i
i
“Kobal-Napoleon” — 2010/5/12 — 11:15 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 13 (1985/1986)
Številka 2
Strani 75–77
Damjan Kobal:
NAPOLEONOV ALGORITEM
Ključne besede: matematika, geometrija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/13/13-2-Kobal.pdf
c© 1985 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NAPOLEONOV TRIKOTNIK
Poskušajmo združiti nekaj našega znanja o geometriji - mogoče se celo kaj no-
vega naučimo! Ali, kot bi temu drugače rekli: povejmo to, kar že vemo, v novi
obliki, ... pa dobimo nekaj. česar še nismo vedeli.
Nad stranicami poljubnega trikotnika ABG načrtajmo enakostranične tri-
kotni ke (kot kaže slika 1)! Enakostraničnim trikotnikom APB, BOG, GRA
očrtajmo kroge, ki jih označimo s ki, k 2 , k 3 • Kaj opazimo? Če nas površnost
ni izdala, se vse tri krožnice sekajo v isti točki.
p
Slika 1
R Q- ----Q:___
Slika 2
Da bi se o tem prepričali, ponovimo risbo, a očrtajmo le kroga ki in k 2
(slika 2). Krožnici klin k 2 sesekata v oglišču B in v točki, ki jo označimo z F.
Točke A, P, B, F ležijo na krožnici ki ' Torej je štirikotnik APBF tetiven. Po-
dobno ležijo točke B, O, G, F na krožnici k 2 in je tudi štirikotnik BOGF teti-
ven. Ker vemo, da sta nasprotna kota v tetiv nem štirikotniku suplementarna,
je:
"4AFB = 1800 - "4APB = 1800 - 600 = 1200
in
"4GFB = 1801} -"4 GOB = 1800 - 600 = 1200
Od tod izračunamo še:
75
25,.AFG = 3600 - 25,.AFB - 25,. GFB = 3600 - 1200 - 1200 = 1200
Ker je trikotnik GRA enakostraničen, je ~ GRA = 600 , kota 25,. AFG in 25,. GRA
sta torej suplementarna. Če sta v štiri kotniku nasprotna kota suplementarna, je
štirikotnik tetiven. Ugotovili smo torej, da določajo točke G, R, A, F tetivni
štirikotnik GRAF, oziroma, da lahko skozi točke G, R, A, F napeljemo krožni-
co. Ta krožnica pa je lahko le k 3 , saj k 3 vsebuje točke G, R, A. Torej gre tudi
k 3 skozi F, ki je skupna točka krožnic ki in ««. Krožnice ki, k 2 in k 3 se torej
res sekajo v isti točki F.
Našo ugotovitev lahko zelo posplošimo. Namesto da bi na stranicah polju-
bnega trikotnika ABG načrtali enakostranične trikotnike, načrtajmo poljubne
trikotnike APB, BQG, GRA. Pazimo le na nekaj! Vsota kotov 25,. GRA, 25,. APB in
25,. BQG naj bo enaka 1800 (glej sliko 3). Zopet opazimo, da se krogi, očrtani
trikotnikom APB, BQG, GRA, sekajo v isti točki. Dokaz (ki je podoben pre] -
šnjemu) naj bo za vajo.
V našem primeru smo imeli 25,. GRA = 25,. APB = 25,. BQG = 600 , torej tudi
25,. GRA + 25,. APB + 25,. BQG = 1800 , in gre res za posplošitev prejšnjega primera.
Slika 3 Slika 4
Za utrditev in v razmislek še nalogi:
(1) Na stranicah trikotnika ABG izberi tri poljubne točke M, N in Q, na vsaki
stranici po eno. Trikotnikom AMO, MBN, NGO očrtaj kroge. Pokaži, da se vsi
trije krogi sekajo v isti točki (glej sliko 4)1
76
Q
~ 03 0 , 02 =~NOIM=
1800 - ~ NFM = 1800 - ~ CFB Slika 5
(2) Ali lahko na stranicah poljubnega trikotnika ABC načrtamo trikotnike, ki
so podobni po!jubnemu trikotniku DEF (v posebnem primeru je lahko triko-
tnik DEF kar trikotnik ABC), tako da se bodo njim očrtani krogi sekali v isti
točki?
Naredimo še korak naprej! Trikotniku ABC smo na stranicah načrtali
enakostranične trikotnike, njim pa očrtali kroge kI, k 2, k 3, ki se, kot že vemo,
sekajo vsi v isti točki F. Oglejmo si trikotnik 0 10203, ki ga tvo rijo središča
krogovk1,k2,k3 (glej sliko 5).
Označimo skupno tetivo krogov
k 1 in k 2 z FB, skupno tetivo krogov
kI in k3 z CF, daljico s krajiščema
01 in O2 z 0 102 , daljico s krajiščema
01 in 0 3 z 0 103.0102 seka FB pra-
vokotno v točki M, 0 103 pa eF pra-
vokotno v točki N. (Skupna tetiva
in zveznica središč dveh krogov se ve-
dno sekata pravokotno!) Za štirikotnik
FM01N torej velja ~ FN0 1
~ FMO, = 900 . Od todtakoj sledi
Vemo, da je ~ COB = 1800 - ~ CFB, torej dobimo ~ 0 30102 =~ COB = 600 •
Povsem enako bidobiliše ~010302 =~CRA=600 in~03020, =~APB=
= 600 • Torej smo ugotovili, da je trikotnik 0,0203 enakostraničen.
Ponovno naj bo za vajo dokaz trditve, da lahko tudi to ugotovitev posplo-
šimo kot v prvem primeru. Trikotnik 0,0203 sedaj ne bo več enakostraničen,
temveč bo imel kote a" (31, 'Y" kot kaže slika 3.
Najvztrajnejšim šedve nalogi:
(1 ') Pokaži, da tvorijo središča krogov iz naloge (1) trikotnik, ki je podoben tri-
kotniku ABC (iz naloge (1))1
(2') Pokaži, da tvorijo središča krogov iz naloge (2) trikotnik, ki je podoben tri-
kotniku DEF (iz naloge (2))1
(v nalogi (2) je bil odgovor seveda pritrdilen.)
Obravnavanemu trikotniku 0,0203 rečemo Napoleonov trikotnik k da-
nemu trikotniku ABC. Zakaj ravno Napoleonov, ni znano . Danes je jasno samo
to, da zgornje zakonitosti ni odkril on.
Damjan Kobal 77