Geometrij a 


za 

Z e g mnaziie. 

Spisal 

CIX-=11%. ite= 

Po devetnajstem natisku poslovenil 

Celestina,. 

r- -v-del. 
V berilo vtisnenih je 126 slik. 


Lj ubij ani. 

Natisnila in založna Ig, v. Kleinmayr & Fed. Bamberg. 

1883, 


Kazalo. 


Osnovni pojmi o prostornih tvorih. 

Stran 

l.) Ogledovanje kocke . 

2.) Ogledovanje cilindra 2 
3.) Zveza med telesi, ploskvami, črtami in točkami 3 
4.) Preme in krive črte	 4 
5.) Ravne in krive ploskve 6 
6.) Oglata in okrogla telesa . 7 
7.) Geometrija . . 7 

Planimetrija. 

I. Preme črte 7 
1.) Mer premih črt . 7 
2.) O dolžini daljic . 9 
3.) Kakó je meriti daljice . 11 

II. O kotih . . . . 13 
1.) Kakó koti postajajo in kakó jih zaznamenujem o 13 
2.) O velikosti kotov 13 
3.) O iztegnenih, otlih in izbočenih kotih 14 
4.) O pravih, ostrih in topih kotih . . . . 15 
5.) Kakó je meriti kote 16 
6.) O sokotih in sovršnih kotih 18 
7.) O protikotih, izmeničnih kotih in prikotih . 19 

III. O trikotnikih . . 23 
1.) Pojasnila . . 23 
2.) O trikotnikovih stranicah 24 
3.) O trikotnikovih kotih . . . 25 
4.) O jednakosti, podobnosti in skladnosti . . 27 
5.) O načrtovanji trikotnikov in njih skladnosti . 28 
6.) O nekaterih glavnih svojstvih trikotnikovih in njih uporabi . 34 

IV. Četverokotniki . . 42 
l.) Pojasnila . 42 
2.) O kotih č'etverokotnikovih . . 42 
3.) Koliko je vrst četverokotnikov . . 42 
4.) Kakó je načrtovati četverokotnike 45 


skati 

V. Mnogokotniki 48 
l.) Pojasnila . 48 
2.) Cl kotih mnogokotnikovih . . 48 
3.) Kolikovrstni so mnogokotniki. . 49 
4.) Kakó je načrtovati mnogokotnike 50 

VI. 0 veličini premočrtnih likov 51 
l.) Obseg in ploščina . . 51 
2.) Ploščina kvadrata . . 52 
3.) Ploščina pravokotnika . 53 
4.) Ploščina trikotnika	 59 
5.) Ploščina trapeza in trapezoida . 62 
6.) Ploščina pravilnega in nepravilnega mnogokotnika 64 
7.) Pitagorov izrek . . 67 
8 .) Kakó je pretvarjati premočrtne like . 69 
9 .) Kakó je deliti premočrtne like . . . 72 

VII. O podobnosti premočrtnih likov . 75 
l.) O sorazmernosti daljic . . . 75 
2 .) O sorazmernosti premočrtnih likov 77 
3.) O podobnosti trikotnikov 78 
4.) O najimenitnejših svojstvih podobnih trikotnikov . 82 
5 .) Načrtovanje, opirajoče se na podobnost trikotnikov . .. ..84 
6.) O podobnosti mnogokotnikov 88 


Osnovni poj o prostornih tvorih. 

1. Og.*
ledovanje kocke 

l. Kocka (~rfel, slika 1.) zavzima na vse strani omejen 
prostor. Na vse strani omejen prostor imenujemo telo (Kórper). 
Kocka je telo. 
Kocka razprostira se v trojno mer : od desne Slika l. 
na levo, od spredaj navzad, od spodaj navzgor. 
Razsežnost (Ausdehnung) od desne na levo 
imenujemo navadno dolžino (Lange), od spredaj 
navzad širino (Breite) in od spodaj navzgor višin o 
(l+he). 

Vsako telo ima trojno razsežnost : dolžino, širino in višin o 

(globočino, debelino). 

Imenuj različna telesa in pokaži na njih vse tri razsežnosti . Knjiga, 
ravnilo, omara, golska soba, i. t, d .) 

§ 2. Kocko omejuje šestero ploskev (Fldchen). Te so : spodnja , 
zgornja, sprednja, zadnja, desna in leva ploskev . Kocko meječ e 
ploskve so ravne (eben) ploskve. 

Pokaži ploskve, katere mejé šolsko sobo, knjigo, omaro, šolsko tablo . 

Vsaka kockina ploskev razprostira se v dvojno mer, n . pr . 
sprednja ploskev od Ume na levo in od spodaj navzgor . 

Ploskev ima le dvojno razsežnost : dolžina in širin o 
(višino). 

Vse telo meječe ploskve skupaj imenujemo njega površj e 

(Oberjl~che) . 

§ 3. Vsako kockino ploskev omejujejo štirje robovi ali š t i r 

r o b o v n e črte (Kanten, Kantenlinien) . Robovna črta (robovnica 
postane tam, kjer se stikata dve ploskvi . 

* Kocka (od lesa, lepenke ali pločevine), katera se ogleduje, postavi naj 
se takó na mizo ali stojalo, da je jedna njena ploskev proti učencem obrnena . 

Kocka ima vseh skupaj 12 robov : sprednji spodnji, sprednji 
zgornji, sprednji desni, i. t. d. 

Kockini robovi so preme črte (gerade Linien) . 

Vsak kockin rob razteza se le v j e dn o mer, v dolžino. 

Črta ima le jedno razsežnost, dolžino. 
Vse ploskev meječe črte skupaj imenujemo nje obseg ( (Jmfang). 
Črte ni móei narisati, ker je le dolga . Poteze, s katerimi predočujemo 


črte na papirji ali na tabli, imajo razven dolžine zmerom tudi toliko širine i n 
debeline, kolikor treba, da so vidne; te poteze tedaj niso črte, nego le njih 
znamenja. 

4. Vsak kockin rob omejuje dvoje oglišč (Eekpunkte) . Oglišč e 
postane tam, kjer se stikajo tri ploskve . 

Kocka ima vseh skupaj 8 oglišč. Ta so : sprednje doljnje desno, 
sprednje doljnje levo, sprednje zgornje desno, i, t, d . 
Kockina oglišča se ne raztezajo v n o b e dno mer ; ona niso 

niti dolga, niti široka, niti debela . 
Točka nima nikakeršne razsežnosti. 
Točke ne moremo narisati, ker nima nobedne razsežnosti ; moremo si jo 

le misliti. Pike, s katerimi predočujemo točke na papirji, so le znamenja toéek ; 
te pike imajo, če jih naredimo še tako majhne in drobne, vender le zmerom 
nekoliko dolžine, širine in debeline, kajti sicer bi jih ne videli . 

Takisto si ogledamo lahko 
a) pokončno tristranično prizmo, 
b) tetraeder, 


0 pokončno četverostranieno okrajšano piramido . 

2. Ogledovanje cilindra , 
§ 5. Cilinder ali valj (slika 2 .) zavzima na vse strani omeje n 
prostor, tedaj je telo. Razteza se v trojno mer, v dolžino, širino in 
višino ; vender sta mu dolžina in širina jednaki . 

Cilinder omejujejo tri ploskve. Izmed teh sta dve

Slika 2 . 

ravni ploskvi, tretja pa je kriva (krm/trn) ploskev. 

Vsaka izmed obeh ravnih ploskev ima točko, kater a 
je jednako oddaljena od vseh toček obsega. Tako ploskev 
imenujemo krožno ploskev ali krožnino (Kreis,
fl~ehe). 

Cilinder ima le dva roba in le-ta sta krivi črti, 
kateri omejujeta krožniri; te krivi črti imenujemo (črti) 
krožnici (Kreislinien). 


O g li.Š č cilinder nitna. 

Takisto je móči ogledati 

) pokončen stožec, 

b) pokončen okrajšan stožec , 

c) kroglo . 

3. Zveza mea telesi, ploskvami, črtami in točkami . 
6. Meje telesu so ploskve. Ploskev ne nahajamo le zunaj 
na telesu, nego misliti si jih moremo tudi znotraj v njem, kajt i 
vsako telo si mislimo lahko razdeljeno na dele, in skupna meja dveh 
sosednih delov je ploskev . 
Meje ploskvi so črte. Črte niso le na vnanji strani ploskve ; 
tudi znotraj v njej si jih moremo misliti, tvoreče skupno mejo dveh 
sosednih delov ploskve. 

Meji črte sta točki. Točke niso le na koneéh črte, nego tudi 
znotraj v črti in tu tvorijo skupno mejo dveh sosednih delov črte . 

Kjer je kaj omejenega, morajo biti tudi meje ; kjer je tedaj 
telo, morajo biti tudi ploskve ; kjer so ploskve, tam so tudi točke. 
Ploskve, črte in točke niso nikjer same zá-se, nego povsod le 
na telesih. 

Telesa, ploskve, črte in ločke imenujemo prostorne tvore 

(Raumgebilde). 

Telesa, ploskve in črte razprostirajo se v prostoru in zato jih 
imenujemo prostorne količine (Raumgrossen) . 

Telo je prostorna količina trojne razsežnosti, ploskev prostorn a 
količina dvojne razsežnosti, črta prostorna količina le jedne razsežnosti. 
Točka nima nikake razsežnosti, tedaj tudi ni prostorn a 
količina. 

§ 7. Deli telesa so zopet telesa, deli ploskve so ploskve i n 

deli črte zopet črte. 
Ploskev ni del telesa. Če položimo še toliko ploskev drugo na 
drugo, ne bomo dobili nikdar telesa, nego vselej le ploskev . 
Ploskev, ki meji vodo in na vodi plavajoče olje, ni ne od vode ne od 
olja, sploh od nikakeršne tvarine. 

Črta ni ne del ploskve, ne del telesa. Ako položimo še toliko 
črt drugo poleg druge, ne dobimo ne ploskve ne telesa, nego vselej 
zopet le črto. 

Črta, ki je meja med dvema ploskvama, izmed katerih je jedra nudeče , 
druga višnjevo pobarvana, ni ne rudeča ne višnjeva, ta črta sploh nima nikakeršne 
barve. 


Točka ni del črte. Ako zložimo še toliko toček skupaj, ne 
dobimo nikdar črte, nego vselej le točko. 

§ S. Telesa, ploskve, črte in točke so med seboj v tesni zvezi 
ne le gledé omejitve, nego tudi gledé načina, kako postajajo . Pot, 
katero v prostoru premikajoča se točka za seboj pušča, je črta. Ako 
se črta v prostoru premika — toda prema črta ne v svojem podaljšku 
— napisuje ploskev . Telo pa postane, ako se premika ploskev 
v prostoru, toda ne samo v svojem razdaljšku. 

Po zraku letečo iskro vidimo kot črto . Ako povaljamo ravno pobarvan 
drot po listku papirja, ima sled podobo ploskve. Potisnimo deščico z jedno 
njeno mejno ploskvijo v mehko ilovico, potem pa jo vzemimo zopet iz nje : 
globina, katero vidimo v ilovici, je dolga, široka in globoka ; moramo jo tedaj 
za telo smatrati. 

§ 9. Da zaznamenuj emo točko, zapišemo zraven pike, ki 
'o predočuje, črko ali število. Takó pravimo n. pr. točka a, točka 1 . 

Da zaznam e nuj e m o črto, zapišemo na vsako njeno krajišče 
črko ali število in potem izgovorimo te jedno za drugo; n. pr. 
črta ab. 

Ako nam je zaznamenovati ploskev, imenujemo vse črte, 
ki jo mejé. 
Telo p a z aznamenuj em o, imenujoč vse ploskve, ki je mejé . 

i. Preme in krive črte. 
§ 10. Ako se točka vedno v isto mer v prostoru premika, 
nastane prema črta ali prema (gerade Linie, Gerade). Ako pa 
premikajoča se točka svojo mer vedno izpremina, je črta, ki j e 
takó postala, kriva črt a (krumme Linie). 

Prosto padajoč kamen pada v premi črti na zemljo ; če ga pa zaženeš 
napošev, napisuje krivo črto . Napeta nit nam predočuje premo črto . 

Imenuj različna telesa, na katerih so a) preme, b) krive črte . 

§ 11. 1 .) Skozi j e d n o točko moremo brez števila premih čr t 
potegniti, in sicer v vse mogoče meri. 

2.) Ako je pa še druga točka dana, je izmed vseh prejšnjih 
merij preme le jedna sama, v kateri gre prema skozi obe dve točki . 
Dve točki določujeta premo črto po polnem . 

3.) Prema črta je naj k raj š a črta med dvema točkama. Nje 
dolžino imenujemo razdaljo ali r az st oj (Entfernung, Abstand) teh 
dveh toček. 


Za geometrijsko risanje premih črt služi nam ravnilo. 

l.) Načrtaj dve točki ter ji zveži z golo roko s premo črto . 

2.) Načrtaj tri točke, ki ne ležé v jedni premi ter zveži po dve točki s 
premo. Koliko prem je mogoče tu naertati ? 

3.) Koliko premih črt je moči potegniti skoz 4, 5, 6 toček ? 

§ 12 . Neomejeno premo deli vsaka v nji ležeča točka na 
dva dela ; vsak tak del razteza se le v jedno mer neomejeno. Premo, 
katero jedna točka n a pol omejuje, imenujemo trak (Strahi), 
dvema točkama po polnem omejeno premo pa daljico (Strecke) . 
Daljico meječi točki imenujemo nje krajišči (Enclpunkte). 

13. Med krivimi črtami je krožnica najjednostavnejša i n 
najvažnejša. Ako zavrtimo v ravnini daljico .A.0 (slika 3.) okoli 
nepremičnega krajišča O v isto mer toliko, 
da se povrne zopet v svojo prvo ležo, napiš e Slika 3. 
ugo vrteče se krajišče A krivo črto; le-to 
imenujemo krožnico ali krog (Kreislinie, 
Kreis). 

Iz tega, kakó je krožnica postala, izva


jamo, da so vse njene točke jednako oddaljen e 
od točke O, ki je znotraj nje. To točko imenujemo 
zatorej krogovo središče (Mittel


punkt Centrum) . 

Vso v sebe se povračujočo krožnico zovemo tudi periferij o 
ali obod (Peripherie, Kreisumfctng), in vsak njen del, kakor .AB, 
lok (Bogen). 

' Premo, katera veže središče s katero koli točko periferije, 
kakor OA, OB, OC, imenujemo p o l u m e r (Halbmesser, Radius) . 

Polumer kaže razdaljo točke v obodu od središča ; ker so pa vs e 
točke periferije od središča jednako oddaljene, morajo biti v iste m 
krogu vsi polumeri jedqak'. 

Za geometrijsko risanje krožnice služi nam šestil o 

(Cirkel) . 

Načrtaj 

a) kakeršen koli krog ; 

b) z danega središča kakeršen koli krog ; 

c) z danim polumerom krog v kakeršni koli leži ; 

d) krog z danega središča z danim polumerom . 

Kaj tedaj določuje ležo in veličino krogovo po polnem i 


5. navile Irt krive ploskve. 
§ 14. Ploskev, v kateri je moči na vse strani preme 
potezati, imenujemo ravno ploskev ali ravnino (ebene Flache 
Ebene); n. pr. ploskev na kocki, stena v sobi. Ploskev, v kateri s e 
ne dadé na vse strani preme črte potezati, imenujemo krivo ploskev 
(krumme Packe); n. pr. obstranska ploskev na cilindru, na 
kateri se morejo le v jedno mer, ploskev na krogli, na kateri n i 

móči v nobedno mer premih črt potegniti. 

Na kockino ploskev dá se ravnilo na vse strani takó položiti, da ni nikje r 
prostora med ravnilom in ploskvijo ; na krogli ni to mogoče v nohedno mer. --
Kocka stoji lahko z jedno celo ploskvijo na mizi, krogla pa se mize dotika v 
jedni sami točki . Dve ravnini dasta se takó druga na drugo položiti, da s e 
krijeta ; nikdar pa ne more kriti ravnine kriva ploskev . 

Povej več teles, na katerih so a) ravne, b) krive ploskve. 

Kakó se preiskuje z ravnilom, je-li ploskev ravna ? 

§ 15. l.) Skoz jedno samo točko moči je položiti brezštevilno 
ravnin v vseh ležah, ki se le misliti dadé . 

2.) Tudi dve točki še ne določujeta leže ravnini . Mislimo si 
namreč skoz te dve točki premo črto potegneno in skoz le-to ravnin o 
položeno ; ta ravnina da se vrteti okoli preme' in pride na ta način 
še v brezštevilno lež, a v vsaki izmed teh lež gre vender še sko z 
dani dve točki. 

3.) Ako pa vzamemo še tretjo zunaj one preme ležečo točko , 

ima ravnina med vsemi prejšnjimi ležami le jedno tako, da gr e 

ne le skoz oni dve točki v premi, nego tudi skoz tretjo zunaj prem e 

ležečo točko. Skoz tri točke, katere ne ležé v jedni premi črti , 

misliti si moremo tedaj le jedno ravnino položeno . Ravnino do 


ločujejo tedaj tri ne v jedni premi ležeče točke p o 

polnem. 

Paličica in listek papirja zadostujeta, da se to predoči . 

§ 16. Neomejeno ravnino deli vsaka v nji ležeča prema n a 
dva dela; vsak tak del razprostira se le na jedni strani te preme 
neomejeno in zarad tega ga imenujemo n a pol omejeno ravnino . 
Ravnino, katero omejujejo črte po polnem, imenujemo raven li k 
(ebene Figur). Lik je premočrten (gradlinig), krivočrten (krummlinig) 
ali r azno črten (gemischtlinig), kadar ga mejé preme, krive 
ali preme in krive črte. Preme, ki mejé premočrten lik, imenujemo 
nj egi, stranice (~Seiten) . 


O. Oglata in okrogla telesa. 
17. Telo, katero rnejé same ravnine, imenujemo oglato ali 
,r a v n o p lo sk o telo (eckiger, ebenfiachiger Kárper); n. pr. kocka, 
'omara. Telo, katero ne omejujejo same ravnine, imenujemo okro gl o 
krivo plo sk o telo (Tunder, krummf cchiger Kčrper); n. pr. 
dlinder, katerega omejujejo dve ravni in jedna kriva ploskev, krogla, 
Jmtero meji jedna sama kriva ploskev . 

Imenuj več oglatih in tudi več okroglih teles . 

7. Gieometrija . 
18. Nauk o prostornih količinah imenujemo geometrijo . 
Geometrijo delimo na dva glavna dela : na plan i m e tr ij o in 
stereometrij o. 

Planimetrija ali ravninomerstvo je nauk o' svojstvi h 

tistih prostornih količin, ki ležé v jedni in isti ravnini ; stereoln e t r ij a 
ali t e l e s o m e r s t v o pa se peča z onimi prostornimi količinami, 
katerih' si ne moremo v jedni sami ravnini ležečih misliti, neg o 
katere se Še zunaj nje v prostoru raztezajo . 

Planimetrij a. 

L Preme črte., 

L. Mer premih črt. 
§ 19. l.) Premo, katera ima mer svinčnice, t. j. prosto 
viseče niti, katero napenja svinčena krogla, imenujemo vertikaln o 

ali navpično (vertikal, lothreeht). 

Skoz jedno točko da se potegniti le jedna vertikalna prema . 

Ravnino, katero položimo skoz kako vertikalno premo, imenu jemo 
vertikalno ravnino. 

Na papirji ali tabli predočujemo vertikalno črto s premo, 
katero potegnemo od zgoraj navzdol ali pa obratno . 

Potegni na svoji tablic% premo od zgoraj navzdol in potem daj tablici 
tako Ido, da bode prema res vertikalna . 


2.) Premo, katera ima mer paličice, plavajoče na mirni vodi 
ali mer prečke (gredelnice), ki je na obéh stranéh jednako obtežena , 
imenujemo horizontalno, vodoravno ali neprevesno (horizontal, 
wasserrecht, wagrecht) . 

Skoz jedno točko je moči potegniti brezštevilno horizontalnih 
prem. 

Ravnino, v kateri se dadé na vse strani horizontalne črt e 
potezati, imenujemo horizontalno ravnino, n. pr. tla v sobi, 
površje mirno stoječe vode. 

Na papirji ali tabli predočuje nam horizontalno črto prema , 
potegnena od leve proti desni ali obratno. 

3.)Premo, katera ni ne vertikalna ne horizontalna, imenujemo 
poševno (schief oder sch,rág) . 

Naloge. 
L .) Katere rokovne črte in ploskve so vertikalne, katere horizontalne na 
kocki, stoječi na horizontalni ravnini ? 
2.) Katero mer imajo robovi tetraedra, stoječega na horizontalni ravnini ? 
3.) Imenuj druge stvari, na katerih so a) vertikalne, b) horizontalne , 

e) poševne črte. 

4.) Načrtaj več toček v a) vertikalni, b) horizontalni, e) poševni meri. 

5.) Načrtaj v jednakih razdaljah štiri horizontalne črte. 

6.) Takisto načrtaj štiri vertikalne črte . 

7.) Prav tako načrtaj štiri poševne črte, in sicer a) od leve spodaj proti 

desni navzgor, b) od leve zgoraj proti desni navzdol. 

§ 20. Dve premi, ležeči v isti ravnini, imata isto ali različn o 
mer. 

Dve premi, kateri imata isto mer,

Slika 4 . 
.. 

kakor ab in cd (slika 4 .), imenujemo v z p o 


r e dni (parallel); ker sta povsod druga 
ci Id od druge jednako oddaljeni, ne moreta 
se nikdar sniti, če bi ji še takó podaljšali . Da sta ab in cd vzporedni, 
zaznamenujemo takó-le : ab cd. 

Dva vzporedna traka sta v isto mer ali v nasprotno me r 
obrnena, ali ona sta v istem ali pa v nasprotnem smislu vzporedna . 

a i b 

Dve premi črti, ki nimata iste meri , 

Slika 5. 

kateri se tedaj na jedni strani druga 

B drugi bližata, na drugi strani pa druga 

od druge oddaljujeta, kakor AB in CD

E. ___ ___ 
(slika 5.), imenujemo n e v z p o r e d ni (nicht 

parallel) ; zadosti podaljšani morata s e 


9 

v jedni točki sniti. V tem slučaji pravimo, da s e premi s e čet a, 
ter imenujemo skupno točko njiju presečišče (Durchschnittspunkt) . 

Dve nevzporedni premi imenujemo na oni strani, kjer se drug a 
drugi bližata, p rimi č n i (convergirend'), na nasprotni strani pa o d m 
ieni (divergirend). 

Takó sta B.A in DC v mer proti E primični, AB in CD pa 
v nasprotno mer odmični . 

Naloge. 
l.) Moreta-li se dve nevzporedni premi sekati v dveh točkah? Zakaj ne ? 

— Dve premi imata tedaj le j e d n o presečišče . 
2.) Kateri robovi so na kocki vzporedni, kateri niso ? 
3.) Kakšno medsebojno ležo imajo robovi a) tetraedra, b) okrajšane 


piramide? 

4.) Imenuj več stvarij, na katerih so a) vzporednice, b) nevzporednice . 

5.) Ali sta dve vertikalni črti vzporedni? Zakaj nista? — Toda zemeljsk o 
površje je od zemeljskega središča jako oddaljeno, zato se razločujeta za majhne 
daljice na zemlji meri dveh vertikalnih črt takó malo, da ji moremo kar z a 
vzporedni smatrati . 

6.) Imenuj vzporedne črte, ki so a) vertikalne, b) horizontalne, e) poševne . 

7.) Načrtaj premo in potem v kakeršni koli razdalji vzporednico z njo . 

8.) Načrtaj premo in v jednakih razdaljah štiri vzporednice z njo . 

9.) Načrtaj vertikalno premo, zaznamenuj v nji 5 toček in skoz le-te potegni 
vzporednice . 

10.) Kakó se dadé s pomočjo ogelnikov (Winkelbrett) vzporednice potegniti ? 

2. O aolžini aaljio . 
§ 21. Z oziram na dolžino sta dve daljici ali j e d n a k i ali 
nejednaki. 

Dve daljici sta j e d n ak i, ako imata krajišči jedne isto razdaljo, 
kakor krajišči druge . Ako položimo izmed dveh jednakih dalji c 
AB in CD (slika 6 .) izhodišče (Anfangspunkt) 

slika 6.

C druge na izhodišče A. prve in drugo v .A> mer prve, potem mora tudi krajišče D na 
krajišče B pasti ter druga daljica prvo po I

 D 
polnem kriti . 
Ako hočemo zaznamenovati, da sta daljici AB in CD jednaki , 
pišemo : AB CD. 
Dve daljici sta nej ednaki, ako sta razdalji med njiju kra


jiščema nejednaki, in sicer je ona večja, pri kateri sta krajišč i 
drugo , od druzega bolj oddaljeni, druga pa je manjša . Dve nejednaki 
daljici, kakor MN in PR (slika 7.) se ne moreta kriti. 


10 

Slika 7. Znamenje nejednakosti je > ali z; 
MN P.R čitaj : daljica MN je večja nego 
R FE; in ER < MN čitaj: daljica PR je 
manjša od MN. 

Naloge. 

1.) Kakó bodeš s šestilom raziskaval, je-li sta dve daljici jednaki ali 
nejednaki? 
2.) Načrtaj dve jednaki daljici, kateri sta a) horizontalni . b) vertikalni , 
c) poševni . 
3.) Načrtaj tri, štiri take daljice . 

22. Z daljicami se prav takó lahko računa kakor s števili . 
Ako podaljšamo daljico AB (slika 8.) za 
Slika S. daljico BC, je daljica AC tolika, kolikeršn i 
sta daljici AB in BC skupaj, ali AC je 
vsota daljic AB in BC; tedaj 

AC .AB + BC. 

Obratno pa je AB razlika med AC in BC, namre č 

AB = AC — BC. 

Naloge. 

1.) Načrtaj dve nejednaki vzporednici ter določi njiju vsoto in razliko . 
2.) Katero težo je treba dvema daljicama dati, da ji je rnčéi seštevati ali 
odštevati ? 

§ 23. Ako načrtamo na katero koli premo (slika 9 .) jednak e 
daljice AB, BC, CD, . KL, je 

Slika 9 . 
A B C D E F G H K L 


 iiiiii i		Il 

AC 2krat tolika kakor AB, AD škrat AL l0krat tolika kakor 
.AB; na ta način dobimo tedaj 2-, 3-, 4-, . 10kratno daljico AR. 
Zatorej je AC= 2.AB, .AD = 3 AB, AL 10AB; dalje . je 
AE = 2AC, _AL = 5AC, AL = 2AF. 

Obratno pa je AB polovica od .AC, tretjina od AD, 4ti 
AC A.D .AE

del od AE 10ti del od .AL; ali AB AB =


2 4' 
AL AGAJ

AB --=--tudi AC 

3 


Naloge. 
1:) Katera daljica je jednaka v sliki 9. : 


a) vsoti BD + DG? 

b) razliki AE AD ? 

e) trojni daljici AC + CD ? 

d) četvrni daljici AD — CD ? 

2.) Načrtaj daljico, ki je 2-, 3-, 4krat tolika kakor druga dana daljica . 

3.) Načrtaj daljico, katera je 1, 3, 1-dane daljice . 

4.) Načrtaj 10 vzporednic, izmed katerih je druga dvakrat daljša od prve , 
tretja škrat daljša od prve, i. t. d ., deseta tokrat daljša od prve. 

5.) Načrtaj daljico in razpolovi jo . 

6.) Načrtaj štiri vzporednice, izmed katerih je vsaka naslednja le polo vica 
prejšnje. 

7.) Načrtaj več daljic in razdeli jih na oko mereč na 2, 4, 8, 3, 6, 12 , 
5, 10, 7, 9 jednakih delov . 

Kakó se preme geometrijsko delé, pokazali bomo pozneje . 

3. Eakó je meriti dalj ice . 
§ 24. Kadar določujemo kakemu predmetu veličino, pravimo , 
da ga merimo. 

Ako nam je meriti prostorno količino, treba, da vzamemo isto vrstno 
prostorno količino za jednoto in potem moramo poiskati, kolikokrat 
ima dana količina v sebi ono količino, katero smatramo za 
jednoto. Vsako količino je moči meriti le z istovrstno količino, tedaj 
črto le s črto. Ako hočemo tedaj kako daljico meriti, t. j. nje dolžino 
določiti, vzeli bodemo katero koli znano daljico za j e d n o t o 
dolg o st n i meri ter poiskali, kolikokrat ima le-to v sebi ona daljica, 
katero je treba meriti. Število, katero nam to pové, imenujemo 
mersko število (Masszahl) daljice. 

V avstro-ogerski državi je meter jednota novi dolgostn i 
meri. 
Meter (I) delimo na 10 decimetrov (dim) po 10 centi metrov 
(%) po 10 milimetrov (/m,) . 

Pojasni to na meterski palici . 

1000 metrov je 1 kilometer ( i ), 10000 metrov je 1 mirlameter 
(Jly). 

Ako hočemo izmeriti kako daljico, n . pr. črto, katero smo po 
sobi po dolzem potegnili, poskusimo, kolikokrat je ~i meter na t o 
daljico položiti. Ako se dá n. pr. meter natanko 8krat nanjo položiti, 
je nje dolŽina 8krat tolika kakor dolžina metra . V tem slučaji 


12 

pravimo : daljica meri 8 metrov ali ona je 8 metrov dolga, 8 j e 
mersko število daljice oziraje se na meter kot dolgostno jednoto. 

Naloge. 

1.) Izmed dveh daljic je prva 12 011 5d,, 6%, druga 7 n'y 3 d/. 9ejm 
dolga ; kolika je njiju vsota ? 

2.)Ako je (slika 9.) AB = 6 .63 "/, BC = 2 . 26"f, kolika je AC ? 

3.) Izmed dveh drogov meri daljši 2"f 3 cq,,,,, krajši 1 9 df, ; za kolik o 
se razločita njiju dolžini ? 

4.) Izmed dveh drogov meri manjši. 18%,, razlika med obema p a 
znaša 0 .2901; kolik je večji drog in kolika dolžina obeh skupaj ? 

5.) Neka daljica meri 7 'nf 4dlm, 11%, druga pa je 5krat takó dolga ; 
kolika je dolžina drugi ? 

6.) 4°''I 3d‘ 2%, dolgo bruno treba je razžagati na štiri jednake kose ; 
kakó dolg bo vsak kos ? 

7.) Kolika je daljica, ako znaša nje tretjina 1 l 4 ‘ ? 

8.) Neke ceste, ki bo 91/„,, 348 dolga, dodelan je šesti del ; koliko ceste 
je treba še narediti ? 

§ 25. Ako treba daljše črte res meriti, služijo nam m e t e r s k e 
palice (Meterstčlbe), ali merske vrvi c e (Messchnur) ali mersk i 
lanee (Messkette). 

Za merjenje manjših dolžin rabijo nam merila (Masstrzbe) ; 

to so paličice od lesa ali od kovine, na katerih je zaznamenovan a 
dolžina jedne ali več dolgostnih jednot in pa nižji razdelki. 
V sliki 10. je načrtana dolžina decimetra in njega razdelite v 
na centimetre in milimetre . 

Slika 10. 

6 

.I ot 41 o 

111111~i~il I 1111 i t i 11 =

1

I I 1 f 11 I I I I I I I 111 i I I III L 

Naloge. 

1.) Izmeri te - le razsežnosti : a) dolžino in širino šolske table ; b) širin o 

in višino vrat in oken ; c) dolžino, širino in višino šolske sobe . Predno pa v 

resnici kako dolžino meriš, presodi jo vselej poprej na oko mereč, da oko uriš . 

2.) Potegni daljico, povej nje dolžino v % in na oko mereč, in o pra


vosti rezultata prepričaj se s pomočjo gornjega merila . 

3.) Načrtaj dve nejednaki daljici ter določi prav takó njiju dolžino . 

4.) Zveži tri dane točke A, B, C, katere ne ležé v jedni premi, z dalji


cami AB, AC, BC, potem pa določi le-tem dolžino. 

5.) Načrtaj s pomočjo merila daljico, katera meri a) 7 %, b) 

c) 63 . 

6.) Načrtaj daljico, katera meri 4 %, 7 "IM, in podaljšaj jo za 2 % 1 


13 


7.) Načrtaj daljico 58 in skrajšaj jo za 29 "Im . 
8.) Načrtaj 1 e‘ 6dolgo daljico, in potem 2-, 3-, 4-, 5krat toliko daljico . 
9.) Načrtaj daljico, ki meri 6%, in potem nje polovico, tretjino, četrtino , 


petino . 

II. O kotih. 
l. Kak() koti postajajo in kakó jih zaznamenujemo . 
§ 26. Ako potegnemo od točke A (slika 11 .) dva traka AB in .AC, 
razločita se le-ta gledé meri drug od druzega. Veličino razlike med 
merima teh dveh trakov, stikajočih se v skupni točki, imenujem o 

kot (Winkel). Znamenje za kot j e 

Misliti si moremo, da je kot na ta način postal, da se je vrte l 
trak AB v ravnini okoli svojega mejišča A, dokler ni prišel v drugo 
ležo AC; veličina tega vrteža določuje kot . 

S šestilom lahko pokažemo, da koti res takó postajajo. 
Traka AB in AC, katera tvorita kot, 


Slika 11 . 

im.enujemo njega kraka (Schenkel), točko 
pa, v kateri se stikata, njega vrh (Scheitel). 

Kot zaznamenujemo ali s črko pri vrhu, 
ali z majhno črko, katero zapišemo blizo vrh a 
med kraka, ali s tremi črkami, izmed katerih 
izgovarjamo in pišemo najprej črko pri jedne m 
kraku, potem črko pri vrhu in na zadnje črko pri druzem kraku . 
Kot v sliki 11. imenujemo ali kot A, ali kot n, ali kot BAC ali CAB . 

2. O velikosti kotov . 
§ 27. Velikosti k o t o v e ne določuje dolžina krakov, nego le 
velikost vrteža, katerega je treba, da pride jeden krak v ležo 
druzega. Dva kota sta j e d n a k a, ako je treba isto tolikega vrteža , 
da postane vsak izmed njiju. 

Ako položimo dva jednaka kota takó jednega na druzega, d a 
padeta vrh in jeden krak prvega na vrh in jeden krak druzega, 
padel bode tudi drugi krak prvega na drugi krak druzega ; kota se 
tedaj krijeta. 

Dva kota sta n e j e d n a k a, ako ne potrebujeta za svoj postanek 
isto tolikega vrteža. Kateri iz med dveh nejednakih kotov je večji, 


14 

kateri manjši? Kako se prepričaš, kateri izmed dveh nejednaki h 
kotov je večji, kateri manjši, ako položiš jednega na druzega ? 
§ 28. Ako vrtimo v kotu BAC (slika 12.) 
Slika 12 . krak AC od AB okoli vrha A, dokler ne pride 
D 

v ležo AD, postane kot RAD, kateri je tolik, 
kolikeršna sta kota BAC in CAD skupaj, kot 
BAD je tedaj vsota kotov BAC in CAD, tedaj 

BAD BAC + CAD. 
_B Ako zavrtimo v kotu BAD krak AD za 

kot CAD proti .AB, takó da pride v ležo AC, 
ostane nam še kot BAC. Ta kot je tedaj diferenca kotov BAD in 
CAD; zatorej 

B.AC RAD — CAD. 

Koti se dadé tedaj kakor druge količine seštevati in odštevati. 
Katero ležo treba dati vrhu in krakoma dveh kotov, ako ja načrtamo , 
da dobimo njiju vsoto, in katero ležo, da dobimo njiju diferenco ? 

§ 29. Ako so koti AOB, BOC, COD, DOE, EOF (slika 13.) jed


naki, je -AOC 2krat tolik kakor AOB, 
Slika 13. 

AOD škrat tolik, .AOE4krat tolik, AOF 
F 

5krat tolik kakor .AOB, ali <X AOC

E 

= 2 AOB, AOD = 3 AOB, 
AOE = 4 AOB, AOF = .AOB. 
Obratno pa je kot AOB polovica od .AOC, 
tretjina od AOD, četrti del od .AOE in peti 

A del od AOF; ali AOB 2 -AOC 
AOD .AOE AOF.

3 

Naloge. 
L) Imenuj v sliki 13 . vse jednostavne in vse sestavljene kote, in tudi dele , 
s katerih so poslednji sestavljeni . 

2.) Kateri kot je jednak : 
a) vsoti ,X BOC + COE? 
k) diferenci AOF <X COF? 


3.) Načrtaj, na oko mereč, tri kote, izmed katerih je drugi 2krat, tretji 
5krat tolik kakor prvi . 
4.) Razdeli, tudi na oko mereč, kot na dva jednaka dela, na 3, 4, 5, 6 
jednakih delov. 

3. O iztegnenih otlih in izbočenih kotih. 
30. Kot, kateremu ležita kraka z ozirom na vrh v nasprotno 
mer, katera tedaj tvorita premo črto, imenujemo izt eg n en ko t 

&estreckter oder gerader Winkel) . Vsi i ztegn en i koti so je d n a k i. 


15 


Kot, ki je manjši od iztegnenega, 
Slika 14.

imenujemo otel kot (hohler ~O; kot 

B

pa, ki je večji od iztegnenega, izbočen 

kot (erhabener Winkel) . 

V sliki 14. je AOC iztegnen, .AOB otel 
in .AOD izbočen kot. 

Da postane iztegnen kot, treba j e 
natanko polovice vrteža, za otel kot menj , 
in za izbočen kot več nego pol vrteža 
premičnega traka . 

Pri vsakem otlem kotu je na drugi strani krakov tudi izboče n 
kot, sicer pa razumevamo zmerom otel kot, kadar govorimo o kotu 
dveh trakov, če izrekoma nasprotnega ne omenjamo . 

Kot, kateri postane, ako se trak po polnem okoli zavrti, imenu jemo 
poln kot (voller Winkel) . Poln kot je dvakrat tolik kako r 
iztegnen . Otel kot in oni izbočeni kot, kateri je na drugi strani 
krakov prvega, tvorita skupaj zmerom poln kot. 

4. O pravih, ostrih in topih kotih. 
§ 31. Otle kote delimo na prave, ostre in tope. 
Prav kot (rechter Winkel) je polovica iztegnenega, da postane , 


treba, da se zavrti premični trak natanko za četrti del . Zaznamenujemo 
ga navadno s črko R. 

Vsi pravi koti so jednaki. 

Kot, ki je manjši od pravega, imenunujemo 
oster (spitz), in kot, ki je večji 
od pravega, a manjši od iztegnenega, to p 
(stumpf) kot. 

Ako je v sliki. 15 . AOB BOC, 
je vsak polovica iztegnenega kota .AOC, tedaj 
vsak prav kot ; .A.OD je oster, COD top kot . 

Ostre in tope kote imenujemo nasproti pravim kotom tud i 
p oŠ e v n e kote (schiefe Winkel) . 

Naloge. 

Kakšni koti so a) na kocki, b) na tetraedru ? 

2.) Poišči na predmetih v sobi pravih kotov . 

3.) Ob kateri uri tvorita kazalca na uri prav kot, ob kateri uri iztegnen kot ? 

4.) Naertaj prav kot z jednakima krakoma . 

5.) Naertaj prav kot, kateremu je jedeh krak trikrat daljši od druzega . 


§ 32. O dveh prav kot tvorečih premah pravimo : druga stoji 
na drugi pravokotno (senkrecht), ter imenujemo vsako izmed njih 
z oziram na drugo p r a v o k o t n ic o (Senkrechte). O dveh poševen 

kot oklepajočih premah pa pravimo, da stoji druga na drugi p oš 
e vn o (schief). V sliki 15. stoji BO pravokotno na AO, kar pišem o 
takó-le : BO i AO; DO pa stoji poševno na AO ali na CO . 

Naloge. 
L) Kakó stojé drug na druzem robovi a) kocke, b) tetraedra ? 
2.) Pokaži na predmetih v šolski sobi preme, katere stojé druga na drugi 

a) pravokotno, b) poševno . 
3.) Načrtaj premo ter potegni od raznih Loček zunaj nje pravokotnice na njo . 
4.) V čem se razločijo pravokotnice od vertikalnic ? 
5.) Katero mer ima prema, ki stoji pravokotno na a) vertikalni, b) hori


zontalni, c) poševni premi ? 
6.) Je-li izmed dveh pravokotnic jedna zmerom vertikalna, druga hori


zontalna? (Prečka in jeziček pri vagi.) 

7.) Imenuj dve taki pravokotnici, izmed katerih je jedna horizontalna , 
druga vertikalna. 

5. Kak() je meriti kote . 
§ 33. Ako vrtimo daljico AO (slika 16.) v ravnini okoli krajišča 
O takó, da preide s časoma v leže BO, CO, DO, . . ., načrtuje drugo 

krajišče lok kroga, vrteča se daljica pa tvori v svoji vsakokratni 
leži s prvotno težo kot ; lok in kot sta tem večja, za čim več smo 
daljico zavrteli. Ako zavrtimo daljico okrog in okrog, dobimo naj večji 
lok, t. j. obod, in največji kot, ki je ob središči mogoč, j. 
poln kot. 

Ako sta kota AOB in COD jednaka, 

Slika 16. jednaka sta tudi pripadajoča loka AB in CD . 
Ako položimo namreč kot CCD (v ta namen 
si ga izrežimo) takó na kot AOB, da pade 

D vrh O na O, in krak CO na AO, pasti mora 
zarad jednakosti kotov tudi krak DO na BO ; 
a potem se morata tudi loka CD in .AB po 
polnem kriti, kajti vse njiju točke so od O 

jednako oddaljene. 
Takisto lahko dokažemo, da morata kota AOB in COD jednaka 
biti, ako sta loka AS in CD jednaka. 
Iz tega izvajamo : 
l.) V vsakem krogu pripadajo jednakim kotom ob sre


dišči jednaki 
loki. 


17 

2.) V vsakem krogu pripadajo jednakim lokom jednak i 

koti ob središči. 

34. S pomočjo poslednjih dveh izrekov nam je n1k/i veličino 
kotov na jako jednostaven način določevati . 
Jednota ločni meri je ločna stopinja (Bogengrad), t. j. 

360ti del oboda. Treba li nam meriti krogov lok, to preiskujemo, ko


likokrat ima dani lok ločno jednoto v sebi . Da moremo tudi manjš e 
loke meriti, delimo ločno stopinjo na 60 ločnih minut, in ločn o 
minuto na 60 ločnih sekund. Ločne stopinje, minute in sekunde 

zaznamenujemo z 0, ', ". 
Razdelimo li krogov obod na 360 jednakih delov, takó da je vsak 

tak del ločna stopinja, ter potegnemo k vsakemu razdelišču pólumer , 
potem dobimo okoli središča 360 kotov ; vsi ti koti znašajo poln kot, 
ter so med seboj jednaki, ker pripadajo jednakim lokom. Vsak tak kot , 
ki pripada ločni stopinji, imenujemo tudi stopinj o, in sicer k o t n o 
s top i njo (Winkelgrad) . K o t n a s t o p i n j a, t. j. 360ti del polnega 
kota rabi nam kot jednota kotni meri ; delimo jo na 60 kotni h 
minut, in vsako kotno nninuto na 60 kotnih s e k u n d. Kot meriti 

bi morali prav za prav preiskujoč, kolikokrat ima dani kot kotn o 
jednoto v sebi. V resnici pa tega ne preiskujemo neposredno, neg o 
kote merimo posredno s pripadajočimi krogovimi loki takó-le skle


pajoč : Vsak kot ima prav toliko kotnih stopinj, kotni h 

minut in kotnih sekund, kolikor ima ločnih stopinj , 
ločnih minut in ločnih sekund lok, katerega z njegoveg a 
vrha n a čr t am Kotne stopinje, minute in sekunde zaznamenujemo 
prav takó kakor ločne stopinje in njih nižje razdelke z o, , f, 

Vzemimo, da je lok 90 

8o Slika 17 . 

AB (slika 17.) četrti del B 

60

krogovega oboda ter raz


deljen na 90 jednakih 

delov. Ako si mislimo 

vsako razdelišče zvezano 
s središčem O, zaznamenuje 
število stopinj, 
katere ima vsak lok, ob 
jednem tudi število kotnih 
stopinj pripadajočeg a 
kota. 


i'8 

Taká ima kot AOO jedilo stopinjo, ali C A.00 1°, kot A.O.D 
5 stopinj, ali AOD .A.OE = 20°, COF 40°,

5°, 

= 550, AOH 730, .AOB 900. 
Poln kot ima tedaj 360°, iztegnen 180°, otel menj nego 180°, 

izbočen več nego 180°, dalje prav kot 90°, oster menj nego 90°, 
top več nego 90°, a menj nego 180°. 

Naloge. 
1.) Kolik kot napiše kazalec na uri v l, v 2, 5, 12 urah ? 
2.) Kolik kot napiše minutni kazalec v 1 uri, v 1, 5, 10, 30 časovni h 

minutah? 

3.) Kolik kot oklepata kazalca na uri ob 1., 2., 5., 6 ., 8., 9., 11. uri ? 
4.) Poišči vsoto tem-le kotom : 37° 48' 35", 28° 39' in 78° 9' 55". 
5.) Kolika je diferenca kotov 128° 15' 31" in 69° 42' 18" ? 
6.) Izračunaj 2-, 3-, 4-, 5kratnik od 18° 35', od 9° 12' 48" . 
7.) Določi polovico, tretji, četrti, peti del od 72° 27', od 58° 20' . 

Slika 18 . § 35. Kote merimo in na


črtavamo, kadar ni treba posebne 
natančnosti, s pomočjo 
kotomera ali transportérj a 

(Transporteur) . Transportér je 
na stopinje razdeljen polukrog 
(slika 18 .), čegar premer je rob 
AB, zareza C pa središče. 

Naloge. 
1.) Kakó izmeriš s transportérjem kot na papirji ? 
2.) Načrtaj več kotov, presodi njih veličino, najprej na oko mereč, pote m 

pa jih izmeri s transportérjem . 

3.) Potegni z jedne točke v premi na jedni njeni strani več trakov, dobljene, 
drug poleg druzega ležeče kote izmeri in seštej. Kolika jim je vsota? Kolika 
mora biti prava vsota ? 

4.) Potegni s točke tri, štiri ali več trakov, kote okoli te točke izmeri i n 

seštej . 
5.) Kako načrtaš s transportérjem kot, ki ima določeno število stopinj . 
6.) Načrtaj kot, ki ima 20°, 30°, 50°, 90°, 15°, 65°, 24°, 79°, 81°, 100°, 150° , 

142°, 180°, 209°, 270°, 326° . 

G. O okatih in sovršnih kotih . 
§ 36. Dva kota, katera imata isti vrh in jeden skupen krak, 
druga njiju dva kraka po tvorita premo, in sicer v nasprotno mer, 
imenujemo sokota (Iebenwinkel). Ako podaljšamo kotu jeden krak 


19 


vrh, dobimo njega sokot. V sliki 19. je Slika 19 . 
B

AOB sokot od BOC; takisto sta AOI) in 

COD sokota. 

Dva sokota sta zmerom jednaka iztegxlertemu 
kotu ali dvema pravima kotoma ; 
vsota dveh sokotov je jednaka dvema A 
pravima kotoma ali 180°. 

Sokot pravemu kotu je prav kot, ostremu kotu top in topemu oster. 
l.) Kolik je sokot od 63 0 ? 180° — 63° = 117°. 
2 .) Izračunaj sokot od 10°, 39°, 85°, 100°, 134°, 15° 48', 79° 13' 52" . 


§ 37. Dva kota, katera tvorita dve premi na nasprotnih si 
stranéh svojega presečišča, zavemo s o v r š n a kota (ScheitelwinkeO . 
Ako podaljšamo kotu oba kraka čez vrh, do-

Slika 20 .

bimo njega sovršni kot. V sliki 20. sta a in c, 
b in d sovršna kota. 
Oba dva sovršna kota tvorita isti dve 
premi ; te sta pa na jedni strani svojega pre


sečišča druga od druge za toliko odklonjeni, 
za kolikor na drugi. Odtod izvajamo : 

Vsaka dva sovršna kota sta jednaka. 

Da je ta izrek resničen, razvidno je tudi iz zgoraj navedeneg a 
svojstva sokotov. Ker je namreč b sokot od a in c, velja 

a ± b =-.-- 2R, 

b±c=2_R. 

Ako sta pa dve količini jednaki tretji, jednaki sta tudi me d 
seboj tedaj 

a -}--b b + c. 
Ako odštejemo b b, ostane 
a = c; 
ker jednako od jednacega odšteto, da jednako . 

Pokaži na isti način, da je b = d. 

Ako nam je znan izmed štirih kotov a, b, c, d jeden, moči 
nam je določiti druge tri . Vzemimo, da je n . pr. a = 50° ; kolik je c, 
kolika sta b in d? 

7. O protl.kotih, izmeničnih kotih in prikotih . 
38. Dosedaj smo govorili le o kotih s skupnim vrhom ; sedaj 
se hočemo pečati tudi s koti, ki so ob dveh različnih vrhih . Taki 
koti postanejo, kadar preseče dve premi tretja . 

cjx 


Slika 21 . Ako sta .AB in CD (slika 21 .) presekani 
premi, EF pa sekajoča prema ali prečnic a 
A b (Transversale), postane okoli obeh presečišč

 

osem kotov; ti koti imajo zarad važnih svojih 
svojstev in odnošajev posebna imena . 
Kote c, d, m in n, ki so med presekan 
nima premama, imenujemo notranje kote , 
druge štiri, a, b, o, p pa vnanje kote. 

Jeden vnanji in jeden notranji kot ob različnih vrhih, pa na 
isti strani prečnice, zavemo p r o tik o t a (Gegentvinkel) ; protikota sta 
a in m, b in n, c in o, d in p. 

Dva vnanja ali pa dva notranja kota, ležeča ob različnih vrhi h 
in na nasprotni strani prečnice, imenujemo izmenična kota 
(Wechselwinkel) ; izmenična kota sta a in p, b in o, c in n, d in m. 

Dva vnanja ali pa notranja kota, ležeča ob različnih vrhih in 
na isti strani prečnice, imenujemo pri k o t a (1nwinkel). Takó sta 
a in o, b in p vnanja, c in m, d in n notranja prikota. 

N a 1 o g e. 

l.) Poišči v sliki 21 . h kotu a sovršni kot, oba sokota, protikot, izmenični 
kot in prikot ; prav takó h kotu b, k c, d, m, n, o, p. 
2.) Recimo, da je kot a :z= 98° in m = 1100, koliki so potem drugi koti? 
3 .) Poišči protikote, izmenične kote in prikote v sliki 22., I., II, in III . 

Slika 22 . 

I. IT. III. 
A 
C 

A 

\\\ 

A D .F B (. D

FE 

4 .) Povej dalje protikote, izmenične kote in prikote v sliki 23 ., l., in sicer 
vzemi najprej AB in CD, in potem EP' in CD za presekani premi; v II. naj prej 
oziraje se na prečnico AC in potem oziraje se na prečnico BC; v III. za 
vse tam mogoče slučaje. 


21 

39. Posebno znameniti so odnošaji protikotov, izmenični h 
kotov in prikotov, kadar sta presekani premi AB in CD (slika 24.) 
vzporedni. 
Pomikamo li premo AB ob premi EF 

Slika 24.

tal ó navzdol, da ostane vsikdar s svojo prvotno 
težo vzporedna, potem tvori prva z drug o 

vsikdar iste štiri kote, kajti premikajoča se a b 
.AB ne izpremina svoje meri gledé RF. Kadar A 

c 
pride tedaj AC v ložo CD, krijeta se po dv a 
protikota, torej sta jednaka ; vsaka dva izme--Inn 

 

op
nična kota izpremenita se v sovršna kota, sta C


torej tudi jednaka ; po dva prikota postanet a 
sokota, njiju vsota je tedaj jednaka 2 R. Zarad 
tega je 

l.) a = m, 2.) a = p, 3.) a + o = 2R, 
b = n, b = o, b -F-p = 2_R, 
c = o, c n, c-{- m= 2R, 
d = p, d = rn, d -(-n = 2R; tj. : 

Ako preseče dve vzporednici tretja prema, st a 
L) po dva protikota jednaka; 
2.) po dva izmenična kota jednaka ; 
3.) po dva prikota skupaj jednaka dvema pravim a 


kotoma. 

Vzemimo, da je a = 112° ; kolik je vsak izmed ostalih sedmih kotov ? 

Iz ravnokar dokazanega izreka izvajamo : 

Ako sta dva protikota ali dva izmenična kota nejednaka, al i 
ako znašata dva prikota več ali menj od 2R, ne moreta biti presekani 
premi vzporedni ; temveč stikati se morata zadosti podaljšan i 
v točki, in sicer na oni strani, kjer je vsota notranjih prikoto v 
manjša od 2R. 

§ 40. Dve premi, kateri seče tretja taká, da sta dv a 
protikota jednaka, sta vzporedni. 

Ako je (slika 24.) n. pr. a = m, mora biti AB 11 CD. Kajti, ako 
pomikamo AB navzdol proti CD, ostaja kot a le tedaj jednak, kadar 
premikajoča se AB svoje meri ne izpremina, t. j. kadar ostaja AB 
s svojo prvotno ležo vzporedna ; da je tedaj a 7,-m, treba, da je 
tudi zadnja leža CD s prvotno vzporedna . 

Izmed treh svojstev dveh prem, kateri seče tretja, namreč, da 
so protikoti jednaki, izmenični koti jednaki, in da znašata po dv a 


prikota 2R, ni nobedno samo zá-se mogoče, nego kjer je jedno , 
tam sta vsikdar tudi drugi dve. Zatorej izvajamo iz prejšnjega izreka 
še ta-le dva : 

Dve premi, kateri seče tretja takó, da sta dva izmenična 
kota jednaka, sta vzporedni. 
Dve premi, kateri seče tretja takó, da znašata dv a 
prikota skupaj 2R, sta vzporedni. 

Ako tedaj vemo, da sta dva protikota ali dva izmenična kot a 
jednaka, ali da znašata dva prikota skupaj 2 R, moči nam je vsikdar 
sklepati, da sta presekani premi vzporedni. 

Iz tega je razvidna velika važnost, katero imajo protikoti, iz 


menični koti in prikoti. Da bi nam bilo moči za gotovo trditi, d a 
sta dve premi vzporedni, morali bi pokazati, da se še takó podaljšan i 
ne stikata. Takó podaljšati ji pa ne moremo ; zatorej določujem o 
vzporedno leŽo dveh prem kar s koti, katere dobimo, ako presečem o 
te dve premi s tretjo . 

§ 41. Vzemimo, da je (slika 

25.) AB 111N 

Slika 25. 

in CD > MN. 

Ker je a = R, b R, tedaj ct b, 

C morata biti premi AB in CD vzporedni, kajti 
oni tvorita s tretjo MN, katera ji seče, jednake 
protikote . 

Iz tega izvajamo : 
a b Dve premi, kateri stojita na tretj i

M B D N 

pravokotno, sta vzporedni . 

Obratno : Ako stoji jedna izmed dveh vzporednic pravokotno 
na kaki premi, stoji tudi druga pravokotno 
na nji. 

Kajti : Ako je AB _MW in CD 11 AR je a = R in b = a (ker 
sta protikota), torej mora biti tudi b .R, t. j. CD _LII/IN. 
Pravokotnica med dvema vzporednicama kaže njiju razdalj o 
ali r a z stoj. V sliki 25. je BD razdalja vzporednic AB in CD . 
Potegni 2 vzporednici in med njima 6 pravokotnic v jednakih razdaljah . 
§ 42. Recimo, da je (slika 26 .) AB 11

Slika 26. 
DE 
in AC !I DF. Kota m in a imata na isto stran 
obrnene ali v istem smislu vzporedne krak e 
in sta jednaka, kajti oba sta jednaka skupnemu 
protikotu o; tedaj m = a. Kota n in a 
n m		 imata tudi paroma vzporedne krake, toda l e 
-

dva vzporedna kraka sta na isto stran, druga 


dva pa sta na nasprotno stran obrnena . Ker je n -(- ~n = 2R in 
ima, je tudi n 4-a 2R. 
Odtod izvajamo : 

Dva kota, katerih kraki so paroma v istem smisl u 
vzporedni, sta jednaka ; dva kota pa, katera imata l e 
dva kraka v istem smislu, druga dva v nasprotne m 
smislu vzporedna, sta jednaka 2R. 

§ 43. Vzemimo, da je (slika 27.) DE .AB in DF .AC. 
Mislimo si kraka DE in DF kota EDF trdno zvezana in zavrtimo 
ja okoli vrha D za 90°, takó da prideta v leži DE' in DE'. 

V I. so kraki kotov E'DF' in RAC v istem smislu vzporedni ; 
tedaj je Z E'DF' = BAC ter tudi EDF = RAC. 
Slika 27 . 
I. II. 

V II. so kraki kotov RAC in E'DF' tudi paroma vzporedni, 
vender sta dva kraka v istem, druga dva pa v nasprotnem smislu 
vzporedna. Zatorej je E'DF' + BAC = 2 R, tedaj tudi 
EDF+ RAC = 2R. 

Dva kota, katerih kraki stojé paroma pravokotn o 
drug na druzem, sta ali jednaka, ali pa je njiju vsot a 
jednaka 2R. 

Kedaj velja prvo in kedaj drugo ? 

I. O trikotnik h. 
L Pojasnila. 

§ 44. Vsako ravno ploskev, katero omejujejo tri daljice, zovemo 
trikotnik (Dreieck, ~) ; te tri daljice imenujemo njega stranice 
(eiten) in njih vsoto trikotnikov obseg (Umfang) . 


Slika 28-Trikotnik ima šestero sestavin, tri 
stranice in tri kote. V trikotniku ABC 
(slika 28 .) so .AB, AC in BC stranice, A, 

B in C pa koti. Vsaka stranica ima dv a 
priležna kota in jeden nasproten kot ; n. pr . 
stranici AB sta kota _A in B priležna, ko t 
C pa ji je nasproten. 

Katera dva kota sta priležna stranici AC, katera stranici BC? Katera 
kota sta tema dvema stranicama nasprotna ? 
Vsak kot, n. pr. .A, oklepata dve stranici AB in AC, tretja BC 
pa mu je nasprotna . 
Kateri dve stranici oklepata kot B, kateri kot C? Kateri stranici sta kotomaB 
in C nasprotni? 

§ 45. Podaljšamo li v trikotniku 
jedno stranico, potem tvori ta podaljšek 
Slika 29 . s stično trikotnikovo stranico kot, katerega 
imenujemo vnanji kot (Aussenwinkel) 

trikotnikov ; kote v trikotniku pa zovemo 
njega notranje (innere) kote. 

V sliki. 29. je CBD vnanji kot trikotnika 
ABC, njegov sokot ABC je njemu 
priležni, kota BAC in _ACB pa sta njemu 
nasprotna notranja kota trikotnikova. 

Podaljšaj vsako trikotnikovo stranico na obédve strani ; koliko vnanji h 

kotov dobiš na ta način? Kakšna sta po dva izmed njih? Imenuj k vsacem u 
vnanjemu kotu njega notranji priležni in obadva njemu nasprotna kota . 

2. O trikotnikovih stranicah. 
46. V vsakem trikotniku je vsota dveh strani c 
večja od tretje. 

Ta izrek je sam ob sebi jasen ; kajti, če treba od _A. do B priti, 
je oeividno ovinek čez AC in CB (slika 28.) daljši nego prema po t 
čez AB; tedaj AC + BO AB. 

Oziraje se na dolžino stranic delimo trikotnike na : j e d n 
a k osir a n i č n e (gleichseitig), v katerih so vse t r i stranice jednake; 
j e d n a k o k r a k e (gleiehschenklig), v katerih sta le d v e stranici 
jednaki ; in raznostranične (ungleiehseitig), v katerih ni nobedna 
stranica drugi jednaka . 


25 

V sliki 30 . predočuje I. jednakostraničen, II, jednakokra k 
in III. raznostraničen trikotnik. 

Slika 30. 

II . 
C 
Načrta] a) jednakostraničen, b) jednakokrak, c) raznostraničen trikotnik . 

47. Trikotnik si moremo misliti na vsako stranico postavljen ; 
to stranico zovemo potem osnovnico (Grundlinie) . Osnovnici nasprotno 
oglišče imenujemo vrh (Scheitel), in pravokotnico, spuščen o 
z vrha na osnovnico, višino (H~he) trikotnikovo. 
Ako si mislimo trikotnik ABC (slika 31 .) 
na AB postavljen, je AB osnovnica, C vrh in 
CD njVega višina. 
jednakokrakem trikotniku jemljemo 
vsikdar nejednako stranico za osnov nico 
; jednaki stranici imenujemo trikotnikova A. D B 
kraka (Schen1cel). 

Imenuj v sliki. 30., II. osnovnico, vrh in kraka. 

3. O trikotnikovih kotih. 
§ 48. *Da zvemo, kolika je vsota vsem kotom a, b, c kacega 
trikotnika ABC (slika 32.), načrtajmo jih vse okoli istega vrha C 
jednega poleg druzega . V ta namen potegnimo 

skoz C premo DE vzporedno z AB . Na ta Slika 32 . 

način dobimo kota m in n; kot m pa je kakor D --izmenični 
kot jednak kotu a, in kot n kako r 
izmenični kot jednak kotu b . Vsota koto m 
a, b, c je tedaj tolika, kolikeršna je vsota 
kotom m, c, n. Vsota zadnjih treh kotov pa 
je jednaka iztegnenemu kotu ali dvema pra 


vima; zatorej mora biti tudi vsota kotov a, b in c jednaka dvema 
pravima, 


V vsakem trikotniku znaša vsota notranjih tre h 

kotov dva prava ali 180°. 
§ 49. Iz tega važnega izreka izvajamo : 
a) V vsakem trikotniku je vsota dveh kotov manjš a 

od 2R. 

More li imeti trikotnik dva prava kota, ali dva topa kota, ali prav in 
top kot? V vsakem trikotniku morata biti tedaj najmenj dva kota ostra. 
Z ozirom na kote 

Slika 33. 

razločujemo ostrokotn e 

H. III. 
(spitzwinklig), pravo kotne 
(rechtwinklig) intopokotne 
(stumpfwinklig) 

trikotnike . 

V ostrokotnem trikotniku 
(slika 33., I.) so vsi 
koti ostri ; pravokoten 

trikotnik (slika 33 ., II.) ima jeden prav in dva ostra kota in topo koten 
(slika 33., III.) jeden top in dva ostra kota. V pravokotnem 
trikotniku imenujemo pravemu kotu nasprotno stranico 
BO hipotenuzo, prav kot oklepajoči stranici AB in AC pa 
kateti. 

b) Ako sta znana v trikotniku dva kota, najdemo tretji 
kot, odštevši znana dva kota od 180°. 

c) Ako sta dva kota jednega trikotnika jednaka dvem a 
kotoma druzega trikotnika, jednak je tudi tretj i 
kot v prvem trikotniku tretjemu kotu v druzem tri kotniku. 


d) V pravokotnem trikotniku je vsota obeh dveh ostri h 
kotov jednaka pravemu kotu. Ako je tedaj jeden oster 
kot znan, ~i je najti druzega . 

haloge. 
l.) V trikotniku sta dva kota : 
a) 37° in 710 ; d) 45° 32' 18" in 62° 50' 57" ; 
b) 82° » 48°; e) 64° 47' 33" » 77° 18' 41" ; 
č) 50° 48' » 17° 39' ; 108° 5' 29" » 38° 43' 31" ; 
kolik je tretji kot? 
2.) V pravokotnem trikotniku je jeden oster kot 

a) 63°, b) 37°, c) 27° 15', d) 58° 12' 48" ; 

kolik je drugi ? 


50. Prištejemo li (slika 34.) h kotu b vnanji kot m, dobim o 
800 za vsoto, ker sta ta dva kota sokota ; isto vsoto, namreč 180 0 , 
dobimo pa tudi, prištevši h kotu b kota a 

Slika 34. 

m c. Vnanji kot m mora tedaj tolik biti 

C

kakor a in c skupaj . Iz tega izvajamo : 

Vnanji kot trikotnikov je jednak 
vsoti obeh dveh notranjih njemu n e 
priležnih kotov. 

Vnanji kot je torej vselej večji od jed-D 
nega izmed notranjih njemu nasprotnih kotov . 

Naloge. 

l.) V trikotniku sta dva notranja kota 38° 35' 28" in 69° 18' 46", kolik 
je nasprotni vnanji kot ? 

2.) V trikotniku znaša vnanji kot 86°, in jeden izmed notranjih njemu 
nepriležnih kotov 57° 48', kolik je vsak izmed druzih dveh trikotnikovih kotov ? 

3.) Načrtaj ob vsakem trikotnikovem oglišči vnanji kot, kolika je vsota 
vsem tem vnanjim kotom ? 

§ M. Vzamemo li v topokotnem tri ko 
t n i k u ABC (slika 35.) jedno izmed stra-Slika 35. 
nic, oklepajočih topi kot, za osnovnico, n . pr. 
A_B, potem ne more pasti pravokotnica, 
spuščena z vrha na osnovnico, notri v tri kotnik 
; kajti sicer bi dobili trikotnik s topim 
in pravim kotom, kar pa ni mogoče . Višina 

DA 

CD je tedaj zunaj trikotnika, in osnovnic o 
AB treba čez A. podaljšati . 

Načrtaj ostrokoten, topokoten in pravokoten trikotnik in v vsakem vs e 
mogoče višine ter povej potem, kakó v vsakem višina stoji. 

i. O jednakosti, podobnosti in skladnosti . 
§ 52. Dolžina krivi črti je lahko ista kakor kaki premi ; krivočrtno 
omejen travnik ima lahko isto površje kakor četverokoten ; 
četverorobovna posoda drži lahko toliko vode kakor okrogla. V vseh 
teh slučajih je veličina ista, oblika pa različna . Dve prostorni količini 
imata tedaj lahko isto veličino, če tudi nimata ob jednem ist e 
oblike. Dve prostorni količini, imajoči isto veličino, imenujem o 
jednaki (gleich). 

Med dve jednaki količini stavimo jednačaj (=) . 


§ 53. Dve premi črti imata vsikdar isto obliko, da si tudi sta 
različne dolžine ; prav takó imata tudi dva kroga, dve kocki isto 
obliko, če se tudi po veličini razločujeta . Prostorne količine morej o 
imeti tedaj isto obliko, da si tudi niso jednako velike . Dve prostorni 
količini, imajoči isto obliko, zovemo podobni (čihnliclt) . 

Med dve podobni prostorni količini stavimo znamenj e 
§ 54. Dve prostorni količini imenujemo skladni. (congruent) , 
če imata isto veličino in isto obliko, če nista tedaj samo jednaki, 
nego tudi podobni. Dve skladni prostorni količini razločujeta 
se le po mestu, na katerem se nahajata, če položimo drugo n a 
drugo, morata se v vseh svojih razsežnostih skladati, t . j. jedna mora 
drugo po polnem kriti. 
Ker sta dve skladni prostorni količini jednaki in podobni, stavimo 
med nji znamenj e 

Kar smo tu navedli o jednakosti, podobnosti in skladnosti pro


stornih količin sploh, velja tudi za trikotnike . 

5 . O načrtovanji trikotnikov in njih skladnosti . 
§ 55. Dva trikotnika sta skladna, t. j. imata isto veličino in 
isto obliko, če se, drug na druzega položena, po polnem krijeta. 
Da je pa to mogoč-o, morata imeti trikotnika vseh šester o 
sestavin, namreč vse tri stranice in vse tri kote, paroma jednake . 

V skladnih trikotnikih so jednakim stranicam jednaki 
koti nasprotni, jednakim kotom so pa jednake stra nice 
nasprotne. 

Dostikrat pa nam je moči iz menj nego šesterih sestavin sklepati, 
da sta dva trikotnika skladna ; kajti veličina nekaterih stranic 
in kotov trikotnikovih določuje veličino druzih, n . pr. veličina dveh 
kotov določuje veličino tretjega kota. 

Da spoznamo, koliko paroma jednakih sestavin jo potrebnih , 
da sta dva trikotnika skladna, in katere so te sestavine, treba na m 
le preiskovati, ,,s koliko in s katerimi sestavinami je moči načrtati trikotnik 
določene veličine in oblike ; kajti vsi trikotniki, kateri imajo 
te sestavine paroma jednake, so potem skladni . 

l.) Z j e d n o samo dano sestavino, bodi si kot, bodi si stranica, 
moči je načrtati brezštevilno različnih trikotnikov, imajočih ono 
sestavino. J e d n a sestavina tedaj ne določuje -veličine in oblike trikotniku 
. 


2.) Tudi z dvema sestavinama : z dvema kotoma, z jedn o 
stranico in jednim priležnim kotom, z jedno stranico in tej nasprotni m 
kotorn, ali z dvema stranicama, nam je moči načrtati brezštevilno 
trikotnikov, v katerih sta dani sestavini jednaki, druge pa nejednake. 
D v e sestavini tedaj tudi ne določujeta veličine in oblike tri kotniku. 


3.) Ako so dane tri sestavine trikotnikove, morajo biti te : 

a) vsi trije koti ; 

b) jedna stranica in dva kota (dva priležna ali jeden priležen in 

nasprotni kot) ; 

e) dve stranici in kot, katerega le-te oklepata ; 

d) dve stranici in jeden izmed nasprotnih kotov ; 

e) vse tri stranice. 

V trikotniku določujeta dva kota tretji kot ; z dvema kotoma 
pa ni moči načrtati določenega trikotnika, zatorej tudi trije koti ne 
določujejo veličine in oblike trikotniku. Prvi izmed navedenih pet 
slučajev nam tedaj ne podaja toliko, da bi mogli določen trikotni k 
načrtati. 

Treba nam tedaj le še zadnje štiri slučaje preiskati. 
§ 56. Načrtaj trikotnik, ako je dana jedna stranic a 
in dva kota. 

Kota sta ali dani stranici priložila, ali pa ji je jeden priležen, 
drugi nasproten. 
ct) Vzemimo, da je (slika 36 .) a dana stranica, in da znašata 
kota 58 0 in 470 in sta ji priležna. 

Potegni AB=a ; s tem si določil dvoje trikotnikovih oglišč, 
A in B. Načrtaš li v A kot 58° in v B kot 47°, določujeta ti premi 
AC in BC, kateri tvorita s stranico .AB ta dva kota, mer druge in 
tretje trikotnikove stranice ; tretje oglišče C more biti tedaj le presečišče 
teh dveh prem . 

Dane tri sestavine dadé tedaj trikotnik ABC in ta ima po pol


nem določeno veličino in obliko. 

a 


Ako načrtaš z istimi tremi sestavinami drug trikotnik A'B'0', 
ima ta isto veličino in obliko kakor ABC. Položimo li ta dva trikotnik a 
takó jednega na druzega, da padejo njiju jednake sestavine drug a 
na drugo, kriti morata se po polnem ; trikotnika sta tedaj skladna . 

Iz tega izvajamo : 

l.) Jedna stranica in nji priležna kota določujejo tri kotnik 
po polnem. 

2.) (I. izrek o skladnosti.) Dva trikotnika sta skladna, ak o 
imata jedno stranico in tej priležna kota paroma, 
jednake. 
h) Ako so dani v trikotniku jedna stranica, jeden priležen i n 

nasprotni kot, znan je tudi tretji kot ; potem pa je dana jedna stranica 
in tej priležna kota. Ta slučaj izpremenimo tedaj lahko v prejšnj i 
a) in potem velja v obče : Jedna stranica in dva kota določujejo 
trikotnik po polnem . 

Naloge. 

l.) Načrtaj s pomočjo merila in transportérja trikotnik s stranico 1%n, 
9 11%, in priležnima kotoma 69° in 41° . 
2.) Poskusi načrtati trikotnik s stranico 2%, in kotoma 105 0 in 75°. Kakšna 
morata biti priležna kota, da je moči trikotnik načrtati ? 
3.) Načrtaj trikotnik, v katerem meri jedna stranica 27"f., jeden izmed 
priležnih kotov 59° in nasprotni kot 72° . 

4.) Načrtaj pravokoten trikotnik, ako sta dana : 
a) jedna kateta = 15 in priležni ostri kot = 57° ; 
b) jedna kateta = 3 % in nasprotni kot = 63° ; 
c) hipotenuza = 2% in jeden izmed priležnih kotov = 42° . 

§ 57. Načrtaj trikotnik, ako sta dani dve stranic i 
in kot, katerega le-te oklepata. , 

Vzemimo, da sta a in b 
Slika 37 . (slika 37.) dani stranici in da znaš a 

a 

kot, katerega oklepata, 50 0.

Cr 
b Da načrtaš s temi tremi sestavinami 
trikotnik, načrtaj najprej 
kot A = 500, potem pa na njega 
krakih dani stranici a in b. Na 
ta način si določil ležo ogliščem a 

B in C, tedaj tudi tretjo stranico . ABC je potem oni trikotnik, kateri 
ima dane tri sestavine. 

Ako načrtaš z istimi tremi sestavinami še drug trikotnik, imet i 
mora le-ta isto veličino in obliko kakor ABC. 


Iz tega izvajamo : 

1.) Dve stranici in kot, katerega te dve stranici oklepata, 
določujejo trikotnik po polnem. 

2.) izrek o skladnosti .) Dva trikotnika sta skladna , 
ako imata dve stranici in kot, katerega te dve stra nici 
oklepata, paroma jednake. 

Naloge. 
1.) Načrtaj trikotnik s stranicama 2%, in 3 ef.,, kateri oklepata kot 62° . 
2.) Dve daljici merita 17 m in 12 načrtaj z njima trikotnik, v katere m 
znaša kot med njima 1.) 45°, 2.) 82°. 
3.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, čegar krak meri 38' nf,n in kot pri 
vrhu 72°. 
4.) Načrtaj pravokoten trikotnik, čegar kateti merita 2 % 2 in 2 cim, 6 "l.. 
5.) Načrtaj jednakokrak pravokoten trikotnik, v katerem znaša katet a 

58. Načrtaj trikotnik, ako sta dani dve stranici in 
kot, kateri je jedni izmed teh dveh stranic nasproten. 
Dani kot je nasproten ali večji ali manjši izmed danih dve h 
stranic. 

a) Vzemimo, da sta (slika 38.) a in b dani stranici, izmed 

katerih je a > b, in da znaša večji stranici nasprotni kot 71° . 
Načrtaš li kot 71' in n a 

njega kraku AC manjšo stra -Slika 38 . 

	a

nico b, določil si dvoje trikotnikovih 
oglišč, A in C. 
Tretje oglišče B mora biti v 
drugem kraku AB, in sicer 
od oglišča C za daljico a 
oddaljeno; ono mora biti 
tedaj ob jednem tudi v krož nici, 
katero načrtaš s C s polumerom a. Kjer se tedaj sečeta krožnica 
in krak AB, tam je oglišče B. Krožnica pa seče krak AB v 
dveh točkah B in B' in zarad tega dobimo dva trikotnika ABC in 
AB'C. Izmed teh dveh pa ima le prvi trikotnik ABC dane tri sestavine 
; drugi .A.B'C ima sicer tudi dani stranici, nima pa danega kot a 
nego njegov sokot in zato ne zadostuje nalogi. 

Drugi trikotnik, katerega načrtaš z istimi tremi sestavinami , 
imeti mora isto veličino in obliko kakor ABC. 

Iz tega izvajamo : 


32 

1.) Dve stranici in kot, kateri je večji izmed teh dve h 
stranic nasproten, določujejo trikotnik po polnem. 

2.) izrek o skladnosti.) Dva trikotnika sta skladna , 

ako imata dve stranici in kot, kateri je večji izme d 
teh stranic nasproten, paroma jednake. 

Naloge. 

1.) Načrtaj trikotnik, čepr dve stranici znašata 1%, in l etin 5, drug i 
iz med teh stranic nasprotni kot pa 76° . 

2.) Načrtaj pravokoten trikotnik, čegar hipotenuza meri jedna kateta 
pa 3 %,,. 

b) Recimo, da sta (slika 39.) a in b dani dve stranici, in sice r 
a < b, in da znaša manjši izmed teh stranic nasprotni kot 42°. 

Na isti način kako r 
Slika 39. zgoraj pri a) dobimo dva tri 


a 

kotnika ABC in AB'C; obadva 
imata dane tri sestavine,

b 

a različno veličino in obliko . 
Dve stranici in kot, kateri j e 
manjši izmed teh stranic na sproten, 
tedaj ne določujej o 
trikotnika . 

59 . Načrtaj trikotnik, ako so dane vse tri stranice . 
Vzemimo, da so (slika 40 .) a, b, c dolžine danih treh stranic. 
Ako načrtaš daljico = a, določiš dvoje trikotnikovih oglišč , 
A in B. Če je b dolžina drugi 
Slika 40. stranici A C, mora biti tretj e 
oglišče C od A za daljico b 
oddaljeno ; C mora tedaj biti 
v krožnici, katero napišeš z 
A s polumerom b. Da je c 
dolžina tretji stranici BC, 
treba, da je oglišče C tudi v 
krožnici, načrtani z B s polumerom 
c. Tretje oglišče C 
mora biti tam, kjer se sečet a 

te dve krožnici. Ker pa imata 
krožnici dvoje presečišč C in 
C', dobimo dva trikotnika 
ABC in ABC', imajoča dane tri stranice. Toda obadva trikotnik a 
imata isto veličino in obliko ; kajti, če zavrtimo trikotnik ABC' okol i 
AB in ga položimo na trikotnik ABC, krijeta se trikotnika popolnoma . 


33 

Drugi trikotnik, katerega načrtamo z istimi tremi sestavinami , 
mora imeti isto veličino in obliko kakor ABC. 

Odtod izvajamo : 
1.) Tri stranice določujejo trikotnik popolnoma . 
2.) (IV. izrek o skladnosti.) Dva trikotnika sta skladna , 

ako imata vse tri stranice paroma jednake. 
Naloge. 
l.) Načrtaj trikotnik s stranicami 8 
s stranicami 2 1% 6 'n/m, 1% 1 
2 .) Dolžina trem danim daljicam jtremi stranicami trikotnik načrtati. 
%n, , 
e 2%
10lm, 11 
, 3%, in 
takisto druzega 
poskušaj s temi 

3.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, čegar osnovnica meri 24, krak 
pa 19"Im . 

4.) Načrtaj jednakostraničen trikotnik s stranico 1%7, 8 fin . 

§ 60. Načrtaj trikotnik, kateri je z danim trikotnikom 
skladen. 

Da to nalogo rešiš, vzemi tri take sestavine danega trikotnika , 
katere trikotnik popolnoma določujejo in s temi načrtaj novi tri kotnik. 
Najpripravnejše so za načrtovanje vse tri stranice . Najprej 
načrtaj tedaj na kako premo jedno stranico danega trikotnika, potem 
pa načrtaj z nje krajišč z drugima dvema stranicama dva loka , 
katera se see'eta ; to presečišče je tretje oglišče iskanega trikotnika . 

Načrtaj razne trikotnike in k vsacemu skladen trikotnik. 
§ 61. Načrtaj kot, kateri je jednak danemu kotu BAC 
(slika 41.) 

Slika 41 . 

Potegnivši DE načrtaj z A s kakeršnim koli polumerom lok, 
kateri seče kraka danega kota v M in N; z istim polumerom načrtaj 
tudi z D lok, sekajoč DE v E; dalje načrtaj z razdaljo MN 
z E lok, kateri seče z D načrtani lok v F. Ako potegneš sedaj DF, 
je EDF Bil C. 

Kajti DEF A MN (po IV. izreku o skladnosti) ; tedaj 
morata jednakima stranicama EF in MN nasprotna kota EDF in 
MAN jednaka biti. 


34 

§ 62. Vrtimo h narazen kraka kota AB C 

Slika 42. 

(slika 42.), ne izpremenivši jima dolžine, veča s e 
ne le kot, nego tudi krajišči krakov oddaljujeta s e 
bolj in bolj. Ako potegnemo tedaj AC in AD, imata 
trikotfiika ABC in ABD dve stranici paroma jed


naki, namreč AB = AB, BC = BD; tretja stranica 
AD pa je v p ABD večja od tretje stranice 
AC v ABC. Ob jednem je stranici AD nasprotni 
kot ABD v ABD večji nego stranici AC na


sprotni kot ABC v ABC. 
Iz tega izvajamo : 
1.) Ako sta v dveh trikotnikih dve stranici paroma jednaki, 
kota med njima pa nejednaka, nasprotna j e 

večjemu izmed teh kotov tudi večja stranica. 

2.) Ako sta v dveh trikotnikih dve stranici paroma jednaki, 
tretji stranici pa nejednaki, nasproten je večj i 
izmed teh stranic tudi večji kot. 

6. O nekaterih glavnih svojstvih trikotnikovih in. njih uporabi. 
§ 63. Vzemimo, da je (slika 43.) CDL AB.

Slika 43 . 

C Zavrtimo li od CD trak okoli točke C v ležo CA , 
in potem drug trak za isto toliko na drugo stra n 
v Težo CB, potem razločujeta se pravokotna trikotnika 
CDA in CDB, katera smo na ta način dobili , 
le po leži, veličina in oblika pa sta jima jednaki ; 
če položimo tedaj jednega na druzega, krijeta se v 

	 vseh svojih sestavinah popolnoma . Zatorej so te-l e
m n~~ 
B daljice in ti-le koti jednaki : 
1.)AC = BC. Trikotnik ABC je tedaj jednakokrak ; AB je njega 
osnovnica, C pa vrh. 
2.)AD = BD. V jednakokrakem trikotniku ABC razpolavlja tedaj 
prema CD osnovnico A .B. 
3.) a = b. V jednakokrakem trikotniku ABC sta kota na osnovnici 
jednaka. 
4.) c = d. Prema CD razpolavlja torej v jednakokrakem trikotniku 
ABC kot pri vrhu ACB. 
5.) m =z= n. To velja Že po pogoji, ker je CD AB. 


35 

Iz tega premišljevanja izvirajo ti-le izreki : 
V vsakem jednakokrakem trikotniku sta kota n a 
osnovnici jednaka ; ali : Ako sta v trikotniku dve stra nici 
jednaki, jednaka sta tudi njima nasprotna kota. 

V jednakostraničnem trikotniku so vsi koti jedn 
a ki, vsak znaša torej 60 0. 

b) Ako sta jednaka v trikotniku dva kota, jednaki st a 
tudi nasprotni stranici. 

c) Pravokotnica, katero spustimo v jednakokrake m 
trikotniku z vrha na osnovnico, razpolavlja osnovnico 
in kot pri vrhu. 

Višina razpolavlja osnovnico ne le v jednakokrakem nego tudi v 

jednakostraničnem trikotniku . 

d) Prema, katera veže v jednakokrakem trikotniku vr h 
s sredo osnovnice, stoji na osnovnici pravokotno te r 
razpolavlja kot pri vrhu. 

e) Prema razpolavljajoča v jednakokrakem trikotnik u 
kot pri vrhu, pravokotna je na osnovnici ter jo razpolavlj 
a. 

f) Pravokotnica, katero postavimo v jednokokrake m 
trikotniku v sredi osnovnice, gre skoz vrh ter razpolavlja 
kot pri vrhu. 

Naloge. 

L) Kolik je v jednakokrakem trikotniku vsak kot na osnovnici, če je kot 
pri vrhu prav kot ? 

2.) V jednakokrakem trikotniku znaša kot pri vrhu a) 23° 35', b) 65° 10' 36" , 
c) 118° 48' 29" ; kolik je vsak kot na osnovnici ? 
3.) Kolik je v jednakokrakem trikotniku kot pri vrhu, ako znaša kot n a 
osnovniQi a) 150 12', b) 48° 5' 49", c) 730 41' 17"? 
4.) V jednakokrakem trikotniku znaša vnanji kot pri vrhu a) 82° 13' 55" , 
b) 113° 51' 10", c) 136° 17' 32" ; kolik je vsak kot trikotnikov ? 

5.) Vnanji kot, katerega tvori v jednakokrakem trikotniku podaljšana 
osnovnica, znaša a) 120° 53' 37", b) 144° 31' 29", c) 151° 47' 23" ; kolik j e 
vsak kot trikotnikov ? 

6.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, ako sta dana : 
a) osnovnica in priležen kot ; 
b) osnovnica in nasprotni kot ; 
c) krak in kot na osnovnici ; 
d) krak in kot pri vrhu. 


§ 64. Postavi na premo BC v točki A (slika 44.) pravokotnico. 


3* 


36 

a) Prema, katera veže v jednakokrakem trikotniku sredo osnov nice 
z vrhom, stoji na osnovnici pravokotno ( 63, d). Da 

tedaj to nalogo rešiš, načrtaj jednakokrak 
trikotnik M.» takó, da pade njega osnovnica 
v dano premo BO, in dana točka A 
v sredo osnovnice ; točko A in vrh D zvež i 
potem s premo. 

Ako treba tedaj v dani točki n a 

premo pravokotnico postaviti, od .
13 .l~f reži z one točke na obéh stranéh na prem i 
jednake kose, s presečišč načrtaj z isti m 
polumerom dva loka, katera se sečeta v točki. Prema, katera 
veže to presečišče in dano točko, je zahtevana pravokotnica . 

b) Vzemimo, da je dana točka A krajišče dani premi AB, kakor 
v sliki 45. V tem slučaji podaljšaj premo čez to krajišče in 
potem postopaj kakor prej . ee se pa prema čez to krajišče ne 
dá podaljšati, načrtaš zahtevano pravokotnico lahko takó-le : Z 
A načrtaj s kakeršnim koli polumerom lok, sekajoč AB v točk i 
D; z istim polumerom presekaj z D prejšnji lok v E, pote m 
pa napiši z E nov lok, kateri seče skoz D in E potegneno 
premo v F. Prema AF je potem pravokotna na AB. 

Lahko se prepričaš, da si nalogo pra v 
Slika 45. razrešil . Iz načrtovanja je namreč razvidno,

F da je trikotnik ADE jednakostraničen, tedaj 
vsak njegov kot jednak 60 0. Trikotnik AEF 
je jednakokrak, torej sta kota na osnovnic i 
F in EAF jednaka ; ker je pa .AEF 

Ao = 1200, znašata obadva kota na osnovnici 
skupaj 600, tedaj kot EAF 30°. 
Zatorej DAF RAD + EAF

.

A D B 

= 600 + 30° = 90°, in zarad tegaAF AB. 

Naloge. 

l.) Načrtaj jednakostraničen trikotnik, čegar višina meri 1% . 

2.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, ako sta dani : 

a) osnovnica in višina ; 

b) ako sta dana krak in višina . 

§ 65. Načrtaj nad dano daljico kakor hipotenuz o 
pravokoten trikotnik. 


Vzemimo, da je (slika 46.) AB Slika 46 . 
dana daljica in O nje sreda. Naertaš 


' 
z O s polumerom AO polukrog ter po


tegneš s katere koli njegove točke Oprem i 
AC in BC, dobiš trikotnik ACB, kateri 
je pri C pravokoten . 

Kajti, če potegneš CO, je v jednakokrakem trikotniku AO O 
kot m = a, prav takó v jednakokrakem trikotniku BOCn b, tedaj 
tudi vsota m + n jednaka vsoti a I b; koti m, n, b in a pa so 
koti trikotnika ACB, tedaj znaša njih vsota dva prava, zatorej m + n 
ali kot ACB kakor polovica one vsote jeden prav kot. 

Ker je točka C katera koli točka v polukrožniei, dobiš brez številno 
trikotnikov, zadostujočih nalogi, t. j. naloga je nedoločena. 

§ 66. Ako je (slika 47.) AB AD, torej trikotnik ABD jednakokrak, 
sta kota na osnovnici m in n jednaka. Podaljšamo li AD 
do katere koli točke, n. pr. C, ter potegnemo 
BC, potem je kot ABC očividno večj i Slika 47. 
nego m; ACB pa je prav za toliko manjši A 
od n, kajti tretji trikotnikov kot A ostal 
je neizpremenjen. 

V trikotniku ABC je tedaj stranic a 
AC AB in tudi kot ABC > A. C.B. 
Iz tega izvajamo : 
l.) V vsakem trikotniku je večji stranici večji kot nasproten, 
in obratno : 
2 .) V vsakem trikotniku je večjemu kotu večja stranic a 
nasprotna. 

V pravokotnem trikotniku je hipotenuza, v topokotnem trikotniku 
pa topemu kotu nasprotna stranica največja. 

§ 67. Potegnemo li od točke A 
(slika 48.) do preme BC pravokotnico AD 

Slika 48.

in več poševnih daljic, AE, AF, AG, A 
dobimo pravokotne trikotnike A DE, ADI, 
ADG, v katerih je AD kateta, AE, A F AG 
pa so hipotenuze. Ker pa je v pravokot


nem trikotniku hipotenuza večja od katete , 

udi vsaka izmed poševnih daljic AE, B a 
AF, AG večja nego pravokotnica AD . 


Iz tega izvira : 
1.) Pravokotnica je najkrajša prema, katero je moč i 
od kake točke do preme črte potegniti . 

Pravokotnica služi tedaj tudi v to, da merimo razdaljo ali 

razstoj točke od preme. 

Ako je v sliki 48. DE = DF, kriti morata se trikotnika A.DE 
in .ADF, drug na druzega položena, popolnoma ; potem pa je tudi 
AE = AF, t. j. : 

2.) Dve poševni daljici, kateri sta od podnožišč a 
(Fusspunkt) pravokotnice jednako oddaljeni, sta jednaki . 
V pravokotnem trikotniku ADF je kot AFD oster, torej njegov 
sokot .AFG top, in zarad tega v trikotniku AFG stranica AG AF, t. j . : 
3.) Izmed dveh poševnih daljic je ona večja, katera 

je od podnožišča pravokotnice bolj oddaljena. 

§ 68. Vzemimo, da sta trikotnika ABC in ABD (slika 49 .) , 
katera smo načrtali nad osnovnico AB, jednakokraka, da je tedaj 
AC = BO' in AD = B.D. 

Potegnemo li skoz vrha C in D daljico CD, 
Slika 49. potem dobimo trikotnika ACD in BCD; ta dva 
C 

sta skladna, ker imata vse tri stranice parom a 
jednake. Ako tedaj zavrtimo v mislih trikotnik 
ACD okoli daljice CD toliko, da pade na 
trikotnik BCD, krijeta se popolnoma ne le 
oba dva trikotnika, nego tudi daljici AE in 
BE. Koti, kateri se krijejo, morajo biti pa 
jednaki in prav takó tudi daljice. Tedaj je 

1.)a = b in c = d, 
2.) AE = BE, 
3.) m = n, ali CDI AB. 

Ako načrtamo tedaj nad skupno osnovnico dv a 
jednakokraka trikotnika ter potegnemo skoz njiju vrh a 
premo, razpolavlja ta 1.)kota pri vrhih ,

Slika 50. 

e 
2.) skupno osnovnico ter stoji 3.) pravokotno 
na tej osnovnici. 

V prejšnji sliki sta jednakokraka trikotnika 
na nasprotnih stranéh skupne osnovnice. 

Prav takó lahko tudi sklepamo, če sta jednako


kraka trikotnika na isti strani osnovnice kakor 

Tit 

v sliki 50. Izrek, katerega srno tu dokazali, 


39 

velja tedaj, bodi-si d~ sta jednakokraka trikotnika na isti, bodi-si 
da sta na nasprotnih straneh osnovnice. 
§ 69. S pomočjo prejšnjega izreka razrešiš lahko več jako važni h 
nalog. 

Razpolovi dani kot BAC (slika 51. ) 

Da to nalogo razrešiš, treba najprej, d a 

načrtaš jednakokrak trikotnik, v katerem je Slika 51 . 
dani kot BAC kot pri vrhu ; to pa dosežeš, 
ako zvežeš, odsekavši na krakih danega kot a 


jednaka kosa, krajišči M in Potem načrtaj 
nad osnovnico MN še drug jednakokrak tri kotnik 
MND ter potegni skoz vrha premo "ID. 

Na ta način dobiš tó-le razrešitev : 
Da razpoloviš dan kot, načrtaj z 

B 
njegovega vrha lok, kateri mu preseče ob a 
dva kraka; s teh presečišč načrtaj z istim 
polumerom zopet dva loka, katera se sečeta ; prema, katera veže t o 
zadnje presečišče s kotovim vrhom, razpolavlja kot . 

Naloge. 

l.) Načrtaj različne kote in razpolovi jih . 

2.) Razdeli kot na 4, na 8 jednakih delov . 

3.) Potegni v trikotniku z vsakega oglišča premo, razpolavljajočo kot o b 
onem oglišči — kotno r a z p o l o v n i c o (Winkel-Halbierungslinie) . V koliko 
točkah sečejo se vse tri kotne razpolovnice ? 

§ 70. Razpolovi daljico AB 
Slika 52 .

(slika 52.) 

Tu treba načrtati nad AB dva jedna-O 
kokraka trikotnika ter njiju vrha s prem o 
CD zvezati. Razrešitev je tedaj ta-le : 

Da razpoloviš dano daljico, na--7 

črtaj z njenih krajišč loke, izmed katerih s e 
sečeta dva nad in dva pod daljico ; prema, 
katero potegneš skoz te presečišči, razpolavlja 
dano daljico . 

Naloge. 

L) Potegni več daljic in vsako razdeli, najprej mereč na oko in pote m 
geometrijsko na dva jednaka dela . 

2.) Razdeli daljico na 4, na 8 jednakih delov. 
3.) Razpolovi v trikotniku vse tri stranice ter zveži sredo vsake stranice z 


nasprotnim ogliščem s premo — s r e d i š n i c o (Mittellinie V koliko točka h 
sečejo se te središnice? 


4 .) BAzpolovi trikotniku vsako stranico, ter postavi v razpoloviščih pravokotnice 
— sredinske pravokotnice (Mittelsenkrechte). — V koliko točkah 
sečejo se vse tri pravokotnice ? 

71. Spusti na premo BO (slika 53.) s točke A zunaj 
nje pravokotnico. 
Ker je prema, ki veže vrha dveh 
Slika 53 . jednakokrakih trikotnikov, postavljenih 
nad isto osnovnico, pravokotna na tej 
osnovnici, treba tu najprej načrtati tri,/ 
,.,,, kotnik, kateremu je dana točka A vrh , 
B M / . in čegar osnovnica pade v dano prem o 
" 
BC; tak trikotnik pa dobiš, oko na -
črtaš z A z dosti velikim polumerom lok, 
sekajoč dano premo v točkah M in N; 
te točki določujeta osnovnico MN. Ako 

načrtaš nad to osnovnico še drug jednakokrak trikotnik MND te r 
pogneš AD, stati mora AD, tedaj tudi AE pravokotno na BC. 

Da sputiš tedaj s točke pravokotnico na premo, načrtaj 
z one točke z dosti velikim polumerom lok, sekajoč premo v 
dveh točkah ; s teh toček načrtaj zopet z istim polumerom dva loka , 
katera se sečeta. Prema, ki gre skoz to zadnje presečišče in dan o 
točko, je iskana pravokotnica . 

l.) Načrtaj zunaj preme več toček ter spusti od vsake pravokotnico n a 
premo . 

2 .) Načrtaj trikotnik ter spusti z vsakega oglišča pravokotnico na nasprotn o 
stranico — višino . -- V koliko točkah sečejo se vse tri višine ? 

§ 72. Kakó geometrijsko nekatere kote načrtavamo . 
l.) Načrtaj kot a) 90°, b) 45°, c) 135°. 

a) Potegni dve premi, kateri stojita druga na drugi pravo 


kotno (po § 64. ali § 71.) 
b) Načrtaj kot 90° in le-tega razpolovi . 
c) Načrtaj kot 45° in njegov sokot . 

2.) Načrtaj kot a) 60°, b) 30°, c) 120°, d) 150°. 
a) Načrtaj jednakostraničen trikotnik. 
b) Razpolovi kot 60° . 
c) Načrtaj h kotu 60° sokot . 
d) Načrtaj h kotu 30° sokot . 
§ 73. Potegni skoz točko C (slika 54 .) zunaj preme AB 
s to vzporednico. 


Spusti s C na .AB pravokotnico CD, v C 
pa postavi na CD pravokotnico CF; CF in AB 
Slika 54. 
C F 
stojita pravokotno na CD, torej sta vzporedni . 
Nalogo rešiš lahko tudi takó-le : 
Skoz C (slika 55.) potegni premo, katera .A. D 
seče dano premo AB v D, v točki C pa načrtaj 
h kotu BDC jednak protikot. V ta na-Slika 55 . 
men načrtaj z D lok MN, potem s C z istim 
polumerom lok PR in slednjič s P z razstojem 
toéek M in N lok, kateri seče lok PR v R. 
Ako potegneš skoz točki C in R premo, je 
PCR CDB, tedaj CR II _A R 
§ 74. Pomika li se po kraku AE kota A D 
_KAK (slika 56 .) prema kakeršne koli dolžine , 
n. pr. AF vzporedno takó navzdol, da posta-Slika 56 . 
nejo na onem kraku jednaki odseki .AB, BC, A F 
CD, DE ter da pride premikajoča se prem a 
zapored v leže BGL, OHM, DJN, EK, jednaki 
so med seboj tudi odseki .AG, GH, HJ, 
JK, katere smo na ta način na drugem kraku 
AK dobili . 
To izražujemo lahko takó-le : 
B 

Ako razdelimo v trikotniku jedno stranico na ve č 
jednakih delov ter potegnemo skoz vsako razdelišče vzporednico 
z drugo stranico, razdelimo s tem tudi tretjo stranico 
na prav toliko jednakih delov. 

§ 75. Razdeli dano daljico AB (slika 57 .) na več, n. pr. 
5 jednakih delov. 
Skoz krajišče A. potegni trak .AZ, 

Slika 57.

kateri oklepa z dano daljico kateri 
koli kot; potem načrtaj na A Z 
5 jednakih, sicer pa kolikor bodi 
dolzih daljic do C. Ako zvežeš C z 
drugim krajiščem B, dobiš trikotnik 
ACB, v katerem je razdeljena stranica 
AC na 5 jednakih delov ; da razdeliš 
tudi AB na 5 jednakih delov, potegni skoz vsako razdelišč e 
daljice .AC vzporednico s CB. 

Razdeli daljico na 3, 6, 7, 9, 10, 12 jednakih delov . 


.otri i

Ivx _

Četvero 

l. Pojasnila. 
§ 76. Ravno ploskev, katero mejé štiri daljice, imenujemo 

četverokotnik (V-iereck) . 

Vsak četverokotnik .ABCD (slika 58.) ima 
štiri stranice in štiri kote. Vsoto vseh četvero-Slika 58 . 
kotnikovih stranic imenujemo njega obse g. 
Daljico AC, vežočo dvoje nasprotnih oglišč četverokotnikovih, 
zovemo diagonalo (prekotnico). 

Na koliko trikotnikov raztvori diagonala četvero kotnik? 


Koliko diagonal je v četverokotniku mogočih ? 

2. O kotih četverokotnikovih . 
§ 77. Ako potegnemo v četverokotniku ABCD (slika 58 .) diagonalo 
AC, raztvorimo četverokotnik na dva trikotnika in vsi štirj e 
koti četverokotnikovi znašajo prav toliko, kolikor znaša vseh šes t 
kotov v obeh dveh trikotnikih ; koti v obeh dveh trikotnikih pa znašajo 
4R. Iz tega izvajamo : 

V vsakem četverokotniku je vsota vsem kotom jednaka 
štirim pravim ali 360 0. 

Kolik je v četverokotniku vsak kot, ako so vsi *štirje koti jednaki ? 

3. Toliko je vrst četverokotnikov . 
§ 78. Oziraje se na l eŽ o nasprotnih stranic razločujem o 
troje četverokotnike. 

Četverokotnik, v kate -

Slika 59 . 

rem ni nijedna stranica s kako 

I. II. III, 
drugo vzporedna, imenujem o 
trapezoi d (slikaI.)

v59 
Četverokotnik, .katerem, sta 
d v e nasprotni stranici vzporedni, 
drugi dve pa ne, za vemo 
tr a p e z (slika 59., II.) Četverokotnik pa, v katerem sta p o 
dve nasprotni stranici vzporedni, imenujemo vzporednik ali p a ralelog 
r a m (slika 59 ., 111 .) 


Trapez, v katerem sta nevzporedni stranici jednaki, imenujemo 
3 dnakok rak. 

79. Vzemimo, da je (slika 
60.) AB II CD A.D 11 BC, da 

je tedaj ABCD paralelogram . Ako potegnemo 
Slika 60 .

diagonalo BD, sta izmenična kota m in n, 
in prav takó tudi izmenična kota p in r 

jednaka ; zatorej je c'",,)

ABD CBD (po 

I. izreku o skladnosti), tedaj AB = CD in 
D= BC. 
Odtod izvajamo : 
l.) Diagonala deli vsak paralelogram na dva skladn a 
trikotnika. 
2.) V vsakem paralelogramu sta po dve nasprotni stranici 
jednaki; ali : 
Vzporednice med vzporednicami so jednake . 

Iz druzega izreka izvira tudi : 
Pravokotnice med vzporednicami so jednake . 
3 paralelogramu so jednake vse stranice, ako sta jednaki dv e 

stikajoči se stranici . 

Paralelograme delimo tedaj oziraje se na dolžino njih stra


nic na jednakostranične in raznostranične . 

§ 80. Ker je (slika 60.) p — r in n = m, je tudi p In 
r ± m, ali B D. Prav takó pokažeš lahko, da j e 
A = C. 

3 paralelogramu sta tedaj po dva in dva nasprotn a 
kota jednaka. 
Ako je v paralelogramu jeden kot prav kot, pravi so tudi vs i 
drugi; ako je jeden kot poševen, poševni so tudi vsi drugi . 

Oziraje se na veličino kot ov razločujemo torej prav oko t n e 
in p o š ev no k o t n e paralelograme . 

3 paralelogramu znaša jeden kot a) 48° 18', b) 94 0 35' 40" ; kolik je vsak 

izmed ostalih treh kotov? 
§ 81. Oziraje se na 
veličino kotov in strani c 
Slika 01 . 
II. III. IV . 
dobimo te-le štiri vrste paralelogramov 
: poševnokotni 
raznostranični paralelogram 
ali romboid (slika 61 ., I.) ; 


poševnokotni jednakostranični paralelogram ali romb (slika 61 ., II . ) . 
pravokotni raznostranični paralelogram ali pravokotnik (echteck, 
slika 61 ., IM), in pravokotni jednakostranični paralelogram ali kvadrat 
(slika 61., IV.) 

V romboidu niso jednaki niti koti niti stranice, v rombu so 
stranice jednake, v pravokotniku so koti jednaki, v kvadratu so stranice 
in koti jednaki. 

V rombu ima jelen kot a) 58° 12' 43", b) 109° 28' 15"; kolik je vsak 
izmed druzih treh kotov ? 

Četverokotnik, v katerem sta po dve stranici jednaki, toda p o 
dve stikajoči se in ne po dve nasprotni, kakor .ADBC v sliki 49. , 
imenujemo d eltoi d . 

§ 82. Potegnemo li v paralelogramu 
Slika 62. ABCD (slika 62.) diagonali AC in BD, potem 
cev

je .A OB CCD (po J. izreku o skladnosti), 
ker je AB CD, m = n, p r; zatorej 
morajo biti jednakim kotom nasprotn e 
stranice jednake, tedaj AC CO, BO =DO. 

Iz tega izvajamo : 

V vsakem paralelogramu razpolavljata diagonal i 
druga drugo. 

Razven tega lahko dokažeš, uporabljujoč izreke o skladnost i 
trikotnikov, da imajo diagonale v paralelogramih še ta-le svojstva : 

l.) V pravokotniku sta diagonali jednaki. 
2.)V rombu stojita diagonali pravokotno druga na drugi, 
3.) V kvadratu sta diagonali jednaki ter stojita pravo 


kotno druga na drugi . 

§ 83. Ako potegneš v trapezu ABCD (slika 63.) CE II DA , 
razstaviš ga na paralelogram OECD in trikotnik ECB ; le-temu so 
stranice obe nevzporedni stranici trapezovi in 

Slika 63 . diferenca njega vzporednih stranic . 

.p C Ako je trapez ABCD jednakokrak, jednakokrak 
je tudi trikotnik EBC, tedaj kot 
B CEB 

Iz tega izvajamo : 
l.) V jednakokrakem trapezu sta kota na vsaki vzporedni 
stranici jednaka. 


45 

2.) Obratno : Trapez je jednakokrak, ako sta kota n a 
kateri koli vzporedni stranici jednaka . 

§ 84. Paralelogram si mislimo lahko postavljen na katero koli 
stranico, le-to smatramo potem za osnovnico, pravokotnica, kater o 
spustimo na osnovnico od nasprotne stranice, je potem njega višina . 

3 pravokotniku je jedna izmed dveh stikajočih se stranic 
osnovnica, druga pa višina. 

3 kvadratu smatramo lahko vsako stranico za osnovnico al i 
višino . 

3 trapezu je višina pravokotnica, katero spustimo od jedn e 
izmed obeh vzporednic na drugo . 

i. Kakó je načrtovati četverokotnike . 
§ 85. Načrtaj z dano stranico a (slika 64.) kvadrat. 

Načrtaj si najprej prav kot A, potem pa 
odreži na njega krakih AD AB = a ter načrtaj 
z B in D z istim polumerom a dva loka, Slika 64. 

 a 

katera se sečeta v C. Ako potegneš BC in CD,
je ABCD zahtevani kvadrat. D c 

Ako načrtaš z isto stranico a še drug kvadrat, 
imeti mora le-ta isto veličino in oblik o 
kakor prvi, tedaj mora biti s prvim skladen. 

Katere sestavine določujejo tedaj kvadrat po A B 
polnem ? 

Naloge. 
t.) Načrtaj kvadrat, *éegar stranica meri 24,n . 
2.) Načrtaj kvadrat, kateri ima 1 dim, v obsegu . 
3.) Načrtaj kvadrat, kateri ima isti obseg kakor dan pravokotnik . 
4.) Načrtaj kvadrat, čegar diagonala meri 26'nl.m . 
86 Načrtaj pravokotnik, ako sta dani dve stikajoč i 
se stranici a in b (slika 65.) 

Načrtaj prav kot A. in AB = a, AD b, Slika 65, 
potem pa napiši dva loka, in sicer z B s polu- - a 
merom b in z D s polumerom a ; presečišče 

C b 

je četrto oglišče zahtevanega pravokotnika . 

Dva pravokotnika sta tedaj skladna, če D 
imata dve stikajoči se stranici paroma jednaki. 

Koliko in katere sestavine tedaj določujejo pravo 


kotnik po polnem? A B 


46 

Naloge. 
l.) Načrtaj pravokotnik s stranicama 26 in 18 1 . 
2.) Načrtaj pravokotnik, ako sta dani stranica 22 ,n‘ in diagonala 
31 
3.) Načrtaj pravokotnik, čegar diagonala meri 32 in v katerem oklepata 
diagonali kot 60° . 
§ 87. Načrtaj paralelogram, ako sta dani dve stranic i 
a in b in kot, n. pr. 70°, katerega te dve stranici oklepat a 

(slika 66.) 
Najprej načrtaj kot 
Slika 66 . A_ = 70° ter naredi AB = a, 
a D .AD b, potem pa napiši z 
B in D s polumeroma a in b 
dva loka, katera se v C sečeta, 
ABCD je zahtevani pa-
M' 
ralelogram . 
Koliko in katere sestavine določujejo 
tedaj po polnem a) romb , 
b) romboid ? 
Naloge. 

l .) Načrtaj romb , 

a) ako sta dana stranica in jeden kot (34,n, 30 0) ; 
b) ako sta dani stranica in jedna diagonala (24'nim, 32'Ira) , 
c) ako sta dani obe dve diagonali (189 , 289) . 

2 .) Načrtaj romboid, 

a) ako sta dani dve stranici (25in 33) in kot med njima (600) ; 
b) ako sta dani dve stranici in jedna diagonala (22, 29'''fll~,n , 35 ; 
c) ako sta dani obe dve diagonali in kot med njima (36 , 43 m, 600). 

§ 88. Načrtaj tra -
Slika 67. pez, ako je dana jedn a 

a 

vzporedna stranica a, 
obe nevzporedni stranici 
b in c in kot (68 ° 
katerega oklepata stra nici 
a in c (slika 67 .) 

B Načrtaj kot .A. 68° in 

naredi AB = a, Al) c. 
Skoz D potegni potem vzporednico z AB ter načrtaj z B s polumerom 
b lok, sekajoč ono vzporednico v C. Ako potegneš še BO, dobiš trapez 
ABC.D, kateri ima vse štiri dane sestavine . 


Koliko in katere sestavine določujejo po polnem a) trapez sploh, b) jednakorak 
trapez ? 

Ako sta med danimi sestavinami obe vzporedni stranici, načrtaš trapez s 
pomočjo trikotnika, čegar osnovnica je jednaka diferenci obeh vzporednih stranic . 

Naloge. 

l.) Načrtaj trapez, čegar vzporedni stranici merita 28in 22'mf,., jedna 
nevzporedna stranica pa 17, in v katerem oklepata le-ta in prva vzporedna 
stranica kot 60 0. 

2 .) Načrtaj trapez, 
a) ako sta dani obe vzporedni stranici in kota, katera sta jedni izmed 
teh stranic priležna ; 
b) ako sta dani obe vzporedni stranici, jeden izmed priležnib koto v 
in višina ; 
c) ako sta dani obe vzporedni stranici, jedna nevzporedna stranica 
in jeden kot , 
d) ako sta dani obe nevzporedni stranici, jedna vzporedna stranica i n 
jeden kot . 

3.) Načrtaj jednakokrak trapez , 
a) ako sta dani obe vzporedni stranici in višina (28 , 2 e‘,, 16 "lin ) 
b) ako sta dani obe vzporedni stranici in jeden kot (32 "Im, 24, 1205 
c) ako sta dani obe vzporedni stranici in jedna nevzporedna stranic a 

(26,n,, 32 %,, 18,n) . 

§ 89. Načrtaj četverokotnik, kateri je skladen z 
danim četverokotnikom ABCD (slika 68. ) 
Potegneš li diagonalo 
Slika 68.

BD ter načrtaš Ls,. BIK 

ABD in nad FH FGH 
BCD, potem je četverokotnik 
EFGHc2_') ABCD. Si, 
cer pa ni treba diagonale BD 

res potegniti in trikotnikov po A 

polnem načrtati, kajti glavna 
stvar je, da določiš novemu četverokotniku vsa štiri oglišča E, F, G, _H; 
ta pa določiš z ozirom na prejšnje načrtovanje takó-le : 


Načrtaj EF AB, z E in F napiši potem s polumeroma A D 
in BD dva loka, katera se sečeta v H; dalje napiši s F in H s polumeroma 
BC in DC dva loka, katera se v G sečeta ter potegni EH, 
HG in GF. 


V. Mnogokotnik 
1. Pojasnila. 
§ 90. Vsako od več daljic omejeno ravno ploskev imenujemo 
mnogokotnik ali poligon (Vieleck, Polygon). 

Mnogokotnik ima prav toliko stranic, kolikor kotov, vsaki stra nici 
sta dva kota priležna in vsak kot oklepata dve stranici . 

Mnogokotnik ima tri, štiri, pet, šest, . . stranic in po tem ga 
imenujemo trikotnik, četverokotnik, peterokotnik, šestero kotnik, 
i. t. d. 

Daljico, vežočo dvoje oglišč, ki nista v isti stranici, imenujem o 
diagonalo. 

Ali je ~i v trikotniku diagonalo potegniti ? 

Koliko diagonal moreš potegniti v četverokotniku od jednega oglišča, i n 
na koliko trikotnikov raztvoriš na ta način četverokotnik ? 

Koliko diagonal moreš potegniti od jednega oglišča v peterokotniku, koliko 
v šestero - , deseterokotniku, in na koliko trikotnikov raztvoriš na ta nači n 
petero-, šestero-, deseterokotnik ? 

Število diagonal, katere je moči v mnogokotniku o d 
jednega oglišča potegniti, je vsikdar za 3 manjše nego 
število stranic ; število trikotnikov pa, katere na ta nači n 
dobimo, je za 2 manjše nego število stranic. 

Koliko diagonal je ~i sploh potegniti v četvero-, petero-, šestero-, deseterokotniku? 


2.0 kotl
ih mnogokotnikovih. 

§ 91. V mnogokotniku so koti lahko ostri, pravi, topi in tud i 

izbočeni. 
Načdaj mnogokotnik, kateri ima vse te vrste kotov . 

V mnogokotniku znaša vsota vseh kotov dvakrat toliko 
pravih, kolikor ima mnogokotnik stranic, menj štir i 
prave. 

Ako potegneš od točke O, ki je znotraj 
Slika 69. v mnogokotniku ABCDEF (slika 69 .), do vseh 
F oglišč preme črte, dobiš toliko trikotnikov, kolikor 
ima mnogokotnik stranic v vsakem take m 
trikotniku znašajo koti dva prava, tedaj koti v 
vseh teh trikotnikih tolikokrat po 2 prava, kolikor 
ima mnogokotnik stranic. Med koti te h 
trikotnikov pa niso le vsi koti mnogokotnika , 


nego tudi Roti okoli točke O, ki niso koti mnogokotnikovi ; le-ti pa 
znašajo 4 prave. Da dobimo tedaj vsoto vseh mnogokotnikovih 
kotov, treba, da odštejemo od vsote kotov v vseh trikotnikih š e 
4 prave . 

Kolika je vsota vsem kotom v petero-, šestero-, sedmero-, osmero-, devetera, 
desetero-, dvanajsterokotniku ? 

3. Kol'ikovrstni so mnogokotniki. 
§ 92. Mnogokotnik, v katerem so vse stranice jednake, imenujemo 
jednakostranieen ; mnogokotnik, v katerem so vsi koti 
jednaki, jednakokoten ; mnogokotnik, v katerem so vse stranice in 
vsi koti jednaki, pravilen (regelmássig) . Romb je n. pr. jednakostra


ničen, pravokotnik jednakokoten, kvadrat pravilen četverokotnik. 

Ker so v pravilnem mnogokotniku vsi koti jednaki, izračunati 
nam je lahko veličino jednega izmed njih ; v to treba nam le vsoto 
vseh kotov poiskati ter le-to s številom kotov deliti . 

Takó znaša n. pr. vsak kot 

v pravilnem trikotniku 60°,

3 

četverokotniku 3" 4 = 9o., 
» » 5400peterokotniku - 108°,5 
» » šesterokotniku 7200 = 1200, i. t. d.

6 

§ 33. V vsakem pravilnem mnogokotniku je neka točka, katera 
je od vseh stranic in od vseh oglišč jednako oddaljena. To točko 
imenujemo zarad tega sr e d i e (Mittelpunkt) pravilnega mnogokotnika 
. 

Vzemimo, da je .A_BCDEF(slika 70.) 

pravilen mnogokotnik in O njega središče , 

potem je AO BO = CO = DO= 
EO FO, in trikotniki AOB, BOO, 
COD, DOE, EOF, FOA so skladni. 
Ako potegnemo tedaj v pra


vilnem mnogokotniku preme črt e 
od središča do vseh oglišč, raz tvorimo 
mnogokotnik na tolik o 
skladnih trikotnikov, kolikor ima 
mnogokotnik stranic. 

4 


Preme AO, BO, CO, . . . razpolavljajo mnogokotnikove kote 
B, C, . ., kajti a = b, c .---.-- d, . . 

Ako nam je tedaj najti središče pravilnega mnogo kotnika, 
treba le, da razpolovimo dva njegova kota ; presečišče teh 
dveh razpolovnic je iskano središče. 

Spustimo li s središča O na mnogokotnikove stranice pravokotnice 
OG, OH, OJ, . . jednake so le-te kot razdalje točke O od 
stranic AB, BC, CD, . . 

4. Kakó je rmčrtovati mnogokotnike. 
§ 94. Načrtaj peterokotnik, ako so dane stranice a, 
b, c, d, in koti med njimi 132°, 125° in 84°. 

Slika 71 . 

a 

d 

AB 
Načrtaj (slika 71 .) AB = a in v B kot 132' ; na novem kraku 
odreži B C b, v C pa naČrtaj kot 1250 , dalje naredi CD c, v 
D pa načrtaj kot 84° ter odreži DE = d. Ako potegneš še AE, 
je ABCDE zahtevani peterokotnik . 

Načrtaj šesterokotnik, v katerem oklepajo stranice z dolžinami 22 'nfrn, 
37 , 189„2, 25 9m, 29po vrsti kote 90°, 150°, 60°, 150°. 

§ 95. Načrta] pravilen peterokotnik, ako je dan a 
njega stranica a (slika 72.) 
Ker znaša v pravilnem peterokotniku 

Slika 72 . 

vsak kot 1080, znani so vsi koti in vs e

a 

stranice in načrtovanje izvršimo prav takó , 

kakor smo v § 94. učili. 

Načrtaj pravilen šesterokotnik, čegar stra


nica znaša 2% . 

Kakó je načrtovati pravilne mnogokotnike , 

povedali bodemo obširneje pri nauku o krogu . 

§ 96 . Načrtaj mnogokotnik, ka


teri je skladen z danim mnogokot


nikom ABCDEF (slika 73.) 


Slika 73. 

Ako si mislimo mnogokotnik z diagonalami na trikotnike razdeljen, 
treba le, da nnčrtamo trikotnik GHJ cN,) ABC, nad GJ trikotnik 
GJK c'‘) ACD, nad GK trikotnik GKL "IDE, in nad GL 
trikotnik GLM c'',) AEF, potem je šesterokotnik GHJKLM 
ABCDEF. 

Sicer pa ni ravno treba, da si te trikotnike res načrtamo, vsa kakor 
zadostuje, ako si točke G, H, J, K, L, M takó določimo, da 
si moremo one trikotnike med njimi misliti. V ta namen načrtamo 

GH= AB ter napišemo z G in H s polumeroma AC in BO dva loka ; 
njiju presečišče nam da točko J; potem napišemo z G in J s polumeroma 
AD in CD dva loka, katera se sečeta v točki K, i. t. d. 

Naértaj petero -, osmero -, deseterokotnik in k vsakemu dotični skladn i 
mnogokotnik . 

VI. O ve .lini. premocrtnih likov . 
L Obseg in ploščina . 

§ 97. Vsak lik mejé črte. Vse lik meječe črte skupaj imenu jemo 
njega obseg, ravno ploskev pa, katero mejé, njega pl o C č insk o 
vsebino ali ploščino (Flácheninhalt). 

Premočrtnemu liku določimo obseg, ako seštejemo dolžino vseh 
njegovih stranic. Ako je pa lik jednakostraničen, jednak je obse gdolžini jedne stranice, pomnoženi s Številom stranic . Obseg premo črtnemu 
liku določiti ni tedaj nikakor težko. 

98. Ako nam je določiti pl o š č ino kacemu liku, vzamemo 
katero koli znano ploskev za mersko jednoto ter preiskujemo, kolikokrat 
ima ploskev, katero nam je izmeriti, le-to jednoto v sebi; 
število, katero to pové, imenujemo mersko število ploskve. 
Za jednoto plosk() vni meri rabi nam sploh kvadrat, 

čegar si ranica jednaka dolgostni jednoti ; da jo zaznamenujemo, 

4



52 

postavimo pred ime dolgostne jednote še besedo kvadratni, teda j 
kvadratni meter ([j 1), kvadratni decimeter ([j), -
Kaj pomenja tedaj O rni, i. t. d. ? 

Ploščina lika nam je znana, ako vemo, koliko meri Erni, 
[ld/,,, i. t. d. Ako bi tedaj hoteli izmeriti n. pr. mizno ploskev, položili 
bi nánjo kvadratni decimeter tolikokrat, kolikorkrat je to mogoče ; 
ako bi dobili ostanek, ki je manjši od kvadratnega decimetra, položil i 
bi nanj, kolikorkrat mogoče, kvadratni centimeter. Ali tako neposredno 
merjenje ploskov bi bilo prezamudno in dostikrat celó ne mogoče. 
Zatorej določujemo ploščino likom navadno posredno ; 
v ta namen merimo z dolgostno jednoto one daljice, od katerih j e 
zavisna veličina likova ter potem iz merskih števil teh daljic s 
pomočjo prav jednostavnih sklepov ploščino izračunavam o . 

Dva lika, imajoča isto ploščino , imenujemo ploščinsko j e d 


n a k a (Nichengleich) . 

2 . Ploščina kvadrata. 
§ 99.. Ako meri stranica kvadrata ABCD (slika 74.) 3 rn, moči 
nam je ob stranici AB 3 kvadratne decimetre položiti, pravokotni k 

ABEF meri tedaj 3 [:]‘ ; prav takó meri pravo 


kotnik FEGH zopet 3 []‘ in pravokotnik HGCD 

Slika 74. 

D	 C tudi 3 01.. Imamo torej skupaj škrat 3 = 9 

Ako bi merila stranica kvadratova 3 mf , zna.
g G šala bi ploščina 9 01 . 
FE Načrtaj kvadrat, čegar stranica meri 4 ter 

poišči, koliko ima [:]%, in sicer na ta način, daA	 B mu razdeliš stranice in zvežeš razdelišča, kako r 

treba . 

Mersko število kvadratove ploščine tedaj najdemo , 
ako množimo mersko število njegove stranice samo s 
seboj. 

Število samo s seboj množiti ali n a drugo p ()lene o po v i Šati, 
pravi se zarad tega, tudi to število na kvadrat povišat i 
ali kvadrovati. 

Prejšnji izrek izražujemo navadno krajše takó-le : 

Ploščina kvadratova je jednaka drugi potenci njegove 
stranice. 

Ako pomenja p mersko število ploščine in s mersko število stranice kva 


dratove, je 

p —s . 


§ 100 . Kvadrat, čegar stranica meri 10 d/., ima 10 X 10= 
100 Odi.; tak kvadrat je pa 1 [:]i ; tedaj je 
l = 100 LIL. 
Prav takó izvajamo : 

1 Odi. = 100 []ejm, 
1 [3%, = 100 Ornim . 

100 [l nY imenujemo kakor mero za površino zemljišč ar (l) , 
100 arov ali 10000 [q nY pa hektar (). 1 E] ..ffy = 10000n. 

§ 101. Naloge. 

1.) V kvadratu meri stranica a) 15 b) 3 2 d/m 8%,, e) 51 9'Y , 
d) 2 . 195i; kolik je njega obseg ? 
2 .) Izračunaj ploščino kvadrata, čegar stranica meri a) 37 i, 
b ) 1 9n/ 8~„L 7 cim, c) 91 "t, d) 3 .82 e) 2 5 . 35 
3.) V kvadratu ima stranica a) 3 . 7141, b) 6 d/. 4 e/m 5n''/m ; 

m) kolik mu je obseg, n) kolika ploščina ? 

4.) Kolika je stranica kvadrata, čegar obseg znaša 2 .58 ? 

5.) Kvadrat ima v obsegu a) 2 .8 , b) 4 'm/ 3 d/. 8 cim , 

e) 19 .356 ‘ ; kolika je In) stranica, n) ploščina ? 
6.) Kolika je a) vsota, b) diferenca kvadratoma dveh daljic , 
ako meri prva 5 / 3 df~z, druga pa 8 l Im, 5%, ? 
7 .) Vrt ima obliko kvadrata, čegar vsaka stranica meri 22 . 5 ; 
kolika je površina vrtu ? 

8.) Kvadratasto steno treba z deskami obiti ; koliko stane le-ta 
oboj, ako meri kvadratova stranica 4 . 2 in se plača za vsak kvadratni 
meter po 122 gl . ? 

9.) Koliko velja 12 kvadratastih steklenih plošč, ako meri stranica 
vsake plošče 4 . 8 dim, in se računa Hqn/ po 3 gl. 40 kr. ? 

3. Ploščina pravokotnika. 
102. Recimo, da nam je določiti ploščino pravokotnika 
A. CD (slika 75.), čegar osnovnica AB = 6 mY in višina AD = 4 . 
Ako razdelimo osnovnico na 6 i n 
višino na 4 jednake dele, takó tedaj, Slika 75. 
da je vsak tak del jednak 1, ter po-D	 
tegnemo skoz vsako razdelišče v višini 
vzporednico z osnovnico, raztvorili sm o 
pravokotnik na ta način na jednake 
proge. Ako potegnemo potem tudi skoz 
vsako razdelišče v osnovnici vzpored


		 B 
niso z višino, raztvorimo vsako progo 


na 6 kvadratov, izmed katerih ima vsak 1 []"/ . Pravokotnik im a 
torej 4 proge po 6 tedaj skupaj 6 X 4 = 24 [rli. 

Načrtaj pravokotnik, čegar osnovnica meri 5 višina pa 3 c/m,, 
ter poišči njega ploščino prav takó, kakor srno ravnokar pokazali. 
Načrlaj pravokotnik, čegar osnovnica meri ' cim in višina 31 
ter določi, primerno ga raztvorivši, njega ploščino . 

Mersko število pravokotnikove ploščine najdemo , 
ako množimo mersko število osnovnice z merskim številom 
višine. 

Ta izrek izražujemo krajše takó-le : 

Pravokotnikova ploščina je jednaka produktu iz 
osnovnice in višine. 

Ako zaznamenujemo v pravokotniku mersko število osnovnice z o, mersk o 

število višine z v in mersko število ploščine s p, j e 

p = ox v. 

Ako delimo produkt dveh faktorjev z jednim izmed teh dveh faktorjev, 
dobimo drugi faktor. Tedaj je 
P

o = — , v= 
v o 

Pri računanji morata se ,.-neriti osnovnica (dolžina) in višin a 
(širina) z isto dolgostno jednoto ; od te je zavisno potem tudi ime 
ploskovne jednote. 

103. Pretvori poševnokotni paralelogram ABO D 
(slika 76.) na pravokotnik. 
V točkah A in B postavi na 
osnovnico AB pravokotnici, kateri se -

Slika 76. 

čela nasprotno stranico in nje podaljšek 
v točkah E in F. Pravokotna trikot/ 
vika BFC in AED sta skladna (p o 

E 

I. izreku o skladnosti). Zatorej dobimo 
prav toliko ploskev, če dodamo k če 


tverokotniku ABFD trikotnik BFC ali 

pa trikotnik AED. Ako prištejemo k 
ABFD trikotnik BEG, dobimo poševnokotni paralelogram ABCD ; 
če prištejemo pa k ABFD trikotnik AED, dobimo pravokotnik ABFE. 
PoŠevnokotni paralelogram ABCD in pravokotnik ABFE sta tedaj 

ploščinsko jednaka . 

Da to pretvorbo predočiš, izreži trapez .ABFD in trikotnik BFC z debeleg a 
papirja (lepenke) ter položi trikotnik takó k trapezu, da bode imel jedenkrat težo 


ftFC, drugikrat pa težo .AED; v prvem slučaji dobiš poševnokotni paralelogram , 
v drugem pa pravokotnik ; ploščina pa mora biti obema jednaka, ker sta obadv a 
z istih sestavin sestavljena. 

B pa ni osnovnica le poševnokotnemu paralelogramu nego 
tudi pravokotnikova in prav takó je tudi. BF višina obeh četvero kotnikov; 
zatorej je razvidno, da nam je moči vsak poševnokoten 
paralelogram pretvoriti na pravokotnik, ki ima isto osnovnico in ist o 
višino kakor paralelogram . 

§ 104. Ploščina pravokotnika ABEF (slika 76.) je jednaka 
merskemu številu osnovnice AB, pomnoženi z merskim številom višin e 
BF; tedaj je tudi ploščina prav tolikega poševnokotnega paralelograma 
ABCD jednaka AB X BF; t. j. : 

Ploščina poševnokotnega paralelograma je jednaka 
produktu iz osnovnice in višine. 

Ako je n. pr. osnovnica AB 8 1, višina BF 4 "'Y, potem 
je 8 X 4 = 32[31 ploščina paralelograma ABCD. 
Iz prejšnjega izvajamo : Dva paralelograma, katera imata 
isto osnovnico in isto višino, sta ploščinsko jednaka. 
O Lem se tudi neposredno lahko prepričamo, če načrtamo dva 
taka paralelograma ABCD in ABEF (slika 77. ) 

Trikotnika ADF in BOE sta 
skladna, kar lahko dokažemo. Ako Slika 77. 
vzamemo od paralelograma ABCD 
trikotnik ADF ter ga položimo n a 

mesto trikotnika BCE, izpremeni s e 

oni paralelogram v paralelogram 

.ABEF ; obadva sta torej ploščinsko A 
jednaka. 

Kakšno težo moreta skupni osnovnici AB nasprotni stranici CD in EF 

tudi še imeti in kakó predočiš v teh slučajih, da sta paralelograma ploščinsk o 

jednaka? 

105. Vzemimo, da je ABCD (slika 78.) romb ; potem stojita 
diagonali _LIC in BD pravokotno druga n a 
drugi ter se razpolavljata v točki O . Po-Slika 78 . 
tegnivši skoz oglišča preme, vzporedne z r	 
?	 .~ ~, 
diagonalama, dobimo pravokotnik MNPB, 
čegar osnovnica in višina sta jednaki rombovirna 
diagonalama . Romb pa je natanko 
polovica tega pravokotnika, tedaj velja 
izrek : 


Ploščina rombova je jednaka polovici produkta i z 
obeh dveh diagonal. 

Prav taká lahko dokažeš : 

Ploščina kvadratova je jednaka polovici druge potence 
njegove diagonale. 

§ 106. Naloge. 
l.) V pravokotniku meri osnovnica 3 . 4l in višina 2 . 8 ; 
kolik mu je obseg? 
2 .) V poševnokotnem paralelogramu merita dve stikajoči s e 
stranici 3 8cq, in 9‘ 5‘; kolik je paralelogramov obseg ? 
3.) V pravokotniku meri osnovnica 23 cl/m, višina pa 15 d/.; ko


lika je ploščina? 

4.) Izračunaj ploščino pravokotniku, ako mer i 

a) dolžina = 7 .4 'Y, širina= 3.51 , 

b) = 3lcL,2 %, » l 51m 9 cim; 

» 18%, » 14 4d/m ; 
d) » = 5.154 1= 2.351 . 
5.) Kolika je ploščina pravokotniku, čegar dolžina je 53 . 2 "'Y , 
višina pa dolžine ? 

6.) V pravokotniku znaša a) osnovnica 6 l 5, višina pa 
2 1 71.; b) osnovnica 4 c4 9 e/m, višina 8 c/,, ; kolik mu je obseg 

in kolika ploščina? 

7.) V pravokotniku znaša obseg 24 "/, osnovnica pa 9 . 2 'n/ ; 
kolika je višina ? 
8.) Pravokotnik je 9l 4% širok in ima 86 1'Y 2‘ v obsegu ; 

kolika je a) dolžina, b) ploščina tega pravokotnika ? 

9.) V pravokotniku znaš a 
a) ploščina 34 []c‘, in dolžina 4 d/. ; 
b) ploščina 21 H192 O d/. 400 % in dolžina 6 m/ 3 d/., ; 
kolika je širina? 
10.) V drugem pravokotniku znaša 
a) ploščina 6 . 12 '»Y, širok pa je 1 .6 I; 
b) ploščina 16 []"/ 19[M 80 El%, širok pa je 2 m/ 6‘4%rb , 
kolika je dolžina ? 
11.) V poševnokotnem paralelogramu meri osnovnica 3 . 4 ry , 
višina pa 1 . 5 "/ ; kolik je razstoj osnovnici priležnima stranicama, 
ako meri jedna 3 'ry ? 
12.) V pravokotniku znaša obseg 200 I, osnovnica pa je dvakrat 
tolika kakor višina : kolika je a) osnovnica, b) višina, c) ploščina ? 
13.) Pravokotnik je 7 qm, dolg in 6 širok ; kolikokrat se po


veča njegova ploščina, ako mu dolžino in širino podvojimo ? 

14.) Za koliko se zmanjša ploščina pravokotniku, čegar dolžina 
meri 4 .56 "n/ in širina 3 . 45 9 , ako mu zmanjšamo vsako stranico 
za O • 75i? 


15.) Načrtaj 16%, dolg in 41m širok pravokotnik ; s tega naredi 
drug pravokotnik, imajoč za 1 c manjšo osnovnico, a za 1 d/m 
večjo širino, in takovo načrtovanje pravokotnikov nadaljuj toliko časa , 
da bosta dolžina in širina jednaki. Potem primerjaj v teh pravokotnikih 
zaporedoma obsege med seboj in ploščine med seboj . Kateri 
izmed njih ima največjo ploščino ? 

16.) V rombu meri stranica 12 in razstoj nasprotnih dveh 
stranic 81.; kolik mu je obseg in kolika ploščina ? 

17.) Izračunaj ploščino romba, čegar diagonali sta a) 31 5 d/m 
in 5 "/ 4 d/m, b) 1.041 in 0.85 dolgi. 

18.) Kolika je ploščina kvadratu, čegar diagonala meri a) 2 1 , 
b) 3 . 5 I, c) 1 4cqm 8 71 ? 

19.) Kvadrat ima isti obseg kakor pravokotnik, čegar stranic i 
merita 481 in 32 1'Y ; za koliko je ploščina prvega večja od ploščine 
druzega ? 

20.) Romboid, čegar osnovnica meri 28 % in višina 22‘ treba 
pretvoriti na ploščinsko jednak 16%, visok pravokotnik ; koliko bode 
merila pravokotnikova osnovnica? 

21.) Koliko kvadratnih centimetrov je moči izrezati z 52 % dolge 
in 40 etri, široke pole papirja? 
22.) Pravokotna steklena plošča je 0 .4 ?ni dolga in 3 d',tj, široka ; 
kolika ji je ploščina ? 

23.) Neka njiva ima obliko paralelograma ter je na jedni stran i 
27 % 4dolga, dotična višina pa znaša 10 'nY 2‘; kolika je nje 
ploščina? 

24.) Zrcalo ima 18 . 8 d/ v obsegu in 6 .2 d/m višine, kolika j e 
njega širina ? 

25.) Kolika je ploskev 1 l 8 d/m dolgi in 1'V 3 d/ široki mizi ? 

26.) Kolika je ploskev, katero pokriva 4.51 dolga in 4%, 
široka deska ? 

27.) Kmet kupi njivo, ki ima, kakor se mu je reklo, 12 orala = 
= 0 . 8632 . Dá jo izmeriti ter najde, da je 284 m/ dolga in 30"'/ 
široka ; je-li mu bila velikost njive prav povedana ? 

28.) Vrt ima obliko pravokotnika ter je 348 .4'Y dolg, njega 
širina pa znaša 4 dolžine ; koliko hektarov meri ta vrt ? 

29.) Med dvema potoma ležeč travnik ima obliko romboida, 
čegar osnovnica znaša 396 .4 dotična višina pa 167 .5 /; koliko 
hektarov meri travnik ? 

30.) Njiva ima 7 . 174n ploščine in 168-51 višine ; kolika 
je dolžina? 
31.) Od 283 dolzega polja hočejo odločiti prav toliko dolg, 

38 . 205 a/ velik kos ; koliko širino bode imel ta kos? 
32.) Koliko dreves je moči nasaditi ob obsegu vrta, ki je 144l 
2 dim dolg in 85 5 d/,,, širok, ako stojé drevesa po 4 m/ 2 narazen? 
33.) V sobi treba 640'1 stene s tapetami prevleči ; vzemó 
se 38%, široke tapete ; koliko tapet se potrebuje, ako je vsak a 
11 '''Y dolga? 


34.) Koliko je vredno 1 . 2"/ dolgo in 64%, Široko zrcalo, ako 

se računa kvadratni meter po 86 gl . ? 

35.) 270 "/ dolgo in 150 široko njivo hočejo zamenjati z a 
drugo prav takó rodovitno ; dolžina le-tej znaša dolžine one njive ; 
kolika bode morala biti širina drugi njivi ? 

36.) Pravokotna njiva je 5krat daljša nego široka ter ima 196 Irt/ 
v obsegu ; koliko ima arov ? 

37.) Koliko sena dá 104 . 8 qll/ dolg in 47 . 5 9 širok travnik, 
ako se računa na 1 ar poprek 28 kilogramov sena? 

38.) Njiva ima 25 . 8173 (kialploščine in 546 . 4f dolžine ; a) kolika 
je širina, b) kolik obseg. c) kolika vrednost, ar po 12 .6 gl.? 

39.) Koliko stane zidališče, imajoče 25 9/ dolžine in 19 mi/ širine, 
ako se plača kvadratni meter po 4-1 gl. ? 

40.) Za 32.51 dolgo in 15.2"/ široko zidališče plača se 
3062* gl . ; po čem je kvadratni meter ? 

41.) Koliko barvila je treba, da se z njim pobarvajo tla, ki so 
9 'dolga in 69 4 m, široka, ako se računa na vsak kvadratni

Y

meter 26 dekagramov barvila ? 

42.) Koliko velja 10 nakladov (furnirov) po 8 d/ dolzih in 

2 .8 d/m, iroeih, ako se plača kvadratni decimeter po 18 kr.? 
43.) 67-51 dolgo zemljišče se vzame za 46 gl. 98 kr. v najem ; 
kolika mu je širina, ako se računa za kvadratni meter 3 kr. najemščine? 

44.) 43 .5 '»Ydolg in 18.4 / širok vrt se je kupil za 400 .2 gl. ; 

po čem se je plačal kvadratni meter ? 

45.) 127 dolga in 4 . 3 "t široka cesta se je pomostila ; po 

čem se je računal kvadratni meter, ako stane vse delo 12 gl . ? 

46.) Zrcalo je 2"/ 8 visoko in 1 "/ 9 cm široko ; okvir pa 
je 4%2 širok, kolika je ploščina vidne zrcalne ploskve ? 

47.) Nekdo dá v dveh sobah nov pod položiti ; prva soba ima 
obliko kvadrata, čegar stranica meri 62 c/m, druga pa je 85 d/. dolg 
in 63 din, širok pravokotnik. Koliko stane vse delo, ako se plača kvadratni 
meter po 2 gl. 20 kr. ? 

48.) Njiva je 124 .y dolga in 20"/ široka ; koliko pšenice je 
treba za setev, ako se je poseje na 1^ 3T4-6. ffi ? 

49.) Nekdo kupi dvojega jednako dobrega papirja ; prvi je 
42 5,, dolg in 33 % širok in knjiga velja 60 kr.; drugi je 60 % dolg 
in 40 5 širok, knjiga pa velja 80 kr . ; kateri papir je dražji ? 

~

50.) A ima kvadratast vrt, čegar stranica je 91 ,n dolga, B 
pa ima pravokoten vrt, čegar dolžina znaša 95 mri in ploščina 76 arov ; 
koliko metrov plotu mora jeden več vzdrževati nego drugi ? 

51,) A obzida kvadratast vrt, kateremu meri stranica 2 3 

B pa ploščinsko jednak pravokoten vrt, čegar dolžina znaša 48 9 

kateremu treba več obzidja napraviti? 


52.) Sprednjo str'an 25 in/ dolge in 12 "Y visoke hiše treba na 


mazati z oljnato barvo, koliko bo to stalo, ako se računa za kvadratni 
meter 85 kr. in je treba za vrata in okna deseti del odbiti ? 

53.) Sobo, v kateri so stene 23 i dolge in 4 ''n/ široke, treb a 
s tapetami prevleči, koliko zvitkov 12 'ni dolzih in širocih tapet 
se bode za to potrebovalo, in koliko bodo tapete veljale, ako s e 

računa zvitek po 3 gl. 75 ki..? 

54.) V vežo, 14 . 4 "Y dolgo in 2 . 2 '7 široko, treba položiti ko-


menite plošče. Koliko plošč bo treba, ako je vsaka 3%, dolga in 
2d/Im široka, in koliko bodo veljala tla, ako stane vsaka plošča z 
vlaganjem vred l§ gl . ? 

55.) Nekdo ima pravokoten 64 . 5 dolg in 41 . 2 "Y širok vrt. 
Napraviti hoče na kraji vrta okrog in okrog 3 . 4 "'t široko pot, koliko 
ploščino bo imela ta pot ? 

56.) Po sredi pravokotnega vrta, ki je 32 . 4 'dolg in 20 . 7 q

l

širok, vodi po dolzem in po čez 1 . 6 "/ široka pot ; koliko ostan e 
še vrta? 

57.) 6.5 "/ dolgo in 4 . 8 "/ široko streho treba s pločevino 
pokriti ; vsaka plošča je 42 %L dolga in 36 5. široka. Koliko plošč 
se potrebuje, ako se mora pri vsaki plošči zarod spoja 3 %, dolžine 
in 3%, širine odbiti ? 

58.) Druga streha je 34 . 1 'Y dolga in 3 . 61 visoka, koliko 
treba strešnih opek, da se pokrije, ako so opeke 24 % dolge in 19 % 
široke, in ako pokriva vsaka opeka sosedno opeko 35 'po čez in 
42 "‘ po dolzem ? 

59.) Na denarnieno mizo, 1 . 4 dolgo in 1 . 2 trn/ široko, na


pravi se nova kamenita plošča, katera pušča 7%, lesenega robú ;
koliko stane le-ta plošča, ako se plača kvadratni meter po 281- gl . ? 

60.) 12 din, dolga in 9 cL široka mizna plošča olepotičena je n a 
sredi z rombom, eegar diagonali merita 4 d/m, in 3 d/m ; za koliko je 
miza večja od romba? 

Plo'áčina trikotnika . 

§ 107. Vsak trikotnik ABC (slika 79.) moremo smatrati za 
polovico paralelograma ABDC, ki ima jednako osnovnico in isto 
višino CE kakor trikotnik ; da to dokažemo, 

treba le skoz oglišči B in C vzporednici z Slika 79 . 
nasprotnima stranicama potegniti . Ker je _ -
tedaj ABC 2 ABDC in ABD C 
AB X CE, je / i \ / 
ABC J,--X 
AB X CE; t. j . : B 

Ploščina trikotnikova je jednaka polovici produkt a 
iz osnovnice in višine. 


Ako zaznamenujemo v trikotniku merska Števila osnovnice, višine in plo ščine, 
oziroma z o, v in p, je 

o < v 
P -2— 
in obratno 
2p 2.p

o= , =-- -. 

v 

o 

Recimo, da meri v trikotniku n. pr. osnovnica 10 in višina 

7 'Y, potem je njega ploščina	10	7 = 35 q /.

2 
V pravokotnem trikotniku jemljemo navadno jedno kateto 
za osnovnico, druga je potem višina. P I o š e i n a pr a v o k o t n e ga 
trikotnika je torej jednaka polovici produkta iz obe h 
katet. 
Vzemimo, da meri n . pr. v pravokotnem trikotniku jedna katet a 
3 'L/ 5 din, in druga 2 4 dim, potem j e 

3 5 %, = 3 .5I, 
2 "'V 4 c,= 2 .41, 

3 .52.4 
2 = 4. 2 []"/ ploščina. 

Iz izrekov, katere smo tu navedli, izvajamo tudi : 

Dva trikotnika, imajoča jednako osnovnico in jednako 
višino, sta ploščinsko jednaka . 

108. Naloge. 
l.) Kolik je obseg trikotniku, čegar stranice merijo 2 m/ 4 ‘, 
2 "?/ 7(L in. 3 "/? 
2.) Kolik je obseg jednakostraničnemu trikotniku, čegar stranica 
znaša a ) l .5I, b) 7 / 51m, 8 %t? 

3.) V jednakokrakem trikotniku meri osnovnica 2 . 6 vsak 
krak pa po 2 .1 l; kolik mu je obseg? 
4.) Kolika je stranica jednakostraniénemu trikotniku, ako znaš a 
njega obseg 5 / 7á % ? 
5.) V jednakokrakem trikotniku meri obseg 4 . 89 "/, osnovnica 
pa 1 . 25 mi; kolik je vsak krak ? 
6.) Kolika je ploščina trikotniku, čegar osnovnica meri 5 1 
4 din , in višina 3 ln/ 5 d/m? 

7.) V trikotniku znaša 

a) osnovnica 1 l 8 d/m , višina l 5 cV»,; 

b) » 2.345 "/, 1 .7241 ; 

c) » 25*I, » 142 "l ; 

d) »l5,,, »98 5n, ; 

kolika je ploščina? 


61 

8.) Ploščina pravokotnega trikotnika znaša 8 '58 0'n/, osnovnica 
pa 3 . 25 I ; kolika je višina ? 
9.) V pravokotnem trikotniku merita kateti 5 . 41 l in 4 . 58 'Y ; 

kolika je ploščina? 

10.) Izračunaj ploščino pravokotnega trikotnika, čegar katet i 
merita : a) 7 . 9 "/ in 3 . 9 ml, h) 49 5 c%,,, in 37 1)Y 8 cim . 

11.) V pravokotnem trikotniku znaša ploščina 27 0''' t/ 56 [1%, 
25 [],, jedna kateta pa 5 'Y 25% ; kolika je druga kateta ? 

12.) Stranice nekega trikotnika merijo 344 183 5., 450 
in višina, spuščena na prvo stranico, 167 . 5% ; koliki sta višini, spuščeni 
na drugi dve stranici ? 

13.) Kolika je vsota dvema trikotnikoma, ako meri višina vsacega 
po 17 . 4 i, osnovnica prvega 28 . 5 l in druzega 24 . 1 ''Y? 

14.) V trikotniku znaša osnovnica 6 "Y, višina pa 3 m/ ;

2 % 
kolika je višina dvakrat tolikega trikotnika, ako znaša njega osnovnica 
8 'V? 
15.) Trikotnik je ploščinsko jednak pravokotniku, čegar osnovnica 
meri 15 . 2 'ny in višina 8 . 4i; kolika je trikotnikova višina, ako 
znaša njega osnovnica 12i? 
16.) Trikotnik je ploščinsko jednak paralelogramu, čepar osnovnica 
meri 16 "y in višina 12 . 5 'ni; kolika je trikotnikova osnovnica, 
ako znaša njega višina 20 'Tip 
17.) Koliko višino ima trikotnik, čepar osnovnica meri 8 . 1 
je ploščinsko jednak kvadratu s stranico 5 . 4 'Y? 

18.) Travnik ima obliko trikotnika, čegar osnovnica znaš a 

172 . 4 "V, višina pa 31 . 5"Y ; koliko arov ima travnik ? 
19.) Njiva ima obliko pravokotnega trikotnika, čegar kateti merit a 
103 
in 67 . 6 ' ; koliko je njiva vredna, ako se računa ar po 11 gl . ? 
20.) Koliko stane trioglata plehasta plošča, imajoča osnovnic o 

4 . 6 'Y in višino 3 . 2 m/, ako tehta kvadratni meter 14 kilogramo v 
in velja kilogram 64 kr.? 
21.) Trioglato polje ima osnovnico 50 . 48 'V in je ploščinsko 
jednako kvadratastemu polju, čepar stranica meri 32 . 42"/ ; koliko 
višino ima prvo polje ? 

22.) Trioglato 67 dolgo in 28 '/ visoko njivo hočejo zame


njati za pravokotno, prav takó rodovitno in 17 '''Y 5 dl'r široko njivo ; 

koliko dolžino mora imeti druga njiva ? 

23.) Kački meri osnovnica 11 . 2 i, višina pa 4 . 5 I; kolika 
ji je ploščina ? 

24.) Dve bački, katerima meri osnovnica po 12 'n/ 4 % in višina 
po 18 8ni, treba z opekami pokriti ; le-te so 31,, dolge in 
2% široke in leLé po dolzem in po širocem 0. 4%, druga na drugi ; 
koliko strešnih opek se potrebuje za to, ako jih je treba 4% ve č 
računati, ker se jih nekaj polomi? 


5 . Plo~čina trapeza in trapezoida. 
109. Vsak trapez ABCD (slika 80.) deli diagonala BD na 
dva trikotnika ABD in BCD ; le-ta imata trapezovi vzporedni stranici 
AB in CD za osnovnici in njiju skupna višina 
lika 80.S DE je ob jednem tudi trapezova višina . Toda 
D C ABD -X A .X DE, 
BCD 2X CD X DE; 
tedaj trapez ABCD= 2 (AB --~-- CD) X DE; t. j . : 
A B 
Ploščina trapezova je jednak a 
polovici produkta iz vsote obeh vzpo -
rednih stranic in višine. 

Ako zaznamenujemo v trapezu vzporedni stranici z a in b, višino z v in. 
ploščino s p, je 
(a+b) X v 
2 

Ako znašata n. pr. v trapezu vzporedni stranici 16 mj in 10 mj , 
višina pa 11 'Y, j e 
16+1 

-11= 2 X 11 -=--- 13 X 11 = 143 ploščina.

2 
§ 110. Ako nam je določiti ploščino trapezoida, razdelim o 
ga z diagonalo na dva trikotnika, izračunajmo jima ploščino, vzemš i 
diagonalo za skupno osnovnico, za višini pa pravokotnici, spuščen i 
z nasprotnih oglišč na to diagonalo ter seštejmo ploščini teh trikotnikov 
. 

§ 111. Naloge. 

l.) V četverokotniku (trapezu ali trapezoidu) merijo stranice 
po vrsti 13 mj 5d/,,, 12 mj 4 d/,,,, 27"/ 3(;;,,, 19 'n/ 2 d/,,, ; kolik je obseg ? 

2.) Trapez je 5 . 4 mj visok, vzporedni stranici pa merita 6 . 8 mj 
in 4 .2 m/ ; kolika je ploščina ? 

3.) Izračunaj ploščino trapeza, ako merit a 
rt) vzporedni stranici 3 ?n/ 4%, in 7 mj 2 d/m, vLina pa 41 2 c%, 
b) » » 12.745 m/ in 8.6551, » » 8 .8 'm/. 

4.) V trapezu meri ploščina 567 q~/m, vzporedni stranici p a 

3 .6 mj in 2.7 mj; kolika je višina ? 
5.) V trapezu meri ploščina 124 . 8 q m/, višina 6-4 m/ in jedna 
izmed vzporednih stranic 12 . 8 m/ ; kolika je druga vzporedna stranica ? 
6.) V trapezoidu meri diagonala, vežoča dvoje oglišč, 5 . 24 'ny, 
njena razstoja od druzih dveh oglišč pa 3 . 56 m/ in 2 .35 'n/; kolika 
je ploščina temu četverokotniku? 


63 

7.) V četverokotniku sta diagonali pravokotni druga na drugi , 
kolika je njega ploščina, ako znašajo razdalje vseh štirih oglišč o d 
presečišča diagonal po vrsti 42 cL, 38$, 15%, in 55 

8.) Kolika je dolžina 5 . 2 širocega pravokotnika, ako je le-ta 
ploščinsko jednak trapezu, čegar višina ima 6 . 3 'n/, in čegar vzporedni 
stranici znašata 11 mj in 9 .4 'ni? 

9.) Zidališče ima obliko trapeza, čegar vzporedni stranici znašata 
35 ''/ 2 c‘ in 33 mj 5 L, višina pa 21 4(V,,,; kolika je njega 
ploščina? 

10.) Drugo trapezasto zidališče je dolgo ob jedni vzporedni 
stranici 232 mj, ob drugi 21 'Y in meri 417 mj 57 []%, ; kolika j e 
njega širina ? 

11.) Koliko ploskev ima trapezasto polje, čegar vzporedni stranici 
sta 14.3 mj in 10 .5 "Ydolgi in za 63 .4"Vdruga od druge oddaljeni? 


12.) Deska je 42 dim dolga in na jednem konci 4 d/m, na drugem 
3 dim široka; kolika je jedna njenih ploskev ? 
13.) Trapezasto polje je 238 i dolgo, na jednem konci 26 "/ , 
na druzem 22 . 5 široko, koliko arov meri le-to polje ? 

14.) Travnik ima obliko trapeza, čegar vzporedni stranici me rita 
168 .42 in 109.3 'n'Y, in čegar ploščina znaša 1 . 5 ; kolik 
je razstoj obeh vzporednih stranic ? 

15.) Dvorišče ima obliko trapeza, čegar vzporedni stranici merita 
20 4‘ in 18 mj 5 doddaljeni pa sta druga od druge z a

f72 , 

15 l'y ; le-to dvorišče treba pomostiti s kamenitimi ploščami ; koliko 
tacih plošč je treba za pomoščenje, ako meri vsaka 25 [11,, ? 

16.) Pri kamenoseku je naročena trapezasta plošča ; vzporedn i 
stranici meriti ji morata 1 . 9 mj in 1-2 I, njiju razstoj pa 1 . 1 mj ; 
koliko stane plošča, ako se računa [ji po 15 gl. 54 kr. ? 

17.) Trapezast vrt, kateri je 9 . 6 mj širok in na jednem konci 

20 .75 "ni, na druzem pa 14 . 25 mj dolg, prodal se je za 480 gl . ; po 
čem 101? 

18.) Njivo, katera je 109 i dolga, na jednem konci 56 . 2 mj in 
na druzem 46 . 8 široka, treba z režjo obsejati ; koliko treba v t o 

reži, ako se računa na 32 arov 1 hektoliter ? 
19.) Strešna ploskev ima obliko trapeza, čegar vzporedni stra


f

nici merita 15 m28 (L in 11 "l/ 6 ,,, njiju razstoj pa 6 'n/ 2%,,, koliko 
stane pokrivanje, ako treba za 1 []''Y 1 gl. 12 kr. plačali? 
20.) Streha ima dve trikotniški ploskvi, dve pa trapezasti; tri


kotnika in trapeza imaia isto višino, namreč 3 . 6 '"/; osnovnica vsacega 
trikotnika meri 8 'Y, vzporedni stranici vsacega trapeza pa znašata 
po 18 in 10"f; koliko opek treba, da se pokrije le-ta streha , 
ako krije vsaka opeka 5 HI.? 


64 

O. Ploščina pravilnega in nepravilnega mnogokotnika. 
112. Vzemimo, da je O (slika 81.) središče pravilnemu mnogo kotniku 
ABC.DEF. Potegnemo li od središča do vseh oglišč preme, 
raztvorili smo mnogokotnik na toliko trikotnikov, kolikor ima stranic. 
Razstoj OG središča od jedne stranice je 

skupna višina vsem tem trikotnikom, ak o

Slika 81 . 
E vzamemo mnogokotnikove stranice za njihove 
osnovnice . Ker pa je ploščina trikotnikova 
jednaka polovici produkta iz osnovnice 
in višine, jednaka je torej ploščina 
mnogokotnikova polovici produkta iz vsote 

osnovnic vseh trikotnikov, t. j. iz mnogokotnikovega 
obsega, in skupne višine te h 
trikotnikov, t . j. iz razstoja med središčem 
in jedno stranico . 
Ploščina pravilnega mnogokotnika je tedaj jednak a 
polovici produkta iz njegovega obsega in razstoja me d 
središčem in jedno stranico. 
Ako zaznamenujemo v pravilnem mnogokotniku obseg, razstoj središč a 
od jedne stranice in ploščino oziroma z o, r in je 

oxr 
p= 

2 

Recimo, da meri n. pr. v pravilnem šesterokotniku stranica 3l 
81 m in razstoj središča od jedne stranice 3 'in/ 3 dobimo 
stranica 3 'r'/ 81 %,, = 381 e‘, 1143 X 330 = 377190 
obseg = 2286 cim, = 37 [~n/ 71 [1%, 90 [] 
razstoj 3 / 31.= 330%, ; šesterokotnikova plošči na 

V pravilnem mnogokotniku ni razstoj središča od jedne stranice 
kolikeršen koli, nego ravna se na prav določen način po dolžini 
stranice. Da dobimo namreč razstoj središča od jedne stranice , 

treba pomnožiti mersko število stranice 
v jednakostraničnem trikotniku z 0 . 28868 , 
kvadratu » 0 . 50000, 
» pravilnem peterokotniku » 0 . 68819 , 
» šesterokotniku » 0 . 86603, 
» » osmerokotniku » 1 . 20711 , 
» » deseterokotniku » 1 . 53884, 
» » dvanajsterokotniku » 1 . 86603. 


M. Ploščino nepravilnega mnogokotnika nam 
moči na dvoj način določiti : 
a) Mnogokotnik razdeli z diagonalami na trikotnike ter izračunaj 
ploščino vsacemu izmed njih; ako sešteješ ploščine vseh trikotnikov, 
dobiš ploščino mnogokotnikovo . 

Recimo, da nam j e 

izračunati ploščino mnogokotniku 
ABCDEF 

(slika 82.) V ta namen 
razložimo ga na trikotnike, 
in vzemimo, da je 

AC = 12 . 8 Bb= 

= 6. 9 AD = 
=20 . 8"'Y, Ce=10 . 4'V , 
Ee = 8 , AE=13 . 81 
in Ff 5 . 9 . 
Tedaj dobimo 
trikotnik ABC = 
bAC X 13 
2 
. .12 8 X 6 9 
2 
44 . 16 m/ 
» ACD 
AD XCc 
2 
20 . 8X10 . 4 
2 
= 10816. 
» ADE 
AD X Ee = 2 
20 . 8 X 8 
2 
83 . 2 » 
» AEF 
AE X Ff 
= 
2 
13 . 8 X 5 . 9 
= 40 . 712 
» 

mnogokotnik AB CDEF = 276 . 23 O'n/ . 

h) Skoz dvoje najbolj od-

Slika 83.

daljenih oglišč potegni 

premo in na le-to spusti 

G -F 

z vseh druzih oglišč 
pravokotnice. Na ta način 
razdelil si mnogokotnik 
na pravokotn e 
trikotnike in trapeze, 
katere treba vsakeg a 
zá-se izračunati in po tem 
sešteti, 


Vzemimo, da je (slika 83.) Bb 6 . 8i, Cc 10 .6 '''/, 
Dd = 10 . 1 F f 8 . 3 Gg 6 -2 m/, Ilh 9-2 "/, dalje 
Ah = 5 .6 I, bh 2 .6 I, hc 4.2 i, c9, = 4 .6 'ry, gf = 3 
fd =z 2 .8 dE 5 .8 i. 

Račun sestavimo lahko takó-le : 

Faktorj i

Mnogokotnikove 

Produkt i

sestavine Osnovnice ali vsote 

Višine

vzporednih stranic 

6ABb Bb 6.8 Ab= 5.6 38.08 
Trap. BbcC Bb+ Cc 17.4 bc= 6 .8 118 .32 
CcdD Cc + Dd = 20.7 cd 10.4 215 .28 
DdE Dd = 10.1 dE 5 .8 58-58 
EFf Ff 8.3 fE = 8.6 71 .38 
Trap. FfgG Ff + Gg = 14.5 .fg 3 43 .50 
» GghH Gg + Hh = 15 .4 gh = 8.8 135 .52 
6 AhH Hh= 9 .2 Ah ....-8.2 75 .44 

756 .10 
Mnogokotnik ABCDEFGH 378 . 05 [rl 
Tu smo produkte najprej sešteli in še le njihovo vsoto z 2 delili, mest o 
da bi bili vsak produkt posebej z 2 delili . 

§ 114. Naloge. 

l.) V pravilnem peterokotniku meri stranica 4 l 7 d/ ; kolik 
mu je obseg ? 

2.) Kvadratova stranica znaša 3 . 6 I, kolika mora biti stranica 
pravilnega šesterokotnika, da ima le-ta isti obseg kakor kvadrat ? 
3.) Kolika je ploščina pravilnega osmerokotnika, čegar stranic a 

ima 1-667 i? 
4.) Nekdo hoče postaviti šesterostranično pravilno utico s stranico 
3 ; koliko prostora potrebuje v to ? 
5.) Neka tla imajo obliko pravilnega dvanajsterokotnika, čega r 
stranica meri 3 .1 "/; kolika jim je ploščina? 

6.) Peterokotnik je sestavljen s treh trikotnikov, katerim merijo 
osnovnice 215 /, 182 . 5 'n/ in 72 , višine pa v istem redu 
22 linj, 34 in 16 .8 ; kolika mu je ploščina? 

7.) Načrtaj nepravilen sedmerokotnik in z njim skladen mnogokotnik 
; v prvem potegni one daljice, katere so za izračunanje ploščine 
potrebne, po § 113. a), v druzem po § 113. b); le-te daljice 
izmeri s pomočjo merila, katero si načrtal, potem pa izračunaj ploščino 
kakor smo v § 113 . učili. 

8.) Vrt ima obliko šesterokotnika in se dá na te-le trikotnike 
razstaviti : 


67 


v trikotniku A. meri osnovnica 36 . 6 višina 6 . 6 
» » B » » 42.4 I, » 20 
» » C » 42.4 , » 22 
, 
» » D » » 28.4 'Y, » 9.8 I; 

koliko arov ploščine ima le-ta vrt? 

7. Pitagorov izrek. 
§ 115. Odrežemo li na krakih pravega kota A (slika 84.) daljici 
AB = 4 dim in AC = 31., ter potegnemo daljico BC, prepričamo s e 
lahko, da meri le-ta natank o 
5 Na:črtamo li v tem pravo-Slika 84. 
kotnem trikotniku RAC nad hi-, 
potenuzo in obema katetama 
kvadrate, potem najdemo, le-te 
raztvorivši na kvadratne decimetre, 
da ima kvadrat nad hipotenuzo 
25 0d/m , kvadrat nad 
kateto AB 16 rjc‘ in kvadrat 
nad drugo kateto A.0 9 [:]‘. 

V pravokotnem tri kotniku 
je tedaj kvadrat 
nad hipotenuzo jednak 
vsoti kvadratov nad obem a 
katetama. 

Ta imenitni izrek imenuje se po Pitagoru, kateri ga je izlamel, 
Pitagorov izrek. 

3 prejšnjem trikotniku smo dali stranicam določeno dolžino . 
Sicer pa nam je lahko dokazati, da velja Pitagorov izrek za kakeršen 
koli pravokoten trikotnik BAC (slika 85.) 

3 ta namen načrtaj nad .

Slika 85 

hipotenuzo BC kvadrat BODE 
ter spusti s toček D in E na 
AB in njen podaljšek pravokot nici 
DF in EG; dalje spusti n a 
DF pravokotnici CH in EJ. Iz 

tega načrtovanja izvira, d a 
so pravokotni trikotniki BAC, 
EGB, EJD in DEC, katere ho 


FB

čemo po vrsti z I., II., III, in IV, '~

C


zaznamenovati, skladni; dalje, da nam predstavlja AFHC kvadrat 
nad kateto AC in FGEJ kvadrat nad kateto .AB . Kvadrat nad hipotenuzo, 
namreč BODE, je sestavljen z lika MRJE in trikotnikov 

III. in IV., vzamemo li od tega kvadrata prej imenovana trikotnik a,. 
ter ja denemo na mesto trikotnikov I. in II., potem izpremeni 
prejšnji kvadrat v lik .ACIIJEG, kateri je pa jednak kvadratoma 
nad obema katetama, namreč FGEJ in AFHC. Kvadrat nad hipo%, 
tenuzo ima tedaj prav toliko ploščino kakor kvadrata nad katetama 
skupaj, kar hočemo takó-le pisati : 

[] BC [] _AB AC. 

Ta dokaz nam je moči prav lahko predočiti, ako izrežemo lik BCHJB 
in trikotnika I. in I.I. z lepenke; ako položimo k onemu liku trikotnika takó, 
da imata ležo M. in Iv., dobimo kvadrat nad hipotenuzo; ako pa ja položimo 
spodaj v leže I . in H., dobimo kvadrata nad obema katetama ; iz tega pa izvira, 
da je plo geina v obeh slučajih jedna in ista . 

Iz Pitagorovega izreka izvajamo obratno : 

Kvadrat nad jedno kateto je jednak diferenci med 
kvadratom nad hipotenuzo in kvadratom nad drugo kateto. 

§ M. Načrtaj kvadrat, kateri jednak vsoti dve h 
danih kvadratov. 

Vzemimo, da sta a in b 
(slika 86.) stranici danih dveh kva-

Slika 86 . 
a dratov. Ako načrtaš s tema dvema

D 

stranicama kakor katetama pravo

 
b 

koten trikotnik BAC in nad hipo tenuzo 
BC kvadrat BC.DE, je ta 
tolik, kolikeršna sta kvadrata .ABFG 
in ACHJ, katera imata a in b z a 
stranici, skupaj . 

L) Načrtaj dva kvadrata, kateri h 
stranici merita 5 I. in 12 %, in pote m 
kvadrat, kateri je jednak vsoti onih dve h 
kvadratov. 

2 .) Načrtaj kvadrat, kateri je jednak 
vsoti treh kvadratov, katerih stranice so 
dane. 

§ 117. Načrtaj kvadrat, kateri je jednak diferenc i 
dveh danih kvadratov. 


Recimo, da sta a in b (slika 87.) 
Slika 87 .

stranici danih dveh kvadratov. Ako 

a 
načrtaš v .A prav kot in narediš .A.B 
jednako stranici b manjšega kvadrata , 
ter dalje napišeš s polumerom a z 
B lok, sekajoč AC v C, potem je 
nad AC načrtani kvadrat _ACDE 
jednak diferenci kvadratov BCFG B 
in .ABHJ, katerih stranici sta a in b . 

Načrtaj dva kvadrata s stranicam i 
18%2, in 29% in potem kvadrat, kateri j e 
jednak diferenci prejšnjih dveh kvadratov. 

8. Kakó je pretvarjati premočrtne like . 
§ 118. Premočrten lik pretvorimo (verwandeln) na druzega, 
ako načrtamo lik, kateri zadostuje gotovim pogojem ter je danem u 
ploščinsko jednak . 

Pretvori dan trikotnik .ABC (slika 88.) na jednakok 
r akeg a. 

Potegneš skoz B vzporednico z .A.C, 

Slika 88 .

imeti morajo vsi trikotniki, katerim je AC osnov


nica, vrh pa v oni vzporednici, isto ploščino. 

Da dobiš izmed teh trikotnikov onega, ki 
je jednakokrak, razpolovi osnovnico v D, v tej 
točki postavi na AC pravokotnico DE ter potegni 
.AE in CE; trikotnik .ACE je jednakokrak 
in danemu trikotniku .ABC jednak. 

§ 119. Pretvori dan trikotnik .AB C (slika 89.) na pravo


kotnega. 
V _A postavi na Slika 89. Slika 90 . 
.AC pravokotnico, skoz 
B pa potegni vzpored-
B B D 
nico z _AC, sekajočo ono 
pravokotnico v D. Ako 
potegneš CD, je _ACD 
zahtevani trikotnik. 


§ 120. Pretvori dan trikotnik ABC (slika 90.) na druzega, 
kateri bode imel dani kot m. 

Skoz B potegni vzporednico z _AC, v A. pa načrta] kot CAD m, 
čegar krak seče ono vzporednico v D. Ako potegneš CD, je ACD 
zahtevani trikotnik. 

§ 121. Pretvori dan trikotnik ABC (slika 91.) na druzega, 
kateri bode imel dano osnovnico a. 
Na AC načrtaj a od A. do 

Slika 91 . 

D ter potegni BD; dalje potegni 

B 
0E11 BD, točki D in E pa zveži 
z daljico DE. Trikotnika CED in 
CEB imata isto osnovnico CE in 
jednako višino, tedaj sta jednaka. 
Dodaš li k AC'E trikotnik CED, 

D 

dobiš .ADE; ako prišteješ pa k 
ACE trikotnik ~.EB, dobiš A.CB; trikotnik _ADE, kateri ima dan o 
osnovnico a, jednak je torej danemu trikotniku .ABC. 

§ 122. Pretvori trikotnik ABC (slika 92.) na druzega , 
kateri bode imel dano višino v, 

V A postavi na AC pravokotnico 
ter odreži na njej AD = v, 
skoz D pa potegni z AC vzpored


nico, sekajočo podaljšano stranico 

AB v E. Ako potegneš še CE, dalje 
BF 11 EC in slednjič EF, je AFE 
zahtevani trikotnik . 

Naloge. 

Načrtaj trikotnik s stranicami 4%2,, 3% 2 % ter ga pretvor i 

a) na jednakokrak trikotnik z osnovnico 
b) na pravokoten trikotnik s kateto 3% , 
c) na trikotnik s kotom 60 0 ; 
d) na trikotnik z osnovnico 35 '~fi.


n; 

e) na trikotnik z višino 26 ; 
f) na trikotnik s kotom 30° in osnovnico 3 % ; 
g) na trikotnik s kotom 45° in višino 25'% . 


§ 123, Pretvori trikotnik ABC (slika 93.) na pravo kotnik, 



71 


V «A in C postavi pravokotnici na .AC, Slika 93 . 
stranico AB pa razpolovi v D ter potegni Hi 
skoz D z AC vzporednico, sekajočo oni 
dve pravokotnici v E in F. Pravokotnik 
,4CFE je potem jednak trikotniku ABC, 
ker je vsak polovica pravokotnika ACGH. 

124 . Pretvori pravokotnik A B CD (slika 94.) na 
kvadrat. 
Podaljšaj stranici AB in AD čez A 

Slika 94. 

ter naredi BE BC. Ako načrtaš dalje s G 
srede O daljice BE s polumerom OB lok , 
sekajoč podaljšano AD v F, potem je tri kotnik 
BFE pri F pravokoten ( 65.) Kvadrat 
BFGH, katerega načrtaš nad BF, je 
danemu pravokotniku ABCD ploščinsko 
jednak. EA 

Da to izprevidiš, potegni premi EH 
in FC ; trikotnik EB.H je potem polovica 
kvadrata BFGH, in CBF polovica pravokotnika 
ABCD. Trikotnika EBH in CBF 

sta pa skladna, tedaj tudi ploščinsko jednaka; 
zatorej morata biti jednaka tudi oba dvakrat tolika lika, namre č 
kvadrat BFGH in pravokotnik ABCD. 

§ 125. l.) Pretvori dan paralelogram na pravokotnik. 
Razrešitev navedli smo že v § 102 . 
2.) Pretvori dan paralelogram na druzega, kater i 


bode imel dan kot. 
Razrešitev podobna je oni naloge v § 12(J . 
3.) Pretvori dan paralelogram na druzega, kater i 

bode imel dano stranico . 
Pretvorbo izvršiš oziraje se na § 121 . 
§ 126 . Pretvori kateri koli premočrten lik ABCD E 
(slika 95.) na trikotnik . 

Potegni diagonalo AD in skoz E z njo vzporednico, sekajočo 
podaljšano AB v F. Potegneš li DF, potem je četverokotnik BCDF 
jednak peterokotniku ABCDE; kajti obadva razločujeta se le v 
tem, da je sestavljen četverokotnik BODI' s četverokotnika ABCD 
in trikotnika ADF, peterokotnik AB ODE pa z AB CD in trikotnika 


Slika 95. a trikotnika ADF in ADE sta 
jednaka, kajti oba imata isto osnovnico 
AD in jednaka višino ; vsled tega st a 
tudi lika BODE in ABCDE ploščinsk o 
jednaka. Sedaj treba le še četverokotnik 
BODE v trikotnik pretvoriti. V ta 
namen potegni diagonalo BD, skoz C 

6-1 z njo vzporednico, sekajočo podaljšan o 

AB v točki G, in slednjič daljico DG ; 
trikotnik FGD je potem jednak četverokotniku 2BCDF (zakaj?), tedaj 
tudi peterokotniku ABCDE. 

Dani peterokotnik treba torej pretvoriti najprej na četvero kotnik 
in le-tega na trikotnik. 

Naloge. 
l.) Načrtaj šesterokotnik ter ga pretvori zaporedoma na peterokotnik, n a 
četverokotnik in na trikotnik. 
Vsak premočrten lik je moči tedaj pretvoriti na trikotnik, potem na pravo kotnik 
in slednjič na kvadrat. 
S pomočjo take pretvorbe je ~i določiti na prav jednostaven nači n 
ploščino vsakemu mnogokotniku ; za to treba le s kakim merilom izmeriti stranico 
kvadratu, na katerega smo mnogokotnik pretvorili, ter mersko število te 
stranice samo s seboj pomnožiti . 

2 .) Načrtaj tri skladne, nepravilne osmerokotnike, ter določi ploščin o 
prvemu in druzemu, kakor smo v § 109 . učili, tretjemu pa, pretvorivši ga na 
kvadrat. 

9 . Kakó je deliti premočrtne like. 
Slika 90 . 

§ 127. Razdeli trikotnik AB C 
C (slika 96.) z oglišča C na dva jednaka 
dela. 

Razpolovi stranico A.B v D ter 
potegni CD . Trikotnika ADC in BCD 
imata jednaki osnovnici in isto višino, 
torej sta jednaka . 

Slika 97 . 

Razdeli trikotnik na tri, štiri, pet jednaki h 
delov. 

§ 128. Razdeli trikotnik AB C 
(slika 97.) s katere koli točke D, ležeče 
v jedni stranici, na dva jednaka 
dela. 


Razpolovi AB v E ter potegni CD in CE; trikotnik ACD j e 
potem za CDE manjši nego polovica od ABC . 
Ako potegneš tedaj EFII CD, in še DF, je Zs, C'

.DF= ODE, 
torej ABFC ACE, in zato ADFC jedna, BDF pa druga 
polovica trikotnika ABC. 

§ 129 . Razdeli trikotnik ABC (slika 98.) s točke v njem 
ležeče na dva jednaka dela. 
Razpolovi AB v točki D ter po-

Slika 98 .

tegni CD. Ako je dana točka v CD, potem 
je ta prema sama iskana razpolov-C 
nica ; ako je dana točka zunaj CD, kako r 

n. pr. tu točka O, potem potegni OD in 
vzporedno z njo CE. Zvežeš li O s C 
in E, potem lahko dokažeš, da sta četvero kotnika 
AEOC in .BEOC jednaka, torej 
vsak polovica trikotnika ABC . 
130. Razdeli trikotnik ABC (slika 99. takó na tr i 
jednake dele, da se bodo sekale razdelnice, potegnene 
z oglišč, v skupni točki znotraj trikotnika. 
Razdeli stranico AB v točkah D 

E na tri jednake dele, ter potegni CD 

Slika 99 . 

in CE; trikotniki ACD, DCE, BCE so 
potem jednaki. Potegneš li še DF 11 AC 

in EG 11 BO, potem so od presečišča H 
potegnene preme AH, BH, CH iskane raz-delnice. 
Kajti ACH _ACD 

ABC; dalje BOH= BOE= 
= -i ABC; tedaj mora biti tudi ostanek, 
namreč ABH tretjina .ABC. 

§ 131. Razdeli trikotnik ABC (slika 100 .) s točke D, 
ležeče v jedni stranici, na tri jednake dele. 

Potegni CD, AB pa razdeli v toč -

Slika 100. 

kah E in F na tri jednake dele ter potegni 
daljici EG in F}] vzporedno s CD . 
Zvežeš li točko D z G in H s premama 
DG in DH, potem so le-te iskani razdelnici. 
Kajti 46, ACE ECF= 
BCF 3 Q ABC. A trikotnika 


ADG in ACE sta ploščinsko jednaka in prav takó tudi trikotnika 
BDH in BCF; tedaj je ADG ABC in Q BDH= .ABC; 
vsled tega mora biti tudi ostanek CGDH -k ABC. 

132. Razdeli paralelogram takó na več jednaki h 
delov, da bodo vse razdelnice z jedno stranico vzporedne. 
Razdeli stranici, kateri sta tej stranici priležni, na toliko jed


nakih delov, kolikor jih je zahtevanih, skoz razdelišča pa potegn i 
preme ; paralelogrami, katere si na ta način dobil, imajo jednak o 
osnovnico in isto višino, oni so torej jednaki. 

133. Razdeli trapez takó na več jednakih delov , 
da bodo sekale razdelnice obedve vzporedni stranici. 
Vsako izmed obeh vzporednih stranic razdeli na toliko jednaki h 

delov, kolikor jih je zahtevanih, skoz razdelišča pa potegni preme ; 
le-te so iskane razdelnice. 

§ 134. Razdeli trapez ABCD

Slika 101 . 
(slika 101 .) z oglišča D na dva jednaka 
dela. 

Na večjo vzporedno stranico AB 
načrtaj od A do E manjšo CD, razstoj 
BE pa razpolovi v F ter potegni DF; 

na ta način razdelil si dani trapez na dva dela ADF in BCDF, 

katera sta ploščinsko jednaka (zakaj?). 
Slika 102 . § 135. Razdeli trapez ABCD 
(slika 102 .) s točke E, ležeče v jedn i

GC 

stranici vzporednici, na dva jednaka 
dela. 

Razpolovi obe stranici vzporednici 

B v točkah F in G ter naredi IIG E.F. 
Ako potegneš daljico EH, potem sta trapeza AEHD in BEHC jednaka, 
kar lahko dokažeš ; EH je tedaj iskana razdelnica. 

§ 136. Razdeli trapezoid na 

Slika 103 . 

več jednakih delov.

D 

Treba li n. pr. trapezoid ABCD 
(slika 103.) razdeliti na štiri jednak e 
dele, potem potegni diagonalo AC ter jo 

razdeli na štiri jednake dele, razdelišča 
pa zveži z nasprotnima ogliščema s premami 
; trapezoidi ABED, BFDE, BGD F 
in BCDG, katere si na ta način dobil, 
so jednaki. 


75 

VIL O podobnosti premočrtnih likov. 

1. O sorazmernosti aaljio. 
§ 137. Daljico, katero je moči na drugi daljici jedenkrat al i 
večkrat brez ostanka načrtati, imenujemo m ero druge daljice . Takó 
je v sliki 104., kjer vzamemo, da je _AR BC = CD = DE = EF, 
daljica AB mera daljic AB, AC, CF, sploh vseh ondi načrtanih daljic . 

Slika 104. 
A C DEF 


Primerjajoč daljici AB in .AF vidimo, da ima AB skupn o 
mero AB lkrat, AF pa 5krat v sebi ; daljici .AB in AF sta si tedaj 
kakor števili 1 in 5, ali njiju razmerje je 1 : 5. Takisto se prepri


čamo, da sta 

daljici AB in AC v razmerji 1 : 2, 
» AC » AB » 2: l, 
» BD » AF » » 2:5, 
» CF » .AE » » 3 : 4, i. t. d. 

§ 138. Kakó izražujemo razmerje dveh daljic s števili. 

V ta namen treba načrtati manjšo daljico kolikorkrat je mogoče 
na večjo. 

Ako ima večja daljica manjšo večkrat, n. pr. 5krat v sebi, in 
sicer brez ostanka, potem je 1 : 5 razmerje med manjšo in večj o 
daljico. 

Ako se pa manjša daljica ne dá na večjo natanko načrtati, 
nego ima n. pr. PO (slika 105.) daljico MN 2krat v sebi in ostanek 
RO, potem treba iskati tretje daljice, katera je skupna mera daljicama 
MN in RO. V ta namen treba načrtati ostanek RO na manjšo daljico 
MN; vzemimo, da ima MN daljico RO jedenkrat v sebi in j e 

Slika 105. 

R 

 T 

BN ostanek. Ta ostanek načrtamo zopet na prejšnji RO, recimo, d a 
ima RO daljico SN 2krat v sebi in je TO novi ostanek . Ta, ostanek 


76 

TO načrtamo zopet na prejšnji ostanek SN, kateri ga ima natank o 
2krat v sebi . TO je skupna mera daljicama MN in PO, kajti 

SIN = 2TO, 

RO = 2 SIV-+ TO = 5 TO, 
MN = RO -{-- SN= 7 TO, 
PO = 2 MX jRO = 19 TO. 

Mero TO ima tedaj daljica MN 7krat in daljica PO 19krat v 
sebi ; zarad tega sta si daljici MN in PO kakor števili. 7 in 19, ali 

7 : 19 je razmerje med 1VIN in PO. 
Načrtaj več parov daljic ter izrazi na ravnokar omenjeni način razmerj e 
med vsakima dvema daljicama s števili . 

§ 139. l.) Razdeli daljico MN (slika 106.) na dva dela , 
katera sta si, kakor n. pr. števili 3 : 5 . 

Slika 106. 

P 

i	

Mi	 N 

Najprej razdeli ZVIN na 3 -+-5 = 8 jednakih delov ter vzemi 
od teh 3 za prvi iskani del MF, druzih 5 pa za drugi del PN. 
2 .) Razdeli daljico AB (slika 107 .) takó na tri dele, d a 
si bodo le-ti kakor števila 2, 3, 4. 
Skoz A potegni kateri koli 
Slika 107 . 

trak AZ, nanj načrtaj od .A d o 

z C 2 jednaka dela, od C do D 
3, od D do E pa 4 prav tolik e 
dele ter potegni B. Potegneš 
li skoz točki C in D še premi 
CF in DG vzporedno z BE, 
potem ima AB 2 -{- 3 +4= 9 
jednakih delov, AF pa ima 2 

taka dela, FG ima 3, GB pa 4 take dele, tedaj so si AF, FG in GB 
kakor števila 2, 3 in 4. 

Naloge. 

l.) Potegni daljico ter jo razdeli v razmerji 4 : 3. 
2.) Razdeli daljico na štiri dele, kateri so si kakor števila t, 3, 4, 6 . 
3.) Načrtaj trikotnik, v katerem so si stranice kakor števila 3, 4, 5 . 
4.) Načrtaj jednakokrak trikotnik, v katerem je razmerje med osnovnic o 


in krakom 2 : 3. 


77 

140. Daljici AB 
Slika 108.

jn CD (slika 108.) sta 

1 

v razmerji 5 : 3, raz-B E F 
morje daljic EF in GH 
je tudi 5 : 3. Ako postavimo 
med te jednaki 
razmerji AB : CD in EF :GH jednačaj, dobimo sorazmerj e 
ali p r o p or e i j o AB : CD EF G11 katero čitamo : .AB in CD 
sta si kakor EF in GH, ali : razmerje med AB in CD je jednako 
razmerju med EF in GH. 

V tem slučaji pravimo : daljici AB in EF sta sorazmerni 
(proportioniert) z daljicama CD i n G H. 

Je-li CD = EF, potem imenujemo AB ; CD = CD: GH s t a I no 
sorazmerje (stetige Proportion) ; CD je srednja geometrijsk a 
sorazmernica med AB in GH. 

2 . O sorazmernosti premočrtnih likov. 
141. Ako zaznamenujeta P in p ploščini, S in s stranic i 
dveh kvadratov, potem je po § 99. 
P = 82, la = s , tedaj 
P = S' -; t.j. : 

Ploščini dveh kvadratov sta si kakor drugi potenc i 
njiju stranic. 

§ 142. Ako zaznamenujemo ploščini dveh paralelogramov al i 
trikotnikov oziroma s P in p ali P in pa, in dotični osnovnici z 
O in o in višini z V in v, dobimo po §§ 100., 103. in 105. 

P = O X V, .p .= o X v, in 
O X V oXv

P — _pA = Ledaj'

2 2' 
P :p= O X V : o X v, in 
Pa : pa = CXV: o X v:tj. : 

Ploščini dveh paralelogramov ali trikotnikov sta s i 
kakor produkta iz njih osnovnic in višin. 

Za V = v izpremené se prejšnji sorazmerji v te-le : 

P :p = O : o, in 
~,~,pa= O .o, 

Ploščini dveh paralelogramov ali trikotnikov, kater a 
imata jednako višino, sta si kakor njiju osnovnici . 

Za O = o dobimo prav takó : 
p V :v, in 
Pá, : =V:v; t. j. : 


Ploščini dveh paralelogramov ali trikotnikov z jednako 
osnovnico sta si kakor njiju višini . 

3. O poaobnosti trikotnikov. 
§ 143. Dva trikotnika imenujemo podobna (cihnlich), ako 

imata isto obliko, a različno veličino. 
Da določimo natančneje pojem o 

Slika 109. 

podobnosti dveh trikotnikov, potegnim o 

v trikotniku ABC (slika 109.) s stranico 

AB vzporednico DE ter primerjajm o 

stranice in kote trikotnikov ABC in DEC. 

Tu najdemo najprej, da imata trikot


nika jednake kote ; kajti kot C je obema 

trikotnikoma skupen ; kota RAC in EDC 

-B sta jednaka kakor protikota, in prav 

takó tudi kota ABC in DEC. Da zvem o 

odnošaje med stranicami, poiščimo najprej razmerje med AC in D C 
(slika 109.), vzemimo, da je Ca njiju skupna mera ; recimo dalje, da 
ima le-to AC 5krat, DC 2krat v sebi, tedaj AC ; DC = 5 : 2. Potegnemo 
li skoz vsako razdelišče stranice AC vzporednico z AB, raz delimo 
tudi BC s tem po § 74. na 5 med seboj jednakih delov ; leteh 
ima EC 2, tedaj BO: EC 5 : 2. Ako potegnemo slednjič skoz 
vsako razdelišče stranice AC tudi vzporednico z BC, razdelimo tudi 
AB na 5, DE pa na 2 jednaka dela, in sicer so posamični del i 
stranice AB prav toliki, kolikeršna sta dela stranice DE, kajti vzporednice 
med vzporednicami so jednake ; tedaj velja tudi AB : DE = 

5 = : 2. V teh dveh trikotnikih je torej razmerje med vsakima 
dvema stranicama, kateri sta jednakima kotoma nasprotni, isto, nam 


reč 5 ; 2. 

Ako potegnemo tedaj v trikotniku vzporednico z 
jedno stranico, dobimo manjši trikotnik ; le-ta in dan i 
trikotnik imata jednake kote in sorazmerne stranice. 


79 


Vzemimo, da se pomikata v tri -Slika 110 . 
kotniku ABC točki A in B v stranica h c 
AC in B C proti C, in sicer takó, da 
ostane daljica, ki ji veže, namreč A'B' , 
A"B", . ,til vsaki novi leži z AB vzporedna, 
potem je vsak naslednji trikotnik 
A'B'C, A"B"C manjši od prejšnjega, a 
oblika ostane vsem neizpremenjena . Vsi 

ti trikotniki imajo torej prav isto obliko; oni so tedaj podobni. Ob 
jednem pa je iz ravnokar dokazanega izreka razvidno, da imata p o 
dva in dva izmed teh trikotnikov paroma jednake kote, in da je razmerje 
med stranicami, katere so jednakim kotom nasprotne, isto. 
Odtod izvajamo : 

Dva trikotnika sta si podobna, ako imata vse kot e 
paroma jednake in jednakim kotom nasprotne stranice 
sorazmerne. 
V podobnih trikotnikih imenujemo jednakim kotom nasprotne 
stranice i s t o l e Ž n e (homolog) stranice . 

Iz zadnjih dveh izrekov izvajamo pa tudi : 

Ako potegnemo v trikotniku vzporednico z jedn o 
stranico, dobimo manjši trikotnik, kateri je danem u 
podoben. 
§ 144. Da sta si dva trikotnika podobna, treba šester o 

s v o j st ev, namreč : vsak izmed treh kotov jednega trikotnika mor a 
biti jednak jednemu kotu v druzem trikotniku, in vsaka stranic a 
jednega trikotnika mora biti z istoležno stranico druzega trikotnika 
v istem razmerji. 

Ako imata dva trikotnika troje sestavin paroma jednakih, 

sklepamo večidel že, da sta skladna ; prav takó sklepamo lahko tudi, d a 
sta si dva trikotnika podobna, ako je danih le nekaj za podobnos t 
potrebnih svojstev ali pa tudi druzih pogojev, po katerih se on a 
svojstva samo ob sebi razumevajo Slučaje, v katerih se more t o 
zgoditi, navajamo v naslednjem. 

145. Vzemimo, da je v tri -
Slika 111 .
kotnikih ABC in DEF (slika 111 .) 
kot A = D, B E, tedaj tud i 
C = F. Ako naredimo CG PF 
ter potegnemo GH 11 AB, je 
QGHCc

:h‘)DEF (po I. izreku o 
skladnosti), a .ABCcG C, 
torej tudi ABC c-%.) DEF. 


Odtod izvajamo : 

(I. izrek o podobnosti.) Dva trikotnika sta si podobna, 
ako imata vse tri kote paroma jednake . 
Toda, če sta v dveh trikotnikih dva kota paroma jednaka , 

morata biti jednaka tudi tretja dva kota ; tedaj lahko sklepamo, da 
sta si dva trikotnika podobna, če imata le dva kota parom a 
jednaka . 

Kateri pogoj zadostuje, da sta si dva jednakokraka, kateri, da sta si dv a 
pravokotna trikotnika podobna ? 

Dva jednakostranična trikotnika sta si vsikdar podobna , 
Načrtaj več podobnih trikotnikov, v katerih se nahajata kota 60 0 in 45°. 


§ 146 . Vzemimo, da je v trikotnikih ABC in DEF (slika 111 .) 
AC: DF BO : EF in kot C = F. 

Ako naredimo CG DF ter potegnemo GH 11 AB, je 
AC : CG BO : CII. V tem in prejšnjem sorazmerji so prvi trij e 
členi jednaki, tedaj morata biti tudi četrta člena jednaka, tore j 
CH EF. Potem pa je GHC DEF (po II. izreku o skladnosti) ; 
a ABC c,,.) GHC, tedaj tudi ABC c‘) LS, DEF; t. j. : 

(II. izrek o podobnosti.) Dva trikotnika sta si podobna, 
ako sta dve stranici prvega sorazmerni z dvem a 
stranicama druzega, in kota, katera te stranice oklepajo, 
jednaka. 
§ 147. Recimo, da je v trikotnikih AB C in DEF (slika 111 .) 
A C DE BO: EF, AC BC, DE EF, in kot B E. 
Naredimo CG DF ter potegnimo GH AB, potem j e 
AC CG BC : CH. To in prejšnje sorazmerje imata prve tr i 

člene jednake, tedaj morata imeti tudi četrta člena jednaka, torej 

CH EF. Potem pa je GHC DEF (po III. izreku o skladnosti) 
; a ABC c',,b) GHC, tedaj tudi ABC DEF. 
Odtod izvajamo: 

(III. izrek o podobnosti.) Dva trikotnika sta si podobna, 
ako sta dve stranici jednega sorazmerni z dvem a 
stranicama druzega in večjima izmed teh stranic na sprotna 
kota jednaka. 

§ 148. Vzemimo, da je v trikotnikih ABC in DEF (slika 111 .) 

AC: DF BO : EF, in 
AC: DF AB : DE, 


Ako naredimo CG DF ter potegnemo GH 11 .AB, potem velja 

AC : CG BO : CH, in 
AC: CG AB : 

V prvem in tretjem sorazmerji so prvi trije členi jednaki, teda j 
morata biti tudi četrta člena jednaka, torej CH= EF. Prav takó 
izvajamo iz druzega in četrtega sorazmerja, da je GH = DE. 
Potem pa je GHC DEF (po IV. izreku o skladnosti), tod a 

ABC c,k.) GHC, torej tudi ABC DEF; t. j. : 

(IV. izrek o podobnosti.) Dva trikotnika sta si po podobna, 
ako so vse tri stranice jednega sorazmerne z 
vsemi tremi stranicami druzega trikotnika . 
149. Iz I. izreka o podobnosti izvajamo še ta-le dva : 
L) Dva trikotnika sta si podobna, ako imata parom a 
vzporedne stranice. 

Vzemimo, da je v trikotnikih ABC in DEF (slika 112.) stranica 
AB DE, AC DF in BC EF. 

Ker so koti, katerih kraki so v istem smislu vzporedni, jednaki , 
je kot A. = D, B E in C F; tedaj ,6 DEF. 

Katere stranice so v tacih dveh trikotnikih istoležne ? 

Slika 112. Slika 113 . 

2.) Dva trikotnika sta si podobna, ako so njiju stranice 
paroma druga na drugi pravokotne. 
Recimo, da je v trikotnikih ABC in DEF (slika 113.) stranica 
AB ! DE, ACIDF in BC.LEF. 
Po § 43. je tu kot A a, B b in C c, tedaj 
ABC c,.,.) DEF. 

Katere stranice so v tacih dveh trikotnikih istoleŽne? 


§ 150. Vzemimo, da je trikotnik ABC (slika 114 .) pri C pravokoten 
in CD I na hipotenuzi AB. 
V trikotnikih ABC in ACD je ACB .ADC R in 
A = A; tedaj tudi. B n, in zarad tega ABC cACD. 
V trikotnikih ABC in BCD j e 

• ACB .— Z BDC R in B B;
Slika 114. 
tedaj tudi A = m, in zategadelj 

• ABC cv, BCD. 
Ako je pa ABC .ACD 
in ABCcN,.)BCD, je tudi 
A.CD c,.,.) BCD. 

L) Ker so pa v podobnih trikotnikih 
jednakim kotom nasprotne 
stranice sorazmerne, velj a 

zarad ABC ca) ACD . .. AB: AC AC: AD, 
» ABCcN.) : BC= BO : BD.f 

2.) Prav takó je tudi 

zarad ACD BCD . . AD; CD = CD: BD. 

Če spustimo tedaj v pravokotnem trikotniku z vrh a 
pravega kota pravokotnico na hipotenuzo, j e 

l.) vsaka kateta danega trikotnika srednja sorazmernica 
med vso hipotenuzo in tej kateti priležnim 
odsekom hipotenuze ; 

2.) pravokotnica srednja sorazmernica med obem a 
odsekoma hipotenuze. 

4. O najimenitnejših svojstvih pacl.obni.h trikotnikov . 
§ 151. Vzemimo, da

Slika 115 . 
je (slika 115.) trikotnik 
ABC c%..) DEF; vzemimo 
dalje, da sta v teh trikotnikih 
AB in DE osnovnici, 
CG in FH pa višini . 
Ker je po pogoji kot 

A. =4 D in m = n je 

ACG c,,.)LS, DFH, tedaj CG : FH AC : D.F. Zarad podobnost i 
trikotnikov ABC in DET' velja pa tudi AB: DE = .AC DF; tedaj 
tudi CG EH= AB : DE; t. j. : 

3 podobnih trikotnikih so si višine kakor osnovnice. 


§ 152 . Če je vsaka trikotnikova stranica dvakrat, trikrat, štirikrat 
tolika, kolikeršna je istoležna stranica v druzem podobnem trikotniku, 
potem je tudi vsota vseh stranic, t. j. obseg prvega trikotnika dvakrat, 
trikrat, štirikrat tolik, kolikeršen je obseg druzega trikotnika. 

3 podobnih trikotnikih sta si obsega kakor vsak i 
dve istoležni stranici. 

§ 153. Ako razdelimo v trikotniku AMN (slika 116.) stranico 
AM na pet jednakih delov ter potegnemo skoz vsako razdelišč e 
vzporednico z MN, dobimo podobne 
trikotnike ABC, ADE, -; Slika 116 . 

če potegnemo dalje skoz vsako razdelišče 
v stranici AM vzporednice z 
AN, in prav takó tudi skoz vsako 
razdelišče stranice AN vzporednic e 
z AM, dobimo trikotnike, kateri imaj o 
vsi isto ploščino kakor ABC. 

Trikotnik ADE ima 4 trikotnike 
in izmed teh je vsak jednak ABC; 
ploščini trikotnikov A.DE in ABC sta 

si tedaj kakor 4 : 1. Istoležne stranice teh dveh trikotnikov pa so 
si kakor 2 : 1, tedaj njih kvadrati kakor 4 : I. Ploščini teh dve h 
trikotnikov sta tedaj v prav istem razmerji kakor kvadrati njih istoležnih 
stranic. 

Iz pridejane slike je dalje razvidno, da je v trikotnikih .AFG 
in ABC razmerje med ploščinama in tudi med kvadratoma vsaki h 
dveh istoležnih stranic 9 : I. 

3 trikotnikih AHJ in AMN je 16 : 25 razmerje med ploščinama 
in ob jednem tudi razmerje med kvadratoma vsakih dveh istoležnih 
stranic. 

Odtod izvajamo : 

Ploščine podobnih trikotnikov so v istem razmerj i 
kakor kvadrati njih istoležnih stranic . 


Ako je tedaj v kacem trikotniku vsaka stranica 2-, 3-, 4-, 5-, 
6krat tolika, kolikeršna je istoležna stranica v podobnem trikotniku , 

potem je ploščina prvega trikotnika 4-, 9-, 16-, 25-, 36krat tolik a 
kakor ploščina druzega trikotnika. 

5 . Načrtovanje, opirajoče se na podobnost trikotnikov. 
154. Dane so tri daljice AB, CD in EF (slika 117) ; 
poišči četrto sorazmernico. 

Slika 117. 
IB 

Načrtaj kakeršen koli kot G, na njega krakih odreži GH= .AB, 
GJ= CD, GK EF, potem potegni HK in s to vzporedno JL; GL je 
četrta sorazmernica daljic AB, CD in EF. Kajti GHK-c,,) GJL, 
tedaj GH :GJ=GK: GL, ali AB: CD = EF: GL. 

§ 155. Poišči srednjo sorazmernico k danima dalji cama 
AB in CD (slika 118 .) 
Na kateri koli premi na-

Slika 118 . 

črtaj MN=AB in NP = CD, 

Al 1 v N pa postavi na MP pravokotnico 
; potem pa načrtaj, raz-

C I ID 
polovivši MP v O, z O s polu merom 
OM = OP lok, sekajo č 
ono pravokotnico v R; NR je

ó N 
srednja sorazmernica med AB 
in CD. Kajti po § 65. je trikotnik M.RP pri R pravokoten, tedaj 
(po § 150., 2.) MN: NR NR : 1VP, ali AB: NR NR : CD. 
§ 156. Povečaj ali zmanjšaj več danih daljic AB, CD, 
(slika 119.) v danem razmerji. 

Recimo, da treba dane daljice povečati n. pr. v razmerji 3 : 4. 
V ta namen potegni trak OP, na tem načrtaj od O najprej 3, in 
potem tudi od O 4 jednake in prav tolike dele kakor so prvi ; 
v točkah p in P postavi pravokotnici pr in PR; na bližjo pravo-
Iwtnico pr načrtaj daljice pl AB, pm CD, pn EF, . . ., potem 


pa potegni skoz točko O in točke Slika 119 . 
l, m, n, . trakove, sekajoče bolj B 
oddaljeno pravokotnico v točkah 

L, M, N, . . . PL, PM, PN so 
I D 
iskane, v danem razmerji pove-F 

čane daljice. Da je res takó, razvidno 
je iz podobnosti trikotniko v 
0191 in OPL, Opm in OPM, i. t. d. 

Ako bi hoteli dane daljice 
zmanjšati v razmerji 4 ; 3, načrtali 
bi jih na bolj oddaljeno pravo 


kotnico PR; na bližji pravokotnici pr dobili bi potem v danem razmerji 
umanjene daljice . 

Vzemimo, da razmerje, v katerem treba dane daljice povečati 
ali zmanjšati, ni izraženo s števili nego z daljicami. V tem slučaji 
načrtaj na premo OP od O mesto jednakih delov, kateri izražujejo 
razmerska števila, razmerske črte, sicer pa delaj kakor prej . 

§ 157. Razdeli dano daljico na več jednakih delov. 

a) Jedno razrešitev te naloge navedli smo Že v § 75 . ; a ona 
je težavna in se dá le težko brez pogreškov izvesti, ker treba ve č 
vzporednic potegniti. 

b) Jednostavnejša je ta-le razrešitev : 

Vzemimo, da treba daljico 
AB (slika 120.) n. pr. na 7 jednakih Slika 120. 
delov razdeliti. V ta namen potegni 
trak AZ; nanj načrtaj 7 jednakih, 
sicer pa kakeršnih koli delov do 
N, nad 31N pa načrtaj jednakostraničen 
trikotnik MNO. Narediš 
h Om = On = AB ter potegneš mn, 
potem je Omn jednakostraničen 
trikotnik (zakaj?), tedaj mn jednaka 

AB in vzporedna z MN. Ako potegneš 

m 7


potem še od O do razdelišč stranice 
MIV preme OR, OS, , sekajoče mn v točkah r, s,. . . )razdelil 
si v teh točkah mn AB na 7 jednakik delov. 

Kajti Q Omr (N) OMR, Ors ORS, i. t. d.; a trikotniki 
OMR, ORS, . . so jednaki, ker imajo isto višino in jedriak e 
osnovnice ; zarad tega morajo biti jednaki tudi trikotniki Omr, Ors, 


ker pa imajo le-ti isto višino, imeti morajo tudi jednake osnovnice . 
Deli mr, rs, daljice mn so torej jednaki .

a, 

c) Kadar treba določiti prav majhne dele kake daljice, služ i 
nam ta-le razrešitev : 

Recimo, da treba AB (slika 121.) n. pr. 

Slika 121 . 

na 10 jednakih delov razdeliti . V ta namen

2 

postavi v A in B pravokotnici na AB, na 

vsako izmed njih načrtaj do C in D 10 jednakih 
delov, potem pa zveži prvi dve, drugi 
dve, . razdelišči s premo. Nalogo si razrešil, 
ako potegneš sedaj v pravokotniku ABCD 
diagonalo AD. Kajti trikotnika Dab in DAB 
sta si podobna, tedaj mora biti razmerje 
ab : AB jednako razmerju Db: DB ; toda Db je 
deseti del od DB, tedaj mora biti tudi ab de seti 
del od AB. Prav takó izvajamo, da je 

cd ó.AB, ef .AB, . .. mn :,, AB. 

§' 158. Daljic, katere smo v naravi res izmerili, navadno n e 

načrtavamo na papir v njih pravi veličini nego v o malj ene m 
merilu. Določeno dolžino, n. pr. 1 centimeter na papirji, vzamemo 
namreč za določeno dolžino, n . pr. 1 meter ali 20 metrov v resnici. 
Merilo, na katerem so one dolgostne mere, katere nam za resničn o 
merjenje rabijo, zmanjšane, imenujemo o m al j e n o merilo (verj~
ngter Masstab) . 

Omaljena poprečna merila načrtavamo opiraje se na § 157 ., c), 
kakó razdeliti daljico na več jednakih delov. 
1 .) Načrtaj tisočinsko merilo, t. j. poprečno merilo za 
decimalno mero. 

Na trak AX (slika 122 .) načrtaj 10 jednakih delov AB, BC, 
CD, . . ; vsak tak del naj velja za 10 dolgostnih jednot . V krajišči h 
postavi pravokotnice in na te načrtaj zopet deset jednakih, sicer p a 
kakeršnih koli delov. Ako potegneš sedaj skoz zadnji dve razdelišči 
daljico, vzporedna je le-ta s prvo daljico in nji jednaka ter tudi n a 
10 jednakih delov razdeljena. Potem potegni skoz po dvoje nasprotnih 
razdelišč preme ; le=-te so ali vzporedne z AX ali pa na nji pravokotne. 
Dalje potegni v katerem koli razdelku diagonalo C 200 in na 
ta način si razdelil tudi AB na 10 jednakih delov. Kajti ab je deseti 
del od CD, tedaj tudi od AB ; prav takó ima cd 2 taka dela, ef 3 


dele, i. t. d. Te dele načrtaj sedaj na AB in EO, in sicer je najpripravnejše, 
da načrtaš najprej 9 delov, namreč mn, od 0 do 90 i n 
od E do 10 in prav takó tudi na AB ; potem načrtaj takisto 8, 7, 
6, 5 delov. Slednjič potegni skoz 0 in F, in prav takó skoz vsaki 
dve naslednji razdelišči prečnice ali transverzale, k razdeliščem pa 
zapiši števila, kakor jih vidiš 'v sliki. 

Slika 122. 
',O 6 I 200 
7 b 
»; z 

A 

D 

Vsa daljica ADX ima 1000 delov, AB je deseti del, tedaj im a 

100 delov ; BF je deseti del od AB in ima 10 takih delov; o 1 je 
po načrtovanji deseti del od BF, torej ima 1 tak del, kakeršnih im a 
vsa daljica 1000 ; .1)2 ima dva taka dela, i. t. d. 

Ako vzamemo, da velja vsa daljica ADX za 1 meter, je AB 
1 decimeter, BF 1 centimeter, o 1 1 milimeter. 
2.) Načrtaj omaljeno tisočdelno merilo, na katerem veljata 2 % 
prave velikosti za 1‘. 
3.) Načrtaj s pomočjo tega merila na katero koli premo 3 cV,n,, 
21., 8 e ,1d/. 7T. 5 mm , 239 n/m, , 3041%, dolgo daljico . 
4.) Načrtaj trikotnik, čegar stranice merijo 21 %, 18% i n 
16% . 

5.) Načrtaj kvadrat s stranico 145 
6.) Potegni tri daljice in določi jim s pomočjo gornjega merila 
dolžino v milimetrih . 
7.) Načrtaj 4-, 5-, Gterostraničen mnogokotnik in določi mu 
obseg . 

8.) Razmerje med dvema daljicama je 3 :4 ; prva je 126 1%, 

dolga, načrtaj obe dve daljici . 

§ 159. 1.) Načrtaj nad dano daljico DE (slika 123.) tri kotnik, 
kateri je podoben danemu trikotniku ABC. 


a) V D načrtaj kot EDE 
Slika 123. B.A_C in v E kot DEF ABC; 
y njiju kraka sečeta se v Fin DEF 
je zahtevani trikotnik. 
b) K AC in BC poišči daljici, 
kateri sta v razmerji AB: DE 

izpremenjeni (§ 154.) ; s prvo 
D načrtaj lok z D, z drugo pa 
z E; ako potegneš od prese


čišča F teh dveh lokov do D in E premi, je DEFc''ABC. 

2.) Načrtaj kak trikotnik in potem tak temu podoben trikotnik . 
da je razmerje med istoležnimi stranicami v prvem in druzem trikotniku 
l.) 5 : 3, 2.) 2 : 5. 

3.) V trikotniku ABC je razmerje stranic AB : AC = 4 : 5, 
in kot _A, katerega te dve stranici oklepata, znaša 60' ; načrtaj nad 
stranico 248 lnbn, trikotnik, kateri je podoben trikotniku ABC. 

G. O podobnosti mnogokotnikov. 
§ 160. Dva mnogokotnika imenujemo podobna, ako imata 
isto obliko . 

Da določimo svojstva podobnih mnogokotnikov natančneje, potegnimo 
v mnogokotniku ABCDEF (slika 124.) od A diagonale .AC, 
AD in .AE. Mislimo si, da se pomikajo točke B, C, D, E, F v premah 
A. B, .AC, .AD, AE, .AF tak ó 

Slika 124. 

proti točki A, da ostanejo daljice 

P 

B'C', C'D', . B"C", C"D" . . v 

vsaki novi leži z istoležnimi stranicami 
BC, CD, ... vzporedne ; 

na ta način dobivamo manjše i n 

manjše mnogokotnike .AB'C'D'E'F', 
AB"C"D"E"F", . ., a vsi imajo 

očividno isto obliko kakor dani 

mnogokotnik, tedaj so si podobni . 
Kot A. je vsem mnogokotnikom skupen ; a tudi drugi koti ostali s o 
neizpremenjeni, kajti stranice pomikale so se vzporedno ; vsi ti mnogokotniki 
imajo torej v istem redu jednake kote . Po § 147. so pa tudi 
stranice vsakega novega mnogokotnika sorazmerne z istoležnimi stranicami 
danega mnogokotnika. 


89 

3 podobnih mnogokotnikih so tedaj koti v istem 
redu jednaki in istoležne stranice so sorazmerne. 
Vsi pravilni mnogokotniki z istim številom stranic so podobni . 
Iz prejšnjega izvajamo dalje : 
a) Istoležne diagonale delé podobne mnogokotnike n a 
podobne trikotnike. 
b) V podobnih mnogokotnikih so istoležne diagonale v 
istem razmerji kakor istoležne stranice. 

§ 161. Ako je v kacem mnogokotniku vsaka stranica 2krat, 
3krat, 4krat tolika kakor istoležna stranica v podobnem mnogokotniku, 
potem je tudi vsota vseh stranic, t. j. obseg prvega mnogokotnika , 
2krat, 3krat, 4krat tolik, kolikeršen je obseg druzega mnogokotnika. 

Obsegi podobnih mnogokotnikov so si tedaj kako r 
vsaki dve istoležni stranici. 

3 kakem razmerji sta obsega dveh pravilnih mnogokotnikov z istim številom 
stranic ? 

§ 162. Ako potegnemo v dveh podobnih mnogokotnikih, izme d 
katerih ima prvi dvakrat tolike stranice kakor drugi, istoležne diagonale, 
raztvorimo ja na trikotnike ; vsak trikotnik prvega mnogokotnika 
je (po § 157.) 4krat tolik kakor istoležni trikotnik druzeg a 
mnogokotnika, tedaj je tudi vsota vseh trikotnikov v prvem mnogo kotniku, 
t. j. njega ploščina, 4krat tolika kakor vsota vseh trikotnikov, 

t. j. ploščina druzega mnogokotnika. Ploščini teh dveh mnogokotnikov 
sta si tedaj kakor 4:1; a v istem razmerji sta tudi kvadrata vsakih 
dveh istoležnih stranic. 
Ploščine podobnih mnogokotnikov so si kakor kvadrati 
istoležnih stranic. 

Ako načrtamo tedaj lik, katerega smo v naravi res izmerili, v 
omaljeni meri takó na papir, da znaša na papirji vsaka njegova 
stranica le I, š , 4 , i ó , . . . prave izmerjene dolžine, znaša likova 
ploščina na papirji}, 4, -i-1.w, Th, . . . ploščine podobnega res izmerjenega 
lika. 

3 kakem razmerji sta ploščini dyeh pravilnih mnogokotnikov z istim 
številom stranic ? 

033. Ako rečejo prečnice trakove, katere potegnem o 
od točke S (slika 125.), sorazmerno v točkah A in a, B in b, 
C in c, potem sta si mnogokotnika .ABCD . in abcd 
podobna. 

Vzemimo, da velja SA: Sb SC: Sc .. ., potem 
sta si trikotnika SAB in Bab podobna in prav takó tudi SBC in 
Sbc, SCD in Scd, . . ., tedaj AB: ab BC: bc, kajti obedve razmerji 
jednaki sta razmerju SB : Sb. Prav takó dobimo tudi 
BC: bc CD: cd, . . . V mnogokotnikih ABCD . . . in abcd . . 
so tedaj istoležne stranice sorazmerne . 

Ker je dalje AB ab, BC bc, CD II cd, . so tudi koti A 
in a, B in b, C in c, . . . paroma jednaki . 

Mnogokotnika sta si torej podobna. 

Dva podobna mnogokotnika moči je, primerno ja premaknivši, 
vsikdar v tako ležo spraviti, da sečejo njijina oglišča trakove, kater e 
potegnemo od točke S, sorazmerno . Tako leŽo dvph podobnih mnogokotnikov 
imenujemo perspektivno (perspectivisch) ložo , točko S 
pa podobnišče (Aehnlichkeitspunkt), in sicer vnanje ali notranje. 
Podobnišče je vnanje, kadar sta po dve istoležni stranici v obe h 
mnogokotnikih na isti strani, notranje pa, kadar sta na nasprotni h 
straneh te točke . Dva podobna in perspektivno ležeča mnogokotnika 
imata vnanje podobnišče, kadar so stranice, oklepajoče jednake kote , 
v istem smislu vzporedne ; nasprotno pa imata notranje podobnišče, 
kadar so le-te stranice v nasprotnem smislu vzporedne . 

Dva podobna in perspektivno ležeča pravilna mnogokotnika 
zadostujeta obema ravno navedenima pogojema, torej imata vnanj e 
in notranje podobnišče. Prvo je na daljici, katera veže središči obe h 
mnogokotnikov, drugo pa na podaljšku te daljice . 

§ 164. Naloge. 
l.) Načrtaj nad dano daljico GH (slika 126.) mnogokotnik, 
kateri je podoben danemu mnogokotniku ABCDE. 
Potegni diagonali AC in AD ter naredi AM GH; dalj e 
potegni MN 11 BC, NP II CD, PR II DE in mnogokotnik ABCDE c,,.) 
AMNPR. Ako načrtaš sedaj nad GH mnogokotnik GHJKL, kateri 
je z .AMNPR skladen, je le-ta zahtevani mnogokotnik. 


Slika 126 . 

Točke N, P, R dobiš lahko tudi na ta način, da zmanjša š 
daljice AC, AD, AE v razmerji AB : GH ter potem te zmanjšan e 
daljice načrtaš od A do N, P, R. 

2.) Načrtaj četverokotnik, kateri je danemu četverokotniku 
podoben, a novi mnogokotnik ima naj le na pol tolik obse g 
kakor dani. 

3.) Načrtaj kakeršen koli peterokotnik in potem še drugprvemu podoben peterokotnik, in sicer naj bo razmerje med stranicami 
prvega in druzega 10 :3. 

4.) Načrtaj dva podobna šesterokotnika, v katerih imajo istoležne 
stranice razmerje 4 :5.