POSPLO
  SITVE STIRLINGOVIH
  STEVIL 1. VRSTE
ALEKS
  ZIGON TANKOSI
  C
Gimnazija Nova Gorica
Math. Subj. Class. (2020): 05A05, 05A10, 05A18, 05A19, 05A20
Re  sitev za klasi  cen permutacijski problem posedanja n ljudi za k okroglih miz po-
dajajo Stirlingova   stevila 1. vrste. V zadnjem stoletju pa so se razvile razne posplo  sitve
teh   stevil, ki posplo  sujejo ta problem in k problemu dodajajo razne omejitve. Posplo  sitve
v grobem delimo na uporabne in teoreti  cne. V   clanku si ogledamo   stiri verjetno najbolj
znane posplo  sitve vse od predzna  cenih do ( l;r)-Stirlingovih   stevil.
GENERALIZATIONS OF THE STIRLING NUMBERS OF THE 1
ST
KIND
The solution for the classical permutation problem of seatingn people aroundk round
tables is given by the Stirling numbers of the 1
st
kind. In the last century, however, vari-
ous generalizations of these numbers have been developed, which generalize this problem
and add various restrictions to the problem. Generalizations are roughly divided into
practical and theoretical. In this article, we look at four of the probably most well-known
generalizations, from the signed to the (l;r)-Stirling numbers.
Uvod
Kombinatorika je obse  zno podro  cje matematike, ki se ukvarja s konstrukcijo,
lastnostmi in   stevilom (praviloma) kon  cnih matemati  cnih struktur. Kom-
binatorika se deli na vsaj 16 podpodro  cij, povezuje pa se   se z vsaj petimi
drugimi podro  cji matematike in tudi  zike. Stirlingova   stevila 1. vrste, ki jih
obravnavamo v tem   clanku, sodijo v pre  stevalno kombinatoriko , ki prou  cuje
na  cine pre  stevanja elementov dane kon  cne mno  zice struktur in lastnosti   ste-
vil, ki jih pri tem dobimo. Zelo zanimive knjige o pre  stevalni kombinatoriki
so [4, 10, 11].
Koliko razli  cnih mo  znosti imamo, da razporedimo n u  cencev okoli ene
okrogle mize? Pri tem   stejemo dve razporeditvi za enaki,   ce ima vsak u  cenec
v obeh razporeditveh istega desnega soseda.
Najprej razporedimo u  cence v ravno vrsto, kar gre na n! na  cinov, nato
jih v dobljenem vrstnem redu posedemo za mizo.
  Ce nastalo razporeditev
zavrtimo za 0 ali 1 ali . . . ali n  1 sede  zev, se desni sosedje ne spremenijo,
torej je tehn razporeditev med seboj enakih.
  Stevilo razli  cnih razporeditev
n u  cencev okoli okrogle mize je torej enako
n!
n
= (n  1)!.
Stirlingova   stevila 1. vrste ta problem posplo  sujejo na ve  cje   stevilo miz.
Lahko jih de niramo na ve  c na  cinov (glej [8, 9]).
132 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
De nicija 1 ([10]). . Stirlingova   stevila 1. vrste, ozna  cimo jih z oglatim
oklepajem
  n
k
  , sc(n;k) ali pa sS
1
(n;k), so   stevila permutacij velikosti n s
k cikli.
Opomba 2. Stirlingova   stevila 1. vrste so med drugim tudi:
• koe cienti v razvoju rasto  cih potenc ( x
n
=
Q
n  1
k=0
(x+k)) po navadnih,
  n
=
n
X
k=0
  n
k
    k
;
• vsote vseh mo  znih produktov n  k elementov iz mno  zice [ n  1].
Slika 1. Gra   cni prikaz primera
  4
2
  . Tukaj liki razli  cnih barv predstavljajo   stevila od 1
do 4. Vir: Wikipedia.
Primer 3. Izra  cunajmo
  4
2
  . Ta zapis predstavlja   stevilo vseh permutacij
velikosti 4 oz. mno  zice [4] z natanko dvema cikloma. Poi  s  cemo permutacije
132–145 133
Aleks Žigon Tankosiˇ c
velikosti 4, ki so produkt natanko dveh ciklov. Obstajajo tri permutacije z
dvema cikloma velikosti 2: (12)(34), (13)(24), (14)(23). Obstaja pa   se osem
permutacij velikosti 4 z dvema cikloma, pri   cemer je prvi cikel velikosti tri,
drugi cikel pa velikosti ena: (124)(3), (142)(3), (134)(2), (143)(2), (234)(1),
(243)(1), (123)(4), (132)(4). Mo  znosti se  stejemo: 8+3 = 11, torej je
  4
2
  =
11 (glej sliko 1).
Oglejmo si   se izra  cun z razvoji potenc in vsotami produktov. Izpi  semo
vse razvoje in dobimo koe ciente, ki so Stirlingova   stevila 1. vrste:
  4
=  (  + 1)(  + 2)(  + 3) =
= (  2
+  )(  2
+ 5  + 6)
=  4
+  3
+ 5  3
+ 5  2
+ 6  2
+ 6    4
=   4
+ 6  3
+ 11  2
+ 6 :
Koe cienti si sledijo v zaporedju 1, 6, 11, 6, 1. Tretji koe cient predstavlja
vrednost
  4
2
  , ker je koe cient pri   2
enak 11, je
  4
2
  = 11.
Po vsotah produktov pa je
  4
2
  = 1  2 + 1  3 + 2  3 = 11. }
Nekaj lastnosti Stirlingovih   stevil 1. vrste
Navedimo   se nekaj lastnosti Stirlingovih   stevil 1. vrste (glej [6, 8, 9]).
  n
k
  = 0;k>n _ k< 0
  n
n
  = 1
  n
1
  = (n  1)!
  n
n  1
  =
  n
2
  134 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
  n
n  2
  =
1
4
(3n  1)
  n
3
    n
n  3
  =
  n
2
   n
4
  n
X
k=0
  n
k
  =n!
  n
0
  =  n;0
Ker je 0
0
= 1 in prav tako tudi x
0
= 1, 0
0
= 1, x
0
= 1, 0
0
= 1 in x
0
= 1,
sledi, da je
  0
0
  = 1:
Znano je, da za Stirlingova   stevila 1. vrste velja rekurzija (glej [6]):
  n
k
  =
  n  1
k  1
  + (n  1)
  n  1
k
  :
Omenimo   se, da Stirlingova   stevila 1. vrste lahko de niramo tudi kot ma-
triko, pri kateri s pomo  cjo dveh stolpcev zapi  semo rasto  ce produkte (glej
[3]).
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 2 3 1 0 0 0 0 0
0 6 11 6 1 0 0 0 0
0 24 50 35 10 1 0 0 0
0 120 273 225 85 15 1 0 0
0 720 1764 1624 753 175 21 1 0
0 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Na  sa prva posplo  sitev Stirlingovih   stevil 1. vrste, ki jo bomo obravnavali,
temelji ravno na inverzih Stirlingovih matrik.
132–145 135
Aleks Žigon Tankosiˇ c
Omenimo   se Stirlingova   stevila 2. vrste, ki so   stevila vseh razdelitev mno-
  zice [ n] nak nepraznih, paroma disjunktnih, neurejenih mno  zic B
1
;B
2
;:::;B
k
,
imenovanih bloki, katerih unija je A. Stirlingova   stevila 2. vrste ozna  cimo z
  n
k
  ali sS(n;k). Stirlingova   stevila 2. vrste imajo pri posplo  sitvah veliko pove-
zav s Stirlingovimi   stevili 1. vrste.
Predzna  cena Stirlingova   stevila 1. vrste
Vrednosti predzna  cenih Stirlingovih   stevil 1. vrste najdemo v inverzni Stir-
lingovi matriki 1. vrste. Znano je, da so nekatere vrednosti negativne [4].
De nicija 4. Predzna  ceno Stirlingovo   stevilo 1. vrste je:
s(n;k) = (  1)
n+k
  n
k
  :
O  citno je, da velja
  n
k
  =js(n;k)j:
Iz Stirlingove matrike 1. vrste s pomo  cjo rasto  cih in padajo  cih potenc izpe-
ljemo inverzno Stirlingovo matriko. Oglejmo si primer:
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 2 3 1 0 0 0 0 0
0 6 11 6 1 0 0 0 0
0 24 50 35 10 1 0 0 0
0 120 273 225 85 15 1 0 0
0 720 1764 1624 753 175 21 1 0
0 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
136 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0   1 1 0 0 0 0 0 0
0 1   3 1 0 0 0 0 0
0   1 7   6 1 0 0 0 0
0 1   15 25   10 1 0 0 0
0   1 31   90 65   15 1 0 0
0 1   63 301   350 140   21 1 0
0   1 127   966 1701   1050 266   28 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
V inverzni Stirlingovi matriki 2. vrste dobimo enake vrednosti kot pri Stir-
lingovi matriki 1. vrste, le da so nekatere vrednosti negativne. Vrednosti pa
so, kot lahko ugotovimo, negativne po diagonalah. Padajo  co potenco, ki se
nahaja v tej matriki, ra  cunamo po formuli: x
n
=
Q
n  1
k=0
(x  k).
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0   1 1 0 0 0 0 0 0
0 2   3 1 0 0 0 0 0
0   6 11   6 1 0 0 0 0
0 24   50 35   10 1 0 0 0
0   120 273   225 85   15 1 0 0
0 720   1764 1624   753 175   21 1 0
0   5040   13068   13132 6769   1960 322   28 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 3 1 0 0 0 0 0
0 1 7 6 1 0 0 0 0
0 1 15 25 10 1 0 0 0
0 1 31 90 65 15 1 0 0
0 1 63 301 350 140 21 1 0
0 1 127 966 1701 1050 266 28 1
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
    2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Dobljena matrika je Stirlingova matrika 2. vrste in v njej najdemo vrednosti
  stevil
  n
k
  . Prvotna matrika pa je matrika predzna  cenih Stirlingovih   stevil
1. vrste. Inverzi dokazujejo povezanost Stirlingovih   stevil obeh vrst.
132–145 137
Aleks Žigon Tankosiˇ c
Primer 5. Za zgled potencirajmo   5
. Po matriki bo
  5
= 0  1 + 1    + 15    2
+ 25    3
+ 10    4
+ 1    5
:
}
Oglejmo si   se inverzno relacijo med razvoji potenc in predzna  cenimi
Stirlingovimi   stevili 1. vrste, ki izhaja iz inverznih Stirlingovih matrik.
Izrek 6 ([8]).
  Ce   zamenjamo z     in namesto Stirlingovega   stevila 1.
vrste vstavimo predzna  ceno Stirlingovo   stevilo 1. vrste, dobimo
  n
=
n
X
k=0
s(n;k)  k
:
Stirlingova   stevila 1. vrste z negativnimi argumenti
Negativna cela   stevila se v Stirlingovem   stevilu lahko nahajajo le, ko sta n
in k negativni   stevili, ali ko je n negativno celo   stevilo, k pa pozitivno celo
  stevilo. V pre  stevalni kombinatoriki nikoli ne uporabimo kombinacije, ko je
n pozitivno celo   stevilo, k pa negativno celo   stevilo. Tukaj bomo spoznali
zelo tesno povezavo med Stirlingovimi   stevili 1. in 2. vrste [1, 7].
  Stevili n in k sta negativni
De nicija 7. Za n;k2Z
  in k  n velja
    k
  n
  =
  n
k
  oziroma
  k
n
  =
    k
  n
  :
S pomo  cjo prej  snje de nicije lahko skonstruiramo tabelo 1 za Stirlingovo
  stevilo 1. vrste, ko sta n in k negativni celi   stevili (glej [1]).
  Stevilon mora biti po absolutni vrednosti manj  se od k,   ce   zelimo dobiti
vrednost ve  cjo od 0.
Primer 8. Izra  cunajmo Stirlingovi   stevili:
    4
  2
  ;
    4
  7
  :
138 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
njk   1   2   3   4   5
  1 1 1 1 1 1
  2 0 1 3 7 15
  3 0 0 1 6 25
  4 0 0 0 1 10
  5 0 0 0 0 1
Tabela 1. Vrednosti Stirlingovih   stevil 1. vrste z negativnimi argumenti za   1   n,
k   5.
Po de niciji je:
    4
  2
  =
  2
4
  ;
    4
  7
  =
  7
4
  :
Dobimo rezultata 0 in 350 (vrednost lahko preberemo iz Stirlingove matrike
2. vrste). }
  Stevilo n je negativno, k pa pozitivno
Oglejmo si rekurzijo, ki sledi iz eksplicitne formule za Stirlingova   stevila 2.
vrste (glej [6]).
Izrek 9 ([1]). Za izra  cun vrednosti pri n 2 Z
  in k 2 N velja naslednja
rekurzivna zveza
    n
k
  =
(  1)
n+1
n!
n
X
i=1
(  1)
i+1
i
k
  n
i
  :
Primer 10. Sedaj pa si oglejmo zgled uporabe rekurzivne zveze. Izra  cu-
najmo
    5
3
  =
1
120
  5  10
2
3
+
10
3
3
  5
4
3
+
1
5
3
  =
1
120
  5  10
8
+
10
27
  5
64
+
1
125
  :
Ko izra  cunamo vrednost izraza, dobimo
874863
25920000
. }
Ko skonstruiramo tabelo 2, se lahko hitro prepri  camo, da za liha nega-
tivna   stevila dobimo pozitivne vrednosti.
Bellovo   stevilo je   stevilo vseh neurejenih razdelitev mno  zice [ n] in je
de nirano z naslednjo vsoto
B(n) =
n
X
k=0
  n
k
  :
132–145 139
Aleks Žigon Tankosiˇ c
njk 0 1 2 3 4
  1 1 1 1 1 1
  2   1
2
1
3
4
  7
8
  15
16
  31
32
  3
1
6
11
36
85
216
575
1296
3661
7776
  4   1
24
  25
288
  415
3456
  5845
41472
  76111
497664
  5
1
120
137
7200
12019
432000
874853
25920000
58067611
1555200000
Tabela 2. Vrednosti Stirlingovih   stevil 1. vrste z negativnimi argumenti za   1  n,k  4.
Ni te  zko opaziti, da po prej  snji ena  cbi velja (glej [1])
 1
X
n=  1
    n
  k
  =B(k)
in
 1
X
n=  1
    n
k
  =B(  k);
kjer jeB(k) Bellovo   stevilo z naravnim   stevilom in B(  k) Bellovo   stevilo z
negativnim celim   stevilom.
  Ce pa je tudi k negativno celo   stevilo, dobimo
 1
X
n=  1
    n
  k
  =B(n):
Primer 11.
 1
X
n=  1
    4
2
  =B(  2)  0;421
}
Zelo zanimivo povezavo s padajo  cimi potencami imajo Stirlingova   stevila
1. vrste, ko je n negativno celo   stevilo in ko je k pozitivno celo   stevilo
(izpeljano po de niciji v [1]): za n  0 je
    n
=
1
X
k=0
    n
k
    k
:
Podobno velja tudi trditev, ko sta n ink negativni celi   stevili (izpeljano po
de niciji v [1]): za n  0 je
    n
=
1
X
k=0
    n
  k
      k
:
140 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
r-Stirlingova   stevila 1. vrste
Broder je leta 1982 vpeljal r-Stirlingova   stevila obeh vrst [2].
De nicija 12. r-Stirlingova   stevila 1. vrste so   stevila permutacij mno  zice [ n]
s k cikli tako, da so   stevila 1 ; 2; 3;:::;r v razli  cnih ciklih. Ozna  cimo jih z
  n
k
  r
:
Primer 13. Izra  cunajmo
  4
2
  2
. Zanima nas, koliko permutacij mno  zice [4]
ima natanko 2 cikla, tako da   stevili 1 in 2 nista v istem ciklu. Mo  znosti je 6,
saj so mo  zni cikli (134)(2), (143)(2), (243)(1), (234)(1), (13)(24), (14)(23).
Za gra   cni prikaz glej sliko 2.
Oglejmo si   se primer uporabe de nicije iz vsakdanjika. Recimo, da so
v u  cilnici 4 u  cenci. Na koliko razli  cnih na  cinov jih lahko posedemo okrog
dveh okroglih miz,   ce u  cenec 1 ne sme sedeti za isto mizo kot u  cenec 2?
Re  sitev je dano r-Stirlingovo   stevilo 1. vrste
  4
2
  2
. Hitro se lahko pre-
pri  camo, da lahko to storimo na 6 na  cinov. }
Trditev 14 ([2]). Vrednosti 0-Stirlingovih in 1-Stirlingovih   stevil 1. vrste so
enake vrednostim Stirlingovih   stevil 1. vrste: za n> 0 velja
  n
k
  0
=
  n
k
  ;
  n
k
  1
=
  n
k
  :
Izrek 15 ([2]). Za r-Stirlingova   stevila 1. vrste velja trikotni  ska rekurzija:
  n
k
  r
= 0; za n<r;
  n
k
  r
=  kr
; za n =r;
  n
k
  r
= (n  1)
  n  1
k
  r
+
  n  1
k  1
  r
; za n>r:
Izrek 16 ([2]). Za n  r> 1 velja
  n
k
  r
=
1
r  1
 
  n
k  1
  r  1
    n
k  1
  r
!
:
132–145 141
Aleks Žigon Tankosiˇ c
Slika 2. Gra   cni prikaz primera
  4
2
  2
.
Dokaz. Ekvivalenten zapis je:
(r  1)
  n
k
  r
=
  n
k  1
  r  1
    n
k  1
  r
:
Desna stran   steje   stevilo permutacij s k  1 cikli, pri katerih so   stevila
1;:::;r  1 nosilci ciklov (tj. najmanj  si elementi ciklov), medtem ko   stevilo
r ni nosilec cikla. Mo  znosti je potemtakem
(r  1)
  n
k
  r
;
saj lahko take permutacije pridobimo nar  1 na  cinov iz permutacij s k cikli,
kjer so   stevila 1 ;:::;r nosilci ciklov, z dodajanjem tistega cikla, ki vsebuje
  stevilo r, na konec nekega cikla z manj  sim nosilcem.   S pomo  cjo prej  snjih rekurzij in lastnosti lahko skonstruiramo tabele vre-
dnosti za r-Stirlingova   stevila 1. vrste (glej tabeli 3 in 4). S pomo  cjo prej-
  snjih trditev pa lahko poka  zemo, da so vrednosti pri r = 0 oz. r = 1 enake
vrednostim Stirlingovih   stevil 1. vrste.
142 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
njk 2 3 4 5 6 7
2 1 0 0 0 0 0
3 2 1 0 0 0 0
4 6 5 1 0 0 0
5 24 26 9 1 0 0
6 120 154 71 14 1 0
7 720 1044 570 155 20 1
Tabela 3. Vrednosti 2-Stirlingovih   stevil 1. vrste za 2   n, k  7.
njk 3 4 5 6 7 8
3 1 0 0 0 0 0
4 3 1 0 0 0 0
5 12 7 1 0 0 0
6 60 47 12 1 0 0
7 360 342 119 18 1 0
8 2520 2754 1175 245 25 1
Tabela 4. Vrednosti 3-Stirlingovih   stevil 1. vrste za 3   n, k  8.
(l;r)-Stirlingova   stevila 1. vrste
Leta 2021 sta Belbachir in Djemmada [5] de nirala ( l;r)-Stirlingova   ste-
vila 1. vrste in predstavila njihovo kombinatori  cno interpretacijo. Analogno
de nicijo ( l;r)-Lahovih   stevil najdemo v [12].
Preden ta   stevila de niramo, omenimo   se mno  zico nosilcev ciklov. Naj
bo   permutacija mno  zice [ n] z natanko k cikli c
1
;c
2
;:::;c
k
. Mno  zico no-
silcev ciklov ozna  cimo s cl(   ) in je mno  zica najmanj  sih elementov ciklov te
permutacije:
cl(  ) =fminc
1
; minc
2
;:::; minc
k
g
De nicija 17. (l;r)-Stirlingova   stevila 1. vrste
  n
k
  (l)
r
  stejejo   stevilo kon  cnih
urejenih naborovl permutacij (  1
;  2
;:::;  l
) mno  zice [ n] z natankok cikli,
kjer so   stevila 1 ; 2;:::;r nosilci ciklov in velja
cl(  1
) = cl(  2
) =    = cl(  l
):
O  citno je, da velja:
  n
k
  (l)
r
= 0 za n<r in
  n
k
  (l)
r
=  k;r
za n =r.
132–145 143
Aleks Žigon Tankosiˇ c
Izrek 18 ([5]). Za n>r velja
  n
k
  (l)
r
= (n  1)
l
  n  1
k
  (l)
r
+
  n  1
k  1
  (l)
r
:
Dokaz. Naborl permutacij mno  zice [ n] pod pogojem, da so   stevila 1 ; 2;:::;r
nosilci ciklov, lahko dobimo:
• z vstavljanjem n-tega elementa za vsak element v vsaki permutaciji
nabora (  1
;:::;  l
) permutacij mno  zice [ n  1] z natanko k cikli, pri
katerih so   stevila 1 ; 2;:::;r prvi elementi v razli  cnih ciklih in za katere
velja cl(  1
) = cl(  2
) =    = cl(  l
), za kar je (n  1)
l
  n  1
k
  (l)
r
mo  znosti;
• tako, dan-ti element tvori cikel v vsaki od permutacij nabora (  1
;:::;  l
),
preostalih [n  1] elementov pa mora biti razporejenih v (k  1) ciklih
pod prej  snjimi pogoji, za kar obstaja
  n  1
k  1
  (l)
r
mo  znosti.   Izrek 19 ([5]). Za n  r> 1 velja
  n
k
  (l)
r
=
1
(r  1)
l
 
  n
k  1
  (l)
r  1
    n
k  1
  (l)
r
!
:
Dokaz. Pre  stejmo   stevilo naborov permutacij (   1
;:::;  l
) mno  zice [ n] z na-
tanko (k  1) cikli, pri katerih so   stevila 1 ; 2;:::;r  1 nosilci cikla,   stevilo
r pa ni, za katere velja pogoj cl(  1
) = cl(  2
) =    = cl(  l
). Mo  znosti lahko
pre  stejemo na dva na  cina.
• Pre  stejemo nabore permutacij (   1
;:::;  l
) mno  zice [ n] s (k  1) cikli, pri
katerih so   stevila 1 ; 2;:::;r  1 nosilci cikla in od teh od  stejemo nabore
permutacij, pri katerih je r nosilec cikla. Tako dobimo:
  n
k  1
  (l)
r  1
    n
k  1
  (l)
r
:
• Lahko pa pre  stejemo nabore permutacij (   1
;:::;  l
) mno  zice [ n] s k
cikli, pri katerih so   stevila 1 ; 2;:::;r nosilci cikla, kjer nato dodamo
144 Obzornik mat. ﬁz.70 (2023) 4
Posplošitve Stirlingovih števil 1. vrste
cikel z nosilcem r na konec nekega cikla z manj  sim nosilcem. Za to
imamo (r  1) mo  znosti v vsaki permutaciji. Tako dobimo:
(r  1)
l
  n
k
  (l)
r
:   Posledica 20 ([5]). Za n  r in k =r velja
  n
r
  (l)
r
= (r
n  r
)
l
:
Zahvala
Najlep  sa hvala prof. dr. Marku Petkov  sku za neprecenjive nasvete in pod-
poro. Najlep  sa hvala mojim star  sem za podporo in spodbude. Najlep  sa
hvala prof. dr. Matja  zu Konvalinki za nasvet pri urejanju   clanka. Najlep  sa
hvala tudi anonimni recenzentki za natan  cen pregled in nasvete.
LITERATURA
[1] D. Branson, An extension of Stirling numbers, Fibonacci Quart. 34 (1996), 213{223.
[2] A. Z. Broder, The r-Stirling numbers, Discrete Math. 49 (1984), 241{259.
[3] G.-S. Cheon in J.-S. Kim, Stirling matrix via Pascal matrix, Linear Algebra Appl.
329 (2001), 49{59.
[4]
  O. E  gecio  glu in A. M. Garsia, Lessons in enumerative combinatorics, Grad. Texts
in Math. 290, Springer, Cham, 2021.
[5] H. Belbachir in Y. Djemmada, The (l;r)-Stirling numbers: a combinatorial appro-
ach, Filomat 37 (2023), 2587{2591.
[6] M. Konvalinka in P. Poto  cnik, Diskretna matematika I, U  cbeniki { matematika 1,
Fakulteta za matematiko in  ziko UL, Ljubljana, 2019.
[7] D. E. Loeb, A generalization of the Stirling numbers, Discrete Math. 103 (1992),
259{269.
[8] M. Petkov  sek in T. Pisanski, Combinatorial interpretation of unsigned Stirling and
Lah numbers, Pi Mu Epsilon J. 12 (2007), 417{424.
[9] M. Petkov  sek in T. Pisanski, The Lah identity and the Argonauts, Pi Mu Epsilon
J. 11 (2002), 385{386.
[10] R. P. Stanley, Enumerative combinatorics. Vol. 2, Cambridge Stud. Adv. Math. 62,
Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
[11] H. S. Wilf, generatingfunctionology, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2006.
[12] A.
  Zigon Tankosi  c, The (l;r)-Lah Numbers, J. Integer Seq. 26 (2023), Art. 23.2.6,
16 str.
132–145 145