      P 46 (2018/2019) 2 11 Elektromagnetna indukcija in diferencialni prenos A L James Clerk Maxwell je veliko ime v fiziki. V 19. stoletju (okrog leta 1870) je postavil trdne te- melje elektromagnetizma z znamenitimi, po njem imenovanimi Maxwellovimi enačbami, ki veljajo še danes. Pri tem se je oprl na poskuse, ki jih je z veliko zagnanostjo in natančnostjo izvajal Michael Faraday, in se zanašal na nove matematične poti, ki so jih utirali tedanji matematiki. Svoj izjemni talent je James kazal že v rani mla- dosti. Pozorno je opazoval pojave in naprave okrog sebe. Ob neki priložnosti je povprašal očeta, kako deluje ključavnica. Oče se ni spuščal v podrobnosti in je delovanje razložil v grobih potezah. Tudi sam verjetno ni poznal vseh podrobnosti. A James z raz- lago ni bil zadovoljen in je zaprepadenemu očetu ta- kole odgovoril: »Da, oče, a, povej mi natančno, kako ključavnica deluje!« V študijskih letih se je odlikoval s svojim globo- kim razumevanjem fizikalnih pojavov. Njegov tutor pri eksperimentalnem delu je ob neki prilžnosti iz- javil, da na kakršnokoli fizikalno vprašanje James ne more odgovoriti napačno. Prevladuje mnenje, da bi prišel do posebne teorije relativnosti dosti pred Ein- steinom, če bi mu bilo dano živeti dlje časa. Pri študiju elektromagnetnih pojavov si je na za- četku pomagal z mehaničnimi analogijami. Ker je zelo dobro poznal mehaniko, električni pojavi pa so bili tudi zanj povsem novo fizikalno področje, se je novim pojavom približal tako, da je poiskal meha- nične sklope, ki so se odzivali na podoben ali celo enak način kot električni. Vsem znana je analogija med električnim in vodnim krogom. Vodni tok po cevi je analogen električnemu toku, črpalka bateriji in majhna turbina električnemu uporniku. Tlak vode v cevi je analogen električni napetosti. Za dobršen nabor pojavov je ta analogija povsem ustrezna. Po- tovanje nabojev v krogu dostikrat primerjamo tudi s smučanjem na urejenem smučišču z vlečnico. Vleč- nica potegne smučarja na vrh smučišča (naboj v ba- teriji potuje iz nižjega potenciala proti višjemu in tako nasprotuje električni sili), potem pa se smu- čar zabava s spuščanjem po klancu navzdol do vleč- nice (naboj potuje po krogu iz uporovne žice do dru- gega pola baterije). Seveda pa se vsaka analogija slej ko prej konča in postane neustrezna, nerodna in končno tudi nepotrebna. A je pri razlagah dosti- krat izjemno uspešna, saj ponazori nekaj novega na način, ki smo ga vajeni. Nekatere Maxwellove analogije so zapletene in jih pri pouku fizike ne obravnavamo. Druge pa so ge- nialno domiselne in dovolj preproste, da jih je vre- dno omeniti. Ena takih je analogija med indukcijo v dveh električnih krogih in diferencialnim prenosni- kom moči. O tej bo tekla beseda v tem prispevku. Najprej se spomnimo osnovnega poskusa, s kate- rim uvedemo elektromagnetno indukcijo. Na sliki 1 sta dve enaki kovinski zanki blizu skupaj. V prvi imamo vključen napetostni vir in drsni upornik, s katerim spreminjamo tok v zanki. V drugi zanki me- rimo inducirani tok I2 z občutljivim ampermetrom z danim notranjim uporom R. S spreminjanjem upora v prvem krogu se tam spreminja tudi električni tok I1, z njim pa magnetno polje, ki ga ta tok povzroča.       P 46 (2018/2019) 22 SLIKA 1. Kovinski zanki s skupnim magnetnim pretokom Φ. V levo zanko (1) je vključena baterija z drsnim uporom, da lahko na- stavljamo tok I1 po njej. V desni zanki (2) spremenljiv magnetni pretok inducira tok I2, ki ga merimo z ampermetrom (A). Spreminjajoče se magnetno polje pa v drugem krogu zaradi inducirane napetosti požene tok I2, ki skuša zmanjšati magnetno polje; ta nastane zaradi toka v prvem krogu (Lenzovo pravilo). Ker sta kroga enaka in zelo blizu skupaj, je magnetni pretok Φ skozi obe zanki enak. Inducirana napetost v drugem krogu je torej, kot vemo, Ui = dΦ dt , torej enaka hitrosti spreminjanja magnetnega pre- toka. Magnetni pretok skozi zanki pa je posledica obeh tokov v zankah, torej Φ = L(I1 + I2). Z L smo označili induktivnost zank. Inducirana na- petost požene tok I2, ki je po Ohmovem zakonu I2 = − Ui R . S kombiniranjem zgornjih enačb dobimo zvezo dI2 dt = − R L I2 − dI1 dt . Če je upor R dovolj majhen in induktivnost L dovolj velika, lahko prvi člen desne strani zanemarimo in dobimo v tem približku zvezo dI2 dt ≈ − dI1 dt . Hitrosti spreminjanja tokov sta torej po velikosti enaki, a nasprotni. Naraščjoči tok v prvi zanki pov- zroči naraščajoči tok tudi v drugi zanki, le v naspro- tni smeri. Pri superprevodni drugi zanki bi se tokova povsem izničila in ne bi imeli nobenega magnetnega pretoka skozi zanki. Ko se tok I1 skozi prvo zanko ustali, tok I2 skozi drugo zanko zaradi upora hitro usahne. Ko nato tok I1 začnemo zmanjševati, pa se v drugem krogu pojavi tok, ki teče v isto smer kot I1. Tok I2 v tem primeru skuša obdržati magnetni pretok na prejšnji ravni (spet po Lenzovem pravilu) in tako pri tem pomaga toku I1 (glej sliko 2). SLIKA 2. Spreminjanje induciranega toka I2 v odvisnosti od toka I1 Taka povezanost tokov v zanki je nenavadna, saj česa podobnega v vsakdanjem življenju ne najdemo. Ali je mogoče to povezanost kako ponazoriti z me- hanično napravo? Maxwell je tako napravo našel. V Cavendishevem laboratoriju v Cambridgu imajo na ogled model, ki ga je zasnoval Maxwell. Skico mo- dela najdemo na sliki 3, kot so jo objavili v ponatisu originalnega Maxwellovega dela A Treatise on Electri- city & Magnetism. V tem delu originalno ni nikakr- šnega mehaničnega modela, ki bi ponazarjal obrav- navano snov. To potrjuje, da je Maxwell mehanične prispodobe povsem opustil, potreboval jih je le med snovanjem svoje teorije elektromagnetnega polja. Preprostost in ustreznost mehaničnega modela je       P 46 (2018/2019) 2 13 izdajatelja prepričala v tolikšni meri, da ga je pred- stavil v ponatisu. Gre za kolesi (na sliki P in Q), po- vezani z diferencialom, kot ga poznamo iz avtomo- bilskega pogona. Vmesni zobnik je vpet na vztrajnik (R), ki mu lahko spreminjamo vztrajnostni moment J. Ko v dani smeri (denimo v smeri urinega kazalca) pospešeno vrtimo kolo P , se kolo Q pospešeno vrti v nasprotni smeri. Kolo Q rahlo zaviramo. Ko po- spešek kolesa P pojenja in se vrti enakomerno, se kolo Q zaradi zaviranja ustavlja in končno povsem ustavi. Ko začnemo kolo P zavirati, se kolo Q začne pospešeno vrteti v isto smer kot kolo P . Če pove- žemo kotno hitrost ωP kolesa P s tokom I1, kotno hitrost ωQ kolesa Q s tokom I2, imamo analogijo s povezanima električnima krogoma. Da je analogija popolna, se prepričamo, ko analiziramo gibanje de- lov tega modela. Slika 4 ponazarja razmere v diferencialu. Levi zob- nik (p) se vrti s kotno hitrostjoωp, desni (q) pa s ko- SLIKA 3. Maxwellov mehanǐcni model, ki ponazarja indukcijo v elektrǐc- nih krogih. Slika je povzeta iz Maxwellove knjige Treatise on Electricity and Magnetism, ponatisnjene leta 1954. tno hitrostjo ωq. Zobnik na vztrajniku (R) se je zato prisiljen kotaliti po zobnikih p in q s kotno hitrostjo ωR = ωp +ωq 2 . Obodna hitrost zobnika r na stiku z zobnikom p je namreč enaka vRp =ωp̺p +ω3̺r , kjer je z ω3 označena kotna hitrost zobnika r okrog lastne geometrijske osi, ̺p je povprečni polmer zob- nikov p ali q, ̺r pa povprečni polmer zobnika r . Obodna hitrost zobnika r na stiku z zobnikom q pa je vRq =ωp̺p +ω3̺r . Ker je obodna hitrost v geometrijski osi zobnika r vR0 =ωR̺p, kar mora biti enako geometrijski sredini njegovih obodnih hitrosti, je ωR res polovična vsota kotnih hitrosti ωp in ωq. Sili Fp in Fq na stiku zobnikov p in q poskrbita za kroženje vztrajnika (R). Newtonov zakon za vrte- nje povezuje navor, krožni pospešek in vztrajnostni moment vztrajnika takole: J dωr dt = Fp̺p + Fq̺p. Vztrajnostne momente koles (P ) in (Q) ter vztrajno- stni moment vztrajnika okrog njegove geometrijske osi zanemarimo v primeri z vztrajnostnim momen- tom (J) vztrajnika okrog geometrijske osi koles. To pomeni, da je navor sile Fq na kolo (Q) enak zaviral- nemu navoru Me na to kolo in sta sili Fp in Fq enaki, ker morata biti vsota njunih navorov glede na geo- metrijsko os vztrajnika enaka nič. Torej imamo še pogoja Fp = Fg, Fq̺p = Me. Zadnje tri enačbe pripeljejo do zveze: dωq dt = 4Me JR − dωp dt .       P 46 (2018/2019) 214 SLIKA 4. Skica diferenciala pri izpeljavi povezave med kotnima hitrostma ωp in ωq Če za zaviralni navor Me postavimo Me = −kωq, se enačbi pri mehaničnem modelu in električnih kro- gih povsem ujemata. Analogija je torej popolna. Drugačno zaviranje kolesa Q to popolnost le nezna- tno pokvari. Mehanični model je do te mere preprost, da ga lahko izdelamo sami. Prenosni zobniki pri modelu ne prenašajo velikih sil in s tem moči, zato so lahko plastični ali celo izdelani iz lesa. Na sliki 5 je tak model, ki smo ga izdelali v domači delavnici. Kolesi P in Q sta kvadratni, da bolje sledimo njunemu vr- tenju. Kljub majhnosti in znatnemu trenju v zobni- kih deluje dobro. Namesto izvedbe osi, okrog katere se vrti vztrajnik, smo vključili še en zobnik na na- sprotni strani zobnika (r ). Pri tem pa je potrebno poskrbeti, da se zobnika na vztrajniku lahko vrtita v nasprotnih smereh. Kolo Q zaviramo z lahnim priti- skom prsta nanj. Diferencial, ki smo ga tu obravnavali, je sestavni del vsakega avtomobila. Pri našem modelu smo po- ganjali kolo P , pri avtomobilskem diferencialu pa motor poganja vztrajnik, ki nato moč prenese na ko- lesi P in Q. S tem je navor motorja na obe kolesi skoraj enak, čeprav se kolesi vrtita z nekoliko različ- nima kotnima hitrostma ωP in ωQ. Tak pogon omo- goča gladko izpeljavo ovinkov, kjer se notranje kolo glede na ovinek vrti nekoliko počasneje kot zunanje. SLIKA 5. Model, izdelan v domači delavnici. Vtrajnik je dolg 22 cm. ××× www.dmfa.si www.presek.si