i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 41 — #1
i
i
i
i
i
i
ABELOVANAGRADA2009MIKHAELUGROMOVU
FRANC FORSTNERI
ˇ
C
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 32E10, 32E30, 32H02
ˇ
Clanek vsebuje nekaj osnovnih dejstev o ˇ zivljenju in delu slavnega norveˇ skega ma-
tematika Nielsa Henrika Abela, o nagradi za matematiko, ki nosi njegovo ime, in o re-
volucionarnih doseˇ zkih Mikhaela Gromova, prejemnika Abelove nagrade za leto 2009, na
podroˇ cjugeometrije. VzadnjemdelujepodrobnejepredstavljenhomotopskiprincipOka-
Grauert-Gromov v kompleksni analizi in geometriji.
THE 2009 ABEL PRIZE TO MIKHAEL GROMOV
The article brings some basic facts on the life and work of the famous Norwegian
mathematician Niels Henrik Abel, on the establishment of the Abel Prize, and on the
revolutionary contributions of the 2009 Abel Prize winner, Mikhael Gromov, to geometry.
The last part contains an exposition of the Oka-Grauert-Gromov principle in complex
analysis and geometry.
1. Uvod
Ob vpraˇ sanju, katera mednarodna nagrada na podroˇ cju matematike je
najpomembnejˇ sa in najprestiˇ znejˇ sa, med matematiki ni popolnega soglasja:
jetoFieldsovamedaljaaliAbelovanagrada? Vsekakorstaomenjeninagradi
na prvih dveh mestih, imata pa razliˇ cen pomen.
Fieldsova medalja se podeljuje vsako ˇ cetrto leto na mednarodnem ma-
tematiˇ cnem kongresu ˇ stirim prejemnikom do starosti 40 let, ki so dosegli
najbolj originalne prebojne doseˇ zke in s tem reˇ sili kak zelo pomemben in
dolgo ˇ casa odprt matematiˇ cni problem. Simbolni pomen Fieldsove meda-
lje je vsekakor dosti veˇ cji, kot bi lahko pripisali njeni sorazmerno skromni
denarni vsoti.
Abelovo nagrado pa lahko prejme matematik, ki je pomembno zazna-
moval doloˇ ceno podroˇ cje matematike skozi daljˇ se obdobje in ki je prispeval
vrsto kljuˇ cnih doseˇ zkov k njenemu razvoju. Nagrado podeljuje Norveˇ ska
akademija znanosti enkrat na leto od leta 2003 dalje. Po statusu in ugledu
je Abelova nagrada postala enakovredna Nobelovi nagradi na podroˇ cju fi-
zike, kemije in medicine.
Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2 41

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 42 — #2
i
i
i
i
i
i
Franc Forstneriˇ c
Abelovo nagrado za leto 2009 je prejel Mikhael Leonidovich Gromov za
svoje revolucionarne prispevke h geometriji. Nagrado je Gromov prejel iz
rok norveˇ skega kralja Haralda na prireditvi v Oslu 19. maja 2009.
V zapisu je na kratko predstavljeno ˇ zivljenje in delo genialnega norve-
ˇ skega matematika Nielsa Henrika Abela ter ozadje, ki je vodilo do usta-
novitve Abelove nagrade. Zatem sledi oris nekaterih temeljnih prispevkov
Mikhaela Gromova k razliˇ cnim podroˇ cjem matematike. V zadnjem delu
je predstavljen princip Oka-Grauert-Gromov ter nekaj novejˇ sih prispevkov
sodelavcev raziskovalne skupine Analiza in geometrija k temu podroˇ cju.
2.
ˇ
Zivljenje in delo Nielsa Henrika Abela
Niels Henrik Abel (1802–1829) je prispeval revolucionarna odkritja na
mnogih podroˇ cjih matematike in po njem se danes imenuje vrsta matema-
tiˇ cnih pojmov in objektov.
Kot ˇ student na Univerzi v Kristianiji (danaˇ snjem Oslu, Norveˇ ska) je
Abel skuˇ sal reˇ siti sploˇ sno enaˇ cbo pete stopnje
a
5
x
5
+a
4
x
4
+a
3
x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+a
0
= 0.
Mislil jeˇ ze, da mu je uspelo, a je svojo napako pravoˇ casno odkril. Vˇ clanku
v samostojni broˇ suri, objavljeni leta 1824, je dokazal, da se ta enaˇ cba ne da
reˇ siti z radikali, to je z eksplicitno formulo, v kateri bi nastopali algebraiˇ cni
izrazi (vsote, produkti, koreni, ...) v koeficientih a
0
, a
1
, ..., a
5
. Preprost
primer enaˇ cbe pete stopnje, ki ni reˇ sljiva z radikali, je x
5
−x+1 = 0. S
tem je Abel reˇ sil problem, ki je izzival matematike od ˇ casov Bombellija in
Vieta, in tako prepreˇ cil nadaljnje neuspeˇ sne ali napaˇ cne poizkuse reˇ sevanja.
Podrobnejˇ si dokaz je objavil leta 1826 v prvem zvezku Crellove revije. Abe-
lov rezultat velja tudi za enaˇ cbe viˇ sje stopnje, enaˇ cbe do vkljuˇ cno ˇ cetrte
stopnje pa so vselej reˇ sljive z radikali.
Abelov rezultat o nereˇ sljivosti polinomskih enaˇ cb od pete stopnje dalje
z radikali je nadaljeval drugi genialni matematik tedanjega ˇ casa,
´
Evariste
Galois (1811–1832) [14], ki je ob tem razvil zaˇ cetke Galoisove teorije. Ta
pomembna algebraiˇ cna teorija povezuje grupe z razˇ siritvami obsegov; grupe
pri tem nastopajo kot grupe avtomorfizmov obsegov. V jeziku Galoisove
teorije je polinomska enaˇ cba reˇ sljiva z radikali natanko tedaj, ko je prire-
jena Galoisova grupa reˇ sljiva (solvable). Pri sploˇ sni enaˇ cbi n-te stopnje je
prirejena Galoisova grupa izomorfna grupi S
n
vseh permutacij mnoˇ zice z n
42 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 43 — #3
i
i
i
i
i
i
Abelova nagrada 2009 Mikhaelu Gromovu
elementi; za n ≥ 5 grupa S
n
ni reˇ sljiva, medtem ko so grupe S
2
, S
3
in S
4
reˇ sljive.
Leta 1825 je Abel prejel ˇ stipendijo norveˇ ske vlade, ki mu je omogoˇ cila
dvoletno gostovanje pri tedaj pomembnih matematikih v Berlinu, v Italiji
in v Parizu. V tem ˇ casu je raziskoval teorijo funkcij, ˇ se posebej eliptiˇ cne
in hipereliptiˇ cne funkcije, ter nov razred funkcij, ki nosi njegovo ime. Na-
pisal je veˇ c ˇ clankov o konvergenci vrst, o Abelovih integralih in o eliptiˇ cnih
funkcijah.
Leta 1828 je Abel postal inˇ struktor na univerzi in vojaˇ ski ˇ soli v Kristi-
aniji (Oslu). August Leopold Crelle (1780–1855) mu je leta 1829 priskrbel
profesorsko mesto na Univerzi v Berlinu in mu je 8. aprila 1829 pisal o tem.
Bilo je prepozno, saj je Abel umrl za posledicami tuberkuloze dva dni pred
tem v starosti 27 let.
Abelova dela so pomemben prispevek k matematiki zlasti na podroˇ cju
algebre,teorijegrup,integralnegaraˇ cunainteorijeeliptiˇ cnihfunkcij. Veˇ cino
svojih znanstvenih del je objavil v reviji Journal f¨ ur die reine und angewan-
dte Mathematik, ki jo je ustanovil Leopold Crelle leta 1826 in jo urejal do
svoje smrti leta 1855.
ˇ
Ze v prvem zvezku revije je bilo objavljenih kar pet
Abelovih ˇ clankov. V drugem zvezku iz leta 1827 je izˇ sel prvi del njegovih
Rech´ erches sur les fonctions elliptiques, ki pomenijo zaˇ cetek teorije dvojno
periodiˇ cnih funkcij. Abelova matematiˇ cna dela je zbral in uredil Bernt Mi-
chael Holmboe (1795–1850) in norveˇ ska vlada je omogoˇ cila objavo leta 1839.
Leta 1881 je izˇ sla razˇ sirjena izdaja, ki sta jo uredila Peter Ludwig Mejdell
Sylow (1832–1918) in Marius Sophus Lie (1842–1899).
Abelovo delo je bilo v prvi vrsti teoretiˇ cno, brez posebnega prizadeva-
nja po praktiˇ cni uporabi doseˇ zkov. Kljub temu je bilo izjemno odmevno
in je vodilo k razvoju ˇ stevilnih teorij, od katerih so mnoge kasneje doˇ zivele
tudi praktiˇ cno uporabo. Mnogo matematiˇ cnih objektov je dobilo pridev-
nik abelovski. Govorimo o Abelovi integralski enaˇ cbi, ki vodi do Abelovih
funkcij. Komutativne grupe imenujemo Abelove grupe. Pomemben razred
transcendentnih funkcij se imenuje po njem.
ˇ
Ceprav ima matematika izjemen praktiˇ cni in vzgojni pomen in je ne-
pogreˇ sljiva podstat vrsti drugih znanosti, vsebuje tudi bistvene elemente
estetike – ˇ cistost oblike, preprostost v objemu kompleksnosti, eleganco in
celo lepoto. V zgodovini sta bila praktiˇ cni pomen in uporaba matematiˇ cnih
izsledkov najpogosteje le nenaˇ crtovan stranski produkt.
ˇ
Se posebej na pri-
merih, kot sta Abel in Galois, nas zgodovina uˇ ci, da vrhunski matematiki
41–52 43

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 44 — #4
i
i
i
i
i
i
Franc Forstneriˇ c
potrebujejo predvsem ustvarjalno svobodo in stimulativno okolje za delo.
Abelova zgodba je znaˇ cilna ˇ se v enem pogledu, ki pogosto preseneˇ ca
znanstvenike na drugih podroˇ cjih – kako mladi so lahko matematiki, ko pri-
dejo do svojih najpomembnejˇ sih odkritij. Abel je naredil izjemne stvari do
svojega sedemindvajsetega leta. Omenili smo tudi
´
Evarista Galoisa, ki je
pri osemnajstih letih poloˇ zil temelje izjemno pomembne Galoisove teorije.
Po drugi strani pa mnogi matematiki ostanejo znanstveno aktivni ˇ se celo
potem, ko ˇ ze prejemajo zasluˇ zeno pokojnino. V tem smislu veliki matema-
tiki bolj spominjajo na velike skladatelje kot pa na znanstvenike na drugih
podroˇ cjih.
Veˇ c o ˇ zivljenju in delu Abela lahko bralec najde v Wikipediji [1] in
ˇ stevilnih drugih virih.
3. O Abelovi nagradi
Ob stoletnici Abelovega rojstva leta 1902 si je znani norveˇ ski matematik
Sophus Lie (po njem se imenujejo Liejeve grupe) prizadeval ustanoviti na-
gradozAbelovimimenom. Vsvojaprizadevanjajevkljuˇ cilmednarodnoma-
tematiˇ cno skupnost; norveˇ ski kralj Oskar II je ponudil pomoˇ c. Znanstveno
druˇ stvo v Kristianiji, predhodnik Norveˇ ske akademije znanosti v Oslu, je
pripravilo potrebne dokumente za podeljevanje nagrade enkrat na vsakih
pet let. Organiziran je bil festival v Kristianiji (Oslu) in v Abelovem roj-
stnem kraju Frøland, Abel pa je dobil spomenik v bliˇ zini kraljeve palaˇ ce v
Oslu.
Na ˇ zalost pa je prekinitev drˇ zavne zveze Norveˇ ske s
ˇ
Svedsko leta 1905
ter poslediˇ cna politiˇ cna nestabilnost prekriˇ zala te naˇ crte.
Napori za ustanovitev nagrade so bili obnovljeniˇ sele sto let kasneje, ob
200-letnici Abelovega rojstva v letu 2002, tokrat uspeˇ sno. Nagrado pode-
ljuje Norveˇ ska akademija znanosti, nagrajenca pa izbere izmed nominiranih
kandidatov petˇ clanska komisija v mednarodni sestavi.
Prva Abelova nagrada v znesku 6 milijonov norveˇ skih kron (pribliˇ zno
750000 evrov) je bila podeljena 3. junija 2003, prejemnik je bil Jean-Pierre
Serre. Naslednji nagrajenci so bili sir Michael Francis Atiyah in Isadore
M. Singer (2004), Peter D. Lax (2005), Lennart Carleson (2006), Srinivasa
S. R. Varadhan (2007), John Griggs Thompson in Jacques Tits (2008) ter
Mikhael Leonidovich Gromov (2009). Veˇ c o Abelovi nagradi v [23].
44 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 45 — #5
i
i
i
i
i
i
Abelova nagrada 2009 Mikhaelu Gromovu
4. O delu Mikhaela Gromova na podroˇ cju geometrije
Geometrija je eno najstarejˇ sih in najbolj temeljnih podroˇ cij matematike
in znanosti nasploh. Njen izvor sega tisoˇ cletja nazaj v zgodovino, v ˇ case
Arhimeda, Evklida, Pitagore in drugih velikih zaˇ cetnikov. Tedaj je znanje
vzniklo iz potrebe najti odgovore na praktiˇ cna vpraˇ sanja, kot je recimo
oceniti velikost kakega zemljiˇ sˇ ca, iz potreb pri navigaciji na morju, pa tudi
iz bolj ezoteriˇ cnih ˇ zelja, kot je izraˇ cunati oddaljenost Lune od Zemlje.
Geometrija se ukvarja sˇ studijem pojmov, kot so velikost, oblika, razda-
lja, medsebojna lega objektov, pa tudi z dosti bolj kompleksnimi lastnostmi
ploskevinnjihovihviˇ sjerazseˇ znihanalogov(mnogoterosti), kotjenpr.ukri-
vljenost. Einsteinova teorija relativnosti sloni na Lorentzevi geometriji. Po-
droˇ cjegeometrije, kiseimenujeumeritvena teorija(angl.gauge theory), ima
kljuˇ cno vlogo v modernih teorijah matematiˇ cne fizike, kot so Donaldsonova
in Seiberg-Wittenova teorija.
V zadnjih petdesetih letih je geometrija doˇ zivela revolucionaren razvoj
in spremembe. Mikhael Gromov je pri tem kreiral in vodil nekatere najpo-
membnejˇ se smeri razvoja ter je razvijal originalne ideje, ki so podale nove
perspektive v geometriji in poslediˇ cno tudi v drugih podroˇ cjih matematike.
ImeljebistvenovlogopriizgradnjimoderneRiemannove geometrije,sodob-
nem podroˇ cju matematike s koreninami v klasiˇ cni Riemannovi geometriji
(glej [20]). Je tudi eden od utemeljiteljev globalne simplektiˇ cne geometrije.
Njegovo najbolj znano in verjetno najslavnejˇ se delo je vodilo v definicijo
Gromov–Wittenovih invariant [19]. To je sedaj eno od izjemno aktivnih
podroˇ cij matematike, tesno povezavanih s podroˇ cjem moderne teoretiˇ cne
fizike, ki se imenuje kvantna teorija polja.
Enoodorodij,kijihjeGromovnaustvarjalennaˇ cinuporabilprirazvoju
simplektiˇ cne geometrije, je analiza kompleksnih krivulj v skoraj kompleksnih
mnogoterostih. To so mnogoterosti M sode dimenzije 2n, katerih tangentni
prostoriT
p
M soopremljenizoperatorjemJ,kateregakvadratjeenakminus
identiteti: J
2
=−id. Modelna ali standardna skoraj kompleksna struktura
J
st
na kompleksnem evklidskem prostoru C
n
deluje kot mnoˇ zenje vektorja
z imaginarno enoto i =
√
−1. S pomoˇ cjo tega operatorja J se Cauchy-
Riemannov sistem enaˇ cb za holomorfne funkcije f:C
n
→C zapiˇ se v obliki
df
p
(Jv) =idf
p
(v), p∈C
n
, v∈T
p
C
n
≈C
n
.
Pri tem je df
p
(v) vrednost diferenciala funkcije f v toˇ cki p v smeri tangen-
41–52 45

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 46 — #6
i
i
i
i
i
i
Franc Forstneriˇ c
tnega vektorja v ∈ T
p
C
n
. Ni teˇ zko videti, da lahko koordinate v okolici
neke toˇ cke p izberemo tako, da J sovpada s standardno strukturo J
st
na
tangentnem prostoru T
p
C
n
, v sploˇ snem pa tega pogoja ni mogoˇ ce izpolniti
v vsaki toˇ cki neke odprte mnoˇ zice.
ˇ
Se veˇ c, na sploˇ sni skoraj kompleksni
mnogoterosti je Cauchy-Riemannova enaˇ cba predoloˇ cena in nima nobenih
netrivialnihreˇ sitev, torejtakamnogoterostnimanekonstantnihlokalnihho-
lomorfnih funkcij. Skoraj kompleksna struktura J se imenuje integrabilna,
ˇ ce lahko najdemo lokalne koordinate v okolici vsake toˇ cke p∈M, v katerih
J ustreza standardni strukturi J
st
na C
n
. Potrebni in zadostni pogoj za
integrabilnost strukture nam podaja Newlander-Nirenbergov izrek [31].
Po drugi strani pa v vsaki skoraj kompleksni mnogoterosti (M,J) ob-
stajajo skoraj kompleksne krivulje, npr. preslikave f:D → M z enotnega
diska D = {z ∈ C:|z| < 1} ali drugih Riemannovih ploskev, ki zadoˇ sˇ cajo
Cauchy-Riemannovi enaˇ cbi
df
p
(iv) =J(df
p
(v)), p∈D, v∈T
p
D.
Gromov je iznaˇ sel kreativno uporabo takih krivulj pri izgradnji globalne
simplektiˇ cne geometrije in simplektiˇ cne topologije [18]. Simplektiˇ cna mno-
goterost je realna mnogoterost M sode dimenzije 2n skupaj s simplektiˇ cno
formo ω; to je diferencialna 2-forma, ki je sklenjena (dω = 0) in neizrojena
(ω
n
6= 0). Model je evklidski prostorR
2n
s koordinatami (x
1
,y
1
,...,x
n
,y
n
)
in s formo ω = dx
1
∧dy
1
+dx
2
∧dy
2
+···+dx
n
∧dy
n
. Lokalno je vsaka
simplektiˇ cna forma ekvivalentna tej modelni formi.
Vzemimo sedaj trojico (M,ω,J), kjer je ω simplektiˇ cna forma in J sko-
raj kompleksna struktura na M, tako da je ω(v,Jv) > 0 za vsak neni-
ˇ celn tangenten vektor v∈TM. Gromov-Wittenove invariante simplektiˇ cne
mnogoterosti (M,ω) so racionalna ˇ stevila, ki na doloˇ cen naˇ cin preˇ stejejo
psevdoholomorfne krivulje danega roda v (M,J), ki sekajo neki konˇ cen na-
bor podmnogoterosti vM. Te invariante, ki sta jih razvila Mikhael Gromov
in Edward Witten, predstavimo kot homoloˇ ske ali kohomoloˇ ske razrede z
racionalnimi koeficienti. Njihov glavni pomen je, da nam pomagajo razloˇ ce-
vati simplektiˇ cne mnogoterosti, ki se jih pred tem ni dalo loˇ citi. Poleg tega
imajo bistveno vlogo pri razvoju teorije strun. Povezane so z vrsto dru-
gih geometrijskih invariant, kot npr. Donaldsonove in Seiberg-Wittenove
invariante. Za kompaktne simplektiˇ cne 4-mnogoterosti je Clifford Taubes
pokazal ekvivalenco med svojo razliˇ cico Gromov-Wittenovih invariant in
Seiberg-Wittenovimi invariantami. Veˇ c o tem lahko bralec najde v [19, 30].
46 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 47 — #7
i
i
i
i
i
i
Abelova nagrada 2009 Mikhaelu Gromovu
Skoraj kompleksne krivulje so naˇ sle pomembno uporabo tudi v definiciji
Flœrove homologije [35].
Delo Gromova na podroˇ cju teorije grup s polinomialno rastjo je pri-
neslo nove ideje, ki so za vedno spremenile naˇ se razumevanje diskretnih
neskonˇ cnih grup. Gromov je prepoznal geometrijske zakonitosti diskretnih
grupinreˇ silvrstodolgoodprtihproblemov. Njegovigeometrijskiargumenti
so naredili komplicirane kombinatoriˇ cne argumente veliko bolj naravne in
uˇ cinkovite. Veˇ c o tem v originalnem skoraj 200 strani dolgem ˇ clanku Gro-
mova [21].
Vzadnjemˇ casuseGromovukvarjatudiznovimiizzivi,kijihmatematiki
prinaˇ sabiologija,ˇ seposebejmolekularnabiologijaingenetskeraziskave(glej
monografijo[2]). Vpogovoru,kisemgaimelznjimdanpopodelitvinagrade
na slovesni veˇ cerji v prostorih Norveˇ ske akademije znanosti, je med drugim
priznal, da je genomika zelo hud izziv in da matematiki oˇ citno ˇ se nismo
iznaˇ sli prave vrste matematike za reˇ sevanje teh problemov.
5. Homotopski princip Oka-Grauert-Gromov
Gromov je bil vse od zaˇ cetkov svoje matematiˇ cne kariere eden od glav-
nih akterjev pri razvoju pojma homotopski princip ali, na kratko, h-princip.
Veljavnost h-principa v nekem analitiˇ cnem ali geometriˇ cnem problemu po-
meni, da obstaja analitiˇ cna reˇ sitev, v kolikor ni topoloˇ skih ovir. O tem je
napisal monografijo, objavljeno v ugledni Springerjevi zbirki Ergebnisse der
Mathematik und ihrer Grenzgebiete [20].
Dopreddobrimidvajsetimiletijebilh-principvkompleksnianaliziome-
jen na klasiˇ cni Oka-Grauertov princip o klasifikaciji holomorfnih vektorskih
sveˇ znjev in njim pridruˇ zenih glavnih sveˇ znjev na Steinovih mnogoterostih
(glej [32, 15, 16, 17, 24, 29]). Steinove mnogoterosti so tiste kompleksne
mnogoterosti, ki jih lahko predstavimo kot kompleksne podmnogoterosti v
kakem evklidskem prostoru C
n
; to je, kot mnoˇ zice X ⊂ C
n
, definirane s
konˇ cno mnogo holomorfnimi enaˇ cbami oblike
f(z
1
,...,z
n
) =
∞
X
j
1
,...,jn=0
c
j
1
,...,jn
z
j
1
1
z
j
2
2
···z
jn
n
= 0.
Vrsta mora konvergirati za vse z ∈ C
n
. Steinove mnogoterosti so torej
analitiˇ cen analog afino algebraiˇ cnim mnogoterostim, ki so reˇ sitve sistemov
polinomskih enaˇ cb, s konˇ cnimi vsotami namesto vrst.
41–52 47

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 48 — #8
i
i
i
i
i
i
Franc Forstneriˇ c
Glavni rezultat Oka-Grauertove teorije je, da se topoloˇ ska klasifikacija
holomorfnih vektorskih sveˇ znjev in, sploˇ sneje, glavnih sveˇ znjev na vsaki
Steinovi mnogoterosti X ujema z njihovo holomorfno klasifikacijo. Bistvo
dokaza je v tem, da lahko vsako zvezno preslikavoX →M v poljubno kom-
pleksno homogeno mnogoterost M homotopsko deformiramo do neke holo-
morfne preslikave.
ˇ
Ce uporabimo ta rezultat za preslikave X → G
k
(C
n
) v
Grassmanovomnogoterostvsehkompleksnihk-razseˇ znihpodprostorovvC
n
in pri tem opazujemo povleke univerzalnega vektorskega sveˇ znja U
k,n
→
G
k
(C
n
) na X, takoj sledi, da ima vsak topoloˇ ski kompleksni vektorski sve-
ˇ zenj nad X strukturo holomorfnega vektorskega sveˇ znja. Podobno ugoto-
vimo,daizomorfizmimeddvemavektorskimasveˇ znjemaustrezajoprerezom
nekega pridruˇ zenega glavnega sveˇ znja; ker je vsak zvezen prerez homotopen
nekemu holomorfnemu prerezu, sledi, da je vsak topoloˇ ski izomorfizem ho-
motopen nekemu holomorfnemu izomorfizmu.
Kljuˇ cno posploˇ sitev z izjemno zanimivimi posledicami je Gromov orisal
v ˇ clanku [22] v letu 1989. Tako se je rodila teorija Oka-Grauert-Gromov o
tem, kdaj lahko vsako zvezno preslikavo poljubne Steinove mnogoterosti X
v dano kompleksno mnogoterost Y zvezno deformiramo v neko holomorfno
preslikavo. Pri deformaciji ˇ zelimo ohraniti preslikavo holomorfno in po-
ljubno blizu zaˇ cetni preslikavi na ustreznih podmnoˇ zicah v X, kjer je le-ta
ˇ ze holomorfna. Poleg tega ˇ zelimo hkrati obravnavati vse preslikave iz neke
druˇ zine preslikavf
p
:X →Y, ki so zvezno odvisne od parametrap v primer-
nem prostoru parametrov.
ˇ
Ce ima Y to lastnost, se imenuje mnogoterost
Oka.
Analogno vpraˇ sanje nas zanima za druˇ zine mnogoterosti Y
x
, ki so vla-
kna π
−1
(x) neke holomorfne submerzije π:Y → X kompleksne mnogote-
rosti Y na Steinovo mnogoterost X. Problem je najti holomorfne prereze
f:X → Y, to je preslikave, ki zadoˇ sˇ cajo pogoju f(x)∈ Y
x
za vsak x∈ X.
Glavno vpraˇ sanje je, kdaj lahko vsak zvezen prerez deformiramo v neki ho-
lomorfen prerez. Gromov je naˇ sel preprost zadostni pogoj na vlakna Y
x
, ki
zahteva obstoj dovolj velike mnoˇ zice holomorfnih preslikav C
k
→ Y
x
; take
mnogoterosti danes imenujemo eliptiˇ cne v smislu Gromova.
Eneganajpomembnejˇ sihprimerovtevrstedobimo,ˇ cevzamemonekiho-
lomorfen vektorski sveˇ zenj E→X, nato pa iz totalnega prostora E odstra-
nimo neko analitiˇ cno mnoˇ zicoA⊂E, torej jeY =E\A.
ˇ
Ce je kompleksna
dimenzija vsakega vlakna A
x
⊂ E
x
∼
= C
k
najveˇ c k− 2 in ˇ ce je A dovolj
pohlevna v neskonˇ cnosti, potem lahko vsak zvezen prerez f:X →E\A, ki
48 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 49 — #9
i
i
i
i
i
i
Abelova nagrada 2009 Mikhaelu Gromovu
se izogne mnoˇ zici A, deformiramo v holomorfen prerez, tako da se celotna
homotopija izogne A.
Kot je pri Gromovu v navadi, je dokaze svojih rezultatov le orisal v
glavnih potezah; obiˇ cajno je potrebno ˇ se precej napornega dela drugih ma-
tematikov, da se njegovi doseˇ zki postavijo na trdne temelje in da jih razume
ˇ sirˇ si krog matematikov. V danem primeru sem v letu 1997, ko sem se zaˇ cel
zanimati za te probleme, povpraˇ sal nekaj kljuˇ cnih kolegov v svetu, ali so
bile podrobnosti ˇ ze narejene in ali so rezultati Gromova razumljeni. Odgo-
vor je bil negativen, a rezultati so bili medtem ˇ ze uporabljeni v nadaljnjih
delih in postalo je tem bolj pomembno, da bi se stvari razˇ cistile. V nekaj
letih sva to naredila z Jasno Prezelj in rezultate objavila v seriji ˇ clankov
[10, 11, 12]. Kljuˇ cni prispevek pri razumevanju sploˇ snega rezultata o pre-
rezih submerzij je dala J. Prezelj v svoji doktorski disertaciji (Univerza v
Ljubljani, 2000). Pred nedavnim je Prezljeva posploˇ sila rezultat Gromova
naˇ sirˇ si razred 1-konveksnih mnogoterosti, ki so prave holomorfne modifika-
cije Steinovih prostorov [34].
V svojem ˇ clanku [22] je Gromov med drugim zastavil vpraˇ sanje, ali
je mogoˇ ce karakterizirati lastnost Oka dane kompleksne mnogoterosti Y s
kako preprosto Rungejevo aproksimacijsko lastnostjo za holomorfne presli-
kaveC
n
→Y. Ta problem sem reˇ sil vˇ clankih [7, 9], kjer sem pokazal, da je
kompleksna mnogoterostY mnogoterost Oka natanko tedaj, ko lahko vsako
holomorfno preslikavo U → Y, definirano na neki odprti okolici U ⊂ C
n
dane kompaktne konveksne mnoˇ zice K v C
n
, aproksimiramo enakomerno
na K s holomorfnimi preslikavami C
n
→ Y. Ta karakterizacija bistveno
olajˇ sa preverjanje lastnosti Oka v konkretnih primerih. Ena od preprostih,
a zelo uporabnih posledic je naslednja: Denimo, da sta E in B komple-
ksni mnogoterosti in je π:E → B holomorfen sveˇ zenj, katerega vlakno je
mnogoterost Oka. Potem je E mnogoterost Oka natanko tedaj, ko je B
mnogoterost Oka.
Druga karakterizacija mnogoterosti Oka je povezana s klasiˇ cnim razˇ si-
ritvenim izrekom Henrija Cartana (1904–2008), ki posploˇ si Weierstrassov
interpolacijski izrek za holomorfne funkcije ene spremenljivke. Cartanov
izrek pove, da se vsaka holomorfna funkcija f:A → C z zaprte analitiˇ cne
podmnoˇ ziceAvnekiSteinovimnogoterostiX razˇ siridoholomorfnefunkcije
F:X →C. Sedaj postavimo enako vpraˇ sanje s tem, da obseg kompleksnih
ˇ stevil C nadomestimo z neko kompleksno mnogoterostjo Y. Zaradi topo-
loˇ skih ovir dane preslikave f:A → Y s podmnoˇ zice A ⊂ X v sploˇ snem ni
41–52 49

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 50 — #10
i
i
i
i
i
i
Franc Forstneriˇ c
mogoˇ ce razˇ siriti niti do zvezne preslikave X →Y. Relevantno vpraˇ sanje se
glasi:
Ali je mogoˇ ce vsako zvezno razˇ siritev F:X → Y dane holomorfne pre-
slikave f:A→ Y deformirati v holomorfno preslikavo F
1
:X → Y, tako da
deformacija miruje na A?
A
 f
// Y
X
F
>> }
}
}
}
}
}
}
Odgovor je pozitiven natanko tedaj, ko je Y mnogoterost Oka.
Med Riemannovimi ploskvami (to so enorazseˇ zne kompleksne mnogo-
terosti) so mnogoterosti Oka ravno tiste, ki niso hiperboliˇ cne; poleg kom-
pleksne ravnine C so to ˇ se Riemannova sfera C∪{∞} = P
1
, punktirana
ravnina C\{0} ter kompleksni torusi (to so holomorfni kvocienti ravnine
C po neki dvojno generirani grupi translacij). Po izreku Riemann-Koebe so
vsepreostaleRiemannoveploskveholomorfnikvocientidiskaDinsozatohi-
perboliˇ cne, kar pomeni, da je vsaka holomorfna preslikava ravnineC v tako
ploskev konstantna. Med viˇ sje razseˇ znimi kompleksnimi mnogoterostmi se-
stavljajo mnogoterosti Oka bistveno bogatejˇ so druˇ zino (glej [7, 8]).
V [3] sva z Barbaro Drinovec Drnovˇ sek posploˇ sila omenjene rezultate na
holomorfnepreslikaveD→Y zomejenihstrogopsevdokonveksnihdomenD
v Steinovih mnogoterostih, ki so zvezne ali gladke do roba domene. V drugi
smerisvaskupajzMarkomSlaparjempokazala,dahomotopskiprincipvelja
za preslikave X → Y Steinovih mnogoterosti X v poljubno kompleksno
mnogoterost Y, ˇ ce je dovoljeno na X homotopno spremeniti kompleksno
strukturo J v neko drugo Steinovo strukturo J
0
[13]. V primeru Steinovih
ploskev (dim
C
X = 2) je treba v sploˇ snem zamenjati tudi gladko strukturo
naX inpritempridemodozanimivihpovezavs4-dimenzionalnotopologijo.
VzadnjemobdobjujeFinnurL´ arussonobravnavalteorijoOka-Grauert-
Gromov s sredstvi abstraktne homotopske teorije (glej [26, 27, 28]). V ta
namen je zgradil modelno kategorijo, v kateri so Steinove mnogoterosti ko-
fibrantne (zaˇ cetni objekti), mnogoterosti Oka pa fibrantne (konˇ cni objekti).
Teorija se naravno razˇ siri na holomorfne preslikave (morfizme). Holomorfna
preslikava π:E →B med dvema kompleksnima mnogoterostma se imenuje
preslikava Oka, ˇ ce je topoloˇ ska fibracija (kar pomeni, da ima lastnost dviga
homotopije) in ˇ ce velja homotopski princip za dvig holomorfnih preslikav
s Steinovih mnogoterosti. Slednje pomeni, da je za vsako holomorfno pre-
50 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 51 — #11
i
i
i
i
i
i
Abelova nagrada 2009 Mikhaelu Gromovu
slikavo f:X → B z neke Steinove mnogoterosti X vsak njen zvezen dvig
F:X →E homotopen nekemu holomorfnemu dvigu.
E
π
 X
f
// F
>> }
}
}
}
}
}
}
B
Preslikave Oka so ravno fibracije v L´ arussonovi modelni kategoriji.
Med uporabami principa Oka-Grauert-Gromov omenimo finejˇ so analizo
vektorskih sveˇ znjev in, sploˇ sneje, koherentnih analitiˇ cnih snopov na Stei-
novih mnogoterostih, konstrukcije holomorfnih vloˇ zitev in imerzij Steinovih
mnogoterosti v evklidske prostore minimalne dimenzije [4, 33], homotopski
principzaholomorfneimerzije[20]insubmerzije[6]Steinovihmnogoterosti,
pa vse do najnovejˇ sih uporab pri faktorizaciji nilhomotopnih holomorfnih
matriˇ cnih funkcij X →SL
n
(C) z vrednostmi v grupi SL
n
(C) [25].
Bralec, ki bi ga utegnila zanimati teorija Oka-Grauert-Gromov ter nje-
ne ramifikacije v kompleksni geometriji, lahko nadaljuje s poljudnim ˇ clan-
kom [5]. Obseˇ znejˇ sa monografija na to temo je v pripravi.
LITERATURA
[1] Niels Henrik Abel, .
[2] A. Carbone in M. Gromov: Mathematical slices of molecular biology. With an intro-
duction in French by
´
Eric Westhof, Gaz. Math. No.88 (2001).
[3] B. Drinovec Drnovˇ sek in F. Forstneriˇ c: Approximation of holomorphic mappings on
strongly pseudoconvex domains, Forum Math.20 (2008), str. 817–840.
[4] Y. Eliashberg in M. L. Gromov: Embeddings of Stein manifolds, Ann. Math. 136
(1992), str. 123–135.
[5] F. Forstneriˇ c: Princip Oka-Grauert-Gromov in uporaba v kompleksni geometriji,
 .
[6] F. Forstneriˇ c: Noncritical holomorphic functions on Stein manifolds, Acta Math.
191 (2003), str. 143–189.
[7] F. Forstneriˇ c: Runge approximation on convex sets implies Oka’s property, Ann.
Math. (2)163 (2006), str. 689–707.
[8] F. Forstneriˇ c: Holomorphic flexibility properties of complex manifolds, Amer. J.
Math.128 (2006), str. 239–270.
[9] F. Forstneriˇ c: Oka Manifolds, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. Math., 347 (2009),
str. 1017–1020.
[10] F. Forstneriˇ c in J. Prezelj: Oka’s principle for holomorphic fiber bundles with sprays,
Math. Ann.317 (2000), str. 117–154.
[11] F. Forstneriˇ c in J. Prezelj: Oka’s principle for holomorphic submersions with sprays,
Math. Ann.322 (2002), str. 633–666.
[12] F.Forstneriˇ cinJ.Prezelj: Extendingholomorphicsectionsfromcomplexsubvarieties,
Math. Z.236 (2001), str. 43–68.
41–52 51

i
i
“OMF-Abel4” — 2010/6/29 — 11:22 — page 52 — #12
i
i
i
i
i
i
Franc Forstneriˇ c
[13] F. Forstneriˇ c in M. Slapar: Stein structures and holomorphic mappings, Math. Z.
256 (2007), str. 615–646.
[14]
´
Evariste Galois, .
[15] H. Grauert: On Levi’s problem and the embedding of real-analytic manifolds, Ann. of
Math.68 (1958), str. 460–472.
[16] H. Grauert: Holomorphe Funktionen mit Werten in komplexen Lieschen Gruppen,
Math. Ann.133 (1957), str. 450–472.
[17] H. Grauert: Analytische Faserungen ¨ uber holomorph-vollst¨ andigen R¨ aumen, Math.
Ann.135 (1958), str. 263–273.
[18] M. Gromov : Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math. 82
(1985), str. 307–347.
[19] M. Gromov: Soft and hard symplectic geometry, Proceedings of the International
Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley 1986), str. 81–98, Amer. Math.
Soc., Providence 1987.
[20] M. Gromov: Partial differential relations, Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete 9, Springer-Verlag, Berlin 1986.
[21] M. Gromov: Hyperbolic groups, v Essays in group theory, str. 75–263, Math. Sci.
Res. Inst. Publ. 8, Springer-Verlag, New York 1987.
[22] M. Gromov: Oka’s principle for holomorphic sections of elliptic bundles, J. Amer.
Math. Soc.2 (1989) 4, str. 851–897.
[23] Gromovreceives2009AbelPrize,NoticesAmer.Math.Soc.56(2009)6,str.730–731.
[24] G. M. Henkin in J. Leiterer: The Oka-Grauert principle without induction over the
base dimension, Math. Ann.311 (1998) 1, str. 71–93.
[25] B. Ivarsson in F. Kutzschebauch: A solution of Gromov’s Vaserstein problem, C. R.
Acad. Sci. Paris, Ser. I346 (2008) 23–24, str. 1239–1243.
[26] F. L´ arusson: Excision for simplicial sheaves on the Stein site and Gromov’s Oka
principle, Internat. J. Math.14 (2003), str. 191–209.
[27] F. L´ arusson: Model structures and the Oka principle, J. Pure Appl. Algebra 192
(2004), str. 203–223.
[28] F. L´ arusson: Mapping cylinders and the Oka principle, Indiana Univ. Math. J. 54
(2005), str. 1145–1159.
[29] J. Leiterer: Holomorphic vector bundles and the Oka-Grauert principle, Itogi Nauki i
Tekhniki, Currentproblemsinmathematics, Fundamentaldirections10, str.75–121,
283, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moskva, 1986.
[30] D.McDuffinD.Salamon: J-holomorphic CurvesandSymplectic Topology,American
Mathematical Society Colloquium Publications 52, American Mathematical Society,
Providence, 2004.
[31] A. Newlander in L. Nirenberg: Complex analytic coordinates in almost complex ma-
nifolds, Ann. of Math. (2)65 (1957), str. 391–404.
[32] K. Oka: Sur les fonctions des plusieurs variables. III: Deuxi` eme probl` eme de Cousin,
J. Sc. Hiroshima Univ.9 (1939), str. 7–19.
[33] J. Prezelj: Interpolation of embeddings of Stein manifolds on discrete sets, Math.
Ann.326 (2003), str. 275–296.
[34] J. Prezelj: A relative Oka-Grauert principle for holomorphic submersions over 1-
convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc.362 (2010) 8, str. 4213–4228.
[35] Z. Szab´ o: Lecture notes on Heegaard Floer homology. Low dimensional topology,
IAS/Park City Math. Ser. 15. (2009), str. 197–228.
52 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 2