P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 31 (2003/2004) Številka 6 Strani 326-332
Jože Rakovec:
ZAKAJ SE V SKODELICI CAJA ZRNA SLADKORJA ZBIRAJO NA SREDI OB DNU
Ključne besede: fizika, pospeški pri kroženju, vremenski pojavi, ciklon, anticiklon, Coriolisov pospešek.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/31/1575-Rakovec.pdf
© 2004 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
ZAKAJ SE V SKODELICI ČAJA ZRNA SLADKORJA ZBIRAJO NA SREDI OB DNU
Ko čaj sladkamo in ga pomešamo, se neraztopljena zrnca sladkorja ter delci čajnih lističev zberejo oh dnu na sredi skodelico. Na dno potonejo seveda zato, ker so težji od tekočine. Toda zakaj jih vrtenje čaja ne potisne ob obod skodelice, kot bi pričakovali za relativno težje delce? Podobno tudi vrtinci zraka, ki včasih nastajajo za vogali hiš, zbirajo smeti v svojem središču. Zakaj teh smeti vrtenje ne razmeče naokrog, ko pa so vendar težje od zraka? To je "prastaro" vprašanje. Menda naj bi (tako pravi http r//www. clarkson. edu/"space/teacup .html) že Empedokles iz A k rag asa (po latinsko: Agrigenta) na Siciliji v 5. stol. pr. Kr. uporabil prispodobo s čajem, ko je razlagal, da vrtenje razdvaja snovi različnih lastnosti. Danes razdvajanje z vrtenjem tudi praktično uporabljamo v centrifugah. Kjer se v industriji praši, npr. v lesnih tovarnah, imajo pokončne, ponekod tudi več metrov visoke valjaste čistilne naprave s stožčastim podaljškom na dnu. Vanje vpihavajo zrak z žaganjem in lesnim prahom, ga močno zavrtinčijo in med vrtenjem se nabirata žaganje in lesni prah ob stenah valja ter se usedata navzdol skozi stožčasti podaljšek, očiščeni zrak pa izstopa iz Čistilne naprave na sredini ob vrhu. In spet se vprašamo, zakaj tudi tu vrtenje poriva žaganje in prah proti stenam, v Čaju pa se na dnu zrnca sladkorja in listki čaja zbirajo na sredi in ne ob stenah.
Spremembe hitrosti in pospeški pri kroženju
Pri enakomernem kroženju je velikost hitrosti ves čas enaka, spreminja se le smer. Ves čas enaka pa je tudi sprememba smeri, ves čas je tudi pravokotna, t,j. normalna na trenutno hitrost V; povzroča jo normalni pospešek an. Velikost tega pospeška je ves čas enaka, njegova smer pa je proti središču kroženja: an = — fi~r. Negativni znak minus pove, da pospešek ne deluje navzven, v smeri naraščajočega polmera r, temveč v nasprotno smer, vedno proti središču kroženja. Krožna hitrost ft = = Aip/At = 2tt/T = 1V|/r je pri enakomernem kroženju konstantna.
V mislih razstavimo kroženje na posamezne premike v kratkih časovnih intervalih Ai, v katerih se hitrost vsakič znova spremeni. Smer hitrosti V je smer tangente na krog. Pravokotno v levo od nje naj kaže normala na trenutno smer. Ob začetkih takih intervalov A t seveda hitrost nima komponente :tv levo, vstran'1. Ob koncih teh intervalov, čez čas Ai, pa se pojavljajo vsakič enako velike normalne komponente hitrosti U = anAt. Kadar je normalni pospešek pozitiven, so pozitivne tudi
Fizika	327
Ui, U2, f'f3... in njihove smeri so, glede na prvotno hitrost, v levo (ker smo privzeli za smer normale "pravokotno v levo glede na dosedanjo smer"). Pri enakomernem kroženju so tudi velikosti tangencialnih koinponet Vj, \ri, V3... vzdolž dosedanje smeri ves čas enake (slika 1).
Kaj pa tedaj, ko se spreminja oboje, smer gibanja, pa tudi velikost hitrosti? Da bo nasa obravnava preprosta, naj bo normalni pospešek, tako kot pri enakomernem kroženju, konstanten iti pozitiven. Zato so tudi spremembe smeri "v levo od prejšnje smeri" vsakič enake U = = anAt. Najprej obravnavajrao primer, ko se velikost hitrosti V povečuje, npr.
v vsakem časovnem koraku za deset odstotkov: Vi = l.lOVo, V2 — = 1,10Vi = 1,21 V0, V3 = 1,10V2 = 1,33V0, itn. Slika 2a nas prepriča, da se tedaj pot glede na prejšnji primer enakomernega kroženja spiralasto oddalju je navzven. Kadar se velikost hitrosti zmanjšuje (npr. spet za deset odstotkov v vsakem časovnem intervalu - slika 2b), pa imamo gibanje spiralasto navznoter.
Slika 1.

b)
Slika 2.
Sila, zaradi katere čaj kroži v skodelici
Ko čaj pomešamo, ga zavrtimo v kroženje. Pri tem se posameznim delom čaja smer hitrosti ves čas spreminja; gibanje je pospešeno z normalnim pospeškom an. Kot nas je naučil 2. Newtonov zakon, so pospeški (t.j, spremembe hitrosti v času) posledica delovanja sil. Zato lahko spremembo hitrosti prečno na prvotno smer, torej kroženje, povzroči samo sila Fn, ki deluje v prečni smeri. Katera je ta sila?
Za začetek povejmo, da tlak v tekočini z globino narašča. To dobro občutimo npr. ob potapljanju: v čim večjo globino h se potopimo, tem večja je masa vode nad nami. Če je nad površino A volumen vode V = Ah, je masa te vode m = pV = rAh in njena teža Ft = mg je Ft = pAhg (p je gostota vode). Posledica je torej tlak, p = Ft/A = mg/A = phg.
Sedaj se lotimo obravnave gibanja dela čaja v volumnu V'*, ki ga omejujejo robovi Ar, Az in Al: V = ArAzAl - ArS (S = AzAl). V tem volumnu je masa čaja m = pV — p Ar S (p je gostota čaja, skoraj enaka gostoti vode). Ko čaj pomešamo, se prej ravna gladina čaja usloči; ob robovih se dvigne, na sredi pa zniža (slika 3).
H Pi=pgh. I >
Slika 3.
Zato je na sredi v skodelici, kjer je čaja manj, tlak p j nižji, na večji oddaljenosti od središča, kjer je čaja več, pa je na isti globini tlak po viš ji. Tlak pi ob notranji ploskvi S\ je torej nižji, tlak V2 zunanji ploskvi S2 pa višji. To je vzrok za silo Fn = p\S\ — S2■ Ker sta Si in S2 skoraj
enaki. Si ^ S2 — S, je zato sila Fn ra S(pi - p2) = -pgAhS. Negativni znak pomeni, da kaže sila v nasprotno smer kot. narašča oddaljenost r od središča skodelice; imamo torej silo proti središču skodelice. Sila na masno enoto je
Fn/m = (-pgAhS)/(p Ar S) = -gAh/Ar .
Posledica te sile je (po 2, Newtonovem zakonu a — F/m) pospešek an "navznoter", poprek na siner obodne hitrosti:
On = AU/At = F/m = -gAh/Ar .
Ali lahko določimo tudi obliko gladine čaja v skodelici? Ker velja enakost med pospeškom «7[ — rfi2 in specifično silo Fn/m — —gAh/Ar, ki povzroča ta pospešek
—ril2 = -gAh/Ar , lahko od tod določimo strmino Ah/Ar gladine čaja:
A L / A
Ah/Ar = — r.
g
Čim dlje je od središča skodelice (večji r), tem bolj strma je gladina. Krivulja, katere strmina linearno narašča v odvisnosti od oddaljenosti od izhodišča, je parabola:
fjZ
h(r) = ha + --r2 .
29
Oblika gladine čaja v skodelici je torej parabolična.
ZELkaj se sladkor zbira na sredini
Če krožnega gibanja čaja v skodelici nič ne zavira ali pospešuje, deli čaja krožijo enakomerno po krožnicah. To velja povsod v skodelici, razen ob njenih stenah.
Ob dnu skodelice pa gibanje zavira trenje, (Trenje se sicer pojavlja tudi ob stranskih stenah skodelice, toda to za našo obravnavo ni zelo pomembno.) Trenje zmanjšuje hitrost, to pa pomeni, da se bo (v skladu s sliko 2b) čaj pri dnu gibal spiralasto proti sredini skodelice. S tem smo že pojasnili, zakaj se zrnca sladkorja, in lističi čaja zbirajo ob dnu na sredini: ko zaradi večje teže potonejo k dnu posode, jih v plasti trenja ob dnu spiralast tok nosi proti sredini.
Kam pa gre tekočina, ki se ob dnu steka proti sredini? Seveda mora nekam odtekati; v sredini se čaj dviga. Trenje ob dnu torej povzroči, da se poleg horizontalnega kroženja naokrog po skodelici pojavi tudi dviganje na Sredini navzgor, in seveda ob robovih skodelice potem spuščanje navzdol. To sekundarno kroženje je precej počasnejše od osnovnega horizontalnega kroženja, je tako rahlo, da ne more odnesti navzgor težjih zrnc sladkorja in lističev čaja, ta ostanejo na sredi ob dnu (slika 4).
Slika 4.
In kaj ima čaj opraviti z vremenom
Krožna gibanja so marsikje, ne le v skodelici Čaja. V ozračju imamo krožne vrtince zraka; okrog velikih območij z veliko nakopičenega zraka, torej v anticiklonih z visokim zračnim tlakom, zrak kroži (na severni polobli) v smeri kazalcev na uri. Okrog območij, kjer je zraka manj in je zato zračili tlak nizek, torej v ciklonih, pa (na severni polobli) v smeri, nasprotni gibanju kazalcev na uri. (Na južni polobli sta smeri kroženja ravno obratni.) Ti vrtinci so veliki, imajo premer nekaj tisoč kilometrov.
Območja nizkega zračnega tlaka (cikloni) spominjajo na vrteči se čaj v skodelici; kot je v skodelici na sredi manj čaja in je za,to tam tlak nižji, je v sredi ciklonov manj zraka in tam je zračni tlak nižji. Zato tja pospešuje sila zaradi tlačnih razlik.
Zrak v višinah ne občuti kaj dosti trenja. Pri tleh pa na gibanje zraka kar precej vpliva trenje ob tla. Ta plast, v kateri je trenje pomembno, je razm uro m ¡t. debela, nad ravno pokrajino sega nekako do višine kakih 1000 do 2000 krn nad tlemi. V tej plasti se zrak spiralasto steka proti središču ciklona. Na sredi ciklonov se raje dviga, kot da bi se stisnil, tam imamo torej zaradi trenja pri tleh rahlo dviganje zraka, s hitrostjo med 0.01 in 0.1 m/s. V anticiklonih pa imamo podobno močno spuščanje zraka. In zakaj je to pomembno?
Zrak, ki se spušča iz višin, prihaja navzdol med zračne mase, v katerih je tlak višji. Zato ga okolica toliko stisne, da se tlaki izravnajo. Pri stiskanju pa se zrak segreva; saj veste, kadar polnite zračnico svojega kolesa, se zračna tlačilka segreje zaradi stiskanja zraka (kompresorji za stisnjen zrak imajo Tebraste hladilne lamele, da se hladijo, ko se ob stiskanju zrak v njih segreva). Ob dviganju pa le-ta pride v redkejšo okolico, zato se ra^pne. Ob dviganju in razpenjanju se torej zrak ohlaja. V ciklonih, kjer se zrak dviga, se ob tem ohlaja, v anticiklonih pa se ob spuščanju segreva. Tudi če bi bili v anticiklonih v višinah oblaki, bi ob spuščanju in hkratnem segrevanju zraka kapljice v njem ob potovanju navzdol izhlapele. Zato je v anticiklonih največkrat, (a ne vedno!) jasno vreme. V ciklonih pa se zrak dviga, ob tem se ohlaja in morebitna ohladitev pod rosišče pomeni nastanek kapljic nastajajo oblaki. Zato je v ciklonih ponavadi (a ne vedno! ) oblačno vreme (slika 5b
* a *	>	✓
\ ' / \ i /
iS/	M * *
* * 4
v t I i i t
i ' i i < J
Slika 5.
Na tem mestu je potrebno opozoriti še na eno pomembno stvar: čim močnejše je dviganje, tem močnejše je ohlajanje, tem močnejša je tvorba oblakov. Ker trenje pri tleli povzroča, le dviganje s hitrostjo okrog 0.01 do 0.1 m/s, je to le manj pomemben vzrok za oblačnost. Zrak se pogosto dviga precej močneje; zaradi dviganja ob pobočjih obsežnih gorskih masivov ali pa če se toplejši lažji zrak nariva nad gmoto težjega hladnega zraka, so vertikalne hitrosti lahko tudi 1 ali morda 10 in/s. Tam je oblačnost, še posebej gosta m padavine močne. V nevihtnih oblakih pa neuravnoteženi vzgon včasih požene zrak navzgor tudi s hitrostjo nekaj deset metrov na sekundo. Takrat pa res dežuje, kot. bi "padale ošpičene prekle".
Drugače kot pri čaju je za velike vremenske tvorbe - ciklone in anticiklone pomemben tudi vpliv vrtenja Zemlje. Ne kroži samo zrak v ozračju, temveč se vrti tudi Zemlja sama. Iz tega sledi pospešek, Coriolisnv pospešek, katerega velikost je premo sorazmerna hitrosti in ki na severni polobli kaže v desno od smeri hitrosti, na južni pa v levo. Zato se poruši simetrija glede smeri vrtenja. Čaj bi lahko zavrteli v eno ali drugo stran, zrak v ciklonih pa na severni polobli vedno kroži v smeri, nasprotni gibanju kazalcev na uri (v anticiklonih pa v smeri kazalcev na uri). V ciklonih ta pospešek na severni polobli zaradi tlačnih razlik deluje nasproti sili in njene učinke torej nekoliko zmanjšuje. Zrak kroži nekoliko počasneje, kot da. bi bila strmina Ah/Ar nekoliko manjša, kot je v rcsnici (v anticiklonih pa obratno, nekoliko hitreje, kot da bi bila strmina nekoliko večja). Ob upoštevanju take "navidezno manjše" strmine pa imamo torej skoraj popolno podobnost med ciklonom in čajem.
Jože Rakovec