i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 161 — #1 i
i
i
i
i
i
NEKA VERIŽNICA
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 34A05, 49J05, 49S05, 53A04
V prispevku dokažemo, da obstajajo v polarni obliki zapisane ravninske krivulje,
katerih dolžina med polarno osjo in poljubno točko je enaka produktu polarnega kota in
polarnega polmera te točke. Zgleda za take krivulje sta krožnica in posebna vrsta prave
verižnice.
A CATENARY
In the article it is proved that there exist planar curves whose length between the
polar axis and any point is equal to the product of the polar angle and polar radius of
this point. Examples of such curves are the circle and a special kind of the catenary.
Uvod
Pozorni bralec v članku [2], ki obravnava tako imenovane prave verǐznice,
med vsemi njenimi primeri opazi krivuljo, ki ima v polarnih koordinatah
precej preprosto obliko. Izraža se namreč kar z racionalno funkcijo po-
larnega kota, medtem ko v preostalih nastopajo transcendentne funkcije.
Verižnica, ki jo v prispevku obravnavamo, pa ima še neko posebno lastnost.
Njen naravni parameter s(ϕ) je namreč enak produktu polarnega kota ϕ in
polarnega polmera r(ϕ) za vsak ϕ z nekega intervala (−ω, ω). Tako lastnost
ima tudi krožnica, če pol polarnega sistema postavimo v njeno sredǐsče.
Ogledali si bomo, kako poǐsčemo še druge take krivulje. Nekaj več o pravi
verižnici je napisanega v zadnjem delu prispevka, podrobnosti pa najdemo
v [2, 5].
Ravninske krivulje pogosto podajamo analitično v polarni obliki. Potem
ko smo v ravnini izbrali točko O za pol in polarno os p, to je poltrak s
krajǐsčem v O, je točka na krivulji določena s polarnim kotom ϕ in polarnim
polmerom r, ki je vselej nenegativno število. Polarni polmer je razdalja
točke na krivulji od pola, polarni kot pa merimo od polarne osi do polarnega
polmera v pozitivni ali negativni smeri. V polarni obliki podana krivulja je
določena z nenegativno odsekoma zvezno odvedljivo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ) na
intervalu [α, β]. Pri tem je seveda α < β. Ločno dolžino σ[α, β], ki ustreza
spreminjanju kota ϕ po intervalu [α, β], izrazimo (glej npr. [6]) z integralom
σ[α, β] =
β∫
α
√
r2(φ) + r′2(φ) dφ.
Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5 161
i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 162 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Če vpeljemo za poljuben kot ϕ nekega intervala, ki vsebuje 0, tako imenovani
naravni parameter
s(ϕ) =
ϕ∫
0
√
r2(φ) + r′2(φ) dφ, (1)
ki je pozitiven za pozitivne ϕ, negativen za negativne ϕ in enak 0 za ϕ = 0,
potem smo na krivulji definirali naravni koordinatni sistem z izhodǐsčem v
točki T , ki ustreza kotu ϕ = 0. Točki P , ki ustreza kotu ϕ, priredimo na
krivulji naravno koordinato s(ϕ). Po loku krivulje je P oddaljena od T za
|s(ϕ)|. Za pozitivne ϕ imajo ustrezne točke pozitivno naravno koordinato
s, za negativne ϕ pa negativno.
Nenavadna krivulja
Za krožnico, ki ima sredǐsče v polu O, je r(ϕ) = r0, kjer je r0 pozitivna
konstanta, polmer krožnice. Za lok seveda dobimo tedaj po znani formuli
σ[α, β] = r0(β − α) in za naravni parameter s(ϕ) = r0ϕ. Za krožnico torej
lahko zapǐsemo
s(ϕ) = ϕr(ϕ). (2)
Ali ima še kakšna krivulja, ki je dana v polarni obliki, lastnost (2)?
Pri katerih krivuljah je naravni parameter s(ϕ) enak produktu kota ϕ in
polarnega polmera r(ϕ) za vsak ϕ z nekega intervala (−ω, ω), na katerem
je funkcija ϕ 7→ r(ϕ) nenegativna in zvezno odvedljiva? Spoznali bomo,
da obstaja poleg krožnice še ena taka krivulja, obstaja pa tudi zlepek, ki
ima lastnost (2). Če pa vztrajamo le pri zveznosti funkcije ϕ 7→ r(ϕ) in se
odpovemo zveznosti njenega odvoda v končno mnogo točkah, pa je takih
krivulj nešteto. Po potrebi v takih primerih v krajǐsčih intervalov jemljemo
za odvod ustrezni stranski odvod (levi, desni).
Poǐsčimo tako nenegativno zvezno odvedljivo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), za
katero velja (2). Veljati mora enakost
ϕr(ϕ) =
ϕ∫
0
√
r2(φ) + r′2(φ) dφ
na nekem intervalu (−ω, ω). Iz te zahteve dobimo diferencialno enačbo
r(ϕ) + ϕr′(ϕ) =
√
r2(ϕ) + r′2(ϕ). (3)
Pridružimo ji še začetni pogoj r(0) = r0 > 0. V poštev pridejo rešitve r(ϕ),
za katere je izpolnjen pogoj
r(ϕ) + ϕr′(ϕ) = [ϕr(ϕ)]′ ≥ 0.
162 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 163 — #3 i
i
i
i
i
i
Neka verižnica
Po kvadriranju in preurejanju členov dobimo iz (3) diferencialno enačbo
r′(ϕ)[(1− ϕ2)r(ϕ)]′ = 0, (4)
ki jo bomo reševali pri začetnem pogoju r(0) = r0 > 0. V enačbi sta faktorja
funkciji kota ϕ in njun produkt je lahko nič, čeprav faktorja nista identično
enaka nič na intervalu (−1, 1). Enačba pri začetnem pogoju ima zvezno
odvedljivi rešitvi
r(ϕ) = r0 in r(ϕ) =
r0
1− ϕ2
na intervalu (−1, 1), ki pa nista edini. Zvezno odvedljiva rešitev je na primer
tudi funkcija, dana s predpisom
r1(ϕ) =
{
r0, −1 < ϕ < 0,
r0
1− ϕ2
, 0 ≤ ϕ < 1.
Taka rešitev je tudi funkcija ϕ 7→ r1(−ϕ). Interval (−1, 1) lahko ali na
levo ali na desno stran tudi podalǰsamo, če izraz 1/(1 − ϕ2) to dopušča.
S tem morda nismo našli vseh rešitev. Kolobar vseh zvezno odvedljivih
funkcij na intervalu (−1, 1) ima namreč delitelje niča. To pomeni, da v
njem obstajata funkciji f1 in f2, ki nista na (−1, 1) identično enaki 0, pa
vendar je na (−1, 1) njun produkt identično enak 0. Celo kolobar poljubno
mnogokrat odvedljivih funkcij na vsej realni osi je tak. Funkciji g1 in g2,
dani s predpisoma
g1(ϕ) =
{
0, ϕ ≤ 0,
e−1/ϕ
2
, ϕ > 0,
in g2(ϕ) =
{
e−1/ϕ
2
, ϕ < 0,
0, ϕ ≥ 0,
sta definirani na vsej realni osi, neničelni in imata povsod vse odvode, njun
produkt pa je povsod nič.
Rešitev enačbe (4) bi bila potem tudi funkcija ϕ 7→ r(ϕ), ki bi pri
začetnem pogoju r(0) = r0 hkrati rešila enačbi
r′(ϕ) = f1(ϕ) in [(1− ϕ2)r(ϕ)]′ = (1− ϕ2)r′(ϕ)− 2ϕr(ϕ) = f2(ϕ),
pri čemer sta f1 in f2 poljubni zvezni funkciji, ki nista na intervalu (−1, 1)
identično enaki 0, toda njun produkt je tam identično enak 0. Z integracijo
sicer takoj izračunamo:
r(ϕ) = r0 +
ϕ∫
0
f1(φ) dφ in r(ϕ) = (1− ϕ2)−1(r0 +
ϕ∫
0
f2(φ) dφ).
Ker pa je r′(0) = f1(0) = f2(0) in f1(0)f2(0) = 0, mora veljati f1(0) =
f2(0) = 0, kar je v nasprotju s poljubnostjo funkcij f1 in f2.
161–169 163
i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 164 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Če bi za f1 in f2 izbrali vnaprej poljubni prej opisani funkciji, za kateri
sicer velja f1(0) = f2(0) = 0, bi ugotovili, da obstaja tak interval J , ki leži
ali na intervalu (−1, 0) ali na intervalu (0, 1), tako da je na J ena od funkcij
f1 in f2 različna od nič, ena pa identično enaka nič. Reševanje nas spet
pripelje v nasprotje s poljubnostjo funkcij f1 in f2.
Da bi se izognili nadaljnjim zapletom, bomo zvezno odvedljive rešitve
enačbe (4) iskali med funkcijami, ki so analitične v točki 0, ker nas rešitve
naloge zaradi začetnega pogoja r(0) = r0 zanimajo ravno v okolici te točke.
Po [1, 3] je realna ali kompleksna funkcija ϕ 7→ f(ϕ) (realno) analitična v
točki ϕ0, če je definirana na odprtem intervalu, ki vsebuje točko ϕ0, in če jo
lahko na intervalu (ϕ0−ω, ϕ0+ω) za neki ω > 0 zapǐsemo kot konvergentno
potenčno vrsto
f(ϕ) =
∞∑
n=0
an(ϕ− ϕ0)n.
Taka funkcija ima na intervalu (ϕ0−ω, ϕ0 +ω) odvode poljubnega reda, ki
so tudi analitične funkcije, in za koeficiente an, ki so realna ali kompleksna
števila, velja formula:
an =
f (n)(ϕ0)
n!
, n = 0, 1, 2, . . .
Pravimo, da je funkcija ϕ 7→ f(ϕ) analitična na odprtem intervalu I, če
je analitična v vsaki točki ϕ0 tega intervala. Temu dodajmo še pomembno
lastnost. Če je funkcija ϕ 7→ f(ϕ) analitična v točki ϕ0, potem je analitična
tudi na nekem dovolj majhnem odprtem intervalu, ki vsebuje ϕ0. Analitična
funkcija, ki ima vse koeficiente an enake 0, je ničelna funkcija. Identično je
enaka 0 na poljubnem odprtem intervalu, ki vsebuje ϕ0.
Vse funkcije, ki so analitične na odprtem intervalu I, sestavljajo komu-
tativen kolobar, ki nima deliteljev niča, kar je dokazano na primer v [1].
Tak kolobar imenujemo celi kolobar ali integritetno polje. To pomeni, da je
produkt dveh funkcij tega kolobarja ničelna funkcija samo takrat, ko je vsaj
ena od teh funkcij ničelna funkcija.
Če v točki 0 analitična funkcija ϕ 7→ r(ϕ) reši naš problem iskanja
krivulje z lastnostjo (2), potem sta oba faktorja v enačbi (4) očitno tudi
analitični funkciji v točki 0 in enačba razpade na dve:
r′(ϕ) = 0 in [(1− ϕ2)r(ϕ)]′ = 0.
Njuni v točki 0 analitični rešitvi, ki zadoščata začetnemu pogoju r(0) = r0,
sta
r(ϕ) = r0 in r(ϕ) =
r0
1− ϕ2
= r0(1 + ϕ
2 + ϕ4 + . . .), −1 < ϕ < 1. (5)
Prva rešitev, r(ϕ) = r0, predstavlja krožni lok s sredǐsčem v polu, kar smo
pričakovali, druga rešitev, r(ϕ) = r0/(1−ϕ2), pa da bolj zapleteno krivuljo
K, ki ima asimptoto z naklonskim kotom ±1 glede na polarno os (slika 1).
164 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 165 — #5 i
i
i
i
i
i
Neka verižnica
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
...
...
...
...
..
................................................................
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
...
..
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.....
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.................................................................................................................................................................................................................................
....
....
....
...
...
...
...
...
..
O
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
. ...
.......
.......
.......
.......
.......
.
................................................................................................................................................... ......................................
pA T B
T−
T+
CT
A−
A+
α
−α
K
•
•
•
• ••
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
....
...
...
..
..
...
..
...
..
...
.
...
....
.....
.....
.....
.....
.....
..
.....
.....
.....
.....
.....
.....
....
Slika 1. Prava simetrična verižnica.
Krivulja K (slika 1), ki ima v polarnih koordinatah drugo enačbo v (5),
je lep zgled, pri katerem se nam posreči izračunati ločno dolžino neposredno
z uporabo formule (1). Dobimo namreč
√
r2(ϕ) + r′2(ϕ) = r0
1 + ϕ2
(1− ϕ2)2
= r0
(
ϕ
1− ϕ2
)′
.
Zato je za (5):
σ[α, β] = r0
(
β
1− β2
− α
1− α2
)
, −1 < α ≤ β < 1.
V posebnem primeru je
σ[−α, α] = 2r0α
1− α2
= 2r(α)α, 0 ≤ α < 1,
kar pomeni, da je ločna dolžina na krivulji K med točkama T− in T+ enaka
dolžini najkraǰsega krožnega loka polmera r(α) s sredǐsčem v polu O med
tema dvema točkama.
Polu O je na krivulji K najbližja točka T , ki ima polarni polmer r0.
Ploščino S(α) izseka, ki je omejen s poltrakovoma ϕ = −α, ϕ = α in
161–169 165
i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 166 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
krivuljo K, izračunamo s splošno formulo
S(α) =
1
2
α∫
−α
r2(ϕ) dϕ.
Če upoštevamo sodost funkcije pod integralskim znakom, dobimo najprej
S(α) = r20
α∫
0
dϕ
(1− ϕ2)2
,
nato pa z razvojem na delne ulomke in integracijo še
S(α) = r20
[
ϕ
2(1− ϕ2)
− 1
4
ln
1− ϕ
1 + ϕ
]∣∣∣∣α
0
.
Rezultat še nekoliko preoblikujemo in nazadnje dobimo:
S(α) =
r20
4
(
2α
1− α2
− ln 1− α
1 + α
)
, 0 ≤ α < 1.
Ukrivljenost κ(ϕ) polarno podane krivulje je v točki, ki ustreza polarnemu
kotu ϕ, dana s splošnim izrazom (podrobnosti so npr. v [6], stran 448)
κ(ϕ) =
r(ϕ)r′′(ϕ)− r2(ϕ)− 2r′2(ϕ)√
(r2(ϕ) + r′2(ϕ))3
.
Po dalǰsem računu dobimo za obravnavano krivuljo K razmeroma preprost
izraz
κ(ϕ) =
(1− ϕ2)3
r0(1 + ϕ2)2
,
za krivinski polmer v temenu T pa %(0) = 1/κ(0) = r0. Pritisnjena kro-
žnica CT na K v temenu T ima torej polmer r0. Krivulja K ima asimptoti
A±, ki sekata polarno os pod kotoma ±1 v točki A s polarnim polmerom
r0/(2 sin 1).
Iz rešitev r(ϕ) = r0 in r(ϕ) = r0/(1 − ϕ2), −1 < ϕ < 1, diferencialne
enačbe (3) lahko sestavimo zvezno odvedljive funkcije, ki ustrezajo lastno-
sti (2), pa tudi samo odsekoma zvezno odvedljive funkcije. Poglejmo zgleda!
Zgled 1. Vzemimo najprej funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), ki je za −α < 0 < β < 1,
kjer je 0 < α < 2π − β, dana s predpisom:
r(ϕ) =
{
r0, −α ≤ ϕ < 0,
r0
1− ϕ2
, 0 ≤ ϕ ≤ β.
166 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 167 — #7 i
i
i
i
i
i
Neka verižnica
................................................................................................................................................................................................................................................................
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
..............................................................................
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
....................................................
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
...
..
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
..
..
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
O T
ϕ = β
ϕ = −α
r(β)
r(−α)
•
•
•
•
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..
Slika 2. Krožni lok se gladko nadaljuje v lok prave verižnice.
Ustrezna krivulja je sestavljena iz krožnega loka polmera r0 med kotoma
−α in 0 ter loka krivulje K med kotoma 0 in β (slika 2). Funkcija ϕ 7→ r(ϕ)
je zvezna na intervalu [−α, β] in njen naravni parameter je za −α ≤ ϕ ≤ 0
enak
s(ϕ) = r0ϕ
in za 0 ≤ ϕ ≤ β enak
s(ϕ) =
r0ϕ
1− ϕ2
.
Zato lahko zapǐsemo:
s(ϕ) =

r0ϕ, −α ≤ ϕ ≤ 0,
r0ϕ
1− ϕ2
, 0 ≤ ϕ ≤ β.
Funkcija ϕ 7→ r(ϕ) očitno ustreza tudi lastnosti (2).
Zgled 2. Omejimo se na ϕ ≥ 0. Vzemimo še funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), ki je za
0 < α < 1 dana s predpisom:
r(ϕ) =

r0
1− ϕ2
, 0 ≤ ϕ ≤ α,
r0
1− α2
, α ≤ ϕ < 2π.
161–169 167
i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 168 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
................................................................................................................................................................................................................................................................
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
.....................................
....
....
...
...
..
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
..
..
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
..
O T
α
r(α)
•
•
•....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
.....
.....
......
......
.....
.....
.....
......
.......
........
.........
..........
..
Slika 3. Lok prave verižnice se nadaljuje v krožni lok.
Ustrezna krivulja je sestavljena iz loka krivulje K, ki se nadaljuje s kro-
žnim lokom (slika 3). Funkcija ϕ 7→ r(ϕ) je zvezna na intervalu [0, 2π) in
njen naravni parameter je za 0 ≤ ϕ ≤ α enak
s(ϕ) =
r0ϕ
1− ϕ2
in za α ≤ ϕ enak
s(ϕ) =
r0α
1− α2
+
r0(ϕ− α)
1− α2
.
Zato lahko zapǐsemo:
s(ϕ) =

r0ϕ
1− ϕ2
, 0 ≤ ϕ ≤ α,
r0ϕ
1− α2
, α ≤ ϕ < 2π.
Funkcija ϕ 7→ r(ϕ) ustreza lastnosti (2).
Po opisanem vzorcu lahko sestavimo tudi zglede v več točkah neodve-
dljivih, sicer zveznih funkcij, ki ustrezajo lastnosti (2).
Prava verižnica
Krivulja K, ki ima v polarnih koordinatah enačbo r(ϕ) = r0/(1−ϕ2) (slika
1), je poseben primer prave verižnice, o čemer se sedaj lahko hitro pre-
pričamo. Na splošno, obliko prave verižnice v gravitacijskem polju, ki ga
168 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 5
i
i
“Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 169 — #9 i
i
i
i
i
i
Neka verižnica
ustvarja točkasta masa v točki O, zavzame v stacionarnem stanju idealna
veriga (homogena, neraztegljiva, gibka, tanka), obešena v dveh točkah. Kri-
vulja K, kot bomo videli, je poseben primer, pri katerem sta to točki T− in
T+, ki sta od O oddaljeni za r1, daljici OT− in OT+ oklepata kot 2α, dolžina
verige pa je enaka 2r1α, kar je enako dolžini krožnega loka polmera r1 pri
sredǐsčnem kotu 2α < 2 (slika 1). Do konstantnega faktorja je potencialna
energija verige
F [r] =
α∫
−α
1
r
√
r2 + r′2 dϕ (6)
pri pogojih
P[r] =
α∫
−α
√
r2 + r′2 dϕ = 2r1α, r(±α) = r1. (7)
V stacionarnem stanju je tedaj integral (6) minimalen. V izrazih (6) in (7)
nastopajočo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ) poǐsčemo z metodami variacijskega računa
(glej npr. [4, 7, 8]). Kot je pokazano v [5], rešitev ustreza diferencialni enačbi
r(ϕ)(λr(ϕ)− 1) = c
√
r2(ϕ) + r′2(ϕ), (8)
kjer sta c in λ konstanti. Sedaj je treba pogledati, kdaj r(ϕ) = r0/(1− ϕ2)
zadošča enačbi (8) za vsak kot ϕ na intervalu (−α, α) pri pogoju (7). Iz
prve zahteve dobimo enačbo
λr0 − (1− ϕ2) = c(1 + ϕ2),
iz katere sledi c = 1 in λ = 2/r0. Dolžina iskane krivulje je 2r0α/(1−α2) =
2r1α, iz česar dobimo r0 = (1−α2)r1. Tako imamo nazadnje enačbo posebne
prave verižnice: r = r1(1− α2)/(1− ϕ2).
LITERATURA
[1] H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables
complexes, Hermann, Pariz, 1975.
[2] J. Denzler, A. M. Hinz, Catenaria Vera – The True Catenary, Expo. Math. 17 (1999),
117–142.
[3] S. G. Krantz, H. R. Parks, A Primer of Real Analytic Functions, Birkhäuser Verlag,
Basel in drugje, 1992.
[4] F. Križanič, Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, DZS, Ljubljana, 1974.
[5] M. Razpet, Prava simetrična verǐznica, Obzornik mat. fiz. 57 (2010), št. 4, 121–133.
[6] I. Vidav, Vǐsja matematika I, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 1994.
[7] I. Vidav, Vǐsja matematika III, DZS, Ljubljana, 1976.
[8] E. Zakraǰsek, Analiza III, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2002.
161–169 169