α Matematika v šoli ∞ XXII. [2016] ∞ 033-041 Tipam trikotnike I Am Touching Triangles Andreja Verbinc Simona Keber Kumše OŠ Oskarja Kovačiča Ljubljana Σ Povzetek Članek opisuje inkluzijo otrok s posebnimi potrebami, in sicer je pozornost usmerjena na potrebe slepega dečka, ki obiskuje 7. razred osnovne šole in ga poučujeva avtorici članka (Andreja Verbinc, učiteljica matematike, in Simona Keber Kumše, spremljevalka). Učni načrt učitelje zavezuje, da prilagajajo poučevanje matematike učencem s posebnimi potrebami. Ker slep učenec sprejema informacije pri matematiki le po dveh kanalih (slušni in tipni), je treba nove pojme prikazati z modeli, ki so tipni. V članku so predstavljeni tisti, ki so bili uporabljeni pri obravnavi trikotnikov v 7. razredu. Uporabljeni so materiali, ki jih uporabljamo v vsakdanjem življenju, zato jih bodo lahko izdelali in uporabili učitelji matematike ali izvajalci dodatne strokovne pomoči tudi pri svojih rednih urah ali pri individualnem delu z učenci. Ključne besede: matematika, inkluzija, tipni model trikotnika Σ Abstract The article describes the inclusion of children with special ne- eds, focusing on the needs of a blind boy attending the 7th grade of primary school, who is being taught by the authors of the ar- ticle (Andreja Verbinc, mathematics teacher, and Simona Keber 034 Tipam trikotnike α Inkluzija Inkluzija je vključevanje otrok s posebnimi potrebami v družbeno življenje in šolo (Al- len & Schwartz, v Pinterič, A., Deutsch, T., Cankar, F., 2014). Je odpiranje do novega in drugačnega, je pospeševalnik sprememb in preobrazb, ne le ljudi, temveč tudi oko- lij (Rutar e tal., v Pinterič, A., Deutsch, T., Cankar, F. (2014)). Ena izmed definicij, kako opredeliti ali razumeti novejši, sodobni po- jem inkluzije: inkluzija je eden izmed vidi- kov družbene enakopravnosti, demokracije in participacije (Cerić v Pinterič, A., Deut- sch, T., Cankar, F., 2014). Kljub različnim pogledom in nejasnostim glede opredelitve inkluzije in inkluzivnega izobraževanja je problematiko mogoče strniti v tri sklope: inkluzijo je najprej mogoče definirati kot najbolj splošen pojem in proces, opredeli se lahko na področju vzgoje in izobraževanja in kot humani proces vključevanja otrok s po- sebnimi potrebami v redne šole in življenje v družbi (Pinterič, A., Deutsch, T., Cankar, F., 2014). Nekaj avtorjev meni, da inkluzija ni niti teorija niti koncept, temveč gibanje, ki podpira osebe s posebnimi potrebami pri Kumše, attendant). The curriculum obligates teachers to adjust the teaching of mathematics for pupils with special needs. Since a blind pupil receives information in a mathematics class only through two channels (audio and tactile), new concepts must be demonstrated with tactile models. The article presents models which were used for a discussion on triangles in the 7th grade. The materials used are ones which we use in everyday life; the- refore, mathematics teachers or providers of additional profes- sional assistance can make and use them in their regular lessons or during individual work with pupils. Key words: mathematics, inclusion, tactile model of triangle njihovem vključevanju v enakopravno sode- lovanje v življenju družbene skupnosti (Pin- terič, A., Deutsch, T., Cankar, F., 2014). Inkluzijo otrok s posebnimi potrebami je mogoče razumeti z dveh vidikov; z izo- braževalnega in vzgojnega. Inkluzija se po eni strani nanaša na kognitivne vidike, ki so povezani s storilnostjo in učno uspešnostjo, po drugi strani pa na konativne vidike, ki se nanašajo na samodejavnost posamezne- ga otroka in na njegovo vpetost v socialne odnose. Inkluzija je pojem, ki v zadnjem desetletju v strokovnih krogih pridobiva na vrednosti in pomenu. Inkluzija, katere osno- ve so v usmerjenosti v razred in učence, v nenehnem preverjanju metod poučevanja in učenja, v iskanju novih strategij poučevanj za učitelje ter oblikovanju prilagodljivega in podpornega razrednega okolja, kjer učenec s posebno potrebo s sošolci v razredu sou- stvarja dogajanje v razredu, strokovnjaki pa z učitelji v medsebojnem sodelovanju dejav- no izpopolnjujejo metode in nove strategije poučevanj in posledično ustvarjajo prožno in podporno učno okolje (Kobal Grum, D. idr., 2009). Inkluzija ima tudi zakonski okvir in podporo. S sprejetjem novega koncepta 035 vzgoje in izobraževanja oseb s posebnimi potrebami, ki ga prinaša Zakon o usmerja- nju otrok s posebnimi potrebami (2000), naj bi država prenovila vzgojo in izobraževanje otrok s posebnimi potrebami ter zagotovila možnosti vključevanja oseb s posebnimi po- trebami v programe enotnega šolskega siste- ma z upoštevanjem drugačnosti in pravice do izbire. V Konceptu dela je zapisano, da učitelji in drugi strokovnjaki načrtujejo in izvajajo vzgojno-izobraževalni proces po programu osnovne šole in skladno z individualnimi prilagoditvami za slepega učenca. Ti se so- delovalno oblikujejo v strokovno skupino, ki skupaj oblikuje individualizirani program (IP) za učenca. β Od konkretne do abstraktne ravni mišljenja Pri usvajanju nove učne vsebine slepemu učencu omogočimo konkretno izkušnjo, s pomočjo katere bo pozneje prešel na abs- traktno raven mišljenja. Prvi korak: učencu omogočimo konkre- tno izkušnjo v 3D-okolju. V roke dobi tipni model trikotnika iz penaste gume (moosgu- mi) v velikosti, manjši od dlani, da ga lah- ko celostno otipa. Začne ga raziskovati in pri tem pripoveduje, kaj tipa, na primer: tu je vogalček, še en vogalček, pa trije robovi. Hkrati mu pomočnik (spremljevalec slepega učenca) opisuje, kar tipa, pritrdi k pravilnim ugotovitvam in popravi napačne. Skupaj ti- pata trikotnik po robovih, ogliščih in po ploskvi; tako slepi učenec pridobi konkretno izkušnjo, kakšen je trikotnik. Drugi korak: učenec z ravnilom nariše trikotnik in sproti, ko riše, opisuje korake načrtovanja trikotnika na pozitivno folijo (plastična folija, imenovana pozitivna folija, po kateri slepi učenec s konico pisala riše s pomočjo geometrijskega orodja in pri tem za seboj pušča tipno sled); iz modela (3-D) je prešel na ploskev (2-D). Tretji korak: s ponavljajočim, kontinuira- nim izvajanjem prvih dveh korakov; delo v šoli in doma – domače naloge, slepi učenec preide na abstraktno raven mišljenja. Učenec je sposoben opisati trikotnik brez modela, zna povedati, kako označimo oglišča, stra- nice in kote. Hkrati naredi simbolne zapise na računalnik. V praksi to opazimo kot ra- zumevanje snovi – učenec je usvojil pojem trikotnik. γ Vpetost v učni načrt S splošnimi cilji pouka matematike, ki so za- pisani v učnem načrtu, opredelimo namen poučevanja matematike. Učencem s posebnimi potrebami je tre- ba prilagoditi učenje matematike, uporabiti drugačen didaktični pristop in drugačen dostop do tehnologije kot drugim učencem. V takih primerih naj se učitelj matematike o didaktičnih pristopih in uporabi tehnologije odloča v sodelovanju z ustreznimi strokov- nimi službami (Učni načrt matematike). V našem primeru nama z nasveti poma- gajo strokovnjaki, ki so zaposleni na Zavodu za slepo in slabovidno mladino. Enkrat na teden prihaja namreč na šolo izvajat uro do- datne strokovne pomoči učiteljica, ki slepe in slabovidne učence poučuje matematiko. Učencem glede na zmožnosti in druge po- sebnosti prilagajamo pouk matematike tako v posameznih korakih načrtovanja, organizaci- je in izvedbe kot pri preverjanju in ocenjeva- nju znanja (Učni načrt matematike). Slepi deček je prisoten pri pouku mate- matike s preostalim delom razreda, saj pote- 036 ka vzporeden pouk. Z njim je pri vseh urah pomočnik (spremljevalec slepega učenca, ki je dejavno vključen v proces učenja), ki mu pomaga. Za zapise uporablja računalnik z Brajevo vrstico. Prav tako prilagajava zapise za delovne liste, preverjanja in ocenjevanja znanja. Pri pouku matematike razvijamo mate- matične in druge kompetence. Navedene so štiri kompetence iz učnega načrta, ki jih je učenec razvijal pri obravnavi geometrijske vsebine trikotniki. Prva kompetenca – poznavanje, razu- mevanje, uporaba matematičnih pojmov in povezav med njimi ter izvajanje in uporaba postopkov. Dejavnosti, ki sva jih uporabili za razvoj kompetence: prepoznava pojme na modelih, na sliki, v simbolnem zapisu; razla- ga in uporablja pojme in dejstva. Druga kompetenca – sklepanje, posplo- ševanje, abstrahiranje in reševanje proble- mov. Dejavnosti, ki sva jih uporabili za ra- zvoj kompetence: izdela fizične modele za ponazarjanje pojmov in situacij (s konkret- nimi materiali, risanje na pozitivno folijo). Tretja kompetenca – uporaba informa- cijsko-komunikacijske in druge tehnologi- je. Dejavnosti, ki sva jih uporabili za razvoj kompetence: spretno uporablja matematična orodja (ravnilo, šestilo) in računalnik za za- pisovanje. Četrta kompetenca – sporazumevanje v maternem jeziku. Tudi pri pouku matemati- ke, v kontekstu matematičnih vsebin, razvija slušno razumevanje, govorno sporočanje, bralno razumevanje in pisno sporočanje. δ Pripomočki pri spoznavanju trikotnikov Pri matematiki se je pokazalo kot dobro, ko smo dečku nov geometrijski pojem pripravi- li tako, da ga je otipal, nato smo ga prenesli na papir in nazadnje še v simbolni zapis na računalnik z uporabo sintakse Latexa. Ker Brajeva vrstica ne prepoznava podpisanih ali nadpisanih črk in ulomkov, so se odločili za drugačne zapise. Tako na primer vse ma- tematične zapise po dogovoru zapišejo med dva dolarska znaka $ $. Zapis ulomka dve tretjini bi torej bil: $ \frac{3}{10} $. Navedli bova nekaj konkretnih primerov ponazoritev, ki bi jih lahko uporabili tudi pri učencih, ki imajo težave z abstraktnim mišljenjem. Seveda so vsa ponazorila tipna, ker so pripravljena za slepega učenca. Ob vsakem tipnem modelu je treba dečku opi- sati, kaj je pred njim, kaj model predstavlja in kje ga uporabimo. Te modele uporabljava v 7. razredu. Opisali bova, kako sva cilje iz učnega načrta obravnavali in uporabili po- nazorila. Cilji iz sklopa geometrijski pojmi so: a) Usvojijo pojem orientacije na premici in v ravnini. Na modelu številske premice (slika 1) je spoznal, kaj je orientacija na premici. Ob tem je učenec povedal, v katero smer se premika. Točke so si sledile v obeh smereh. Pripravili sva modele likov iz penaste gume (pravokotnik), ki so imeli označena oglišča v pozitivni in negativni orientaciji (slika 2). Pri opisovanju orientacije na rav- nini sva se oprli na orientacijo z vrtenjem kazalcev ure. Položaj številk na uri slepi na- mreč uporabljajo tudi pri položaju hrane, ki jo imajo na krožniku (na 12 je krompir, na 3 je grah in na 6 je meso). b) Označijo oglišča danega lika v zahtevani orientaciji. Na pripravljenih modelih je deček poime- noval in pokazal oglišča, pomočnik pa je ogli- šča označil po njegovih navodilih (slika 3). Tipam trikotnike 037 [Slika 3] Modeli za oznake oglišč v pozitivni orien- taciji c) Opišejo trikotnik (označijo oglišča, stranice, kote). Na različnih modelih trikotnikov iz pe- naste gume (slika 4) je deček skupaj s po- močnikom otipal oglišča, stranice in kote trikotnika. Pomočnik mu je vse pojme tudi poimenoval. Pojem, ki je bil že obravnavan, je bilo tokrat treba ponoviti in prepoznati v novi situaciji, ker sta kraka kota stranici tri- kotnika. Nato je učenec samostojno pokazal in opisal, s katerima stranicama je omejen kot, s katerima ogliščema je omejena strani- ca ali kateri stranici imata skupno oglišče. [Slika 1] Orientacija na premici [Slika 2] Modela štirikotnika za učenje pozitivne in negativne orientacije oglišč 038 [Slika 4] Različni trikotniki iz penaste gume d) Razvrščajo trikotnike glede na kote in stranice. Pripravili sva modele iz slamic (slika 5), ki sva jih nalepili na tršo podlago. Učenec je vsak model otipal, opisal stranice in vrsto notranjih kotov. Vsak model je imel na pod- lagi v brajici zapisano vrsto trikotnika. Ko je novo znanje usvojil, je znal opisati na primer topokotni raznostranični trikotnik. Najprej je z modeli spoznaval različne vrste trikotni- kov, nato jih je lahko tudi razvrščal glede na kote in stranice. [Slika 5] Modela različnih trikotnikov iz slamic e) Spoznajo odnos med dolžinami stranic (trikotniško pravilo). S slamicami sva ponazorili stranice tri- kotnika. Pripravili sva tri možnosti: vsota dolžin dveh stranic je večja od tretje strani- ce (trikotnik lahko sestavimo), vsota dolžin dveh stranic je enaka tretji stranici in vsota dolžin dveh stranic je manjša od tretje (slika 6). Ti modeli so zelo uporabni tudi za dru- ge učence. Pripravimo več modelov, učence razdelimo v skupine, v katerih skupaj ugota- vljajo, kdaj je mogoče sestaviti trikotnik. [Slika 6] Raziskovanje trikotniškega pravila. f) Razlikujejo pojma notranji in zunanji kot trikotnika. Tipam trikotnike 039 Na tršem kartonu je izrezan trikotnik (sli- ka 7). Na tem modelu je učenec lahko otipal notranji kot trikotnika. [Slika 7] Izrezan trikotnik iz kartona Na sliki 8 je prikazan model na pozitivni foliji, na katerem sta tipno označena notra- nji in zunanji kot trikotnika. Učenec je tipal zunanji kot trikotnika. Hkrati ga je opisal in zapisal s simboli na računalnik. [Slika 8] Tipno označena zunanji in notranji kot trikotnika g) Poznajo in uporabljajo vsoto notranjih in zunanjih kotov trikotnika pri račun- skih in načrtovalnih nalogah. Vsoto notranjih kotov sva ponazorili z modelom iz penaste gume (slika 9), pri če- mer smo kote lahko položili enega poleg drugega s skupnim vrhom in tako prikazali vsoto. Deček je opisal, da je vsota notranjih kotov 180 stopinj, naredil pa je tudi simbolni zapis na računalnik, ki je v sintaksi Latex vi- deti tako: $ \alpha +\beta +\gamma =180° $. Enako sva ponazorili vsoto zunanjih ko- tov (slika 10). [Slika 9] Model iz penaste gume za prikaz vsote notranjih kotov [Slika 10] Model iz penaste gume za prikaz vsote zunanjih kotov 040 h) Poznajo in uporabljajo potrebne in za- dostne podatke za skladnost trikotnikov pri načrtovalnih nalogah. Skladne trikotnike sva dečku pripravili na različnih modelih. Na prvi sliki (slika 11) je model iz penaste gume. Na sliki 12 je model iz povoskane vrvice, naslednji je narisan na pozitivni foliji (slika 13). To je standarden pripomoček slepih. Na sliki 14 je prikazan pripomoček za učenje skladnostnih izrekov. Na kuverti je s pisavo za slepe zapisan skladnostni izrek, v njej je model trikotnika, ki je izdelan iz kartona in ima označene pojme iz skladno- stnega izreka. S tem pripomočkom je deček doma utrjeval pojme (zapis na kuverti) in jih hkrati tipal (model v kuverti). [Slika 11] Skladna trikotnika iz penaste gume [Slika 12] Skladna trikotnika iz povoskane vrvice [Slika 13] Skladna trikotnika na pozitivni foliji [Slika 14] Pripomoček za učenje skladnostnih izre- kov ε Sklep Nove pojme sprejemamo po različnih po- teh (vid, sluh, voh, tip, okus). Učitelji se pri obravnavi novih pojmov prevečkrat zadovoljimo zgolj s tem, da učencem poka- žemo sliko pojma, jo opišemo in naredimo simbolni zapis na tablo. Pri tem so lahko učenci prikrajšani, da bi pojem tudi otipali. Voh in okus pri pouku matematike v resnici malokrat vključimo (predlog za medpred- metno povezavo z gospodinjstvom). Vsi otroci danes potrebujejo več konk- retnih izkušenj (da otipajo, vonjajo ali okuša- jo), saj nam različni strokovnjaki sporočajo, da otroci preživijo preveč časa pred računal- niki ali z mobilnimi telefoni, ki pa jim teh izkušenj ne omogočajo. Osnovno šolo obiskujejo otroci, ki potre- bujejo tudi drugačne in prilagojene modele pri usvajanju novih pojmov. Pri izdelavi mo- Tipam trikotnike 041 delov učitelji uporabljamo material iz vsak- danjega življenja. Za dečka, ki od rojstva ne vidi, so tako zelo pomembni tipni modeli. Ob tipanju modela mu učiteljica ali spreml- jevalka opisuje pojem in opiše vse sestavne dele, nato učenec isti pojem otipa na pozitiv- ni foliji in ga sam opiše. V naslednjem kora- ku ga tudi nariše. Na koncu pa sledi še sim- bolni zapis na računalnik. Praksa kaže, da je pot, ki jo uberemo pri obravnavi vsakega ζ Viri in literatura 1. Magajna, L. idr. (2008). Koncept dela. Učne težave v osnovni šoli. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 2. Kobal Grum, D. idr. (2009). Poti do inkluzije. Ljublja- na: Pedagoški inštitut. 3. Pinterič, A., Deutsch, T., Cankar, F . (2014). Inkluzivno izobraževanje slepih in slabovidnih otrok ter mlado- stnikov. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. 4. Žakelj, A. idr. (2011). Program osnovna šola. Matema- tika. Učni načrt. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. novega pojma, prava, saj deček matematične pojme zelo hitro usvaja. Opisali sva vam le majhen del tipnih uč- nih pripomočkov, ki sva jih pripravili in upo- rabili pri pouku ali individualnem delu s sle- pim dečkom. Upava, da ste ob branju članka dobili kakšno zamisel za pripravo didaktič- nega materiala pri poučevanju trikotnikov, saj meniva, da bi konkretne izkušnje lahko koristile tudi drugim učencem.