i
i
“1252-Domajnko-Penrose” — 2010/7/22 — 13:16 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 23 (1995/1996)
Številka 1
Strani 12–19
Vilko Domajnko:
PENROSE – ESCHER – REUTESWÄRD
Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, geometrija, zgodovina mate-
matike, trodimenzionalni prostor, nemogoči predmeti, Penrosov tri-
kotnik.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1252-Domajnko.pdf
c© 1995 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PENROSE
Zapeljevanje
Zanim ivost i - Razvedrilo
ESCHER - REUTESWARD
Nizozemskega grafika M. C . Esch era (1898 - 1972) smo v Preseku že
sp oznali . Nobena skri vnost ni , da se j e Escher pr i svojem umetn iškem delu
v veliki meri ukvarjal s probl em i, ki so ponavadi bližje m a tem at ikom kakor
pa lj udern iz um etnišk ih krogov . Pri tem pa j e Escher sam zmeraj dos ledno
zanikal kak ršn okoli tesnejšo poveza nost z matematično znanostjo .
Tako je precej svoje pozorn osti na menil t udi št udij u lastn ost i trodi-
m enzionalnega pr ostora in obj ektov v njem . V svoj ih zapisih za pr ed ava-
nj a iz let a 1964 je Escher o tej tem i med dru gim t udi takole razmi šlj al :
"Včas ih se mi zdi , da smo ljudje kar p reveč obrem enjeni z neko notr anj o
težnjo pri t i kar se le da blizu nemogočemu in vsem nj egovim skrivnostim.
Kakor da bi se nam real nost okoli nas , ves ta trodimenzion alni sve t , ki
nas ob daj a, zdela p reveč navadna , preveč dolgočasna in vsa kdanja. Hre-
penimo po nadnar av nem ali celo sup ernarav nem , po tem , kar ne obstaj a,
to rej po čudežu .
Kak or da bi ta vsakodnevna realnost ne bi la že sama po sebi dovolj
zagonetna.
Saj se prav vsak emu izm ed nas lahko pri peti , da kd aj povsem ne-
p r i čakovano uj a me trenutek , v ka terem se sreča z impulzi, ki izvi rajo iz
same srži vsakdanjega življenja in realnosti. V mislih im am t renu tek , ko
postanemo ob č u tlj i v i tu di za nerazložlj ivo , t udi za čudesa okoli nas. G re
pr eprosto za nekak čudež t ega trodime nzionalnega prost or a , v ka terem
živimo in skozi katerega se premikamo skor ajda povsem ru tinsko; včasih
se nam namreč prostor sam po sebi raz krije na zares osup ljiv način .
Večkrat se m i j e na m ojih do lgih sa motnih sp reho dih skozi goz d okoli
Baarna pr imer ilo , da j e kar nenadoma izginil a tišina okrog mene. In ves
navdušen sem obstal, takorekoč iz oči v oč i s povsem nerealn im in neo-
braz ložlj ivim. Tedaj sem nata nko začuti l , kako zagonetna j e pravzaprav
ta razdalj a m ed menoj in , recim o, drevesi okoli mene in kolik o presene-
t ljivega skriva v sebi prostor, v katerem stoj im.
Prostor a preprosto ne poz namo . Ne moremo ga vid et i, ne morem o ga
slišati, niti občutiti . Stoji mo sred i njega , smo celo del tega prostora, pa
o njem samem vend arle ni česar ne vem o. Seveda lah ko, recim o, izm eri m
razdalj o m ed sebo j in bližnjim drevesom. Tod a ko rečem : "Trije met ri ,"
m i to število z ničemer ne razkrij e skriv nostnosti prost ora. V prostoru
lahko vidimo zgolj m eje in obrise, pros tora sa mega po sebi pa žal ne."
IZanimivosti - Razvedrilo
Peru-ose
Leta 1958 je znameni ti angleški fizik , astronom in matematik Roger
Penrose (roj . 1932) obj avil skupaj s svojim očetom v reviji British Yournal
of Psy chology članek, v katerem je pr edstavil nekaj t.i . nemogočih pred-
m et ov. Na sliki 1 vidimo le enega izm ed njih . Poslej ga bomo imenovali
kar Penro so v trikotnik, čeprav bi bilo morebiti natančnej še poimenovanj e
zanj Pen roso v nemogo či model trikotn ika .
..P
Slika 1.
Penrosov trikotnik je tr odimenzionalna konstrukcija , ki j e vsaj navi-
dez sestavljena iz treh kvadrastih tr am ov. Vendar pa se nam že samo ob
pogledu nanj , torej brez kakšnih dodatnih poj asnil , zazdi , da tak predmet
v resnici najbrž sp loh ne obs taj a . Seveda se lahko eksistenci tega pr ed-
meta postavimo po robu t udi s povsem resn imi , matematično zasnovanimi
argumenti . Oglejmo si jih nekaj :
1) Očitno j e, da leži tram C (glej risbo) vodoravno in da se nam tram A
približuj e, tr am B pa odda lj uje, če ju spremlj amo od njunega stika s
C pr oti drugemu kon cu . Povsem nemogoče j e torej, da bi se t ra mova
A in B spl oh kdajkoli staknila , kakor prikazuj e risb a .
14 Zanimivosti - Razvedrilo I
2) Konstrukcijo si lahko zamislimo v dvodimenzionalnem prostoru kot
model trikotnika, čigar stranice ponazarjajo tramovi A, B in C. Na
risbi lahko lepo opazimo, da stojijo tramovi med seboj pravokotno .
To pomeni, da bi bila vsota notranjih kotov tega trikotnika 2700 •
Seveda vemo, da kaj takega ni mogoče.
3) V tretje pa se oprirno na znanje stereometrije . Zamislimo si, da je na
vsaki izmed stranskih ploskev tramov, ki jih označujejo na sliki naj-
svetlejša ploskev (B) , nekoliko temnejša ploskev (A) in naj temnejša
ploskev (C'), položene ravnine. Na ploskvi B naj bo to ravnina L;B, na
ploskvi A naj leži ravnina L;A, na ploskvi C' pa ravnina L;c . Premice,
v katerih se sečeta po dve ravnini, označimo takole:
Z risbe se da lepo razbrati, da so ravnine L;A, L;B in L;c paroma
nevzporedne. Iz teorije vemo, da se tri takšne ravnine sečejo zmeraj
v natanko eni točki . Vendar pa to v primeru ravnin na ploskvah
Penrosovega trikotnika ni res, saj se premice p, q in r sečejo v treh
različnih točkah. Obstoj tega predmeta bi nas torej znova privedel
do logičnega protislovja.
Escher
V času, ko je bil objavljen
Penrosov članek, se je Escher
tudi že sam ukvarjal z risanjem
nemogočih predmetov. Tako je
imel tedaj za seboj že J(oeko z
magičnimi trakovi, 1957 (slika 2).
In prav Penrosovi nemogočipred-
meti so Escherju pomenili pre -
cejšnjo pomoč in vzpodbudo pri
nadaljevanju tovrstnih raziskav .
Tako je po branju že omenjenega
Penrosovega članka v kratkem
izdelal še tri litografije (slike 3,
4, 5). Slika 2. Kocka z magičnim trakom
IZanimivosti - Razucdrilo
Slika 3 B 1. eved ere (19 58)
Zanimivosti - Ra zvedrilo I
Slika 4. P o stopnica h n a vzgor in n a vzdol (1 960 )
S S lapom se bomo sedaj poskušali seznaniti nekoliko podrobneje. Že
ob pogledu nanj zaslutimo , da verj etno pon azarj a problem , ki j e v osnovi
zelo soroden s tistim , ki ga gledalcu ponuja Penrosov trikotnik. Zn ano j e,
da j e Escher v izd elavo te gr afike vložil ogrom no truda . Pred nj o j e izd elal
dolgo vrst o risb s samimi nemogočimi predmeti . In naposled mu j e v
končni verziji uspelo nekaj zares izjemnega . Poleg tega, da j e skonstruiral
IZanimivosti - Razvedrilo
Slika 5. Slap (1961)
objekt, ki je v realnem nemogoč že iz povs em geometrijskih razlogov, je
njegovo zagonetnost podkrepil še s fizikaln ega vidika. Ker teče voda na
risbi po kanalih navzgor "kar sama od seb e" in ker je ta njen tok očitno
večen, je Escherju hkrati uspelo skonstruirati tudi svojevrsten perpetuum
mobile (večno gibalo) . Znano pa je, da je obstoj takšnega predmeta (sis-
tema) v hudem nasprotju z nekaterimi osnovnimi fizikalnimi zakoni.
Zan im ivosti - Razvedrilo I
Na vrhu vsakega izm ed obeh stolpovopaz imo še dod atno za nim ivost.
Gre za dva velika poliedra , ki ju sicer nekoliko redkeje srečuj emo. Levi
pr edstavlj a tri sekajoče se kocke, desni pa par sekajočih se oktaed rov.
Escher je dejal , ko j e komen tiral to svoje delo, da poliedra na tej sliki
nimata nobenega prav posebnega pomena in da ju je narisal pač pr eprosto
zato, ker so ga poliedri zm eraj zanimali in se j e z njimi že od vsega z ačetka
rad ukvarjal.
R euteswdrd
Risba na sliki 6 nam kaže enega izmed več tisoč (!) nemogočih pred-
metov , ki jih j e uspel skons truira ti švedski gra fik Oscar Reu tesward (roj.
1915). Lahko jo razumem o tudi kot pojasnilo k Escherj evemu Slapu. Nje-
gova paje tudi sedaj že kar znamenita nemogoča konstrukcija na sliki 7.
Slika 6 .
Domača naloga
Slika 7.
Za konec si oglej mo še nekaj zanimivih pr obl em ov, ki so povezani s
Penrosovim trikotnikom .
1) Recimo, da bi nam usp elo ses tavit i Penrosov trikotnik iz dvanajstih
kock, kj er im a vsaka izmed njih rob z dolžino 1 drn (slika 8). Potem
bi lahko seveda govorili tudi o "prosto rn ini" in o "po vršini" tako
nastalega telesa. Ali ju znate izračunati?
Zanamavosti - Hmedrilo - Naloge l! 
2) Rec'io, da bi nam uspelo ~graditi poseLen Penroeov trikotnik s za- 
obljenimi mbovi ( s l i  9). Po qjem naj b& L pikapolonica, ]ti pa se 
gibbe zmeraj le naprej in nikdar ne saide &a nobenega b e d  mbov 
tega trilrotnh. Poleg tega naj bo na n e b  mestu tega teleaa sari- 
san sklPmjen obroE, kakor M e  &a. Povejte - najmsqj kolikokrat bi 
morala piltapolonica st& Eez obroE, Ee bi hoaela priti spet nasqj na 
svoje izhodieho mesto! 
3) In kako pojaaniti fotopaqjo na n~rslavni strani Preseka? Mar ta 
fotografija ne sauika tega, hsr smo v tern E l d u  avedeli o nemogaEih 
predmetih? 
I) Gardner Martin: Aha! pa te imam, LjubQana, DZS, 1988, 
2) Smullyan Raymond: Pomste nrrelou te knjige?, Ljubbaaa, DZS, 1987. 
Vilko Domajnko