i i \Prezelj" | 2021/12/13 | 9:03 | page 134 | #1 i i i i i i NOVEKNJIGE F. Forstneri c, Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy principle in complex analysis, 2nd ed., Springer, Cham, 2017, 562 strani. Pred nami je druga izdaja knjige Stein Manifolds and Holomorphic Mappings, avtorja akad. prof. dr. Franca Forstne- ri ca. Delo je posve ceno homotopskemu principu v kompleksni analizi, ki se po pionirju moderne kompleksne analize Ki- yoshiju Oka imenuje princip Oka. V gro- bem povedano princip Oka trdi, da imajo kohomolo sko formulirani analiti cni pro- blemi na Steinovih mnogoterostih zgolj topolo ske ovire. Moderni princip Oka nadomesti kohomolo sko formulacijo pro- blemov s homotopsko formulacijo, v po- vezavi z ustreznimi eksibilnostnimi po- goji na kodomene holomorfnih preslikav. Namen dela je bil predstaviti razvoj principa Oka od klasi cnega principa Oka-Grauert iz let 1939{1958, preko homotopskega principa in elipti cnih mnogoterosti, pojmov, ki ju je uvedel Mikhail Gromov leta 1989, teorije Anders en-Lempert (1992) o holomorfnih avtomozmih kompleksnih evklid- skih prostorov in njim sorodnih kompleksnih mnogoterosti, do novej sih re- zultatov avtorja in njegovih stevilnih sodelavcev od l. 2000 dalje. Glavna pojma knjige sta Steinova mnogoterost in mnogoterost Oka, ki sta v dolo cenem smislu dualna. Steinove mnogoterosti so zaprte kompleksne podmnogoterosti kompleksnih evklidskih prostorov. Posledi cno imajo take mnogoterosti veliko holomorfnih funkcij in s tem tudi obilico holomorfnih preslikav v kompleksne evklidske prostore; torej so naravne domene holo- morfnih preslikav. Po drugi strani pa mnogoterosti Oka vsebujejo obilico holomorfnih slik kompleksnih evklidskih prostorov in so zato naravne ko- domene holomorfnih preslikav. Zato je naravno pri cakovati obstoj velike 134 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 4 i i \Prezelj" | 2021/12/13 | 9:03 | page 135 | #2 i i i i i i Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy principle in complex analysis dru zine holomorfnih preslikav Steinovih mnogoterosti v mnogoterosti Oka. Potrditev in preciziranje tega dejstva so med glavnimi rezultati, predstav- ljenimi v pri cujo ci knjigi. Knjiga je razdeljena v tri ve cje sklope. V prvem sklopu z naslovom Stein Manifolds (str. 2{203) se nahajajo poglavja Preliminaries, Stein manifolds, Stein Neighborhoods and Approximation ter Automorphisms of Complex Euclidean Spaces, kjer so predstavljene nekatere temeljne teme analize na Steinovih mnogoterostih. Osrednji del knjige predstavlja drugi sklop Oka Theory (str. 207{349). Poglavje Oka Manifolds se za cne z zgodovinskim pregledom klasi cne teo- rije Oka-Grauert. Glavnina poglavja je posve cena moderni teoriji Oka, ki je nastala po letu 2000. Avtor uvodoma predstavi denicijo mnogoterosti Oka, ki jo je uvedel v enem od svojih clankov l. 2009: kompleksno mno- goterost Y imenujemo mnogoterost Oka, ce lahko vsako holomorfno pre- slikavo f : K ! Y z okolice neke kompaktne konveksne podmno zice K kompleksnega evklidskega prostoraC n (za poljuben n) aproksimiramo ena- komerno na K s holomorfnimi preslikavami C n ! Y . Preostanek poglavja je posve cen dokazu glavnega izreka (izrek 5.4.4), ki pove, da holomorfne preslikave Steinovih mnogoterosti v Oka mnogoterosti zado s cajo vsem po- membnim rezultatom klasi cne funkcijske teorije v odsotnosti topolo skih ovir. Poglavje se zaklju ci z vrsto med seboj netrivialno ekvivalentnih karakteri- zacij mnogoterosti Oka. V naslednjem poglavju Elliptic Complex Geometry and Oka Theory je predstavljen koncept elipti cnosti, ki ga je uvedel v teorijo M. Gromov v pomembnem delu leta 1989. Podrobno je predstavljen dokaz izreka Gromova o homotopskem principu za prereze elipti cnih holomorfnih submerzij nad Steinovimi prostori in nekatere posplo sitve. Vsaka elipti cna kompleksna mnogoterost je tudi mnogoterost Oka, obratno pa ne velja. V naslednjem poglavju Flexibility Properties of Complex Manifolds and Holo- morphic Maps avtor razlo zi, kako se pojma mnogoterosti Oka in elipti cnosti vklapljata v druge znane holomorfne eksibilnostne lastnosti kompleksnih mnogoterosti kot so C-povezanost, Liouvilleova lastnost, veljavnosti trans- verzalnostnih izrekov za holomorfne preslikave in druge. Poglavje vsebuje tudi pregled novej sih rezultatov po 1. izdaji knjige l. 2011. Obzornik mat. fiz.68 (2021) 4 135 i i \Prezelj" | 2021/12/13 | 9:03 | page 136 | #3 i i i i i i Nove knjige V tretjem, zadnjem delu knjige, z naslovom Applications (353{531), so v poglavju Applications of Oka Theory and Its Methods predstavljeni pri- meri uporabe teorije Oka za iskanje prerezov holomorfnih vlaknenj, upo- raba v teoriji transverzalnosti za holomorfne preslikave, odstranjevanje sa- moprese ci s c, uporaba principa Oka v re sitvi holomorfnega Vassersteinovega problema in vrsta drugih. V poglavju Embeddings, Immersions and Sub- mersions so predstavljene konstrukcije holomorfnih vlo zitev in imerzij Stei- novih mnogoterosti v evklidske prostore ter sorodne kompleksne mnogote- rosti, princip Oka za prave holomorfne preslikave, konstrukcija holomorf- nih funkcij brez kriti cnih to ck na Steinovih mnogoterostih, ter konstrukcije pravih holomorfnih vlo zitev odprtih Riemannovih ploskev v evklidsko rav- nino C 2 . V zadnjem poglavju, Topological Methods in Stein Geometry, je predstavljena Eliashberg-Gompfova konstrukcija integrabilnih Steinovih struktur na skoraj kompleksnih mnogoterostih, s posebnim poudarkom na 4-dimenzionalnih mnogoterostih in s tem povezanim ›mehkim‹ principom Oka, ki poleg obi cajne homotopske deformacije preslikav dodatno dopu s ca homotopno spremembo kompleksne strukture na izvorni Steinovi mnogote- rosti. Pri cujo ca knjiga je { tako kot njena predhodnica iz l. 2011 { postala pomembna referenca za vsakogar, ki se raziskovalno ukvarja s kompleksno analizo, posebej za tiste, ki se ukvarjajo s principom Oka v katerikoli nje- govi razli cici. Gre za edino knjigo, kjer je (poleg klasi cne Steinove teorije) predstavljena tako teorija Oka kot tudi teorija kompleksnih mnogoterosti z veliko grupo holomorfnih avtomorzmov (taki so npr. kompleksni evklidski prostori in velika ve cina kompleksnih Liejevih grup in homogenih prosto- rov). V delu je prikazano, kako sta ti dve podro cji kompleksne analize med seboj intimno povezani. Na osnovi razvoja teorije Oka v zadnjih desetletjih in se posebej uvedbe pojma Oka mnogoterosti v literaturo je bilo leta 2020 v matemati cno kla- sikacijo MSC-2020 uvedeno novo podro cje »32Q56 Oka principle and Oka manifolds«. Jasna Prezelj 136 Obzornik mat. fiz.68 (2021) 4