i
i
“1252-Zerovnik-obisk” — 2010/7/22 — 13:05 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 23 (1995/1996)
Številka 1
Strani 2–4
Janez Žerovnik:
NA OBISKU PRI BARBARI
Ključne besede: matematika, teorija števil, številski sistemi.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/23/1252-Zerovnik.pdf
c© 1995 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
Mat ematika I
NA OBISKU PRI BARBARI
V nedeljo smo bili na dru žinskem obisku pri prij a teljih . Prav got ovo
vas zanima , kaj sm o dobrega poj edli in pop ili , pa vas bom razočaral.
Petošoika Barbar a in njen oče sta mi pokazala zanimivo matematično
nalogo. Pravzaprav j e nalogo iz šole prinesla Barbarin a sestra Alenka , ki
je že gimnazijka , ampak Barbara se kljub temu ves čas ni ga nila od mize.
Takole je pisa lo:
15732[81 = X[61 •
Drugače povedan o: Št evilo, dan o v osmiškem šte vilskem sistemu, zap iši v
šestiškem številskem siste mu. Seveda smo nalogo znali rešit i, zanimalo pa
nas je, če j e res potrebno osrn iško šte vilko pr et voriti najprej v deseti ško
in to po tem v šestiško, ali pa gre morda hitreje.
Od govor je seved a pritr dilen, saj vemo , da deseti ški številski sistem ni
nič bolj 'naraven ' od ostalih . Res j e, da imamo deset prstov na rokah. Prav
to liko so jih im eli t udi Babilon ci, pa so vseeno up orablj al i šes t. dese t iški
sistem. Osnova 60 se je do dan es ohranila pri merjenju časa, povsod
dr ugje j e pr evlad al deset iški številski sis tem . (O zgodovin i matematike,
t udi o začetkih številskih sistemo v, si lahk o preberete več v knj igi Ma-
tem at ika skozi kul ture in epohe Vladimirja Devideja iz knji žnice Sigm a .)
Poleg dandanes prevladujočega desetiškega sistema v računalništvu veliko
up orablj ajo t udi dvoj iški (a li bin arni) in njegova 'bra t ranca', osmiški in
šestnajs t iški št evilski sistem.
Torej smo se lotili dela . Osrni ška številka a k a k- l . . . U2 a l a o j e zapi s
števila
Torej je treba števila , ki nas top aj o v gornjem izrazu , naj pr ej zapi sa ti v
šes t. iškem zapisu , potem pa jih zmnožit.i in sešt.et.i (pozor!) 'po šest.iško' .
To pome ni, da je treba računa t.i v šest.iškem št evilskem sist emu.
Poskusimo z gornjo nalogo.
Naj prej si pripravimo zap ise potenc osnove 8:
8 = 12[6]
82 = 64[10] = 144[6]
83 =512[10] =2212[6]
84 = 4096[10] = 30544[6]
M atematika
Zdaj pa zapišimo v šestiškem zapisu še števke ao , al , . . . , a4: ao =
2[8] = 2[6], (lI = 3[8] = 3[6]' (l2 = 7[8] = 11[6]' a3 = 5[8] = 5[6], (l4 =
= 1[8] = 1[6] in jih po šest iško pomnožimo z ustreznimi potenc ami osnove
8.
(lo = 2[6]
alS = 3[6]12[6] = 40[6]
To gre po šestiško t akole: 3 krat 2 je 6[10] = 10[6], zapišemo O, 1 dalj e;
3 krat 1 je 3 in 1 je 4 (tako v deseti škern kot šestiškem sistemu).
(l2S2 = 11[6]144[6] = 2024[6]
(l3S3 = 5[6]2212[6] = 15504[6]
(l4S4 = 1[6]30544[6] = :30544[6]
Po šest iško seštej mo!
2[6] + 40[6] + 2024[6] + 15504[6] + 30544[6] = 53002[6]
Za kontrolo lahko nar edimo račun po st arem : Zapišemo 15732[8]
7130[10] in delimo: 7130 : 6 = 1188 z ostankom 2, 1188 : 6 = 198
z ostankom O, 198 : 6 = 3:3 z ostankom O, 33 : 6 = 5 z ostankom 3.
Lahko rečemo še 5 : 6 = O z ostankom 5, zb eremo ostanke in sklenem o:
7130 = 53002 [6]'
Osnovi 8 in 6 nista nič posebnega. Prav tak postopek kot prej lahko
nar ed imo za po ljuben par št evilskih sistemov , recimo z osn ovama p in
q. Naloga je sedaj sp lošn ejša: Dano imamo število, zapisan o v p-iškem
št evilskem sistemu s števkami (lk . . . (lI ao , želimo ga zapisati v q-iškem
št evilskem sistemu. Naredi li bomo takole:
l . Zapišemo pO, pI , p2, . . . , pk v q-iškem sist emu.
2. Zapišemo ak, .. . , (l I, ao, v q-iškem sistemu.
3. Zmnožimo alP, a2p2 , . . . , (lkpk v q-iškem sistemu.
4. Seštej emo (lO + alP + a2p2 + .. .+ akpk v q-iškem sistemu.
Za kon ec še dve opornbi .
Če kak par osnov uporabljamo večkrat, j e bolje zapise po ten c pr era-
čunati vnaprej in jih hraniti v tabeli. Potem delo pri točk i 1 naredimo
samo prvič.
Za nekatere pare osnov p in q j e račun še pr ecej pr eprostejši. Vzemimo
na primer p = 4, q = 2. Vsaka števka v št iriškem zapisu da dve št evk i v
dvojiškem zapisu .
Primer: 31203f41= 11 01 10 00 11 
-'cVzl4121 
& pa mamemo p = 2 in q = 4, po dve itevki dvoji&ega zapk  
dsIoEita %16evlro v BthBkem zapiau. 
Primer: 111011001~2~ = 1 11 01 10 01 = 1312114] 
---91 
Verjdno ste b uganili, da taka prepmsta, rn-a velja, lradar je p 
potenca q ali ko je  q potenca p. Za bistre gla- ki jih +ki iitevilski 
diemi $e niaro paveiem u$radiIi, pa h nalo&a.- PoiEite b1iZqjc.o ra prepis 
iz p . ~ g a P t e v ~ ~  sistema v g-igEti &milski &tern, 2e &a p in q potend 
zistoclgnuvo,naprimerp=r' inq=d I 
Janez getom2 
s o  s 
PROGRAMSKO OPREMO PODJETJA: 
MARAND, MARMIS IN SKUPINA ATLANTIS I 
Y