Srečko Devjak

Kvantitativne metode za analize v upravi





Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani

COBISS.SI-ID 212006147

ISBN 978-961-297-425-1 (PDF)





Avtor: Prof. dr. Srečko Devjak

Naslov: KVANTITATIVNE METODE ZA ANALIZE V UPRAVI

Založila: Založba Univerze v Ljubljani

Za založbo: Gregor Majdič, rektor Univerze v Ljubljani

Izdala: Fakulteta za upravo Univerze v Ljubljani Za izdajatelja: Mirko Pečarič, dekan Fakultete za upravo Univerze v Ljubljani Prva elektronska izdaja, Ljubljana, 2024

(Izvorna izdaja: tiskana iz leta 2008)



Recenzenta:

dr. Janez Usenik, dr. Janko Seljak

Naslovnica:

studiobotas

Oblikovanje besedila in preloma: Marina Šučur, Simona Janež, Darko Malić Cena: Publikacija je brezplačna.



Publikacija je v digitalni obliki prosto dostopna na https://ebooks.uni-

lj.si/ZalozbaUL



@Univerza v Ljubljani, 2024

Vse pravice pridržane.





Publikacija je izšla v okviru projekta razvojnega stebra financiranja (RSF) Univerze v Ljubljani, natančneje pod ukrepom A.II.1. »Uporaba in razvoj odprtih učnih gradiv na UL v luči spodbujanja njihovega soustvarjanja s študenti« v letu 2024.





Vsebina





1

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK ....... 13

1.1

Povezanost statističnih spremenljivk ................................................. 13

1.2

Korelacija pri numeričnih statističnih spremenljivkah ..................... 14

1.2.1

Splošne opredelitve .............................................................................. 14

1.2.2

Linearna regresija ................................................................................ 19

1.2.3

Korelacijska analiza ............................................................................. 22

1.2.4

Korelacija ranga ................................................................................... 27

1.3

Korelacija pri atributivnih statističnih spremenljivkah ..................... 29

1.3.1

Vrste atributnih spremenljivk............................................................. 29

1.3.2

Grafično prikazovanje atributivnih spremenljivk ............................. 29

1.3.3

Povezanost ordinalnih spremenljivk .................................................. 31

1.3.4

Povezanost nominalnih spremenljivk ................................................ 35

1.3.5

Merjenje jakosti korelacije med atributivno in numerično

statistično spremenljivko - korelacijsko razmerje ηyx ........................ 41

2

VZORČENJE .................................................................................... 47

2.1

Izhodišče .............................................................................................. 47

2.2

Uvod v vzorčenje ................................................................................. 47

2.3

Verjetnostni račun in verjetnostna porazdelitev ............................... 53

2.3.1

Verjetnostni račun ............................................................................... 53

2.4

Točkovna in intervalna ocena parametrov statistične množice ........ 63

2.4.1

Izhodiščne opredelitve ........................................................................ 63

2.4.2

Ocenjevanje parametrov statistične množice ..................................... 65

2.5

Statistično preizkušanje domnev ........................................................ 76

3

GOSPODARSKI RAČUN ................................................................. 83

3.1

Zmesni račun ....................................................................................... 83

3.2

Sklepni in delitveni račun ................................................................... 90



VII

3.2.1

Sklepni račun ....................................................................................... 90

3.2.1.1

Enostavni sklepni račun ...................................................................... 90

3.2.1.2

Sestavljeni sklepni račun ..................................................................... 94

3.2.2

Delitveni račun .................................................................................... 98

3.2.2.1

Enostavni delitveni račun ................................................................... 98

3.3

Procentni in promilni račun ............................................................. 113

3.3.1

Procentni račun ................................................................................. 113

3.3.1.1

Osnovni pojmi ................................................................................... 113

3.3.1.2

Procentni račun od 100 ..................................................................... 114

3.3.1.3

Procentni račun pod 100 ................................................................... 114

3.3.1.4

Procentni račun nad 100 ................................................................... 116

3.3.2

Promilni račun ................................................................................... 124

3.4

Obrestni račun ................................................................................... 126

3.4.1

Osnovni pojmi ................................................................................... 126

3.4.2

Enostavno obrestovanje..................................................................... 129

3.4.3

Obrestnoobrestni račun..................................................................... 134

3.4.4

Načelo ekvivalence glavnic ............................................................... 144

3.5

Obrestni račun in inflacija ................................................................ 148

3.5.1

Uvod .................................................................................................. 148

3.5.2

Vrednost glavnice v razmerah inflacije ............................................ 157

3.6

Rentno varčevanje ............................................................................. 163

3.6.1

Rentno varčevanje z vezavo depozita v kombinaciji z enkratnim

izplačilom privarčevanih denarnih sredstev .................................... 165

3.6.2

Rentno varčevanje s periodičnimi pologi v kombinaciji z

enkratnim izplačilom privarčevanih denarnih sredstev .................. 167

3.6.3

Rentno varčevanje z vezavo depozita v kombinaciji z rentnimi

izplačili ............................................................................................... 172

3.6.4

Rentno varčevanje s periodičnimi pologi v kombinaciji z

rentnimi izplačili ............................................................................... 175

3.7

Večna renta ........................................................................................ 178

3.8

Amortizacijski račun ......................................................................... 181

3.8.1

Osnovni pojmi ................................................................................... 181

3.8.1.1

Obročni način odplačila kredita ....................................................... 182

3.8.1.2

Anuitetni način odplačila kredita ..................................................... 183

3.8.2

Zvezno obrestovanje.......................................................................... 185



VIII





3.9

Vrednotenje investicij ....................................................................... 188

3.9.1

Izhodišče ............................................................................................ 188

3.9.2

Neto sedanja vrednost ....................................................................... 190

3.9.3

Notranja stopnja donosa (ISD) .......................................................... 192



4

MREŽNO PLANIRANJE ................................................................ 201

4.1

Pojmi in definicije ............................................................................. 201

4.2

Vodenje projektov in uporaba metode mrežnega planiranja .......... 201

4.2.1

Controling in analize pri vodenju projektov .................................... 201

4.2.2

Analize sestavin, ciljev in pogojev izvedbe projekta ....................... 203

4.2.3

Analiza optimalne izvedbe projekta ................................................. 208

4.2.3.1

Vsebinska opredelitev faze ................................................................ 208

4.2.3.2

Metode za izvajanje časovne anal ize projekta ................................. 209

4.2.4

Časovni mrežni diagram .................................................................... 210

4.2.5

Dogodkovni mrežni diagram ............................................................ 210

4.2.6

Aktivnostni mrežni diagram ............................................................. 216

4.3

Minimizacija trajanja projekta .......................................................... 228

4.4

Uporaba mrežnega plana v praksi ..................................................... 239



Literatura in viri ................................................................................................. 245



Dodatek ........................................................................................................... 247



Stvarno kazalo .................................................................................................... 248



IX





Predgovor

Ta učbenik je ponatis učbenika »Kvantitativne metode za analize v upravi«, izdanega v letu 2004 na Fakulteti za upravo Univerze v Ljubljani. Namenjen je predvsem študentom bolonjskih študijskih programov I. stopnje na Fakulteti za upravo, pri vseh metodoloških predmetih. Vsebovane vsebine in pridobljena znanja vplivajo na razvoj predmetno specifičnih kompetenc za področje javna uprava. Namenjen je tudi študentom fakultete na II. bolonjski stopnji, predvsem pri predmetih, pri katerih so metode in z njimi pridobljene predmetne kompetence pomembne pri usposabljanju študentov za razvojnoraziskovalno delo.

Učbenik je predviden kot dodatno študijsko gradivo pri študijskih predmetih Fakultete za upravo ali njenih seminarjih, ki so preneseni v obliko e-izobraževanja in kjer nastopajo ali se uporabljajo v njem vključene metode.

Prav tako je učbenik namenjen tudi študentom drugih podobnih študijskih programov, vsem tistim zaposlenim, ki pri svojem delu potrebujejo v učbeniku zajete metode ter so spoznali prednosti uporabe kvantitativnih analiz pri merjenju učinkovitosti in uspešnosti dela v upravi. Vsebine, metode dela in analize, predstavljene v učbeniku, bodo zanimive tudi za tisti del strokovne javnosti, ki se pri svojem delu srečuje z metodami kvantitativne raziskave.

Poglavja so vsebinsko sklenjene celote. Predvsem prvi dve poglavji sta nadgradnja metod opisne statistike. V tretjem in četrtem poglavju sem poskušal opisati nekatere najbolj uveljavljene metode kvantitativne analize na ekonomskem, organizacijskem in informacijskem področju javnega sektorja.

Vsako poglavje vsebuje toliko opredelitev, obrazcev, postopkov njihove uporabe in primerov, da je obravnavana snov razumljiva vsakemu bralcu, ki XI

ima temeljna znanja srednješolske matematike in obvlada osnovne metode opisne statistike. Razlage in primeri so zasnovani tako, da omogočajo dovolj podrobno in nazorno razlago uporabljenih postopkov in metod. Prav tako so vsebine razložene na izbranih primerih s področja priprave informacij za odločanje v upravi, kar olajšuje razumevanje kvantitativnih metod predvsem tistim, ki so jim take vsebine bližje ali se z njihovim preučevanjem tudi ukvarjajo.

Celotna vsebina učbenika je razdeljena v štiri poglavja. Na koncu je navedena uporabljena literatura, ki je zdaj tudi dostopna večjemu številu bralcev. Seznam literature je namenjen predvsem tistim bralcem, ki želijo širšo in poglobljeno razlago pojmov in obrazcev, obravnavanih v učbeniku.

Izbor obravnavanih metod izhaja iz učnih načrtov predmetov, ki jim je učbenik namenjen. S tem želim doseči prvi in osnovni namen tega dela, tj.

zagotoviti študentom preprost dostop do najpogostejših metod, ki omogočajo izvajanje osnovnih kvantitativnih analiz v upravi.

Zahvaljujem se recenzentoma dr. Janezu Useniku in dr. Janku Seljaku za opravljene recenzije ter koristne nasvete in pripombe. Mnenja obeh so mi pomagala odpraviti nekatere nejasnosti, nerodnosti in pomanjkljivosti, kar je bistveno prispevalo h kakovosti tega učbenika. Odgovornost za vse morebitne napake, ki so še ostale v učbeniku, prevzemam nase.



Prof. dr. Srečko Devjak





XII





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

1

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH

SPREMENLJIVK1

1.1 Povezanost statističnih spremenljivk

Pri opazovanju množičnega pojava - statistične množice, nas najpogosteje zanima povezanost med definiranimi statističnimi znaki -

statističnimi spremenljivkami. Postopki preučevanja povezanosti statističnih spremenljivk so različni, prirejeni so vrstam statističnih spremenljivk (numerične, ordinalne, nominalne), ki jih med seboj primerjamo.

Pojmu povezanosti v statistiki ustreza pojem korelacije in ju bomo z vsebinskega pomena v nadaljevanju enakovredno uporabljali.

Včasih se da povezanost med statističnimi spremenljivkami odkriti že iz samih podatkov, včasih se taka povezanost izkaže, ko so podatki urejeni in tabelarično ali grafično prikazani, običajno pa jo odkrijemo po posebnih postopkih obdelave podatkov in izračunavanju statističnih parametrov.





1 Podrobnejšo razlago vsebine tega poglavja lahko bralec najde v: Artenjak, J.: Poslovna statistika, Univerza v Mariboru, Maribor 1997

Devjak, S.: Matematične metode v managementu, statistika, Visoka šola za management v Kopru, Koper 1997

Košmelj, B.: Statistične metode - II.del, Višja upravna šola Ljubljana, Ljubljana 1989

Seljak, J.: Statistične metode, Univerza v Ljubljani, Visoka upravna šola, Ljubljana 1995



13





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

1.2 Korelacija pri numeričnih statističnih spremenljivkah 1.2.1 Splošne opredelitve

Prikazovanje povezanosti statističnih spremenljivk

Imejmo statistično množico z N enotami, za vsako enoto pa poznamo vrednosti numerične statistične spremenljivke x in numerične statistične spremenljivke y.

Vrednosti statistične spremenljivke x označimo z x , x , ..., x , vrednosti 1

2

N

statistične spremenljivke y pa označimo z y , y , …, y .

1

2

N

Vsaki enoti te statistične množice lahko zato priredimo urejeno dvojico: (x , y ), kjer zavzame i vrednosti: i= 1,2,...,N.

i

i

Urejene

dvojice

lahko

grafično

prikažemo

s

točkami

v

dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu, kar imenujemo razsevni diagram ali razsevni grafikon. V razsevnem grafikonu je v tem primeru N točk, ali drugače povedano, vsaki enoti iz statistične množice pripada točka v razsevnem grafikonu.

Podatke (x , y ) prikažemo grafično s točkami v razsevnem grafikonu.

i

i

Točkam v razsevnem grafikonu pa želimo:

 prirediti krivuljo, ki najbolj ponazarja splošno zakonitost razvrščenih točk v razsevnem diagramu in

 določiti območja, v katerih se gosti večina točk razsevnega grafikona.





14



ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Slika 1.1: Smer, oblika in jakost povezanosti spremenljivk x, y za deset statističnih enot





Iz slike 1.1 lahko ugotovimo:

 Točke razsevnega grafikona določajo smer, iz katere je razvidno, da z naraščanjem vrednosti ene spremenljivke narašča vrednost druge spremenljivke.

 Razpored točk omogoča opredelitev krivulje, ki pomeni povezanost med spremenljivkama in odraža bistveno lastnost povezave.

Povezanost, ponazorjeno s krivuljo, lahko izrazimo s funkcijskim zapisom. To je s predpisom, ki za izbrano vrednost spremenljivke priredi vrednost spremenljivke y. Za tako opredeljeno povezavo je značilno, da pri posameznih statističnih enotah ustreza vrednost spremenljivke y vrednosti, določeni s funkcijsko povezavo za spremenljivko x, pogosto pa se te vrednosti razlikujejo. Zato označimo, da za izbrano vrednost x dobimo s funkcijsko povezavo i

vrednost y ’, kar pomeni, da je lahko drugačna od vrednosti znaka y i



15

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

pri i (i= 1,2, ...,N) statistični enoti. Tako funkcijsko povezavo zapišimo z oznakami:

y’ = y’(x)



 Veliko točk razsevnega grafikona ni na grafu krivulje y’ = y’(x), kar je posledica pogosto nepojasnjenih vplivov, ki vplivajo na spreminjanje spremenljivke y poleg vpliva, ki izhaja iz spreminjanja spremenljivke x. Take vplive označimo z , zvezo med spremenljivkama x in y na statističnih enotah statistične množice pa zapišemo z izrazom:

'

y  y ( x)  .

Pri tem pomeni:

y

- vrednost znaka y za izbrano vrednost znaka x ob upoštevanju vseh vplivov na variiranje znaka na statistični množici,

y’(x) - vrednost znaka y za izbrano vrednost znaka x, ko so upoštevani samo vplivi variiranja znaka x na variiranje znaka y,

ε

- slučajno spremenljivko, ki izraža spremembo znaka y zaradi preostalih vplivov na variiranje spremenljivke y, razen vpliva, ki izhaja iz variiranja znaka x.



Zaradi odnosov, ki pri variiranju nastopajo, bomo imenovali spremenljivke:

y

- odvisna ali pojasnjevana spremenljivka,

x

- neodvisna, pojasnjevalna spremenljivka,

ε

- spremenljivka, ki pomeni druge vplive na spremenljivko y (razen vplivov spremenljivke x).





16



ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Pri proučevanju povezanosti dveh številskih statističnih spremenljivk x in y proučujemo:

 moč povezave, ta se grafično izraža v razpršenosti točk okoli krivulje, ki jo želimo opredeliti s funkcijo povezanosti (slika 1.2). Če je ta razpršenost prevelika, je moč povezave premajhna in ne omogoča določanja funkcijske povezave, kar ponazarja slika 1.3. Na sliki 1.2 je razpršenost točk majhna, zato je izbor primerne krivulje možen in enostaven;





 smer povezave, ki pojasnjuje spreminjanje vrednosti spremenljivke y pri naraščanju vrednosti spremenljivke x. Kadar pri naraščanju vrednosti spremenljivke x narašča tudi vrednost spremenljivke y, govorimo o pozitivni povezanosti (slika 1.4). Kadar pa ob naraščanju vrednosti spremenljivke x pada vrednost spremenljivke y, govorimo o negativni povezanosti (slika 1.5);



17





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK





 obliko povezave, ki določa obliko (vrsto) funkcijske povezanosti. Lo-

čimo linearne oblike povezanosti (slika 1.6.) in nelinearne (kvadratne, eksponentne in druge) oblike povezav (slika 1.7.).





Kadar so vrednosti statističnih spremenljivk podane s frekvenčnimi porazdelitvami, je povezanost razvidna iz dvodimenzionalne frekvenčne porazdelitve in pogojnih frekvenc za tako frekvenčno porazdelitev.



Analiza povezanosti

Pri numeričnih spremenljivkah lahko proučujemo obliko povezanosti in način njenega splošnega zapisa v matematični obliki. O regresij ski analizi 18





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

govorimo takrat, ko lahko eno spremenljivko opredelimo kot odvisno spremenljivko, drugo pa kot neodvisno. Včasih pri preučevanju zveze med pojavi ni mogoče predpostaviti, da je en pojav vzrok, drugi posledica. Takrat govorimo o korelacijski analizi (Košmelj, 1998).

Pri regresijski analizi zato običajno v matematični obliki izražamo odnos med spremenljivkama z eno regresijsko funkcijo. Če značaj pojava zahteva korelacijsko analizo, izražamo odnos med statističnima spremenljivkama z dvema regresijskima funkcijama.

1.2.2 Linearna regresija

Proučujemo zapis linearne regresijske funkcije za dve številski statistični spremenljivki.

Splošna oblika funkcijskega zapisa povezanosti med spremenljivkama x in y, v katerem nastopa izraz linearne odvisnosti, ima obliko: y = α + β x + ε. (1.1.1) Izraz (1.1.1) lahko splošno zapišemo kot

y = y’(x) + ε,

kjer pomeni

y’ = α + β x. (1.1.2) Za določanje koeficientov α in β funkcije (1.1.2) uporabljamo obrazce (določeni z metodo najmanjših kvadratov):

  Y   X ,

Cxy

 

. (1.1.3) 2

 x





19

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Oznake v obrazcih (1.1.3) imajo naslednji pomen:

X , Y - aritmetični sredini spremenljivk x in y, 2

 - varianca spremenljivke x,

x

C  C - kovarianca med x in y.

xy

xy



Pri računanju navedenih parametrov uporabljamo obrazce:



Posamični podatki

Frekvenčna porazdelitev

N

1

K

1

X  M 

x

X  M 

f x

x



x

 i

k

k

N

N

i 1

k 1

N

1

K

2

 

1

( x

X 2

)

2

2



 

f ( x

X )

x





x

 

i

N

k

k

i 1

N k1

N

1

K

M

1

C 

( x

X )( y

Y )

C



f ( x

X )( y

Y )

xy







xy

 



i

i

N

jk

k

j

N

i 1

k 1 j 1





20

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Primer 1.1

Zbrane imamo podatke o številu zaposlenih v prometu in proizvodnji v nekaterih državah evropskega prostora za leto 1991. Vir: Statistični letopis RS 1994 (str. 608).

Preglednica 1.1: Število zaposlenih v prometu in proizvodnji v nekaterih državah evropskega prostora za leto 1991

Proizvodnja





Promet


Država

(v mio)

(v mio)

Xi

Yi





AVSTRIJA


0,94

0,22





DANSKA


0,53

0,18





ITALIJA


4,73

1,15

MADŽARSKA

1,39

0,41

NEMČIJA-ZR

9,39

1,70





POLJSKA


4,03

1,00



21,01

4,66



Leto 1991

Proizvodnja





Promet


Država

i

x







2







y

x

X

y

Y





( x

X )( y

Y )

i

( x

X )

i

i

i

i

i

i





AVSTRIJA


1


0,94

0,22

-2,57

-0,55

6,58

1,42





DANSKA


2


0,53

0,18

-2,97

-0,60

8,80

1,77





ITALIJA


3


4,73

1,15

1,23

0,37

1,51

0,46

MADŽARS

4

1,39

0,41

-2,11

-0,37

4,45

0,78





KA


NEMČIJA

5

9,39

1,70

5,89

0,92

34,64

5,44

– ZR





POLJSKA


6


4,03

1,00

0,53

0,22

0,28

0,12





SKUPAJ


21,01

4,67

0,00

0,00

56,26

9,98





N  6

X 

50

,

3

Y 

7

,

0

2

  38

,

9

C

 66

,

1



x

xy





Cxy

66

,

1

 



 18

,

0

2



38

,

9

x

  Y   X  78

,

0

 18

,

0

* 50

,

3

 16

,

0



y` 16

,

0

 18

,

0

x





21





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Za regresijsko funkcijo izračunajmo nekaj vrednosti:



x

y'

1

0,34

3,5

0,79

10

1,96



Podatke in regresijsko funkcijo grafično prikažimo.

Slika 1.8: Razsevni diagram in regresijska premica za število zaposlenih v prometu in proizvodnji v nekaterih državah evropskega prostora za leto 1991





1.2.3 Korelacijska analiza

Pri korelacijski analizi ugotavljamo vzajemno povezanost spreminjanja opazovanih pojavov, ki jo predstavljata spremenljivki x in y. Korelacijska analiza se izvaja z računanjem parametrov, ki to povezanost ocenjujejo in določanjem regresijskih funkcij za obe obliki odvisnosti, kar zapišemo kot: y’ = y’(x) in x’=x’(y)





22

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Korelacijski in determinacijski koeficient

Korelacijski koeficient (za linearno korelacijo) računamo po obrazcu: Cxy

 

(1.1.4)

xy

 *

x

y



 - korelacij ski koeficient, Pearsonov koeficient (linearne) korelacije, xy

C  C - kovarianca med x in y,

xy

xy

 - standardni odklon spremenljivke x,

x

 - standardni odklon spremenljivke y.

y



Pearsonov korelacij ski koeficient ρxy zavzame vrednosti:

-1 ≤ ρ ≤ + 1

xy

Izraža stopnjo in smer povezave. Pozitivna vrednost koeficienta kaže, da je povezanost pozitivna - pri naraščanju prve spremenljivke narašča tudi druga.

Negativna vrednost koeficienta kaže, da je povezanost negativna - pri naraščanju prve spremenljivke padajo vrednosti druge spremenljivke.

Jakost povezanosti izraža absolutna vrednost koeficienta - povezanost je močnejša pri večjih absolutnih vrednostih koeficienta. Podrobnejši komentarji za vrednosti koeficienta so predstavljeni v tabeli 1.2.





23

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Preglednica 1.2: Vrednosti Pearsonovega koeficienta in jakost povezanosti statističnih spremenljivk





Vrednost 𝜌xy

Komentar za jakost





povezanosti


od


do pod

0

+/-0,20

ni

+/-0,20

+/-0,40

šibka

+/-0,40

+/-0,70

zmerna

+/-0,70

+/-1,00

močna



Determinacijski koeficient izraža delež variabilnosti v celotni variabilnosti pojava (y), ki izhaja iz povezanosti z obravnavano spremenljivko.



Determinacijski koeficient izračunamo kot razmerje med

pojasnjeno in celotno varianco:

2



2

xy

 

,

xy

2

 y

pri tem je

2

2

2

    ,

xy

y

y



kjer pomeni

2

 - determinacijski koeficient

xy

2

 - celotna varianca spremenljivke y

y

2

 - nepojasnjena varianca spremenljivke y

y



2

 - pojasnjena varianca spremenljivke y

xy

Determinacijski koeficient (pri linearni korelaciji) običajno računamo s pomočjo naslednjega obrazca:

2

C

2

xy

 

, (1.1.5) xy

2

2

 

x

y



24

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK



Primer 1.2

Za podatke v preglednici 1.1 izračunajmo determinacijski koeficient.

  Cxy

xy

 *

x

y

C

 66

,

1



xy

2

C

 76

,

2

xy

2

  39

,

9

x

  06

,

3

x

2

  31

,

0

y

  55

,

0

y

66

,

1

 

 9

,

0 78

xy

,

3 06 * 55

,

0

2

76

,

2

 

 ( 9

,

0 7 )

8 2 

9

,

0 56

xy

39

,

9

* 31

,

0



Povezanost je močna in pozitivna. 95,6% celotne variance izhaja iz povezanosti obravnavanih pojavov.





Druga regresijska funkcija

Cilj korelacijske analize je odkrivanje splošnejše povezanosti med pojavoma in ne samo odvisnosti ene spremenljivke od druge (regresijska analiza).

Proučujemo obe vrsti odvisnosti: y od x in prav tako x od y. Zato lahko opredelimo dve linearni regresij ski funkciji.

Prva (linearna) regresijska funkcija ima obliko:

y,     x

1

1

in je bila definirana z obrazci (1.1.2) in (1.1.3).



Drugo (linearno) regresijsko funkcijo pa zapišimo v podobni obliki: x,     y . (1.1.6) 2

2





25

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK



Pri računanju parametrov druge regresijske funkcije uporabimo obrazca:

  X   Y ,

2

2

Cxy

 

. (1.1.7) 2

2

 y





Primer 1.3


Za podatke iz primera (1.1) bomo določili drugo regresijsko funkcijo.

V prejšnjih primerih smo že izračunali vrednosti naslednjih parametrov: 2

  39

,

9

x

Cxy

66

,

1

X  50

,

3

 

C



,

3 06

66

,

1

xy

 



 18

,

0

x

1

2



38

,

9



2

x

Y 

78

,

0

2

  31

,

0

C

 76

,

2

y

xy

  Y   X  78

,

0

 18

,

0

* 50

,

3

 16

,

0

 

1

55

,

0

y

Izračunajmo parametre druge regresijske funkcije:

Cxy

66

,

1

 







,

5

,

42

2

2



31

,

0

y

  X   Y  50

,

3

 ,

5

78

,

0

.

42

 71

,

0

.

2

2

Zapišimo drugo regresijsko funkcijo:

x' = - 0,71 + 5,42 y.



Prva regresijska funkcija pa je imela obliko:

y' = 0,16 + 0,18 x.





26





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Določimo nekaj točk pri obeh regresijskih premicah:



x

y'



y

x'

10,00

1,93



1,93

9,75

1,00

0,33



0,33

1,10

3,50

0,78



0,78

3,50





Ker je med pojavoma močna povezanost, sta premici tesno skupaj. Sekata se v točki, ki jo določata aritmetični sredini obeh spremenljivk.



1.2.4 Korelacija ranga

Koeficient, ki tudi omogoča ugotavljanje statistične povezanosti dveh numeričnih spremenljivk, se imenuje koeficient korelacije ranga r -

xy

Spearmanov korelacij ski koeficient.

Za računanje tega koeficienta uporabljamo obrazec:

N

6 Ry  Rx

i

i 2

r  1

i 1

 

. (1.1.8) xy

N ( 2

N  )

1





27

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Oznake v obrazcu imajo naslednji pomen:

Rx

- rang za i-to (i= 1,2,.. .,N) statistično enoto, glede na vrednost i

spremenljivke x,

Ry

- rang za i-to (i= 1,2,.. .,N) statistično enoto, glede na vrednost i

spremenljivke y.

Vrednosti Spearmanovega koeficienta komentiramo enako kot komentiramo vrednosti Pearsonovega koeficienta. Pri linearni korelaciji imata podobni vrednosti; kadar korelacija ni linearna, je primernejši za uporabo Spearmanov koeficient.



Primer 1.4

Za podatke o številu zaposlenih v prometu in proizvodnji v nekaterih državah evropskega prostora za leto 1991, navedene že v primeru (1.2.1), izračunajmo Spearmanov korelacijski koeficient.

Preglednica 1.3: Zaposleni v milijonih po nekaterih državah v letu 1991

(Statistični letopis RS 1994, str. 608)

Proizvodnja





Promet


(v mio)

(v mio)

i

Rxi

Ryi

Ryi – Rxi

(Ryi – Rxi)2

Država

xi

yi





AVSTRIJA


0,94

0,22

1

6

6

0

0





DANSKA


0,53

0,18

2

7

7

0

0





ITALIJA


4,73

1,15

3

2

3

1

1

MADŽARSKA

1,39

0,41

4

5

5

0

0

NEMČIJA-ZR

9,39

1,7

5

1

1

0

0





POLJSKA


4,03

1

6

4

4

0

0





FRANCIJA


4,51

1,43

7

3

2

-1

1





SKUPAJ





2



N

6 * ( Ry  Rx )2

i

i

6 * 2

r  1

i 1





 1





xy

N ( 2

N  )

1

7 * 49  

96

,

0

1





Izračunana vrednost rxy se bistveno ne razlikuje od vrednosti ρxy.





28





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

1.3 Korelacija pri atributivnih statističnih spremenljivkah 1.3.1 Vrste atributnih spremenljivk

Atributivne spremenljivke delimo v dve skupini: ordinalne spremenljivke in nominalne spremenljivke. Pri prvih je opredelitev urejenosti možna, pri drugih te ureditve ni možno definirati. S tem je povezana tudi definicija koeficientov mer povezanosti atributivnih spremenljivk. Povezanost atributivnih spremenljivk bomo obravnavali ločeno in spoznali:

 mere povezanosti ordinalnih spremenljivk in

 mere povezanosti nominalnih spremenljivk.

1.3.2 Grafično prikazovanje atributivnih spremenljivk Grafično prikazovanje atributivnih spremenljivk omogoča pregleden prikaz rezultatov statistične analize. Iz njih je pogosto razvidna statistična zakonitost in tudi morebitna povezanost med različnimi pojavi. Pri grafičnem prikazovanju atributivnih spremenljivk najpogosteje uporabljamo stolpce in strukturne kroge. Povezanost se običajno nazorneje izraža pri prikazih s stolpci.

V nadaljevanju predstavljamo nekaj možnih grafičnih prikazov za primere, ki so v tem poglavju obravnavani.

V sliki 1.9: Prikaz povezanosti stopnje izobrazbe in razredov za plačo skupine zaposlenih, bomo za šest zaposlenih grafično prikazali naslednje podatke:



Delavec

D1

D2

D3

D4

D5

D6





Stopnja izobrazbe


IV


III

IV

III

VII

III





Tarifni razred


5


6

5

7

6

8





29



ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Slika 1.9: Prikaz povezanosti stop nje izobrazbe in razredov za plačo šestih delavcev





V sliki 1.10 prikazujemo primer iskalcev zaposlitve po izraženih željah in poklicih njihovih staršev. Podatki za obravnavan primer so navedeni v spodnji tabeli, v sliki pa prikazujemo način prikazovanja s stolpci ali s krogi.



Področje zaposlitve očeta



Strokovno

Delavec

Uradnik

Samostojni





SKUPAJ


delo –

podjetnik





podjetje


Področje





Delavec


20


20

10

0

50





zaposlitve Strok. delo


20


25

25

10

80

iskalca





Uradnik


0


25

35

0

60





Samostojni


0


0

10

0

10

podjetnik





Skupaj


40


70

80

10

200





30





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Slika 1.10: Prikaz iskalcev zaposlitve po izračenih željah in poklicih njihovih očetov



Iz navedenih primerov je razvidno, da je že v grafičnih prikazih možno zaznati morebitno povezanost med statističnimi spremenljivkami.

1.3.3 Povezanost ordinalnih spremenljivk

Za ordinalne spremenljivke bomo obravnavali naslednje mere povezanosti:

 koeficient korelacije ranga in

 koeficient konkordance.



Koeficient korelacije ranga ali Spearmanov korelacijski koeficient smo definirali že v poglavju o ocenjevanju korelacijske povezanosti številskih spremenljivk z obrazcem (1.1.8).



31

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Koeficient konkordance

Korelacijsko povezanost dveh ordinalnih statističnih spremenljivk x in y na izbrani statistični množici z N enotami lahko ovrednotimo tudi s koeficientom konkordance. Definiran je na predpostavki, da se dajo vrednosti obeh spremenljivk urediti po velikosti.

Vsaka enota E v opazovani množici ima določeno vrednost i

spremenljivke x, ki jo označimo z x in določeno vrednost spremenljivke y, ki i

jo označimo z y . Lahko rečemo, da vsaki enoti E pripada dvojica vrednosti (x , i

i

i

y ). Z enako razlago priredimo enoti E dvojico vrednosti (x , y ).

i

j

j

j

Korelacijo med spremenljivkama x in y bomo ugotavljali na usklajenosti variiranja vrednosti statističnih spremenljivk pri dvojicah izbranih enot E in E

i

j

(i ≠ j, i=1,2,...,N in j = 1,2,...,N) statistične množice .

Med vrednostmi spremenljivk pri navedenih dvojicah (x , y ) in (x , y ) i

i

j

j

lahko nastopijo naslednji odnosi:

1. Vrednosti x in x sta v enakem odnosu urejenosti, kot sta vrednosti y i

j

i

in y , kar zapišemo:

j

x  x  y  y ali x  x  y  y , i

j

i

j

i

j

i

j

zato par E in E imenujemo konkordanten par.

i

j



2. Vrednosti x in x sta v nasprotnem odnosu urejenosti, kot sta i

j

vrednosti y in y , kar zapišemo:

i

j

x  x  y  y ali x  x  y  y , i

j

i

j

i

j

i

j

zato par E in E imenujemo diskonkordanten par.

i

j



3. Kateri dve vrednosti od proučevanih spremenljivk imata pri proučevanem paru enaki vrednosti.



32

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Lahko je:

x = x , za vrednosti spremenljivke y pa lahko nastopi y > y ali y < y i

j

i

j

i

j

Lahko pa nastopi primer, ko je:

y = y , za vrednosti spremenljivke x pa lahko nastopi x > x ali x < x .

i

j

i

j

i

j

Število konkordantnih in število diskonkordantnih parov označuje jakost in smer povezanosti: pri večjem številu konkordantnih parov govorimo o pozitivni povezanosti, pri večjem številu diskonkordantnih parov pa o negativni smeri statistične povezanosti.

Število vseh različnih parov, ki jih na množici z N enotami tvorimo, je enako številu kombinacij brez ponavljanja:

 N N 



N

.

2 

(

)

1

2

Mero za ugotavljanje jakosti in smeri povezanosti imenujemo koeficient konkordance ali tudi koeficient skladnosti, ki omogoča ugotavljanje korelacijske povezanosti spremenljivk x in y na N enotah statistične množice.

Računamo ga z obrazcem:

(

2 N

 N )

k



k on

dis



k on

N ( N  )

1

1  k

 1

 , (1.1.9) kon



kjer pomeni:

k - koeficient konkordance,

kon

N - število konkordantnih parov,

kon

N - število diskonkordantnih parov,

dis

N

- število enot statistične množice.





33

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Koeficient

konkordance

je

razmerje

razlike

med

številom

konkordantnih in številom diskonkordantnih parov s številom vseh parov. To je normirana mera, ki ima vrednost +1, ko so vsi pari konkordantni, ima vrednost -1, ko so vsi pari diskonkordantni, in ima vrednost 0, ko je enako število konkordantnih in diskonkordantnih parov.

Koeficient konkordance je pozitiven, ko je več konkordantnih kot diskonkordantnih parov, kar pomeni, da prevladuje pozitivna smer pri povezanosti statističnih spremenljivk na izbrani statistični množici. Koeficient konkordance je negativen, ko je večje število diskonkordantnih kot konkordantnih parov, kar opredeljujemo kot negativno smer statistične povezanosti.





34





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Primer 1.5

V oddelku priprave proizvodnje smo na primeru šestih zaposlenih ugotavljali stopnjo povezanosti izobrazbe in tarifnega razreda za izračun plače. Podatki so prikazani v naslednji preglednici.



Stopnja

Tarifni

Delavec

izobrazbe





razred


D1


4

VI

D2

3

VII

D3

4

V

D4

3

VII

D5

7

VI

D6

2

VIII





Dvojice primerjajmo med seboj in ugotovimo število konkordantnih in diskonkordantnih parov.

To lahko pregledno opravimo v preglednici z naslednjo obliko: Dvojice 4;VI

3;VII

4;V

3;VII

7;VI

2;VIII SKUPAJ

4;VI

xxxxx

DIS

...

DIS

...

DIS



3;VII



xxxxx

DIS

...

DIS

DIS



4;V





xxxxx

DIS

KON

DIS



3;VII





xxxxx

DIS

DIS



7;VI





xxxxx

DIS



2;VIII





xxxxx



NDIS



1

1

2

2

5

11

NKON





0

1

0

1



Uporabimo obrazec (1.1.9):



(

2 N

 N )

1

(

2 

)

11

 20

k



k on

dis





 

.

667

,

0



k on

N ( N  )

1

(

6 6  )

1

30



Oznaka tarifnega razreda in izobrazba zaposlenih sta v negativni povezanosti (zaradi načina označevanja) in zmerno povezana.





1.3.4 Povezanost nominalnih spremenljivk

Za

merjenje

povezanosti

med

nominalnimi

statističnimi

spremenljivkami bomo uporabljali naslednji dve meri povezanosti: 35

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

 kontingenco in

 asociacijo.



Kontingenca

Povezanost med dvema nominalnima spremenljivkama, od katerih ima vsaj ena več kot dve vrednosti, ugotavljamo s koeficientoma:

χ2 - hi kvadrat in

C - koeficientom kontingence.

Koeficient χ2 je mera za ugotavljanje povezanosti. Če ni povezanosti med proučevanima spremenljivkama, je vrednost koeficienta enaka nič, sicer je pozitivna. Koeficient χ2 računamo po obrazcu:



2

J

K

(

,

)

(

,

)

2

 f x y  tf x y

j

k

j

k



  

. (1.1.10) t (

)

1

1

f

x y

j

k 

j

k



Pri tem pomeni:

ƒ ( x

) - frekvenca enot, ki imajo za spremenljivko x (prirejeno) vrednost j , yk

x (j= 1,2,.. .,J), za spremenljivko y pa vrednost y (k=1,2,..,K), j

k

ƒt ( x , y ) - izračunana frekvenca enot za primer neodvisnosti med j

k

spremenljivkama x in y in se računa iz robnih frekvenc f(x ) in j

f(y ) po obrazcu:

k

f ( x ) f ( y )

f t ( x , y

j

k

) 

.

j

k

N

ƒ (x )

- frekvenca razreda j (j=1,2,...,J), frekvenčne porazdelitve enot za j

spremenljivko x

ƒ (y )

- frekvenca razreda k (k=1,2,...,K), frekvenčne porazdelitve enot za k

spremenljivko y.



36

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Prav tako velja:

J

K

N   f ( x ) 

f ( y ) .

j

 k

j 1

k 1

Kadar

obstaja

korelacijska

povezanost

med

opazovanima

spremenljivkama, je χ2> 0 in nadaljujemo s postopkom izračuna koeficienta kontingence.

Za izračun koeficienta uporabimo naslednji obrazec:

2



C 

. (1.1.11) 2

  N



Koeficient kontingence C je normirana mera jakosti korelacije med atributivnimi statističnimi spremenljivkami. Njegove vrednosti se gibljejo na intervalu:

0  C  1

Dobljena vrednost C je odvisna od števila različnih vrednosti, ki jih imata spremenljivki x in y. Število vrednosti x (j= 1,2,...,J) spremenljivke x in j

število vrednosti y (k=1,2,...,K) vpliva na vrednost C, ki je pri majhnih J in K

k

premajhna.

Navedeni vpliv števila vrednosti obravnavanih spremenljivk ocenimo z: m  1

C



.

max

m

Pri tem je m večja od vrednosti J in K (J- število različnih vrednosti za spremenljivko x, K- število različnih vrednosti za spremenljivko y), kar lahko zapišemo:

m = max (J,K)





37

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Popravljeno vrednost koeficienta kontingence potem izračunamo po obrazcu:

C

C



. (1.1.12) corr

C max





Primer 1.6


V anketirani skupini iskalcev zaposlitve so zbrani podatki o želenih področjih zaposlitve iskalcev in področjih zaposlitve njihovih očetov.



Področje zaposlitve

Področje zaposlitve očeta





iskalca


Strokovno delo-


Samostojni

Delavec

Uradnik

Skupaj

podjetje

podejtnik





y1

y2

y3

y4



Delavec

x1

20

20

10

0

50

Strokovno delo

x2

20

25

15

10

80

Uradnik

x3

0

25

35

0

60

Samostojni podjetnik

x4

0

0

10

0

10

Skupaj



40

70

80

10

200



Da bi znali odgovoriti na zastavljeno vprašanje, bomo morali izračunati koeficient kontingence po obrazcu (1.1.12). Zato bomo najprej izračunali χ2. Izračun teoretičnih frekvenc bomo naredili v naslednji tabeli:



Teoretične frekvence:

f ( x ) f ( y )

f t ( x , y )

j

k )





.

j

k

N





y1

y2

y3

y4





Y5


x1


10

17,5

20

2,5

50

x2

16

28

32

4

80

x3

12

21

24

3

60

x4

2

3,5

4

0,5

10

f(yk)

40

70

80

10

200





38

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Zaradi preglednosti bomo tabelarično zapisali tudi izraze:



2

f ( x , y )

t

 f ( x , y )

j

k

j

k

 .

t

f ( x y )

j

k





y1

y2

y3

y4

Y5

x1

10

0,36

5

2,5

17,86

x2

1

0,32

1,53

9

11,85

x3

12

0,76

5,04

3

20,80

x4

2

3,5

9

0,5

15,00





Skupaj





65,51



2

 

51

,

65

2



51

,

65

C 



 ,

0 497

2

  N

51

,

65

 200



m 1

4 1

C





 866

,

0

max

m

4

C

,

0 497

C





 75

,

0

corr

C

866

,

0

max

Ugotovimo lahko, da glede na namere opazovanih iskalcev zaposlitve obstaja močna povezanost med izraženimi namerami področij zaposlovanja iskalcev in področji zaposlitev njihovih očetov.



Asociacija

Pri pojavih, kjer obravnavamo povezanost dveh nominalnih spremenljivk, kjer ima vsaka od spremenljivk natanko dve vrednosti, govorimo o asociaciji.

Imejmo spremenljivko x, ki ima vrednosti x in x , ter spremenljivko y, 1

2

ki ima vrednosti y in y . Mero povezanosti med spremenljivkama x in y 1

2

imenujemo Yulesov koeficient asociacije Q, ki ga računamo po obrazcu: f ( x , y ) f ( x , y )  f ( x , y ) f ( x , y ) 1

1

2

2

1

2

2

1

Q 

, (1.1.13)

f ( x , y ) f ( x , y )  f ( x , y ) f ( x , y ) 1

1

2

2

1

2

2

1





39

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

kjer pomeni

ƒ ( x

) - število enot, ki ima za spremenljivko x vrednost x in za 1 , y1

1

spremenljivko y vrednost y

1

ƒ ( x

) - število enot, ki ima za spremenljivko x vrednost x in za 1 , y2

1

spremenljivko y vrednost y

2

ƒ ( x

) - število enot, ki ima za spremenljivko x vrednost x in za 2 , y1

2

spremenljivko y vrednost y

1

ƒ ( x

) - število enot, ki ima za spremenljivko x vrednost x in za 2 , y2

2

spremenljivko y vrednost y

2

Koeficient Q asociacije je normirana mera in zavzame vrednosti:

1  Q  1.

Pri večji absolutni vrednosti Q je povezanost med spremenljivkama močnejša.





Primer 1.7


Med 89 zaposlenimi smo opazovali zakonski stan in spol. Zbrane podatke prikazujemo v naslednji preglednici:





Poročen

Neporočen





y1

y2





SKUPAJ


Moški

x1

33

22

55

Ženske

x2

28

6

34





SKUPAJ


61


28

89





Izračunajmo Yulesov koeficient asociacije Q:

f ( x , y ) f ( x , y )  f ( x , y ) f ( x , y ) 6

.

33 

28

.

22

198 616

 418

1

1

2

2

1

2

2

1

Q 







 

.

51

,

0



f ( x , y ) f ( x , y )  f ( x , y ) f ( x , y ) 6

.

33 

28

.

22

198  616

814

1

1

2

2

1

2

2

1



Povezanost med zakonskim stanom zaposlenih in spolom je zmerna.





40





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

1.3.5 Merjenje jakosti korelacije med atributivno in numerično statistično spremenljivko - korelacijsko razmerje η

yx

Korelacijsko razmerje η je mera, ki omogoča ugotavljanje stopnje yx

povezanosti med dvema statističnima spremenljivkama, od katerih je ena numerična, druga pa je lahko atributivna.

Opredelitev izračuna in razlage izhaja iz naslednjih izhodišč:

 numerično spremenljivko označimo z y,

 podatke grupirajmo po spremenljivki x (numerični ali atributivni) v K

skupin,

 tvorimo aritmetične sredine M za spremenljivko y za enote, yk

razporejene v k-to (k = 1,2,.. .,K) skupino spremenljivke x,

 če med dobljenimi grupnimi aritmetičnimi sredinami M obstajajo yk

razlike, pomeni, da vrednost spremenljivke x vpliva na vrednost spremenljivke y in da obstaja med spremenljivkama x in y povezanost,

 če med dobljenimi grupnimi aritmetičnimi sredinami M niso yk

opazne razlike, pomeni, da vrednosti spremenljivke x ne vplivajo na vrednosti spremenljivke y in da ne obstaja med spremenljivkama x in y statistična povezanost.



Označimo z:

N

- število enot v statistični množici,

K

- število grup za spremenljivko x,

N

- število enot v k-ti ( k =1,2,...,K) grupi spremenljivke x , k

M

- aritmetična sredina spremenljivke y v statistični množici, y

M

- aritmetična sredina spremenljivke y za k-to (k = 1 ,2,...,K) grupo, yk



41

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

σ2

glede na aritmetično sredino M ,

Myk - variance za vrednosti Myk

y

spremenljivke y na celotni statistični množici.



Obrazec za računanje M lahko zapišemo v obliki:

yk

N k

M



y / N ,

yk

 ik k

ik 1

kjer pomeni:

y - vrednosti spremenljivke y v k-ti (k = 1,2,...,K) grupi spremenljivke x, v ik

kateri je N enot.

k

Obrazec za izračun aritmetične sredine spremenljivke y na celotni populaciji pa ima obliko:

N

M 

y / N .

y

 i

i 1

Varianco, ki izhaja iz variiranja vrednosti M glede na M pojasnimo kot yk

y

posledico povezanosti med spremenljivko x in spremenljivko y in zapišemo: K

1

2





N ( M

M 2

) .

Myk





k

yk

y

N k1

Mera za korelacijo med spremenljivkama x in y je opredeljena kot koren iz razmerja med varianco σ2

, ki izraža variiranje spremenljivke y zaradi

Myk

povezanosti s spremenljivko x in celotno varianco σ2 spremenljivke y na y

statistični množici. Opredeljeno mero korelacijske povezanosti med znakoma x in y označimo z η in imenujemo korelacijsko razmerje η .

yx

yx

Iz opredelitve η izhajajo naslednji obrazci:

yx

1

2

 KN ( M  M 2)

k

yk

y

 Myk

N k

 



1

. (1.1.14) yx

2



1

y

 N( y  M 2)

i

y

N i1



42



ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Uporabimo oznake:

2

 Nk



2

Y 

y

,

k

 ik 

 ik 1



2

 N



2

Y    y  ,



i

i 1





in obrazec (1.1.14) zapišemo v obliki:

K

2

 Y /

2

N  Y / N

k

k

(1.1.15)

k 1



 

.

yx

N

2

2

 y  Y / N

i

i 1







Primer 1.8


Med zaposlenimi proučujemo povezanost med stopnjo izobrazbe in spolom. Zbrane podatke smo uredili v naslednji preglednici.





43





ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK

Izračunali bomo korelacijsko razmerje ηyx in pri tem uporabili obrazec (1.1.15). Potrebne podatke za uporabo navedenega obrazca bomo izračunali s pomočjo naslednje preglednice: Xi Nk yi





ž



3





9



ž



4





16



ž



4





16



Y1 3 11 121 40,3333

0

4

m



4





16

5

m



5





25

6

m



4





16

7

m



7





49

8

m



5





25

9

m



4





16

10

m



2





4

11

m



4





16

12

m



4





16

13

m



3





9

14

m



4





16

15

m



7





49



Y2 12 53 2809 234,083 298



N= 15 64



274,417



2

 N



2

Y    y   642  4096



i

i 1





2

Y

4096





,

273 06

N

15



2

 y  298

i

i

K

2

 Y / N  ,

274 41

k

k

k 1



K

2

 Y /

2

N  Y / N

k

k

,

274 41

06

,

273

35

,

1

k 1

 







 ,

0 23

yx

N



2

2

0

,

298

1

,

273

9

,

24

 y  Y / N

i

i 1





Odgovor: Med spolom in stopnjo izobrazbe je v opazovani množici šibka povezanost.





44



ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK





Diagram


1.1:

Zbirni

prikaz

uporabe

koeficientov





analize


povezanostistatističnih spremenljivk





45

ANALIZA POVEZANOSTI STATISTIČNIH SPREMENLJIVK



V tem poglavju ste o numeričnih in atributivnih spremenljivkah spoznali:

 način prikazovanja povezanosti dveh statističnih spremenljivk,

 koeficiente za merjenje jakosti korelacije med statističnimi spremenljivkami,

 postopke

analize

in

pojasnjevanja





korelacije


statističnih





spremenljivk.





46





VZORČENJE

2

VZORČENJE2

2.1 Izhodišče

Pri vzorčenju se ukvarjamo z dvema področjema: ocenjevanjem parametrov statistične množice z vzorci in preizkušanjem hipotez. Pri vzorčnih ocenah se bomo usmerili na področje ocenjevanja parametrov statistične množice. Poglabljali bomo znanje o odnosu med osnovno statistično množico, vzorcem in množico vseh vzorcev. Ukvarjali se bomo z velikimi vzorci. Zakonitosti normalne porazdelitve in verjetnostnega računa so zato podlaga tej vrsti proučevanja statističnih pojavov.

2.2 Uvod v vzorčenje

Osnovni pojmi

Opazovanje pojavov je lahko:

 popolno, kadar opazujemo vse enote statistične množice,

 delno, kadar opazujemo le nekatere enote statistične množice -

vzorec.

Delno opazovanje lahko izvedemo tako, da opazujemo nekatere enote statistične množice, ki so bile izbrane:

 po nekem kriteriju kot tipične enote ali predstavniki statistične množice, pri takem izboru je velika možnost, da bodo prisotni subjektivni vplivi, ali

 z vzorčenjem, ko so za vse enote statistične množice veljale enake možnosti izbora.



2 Podrobnejšo razlago vsebine tega poglavja lahko bralec najde v: Artenjak, J.: Poslovna statistika, Univerza v Mariboru, Maribor 1997

Košmelj, B.: Statistika 2 - I.del, Ekonomska fakulteta v Ljubljani, Ljubljana 1993



47

VZORČENJE



Nas bodo zanimala taka delna opazovanja, ko so pri sestavljanju vzorca imele enote enake možnosti izbora - slučajni vzorci.

Ugotovimo lahko, da:

 je vzorec statistična množica,

 so spremenljivke na vzorcu iste kot na osnovni populaciji,

 so na osnovni populaciji izračunane vrednosti parametrov prave vrednosti parametrov,

 so na vzorcu izračunane vrednosti parametrov lahko le ocene za prave vrednosti parametrov osnovne populacije.



V nadaljevanju bomo pri označevanju parametrov, izračunanih na osnovni populaciji in na vzorcu, uporabljali oznake, navedene v preglednici 2.1.

Preglednica 2.1: Označevanje parametrov osnovne populacije in vzorca.

OSNOVNA

PARAMETER

VZOREC





POPULACIJA


SPLOŠNO

G

g

ŠTEVILO ENOT





VREDNOST





SPREMENLJIVKE


ARITMETIČNA SREDINA

Y  M  

y

y

N



n

2

 y  y

i

2

y  Y

i



2

i 

  1



2

i 1

s  



y

y

N

n  1





VARIANCA


k




k

2

2

f



 fj y  y

j



j  y

Y

j



2

j 

  1

2

j 1

s  

y

N

y

n  1





STANDARNI ODKLON




s

y

y





48



VZORČENJE



Vrste vzorčenja

Po načinu izbire enot v slučajni vzorec ločimo:

 enostavno vzorčenje - naključen način izbire enot v vzorec, poznavanje celotne množice ni potrebno,

 stratificirano vzorčenje - razdelitev množice v homogene dele -

stratume, variabilnost v stratumih je majhna, v njih izvedemo slučajno vzorčenje,

 vzorčenje v skupinicah - izbiramo skupinice slučajno in te opazujemo v celoti,

 vzorčenje v več stopnjah - nadaljevanje vzorčenja v skupinicah, ko je možna delitev populacije v hierarhične skupine,

 sistematično vzorčenje - naključno je izbrana prva enota, nato se izbirajo enote po neki zakonitosti.



Mi se bomo ukvarjali z zakonitostmi in lastnostmi vzorčenja za razmere, ko so vzorci slučajni in izbrani po načelih enostavnega vzorčenja.

Če povzamemo opisovanje problematike vzorčenja, lahko ugotovimo, da imamo pri vzorčenju opravka s tremi statističnimi množicami:

 osnovna (celotna) statistična množica ali populacija,

 delna statistična množica - vzorec in

 množica vseh vzorcev.



Za vsako od navedenih množic lahko določamo:

 spremenljivke in

 parametre.





49



VZORČENJE

V preglednici 2.2 bomo prikazali nekatere lastnosti množic omenjenih množic in odnos med njihovimi parametri. Iz preglednice je razvidno, da je najštevilčnejša množica vzorcev in da je vzorec množica, ki omogoča ocenjevanje ostalih dveh množic.

Preglednica 2.2: Število enot, znaki in parametri v osnovni populaciji, vzorcu in množici vzorcev





50



VZORČENJE





Primer 2.1


Primer bomo opravili na majhni statistični množici iz metodoloških razlogov, da bodo spoznanja, do katerih bomo prišli, bolj razumljiva in nam bodo olajšala razumevanje v naslednjih temah tega poglavja.



Statistična množica ima 4 enote, spremenljivka y ima vrednosti: 2, 3, 7, 8.



Parametri množice so:



2

i

y





i

y

Y

( y

Y )

i

i

y1

2

-3

9

y2

3

-2

4

y3

7

2

4

y4

8

3

9

SKUPAJ

20

0





26


Parametri populacije so:


2

26

N  4 ,  

 50

,

6

,

y

4

20

Y 

 5,  

5

,

6

 55

,

2

.

y

4





51



VZORČENJE

Iz množice izberemo vzorec z dvema enotama, za naš primer naj bosta to enoti, pri katerih sta y vrednosti: 2 in 7.



Izračunajmo parametre vzorca:

n=2

i

y



2



i

y

y

( y

y)

i

i

1

2

-2,5

6,25

2

7

2,5

6,25

SKUPAJ

9





0


12,5

9

y 

 5

,

4

2



2

5

,

12

s 



5

,

12

y

2 1

s 

5

,

12

 53

,

3

y



Množica vseh vzorcev:

Število enot:  N  4

1* 2 *3* 4







   

 n  2 1*2*1*  6

2



Aritmetične sredine za možne vzorce:



2

3

7

8





2


xxx


2,5

4,5

5





3


xxx


5

5,5





7


xxx


7,5





8




xxx



Parametri množice vseh vzorcev:



30

Y y 

 5

6

2



2

 fj y  Y y

j



13

 



 17

,

2

y

 fj

6

2

    ,

1 47

y

y





52





VZORČENJE

Iz prikazanega primera lahko povzamemo:

 pri vzorčenju nastopajo tri statistične množice:

 osnovna množica

 vzorec

 množica vseh vzorcev

 aritmetična sredina osnovne populacije in aritmetična sredina množice vseh vzorcev sta enaki

 množica vseh vzorcev je porazdeljena podobno normalni porazdelitvi.

2.3 Verjetnostni račun in verjetnostna porazdelitev

Za razumevanje teorije vzorčenja potrebujemo nekaj osnov verjetnostnega računa. Zato v nadaljevanju predstavljamo nekaj osnovnih pojmov in zakonitosti.

2.3.1 Verjetnostni račun

Osnovna pojma verjetnostnega računa sta poskus in dogodek. Poskus pomeni vsako dejanje, ki ga izvedemo pod določenimi pogoji. Množico pogojev, pod katerimi je izveden poskus, imenujemo kompleks pogojev. Če se spremeni samo eden od pogojev izmed kompleksa pogojev, to ni več isti poskus. V tem primeru gre za drug poskus. Poskus predstavlja met igralne kocke. Poskus je tudi izbira statistične enote3 iz statistične množice. Poskus označujemo z velikimi tiskanimi črkami s konca abecede: X, Y, Z, ...

Dogodek je možna realizacija poskusa. Pri metu igralne kocke je dogodek dejstvo, da pade pet pik. Pri tem poskusu je dogodek tudi dejstvo, da pade liho število pik. Pri izbiri statistične enote iz statistične množice je dogodek dejstvo, da je enota izbrana. Pri istem poskusu je seveda dogodek tudi 3 Primer statistične enote je občina, upravna enota, posamezna upravna zadeva in podobno.



53

VZORČENJE

dejstvo, da enota ni izbrana. Dogodke označujemo z velikimi tiskanimi črkami od začetka abecede: A, B, C, ...

Pri ponavljanju poskusa X opazujemo realizacijo dogodka A. V tem primeru obstajajo za dogodek A tri različne možnosti:

1. Če se je pri velikem številu ponovitev poskusa X dogodek A zgodil pri vsaki ponovitvi tega poskusa, lahko sklepamo, da se bo dogodek A zgodil pri katerikoli ponovitvi tega poskusa. Dogodek, ki se zgodi pri vsaki ponovitvi poskusa, imenujemo gotov dogodek. Pri metu kocke je gotov dogodek, da vržemo manj kot sedem pik. O tem ni nobenega dvoma, saj so ploskve pri igralni kocki označene od ena do šest pik.

2. Če se pri velikem številu ponovitev poskusa X dogodek A ni zgodil pri nobeni ponovitvi tega poskusa, lahko utemeljeno sklepamo, da se dogodek A ne bo zgodil v nobeni ponovitvi tega poskusa. Dogodek, ki se ne zgodi pri nobeni ponovitvi poskusa, imenujemo nemogoč dogodek. Pri metu kocke je nemogoč dogodek, da vržemo več kot šest pik.

3. Če se pri velikem številu ponovitev poskusa X dogodek A v določenih ponovitvah tega poskusa zgodi, v določenih ponovitvah pa se dogodek A ne zgodi, potem dogodek A imenujem slučajen dogodek. V tem primeru namreč ne moremo pred ponovitvijo poskusa X napovedati, ali bo prišlo do realizacije dogodka A ali ne. Slučajen je dogodek, da vržemo z igralno kocko npr. pet pik.



V vseh treh primerih smo opazovali realizacijo dogodka A pri velikem številu ponovitev poskusa X. Število vseh ponovitev poskusa X bomo označili z n, kjer je n poljubno naravno število. Med vsemi ponovitvami poskusa X pa nas zanima število tistih poskusov, pri katerih se je zgodil dogodek A. To število imenujemo frekvenca dogodka A. Frekvenco dogodka A bomo označevali s f(A). Če frekvenco dogodka A delimo s številom vseh ponovitev poskusa X, do¬bimo relativno frekvenco dogodka A. Če relativno frekvenco dogodka A označimo s f˚(A), velja:

f(A)

f (

 A) 



n



54



VZORČENJE

Relativna frekvenca dogodka A je enaka kvocientu med njegovo frekvenco in številom vseh opravljenih poskusov. V tem smislu je relativna frekvenca gotovega dogodka enaka 1, ker je njegova frekvenca enaka številu ponovitev posameznega poskusa, relativna frekvenca nemogočega dogodka pa je enaka 0, ker je njegova frekvenca enaka 0.

Relativno frekvenco dogodka A lahko izračunamo pri vsaki ponovitvi poskusa X. Pri majhnem številu ponovitev poskusa X je variabilnost relativne frekvence slučajnega dogodka A velika, pri velikem številu ponovitev poskusa X pa je variabilnost slučajnega dogodka A majhna. Pri velikem številu ponovitev poskusa X se namreč relativna frekvenca slučajnega dogodka A ustali pri neki vrednosti. Tudi če število ponovitev poskusa X povečujemo, se relativna frekvenca slučajnega dogodka A le malo spreminja. Tisto vrednost, pri kateri se ustali relativna frekvenca slučajnega dogodka A v velikem številu ponovitev poskusa X, imenujemo verjetnost slučajnega dogodka A in jo označujemo s simbolom P(A). To je statistična ali aposteriorna definicija verjetnosti.

Statistična definicija verjetnosti je aposteriorna definicija verjetnosti, ker jo računamo na podlagi realizacij dogodka A, pri ponavljanju poskusa X. Kadar pa želimo izračunati verjetnost slučajnega dogodka A, ne da bi ponavljali poskus X, uporabimo klasično ali apriorno definicijo verjetnosti. Pri klasični definiciji verjetnosti predpostavljamo simetričen popoln sistem dogodkov.

Množico dogodkov imenujemo popoln sistem dogodkov takrat, kadar velja:

 dogodki so paroma nezdružljivi,

 pri poskusu se zagotovo zgodi eden izmed teh dogodkov.



Dogodka A in B sta nezdružljiva dogodka, če se pri isti ponovitvi nekega poskusa ne moreta zgoditi hkrati. Predstavimo dva nezdružljiva dogodka s primerom. Naj bo A dogodek, da izmed vseh vpisanih otrok v otroškem vrtcu izberemo dečka in naj bo B dogodek, da pri istem poskusu izberemo deklico.

Ta dva dogodka sta nezdružljiva dogodka.



55

VZORČENJE

Dogodka A in B sta združljiva dogodka, če se lahko pri isti ponovitvi nekega poskusa zgodita hkrati. V našem primeru bi to pomenilo: naj bo A dogodek, da izmed vseh vpisanih otrok v otroškem vrtcu izberemo dečka in naj bo B dogodek, da je starost dečka manjša ali enaka štiri leta. Dogodek A in B sta v tem primeru združljiva dogodka, saj se lahko zgodi, da izberemo dečka, ki je star štiri leta ali manj.

Dogodka A in B sta simetrična dogodka, če so enaki vsi pogoji, da se zgodi bodisi dogodek A bodisi dogodek B.

Če se pri nekem poskusu ne zgodi dogodek A, se zgodi negacija dogodka A. To je dogodek, ki ga označimo z . Dogodek A skupaj z dogodkom sestavlja popoln sistem dogodkov.



Klasična definicija verjetnosti

Po klasični definiciji je verjetnost dogodka A enaka kvocientu med številom za dogodek A ugodnih dogodkov popolnega sistema dogodkov in med številom vseh dogodkov popolnega sistema. Če označimo število za dogodek A ugodnih možnosti z m in število vseh možnosti z n, potem velja: m

P( A) 



n

Računanje z dogodki:

 produkt dogodkov A in B je dogodek AB, ki se zgodi, če se zgodita dogodka A in B hkrati,

 vsota dogodkov A in B je dogodek AFB, ki se zgodi, če se zgodi vsaj eden od dogodkov A ali B,

 vsota dogodkov A in B, označena z A+B je dogodek, ki se zgodi natanko takrat, kadar se zgodi eden od dogodkov A ali B.





56





VZORČENJE



Osnovne lastnosti in pravila računanja verjetnosti





Več o verjetnostnem računu lahko bralec najde v učbenikih matematike in statistike za visokošolske in fakultetne študijske programe, navedenih v seznamu literature na koncu učbenika.





Primer 2.2


V neki občini je v otroški vrtec vpisanih 92 otrok, pri tem je 48 dečkov in 44 deklic. Kolikšna je verjetnost, da bomo izmed vseh vpisanih otrok v otroškem vrtcu izbrali dečka?



Pri odgovoru na zastavljeno vprašanje si bomo pomagali s klasično definicijo verjetnosti. Da bi lahko izračunali verjetnost dogodka A, moramo najprej določimo dogodek A. V tem primeru je dogodek A dejstvo, da bomo izbrali dečka. V otroški vrtec je vpisanih 48 dečkov, zato je število za dogodek A ugodnih možnosti enako 48. Število vseh možnosti je enako številu otrok, vpisanih v otroški vrtec. Teh je 92.



Ker je:

m = 48

n = 92



Sledi:

m

48

12

P( )

A 





n

92

23

12

Verjetnost, da bomo izmed vseh vpisanih otrok v otroškem vrtcu izbrali dečka, je enaka 23 ali 0,52.





57

VZORČENJE





Primer 2.3


Kolikšna je verjetnost, da bomo izmed vseh vpisanih otrok v otroškem vrtcu izbrali deklico?

Ta primer lahko rešimo na dva načina:



1. Po prvem pristopu določimo dogodek B. V tem primeru je dogodek B dejstvo, da bomo izbrali deklico. V otroški vrtec je vpisanih 44 deklic, število vseh otrok v otroškem vrtcu pa je enako 92, zato velja:

m= 44

n= 92



Zato je:

m

44

11

P( )

A 







n

92

23

11

Verjetnost, da bomo izmed vseh vpisanih otrok v otroškem vrtcu izbrali deklico, je enaka 23 ali 0,48.





2.Po drugem pristopu izhajamo iz verjetnosti, da bomo izmed vseh vpi¬sanih otrok v otroškem vrtcu izbrali dečka. Ugotovili smo, da je ta enaka

12

P( )

A 



23



3.Negacija dogodka A je v našem primeru dogodek , to je dogodek, da ne bomo izbrali dečka. To pomeni, da bomo izbrali deklico. Pri izračunu verjetnosti dogodka izhajamo iz enačbe: P( )

A  P( )

A  1



Ker je:

12

P( )

A 



23



Velja:

12

11

P( )

A  1  P( )

A  1 





23

23

11

Verjetnost, da bomo izmed vseh vpisanih otrok v otroškem vrtcu izbrali deklico, je enaka 23 .





58



VZORČENJE

Zaporedje neodvisnih poskusov

Pogosto nastopajo primeri zaporednega izvajanja velikega števila enakih poskusov. Verjetnost, da se bo dogodek A zgodil, je v vseh ponovitvah enaka, označujemo jo z: P(A) = p

Če nas zanima verjetnost, da se dogodek A zgodi v n ponovitvah poskusa k krat, bomo to verjetnost računali po obrazcu:

 n k n k

P ( k) 

p q



n

 

 k 

Bernoullijeva formula q pri tem pomeni verjetnost nasprotnega dogodka A in velja:

p + q = 1 ali q = 1 - p



Kadar je n velik, p pa blizu nič, namesto Bernoullij eve formule uporabljamo njen približek (vendar enostavnejši za izračun), to je Poissonovo formulo:

( np) k e np

P ( k) 



n

!

k

Kadar pa je n velik, p pa v bližini vrednosti 1/2 uporabimo približek, imenovan Laplacejeva formula:

( k  np ) 2

1

 2 npg

P ( k) 

e



n

npq



V gornjem obrazcu nadomestimo z(x) naslednji del izraza:

2

1

x

 2

( x) 

. e



2

Ta funkcija je poznana pod imenom Gaussova ali normalna krivulja.

Vrednosti za φ(x) so podane v dodatku te knjige.



59

VZORČENJE

k  np

Verjetnost P (k) zapišemo z upoštevanjem x =

v obliki:

n

npq

1

P ( k) 

.( x) .

n

npq



Lastnosti normalne porazdelitve φ(x):

 enomodusne zvonaste oblike, prikazane v sliki 2.1 Graf normalne porazdelitve,

 simetrična, velja trditev: φ(x-c) =(x+c) in da je M = M =M , x

e

o

 koeficient asimetrije je enak nič: KA

= KA = 0,

Mo = KAMe

Q

 sploščenost normalne porazdelitve je merilo za izražanje sploščenosti drugih porazdelitev. Za porazdelitev je posebej pomembna zakonitost razporejanja enot v okolici aritmetične sredine, prikazana v preglednici 2.3.



Preglednica 2.3: Razporejanje enot v okolici aritmetične sredine pri normalni porazdelitvi

Delež vseh enot populacije





Razmik


%

M ± σ

K



68,3

M ± 2σ

K



95,4

M ± 3σ

K



99,7



60





VZORČENJE

Slika 2.1: Graf normalne porazdelitve





Ploščina pod krivuljo je mera za verjetnost, da bo vrednost spremenljivke x pod izbrano vrednostjo x .

0

Ta verjetnost se izračuna z obrazcem:

1

  x 2

x 0

2

1

F ( x ) 

e

dx



0

2





Ker pogosto srečujemo spremenljivke y, za katere ne veljajo gornje lastnosti, so pa na množici normalno porazdeljene, uporabimo opisano metodo tako, da spremenljivki y priredimo ustrezno standardizirano spremenljivko z po pravilu:

y  M y

z 



(2.3.1)

y

My - aritmetična sredina za spremenljivko y,

σ - standardni odklon za spremenljivko y.

y





61

VZORČENJE

V tem primeru je aritmetična sredina za spremenljivko z enaka 0: M = 0.

z

Posamezna vrednost standardizirane spremenljivke z nam pove, za i

koliko standardnih odklonov σ se ustrezna vrednost y razlikuje od y

i

aritmetične sredine M . Če je vrednost standardizirane spremenljivke z y

pozitivna, potem je ustrezna vrednost y večja od aritmetične sredine M , če pa i

y

je vrednost standardizirane spremenljivke negativna, pa je ustrezna vrednost y i manjša od aritmetične sredine normalno porazdeljene spremenljivke Y. V tem smislu z =+3 pomeni, da je ustrezna vrednost y večja od aritmetične sredine M

i

i

y

za 3σ .

y



Porazdelitev vzorčnih vrednosti parametra pri velikih vzorcih Pri velikih vzorcih velja, da se vzorčne vrednosti parametra g porazdeljujejo okoli prave vrednosti parametra G normalno.

Vsebino preglednice 2.3 bomo za primer vzorčnih vrednosti aritmetične sredine podali v preglednici 2.4. Razporejanje vzorčnih vrednosti aritmetične sredine y okoli vrednosti Y .

y

Preglednica 2.4: Razporejanje vzorčnih vrednosti aritmetične sredine y okoli vrednosti Y

y

Delež vseh vzorcev





Interval


68,28%

Y 

 



y

SE

y

Y y

SE

y

y

95,45%

Y 

 



y

2 SE

y

Y y

2 SE

y

y

99,73%

Y 

 



y

SE

3

y

Y y

SE

3



y

y



SE standardni odklon vzorčnih vrednosti aritmetične sredine v množici y

vzorcev.



62





VZORČENJE

2.4 Točkovna in intervalna ocena parametrov statistične množice 2.4.1 Izhodiščne opredelitve

Pri nadaljevanju obravnavanja teorije vzorčenja se bomo omejili na področje velikih vzorcev, kjer za velike vzorce obravnavamo vzorce z najmaj 50 enotami.

Ocena vrednosti parametra statistične množice je lahko točkovna (ena) ali intervalna (vrednost se lahko nahaja v navedenem intervalu). Vrednosti ocen so približne, s tem da pri intervalni oceni trdimo, da vrednost ne more biti zunaj navedenega intervala, istočasno pa tudi navedemo tveganje pri taki trditvi.

Tveganje pomeni verjetnost, da se dogodek, ki ga pričakujemo, ne zgodi.

Točkovna ocena parametra G: do točkovne ocene parametra G

statistične množice pridemo z izračunanjem vrednosti parametra g na proučevanem vzorcu.

Intervalna ocena parametra G: pri navajanju intervalnih ocen lahko interval omejimo na obe strani, lahko pa je omejitev intervala samo ena, ko določimo vrednost, ki je vrednost ocenjevanega parametra ne preseže ali pod katero ne more biti.

Ločimo dve vrsti intervalnih ocen (pogosto uporabljamo izraz trditev): dvostranske in enostranske.

Dvostranska trditev - kadar za vrednost parametra G, ki ga ocenjujemo, opredelimo zgornjo in spodnjo mejo.

Enostranska trditev - kadar opredelimo eno (zgornjo ali spodnjo mejo) za vrednost parametra G, ki ga ocenjujemo.

Do intervalne ocene parametra G statistične množice pridemo na osnovi tveganja z določanjem intervala, na katerem se lahko vrednost parametra G

nahaja:

g  d  G  g  d , (2.4.1) g

g



63

VZORČENJE

pri tem pomeni:

g

- točkovno oceno, izračunano na vzorcu,

d - odklon zaupanja za parameter G na množici vseh vzorcev, določen g

glede na porazdelitev množice vzorcev in stopnjo tveganja.



Intervalne ocene parametrov statističnih množic določamo za primere, ko se vzorčne ocene g izbranega parametra G na množici vseh (velikih) vzorcev porazdeljujejo normalno, skladno z opredelitvijo, navedeno v preglednici 2.4.

Intervalno oceno parametra statistične množice (2.3.1) bomo za naš namen zapisali v obliki:

g  z SE( g)  G  g  z SE( g)





, (2.4.2) pri tem pomeni:

G

- parameter, za katerega določamo intervalno oceno,

g

- točkovna ocena parametra G,

z

- standardizirani odklon pri stopnji tveganja α,

α

SE(g)

- standardna napaka ocene parametra G, (standardni odklon na množici vseh vzorcev).



Za z se običajno uporabljajo vrednosti pri stopnji tveganja α = 0,05 ali α

α = 0,01 ali α = 0,001. Vrednosti za enostranske in dvostranske ocene so prikazane v preglednici 2.5.



64





VZORČENJE

Preglednica 2.5: Vrednosti zα najpogostejše stop nje tveganja Stopnja tveganja

Vrednost zα pri

Vrednost zα pri

α

dvostranski trditvi





enostranski trditvi


0,05

1,96

1,64

0,01

2,58

2,32

0,001

3,29

3,09



Ker običajno standardne napake SE(g) ne poznamo, uporabljamo oceno standardne napake se(g), ki jo računamo na vzorcu.

Potem bomo izraz (2.3.2) zapisali v obliki:

g  z se( g)  G  g  z se( g)





. (2.4.3) Zaradi normalnih porazdelitev vzorčnih ocen parametra g okrog prave vrednosti G in zaradi zveze 2.4 in vrednosti z za običajne stopnje tveganja α

vsebino preglednice 2.4 zapišemo v preglednici 2.6.

Preglednica 2.6: Intervalne ocene parametrov za normalne porazdelitve vzorčnih vrednosti

Delež vseh vzorcev





Interval


95%

g-1,96*se(g)<G<g+1,96*se(g)

99%

g-2,58*se(g)<G<g+2,58*se(g)

99,9%

g-3,29*se(g)<G<g+3,29*se(g)



2.4.2 Ocenjevanje parametrov statistične množice

Splošen opis postopka

V nadaljevanju bodo predstavljeni postopki in obrazci za določanje točkovnih in intervalnih ocen za parametre:

 aritmetična sredina,

 total, (vsota, agregat),



65

VZORČENJE

 strukturni delež,

 ocenjevanje razlike med aritmetičnima sredinama.



Postopek ocenjevanja vrednosti parametrov G pri vseh obravnavanih primerih poteka v podobnem zaporedju:

 ocena parametra g na vzorcu - točkovna ocena parametra,

 standardni odklon s na vzorcu,

 ocena standardne napake za ocene parametra g na množici vzorcev se(g),

 določitev intervalne ocene parametra.



n

V primerih, ko je

 10

,

0

pomnožimo vrednost se(g) s faktorjem f, ki

N

ga imenujemo faktor za končnost:

N  n

f 

.

N  1



Velikost vzorca

Velikost vzorca vpliva na natančnost intervalne ocene. Kadar želimo pri izbrani stopnji tveganja doseči potrebno natančnost intervalne ocene, lahko izračunamo za ugotovljene zahteve najmanjšo velikost vzorca. Glede na podane zahteve računamo velikosti vzorcev z uporabo obrazcev:

- natančnost ocene, ki se izraža z razmerjem:

z se

. ( g)



 p

g

- izračun n za vzorec iz obrazca: z .se(g) = pg ali

α

- če je z .se(g) podana v absolutnem znesku: z .se(g) = d , d imenujemo α

α

g

g

odklon zaupanja, v absolutnem znesku.



66



VZORČENJE

Ocenjevanje aritmetične sredine Y

Pri ocenjevanju vrednosti aritmetične sredine računamo:

 točkovno oceno aritmetične sredine y na vzorcu,

 za aritmetično sredino y standardni odklon s na vzorcu,

 oceno standardne napake za ocene y na množici vzorcev se( y ).



Točkovna ocena aritmetične sredine y se računa po znanem obrazcu: n

 yi

y

i 

 1

. (2.4.4) n

Standardni odklon s na vzorcu računamo po obrazcu:

 n( y  y)2

i

i 1

s 



(2.4.5)

n 1

Kadar so vzorčni podatki v obliki frekvenčne porazdelitve, upoštevamo pri oceni variance obrazca:

 f *( y  y)2

2

s 

j

j

,

y

n 1

2

d

2

2

s

 s 

. Sheppardov popravek (2.4.6) y, po .

p

y

12



(d - širina razreda frekvenčne porazdelitve)



Oceno standardne napake se( y ) bomo računali s pomočjo obrazca: s

se( y) 

. (2.4.7) n





67



VZORČENJE

Uporabimo (2.3.3) in (2.3.7) in dobimo:

s

s

y  z

y

 Y  y  z

y





. (2.4.8) n

n

Velikost vzorca pri določanju ocene aritmetične sredine računamo iz odklona zaupanja, ki je razviden v (2.3.8) in je enak:

s

d  z

y

.

y



n

Izrazimo n, in dobimo:

2





 z s

 

n  

. (2.4.9) d 

 y 





Primer 2.4


Preglednica 2.7: Število prodajaln na drobno v letu 1993 v občinah Slovenije (SL RS1994, str. 575)





4900

y 

 98 je točkovna ocena za povprečno število prodajaln v občini 50

 f ( y  y)2

2

j

j

130800

s 





39

,

2669



y

n 1

50 1

2

d

2

2

s

 s 

 2461

y, pop

y

12





68



VZORČENJE

Korenimo in dobimo:

s 

6

,

49 ,

y

sy

,

49 61

se 



 7,02 .

y

n

50



(Popravka za končnost zaradi preglednosti primera ne bomo računali.) Tveganje: α = 0,05



Dvostranska ocena: zα = 1,96

d  z . se( y) 

02

,

7

.

96

,

1



75

,

13

y



.



Spodnja meja intervala zaupanja:

y  d  98 

75

,

13

 ,

84 25.

y



Zgornja meja intervala zaupanja:

y  d  98 

75

,

13

 111 75

,

.

y



Intervalna ocena y pri stopnji tveganja α = 0,05 je:

,

84 25  Y 

.

75

,

111





Velikost vzorca:

Če bi želeli, da je odklon pri stopnji tveganja α = 0,05 enak 15% aritmetične sredine, bi zapisali: d 

.

15

,

0

y 

98

.

15

,

0



.

7

,

14



y



Za določitev velikosti vzorca bomo uporabili (2.8) in upoštevali dobljeno vrednost d : y

2

2





z s





6

,

49

.

96

,

1







n 

 

 

.

7

,

43



 d 



7

,

14



 y 

Potrebovali bi vzorec s 44 enotami, če bi želeli doseči pri intervalni oceni interval z 15%

odklonom od ocenjene srednje vrednosti.





69

VZORČENJE

Ocenjevanje vsote (totala, agregata) Y

Za total velja naslednja zveza:

Y  NY .

Ocenjena vrednost totala na celotni populaciji je potem enaka:



Y  N y . (2.4.10) Po analogiji velja za standardno napako ocene enačba:

s

se Y

( )  N se

. ( y)

N

y



. (2.4.11) n

Intervalno oceno za agregat računamo tako, da upoštevamo splošno opredelitev (2.3.3) in (2.3.11) in dobimo:

s

s

Y  z . N

y

 Y  Y  z . N y





. (2.4.12) n

n

Velikost vzorca pri določanju agregata računamo iz odklona zaupanja, ki je razviden v (2.3.12) in je enak:

s

d  z N

y



y

.

n

Velikost vzorca n je enaka:

2





 z Ns



y 

n 

.



(2.4.13)

d





y







70



VZORČENJE





Primer 2.5


Število prodajaln na drobno v letu 1993 v vseh občinah Slovenije je podano v primeru 2.4

(Vir:SL RS 1994, str.575). Na osnovi vzorca 50 občin določite število prodajaln v Sloveniji, ko je bilo 62 občin. Ocena naj bo dvostranska, naredimo jo pri stopnji tveganja 0,01.



V primeru 2.4 smo ugotovili, da je:



Y = 62,98 = 6076

zα = 2,58,

N = 62.



Ker je

(

se Y )  N. (

se y)

in vemo, da je:

se( y) 

02

,

7

,

potem je:

(

se Y )  N. (

se y) 

02

,

7

.

62



,

435 24.



Intervalna ocena je potem enaka:





Y - zα · Nse( y ) < Y < Y + zα · Nse( y ), 6076 - 2,58 . 435,24 < Y < 6076 + 2,58 . 435,24,

4953 < Y < 7199



V obravnavanem obdobju je bilo v Sloveniji število prodajaln na drobno večje od 4953 in manjše od 7199 pri stopnji tveganja α = 0,01.





Ocenjevanje deleža P, števila enot z izbrano lastnostjo - N

a

Metoda se uporablja pri numeričnih in pri atributivnih spremenljivkah: delež otrok, delež žensk.

Delež izračunamo po obrazcu:

N

P

a



.

N





71

VZORČENJE

Točkovno oceno za delež na vzorcu označimo s p in izračunamo po obrazcu:

n

p

a



. (2.4.14) n

Ocena standardne napake se računa po obrazcu:

p 1

(  p)

se( p) 

. (2.4.15) n



Intervalna ocena za vrednost deleža je zaradi splošne opredelitve (2.4.3) in (2.4.15) enaka:

p 1

(  p)

p 1

(  p)

p  z

 P  p  z





. (2.4.16)

n

n

Velikost vzorca pri ocenjevanju deleža računamo iz odklona zaupanja, ki je razviden v (2.3.16) in je enak:

p 1

(  p)

d  z

p



.

n

Iz zadnje enačbe izrazimo n in dobimo obrazec za velikost vzorca pri ocenjevanju deleža:

2

z p 1

(  p)

n  

. (2.4.17) 2

d p





72



VZORČENJE





Primer 2.6


V upravnih enotah smo opazovali reševanje upravnih zadev. Zanima nas, kolikšen je odstotek zadev, ki jih rešuje oddelek za upravne notranje zadeve. V 150 primerih je bilo 130 zadev oddelka za notranje upravne zadeve. Vseh upravnih zadev proučevanega obdobja je bilo 1450.



Naredimo dvostransko oceno pri stopnji tveganja 0,05. Razpolagamo s podatki:

-velikost vzorca: n = 150

-zadeve, za katere računamo delež: na = 130

-velikost osnovne statistične množice: N = 1450

-z0,05 = 1,96



Izračunajmo:

n

130



p  a 

 87

,

0



1

(

87

,

0

)

87

,

0

se( p) 



,

028

,

0



n

150

150



d  z

se( p) 

02

,

0

.

96

,

1

8 

05

,

0

4 ,

p

0,05

81

,

0

 P  92

,

0

.



Pričakujemo od 82% do 92% upravnih zadev oddelka za notranje zadeve od vseh zadev ali, med 1450 zadevami bo od 1177 do 1335 zadev oddelka za notranje zadeve.



Velikost vzorca pri 5% odklonu (od točkovne ocene p) bi bila enaka:

-odklon zaupanja:

5

d 

p 

87

,

0

.

05

,

0



,

043

,

0



p

100



-velikost vzorca:

2

z p 1

(  p)

96

,

1

2

1

(

87

,

0



)

87

,

0



n  





,

236 .

4

2

d

043

,

0

2

p



V vzorec bi moralo biti zajetih najmanj 237 enot, če bi pri 5% tveganju želeli doseči tako intervalno oceno, pri kateri bi bil odklon manjši od 5% točkovne ocene.





Ocenjevanje razlike med aritmetičnima sredinama: Y 

1

Y 2

Imamo dve populaciji z N in N enotami in na njih opazujemo 1

2

spremenljivko y. Označimo aritmetično sredino spremenljivke y na prvi populaciji z Y na drugi pa z Y .

1

2



73

VZORČENJE

Vzorca iz teh dveh populacij imata n1 in n2 enot. Aritmetični sredini spremenljivke y imata vrednosti na vzorcih y in y . Ocenjujemo razliko 1

2

med aritmetičnima sredinama spremenljivke y na obeh populacijah.

Točkovno oceno razlike med aritmetičnima sredinama na vzorcih zapišemo v obliki:

y  y

1

2

Oceno standardne napake v razliki med aritmetičnima sredinama računamo po obrazcu:

2

2

s

s

1

2

se( y  y ) 



. (2.4.18) 1

2

n

n

1

2

Intervalna ocena za vrednost razlike aritmetičnih sredin obeh množic sledi iz (2.3.3) in (2.3.18) in je enaka:

( y  y )  z . (

se y  y )  ( Y 









1

Y 2)

( y

y )'

z . (

se y

y )

1

2



. (2.4.19)

1

2

1

2



1

2





74



VZORČENJE





Primer 2.7


V dveh enotah so opazovali reševanje enake vrste upravnih zadev. Zbrali so mesečne podatke o poteku reševanja upravnih zadev in jih statistično obdelali.

V enoti I so statistični parametri imeli vrednosti:

- rešenih je bilo 165 zadev,

- povprečno trajanje reševanja ene zadeve: 4,2 ur

- standardni odklon: 0,39 ure

V enoti II so statistični parametri imeli vrednosti:

- rešenih je bilo 125 zadev,

- povprečno trajanje reševanja ene zadeve: 3,4 ure

- standardni odklon: 0,45 ure



Zanima nas, kakšna razlika obstaja med trajanji reševanja zadev v obeh enotah. Določimo točkovno in intervalno oceno pri stopnji tveganja α = 0,05.

Navedenim vrednostim navedimo oznake:

n  16 ,

5

1

y  ,

4 ,

2

1

s 

,

39

,

0



1

n  12 ,

5

2

y  ,

3 ,

4

2

s  ,

0

.

45

2



Točkovna ocena:

y  y  ,

4 2  ,

3 4  8

,

0 .

1

2



Standardna napaka:

2

2

s

s

39

,

0

2

,

0 452



se( y  y )

1

2











0025

,

0



.

05

,

0

1

2

n

n

165

125

1

2



Intervalna ocena razlike med aritmetičnima sredinama je:

8

,

0 

05

,

0

.

96

,

1

  Y  Y 



1

2 

8

,

0

,

05

,

0

.

96

,

1



70

,

0

  Y  Y 

1

2 

.

90

,

0



Pri stopnji tveganja 0,05 pričakujemo, da bo povprečno daljše reševanje ene zadeve v enoti I kot v enoti II. Razlika se bo gibala v intervalu od 0,70 ure do 0,90 ure ali od 42 do 54 minut.





75





VZORČENJE

2.5 Statistično preizkušanje domnev

Posebej pogosto uporabljena metoda ocenjevanja vrednosti statističnih parametrov je metoda statističnega preizkušanja domnev ali hipotez.

Teoretična osnova metode izhaja iz teorije vzorčenja. Imamo opravka z enakim problemom, zakonitosti med obravnavanimi množicami so enako opredeljene, kot smo jih opredeljevali pri ocenjevanju vrednosti parametrov. Zato prav tako, kot smo se v prejšnjem poglavju omejili le na velike vzorce in upoštevali zakonitosti pri velikih vzorcih, sprej memo tudi tu isto omejitev, da bomo obravnavali le primere preizkušanja hipotez za velike vzorce (n>50).

Osnovni obrazec za preizkušanje hipotez je določen na osnovi lastnosti standardizirane normalne porazdelitve in izračuna vrednosti spremenljivke iz obrazca (2.3.1):

y  M y

z 



.

y

V postopku preiskušanja trditev (hipotez, domnev) bomo obrazec uporabljali tako, da bomo za M

, ki bo

y upoštevali vrednosti parametra G0

predmet trditve, za y bomo upoštevali vzorčno vrednost g obravnavnega parametra in za σ vrednost ocene za standarno napako (računano na vzorcu) y

za ocene parametra g. Tako bo obrazec imel obliko:

g  G 0

z 

. (2.5.1) se( g)

Izhodišče za postopek preiskušanje trditev je pravilo, da lahko sprejmemo trditev, če smo uspeli zavrniti nasprotno trditev. Drugače povedano, kadar zavrnemo neko trditev, potem lahko sprejmemo njeno nasprotno trditev.

Postopek preizkušanja hipotez poteka v zaporedju:



76



VZORČENJE

 določitev osnovne trditve (domneve, hipoteze) H in nasprotne ali 1

ničelne trditve (domneve, hipoteze) H in stopnjo tveganja α, pri 0

kateri preizkušamo hipotezo,

 priprava podatkov in izračun parametra z,

 ugotovitev, ali je razlika med vzorčno oceno in vrednostjo parametra v ničelni hipotezi taka, da izračunani z prekoračuje vrednost z pri α

zahtevani stopnji tveganja α; če z presega vrednost z , zavrnemo α

ničelno hipotezo in sprej memo osnovno hipotezo (če ne želimo sprejemati hipoteze pri visoki stopnji tveganja, povečamo vzorec).



Obstaja enostransko in dvostransko preizkušanje hipotez. Pri dvostranskem preizkušanju hipoteze je:

 osnovna hipoteza H : G ≠ G ,

1

0

 ničelna hipoteza H : G = G .

0

0



Pri enostranskem preizkušanju hipotez so opredelitve lahko:

 osnovna hipoteza H : G < G

1

0

 ničelna hipoteza H : G ≥ G

0

0

ali

 osnovna hipoteza H : G > G

1

0

 ničelna hipoteza H : G ≤ G

0

0



Hipoteze zavračamo glede na vrednosti z, ki jo izračunamo iz (2.5.1) in vrednosti z določene za posamezne stopnje tveganja. Pri katerih vrednostih z bomo hipoteze zavračali, prikazujemo v preglednici 2.8.



77



VZORČENJE

Preglednica 2. 8: Vrednosti z glede na zα pri zavračanju hipotez in različnih stop njah tveganja

HIPOTEZA





Zavrnemo hipotezo


α = 0,05

α = 0,01

α = 0,001

G = G0

|z|>|zα|

|z|>1,96

|z|>2,58

|z|>3,29

G ≥ G0

z<zα zα<0

z<-1,64

z<-2,32

z<-3,09

G ≤ G0

z>zα zα>0

z>1,64

z>2,32

z>3,09



Grafično je postopek preizkušanja hipotez prikazan v sliki 4.1.



Slika 4.1: Postopek ocenjevanja statističnih parametrov s preizkušanjem hipotez





Primeri se bodo nanašali na velike vzorce in za parametre, ki so obravnavani v poglavju o določanju intervalnih ocen za vrednosti parametrov statistične množice z vzorci.



78



VZORČENJE





Primer 2.8


V primeru 2.3 so podatki o številu prodajaln na drobno v letu 1993 v 50 občinah v Sloveniji (SL

RS 1994, str. 575). Zanima nas, ali lahko trdimo pri stopnji tveganja 0,05, da je bilo v letu 1993

povprečno 100 prodajaln v vsaki občini.



Na vzorcu smo ugotovili, da je:

y 

,

98



se( y) 

.

02

,

7



Zapišimo trditve:



- osnovna trditev H : M = 100

1

y



- nasprotna trditev (ničelna hipoteza) H : M ≠ 100

0

y



Izračunajmo z:

y  M y

98 100



z 



  ,

0

.

28

se( y)

02

,

7



Ker je z0,05 = 1,96 in je z = -0,28, lahko zaradi ugotovitve, da je |z|<|z0,05|, sprejmemo odločitev, da ničelne hipoteze ne zavrnemo, zato tudi ne sprejmemo osnovne hipoteze, da je v letu 1993 bilo povprečno v občinah po 100 trgovin na drobno.





79

VZORČENJE





Primer 2.9


V primeru 2.4 smo ocenjevali število prodajaln na drobno v letu 1993 v 50 občinah v Sloveniji (SL RS 1994, str. 575). Zanima nas, ali lahko trdimo pri stopnji tveganja 0,01, da je bilo v letu 1993 v Sloveniji manj kot 8000 prodajaln na drobno.



Iz vzorca smo ugotovili:

Y  6067



se( Y )  43 ,

5

.

24



Zapišimo trditve:

-

osnovna trditev - H : Y < 8000

1

-

nasprotna trditev - H : Y ≥ 8000

0



Izračunajmo z:

Y  Y

6076  8000

z 



  ,

4

.

42

se( Y )

,

435 24



V našem primeru je z = -4,42 in zα = -2,32 torej velja, da je: z < zα; trditev H0 torej zavrnemo in pri stopnji tveganja 0,01 sprejmemo domnevo, da je bilo število prodajaln na drobno v Sloveniji manjše od 8000.





80



VZORČENJE





Primer 2.10


V primeru 2.5 smo obravnavali primer deleža zadev oddelka za upravne notranje zadeve v vseh reševanih zadevah upravne enote. Na razpolago smo imeli podatke, da je v primeru 150 zadev bilo 130 zadev oddelka za notranje upravne zadeve. Zanima nas, ali lahko trdimo pri stopnji tveganja 0,001, da je bilo zadev oddelka za notranje upravne zadeve več kot 80%.



Iz vzorca smo ugotovili, da je:

n

130

p  a 



,

87

,

0

n

150



se( p) 

.

028

,

0



Zapišimo trditve:

Ker se vprašanje nanaša na vrednost: P =0,80, je

0

- osnovna trditev - H : P > 0,80

1

- nasprotna trditev - H : P ≤ 0,80.

0



Izračunajmo z:

p  P

87

,

0

 80

,

0

0

z 





.

50

,

2



se( p)

028

,

0



V našem primeru je z = 2,50 in z0,001 = 3,09 velja, da je z < zα; trditve H0 torej ne zavrnemo in pri stopnji tveganja 0,001 ne sprejmemo domneve, da je bilo zadev oddelka za notranje upravne zadeve več kot 80%.





81

VZORČENJE





V tem poglavju ste spoznali naslednje pojme:

 osnovni namen in razloge vzorčenja,

 vrste vzorčenja in osnovne statistične množice pri vzorčenju,

 pojem verjetnosti in pojem tveganja,

 določanje točkovne in intervalne ocene izbranega parametra statistične množice,

 statistične domneve ter postopke preizkušanja statističnih domnev.





82





GOSPODARSKI RAČUN

3

GOSPODARSKI RAČUN4

3.1 Zmesni račun

Opredelitev problematike zmesnega računa

Vsaka dobrina je narejena iz posameznih sestavin. Pri izdelavi posamezne dobrine lahko uporabimo dve ali pa več sestavin. Razmerje med posameznimi sestavinami pri izdelavi dobrine imenujemo mešalno razmerje.

Zmesni račun uporabljamo za reševanje tovrstne problematike. Poznamo dva različna načina uporabe zmesnega računa:

 poznamo lastnosti dobrine, določiti pa moramo mešalno razmerje sestavin,

 poznamo razmerje med sestavinami, določiti pa moramo kakovost dobljene dobrine.



V prvem primeru gre za pravi zmesni račun, v drugem primeru pa gre za nepravi zmesni račun. Ločimo tudi enostavni zmesni račun in pa sestavljeni zmesni račun. V okviru enostavnega zmesnega računa se bomo ukvarjali z dobrinami, ki jih dobimo s pomočjo mešanja dveh različnih sestavin, pri sestavljenem zmesnem računu pa se bomo ukvarjali s tistimi dobrinami, ki jih dobimo z mešanjem več kot le dvema sestavinama.

Pri zmesnem računu nas zanimajo lastnosti posameznih sestavin in pa lastnost dobrine, ki je rezultat mešanja posameznih sestavin. Kot merilo za lastnost posamezne sestavine ali dobrine lahko uporabljamo različne 4 Podrobnejšo razlago vsebine tega poglavja lahko bralec najde v: Indihar, S., Kavkler, I., Mastinšek, M.: Matematika za ekonomiste: I. del, Univerza v Mariboru, Maribor 1997.

Usenik, J.: Matematične metode v managementu, poslovni račun, Visoka šola za management v Kopru, Koper 1997.



83

GOSPODARSKI RAČUN

kategorije. To je lahko prodajna cena, stroški,… pač odvisno od problema, ki ga želimo rešiti.



Temeljna izhodišča zmesnega računa

Temeljna izhodišča zmesnega računa lahko strnemo v dve točki: 1. vsota vseh posameznih količin pred mešanjem je enaka količini dobljene dobrine po mešanju in

2. vsota vrednosti posameznih količin pred mešanjem je enaka vrednosti dobljene dobrine po mešanju.

To sta dve osnovni pravili zmesnega računa.



Odnos med kakovostjo prve sestavine, kakovostjo druge sesta vine in kakovostjo dobrine

Kljub temu, da imamo pri mešanju sestavin lahko opraviti tudi z več kot dvema sestavinama, se za začetek omejimo samo na dve sestavini. Obe sestavini bomo najprej dodatno poimenovali. Sestavino z boljšo kakovostjo in višjo ceno v skladu z našim predhodnim dogovorom poimenujemo kot boljša sestavina, sestavino s slabšo kakovostjo in ustrezno nižjo ceno pa opredelimo kot slabše blago. Za potrebe matematične rešitve problema najprej opredelimo spremenljivke, s katerimi bomo operirali:

x - količina boljše sestavine,

1

x - količina slabše sestavine,

2

c - kakovost boljše sestavine,

1

c - kakovost slabše sestavine,

2

c - kakovost dobrine.

m



Na podlagi opredeljenih spremenljivk lahko izpeljemo enačbe zmesnega računa, ki temeljijo na temelj nih izhodiščih zmesnega računa.



84



GOSPODARSKI RAČUN

Tako velja:

X C + X C = (X + X )C

1

1

2

2

1

2

m

X (C – C ) = X (C – C )

1

1

m

2

m

2

x

c  c

1

m



2 (3.1.1) x

c  c

2

1

m



Gornjo enačbo lahko zapišemo v obliki razmerja:

x : x = (c – c ) : (c – c ) (3.1.2) 1

2

m

2

1

m



Poleg tega velja tudi:

c >c >c

1

m

2

saj je kakovost dobljene dobrine vedno med kakovostma obeh sestavin, ki ju mešamo. To pa pomeni, da sta razliki (c -c ) in (c -c ) vedno pozitivni.

m

2

1

m



Iz enačbe (3.1.1) sledi:

x = (c – c )u (3.1.3) 1

m

2

x = (c – c )u (3.1.4) 2

1

m



Ker je ohranjanje količine sestavin eden od pogojev zmesnega računa, lahko zapišemo:

x + x = X (3.1.5) 1

2

kjer je X skupna količina mešanih sestavin.



V enačbo (3.1.4) vstavimo enačbi (3.1.2) in (3.1.3) ter dobimo: (c – c )u + (c – c )u = X (3.1.6) m

2

1

m





85

GOSPODARSKI RAČUN

Enačbo lahko poenostavimo:

c u - c u + c u – c u = X

m

2

1

m

- c u + c u = X

2

1

u(c – c ) = X

1

2

X

u 



c  c

1

2



Dobljeno rešitev vstavimo v enačbo (3.1.5) in dobimo:

X

X

( c  c )

 ( c  c )

 X

m

2

c  c

1

m

c  c

1

2

1

2



Enačbo delimo z X in dobimo:

c  c

c  c

m

2

1



m  1

c  c

c  c

1

2

1

2



Slednja enačba nam pove:

1. kolikšen je delež količine x v dobrini

1

c  c

m

2

c  c

1

2

2. kolikšen je delež količine x v dobrini

2

c  c

1

m

c  c

1

2



Izračun kakovosti dobrine

Kakovost dobrine lahko računamo, če poznamo kakovosti in količine mešanih sestavin. Izhajamo iz enačbe:



86



GOSPODARSKI RAČUN

x c + x c = (x + x )c

1 1

2 2

1

2

m

Če iz navedene enačbe izrazimo c , dobimo:

m



c x  c x

1 1

2

2

c 



m

x  x

1

2

V kolikor bi želeli izračunati kakovost dobrine, sestavljene iz n sestavin, bi postopali takole:

x c + x c + ... + x c = (x + x + ... + x )c

1 1

2 2

n n

1

2

n

m



Iz tega sledi:

c  x  c  x    c  x 1

1

2

2

n

n

c 



m

x  x    x

1

2

n



87

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.1


Občina načrtuje sofinanciranje otroškega varstva predšolskih otrok svojih občanov.

Občani lahko za svoje otroke poiščejo varstvo v otroškem vrtcu v svoji občini ali pa v sosednjih občinah. Mesečni prispevek občine za varstvo enega otroka v domačem otroškem vrtcu znaša 40 tisoč DE, v vrtcu izven občine pa 50 tisoč DE. Ugotovite: 1. razmerje med številom otrok, ki lahko obiskujejo otroški vrtec v domači občini in med številom otrok, ki lahko obiskujejo otroški vrtec v drugih občinah, če želijo v občini doseči povprečni prispevek v višini 42 tisoč DE na otroka, 2. koliko otrok bi moralo obiskovati vrtec v domači občini in koliko otrok lahko obiskuje otroške vrtce izven domače občine, če želimo doseči povprečni prispevek 42 tisoč DE in ob predvidevanju, da bo obiskovalo otroške vrtce 140 otrok občine, 3. po opravljenem vpisu se izkaže, da vrtec v občini obiskuje 105 otrok, v ostale vrtce pa je vpisanih 35 otrok. Izračunajte povprečni prispevek občine.





1. Vprašanje

Podatki so:

c = 40 tisoč DE

1

c = 50 tisoč DE

2

c = 42 tisoč DE

m



Uporabimo enačbo:

c : c = (c

): (c - c )

1

2

m - c2

1

m





88



GOSPODARSKI RAČUN

Če vstavimo podatke v enačbo, dobimo:

x

= (42 - 50) : ( 40 - 42 )

1 : x2

x : x = 8 : 2

1

2

x1 : x2 = 4 : 1





2. Vprašanje

Podatki so:

X = 140



Velja:

x + x = X

1

2



Če upoštevamo, da mora biti število otrok v razmerju:

x : x = 4 : 1

1

2



Potem velja:

x = 4 · x

1

2



Če vstavimo ta izraz v enačbo:

x + x = X

1

2



In upoštevamo, da je X = 140, dobimo:

4 · x + x = 140

2

2

5 · x = 140

2

x = 28

2



Sedaj lahko izračunamo tudi vrednost x :

1

x = 4 . x

1

2

x = 4 . 28 = 112

1



Ob danih predpostavkah bi moralo obiskovati otroški vrtec v domači občini 112 otrok, 28 otrok pa bi lahko obiskovalo vrtce izven domače občine.





3. Vprašanje

Pri računanju poprečnega prispevka občine si bomo pomagali z enačbo: c  x  c  x

1

1

2

2

c 



m

x  x

1

2





89





GOSPODARSKI RAČUN

Podatki so:

x = 105

1

x = 35

2

c = 40 tisoč DE

1

c = 50 tisoč DE

2



Če vstavimo podatke v našo enačbo, dobimo:

c  x  c  x

40 105  50  35

1

1

2

2

c 





5

,

42

m

x  x

105  35

1

2



Občina bo za otroško varstvo iz proračuna v povprečju mesečno namenila 42500 DE

na otroka.



3.2 Sklepni in delitveni račun

3.2.1 Sklepni račun

Sklepni račun je postopek, s pomočjo katerega izračunamo neznano vrednost ene spremenljivke na podlagi ostalih znanih vrednosti proučevanih spremenljivk in pri pogoju, da obstaja med proučevanimi spremenljivkami bodisi prema sorazmernost bodisi obratna sorazmernost ter da so vrednosti vseh proučevanih spremenljivk nenegativne.

Sklepni račun je lahko enostaven ali sestavljen.

3.2.1.1 Enostavni sklepni račun

Premo sorazmerje med proučevanima spremenljivkama

Pri enostavnem sklepnem računu obravnavamo dve spremenljivki, ki sta med seboj premo ali obratno sorazmerni. Označimo spremenljivki z x in y. Z

indeksom

označujemo

zaporedno

vrednost

posamezne

proučevane

spremenljivke. Če sta spremenljivki med seboj v premem sorazmerju, potem velja:



90



GOSPODARSKI RAČUN

x

y

1

1



 x : x  y : y (3.2.1) 1

2

1

2

x

y

2

2



Če enačbo preuredimo, dobimo:

x . y = x . y

1

2

2

1



Obratno sorazmerje med proučevanima spremenljivkama

Če sta spremenljivki v obratnem sorazmerju, velja:

x

y

1

2



 x : x  y : y (3.2.2) 1

2

2

1

x

y

2

1

Tudi to enačbo lahko preuredimo. V tem primeru dobimo:

x . y = x . y

1

1

2

2



Če je iskana vrednost y , potem dobimo:

2

x 1

y 

 y

2

1

x 2



91

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.2


Koliko DE dobimo za 327 CHF*, če je tečaj 1 CHF = 141,31 DE in predpostavimo, da ni provizije?



Najprej bomo določili proučevane spremenljivke. Prva proučevana spremenljivka je CHF, druga proučevana spremenljivka pa je DE. Prvo proučevano spremenljivko bomo označili z x, drugo proučevano spremenljivko pa bomo označili z y.



Podatki so:

x = 1 CHF

1

x = 327 CHF

2

y = 141,31 DE

1

y = ?

2



Ker je v našem primeru neznana vrednost y2 , dobimo:

1 CHF = 141,31 DE

327 CHF = y DE





___________________________________________



*

Da

Oz b

n ia klaahko

za švi cpara

rskvil

i fr no

ank odgovorili na zastavljeno vprašanje, moramo določiti odnos med proučevanima spremenljivkama. Zanima nas, ali sta proučevani spremenljivki premo sorazmerni ali obratno sorazmerni. Pri tem si pomagamo s preprostim sklepanjem.

Izplačani znesek v denarnih enotah bo večji, če bomo zamenjali več frankov. Na ta način smo ugotovili, da sta proučevani spremenljivki premo sorazmerni. Pri reševanju problema si bomo zato pomagali z naslednjo enačbo:

x

y

1

1





x

y

2

2



Ker je iskana vrednost y2, bomo iz enačbe izrazili y :

2

x 2

y 

 y

2

1

x 1



C

327 HF 

DE

31

,

141

y 

 46210 50

,

DE

2

C

1 HF





92



GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.3


V nekem podjetju je mesečni zaslužek delavca odvisen od števila slabih proizvodov, ki jih izdela posamezni delavec v preteklem mesecu. Eden izmed delavcev je v preteklem mesecu naredil 8 slabih proizvodov, njegov mesečni zaslužek pa je bil enak 67500 DE.

Kolikšen naj bo mesečni zaslužek delavca, ki je v preteklem mesecu naredil 20 slabih proizvodov?



V tem primeru je prva proučevana spremenljivka število slabih proizvodov, druga proučevana spremenljivka pa je mesečni zaslužek delavca. Prvo proučevano spremenljivko bomo označili z x, drugo pa z y.



Podatki so:

x = 8

1

x = 20

2

y = 67500 DE

1

y = ?

2



Da bi lahko pravilno odgovorili na zastavljeno vprašanje, moramo tudi v tem primeru določiti odnos med proučevanima spremenljivkama. Mesečni zaslužek delavca bo večji, če je delavec v preteklem mesecu naredil manj slabih proizvodov. Proučevani spremenljivki sta obratno sorazmerni, zato si bomo pri reševanju naloge pomagali z naslednjo enčbo:

x

y

1

2





x

y

2

1



Ker je iskana vrednost y2, bomo iz enačbe izrazili y :

2

x 1

y 

 y

2

1

x 2



Če v to enačbo vstavimo podatke, dobimo:

67500

 8



DE

y

 27 tisoč DE

2

20



Mesečni zaslužek delavca, ki je v preteklem mesecu naredil 20 slabih proizvodov, je enak 27 tisoč DE.





93





GOSPODARSKI RAČUN

3.2.1.2 Sestavljeni sklepni račun

Pri sestavljenem sklepnem računu za razliko od enostavnega sklepnega računa obravnavamo več spremenljivk, ki so med seboj bodisi v premem bodisi v obratnem sorazmerju.

Predpostavimo, da proučujemo tri spremenljivke, ki jih bomo označili z u, v in y. V tem primeru je lahko spremenljivka y bodisi premo sorazmerna bodisi obratno sorazmerna s spremenljivko u in hkrati bodisi premo sorazmerna bodisi obratno sorazmerna s spremenljivko v. Zato imamo pri sestavljenem sklepnem računu štiri osnovne pristope:

1. Spremenljivka y je premo sorazmerna s spremenljivko u in hkrati premo sorazmerna s spremenljivko v,

2. Spremenljivka y je obratno sorazmerna s spremenljivko u in hkrati obratno sorazmerna s spremenljivko v,

3. Spremenljivka y je premo sorazmerna s spremenljivko u in hkrati obratno sorazmerna s spremenljivko v, ali pa

4. Spremenljivka y je obratno sorazmerna s spremenljivko u in hkrati premo sorazmerna s spremenljivko v. Ker lahko proučevane spremenljivke poljubno označujemo, je ta pristop enak tretjemu pristopu.



Pri enostavnem sklepnem računu smo ugotovili, da:

 v primeru premega sorazmerja med proučevanima spremenljivkama velja (3.2.1),

 v primeru obratnega sorazmerja med proučevanima spremenljivkama pa velja (3.2.2).



Za vsak posamezen pristop zato velja:

1. Če je spremenljivka y premo sorazmerna s spremenljivko u in hkrati premo sorazmerna s spremenljivko v, potem na podlagi enačb:

y : y = u : u

1

2

1

2



94



GOSPODARSKI RAČUN

y : y = v : v

1

2

1

2

Velja5:

y

u  v

y

u

v

2

1

1

1

1

1

y : y  u  v : u  v 











1

2

1

1

2

2

y

u  v

y

u

v

1

2

2

2

2

2

Če je iskana vrednost y , potem dobimo:

2

u

v

2

2

y 



 y

2

1

u

v

1

1

2. Če je spremenljivka y obratno sorazmerna s spremenljivko u in hkrati obratno sorazmerna s spremenljivko v, potem na podlagi enačb: y : y = u : u

1

2

2

1

y : y = v : v

1

2

2

1

Velja:

y

u  v

y

u

v

1

2

2

1

2

2

y : y  u  v : u  v 











1

2

2

2

1

1

y

u  v

y

u

v

2

1

1

2

1

1

Če je iskana vrednost y , potem dobimo:

2

u

v

1

1

y 



 y

2

1

u

v

2

2



3. Če je spremenljivka y premo sorazmerna s spremenljivko u in hkrati obratno sorazmerna s spremenljivko v, potem na podlagi enačb: y : y = u : u

1

2

1

2

y : y = v : v

1

2

2

1





5 Enačbo za izračun neznane vrednosti proučevane spremenljivke v okviru sestavljenega sklepnega računa lahko naj demo v Vadnal (1974, str. 41).



95

GOSPODARSKI RAČUN

Velja tudi:

y

u  v

y

u

v

1

1

2

1

1

2

y : y  u  v : u  v 











1

2

1

2

2

1

y

u  v

y

u

v

2

2

1

2

2

1

Če je iskana vrednost y2, potem dobimo:

u

v

2

1

y 



 y

2

1

u

v

1

2



Po analogiji lahko algebraični pristop na osnovi treh spremenljivk razširimo tudi na več proučevanih spremenljivk.





Primer 3.4


V nekem podjetju je eden izmed delavcev prejel nagrado za opravljeno delo v preteklem mesecu v višini 175814 DE. Pri tem ima omenjeni delavec 35 let delovne dobe in je bil zaradi bolniške v preteklem mesecu odsoten 5 dni. Kolikšna pa bo nagrada delavca, ki ima 27 let delovne dobe in je bil zaradi bolniške v preteklem mesecu odsoten 21 dni?





96





GOSPODARSKI RAČUN

V tem primeru obravnavamo tri spremenljivke, in sicer nagrada delavca (to spremenljivko bomo označili z y), število let delovne dobe (spremenljivka u) in število dni odsotnosti posameznega delavca zaradi bolniške (spremenljivka v). Reševanje problemov s pomočjo sestavljenega sklepnega računa si olajšamo s preprosto shemo, v kateri nastopajo vse proučevane spremenljivke (vrstni red spremenljivk v shemi je lahko poljuben):



Podobno kot pri enostavnem sklepnem računu moramo tudi v tem primeru najprej določiti odnose med proučevanimi spremenljivkami. Pri tem nas zanimajo odnosi med tisto spremenljivko, katere neznano vrednost računamo in med posamezno izmed preostalih proučevanih spremenljivk. Premo sorazmerje bomo označili s puščico navzgor, obratno sorazmerje pa bomo označili s puščico navzdol. Sklepanje vedno začnemo pri tisti spremenljivki, katere neznano vrednost računamo.



V našem primeru to pomeni, da bo nagrada delavca večja (puščica navzgor) pri večjem številu let delovne dobe (puščica navzgor) in pri manjšem številu dni izostanka od dela zaradi bolniške (puščica navzdol).

Zato bomo pri računanju nagrade drugega delavca uporabili tretji pristop: y : y = u : u

1

2

1

2

y : y = v : v

1

2

2

1



Zato velja tudi:

y

u  v

y

u

v

1

1

2

1

1

2

y : y  u  v : u  v 











1

2

1

2

2

1

y

u  v

y

u

v

2

2

1

2

2

1



Ker je iskana vrednost y , bomo iz enačbe izrazili y :

2

2

u

v

2

1

y 



 y

2

1

u

v

1

2



Vstavimo podatke v enačbo in izračunamo y :

2

27

5

y 



 957209 175814DE

2

35 21



Nagrada za delavca, ki ima 27 let delovne dobe in je bil zaradi bolniške v preteklem mesecu odsoten 21 dni, je enaka 175814 DE.





97





GOSPODARSKI RAČUN

3.2.2 Delitveni račun

Temeljna problematika delitvenega računa

Delitveni račun uporabljamo vselej, kadar želimo določeno celoto razdeliti na posamezne dele v skladu z delitvenimi pogoji. Pri tem je lahko število delov in število pogojev precej različno. Če imamo opraviti z enim delitvenim pogojem, govorimo o enostavnem delitvenem računu, kadar pa imamo opraviti s sistemom delitvenih pogojev, pa govorimo o sestavljenem delitvenem računu.

Sinonim za pogoj pri delitvenem računu je tudi ključ. Ta pogoj, če gre za enostavni delitveni račun, je lahko razmerje med deli celote ali pa tudi predpisane razlike med deleži. V praksi se delitveni račun precej uporablja, srečujemo ga na številnih področjih, kot primer pa navedimo družbo z neomejeno odgovornostjo. Pri družbi z neomejeno odgovornostjo družbeniki jamčijo za obveznosti družbe z vsem svojim premoženjem, kapital družbe pa družbeniki pridobijo s svojim vložkom v družbo. Število družbenikov je tako lahko različno, dobiček družbe pa se deli v skladu z njihovim vložkom v kapital. V javnem sektorju so te vrste problemi zelo pogosti (npr. delitev finančnih sredstev upravičencem).

3.2.2.1 Enostavni delitveni račun

Pri enostavnem delitvenem računu bomo uporabljali naslednjo simboliko:

A

- količina, ki jo delimo,

n

- število delov, na katero bomo delili količino A,

x : x : ... : x

- razmerje med posameznimi deli,

1

2

n

y , y ,..., y

- velikost posameznih delov.

1

2

n



Pri enostavnem delitvenem računu obstajata dve možnosti delitve:

 deli y , y ,..., y so premo sorazmerni delom x , x ,..., x , 1

2

n

1

2

n



98



GOSPODARSKI RAČUN

 deli y , y ,..., y so obratno sorazmerni delom x , x ,..., x .

1

2

n

1

2

n



Premo sorazmerje

Če so deli y , y ,..., y premo sorazmerni delom x , x ,..., x , potem velja: 1

2

n

1

2

n

y = k . x ; i = 1, 2,..., n (3.2.3) 1

i



Ker je:

y + y + ... + y = A

1

2

n

je zaradi premo sorazmernosti tudi:

k . x + k . x + ... + k . x = A

1

2

n

Če na levi strani enačbe izpostavimo skupni člen k, dobimo:

A

k 



x  x    x

1

2

n



To enačbo vstavimo v enačbo:

y = k . x ; i = 1,2,...,n

1

1

in dobimo:

A

y 

 x ; i  ,

1 ,

2 ..., n

i

x  x    x

i

1

2

n



Zato v splošnem velja:

y : y : ... : y  k  x : k  x : ... : k  x  y : y : ... : y  x : x : ... : x 1

2

n

1

2

n

1

2

n

1

2

n





99

GOSPODARSKI RAČUN

Obratno sorazmerje

Če so deli y , y ,..., y obratno sorazmerni delom x : x : ... : x , potem 1

2

n

1

2

n

velja:

k

y 

; i  ,

1 ,

2 ..., n (3.2.4) i

xi

Tudi v tem primeru velja:

y , y ,..., y = A

1

2

n

Zato velja tudi:

k

k

k



 ... 

 A

x

x

x

1

2

n



Če iz zadnje enačbe izrazimo k, dobimo:

A

k 



k

k

k



 ... 

x

x

x

1

2

n

Po analogiji velja tudi:

A

1

y 

 ; i  ,

1 ,...,

2

n

i

1

1

1

xi



 ... 

x

x

x

1

2

n

Zato v splošnem velja:

k

k

k

1

1

1

y : y : ...: y 

:

: ...:

 y : y :...: y 

:

: ...:



1

2

n

1

2

n

x

x

x

x

x

x

1

2

n

1

2

n



100



GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.5


Dobiček neke družbe z neomejeno odgovornostjo je v letu L znašal 20000 DE. Kapital družbe je razdeljen med tri družbenike v razmerju 1:3:4, v istem razmerju pa se deli tudi dobiček družbe. Kolikšna je velikost posameznega dela?



Za rešitev tega problema uporabimo enačbo:

A

y 

 x

i

i

x  x  ...  x

1

2

n



Podatki so:

A = 20000 DE

x :x :x = 1:3:4

1

2

3



Podatke vnesemo v enačbo:

A

20000

y 

 x 

1  2500

,

DE

1

1

x  x  x

1  3  4

1

2

3



A

20000

y 

 x 

 3  7500

,

DE

2

2

x  x  x

1  3  4

1

2

3

A

20000

y 

 x 

 4  10000

.

DE

3

3

x  x  x

1  3  4

1

2

3



Preizkus:

y + y + y = 2500DE + 7500DE + 10000DE = 20000DE

1

2

3





101

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.6


Podjetnik ima zaposlene štiri delavce, njihova mesečna plača pa je odvisna od števila slabih proizvodov, ki jih izdela posameznik. Kot slab proizvod se obravnava vsak proizvod, ki ga ni mogoče prodati na trgu. Prvi delavec je v preteklem mesecu naredil 8 slabih proizvodov, drugi 16, tretji 2 in četrti 20 slabih proizvodov.

Podjetnik ima 398250 DE sredstev, namenjenih izplačilu plač štirim zaposlenim delavcem. Koliko dobi vsak delavec?



Podatki so:

A = 398250 DE,

1

1

1

1

1

1

1

1

:

:

:

 y : y : y : y  :

:

:

.

1

2

3

4

x

x

x

x

8 16 2 20

1

2

3

4



Za reševanje tega problema uporabimo enačbo (3.2.7), vstavljamo ustrezne podatke v enačbo in izračunamo vrednosti y :

i



A

1

398250

1

y 





  67500 DE,

1

1

1

1

1

x

1

1

1

1

8

1









 

x

x

x

x

8

16

2

20

1

2

3

4

A

1

398250

1

y 







 33750 DE,

2

1

1

1

1

x

1

1

1

1

16

2









 

x

x

x

x

8

16

2

20



1

2

3

4

A

1

398250

1

y 





  270000 DE,

3

1

1

1

1

x

1

1

1

1

2

3









 

x

x

x

x

8

16

2

20

1

2

3

4

A

1

398250

1

y 







 27000 DE.

4

1

1

1

1

x

1

1

1

1

20

4









 

x

x

x

x

8

16

2

20

1

2

3

4



Preizkus:

y +y +y +y = 67500 DE + 33750 DE + 270000 DE + 27000 DE = 398250 DE

1

2

3

4





Sestavljeni delitveni račun

Pri enostavnem delitvenem računu smo imeli opravka z enim delitvenim pogojem, ki smo ga zapisali v obliki x : x : ... : x . Deli y : y : ... : 1

2

n

1

2



102



GOSPODARSKI RAČUN

y so lahko bodisi premo sorazmerni bodisi obratno sorazmerni delom x : x : n

1

2

... : x . Pri sestavljenem delitvenem računu pa bomo imeli opravka s sistemom n

delitvenih pogojev.

Pri sestavljenem delitvenem računu bomo uporabljali naslednjo simboliko:

A

- količina, ki jo delimo,

n

- število delov, na katero bomo delili količino A,

y , y , ..., y

- velikost posameznih delov.

1

2

n



Predpostavimo, da imamo dva delitvena pogoja, ki ju bomo označili z u : u :...: u in v : v :...: v . V tem primeru so lahko deli y , y ,..., y bodisi 1

2

n

1

2

n

1

2

n

premo sorazmerni bodisi obratno sorazmerni delom in hkrati bodisi u : u :...: u premo sorazmerni bodisi obratno sorazmerni delom v : v :...: v .

1

2

n

1

2

n

Zato imamo pri sestavljenem delitvenem računu štiri osnovne pristope: 1. Deli y , y , ..., y so premo sorazmerni delom u : u :...: u in hkrati premo 1

2

n

1

2

n

sorazmerni delom v : v :...: v ,

1

2

n

2. Deli y , y , ..., y so obratno sorazmerni delom u : u :...: u in hkrati obratno 1

2

n

1

2

n

sorazmerni delom v : v :...: v ,

1

2

n

3. Deli y , y , ..., y so premo sorazmerni delom u : u :...: u in hkrati obratno 1

2

n

1

2

n

sorazmerni delom v : v :...: v , ali pa

1

2

n

4. Deli y , y , ..., y so obratno sorazmerni delom u : u :...: u in hkrati premo 1

2

n

1

2

n

sorazmerni delom v : v :...: v . Ker lahko delitvene pogoje poljubno 1

2

n

označujemo, je ta pristop enak tretjemu.

Pri enostavnem delitvenem računu smo ugotovili, da:

 v primeru premo sorazmernosti med deli y , y , ..., y in x : x :...: x 1

2

n

1

2

n

velja

y : y : ... : y  k  x : k  x : ... : k  x  y : y : ... : y  x : x : ... : x 1

2

n

1

2

n

1

2

n

1

2

n



103

GOSPODARSKI RAČUN

 v primeru obratno sorazmernosti med deli y , y , ..., y in x : x :...: x 1

2

n

1

2

n

velja

k

k

k

1

1

1

y : y : ...: y 

:

: ...:

 y : y :...: y 

:

: ...:



1

2

n

1

2

n

x

x

x

x

x

x

1

2

n

1

2

n



Zato lahko zapišemo:

1. Če so deli y , y , ..., y premo sorazmerni delom u : u :...: u in hkrati premo 1

2

n

1

2

n

sorazmerni delom v : v :...: v , potem velja:

1

2

n

y , y , ..., y = u : u :...: u

1

2

n

1

2

n

y , y , ..., y = v : v :...: v

1

2

n

1

2

n



Zato velja tudi:

y , y , ..., y = u . v : u . v :...: u . v

1

2

n

1

1

2

2

n

n



Velikost posameznih delov y , y , ..., y izračunamo s pomočjo enačbe: 1

2

n

y = k . u . v ; i = 1,2,...,n

i

i

i



Kjer je:

A

k 



u  v  u  v  ...  u  v 1

1

2

2

n

n





104



GOSPODARSKI RAČUN

2. Če so deli y , y , ..., y obratno sorazmerni delom u : u :...: u in hkrati 1

2

n

1

2

n

obratno sorazmerni delom v : v :...: v , potem velja:

1

2

n

1

1

1

y : y : ... y 

:

: ... :

1

2

n

u

u

u

1

2

n

1

1

1

y : y : ... y 

:

: ... :

1

2

n

v

v

v

1

2

n



Zato velja tudi:

1

1

1

1

1

1

y : y :

y

...



:

:



: ...:





1

2

n

u

v

u

v

u

v

1

1

2

2

n

n



Velikost posameznih delov y , y , ..., y izračunamo s pomočjo enačbe: 1

2

n

1

1

y  k 

 ; i  ,

1 ,...,

2

n

i

u

v

i

i



Kjer je:

A

k 



1

1

1

1

1

1







 ... 



u

v

u

v

u

v

1

1

2

2

n

n



3. Če so deli y , y , ..., y premo sorazmerni delom u : u :...: u in hkrati 1

2

n

1

2

n

obratno sorazmerni delom v : v :...: v , velja:

1

2

n

y , y , ..., y = u : u :...: u

1

2

n

1

2

n



1

1

1

y : y : ...: y 

:

: ...:



1

2

n

v

v

v

1

2

n





105

GOSPODARSKI RAČUN

Zato velja tudi:

1

1

1

y : y : ...: y  u 

: u 

: ...: u 



1

2

n

1

2

n

v

v

v

1

2

n

Velikost posameznih delov y , y , ..., y izračunamo s pomočjo enačbe: 1

2

n

u

y  k

i

 ; i  ,

1 ,

2 ..., n

i

vi

Kjer je:

A

k 



u

u

u

1

2

n



 ... 

v

v

v

1

2

n



Po analogiji lahko algebraični pristop na osnovi dveh delitvenih pogojev razširimo tudi na več delitvenih pogojev.





106





GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.7


V podjetju nameravajo trem delavcem izplačati nagrado v višini 2360 tisoč DE.

Obstajajo trije načini delitve tega zneska in sicer premo sorazmerno s prisotnostjo na delu, premo sorazmerno z delovno dobo ali pa kombinacija obeh kriterijev. V podjetju bodo pri izračunih uporabili podatke, zbrane v spodnji tabeli.



Koliko dobi vsak delavec po posameznem pristopu?



1. Pristop: Nagrada delavca je premo sorazmerna s prisotnostjo na delu.

Podatki so:

A = 2360 tisoč DE

x : x : x = 200 : 180 : 210

1

2

3



V tem primeru velja:

y = k . x . v ; i = 1,2,3

i

i

i

y + y + y = A

1

2

3



Zato velja:

A

k 



x  x  . x

1

2

3



Podatke vnesemo v enačbo in izračunamo nagrade delavcev:

A

236000 DE

0



y 

 x 

 200 

DE

800000

1

1

x  x  x

200  180  210

1

2

3

A

2360

DE

000



y 

 x 

180 

DE

720000

2

x  x  x

2

200 180  210

1

2

3

A

DE

2360000



y 

 x 

210 

DE

840000

3

x  x  x

3

200 180  210

1

2

3



Preizkus:

y + y + y = A

1

2

3

y + y + y = 800 tisoč DE + 720 tisoč DE + 840 tisoč DE = 2360 tisoč DE

1

2

3



Po prvem pristopu bo prvi delavec zaslužil 800 tisoč DE, drugi delavec bo zaslužil 720

tisoč DE in tretji delavec bo zaslužil 840 tisoč DE.





107

GOSPODARSKI RAČUN

2. Pristop: Nagrada delavca je premo sorazmerna z delovno dobo.

Podatki so:

A = 2360 tisoč DE

x : x

= 35 : 40 : 25

1

2 : x3



Tudi v tem primeru velja:

y = k . x . v ; i = 1,2,3

i

i

i

y + y + y = A

1

2

3



Hkrati velja:

A

k 



x  x  . x

1

2

3



Podatke vnesemo v enačbo in izračunamo nagrade delavcev:

A

236000 DE

0



y 

 x 

35 

DE

826000

1

x  x  x

1

35  40  25

1

2

3

A

236000 DE

0



y 

 x 

 40 

DE

944000

2

x  x  x

2

35  40  25

1

2

3

A

DE

2360000



y 

 x 

 25 

DE

590000

3

x  x  x

3

35  40  25

1

2

3



Preizkus:

y + y + y = A

1

2

3

y + y + y = 826 tisoč DE + 944 tisoč DE + 590 tisoč DE = 2360 tisoč DE

1

2

3



Po drugem pristopu bo prvi delavec zaslužil 826 tisoč DE, drugi delavec bo zaslužil 944 tisoč DE

in tretji delavec bo zaslužil 590 tisoč DE.



3. Pristop: Kombinacija obeh kriterijev - nagrada delavca je premo sorazmerna s prisotnostjo na delu in z delovno dobo.

V tem primeru so delavci soudeleženi na dva načina in sicer z vidika prisotnosti na delu v razmerju 200:180:210 in z vidika delovne dobe v razmerju 35:40:25. Nagrade delavcev pa morajo biti hkrati sorazmerne s prisotnostjo na delu in z delovno dobo, zato velja: u : u : u = 200 : 180 : 210

1

2

3

v : v : v = 35 : 40 : 25

1

2

3



Pri odgovoru na zastavljeno vprašanje si bomo pomagali z enačbo: y = k . u . v ; i = 1,2,3

i

i

i

y + y + y = A

1

2

3





108





GOSPODARSKI RAČUN

Hkati velja:

A

k 



u  v  u  v  ... u  v 1

1

2

2

n

n



Podatki so:

A = 2360 tisoč DE



Podatke vnesemo v enačbo in izračunamo nagrade delavcev:

A

2360000

y 

 u  v 

 7000  849357

1

1

1

u  v  u  v  u  v 7000  7200  5250

1

1

2

2

3

3

A

2360000



y 

 u  v 

 7200  873625

2

2

2

u  v  u  v  u  v 7000  7200  5250

1

1

2

2

3

3

A

2360000

y 

 u  v 

 5250  637018

3

3

3

u  v  u  v  u  v 7000  7200  5250

1

1

2

2

3

3



Preizkus:

y + y + y = A

1

2

3

y + y + y = 849357 DE + 873625 DE + 637018 DE = 2360 tisoč DE

1

2

3



Po tretjem pristopu bo prvi delavec zaslužil 849357 DE, drugi delavec bo zaslužil 873625 DE in tretji delavec bo zaslužil 637018 DE.





Primer 3.8


V nekem podjetju želijo trem delavcem razdeliti nagrado v višini 1680000 DE. Podjetje pri izračunih upošteva podatke, prikazane v spodnji tabeli.



Koliko pripada vsakemu delavcu, če podjetje:

1. razdeli celotno nagrado trem delavcem tako, da upošteva število dni odsotnosti posameznega delavca zaradi bolniške in hkrati število slabih izdelkov?

2. razdeli celotno nagrado trem delavcem tako, da upošteva število dni odsotnosti posameznega delavca zaradi bolniške in delovno dobo posameznega delavca?

3. razdeli celotno nagrado trem delavcem premo sorazmerno z delovno dobo in obratno sorazmerno s številom slabih izdelkov ter številom dni odsotnosti posameznega delavca zaradi bolniške?





109

GOSPODARSKI RAČUN

1. Vprašanje: Nagrada delavca je obratno sorazmerna s številom dni odsotnosti posameznega delavca zaradi bolniške in obratno sorazmerna s številom slabih izdelkov.



Ker moramo upoštevati oba kriterija hkrati, velja:

1

1

1

u : u : u 

:

:

1

2

3

5 21 10

1

1

1

v : v : v 

:

:

1

2

3

16 20 22



Pri odgovoru na zastavljeno vprašanje si bomo pomagali z enačbo: 1

1

y  k 

 ; i  ,

1 3

,

2

i

u

v

i

i

y + y + y

1

2

3 = A



Hkrati velja:

A

k 



1

1

1

1

1

1











u

v

u

v

u

v

1

1

2

2

3

3



Podatki so:

A = 1680 tisoč DE



Podatke vnesemo v enačbo in izračunamo nagrade delavcev:



A

1

1

168000 DE

0

1

y 









 108100 DE

3

1

1

1

1

1

1

1

u

v

1

1

1

80

1

1















u

v

u

v

u

v

80

420

220

1

1

2

2

3

3



A

1

1

168000 DE

0

1

y 











DE

205905

2

1

1

1

1

1

1

u

v

1

1

1

420

2

2















u

v

u

v

u

v

80

420

220

1

1

2

2

3

3



A

1

1

DE

1680000

1

y 











DE

393091

3

1

1

1

1

1

1

u

v

1

1

1

220

3

3















u

v

u

v

u

v

80

420

220

1

1

2

2

3

3



Preizkus:

y + y + y = A

1

2

3

y + y + y = 1081003 DE + 205905 DE + 393092 DE = 1680 tisoč DE

1

2

3



Ob danih predpostavkah bo prvi delavec zaslužil 1081003 DE, drugi delavec bo zaslužil 205905

DE in tretji delavec bo zaslužil 393091 DE.





110



GOSPODARSKI RAČUN

2. Vprašanje: Nagrada delavca je obratno sorazmerna s številom dni odsotnosti posameznega delavca zaradi bolniške in premo sorazmerna z delovno dobo.



Ker moramo upoštevati oba kriterija hkrati, velja:

u : u : u = 35 : 27 : 40

1

2

3

1

1

1

v : v : v 

:

:



1

2

3

5 21 10



Pri odgovoru na zastavljeno vprašanje si bomo pomagali z enačbo: y   u

k

i ; i  ,

1 3

,

2

i

vi



y + y + y = A

1

2

3



Hkrati velja:

A

k 



u

u

u

1

2

3





v

v

v

1

2

3



Podatki so:

A = 1680 tisoč DE



Podatke vnesemo v enačbo in izračunamo nagrade delavcev:



A

u

DE

1680000

35

y

1











DE

957209

1

u

u

u

1

2

3

v

35

27

40

5

1









v

v

v

5

21

10

1

2

3



A

u

168000 DE

0

27

y

2









 17581 DE

4

2

u

u

u

1

2

3

v

35

27

40 21

2









v

v

v

5

21

10

1

2

3



A

u

168000 DE

0

40

y

3









 54697 DE

7

3

u

u

u

1

2

3

v

35

27

40 10

3









v

v

v

5

21

10

1

2

3



Preizkus:

y + y + y = A

1

2

3

y + y + y = 957209 DE + 175814 DE + 546977 DE = 1680 tisoč DE

1

2

3



Ob danih predpostavkah bo prvi delavec zaslužil 957209 DE, drugi delavec bo zaslužil 175814

DE in tretji delavec bo zaslužil 546977 DE.





111

GOSPODARSKI RAČUN

3. Vprašanje: Nagrada delavca je premo sorazmerna z delovno dobo in obratno sorazmerna s številom dni odsotnosti posameznega delavca zaradi bolniške ter številom slabih izdelkov.



Ker moramo upoštevati vse tri kriterije hkrati, velja:

u : u : u = 35 : 27 : 40

1

2

3

1

1

1

v : v : v 

:

:

1

2

3

5 21 10



1

1

1

z : z : z 

:

:

1

2

3

16 20 22



Pri odgovoru na zastavljeno vprašanje si bomo pomagali z enačbo: 1

1

y  k  u 

 ; i  ,

1 3

,

2

i

i

v

z

i

i

y + y + y = A

1

2

3



Hkrati velja:



A

k 



u

u

u

1

2

3





v  z

v  z

v  z

1

1

2

2

3

3



Podatki so:

A = 1680 tisoč DE



Podatke vnesemo v enačbo in izračunamo nagrade delavcev:



A

u

168000 DE

0

35

y

1









 107518 DE

4

1

u

u

u





1

2

3

v

z

35

27

40

5 16

1

1









v  z

v  z

v  z

5 16

21 20

10  22

1

1

2

2

3

3



A

u

168000 DE

0

27

y

2









 15798 DE

6

2

u

u

u





1

2

3

v

z

35

27

40

21 20

2

2









v  z

v  z

v  z

5 16

21 20

10  22

1

1

2

2

3

3



A

u

168000 DE

0

40

y

3









 44683 DE

0

3

u

u

u





1

2

3

v

z

35

27

40

10 22

3

3









v  z

v  z

v  z

5 16

21 20

10  22

1

1

2

2

3

3



Preizkus:

y + y + y = A

1

2

3

y + y + y = 1075184 DE + 157986 DE + 446830 DE = 1680 tisoč DE

1

2

3



Ob danih predpostavkah bo prvi delavec zaslužil 1075184 DE, drugi delavec bo zaslužil 157986

DE in tretji delavec bo zaslužil 446830 DE.





112





GOSPODARSKI RAČUN

3.3 Procentni in promilni račun

3.3.1 Procentni račun

3.3.1.1 Osnovni pojmi

Procentni in promilni račun se v praksi veliko uporabljata. Procent ali odstotek pomeni eno stotino določene količine. Tako velja:



1

%

1





100

Osnovni obrazec procentnega računa je:

a  p

pz 

(3.3.1)

100

Pri tem je:

a - osnova,

p - procenti,

pz - procentni znesek.



Razlikujemo tri vrste procentnega računa, in sicer:

 procentni račun pod 100

Na primer, poznamo ceno določenega blaga na razprodaji in poznamo procent znižanja cene tega blaga, izračunali pa bi radi ceno tega blaga pred razprodajo.

 procentni račun od 100

To vrsto procentnega računa lahko uporabljamo v primeru, ko imamo dano ceno blaga pred razprodajo in poznamo procent znižanja cene tega blaga, izračunali pa bi radi ceno blaga na razprodaji.

 procentni račun nad 100

Na primer, poznamo ceno določenega blaga skupaj z DDV, zanima pa nas cena tega blaga brez davka.



113





GOSPODARSKI RAČUN

Procentni račun pod 100 uporabljamo takrat, kadar pri računanju uporabljamo za procentni znesek zmanjšano osnovo6. Če pa pri računanju uporabljamo za procentni znesek povečano osnovo 7 , pa imamo opraviti z procentnim računom nad 100.

3.3.1.2 Procentni račun od 100

V skladu z dogovorjeno simboliko velja:



pz 

a

 a  pz  a 1



POD

 





a 

Ker iz osnovne enačbe izhaja:

a  p

pz

p

pz 







100

a

100



Zato velja:



pz 



p 

a

 a  pz  a

(3.3.2)

POD

1

  

a 1 





a 



100 



pz 



p 

a

 a  pz 

(3.3.3)

NAD



a 1

  a1





a 



100 



3.3.1.3 Procentni račun pod 100

Izračun osnovne vrednosti a

Velja:



p 

a

 a



POD

1





100 



p 

Enačbo delimo z 1

 in dobimo:



100 



6 V nadaljevanju bomo za procentni znesek zmanjšano osnovo označevali z a

.

POD

7 Za procentni znesek povečano osnovo bomo označevali z a

.

NAD



114



GOSPODARSKI RAČUN

a

a

POD





p

1  100

Števec in imenovalec ulomka na desni strani enačbe pomnožimo s 100 in dobimo končno obliko enačbe za izračun osnovne vrednosti a:

100  a

a

POD





100  p



Izračun procentov p

Iz osnovne enačbe procentnega računa izhaja:

a  p

100  pz

pz 

 p 



100

a

Hkrati velja:

a

 a  pz  pz  a  a



POD

POD



Ta izraz vstavimo v izhodiščno enačbo in dobimo:

100  ( a  a

)

p

POD





a



Izračun procentnega zneska pz

Velja:

a

 a  pz  pz  a  a



POD

POD

Ker je:

a

a

a

100

a

100

 a

 100 



POD

POD

POD

POD

POD



p

a

p

a 

 pz 

 a



 a

POD





p

p

POD

100  p

POD

100  p

100  p

1 

1 

100

100





115





GOSPODARSKI RAČUN

3.3.1.4 Procentni račun nad 100

Vse enačbe za procentni račun nad 100 izpeljemo po analogiji kot enačbe za procentni račun pod 100, zato v nadaljevanju predstavljamo samo končne enačbe.

Izračun osnovne vrednosti a

100  a

a

NAD





100  p

Izračun procentov p

100  ( a

 a)

p

NAD





a

Izračun procentnega zneska pz

a

 p

pz

NAD





100  p





116



GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.9


Koliko DE dobimo za 327 CHF, če je tečaj 1 CHF = 141,31 DE in predpostavimo, da znaša provizija 2%?

Pri reševanju tega primera si bomo pomagali z enostavnim sklepnim računom in s procentnim računom od 100. S pomočjo enostavnega sklepnega računa bomo izračunali protivrednost denarnih enot danega zneska v švicarskih frankih, s pomočjo procentnega računa od 100 pa bomo izračunali denarni znesek v denarnih enotah, zmanjšan za vrednost provizije. Reševanje tega primera s pomočjo enostavnega sklepnega računa poteka po korakih: Podatki so:

x = 1 CHF

1

x = 327 CHF

2

y = 141,31 DE

1

y = ?

2



Velja:

x

y

1

1





x

y

2

2



Vstavimo podatke v enačbo in izračunajmo y :

2

1 CHF . y = 327 CHF . 141,31 DE

2



C

327 HF 

DE

31

,

141



y 

 46210 50

,

DE

2

C

1 HF



Sedaj bomo izračunali še denarni znesek v denarnih enotah, zmanjšan za vrednost provizije.

Izračun bo potekal na osnovi enačb procentnega računa od 100:



p 



2 

a

 a  pz  a 1



POD

 

 

50

,

46210

 1

 

  45286



100 



100 



Če je tečaj 1 CHF = 141,31 DE in znaša provizija 2%, potem dobimo za 327 CHF

45286 DE.





117

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.10


Razpolagamo s 579 GBP*, ki jih moramo menjati za USD**. Predpostavimo, da lahko opravimo menjavo samo v banki 1 ali v banki 2. V banki 1 znaša tečaj 1 GBP = 1,43 USD, provizija pa je 1%. V banki 2 je tečaj 1 GBP = 1,45 USD, pri menjalniškem poslovanju pa zaračunavajo 3%

provizijo. Katera banka je za nas ugodnejša? Koliko bi morala znašati provizija pri banki 2, da bi bila denarna zneska v USD po odbitku provizije pri obeh bankah enaka?



Tudi ta primer bomo reševali podobno kot prejšnjega. V prvem koraku bomo s pomočjo enostavnega sklepnega računa izračunali dolarsko protivrednost danega zneska v britanskih funtih za obe banki, v drugem koraku pa bomo izračunali denarni znesek v ameriških dolarjih, zmanjšan za vrednost provizije pri posamezni banki.



Za banko 1 velja:

1 GBP =1,4317 USD

579 GBP = y USD



Izračunajmo dolarsko protivrednost danega zneska v britanskih funtih za banko 1: 1 GBP . y2 = 579 GBP · 1,43 USD

G

579 BP  ,

1

U

43 SD

y 



U

97

,

827

SD

2

G

1 BP



Izračunajmo še denarni znesek v ameriških dolarjih, zmanjšan za vrednost provizije pri banki 1:



p 



1 

a

 a  pz  a 1

 

 

97

,

827

 1

 

 

U

7

,

819

SD

POD



100 



100 





__________________________________

*Oznaka za britanski funt

**Oznaka za ameriški dolar





118



GOSPODARSKI RAČUN

Za banko 2 velja:

1 GBP =1,45 USD

579 GBP = y USD



Izračunajmo dolarsko protivrednost danega zneska v britanskih funtih za banko 2: 1 GBP . y = 579 GBP . 1,45 USD

2







57 G

9 BP ,

1

U

45 SD

y 

 839 U

55

,

SD

2

G

1 BP

Izračunajmo še denarni znesek v ameriških dolarjih, zmanjšan za vrednost provizije pri banki 1:



p 



3 

a

 a  pz  a 1

 

 

55

,

839

 1

 

 

,

814 U

4 SD

POD



100 



100 



Zanima nas, katera banka je za nas ugodnješa. To pomeni, pri kateri banki dobimo večji denarni znesek v ameriških dolarjih po odbitku provizije. Ker velja:

bank 1

a

a

 banka 2

a

POD

POD

Za nas je ugodnejša banka 1.

819 7

,  814 7

, 



Tako smo ugotovili, da je pri menjavi denarja zelo pomembna provizija. Čeprav je tečaj GBP v banki 2 višji kot v banki 1, pa je provizija, ki jo uporabljata banki pri menjalniškem poslovanju v banki 2 višja kot v banki 1, zato je izplačani denarni znesek v ameriških dolarjih po odbitku provizije višji v banki 1 kot v banki 2.



V nadaljevanju bomo izračunali, kakšna mora biti provizija pri menjalniškem poslovanju v banki 2, da bi bil izplačani denarni znesek v ameriških dolarjih po odbitku provizije pri obeh bankah enak.



To pomeni, da velja:

abanka 1  abanka 2 

U

7

,

819

SD

POD

POD



a 

U

55

,

839

SD



100  ( a  a

)

100 

55

,

839

(

USD 

7

,

819 USD)

p 

POD





%

36

,

2



a

55

,

839

USD



Da bi bila izplačana denarna zneska v USD po odbitku provizije pri obeh bankah enaka, mora pri danih tečajih in dani proviziji pri banki 1 provizija pri banki 2 znašati 2,36%.





119

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.11


V Sloveniji smo kupili pralni stroj, ki ga bomo izvozili na Hrvaško. Cena pralnega stroja znaša skupaj z DDV 92510 DE. Ker bomo pralni stroj izvozili na Hrvaško, bomo pri nas dobili povrnjen DDV. Stopnja DDV v Sloveniji je enaka 19%. Zato bomo morali plačati DDV na Hrvaškem, kjer je stopnja DDV enaka 22%. Izračunajmo:

1. Kolikšna je cena pralnega stroja v Sloveniji brez DDV?

2. Koliko znaša povrnjen DDV v Sloveniji?

3. Koliko znaša DDV na Hrvaškem, ki ga bomo plačali?

1. Upoštevali bomo, da znaša tečaj 1 HRK*=29,87 DE. Problem bomo rešili na dva načina.

Po prvem načinu bomo predpostavili, da nimamo stroškov s provizijo, po drugem načinu pa bomo upoštevali strošek menjalniške provizije v višini 1,6%.

4. Kakšna je dejanska cena stroja, ki jo moramo plačati? Predpostavimo, da ni carine.



1. Vprašanje: Ceno pralnega stroja v Sloveniji brez DDV bomo izračunali s pomočjo procentnega računa nad 100 po obrazcu:

100  aNAD

a  100 pSDDV



Pri izračunih bomo uporabljali naslednjo simboliko:

p

 stopnja DDV v Sloveniji

SDDV

p

 stopnja DDV na Hrvaškem

HDDV

pz

 DDV v Sloveniji

SDDV

pz

 DDV na Hrvaškem

HDDV



Ker je:

a

 92500 DE

NAD



p

 %

19

SDDV

p



%

22

HDDV



Lahko izračunamo:

100  a

100  92500

a

NAD







09

,

77731

DE

100  p

100  19

SDDV



Cena pralnega stroja brez DDV je enaka 77731,09 DE.





_______________________________

*Oznaka za hrvaško kuno





120



GOSPODARSKI RAČUN

2. Vprašanje: Znesek povrnjenega DDV lahko izračunamo na dva načina: Prvi pristop - s pomočjo enačbe:



a

 p

9250019

pz

NAD

SDDV







DE

91

,

14768

SDDV

100  p

100  19

SDDV





Drugi pristop - s pomočjo razlike med ceno z DDV in ceno brez DDV: pz

 a

 a  92500

09

,

77731



DE

91

,

14768



SDDV

NAD



Znesek povrnjenega DDV v Sloveniji znaša 14768,91 DE.



Znesek DDV, ki ga moramo plačati na Hrvaškem bomo izračunali s pomočjo enačbe procentnega računa pod 100 in sicer:

a

 p

POD

HDDV

pz





HDDV

100  pHDDV



Vstavimo podatke v enačbo:

a

 p

09

,

77731

22

pz

POD

HDDV







DE

15

,

21924



HDDV

100  p

100  22

HDDV

Na ta način smo izračunali znesek DDV, ki ga moramo plačati hrvaškim organom. Ta znesek bo nakazan v hrvaški proračun, s tem dejanjem pa bomo dobili pravico do uvoza pralnega stroja.

Izračunani znesek je v denarnih enotah. Zato jih moramo zamenjati za kune.



3. Vprašanje:

Prvi način - ni provizije:

Če ni provizije, bomo izračunali ustrezno vrednost v hrvaških kunah s pomočjo enostavnega sklepnega računa:

1 HRK = 29,87 DE

x HRK = 21924,15 DE



Ker velja:

x = 1 HRK

1

x = ?

2

y = 29,87 DE

1

y = 21924,15 DE

2



Velja tudi:

x

y

1

1





x

y

2

2





121

GOSPODARSKI RAČUN

Vstavimo podatke v enačbo in izračunajmo x :

2

1 HRK . 21924,15 DE = x . 21924,15 DE

2

H

1 RK  21924

DE

15

,



x 

 733 H

98

,

RK

2

87

,

29

DE



Na Hrvaškem bomo plačali DDV v višini 733,98HRK.



Drugi način - strošek menjalniške provizije v višini 1,6%: Če obstaja menjalniša provizija, potem je to strošek, ki nam podraži izvoz: 1 HRK = 29,87 DE

x HRK = 21924,15 DE



Pri izračunu bomo upoštevali:

H

1 RK  21924

DE

15

,



x 

 733 H

98

,

RK

2

87

,

29

DE



To je tisti znesek DDV, ki ga moramo plačati za uvoz pralnega stroja na Hrvaškem. Zato moramo imeti pred zamenjavo denarnih enot za kune več denarnih enot, in sicer toliko več, da bomo lahko plačali še menjalniško provizijo za menjalniški posel. Zato velja: 100  a

100 

98

,

733

a

POD







H

91

,

745

RK

100  p

100  6

,

1

Na ta način smo izračunali tisti znesek v hrvaških kunah, da bomo z njim lahko plačali menjalniško provizijo in DDV.





4. Vprašanje: Da bi lahko izračunali dejansko ceno stroja, moramo preračunati različne valutne zneske na skupno valuto. To pomeni, da bomo zneske v hrvaških kunah preračunali v denarne enote.



Prvi način - ni provizije:

Če ni provizije, bomo izračunali ustrezno vrednost v denarnih enotah s pomočjo enostavnega sklepnega računa:

1 HRK = 29,87 DE

733,98 HRK = y DE



Ker velja:

x = 1 HRK

1

x2 = 733,98 HRK

y = 29,87 DE

1

y = ?

2





122



GOSPODARSKI RAČUN

Velja tudi:

x

y

1

1





x

y

2

2



Vstavimo podatke v enačbo in izračunajmo y :

2

1 HRK . y = 733,98 HRK . 29,8730 DE

2

98

,

733

HRK 

87

,

29

DE



y 



DE

21924

2

H

1 RK



Dejanska cena stroja = Cena stroja v Sloveniji brez DDV + DDV na Hrvaškem Zato velja:

Dejanska cena stroja = 77731 + 21924 = 99655 DE



V primeru, ko ni menjalniške provizije in ob predpostavki, da ni carine, znaša dejanska cena pralnega stroja (celotni strošek nakupa pralnega stroja) 99655 DE.



Drugi način - strošek menjalniške provizije v višini 1,6%: 1 HRK = 29,87 DE

745,91 HRK = y DE



Ker velja:

x = 1 HRK

1

x2 = 745,91 HRK

y = 29,87 DE

1

y = ?

2



Velja tudi:

x

y

1

1





x

y

2

2



Vstavimo podatke v enačbo in izračunajmo y :

2

1 HRK . y = 745,91 HRK . 29,87 DE

2

H

91

,

745

RK 

87

,

29

DE



y 

 2228 DE

0

2

H

1 RK

Dejanska cena stroja = Cena stroja v Sloveniji brez DDV + (DDV na Hrvaškem + Strošek provizije)



Zato velja:

Dejanska cena stroja = 77731 + 22280 = 100011 DE





123





GOSPODARSKI RAČUN

V primeru menjalniške provizije in ob predpostavki, da ni carine, znaša dejanska cena pralnega stroja (celotni strošek nakupa pralnega stroja) 100011 DE.





3.3.2 Promilni račun

Promilni račun je podoben procentnemu računu s to razliko, da promile ali odtisoček pomeni eno tisočino določene vrednosti. Osnovni obrazec promilnega računa je:

a  p

pz 

(3.3.4)

1000



Pri tem je:

a - osnova,

p - promile,

pz - promilni znesek.



Razlikujemo tri vrste promilnega računa in sicer:

 promilni račun pod 1000,

 promilni račun od 1000 in

 promilni račun nad 1000.



Promilni račun pod 1000 uporabljamo takrat, kadar pri računanju uporabljamo za promilni znesek zmanjšano osnovo 8 . Če pa pri računanju uporabljamo za promilni znesek povečano osnovo 9 , pa imamo opraviti z promilnim računom nad 1000. Ustrezne obrazce za promilni račun izpeljemo po analogiji iz obrazcev za procentni račun.



8 V nadaljevanju bomo za promilni znesek zmanjšano osnovo označevali z a

.

POD

9 Za promilni znesek povečano osnovo bomo označevali z a

.

NAD



124



GOSPODARSKI RAČUN

Razliko med dvema procentnima vrednostima lahko izrazimo na dva načina. Prvi način je absolutna razlika, ki jo izražamo v odstotnih točkah.

Drugi način pa je relativna razlika, ki jo izražamo v odstotkih.





Primer 3.12


V neki državi so spremenili stopnjo DDV z 20% na 22%. Za koliko odstotnih točk so povečali stopnjo DDV v tej državi? Za koliko odstotkov so povečali stopnjo DDV v tej državi?



Pri odgovoru na prvo vprašanje moramo izračunati absolutno spremembo v višini stopnje DDV

(procentnega zneska). Zato si bomo pomagali z računom:



22%-20% =2 odstotni točki



V obravnavani državi so povečali stopnjo DDV za 2 odstotni točki.



Pri izračunu relativne spremembe v višini stopnje DDV si pomagamo s procentnim računom nad 100:

100  ( a

 a)

p

NAD





a



Ker velja:

a = 20%

a

= 22%

NAD



Vstavimo vrednosti v enačbo:

100  ( a

 a) 100 (22  )

20

p 

NAD



 %

10



a

20



V obravnavani državi so povečali stopnjo DDV za 10%.





Primer 3.13


Kolikšna je davčna osnova, če je cena prehrambenega izdelka 210 DE, stopnja DDV pa je 8%?



Cena vključuje davčno osnovo in DDV. Pri reševanju tega problema si bomo pomagali s procentnim računom nad 100:

100  a

a

NAD





100  p





125





GOSPODARSKI RAČUN

Poznamo:

a

= 210 DE

NAD

p = 8%



100 a

100

DE

210



a

NAD







,

194 44 DE

100  p

100  8



Davčna osnova znaša 194,44 DE.





3.4 Obrestni račun

3.4.1 Osnovni pojmi

Obrestni račun je lahko:

 enostavni obrestni račun,

 obrestnoobrestni račun.



Pojmi pri obrestnem računu

Glavnica je denarni znesek (finančna sredstva), ki ga posodimo ali pa si ga izposodimo v določenem časovnem trenutku za določeno časovno obdobje.

Glavnico v matematiki označimo s črko G, ki ji običajno dodajamo indekse glede na to, na kateri časovni trenutek se glavnica nanaša.

Obresti so nadomestilo (cena) za uporabo finančnih sredstev v določenem časovnem obdobju.

Obrestna mera je v relativni obliki izraženo nadomestilo (cena) za uporabo finančnih sredstev, vendar njen pomen pojasnimo s postopkom obračuna obresti. Obrestna mera je lahko dekurzivna ali pa anticipativna.

Čas obrestovanja je tisto časovno razdobje, za katerega se obračunavajo obresti. Kapitalizacijska doba je čas med dvema zaporednima pripisoma obresti.



126





GOSPODARSKI RAČUN

S kapitalizacijo je določen način pripisovanja obresti v kapitalizacijski dobi in pove, kolikokrat se pripišejo obresti v obdobju, za katerega velja dogovorjena obrestna mera.

V finančni matematiki se pogosto srečujemo z latinskimi okrajšavami za posamezna časovna obdobja, te okrajšave pa so:

 p.a. (per anno) - na leto,

 p.s. (per semestris) - na polletje,

 p.q. (per quartus) - na četrtletje,

 p.m.(per mese) - na mesec.



Kredit (tudi kreditno razmerje) je pravno razmerje med kreditodajalcem in kreditojemalcem.

Kreditodajalec je fizična ali pravna oseba, ki odobri kredit fizični ali pravni osebi, ki je zanj zaprosila.

Kreditojemalec je fizična ali pravna oseba, ki prejme kredit od fizične ali pravne osebe, ki je kredit odobrila.

Dekurzivno in anticipativno obrestovanje sta izraza, ki opredeljujeta postopek obračunavanja obresti. Pri dekurzivnem obrestovanju obračunamo obresti po preteku nekega obdobja.



Dekurzivno obrestovanje je način pripisa obresti po pretečenem časovnem obdobju. Pri dekurzivnem obrestovanju gre za pripis obresti za nazaj. Tako dobljene obresti imenujemo dekurzivne obresti, obrestno mero, ki 127



GOSPODARSKI RAČUN

jo uporabljamo pri dekurzivnem obrestovanju, pa imenujemo dekurzivna obrestna mera.

Pri anticipativnem obrestovanju obračunamo obresti pred obrestovalnim obdobjem, za njihovo vrednost se zmanjša glavnica.



Anticipativno obrestovanje je postopek obračunavanja obresti vnaprej, to je na začetku obrestovanega obdobja. To pomeni, da pri anticipativnem obrestovanju na začetku obrestovanega obdobja od glavnice, ki dospe na koncu obrestovanega

obdobja,

odštejemo

obresti

(anticipativne

obresti).

Anticipativno obrestovanje je tako smiselno predvsem pri kreditnih poslih.

Kot praktični primer za dekurzivno obrestovanje lahko navedemo vezano vlogo, ki jo deponiramo pri banki. Zelo značilen primer anticipativnega obrestovanja pa so brezkuponske obveznice. Obveznice so namreč vrednostni papirji, ki imetniku obljubljajo določen donos, običajno pa imamo opraviti s kuponsko obveznico. Kuponska obveznica ima namreč več kuponov, vsak kupon pa imetniku ob dospetju prinaša donos v obliki obresti.

Razlikujemo med donosom in donosnostjo. Donos je izražen v absolutnem denarnem znesku (obresti), donosnost pa je izražena v relativni obliki (npr. obrestna mera).

Dekurzivno obrestno mero običajno označujemo s p, anticipativno obrestno mero pa označujemo s π.

Dospetje označuje tisti trenutek, ko je treba plačati obveznost. Pojem dospetje je v financah ekvivalenten pojmu zapadlost. Če nam banka danes 128





GOSPODARSKI RAČUN

odobri posojilo za eno leto, potem to posojilo zapade čez eno leto. To pomeni, da moramo čez eno leto banki vrniti posojeni znesek s pripadajočimi obrestmi.

Prenumerando zneski so tisti zneski, ki dospevajo na začetku posameznega kapitalizacijskega obdobja. Postnumerando zneski pa so tisti zneski, ki dospevajo na koncu posameznega kapitalizacijskega obdobja.

3.4.2 Enostavno obrestovanje

Temeljna problematika enostavnega obrestnega računa

Enostavno obrestovanje izhaja iz predpostavke, da se obresti pripisujejo le prvotni glavnici.

Oznake:

G - začetna vrednost glavnice,

0

p - obrestna mera za kapitalizacijsko obdobje, izražena v %, n - čas obrestovanja,

o - obresti.

Kapitalizacijsko obdobje je lahko različno. Pri navadnem obrestnem računu se kot kapitalizacijsko obdobje uporablja leto, polletje, četrtletje, mesec in dan. Obresti za vsako posamezno kapitalizacijsko obdobje izračunamo po enačbi:

G  p

0

o 

.

100



Po prvem kapitalizacijskem obdobju se glavnica G poveča za obresti o: 0

G  G  ,

o

1

0

kjer z G označujemo vrednost glavnice po enem kapitalizacijskem obdobju.

1

Ker se pri enostavnem obrestovanju obresti izračunavajo in pripisujejo začetni glavnici, velja za izračun glavnice po dveh kapitalizacijskih obdobjih zveza: G  G  o  G  o

2 .

2

1

0



129

GOSPODARSKI RAČUN

In odtod sledi po analogiji splošni obrazec:

G  G

 o  G  .

n .

o

n

n 1



0

(3.4.1)

n  ,

1 ,

2 ...

Iz navedenega je razvidno, da se pri navadnem obrestovanju srečujemo z aritmetičnim zaporedjem, katerega prvi člen je začetna glavnica (G ), diferenca 0

ali prirastek pa obresti(o). Obravnavano zaporedje je naraščajoče, ker je obrestna mera pozitivna.



Izračun obresti za kapitalizacijsko obdobje enega meseca

Pri izračunu obresti za določeno kapitalizacijsko obdobje moramo biti predvsem pozorni, na kakšno kapitalizacijsko obdobje se obrestna mera nanaša.

Največkrat je obrestna mera podana za letno raven, kar pomeni, da je velikost obresti na mesečni ravni dvanajstkrat manjša.

Tako iz enačbe (3.3.1) sledi, da znašajo mesečne obresti:

G p

0

100

o 

,

12

kar lahko poenostavljeno zapišemo v obliki:

G p

0

o 

.

1200

Enačba za izračun obresti za kapitalizacijsko obdobje m mesecev ima obliko:

G pm

0

o 

. (3.4.2) 1200



Izračun obresti za kapitalizacijsko obdobje enega dneva

Povsem enako, kot smo postopali pri izračunu obresti za obdobje enega meseca, postopamo pri izračunu obresti za kapitalizacijsko obdobje enega 130



GOSPODARSKI RAČUN

dneva. Enačba, iz katere izhajamo, je enačba (3.3.2), obresti na dan pa na podlagi letne obrestne mere izračunamo iz:

G  p

0

100

o 



365

Enačbo poenostavimo in dobimo:

G pd

0

o 

(3.4.3)

36500

Če gre za prestopno leto, pa po analogiji velja:

G pd

0

o 

(3.4.4)

36600



Enačba za izračun obresti za kapitalizacijsko obdobje d dni je v svojem bistvu bolj natančna od enačbe za izračun obresti za m mesecev, ker letno obrestno mero najprej preračuna na dnevno raven, nato pa računa obresti za kapitalizacijsko obdobje m mesecev, enačba za izračun obresti za m mesečno kapitalizacijsko obdobje pa ne upošteva dejstva, da imajo posamezni meseci različno število dni.

Omenjena ugotovitev na višino obresti ne bo bistveno vplivala, če gre za majhno začetno glavnico, večja kot je začetna glavnica, večji so razkoraki med izračunanimi obrestmi.

Ko izračunavamo število dni obrestovanja, vedno upoštevamo naslednje pravilo:

Prvega dne (ko denar vložimo v banko, ...ipd.) ne štejemo k dnevom obrestovanja, zadnji dan (ko denar dvignemo iz banke,... ipd.) pa štejemo k dnevom obrestovanja.



131

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.14


Nekdo je danes vložil v banko 2000 DE. Koliko obresti bo dobil po petih letih pri 8% letni dekurzivni obrestni meri, če banka za izračun obresti uporablja metodologijo enostavnega obrestovanja? Kolikšna je tedaj velikost glavnice?



Podatki:

G = 2000 DE

0

n = 5 let

p = 8%



Najprej izračunamo, kolikšne so obresti po enem letu. Za rešitev problema uporabimo naslednjo enačbo:

G  p

0

o 

.

100



Vstavimo podatke:

G  p

DE

2000

8

o

0





 160 DE

100

100



Po petih letih bodo pripisane obresti petkrat (n krat) večje: no= 5·160 DE = 800 DE



Velikost glavnice po petih letih pa izračunamo iz enačbe:

G = G + 5·o = 2000 DE + 5·160 DE = 2800 DE.

5

0





Primer 3.15


Kolikšna je letna dekurzivna obrestna mera, če je nekdo na začetku junija v banko vložil 37890

DE, konec avgusta pa je na vloženo glavnico dobil 354 DE obresti? Banka za izračun obresti uporablja navadni obrestni račun.



Podatki so:

G = 37890 DE

0

o = 354 DE

m = 2

p = ?



Za rešitev problema uporabimo enačbo:

G  p  m

0

o 



1200





132



GOSPODARSKI RAČUN

Iz enačbe izrazimo p:

o 1200

p 

.

G  m

0



Vstavimo podatke:

o 1200

354 DE 1200

p 





.

6

,

5



G  m

37890 DE  2

0



Letna dekurzivna obrestna mera v tem primeru znaša 5,6%.





Primer 3.16


V koliko dneh se neka glavnica potroji, če je upoštevana dekurzivna obrestna mera 8%, in letna kapitalizacija in enostavno obrestovanje?



Za rešitev zastavljenega problema si pomagamo z enačbo:

G  G 

.

no

n

0



Velja tudi:

G  3 G  G  2 G ,

n

0

0

0

G pd

0

o 

,

36500



G pd

2

0

G 

,

0

36500

pd

2 

.

36500



Izrazimo d:

2  36500

d 

.

p

Vstavimo podatke:

p  8% .

p .

a

2  36500

2  36500

d 



 9125

p

8



Ali v letih:

9125

n 

 25 let.

365



Začetna glavnica se pri dekurzivnem obrestovanju in 8% letni obrestni meri ter celoletni kapitalizaciji potroji v 9125 dneh ali v 25 letih.





133





GOSPODARSKI RAČUN

3.4.3 Obrestnoobrestni račun

Pri obrestnoobrestnem računu se obresti ne izračunavajo na podlagi začetne glavnice, ampak glede na začetno glavnico, povečano za obresti vseh predhodnih kapitalizacijskih obdobj. Vsak izračun obresti se izvede na vrednost glavnice in pripadajoče obresti iz predhodnih obdobij. Tako se pri obrestno obrestnem računu ne srečujemo z aritmetičnim zaporedjem, ampak z geometrijskim zaporedjem, ker je kvocient med dvema zaporednima vrednostnima glavnice stalen - glavnica se ob kapitalizaciji spreminja s stalnim faktorjem.



Dekurzivno obrestovanje

Vrednost glavnice v začetku obrestovalnega obdobja označimo z G in ji 0

rečemo začetna glavnica. Obrestno mero pri dekurzivnem obrestovanju ozna-

čimo s p, izražamo jo v %.

Ob koncu prvega leta se začetna glavnica poveča za obresti o, ki smo jih pri enostavnem obrestnem računu izračunali kot:

G  p

0

o 

.

100

Označimo z G vrednost glavnice ob zaključku prvega leta; izračunamo 1

jo po obrazcu:

G  p

p

0

G  G  o  G 

 G 1

( 

),

1

0

0

100

0

100

Označimo z r izraz:

p

1 

 r

100

in ga imenujemo dekurzivni obrestovalni faktor.

G potem zapišemo v obliki:

1



134



GOSPODARSKI RAČUN



p 

G  G 1 

  G r .

1

0

0



100 

Vsebinsko ni med enostavnim obrestovanjem in obrestnoobrestnim računom nikakršne razlike v okviru enega kapitalizacijskega obdobja, nad enim kapitalizacijskim obdobjem pa prihaja do precejšnjih razlik, saj je graf funkcije enostavnega obrestovanja linearna funkcija (v ozadju enostavnega obrestovanja je aritmetično obrestovanje), graf funkcije obrestno obrestnega računa pa je eksponentna funkcija (v ozadju obrestno obrestnega računa je geometrijsko zaporedje). Glede na to, da se čas giblje v pozitivni smeri in da je obrestna mera vedno pozitivna, sta obe funkciji definirani le za pozitivne vrednosti.

Ker se pri obrestno obrestnem računu obresti ne računajo samo od začetne glavnice, ampak tudi od vseh obresti za pretekla kapitalizacijska obdobja, velja:

G  G r,

1

0

2

G  G r  G rr  G r ,

2

1

0

0

3

G  G r  G rrr  G r .

3

2

0

0

Tako velja splošno za naobrestenje (če je pripis obresti enkrat letno) obrazec:

n

G  G r . (3.4.5) n

0

Glavnica pri obrestnoobrestnem računu eksponencialno narašča. Hitrost njenega eksponencialnega naraščanja je odvisna od višine obrestne mere, kar je razvidno tudi iz splošne enačbe za obrestnoobrestni račun. Prav tako je razlika med obrestnoobrestnim in enostavnim obrestnim računom tem večja, čim večja je obrestna mera.V podjetniški in bančni praksi se uporablja obrestno obrestni račun.





Relativna in konformna obrestna mera



135

GOSPODARSKI RAČUN

Kadar je pripis obresti m-krat letno, uporabljamo obrazce za izpodletno kapitalizacijo.

OBRESTOVANJE

GLAVNICA





OBRESTNA MERA


p


p





r , m

m

nm



p

p – letna obrestna mera

,







RELATIVNO


r m


G

 G 1

nm ( r )

0 







100 

p

- izpodletna

r , m

(polletna,četrtletna,

mesečna)

relativna obrestna mera



p

r

1

k ,



m  m r

k , m



100

nm



p

p

 10 m r 

k , m

0

1

,







KONFORMNO


k m


G

 G 1



nm( r )

0 







100 

p

- izpodletna

r , m

(polletna,četrtletna,

mesečna)

relativna obrestna mera



Pri tem pomeni:

 relativna obrestna mera - sorazmerni del letne obrestne mere letnega podobdobja, za katerega se izvrši pripis obresti,

 konformna obrestna mera - tista izpodletna obrestna mera, ki da pri izpodletnem obrestovanju v enem letu predpisane letne obresti.



Razobrestitev ali diskontiranje pri dekurzivnem obrestovanju

Znesek A danes namreč ni primerljiv z zneskom B jutri, zato teh zneskov med seboj ni mogoče primerjati neposredno ali jih seštevati. Zato moramo zneske najprej prevesti na isti časovni trenutek.

To pa lahko naredimo na dva različna načina:

 znesek A naobrestimo,

 znesek B razobrestimo.





136



GOSPODARSKI RAČUN

Pri razobrestitvi gre za inverzen postopek kot pri naobrestitvi. Znesek G razobrestimo za n obdobij pri obrestovalnem faktorju r tako, da iz izraza n

(3.4.5) izrazimo vrednost G :

0

Gn

G 

. (3.4.6) 0

n

r



Izračun obrestne mere pri dekurzivnem obrestovanju

Iz enačbe (3.3.5) sledi, da je :

p

n

G  G r  G 1

( 

) n ,

n

0

0

100

odtod sledi:

G

p

n  1

( 

) n.

G

100

0

Izrazimo iz gornje enačbe obrestno mero p:

 G



p  100 

n

n

1 .





 G 0





Izračun števila obrestovanih obdobij pri dekurzivnemsto obrestovanju Če izhajamo iz enačbe (3.3.5), vidimo, da je n v eksponentu enačbe, zato si pri reševanju tovrstnih enačb pomagamo z logaritmi tako, da enačbo logaritmiramo, pri tem pa upoštevamo pravila računanja z logaritmi. Povsem vseeno je, kakšno osnovo izberemo za logaritem, iz predvsem banalnih razlogov pa se največ uporabljata naravni logaritem in desetiški logaritem: log G  log G  n.log r .

n

0

Od tu pa sledi:

log G  log G

n

n

0



.

log r



137

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.17


Nekdo je danes vložil v banko 2000 DE. Koliko obresti bo dobil po petih letih pri 8% letni dekurzivni obrestni meri, če banka za izračun obresti uporablja metodologijo obrestnega obrestovanja? Kolikšna bo tedaj velikost glavnice?

Podatki so:

G = 2000 DE

0

n = 5

p = 8%

r= 1,08



Vstavimo podatke v (3.4.5):

5



8 

G  2000 1

 

 DE  2000 08

,

1

.

5 DE  2938 6

, DE.

5



100 

Vrednost obresti v petih letih izračunamo kot razliko med končno in začetno vrednostjo glavnice:

G - G = 2938,6 DE - 2000 DE = 938,6 DE

5

0



Če primerjamo obresti pri navadnem obrestnem računu in obrestnoobrestnem računu, lahko ugotovimo, da so obresti pri obrestnoobrestnem računu večje kot obresti pri navadnem obrestnem računu.





Primer 3.18


Koliko je vredna brezkuponska obveznica danes, če dospe čez 6 let, njena letna donosnost do dospetja znaša 8,5%, njena vrednost ob dospetju (nominalna vrednost) pa znaša 120000 DE.



Vrednost brezkuponske obveznice danes dobimo po enačbi:

Gn

G 

.

0

n

r

Podatki so:

G = ?

0

G = 120000 DE

6

n = 6

p = 8,5%



Velja:

G



n

G 

.

0

n



p 

1





100 





138



GOSPODARSKI RAČUN

Vstavimo podatke:

G

120000 DE



G

n







,

73553 4 DE.

0

n

6



p 



5

,

8



1



1





100 



100 





Primer 3.19


Kolikšna je letna dekurzivna obrestna mera, če je nekdo na začetku junija v banko vložil 36000

DE, čez dve leti pa je dobil vrnjen znesek 40000 DE? Banka za izračun obresti uporablja obrestnoobrestni račun.



Za rešitev problema uporabimo enačbo:

 G



p  100 

n



n

1 .





 G 0





Podatki so:

G = 40000 DE

n

G = 36000 DE

0

n = 2



Vstavimo podatke in dobimo:

 40000



p  100 



2

1  ,

5 .

4





36000







Letna dekurzivna obrestna mera v tem primeru znaša 5,4%.





Primer 3.20


V koliko letih se neka glavnica potroji, če je upoštevamo obrestno mero 8% p.a., celoletno kapitalizacijo, dekurzivno obrestovanje in obrestno obrestovanje?



Iz podatkov sledi zveza:

G = 3G .

n

0



Upoštevajmo (3.4.5):

3G = G rn

0

0



dobimo

3 = rn.





139

GOSPODARSKI RAČUN

Enačbo logaritmirajmo in dobimo:

log3  n log ,

1

,

08



sledi

log3

n 

 ,

14

.

27

log 08

,

1



Glavnica se potroji v 14,27 letih.





Anticipativno obrestovanje

Če si na začetku obračunskega obdobja izposodimo denarni znesek G

1

pri anticipativni obrestni meri π in letnem pripisu obresti, je dejanski znesek, ki ga dobimo, G :

0

G 



 

1

G  G  o  G 

 G  1

 

.



0

1

1

1

100

1



100 

Iz gornje enačbe izrazimo:

G

100

0

G 

 G



1

0



100   .

1  100



Pri tem lahko označimo:

100

 

100  

in velja naslednja zveza:

G  G ,

1

0

ρ je anticipativni obrestovalni faktor.



Splošna formula za anticipativno obrestovanje velja:

n

G  G  . (3.4.7) n

0



140



GOSPODARSKI RAČUN

Izračun obrestne mere pri anticipativnem obrestovanju

Izrazimo ρ iz (3.4.7):

Gn

 



n

.

G 0



Iz zveze:

  100

100  



izrazimo π:

100  (  )

1

100

 

100 

.







Če v zadnjem izrazu upoštevamo izraz

Gn

  n

.

G 0

dobimo izraz za izračun anticipativne obrestne mere π:



G 

  100 1

0





n

.







Gn 



Primerjava dekurzivne in anticipativne obrestne mere

Tako smo prišli do enačbe za izračun anticipativne obrestne mere, enačbo za izračun dekurzivne obrestne mere pa smo izpeljali že v prejšnjih poglavjih. Zanima pa nas, katero obrestovanje je dražje.

Zanima nas torej, katera obrestna mera je večja: dekurzivna ali anticipativna. Izračunajmo, katera anticipativna obrestna mera je ekvivalentna dani dekurzivni obrestni meri in obratno. Dekurzivna obrestna mera p% in anticipativna obrestna mera π% (za isto obrestovalno obdobje) sta ekvivalentni natanko takrat, če kreditojemalec za enaka izposojena zneska v enakih 141

GOSPODARSKI RAČUN

časovnih obdobjih plača enake obresti. Iz tega pa sledi, da morata biti končni glavnici pri dekurzivnem in anticipativnem obrestovanju enaki, prav tako pa morata biti enaki tudi začetni glavnici, saj morajo biti obresti enake. Tako lahko zapišemo:

n

n

G r  G  .

0

0



Enačbo lahko delimo z G in dobimo:

0

rn = ρn.

Ker velja:

n



p 

n

r  1 





100 

in

n





n

100

  

 ,

100   

sledi:

n

n



p 

 100 

1

  

 .



100 

100   



Enačbo lahko korenimo in dobimo:

100

1  p 

.

100

100  

Dobljeni izraz pa nam ponuja dve možnosti, in sicer lahko izrazimo dekurzivno obrestno mero z anticipativno obrestno mero ali pa izrazimo anticipativno obrestno mero z dekurzivno. Izrazimo dekurzivno obrestno mero z anticipativno in dobimo:

p

100



 .

1

100

100  





142



GOSPODARSKI RAČUN

Enačbo pomnožimo s 100 in dobimo:

10000

p 



.

100

100  

Desno stran enačbe poenostavimo:

10000 100  100   

p 

,

100  



10000 10000  100  

p 

.

100  



Iz tega pa sledi:

100  

p 

.

100  



Na povsem enak način bi lahko izrazili tudi anticipativno obrestno mero z dekurzivno obrestno mero, končni izraz pa bi bil:

100  p

 

. (3.4.8) 100  p



Če želimo v naslednjem koraku neposredno odgovoriti na vprašanje, katera obrestna mera je večja, dekurzivna ali anticipativna, lahko postopamo takole:

p  ?.



Dekurzivno obrestno mero v gornjem obrazcu pustimo nespremenjeno, anticipativno obrestno mero pa zamenjajmo z izrazom (3.4.8) in dobimo: p

p

p  100  p





.



100  p

100  p

100  p





143





GOSPODARSKI RAČUN

Izraz pokrajšamo s p in dobimo:

p

100  p



.



100

Ker velja:

p>0,



je števec ulomka 100

p vedno večji od imenovalca, zato je: p 1

100



to pa pomeni, da je dekurzivna obrestna mera vedno večja od ekvivalentne anticipativne obrestne mere. Do povsem enake ugotovitve bi prišli, če bi



primerjali:



p



Izračun števila obrestovanih obdobij

Pri izračunu števila obrestovanih obdobij izhajamo iz enačbe: n

G  G 

n

0

Ker je iskana neznanka n v eksponentu, enačbo logaritmiramo:

log G  log G  n log 

n

0



Iz enačbe izrazimo n:

log G  log G 0

n

n



.

log 



3.4.4 Načelo ekvivalence glavnic

Kadar imamo opraviti s posameznimi zneski v različnih trenutkih, teh zneskov ne moremo neposredno primerjati med seboj. Omenjene zneske lahko med seboj primerjamo šele tedaj, ko opravimo preračun (redukcijo) na isti časovni trenutek ali termin. Iz omenjenega dejstva izvira tudi načelo 144



GOSPODARSKI RAČUN

ekvivalence glavnic. Pri redukciji dveh ali več zneskov na isti trenutek običajno vzamemo termin, ko dospeva eden od vseh vključenih zneskov, kar pa ni nujno. Lahko namreč tudi sami izberemo nek poljuben trenutek kot osnovo za preračun vseh zneskov. Pri preračunu zneskov na skupni časovni termin uporabljamo naobrestitev ali razobrestitev (diskontiranje) zneskov ali pa kombinacijo obeh postopkov, odvisno od časovnega trenutka, ki smo ga izbrali kot osnovo za preračun.

Običajno se v praksi srečujemo z denarnimi pritoki in odtoki v različnih časovnih trenutkih. Kot primer navedimo investicije, kjer navadno vlagamo v začetku, donosi pa prihajajo v kasnejših časovnih trenutkih. Včasih lahko pri nekaterih investicijah investicijska vlaganja nastopijo še v času, ko že prihajajo donosi. Vse denarne prilive in odlive navadno prenesemo na časovno premico, na kateri označimo časovna obdobja ter denarne zneske, s katerimi imamo opraviti. Nato v skladu z načelom ekvivalence glavnic opravimo preračun zneskov na isti časovni trenutek.



Načelo ekvivalence glavnic se glasi:

Dve glavnici sta ekvivalentni (enakovredni, enaki) natanko takrat, če postaneta, po preračunu pri enotnem obrestovanju meri na isti časovni trenutek, enaki.





145



GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.21


Podjetje se pripravlja na investicijo, ki jo ima namen izvesti čez 4 leta. Veljavna obrestna mera je 7% p.a.. Pred dvemi leti je podjetje v banki deponiralo znesek v višini 250 tisoč DE pri dekurzivnem obrestovanju, celoletni kapitalizaciji. Prav tako so pri neki drugi banki pred enim letom deponirali 360 tisoč DE pri dekurzivni obrestni meri in celoletni kapitalizaciji. Sedanja vrednost investicije je 810 tisoč DE. Koliko lastnih sredstev bo imelo podjetje na začetku financiranja investicije in kolikšen bo obseg kredita, za katerega bo pod jetje zaprosilo pri banki, če računamo po:

- navadnem obrestnem računu,

- obrestnoobrestnem računu.



Najprej narišemo časovno premico.





146



GOSPODARSKI RAČUN

Vedno, kadar narišemo časovno premico, vnesemo denarne zneske na tisti časovni trenutek, na katerega se znesek nanaša. To je osnovno pravilo pri risanju časovne premice.



Pri reševanju naloge pa postopamo takole:

Vse denarne zneske, ki smo jih nanesli na časovno premico, bomo preračunali na začetek četrtega leta od danes, ko nastopi investicija. Tako se prvi znesek obrestuje 6 let, drugi pa 5 let.



Navadni obrestni račun:

Za preračun denarnih zneskov uporabimo enačbi:

G  G  .

n ,

o

n

0





G  p

0

o 

.

100



Vnesemo podatke:

250000 DE  7

G  250000 DE  6 *

 355000 DE,

6

100



360000 DE  7

G  360000 DE  5 *

 486000 DE.

5

100

Čez štiri leta od danes bo podjetje imelo lastnih sredstev:

G  G  355000 DE  486000 DE  841000 DE.

6

5



Ker bo podjetje investicijo, ki danes stane 810000 DE, izvedlo čez štiri leta, moramo z navadnim obrestnim računom naobrestiti še ceno investicije danes, da bomo dobili ceno iste investicije čez štiri leta:

810000 DE  7

G  810000 DE  4 *

 1036800 DE.

4

100

Potrebni kredit D:

D  G  ( G  G )  1036800 DE  841000 DE  195800 DE.

4

6

5



Podjetje bi moralo pri enostavnem načinu obrestovanja najeti kredit v višini 195800 DE.



Obrestnoobrestni račun:



Uporabimo enačbo:

D  G  ( G  G ).

4

6

5





147





GOSPODARSKI RAČUN

Vrednost glavnice G0 po n obdobjih izračunamo pri obrestnoobrestnem računu po obrazcu: n

G  G r .

n

0

Potem velja:

D  810000 07

,

1

.

4 DE  (250000 07

,

1

.

6  360000 07

,

1

.

5 ) DE,



D  810000 311

,

1

.

DE  (250000 501

,

1

.

 360000 ,

1

.

)

403 DE  181580 DE.



Podjetje bi moralo pri obrestnoobrestnem načinu obrestovanja najeti kredit v višini 181580 DE.





3.5 Obrestni račun in inflacija

3.5.1 Uvod

Predpostavimo, da ima posameznik premoženje v obliki ene denarne enote. Pri analiziranju realne vrednosti denarja v določenem časovnem obdobju bomo upoštevali dva skrajna primera. Posameznik lahko ta denar v celoti potroši na začetku časovnega obdobja ali pa na koncu tega časovnega obdobja. V prvem primeru lahko posameznik s tem denarjem kupi eno enoto določenega blaga. Obstaja pa tudi možnost, da se posameznik odloči za nakup ene enote istega blaga na koncu časovnega obdobja. V tem primeru ima na voljo dve možnosti:

 denar hrani pri sebi,

 denar veže na banki.



1. Posameznik denar drži celotno časovno obdobje pri sebi in ga v celoti potroši šele na koncu časovnega obdobja. Če v obravnavanem časovnem obdobju ni bilo inflacije, potem lahko posameznik z eno denarno enoto tudi na koncu časovnega obdobja kupi eno enoto določenega blaga. V tem primeru ni prišlo do zmanjšanja realne vrednosti denarja, ker ni bilo inflacije v obravnavanem časovnem obdobju. To pomeni, da imata ena denarna enota na začetku časovnega obdobja in na koncu časovnega obdobja enako kupno moč. Kupna moč denarja se tako ne spremeni, če v obravnavanem časovnem obdobju ni inflacije.



148



GOSPODARSKI RAČUN

Če pa je bila v določenem obdobju R% inflacija, potem se obravnavana enota blaga zaradi inflacije podraži. Zanima nas, za koliko se podraži. Cena enote tega blaga na začetku časovnega obdobja je enaka, cena enote istega blaga na koncu časovnega obdobja pa je višja. Označili jo bomo s P . Ker inflacijo 1

izražamo v odstotkih, velja:

P  P

1

0 100  R

P 0

Ker nas zanima, za koliko se je cena enote obravnavanega blaga povečala, bomo iz zadnje enačbe izrazili P . Do tega bomo prišli postopoma. Najprej 1

zadnjo enačbo delimo s 100 in dobimo:

P  P

R

1

0 



P

100

0

V naslednjem koraku bomo enačbo pomnožili s P :

0

R

P  P 

 P

1

0

0

100

Enačbo še preuredimo in dobimo:



R 

P  P 



1

0

1





100 

Cena enote tega blaga na koncu obdobja je enaka

R

1 

, ker je cena te

100

enote blaga na začetku časovnega obdobja enaka 1. V tem primeru lahko posameznik na koncu časovnega obdobja z eno denarno enoto kupi 1



R

1  100

enot istega blaga. To pomeni, da se je v tem časovnem obdobju kupna moč domačega denarja zmanjšala.



2. Posameznik denar na začetku časovnega obdobja veže v banki za dobo enega časovnega obdobja po obrestni meri p %.



149

GOSPODARSKI RAČUN

Če v obravnavanem časovnem obdobju ni inflacije, se v enem časovnem obdobju pri p % obrestni meri posojeni denarni znesek poveča na



p 

p

1 1

 

 1

.



100 

100

Če pa je bila v določenem obdobju π % inflacija, potem se hkrati odvijata dva procesa, in sicer:

 v enem časovnem obdobju se pri p % obrestni meri posojeni denarni znesek poveča na



p 

p

1 1

 

 1

,



100 

100





R

pri π % inflaciji se obravnavana enota blaga podraži za 1 

.

100



Tudi v tem primeru se je kupna moč domačega denarja zmanjšala.

V enem časovnem obdobju se pri p % obrestni meri celotno premoženje



p 

p

posameznika poveča na 1 1

  1

denarnih enot.



100 

100

Zaradi inflacije se cena obravnavane enote blaga dvigne na



R 

R

1 1

  1

denarnih enot. To pomeni, da lahko posameznik z



100 

100

p

1  1

( 

)

denarnim premoženjem v višini

p

1 

kupi

100 enote tega blaga.

100

R

1  1

( 

)

100

Stopnja realne rasti q je v tem primeru enaka:

p

1 100

q



p 



q  

R 

 1

 1

 

  1

 

 1

 

.



R

100



100 



100  

100 

1 100



150



GOSPODARSKI RAČUN

Pri tem pomeni:

p ... nominalna obrestna mera,

q ... realna obrestna mera,

R ... inflacija.



Posamezne faktorje v izpeljani enačbi bomo imenovali:



p 

1 

. 1 

  nominalni obrestovalni faktor



100 



q 

2 

. 1 

  realni obrestovalni faktor



100 



R 

3 

.. 1 

  revalorizacijski faktor



100 



Če zaradi preglednosti označimo:

p  i

100

q



 r

100

r  

100



Potem lahko zapišemo enačbo:



p  

q  

R 

1

  1

1





100  

100  

100 

v obliki:

(1+i) = (1+r) . (1+π) .



151

GOSPODARSKI RAČUN

Ta enačba se imenuje Fisherjeva enačba 10 . Če iz Fisherjeve enačbe izrazimo nominalno obrestno mero dobimo:

i = r + π + r · π .

Kadar je inflacija zelo nizka, lahko pri računanju skupne obrestne mere uporabljamo približno Fisherjevo enačbo, ki se glasi:

i ≈ r + π .

Vendar pa je tako izračunana skupna obrestna mera samo približek dejanske skupne obrestne mere.

V Sloveniji za izračun revalorizacijskega faktorja uporabljamo TOM, zato velja:

R = TOM

TOM se imenuje temeljna obrestna mera, pove pa nam inflacijsko stopnjo, ki se uporablja pri revalorizaciji. TOM glede na stopnjo inflacije izračunava Banka Slovenije.



Realna obrestna mera q je tako enaka:

p

p

1 

1 

q

q

q

100

100

100





p

1 





1



1

R

100

100

R

100

100  R

1 

1 

100

100

q

100  p 100 



R

(3.5.1)

100

100  R

p 

q 

R 

.

100

100  R



Na podoben način izpeljemo tudi obrazec za izračun nominalne obrestne mere p:





10 Opis Fisherjeve enačbe najdemo tudi v Čibej (1996, str. 228).



152



GOSPODARSKI RAČUN

p

1 100

q

p



q  

R 

1



 1

 1

 1

R

100

100



100  

100 

1 100

p

R

q

R

q

1







1

(3.5.2)

100

100

100

100 100

R  q

p  R  q  100





Primer 3.22


Kolikšen je bil mesečni revalorizacijski faktor za mesec februar 2001 v Sloveniji, če je znašal TOM za mesec februar 2001 0,70%?



Revalorizacijski faktor za mesec februar 2001 bomo izračunali po obrazcu: R

revalorizacijski faktor = 1 



100

Ker velja:

TOM februar 2001 = 0,70%



In ker je:

R = TOM



Velja tudi:





70

,

0

revalorizacijski faktor = 1

  TOM  1

 00

,

1

7



100 

100





Mesečni revalorizacij ski faktor za mesec februar 2001 v Sloveniji je znašal 1,007.





153

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.23


Kolikšna je realna obrestna mera, če v gospodarstvu ni inflacije, nominalna obrestna mera pa znaša 5,4%?



Podatki so:

p = 5,4%

R = 0

Za rešitev tega problema bomo uporabili naslednjo enačbo:

p 

q 

R 100

100  R



Vstavimo podatke v enačbo in izračunajmo vrednost realne obrestne mere: p  R

,

5 4  0

q 

100 

100  ,

5 %

4



100  R

100  0



Problem lahko rešimo tudi drugače. Realna obrestna mera je definirana z enačbo: p

,

5 4

1 

1 

q

054

,

1

100

100





1 

 q 

1 

1  054

,

1

1  054

,

0

 q  ,

5 %

4

R

100

0

1  0

1 

1 

100

100



Na ta način smo prišli do pomembne ugotovitve. V razmerah, ko ni inflacije, je torej nominalna obrestna mera enaka realni obresti meri.





154



GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.24


Pri neki banki smo vezali sredstva za dobo enega leta po realni obrestni meri v višini 3,75%.

Kolikšna je nominalna obrestna mera, če je bila inflacija v tem letu enaka 2%? Kolikšna pa je vrednost nominalne obrestne mere, če pri izračunu uporabimo približno Fisherjevo enačbo?



Podatki so:

q = 3,75%

R = 2,25%



Vrednost nominalne obrestne mere bomo izračunali po obrazcu*:



p 



q  

R 

1

  1

 1





100  

100  

100 



75

,

3

 

,

2 25 





1 

  1

  0375

,

1

 0225

,

1

 0608

,

1



100  

100 

p

p

1 

 0608

,

1



 0608

,

0

 p 

%

08

,

6

100

100





Nominalna obrestna mera je enaka p = 6,08%.





_________________________________________________

*Pri reševanju naloge lahko uporabimo tudi Fisherjevo enačbo: (1+i) = (1+r) . (1+π) Po približni Fisherjevi enačbi dobimo:

q

R

75

,

3

,

2 25

i  r   







 06

,

0

100

100

100

100



 p

i

 p 

%

00

,

6

100



Nominalna obrestna mera je v tem primeru enaka p = 6,00%.





155

GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.25


Pod jetje A je odobrilo posojilo podjetju B za eno leto. Ker podjetja niso specializirana za dajanje posojil, je nominalna obrestna mera na odobreno posojilo višja, kot če bi posojilo odobrila banka.

Vendar podjetje lahko nima druge možnosti. Predpostavimo, da želi podjetje A realizirati 9%

realno obrestno mero. Kolikšno nominalno obrestno mero mora postaviti pod jetje, če pričakuje 8,1% inflacijo? Kolikšna pa naj bo vrednost nominalne obrestne mere, če pri izračunu uporabimo približno Fisherjevo enačbo?



Podatki so:

q = 9,0%

R = 8,1%



Pri izračunu nominalne obrestne mere bomo uporabili enačbo:



p 



q  

R 

1

  1

  1





100  

100  

100 



0

,

9

 

1

,

8





1

  1

  090

,

1

 081

,

1

 178

,

1



100  

100 

p

p

1 

 178

,

1



 178

,

0

 p 

%

8

,

17

100

100



Ob danih predpostavkah mora podjetje A postaviti nominalno obrestno mero v višini p = 17,8%.



Po približni Fisherjevi enačbi dobimo:

q

R

0

,

9

1

,

8

i  r   







 171

,

0

100

100

100

100



 p

i

 p 

%

1

,

17

100



Nominalna obrestna mera je v tem primeru enaka p = 17,1% . Razlika med nominalno obrestno mero, izračunano po Fisherjevi enačbi in med nominalno obrestno mero, izračunano po približni Fisherjevi enačbi, znaša 0,7 odstotne točke.





156





GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.26


Na začetku leta smo posodili 2000 DE po nominalni obrestni meri . Cena za liter mleka je bila na začetku leta 150 DE. Koliko litrov mleka bomo lahko s tem denarjem kupili na koncu leta, če pričakujemo inflacijo v višini 5,4%?



Podatki so:

G = 2000 DE

0

P = 150 DE

0

p = 11,2%

R = 5,4%



Za rešitev naloge bomo uporabili naslednjo enačbo:



p 

G 

0

1





100 



R 

P 

0

1





100 



V enačbo vstavimo podatke in rešimo nalogo:



p 



,

11 2 

G  1 

 2000 1



0



100 



100 

2224









07

,

14



R 



,

5 4 

1

,

158

P  1 



150  1 



0



100 



100 

Ob danih predpostavkah bomo ob koncu leta lahko kupili 14 litrov mleka.





3.5.2 Vrednost glavnice v razmerah inflacije

Poglejmo, kako izračunamo vrednost glavnice po n kapitalizacijskih obdobjih v razmerah inflacije. Splošna enačba za izračun glavnice po n kapitalizacijskih obdobjih obrestnega obrestovanja pri enaki nominalni obrestni meri je:

G= G · r

0

n

Kadar se nominalna obrestna mera v kapitalizacijskih obdobjih spreminja, ima tudi dekurzivni obrestovalni faktor različne vrednosti v posameznem kapitalizacijskem obdobju. Označimo vrednosti dekurzivnega 157

GOSPODARSKI RAČUN

obrestovalnega faktorja v posameznem kapitalizacijskem obdobju z r , r ,..., r .

1

2

n

Tako dobimo:

G = G . r = G . r . (r · r ·...·r )

0

n

0

n

1

2

n



Če označimo:

n

r  r  r 

r

1

2

n

 k

k 1

Dobimo:

n

G  G  n

r  G 

r

n

0

0

 k

k 1

Ker je dekurzivni obrestovalni faktor definiran kot:

p

r  1 



100



Za obdobje k velja:

p

r  1

k





k

100

Zato dobimo:

n

n

G  G 

p

r

G

1



n

0

  

k

0



k 

 



100

k 1

k 1 



Če upoštevamo zvezo:



p

q

R

k 



k

 

k 

1

  1

 1





100  

100  

100 

Dobimo:

n



q

R

k

 

k 

G  G 



n

0

1 1 

k 1 

100  

100 



To enačbo lahko zapišemo drugače:



158



GOSPODARSKI RAČUN

n

n

G  G 

R

q

1

1



n

0



k 

 

 

k



 



100

100

k 1 

 k1 



n



Rk 

Pri tem je G 

1

enak vrednosti revalorizirane začetne vrednosti

0

  

100

k 1 



glavnice. Revalorizirano začetno vrednost glavnice bomo označevali z G rev, 0

zato velja:

n

R

rev

G

 G 

1



0

0



k 

 



100

k 1 



V skladu s tem velja tudi:

n

G 

q

rev

G



1



n

0



k



 



100

k 1 





Splošna enačba za izračun vrednosti glavnice po n kapitalizacijskih obdobjih pa se zelo poenostavi, če je nominalna obrestna mera v vseh kapitalizacijskih obdobjih enaka. V tem primeru velja:

p = p = ... = p = p

1

2

n



Od tu pa sledi:

n

n



p 



p 1  

p 2 



p 



p 

k

n

G  G 





0

1   G 0 1 1  1   G 





0

1



n

1 

100 



100  

100 



100 



100 

k

n

Tudi v tem primeru lahko člen 

p 

1

 nadomestimo s produktom



100 

n



q  

R 

1

  1

 in dobimo11



100  

100 



11 Pri tem upoštevamo zvezo:  p   q   R 

1

  1

1



 100  100  100





159

GOSPODARSKI RAČUN

n



q  

R 

G  G 



0

1

  1



n







100  

100 



Če enačbo preuredimo, dobimo:

n

n



R  

q 

G  G 



0

1

 1



n



100  

100 



V tem primeru lahko revalorizirano začetno vrednost glavnice izračunamo po obrazcu:

n



R 

rev

G

 G 



0

0

1





100 

Zato velja:

n



q 

rev

G  G





0

1



n



100 



160





GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.27


Banka A je nekemu posamezniku odobrila posojilo za časovno obdobje enega leta v višini 8700

DE. Koliko mora posameznik plačati banki na dan zapadlosti posojila, če je bila dogovorjena letna realna obrestna mera 6,5% in če je bila inflacija v obravnavanem kapitalizacijskem obdobju 2,6%? Koliko znaša vrednost revalorizirane začetne glavnice in koliko znašajo realne obresti?



Naloga nas sprašuje po vrednosti glavnice na dan zapadlosti posojila. Pri računanju si bomo pomagali z naslednjo preprosto sliko:



Podatki so:

G = 8700 DE

0

q = 6,5%

R = 2,6%



Vrednost dolga ob zapadlosti posojila bomo izračunali s pomočjo enačbe: n



q  

R 

G  G 



0

1

1



n







100  

100 



Če v to enačbo vstavimo podatke, dobimo:

n



q  

R 



5

,

6

 

6

,

2



G  G  1

 1

 

DE

8700

 1

 1

 

DE

9506



n

0











100  

100 



100  

100 



Vrednost glavnice na dan zapadlosti posojila je enaka 9506 DE, vrednost revalorizirane začetne glavnice pa bomo izračunali po obrazcu:

n







6

,

2



rev

R

G

 G  1

 

 

DE

8700

 1

 

 

DE

8926



0

0



100 



100 



Vrednost realnih obresti bomo izračunali kot razliko med vrednostjo glavnice na dan zapadlosti posojila in vrednostjo revalorizirane začetne glavnice:



G – G rev = 9506,4 DE - 8926,2 DE = 580 DE

1

0





161



GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.28


Komitent neke banke se je pred tremi leti odločil za vezavo depozita v višini 3900 DE. Banka pri obračunu upošteva letno kapitalizacijo. V prvem letu je bila letna realna obrestna mera 5%, v drugem letu 4,5% in v tretjem letu 4,9%. Koliko bo banka izplačala njenemu komitentu danes, če je bila inflacija v prvem letu 2,5%, v drugem letu 2,1% in v tretjem letu 2,2%? Koliko znaša vrednost revalorizirane začetne vrednosti glavnice in koliko znašajo realne obresti v tem primeru?



Pri računanju nam bo v pomoč naslednja slika:





Vrednost glavnice ob zaključku tretjega leta bomo izračunali po obrazcu: n

n

G  G 

R

q

1

1



n

0



k 

 

 

k



 



100

100

k 1 

 k1 





Podatki so:

G = 3900 DE

0

R = 5%

1

R = 4,5%

2

R = 4,9%

3

q = 2,5%

1

q = 2,1%

2

q = 2,2%

3





162





GOSPODARSKI RAČUN

Vstavimo podatke v enačbo in izračunajmo vrednost glavnice ob zaključku tretjega leta: 3

3

G  G 

R

q

1

k

1

k



3

0





 

 



 



k 

100

k

100

1 

 1 





G = 3900 DE · 1,025 · 1,021 · 1,022 ··1,05 · 1,045 · 1,049 = 4801 DE

3



Banka bo svojemu komitentu danes izplačala 4801 DE.



Naloga nas tudi tokrat sprašuje po vrednosti revalorizirane začetne vrednosti glavnice, ki jo v tem primeru izračunamo po obrazcu:

n

R

rev

G

 G 

1

3900

025

,

1

021

,

1

022

,

1

4171



0

0





 

 

DE 







DE

100

k 1 





Vrednost realnih obresti izračunamo kot razliko med vrednostjo depozita na dan izplačila in vrednostjo revaloriziranega začetnega depozita:

G – G rev = 4801 DE - 4171 DE = 630 DE

3

0



3.6 Rentno varčevanje

Pri rentnem varčevanju sklenemo z banko pogodbo o varčevanju za določeno časovno obdobje. Obstajata dva različna načina rentnega varčevanja.

Prvi način je rentno varčevanje s periodičnimi pologi, drugi način rentnega varčevanja pa je rentno varčevanje z vezavo depozita. V primeru rentnega varčevanja s periodičnimi pologi vlagamo v banko enake denarne zneske v enakih časovnih intervalih, ki jih imenujemo periode. Zato v tem primeru govorimo o periodičnih vlogah. Pri tem lahko vlagamo denarne zneske na začetku kapitalizacijskega obdobja (prenumerando vloge) ali na koncu kapitalizacijskega obdobja (postnumerando vloge). V primeru rentnega varčevanja z vezavo depozita pa vložimo denarni znesek v banko samo enkrat.

V tem primeru gre za poseben primer rentnega varčevanja s periodičnimi pologi, kjer je število periodičnih pologov enako 1.

Ločimo tolarsko in devizno rentno varčevanje. Pri tolarskem rentnem varčevanju s periodičnimi pologi so periodični pologi v tolarjih, pri deviznem rentnem varčevanju s periodičnimi pologi pa so periodični pologi v devizah.



163

GOSPODARSKI RAČUN

Podobno je v primeru rentnega varčevanja z vezavo depozita. Če imamo opraviti s tolarskim rentnim varčevanjem z vezavo depozita, potem je enkratni denarni polog v tolarjih. Če pa gre za devizno rentno varčevanje z vezavo depozita, potem je enkratni denarni polog v devizah.

Tako privarčevana denarna sredstva nam banka lahko izplača v dveh oblikah. Prva možnost je ekratno izplačilo privarčevanih denarnih sredstev, druga možnost pa je izplačevanje privarčevanih denarnih stredstev v obliki enako velikih periodičnih izplačil. Ta izplačila imenujemo rente. V tem primeru nam banka izplačuje nominalno enake denarne zneske v enakih časovnih intervalih, ki jih imenujemo periode.

Podobno kot pri periodičnih vlogah imamo tudi v tem primeru dve možnosti. V prvem primeru dobivamo rento na začetku periode (prenumerando rente), v drugem primeru pa dobivamo rento na koncu periode (postnumerando rente).

Višina izplačane rente je odvisna od višine privarčevanih denarnih sredstev in od izbranega števila izplačanih rent. Če je izbrano število izplačanih rent enako ena, potem imamo opraviti z enkratnim izplačilom privarčevanih denarnih sredstev. Večje, kot je število izplačanih rent, manjša je višina izplačane rente pri dani vsoti privarčevanih denarnih sredstev.

Problematiko rentnega varčevanja bomo obravnavali v štirih sklopih in sicer:

 rentno varčevanje z vezavo depozita v kombinaciji z enkratnim izplačilom privarčevanih denarnih sredstev,

 rentno varčevanje s periodičnimi pologi v kombinaciji z enkratnim izplačilom privarčevanih denarnih sredstev,

 rentno varčevanje z vezavo depozita v kombinaciji z rentnimi izplačili,

 rentno varčevanje s periodičnimi pologi v kombinaciji z rentnimi izplačili.





164





GOSPODARSKI RAČUN

3.6.1 Rentno varčevanje z vezavo depozita v kombinaciji z enkratnim izplačilom privarčevanih denarnih sredstev

Pri rentnem varčevanju z vezavo depozita v kombinaciji z enkratnim izplačilom privarčevanih denarnih sredstev gre za obrestnoobrestni račun, pri katerem se začetna vrednost depozita obrestuje določeno časovno obdobje pri določeni obrestni meri. Zato bomo začetno vrednost depozita označili z G , 0

vsoto privarčevanih denarnih sredstev pa bomo označili z G . Pri reševanju n

problemov rentnega varčevanja z vezavo depozita v kombinaciji z enkratnim izplačilom privarčevanih denarnih sredstev si bomo pomagali z naslednjo sliko:



Hkrati pa bomo uporabili že znano enačbo:

n



p 

G  G 



0

1



n



100 





Primer 3.29


Danes smo z banko sklenili pogodbo o rentnem varčevanju. Odločili smo se za 5-letno tolarsko rentno varčevanje z vezavo depozita v znesku 500 tisoč DE pri realni dekurzivni letni obrestni meri 5,6%. Kolikšna bo višina enkratnega izplačila privarčevanih denarnih sredstev, če: 1. ni inflacije,

2. je inflacija v vseh petih letih enaka in znaša 5%?



Pri računanju nam bo v pomoč naslednja slika:





165

GOSPODARSKI RAČUN

1. Vprašanje



Podatki so:

G = 500 tisoč DE

0

r = 5,6%

π = 0

n = 5



V prvem koraku bomo izračunali nominalno obrestno mero. Ob predpostavki, da ni inflacije, je nominalna obrestna mera enaka:

  r

0  6

,

5

p    r 

 0  6

,

5





%

6

,

5



100

100



Velja tudi:

n







p

G  G 



0

1



n



100 

Zato velja:

5



6

,

5



G 



DE

500000

1

 

DE

656583

5



100 



Če ni inflacije, bo vsota privarčevanih denarnih sredstev ob izteku pogodbe o rentnem varčevanju enaka 656583 DE.





2. Vprašanje



Podatki so:

G = 500 tisoč DE

0

r = 5,6%

π = 5%

n = 5



Tudi v tem primeru je potrebno v prvem koraku izračunati nominalno obrestno mero, ki je enaka:

  r

5  6

,

5

p    r 

 5  6

,

5





%

88

,

10



100

100



Tudi v tem primeru bomo uporabili enačbo:

n



p 

G  G 



0

1



n



100 





166





GOSPODARSKI RAČUN

Vstavimo podatke:

5



88

,

10



G 



DE

500000

 1

 

 

DE

837985

5



100 



V primeru inflacije bo vsota privarčevanih denarnih sredstev višja in sicer znaša 837985 DE.





3.6.2 Rentno varčevanje s periodičnimi pologi v kombinaciji z enkratnim izplačilom privarčevanih denarnih sredstev

Ugotovili smo, da lahko denarne zneske vlagamo v banko bodisi na začetku kapitalizacijskega obdobja (prenumerando vloge) bodisi na koncu kapitalizacijskega obdobja (postnumerando vloge). Periodične vloge bomo označili z a, njihovo prihodnjo vrednost po n kapitalizacijskih obdobjih pa bomo označili z S . Pri izračunu končne vrednosti periodičnih vlog bomo n

upoštevali načelo ekvivalence glavnic.

Pri rentnem varčevanju s periodičnimi pologi vlagamo denarne zneske v banko na začetku kapitalizacijskega obdobja, zato bomo pri naših izračunih upoštevali prenumerando periodične vloge. Kadar imamo opraviti z rentnim varčevanj em s prenumerando periodičnimi pologi v kombinaciji z enkratnim izplačilom, si pomagamo z naslednjo sliko:





Da bi izračunali prihodnjo vrednost vseh prenumerando periodičnih vlog S , moramo prvo periodično vlogo a naobrestiti za n let. Pri tem si n

pomagamo z enačbo:

n



p 

G  G 



0

1



n



100 



167

GOSPODARSKI RAČUN

Ker velja:

G  a

n

n

G  a



0

n



p 

n

1

  r



100 



Zato je:

a = a · rn

n



Zato je njena vrednost v časovnem trenutku S enaka a · rn. Drugo n

periodično vlogo a moramo naobrestiti za (n-1) let, zato je njena vrednost v časovnem trenutku Sn enaka a . rn-1 . Po enakem postopku naobrestimo tudi ostale periodične vloge a. Končna vrednost vseh prenumerando periodičnih vlog S je na podlagi slike o prenumerando periodičnih vlogah enaka: n

S = a · rn + a · rn-1 + a · rn-2 + a · rn-3 + a · rn-4 ... + a · r n

Če na desni strani enačbe izpostavimo a · r, dobimo:

S  a  r  r

r

r

r

r



n

 n 1 n2 n3 n4 n5









 

1

Ker gre v oklepaju na desni strani naše enačbe za vsoto prvih n členov geometričnega zaporedja (s prvim členom 1 in kvocientom r)12, velja: n

n

n

n

n

n

r 

5

4

3

2

1

1

1

 r

 r

 r

 r

 r





r 1

Zato velja tudi:

rn 1

S  a  r 



n

r 1

To je osnovna enačba za izračunavanje vsote privarčevanih denarnih sredstev pri rentnem varčevanju s periodičnimi pologi.



12 Več o geometričnem zaporedju lahko najdemo v Vadnal (1974, str. 141-143).



168





GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.30


Odločili smo se za 10-letno tolarsko rentno varčevanje s prenumerando letnimi periodičnimi plačili v višini 50 tisoč DE pri realni dekurzivni letni obrestni meri 6,1%. Kolikšna bo višina enkratnega izplačila privarčevanih denarnih sredstev, če:

1. ni nflacije in

2. če je inflacija v vseh desetih letih enaka in znaša 7%?





1. Vprašanje



Podatki so:

a = 50 tisoč DE

r = 6,1%

π = 0

n = 10



Ob predpostavki, da ni inflacije, je nominalna dekurzivna letna obrestna mera enaka realni dekurzivni letni obrestni meri. Pri reševanju tega problema si bomo pomagali z enačbo: rn 1

S  a  r 



n

r 1

Zato velja:

061

,

1

10 1

S 



5000 DE

0

 061

,

1



 70253 DE

4

10

,

1 061 1



Če ni inflacije, bo vsota privarčevanih denarnih sredstev ob izteku pogodbe o rentnem varčevanju enaka 702534 DE.





2. Vprašanje

Podatki so:

a = 50 tisoč DE

r = 6,1%

π = 7

n = 10



Tudi v tem primeru je potrebno v prvem koraku izračunati nominalno dekurzivno letno obrestno mero, ki je enaka:

  r

7  1

,

6

p    r 

 7  1

,

6 



%

53

,

13



100

100





169



GOSPODARSKI RAČUN

Tudi v tem primeru bomo uporabili enačbo:

rn 1

S  a  r 



n

r 1

Vstavimo podatke:

1353

,

1

10 1

S



DE

50000

 135

,

1





5

,

1072864 DE

10

1353

,

1

1



V primeru 7% inflacije bo vsota privarčevanih denarnih sredstev višja in sicer znaša 1072864,5

DE.





Primer 3.31


Danes smo se odločili za rentno varčevanje tako, da bomo 15 let na začetku vsakega meseca vlagali v banko 10 tisoč DE. Nominalna dekurzivna letna obrestna mera je 6,1%. Koliko bo znašala vsota privarčevanih denarnih sredstev, če banka uporablja: 1. mesečno kapitalizacijo in relativno obrestno mero?

2. mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero?



Podatki so:

a = 10 tisoč DE

r = 5,5%

π = 0

n = 15



Najprej izračunamo celotno število kapitalizacijskih obdobij, ki je v obeh primerih enako. Ker ima leto 12 mesecev, dolžina rentnega varčevanja pa je 15 let, je celotno število kapitalizacijskih obdobij enako:

n = 12 · 15 = 180



Ko smo izračunali celotno število kapitalizacijskih obdobij, lahko narišemo sliko:





1. Vprašanje

Če banka uporablja mesečno kapitalizacijo in relativno obrestno mero, potem velja: p

p

M

r  1 

 1



M

100

100  M





170



GOSPODARSKI RAČUN

Pri tem pomeni:

r ... relativni obrestovalni faktor za M kapitalizacijskih obdobij v letu M

M ... število kapitalizacijskih obdobij v enem letu

p ... nominalna letna obrestna mera



Zato je:

50

,

5

r  1 

 0

,

1 046

12

100 12



Pri reševanju problema si bomo pomagali z naslednjo enačbo:

n

r

1

S  a  r  M



n

M

r

1

M



Vsota privarčevanih denarnih sredstev je tako enaka:

0

,

1 046180 1

S





1000 DE

0

 0

,

1 046

 280500 DE

8

180

,

1 0046 1



Če banka uporablja mesečno kapitalizacijo in relativno obrestno mero, potem znaša vsota privarčevanih sredstev 2805008 DE.





2. Vprašanje: Če banka uporablja mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero, potem je mesečni obrestovalni faktor enak dvanajstemu korenu iz letnega obrestovalnega faktorja: p

M

r 



1 

M

100



Zato velja:

5

,

5

12

r  1 

 ,

1 0045

12

100



Vsota privarčevanih denarnih sredstev je v tem primeru enaka: 0

,

1 045180 1

S





1000 DE

0

 0

,

1 045

 277649 DE

9

180

0

,

1 045 1



Če banka uporablja mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero, potem znaša vsota privarčevanih sredstev 2776499 DE.





171





GOSPODARSKI RAČUN

3.6.3 Rentno varčevanje z vezavo depozita v kombinaciji z rentnimi izplačili Podobno kot pri periodičnih vlogah bomo tudi v primeru rentnih izplačil upoštevali načelo ekvivalence glavnic. Kadar imamo opraviti z rentnimi izplačili, nas zanima sedanja vrednost vseh rentnih izplačil. Pri izračunavanju sedanje vrednosti vseh rentnih izplačil bomo posamezno rento označili z b, začetno vrednost vseh izplačanih rent pa bomo označili z S .

0

Pri rentnem varčevanju z vezavo depozita v kombinaciji z rentnimi izplačili se trenutna13 glavnica po načelu obrestnoobrestnega računa obrestuje tudi v času izplačevanja rente.

Pri rentnem varčevanju z vezavo depozita ali pri rentnem varčevanju s periodičnimi pologi v kombinaciji z rentnimi izplačili nam banka izplačuje rento na začetku periode, zato bomo pri naših izračunih upoštevali prenumerando rentna izplačila. Kadar imamo opraviti z rentnim varčevanjem z vezavo depozita v kombinaciji s prenumerando rentnimi izplačili, si pomagamo z naslednjo sliko:



Sedanjo vrednost vseh prenumerando rentnih izplačil izračunamo s pomočjo preračunavanja prenumerando zneskov na sedanji trenutek: S 

 b

b

 b  b  b  b

0

2

3

4

n 1



r

r

r

r

r

Če to enačbo zapišemo nekoliko drugače:

b

b

b

b

b

S 







  b

0

r n1

r 4

r 3

r 2

r



13 Trenutna glavnica je enaka sedanji vrednosti začetne glavnice zmanjšane za sedanjo vrednost rentnih izplačil.



172



GOSPODARSKI RAČUN



Potem lahko na desni strani enačbe izpostavimo prvi člen:

 b

S

 1

n

n

n

n

n

 r

 r

 r

 r

 r



0

n



5

4

3

2

1 

1

r

V oklepaju na desni strani naše enačbe gre za znano vsoto prvih n členov geometričnega zaporedja (s prvim členom 1 in kvocientom r)14, kjer je: n

n

n

n

n

n

r 

5

4

3

2

1

1

1

 r

 r

 r

 r

 r





r 1

Zato velja tudi:

b

rn 1

S 





0

n 1



r

r 1

To je osnovna enačba za izračunavanje sedanje vrednosti vseh prenumerando rentnih izplačil. Za izračun sedanje vrednosti postnumerando rentnih izplačil uporabljamo enačbo:

b r n 

`

1

S 





0

r n

r 1



14 Več o geometričnem zaporedju lahko naj demo v Vadnal (1974, str. 141-143).



173



GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.32


Kolikšna bo velikost prenumerando rente, če se odločimo za rentno varčevanje z vezavo depozita v višini 2500 EUR* pri nominalni dekurzivni letni obrestni meri 3,75%? Banka pri izplačevanju prenumerando rent upošteva mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero.

Čas vezave depozita je 20 let, odločimo pa se za 24 mesečnih rentnih izplačil.



Pri računanju nam bo v pomoč naslednja slika:





______________________________________

*Oznaka za EURO





174





GOSPODARSKI RAČUN

Da bi lahko odgovorili na zastavljeno vprašanje, moramo najprej izračunati velikost privarčevanih denarnih sredstev čez 20 let. To naredimo s pomočjo obrazca: n



p 

G  G 



0

1



n



100 



Podatki so:

G = 2500 EUR

0

p = 3,75%

n = 20



Zato je:

n

20



p 



75

,

3



G  G  1

 

  250 E

0 UR  1

 

  522 E

0 UR

n

0



100 



100 

Na ta način smo izračunali začetno vrednost vseh prenumerando rent. Če banka uporablja mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero, potem je mesečni obrestovalni faktor enak: 75

,

3

12

r 

1 

 0

,

1 031

12

100



Pri izračunu velikosti mesečne prenumerando rente si bomo pomagali z obrazcem: n

b

r 1

r

n



1

1

S 



 b  S  r 



0

n 1



r

r 1

0

n

r 1



Ker smo se odločili za 24 mesečnih prenumerando rent, je višina posamezne prenumerando rente enaka:





24 1

0031

,

1

1

b 

E

5220 UR  0031

,

1





E

225 UR

0031

,

1

24 1





3.6.4 Rentno varčevanje s periodičnimi pologi v kombinaciji z rentnimi izplačili

Do sedaj smo računali ločeno bodisi prihodnjo vrednost vseh periodičnih vlog bodisi sedanjo vrednost vseh prenumerando rentnih izplačil S . V

0

naslednjem primeru se bomo srečali z obema primeroma hkrati in sicer tako z računanjem prihodnje vrednosti vseh periodičnih vlog (ki so lahko bodisi prenumerando bodisi postnumerando), kakor tudi s sedanjo vrednostjo vseh 175



GOSPODARSKI RAČUN

periodičnih rentnih izplačil (ki so ravno tako lahko prenumerando ali postnumerando). Pri rentnem varčevanju s periodičnimi pologi v kombinaciji z rentnimi izplačili velja:

S = S

n

0

Če upoštevamo prenumerando periodične vloge in prenumerando rentna izplačila, potem lahko rentno varčevanje s periodičnimi pologi in rentnimi izplačili v splošnem predstavimo z naslednjo sliko:



V primeru, da je obrestovalni faktor v času periodičnih vlaganj enak r , v 1

času periodičnih izplačil pa r , velja zveza:

2

rn 1

b

rm 1

1

2

a  r 







1

r 1

m 1



r

r 1

1

2

2





Primer 3.33


V banki želimo skleniti devizno rentno varčevanje s prenumerando mesečnimi pologi v višini 50

EUR za čas 10 let z enoletnim mirovanjem tako privarčevanih sredstev. Banka upošteva mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero. Nominalna dekurzivna letna obrestna mera je enaka 3,75%. Kolikšna bo prenumerando renta, če bi se odločili za 60 izplačanih rent?



Ker banka upošteva mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero, bomo najprej izračunali število kapitalizacijskih obdobij in konformno obrestno mero. Število kapitalizacijskih obdobij v času periodičnih vlaganj je enako:

n = 12 · 10 = 120



Na podlagi izračunanega števila kapitalizacijskih obdobij lahko narišemo sliko, ki nam bo v pomoč pri izračunu višine prenumerando rente:





176





GOSPODARSKI RAČUN





Velikost konformne obrestne mere pa bomo izračunali po obrazcu: p

M

r 

1 



M

100

Zato velja:

75

,

3

12

r 

1 

 0

,

1 031

12

100



Tako lahko izračunamo prihodnjo vrednost vseh prenumerando mesečnih vlog po obrazcu: n

r 1

S  a  r  M



n

M

r 1

M



Podatki so:

a = 50 EUR

n = 120

M = 12



Vstavimo podatke v enačbo:

0031

,

1

120 1

S

 50 EUR  0031

,

1



 7277 EUR

120

0031

,

1

1



Tako privarčevana denarna sredstva morajo mirovati eno leto:

S

= S

r 12 = 7277 EUR 1,003 112 = 7552 EUR

132

120

12



Na ta način smo izračunali začetno vrednost vseh prenumerando rent. Sedaj pa bomo izračunali še velikost prenumerando rente, če bi se odločili za 60 izplačanih rent: n

b

r 1

r

n



1

1

S 



 b  S  r 



0

n 1



r

r 1

0

n

r 1





177





GOSPODARSKI RAČUN

Zato velja:





60 1

0

,

1 031 1

b  75

E

52 UR  0

,

1 031





E

138 UR

0

,

1 03160 1



Če bi se odločili za 60 prenumerando rent, bi bila ob danih predpostavkah višina prenumerando rente enaka 138 EUR.



3.7 Večna renta

Poseben primer rentnega varčevanja z vezavo depozita v kombinaciji z rentnimi izplačili je primer večne rente. Ugotovili smo, da je višina izplačane rente odvisna od višine privarčevanih denarnih sredstev in od izbranega števila izplačanih rent. Višino privarčevanih denarnih sredstev smo označili z S0, število izplačanih rent pa smo označili z n. Če se število rentnih izplačil povečuje čez vse meje, govorimo o večni renti. Obravnavali bomo primer postnumerando izplačil večne rente.

Kadar izplačila večne rente dospevajo postnumerando, si reševanje problemov olajšamo s pomočjo naslednje slike:



Sedanjo vrednost vseh n postnumerando rentnih izplačil izračunamo po obrazcu:

b

rn 

`

1

S 







rn

r 1

Enačbo preuredimo tako, da dobimo obliko:

b

r n

b

`

S 









r n r  1

r n   r  

1



178



GOSPODARSKI RAČUN

V primeru večne rente se število rentnih izplačil povečuje čez vse meje, zato dobi ta enačba naslednjo obliko:

b

`

S 





r 1

Pri tem je S'∞ simbol, s katerim označujemo sedanjo vrednost postnumerando izplačil večne rente.

To je osnovni obrazec za izračun sedanje vrednosti postnumerando izplačil večne rente. Posvetimo sedaj pozornost imenovalcu na desni strani naše enačbe. Ker je obrestovalni faktor r definiran z enačbo: p

r  1 



100

Velja:

p

r  1 



100

Tako dobimo ekvivalentno enačbo za izračun sedanje vrednosti postnumerando izplačil večne rente, ki je:

`

b

b

100  b

S 







r  1

p

p

100

Na osnovi tega izraza dobimo tudi:

`

p  

b 

S

100

S pomočjo tega izraza smo prišli do zelo pomembne ugotovitve. V

primeru večne rente je velikost posameznega izplačila ravno enaka obrestim, ki so se nabrale za začetni glavnici v enem kapitalizacijskem obdobju.





Primer 3.34


Neko trgovsko podjetje želi ustanoviti sklad, iz katerega bo vsako leto najboljši prodajalec prejel ob koncu leta denarno nagrado v višini 230 tisoč DE. Koliko mora podjetje danes vložiti v banko, če banka upošteva letno kapitalizacijo in 12,5% nominalno dekurzivno letno obrestno mero?





179



GOSPODARSKI RAČUN

Na zastavljeno vprašanje bomo odgovorili postopoma. V prvem koraku narišemo sliko, ki nam bo v pomoč pri računanju:



Ker bo denarna nagrada najboljšemu trgovcu izplačana ob koncu leta, si bomo pri odgovoru na zastavljeno vprašanje pomagali z enačbo za izračun sedanje vrednosti postnumerando izplačil večne rente, ki je:

b

`

S 





r 1



Podatki so:

b = 230 tisoč DE

5

,

12

p 

p

%

5

,

12

 r  1

 1

 125

,

1



100

100

Tako dobimo:

'

b

DE

230000



S 





DE

1840000



r 1

125

,

1

1



Če želi podjetje izplačati vsako leto ob koncu leta najboljšemu prodajalcu nagrado v višini 230

tisoč DE, mora danes vložiti v banko 1840 tisoč DE.



Izračunajmo sedanjo vrednost postnumerando izplačil večne rente še s pomočjo ekvivalentne enačbe, ki je:





'

100 b

100 23000 DE

0



S 



 184000 DE

0



p

5

,

12





Primer 3.35


Nominalna dekurzivna letna obrestna mera je 14%. Kolikšna bi bila sedanja vrednost postnumerando izplačil večne rente v višini 100 tisoč DE, ki jo dobi posameznik na koncu vsakega meseca, če banka upošteva mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero?



Če banka uporablja mesečno kapitalizacijo in konformno obrestno mero, potem je mesečni obrestovalni faktor enak:

14

12

r 

1 

 011

,

1



12

100





180





GOSPODARSKI RAČUN

Ker velja:

p 12  r 1 011

,

0

 p  %

1

,

1



100

12

12



Velja tudi:

'

100 b

S 



p



Podatki so:

b = 100 tisoč DE



Zato lahko izračunamo:





'

100 b

100

DE

100000



S 





DE

9090909



p

1

,

1



Sedanja vrednost postnumerando izplačil večne rente na koncu vsakega meseca v višini 100 tisoč DE je enaka 9090909 DE.



3.8 Amortizacijski račun

Amortizacijski račun ima sam po sebi zelo širok pomen, v finančni praksi pa ga uporabljamo pri odplačevanju kredita. Pri tem si pomagamo z amortizacijskim načrtom, ki nam v tabelarični obliki pove način odplačevanja kredita. Kot osnova pri kreditnih poslih nastopa obrestnoobrestni račun, teoretično pa v tem okviru uporabljamo tako dekurzivno obrestovanje kot tudi anticipativno obrestovanje. Pri nas bomo obravnavali primer pri dekurzivnem obrestovanju.

3.8.1 Osnovni pojmi

Pri odplačevanju kredita v praksi obstajata dva možna načina:

 obročni način odplačevanja kredita, z enakimi razdolžninami ali odplačilnimi kvotami kredita, temu znesku se prištejejo obresti glede na stanje dolga;



181





GOSPODARSKI RAČUN

 anuitetni način odplačevanja kredita, kjer je anuiteta fiksna, z vsakim naslednjim plačilom anuitete pa se spreminja njena struktura: zmanjšuje se del za plačilo obresti in povečuje del odplačila kredita -

razdolžnina.



Razdolžnina, odplačilna kvota kredita, odplačilo glavnice (dolga) je tisti denarni znesek, za katerega se po vsakokratnem plačilu anuitete ali obroka kredita zmanjša dolg.

Obresti se računajo od osnove, ki jo predstavlja ostanek dolga po prejšnjem plačilu. Ker se osnova z vsakim odplačilom kredita zmanjša, se posledično zmanjšujejo tudi obresti. Anuiteta se nanaša na poljubno časovno obdobje, ki pa mora biti v času odplačevanja dolga stalno. Izbranemu časovnemu obdobju, na katero se plačuje obrok ali anuiteta, pa mora biti ustrezno prilagojena tudi obrestna mera.

3.8.1.1 Obročni način odplačila kredita

Razdolžnina je tu konstantna in se ne spreminja, njena vrednost je enaka n- temu delu začetnega dolga D , če je n število obrokov. Označevali bomo z: 0

q - razdolžnina, odplačilo dolga,

o - obresti,

i

a - anuiteta, obrok,

i

D - preostanek dolga (kredita) po plačilu obroka a

i

i dolg (kredit).



Obrazce za odplačilo dolga q in obresti o zapišimo po njihovih i

definicijah:

D 0

q 

,

n



p

o  D

.

i

i 1

 100



182





GOSPODARSKI RAČUN

Vrednost prvega obroka a je enaka:

1

p

a  q  D

.

1

0 100

Vrednost drugega obroka je:

p

p

a  q  D

 q  ( D  q)

.

2

1 100

0

100

Splošna enačba pa je

p

a  q  ( D  ( i  )

1 q)

. (3.3.8) i

0

100



3.8.1.2 Anuitetni način odplačila kredita

Izhodišča:

 kredit D kreditojemalec vrne (amortizira) z n enakimi anuitetami a, 0

v enakih časovnih razmikih - obračunskih obdobjih,

 anuiteta a je za podobdobje i (i= 1,2,...,n) sestavljena iz obresti o in i

razdolžnine q ,

i

 anuiteta a je znesek, ki pri nespremenjenih pogojih vračanja dolga ostaja enaka - konstantna, sestavljajo jo obresti za vrednost kredita v obdobju pred plačilom anuitete in razdolžnino, za katero se zmanjša stanje kredita,

 prva anuiteta se plača po preteku prvega obračunskega obdobja.



Po načelu ekvivalence glavnic diskontiramo vrednosti kredita D in 0

anuitet a, plačanih v zaporednih obračunskih obdobjih na skupni časovni trenutek, ko se odplača zadnja anuiteta.

Prihodnja vrednost dolga D , po n kapitalizacijskih obdobjih, pri 0

dekurzivnem obrestovanju in obrestovalnem faktorju r: D rn.

0



183

GOSPODARSKI RAČUN

Pri izračunu prihodnje vrednosti anuitet preračunamo vrednosti anuitet na konec zadnjega obračunskega obdobja. Na koncu zadnjega obračunskega obdobja plačamo anuiteto, pri preračunu vseh anuitet na ta isti trenutek pa zadnje anuitete ne naobrestimo, vse ostale anuitete pa naobrestimo.

Prihodnjo vrednost anuitet bomo pri navedenih pogojih računali po obrazcu:

n

n

a r 

2

1

(

)

1

a  ar  ar    ar



.

r 1

Pri tem mora biti prihodnja vrednost dolga enaka prihodnji vrednosti anuitet v istem časovnem trenutku.

Izenačimo diskontirane vrednosti in dobimo:

a  ( rn

n

 )

1

D r 

.

0

r 1

Izrazimo iz gornje enačbe anuiteto a:

n

D r  ( r  )

1

0

a 

. (3.3.9) n

r 1



Pri tej anuiteti znašajo:

 obresti v obdobju i (i= 1,2,.. .,n), pri stanju neodplačanega kredita D : i-1

D p

1

o

i 



,

i

100

 odplačilo dolga q pa:

i

q  a  o .

i

i

Pri tem pa je novo stanje dolga D po odplačilu anuitete konec obdobja i i

enako:

D  D

 q .

i

i 1





i



184





GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.36


Kreditodajalec ponuja kredit v višini 1000 DE pod naslednjimi pogoji: letna obrestna mera 5%, vračanje s petimi enakimi letnimi anuitetami.



Izračunajmo amortizacijski načrt.

Anuiteta se izračuna po obrazcu (3.3.9), tako da vstavimo ustrezne vrednosti: n = 5

r = 1,05

D = 1000

0





3.8.2 Zvezno obrestovanje

Pri nekaterih naravnih pojavih (demografija, lesna masa v gozdu,...) ali gospodarskih (inflacija, ...) se srečamo s pojavom neprestanega obrestovanja. V

takih primerih uporabljamo obrazec:

np

100

G  G e

, (3.3.10) n

0



kjer pomenijo:

G - vrednost pojava v izbranem trenutku,

0



185

GOSPODARSKI RAČUN

G - vrednost pojava n-let po izbranem trenutku, za katerega velja vrednost n

G ,

0

p% - letna obrestna mera ali stopnja naravne rasti.



Za pojav, ki se spreminja skladno z obrazcem (3.3.9), pravimo, da se spreminja po zakonu naravne rasti.

Obrazec (3.3.10) uporabimo vedno, kadar poznamo tri parametre in nas zanima vrednost četrtega. Zato se poleg oblike (3.3.10) pogosto uporabljajo tudi oblike:

G

G

n



,

0

np

100

e

100

G

p 

ln n ,

n

G 0

100

G

n 

ln n .

p

G 0





Primer 3.37


V občini so ugotovili, da število občanov narašča po zakonu naravne rasti, s stopnjo naravne rasti 2%. Zanima nas število občanov čez pet let, če je v sedanjem trenutku v občini 3500 občanov.



Poznamo naslednje podatke:

G = 3500

0

p% = 2%

n = 5

Zanima nas G5.

Vstavimo podatke v obrazec (3.3.9) in dobimo:

np

52

100

G  G e

 3500 100

e

 38 .

68

n

0



Pri načrtovanju komunalnih objektov nas zanima čez koliko časa (n) lahko pričakujemo v občini 4000 občanov pri nespremenjeni 2% letni stopnji naravne rasti, če je v sedanjem trenutku v občini 3500 občanov.





186



GOSPODARSKI RAČUN

100

G

100

4000

n 

ln n 

ln



134

,

0

.

50

 67

,

6



p

G

2

3500

0



Prebivalstvo se bo povečalo v občini na 4000 v 6,67 leta.



V občini se zanimajo, koliko je bilo občanov pred desetimi leti, če je v danem trenutku v občini 3500 občanov, letna stopnja naravne rasti pa 2%.

V tem primeru upoštevamo podatke na naslednji način:

p % = 2%

G = 3500

10

n = 10

G = ?

0



Na vprašanje bomo našli odgovor, če bomo opravili naslednji izračun: G

3500

G 

n



 286 .

6

0

np

10.2

100

100

e

e



V občini je bilo pred desetimi leti 2866 občanov.





187





GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.38


Leta 1961 je bilo v Sloveniji 1592 tisoč prebivalcev, leta 1971 pa 1727 tisoč prebivalcev (Vir: Statistični letopis RS 1994, stran 64). Določimo letno stopnjo naravne rasti za prebivalstvo v Sloveniji v obdobju 1961-1971.



Uporabimo obrazec (3.3.10) v obliki:

100

G

p

ln n



.

n

G 0



Pri tem bodo uporabljeni podatki:

G =G = 1592 tisoč

61

0

G =G = 1727 tisoč

71

10

n= 10





100

G

100

G

1727

p 

ln n 

ln 71 

.

10 ln

 .

10 ln 0848

,

1



%.

814

,

0



n

G

10

G

1592

o

61



V Sloveniji je v obdobju 1961-1971 prebivalstvo naraščalo s povprečno letno stopnjo naravne rasti 0,81%.



3.9 Vrednotenje investicij

3.9.1 Izhodišče

Investicije so dolgoročne naložbe s pričakovanim dolgoročnim donosom.

Ločimo dva tipa investicij:

 investicije v finančne instrumente (obveznice, delnice),

 investicije v realne naložbe (zgradbe, oprema).



V finančne instrumente investirajo predvsem finančne institucije, ker so za to specializirane, v realne naložbe pa investirajo predvsem podjetja. Podjetja pa kupujejo delnice drugih podjetij predvsem z namenom pridobitve manjšega ali večjega lastniškega deleža in s tem udeležbe v dobičku.



188



GOSPODARSKI RAČUN

Pri investicijah se pojavljajo investicijski izdatki, ki so lahko enkratni zneski ali pa večkratni denarni zneski, ki nastopajo v posameznih časovnih trenutkih. Poleg investicijskih izdatkov se pojavljajo še investicij ski prejemki.

Investicij ski izdatki - vlaganja so vsi tisti izdatki, ki so potrebni za izvedbo investicije, investicijski prejemki - donosi pa so tisti denarni zneski, ki jih kot posledica investicije prejmejo investitorji.

Pri investicijah se srečujemo s finančnim tokom in s spremembo stanja, ne glede na to, ali gre za realno ali finančno investicijo. Investitorji vlagajo vselej z namenom, da se v obdobju življenjske dobe investicije investitorju realno poveča premoženje. V kolikor se premoženje zmanjša, ocenimo, da je investicijska odločitev z ekonomskega vidika slaba, v kolikor pa se realno premoženje investitorjev poveča, pravimo, da je za investitorja investicijska odločitev z ekonomskega vidika dobra.

Da bi bila ocena uspešnosti investicije čim boljša, uporabimo pri ocenjevanju investicijske odločitve kriterije.

Obstaja več različnih investicijskih kriterijev, kot npr.:

 neto sedanja vrednost (NSV15),

 notranja stopnja donosa (ISD16),

 popravljena notranja stopnja donosa (MIRR17),

 metoda dobe povračila (DP),

 metoda indeksa dobičkonosnosti (x).



Opisali bomo postopek izračuna prvih dveh kriterijev.





15 Po angleško NPV (Net present value).

16 Po angleško IRR (Internal rate of return).

17 Po angleško MIRR (Modifyed IRR).



189





GOSPODARSKI RAČUN

3.9.2 Neto sedanja vrednost

Kriterij neto sedanje vrednosti je med vsemi investicijskimi kriteriji najpomembnejši, izpolnjen pa je tedaj, ko so investicijski izdatki (vlaganja) manjši od investicijskih donosov. Pri tem se srečujemo z denarnimi tokovi v času, ki neposredno niso primerljivi med seboj, zato jih moramo preračunati na isti časovni trenutek18. Običajno primerjamo vrednosti donosov in vlaganj, diskontirane na časovni trenutek pred investicij skim vlaganjem.

Celotna vsebina tega kriterija leži v naslednji neenačbi:

sedanja vrednost donosov > sedanja vrednost vlaganj





Uporabimo naslednje oznake:

Di

- vrednost donosa v času i (i = 1,2,3,...n)

Vi

- vrednost vlaganja v času (i = 1,2,3,...n)

n

- obdobja obravnavane investicije

r

- diskontni faktor

p%

- obrestna mera (diskontna stopnja) SVD - sedanja vrednost donosov SVV

- sedanja vrednost vlaganj

NSV

- neto sedanja vrednost investicije.



Neto sedanja vrednost investicije je razlika med sedanjo vrednostjo donosov in sedanjo vrednostjo vlaganj:

NSV = SVD - SVV

Pri računanju sedanjih vrednosti donosov ali vlaganj, bomo uporabljali obrazec (3.3.6). Diskontni faktor r računamo tudi v tem primeru po obrazcu: 18 Upoštevamo načelo ekvivalence glavnic.



190





GOSPODARSKI RAČUN

p

r  1 

.

100

Problem denarnega toka pri vrednotenju investicije lahko prikažemo s tabelo:





ali časovno premico





Sedanjo vrednost donosov SVD in sedanjo vrednost vlaganj SVV lahko izrazimo z gornjimi oznakami v naslednji obliki:

n

SVD   Di ,

i

r

i 0



n

SVV   Vi . i

r

i 0



Za neto sedanjo vrednost investicije NSV zato velja enačba:

n

n

NSV   D

V

i 

. (3.3.11) i

 ii

0 r

0 r

i 

i 





191





GOSPODARSKI RAČUN

Odločitve investitorja o sprejemljivosti investicije glede na vrednost kriterija neto sedanje vrednosti NSV so:

 če je NSV>0, potem je investicijski projekt sprejemljiv,

 če je NSV=0, potem so investitorji indiferentni,

 če je NSV<0, potem investicijski projekt ni sprejemljiv.



Podjetje pa navadno ocenjuje več investicijskih projektov hkrati.

Podjetje ocenjuje posamezne investicijske projekte (variante) in na samem začetku zavrne vse tiste, ki imajo negativno NSV. Vsi tisti investicij ski projekti, ki pa imajo pozitivno NSV, pa gredo v nadaljnjo analizo. Prednost imajo projekti z večjo NSV.

3.9.3 Notranja stopnja donosa (ISD)

Podjetje ima v svoji bilanci stanja določena sredstva in določene obveznosti do virov sredstev. Pri investiranju pa podjetje potrebuje sredstva za investiranje. Investicijska sredstva so lahko lastna sredstva, največkrat pa podjetja potrebujejo tudi zunanja sredstva, ki jih pridobijo pri banki v obliki kredita. Podjetje banki za najeti kredit plačuje določene obresti glede na obrestno mero. To so stroški, povezani z investicijo, po drugi strani pa podjetje zanima, katera je tista stopnja donosa, ki jo zagotavlja investicija. Slednja stopnja donosa se imenuje notranja ali interna stopnja donosa ISD in je enaka obrestni meri p%, pri kateri je neto sedanja vrednost investicije enaka nič.

Drugače povedano: ISD je tista obrestna mera p%, pri kateri je NSV=0.

Z enačbami zapišemo kriterij za izračun ISD v naslednji obliki: NSV = 0

ali izraženo z obrazcem za izračun NSV:

 n

n

D

V

i 

(3.3.12)

i

 ii

0 r

0 r

i 

i 





192



GOSPODARSKI RAČUN

Vrednost ISD ima naslednji pomen:

 če je ISD>p, je investicijski projekt zanimiv,

 če je ISD=p, so investitorji indiferentni,

 če je ISD<p, investicijski projekt po tem kriteriju ni zanimiv.



Pri tem je p bančna obrestna mera kot osnova za obresti, ki jih podjetje plačuje banki, ali bi jih dobilo, če bi investicijska sredstva vezalo pod bančnimi pogoji.

Podjetje v prvi fazi sprejme tisto investicijo, kjer je stopnja donosa investicije večja od obrestne mere, ki jo podjetje plačuje banki. V drugi fazi lahko podjetje sprejme tudi investicijo, ki ne izpolnjuje navedenih kriterijev, je pa za podjetje pomembna iz drugih razlogov - kriterijev.

Pri metodi interne stopnje donosa ne vemo, za koliko se poveča premoženje investitorjev, zato je ta metoda manj primerna za ocenjevanje investicij in se v praksi večinoma uporablja le kot dopolnilni kriterij neto sedanji vrednosti.





193



GOSPODARSKI RAČUN





Primer 3.39


Pod jetje se pripravlja na investicijsko vlaganje v nove proizvodne zmogljivosti. Začetek vlaganja bi po terminskem planu bil lahko v letu 2000. Investicijska gradnja bi potekala dve leti, donose pa pričakujejo v podjetju pet let po zaključeni investiciji. Finančni tok vlaganj in donosov prikazuje naslednja tabela:





Za navedene podatke o finančnem toku obravnavane investicije nas zanima: 1. NSV investicijskega projekta pri 6% letni obrestni meri,

2. ISD - interna stopnja donosa investicije.



Izračun NSV



Za izračun NSV uporabimo obrazec (3.3.11) in za naše podatke zapišimo: n

D

n V

 40

50

60

60

60   160

30 

NSV   i 

i

 i  









  



,



i

i

r

i

r



 



0

,

1 063

0

06

,

1

4

06

,

1

5

06

,

1

6

,

1 067

,

1 06

,

1 062



NSV  

6

,

33 

6

,

39 

8

,

44 

3

,

42 

9

,

39  

9

,

150

(



7

,

26 ) 

.

200 2 

,

177 6 

,

22 6.



NSV= 22,6, kar pomeni, da pri obravnavanem investicijskem vlaganju pričakujemo pri 6%

diskontni stopnji povečanje premoženja investitorja za 22,6 tisoč DE.



Izračun ISD



V našem primeru bomo ISD ocenili na ta način, da bomo izračunali NSV pri različnih diskontnih stopnjah. Ko bo interval (za vrednost diskontne stopnje p%), v katerem je tista vrednost p%, pri kateri bo NSV =0 dovolj ozek, bomo postopek zaključili. To je metoda poizkusov in napak.



Ugotovili smo, da je pri p% =6% vrednost NSV = 22,6.



Ker velja enačba: NSV = SVD-SVV

bo NSV<0, ko bodo SVD<SVV.



Če je pri p%=6% NSV>0, pričakujemo, da bo NSV postala negativna pri p% > 6%, ker se pri dviganju p% SVD bolj zmanjšujejo, kot se zmanjšujejo SVV. Zato preverimo NSV pri diskontni stopnji p%= 10%.



194



GOSPODARSKI RAČUN

n

D

n V

 40

50

60

60

60   160

30 

NSV   i 

i

 i  









  





i

i

r

i

r

0



 10

,

1

3

0

10

,

1

4

10

,

1

5

10

,

1

6

10

,

1

7   10

,

1

10

,

1

2 

NSV 

1

,

30

(

 ,

34 2 

3

,

37 

9

,

33 

)

8

,

30



5

,

145

(



)

8

,

24



1

,

166 

,

170 2   1

,

4



Iz rezultata NSV = -4,1 lahko ugotovimo, da se interna stopnja donosa investicije nahaja v intervalu:

6% < ISD < 10% .



Da bi natančneje določili vrednost ISD, računajmo vrednost NSV pri p%=9%.

n

D

n V

 40

50

60

60

60   160

30 

NSV   i 

i

 i  









  





i

i

r

i

r

0



 09

,

1

3

0

09

,

1

4

09

,

1

5

09

,

1

6

09

,

1

7   09

,

1

09

,

1

2 

NSV 

9

,

30

(

 ,

35 4 

0

,

39 

8

,

35 

)

8

,

32



8

,

146

(

 ,

25 )

2 

9

,

173 

0

,

172

 9

,

1



Ker je NSV=1,9, pri p%=9% lahko ugotovimo, da je vrednost ISD v intervalu: 9%< ISD < 10%.



V kolikor bi morali natančneje opredeliti vrednost ISD, bi nadaljevali s prikazanim postopkom.



Primeri za urtjevanje





Primer 3.40


Želimo kupiti avtomobil, vendar pa imamo danes na razpolago le 470 tisoč DE. Cena avtomobila danes je 2,6 mio DE, zato želimo avtomobil financirati tudi s zakupom (leasingom). V tem primeru bo moral kupec poleg pologa 470 tisoč DE financirati preostali znesek v višini 2,3 mio DE v obliki zakupa. Privarčevani znesek nam bo za ta način financiranja zadostoval za začetni polog, ki ga zahteva prodajalec. Banka nam je zakup odobrila in sicer bomo naš kredit odplačevali 5 let v fiksnem znesku vsak mesec v višini 45 tisoč DE. Za vlogo v domači valuti banka ponuja 6% letno obrestno mero. Kolikšna je pri takem načinu financiranja cena avtomobila danes?



Podatki so naslednji:

p = 12%

m = 12

a = 51 tisoč DE





195

GOSPODARSKI RAČUN

Pri tem imamo opraviti z anuiteto. Zapišimo(3.3.9) v obliki:

a  ( rn

n

 )

1

D  r 

.

0

r 1



Zanima nas vrednost dolga danes, zato iz gornje enačbe izrazimo D : 0

a  ( r n  )

1

D 

,

0

r n  ( r  )

1



n je število kapitalizacijskih obdobij. V našem primeru je:

n = št.let · m = 5 · 12 = 60



Obrestovalni faktor r pa izračunamo po obrazcu:

p

%

6

r  1 

 1

 0

,

1 0 .

5

m

12



Vstavimo vrednosti v enačbo za izračun vrednosti dolga iz naslova zakupa danes: a  ( r n  )

1

5100 DE

0

  005

,

1

60  

1



D 





004

.

638

.

2

0

r n  ( r  )

1

005

,

1

60   005

,

1

 

DE

1



Dejanska vrednost avtomobila danes = D +začetni polog = 2.638.004 DE + 470.000 DE =

0

3.108.004 DE





Primer 3.41


Kolikšna je vrednost dvoletne obveznice podjetja danes, če je njena nominalna vrednost (vrednost, ki jo podjetje izplača ob dospetju) 1000 DE, trg zahteva 15% donosnost, podjetje pa vsako leto izplača 80 DE obresti na obveznico?



Rešitev:

Vrednost obveznice bomo izračunali tako, da bomo njeno nominalno vrednost diskontirali na danes, prav tako pa bomo diskontirali na današnji trenutek tudi vse izplačane obresti.



Podatki so:

G = 1000 DE

2

o = 80 DE

n = 2 leti



15



p

r

1 

 1



.

15

,

1



100

100





196



GOSPODARSKI RAČUN

Za diskontiranje bomo uporabili enačbo:

Gn

G 

.

0

n

r



Najprej diskontirajmo vrednost glavnice:

G

G

DE

1000

G

n

2







 756 DE

0

rn

r 2

15

,

1

2



Sedaj pa diskontirajmo še vrednosti obresti. Pri tem uporabimo obrazec za diskontiranje anuitet, saj podjetje izplača vsako leto enak znesek:

a   rn  

1

80 DE   15

,

1

2  

1

D 



 130



0

rn   r  

1

15

,

1

2   15

,

1

 

DE

1



D0 je vrednost obresti danes.



Vrednost obveznice = Vrednost glavnice + Vrednost obresti = 756 DE+130 DE=886 DE





Primer 3.42


Odločamo se za nakup delnice nekega podjetja, za katerega vemo, da bo čez leto dni izplačalo 600 DE dividend, čez dve leti 900 DE in čez tri leta 1400 DE. Na trgu velja 2% zahtevana donosnost, kar v našem primeru pomeni diskontni faktor. Kolikšno ceno smo pripravljeni plačati za tako delnico?



Rešitev:

Dividende na to delnico nam predstavljajo prihodnje vrednosti, ki jih moramo diskontirati na sedanji trenutek, da bi na ta način kot rezultat vsote sedanjih vrednosti dobili ceno delnice.



Podatki so naslednji:

dividenda 1 = 600 DE

dividenda 2 = 900 DE

dividenda 3 = 1400 DE

p = 2%



Najprej izračunajmo r:

%

2



p

r

1 

 1



.

02

,

1



100

100



Iz osnovne enačbe, ki jo bomo uporabili za izračun, sestavimo eno enačbo za izračun cene delnice po opisanem postopku:





197

GOSPODARSKI RAČUN

dividend 1

a

dividenda 2

dividend 3

a

Cena 







2

3

r

r

r



Vstavimo podatke in izračunajmo ceno delnice:



600 DE

900 DE

14

DE

00

Cena 







5

,

772

.

2

DE

02

,

1

02

,

1

2

02

,

1

3



Cena delnice danes = 2.772,5 DE





Primer 3.43


Kolikšna je donosnost delnice, če je podjetje izplačalo 26 DE dividende v tekočem letu, nominalna vrednost delnice (knjižna vrednost) pa je 1000 DE?

Donosnost delnice

26



DE  %

100



%

6

,

2



1000 DE





198



GOSPODARSKI RAČUN





V tem poglavju ste spoznali naslednje pojme:

 teoretično osnovo in praktično vrednost zmesnega računa, delitvenega računa, sklepnega računa in procentnega računa,

 osnovne pojme in postopke obrestnega računa,

 uporabo obrestnega računa v razmerah, ko ni inflacije,

 uporabo obrestnega računa v razmerah inflacije,

 vsebino rentnega varčevanja in večne rente,

 amortizacijski račun in pa

 kriterije za investicijsko odločanje.





199





MREŽNO PLANIRANJE

4

MREŽNO PLANIRANJE 19

4.1 Pojmi in definicije

Mrežno planiranje (načrtovanje) je kvantitativna metoda za vodenje projektov. Razumemo jo kot pomoč pri optimiranju izvajanja projektov.

Projekt je večje število aktivnosti (dejavnosti, naloge, opravila), ki so medsebojno logično povezane - usklajene in morajo biti opravljene za uresničitev ciljev - namena projekta. Za uspešnost projekta je bistvena dobra definicija cilja projekta in aktivnosti, ki so potrebne za dosego tega cilja.

Elementi mrežnega planiranja so aktivnosti in dogodki.

Aktivnost se prične z izvajanjem v trenutku, ko se zgodi dogodek

“začetek aktivnosti”, in zaključi z izvajanjem v trenutku, ko se zgodi dogodek

“konec aktivnosti”.

Pomembna dogodka v projektu sta: začetek projekta in konec projekta.

Predhodne aktivnosti so za obravnavano aktivnost tiste aktivnosti, katerih zaključek je pogoj za začetek obravnavane aktivnosti. Aktivnosti, ki nimajo funkcije pogoja za izvajanje katere od drugih aktivnosti ali zaključka projekta, ne sodijo med samostojne aktivnosti projekta.

4.2 Vodenje projektov in uporaba metode mrežnega planiranja 4.2.1 Controling in analize pri vodenju projektov

Večina avtorjev opredeljuje controlling kot funkcijo managementa -

poslovodenja in ločuje controlling na: operativni controlling in strateški 19 Podrobnejšo razlago vsebine tega poglavja lahko bralec najde v: Bastič, M.: Mrežno planiranje in Super project, Univerza v Mariboru, Ekonomsko poslovna fakulteta 1991.

Meško, I.: Metode optimiranja I. in II.del, Univerza v Mariboru, Maribor 1989.



201

MREŽNO PLANIRANJE

controlling. Veliko avtorjev za razlago pojma controlling uporabi pojem navigatorja “sistema”, ki skrbi, da ladja ne nasede na nevarne čeri.

Avtorji so si enotni, da je osrednja naloga controllinga zagotavljanje uresničevanja ciljev sistema.

Naloge controllinga v zgoščeni obliki povzemamo po Ossadnik (Ossadnik, 1998, str.26), ki jih deli v tri skupine:

 naloge koordinacije,

 podpore (metodološke, analitične) managementu,

 razvoju informacijske podpore.



V kolikor upoštevamo gornja spoznanja, lahko ocenimo, da je projektno vodenje način izvajanja funkcije controllinga pri tiste vrste procesih, kjer lahko njihove sestavine obravnavamo po proj ektnih načelih.

Naloge controllinga se pri projektnem načinu vodenja procesa z metodo mrežnega planiranja uresničujejo v naslednjih oblikah:

 koordinacijska naloga: v okviru projekta ali med projekti, z namenom celovitega obravnavanja in usmerjanja delovanja celotnega procesa;

 podpore managementu za potrebe odločanja: mrežno planiranje temelji na modelu (informacijskem) celotnega projekta in omogoča simuliranje potekov projekta pri različnih variantah pogojev izvajanja projekta, kriterijev in omejitev;

 razvoj informacijske podpore za potrebe odločanja je neposredni rezultat uporabe metode mrežnega planiranja, z namenom, da bi spoznali možne načine in pogoje izvajanja projekta. Metoda po svoji osnovni lastnosti, da je optimizacijska, določa vse tiste informacije, ki so odločujoče pri optimiranju izvajanja projektov.



Controlling pri projektnem vodenju je pomembna sestavina uspešnega vodenja projekta. Poteka v vseh fazah projekta, njena naloga je ocenjevanje 202





MREŽNO PLANIRANJE

usklajenosti izvajanja projekta z načrtovanim potekom projekta in omogoča pravočasno odkrivanje dejavnikov, ki spreminjajo potek izvajanja projekta, njihov vpliv na celoten projekt in s tem pravočasno odklanjanje motenj. Ob zaključku projekta se s podrobno analizo oceni prednosti in slabosti, ki kot element izkušnje preprečuje ponavljanje ugotovljenih motenj in napak pri podobnih novih projektih.

Zato je metoda mrežnega planiranja lahko osnovna metoda vodenja projekta in prav tako controllinga pri vodenju procesov.

Projektno vodenje in uporabo metode mrežnega planiranja je treba obravnavati fazno. V splošnem nastopata pri projektnem vodenju dve fazi, ki izhajata iz postopka oblikovanja modela in optimizacije reševanja problema.

Tako lahko celoten projektni pristop členimo v dve fazi:

 analizo sestavin, ciljev in pogojev izvedbe projekta,

 analizo optimalne izvedbe projekta.



Rezultat prve faze bo struktura projekta z elementi za sestavo modela projekta. Rezultatov druge faze je lahko več, odvisno od ciljev definiranega projekta. Te lahko razvrstimo v tri skupine:

 časovno analizo projekta,

 analizo stroškov projekta in

 analizo porabe kritičnih resursov (zmogljivosti, izbrane vrste materiala, finančnih sredstev, ipd.)



Mi se bomo omejili le na časovne analize projekta.

4.2.2 Analize sestavin, ciljev in pogojev izvedbe projekta V okviru te faze se opredelijo bistveni dejavniki za uspešno izvedbo projekta. Opredelijo se osnovni cilji in stranski cilji v projektu, ki so osnova za definiranje aktivnosti in primernih podatkov. Prav tako se v tej fazi določijo 203

MREŽNO PLANIRANJE

zakonitosti, ki odločujoče vplivajo na potek projekta in organizacijski pogoji (notranji in zunanji) za izvajanje projekta. Rezultat te faze je struktura celotnega projekta z ustreznimi podatki za njegovo sestavo.

Konkretne naloge v okviru sestave modela razporedimo v nekaj skupin:

 opredelitev aktivnosti,

 opredelitev izvajalcev aktivnosti,

 trajanje aktivnosti, časovni in materialni normativi porabe zmogljivosti in normativi porabe drugih resursov,

 medsebojna odvisnost in logično zaporedje izvajanja aktivnosti.



Opredeljevanje aktivnosti projekta je naloga, ki se različno izvaja v različnih fazah projekta.

Z vidika časovnega razvoja projekta in poznavanja njegovih lastnosti pri projektu nastopajo:

 faza načrtovanja projekta,

 faza projektiranja izvedbe projekta,

 faza izvajanja projekta in

 faza analiziranja projekta.



V fazi načrtovanja projekta podrobnosti projekta še niso definirane, pogosto je to faza priprave projekta, priprave so pogosto povezane z ocenjevanjem zmogljivosti, časovnega poteka in predvsem potrebnih finančnih sredstev. Pogosto je to faza, ko se: opredeljujejo razpisni pogoji za zbiranje ponudb izvajalcev projekta; pripravljajo ponudbe za pridobivanje razpisanih projektov, ocenjevanje učinkov raznih tehnoloških postopkov, organiziranje raznih koordinacijskih projektov. Ker je to faza, ko še sodelujoči niso prepričani, da bo prišlo do realizacije projekta, ne obstajajo potrebe po podrobni razčlenitvi postopkov izvajanja projekta, ampak so pomembne le 204



MREŽNO PLANIRANJE

bistvene aktivnosti v projektu, ki opredeljujejo časovni, materialni in ekonomski vidik izvajanja projekta.

Faza projektiranja izvedbe projekta nastopi, ko je verjetnost izvedbe projekta velika. V tej fazi se opredelijo izvedbene aktivnosti v okviru bistvenih aktivnostih projekta, rešujejo se različni problemi optimiranja projekta in iskanja rešitev, ki bodo zagotavljale optimalno izvedbo celotnega projekta.

Podrobneje se razporedijo odgovornosti v projektu, kot tudi organizacij ski, motivacij ski in koordinacij ski pogoji za doseganje projektnega cilja.

V fazi izvajanja projekta potekajo naloge priprave izvajanja aktivnosti, spremljanja izvajanja aktivnosti in dopolnitve pri nastalih spremembah v poteku izvajanja projekta. Predvsem ta faza je najbolj odvisna od nepredvidenih vplivov na potek projekta. Uspešno odpravljanje motenj zmanjšuje njihov negativni vpliv na projekt in opravičuje dobro organizacijo in metodologijo projekta.

Faza analiziranja projekta se izvaja ob zaključku projekta. Podrobna analiza omogoča sprejemanje ukrepov, ki bodo ovrednotili celoten projekt in učinke organizacijskih, motivacijskih in koordinacijskih vplivov na potek projekta. V tej fazi spoznamo sposobnost uresničevanja projektnih ciljev in napovedovanja pogojev izvajanja projektov.

Analize sestavin, ciljev in pogojev izvedbe projekta se iz vsebinskih razlogov poglobljeno izvaja predvsem v prvih dveh fazah časovnega poteka projekta (fazi načrtovanja in fazi projektiranja izvedbe).

Pri opredelitvi strukture projekta mora biti za definirane aktivnosti določeno:

1. aktivnosti D (i= 1,2,. ..,I) ali skupine aktivnosti, ki jim lahko definiramo: i

 pogoje izvajanja (organizacijske, druge),

 morebitne začetke ali zaključke izvajanja aktivnosti,

 trenutek pričetka projekta in trenutek zaključka projekta; 205

MREŽNO PLANIRANJE

2. izvajalci aktivnosti ter vse tiste prostorske, strojne ali kadrovske zmogljivosti, od katerih je odvisno trajanje aktivnosti, in čas, ko se ta aktivnost lahko izvaja;

3. trajanje aktivnosti t (i=1,2,...,I); to so časovne opredelitve izvajanja projekta, i

opredeljujejo potek izvajanja aktivnosti, če ni dodatnih pogojev izvajanja aktivnosti (čas med pričetkoma dveh aktivnosti, časovno vnaprej opredeljen termin zaključevanja ali izvajanja katere od aktivnosti ipd.); 4. časovni in materialni normativi; to so elementi o izrabi zmogljivosti, materiala in elementi kalkulacije projekta;

5. zaporedje izvajanja aktivnosti: določanje povezav med aktivnostmi, odvisnosti izvajanja ene aktivnosti glede na zaključevanje drugih aktivnosti; opredelitev predhodnih aktivnosti;

6. razlike med pričetki izvajanja aktivnosti (D ) in predhodnimi aktivnostmi j

(D ), ki jih označujemo z dij in dodatno določajo najmanjši čas, ki mora i

preteči od začetka izvajanja aktivnosti D do pričeta izvajanja aktivnosti D .

i

j



Rezultat faze analize projekta in opredelitve njegove strukture se prikaže s seznamom aktivnosti in opredeljenimi pogoji njihovega izvajanja.

Zbirni prikaz naredimo tabelarično, v njem pa predstavimo:

 aktivnosti z opisom in njihovim označevanjem,

 trajanje aktivnosti in zaporedje njihovega izvajanja,

 izvajalce aktivnosti (tiste, ki lahko omejujejo potek projekta),

 časovne omejitve (pogoji) izvedbe določenih aktivnosti,

 normative porabe zmogljivosti, stroške ali druge podatke o porabi zmogljivosti za izvajanje aktivnosti.





206



MREŽNO PLANIRANJE

Preglednica 4.1: Seznama aktivnosti in pogoji izvajanja projekta Oznaka

Opis

Trajanje Predhodna





Izvajalci


Časovne Materialni

Izdelki,

Drugi

aktivnosti

aktivnosti

aktivnost

omejitve

in

dokumenti





pogoji


časovni





normativi


D





t

D

i

i

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

…





…





Običajno se pri enostavnejših projektih da določiti aktivnosti na tak način, da je odnos med njimi opredeljen s predhodnimi aktivnostmi in njihovimi trajanji. Kadar nas zanima predvsem časovni potek izvajanja projekta, opuščamo v tabeli podatke za koloni (7) in (8).





Primer 4.1


V naslednji preglednici prikazujemo potek odpreme potniškega letala, ki je (zaradi preglednosti) poenostavljen; sestavljen je iz 10 aktivnosti.

Preglednica 4.2: Prikaz trajanja in zaporedja izvajanja aktivnosti pri odpremi potniškega letala.

Oznaka





Opis aktivnosti


Trajanje (min.)

Predhodna aktivnost





aktivnosti


t

D

D

j

i



j

D1

Prijava potnikov

50

-

D2

Sortiranje prtljage

40

-

D3

Priprava letala

50

-

D4

Pregled potnikov

15

D1

D5

Vodenje potnikov

10

D3, D4

D6

Izdelava dokumentacije

15

D1

D7

Dostava dokumentov

5

D6

D8

Odvoz prtljage

10

D2

D9

Nakladanje prtljage

10

D8

D10

Zaključne operacije

5

D5, D7, D9





207





MREŽNO PLANIRANJE



4.2.3 Analiza optimalne izvedbe projekta

4.2.3.1 Vsebinska opredelitev faze

Za izvajanje te faze mora biti opredeljena vrsta aktivnosti prve faze. V

primeru slabo izvedenih nalog prve faze ne moremo pričakovati dobrih rezultatov druge faze in celotnega vodenja projekta. V tej fazi se ugotavlja potek projekta in ugotavljajo pogoji izvajanja tako zamišljene izvedbe projekta.

Prav tako so izredno pomembne simulacije možnih variant izvajanja projekta.

Predvsem s tega vidika so učinki te faze lahko izjemni, ker omogočajo laboratorijsko ocenjevanje pričakovanih variant poteka obravnavanega projekta. Glede na rezultate in potrebe te faze se lahko pristopi k spreminjanju v prvi fazi določenih pogojev izvajanja kritičnih aktivnosti projekta.

Naloge, ki jih v tej fazi izvajamo, razporedimo v naslednje skupine:

 opredelitev vnaprej določenih rokov,

 načrtovanje časovnega izvajanja in kritične poti,

 načrtovanje stroškov,

 načrtovanje zasedenosti uporabljenih zmogljivosti projekta.



V okviru časovne analize projekta, na podatkih in opredelitvah, izdelanih v okviru analize strukture projekta, opredelimo odločilne dejavnike, ki vplivajo na potek izvajanja projekta. Ti se določajo z:

 opredelitvijo vnaprej določenih rokov kot rezultatov uporabljene metode za izvajanje časovne analize, s katero se določijo za vse aktivnosti in projekt časovni okviri njihovega izvajanja,

 načrtovanjem časovnega izvajanja in kritične poti: ugotovljena kritična pot in časovne rezerve so elementi, bistveni za analizo, načrtovanje in vodenje časovnega poteka projekta,



208





MREŽNO PLANIRANJE

 načrtovanjem stroškov: pogosto vpliva na časovni potek in organizacijo izvajanja projekta,

 načrtovanjem zmogljivosti projektov: rezultat usklajevanja časovnega, finančnega in stroškovnega vidika izvajanja projekta.



Izvajanje nalog v okviru časovne analize projekta in ugotavljanja pogojev izvajanja projekta poteka v vseh fazah projekta, seveda z ustreznimi vsebinskimi posebnostmi:

 v fazi načrtovanja projekta je projekt opredeljen grobo, poudarek je na

ugotavljanju:

pogojev

koordiniranega

poteka

projekta,

ekonomskih učinkov, potrebnih materialnih ali tehnoloških sredstev,

 v fazi projektiranja izvedbe projekta: podrobnejše opredeljevanje aktivnosti in preskušanje variant, ki bi omogočale različne optimizacijske učinke izvajanja projekta,

 v fazi izvajanja projekta: spremljanje poteka projekta, dopolnjevanje in iskanje optimalnih rešitev za primere spremenjenih pogojev pri iz¬vajanju projekta, minimiziranje stroškov,

 v fazi analiziranja projekta: analiza realizacije načrtovane izvedbe projekta, v primerih odstopanja iskanje optimalnih ukrepov za odpravo motenj, ocenjevanje vzrokov za odmike od pričakovanih rezultatov projekta.



4.2.3.2 Metode za izvajanje časovne anal ize projekta Učinkovitost metode mrežnega planiranja je v razvitih postopkih analize proučevanih projektov in predvsem v učinkovitih metodah grafičnega prikazovanja rezultatov analiz.

Grafični prikaz mrežnega plana projekta se imenuje mrežni diagram.

Obstajajo tri vrste mrežnih diagramov:

 časovni mrežni diagrami,



209





MREŽNO PLANIRANJE

 dogodkovni mrežni diagrami in

 aktivnostni mrežni diagrami.

4.2.4 Časovni mrežni diagram

Aktivnostim priredimo povezave, dogodkom pa vozlišča. Dolžina povezave je prirejena trajanju aktivnosti. Odvisnost med aktivnostmi pri njihovem izvajanju predstavimo z navideznimi aktivnostmi.





Primer 4.2


Prikaz časovnega mrežnega diagrama za podatke v primeru 4.1

Diagram 4.1: Časovni mrežni diagram za odpremo potniškega letala.





4.2.5 Dogodkovni mrežni diagram

Ta oblika se uporablja, kadar je treba podrobneje analizirati medsebojno odvisnost izvajanja aktivnosti. Teoretična izhodišča za to metodo so razvita v sklopu teorije grafov. Grafi so grafični modeli, tvorijo jih vozlišča in povezave (veje, loki). Grafi so usmerjeni, če imajo povezave določena začetna in končna vozlišča) ali neusmerjeni, kadar je vsako od vozlišč povezave lahko začetno ali 210





MREŽNO PLANIRANJE

končno. Mrežni diagram je usmerjen graf. Ima eno začetno vozlišče (začetek) in eno končno vozlišče (zaključek).

Mrežni diagram zato sestavimo tako, da dogodkom priredimo vozlišča grafa, aktivnostim pa povezave. V tem diagramu dolžina povezave ne odraža dolžine trajanja aktivnosti. Odvisnost med dogodki prikazujemo z navideznimi povezavami. Časovni diagram je poseben primer dogodkovnega diagrama.



Pravila grafičnega prikazovanja

1. Povezave so usmerjene od leve proti desni.

Slika 4.1:



2. Vsaka aktivnost se začenja in zaključuje z dogodkom - vozliščem.

3. Če je izvajanje neke aktivnosti pogojeno z zaključkom neke druge aktivnosti, je končno vozlišče predhodne aktivnosti (predhodnikov) istočasno začetno vozlišče naslednje aktivnosti.

Slika 4.2:





4. Če začetek neke aktivnosti pogojuje zaključek predhodnih aktivnosti, se ujemajo končno vozlišče predhodnih aktivnosti (predhodnikov) z začetnim vozliščem naslednje aktivnosti (naslednika).

Slika 4.3:



211





MREŽNO PLANIRANJE



5. Če začetek več aktivnosti pogojuje zaključek predhodne aktivnosti, se ujema končno vozlišče predhodne aktivnosti z začetnim vozliščem naslednikov.

6. Če imata dve ali več aktivnosti skupno začetno in končno vozlišče, se jih ne da identificirati, zato se vpeljejo navidezne aktivnosti.





Primer 4.3


Primer uvajanja navidezne aktivnosti zaradi natančnejšega prikazovanja odnosov med aktivnostmi A, B, C in D. Odnosi med aktivnostmi so prikazani tabelarično: Grafično prikažemo odnose med aktivnostmi z uporabo navidezne aktivnosti (2-3): Slika 4.4:





212





MREŽNO PLANIRANJE

7. Kadar preko enega vozlišča nastopa odvisnost z več vozlišči, se to prikaže z navideznimi aktivnostmi.

8. V mrežni plan se lahko vključi poljubno število navideznih aktivnosti, kar je pomembno z vidika razstavljanja mrežnih diagramov.

9. V primeru, da se začenja izvajanje aktivnosti z realizacijo določenega dela predhodne aktivnosti, se ta aktivnost deli na podaktivnosti.

10. V mrežnem planu se ne smejo pojavljati zanke.

11. V začetnih vozliščih aktivnosti Di opisujemo dogodek V in njegov m

najzgodnejši trenutek d . Nad aktivnostmi vpisujemo kratek naziv aktivnosti, i

pod aktivnostmi pa njihovo trajanje.

Slika 4.5:





Časovna analiza v dogodkovnem mrežnem diagramu

Postopek določanja najzgodnejših trenutkov dogodkov V :

j

 začetnemu dogodku projekta priredimo vrednost d =0,

0

 za vozlišče V poiščemo vsa začetna vozlišča aktivnosti, za katere je V

j

j

končno vozlišče,

 med temi vozlišči označimo z V tistega, pri katerem ima d + t i

i

i

največjo vrednost.



To lahko zapišemo v obliki izraza:

d  max d  t (4.1) j

 i i

i Pj



213

MREŽNO PLANIRANJE



S P smo označili vozlišča za vsa začetna vozlišča tistih aktivnosti, za j

katere je vozlišče V končno vozlišče. Vrednost d za končni dogodek projekta i

i

je najkrajši čas trajanja projekta.





Primer 4.4


Za podatke v primeru 4.1, določimo:

- dogodkovni mrežni diagram,

- najkrajši čas izvedbe projekta,

- preglednico oznak dogodkov v dogodkovnem mrežnem diagramu.



Dogodkovni mrežni diagram je prikazan v diagramu 4.2. Vključene so tri navidezne aktivnosti.

Dogodkovni mrežni diagram vsebuje 11 dogodkov. Najkrajši čas izvedbe projekta je 80 minut.

Preglednico oznak dogodkov izdelamo tako, da dopolnimo preglednico 4.2 z oznakami dogodkov iz dogodkovnega mrežnega diagrama, kar je razvidno v preglednici 4.3. Pri označevanju dogodkov upoštevamo le, da oznaka končnega dogodka aktivnosti ne sme biti nižja od oznake začetnega dogodka.

Preglednica 4.3: Aktivnosti in dogodki mrežnega plana odpreme potniškega letala

Oznaka

Dogodki

Opis aktivnosti

Trajanje

Predhodna





aktivnosti




(min.)





aktivnost


D

Začetni

Končni

t

D

j

j

i

m





n


D1


1

2

Prijava potnikov

50

-

D2

1

3

Sortiranje prtljage

40

-

D3

1

4

Priprava letala

50

-

D4

2

5

Pregled potnikov

15

D1

D5

5

10

Vodenje potnikov

10

D3, D4

D6

2

6

Izdelava

15

D1

dokumentacije

D7

6

8

Dostava dokumentov

5

D6

D8

3

7

Odvoz prtljage

10

D2

D9

7

9

Nakladanje prtljage

10

D8

D10

10

11

Zaključne operacije

5

D5, D7, D9





214





MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.2: Dogodkovni diagram za podatke v primeru 4.1.





215





MREŽNO PLANIRANJE



4.2.6 Aktivnostni mrežni diagram

Aktivnostni mrežni diagram ima obliko, ki omogoča v zbirni obliki prikazovati največ podatkov. Njegova prednost je v enostavnem prikazovanju odvisnosti med aktivnostmi mrežnega programa.

Postopek sestavljanja aktivnostnega mrežnega diagrama:

 aktivnosti prikazujemo tabelarično - vozlišča grafičnega prikaza,

 odvisnosti med aktivnostmi prikažemo s premicami, ki se začenjajo v vozlišču predhodne aktivnosti in končajo v vozlišču odvisne aktivnosti,

 vrednosti povezav so minimalni časi (d ) med pričetki predhodne D

ij

i

in obravnavane aktivnosti D ,

j

 trajanje aktivnosti D označimo s t ,

j

j

 dodamo dogodek “začetek izvajanja projekta” in ga označimo s črko

“S” in dogodek “konec izvajanja projekta”, ki ga označimo s črko “F”,

 vozlišča, ki predstavljajo aktivnosti, rišemo s pravokotniki, vozlišči, ki pripadata dogodkoma za začetek in konec projekta, pa rišemo s krogi.



Metode časovne analize

Metode časovne analize mrežnih planov je možno deliti v dve skupini:

 metode CPM ali metode kritične poti (CPM - Critical Path Method) in

 metode PERT ali metoda ocenjevanja in revizije programa (PERT -

Program Evalution and Review Technique), kjer se aktivnosti prireja po tri vrednosti: realno, optimistično in pesimistično.





216



MREŽNO PLANIRANJE

Mi bomo v nadaljevanju obravnavali metodo CPM - metodo kritične poti, kot posebno varianto metode PERT (s po eno vrednostjo za vsako aktivnost).

Določanje kritične poti v mrežnem planu - metoda CPM

Kritična pot je skupina aktivnosti, ki določajo najkrajši možni čas izvedbe projekta.

Osnovni časovni parametri se delijo v dve skupini:

 časovni trenutki - roki začetkov ali zaključkov aktivnosti,

 časovni intervali - trajanja aktivnosti in časovne rezerve.



Označujemo z:

Z

- začetek j-te aktivnosti,

j

ZZj

- najzgodnejši začetek j-te aktivnosti,

PZ

- najpoznejši začetek j-te aktivnosti,

j

Kj

- konec j-te aktivnosti,

ZK

- najzgodnejši zaključek (konec) j-te aktivnosti,

j

PK

- najpoznejši zaključek (konec) j-te aktivnosti,

j

Tf

- rok zaključka (končnega dogodka) projekta,

t

- trajanje j-te aktivnosti,

j

r

- skupna časovna rezerva j-te aktivnosti.

j



ZZ  max ZZ  t (4.2) j

 i i

i Pj

S P je označena množica predhodnikov aktivnosti j, ZZ so za aktivnosti, j

j

ki nimajo predhodnih aktivnosti enake 0.



217

MREŽNO PLANIRANJE

Najzgodnejši zaključek ZK dobimo tako, da k najzgodnejšemu začetku j

ZZ prištejemo trajanje aktivnosti t :

j

j

ZK  ZZ  t (4.3.) j

j

j

Projekt je končan, ko so končane vse aktivnosti, zato je najzgodnejši zaključek projekta možen v trenutku T , ki ga računamo po obrazcu: f

T  max ZK  max( ZZ  t ) (4.4) f

j

j

j

j

j



Najpoznejši rok začetka j-te aktivnosti določimo za aktivnosti, ki imajo naslednike (niso zaključne aktivnosti proj ekta) po obrazcu:

PZ  min( PZ  t ) (4.5.) j

k

j

k N j



Z N je označena množica naslednikov aktivnosti j.

j

Za zaključne (zadnje) aktivnosti projekta se PZ računa po postopku: j

PZ = T - t

j

f

j

Najpoznejši zaključek PZ dobimo tako, da k najpoznejšemu začetku PZ

j

j

prištejemo trajanje aktivnosti t :

j

PK  PZ  t . (4.6) j

j

j



Opomba: zaključki predhodnih aktivnosti so za pričetkom izbrane aktivnosti.



Skupna časovna rezerva j-te dejavnosti pove, za koliko smemo z začetkom izvajanja dejavnosti odlašati po njenem najzgodnejšem začetku, da odlašanje še ne bo povzročilo podaljšanja trajanja projekta .

Zato je:

r  PZ  ZZ  PK  ZK . (4.7) j

j

j

j

j



218





MREŽNO PLANIRANJE

Dejavnost je kritična, če je njena skupna časovna rezerva enaka 0.

Vozlišča, ki so prirejena aktivnostim, pišemo v obliki, ki omogoča zapis vseh navedenih rezultatov časovne analize.





Primer 4.5


Za primer, podan v preglednici 4.2. Prikaz trajanja in zaporedja izvajanja aktivnosti pri odpremi potniškega letala, naredimo aktivnostni mrežni diagram in določimo:

- kritično pot,

- za aktivnosti najzgodnejše (najpoznejše) začetke izvajanja in časovne rezerve.



Postopek izvedemo v dveh fazah:

I.FAZA - določanje najzgodnejših začetkov (zaključkov) aktivnosti, II.FAZA - določanje najpoznejših začetkov (zaključkov) aktivnosti.



V diagramu 4.3. Dejavnostni mrežni diagram za podatke v primeru 4.1. - I.FAZA, so razvidni rezultati postopka določanja najzgodnejših začetkov izvajanja aktivnosti mrežnega diagrama.

Uporabljeni so obrazci: (4.2), (4.3) in (4.4).





219



MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.3: Aktivnostni mrežni diagram za podatke v primeru 4.1 - I.FAZA 220





MREŽNO PLANIRANJE

V diagramu 4.4 so razvidni rezultati postopka določanja najpoznejših zaključkov, začetkov in časovnih rezerv za izvajanje aktivnosti obravnavanega projekta. Uporabljeni so obrazci: (4.5), (4.6), (4.7).

Diagram 4.4: Aktivnostni mrežni diagram za podatke v primeru 4.1. - I.FAZA 221



MREŽNO PLANIRANJE

Primeri za utrjevanje





Primer 4.6


Za projekt - Preselitev gradbišča, je prikazan dogodkovni mrežni diagram. Opravite ostale analize projekta.





222





MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.5: Dogodkovni diagram za projekt Preselitev gradbišča 223





MREŽNO PLANIRANJE





Primer 4.7


Za projekt – Izračun plač, je prikazan dogodkovni mrežni diagram. Opravite ostale analize projekta.





224





MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.6: Dogodkovni diagram za projekt Izračun plač





225





MREŽNO PLANIRANJE





Primer 4.8


Za projekt – Turistično potovanje, je prikazan dogodkovni mrežni diagram. Opravite ostale analize projekta.





226





MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.7: Dogodkovni diagram za projekt Turistično potovanje 227





MREŽNO PLANIRANJE

4.3 Minimizacija trajanja projekta

Proučevanje možnosti minimizacije trajanja projekta vedno odpira vprašanja:

 ali obstajajo možnosti krajšanja trajanja projekta in

 kakšne bodo posledice - učinki krajšanja trajanja projekta.



Trajanje projekta lahko spremenimo, če opravimo spremembe na aktivnostih kritične poti. To so:

 organizacijske spremembe zaporedja izvajanja aktivnosti projekta ali

 skrajševanje trajanja aktivnosti na kritični poti.



Organizacijske spremembe trajanja projekta lahko zajemajo:

 spremembo celotnega koncepta izvajanja projekta,

 spreminjanje vrstnega reda izvajanja posameznih aktivnosti (na kritični poti) projekta,

 spreminjanje izvajalcev (vključevanje večjega števila zunanjih izvajalcev) projekta.



Skrajševanje trajanja aktivnosti na kritični poti lahko izvajamo le pri aktivnostih, kjer je tako krajšanje (iz tehnoloških pogojev, povezanosti projekta z drugimi projekti, ipd.) dopustno. Upoštevati moramo, da se s tem spremeninjajo optimalni pogoji izvajanja aktivnosti in projekta in da bodo nastopile posledice, ki so za načrtovani cilj projekta dovoljene, lahko pa so posledice krajšanja nedopustne. V primeru krajšanja aktivnosti na kritični poti lahko nastajajo nove kritične poti, ki uvajajo dodatne omejitve optimalne izvedbe projekta.

Predstavili

bomo

postopek

skrajševanja

trajanja

projekta

s

pospeševanjem izvajanja aktivnosti na kritični poti. V postopku upoštevamo 228



MREŽNO PLANIRANJE

dejstvo, da se s krajšanjem trajanja aktivnosti povečujejo stroški njenega izvajanja. Zato imajo pri krajšanju trajanja prednost aktivnosti, pri katerih je povišanje stroškov na enoto skrajšanega trajanja minimalno. Kriterij določanja vrstnega reda krajšanja aktivnosti je zato koeficient povišanja stroškov za časovno enoto krajšanja trajanja aktivnosti. Za j-to aktivnost kriterij zapišemo v obliki:

S

 S

S



jm

jn

j



 k . (4.8) j

t  t

t



jn

jm

j



V obrazcu (4.8) imajo uporabljene oznake naslednji pomen:

S - stroški pri minimalnem času izvajanja j-te aktivnosti - pospešen način jm

izvajanja aktivnosti,

Sjn - stroški pri normalnem (optimalnem načinu ) času izvajanja j-te aktivnosti, t - trajanje j-te aktivnosti pri normalnih (optimalnih) jn

pogojih izvedbe, t - minimalen čas trajanja j-te aktivnosti, jm

kj

- koeficient povišanja stroškov za časovno enoto krajšanja trajanja j-te aktivnosti,

δS j - povišanje stroškov izvajanja j-te aktivnosti zaradi izvedbe aktivnosti v minimalnem namesto v normalnem času,

δtj

- razlika med normalnim in minimalnim časom izvajanja j -te aktivnosti.



Postopek krajšanja trajanja projekta izvajamo v naslednjem zaporedju:

 določitev kritične poti, aktivnosti na kritični poti, časovne rezerve,

 opredelitev cilja krajšanja projekta - določitev željenega (dopustnega) trajanja projekta in stroškovnih omejitev projekta,

 ocena normalnega t in minimalnega (pospešenega) t trajanja jn

jm

izvedbe j-te aktivnosti projekta,



229

MREŽNO PLANIRANJE

 ocena stroškov izvajanja aktivnosti pri normalnem izvajanju S in pri jn

pospešenem izvajanju (izvajanje v minimalnem času) S ,

jm

 določitev koeficientov k , j

 krajšanje aktivnosti na kritični poti, za katero je k -min (upoštevamo j

omejitve aktivnosti, ki se lahko zaradi krajšanja obravnavane aktivnosti vključujejo v kritično pot) in izračun kritične poti pri spremenjenih pogojih,

 ocena rezultata krajšanja trajanja izbranih aktivnosti in ponovitev postopka v primeru, ko pogoji kritičnih poti in časovnih rezerv dopuščajo popravljanje dobljenega rezultata,

 redefinicija cilja krajšanja projekta (lahko tudi organizacijske spremembe izvajanja projekta) v primeru, ko možnosti časovnih rezerv ne dopuščajo željenega krajšanja izvajanja celotnega projekta.



Postopek je grafično predstavljen v Diagramu 4.8. Postopek krajšanja trajanja projekta



230





MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.8: Postopek krajšanja trajanja projekta





231



MREŽNO PLANIRANJE





Primer 4.9


Projekt Posodobitev laboratorijske opreme




Podatki za projekt so prikazani v preglednici 4.8. Za izvedbo projekta imamo na razpolago 42

dni. Opravimo potrebno krajšanje projekta ob pogoju: povišanje stroškov zaradi načrtovanega krajšanja projekta naj bo minimalno.

Preglednica 4.8: Podatki za projekt Posodobitev laboratorijske opreme.





Za aktivnosti obravnavanega projekta izračunajmo koeficiente stroškov krajšanja kj po postopku, določenem z obrazcem (4.8). Rezultati izračunov so podani v preglednici 4.9.

Koeficienti kj za projekt Posodobitev laboratorijske opreme. Iz preglednice vidimo, da je možno krajšati trajanje vseh tistih aktivnosti, pri katerih je δt ≠ 0, torej za krajšanje trajanja ne pridejo v poštev aktivnosti B, C, G in K. Najugodnejše z vidika povišanja stroškov bi bilo krajšanje trajanja aktivnosti E (kE=0,5), najmanj ugodna je za krajšanje trajanja aktivnost A (kA=5).





232





MREŽNO PLANIRANJE

Preglednica 4.9: Koeficienti kj za projekt- Posodobitev laboratorijske opreme.





Za obravnavani primer določimo kritično pot in časovne rezerve. Kritično pot najprej določimo za normalno trajanje aktivnosti z dejavnostnim mrežnim diagramom. Rezultat analize je prikazan v diagramu 4.9.



V diagramu 4.9 razberemo kritično pot in časovne rezerve. Za aktivnosti kritične poti proučimo koeficiente stroškov krajšanja in pogoje za krajšanje (preglednica 4.10) in ugotovimo:

- trajanje projekta je pri normalnih pogojih 46 dni, zato je projekt treba skrajšati za 4

dni,

- kritično pot tvorijo aktivnosti A, D, F, G, K,

- najnižji strošek krajšanja je pri aktivnosti D, kjer znaša 1,4 DE/dan in

- dovoljeno krajšanje te aktivnosti je sicer 10 dni, vendar zaradi aktivnosti B ni smiselno krajšanje za več kot 2dni, ker že takrat nastopi B kot nova omejitev na kritični poti.





233



MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.9: Aktivnostni mrežni diagram za projekt “Posodobitev laboratorijske opreme”





234





MREŽNO PLANIRANJE

Preglednica 4.10: Analiza pogojev krajšanja – I. postopek krajšanja projekta Po upoštevanem krajšanju aktivnosti D za 2 dni, naredimo časovno analizo projekta, ki jo prikazujemo v diagramu 4.10.



V diagramu 4.10 razberemo novo kritično pot in časovne rezerve. Za aktivnosti kritične poti proučimo koeficiente stroškov krajšanja in pogoje za krajšanje (preglednica 4.11) in ugotovimo:

-

trajanje projekta je po I. postopku krajšanja 44 dni, projekt bo potrebno skrajšati še za 2 dni,

-

kritično pot tvorijo aktivnosti A, B, C, D, F, G, K,

-

najnižji strošek krajšanja je pri aktivnosti F, kjer znaša 4 DE/dan in

-

dovoljeno krajšanje te aktivnosti je sicer 5 dni, vendar bo naš cilj dosežen že, če skrajšamo F za 2 dni, tega krajšanja ne omejuje katera od preostalih aktivnosti.





235



MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.10: Aktivnostni mrežni diagram za projekt “Posodobitev laboratorijske opreme”- po I. postopku krajšanja.





236



MREŽNO PLANIRANJE

Preglednica 4.11: Analiza pogojev krajšanja – II. postopek krajšanja projekta

Aktivnost





t


δt

δS

jn

tjm

j

Sjn

Sjm

j





kj


j

(dni)

(dni)

(dni)

(DE)

(DE)

(DE)

(DE/dan)

A

5

3

2

20

30

10

5

B

8

8

0

14

14

0



C

5

5

0

6

6

0



D

15

5

10

1

15

14

1,4

F

15

10

5

35

55

20

4

G

5

5

0

15

15

0



K

6

6

0

10

10

0





V diagramu 4.11: razberemo novo kritično pot in časovne rezerve. Za izvajanja projekta ugotovimo:

-

trajanje projekta je po II. postopku krajšanja 42 dni, trajanje projekta je usklajeno s cilji projekta,

-

kritično pot tvorijo aktivnosti: A, B, C, D, F, G, I, J, K,

-

pri normalnem izvajanju aktivnosti bi projekt trajal 46 dni, stroški projekta bi znašali 1332 DE, krajšanje projekta za 4 dni bi povišalo stroške projekta na najmanj 1342,8 DE, kar je prikazano v preglednici 4.12 Stroški projekta,

-

zaradi pospešenega izvajanja so se stroški izvedbe projekta povišali za 10,8 DE.





237



MREŽNO PLANIRANJE

Diagram 4.11: Aktivnostni mrežni diagram za projekt “Posodobitev laboratorijske opreme”- po I. postopku krajšanja





238





MREŽNO PLANIRANJE

Preglednica 4.12: Stroški podjetja

NORMAL

I.

II.

t

t

S

S

Akt

jn

jm

jn

jm

NO

POSTO





POSTO


(dni)

(dni)

(DE)

(DE)

ivn





Opis aktivnosti


(DE)

PEK





PEK





ost




(DE)

(DE)





Odstranjevanje in

A

prestavljanje opreme v

5

3

20

30

100

100

100

prostoru

Priprava podlage za

B

montiranje nove opreme

8

8

14

14

112

112

112

v prostoru

C

Pleskanje podlage in sten

5

5

6

6

30

30

30

Pleskanje in obdelava

D

15

5

1

15

15

17,8

17,5

sten

Prestavitev vodovodne

E

15

5

1

6

15

15

15

napeljave

Priprava nosilcev za

F

montažo nove opr

15

10

35

55

525

525

533

eme

Namestitev klimatskih

G

5

5

15

15

75

75

75

naprav

H

Montaža nove opreme

8

5

17

29

136

136

136

Povezava nove opreme z

I

8

4

18

32

144

144

144

obstoječo opremo

Montaža stavbnega

J

10

5

12

22

120

120

120

pohištva

Zaključna opravila v

K

6

6

10

10

60

60

60

prostoru

SKUPAJ (DE)





1332


1334,8

1342,8

TRAJANJE SKUPAJ (dni)





46

44





42


4.4 Uporaba mrežnega plana v praksi

Mrežni plan ali načrt se v praksi uporablja kot sredstvo za definiranje, sintezo in analizo vseh dogodkov, aktivnosti-dejavnosti, ki se morajo zgoditi, da bo nek projekt (dejavnost, delo) končano pravočasno oziroma na najboljši možni način.

Uporaba mrežnega plana je odvisna predvsem od prepričanja uporabnikov, da jim pri odločanju pomaga, zato je izredno pomembno, kako podrobno (analitično) je mrežni plan pripravljen za posameznega uporabnika.



239

MREŽNO PLANIRANJE

Podrobnost določanja dejavnosti - aktivnosti v projektu, ki jih z mrežnim planiranjem analiziramo, je zato odvisna od faze, v kateri se projekt načrtuje in komu je predstavitev namenjena.

V preglednici 4.13 je podan način prikaza projekta za uporabnike glede na upravljalsko raven uporabnikov:

 vodstvo podjetja ali ustanove potrebuje informacije v zgoščeni obliki, poudarjeno mora biti bistvo sporočila, zato se za ta namen prikazuje mrežni program v sintetični “grobi” obliki z bistvenimi skupinami dejavnosti - običajno so to projekti, ki so povezani s strateškimi odlo-

čitvami podjetja, tako obliko uporablja vodstvo podjetja v vseh fazah projekta,

 vodstvo projekta je odgovorno za uspešno izvedbo projekta, spremlja projekt v “grobi” varianti mrežnega plana, v primerih ko nastopijo nepredvidljive okoliščine, uporablja tudi podrobni mrežni plan (v fazah, ko je podrobna oblika mrežnega plana na razpolago)- problemi vodenja projekta se povezujejo s problemi taktičnih odločitev v podjetju,

 izvajalci uporabljajo najbolj podrobne oblike mrežnega plana, kot jih je možno sestavljati glede na faze projekta; njihov interes je pravočasno odkrivanje odmikov od načrtovane izvedbe projekta in iskanje optimalnih izhodov iz nepričakovanih pogojev pri izvajanju projekta - problemi se uvrščajo med probleme operativne ravni upravljanja, operativnega controllinga.





240





MREŽNO PLANIRANJE

Preglednica 4.13: Oblike mrežnega plana za posamezne faze projekta po vrstah uporabnikov





Prednosti mrežnega planiranja

Mrežno planiranje je metoda, ki je med uporabniki priljubljena zaradi enostavnosti in preglednosti. Razširjeno uporabo te metode pripisujemo predvsem naslednjim prednostim, ki jih metoda mrežnega planiranja pri vodenju projektov omogoča:

 celovit pregled nad projektom,

 enoznačen prikaz odvijanja in medsebojne povezanosti delnih procesov ter posameznih aktivnosti projekta,

 terminske ocene trajanja, začetkov in zaključkov procesov ali aktivnosti projekta,

 ugotovitev kritične poti, najkrajšega možnega trajanja projekta,

 pravočasno odklanjanje motenj, ki lahko vplivajo na potek projekta,

 uporaba računalnika in zato obravnavanje različnih variant poteka projekta (simulacije različnih okoliščin in variant izvajanja projekta),

 natančna proučitev projekta iz različnih vidikov (časovni, ekonomski ipd.) pred njegovim pričetkom,



241

MREŽNO PLANIRANJE

 določitev izvajalcev in s tem odgovornosti za izvajanje posameznih aktivnosti in podprojektov.



Področja uporabe mrežnega planiranja

Področja, kjer vse je bila ta metoda že uporabljena in kje bi se lahko uporabljala, je zaradi razširjenosti te metode težko našteti. Zato navajamo samo nekatera, kjer se je metoda najbolj uveljavila:

 ekonomsko - organizacij ski projekti: plani, proračuni, reorganizacije,

 vodenje individualne proizvodnje ali storitvene dejavnosti: gradbeništvo, strojegradnja, individualna proizvodnja, raziskovalna dejavnost, interdisciplinarni projekti, ipd.

 enkratni projekti: investicije, vzdrževanje, rekonstrukcije, prireditve, začetki obratovanja ali ukinjanje dejavnosti (rudniki, elektrarne ipd.),

 vodenje projektov razvoja dobrin: razvijanje novih proizvodov ali storitev, uvajanje novih proizvodov ali storitev, snemanje filma, priprava gledališke predstave, ipd.

Uporaba metode mrežnega planiranja se povečuje zaradi razširjene primerne računalniške programske opreme, ki deluje na osebnih računalnikih običajnih zmogljivosti.

Uporabniki metode mrežnega planiranja se delijo v dve skupini:

 uporabniki, ki so dobri poznavalci metode in načina njene aplikacije, ki uvajajo metodo zaradi uspešnejšega vodenja projekta,

 uporabniki, ki poznajo in razumejo rezultate metode (pasivno poznavanje metode) in jih znajo upoštevati pri sodelovanju v projektu.

Obe skupini lahko koristno uporabljata učinke metode mrežnega planiranja in s tem povečujejo učinkovitost vodenja projektov.

Iz navedenih razlogov opažamo stalno naraščanje števila uporabnikov in priljubljenost metode mrežnega planiranja.



242



MREŽNO PLANIRANJE





V tem poglavju ste spoznali naslednje pojme:

 definicijo in sestavine projekta,

 oblikovanje modela mrežnega plana kot metode vodenja projekta,

 časovno analizo projekta, kritično pot, analize drugih pogojev izvajanja projekta,

 smisel računalniških simulacij za informacijske potrebe funkcije controllinga projekta,

 osnovna področja uporabe teorije projektnega vodenja.





243





LITERATURA IN VIRI

Literatura in viri





Artenjak, J.: Poslovna statistika. Maribor: Ekonomsko poslovna fakulteta, 1997.

Bastič, M.: Mrežno planiranje in Super project. Maribor: Ekonomsko poslovna fakulteta, 1991.

Blejec, M.: Statistične metode za ekonomiste. Ljubljana: Ekonomska fakulteta Borisa Kidriča, 1976.

Blejec, M.: Uvod v statistiko. Ljubljana: Ekonomska fakulteta, 1990.

Blejec, M.: Statistične metode v gozdarstvu in lesarstvu. Ljubljana: BTF, 1969.

Čibej, J. A.: Matematika za poslovneže, 1. del. Ljubljana: Ekonomska fakulteta, 2000.

Čibej, J. A.: Matematika za poslovneže, 2. del. Ljubljana: Ekonomska fakulteta, 2000.

Čibej, J. A.: Matematika za računovodje in finančnike, druga izdaja. Ljubljana: Zveza računovodij, finančnikov in revizorjev Slovenije, 1996.

Devjak, S.: Kvantitativne metode za podporo upravljanju. Ljubljana: Visoka upravna šola, 1999.

Devjak, S.: Matematične metode v managementu, statistika. Koper: Visoka šola za management v Kopru, 1997.

Douglas, D., Clark, J.: Quantitative methods. New York: Barron’s educational series, inc., 1988.

Indihar, S., Kavkler, I., Mastinšek, M.: Matematika za ekonomiste, 1. del.

Maribor: Ekonomsko poslovna fakulteta, 1997.



245

LITERATURA IN VIRI

Košmelj, B.: Statistične metode, 2. del. Ljubljana: Višja upravna šola Ljubljana, 1989.

Košmelj, B.: Statistika 2, 1 .del. Ljubljana: Ekonomska fakulteta, 1993.

Lucey, T.: Quantitative Techniques, 5th Edition. London: Letts Educational, 1996.

Meško, I.: Metode optimiranja, 1. del. Maribor: Visoka Ekonomsko-komercialna šola, 1989.

Meško, I.: Metode optimiranja, 2. del. Maribor: Visoka Ekonomsko-komercialna šola, 1989.

Ossadnik: Controlling. München, Wien, Ossadnik, 1998.

Rant, M., Jeraj, M., Ljubič, T.: Vodenje projektov. Radovljica: POIS, 1995.

Rupnik, V.: Oris operacijskih raziskav. Kranj: Moderna organizacija, 1974.

Seljak, J.: Statistika v javni upravi. Ljubljana: Visoka upravna šola, 2000.

Turk, I.: Podatki in informacije v poslovnem sistemu. Kranj: Moderna organizacija, 1979.

Usenik, J.: Matematične metode v managementu, poslovni račun. Koper: Visoka šola za management v Kopru, 1997.

Vadnal, A.: Uvod v Matematiko za ekonomiste, druga izdaja. Ljubljana: Državna založba Slovenije, 1974.



246



DODATEK

Dodatek

2

1

0,5

( z)

x



e



2



247

STVARNO KAZALO

Stvarno kazalo

delež, 60, 64, 69, 70

A

delitveni račun, 96

aktivnosti, 197

delnice, 185

aktivnostni mrežni diagram, 212

determinacijski koeficient, 21

amortizacijski načrt, 182

devizno rentno varčevanje, 161

analiza stroškov projekta, 199

diskonkordanten par, 30

anticipativni obrestovalni faktor, 138

diskontiranje, 134

anticipativno obrestovanje, 138

dividenda, 193

anuiteta, 179, 180

dogodek, 197, 209, 212

aposteriorna definicija verjetnosti, 53

dogodkovni diagram, 211

aritmetična sredina, 39, 51, 60

dogodkovni mrežni diagram, 205

atributivna spremenljivka, 27, 69

donos, 126, 185

atributivna spremenljivka, 27

donosnost, 126

dospetje, 126

B

druga regresijska funkcija, 23

dvostranska trditev, 61

Bernoullijeva formula, 57

dvostransko preizkušanje hipotez, 75

C

E

celotna varianca, 22

enostavni delitveni račun, 96

controlling, 197

enostavni obrestni račun, 124

CPM, 212

enostavni sklepni račun, 88

enostavno obrestovanje, 127

Č

enostavno vzorčenje, 47

čas obrestovanja, 127

enostranska trditev, 61

čas obrestovanja, 124

časovni diagram, 207

F

časovni in materialni normativi, 200

faktor za končnost, 64

časovni interval, 213

faza analiziranja projekta, 201

časovni mrežni diagram, 206

faza izvajanja projekta, 200

časovni trenutek, 124, 134, 142, 143

faza načrtovanja projekta, 200

faza projektiranja izvedbe projekta,

D

200

davčna osnova, 123

Fisherjeva enačba, 150

DDV, 111

frekvenca dogodka, 52

dekurzivne obresti, 125



248



STVARNO KAZALO

G

korelacijski koeficient, 29

korelacijski koeficient, 21

Gaussova ali normalna krivulja, 57

kovarianca, 18

geometrično zaporedje, 166

kredit, 143

glavnica, 124

kreditodajalec, 125

graf funkcije enostavnega

kreditojemalec, 125

obrestovanja, 133

kritična pot, 204

graf funkcije obrestno obrestnega

kritična pot, 213

računa, 133

kupna moč, 146

graf normalne porazdelitve, 58

grafični model, 206

L

H

Laplacejeva formula, 57

linearna funkcija, 133

hi kvadrat, 34

M

I

medsebojna odvisnost, 200

inflacija, 147, 149, 150

mere povezanosti, 27, 29

interna stopnja donosa, 191

mesečni revalorizacijski faktor, 151

Intervalna ocena, 70, 72

metoda dobe povračila, 186

Intervalna ocena parametra, 61

metoda ocenjevanja in revizije

investicija, 143, 145, 185

programa, 212

izvajalci aktivnosti, 202

metoda statističnega preizkušanja

K

domnev, 74

metode časovne analize, 212

kapitalizacija, 131

množica vseh vzorcev, 47, 51

klasična definicija verjetnosti, 54

moč povezave, 15

ključ, 96

mrežni diagram, 205

koeficient konkordance, 30

mrežni plan, 208, 236

koeficient kontingence, 35

mrežni plan, 235

koeficient korelacije ranga, 25

mrežno planiranje, 237

koeficient skladnosti, 31

kompleks pogojev, 51

N

končno vozlišče, 206, 207, 208

načelo ekvivalence glavnic, 142

konformna obrestna mera, 133

načrtovanje, 197

konkordanten par, 30

najpoznejši začetek, 213

kontingenca, 34

najpoznejši zaključek, 213

korelacija, 12, 25, 27

najzgodnejši začetek, 213

korelacijska analiza, 20



249

STVARNO KAZALO

najzgodnejši zaključek, 214

osnovna hipoteza, 75

naloge controllinga, 198

osnovne trditve, 75

naobrestitev, 143

označevanje parametrov, 46

nasprotna trditev, 78

navadni obrestni račun, 130

P

nemogoč dogodek, 52

Pearsonov korelacij ski koeficient, 21

nepojasnjena varianca, 22

per anno, 125

neto sedanja vrednost, 186

per mese, 125

nezdružljiva dogodka, 53

per quartus, 125

ničelna hipoteza, 75

periode, 162

nominalna obrestna mera, 153, 155

periodične vloge, 165

nominalne spremenljivke, 27

PERT, 212, 213

nominalni obrestovalni faktor, 149

pojasnjena varianca, 22

notranja stopnja donosa, 186

popoln sistem dogodkov, 53

notranja stopnja donosa, 188

popravljena notranja stopnja donosa,

numerične statistične spremenljivke,

186

12

poskus, 51

postnumerando zneski, 127

O

preizkušanje hipotez, 74

obresti, 124

prenumerando zneski, 127

obrestna mera, 124

preostanek dolga, 179

obrestni račun, 146

procentni in promilni račun, 111

obrestno obrestovanje, 137

produkt dogodkov, 54

obrestnoobrestni račun, 163

projekt, 236

obrok, 179

projekt, 197, 214

obveznica, 126

projektno vodenje, 198

ocena standardne napake, 64

projektno vodenje, 199

ocena standardne napake, 70

promile ali odtisoček, 122

ocenjevanje parametrov, 63

promilni znesek, 122

odklon zaupanja, 62, 64

odplačilo glavnice, 179

R

odstotki, 123, 147

razdolžnina, 179

odstotna točka, 123

razmerje, 39

opazovanje pojavov, 45

razobrestitev, 134

operativni controlling, 197

razvoj informacijske podpore, 198

ordinalne spremenljivke, 27

realna obrestna mera, 150

organizacijske spremembe, 224

regresijska analiza, 16

osnova, 74, 178

regresijska funkcija, 23



250



STVARNO KAZALO

relativna frekvenca dogodka, 53

trajanje projekta, 224

relativna obrestna mera, 134

tveganje, 61

renta, 162

rentno varčevanje, 162

U

revalorizacijski faktor, 149

uporabniki metode mrežnega

planiranja, 238

S

sedanja vrednost, 170, 186

V

sedanja vrednost donosov, 187

varianca, 18

sistematično vzorčenje, 47

velikost vzorca, 64, 66

sklepni račun, 88

verjetnost slučajnega dogodka, 53

skrajševanje trajanja aktivnosti, 224

verjetnostni račun, 51

skupna časovna rezerva, 213

višina izplačane rente, 175

skupna časovna rezerva, 214

višina izplačane rente, 162

spearmanov korelacij ski koeficient, 25

vlaganja, 185

standardna napaka ocene, 62

vozlišče, 206

standardni odklon, 21

vrednost glavnice, 127, 158

statistična definicija verjetnosti, 53

vrste vzorčenja, 80

stopnja realne rasti, 148

vsota dogodkov, 54

stopnje tveganja, 63

vzorci, 45, 47

stratificirano vzorčenje, 47

vzorčenje, 47

struktura celotnega projekta, 200

vzorčenje v več stopnjah, 47

struktura projekta, 199

vzorec, 46

Š

Y

širina razreda, 65

Yulesov koeficient asociacije, 37

T

Z

točkovna ocena, 61

začetek, 82

točkovna ocena parametra, 62

začetek aktivnosti, 197

total, 68

začetek projekta, 197

trajanje aktivnosti, 202





251