Niko Prijatelj KARAKTERI ZACIJA HILBZRTCVEGA PROSTORA Z INVOLUCIJO ADJUNGIRANIH OPERATORJEV Ljubljana 1961 Vv)-n ^ wL C V splošni teoriji vektorskih topoloskih prostorov pripada posebno mesto normiranim vektorskim prostorom, katerih topologija je določena z metriko na preprost in naraven način» Izmed teh prostorov sta zdaj Že skoraj klasična Hil-bertov in Banachov prostore Prvi je 1;esno povezan s teorijo linearnih integralnih enačb in je pognal neposredno iz 1 *—- ustrezne Hilbertove teorije kvadratnih form. } a..x.x. s stevno neskončno spremenljivkami x.. 5x??. > *, za katere je ][_ hEJps.&c*». Svojo današnje abstraktno in aksiomatično obliko p pa je dobil sele po zaslugi J.von ITeumanna in v delih F. Riesza ter M„H. 3tone-a „ Genezo drugega, Banachcvega prostora, je treba iskati v raziskavah M, Frécheta, P. Haus-dorffa, F, Riessa in še nekaterih drugih matematikov} dokler ne dobi svoje dokončne poiobe v slovitem Banachovem de- 5 lu o linearnih transformacijah« Kakor je dobro znano, je Banaohov prostor poln normiran vektorski prostor z običajnimi lastnostmi norme : lfXl + x2n == i.s^l + [hfcgfl ! I oc xi i ssI >ri ff-X J« X L 0=*- :*xl! * 0 , Hilbertov prostor pa je vektorski prostor, v katerem je de- - 2 - fini ran tako imenovani ska Ialini produkt z lastnostmi : :-) = (x.j , x^) i- (x2 , xA (X.J -!¦ x2 j Xa) = (x.j j X ) i- (x2 j x ^ o ««* (x , x) > 0 ; in dodatno zahtevo, da je pcln v smislu norme, ki je definirana a akalarrrim produktom - 1/2 ilX'l - (X , xj ' Seveda ima skal arni produkt v kompleksnem Hubertov en prostoru kompleksne vrednosti, v realnem Hirbertovem prostoru pa le realne vrednosti* Zato pišemo v realnem primeru ena- Zaradi Schwarzove neenačbe ki velja sô poljubna dva vektorja v Hilbert oveni. prostoru, je vsak Hilbertov prostor hkrati Banachov prostor z isto normo j Obratna trditev pa gotovo ni vselej resnična,, Za normo, ki je v Hilbertovem prostoru definirana s skalarnim produktom, velja namreč dodatna lastnost, da je |.fX, ¦* x2|t2 + i' x, - x2!'2 - 2 Hx^i2 + 2 :'x2n2 . Ta "paralelogramska" lastnost pa nikakor ni obvezna za normo v poljubnem Banachoveni prostoru. Tako na primer ze ne velja v posebnih Banachovih prostorih I?, če je p L 2- To- 5 da Jordan in von IToumann sta pokazala , da je "paralelo- - 3 - gramska" lastnost ne samo potreben ampak tudi zadosten pogoj za to, da je ustrezni Banachov prostor Hilbertov prostor z isto normo. Ce ima namreč norma nekega Banaehovega prostoia. tudi to lastnost, potem lahko definiramo v tem prostoru realno oziroma kompleksno funkcij o, pač glede na to če je prostor realen ali kompleksen, 2 N (x x ) -|!IL^2J|2_|ilLLI2tj oziroma (Xi ,^)mpL^l\ .plŽl +ii|i-Hx?j! - 2 - ü , 2 A j _L A. r\ 2 ki ima res vse predpisane lastnosti skalamega produkta. Zaradi dobro poznanih, važnih lastnosti, ki veljajo v Hilbertov0m, v poljubnem Banachovem prostoru pa ne, je bilo povsem naravne, da so se mnogi avtorji lotili raziskav, ki so imele za cilj določitev raznovrstnih potrebnih in zadostnih pogojev, pod katerimi je Banachov prostor Hilbertov prostor. S tem v zvezi je treba posebej omeniti de-lo Lorcha' in Day-a . Vendar je problem karakterizacije Hilbertovega prostora, kljub mnogim že znanim rešitvam, še o vedno mikavna tarča nekaterim matematikom . Temu problemu je namenjeno tudi pričujoče delo» Ker bo vodila naša pot preko algebre vseh omejenih linearnih operatorjev, ki dej- stvujejo xxaâ danim prostorom, si oglejmo .razliko med Ba- na oh ovim in Hilbertovim prostorom prav s te plati-, _ 4 - Kaj bo 3 poljuben Banachov prostor in ,/t. CL) algebra vseh omejenih linearnih operatorjev tega prostora* Če je &¦LA (S) in f -t "J'y j kjer pomenijo k J^ dualni Banachov prostor vseh omejenih linearnih funkcionalov, potem je za vsak x.*; |? definirana funkcija '*' g(x) = t(te) , ki je očitno zopet omejen in linearen funkcional, torej element prostora 7y . Zlahka se prepričamo, da je s preslikavo f --¦» g določeni operator v prostoru,/? linearen in omejen, z normo, ki je enaka normi operatorja A. Če označimo ta, k operatorju A dualni, operator z A', potem je g - A'f in njegova definicija je razvidna iz formule (A'f)(x) = f(Ax) , ki jo pišemo bolj simetrično tudi C x , A'f ? = < Ax , f> . Lahko je pokazati, da se pokorava preslikava A'-**A' algebre./^ Ç3) v algebro JZ V3*) naslednjim pravilom : (<* A + $B)' = c* A' + u ustreznih elementov v Ji 0 Če označimo ustreaîii operator z A s potem je u » A* s ? in njegova definicija je razvidna iz formule (x , A"z) » (Ax j z) , ki ni nie drugega, kot definicijska formula adjungiranega operatorja A'' > k danemu operatorju A v Hilbertovem prostoru i Preslikavi A--=-A' algebre^ (#) v algebro,/? iS") v primeru splošnega Banachovega prostora, ustreza potemtakem v primeru Hiibertovega prostora preslikava A -* A" algebre./? {70 same vase, pri čemer se preslika vsak opurator A v njemu adjunglrani operator A" * Za to preslikavo pa veljajo naslednje znane lastnosti i (1) tata + UZ)* = & A" ¦* 5b> (2; [A*}* S AA" s A ¦ (3) (AB)* = B"A" (4) IA*Ml = HAH2 = 1JA";!2 . Preslikava operatorja A v njemu adjungirani operator A" ustvarja torej v algebri^ C?) involucijo. Zaradi lastnosti (4) pravimo, da je ta involutivna algebra polnoregu-lama c- S tem v zvezi mi je profesor dr. Ivan Vidav dal naslednjo nalogo ; Ce ima algebra vseli omejenih linearnih operatorjev. 4' (.'': ) kakega poljubnega Banachovega prostora^"' involucijo in polnoregu-1 a r n o n o r m o , če torej eksistira v tej algebri preslikava A-*A"$ ki ustreza vsem zgoraj naštetim lastnostim (1), (2), (3) in (4). potem je treba dokazati, da je ta Banachov prostor Hilbertov prostor z isto normo . Pravilnost te trditve bi torej pomenila novo karak-terizacijo Hilbertovega prostora, ki bi bila tokrat izražena z involucijo adjungiranih operatorjev. Kolikor mi je bilo v ta namen literature na dosegu, sem zasledil le dva Članka, ki sta v ožji zvezi z navedenim problemom. Avtorja obeh člankov sta Kakutani in Mac-key. V prvem Članku obravnavata realni, v drugem pa kompleksni Hilbertov prostor. V obeh primerih karakterizirala avtorja Hilbertov prostor najprej z mrežo zaprtih podprostorov in nato še s kolobarjem vseh omejenih linearnih operatorjev, s tem, da drugo karakteri- - 7 - zacijo prevedeta na prvo« Njun rezultat je v kratkem naslednji : Ce ôksistira v mreži J% ÇB) vseh zaprtih pcdprostorov oziroma v kolobarju J'„ ÇB ) vseh omejenih linearnih operatorjev kakega Banachovaga prostoraJÇ preslikava M—^-M9 oziroma k~&A* , ki ima naslednje lastnosti : (a) M., L $$**• M2 - M1 (b) W = M (c) Mv ;i M * 0 oziroma (aJ) (A + B)' - A* + B* (V) A" = A (g*) (AB)' = B'A' (d°) A?A = 0=^A = 0 , potem je prostor^ isomorfen nekemu Hilbertovemu prostorija V danih pogojih moremo v prostoru./, definirati skalami produkt in sicer tako, da je nova norma, ki je določena s tem skalarnim produktom, ekvivalentna prvotni normi,. Ker se ne bom pri obravnavanju svoje naloge poslužil niti dekazovalnih metod niti rezultata obeh avtorjev, sem . -vedel le njun. končni izsledek, ki je očitno zelo blizu trditve, katero moram dokazati„ 1 Tri naši raziskavi se bomo omejili na primer kompleksnega Banachovega prostora. Naj bo torej v? Ç$) kompleksna Banachova algebra z enoto, involucijo in polnoregularno normo. Kakor je znano, so v taki algebri hermitski elementi, za katere velja enakost A" = A , vedno prisotni* Saj je pri poljubnem XLyt (P) element X'Z gotovo hermitski pa tudi enota, k;l je v našem primeru identični operator I, je hermitski element* Toda taka algebra vsebuje tudi elemente, za katere velja enakost U'U a DU" = I , in ki jih bomo zato imenovali unitarne operatorje. 0 eksistenci unitarnih operatorjev se prepričamo takole ; Bodi A hermitski operator, katerega norma ni večja od 1, torej A* = A in i) AH = 1 . Zahtevi glede norme vedno lahko ustrežemo. Če je namreč prvotna norma operatorja A večja od 1, vzamemo namesto njega operator kA, ki je za realne k tudi hermitski. Z dobro izbiro realnega k pa vedno lahko dosežemo, da je 1'kAlj = fkj IjAlj = 1 , Kaj bo torej kar A hermitski operator z normo ne večjo od 1. Po-tem je tudi operator A - A A hermitski z normo, ki ni večja od 1, Ker je algebra /i (o) polna in ima enoto in polnoregularno normo, je tudi polnosimetricna. V polnosi-metričnih algebrah pa velja, da ima vsak hermitski element - 9 - realen, vsak element oblike A*A pa realen nenegativen 2 spekter* Zato ima torej operator A realen nenegativen spekter, ki je ujet v interval med 0 in 1 » ce upoštevamo dejstvo, da pridejo za spekter v račun le vrednosti, ki absolutno ne presegajo norme ustreznega operatorja.. Operator p I - A je seveda tudi hermitski s spektrom med 0 in 1* Zaradi tega eksistira hermitski operator E tako, da je 2 2 * B « I - A . Ce postavimo zdaj tr » a + is , je U* rt A - iE , in U'U = UH" r, J t kar smo hoteli dokazati. Neposredno iz definicije unitarnega operatorja dobimo še naslednje njegove lastnosti : Norma unitarnega operatorja in njegove slike je U Zaradi (4) namreč velja 1 == ffit] = lîtfiiîi m !|üf|2 =!! u*!!2 . Unitami operator preslika prostor JB n a Ji » To je očitno iz dejstva, da je slika unitarnega operatorja hkrati njemu inverzni operator U" = iT1 , Preslikava z unitarnim operatorjem je izometrična, Ker je norma unitarnega operatorja in njegove slike enaka 1, velja -lO- in iI3t!| - ;lUxUx:i i [I Ux'| , kar nam da res [JM « :U'» c Konstruirajmo zdaj primeren pozitiven funkcional a2>-gebre^ 09 J ! Ka g snovi Hahn - Banachovega teorema je mogoče prirediti vsakemu od nič različnemu elementu aL„^tak element LL%$¦", da velja f(a) - ffaîj in j!f!j = i , torej tudi lf(x)j = i\x \\ za v oak xć$}r Se izberemo element a L.3 tako, da je njegova norma em&fea 1, potem je seveda f(a) ~ 1 t Sodi to tako in dominirajmo s tem funkcionalom f, ki dejstvuje na prostora Ji , funkcional g nad algebro JL (S) takole : za vsak X*Lj% (S) naj bo gUJ - f(Xa) B Funkcional g ji; očitno linearen» Njegova norma pa je enaka 1 « Kajti [g (X)j = |f(2a)j % fiXfj in g(l) - f(a) = 1 . Iz tega dejstva pa smemo zaključiti, da je g(X) pozi -fc i v e n funkcional algebre^? (S) . Potemtakem velja S8 vnak ZeACS) (5) g(XxZ) = O . Toda vsak pozitiven funkcional nad algebro z enote in involucijo je tudi realen* To ^o pravi, da zavzame za vsak hermit::1'1:!. element realno vrednost in da velja Se posebej za vsak element X algebre .A L8) (6) g(Xx) - gTi) . - 11 - Zato moremo s funkcionalom g vpeljati, po znani me-todi , v algebro A' tö) neko pozitivno hermitsko biline-arno formo, s tem da postavimo (7) (x , r) = g(rx) . Hes je ; a) zaradi linearnosti funkcionala g (X + Y,Z) = gfz'tx + Y)j = g(Z*X + Z*Y) = gCZ"Z) + g(Z*Y) = = (Z,Z) + (Y,Z) b) zaradi (3) in (6) (X,Y) = g(Y?X) - g [(ft) j - g(X*Y) - (Y,X) c) zaradi linearnosti funkcionala g HX,Y) = g(r^-Z) = gO^Y'X) = *e g(Y"X) = ^(X,Y) d) zaradi (5) (X,X) = g(x'x) = 0 . Znano je tudi dejstvo, da tvorijo elementi algebre .A (S) , za katere je (8) (X,X) = g^-X€ JL in I + I6 JL , - 12 - saj velja (^x5>x) = g(ati^i) = k/i g(x*x) = O , in (x + tsx + y) = g [ (x -h rf (x -t- r}] - g(xrx + t'y + y*x + t*t) = = g(x"x) + g(x'r) + g(YKx) + g(ri) « g(r*Y) + g(ryx) . Toda Se ta dva Člena ocenimo po Schwarzovi neenačbi za pozitivne fimkcionale g{x*Y)|2i s(fx) . strt) , vidimo, da imata tudi vrednost nloc d') X* JL in Y? 0) —> YX € JI Kajti CTXjYX) » g f (YX)"* (YX) ; « g(X*YYX) » Toda pc Schwarzovi neenačbi zopet lahko ocenimo |g[(X"Y'-Y) xi!" i gf(x"Y , namreč pri Čemer je a fiksen element prostora Jo a normo 1. Oglejmo si ZC..IJ to preslikavo malo natančneje! Označimo opsralor te preslikave z Ws tako da je 13 - ii(X) s Xa ,. Operator _W je seveda očitno linearen^ Njegova norma je 1, kaj ti ||ii(J)i| HlXa1! = \\X\\ in IjwCDJl - Hajl = 1 . Kaj bo >)' (v/) ničelni prostor operatorja W, Takoj se lahko prepričamo: da je/'/(7/) levi ideal algebre si (Joj » Kes a") množica J? [W) ni prazna» ker je ff(0) = 0 V) množice /f (ii) ne obsega vse algebre.,/ Cw)t kajti ii(l) « a ^ ü c") množica /J/ (W) je vektorski podprostor v/? (#) po definiciji pojma ničelnega prostora operatorja d") TŠjfft) in Tc^(^) «r- yxe/TOD , Saj Sf i3 _L ,j ca W(YX) « (YX) a = Y(Xa) = Y(C) - 0 , Očitno se nam zdaj vsiljuje primerjava levega ideala //(W) z levim idealoffi Jj, ki druži vse elemente algebre .y4CB)i za katere velja enačba (8)- Za naše namene je potrebno pckasatij da sta ta dva leva ideala identična, da je torej (9) ./'"(W) = JL . En dol te trditve lahko kaj hitro preverimo» Skoraj neposredno je namreč razvidno, da je Ce namreč upoštevamo definicije obeh idealov, operatorja II In pozitivnega funkcionala g , dobimo takoj XévfiW)-*'5a = 0-— ~l Xa -¦ 0 -^ f (x"Xa) ~ 0 *feg(xT}L) =0-*l6 JL. - 14 - Dokaz dragega dela, da je tudi C10) ayOfcw) , pa ni tako pri vrhu: Da bomo v njem uspeli, bomo poklicali na pomoč unitarne operatorje, katerih eksistenco in poglavitne lastnosti smo ugotovili že na začetku tega pisanja-, Zdaj pa bomo z dodatno hipotezo zahtevali, da vsebuje naša algebra^ Ç3) dovolj unitarnih operatorjev. Precizen pomen te zahteve bomo formulirali takole . IT a j bo a poljubno izbran element iz p r o s t o r a .6, z normo enako 1.'1 e je x poljuben element i z jQ , ki ima tudi normo 1 , p o t e m e k s i -stira v algebri >t CS) vsaj en unitarni operator U tako, da je x = Ua. Očitno bi lahke tudi rekli ; Ce sta x in y poljubna elementa iz.O in imata oba normi enaki 1, potem vedno sksistira v algebri^ LS) tak unitarni operator U, da je y =* TJx in x = U y . Saj če je y = Ux , je res tudi U'y = u'üx = Ix - x , 0 pravilnosti te dodatne hipoteze se bomo prepričali kasneje. Za zdaj se hočemo z njo samo okoristi ti, - 15 - Upoštevaje to hipotezo takoj vidimo, da je zaloga vrednosti operatorja W vas prostor„L « Če je n:-jnreč x poljuben od nie različen element prostora--- f je x/!lx!| element s normo 1. Torej eksisti- ra po tej hipotez;', vsaj en unitarni operator U take, da je x/!x(! = Ua oziroma x = |jx)j Ua -, Sevoda jei|xt| IT tuđi element algebre JL {/5) in Se ga pišemo na kratko z T , je res W(2j = S* a fljfj iie = x c Pa. dokržimo naposled še disagi del enakosti (9)- torej relacijo (10) ! Dokazala bomo logično ekvivalentno relaci-jo kjer pomenita ^ /?'(W) in L J-f komplementa ustreznih podpro-storov /f (W) in Jj ^lede na algebro^? (/',) . Co je torej XČĆ>(W) , potem je W(X) -= Sa = x 4 0 . 3?o hipotezi eksistira vsaj en unitarni operator TJ tako5 da je x/lix!! « Ua oziroma Sa = x = i!x'j Ua , kar lahko "i\s:n!0 (S - ix.iU) a « 0 . Operator (!Ä - ;|x;:Tj) je potemtakem element levega ideala yf(W)e Ker pa smo lé dokazali, da J* vsebuje ff (w), pripa- - 16 - da ta operator tudi levemu idealu J^, torej (X - |;x!|U) € JL „ Brž pa se lahko prepričamos da velja za poljubna dva elementa S in Y algebreyf C?), naslednja logična implikacija (11) X - Y C J. =^ g(X*X) - g(Y*X) , Kajti |g(X*X) , gCî*ill = I sU*(* - Y)] * g[(X - t? rjli i ' i t tguvix -. r)j + |g] (x - y)*y]| - o , ker j .i pu '""^v^-reoYÎ. neenacbi^ upoštevaje dejstvo Z - Y€JVj ig!x'(X - Y;i - Ž g(X*Z) , gfCl - tTit - Y)j = 0 |gRx - r)*rjl2 = sK* - xT'Cx - y)j - gčift) - o e V našem primeru torej velja (12) gfX^X) - gOlxilf^lU) - llx'j2 g(u"u) - lixji2 gCi) - llxit2 / i Ž - -¦ / Ho, in ker x 7^ 0, tuđi [}x;| - giX X) je O, kar pomeni) da je Z t L Jt Prišli smo toreri do naslednjega rezultata : Ničelni prostor cpuralürj-a W , kl preslika algebro j\. (6 ) ii s pr^'tor ^ , je tisti levu ideal algebre A i<8) t katerega elementi so dol jCeni z enačbo (6) : (zTz) -= g(X'X) - o . Potemtakem valja poslednja logi Sisa ekvivelenca ; (13) W(X) - f(X)<**^ 77; Z - i) - 0<^Z - T:' JL <- Toda relacija (13) jo e > v i v a .1 e n c n a rela- - 17 - cija t algebri_/[ (L), saj je J^ linearni podprostor v fi Ci)» Če tvorimo torej faktorski prostor po modulu Jj , je ta faktorski prostorni t^)/JT i z o m o r ¦-fen s prostoroma , upoštevaje seveda dejstvo, da je zaloga vrednosti operatorja W v e s prostor J% . Zato smemo ekvivalentne razrede, ki so elementi tega faktorskega prostora, identificirati z ustreznimi elanenti prostcraJ6 o Ker je X€ J t -s=-i» Tf(X) a 0, enačimo torej levi ideal JV z ničelnim elementom prostora./;: ° Pozitivno hermit3ko tillnearnu l'ormo, ki smo jo definirali v a^-.bri..^ C7?), moremo sedaj -vpeljati tudi v prostor Ji takole ; če sta x in y elementa pro štora-o in je x = W(X) ter y = W(Y) , naj bo (x,y) - (J,T) - g(Y*X) . Ta definicija je povsem smiselna, ker je neodvisna od posebne izbire reprezentantov ustreznih ekvivalenčnih razredov x in y « Če je n-aireč tudi x = W(X.j) in y - Wi,!^, se lahkn takoj uverimo, da je (Z , t) = CX-jfX^ . Zaradi (13) je namreč X - X1 L JL in Y - Y1 L. JL . Zdaj pa imamo naslednjo oceno : (x,t) - C*,,*,)] = jg(Y*x) - sCy^x^I - = [s[y^X - X^] + g[(i- Ytr *,] = jgjV^ - X^] + |g[(Y- ltf X saj je zopet po Schwarzovi neenačbi i < - 18 - g|V(X - L,)] j 2 = g(i'i) , g[tX-Xtf (X-X,)] = 0 jgj'CY-Y^/ S^l 2 i gf'CY^rCY-Y^j . gCtfi,) = O o Toda v prostoru jLj postane ta forma skal arni produkt. Se je namreč Cx , x) = 0 , to pomeni, da je za vsak représentant X razreda x g(X*X) = 0 . Razred x |e torej levi ideal Jj oziroma ničelni element prostora.jfS , torej res x = 0 , Treba nam je le še pokazati, da je nova norma, ki jo določa v prostoru J* tako vpeljani skalami produkt, tudi enaka prvotni normi tega prostcrau To pa je neposredno razvj.dno iz enačbe (12). Če namreč zaznamujemo novo normo z !!|x||( , velja zaradi (12) : !îlx||!2 - (x,x) = (x,x) = g(3Tx) = ;|xi|2 , pri čemer je seveda x = W(X). S tem je začetna trditev o prostoru/, dokazana. Seveda pri pogoju, da je dodatna hipoteza o unitarnih operatorjih pravilna. Kaša nadaljnja pozornost bo torej veljala tej hipotezi. Preden se je lotimo, naj pripomnimo se naslednje : 1.) Postavljeno trditev smo dokazali direktno*- To se pravi, da smo v prostoru JJ res konstruirali skalarni produkt in pokazali, da je z njim definirana norma enaka prvotni normi j V ta namen smo morali ugotoviti identičnost - 19 - obeh levih idealov ß (V7) in J-r , kar je samo po sebi gotovo zanimivo dejstvo,, Vendar se temu lahko izognemo, če izberemo indirektno pot tako, da se naslonimo na paraleio-gramsko lastnost, ki Je karakteristična za nornie v Hilber-tovom proatorui Oglejmo si se to pot, ki je nekoliko krajša! Naj "bosta x in y poljubna elementa prostora J*) -, Pri veljavnosti dodatne hipoteze lahko zapišemo x - SfxJfîJa j y - jjy:iVa , x + y =~ ;! x-t-y![Sa , x - y ----¦¦ j} x-y |J Ta , kjer so U/VT,y in T ustrezni unitarni operatorji, Potem "vüljü [j»a**y*8 ~ (lUi!i; +!!y;|V) j a = O in h|x~y||T - ( lix!|ü-||yi)V) ja = 0 , Torej je ilxty'îS - 0'x:iU+i|y;:V) e J^ in lix-yltT - (üxülHIy'IV) C J^ „ Če se okoristimo z logično implikacijo (11) In upoštevamo dejstvo; da velja za unitarne operatorje g(u"*U) = g(l) « t| dobimo z lahkim računom !|x + r)\2 = ÜXÜ2 + !lxÜ.|fy;![g(VvU) + g(lTv)! + !iy12 \\X -- y!|2 = iixij2 - |ix*My!![g(ru) + g(tTV)] + ily!]2 B In Če obe ti dve enačbi seštejemo vidimo, da se norma prostora ö res pokorava paralelogramrikemu zakonu fix + yi|2 + fix - y I!2 = 2 Uli2 + 2 Üylf2 c 20) Kakor je razvidno iz dokazovalnega postopka, tuđi n.L potrebno zahtevati, da je definirana involucija a pol-noršgularnc ncimp v vsej algebri JI (/i), Očitno je povsem dovolj, če eksistira taka involutorična preslikava le na kaki zaprti delni algebri algebre../' fâ), - 20 - seveda pri pogoju, da vsebuje ta delna algebra dovolj unitarnih operatorjev v smislu dodatne hipoteze. 2 Lotimo se torej dokazovanja dodatne hipoteze! V ta namen si hočemo najprej ogledati razmere v dvodimenzionalnem kompleksnem Banachovem prostoru, ki ga "bomo označili z J^2 * Izberimo v prostoru M$ "pametno" bazo! Vzemimo za prvi bazični vektor e,| poljuben vektor tega prostora, ki ima normo 1. Naj bo nadalje f tisti element dualnega prostora -^ , za katerega velja f(ej) = Be,! = 1 in \tU)\ â f|zj| , za vsak x(eJ3* Postavimo zdaj drugi bazični vektor e« na "premico", ki je določena z enačbo f(x) =0 in ga hkrati normirajmo, tako da je f(e2) =0 in fU2!l - 1 . Tako izbrana in normirana vektorja e«, in e„ sta očitno linearno neodvisna in tvorita torej res bazo prostora Jug* Vaetk.䀦/J.gla&ko tedaj zapišemo v obliki x ss u^e^ + u.e« . Naj bo zdaj A poljuben omejen in linearen operator nad prostorom-/,--, torej element algebre Ji (Bg)9 in naj se reprezentira glede na izbrano bazo e-.,e2 z matriko /a11 ' a12 \ A- . \ a21 » a22/ Pri tem vemo, da je - 22 - Ae1 - &ii*1 + a21e2 Ae2 = al2e1 + a22e2 , in ce je Oe y = v1e1 + v2e2 = Ax - A(u^e1 + u2e2) , v1 = â11tt1 + al2u2 v2 = a2lu1 + a22u2 , Postavimo torej, da je kompleksna Banachova algebra JiUf'Z) algebra z involucijo in polnoregulamo normo, in poglejmo, kako se izraza ta involutoricna preslikava v matrikah, ki reprezentiraj o ustrezne operatorje. Naj bo operator A*, ki je involutoricna slika operatorja A, reprezentiran glede na isto bazo z matriko , /a11 " al2 A = ¦ >. a21 » a22 Zaradi lastnosti (1) involucije je očitno, da morajo biti elementi ai"-, "preslikane" matrike A* 1 i n e a r -ne kombinacije konjugiranih vre d n o s t i elementov a--, matrike A. Torej a11 =x^a1l +'^ al2 +*24 a21 +UJ1 a22 a12 =iXVfa11 ***2 a12 + *21 a2l +"^2 a22 a2i ='-?:i^a1l +**aa12 +^* a21 + ^< a22 a22 = oÇjä11 + xV2 ä 1 j, *^f I21 +ÔCJ2 Egg , - 23 - pri čemer so koeficienti L{Be) * B(f(x)e1) = f(x.) I>c1 » f(x)e., M Px „ Znano dejstvo p?, je, da je vsak projektor z normo 1 'hsr- - 24 - mitski element-, Eer je matrična reprezentacija operatorja P / 1 * Ô \ -T-- L T i in se .).e-t& toro j preslika sam vase, dobimo za koeficiente or.-J naše transformacije še naslednje enačbe 1 =^>s, IP) o «s*ff 0 =oc, i -i Iz enačb (I) in (P) pa odčitamo O*^ -.;<- 1 tolfA ~Ot44 ~CXLg2 «öQ =^2Z^;.^ * ° * îTasa izhodna transf ormaci ja (T) je dobila sdaj takole podobo a11 = a11 *°C12 al2 +,;>:21 a21 x » ti - 12 - aJg - cx~j2 a12 +^21 a2l 1 a21 = L*I2 a12 +rx21 a21 a22 " ::>i2 a12 +I>-21 ®21 + a22 Da opredelimo še nadaljnje koeficiente transformaci' je* upoštevajmo tudi dejstvo, da je za vsak operator A. produkt A A bermitski elementa öe je tcr^ / a11 * alP \ \ a^1 ' a22 / - 25 - potem je fi .. -k „ -j2 - të ¦ I a^ +o<.l2al2 +;X2-ja2l frxl2alL -nc<21a2l = i ¦ 4f - -f - _ L2 - #-5 - j >_x -j pa -j 0 +.!Xp^Sp-i ( crK; -j pa.i p +;>>Crt iä/)-t + a^rt in produkt A A je / al1a11'fl>l2a11al2+^2la11a21^2a21al2^1a21a2l » \ a-l2al1^2al2al2+tx2la12a2l-KXl2a22a12+oL21a22a21 °<--j2a11al2+tX2la11a2l+CV1 2a2lal2f:y2la2la21+ a21a22 r -^,2a12al2-K>2lal2a21+-.vl2a22al2+^Lla22a2l+ a22a?2 / * \ Ker pa preide ta matrika pri transformaciji (T^) sama rase, dobimo najprej B11511^^115l2f*^a11S2l"K*iaft2l5l2*H,éîa2l*2l = s al1â1r^2al2a11+^la2la11+ixl2^l2a2lf,>2la2la2l4 4i j .. ~ >', - ~ ** .- -.-f.? .¦ —^tt - •. ¦fwU p'-a* -ia^ p*" ^l2al 2^ 1 2 *"' '2la21a1 2+ 1 2a1 2a22"^ ^2la21a22^ •fsét^l2al2a11"*^2Ia2la114,^l2a12a21+3:21a21a21 ta22^21} ' in odtod takoj ** _ /J _ f* _ # — *Ž 0C21 --'^2 -^-12 * O , 0121 -=*21 -

¦ P a21 V 52 2/ in /b11 ' b12\ B = j V b21 ' b22 / „ / b11 • Pb2l\ 3 =1 - I Vf bl2 ' ^22 J / allbl1+al2b21 , a-, 1bl2+al2b22 i in AB m I \ a2lbt1+a22b2l * a2lbl2ha22b22 tako, da je res / ä1lB1i+5l2B2l ' V (a2ll511+i2252l)\ (AB) »L _ U B V . \ç, (a11t;i2+a12B22)' 52l^l2+a22b22) y Toda naša involutivna algebrayL L3^ je tudi polnoregularna* T0 se pravi, da velja v njej tudi metriona lastnost (4)« S^'/eda mora transformacija (T) ustrezati tudi tej lastnosti oziroma vsem njenim posledicama Kakor je razvidno iz prvega dela pa smo rabili lastnost (4) v zvozi z unitarni-mi operatorji» Zato poglejmo, če nam unitarni operatorji dajejo še kakšno nadaljnjo zahtevo v zvezi s transformacijo (T). j?c:".š5imo v ta namen najprej matrično reprezentacijo unitarnih operatorje.! Bodi torej U unitarni operator / a11 • al2 \ V * i , \ &21 ' a22 / - 28 - Potem je po definiciji unitarnih operatorjev U*T7 = Utr* = i , kar nam da / a11i11+?a2l52i » al2S11 + >?a2252l \ \p a11al2+ a2la22 » jral2al2+a22a22 / i a11a11+ T" al2al2 ' 9 a11a2l4al2a22^ '1 * °\ = ! _ i -¦:-{• l a2la11+^ a22al2 ¦ fa2V:i2l+a22a22/ \° • V Odtod razberemo tele odnose ? 1 — — (!) alt**11+ y'^21*21 "* ^ * -^ G a11al2+a2l^22 * (2) a^f* ^ al2a'l2 = 1, (6) a21a11+ p a22al2 = ° (3) ai2a11+f a22a2l * ° ' f7) pa12al2+a22a22 = 1 (4) p al1ä2l+ a]2S22 = 0 (8) fs21a2l+a22*22 = 1 " Iz (1) in (8) sledi (9) a22522 « »11«11 . Zaradi tega lahko odpišemo enačbi (7) in (8), ker sta identični z enačbama (2) in (i). Enako je enačba (6) ekvivalentna enačbi (4) in enačba (5) enačbi (3). Iz (2) dobimo (10) al2al2 = P^1 " a1ia11^ * iz (1) pa (11) a21521 = o C1 " a11511) ' 1 ? Tako dobljene enačbe (9), (10) in (11) nam očitno vsilju- jejo, da zapišemo matrične elemente a**, v obliki - 2g - aii Ae1*, a22 = Ae^, a12 = \jf( 1-A2)e^ , a21 Ä f~- ° pri čemGr 5fA norma elementov a^ oziroma a22, torej neko realno pozitivno Število. Zaradi norm elementov a*« in ap-j mora veljati med Ç in A tale zveza f... > 0 **-> 0 S A < 1 p < o —se A, >. i ,. r Za določitev ârgumeatav Ä,/ij" in 0J pa imamo na razpolage še preostali zahtevi (3) in (4-), iz katerih dobimo (3) e1^-^ ¦ e^-Ji = O (4) e1*"-^ + e1^-* = o , Temu sistemu je ustreženo; brž kc postavimo pri čemer sta |C in y- še na izbiro. To pa nam da tole rešitev oC pol jv.- m, # = (X - ^-' + ^ +.Ä. , J° - t>C + (p, O = o< - y , Vsak unitarni operator je torej reprazontiran z matriko naslednje oblike r kjer so argumenti Qi, to in U/ se na iz\:i.ro Toda razčistimo se odnos med Ç in A l Kakor vemo, je - 30 - vsak unitarni operator izometricen-. Potemtakem "bo vsak tak operator preslikal na primer naš bazični vektor e.. v vektor, ki bo imel tudi normo 1 * Ker je je absolutni iznos prve komponente tega enctskega vektorja kar A - Za vsak vektor z norme 1 pa velja, da je absolutni iznos njegove prve komponente manjši, kvečjemu enak U Kajti če je x - U-ö-j + uoQ2 in lî-*li a 1 ' je, zaradi lastnosti funkcionala f , ki smo ga na začetku izbrali, |f(x)j = i^; Ž 1 0 To pa pomeni, da pride za A v poštev le prva od zgornjih dveh možnosti ONA "¦»« -* as -A zr S >. < in zato mora biti v transformaciji (T) O >0 , Ker pa je za vsak unitarni operator U IlUe^i - 1 in !;Ue2|| = 1 , morata veljati tudi naslednji neenačbi i -TA«**», + la# Ć&1* s, e*L>M Bi -Ae^^eJ i |P)+) oziroma - 31 - 1 -A = ^=P in 1 -A ž ^Jf) Ker je 1 -A ^ O, smemo übe neenačbi na obeh straneh kvadri-rati d -A)2< J# m d -A)2i o« -A2) . Za A m 1 ustreza sicer vsak p » Če pa j e 0 = A C 1 , lahko obe neenačbi poenostavimo v 1 -A m ^ in 1 -A Š f (UA) . ; Ker morata veljati z a vsak nenegativen A i ki je manjši od 1 , mora biti zaradi prve Ç S 1 , zaradi druge pa C = 1 , kar nam da torej „ -i Potemtakem smemo zaključiti : V algebri H (Bg) eksistira ena sama involucija s polnoregulamo normo-: če reprezentiramo, glede na izbrano bazo enjöo T prostoruJS , operatorje z matrikami, se ta involutorična preslikava izraža takole : /a1 1 » al2\ f *11 ' a21 \ —" I - - h *21 » *L2/ \a12 * a22 / Zdaj pa lahko takoj pokažemo pravilnost dodatne hipo-teze0 Vzemimo v ta namen kar bazični vektor e* in naj bo X = U-jC-j + ttgf p poljuben drug vektor % normo 1-. Ker je vsak unitami operator glede na izbrano bazo reprezentiran z matriko - 32 - je trota ter.] cositi argenta<* , f in A v dovolje- nih mejah tako, da bo _____ Ua, - A o1'"'., t R'lM e2 » -191 + U2e2 ' To pa je reo vedno mogoče. Zapito namreo komponenti vek- i torja x v oUiki *» un - lut] e^in n2- |u2| e . Potem mora vsekakor biti Temu je lahko ustreöi, Se postimo ------ i ^1 ž 1 y...d"« iy in A "Tin—T5"-' UTT5 " Torej moremo vektor x pisati v ooliki x = c(Ae^e1+ V^ e**--»».,). y,r pomeni C pozitivno konstanto. Ker pa je nonna vektorja x enaka 1, mora Uiti 0-1, kajti 1 = | C | .|Ae °*\ + V1_A e 2il 'I To pa pove, da je kar ----- A . |u,| in !u2| =V 1 - N ' in UMft unitaci operator U je ******** "^^ kjer je U/-3- C- •r-tM,rt P * Se «" l2Mr°" S tom je pravilnost dodatne hipotezo v dvodimenzionalnem prostoru 32 dokazana. 3 Preidimo zdaj še na splošni primer! Ako sta a in b dva dana, sicer poljubna, enotska vektorja iz kompleksnega Banachovega prostora./;} , katerega algebra omejenih linearnih operatorjev.^ C8) ima involucijo s polnoregulamo normo, potem je treba ugotoviti eksistenco takega unitarnega operatorja U , ki preslika vektor a v vektor b , torej U*U = UU* =1 in b = Ua r Opravimo najprej s trivialnim primerom, v katerem sta vektorja a in b linearno odvisna! Iz h = A a , sledi seveda I A J = 1, Če postavimo U -Al ( imamo res U*U e UIT* -|A|2 1 = 1 in b =/\a = A la = Ua . ITaj bosta torej oba enotska vektorja a in b linearno neodvisna! Potem določata neki dvodimenzionalni Banachov podprostor Js* prostora Ji , za katerega velja Razstavimo zdaj prostor v direktno vsoto dveh pod- ¦ prostorov Kakor ja znano, ustvarja tako dekompozicije vsak projektor P :lz algebre J\ (S), ki preslika prostorno na podprostor J5g .< V tem primeru lahko zapišemo vsak x t J$ v obliki - 34 - x --= y + z , pri čemer je y ~ PxL JJ% in z = (I - P) x C ^ s Operator A iz algebre ,-i ('') pa je tedaj in le te-daj popolnoma reduciran na oba poöprostora ,.0^±yi^O , ki jih določa dani projektor P - iadar je s tem projektorjem zamenljiv., To se pravic da velja logična ekvivalenca AP = PA *=>(iy)(je.L; =>AyiJ^) in (^) (zc ^Wz eJ*) . Toda za naše namene je potrebne, da sledi iz popolne reducibilnosti operatorja A ista lastnost tudi za njegovo involutorično sliko A , kajti le tako bo mogoče inducirati involucijo tudi v algebrah obeh pedprostorov* To pa bo gotuvo res, brž ko bo projektor P njrmitski elemente Kajti Ap = pa in p = p*=s> Cap)*" = (paZ-^pa* = a*p , Poiskati je torej treba hermitski projektor, ki preslika prostor J3 na podprostor J$L , Tega pa najdemo takole ; Projicirajmo najprej prostor Ji na enodimenzionalni prostor, ki je določen z vektorjem a : P^x = f(x) a , kjer je f tisti element iz dualnega prostorao , za katerega velja f(a) =|!a|| - 1 in fffj = 1 , torej tudi \f(x)\ = \\x\\ , za vsak xt Jj,. P^ ja očitno linearen z normo 1, pa tudi projektor je, saj je PCs k P1f(x)a = f(x)P.,a = f(x)a = P1x -Zato je po znanem izreku hermitski projektor, torej •a ti* 1 — 1 * - 35 - Vsak vektor sr^^aoromo zdaj zapisati v obliki X = PfX + (I - E.) x Pa zapišimo tako vektor b ; b - P.jb + (I » J?j) b « Ker sta a in b linearno neodvisna,, vektor (I - P-|)b go-tovo ni nič, Ogitno pa se nahaja v podprostoru M& , saj je (I - P.) b = --Pfb + b <= - f(b) a + b ITormir-ijmo gei m pišimo t»feo dobljeni en otski vektor na kratko s c (T - Pj b i |l(i - Pi) 11| Ker sta tudi a in c dva linearno neodvisna enotska vektorja v prostoru J?^» ju lahko vzamemo za bazi tega prostora, tako, da je y C A ^=^ v ~-/h, +rf"o „ •j - - y Zdaj pa projicirajmo še prostor J3 na enodimenaional-ni podprostor, ki je določen z vektorjem c , takole P2x = g(x) c , kjer je to pot g tisti element XzJâ , za katerega je >; t g(c) - [jöjj - 1 in jjg;i - 1 , torej tudi !g(x)j i jjxj|, H Fl II--M | za vsak xfev^e Seveda je, is istih razlogov kot prej P-| s "iUdi Pp hermitvski projektor« torej 2 P2 m P2 in P2 « P2 a Operator ? ^= P-i + P« i _ X--J t .trg je gotovo hermitski, saj je vsota dveh bermi tekih operator- - 36 - jev; Zaloga vrednosti operatorja P je ujeta v podprostor ¦t ' J$2t kajti Treba S3 jy le Se uveriti, da j ti operator P tudi projektor, da velja torej tudi ?2 - P u In res je P2 « (P1 + Lg)2 a pf f P^Pjs + P2P1 + P2 = P^g+PfSg+SgR, = P, kajti ¦t-j-tp s -^o4- "1 :~ ** 9 Za vsak xé^' je namreč P^gX •= P-jgU) e - g(z) p^c „ Toča P-|C « 0T po definiciji vektorja c- Torej je res i-j-P^ - Cu Iz tega pa takoj sledi, da je tudi Pp^l = °s 3a** ^e P^ » (p^p.) a Or Zato je tudi P2a = ^p^l3 = ° ' torej py ^ y an vsak y< ^-« Konstruirani feaaaaitsfei, operator P je potemtakem res projektor na podprostor s$g * Kaj "bo zdaj direktna vsota Ji - SUsB" tista dekompozicija prostora 7:3 , ki jo ustvarja hermit ski projektor P=> Seveda je potem tudi projektor I - P , ki projicira prostor J$ na komplementarni podprostor ./i , her-mitski.- Množica vseh s projektorjem P zamenljivih operatorjev algebre „// iß) pa tvori polno podalgebro te algebre-To je razvidno iz naslednjih dejstev : 1. AP = PA *=S>>AP ==AL4 == pAa 2. AP = PA in BP -. EE-*-(A+B)P s AP+BP = PA+PB t= P(A+B) - 37 - 3 » AP = PA in BP = PB =j^ ABP m APB = PAB 4* če je za vsak n , A P = PA in lim A ¦ A =^ AP=PA . * n n n Kajti za vsak xs'JS velja A x-*Ax. Torej je tudi A Px —* n n —* APx in PA x-^PAx , saj je P zvezen. Ker pa je A Px = ™ PA x po hipotezi, je tudi APx = PAx • Ker pa je projektor P hermitski, velja tudi 5, AP = PA =#> A*P m PA* . To pomeni, da je ta podalgebra tudi zaprta glede na involucijo-. Kaj "bo zdaj A poljuben, s projektorjem P zamenljiv operator in ga zapišimo kot vsoto zamenljivih operatorjev AP in A(I - P) A = AP + A (I - P) . Ker jo A popolnoma reduciran glede na oba podprostoraJög in *c! i je seveda zaloga vrednosti operatorja AP oziroma . . p f pa operatorja A (I - P) v prostoru. J~ii oziroma v prostoru-O . če omejimo definicijsko območje operatorja AP le na pod-prostor JÜy , dobimo potemtakem neki operator Ai , ki je element algebre rA~ C^)» In podobno lahko priredimo operatorju A (i - P), s tem da utesnimo njegovo definicijsko območje le na podprostor M , ustrezni operator A" iz algebre yL (M)m Ker pa je prostora direktna vsota podpro-storov Jdg %nj& 9 lahko operator A zapišemo tudi kot "direktno vsoto" ustreznih operatorjev A' in A" A = AJ$A" , tako da je za vsak x*f JB » Se ga pišemo v obliki x *= y + z , - 38 - kjer je $€¦.*&$ in z ( /i", Ax « ALy + A"z , Seveda moremo tudi obratno vsak operator algebre yf (A?) oziroma algebre^/ć Uä") razširiti na ves prostor li ? V ta namen nam je treba tvoriti le "direktno vsoto'1 tega operatorja s poljubnim operatorjem, ki dejstvuje v komplementarnom podprosturUi -Tako dobljeni operator nad celim prostorom bo tudi s projektorjem P zamenljiv, saj je popolnoma reduciran glede na oba podprostora Jo2 InJ^ o Zaradi teb dejstev lahko zdaj induciramo involucijo tu- aD ' T»!/ di v algebrah obeh podprostorov JZj? in-tf * In sicer takole ; Bodi Ai poljuben element algebre A. (h%) , Razširimo ga s poljubnim elementom A" iz algebre ,/t C-v ) BS ves pro--štor ÄJ 1 tako, d.a je A = AJ@) A1' . 1 Dobljeni operator A zapi Širno v obliki A - AP + A(I - P) , in ga involutoricno preslikajmo v AA = a"p + A*(l - P) , Potem naj bo A''" operator, ki ga dobimo iz operatorja A' E, če omejimo njegovo definicijsko območje le na podprostor ^„ In analogno je A" operator, ki ga dobimo is A (i >- ?) i -a* ce ene j imo njegovo definicijsko območje le na podprostor ^ » Potemtakem lahko zopet zapišemo m x «, > A = AL (+"; A" Z opisanim postopkom dobljena slika ALx operatorja Al je seveda enolično določena^ Vzemimo namreč, da smo epe- - 39 -- rator 44 razširili na ves prostor na dva različna, načina : A ¦-= &i>(L)A" » AP * A(I - P) in B « AL<7;B" k BP + B(l - P), kj^r h ta A'! xn 3" dva različna operatorja j.z.X G$ )« Öh pišemo poljuben z';/.'v obliki x ~ j + z , kjer ja ye v^ in fcéjB ¦» mora veljati APx « APy = ALy = BPy ¦--- BPjl s kar pomeni, da je AP t= BP j torej tudi A*P ¦= B*P a Pnako sa moremo tudi prepričati, da sa tako definii rana preslikava v obeh algebrah vL ty%) in /i (^ ) reo pokorava vsem lastnostim (l), (2), (3) iS (4-)} ki karakteriziraj o XiivoluGijc in polnoregiilarno normo-. Kar smo za dvodimenzionalni primer že dokazali, eksi-stira potemtakem v algebri y? {¦L$) vsaj en unitami operator Up tako j da velja U2> U2 = U2U2* " X2 in * " lV?3, ° Zdaj je torej le Še vr.'rašanjef če moremo ta unitarni operator UA razširiti v neki unitarni operator nad vajm pre s torom $ = r Pa ga razširimo takole U k tfj ® I" * Potom je u* = U.'V @i i1- , i a k er lani to i z t&zSklq. v sale vektor x f'. - ß k j t v s o 11 ¦ ^ = y + a j 'kjer j3 y€sC \ U2 = J • l -sing^ , oos f j ki predstavlja navadno rotacijo. Literatura : 1«) Hc Hilbert ? G-rundauge einer allgemeinen Theorie der linearen Ir^egralgLeiahungen, G-öttinger Kachrichten, 1906, 4. Mitt,, 157-227S in $< Mitt., 439-460. 2») J .ven Köumann ; Allgemeine Eigenworttheorie Hermitescher lunktionalOperatoren, Math*Annalen 102, 1929, 49-131 • 3.) 9c RIgsz : vec l ?.nkov v Acta Sel .Ma th. Szeged, 5, 1930, 6, 1933» 7, 1934, 4.) BUSU Stone ; Linear transformations in Hilbert space, New York, 1932* 5.) S> Banach : Théorie des Opérations linéaires, Varšava, 1932, 6„) Jordan P. - J.von Neumann : On inner products in linear metric spaces, Annals of Math., 36, 1935, 719-723» 7») B.B, Lordi ; On certain implications which characterize Hilbert space, Annals of Math., 49, 1948, 523-532. 8.) ii.M, Lay s ITurmed Linear Spaces, 115 - 121, Springer Verlag, 1958= 9-) Lau, Leung - sun : On a characterization of Hilbert spaces, Advancement in Math*., 4, 1958. tO») Enkutan! and Kackey ; Two characterisations od real Hilbert apace, Ann. of Math., 2; 45, 1944. 11* ) Kakutani and Mackey : Ring and lattice characterizations of complex Hilbert space, Amer.Math.Soc*, 52, 1946* 12.) I. Vidav t Eine metrische Kennzeichnung der selbstadjun- gierten Operatoren, Math.Seitschrift, Bd..66, 1956, 121-126, 13=) M,A. Neumark : Normierte Algebren, Berlin, 1959.