Bojan Kuzma ZAPISKI IZ PREDAVANJ - PLOSKVE Urednica zbirke: Petruša Miholič (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 6) Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, Univerza na Primorskem Primorski inštitut za naravosloven in tehnične vede Koper Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije UNIVERZA NA PRIMORSKEM UNtVERSITA DEL LITORALE UNIVERSITY OF PRIMORSKA Titov trg 4, SI - 6000 Koper Tel.: + 386 5 611 75 00 Fax.: + 386 5 611 75 30 E-mail: info@upr.si h tt p :l/www. u p r. s i © TeMeNa, 2009 Vse pravice pridržane Koper, 2009 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.8)(0.034.2) KUZMA, Bojan Zapiski iz predavanj. Ploskve [Elektronski vir] / Bojan Kuzma. -El. knjiga. - Koper : Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, 2009. - (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike ; št. 6) Način dostopa (URL): http://temena.famnit.upr.si/files/files/zv_6_DS.pdf ISBN 978-961-92689-5-7 246643968 Zapiski iz predavanj - Ploskve Bojan Kuzma Koper, 2009 Kazalo 1 Predgovor 3 2 Ploskve 4 2.1 Uvod..............................................................................4 2.2 Krivočrtne koordinate ..........................................................14 2.3 Tangentna ravnina..............................................................17 2.4 Merjenje na ploskvi: Prva osnovna forma......................................19 2.5 Uporaba prve osnovne forme....................................................28 1 Predgovor Pričujoči zapiski so nastali kot študijski pripomoček študentom pri predmetih Analiza III in Analiza IV, V sklopu teh dveh predmetov je zajeta široka paleta snovi, ki obsega matrične prostore, funkcije več spremenljivk, mnogoterne integrale, Fourieorovo analizo, krivulje, ploskve in polja s krivuljnimi ter ploskovnimi integrali. Kot pravijo, je dobra slika vredna tisoč besed. Se zlasti pri ploskvah je snovi težko slediti brez ustrezne geometrijske predstave. Da niti ne omenjam posebej dejstva, da je brez nje skoraj nemogoče uvideti koliko bogastva, lepote, in popolnoma neituitivnega razmišljanja se skriva v ploskvah. Zato sem pričujočo zbirko posvetil izključno ploskvam in, kolikor je le bilo možno, skušal celotno tematiko ilustrirati. Kolikor mi je poznano se lahko matematike naučiš le tako, da matematiko delaš. Tak koncept podajanja snovi je npr, v učbeniku |5|, kot tudi v |2|, Tudi sam sem se odločil slediti tej usmeritvi. Zato v njej ne boste našli veliko izrekov, trditev in lem, temveč definicije in naloge, ki pa so povečini rešene. Kljub temu vas vabim, da najprej poskusite nalogo rešiti sami, saj boste tako o snovi zvedeli veliko več, kot če rešitev preberete, Naj dodam, da je pričujča zbirka mišljena zgolj kot uvodna seznanitev z osnovnimi pojmi ploskev. Za kaj več pa priporočam v branje npr, |5| ali |4|, Bojan Kuzma 2 Ploskve 2.1 Uvod Ce se izrazimo zelo površno, je ploskev „ukrivljena ravnina," Mislimo si, da imamo neko ploho zelo raztegljivega materiala, ki jo nato zgubamo. Kar dobimo, je ploskev. Slika 1: Ploskev Vendar pa s tem ne zajamemo sklenjenih ploskev, kot je npr, sfera. Gornja „definieija" torej potrebuje malce bolj precizno formulacijo: Dejansko bomo malce bolj natačneje zahtevali, da je vsak dovolj majhen košček ploskve „ukrivljen ravninski lik," Povedano v obrnjenem smislu: vsak dovolj majhen košček ploskve lahko zgladimo v nek ravninski lik. Tukaj pod pojmom ravninski lik razumemo neko odprto, povezano množico v R2, Slika 2: Zahtevamo, da ima vsaka točka ploskve neko dovolj majhno okolico, ki jo lahko zgladimo v ravni lik. Pri tem moramo paziti, da glajenje res poteka „gladko," S tem takoj izključimo, da bi ploskev imela kakršnokoli ost, ali kakršenkoli oster rob. z == V x2 + y2 Slika 3: Primeri oujektov. ki niso ploskve. Prva ima ost ( špica). druga ima oster rou. tretja ima oster roi3 in ost. V naslednjem poglavju jlll uomo imenovali .,ploskve z vogali." Xe bomo dovolili niti tega, da bi se ravnina „preveč zakrivila," in imela samopresečišča. Slika 4: Tudi to niso ploskve. Ne dovoljujemo samopresečišč! Kako to razmišljanje formulirati matematično? Proces gladitve koščka ploskve v ravninski lik lahko opišemo s funkcijo. Za vsako točke iz nagubane okolice povemo, na katero točko v ravninskem liku se bo preslikala. Ta funkcija mora biti povratno enolična (=bi-jekcija), saj po drugi strani želimo, da se dobljeni ravninski lik z zgubanjem preslika nazaj na našo okolico. Ta bijekcija mora biti tudi dovolj pohlevna (drugače bi dobili zelo „divje glajenje"). Zahtevali bomo, da je funkcija gladka, tj. da jo lahko poljubno mnogokrat parcialno odvajamo po vseh njenih spremenljivkah. Tudi obratni proces, tj. gubanje mora biti pohlevno, se pravi, da mora biti tudi inverz te funkcije gladek. Do sem je vse lepo in prav. Toda kako bi prepovedali „samopresečišča"? Ena od možnosti je naslednja. Dejansko ne bomo gladili zgolj nek majhen košček ploskve. Raje Slika 5: Na poti do definicije ploskve: Za vsako točko ploskve P lahko najdemo neko regularno preslikavo r = r (u, v) : Dr ^ P, ki nek ravninski lik „zvije na delček ploskve," tj., c,a preslika uljektivno na presek ploskve z neko (dovolj majhno) kroglico, centrirano v tej bomo vzeli neko (majhno) kroglico, ki ima središče na ploskvi. Nato pa bomo to kroglico pregnetli (z neko povratno enolično, gladko preslikavo) da se bo presek kroglice in ploskve izravnal v ravninski lik. Poskušajmo sedaj tole razmišljanje preliti v matematični jezik. Definicija 1. Množica P C R3 je ploskvev (ali tudi: gladka ploskev) če za vsako točko p G P obstaja (i) odprta okolica Vp C R3 točke p, (ii) odprta okolica Up C R3 ter (iii) preslikava Fp : Vp ^ Up („glajenje"), da velja: (i) Fp : Vp ^ Up je bijekcija. Fp Fp (iv) Fp(Vp n p) = Up n R2. Točka (iv) pove, da se delček ploskve (tj. Vp n P) zravna v ravninski lik (tj. U n R2). Stogo matematično bi sicer morali v točki (iv) pisati malce bolj nerodno Fp(Vp n P) = U n (R2 x {0}). Naloga 2. Pokaži, da dvojni stožec {(x,y,z); x2 + y2 = z2} ne more biti ploskev (prim. sliko 4)- (Nasvet: Točka (0,0,0) je problematična. Ce jo odstraniš, stožec razpade na dva dela. Take lastnosti nima noben ravninski lik.) Denimo, da imamo preslikavo Fp kot na sliki 6. Kako bi iz nje dobil i preslikavo rp, ki pove na kakšen način moramo gubati ravninski lik (prim. sliko 5)? Odgovor je preprost: rp(u,v) = F-1(u,v, 0). 6 Slika 6: Definicije ploskve: Da se izognemo samopresečiščem, si namesto delčka ploskve raje oglejmo presek ploskve z majhno kroglico (= množica Vp). To kroglico nato pre-gnetemo (na množico U), da se njen presek z ploskvijo pri tem izravna v ravninski lik. Na sliki je prikazana ouratna preslikava, ki okolico nekega ravninskega lika preslika na kroglo. in pri tem ravninski lik ../.(h |j.\" na delček ploskve. Namreč ravninski lik sestoji natanko iz točk (x, y, 0) G U. Ta del pa po definiciji funkcija F"1 preslika (=„zguba") bijektivno na naš delček ploskve. Opazimo še nekaj: Jacobijeva determinanta preslikave G := F"1; G : (u,v,z) — (g1(u, v, z), g2(u, v, z), g3(u, v, z) je neničelna (zakaj že?) Torej ima Jacobijeva matrika G •g { dgi du dg2 du \ dg3 \ du d 9i dv dg2 dv dg3 dv 9gi\ dz dg2 dz Ž21 dz J linearno neodvisne stolpce. Iz linearne algebre se spomnimo, da sta vektorja linearno odvisna natanko tedaj ko je njun vektorski produkt ničeln. To pa za rp(u, v) = G(u, v, 0) pomeni, da je dr du dr dv "" x :n _ fdgi_ dg2 dgs_\ x /dg1 dg2 dg3_\ / Q o.. ov du ' du ' du J v dv ' dv ' dv J ' (1) Opomba 3. Ce za gladko preslikavo r : Dr R3 velja (1) v vsaki točki, jo bomo imenovali regularna (nekaj podobnega smo že srečali pri krivuljah). Naloga 4. Pokaži, da velja — vsaj lokalno — tudi obrat: Denimo da imamo na neki odprti množici Dr C R2 definirano regularno preslikavo r : Dr — R3 („gubanje"), Potem lahko r razširimo do gladke preslikave treh, spremenljivk H = (h1(u,v,z),h2(u,v,z),h3(u,v,z)), ki neko okolico U točke (u0,v0, 0) slika bijektivno na neko okolico V točke r(uo,v0)-(Nasvet: Poskusi z H (u,v,z) := r (u,v)+ze3 = (r\(u, v), r2(u, v), r3(u, v)+z), kjer s o rl,r2,r3 komponente preslikave r, tj. r(u,v) = (ri(u,v),r2(u,v),r3(u,v)). Stolpci njene Jacobijeve m,a,trike so linearno neodvisni, torej lahko uporabimo izrek o lokalno inverzni preslikavi.) Rešitev. Ker je r regularna preslikava, sta v toči a := (u0, v0) vektorja ru in rv linearno neodvisna. To pomeni, da sta stolpca Jacobijeve matrike preslikave r, tj. linearno neodvisna, oz, rank Jr(a) = 2, Iz linearne algebre se spomnimo, da je stolpični rang enak vrstičnemu. Torej sta vsaj dve vrstico linerno neodvisni, Privzemimo, da to velja kar za prvi dve. To pomeni, da dr i dr i det drl) = 0. hi, !rn du Sedaj pa kot v nasvetu naredimo funkcijo treh spremenljivk H (u, v, z) := (ri(u, v), r2(u, v), r3(u, v) + z). Njena Jacobijeva matrika je enaka h dr i dri \ / dr i dr i 8V drn Br2 | | Jr2 dr 2 dv 9r 3 dz d(z+r3) dr3 dv dz / \ du dv Njena deteriminanta je torej enaka det JH = det v ^ dr i &T2 dv du, dr2 \ dv J in je neničelna v točki T0 := (u0,v0,z = 0), Po izreku o lokalno inverzni preslikavi obstajata odprta okolica U točke T0 in odprta oko lica V točke H (T0) = H (u0,v0, 0) = r(u0,v0), da je H: U ^ V z gladkim inverzom (tj, H-1 je tudi parcialno zvezno odvedljiva). Mimogrede: Ker je zožitev Hbijektivna, se edinole ravninske točke (u,v,z = 0) slikajo v množico P = r (U) := {r(u, v); (u, v, 0) G U}. ^OTej je P ploskev: za vsako točko P na njej vzamem o kar Up := U in V := Vp, ter seve da Fp := H-1, Slika 7: Vsako regularno preslikavo lahko lokalno razširimo do uijektivne preslikave treh spremenljivk. Zgled 5. Gornja naloga ima zanimivo posledico: Čim je r = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : Dr C R2 ^ K3 regularna preslikava, je na neki dovolj majhni okolici U C Dr njena slika, r(U) := { (x(u, v), y(u, v), z(u, v)); (u, v) G U} ploskev. Seveda pa U ne sme biti prevelik, drugače ima lahko r (U) samopresečišča! V takem primeru r (U) dejansko tudi izgleda kot zgubana ravnina, Ce dobimo ploskev kot sliko neke regularne, bijektivne preslikave r : U ^ R3, bomo r(U) imenovali tudi elementarna ploskev, preslikavo r pa njeno regularno parametrizacijo. Slika 8: Leva stran je ploskev. Je celo elementarna ploskev, saj ima regularno parametrizacijo r(u,v) := (u2,u - u3/3, v), ki ploskev v celoti pokrije. Na desni smo šli s parametroma (u,v) že predaleč, in dobili samopresečišča. Zgled 6. Neposredno iz definicije ploskve vidimo, da ima vsaka točka na ploskvi neko okolico (tisto, ki smo jo izgladili v ravninski lik), ki je sama zase elementarna ploskev, in ima torej regularno parametrizacijo. Ploskev je torej sestavljena iz elementarnih kosov. Slika regularne preslikave je torej ploskev, če le nismo s parametri zašli predaleč. V splošnem je to težko ugotoviti. Imamo pa še en, zelo uporaben način da določimo, ali je neka množica ploskev. Zgled 7. Recimo, da imamo neko gladko funkcijo treh spremenljivk F = F(x,y,z). Označimo s P := {(x,y,z) G R3; F(x,y,z) = 0} množico njenih ničel. Ce je za grad F = 0 na točkah iz miiožice P, je P ploskev. Imenujemo jo tudi implicitno podana ploskev. Naloga 8. Poskusi to dokazati. (Nasvet: Poljubno izberi p = (x0,y0, z0) G P. grad F = 0, torej mora biti vsaj en od parcialnih odvodov neničeln; recimo, da je to Iz izreka o implicitni funkciji dobiš z = z{x, y); potem je r(x,y) := (x, y, z(x, y)) Rešitev. Sledimo navodilom. Gladka funkcija F = F(x, y, z) = F(x, z) ima (i) ničlo v točki (xo, Co) := (xo, yo, Zo), in (ii) §7(x0, Co) 0. Po izreku o implicitni funkciji obstajata okolici Q C R2 točke x0 in I C R točke zo, da velja sledeče: Pri vsakem x G Q lahko najdemo natanko eno ničlo funkcije F, ki leži znotraj škatlaste okolice W := Q x I točke p. Se več, če je (x, z(x)) ta ničla, je z = z(x) = z(x,y) parcialno zvezno odvedljiva. Tedaj pa je r(x,y) := (x,y, z(x,y)) regularna preslikava (pokaži!). Po potrebi se malce zmanjšamo Q m W, da bomo lahko s pomočjo Naloge 4 preslikavo r razširili do gladke bijekcije Gp0 : U — W, kjer je U D Q x {0} neka okolica t očke p0. Znotraj W so edine možne ničle funkcije F oblike r(x, y) za nek (x, y) G Torej W n P = r(Q) = Gp(Q x {0}) = Gp(U n (R2 x {0})). To pa ustreza definiciji ploskev. Zgled 9. Kot zgled: F(x, y, z) := x2 + y2 + z2 — 1 = 0. Množica ničel te funkcije je enotska sfera. Poleg tega je grad F = = (2x, 2y, 2z). Vidimo, da je grad F x=0=y=z taka točka pa seveda ni ničla naše funkcije. Torej je enotska sfera ploskev. Enotska sfera sicer ni elementarna ploskev: Ne moremo je dobiti kot sliko neke regularne bijekcije. Ce pa ji odrežemo en poldnevnik, pa dobimo elementarno ploskev; regularno parametrizacijo podaja preslikava Slika 9: Sferične koordinate na sferi. Meridiane dobimo, ce fiksiramo 9 = 90, poldnevnike pa, če fiksiramo & = če hočemo imeti regularnost (kar med drugim implicira tudi povratno enoličnost), moramo vzeti & G (0, 2n) in 9 G (—n/2,n/2). torej je r = r(&,6) regularna parametr1zac1je ploskve, ki jo d0131m0, če sferi odrežemo poldnevnik (prikazan z deuelo črto). Zgled 10. Valj je množica točk, ki jo dobimo kot sliko regularne preslikave r(^, v) := (cos p, sin p, v). Vsekakor je dovolj majhen košček valja ploskev. Kaj pa celoten valj? Iz parametrizacijo bi odgovor težko presodili. Kljub temu je odgovor pritrdilen: Valj je množica točk, kjer je F(x, y, z) := x2 + y2 = 0. Gradient te funkcije pa, vsaj na valju, nikoli ni nič. r(p, 9) := (cos p cos 9, sin p cos 9, sin 9). Zgled 11. Graf zvezno odvedljive funkcije dveh spremenljivk je vedno ploskev. Kajti graf je enak Gf := {(x,y,f (x,y)); (x,y) G Df} in se ujema z množico ničel funkcije F(x, y, z) := z — f (x, y), katere gradient nikoli ni nič. Zgled 12. Vrtenino dobimo, če graf pozitivne funkcije f = f (t) : (a,b) ^ R, zarotiramo okoli abscise. Vrtenina je enaka množici točk oblike (t, f (t) cos f (t) sin ko t G Df. Takoj preberemo implicitno enačbo: y2 + z2 — f (t)2 = (f (t) cos + (f (t) sin — f (t)2 = 0. Gradient funkcije F (t, y, z) := y2 + z2 — f (t)2 je enak (2f f2y, 2z), To bi bilo enako nič edinole, če y = 0 = z pri nekem t. To je možno edinole, če f (t) = 0, torej f ne bi bilo pozitivna funkcija, protislovje. Vrtenina pozitivne funkcije je ploskev; imenujemo jo tudi rotacijska ploskev. Slika 10: Rotacija gladkih funkcij. Če je f (x) > 0 je rotacija vedno ploskev, kot na prvi sliki. Na drugi rotiramo f(x) ■= sfx, ki ima v točki 0 ničlo. kljub temu še vedno dobimo ploskev! Najlažje to vidimo iz njene implicitne enačbe F(x,y, z) := y2 + z2 — x = 0; grad F = (—1,2 y, 2z) = 0. Nazadnje roti ramo f (x) := sin(x). Dobljena rotacija ni ploskev, saj ima dve osti, in je še „prešč1pnjena" na sredini. F(x, y, z) = 0 ploskev. To se seveda lahko primeri le v primeru, ko je grad F = 0 v kaki točki, ki F(x, y, z) = 0 Slika 11: Dvojni stožec ni ploskev Zgled 13. Enačba F(x,y,z) := x2 + y2 — z2 = 0 ne določa ploskve. Rešitev je dvojni stožec, ki je v sredini 'preSčipnjen/ Ravno ta točka pa je problematična , saj če jo odstr-nimo, razpade množica na dva dela — take lastnosti nima noben ravninski lik. Problem je v tem, ker je v koordinatnem izhodišču F(0, 0, 0) = 0, pa tudi (grad F)(0, 0, 0) = 0, Zgled 14. Od prej že vemo, da parametrizacija r(u, v) := (u2,u — u3/3,v) globalno ne določa ploskve, saj ima samopresečišča (prim, sliko 5), Ploskev bi dobili le, če bi parameter u omejili na dovolj majhno okolico. Poskusimo dobiti implicitno enačbo za sliko te parametrizacije, tj, za množico M := {r(u, v); (u, v) G M2}. Točka (x, y, z) je v M natanko tedaj, ko je x = u2 m y = u — u3/3 ter z = v pri nekih param etrih (u, v). Iz prve enačbe izrač unamo u in vstavimo v drugo, pa dobimo y = ±-(cos | cos u, cos | sin u, sin regularna parametrizacija. Ce parametra omejimo na —n < u < n in —1/2 < v < 1/2, je slika te parametrizacije ploskev. Imenuje se Moebiusov trak. Slika 12: Moeuiusov trak Parametrizacijo Moebiusovega traku lahko zapišemo v obliki r(u, v) := x(u) + vv(u), kjer v(u) = 0, Take ploskve so premonosne, namreč dobimo jih tako, da vzdolž krivulje, parametrizirane z x = x(u) „sučemo" njen smerni vektor v točki x(u) kaže vzdolž v(u) Ce Moebiusov trak malce raztegnemo (vendar brez rezanja ali lepljenja!) še vedno ostane Moebiusov trak. Edino oblike je malenkost drugačne. Naloga 16. Pokaži, da je tudi r (s, t) := x(s)+t( B(S) + I$T(S)), regularna parametrizacija neke ploskve; tu je x(s) := (sin s, (1 — cos s)3, (1 — cos s) sin s), poleg tega pa je B(s) binormala na krivuljo ki jo določa x(s), in je T(s) njena tangenta, t (s) njena torzijska ukrivljenost, k(s) pa njena fleksijska ukrivljenost. Pokaži, da točka T(x, y, z) na tej ploskvi ustreza enačbi y2 + 6x2y — 8y + x6 = 0 = x3y — z3 Tudi ta ploskev je Moebiusov trak (le malce drugačne oblike kot zgoraj) Za razliko od Moebiusovega traku iz prejšnje naloge lahko tega naredimo iz kosa papirja. Več informacij se najde v G, Sehwarz: A pretender to the title. "canonical Moebius strip." Pacific J, Math, Volume 143, Number 1 (1990), 195-200. Slika 13: Drugačen Moebiusov trak. Tega lahko naredimo tudi iz kosa papirja. To je primer ne0r1entab1lne ploskve če bi dvodimenzionalna bitja živela na njem, in bi ga obkrožila, bi se jim leva roka spremenila v desno (in obratno). na sliki je to ponazorjeno z narisanimi prav0k0tn1cam1 na trak, ki se zvezno spreminjajo. pa vendar: Ko naredimo poln 0b110d, kaže prav0k0tn1ca v nasprotno smer, kot takrat, ko smo 0b110d začeli. na sliki smo zaceli z modro, ko pa z njo zvezno potujemo naokoli, končamo z rdečo. 2.2 Krivočrtne koordinate Izberimo si neko regularno parametrizacijo r(u, v) enega koščka ploskve P. Vsakemu paru (u, v) tedaj ustreza natanko ena točka na našem koščku, tj. r(u,v). Velja seveda tudi obratno: Za vsako točko p na koščku ploskve lahko določimo natanko en par (u, v), da je f (u, v) = p. Slika 14: Krivočrtni koordinatni sistem na delčku ploskve. Če variiramo u, dobimo , ce pa variiramo v, pa dobimo r (u, v) za koordinate točke na našem koščku ploskve. Imenujemo jih tudi krivočrtne ko- ordinate točke T, Pravimo tudi, da opisujemo položaj točk v krivocrtnem koordinatnem sistemu. Seveda je krivočrtni koordinatni sistem odvisen od izbire regularne parametrizacijo. Sedaj fiksirajmo prvo krivočrtno koordinato u = u0 in naj druga potuje. Točka r(u0, v) pri tem opiše neko krivuljo na ploskvi, parametrizirano z t ^ r(u0, t), Imenujemo jo krivo-crtna koordinatna krivulja. Podobno bi lahko fiksirali drugo krivočrtno koordinato v = v0, u t ^ r(r, v0). Na tak način ploskev prepletemo s krivočrtnimi koordinatnimi krivuljami. Krivočrtni koordinatni sistem je pravokoten, če se poljubni dve krivočrtni koordinatni krivulji sekata pod kotom 90° Zgled 17 (Sferične koordinate na enotski sferi). Enotska sfera jo ploskev. Odrežimo ji en poldnevnik, in izberimo naslednjo regularno parametrizacijo r(p, 0) := (cos p cos 0, sin p cos 0, sin 0). Tukaj so krivočrtno koordinatno krivuljo parametrizirano z ki (t) := r(t,0o) = (cos t cos 0O, sin t cos 0O, sin 0O), k2(T) := r(p0, t) := (cos p0 cos t, sin p0 cos t, sin t) . Kot, pod katerim se sekata je po definiciji enak kotu med ustreznima tangentnima vektorjema. Tangentni vektor na prvo krivuljo je enak na drugo krivuljo pa T2 := k i(t) 1 \/cos2 9t (— cos 0O sin t, cos t cos 0O, 0) k 2(r) |k2(r)| (— cos p0 sin t, — sin t sin cos t). Njun skalami produkt je nič, torej imamo pravokoten krivočrten koordinaten sistem. n 2 n n 2 n 2 r[0,0] Slika 15: Sferični koordinatni sistem r(p, 6) := (cos pcos 6, sin pcos 6, sin 6) na sferi. Če hočemo povratno enoličnost, moramo omejiti 0 < ^ < 2n ter — n/2 < 6 < n/2. Na tak način enolično popišemo vse točke sfere, z 1zjmo točk vzdolž poldnevnika. Naloga 18. Obratno, če imamo točko T(x,y,z) na enotski sferi, pokaži, da so njene sfe.rične. koordinate enake Zgled 19. Zgornjo polovico enotske sfere pa lahko parametriziramo tudi kot r(a:, y) := (x, y, y/l - (x2 + y2). V tem primeru so tangentni vektorji krivočrtnih koordinatnih krivulj enaki rx(x, y) = V/W(1'°'-7Tžfc?) oziroma = ^^ Njihov skalami produkt pa ni nič, torej to pot nimamo pravokotnega krivočrtnega koordinatnega sistema. Slika 16: Nepravokoten krivočrten koordinatni sistem na sferi. Kot med krivočrfnimi koordinatnimi krivuljami se spreminja od točke do točke. na sliki je prikazan z debelima dalj1cama v eni izbrani točki. X > 0, Z > 0 < 0, z > 0 x > 0, z < 0 x < 0, z < 0 -1 1 2.3 Tangentna ravnina Vzemimo sedaj v precep neko fiksno točko p na ploskvi P. Izberimo neko regularno parametrizacijo r : Dr ^ P delčka ploskve, ki vsebuje p, S tem smo predpisali tudi p (uo, vo); torej p = r(uo, vo). p jo ploskovna krivulja (mislimo si, da imamo na ploskvi z imenom Zemlja speljano neko cesto do kraja p). V krivočrtnih koordinatah je krivulja par ametrizirana z u = u(t), v = v (t); denimo se, da u(0) = u0 in v(0) = v0 (to slednje lahko vedno dosežemo; v nasprotnem pač re- parametriziramo krivuljo). Krivulja na ploskvi je tedaj parametrizirana z t ^ r(u(t), v(t)), p in pride do kraja p, kam kažejo njegovi žarometi?) Tangetni vektor kaže v smeri odvoda krivulje, torej v smeri vektorja J^r(u(t),v(t)). Zapišimo po komponentah: Kot običajno smo pri parcialnem odvodu xu izpustili argumente; natančneje bi bilo xu = xu(-u(t),v(t)); podobno za preostale parcialne odvode. Pri t = 0 pridemo ravno v točko p, Tangentni vektor krivulje pa je neka linearna kombinacija dveh vektorjev ru(u0,v0) in rv(u0, v0). Gornjo izpeljavo lahko ponovimo za poljubno gladko krivuljo skozi p, p isti ravnini, ki je napeta na ru(u0, v0) in rv(u0, v0) (Zakaj že ta dva vektorja res razpenjata ravnino, in ne premice.?). To ravnino vzporedno premaknemo, da bo vsebovala tudi p r(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) , u = u(t), v = v(t) Slika 17: Tangentna ravnina. Raznorazne ploskovne krivulje imajo v dani točki tangen-tne vektorje (označene na 2. in 3. sliki z odebeljeno črtkano dalj1co), ki ležijo na eni in isti ravnini. Naloga 20. Pokaži, da tange.ntni vektorji krivulj na .stožcu, tj. grafu funkcije z = \/x2 + y2, v točki T(0,0,0) ne ležijo na skupni ravnini. Torej stožec ne more biti plo- Slika 18: Stožec. Tangentni vektorji krivulj so prikazani z odebeljeno lomljeno črto. Vidimo, da ne ležijo na skupni ravnini. Zanimivo bi bilo dobiti formulo za tangentno ravnino v primeru, ko imamo ploskev podano parametrično ali pa implicitno. Naloga 21. Denimo, da je r = r (u, v) regularna parametrizacija ploskve. Pokaži, da ima tangetna ravnina v točki r(u0,v0) enačbo ((X, Y, Z) - r(uo, vo)) ■ (r„(«o, vo) x rv(uo,Vo)) = 0 Zgled 22. Kot zgled si oglejmo ploskev, podano parametrično z r(u, v) := (u, v, u2 — v2). Zanima pa nas tangetna ravnina v točki s krivočrtnimi koordiantami (u, v) = (1,1). Odvajajmo ru = (1, 0, 2u), rv = (0,1, — 2v), Njun vektorski produkt v je pri (u, v) = (1,1) enak (ru x rv)(1,1) = (—2, 2,1), Enačba tangentne ravnine je torej (X — 1, Y — 1, Z — 0) ■ (—2, 2,1) = ^oma —2X + 2Y + Z = 0. Naloga 23. Denimo, da je ploskev graf neke gladke funkcije f = f (x,y). Pokaži, da ima tangentna ravnina v točki (xo,yo,f (xo,yo)) enačbo (X - xo)p +(Y - yo)q = (Z - Zo); (p := /^o^o^ q := fy^^ Zo := f (xo,yo^. Naloga 24. Denimo, da je ploskev podana implicitno kot množica ničel funkcije F = F(x, y, z); pa naj grad F = 0 na točkah iz ploskve. Pokaži, da ima tangetna ravnina v točki (xo,yo,zo) enačbo (X - xo,Y - yo,Z - zo) ■ (grad F)(xo,yo,zo) = 0. Zgled 25. Vzemimo isto ploskev kot v prejšnjem zgledu, Poiščimo njeno implicitno enačbo, in iz nje tangentno ravnino. Točke na ploskvi imajo koordinate (x, y, z) = r(u,v) = (u,v,u2 - v2), Torej je x2 - y2 - z = u2 - v2 - (u2 - v2) = 0, Dobili smo implicitno enačbo: F(x, y, z) = x2 - y2 - z = 0. Njen gradient je grad F = (2x, 2y, -1), Tangetna ravnina v točki r(1,1) = (1,1, 0) pa je 0 = (X - 1,Y - 1,Z - 0) ■ (2, 2,-1) = 2X + 2Y - Z. Obakrat smo dobili isto tangentno ravnino. Kaj pa, če bi vzeli drugačno parametri-zacijo naše ploskve (tj. druge krivočrtne koordinate), npr, ri(s,t) := (s + t, t - s, 4st), ali bi v točki (1,1, 0) = r1(0,1) dobili isto enačbo za tangentno ravnino? Naloga 26. Pokaži, da je tangentna ravnina v točki p G P neodvisna od izbire regularne parametrizacije ploskve P. (Nasvet: Ce sta r = r(u,v) in ri = ri (s, t) dve regularni parametrizaeiji istega delčka ploskve, ki vsebuje točko p, sta med sabo povezani: Obstaja preslikava h = h(s,t) = (u(s,t),v(s,t)), da r 1(s,t) = (r o h)(s,t) = r( u(s,t), v(s,t)). Dobimo jo kot kompozitum h = r 1 o ri. Prepričaj se, da je odvedljiva (uporabi Nalogo 4 in izrek o lokalno inverzni preslikavi), nato pa vstavi to povezavo v enačbo za tangentno ravnino. ) 2.4 Merjenje na ploskvi: Prva osnovna forma Kako merimo na ploskvi? Kaj sploh lahko merimo? Vprašanja niso enostavna, niti odgovori nanje. V najenostavnejši ploskvi, tj. ravnini lahko merimo npr. razdalje med točkami, površine likov, dolžine krivulj, kote med krivuljami. Isto bomo merili tudi na „zgubanih ravninah," tj. na ploskvah. Vzemimo za začetek elementarno ploskev P, in bodi r = r(u, v) njena regularna para-metrizacija. Točki r(u + du, v + dv) in r(u, v) sta v prostoru R3 oddaljeni za ||r(u + du, v + dv) - r(u, v)|| Razbijmo po komponentah: r(u,v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), in vsako od komponent razvijmo po Tavlorjevi formuli reda n = 1. Tako npr, x(u + du,v + dv) = x(u, v) + xu(u, v) du + xv(u, v) dv + o1(du, dv); to je o1(du, dv) ostanek Tavlorjeve vrste in zanj velja 11111(^ ^)^(0,0) ^u^+dv^ = P°dobno je tudi y(u + du, v + dv) = y(u, v) + yu(u, v) du + yv(u,v) dv + o2(du,dv) in podobno za tretjo komponento, Ce zaradi krajšega zapisa (u, v) r(u + du, v + dv) — r(u, v) = (xu, yu, zu) du + (xv, yv, zv) dv + (oi(du, dv), o2(du, dv), o2(du, dv)) = ru du + rv dv + o(du, dv) = dr + o(du, dv) Tu je (du, dv) diferencial krivočrtnih ko ordinat, dr = ru du + rv dv pa diferencial preslikave r. Zaradi lim^d^^o) = 0 jo, pri majhnih spremembah (du,dv), diferen-dr Diferencial krivočrtnih koordinat, (du,dv), ni nič drugega kot njuna sprememba, tj, (du, dv) = (Au, Av), Katero spremembo p a meri dr? dr P r(u, v) ce se lokalne koordinate spremenijo za (du,dv). (u + du, v + dv) u Slika 19: Merjenje na ploskvi. V okolice naše točke T = r(u,v) se ploskev (dobra predstava za ploskev je tukaj npr. kar planet zemlja!) zdi ravna: ukrivljenost opazimo šele na dolgih razdaljah. lokalno torej merimo razdalje na ploskvi tako, da pr1vza-memo, da je ploskev ravna, tj., da se v okolici točke ujema s tangentno ravnino, na sliki prikazano rdeče. krivočrtne koordinate r(u + du,v + dv) razvijemo po taylorjevi formuli r(u + du, v + dv) — r(u,v) = (rudu + rvdv) + ost. Linearni del razlike, tj. vektor dr := (rudu + rvdv) leži v tangetni ravnini. Njegova dolžina, ||(rudu + rvdv)\\ predstavlja glavni doprinos k razdalji od T = r(u, v) ^o točke r(u + du, v + dv). Oglejmo si sedaj dolžino glavnega dela spremembe r(u + du, v + dv) — r(u, v)! Merimo jo s skalarnim produktom: dr ■ dr = (ru du + rv dv) ■ (ru du + rv dv) = (ru ■ ru) du2 + 2(ru ■ rv) du dv + (rv ■ rv) dv2 = Edu2 + 2Fdu dv + Gdv2, kjer smo označili E := (r„ ■ r„); F := (r„ ■ r^), G := (r^ ■ r^). (2) Forma I(du, dv) := Edu2 + 2Fdu dv + Gdv2 se imenuje prwa osnovna forma ploskve, parametrizirane z r = r(u, v) (ali malce bolj površno: prva osnovna forma, izražena v krivočrtnih koordinatah (u, v)). Njeni koefici-E, F, G krivočrtnih koordinat (u, v), in se torej spreminjajo od točke do točke po ploskvi. Kakšen geometrijski pomen ima ta forma? Zgled 28. Ravnina z = 0 ima regularno parametizacijo r(x,y) := (x,y, 0), Tukaj je E = rx ■ rx = (1, 0, 0) ■ (1, 0, 0) = 1, Podobno je tudi G = 1. Za F pa dobimo F = rx ■ ry = (1, 0, 0) ■ (0,1, 0) = 0, Prva osnovna forma se glasi: I(dx, dy) = dx2 + dy2 = ds2 kar ni nič drugega kot Pitagorov izrek. (u,v) as au |u+au,v+av) av v u Slika 20: Prva osnovna forma na ravnini. Če se koordinate točke spremenijo za (du,dv), smo prišli do nove točke, ki je od prvotne oddaljena za ds = ||dr||. Prva osnovna forma je posplošitev Pitagorovega izreka za infinitezimalno majhne izkrivljene trikotnike na ploskvah. Zgled 29. Kot drugi zgled si oglejmo prvo osnovno formo na sferi. Izberimo sferični krivočrtni koordinatni sistem r(p, 0) := (cos p cos 0, sin p cos 0, sin 0). Sedaj je E = r^ ■ r^ = (— cos 0 sin p, cos 0 cos p, 0) ■ (— cos 0 sin p, cos 0 cos p, 0) = cos2 0, ter G = rd ■ rd = (— cos p sin 0, — sin 0 sin p, cos 0) ■ (— cos p sin 0, — sin 0 sin p, cos 0) = 1 te r F = r^ ■ r# = 0, Torej je prva osnovna forma: I (dp,d0) = cos2 0dp2 + d02, in dobimo posplošitev Pitagorovega izreka na sferi, F=0 v obeh primerih pravokoten. Velja namreč tale ugotovitev: (u + du, v + dv) Slika 21: Prva osnovna forma na ploskvah: Če se koordinatnni krivulji u in v malenkostno spremenita za du oz. dv, dobimo na ploskvi infinitezimalen izkrivljen trikotnik. dolžino njegove tretje stranice nam da prva osnovna forma: ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 u+Au, v + Av ) Slika 22: Sfera in izkrivljen pravokotni trikotnik na njej. Trditev 30. Kriv o črtni koordinatni sistem je pravokoten natanko tedaj, ko je F = ru-rv = 0 za vsako točko (u,v). □ Zgled 31 (Neodvisnost prve osnovne forme od izbire parametrizacije). Sfero smo že pa-rametrizirali v sferičnih krivočrtnih koordinatah r(p,6) := (cos p cos 6, sin p cos 6, sin 6), s prvo osnovno formo I (dp,d0) = cos2 6dp2 + d62. Lahko pa izberemo drugačno parametrizaeijo, npr. r*(x,y) := [x,y, y/l — x2 — y2) je parametrizacija zgornje polovice sfere (prim. sliko 19). Prva osnovna forma je sedaj drugačna kot v sferični parametrizaeiji: x2 £"* = r* • r* = (1, 0, ~x )-(l,0, , ~x ) = ! + -, y 1-x2-y2 ^J\-x2-y2 1 — x2 — y2 F* = K ■ r*y =(1,0, • (0,1,-jf*--) = 1 ? 2 \j i—x2-y2 v'-x2-y2 1 — x — y2 y2 G* = T* ■ T* = (0, 1,-—L=) ■ (0, 1,-—L=) = 1 + 1_x2_y2, in s tem je prva osnovna forma v parametrizaeiji r* enaka T*U J \ (ž/2 -1) J 2 2XV j i , (X2 ~ 1) ^ 2 / (dx, dy) = ——-—- dx--——-—- dy dx + ——-—- dy x2 + y2 — 1 x2 + y2 — 1 x2 + y2 — 1 Pa vendar sta obe formi povezani med sabo! Namreč, isto točko na sferi lahko zapišemo v dveh različnih krivočrtnih koordinatnih sistemih: r oziroma r*: T = T(cos

vektor (dx,dy), določen z dx = + ffdt', oziroma dy = p-du, + l^dv. fraj Pokaži, da sta prvi osnovni formi v tej korespondenci med diferenciali (dx,dy) o;?. (du,dv) enaki, tj. I (du, dv) = I * (dx,dy). S prvo osnovno formo lahko merimo dolžino krivulj na ploskvi: Ce je r neka gladka krivulja na ploskvi, jo lahko parametriziramo v krivočrtnih koordinatah kot u = u(t) ter v = v (t); (t G [a, &]); gre torej za krivuljo s parametrizacijo Y(t) := r(u(t), v(t)). Njeno dolžino podaja formula L(r)= /V(t)||*= fs/T^dt, J a J a Odvod računamo po verižnem pravilu: 7 = ruu + rvv, odkoder je 7■ Y = Eu2 + 2Fuv + Gv2, Torej rb L (T) = / y/(Eii2 + 2Fui> + Gi>2)(i) dt a Zgled 33. Xa sferi v sferičnih krivočrtnih koordinatah imamo krivuljo, parametrizirano z = (t) := t in 0 = 0(t) := 2 arctan e4, Koliko dolžino opravi ta pot, ko t G [0,n/2]? Prvo osnovno formo smo že izračunali: I(d^,d0) = cos2 + d02, Dierenciala krivočrtnih koordinat dobimo z lahkoto: du = dt in dv = d(2 arctan e4) = dt. Vstavimo v izpeljano formulo za izračun dolžine: L = f" ^cos2(2 arctan e4) dt2 + (TgT)2 dt2 = J*'* (i=s*)2 + (J^)2 dt = 1 dt=2- S koeficienti prve osnovne forme lahko določimo tudi kote med dvema krivuljama na ploskvi: Vzemimo dve krivulji, in ju parametrizirajmo v krivočrtnih koordinatah z 71 (t) := r(ui(t), vi (t)) ozirom a Y2(s) := r(u2(s), v2(s)). Denimo, da se sekata pri t = t0 m s = s0. Tedaj je eosinus kota med njima enak _ 71-72 _ (rM • u 1 + r„i'i) • (rM • u2 + tvv2) II71II ' II72II IzZ \//(ui,i'i) • I i 11 >■ r>i Eu iuu 2 + F (u iv2 + u 2 vi) + Gvvivv2 t=t0 s=s0 \/J(ui,Vi) ' \J/(U2, i'2) Eduidu2 + F (duidv2 + du2dvi) + Gdvidv2 a/I(dui, di'i) • /(du2, du2) t=t0 s = s0 Zgled 34. Pod kakšnim kotom sekata krivulja iz Zgleda 33 in druga krivočrtna koordinata (= meridian)? Slika 24: Krivulja ^ = t, 0 = 2arctan(et) m krivočrtna koordinatna krivulja 0 = c0 = const Najprej ju parametrizirajmo s krivočrtnimi koordinatami. Prva ima parametrizacijo Y1(t) = r(t, 2 arctan^)), druga pa Y2(s) = r(s,co), Se lažje je podati parametrizaeijo v krivočrtnih koordinatah: Prva krivulja je parametrizirana z 01(t) = t, 9^t) = 2 arctan^), druga p a z 02(s) = s in 92(s) = co. Hitro najdemo tudi presečišča: Sekata se v točkah z istimi krivočrtnimi koordinatami. Torej 01(t) = 02(s) oz 01(t) = 92(s), Takoj preberemo, da t = srn 2 arctan(e4) = co, Sedaj pa v formuli za izračun kotov upoštevamo, da je d01 = dt in d02 = ds ter d91 Vstavimo v formulo, pa dobimo d( 2 arctan(e*)) 2e l+e2t dt in d92 = d(const) = 0, cos a Ed(p i d(f) 2 + F(#i d6>2 + d(f)2 dO i) + Gd^i d02 s=t=ln(t.an ^) =o cos2 9 ■ d^1 d^2 + 0 + 1 ■ d91 d92 Vcos2 Č•d02 + 02 Vcos2 0 • d(P22 + dČ2 cos2(0) v/cos2(0) + d^2 v/cos2(0) 2 <£=ln(tan ) 0 = CQ <£ = ln(tan ^ ) 2 cos2 co ■\JCOS2 Co + (T|^i)2 |t=lntan(co/2) ' V^OS2 C0 cos co Koeficiente I, osnovne forme E, F, G smo pač računali v presečišču krivulj, torej pri 9 = co in

0, je njegova površina enaka AS = ||5w1 x čw2|| = ||ru x rv || dudv. Spomnimo se na povezavo med dolžino vektorskega in skalarnega produkta: ||a ■ b||2 + (a ■ b)2 = ||a||2 ■ ||b||2, pa lahko površino paralelogramčka izrazimo s koeficienti prve osnovne forme: A S = ||rM x 171| dudv = \/||rM||2 • ||rt, ||2 — (rM • r V)2dudv = VEG — F2 du dv. Mimogrede smo tudi pokazali, da je EG > F2! Sedaj pa vse te prispevke seštejmo, in limitirajmo (du, dv) (0, 0), Kar sama se ponuja naslednja definicija površine: Definicija 35. Ce je r = r(u, v) : Dr — P parametrizacija ploskve P, je njena površina število S (P) := jj \\ru x rv\\ dudv = jj VEG — F2, dudv, Dr Dr kjer so E, F, G koeficienti prve osnovne forme. Kaj pa, če bi vzeli kako drugo regularno reprezentaeijo, ali bi dobili enako površino, ali ne? Ce je odgovor ne, potem je gornja definicija povsem neprimerna, in moramo poiskati drugačno definicijo površine. K sreči je odgovor da. Naloga 36. Pokaži, da je definicija površine elementarne ploskve neodvisna od izbire regularne parametrizacije. Torej, ce je r = r (s, t) : 3>$. — P neka druga regularna para-metrizacija iste ploskve P, je VEG- F2 du dv = [[ \JeČ- F2 ds dt. Dr D* r Ce ploskev ni elementarna, jo razrežemo na posamezne elementarne kose, za vsakega od njih izračunamo ploščino, in vse skupaj seštejemo, Z malce več truda se da pokazati, da je dobljena površina enaka, neglede na to, kako razrezujemo ploskev na njene elementarne podploskve. Zgled 37. Izračunajmo površino enotske sfere. To sicer ni elementarna ploskev, zato ji odstranimo en meridian, Xa površini se ne pozna, če ploskvi odstranimo (ali dodamo) končno mnogo gladkih krivulj. Sedaj izberimo kar sferične koordinate r = r(^,0) : (0, 2n) x (—n/2,n/2) — P, v katerih že imamo izračunano prvo osnovno formo: I(d^,d0) = cos2 0d^2 + d02, Površina enotske sfere je torej S= // \/cos20 - 1-0 2clpcW = / dp |cos0|d0 = 4tt. JJ J 0 J-n/2 (0,2n)x(-n/2,n/2) Zgled 38. Površina vrtenine funkcije f : (a,b) — [0, to). Spomnimo se regularne parametrizacije vrtenine: r(t, := (t,f (t) cos f (t) sin *) := (sh t, 6). V točki p = r(t, 0) = (t, ch t cos 0, ch t sin 0) je prva osnovna forma enaka I (dt, d0) = (1 + sh21) dt + 0 dt d0 + d02. Ta točka se preslika v točko p* = F (p) = r*(u,0)| u=sh t = (u cos 0, u sin 0,0) | «=sh t. Prva 0=9 0=9 osnovna forma v preslikani točki pa je I*(du, d0) = du2 + 0 dudv + (u2 + 1) d02| «=Sht = (chtdt)2 + (sh21 + 1)(d9)2, 0=9 kar je zaradi ch21 = 1 + sh21 identično I (dt, d9). Torej o koficienti iz prve osnovne forme v točki p identični koeficientom iz prve osnovne forme na preslikani točki F (p), ki leži na drugi ploskvi, F F rani na istem definicijskem območju, prva še vedno z r(t, 9) := (t, ch t cos 9, ch t sin 9), druga ploskev pa z parametrizacijo r** = F o r : (t, 9) ^ F(r(t, 9) = r*(u,0)|«=Sht = 0=9 (sh t cos 9, sh t sin 9, 9). Pokaži, da za koeficiente prve osnovne forme velja zveza E = E**, F = F** in G = G**. Spomnimo, da zgolj s pomočjo koeficientov prve osnovne forme merimo dolžino krivulj, F zanimivo lastnost: Ohranja dolžino krivulj, ohranja velikost kotov med krivuljama, in ohranja ploščine likov. Takim preslikavam rečemo izome.trije. F Naloga 40. Poišči izometrijo med valjem in koščkom ravnine. (Nasvet: Poskusi z F : (cos t, sin t, z) ^ (t, z, 0) € R2 x |0}.J Literatura |1| F, Brešar, Matematika III. Univerza v Mariboru, Maribor 1995, |2| P.R, Halmos, A Hilbe.rt Space. Problem Book, Springer; 2nd rev, and enlarged ed, edition, 1982. |3| B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted, Countere.xamples in Anahjsis, Holden-dav INC. London, 1964. |4| A. Grav, Modem differentioal ge.ome.try of curve.s and surface.s with Mathe.matica, CRC Press, London, 1998. |5| Martin M. Lipschutz, Schaunvs Outline. of Diffe.re.ntial Ge.ome.try, McGraw-Hill; 1 edition, 1969. |6| N. Prijatelj, Uvod v matematično analizo 2. del, DMFA, Ljubljana, 1999 |7| W, Rudin, Re.al and Comple.x Anahjsis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math; 3 edition, 1986, |8| W, Rudin, Real and comple.x anahjsis, McGraw-Hill, New York, 1987, |9| G, Sehwarz: A pre.te.nder to the title. "canonical Moebius strip." Pacific J, Math, Volume 143, Number 1 (1990), 195-200. 1101 Murrav R. Spiegel, Schaum!s outline. of theory and problems of advanced calculus, Sehaum Publishing CO,, Xew York, 1963. 1111 M. Spivak, Calculus on Manifold.s. Benjamin, Xew York, 1965. 1121 I. Vidav, Višja matematika II. DZS Ljubljana, 1974. 1131 F. Križanič, Temelji realne matematične analize. Državna založba Slovenije, Ljubljana, 1990.