LIST ZA MLADE MATEMATIKE OO FIZIKE ASTRONOME 12DAJA DMFA SRS PRE S E K - l i st za ml a de ma t ema t ike , f iz ike i n astronome 1 (1 97 3/7 4), " š t . 3 . , s tr . 1 2 9 - 1 6 0 K A ZA L O 136 142 129 131 134 UVODNIK MATEMATIKA KROŽKI NALOGE-TEKMOVANJA Sk u l j T . : ~l adi in ma , f i , as Ob l ak F . : Z ače tni po j mi ge ome t r i j e: 6. S tarič :'1. : Opazova n j e p r e h od a He r k u r j a p reko Sončeve p l o s k ve Ko l e nk o B. : Repub l i š k o t e kmo van j e ml a di h matemat ikov , Kope r 1 ) 7 3 Kolenko B. : IV . zvezno t.ekmovan j e ml a - d ih mat ema t i k ov osemle tnih 30 1 143 Zaj c P. : Za na j mlajše b ra l ce 144 Pisansk i T . : Oda kva d ratni enačb i z ASTRONOMIJA BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES RESITVE- NALOGE PISMA BRALCEV PREMISLI IN REŠi 146 150 152 156 158 159 160 bal adn im p ri ok us om Pr o s e n M. : O s e ve r n i c i Batage lj V. : Kriptari t mi Pleško J . : Zve z no t e kmov a nj e učencev osemle tn i h š o l Pis ansk ~ T . : Težke ko cke Rak ove c J.: Ne k a j o mn o gok o t n i k i h Obl ak F. : ~rag i b r a l c i ! Dove r J . in Pi s a n sk i T . : Dopo l n i l o k r e zul t a t om p rvega n agr adn e g a razp i s a ter ob java nove nagradne n a loge "" Pr e mi s l i i n r e š i ! " Slika na nas l ovni s t r a n i : P remi k a n j e seve rnega nebesnega pola med zvezd ami . Na t r etji strani ovi tk a : F i late l i ja Na z a dnj i s t rani ovi tka : P rekop i cu jm o k v a drat i ~ 1 97 3 Dr uš tvo matema t ikov , fi z ikov in as t ronomov SR Sloven i j e UVODNIK MLADI IN MA , FI, AS . Na koncu prejšnjega leta je imelo Društvo matematikov, fi- zikov in astronomov SR Slovenije svoj 25 . občni zbor . Bi l je na Bledu, kjer je bilo društvo ustanovljeno leta 1949. Tam je bil rojen pred sto leti največji s lovenski matematik , profesor Jo- sip Plemelj . Poleg stoletnice njegovega rojstva smo obhajali še 20 letnikov društvene revije Obzornika za matematiko in fiziko in rojstvo Preseka . Eha od najpomembnejših nalog, ki si jih je postavilo društ- vo že ob ustanovitvi, je širjenje zanimanja za matematiko, fi- ziko in astronomijo med mladimi. Do današnjega dne so se društ- vena prizadevanja v tej smeri močno razmahnila . 1957 je društvo prvič priredilo tečaj iz matematike za sred- nješolce in naslednje leto tekmovanje iz matematike. 1959 je priredilo prvi tečaj iz fizike. Od tega leta redno prireja re- publiška tekmovanja za mlade matematike in od ·1 96 4 tudi repub- liška tekmovanja za mlade fizike . Na lanskem tekmovanju mladih matematikov v Kopru je bilo 194 tekmovalcev , na tekmovanju mla- dih fizikov v Celju pa celo 200 tekmovalcev. V zadnjih letih se je močno izboljšal uspeh slovenskih tek- movalcev na zveznih tekmovanjih iz matematike in fizike, ki jih prireja zvez~ republiških društev. Od 1971 so zvezna tekmovanja mladih fizikov v Sloveniji. Doslej so bila v Ljubljani, Novi Go- rici in Velenju. Leta 1967 je bila naša domovina gostiteljica mednarodne mat.ernat.Lčne olimpijade. Na XV . olimpijadi v !1oskvi je bilo kar 125 srednješolcev iz 16 držav . Skoraj vsako leto poskrbi društvo tudi za predavanja iz ma- tematike ali fizike za srednješolce. Petih predavanj leta 1972 se je udeležilo več sto mladih poslušalcev. Mlad i matematiki z osnovnih šo l tekmujejo za Vegova prizna- 129 n ja o d 1970 Dru§tv" p r i r ej a končna tekmovan ja , na katerih se pome r i j o n a j bo L'i š L o s.uo š o Lc i. i z v se ~ loveni je za zlata Vegova pr iz nan ja . Lani j t~k.ovalo 268 te~movalcev. Na s o l s k i h t e k- mo v a n j i h za bron, sta Vryova priz nanj a pa je s odelo v a l o okoli s cdorn tisoč uč e n cev i n na obč Lns k L h tekmovanj i h za srebrna \. e - (jova priznanja dobrih tri t d s oč u če n ce v . Učenc i s e drui.h .in o srui h razredov so se doslej že ~tirikrat pomeri li tudi na zvez nem tek - mo v an j u. K š Lr j e nj u zanimanja za ma t ema t i ko , fiziko i n a s t r-ononu j o pr i speva tu d i kn jižna zbirka Sigma. V n j e j i z h a j aj o knjige , ki da jejo preg lede 6ez neka tera o~nočja matematike in f i z i ke . U~ 19 59 j e izš lo že 24 ra z l i č n i h k nj ig in I l pona t isov. Toma ž Skulj E K -list .a a mlade matematike, fizike in ..astronome. 1. letnik , šol sko l eto 1973/74, 3.št., marec 1974, s tr . 12.9-160. tzdaj a Dr uš tvo mate ma f i ko v , fizikov in astronomov SR Slovenije. Uredniški odbor : Vladimir Batagelj , Jože Dover, Tomaž Fortuna, Harjan Hribar (u r e d n i k za fiziko}, Andrej Kmet, ,Jože Kotnik, Matilua Lenarčič, Biserka ~tikoš, ~'ranci Oblak (urednik za matematiko}, Jože 1'avlišic, 'fornaž1'.1sanski, ~larijan 1'rosen, Dušan Repovš, Tomaž Skulj (odgovo~niurednik), ['Iarijan Vagaja inCirH Velkovrh (tehn.urednik). Rokopiss tanatipkali ~Iartina Fabjančič in Nuša Rode, jezikovno pa je pregledala Sandra .Oblak. Slike so narisali Višnja KovačiČ, HihaŠtalec in pavorinTomažič• Oprema Borut Delak in Višnja KovaČič. Dopise pošiljajte 1n list naročajtena naslov: Komisija za tisk DMFA SR~ - PRE;SI';K, Jadranska c.19.,.. pp 227,61001 Ljubljana, tel, št. 61-564/53. Št. žiro računa 50101-678-48363. Naročnina za šolsko leto je za posamezna naročila 20.-oin, za skupinska pa la.-din, za inozemstvo 2 $ = 34.-din.Posamezna š tevilka stane 5.-din. List sofinancirajo: Kulturna skupnost SlovenijEl' Izobraževalna skupnost Slovenije ter Temeljne izobraževalne skupnosti v Sloveniji. Ofset. tisk časopisno in grafično podjetje " DELO" , Ljubljana. List izhaja štirikrat letno v nakladi 14 . 0 0 0 izvodov. Po sklepu Republiškega sekretariata Za prosveto in kulturo, št. 421 -1/73 z dne 12. 7. 1973, je list. oproščen prometnega davka. 130 MATEMATIKA __II ZAČETNI P O JM I GEOMETR IJE Franci Oblak 6 . AKSIOMI I N I ZREKI Seznanil i s mo s e z dokazovanj em i z rek a l. Doka z s mo oprli n a d rugo i n tretjo lastnost razd a l j e , k i s mo j u sprejel i brez doka- za. Pri d okazovanj u poljubnega geometri jskega izr e k a se mo ramo n asloni t i na kakršne koli geometrij ske i zj a ve , k i so ž e bile do- kazane al i pa smo jih sprejeli brez dokaza. Jas no, d a doka z a t i v g eometrij i vseh izjav ne moremo: zato, da bi začeli dokazovati g e ometri jske izjave v obliki izrekov, moramo nekatere geometrij- ske iz jave sprejeti brez dokaza. Izjavo, k i jo spreje mamo brez dokaza, imenujemo aksiom. Izja- vo, pravilnost katere dokazujemo, imenujemo izrek. Mi bomo vzeli za aksiome lastnosti razdalje, ki smo jih napi - sali. S popolnim sistemom aksiomov se boste seznanili kasneje* . Na v ed i mo še dva aksioma: l. Skozi poljubni različni točki poteka natanko ena premica (aksiom premice). 2. Premica, ki poteka skozi poljubni različni točki ravnine , pripada ravnini (leži na ravnini). Aks iom premice moremo povedati tudi tako: dve različni točki natanko določata premico, ki poteka skozi njiju ali na kateri ti točki ležita. Premico , ki poteka s kozi točki A in B, se označuje (A , B) . Vemo že, da točka A določa na premici dva pol traka. Tisti poltrak z začetkom A , na katerem leži točka B, ozna~ujemo (A,B). Iz aksiomov premice sledi izrek o š t ev i l u skupnih točk dveh pre- mic. -*-- Glej učbenik: Štalec, Pucelj: Geometri ja I . 131 3. izrek: Dve različni premi ci imata naj več eno skupno točko. Res! Če b i p r emi ci imeli skupn i dve različni točki, bi sovpa- dali ~ aksiomu premi ce . To pa pomeni, da več ko t eno skupno točko dve različni premic i ne moreta imeti, kar je b ilo treba dokazati. Lik imenujemo ravninski, če vse točke lika pripadajo isti ,rav- nini. Nadalje ' bomo preučevali samo like, ki leže na (v) : eni r av - n i n i . to pomeni, ukvarjali se bomo s planimetrijo*. V bodoče le- ge ne bomo vsakič posebej poudarjali. Če pa bomo govorili o likih ki ne leže v i s t i ravnini, bomo to posebej povedal i. Vprašanja in naloge : 5. Na premici izberimo štiri lo Kater i lik je unija (A ;B ) točke: A, B, C i n M tako, da in (B;A) ? « A ; B)U (B;A»)! je 2. Ali leže točke A, B in C AM + MB + BC = AC. na en i p remici , če je : Vemo, da točka M leži med A a) AB 5 AC 4 in C. Dokažite, da točka Bc m, cm, leži med točkama A i n C! BC 6 cm 6 . Ali moreta imeti daljici: b ) AB 5 cm , AC 3 cm , a) samo skupno točko,eno BC 2 cm b) samo dve skupni točki? c) AB 5 cm, AC 7 cm, 7 . Dani sta dalj ici inAC BC, BC 2 cm ki ležita na isti premici. d) AB 5 cm, AC 2 cm, Izračunajte razdaljo med središčema teh dveh dalj ic , BC 7 cm? če je irE = 2,4 cm ; 3. Kako razporejene točke 7IT: = 0 ,8 cm. so P, Q, in R medsebo jno, če 8 . Narišite premico in izberite je: rta njej tri različne točke : a) PQ + QR PR P, Q in R. Koliko različnih daljic in različnih poltra- b) PR + RQ PQ kov določajo na premici te c) RP + PQ RQ? točke? 4. Točka C leži med A in B, 9. Koliko premic določajo tri točka X leži med A in C. Ali dane točke, ki ne l e že na i- leže točke A, B, C in sti premici? Od kod sledi na isti premic i? vaša ugotovitev? 10. Koliko črt moremo potegniti -*-- skozi dve dani točki? Koliko planum (lat.) - ravnina - premic poteka skoz i taisti točki? 11. Koliko skupnih točk z ravni- no ima premica, ki ne leži na ravnini? Od kod sledi va- ša ugotovitev? 132 /7 12. Ali morejo vse točke premice pripadati krivi ploskvi? (Slika 8). 13. Kako preveriti, če je plo- skev ravna (pojasnilo na sliki 9)? 14. Na sliki 10 vidimo, da štiri točke določajo lahko eno pre- mico, štiri premice ali šest premic. Pokažite s sliko, da pet točk lahko določa: 1, 5, 6, 8 ali 10 premic! (Drugih možnosti ni.) MODROST STAREGA ŠEJKA Nekoč je v oazi sredi puščave na velikem posestvu živel sil- no bogat šejk . Ko je zaradi visoke starosti oslabel, je k sebi poklical oba sinova. Dejal jima je: "Draga moja otroka , čutim, da me moči zapuščajo. Posestvo bom zapustil tistemu izmed vaju, ki je bolj bister. Osedlaj ta vajini kameli, odjezdita do najbli- žjega svetišča in mi od tam prinesita kak predmet, da bom vedel, da sta bila res tam. Tisti, čigar kamela bo zadnja prestopila prag moje hiše, bo postal novi gospodar . Pojdita, sinova moja in Alah naj bo vajin vser.togočni varuh!" Sinova sta molče poslušala in se nato poslovila. Počasi sta se vlekla skozi puščavo do svetišča in nazaj. Na povratku sta srečala starega beduina. Potožila sta mu svoje skrbi, starec se je zamislil, potem pa jima je nekaj rekel. Oba sta takoj skoči­ la na kameli in na vso moč oddirjala proti domu. Kaj jima je rekel stari beduin, da je povzročil tako spre- membo? In zakaj neki je to povedal kar obema hkrati? REŠITEV : Stari beduin jima je svetoval , naj z ame n j a t a kameli . Njun oče je namreč rekel:" ••. Tisti, čigar kamela bo zadnja prestopila prag moje hiše, bo novi gospodar . ... Od tod velikanska sprememba - sinova sta oddirjala kot neumna, vsak na bratovi kameli • • • Duš a n Repovš 133 logi OPAZOVANJE PREHODA MERKURJA ČEZ SONČEVO PLOSKEV KROŽKI Dne 1 0.11.1 973 je p lanet Ne rkur navide z no prečkal Sončevo p loskev . Za opa zovan j e tega r e d k e g a p o java s mo se dobro p r ipr a - v i l i . Že neka j d ni popre j s rno s e sesta l i i n s e s e z n a nili s po- tekom p re hoda . Ker smo nane r ava li točno določiti vs top i n izstop Mer k u r j a i z Sončeve p l oskve , s~o več dni z apo r ed z a s l edov a l i t e k dveh ur in ju urne rili n a d ve s ekundi nat ančno po s r e d n j e evrop- ske m času (RTV Ljubljana ) . SI. 1. Č l an i astronomskega k r ožk a n a Šma r n i go r i Ome n j e ne g a dne smo se zjut r a j odpravi l i n a Šma r no goro, k e r j e b i la v Lj ub l jani me g l a . S s e boj s mo v z e l i š o lski ref r ak t o r z obj ek t i vom z gori ščno r a zdalj o 1300 mm in p remerom 80 mm , t ran- z i s t o r s k i radioaparat, p rek k a te r ega smo lahko še med p o tekom pojav a pre verjali t ek ur i n fotoap arat. Sonce s mo p r o j e c i ra l i n a zaslon , da j e bi l p reme r s l i ke 1 9 2 mm. Vreme nam v začetku n i b i l o naklon jeno , t a k o d a smo prvi č opaz i li Me r k u r še le ob 9 . 35 , 134 ko je že oprav t .L 1/7 poti čez Sonce. Odtlej smo vsakih 1 5 minut zarisali 'trenutno l e go Me r k u r j a (sl.2). Opazovalni pogoji s o s e i z bolj š ali , Sončev r ob je b il doka j oster , le o ko li poldne v a s mo opazili rah lo migl jan je kot posledi co ve tra v viš j i h p laste h o - zrač ja. Sonce je .bilo brez peg (Wolfwosko r elat i v no števi lo j e bilo O). Prehod smo t ud i fotografirali (sl.3) . Uporabili smo fi lm ORWO NP1 5 z občutlj ivost jo 15 DI N. Ob f o tografiranju s mo na ob- jektiv teleskopa nataknili zas lonko s premerom 40 mm , čas osve- tlitve pa smo naravnali na ti sočinko sekunde. Slika So nca na fi l- mu j e merila' 24 mm v p remeru. F i lm smo r azvili v po z i tivnem r az - vijalcu FR4, da s mo dobili čim večje kontras te . Prehod je t r aj al do približno 14. 15. Ugo t o vil i s mo , d a se je 1 ) Te daj se izo blikoval nekak- 16m Sls . Fo t og r a f i j e Me r k u r j e ve g a p r ehoda . * (a) ob 9 .55 (b) o b 11. 25 (c) ob 12.3 6 (d) ob 14 .0 6 ob 14 h 15 m 22 s • S1. 3Prehod Ne rkur j a . Prvič smo narisali l e go Mer k u r ja ob 10 .15 , zadnjič, tik preden se j e planet d o t ak n i l za- hodne ga roba Sonca pa o b 14 .15 . S1. 2 Merkur dotaknil notranj ega roba Sonca j e med Merku r jevo p lošč i co in Sončevim r o bom šen mos tiček . Zadn j i stik s mo opazili o b 14 h *Slika Mer k u r j a je retuširana . Za astronomski krožek I .gimn. v Ljubljani Marko S t a r i č 135 NALOGE-TEKMOVAN.JA~'--------- - TEKr'10VANJE SLOVENSKI H SREDNJEŠOLCEV V KOPRU 7.4.1973 Kot vs ako leto, je tudi letos Društvo matematikov, fizikov in a stronomov SR Slovenije organiziralo r epubliško tekmovanje srednješolcev v matematiki, tokrat na koprski gimnaziji . Zato smo na~rosili njenega direktorja tov. Marušiča za sodelovanje, za pokroviteljstvo pa inštitut Tomos. Direktor ing. Štokin je pravilno razumel našo p r o sn j o in nam obljubil vso pomoč. Vsak od udeležencev je dobil od inštituta v spomin knjigo O.Sajovic: No rm a l n a aksonometrija s posvetilom. Vsi so bili po tekmovanju povabljeni na kosilo, tisti udeleženci pa, ki so prespali v Kopru, so si pred tekmovanjem pod vodstvom tovarniških sodelav- cev ogledali tovarno. Inštitut je sodeloval tudi pri nagradah in je trem prvonagrajencem (drugošolcu, tretješolcu in četrto­ šolcu) poklonil ure v spomin. Ob otvoritvi tekmovanja so se zbrali v avli gimnazije vsi tekmovalci, člani komisije s pred- se6nikom dr. I.Vi davom, spremljevalci dijakov in zastopniki ti- ska, radia in televizije. Navzoče je na kratko pozdravil direk- tor gimnazije, nato pa še zastopnik inštituta Tomos ing.Pečarič Oba sta zaželela mladim tekmovalcem čim več uspeha pri delu. 'I'ekmovalci so nato odšli v razrede, kjer so jim člani komisije razdelili raz~nožene naloge, ki so jih prejšnji dan na seji iz- brali za posamezne razrede. Vsak tekmovalec je moral rešiti 5 nalog, od katerih je vsaka rešena veljala 5 točk. Za posmezne razre de so bile naslednje naloge: V desetlitrski posodi je deset litrov mleka. Imamo še dve prazni posodi - eno za sedem litrov, drugo pa za tri litre. Ka- ko je treba pretakati mleko, da bomo dobili v desetlitrski in sedemlitrski posodi po pet litrov mleka? 136 Vladimir Batagelj l. razred 2. razred 1 ) I mamo 100 kock, od katerih jih ima 80 v saj eno rumeno me jno ploskev, 7 5 v s a j eno rdečo i n 85 vsaj eno zeleno. Koliko j e najman jše število kock, ki imajo hkrati mejne ploskve vseh treh barv? 2) Poišči vsa naravna števila x , y, z, za katere je izraz n = lix + l / y + liz naravno števi l o? 3) Janez je 7 ~ ap r ila 1973 star toliko l e t , kol ikor j e vsota cifer v letnici njegovega rojstva. Koliko je star? 4 ) Če n a r išeš v polj ubnem tri- ko t n i ku ABC premico skozi oglišče in razpolovišče na- sprotne stranice, sta pra- vokotnici i z drugih dveh oglišč t r i k o t n i k a na to pre- mi co enako dolgi. Dok až i ! 1) Produk t treh zaporednih n a - ravnih š tevi l povečamo za s r e d nj e in dobimo število med 30 00 in 4000. Katera so ta števi l a ? 2) Ko l i k š no je razmerje me d vso- to kvadratov s trani c t rikot- nika in vsoto kvadrat ov nje- govih težiščnic? Izvedi for- mulo za dolžino težiščnice ! 3) Opazovalec s e g iblje enako~ mer no po p r emi c i s hitrostJo v mimo točke C. V tren~tku , tl izmeri kot a l.med sm~rJovg7­ banja in smerJo prot~ tock~ C. V trenutku t 2 ponovi me-ri tev ter izmer~ kot a 2 • Kda j se opazovalec naj50lj približa točki C in ko liko je tedaj od nje oddal jen ? 4) Po išči vse celoštevilčne r ešitve enačbe x 2 + 7 3 = y 2 5) Razpo lovi šč aE , F , G stranic AB, BC~n CD konveksnega če ­ tverokotnika ABCD določajo trikotnik s ploščino p . Ko- lika je plošč ina četverokot­ nika ABCD ? 1 ) Doka ž i neenakost : a 2+b 2+a 2+d2 +e 2 ~ a( b+a+d+e ) , p r i čemer so a , b, a , d , e poljubna realna š t evi l a ! 2) I zrazi kot produkt naslednji izraz : a) S = sina + sinB + siny - - sin (a + B + y) b) Iz dobljenega izraza po- kaži, d a velja: sinA + s inB + sinC = 4 • co s (A / 2 ) . co s ( B /2) . ·cos (C/2), če so A , B , C kot i trikotnika ! c) Pokaži, d a je v trikotni- ku, za katerega v e l j a sin(3A ) '+ sin (3B) + + sin(3 C) = O vsaj en kot enak 60 0 - 5) Nač rtaj trikotnik s podatki: e , y . ta ! B B c F A A 137 3) Izračunaj brez tabel: 3) (2'cos400 - cos200)/(sin200) 4) Določi a , tako da bo polinom p (x) = n - n-l 1x ax + ax - deljiv s polinomom q (x) = (x-l) 2 4 ) 5) Naj bodo xl' x 2' x j' x 4 ta- ka števila, da vel a: a) xl + x 2 + .x 3 + x 4 = .0 , b) 3 3 3 3 Oxl + x 2 + x 3 + x 4 = Pokaži, da sta med njimi vsaj dve števili z vsoto O 4 . razred 1) Naj bo zaporedje P = {a } oblikovano tako,da je a~=O in a n+l = (a~ +b)/2, kjer je O < b ~ 1 • Dokaži, da je to zaporedje konvergentno in i- zračunaj njegovo limito ! n n2) Izračunaj vsoto Z (k)cos(kx)! k=O (NavodiI0: Uporabi Moivreov izrek in binomsko formulo!) Stranice kvadrata razdelimo na 2n enakih delov (vsako stranico posebej). Tako dob- ljene točke, oglišča in sre- dišče kvadrata določajo mno- žico M (8n+l točk). Koliko premic določajo točke iz M? Naj bo x 3_px 2+qx_ r = O. Dokaži, da oblikujejo kore- ni enačbe geometrijsko zapo- redje natanko tedaj, ko je 3 3 q = p r 5) Vodni kanal širine a se ste- ka pravokotno v kanal širine b. Kako dolga palica lahko še priplava iz enega v drugi kanal ? Po dveh urah in pol so morali tekmovalci oddati svoje izdel- ke. Na hodniku jih je čakala malica, dar gostitelja. Člani ko- misije in njihovi pomočniki (študentje matematike in nekateri spremljevalci - profesorji) so se nato lotili popravljanja na- log. To zahtevno .delo so dokaj hitro opravili, medtem pa so do- mači dijaki, člani tehničnega krožka, napisali še diplome . Z , majhno zamudo smo se ob 17 .uri spet zbrali v avli, kjer je dr. I .Vidav spregovoril zbranim tekmovalcem in razglasil rezulta- te. Nekaj prisrčnih in vzpodbudnih besed je našel tudi za ti- ste, ki jim tokrat ni uspelo tako, kot so pričakovali. Potem je nagrajencem razdelil nagrade in nekaterim pohvale . 138 Tekmovanja se je o d 180 p r i j avl j e n i h dijakov udeležilo 167 d i j akov s 25 srednjih šol (od 54-ih, ki smo jih imeli na spisku p o v a b l j e n i h ) . Torej je več kot polovica srednješolskih zavodov, k jer se z a t ekmovanje n i p r i j a v i l niti en d i jak. Kje so vzroki za to? Prav gotovo j e e den izmed njih nestrokovna zasedenost .po- uka matematik e, torej s plošno pomanjkanje učnega kadra. Na mno- g i h srednjih š o l a h uče ma t e ma t i ko honorarni predavatelji, ki se že na svoji matični š o l i toliko utrudijo, da ne morejo posvetiti več časa i n de l a p os ame z nim matematičnim talentom na t e h šolah. Prav zato pa smo z uspešnim delom rr~ogi h tekmovalcev lahko še po- sebej zadovoljni. Ne nava d n o dobro so se letos odrezali prvošolci. Naloge so bi- le primerno te žke . Na jbo l j š i Ale k sander Camle k , dijak ravenske g i mn a z i j e, je dosegel 23 točk. Tekmovalo je 51 prvošolcev, ki so dosegli n a s l e dn ji uspeh : I. razred : p r v a nagrada: Aleksande r Camlek , g imn. Ravne na Koroškem; d r u g a nagrada: Vas ja Vehovar , gimn. Aj dovščina ; Zdenko Buči­ nel , g imn . Novo mes t o ; tretja nagrada : Milan Kranjc , gimn. Ško f j a Loka; Marko Ob l ak , ll.gimn. Ljubljana; Tamar Čefarin , g imn . Novo mes t o ; Irena Hoče­ var, g imn . Poljane , Ljubljana; Pe te r Križan , g i um . M.Z i d a n š k a, Ma r i b o r, p o hv a l a : Majda Dremelj , g imn. Šk o f j a Lo ka ; Edi Kukle e , l. gimn. Ljubljana; Zde nk a Pišek, gimn. Pt u j ; Meta Suhač , l. g i mn. Ljublja- na; J anez Dolenc , g imn. Škof j a Loka; Nada ši rca , girr~. Koper; Majda Be rnik , g imn. Škof j a Loka; Mi rko Brejc, g i mn . Šk o f j a Loka; Erika Merše , g imn. Postojna; Bo j an Vidic, g imn . Aj dovščina; Zvon - ka Pa ngerc , l.g i mn. Ma rib o r; Jo rdan Hrepe vnik, :gimn . Ajdovšč ina; Parinka Križ , g imn. Novo me s t o ; Barbara Mayer , l.gimn. Ljublja- na; Andrej Šubašič, gimn. Mur s k a Sobo t a ; Bojan Rožman, gimn. Mu r- s k a Sobota. Za d r u g i razre d j e do b i l prvo nagrado Matjaž Zor i z l . gimn. v Ljub l j ani, k i je p r avi lno reši l v s e n a l oge (25 točk) . Tekmovalo je 33 d r ugošo lce v, dosegli pa so naslednj e uspehe : 13 9 II. razred: prva n~grada: Matj a ž Zo r , l.gimn. Ljubljana; d r u g a , n a g r a d a : Mark o Šega , l .gimn . Ljubljana; tretja nagrada: Bo gdan Vuk, gimn. Nova Gorica; Ivan Bizjak, g i mn . Velenje; pohvala: I gor Mo ze ti č , l .gimn. Ljubl jana; Ma r j an Perčič, g imn . Postojna; I gor Ozimek , l.girnn. Ljubljana; Damj an a ŽoLnir, gimn . Celje; Martin Simonič, ll.gimn. Ljubljana; Za tretji razred je dosegel 25 možnih točk in prvo nagrado Andrej Vi t e k iz l . gimn. v Ljubljani. Tekmovalo je 48 t r e t j e š ol- cev, ki so do s e g l i naslednje uspehe: p rva nagrada: -And rej Vitek , I.gimn . Ljubljana; tretja nagrada: Andrej R a z drtič , l.gimn. Ljubl jana; p ohva l a: Marjan Tomšič, l.gimn. Ljubljana; Mi r an Kra Lj , I. g im n . Ljubljana; Uroš Mik o š , l.gimn. Ljubljana . V če trtem razredu je bi l najbolj ši Bo r is Lavri č z gimnaz1]e v Kr a n j u , k i je že star tekmovalni a s (25 točk). Tekmovalo je 35 če trtošo l cev , k i so do s e g l i naslednje uspehe: p rva nagrada: Bo r i s Lavri č , gimn . Kranj; tretja nagrada: ZL a tan Maga jn a , gimn. Ko p e r ; MiL an MikLavčič , TSŠ KMRLP Ljubljana; pohvala: Boštjan Hos t nik , l .gimn. Ljubljana; A Leksande r MaL- nič , g imn. Nov a Gorica; I v an Ko de rman , l.gimn. Ljublj ana; Dušan Repovš , l. gimn . Ljubljana; Anton Jagrič , g im n. Celje; Mo j c a Kobe , l. gimn. L jubljana; Bo jan Maga jna , gimn. Pos tojna. Skupno smo torej razdelili 1 7 nagrad (4 prve, 3 druge in ' 10 tretjih) in 31 po hv a l . Od 167 udeležencev je torej skoraj 29 % r ešilo nad 50 % nalog, kar j e za republiško tekmovanje zadovo- lj ~vo, če upoštevamo, da so bile to precej te žke ali vsaj ne- stereotipne naloge iz predelane snovi. Č l ani k oni si je so takoj do loči l i tudi e kipo, ki je zas topala našo ' r epubliko na zveznem tekmovanju. Letos smo prvič poslali n a to tekmovanje tudi prvošolce in sicer: A Lek s andra CamLek iz Raven na Koroškem, Va sjo Ve h o v a r iz Ajdovščine in Zd e n k Q Buč i ­ n e L i z Nov ega me s t a. Dr ug i razred so zastopali: Mat ja ž Zo r in Mar ko Šega s l.gim- 140 nazi je v Ljubljani , Bogdan Vuk i z Nove Gorice in Ivan Bizjak iz Ve l e n j a . Tr e t j i razre d je zastopala celotna-ekipa i z I.gimnaz ije v Lj ubl jani: And rej Vitek , Andrej Razdrtič, Marjan Tomšič in Mir an Kr a lj. Za četrti razred pa so b i li določeni : Bori s Lavrič iz Kr an j a , Zla t an Mag ajna iz Kop r a , Milan Miklavčič s TSŠ v Ljubljani, Bošt - j an Hos tn ik s I. gimnazi je v Ljubljani in Aleksande r Malnič iz No - ve Gorice . Bogomil a Kole nko Ne k a j posnetkov s tekmovanja mladih matematikov v Kop r u 141 IV. ZVEZNO TE~~OVANJE MLAD IH MATEMATIKOV OSNOVN IH ŠOL J E BILO 17 . JUN IJA 1 97 3 V BEOGRADU Ob 8.50 s o v uči lnico Prirodoslovno-matematične f a kulte t e v Beogradu v stopi l i učenci-tekmovalci i n nj i ho vi spremljevalci. Točno ob 9 . uri je navzoče po zdravil tov . p r o f. Bog o ljub Marin~ kovic v imenu DMFA J u go s l avij e in j i m zažele l mnogo u s p e h a p r i delu. Vsak tekmovalec je dobi l na svo jem prostoru v zaprti kuver- ti n a l o ge, n ap isane v materinem j e z i ku , in lis t e k za š ifro, p od katero bo i zdele k oddal. Komi s i j a, ' s e stavlj ena iz č lanov DMFA posamez n ih r e publ i k (razen Makedonije), j e d an p red tekmovanjem izbrala izmed n a log, ki jih j e pripravil gostite l j - DMF - Srbi je prof. B.Marinkovic, 5 nalog, upoštevajoč p ri t em s e v e d a že p rede lane naloge na r e p u - b l iških t e kmo vanjih . Č lani komis i je s o bi l i z organizac i jo zelo zadovolj ni, sa j so l e t o s i mel i tekmovalci r eze r vi r a ne penzione za tri dni . Po tekmovanj u, medtem ko j e kom i s i j a ocenjeva la, so se tekmovalci s s v o jimi spremljevalci odpelj a l i na izle t po Beo- gradu. Tudi letos je dobi l prvo nagrado Slovenec Mat jaž Vidmar iz o s novne š o le Hi l o j ke Št r uke l j - Nov a Gor i c a, ki j e e dini do s e ge l vseh 25 možnih točk. Prav tako j e d o b i l l. nagrado za 24 točk t ekmov alec iz Ma j d a npeka - Za košek Zl a tko . Drugo nagrado (23 t.- 22 t.) sta poleg 3 t e kmovalcev iz Sr b i j e in enega i z BiH spet dob i l a dva Slovenca in sicer : Jenčič I gor( 22 t.) i z osn. šole Prež i hov Vo r a n c in Pleško Jane z (22 t. ) i z o s n. šole Majde Vr- hovnik, oba iz Lj ubl j a ne . Pod e ljeni sta b i l i še dve tretj i na- g radi, eno j e dob i l La vti žar Boris ( 21 t .), učenec o s n. šole Pre- žihov Vor a nc iz Ljubljane , eno pa je dob i l učenec mad žarske na- rodnosti i z N. Sada. Učenci, k i so dosegl i 16 t. - 1 8 t. , so bi- li pohvalj e ni (6). Če bi tekmov a l e c Žla jpa h Le on (15 t. ) i z Ce l ja ne b i l preveč pov r š en v p is av i, b i i meli lahko še e nega nagraj e n- c a več . Od sedmih naših tekmo v a l c e v s o se š t i r j e k a r dob ro odre- zali. Vsi tekmovalci so dobili s pomi n s ko knjiž no nagrado. Z uspehom naših tekmovalcev smo lahko kar zadovoljni. Vsako leto namreč narašča števi lo tekmovalcev za zlato Vegovo prizna- nje (lani 211 - l e t o s 268) in tako j e vedno l ažje dobiti tekmo- valce z a zvez no t e kmovan j e . V prihodn je b omo moral i poskr be t i, da s e bodo tud i sedmošo l c i udele ž i li zvezne ga t e kmov an j a. Čim­ pre j naj s e nav adi jo na strog e pogoje tekmovanj , k i prav gotovo vzpodbu j aj o k resne j š e mu delu. na področj u matemati k e . Naloge , k i so jih r e š evali tekmov a lci : l. Vz emi mo dve poljubni naravni š tevi l i. Iz nj une v s o t e, r a- zlike in produkta d o b imo 3 nova š t evi l a. Doka ž i, da j e vs a j eno od teh treh števil del jivo s 3 ! 2. Po zniž anj u cene blaga za 20 % moremo kupi t i za 240 di n 1 m več ko t smo lahko kupi li p red znižan jem z a 270 d i n. Po čem je b i lo bl a - go p red znižanjem? 142 3. V r a v ninskem pravokotnem ko- ordinatnem sistemu XY načr­ t aj pravokotnik A BCD , če so z n a ne koordinate treh ogl i šč: A (- 3, - 1 ) , B (5 ,-1 ), C (5 , 3 l. Določi: a ) koord inati točke D, bl koordinati presečišča da- ljic AC i n BD, c l enačbe pre mi c , na katerih l e že stran i c e i n di agona- li p r avoko t n ika . 4. Osnovnici AB in· CD t r a p e z a ABCD podaljšamo na o be stra- ni. Simetrali zunanjih kotov trapeza pr i A i n D se sečeta v točki M, simetrali zuna- njih kotov pri B in C pa v točki N. Dolo č i obseg trape - za ABCD, če j e MN = 2k . 5 . Vrh pokončnega stožca leži v središču osnovne p l o s kve po- končnega v a l j a , osnovna p l o- skev tega s t o ž c a pa j e kon- centrična z d r ugo osnovno ploskvijo valja. Polmer os- novne ploskve valja je r, vi- š i n a pa h. Vo lumn a stožca in valja sta e na k a. a) Kolik je polmer osnovne ploskve stožca (izraženo z z- ) ? b ) Kolik j e volumen tistega dela valja, ki je v notra- njosti stožca (izraženo z r i n h ) ? BogomiZa KoZenko Hitro rešite! ZLATO VEGOVO PRIZNANJE Zlato Vegovo priznanje, ki ga dobe za uspešno sodelovanje na republiškem tekmovanju učenci osemletnih šol v Sloveniji. \1 Orul •.., .....'"""'hk"".f~1I.m, pr. .. ,," " ' M n jo i . matem. " •• dJut~""pOIill~n; m , "<>p,,"" m, irob"""',.... ,<>p" podotI,... . nju l"pend·i ;n dr"" obI,k l"""'Ot'u ioI ... 1" "'""_.. ,."""".... "' . .... . I• ••"n" ' l. Tovorni vagon je uolg 10 ffi . Koliko je dolg vlak, če ga sestavlja 20 enakih vago- nov in je ffie d s e b o j n a raz- ualja 1 m? 2. Kocko 1 m3 razdelimo na ko- ckice po 1 rr~3. Kako dolga je vrsta, če postavimo ko- ckice drugo poleg druge? 3. Koliko desetic dobimo, če 4 desetice pomnoži~o s 3 deseticami? 4. Kaj je večje, vsota vseh števil od 1, 2, 3, ..• 9, O ali njihov produkt? 5. Za knjigo si plačal 20 din in 1/3 cene. Kolika je ce- na knjige? 6. Kolika je vsota vseh par- nih števil od 1 do 100? (Spomni se Gaussa!) Pav l:e Zajc 143 ODA KVADRATNI ENAČBI Z BALADNI!l PR I OKUSOM Kd o r s kvadrat no se e načbo skuša, tole peseM naj posluša ! Lepa je enačba ax 2 + bx + C = O znanka . a , b, c poznamo, x neznank a . O, algebra ljuba mamk a , b r ž z rešitvijo postrezi i n razčleni, kdaj korena sta e naka, kd a j realna, spet kompleksna; b rž z r e šitvijo postrezi, o, a l ge b r a ljuba Mamka l I n reš itev je ž e znana x = ( - b ± 1"5)/ (2a ) , a v n je j D di skr~minanta v s a r e š i t v i je predana. Z ničlo D s e neizpro s no v bo j j una ški b r e z p redsodka vrže n adv s e p o no s no ! In se skušata izrodka , kdo močnejši je , kdo večj i! V začetku boja sta enak a D = O Re š i t ev x = - b / ( 2a ) tam sameva! Ve ndar , g l e j g a s paka! D uspeva ; D > O In rešitev k ar razpade kakor Pe g am na dva ko s a , ko ga Lambergar napade . Tu korena sta r ealna , nebogljena , s amo s v o j a in vsa tu ja . O, usoda , t i si kalna ! 144 • y=O x.. Glej! !?? ! Bo j ni končan! D omagu je! D O Ko r e n a vedno bolj sta skupaj, za hip sta eno • •• D : O je res že vse zgubl jeno? Ni ko l i , človek , ne .o bup a j ! Ko nič (O) je razuzdana di skr im i n a nto p otept a l a D < O iz R oba korenč' zletela sta zravnana. O, kaos , komp l e k sna ti r a v n i n a ! V nje j mi r svoj prepotrebni korena bosta žila . Obd a j a sinja j u mod r i na . Ta k o sta kon jugiranost do b i l a , popolnost , d a le ma l o takih, ju loč i premica realna n i ko l i več ne bo s t a se združila . In kaj zdaj to? Je splo h mogoče !? Enačba joče! a sabotira, a - O enačba umi ra a s e izniči , a = O i n jo zmaliči . . . Prelepa ti kvadratna enačbica preudarna , usod a j e zavratna . Odslej boš linearna bx + c = O Tomaž Pisans ki 145 ASTRONOMIJA OSEVERNICI Marijan Prosen Saj poznaš Severnico, zvezdo, po kateri se lahko orientiraš ponoči. Leži v ozvezdju Ma l e g a medveda v neposredni bližini se- vernega nebesnega pola, zato ji rečemo tudi Rolarnica . Pri nas je vidna v jasnih nočeh (sl.l) l. Skica najpomembnejših ozvezdij, ki so vidna iz naših krajev. Severnice ' med njimi ni težko najti. Označeni so pomladni (a) in poletni (b) trikotnik ter zimski šesterokotnik. Skico u- porabi praktično za iskanje posameznih ozvezdij in zvezd. Pri ogledu zvezdnatega neba naj ti bo izhodišče Veliki voz, ki ga dobro poznaš. 146 Jasnega večera opazuj Severnico in zvezde okrog nje ali us- meri vanje fotoaparat, ki je naravnan na neskončnost in trdno vpet na stojalu! Film z občutljivost jo 25 DIN osvetljuj pri od- prti zaslonki približno eno uro. Slike zvezd zarišejo na filmu koncentrične krožne loke (sl.2). Predstavljajmo si, da se nebo z zvezdami vred vrti okoli osi, ki gre skozi središče dobljenih lokov in Zemljino središče. Severnica je zelo blizu nebesnega pola, kjer ta os 'prebada nebo. Vemo, da je navidezno vrtenje ne- ba posledica resničnega Zemljinega vrtenja. Navidezno vrtenje neba in resnično vrtenje Zemlje potekata okoli iste osi, vendar v nasprotnem smislu. O vrtenju neba se lahko prepričaš tudi po legah Velikega voza (sl.3) .. 2. S fotografskim aparatom ugo- tovljeno navidezno vrtenje neba 3. Veliki voz v različnih legah na nebu Pri potovanju proti severu opazimo Severnico vse više nad obzorjem, pri potovanju proti jugu pa vse niže. S slike 4 lahko razbereš, da je višina Severnice v kakem kraju na severni ze- meljski polobli približno enaka geografski širini kraja. Z daljnogledom, ki ima objektiv s premerom 6 cm ali več, lahko ugotoviš, da je Severnica dvojna zvezda (sl.S). Sestav- ljata jo svetla glavna zvezda A in šibkejša spremljevalka B. Obe zvezdi sta razmaknjeni za kot 18". Ugotovili so, da se glavni zvezdni sij ' ma l e nk o s t no spremin- ja s periodo okoli štiri dni. Takšno nihanje sija je značilno 147 R' lo! \ \ \ \ \ \ \ \ \ z 4 . Višina Severnice v kakeQ kra- ju je približno enaka geo- grafski širini tega kraja. T - _redišče Zemlje, O - opa- zovališče z geografsko širino ~ = ~ OTA, AB - Zemljin ekva- tor, TP - smer proti severne- mu nebesnemu polu, OZ - smer proti zenitu, ON - smer proti severišču, OS - smer proti južišču, NS - horizont - she- ma. Kota ~ NOP' in ~ OTA sta enaka, ker sta kota s pravo- kotnima krakoma. s w 5. Že z daljnogledom z odprtino ma l o več kot 6 cm ugotoviš, da je Severnica dvojna zvezda N za k e l e ~ de . To so zvezde, ki se širijo in krčijo. Pri tem se jim spreminjata temperatura in svetlobni tok, zato tudi sij. Astro- nomi še ne vedo, zakaj pride do takega "dihanja" zvezd . Polmer kefeide v Severnici je približno stokrat večji od polmera Sonca. Zvezda pa oddaja v povprečju tisočkrat večji svetlobni tok kot Sonce. Ker je Severnica oddaljena okoli 400 svetlobnih let, pri- de do nas le bore malo te svetlobe . . 148 -Sonce Luna Severnica ni imela vselej tako imenitne lege na nebu kot sedaj in ji ta lega ni zagoto- vljena za vse čase. Lega Zemlji- ne osi v prostoru ni stalna. Sonce in Luna vplivata na Zem- ljo tako, da opisuje njena os plašč stožca. Majhna dodatna nihanja zanemarimo (sl.6) Ta pojav, značilen za vrtavke, i- menujemo precesija. Zaradi pre- cesije Zemljine osi se premika nebesni pol. V približno 26 ti- soč letih opiše na nebu poln krog (slo 7>*. Okoli leta 2800 pr.n.št. je bila Severnica zve- zda a v Zmaju. Leta 800 pr.n.št. je bil severni nebesni pol bli- zu neke, s prostim očesom vid- ne zvezde v ozvezdju Žirafe. + 123°27' P . --'---../ -------1 1 . -------_ II .: +. -.-)-- -- \ ---- ---- /\ . /\ I I \ / \ . I \ I / \ . /\ I /\ . /\ I I \ / \ . \ 6. Precesija Zemljine osi - Zem- lja kot vrtavka Od severnega nebesnega pola je bila tedaj oddaljena okoli 0,50 in so jo verjetno uporabljali severni mo r n a r j i kot zvezdo vod- nico. V tistem času je bila današnja Severnica 7,50 oddaljena od pola. Danes je oddaljena od pola samo okoli 10, leta 2100 pa mu bo najbližje - približno 0,50. V daljni prihodnosti bodo severnice druge zvezde, na primer okrog leta 7500 zvezda a v Kefeju, okoli leta 14000 pa zvezda Vega v Liri. Na severni polobli smo na boljšem kot na južni. Okoli juž- nega nebesnega pola v razdalji 10 0 ni v današnjem času nobene tako svetle zvezde, kot je Severnica. Le poglej kdaj na Severnico ! '1< 7. Premikanje severnega nebesnega pola med zvezdami. (Slika je objavljena na naslovni strani Preseka.) 149 BOLJ ZA ŠALO KOT ZARES KRI P TAR I T M I Pri kriptaritmih zamenjamo znake, ki stojijo namesto cifer, s takimi ciframi, da bodo napisani računi pravilni. Cifra, ki začenja posamezno številko, po navadi ne sme biti O. Poglejmo si za primer , kako rešimo naslednji kriptaritem~ Oč i t no je ~ = l. Za to je tD lahko le O ali l. Ker je je ~ = O. ~: ne more b i t i več enak O; p o t emt akem je ž e ~, in -=: + 1 5 + 1 RI 10 (1 ) (2) Iz enačbe (2) izhaj a 5 9. Zaradi (l), pri s eštevanju a ; + ~ smo š t e l i e no naprej , pa mora veljati e na od možnosti in 10 + -=: RI + ~ + 1 = 10 + -=: (3) (4 ) Zar.lenj amo . , v e načbah (3) in (4) z -=:+ 1 in poiščemo 111< . Iz (3) dobi~o ~ = 9 ; iz (4) pa ~ = 8 . 5 = 9 , zato j e ~ = 8 in velja enačba (4) - pri seštevanju ~ + -=: smo štel i eno naprej aJ + -=: = 10 + .., ( 5) * POŠLJ I VEČ DENARJA - n a jpogo s te jš i stav e k v p i smih iz inter- na t ov , taborj e nj i n v o j ske . V na s lednj ih š tevilkah PRESEKA vam bomo z a s t avi l i š e nek a j takš n i h nalog. 150 Ker je ~ > 2, mora biti tudi aJ + E > 12 (6) Vse cifre, ki so še na voljo , so ma n J s e od 8 . ~eenač b i (6) za- doščata le dvojici (7,6) in (7,5) . Ker j e ~ > E , mora biti ~ = 7 in E = 5 . ~ = 6 ter ~ = 2 . Kr i p t a r i t em i ma enolično določeno rešitev 9 567 + 1 085 10652 Še nekaj kriptaritmov: lo 6 7 x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3. ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2. ? ? ? x ? 2 ? ? 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 . H O x E B L + I R A P VLadimi r Ba tageLj KOLIKO J E 2 x 2? Inženir: vzame logaritmično računalo i n pove 4, natančneje 3,96; Trgovec: če kupujem 3,5, če prodajam pa 4,5; Računalniški strokovnjak: 3,999999998. Fizik: je reda velikosti 10°; Statistik: 4 z verjetnostj o 0 , 95 . Matematik: i ma eno samo realno vrednost; Operacijski raziskovalec: kakšen rezultat želite? VLado Ba t.aq e Lj 151 REŠiTVE NALOG REŠ I TVE NALOG ZVEZNEGA TE~lOVANJA UČENCEV OSEMLETNIH ŠOL -BEOGRAD 1973 l. Vz emimo naravni š t e v i l i m in n . l . Pr edpo s t a v i mo , d a sta o- be naravni š tev i l i d e l ji- v i s 3 . Pote~ lahko za- pišemo : m = 3k in n = 3k'. Tor e j je : m + n 3 (k+k') m - n = 3 (k-k ' ) mn = 9kk ' Vs a tri d ob l jen a š tev i la so de l j iva s 3. 2 . P r e dpo s t avimo , da j e e no od o b eh naravnih š tevi l de l j i vo s 3 . m 3k mn 3k n Pr odukt j e del j iv s 3. 3. Pr e dp o s t avimo , da narav"" ni š tev i l i m i n n nista de l j ivi s 3. Tu obstaja- jo tri mo ž no s t i : a ) Če je m = 3k+l in n = 3k'+1, je njuna raz - lika m - n = 3 (k- k') de- ljiva s 3. 152 b ) Če j~ m = 3k+l in n = 3k ' -1, je njuna v s o - ta m + n = 3 (k+ k') d e - ljiva s 3 . c) Če j e m = 3k - l in n = 3k ' - 1 , j e njuna raz- lika m - n 3 (k - k ') d e - ljiva s 3. 2. a) Na l o g o lahko rešimo s sklepanjem. Pr e d p o cen i tvi jo plač amo za b l a go 2 7 0 d i n . P o 20 % znižanju ce ne stane b l a - g o 54 d i n ma n j , to j e 2 1 6 d i n: Ke r s mo plačali 240 d i n, to j e 2 4 d in več kot bi morali in smo zato dobi li 1 m b l aga več, pome n i , da stane 1m blaga p o pocenitvi 24 d i n . To p a je 80 % p r - votne cene. Pred zni ža- n jem je bilo b lago p o 30 d i n. b) cena b laga mno žin a b l a g a vre dnost b l aga Id in) (ml (d in) pred zni žanjem 270 x 270 x znižanju . 2 4 0 x + l 24 0p o x+ l Pri tvorbi enačbe upoštevamo, d a je cena po znižanju 20 % ma n j š a , torej 80 % cene pred znižanjem. 2 40 x + l 2 70 4 x'S x = 9 270:9 = 30 c) cena b laga množ l.n a blaga v r e d n o st bla g a (din) (m) (din) pred znižanjem x 2 70 270 x p o z n iž a n j u . - x 2 40 2 4 0x 5' ---x-x - "5 Pri tvorbi enačbe upoštevamo, da lahko po znižanju c e n e kupimo 1 ra blaga več kot pred znižanjem. a) Abscisa točke D je enak~ ab- scisi točke A; ker je stra- nica BC vzporedna osi y, je tudi stranica ADlly . Ordina- ta točke D je enaka ordina- 3. d y ~ + 1 x x = 30 ti točke C , ker je stranica CD vzporedna z osjo x . Ko- ordinati točke D sta torej: D (-3, 3). b) Ko o r d i n a t i presečišča diago- nal lahko določimo tako, da poiščemo a bsciso točke F , ki je enako oddal jena od A in B in ordinato točke G, ki je enako oddaljena od B in C. Koordinati presečišča da- ljic AC in BD sta koordina- ti točke E (1, 1). 153 in 1 12. c) Stranica AB l e ž i na p remi - 4. c i Y = -1 (a) Stranica CD l e ži n a premi- c i Y = 3 (c ) Stranica BC l e ži na pre mi c i x = 5 (b ) Stranica AD l e ži n a premi c i x = -3 (d) Enačbi p remi.c , n a katerih leži ta diagona l i AC i n BD do Lo č Lmo tak o , d a koordina- te p o 2 točk (A in C t er B in D), s ko z i kate r i pote - k a ta p remi c i, v stavimo v e- načbi : YI= aX I + b in Y 2 = aa: 2 + b , Reš im o s i ste m e načb i n do - l b imo za p remi co e : a 2' b l . J '.= 2' z a p r e nu co 1a = - 1 , b = 12 . Enačbi p remi c, na kate r i h l e žita di a gonali p r av okot - nika , sta : Y lx + l2 2 Y - ~x + Sime t rali zunanj i h kotov t r a p e z a pri A i n D n am lah- ko p redstavl jat a d iagonali romba, k i ima krak AD za e- no s tranico, dve s tranici pa l e žita na podaljških os- n o vni c t r a p e z a . I z t e g a s le- di, da j e oddaljenost točk e M od p odalj šane osnovni ce tra p e z a e n ak a po l ovici viš i- ne trape za . Vs e te v e l ja t u - di za točko N. Da l j i c a MY je to re j s e s t av- lj ena i z s redn j ice tra p e z a i n i z težiš čni c na h ipote- nuzo v p r avokotnih triko t - n i.l.d.h ADf.1 in BCli. 'l'e ži š čni - ca na h i po tenuzo v p ravo- k otnem t r ikotniku pa je e- n ak a polovici hipote nuz e . Iz t e g a s ledi , d a j e d a l j i - c a MII e n ak a po lovici ob- s e ga tra?eza ABCD. o = 2 .2k , o = 4k . 154 h (1- 13) 3 novi podo0nos t i tr i kotnikov. izrač unW10 na 05 -Vi š i no b l v = va + Vb 1I 1' 2 V 2 Vb = - 3- O, a) X~r i @ata valj in sto ž ec e - nak i v iš ini i n e n ak i pro- stornini , j e o snovna ~lo­ skev s tož ca 3-k r a t večja od osnovne p loskve v a l ja . 5 . ;,1 3 V 2 = -3- V = 1Tr 2 h ( 1 - 2 / 3 ) 9 Janez PZe iJko KOLE:J.'\R TEKt;OVr,NJ ZA VEGOVA PRIZNA NJA V ŠOLSK~~ LETU 197 3/ 7 4 do 15 . n a j a 1974 šolska tekmovanja - aRONASTO VEGOVO PRI ZNANJ E 1 8. rr.a] a 1974 obč i n s k a t ekn ovan j a - SREBRNA VEGOVA P'<1>EPEH!l HAlIbHbIE VPABIIEHHII R1~d . 29. .1,- 2. 6. 197J _"' .'.Jes".".." " " ,., '''1_'' " ~ '.. , i -- slika 1 : ovojni c a z žigom sl i k a ' 2: r az g l edni ca z ž igom Ml ad e b r a l c e našega lista vab imo k sodelovanju š e n a podro- cJ u f i l a t e l i je . V mi s l i h im~.o t i s t e , k i se ž e ukvarjaj o z zbi- ranjem znamk ali pa bodo s t em zabavnim konjičkorn š ele začeli. Naša ž e l j a je, d a n am z a katerokoli znamko, poštno nalepko, spo- mi n s k i ž ig , ovojnico a l i razg lednico , k i j e posvečena kakemu d o - mačemu ali tu j e mu ma t ema t iku , f iziku a l i astronomu in jo i mate v s voji zb i rk i , napišete č imveč , kar o n jem veste a l i ste pre- brali v l iteraturi. Prav t a ko v e l j a ,t o tudi za r azne obletnice i n d ogodk e i z n aših treh str o k. ~ajbo l j še s e s t av k e b orno ob javi- li v Preseku , ilustrira l i pa z us t re z no znamk o a l i ovojnico, k i jo b orno poiskali p r i fi l ate li s tičnem d r uš tvu ali na p ošti. To vabilo ne velja l e z a n a sle dn j o š tevi lko Pr e s e k a , tudi za prihodnje š t e v i l ke bomo v aš i h prisp e vkov ve s e l i . Ci r i L Ve Lkov r h --------- - -------- -------- - -- BISTROVIDEC PREKOP IC UJ11O KVADRAT, PRAVOKOTNI K Vz e mi mo okvir! Va n j d a j mo kvadrat in g a prekop i cuj mo v des no preko oglišča A , ko t ka- ž e s l ika desno . Nari š i mo tir, k i g a opiš e izbran a točka Tr kva d rat a , k o p r ide s p reko- p i c eva n j em v notranjost i okvi - ra kvadrat enkr a t okro g . Na r i - š i tire, ki jih v p rvem okvi r - ju (4x 4) opišet a še točki T2i n T · • Seda j pa v z eQimo ve č ji ok- v i r in v n j e m tako kot p re j · p r e k o p i c u j mo kvadrat. Na d alj uj tir točke Tr na de s ni slik i ! Na r iš i š e t ire, k i jih opi - še t a v tem p r imer u točki T2in T 3 • . Sp r e menimo kvadratni okvir v p ravokotnega i n poskuša jmo na novo . Tokra t prekopi cu jmo pr~vokotnik . Nad a l juj z r isa- ••• Fr a nc Oblak n jem t ira na s liki! Nar i š i š e t ira točk T 2 i n T 3 • Na z ad n j e p rekopi cu jmo kva- d r a t po zunanj i stran i okvira . Spe t na ri ši t ire točk T r ' T2 ~n T 3 • . Po s k usi · še izračunati dol - žine t irov v posamez nih p r im e - rih. Navod i l o : v z emi kar i r an p a - . p i r in si nari ši naj prej kv ad - rat v prvi l e g i. Na to s šes t i - lom počasi napreduj ! Lahko pa s i i zdela š tudi mod e l iz karto na (lesa) , na mes t u točke napravi š l ukn jico za svinčnik . ••• •••