G


G









̌


G  G         ̌  
P 49 (2021/2022) 518
Linearne preslikave
ravninskih likov
B̌ K
Ob gledanju izjemno dodelanih digitalnih grafik
in animacij na današnjih računalniških in TV za-
slonih hitro pozabimo, koliko matematičnega zna-
nja je potrebnega že za prikaz preprostih grafič-
nih objektov v ravnini. V tokratnem prispevku
si bomo ogledali, kako v GeoGebri izdelati aplet za
ponazoritev linearnih preslikav na ravninskih
likih.
V GeoGebri lahko z uporabo ukaza Mnogokotnik
narišemo različne poligonske like tako, da naštejemo
njihova zaporedna oglišča, ki jih program potem po-
veže z daljicami. Če si nato zamislimo zrcaljenje, vr-
tenje, razteg ali podobno preslikavo ravnine, lahko z
njo preslikamo oglišča začetnega lika, jih povežemo
z daljicami in tako dobimo preslikani lik. V ta na-
men si bomo natančneje ogledali preslikave, ki točko
(x,y) preslikajo v točko (ax + by, cx + dy), kjer
so a,b, c, d poljubno izbrani parametri. Take pre-
slikave imenujemo linearne preslikave in jih pogosto
predstavimo s pomočjo množenja matrik:
(
a b
c d
)(
x
y
)
=
(
ax + by
cx + dy
)
.
Učinek linearne preslikave je natanko določen z iz-
biro koeficientov a,b, c, d. Vsaka linearna preslikava
SLIKA 1.
Začetni lik je rdeče,
preslikani pa zelene
barve. Učinek pre-
slikave je odvisen od
vrednosti koeficientov
a,b, c, d; pri trenu-
tni izbiri smo dobili
vrtenje za 90◦ okoli
izhodišča.
G  G         ̌  
P 49 (2021/2022) 5 19
ohranja točko (0,0), poljubno daljico pa preslika bo-
disi v neko točko bodisi v neko daljico; v zadnjem
primeru preslikava ohranja tudi medsebojno vzpo-
rednost daljic.
V našem apletu bomo opazovali učinek različnih
preslikav na lik v obliki črke N, ki jo bomo narisali na
risalno površino. To storimo z naslednjimi koraki:
Vnesemo seznam oglišč mnogokotnika, ki pred-
stavlja črko N v ravnini:
N=(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(3,0),(3,3),
(2,3),(2,2),(1,3),(0,3)
Ustrezni mnogokotnik narišemo z ukazom
mnogN=Mnogokotnik(N).
Na risalno površino vstavimo štiri drsnike a, b,
c, d. Vsak naj zavzame vrednosti med −5 in 5 s
koraki 0.1.
Vrednosti drsnikov zberemo v matriko
A={{a,b},{c,d}}. Začetne vrednosti lahko po-
stavimo na a = 1, b = 0, c = 0, d = 1, kar ustreza
identični preslikavi.
Zdaj sestavimo seznam preslikanih oglišč tako, da
k-to oglišče iz prvotnega zaporedja pomnožimo
z matriko A: AN=Zaporedje(A*Element(N,k),k,
1,Dolžina(N)).
Z ukazom mnogAN=Mnogokotnik(AN) narišemo
preslikano črko N. Izklopimo prikaz odvečnih točk
in obarvamo novi lik z drugo barvo.
Zdaj lahko raziskujemo, kako s spreminjanjem koe-
ficientov a,b, c, d dobimo različne preslikave. Rado-
vednemu bralcu in bralki priporočamo, da se poigra
z naslednjimi nastavitvami koeficientov:
(
2 0
0 1
)
(razteg v smeri osi x)
(
−1 0
0 −1
)
(zrcaljenje čez točko (0,0))
(
0 1
1 0
)
(zrcaljenje čez premico y = x)
(
1 1
0 1
)
(strig v smeri osi x)
(
0.5 0.5
0.5 0.5
)
(pravokotna projekcija na premico
y = x)
(
0 −1
1 0
)
(vrtenje za kot π/2 okrog točke (0,0) v
pozitivni smeri)
Bralec in bralka sta morda opazila, da se pri tovr-
stnih preslikavah točka (1,0) vselej preslika v točko
(a, c), točka (0,1) pa v točko (b,d), ali še natanč-
neje, učinek preslikave je natanko določen s slikama
točk (1,0) in (0,1) oziroma baznih vektorjev. Ta
ugotovitev nam pomaga izbrati vrednost koeficien-
tov glede na želeno preslikavo. Če želimo, denimo,
določiti matriko vrtenja za poljuben kot ϕ v pozi-
tivni smeri okoli točke (0,0), je dovolj iz skice
razbrati, da se pri vrtenju točka (1,0) preslika v
točko (cosϕ, sinϕ), točka (0,1) pa v točko
(− sinϕ, cosϕ). Vrtenju zato ustreza matrika
Vϕ =
(
cosϕ − sinϕ
sinϕ cosϕ
)
.
Podobno bi tudi ugotovili, da zrcaljenju čez premico
skozi točko (0,0), ki z osjo x oklepa kot ϕ, ustreza
matrika
Zϕ =
(
cos 2ϕ sin 2ϕ
sin 2ϕ − cos 2ϕ
)
.
To lahko preizkusimo s približnimi vrednostmi, npr.
za ϕ = π/6. V tem primeru je matrika vrtenja pri-
bližno
(
0.7 −0.5
0.5 0.7
)
, matrika zrcaljenja pa približno
(
0.5 0.7
0.7 −0.5
)
. Bralci in bralke lahko vse to preizku-
sijo tudi sami s svojim apletom.
Popravek k članku Kotaljenje kolesa in število π
V prejšnji številki je v GeoGebrinem kotičku prišlo
do napake pri navodilu za risanje špic v zadnjem
delu članka. Ustrezni ukaz za risanje točk na kole-
su je tocke=Zaporedje(S+(sin(t+2*k*pi/n),
cos(t+2*k*pi/n)),k,0,n-1).
×××