Directe Deduotion der Begriffe der algebraischen u 11 d ar i t h meti seli en Grun d opera tionen ans dem Grossen- und Zahlenbegriffe. - Josel' F in g er, Professor an der Staats-Oborrealschnle in Laibach. Laibacli 1873. Bruck und Verlag von Ign. v. Kleinmavr & Ped. Bamberg. i > .. \ • Vor wort Die Begriffsbestimmungen der Grundrechnungsoperationen, die in allen unseren mathematischen Lehrbuchern Eingang ge- funden haben, leiden an manchen nicht unerheblichen Mangeln. Ich will dies beispielshalber an der Definition des Multiplicirens zeigen. Bekanntlich gibt es im allgemeinen 2 Wege, von denen bald der eiue, bald der audere eingescblagen wird. Entweder man sagt: „Multipliciren heisst aus dem Multiplicand eine Zahl so entstehen lassen, wie der Multiplicator aus der Einheit ent- standen ist“; oder man definirt zuerst das Multipliciren mit einer ganzen Zahl als wiederholtes Addiren, stellt dann eine neue De¬ finition fiir das Multipliciren mit einem Bruche auf, und sieht sich dann, wenn man uberhaupt wissenscbaftliclie Vollstandigkeit erstrebt, genothigt, noch eine dritte Definition fiir das Multipli¬ ciren mit einer irrationalen Zahl aufzustellen. Im ersteren Falle leidet die Definition zunachst, wie mir wohl jeder zugeben wird, an dem Fehler der Unbestimmtheit, denn gar manche Zahlen konnen aus der Einheit auf mannigfache Art entstehend gedacht werden, und wendet man diese verschiedenen Entstehungsarten auf den Multiplicand an, so gelangt man auch zu verschiedenen Besultaten. Zweitens tragt diese Definition entschieden das.Ge- prage des Gekiinstelten, Umiatiirlichen, Zufalligen an sich; wie ein Zauber' erscheint sie plotzlich vor dem staunenden Blicke des wissbegierigen Jtingers der mathematischen Wissenschaft, der den mystischen Grund ihrer Existenz und ihren nach Art des delphi- schen Orakelspruches vieldeutigen Sinn nicht zu begreifen v6r- mag und mit gliiubig frommer Scheu diese geheimnissvolle Zauberformel nachsagen lernt. Meiner Ansicht nach muss sich 4 jeder Satz der Mathematik, umsomehr ein solcher, der eines der Fundamente ist, auf die sich das ganze Lehrgebaude stiitzt, auf eine natiirliche, ungezwungene Weise mit Nothwendigkeit aus dem inneren Wesen der beiden mathematisclien Grundbegriffe, namlich des Grossen- und Zahlenbegriffes ergeben, sonst hat er keinen Grund der Berechtigung ffir sicli. Der zweite obangedeutete Weg dagegen hat, da er von drei Definitionen ausgeht und man genothigt ist, die ganze Eeihe der Lehrsatze uber das Product zunachst fur ganze Multiplicatoren auf Grund der ersten, dann dieselbe Keihe fur gebrochene auf Grund der zweiten, schliesslich fiir irrationale Multiplicatoren auf Grund der dritten Definition nachzuweisen, abgesehen von den andereu Fehlern, zum mindesten den Fehler an sich, dass er ent- schieden zu umstandlich, zu weit ist. Ein weiterer zu riigender Mangel ist der, dass man in den meisten Lehrbiichern die Eechnungsoperationen mit Grossen von den Zahlenoperationen entweder gar nicht oder nicht hinreichend unterscheidet, zumeist nur die letzteren behandelt und infolge dessen in dem Schiller bei dem Studium der angewandten mathe- matischen Disciplinen, wo er mit Grossen zu rechnen genothigt ist, eine heillose Begriffsvenvirrung erzeugt, wie ich dies in be- sonderem Masse als Lehrer der Physik zu bemerken leider nur zu oft Gelegenheit hatte. Zum Schlusse will ich noch der allen Fachmannern wohl bekannten, eigenthiimlichen, unsicheren Eolle Enviihnung thun, die „das Verhaltniss“ in den meisten unserer Lelirbiicher spielen muss, indem man die Lehre von demselben in keinen Zusammen- hang mit dem ganzeu System zu bringen vermag. Dieser Uebel- stand hat seinen Grund gleichfalls in einer mangelhaften Erkla- rung der Grundoperationen. Ich will nun in dieser Abhandlung bestrebt sein, zu zeigen, \vie man diesen Uebelstanden unserer Lehrbiicher etwa moglichst begegnen konnte. Zugleich soli aber diese Abhandlung einen zwei- ten mit dem letzteren eng verkniipften Zweck verfolgen. Die Einleitung in die Algebra ist in unseren Lehrbiichern, wie mir wohl die meisten Fachcollegen zugeben diirften, derart, dass sie weder den Schiller, noch den Lehrer befriedigt. Der Grund hie- von liegt lediglich in der Menge schwiilstiger, vieldeutiger Er- 5 klarungen, die dem Schiller ganz unverstandlich sind, und ich mochte fast sagen, oft auch dem Verfasser selbst nicht deutlich sind. Das Odiose, das fiir viele Lehrer die Einleitung in die Algebra nach ibrem eigenen Gestandnisse bat, und die Hast, mit welcher sie iiber diese Achillesferse der meisten Lehrbucher hin- wegzukommen suchen, diirfte darin eine naturliche Erklarung finden. Gerade die Einleitung darf sich zwar der wissenschaftlichen Griiudlicbkeit nicbt entaussern, soli aber auch nicht dem Schiller, um ihm gleich anfangs nicht die Lust fur den Gegenstand zu benehmen, unverstandlich bleiben und soli ihm durch Anleitung zum selbstandigen Denken Vergniigen gewahren. Diese Abband- lung mag nun neben ibrem ersten Zivecke als Versucb einer sol- chen Einleitung gelten und als solcher auch beurtbeilt werden. A. Grosse. Zalil. § 1. Es gibt erfahrungsmassig Gegenstande der aussereu, wie auch der inueren Wahrnehmung, die sich iu Gruppen zusam- meufassen lassen, deren jede durch folgende Eigenschaften charak- terisirt ist: 1. Sind a und a' irgend beliebige, doch bestimmte Gegen¬ stande derselben Gruppe, so findet zwischen denselben sicher eines, aber auch nur Eines von folgenden Verhaltnissen statt: Entweder a) es kann a in einer gewissen filr alle Gegenstande die- ser Gruppe massgebenden Beziehung — in der B e - ziehung A — durch a' vollkommen ersetzt werden, und urnge- kelirt, ohne dass dann durch diese Substituirung eine Verschieden- lieit in der Beziehuug A sich ergibt — in diesem Falle heissen a und a' in der Beziehung A, gleich und das Stattfinden dieses Um- standes wird durch das Schriftzeichen a — b ausgedriickt, welcher letztere Ausdruck der Gleichheit den Namen „ Gl eichung “ fiihrt — oder /3) einer, aber auch nur Einer der Gegenstande a und a', etwa a , ist in der besagten Beziehung A ersetzbar durch eine in bestimmter, gleich fallsfur alleGegensta n dedersel- ben Gruppe massgebeuder Art und Weise — in der A rt B — vorgenommene Verbindung des anderen Gegenstandes a' mit einem oder mehreren anderen Gegenstanden n”, a" u. s. w. der¬ selben Gruppe — in diesem Falle heisst a das G a n z e, und die in die Verbindung eingehenden Gegenstande a\ a ”, a"' etc. heissen „Theile des ersteren 11 oder „Theile, aus denen a besteht". Statt zu sagen: „a sei das Ganze, b aber ein Theil desselben“, bedient man sich auch eines der Ausdriicke „a ist grosser als b “, .,b ist kleiner als a“ und deutet dies in der Schrift durch eines der aqui- valenten Zeichen : a > b, b a, a ■ r\ resp. r r. Die Zahlen r und r' heissen commensurabel, wenn die Grossen a und a selbst commensurabel sind, im entgegengesetzten Falle heissen die Zahlen r und r' in- commensurabel. Es ist nacli dem Gesagten einleuchtend, dass zwei als gleich bezeichnete Zahlen strenggenommeu eine und dieselbe Zahl, nur vielleicht mit verschiedener Bezeichnung sind. Als unmittelbare Folgerung des in diesem Paragraph Gesagten und des § 4 ergibt sich auch, dass zwischen 2 beliebigen Zahlen r und r' nothwendig eine, aber auch nur Eine von folgenden o Beziehungen stattfinden miisse: r — r, r> r\ r < r. § 8. Das Verfahren, mittelst dessen man aus gewissen ge- gebenen Grossen oder Zahlen andere aut eine gewisse Art mit denselben innig zusammenhangende Grossen oder Zahlen bestimmt, heisst eine ..Rechnungsoperation", und eine Rechnungsoperation zur Anwendung bringen, heisst „rechnen“. Die Rechnungsoperation heisst eine „algebraische“, wenn die gegebenen Elemente durch- wegs oder zum Theil Grossen sind, eine ,,arithmetische“, wenn dieselben durchwegs Zahlen sind. Die unmittelbar aus dem Grossen- und Zahlenbegriffe sich mit Nothwendigkeit ergebenden Rechnungs- operationen heissen „Grundoperationen“. B. Algebraisciie Grundoperationen. § 9. Die Grundlage des Grossenbegriffes ist nach § 1 der Begriff des Theiles. Es ergeben sich daher unmittelbar aus dem Grossenbegriffe folgende Grundoperationen: § 10. I. Bestimmung einer Grosse a aus den gegebenen Theilen derselben a, a". Diese Rechnungsoperation heisst „Addi- tion“ der gegebenen Grossen a' a”, die gegebenen Theile fiihreu den Namen „Summanden oder Addenden", das gesuchte Ganze a heisst „Summe“. Die Summe wird auch durch die mittelst des Zeichens + verbundenen Summanden ausgedriickt, so dass das Zeichen a' + a" gleichfalls die Grosse a darstellt, somit die Gleichung a — a' + a' stattfindet. § 11. II. Bestimmung eines Theiles a' einer Grosse a, wenn die letztere und der andere Theil derselben a" gegeben ist. Diese Operation heisst die „Subtraetion“ der Grosse a" von der Grosse a; das gegebene Ganze a heisst „Minuend“, der gegebene Theil a' „Subtraheud“, der gesuchte zweite Theil a' „Differenz, Unterschied oder Rest". Zur Bezeichnung der Differenz dient auch das Zeichen a — a ", so dass die Gleichung a' = a — a" statt liat. 11 § 12. Als unmittelbare Folgerung der beiden letzten Pa- ragraphe ergeben sich die beiden Lehrsatze: Jeder Summand einer zweitheiligen Summe ist der Differenz aus der Summe nnd dem zweiten Summanden gleich; der Minuend ist die Summe aus der Differenz und dem Subtrahend. § 13. Da es nach § 1 vollig gleichgiltig ist, in welcher Ordnung 2 Theile zu einem Ganzen vereinigt werden, so kann sich die Rechnungsoperation, durch welche der zweite Theil a" bestimmt wird, wenn ausser der Grosse a der erste Theil a' ge- geben ist, von der des § 11 in ihrer Wesenheit nicht im min- desten unterscheiden, so dass auch a" ~ a — a' ist. § 14. Der Begriff der Zahl r setzt nach § 5 eine Grosse a , deren Masszahl die erstere Zahl ist, und eine der Grosse a gleich- artige Masseinheit a voraus. Aus dem Zahlenbegriffe ergeben sich daher unmittelbar folgende weitere algebraische Grund- operationen: § 15. III. Bestimmung der gemessenen Grosse a , wenn die Masseinheit a und die Masszahl r der zu suchenden Grosse a — bezogen auf die letztere Einheit — bekannt sind. Diese Rechnuugs- operation fiihrt den Namen „Multiplicatiou der Grosse a' mit der Zahl r“, die gegebene Einheit heisst »Multiplicand", die gege- bene Masszahl r „Multiplicator“, die gesuchte Grosse a heisst ,.Product“. Zur Bezeichnung des Productes mittelst der gegebeuen Elemente dient eines der Zeichen: a' . r, a' X G ®’ r > rveshalb a — a'. r — a’Xr — ar ist. Multiplicand und Multiplicator fuhren den gemeinschaftlichen Namen „Factoren“. § 16. IV. Bestimmung der Masseinheit a ’, wenn die ge- messene Grosse a und die Masszahl r der letzteren — bezogen auf die erstere als Einheit — bekannt sind. Diese Rechnungs- operatiou heisst die „Division der Grosse a durch die Zahl r“ ; die gegebene Grosse a heisst „Dividend“, die gegebene Masszahl r „Divisor“, die gesuchte Einheit a' „Quotient“. Will man den Guotienten a' mittelst des gegebenen Dividends a und Divisors r bezeichnen, so gebraucht man das Zeichen a: r , so dass die Gleichung besteht: a' zz a: r. § 17. Aus den beiden letzteren Paragraphen lassen sich unmittelbar folgende Lehrsatze folgern: Der Dividend ist das Product aus dem Quotienten und dem Divisor; der Multiplicand ist dem Quotienten aus dem Producte und dem Multiplicator gleich. § 18. V- Bestimmung der Masszahl r, wenn die Grosse a und die Masseinheit a' gegeben sind. Diese Operation, die in friiherem „Messen der Grosse a durch die Einheit a'“ genannt wurde, fiihrt auch den Namen „Bestimmung des Verhaltnisses der Grosse a zur Grosse a’“; die zu messeude Grosse a heisst dann „Vorderglied“, die Masseinheit a' das „Hinterglied“ oder „Nacli- glied“, die gesuchte Masszahl r heisst das „Verhaltniss“ oder der 12 „Verhaltnissexponent“. Zur Bezeichnung des letztereu durch die gegebenen Grossen bedient man sich gewohnlich des Zeichens a: a. Um jedoch das Verhaltniss vom Quotienten auch in der Schrift zu unterscheideu, was bei Grossenoperationen unumganglich nothwendig ist, soli im Folgenden fiir das Verhaltniss das Zeichen a : a' zur Anwendung kommen, so dass a: a' — r ist. § 19. Als Corrolaria der §§ 15, 16, 18 ergeben sich un¬ mittelbar die Satze: Der Multiplicator ist das Verhaltniss des Productes zum Multiplicand, der Divisor ist das Verhaltniss des Dividends zum Quotienten, das Vorderglied eines Verhaltnisses ist das Product aus dem Nachgliede und dem Eiponenten, das Nachglied eines Verhaltnisses ist der Quotient aus dem Vorder- gliede und dem Exponenten. § 20. Aus dieser Durchfuhrung ist zu ersehen, dass sich aus dem Grossen- und Zahlenbegriffe unmittelbar nicht mehr und nicht rveniger als 5 von einander durclnvegs verschiedene alge- braische Grundoperationen ergeben. Dem Grossenverhaltuisse ist auch sein ebenbiirtiger Platz unter deu Grundoperationen vollig gesichert. C. Arithmetische Grundoperationen. § 21. Die arithmetischen Grundoperationen ergeben sich einzeln unmittelbar auf natiirlichem Wege aus den den gleichen Namen fuhrenden algebraischen, wenn man die bei der Begriffs- bestimmung der letztereu in Betrachtung gezogenen Grossen a, a\ a” durch ihre beziiglichen Masszahlen p, p\ p" ersetzt denkt, den einfachsten Fali vorausgesetzt, dass alle diese Grossen a, a , a" durch dieselbe Einheit « ausgemessen worden sind. Die Art der schriftlichen Bezeichnung des Kesultates einer jeden Operation mittelst der gegebenen Elemente ist der bei der entsprechenden algebraischen Grundoperation angewendeten gleich, wie auch die gegebenen Elemente und das Besultat einer jeden einzelnen arithmetischen Grundoperation p, p\ p” denselben Namen fiihren wie das entsprechende Element resp. Resultat der gleich- namigen algebraischen, namlich wie jene Grosse a, resp. resp. a ”, der die zu benennende Zalil p , resp. p\ resp. p" als Masszahl entspricht. Aus dem eben Gesagten und den fruheren Begriffen der algebraischen Grundoperationen ergeben sich daher folgende Begriffsbestimmungen fiir die 5 arithmetischen Grundoperationen: § 22. I. Gegebene Zalilen p\ p" addiren, heisst aus den gegebenen Masszahlen p\ p" der Theile a\ a" einer Grosse a die Masszahl p der letzteren bestimmen, vorausgesetzt, dass sich alle Masszahlen auf dieselbe Einheit a beziehen. Nach friiher Gesag- tem ist auch hier p~p'-\~p”, § 23. Die Masszahl einer beliebigen Grossensumme a' + a" ist daher dio Zahlensumme p’ p”, wenn p' und p" die resp. Mass- 13 zalilen der Grossensummanden sind und alle Masszahlen sich auf dieselbe Einheit beziehen. § 24. II. Aus der gegebenen Masszahl p einer Grosse a und der Masszahl p' ihres einen Theiles a' die Masszahl p" ihres zweiten Theiles a" bestimmen, — vorausgesetzt, dass sich alle Mass- zahlen) auf dieselbe Einheit a beziehen — heisst die Zahl p’ (Sub- trahend) voii der Zahl p (Minuend) subtrahiren. Da der Rest p” nach Friiherem auch durch p — -p' bezeichnet wird, so ist p" — p — p'. § 25. Die Masszahl einer beliebigen Grossendifferenz a — a' ist daher die Zahlendifferenz p — p\ wenn der Zahlenminueud p die Masszahl des Grossenminuenden a und der Zahlensubtrahend p' die Masszahl des Grossensubtraheuden a' ist und alle Mass- zahlen sich auf dieselbe Einheit beziehen. § 26. Dass auch aus den im § 13 angefiihrten Griiuden p' — P — p” ist und dass die im § 12 ausgesprochenen Folge- satze auch ftir die arithmetischen Grundoperationen Giltigkeit haben, durfte eines weiteren Nachweises nicht bedurfen. § 27. III. Aus § 15 und § 21 ergibt sich folgender Be- griff der Zahlenmultiplication: Aus der Masszahl r einer Grosse a bezogen auf die Einheit a' und der Masszahl p' dieser letzteren Einheit a' — bezogen auf eine zweite Einheit a — die Masszahl p der ersteren Grosse a — bezogen auf die letztere Einheit a — bestimmen, heisst die Zahl p' (Multiplicand) mit der Zahl r (Mul- tiplicator) multipliciren. Es gilt hier nach obigem die Gleichung: p —p'y^r~ p.rzz p'r. § 28. Die Masszahl eines beliebigen Grossenproductes a'. r ist daher das Zahlenproduct p'. r, wenn p' die Masszahl von a' ist und das Grossenproduct a'. r durch dieselbe Einheit n ausgemessen wird, wie der Grossenmultiplicand a'. § 29. Aus dem Begriffe der arithmetischen Multiplicatfon ergibt sich, dass diese nichts anderes als ein mittelbares Messen ist. Man hat eine Grosse a durch eine zweite « zu messen (die Masszahl p zu bestimmen). Dieses Ziel sucht man auf einem indirecten Wege mittelst einer dritten Grosse a' zu erreicben. Man misst namlich die zu messende Grosse a zuerst durch diese dritte Grosse a' als Einheit (Multiplicator r) und dann diese Hilfsgrosse a’ durch die gegebene zweite Grosse a (Multiplicand p'). Aus den beiden letzteren Resultaten der Messung das Re- sultat der directen Messung zu finden, heisst die ersteren Mass- zahlen multipliciren. Die arithmetische Multiplication ist also durch folgendes Schema ersichtlich. a --> a r\ /p' a' 14 Durch die Pfeile soli das Messen einer Grosse durch jene als Einheit, gegen welche die Spitze des Pfeiles gerichtet ist, angedeutet sein; die gefiederten Pfeile bedeuten, dass das Messen ausgefiihrt, also die Masszahl, welche beim Pfeile angesetzt ist, bekannt sei; der punktirte Pfeil deutet das durch die arithmetische Grundoperation erstrebte Messungsresultat an. § 80. IV. Nach § 16 und § 21 heisst eine Zahl p durch eine Zahl r dividiren: aus der Masszahl r einer Grosse a — be- zogen auf eine Einheit a’ —• (dem Divisor) und der Masszahl p derselben Grosse a — bezogen auf eine zweite Einheit a — (Dividend) die Masszahl p' der ersteren Einheit a' bezogen auf die zweite Einheit a bestimmen, so dass p' — p: r ist. § 31. Auch die Zahlendivision stellt ein indirectes Messen einer Grosse a' durch eine zweite a dar, nur wird hier die als Mittel angevvendete dritte Hilfsgrosse a durch diese beiden Grossen ausgemessen, so dass das Schema der arithmetischen Division folgendes ist: a' --> « r V /p a § 32. Aus dem Begriffe der arithmetischen Division ergibt sicli unmittelbar, dass die Masszahl eines beliebigen algebraischen Quotienten a:r der Zahlenquotient p: r sei, wenn p die Mass¬ zahl von a ist und Dividend und Quotient durch dieselbe Einheit ausgemessen sind. § 33. Dass die Folgerungen des § 17 auch hier giltig sind, ist einleuchtend. § 34. V. Aus den Entwicklungen des § 18 und § 21 folgt: Eine Zahl p zu einer zweiten Zahl p' ins Verhaltniss setzen, heisst aus der Masszahl p einer Grosse a — bezogen auf die Einheit a — (Vorderglied) und aus der Masszahl p' einer zvveiten Grosse a' — bezogen auf dieselbe Einheit a — (Nachglied) die Masszahl r der ersteren Grosse a bezogen auf die zweite Grosse a' als Einheit bestimmen, so dass r — p : p' ist. § 35. Auch die Bestimmung des Zahlenverhaltnisses be- deutet ein indirectes Messen einer Grosse a durch eine zvveite a '; es wird auch hier eine dritte Hilfsgrosse a gewahlt, nur werden beide gegebenen Grossen durch diese dritte als Einheit ausge¬ messen. Das Schema eines Zahlenverhaltnisses ist daher: a --> a' P\ /P' a 15 § 36. Eine Vergleichung der drei Schemata lasst die Ver- schiedenheit der Zahlenoperation deutlich hervortreten: Bei dem Schema der arithmetischen Multiplieation ist der eine Pfeil gegen die Hilfsgrosse hin, der zweite von derselben weggerichtet, bei dem Schema der Zahlendivision sind beide Pfeile von der Hilfs¬ grosse weg-, bei dem des Zahlenverhaltnisses beide zu der Hilfs¬ grosse hingerichtet. § 37. Eine unmittelbare Folgerung aus § 37 ist der wich- tige Lehrsatz, dass das Verhaltniss zweier beliebigen Grossen gleich ist dem Verhaltnisse ilirer Masszahlen, wenn beide Grossen durch dieselbe Einheit ausgemessen werden. § 38. Dass die im § 19 ausgesprochenen Folgesatze auch fur Zahlenoperationen volle Giltigkeit haben, liegt nach Friiherem auf der Hand. § 39. Obwohl nach dieser Erklarung sich 5 arithinetische Grnndoperationen ergeben, so folgt aus einem spater in § 67 nach- zuweisenden Lehrsatze, namlich aus dem Lehrsatze: „2 Zahleu in jeder Ordnung multiplicirt, geben dasselbe Product", dass ein Zahlenverhaltniss und ein Zahlenquotient identisch sind (sieh § 72), so dass sich die arithmetischen Grnndoperationen auf die bekann- ten vier reduciren. Aus den bisher erorterten Begrilfen der Grundrechnungs- operationen lassen sich mm alle die bekannten Fundamentallehr- satze der Grossenlehre, auf die sich das ganze Lehrgebaude der Mathematik stutzt, mit Leichtigkeit, ohne jedoch, wie es in un- seren Lehrbiichern leider oft geschieht, der logischeu Strenge Eintrag zu thun, fiir alle Arlen von Grossen und sowohl fur rationale, als irrationale Zahlen nachweisen, was im Folgenden geschehen soli. D. F im (laincii tal 1 elirsatze der Algebra und Arithmetik. § 40. Alle jene Lehrsatze, die sich unmittelbar, d. h. ohne Zuhilfenahme neuer Begriffe aus den bisher erorterten Grundbegriffen der Grosse, Zahl und deren Arteu, sowie aus den Begrilfen der algebraischen und arithmetischen Grundoperationen folgern lassen, sollen als „Fundamentallehrsatze“ bezeichnet sein. Dieselben dru- cken im allgemeinen den Zusammenhang der Grundrechnungs- operationen aus, da sie meist lehren, wie sich gleiche Grossen oder Zahlen aus gewissen gegebenen, im allgemeinen beliebigen Grossen oder Zahlen auf verschiedeneu Wegen, indem man nam¬ lich die letzteren versehiedenen Grundoperationen oder denselben in verschiedener Ordnung uuterzieht, ergeben. 16 Da viele der Fundamentallehrsatze sowol fiir Grossen als fiir Zahlen giltig sind, so seien kiinftighin der Kurze des Ausdruckes wegen Grossen sowol als Zahlen in der allgemeinen Bezeichnung „Werth“ subsumirt und ein beliebiger r Wertb“ durch eines der Scbriftzeichen iv, iv‘, w“, w t , w ly w 3 ausgedriickt, wofern nicht ausdrucklich im Texte hervorgeboben ist, dass eines oder mehrere der letzteren Zeichen blos Grossen oder blos Zahlen bezeicbnen. Auch soli, wenn bei derBekandlung eines Lebrsatzes im allgemeinen von Werthen die Bede ist, stets angenommen sein, dass alle diese Werthe gleicbartige Wertbe, also durchwegs entweder gleichartige Grossen oder durchvvegs Zahlen seien; ebenso ist, wo immer innerhalb der Grenzen eines Para- graphs von Masszahlen der einzelnen Grossen tiberhaupt die Bede ist, vorauszu- setzen, dass der Messungder Grossen durchwegs dieselbe Einheit zu Grunde gelegt sei. Als Zeichen beliebiger, unter einander gleichartiger Grossen sollen stets blos a, a‘, a“, als Zeichen beliebiger Zahlen blos p, p', p", PuP-i, Ih zur Amvendung kommen; irgend eine rationale Zahl soli stets durch r, eine irrationale durch i, ganze Zahlen durch m und n ausgedriickt sein. An m er k. Bedient man sich zur Bezeichnung der Kesultate der Bechnungsoperationen der in den friiheren Paragraphen erorterten Zeichen, nemlich der durch die Operationszeichen auf friiher besagte Art verbundeneu Elemente, und sind mit diesen RechnuDgsresultaten abermals Rechnungsopera- tionen vorzunehmen, so wendet man iiherall, wo Missverstandnisse leicht entsteheu konnten, um denselben vorzubeugen — oft auch blos der grosseren Deutlichkeit halber —, Klammern an, innerhalb welcher man die Zeichen fiir die oben erwahnten Operationsresultate setzt. § 41. Lehrsatzr Eine jede der Beziehungen p = p', p> p', p p', p < p' stattfinden muss und ein Gleiches auch nach §4 von den gleichartigen Grossen a.p und a.p' gilt, deren Masszahlen — bezogen auf die Einheit a — zufolge des in § 15 erorterten Begriffes des Grossenproductes die Zahlen p und p' sind, so lasst sich durch eineu einfachen indirecten Schluss auf Grundlage der in § 7 ausgesprochenen Begriffsbestimmungen der Zahlengleichheit und -Ungleichheit, von welcher der in Bede stehende Lehrsatz die Umkehrung ist, sofort folgern, dass eine der Relationen p — p ', p > p, p < p’ die analoge der Beziehnn- gen a.p = a.p\ a.p > a.p\ a.p c a.p' mit Nothwendigkeit nach sich ziehe. § 42. Lehrsatz. Sind die Zahlen p und p' commensurabel resp. incommensurabel, so ist p = p'.r resp. p = p'. i und umgekehrt. Beweis. Eine einfache indirecte Schlussfolgerung aus den in § 7 aufgestellten coutradietorisclien Begriffen der Commensura- bilitat und Incommensurabilitat der Zahlen lehrt, dass, wenn die Zahlen p und p' commensurabel resp. incommensurabel sind, auch die Grossen a.p und a.p', deren Masszahlen — bezogen auf die beliebig zu vvithlende Grosseneinheit a — die ersteren Zahlen sind, im ersten Falle commensurabel, im zweiten incommensurabel 17 seien. Demnach muss a. p — durch a. p' als Einheit ausgemessen — zufolge der Entwickelungen des § 6 im ersteren Falle eiiie rationale Zalil r, im ziveiten eine irrationale Zalil i zur Masszahl habeu, somit nacli § 15 a.p = ( a.p).r resp. a.p ={a.p').i sein. Da uun gleiche Grossen — dieselbe Einheit a vorausgesetzt — auch gleiche Masszahlen habeu, so ergibt sicli mit Beachtung des Begriffes des Zahlenproductes aus § 28 aus den beiden letzten Gleichungen der Schluss, dass p — p'.r resp. p = p'.i sei. Dass umgekehrt, wenn p = p’. r resp. p = p', i ist, p und p' im ersteren Falle commensurabel, im zweiten incommensurabel seien, lasst sicli, da Bationalitat und Irrationalitat von Zalilen nach § 6 und 7 gleichfalls contradictorische Begriffe sind, aus dem eben bevviesenen Lehrsatze ebenfalls durcli eiuen indirecten Schluss mit Leichtigkeit folgern. § 43. Lehrsats. Besteht eine der drei tiberhaupt moglichen Beziehungen der Gleichheit oder Ungleichlieit zivischen den Besul- taten von algebraischen Bechnungsoperationen, die mit beliebigen Grossen a, a" .. . ausgefiihrt werden, so besteht dieselbe Bezie- liung zwischen den Besultaten der vollig analogen arithmetischen mit den beliebigen Zahlen p', p"... vorgeuommenen Operationen. * Betveis. Da die Grossen a', a" .. . beliebig sind, so kon- nen sie jedenfalls, was auch immer fur eine gleichartige Grosse a bedeutet, die Werthe der Grossenproducte a.p', a.p" . . ., deren Masszahlen (beziiglich a als Einheit) die beliebigen Zahlen p', p"... sind, annehmen. Es besteht demnack zufolge der obigen Anualnne die besagte Beziehung der Gleichheit oder Ungleichlieit zvvischen den Ilesultaten der mit a.p\ a.p" . . . ausgefuhrten algebraischen Operationen. Da dann aber zufolge §7 zwischen den Masszahlen dieser resultirenden Grossen — dieselbe Masseinheit a vorausgesetzt — dieselbe Beziehung der Gleichheit resp. Ungleichlieit besteht und diese Masszahlen nach § 21 die Besultate der den obgesagten algebr. Operationen vollig analogen arithmetischen Operationen sind, wofern man iiberall die Grossen a.p’, a.p" . . . durcli ilire Masszahlen p\ p" .. . substituirt, so ist die Bichtigkeit des Lelir- satzes evident. § 44. Lehrsatz. Werdeii gleiche Werthe denselben Bech- nungsoperationen unterworfen, so sind die erhaltenen Operations- resultate eiifander gleicli. Beiveis. Da zufolge der in § 1 gegebenen Erklarung des Begriffes der Gleichheit gleiche Grossen in jener allein in Becli- nung gebrachten Beziehung A, in welcher uberhaupt Grossen derselben A rt mit einander verglichen iverden, durcli einander stets ersetzbar sind, da ferner gleiche Zahlen, weil sie zufolge ihres in § 7 erorterten Begriffes die Beziehungen gleicher, somit ersetzbarer Grossen zu derselben Einheit ausdriicken, auch durch einander ersetzbar sind, somit stets Gleichheit und Ersetzbarkeit 18 denselben Begriff ausdrueken, so folgt daraus urimittelbar die Ricktigkeit dos Lehrsatzes. Ist daher z. B. iv' = iv", w x = w. ž und p'—p", so ist w' + w i — w” -f- iv 2 , iv' — u\ = iv" — iv 2 , iv', p' = w”. p", iv ': p' = iv ": p", m/ : p' = «": p" u. s. w. § 45. Lehrsatz. Die Suinme ist stets grosser als ein belie- biger Sumraand derselbeu. Beiveis. Fiir die Grossensumme ist der Lehrsatz eine un- mittelbare Folgerung aus den im § 10 und § 1 entbalteneu Begriffsbestimmungen und fur die Zahlensumme folgt derselbe aus § 43. § 46. Lehrsatz. Ist ein Werth grosser als ein anderer, so liisst sicli der erstere durch die Suinme aus dem letzteren und irgend einem mit beiden gleichartigen Werthe ausdriicken. Beiveis. a ) Fiir Grosseu lasst sich der Lehrsatz wie frtiher direct aus § 1 und § 10 deduciren. h ) Fiir Zalilen: Ist etwa p>p, so ist nacli § 41, was audi immer fur eine Grosse a bedentet, a.p > a.p', daher lasst sidi (nach a) die Grosse a.p als Summe von a.p' und einem zvveiten Tlieile darstellen, dessen Masszahl — bezogen auf a als Einheit — mit p" bezeichnet sei; somit ist nach § 23 p — p’-\- p". § 47. Lehrsatz. Summanden in beliebiger Ordnung addirt, geben dieselbe Summe. Beiveis. Der Lehrsatz ist fiir die Grossensumme eine directe Folgerung aus dem in § 1 unter 2 angeftihrten Merkmale des Grossenbegriffs und fiir die Zahlensumme aus § 43. Anmerkung. Da sich die Verbindnng von mehr als 2 Theilen zu einem Gauzen derart vornehmen lasst, dass man immer nach Ilinzufiiguug irgend eines Theiles mit dem so erhalteneu Ganzen den neuen Theil ver- bindet, so ist a + ■ . ■ + a’ + a" = (a + . • ■ j- a‘) f «" und zufoige § 43 ist p (- . . . + p‘ + p“ = (p -j- . . . -f p‘) +p". § 48. Lehrsatz. * w + (w‘ + w" + ...) = iv + w' + *t>"... Beiveis. w + ( w ' + w" + ...) = (iv' + iv" -\-. . .) -\- iv (§ 47 ) = w' -\-w" . . . + w(Anm. zu § 47) ~w-j-iv'-j-w"-j- . . . (§ 47). § 49. Lehrsatz. Ist iv w', so ist auch w + w" iv' H- iv" und umgekehrt. Beiveis. Es ist w=w'-\-w 1 (§ 46), somit ist to-\- w"— iv w x —D iv 44) ~= w “f~ w iv x 47) = (iv d — iv ) —]— w x GViun. zu §47) und daher ist zufoige §45 w-\-iv" ^ iv' + iv". Die Umkeh- rung ist durch einen indirecten Schluss auf Grundlage des eben Bewiesenen derart leicht nachzuweisen, dass der Nachweis hier fiiglich iibergangen werden kann. * Der Iviirze halber sollen die Lehrsatze von nun an meist nur kurz mit Beachtung der in § 40 eriirterten Bedeutung der Zeichen angedeutet und bei eiuer einfachen Folgerung aus einem fruheren Lehrsatze dem gefol- gerten Schlusssatze blos die innerhalb einer Klammer stehende Nummer jenes Paragraplies, in welchem der friihere Lehrsatz ausgesprochen ist, bei- geftigt \verdeu. 19 § 50. Lehrsatz. Ist w>w' und w’>w", so ist w^-w". Beiveis. Es ist w = tv -j- w 1 (§ 46) nnd tv' = tv" -f- tv 2 (§ 46), somit tv = (w" -\-w 2 )-j-w 1 (§ 44) — tv" -j-tv. 2 -\-tv 1 (Aum. za § 47) und dalier nach § 45 iv>w". § 51. Lehrsatz. Ist w 1 > tv' und tv 2 >tv", so ist w ± + w 2 > w' + w". Beiveis. w 1 + w 2 > tv' -4 -w 2 (§ 49) und tv' -(- w 2 w'-j-w' (§ 49), somit nach § 50 w 1 -\-tv 2 > w ' + w". § 52. Lehrsatz. tv (p + p'-\- p"-f-...) = tv.p + tv.p'-\- tv.p "+... Beiveis. a) Ist w eine Grosse, so stellt das algebr. Product % (P + P’ + p" 4- • • ■) nach § 15 jene Grosse vor, die durch tv ausgemessen zur Masszahl p + p' + p"+. . . hat, die somit zu- folge des Begriffes einer Zahlensumme (s. § 22) aus Theileu be- steht, deren Masszahlen — bezogen auf dieselbe Einheit tv — einzeln die Zahlen p, p', p", . . . sind, welche Theile somit nach § 15 durch die Producte tv.p, tv.p', tv.p",. . . ausgedruckt sind. Es ist somit laut § 10 w.(p + p' + p" +. . .) = w,p-\-w.p -\-w.p" + • • • b ) Fiir einen Zahlenmultiplicand folgt der Lehrsatz aus § 43. § 53. Lehrsatz. w.l = tv. Beiveis. Dieser Lehrsatz ergibt sicli fiir w als Grosse unmit- telbar aus dem in § 6 sub a erorterten Begriffe der Zalil 1, dann fiir w als Zalil aus § 43. §54. Lehrsatz. w.n = w-{-w-\- w +. . . -f- w, woforn die Anzahl der Sumraanden n ist. Beiveis fiir tv als Grosse auf Gruud des Begriffes einer ganzen Zalil (§ 6 sub b) und des Summenbegriffes, fiir tv als Zalil auf Grund des § 43. §55. Lehrsatz. (w .~). n = tv — (tv. n) .F. Beiveis. Ist w eine Grosse, so vertritt offenbar tJo. — die in § 6 sub c mit a bezeichnete Grosse, deren Masszahl — ist, dann be- stelit aber zufolge des daselbst Gesagten die Einheit (hier tv) aus n der Grosse a (hier w. L ) gleichen Theileu und os ist dalier w = w .,-i -\-w . + . • • + w.~ = (w.y 1 ). n (§ 54). Anderseits besteht die Grosse tv. n (nach §6 sub b) aus n der Grosse tv gleichen Theilen und es ist dalier (nach § 6 sub c) w ein alicjuoter und zwar der wte Theil von w. n, dalier tv = (iv.n). F-. Ist ti' eine Zalil, so folgt der Lehrsatz aus § 43. Anmerk. Da somit der beliebige Werth iv das Product aus dem Multiplicanden w . ~ und dem Mult.iplicator n ist, so ist nach §17 resp. §33 1 w . — = w: n. 20 §56. Lehrsatz. w. = (w. -i- ). m. Beiveis. Ist w eine Grosse, so besteht (nach § 6 sub d) die Grosse w. ™ aus m Theilen, deren jeder der wte Theil der Einheit tv, also (nach § 6 sub c) w. — ist, es ist daher w • t = w -l + + - • + = ( w -i) ■ m (§ 54 )- Fiir w als Zalil folgt der Lelirsatz aus § 43. § 57. Lelirsatz. Ist p > p', so ist, was auch immer w fiir einon Werth bedeutet, und umgekehrt. Beiveis. Da p > p' ist, so ist p = p' + p" (§ 46), daher w. p — w.(p'-4-p") (§ 41) — w. p' —(- w.p'' (§52), somit nach § 45 w . p t> w. p'. Die Umkehrung des Lehrsatzes lasst sich auf Grund des eben Bewiesenen durch einen einfachen indirecten Schluss darthun. § 58 Lelirsatz. (w + w'). r = w .r-\- w' r. Beiveis. Die rationale Zahl r kamr nach § 6 nur eine von den vier Zahlformen 1, n, —, — annehmen, es ist also der Lehr- satz fiir jeden dieser vier Falle einzeln nachzuweisen. 1) r = 1\ dann ist (tv +w/). 1 = tvw' (§ 53) = w. 1 + w'. 1 (§ 53). 2) r — n ; dann ist, ivenn stets n die AnzahI der eingeklam- merten Summanden bezeichnet (w -f- w') . n — (w + tv) + (w •+• w) + • • • + ( w + w/) (§ 54) = (w -f- iv -f -w to) + (w' + tv' + • • • + tv) (§ 47 und § 48) = w. n —)— w . n (§ 54). 3) dann ist (tv. ~ -\-w'. —). n —(tv. -4 ). n-\-(iv'. — ). n (§58 sub 2) --- w + tv' (§ 55). Es ist daher nach § 44 (ir -f- w). L = [(w . i 4- w'. ) • n \. \ = w . | + w. | (§ 55). 4) r = ™ _ j n diesem Falle ist O + «0• = K™ + . ~].m (§ 56) — (w.L-\- w \ 1). m (§ 58 sub 3) = (w. ~ ). m + (w. ~ ). m (§ 58 sub 2) = w. 2-.-f- w'. ~ (§ 56). § 59. Lelirsatz. Sind w und w' beliebige Werthe, so gibt es stets ganze Zahlen von der Art, dass w. n > w' ist. B e w e i s. a) Sind w und tv' Grossen, und es ist a) tv^iv' oder w — w\ so ist w.n fiir jeden Werth des n, da es nach § 54 als Summe mehrerer, dem w gleichen Theilen dargestellt werden kanu, zufolge § 45 grosser als ein Sumniand w , daher zufolge § 50 resp. § 44 auch grosser als w ; /3) ist dagegen w to'. Ein Gleiclies gilt fiir jede ganze Zalil n', die grosser als n ist, denn dami ist zufolge §57 w . n' > w .n, daher nach § 50 w . n' > w. b ) Sind w und w' Zahlen, so ergibt sich unmittelbar mit Beachtung des § 43 aus dem eben Nachgewiesenen die Beziehung to. n t> tv resp. tv. n' > w. § 60. Lelirsatz. Sind w und to' beliebige Werthe, so gibt es stets ganze Zahlen n von der Besclialfenheit, dass iv — . o 5 n Beuieis. Nach § 59 ist w.nt>w' daher nach § 46 tv.ri¬ to' + tv", somit w = (w .n).~ (§ 55 )=(w + tv"), i (§ 44) =w'.\ + w". { (§ 58). Zufolge § 45 ist dann w iv'. ^. Ein Gleiches gilt wie die gleiche Deduction aus der, der ersteu analogen Beziehung des § 59, namlich aus iv.n' t> w, wo n' > n ist, zeigen wurde, fiir jeden ganzen Werth, der grosser als wist. §61. LeJirsats. Ist das Verhaltniss der beiden belie bigen W erthe iv' und w", wo w" > to' ist, namlich das Verhaltniss w" : w' eine nicht ganze Zalil, so gibt es stets eine ganze Zahl n von der Beschaffenheit, dass w" = w'.n~\- w 1 und w'. (n+1) = w"-j-w 2 , wo w 1 sowol als w 2 kleiner als w ist. Beweis. Zufolge § 59 und § 54 lasst sich durch Summi¬ rung mehrerer dem w' gleichen Werthe endlich ein Werth to finden, der grosser als iv" ist. Durch diese successive Summirung erhalt man Glieder von der Form w’ -j- w' + tv' -j-.. . + w' = w'. n (§ 54) wo n nach der Reihe die Werthe 1, 2, 3, . . . erhalten muss, je nachdem man das 1., 2., 3.. . . Glied bildet. Das dem Gliede iv .n folgende, durch Hinzu- fiigung eines weiteren Summanden gebildete Glied ist offenbar dann w'. n + w' — w'. n + w . 1 (§ 53) = to' (n -f-1) (§ 52). Man denke sich nun die auf diese Weise nach und nach ent- stelienden Glieder in eine Reihe zusammengestellt. Kein Glied dieser Reihe kanu dem Werthe to" gleich sein, da soust w"=w.n sein musste, wo n eine ganze Zahl bedeutet, was nach § 19 resp. § 38 mit der urspriinglichen Annahme unvertraglich ist. Wie friiher gezeigt wurde, ist das erste Glied der Reihe tv', vielleicht auch einige der folgenden kleiner, das letzte Glied iv der Reihe dagegeu, vielleicht auch einige der vorhergehenden grosser als w "; daher muss jedenfalls die Reihe der anfanglich kleineren Glieder mit irgend, einein Gliede, vielleicht' schon mit dem ersten w abschliessen und es muss das diesem unmittelbar folgende, da es friiher Gesagtem zufolge nicht dem Werthe w" gleich 22 sem kanu, notlnvendig grosser sein als tv". Ist demuach mit n die Zalil der ersteren, namlich kleineren Glieder bezeichnet, so ist tv'. n r w l tv' (n-j-1 ) = tv" -f- w 2 wenn mit w 1 imd w 2 die nacli § 46 jedenfalls moglichen Diffe- renzen aus w" und iv.n, resp. aus tv'. (n-\-l) und tv" bezeich- net. Addirt man die beiden letzten Gleichungen, was nach § 44 gastattet ist, und setzt statt tv'. (n + 1) den Mher gefundenen gleicbeu Werth w'.n-\-w' ein, so ist w"(tv .nw) = (tv'. n-\- w 1 )-\-(w" -f-«?») somit zufolge § 47 und § 48 (w" + w'. n) + w' — (tv" + tv'. n ) + (w 1 -(- w ? ) und wenri man beiderseits mit Beachtung des § 44 die Summe tv" + tv’. n subtrahirt, so ist nacli §12 resp. § 26 tv' — ir x w 2 , dali er nach § 45 w x -*$w' und was zu beweisen war. § 62. Lehrsats. Sind zwei beliebige Werthe tv' und tv" incom- mensurabel, so gibt sich stets ganze Zahlen m und n von der Beschaffenheit, dass 1) iv '. ™ < iv" w'. ist und 2) dass dieDifferenzen w 1 — tv" — tv'. und w 2 — m'.”- 1 — (die dann nach § 46 moglich sind) kleiner sind als irgend ein beliebiger gleichartiger Werth tv, JBetveis. Man wahie nach § 60 die ganze Zalil n derart, dass iv'. — kleiner sei als der kleinere der beideii Werthe w und n w", in welchem Falle dann w'.~ nach § 50 aucli kleiner als der zweite dieser Werthe ist, so dass dann tv. ^ iv" *»• w' — iv 2 , wo sowol w x als w 2 kleiuer als jeder beliebige Werth w werden kann, so ist w' = iv". Beiceis. Zwischen iv' und w" muss bekanntlick eine der drei Beziehungen tv' — iv", w' t> iv", w < iv” stattfinden. Die beiden letzteren Beziehungen siud mit der urspriinglichen Annalmie, wie sofort gezeigt werden wird, unvertraglich und es ist somit w' = iv". AViire namlich iv'> iv", so miisste nacb §46 w' — iv + w ‘i sein. Da nun zufolge der Annahme tv" >■ iv' — iv 2 , somit nach § 49 iv" + w 2 t> (v/ — tv 2 ) -|- iv 2 und daber nach § 12 resp. § 26 w "~(- w 2 > tv' ist, so ware, da iv' = w"-\- w 3 ist, tv" 4 - w 2 >■ w"-\- w s , daher nach § 49 iv 2 > iv s ; es konnte somit w 2 nicht kleiner als der besondere AVertli w a werden, was der Annahme widerspricht. AViire dagegen tv' w + ti \, somit nach § 49 iv x w x sein, was ebenfalls, da der beliebige Werth w auch deu besonderen AVerth w x aunehmen kann, nacli der obigen Voraussetzung unmoglich ist. § 64. Leiirsatz. [iv -f- w)— + tv'. i. Beiveis. Die AVerthe (iv -f- iv') uud (tv-\-w').i sind, da i eiue irrationale Zalil ist, nach § 6 resp. § 42 incommensurable AVerthe und es ist daher nach § 62 (iv + w ). ~ w\ so ist w.p> iv'.p. Beiveis. Nach § 46 ist w — w'-\- iv 1 , daher iv .p — (w'-j- w x ).p — w'.p-\- iv 1 . p (§ 58 resp. § 64). Es ist daher nach § 45 w.p > iv' . p. § 67. Lehrsatz. p .p' —p' .p. Beiveis. Die beiden beliebigen Zahlen p und p’ sind nur entvveder commeusurabel oder incoinmensurabel. Im ersteren Falle ist nach § 42 p—p’.r , im letzteren p —p’.i. Da nun aber im ersteren Falle die rationale Zalil r nach § 6 eine der vier Form en : 1, n, -i, ^ annehmen muss, so ist der Lehrsatz allgemein dar- getlian, wenn er fiir die funt' Falle: p—p’.l , p—p .n, p—p'. -E, p ■=. p' und p — p’.i nachgewiesen wird, was in Folgendem gescliieht. a) Es sei p—p'.l. In diesem Falle ist nach §53 p’=p, daher p.p — p.p (§ 44). b) Es sei p' = p.n; dami ist nach § 54 p' z= p-\-p +...-| -p, daher p'.p=(p+-p + . ,'.-\-p).p (§44) =p.p+p.p.. .-\~p.p (§ 58 resp. § 64) =p.(p+p +.. ,+p) (§ 52) —p.p'. c) Es sei p' =z p.~, somit p',n — (p.^).n = p (§55); da hier zivischen p und p' eine analoge Beziehung besteht, wie unter b), so lasst sich der Lehrsatz vollig analog naehvveisen, es ist nur bei der Beweisfiihrung unter b) p und p' durchwegs zu vertauschen. d) Es sei p' = p . = (p: -E ) . m (§ 56). Bezeichnet man p. -E mit p", in ivelchem Fali dann nach c) p.p"—p"', p ist, so tibergeht die friihere Gleichung in p' —p".m=p” +p" +...+//’ (§ 54), daher p .p' —p. (p"-\-p” +.. .-\-p")=p.p"-\-p.p"-\-.. .-{-p.p" (§ 5 2)=p".p+p" .ji +.. .+p".p (s. ob.) = (p"+p "+• • •+/') •p (§ 58 resp. § 64 ) = p' .p. e) Es sei p' =p.i. In diesem Falle konuen die beiden nach § 42 incommonsurablen Zahlen p' und p die Werthe iv' und w" aus § 62 reprasentiren und zufolge dieses Paragraphs ist demnach p ■ ™