     
P 48 (2020/2021) 24
Gotska okna
P L̌
Pred leti je avtor tega članka v Obzorniku za
matematiko in fiziko objavil kratko poročilo o za-
nimivi knjigi z naslovom Geometry Civilized [1].
Knjigo je napisal ameriški zgodovinar znanosti z
dobrim znanjem klasične geometrije, zbiratelj ele-
mentarnih geometrijskih problemov. V knjigi ima-
mo ogromno zapisov in ilustracij o uporabi geome-
trije v različnih civilizacijah in tudi kar nekaj ma-
tematike. Avtor poleg množice druge snovi obrav-
nava načrte gotskih oken – idealizirano, kot bi bila
sestavljena iz daljic in krožnih lokov.
-1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
0
A B
C
SLIKA 1.
Enakostranǐcni gotski lok
Eden osnovnih elementov takih oken je na sliki 1.
Imamo daljico AB. Narišemo krožni lok s središčem
v točki A skozi B in krožni lok s središčem v točki
B skozi A. Oba loka se sekata v C . Trikotnik ABC
je enakostraničen, zato knjiga sestav lokov AC in
BC imenuje enakostranični gotski lok. Daljica AB je
osnovnica tega loka. Take loke imamo na portalu v
Pleterjah (slika 2) iz leta 1420. Portal je preživel po-
žig samostana v turškem vpadu leta 1471.
SLIKA 2.
Stara gotska cerkev v Pleterjah
Ta osnovni element lahko zapolnimo s krožnica-
mi, z dodatnimi manjšimi gotskimi loki, ki se doti-
kajo. Dobimo lahko lepe vzorce in priložnost za ra-
zne geometrijske naloge. Te so sestavili in tako ali
drugače rešili srednjeveški mojstrski gradbeniki, ki
     
P 48 (2020/2021) 2 5
so zlasti v zgodnjem obdobju združevali znanje ge-
ometrije, arhitekture, gradbeništva in kamnoseštva.
Njihova imena so se praktično vsa izgubila. Ostali so
le kamnoseški znaki na elementih katedral – neka-
kšni podpisi mojstrov. Katedrale so gradile skupine
obrtnikov, ki so se večkrat selile z enega gradbišča
na drugo, ko je zmanjkalo denarja ali pa je bilo po-
trebno počakati, da se apnena malta dovolj strdi, da
so lahko nadaljevali v višino. Brez velike podpore
(in večkrat tudi prostovoljnega dela) prebivalstva pa
take množice čudovitih stavb v (menda mračnem)
srednjem veku ne bi bilo mogoče uresničiti.
Spomnimo se nekaj dejstev iz geometrije. Dve
krožnici s središčema A in B se dotikata v točki T , če
imata v T skupno tangento t. Na slikah 3 in 4 imamo
dva načina dotikanja. Točka T je potem edina sku-
pna točka obeh krožnic. Ker sta daljici AT in BT obe
pravokotni na t, sta kolinearni:
Središči dotikajočih se krožnic in njuno dotikali-
šče ležijo na isti premici.
t
R
1
R
2
A BT
SLIKA 3.
Razdalja med središčema A in B dotikajočih se krožnic je enaka
vsoti polmerov.
Za nas je posebej pomembno naslednje dejstvo:
Razdalja med središčema dotikajočih se krožnic
je enaka: a) vsoti polmerov, če se krožnici dotikata
od zunaj in b) razliki polmerov, če se dotikata od
znotraj.
Včrtajmo enakostraničnemu gotskemu loku z do-
dano osnovnico AB dolžine 2 krožnico s središčem
S kot na sliki 5. Kolikšen je njen polmer r? Ker
se ta krožnica in krožni lok od B do C (ki ima pol-
mer 2) dotikata, je razdalja središč enaka razliki pol-
t
A B T
SLIKA 4.
Razdalja med središčema A in B dotikajočih se krožnic je enaka
razliki polmerov.
SLIKA 5.
merov, torej d(A, S) = 2 − r . Enako vidimo, da je
d(B, S) = 2 − r . To pomeni, da S leži na simetrali
daljice AB. (To je jasno tudi iz simetrijskih razlo-
gov.) Naj bo O središče daljice AB. Trikotnik AOS je
pravokoten, zato je po Pitagorovem izreku
1+ r 2 = (2− r)2 = 4− 4r + r 2.
Od tod je 4r = 3 in r = 3/4.
     
P 48 (2020/2021) 26
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
A B
C
D E
O
S
F
SLIKA 6.
Oglejmo si zdaj malo bolj zapleten primer na sliki
6. Spet je d(A,B) = 2. Tu imamo tri enakostra-
nične gotske loke in krožnico K s polmerom x in
središčem S. Ker se K in lok BC s središčem A do-
tikata od znotraj, je d(A, S) = 2 − x. Ker se K in
lok OD dotikata od zunaj, je d(A, S) = 1 + x. Iz
2− x = 1+ x dobimo x = 1/2 in d(A, S) = 3/2. Naj
bo d(O, S) = y . Iz pravokotnega trikotnika AOS do-
bimo 1 + y2 = 9/4 in od tod y =
√
5/2. Ta vzorec
najdemo v Franciji: v ostankih samostana Saint Jean
des Vignes v kraju Soissons in z mnogo dodatnega
okrasja v palači Palais Synodal v burgundskem me-
stu Sens. Tudi slovensko gotsko okno na sliki 7 ima
v osnovi ta vzorec.
Še bolj zapleten je primer okna na sliki 8. Tu
imamo v enakostraničnem gotskem loku z osnov-
nico AB dolžine 2 spodaj štiri podobne manjše loke
z osnovnico 1/2. Naša prva naloga je določiti polmer
a krožnice, ki se dotika dveh malih gotskih lokov na
desni in loka BC .
Vemo: d(A, S) = 2−a, d(B, S) = d(O, S) = 12+a.
Točka S torej leži na simetrali daljice OB. Označimo
z E razpolovišče daljice OB. Označimo d(E, S) = z.
SLIKA 7.
Gotsko okno
Iz pravokotnega trikotnika OES ugotovimo:
z2 = (d(O, S))2 −
1
4
=
(
1
2
+ a
)2
−
1
4
= a2 + a.
Iz pravokotnega trikotnika AES pa sledi
z2 = (2− a)2 −
9
4
= a2 − 4a+
7
4
.
Če oba izraza izenačimo, dobimo 5a = 7/4 in od tod
a = 7/20 = 0,35.
Izračunamo lahko še
d(E, S) = z =
3
20
√
21.
     
P 48 (2020/2021) 2 7
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
A B
C
OD E
F G H I
S
J
SLIKA 8.
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
A B
C
OD E
F G H I
S
J
T
L
M
SLIKA 9.
Prezrcalimo zdaj to krožnico čez simetralo OC
okna. Naša nadaljnja naloga je konstruirati krožnico
K s polmerom x in s središčem T , ki se dotika obeh
ravno dobljenih krožnic in lokov AC ter BC .
S slike 9 je jasno, da bo točka T na OC . Označimo
d(O,T) = y . Točka L je pravokotna projekcija točke
S na daljico OC . V pravokotnem trikotnika SLT je
d(S, T) = a+ x = x + 7/20 in d(L, T) = y − z.
Pitagorov izrek da
(
x +
7
20
)2
=
1
4
+
(
y −
3
20
√
21
)2
.
Iz pravokotnega trikotnika OBT pa dobimo 1+y2 =
(2− x)2 ali
y =
√
x2 − 4x + 3.
Če to nesemo v prvo enačbo, dobimo
(
x +
7
20
)2
=
1
4
+
(
√
x2 − 4x + 3−
3
20
√
21
)2
.
To ni lepa enačba.
Polmer x zgornjega kroga lahko ocenimo, če upo-
števamo, da so točke M,T , S, B skoraj kolinearne.
Tako je 2x + 2a + 0,5 ≈ 2. Če upoštevamo, da je
a = 0,35, dobimo x ≈ 0,4. Vrednost 0,4 kot rešitev
je navedena v knjigi. Študent, ki je ta vzorec pred-
stavil na seminarju, je verjel knjigi in majhni sliki v
njej. Avtor tega članka je opazil, da ni razloga, da bi
bile te točke kolinearne (kot trdi knjiga). Doma je s
svinčnikom in papirjem dobil pravo vrednost
x =
81
202
,
ki se le minimalno razlikuje od 0,4. Računi so bili
sicer elementarni, a zoprni in jih ne bomo navajali.
(Znebiti se je bilo treba korenov. Poskusite to na-
rediti sami.) Študent je po opozorilu izpeljal enačbe,
jih udobno rešil s programom Mathematica
za simbolično računanje in dobil pravilni rezultat
x = 81/202. V Geogebri lahko narišemo funkciji na
levi in desni strani »grde« enačbe in poiščemo prese-
čišče grafov, ki je pri x = 0,4009900990 . . ..
Literatura
[1] J. L. Heilbron Geometry Civilized, History, Cul-
ture,and Technique, Clarendon Press, Oxford
2000.
×××