P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 19 (1991/1992) Številka 1 Strani 2-6
Marija Vencelj:
EULERJEVA POLIEDERSKA FORMULA
Ključne besede: matematika, geometrija.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/19/1075-Vencelj.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
HRTEHRTIKR
EULERJEVA POLIEDRSKA FORMULA
Se še spomnite, kako ste v osnovni šoli ob prvem srečanju s kocko alt tetraedrom šteli, koliko oglišČ imata, pa koliko robov in stranskih ploskev? Bi napravili to še za telesa na sliki 1? Vsakemu od teles poiščite število ogliŠč (vrhov) V, število robov R in število stranskih ploskev 5.
Slika 1
Nato za vsako teh teles izračunajte vrednost izraza
V-R + S	(1)
Sedaj pa napravite to še s pravo nogometno žogo, tako, ki je sešita iz samih petkotnih in šestkotnih usnjenih krpic. Nič hudega ni, če ni dovolj napihnjena za dober nogomet. Tako bo še bo!j podobna oglatemu telesu. Toda tudi pri dobro napihnjeni žogi ne morete zgrešiti, kaj morate šteti za oglišče, kaj za rob in kaj za stransko ploskev. Za tiste, ki žoge nimate pri roki, naj povem, da jo sestavlja 12 petkotnikov in 20 šestkotnikov. Do prve brce so petkotniki črni in šestkotniki beli, njihovo razporeditev pa lahko uganete s karikature.
Ste izračunali vrednost izraza (1) in ste presenečeni? Aii pa vam rezultat postaja všeč?
Gre za preprosto geometrijsko resnico, ki so jo poznali že stari Grki in je privlačevala pozornost matematikov več kot dva tisoč let, preden jo je teta 1752 dokazal veliki švicarski matematik Leonhard Euler.
Euler je dokazal, da za poljuben enostaven polieder velja formula
V-R+S = 2	(2)
ki jo imenujemo Eulerjeva poliedrska formula. Saj ste vedno dobili tak rezultat, kajne?
In kaj vse sodi med enostavne poiiedre? S strogo definicijo se ne bomo ukvarjali, z a dober občutek pa bo zadoščalo naslednje: Opazujmo samo mejno ploskev (površino) poliedra. če ni povezana, to je, če sestoji iz dveh ali več ločenih kosov, polieder ni enostaven. Če pa je mejna ploskev povezana, je polieder enostaven, kadar je ta mejna ploskev taka, da bi jo bilo moč, če bi bila narejena iz primerno prožnega materiala, napihniti v krogelno ploskev (sfero). Očitno vsa telesa s slike 1 izpolnjujejo ta pogoj, pa tudi žoga. Na sliki 2a je še nekaj enostavnih poliedrov. Da pa enostavnost poliedra za veljavnost formule (2) ni nebistven pogoj, kaže primer 2b. Telo na sliki 2b sestoji iz dveh tetraedrov s skupnim ogliščem in očitno ni enostaven polieder, saj bi ga v tistem skupnem oglišču ne mogli " razpihniti". Zanj (2) ne velja, pač pa je
V-R + S = 3.
Eulerjevo poliedrsko formulo bomo dokazali le za konveksne (izbočene) poiiedre, posebno podmnožico enostavnih poliedrov.
Definicija. Konveksen polieder je tak omejen presek končnega števila polprostorov, ki ne leži ves v eni ravnini.
Slika 2»
Slika 2b
Konveksen potieder ima očitno končno mnogo oglišč, robov in stranskih ploskev. Stranske ploskve so konveksni večkotniki.
Dokaz formule (2). Naj bo P konveksen polieder, število njegovih oglišč naj bo V, število robov R in S število stranskih ploskev. Opazujmo vse premice, ki jih je moč položiti skozi vse možne pare njegovih oglišč. Nato izberimo tako ravnino Qo, ki nI vzporedna nobeni teh premic.
Ta drobni tisk lahko preskočijo vsi tisti, ki jih ni nič. zaskrbelo, ali taka ravnina sploh obstaja. Z dvomljivci - upam. da je kaj tudi takih - pa poglejmo, kako je z njenim obstojem. Naj bodo pi, p2,..., Pm opazovane premice in O poljubna točka v prostoru. Označimo s
0;, i ~ 1,2.....m, ravnine, ki potekajo skozi O in pravokotno na p,. Nadalje izberimo
tako premico po, ki bo potekala skozi O in ne bo ležala v nobeni od ravnin	Tu
imamo očitno ie zelo široko izbiro. Premica ni pravokotna na nobeno od opazovanih
premic p,, i = 1, 2.....m. Poljubna ravnina, pravokotna na po, ima tedaj lastnost, da nt
vzporedna nobeni teh premic.
Zaradi lažjega izražanja predpostavimo, da je ravnina (?o vodoravna in da vsa oglišča leže nad njo.
Očitnoje, da leže posamezna oglišča poliedra P na različnih višinah glede na C?o- Izberimo jim oznake glede na njihovo višino: A\ naj bo najnižje, A2 naslednje.....A\j najvišje oglišče.
Vsaki stranski ploskvi poliedra pripada pri tem natanko določeno oglišče, ki je za to stransko ploskev najnižje. Enako velja za robove. Označimo z
Rj in S;(/ — 1,2.....V) število robov, oziroma stranic, ki jim je A, najnižje
oglišče. Seveda je Ry — S\/ — 0. Nadalje je očitno
R=R1 + R2 + ...+ RV-i
(3)
in
5 = Si + 52 + ... + Sv_l
Med R-, in Si veljajo določene zveze. Prva
R1 = Sl

<5)
je očitna, saj se v najnižjem oglišču stika prav toliko robov kot stranic in vsem je to oglišče najnižje.
Da bomo dobili ostale zveze, presekajmo polieder P med ogliščema Aj in	= 2, 3,..., V — 1) z ravnino, vzporedno ravnini	Presek
je konveksen večkotnik, ki ga označimo z M;. Vsakemu izmed Rj robov poliedra P, ki izhajajo navzgor iz oglišča Aj, pripada neko oglišče večkotnika M¡, vsaki od S, stranskih ploskev, katerim je Aj najnižje oglišče, pa natanko določena stranica večkotnika. Ta oglišča in te stranice sestavljajo nesklenjeno poligonsko črto, kije del robu (obsega) večkotnika M, (ker je i vsaj 2, to pri konveksnem poliedru ni nikoli ves obseg večkotnika). Če je A j najnižje oglišče dveh robov iste stranske ploskve, je zaradi konveksnosti stranskih ploskev hkrati tudi najnižje oglišče te stranske ploskve. To pa pomeni, da opazovana poligonska Črta sestoji iz enega samega kosa, ki je lahko tudi samo točka. Taka poligonska črta ima natanko eno oglišče več, kot ima stranic, od koder takoj sledi zvez a
R; -Si = 1 za i = 2, 3.....V — 1
(6)
Postopek je ilustri-
ran na sliki 3. Polieder P je tam tetraeder, i = = 2, M2 je konveksen Štirikotnik, temu koraku prirejena poligonska črta pa sestoji le iz ene stranice in dveh ogliSč. Na sliki je označena pikčasto.

5tika J
¿1
Če od (3) odštejemo (4) in upoštevamo (5) in (6), dobimo
R - 5 - (/?i - Si) + (R2 - S2) + - -h (Rv-i - 5V-i) -=0+1+1+„. + 1 = V-2
N-v-'
(V-2 )-krat
od tod pa takoj Eulerjevo formulo V — R + S = 2.
Marija Vencefj