Dreieck ist überdies noch voll¬ kommen bestimmt, wenn die Hypothenuse und eine Kathete gegeben sinv. Aus den bestimmenden Stücken läßt sich nur ein Dreieck von bestimmter Form und Größe ver¬ zeichnen. §. 44. 48 8. 44. Aufgaben. 1. Mit einer Seite und den beiden an¬ liegenden Winkeln ein Dreieck zu ver¬ zeichnen. Da die Aufgaben einen so wichtigen Be- standthcil der geometrischen Lehren bilden, so wird cs hier am rechten Orte seyn, einige allgemeine Bemerkungen darüber anzubringen. Eine Ausgabe ist ein Satz, wodurch man ver¬ langt, daß etwas geschehen soll. Jede Aufgabe er¬ fordert eine Auflösung, d. i. die Angabe deS Verfahrens, wodurch das in der Aufgabe Ver¬ langte ausgeführt wird. Die Auflösungen geome¬ trischer Aufgaben bestehen meistens in Zeichnun¬ gen oder Coustructionen. Geschieht die Auf¬ lösung nur mittelst des Zirkels und Lineals, und gründet sie sich auf die Sätze der Geometrie, so heißt sie eine geometrische Auflösung; gebraucht man aber andere Mittel, z. B. den Transporteur, oder beruhet die Zeichnung auf bloßen Versuchen, so geschieht die Auflösung mechanisch. Die geometrische Auflösung der Aufgaben wird entweder unmittelbar aus dem Begriffe der Bedingungen, welche in der Aufgabe Vorkommen, hcrgeleiret, oder sie wird auf bereits bewiesene Lehrsätze gestützt. Im zweiten Falle muß überlegt werden, ob nicht Lehrsätze vorgekommen sind, in denen das in der Ausgabe Verlangte als Folgerung erscheint; die Voraussetzung eines solchen Lehrsatzes zeigt sodann den Weg zur Auflösung. Bei der vorliegenden Aufgabe ergibt sich die Auf¬ lösung aus dem Sinne der Aufgabe selbst. Man ziehe nämlich eine Gerade (Fig. 31), welche der ge¬ gebenen Seite AM gleich ist, und trage in ihren End- 49 Endpunkten die beiden bekannten anliegenden Winkel, hier 73° und 60°, auf; ihre Schenkel und »6 werden sich in einem Punkte 6 schneiden, und das ver¬ langte Dreieck ist verzeichnet. Können die zwei gegebenen Winkel jede beliebige Größe haben? 2. Mit zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel ein Dreieck zu verzeichnen. Man verzeichne einen Winkel 468 (Fig. 32), welcher dem gegebenen Winkel, hier 46° 'gleich ist, dann schneide man von den Schenkeln Stücke ab, welche den gegebenen Seiten 4IX und ks) gleich sind, und verbinde die Endpunkte 4 und 8 durch eine Gerade. 3. Mit drei Seiten ein Dreieck zu ver¬ zeichnen. Man ziehe eine Gerade 48 (Fig. 33), welche der einen Seite L-M gleich ist, beschreibe aus einem Endpunkte 4 mit der zweiten Seite ktz als Halb¬ messer einen Bogen pq, und aus dem andern Endpunkte 8 mit der dritten Seite 88 ebenfalls einen Bogen inn, welcher den früher» in einem Punkte 6 durchschneidet; zieht man nun von diesem Durchschnittspunkte gerade Linien an die beiden Endpunkte der gezogenen Ge¬ raden , so erhält man das verlangte Dreieck. Können hier die drei Seiten jede beliebige Größe haben? 4. Ein rechtwinkliges Dreieck zu ver¬ zeichnen, wenn die Hypothenuse und eine Kathete bekannt sind. Man zeichnet zuerst einen rechten Winkel 4 (Fig. 34), schneidet dann von dem einen Schenkel ein Stück 48 ab, welches der gegebenen Kathete gleich ist, Gcomttrie. D und 50 und beschreibe aus dem Endpunkte 8 mit der Hypo¬ tenuse 86 — >1X als Halbmesser einen Bogen, welcher den andern Schenkel in 6 durchschneidet; zieht man nun von diesem Durchschnittspunkte zu dem Endpunkte des erstem Schenkels die Gerade 68, so ist das recht¬ winklige Dreieck verzeichnet. §. 45. 5. Ein Dreieck zu bilden, das mit einem gegebenen Dreiecke kongruent ist. Dieses geschieht offenbar dadurch, daß man ent¬ weder eine Seite und die ihr anliegenden Winkel, oder zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel, oder alle drei Seiten in dem zu verzeichnenden Drei¬ ecke so groß macht als in dem gegebenen. Das letzte ist am einfachsten. Man trägt also zuerst eine Seite des gegebenen Dreieckes auf, und beschreibt aus ihren Endpunkten mit den beiden andern Seiten Bogen, welche sich schneiden; der Durchschnitt ist der dritte Winkelpunkt des gesuchten Dreieckes. 6. Einen Winkel zu verzeichnen, der einem gegebenen Winkel gleich ist. Man könnte den gegebenen Winkel messen, und dann einen Winkel verzeichnen, der die gefundene An¬ zahl Grade und Gradthcilc enthält. Einfacher und richtiger läßt sich diese Aufgabe mit Hilfe der Kongruenzsätze auflösen. Wir wissen, daß in kongruenten Dreiecken die Winkel, welche den gleichen Seiten gegenüberlicgen, gleich sind. Um daher einen Winkel zu erhalten, der einem verzeichneten Winkel 8^6 (Fig. 35) gleich ist, braucht man nur die Schenkel dieses Winkels durch eine 51 eine Gerade NN zu schneiden, so daß ein Dreieck entstehet, und aus den drei Seiten dieses Drei¬ eckes ein anderes Dreieck vk'L zu bilden; der Winkel v muß dann dem Winkel gleich seyn. Kürze halber nimmt man zwei Seiten des ersten Dreieckes gleich an, und die ganze Auflösung gestaltet sich auf fol¬ gende Art: Man ziehe eine Gerade vbl; dann beschreibe man aus mit einem beliebigen Halbmesser einen Bogen, welcher die Schenkel des gegebenen Winkels in Ll und N schneidet; mit demselben Halbmesser be¬ schreibe man auch aus v einen Bogen, welcher die Gerade VL in L durchschneidet; endlich fasse man mit dem Zirkel den Abstand NX, und durchschneide da¬ mit aus kl den von v aus beschriebenen Bogen in k' ; zieht man nun vk , so ist k'DIL der verlangte Winkel. H. Anwendung der vorgetragenen Kongruenz¬ fälle auf das gleichschenklige Dreieck. 46. In Beziehung auf die gleichschenkligen Dreiecke lassen sich folgende Sätze erweisen: 1. Wenn man über einer geraden Linie zwei gleichschenklige Dreiecke, auf der¬ selben oder auf entgegengesetzten Seiten verzeichnet, und durch die Scheitel eine Gerade zieht; so halbirt diese erstlich die Winkel an den Scheiteln, sic halbirt zwei¬ tens die gemeinschaftliche Grundlinie, und steht endlich auf der Grundlinie senkrecht. Um sich von der Nichtigkeit dieses Satzes, dessen Bedeutung aus einer einfachen Anschauung klar wird, D 2 zu 52 zu überzeugen, nehmen wir an, daß (Fig. 36) das Dreieck ^80 gleichschenklig, daß nämlich ^40 — 80 ist; ferner, daß auch das Dreieck ^80 gleichschenklig, daß nämlich — 8!) ist; und ziehen durch die Scheitel 0 und v die Gerade 00. Hier ist erstlich zu beweisen, daß die Verbindungs¬ linie 00 die Winkel an den Scheiteln halbirt, d. h. daß der Winkel a — b, und e — ck ist. Zu diesem Ende müssen wir zeigen, daß diese Winkel in kon¬ gruenten Dreiecken den gleichen Seiten gegenüberliegen. Die vier genannten Winkel liegen in den zwei Dreiecken ^Ov und 800; in diesen ist die Seite 00 gemeinschaftlich, ferner vermöge der Voraussetzung ^0 — 86, und .40 — 8Ü; in den beiden Dreiecken sind also alle drei Seiten wechselseitig gleich, folglich sind sie kongruent. In kongruenten Dreiecken sind die Winkel, welche den gleichen Seiten gegenüberliegen, gleich; den gleichen Seiten und 8 V liegen die Winkel n und b gegenüber, also ist a — b; den gleichen Seiten ^0 und 80 liegen die Winkel v und ck gegen¬ über, also ist c — ck. Durch die Gerade 00 wird also wirklich feder Winkel am Scheitel in zwei gleiche Winkel getheilt, d. i. halbirt. Zweitens ist zu beweisen, daß durch die Gerade 00 die Grundlinie ^8 halbirt wird, daß nämlich Uk — 8L ist. Wir müssen zu diesem Ende zeigen, daß diese Seiten in kongruenten Dreiecken den gleichen Winkeln gegenüberliegen; die Geraden L.L und 8lk liegen in den Dreiecken .4.0kl und 80lK; in diesen ist die Seite OL gemeinschaftlich, ferner ^0 — 80 ver¬ möge der Annahme, und der Winkel a — b, wie wir eben bewiesen haben; die zwei Dreiecke .40L und 80lk haben also zwei Seiten und den von ihnen ein¬ geschloffenen Winkel wechselweise gleich, folglich sind sie 53 ße kongruent. In kongruenten Dreiecken sind die Sei¬ ten, welche den gleichen Winkeln gegenüberliegen, gleich; den gleichen Winkeln a und k liegen die Seiten und 8L gegenüber, also ist 40 — KL. Die Grund¬ linie 48 ist also wirklich durch die Gerade 01) im Punkte L halbirt worden. Endlich ist noch zu beweisen, daß die Gerade Ov auf der Grundlinie 48 senkrecht steht, oder, was dasselbe ist, daß der Winkel m — n ist. Die Winkel m und n liegen in den Dreiecken 400 und 80L, deren Kongruenz bereits bewiesen wurde; sie liegen darin den gleichen Seiten 40 und 80 gegenüber, mithin sind sie einander gleich; OL steht also senkrecht auf 48. Auf ähnliche Art wird der ganze Beweis geführt, wenn die beiden Dreiecke auf derselben Seite der Grundlinie liegen, wie in Figur 37. 8- 47. 2. Wenn man in einem gleichschenkligen Dreiecke die Grundlinie halbirt, und den Halbirungspunktmitdcr Spitze verbindet, so steht die Verbindungslinie auf der Grundlinie senkrecht. Voraussetzung: es sei (Fig. 38) .4.0 — 80, nämlich das Dreieck 480 gleichschenklig die Grund¬ linie im Punkte 0 halbirt, also.40 — 8V, und man ziehe die Gerade 00. Zu beweisen ist, daß unter dieser Voraussetzung 08-l_48, oder daß der Winkel m — n ist. — Die Winkel m und n liegen in den Dreiecken 408 und 800 den gleichen Seiten 40 und 80 gegenüber; die beiden Dreiecke sind aber kongruent, weil sie alle drei Seiten wechselseitig gleich ha- 54 Haben; also sind die Winkel m und n einander gleich, oder 6V -48. Umgekehrt: 3. Wenn man in einem gleichschenkligen Dreiecke von der Spitze eine Senkrechte ausdie Grundlinie fällt, so wird diese da¬ durch halbirt. ES sei (Fig. 38) 46 -- 86, und 6V -t_ -48. Die rechtwinkligen Dreiecke -460 und 86V haben die Hypothenuse gleich, und eine Kathete gemeinschaft¬ lich, folglich sind sie kongruent, und es müssen auch die zweiten Katheten darin gleich seyn, nämlich — 8V. Die Grundlinie 48 ist also wirklich im Punkte v halbirt worden. Dieser Beweis ist auch noch giltig, wenn 48 — -46 — 86 d. i. wenn das Dreieck 486 gleichseitig ist. Im gleichschenkligen, so wie im gleichseitigen Drei¬ ecke wird also die Grundlinie von der Höhe halbirt. 8. 48. 4. Wenn ineincm Dreiecke zwei Seiten gleich sind, so sind auch dieihnen gegen¬ überliegenden Winkel gleich. Es sei (Fig. 39) die Seite 46 — 86; so ist zu beweisen, daß die Winkel 8 und -4 gleich groß sind. — Man muß zeigen, daß 4. und 8 in kongru¬ enten Dreiecken den gleichen Seiten gegenüberliegen. Um zwei kongruente Dreiecke zu erhalten, halbirt man die Seite 48 in v, so daß 4V — 8V wird; die beiden Dreiecke 46V und 86V haben nun alle Seiten wechselseitig gleich, sind demnach kongruent; die Winkel -4 und 8 liegen darin der gemeinschaftlichen Seite 6V gegenüber, folglich sind sie gleich. Hätte 55 Hätte man nicht auch auf andere Arten zwei kongruente Dreiecke erhalten können? Aus diesem Lehrsätze folgt, daß in einem gleich¬ schenkligen Dreiecke die Winkel an der Grundlinie gleich sind. In einem gleichseitigen Dreiecke müssen alle drei Winkel gleich scyn; ein gleichseitiges Dreieck ist also auch rechtwinklig, mithin regelmäßig. 5. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel gleich sind, so sind auch die ihnen gegen¬ überliegenden Seiten gleich. Es sei (Fig. 39) der Winkel .4 — 8, so muß auch 86 — 4^0 seyn. Denn fällt man von <7 auf 4.8 die Senkrechte 6V, so erhält man zwei Dreiecke, welche alle drei Winkel paarweise gleich, und überdies die Seite 60 gemeinschaftlich haben, die also kongruent sind; in diesen Dreiecken liegen den gleichen Winkeln in und n die Seiten 46 und LO gegenüber, also ist 46 — «6. 8- 49. 6. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel ungleich sind, so sind auch die ihnen gegen¬ überliegenden Seiten ungleich, und zwar liegt dem größer» Winkel auch eine größere Seite gegenüber. Es sei im Dreiecke 486 (Fig. 40) der Winkel 84.6 größer als der Winkel 486; so ist zu zeigen, daß auch 86 größer scyn müsse als 46 — Nach dem vorhergehenden Satze können wir aus der Gleichheit der Winkel auf die Gleichheit der gegenüberstehendcn Seiten schließen. Schneiden wir daher von dem größern Winkel bei 4. durch die Gerade 4v einen Theil ab, so daß der 56 der Rest 8/4V /48V sei; im Dreiecke ^48v muß dann auch — 8V sepn. Es ist nun im Dreiecke ^Ov die Summe von ^0 und 00 gewiß größer als ^0; und V0 ist aber so viel als 80 und 00, folglich so viel als 80; also ist wirklich 80 größer als ^0. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist also die Hypothenuse, Lin stumpfwinkligen aber die dem stumpfen Winkel gegenüberliegende Seite die größte Seite. 7. Die Senkrechte ist die kürzeste Gerade, die von einem Punkte zu einer geraden Linie gezogen werden kann. Man ziehe vom Punkte 0 (Fig. 41) zu der Ge¬ raden t48 die Senkrechte 00, und irgend eine andere Gerade z. B. 00. Das Dreieck 080 ist nun recht¬ winklig, daher die Hypothenuse 08 größer als die Senkrechte 00. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine gerade Linie dient daher dazu, um die Entfernung jenes Punktes von der Geraden zu messen. 8- 50. Die Schrott wage. Auf den Sätzen von dem gleichschenkligen Dreiecke beruhet die Einrichtung und der Gebrauch der Schrott- wage (Fig. 42). Diese ist ein hölzernes gleichschenk¬ liges Dreieck, in dessen Spitze ein unten mit einer Ku¬ gel beschwerter Faden befestiget wird, und an dessen Grundlinie, oder einer damit parallelen Seite, die Mitte durch einen Theilstrich bemerkt ist. Dieses Werk¬ zeug dient dazu, um zu untersuchen, ob eine Gerade horizontal ist. Stellt man nämlich das Instrument mit der 57 der Grundlinie auf die zu prüfende Gerade, und spielt der beschwerte Faden genau in die Mitte der Grund¬ linie ein, so ist die Gerade horizontal, sonst steht sie gegen den Horizont geneigt, denn der beschwerte Faden ist allezeit vertikal; soll die Grundlinie und die dar¬ unter befindliche Gerade horizontal scyn, so muß sie aus den vertikalen Faden senkrecht stehen; dies ist aber der Fall , wenn der Faden genau in die Mitte fällt. Häufig ist die Schrottwage mit einem, von der Mitte aus in Gerade eingetheilten messingenen Bogen versehen; in diesem Falle kann man damit auch die Neigung einer schiefen Geraden gegen den Horizont messen; die Gradzahl, an welcher der Faden am Bo¬ gen durchgeht, zeigt den Neigungswinkel an, den die nicht horizontale Linie (Fig. 43) mit der horizon¬ talen ^6 bildet. Eigentlich liest man an dem Werk¬ zeuge den Winkel m d. i. die Abweichung des Fadens von der auf die Grundlinie senkrechten Geraden; allein dieser Winkel ist so groß als der Neigungswinkel s, den die Gerade .48 mit der Horizontalen 4.0 bildet, weil die Schenkel beider Winkel auf einander senkrecht stehen. 51. Aufgaben. 1. Einen Winkel 840 (Fig. 44) zu hal- bir en. Man denke nach, ob nicht ein Lehrsatz vorkam, bei welchem bewiesen wird, daß eine Gerade einen Winkel halbirt; man wird sich sogleich an den Satz erinnern: wenn man über einer Geraden zwei gleich¬ schenklige Dreiecke verzeichnet, und durch ihre Schei¬ tel eine gerade Linie zieht, so halbirt diese die Winkel an 58 an den Scheiteln. Die Voraussetzung dieses Lehrsatzes zeigt den Weg zur Auflösung der vorgelegten Aufgabe. Es handelt sich nämlich zuerst darum, ein gleichschenk¬ liges Dreieck zu verzeichnen, worin der gegebene Win¬ kel U-LO als Winkel an der Spitze vorkommt; dieses geschieht, indem man von den Schenkeln des Winkels gleiche Stücke abschneidet, und die Endpunkte Lt und lV verbindet; dann braucht man nur noch über dieser Grundlinie ein zweites gleichschenkliges Dreieck NIW zu beschreiben, und durch die Scheitel die Gerade ^0 zu ziehen. — Man hat daher fol¬ gende Auflösung: Um einen Winkel zu halbiren, beschreibe man aus dem Scheitel einen Bogen, welcher die beiden Schenkel durchschncidet; aus den Durchschnittspunktcn beschreibe man wieder mit einem gleich großen Halb¬ messer Bogen, die sich in einem Punkte schneiden; zieht man von diesem letzten Punkte zu dem Scheitel des Winkels eine Gerade, so wird dadurch der Winkel halbirt. 2. Eine Gerade ^8 (Fig. 45) zu halbiren. Die Auflösung dieser Aufgabe wird aus folgendem Lehrsätze abgeleitet: wenn man über derselben Grund¬ linie zwei gleichschenklige Dreiecke verzeichnet, und durch ihre Scheitel eine Gerade zieht, so halbirt diese die Grundlinie. Es kommt also nur darauf an, über zwei gleichschenklige Dreiecke zu beschreiben, und die Scheitel derselben durch eine Gerade zu verbinden. Die Auflösung ist also: Um eine Gerade zu halbiren, beschreibe man aus ihren Endpunkten nach oben und unten Bogen, welche sich in zwei Punkten schneiden; die Gerade, welche durch diese zwei Durchschnittspunkte geht, halbirt die gegebene Gerade. Um 59 Um eine gerade Linie versuchsweise zu hal- biren, nehme man die beiläufige Hälfte als Halb¬ messer, und beschreibe damit aus den Endpunkten gegen die Mitte hin Bogen; durchschneiden beide Bogen die Gerade in demselben Punkte, so ist dieser genau der Halbirungspunkt der gegebenen Geraden; sonst wird der Abstand der beiden Durchschnittspunkte, der ohne¬ hin gewöhnlich sehr klein ausfällt, nach dem Augenmaße halbirt; die Mitte dieses Abstandes ist zugleich die Mitte der Geraden. 3. Von einem Punkte 4 (Fig. 46) außer¬ halb einer Geraden UO auf diese Gerade eine Senkrechte zu fällen. Die Auflösung beruht auf dem Satze: wenn man über derselben Grundlinie zwei gleichschenklige Dreiecke verzeichnet, und die Scheitel durch eine Gerade ver¬ bindet, so steht diese auf der Grundlinie senkrecht. Es handelt sich also zuerst darum, ein gleichschenkliges Dreieck zu bilden, dessen Spitze der gegebene Punkt -4. ist, und dessen Grundlinie in die gegebene Gerade SO fällt; ein solches Dreieck erhält man, wenn man aus 4. mit einem hinlänglich großen Halbmesser Bogen beschreibt, welche die gegebene Gerade in zwei Punkten N und durchschneiden, wodurch die Grundlinie lUK bestimmt ist. Beschreibt man nun über diese Grund- linie noch ein zweites gleichschenkliges Dreieck und zieht 41), so muß 4V sepn. Um daher aus einem Punkte auf eine Gerade eine Senkrechte zu fällen, beschreibe man aus jenem Punkte zwei Bogen, welche die Gerade in zwei Punkten schneiden, aus diesen beschreibe man wieder zwei Bo¬ gen , die sich in einem Punkte durchschneiden; die Ge¬ rade, welche durch diesen letzten Durchschnittspunkt und durch den gegebenen Punkt geht, ist die gesuchte Senkrechte- Wie 60 Wie kann man mittelst rechtwinkliger hölzerner Dreiecke von einem Punkte auf eine Gerade eine Senkrechte fällen? §. 52. 4. In einem gegebenen Punkte ^4 (Fig. 47) einer Geraden L6 auf diese eine Senkrechte zu errichten. Da die Gerade, welche die Mitte der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes mit der Spitze ver¬ bindet, auf der Grundlinie senkrecht steht; so braucht man, um die vorliegende Aufgabe aufzulvsen, nur ein gleichschenkliges Dreieck zu bilden, dessen Grund¬ linie in die gegebene Gerade L6 so hineinfällt, daß der gegebene Punkt 4. als Mittelpunkt der Grund¬ linie erscheint, und dann die Spitze 0 mit dem Punkte durch eine Gerade zu verbinden. Um daher in einem Punkte einer Geraden auf dieser eine Senkrechte zu errichten, schneide man, von jenem Punkte aus, an der Geraden zu beiden Seiten gleiche Stücke ab, beschreibe aus den Durchschnitts¬ punkten mit demselben Halbmesser zwei Bogen, welche sich in einem Punkte durchschneiden, und verbinde diesen letzten Durchschnittspunkt mit dem gegebenen Punkte durch eine Gerade : diese steht auf der gegebenen Ge¬ raden senkrecht. Wie kann man mittelst der Winkelbretter eine Senkrechte errichten? — Wie geschieht dieses mit dem Transporteur? Wenn der gegebene Punkt ^4 der Endpunkt der ge¬ gebenen Geraden ist, wie in Figur 48, so darf man nur die Gerade über diesen Endpunkt hinaus ver¬ längern , wo sodann die Auflösung wie vorhin geschieht. Läßt — 61 — Läßt sich aber die Linie nicht über den Endpunkt hinaus verlängern, so kann man am einfachsten folgendes Verfahren anwenden. Man nehme über der Geraden 48 einen Punkt 0 an, beschreibe daraus mit dem Halbmesser 6.4 einen Kreisbogen VE, und ziehe durch dl und 6 eine Gerade, welche fenen Bogen in 0 durchschneidet; verbindet man nun diesen Punkt 0 mit dem gegebenen Punkte .4 durch eine Gerade, so ist diese die verlangte Senkrechte. Der Grund dieses Verfahrens ist leicht einzusehen. Im gleichschenkligen Dreiecke 4Ldl ist der Winkel m p, im gleichschenkligen Dreiecke 4V6 ist eben son q, daher auch die Summe m -j- n gleich der Summe x -j- q; die Winkel m, n, y und x bilden nun die Winkel eines Dreieckes, also ist die Summe von in, n, i und p, oder was dasselbe ist, die dop¬ pelte Summe von m und n gleich zwei Rechten, da¬ her die einfache Summe von m und n, nämlich der Winkel K4V, gleich einem Rechten, mithin ist 4V 48. III. Anwendung der Kongruenzfälle auf die Pa¬ rallellinien und das Parallelogramm. §. 53. 1. Wenn zwei Punkte einer Geraden von einer andern Geraden auf einerlei Seite gleich weit entfernt sind, so müssen die beiden Geraden parallel seyn. Es seien (Fig. 49) die Punkte dl und dl, welche in der Geraden 48 liegen, von der Geraden 60 gleich weit entfernt, oder was dasselbe ist, es seien die Senkrechten N1' und dis) gleich groß. Um zu be¬ weisen, daß unter dieser Voraussetzung .48 6V sei, muß 62 -muß man zeigen, daß diese zwei Geraden von einer dritten unter gleichen Gegen- oder Wechselwinkeln ge¬ schnitten werden. Schneiden wir sie durch die Gerade X? , so kommt es nur darauf an, die Gleichheit der zwei Wechselwinkel s und I, nachzuweisen, oder zu zeigen, daß » und !, in kongruenten Dreiecken den gleichen Seiten gegenüberliegen. In den Dreiecken NX? und x?o ist NI' — xy, die Seite XI' ist ge¬ meinschaftlich, und der eingeschloffene Winkel x — als Wechselwinkcl, weil die Senkrechten N? und Xy auch parallel seyn müssen; die beiden Dreiecke sind daher kongruent, folglich die den gleichen Seiten NI' und XO gegenüberliegenden Winkel u und b gleich. Die Gerade Xi? bildet also mit den beiden Geraden t48 und 60 gleiche Wechselwinkel, somit sind t48 und 60 parallel. 2. Parallele zwischen Parallelen sind einander gleich. Um dieses zu beweisen, sei (Fig. 50) ^48 st«6V und .46 80. Man ziehe die Hilfslinie 86, so sind die Wechselwinkel a und b, und eben so die Wechsel¬ winkel « und ck einander gleich; in den Dreiecken .486 und 860 ist demnach eine Seite 86 mit den Heiden anliegenden Winkeln gleich, daher sind die°zwei Dreiecke kongruent; cs müssen also auch dieH den, glei¬ chen Winkeln a und^ b gegenüberstehenden Seiten ^46 und 80, und eben so die den gleichen Winkeln « und <1 gegenüberstehenden Seiten .48 und 60 unter einan¬ der gleich seyn. Parallele Linien zwischen parallelen Linien sind also einander gleich. Daraus folgt, daß in sedem Parallelogramm die gegenüberstehenden Seiten gleich sind. Auch sieht man, daß ein Parallelogramm durch die Diagonale in zwei kongruente Dreiecke getheilt wird. 3. 63 3. Wenn in einem Vierecke jede zwei gegenüb ersteh enden Seiten gleich sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm. Es sei (Fig. 51) 48 ov und 46 — 8V. Hier ist eigentlich nur zu beweisen, daß die gegenüber- stehenden Seiten parallel sind, oder was dasselbe ist, daß sie mit einer dritten, sie schneidenden Geraden gleiche Wechselwinkel bilden. Man ziehe die Hilfslinie i86, so erhält man die Dreiecke 486 und 86», welche kon¬ gruent sind, weil sie alle drei Seiten wechselweise gleich haben; es müssen daher die den gleichen Seiten 46 und 80 gegenüberliegenden Winkel u und t> gleich, daher, weil diese Winkel Wechselwinkel sind, die Linien 48 und 60 parallel seyn; wegen 48 — 60 folgt eben so o — 6, und weil diese Winkel Wechselwinkel sind, 46 st 8». Es istalso48 st 60,und46 st 8»,mithin das Viereck A.800 ein Parallelogramm. 4. Wenn zwei gegenüberstehende Seiten eines Viereckes gleich und parallel sind, so ist dieses ein Parallelogramm. Es seien (Fig. 51) die Seiten 4.8 und Ov gleich und parallel, was man so ausdrückt: 48 H 6V; so ist zu beweisen, daß 4800 ein Parallelogramm ist. Man braucht eigentlich nur zu zeigen, daß 46 — 80 ist. Zu diesem Ende zieht man die Hilfslinie 86; in den Dreiecken 486 und 86V ist nun 48 Ov, 86 — 86, und a — I> als Wechsclwinkel; die beiden Dreiecke sind daher kongruent, folglich müssen auch die dritten Seiten 46 und 8V gleich, und somit 48V0 ein Parallelogramm seyn. §. 54. 5. Wenn in einem Dreiecke eine Seite in mehrere gleiche Theile getheilt ist, und man — 64 — man zieht durch jeden Theilungspu n kt er ne Parallele mit einer zweiten Seite, so wird dadurch auch die dritte Seite in eben so viele unter einander gleiche Theile ge¬ teilt. Die Voraussetzung ist: die Seite ^46 (Fig. 52) sei in mehrere z. B. 4 gleiche Theile gctheilt, also 60 — DL — Lk? — ; und man ziehe 06, Lll und k'I sämmtlich parallel mit der Seite ^6; so ist zu beweisen, daß dadurch auch 66 in 4 gleiche Theile ge- theilt wird. Man muß hier zeigen, daß die Geraden 66, 6H, 6! und 16 in kongruenten Dreiecken gleichen Winkeln gegcnübcrliegen. Man zieht daher die Linien 66, H6 und IN parallel mit e46. Weil Parallele zwischen Parallelen gleich sind, so ist 66— VL, 66 — Lks und lU —6^4. Nach der Voraussetzung sind die Linien 60, IM, L6 und 6.4 gleich, daher müssen auch die Linien 6V, 66, HO und IN gleich seyn; in den Dreiecken 666, 66ll, HOI und IN6 sind über¬ dies die Winkel s, d, c und ci als Gegenwinkel gleich, ferner die Winkel e, k, § und li gleich, weil ihre Schenkel parallel sind. Die genannten vier Dreiecke haben also eine Seite mit den beiden anliegenden Win¬ keln gleich, also sind sie kongruent; den gleichen Winkeln «, k, L und I> stehen in diesen Dreiecken die Seiten 66, 6H, HI und 16 gegenüber, also ist 66 — 66 — HI — 16. Die dritte Seite 66 ist somit wirklich in 4 gleiche Theile getheilt worden. 8- 55. Aufgaben. 1. Durch einenPunkt 6 außerhalb einer Geraden ^46 (Fig. 5b) mit dieser eine Pa¬ rallele zu ziehen. Hier 65 Hier handelt es sich nur darum, einen zweiten Punkt k' zu bestimmen, der von der 48 so weit ab¬ steht als 0. Zu diesem Ende fälle man von 0 die Senkrechte 6V auf 48, errichte in irgend einem Punkte 6 die Senkrechte 61', und mache diese der 60 gleich. Zieht man nun durch 6 und 6 eine gerade Linie, so ist diese mit 48 parallel. Man kann auch so verfahren. Man fälle von 0 die Senkrechte 6V auf 48, und errichte in 6 über 60 die Senkrechte 66, so ist diese die gesuchte Pa¬ rallele. Denn die Winkel a und b sind als rechte gleich; die Gerade 61) bildet also mit den Geraden 48 und 68 gleiche Wechselwinkel, mithin ist 48 68. Um Parallele zu ziehen, bedient man sich auch der sogenannten Parallel-Lineale. i Wie kann mit Hilfe der Winkelbreter mit einer Geraden eine Parallele gezogen werden? §. 56. 2. Ein Parallelogramm zu verzeichnet!. Man bilde einen Winkel 840 (Fig. 26), schneide von den Schenkeln die Stücke 48 und 41) ab; so¬ dann beschreibe man aus 8 mit dem Halbmesser 4D einen Bogen, und durchschneide ihn aus D mit dem Halbmesser 48; in dem Vierecke .4860 sind nun je zwei gegenüberstehende Seiten gleich, also ist es em Parallelogramm. Wenn der Winkel 84V kein rechter ist, und die Seiten 48 und 4V ungleich angenommen werden, so erhält man ein Rhomboid. ) Nimmt man 48 — 4V (Fig. 27) an, so bekommt man den Rhombus. Geometrie. E Um 66 Um ein Rechteck zu erhalten, verzeichnet man einen rechten Winkel X (Fig. 28), und verfährt dann wie beim Rhomboid. Um endlich ein Quadrat zu bilden, verzeichnet man wieder einen rechten Winkel X (Fig. 29), schnei¬ det von den Schenkeln gleiche Stücke XL und XI) ab, und verfährt übrigens wie vorhin. 8. 57. 3. Eine gegebene Gerade XL (Fig. 54) in mehrere gleiche Theile zu theilen. Die Gerade sei z. B. in 5 gleiche Theile zu theilen. Man zieht durch den einen Endpunkt V unter einem beliebigen Winkel eine Gerade XX von unbe¬ stimmter Länge, trägt darauf 5 gleiche Theile auf, und verbindet den letzten Theilungspunkt 0 mit dem zweiten Endpunkte L. Dadurch erhält man ein Dreieck X6R, worin die Seite X6 in 5 gleiche Theile getheilt ist; damit auch die Seite XL in 5 gleiche Theile ge¬ theilt werde, braucht man daher nur durch jeden Thei¬ lungspunkt der XO mit L6 eine parallele Linie zu ziehen. IV. Kongruenz der Vielecke. §. 58. Zwei Vielecke sind kongruent, wenn sie alle Sei¬ ten und alle Winkel nach der Ordnung gleich haben. Wenn (Fig. 55) die Seite XL — LU, LO — UI, LV Illi, VL — LV, Lb' — IM, XX — NU; wenn ferner der Winkel X — L, L — U, L — I, v — L, L — v, k-A ist: so ist das Vieleck XLLVLL VUIILIM. Ein 67 Ein anderes Kennzeichen, woraus man auf die Kongruenz zweier Vielecke schließen kann, bestehet darin, daß kongruente Vielecke aus- gleich vielen der Ordnung nach kongruenten Dreiecken zusammengesetzt sind, oder durch gleichlicgende Diagonalien in solche zerlegt werden können. Denn, wenn man beide Viel¬ ecke so aufeinandergelegt denkt, daß zwei entsprechende Dreiecke auf einander fallen, z. B. VliO auf 6HI, so wird gewiß auch das zweite Paar Dreiecke sich decken, folglich auch das dritte Paar, . . daher werden sich auch die ganzen Vielecke decken, oder sie sind kongruent. §. 59. Aufgabe. Ein Vieleck zu verzeichnen, welches mit einem gegebenen Vielecke (Fig. 55) kongruent ist. Man zerlege das gegebene Vieleck durch Diago¬ nalen in Dreiecke, beschreibe mittelst der Durchschnitte von Kreisbogen eben so viele in derselben Ordnung liegende Dreiecke, welche mit denen des gegebenen Vieleckes kongruent sind. Die dadurch entstehende Fi¬ gur OIHLL.U ist mit der gegebenen kongruent. — Es ist hier nicht nöthig, die Diagonalen wirklich zu zie¬ hen; dieselben können in dem gegebenen wie in dem neu entstehenden Vielecke bloß gedacht werden. E 2 Vier- 68 Viertes Hauptstück. Ähnlichkeit der geradlinigen Figuren. I. Geometrische Verhältnisse der Proportionen. 60. Verhältnisse. Die Vergleichung zweier gleichartigen Größen, um zu erfahren, wie ost die eine in der andern ent¬ halten ist, wird cm geometrisches Verhältniß genannt. Die erste der zwei Großen heißt das Vör¬ de rglied, die zweite das Hinterglied; zwischen beide wird das Divisionszeichen gesetzt. Vergleiche man die zwei Geraden und 61) (Fig. 56) mit einander, so sieht man, daß 60 in 3mal enthalten ist; diese Vergleichung gibt das Ver¬ hältniß von ^li zu Ott), welches man so anschreibt: : 61), Hier ist das Vorderglied, 61) das Hinterglied. Um das Verhältniß zweier Geraden in Zahlen auszudrücken, fasse man die kürzere Linie mit dem Zirkel, und trage dieselbe auf der großem so ostmal auf, als es angeht. Dabei können nun zwei Fälle ein- tretcn: entweder ist die kleinere Gerade in der Grö¬ ßer» ohne Rest mehrmal enthalten, so, daß beim Auf¬ trägen kein Stück übrig bleibt; oder es ist dieses nicht der Fall. Wenn die kleinere Gerade 61) (Fig. 56) in der großem ^8 ohne Rest enthalten ist, so heißt die kleine- ) nere 69 mre Ov das Maß der großem 48; dieses Maß ist in 48 3mal, in 60 Imal enthalten; also verhalten stch die zwei Geraden 48 und 61) gerade so wie die Zahlen 3 und oder sie haben das Verhältniß 3 : l. Eben so haben die Geraden .48 und 4N das Verhältniß 3 : 1, 441 „ 48 „ „ 1 : 3, 4^l ,, „ 2:1, 4N „ 4i>k „ „ 1 : 2. Wäre aber die kleinere Linie 01) in der großem 48 nicht genau 3mal enthalten, sondern es bliebe noch ein Rest 88 (Fig. 57), so muß man, um das Verhältniß zwischen 48 und 61) in Zahlen zu be¬ stimmen, eine dritte Linie ausmittcln, welche ein Maß von 48 und von 01) zugleich ist. Dabei verfährt man auf folgende Art. Nachdem man die kleinere Linie 61) auf der großem 48 3mal aufgctragcn hat, fasse man mit dem Zirkel den Rest 88, und trage diesen auf 0V auf, so oft es angeht; es sei 88 in 61) 2mal enthalten, und cs bleibt noch ein Stück 81) übrig. Dieses Stück 8V wird wieder auf dem frühem Reste 88 aufgetragen, was sich hier 4m al thun läßt. Auf diese Art wird man nun so lange fortfahren, den letzten Rest auf dem nächst vorhergehenden Reste aufzu- tragcu, bis man zuletzt auf einen Rest kommt, nach dessen Aufträgen kein Stück mehr übrig bleibt; ein solcher Rest sei hier 68, der sich auf 80 genau 3mal auftragen läßt. 68 ist nun das gemeinschaftliche Maß von 48 und 60; denn man hat 80 — 368, 88 — 481) Z- 68 — 13 68, 00 — 288 -j- 81) — 29 68, 48 — 301) 88 — 100 68. Aus 70 Aus dieser Darstellung ersieht man, daß die Gerade das Maß Ov lOOmal, und die Gerade 00 das¬ selbe Maß Ov nur 29mal enthält; die Längen dieser beiden Geraden verhalten sich also wie die Zahlen 100 und 29, oder, das Verhältniß von ^v zu Ov ist 100 : 29. 61. Proportionen. Die Gleichheit zweier Verhältnisse heißt eine Proportion. Z. B. die Geraden ^v und 01) (Fig. 56) haben das Verhältniß 3:1, die zwei Ge¬ raden 00 und Okl haben ebenfalls das Verhältniß 3:1; die zwei Verhältnisse ^v : Ov und 00 : Okl sind demnach gleich, und geben die Proportion : Ov — DO : Ov, welche so gelesen Wird: ^v verhält sich zu Ov, wie sich DO zu Ov verhält. Man sagt in diesem Falle auch: die Geraden Vv und DO sind den Geraden Ov und Ov propor- tionirt. Jede Proportion bestehet aus zwei gleichen Ver¬ hältnissen, mithin aus vier Gliedern, welche nach der Ordnung von der Linken gegen die Rechte benannt werden, nämlich das erste, zweite, dritte, vierte Glied. Das erste und vierte Glied werden auch die äußern, das zweite und dritte die innern Glieder der Proportion genannt. Eine Proportion, in welcher die beiden innern Glieder gleich sind, heißt eine stetige Proportion und das innere Glied heißt die mittlere geome¬ tri- 71 irische Proportionale zwischen den beiden äußern. In Bezug auf die Proportionen wollen wir hier nur folgende, aus der Arithmetik bekannten Sätze an¬ führen : 1. In jeder Proportion ist das Produkt der äußern Glieder gleich dem Produkte der rnnern. 2. In jeder stetigen Proportion ist das Quadrat der Mittlern Proportionale gleich dem Produkte der äußern Glieder; also ist die mittlere Proportionale selbst gleich der Quadratwurzel auf dem Produkte der beiden andern Glieder. 3. In jeder Proportion verhält sich die Summe der ersten zwei Glieder zur Summe der letzten zwei Glieder, wie das erste Glied zum dritten, oder wie das zweite zum vierten. 4. In jeder Proportion verhält sich der Unterschied der ersten zwei Glieder zum Unterschiede der letztem zwei Glieder, wie sich das erste Glied zum dritten, oder wie sich das zweite Glied zum vierten verhält. 5. Wenn in zwei Proportionen drei gleichna¬ mige Glieder wechselseitig gleich sind, so muß auch das vierte Glied in beiden Proportionen gleich seyn. Von der Richtigkeit dieser Sätze überzeugt man sich am besten an Zahlenproportioncn. Aus einer Proportion, in welcher drei Glieder bekannt sind, das noch unbekannte Glied finden, heißt die Proportion auflösen. Um ein äußeres Glied der Proportion zu finden, multiplicirt man die beiden innern Glieder, und divi- dirt ihr Produkt durch das bekannte äußere. Um 72 Um ein inneres Glied der Proportion zu finden, muß man die beiden äußern Glieder multipliciren, und ihr Produkt durch das bekannte innere Glied dividiren. (Alle diese Wahrheiten find in der Arithmetik angegeben.) H. Ähnlichkeit der Dreiecke. 8. 62. Erklärungen. Zwei Dreiecke sind ähnlich d. h. sie haben die¬ selbe Form, wenn sie alle drei Winkel gleich haben, und wenn je zwei Seiten, welche den gleichen Winkeln gegenüberliegen, in demselben Verhältnisse zu einander stehen. Die zwei Dreiecke ^80 und VL8 (Fig. 58) sind demnach ähnlich, wenn — I), 8 — L, 0 8, und wenn ^8 : VL — ^0 : Ob', so wie ^8 : VL — 80: 88 ist. Die Seiten, welche in ähnlichen Dreiecken den gleichen Winkeln gegenüberliegen, heißen gleichna¬ mige Seiten; als ^8 und 88, ^0 und 1)8, 80 und 88. In ähnlichen Dreiecken müssen also alle drei Winkel wechselweise gleich, und die gleichnamigen Seiten proportionirt seyn. §. 63. Lehrsätze. 1. Wenn man in einem Dreiecke mit einer Seite eine parallele Linie zieht, so ist 73 ist das gegebene Dreieck mit dem neu Ent¬ standenen kleinen Dreiecke ähnlich. Es sei (Fig. 59) 88ji80; so hat man zu be¬ weisen, daß das Dreieck 4^80 ^1)8 ist. — Die beiden Dreiecke 480 und 408 haben erstlich gleiche Winkel; denn der Winkel 4 ist in beiden Dreiecken gemeinschaftlich, und die Winkel 8 und 6 sind ihren Gegenwinkeln v und 8 gleich. Nun ist noch zu be¬ weisen, daß auch je zwei Seiten, welche den gleichen Winkeln gegenüberliegen, dasselbe Verhältniß zu ein¬ ander haben. Zu diesem Ende suche man zuerst das Verhältniß zwischen den Seiten 48 und 4V, 4a sei ihr gemeinschaftliches Maß, und zwar in 48 5mal, in 48 2mal enthalten, daher 48 : 48 —5:2. Man ziehe nun durch jeden Theilungspunkt der 48 eine Parallele mit 80, so wird dadurch auch 40 in 5 gleiche Theile getheilt, von denen 48 2 enthält, mithin ist 40 : 48 — 5 : 2. Zieht man endlich durch jeden Theilungspunkt der 48 auch eine Parallele mit 40, so wird dadurch auch 80 in 5 gleiche Theile, und 88 in 2 gleiche Theile getheilt, und zwar sind die Theile der 80 eben so groß als jene der 1)8, weil Parallele zwischen Parallelen gleich sind; man hat also auch 80 : 88 — 5 : 2. Es haben demnach je zwei gleichnamige Seiten dasselbe Verhältniß wie 5:2 zu einander. Weil nun die beiden Dreiecke 480 und 4.1)8 gleiche Winkel und proportionirte Seiten haben, so sind sie ähnlich. 8. 64. 2. Wenn in zwei Dreiecken alle drei Winkel wechselseitig gleich sind, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. Es — 74. — Es sei in den Dreiecken 486 und 888 (Fig. 58) der Winkel 4 — 8,8 — 8, und 6 — 8. Wäre 48 — 88, so müßten die beiden Dreiecke kongruent seyn, was wir hier nicht annehmen wollen. Es sei also 4!' größer als 88. Man schneide von der 48 ein Stück .46 ab, welches der 88 gleich ist, und ziehe 68ß86, so ist das Dreieck 486^-468. Das letz¬ tere Dreieck 46kl ist nun mit 888 kongruent; denn die Seite 46 , der Winkel 6 — 8, weil beide dem Winkel 8 gleich sind, und der Winkel 4 — 8. Wenn aber das Dreieck 486 mit 468 ähnlich, und 46kl mit 888 kongruent ist, so muß auch 486 888 seyn. Da in zwei Dreiecken, welche zwei Winkel wech¬ selseitig gleich haben, auch die dritten Winkel gleich seyn müssen; so folgt, daß man schon aus der Gleich¬ heit zweier Winkel in zwei Dreiecken auf die Ähnlich¬ keit derselben schließen kann. 8. 65. 3. Wenn in zwei Dreiecken ein Winkel gegenseitig gleich ist, und die ihn einschlie¬ ßenden Seiten dasselbe Verhält n iß zu ein¬ ander haben, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. Es sei (Fig. 58) 4 — 8, und 48:88 46:88. Man mache 46 — 88, und ziehe 68 ß 86, so ist das Dreieck 486 468. Man braucht nur noch zu zei¬ gen, daß das Dreieck 468^888 ist. Aus der Ähn¬ lichkeit der Dreiecke 486 und 468 folgt 48 :46 — 46 : 48. Diese und die in der Voraussetzung ent¬ haltene Proportion haben die ersten drei Glieder gleich, also müssen sie auch das vierte Glied gleich ha- 75 haben, folglich 4D — DL. Weil nun die zwei Dreiecke 468 und DLL zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel wechselseitig gleich haben, so sind sie kongruent. Das Dreieck 480, welches mit 468 ähnlich ist, muß daher auch mit DLL ähnlich scyn. 8. 66. 4. Wenn in zwei Dreiecken je zwei Seiten dasselbe Verhält niß zu einander haben, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. Es sei (Fig. 58) 48 : DL — 40 : 00, und 48 : DL — 80 : LL. Man mache 46 -- DL, und ziehe 68ß80, so ist das Dreieck 480 468, daher 4« : 46 — 40 : 4», und 48 : 46 — 80 : 6kl. In der dritten und ersten der hier verkommenden Proportionen sind die drei ersten Glieder gleich, also muß darin auch das vierte Glied gleich scyn, nämlick 48 — DL; eben so haben die vierte und zweite Pro¬ portion drei Glieder gleich, also muß in denselben auch das vierte Glied gleich seyn, nämlich 6D — LL. Die beiden Dreiecke 468 und DLL haben also alle drei Seiten gleich, folglich sind sie kongruent. Weil nun das Dreieck 480 mit 4611 ähnlich ist, so muß es auch mit dem Dreiecke DLL ähnlich sehn. 8r 67. 5. Wenn in zwei Dreiecken alle drei Seiten wechselseitig parallel sind, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. Es 76 Es sei (Fig. 6V) 48 si VN, 40 si VN und so PLL. — Winkel, deren Schenkel parallel laufen, sind einander gleich; also ist der Winkel 4 — v, 8 — L und 0— N; mithin sind die Dreiecke 480 und DLL ähnlich. 6. Wenn in zwei Dreiecken alle drei Seiten wechselseitig aus einander senk¬ recht stehen, so sind die beiden Dreiecke ähnlich. Es sei (Fig. 6k) 48 VL, 40 VN und SO _i_ LI?. — Winkel, deren Schenkel auf einander senkrecht stehen, sind einander gleich, sobald beide spitzig oder beide stumpf sind; daher ist der Winkel 4 — 0, 8 —L und 0 —L; folglich das Dreieck 480 mit VLL ähnlich. §. 68. Aufgaben. 1. Zu drei gegebenen Geraden 48, Ov und LL (Fig. 62) die vierte Proportio nirte zu finden. Man verzeichne einen beliebigen Winkel 8, schneide auf dessen Schenkeln 8v — ^8, 81 — Ov, und 88 — Ld' ab, ziehe VIL, und damit parallel die 18, so ist 80 die vierte Proportionirte zu 48, Ov und Ob. Denn das Dreieck 8Vl< ist mit 810 ähnlich, daher ist 8V : 81 — 8l< : 80, oder 48 : Ov — L1' : 80. 2. Mehrere gerade Linien, 48, Ov, LL, . . . (Fig. 63) nach einem gegebenen Ver- — 77 — Verhältnisse zu vergrößern oder zu ver¬ kleinern. a. Die Aufgabe kann in den meisten Fällen sehr einfach mittelst des Proportional- oder Reduk¬ tionswinkels gclvset werden. Die gegebenen Linien seien ;. B. in dem Verhältnisse Olt : IIv zu ver¬ größern. Man ziehe eine Gerade OX von unbestimm¬ ter Länge, und beschreibe von 0 aus mit dem Halb¬ messer 60 einen Bogen, welcher die OX in N schnei¬ det; aus N beschreibt man wieder mit OL als Halb¬ messer einen Bogen, welcher den frühem in X durch¬ schneidet; zieht man nun durch O und X die Gerade OX von unbestimmter Länge, so ist XOX der Reduk¬ tionswinkel für die verlangte Vergrößerung. Trägt man auf beiden Schenkeln XL auf, indem man OX' — OL' — XL macht, so ist XL' die für XL ge¬ suchte vergrößerte Gerade; denn die Dreiecke OXL' und OUiX sind ähnlich, daher OX': X/L' — ON: MX oder XL : XL' — 60 : IN. Macht man eben so 00' 00' 00, ÖL' — OL'-r- LL,... so sind 0'0' und L'L', ... die zu den Linien 00, LL, ... ge¬ hörigen verhältnißmüßig vergrößerten Geraden. Wäre das Verhältniß nicht in Linien, sondern in Zahlen angegeben, so würde man aus einer Geraden so viel gleiche Theile auftragen, als die größere Ver- hältnißzahl anzeigt; von diesen würde man mit dem Zirkel zuerst so viele abfassen, als die erste Verhältniß- zahl anzeigt, und mit diesem Halbmesser aus O einen Bogen NiX beschreiben; dann würde man mit dem Zirkel so viele Theile abnehmen, als die zweite Ver- hältnißzahl anzeigt, und damit aus N den frühem Bo¬ gen durchschneidcn; durch die Schenkel ON und OX iß nun der Reduktionswinkel bestimmt. Der 78 Der Reduktionswinkel ist für jede Verkleinerung anwendbar, für Vergrößerungen aber nur dann, wenn die Linien nicht über das zweifache vergrößert werden sollen. b. Eine andere Auflösung dieser Aufgabe, welche in jedem Falle zum Zwecke führt, bestehet in Fol¬ gendem : Um die gegebenen Linien 0^, 0L, 06, . . . . sFig. 64) z. B. in dem Verhältnisse 4:3 zu verklei¬ nern, ziehe man eine Gerade LfZ, trage von L aus drei, und eben so von L aus vier gleiche Theile auf; in den Endpunkten k und 8 errichte man die Senk¬ rechten KD und 8V, trage auf die cntferntern Senk¬ rechten 8V die gegebenen Linien von 8 bis L, 0', . . . auf, und ziehe durch den Punkt L und die Punkte LZ OZ . . . gerade Linien, welche die nähere Senkrechte in den Punkten .4", k", 6", . . . treffen; die Geraden K4", KL", KO", . . . siud dann die gesuchten verhältnißmäßig verkleinerten Linien. — Die Richtigkeit dieser Auflösung folgt aus der Ähnlich¬ keit der Dreiecke LK-4" und L8.4Z LKL" und L8L , u. s. W. Wären aber die gegebenen Linien in dem Ver¬ hältnisse 3 : 4 zu vergrößern, so würde man sie auf der nähern Senkrechten KD auftragen; aus der Senk¬ rechten 8V erhielte man dann die verhältnißmäßig vergrößerten Geraden. Ist das Verhältniß der Vergrößerung oder Ver¬ kleinerung nicht in Zahlen, sondern durch Linien aus- gedrückt, so trägt man auf der Geraden LiZ von L aus statt der gleichen Theile, welche die Verhältnißzahlen an- 79 angebcn, die Verhältnißlinien auf, und verfahrt übri¬ gens wie vorhin. 3. Über einer Geraden klk (Fig. 58) ein Dreieck zu verzeichnen, welches mit einem gegebenen Dreiecke ^86 ähnlich ist. ». Man trage in kl einen Winkel Vkl8 — ^.80, und in k' einen Winkel kl bl) — auf; ihre Schen¬ kel schneiden sich im Punkte I), und es ist das Dreieck Vklk V8ll. b. Man suche zu .4.8 und ^.6 die nach dem Ver¬ hältnisse 80:klI? veränderten Geraden; beschreibe mit der erstem aus kl, und mit der andern aus k einen Kreisbogen; den Durchschnitt v der beiden Kreisbogen verbindet man mit kl und k' durch gerade Linien, so ist das Dreieck Oklk' rxa L.80. 8. 69. Einrichtung und Gebrauch der verjüngten Maßstäbe. Wenn man eine in der Natur gemessene Linie auf dem Papiere verzeichnen will, so geschieht dieses gewöhnlich nicht in der wahren Größe, sondern in einem kleinern, verjüngten Maße. Es wird nämlich angenommen, daß eine bestimmte Länge z. B. ein Zoll auf dem Papiere, eine bestimmte Lange z. B. eine Klafter, oder 20 Klafter in der Wirklichkeit vorstel¬ len soll. Ein Maßstab, auf welchem die in der Wirklichkeit üblichen Maße sammt ihren Unterabtheilungen verkleinert ausgetragen sind, heißt ein verjüngter Maßstab. Um 80 Um einen verjüngten Maßstab für die Klafter rmd Fuß zu zeichnen, ziehe man (Fig. 65) eine Ge¬ rade, trage darauf mehrere gleiche Theile auf, deren einer eine Klafter verstellen soll; und einen dieser Theile theile man wieder in 6 kleinere gleiche Theile, welche die Fuß bedeuten. — Auf eine ähnliche Art kann man einen verjüngten Maßstab für die Fuß und Zoll unfertigen. Das hier angegebene Verfahren ist anwendbar, wenn die Klafter oder der Fuß groß genug angenom¬ men wird. Wäre aber schon die Klafter durch eine sehr kleine Linie ausgedrückt, so mochte die weitere Eintheilung in Fuß undeutlich, und jene in Zoll gar unausführbar erscheinen. In diesem Falle nimmt man zu den Transversal-Maßstäben Zuflucht, die in dem Folgenden beschrieben werden sollen. §. 70. Um einen verjüngten Maßstab für das zehnthei- lige Maß, d. i. um den tausendth eilig en Ma߬ stab zu verfertigen, verfahre man auf folgende Art: Man trage auf einer Geraden ^8 (Fig. 66) 10 gleiche Theile^ aus, deren jeder 100 Einheiten vor¬ stellen soll, so daß auf die ganze Linie ^8 1000 Ein¬ heiten kommen. In den Endpunkten und 8 errichte man zwei Senkrechte, trage darauf wieder 10 be¬ liebig große, jedoch gleiche Theile auf, und ziehe durch die Endpunkte 6 und v eine Gerade, welche der ^8 gleich sein muß, und ebenfalls in 10 gleiche Theile getheilt Wird. Sodann ziehe man durch die gegenüberstehenden Theilungspunkte gerade Linien, welche alle entweder auf — 81 auf ^8 senkrecht stehen oder mit 48 parallel find, 8m nur einen Theil 48 wieder in 10 gleiche Theile zu theilen, braucht man nur in irgend einer Abtheilung eine Diagonale vid' zu ziehen; wehen der Ähnlichkeit der Dreiecke Vst» und VI?8 muß das Verhältniß ab : 88 dem Verhältnisse Ob : 08 gleich sehn; nun ist DI» der lOte Theil von 88, also muß auch ab der lOte Theil von 88, folglich auch von 48 sehn; eben so enthält sä 2 solche Theile, st' 3 Theile u. s. w. Diese Theile werden nun sowohl auf -4kl als 6o aufgetragen, und zwar am besten in der Art, daß man zuerst 9 Theile, nämlich KI, von o bis 90, und von 6 bis 10 aufträgt, und eben so auf der 48 ver¬ fährt; dann werden nach der Reihe auf dieselbe Weise 8, 7, 6,5 Theile abgeschnittcn. Endlich zieht man noch durch o und 6, so wie durch je zwei folgende Theilungspunkte Querlinien oder Transversalen, und schreibt an die Theilungspunkte die Zahlen so hin, wie man sie in der Figur steht. Die Gerade 48 enthält 1000 Theile; 48 ist der lOte Theil von 48, und enthält somit 100 Theile, 86 ist der lOte Theil von 48, enthält demnach 10 solche Theile; ml endlich ist wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke oml und 068 der lOte Theil von 86, enthält also einen solchen Theil, wie deren auf 48 1000 kommen, ml ist also der lOOOste Theil von 48; u2 enthält 2 solche Theile, u. st w. Um einen verjüngten Maßstab für Klafter, Fuß, Zoll zu konstruireu, werden auf jeder senkrechten 12 gleiche Theile aufgetragen, und ein Theil der untern Linie, welcher eine Klafter vorstellt, nur in 6 gleiche Theile gcthcilt; im Übrigen verfährt man wie bei dem Geometrie. F tau- 82 tausendtheiligen Maßstabe. — Auf ähnliche Art kann auch ein Transversal - Maßstab für Fuß, Zoll und Linien gemacht werden. 71. Die verjüngten Maßstäbe dienen sowohl dazu, um eine auf dem Papiere verzeichnete Linie zu messen, als auch, um eine Linie von bestimmter Länge aufzu¬ tragen oder zu verzeichnen. 1. Um mittelst eines Transversalmaßstabes zu bestimmen, wie lang eine auf dem Papier verzeichnete Linie ist, fasse man sie mit dem Zirkel, setze dann die beiden Zirkelspitzen auf eine und dieselbe Parallellinie des Maßstabes, und zwar auf diejenige, wo die eine Zirkelspitze in eine Senkrechte, die andere in eine Transversale hineinfällt, und lese die zu dieser Länge gehörige Zahl. Wenn z. B. auf einem tausendtheiligen Maßstabe die eine Zirkelspitze in der Senkrechten 300 stehet, und die andere genau in o cintrifft, so enthält die gegebene Linie 300 solcher Theile, deren LL 1000 enthält; würde die zweite Zirkelspitzc auf 40 fallen, so hätte man 340 Theile; würde sic zwischen 40 und 50 fallen, so müßte man mit dem Zirkel so weit herab¬ rücken, bis die zweite Spitze genau auf eine Transver¬ sale trifft, während die andere Spitze auf derselben Parallellinie in der Senkrechten 300 steht; wäre diese Parallellinie mit 6 bezeichnet, so enthält die gemessene Gerade 346 solcher Theile, deren auf 1000 kommen. 2. Um auf dem tausendtheiligen Maßstabe eine Länge, z. B. 400 abzufassen, setze man die eine Zirkel- spitze 83 spitze in 400, die andere in o ein; um 470 abzufaffen, setze man die eine Zirkelspitze in 400, die andere in 70 ein; um 478 abzunehmcn, suche man die durch 8 ge¬ hende Parallellinie auf, setze aus derselben die eine Zirkelspitze in die Senkrechte 400, und die andere in die Transversale 70. — Auf ähnliche Weise geschieht das Abnehmen der Längen auf andern Transversal- Maßstäben. HI. Ähnlichkeit der Vielecke. 8. 72. Zwei Vielecke sind ähnlich, wenn ihre Winkel solgeweise gleich, und die gleichliegenden Seiten pro- portionirt sind. So -sind (Fig. 67) die Vielecke und ähnlich, wenn ^4 — k, L — 6, 6 — 8, 8-1, und t4L:^6^ 86:68 ^68:81- 86: 16 — L 4 : ILl ist. Zwei Vielecke sind ähnlich, wenn sie sich durch Diagonalen in Dreiecke zerlegen lassen, welche einzeln nach der Ordnung einander ähnlich sind. Um sich von der Richtigkeit dieses Satzes zu über¬ zeugen, sei (Fig. 67) das Dreieck ^486 668, 468 jtll, /486 616. Nach dieser Voraussetzung sind je zwei glcichliegende Dreieckswinkel gleich, und sc zwei gleichliegende Seiten haben dasselbe Verhältnis! zu einander. — Es ist zuerst zu beweisen, daß auch je zwei gleichliegende Dieleckswinkel einander gleich sind. Weil die Winkel a, 6, c, einzeln den Winkeln m, n, p gleich sind, so müssen auch ihre Summen gleich seyn, nämlich ^.—6. Die Winkel 8 und 6 sind nach der Annahme gleich. Ferner ist der Winkel 6 — 8, west F 2 bei- 84 beide aus gleich großen Winkeln zusammengesetzt sind; und aus demselben Grunde I) — I. Endlich ist nach der Annahme auch L — L. — Nun ist noch zu zeigen, daß die gleichliegenden Seiten der beiden Viel¬ ecke proportionrrt sind. Nach der Voraussetzung ist 48 : I E — 86 : EU. Ferner sind die Verhältnisse 86 : EU und EU : UI gleich, weil sie beide einem dritten Verhältnisse 4.6 : LU gleich sind. Wegen 60 : UI - 4V : LI, und UL : IL — 4V . kl folgt eben so 6U : UI UL : IL. Endlich ist nach der Annahme auch UL : IL — L4 : LL. Es ist also 48:L6 —86:6U —6V:UI —UL:LI —L4.LL. Die beiden Vielecke 486UL und LEUIL haben also in der Ordnung gleiche Winkel und proportionirte Seiten; sie sind demnach ähnlich. 8. 73. Aufgabe. Uber einer gegebenen Geraden LE (Fig. 67) ein Vieleck zu beschreiben, welches einem gegebenen Viel¬ ecke 486VL ähnlich ist. Diese Aufgabe läßt mehrere Auflvsungsarten zu, worunter folgende die einfachsten feyn dürften. 1. Man zerlegt daS gegebene Vieleck mittelst Diagonalen in Dreiecke, beschreibe über LE ein dem Dreiecke 486 ähnliches Dreieck LEU, über der Seite LU ein dem Dreiecke 460 ähnliches Dreieck, und über LI das Dreieck LIL, welches mit 4VL ähnlich ist. Das Vieleck LEUIL bestehet nun aus drei Drei¬ ecken, welche der Ordnung nach mit den Dreiecken des 85 des Vieleckes HL6VL ähnlich sind; die beiden Viel¬ ecke sind demnach ähnlich. 2. Man ziehe von H (Fig. 68) aus zu allem Eckpunkten Diagonalen, mache HU—LL, und ziehe IllX^LL, L<2stvL; so ist das Vieleck HL6VL mit HLXl'O ähnlich. Verzeichnet man nun über L6 ein Vieleck L6IHL, welches mit HUMS kongruent ist, so ist dieses das verlangte Vieleck. Die Punkte A, N, L, 8 könnte man auch da¬ durch finden, daß man die Geraden HL, H6, HI), HL in dem Verhältnisse HL : L6 verkleinert, und die so verjüngten Geraden von H bis U, N, L, 8 aufträgt. Fünftes Hauptftüek. Krumme Linien und die von ihnen begrenzten Figuren. §: 74. ES gibt unzählig viele Arten von krummen Linien und krummlinigen Figuren, von denen einige regel¬ mäßig, andere unregelmäßig sind. Für das praktische Leben sind besonders drei sehr wichtig, nämlich der Kreis, die Ellipse und die Parabel. I. Die Kreislinie. 8. 75. Die Kreislinie oder der Kreis ist jene in sich selbst zurückkehrende krumme Linie, in welcher jeder Punkt 86 Punkt von einem gegebenen Punkte, den man Mit¬ telpunkt oder Zentrum nennt, dieselbe Entfer¬ nung hat. Diese Entfernung ist der Halbmesser. Alle Punkte, deren Entfernung vom Zentrum kleiner ist als der Halbmesser, liegen innerhalb der Kreislinie; und alle Punkte, deren Entfernung vom Zentrum größer ist als der Halbmesser, außerhalb der Kreislinie. Damit ein Kreis vollkommen bestimmt sei, muß man den Mittelpunkt und die Länge des Halbmessers kennen. Zwei Kreise, welche aus demselben Mittel¬ punkte mit demselben Halbmesser beschrieben werden, müssen ganz in einander fallen. u, Gerade Linien, die in Beziehung aus den Kreis vorkommen. 8. 76. Erklärungen. Eine Gerade (Fig. 69), welche zwei Punkte des Umfanges verbindet, heißt eine Sehne. Eine Sehne ist um so größer, je näher sie dem Mittelpunkte liegt; die längste Sehne ist daher dieje¬ nige, welche durch den Mittelpunkt selbst geht, nämlich der Durchmesser. Eine Gerade 60, welche durch den Kreis geht und den Umfang in zwei Punkten durchschneidet, heißt eine Durchschneidungölinie (Socsnto). Eine Gerade Lk', welche mit der Kreislinie nur in einem Punkte zusammentrifft, so daß alle andern Punk- 87 Punkte außerhalb des Kreises liegen, heißt eine B e- rührungslinie (Huxento). Durch den Schnitt des Kreises mit der Geraden entstehen folgende Figuren: 1. Der Kreisabschnitt (Kecmani) d. i. jener Theil der Kreisfläche, welcher zwischen einer Sehne und dem dazu gehörigen Bogen liegt, wie ; 2. der Kreisausschnitt s8oewr) d. i. jenes Stück der Kreisfläche, welches von zwei Halb¬ messern und dem dazwischen liegenden Bogen be¬ grenzt wird, wie ^06.4. §. 77. Lehrsätze. 1. Zu gleichen Sehnen gehören auch gleiche Bogen; und umgekehrt: zu gleichen Bo¬ gen gehören auch gleiche Sehnen. Von der Richtigkeit dieser zwei Sätze kann man sich überzeugen, indem man die betreffenden Kreisab¬ schnitte über einander legt; man wird nämlich fin¬ den, daß unter jeder der zwei obigen Voraussetzun¬ gen die beiden Kreisabschnitte vollkommen über ein¬ ander fallen, folglich im ersten Falle auch die Bogen, im zweiten auch die Sehnen sich vollkommen decken. 2. Die Gerade, welche das Zentrum eines Kreises mit der Mitte einer Sehne verbindet, steht auf der Sehne senkrecht. Es sei (Fig. 70) die Sehne ^8 im Punkte 0 halbirt, also H.I) — LV, so ist zu beweisen, daß 6V auf ^L senkrecht steht, oder mit andern Worten, daß die Winkel m und n gleich sind. Zu diesem Ende muß man 88 man zeigen, daß m und n in kongruenten Dreiecken gleichen Seiten gegenüberliegen; man ziehe daher die Halbmesser 46 und 86; die dadurch entstehenden Dreiecke 46V und 86V haben alle drei Seiten wech¬ selseitig gleich, folglich sind sie kongruent; die Winkel m und n liegen darin den gleichen Seiten 46 und 86 gegenüber, also sind sie einander gleich, oder 6V 48. 3. Wenn man in einem Kreise vom Mittelpunkte auf eine Sehne eine Senk¬ rechte zieht, so wird dadurch die Sehne halbirt. Es sei (Fig. 70) 6V 48, so ist zu beweisen, daß die Sehne 48 im Punkte v halbirt, daß näm¬ lich 4V — 8V ist. Man ziehe die Halbmesser 46 und 86, wodurch zwei rechtwinklige Dreiecke 46V und 86V entstehen; in diesen ist die Hypothenuse 46 86, und eine Kathete 6V gemeinschaftlich; die beiden Dreiecke sind demnach kongruent, und es müssen auch die dritten Seiten 4V und 8V gleich seyn. Die Sehne 48 ist also wirklich im Punkte v halbirt worden. 4. Wenn manin einem Kreise eine Sehne halbirt, und im Halbirungspunkte darauf eine Senkrechte errichtet, so muß diese durch den Mittelpunkt deS Kreises gehen. ES sei (Fig 71) 40 —8V, und VL_i_48; so ist zu zeigen, daß die Senkrechte V8 durch den Mittelpunkt des Kreises geht. Würde V8 nicht durch den Mittelpunkt des Kreises gehen, so müßte dieser Mittelpunkt außerhalb der Senkrechten V8 z. B. in k liegen; daraus aber würde etwas Unmögliches folgen. Man ziehe nämlich ?v, so müßte diese Gerade, da sie 89 sie das angenommene Zentrum I? mit der Mitte der Sehne verbindet, auf dieser Sehne senkrecht ste¬ hen, was jedoch nicht seyn kann, da durch einen Punkt 0 auf eine Gerade nur eine Senkrechte gezogen werden kann. Da aus der Annahme, daß der Mittel¬ punkt nicht in der VL läge, ein offenbarer Wider¬ spruch hervorgehet, so ist die Annahme selbst falsch, d. h. es ist falsch, daß OL nicht durch den Mittelpunkt geht; folglich ist das Gegcntheil wahr: OL geht durch den Mittelpunkt des Kreises. 5. Wenn man in dem Endpunkte eines Halbmessers darauf eine Senkrechte errich¬ tet, so ist diese eine Tangente des Kreises. ES sei (Fig. 72) OV. Jede schiefe Ge¬ rade, wie 6kl, Oje, . . ist länger als die Senkrechte 00; also liegen die Punkte D, k) . . außerhalb der Kreislinie. Die Gerade hat also mit der Kreis¬ linie nur den Punkt v gemeinschaftlich, alle andern Punkte liegen außerhalb des Kreises; 4U ist also eine Berührungslinie des Kreises. 8. 78. Aufgaben. 1. Den Mittelpunkt eines Kreises zu finden. a. Wenn der Halbmesser des Kreises d. i. die Zirkelöffnung bekannt ist, so ist es sehr leicht, den Mittelpunkt zu finden. Man weiß, daß der Mittel¬ punkt von allen Punkten des Umfanges so weit ab¬ steht, als die Zirkclvffnung beträgt; man braucht da¬ her nur aus Zwei Punkten des Umfanges, z. B. aus * 90 und L (Fig. 70) mit dem bekannten Halbmesser Bogen zu beschreiben; ihr Durchschnitt 6 ist der ge¬ suchte Mittelpunkt. b. Ist der Halbmesser nicht bekannt, so kann das frühere Verfahren nicht angewendet werden. Da kommt der Satz zu Hilfe, daß die in der Mitte einer Sehne errichtete Senkrechte durch den Mittelpunkt des Kreises gehen müsse. Man ziehe daher irgend eine Sehne L8 (Fig. 73), halbire sie, und errichte im Halbirungspunkte 6 darauf eine Senkrechte 61). — Ist nun der ganze Kreis verzeichnet, so ist diese Senkrechte, beiderseits bis an den Umfang gezogen, ein Durch¬ messer; man braucht sie nur noch zu halbiren, so erhält man den Mittelpunkt des Kreises. — Ist aber nicht der ganze Kreis, sondern nur ein Kreisbogen beschrieben, so ziehe man noch eine zweite Sehne 88, halbire sie, und ziehe darauf durch den Halbirungspunkt k' die Senk¬ rechte 66. Da nun sowohl die Senkrechte 60, als auch die 66 durch den Mittelpunkt des Kreises gehen muß, so muß dieser in ihrem Durchschnitte 0 liegen. e. Wenn endlich (Fig. 73) der Mittelpunkt eines Kreises zu finden ist, welcher durch drei gegebene Punkte 8 und 8, die nicht in einer geraden Linie liegen, gehen soll; so denke man sich den Kreis durch die drei Punkte schon beschrieben, und ziehe zwischen den gegebenen Punkten die Geraden H.8 und 88; so muß offenbar der Mittelpunkt O in den beiden Senkrechten liegen, die man in den Halbi- rungSpunkten der Sehnen ^8 und 88 auf dieselben errichtet. — Man findet also den Mittelpunkt auf folgende Art: Man zieht zwischen den gegebenen Punkten zwei gerade Linien ^8 und 88, und er¬ richtet in der Mitte derselben Senkrechte 6V und 86 — 91 k'6; der Durchschnittspunkt 0 derselben ist der gesuchte Mittelpunkt. 2. Durch einen Punkt v (Fig. 72) im Umfange eine Tangente an den Kreis zu ziehen. Man ziehe zn dem gegebenen Punkt einen Halb¬ messer 6V, und errichte daraus durch I) eine Senk¬ rechte L4, so ist diese die verlangte Tangente. l>. Winkel, die in Beziehung auf den Kreis Vorkommen. §. 79. Lehrsätze. In Hinsicht des Kreises und der darin vorkom¬ menden Winkel sind besonders folgende Sätze zu be¬ achten. 1. Zu gleichen Winkeln am Zentrum ge¬ hören auch gleiche Sehnen und Bogen; um¬ gekehrt: zu gleichen Sehnen gehören gleiche Zentriwinkel, und: zu gleichen Bogen ge¬ hören auch gleiche Zentriwinkel. Von der Richtigkeit dieser drei Sätze überzeugt man sich, wenn man entweder zwei gleiche Winkel am Mittelpunkte, oder zwei gleiche Sehnen, oder im dritten Satze zwei gleiche Bogen annimmt, und dann die betreffenden Kreisausschnitte über einander gelegt denkt; man wird dadurch finden, daß sich unter jeder dieser Voraussetzungen die beiden Kreisausschnitte voll¬ kommen decken, daß also bei jeder Annahme auch die übrigen Bedingungen eintreffen müssen. 92 2. Wenn man in einem Kreise mit dem Halbmesser als Sehne einen Bogen ab¬ schneidet, so beträgt der dazu gehörige Winkel am Mittelpunkte 68°. Es sei (Fig. 74) — E Das Dreieck 480 ist gleichseitig, daher enthält darin jeder Winkel 60°; also ist der Zentriwinkel 408 wirklich gleich 60°. 3. Wenn man in einem Kreise zwei auf einander senkrechte Halbmesser zieht, und den Halbirungspunkt des einen mit dem Endpunkte des andern durch eine gerade Linie verbindet; wenn man dann aus dieser Geraden die Hälfte des Halbmessers auf¬ trägt, und mit dem Reste einen Bogen ab¬ schneidet; so beträgt der zu diesem Bogen gehörige Zentriwinkel 36°. ES sei (Fig. 75) 80 40, und v die Mitte von 80; man ziehe 04, schneide vlk — V0 ab, und beschreibe mit dem Reste L4 den Bogen 4k. Trägt man die Sehne 4k im Kreise herum aus, so findet man, daß sie darin genau lOmal enthalten ist; es ist daher her Winkel 40k der lOte Theil von der Summe aller Winkel um den Mittelpunkt, also der lOte Theil von 360° d. i. 36°. 8- 8«. Aufgaben. 1. Einen Bogen zu halbiren. Um einen Bogen 48 (Fig. 76) zu halbiren, braucht man nur den dazu gehörigen Zentriwinkel 408 zu halbiren. Man beschreibe nämlich aus 4 und 8 mit 93 mit dem nämlichen Halbmesser zwei Bogen, welche sich schneiden, und ziehe durch ihren Dnrchschnittspnnkt I) und durch das Zentrum 6 eine Gerade V6; so ist dadurch der Zentriwinkel tlrOL, und folglich auch der Bogen 4L im Durchschnittspunkte L halbirt. 8. 81. 2. D e n Umfang eines Kreises in meh¬ rere gleiche Th ei le zu theilen. Mechanisch, nämlich mit Hilfe des Transpor¬ teurs, kann man die Theilung der Kreislinie in be¬ liebig viele gleiche Theile vornehmen. — Man trägt nämlich um den Mittelpunkt so viele gleiche Winkel herum auf, als die Kreislinie Theile enthalten soll; durch ihre Schenkel wird die Peripherie in die verlangte An¬ zahl gleicher Theile getheilt. Die Größe eines solchen Winkels findet man, wenn man die Summe aller Winkel um den Mittelpunkt d. i. 360" durch die An¬ zahl der Winkel dividirt. Es ist übrigens hinreichend, nur einen solchen Winkel am Mittelpunkte wirklich zu verzeichnen, und den durch seine Schenkel abgeschnit- tencn Bogen in der Peripherie aufzutragen. —. Um z. B. den Umfang in 5 gleiche Theile zu theilen, braucht man nur fünf gleiche Zentriwinkel zu bilden; . . 360 ° einer davon wird daher i — 72° betragen; man mache also (Fig. 75) den Winkel LLiss 72°, und trage den Bogen Liss im Umfange auf. Geometrisch lassen sich nur einige Theilungen ausführcn, diejenigen nämlich, bei denen der entspre¬ chende Zentriwinkel geometrisch konstruirt werden kann. Fürs erste ist die geometrische Theilung in zwei gleiche Theile möglich, indem man nur zwei Mittel¬ punkts- 94 Punktswinkel von — 1800 zu vergleichen, d. i. einen Durchmesser zu ziehen braucht. — Durchs Hal- biren eines jeden der zwei Theile erhält man 4, und durch fortgesetztes Halbiren 8, 16, 32, 64,.. . gleiche Theile. Steigt man nun stufenweise in der Anzahl der Theile, und bestimmt die Größe der entsprechenden Mittelpunktswinkel, so findet man, daß dann zunächst der Kreis in sechs gleiche Theile geometrisch getheilt werden kann; denn der Zentriwinkel — 60" läßt sich verzeichnen, wenn man mit dem Halbmesser selbst einen Bogen abschneidet. Um daher die Peripherie in 6 gleiche Theile zu theilen, braucht man nur den Halbmesser als Sehne im Kreise herum aufzutragen. — Nimmt man zwei solche Theile für einen einzigen, so ist der Kreis in 3 gleiche Theile getheilt. —- Durch allmähligcs Halbiren kann dann der Umfang in 12, 24, 48, 96, ... gleiche Theile getheilt werden. Ferner ° läßt sich die geometrische Theilung des Kreisumfangcs in zehn gleiche Theile vornehmen. Der 36()o Zentriwinkel — 36° läßt sich nämlich geometrisch konstruiren, wenn man (Fig. 75) zwei auf einander senkrechte Halbmesser zieht, die Mitte des einen mit dem Endpunkte des andern durch eine Gerade ver¬ bindet, dann von dieser Geraden den halben Halb¬ messer abschneidet, und mit dem Reste einen Bogen beschreibt. Dieser Bogen läßt sich in den Peripherien lOmal herum auftragen. — Betrachtet man zwei Theile zusammen für einen, so ist die Kreislinie in 5 gleiche Theile getheilt. — Durch fortgesetztes Halbiren kann man den Umfang auch in 20, 40, 80, 160, . . gleiche Theile theilen. Die 95 — Die Teilungen des Kreisumfanges finden im Leben häufige Anwendung; besonders wichtig find sie in dem Maschinenbau bei der Anfertigung der ge¬ zähnten Räder. 8- 82. 3. Einen Halbkreis in Grade zu thei- len, oder einen Transporteur anzufertigen. Damit der Halbkreis (Fig. 5) von Grad zu Grad getheilt erscheine, muß er 180 gleiche Thcile erhalten. Zu diesem Ende trage man zuerst den Halbmesser als Sehne im Halbkreise herum aus, wodurch man drei gleiche Theile erhält; durch zweimaliges Halbircn entstehen l2 gleiche Bogen. Thcilt man ferner durch Versuche jeden solchen Bogen in 3 gleiche Theile, so erhält man 36 gleiche Bogen; und wenn man jeden derselben ebenfalls durch Versuche noch in 5 gleiche Theile theilt, so hat man 180 gleiche Theile, deren jeder einen Grad enthält. Was gibt es noch für andere Arten, den Halb¬ kreis nach und nach in 180 gleiche Thcile zu theilen? e. Vieleck und Kreis. 8. 83. Lehrsätze. 1. Wenn man den Umfang eines Kreises in mehrere gleiche Theile theilt, und durch je zwei auf einander folgende Theilungs- Punkte eine Sehne zieht; so ist das von die¬ sen Sehnen gebildete Vieleck ein regel¬ mäßiges. Es sei z. B. die Kreislinie in 6 gleiche Theile getheilt (Fig. 77); man ziehe die Sehnen ^8, Ll7, cv, 96 60, VL, LI?, L4; es ist nun zu beweisen, daß das Vieleck ELODIE regelmäßig ist, daß es nämlich so¬ wohl gleiche Seiten als gleiche Winkel enthält. — Die Seiten des Vieleckes sind als Sehnen des Kreises, welche zu gleichen Bogen gehören, einander gleich. Um zu zeigen, daß auch die Winkel gleich sind, ziehe man die Geraden 46 und 8L; die Dreiecke 48 L und 486 sind nun kongruent; weil sie alle drei Seiten wechselseitig gleich haben; daher sind die gleichliegenden Winkel 4 und 8 gleich; eben so läßt sich die Gleich¬ heit der übrigen Winkel beweisen. Das Vieleck ist da¬ her gleichseitig und gleichwinklig, also regelmäßig. Ein solches Vieleck, dessen alle Eckpunkte in der Peripherie eines Kreises liegen, dessen Seiten also Sehnen des Kreises sind, heißt dem Kreise einge¬ schrieben oder in den Kreis beschrieben. 2. Wenn man zu den Eckpunkten eines regelmäßigen, dem Kreise eingeschriebenen Vieleckes Halbmesser zieht, so werden da¬ durch alle Umfan gswinkcl des Vieleckes halbirt. Es sei (Fig 74) 48 — 86 — 6V VL — . LL — L4, also 486VLL ein regelmäßiges, dem Kreise eingeschriebenes Vieleck; man ziehe die Halb¬ messer 40, 80, 60 ... , so ist zu beweisen, daß dadurch die Vieleckswinkel bei 4, 8, 6, . . halbirt werden. — Die Dreiecke 408, 806, 60V, . . sind gleichschenklig, also in jedem derselben die Winkel an der Grundlinie gleich; jene Dreiecke sind aber zu¬ gleich kongruent, weil sie alle drei Seiten wechselseitig gleich haben, daher sind die Winkel an der Grund¬ linie des einen Dreieckes, welche unter einander gleich find, auch den Winkeln an der Grundlinie in jedem an- 97 andern Dreiecke gleich; die Winkel a, b, v, ck, v, l", . . sind also unter einander gleich, folglich ist wirklich jeder Umfangswinkcl halbirt worden. 8- 84. Aufgaben. 1. Ein regelmäßiges Vieleck zu beschrei¬ ben, wo die Länge einer Seite unbestimmt ist. Man beschreibe einen Kreis, Heile den Umfang in so viele gleiche Theile, als das Vieleck Seiten haben soll, und ziehe durch je zwei auf einander fol¬ gende Theilungspunkte eine Gerade. 2. Ein regelmäßiges Vieleck zu ver¬ zeichnen, wo jede Seite eine bestimmte Länge haben muß. Hier kommt es nur darauf an, die Größe des Kreises zu finden, welchem das verlangte Vieleck ein¬ geschrieben erscheint. Zu diesem Ende braucht man nur das Dreieck AllO (Fig. 74) zu konstruiren, indem man für AL die gegebene Seite und für b und e, die halben Vielcckswinkel annimmt. Man berechne daher zuerst die Größe eines Vieleckswinkels, ziehe eine Ge¬ rade, welche der gegebenen Seite gleich ist, trage in jedem Endpunkte den halben Vieleckswinkel auf, aus dem Durchschnittspunktc der beiden neuen Schenkel beschreibe man durch die Endpunkte der gezogenen Geraden einen Kreis und trage darin die gegebene Seite herum auf. Man könnte ein regelmäßiges Vieleck auch auf folgende Art verzeichnen: man ziehe zuerst eine Seite trage in L den Vieleckswinkel auf, so gibt der Schenkel L6 die Richtung der nächsten Seite; man Geometrie. G nehme 98 nehme 80 — .48/ trage in 6 wieder den Vielecks¬ winkel auf, so gibt Ov die Richtung der folgenden Vielecksseite; auf diese Art fahre man fort, bis man zum Punkte 4. zurückkommt. Allein dieses Verfahren kann bei vielseitigen Vielecken bedeutende Fehler ge¬ ben, indem der geringste beim Aufträgen eines Win¬ kels begangene Fehler sich auf alle folgenden Winkel fortpflanzt. ä. Lage zweier Kreise gegen einander. §. 85. Bei der Vergleichung zweier Kreise hinsichtlich ihrer Lage sehe man zuerst darauf, ob sie denselben Mittelpunkt haben oder nicht. Haben die Kreise denselben Mittelpunkt, wie Fig. 78, so heißen sie konzentrisch; der zwischen ihren Peripherien befindliche Raum wird ein Ning genannt. Haben die Kreise nicht denselben Mittelpunkt, so können sie sich entweder berühren oder schneiden, oder cs ist keines von beiden der Fall. Zwei Kreise berühren sich, wenn ihre Umfänge nur einen Punkt gemeinschaftlich haben. Die Berührung geschieht von innen (Fig. 79) oder von außen (Fig. 80), je nachdem der eine Kreis innerhalb oder außerhalb des andern liegt. Wenn sich zwei Kreise durchschneiden, so haben ihre Peripherien zwei Punkte gemeinschaftlich. Das gemeinschaftliche Stück .4860 (Fig. 81) der bei¬ den Kreisflächen heißt eine Linse, jedes der nicht ge¬ mein- 99 meinschaftlichen Stücke, wie .^66!L und H.VM ein M o n d. Wenn sich endlich Kreise, die aus verschiedenen Mittelpunkten beschrieben werden, weder berühren noch schneiden, so können sic entweder in einander oder außer einander liegen. e. Länge des Kreisumfanges. 8. 86. Da der Bogen immer größer ist als die Sehne, die durch dessen Endpunkte geht, so ist der Umfang des Kreises gewiß größer, als der Umfang des eingeschrie¬ benen regelmäßigen Sechseckes, also größer als der 6fache Halbmesser, oder größer als der 3fache Durch¬ messer. Ferner ist gewiß, daß der Umfang des regel¬ mäßigen Zwölfeckcs sich schon mehr dem Umfange des Kreises nähern würde als der Umfang des Sechseckes; überhaupt, je größer die Zahl der Seiten des einem Kreise eingeschriebenen regelmäßigen Vieleckes ist, desto näher kommt sein Umfang dem Umfange des Kreises; desto kleiner wird also der Fehler, den man begehet, wenn man den Ilmfang des Vieleckes für den Umfang des Kreises annimmt. Auf diese Weise hat man nähe¬ rungsweise die Länge des Kreisumfanges bestimmt, und gefunden, daß der Umfang eines Kreises 3'mal, oder genauer 3,l416mal so groß ist als der Durchmesser. Daraus ergeben sich folgende zwei Sätze. 1- Um den Umfang eines Kreises zu finden, muß man den Durchmesser mit 3f oder ge¬ nauer mit 3,1416 multipliziren. 2. Um aus dem Umfange eines Kreises den Durchmesser zu bestimmen, muß man den Umfang durch 3f oder genauer durch 3,1416 dividiren. G 2 100 Beispiele. 1. Der Durchmesser eines Kreises beträgt 6"; wie groß ist der Umfang? 6" X 3z oder 6" x 3,14 genauer 6" X 3,1416 18z" 18,84" -18,8496" 2. Wie groß ist der Umfang eines Kreises, dessen Halbmesser 3' 5" ist? Halbm. — 3' 5" — 41" Durchm. — 82" 82 X 3^ 246 Ii; Umfang - 257z" — 21' 5z". 3. Wie groß ist der Durchmesser eines Kreises, dessen Umfang 20' beträgt? 20' : 3z 20 X 6?/; oder 20'o„ : 3'14 — 6,37' Durchmesser. 1160 2180 4. Der Umfang eines Baumes ist 2'6"; wie groß ist der Durchmesser? — 9,55". 5. Ein Grad des Erdäquators hat 15 geographische Meilen; wie groß ist der Halbmesser des Äquators? — Der ganze Äquator beträgt 360mal 15 d. i. 5400 geogr. Meilen; daher sein Durchmesser 5400: 3z 1718^, folglich der Halbmesser 859^ geogr. Meilen? 6. Ein Wagenrad hat 3' 2" im Durchmesser, wie viele Umdrehungen wird es machen müssen, um eine Postmeile von 4000° zurückzulegen? — Der Umfang des Rades ist 38" X 3,1416 -- 119,3808"; um die Anzahl der Umdrehungen zu erhalten, muß man die Länge 101 Länge des ganzen Weges durch den Umfang des Rades dividiren, wodurch man nahe 2412 bekommt; das Rad muß also 2412 Umläufe machen. 7. Ein kreisrundes Wasserbecken (Bassin) hat im Umfange 42 Steine, deren feder an der inner» Seite 11" lang ist; wie lang muß ein Balken seyn, damit er genau über die Mitte reiche, und auf feder Seite noch U hervorstehe? — Der Umfang des Beckens ist 42mal 11" 462", daher der Durchmesser 462": 3?, 147" — 2« 3"; folglich die Länge des Balkens 2° 2' 3". II Die Ellipse, 8. 87. Erklärungen. Die Ellipse ist jene in sich selbst zurückkehrendc krumme Linie, in welcher die Entfernungen eines jeden Punktes von zwei gegebenen Punkten zusammen ge¬ nommen gleich sind einer gegebenen Geraden. Sind (Fig. 82) und 8 die zwei gegebenen Punkte, und 88 die gegebene Gerade, so liegt der Punkt N in der Ellipse, wenn ss- 8N — 88 ist. Die zwei gegebenen Punkte .4 und 8 heißen Brennpunkte; die Entfernungen eines Punktes M von den beiden Brennpunkten, nämlich die Geraden und 84i, werden die Leitstrahlen oder Vek¬ toren jenes Punktes genannt. Die Gerade 08, welche durch die beiden Brenn¬ punkte geht, ist die längste Gerade, welche in der Ellipse gezogen werden kann, und heißt die große Ar? 102 Are; sie ist der gegebenen Geraden Ii8 gleich. Darum kann die Eigenschaft der Ellipse auch so ausgedrückt werden: Für jeden Punkt der Ellipse muß die Summe der beiden Leitstrahlen der großen Are gleich seyn. Die Endpunkte v und iss der großen Are heißen die Scheitel, und der Halbirungspunkt 6 der Mit¬ telpunkt der Ellipse. Die Entfernung eines Brennpunktes vom Mittel¬ punkte, wie ^6 oder nennt man die Exzentri¬ zität der Ellipse. Je kleiner die Exzentrizität ist, desto weniger unterscheidet sich die Ellipse von dem Kreise. Die Gerade b'O, welche im Mittelpunkte auf die große Are senkrecht steht, ist die kleinste Linie, welche in der Ellipse gezogen werden kann, weßhalb sie auch die kleine Are der Ellipse genannt wird. Zur vollkommenen Bestimmung der Ellipse muß die Lage der beiden Brennpunkte und die Länge der großen Are bekannt seyn. Die Ellipse ist in der Anwendung von großer Wich¬ tigkeit; man baut z. B. Gewölbe, Wasserbehälter, Ra¬ senplätze, Blumenbeete u. d. gl. von elliptischer Form; am merkwürdigsten aber ist diese Linie in der Astronomie, indem unsere Erde und alle Planeten unseres Sonnen¬ systems in mehr oder weniger länglichten Ellipsen sich um die Sonne bewegen, die sich in einem der Brenn¬ punkte aller jener elliptischen Bahnen befindet. 88. Aufgaben. 1. Beliebig viele Punkte der Ellipse geometrisch zu bestimmen. Es 103 Es seien (Fig. 82) V und L die beiden Brenn¬ punkte , und K8 sei die Länge der großen Are. Man ziehe durch die Brennpunkte eine Gerade, halbire den Abstand VN in 6, halbire auch K8 in 'k', und trage die Hälfte IlV von 6 aus bis l) und L auf; VL ist nun die große Arc der Ellipse, v und L ihre Scheitel. Beschreibt man ferner mit der halben großen Are aus beiden Brennpunkten nach oben und unten Bogen, so liegen die Durchschnittspunkte L und 6 in der Ellipse, weil bei jedem die Summe der beiden Leitstrahlen der großen Are gleich ist; zieht man durch L und eine Gerade, so muß dieselbe, weil über VL als Grund¬ linie nach oben und unten ein gleichschenkliges Dreieck gedacht werden kann, durch den Punkt 6 gehen und auf VN senkrecht stehen; Ltl ist also die kleine Arc der Ellipse. Nun nehme man zwischen den Brennpunkten irgend einen Punkt V an, so wird dadurch die große Are in zwei Abschnitte gcthcilt; beschreibt man zuerst mit dem kleinern DV aus beiden Brennpunkten nach oben und unten Bogen, und dann eben so mit dem großem Ab¬ schnitte LV, so sind die vier Durchschnittspunkte.V, iv, V und () Punkte der Ellipse, weil für jeden derselben der eine Leitstrahl dem kleinern Abschnitte VV der großen Are, und der andere Leitstrahl dem größern Abschnitte LV, also ihre Summe der ganzen großen Are gleich ist. Auf diese Art werden, wenn man in der Linie VN verschiedene Punkte annimmt, beliebig viele Punkte der Ellipse bestimmt werden. Liegen diese sehr nahe an einander, so kann man sie durch eine stetige Linie verbinden, und erhält dadurch die Ellipse. 89. 2. Eine Ellipse mittelst eines Fadens in einem Zuge zu beschreiben. Man 104 Man setze in die Brennpunkte k' und 6 (Fig. 83) die Spitzen eines Zirkels oder zwei Nadeln; um die¬ selben lege man einen Faden, welcher so lang ist als der Abstand der beiden Brennpunkte und die große Are zusammen genommen, also von der Länge Z- X?, und dessen Enden zusammengebunden sind. Nimmt man nun einen Zeichcnstift, legt ihn in das Innere des Fadens, und fährt damit um die beiden Punkte so herum, daß der Faden immer straff gespannt bleibt; so beschreibt dieser Stift eine Ellipse. Denn es ist bei die¬ ser Bewegung in jeder Lage des Stiftes N die Summe der Fadcnstücke und 6>I, welche die Leitstrahlen vorstellen, der Länge der großen Are gleich. 3. In ein Rechteck (Fig. 83) ein Blumenbeet von elliptischer Form aufzu¬ reißen. Man halbire die Seiten in den Punkten X, O, V und y, und ziehe Xk und Oy, so ist X? die große, und Oy die kleine Are der zu beschreibenden Ellipse. Nun nehme man die halbe große Arc, und beschreibe damit aus 0 Bogen, welche die große Are in den Punkten !' und 6 durchschneiden; diese stellen die beiden Brennpunkte vor. Schlägt man nun in den Brennpunkten zwei Pflöcke ein, und nimmt eine Schnur, welche so lang ist als der Abstand der Brennpunkte und die große Are zusammen genommen; so kann man, wenn in der gespannten Schnur ein unten zugespitzter Pflock herum¬ geführt wirt> die verlangte Ellipse aufreißen. §. 90. 4. Eine angenäherte Ellipse durch Zu¬ sammensetzung mehrerer Kreisbogen zu beschreiben. Man — 105 — Man schneide an einer Geraden (Fig. 84) drei gleiche Theile ab, nämlich Xlt — KO — 01), und beschreibe aus » und 6 die Bogen RVO und OVU; welche sich erweitert in I und L durchschneiden. Durch diese Punkte I und k und durch die Mittelpunkte li und 0 ziehe man vier Gerade, welche die vorhin be¬ schriebenen Bogen in vier Punkten D, 0, 6 und H schneiden. Beschreibt man nun aus L den Bogen 06, und aus I den Bogen Ltt, so erhält man die krumme Linie X0NV60, deren Gestalt einer Ellipse ähnlich ist. III. Die Parabel. 8. 91. Erklärungen- Die Parabel ist jene krumme Linie, in welcher jeder Punkt von einer gegebenen Geraden eben so weit entfernt ist als von einem gegebenen Punkte. Wenn (Fig. 85) .-VH die gegebene Gerade, und 6 der gegebene Punkt ist, so ist die Linie -IkMON eine Parabel, wenn jeder Punkt M von der Geraden so weit abstcht, als vom Punkte 0, wenn näm¬ lich die Senkrechte Älp der Geraden NO gleich ist. Die gegebene Gerade.VN heißt die Richtungs¬ linie, der gegebene Punkt 6 der Brennpunkt der Parabel. Die Gerade NO, welche man von einem Punkte N der Parabel zum Brennpunkte zieht, wird der Leitstrabl jenes Punktes genannt. Der Punkt v der Parabel, welcher in der Mitte zwischen der Richtungslinie und dem Brennpunkte liegt, heißt der Scheitel; und die Gerade VX, welche vom Scheitel durch den Brennpunkt hinaus gezogen wird, die Are der Parabel. Die 106 Die Gerade LI?, welche im Brennpunkte auf die Are senkrecht steht, heißt der Parameter der Parabel. Die Parabel ist nicht, wie der Kreis oder die Ellipse, eine in sich selbst zurückkehrcnde krumme Linie; ihre beiden Äste gehen immer weiter auseinander, je weiter sie sich vom Scheitel entfernen. Je kleiner der Parameter ist, desto spitziger wird die Parabel am Scheitel seyn. Damit die Parabel vollkommen bestimmt sei, muß die Lage der Richtungslinie und jene des Brenn¬ punktes bekannt seyn. Die Parabel findet häufige Anwendung. Eine schief ' gegen den Horizont oder auch horizontal abgeschossene Kugel beschreibt eine Parabel; ein aus einer Röhre horizontal hervorschießender Wasserstrahl beschreibt einen parabolischen Bogen. Die Parabel wird selbst in den Künsten und Ge¬ werben mannigfaltig angewendet; auf den Eigenschaften dieser krummen Linie beruhen die Reverberen bei Lampen, der Gebrauch der Hohlspiegel, der Hör- und Sprachrohre u. d. gl. §. 92. Aufgaben. 1. Beliebig viele Punkte der Parabel geometrisch zu bestimmen. Es sei (Fig. 85) die Richtungslinie, und 6 der Brennpunkt. Man ziehe vom Brennpunkte auf die Nichtungslinie eine Senkrechte 66, und verlängere diese über den Brennpunkt hinaus. Halbirt man nun den 107 den Abstand 06 im Punkte v, so ist 0 der Scheitel und VX die Are der Parabel. Nimmt man in der großen Are irgend einen Punkt V an, errichtet in diesem auf die Are eine Senkrechte, mißt den Abstand dieser Senk¬ rechten von der Richtungslinie, d. i. die Gerade V6 und beschreibt damit aus dem Brennpunkte nach oben und unten Bogen, welche jene Senkrechte in den Punkten IN und IX durchschneiden; so sind M und X' Punkte der Parabel, weil sie von der Nichtungslinie eben so weit abstchen als vom Brennpunkte. Wenn man auf diese Weise sehr viele Senkrechte auf der großen Arc errichtet und sie gehörig durchschneidet, so erhält man beliebig viele Punkte der Parabel. Wenn diese sehr nahe an einander liegen, so gibt ihre Verbindung mit einem freien Zuge den Weg der Parabel an. 8. 93. 2. Die Parabel in einem Zuge zu be¬ schreiben. Man nehme einen rechtwinkligen Winkelhaken, (Fig. 86), und einen Faden von der Länge befestige das eine Ende des Fadens im Brennpunkte v, und das andere in 6. Dann läßt man den Win¬ kelhaken mit der Kathete ^6 längs der Richtungslinie 61 fortgleiten, und führt zugleich den Zeichenstift N längs der Kathete so fort, daß dabei der Faden immer straff gespannt bleibt; der Stift HI beschreibt dadurch den vbern Ast der Parabel. Denn es wird bei jeder Lage des Winkelhakens die Fadcnlänge VN dem abgewickelten Stücke XN des Winkelhakens gleich seyn, d. h. cs wird in jeder Lage der Punkt N vom Brenn¬ punkte eben so weit abstehen als von der Richtungslinie. Um 108 Um eben so den untern Ast der Parabel zu er¬ halten, wird man den Winkelhaken so umdrchen, daß die Kante ^6 in die Richtung (Uss fällt. Sechstes Hanptstück. Kopiren der Figuren. 8. 94. Eine Figur kopiren heißt eine Figur ver¬ zeichnen, welche einer andern vorgelegtcn Figur gleich oder ähnlich ist. Die vorgelegte Figur, nach deren Mu¬ ster man zeichnet, heißt das Original, die Nachah¬ mung davon die Kopie. Die Kopie hat mit dem Original entweder gleiche Größe, oder sie erscheint nach einem bestimmten Ver¬ hältnisse vergrößert oder verkleinert. Um eine geradlinige Figur zu kopiren, überträgt man alle Eckpunkte des Originals in gehöriger Ent¬ fernung auf das für die Kopie bestimmte Papier, und verbindet sie durch gerade Linien. Hat man eine krumm¬ linige Figur zu kopiren, so überträgt man die vorzüg¬ lichsten Brenn- und Krümmungspunkte des Originals auf das Kopirblatt, und zieht die krummen Linien da¬ zwischen nach dem Augenmaße mit freier Hand. Beim Kopiren der Figuren kommt es also haupt¬ sächlich darauf an, daß man die Eck-, Brech- und Krümmungspunkte des Originals entweder in derselben oder in einer andern verhältnißmäßigen Entfernung auf die Kopie übertragen kann. I. 109 I. Kopiren in gleicher Größe. 95. L. Durch geometrische Bestimmung der Punkte. Das geometrische Kopiren in gleicher Größe grün¬ det sich auf das Verzeichnen kongruenter Figuren. 1. Bestimmung der Hauptpunkte aus dem Durchschnitte von Kreisbogen. Man überträgt auf das Kopirblatt zwei Punkte und v (Fig. ^7) des Originals in einer solchen Lage, daß darauf die ganze Figur eine schickliche Stel¬ lung erhalten kann. Um aus den dadurch erhaltenen zwei Punkten a und I> einen dritten Punkt a zu be¬ stimmen, nehme man vom Original den Abstand und beschreibe damit aus dem Punkte r» in der Kopie einen Bogen nach der Gegend, wo der Punkt o bei¬ läufig hinfallcn soll; dann nehme man vom Original die Entfernung 6U, und durchschncide mit diesem Halb¬ messer aus K den früher gezogenen Bogen; derDurch- schnütspunkt ist der gesuchte Punkt c. So kann man jeden Punkt der Kopie ans zwei andern bereits erhal¬ tenen Punkten bestimmen, und dadurch die Kopie aus¬ führen. — Damit sich die Fehler, die man allenfalls bei Bestimmung einzelner Punkte begehet, nicht auch auf die neuen Punkte fortpflanzen, soll man alle oder doch die meisten Punkte aus denselben zwei Punkten n und ll bestimmen. 8. 9«. 2. Bestimmung der Hauptpunkte durch Koordinaten. Wenn 110 Wenn man in einer Ebene von einem bestimmten Punkte X (Fig. 88) cine Gerade XX zieht, und von irgend einem Punkte LI auf diese Gerade eine Senk¬ rechte LI? fällt, so heißt das dadurch abgeschnlttene Stück X? der Geraden die Ab sciffc, die Senkrechte LI? selbst aber die Ordinate, und beide zusammen die Koordinaten jenes Punktes LI. Die Gerade XX heißt die Abscissenlinic. Wenn der Anfangspunkt X und die Richtung der Abscissenlinie XX gegeben sind, so ist die Lage eines jeden Punktes LI vollkommen bestimmt, wenn dessen Koordinaten X? und LI? bekannt sind; denn man braucht nur von X aus an der Abscissenlinie ein Stück abzuschneidcn, welches der Abscissc X? gleich ist, dann im Punkte? eine Senkrechte zu errichten, und die Ordinate ?LI darauf aufzutragcn; der Endpunkt ist der gesuchte Punkt Ll. Um mittelst der Koordinaten eine Figur X.L6VL ?6II1 (Fig. 80) zu kopiren, nehme man im Origi¬ nale irgend eine Gerade XL als Abscissenlinie und X als Anfangspunkt derselben an, und fälle von allen Haupt¬ punkten Senkrechte auf die Abscissenlinie. Sodann ziehe man auf dem Kopirblatte die Abscissenlinie so in schick¬ licher Lage, trage daraus in der Ordnung alle Abscissen von a bis K, 1, in, u. ... auf, errichte in diesen Punkten Senkrechte, und trage auf ihnen die entspre¬ chenden Ordinatcn von Ic bis b, von I bis i, von m bis e, . . . auf; so ist dadurch die Lage aller Punkte in der Kopie bestimmt; man braucht sic dann nur ge¬ hörig durch Linien zu verbinden. !)?- d. Andere Kopirmethoden. 1. Durch Quadratnetze. Man 111 Man überziehe das Original mit einer hinrei¬ chenden Menge kleinerer Quadrate. Dieseibc Quadrat- eintheilung wird auch auf dem zur Kopie bestimmten Papiere so genau als möglich mit feinen Bleilinien ausgeführt. Nun beginnt das Kopiren, indem man von Quadrat zu Quadrat die einzelnen Linien entweder durch bloße Abschätzung oder der größer» Genauigkeit wegen mit Hilfe eines Zirkels so auf die Kopie über¬ trägt, wie sie im Original verstiegen. Man fängt ge¬ wöhnlich in der linken ober» Ecke zu zeichnen an. — Wenn das Original nicht mit Quadraten überzogen werden darf, so bedient man sich eines Rahmens von Messing oder Kartenpapier, worüber dünne Seidcn- fäden ausgespamit find, um die Quadrate darzustellen; oder noch besser einer Glastafel, worin die Quadraten eingravirt sind. 2. Durch das Pikiren. Um eine Figur zu piktren, legt man das Original über das Kopirblatt, und befestiget beide an einander, nachdem sie vollkommen glatt ausgeftrichen wurden. Hierauf durchsticht man die Hauptpunkte des Originals mit einer feinen Nadel, so daß sie sich auf dem Kopir- blatte wieder darstellen, wo man sie dann nur gehörig durch Linien zu verbinden braucht. — Dieses Verfahren ist einfach und leicht, und besonders dann anzuwendcn, wenn das Original von geringem Wcrthe ist. §. 98. 3. Mit der Kopirscheibe. Sie ist eine in Holz eingefaßte Glastafcl, welche die Vorrichtung hat, in jeder Stellung pultförmig auf¬ gestellt zu werden. Auf dieses Glas wird das Origi¬ nal, darüber das Papier gelegt und gehörig befestiget, und 112 und die Kopirscheibe gegen das Licht gestellt. Nun zeichnet man die durchschimmernden Linien nach. 4. Durch ein Transparent-Papier. Man befestiget ein solches Papier auf das Ori¬ ginal, zeichnet die Figur durch, und überträgt diese Zeichnung durch das Pikiren, oder mittelst des Durch¬ pausens auf das Kopirblatt. Das Durchpausen be¬ steht darin, daß man die Rückseite des Transparent- Papiercs mit geschabcncm Blei bestreicht, und dieses mit einem Papierstücke gleichmäßig darauf verreibt, dann diese Seite des Transparent-Papieres auf das Kopirblatt legt, und die Figur, ohne sie durchzuschnciden, mit einem gespitzten Stifte überzieht, wodurch sich die¬ selbe auf dem Kopirblattc in Blei gezeichnet abdrücken wird. II. Kopiren nach einem vergrößerten oder ver¬ kleinerten Maßstabe. 8. 99. Das Kopiren nach einem geänderten Maßstabe beruhet auf der Verzeichnung ähnlicher Figuren. Es kann, so wie das Kopiren in gleicher Größe, entweder durch den Durchschnitt von Kreisbogen, oder mit Hilfe der Koordinaten ausgeführt werden; nur ist zu be¬ merken, daß im ersten Falle die Entfernungen des Originals, mit denen die Kreisbogen beschrieben wer¬ den, im zweiten die Absciffen und Ordinate» früher nach dem gegebenen Verhältnisse vergrößert oder ver¬ kleinert werden müssen, und dann erst mit diesen ver- hältnißmäßig veränderten Linien die Kopie auSzu- führen ist. Auch 113 Auch beim Kopiren nach einem gegebenen Ver¬ hältnisse können die Quadratnctze mit Vortheil ange- wendct werden; nur müssen die Quadratseiten der Kopie vcrhältnißmäßig größer oder kleiner sepn, als die Quadratseiten des Originals. Siebentes Hauptstüek. Flächeninhalt -er Figuren. §. IVO. Erklärungen. Die Größe einer Figur, oder der Raum, den ihre Grenzlinien einschließen, heißt ihr Flachenraum oder Flächeninhalt. Um den Flächeninhalt einer Figur zu bestimmen, muß man irgend eine bekannte Fläche als Maß oder Einheit annehmen, und untersuchen, wie oft diese als Embeit angenommene Fläche in der gegebenen Figur enthalten ist. Als Einheit des Flächenmaßes nimmt man ein Quadrat an, dessen jede Seite der Einheit des Llnienmaßks gleich ist, wovon st dann das Quadrat den Namen erhalt. Ein Quadrat, dessen jede Seite eine Klafter beträgt, heißt naiwich eine Quadrat¬ klafter ist die Seite des Quadrates ein Fuß, ein Zoll, . .. eine Meile, so heißt es ein Quadrat¬ fuß (ssü"', ein Quadratzvll (H)"), --- eine Quadrat meile (stZ Meile). Geometrie. H Um 114 Um nun eine Fläche, die z.B. auch Quadratklastcr enthalt, auszumeffcn, sollte man eigentlich so verfahren. Man nimmt eine Quadraiklafter, und trägt sie auf .der Fläche auf, so oft es angeht; gesetzt, dieses lasse sich 105mal bewerkstelligen, und es bleibe ein Rest, wel¬ cher-kleiner ist als eine Quadratklafter; die Fläche enthält also erstlich 105 Qj". Auf dem übriggcbliebcncn Theile trägt man einen Quadratfuß auf; dieser sei darin 17mal enthalten, und es bleibe noch ein kleiner Nest; die-bisher ausgemessene Fläche beträgt also schon tOö jH" Den Nest wird man mit Quadratzoll ausmeffen;, man trägt also einen Quadratzoll auf, und er sei genau 78mal darin enthalten, ohne daß ein Rest übrig bleibt. Dcr^ Inhalt der ganzen gemesse¬ nen Fläche ist'daher 105 17 d 78 Hs". Durch die Bestimmung des Flächeninhaltes findet man also, wie viel Ouadratklafter,.Quadrassuß, Qua- dratzell, . . . und bei Ausmessung sehr großer Flächen, z. 'B. ganzer Länder, wie viel Quadratmcilen die Fläche enthält. ' Das früher angegebene Verfahren, eine Fläche zu messen, wäre, obwvl cs unmittelbar aus dem Be- grisse des Messens hergeleitet ist, zu schwierig und oft gar'nicht ausführbar;' daher soll in dem Folgenden gezeigt werden, wie der Flächeninhalt ohne wirkliches Aufträgen der Flächenmaße, durch bloßes Messen der¬ jenigen Linien, von denen die Größe der Figur abhängt, bestimmt werden kann. 101. Flächeninhalt eines Rechteckes. -r Es sei (Fig, 00) -4li<70 ein Rechteck, dessen Grundlinie — 5', und die Höhe ^41) — R ist. — - 5 Um 115 Um den Flächcnraum dieses Rechteckes zu finden, sollte man, dem Begriffe des Messens zu Folge, einen Qua¬ dratfuß nehmen, und bestimmen, wie oft derselbe in dem Rechtecke enthalten ist. Langs der Grundlinie ^8 läßt sich ein Quadratfuß ömal umlegen, diese Reihe von 5 Quadratfuß gehört zur Hohe ; zur Hohe k'l, gehört eine zweite Reihe, in welcher ein Quadrat¬ fuß auch 5mal vorkommt; eine eben solche Reihe von 5 Quadratfuß gehört zur Höhe 6V. Man erhält also 3 Reihen von Quadraten , in jeder Reihe kommen 5 Quadratfuß vor; man hat daher zusammen 3mal 5—15 — Es folgt aus der bloßen Anschauung, daß, wie groß auch die Grundlinie und die Höhe seyn mögen, doch immer so viele Reihen von Quadratfuß Vorhanden sind, als die Höhe Fuß enthält, und daß rn einer Reihe so viele Quadratfuß Vorkommen, als die Grundlinie Fuß enthält; daß man also in jedem Falle die ganze Anzahl Quadratfuß findet, wenn man die beiden Zahlen, welche die Grundlinie und die Höhe des Rechteckes in Fuß angeben, mit einander multiplizirt. Beim Ausmeffcn eines Rechteckes braucht man daher nicht erst wirklich das Flächenmaß selbst darauf aufzutragcn; man darf nur mit dem Linienmaße die Grundlinie und die Höhe messen, und die dabei erhal¬ tenen Zahlen mit einander multipliziren. Man hat also den Satz: Der Flächeninhalt eines Rechteckes wird gefunden, wenn man die Grundlinie mit der Höhe multiplizirt. Die Benennung des Flächeninhaltes hängt von der Benennung der Seiten ab; sind z. B. die Seiten in H 2 Fuß 116 Fuß ausgedrückt, so wird die Zahl, welche man als Flacheninhalt bekommt, Quadratfuß anzcigen; sind die Seiten in Zoll gegeben, so erhalt man im Flächen¬ inhalte Quadratzoll. §. 102. Da jedes Quadrat als ein Rechteck betrachtet wer¬ den kann, worin die Grundlinie gleich der Höhe ist, so hat man folgenden Satz: Der Flächeninhalt eines Quadrates wird gefunden, wenn' man eine Seite mit sich selbst m ultiplizirt. Ist die Seite, so ist 1 X 1 — 1 fH" die Fläche, „2 „ ,, „„2x2 — 4 „ „ 3" „ „ „ „ 3 X 3 9 „ u. s. w. Daher kommt auch im Rechnen die Redensart: eine Zahl mit sich selbst multipliziren, heißt diese Zahl zum Quadrate erheben. Aus dem vorhergehenden Satze über den Flächen¬ inhalt eines Quadrates folgt: Isl? — 6X 6^ 36f^, ) 1s^ — 12 X 12 — 144sH", I für das Duodezimalmaß, IfH"^ 12 X 12 144^" > und 1O' -- 10X10-- 100IH", ) , § IUI" - 10 X 10 -- -uo^",! sur das Dezimalmaß. IsH Meile 4000 X 4000 - -6000000 sH'- Eine Fläche, welche 1600 fH" enthält, heißt ein Joch; ein Joch ist also gleich einem Quadrate, dessen jede Seite 40" beträgt. Wenn — 117 — Wenn der Flächeninhalt eines Quadrates bekannt ist, und man eine Seite finden will, so braucht man Nur eine Zahl zu suchen, welche mit sich selbst multi- Mzirt, den gegebenen Flächeninhalt gibt, d. h. man darf nur aus dem bekannten Flächeninhalte die Qua¬ dratwurzel auszichen. 103. Beispiele und Aufgaben. 1. Wie groß ist die Fläche eines Rechteckes, dessen Grundlinie 18", und die Höhe 12" ist? 18 X 12 — 21«Hs°. 2. Die Länge eines Rechteckes ist 4' 3", die Breite 1' 6"; wie groß ist der Flächenraum? Länge 4' 3" ^51" Breite - 1' 6" 18" 51 X 18 408 144 j 918"s 6 54 Also ist der Flächenraum — 6 Hst 54 3. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrates, dessen jede Seite 3° 5^ 6" beträgt? 282X282 504 2256 3" 5' 8" 564 23' ^?9524ssss" 46 282" 144 — 118- —. 36 144J 79524 0'^552 0' >15 0° 752 192 324 12 0' 36 O" Flächeninhalte 150" 12 0' 360"- 4. Der Flächenraum eines Quadrates beträgt 200" 270' 160"; wie groß ist eine Seite? 20 Q " 270' 1^0" i/t0!7.^84 —328 7470' 175 : 62 2988 5184 : 648 2988 ,/////// 1075840" 12 > 328" § 27' > 4° 88 3' 4' ' Eine Seite beträgt also 4" 3' 4". 5. Jemand kauft einen Bauplatz von der Form eines Rechteckes, 14" 4' lang und 9" 2' breit, und be¬ zahlt die Quadratklafter zu 5^ fl.; wie viel kostet ihn der Grund? Flächenraum — 136, 8870° i Betrag zu -0 fl. pr. O° - - - fl- 752 „ 53. 6. Ein Acker ist 58" lang und 5° 3' breit; wie viel Weizen wird zur Aussaat erfordert, wenn man auf ein Joch 3 Metzen Weizen aussäet? Ackerfläche 319 0°- Fläche eines Joches — 1600 O°- 1600 : 319 — 3 : x, woraus x gleich nahe ß Metzen. 7 — 119 — 7. Ein Saal ist 9° 4^ lang und 5" 5^ breit!; ww viele Ureter braucht mau, um den Fußboden dieses Saales zu dielen, wenn jedes Brct 1° 5^ lang und 11" breit ist? Fläche des Fußbodens — 2030 O — 2923200"-' Fläche eines Beetes .... — 14520"- 292320 : 1452 201M, also nahe 202 Breter. 8. Jemand besitzt einen Garten in Form eines Rechteckes, welcher 340° lang und 210° breit ist. Er will denselben mit einer 2^ breiten Mauer umfassen;, wie viel Raum wird diese Mauer wegnehmen? ' Die Seiten des Rechteckes innerhalb der Mauern sind um 2mal 2^ di i. um 5^ kleiner als jene des ganzen Rechteckes; man hat also Flache des, aanzm Rechteckes 34a X 2l<» — „ . innern „ — 33!,! X 20!^— also Grundfläche der Mauer — §. 104. Flächeninhalt eines schiefwinkligen Paral¬ lelogramms. ''r'" , ' - -- - -- i ') Jedes schiefe Parallelogramm (Fig. 91) kann in ein Rechteck von gleicher Grundlinie und Höher verwandelt werden, indem man nur auf einer Seite das rechtwinklige Dreieck OVIL abschneidct, Midi cs auf! die entgegengesetzte Seite an die Stelle von VUb' über--' trägt. Um nun den Flächeninhalt des Rechteckes IN,' finden, Muß man die Grundlinie mit der Höhe multi- pliziren; daher ist auch der Flächeninhalt eines schie- — iso — schiefen Parallelogramms gleich der Grund¬ linie multiplijirt mit der Höhe. Ist z. B. die Grundlinie ^8 10°, die Höhe so ist 10 X 4 — 40(H° der Flächeninhalt des Parallelogramms. 8 105. Flächeninhalt eines Dreieckes- Jedes Dreieck ^86 (Fig. 91) kann als die Hälfte eines Parallelogramms dargestellt werden, welches mit ihm gleiche Grundlinie und Höhe hat; man braucht nur durch zwei Scheitelpunkte 8 und 0 mit den gegen¬ überliegenden Seiten parallele Linien zu ziehen. Um nun den Flächeninhalt des Parallelogramms zu erhalten, muß man die Grundlinie mit der Höhe multipliziren; beim Dreiecke wird man daher auch die Grundlinie mit der Höhe multipliziren, aber von diesem Produkte nur die Hälfte nehmen. Der Flächeninhalt eines Dreieckes wird also gefunden, wenn man die Grund¬ linie mit der Höhe multiplizirt, und das Produkt durch 2 dividirt. Es ist gleichviel, ob man die ganze Grundlinie mit der ganzen Höhe § multiplijirt, und jvon diesem Produkte die Hälfte nimmt;1oder ob man sogleich von der Grundlinie die Hälfte nimmt, und die halbe Grund¬ linie mit der ganzen Höhe multiplijirt; oder ob man die ganze Grundlinie mit der halben Höhe multi- plizirt. In einem rechtwinkligen Dreiecke wird ge¬ wöhnlich eine Kathete als Grundlinie angenommen, wo — rri — wo sodann die andere Kathete die Höhe vorstellt. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes ist daher gleich dem halben Pro¬ dukte der beiden Katheten. Beispiele. 1. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Drei¬ eckes, worin die Grundlinie 10' und die Höhe 6' beträgt? Grundl. 10' oder halbe Grundl. 5' oder Grundl. 10' Höhe 6' Höhe 6' halbe Höhe 3* 60 300' 300' 300' 2. Man berechne die Fläche eines Dreieckes, besten Grundlinie 2° 4', und die Höhe 1° 3' ist. Grundl. 2» 4' — 16' 8X9 Höhe 1° 3' 9' 720' 2O°- 3. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine^ Kathete 29" 3', die andere 18° 4'; wie groß ist der Flächcnraum? 29^3'^177'- Katheten b6 18° 4- 112' ' 1239 99120' -36 - 2750° 271 192 120' Flächeninhalt -- 2750° 120' §. 106. 122 §. 106. ' Flächeninhalt eines Trapezes. Um den Flächenraum des Trapezes (Fig. 92) zu erhalten, braucht man es nur durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zu zerlegen, diesel¬ ben zu berechnen ulld zu addircn. Nimmt man in diesen Dreiecken die parallelen Seiten des Trapezes als Grundlinien an, so haben sic beide dieselbe Höhe wie das Trapez. Man findet nun die Fläche eines Dreieckes, wenn man die Grundlinie mit der halben Höhe multiplizirt; man wird also sede der beiden Grundlinien d. i. sede der parallelen Seiten mit der halben gemeinschaftlichen Höhe multipliziren, und diese Produkte addircn; oder, was kürzer ist, man wird sogleich die beiden parallelen Seiten addircn, und ihre Summe mit der halben Höhe multipliziren. Der Flächeninhalt eines Trapezes Wird daher gefunden, wenn man die beiden parallelen Seiten addirt, und ihre Summe mit der halben Höhe multiplizirt. Man kann übrigens auch von der Summe der parallelen Seiten die Hälfte nehmen, und diese halbe Summe mit der ganzen Höhe multipliziren; oder man kann die ganze Summe der parallelen Seiten mit der ganzen Höhe multipliziren, und erst vom Pro¬ dukte die Hälfte nehmen. Beispiele und Aufgaben. 1. In einem Trapeze betragen die parallelen Seiten 36" und 2?", die Höhe ist 18" ; wie groß rst der Flä¬ cheninhalt? Sum- 123 Summe der parall. Seiten 63° ' halbe Höhe 9° Fläche 567sZ2 2. Ein Walmdach soll mit Blech bedeckt werden. Die obere Länge des Daches beträgt 15° 4', die untere 17° 2", die Breite 5" 2', die Höhe einer Dachfläche 5° 2^. Wie viel Blcchtafeln braucht man zur Deckung dieses Daches, wenn eine solche Tafel 1^ lang und 10^ breit ist ; und wie hoch kommt das ganze Blech zu stehen^ wenn eine Blechtafel 5 Kr. kostet? Zwei Dachflächen sind Trapeze , die beiden andern Dreiecke. 15« 4' -t- 17° 2' Em Trapez — - 2 - X 5« 2' — 3168^ 5° 3^ X 5° 2^ Ein Dreieck — -- — 528Hsi Beide Trapeze — 6336^ Beide Dreiecke — 1056 „ Ganze Dachfl. 7392^ 1064448ID" Eine Blechtafcl — 12 X 10 — 120kH" 1064448 : 120 — 8870,4 Tafeln. 8870,4 Blechtafcln zu 5 Kr. - ff. 739 „ 12. 107. Flächeninhalt eines regelnrä ßigcnVieleckes. Die Fläche eines regulären Vieleckes H.KOVLk' (Fig. 74) wird man sicher finden, wenn man von der Mitte zu allen Endpunkten gerade Linien zieht, und die dadurch entstehenden Dreiecke berechnet; da aber diese Dreiecke kongruent sind, so braucht man nur eines zu bestimmen, und die gefundene Fläche mit der, > An- 124 Anzahl der Dreiecke zu multipliziren. Der Flächenin¬ halt eines Dreieckes ^08 ist gleich der Grundlinie 48 multiplizirt mit der halben Höhe OH; daher die Flä¬ che aller 6 Dreiecke gleich 6mal 48 multiplizirt mit der halben Höhe OU; 6mal .48 ist der Umfang des Vieleckes, OU ist der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite des Vieleckes. Daher gilt der Satz: Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vieleckes wird gefunden, wenn man den Umfang desselben mit dem halben Abstande des Mittelpunktes von einer Seite multi- chlizirt. Um den Mittelpunkt eines regulären Vieleckes zu erhalten, braucht man nur zwei Umfangswinkel zu halbiren; der Durchschnitt der Haibirungsiinien ist die gesuchte Mitte. — Warum? Beispiel. In einem regelmäßigen Zehnecke beträgt eine Seite 4« V 6" , und der Abstand des Mittelpunktes von einer Seite 6" V 6"; wie groß ist der Flächeninhalt? Seite 4« 2' 6" — 318" Abstand 6° 2' 6" — 462" Umfang — 318ll" halber Abstand — 231" 3180 X 231 954 636 734580 Inhalt 141 s^° 25^'36^ §. 108. Flächeninhalt irgend einer geradlinigen Figur. Den Flächeninhalt einer geradlinigen Figur kann man vorzüglich auf folgende Arten bestimmen: 1. 125 Beispiel. 1. Man zerlege die Figur durch Diagonalen in lauter Dreiecke, berechne jedes dieser Dreiecke, und- addire alle Dreiecksflächen. Es sei die Fläche des Vieleckes 480V880 (Fig. 9") auszurechnen. Man zerlege das Vieleck in lauter Dreiecke; und es sei 80 — 39", 88 — 42,5°, 00 — 31,5°, 08 — 39,5°, 4a -- 11,6°, Oe — 19,7°, 8e-12,l°, 8b —35,4°, 81 — 16,4°. Man hat nun 2. Man ziehe durch zwei Endpunkte eine Gerade als Absciffenlinie, und falle darauf von allen übrigen Eckpunkten Senkrechte, so .erfüllt die Figur in lauter rechtwinklige Dreiecke und Trapeze, welche einzeln be¬ rechnet und adtirt werden. Dabei werden die Ordi- naten als Grundlinien der Dreiecke oder als parallele Seiten der Trapeze, die Abscissentheile aber als Höhen betrachtet. Bei- — 126 — Beispiel. Es sei (Fig. 94)85—60,5°, 6c-57,2 °, vä-46°, 1^52,3°, 6§-I2,1°, ttk-l7,1°, Ii-63,4°; fer¬ ner ^i—9,1°, ill—29,'°, 55—22,1°, 5§—3,1°, ssc—19,2°, cs—15,4°, sä-16,8°, äL^Z4,8°. Die Rechnung kann in folgender Tabelle zusam- mengcstellt werden. 8. los. 127 8. 109. Flächeninhalt eines Kreises. Denkt man sich in einem Kreise unzählig viele Halbmesser gezogen, so zerfällt die Kreisfläche in unzäh¬ lig viele Kreisausschnitte; diese kann man als Drei¬ ecke ansehen, deren gemeinschaftliche Höhe der Halb¬ messer ist, und deren Grundlinien zusammen den Um¬ fang geben. Um also die Fläche des Kreises zu erhal¬ ten, wird man alle Drciecksflächen berechnen und ad- diren; den Flächeninhalt eines Dreieckes findet man, wenn man die Grundlinie mit der halben Höhe multi- plizirN man wird also ihre Grundlinien addiren, und ihre Summe d. i. den Krcisumfang mit der halben gemeinschaftlichen Höhe, d. i. mit dem halben Halb¬ messer multipliziren. Der Flächeninhalt eines Kreises ist also gleich dem Umfange multi- Plizirt mit dem halben Halbmesser. Dieser Satz läßt sich noch auf eine andere Art darstellen. — Der Umfang eines Kreises ist nämlich das Produkt aus dem Doppelten Halbmesser und aus 3,1416; der Flächeninhalt ist daher das Produkt aus drei Faktoren: aus dem doppelten Halbmesser, dem halben Halbmesser und 3,1416; allein der doppelte Halbmesser mit dem halben Halbmesser multiplizirt, gibt das Quadrat des Halbmessers. Man kann also auch sagen; Der Flächeninhalt eines Kreises ist gleich dem Quadrate des Halbmessers multiplizirt mit 3, >416. Daraus folgt: Die Flächen zweier Kreise verhalten sich so zu einander, wie die Quadrate ihrer Halb- 128 Halbmesser, oder, was gleichviel ist, wie die Quadrate ihrer Durchmesser. Wenn umgekehrt der Flächeninhalt eines Kreises bekannt ist, und man die Länge des Halbmessers fin¬ den will, so braucht man nur den Flächeninhalt durch 3,1416. zu dividiren; der Quotient stellt das Quadrat des Halbmessers vor; zieht man daraus die Quadrat¬ wurzel, so hat man den Halbmesser selbst. Weil die ganze Kreisfläche gleich ist dem ganzen Umfange multiplizirt mit dem halben Halbmesser, so ist offenbar der Flächeninhalt eines Kreisaus¬ schnittes gleich der Länge des dazu gehöri¬ gen Bogens multiplizirt mit dem halben Halbmesser. Den Flächeninhalt eines Kreisringes findet man, wenn man die Flächen der beiden Kreise, deren Unterschied der Ning ist, berechnet und von einander subtrabirt. — Man kann übrigens den Krciöring auch in sehr viele Vierecke zerlegt denken, die man als Tra¬ peze berechnet, und addirt, woraus dann folgt: Der Flächeninhalt eines Kreisringes ist gleich der Summe der beiden Peripherien multiplizirt mit ihrem halben Abstande d. i. mit dem halben Unterschiede der beiden Halb¬ messer. Beispiele. 1. Der Halbmesser eines Kreises ist lO"; wie groß ist der Flachenraum? Halbm ^-16" 1 6 XI" Durchm. — 2t>" 160 X 3,14 <6 Umfang — 62,832" 314,16^". halb Halbm. — 5" Flächeninh. — 314, 2. 129 2. Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, dessen Flächeninhalt 5 56 beträgt? 5^1' 56^1" — 776HI" 776:3,.1.4 — 247,14 1480 2240 42 I^2!47,14--15,7" 1'3,7". 11 14.7 : 25 22 1.4 : 307 65 3. Ein kreisrunder Saal hat 4" 4' im Durchmes¬ ser, wie groß ist der Flächeninhalt? Durchm. —4" 4' — 28' 14 X 14 — 196 Halbm. — 14' 196X3,14—615,44 615,44 ID'— 17 0° 3,44 s^'. 4. Ein Garten ist 38" 2' lang, 21° 3' breit; in der Mitte desselben befindet sich ein kreisrunder Teich, welcher sammt der ihn einschließenden Mauer 5° 4> im Durchmesser hat; wie groß ist die Landflache des Gartens? Länge des Gartens — 38° 2' 230' Breite „ „ — 21° 3' — 1 29' Fläche des Gartens — 2S67V Durchm. 5" 4' 34' Halbm. des Teiches — 17' 17 x 17 — 289 289 x 3,14 — 907,46 Fläche des Teiches 907,46 Ul' Landfläche — 28762,54 sH' - 798 HI° 34,54 5. Ein kreisrunder Rasen von 42' Durchmesser Geometrie. j» 130 .ist mit einem 8^ breiten Wege umzogen; wie viel Flächenraum nimmt dieser Weg ein? Fläche des Rasens und Weges — 2640,74 Fläche des Rasens allein — 1384,74 ssssi also Fläche des Weges — 1256 — 34Hs°32^. oder: äußerer Umfang des Weges — 182,12^ innerer „ „ „ — 131,88^ Summe — 314^ halber Abstand — Fläche des Weges — 1256 sI Z. 110. Flächeninhalt einer Ellipse. Man hat gefunden, daß eine Ellipse eben so viel Raum einschlicßt, als ein Kreis, dessen Halbmesser die mittlere geometrische Proportionale zwischen den beiden halben Aren der Ellipse ist. Das Quadrat des Halbmessers dieses Kreises ist also gleich dem Produkte aus den beiden Halbarcn der Ellipse. Da nun der Flächeninhalt eines Kreises gleich ist dem Quadrate des Halbmessers multiplizirt mit 3,1416, so folgt: Der Flächeninhalt einer Ellipse wird gefunden, wenn man das Produkt der bei¬ den halben Aren mit 3,1416 multiplizirt. Beispiel. Wie groß ist der Flächeninhalt einer Ellipse, deren Aren 11^ und 7^ sind? 11 7 Produkt der Halbarcn — X Z " Flächeninhalt -- 19z X 3,1416 — 60,47 111. — 131 — m. Flächeninhalt irgend einer krummlinigen Figur. Um den Flächeninhalt jeder beliebigen krummli¬ nigen Figur zu finden, ziehe man nach ihrer größten Länge eine Gerade, und fälle darauf von allen Brech- und Krümmungspunkten Senkrechte; dadurch zerfällt die gegebene Figur in eine Menge kleiner Figuren, die man als rechtwinklige Dreiecke und Trapeze be¬ trachten kann, dann als solche berechnet und addirt. 112. Pythagoräischer Lehrsatz. Zum Schluffe dieses Abschnittes wollen wir noch einen besonders merkwürdigen Satz entwickeln. Verzeichnet man einen rechten Winkel ^86 (Fig. 95), trägt dann auf dem einen Schenkel 3, auf dem andern 4 gleiche Theile z. B. Fuß auf, und ver¬ bindet die Endpunkte durch eine Gerade ^6, so fin¬ det man, daß die Hypothenuse des dadurch entstehen¬ den Dreieckes genau 5 Fuß enthalten wird. Das Quadrat von 3 ist 9, das Quadrat von 4 ist 16, und die Summe der Quadrate 25; das Quadrat der Hypothenuse 5 ist auch 25. Es ist also das Quadrat der Hypothenuse so groß als die Summe aus den Quadraten der beiden Katheten. Dieses läßt sich auch geometrisch ableiten. Be¬ schreibt man nämlich sowohl über der Hypothenuse als über den Katheten Quadrate, und zerlegt jedes derselben in Quadratfuß; so sieht man, daß in dem Quadrate der Hypothenuse eben so viele Quadratfufi I 2 vor- 132 vorkommen, als in den Quadraten der keiden Kathe¬ ten zusammen genommen. Durch diese Betrachtungen wird man auf den Satz geführt: In einem rechtwinkligen Dreiecke ist das Quadrat der Hypothenuse gleich der Summe aus den Quadraten der beiden Katheten. Dieser Lehrsatz heißt nack seinem Erfin¬ der Pythagoras der Pythagoräische. Um zu zeigen, daß dieser Satz für irgend ein rechtwinkliges Dreieck» (Fig. 96) giltig ist, er¬ richtet man über der Hypothenuse .4.6 das Quadrat verlängere L6, und fälle darauf die Senk¬ rechten vk' und LO; eben so fälle man auf L6 die Senkrechten und VI. Die rechtwinkligen Dreiecke , 6vlo, OLI und KVH, die wir kürzer durch in, n, x und cz bezeichnen wollen, haben nun eine Seite, nämlich die Hypothenuse, gleich; ferner haben sie außer dem rechten Winkel auch die spitzigen Winkel wechselseitig gleich, weil ihre Schenkel bezie¬ hungsweise entweder parallel oder auf einander senk¬ recht sind; jene vier Dreiecke sind demnach kongruent. Aus der Kongruenz dieser Dreiecke folgt, daß H.II — ^!t, daß also das Quadrat über der Kathete Hi ist; ferner, daß vk 01 — L6, daß also vkkck das Quadrat der Kathete Ltl ist. — Betrach¬ tet man nun die Figur so sieht man, daß sie die Quadrate der beiden Katheten enthält; man erhält aber offenbar denselben Flächenraum, wenn man von dieser Figur die zwei Dreiecke m und n unten wegnimmt, und sie oben an die Stelle der Dreiecke p und g anlegt; die Figur die da¬ durch entstehet, ist das Quadrat der Hypothenuse ^.6. Da - 133 — Da nun diese neu entstandene Figur mit der frühem gleichen Flächenraum enthält; so ist wirklich das Qua¬ drat der Hypothenuse gleich der Summe aus den Quadraten der beiden Katheten. Dieser Beweis kann recht anschaulich gemacht werden, wenn man eine starke Pappe mit Papier überzieht, darauf die ganze vorhergehende Figur verzeichnet, und den Thcil Herausschnei¬ der; dann das Quadrat ^.868 mit irgend einer, und das Quadrat DlfiOI mit einer andern Farbe anstreicht, und endlich die Figur nach den Linien /VO und 6l) durchschneidet, so daß die Drei¬ ecke m und n unten weggenommen und vbcn an die Stelle der Dreiecke und p angelegt werden können. §. 113. Mit Hilse des Pythagoräischen Lehrsatzes kann man, wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes bekannt stnd, durch eine leichte Rechnung die dritte Seite finden. 1. Wenn die beiden Katheten bekannt sind, so erhebt man jede Kathete zum Quadrate, addirt die Quadrate, diese Summe gibt das Quadrat der Hypo¬ thenuse; um daher die Hypothenuse selbst zu bekom¬ men, braucht man nur aus jener Summe die Qua¬ dratwurzel auszuziehen. Es sei z. B. die eine Kathete 36", die andere 160"; wie groß ist die Hypothenuse? 36 160 1296 36 igo 25600 216 "96^ lXÄ6 8>96 — l 64" Hypvth. 108 16 16.8 :26 1296 25VÖÖ 12 9.6 -324 2. 134 2. Wenn die Hypothenuse und eine Kathete be¬ kannt sind, so erhebe man beide zum Quadrate, zie¬ he vom Quadrate der Hypothenuse das Quadrat der bekannten Kathete ab, der Rest gibt das Quadrat der andern noch unbekannten Kathete; will man diese Kathete selbst finden, so darf man nur aus jenem Reste die Quadratwurzel ausziehen. Es sei z. B. die Hypothenuse 2° 5' 4", eine Kathete 1° 8"; wie groß ist die andere Kathete? Hyp. —2°5'4" — 208" 2V8 X 208 80 X 80 Kath.—1° 8"—80" 1664" 6400 416 43264 43264 6400 3,6 8!64 — 192" — 2° 4* die zweite Kathete. 2 6.8 :29 76.4 :382 §. 114. Aufgaben. 1. Es soll eine Leiter gemacht werden, welche^ wenn sie unten 7" weit von dem Hause an das¬ selbe angelegt wird, daran 16' hoch reicht; wie lang wird die Leiter scyn müssen? Die Leiter kann als Hypothenuse eines recht¬ winkligen Dreieckes angesehen werden, der Abstand vom Hause 7' bildet die eine Kathete, die Höhe 16' die andere. 7? — 49 16? — 256 305 — 17, 46' die Länge der Leiter. 2. 135 S. Bei einem gewöhnlichen Hausdache ist der Dachstuhl 41' breit; wie lang müssen die Dachsparren werden, wenn der Dachstuhl 18' hoch werden soll? Die Länge eines Dachsparrens bildet die Hhpo- thenusc eines rechtwinkligen Dreieckes, dessen Ka¬ theten die Höhe und die halbe Breite des Dach¬ stuhles sind. Hohe — 18' 18' 324 halbe Br. — 20,5' 20,5' — 420,25 Länge des Sparrens — 744,25 — 27,28'. 3. In einem gleichseitigen Dreiecke beträgt jede Seite 8'; wie groß ist die Höhe? Die Höhe eines gleichseitigen Dreieckes bildet die Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes, worin als Hhpothcnuse die ganze Seite, und- als zweite Kathete die halbe Seite des gleichseitigen Dreieckes vorkommt. 8' 64 4' 16 48 — 6,93' Höhe des gleichseit. Dreieckes. 4. Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleich¬ seitigen Dreieckes, dessen Seite 4° 3' 6" beträgt? Seite — 4°3'6" — 330" 330' — 108900 halbe Seite—165" 165'— 27225 Höhe — 81675 — 285,78" Grundlinie — 330" halbe Höhe — 142,89" Flächeninhalt — 47153,7 -rr 9sD° 365,7^". 5- In einem gleichschenkligen Dreiecke beträgt die Grundlinie 4' 8" und jede der gleichen Seiten 5' 2"; wie groß ist die Höhe, und wie groß der Flächen¬ raum? 136 raum? — Die Höhe beträgt 4^ 7,31", der Flächen¬ raum 10 108,68 lH". 6. Es soll eine sechsseitige regelmäßige Laube ausgesteckt werden, deren jede Seite 6' lang seyn soll; wie groß ist der dazu erforderliche Raum? Der Abstand des Mittelpunktes von einer Seile kann als Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes be¬ trachtet werden, dessen Hypothenuse 6' und die an¬ dere Kathete 3' ist. Abstand der Mitte von einer Seite 5,19^ Umfang des Sechseckes 36^ Flächenraum 2 21,44 Anhang. Ginigc Grundlehren der praktischen Geometrie. 8. 115. Die praktische Geometrie, auch Geodäsie genannt, lehret die Entfernungen der Örter zu mes¬ sen, und die auf der Oberfläche unserer Erde vor¬ kommenden Figuren auf dem Papiere ähnlich zu ver¬ zeichnen. Die Figuren, die der Feldmesser entwirft, werden immer auf die Horizontalebene d. i. fene Ebene, welche die Oberfläche des stillstehenden Wassers anzeigt, re- 137 reduzirt. Man denkt sich nämlich unter der wirklichen Figur der Erdoberfläche eine Horizvntalcbene, und Vertikal unter jedem Punkte der wirklichen Fläche einen Punkt auf der Horizontalebenc; verbindet man diese letztem Punkte gehörig durch Linien, so ist die dadurch entstehende Figur die auf den Horizont reduzirtc Fläche. Die Rcduzirung der gemessenen Fläche auf die Horizontalebene geschieht darum, weil sich die Rich¬ tung dieser Ebene viel leichter bestimmen läßt als die Richtung jeder andern Fläche; wie auch darum, weil der Werth eines Grundstückes von der Ausdehnung abhängt, welche dieses auf der Horizontalfläche ein¬ nimmt; da nämlich fast alle Gewächse in vertikaler Richtung wachsen, so können (Fig. 97) von solchen Gewächsen auf der schiefen Richtung von nach 6 nicht mehr stehen, als auf der horizontalen Fläche ^8. Die Bcstandtheile der Figuren sind Linien nnd Winkel; daher muß vor Allem gelehret werden, wie man die Linien und die Winkel auf dem Felde mißt. I. Messen der Linien auf dem Felde. 8. 116. Werkzeuge. Beim Ausmesscn einer geraden Linie auf dem Felde kommt ein dreifaches Geschäft vor: das Be¬ zeichnen der Endpunkte, das Bestimmen mehre¬ rer Zwischenpunktc oder das Ab st eck en, und das wirkliche Messen. Dabei braucht man folgende Werkzeuge: 1. 138 1. Zum Bezeichnen der Endpunkte, wenn diese nicht schon von Natur aus kenntlich tmd, die¬ nen Pflöcke (Fig. 98) und Meßfahnen (Fig. 99), und zwar von verschiedener Größe. 2. Zum Abstecken der Geraden bedient man sich der Absteckstäbe; diese sind (Fig. 100) gerade 5 bis 8 Fuß hohe Stangen, welche unten eine eiserne Spitze haben. 3. Zum wirklichen Messen braucht man ent¬ weder die Maß- oder Klafterstäbc, oder die Meßkette (Fig. 101) mit zwei Kett en staben (Fig. 102) und zehn Kettennägeln (Fig. 103). Die Mcßkette hat eine Länge von 10 Wiener-Klaftern, und bestehet aus eisernen Gliedern, welche mit Ringen verbunden sind. Die einzelnen Klaftern macht man durch größere messingene Ringe bemerkbar; und an bei¬ den Enden befinden sich auch zwei weitere Ringe, durch welche die Kettenstäbe durchgeschobcn werden. 8- 117. Verfahren heim Ab st ecken. Wenn die Endpunkte der zu messenden Geraden ^8 (Fig. 104) sehr weit von einander abstchcn, so daß man von dem einen zum andern nicht sicher ge¬ nug in gerader Richtung messen kann, so muß man die Gerade abstecken, d. i. mehrere Zwischenpunkte bestimmen, welche mit den Endpunkten in gerader Linie liegen. Um zwischen zwei Stäben und 8 einen dritten 6 in gerade Linien zu bringen, trete man ein Paar Schritte hinter den einen Stab 8 zurück, lasse durch ei- 139 einen Gehilfen den einzurichtenden Stab zwischen zwei Fingern frei halten, so daß er vertikal hängt, und gebe ihm durch Zeichen mit der Hand zu verstehen^ daß er seinen Stab so lange rechts oder links bewe¬ ge, bis man ihn in der Richtung der beiden Stäbe 8 und erblickt, indem man dabei immer an der¬ selben Seite der Stäbe vorbeivisirt; ist dieses der Fall, so gibt man dem Gehilfen ein Zeichen, worauf er den Stab frei fallen läßt, und vertikal in die Erde steckt. — Beim Abstecken einer langen Linie wer¬ den immer die entfernteren Stäbe früher eingerichtet als die nähern. Um in der Verlängerung einer Geraden ^8 (Fig. 105) einen Stab einzurichten, stelle man sich Nach dem Augenmaße daselbst auf, visire an der Seite des Stabes, den man zwischen zwei Fingern frei hält, nach den beiden Stäben, wodurch die zu ver¬ längernde Gerade bezeichnet ist, und bewege sich mit seinem Stabe so lange rechts oder links, bis sich all^ drei Stäbe decken; dann wird der Stab vertikal ein¬ gesetzt. §. 118. Verfahren beim wirklichen Messen. 1. Mit den Klafterstäben. Man spanne, um beim Anlegen der Maßstäbe- nicht aus der Richtung der zu messenden Geraden heraus zu kommen, in derselben eine Schnur aus, lege daran, wenn der Boden eben ist, den einen Maßstab, an diesen den zweiten; sodann hebe man den ersten auf, und lege ihn an das Ende des zwei¬ ten, und verfahre so bis an das Ende der Linie» die 14V Pie gemessenen Längen müssen genau angcmerkt und zuletzt addirt werden. — Ist der Boden uneben, so legt man die Klafterstäbe nicht auf den Boden, son¬ dern hält dieselben in der Luft möglichst horizontal. 2. Mit der Meßkette. Man schiebt die Endringe der Kette an die Ket¬ tenstäbe, womit die Kette von zwei Gehilfen, welche Kettenzieher heißen, getragen wird. Der Hintere Kettenzieher setzt seinen Stab in den Anfangspunkt.4 (Fig. 106) der zu messenden Linie, während der vor¬ dere die Kette locker weiter zieht, dann seinen Ket¬ tenstab in den Boden steckt, und längs der Kette bis zurückgehet, um zu sehen, ob nicht eine Verschlin¬ gung der Ringe in der Kette vorkommt, welche er in diesem Falle auflöst. Dann gehet er zu seinem Kettenftabe zurück, läßt sich von dem Hintern Ketten¬ zieher genau in die Gerade einrichtcn, und spannt dann seine Kette, indem er den Ring in die Milte des Stabes zieht, den Stab horizontal hält, die Kette in die Höhe schleudert, und sogleich wieder anzieht. Die so gespannte Kette wird über den Punkt, wo früher der Stab eingesetzt war, hinüber gezogen, und in dem Ende ein Kettennagcl eingesteckt. Dann ver¬ lassen beide Kettenzieher ihre Punkte, und ziehen die Kette so lange in der Linie fort, bis der Hintere Kettenzieher zu dem Punkte 6 kommt, wo sich der Kettennagel befindet; diesen zieht er heraus, setzt an dessen Stelle seinen Kettenstab, richtet von da den »ordern Kettenzieher ein, worauf sich das frühere Verfahren so lange wiederholt, bis sie an das En¬ de der zu messenden Geraden gelangen. Vom letzten Nagel v wird die Kette über L hinaus gespannt, und die Anzahl Klafter und Klaftertheile an der Kette selbst 141 selbst abgezählt. Zuletzt zählt der Hintere Kettenzieher die gesammelten Nägel; die Anzahl derselben wird mit 10 multiplizirt, und zu den dadurch erhaltenen Klaftern noch die Länge vom letzten Nagel bis zum End¬ punkte der Geraden addirt. 3. Durch Schritte. Man suche zuerst, wie viele Schritte auf eine gewisse Anzahl Klafter gehen. Zu diesem Ende messe man eine Länge von etwa 100 Klaftern, schreite die¬ selben mehrmals ab, und suche, wie viel Schritte man im Durchschnitte gemacht hat. Aus diesem Ver¬ hältnisse kann man dann jede durch das Abschreiten gefundene Länge sogleich in Klafter verwandeln. Z. B. Man findet, daß auf 100 Klafter im Durchschnitte 250 Schritte gehen, und man will wissen, wie viel Klafter 150 Schritte machen: so hat man die Pro¬ portion 250 : 150 — 100 : x, woraus x — 60 Klafter. Die Messung einer Linie durch Schritte darf nur dann angewendet werden, wenn man nur die beiläu¬ fige Länge derselben bestimmen will. 8. iis. Messen krummer Linien. Sehr häufig sollen auch krumme Linien oder krummlinige Begrenzungen von Wäldern, Teichen, Wegen, Flüssen u. dgl. mit der Kette oder mit Ma߬ stäben ausgenommen werden. Da sich die geradlinigen Maße an die krummen Linien nicht anlcgen lassen; so muß man eine solche Linie in kleinere und zwar solche Thcile zerlegen, daß man sie für gerade Linien ansehcn kann; sodann mißt man die einzelnen Theile als gerade Linien, und addirt die gefundenen Längen. Uin 142 Um die krumme Linie ^VOVLk' . . . (Fig. 1Ü7) ihrer ^änge nach zu bestimmen, schlägt man in den Enden und Hauptkrümmungspunkten Pflöcke ein, betrachtet dann die krumme Linie als eine zerbrochene, und mißt von nach L, von L nach O, u. s. w. in gerader Linie; die Summe der gefundenen Maße gibt die angenäherte Länge der zu messenden krummen Linie. H Messen der Winkel auf dem Felde. §. 12V. Werkzeuge. Die Aufnahme der Winkel auf dem Felde be¬ sieht darin, daß man entweder die Winkel bloß auf dem Papiere in derselben Größe verzeichnet, wie sie auf dem Felde Vorkommen; oder daß man findet, wie viel Grade und Gradtheile der zu messende Winkel enthält. Die Werkzeuge, welche zur Aufnahme der Win¬ kel angewcndet werden, sind daher von zweierlei Art. 1. Um die Winkel auf dem Papiere so zu ver¬ zeichnen, wie sie von den Linien auf dem Felde ge¬ bildet werden, bedient man sich des Meßtisches (Fig. 108). Er ist ein Reißbret oder Tischblatt, welches mittelst eines Verschiebuugskreuzcs auf einem dreifüßigen Stative so befestiget wird, daß cS horizontal gestellt, und in dieser Lage beliebig her¬ um bewegt werden kann. Das Verschiebungskreuz läßt sich nach zwei auf einander senkrechten Richtun¬ gen verschieben, und durch die Stellschrauben an feststellen. Zum Horizontalstellcn des Meßtischblattes die- 143 dienen die Horizontalschrauben bl>; zur Ver¬ bindung des Schiebungskreuzes mit dem Fußgcstell ist die Herzschraube o, welche erst am Ende der Auf¬ stellung angezogen wird. Noch ist die Wende schrau¬ be zu bemerken, welche dazu dient, um dem Tisch¬ blatte eine sehr sanfte Bewegung um den Mittel¬ punkt zu geben. Zum Meßtische gehören noch folgende Werkzeuge: g. Die Wasserwage (Fig. 109), eine Glas¬ röhre, welche an ihrer obersten Seite kreisförmig ge¬ bogen ist. Sie befindet sich in einem messingenen sGe- hüuse, und ist mit Wasser nicht ganz gefüllt, so daß die noch bleibende Luftblase immer den höchsten Punkt der kreisförmigen Höhlung einuimmt. Die Wasser¬ wage dient zum Horizontalstellen des Meßtischblattes. t». Die Einlothgabel (Fig. 110); sie ist ein Winkelhaken, an welchem ein Gewicht aufgehängt ist, und dienet dazu, um einen Punkt auf der Oberfläche des Tisches über einen Punkt auf dem Felde vertikal zu stellen. Die Anschlag- oder Piki rn adeln sind feine englische Nähnadeln, deren Öhre man mit einem Knöpfchen von Siegellack versieht; sie dienen, um auf dem Meßtischblatte die Standpunkte zu bezeichnen. 6. Das Diopterlineal (Fig. 111). Dieses ist ein messingenes Lineal, welches an beiden Enden senkrechte Absehen oder Dioptern hat, die mit Gelenken versehen sind, und, wenn das Lineal nicht gebraucht wird, auf die Fläche desselben niedergclegt werden können. Die Mitte der Dioptern und die scharfe Kante des Lineals müssen in gerader Richtung liegen. Um höher oder tiefer liegende Gegenstände an- 144 anvisiren zu können, sind an einem Diopter wieder zwei kleinere Dioptern angebracht, welche mit den größern gleiche Einrichtung haben, und Bergdiop- tern heißen. e. Die Orientier-Boussole (Fig. 112) ist eine in einem länglichten Gehäuse von Messing ver¬ schlossene Magnetnadel, welche auf einem Stifte frei schwebt. Auf der untern Platte der Gehäuses ist eine Linie gezogen, um den Stand der Nadel darnach zu beurtheilen. Beim Übertragen muß man die Nadel mittelst des Hebels -- und der messingenen Feder t> aufbeben und sperren. 2. Die Werkzeuge, welche die Größe des zu messenden Winkels nach Graden und Gradthcilen an¬ geben, heißen vorzugsweise Winkelmesser, und haben sehr verschiedene Einrichtung. Der einfachste Winkelmesser ist das Astrolabium (Fig. 113). Es bestehet aus einem vor- und rückwärts in Grade und Gradtheile eingctheilten Halbkreise von Messing; an dem Ende des Durchmessers befinden sich zwei unbe¬ wegliche Dioptern, und um den Mittelpunkt ist ein Lineal, an welchem ebenfalls zwei Dioptern ange¬ bracht sind, sanft beweglich. Das ganze Instrument ruhet auf einem dreifüßigen Stative. Hier kann auch das Dioptcrkreuz (Fig. 114) angeführt werden, welches dazu dient, um auf dem Felde senkrechte Linien zu bestimmen. Es ist ein recht¬ winkliges Kreuz, welches auf einem Stative horizon¬ tal befestiget wird, und vier lange Arme hat, die am Ende mit senkrechten Stiften oder mit Dioptern ver¬ sehen sind. 8. 121. 145 §. 121. Aufnahme eines Winkels. g. Mit dem Meßtische. Man setze den Meßtisch über den Scheitel deS auszunchmendm Winkels 8V0 (Fig. 115) und stelle ihn horizontal, indem man die einzelnen Horizontal¬ schrauben so lange erhöhet oder erniedriget, bis, bei jeder Stellung der auf dem Tischblatte befindlichen Wafserwage, die Luftblase in der Mitte einspielt. Hierauf bestimmt man mit der Einlothgabel den Punkt a auf dem Tischblatte, welcher vertikal über den Scheitel des zu messenden Winkels liegt, und steckt darin eine Pikirnadcl ein. Sodann legt man an diese Nadel das Dioptcrlineal, visirt durch die enge Spalte der einen, und durch den Faden der ent¬ gegengesetzten Diopter, und drehet das Lineal so lan¬ ge , bis man den einen Richtpunkt 8 genau hinter dem Diopterfaden erblickt; dann zieht man längs der scharfen Kante eine gerade Linie ab, welche Visir- linie oder Rayon genannt wird. Hierauf richtet man, ohne den Meßtisch zu verrücken, das Diopter¬ lineal eben so auf den zweiten Richtpunkt 0, und zieht wieder die entsprechende Visirlinic ae. Der Winkel bac, den die ^beiden Vistrlinien bilden, ist nun dem Horizontalwinkel 8^0 auf dem Felde gleich. b. Mit dem Astrolabium. Man stellt (Fig. 113) das Astrolabium mit sei-> nem Mittelpunkte über den Scheitel des zu messen¬ den Winkels 8^46 so auf, daß der Halbkreis hori¬ zontal liegt, richtet die festen Dioptern auf den einen Richtpunkt 8, und drehet dann die beweglichen Diop- Geornetrie, K tern. — 146 — tern, bis man dadurch den zweiten Richtpunkt 6 er¬ blickt. Hierauf liest man an der Eintheilung, wie viel Grade und Gradtheile der gemessene Winkel enthält. Um mit dem Astrolabium einen Vertikalwin¬ kel d. i. einen Winkel, dessen beide Schenkel in einer vertikalen Ebene liegen, zu messen, darf man nur die Scheibe in diese Vcrtikalebene hineinbringen, und dann wie vorhin verfahren. NI. Auflösung verschiedener Aufga¬ ben, welche bei der Aufnahme gan¬ zer Flächen vorkommen. 8. 122. 1. In einem Punkte einer Geraden aus dem Felde auf diese eine Senkrechte zu er¬ richten. s. Mit einer Schnur. Die Errichtung einer Senkrechten auf dem Felde kann auf dieselbe Art wie auf dem Papiere (§. 52) ausgeführt werden, mir daß man sich statt des Zir¬ kels einer Schnur bedient; man trägt nämlich da¬ mit von (Fig. 47) ein willkürliches Maß bis A und w auf, und beschreibt auS diesen mit Pflocken oder Strichen bezeichneten Punkten mit einer andern großer» Schnur zwei gleiche Bogen auf dem Boden; die Gerade, welche durch deren Durchschnittspunkt I) und durch den gegebenen Punkt geht, ist nun die verlangte Senkrechte. b. Mit der Meßkette. Wenn 147 Wenn die Meßkette in Fuß oder Zehntelklafter getheilt ist, so stecke man drei Pflöcke dergestalt durch die Kettenringe, daß zwischen den Pflöcken und v (Fig. 116) 15, zwischen .4. und L 20, und zwischen D und L 25 solche gleiche Kettentheile liegen, schlage bei beiderseitig gut gespannter Kette diese Pflöcke in die Erde, so wird 80 seyn; denn es ist 15? -j- 20^ — 25^. Mit dem Diopterkreuz. Man stelle (Fig. 117) über den gegebenen Punkt den Mittelpunkt des Diopterkreuzcs, und bringe zwei Dioptern in die Richtung der Geraden; dann bisire man durch die beiden andern Dioptern, und lasse in ihrer Richtung einen Stab einsetzen; dieser gibt den Punkt an, durch welchen die gesuchte Senk¬ rechte gehen soll. , 8. 123. 2. Aus einem Punkte außerhalb einer Geraden auf dem Felde auf dieselbe eine Senkrechte zu fällen. a. Mit der Schnur. Hier kann die für daS Papier gegebene Auflö¬ sung (§. 51) angewendet werden; nur bedient man sich zum Beschreiben der Kreisbogen der Schnur an¬ statt des Zirkels. b. Mit dem Diopterkreuze. Man lasse in dem gegebenen Punkte I) (Fig. 117) einen Stab einstecken , und stellt sich mit dem Diopterkreuze in der Geraden 116 dort auf, wo bei¬ läufig die Senkrechte hinfallen dürfte; bringe zwei Dioptern in die Richtung der Geraden L6, und vi- K 2 sire 148 sire durch die beiden andern Dioptern. Trifft die Visirlinie gerade auf den gegebenen Punkt I), so ist der Punkt unter der Mitte des Werkzeuges der Ort, wo die Senkrechte eintrifft; erscheint aber der gege¬ bene Punkt D rechts oder links von der Visirlinie, so rücke man das Divpterkreuz nach der Seite des¬ selben so lange, bis man ihn in der Richtung der Dioptern erblickt; die zwei andern Dioptern müssen übrigens beständig in der Richtung der Geraden LO bleiben. 124. 3. Einen Winkel LVI? (Fig. 35) auf dem Felde abzustecken, der einem gegebenen gleich ist. Dabei wird dasselbe Verfahren angcwcndet, wie beim Verzeichnen gleicher Winkel auf dem Papiere (§. 45); nur wird statt des Zirkels eine Schnur an¬ gewendet. Auf dieselbe Weise kann aus den gemessenen Schenkeln eines Winkels auf dem Felde und aus der gemessenen Entfernung ihrer Endpunkte mit Hilfe eines verjüngten Maßstabes auch auf dem Papiere ein Winkel von gleicher Große verzeichnet werden. 4. Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden auf dem Felde mit dieser eine Parallele zu führen. o. Mit der Schnur. Wenn der Punkt 6 (Fig. 53) von der Geraden nicht weit abstchet, so kann das für das Papier in §. 55 angegebene Verfahren mittelst der Schnur statt des Zirkels angewendet werden. i), 149 k. Mit dem Diopter kreuze. Ist der Punkt 6 (Fig. 118) von der Geraden ^48 weit entfernt, so kann die verlangte Parallele am leichtesten mittelst des Diopterkreuzcs gefunden werden. Man fallt nämlich von 6 eine Senkrechte OO aus die gegebene Gerade 48, und errichtet in 6 ans 6V eine Senkrechte 68; diese ist die gesuchte mit 48 parallele Gerade. §. 125. 5. Die Entfernung zweier Punkte ans dem Felde zu bestimmen, wenn sich dieselbe wegen eines dazwischen befindlichen Hinder¬ nisses nicht gerade zu messen läßt, wenn man aber von einem dritten Punkte aus zu beiden hin messen kann. ». Mit Stäben. Es seien 4 und L (Mg. 119) die beiden Punkte, deren Entfernung man wissen will, zwischen welchen aber ein Teich liegt, so daß eine unmittelbare Mes¬ sung nicht statt finden kann. Man wähle einen solchen Standpunkt 6, daß man von Hm aus nach den bei¬ den andern Punkten in gerader Linie messen kann, messe die Geraden 64 und 68 mit den Maßstäben »der mit der Meßkette, und trage dann einen bestimm¬ ten, z. B. den 4tcn Theil der erhaltenen Länge 64. von 6, bis a, und eben, so den 4ten Theil der 68 von 6 bis d auf; in a und b schlage man Pflöcke ein. Mißt man nun die Entfernung ab, so ist diese wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke 6ab und 6.4.8 der 4te Theil der gesuchten Entfernung 48; man braucht daher die gefundene Länge sb nur noch mit 4 zu multipliciren. b. 150 b. Mit dem Meßtische. Man stelle den Meßtisch über den gewählten drit¬ ten Standpunkt 6 (Fig. 120) horizontal auf, stecke in jenem Punkte e, welcher vertikal über 6 liegt, eine Pikirnadel ein, visire durch das daran gelegte Divp- terlineal nach den beiden Punkten und 8, und ziehe auf dem Meßtische die entsprechenden Vistrli- nien; dann lasse man die Geraden 6^ und 68 mes¬ sen, trage die gefundenen Längen nach einem ver¬ jüngten Maßstabe auf den Visirlinien von e bis n und I> auf, ziehe die Gerade all, und untersuche, wie viel sie nach demselben verjüngten Maßstabe beträgt; dieses gibt den gesuchten Abstand ^48 im wirklichen Maße. c. Mit dem Winkelmesser. Man messe ebenfalls von einem dritten Stand¬ punkte 6 (Fig. 121) die Geraden 6^4 und 68, messe aber mit dem Winkelmesser auch den Winkel ^68; dadurch werden im Dreiecke ^68 zwei Seiten und der eingeschlosscne Winkel bekannt, und cs läßt sich daraus das Dreieck selbst im verjüngten Maße kon- struiren. Man verzeichnet nämlich mit dem Trans¬ porteur auf dem Papiere den gemessenen Winkel soll, und trägt auf dessen Schenkeln mit Hilfe eines ver¬ jüngten Maßstabes die gemessenen Längen 6,4. und 68 von c bis a und ll auf; mißt man nun nach demselben Maßstabe die Entfernung sb auf dem Pa¬ piere; so hat man den gesuchten Abstand H.8 auf dem Felde. 126. 6. Die Entfernung zweier Punkte auf dem 151 dem Felde zu bestimmen, wenn man nur zu einem derselben kommen kann. a. Mit Stäben. Man wähle zuerst einen dritten Standpunkt 6 (Fig. 122), von dem man zu einem der beiden Punkte und 8 hin messen kann; messe wirklich zu dem zugänglichen Punkte hin, und trage von der gefundenen Länge z. B. den 5ten Theil von 6 bis a aus. In a wird ein Winkel 6ab abgesteckt, welcher so groß ist als der Winkel 6^48, und in dessen Schen¬ kel ab derjenige Punkt b bestimmt, welcher zugleich in der 68 liegt. Mißt man dann die Entfernung ab, so darf man nur dieselbe mit 5 multipliziren, um die verlangte Länge ^48 zu finden. b. Mit dem Meßtische. Man stellt den Meßrisch über einen dritten Punkt 6 (Fjg. 123) gehörig auf,- und zieht Visirlinien nach den beiden gegebenen Punkten ^4 und 8; indessen läßt man die Gerade 6.4. wirklich messen, und trägt die erhaltene Länge nach einem verjüngten Maße von o bis » aus. Sodann überträgt man den Meßtisch auf den zugänglichen Punkt ^4, und stellt ihn daselbst so auf, daß a über ^4, und die Linie aa in die Rich¬ tung ^46 falle; letzteres, indem man das Diopterli¬ neal an ac anlegt, und das Meßtischblatt so lange herumdrehet, bis man durch die Dioptern dm Punkt 6 erblickt. Ist der Meßtisch richtig gestellt, so visirt man von a nach dem unzugänglichen Punkte 8, und zieht die entsprechende Visirlinie, welche die von e dahin gezogene Linie in b durchschneidet; die Gerade ab zeigt nun im verjüngten Maße die verlangte Ent¬ fernung an. Den 152 Den Meßtisch so richten, daß die darauf gezo¬ genen Linien mit dem entsprechenden auf dem Felde parallel laufen, heißt ihn orientiren. Dieses ge¬ schieht häufig mittelst der O r i e n t i r -B o u sso l e. Nachdem man in einem frühem Standpunkte den Meßtisch gehörig ausgestellt hat, wird die Boussole in einer Ecke des Tischblattes so lange herumgedreht, bis die Nadel in das Nordzeichen einspielt und ruht; hierauf ziehe man an einer, oder besser an allen vier Seiten des Gehäuses Linien, und schreibe nach der Nordseite hin den Buchstaben Wird nun in einem andern Standpunkte das Gehäuse genau an die frü¬ her gezogenen Linien gesetzt, so braucht man nur das Meßtischblatt so lange zu drehen, bis die Magnetna¬ del gehörig cinspielt und ruht; ist dieses der Fall, so ist der Meßtisch orientirt. c. Mit dem Winkelmesser. Man messe die Gerade zwischen dem gewählten Standpunkte 6, (Fig. 124) und dem zugänglichen Punkte L, nämlich die 6L, so wie auch die daran liegenden Winkel in 6 und L. Hierauf trägt man auf dem Papiere nach einem verjüngten Maßstabe die gemessene Länge auf, und verzeichnet in ihren End¬ punkten b und c die beiden gemessenen Winkel; so werden sich die Schenkel derselben in a durchschnei¬ den, und es wird mittelst der Geraden ab auf dem¬ selben verjüngten Maßstabe die gesuchte Entfernung gesunden. §. 127. 7. Die Entfernung zweier Punkte auf dem Felde zu bestimmen, wenn man zu kei¬ nem derselben kommen kann. a. 153 s. Mit Stäben. Es sei z. B. die Entfernung der beiden Bäume und II (Fig. 125), welche sich jenseits eines Flus¬ ses befinden, zu bestimmen. Man wähle sich zwei solche Standpunkte 6 und v, daß man zwischen ihnen unmittelbar messen, und von ihnen aus nach den bei¬ den gegebenen Punkten und L sehen kann. Man messe die Standlinie 6V, und trage darauf von 6 aus z. B. ihren 5ten Thcil bis 6 auf. In dem Punkte ck steckt man einen Winkel 6cka aus, welcher dem Winkel gleich ist, und geht auf dein Schen¬ kel cka so Weit fort, bis man in die Richtung nach a kommt. Eben so steckt man in ä einen Win¬ kel Ockb ab, welcher eben so groß ist als der Win¬ kel ODL, und geht an dem Schenkel ckb so weit, bis man in die Richtung 6L nach 5 kommt. Endlich messe man ab, und multiplizire die erhaltene Länge mit 5, so hat man den gesuchten Abstand b. MitdemMeßtische. Man stelle den Meßtisch über den einen Stand¬ punkt 6 (Fig. 126) auf, visire von o aus nach L und 'v, und ziehe die entsprechenden Visirlinien. In¬ dessen läßt man die Standlinie 6V messen, und trägt die gefundene Länge verjüngt von o bis ck auf. Nun überträgt man den Meßtisch nach 0, stellt ihn da¬ selbst so auf, daß ck auf v, und äa in die Richtung V0 zu stehen kommt; visirt von ck aus nach und L, und zieht die zugehörigen Visirlinien, welche die früher von. a aus gezogenen in den Punkten s und K schneiden; der Abstand ab zeigt nun, nach demselben verjüngten Maße, die wirkliche Entfernung an. c. Mit dem Winkelmesser. Man 154 Man messe die Standlinie 611 (Fig. 127) und an ihren Endpunkten die Winkel, die sie mit den Visirlinien nach 4 und 8 bildet, nämlich in 6 die Winkel m und n, in v die Winkel p und g. Sodann ziehe man auf dem Papiere eine Gerade, trage darauf nach einem verjüngten Maßstabe die gemessene Standlinie von o bis ck auf, und verzeichne an ihren Endpunkten zuerst die gemessenen Winkel m und p, der Durchschnitt ihrer Schenkel gibt den Punkt a; eben so verzeichne man in c und 6 auch die Winkel n und g, so bekommt man b als Durch¬ schnittspunkt ihrer Schenkel. Die Gerade ab gibt nun an demselben verjüngten Maßstabe die gesuchte Ent¬ fernung Hl an. §. 128. 8. Die Höhe eines zugänglichen Gegen¬ standes zu bestimmen. a. Mit Stäben. Es sei z. B. die Höhe eines Baumes 48 (Fig. 128) zu finden. Man wählt einen Punkt 6, von dem man in gerader Linie zu -4 hin messen kann, steckt in 6 einen Stab 61) vertikal ein, und legt sich hinter demselben in so einer Lage auf den Rücken, daß man die Spitze 0 des Stabes mit der Spitze 8 des Baumes in gerader Richtung erblickt; den Ort 6, wo sich das Auge befunden hat, und wo die Verlängerung der Geraden 80 hinfällt, bezeichnet man mit einem Pflocke, und mißt die Entfernungen 66 und 14, so wie die Länge des Stabes 60. Nun hat man zwei ähnliche Dreiecke 486 und 6O6, daher ist 48 : 60 — 46 : 66, woraus man daS unbekannte Glied 48 finden kann. Auch 155 Auch aus dem Schatten eines Gegenstandes kann dessen Höhe gefunden werden. Man mißt näm¬ lich die Länge des Schattens, welchen der Gegenstand wirft, und auch die Länge des Schattens, den zu der¬ selben Zeit ein vertikal stehender Stab wirft; hierauf mißt man noch die Höhe des Stabes und schließt: die Höhe des Gegenstandes verhält sich zur Höhe des Stabes wie sich der Schatten des Gegenstandes zum Schatten des Stabes verhält. Aus dieser Pro¬ portion wird dann die verlangte Höhe gefunden. I,. Mit dem Winkelmesser. Man stelle in 0, (Fig. 129) das Astrolabium so auf, daß der Halbkreis uach oben gekehrt ist und die festen Dioptern eine Horizontallinie I)K angeben; man messe nun den Höhenwinkel LOK, und hierauf auch die Entfernung 6^. Sodann verzeichne man auf dem Papiere nach einem verjüngten Maßstabe die gemessene Gerade von 6 bis 6, und trage in dem einen Endpunkte 6 den gemessenen Winkel LDL, in dem andern « aber errichte man eine Senkrechte, Welche den Schenkel des früher verzeichneten Winkels in k> durchschneidct. Die Gerade «b gibt nun auf demselben verjüngten Maßstabe die Höhe KL, wozu noch die Höhe des Astrolabiums zu addiren ist, um die vollständige verlangte Höhe zu erhalten. §. 129. 9. Die Höhe eines unzugänglichen Ge¬ genstandes zu bestimmen. a. Mit Stäben. Man soll z. B. die Höhe eines ThurmeS ^8 (Fig. 130), welcher jenseits eines Flusses liegt, finden. Die Auflösung geschieht auf dieselbe Art wie bei der B» 156 Bestimmung der Höhe eines zugänglichen Gegenstan¬ des; nur muß die Entfernung k'V, weil man sic nicht unmittelbar messen kann, nach der ersten Auflö¬ sung der 6ten Aufgabe mittelbar bestimmt werden. k. Mit dem Winkelmesser. Man Wähle zwei Standpunkte 6 und I) (Fig. 131), welche mit ^11 in einerlei Ebene liegen, und zwi¬ schen welchen man unmittelbar messen kann. Man messe die Standlinie 6O wirklich, und bestimme an ihren Endpunkten die Höhcnwinkel liU U — m und — n. Sodann ziehe man auf dem Papiere eine Gerade, trage darauf die gemessene Länge 6V nach einem verjüngten Maßstabe von t bis x auf, und verzeichne in diesen Endpunkten beziehungsweise die Winkel m und n, deren Schenkel sich in b schnei¬ den; fällt man nun von 5 auf die Verlängerung der gk eine Senkrechte do,, so gibt diese nach demselben verjüngten Maßstabe die Höhe L6, wozu noch die Höhe des Instrumentes addirt wird. IV. Aufnahme von kleinen Flächen. §. 13«. Eine Figur aufnehmen oder in den Grund legen heißt, auf dem Papiere mittelst eines verjüngten Maßes eine Figur verzeichnen, welche der¬ jenigen auf dem Felde ähnlich ist. Bevor man zur Aufnahme einer Fläche schreitet, geht man um dieselbe an ihrem Umfange herum, schlägt in allen Eck - und Krümmungspunkten Pflöcke ein, welche mit fortlaufenden Nummern oder Buchsta¬ ben bezeichnet sind, und entwirft sich zugleich von dem Umfange der Figur sammt der Bezeichnung der ein- 157 ungeschlagenen Pflöcke eine Zeichnung mit Bleistift bloß nach dem Augenmaße. Ein solcher roher Entwurf heißt eine Handskizze, ein Brouillon. In die¬ sem wird dann an jede wirklich gemessene Linie, so wie in jedem gemessenen Winkel, das gefundene Maß geschrieben, und zuletzt nach demselben die Verzeich¬ nung vorgenommen, wenn diese nicht schon während der Ausnahme selbst geschehen ist. §. 131. 1. Aufnahme einer Figur mit Stäben. n. Durch Zerlegung in Dreiecke. Man verfertige sich zuerst ein Brouillon, denke sich durch je drei Punkte ein Dreieck gelegt, und messe dessen drei Seiten. Hierauf verzeichne man die Dreiecke in der gehörigen Ordnung auf dem Papiere, indem man die gemessenen Seiten nach einem ver¬ jüngten Maßstabe austrägt. Die dadurch erhaltenen Punkte haben dieselbe Lage gegen einander, wie die entsprechenden Punkte auf dem Felde; man braucht sic nur noch gehörig durch Linien zu verbinden. — In Fig. 93. Würde man mit dem Dreiecke begin¬ nen, und dann folgeweise die Dreiecke LOL, OLL, ÜLO, OLI) koustruircn. b. Mittelst Abscissen und Ordinaten. Man pflöcke zuerst die Figur aus, und stecke durch die entferntesten Endpunkte und L (Fig. 94) eine Gerade als Abscissenlinie ab. Aus diese fälle man von allen bezeichneten Umfangspunkten Senkrechte, und messe die einzelnen Stücke der Abscissenlinie und alle Ordinaten. Auf dem Papiere trägt man nun an einer Geraden nach einem verjüngten Maßstabe zuerst die Ab- 158 Abscissen von bis i, ll, I>, ... auf; in diesen Punkten errichtet man Senkrecht?, und trägt dar¬ auf die Ordinatcn gehörig auf. Endlich braucht man nur zwischen den dadurch erhaltenen Punkten die entsprechenden Linien zu ziehen. Wenn sich im Innern der aufzunehmendcn Figur Hindernisse der Messung befinden, so sind die zwei eben angegebenen Methoden nicht anwendbar. In diesem Falle führt folgendes Verfahren zum Ziele. — Es sei z. B. ein Teich (Fig. 132) aufzunehmcn. Man umgebe die Figur mit mehrer» gegen einander ge¬ neigten Abscisscnlinien, die zusammen ein Vieleck bilden, und fälle darauf von allen Bie- gnngspunkten Senkrechte; man messe die Abscissen- theile und die Ordinalen, und nehme zugleich die Winkel, welche die einzelnen Abscisfenlinicn mit einan¬ der bilden, nach §. 124, 3. auf. Dann zieht man ans dem Papiere eine Gerade, und trägt darauf die Theilc der Abscifsenlinie verjüngt auf; im Endpunkte II konstruirt man einen Winkel, welcher so groß ist als der Winkel L auf dem Felde, und trägt aus dem neuen Schen¬ kel die Stücke der Abscifsenlinie L6 auf, u. s. w. Hierauf errichtet man in den einzelnen Punkten der Abscisfenlinicn Senkrechte, und trägt darauf die ent¬ sprechenden Ordinaten auf. Werden nun die dadurch erhaltenen Punkte mit freier Hand gehörig verbunden, so hat man die verlangte Zeichnung des Teiches. 8. 132. 2. Aufnahme einer Figur mit dem Meßtische. s. Aus der Mitte. Es soll die Figur -486081' (Fig. 133), in wel- 159 Welcher man nach allen Seiten hin messen kann, aus¬ genommen werden. Man. stellt den Meßtisch beiläufig in der Milte der Figur horizontal auf, steckt unge¬ fähr in der Mitte in des Tischblattes eine Pikirua- del ein, visirt nach allen Eckpunkten, und zieht die entsprechenden Rayons. Dann schlage man aus dem Felde vertikal unter der Pikirnadcl in N einen Pflock ein, messe von da zu allen Eckpunkten hin, trage die gefundenen Längen nach einem verjüngten Maßstabe an den gleichnamigen Visirlinien von in bis u, ll, e, . . auf, und verbinde diese Punkte a, ll, e, . . gehörig mit einander. Die Figur nllocksk, die man dadurch auf dem Tischblatte erhält, ist derjenigen auf dem Felde ähnlich; denn je zwei gleichnamige Drei¬ ecke, wie abin und ^LAl, haben einen Winkel gleich und die beiden ihn cinschließenden Seiten Proportio- nirt, find demnach ähnlich; wenn aber die einzelnen Dreiecke, aus denen die beiden Vielecke bestehen, nach der Ordnung ähnlich sind, so sind die Vielecke selbst ähnlich. b. Auö zwei Standpunkten. Man wählt zwei solche Standpunkte N und >1 (Fig. 134), daß man zwischen ihnen unmittelbar messen, und aus denselben nach allen oder den meisten Eckpunkten hin sehen kann. Dann stellt man den Me߬ tisch über einen Standpunkt N auf,, sticht vertikal darüber in m eine Anschlagnadcl ein, visirt nach dem andern Standpunkte l>l, und nach allen sichtbaren Eckpunkten der Figur, und zieht die zugehörigen Vi¬ sirlinien; hierauf läßt man die Standlinie RM wirk¬ lich messen, und trägt ihre Länge verjüngt auf der gleichnamigen Visirlinie von m bis n auf. Sodann begibt man sich nach dem andern Standpunkte N, stellt 160 stellt daselbst den Tisch so auf, daß n über und nm über Ml zu liegen kommt; visirt aus u nach allen Eckpunkten, und zieht in dieser Richtung Rayons, so werden diese die vorigen von m aus gezogenen schnei¬ den, und dadurch die Punkte a, ü, e, 6, . . auf dem Tischblatte bestimmen. Man konnte nach Umständen auch zwei Punkte des Umfanges als Standpunkte annehmcn. Sollte man von einem Standpunkte aus irgend einen Eckpunkt nicht sehen, oder würden sich die Vi- sirlinien dahin unter einem zu spitzigen oder zu stumpfen Winkel schneiden, so daß sich der Durch- schuittspunkt nur ungenau bestimmen ließe; so stellt man den Meßtisch über einen andern bereits bestimm¬ ten Punkt gehörig auf, visirt nach dem zu bestimmen¬ den Punkte, und durchschneidet den schon von einem andern Standpunkte dahin gezogenen Visirstrahl. c. Aus dem Umfange. Es sei L.L6VL (Fig. 135) ein Wald, so daß man im Innern desselben weder messen noch anvist- ren kann. Man stellt den Meßtisch über 4. auf, steckt in a eine Anschlagnadcl ein, visirt nach L und kl, und zieht die entsprechenden Visirlinien; dann messe man .411 und 4kl, und trage sie verjüngt von a bis ü und e auf. Hierauf überträgt man den Meßtisch nach II, stellt ihn dort so auf, daß I> über L, und Im in die Richtung L4 füllt, visirt nach 6, und zieht einen Rayon dahin; nun messe man Ü6, und trage die Länge verjüngt von ll bis c auf. Eben so ver¬ fährt man in den folgenden Standpunkten. In 0 wird, nachdem die Länge 61) von c bis ä aufgetragen wur¬ de, der Punkt man zwei vollkommen gerade Richtscheite von beiläufig 2 Klafter Länge. 2. Die Kanalwage (Fig 138) ist eine blecherne Röhre, deren Enden senkrecht aufwärts gebogen sind; in diese werden zwei hohle Glasröhren /46 und LV cingekittet. Wird die ganze Röhre mit Was¬ ser gefüllt, so daß dieses bei 6 und v zum Vorschein kommt, so ist, das Instrument mag wie immer gestellt seyn, die Gerade, welche über die beiden Oberflächen 6 und 0 geht, stets horizontal, weil in zusammen¬ hängenden Röhren Flüssigkeiten gleich hoch oder in einerlei Horizontalebene stehen. Das ganze Instru¬ ment buhet auf einem dreifüßigen Stative. Dieses Instrument hat den Vorzug, daß es beim Gebrauche keiner Berichtigung bedarf. 3. 164 3. Am häufigsten wird das Nivellirinstrument mit der Wasscrwage und einem einfachen Fernrohre, oder statt des letztem mit einem Lineale, woran hori¬ zontale Dioptern angebracht sind, angewendet. Hier wollen wir nur das Nivellir-Diopter (Fig. 139) betrachten. Es bestehet aus einem Lineale m mit doppelten horizontalen Dioptern; 60 stellt die Was- fcrwage vor, deren Gehäuse mit dem Lineale so in Verbindung steht, daß es sich mittelst der Nektifi- zirsch raube L etwas höher oder niedriger stellen läßt. Das Lineal kann innerhalb eines bestimmten Raumes um ein Gewinde k' gedrehet werden, unter welchem sich ein Arm kO befindet, durch welchen die Elevations sch raube 6 durchgeht; diese dient dazu, das Lineal beliebig zu erhöhen oder zu ernie¬ drigen. DiesesJnstrument, welches sich aufeinem dreifüßigen Stative befindet, muß vor dem Gebrauche berichti¬ get oder rektifizirt werden, was auf folgende Art geschieht. Man läßt in einer Entfernung von etwa 30 Klafter eine Nivcllirlatte H.» (Fig. 140) auf¬ stellen, bringt mittelst der Elevationsschraube die Luft¬ blase der Wasscrwage an ihre angewiesene mittlere Stelle, und läßt die Höhe der Msirlinie anmer¬ ken. Nun wendet man das Diopterlineal sammt der Wasscrwage, so daß die Diopter A gegen die Latte gekehrt sei, drehet wieder die Elevationsschraube, bis die Luftblase in der Mitte einspielt, und läßt die Höhe der Visirlinie lkv anmcrken. Sind nun die bei¬ den angemerkten Höhen gleich, so war die Wasserwe¬ ge schon zuvor berichtiget; sind sie aber ungleich, so weichen die zwei Visirlinien nach entgegengesetzten Richtungen von der Horizontallinie XI' gleichviel ab- Man 166 Man cheilt daher den Unterschied 60 an der Latte in ? in zwei gleiche Theile, richtet mit Hilfe der Elcvationsschraubc die Visirlinie nach ?, und bringt mittelst der Rcktiffzirschraube, ohne die Richtung des Lineals zu ändern, die Luftblase an ihre angewiesene mittlere Stelle, so ist dadurch das Instrument rckti- fizirt. Beim Gebrauche muß bei einem so rektifizirteir Nivellirinstrumente jedesmal das Lineal mittelst der Elevationsschraube so lange erhöhet oder erniedriget werden, bis die Luftblase genau in die Mitte einspielt. 137. Verfahren beim Nivelliren. Wenn die Punkte, deren Höhenunterschied man sucht, nicht weit von einander entfernt sind, so ist nur eine einzige Station zu nivelliren nöthig, und das Nivelliren pflegt man in diesem Falle ein einfaches zu nennen; wenn aber die beiden Punkte sehr weit von einander abstehen, muß man die ganze Entfer¬ nung in mehrere Stationen abtheilcn, welche einzeln nivellirt werd.n, und das Nivelliren heißt dann ein zusamm engesetztes. I. Einfaches Nivelliren. s. Mit Hilfe der Schrottwage. Dieses kann nur angehen, wenn die beiden End¬ punkte nicht über 12 Fuß von einander entfernt sind. Man schlägt in den beiden Punkten Pflöcke in den Boden, setzt darüber ein Richtscheit, und in dessen Mitte die Schrottwage. Spielt der Faden nicht in der Mitte ein, so wird derjenige Pflock, welcher höher liegt, 167 liegt, nach und nach so tief eingeschlagen, bis der Faden der Schrottwage auf die Mitte weiset. Nun mißt man mit einem Maßstabe die Höhen der beiden Pflöcke, nnd zieht sie von einander ab; die Diffe¬ renz ist der gesuchte Höhenunterschied der zwei Punkte. d. Mit Hilfe der Kanalwage oder des Nivellirdiopters. Dabei gibt es zwei Hauptmethoden: das Nivel- liren aus den Endpunkten, und das Nivelliren aus der Mitte. Beim Nivelliren aus den Endpunkten stelle man das Instrument über den einen höhern Punkt (Fig. 141) der zu nivellirenden Weite ^8 auf, und richte es hier so ein, daß man dadurch eine horizontale Visirlinie auf den andern Punkt 8 erhält- In diesem zweiten Punkte 8 läßt man durch einen unterrichteten Gehilfen die Nivellirlatte vertikal auf¬ stellen, nnd das Zielbret daran so lange verschieben, bis die horizontale Visirlinie genau die Mitte des Zielbretes schneidet. Dann liest man die Höhe an der Nivellirlatte, und subtrahirt davon die Höhe der Visirlinie; der gesuchte Höhenunterschied 8v ist nämlich gleich 8X — ^0. Wäre z. B. 8N — 5' 6" 8'", und äD — 3' 1" 4"'; so würde der Höhenunterschied 5" 4^" be¬ tragen. Beim Nivelliren aus der Mitte stellt man das Instrument beiläufig in der Mitte kl (Fig. 142) der zu nivellirenden Weite ^48 gehörig auf, und läßt in den beiden Endpunkten Nivettirlatten vertikal aufstellen; man visirt nun nach ä., richtet dort das Ziel- 168 Zielbret ein, und läßt die Höhe ^.0 ablescn; hierauf visirt man nach 6, richtet dort das Zielbret ein, und läßt auch die Höhe LV ablesen; wird nun die kleinere Höhe von der größern abgezogen, so erhält man den Höhenunterschied, oder das Gefälle zwischen den zwei Punkten und L; es ist nämlich ^0 — LV — Diese Art des Nivellirens wird häufiger ange- wcndet, als jene aus den Endpunkten, weil dabei die Endpunkte so weit von einander entfernt seyn können, als bei der andern Art; ferner auch, weil selbst bei einer Abweichung der Visirlinie von der horizontalen Lage der Höhenunterschied vollkommen genau gefunden wird, sobald man das Instrument beim Anvifircn nach dem zweiten Punkte umkehrt, dg, das Werkzeug in den beiden Endpunkten einen Möich großen Fehler hcrvorbringt, der beim Abziehen sich aufhebt. tz. 138. II. Zusammengesetztes Nivelliren. Wenn die beiden Punkte .-V und bl (Fig. 143), deren Gefälle man wissen will, so weit von einander «bstehen, daß man aus einem einzigen Zwischenstandc nicht nach beiden Punkten visircn kann, so wird das zusammengesetzte Nivelliren angewcndet. Man wählt nämlich zwischen und bl mehrere Stationspunkte, L, 0, 0; diese brauchen nicht in einer geraden Linie zu liegen, sondern können so ge¬ wählt werden, wie cs die Bodcnbeschaffcnheit nöthig macht. Man braucht dann nur die einzelnen Stations¬ weiten zu nivelliren, und die gefundenen Gefälle, wenn der Boden immerfort steigt oder immerfort fällt, 169 fällt, zu addircn. Wenn aber das Terrain abwechselnd steigt und fällt, so sammelt man die Steigungen in eine Reihe, und die Gefälle in eine zweite, und zieht die Summe der einen Reihe von der Summe der andern ab; der Rest gibt an, um wie viel der eine Endpunkt höher oder tiefer liegt als der andere. Am zweckmäßigsten verfährt man dabei auf fol¬ gende Art: Man schickt den einen Gehilfen, welcher der vor¬ dere heißen soll, mit der Nivellirlatte nach v, wäh¬ rend der Hintere Gehilfe in zurückbleibt; stellt das Nivellkrinstrument beiläufig in der Mitte » zwischen und L gehörig auf, vifirt nach den bei¬ den Nivellirlatten, und läßt jeden Gehilfen seine Visirhöhe «»schreiben. Dann begibt sich der vordere Gehilfe auf einen weitern schicklichen Punkt O, der Hintere aber nach L; von der Mitte X der Station LO werden wieder die Zielbreter der beiden Gehil¬ fen in den horizontalen Mfirstrahl gebracht, und von diesen die betreffenden Visirhöhen ausgeschrieben. Auf dieselbe Art verfährt man weiter, bis der vordere Gehilfe in L angclangt ist. Zuletzt addirt man die von jedem Gehilfen ausgeschriebenen Visirhöhen ins¬ besondere, und zieht die kleinere Summe von der größern ab; der Rest ist der gesuchte Höhenunterschied zwischen .4 und L. Ist dabei die Summe der Visir- höhcn des vorder« Gehilfen kleiner, als die Summe der Visirhöhen des Hintern Gehilfen, so liegt L um den gefundenen Unterschied höher als im Gegen¬ teile liegt L um eben diesen Unterschied tiefer als^. Es seien z. B. folgende Visirhöhen gefunden worden: beim 170 beim Hintern, vordem Gehilfen — 3'4"5'"; LK' — 0'7"2'": L« " 0'8"2"'; 66' — 2'7"6'"; 66" — 2'9"4'"; VD' — 1'0"9"'; l>v"— 4'6"6"'; 66' — 6N"5'". Summe—11'4" 5'". Summe — 5'3"10'". Der Punkt L liegt also um 1l'4"5'" — 5'3"1v"' — 6'0"7'" höher als der Punkt 8. 139. Die nivellirten Linien werden gewöhnlich in Zeichnungen dargestellt, welche Profilzeichnungcn oder Profilrisse heißen. Dabei werden die gemes¬ senen horizontalen Entfernungen der einzelnen Sta¬ tionspunkte als Abscissen, die einzelnen Lattenhöhen aber als Ordinate« betrachtet. Je nachdem das Pro¬ fil in der Richtung der Hauptlinic selbst liegt, oder schräg durch dieselbe gelegt ist, wird es ein Längen¬ oder ein Querprofil genannt. Das Verfahren, Profilnssc anzufcrtigcn , gehört zunächst nicht in den Wirkungskreis des Feldmessers, sondern in senen des Bauingenieurs, kann somit hier übergangen werden. §. 140. Aufgaben. 1. Einen oder mehrere Punkte zu bestim¬ men, welche mit einem gegebenen Punkte (Fig. 144) gleich hoch liegen. Man stelle das Nivellirinstrument in einem sol¬ chen Punkte M auf, daß der auf /4 gerichtete horizon¬ tale 171 tale Visirstrahl nicht darunter, sondern darüber hin¬ aus gehe. Dann lasse man in eine Latte ausstellen, daselbst das Zielbret in den horizontalen Visirstrahl einrichten und feststellen. Mit dieser Latte schicke man nun den Gehilfen nach der Gegend von L, lasse ihn daselbst mit aufgcrichteter Latte und unverrücktem Zielbrete so lange hin und her gehen, und den Punkt L suchen, bis der Visirstrahl von ÄI aus genau in den Zielpunkt trifft. Auf dieselbe Art kann man dann auch andere Punkte 6, 0, . . finden, welche mit in einerlei Horizontalebene liegen. Diese Aufgabe kommt sehr häufig vor, insbeson¬ dere, wenn es bekannt ist, daß das austretende Was¬ ser eines Flusses einen Punkt noch nie bedeckt habe, und man bestimmen will, welche Punkte am Ufer, bei einer ähnlichen Ergießung des Wassers, davon frei bleiben, um den rückwärts dieser Punkte liegenden Bo¬ den ohne Besorgniß einer Überschwemmung verwenden zu können; oder wenn man eine Grube horizontal aus¬ füllen will, wo zuerst die horizontale Grenze an der Wand bestimmt werden muß. Die vorhergehende Aufgabe wird manchmal dahin abgeändert, daß man verlangt, einen oder meh¬ rere Punkte ausfindig zu machen, welche um eine gewisse Länge höher oder tiefer liegen als ein gegebener Punkt In diesem Falle braucht man nur, nachdem das Zielbret in /V in den horizontalen Visirstrahl gebracht wurde, dasselbe um die gegebene Länge höher oder tiefer, festzustellen, und weiter wie vorhin zu verfahren. 2. Einen Platz zu planiren, oder densel¬ ben zu einer horizontalen Ebene durch einem gegebenen Punkt (Fig. 145) zu ebenen. Man stelle das Nivellirinstrumcnt beiläufig in die Mit- 172 Mitte Lk des Platzes, schlage in der Linie -4V Pflöcke O, kk, . . ein, welche mit horizontal liegen; dann läßt man eben so in I>, 0, II, 8, . . Pflöcke in gleicher Höhe mit einschlagen. Durch diese Pflöcke oder vielmehr durch ihre obern Flächen erhält man beliebig viele Punkte, die mit gleich hoch liegen. Endlich werden die Erhöhungen der Erde abgetragen, tiefe Stellen damit ausgefüllt, und die überflüssige Erde hinweggeschafft, oder die feh¬ lende herbeigeführt, so daß die Köpfe aller Pflöcke und die darüber gespannten Schnüre gerade bedeckt werden. Zwei 173 Zweiter Theil. Die Stereometrie. Erstes Hauptstück. Gerade Linien und Ebenen im Räume. I. Lage der Geraden gegen einander. 8. 141. ^wei Gerade im Raume können eine dreifache Lage gegen einander haben: entweder sind sie paral¬ lel, oder sie schneiden sich in einem Punkte, öder¬ es ist keines von beiden der Fall, die Linien gehen nämlich an einander vorbei. In den zwei ersten Fällen liegen die beiden Geraden in einerlei Ebene, im dritten Falle lassen sie sich nicht in einer und derselben Ebene vorstellen. Winkel im Raume, deren Schenkel nach derselben Seite hin parallel liegen, sind einander gleich, wenn sie auch in verschiedenen Ebenen Vorkommen; denn se zwei Schenkel haben gleiche Richtung, daher müssen auch die Abweichun¬ gen ihrer Richtungen d. i. die von ihnen gebildeten Winkel einander gleich siyn. Ik. 174 II. Lage der Geraden gegen die Ebenen. §. 142. Erklärungen. Wenn man die gerade Linie mit der Ebene ver¬ gleicht, so unterscheidet man in Hinsicht ihrer Lage gegen einander zwei Fälle: entweder ist die Gerade mit der Ebene parallel, wenn alle ihre Punkte von der Ebene gleichweit abstehen, so daß die Gerade nach beiden Seiten beliebig verlängert mit der eben¬ falls nach allen Richtungen erweiterten Ebene nicht zusammentrifft; oder die Gerade ist gegen die Ebene geneigt, und schneidet dieselbe, wenn beide erwei¬ tert werden, in einem Punkte. Der Punkt, in welchem eine Gerade mit einer Ebene zusammentrifft, wird der Fußpunkt der Ge¬ raden genannt. Eine gegen die Ebene geneigte Gerade kann auf derselben senkrecht oder schief aufstehen. Eine Ge¬ rade heißt auf einer Ebene senkrecht, wenn sie auf allen Geraden, welche durch ihren Fußpunkt in dieser Ebene gezogen werden, senkrecht steht; jede andere Gerade steht auf der Ebene schief. Wenn von einem Punkte O (Fig. 146) zu einer Ebene eine Senkrechte OH., und irgend eine Schiefe OK gezogen wird, so ist die Senkrechte kürzer als die Schiefe. Denn, verbindet man die Fußpunkte Hundk durch eine Gerade, so erhält man das rechtwinklige Dreieck .4 KO, worin OH als Kathete kürzer ist, als die Hppothenuse OK. » Die 175 Die Entfernung eines Punktes von einer Ebene mißt man daher durch die Senkrechte, welche von jenem Punkte auf die Ebene hcrabgelaffen wird. Wenn man von dem Endpunkte einer Geraden, welche auf einer Ebene schief aufstehet, auf diese eine Senkrechte herabläßt, und den Fußpunkt dieser Senk¬ rechten mit dem Fußpunkte der Geraden verbindet, so ist die Verbindungslinie die Projektion der Ge¬ raden auf die Ebene. Ist in der frühern Figur die Gerade 04 senkrecht auf die Ebene LIV, so ist 48 die Projektion der Geraden 08 auf die Ebene LILI. 143. Lehrsätze. 1. Wenn zwei Punkte einer Geraden von einer Ebene auf derselben Seite gleich weit abstehen, so ist die Gerade mit der Ebene parallel. Es seien (Fig- 147) die Punkte 4 und 8 von der Ebene NiV gleich weit entfernt, nämlich die Senkrechten 40 und 8V gleich; so ist zu beweisen, daß 48 parallel mit der Ebene LM ist. — Zieht man OO, so müssen 40 und 80, weil sie auf der Ebene LM senkrecht stehen, auch auf der Geraden 00 senkrecht, folglich unter einander parallel seyn. Da nun auch .40 A 80, so ist 4800 ein Parallelogramm, also 48 st 00. Ist aber 48 parallel mit der Geraden 00, so muß sie auch mit der Ebene LIV parallel seyn, denn würde 48 die Ebene N'c irgendwo er¬ reichen, so müßte dieses in irgend einem Punkte der 00 oder ihrer Verlängerung geschehen, aber 48 kann mit der Geraden 00 nie Zusammentreffen, weil sie 176 sie mit ihr parallel ist; also kann sic auch die Ebene NX nicht erreichen; sie ist daher mit ihr parallel. 144. 2. Wenn man von einem Punkte einer Geraden, welche auf einer Ebene senkrecht steht, zu dieser drei gleich lange gerade Linien zieht, und durch ihre Fußpunkte in der Ebene einen Kreis beschreibt, so ist der Fußpunkt der Senkrechten z »gleich der Mit¬ telpunkt dieses Kreises. Um dieses zu erweisen, sei (Fig 148) ou NX, und .40 — LO — 00. Damit U der Mittel¬ punkt des durch L, k und 0 beschriebenen Kreises sei, muß LU — LU — 01' seyn, was sich leicht Nachweisen läßt. Die rechtwinkligen Dreiecke LOU, LOU, OOU sind nämlich kongruent, weil sie gleiche Hypothenusen und eine gemeinschaftliche Kathete haben, daher müssen sie auch die zweite Kathete gleich haben; es ist demnach wirklich LU — LU — Ok, d. i. der Fußpunkt U der Senkrechten füllt mit dem Mittel¬ punkte des durch L, L, 0, beschriebenen Kreises zu¬ sammen. 145. 3. Wenn eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht, so ist auch jede mit ihr pa¬ rallele Gerade auf derselben Ebene senk¬ recht. Voraussetzung: es sei (Fig. 149) LS -l_ NX und 00 si LL. Zn beweisen ist, daß unter dieser Vor¬ aussetzung auch Ol) NX ist, d. h. daß Ov mit je- 177 jeder Geraden, welche in der Ebene UN durch den Punkt v gezogen wird, einen rechten Winkel bildet. — Man ziehe in der Ebene MN durch 0 irgend eine Gerade OK, und zugleich die damit Parallele Lk, so ist der Winkel 6VL—weil die Schenkel dieser Winkel parallel sind; aber L.irk—90°, weil nach der Annahme .48-l-UN ist; also ist auch 6OL—So°, oder 6O-I-OL. Die Gerade OK ist eine beliebige durch O in der Ebene UN gezogene Gerade; was daher von dieser Geraden bewiesen wurde, gilt auch von jeder andern so gezogenen; also steht 60 auf jeder Geraden senkrecht, welche durch ihren Fußpunkt v in der Ebene gezogen wird, daher senkrecht auf dieser Ebene selbst. Umgekehrt: 4. Wenn auf einer Ebene zwei Gerade senkrecht stehen, so müssen sie parallel seyn. Es seien und 6o auf der Ebene UX senk¬ recht. Wäre nun t O mit nicht parallel, so müßte sich durch v eine andere mit parallele Linie 06 ziehen lassen; dann aber müßte nach dem vorherge¬ henden Satze auch O6_r_UX seyn, was nicht möglich ist, da durch einen Punkt auf eine Ebene nur eine einzige Senkrechte gezogen werden kann. OK kann also mit Hssi nicht parallel seyn, Das, was hier von 6V bewiesen wurde, gilt von jeder Geraden außer VL; also kann keine durch 0 gezogene Gerade mit ^6 parallel seyn, außer 61). §. 140. 5. Unter allen Winkeln,.^ welche eine auf einer Ebene schief stehende Gerade Geometrie. M Mit 178 mit den durch ihren Fußpunkt in dieser Ebene gezogenen Geraden bildet, ist der¬ jenige der kleinste, den sie mit ihrer Pro¬ jektion i« dieser Ebene bildet. Es sei (Fig. 150) 86_r_NN, also 46 die Projektion der Geraden 4V auf NN, und 4V irgend eine in der Ebene NN durch 4 gezogene Gerade; so ist zu beweisen, daß der Winkel 846 kleiner ist, als der Winkel 84V. — Man mache 48—46, und ziehe 88. Betrachtet man die beiden Winkel 846 und 848, so sieht man, daß sie gleich lange Schen¬ kel haben, daß aber die Endpunkte der Schenkel im Winkel 846 näher an einander liegen als im Win¬ kel 848, weil die Senkrechte 86 kürzer sepn muß als die Schiefe 88. Wenn aber die Schenkel eines Winkels dieselbe Länge beibehalten, so ist gewiß, daß der Winkel um so kleiner wird, je weniger die Schen¬ kel, folglich auch ihre Endpunkte, von einander ab¬ weichen; oder: von zwei Winkeln, welche gleich lange Schenkel haben, ist derjenige der kleinere, bei dem die Endpunkte näher an einander liegen. Demnach ist wirklich der Winkel 846 kleiner als der Winkel 848 oder 84V. Da der Winkel, den eine Gerade mit ihrer Pro¬ jektion in einer Ebene bildet, kleiner ist als jeder andere Winkel, den sie mit einer in derselben Ebene gezogenen Geraden bildet, so dient jener Winkel da¬ zu, die Neigung der Geraden gegen die Ebene anzugeben. Der Neigungswinkel einer Gera¬ den gegen eine Ebene ist also der Winkel, den diese Gerade mit ihrer Projektion in dieser Ebene bildet; so ist 846 der Neigungswinkel der Geraden 48 gegen die Ebene NN. 8- 147. — 179 — 8- 147. Aufgaben. 1. Auf eine Ebene NX (Fig. 148) von einem außer ihr liegenden .Punkte 0 eine Senkrechte zu fällen. Man ziehe von dem Punkte O (vermittelst einer gespannten Schnur) zn der Ebene NN drei gleich lange Gerade, suche den Mittelpunkt des Kreises, der durch ihre Fußpunkte gezogen werden kann; dieser Mittelpunkt k ist zugleich der Fußpunkt der gesuchten Senkrechten; verbindet man ihn daher mit dem gege¬ benen Punkte O, so ist 01' die verlangte Senkrechte. 2. Auf einer Ebene NN (Fig. 149) in einem Punkte O eine Senkrechte zu er¬ richten. Man fällt von einem beliebigen Punkte ^4 außer der Ebene auf diese eine Senkrechte Hl, lege durch die Punkte ^4, ö und I) eine Ebene, und ziehe in dieser VO parallel mit 0^4, so ist 00 die gesuchte Senkrechte. Denn weil die Geraden 1)0 und 0^4 parallel sind, und eine von ihnen ü/4 auf der Ebene NX senkrecht steht, so muß auch die andere 00 auf NX senkrecht seyn. Die Errichtung einer Senkrechten auf einer Ebene kann sehr zweckmäßig auch mit Hilfe eines rechtwink¬ ligen Winkelhakens geschehen, wenn man diesen an den gegebenen Punkt in der Ebene anlegt. 3. Mit einer Ebene NX (Fig. 147) durch einen außer ihr liegenden Punkt ^4 eine Parallele Linie zu ziehen. M 2 Hier 180 Hier handelt es sich nur darum, noch einen zwei¬ ten Punkt L zu bestimmen, der von der Ebene LM eben so weit absteht als Zu diesem Ende fällt man non auf AM die Senkrechte errichtet in irgend einem Punkte v auf AM die Senkrechte V8, und schneidet VR—sM ab. Die Gerade ^.8 muß nun mit der Ebene AM parallel scyn. Itl. Lage der Ebenen gegen einander. 148. Erklärungen. Vergleicht man die Lage zweier Ebenen gegen ein¬ ander, so findet man, daß die beiden Ebenen entweder parallel sind, wenn sie nämlich überall gleich weit von einander abstehen, so daß sie auch, noch so weit erweitert, nie Zusammentreffen; oder daß sie gegen ein¬ ander geneigt sind, wenn sie hinlänglich erweitert sich begegnen. Der Ab stand zweier parallelen Ebenen ist die Senkrechte, welche von einem Punkte der einen auf die andere gefällt wird. Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich, hin¬ länglich erweitert, in einer geraden Linie. Errichtet man in einem Punkte der Durchschnittslinie zweier Ebenen auf dieselbe zuerst eine Senkrechte, welche in der einen Ebene liegt, und dann eine Senkrechte, welche in der zweiten Ebene liegt, so ist der von diesen Senk¬ rechten gebildete Winkel das Maß für die Neigung der beiden Ebenen gegen einander. Der Ncigungs- ävinkel zweier Ebenen ist also der Winkel, den die 181 — die Senkrechten bilden, die man in irgend einem Punkte der Durchschnittslinie auf dieselbe in den beiden Ebe¬ nen errichtet. Wenn (Fig.151)AO^AM,und8O-l_IlM ist; so ist AD8 der Neigungswinkel der Ebenen !U8 und L18. Wenn der Neigungswinkel zweier Ebenen ein rechter ist, so stehen sie auf einander senkrecht; sonst schief. §. 149. Lehrsätze. 1. Wenn drei Punkte einer Ebene von einer andern Ebene auf einerlei Seite derselben gleich weit entfernt sind; so sind die beiden Ebenen parallel. Es seien (Fig. 152) die in der Ebene U.X lie¬ genden Punkte , 8 , 6 von der Ebene kg gleich weit entfernt, also die auskg senkrechten Geraden AD, 88 und 6k gleich lang; so ist zu beweisen, daß auch feder andere Punkt 6 der Ebene NK von der Ebene 1'9 dieselbe Entfernung hat. — Man ziehe AD, 86, 6A, so sind diese Geraden mit der Ebene kg parallel, weil in jeder zwei Punkte gleich weit von der Ebene kg abstehen. Man ziehe ferner in der Ebene AM durch 6 eine Gerade, welche den Umfang des Dreieckes A.86 in zwei Punkten D und I schneidet. Den Abstand, den die Geraden A.8, 86, 6A von der Ebene kg haben, haben auch die zwei Punkte kl und 1, folglich, weil dann HI kg seyn muß, auch die übrigen Punkte der kll, somit auch der Punkt 6. Es hat also wirklich jeder Punkt 6 182 der Ebene NX von der Ebene PY denselben Ab¬ stand wie die Punkte 4, II, 6; also ist die Ebene NX mit der Ebene kj) parallel. 2. Wenn eine Gerade auf einer Ebene senkrecht steht, so muß auch jede durch diese Gerade gelegte Ebene auf jener Ebene senkrecht stehen. Es sei (Fig. 153) 4H -i- NX , und man lege durch 4L die Ebene 4V0, welche die Ebene NX in die Geraden 40 schneidet. — Um zu beweisen, daß die Ebene 480 auf NN senkrecht steht, muß man zei¬ gen , daß ihr Neigungswinkel ein rechter ist. Den Nei¬ gungswinkel der beiden Ebenen erhält man, wenn man in einem Punkte ihrer Durchschnittslinie .40 dar¬ auf zwei Senkrechte in den beiden Ebenen errichtet. Auf der Durchschnittslinie steht im Punkte .4 bereits die 41i in der Ebene 480 senkrecht; errichten wir darauf noch in der Ebene NX die Senkrechte 4V, so ist 84V der Neigungswinkel der zwei Ebenen 840 und NX. Dieser Winkel ist aber ein rechter, weil nach der Annahme 48 auf der Ebene NX, folglich auch auf der Geraden 4V, senkrecht ist, also steht die Ebene auf der Ebene NX senkrecht. 8- 150. Aufgaben. 1. Mit einer Ebene 1'6 (Fig. 152) durch einen Punkt 4 eine parallele Ebene zu legen. Bei der Auflösung dieser Aufgabe kommt es nur darauf an, zwei Punkte 8 und 0 zu bestimmen, welche von 183 Von der Ebene ky so weit abstehen, als der Punkt Zu diesem Ende fälle man von aufdie Senk¬ rechte H.V, errichte in irgend zwei Punkten L und k auf ky die Senkrechten LL und bO, und mache diese der gleich. Wird nun durch die drei Punkte H, L und 0 eine Ebene gelegt, so muß diese mit der Ebene l'y parallel scyn. 2. Durch einen Punkt eine Ebene zu legen, welche auf einer gegebenen Ebene senkrecht steht. Man ziehet durch den gegebenen Punkt eine senk¬ rechte Gerade auf die gegebene Ebene, und lege durch diese Gerade eine Ebene; so ist diese auf der andern Ebene senkrecht. IV. Körperliche Winkel. 151. Erklärungen. Die gegenseitige Neigung mehrerer Ebenen, welche in einem Punkte zusammentreffen, heißt ein körper¬ licher Winkel oder eine Körper ecke; z. B. die Ecke eines Zimmers, eines Kastens. Die Geraden, in denen sich je zwei auf einan¬ der folgende Ebenen durchschneiden, nennet man die Kanten, und den Punkt, in welchem alle Ebenen zusammenstoßen, die Spitze oder den Scheitel des Körperwinkcls. Ein Winkel, welcher von zwei auf einander folgenden Kanten gebildet wird, heißt ein Kanten winkel. Um einen Körperwinkel zu benennen, gibt man entweder bloß den Buchstaben am Scheitel an, oder man — 184 — man nennt auch die Buchstaben an allen Kanten so, jedoch, daß der Buchstabe an der Spitze zuerst gesetzt wird. Die körperliche Ecke Fig. 154 heißt die Ecke v, oder die Ecke OLLO; 0 ist die Spitze; OL, Oö, 06 sind die Kamen, LOL, LOO, OOL die Kantenwinkel. Von zwei Ebenen kann kein körperlicher Winkel gebildet werden, weil solche in einer geraden Linie, und nicht bloß in einem Punkte Zusammenstößen; zur Entstehung eines Körperwinkels sind also wenigstens drei Ebenen erforderlich. Ein Körperwinkcl heißt dreiseitig, vierseitig, . . je nachdem er von drei, vier, . . Ebenen gebildet wird. §. 152. Lehrsätze. 1. In einem dreiseitigen Körperwinkel müssen immer zwei Kantenwinkel zusam¬ mengenommen größer scpn, als der dritte. Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich unmittel¬ bar aus der Art der Entstehung einer Körperecke. Um aus den Kantcnwinkeln a, b, a, (Fig. 155) einen Körperwinkel zu bilden, drehet man die Ebenen LOK und 000 so lange um die Geraden OK und 00, bis die Schenkel OL und 00 in einander fallen. Da¬ mit ein Körperwinkel entstehen könne, müssen OL und Ov außerhalb der Ebene LOO zusammensallen, was nur dann möglich ist, wenn die Winkel s und o zu¬ sammengenommen größer sind als d. Eben so läßt sich zeigen, daß o-s-t> größer als o, und b-s-e größer als a seyn müssen. In jeder dreiseitigen Ecke ist also die Summe zweier Kantenwinkcl größer als die dritte. 2. 185 2. In jedem Körperwinkel ist die Summe aller Kantenwinkcl immer kleiner als vier Rechte. Es sei der Körperwinkcl 0 (Fig. 156) unten durch die Ebene geschnitten, so sind an der Ecke ^4 die Kantenwinkel s-l-b größer als n, „ „ „ L „ c-i-ä „ „ x, '/ „ // o „ " ; daher auch die Summeu-i-b-t-vss-a-b e-i-sgrbher als u-j-p-t-q, oder „ ,/ -^b-i-o-bä-i-s-i-sgrößeralsLRechte weil gleich 2 Rechte ist. Die Summe a-l-b-be-t-ü-l-o-l-s aber bildet mit den Kantenwinkeln x, v, - die Summe aller Winkel von .drei Dreiecken, welche 3mal 2 Rechte — 6 Rechte betragen. Wenn nun auf die Summe n-t-bss-o ck^-o-l-k mehr als 2 Rechte kommt, so müssen die drei Kantenwinkcl x, 2 zusammengenommen nothwendig weniger als 4 Rechte betragen. Auf dieselbe Art kann der Beweis auch für mehr¬ seitige Körperwinkel geführt werden. Wenn mehrere ebene Winkel zusammen 4 Rechte d. i. 360", oder mehr als 3.60", betragen, so können ste keine körperliche Ecke bilden. So ist z. B. aus vier Winkeln, deren jeder 90" oder 100" beträgt, keine Ecke möglich, weil im erstem Falle die Summe aller Winkel 360", im zweiten mehr als 360° beträgt. 153. Regelmäßige Ecken. Eine Ecke, an welcher jeder Kantenwinkcl gleich ist dem Winkel eines regelmäßigen Vieleckes von be¬ stimm- 186 stimmter Seitenanzahl, heißt eine regelmäßige Ecke. Z. B. 60° ist der Winkel eines regulären Drei¬ eckes, eine Ecke nun, die z. B. vier solche Winkel zu Kantenwinkeln hat, ist regelmäßig. Es gibt nur fünf regelmäßige Ecken, wie wir sogleich beweisen wollen. In einem regelmäßigen Dreiecke ist feder Win¬ kel gleich 60°. Drei solche Winkel geben 180°, also bilden sie eine Ecke; vier solche Winkel betragen 240°, können also auch in einer Ecke Zusammenstößen; so auch fünf derlei Winkel, die zusammen 300" aus¬ machen; sechs oder mehr solcher Winkel können keinen Körperwinkel bilden, da ihre Summe 360° oder dar¬ über beträgt. Es gibt daher nur drei regelmäßige Ecken, deren Kantenwinkel gleich sind dem Winkel eines regelmäßigen Dreieckes, nämlich eine drei-, eine vier- und eine fünfseitigc. In einem regelmäßigen Vierecke ist feder Win¬ kel ein Rechter. Von solchen Winkeln können nur drei in einer Ecke Zusammenstößen; vier solche Winkel ge¬ ben schon vier Rechte. Es gibt daher eine einzige, nämlich eine dreiseitige regelmäßige Ecke, deren Kan¬ tenwinkel gleich sind dem Winkel eines Quadrates. In einem regelmäßigen Fünfecke beträgt feder Winkel 108°, so daß ihrer nur drei zusammen einen Körpcrwinkel bilden können. Es gibt daher nur eine dreiseitige Ecke, deren feder Kantenwinkel gleich ist dem Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes. Der Winkel eines regulären Sechseckes ist 120°. Von solchen Winkeln kann keine Ecke gebildet werden, weil schon drei derselben 360° betragen. Dasselbe gilt 187 gilt um so mehr von den Winkeln eines regelmäßigem Siebeneckes oder mehrseitigen Polygons. Es kann also nur fünf regelmäßige Ecken geben. Zweites Hauptftück. Körper. I. Emtheiluug und Erklärung der Körper. 8. 154. Allgemeine Begriffe. Jeder nach allen Seiten begrenzte Raum wird ein Körper genannt. Die Grenzen eines Körpers sind Flächen. Weil die Anzahl, Gestalt und Lage dieser Grenzflächen sehr verschieden seyn können, so sind unzählig viele verschie¬ dene Körper denkbar. Man unterscheidet im Allgemeinen eckige und runde Körper; erstere werden von lauter Ebenen eingeschlossen, letztere entweder von ebenen und ge¬ krümmten Flächen, oder von einer einzigen gekrümmten Fläche. So ist der Würfels ein eckiger Körper; eine Walze, eine Kugel sind runde Körper. Wenn ein Körper auf einer Ebene auflicgt, so heißt diese die Grundfläche oder Basis; und wenn mit dieser als Grundfläche betrachteten Ebene eine zweite Ebene parallel läuft, so sagt man: der Körper hat zwei parallele Grundflächen. Bei dem Würfel z. B. kann jede Fläche als Grundfläche be¬ trach- 188 trachtet werden; eine Walze hat zwei Grundflächen, nämlich die beiden Kreisflächen. Die übrigen Grenzflächen eines Körpers werden Seiten flächen, und ihre Summe dieSe itenob er- fläche genannt. Alle Grenzflächen eines Körpers zu¬ sammengenommen nennt man die Oberfläche, und den Raum, welchen diese Grenzflächen einschließen, den körperlichen oder kubischen Inhalt. 1. Eckige Körper. §. 155. Drei Ebenen bilden eine körperliche Ecke, schlie¬ ßen aber noch keinen Raum ein. Damit ein Raum nach allen Seiten abgeschlossen , d. i. damit ein Körper gebildet werde, sind daher wenigstens vier Ebenen erforderlich. Die Durchschnittslinie je zweier Grenz- ebenen wird eine Kante des Körpers genannt. Man pflegt die eckigen Körper in regelmäßige und unregelmäßige cinzutheilen. Regelmäßige oder reguläre Körper heißen diejenigen, Lei denen alle Grenzebenen und Ecken regelmäßig und kongruent sind; alle übrigen Körper sind unregelmäßig. Unter den unregelmäßigen Körpern kommen be¬ sonders zwei Arten sehr häufig vor; solche, welche sich über der Grundfläche durchaus gleich weit ausdehnen, bei denen daher die Seitenkantcn parallel sind, sie heißen Prismen; und solche, welche über der Grund¬ fläche in eine Spitze zusammenlaufen, bei denen näm¬ lich alle Seitenkanten in einem und demselben Punkte Zusammentreffen, sie heißen Pyramiden. §- — 189 — §. 156. Regelmäßige Körper. Da es nur fünf regelmäßige Ecken gibt, so kann es auch nurfünf regelmäßige Körper geben. Diese sind : 1s) das Tetraeder (Fig. 157), welches von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt ist, von denen immer drei in einer Ecke Zusammenstößen; es hat 4 Eckenund 6 Kanten; 2) das Oktaeder (Fig. 158), welches von acht gleichseitigen Dreiecken eingeschlossen wird, von denen je vier eine Ecke bilden; es hat 6 solche Ecken und 12 Kanten; 3) das Ikosaeder (Fig. 159); es wird von zwanzig gleichseitigen Dreiecken begrenzt, deren je fünf einen Körperwinkel bilden, stat 12 Ecken und 30 Kanten; 4) das Hexaeder (Kubus, Würfel), das von sechs Quadraten eingeschloffen ist; es hat 8 dreiseitige Ecken und 12 Kanten (Fig. 160); 5) das Dodekaeder (Fig. 161), welches von zwölf regelmäßigen Fünfecken begrenzt ist, deren je drei in einer Ecke Zusammenstößen; es hat 20 Ecken und 30 Kanten. §. 157. Prismen. Ein Prisma (Ecksäule) ist ein Körper, wel¬ cher von zwei kongruenten und parallel gestellten Viel¬ ecken und von so vielen Parallelogrammen, als eines der Vielecke Seiten hat, begrenzt wird. Man 190 Man kam sich einPrisma ^IlOvkk'k» (Fig. 162) dadurch entstanden denken, daß sich die Ebene ^800 längs der Kante immer in paralleler Richtung gleichförmig fortbewegt. Die Grundflächen eines Prisma sind kongruente und parallel liegende Vielecke, die Seitenflächen sind Parallelogramme. Die Scitenkanten eines Prisma sind unter einander gleich und parallel. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Hohe des Prisma. Wenn man auf die Lage der Seitenkanten gegen die Grundfläche Rücksicht nimmt, so ist das Prisma ein gerades oder ein schiefes, je nachdem die Seitenkanten auf der Grundfläche senkrecht oder schief aufliegen. In einem geraden Prisma ist die Höhe einer Scitenkante gleich; die Seitenkanten sind Rechtecke. Sieht man auf die Anzahl derSeitcnkanten, so heißt das Prisma drei-, vier-, oder mehrseitig, je nachdem es drei, vier oder mehrere Seitenkanten hat. Fig. 162 stellt ein gerades vierseitiges, Fig. 163 ein schiefes dreiseitiges Prisma vor. Ein Prisma, dessen alle Grenz flä ch en Paralle¬ logramme sind, heißt ein P arallel opipcd. Dieses ist, wie jedes Prisma, entweder gerade oder sschief. Ein Prisma, dessen alle Grenzflächen Rechtecke sind, heißt ein rechtwinkliges P arallelopiped. Ein rechtwinkliges Parallelopiped muß immer auch ge¬ rade seyn. Ein Prisma, das von lauter Quadraten cinge- schlofsen wird, heißt ein Würfel, Kubus- Jeder Wür- 191 Würfel ist ein rechtwinkliges Parallelopiped; es hat lauter gleiche Kanten und kongruente Grenzflächen. §. 158. Pyramiden. Eine Pyramide (Spitzsäulefl ist ein Körper, der von irgend einem Vielecke und von so vielen Drei¬ ecken, als das Vieleck Seiten hat, begrenzt wird. Man kann sich eine Pyramide 8^U6VL (Fig. 164) dadurch entstanden denken, daß sich eine Ebene LK60L längs der Kante ^48 mit sich selbst parallel bewegt, und während dieser Bewegung sich ähnlich bleibend) gleichförmig abnimmt, bis sie endlich in einem Punkte 8 verschwindet. Die Grundfläche einer Pyramide ist irgend ein Vieleck, die Seitenflächen sind immer Dreiecke. Der Punkt, in welchem alle Seitenflächen Zusammenstößen, heißt der Sch eitel,'oder die Spitze. Eine Senkrechte von der Spitze auf die Grundfläche wird die Höhe genannt. Eine Pyramwe, in welcher die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, und wo die Höhe genau in den Mittelpunkt der Grundfläche eintrifft, heißt eine gerade oder aufrechtstehende Pyramide; jede andere ist schief. In einer geraden Pyramide sind alle Seitenkanten gleich, und alle Seitenflächen kongruent. Eine Pyramide ist drei-, vier- oder mehr¬ seitig, je nachdem sie drei, vier oder mehrere Sci- tenkanten hat. 2. 192 2. Runde Körper. §. 159. Cyli n d er. Ein Cylinder (Rundsäule, Walze) ist ein Kör¬ per, welcher von zwei gleichen parallelen Kreisen und von einer gekrümmten Fläche begrenzt wird. Ein Cylinder (Fig. 165) kann als ein Prisma betrachtet werden, dessen Grundflächen Kreise sind. Die gekrümmte Seitenfläche heißt der Mantel des Cylinders. Die Gerade, welche die Mittelpunkte der beiden Kreisflächen verbindet, wird die Are, und der Abstand der beiden Kreisflächen die Höhe des Cylinders ge¬ nannt. Wenn die Are auf der Grundfläche senkrecht ste¬ het, so heißt der Cylinder ein gerader, sonst ein schiefer. Einen geraden Cylinder kann man sich da¬ durch entstanden denken, daß sich ein Rechteck um eine seiner Seiten herumdrehet. In einem geraden Cylinder stellt die Are zugleich die Höhe vor. Wenn in einem geraden Cylinder die Are dem Durchmesser der Grundfläche gleich ist, so heißt er ein gleichseitiger Cylinder. §. 160. Kegel. Ein Kegel ist ein Körper, der von einem Kreise und von einer in einen Punkt auelaufcnden gekrümmten Fläche begrenzt wird. Ein Kegel (Fig. 166) .kann als eine 193 eine Pyramide betrachtet werden, deren Grundfläche ein Kreis ist. Die gekrümmte Seitenfläche nennet man den Mantel, und den Punkt, in welchem sic zusammen¬ läuft, den Scheitel oder die Spitze des Kegels. Die Mantelfläche eines Kegels ist so beschaffen, daß jede Gerade, welche von der Spitze zum Umfange der Grundfläche gezogen wird, ganz in diese ge¬ krümmte Fläche fällt. Eine solche Gerade heißt eine Seite des Kegels. Die Gerade, welche die Spitze mit dem Mittel¬ punkte der Grundfläche verbindet, heißt die Are, und die Senkrechte von der Spitze auf die Grundfläche die Höhe des Kegels. Ein Kegel, dessen Are auf der Grundfläche senk¬ recht steht, heißt ein gerader; jeder andere ein schiefer. Einen geraden Kegel kann man sich dadurch entstanden denken, daß sich ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten herumdrehet. In einem ge¬ raden Kegel ist die Are zugleich die Höhe und alle Seiten sind unter einander gleich. Wenn im geraden Kegel die Are dem Durch¬ messer der Grundfläche gleich ist, so heißt er ein gleich¬ seitiger Kegel. 8. 161. Kuge l. Eine Kugel (Fig. 167) ist ein Körper, welcher von einer einzigen gekrümmten Fläche so begrenzt wird, daß jeder Punkt der Oberfläche von einem innerhalb liegenden Punkte gleich weit abstchct. Dieser innerhalb der Kugel liegende Punkt heißt der Mittelpunkt oder das Zentrum. Geometrie. P Ei- 194 Eine Gerade, welche vom Mittelpunkte bis an die Oberfläche gezogen' wird, heißt ein Halbmesser; eine Gerade, welche von einem Punkte "der Oberfläche durch das Zentrum bis zu dem entgegengesetzten -Punkte der Oberfläche geht, wird ein Durchmesser der Kugel genannt. Man kann sich jede Kugel durch Umdrehung eines Halbkreises um den Durchmesser entstanden denken. Dieser Durchmesser heißt dann die Are, und dessen Endpunkte sind die Pole der Kugel. II. Netze der Körper. 8. 162. Die Darstellung der Grenzflächen eines Körpers auf einer einzigen Ebene, so daß sic gehörig ausge¬ schnitten und zusammengefügt jenen Körper bilden, heißen ein Körper netz. Die Körpernetze können zu mannigfaltigen Zwec¬ ken angcwcndct werden. Sie dienen, um die Ober¬ fläche der Körper zu bestimmen, um verschiedene hohle Körper zufammcnzufügen, andere, gegebene Körper mit Papier zu überziehen, und so verschiedene Zeich¬ nungen auf ihre Oberflächen zu bringen; endlich sind die Netze auch bei der Verfertigung der Modelle von großer Wichtigkeit. Anfänger sollen die Netze nicht nur verzeichnen lernen, sondern aus denselben auch die Körper selbst zusanunenstcllen. §. 163. Netze der eckigen Körper. 1. Um das Netz eines Tetraeders zu erhal¬ ten , 195 ten, verzeichne man (Fig. 168) ein gleichseitiges Dreieck, halbire dessen Seiten, nnd verbinde die Halbirungs- hunkte durch gerade Linien. 2. Das Netz eines Oktaeders wird erhalten, wenn man zuerst das Netz eines Tetraeders verzeich¬ net, und dann an dieses ein zweites ganz gleiches Netz so anlegt, daß beide Netze eine Seite gemein¬ schaftlich haben, wie aus Fig. 169 zu sehen. 3. Das Netz eines Ikosaeders erhält man, Wenn man (Fig. 179) eine gerade Linie in sünf gleiche Thcilc theilt, über diesen nach oben und unten gleichseitige Dreiecke konstruirt, dann alle Scheitel auf einer Seite durch eine Gerade verbindet, und längs derselben, nachdem sie verlängert wird, wieder gleichseitige Dreiecke verzeichnet, so daß ihrer aus jeder Seite fünf erscheinen. 4. Das Würfelnetz (Fig. 171) entstehet, wenn man zwischen zwei Geraden vier Quadrate verzeich¬ net, und überdies noch zwei Quadrate au den ent¬ gegengesetzten Seiten eines jener erstem Quadrate konstruirt. 5. Um das Netz des Dodekaeders zu kon- struircn, beschreibe man (Fig. 172) über den Seiten eines regelmäßigen Fünfeckes wieder regelmäßige Fünfecke (wobei man sich mit Dortheil der Verlän¬ gerung der Diagonalen bedient), und lege an dieses Netz ein zweites ihm vollkommen gleiches so an, daß beide in einer Seite Zusammenstößen. 6. Um das Netz eines Prisma zu erhalten, verzeichne man (Fig. 173 und 174) neben einander die Parallelogramme, welche die Seitcnoberfläche bil¬ den, und fetze an eines dieser Parallelogramme oben und unten die Grundfläche zu. N 2 7. 196 7. Das Netz einer Pyramide erhält man, Wenn man zuerst die Seitendreicckc neben einander so kon- struirt, daß sie die Spitze gemeinschaftlich haben (Fig. 175), und an eines dieser Dreiecke unten die Grundfläche anlegt. §. 164. Netze der runden Körper. 1. Netz eines Cylinders. Die Mantelfläche eines geraden Cylinders bildet, wenn man sich dieselbe abgewickelt denkt, ein Rechteck, dessen Grundlinie gleich ist dem Umfange der Grund¬ fläche. Man erhält demnach das Netz eines Cylinders, wenn man (Fig. 176) zuerst einen Kreis beschreibt, daran eine Tangente zieht, und dieselbe 3smal so groß macht als der Durchmesser des Kreises ist, dann über dieser Geraden ein Rechteck konstruirt und an der Gegenseite wieder einen mit dem frühem gleich¬ großen Kreis anbringt. 2. Netz eines Kegels. Die Mantelfläche eines geraden Kegels bildet, wenn man sich dieselbe abgcwickclt denkt, einen Kreis¬ ausschnitt, dessen Bogen gleich ist dem Umfange der Grundfläche. Um daher 'das Netz eines geraden Kegels zu er¬ halten, verzeichne man (Fig. 177) zuerst einen Kreis, beschreibe dann außerhalb desselben einen ihn berüh¬ renden Kreisbogen, trage auf diesem den Durchmesser des ersten Kreises 3smal auf, und vollende den Kreisausschnitt. 3. Netz einer Kugel. Die Oberfläche der Kugel kann nicht auf einer ein- 197 einzigen Ebene dargestellt werden, daher laßt sich davon auch kein vollkommen genaues Netz konstruiren. Ein angenähertes Netz läßt sich auf folgende Art un¬ fertigen : Man Heile eine Gerade ^8 (Fig. 180) in 30 gleiche Theile, deren 12 auf den Umfang der Kugel gehen sollen, und beschreibe mit einem Halb¬ messer von 10 solchen Theilen aus den Punkten 1, 2, 3, ... 11, und eben so aus den Punkten 8, 29, 28, 27, ... 19 Kreisbogen, welche die Gerade ^8 dnrchschneiden; dadurch erhält man 12 gleiche erha- benseitige Zweiecke, welche sorgfältig zusammcngebo- gen beinahe eine Kngeloberfläche geben. III. K ö r p e r s ch n i t t e. 8. 165. Prismenschnitte. Wenn ein Prisma durch eine Ebene durchschnit¬ ten wird, welche mit der Grundfläche parallel ist, so ist die Durchschnittsfigur, da das Prisma durchaus dieselbe Weite hat, mit der Grundfläche kongruent; was auch aus der Entstehungsweise des Prisma durch die Bewegung eines Vieleckes hervorgehet. Durch jeden solchen Durchschnitt zerfällt das Prisma in zwei andere Prismen, welche unter einander gleich oder ungleich sind, je nachdem der Schnitt durch die Mitte einer Seitenkante, oder außerhalb derselben angebracht wird, alle Li ^800, Fig. 162. Legt man durch zwei gegcnübcrstchende Kanten 80 und 811 (Fig. 185) eine Ebene, so heißt der dadurch entstehende Schnitt 8880 ein Diagonalschnitt des Prisma. Ein Parallelopiped wird durch jeden Dia- 198 Diagonalschnitt in zwei kongruente dreiseitige Pris¬ men getheilt. 8. 166. Pyr a m i d a l s chnittk. Wenn man eine Pyramide parallel mit der Grundfläche durch eine Ebene durchschncidet, so er¬ hält man, da die Pyramide nach oben gleichförmig abnimmt, eine Figur, welche der Basis ähnlich ist. Die Pyramide zerfällt dadurch in zwei Theile, eine kleine Pyramide, und einen zwischen zwei parallelen Ebenen erhaltenen Körper, den man eine abge¬ kürzte Pyramide oder einen Pyramidal¬ stutz nennt. Ein Pyramidalstutz ^LOalio (Fig. 179) ist daher der Unterschied zwischen zwei Pyramiden 8VU0 und 8adc, deren Grundflächen die untere und die obere Grundfläche der abgekürzten Pyramive sind, und deren gemeinschaftliche Spitze »8 in dem Durchschnitte der verlängerten Seitenkanten des StutzcS liegt. Die Entfernung der beiden Grundflächen ist die Höhe des Pyramidalstutzes. Wenn die Höhe einer abgekürzten Pyramide und zwei parallele Kanten der untern und der obcrn Grundfläche bekannt sind, so lassen sich daraus die Hö¬ hen der beiden Pyramiden finden, deren Unterschied der Pyramidalstutz ist. Es sei nämlich das Dreieck allo (Fig. 179) ähnlich und parallelgestellt mit dem Dreiecke so ist ein Pyramidalftutz; cs sei ferner 8 der Punkt, in dem die verlängerten Seitenkanten des Stutzes Zusammentreffen und 8H die Höhe der ' Py- 199 Pyramide 8486, so ist 8K die Höhe der Pyramide 8abn, und K8 die Höhe des Pyramidalstutzes. Man ziehe 48 und ak, so ist wegen ü ak . . . 88 : 8K — 84 : 8a, und wegen 48 ii ab ... 48 : ob — 84 : 8a, daher auch 88 : 8Ii — 48 : ab, weil zwei Verhältnisse, welche beide einem dritten Verhältnisse gleich sind, gewiß auch unter einander gleich seyn müssen. Da sich nun in jeder Proportion der Unterschied der ersten zwei Glieder zum Unterschiede der letzten zwei Glieder verhält wie das erste Glied zum drit¬ ten, oder wie das zweite zum vierten, so hat man 88 — 8K : 48 — ab — 8» : 48, 811 — 8K : 48 — ab — 8K : ab; oder wegen 88 — 8K — K8 K8 : 48 — ak — 88 : 48, K8 : 48 -— ak — 8K : ab; K8 X ^8 woraus >>" -- , «b — K8 X ab 48 — ab folgt, was sich mit Worten so ausdrücken läßt: Nimmt man irgend zwei parallele Kan¬ ten in den beiden Grundflächen des Stutzes, so findet man die Höhe 88 der größer» Pyramide, wenn man die Höhe K8 des Stutzes mit der größern jener zwei Kanten 48 multiplizirt, und das Produkt durch deren Unterschied ^8 — ob dividirt; die Höhe 8K der kleinern Pyramide aber fin¬ det man, wenn man die Höhe K8 des Stut¬ zes mit der kleinern Kante ab multiplizirt, und 20V und das Produkt durch dcn Unterschied bei¬ der Kanten — ab dividirt. Sind z. B. 6' und 4' zwei parallele Kanten der beiden Grundflächen, und 5' die Hohe des Stut¬ zes, so ist die Hohe der großen Pyram. - — 15', „ „ „ kleinen „ — 10'. Es reicht übrigens hin, die Hohe der großem Pyramide zu berechnen; die Höhe der kleinern findet man dann, wenn die Höhe des Stutzes von der Höhe der großem Pyramide abgezogen wird. §. 167. C yli n d e r s chnitte. Die Beschaffenheit des Schnittes eines Cylindcrö' durch eine Ebene hängt von der Lage dieser Ebene ab. Durchschneidet man Fig. 180 einen Cylinder parallel mit der Are, so ist die Durchschnittöfigur ein Rechteck oder ein schiefes Parallelogramm, je nachdem der Cylinder gerade oder schief ist. Wird der gerade Cy¬ linder durch eine auf die Are senkrechte Ebene geschnitten, so ist deb Schnitt CI ein Kreis; ist aber die Arc gegen die schneidende Ebene schief, so ist die Durchschnittsfigur eine Ellipse CH. 8. 168. Kegelschnitte. Am wichtigsten sind die Figuren, welche entste¬ hen, 201 hm, wenn'ein senkrechter Kegel (Fig. 181) von einer Ebene durchschnitten wird. Geht der Schnitt durch die Are, so ist er ein gleichschenkliges Dreieck ^L6; steht er auf der Are senkrecht, oder waö dasselbe ist, geht er Parallel mit der Basis, so ist er ein Kreis DL. Steht aber die Ebene auf der schneidenden Ebene schief, so sind drei Fälle möglich. Ist die schneidende Ebene mit der Seite des Kegels parallel, so entstehet, Fig. 182, die Parabel LVO; neigt sich die schneidende Ebene zu der ge¬ genüberliegenden Seite hin, so ist die Durchschnitts¬ figur eine Ellipse Lid'; neigt sic sich von derselben weg, so ist der Schnitt von einer krummen Linie begrenzt, welche man Hyperbel nennt " — 1U6", 42" V 4 „ „ „kleinern „ —168"— §. 16S. — 203 8. 169. Kugelschnitte. Schneidet man eine Kugel durch eine Ebene, so ist die Durchschnittsfigur ein Kreiö, welcher um so größer ist, je näher am Mittelpunkte der Schnitt ge¬ macht wird. Am größten wird er, wenn man die Kugel durch den Mittelpunkt schneidet; ein solcher Kreis, dessen Mittelpunkt im Zentrum der Kugel liegt, dessen Halbmesser also so groß ist als der Halbmesser der Kugel, heißt ein größter Kreiö der Kugel. Durch den Schnitt einer Kugel durch eine Ebene zerfällt die Kugel in zwei Theile, welche man Ku¬ gelabschnitte nennt, und welche unter einander gleich oder ungleich sind, je nachdem die schneidende Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel oder außer¬ halb desselben geht; im ersten Falle heißt jeder der beiden Kugelabschnitte eine Halbkugel. Die gekrümmte Oberfläche eines Kugelabschnittes heißt eine Kugel- mützc. oder Kalotte. Wird eine Kugel durch zwei parallele Ebenen durchschnitten, so heißt der zwischen ihnen befindliche Theil der Kugel eine Kugelzone oder ein Kugel¬ gürtel; und die gekrümmte Oberfläche davon eine Zone der Kugclobcrfläche, oder auch bloß Zone, Gürtel. IV. Bestimmung der Oberfläche der Körper. a. Oberfläche der eckigen,Körper. §. 170. Um die Oberfläche eines eckigen Körpers zu fin¬ den, — 204 — den, braucht man mir dm Flächeninhalt jeder Grenz¬ ebene für sich zu bestimmen, und alle gefundenen Flä¬ chen zu addiren. Bei den einzelnen Körpern ist insbesondere Fol¬ gendes zu berücksichtigen: 1. Beim Prisma berechnet man zuerst die Sei¬ tenflächen als Parallelogramme; ihre Summe gibt die Seitenobcrflächc; dazu addirt man noch die doppelte Grundfläche. Bei dem geraden Prisma bildet die Seitcn- oberfläche, wenn man sich dieselbe auf eine Ebene abgewickelt denkt, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umsange der Basis, und dessen Höhe der Seitenkante des Prisma gleich ist. Man kann daher die Seiten¬ oberfläche eines geraden Prisma finden, wenn man den Umfang der Basis mit einer Scitcnkante multi- plizirt. 2. Bei der Pyramide bestimmt man zuerst die Seitenflächen als Dreiecke, und addirt zu ihrer Summe die Grundfläche. Ist die Pyramide eine gerade, so braucht man nur ein Seitendreieck zu berechnen und dessen Flüche mit der Anzahl der Seitenbauten zu multiplizircn; dazu wird noch die Basis addirt. 3. Bei der abgekürzten Pyramide werden die Seitenflächen als Trapeze bestimmt; dann berech¬ net man die beiden Grundflächen, und addirt .sie zu der Summe der Seitenflächen. 4. Bei den regelmäßigen Körpern wird nur eine Grenzebene berechnet, und ihre Fläche mit der Anzahl der Greiizebcnen multiplizirt. 171. 205 §. 171. Beispiele und Aufgaben. 1. Wie groß ist die Seitcnoberfläche eines fünf- seitigen Prisma, in welchem die Grundlinien der ein¬ zelnen Scitenparallclogrammc 5", 6", 7", 8", 9", und die bezüglichen Hohen 13", 14", 15", 16", 17" sind? Parallelogramm I — 5X13— 65 „ II — 6 X 14 84 „ „ III 7 X 15 — 105 „ „ IV 8 X 16 128 „ „ V 9 X 17 - 153 „ Seitenobcrfläche — 535 s^". 2. Eine vierseitige Schachtel, welche V lang, 6" breit und 8" hoch ist, soll mit buntem Papier überzogen werden; wie viel Papier gehört dazu? Seitenfläche I --- 12 X 8 96 Seitenfläche H — 6 X 8 — 48 „ Basis 12 X 6 - 72 „ daher Seitenflächen I -j- III 192 s^j" „ II P- IV — 96 „ doppelte Basis — 144 „ Ganze Oberfläche — 432 s^s" — 3 3. Ein viereckiges blechernes Gefäß ist 2^ 2" lang, V 8" breit und V 6" hoch; wie viel Blech ist dabei, wenn das Gefäß oben unbedeckt ist? zwei gegcnüberstehende Seitenflächen — 936 die andern „ „ — 720 „ Basis — 520 „ , Flächeninhalt des Bleches —^2l76 sls". 4. Wie 206 4. Wie groß ist die Oberfläche einer Pyramide, deren Ba- sis ein Quadrat ist, worin jede Seite 5" beträgt, und deren Scitendreiccke 8", 10", 1l", 9" zu ihren Hohen haben? 5 V 8 Dreieck I -- 20 sH" II ,, "- ,/ IN -I X ^I _ ->7' , 5 X „ IV 22z „ Basis — 5 X 5 — 25 „ Oberfläche — 120 sssj" 5. Die große Pyramide bei Hiss in Ägypten hat 463' Höhe, ihre Grundfläche ist ein Quadrat, dessen Seite 736' beträgt? wie groß ist ihre ganze Oberfläche? In einem Seitendreiecke ist die Grundlinie — 736' die Höhe — ^463--f-368- — ^349793 — 591,4' daher der Flächeninhalt — 217635,2 fsF und die ganze Scitcnoberfläche — 870540,8 Hj' ferner die Basis — 736 X 736 — 541696 „ folglich die ganze Oberfläche — 1412236,8 6. In einer geraden dreiseitigen abgekürzten -Pyramide beträgt jede Seite der untern Grundfläche 4' 2", und jede Seite der ober» Grundfläche 3' 6"; die Hohe jeder Seitenfläche ist 1" 5' 2". Wie groß ist die Seitenoberflächc? 5)0 -L- Eine Seitenfläche — —-xl34—61640", also ganze Seitenoberfläche — 184920"—^ÜH^OO^iOO" 7. Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels, dessen jede Seite 2' 4" beträgt? Eine 207 Eine Grenzebene — 28 x 28 — 7840", also ganze Oberfläche — 47040" — 320' 060"- 8. Man bestimme die Oberfläche eines Oktaeders, dessen jede Seite 8" ist. Ein gleichseitiges Dreieck, dessen jede Seite 8" ist, beträgt 27,72 O" > die ganze Oberfläche des Oktaeders ist daher gleich 8mal 27,72 O" — 221,76 O" — 1 LI ^6 HI"' d. Oberslächc der 'runden Körper. §. 172. Oberfläche des Cy linder s. Um die Oberfläche eines Cylinders zu finden, berechnet man zuerst die beiden Grundflächen als Kreise, dann die krumme Mantelfläche, und bringt diese Flächen in eine Summe. In einem geraden Cylinder findet man die Mantelfläche, wenn man den Umfang der Basis mit der Höhe multiplizirt. Denn die Mantelfläche läßt sich in ein Rechteck abwickeln, welches mit dem Cylinder einerlei Höhe hat, nnd dessen Grundlinie dem Um¬ fange der Basis des Cylinders gleich ist. Beispiele und Aufgaben. 1. Die Höhe eines geraden Cylinders ist 8', der Durchmesser der Basis 4'; wie groß ist die Oberfläche? Umfang der Basis 12,56' Flächeninhalt der Basis 12,56^' doppelte Basis 25,12 O' Mantelfläche 12,56 X 8 — 100,48 „ ganze Oberfläche — 125, 6 O'. 2. 208 2. Wie groß ist die Oberfläche eines gleichseiti¬ gen Cylinders, dessen Weite 1' 2" beträgt? Umsang der Basis — 44" Basis — 44 X 154 beide Grundflächen — 308 Mantelfläche — 44 X 14 — Kitt „ Oberfläche — 924 i Hieraus sieht man zugleich, daß der Mantel eines gleichseitigen Cylinders viermal so groß ist als eine Grundfläche. 3. Ein cylindrischcs oben offenes Gefäß ist von außen anzustreichen; der Halbmesser der Grundfläche ist 9", die Hohe 1'3"; wie viel ssss muß man anstreichen? Umfang der Basis — 56,52" Flächeninhalt der Basis — 254,34 s^" Mantelfläche 56,52 X 15 — 847,80 „ anzustreichendc Fläche — 1102,14 ^"—7,65^ 8. 173. Oberfläche des Kegels und des Kegelstutzes. Die Oberfläche eines Kegels findet man, wenn man zuerst die Basis, dann die Mantelfläche berechnet, und beide addirt. Bei einem geraden Kegel wird die Mantel¬ fläche gefunden, wenn man den Umfang der Basis mit der halben Seite des Kegels multiplizirt. Denn, wenn man sich die Mantelfläche des geraden Kegels abgewickelt denkt, so erscheint sie als ein Kreisaus¬ schnitt, dessen Bogen dem Umfange der Basis, und des- 209 dessen Halbmesser der Seite des Kegels gleich ist; nun ist der Flächeninhalt eines Kreissektors gleich der Länge des Bogens multiplizirt mit dem halben Halb¬ messer; folglich ist die Mantelfläche eines gerade» Kegels gleich dem Umfange der Basis, multiplizirt mit der halben Seite. Um die Mantelfläche eines geraden abge¬ kürzten Kegels zu erhalten, brausst man nur die Umfänge der beiden Grundflächen zu addircn, und ihre Summe mit der halben Seite des Kegclstutzcs zu multipliziren. Den Grund davon sieht man am leich¬ testen ein, wenn man sich die abgewickclte Mantelflä¬ che als trapezartigen Theil eines Kreisringcs vor¬ stellt, die Umfänge der Grundflächen als dessen paral¬ lele Seiten, und die Seite des Kcgelstutzes als dessen Höhe betrachtet. Beispiele und Aufgaben. 1. In einem geraden Kegel ist der Durchmesser der Basis 4', eine Seile tss; wie groß ist der Man¬ tel, und wie groß die ganze Oberfläche? Umfang der Basis — 12,56^ Mantel — 12,56 X 3 — 37,68 Basis — 12,56 X 1 12,56 „ ganze Oberfläche — 50,24 sH'. 2. Ein ganz zugespitztcr Trichter hat 12" Durch¬ messer und 15" Länge; wie viel Blech ist dabei? Umfang der Basis l2 x 3,14 — 37,68" Mantelfläche — 37,68 x 7^ — 282,6 Hs". 3. Man suche die Mantelfläche eines Kegels, dessen Höhe 3' 9" ist, und dessen Basis 8" zum Halb¬ messer hat. Geometrie. O Durch- 210 Durchmesser der Basis — 16" Umfang der Basis — 50,24 " Seite des Kegels — X 45^ -f- 8^ — 45,7" Mantelfläche — 50,24 X 22,85 — 1148 Hj". 4. Em gleichseitiger Kegel hat 8" Durchmesser; wie groß ist seine Oberfläche? Umfang der Basis — 25,12" Mantel — 25,12 X 4 — 100,48 Basis 25,12 X 2 — 50,24 „ Oberfläche — 150,72 f^". Man sicht, daß in einem gleichseitigen Kegel die Mantelfläche doppelt so groß ist als die Basis. 5. Wie groß ist die Mantelfläche eines geraden Kcgelstutzes, dessen Seite 5' ist, und dessen Grund¬ flächen 6' und 4^ zu Halbmessern haben? Umfang der untern Basis — 37,68' „ „ obern „ — 25,12' Summe — 62,8' Mantelfläche — 62,8 X — 157 8- 174. Oberfläche der Kugel. Denkt man sich in eine Kugel einen eckigen Körper so beschrieben, daß alle seine Eckpunkte in der Kugeloberfläche liegen, so wird die Oberfläche des eckigen Körpers immer kleiner scpn als die Oberfläche der Kugel, sich aber derselben um so mehr nähern, je mehr Grenzflächen der eckige Körper har, so daß man ohne bedeutende Fehler die Oberfläche der Kugel der Oberfläche eines in sic beschriebenen Kör- 211 Körpers von sehr vielen Grenzflächen gleich setzen kann. Indem man diesem gemäß die Anzahl der Grenzflächen eines in die Kugel beschriebenen Kör¬ pers fort und fort vermehrte, hat man aus den dafür berechneten Oberflächen gefunden, daß die Oberfläche einer Kugel genau viermal so groß ist, als die ebene Fläche ihres größten Kreises. DieObcrfläche ein er Kugel ist also gleich dem vierfachen Flächeninhalte ihres grö߬ ten Kreises. Beispiele und Aufgaben. 1. Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel, de¬ ren Halbmesser 5" beträgt? Fläche eines größten Kreises — 5X5X3,14 — 78,5 Oberfläche der Kugel — 4X 78,5-314^". 2. Der Halbmesser der Erde sei 859,0999 geogr. Meilen; wie groß ist die Oberfläche? Inhalt des größten Kreises — 859,0909" x 3,141593 — 2318634,16 sH Meilen, also Erdoberfläche — 9274537 sfss Meilen. Hier hat man abgekürzt in 2 Dezimalen multi- plizirt, und zuletzt nur die Ganzen des Produktes bei¬ behalten. 3. Eine Kugel, welche 3^ 6" im Durchmesser hat, soll vergoldet werden; wie groß ist ihre Oberfläche? Größter Kreis —21" X 3,16 — 1384,74 Kugeloberfläche-5538,96 Hs" ^1^2^ 66,740"- 4. Man will einen Luftball machen, dessen Durch¬ messer 4/ beträgt; wie viel Ellen Taffet, dessen Breite 5 Viertel ist, wird man dazu brauchen, wenn 1 Elle 2,464/ enthält? O 2 Groß- 212 Größter Kreis — 12,56 m Oberfläche des Balls — 50,24 Fläche einer Elle Taffet — 2,464 X 3,08 — 7,59^ 50,24 : 7,59 — 6,62 — 6; Ellen. 5. Eine Kuppel, welche die Form einer Halbkugel hat, soll mit Kupferblech gedeckt werden; wie viel Blech ist dazu erforderlich, wenn der Durchmesser der Ku¬ gel 4" 3^ ist, und wie viel kostet diese Bedeckung, wenn em Quadratfuß zu 36 Kr. gerechnet wird? Größter Kreis — 572,265 Halbkugclfläche — 1144,63 m 1144,53 Kupferblech zu 36 Kr. fl. 572,265 . 30 „ „ 114,453 . 6 „ fl. 686,718 — fl. 686 „ 43 Kr. e. Oberfläche gemischtflächigcr Körper. §. 175. Wenn die Oberfläche eines Körpers aus verschieb denen Flächen zusammengesetzt ist, so suche man sie in solche Theile zu theilen, die man einzeln zu berechnen im Stande ist; diese einzelnen Flächen werden dann addirt. Beispiele. 1). Ein Kuppelgewölbe ruhet auf einem cylindrischen Mauerwerke; der innere Durchmesser der Kuppel, welche eine Halbkugel verstellt, ist 6°, die Höhe der Kuppel vom Boden an gerechnet 15", folglich die Hö¬ he der cylindrischen Mauer 9". Wie viel Kalk wird man hrauchen, um das Innere dieses ganzen Mauerwerkes auszu- 213 auszuweißen, wenn man 3 Loch Kalk braucht, um einen Äuadratfuß Fläche anzuwcißen? Umfang der Mauer 6 x 3,14 — 18,84" Cylindrische Mantelfläche — 18,84 X 9 — 169,56 0" Oberfläche der Kuppel — 28,26 X 2 — 56,52 „ Anzuweißende Fläche ^226,08 0° 226,080° — 8138,88 O' 81390' ZU 3 Loch — 24417 Loch — 7 Ztr. 63 N 1 Loch. 2) Ein Kuppelgewölbe ruht auf vier großen Säu¬ len, die Höhe der Säule ist 12" 6'; der Durchmesser der untern Fläche der Säulen sei 3' 4", der obera Fläche 2' 9'; der Durchmesser des Kuppelgewölbes, das eine Halbkugel vorstellt, ist 5°. Man fragt, wie viel Farbe zum Anstreichen des Gebäudes nöthig sei, wenn man 4 Loch braucht, um einen Quadratfuß Fläche damit anzustreichen? Oberfläche einer Säule (Kcgelstutz) — 745,440' Mantelfläche aller vier Säulen — 2981,76 0' Innere Fläche der Kuppel — 1413,72 „ Anzustreichende Fläche — 4395,48 0' 4395,5 0' Zu 4 Loch — 17582 Lth. — 5 Ztr. 49 N14 Lth. 3) Eine Ehrenpforte, die mit vollem Bogen ge¬ schloffen ist, soll mit einer gefärbten Leinwand über¬ zogen werden; die Weite im Lichten ist 10', die ganze Weite 15', die Höhe bis zum Schlußsteine — 16', und die Breite der Pforte 6'. Wie viele Ellen Leinwand von 5 Viertel Breite wird man zum Überziehen brauchen, Wenn eine Elle — 2,464' ist? Antwort. 98,3 Ellen. Hier berechnet man zuerst die Seitenoberfläche einer Widerlage als die eines geraden PriSma, dessen Basis die Seiten 2^' und 6' hat, und dessen Höhe 11^ ist 214 ist; die gefundene Fläche wird doppelt genommen. Dann berechnet man die Oberfläche des Vogens, in¬ dem man ihn als den Unterschied zweier halben Zy¬ linder betrachtet, deren gemeinschaftliche Höhe k? ist, und deren Grundflächen 7-^ und 5^ zu Halbmessern haben. Hieraus sucht man die Fläche einer Elle Lein¬ wand in Ouadratfuß. Endlich wird die ganze Ober¬ fläche des ThoreS durch die Fläche einer Elle Lein¬ wand dividirt. V. Bestimmung des kubischen Inhaltes der Körper. 176. Erklärungen. Der kubische Inhalt eines Körpers ist der Raum, den seine Grenzflächen cinschließen. Da jede Größe nur durch eine Größe derselben Art gemessen werden kann, so kann auch ein Körper nur durch einen Körper gemessen werden. Um daher den kubischen Inhalt eines Körpers zu bestimmen, nimmt man irgend einen bekannten Körper als Maß, als Einheit an, und untersucht, wie oft dieser als Einheit angenommene Körper in dem gegebenen ent¬ halten ist. Als Einheit des Körpermaßes wird ein Würfel (Kubus) angenommen, dessen jede Seite einen Zoll, oder einen Fuß, eine Klafter, zuweilen auch eine Meile beträgt, und der dann beziehungs¬ weise Kubikzoll, Kubikfuß, Kubikklafter, Kubikmeile heißt. Wenn man den Raum eines Körpers, z. B. eines Schulzimmers, ausmessen wollte, so sollte man eigent¬ lich so verfahren. Man legt eine Kubikklafter so ost neben und über einander als es möglich ist, z. B. 32mal, 215 32mal, so enthält das Schulzimmcr 32 Kubikklafter und vielleicht noch etwas, das jedoch kleiner ist als eine Kubikklafter. Diesen Nest mißt man mit Kubik¬ fuß; man legt also einen Kubikfuß so oft neben ein¬ ander, als es angehet, z. B. genau 25mal; das Schulzimmer enthält also 32 Kubikklafter, 25 Kubik¬ fuß. Wenn ein Rest übrig bliebe, so würde man wei¬ ter untersuchen, wie oft ein Kubikzoll darin enthal¬ ten ist. Durch die Bestimmung des kubischen Inhaltes findet man also, wie viel Kubikklafter, Kubikfuß, Ku¬ bikzoll, und bei Ausmessung sehr großer Körper, wie viel Kübikmeilen der Körper enthält. Das frühere weitläufige und in den seltensten Fällen ausführbare Verfahren, einen Körper auszu- meffen, wird übrigens in der Wirklichkeit so wenig angewendet, als man den Flächeninhalt durch wirkli¬ ches Umlegen der Flächenmaße sucht; es lassen sich nämlich Sätze ablciten, nach denen der kubische In¬ halt aus dem Maße der Linien oder Flächen, von de¬ nen die Größe des Körpers abhängt, berechnet werden kann. 8- 177- Kubischer Inhalt eines rechtwinkligen Pa- rallelopipeds. Es soll der Kubikinhalt eines rechtwinkligen Pa- ralleloptpeds (Fig. 184.) , worin die Länge — 4/ die Breite ^6 — 2' und die Höhe — 3^ ist, bestimmt werden. Weil die Grundfläche 4x2 — enthält, so läßt sich darauf ein Kubikfuß 8mal auflegen; das Pa- rallelopiped enthält also bis zu einer Höhe von 1' eine Schichte von 8 Kubikfuß; zu der Höhe gehört eine neue 216 neue Schichte von 8 Kubikfuß, und zu der Höhe kD wie¬ der eine Schichte von 8 Kubikfuß. Das ganze Paralle- lvpiped hat daher 3mal 8 oder 4 X 2 X 3 — 24 Kubik¬ fuß. — Allgemein kaffen sich auf der Grundfläche jedes¬ mal so viele Würfel aufstellen, als dieselbe Quadrate enthält, oder als das Produkt aus der Länge und Breite Einheiten enthält; und es erscheinen so viele solcher Schichten von Würfeln über einander, als die Höhe Einheiten enthält- Man muß daher, um den Körperin- chalt eines rechtwinkligen Parallelopipeds zu erhalten, die Länge, Breite und Höhe mit einander, oder was gleich viel ist, die Grundfläche mit der Höhe multipli- zircn. Daraus folgt: Der kubische Inhalt eines rechtwinkli¬ gen Parallelopipeds ist gleich dem Produkte aus der Länge, Breite und Höhe, oder dem Produkte aus der Grundfläche und Höhe. Die Benennung des kubischen Inhaltes hängt von der Benennung der Seiten ab; sind diese in Klafter ausgcdrückt, so bedeutet die Zahl, welche man als Kör¬ perinhalt bekommt, Kubikklafter, u. s. w. §. 178. Da ein Würfel nichts anderes ist als ein rechtwink¬ liges Parallelopiped von gleicher Länge, Breite und Höhe; so findet man den Körperinhalt eines Würfels, wenn man eine Seite dreimal als Faktor setzt. Hat z. B. ein Würfel jede Seite 4/ lang, so ist der kubische Inhalt 4 X 4 X 4 — 64 Ku- Likfuß. Darauf gründet sich die im Rechnen vorkommende Redensart: eine Zahl dreimal als Faktor setzen, heißt diese Zahl zum Kubus erheben. Aus 217 Aus dem Satze über den Körperinhalt eines Wür¬ fels folgt: 1 Kub." — 6 X 6 X 6 — 216 Kub/, 1 Kub/ ^-12X12X12 ^-1728 Kub." j fürdaszwölf- 1 Kub."- 12X 12X 12--- 1728Kub-'" j theilige Maß. und 1Kub/-1l)X10x lO^IOOOKub." . fürdaszehn- 1 Kub."-10X WX 1V-1OOOKub/" s theiligeMaß. 1 Kub. M. —4000X4000 X 4000—64,OOO,OOO,OOOK.". Wenn man umgekehrt aus dem kubisch en'Inhalte eines Würfels die Länge einer Kante finden wollte so braucht man nur jene Zahl zu suchen, welche dreimal als Faktor gesetzt den kubischen Inhalt gibt, d. h. man braucht nur aus dem gegebenen kubischen Inhalte die Kubikwurzel auszuziehcn. §. 179. Beispiele und Aufgaben. 1. Wie groß ist der kubische Inhalt eines recht¬ winkligen Parallelopipcds, bei dem die Länge 1^ 6", die Breite 3", und die Höhe 2> 8" beträgt? Länge — 1' 6" — 18" 32 x 18 Breite— 1' 3" — 15" 256 Höhe — 2' 8" 32" 576 X 15 . 2880 8640 Kub." — 5 Kub/ 2. Die Seite eines Würfels ist B 4"; wie groß ist sein Körpcrinhalt? 2' 4" — 28"; 28' --- 21952Kub." —l2Kub/1215 Kub." 3. An einem Würfel von Granit beträgt jede Seite 4^ 8"; wie schwer ist der Würfel, wenn ein Kubikfuß Granit 161 A schwer angenommen wird? 218 4' 8"-4?'; 101^ Kub/ Granit zu 161 A gibt 16362^2 K-. 4. Wie groß ist der Körperinhalt eines Gctrcide- kastens, bei welchem die Länge 1°, die Breite 4' 3", und die Höhe 4/ 6" ist; und wie viel Getreide kann er aufnehmen, wenn ein Metzen 3365 Kub." enthält? Länge —1" — 72" 72 X 51 X 54 — 198288 Kub." Breite — 4'3" — 51" 198288: 3365 — 58UA also Höhe — 4 6" — 54" . nahe 59 Metzen. 5. Ein viereckiger Wasserbehälter ist 2" 4' lang, 5' breit, 1" tief; wie viel Eimer faßt er, wenn ein Eimer 1,792 Kub/ enthält? Antwort 267,8 Eimer. 6. Um einen Keller anzubringen, muß die Erde in einer Länge von 6" 4' durchaus 4° 4' breit, und 1° 5' tief ausgegraben werden; wie viel Wägen Erde gibt dieses, wenn die Waqentruhe 4' lang, 3' breit pnd iz' tief ist? Auszuhebende Erbmasse 12320 Kub/ Inhalt der Wagentruhe 15 Kub/; 12320 : 15 — 82iz Wägen. 7. Die Länge einer Mauer ist 13", die Höhe 1" 2', die Dicke 2' 3". Wie viel Ziegel braucht man, um diese Mauer aufzuführen, wenn ein Ziegel 2^" dick, 5" breit und 11" lang, und die Dicke des verbin¬ denden Kalkes bereits einberechnet ist? Kubikinhalt der Mauer — 2426112 Kub." „ eines Ziegels — 137 z Kub." 2426112:137z—17644Ziegel. 8. Ein Haus soll 42' lang, 24' breit und 28, hoch seyn. Die Mauer wird 2' dick mit Ziegeln auf¬ geführt, deren feder mit Inbegriff des verbindenden Kal- 219 Kalkes 11" lang, 5" breit und 3" dick ist. In den Mauern befinden sich 36 Fenster, jedes 6' hoch und 4" breit, und zwei Tstüren von 8' Höste und 5' Breite. Wie viele Ziegel sind zum Ausfuhren dieses Mauer¬ werkes nöthig? Längere Mauer — 42 x 2 x 28 — 2352 Kub/ Kürzere Mauer — 24 x 2 x 28 — 1344 Kub/ die beiden länger« Mauern — 4764 Kub/ „ „ kürzern „ — 2688 „ ganze Mauer — 7392 Kub/ Ein Fenster — 6X4X2--- 48 Kub/ Eine Tstür — 8X5x2---8V Kub/ 36 Fenster — 1728 Kub/ 2 Tstüren — 160 „ Fenster und Tstüren — 1888 Kub/^ Es bleibt also 5504 Kub/ festes Mauerwerk. Inhalt eines Ziegels — 165 Kub." 5504 Kub/ : 165 Kub." — 57641. Man braucht also 57641 Ziegel. 9. Wie groß ist die Kante eines Würfels, dessen kubischer Inhalt 542 Kub." beträgt? 3 X542 — 8,148" Länge einer Kante. 10. Der österreichische Kaiserstaat erzeugt jährlich 2505000 Zentner Roheisen; wenn man sich daraus einen Würfel gebildet denkt, wie groß wäre eine Seite des¬ selben , wenn das spezifische Gewicht des Roheisens zu 7 angenommen wird, und 1 Kub/ reines Wasser 56^ N wiegt? Zuerst wird der Kubikinhalt des Würfels nach der Kette berechnet. 220 x Kub. ° 2505000 Ztr. Elsen 1 100 K" Eisen 1 7 A Wasser 56; 1 Kub/ 216 1 Kub." woraus x — 287366 Kub." ungefähr ^287.366 — 65, 9. Eine Seite des Würfels würde also nahe 66" betragen. 180. Körpcrinhalt eines Prisma überhaupt. 1. Jedes gerade nicht rechtwinklige Pa- rallclopiped (Fig. 185) kann in ein rechwinkligcs Parallelopiped IM.verwandelt werden, welches mit ihm dieselbe Höhe und gleich große Grundfläche hat; man braucht nur durch eine Scitcn- kante Lk auf die gegenüberstehende Seitenfläche eine senkrechte Ebene zu führen, und den dadurch auf einer Seite abgeschnittenen Theil auf der entgegengesetzten Seite hinzu zu setzen. Der Inhalt des rechtwinkligen Parallelopipeds aber ist gleich dem Produkte aus der gegebenen Grundfläche und der gegebenen Höhe; also ist auch der Körperinhalt des geraden nicht rechtwinkligen Parallelopipeds gleich dem Flächeninhalte der Basis multiplizirt mit der Höhe. 2. Jedes schiefeParallelopiped ^L60Lk'6U (Fig. 186.) kann in ein gerades verwandelt werden. Man errichte nämlich über der Basis .4.1160 ein ge¬ rades Parallelopiped ^LOVIKIM, welches mit dem schiefen dieselbe Höhe hat. Diese zwei Körper müssen, weil sie die nämliche Höhe, und wegen der gleichen Grund- 221 Grundfläche in jeder Höhe auch dieselbe Weite besitzen,, auch gleichen kubischen Inhalt haben. Nun ist der kubi¬ sche Inhalt des geraden Parallclopipeds gleich der Grundfläche multiplizirt mit der Höhe; folglich ist auch der Körperinhalt des schiefen Parallelopi- peds dem Produkte aus der Grundfläche und Höhe gleich. 3. Zu jedem d rei seiti gen Prisma ävevLk' (Fig. 187.) läßt sich ein Parallelopiped konstruiren, welches doppelt so groß ist als das dreiseitige Prisma, und mit ihm einerlei Höhe hat; man braucht nur durch die Scitcnkanten und Ok? Ebenen zu legen, welche mit den gcgenüberstehenden Seitenflächen parallel sind, und die beiden Grundflächen zu erweitern. Nun ist der Körperinhalt des Parallclopipeds gleich der Basis mul¬ tiplizirt mit der Höhe, also der Körperinhalt des hal¬ ben Parallclopipeds gleich der halben Basis multipli¬ zirt mit der Höhe. Das halbe Parallelopiped aber ist das dreiseitige Prisma, die halbe Basis des Parallclo- pipeds ist die Basis des dreiseitigen Prisma; daher ist der kubische Inhalt eines jeden dreiseiti¬ gen Prisma gleich der Basis multiplizirt mit der Höhe. Jedes mehrseitige Prisma^HOVL^OlIllv (Fig. 188) läßt sich durch Diagonaldurchschnitte in lauter dreiseitige Prismen zerlegen. Nun ist der Kör¬ perinhalt jedes dreiseitigen Prisma gleich seiner Grund¬ fläche multiplizirt mit der Höhe; also die Summe der Körperinhalte aller dieser dreiseitigen Prismen gleich der Summe aller Grundflächen multiplizirt mit der ge¬ meinschaftlichen Höhe. Die Summe aller jener Körper¬ inhalte aber gibt den Körpcrinhalt des ganzen mehr¬ seitigen Prisma, die Summe jener Grundflächen gibt die 222 Oie Basis des ganzen Prisma; somit ist der Körper- fnhalt eines jeden mehrseitigen Prisma gleich der Basis multiplizirt mit derHöhe. Aus allen diesen Betrachtungen ergibt sich der Satz : Der Kubikinhalt eines jeden wie immer geformten Prisma wird gefunden, wenn man den Flächeninhalt der Basis mit der Hohe multiplizirt. Beispiele. 1. Wie groß ist der Kubikinhalt eines Prisma, Oesscn Grundfläche 5si^'46sH", und dessen Höhe 2> 9" ist? Basis 5^ 46s^" 766s^" Höhe — 2' 9" — 33" Kubikinhalt — 766 X 33 — 25278 Kub." — 14 Kub/ 1086 Kub." 2> Die Basis eines 6" hohen Prisma ist ein Quadrat, dessen jede Seite 5" 4/" beträgt; wie groß ist der kubische Inhalt? Basis — 64? — 4096 Höhe — 6" — 72"' Körperinhalt — 4096 X 72 — 294912Kub/" — 170Kub."1l52Kub."'. 3. Ein sechsseitig behauenerBaumstamm von durch¬ aus gleicher Dicke ist 3" lang, jede Seite an der Grundfläche beträgt 8"; wie groß ist der kubische Inhalt? Die Basis ist ein reguläres Sechseck, dessen jede -Seite 8" ist; dieses läßt sich in 6 kongruente Dreiecke zerlegen, in deren jedem die Grundlinie 8", und die Höhe — 6,93" ist. Als Flächeninhalt der Ba¬ sis findet man sonach 166,32s^", und folglich als 223 Kubikinhalt des Baumstammes 166,32X216—35925K." --- 20 Kub/ 1365 Kub." 8. 181. Körperinhalt einer Pyramide und eines Pyramidalstutzcs. 1. Jede dreiseitige Pyramide kann als der dritte Theil eines Prisma betrachtet werden, welches mit der Pyramide gleiche Basis und gleiche Höhe hat. — Man nehme in der dreiseitigen Pyramide V480 (Fig. 189) 8 als die Spitze, somit das Dreieck /4OL) als Basis an, und lege an dieselbe eine zweite Pyramide 80Oiä hinzu, welche die nämliche Spitze L hat, und deren Grundfläche OVO die frühere ^400 zu einem Parallelogramme ergänzt; diese zwei Pyra¬ miden haben offenbar dieselbe Höhe, und müssen, weil sic auch gleiche Grundflächen haben, gegen die Spitze hin gleichmäßig abnchmen, also denselben Raum ein¬ schließen; die beiden Pyramiden sind also gleich groß. Die zwei betrachteten Pyramiden bilden zusammen eine vierseitige Pyramide 8^4080, deren Spitze in tt liegt und deren Basis ^4080 ist. Legt mau an diese wie¬ der noch cine dreiseitige Pyramide 80L0, deren Spitze in 8 liegt und deren Basis das mit ^480 kon¬ gruente und parallel gestellte Dreieck VLb' ist, und vergleicht dieselbe mit der gegebenen Pyramide 8.4.80, worin man I) als Scheitel und .480 als Grundfläche annimmt; so sieht man sogleich, daß die beiden Py¬ ramiden gleiche Grundflächen und gleiche Höhen haben, daß sie demnach denselben Raum einschlicßen. Es sind daher alle drei dreiseitigen Pyramiden gleich groß; sic bilden zusammen das dreiseitige Prisma ^4801)88, wel- 224 welches mit der Pyramide V4.N6 gleiche Basis und gleiche Höhe hat; die gegebene dreiseitige Pyramide ist somit wirklich der dritte Theil eines dreiseitigen Prisma von derselben Basis und Höhe. — Da der Körperinhalt eines Prisma gleich ist dem Produkte aus der Grundfläche und der Höhe, so wird man, um den kubischen Inhalt einer dreiseitigen Pyramide zu finden, auch die Grundfläche mit der Höhe multiplizircn, aber von diesem Produkte nur den dritten Theil nehmen; oder was gleich viel ist, man wird die Grundfläche mit dem dritten Theil der Höhe mvltipliziren. 2. Jede mehrseitige Pyramide 8^8608 (Fig. 190) läßt sich in lauter dreiseitige Pyramiden zerlegen, welche mit ihr einerlei Höhe haben. Der körperliche Inhalt einer dreiseitigen Pyramide aber ist gleich der Basis multiplizirt mit dem dritten Theile der Höhe; daher ist der Körperinhalt aller dreiseitigen Pyramiden d. i. der Körperinhalt der mehrsei¬ tigen Pyramide gleich der Summe der Grund¬ flächen aller dreiseitigen Pyramiden d. i. der Basis der mehrseitigen Pyramide, multiplizirt mit dem dritten Theile der gemeinschaftlichen Höhe. Es gilt also allgemein der Satz: Der kubische Inhalt einer Pyramide wird gefunden, wenn man den Flächenin¬ halt der Basis mit dem dritten Theile der Höhe multiplizirt. Um den kubischen Inhalt einer abgestutz¬ ten Pyramide zu finden, bestimme man die Kör¬ perinhalte der beiden Pyramiden, deren Unterschied der Pyramidenstutz ist', und ziehe den Inhalt der klei¬ nern Pyramide von jenem der größer« ab. Der 225 Der Körperinhalt eines Pyramidalstutzes kann auch noch auf eine andere kürzere Art berechnet werden» Es läßt sich nämlich beweisen, daß eine abgekürzte Pyramide gleich ist dreien Pyramiden, welche die bei¬ den parallelen Grundflächen und die mittlere Propor¬ tionale zwischen diesen 'zu Grundflächen, und mit dem Stutz einerlei Hohe haben. Um daher den kubi¬ schen Inhalt eines Pyramidalstutzes zu fin¬ den , bestimme man die beiden Grundflä¬ chen, und die Quadratwurzel aus ihrem Produkte, addire diese drei Größen, und multiplizire die Summe mit dem dritten Theile der Höhe. Beispiele und Aufgaben. 1. Wie groß ist der körperliche Inhalt einer Pyra¬ mide , deren Basis 2 Hs 28 H", und deren Höhe 8' 5" ist's Basis 2HH 28ss> — 316111" Höhe — 8' 5" — 101" Kubikinhalt — 3l!)16 Kub." — 6 Kub/ 271 Kub." 2. In einer geraden vierseitigen Pyramide be¬ trägt jede Seite der Grundfläche U 4", und jede Sei- tenkante 5'; wie groß ist der Kubikinhalt? Basis — 256H" Diagonale der Basis - p^l6^-i- 16^2 2,627" Höhe der Pyramide — t/ZiO^-I 1,3 i 3^—58,925" Körperinhalt — 1 Kub/ 1300 Kub." 3. In einer geraden sechsseitigen Pyramide ist eine Seite der Basis B, und eine Seitenkante 3' 4"; man bestimme die Oberfläche und den kubischen Inhalt. Geometrie. P Um- 226 Umfang der Basis — 144" Abstand der Mitte von der Seite —^242— 122—20,785" Flächeninhalt der Basis — 1496,52s1" Grundlinie eines Seitendreieckes — 24" Höhe Fläche Seitenoberfläche „ Ganze Oberfläche „ Hohe der Pyramide — Kubikinhalt — 1496,52 X -? — 9 Kub/ 411 Kub. -^402—12^38,159" 457,90 jH", — 2747,448IH" — 4243,968jH". G' 402—242—32" — 15962,88 Kub." 4. Wie groß ist das Gewicht einer geraden vier¬ seitigen Pyramide aus Marmor, wenn die Höhe IG und die Basis ein Quadrat ist, dessen Seite 1^6" beträgt; wenn ferner das spezifische Gewicht des Marmors, woraus die Pyramide besteht, 2^ ist, und das Gewicht eineS Kubikfußes Wasser zu 56.s K angenommen wird. Basis — 182 324f1" Höhe — IG — 120" Kubikinhalt — 12960 Kubik." Man hat nun x M I2960 Kub." Marmor 1 2,^ Kub." Wasser 1728156s N, woraus x — 1144s N. 5. Bei einem Pyramidalstutze, dessen Grundflächen Quqdrate sind, beträgt eine Seite der untern Grund¬ fläche 2^ 5", eine Seite der obern Grundfläche U 9", die Höhe 2'; wie groß ist der Körperinhalt? Basis 227 Basis der großen Pyramide — 8410" Höhe „ ,, ,/ — 87„ Kubikinhalt „ „ — 24389 Kub." Basis der kleinen Pyramide 44 IO" Höhe „ " » — 63" Kubikinhalt „ „ -- 926! Kub." KvrperinhaltdesPyramidalstutzes— 15! 28 Kub." — 8 Kub.' 1304 Kub." Oder kürzer: Untere Basis des Stutzes — 8410" Obere „ „ „ — 441 „ Mittlere Proportionale —,/841 x44t — 608 „ Summe —189^0" Höhe des Stutzeö — 24" Kubikinhalt „ „ —15128 Kub." 6. Es soll ein dreiseitiger gerader Pyramidal¬ stutz aus Eisen gegossen werden; die Höhe desselben ist 5', die Seiten der Grundflächen sind 1' 6" und 1' 2"; wie viel Eisen wird man dazu brauchen, wenn 7 das spezifische Gewicht des Eisens ist? Untere Basis — 140,220" Obere „ — 84,84 „ Mittl. Proportionale — ^140,22x84,84 — 109,07 „ Summe— 334,130" Höhe des Stutzes — 60" Körperinhalt,, „ —6682,6Kb.", Man hat nun x ^6683 Kub." Eisen l!7 Kub." Wasser 1728 56z A woraus x — 1529 N folgt. P 2 §. 182. 228 §. 182. Kubikinhalt der eckigen Körper überhaupt. Jeden eckigen Körper kann man sich in lauter Pyramiden zerlegt denken, deren Grundflächen die Grenzebenen des Körpers sind, und die ihre gemein¬ schaftliche Spitze innerhalb dieses Körpers haben. Um daher den Kubikinhalt irgend eines eckigen Körpers zu finden, zerlege man denselben in Pyramiden, be¬ rechne die Inhalte derselben, und addire sie. Was insbesondere die regelmäßigen Körper an¬ belangt, so ist, da das Tetraeder eine Pyramide und das Hexaeder ein Prisma ist, nur nöthig anzugeben, wie der Kubikinhalt des Oktaeders, Ikosaeders und Dodekaeders gefunden wird. Jeder dieser drei Körper läßt sich in lauter kongruente Pyramiden zerlegen; die Grundfläche einer solchen Pyramide ist eine Grenz¬ fläche, und die Höhe ist der halbe Abstand von zwei gegenüberliegenden Grenzflächen. Beispiel. Wie groß ist der Kubikinhalt eines Oktaeders, dessen jede Seite 6" ist, und worin je zwei gegen- überstchende Grundflächen 4,9" von einander entfernt sind? Eine Grenzfläche 15,58^" Höhe einer Theilpyramide — 2,45" Inhalt „ „ — 12,72 Kub." Kubikinhalt des Oktaeders — 10t,76 Kub." §. 183. 229 §. 183. Körperinhalt eines CylinderS. Da jeder Cylinder als ein Prisma, worin die Grundflächen Kreise sind, betrachtet werden kann, so gilt der Satz: Der körperliche Inhalt eines CylinderS wird gesunden, wenn man den Flächenin¬ halt der Basis mit der Höhe multiplizirt. Häufig kommt der Kubikinhalt einer cylin dri¬ sch en Röhre zu berechnen vor. So nennt man einen Körper, welcher zwischen den Mantelflächen zweier Cylinder liegt, die eine gemeinschaftliche Are haben. Um den Kubikinhalt einer cylindrischen Röhre zu fin¬ den braucht man nur den Körperinhalt der beiden Cylinder, von welchen der kleinere dem größern aus¬ geschnitten ist, ju berechnen, und den Inhalt des klei¬ nern CylinderS von jenem des größern abzuziehen. Beispiele und Aufgaben. 1. Die Höhe eines CylinderS ist 8^, der Halb¬ messer der Basis 3^; wie groß ist der kubische Inhalt? Flächeninhalt der Basis 3^X3,14-28,260". Kubikinhalt des CylinderS —226,08Kub.". 2. Eine eiserne Walze ist U 4" lang, und hat 5" im Durchmesser; wie viel Raum nimmt sic ein? Fläche der Basis — 19,6250" Inhalt der Walze — 314 Kub." 3. Der Durchmesser eines gleichseitigen CylinderS ist 2^ 4"; wie groß ist der Kubikinhalt? Flä- 230 Fläche der Basis 14 X 14 X 3^— 616^" Kubikinhalt des Cylinderö — 17248 Kub." — 9 Kub/ 169!> Kub.". 4. Ein Brunnen hat eine genaue cylindrische Form mit 4^ 2" im Durchmesser; wenn nun das Wasser 8' hoch steht, wie viel Kubikfuß sind cs? Basis — 25'X 3,1416 - 1963s^" Inhalt des Wassers 188448 Kub." — 109 Kub/ 96 Kub.". 5. Es soll ein runder Brunnen gegraben wer¬ den, dessen Weite 5' und die Tiefe 4" 4> beträgt. Wie hoch belaufen sich die Kosten, wenn für das Aushe¬ ben und Wegführen von 1 Kub/ Erde 4 Kreuzer bezahlt werden? Basis des Brunnens — 19,625si^ Inhalt „ „ - 549,5 Kub/ 549,5 Kub/ zu 4 Kr. — 36 st. 38 Kr. 6. Ein runder Thurm hat im Durchmesser 4° 5'. Wie viel Sprengpulver braucht man, um das 1° 2^ tiefe Grundmauerwerk dieses Thurmes herauszuheben, wenn man für das Ausheben von 1 Kub.° Mauerwerk 25 N Pulver rechnet? Basis des Mauerwerkes — 660,5sH' Kubikinhalt „ „ — 5284 Kub/ — 24,46 Kub.". 24,46 Kub." zu 25 A — 61U F Pulver. 7. Der innere Durchmesser eines runden Thur¬ mes ist 2" 2", die Mauer ist 4' dick; wie viel Kubik- suß enthalt die Mauer, wenn die Hohe des ThurmeS 7" 4/ betragt? Die Mauer des Thurmes ist eine cylindrische Röhre. Da- 231 Basis des größeren Cylinders — 11? X 3,l4— 379,9 o Kubikinhalt „ „ —17477,24 Kub/ Basis des klein ern'Cylinders — 7? X 3,14 — 153,860" Kubikinhalt „ „ —7077,56 Kub/ Inhalt der Mauer —10399,68 Kub/ also nahe 10400 Kub/ 8. Es soll eine hohle metallene Walze gegossen wer¬ den, deren Länge 3" ist. Die Weite im Lichten ist 1", die Stärke des Metalls 1", und 1 Kubikzoll desselben wiegt ; K". Wenn nun das Pfund zu 8 Kr. gerechnet wird, was kostet die ganze Walze? Die ganze Walze sammt der Höhlung hat zur Basis 7" X 3,14 — 153,860' zum Kubikinhalte 5538,96 Kub." Die innere Höhlung hat zur Basis 6' X 3,14 113,040 zum Kubikinhalte 4069,44 Kub." Der Metallinhält der Walze ist demnach 1469,52 Kub." Man hat also x fl. 1470 Kub." 1/, K" 18 Kr. . 60 1 fl. woraus x — 49 fl. folgt. 9. Zu einer Wasserleitung braucht man in einer Länge von 840" Röhren von Blei, welche dick sind, und deren Weite im Lichten 3" beträgt. Wie viel kostet das Blei, wenn dessen spezifisches Gewicht 11; ist, und man den Zentner Blei mit 13^ fl. bezahlt? Ba- 232 > Basis des ganzen Cylinders — 12,5664jH" Inhalt „ „ „ — 760013 Kub." Basis der Höhlung 7,0686fH" Inhalt „ „ „ 427507 Kub." Kubikinhalt der Röhre — 332506 Kub." Man hat daher x fl. 1 1728 100 332506 Kub." Blei 11^ Kub." Wasser 56' N -3i fl. also x — 16634 fl. 10. Eine Feuerspritze hat zwei Cylinder oder Stiefel, deren innerer Durchmesser " beträgt; die Hubhöhe des Kolbens ist in jedem 9", und jeder Kol¬ ben steigt während einer Minute 25mal auf und ab; wie viel Eimer Wasser wird diese Feuerspritze wah¬ rend einer Stunde unausgesetzter Wirksamkeit ver¬ spritzen, wenn 2 Eimer — 1,792 Kub? enthält? Bei dem jedesmaligen Heben eines Kolbens steigt ein Wassercylinder in den Stiesel, wovon die Basis 3 X 3 X 3,14— 28,26sssj" und die Höhe 9", also der Inhalt 254,34 Kub." beträgt. In beiden Stiefeln zusammen steigt auf einmal 508,67 Kub." Wasser in die Höhe. Es ist also x Eimer 60 Minuten 1 25 Steigungen 1 508,68 Kub." 17281 Kub/ 1,792jl Eimer daher x — 246,4 Eimer. §. 184. 233 8- 184. Inhalt eines Fasses. Ein Faß ist bekanntlich kein Cylinder, denn in der Mitte ist es bauchig, und sein Durchmesser daselbst größer als der Durchmesser einer Grund- oder Bo- denflächc. Man begehet übrigens keinen erheblichen Fehler, wenn man den Inhalt eines Fasses gleichsetzt dem Inhalte eines Cylmdcrs, dessen Hohe gleich ist der Länge des Fasses, und dessen Basis den Durch¬ schnitt , oder das arithmetische Mittel zwischen dem Bauch- und dem Bodendurchmesscr zum Durchmesser hat. Offenbar sind hier die innern Maßlängen des Fasses zu nehmen. Den Bauchdurchmesser findet man mittelst eines Zollstabes, der durch das Spundloch senkrecht in das Faß gesteckt wird; der innere Boden¬ durchmesser ist meistens dem äußern gleich, die innere Faßlänge bekommt man, wenn man von der äußern Länge die doppelte Bodenwelle abzieht. Beispiele. 1. Wie groß ist der Inhalt eines Fasses, dessen Durchmesser am Bauche 2^ 8" , am Boden 2^ 2", und dessen Länge 3^ 4" beträgt? Durchmesser des mittleren Cylindcrs 2g" Basis „ „ „ — 630,5 ssZ" Inhalt des Fasses — 23420 Kub." 2. Ein Faß hat 3^ 5" Bauchdurchmcsscr, 2^ 11" Bodendurchmesscr, und 4> Länge. Wie viele Wiener Maß hält cs, wenn 1 Wiener Maß 77,414 Kub." hat. Mitt- — 234 — Mittlerer Durchmesser-——^-— — 38" Mittlere Basis — 1134,1176j^" Inhalt des Fasses — 54438 Kub." 54438 : 77,4 --- 703,33 Wien. Maß. §. 185. V i s i r st ä b e. Um den Inhalt eines Fasses in einem bestimmten Flüssigkeitsmaße leichter und schneller als durch die vorhergehende Rechnung zu finden, hat man eigene Maßstabe, welche Visirstäbe heißen. Für cylindrische Gefäße haben die Visirstäbe folgende Einrichtung. Man läßt sich das Flüssigkeitsmaß z. B. eine Wiener Maß in Cylinderform verfertigen, mißt den Durchmesser der Grundfläche, und trägt die Länge desselben aus den beiden Schenkeln eines rechten Win¬ kels (Fig. 191) von L. nach L und 1 auf; zieht man die Hypothenusc LI, so ist das Quadrat von LI gleich der Summe der Quadrate von 4L und ^41, oder das Quadrat von Ll ist doppelt so groß als das Qua¬ drat von ^41. Da sich nun die Kreisflächen so ver¬ halten wie die Quadrate ihrer Durchmesser, so ist ein Kreis vom Durchmesser Li doppelt so groß als ein Kreis vom Durchmesser 41. Ein cylindrisches Gesäß, das mit dem Cylinder, welcher eine Wiener Maß hält, gleiche Hohe hat, und dessen Basis Ll zum Durch¬ messer hat, wird daher doppelt so viel als jener Ci¬ linder, also 2 Wiener Maß halten. — Man trage ferner Ll von ^4 bis 2 auf, und ziehe L2 , so ist das Quadrat von L2 gleich der Summe der Qua¬ drate 235 drate von und ^.2, oder cs ist 3mal so groß, als das Quadrat von ^1. Ein Kreis vom Durch¬ messer 82 ist also 3mal so groß als ein Kreis vom Durchmesser ; folglich enthält ein cylindrisches Ge¬ fäß vom Durchmesser 82, und von gleicher Hohe mit dem Gesäße von 1 Wiener Maß, 3mal so viel als dieses Gefäß, also 3 Wiener Maß.— Trägt man eben so 82 von 4 nach 3 auf, und zieht 83, so ist 83 der Durchmesser eines gleich hohen Gefäßes von 4 Wiener Maß; u. s. w. — Auf diese Weise bestimmt man in der Geraden ^6 noch mehrere Punkte, an welche man die Zahlenreihe 1, 2, 3, 4, 5, . . . setzt, und die man dann auf die eine Seite eines zum Vi- sirstabe bestimmten Stäbchens trägt; auf die andere Seite trägt man die Hohe des Gefäßes, das eine Wiener Maß hält, so oft auf, als es nothig scheint» Der Gebrauch eines so cingetheilten Visirstabes ist folgender. Zuerst mißt man den Durchmesser deS Cylinders, welcher mit dem Fasse gleichen Inhalt hat, indem man mit der ersten Seite des Visirstabes den Bauch- und den Bodendurchmcsser mißt, und davon das arithmetische Mittel nimmt; dadurch findet man, wie viel Maß jenes Faß enthalten würde, wenn es mit dem eine Maß haltenden Cylinder gleiche Höhe hätte. Gesetzt, man würde beim Bauchdurchmesser die Zahl 48, und beim Bodendurchmesser die Zahl 34 erhalten, so wäre — 37 jene Zahl, welche an- zcigt, wie viel Maß ein Faß, welches mit der Wie¬ ner Maß in Cylinderform gleiche Hohe hat, halten Würde. Ein 2, 3, 4mal so hohes oder langes Faß Wird gewiß auch 2, 3, 4mal so oft jene 37 Maß enthalten. Dcßwegcn untersucht man noch mit der zwei- 236 Zweiten Seite des Visirstabes, worauf die Höhen auf- getragen sind, wie oft die Hohe der cylinderförmigen Wiener Maß in der Länge des Fasses enthalten ist. Diese Zahl mit der früher gefundenen multiplizirt gibt den Inhalt des Fasses in Wiener Maß; wäre die zweite Zahl z. B. 8, so enthielte das Faß 8 X 37 296 Wiener Maß. Um einen Visirstab zum Ausmesfen prismati¬ scher Gefäße anzufertigen, nehme man ein Gefäß mit quadratischem Boden, und gieße in dasselbe eine Wiener Maß Wasser; trage dann die Seite des Qua¬ drates im Boden des Gefäßes auf den zum Visiren bestimmten Stab so oft auf, als es zum Ausmesfen nöthig scheint, wende hierauf den Stab um, und trage auf die zweite Seite desselben ebenso die Höhe des Was¬ sers im Gesäße mehrmal auf. Mißt man nun mit der ersten Seite des Visirstabes die Länge und die Breite an der Grundfläche des auszumessendcn pris¬ matischen Gefäßes, und mit der zweiten Seite die Höhe desselben, so gibt das Produkt dieser drei Zah¬ len die Anzahl Maß, welche in dem Gefäße enthalten sind. Würde man z. B. an der Grundfläche die Maße 6 und 3 , und bei der Höhe das Maß 8 bekommen, so enthielte das Gefäß 6X3X8— 144 Wiener Maß. 186. Kubikinhalt eines Kegels und eines Kegel¬ stutze s. Ein Kegel ist eine Pyramide, deren Grundfläche ein Kreis ist. Der Körperinhalt eines Kegels wird jsaher gefunden, wenn man den Flächenin¬ halt 237 halt der Basis mit dem dritten Theile der Höhe multiplizirt. Auch der Kubikinhalt eines abgekürzten Ke¬ gels wird auf dieselbe Weise berechnet, wie der Kör¬ perinhalt einer abgekürzten Pyramide, indem man nämlich entweder die Inhalte der beiden Kegel, de¬ ren Unterschied der Kcgclstutz ist, bestimmt und von ein¬ ander abzieht; oder indem man die beiden Grundflä¬ chen und zugleich die Quadratwurzel aus ihrem Pro¬ dukte bestimmt, diese drei Größen addirt, und ihre Summe mit dem dritten Theile der Höhe multiplizirt. Beispiele und Aufgaben. 1. Wie groß ist der Körperinhalt eines Kegels, des¬ sen Basis l27sH", und dessen Höhe 9" beträgt? 127 X 2 — 38t Kub." 2. Die Grundfläche eines Kegels hat U 6" inr Durchmesser, die Höhe ist 2^ 2"; wie groß ist der Kubikinhalt? Basis 254,341^" Kubikinhalt — 154,34 x " —2204,28 Kub/ 3. Die Höhe eines Kegels ist 1^ 3", der Umfang der Basis 8"; man suche den kubischen Inhalt. Durchmesser der Basis — 44 : 3,i4 - . 14" Fläche „ „ — 44 x — 154s^" Inhalt des Kegels — 154 X 5 — 770 Kub." 4. Wie groß ist der Kubikinhalt eines senkrechten Kegels, dessen Seite 2^ 5" beträgt, und dessen Basis- 6" zum Halbmesser hat? Basis - 113.04^" Höhe —28,37" Körpcrinhalt — 1038,98 Kub." 5. Bei 238 5. Bei einem kegelförmigen Getreidehaufen beträgt der Umfang der Grundfläche 5', und eine Seite 3'; wie viel Getreide enthält der Haufen, wenn 1 Metzen 1.947 Kub/ hat? Durchmesser der Grundfläche — 11 : 3,14 — 3,5' Flächeninhalt „ „ ^11 X — 9,125^ Höhe des Kegels — l^3'—1,75" — 2.437' Körperinhalt — 7,409 Kub/ 7,409: 1,947 — 3,8 Metzen. 6. Ein Filtrirtrichter soll gerade eine Maß (77^ Kub.") halten, und 6" Durchmesser haben; wie groß muß dessen Höhe seyn? Inhalt 77,5 Kub." Basis — 28,2 iO' der dritte Theil der Höhe — 77,5 : 28,26 — 2,74" Höhe — 8,22". 7. Man suche den Körperinhalt eines Kegelstutzes, dessen Grunoflüchen 5' und 4' zu Durchmessern haben, und 3' 6" von einander abstehen. Basis des größer» Kegels — 2827,44fH" Hohe „ „ „ ^-^-^210" Inhalt „ „ „ — 197920,8 Kub." Basis des kleinern Kegels — 1809,56^" 42 V 48 Höhe „ „ „ -^-^—^168" Jnhalt „ „ „ — 101335,45 Kub." Körperinhalt des Kegelstutzes — 96585,35 Kub." — 55 Kub/ 1545 Kub.". Oder: 239 Oder Untere Basis — 2827,4-0" Obere „ 1809,56 „ Mittlere Proportionale — 2261,95 „ Summe — 6898,950" Höhe — -2" Kubikinhalt — 96585,3 Kub." 8. Eine Butte hat die Form eines abgekürzten Kegels, die untere Grundfläche hat 2^ 4", die obere 2^ zum Durchmesser, die Höhe beträgt U 5"; wie groß ist der Kubikinhalt? Untere Grundfläche — 6! 5,4-0" Obere „ — 31-,l6 „ Mittlere Proportionale — 439,71 „ Summe — 1369,3 >O" Höhe — 17" Kubikinhalt 7759 Kub." 4 Kub". 847 Kub." 9. Ein Buttcrkübcl hat unten 5", oben 1^ 2" im Durchmesser, die Höhe beträgt 2' 3"; wie viel But¬ ter enthält das Bchältniß, wenn 1 Kub." Butter 1' Loth wiegt? Untere Grundfläche — 226,98 0" Obere — 153,94 „ Mittlere Proportionale — 187,53 „ Summe — 568,-50"^ Höhe — 27" Kubikinhalt — 5116,05 Kub." 5116 Kub." zu 1l Loth „ z „ 5755 Loth — 179 M 27 Loth. 10. 240 10. Man hat durch Beobachtung gesunden, daß das Stammholz, wenn es gespalten und in Scheitern zu¬ sammen gelegt wird, dem Rauminhalte nach sich so vermehrt, daß 2 Kub/ Stammholz 3 Kub/ Scheiter- Holz geben. Ein Baumstamm ist nun am untern Ende 3^, am obern 2^ dick, und hat 3" 3^ Länge. Wie viel Scheitcrholz gibt dieser Stamm, wenn die Scheiterlänge 3^ ist, d. h. wenn eine Klafter Holz zu l/ Breite, 6^ Hohe und 3^ Dicke angenommen wird? Untere Grundfläche — 7,0l»Hs Obere „ — 3,14 „ Mittlere Proportionale — 4,71 „ Summe — I4,91s^ft Länge — 2U Kubikinhalt — 104,37 Kub/ Man hat nun 2 : 3 — 104,37 : x woraus x — 156,55 Kub/ — 0,72 Kub.» Scheiterholz, welche bei einer Scheiterlänge von 3^ doppelt so viel, also 1,44 oder nahe 1^ Klafter Holz geben. §. 187. Kubikinhalt einer Kugel. Legt man durch den Durchmesser (Fig. 192) sehr viele größte Kreise, und senkrecht darauf mehrere Parallelkreise 00, LO, «U, . . ., so zerfällt die Ober¬ fläche der Kugel in lauter Vierecke und Dreiecke, welche man für eben und geradlinig ansehen kann, wenn die Anzahl jener Kreise sehr groß angenommen wird. Zieht man nun von allen Durchschnittspunkten der Oberfläche gerade Linien zum Mittelpunkte der Kugel, und 241 und denkt sich durch je zwei solche Gerade eine Ebene gelegt, so erscheint die Kugel aus lauter Pyramiden zusam¬ mengesetzt, welche also ihre Grundfläche an der Kugel- vberfläche, unb ihre Spitze im Mittelpunkte haben; ihre gemeinschaftliche Höhe ist daher der Halbmesser der Kugel. Der Kubikinhalt einer Pyramide aber wird gefunden, wenn man die Grundfläche mit dem dritten Theile der Höhe multiplizirt. Daher ist der körperliche Inhalt aller jener Pyramiden zusammen genommen, d. i. der Inhalt der ganzen Kugel, gleich der Summe aller Grundflächen, d. i. der Kugeloberflächc, multiplizirt mit dem dritten Theile des Halbmessers. D e r K ub i k i nh a lt c i n e r K u g el w i r d alsoge- > funden, wenn man die Oberfläche mit dem dritten Theile des Halbmessers multiplizirt. Der Kubikinhalt einer Kugel laßt sich auch un¬ mittelbar aus dem Halbmesser berechnen. Die Fläche eines größten KrciseS ist nämlich das Produkt aus dem Quadrate des Halbmessers und 3,1416, folglich die 4mal so große Oberfläche der Kugel, das Produkt a-cs dem Quadrate des Halbmessers und 12,5664. Mul¬ tiplizirt man die Oberfläche mit dem Halbmesser, so erhält man das Produkt aus der dritten Potenz des Halb¬ messers, und aus 12,5664; multiplizirt man die Kugel- vberflächc nur mit dem dritten Theile des Halbmessers, was eben den Kubikinhalt gibt, so bekommt man das Produkt aus der dritten Potenz des Halbmessers und aus 4,1888. Der Kubikinhalt einer Kugel wird daher auch gefunden, wenn man den Halbmesser zum Kubus erhebt, und diesen mit 4,1888 multiplizirt. Daraus folgt, baß sich die Kubikinhalte zweier Geometrie. Q Ku- — 242 — Kugeln so zu einander verhalten, wie die dritten Po¬ tenzen ihrer Halbmesser. Wenn man umgekehrt aus dem bekannten kubi¬ schen Inhalte einer Kugel die Lange des Halbmessers finden will, darf man nur den kubischen Inhalt durch 4,1888 dividircn; der Quotient ist der Kubus des Halbmessers; zieht man daraus die Kubikwurzel, so hat man den Kugelhalbmesscr selbst. Beispiele und Aufgaben. k. Wie groß ist der Kubikinhalt einer Kugel, deren Halbmesser 2^ beträgt? 2X2 oder 2" — 8 4 X 3,1410 4,1888 X 8 12,5004 stP größter Kreis 33,5104 Kub/ 50,2053 Oberfläche -X § 33,5104 Kub/ Inhalt. 2. Der Durchmesser einer Kugel ist tll 4"; man suche den kubischen Inhalt. 20" — 8000; 4,1888 X 8000 33510,4 Kub/ 3. Ein kugelförmiger Dampfkessel hat 8" Durch¬ messer; wie viel Eimer Wasser hält er, Wenn 1,792 Kub/ auf einen Eimer gehen? 22« — 10048; >0048 X 4,1888 — 44002,34 Kub/ x Eimer 44002,34 Kub. Zoll 1728 l Kub. Fuß - 1,792 1 Eimer woraus x — 14,4 Eimer folgt. 4. Anfeinen Grad des Äquators gehen 15 geographi¬ sche Meilen. Wenn nun die Erde überall so weit wäre, als am Äquator, wie groß wäre ihr Kubikinhalt? Um- — 243 — Umsang des Äquators — 5400 Meilen Durchmesser „ „ — 1718,87319 Meilen Halbmesser „ „ — 859,43659 „ (859,43659)" — 634806724,692583; 634806724,69258X4,1888-2659078408,4 Kub.Meil. 5. Wie groß ist der Halbmesser einer Kugel, deren kubischer Inhalt 48 Kub." beträgt? 48 : 4,1888 — 11,459153 11,459153 2,26" Halbmesser. 6. Wie groß ist der Durchmesser einer 24pfün- bigen Kanonenkugel, wenn das spezifische Gewicht des Eisens zu 7^ angenommen wird? 1728 Kub." Eisen wiegen 7j x 56s — 423, U. Man hat also den Ansatz 423^ : 24 — 1728 : x woraus x — 97,87 Kub." Inhalt der Kugel. 97,87 : 4,1888 — 23,364687. Hieraus folgt l/" 2'',364687 — 2,86" als Halbmesser, also 5,72" Durchmesser der Kanonenkugel. 7. Man will aus zwei Stücken Metall, deren eines 6 N, das andere 10 N wiegt, eine Kugel gie ßen; wie groß wird der Durchmesser derselben seyn, wenn 20 Loth des Metalls einen Kubikzoll geben ? 16 S - 512 Loth 512 : 20 — 25,6 Kub." 25,6 : 4,1888 6,111535 6,111535 — 183" Halbmesser. Der Durchmesser der Kugel wird also 3,66" seyn. 8. 188. Kubikinhalt zusammengesetzter Körper. Um den kubischen Inhalt eines zusammengesetzten Körpers zu finden, braucht manHn nur durch die Addition oder Subtraktion in solche Bestandtheile zu zerlegen, die man 244 —- man einzeln berechnen kann und die dafür erhaltenen Inhalte beziehungsweise zu addiren, oder zu subtrahiren, Beispiele. 1. Wie viele Ziegel braucht man, um ein Thor zu verlegen, welches mit vollem Bogen geschlossen ist, wenn die Weite im Lichten 8^, die Hohe bis zum Schlußsteine 12^, die Dicke der Mauer 2^ ist, und wenn auf eine Kubikklafter Mauerwerk 1800 Ziegel gerechnet werden? Der zu verlegende Raum enthalt ein rechtwinkli¬ ges Parallelopiped, das 8^ lang, 2^ breit und 8^ hoch ist, und daher 128 Kub/ enthalt; und aus einem hal¬ ben Cylinder, worin der Halbmesser der Grundfläche 4' und die Hohe 2^ ist, der also 50,24 Kub/ enthält. Der ganze Raum enthält daher 178,24 Kub/ und man hat die Proportion 2lü : 178^ — 1800 : x woraus x — 1485 Ziegel folgt. 2. Auf einer Landstraße ist jeder Scheiterhaufen unten 7^, oben 4> lang, seine Breite beträgt 3^, und die Hohe 2^; wie groß ist sein kubischer Inhalt? Ein Körper, der die Form eines Schotterhaufens (Fig. 193) hat, der nämlich ein Rechteck zur Basis hat, und oben in eine Schneide ansläuft, wird eine falsche Pyramide genannt. Diese läßt sich geometrisch bestimmen. Man darf nur von den obern Endpunkten auf die Grundfläche zwei senkrechte Schnitte führen, so erscheint der Mitteltheil als ein dreiseitiges Prisma, und die beiden Seitentheile geben zusammen eine vier¬ seitige Pyramide. Basis deS MitteltheileS — — 3 Höhe — 4^ Kubikinhalt -- 3 X 4 — 12 Kub/ Ba- 245 Basis der auS dm Seitentheilen bestehenden Pyramide — 3 x 3 — 9 Höhe - 2' Kubikinhalt — " , Der ganze Schotterhauscn enthalt also 18 Kub/ 3. Ein Mühlstein hat 5' im Durchmesser und ist dick; die innere vierseitige Öffnung ist 4" weit; wie viel Kubikfuß Stein enthält derselbe? Hier muß der Inhalt der Öffnung von dem In¬ halte des ganzen Cylinders abgezogen werden. Kubikinhalt des ganzen Cylinders — 33929,28 Kub." „ des inneren Parallelopipedes — 192 „ Inhalt deS Mühlsteines --- 33737,28 Kub." — t 9 Kub/ 905 Kub." §. 189. Besondere Bestimmungsarten des kubischen Inhaltes. Bei ganz unregelmäßigen Körpern, die sich nicht in geometrisch bestimmbare Körper zerlegen lassen, kann der Kubikinhalt aus eine der folgenden Arten gefun¬ den werden. 1. Man nimmt ein Gefäß, welches etwa die Form eines rechtwinkligen Parallelopipedes hat, und dessen kubischen Inhalt man genau kennt; legt in das¬ selbe den zu bestimmenden Körper, und füllt dann den Behälter mit Wasser, oder wenn der zu messende Kör¬ per das Wasser einsaugt, mit Sand an. Sodann nimmt man den Körper wieder heraus, und bestimmt den In¬ halt deS im Gefäße befindlichen Wassers oder Sandes; der Unterschied zwischen diesem und dem Inhalte des ganzen Gesäßes gibt den Kubikinhalt des gegebenen Körpers. Um- 246 Um zu finden, wie viel Kubikfuß oder Kubikzoll irgend ein unregelmäßiges Gefäß enthält, fülle man es mit Wasser, und schütte dann dieses in 'ein zu die¬ sem Zwecke eingerichtetes Gefäß, z. B. in ein quadra¬ tisches Prisma von etwa 12" innerer Weite, an dessen Seitcnwand sich ein in Zoll und Linien eingetheilter Maßstab befindet. An diesem liest man den gesuchten Kubikinhalt des Gesäßes ab. 2, Der kubische Inhalt eines Körpers läßt sich auch durch das Gewicht bestimmen. Man bestimme zuerst, wie viel ein kleiner Körper Von derselben Materie, der genau einen Kubikzoll oder einen Kubikfuß enthält, wiegt; dann suche man auch das Gewicht des gegebenen Körpers, und dividire dieses Gewicht durch das erstere. Z. B. ein Kubikzoll Eisen wiegt 4Loth; wie viel Kubikzoll enthält eine Eiscnstange von 13 A Gewicht? Offenbar so viel Kubikzoll, als wie oft 4 Loth in 13 K' enthalten sind; man muß also 13 N durch 4 Loth dividiren, wodurch man 104 bekommt. Die Eisenstange hat also 104 Kub." Nach dieser Methode läßt sich anch der Inhalt irgend eines hohlen Gefäßes bestimmen. Man weiß, daß ein -Kubiksuß Wasser 56; K" wiegt; füllt man daher das hohle Gefäß mit Wasser, bestimmt das Ge¬ wicht dieses Wassers, und dividirt dasselbe durch 56', so erhält man, wie viel Kubikfuß das Gefäß enthält. Gesetzt, das Gewicht des Wassers im Gefäße beträgt 122 N, so ist der Inhalt des Gefäßes 122 : 56^ — 2,1592 Kubikfuß. InhaUs-Verzeichniß. Seite Einleitung 8 Erster T h e i l. Die Planimetrie. Erstes Kauptstück. Gerade Linien in Beziehung auf einander 17 I. Richtung der Geraden 18 Il. Größe der Geraden 33 Fweites Hauptstück. Geradlinige Figuren . . . . > 35 I. Das Dreieck II Das Viereck ....... 39 III. Das Vieleck 4t Drittes Kauptstück. Kongruenz der geradlinigen Figuren . 43 I. Kongruenz der Dreiecke ...... II. Anwendung der Koygruenzfälle ans das gleichschenklige Dreieck 51 III. Anwendung der Kongruenzfälle aus die Parallellinien und das Parallelogramm . . . . 61 IV. Kongruenz der Vielecke gti viertes Kauptstück. Ähnlichkeit der geradlinigen Figuren . . 68 I. Geometrische Verhältnisse und Proportionen . . — II. Ähnlichkeit der Dreiecke - III. Ähnlichkeit der Vielecke 83 Fünftes Kauptstück. Krumme Linien und von ihnen begrenzte Figuren 85 I. Die Kreislinie _ II. Die Ellipse .101 III. Die Parabel . . 106 K e ch » t e » Haaptstäck. Seite Kopiren der Figuren . 108 I. Kodiren in gleicher Größe ..... 109 II. Kopiren nach einem veränderten Maßstabe . . . 112 Siebente» Kanptstäck. F l L ch e ni n h a l t d e r F i g ur e n .... 113 Anhang. Einige Grundlehren der praktischen Geometrie 136 I. Mesten der Linien auf dein Felde .... 137 II. Messen der Winkel auf dem Felde .... 142 llk. Auflösung verschiedener Aufgaben . . . .146 IV. Aufnabme von kleinen Flächen . . . . 156 V. Das Nivelliren . . . . . . . 162 Zwei-ter Th eil. Die Stereometrie. Erste» Hauptstück». Gerade Linien und Ebenen im Raume . 163 I. Lage der Geraden gegen einander ....-- II. Lage der Geraden gegen die Ebenen . . . 174 III Lage der Ebenen gegen einander .... 180 IV. Körperliche Winkel.182 .Zweite» Hauptstück». Körper.187 I. Eintheilung und Erklärung der Körper . - — II. Netze der Körper ..194 III. Körperschnitte . . . . . . . 197 IV. Bestimmung der Oberfläche der Körper . . . 203 V. Bestimmung des kubischen Inhaltes . .. . 214 Gedruckt bei Leopold Grund. N//// ^/