Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Zbirka nalog iz uporabe matematičnih metod v logistiki I MAJA FOŠNER in BOJANA ZALAR Celje 2008 Naslov: Zbirka nalog iz uporabe matematičnih metod v logistiki I Avtor: doc. dr. Maja Fošner in dr. Bojana Zalar Recenzent: doc. dr. Ajda Fošner CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.8)(076.1) FOŠNER, Maja Zbirka nalog iz uporabe matematičnih metod v logistiki I [Elektronski vir] / Maja Fošner in Bojana Zalar. - Celje : Fakulteta za logistiko, 2008 Način dostopa (URL): http: //fl.uni-mb.si/eknjige/zbirka_umml_1.pdf ISBN 978-961-6562-21-8 1. Zalar, Bojana 240023808 Jaz, študent logistike ... Naslednji teden bo kolokvij. Naloge bodo ... „take, kot na vajah". Standardni odgovor, ki ničesar ne izda. In sedaj? 80 strani, 5 poglavij ... - to pravzaprav vem že od oktobra; predgovor pa berem le zato, da pridobim čas. Upava, da ne boste posegali po knjigi le v paničnem predizpitnem času. In da ste v naslovih poglavij spoznali že znane pojme morda zbledelega srednješolskega znanja. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 vas skuša vpeljati v osnovne tipe nalog, kakršne potem srečujete v raznih preverjanjih in se zdijo - vedno znova - novi. Zbirka je prilagojena učnemu načrtu visokega strokovnega programa. Zastavljene naloge so prikazane s celotnim potekom reševanja, ob ponavljajočih se podobnih primerih pa so podane le končne rešitve. Zbirka tako dopolnjuje predpisano izpitno literaturo: • Fošner M.: Uporaba matematičnih metod v logistiki 1, e-gradivo, predvsem pa pomaga prebroditi začetne nesporazume z matematičnimi nalogami. Želiva, da bi vam koristila, tako pri izpitih, kot tudi kasneje - „v uporabi". Celje, julija 2008 Avtorici Kazalo 1 Osnove 7 1.1 Realna števila........................................................7 1.2 Kompleksna števila..................................................18 2 Matrike 27 2.1 Računanje z matrikami.......................27 2.2 Sistemi linearnih enačb.......................33 3 Vektorji 37 3.1 Osnovne operacije z vektorji....................37 3.2 Produkti, linearna kombinacija ..................43 3.3 Premica in ravnina v prostoru...................50 4 Zaporedja in vrste 55 4.1 Zaporedja..............................55 4.2 Vrste.................................64 5 Funkcije ene spremenljivke 69 Poglavje 1 Osnove 1.1 Realna števila 1. Zapišite elemente množic: (a) A = {x E N; x2 = 25} (b) B = {x E Z; x2 = 25} (c) C = {x E Z;2x = 3} (d) D = {x E Q; 2x = 3} Rešitev. (a) Množica A vsebuje tista naravna števila, katerih kvadrat je 25. Edino takšno število je 5. Torej: A = {5}. (b) Množica B vsebuje tista cela števila, katerih kvadrat je 25. Takšni števili sta 2: 5 in -5. Torej: B = {-5, 5}. (c) Množica C vsebuje tista cela števila, ki rešijo enačbo 2x = 3. Takšnega celega števila ni. Torej: C = {}. (d) Množica D vsebuje tista racionalna števila, ki rešijo enačbo 2x = 3. V množici racionalnih števil ima dana enačba rešitev x = |. Torej: 2. V množici realnih števil rešite enačbe: (a) (x - 2)(x + 4) - (x - 1)2 = 2x - 3 (b) x - (5x - (x + 2)) = 8 (c) 5(2 + x) - 3(3 + x) = 2x + 1 (d) (2x + 1)2 - x(4x - 3) = 7x (e) + ^±1 _ 2=1 = (f) x2 - 5x = 14 (g) x2 + 8x - 9 = 0 (h) 6x2 - x - 1 = 0 (i) x2 - 4x + 5 = 0 (j) x3 - 4x2 - 9x + 36 = 0 (k) x3 - 7x + 6 = 0 Rešitev. (a) • Odpravimo oklepaje: x2 + 2x - 8 - x2 + 2x - 1 = 2x - 3. • Skrčimo izraz in po ureditvi dobimo linearno enačbo 2x = 6 z rešitvijo x = 3. (b) Kot v gornjem primeru dobimo rešitev x = -2. (c) Po ureditvi dobimo identično izpolnjeno enačbo 0 = 0, kar pomeni, da je vsako realno število x G R rešitev dane enačbe. Množica rešitev je R. (d) Po ureditvi dobimo protislovno enačbo 1 = 0, kar pomeni, da nobeno realno število ne reši dane enačbe. Množica rešitev enačbe je prazna. (e) • Odpravimo ulomke (enačbo množimo z najmanjšim skupnim večkratnikom imenovalcev, to je s 6). Dobimo x - 1 + 2(2x +1) - 3(x - 1) = 12x. • Kot v gornjih primerih dobimo rešitev x = |. (f) • Enačba je kvadratna. Uredimo jo tako, da so vsi neničelni členi na eni (levi) strani enačbe x2 5x 14 = 0. Razstavimo izraz na levi strani po Vietovem pravilu x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) in dobimo (x - 7)(x + 2) = 0. • Produkt (x — 7)(x + 2) je enak 0, kadar je eden od faktorjev enak 0: x - 7 = 0 ali x + 2 = 0. • Dobimo 2 rešitvi: xi = 7 in x2 = —2. Opomba: Ce razcepa po Vietovem pravilu ne uganemo, uporabimo spodnje formule (primer (h)). (g) Kot v gornjem primeru dobimo rešitvi x1 = 1 in x2 = —9. (h) Rešitvi kvadratne enačbe ax2 + bx + c = 0 računamo po formulah D = b2 — 4ac, x1 2 —b ± \f~D 2a ' V našem primeru je a = 6, b = —1, c = —1 in D = (—1)2 — 4 ■ 6 ■ (—1) = 25, v =5 15 x1,2 12 x1 = 1 + 5 1 12 2^2 = 1 — 5—1 12 _ 1"' 4 ni (i) Kot v gornjem primeru dobimo D = —4. Koren \[~D = realno število, dana enačba nima realnih rešitev. (j) • Izraz na levi strani enačbe razstavimo: x3 — 4x2 — 9x + 36 = 0 x2(x — 4) — 9(x — 4) = 0 (x — 4)(x2 — 9) = 0 (x — 4)(x — 3)(x + 3) = 0. • Produkt (x — 4)(x — 3)(x + 3) je enak 0, kadar je eden od faktorjev enak 0: x — 4 = 0 ali x — 3 = 0 ali x + 3 = 0. • Dobimo 3 rešitve: x1 = 4, x2 = 3, x3 = —3. (k) Kadar izraza na levi strani enačbe (stopnje višje od 2) ne znamo razstaviti, eno rešitev x1 uganemo in izraz (polinom) delimo z dvo-členikom x — x\. Dobljeni količnik je polinom nižje stopnje, ki ga nadalje razstavimo po enem od že znanih postopkov. • Uganemo: xi = 1. • Delimo: (x3 — 7x + 6) : (x — 1) = x2 + x — 6 — (x3 — x2) x2 — 7x + 6 — (x2 — x) —6x + 6 — (—6x + 6) • Razstavimo dobljeni količnik: x2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2). • Dano enačbo zapišemo v razstavljeni obliki: x3 — 7x2 + 6 = (x — 1)(x + 3)(x — 2) = 0. • Izračunamo rešitve: x1 = 1, x2 = —3, x3 = 2. Opomba: Namesto deljenja polinomov lahko uporabimo Hornerjev algoritem. | 1 | 0 | -7 | 6 TJ | 1 | 1 | -6 || 1 | 1 | -6 | 0~ 3. Rešite iracionalne enačbe in napravite preizkus: (a) + 7 + 1 = x - 4 (b) 2* + VŽTTTT = 1 Rešitev. (a) • Uredimo enačbo (osamimo koren na eni strani enačbe): \Jx + 7 = x — 5. Enačbo kvadriramo (odpravimo koren): x + 7 = x2 - 10x + 25. • Rešimo kvadratno enačbo: xi = 9, x2 = 2. • Napravimo preizkus - x1 in x2 vstavimo v prvotno enačbo. Ugotovimo: x1 ustreza prvotni enačbi, x2 ne ustreza. • Rešitev prvotne enačbe je le x1 = 9. Opomba: Ce med reševanjem enačbo kvadriramo, je preizkus obvezen. Kvadrirana enačba ima (navadno) več rešitev od prvotne. (b) Kot v gornjem primeru dobimo rešitev x i 2' 4. Rešite eksponentne in logaritemske enačbe: (a) 3x = 81 (b) = (-)'T+1 (c) log3 \/3 = x (d) loga x = 2 (e) iog^/S* = \ Rešitev. (a) Potenci z isto osnovo 3x = 34 (= 81) sta enaki, če sta enaka eksponenta, torej x = 4. (b) Enakost 2('T~5)'T = 2~2(-T+1) (= da enakost eksponentov (x - 5)x = —2(x + 1) in rešitev x1 = 1,x2 = 2. (c) Po definiciji logaritma je 3'T = \/3 = torej x = b. (d) Zapis definicije logaritma da rešitev 32 = x ali x = 9. (e) Kot zgoraj dobimo x = \/?>. 5. Na številski premici predstavite intervale A = [-1, 3], B = (1, 5], C = (-1,1) ter zapišite intervale A n C, A U B, A \ B, A \ C, (A n B)C. Rešitev. A = [-1, 3] je krajši zapis za interval - množico A = {x G R; -1 < x < 3}. Podobno je B = (1, 5] = {x G R; 1 < x < 5} in C = (-1,1) = {x G R; -1 < x < 1}. Množice narišemo eno pod drugo. -1 0 3 A: -«-1-•- p. 0 1 5 -.-<-* C: -1 0 1 4,-'-► • V preseku množic A n C so tista realna števila, ki so hkrati v obeh množicah A in C. Nazorno to na gornji sliki pomeni "dvojno ode-beljeno črto". A n C = C = (-1,1), ker je C C A. • V uniji množic A U B so tista realna števila, ki so vsaj v eni od množic A ali B. Nazorno to na sliki pomeni "tam, kjer je vsaj ena odebeljena črta". A U B = [-1,5] • V množici A \ B so tista realna števila, ki so v množici A in niso v množici B. Nazorno to na sliki pomeni, da iz množice A izločimo "tisti del, kjer je črta dvojna". A \ B =[-1,1] • Kot v gornjem primeru dobimo A \ C = {-1} U [1, 3]. • Najprej zapišemo presek P = (A n B) = (1, 3]. V komplementu množice P so tista realna števila, ki niso v množici P. Nazorno to na sliki pomeni, da "tam odebeljene črte ni". PC = (A n B)C = (1, 3]C = (-ro, 1] U (3, ro) Opomba: Dani primer ponazarja veljavnost (A n B)C = AC U BC. 6. V množici realnih števil rešite naslednje neenačbe in rešitve zapišite z intervali: (a) 2(x — 1) > 4(x + 4) — 5 (b) (x — 1)(x + 2) — x(x + 3) < 2 (c) x2 — 2x > 8 (d) x3 — 3x2 — 4x > 0 («0 fri >0 Rešitev. (a) • Linearno neenačbo uredimo (kakor linearno enačbo): —2x > 13. • Če je koeficient pri neznanki x negativen, neenačbo množimo z — 1. Pri tem se neenakost obrne: 2x < —13. • Po deljenju s (pozitivnim) številom 2 dobimo rešitev (zapisano kot izjavo): —13 —13 x < - oziroma x G (— oo,- . 2 v 2 ; Opomba: Interval je (desno) odprt, ker v neenačbi nastopa stroga neenakost; ni rešitev. (b) Kot v gornjem primeru dobimo rešitev: x > —2 oziroma x G [—2, to). Opomba: Interval je (levo) zaprt, ker tudi vrednost —2 reši neenačbo (znak < vključuje tudi enakost). (c) Kvadratne neenačbe in neenačbe višjih stopenj (najenostavneje) rešimo na sledeči način: • Vse člene prenesemo na eno (levo) stran neenačbe: x2 2x 8 > 0. • Rešimo enačbo x2 — 2x — 8 = 0. Rešitvi sta: x1 = —2, x2 = 4. • Rešitvi (ničli izraza na levi strani neenačbe) narišemo na realno os. • Izberemo eno vrednost, ki ni enaka dobljenima ničlama, na primer x = 0, in izračunamo vrednost izraza x2 — 2x — 8 (to je izraza na levi) v tej točki: 02 — 2 ■ 0 — 8 = —8. Vrednost izraza x 2x — 8 v točki x = 0 je negativna. Vrednost izraza x 2x — 8 je negativna povsod na intervalu med ničlama (—2 in 4), v vsaki od ničel pa predznak spremeni (slika (1.1)). • Iz slike odčitamo rešitev - intervale, kjer je vrednost izraza (strogo) pozitivna: x G (—to, —2) ali x G (4, to) oziroma x G (—to, —2) U (4, to). + + -2 .. 4 Slika 1.1: x2 - 2x - 8 > 0 (d) Kot v gornjem primeru dobimo ničle izraza x 3x2 — 4x: x1 = —1, x2 = 0, x3 = 4 in rešitev x G [—1, 0] U [4, to]. (e) Ce imamo na levi strani neenakosti (urejene tako, da je na desni vrednost 0) racionalen izraz, na realno os narišemo vse ničle števca in imenovalca. Racionalen izraz spremeni predznak bodisi v ničli števca bodisi v ničli imenovalca. Iz ustrezne slike odčitamo rešitev (kot v prejšnjih primerih): x G (—to, —3) U [5, to). Opomba: Ničla imenovalca —3 ni rešitev (tam neenačba ni definirana), ničla števca 5 je rešitev (neenakost ni stroga). 7. Dano množico zapišite kot interval in mu določite maksimum, minimum, supremum in infimum. (a) A = {x G R; 5 > 2x - 1 > -3} (b) B = {x G R; 2x - 1 < 3x +1 < 2x + 3} Rešitev. (a) Množica A vsebuje tiste x G R, ki ustrezajo neenačbama i. 5 > 2x - 1 z rešitvijo x < 3 oziroma x G (-to, 3] in ii. 2x - 1 > -3 z rešitvijo x G (-2, to). Obema neenačbama ustrezajo tisti x G R, ki so v preseku rešitev posameznih neenačb: A = (-to, 3] fl (-2, to) = (-2, 3] oziroma A = {x G R; -2 < x < 3}. • maksA = 3 (največje število množice A) • minA ne obstaja (množica A ne vsebuje najmanjšega števila) • sup A = 3 (najmanjša zgornja meja) • infA = -2 (največja spodnja meja) (b) B =[-2, 2) maksB ne obstaja, minB = -2, supB = 2, infB = -2 8. Rešite sisteme neenačb: (a) x - 3 < 0 in 2x + 1 > 5 (b) 3x - 6 < 3 in x2 - 9 > 0 (c) < 1 in - 3 < 2x v > x—1 - Rešitev. (a) Rešimo vsako neenačbo posebej (kot opisano v nalogi 6): i. x - 3 < 0: x G (-to, 3] ii. 2x + 1 > 5: x G (2, to) Obe neenačbi rešijo tisti x G R, ki so v preseku rešitev posameznih enačb: x G (-to, 3] f (2, to) = (2, 3]. (b) x G (-ro,-3] (c) x G [-1,1) 9. V množici realnih števil rešite naslednje enačbe, neenačbe in sisteme neenačb z absolutno vrednostjo: (a) |x - 1| = 2 (b) |2x + 3| = 1 (c) |x + 7| = 2x - 3 (d) |x + | - 2|| = 4x - 1 (e) |x + 3| < 2 (f) |2x - 4| < 4 (g) |x - 2| < 3 in x - 1 > 0 (h) |x - 1| > 3 in |x + 1| < 8 (i) |x - 1| > 2 in x2 - x < 20 Rešitev. (a) Postopek reševanja enačb: • Pred izraz v absolutni vrednosti postavimo prvič znak +, drugič znak - in obe rešimo. i. x - 1 = 2, x = 3 ii. -(x - 1) = 2,x = -1 • Napravimo preizkus. V tem primeru obe rešitvi xi = 3 in x2 = -1 ustrezata prvotni enačbi. Preizkus je obvezen. Ni nujno, da vse tako dobljene rešitve rešijo prvotno enačbo. Opomba: | x| pomeni oddaljenost števila x od števila 0, | x - 1| pomeni oddaljenost števila x od števila 1. Enakost |x - 1| = 2 označuje tista realna števila, ki so od števila 1 oddaljena za 2 (slika (1.2)): 1 + 2 = 3 in 1 - 2 = -1 sta torej rešitvi enačbe. (b) Opisani postopek da rešitvi x1 = -1,x2 = -2. Obe ustrezata prvotni enačbi. Slika 1.2: \x — 1| = 2 (c) Opisani postopek da rešitvi x\ = 10, = Prvotni enačbi ustreza le prva xi = 10. (d) Opisani postopek da rešitvi x\ = = 1- Prvotni enačbi ustreza le druga x2 =1. (e) Pri reševanju neenačb oblike \x - a\ > (ali >, <, <) b uporabimo pomen absolutne vrednosti, omenjen v gornji opombi. • \x + 3\ zapišemo kot \x — (—3)\. • Neenačba \x + 3\ = \x — (—3)\ < 2 sprašuje po tistih številih x G R, ki so od števila —3 oddaljena za 2 ali manj. To so števila z intervala x G [—3 — 2, —3 + 2] = [—5, —1]. (f) • Izpostavimo 2: 2\x — 2\ < 4. • Delimo z 2: \x — 2\ < 2. • Kot zgoraj dobimo rešitev: x G (0, 4). (g) Sisteme neenačb rešujemo kot v prejšnji nalogi (naloga 8): rešimo vsako neenačbo posebej, rešitev sistema je presek rešitev posameznih enačb. • Rešitev prve neenačbe: x G (—1, 5) • Rešitev druge neenačbe: x G [1, to) • Rešitev x G [1, 5) (h) x G (—9, —2] U [4, 7) (i) x G (—4, —1) U (3, 5) 1.2 Kompleksna števila 10. Izračunajte: (a) (2-z)(3 + z\/2) (b) (2 + i)2 + (1 — i)3 (c) 4i6 + (—2i3)3 (d) ^ v^v 1-2 i Rešitev. (a) Kompleksna števila seštevamo (odštevamo) po komponentah, množimo (potenciramo) jih kakor dvočlenike. Račun: (2 — z)(3 + z\/2) = 6 — 3i + 2\/2i — z2\/2 = (upoštevamo ■i2 = -1) = (6 + v^) + (2\/2 - 3)z (b) Kot zgoraj: (2 + i)2 + (1 — i)3 = —2 — 2i (c) Za zaporedne potence števila i velja: i2 = —1, i3 = —i, i4 = 1, i5 = i4 • i = i,... ali i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = —1, i4k+3 = —i, k g N. Uporabimo gornje v računu: 4i6 + (—2i3)3 = 4i6 + (—2)3i9 = 4i2 — 8i = —4 — 8i. (d) Kompleksna števila delimo tako, da števec in imenovalec množimo z imenovalcu konjugiranim kompleksnim številom. Rarmv - tkli . i+2* - 1+12» _ 1 , 12 • iVclCUII. 1_2i 1_2i 1+2i 5 5 "t" 5 4 11. Izračunajte Re(z), Im(z), ž, |z| in , če je c = 3 — 4-i. Rešitev. • Realna komponenta kompleksnega števila z: Re(z) = 3 • Imaginarna komponenta kompleksnega števila z: Im(z) = —4 • Številu z konjugirano kompleksno število ž dobimo, če spremenimo predznak imaginarne komponente: ž = 3 + 4z. • Absolutna vrednost kompleksnega števila |z| pomeni oddaljenost kompleksnega števila z od izhodišča. Izračunamo jo po Pitagorovem izreku: |z| = \/32 + (-4)2 = = 5 Račun: 3-4t-(3+4t) _ —Si _ -4i l+z-ž l+(3-4i)(3+4i) 26 13 12. Izračunajte Im J^^, če je c = 3i — 4. Rešitev. Dano kompleksno število zapišemo urejeno kot Rez+(Imz)i: z = -4 + 3i. Rarmv — 5+(-4-3i) _ l_3i _ ^17 _ _9_ • iVctcuil. llliz_-+l —4+3i—(—4—3i)+l 1+6i 37 37 4 13. V množici kompleksnih števil rešite naslednje enačbe: (a) z2 + 9 = 0 (b) z4 + 8z2 = 0 (c) x2 - 4x + 5 = 0 (d) iz2 + (2 + i)z + 1 = 0 Rešitev. (a) Enačba z2 = -9 ima v množici kompleksnih števil rešitvi Zi,2 = = iv^v73! = ±3z. (b) • Razstavimo: z4 + 8z2 = z2 (z2 + 8) = 0. • Produkt z2(z2 + 8) = 0, če je z2 = 0 ali z2 + 8 = 0. Prva enačba ima rešitvi (oziroma eno dvojno rešitev) z1)2 = 0, rešitvi druge enačbe sta (računamo kot zgoraj) z3,4 = ±v 8i = ±2V2i. • Dana enačba ima 4 rešitve: -1,2 = 0, z3 = 2\/2i, z4 = -2\/2i. (c) Uporabimo formulo za izračun korenov kvadratne enačbe (primerjajte nalogi 2.(h) in 2.(i)). D = —4, \[~D = 2i z —z 4 ± 2i -1,2 = —^— = 2±% z1 = 2 + i, z2 = 2 - i Opomba: Kompleksni rešitvi kvadratne enačbe z realnimi koeficienti sta med sabo konjugirani. (d) Formula za izračun korenov kvadratne enačbe ( naloga 2.(h)) velja tudi, če koeficienti a, b, c niso realna števila. D =(2 + i)2 - 4i = 3,VD = VŽ -2 -i±y/ž -1 2±v/3 -1,2 = -- = —r + 2i 2 2 -1 2 + -s/3. -1 2-VŠ. =--1--1, Zo =--1--1 1 2 2 2 2 2 14. Poiščite kompleksna števila z, ki ustrezajo: (a) | z| + z = 2 + i (b) Re(z - iz) = 0 in Im(z) = 2 (c) Re(z)+ Im(z) = 0 (d) |z + 1 + i| = 1 in Re(z + 1 + i) = 0 (e) | z - 1| = | z - i| (f) |z| = 4 (g) |z - (3 + 4i)| = 2 (h) |z + i| = 0 (i) |z + 1 - 2i| = -2 (j) |z + 2i| < 3 Rešitev. (a) Ce v enačbi nastopa bodisi konjugirana vrednost bodisi absolutna vrednost bodisi realna ali imaginarna komponenta kompleksnega števila z, iščemo neznano število z v obliki z = x + yi, kjer sta x, y G R. Vstavimo z = x + yi v enačbo in dobimo: \J x2 + y2 + x + yi = 2 + i. Kompleksni števili sta enaki, če imata enako realno in imaginarno komponento. Enakost imaginarnih komponent da enačbo yi = i in rešitev V = i- Enakost realnih komponent da enačbo \Jx2 + y2 + x = (vstavimo y = 1) =\Jx2 + 1 + x = 2 in rešitev x = + i. Iskano kompleksno število je c (b) • Postavimo z = x + yi. • Iz druge enačbe dobimo Imz = y =2. • Izračunani y vstavimo v prvo enačbo in dobimo Re(z — iz) = x + y = x + 2 = 0 z rešitvijo x = —2. • Iskano kompleksno število je z = —2 + 2i. (c) Vstavimo z = x + yi v enačbo in dobimo Re(z)+ Im(z) = x + y = 0, od koder izrazimo y = —x. Enačbo rešijo vsa kompleksna števila, katerih komponenti sta nasprotno enaki: z = x — xi = (1 — i)x, x G R. Ležijo na premici, upodobljeni na sliki (1.3). yi * Z=X-XI Slika 1.3: z = x — xi (d) • Postavimo z = x + yi. • Iz druge enačbe dobimo Re(z + 1 + i) = x +1 = 0 z rešitvijo x = -1. • Izračunani x vstavimo v prvo enačbo in dobimo |z + 1 + i| = \{y + l}i\ = = ^ • Po kvaclriranju zadnje enakosti \J(y + l)2 = 1 dobimo kvadratno enačbo (y + 1)2 = 1 z rešitvama y1 = 0 in y2 = -2. • Iskani kompleksni števili sta z1 = -1, z2 = -1 - 2i. (e) Vstavimo z = x + yi v enačbo in dobimo yj{x - l)2 + y2 = \Jx2 + (y — l)2, od koder izrazimo y = x. Enačbo rešijo vsa kompleksna števila, katerih komponenti sta enaki: z = x + xi = (1 + i)x, x G R. Ležijo na premici, upodobljeni na sliki (1.4). Slika 1.4: z = x + xi (f) Vstavimo z = x + yi v enačbo in dobimo \Jx2 + y2 = 4 in po kvadriranju x2 + y2 = 16. Enačba predstavlja krožnico s središčem v izhodišču in polmerom enakim 4. Enačbo lahko rešimo tudi z razmislekom: |z| pomeni oddaljenost kompleksnega števila z od izhodišča. |z| = 4 označuje tista kompleksna števila, ki so od izhodišča oddaljena za 4. To so kompleksna števila, ki ležijo na krožnici s središčem v izhodišču in polmerom 4. (g) |z — (3 + 4i)| = 2 označuje tista kompleksna števila, ki so od 3 + 4i oddaljena za 2. To so kompleksna števila, ki ležijo na krožnici s središčem v točki 3 + 4i in polmerom 2. (h) |z + i| = 0 označuje tista kompleksna števila, ki so od —i oddaljena za 0. To je točka z = —i. (i) |z + 1 — 2i| = —2 označuje tista kompleksna števila, ki so od —1 + 2i oddaljena za —2. Ta množica je prazna. (j) |z+2i| < 3 označuje tista kompleksna števila, ki so od —2i oddaljena za kvečjemu 3. To so števila, ki ležijo v krogu (v notranjosti kroga in na krožnici) s središčem v točki — 2i in polmerom 3. 15. Zapišite kompleksna števila Zi = 7, z2 = —4?', Z3 = \/3+i v polarni obliki. Rešitev. Oddaljenost števila zi od izhodišča je 7. Kot, ki ga tvori poltrak iz izhodišča skozi z1 s pozitivnim poltrakom realne osi je 0. z1 = 7(cos0 + i sin0) Oddaljenost števila z2 od izhodišča je 4. Kot, ki ga tvori poltrak iz izhodišča skozi z2 s pozitivnim poltrakom realne osi je — z2 = 4(cos(——) + sm( ——)) Oddaljenost števila Z3 od izhodišča je |1 = \/3 + 1 = 2. Kot, ki ga tvori poltrak iz izhodišča skozi z3 s pozitivnim poltrakom realne osi je arctan-^j = n/ \ ■ ■ z3 = 2(cos(—) + i sm( —)) 66 16. Izračunajte potence (a) (v'3 • v'3/):' (b) (1 — i) 100 Rešitev. Prednost polarnega zapisa kompleksnega števila z = |z| (cos + i sin se pokaže pri potenciranju in korenjenju (glejte naslednjo nalogo). Velja: zn = |z|ra(cos(n^) + i sin(n^)). (a) • Dano število zapišemo v polarnem zapisu: / n . . n. cos — + z sm —). 4 4 Potenciramo z uporabo gornje formule: 5n 5ns (Vš + v^z)5 = (cos t +sin ~r) 4 •36v/6( ^ z p (b) • (1 - z) = >/2(cos =f + z sin . (1 - z)100 = 250(cos ^fE + j gin ^pL) = 250(cos(-25n) + i sin(-25n)) = = 250(cos(-n) + i sin(-n)) = -250 + i). 17. Rešite enačbi (a) z5 = -1 (b) z4 = -1 + i Rešitev. Rešitev enačbe zn = r(cos(^) + i sin(<^)) je n različnih korenov kompleksnega števila r(cos(^) + isin(<^)): Zk = \/r(cos(- H--) + z sm - H--)), A: = 1, 2,..., n - 1. n n n n (a) • Kompleksno število na desni strani enačbe zapišemo v polarni obliki — 1 = 1(cos(n) + i sin(n)). • Po gornji formuli zapišemo 5 korenov dane enačbe: . . z0 = cos(-) + «sm(-j . ,,3n z 1 = cos( —) + i Sin —) 5 5 z-2 = cos(—) + žsin(—) = cos(7r) + žsin(7r) = —1 55 -3 = cos(—) + i sm( —) . . z4 = cost — ) + i sin —) 55 Opomba: z2 je en (edini) realni koren enačbe z5 = —1. (b) • -1 + i = s/2 (cos f + i sin f) • Rešitve enačbe: z 0 Zi v/2( 8/ Z2 = V Z3 3n + i sin 3TT. Ter J(cos — v 16 11n + i sin llTT, cos- 16 16 ' 19n + i sin 19tt cos- v 16 16) 27n 27tI\ COS 16 + i sin 16 ' ) ) Poglavje 2 Matrike 2.1 Računanje z matrikami 1. Podana je matrika A Izračunajte 2 3 -3 4 1 + 0 1 -5 2 ~3(A + At). Rešitev. Najprej zapišimo matriko A. Torej A Ker je A = AT, je 2 -2 22 Iz tega sledi, da je A + AT = A + A = 2A. 1{a + At) = IA. 2. Podani sta matriki A 1 -3 20 in B 3 -1 02 Izračunajte produkt AB in BA. Ali matriki komutirata? Rešitev. Produkt matrik je: AB 1 -7 6 -2 in BA Matriki ne komutirata, saj je AB = BA. 1 -9 4 0 3. Podani sta matriki -1 -2 4 A 2 1 1 -3 0 2 Izračunajte produkt ABT. Rešitev. Ker je je produkt B T AB T in B 3 -15 0 2 -1 2 0 2 3 0 2 -1 2 0 5 -1 -2 19 -8 -10 10 1 2 1 2 10 4. Podani sta matriki 1 0 4 A 3 1 -1 2 5 2 Izračunajte (3A - BT)2. Rešitev. Ker je B T in B 1 -1 0 0 2 -1 2 0 2 1 0 2 -1 2 0 0-12 -4 0 -14 3A - BT = 10 1 -3 -6 16 4 Iz tega sledi, da je 100 -224 0 (3A - Bt)2 = -12 -47 -155 160 80 52 5. Naj bo dana matrika A 2 -14 0 7 -2 513 Zapišite matriko A kot vsoto simetrične in poševno simetrične matrike. Rešitev. Kvadratno matriko A lahko zapišemo kot A = \(A + AT) + \(A-AT), kjer je \(A + AT) simetrična matrika, \{A — AT) pa poševno simetrična matrika. Torej moramo zapisati matriki + in \ {A — AT). Ker je A T 205 -1 7 -1 4 -2 -3 je simetrična matrika -(A + AT) = -2 2 4 -19 -1 14 -3 9 -3 -6 in poševno simetrična matrika -(A — AT) = -2 ; 2 0 -1 -1 1 0 -1 1 1 0 6. Naj bo dana matrika A 1 -7 62 Izračunajte determinanto matrike A2. Rešitev. Ker je A2 41 7 -12 -38 je determinanta matrike A2 det A2 = (-41) ■ (-38) - (-12) ■ 7 = 1642. 7. Podani sta matriki A= 205 -1 7 -1 4 7 3 in B 120 -1 3 -1 4 8 1 Izračunajte determinanto matrike BA. Rešitev. Najprej izračunamo 0 14 3 BA = -9 14 -5 -12 63 -31 Determinanta matrike BA je -4263. 8. Dani sta matriki A 20 17 in B 12 13 Rešite matrično enačbo AX = B. Rešitev. Matrično enačbo AX = B množimo z leve strani z matriko A-1. Torej je: A AX IX X A-1B A-1B A-1B. Pri tem je I identična matrika. Ker je X = A 1B, moramo najprej poiskati matriko A -1 A 1 2 j_ L 14 Torej je X = A B 14 7 J 0 1 1 4 9. Podani sta matriki 1 -5 2 A -1 0 2 -1 -1 in B 020 -1 -3 -1 2 7 1 Rešite matrično enačbno XA = B. Rešitev. Matrično enačbo XA = B pomnožimo z desne strani z matriko A-1. Torej je X = BA-1. Ker je A 1 1 8 3 7 6 152 5 9 2 je X _ii 8 3 4 31 15 4 5 10. Podani sta matriki A = 1 4 0 -1 0 -2 2 3 3 in B 120 -1 3 -1 4 8 1 Rešite matrično enačbno XA + 2X = B. Rešitev. Najprej bomo matrično enačbo XA+2X = B zapisali drugače: X (A + 2/) = B. Sedaj bomo množli pravkar zapisano matrično enačbo z desne strani z matriko (A + 2/)-1. Torej je: X (A + 2/ )(A + 2/ )-1 X/ X B(A + 2/ )-1 B(A + 2/ )-1 B(A + 2/ )-1. Vidimo, da moramo najprej zapisati matriko A + 2/: 14 0 2 0 0 3 4 0 A + 2/ = -1 0 -2 + 0 2 0 = -1 2 -2 23 -3 0 0 2 2 3 -1 Naslednji korak je zapisati matriko (A + 2/) 1: (A + 2/ )-1 = Sedaj lahko zapišemo iskano matriko X: X = B(A + 2/ )-1 i 1 1 6 6 3 1 1 1 8 8 4 1 17 1 24 24 12 5 1 1 12 12 6 1 1 2 6 6 3 3 19 15 8 8 4 2.2 Sistemi linearnih enačb 11. Rešite sistem enačb x + y — 2z = 2 —2x + 2y =1 —x — y + 3z = 0. Rešitev. Sistem bomo rešili s pomočjo Gaussove eliminacije. Najprej zapišimo razširjeno matriko sistema 1 12 22 0 -1 -1 3 2 1 0 Pomnožimo prvo vrstico s številom 2 in jo prištejmo drugi vrstici: 1 1 2 2 0 4 -4 -1 -1 3 Tretji vrstici prištejmo prvo vrstico: 1 1 —2 0 4 —4 0 0 1 5 0 2 5 2 Rešitve sistema dobimo tako, da zaporedoma rešujemo enačbe, ki ustrezajo vrsticam od spodaj navzgor. Torej, iz tretje vrstice dobimo z = 2. Vrednost spremenljivke y dobimo iz druge vrstice 4y — 4z = 5. Ce upoštevamo vrednost spremenljivke z, sledi y = Vrednost spremenljivke x pa dobimo iz prve vrstice x + y — 2z = 2. S pomočjo dobljenih rezultatov lahko izračunamo, da je x = x + 3y - 2z = 5 -2x + 2y + 2z = 1 5x - y + z = 3. Rešitev. Rešitev sistema je x 7 8' 11 13. Rešite sistem enačb 3x - y + 2z = 7 -5x + y - 2z = 0 10x - 2y + 4z = 6. Rešitev. Sistem nima rešitve. 14. Rešite sistem enačb 4x - 2y + z = 1 -x + y - 2z = 5 -8x + 4y - 2z = -2. Rešitev. Rešitev sistema je x 3 11 2z+r 7 21 z e R. 0 y z y x + y + 3z + q = 2 -5x + +z — 2q = 1 3y + 2z - q = 0 —x + 3z = 3. Rešitev. Rešitev sistema je 1 -11 13 -7 x 4' * 12 ' 12' 12 Poglavje 3 Vektorji 3.1 Osnovne operacije z vektorji 1. V kartezičnem koordinatnem sistemu so dane točke A(1, 0, -1), B(0, 2,1) in C(-3, 0 - 1). (a) Zapišite krajevne vektorje točk A, B in C. (b) Poiščite koordinate vektorjev AB, BA, AC in CB. (c) Izračunajte razdaljo med točkama A in B ter dolžino vektorja AB. (d) Izračunajte razdaljo med točkama A in C ter dolžino vektorja AC. (e) Zapišite enotski vektor v smeri vektorja AB. (f) Zapišite enotski vektor v smeri vektorja CA. (g) Zapišite vektor dolžine 5 v smeri vektorja AB. (h) Zapišite vektor dolžine 7 v nasprotni smeri vektorja BC. Rešitev. (a) Krajevni vektor točke A (oznaka rA) je vektor z začetno točko 0(0, 0, 0) in končno točko A. Njegove koordinate so enake koordinatam točke A: rA = (1, 0, -1). rB = (0, 2,1) rC = (-3, 0,-1) (b) Koordinate vektorja AB so razlike koordinat točke B (končna točka) in točke A (začetna točka): AB = (0 - 1, 2 - 0,1 - (-1)) = (-1, 2, 2). Vektor BA kaže v nasprotno smer kot vektor AB. Njegove koordinate so nasprotne koordinatam vektorja AB: BA = (1, —2, —2). AC = (—4, 0, 0) CB = (3, 2, 2) Opomba: Opazimo, da je AC + CB = AB (narišite skico). (c) Razdalja med točkama A in B je enaka dolžini daljice med točkama A in B (oznaka |AB|, izračunamo jo po Pitagorovem izreku), ta pa je enaka dolžini vektorja AB (oznaka |AB|): \AB\ = \AB\ = \J (—l)2 + 22 + 22 = 3. (d) |AC| = |AC| = 4 (e) Enotski vektor v smeri vektorja AB (oznaka eAB) dobimo, če vektor AB delimo z njegovo dolžino: 1 12 2 el„=3(-l,2,2) = j). (f) zSa = (1,0,0) Opomba: To je enotski vektor v pozitivni smeri koordinatne osi x, oznaka 1. (g) Iskani vektor v dobimo, če enotski vektor v smeri vektorja AB množimo s 5: _ r _ . 5 10 10, t' = 5e^ = (--,y,y). (h) Iskani vektor v dobimo, če enotski vektor v smeri vektorja BC množimo z —7: 1 7 v = —7—=(—3, —2, —2) = -=(3,2,2). 2. Dane so točke A(—2, —1, 0), B(0,1, 2), C(20, 202, 2) in D(22, 200, 0). Poiščite koordinate vektorja a = 2AB + CD in izračunajte njegovo dolžino. Rešitev. • AB = (2, 2, 2), CD = (2, —2, —2) Vektorje seštevamo (odštevamo) in množimo s številom po koordinatah: a = 2AB + CD = = 2(2, 2, 2) + (2, -2, -2) = (4, 4, 4) + (2, -2, -2) = (6, 2, 2). Dolžina vektorja (po Pitagorovem izreku): |a| = \/36 + 4 + 4 = \/44 3. Dana sta vektorja a = (0,1, 0) in b = (1, 0,-1). Izračunajte dolžino vektorja 3a - 2b. Rešitev. Kot zgoraj izračunamo • 3a - 2b = (-2, 3, 2) • |3a- 2b\ = Vl7 4. Na osi x poiščite točko, enako oddaljeno od točk A(1, 2, 4) in B(5, -3, 2). Rešitev. Iskano točko označimo z X, njene koordinate naj bodo X(x, 0, 0) (ker leži na osi x). Neznano prvo koordinato x dobimo iz pogoja |AX| = |BX |. Vstavimo \AX\ = \J(x — l)2 + (—2)2 + (—4)2, \BX\ = y/{x - 5)2 + 32 + (-2)2 in dobimo (po kvadriranju) (x - 1)2 + 20 = (x - 5)2 + 13 z rešitvijo x = Iskana točka je , 0, 0). 5. Na osi z poiščite točko, enako oddaljeno od točk A(2, -2, 2) in B(-1,1, -1). Rešitev. Iskana točka naj ima koordinate Z(0, 0, z). Kot zgoraj dobimo z = | in Z(0,0, |). 6. Dani sta točki A(3, 3, 3) in B(0, 6, 9). Poiščite koordinate točk C in D, ki daljico AB razdelita na 3 enake dele. Rešitev. Koordinate točke C (D) so hkrati koordinate krajevnega vektorja rC (rD). Velja (slika (3.1)): • AB = (-3, 3, 6) • fb = f*A + \AB= (3,3,3) + (-1,1,2) = (2,4,5) • fb = fA + !AB = (3, 3, 3) + 2(— 1,1,2) = (1, 5, 7) Slika 3.1: rc = f*A + \AB 7. Izračunajte obseg trikotnika z oglišči A(-1, 0,1), B(2, 3, 4) in C(-2,1, 2). Rešitev. • Obseg je vsota dolžin stranic |AB| + |AC| + |BC|. • \AB\ = \AB\ = sfrj \AC\ = \AC\ = VŠ \BC\ = \B~C\V2i • Obseg: s/27 + v7^ + V24 8. Vektorja a = (2, 0, -2) in b = (2, -2, 0) določata trikotnik. Pokažite, da je ta trikotnik enakostraničen. Opomba: Trikotnik v prostoru lahko podamo s koordinatami njegovih oglišč (kot v prejšnji nalogi) ali pa z dvema (nevzporednima) vektorjema, ki predstavljata dve njegovi stranici. Vektor na tretji stranici je c = b-a. Lega tako podanega trikotnika v prostoru ni natanko določena. Lahko privzamemo, da je eno oglišče v izhodišču, a in b pa sta krajevna vektorja drugih dveh oglišč. Rešitev. • Dolžine stranic so dolžine vektorjev a, b in c. • Velja: \a\ = \b\ = \^ = 2y/2. • Dolžine stranic so med seboj enake, trikotnik je enakostraničen. 9. Dane so točke A(-1, 0, 2),B(2,1, 2) in C(4,-3, 3). Določite koordinate točke D tako, da bo ABCD paralelogram. Izračunajte obseg in dolžini diagonal tega paralelograma. Rešitev. Oglišča paralelograma označimo (ponavadi) po vrsti v pozitivni smeri (smeri nasprotni urinemu kazalcu) z A,B,C, D (slika (3.2)). Vidimo, da sta vektorja AB in DC enaka (ista dolžina, ista smer). Iz tega pogoja dobimo enačbe za neznane koordinate točke D(x,y,z). D C Slika 3.2: paralelogram A, B, C, D • Enaka vektorja AB = (3,1, 0) in DC = (4 - x, -3 - y, 3 - z) imata enake koordinate - torej: 4 - x = 3, x = 1; - 3 - y = 1, y = -4; 3 - z = 0,z = 3. • Iskana točka: D(1, -4, 3) Obseg: 2\AB\ + 2\BC\ = 2(v/10 + V Dolžini diagonal: \BD\ = V27, \AC\ 10. Vektorja a = (-1, 2,1) in b = (3, 2, 4) določata paralelogram. Izračunajte dolžini diagonal tega paralelograma. Opomba: Tako kot trikotnik lahko tudi paralelogram določimo z dvema nevzporednima vektorjema, ki ležita na nevzporednih stranicah paralel-ograma. Rešitev. Vektorja na diagonalah paralelograma sta a - b = (-4, 0, -3) in a + b = (2, 4, 5). Njuni dolžini sta \a — b\ = 5 in \a + b\ = \/45. 3.2 Produkti, linearna kombinacija 11. Izračunajte skalarni produkt vektorjev a = (-1, 0,1) in b = (19, 20, 21). Rešitev. Skalarni produkt vektorjev je vsota produktov njunih istoležnih koordinat: a • b = (-1) • 19 + 0 • 20 + 1 • 21 = 2. 12. Izračunajte skalarni produkt vektorjev a = (3, 4, 7) in b = (2, -5, 2). Rešitev, a • b = 0, kar pomeni, da sta dana vektorja pravokotna. 13. Dana sta vektorja a = (x, 3, 4) in b = (4, x, -7). Pri kateri vrednosti števila x sta dana vektorja pravokotna? Rešitev. • Izračunamo skalarni produkt: a • b = 7x - 28. • Zaradi pravokotnosti mora biti skalarni produkt enak 0, torej 7x - 28 = 0 in x = 4. 14. Izračunajte kot med vektorjema a = (1, 2, 3) in b = (6, 4, -2). Rešitev. Uporabimo enačbo a • b = |a||b| cos če s ^ označimo iskani a- I« 11 kot. Izračunamo cos ip = t^t = I, od tod ip = arccos I. ' I n IIW 7 ' 7 15. Izračunajte kote trikotnika, katerega oglišča so v točkah A(-1,0,1), B(2, 3, 4) in C(-2,1, 2). • Kot pri oglišču A (oznaka a) je kot med vektorjema AB in AC: AB■AC 1 1 cos a = —--= -, a = arccos -. |AB||AC| 3' 3 • Kot pri oglišču B (oznaka P) je kot med vektorjema BA in BC: BA • BC v/24 V8 cos p = —--= .—, p = arccos —. \BA\\BC\ s/27 9 • Kot pri oglišču C (oznaka 7): CA • CB cosy = —--= 0, 7 = 90°. |CA||CB| Opomba: Trikotnik je pravokoten. 16. Izračinajte vektorski produkt vektorjev a = (2, 3, 5) in b = (1, 2,1). Rešitev. axb 1 J k 235 121 1(3 — 10) — J(2 — 5) + k(4 — 3) = (—7, 3,1) Opomba: Vektorski produkt je vektor. Njegova dolžina je enaka ploščini paralelograma, določenega z vektorjema a in b; njegova smer je pravokotna na ravnino vektorjev a in b (smer desnega vijaka). Obe lastnosti bomo uporabili v naslednjih nalogah. 17. Poiščite enotski vektor v, pravokoten na vektorja a = (1, 2, 3) in b = (3, 2,1) (to je pravokoten na ravnino, v kateri ležita vektorja a in b). Rešitev. Uporabimo drugo lastnost vektorskega produkta: vektor, pravokoten na dva dana vektorja ima smer njunega vektorskega produkta ali pa nasprotno smer njunega vektorskega produkta. • Izračunamo vektorski produkt: a x b = (—4, 8, —4). Poiščemo enotski vektor (e) v smeri vektorja axb: e = 4, 8, —4). Iskani vektor je enak ali pa nasproten gornjemu enotskemu vektorju: tr=±e = ±^(-4,8,-4). 18. Izračunajte ploščino paralelograma, določenega z vktorjema a = (2, 5,1) in b = (1, 2,-3). Rešitev. Uporabimo prvo lastnost vektorskega produkta. • Izračunamo vektorski produkt: a x b = (-17, 7, -1). • Izračunamo njegovo dolžino: \a x b\ = s/339. • Iskana ploščina je enaka gornji dolžini: p = s/339. 19. Izračunajte ploščino trikotnika, katerega oglišča so v točkah A(-1, 0,1), B(2, 3, 4) in C(-2,1, 2). Rešitev. Ploščina trikotnika je enaka polovici ploščine paralelograma, določenega z vektorjema AB in AC (slika (3.3)): p= x AC\ = 3^2. Slika 3.3: p = \\AB x AC\ 20. Izračunajte ploščino trikotnika z oglišči A(2, 2, 2), B(4, 0, 3) in C(0,1, 0). Izračunajte še vse višine tega trikotnika. Kot zgoraj izračunamo ploščino: p = Višino iz oglišča C (oznaka vc) izračunamo z uporabo geometrijske formule za ploščino trikotnika: p=^\AB\vc, torej vc |AB| 3 Podobno izračunamo ostali višini: 2p -v/65 vb = va |AC | 2p |BC| Opomba: Dani trikotnik je enakokrak (|AB| = |AC| = 3). 3 21. Izračunajte mešani produkt vektorjev a = (2,-1,-1),b = (1, 3,-1) in c = (1,1, 4). Rešitev. (a, b, c) 2 -1 -1 1 3 -1 1 1 4 33 Opomba: Mešani produkt treh vektorjev je skalar. Njegova absolutna vrednost je enaka volumnu paralelepipeda, določenega z vektorji a, b in c; predznak predstavlja orientacijo. 22. Izračunajte volumen paralelepipeda, določenega z vektorji a = (1, -1,1), b = (1,1,1) in c = (2, 3, 4). Rešitev. Uporabimo omenjeno lastnost mešanega produkta. • Izračunamo mešani produkt danih vektorjev: (a, b, c) = 4. • Iskani volumen je enak gornjemu mešanemu produktu: V = 4. 23. Ali so vektorji a = (7, -3, 2), b = (3, -7, 8) in c = (1, -1,1) koplanarni? Rešitev. Ce so trije vektorji koplanarni (to je, ležijo v isti ravnini), določajo paralelepiped volumna 0. Torej je njihov mešani produkt enak vrednosti 0. • Izračunamo mešani produkt: (a, b, c) = 0. • Mešani produkt je enak 0, dani vektorji so koplanarni. 24. Izračunajte volumen tetraedra z oglišči A(2, 2, 2), B(4, 3, 3), C(4, 5, 4) in D(5, 5, 6). Rešitev. Poiščemo vektorje na stranicah tetraedra, ki izhajajo iz enega od oglišč, na primer iz oglišča A: AB = (2,1,1) AcC = (2, 3, 2) AD = (4, 3, 4). Izračunamo mešani produkt: (AB, AC, AD) = 7. Volumen paralelepipeda, določenega z vektorji AB,AC in AD je |(AB,AC',A"D)| = 7. Iz geometrije vemo, da je volumen tetraedra je enak šestini volumna paralelepipeda, določenega z vektorji AB, AC in AD: 17 V = -\(AB, AC, AD)\ = -. 66 25. Izračunajte volumen tetraedra z oglišči A(0, 0,1), B(2, 3, 5), C(6, 2, 3) in D(3, 7, 2). Izračunajte še vse višine tega tetraedra. Kot zgoraj izračunamo volumen: V = 20. Višino iz oglišča A (oznaka va) izračunamo z uporabo geometrijske formule za volumen tetraedra V = ^pABCDl'A, kjer Pabcd predstavlja ploščino trikotnika (računamo jo kot v nalogi 19) z oglišči B, C in D. Torej 3V 2 • 3 • 20 4V/5T0 V A = - = -, = -• PABCD V510 17 Podobno izračunamo ostale višine: 3V 2-3-20 vb vC - __ - VlO Paacd v1440 3V 2-3-20 12\/750 paabd v750 75 3V 2-3-20 , VD = - = -!=■ Paabc V600 26. Preverite, ali točke A(5, 7, -2), B(3,1, -1), C(9, 4, -4) in D(1, 5, 0) ležijo v isti ravnini. Rešitev. Štiri točke, ki ležijo v isti ravnini, določajo tetraeder volumna enakega 0. Torej je volumen paralelepipeda z robovi AB, AC in AD enak 0. • Izračunamo mešani produkt: (AB,AC,AD) = 0. • Mešani produkt (torej tudi volumen paralelepipeda) je enak 0, točke ležijo v isti ravnini. 27. Izrazite vektor d = (8,6,4) z vektorji a = (1,-2,1),b = (3, 2,1) in c = (1, 0,-1). Rešitev. Izraziti d z vektorji a, b in c pomeni zapisati d kot linearno kombinacijo vektorjev a, b in c: d = aa + pb + 7c. Zapišemo to enakost v koordinatah (8, 6, 4) = a(1,-2,1) + P(3, 2,1) + 7(1, 0,-1) in dobimo sistem enačb a + 3P + 7 = - 2a + 2p a + P - 7 = z rešitvijo a = 0, P = 3,7 = -1. Vektor d, zapisan z vektorji a, b in c: d = 3b - c 28. Vektor d = (13, -10,17) zapišite kot linearno kombinacijo vektorjev a = (3,1,-1), b = (2, -5, 7) in c = (-1,-3, 2). Rešitev. Kot zgoraj dobimo d = 2a + 3b - c. 8 6 4 3.3 Premica in ravnina v prostoru 29. Zapišite vse tri oblike enačbe premice skozi točki A(1, 0, 2) in B(2, —1, 0). Rešitev. (a) Enačbo poiščemo najprej v vektorski obliki (slika (3.4)): O Slika 3.4: r = rJA + ts • Izberemo krajevni vektor neke znane točke na premici (na primer točke A): rA = (1, 0, 2). • Smerni vektor premice s je enak vektorju AB, ki leži na premici: s = AB = (1, —1, —2). • Krajevni vektor poljubne točke na premici r ustreza enačbi -vektorski obliki enačbe premice: r = rA + ts = (1, 0, 2) + t(1, —1, —2), t G R. (b) Zapis po koordinatah (če so x,y,z koordinate vektorja r) da parametrično obliko: x = 1 +1 y = —t z = 2 — 2t, t G R (c) Eliminacija parametra t da kanonsko obliko: • iz prve enačbe: t = x — 1 • iz druge enačbe: t = —y • iz tretje enačbe: t = 1 z~2 x ~ i= ~y = —o— 30. Dana je premica z enačbo x — 2 = = —z. (a) Zapišite enačbo dane premice v parametrični obliki. (b) Poiščite 3 točke, ki ležijo na dani premici. (c) Zapišite enačbo dane premice v vektorski obliki. Rešitev. (a) Postavimo x — 2 = = —z = t (t je parameter) in izračunamo: x - 2 = t,x = 2 + t =t,y = -1 + 3t z = -t. S prepisom gornjih enačb dobimo parametrično obliko: x = 2 +1 y = -1 + 3t z = -t, t G R (b) Pri različnih vrednostih parametra t dobimo iz gornjih enačb koordinate tazličnih točk T(x, y, z) na premici, na primer: za t = 0 dobimo točko A(2, -1, 0), za t =1 dobimo točko B(3, 2, -1), za t = -1 dobimo točko C(1, -4,1). (c) Gornje enačbe prepišemo v vektorski obliki: (x, y, z) = (2,-1, 0) + t(1, 3,1) ali r = rA + ts, kjer je r = (x,y,z) krajevni vektor poljubne točke na premici, rA krajevni vektor točke A, s pa vektor, ki leži na premici - smerni vektor. 31. Zapišite enačbo premice, ki vsebuje točko T(1, 0,-1) in je vzporedna vektorju v = (2,1, 0). Rešitev. Smerni vektor iskane premice je enak danemu vektorju: s = v. Kot v gornji nalogi dobimo • vektorsko obliko: r = rT + t s, t G R • parametrično obliko: x = 1 + 2t y = t z = -1, t G R • kanonsko obliko: x - 1 -= z = —1. 2 y' Opomba: Smerni vektor ima koordinato v smeri osi enako 0, zato parametra t iz tretje enačbe nismo mogli izraziti in enačba v strogi kanonski obliki ne obstaja. 32. Zapišite enačbo ravnine, ki vsebuje točko T(2, 3, 5) in je pravokotna na vektor n = (4, 3, 2). Rešitev. Uporabimo enačbo (r - rT) • n = 0, če je r krajevni vektor poljubne točke na ravnini, rT krajevni vektor dane točke na ravnini in n normalni vektor na ravnino (slika (3.5)): (r - rT) • n = 0 (x - 2, y - 3, z - 5) • (4, 3, 2) = 0 in po izračunu 4x + 3y + 2z - 27 = 0. 33. Zapišite enačbo ravnine, ki vsebuje točko T(3, -5,1) in je vzporedna ravnini z enačbo 2x + y + 8z = 10. Slika 3.5: (r — rT) • n = 0 • Normala iskane ravnine je enaka normali dane ravnine: n = (2,1, 8). • Kot v gornji nalogi dobimo enačbo iskane ravnine: 2x + y + 8z = 9. 34. Zapišite enačbo ravnine, ki vsebuje točko T(2, 3, —1) in je pravokotna na premico z enačbo ^^ = = Rešitev. • Normala iskane ravnine je enaka smernemu vektorju dane premice: n = s = (5, —3, 2). • Enačba iskane ravnine: 5x — 3y + 2z + 1 = 0. 35. Zapišite enačbo ravnine, ki vsebuje točke A(2, —1, 4), B(3, 2, —1) in C(3, 0, 6). Rešitev. • Potrebujemo normalo iskane ravnine - to je vektor, pravokoten na vektorja AB in AC, ki ležita v ravnini. Vektor, pravokoten na dva dana vektorja računamo z vektorskim produktom (glejte nalogo 17): n = AB x AC = (11, —7, —2). • Enačba ravnine: 11x — 7y — 2z =21. 36. Določite koordinate presečišča premice = ^^ = z — 1 in ravnine 2x + 3y + z = 14. Rešitev. • Parametrična oblika enačbe premice da koordinate poljubne točke na premici: x = 1 + 2t y = -3 + 5t z = 1 + t, t G R • Vstavimo jih v enačbo ravnine (koordinate presečišča morajo ustrezati obema - enačbi premice in enačbi ravnine): 2(1 + 2t) + 3(-3 + 5t) + (1 + t) = 14. • Iz gornje enačbe izračunamo vrednost parametra t: t =1. • Izračunano vrednost paramera t vstavimo v (parametrično) enačbo premice in dobimo koordinate presečišča - točke P: x=1+2=3 y = -3 + 5 = 2 z=1+t=2 presečišče P(3, 2, 2). 37. Določite presek ravnin 2x + 3y - z = -1 in x - y + z = 8. Rešitev. Točke, ki so v preseku ravnin morajo ustrezati obema enačbama, torej morajo rešiti sistem enačb 2x + 3y - z = -1 x - y + z = 8 Rešitev sistema je: x = t,y = ^^ z = ^^ (t G R), kar je parametrična enačba premice x= t 7 3 y= 2 ~ 23 5 z= - - — — 2 2 te R Poglavje 4 Zaporedja in vrste 4.1 Zaporedja 1. Dano je zaporedje s splošnim členom an = (a) Zapišite prvih pet členov tega zaporedja in skicirajte njegov graf. (b) Ali je dano zaporedje monotono (naraščajoče/padajoče)? (c) Ali je dano zaporedje omejeno? (d) Izračunajte limito danega zaporedja. (e) Poiščite natančni meji (inf{an}, sup{an}) danega zaporedja. Rešitev. (a) a1 «3 = !±3 i _ 2+3 ~~ 2 _ 3+3 3 n — 4+3 a4 — — n — 5+3 «5 - — 4 5 2 2 7 4 Graf zaporedja je na sliki (4.1). Opomba: Graf zaporedja sestavljajo (nepovezane) točke s koordinatama (n, an), n G N. (b) Zaporedje je monotono, če je razlika zaporednih členov an+1 - an konstantnega predznaka. • Izračunamo razliko: an+1 - an (»+l)+3 ra+1 ■ra+3 3 n(n+1) ' n Slika 4.1: an ra+3 n • Dobljeni količnik je pri vsakem naravnem n negativen (negativen števec -3, pozitiven imenovalec n(n + 1)). • Zaporedje je monotono, je padajoče (razlika je negativna). (c) Zaporedje je omejeno. • Vsi členi so pozitivni, torej je navzdol omejeno. Število S = 0 (na primer) je spodnja meja zaporedja. • Zaporedje je padajoče, torej je navzgor omejeno. Prvi člen zaporedja ai = 4 (na primer) je zgornja meja zaporedja. (d) Splošni člen zaporedja an preoblikujemo n + 3 1 + ^ n n od koder odčitamo (z uporabo znane limite lim,woo ^ = 0) lim an = 1. (e) Zaporedje je padajoče in konvergentno. • Prvi člen zaporedja je natančna zgornja meja (oznaka M ali sup{an}) zaporedja: M = a1. Natančna zgornja meja pripada zaporedju. • Limita zaporedja je natančna spodnja meja (oznaka m ali inf {an}) zaporedja: m = limn^^ an = 1. Natančna spodnja meja ni člen zaporedja, ne pripada zaporedju. a n 1 n 2. Dano je zaporedje s splošnim členom an = (2ra-2i)3 • (a) Zapišite prvih pet členov tega zaporedja. (b) Ali je dano zaporedje monotono (naraščajoče/padajoče)? (c) Ali je dano zaporedje omejeno? (d) Izračunajte limito danega zaporedja. (e) Poiščite natančni meji (inf{an}, sup{an}) danega zaporedja. Rešitev. (a) Cl\ = jTja 1 &2 = JfJ ) a'i = 1^2 ) ai = 1I2 ) a5 = Yl2 (b) • Izračunamo razliko: an+1 - an = • • Imenovalec je pozitiven, predznak razlike je enak predznaku števca. • —8n + 80 > 0, če n < 10. Od prvega do devetega (n < 10) člena velja an+\ — an > 0, torej je zaporedje od prvega do (vključno) desetega člena naraščajoče. • —8n + 80 = 0, če n = 10. Velja an — aio = 0, torej je enajsti člen tega zaporedja enak desetemu. • —8n + 80 < 0, če n > 10. Od enajstega (n > 10) člena naprej velja an+1 — an < 0, torej je zaporedje od enajstega člena naprej padajoče. Opomba: Napačno je ugotavljati monotonost zaporedja na osnovi nekaj začetnih členov zaporedja. Za dano zaporedje bi po prvih petih členih napačno sklepali, da je zaporedje naraščajoče. (c) Zaporedje je omejeno. • Vsi členi so pozitivni, torej je zaporedje navzdol omejeno. • Deseti oziroma enajsti člen sta največja člena zaporedja, torej je zaporedje navzgor omejeno. (d) 1 »2 4n2 - 84/?, + 441 4 - M + M^. lim an = 0 n a n (e) Glede na naraščanje in padanje zaporedja je: inf{an} manjši izmed a1 in limn—TO an inf{an} = lim an = 0, n— sup{an} deseti oziroma enajsti člen zaporedja sup{an} = a1o = a11 = 1. 3. Dano je zaporedje s splošnim členom an = gi^p-. (a) Zapišite prvih pet členov tega zaporedja. (b) Ali je dano zaporedje monotono (naraščajoče/padajoče)? (c) Ali je dano zaporedje omejeno? (d) Izračunajte limito danega zaporedja. (e) Poiščite natančni meji (inf{an}, sup{an}) danega zaporedja. Rešitev. fa) n — 2 n — 4 n — 8 n — 16 n — 32 ^aj a 1 — g, «2 — 27, «3 — gj", U4 — 243, «5 — J^g (b) padajoče (c) je omejeno (padajoče in pozitivno) (d) Uporabimo znano limito limn—TO an = 0, če |a| < 1. 12 1 lim an = - lim (-)" = --0 = 0 n—3 n—3 3 4. Koliko členov zaporedja s splošnim členom an = ^^ leži na intervalu [1.3,1.4]? Rešitev. Poiščemo tiste člene zaporedje, ki ustrezajo neenačbama 1.3 < an < 1.4. • Rešitev sistema neenačb 1.3 < ^^ < 1.4 je: 7.5 < n < 10. n • Naravna števila, ki ustrezajo gornji rešitvi so: 8, 9 in 10. • Trije členi (ag,ag in a1o) ležijo na danem intervalu. Opomba: Dano zaporedje je zaporedje iz naloge 1. 5. Koliko členov zaporedja s splošnim členom an = ^jp je večjih od f? Rešitev. Poiščemo tiste člene zaporedje, ki ustrezajo neenačbi an > |. • Rešitev neenačbe > 4 : n < 4 2 n 4 • n = 1, 2 ali 3 • Trije členi: a1,a2 in a3 6. Poiščite vse člene zaporedja an = f^rf, ki ležijo v eokolici limite, če je i n Rešitev. • Izračunamo limito zaporedja (oznaka a) 477. + 3 4 + 1 a = lini -= hm - n n—6n — 5 n—6 — 2 3 Rešimo neenačbo |an — a| < e 4/7. + 3 2 1 ' 6 /7. - 5 _ 3 5 h 19 ■| < 7 3(6n — 5; 5 Izraz v absolutni vrednosti je zmeraj pozitiven, zato nadalje znak absolutne vrednosti izpustimo. 19 < 1 3(6n — 5) 5 3(6n — 6) > 5 ■ 19 95 2 6/7. > — + 5 = 36 + -33 2 /7>6 + - 5 • Neenačbi ustrezajo n > 7. • V dani okolici ležijo členi od vključno sedmega člena naprej. 7. Poiščite vse člene zaporedja an = f^rrj-, ki ležijo izven e-okolice limite, če je e = 0.01. Rešitev. , , 3 + 4, 3 a = lim a„ = lim 5- A- 5 n2 Izven okolice ležijo členi, ki ustrezajo neenačbi |an - a| > e. , 3n2 + 1 3 1 lr~9—t ~ 71 - 5n2 — 1 51 " 100 n2 < — = 32.2 5 n < 5 Izven dane okolice leži prvih pet členov zaporedja. 161 8. Ugotovite, ali je dano zaporedje konvergentno in izračunajte njegovo limito: (a) a 1000 "n ra2 +1 2 (b) On = ^ fr) n — 3ra2+204ra-l an 5ra2-77ra Vu/ Un n+99 (V) n — l.ej On — n+4 (f) an = —[ — ^Pi (g) an = \fn + 2 - v/n (h) a„ = V??2 + 5n — n (i) = ("D" O) = 20 • (}) 1 \n Rešitev. Uporabimo znani limiti in ter lastnosti limit. lini — = 0 n—n lim an = 0, če |a| < 1 (a) (b) (c) limn—^ an = 0 limn an = 0 V nalogah (c) do (h) preoblikujemo splošni člen zaporedja tako, da števec in imenovalec delimo z n(stopnja imenovalca). _ (3/?,2 + 204/?, — 1) : /?2 _ 3 + ^-4, (5n2 — 77n) n2 5 — — (d) lim an 3n2- 18n + 27 3n — 18 + 27 n n + 99 1+ 99 n lim an = (e) (f) 1, vrsta divergira če L = 1, kvocientni kriterij ne da odgovora o konvergenci vrste fc+i (a) L = linifc^oo (fc+1fc)3+3 = ni odgovora k3 + 3 101fc+1 (b) L = linifc^oo r- = linifc^oo ^ = 0 < 1, konvergira fc! 2000(fc+l) (c) L = linifc^oo 2ooofc = linifc^oo ^ = \ < 1, konvergira 15. Z uporabo korenskega (Cauchyjevega) kriterija ugotovite, ali so dane vrste konvergentne: (a) Er=i(M)fc (b) Er=i(^i)fc2 (c) r k)'- Rešitev. Ugotavljanje konvergence vrst s pozitivnimi členi z uporabo korenskega kriterija: • izračunamo limito (oznaka L) k-tega korena iz k-tega člena (če obstaja) lim ^/ok = L k— 1, vrsta divergira če L = 1, korenski kriterij ne da odgovora o konvergenci vrste (a) L = Hindoo = | < 1, konvergira (b) L = limfc^oo(^-)fc = (naloga 9.c) = \ < 1, konvergira (c) L = linifc^00(-\/A:2 — 1 — k) = (računamo kot nalogi 8.g in f) = 0, 0 < 1, konvergira 16. Ugotovite, ali sta dani (alternirajoči) vrsti konvergentni. Ali sta absolutno konvergentni? (a) ^ fM (~1)fefc 2^k=2 fc2-l Rešitev. Alternirajoča vrsta ± 1)kak (ak > 0) je konvergentna, če — je zaporedje {ak}keN padajoče - je limk—TO ak = 0 • Alternirajoča vrsta ^Efc=1(-1)kak (ak > 0) je absolutno konver-gentna, če je konvergentna vrsta Efc=1 ak. Absolutno konvergenco preverimo po enem od gornjih kriterijev. (a) • Zaporedje {^}fceN je padajoče, lim^oo ^ = 0, vrsta je konver- gentna. • Vrsta ni absolutno konvergentna; Efcli = | Efcl 1 i Je monična vrsta, ki ni konvergentna (naloga 13.b). (b) • Zaporedje {7-^-7)7, je padajoče, limfc^oo prri = 0, vrsta Je konvergentna. • Vrsta ni absolutno konvergentna; Efcl2 fc^T konvergentna (naloga 13.b). Poglavje 5 Funkcije ene spremenljivke 1. Naj bo f(x) = 2 + xeŽ. Izračunajte: /(1), /(0), /(\/3). Rešitev. Ni težko preveriti, da je 3 0 /(1) = 2 + l-e^=2 + e3 f(VŠ) = 2 + \/3e<^ = 2 + \/3ei V točki x = 0 funkcija f ni definirana. 2. Zapišite definicijsko območje funkcije: (a) f(x) = \/x + 7 (b) m = m (c) f (x) = 4ln(x2 — 9) (d) f (x) = 2arctan(1 — x2) (e) f(x) = 5 ln(3 - V2x + 4) Rešitev. (a) Ker mora biti x + 7 > 0, je Df (b) Ker mora biti 4 — x2 = 0, je Df (c) Ker mora biti x2 — 9 > 0, je Df (d) V tem primeru je Df = R. = {x G R | x > —7}. = R \ { —2, 2}. = {x G R | x < —3 in x > 3}. (e) Ker mora biti 3 — V2x + 4 > 0 in 2x + 4 > 0, je Df = {x G E | x > -2 in x < |}. 3. Dani sta funkciji f (x) = — 3x + 2 in g(x) = 5x2 + 3. Zapišite funkcije: (a) (f + g)(x) (b) (f o g)(x) (c) (g o f )(x) Rešitev. (a) (f + g) (x) = g(x) + g(x) = — 3x + 2 + 5x2 + 3 = 5x2 — 3x + 5 (b) (f o g)(x) = f (g(x)) = f (x2 + 1) = —3(5x2 + 3) + 2 = — 15x2 — 9 (c) (g o f )(x) = g(f (x)) = g(—3x + 2) = 5(—3x + 2)2 + 3 = 5(9x2 — 12x + 4) + 3 = 45x2 — 60x + 20 4. Ali so funkcije sode ali lihe? (a) f (x) = 6x5 — 2x3 + 7x (b) /= n^ito-1 (c) f(x) = x2e3x2 Rešitev. (a) Funkcija f je liha, saj je f (—x) = —f (x): f (—x) = 6(—x)5 — 2(—x)3 + 7(—x) = —6x5 + 2x3 — 7x = — (6x5 — 2x3 + 7x) = —f (x) (b) Vidimo, da je 2(-x) f (-x) 11(-x)2 - 3(-x) - 1 -2x 11x2 + 3x — 1 Funkcija f ni niti soda niti liha, saj f (—x) = f (x) in f (-x) = -f (x). (c) Ni težko preveriti, da je f (-x) = (-x)2e3(-x)2 = x2e3x2 = f (x). Iz tega sledi, da je funkcija soda, saj je f (—x) = f (x). 5. Skicirajte graf funkcije: (a) f(x) = -2x2 + 3 (b) f(x) = (c) f (x) = e-(x+1) + 1 (d) f (x) = ln(3x - 2) (e) f(x) = —2 sin(rr — f) (f) f(x) = cos(4x) Rešitev. Če poznamo graf funkcije, podane s predpisom f (x), dobimo graf funkcije, podane s predpisom • - f (x), z zrcaljenjem preko osi x • f (-x), z zrcaljenjem preko osi y • kf (x), (k > 0), z raztegom za faktor k po osi y • f (kx), (k > 0), z raztegom za faktor 1/k po osi x • f (x) + a, s premikom po osi y za a — navzgor, če a > 0 — navzdol, če a < 0 • f (x + a), s premikom po osi x za a — v levo, če a > 0 — v desno, če a < 0 Tako postopoma pridemo do grafa želene funkcije. (a) • Parabolo y = x2 raztegnemo za faktor 2 po osi y (dobimo graf y = 2x2). • Dobljeni graf zrcalimo preko osi x (dobimo graf y = -2x2). • Dobljeni graf premaknemo za 3 navzgor (dobimo graf želene funkcije f (x) = -2x2 + 3). Graf je na sliki (5.1). (b) Hiperbolo y = ^ premaknemo za 2 proti desni. Graf je na sliki (5.2). (c) • Graf eksponentne funkcije y = ex zrcalimo preko osi y (y = e-x), • premaknemo za 1 proti levi (y = e-(x+1)) • in za 1 navzgor. Graf je na sliki (5.3). (d) Dano funkcijo zapišimo kot f(x) = ln3(;r — |). • Po osi x jo skrčimo za faktor 3 (y = ln(3x)) • in premaknemo za | v desno. Graf je na sliki (5.4). (e) • Graf funkcije y = sin x zrcalimo čez os x in raztegnemo za faktor 2 po osi y (y = -2 sin x), • nato pa premaknemo za | v desno. Graf je na sliki (5.5). (f) Graf funkcije y = cos x skrčimo za faktor 4 po osi x. Graf je na sliki (5.6). Slika 5.1: f (x) = —2x2 + 3 Slika 5.3: f (x) = e-(x+1) + 1 Slika 5.5: f(x) = —2sin(x — 6. Zapišite predpis inverzne funkcije dani funkciji: (a) f (x) = x3 + 7 (b) f(x) = ln(5x) (c) f(x) = 2e-x+2 + 2 Rešitev. (a) • Funkcijo prepišemo v obliki y = x3 + 7. • Zamenjamo spremenljivki x in y: x = y3 + 7. • Rešitev enačbe da iskani predpis: y = \/x — 7. (b) y = ln(5;r), x = ln(5y), y = |e,T (c) y = 2e~x+2 + 2, x = 2e~y+2 + 2, y=- ln(f - 1) + 2 7. Izračunajte: f \ i* —707x [aj J-lllljj-^oo 7iT2_|_707 (b) Hm, . . Rešitev. (a) f (x) računamo po enakih pravilih kot limito zaporedja, torej liniT^oo „i>2_|_7Q7 — j- (b) f (x) računamo kot limx^^ f (—x). V danem primeru torej lim' —,t3+23 _ i x ^oo —3x3_|_2.T 3- 8. Izračunajte: (a) liniT^3^| (b) - (c) linijo ^^ (d) lim^s ^S5 Rešitev. Limite so: n. x2 - 9 lim- x^3 x — 3 lim x—> 3 (x-3)(x + 3) x3 = lim(x + 3) = 6 x—> 3 (b) n . 1 12 , n x2 + 2x - 8 Iim(-;-----) = lim 2yx - 2 x3 - 8' x^2 (x - 2)(x2 + 2x + 4) (x - 2)(x + 4) lim --—-;-r x^2 (x - 2)(x2 + 2x + 4) x + 4 1 lim ■ 2 x2 + 2x + 4 2 (c) Izraz yi+.T—yi—.T 5x razširimo s x x: lim x—> 0 x - x 5x lim x0 x - v7!^ x 5x 1 + x - (1 - x) 5;r(\/l + X + \/l — x) 2x lim x^0 lim x^0 lim __ ,_ 5(v/l+i: + \/l — x) 1 5 5x(\/T~\~x, + \/l — x) 2 x x x x (d) Racionaliziramo števec in upoštevamo zvezo a2 — b2 = (a — b) (a + b) v v (1 - v^4)(l + V^7^) lim--- = lim-, — .t—>5 X2~25 .t—>5 (rr2 - 25) (1 + y/x - 4) = ]im__ .t—>5 (x2 _ 25)(1 + ,. 5 x = lim .t—>5 (x - 5)(^ + 5)(1 + v7^ - 4) lun_,_ .t—>5 (x - 5)(^ + 5)(1 + \fx - 4) lim .t—>5 (x + 5)(1 + y/x - 4) 1 10 (e) Racionaliziramo števec in imenovalec 3 — s/5 + x 3 — s/5 + x 3 + \/5 + x 1 + s/5 — x lim--==. = lim--==. ---= ---==. 1 — 5 — x x^4 1 — ^ 5 — x 3 + y5 + x 1 + y5 — x , 9 - (5 + x) 1 + s/5- x = iim---- --, .t—>4 1 - (5 - X) 3 + V5 + X 4 — x 1 + \/5 — x = iim —---- .t—>4 -4 + X 3 + V5 + X = lim(-l) 1 + 3 + ^5 + x 1 3 9. Izračunajte: sin(6ir) x 2x (a) liniT^o x (b) v^k) (c) limx^o(1 + 3x) (d) lim^o Rešitev. (a) Vidimo, da je n sin(6x) 6sin(6x) lim-= Iim x—>° x x—>° 6x Naj bo 6x = t in upoštevajmo, da je liniT^0 ^^ = 1- Potem je .. 6 sin(6x) 6 sin t sin t iim-= iim-= 6 iim-= 6. x—o 6x t—° t t—o t (b) Vidimo, da je 2x x 7x lim--—- = 2 lim--—- = 2 lim x—° sin(7x) x—° sin(7x) x—° 7sin(7x) Naj bo 7x = t. Potem je 7x t 2 t 2 2 iim-;—- = 2 iim-= - iim-= -. x—° 7sin(7x) t—° 7 sin t 7 t—° sin t 7 (c) Vidimo, da je lim(l + 3x) * = lim(l + 3x). x—° x—° Naj bo 3x = t. in upoštevajmo, da je liniT^0(l = e. Potem je lim(l + = lim(l + = lim((l + t= e3. x—° t—° t—° (d) Vidimo, da je n. ln(1 + 5x) 1 . ln(1 + 5x) 1 . 5ln(1 + 5x) iim-= - iim-= - iim-. x—° 8x 8 x—° x 8 x—° 5x Naj bo 5x = t. in upoštevajmo, da je linijo = 1. Potem je 1 5ln(1 + 5x) 1 5 ln(1 +1) 5 ln(1 +1) 5 - iim-= - iim-= - iim-= -. 8 x—° 5x 81—° t 81—° t 8 10. Funkcija f je podana s predpisom ( -2x - 3; x < 0 f(x,y) = < 0; x = 0 x - 3; x > 0 Izračunajte f (0), limx—°+ f (x), limx—f (x), limx—° f (x). Ali je funkcija f zvezna v točki x = 0? Rešitev. Očitno je f (0) = 0. Vidimo, da je lim+ f (x) = lim f (x) = x^0- Iz tega sledi, da je limx^0 f (x) x = 0, saj limx^0 f (x) = f (0). lim (x 3) = 3 x^0+ lim (-2x - 3) = -3. x^0 = 3. Vendar funkcija f ni zvezna v točki 11. Funkcija f je podana s predpisom {-5x - 1; x < 0 x3 + 2; x G [0,1] 3x; x > 1 Izračunajte (a) f (0), limx^0+ f (x), limx^0- f (x), limx^0 f (x) (b) f (1), limx^1+ f (x), limx^1- f (x), limx^1 f (x) Ali je funkcija f zvezna v točkah x = 0 in x =1? Rešitev. (a) f (0) = 2, limx^0+ f (x) = limx^0+ (x3 + 2) = 2, limx^0- f (x) = limx^0- (-5x - 1) = -1, limx^0 f (x) ne obstaja. (b) f (1) = 3, limx^1+ f (x) = limx^1+ 3x = 3, limx^1- f (x) = limx^1-(x3 + 2) = 3, limx^1 f (x) = 3. Funkcija f ni zvezna v točki x = 0, v točki x =1 pa je zvezna. 12. Določite a tako, da bo funkcija f. / \ i 2x + 1; x ^ 1 J (x,y) = 1 4 - x2a; x > 1 zvezna. Rešitev. Funkcija f bo zvezna, ko bo limx^1+ f (x) = limx^1- f (x). Torej limx^1+ (4 - x2a) = limx^1-(2x2 + 1). Iz tega sledi 4 - a =3, kar pomeni, da je a = 1. 13. Določite a tako, da bo funkcija f(x y) = i x3; x - 1 f(x,y) = 1 —3x2 + a; x< 1 zvezna. Rešitev. Ker mora biti limx^1+ f (x) = limx^1- f (x), je 1 = —3 + a, iz česar sledi, da je a = 4. 14. Naj bo f (x,y) Ali obstaja limx^4 f (x)? 0; x = 4 Rešitev. Vidimo, da je lim fix) = lim —-J- 4+ 4+ x — 4 lim --- = 1 x 4+ x 4 in lim fix) = lim —-J- = lim ————^ = — 1. x^4- x^4+ x — 4 x^4+ x — 4 S tem smo pokazali, da leva in desna limita funkcije f v točki x = 4 nista enaki. Iz tega sledi, da ne obstaja limx^4 f (x). 15. Naj bo f (x'y)H 0; x = 0 Ali je funkcija zvezna v točki x = 0? Rešitev. Ker je limx^0- ~ = —oo, je lim f(x) = lim e^ = 0. x 0- x 0- Ker je lima._>0+ z = oo, je lim f(x) = lim e* = oo. x—°+ x—°+ S tem smo pokazali, da leva in desna limita funkcije f v točki x = 0 nista enaki, iz česar sledi, da funkcija f ni zvezna v točki x = 0. 16. Določite f (a) tako, da bodo dane funkcije zvezne v točki a. (a) ./vs o (b) f(x) = (1 + 5*)^, a = 0 (c) = = 4 Rešitev. Funkcija f bo zvezna v točki a, ko bo limx—a f (x) = f (a). (a) /(0) = f (b) /(0) = el (c) /(4) = Viri 1. Cedilnik, A.: Matematični priročnik. Didakta, Radovljica, 1997 2. Fošner, Gorše, Povh, Pustavrh, Zalar: Matematične metode v uporabi. DMFA (v pripravi) 3. Jamnik, R.: Matematika. DMFA, Lj, 1994 4. Mencinger, M: Zbirka rešenih nalog iz matematične analize in algebre. UM, FG, Mb, 2006 5. Mizori-Oblak, P.: Matematika za študente tehnike in naravoslovja, 1.del. UL, FS, Lj, 2001 6. Usenik, J.: Matematične metode v prometu. UL, FPP, Portorož, 1998