
über die

Erster Band

Dritte, Verbesserte Auflage.

i^ty Christian Friedrich  Wappler und Deck.

sowohl überhaupt ju mehrerer Verbreitung mathematischer
Kenntnisse in den k. k, Staaten, als auch ins besondere

zum Gebrauche des ?. k. Artillerie-Csrps.^-^77

Georg Freyherrn von Vega,
Landet-Mirstand« vesHerzogchuinsKrain, Ritter« de« mil.M.Tb.Oröen«,
Aberft - Lieutenants Les k. k. vierten Feldartillerie - Regiments,

Mitgliedes der gelebrren Gesellschaften zu Berlin,
Erfurt , Göttingen und Prag,

i (5k

Rechenkunst und ALgebrH^----^

«rrthaLe«»».

»Lor.

M-- - -

Seiner Exzellenz

d t m

Hochwürdigsten und Hochgebornen
Herrn Herrn

Joseph

des heil. röm. Lkeichs Grafen

»»»

Kolloredo-Walsee,

des hohen Maltheser-Ordens

Lurch

Bö heim, Mähren, Schlesien, Oesterreich,
Steiermark, Kärnten, Krain
Großprior,
seiner kais. königl. apost. Majcst.

wirklichen Kammerer,
General-Feldmarschall,

Inhaber eines Regiments zu Fuß,
und

Gesera l-Direet sr

v«r

LaMMtlichen ksisi königk.

Artillerie

tiefster E hrfurch?

girsrdmkt. .

Euere Exzellenz;

«Dieser neuen Auflage widerfährt dre
Ehre, Euerer Exzellenz gewidmet werden
zu dürfen.

Die mathematischen Wissenschaften, wel¬
che für jeden Zweig der Kriegskunst nützlich,
und ins besondere für die Artillerie höchst
nothwendig sind, haben unter Euerer Exzel¬
lenz Direktion bey dem Artillerie-Corps sich
so sehr verbreitet- daß bey der Eröffnung ei¬
nes jeden mathematischen Lehr-Cursis im¬
mer mehrere in den eigenen Artillerie - Schu¬
len ausgebildeteKöpfe vorßndig sind, dir das
Lehramt zu übernehmen, und mit BeyfaN
zu vertreten die Geschicklichkeit besitzen.

Dadurch haben Euere Exzellenz auch
mir den Weg geöffnet, lnach meiner Neigung
der Welt nützlich ftyn zu können. Ich benütze

daher die Gelegenheit/ durch die Zueignung
dieser neuen Auflage/ ein unverlöschliches
Dmkmahl meines innigsten Lankgefühles
«ufzustellcn- und zugleich ein Werk / das
ferner zur Bildung des Artillerie-Corps be¬
stimmt verbleibet, mit eben dieser Zueignung
zu beehren.

Geruhen Euere Exzellenz diese Gesin¬
nungen gnädigst anzunehmcn/ mit welchen
ich in tiefster Ehrfurcht bin

Euerer Exzellenz

Mm am letzten Oktober 1792.

mnttthL'nigstgtSarUmfire
Georg Vega.

V o r b e r i ch t

zur dritten Auflage.

2?ach hergestelltem Frieden war für die mathe¬
matischen Schulen des k. k. Artillerie - Corps eine
dritte Auflage dieses ersten Theiles meines Lehr¬
buches erforderlich, nachdem die aus fünfzehn
hundert Exemplaren bestehende zweyte Auflage
desselben, theils durch den Absatz in den k. k.
Staaten, theils durch häufige Verschreibungen
ins Ausland, in der Verlagshandlung gänzlich
vergriffen war.

Eine kurze Anweisung zum Gebrauche dieses
ersten Theiles sowohl für diejenigen, welche nur
die Anfangsgründe der Arithmetik daraus lernen,
als für solche, welche zur höheren Mathematik
übergehen wollen, ist in dem hier beygedruckten
Vorberichte zur zweytenAuflage enthalten- Darin
ist auch bemerket, daß dieses Lehrbuch nicht bloß
allein für Kriegsmänncr, sondern auch für die¬
jenigen aus dem Civil-Stande geeignet ist, die
sich eine ausführlichere, dadurch erst wesentlich
nützliche Kenntniß der Mathematik zu erwerben
wünschen. Daß auch Zöglinge einer Zweck¬
mäßig eingerichteten Marine - Schule aus diesem'
Lehrbuche einen erwünschten Nutzen schöpfen
könnten, ist ohne meine Erinnerung einleuchtend;
um so mehr, da auch die ersten Bande des cour«
«le lAstbemsttyue psr Lerout in den mathemati¬
schen Schulen der Artillerie, des Ingenieur -

Corps,

CorpS, und der Marine in Frankreich den solche
Schulen besuchenden Officieren zum gemein¬
schaftlichen Leitfaden dienen.

Diese dritte Auflage durfte zwar von der
zweyten nicht wesentlich verschieden seyn. Dessen
ungeachtet habe ich nach einer wiederhohltcn sehr
genauen Durchsicht und nochmahligen Berichti¬
gung der zweyten Auflage einige unumgänglich
nothwendige Abänderungen gemacht. Auch bcy
der Besorgung der Correctur ist die größte Mühe
angewendet worden, um den Druck möglichst feh¬
lerfrei) zu erhalten. ,Die übersehenen, in den
Aushängebögen sorgfältigst aufgesuchten Druck¬
fehler sind am Ende getreulich angezeiget.

Die Potenzen-Tafel, die Quadrat- uudCubic-
Zahlen, wie auch die Quadrat- und Cubic-Wur,
zeln, die in der zweyten Auflage weggelaffen wa¬
ren, haben hier anstatt der Tafel der Primzahlen
ihren Platz wieder erhalten; weil jene den Lehr¬
lingen der Mathematik, die nur mein Loga¬
rithmisch-Trigonometrisches Hand¬
buch Leipzig - Zoo, und nicht meine ausführ¬
licheren Logarithmisch - Trigonometri¬
schen Tafeln in zwey Banden Leipzig
1797 besitzen, nützlicher feyn können, als diese.
Die Quadrat- und Cubic-Wurzeln wurden ver¬
mittelst der Logarithmen neu berechnet. Sammt-
liche Tafeln des Anhanges sind durchaus richtig.

Nun sind es gerade zwanzig Jahre, daß die¬
ser erstes Theil meines Lehrbuches in den mathe¬
matischen Schulen des k.k-Artillerie-Corps zum
Leitfaden des,Unterrichtes angenommen ist.

Die dreyzehn Kricgsjahre dieses Zeitraumes
haben den Satz: daß die Mathematik die
sicherste Grundlage der echten Kriegs-
wis-

Wissenschaft ist, für alle cultivirte Nationen
evidertt gemacht. Ich selbst genoß das belohnende
Vergnügen, mich in den Feldzügen sowohl ge¬
gen die Pforte als gegen Frankreich zu überzeu¬
gen, daß diejenigen meiner Schüler, welche sich mit
ununterbrochenem Eifer den mathematischen Wis¬
senschaften gewidmet hatten, sich auch vorzüglich
vor dem Feinde durch kluge Tapferkeit ausge¬
zeichnet, und zur Aufrechthaltung und Vermeh¬
rung des alten Ruhmes des OcsterreichischenAr¬
tillerie-Corps bestens miLFewirket haben; wor¬
unter ich es mir zur vorzüglichen Ehre rechne,
auch den von der untersten Stufe eines Kano¬
niers durch alle Iwischengradc bis zum Major
und Mar. Theres. Ordens-Ritter beförderten
Carl Perczel von Bonyhad zahlen zu kön¬
nen, einen wahrhaft edlen Hungarn, welcher
in den Feldzügen in Bosnien, in den Niederlan¬
den, am Mittel - und Oberrhein und endlich in
Italien sich rühmlichst ausgezeichnet, und seine
militärische Laufbahn durch den ehrenvollesten
Tod auf dem Schlachtfelde geendiget hat. .—

Es würde überflüßig seyn, Mehreres zur An-
eiferung derjenigen anzuführen, für welche nun
nach hergestelltem Frieden die mathematischen
Schulen wieder eröffnet sind; da die wahre Wür¬
digung der Mathematik bey dem 'ganzen Artille¬
rie-Corps einheimisch und so allgemein ist, daß
sehr viele selbst aus der gemeinen Mannschaft im
Felde ihre wenigen Ruhestunden aus eigenem
Antriebe dieser Wissenschaft gewidmet Haden,
welches ich, nicht ohne innigste Rührung , sehr
oft als Apgenzeuge wahrzunehmen die Gelegen¬
heit hatte.

-Wien ini Februar igoa,

Grg. Frh. v. Vega.

Vorbericht

zur zweyten Auflage»

«<^ie Absicht, zu welcher diese Vorlesungen be¬
stimmt sind, ist im Vorberichte zur ersten Auf¬
lage bemerket. Der Erfolg hat es gezeiget, daß der
avgehaltcne Unterricht in den unentbehrlichsten
mathematischen Kenntnissen nach diesem Leitfa¬
den in unseren Artillerie-Schulen dem abgczielten
Endzwecke vollkommen entsprach; dergestalt nahm-
lich, daß die nach diesem Leitfaden ausgebildeten
Schüler in den Stand gesetzet wurden, alle vor¬
getragenen Gründe vollständig zu begreifen, da¬
von den gehörigen Gebrauch zu machen, und die
Schriften anderer Verfasser, wenn solche zue
Entwicklung der Wahrheiten auch andere weit
schärfere Wege befolgen, ohne allen Anstand zu
verstehen: ja daß sogar mehrere dadurch die Ge¬
schicklichkeit erlangten beym Privatunterrichte,
anderen die mathematischen Kenntnisse sowohl
nach diesem, als auch nach jedem anderen, nach
Belieben gewählten Leitfaden, beyzubringen; ob¬
schon viele unter den Schülern so beschaffen wa¬
ren.

ren,daß sie in ihren Fünglingsjahren vor dem Ein¬
tritte in Militär-Dienste keine Gelegenheit hat¬
ten durch die gewöhnlichen Erziehungswissenschaf¬
ten ausgebildet zu werden. Bey solchen hat sich
hauptsächlich gezeiget, wie ungemein vortheilhaft
ein gut und auf eilte leicht begreifliche Art betrie¬
benes Studium der Mathematik die fernere
Selbstbildung in jeder Rücksicht befördere.

Auch wurden diese Vorlesungen an sehr vielen
Orten im Civil- und Militär-Stande bcym Pri¬
vatunterrichte in der Mathematik mit entschiede¬
nem Nutzen zum Leitfaden gewählet, wodurch eben
die beträchtliche ite Auflage von 1500 Exempla¬
ren bereits abgesetzet ist. Nur äußerten sich zu¬
weilen einige Schwierigkeiten, hauptsächlich wenn
der angeftellte Privatlehrer nicht vorher in der
arithmetischen Analysis gehörig ausgebildet war,
wie es öfters bey Privatlehrern der Mathematik
in unseren Gegenden zu geschehen pflegt.

Bey dieser neuen Auflage war daher meine
vorzüglichste Bemühung, auch beym Privatunter¬
richte in der Mathematik dem an gestellten Lehrer
das Geschäft aufs möglichste zu erleichtern. Um
diese Absicht zu erreichen, beobachtete ich genau
bey dem mündlichen Vortrage der Mathematik
nach diesem Leitfaden, welche Stellen so beschaf¬
fen waren, daß sie den meisten aus meinen Schü¬
lern etwas dunkel vorkamen, und welche Wen¬
dung ich nehmen mußte, damit solche Stellen so¬
dann

Hann deutlich wurden. Eben solche Beobachtun¬
gen hat auf meine Veranlassung unter meinen
Schülern der gewesene Oberlieut Gernrath*),
sowohl anfänglich, da solcher noch als Schüler
Privatunterricht in der Mathematik ertheilte, als
auch in der Folge wahrend der Anstellung als Leh¬
rer hey einer Abtheilung der Mathematik-Beflis¬
senen im Bombardier - Corps aufgesanunclt. Un-
da ich es mir zur Dienstpflicht rechnete, die mir
snvertrauten Schüler so weit auszubilden, daß die
vorzüglicheren aus diesen (nebstdem daß sie die er¬
lernten Gründe gut anzuwenden, und solche an¬
dern geschickt öeyzubringen wüßten) auch schrift¬
liche Aufsätze über wissenschaftliche Gegenstände
zu bearbeiten einige Fertigkeit erlangten; so ver-
Mstaltete ich, daß obgenannter Gernrat st
bey Gelegenheit seiner Anstellung eine vor¬
läufige Bearbeitung dieser neuen Auflage über-
rmhm, solche nach der ersten Auflage, nach den
Zusätzen am Ende des 2ten Bandes, nach mei¬
nem mündlich darüber aögehalttnen Vortrage,
und zum Theil auch nach seinen eigenen Ideen
(ms z. B. bey de? Darstellung der Gründe von
derAusziehung derQuadrat- und Cubic-WurzeL
nach der dekadischen Ordnung, bey der Ableitung
der sogenannten Reesischen Regel , bey der Aus¬
wahl, Anordnung und Auflösung verschiedener

Auf-

----^,„1.....-.—.^,^ , <,---
Tennshls k. k. Provmeisl-Eaudirecror in Mähren und SchleArk.

Aufgaben u. m. d.) den obigen Bemerkungen ge¬
mäß vollständig ausführte, und meiner Ueber-
sicht und Berichtigung vorlegte. Auf diese Art
glaubte ich auch zugleich an der Deutlichkeit des
Vortrages zu gewinnen, und diejenigen Schwie¬
rigkeiten zu vermeiden, die ihren Ursprung darin
haben, daß oft die Entwicklung einer Wahrheit
dem Verfasser sehr einleuchtend ist, wo doch ein
anderer solche nur mit äußerster Anstrengung ein¬
sehen kann. Bey dieser Gelegenheit habe ich auch
Verschiedene Gegenstände eingeschaltet , welche in
der ersten Auflage nicht enthalten sind; als z. B.
eine kritische Untersuchung über die Vergleichung
verschiedener Gewichte, und Maße im §. 198. u.
199.; die allgemeine Znterpolatiousformel im §.
ZiL.; die Summirung der mten Potenzen einer
arithmetischen Progression im§Zi8. u.Ziy.; die
Bestimmung der Exponenten bey der Umkehrung
der Functionen statt des sonst hierzu dienliche»
analytischen Dreyeckes im §. 24a. u. m. d. wie es
aus der Vergleichung der iten Auflage mit die¬
ser neuen zu ersehen ist.

Auf diese Art entstand nun gegenwärtige
neue Auflage dieses ersten Bandes meiner Vor¬
lesungen über die Mathematik; wo ich zugleich
auch den Bedacht genommen habe, daß die et¬
was schwereren eigentlich zur höheren Mathematik
gehörigen Gegenstände von anderen unumgäng¬
lich nothwendigen abgesondert, und gegen das

Ende

Ende des Werkes hingeordnet wurden; so zwar
daß ein mittelmäßiger Kopf (so wie auch jeder
andere, dem es sonstige Umstände nicht erlauben
sich die Algebra vollständig eigen zu machen),
wenn er die biszumZ. 276. porgetragenen Gründe
begriffen hat, sodann gleich in den -ttcn Band ge-^
führet werden kann. In solchen Fällen können
auch einige der vorhergehenden Z§. überschlagen
werden; z. B. von §. iLL. bis 169. ferner §.228.
wie auch Z. 246. bis 252. Sollte sich in der Folge
die Fähigkeit des Lehrlings besser entwickeln, so
kann das Ausgelassene immer nachgehohlet wer¬
den.

Wenn ich so glücklich wäre meine Absicht er¬
reicht zu haben, und wenn mein Bestreben, zu
mehrerer Verbreitung mathematischer Kenntnisse
etwas beyzutragen, einigen Beyfall finden sollte;
so wird auch schon diese einzige Belohnung für
meine literarische Bemühungen eine hinlängliche
Aufmunterung zu ferneren Arbeiten scyn.

Wien dm letzten October 1792.

Georg Vega.

Vor-

V orbericht

zur ersten Auflage.

An

das sämmtliche k. k. Artillerie-Corps.

Gegenwärtige Vorlesungen sind Ihnen gewid¬
met, und Ihr Urtheil soll ihren Werth bestim¬
men. Ich habe sie zum Drucke befördert, weil
sie schon von einigen aus Ihnen, denen ich sie vor¬
läufig mitgetheilet habe, des Druckes würdig ge¬
funden worden sind. Dieser Theil enthält nur die
nothwendigstcn Gründe der allgemeinen Rechen¬
kunst; jene der gemeinen und höheren Meßkunst
nebst einer Anwendung sollen darauf folgen.
Meine Absicht ist denjenigen einen sichern Leitfa¬
den in die Hände zu geben, . welche in einer schick¬
lichen von den übrigen Dienstgeschäften freyen
Zeit die unentbehrlichsten Kenntnisse der höheren
und angewandten Mathematik sich zu erwerben
wünschen. Könnte ich wohl diesen Wunsch den
Ihnen vermissen., da es Ihnen bekannt ist, daß
man

man sich kaum erkühnen darf, ohne diese Kennt¬
nisse ein Artillerie-Buch zu öffnen?

Bezout, Papacino d'Antoni, Tern--
pelhoff, Caravelli haben schon lange der Ar¬
tillerie diesen Weg gebahnet. Sie kennen den
Werth dieser Schriften; und eben dieses flammte
mich an, ihren Fußstapfen zu folgen, ohne doch
ihnen sklavisch nachzuahmen.

Neue Satze liefere ich Ihnen nicht; so ein
Wer? laßt keine andere Neuheit zu, als dieje¬
nige , die aus der Verschiedenheit des Zusam¬
menhanges , der Entwicklung und Anwendung
einiger Sätze entspringt.

Ihren Einsichten und Kenntnissen überlasse
ich es über gegenwärtige Vorlesungen ein Urtheil
zu fällen. Sollten sie Ihren Beyfall erhalten, so
ist meine Mühe belohnt, und mein Eifer zur
Fortsetzung dieses Werkes verdoppelt.

Wien im Februar 1782.

Der Verfasser,

Erste

Erste Vorlesung.

Vsrr den Rechnungsarten mit ganzen Größen«

Abschnitt.

Vorläufige Einleitung.

^edes Ding für sich betrachtet, ist eine Einheit seiner Art;
und mehrere Einheiten von der nämlichen Gattung machen ei¬
ne Zahl aus. Z. B. sechs Menschen sind eine Zahl von Men¬
schen ; sieben Klafter sind eine Zahl von Klaftern; acht Pfun¬
de sind eine Fahl von Pfunden, u. ft w. Hieraus ist zu er¬
sehen , baß eine Einheit wieder als eine Zahl in Rücksicht ih¬
rer Theile kann angesehen werden; so ist ein Pfund eine Ein¬
heit von Pfunden , aber eine Zahl von Lochen; weil ein Pfund
aus mehreren Lochen besteht.

§. 2.

Die Zahlen, und alle diejenigen Dinge, die sich durch
Zahlen vorstellen, oder messen lassen, z. B. Gewichte, die

Vorlef. l. L. A sich

2 Erste Vorlesung.

sich durch Zentner, Pfunde, Lothe; Entfernungen, die sich
durch Klafter, Schuhe, Zolle; Zeiten, die sich durch Teige,
Stunden und Minuten, u. d. gl. verstellen lassen; überhaupt
alle jene Singe, welche durch einiges Hinzuthun, oder Hin-
wegnehmen vergrößert, oder verkleinert werden können, pflegt
man Großen zu nennen.

§» Z.

Diejenige Wissenschaft, welche die Eigenschaften der
Größen untersuchet, und hauptsächlich lehret, aus einigen be¬
kannten Größen andere unbekannte zu finden, die mit jenen
in einer gewissen Verbindung stehen, wird überhaupt die
Mathematik, oder Gröfienlehre auch Meßkunst genennt.
Sie wird eingetheilet in die reine, und angewandte Ma¬
thematik. Die erste beschäftiget sich mit der Vergleichung
und Bestimmung der Größen, wo -los in Erwägung gezo¬
gen wird, daß sie durch einiges Hinwegnehmen, oder Hin¬
zuthun kleiner, oder größer werden, ohne auf ihre übrigen
Eigenschaften Acht zu haben. Die zweyte ist eine Anwen¬
dung der reinen Mathematik, und zieht nebst der Eigen¬
schaft der Größe auch noch die übrigen physischen Beschaffen¬
heiten mit in Betrachtung. Zur reinen Mathematik gehöret
die Arithmetik, und die Geometrie; erstere beschäftiget
sich mit unstetigen Größen : das ist, mit Größen, welche
aus abgesonderten, und durch eigene Gränzen bestimmten
Theilen bestehen; letztere aber hat stetige Größen zum Ge¬
genstände : das ist, Größen, deren Theile ununterbrochen an¬
einander hängen. Z. B. es sollte die Zahl der Ziegeln auf
einem Sache bestimmt werden, so ist dieß ein Gegenstand der
Arithmetik: sollte aber die Menge des Schnees bestimmt wer¬
den , welcher das Dach bedecket, so ist es ein Gegenstand der
Geometrie.

Die angewandte Mathematik wird eingetheilet in die
mechanischen , optischen, und astronomischen Wissenschaf¬
ten; die erstem handeln von den Bewegungen der Körper,
und

ft A b s ch n r t t. Z

und den Kräften, die solche verursachen, oder hemmen; die
andern beschäftigen sich mit den Gesetzen des Sehens, und den
Eigenschaften der Lichtstrahlen ; und die letztem lehren die Aus¬
messung der Körperwelt im Großen; und stellen Untersuchun¬
gen über die Größe, Jufammenordnung, und Verbindung der
Weltlörper, und ihre Bewegungen an. Jede dieser Wissen¬
schaften wird wieder in verschiedene willkührliche Theile zerthei-
ket, und mit eigenen Namen beleget. Was man eigentlich un¬
ter dem Worte die höhere Mathematik versteht, laßt sich hier
nicht verständlich erklären; darum muß solches hier mit Still¬
schweigen übergangen, und an feinem Orte erkläret werden.

Äusser den angeführten Theilen der Mathematik giebk
es noch andere Wissenschaften, die zu den mathematische»
gerechnet , und unter dem Namen technische Mathematik
verstanden werden; dergleichen sind die Befestigungskunst,
die bürgerliche Baukunst, die Wasserbaukunst, die Ge-
ftbutzkunst, die Markscheidekunst, die Gteuermannskunst
u» d. gl. Es sind Anwendungen der reinen, und angewand¬
ten Mathematik, zu deren Ausübung man aber noch andere
Wissenschaften, und Künste nöthig hat; wessentwegen sich de¬
ren Benennungen in Runst endigen.

§. 4r

Wir zahlen im gemeinen Leben / nach der uns von Ju¬
gend auf bekannten Art, von eins bis zehn; und die Größe
dieser Zahl zehn, so wie einer jeden der vorhergehenden,
neun, acht, sieben, sechs u. s. w. ist uns alfögleich be¬
gannt, sobald wir sie uns nur denken, oder aussprechen hö¬
ren ; sodann zählen wir zehn und eins, zehn und zwei), zehn
und drey; oder abgekürzt, eilf, zwölf, dreyzehn u. s. ft
bis wir auf eine Fahl kommen, die zweymal fo groß ist als
zehn, und diese nenne» wir zwanzig ; dann fangen wir wie¬
der von eins an, bis wir auf eine Zahl kommen , die drey
vier — fünf >— sechs — sieben — acht — neunmal so
tzroß ist als zehn; und nennen solche övepßig, vierzig,

A 2 x fünft

4^ Erste Vorlesung.

fünfzig, sechszig, siebenzig, achtzig, neunzig; bis
wir auf eine Zahl kommen, die zehnmal so groß ist als zehn;
Liese nennen wir ein Hundert. Dann zählen wir wieder von
eins angefangen, und so erhalten wir zwey Hundert, drey
Hundert  .... neun Hundert. Zehn Hundert nennen
wir ein Tausend; tausendmal Tausend eine Million; eine
Million Millionen eine Billion; eine Million Billionen eine
Trillion u. ft w.

§. Z-

Am nicht die Zahlen mit Worten schreiben zu Müsse»/
hat man auf willkührlichc Zeichen gedacht, wodurch man sol¬
che vorstellen , und kürzer schreiben könnte. Einige Lö ker,
als die Phönicicr, Griechen, und Hebräer haben hiezu die
Buchstaben ihres Alphabets gewählet, deren zehn ersten sie
die Werthe von eins bis zehn beigelegt haben; den eilften
ließen sie zwanzig, den zwölften dreyßig u. s. f. gelten , so ,
Laß der neunzehnte den Werth hundert bekam, von wo aus
sie wieder verschiedene Eintheilungen machten. Die 5,'ö r
wählten zu ihren Zahlzeichen einige Buchstaben ihres Alpha V,

I eins, V fünf, Xzehn, I. fünfzig, 0 hundert, li r

fünfhundert, und lVl oder Ll^) tausend. Sie H r

diese Zeichen, wenn sie neben einander stehen, zusamme - s

II zwey, Vl sechs, XXVII sieben und zwanzig; r
aber ein kleineres links neben einem größer» Zeichen s ,
so rechnet man solches von dem größer» hinweg; als z, .
IV vier, IX neun, XI, vierzig u. ft w. Diese Zahlen

den heut zu Tag noch recht oft bey öffentlichen Aufschri, r
gebraucht. Die Sinesen, wie Hr. Leibnitz angiebt, i. e-
Lienten sich nur der zwey Zahlzeichen i und o , durch wei¬
che sie jede Zahl verstellten, indem sie den Werth des Zeichens
i eins so oft verdoppelten, als es um eine Stelle gegen dir
Linke geruckt wurde; das Zeichen o hatte aber keinen Werth;
sondern besetzte nur die leeren Plätze: sie schrieben demnach l
eins, iszwey, ri drey, rvv vier, ivl fünf, no sechs.

i. Abschnitt. Z

m sieben, 1000 acht, invl neun, zehn, ion
eilf, uw zwölf, nor dreyzehn u. s. w.

§. 6.

Die gewöhnlichsten Zahlzeichen sind nun die sogenannten
Ziffern , die uns so wie die Buchstaben des Alphabets a,
o rc. bekannt sind ; nämlich i bedeutet für sich allein eins,
2 zwey, Z drei), 4 vier, § fünf, 6 sechs, sieben, 8 acht,
9 neun, 0 null. Sie werden die arabischen Ziffern ge¬
trennt, weil wir solche von den Arabern sollen erhalten haben-

Ilm mit diesen zehn Ziffern jede Zahl bezeichnen zu kön¬
nen , hat man durch eine allgemeine stebereinstimmung folgen¬
des Gesetz angenommen: wenn mehrere Ziffern nebenein¬
ander stehen, so bedeutet jede Ziffer ander folgenden
Stelle gegen die Linke zehnmal so viel, als an der
nächst vorhergehenden. Es bedeutet daher bey einer durch
die Zusammensetzung der angeführten Ziffern bezeichneten Zahl
z,- B. bey 8746295 die erste Ziffer zur Rechten bloße Einhei¬
ten , oder sogenannte Einer , § (fünf); die Ziffer an der
zwcyten Stelle bedeutet Zehner, und zwar so viele Zehner
als sie für sich allein Einheiten bedeuten würde, 9 neun Zeh¬
ner oder abgekürzt neunzig, zusammen 95 (neunzig und fünf,
oder nach dem Sprachgebrauch, fünf und neunzig); die
dritte Ziffer bedeutet Hunderter, oder Einheiten der Hunderter,
295 (zwey Hundert 95); die vierte bedeutet Tausender,
6295 (sechs Tausend 29Z) ; die fünfte Zehntausender,
46295 (46 Tausend 295), die sechste Hunderttausender,
746295 (746 Lausend 29Z); die siebente Einheiten der
Millionen, 8746295 ( acht Millionen 746 Tausend 295).
Nach diesen kommen die Zehner, Hunderter, Tausender,
Zehntausender, Hunderttausender der Millionen; endlich an
der dreyzehnten Stelle Einheiten der Billionen u. s. w.

Das ans den angeführten zehn Zahlzeichen, und dein
dabcy angenommenen Gesetze abgeleitete Lehrgebäude pflegt
man das dekadische System, oder die Dckadik zu nennen
von dem griechischen Worte ^k-c«(zehn) ; so wie jenes Sy-

A Z stem

6

Erste Vorlesung»

fiem mit zwey Zahlzeichen L.) Dpabrk von (zwey)
genennt wird, welches aber nicht gebräuchlich ist.

7-

o Null bedeutet für sich allein nichts, sondern vermeh¬
ret nur bey der Zusammensetzung den Werth der übrigen be-
-eurlichen Ziffern, wenn diese dadurch weiter links ^zu ste¬
hen kommen. Wenn sich daher bei) einer mit Ziffern be¬
zeichneten Zahl Nullen befinden, so ist es ein Zeichen, daß
an denjenigen Stellen, wo Nullen stehen, die dahingeh'öri-
gen Einer, Zehner, Hunderter, oder Lausender rc. abgehen.
Z. B. I» zehn; 2O zwanzig ; 420 vier Hundert; 8c>r
acht Hundert und eins; 62040 sechzig Tausend und vierzig.

In folgender Tafel kaim man den Werth der Ziffern
mit einem Blicke übersehen, der ihnen vermög ihrer Stelle
zugehöret; es bedeutet nqmlich

hie 21.22.1918.1716.1514.15.12.11.10.9. 8. 7- 6. 5- 4- Z- 8- Ke Sich«

brr Trill. Ij der Billionen der Millionen II Blosse

z. 8.

Wer nur einmal die Fertigkeit erlanget hak, jede mit
drei) Ziffern bezeichnete Zahl richtig auszusprechen, dem wird
es sodann auch sehr leicht seyn, jede mit wie viel immer
Ziffern ausgeschriebene Zahl auszusprechen; und zwar auf
folgende Art.

Man theile die vorgegebene Zahl von der Rechten ge¬
gen die Linke in Klassen, ein, gebe jeder Klasse drei) Zif¬
fern ( die letzte links kann auch deren weniger behalten ); hin¬
ter der ersten Klasse mache man einen Punkt, hinter der
' jwey-

r. A b s ch n i t t. 7

Zweyten einen Strich, hinter der dritten einen Punkt, hin¬
ter der vierten zwei) Striche, hinter der fünften einen Punkt,
hinter der sechsten drey Striche: sodann lese man jede Klasse
für sich, als wenn sie allein stünde, und setze an jeder Stel¬
le eines Punktes das Wort Taufend; an der Stelle eines
Striches das Wort Million, bey zwey Strichen Billion,
bei drei Strichen Trillion u. f, w. so ist die Zahl richtig aus¬
gesprochen, Z.B. dieZahl84"/6ZQ.O46.,so8 7c.cD964.Oo5
heißt; 84 Trillionen, 6sOTausend und 46 Billionen, Z08
Tausend und 700 Millionen, 964 Tausend und Z. Eben
so s,,640.000. ZOO.Ooo heißt Z Billionen, 640 Tausend
Millionen, und ZOO Tarisend.

Und eben so läßt sich jede ausgesprochene Fahl auf¬
schreiben, wenn man bey der höchsten Klasse links anfängt,
die bedeutlichen Ziffern gehörig anschreibt, wo aber keine
Hunderte, Zehner, oder Einheiten ausgesprochen werden,
Nullen anscht, ferner überall wo die Worte Taufend,
Millionen, Billionen rc. ausgesprochen werden, die gehörigen
Zeichen macht, und nachsicht, ob alle Klassen Vorhaben
sind , und ob jede Klasse drei Ziffern habe, wo nur die erste
links stehende Klasse zuweilen nur zwey , auch gar nur eine
Ziffer allein haben kann. Z. B, um folgende Zahl mit Zif¬
fern zu bezeichnen (sechs und zrv-anziy Tausend und vier
Millionen, neunmal hundert und sechs Tausend, und
acht) so schreibe man 26 ; nach diesen folgen die Hunderte
und Zehner der Millionen, weil aber keine solche ausgespro¬
chen worden, so setze man an ihre Stellen zwey Nullen, und
sodann die vier Einheiten dec Millionen, nämlich 26.OO4
Millionen; nach den Millionen folgen die Hunderttausende,
in dem angeführten Beyspielc neun, man setze also 9 an;
nach diesen konnüen Zehcntausende, hier keine, man schreibe
also O ; nach diesen kommen sechs Einheiten der Tausen¬
de , diese werden auch angesetzt, und dann erhält man
26004,906 Tausend ; endlich schreibe man an die Stellen
der nicht ausgesprochenen blossen Zehner und Hunderte zwey

N 4 Nul.

8 Erste Vorlesung.

Nullen, und setze die acht letzten Einheiten an, so sieht die
vorgelegte Zahl also aus 26 024,926.028.

§. 9-

Die Zahlen, deren Einheiten noch mit keinem besonder»
Namen belegt sind, und welche daher noch jede Gattung der
Größen vprsiellen können, werden unbenannte Zahlen ge-
nennt; z. B. die Zahl 28 ist in so lang eine unhenannte
Zahl, als man sich noch alle Gattungen der Größen, als
28 Menschen, 28 Hauser, 28 Klafter u. s. w. darunter
vorstellen kann. Hac man aber einer Zahl einmal einen Na¬
men bcygelegt , so ist sie eine benannte Zahl ; z. B. 8
Menschen, 17 Gulden, !LO Bucher u. s. w. sind benannte
Zghlen.

Zahlen sind gleichnamig, wenn sie gleichen Namen
führen, oder auf gleiche Namen gebracht werden Minen z
im Gegentheil sind sie ungleichnamig. Z. B-. 6 Klafter
rind 4 Klafter sind gleichnamige Zahlen; 7 Pfund und 6
Meilen sind ungleichnamig; Z Bombardier, und 2 Kano¬
nier sind zwar ungleichnamig; wenn aber die Rede von Ar¬
tilleristen ist, so sind sie gleichnamig ; auch könnte man zwey
Klafter, und 5 Schuhe oder Fuß für gleichnamig betrachten,
wenn man sich ejnbildet, daß dft Schuhe Theile einer
Klafter sind.

Zwey gleichnamige Zahlen oder Größen können auf die
einfachste Art gegeneinander verglichen werden , wenn man
untersuchet, ob sie gleich groß, oder ob eine größer sey als
die andere; ungleichnamige Größen hingegen können nicht
gegeneinander verglichen werden. Man kann z. B. untersu¬
chen , welches mehr, oder größer fty 5 Klafter oder 2 Klaf¬
ter ; ebenso, welches größer sey l Pfund oder 12 Loth,
weil man sich einbilden kann, daß ein Pfund aus Z2 Loth
be-

I. Abschn it t. 9

bestehe: aber man kann nicht untersuchen, welches größer
fty 4 Klafter oder Z Pfund. Man hat, um die Gleichheit
zweyer Größen auszudrücken, folgendes Zeichen — gewählet,
weiches zwischen zwcy Größen gesetzt wird, die gleich groß
sind,, bas heißt, deren eine für die andere gefetzt werden
darf; z. B. i Kl. — 6 Sch., und wird gelesen eine Klafter
ist gleich 6 Schuhen; 4 Gr. — 12 Kr. Und um die Un¬
gleichheit auszudrüc-en, bedient man sich des Zeichens >,
welches zwischen zwey ungleiche Größen gesetzt wird, so,
daß die Spitze gegen die kleinere zu stehen kömmt; z. B.
T Fl.>20 Kr. und wird gelesen.! Fi. ist größer als 20 Kr.;
eben so 4 Sch. < l Kl. 4 Schuhe sind kleiner als i Klafter^
Dieses ist die erste Vergleichung der Größen, womit
die Mathematik ihren Anfang macht: sie gründet ihr Lehrge¬
bäude auf die hieraus entspringenden Grundsätze (Sätze,
deren Wahrheit ohne allen Beweis einleuchtend ist), schreitet
sodann zur Erkenntniß anderer verborgener Wahrheiten fort,
und führet uns auf diese Art an die Gränzen unseres Ver¬
standes.

§. 12.

Grundsätze. R. r. Jedes Ganze ist seinen Theilen zu-
fammcngenommen gleich; und ist größer als jeder seiner
Lheile; z. B. i Kl. — 6 Sch.; i Fl. —20 Gr. Hingegen
r Kl. > 4 Sch.; 19 Gr. < i Fl.

N. 2. Gleiches kann für Gleiches gefetzt werden. Statt
r8 Schuhen kann man drei Klafter setzen; statt ein Pfund
können Z2 Lothe gesetzt werden.

N. Z. Wenn zwey Größen einer dritten Größe gleich
sind, so sind sie auch unter sich gleich; ist aber eine GrPße
größer, oder kleiner, als eine von zwey gleichen Größen,
so ist sie auch größer, oder kleiner als die andere; z. B.

I Fl.— 60 Kr. 1 Fl.— 62 Kr.

I  Fl.  —  20  Gr. z  Gr.  <  i  Fl.

also auch 60 Kr. — 20 Gr. z Gr. <62 Kr.

A Z

r o - ."

II. Abschnitt.

Von der Addition»

§» IZ»

Tine Zahl, welche so groß ist, als zwry, oder meh¬
rere Zahlen zusammengenommen, wirss die Summe dieser
Zahlen genennt; so z. B. ist die Zahl Z die Summe der Zah¬
len 2, und z; weil z und 2 zusammengenommen A giebt.
Eben so ist 9 die Summe von 2, z, und 4 u. s. w.

§. l4-

Die Rechnungsart aber, nach welcher man die Sum¬
men mehrerer gegebenen Zahlen findet, wird die Addition
genennr: nämlich, addiren heißt die Summe mehrerer
gegebenen Zahlen finden. Die zu addirenden Zahlen müs¬
sen aber gleichnamig seyn, sonst können solche nicht addirt
werden; z. B. Z Pfund und 4 Gulden tonnen unmöglich in
eine Summe gebracht werden; denn die Summe würde we¬
der Pfunde noch Gulden bedeuten. Eben so kann auch von

s Pfunden und 4 Lochen die Summe weder 9 Pfunde,
noch 9 Lothe seyn: es wird aber weiter hinten gezeigt wer¬
den, wie derley Zahlen, welche zwar ungleichnamig sind,
doch aber auf gleiche Namen gebracht werden können, zu ad-
dircn sind.

§. iZ-

Das Zeichen, dessen man sich bei der Addition bedienet,
rst ein aufrecht stehendes Kreuz, nämlich 4-, welches ausge¬
sprochen wird mebr (plus), und zeigt an, daß diejenigen
Zahlen, oder Größen, zwischen welchen es steht, addirt
werden sollen; z. B. 4-i-Z —7; wird gelesen 4 mehr z ist
Mch 7; 94-5-14; 9-1-8-17 u. s.w.

Arr-

Erste Vorlesung, il. Abschnitt. rr

Anmerkuny. Hier muß der Anfänger sich in der Suin-
Mirung zweyer Zahlen, welche bcyde nur aus einer Ziffer
bestehen, oder auch, wenn eine aus zwey, und die andere
nur aus einer Ziffer besteht, wohl üben; z. B, 8 und Z
find lZ; Y und 8 sind 17z 24 und 7 sind ZI; 48 und 9
sind 57; 8b und 8 sind -?4 u. s. w. Und man kann sich ge¬
wisse Regeln machen, die einem ungeübten gut zu statten kom¬
men können z z. B. man wüßte nicht geschwind, wieviel 26
und y sey, so erinnere man sich nur, daß 26 und tO—z6
scy z also um eins weniger giebt z.§. Jingleichen man wüßte
nicht alsoglcich, wieviel 48 und 7 sey, so gebe man in Ge¬
danken indessen 2 von 7 zu 48, so chat man Zo und Z giebt
5A; und mehr dergleichen.

§. 16.

Grundsätze. N. i. Wenn man zu gleichen Größen
Gleiches addirt, so sind die Summen gleich.

Beyspiele.

44-Z--7 iFl.-boKr.

24-6—8 iGr. — zKr. 

also auch 4-!-z 4-2 4-6—74-8. I Fl. 4-r Er. — 6z Kr.

Es ist also einerley, ob man die ganzen Größen, oder
alle ihre Lheile, woraus sic bestehen, zusammen addirct,

N. 2. Addirt man aber zu gleichen Größen Ungleiches;
kv ist jene Summe größer, wo das Größere addirt worden ist.

Beyspiele.

7-k-8-l5 iKl.-6Sch.

Z>  4 lSch.>4Zoll. 



also auch74-84-Z>i Z-I-4lalso auch lKl.^iSch.>6Ech.4-4?.

Erste Vorlesung.

rs

Beyspiele,

Summe i6Zc>8

Summe 97898

N. 2. 57001

Zu addiren °)95oZ

^Z2L

Um nun Zahlen, wenn sie^aus noch so viel Ziffern
Heftchen, addiren zu können, beobachte man folgende Regelm

1) Man schreibe die zu addirendeir Zahlen so unterei¬
nander , daß die Einheiten unter die Einheiten, Zehner un¬
ter die Zehner, Hunderte unter die Hunderte u. s. w. zu ste¬
hen kommen; nämlich man ordne sie von der Rechten gegen
die Linke gehörig untereinander; wo bey jenen Zahlen, die
aus weniger Ziffern bestehen, die Stellen zur Linken leer ver¬
bleiben ; und ziehe darunter einen Querstrich.

2) Dann addire man erstlich die Kolumne Mr Einhei¬
ten, und setze die Summe hievon, wenn solche nur aus ei¬
ner Ziffer besieht (wie hier voraus gesetzt wird), unter den
Strich an die Stelle der Einheiten; nämlich im Beyspiele N.
1. sagt man: 4 und i giebt 5, und Z giebt 8 Einheiten;
auf die nämliche Art addire man nun auch die Kolumne der
Zehner, indem man wieder sagt: 6 und 2 giebt , und 1
giebt 9, und setze diese Summe, da sie wieder nur aus ei¬
ner Ziffer besteht, an die Stelle der Zehner; und so addire
man ferner die Hunderte, Tausende, Zehntausende u. s. w,;
so wird man die verlangte Summe erhalten, wie aus dem
Beyspiele N. 1. zu ersehen ist. Befinden sich in einer Ko¬
lumne lauter Nullen, so wird auch in der Summe eine Nulle
an die Stelle gesetzt, damit die folgenden Ziffern ihren
Rang behalten (§. 7.), wie aus dem Beyspiele N. 2. zu
ersehen ist.

N. r. 592164

Zu addiren Z2l

54-3

1 l. A b s ch n i t t.

Z) Besteht aber die Summe einer Kolumne aus zwey
Ziffern, so schreibe man nur die erste Ziffer rechts unter die
addirte Kolumne, und die andere Ziffer addire man zur fol¬
genden Kolumne ; nämlich im Beyspiele N. Z. sagt man: 6
und 8 giebt 14, und 9 giebt 23, nämlich Z Einheiten ,
und zwey Zehner; man schreibe deswegen die Z Einheiten an
die Stelle der Einheiten, die 2 Zehner aber übertrage matt
zur Kolumne der Zehner, indem man ferner sagt: 2 geblie¬
ben und 5 giebt 7, und 6 giebt iz, und i giebt 14 Zeh¬
ner , nämlich 4 Zehner und i Hundert; folglich schreibe man
die 4 Zehner an die Stelle der Zehner, und übertrage das
i Hundert zur Kolumne der Hunderte, und sage ferner: 1
geblieben und 4 giebt A, und giebt l Z, und 7 giebt 20
Hunderte, nämlich kein oder c> Hundert, und 2 Taufende;
man schreibe demnach an die Stelle der Hunderte eine Nulle,
damit die folgenden Ziffern ihren Werth behalten, und über¬
trage die 2 Taufende zur Kolumne der Tausende; und so
fahre man fort, bis keine Kolumne mehr vorhanden ist, so
wird man die richtige Summe haben. Besieht eine Kolumne
aus lauter Nullen, und es ist etwas von der vorigen Ko¬
lumne geblieben, so muß solches an diese Stelle gesetzt wer¬
den, wie es das Beyspiel N. 4. zeiget.

Beyspiele.

N. Z. (4456 N. 4. (ZO»4

Zu addiren >2868 Zu addiren >2263

^719 _^8095

-Summe 824z Summe 13242^

4) Wenn viele Zahlen zu addiren sind, so kann seyn,
taß die Summe irgend einer Kolumne auö z Ziffern bestehe; da
setze man ebenfalls nur die erste Ziffer rechts unter die addirte
Kolumne, und zähle die übrigen zur folgenden Kolumne ; z.
B. es wäre die Summe der Kolumne der Einheiten — 124,
s->

-4 Erste Vorlesung.

so setze man die erste Ziffer 4 an die Stelle der Einheiten,
und die übrigen 12 addire man zur Kolumne der Zehner.

-Man kann aber auch in dergleichen FällM > wo gar
viele Zahlen zu addiren sind, und also zu viele Aufmerksam¬
keit erfordert wird, die Zahlen in zwey oder mehrere Theile
zertheilen, jeden Theil insbesondere addiren, und die Sum¬
men davon in eine Hauptsumme bringen; z. B. es wäre fol¬
gende Addition zu verrichten : 875^9 4- 5498 4- 369s 4-
95678 4- ZO97 4- 909 4- 40895 4- 3272 4- 78 5 67 4- 4'^39
4-979084-217064-65374-695784-59857; so könnts
man also schreiben

87569

5498 78s67

3695 4OZ9

95678 97908

309 7 21706

909 6537

40895 69578 242619

3278 5 9857 338192

Summe 240619 Summe 338192 Hauptsumme 578811.

Daß man nach diesen vorgeschriebenen Regeln die rich¬
tige Summe erhalte, erhellet aus (§. is. Grundsatz 1.),
weil man auf diese Art alle Einheiten, Zehner, Hunderte,
Lausende u, s. w., als alle Theile des Ganzen, welches
hier die Summe heißt, zusammenzählet.

18.

Zweifelt man, ob nicht in der Addition gefehlet wor^
den, so ist die beste Probe, wenn man die Addition noch
einmal wiederholet; und zwar das zweptemal addire man
von unten hinauf, wenn das erstemal von oben hinunter ad-
dirt worden ist, oder umgekehrt; erhält man nun in beyden
Fällen eincrley Summen, so ist die Addition richtig.

M-

".- - 'L

HI. Abschnitt.

Von der Subtraktion.

§, 19»

Diejenige Fahl, welche anzeigt, um wie viel eine von
zwey gegebenen Zahlen größer seh als die andere, wird die
Differenz, oder der Unterschied dieser Fahlen genennt; so
j. B. ist Z die Differenz der Zahlen 9 und 4z weil 9 um z
größer ist als 4.

§. 20.

Die Rechnungsart, nach welcher dit Differenz jeder
zwei) gegebenen Zahlen gefunden werden kann, wird die
Subtrakion genannt; nämlich subrrahiren oder abziehen
heisst die Differenz zweier gegebenen Zahlen finden.

Don den Fahlen selbst wird die größere, von welcher
abgezogen wird, der Ninuenduo, und die kleinere, welche,
abgezogen werden soll, der Subtrahend«» genennt.

Auch hier müssen beydeZahlen, die voneinander subtra--
hirt werden sollen, gleichnamig seyn; denn sonsten könnten
sie ja gar nicht verglichen werden (Z. 1 t.),

§. 21.

Das Zeichen der Subtraktion ist ein liegender Strich
—, welches ausgesprochen wird weniger (mious) , und
zeigt an, wenn solches zwischen zwei) Zahlen, oder Größen
steht, daß die hinter dem Zeichen von jener vor drin Zei¬
chen abgezogen werden soll z z. D. iZ — 7—8 wird gelesen
Is weniger 7 ist gleich 8; n —Z —6; 9 —2 —/u.s.w.

Anmerkung, Die Anfänger müssen sich auch hier üben,
um alsogleich die Differenz zwcyer Zahlen zu wissen, wo jede
nur aus einer einzigen Ziffer besieht, oder auch wenn eine
Zahl ( der Minuendus aus zwep, die andere aber, der Sub>-
krn-

L 6 Erste Vorlesung.

trahendus nm aus einer Ziffer besieht ; z. B. 9—2—7;
8-3-55 17-8-9; 16-9-7; kZ-8-5u.f. w.

§.22,

Grundsätze. N. i. Wenn man von gleichen Größen
Gleiches subtrahiret, so sind die Differenzen gleich.

Beispiele.

Zsi-6—9 iFl.—6"Kr.

2  4-  Z  —  7 I  Gr.  — z Er. 

also auch z4-6-2—Z—9—7; also auch l Fl.— 1 Gr.— ^K^

Es ist darum einerley, ob man die Theile einer Grö¬
ße von de» Theilen einer andern Größe, oder die ganze
Größe auf einmal abzieht.

N. 2. Subtrahirk man von gleichen Größen Ungleiches-
so sind die Differenzen ungleich, und zwar dort größer, wo
am wenigsten subtrahirt worden ist.

Beyspiele.

124-6 — 18 r Zent.—!OoPf.

 A>4   Z Loch< 1 Pfund.

alfo auch 124-6-;<r8—4; also auch i I.-ZOL.>99Pft

N. Z. Zieht Man von ungleichen Größen Gleiches ab-
so ist dort die Differenz größer, wo vorhin Größeres war.

Beispiele,

r Tag >2O Stunden 6-s-Z>8

6oMin.—1 Stunde 4—4



Mauch i L,-6oM.>i9St. also auch 6 4-Z-4>L-4l

4. 2Z.

HI. Abschnitt. 17

«Z.

Sind nun zwey Zahlen, die aus mehrern Ziffern be¬
stehen, von einander abzuziehen, so verfahre man nach fol¬
genden Regeln»

1) -Man schreibe die kleinere Zahl unter die größere,
so, baß die Einheiten unter die Einheiten, die Zehner unter
die Zehner u. s. w. zu stehen kommen, wie bep der Addition,
und ziehe darunter einen Querstrich.

2) Dann subtrahire man zuerst die Einheiten der un¬
tern Zahl von den Einheiten der obern Zahl, so auch die
Zehner von den Zehnern, die Hunderte von den Hunderten
u. f. w. und schreibe die Differenz jedesmal an eben dieselbe
Stelle, so hat man die verlangte Differenz. Im Bepfpiel
N. i. sagt man: 2 von Z bleiben z , z von 4 bleibt i,
c> von 9 bleiben 9, 2 von 6 bleiben 4. Bleibt aber ir¬
gendwo gar nichts übrig, so muß an die Stelle eine Null
gesetzt werden; nämlich im Beispiel N. 2. sagt man: r
von 4 bleiben Z, 8 von 8 bleibt 0, z von 7 bleiben 4.
Besteht die obere Zahl aus mehrern Ziffern als die untere,
so werden die noch übrigen Ziffer zur Differenz herunter ge¬
setzt, wie im Bepspiel N. Z. zu ersehen ist.

Beyspiele.

N. 1. 6945 N. 2. 784 N, z. 2ZZ87

20Z2  ZZt 432

Diff. 49 lZ Diff. 40z Diff. 23155

Z) Wenn eine Ziffer, von welcher man abziehen soll,
kleiner ist, als die abzuziehende, so borge man von der nächst¬
folgenden links eine Einheit, und bezeichne diese Ziffer mit
einem Punkte, zum Zeichen, daß sie sodann um eins weniger
gelte: diese geborgte Einheit gicbt is Einheiten der vorher¬
gehenden Ziffer ( §. 6.); derowegen vermehre man die Ziffer,
von welcher abgezogen werden soll, um LQ Einheiten, und
vsrlef, I. B. E ziehe

i8 Erste Vorlesung.

ziehe die darunter stehende von ihr ab. So können im Bey-
spiel (N. 4.) Z Einheiten von z Einheiten nicht abgezogen
werden: man borge deßwegen einen Zehner, und sage: .5
von i z Einheiten bleiben 8 Einheiten, und z von < bk'ben
2 Zehner; ferner 9 Hunderte von 8 Hunderten können n-cht
abgezogen werden : man borge also ein Tausend, und
sage : 9 Hunderte von l8 Hunderten bleiben 9 ; und endl'ch
l von 4 bleiben Z Tausende. Kömmt eine bedeutlick.e Zif¬
fer von einer Null abzuziehen, so borge man ebenfalls von
der folgenden Ziffer eine Einheit, wo sodann aus 0 zehn
wird. Ist aber eine Null von einer andern Nulle abzuziehen,
so wird in der Differenz ebenfalls eine Null geletz' ; wie
solches aus dem Beyspiel N. L. zu ersehen ist. Wa e die^
Ziffer, von welcher man borgt, ein i, so muß man sich
sodann an dessen Stelle eine Null gedenken, wie es das
Beyspiel N. 6. zeigt.

4) Wenn einer Ziffer, von welcher man nicht ubzie-
hen kann , eine oder mehrere Nullen nachfolgen, so über¬
gehe man alle Nullen, und borge von der nächsten bedeutli-
chcn Ziffer eine Einheit; diese giebt an der Stelle der ersten
Null io Einheiten: eine davon hinweg geborgt bleibt ein
9; die geborgte Einheit giebt wieder an der Stelle der vor¬
hergehenden Null IO Einheiten, und eins davon geborgt
bleibt wieder an dieser Stelle ein 9 u. s. w., woraus fol¬
gende Regel fließt: wenn von eineroder mehrnacdeinan-
der folgenden Nullen eins geborgt werden soll, so bor¬
ge man von der nächstfolgenden bedeutlichen Ziffer eine
Einheit, und bemerke alle übersprungene Nullen mit

. ei-

Hl. Abschnitt. LH

sinem Punkt, zum Zeichen, -aß solche soöann lauter
9 si nd; wie es im Beispiel N. 7. und 8» zu ersehen ist.

Beyspiele.

N. 7. 6704 N. 8» 9. v6

6356 4Z49i6z8

348- 8957308468

Die Richtigkeit dieses Verfahrens erhellet daraus, weil
rs einerley ist, ob man die Einheiten, Zehner, Hunderte
u. s. w. jede insbesondere, oder ob man die ganze klei¬
nere Zahl auf einmal abziehet (§. 22, Grundsatz i.)

§. 24.

Da vermög ( §. 19.) die Differenz anzeigt, um wie
viel die größere Zahl größer ist, als die kleinere, so können
die Differenz und die kleinere Zahl als Theile der größer»
angesehen werden; addirt man demnach die Differenz zur
kleinern Zahl, so muß die größere zum Vorschein kommen,
welches zur Probe der Subtraktion Lienen kann,

Einige Vepspiele zur Anwendung der Addition, und
Subtraktion.

1. ZraFe: Die Armee einer Monarchie besteht aus
238500 Mann Infanterie, 65840 Mann Kavallerie,
roZZo Mann Artillerie, und noch aus verschiedenen andern
Korps 12646 Mann : Wie stark ist wohl diese Kriegsmacht?

Antwort. 2ZHZOQ -l- 6Z840 4- 10830 4- »2Ü42
-Z278 10 Mann.

2. Frsye: Die Stadt Trier wird in der Geschichte
um IZOO Jahr älter als die Stadt Rom angegeben. Da
nun Rom 753 Jahr vor Christi Geburt soll erbaut worden
seyn : wie alt ist wohl die Stadt Trier in diesem Jahre 1792?

B 2 Änt-

20

Erste Vorlesung.

Antwort. 132s 4-753 4-1792-384Z Jahr.

Z. Frage: Amerika ist von Christoph Kolumbus im
Jahr 1497 entdeckt worden: wie lang ist es nun in diesem
Jahr 1792 , daß wir von diesem vierten Welttheile eine
Wissenschaft haben ?

Antwort. 1792 —1497-295 Jahr.

4. Frage: Eine Armee ist 282.022 Mann stark ins
Feld gezogen: im ersten Feldzüge verlohr sie 25648 Mann;
dagegen erhielt sie 36822 Mann Rekruten; im zwepten
Feldzuge verlohr sie Z8794 Mann, erhielt 0^42502 Re¬
kruten ; im dritten Feldzuge verlohr sie 8456 Mann, und
erhielt einen Zuwachs von 50020 Rekruten: wie stark ist
wohl die Armee nach Ende des dritten Feldzuges?

Antwort. 2800224- 568024-425224 52222 —
2-648-38794-" 84Z6- 427522— 72898— 334422
Mann.

IV. Abschnitt.

Von der Multiplikation.

§. 26.

Wenn eine ncimliche Zahl ein oder mehreremal zu sich
selbst addirt werden soll, so hat man eine Rechnungsart
eingeführt, durch welche der Betrag viel geschwinder, als durch
die gewöhnliche Addition gefunden werden kann; diefe Rech¬
nungsart wird die Multiplikation gencnnt. Die Zahl, wel¬
che etlichemal genommen, oder addirt werden soll, nennt man
den Multiplikand»», und diejenige Zahl, welche anzeigt,
wie oft der Multiplikandus zu nehmen ist, heißt der Mul¬
tiplikator ; bcyde zusammen heissen die Faktoren, und der Be¬
trag wird hier das Produkt genennt. Zwey Zahlen miteinan¬
der multipliciren heisst demnach eine Zahl so oft nehmen,
als die andere Einheiten in sich enthalt. Z. B. 4 mit
Z multipliciren heißt die Zahl 4 drepmal, oder welches ei-

ner-

IV. Abschnitt. -r

mrley ist, die Zahl Z viermal nehmen. In beyden Fallen
kommt 12 zum Vorschein: Z und 4 sind demnach die Fak¬
toren, und 12 ist das Produkt.

Es ist deswegen bey der Multiplikation gleichgültig,
welchen Faktor man als Multiplikator annimmt, weil das
Produkt einerlei) ist z und es zeigt jeder Faktor mit seinen
Einheiten an, wie oft der andere genommen werden muß,
damit das Produkt zum Vorschein komme; oder, welches ei¬
nerlei) ist, wie oft der andere Faktor in dem Produkt ent¬
halten ist.

27.

Das Zeichen der Multiplikation ist ein liegendes Kreuz
X, oder auch nur ein Punkt., wird ausgesprochen muler-
plizire, und bedeutet, daß die Zahlen oder Größen, zwi¬
schen welchen es steht, miteinander multiplizirt werden sollen;
z. B. hx 8 — 48, wird gelesen: 6 multiplizirt mit 8 ist
gleich 48; eben so y. 4 — z67.6^ 42 u. s. w.

Sind z oder mehrere Zahlen mit dem Multiplikations¬
zeichen verbunden , so bedeutet es, daß das Produkt der
vorhergehenden Zahlen immer mit der nachfolgenden zu mul-
tipliziren sey; z. ^2.4.9-8.9-72.

Anmerkung. Die Anfänger müssen die Produkte von
zwepen Zahlen, wovon jede nur aus einer Ziffer besteht,
welche man das Einmaleins nennt, wohl auswendig ler¬
nen , wenn sie im Multipliciren eine Fertigkeit erlangen wol¬
len ; und es giebt auch hier gewisse Regeln, die sich ein Un¬
geübter zu Nutzen machen kann ; z. B. man wüßte nicht ge¬
schwind, wieviel ymal 7 ist, so kehre man es um, und
sage 7mal y, und es wird vielleicht geschwinder einfallen;
oder inan sage: icmal 7 ist 70, 7 davon ist 6z ru d. gl.

B 3

DaS

rr

2 Z 4 Z 6 7

8 9

!

4 6^ 8^ '>o^2 l4 i6 i8

2

Z 6 9 12 ^5 r8 2l 24 27

22 24 28 Z2 26

4

s!ra! 1^20 2Z 30^35,40 45

12 I

Der Gebrauch ist fol¬
gender : z. B. man
wollte das Produkt von
6mal 7 wissen, so su¬
che man einen Faktor,
z. B. 6 in der erste»
vertikalen Reihe, und
den andern 7 in der
obersten horizontalen
Reihe, und fahre mit
dem Finger aus der
ersten Reihe horizontal,
und aus der andern
vertikal; und dort, wo
beyde zusammentreffen,
findet man das Pro-
dukt 42.

9 i8 -7 )6'i4Z Z4 6g 72,81

7 14 2l 28 35 42 49 Z6^6z

8 16 24 Z2 40,48 ^6,64 72

Erste Vorlesung-

Das Einmaleins ist am besten aus folgender Tafel,
welche der pythagorifche Rechentifch genennt wird, zu er¬
lernen.

28,

Benannte Zahlen können nicht miteinander multiplizirt
werden, wenn sie auch gleichnamig sind; denn wären z. B.
6 Fl. mit z Fl. zu multipliziren, was sollte wohl das Pro¬
dukt i8 bedeuten? Wohl aber kann man eine benannte
Zahl mit einer unbenannten multipliziren, das heißt, man
kann sie so viclmal nehmen, als man will; z. B. 6 Fl. zmal
genommen giebt zum Produkt 18 Fl.; 4 Kr.X20 Kr. u. s. w,
§- 29.

IV. Abschnitt. SA

§. 29.

Grundsätze. N. i. Wenn man gleiche Größen mit glei¬
che» multipiizirt, so sind die Produkte gleich.

Beyspiele.

8-5-k-z 2Gr.-6Kr.

4-4 5  _

also auch8.4-5.4-l-Z.4 also auch2Gr.XZ-6Kr.XZ-l-6Kr.x2.
nämlich Z2—2O-!-l2 nämlich roGr.- 18 Kr.-l-!2Kr.

das ist roGr.-ZoKr.

Man erhält also einerlei) Produkt, ob man alle Theile
einer Größe, oder die ganze Größe mit einer andern Größe
Multipliziret.

N. 2. Multiplizirt man aber gleiche Größen mit un¬
gleichen, oder ungleiche Größen mit gleichen, so erhält man
verschiedene Produkte; und zwar dort größere, wo die Fak-
tyren größer sind.

Beispiele.

8-642 ; Gr. > 2 Kr.

4>Z  3 -3

also auch 8.4>6. Z-l-s.Z. also auch zGr.> 6Kr.

§. Zv.

Sind nun zwei) Zahlen miteinander zu Multipliziren,
wovon eine nur aus blossen Einheiten, die andere aber aus
mehreren Ziffern besieht, so beobachte man Folgendes:

r) Man schreibe den kleinern Faktor unter den großem,
und multiplizire damit zuerst die Einheiten, dann die Zehner,
Hunderte, Tausende des andern Faktors, und schreibe die
Produkte, wenn dieselben nur aus einer Ziffer bestehen, je¬
desmal an eben dieselbe Stelle, so hat man das verlangte
Produkt (Z. 29, Grundsatz r.)wie cs das Beyspiel N. zeiget.

B 4 2)

24

Erste Vorlesung.

2) Besteht aber ein Produkt aus zwey Ziffern, so setze
man nur, wie Key der Addition, die erste Ziffer rechts, wenn
es auch eine Null wäre , an dieselbe Stelle, und addire die
andere zum folgenden Produkt; nämlich im Beyspiel N. 2.
sagt man: Mal 6giebt 24 Einheiten, nämlich 4 Einheiten,
und 2 Zehner: man setze deswegen die 4 Einheiten an ihre
Stelle, und behalte die 2 Zehner in Gedanken sman kann
selbe auch auf der Seite anmerken ); ferner sage man: 4mal
7 giebt 28, und 2 gebliebene Zehner dazu geben Zehner,
nämlich keine Zehner, und z Hunderte; deswegen setze man
an die Stelle der Zehner eine 2, und behalte die Z Hunder¬
te wieder in Gedanken; ferner 4mal l giebt 4, und Z ge¬
blieben giebt 7 Hunderte, und 4mal 8 giebt Z2 Taufende.

Z) Befindet sich im oben, Faktor eine Null, so muß
auch im Produkte eine Null gefetzt werden; wäre aber vom
vorhergehenden Produkt etwas geblieben, so wird solches an
Lieser Stelle gesetzt, wie es aus dem Beyspiel N. Z. zu er¬
sehen ist ; indem man sagt: 4mal 8 giebt ZL; 2 geschrie¬
ben, bleibt z; 4m«! 0 giebt O, und Z geblieben ist Z;
4mal 1 giebt 4; Mal o giebt o ; und Mal 5 giebt 20.

Beyspiele.

N. !. 2Z4I N. 2. 8176 N. z. ZoioZ
2  - 4  _4

Prod. 4682 Prod. 32704 Prod. 220432

§. Zi»

Ist eine Zahl mit ro zu multipliziren, so hänge man
nur hinten eine Null daran; denn dadurch erhält jede Ziffer
einen zehnfachen Werth (§. 6. und 7.), und folglich ist die
ganze Zahl mit io multipliziert (§. 29. Grundsatz l.). Eben
so wird eine Zabl mit ioo multiplizitt, wenn man hinten
2 Nullen auhängt; mit 1220, wenn man Z Nullen an-
hangt u. s. w.

K. 32.

IV. Abschnitt«

LZ

§. Z2.

Wären aber zwey Fahlen, welche beyde aus mehreren
bedenklichen Ziffern bestehen, miteinander zu multipliziren,
so verfahre man nach folgenden Regeln.

r) Man schreibe den kleinern Faktor unter den großem,
und mulriplizire zuerst mit den Einheiten des untern Faktors
den gcinzen obern Faktor ( zs.).

2) Dann multiplizire man auch auf eben diese Art
mit den Zehnern des untern Faktors den ganzen obern Fak¬
tor. Da aber die erste Ziffer dieses Produkts nicht mehr
Einheiten, sondern Zehner bedeutet; denn im folgenden Bey-
spiele N. l., im 2ten Produkt sollte man eigentlich sagen:
Lomal z giebt 6a, statt daß man abgekürzt sagt 2mal z
giebt 6 ; eben deswegen bedeutet die zweyte Ziffer dieses Pro¬
duktes Hunderte, die ,zte Tausende u. s. w. Man schreibe
daher dieses Produkt so unter das vorige, daß die erste Zif¬
fer an die Stelle der Zehner zu stehen kömmt.

Z) Auf eben diese Art multiplizire man mit den Hun¬
derten des untern Faktors den ganzen obern Faktor, und
schreibe dieses Produkt so unter die vorigen, daß die erste
Ziffer, welche hier schon Hunderte bedeutet, an die Stelle
der Hunderte zu stehen kommt. Und so multiplizire man
mit jeder Ziffer des untern Faktors den ganzen obern Faktor,
und rücke das Produkt aus angeführter Ursache jedesmal um
eine Stelle weiter gegen die Linke.

4) Hat der untere Faktor eine oder mehrere Nullen in
der Mitte, so überspringe man solche, und multiplizire nur
mit den folgenden bedeutlichen Ziffern, rücke aber das Pro¬
dukt um so viele Stellen weiter gegen die Linke, als man
Nullen übersprungen hat; wie es das Beyspiel N. 2. zeiget.

6) Sodann addire man diese befondern, oder partial-
prsdukte, so wie sie untereinander stehn, zusammen, so
erhält man das wahre Produkt 0« 29. Grundsatz >.).

BZ 6)

24

Erste Vorlesung.

6) Hat einer oder beyde Faktoren am Ende einige Nul--,
len, so multiplizire man solche, als wenn die Nullen hinten
nicht wären, und hänge an das Produkt rechts so viele
Nullen an, als deren beyde Faktoren zusammen haben; denn
es ist im Beyipiel N. Z. vermög (Z. Zl.), 220x4620
2r:Z2X I0.46X 102 — 22.46.10Q0.

Benspiele.

Die beste Probe über die Multiplikation ist, wenn
man selbe noch einmal wiederholet: und man könnte das
zweytemal Vie Faktoren verwechseln, das heißt, jenen zum
Multiplikator annehmen , der vorhin der Multiplikandus war.
Erhält man nun einerlei) Produkt, so ist richtig multrplizirt
worden.

Es wird zwar weiter hinten dey der Division noch ei¬
ne Probe über die Multiplikation gezeigt werden, die abex
ebenfalls nicht leichter, als diese seyn wird.

34.

Einige Fragen zur Anwendung der Multiplikation.

1. Fratze: Wenn eine Klafter 6 Schuhe enthält, wie
viel Schuhe machen 49 Klafter?

Antwort. 6.49— 294 Schuhe.

2. Fratze: Ein Gulden hat 60 Kreuzer ; wie viel
Kreuzer machen 285 Fl. und 45 Kr. ?

Antwort. 285.624-45-17145 Kr,

IV. Abschnitt. 27

z. ZraZe : Ein Schuh känge von einem gewissen Bau¬
holze kostet 4Z Kr.; wie viel Kreuzer kostet nun ein Baum,
welcher A Klafter, und 4 Schuh lang ist?

Antwort. Z Klafter und 4 Schuhe' machen Z.64-4
Schuhe-Z4 Schuhe; mithrn kostet der Baum Z4.4Z —
I5ZH Kr.

4. §rage: Wenn ein Soldat monatlich z Fl. be¬
kommt; wie viel bekommen Zo Soldaten in einem Jahre?

Antwort, z . 12. ZO— 1080 Fl.

Z. strags: Es soll eine Mauer von Ziegelsteinen er¬
richtet werden : der Länge nach kommen 2600, der Dicke
nach 8, und der Höhe nach iZo Ziegeln zu liegen; wie
viel Ziegeln braucht man hiezu?

Antwort. Da der Lauge nach 2620, und der Dicke
nach 8 Ziegeln liegen sollen, so kommen in einer Schichte
8.2602—20802 Ziegeln zu liegen; und da lAo solche Schich¬
ten übereinander liegen sollen, so kommen zur ganzen Mauer
150.20820—208 .lZ. 1222—Zi20002 Ziegeln.

-Mehrere Beyspiele kann sich der Anfänger selbst leicht
aufgebcn.

V. A V schrrit L°

Von her Division.

3Z.

Es kommt recht oft vor, daß man zu wissen nöthig
hak, wie oft eine bekannte Zahl von einer andern bekannten
abgezogen werden kann, bis nichts mehr übrig bleibt; oder
welches einerlei) ist, wie oft eine gegebene Zahl in einer an¬
dern gegebenen enthalten ist; z. B. man möchte gern wissen ,
wieviel 48 Schuhe in Klaftern betrage», so kömmt es nur
darauf an , daß man untersuche, wie oft 6 in 48 enthalten
ist; Mi! 6 Schuhe - i Klafter ist.

Um

28 Erste Vorlesung.

Um nun dieses leichter, als durch eine öfters wieder¬
holte Subtraktion finden zu können, hat man eine besondere
Rechnungsart eingeführt, welche die Division genennt wird.
Dividiren heißt demnach untersuchen, wie oft eine Fe¬
gebene Zahl in einer andern gegebenen enthalten ist.
Die Zahl, welche dividirt werden soll, heißt der Divi-en-
öus; jene, durch welche dividirt wird, heißt der Divisor;
und die zu suchende Zahl, welche anzeigt, wie oft der Di¬
visor in dem Dividendus enthalten ist , wird der «Quotient
genannt. In unscrm angeführten Beyspiele ist 48 der Di¬
videndus, 6 der Divisor, und 8 der Quotient; weil 6 in
48, 8mal enthalten ist.

36.

Da der Quotient mit seinen Einheiten anzeigct, wie oft
der Divisor im Dividendus enthalten ist; so kann vermög (§.
26.) der Dividendus als ein Produkt, wovon der Quo¬
tient und der Divisor die Faktoren sind, angesehen werden;
und es zeigt also auch der Divisor mit seinen Einheiten an,
wie oft der Quotient im Dividendus enthalten ist; das heißt,
wie viel Theile man aus dem Dividendus machen kann, deren
jeder so groß, als der Quotient ist. Man kann demnach
auch sagen: Dividiren heißt eine gegebene Zahl in s»
viel gleiche Theile zertheilen, als eine ankere gegebene
Zahl Einheiten in sich enthalt. 48 durch 6 dividiren
heißt deßwegen auch die Zahl 48 in 6 gleiche Theile theilen.

Z7»

Das Zeichen der Division sind zwey aufrecht stehende
Punkte, nämlich: und wird ausgesprochen dividirt durch;
dieses Divisionszeichen, wo es zwischen zwey Zahlen, oder
Größen steht, zeigt an, daß die links vor dem Zeichen ste¬
hende durch jene rechts nach dem Zeichen folgende Größe di¬
vidirt werden soll. Unser obenangeführtes Beyspiel wird
dem-

v. Abschnitt. 29

demnach also geschrieben , 48: 6—8, und gelesen, 48 di-
vidirt durch 6 ist gleich 8.

Man pflegt auch die Division durch einen horizontalen
Strich, über welchen der Dividendus, und unter welchem

- 28

der Divisor steht, anzudeuten ; so heißt auch — — 4,

7
nämlich 28 dividirt durch 7 ist gleich 4.

38.

Eine benannte Zahl kann durch eine andere gleichnamig be¬
nannte Fahl dividirt werden; so ist z. B. r 2 Pf.: 4 Pf. — z,
und es zeigt hier der Quotient an, wie oft Z Pf. in 12 Pfun¬
den enthalten sind. Auch kann eine benannte Zahl durch eine un-
benannte dividirt werden; z. V. i 5 Fl.: Z — 5 Fl., und hier
zeigt der Quotient an, wie groß jeder Theil wird , wenn man
i5 Fl. in z gleiche Theile theilet; nicht aber kann eine un¬
benannte Zahl durch eine benannte, oder eine benannte Zahl
durch eine gänzlich ungleichnamige benannte dividiret werden.

39-

Grundsätze. N. i. Wenn man gleiche Grüßen durch
'Gleiches dividiret, so sind auch die Quotienten gleich.

Beyspiele.

9 —6^-Z 6Gr.—iFKr.

_3 -3  2 - 2
also auch 9: z — 6: z-s-z: Z; also auch 6 Gr.: 2 — i ZKr.: L

nämlich Z —2-l-l nämlich Z Gr. — 9 Kr.

Es ist deswegen auch einerley , ob man ein Ganzes
oder jeden seiner Theile durch eine nämliche Zahl dividiret.

N. 2. Dividirt man aber gleiche Größen durch Unglei¬
ches, so sind die Quotienten ungleich, und zwar dorten grö¬
ßer, wo der Divisor kleiner ist,

Bep-

Zs Erste Vorlesung.

Beispiele.

12 —H-!-Z LKl.^iLSch,

4>3 2 < Z _

also auch 12: 4< 9: Z 4-Z: Z also auch 2 Kl. t 2> i gSch.: Z.
nämlich z < Z 1 nämlich i Kl. > 4 Sch.

Nimmt man daher bey ungeändertem Dividendus den
Divisor 2, z, 4 . . . n mal größer, oder kleiner an,
so wird der Quotient 2, Z, 4 ... er mal kleiner oder
größer seyn.

N. Z. Dividirt man hingegen ungleiche Größen durch
Gleiches, so ist dort der Quotient größer, wo der Divi ¬
dendus größer ist.

Beyspiele.

12 >8 is Gr. <ZZ Kr.

4-4 Z - 5

also auch I2t4>8:4 also auch is:Z<ZZ: 5
nämlich Z>2. nämlich 2Gr. <^Kr.

Nimmt man daher bey ungeändsrtem Divisor den Di¬
videndus 2, Z, 4 . . . er mal größer, oder kleiner an,
so wird auch der Quotient 2, Z, 4 . . . rr mal größer,
oder kleiner seyn.

40.

Wenn man bey einer Division den Dividendus und
Divisor mit einer nämlichen Größe multiplizirt oder -ivi-
dirt, so bleibt -er (Quotient ungeändert:

Denn durch die Multiplikation des Dividendus wird
der Quotient vergrößert (Z9> N. ß.), und durch
die Multiplikation des Divisors wird der Quotient ver¬
kleinert (§« 39 N. 2.). Wird nun der Dividendus
und Divisor mit einer nämlichen Zahl multiplizirt, so wird
dH Quotient eben so dreimal vergrößert als verkleinert, und-
folg-

v. Ab sch niL t. Zl

folglich bleibt er ungeändert. Eben so wird auch der Quo-
tient durch die Division des Dividendus so vielmal verklei¬
nert, als er durch die Division des Divisors vergrößert wird,
wenn beyde durch eine nämliche Zahl dividirt werden, und
folglich bleibt er ganz ungcändert.

§. 4k-

Wenn eine Zahl, die kleiner als hundert ist, durch ei¬
ne einfache Zahl dividirt werden soll, so ist der Quotient
schon aus dem Einmaleins bekannt. Ist aber eine Zahl,
die aus mehr als 2 Ziffern besieht, durch eine Zahl, die nur
blosse Einheiten enthält, zu dividiren, so verfahre man auf
folgende Art:

1) Man schreibe den Dividendus zur Linken, den Di¬
visor zur Rechten, zwischen ihnen das Divisionszeichen, und
hinter dem Divisor setze man das Gleichheitszeichen, nach
welchem der Quotient zu stehen kömmt.

2) Dann untersuche man, wie oft der Divisor in der
ersten links stehenden Ziffer des Dividendus, oder wenn die¬
se kleiner ist als der Divisor, in den zwey ersten Ziffern des
Dividendus enthalten sey; (im Beyspiel N. l. sagt man:
4 in 9 geht 2 mal) diesen gefundenen Theil des Quotienten
schreibe man hinter das Gleichheitszeichen, multiplizire damit
den Divisor, schreibe, das Produkt unter jene Ziffer des Di¬
videndus, in welche man dividirt hat, und ziehe es davon
ab (man sagt in unserm Beyspiel smal 4 giebt 8; 8 von
9 bleibt i.)

z) Zu dem Rest (1) hänge man die nächstfolgende
Ziffer des Dividendus (4) rechts an (14), und dividire
dieses wieder durch den Divisor; (4 in 14 geht Z-mal); den
Quotienten hänge man an den schon gefundenen Theil an,
multiplizire damit den Divisor, und ziehe das Produkt wie¬
der von den Ziffern ab, in welch! man dividirt hat; (zmal
4 giebt 12; 2 von 14 bleiben 2). Zu dem Rest setze
man wieder die nächstfolgende Ziffer des Dividendus (8)

herun-

Z2 Erste Vorlesung.

herunter, und dividire solches wieder durch den Divisor (4
in 28 geht /mal), den Quotienten wieder an den schon ge¬
fundenen angchängt, den Divisor damit multiplizirt, und
das Produkt wieder abgezogen u. s. w.

4) Bleibt irgendwo gar kein Rest übrig, wie im Bey-
spiel N. 2., so wird die folgende Ziffer des Dividendus
allein herunter gesetzt, und wie vorhin dividirt; wäre sie aber
kleiner als der Divisor, so muß zuerst in dem Quotienten
eine Null angesetzt werden; sodann wird die folgende Ziffer
des Dividendus noch herunter gesetzt, und wieder wie vor¬
hin dividirt, wie es im Beyspiel N. Z. zu ersehen ist.

Z) Hat man nun auf diese Art alle Ziffern des Divi¬
dendus schomcherunter gesetzt, und es ist bey der letzten Sub¬
traktion gar nichts übrig geblieben, so ist es ein Zeichen,
daß der Divisor in dem Dividendus genau enthalten sey;
und zwar so oft, als der Quotient Einheiten in sich enthalt;
so ist im Beyspiel N. i. der Divisor, 4 in 048 genau 2Z/
mal enthalten. Sollte aber bey der letzten Subtraktion noch
ein Rest übrig bleiben, so ist es ein Zeichen, daß der Di¬
visor im Dividendus nicht genau enthalten sey. So bleibt
im Beyspiel N. Z. bey der letzten Subtraktion noch der Rest
2 übrig, welcher anzeigt, daß noch 2 durch 7 zu theilen
übrig bleiben. Zn einem solchen Fall schreibt man den Rest
ober einen Strich, unter welchem der Divisor zu stehen kömmt,
und hängt diese angezeigte Division, welche man einen Bruch
nennt, mit etwas kleinern Ziffern geschrieben, an den Quo¬
tienten an; zum Zeichen, daß der Quotient noch um etwas,
welches aber keine ganze Einheit mehr betragen kann, ver¬
mehrt werden muß. Wie viel aber dieser Bruch betrage,
wird weiter hinten bey der Lehre von Brüchen gezeiZet
werden.

Bep-

Daß man durch dieses Verfahren den richtigen Quo¬
tienten erhalte, ist aus (§. Z9. Grundsatz i.) leicht zu be¬
greifen ; weil man durch dieses Verfahren, die Einheiten,
Zehner, Hunderte, Tausende des Dividendus, jede insbeson¬
dere vom Höchsten angefangen dividiret, und den Rest jedes¬
mal zum Nächsikleinern addiret.

Anmerkung. In der Ausübung pflegt man gemeinig¬
lich die Division, wenn der Divisor nur aus einer Ziffer
besteht, zu verrichten , indem man jedesmal den Quotienten
mit dem Divisor in Gedanken multiplizirt, das Produkt von
dem betreffenden Dividendus abzieht, und den Rest oberhalb
anseßt; z. B.

15776: 6-2629Z.

da man sagt; 6 in iZ geht smal; 2mal 6 ist 12; '2
von iz bleiben Z; 6 in 57 gcht 6mal; 6mal 6 ist -6;
z6 von Z7 bleibt 1; 6 in 17 geht 2mal; 2mal 6 ist 12;
12 von 7 bleiben 5; 6 in Z6geht9mal; Mal 6 ist 54;
54 von 56 bleiben 2.

§. 42*

Besicht aber auch der Divisor aus mehrern Ziffern,
so beobachte man folgende Regeln:

Vorles. I. L. C i)

I4 Erste Vorlesung.

1) Man ordne die Division wie im vorigen (§. 41.)
und dividire mit der ersten linken Ziffer des Divisors in die
erste, oder wenn diese zu klein ist, in die zwey ersten Zif¬
fern des Dividendus; die gefundene Ziffer setze man an die
Stelle des Quotienten hin, multiplizire damit den ganzen
Divisor: das Produkt schreibe man unter so viel Ziffern des
Dividendus, als der Divisor Ziffern hat, wenn die erste Zif¬
fer des Divisors kleiner ist, als /ene des Dividendus, wie
im Beyspiele N. 4.; hätte man aber in die zwey ersten Ziffern
des Dividendus dividiren müssen, wie im Beyspiele N. Z.,
so muß auch das Produkt um eine Stelle weiter gegen die
Rechte gerückt werden; sodann ziehe man dieses Produkt ge¬
hörig ab.

2) Zu dem Reste fetze man die folgende Ziffer des Di-
videndus herab, und dividire solchen wieder durch den Di¬
visor; wenn er aber nicht darinn enthalten ist, wie im Bey-
fpiele N. Z. , so hänge man im Quotienten eine Null an, se¬
tze noch eine Ziffer des Dividendus herunter, und dividire
sodann, wie in i.) mit dem Divisor hinein, und setze die
gefundene Ziffer an die folgende Stelle im Quotienten. Mit
Lieser gefundenen Ziffer des Quotienten multiplizire man wie¬
der den ganzen Divisor, ziehe das Produkt gehörig ab, und
setze abermal eine Ziffer zum Rest herunter u.s.w.

Z) Sollte sich ereignen, daß irgendwo ein Produkt zu
groß ist, und von den Ziffern, in welche man dividirt hat,
nicht abgezogen werden kann; so ist es ein Zeichen, daß der
Quotient zu groß angenommen worden, und solcher muß da-
her vermindert werden. Wäre hingegen nach geschehener Sub¬
traktion der Rest noch größer als der Divisor, so ist es ein
Zeichen, daß der Quotient zu klein angenommen worden ist,
und solcher muß daher größer gemacht werden; worauf je¬
desmal zu sehen ist^, weil nicht allezeit der ganze Divisor so
oft im ganzen Dividendus, als die erste Ziffer des Divisors
in jener -es Dividendus enthalten iss

4)

V, Abschnitt. 35

4) Hat man nun auf diese vorgeschriebene Art alle
Ziffern des Dividenbus schon herunter gesetzt, so ist die Di¬
vision vollendet, und man muß nur dem etwa noch vorhan¬
denen Reste den Divisor unterschreiben, und nach(§. 4.l.
N. A.) an den Quotienten anhangen, wie im Beispiele N.
5, zu ersehen ist.

Beyspiele.

N. 4. N. Z.

738364:2134—346 25882891:42,7-6280^^
6402 2 5542

98l6 34089

8536 3 4056

12804 ZZt

12804

5) Ist eine Zahl durch in zu bividiren, so schneide
man rechts eine Ziffer ab ; dadurch wird jede Ziffer des Di-
videndus lomal kleiner (§. 6.), und folglich ist die ganze
Zahl durch io dividiret (§. 39- Grundsatz I.); eben so wird
eine Zahl durch 100 dividiret, wenn man zwey Ziffern, durch
ic-ss, wenn man drey Ziffern u. s. w. rechts abschneidet;
die abgeschnittenen Ziffern aber müssen, wenn es keine Nullen
sind, als der Rest mit dem unterschriebenen Divisor an den
Quotienten, wie vorhin angehängt werden; z. B. 68 A? Pf.
wie viel Zentner machen solche ? Antwort: 6837:120—
68 Zent.

6) Haben beyde, Divisor und Dividenbus, am Ende
einige Nullen, so schneide man von beyden gleichviel Nullen
ab, und dividire sodann nach den vorigen Regeln; dadurch
werden beyde, Divisor und Dividendus durch eine nämliche
Zahl dividiret; daher verbleibt der Quotient ungeänderL -
(40.) §, B, 3622s: 6oo — 362: 6 — 6s,

C 2 7)

Z6 Erste Vorlesung.

7) Hat aber nur der Divisor allein am Ende Nullen,
so schneide man von dem Dividendus rechts so viel Ziffern
ab, als der Divisor am Ende Nullen hat, und dividire
die übrigen durch die bedeutlichen Ziffern des Divisors; dem
-Reste aber werden die abgeschnittenen Ziffern wieder angehängt,
und der ganze Divisor unterschrieben; denn es ist z. B.
2367 : 400—(23004-67) : 400--2300 : 40-24-4"//—
2Z: 4 -l- 67:402—54-^4-46/0 — 54- 4 AK 4 46/0—Z 4 0 A»

Anmerkung. Man pflegt auch öfters die Division zu
ordnen, indem man den Divisor links, den Dividendus in
der Mitte, und den Quotienten rechts ansetzt, und alle drey
durch Striche voneinander absondert; übrigens aber die Di¬
vision nach eben den gegebenen Gründen verrichtet, wie im
nachstehenden Beyspicle zu ersehen ist.

Divis. Divid. Quotient.

24 j 38567 I 1626^

i 24  l

>45

144

167

144

23 V

Bey der wirklichen Anwendung der Rechenkunst ist es
am vortheilhaftesten die Division jederzeit so anzusetzen, wie
es in diesem letzten Beyspiele geschehe» ist, weil man auf
diese Art weniger Platz dazu braucht, und es fast allenthalben
so gebräuchlich ist.

43»

In den Rechnungen, wo mehrere Zahlen durch eine
nämliche Zahl dividirt, oder auch multiplizirt werden sollen,
kann man sich die Arbeit um vieles erleichtern, wenn man
sich die vielfachen dieser Zahl bis zum neunfachen in eine
Tafel einträgt: hiedurch kann man nicht nur jedesmal den

Theil

v. A b s ch N i t t. Z7

Lheil des Quotienten richtig bestimmen, sondern man erspa¬
ret auch das jedesmalige Multipliziren, weil man das be¬
treffende Produkt nur aus der Tafel heraus schreiben darfz
z. B. Es wären mehrere Zahlen durch 864 zu dividiren, so
verfertige man sich nachstehende Tafel.

welches man dividiret; man schreibe deswegen im Quotienten
2, und ziehe das Produkt aus der Tafel bey 2, nämlich
5728 gehörig ab, setze die folgende Ziffer herunter ms. w.

44-

Da man nach (§. z6.) den Dividendus als ein Pro?
bukt ansehen kann, wovon der Quotient und der Divisor die
Faktoren sind, so kann die Division am besten geprüft wer¬
den , wenn man den Quotienten mit dem Divisor multiplizi-
ret, und den etwa gebliebenen Rest zum Produkte addiret;
kömmt nun der Dividendus zum Vorschein, so ist die Divi¬
sion gut verrichtet worden. Und so könnte man auch umge¬
kehrt die Multiplikation durch die Division prüfen, wenn
man das Produkt durch den einen Faktor dividiret, wo dann
der andere Faktor zum Vorschein kommen muß; allein, da
die Division etwas beschwerlicher als die Multiplikation ist,
so wird mancher lieber die Multiplikation durch die Wieder¬
holung , wie im (zz.) gesagt worden, prüft».

E z

45-

38

Erste Vorlesung.

45-

Einige Fragen zur Anwendung der Division.

1. Frage. Wenn 8 Personen 1248 Fl. unter sich gleich
zertheilen sollen, wie viel bekommt sede ?

Antwort. 1248 Fl.: 8 — r Ab Fl-

2. Frage. Eine Klafter hat 6 Schuhe/ und der Schuh
12 Zolle; wie viel betragen also 22422 Zoll in Klaftern
aus?

Antwort 2Z4O2Z.:i2— 1952 Sch., und 1952
Sch.:6—grzKl.

2. Frage. Ein Jahr hat Z1556928 Sekunden: wie
viel macht diefes Tage, Stunden, Minuten, und Sekunden
aus?

Antwort. Da 62 Sekunden eine Minute ausmachen,
so sind z:5569^8'Sek.: 62 — 525948 Mm. 4- 48 Sek.;
ferner, da 62 -Minuten eine Stunde ausmachen, so sind
Z25948 Min.: 62 — 8765 St. 4-48 Mm.; endlich sind
8765 St.: 24 — z6z Tage 4-5 St.; folglich hat das
Jahr z6g ?.4-5St.4-48 M. 4-48 S,

4. Frage. Es sollen 270002 Ziegelsteine in einen
Haufen geschichtet werden : in jeder Schichte sollen der Län¬
ge nach lZs, der Breite nach aber 60 Ziegeln zu liegen
koiumen; wie viel müssen solche Schichten aufeinander gelegt
werden?

Antwort. Da der Lange nach lAo, und der Breite
nach 62 liegen sollen , so kommen in eine Schichte 150.62
Q2, und folglich 272202:9222 —zo Schichten.

5. Frage. Wenn man zu einer Montur 6 Ellen Tnch
braucht; wie viele Montirungen wird man aus 22 Stücken
von diesem Tuche erzeugen können, wenn jedes Stück z6
Ellen hat.

Antwort. Da in einem Stück Luch z6 Ellen sind, so
haben 22 Stücke z6.2O—722 Ellen; und weil man zu je¬
der Montur 6 Ellen braucht, so bekommt man von allen die¬
sen Ellen 720:6—122 Montirungen.

VI.

39

VI. Abschnitt.

Don den Rechnungsarten mit ungleichnamigen
Zahlen, welche gleichnamig gemacht werden
können.

46.

Durch die bisher gezeigten 4 Rechnungsarten können
nun auch ungleichnamige Zahlen, welche auf gleiche» Namen
gebracht werden können, addirt, subtrahirt, multiplizirt,
und dividirt werden, wenn man sie vorher auf gleiche Na¬
men, und zwar auf Einheiten der kleinsten Gattung bringet ,
wie in einigen Bcyfpielen (§. Z4-) gezeigt worden ist;
z. B. es wären Z Kl. Z Sch. 9 Zoll zu addircn zu 4 Kl.
4 Sch. und Z Z.; so sind Z Kl. 4- 5 Sch. 4- 9 Z. - 285 A.,
und 4 Kl. 4-4 Sch. 4-8 Z. — Z44 Z..; folglich ist die Sum¬
me 28Z 4- Z44 — 629 Zoll; welches wieder zu Klaftern,
Schuhen, und Zollen gebracht werden kann, wie es in eini¬
gen Beyspielen (§. 4Z.) gezeigt worden ist.

Allein man hat auch hier eine besondere Art cingeführct,
durch welche man geschwinder zum Zweck kömmt: cs ist
aber vorher vey einem wie beym andern nothwendig, daß
man bey den Rechnungen, wo solche ungleichnamige Zahlen
vorkommen, die Eintheilung wisse, wie viel eine Einheit der
größern Gattung Einheiten der nächst kleinern Gattung ent¬
hält. Da aber nicht nur diese Eintheilungen selbsten, be¬
sonders der Gewichte, Längenmaßen, und Münzen, fast
in jedem Lande verschieden sind, sondern auch unter einem
nämlichen Namen in verschiedenen Ländern ganz ungleiche
Dinge verstanden werden (so ist z. B. ein Kaisergulden —
60 Kaiserkreuzer, ein Reichsgulden — Ze, Kaiserkreuzer, ein
pohlnischer Gulden — !Z Kaiserkreuzer u. s. w.), so wollen
wir uns hier blos an die in Oesterreich eingeführten Einchei-
lungcn halten, welche aus folgenden Tabellen zu ersehen sind.

C 4 Gräie

4ss

Erste Vorlesung.

Heller. Terzen.

Große Entfernungen werden durch Meilen gemessen;
eine 'österreichische Meile ist genau — 4000 Wiener Klaftern ,
oder ic>I02 militärische Schritte; eine halbe Meile nennt
man eine Stunde Weges.

Getränke als Wein, Bier u. d. gl. werden hier durch
Epmer gemessen. Gn Eymer enthalt 42 Maass, und eine
Maaß 4 Seidl. Beym Wein pflegt man io Eymer ein
Faß, und 40 Eymer einen Dreyling zu nennen.

Getraide wird nach Metzen gemessen; ein Metzen wird
gbgetheilt in den halben - viertel - und achtel Metzen.

Ralk mißt man mit Mittel; ein Kalkmittel enthalt
L und einen halben Metzen.

Kohlen werden mit Stibich gemessen; em Stibich ist
2 Metzen.

Bey Dingen, die nach der Zahl verkauft werden,
pflegt man i2 ein Duzent, iZ einen Mandel, go einen
Schilling, 6^ ein SchoE zu nennen«

Beym

VI. Abschnitt.

4!

Beym Papier machen 24 Bogen ein Buch , 22 Buch
einen Rifi, und io Riß einen Lallen. Beym Druckpapier
machen 25 Bogen ein Buch.

Es wird aber weiter hinten bey der Lehre von den Pro¬
portionen auch gezeigt werden, wie die verschiedenen Maßen
und Gewichte eines Landes in ähnliche von einem andern Lan¬
de verwandelt werden können.

§. 47'

Sind nun solche ungleichnamige Zahlen , welche auf
gleichen Namen gebracht werden können, zu addiren, so
ordne man selbe so, daß alle diejenigen , welche gleichen Na¬
men haben, untereinander, und die von der kleinsten Gat¬
tung rechts zu stehen kommen, dann fange man bey der
kleinsten Gattung zu addiren an ; enthält nun die Summe
davon einige Einheiten der gr'ößern Gattung, so dividire
man selbe durch die Zahl, welche eine Einheit der größern
Gattung qusmacht; den Nest schreibe man unter die addirte
Stelle, und den Quotienten zähle man zur folgenden Gat¬
tung ; und eben so fahre man nun weiter gegen die Linke
von Gattung zu Gattung fort, wie es folgende Beyspiele
zeigen.

Beyspiele.

Im ersten Beyspiele sagt man: I und z, und 2, und
z sind yPfen., das isi2 Kr. und r Dr. (weil 4 in 9 2mal
enthalten ist); i Dr. wird angesetzt, und 2 Kr. zur fol¬
genden Stelle addirt: 2 und i, und 2, und i, und 2
sind 8 Kr., das sind 2 Gr. und 2 Kr. ( weil Z in 8 2inal

E 5 ent-

Erste Vorlesung.

4S

enthalten ist); dämm werden die 2 Kr. an die Stelle der
Kreuzer,gesetzt, und die 2 Gr. wieder zur Stelle der Gro¬
schen addirt, nämlich 2 4- l2-j- ig-l- 17 4- 9 — Z8 Gr. --
2 Fl. und iZ Gr. (weil 20 in Z8 zweymal enthalten ist,
und noch :8 zum Reste läßt); also 18 wieder an die Stelle
der Groschen gesetzt; endlich ist2-s-84-io-j-2-l- 26-^48 Fl.

§. 48.

Sollen solche Zahlen voneinander abgezogen werden,
so ordne man selbe wie bcy der Addition (§. 47,), fange
Wn der kleinsten Gattung an, und subkrahire jede Gattung
insbesondere. Ereignet sich aber, daß irgendwo bey einer
Gattung die obere Zahl kleiner ist, als die abzuziehende, so
borge man von der nächstfolgenden Gattung eine Einheit,
vermehre sodann die Zahl um so viel, als die ausgeborgte
Einheit Einheiten dieser Gattung enthstlt, und verrichte die
Subtraktion.

Beyspiele.

von Z6Fl. 4Kr,zDr, von izSt. v.M. oSek.
abzrrzieheu  9  -  16  -  l  -  abzuziehen  IO  -  29  --  40  -

Diff. 26 Fl. 48 Kr-2 Dr. Diff. 2 St. ZoM.20 Sek.

An dem ersten Beyspiele können 16 Kr. von 4 Kr. nicht
abgezogen werden; man borge deswegen einen Gulden, die¬
ser macht 62 Kr., also hat man 64 Kr.; 16 davon bleiben
48 Kr. Eben so muß im zweyten Beyspiele von iz St. i
geborgt werden: dieses an die Stelle der Minuten getragen
giebt 6o Min.; dann wieder i davon geborgt, und an die
Stelle der Sekunden getragen, giebt 62 Sek.; wo sodann
die Subtraktion verrichtet werden kann.

49-

Wenn ungleichnamige Zahlen, die auf einerley Na¬
mm gebracht werden können, mit einer unbenannten Zahl
mul-

V k. Abschnitt. 4Z

multiplizirt werden sollen, so fange man wieder bey der
kleinsten Gattung zu multipliziren an, und ziehe aus dem
Produkte die etwa darin enthaltenen Einheiten der größer»
Gattung durch die Division heraus, und addire solche zum
folgenden Produkte, der Rest aber wird an die Stelle gesetzt;
und so auch bey den übrigen Gattungen.

Bcyspiele,

2 t Kl. Z Sch. 7 Zoll 6 Zent. 24 Pf. ! 8 Loth
multiplizirt mit 4 mnltipiizirt  mit  9

99 Kl. 4 Sch, 4 Zoll 56 Zent. 21 Pf. 2 Loch

Im ersten Bepspiele sagt man: 4mal 7 sind 28 Zoll,
nämlich 2 Sch. und 4 Zoll (weil 12 in 28 smal enthalten
ist) ; man setzt deswegen 4 Zoll an die Stelle der Zolle, und
behält die 2 Schuh auf die künftige Stelle; ferner 4mas Z
find 20, und 2 geblieben sind 22 Schuhe, nämlich Z Kl. und
4 Sch. u. s. w.

Es kann allhier auch noch erinnert werden, daß man
öfters die Klaftern mit dem auf die Ziffern rechts oberhalb
angesetzten Zeichen ", M r die Schuhe, mit die Zolle,
mit die Linien, mit yje Punkten, und mit "
die Quinten zu bezeichnen pflegt; so schreibt man z. B,
s°, 41, 9^ , !L>rn, ?rv, ilV Estatt 5 Klafter, 4
Schuhe, 9 Zolle, ic> Linien, 7 Punkten, und n Quinten.

§. 50.

Sotten dergleichen ungleichnamige Zahlen, die auf ei¬
nen gleichen Namen gebracht werden können, durch eine um
benannte Zahl dividirt, das heißt in eine gegebene Anzahl
gleicher Theile getheilt werden, so fange man bey der größten
Gattung zu dividiren an, und den Rest addire man jederzeit
zur nächst kleinern Gattung, wo man solchen vorher auf Ein¬
heiten dieser Gattung bringt, so erhält man den richtigen
Quotienten,

Bey-

44 Erste Vorlesung.

Beyspisle.

(ly-, Zr, yrr, zur). 4-2°, 4', 5"/ S'".
(2ZSt.8 Min. ZO Sek.) : 6—4 St. II Min. 2Z Sek.

Im ersten Beyspiele sagt man: 4 in io geht 2mal,
und es bleiben noch 2° übrig; diese zu Schuhen gemacht,
geben 12*, und zu Z* addirt sind 17* ; 4 in 17 geht
4mal u. s. w.

5r-

Waren aber solche ungleichnamige Zahlen wieder durch
derley Zahlen, die mit ihnen gleichnamig gemacht werden
können, zu dividiren, nämlich zu untersuchen, wie oft diese
in jenen enthalten sind, so bringe man beyde auf die kleinste
Gattung, damit beyde gleichnamig werden , und verrichte
sodann die Division, als wenn es unbenannte Zahlen wären-

Beyspiele,

(12 Fl, 18 Kr. 2 Dr.) : ( i Fl. 45 Kr. 2 Dr.)

— 29Z4 Dr,: 422 Dr. — 7mal.

(!t°, 4^ ):(si, 10")-840*1:70"-l2mal.

- Z Zentner: 18 Loth -- 9620 L.: 18 L. — Zzz

VII. Abschnitt.

Von den Rechnungsarten mit Buchstaben.

Zs.

Die Ziffern, oder Zahlcnzeichen, obwohl man durch
solche jede Gattung der Größen vorstellen kann, sind doch
noch zu eingeschränkt, nm damit allgemeine Rechnungen an-
legen zu können, die für jeden ähnlichen Fall gelten sollen;
z. B. durch 5 kann ich nur Z Menschen, Z Gulden, Z Pfun¬
de, aber keineswegs fünf, acht, erlf oder wie viel immer,
ent-

VII. Abschnitt. 45

-entweder Menschen oder Gulden oder Pfunde, und derglei-
chen bezeichnen. Man müßte daher die Rechnung so oft
von neuem anfangen, als nur die mindeste Veränderung in
der Angabe gemacht würde; ja es giebt Rechnungen, die
durch blosse Zahlzeichen entweder gar nicht, oder mit äußer¬
ster Schwierigkeit sich verrichten lassen. Man war deswegen
auf allgemeinere Zeichen bedacht, durch welche man nicht
nur jede Gattung der Grüßen, sondern auch jede Menge
der Einheiten sich vorstellen kann; und man hat hiezu dai-
kleine lateinische Alphabet gewählet, weil es den meisten Völ¬
kern in Europa bekannt ist z durch « z. B. kann man Z, 8,
oder n Menschen, 5, n oder 20 Gulden, Z, io oder
106 Pfund u. s. w. verstellen; und st- auch durch ö, c, <2
. . . a?, : nur muß jeder Buchstab den Werth, den

man ihm beym Anfänge einer Rechnung beylegt, durch die
ganze Rechnung beybehalten.

Zuweilen werden auch die großen Buchstaben dieses Al¬
phabets genommen, L, L?. . . ^, 1^, auch be¬
dienen sich einige Schriftsteller der griechischen Buchstaben,
«, /3, Z . . . «-, <P, c-.

53-

Die Wissenschaft mit Buchstaben zu rechnen wird die
allgemeine Rechenkunst, oder die Algebra genennt. Hie¬
durch wird die Arithmetik in zwey Theile, nämlich iN die
Zahlen-Rechenkunst, oder die gemeine Arithmetik, und
in die Buchstaben-> Rechenkunst, oder die allgemeine
Arithmetik eingetheilet.

54-

Bey den Rechnungsarten mit Buchstaben bedient man
sich der nämlichen Zeichen, wie bey der Zahlenrechnung; so
bedeutet a -l- 6, daß der Werth von a zum Werth von S
addirt werden soll ; eben so heißt n 4- § 4- c 4- A , daß die

Werthe

46 Erste Vorlesung»

Werthe der Buchstaben «, S, <?, zusammen addiret, und
die Summe davon noch um 5 vermehrt werden soll.

Soll ein Buchstab von einem andern Buchstaben , oder
von einer Zahl, oder auch eine Zahl von einem Buchstaben
abgezogen werden, so verbindet man selbe durch das Sub¬
traktionszeichen als a— S, «—20, Z6—a; ebenso

bedeutet (a-l-ä) —( «4-e), daß die Summe aus « und a
von der Summe aus a und S abgezogen werden soll; z. B.
es wäre «—zo, S—20, und <7—8 ; so ist der angeführ¬
te Ausdruck (a-l-ö) — (a-i-a) eben so viel als (Z0-i-2s)—
(zo-i-8)-52—38 - 12.

§- 55»

Sind Buchstaben miteinander zu multipliziren, z. B.
«Mit s, so schreibt man a XS, oder <r.S; meistens aber
werden die einzelnen Buchstaben, die miteinander zu
multipliziren sind, ohne alle Zeichen dicht aneinander
geschrieben, nämlich aö; eben so ist das Produkt
die vier Faktoren «, S, <? und ; imgleichen bedeutet auch
(a-l-s) (S—0), daß die Summe von a und ö/ mit der
Differenz von S und - multiplizirt werden soll; z. B. es
sey a —8, 5, e— z, so ist der angeführte Ausdruck

-^(8-i-5) (5-3)- rZ-2-26.

Kömmt ein Buchstab einigemal mit sich selbst zu null-
tipliziren, so pstegt man Kürze halber den Buchstaben nur ein¬
mal zu schreiben, und ober demselben rechts eine Zahl zu
setzen, welche auzeiget, wie oft dieser Faktor eigentlich stehn
sollte; so schreibt man z. B. «4 anstatt eben so
anstatt aaaSSa. Die Zahlen, welche über den Buch¬
staben stehen, werden hier Exponenten genennt; und dort,
wo keine Zahl ausdrücklich angesetzt ist, wird jederzeit ein
I darunter verstanden ; so istim letzten Beyspiele (ussrch)
Z der Exponent von a, 2 der Exponent von S, und x der
Exponent von a. Das Produkt wird gelesen : a der
Zten S der Lten e;und heißt, U7 der nten (Potenz.).

Auch

VII. Abschnitt» 47

- Auch die Zahlen, wenn selbe mit Buchstaben nuMpli-
zirt werden sollen, werden ohne Zeichen, dicht an die Buch-"
staben vorwärts angeschrieben; z. V. za heißt « soll mit Z
multiplizirt werden, oder welches einerley ist, « soll Zmal
genommen werden; es ist also za-a4-a4-a ; Ungleichen
4ö.r—Eben so heißt auch Za ( Sc—L),
daß Z mit a und mit (Sa—a?) multiplizirt werden soll ; z.
B. es wäre a^A, S—7, a—2, und cr—8 ; so ist dec
angeführte Ausdruck — z. 5. (7.2—8)—ls (14—8)^
IZ.6—yo. Die Zahlen , welche vor den Buchstaben ohne
Zeichen stehen, werden hier Roessizienten genenntz z. B.
in dem Ausdruck Za ist Z der Koeffizient von a; in dem
Ausdruck 8Sa? ist K der Koeffizient von Sa? u. s. w. Hat
ein Büchstab kerne Zahl vor sich, so kann man sich den
Koeffizienten r hingedenken , weil z. B. aS —iaS ist.

Die Anfänger müssen sich wohl hüten, um die Koeffi¬
zienten mit den Exponenten nicht zu verwechseln ; denn, um
den Unterschied zwischen Za , und aZ deutlicher einzusthen ,
sey a —4 , so ist Za— Z.4— 12 z und aZ —4.4.4—
L6.4-64.

56'

Soll endlich eine mit Buchstaben geschriebene Größe
wieder durch Buchstaben, oder durch eine Zahl, oder auch
eine Zahl durch Buchstaben dividirt werden, so verbindet
man selbe gehörig durch das Divisionszeichen z z.B.arS, oder

a

' heißt, es soll der Werth von a durch den Werth von S
a — S

dividirt werden z eben so heißt , man soll S von «
abziehen, und die Differenz durch Z dividiren; imgleichen
a -j-ar

heißt, man soll die Summe von « und L durch die
Differenz von s und k dividiren.

Noch

48 Erste Vorlesung.

Noch kommr hier zu erinnern, daß die Buchstaben in
Betreff der Stelle, wo sie stehen, gar keinen solchen Rang
haben, wie die Ziffern im 6. und 7.; es ist nämlich ei-
nerley, ob man schreibet «4-S4-a, Mr «4-§4-6, oder
L 4- a 4- a u. s. w.; so wie es auch einerlep ist, ob man
schreibt aLe, aaS, Saa . . .; denn es sey z. B. a—4,
7, und <?—Z, so ist 4-1-74-3 —Z-l-4^-7. . . —14;
und 4.7.Z—7'Z.4—84; wohl aber ist a— S von ö —«
zu unterscheiden; denn das erste heißt, man soll S von a,
und das andere man soll a von - abziehen. Eben so muß
auch «:Svon S:a unterschieden werden, weil im ersten
Falle a-durch S, und im andern S durch a dividirct wird.

Anmerkung. Den Anfänger darf es nicht befremden,
daß man mit Buchstaben rechnet, da man doch noch nicht
weiß, was jeder Buchstab für einen Werth habe; denn der-
' selbe darf sich nur erinnern, daß man mit den unbenannten
Zahlen und Ziffern auch alle Rechnungsarten anstellet, ohne
noch zu wissen, welche Größen als Einheiten zum Grunde liegen.

57-

Jeder durch Buchstaben ungeschriebene Ausdruck wird
überhaupt eine algebraische Größe genennt; und zwar heißt
solche eine einfache, oder einnamige algebraische Größe,
wenn sie nur aus einem, oder auch aus mehreren Buchstaben
besteht, welche nicht durch die Zeichen 4- und — aneinan-

der hängen; so sind z. B. die Größen Za, ichaö,
einnamige algebraische Größen. Besteht aber eine Größe
aus mehreren Theilen, die durch die Zeichen 4* und — ver¬
bunden sind, so ist sie eine mebrnamige algebraische Größe,
und zwar: sie ist eine zwey, -r->y, viernamig? Größe,
wenn sie aus 2, A, 4 . . . Theilen besieht; so ist z. B,

«4-ö eine zweynamige, a-s-Sa-z eine dreynamige, 1"

VII. Abschnitt. 49

— iF-i-oci—eine viernamige algebraische Größe u. s. w.
Die Lheile einer algebraischen Größe werben auch die Glie¬
der dieser Größe genennt; man sagt demnach - eine Größe
bestehe aus i, 2, Z, 4. . e Gliedern.

Auch werden die algebraischen Größen Funktionen
derjenigen Buchstaben genennt, die sich auf was immer für
eine Art darinnen befinden; so z. B. sind die Größen

5 -

a— n, aö-l-1, Funktionen von a, so wie die jwey-

te auch zugleich eine Funktion von , und die dtitte auch'
eine Funktion von ö ist,

§. 58.

Die Glieder einer algebraischen Größe heißen gleichns-
mig, oder ähnlich, wenn selbe vollkommen einerley Buch¬
staben, mit den nämlichen Exponenten, enthalten; nur die
Zeichen und Koeffizienten können auch verschieden seyn; so
z. B. sind 4aö^o, und — 0 gleichnamige Glieder. Eben

so sind auch jene Glieder, die nur aus blossen Zahlen be¬
stehen, gleichnamig. Bestehen aber die Glieder nicht vollkom¬
men aus den nämlichen Buchstaben, so sind sie ungleichna¬
mige Glieder. Es sind daher in der algebraischen Größe

A<7ä2a!-4-ZaS —Z<-öÄ nur das erste und dritte Glied
gleichnamig ; hingegen das zweyte und vierte ungleichnamig,
weil im vierteil Gliede - nur den Exponenten l hat ; so sind'
auch diese Glieder za» s und ungleichnamige

59-

Es kommen in den algebraischen Rechnungen Größen
vor, die einander ganz, oder zum Theil tilgen, in Anbe¬
tracht dessen, was man durch selbe zu bestimmen sucht. Je
B. man wollte die Verlassenschaft eines Verstorbenen berech¬
nen, und es haben sich « Fle baares Geld vorgefünden,
und für die verkauften Geratbschssten sind gelöset worden
Vvrlef. I. N. D < -Fl.

§cr Erste Vorlesung.

-'Fl.; hingegen haben sich auch «? Fl. Schulden vorgefunden,
und die Begräbnißunkosten betragen ck Fl.' Hier sieht man
nun, daß die Verlassenschaft durch die vier Größen a, a,
und bestimmt werden muß, welche alle einerley Einheiten,
nämlich Gulden bedeuten, aber in dieser Rechnung gerade
einander entgegen gefetzt sind; denn die ersten zwey a, - sind
der Verlassenschaft zum Vortheil, und die letzter» zwey,
s, ct sind derselben zum Nachtheil, nämlich vermindern die¬
selbe. Solche Größen, deren gleich grosse Lheile einander
tilgen , werden in einer Rechnung entgegengesetzte Größen
genennt, und zwar jene, welche der daraus zu bestimmen¬
den Größe zum Vortheile dienen, oder dieselbe vermehren,
heißen positive (bejahend^) Größen ; und jene, welche der
daraus zu bestimmenden Größe zum Nachtheile dienen, oder
dieselbe vermindern, werden negative ( verneinende) Größen
Zenenrit; und damit man in einer Rechnung die positiven
Größen von den negativen unterscheiden kann, ist es am na¬
türlichsten die positiven Größen mit dem Additionszeichen -I-,
und die negativen mit dem Subtraktionszeichen — zu bezeich¬
nen, weil erstere die zu bestimmende Größe vermehren, näm¬
lich dazu addirt werden müssen, und letztere dieselbe vermin¬
dern, und davon subtrahirt werden sollen. In unserent
Beyspiele ist demuach die Verlassenschaft —-s-a-l-S —a —«t,
oder — a-l-- —s—-<2, weil das Zeichen-l- im Anfänge fast
niemals angesetzt, sondern jederzeit schon darunter verstanden
wird, jliid so werden auch alle diejenigen Glieder einer al¬
gebraischen Größe, die das Zeichen -l-vor sich haben positiv,
und die das Zeichen — vor sich haben, negativ tzenennt.

Es sey noch z. B. die Größe eines Bankerots zu be¬
stimmen , wo sich nur a Fl. Vermögen, hingegen - Fl.
Schulden vorgefunden haben ; so ist die Größe des Bankerots
-- — «Fl. ; weil die vorgefundene a Fl. Vermögen den
Bankerot vermindern. Man sicht hieraus, daß auch ein
wirkliches Vermögen eine negative Größe seyn kann, wenn
es der dadurch zu bestimmenden Größe zum Nachtheil ist,
und

VII. Abschnitt. sr

und eine Verminderung verursacht, positive und negative
Größen sind demnach gerade einander entgegengesetzte
Größen in einer Rechnung, so daß, wenn die eine ein
Vermögen , eine Erhöhung, eine Bewegung gegen die Rech¬
te u. d. gl. vorstellet, die andere eine dem Vermögen ent¬
gegengesetzte Schuld, eine Vertiefung, eine Bewegung gegen
die Linke u. s. w. bedeutet.

§. 60.

Wäre nun in dem letzten angeführten Verspiele das vor¬
gefundene Vermögen 8002 Fl., und die vorgefundene
Schuld - ebenfalls —8222 Fl.; so ist die Größe des Ban¬
kerots — 8000 — 8200—0; weil das Vermögen die Schuld
gänzlich tilget. Wäre aber das Vermögen a --6000 , und
die Schuld S —8202, so ist der Bankerot — 8200 — 620a
2020; weil die 6202 Fl. Vermögen eben so viel an der
Schuld tilgen. Wäre hingegen das Vermögen a —9000 Fl.
und die Schuld S—8020 Fl., so ist die Größe des Ban-
keroks—-—tooo Fl.; nämlich es bleiben dem Schuldner,
nach Tilgung aller Schulden, noch 1020 Fl. Vermögen
übrig; das heißt, wenn positive und negative Größen
in einer Rechnung vorkommen, so tilget die kleinere
in der größern so viele Einheiten, als sie selbsten hat;
sind ade« beyde gleich groß, so tilgen sie einander
gänzlich.

Befinden sich mehrere positive und negative Größen in
einer Rechnung, so tilget die kleinere Summe in der größern
so viele Einheiten als sie deren selbsten hat.

6r.

Sind nun algebraische Größen, welche aus positiven
und negativen Gliedern bestehen, zu addiren, so verfahre
man nach folgenden Regeln.

l) Man schreibe alle Glieder der zu addirenden Grö¬
ßen mit ihren Zeichen in einer Zeile, oder auch in mehreren
D » - - Zer-

Zr Erste Vorlesung.

Zeilen untereinander dahin, weil algebraisch addiren eigent¬
lich nichts anders heißt, als die Größen mit ihren Zeichen
zusammenfügen; denn es sey zua-j-S die Größer—al zu
addiren, so ist klar, daß die Summe —a-l-S-l-e—ist;
denn würde man -l- «k statt — al fetzen, so wäre die Größe
«-l-S um die Summe von a und al vermehrt worden , da
doch eigentlich der Sinn ist, daß sie nur um die Differenz
von o und al vermehrt werden soll.

2) Suche man die gleichnamigen Glieder auf(§. Z8.);
und hat man deren zwey gefunden, so sehe man aufihre Zeichen.

z) Sind dir Zeichen gleich, nämlich in beyden gleich¬
namigen Gliedern -l-oder in beyden—, so addire man nur
die Koeffizienten mit Beybehaltung des gemeinschaftlichen
Zeichens, und die Buchstaben werden nur einmal mit ihren
Exponenten geschrieben; fo ist z. B. za^L-l-Aa'S-8«^;
imgleichen — 9^^ — 12al^a? — — 21 Sind aber die Zei¬

chen verschieden, so ziehe man den kleinern Koeffizienten von
dem großem ab, Mit Beybehaltung des größer» Zeichens /
und der gemeinschaftlichen Buchstaben; z. B. -i-AaS—2a^—
Za-; imgleichen 4-ra^—yaa?—— Zaa?. Haben endlich beyde
Glieder gleiche Koeffizienten, und verschiedene Zeichen, so lasse
man beyde Glieder gänzlich hinweg; z. B. 4«-—4«- —o.
Lilles dieses erhellet aus (60.)

4) Die ungleichnamigen Glieder aber schreibe man in
der Summe mit ihren Zeichen dahin.

Bepspiele.

' ( aaS4-2aa4-

I. Zu addiren

,( 2 « S —Zaa—Z«k/ _

Sum. — Aas 4 § - Aal/

H. Zu addiren < >

— aF-j-7-a-l-2ckn —8

Sum, /«^44^0 —Zck^-j-4,

Hl-

VII. Abschnitt. L3

III. Zu addiren < 2 , 5 2. , ,2 , ,r

- « 4-Z«  v4-Zao  4-0

Sum. 2<r^ 4-64^.

IV. a? 4-2aa?4-2^ —4-2a>2 —— 4^,

V. 4- 2a^ ^*"4^ — 4- IO«'" -

— I ra'"^ — a'a-^4-'

§. 62.

Bep der Subtraktion der algebraischen Größen merke
man folgendes:

Map vergn-ere -le Zeichen aller Glieder bey -er
gbzuziehen-en Grosse, nämlich — in 4-. und 4 in —
und adüire sodann nach -em vorixen (s. 6t.) diese ver¬
änderte Grösse zu derjenigen, von welcher sie abzuziehen
ist, so wird man die gehörige Differenz haben.

Daß bey der Subtraktion das Zeichen 4- in — ver¬
wandelt werden muß, daran wird Niemand zweifeln; ad^
auch daß — in 4- verändert werden müsse ist leicht einzusehcn ,
denn die Differenz muß nach (§. 24.) so beschaffen seyn, daß,
wenn man selbe zur. Große , welche man abgezogen hat,
addirec, die Größe, von welcher man abgezogen hat, zum
Vorschein komme, nämlich die Differenz zum Subcra-
hendus (Z. 24.) addirr, muss -en Minuendus wieder

D Z Her-

Z4 Erste Vorlesung.

Herstellen; würde man mm in dem Beyspiele II. in der
Differenz a — S setzen, so wäre a—S—S — a — 2Sz setzt man
aber in der Differenz a-l-ö, so istast-L —S —der Größe,
von. welcher man abgezogen hat. Es heißt daher eine
Größe algebraisch subtrahiren nichts anders, als eben
Liese Größe mit verkehrten Zeichen hinzu addiren.

Noch einige Beyspiele zur Uebung.

VI. von S — 4 s

ist abzuziehen A<^ - — «la-4-

die Zeichen geänd ert — 4- -I-

Differenz— — 4^-4^.

VII. V0N Asn—-a? —Zs—9

ist abzuziehen zaa-4-a? 4zo — Z« — Zä

die Zeichen geändert —  —  —  44

Differenz --- 2«a?- 2^ - 39 4- 5-.

VIII. VYN Aa"*a?--2Q476^a?-. 4S"*aa?

ist abzuziehen LS^a^ 4 48-- 2«'

Hie Zeich. geänd. —  —  —  4

Differenz— — 28 4/aä^ —6ö"'aa,^ 4 2a^

§. 6z.

Ist eine mehrnamige algebraische Größe mit einer ein-
namizen zu multipliziren, so multiplizire man jedes Glied
der mehrnamigen Größe mit der einnamigen; weil es einer¬
lei) ist, ob man das Ganze, oder jeden seiner Theile insbe¬
sondere multipliziert (§. 29. Grundsatz i.), allwo man je¬
derzeit die in beyden Faktoren verschiedenen Buchstaben in al¬
phabetischer Ordnung dicht hintereinander anschreibt vermög
(5Z.); nur beobachte man dabey auch noch folgende Regeln«

VH. Abschnitt. Z5

r) Sind beyde Glieder, die miteinander zu multipli-
zrren find, positiv, so ist ohne Zweifel auch das Produkt
positiv; z. V. 4-a X-i-L —4-aS.

2) Wäre ein Glied negativ, und das andere positiv,
so ist das Produkt negativ; z. B. —« x-l-6——-rL, wel¬
ches aus folgendem erhellet:
es ist a

und 4-A—4-L
also auch -I- 4- 2«5 — vermög 29. Grundsatz!.) z

denn würde man im Produkte rechts das letzte Glied 4- aö
setzen, so wäre 4 2a-^ 4 a-5 nicht gleich 4 , welches doch

vermög (§. 29. Grundsatz l.) seyn muß.

z) Sind aber beyde Glieder negativ, so ist bas Pro¬
dukt positiv; z. B. — ^x —
Henn es ist « — 2^^-«
und — ^——5

also auch—— 2<r^4aZ vermög (§. 29. Grunds. I.); denn
würde man hier im Produkte rechts das letzte Glied—«L setzen,
so wäre — 2<r^ —a/» nicht gleich —aL, welches doch wieder
vermög des angeführten Grundsatzes seyn muß. Hieraus fließt
nun die Regel: gleiche Zeichen geben ein positives, un¬
gleiche aber ein negatives Produkt.

4) Die Koeffizienten beydcr Glieder werden miteinan¬
der mnltipliziret; so ist z. B. 2« X Zer/—62^;

4-r X — — 20U^ ; — ZU X — 4- lAa^v.

Z) Haben beyde Glieder gleiche Buchstaben, so wird
im Produkte jeder gemeinschaftliche Buchstab nur einmal ge¬
schrieben , und die Exponenten dieses Buchstabens werden zu¬
sammen addiret ; j.' B. 4<^x Zr?--2Y^; denn es ist
4^ XZa^^4.Z . «<rTi:2O.aa«aa —29-^ ( §. AZ. )z
eben so ist aö^x-4<?^c ——4«^^.

D 4 Bey-

56 Erste Vorlesung.

Beyspiele.

I. (2a —x6^-^

— r 82^^ -I- »

II. (a^ —Aü'ö-i-4'7^^) X —

— — 2<r^-c 4- — 8-2^^.

III. (4-r —Zo4-L'L"-) x ZoL^e

— 2Ocr^" e — 1 Zoaä" a 4- A-r^"4rc'"'i'r,

§- 64.

Sind aber beyde Faktoren mehrnamige Größen, ft»
multiplizire inan mit jedem Gliede des einen Faktors rechts
oder links angefangen den ganzen anderen Faktor nach den
im vorigen (§. 6z.) gegebenen Regeln, so hat man das richr
-tige Produkt vermög (§. 29.), wo man nur noch die etwa
darin befindlichen gleichnamigen Glieder reduziren darf.

Beyspiele.

I. za--2^4-^ (. F.^oren

_2«-Z^)_-

Prod. — 6a3—4-r-ue4-2au^—-9a-a?4-6-rrr-—. z xS

— 6^ — I 4-8-r^ — z.r-b.

ir.

2a^ —Z5_

Prod. 2a2"*4-2a"r ^-42^6" — za" ZL^--s65ci!-.

III. 2a?-»'»^c"'--'°-.A<7--/;-n-i-r )

—5^2"r<,-;—4"?—6

Prod.--6ar">-rLr"--i-icr—?"r— iAa4»-—7LZ'"chicZ-4^

§> 65.

W

VII. Abschnitt. Z7

§- 6z.

Wenn eine einnamige algebraische Gr'oße wieder durch
eine einnamige zu dividiren ist, so kann die Division nur
damals wirklich verrichtet werden, wenn sich alle Buchstaben
Les Divisors in dem Dividendus befinden, und zwar nach
folgenden Regeln.

1) Gleiche Zeichen geben einen positiven, ungleiche aber
einen negativen Quotienten.

2) Der Koeffizient des Dividendus wird durch den
Koeffizienten des Divisors dividiret.

z) Die Buchstaben, welche im Divisor und Dividen¬
dus mit dem nämlichen Exponenten enthalten sind, werden
in dem Quotienten ganz hinweg gelassen; sind aber die Expo¬
nenten verschieden, so wird der Exponent des Divisors von
jenem des Dividendus abgezogen.

4) Die übrigen Buchstaben des Dividendus, welche
der Divisor nicht zugleich gemein hat, werden im Quotienten
mit ihren Exponenten angesetzt; so ist z.B. r2a5:za—4-;

— — 2^5" — 4- 4«"? »

— I : Za^ — —. Z; — I.

Die Richtigkeit dieser.Regeln erhellet daraus, weil das
Produkt aus dem Quotienten in den Divisor jederzeit den
Dividendus zum Vorschein bringen muß (§.44.)

Wären aber nicht alle Buchstaben des Divisors in dem
Dividendus enthalten, so kann die Division nicht wirklich
verrichtet werden ; sondern man deutet in diesem Falle die
Division durch den liegenden Strich (§. Z7.) an, und man
kann diejenigen Faktoren, die der Divisor ugd Dividendus
gemein haben, ganz hinweg lassen (§.40.); j. B,

Za

ZaL?: zZ?c —-- : — 2«ö — - — —

3? 6

Dz §. 66.

Z8 Erste Vorlesung.

?. 66.

Besicht der Dividendus aus mehr Gliedern, der Divi¬
sor aber nur aus einem einzigen Gliede, so dividire man
nach den erstgegebenen Regeln jedes Glied durch den Divisor,
wenn solcher in jedem Gliede des Dividendus enthalten ist;
im Gegenthcile kann die Division entweder nur allein ange¬
zeigt, oder zum Theil verrichtet , und zum Theil angezeigt
werden; z. B.

(6a*H — io«w): 2a —ZaF —Am.

, , cra

(4a^-2.rch-za): 26 —2«?-- 4- ——

2ä .

67.

Sind aber bcyde, Divisor und Dividendus, zusammen¬
gesetzte Größen , so verfahre man auf folgende Art:

1) Mit dem ersten Gliede des Divisors dividire man

in ein Glied des Dividendus, so hat man den ersten Theil
deS -Quotienten; mit diesem Quotienten mulriplizire man den
ganzen Divisor, und ziehe das Produkt von dem Dividen¬
dus ab. "

2) In dem Reste wähle man wieder ein Glied, in
welchem das erste Glied des Divisors enthalten ist, und di¬
vidire solches, so hat man den zweien Theil des Quotien¬
ten , welcher mit seinen Zeichen zum ersten hinzugefügt wird;
mit diesem gefundenen zweyten Theile des Quotienten mul-
tiplizire man den ganzen Divisor, und ziehe das Produkt
vom Dividendus ab; den Rest dividire man wieder durch
das erste Glied des Divisors u. s. w.

z) Kommt man nun durch diese Operation einmal zu
Ende, nämlich daß alles genau aufgehet, so ist es ein Zei¬
chen, daß der Divisor im Dividendus genau enthalten sey;
im Gegentheilc muß man den noch vorhandenen Rest mit
dem unterschriebenen Divisor an den Quotienten mittels ge-

hö-

VH. Abschnitt. Z9

hörigen Zeichens 4- oder — anhängen, wie bey der Division
m-t Zahlen (§. 4r. N. 5.)

Beyspiele.

I. (6* c' .r ' — — z L- cvr" 4- 9^ : (5» — z 5'^')

4- V — — c.r — Z.r»

Y

— A^crrr' 4-

— Z^crr*4- 9^^

4- —

c»

ji. (12«^ — 242^2 — 4- Zczs^c^ — 1 A^c'') Divib.

:(z«^—6^c4-Z^c^) Divis. ^4-r^—Ac'

4- 122^ —242^4- 122^6^

— 4- -

— iZ<r^c^4-ZOn^ci—

— i Za-Li? 4- zv2^c.r — I Aöc«

4- — 4-

v

III. (a'—a^4-a24- ä"

4- -- a^/»

-  4-

4-

4-a^"-

- 4-

4-2L--.L»

So Erste Vorlesung.

«K

IV. (6^? —w' —aw4-a^): (za4-er)—2<r-!-^4--

Z« 4-^

4-6a°4- 2«^

— w^4-aH

^-Z<ru7 —

4* et^

68.

Es ereignet sich aber bey den algebraischen Divisionen
meistens, daß der Divisor im Dividendus nicht genau ent¬
halten ist, und deswegen werden auch die algebraischen Di¬
visionen gar selten wirklich verrichtet, sondern meistens nur
angezeiget. Um aber die Rechnung doch zuweilen etwas ab¬
kürzen zu können, pflegt man den Divisor und Dividendus
in ihre Faktoren zu zerlegen; das heißt man betrachtet jedes
als ein Produkt, und suchet die Faktoren auf, durch deren
Multiplikation sie entstanden sind. Haben nun Divisor und
Dividendus einen oder mehrere gleiche Faktoren, so kann
man solche vermög (Z. 40.) ganz hinweg kaffen, weil
dadurch beyde durch eine nämliche Größe dividiret werden.
So ist z. B.
- ' — - - .

(aer 4- -^): (2^ — cev) — u? (a 4- w): a: (26 — e)— — —;

2^-6
a
(<7W- a): (ZSW - zL) - a (w -1): ZS (.r -1) - —;

' ' 3^

(6^4-z«^):(i22w—9^6)—z<22ä4-.r?): Z-r(4r—
2<r<5 4-^

4r-Z«^

Wie

vil. Abschnitt. 6l

Wie aber eine Größe sich in Faktoren zerlegen läßt/
kann am besten durch eine aufmerksame Uebung erlernet
werden.

Folgende Veyspiele können zum Theil zur Richtschnur
dienen:

j. 2«Ler — zrtzer — .r (2nö — ZekF).

2. I2a^c — z«5 — zaö (2^—40 —l)^

z. aer4er^^: er(« 4 er).

4. (4 4 H')-4(1 4^).

Z. 4 2«^ 4^^ — a^4 «^4 4

a (a 4 ^) 4 (<r 4 ^) — (^4 ^) (2 4- ^).

6. (e—4?) —4^ (e-4^)

- (c— - (c—4")^

*r, —er^ — ^?4 aer—aer — er' — a (er 4 er) — er (er 4 er)

— (a 4 a:) (er — er).,!

8. er«-4--(er'44) (er"-4); (^-r)-(a?4l)(^-i)e

9. .r-4 Z.44 22 — er (er°4 z r42) — er (,^4 er 4- 2.r42)

—er ser (er-l-i) 42 (er-4! )^ - er (er4-1) (er4-2).

10. 24-4 z /°4/ —./ (24^4-Z/4-i) —(2/^42/4/41)

—41>4 (44 k) 4 (4 -l-i)) ^4 (4^) (24-1-1).

ri. — Z/?42/r — ?r (/?— Z/542) — ee(??— n —2^42)

-- i) — 2 O— l)^i -- (^ — l) (er—2).

!2.

l

Erste Vorlesung.

6r

12. 2»^^-ZE^^-Z'7?/r— 2^r —»(2^4-Z^/e-j- AM^r)

— /r(2a' —2ff-Z^r4. zm)

zr ^2 (/j?— l)-i-Zn (<r-j-i)^

— ?r s2 (/r4- !).(> — l) 4- Zn(/^ i)^

/r (»4- l) (2^ — 2 ^-Zn).

IZ. 2«^^ 4- 2aV 4- 2^^ — — ^ — c*

— 2aV -I- 2^'c' — c* — (a§ — 2«^c' -s- A" )

c' («' 4- 2 aA 4- a' — 2 4- — c'*— («'—A^)«

— c° s(a 4- A)' 4(a — A)'^ — - (2 - A)'(a 4-A)-

— c'(24-A)'—c»-(a—A)'(a4-A)^c'(«—A)'

— c° s(a -I- A/— c^ —(2-A)' s(a 4. A)'— c'

— s(a-t-A)'— c' . sc'— (a - A)'
^(a-i-A-j-c)(a4-^ — c) (c4-a— A)^c—«4-A).

Eine allgemeine Regel wird weiter hinten in der sieben-
ten Vorlesung bey den höher» Gleichungen gegeben werden,
um die Faktoren einer zusammengesetzten algebraischen Grüße
zu bestimmen. Man thut aber öfters sehr gut, wenn man
die in den Rechnungen vorkommenden zusammengesetzten Mul¬
tiplikationen nicht jederzeit wirklich verrichtet, sondern solche
nur andeutet, damit man die Faktoren jederzeit vor Augen
habe, und solche bep einer vorzunehmenden Abkürzung nicht
erst suchen darf.

69.

Es ist auch öfters erforderlich, die Faktoren einer gege¬
benen Fahl zu bestimmen, das ist, diejenigen Zahlen aufzu-
sucheu, durch welche sich eine gegebene Zahl ohne Rest theilen
läßt; hiezu können folgende Regeln angemerket werden.

l) Jede Zahl, Heren letzte Ziffer S, 2, 4, 6, 8/
ist, laßt sich genau durch 2 theilen.

Daß

VII. A b s ch n i r t. 6z

Daß jede der einfachen Zahlen 2, 4, 6, 8, wie auch
und jedes Vielfache von 10 durch 2 theilbar ftp, ist
für sich klar; bey andern großern Zahlen von der angeführ¬
ten Beschaffenheit z. B. bep 918 erhellet es daher, weil
918 — 9104-8 ist, wo nun jeder Theil 910 und 8 ein¬
zeln betrachtet, und daher auch ihre Summe oder das Gan¬
ze 918 durch 2 theilbar ist. Man nennt solche Zahlen, die
sich durch 2 ohne Rest dividiren lassen, gerade Zahlen ,
und jene, welche sich durch 2 nicht theilen lassen, werden
ungerade Zahlen genennt.

2. wenn man alle Ziffern einer Zahl, ohne auf
ihren Rang zu sehen, zusammen addiret, und die Sum¬
me davon laßt sich genau durch Z theilen, so laßt slch
auch die Zahl durch A ohne Rest theilen; und wenn
diese Summe durch Y theilbar ist, so ist auch -le Zahl
selbst durch 9 theilbar. Z. B. da bey der Zahl 4281 die
Summe der Ziffern 44-2-4-84-1-15 durch z theilbar ist,
so ist auch die Zahl 4^81 selbst durch z theilbar; und da
bey der Zahl 45216 die Summe der Ziffern 44-54-24-14-6
—18 durch 9 theilbar ist; so läßt sich auch diese Zahl
45216 selbst durch 9 genau theilen. Um dieses allgemein
«inzusehen, benenne man die Ziffern einer Zahl von der Rech¬
ten gegen die Linke mit a , 6, a , e/ , e u. s. w., so ist
(§.6.) die Zahl felbsten — « 4-106 4-iOO«4-l ovoal . ...

— «4-(94-1)6 4-(994-1) a4-(999 4-r) üi4- . . . . .

— «4-964-6.4-9964-04-999^4-^4- . . . woraus man
sieht, daß sich die Glieder 96, 99c, 999c/ ., . . jedes
insbesondere durch Z und durch 9 theilen lassen; wenn da¬
her die Summe aller Ziffern «4-64-6-i-e/ . . . ebenfalls
durch Z oder 9 theilbar ist, so ist auch die ganze Zahl durch
Z, oder 9 theilbar; denn wenn jeder Theil eines ganzen
durch irgend eine Gr'öße genau theilbar ist, so ist auch das
Ganze durch eben diese Gr'öße genau theilbar.

Z. Wenn die zwey letzten Ziffern einer Zahl durch
4 theilbar sind, s» ist auch Hie Zahl selbst durch 4
theil'-

64 Erste Vorlesung.

theilbar. Denn es ist z. B. 317572 — 317500-472^
Nnir aber laßt sich jede Zahl, welche hinten 2 Nullen hat,
durch 4 genau dividiren, weil 317500 — 3175.100,
und 122 durch 4 theilbar ist; wenn daher die zwey letztes
Ziffern 72 sich ebenfalls durch 4 theilen lassen, so ist auch
die ganze Zahl durch 4 theilbar

4) wenn die letzte Ziffer einer Zahl entweder 0
oder 5 ist, so lafit sich die Zahl durch 5 theilen; dentt
ist dir^ letzte Ziffer eine O, so bilde man sich ein, die Zahl
sey mit 10 multipliziret (§. 31.), und iv ist durch 5 Heil¬
bar; ist aber die letzte Ziffer 5 z. B. 8735, so ist 8735

— 8730-45, wo sowohl 8730 als auch A, und folglich

auch deren Summe durch 5 theilbar ist. ,

5) Soll eine Zahl durch 6 theilbar seyn, sö muß sie
auch durch 2 und durch 3 theilbar seyn , weil sowohl 2
als 3 in 6 genau enthalten ist ; wenn daher eine gerade
Zahl durch 3 theilbar ist, so ist sie auch durch 6
theilbar.

6) wenn die -rey letzten Ziffern einer Zahl sich
durch 8 theilen lassen, so ist auch die Zahl selbst durch
8 theilbar ; denn es ist z. B. 4678762 — 46780204-762

— 4678.10224-762; dämm 1222 durch 8 theilbar ist,
so läßt sich das erste Glied jederzeit durch 8 theilen; es
kömmt daher nur darauf an- daß die letzten drey Ziffern
durch 8 theilbar sind.

7) ^at eine Zahl am Ende eine 0, so ist sie durch
r<2 theilbar ( 42. N. 5.).

8) Will man untersuchen, ob eine Zahl sich durch
z i dividiren lasse, so addire man die Ziffern, die an
der ersten, -ritten, fünften, überhaupt die Ziffern,
die an den ungeraden Stellen stehen; dann addire man'
auch die Ziffern zusammen, die an den geraden Stellen
stehen , und ziehe eine Summe von der andern ab;
ist nun die Differenz-2, oder n , 22 , 33, 44,
, so läßt sich die Zahl durch n theilen.

Denn

VII. Abschnitt. ' 6Z

Denn wenn man eine Fahl z. B. 1432 mit n mul--
tipliziret, so schreibt man nur die Zahl einmal unter sich
selbsten , und zwar so, daß die Einheiten, unter die 1432
Zehner zu stehen kommen; dadurch kömmt jede Ziffer ^3F
der Fahl sowohl in einer geraden als auch in einer j *  5752
ungeraden Stelle zu stehen; daher ist die Summe der gera¬
den Stehen der Summe der ungeraden gleich. » Ereignet sich
aber, daß cheym Addiren der Partialprodukte die Summe
einer Stelle io, n, 12,...» 18 ist, (größer kann sie

I
nicht sepn); so verliert dadurch diese Stelle 10 Ein-
heiten, und die künftige Stelle gewinnt eine Einheit;

daher ist der Unterschied H; und so vielmal sich die-j?^?^
fcs bey einer Stelle der nämlichen Benennung, z.B. bey einer
geraden Stelle ereignet, so vielmal eilf wird die Differenz seyn.

9) Soll eine Zahl durch 12 theilbar siyn, ss
muß sie sich auch durch Z und durch 4 theilcn lassen.

Und so könnte man sich auch von allen übrigen Zahlen,
z. B. von 7, iz, 17, gewisse Regeln machen, die aber
theils wegen Mangel des Raumes hier nicht Platz finden
können; theils auch weil solche Regeln zu weitläufig sind ,
uud mehrere Zeit zur Untersuchung, als zur Division selbst
verwendet werden müßte. .Laßt sich aber eine Fahl durch
Nichts , als durch die Einheit, und durch sich selbst theilen,
so wird sie eine Primzahl genennt; so sind z. B. 2, Z,
Z, 7, II/ iz . . . Primzahlen.

Z. 72.

Menn man eine Zahl in lauter solche Faktoren zerleget,
welche Primzahlen sind, so sagt man, man habe die Zahl
in ihre einfache Faktoren aufge.öset; die übrigen aber wer¬
den zusammengesetzte Faktoren genennt. So z. T. sind 2.2.
2 . Z. die einfachen Faktoren von 24,; hingegen sind 4.6
zusammengesetzte Faktoren dieser nahm.ichen Zahl 24.

vsrlss. 1. L. E Sollen

8356

66 Erste Vorlesung. Vii. Abschnitt.

Sollen nun von einer gegebenen Zahl, z. B. von zzo,
sowohl alle einfache, als auch alle zusammengesetzte Fakto¬
ren ausgesucht werden, so verfahre man  auf  folgende  Art.

ZZo 2
165 z,6

Man dividire diese Zahl durch
den kleinsten in ihr enthaltenen Fak->^
tor , und setze diesen Faktor rechts, ZZ A,io,lA,zo
seitwärts hinter einen gezogenen Strich, !
den Quotientei? aber unter die vorge-j

H H,22,ZZ,66,Z5

l  no,i6A,zzo.

gebens Zahl; dann dividire man wieder den Quotienten durch

die möglichst kleinste Zahl, schreibe diesen Faktor oder Divi¬
sor unter den andern rechts, und den zwcyten Quotienten
unter den ersten ; multiplizire auch die zwey Faktoren mitei¬
nander, und schreibe das Produkt darneben hin; den vori¬
gen zweyten Quotienten dividire man «dermal durch de»
kleinsten möglichen Faktor, schreibe diesen Faktor hinter den
Strich unter die vorigen Faktoren, und multiplizire damit
alle die vorigen schon gefundenen; und dieses setze man st
lang fort, bis man zum Quotienten i erhalt, so sind die
Faktoren längst dem Striche herunter alle einfache, und die
übrigen alle zusammengesetzte Faktoren. Im angeführten
Beyspiele sind daher, 2 . Z . 5 . n die einfachen, und
6, IO, !5, ZO, 22, ZZ, 66, ZZ, HO, l6z, ZZV
alle zusammengesetzte Faktoren der Zahl zzo.

Iwer>

6/


Zweyte Vorlesung«

Von den Rechnungsarten mit gebrochenen
Größen.

l. Abschnitte

Von den Brüchen überhaupt.

§.

Ein Bruch ist eine Grüße, welche einen oder mehrere glei-
che Theile einer Einheit anzeiget. Z. B. wenn man einen
Gulden, eine Klafter u. d. gl. in etliche gleiche Theile Gei¬
let, und einige solche Theile nimmt, so wird dieses in Rück¬
sicht der ganzen Einheit ein Bruch genennt. Um einen Bruch
auszudrücken sind also zwey Zahlen nökhig, wovon eine an-
giebt, in wie viele gleiche Theile man eine ganze Einheit
Geilen soll, die andere aber, wie viel solche Theile den
Bruch ausmachen, oder genommen werden Müssen. Jene
heißt der Nenner, und diese der Zahler des Bruches. Bey-
de Zahlen unterscheidet man durch einell liegenden Strich;
den Zähler setzt man über, und den Nenner unter den Striche
So sind z. B. ?, f, Brüche, wovon die Zähler 2,4,
IZ, und die Nenner 3,5,7 sind; und werden ausge¬
sprochen, zwep Drittel, vier Fünftel,-re>zehn Siebentel,

E 2 Die

68 IweyLe Vorles. I. Abschnitt.

Die Brüche werden so wie die ganzen Dahlen (?. 9.
unbenannte Brüche genennt, wenn die Gattung der Einheit,
auf welche sich ein Bruch bezieht, noch unbestimmt ist;
im Gegentheile, wenn es schon bekannt ist, welche Einheit
bey einem Bruche zum Grunde liege, so ist es ein be¬
nannter Bruch. F. B. ist ein unbenannter Bruch, Fl.
aber ist ein benannter Bruch, und bedeutet, daß man eine»
Gulden in drey gleiche Theile theilcn, und 2 solche Theile
nehmen solle.

§. 72.

Ist nun bey einem Bruche der Zahler kleiner als dec
Nenner, so ist es ein Zeichen, daß man nicht alle Theile der
ganzen Einheit nehmen solle, und daher ist der Bruch < l;
solche Brüche werden eigentliche, oder achte Brüche ge¬
nennt; so sind z. B. -Z-, s, lichte Brüche, so wie auch
alle Reste der Divisionen (§. 41. N. A.) ächte Brüche sind.

Ist aber der Zähler eines Bruches dem Nenner gleich,

2 Z 4 a

Wie—, so ist es ein Zeichen, daß alle

2 Z 4 «

Theile der Einheit genommen werden müssen ; daher find sol¬
che Brüche — i.

Wenn endlich der Zähler eines Bruches größer ist, als
der Nenner: und folglich mehrere Theile genommen werden
müssen, als eine Einheit deren enthält, so werden solche
Brüche Afterbruche, oder uneigentliche Brüche genenntK

4 n l94 Z«

z. B.—, —, >-»

Z 2 26 ZS

§- 73-

Ein Bruch z. B. H eines Guldens bedeutet vermög
(§. 71.), daß i Fl. in vier gleiche Theile zu theilen,
und der Quotient dreymal zu nehmen sey ; nämlich

4

Von den Brüchen überhaupt. Sz

'N, . 'N. . -N. _ -N-

K HI« — --!--- -1- E-—-— XH »

4 4 4 4

es ist aber vermög (§. 39. Grunds, i. ) auch

r Fs. iFl.  i F l. Z Fl.

"4 4 4^4'

weil es einerley ist, ob man das Ganze (i Fl. 4 r Fl.

-4 i Fl. — z Fl.) , oder jeden Theil ( l Fl. ) von
eben diesem Ganzen durch 4 dividiret; folglich ist auch
2 3 §l.

E N« — —— vermög (§. 12. Grunds, z.), nämlich drex vier-

4

tel eines Guldens nehmen ist eben so viel als drey Gul¬
den in vier gleiche Theile zertheilen, und diesen (Quo¬
tienten einmal nehmen. Eben dieses gilt von jedem an¬
deren Bruche. Der Werth eines jeden Bruches ist da¬
her der (Quotient, wenn man -en Zahler durch den
Nenner dividiret

Es ist hieraus zu ersehen, daß überhaupt jede nach
(§. Z7.) durch einen liegenden Stnch angezeigte Division
als ein Bruch zu betrachten sey, wo der Dividendus den
Zähler, und der Divisor den Nenner des Bruches vorstellek,

§« 74t

Wenn man den Zähler eines Afterbruchs durch seinen
Nenner wirklich dividiret, so erhält man sich den Werth des
Bruches eine blosse ganze Zahl, wenn der Nenner in dem
Zähler genau enthalten ist; im Gegentheile erhält man eine
ganze Zahl nebst einem Reste nach (§ 41. N. A.), der ein
achter Bruch seyn wird (§« 72. ).

Um aber auch den Werth eines achten Bruches jeder¬
zeit bestimmt angcben zu können, ist es, so wie bei) der Rech¬
nung mit ganzen benannten Zahlen, nothwcndig zu wissen,
was für Einheiten eigentlich zum Grunde liegen; nämlich
Wie viel Einheiten der nächst kleineren Gattung, in einer

E z fol

70 Zweyte Vorles. i. Abschnitt.

solchen Einheit, worauf sich der Bruch bezieht, enthalte»,
sind. Wenn man nun mit der Anzahl der Einheiten
kleinerer Gattung-en Zahler des Bruches multipliziert,
und dieses Produkt durch den Nenner dividiret, so er¬
halt man den Werth des Bruches in bekannten Ein¬
heiten kleinerer Gattung ausgedrückt; so z» B« iE
7 7.6oKr. 420 Kr.

K—Fl.— ^28Kr.

iZ iS 15

n n.6oKr. (62 Kr. .

-Fl.--- -- - 27Kr.

24 24 24

12. 12.4 Dr.

— 27 Kr. 4- — Kr.--27Kr.-l-- --

24 24

48 >

— 27 Kr. 4- — Dr. — 27 Kr. 2 Dr.

24

22 22.6* 128* 42.12"

Kl. -22---1 ßz Schuh--1*4

96 96 96 96

42'/' 24.I2'"

--r'4^--- 1'4-544Zoll---1'4 Z"4-^—
96 96

—Pf. --^M-Loth-15 4Zkoth--i 5 Loth4-^ - Quintl
64 64 64

-- IZ Loth 4 2 Quintl.

2 2.62 120 120.62—.

——Stunden--- Min, — —— Mn» — -— - — Sek.

240 240 240 240

-- zcz Sekunden.

§. 75°

Eine fede ganze Zahl kann zu einem Afieröruche von
einem verlangten Nenner gemacht werden, wenn man die
Fahl mit dem gegebenen Renner multipliziret, und den Nem
Z. 2 15 -rS

zrer mterschreibet; so ist z. B. Z --— —--;« — --7-,

z Z

Auch

Von den Brüchen überhaupt. 71

Auch kam! jede Zahl als ein Bruch vorgestellt werden,

4 a

Lessen Nenner — l ist; z. B. 4 — - -2 — m -t-

//r 4- ae

I

So kann auch jede ganze benannte Zahl als ein Bruch
vorgestellt werden, die sich auf Einheiten der nächst großem
Gattung bezieht, wenn man ihr diejenige Zahl als Nen¬
ner unterschreibt, welche anzeigt, wie viel Einheiten dieser
Gattung in einer Einheit der großem Gattung enthalten sind.
So ist z. B.

25

25 Kr. — Fl.;

vo

K Schuh—Klafter;

v

11 Loch — - Pf.

32

§. 76.

Eine ganze Zahl nebst einem angehängten Bruche aber
wird zum Aftrrbruche gemacht, wenn man die ganze Zahl
mit dem Nenner multipliziert, zu dem Produkte den Zähler
des Bruchs addiret, und den Nenner unterschreibet. So
ist j. B.

S -H- ---

e c e

ztzl.-i^Kr.-^zFl.*

4 Pf. 9 koch—4 Pf. 4- Pf. ----- 4 /2 Pf« - Pf.

32 32

E 4 77.

5555

72 Iweyte Voples. I. Abschnitt.

§. 77.

Wenn man bey ungeändertem Nenner den Zähler eines
Bruches vermehret, so wird der Werth des Bruches vergrö¬
ßert; vermindert man aber den Zähler, so wird der Werth
Les Bruches verkleinert; und zwar -er Bruch wird 2,
Z, 4 . , . »mal größer, wenn man den Zahler mit
2, Z, 4 . . , » multiplizivet; und 2, Z, 4 . . ,
»mal kleiner, wenn man denselben durch 2, Z, 4.
» dividiret.

Denn der Zähler zeigt nach 71.) an, wie viel Thei-
le man für den Werth des Bruches nehmen soll. Vermehret
man nun den Zähler, so werden mehr solche Theile genom¬
men als vorhin; daher wird der Bruch größer; und zwar
wird er zwrymal so groß, wenn man zweymal so viel Thei-
le, dreymal so groß, wenn man dreymal so vrel Theile,
und »mal so groß, wenn man »mal so viele Theile nimmt,
Las ist, wenn man den Zähler mit 2, Z ... » multipli-
ziret. Und ans dieser nämlichen Ursache wird der Bruch 2,
Z ... » mal kleiner, wenn man bey unverändertem Nen¬
ner den Zähler durch 2, Z . . . » dividiret, weil man da¬
durch 2, Z . . . »mal weniger Theile nimmt.

Es ist darum bey zwsyen Brüchen, welche gleiche
Renner haben, jener größer, welcher den größer» Zähler

8 7 22 22

hat; z, —

9 9 4 4

§. 78,

Eben so wird auch Her Werth eines Bruches 2,
Z, 4 , . . »mal größer, wenn man bex unveränder¬
tem Zahler den Nenner durch 2, Z, 4 . . . » -Lvi-i*
ret4 hingegen 2, z, 4 . . . » mal kleiner, wenn
man den Nenner mit 2, Z, 4 . . . » multipliziret.

Denn der Nenner zeigt an, in wie viel Theile das
Ganze soll getheilt werden (§. 71.); vermehrt man nun den

Nea--

Von den Brüchen überhaupt. 7Z

Nenner, so wird das Ganze in eine größere Anzahl Theile
getheilet; daher wird jeder Theil kleiner, und zwar zweymal
kleiner, wenn das Ganze in zweymal so viel Theile, drei¬
mal kleiner, wenn das Ganze in dreymal so viel Theile ge-
theilt wird, u. s. w.; daher wird auch der ganze Bruch
2, Z, 4 ... er mal kleiner, wenn man den Nenner mit
2, Z, 4 ... er multipliziret; und so umgekehrt, wenn
rrian den Nenner dividiret.

Bey zweyen Brüchen, die gleiche Zähler und verschie¬
dene Nenner haben, ist deswegen jener größer, welcher den
444

kleinern Nenner hat; z. B. —>—>—

7 8 9

§. 79.

AnAeyen bleibt -er Werth -es Bruches unyean-ert,
wenn man Zahler un- Nenner mit einer nämlichen Zahl
multipliziret, oder -ivi-iret.

Denn durch die Multiplikation des Zahlers wird der
Bruch größer, und durch die Multiplikation des Nenners
wird der Bruch kleiner; wird nun Zähler und Reimer mit
einer nämlichen Zahl multipliziret, so wird der Bruch durch
die Multiplikation des Zählers so vielmal vergrößert, als er
durch die Multiplikation des Nenners verkleinert wird; und
folglich verbleibt er ungcändert. Eben so wird der Werth
des Bruches durch die Division des Zählers eben so vielmal
verkleinert, als er durch die Division des Nenners vergrö¬
ßert wird; folglich bleibt er ebenfalls ungcändert. So ist

, N 3 __ 3-2 6 <r

z. B. — - --- — ;

4 4-2 8 ^

-2Z- , 25:5  - 5
ro 12:5 — 2 *

— —— ; imgleichen
Le

E 5

74 Iweyre Vorlcs. I. Abschnitt.

Die Richtigkeit des angeführten Satzes, so wie auch
im 77. und 78.) erhellet auch übrigens aus (§. 40.),
weil ein jeder Bruch als eine angezeigte Division anzusehen
-st (§-73-)

82.

Einen Bruch abkürzen heißt ihm, ohne Veränderung
seines Werthes, eine kleinere Gestalt verschaffen; und man
erhält solches, wenn man nach (Z. 69.) eine Zahl aufsuchet,
welche sowohl im Zahler, als auch im Nenner genau ent¬
halten ist, und sodann bcyde dadurch dividirct; z. B.

142^14^14:7 2

210 21 21:7 Z '

loZ  - loZ :Z - 21 - 2I^Z - 7_ - 7 :7

212 2I2:Z 42 42:5^14 14:7 2^

a-

2^c '

(« 4-1') ( a  —9--) n  4^-

3^-3^ 3 3

In der Ausübung kömmt man mit der Abkürzung der
Brüche am geschwindesten fort , wenn man in der Zerlegung
einer vorgelegten Größe in ihre Faktoren sich eine Fertigkeit
erworben hat. Denn wenn man die im Zahler und
Nenner gemeinschaftlich befindlichen Faktoren auvstret-
chet, so ist die Abkürzung schon fertig.

Beyspiele.

r 10-, - 2 . z . Z . 7  „ 2 /

"55-3-2-7-" n

45  _ 3-3-5 _- l  l

T82'"2 . 2 . Z . Z . 5 2.2^4

Von den Brüchen überhaupt. 7z

— rr< rr.  rr.  (^a  4-  .v)  .  (a  —  rr) .r7  (a  —  rr)

a^4-arr^ a . rr . (a-s-u?) «!

Läßt sich aber keine Zahl ausfindig machen, die sowohl
im Zähler, als auch im Nenner genau enthalten ist, das
ist, haben Zähler und Nenner keinen gemeinschaftlichen Faktor,
so läßt sich auch der Bruch nicht abkürzen; und man sagt
sodann, Zähler und Nenner sind Primzahlen unter sich. So
j. B, sind die Zahlen 20 und 9 unter sich Primzahlen,
weil man, äusser der Einheit, keine Zahl ausfindig machen
kann, die in beyden genau enthalten ist, obwohl jede für
sich keine Primzahl ist.

§. 8l.

Eine Zahl, welche in zwey andern Zahlen genau ent¬
halten ist, wird ihr gemeinschaftliches Maaß genennt;
und zwar Las größte gemeinschaftliche Maaß, wenn es
keine größere Zahl giebt, die in beyden genau enthalten ist.
So j. B. ist 6 ein gemeinschaftliches Maaß der Zahlen 24,
und z6, aber nicht das größte gemeinschaftliche Maaß;
weil beyde sich auch durch 12 theilen lassen. Um nun bey
Abkürzung der Brüche sowohl des Zählers und Nenners möß-
tes gemeinschaftliches Maaß finden zu können, als auch zu
erfahren,, ob solche unter sich Primzahlen sind, verfahre man
auf folgende Art.

Man dividire -ie größere Zahl durch dis kleinere;
geht die Division genau auf, fo ist die kleinere Zahl
selbst ein gemeinschaftliches Maaß; bleibt aber ein Rest
übrig, so dividire man den vorigen Divisor durch diesen
Rest; bleibt wieder ein Rest übrig, so dividire man wie»
der -en letzten Divisor durch den letzten Rest , UN- so fahre
man fort, bis kein Rest mehr übrig bleibt ; diejenige
Größe nun, durch welche man das letztemal ohne Rest
dividiret hat, ist des Zahlers und Nenners größtes ge¬
meinschaftliches Maaß. Z. B.

Um

76 Iweyte Vorles. I. Abschnitt.

Um das größte gemeinschaftliche Maaß der Zahlen 6Z
tznd 104 zu bestimmen, verfahre man also;

1 r L 2

124^85^39 : 26 : IZ

65 39 26 26

39 26 IZ 2

nämlich 124:65 giebt Z9 zum Reste; 65 : Z9 giebt 26
zum Reste; A9: 26 giebt IZ zum Reste; endlich 26 : IZ
geht genau auf; folglich ist 1 z das größte gemeinschaftliche

65 65 : IZ 5

Maaß von 65 und 104. Es ist demnach-— —-— ——;

104 124:1z 8

124 8

und ——> - -- Sollte aber bey diesem Verfahren

6Z S

die Division nicht eher zu Ende kommen, als bis der letzte
Divisor — 1 ist; so ist es ein Zeichen, daß die vorgelegten
Zahlen unter sich Primzahlen sind. A. B. wenn für die zwey
Zahlen z6i und 1495 das größte gemeinschaftliche Maaß
nach der eben gezeigten Art gesucht wird,

4

k495 - Z^l : 51 4 : 3 : r

1444 357 48 3 3

51 4 z i 2

so zeigt es sich, daß die zwey vorgelegten Zahlen z6i und
1495 äusser 1 kein anderes gemeinschaftliches Maaß haben,
und daß sie daher Primzahlen unter sich sind.

Die Richtigkeit dieser gegebenen Regel läßt sich auf fol¬
gende allgemeine Art erweisen.

i) Es fey die größere Zahl — s und die kleinere — L;

Bon den Brüchen überhaupt. 77

L) a durch L dividirt gebe zum Quotienten »ind e
zum Reste, nämlich — — ; so ist vermög (§. 44. )

4- a.

2) Der vorige Divisor durch den Rest c getheilet,
s> cs
gebe 7 zum Quotienten und ei zum Reste, nämlich — — ^4- — z
so ist wieder vermög (§. 44.) 4- cs.

4) lind nun wieder der vorige Divisor e durch den zu¬
gehörigen Rest c/ getheilet, gebe /- zum Quotienten und e

ce e

zum Reste; nämlich — — ,--4- -- so ist vermög (§. 44.-
er cs

a cs/- 4- e.

5) Endlich der vorige Divisor cs durch den zugehörigen
Rest e getheilet gebe den Quotienten § ohne Rest; nämlich
cs

— — §, so ist vermög (Z. 44.) cs — e§.
e

6) Und nun läßt sich leicht zeigen, daß nur der Divi¬
sor c- allein, womit zuletzt die Division genau aufgieng, in
beyden vorgelegten Zahlen cr und genau enthalten, und ihr
größtes gemeinschaftliches Maaß sey.

7) Denn, da in N. Z. cs — c-§ ist, so ist auch (wenn
Man diesen Werth in N. 4. statt cs setzet) vermög (§, 12.
Grunds. N. 2.) a — <?/-§ 4- c?.

8) Aus der nämlichen Ursache ist (wenn man itzt den

eben gefundenen Werth für e in N. Z. setzet) L — c-^
4- 4- 4; und wenn man ferner auch für cs den Werth

aus N. A. setzet 4^-4

9) Und endlich ist, wenn man den eben bestimmten

Werth für L in N. 2. setzet, « — -4 c-/v- 4- <-/>^ 4- a z

und ferner, wenn man hier statt a den Werth aus N. 7,
setzet cr — 4-9»^ 4° 4- 4° c'-

ro)

78 Iweyte Vorles. i. Abschnitt.

io) Zerlegt man nun die in N. Z und 9 gefundenen
Welche für a und L in Faktoren, so ist

a — s 4- -l- 4- ! ) und

5 —4- 4- )

woraus es zu ersehen ist, daß die zwey vorgelegten Zahlen
« und /- äusser dem letzten Divisor s keinen andern gemein-

e c

schastlichen Faktor haben; einen kleinern z. B. —, — kön-

2 Z

neu sre wohl haben, keineswegs aber einen größcrn, etwa
2-, Zs u. s. w. Es ist nämlich wohl begreiflich, daß zwey
Zahlen, z. B. 72 und 48, wenn solche durch 24 theilbar
find, auch beyde durch 12, 8, 6 als die Hälfte, ein
Drittel, ein Viertel von 24, keineswegs aber auch durch
48 / 72, 96 als das Doppelte, Dreyfache, Vierfache vom
nämlichen Divisor 24 theilbar seyn müssen. Wenn nun
e — i wäre, so sind « und S Primzahlen unter sich. Es ist
hier angenommen worden, daß bey der vierten Division der
Divisor in dem zugehörigen Dividendus genau enthalten sey;
die Schlußfolge bleibt immer die nämliche, wenn sich solches
entweder früher oder auch später zuträgt.

Scharfsinnige Anfänger können es versuchen die nämli¬
che Schlußfolge zu machen, wenn erst bey der fünften, oder
sechsten Division, der Divisor in dem Dividendus genau
enthalten ist; diejenigen Anfänger aber, deren Verstandeskräfte
durch die MH er gegebenen Gründe, noch nicht hinlänglich
entwickelt sind, um bey dergleichen algebraischen Arbeiten die
Schlußfolgen deutlich einzusehen, können den gegebenen Be¬
weis indessen übergehen, und solchen in der Folge nach abge-
handelter Lehre von den Gleichungen nachholen.

Anmerkung, Daß durch den Divisor s, womit zu¬
letzt die Division genau aufgieng, beyde vorgelegte Größen
« und L genau theilbar seyn, läßt sich auch mittelst nachste¬
hender zwey bekannten, zum Theil schon oben im (§. 69.)
Kebrguchtm Sätze erweisen«


Von den Brüchen überhaupt. 79

I. Menn jeder Theil einer Summe durch irgend
Sine nämliche Größe Heilbar ist, so ist auch Hie ganze
Summe durch öie nämliche Große Heilbar. Eben so
wenn sowohl Hie ganze Summe als auch ein Theil
dieser Summe durch irgend eine nämliche Größe Heil¬
bar ist, so ist auch -er andere Theil dieser nämlichen
Summe durch eben dieselbe Größe Heilbar. Z. B.
weil bey ig 4 12 " zo sowohl iF als 12 durch 6
Heilbar ist, so ist auch zo durch 6 Heilbar; und weil bey
14-l- 2i — AZ sowohl ZZ als auch 14 durch 7 Heilbar
ist, so ist auch 2i durch 7 Heilbar.

II, wenn ein Faktor eines Produktes durch irgend
eine Große Heilbar ist, so ist auch das Produkt durch die
nämliche Größe Heilbar. A. B. weil bey Z7. 14. A ruu
IZZ4 der Faktor 14 durch 7 Heilbar ist, so ist auch das
Produkt IZZ4 durch 7 Heilbar.

Da nun im (§. 8i. N. Z.) cs durch e Heilbar ist, ss
ist wegen II. auch cs/-, und wegen I. auch cs^ 4 s nämlich
a in R. 4. durch e Heilbar; daher ist wegen II. auch oy,
und wegen 1. auch 0^ 4- es nämlich in N. Z. durch «
Heilbar; weil nun L durch e Heilbar ist, so ist wegen II.
auch s-/> durch c- Heilbar; c war auch durch c- Heilbar;
folglich ist wegen I. auch s>-o 4 c nämlich er in N. 2. eben¬
falls durch -? theilbar. Es find daher beyde Größen a und
L durch e Heilbar, wenn zuletzt mit e die Division genau
aufgeht.

Um nun auch zu erweisen, daß e das größte gemein¬
schaftliche Maaß von er und L sey, muß man noch darthun,
daß die zwey Grüßen <r und L durch eine andere Größe /°,
wenn/'> e ist, gar nicht Heilbar seyn können; dieses kanu
auf folgende Art geschehen.

Es sey/' > e, und wenn es möglich ist, so sey sowohl
« als auch ö durch/'Heilbar, so ist 4 <? in N. 2. und
«7 4 ek in N. Z. durch/° Heilbar; es ist aber wegen II.
auch Ho durch / Heilbar ; folglich ist wegen I, auch 0 ja
N.

8o

Iweyte Borles. l. Abschnitt.

N. 2., und wegen II auch c? in N. z. durch Z' theilbar;
da nun in N. Z. sowohl L als auch durch /' theilbar ist,
so ist eben daselbst wegen I. auch r/, und ferner wegen II.
auch c/r- in Nr. 4. durch Z' theilbar; da endlich in N. 4.
sowohl c als auch durch /' theilbar ist, so ist wegen I.
auch in Nr. 4. durch Z^ theilbar, welches unmöglich ist,
weil /"> e angenommen wurde; folglich ist auch unmöglich,
daß sowohl a als auch <!- bende zugleich durch theilbar seyn
können, wennZ> ist; ist daher das größte gemeinschaftli¬
che Maaß der zwey Größen a und , wenn mit e die letzte
Division genau aufgeht.

§. 82.

Wenn zwey oder mehrere Brüche einen naml'chen Nen¬
ner haben, fo werden sie Brüche von gleicher Benennung
genennt; im Gegentheile heissen sie Brüche von verschiedener
Benennung.

Es können aber Brüche von verschiedener Benennung
auf gleiche Benennung gebracht werden, und zwar auf fol¬
gende Art:

1) Man multiplizier jeden Zähler mit allen Nennern,
nur mit seinem eigenen nicht, so erhält man dadurch bey
jedem Bruche den neuen Zähler.

2) Sodann multiplizire man alle Nenner miteinander,
so wird dieses Produkt der gemeinschaftliche Nenner der ver¬
wandelten Brüche sepn.

124 1.3.52.2.54.2.3 152224

2 3 5 2.3.5 2.Z.A 2.3.5 32303a

3 a 4c zS  24-7- Z2La 36

eben so ist — , —, 7—/ -7,-—, - —

4 Za 2 24«a 24aL 24«L 24«^

Daß auf diese Art die Werthe der Brüche ungeä dert
-leiben, erhellet aus (§. 79.); weil der Zähler und Nenner ei¬
nes jeden Bruches mit einer nämlichen Größe multipliziret wird.

Man

Von den Brüchen überhaupt. 8i

Man kann demnach auch untersuchen, welcher von
Deyen Brüchen, die verschiedene Zahler und Nenner haben >
der größte sey, wenn man sie vorher auf gleiche Benennung

3 4 .3 2l

dringt, bo ist B. — > —; weil — — —

5 7 6 35

4 20

Und — ----- ist.

7 35

83-

Maren viele Brüche auf gleiche Benennung zu bringen,
wo sodann nach dieser vorgeschriebenen Art der allgemeine
Nenner zu groß ausfällt, so suche man ein solches Vielfa¬
ches vom größten Nenner auf, in welchem alle übrige Nen¬
ner ebenfalls genau enthalten sind. Hat man ein solches
Vielfaches gefunden, so giebt dieses den allgemeinen Nenner»
ilnd um -en neuen Zähler bey sedem Bruche zu er¬
halten, -ivibire man -en allgemeinen Nenner durch
den alten Nenner, und tnultrplizire den (Quotienten
mit -em alten Zahler, so hat man -en neuen Zahler.

t 2 Z < -

AB. Es wären die Brüche —, —, —, —, auf gleiche
23468

Benennung zu bringen; so ist das Dreifache von dem größ¬
ten Nenner 8, nämlich 24 , schon so beschaffen, daß alle
Nenner darum enthalten sind; darum nehme man 24
für den allgemeinen Nenner an > und die Brüche sind
j2 16 l8 20 21 ! 2 2 7

-, . , - , —, anstatt -, -, 2-,

24 24 24 24 24 23468

Daß auch hier die Wertste der Btüche ungeändert blei¬
ben , erhellet ebenfalls daraus, weil der Zähler und Nenner
eines jeden Bruches mit einer nämlichenZahl multipliziert wird.

§. 84.

Um aber das kleinste Vielfache vom größten Nenner,
in welchem alle übrige Nenner genau enthalten sind, finden

Vsrles. I, B. F ju

82 Iweyte Vorles. I. Abschnitt.

zu können, so suche man zü den zwey ersten Nennern die
möglichst kleinste Zahl auf, in welcher beyde genau enthalten
sind > wo man den einett Nenner durch ihr größtes ge¬
meinschaftliches Maaß dividiren, und den (Quotienten
mit dem andern Nenner multiplizirett muß; zu dieser
gefundenen Zahl und zum nächst folgenden Nenner suche man
wieder eben auf diese Art die kleinste Zahl auf, in welcher
beyde genau enthalten sind; und so fahre man fort, bis kein
Nenner mehr übrig ist, so hat man die verlangte Zahl.
A. B. es solle die kleinste Zahl aufgesuchet werden, worin
die Nenner 8, 7/ 6, Z, 4, Z, L, genau enthalten
sind, so ist

8, 7 « 6 , S - 4/ 3 « 2.

56^_.i68>—842x^840^-^840^-^840

nÜmlich 8 und 7 haben keinen gemeinschaftlichen Faktor;
daher ist 8 . 7 — 56 die kleinste Zahl, in welcher beyde
genau enthalten sind. Ferner 56 und 6 haben zum größtes
gemeinschaftlichen Faktor 2; 2 in 6 geht Zmal; Z6mal
sind i68; 5 und 168 haben keinen gemeinschaftlichen Faktor ;
daher ist Z . ik>8 —840 die kleinste Zahl, in Welcher beyde
genau enthalten sind; übrigens ist 4, Z, 2 auch schon iü
840 enthalten; daher ist 840 die gesuchte Zahl«

8Z.

kvenn em Bruch in einen andern verwandelt wer«
den soll, dessen Nenner gegeben ist, so multiplizire
man -en Zahler mit -em gegebenen Nenner, und di-
vidire -as Produkt durch den alten Nenner, so ha»

86

man -en neuen Zühlek. Z, B, cs sey -in einen E

t2A

bern Bruch zu verwandeln, dessen Nenner -- rooo sepn
soll; so ist der neue Zähler--- 86 . lüoo : rsz - 688-
näm-

Von dm Brüchen überhaupt. 8z

86 688 §

Nämlich - — -. Eben so, wenn der Bruch -- in

I2Z IOOQ 6

einen andern verwandelt werden soll, dessen Nenner Z2 ist,
so ist der neue Zähler — 5 . Z2 : 6 26z; daher

L 26^

— — ' Sollte hingegen ein gegebener Bruch in einen
6 Z2

andern verwandelt werden, dessen Zähler gegeben ist, so
multiplizire man den Nenner des Bruches mit dem gegebenen
Zähler- und dividire das Produkt durch den alten Zähler,

3

so hat man den neuen Neniiet. Z. B. der Brllch — soll in

iinen andern verwandelt werden, dessen Zähler 12 ist, so

12 . 4 12

ist der Nenner gleich-— 16, und der Bruch ist

3 l6

Daß auf diese Art der Werth des Bruches ungeändert
öleibe, erhellet aus 79.)

Z. 86:

Menn man zum Zähler und Nenner eines Brü¬
che» Gleiches «ddiret, so wird -et Werth des Bruche»
geändert, und zwar vermehrt, wenn es ein achter
Bruch, hingegen vermindert, wenn es ein Afterbruch

« a st- e

ist; nämlich es ist — < 7——, wenn a < S ist; und
L 0 st- a

« u st- e - - , .

— > --, wenn a > 6 ist. Denn man bringe die

L v st- v

, - st-

Brüche auf gleiche Benennung, so hat man 7——--

o(Sst-c)

« äö st- La , « ch <7

statt - , und - statt 7—7—; Wo ac<Sa,'

L» L' e) e

wenn a < ä, und uc > Sc-, wenn a > ä ist. Und um-'

F 2 äe-

84 Zweyte Vorles. n. Abschuitt.

gekehrt ist es, wenn man von eines Bruches Fahler und
a a — c

Nenner Gleiches abzieht; es ist nämlich - >-, wenn

s s — e
/r a —' o

s < s; hingegen — <-, wenn a > s ist.

II. Abschnitt.


Von der Addition, Subtraktion, Multiplika¬
tion und Division der Brüche.

87.

Bey der Addition der Brüche beobachte man folgende
Regeln:

1) Haben die Brüche gleiche Nenner, so addire man dis
Zähler, und unterschreibe den gemeinschaftlichen Nenner, z. B«
2 4 Z 6 17

- -r- - -r- - - 2 r;

7 7 7 7 7

2a?

ZS ZS ZS ZS

2) Haben die zu addirenden Brüche verschiedene Nen¬
ner, so bringe man sie nach (§. 82. 83.) auf gleiche d
nennung, addire sodann die Zähler, und unterschreibe den
gemeinschaftlichen Nenner; z. B.

2 4^6 7->4- 8 4 4-  90 244

7 . . 7 . 5 . 3 . !9

— 4- — 4- —i- — 4-:- 4-" 4- -

8 3 2 12 6 4 24

214-164-12-1-  144-204-184-19 122

24 24

2v

Von d. Add. Subt. Mult. u. Div. der Brüche. 85

2S I Ha 8<?-l- 6aL -j- I Ha'
-4. - 4. 4- -—
JaS 2 4^ I2aS

z) Sind nebst Brüchen auch Ganze zu addircn, so
kann man sie entweder besonders addiren, oder in Afterbrü-
che verwandeln (§. 76.), und zu den übrigen Brüchen ad¬
diren; so ist z. B.

2 2 12

A? 4 74 4 — " Z 4 7 4-i- — 4- —

3 S 2 Z

124-154-20 47 17

— 10 -l-— — io 4-— 11 4- —-

Zo 30 30

8 4 10 4946
s4 6z 4 7i 4 8 5 - 26 4 —— -4——

12

26 4 -- - 28i-

12

ö 2§ c 4 5^ — 6-a? 4 !Zc

s 4 — — -— 4 — ---

35" iZ^

I Zaa: 4- I Hc

?5"-

§. 88,

Bey der Subtraktion der Brüche beobachte man fol¬
gendes r

i) Man bringe die Brüche auf gleiche Benennung,
wenn sie noch verschiedene Nenner haben sollten, ziehe so¬
dann die ZÜbler voneinander ab, und unterschreibe der Diffe¬
renz den gemeinschaftlichen Nenner; so ist z. V,

7 - 4 —

8 8^8^2

5 3_8.5 n — 6 i

12 12 12 12 12 12 2'

F z 2

86

Iweyte Vorlef. H. AbfchniLt.

24 14—12 2

3 21 -21>

a 2« Za — 2« a

SZ- 3^ 3^

2) Wenn ein Bruch von einer ganzen Zahl abzuziehezz
ist, so borge man von der ganzen Zahl eine Einheit, ver¬
wandle selbe in einen Pruch, der mit dem abzuziehenden ei-
nerley Nenner hat, ziehe sodann den Zähler des abzuziehen-,
den Bruches von dem Zahler dieses Bruches ab; z. B.

2 2

3 3

* 8 8 8 8'

8-4>-7<-4' -3';

2a — iZa  —2« IZ«

84. "k 6 — 34^

Z) Sind ganze Zahlen nebst angehängten Brüchen vy!l-
rinander abzuziehen, so ziehe man die Brüche voneinander,
pno auch die Ganzen voneinander ab; z. B.

, 3 r

4z-lz^4-i-i-7--^z5r

4 4

9 8

<7 < 4^ 6 46

4- zS -

-ach- --— a -j-.

4- 42

4)

Von d. Add, Subt.Mult. u. Dw. der Brüche. 87

4) Wäre aber der Bruch, von welchem abgezogen
werden soll, kleiner als jener , welcher abzuziehen ist, so
borge man von der ganzen Zahl eine Einheit , mache sie
zum Bruche von gleichem Nenner, addire die Zähler zusam¬
men, und verrichte die Subtraktion; z. B.

84 As: — 7^ A» 2^ — 2-2;

3r " " 3^5— 8i^>

89-

Bey der Multiplikation der Besicht ist folgendes zu be¬
merken :

l) Wenn ein Bruch mit einer ganzen Zahl multipli-
zirt werden soll, so multiplizier man nur den Zähler des
Bruches mit der ganzen Zahl, und lasse den Nenner unge¬
ändert; denn dadurch wird der Bruch so vielmal vergrößert,
als die ganze Zahl Einheiten enthalt (j. 77.) ; so ist z. B.

2 !0

3 3
60

- X 12 — —10.

6 6

a ac

- X c — — .

S

Auch könnte zwar ein Bruch mit einer ganzen Zahl
multiplizirt werden, wenn man den Nenner durch die ganzL
Zahl dividiret, weil der Bruch dadurch ebenfalls so vielmal
Vergrößert wird, als die Zahl Einheiten enthält (Z. 78-);
allein da der Nenner gar selten sich durch die ganze Zahl
genau theilen läßt, so ist es besser sich der ersten Regel zu
bedienen.

2) Ist eine ganze Zahl nebst einem angehängten Bru¬
che mit einer ganzen Zahl zu mnltiplijiren, so multiplizire
man mit der ganzen Zahl zuerst den Bruch , und hernach

F 4 die

88 Zweyle Vorles. n. Abschnitt.

die Ganze»/ ziehe aber die im ersten Produkte befindlichen
Ganzen heraus, und addire selbe zum zweytcn Produkte z z. B.

2 v O

Z^.6——.6-I-Z.6--H-Z.6

4 4

L

- 4 -r- 7" -i- zo - 345.

4

> s >. Set

ker-s—eret-l- — .

>. e > o

z) Wäre aber ein Bruch mit einem andern Bruche zu
multipliziren, so multiplizire man Zahlet mit Zahler und
Nenner mit Nenner, so ist dieser neue Lruch das verlangte

er e era

Produkt; nämlich — X — — — , welches sich folgender-
s et Set

massen erweisen läßt.

er l

— .S— er — mS

S j

so ist auch näinlich

6

—. ct^r/r , e/ e' — rrct

e/

Es ist also (§. 29. Grundsatz l.) . . . ae— mrrSch
ere? ,/rreSet eee'

und (§ Z9> Grunds, r.)--— , nämlich m. er —

Ser Ser Set

Setzet man nun wieder — statt -rr, und — statt rr, so ist
s et

er <7 aer

— x — — Da nun jede zwey zu multiplizirendc Brü-

s et Ser

-r ö

chr durch -- und — vorgestellet werden können, so ist ihr

s 2

Pro-

Man setze — — m

S

e?

und — rr

Bon d. Add. SubL. Mult. u. Div. der Brüche. 89

Produkt auch gleich dem Produkte der Zähle r dividirt durch
das Produkt der Nenner; z. B.

-^.3 ^-15-5,. 7 2 4__,56
3'5^15'4'6 24'8'3'5'9 lZ5'

4) Sind beyde Faktoren ganze Zahlen , nebst ange-
hängten Brüchen, so mache man selbe zu Afterbrnchen 76.),
und verrichte die Multiplikation z z. B.

- 2i?.;

17 19

5,. -r-n

Oder man multiplizire mit dem Bruche und mit den Ganzen
des einen Faktors, den Bruch und auch die ganze Zahl des
andern Faktors z z. B.

232 3

2? - 52 -4- -. 25 . -4-Z . 2

7 4 7 4

6 4 , 15 64-l64-iO5

- — — 4- — 4- — 4» 12 -4" 12

28 7 4 28

H X av ^<7

«4-)( ck 4- —) — 4--^-^-4- —

t— a 4^ 4* a 4^ *

§. 90,

Bey der Division der Brüche ist folgendes zu merken r

1) Wenn ein Bruch durch eine ganze Fahl dividirt
werden soll, so multiplizire man den Nenner mit der ganzen
Zahl, und lasse den Zähler ungeändert; denn dadurch wird

F S der

s

/m

«

Es ist also auch (§. 39.

Z
' 4
2

i
Ä

a

S

4,

5

i

2

s

Ä

2

' 3

3,
Z
a
ö>

»

<rÄ

Ss

3
Z

5

H

Denn man setze wieder

c

4

s Ä mS Ä SÄ

und (§. 29. Grunds. I.)—X-— -^x-- nämlich
c S n« L Sv

1O 5

12 6'

6

--

,?s a a a <7

es ist aber -—-: —; also auch — r
» SÄ SÄ

3) Ist eine ganze Zahl durch einen ' Bruch ,zu dividi-
ren , so kehre man ebenfalls den Divisor um, und verrichte
dir Multiplikation; denn es ist

90 Zweyte Vorlef. H. Abschnitt.

der Bruch vermög (§. 78-) so vielmal kleiner/ als die ganze
Zahl Einheiten enthält. So ist z. B.

2 217 7 a

3 12 6 Z 15 s

s?

<7 — -.

2) Soll aber ein Bruch durch einen Bruch dividiret
werden / so kehre man den Divisor um, und multivli-
zire den Diyrdendus mit demselben nach (§« 89« N. Z.);
z. B.

Von d. Add. Subt. Mult. u. Divis, der Brüche, 94

ö - a e a<7

a : —

a s o l s s


«

4 .

3

6

9

4 .

7 '

4-

b'' 4" 5 4^ S'

9 2

z:4^3---3-"-

2..,- 7.7_7

3 4 3

Kx a 20

2

5 : -

3

3 le;

2 2

4) Kommen ganze Zahlen nebst angehängten Brüchen

zu dividiren vor, so verwandle man selbe in Afterbrüche, und
verrichte nach obigen Regeln die Division.; z. Br

68

---4?^

ch

2

—

3

4 '

---

3

— s

' <-e

<? -üt a -eok—. ao

Anmerkung. Der Anfänger, der die Regeln von der
Multiplikation und Division der Brüche nicht leicht im Ge¬
dächtnisse behalten kann, kann sich nur die zwei) Regeln im
(§. 89. N. Z.) und hier im (§. 90. N. 2.) merken; namüch
wie ein Bruch mit einem Bruche multipUziret, und
wie ein Lruch durch einen andern Bruch dividiret wird,
kommen nun auch-ganze Zahlen mit vor, so kann die ganze
Zahl als ein Bruch, Hessen Nenner — i ist, vorgestellet
werden; so ist z. B.

-e!-,?-

a . ;

also

Hr Zweyte Vorles. II. Abschnitt.

a <r a a I a

— :o—— X—;

K K I K <7 öo

a <7 a s - -o

s: — —X — r? — u. s. w.

- I K I a a

§. 9?'

Em gebrochener Bruch, oder ein Bruch eines Bruches
wird genommen , wenn man die Zähler und Nenner der
3 5

Brüche miteinander multipliziret; z. D. — des Bruches -
IQ 6

a . < i< 2 -e

«st — -7-- — —- ; denn — des Bruches heißt nichts

b . IO 6o IQ 6

anders, als daß man den Bruch

S

6

IQ gleiche Theile

theilen, und z solche Theile davon nehmen soll; nun ist

—: IQ—, und dieses dreymal genommen giebt
v 6 . IQ

Z - 5

-6 . IQ

s. 92»

Durch die Rechnungsarten mit Brüchen khnnen n>in
auch benannte Zahlen einer kleinern Gattung als Brüche von
jeder größern Gattung vorgestellet werden, welches bey der
Multiplikation und Division der benannten Zahlen oft gute
Dienste leisten kann; so ist z. B.

5 Fl. 17 Kr. - z;z Fl. - ^Fl.;

4 Sch. 8 Zoll - 4^ Sch. 4 z Sch. -

^Sch.

3

2

Von d. Add. Subt. Mült.u.Mv. der Brüche. 95

a 2

2 Kl. 4- 0 Sch. 4- 9 Z.- 2 Kl. 4- — Sch. 2 Kl. 4- - S.

12 4

22-4 Kl. -- 2§ Kl.- Kl.

8

84

8 Pf.4-20L.4-ZQ.-8Pf-2c>zL.-8Pf-4- L.

nc>7
^8MPf.---^P5;

A St. 4- l Z Minut. 4- 4A Sek. — Z St. 4- i5S0 Minut.

- Z St.4- r5'4 Min.r-: Z St. 4- Min. - St.

261

-3^St.^-- St.

80

93-

Wenn in einer Rechnung benannte Brüche vorkommen,
die sich auf verschiedene Einheiten beziehen, so müssen selbe
vorher auf gleiche Namen gebracht werden, und sodann kön¬
nen erst die bisher gegebenen Rechnungsarten angewendet wer¬
den ; so ist z. B.

- St. 4- - M.- St. 4- —^-7- St. -- St.

4 Z 4 L . 60 4-5-rS

4--7-St.— —--St.

5- VO Z2O

3 2 Z. 60 2

oder -St. 4 - M. ---M. 4- - M. -z6zM-

ä 3 5 3

^-Pf.tL L.-^Pf.r

5 2 /Z 64 AZ

256

oder

94

Iweyte Vorles. it. Äöschttitt.

oder -Pf.: -L.- L. : -L.-

5 2 s 2 5-3

— i/i^mal.

§. 94.

Einige Fragen zur Anwendung der Rechnungsarten mit
Brüchen.

i. Frage. Zu einer gewissen Montur wird erfordert,
zum Rocke 2^ Ellen, zur Weste H Ellen , und zu den Ho¬
fen A Ellen Tuch; wie viel beträgt dieß zusammen?

Antwort. LZ- 4- — 4- — - 4--k- 4

4 8 24 24

- - AM Ellens

2. Frage. Ein massiv gegossenes Kanonenrohr wiegt
56^ Zentner, und nach der Bohrung hatte dasselbe nur
Zentner; wie viel Metal ist herausgebohret worden?

Antwort. 56z- 51S-Z6/2-Ai/^- ZZ^Z- Z i/.

— 4ss Zentner:

Z. Frage. Wie viel muß man für einen Balken, wel¬
cher n°4- 4'4- 8" lang ist, bezahlen, wenn jede Klaf¬
ter davon Z Fl. 17 Kr. kostet?

ko6° >,

Antwort: Da n° 4- 4' 4- 8" — -, und

9

317

Z Fl. 17 Kr. — —7— Fl. ist, so kostet der ganze Balken
VO

--rK.

9 62 542

4> Frage. Wie viel Patronen können von Zentner
Pulver erzeuget werden, wenn jede Patrone mit Pf. Pul¬
ver gefüüet wird ?

' And-

Von d. Add. Srlbt. Mult. u.Dlv. der Brüche. 95

? -

Antwort. Da 3^ Zentner-zzo Pf., und iH P.——Pst,

4

7

so ist die gesuchte Anzahl der Patronen — ZZv: —— 200.

4

Z. Frage- Es ist aus der Erfahrung bekannt, daß
das Gold, wenn es ins Wasser ganz getaucht wird, bey-
2

läufig — seines Gewichts darinnen verliere; das Silber
37

2 5

aber verliert und das Kupfer — seines Gewichtes;

2r 43

wieviel wird nun ein Körper, wobep sich i4 Pf. Gold,
Z» Pf. Silber, und 2^ Pf. Kupfer befinden, an seinem
Gewichte im Wasser verlieren?

2 , 2 z 3 2

Antwort. — von IZ. — —. — — — > —

37 37 2 Z7 2i

2' 21

II 22 5 .5

— — > ; und — von 2Z" —

3 6z 53 43

von

11

4

—-; folglich ist der Verlust des Körpers im Wasser

172

3 22 3-; 302721

" - 4. -—z-- —-Pf. — 24 Loth beynahe.

27 63 172 402932

III. Abschnitt.

Von den Dezimalbrüchen.

95-

Wenn man bey einer ganzen Zahl rechts hinter den Ein?
Heiken noch mehrere Ziffern anhiingt, deren Werth nach eben
dem dekadischen Gesetz, <0 wie die übrigen Ziffern (Z. 6.) von
der Linken gegen die Rechte zehnfach abnehmen soll, so
werden solche keine ganze Einheiten , sondern Brüche verstel¬
len

96 Zweyte Vorles. m. Abschnitt.

len müssen; und zwar wird die erste neben den Einheittll
Zehntel einer Einheit, die zweyte Hundertel'einer Einheit,
die dritte Taüsendel einer Einheit, u. s. w. bedeuten. Sol¬
che Brüche werden Dezimalbrüche oder zehntheiliye Bru¬
che genennt. Und damit solche von den dabey befindlichen
Ganzen unterschieden werden tonnen, so werden sie von
Len ganzen Einheiten durch ein Komma (,) abgesondert, wo
sodann die Ziffern links vor dem Komma ganze Einheiten be¬
deuten , und jene rechts werden Dezimalstellen oder Dezi-
Malziffern genennt. So z. B. ist 35,7859 ein Dezimal-
Lruch mit vier Dezimalstellen, und bedeutet 35 ganze Ein¬
heiten, 7 Zehntel, 8 Hundertel, 5 Tausendel, und 9 Zehn¬
taufendel einer Einheit; nämlich es ist 35,7859 — 35

7 . 8 . 5 , 9 7023

9- <-- 9---si-!-— Z5 -l-—°

IO 122 1222 12222 12222

820 50 9 7859 357859

-l- --n-—— -7- --—35^7-  ,

IOQOO 12222 I2222 12222 12222

9 429

Ungleichen ist 4,29 — 4 -r- --— -. Eben so Heist

122 122

43
0,43 kein Ganzes, 4 Zehntel, und z Hundertel-- —

!2V

6

imqleichen 2,225 —-

1222

§. 96.

Aus diesem ist es zu ersehen, daß man im erforderli¬
chen Falle einem Dezimalbruche leicht seinen Nenner unter¬
schreiben kann, indem derselbe jederzeit aus einer Einheit
nebst so vielen angehängten Nullen besteht, als der Bruch
Dezimalstellen hat; und man kann daher auch sagen : em
Dezimaibruch ist ein solcher Bruch , der eine blosse
Einheit nebst ernigen angehanFten Nullen ( eine deka¬
dische Zahl) zu seinem Nenner hat,

Und

Von ben Dezimalbrüchen. 97

Und umgekehrt, wenn ein mit seinem Nenner versehener Dezi¬
malbruch in seiner achten Gestalt, das ist, ohne Nenner geschrieben
werden soll, so darf man nur in -em Zahler von -er Rech¬
ten gegen die Linke so viele Ziffern für die Dezimalstellen
abschneiden, als der Nenner Nullen hat, wo -er Ab¬
gang, wenn -er Zahler nicht genug Ziffern enthalten
sollte, links mit Nullen ergänzt werden muß. Z.B.
8-^04 56 4

— - - 86,524 z - — - 0,56z-- 0,2224.

1222 122 12222

97-

Auch ist hieraus zu ersehen, daß mau an einen Dezi¬
malbruch rechts so viele Nullen anhängen kann, als mau
will, ohne daß dadurch der Werth des Bruches geändert
wird. Denn cs ist z. B. 7,58 — 7^5802. Eben so kann
auch eine blosse ganze Zahl als ein Dezima.'bruch vorgesteller
werden, indem nzan nur eine beliebige Anzahl Nullen an¬
hängt, und dieselbe durch ein Komma absondert z z. B.
12 — 12,222.

Es ist daher sehr leicht Dezimalbrüche auf gleiche Benen¬
nung zu bringen, indem man an jene, welche weniger Dezi¬
malstellen haben, so viele Nullen hinten anhängt, damit so¬
dann jeder aus gleich viel Dezimalstellen bestehe.

98.

Es ist öfters erforderlich einen gegebenen Bruch in einen
Dezimalbruch zu verwandeln, welcher demselben entweder voll¬
kommen, oder auch nur bis auf eine bestimmte Dezimalstelle
am Werthe gleich ist; dieses geschieht auf folgende Art:

l) Ist es ein Akterbruch, so dividire man den Zähler
durch den Nenner, so bekommt man die ganzen Einheiten z
wäre es aber ein ächter Bruch, so muß an die Stelle der
ganzen Einheiten eine Null gesetzt werden.

vsrles. I. L. G 2)

98 Zweyte Vorles. Ui. Abschnitt.

2) An den Nest hange man eine Nulle, Nvcdire die¬
ses wieder durch den Nenner, so wird der Quotient Zehn¬
tel bedeuten; dieser wird mit dem Divisor multipliziret, und
gehörig abgezogen. An den Rest hange man wieder eine
Nulle, dividire es wieder durch den Nenner, so hat man d»
Hundertel u. s. w.

3) Führt man nun auf diese Art fort, und die Di¬
vision geht einmal ohne Rest genau auf, so ist der gegebene
Bruch dem gefundenen Dezimalbruche vollkommen gleich, wel¬
ches bep allen denjenigen Brüchen statt findet, deren Nennet
2, 4, 8, 16, Z2 .... Z, 2A, l2Z  .... oder ein
Produkt von diesen Zahlen ist.

4) Bey den übrigen Brüchen aber geht die Division
zwar niemals zu Ende; doch aber darf man, auf die eben
vorgefchriebene Art, die Division nur so lang fortsetzen, bis
man zum zweytenmal einen nämlichen Rest erhält, wo so¬
dann die Dezimalstellen in der schon bekannten Ordnung wieder¬
holt ohne Ende fortgehen.

Beu-

99

Bey-

G 2

Bey der Addition der Dezimalbrüche schreibe man die¬
selben, so wie auch die ganzen Zahlen, wenn sie dazu addirt
werden sollen, dergestalt untereinander, daß die Stricheln,
ivelche die Dezimalstellen von den ganzen Einheiten absondern,
gerade untereinander zu stehen kommen, und addire übrigens
wie Ley den ganzen Zahlen; nur maß in der Summe das
Komma ebenfalls an die vorige Stelle gefetzt werden.

Von den Dezimalbrüchen.

Beyspiele.

6666...; —-7:11 - 0,63636; .
3 lr

3 72

66

18 40

20 33^

76

6 - .

--6:7-0,857142857*42 ...»

Z) Don diesen Dezimalstellen können nun so viele bey-
Walten werden, als es nur imnrer die Richtigkeit einer
Rechnung erfordern kann, so, daß die übrigen ohne merkli¬
chen Fehler gänzlich hinweg gelassen werden können; nuS
kann chan, um den Fehler noch kleiner zu machen,
die letzte Dezimalstelle um eins vermehren, wenn die
6
nachstfvlgendeZiffer größer ist als 5; z.B.—^2,85714286
7

anstatt 0,85714285 , weil die folgende Ate Dezimalziffer
im 7 ist.-

1OO Zwcyte Vorles. m. Abschnitt.

Beyspiele.

Z,O4 2Z,O7Z4Z ZI2

26,1735 0,923 25,73

7,5  6,0024 0,364

36,7135 30,00083 338,094

§. IOO.

Bey der Subtraktion der Dezimalbrüche ordkie man die-
selben so, wie bcy der Addition, und subtrahire wie gewöhn¬
lich ; nur muß man dem Dezimalbruche, von welchem ein an¬
derer Dezimalbruch mit mehr Dezimalstellen abgezogen werden
soll, so viele Nullen in Gedanken hinzufügen, damit beyde
gleichviel Dezimalstellen haben.

Beyspiele.

12,3257 60,57 -3

^4,56 0,985 6 2,346

7,7657 59,5844 10,654

Wenn ein gemeiner Bruch zu einem Dezimalbruch zu ad-
diren, oder davon zu subtrahiren ist, so verwandle man sel¬
ben in einen Dezimalbruch nach (§.98.); z. B.

3

3,465 -i- - - 3,465 4- 0,75 - 4,215 ;

4

17

-- - 1,34 - 2,8333 -« - i,34 - i,4933 « » ,
6

IOI.

Hat man Dezimalbrüche untereinander , oder Dezimal¬
brüche mit ganzen Zahlen zu multipliziren, so verrichte man
die Multiplikation als wenn es lauter ganze Zahlen wären,
und schneide im Produkte von der Rechten gegen die Linke ss
viele

Von den Dezimalbrüchcn. ioi

viele Dezimalstellen ab, als beyde Faktoren deren haben, wo
der Abgang, wen» nicht genug Ziffern vorhanden seyn sollten,
links mit Nullen besetzt werden muß.

Beyspiele.

leicht überzeugen, wenn man den zu multiplizirendenDczimal-
brüchen ihre Nenner unterschreibt, und selbe nach 89.
N. z.) multipliziret.

ror.

Ist ein Dezimalbruch mit io zu multipliziren, so rücke
man nur bas Komma um eine Stelle weiter gegen die Rech¬
te; denn dadurch erhalt jede Ziffer einen zehnfachen Werth
(§.6.)

Ist er mit l oo zu multipliziren, so rücke man das Komma
um zwey Stellen, mit iooo um z Stellen u. f. w.

Beyspiele.

4,587 X 10 - 45,87; 9,327 X 122 - 930,7.

0,5386 X 1222 — 538,6.

Läßt man daher bey einem Dezimalbruch das Komma,
welches die Dezimalstellen absondert, gänzlich hinweg, und
betrachtet ihn als eine blosse ganze Zahl, so wird dadurch der
Dezimalbruch mit i nebst so vielen angchängten Nullen mul-
lipliziret, als Dezimalstellen vorhanden waren.

Gz roz.

roL Zweyte Vorles. m. Abschnitt.

§. roz.

M Bey der Division der Dezimalbrüche, es möge ein De-
^malbruch durch eine ganze Zahl , oder durch einen Dezimal-
bruch, oder auch eine ganze Zahl durch einen Dezimalbruch
zu dividiren seyn, beobachte man folgende Regel.

Man unterschreibe den Divisor unter denDividendus in
Gestalt eines gewöhnlichen Bruches, hänge dem Zähler , oder
dem Nenner, je nachdem einer oder der andere weniger Dezi¬
malstellen hat, so viele Nullen an, damit beyde gleichviel
Dezimalstellen haben, lasse sodann das Komma, welches die
Dezimalstellen absondert, gänzlich hinweg, (mdem man sich
einbildet, daß Zähler und Nenner mit einer nämlichen Zahl
multiplizirt wird) und verwandle sodann diesen Bruch nach
O. 98.) in einen Dezimalbruch, so hat man den richtige
Quotienten.

2,122

O,00z6

: 4,8 -- ^00

- 24,000

24: 0,006 —-o -----

- ' 2,222

Beyspiek.

Z,O4Z 3045

2 IA,QOO 15200

2,IZ4 2IZ4

2,134: - ?7,78AZe

-7-- 0,2227^

48222

24222

—----4022.

Wenn ein Dezimalbruch durch eine ganze Zahl, die auch
tinige Dezimalstellen haben kann, zu dividiren ist; so kann
die Division auch kürzer, ohne daß man selbe Bruchweise
ansetzt, verrichtet werden, wie es in folgenden Beyspic-
len zu ersehen ist. Im Beispiele N. i. sagt man nämlich
6 in 7 Ganzen geht rmal, und bleibt i; 6 in iz Zehn-
reln gehr 2mal, und bleibt lz 6 in iZ Hunderteln gehr
2mal,

Von den Dezimalbrüchcn. ioz
2>nal, bleiben z; 6 in 36 Tausendeln geht 6mal. Eben
so sagt man im Beyspiele N. 2.; 4 in o Ganzen geht omal;
4 in 0 Zehnteln geht omal; 4 in 6 Hunderteln geht imal«
4Z von 65 bleiben 22 u. s.w,

Beyspiele.

N. 1. N. 2.

7^56 : 6-1,226 2,26537 : 4,3-0,0152

43

/ 22z

87'

Soll endlich ein Dezimalbruch durch ro, ioo, rooo
ic. dividiret werden, so darf nmn nur das Komma, um
1, 2, z . . . .Stellen weiter zur Linken rücken; dadurch
erhält jede Ziffer einen zehn, hundert, tausendmal kleinern
Werth (§. 6. u. 95.) Z. B,

Zz,4z6 : io - 5,3436;

32,4z : ioo - 2,^243;

Z,z8 : looo - 0,00538.

104.

Wäre ein Dezimalbruch mit einem gemeinen Bruche zu
mnltipliziren, oder zu dividiren, so verwandle man entwe¬
der den Bruch in einen Dezimalbruch, oder man sehe den
Dczimalbruch für eine ganze Zahl an, und verrichte die Mrü-
tiplikation oder die Division nach (§. 89- N. i- und §. 92.
N. 1.— z.); nur muß das Komma jederzeit an die gehö¬
rige Stelle gesetzt werden; z. B.

G 4 2,04


Zweyte Vorles. in. Abschnitt

124

ioz.

Der Werth eines benannten Dezimalbruches wird in
Einheiten kleinerer Gattung gefunden, wenn man ihn mit der
Zahl multipliziret, welche «»zeiget, wie viel Einheiten klei¬
nerer Gattung in einer Einheit, worauf sich der Dezimalbruch
bezieht, enthalten sind; so z. B. findet man

4-3 Tag—4 T. 7 St. 12 M. 3,41 Kl. - 3 Kl. 2 Sch. A. Z.

24 6

7,2 Stunden 2,46 Schuhe

62 12

12,2 Minuten 92

46 -
5-52 Zoll
u. s. w.

ic>6.

Zuweilen sind Dezimalbrüche miteinander zu multiplizi-
ren, deren Produkt man nur mit etlichen Dezimalstellen richtig
verlangt, und öfters auch nicht mehrere richtig erhalten kann.
In solchen Fällen kann die Multiplikation sehr geschwind auf
folgende Art verrichtet werden. Man multiplizire mit der
ersten links stehenden bedeutlichen Ziffer des Multiplikators
den ganzen Multiplikandus von der Rechten gegen die Linke,
und schneide in diesem Partialprodukte die ganzen Einheiten
von den Dezimalstellen gehörig ab ; mit der zweyten links
stehenden Ziffer des Multiplikators multiplizire man den gan¬
zen

Von den Dezimalbrüchen. 105

zen Multiplikandus von der zweyten rechts stehenden Ziffer
des Multiplikandus angefangen, und addire die von dein
Produkte der vorhergehenden Ziffer gebliebenen Einheiten in
Gedanken hinzu; eben so multiplizire man mit der dritten
links stehenden Ziffer des Multiplikators den ganzen Multi¬
plikandus von der dritten rechts stehenden Ziffer des Multi¬
plikandus angefangen; mit der vierten links in die vierte
rechts u. f. w., und schreibe diese Partialprodukte unterei¬
nander, so wird ihre Summe das gesuchte Hauptprodukt
zum Vorschein bringen.

8,99875477
0,43429448

Z,5995oi9o8
26996264z
35995019
1799752
809887
35995
3599
_ 719
3,908109522

Beyspiele.

Multiplikandus

-Multiplikator

2,30258509
3,9602921

6,90775527
227232658
13815510
2272z

_-2Z

9,1l8444;r

Die angeführte abgekürzte Multiplikation der Dczi-
malbrüche wird hauptsächlich in solchen Fällen gebraucht,
wo die folgenden Dczimalziffern des einen oder des ander»
Faktors, oder auch in bcydeu nicht bekannt sind.

Eben so kann in dergleichen Fällen auch eine abgekürz¬
te Division bey den Dezimalbrüchcn mit Vortheil angewen¬
det werden. Man fängt nämlich an mit dem Divisor in den
Dividendus wie sonst hinein zu dividiren ; es wird aber nach
jedesmaliger Multiplikation des Divisors mit der gefundenen
Ziffer des Quotienten immer eine Ziffer im Divisor rechts
ausgestrichen, wie es in nachstehenden Beyspielcn zu ersehen ist.

Gz Di-

IO6 Zweyte Vorles. m. IlbschnitL.

Anmerkung. Verschiedene andere nützliche Vortheils
und Abkürzungen bey den Rechnungsarten sowohl mit gan¬
zen als auch mit gebrochenen Zahlen können beym mündli¬
chen Vortrage beygebracht werden. So z. B. kann die Mul¬
tiplikation , wenn die erste oder die letzte Ziffer des kleinern
Faktors ein i ist, auf folgende Art abgekürzet werden.

Anstatt Z,738;

61

5,738

344  28

350,218

Anstatt 573,8;

16

3442 ,8

5 738

9182,8

abgekürzet 5,738^6 ;

34428

35o,oi8

abgekürzet 573,8^6

3442,8

9182,8

Weil

Von zusammenhängenden Brüchen. 127

Weil im letzten BetMele der Multipli¬
kator 16 in die Faktoren 4.4 sich zerlegen 573,8 4
läßt, so kann die Multiplikation auch auf ne- a

bensiehende Art verrichtet werden. Eine solche
Abkürzung findet auch bey der Division statt, 9180,8
wenn der Divisor in schickliche Faktoren sich

zerlegen laßt.

Ware eine Zahl z. B. 53897 mit
998 zu mnltipliziren, so findet man das
Produkt 53789226 wegen 998^1222—2
auf nebenstehende Art.

53897000'2

1 07794

53789226

IV. Abschnitt.

Von zusammenhängenden Brüchen.

§. 107,

Wenn man bey einem achten Bruche , wo der Zähler
im Nenner nicht genau enthalten ist, sowohl den Zähler als
den Nenner durch den Zahler dividiret, so erhält man einen
Bruch, dessen Zähler i, und der Nenner eine ganze Zahl
nebst einem angehängten Bruche ist. Verfährt man nun mit
dem letzt angehängten Bruche eben so, so wird Dadurch der
vorgelegte Bruch in einen zusammenhängenden Bruch ver¬
wandelt, nämlich in einen Bruch, dessen Zähler i , und der
Nenner eine ganze Zahl nebst einem Bruchs ist, wovon wie¬
der der Zahler i und der Nenner eine ganze Zahl nebst ei¬
nem eben solchen angehängten Bruche ist, und so nach die¬
sem Gesetze weiter fort.

M Z. 108.

WM .... e/e

Man kann jeden achten Bruch — in einen zusammen-

/r

Hangenden Bruch verwandel» , wenn man beym vorgelegreu:
Bruche — (nach gi.) des Zählers und Nenners größtes

tze-

rož Zweyte Vorles. IV. Abschnitt.

gemeinschaftliches Maaß suchet, und die erhaltenen Quotien¬
ten e, at anmerket; denn eben diese Quotienten sind
in der Ordnung, wie sie erhalten werden, vermög der Er¬
klärung die aufeinander folgenden Nenner des zusammenhän¬
genden Bruches, nämlich:

nr i

?r a -j- i

-h I

e-t-r

' r/4-1

rc.

Es scy z. B. >-in einen zusammenhängenden Bruch

1495

zu verwandeln,

4 7 rr i z

so ist I49Z : z6l : Zi : 4 : z : r

1444  357 48 A

5i 4 Zi

351 i

daher ist - —
1495 44-^l

7-k-i

12 -l-1

i-l-i

lO

§. ic>9.

Wenn man von einem zusammenhängenden Bruche nur
Un einziges Glied beybchält, und die übrigen Glieder völlig
. i i

hinweg läßt. im letzten Beispiele — ; so ist der Bruch —
4 4

et-

Von zusammenhängenden Brüchen. 129

etwas größer als der wahre Werth des ganzen zusammen¬
hängenden Bruches ; denn weil man dadurch den Nenner
vermindert, so ist der Bruch größer vermög (§. 78.); nimmt

i 29 7

man zkvey Glieder - — i : - — — - — , so ist dieser

4-l-^ 7 29

Bruch etwas kleiner; der aus drey Gliedern abgeleitete
i l r 352 85

4H " 4-4-! " 44^< " * ' 85 -352 'st

- 7^

92

wieder etwas größer; der aus vier Gliedern aber- ist et--

38l

was kleiner als Verwahre Werth des ganzen zusammenhängenden
Bruches; und so wechselweise weiter fort, dergestalt zwar,
daß der Unterschied, oder die Abweichung von dem wahren
Werthe immer kleiner wird, je mehrere Glieder des zusammen¬
hängenden Bruches genommen werden, bis endlich der wahre
Werth des zusammenhängenden Bruches völlig genau erhal¬
ten wird, wenn man alle Glieder desselben beybehält. In
dem angeführten Beispiele ist der aus z Gliedern des zu-

„ 85

fammenhangenden Bruches abgeleitete Bruch-bis auf die

352

z6r

Hunderttausentel mit dem wahren Werthe- überein-

1495

stimmend, wovon man sich leicht überzeugen kann, wenn
man bepde diese Brüche in DeziMalbrüche verwandelt; es ist
nämlich:

361

- --2,241471 ....

1495

85

und " -^241477 --- -

352

Differenz —2,202226

§. H2

Lio Sn-cyte Verleg lV. Abschrlitt.

§. HO.

Der Nutzen der zusammenhängenden Brüche ergiebt sich'
hauptsächlich bey der Abkürzung der Brüche in solchen Fällen,
wo der Zähler und Nenner Primzahlen unter sich sind. Es
ist nämlich 'öfters erforderlich einen Bruch, dessen Zähler und
Nenner sehr grosse Primzahlen unter sich sind, in einen an¬
dern , durch kleinere Zahlen ausgedrückten Bruch, ohne merk¬
liche Veränderung des Werths zu verwandeln.

Dieses geschieht, wenn man den vorgelegten Bruch
nach (Z. IQZ.) in einen zusammenhängenden Bruch verwan¬
delt, und sodann die nach der Ordnung aus i, 2, Z, 4,
S . . . . Gliedern desselben entspringenden Brüche entwi¬
ckelt. Diese abgeleiteten Brüche sind die gesuchten abgekürz¬
ten Brüche, wo jeder darauf folgende abgeleitete Bruch dem
wahren Wcrthe des vorgelegten Bruches immer naher kömmt.
And äusser solchen abgeleiteten Brüchen sind gar keine andern
möglich, welche einfacher ausgedrückt wären, und doch dem
vorgelegten Bruche am Werthe näher kamen. Sehr oft ist der
nur aus einigen wenigen Gliedern des zusammenhängenden
Bruches abgeleitete Bruch dem vorgelegten äusserst nahe gleich;
rind zwar damals, wenn der nächst daraussolgestde Nenner
eine beträchtlich große Zahl ijft

IOOOOO

Es sep' z. B. —^7-
° 102764

Werthes abzukürzcn, so ist:

ohne merkliche Veränderung des

i 36 5 i i 2 i 17

122764: IOOOOO: 2764: 496 : 284: 212: 72: 68: 4

ZOOOOO 8292 2480 284 Ak2 !44 68 68

2764 17282 284 212 72 68 4 c»

16Z8 4

496

da-


Votr zusammenhängenden Brüchen.

III

122222 I
daher ist -——--

102764 i-s-i

36-^1

l-i-I

l-t-r_

Und die fünf ersten abgekürzten 2-s-i

Brüche sind 'm

i 36 181 217 398 H

, , — , - ,- ' e

r 37 186 223 429

große Genauigkeit erforderlich

I22222

— nehmen kann.

wo man, wenn keine gar zu

36

ist, statt des vorgelegten Bruches -7^

37 102764

§. ui.

Bey solchen Abkürzungen der Brüche können aus den
einmal gefundenen Quotienten, nämlich in dem letzt ange¬
führten Teyspiele aus i, 36, 5, 1, 1 , 2, 1,. 17 die
abgekürzten Brüche auf folgende Art unmittelbar abgeleitet
werden, ohne daß es nothwenbig sey, den zusammenhängen¬
den Bruch ausdrücklich anzusetzen, als:

I !/

0 I

I I

36, 5, 1, 1, 2, 1 , 17

36 181 217 398 1013 1411 25020

37 186 223 429 1241 I4Z2 25691

Man

l12 Iwcyte Vorles. IV. Abschnitt.

-Man schreibt nämlich die Quo¬
tienten in einer Linie hinterei¬
nander , zieht darunter einen
Querstrich, setzt vorwärts aus-

o
serhalb eines Striches— als

i

einen Bruch an, und schreibt
unter den ersten Quotienten
für den ersten Bruch, eine
Einheit getheilt durch eben
Liesen ersten (Quotienten.
Sodann wird bey jedem fol¬

genden Quotienten der zugehörige Bruch bestimmet, wenn
MSN mit jedem solchen (Quotienten den Zahler unö
Nenner -es ersten vorhergehenden Bruches multiplizi-
vet, und noch dazu -en Zahler und Nenner -es zwei¬
ten vorhergehenden Bruches aödiret, nämlich den Zähler
zum Produkte des Fühlers, und den Nenner zum Produkte
des Nenners in den gehörigen Quotienten.

IQQOOQOQOOO

Es sey der Bruch —— -—- abzukürzen , so iß
31415926536

I . ZV -l- Q

1 . 36 4- I Z/

Z6 . 5 r  -

37 - 5 -i- i - 186

i8r . 1 4- z6 217
186 . i -I- 37 - 22z
217  .  i  4-  181 — 398
22z . i 4- 186 409

398  .  2  4-  217 — I0IZ
409 . 2 -i- 22Z 1041

3

31415926536 : 10020022000 : 1415926536: 885'

32222222202 9911485752 532784256 88'2-

1415926536 88514248 ^671540 Z-

88212816

1 292

14248^88212816 : 321432 tt, 5 w, folglich

12816

01432

3/

VN zusammenhängenden Brüchen» riz

>3, 7,  i5,  r  <  292

v

t

1 7 126 IIZ gzl02

3 22 33z 35Z 10399z

. 1 - 7 2 7

nämlich-—— —

3 : 7 -I- 1 22

7  .  IA  -l-  I 106

22 . 15 -l- 3 333

106 . i -!- 7 uz .

---U. st jv»

33z . 1 -l- 22 Z55 uz

lvv der aus vier Quotienten abgeleitete Bruch -—- tveil

355

der folgende Quotient 292 sehr größ ist, von dem borget

I2202220002
legten Bruche -———-—- kaum um 0,0200202z ver-
31415926536

schieden ist.
12226002220 ,

Denn der gegebeneBruch - - ^2-318309886.»

31415926536
113

und der abgekürzte -- » » » » - o,zt83vc>8Z9.»
355

folglich ist ihre Differenz — 2,022002227.»

Die angeführte Regel, aus den einmal bestimmten
Quotienten die abgekürzten Brüche abzuleiten, laßt sich auf
folgende Art allgemein erweisen:

Wenn man bep dem zu- m 1
sammenhängenden Bruche die
aus 1, 2, z, 4, Z Glie-- —

der» abgeleiteten Brüche mit

/r", be-- cH

zeichnet, und diese Brüche durch ——-

die gehörige Reduktion, wie 

im (§. 129.) auf einfache
Nenner bringet, fo ist

re-

Vorkes. r. L, H

r 14^1 Zweyte Vorles. iv. Akschmtt,

/r — —

L

/n -

akist- i

Lest- 1

«Lc st-ast-«

Leekst- e/-s- L

aLcal st- cet st- «c/ st- «L st- r

Läe^s st-st-L<? st-Le st-i

«Lae/e st- ecke st- oc/e 4- «La st- <- st- «L« st- a st- «

Zerlegt man nun den Zähler tmd Nenner des Bruches
in Faktoren, so, daß der zugehörige Quotient e für eineri
Faktor angenommen wird, so ist ,

— e(L<?^st-c/st-L)st-Last-I 

a («Lackst- e?</ 4- «ek st- «L st" i st- «L« st- « st- «

woraus es zu ersehen ist, wie dieser Bruch aus dem zu¬
gehörigen Quotienten e, und ans den zwey nächst vorher¬
gehenden Brüchen / ^ud entsteht; welches Gesetz auch
bey jedem andern abzuleitenden Bruche gilt. Damit nun
dieses Gesetz auch schon bey dem zweyten Bruche k'önne an-
o

gewendet werden- so wird zuerst — angesetzet.

§. 112.

Wäre ein Afterbruch nach der angeführten Art abzukür¬
en, so kann man solchen zuerst umlMen; sodann werden
die abgekürzten Brüche nach (§. m.)- bestimmet, welche
man zuletzt alle wieder umkehrct, nämlich die Nenner für die
Zähler, und die Zähler für die Nenner nimmt.

Es

Von zusammenhängenden Brüchen, uz

2 20022222

Es sen z. B. --- -- abzukürzen >

1,9129312 19129312

daher sind die abgekürzten Brüche —, —, —, —>.

1 21 22 72z

Eine ausführliche und gründliche Abhandlung der Leh-
be von zusammenhängenden Brüchen findet man in H. I.
pnsquich mathemat. Analpsis l. Band Leipzig bey Werd.-
inann 1792.

H L

Dritte

rt6

K

Dritte Vorlesung»

Von den Rechnungsarten mit Potenzen und
Wurzeln.

I. Abschnitt.

Von den Potenzen und Wurzeln überhaupt.

Produkt, welches entsteht, wenn man eine nämliche
GrLße mehrmal mit sich selbst multipliziert, heißt eine Po¬
tenz oder Dignität dieser Größe, wo die mit sich selbst zu
multiplizirende Größe als eine unbenannte Zahl betrachtet
wird. Die Größe aber, welche mehrmahl als Faktor m der
Multiplikation angcsctzt wird, um eine Potenz hervorzubrm-
gcn, heißt die Wurzel der hervorgebrachten Potenz. Und
die Zahl, welche mit ihren Einheiten anzeigt, wie oft die
nämliche Größe als Faktor in der Multiplikation anzusetzen ftp
um eine Potenz hervorzubrmgen, heißt der E-rponent dieser
Potenz.

Insbesondere wird das Produkt, wo eine nämliche
Größe zweymal als Faktor in der Multiplikation angefttzt
wird, die zwepte Potenz, oder das (Quadrat dieser Grö¬
ße genennt; so ist z. B. 9 das Quadrat von z; weil A . Z
— 9 istz z6 ist das Quadrat von 6, und allgemein r? ist
das Quadrat von a,

DK -

Die Größe aber, welche mit sich selbst multiplizirk
werden muß, um ein gegebenes Quadrat hervorzubringen,
wird die Quadratwurzel desselben genennt; so ist z. B.
6 die Quadratwurzel von 36; 7 die Quadratwurzel von
49, und a die Quadratwurzel von a?, Das «Quadrat
einer jeden Größe wird demnach gefunden, wenn man
die Größe mit sich selbst multipliziret-

§. H4»

Wenn man das Quadrat einer Große noch einmal mit
der Wurzel multipliziret, so wird das Produkt die -ritte
Potenz, oder der Rubus (Würfel) dieser Große genennt.
^0 ist z. B. 8 die dritte Potenz, oder der Kubus von 2-
weil 2.2.2 —4.2 — 8 ist; 27 ist der Kubus von z;
weil Z.Z.Z —9-Z — 27; und ist der Kubus von a z
weil a . -r. " — . a — ist, Und eben so heißt auch

wieder 2 die Kubikwurzel von 8; Z die Kubikwurzel von
27, und a die Kubikwurzel von a?. Der Rubus einer
jeden Größe wir- demnach gefunden, wenn man da»
Quadrat der Größe noch einmal mit der Wurzel mul¬
tipliziret-

Z. 115.

Multiplizirt inan ferner den Kubus einer Große noch
einmal mit der Wurzel, fo erhalt man die vierte Potenz,
oder das Biquadrat dieser Große; dieses wieder mit der
Wurzel multipliziret , giedt die fünfte Potenz u. s. w.z
sp heißt a* , <r die vierte ; <^ — «4. a die fünfte;
s"— «i. s die sechste, a'" die mte Potenz von a; so wie
« die vierte Wurzel von hie fünfte Wurzel von a^, unb
die sstte Wurzel von genennt wird,

j. ii6-

Eine gegebene Größe auf die mte Potenz erheben heißt
demnach nichts anders, als diese Größe mmal durch dse

H 2 Mul-

n8 Dritte Vorlef. i. Abschnitt.

Multiplikation ansetzen, wo das Produkt die mte Potenz
dieser Größe ist ; und die Zahl m, welche anzeigt, wie
vielmal die gegebene Größe in der Multiplikation als Faktor
anzusetzen sey, ist der Exponent der Potenz.

Und eben so heißt auch die mte Wurzel aus einer gege¬
benen Größe ziehen nichts anders, als die vorgegebene Größe
in -n gleiche Faktoren zerlegen, oder welches einerley ist, eine
Größe finden, die mmal durch die Multiplikation angefttzt
die gegebene Größe zuiy Vorschein bringet.

§. n/.

Damit man aber alsoglejch wisse, welche Wurzel aus
tmer vorgegebenen Größe zir ziehen verlangt wird, bedient
wan sich des Zeichens i/s ober welchem die Zahl gesetzt
wird, welche anzeiget, in wie viel gleiche Faktoren die H a¬
lter diesem Zeichen befindliche Größe zerlegt werden soll;
und diese Zahl wird hier der Exponent dos Wurzelzeichens,
Pder der Wurzelexponent genenner. So schreibt man z. B.

2 Z 4

z/64 x- 8; ^64 —4; l^8i — z; und wird gelesen,
die Quadratwurzel aus 64 ist gleich 8die Kubikwurzel aus
64 ist gleich 4; die vierte Wurzel <n;s 8 t ist gleich z.

Bey der Quadratwurzel pflegt man zwar selten cm Ex¬
ponenten des Wurzelzeichens ausdrücklich anzusetzen, sondern
es wird jederzeit, wenn kein Exponent ober dem Wurzelzei¬
chen angesetzt ist, die Quadratwurzel darunter verstanden; so
schreibt man z. B. — a.

Die gezogene Wurzel aus einer Größe muß H.-m-
nsch also beschaffen sepn, daß, wenn man sie auf die
Potenz -es Wurzelexponenten erhebt, die Große unter
-eM Wurzelzeichen wieder zum Vorschein komme.

Anmerkung Wie Potenzen zu addiren, subkrahieen,
multipliziren, und zu dividiren sind, ist bereits bekannt, da
für die Rechnungsarten der algebraischen Größen mit Expo¬
nenten allgemeine Regeln festgesetzt worden (§. 6z. bis 67.)
und

Non den Potenzen und Wurzeln überhaupt. 119
und die Potenzen nichts anders sind , als solche mit Expo¬
nenten behaftete algebraisch: Größen.

n 8»

Jede Potenz einer positiven Wurzel ist positiv;
denn, wie könnte wohl aus der Multiplikation einiger positi¬
ven Faktoren ein negatives Produkt entstehen? Erhebt man
gber eine negative Größe z. B. (— a) auf die nacheinander
folgenden Potenzen, so ist (— — — u x — a — st- ast;

(—-a)b— ( — x — <2— x— a -s?;

(— -7)^ — (— X —'« — — «b x — a — st- u, s. W.;
nämlich alle geraden Potenzen einer negativen Wurzel
find positiv, und alle ungeraden sind negativ. Man hat
deswegen (— von — sorgfältig zu unterscheiden; denn
(— — — a X — a st- ach und — — L X st- a.

Hy.

Es folgt hieraus. I. Jede ungerade Wurzel
aus eu er positiven Große ist positiv, und aus einer
neyatwen Große negativ; z- B. ix-!- — st- s, und

jx^- — — a.

II. Hingegen kann jede gerade Wurzel aus' einer
positiven Größe sowohl positiv, als auch negativ iepn;
ch B. rx st- ist sowohl st-- <2, als auch — a, weil jedes
mit sich schbst multipliziret st- giebt. Man pflegt daher
auch bey Ausziehüng der geraden Wurzeln jederzeit beide
Zeichen vor der Wurzel anzusetzen, wo sodann ander; Um¬
stände der RechmAgeu, worin» solche Vorkommen, entschei¬
den muffen, welches von beiden Zeichen zu nehmen sey; so
schreibt man z. B. rX ach — a; und zwar X" — st- a,
wenn es aus andern Umständen bekannt ist , es seh st- <r
ins Quadrat erhoben worden; hingegen ist »X a>
wenn es sonst ausgemacht ist, daß eine negative Größe ins
Quadrat erhoben worden sey.

H 4 III.

;rc» Dritte Vorlef. I. Abschnitt.

III. Sollte aber aus einer negativen Größe eine ge-
rade Wurzel gezogen werden, so läßt sich gar nicht gedenken,
wie aus der Multiplikation einer geraden Anzahl negativer
Faktoren ein negatives Produkt entstehen könnte, und folglich
ist es unmöglich eine solche Wurzel anzugeben. Solche ge¬
rade Wurzeln aus negativen Größen werden daher unmög¬
liche oder eingebildete Größen genennt; so sind z.B. l^ —«,
4

— a» unmögliche Größen.

120.

Ern Produkt wird auf eine Potenz erhoben, wen»
man jeden Faktor insbesondere auf die verlangte Po¬
tenz erhebt, und diese Potenzen miteinander mulci»
plizrret. Denn es ist z. B. (a^)* --aäo. aLo. aL« —
Vermög (n6.); eben so ist («Sa)"- — n"-

(72> — (6 . Z . 4)b 6^, zb , 4- — 216.27 . 64

- 373248.

Und eben so kann auch umgekehrt aus einem Pro¬
dukte eine beliebige Wurzel gezogen werden , wenn
man aus jedem Faktor die Wurzel insbesondere zieht,
und solche miteinander multipliziret. So ist z. B.

M /?r Z 3 Z

—1^27.^-j/27. !/7rS-Z«;
^§76— t^'4. 9. 16— 4. 9. 16 —2.Z.4-24.

§. 121.

Eine Zahl, welche am Ende Nullen Lae, kann
daher zum Eluadrat erhoben werden, wenn man nur
die bedeurlichen Ziffern ins «Nuadrae erhebt, und hin¬
ten doppelt so viele Nulle» anhffngt, als die Wurzel
deren hat. So ist z. B. ( 92)^ ( 9.19)^ 9-. 12^

— 8'1. IQ2 r^8ioo.

Eben so wird auch eine Zahl, die hinten Nullen
hat, zum Nubus erhoben, wenn man nur die be-
heuF-

Non den Potenzen und Wurzeln überhaupt, irr

deutlichen Ziffern erhebt, und hinten öreymal so viele
Nullen ankangt, als die Wurzel deren hat. So ist z.
B. (zoo)3 — (z . 122)^—27.1222222 — 2/222222.

Und so ist auch wieder umgekehrt 642222— t^64X

12222—8.122 — 822; 27222 — 1/27 . 1 222

-Z.I2-Z2.

Hieraus folgt, daß so oft man ein Quadrat mit 122
pmltipliziret, so oft wird dadurch die Wurzel mit 12 multi-
pliziret; und so ost man den Kubus einer Größe mit 1222
multipliziret, so oft wird die dazu gehörige Wurzel mit 12
pmltipliziret.

Z. 122.

Soll ein Bruch auf eine Potenz erhoben werden,
so erhebe man den Zahler und Nennerjjauf die ver»

a a

langte Potenz. So ist z. B. ( — )

0 - 0

Es wird daher auch umgekehrt aus einem Bruche
eine Wurzel gezogen, wenn man aus dem Zahler und
aus dem Nenner die verlangte Wurzel ziehet. So ist j. B.

3

49  _ ^49  - ^7. ^.8 l^8 ^2  _ a

2Z l^2A z' 27-^27-2'

Z. 12z.

Es folgt aus diefem I. daß die Potenzen eines
achten Bruches immer kleiner werden, in st höhere Potenzen

H Z man

I2L

Dritte Bortes, l. Abschnitt.

yran den Bruch erhebt; beim, wenn L > a ist, so ist auch
a a? a?

— > - > u» s. w.

L A- A?

1l. Hingegen werden die Potenzen eines Bruches
der > i ist, immer größer, in je höhere Potenzen may
den Bruch erhebt; denn, wenn L < a, so ist auch

er a? er?

— < — < — U. s. W.

L A- A?

m. Wäre aber -r — A, so ist jede Potenz, so wie

er

auch jede Wurzel von immer— r ; weil ein solcher Bruch
s

— der Einheit, und sowohl jede Potenz, als auch jede
Wurzel von l immer gleich i ist.

I V. Ist auch hieraus zu ersehen, daß keine Potenz weder
emes eigentlichen noch uneigentlichen Bruches eine ganze Zahl
werden kann ; z. B. wenn — ein Bruch ist , wo L in «
A

a* «r a"-

nicht genau enthalten ist, so kann —,

, a a a

keine ganze Zahl scyn; denn wäre z. B. -- —

o? »LA

eine ganze Zahl, so müßte a durch L genau theilbar sehr. ,
welches wider die Voraussetzung ist.

124.

Sollte daher aus einer ganzen Zahl was immer für ei-
ne Wurzel gezogen werden, und es ist letztere keine ganze
Zahl, so kann eben diese Wurzel auch kein Bruch seyn. Z.
B. obschon v/ 6 > seyn muß als 2, und < Z, so kann doch
kein Bruch gefunden werden, welcher zu 2 addirt vollkom¬
men genau die Quadratwurzel aus 6 giebt ; denn gäbe es
«inen solchen Bruch, so müßte die Potenz eines uneigentli-
. . chen -

Von den Potenzen und Wurzeln überhaupt. 12z
chen Bruches eine ganze Zahl sepn, welches doch vermög
(Z. I2A. IV.) nicht seyn kann. Daß man sich aber doch
dem Werthe einer solchen Wurzel durch Dezimalstellen so weit
nähern könne, als es nur immer die Richtigkeit einer Rech¬
nung erfordert, wird in der Folge gezeiget werden.

Z, I2A.

Alle solche Mit Wurzelzeichen behaftete Größen, deren
Wurzeln sich nicht vollkommen genau ausziehen- lassen, näm¬
lich die Wurzeln aus unvollkommenen Potenzen werden ir-
rationale Grossen genennt; so sind z. B.z-s/ 2, 8, -k/ 9

irrationale Größen; im Gegentheil heissen jene rationale
Grössen , wo sich die Wurzel genau ausziehen läßt; so sind
j/"9, ll^8, 64, z/^64 rationale Größen»

Auch die algebraischen Größen, qus denen sich die an¬
gezeigte Wurzel nicht genau ausziehen läßt, werden alge-
z
draische irrationale Grosses genennt; so sind z. B. s/a,

in so lang irrational, bis m,an für die
Größen unter dem Zeichen solche Zahlen annimmt', damit
sich die Wurzel genau ausziehen läßt; hingegen sind a«,

<,^ebraisch rationale Großen, weil sich die
Wurzel genau ausziehen läßt, man möge für a und ö wqs
immer setzen, ....

§. 126.

Jede Grosse, -ie zu ibrem Exponenten eine Nulle
Sar, ist einer Einheit ylerch; nämlich a°—I.

Denn es ist a"» -L°vermög f§. 6z. N. z.) ;

ts ist aber auch ; vermög! (§. 72.);

folglich auch vermög^, I2< Grunds, Z,),

Da

r24 Dritte Wortes, l. Abschnitt.

Da nun a jede , sowohl einfache, als zusammengesetzte
Größe vorsiellcn kann, so ist auch jede Größe mit dem Ex?

ponenken o einer Einheit gleich; so ist l; (ch—ae)°—i,

127.

Jede Größe, die einen negativen Exponenten hat,
ist gleich einem Bruche -essen Zahler -ie Einheit, und
-er Nenner die nämliche Größe mit -essr positiven Ex-
l
ponenten ist; nämlich — —
(.r. a"

Denn n"-:-lT"-2'»—-»»«ach (s. 65. N. z.);
a— «i

und auch a'»: a-^ —— --—— vermög (§. 79.);

k

folglich auch — vermög (h. !2. Grundsatz z.)
a"?

Und so ist auch umgekehrt - — ;

i l

denn —'- — i : a—"» — 1 : — ur"* , rvo a und m wu
a"»

immer beschaffen seyn können.

Dieses gicbt uns ein Mittel an die Hand, jeden Bruch
in Gestalt einer ganzen Zahl vorznstellen , oder auch jeden
Faktor--aus dem.Zähler in den Nenner, und aus dem Nen¬
ner in den Zähler zu übertragen, wenn man bey den über¬
tragenen Faktoren die Zeichen der Exponenten ändert. Sa
a i aL?

B. — — a . — — arr—» ;-— —  -- j

w? t,vr—"r

er^  — ae(.r^ —a) — cr

Lei t

Z I Z r

Z. rrö.

-stkr.

Non den Potenzen und Wurzeln überhaupt. r»Z

128.

Einnamige Potenzen können wieder zu andern
Potenzen erhoben werden, deren Exponenten gegeben
sind, wenn man den Exponenten derpotenz mit -em ge¬
gebenen Exponenten mulriplizirer; nämlich
Denn

Beyspielr.

( rr". a" — <r4-ch4-b4r^a^ - 4— a".

( — Le-S)? — — a« LeZ X — a" 4- ^c°.

s — ) --; s,/S (a^ -p a" (a" -j-

^»i/r

Auch bep den negativen Exponenten gilt diese Regel; denn
/".t i

«s ist z. -n-«-,"-nach (s. 127);

, 1 1

Cer"" --—--— a—.

Es ist allhier wieder zu merken, daß man bey einer
negativen Größe das Zeichen — in -l- verwandeln müsse,
wenn der gegebene Exponent wie im B. z. eine gerade Zahl ist»
Denn die Bezeichnung ist vermög (j. 118.) von-
wohl zu unterscheiden; (—a"- )"ist gleich -ha"'», hingegen ist
u""".

§. 129.

And umgekehrt wird aus einer eilrnaitri'gen Po-
tdnz )ede beliebige Wurzel gezogen, wenn man -en
Exponenten -er Potenz -urch -en Exponenten-es lvur-
/r a

Zelzeichens -ivi-Lret, nämlich ; so j. B. ist

4 z L 4

rrs

Mitte Vorles. I. Abschnitt.

4-ar^^ ^-4-rr^z weil diese Wurzeln so beschaffen M/ i
daß, wenn man solche wieder auf die Potenz des Wurzeff
exponenten erhebt, sie die Größen miter dem Wurzelzeichen/
die Potenzen nämlich, wieder zum Vorschein bringen. '

IZO.

Wenn man was immer für eine zweynamige Große
a-z-L nach (Z. uz.) ins Quadrat erhebt, fo ist(«-i-6)-
( a-h-ä ) — -j-an- -s- — 2«i5'-j-^;

nämlich: bas «Quadrat eineb jedöü zweynamigen Größe
besteht l') aus*dem «Quadrate des ersten Theiles-
2) aus dem doppelten Produkte des ersten in deN
zweiten Therl, und Z) aus dem «Quadrate des zwei¬
ten Theiles. Setzet man nun —— ar, so ist2«^- — 2aar
und — (—ar)^ — "h ; also (« — ar/ <2^ — 2«ar 4- .r'r

Bchspieler

(a^—i —2^4- i;

(l — ar/—I — 2ar-s-ar^.

(99)^ — (90-1-9/^-8100 -1- 1620 4- 81 —
tzder auch (99/ — (100 — i/ — 10022 — 200 -i- i

r -9821.

§. IZt.

Sollte eine dreynamige Größe «4-44- u ins Qua¬
drat erhoben werden, so kann solche als rine zwrynamigr be- ,
handelt werden > indem man ( a -j- ) für den ersten, und

a

Von den Potenzen und Wurzeln überhaupt. 127
e für den andern Theil ansicht. Es ist sodann (a4-^4-c)^
" K 4- ) 4- c ( K 4- 't' 2( n 4° ^)c' 4-

— 4- 2 r^ 4- 4- 4- 2^c 4- ; nämlich das

Quadrat einer jeden dreynämigen Größe, besteht i) aus
dem Quadrate des ersten Theiles, 2) aus dem doppelten
Produkte des ersten Theiles in den zweyten; Z) aus dem
Quadrate des zweyten Theiles; 4) ans dem doppelten Pro¬
dukte des ersten und zweytLN Theiles in den dritten; und
Endlich Z) aus dem Quadrare des dritten Theiles.

Beyfpiele-

L-

! a — — ) — a?> 2-r.r 4-4-aL — s^r 4—;

V 2> 4

(2-2? — Zaa"— 4.^)^— 4a" — l2«^4- 9«^ — i6a^
4- 24^ 4- i6 »4.

(l — cr 4- — 1 — 2w 4- 4- 2w^ — 2ae? 4- er*

— ue* — 2w^ 4- Zu4 — 2 r 4- 1.

(999)^ — (9224-99)^ — (920 4- 92 -l- 9)^ — 810222
4- 162022 4- 8120 4- 16222 4- 1620 4- 8r

— 998201.

IZ2.

Erhebt man auf die nämliche Art eine viernamige Größe
<r 4- 64- c4- r/ ins Quadrat, fo ist f (n 4- il- 4- c?) 4-

— (a 4- t- 4- 4- 2(a 4- t- 4- e) e/ 4- 4- 2-^ 4-

4- 2nc 4- 2^c 4- 4- 2"ük 4- 2<^c/ 4- 2ccf 4- ; und fo könnte
auch eine 5,6, 7namige Größe u. s. w. ins Quadrat er¬
hoben werden, woraus man sieht, daß das (Quadrat e»
Ner jeden mehrnamigen Größe bestehe, 1) «US -eM
(Quadrate eines jeden Gliedes insbesondere, und 2)
aus Len doppelten Produkten eines jeden Gliedes m
alle seine nachfolgenden Glieder.

rzz.

128 Dritte Vorles. l. Abschnitt.

IZZ»

Der Rnbus einer jeden zweynamigen Große «46
besteht i) aus dem Rubus -es ersten Gliedes ab; 2)
aus dem dreifachen Produkte des «Quadrats vom ersten
Glieds in das zweite Ze?6; z) aus dem dreifachen
Produkte des «Quadrats des zweiten Gliedes in das
erste ; und 4) endlich aus dem Rubus des zwei¬
ten Gliedes 6^. Denn es ist (§. 114. )

(«46)^ — (a 4- 6)? 47- 6) — 4-2-264- 6^) (a 4- 6)

— «b 4. 2a^6 4- «6? 4- a^6 4 2a6? 4 6^

— «b 4. ^2624

Setzet man 6 — — a? , so ist za^6 — — Za^r; Zn6^

— za X ( — ae)2-ut: 4- Za.r-2; irnd ( — ^7)3 — — ^-s»
folglich (a — er)b— — Z<?^ 4-

Beyspiele.

(2arr— ^2)b — g^-3^3 — 12«^^ 4-

(l — ^r)b — I — Zw 4- Zw? — wbt

X" 1 27«2 92 1

( 2^4-- ) — 27^4-4- — 4-—.

2-> ' 2 48

(n)^ — ( 10 4 1 )^ — 1222 4- Z22 4- ZO 4- I

— 1222 4- ZZI - IZZ1.

(99)b — (90 4- 9> —729000 4- 218700 4- 21870
M. 4- 729 —729000 4- 241299 — 972299 ;

oder auch (99)^ — (102 — 1)^ — 1222222 — Z2222
4- Z22 — 1 — 972299^

§. 134«

Ist' eine dreynamige Gr'öße a 4- 6 4- a zum Kubus zu
erheben, so ist, wenn man die ersten zwei) Glieder als eiii-
namig betrachtet, ("4-6 4- — s 4- 6) 4- e — (« 4- -!-)b

4-Z («4-6)2.^4-Z («4- 6)6-24- c-b^ ^^4- Z-.2^^_ ^,^2
4-6^4- Z («4- 6)2, c 4 Z («4- 6). c? 4- ; nämlich det

K»r

Von den Potenzen und Wurzeln überhaupt. 129

Kubus einer dreynamigen Größe besteht i) aus dem Kubus
des ersten Gliedes; 2) aus dem dreyfachen Quadrate des
ersten Gliedes, multiplizirt mit dem zweyten; Z) aus dem
dreyfachen Quadrate des zweiten Gliedes , multiplizirt mit
dem ersten; 4) aus dem Kubus des zweiten Gliedes; Z)
aus dem dreyfachen Quadrate der Suinme des ersten und
zweyten Gliedes, multiplizirt mit dem dritten; 6) aus dem
dreyfachen Quadrate des dritten Gliedes, multiplizirt mit der
Summe des ersten und zweyten; und endlich 7) aus dem
Kubus des dritten Gliedes.

Beyspitle,

( I 4 L- — er?)? — i 4 Z r-f Zer^ 4. er^ — Ker'— 6— Ka4
4- Z-r" 4- — l 4 Z-v — Z.r- 4 Z — «'4.

( 999)^ — ( 9004-90 4 9 )b — 7^2222224 218722020
4 21870222 4 729222 4- 26462722 4 242z70
4 729 — 997222999.

Wenn man nun auf eben dieft Art eine vier- fünf,
sechsnamige Größe u. s. w. zum Kubus erhebt, indem man
selbe jederzeit als zweynamig betrachtet- so findet man^ daß
der Rubus einer jeden Mehtnamigen Große bestehe, i)
aus -em Rubus eines jeden einzelnen Gliedes insbe«
sondere, 2) aus den -repfachen Produkten eines jeden
Gliedes in das (Quadrat der Summ/ aller vorherge^
henden Glieder - und Z) aus -en -rspfachen Produk¬
ten -es Eluadrates eines jeden Gliedes rn die Summe
aller vorhergehenden Glieder.

So ist z. B. ( a 4 4 4 <^4 e 4 /4F 4^4.. . —
c.r 4 43^24.^4.^ <74 Z («4^ ) 0'^4^

4 Z (u4^4a/e/4 z (L/4/-47) e44- 4 z (a4^4c4ei)-.6
4 Z ( a-4^4c4ci) ^4^4... U, s. w.

vsrles, I. B-

r,Z6s

LZS Dritte Vorles. i. Abschnitt. .

§ 136.

So Wit wir allgemeine Regeln gefunden haben, naH
welchen eine mehrnamige Größe zur zibeyten und zur dritte»
Potenz erhoben werden kann z eben so lassen sich auch für I
die vierte, fünfte, und höhere Potenzen der mehrnamige»
Größen allgemeine Regeln herleiten. Allein, da diese Re¬
geln schon sehr weitläufig sind, und wir überdieß weiter
hinten, bey der Lehre von den unendlichen Reihen, Gelegen¬
heit haben werden, eine allgemeinere Formel für jede Potenz
n einer zweynamigen Größe ( zu entwickeln, so kön¬
nen solche hier mit Stillschweigen übergangen werden. In¬
dessen können doch die fleißiger» Anfänger bereits mit ihren
tigene» Kräften untersuchen, aus was für Theilen die 4te,
Zte, 6te, und 7te Potenz eineri zweynamigen Größe beste¬
he, wodurch sich sodann^ede zwepnamige Größe auf solche
Potenzen sehr leicht und "schwind erheben läßt.

IZ7'

Grundsätze N. i. Wenn man gleiche Größen zu gleichen
Potenzen erhebt, so sind die Potenzen einander gleich z erhebt
man aber ungleiche Größen zu gleichen Potenzen, so ist dii
PoteiH der kleinern Größe auch kleiner als die andere.

Bepspiele,

Es ist 8 — ZZ Wenn « — ö

Also auch 8? - ( 5 Z ft ist auch

nämlich 64 - 2Z -l- ZO -k- 9 Ist aber « > S

so ist auch > S"--

N. 2. Zieht man aus gleichen Größen gleiche Wur¬
zeln, so sind auch die Wurzeln einander gleich. Wenn man
hingegen aus ungleichen Größen gleiche Wurzeln zieht, so ist
jenej größer, die aus der größer» Größe gezogen wird.

Von d. Äusz. d.Quadrat - u. Kubikwurzel. tgi
Beyspiele.

Es ist 64 — 2Z4-Z04-9 Wenn a —ö

M /-e

also auch 64 — (2Z 4- ZV 4-9) so ist auch -r —

nämlich 64 — ( Z 4- Z / Ist aber a > S

/?r /-r

und 8 — Z 4- Z so ist auch l^«> j/L

II, Abschnirr.

Von der Äusziehung der Quadrat - und Kubik¬
wurzel aus zusammengesetzten Größen ins¬
besondere.

§. 138.

Wie ans einer einnamigen algebraischen Größd dieQtra-
drat- und Kubikwurzel ausgezogen werden kann* ist bereits
in (§. 129.) gesagt worden.

Damit man aber auch die Quadrat - und Kubikwurzel
aus einer vorgegebenen Zahl, wenn die Wurzel nur aus
Uner einzigen Ziffer besteht - alsog^eich wissen könne, ist es
erforderlich, daß man die zweptcn und dritten Potenzen aller
einfachen Zahlen von 1 bis 9 im Gedächtnisse behalte, wovon
die erstem ohnehin schon in dem Einmaleins enthalten sind;

Zur kurze» Uebersicht kann folgende Tafel dienen:

I 2 ch-K

zz2 Dritte Vorles. n. Abschnitt.

Woraus schon zu ersehen ist- daß die Quadratwurzel aus
einer Zahl von einer oder zwei) Ziffern, nur aus einer ein¬
zigen Ziffer bestehen könne, und daß solche Wurzel, wenn
die gegebene Zahl nicht Unter den Quadratzahlen in der Ta¬
fel enthalten ist, irrational seyn muffe (§. I2Z.); so ist z.B»
^72 > 8, und <9, und folglich irrational. Eben so ist
auch daraus zu ersehen, daß die Kubikwurzel aus einer Zahl-
die nicht mehr als Z Ziffern enthält, nur aus einer einzigen
r

Ziffer bestehen könne; so ist z. B. k^999 < io, weil lo^
Ivos; und > 9, weil 9? — 729 ist; eben so ist
r

L^8! > 4, und < Z.

tZ9-

Wenn aus einer mehrnamigen algebraischen Größe die
Quadratwurzel gezogen werden soll, so kann die Größe,
wenn sie auch aus noch so vielen Gliedern besteht, als das
Quadrat einer zweynamigen Wurzel angesehen werden; weil
vermög (Z» lZ2.). jede inehrnamige Größe, als zweynamig
vorgestellt, ins Quadrat erhoben werden kann.

Wenn man sich nun an die Theile erinnert, aus wel¬
chen das Quadrat einer zweynamigen Größe zusammengesetzt
ist, a?4-2«ö4-^ —(a4-s>)2; so ergeben sich für die Aus¬
ziehung der Quadratwurzel aus einer mehrnamigen Größe
( z. B. aus »4 9. K 9-!2«^-h 4^) folgende
allgemeine Regeln»

( a? 4- 6a^ 4- Ze? ^ —> i 2«^ 9- 9» — 2^

-4-Za^ I2a^4-4^ § r 2a"

4  6ab^,^9«^ö' 

— 4^^—1200^9-4^ I t(2a^9-6sö)

— 4«? — l 2a^ 9- 9,^

9. 9. —

V

Von d. Ausz. d. Quadrat-u.Kublkwurz el. rzz

1) Aus dem ersten Gliede der gegebenen Grosse ziehe
man die Quadratwurzel (giebt a?) ; dieses setze man als
das erste Glied der Wurzel nach dem Gleichheitszeichen hin;
erhebe es wieder ins Quadrat, und ziehe es vom ersten
Gliebe ab, so wird solches getilget.

2) Da nun ferner noch das doppelte Produkt' aus

dem ersten in das zweyke Glied, in dem Reste stecken muß;
so dividire man das folgende Glied (6a?ä) .des Restes
durch den doppelten gefundenen ersten Theil (2<r-) der Wur¬
zel, so giebt der Quotient (za^) das zweyte Glied der ge¬
suchten Wurzel. Mit diesem Gliedc multiplizire man de»
Divisor, so hat man das doppelte Produkt des ersten Thei-
les in den zweiten (6-^); ferner multiplizire man eben
dieses Glied der Wurzel noch mit sich selbsten, so hat man
das Quadrat des zweyten Thciles ( ; ziehet man nun

beyde von der gegebenen Größe ab, so hat man das vollstän¬
dige Quadrat der gefundenen zweynamigen Größe
abgezogen.

z) Bleibt noch ein Rest übrig, so ist es ein Zeichen,
daß die gesuchte Wurzel mehr, als zwey Glieder habe; man
sehe deswegen die schon gefundenen zwey Glieder als den er¬
sten Theil der Wurzel an; und da das Quadrat dieses Thei-
t'es schon abgezogen ist, so dividire man wieder den Nest
durch das Doppelte der schon gefundenen Wurzel ( hier nämlich
durch fo wird der Huotient (—2^) das fol¬

gende Glied der Wurzel feyn. Mit diesem neuen Gliede
multiplizire man wieder den Divisor, erhebe auch eben die¬
ses Glied ins Quadrat, ziehe das stjmmtlichc Produkt von
dem Dividcndus ab, so hat man schon bereits bas Quadrat
der gefundenen dreynamigen Größe — 2^) von

der vorgegebenen Größe abgezogen. Und so könnte man
auch, wenn noch ein Rest vorhanden wäre, das vierte Glied
der Wurzel finden, indem man alle bereits schon gefundenen
Glieder als den ersten Theil der Wurzel betrachtet, und den

I L zwey-

rz4 Dritte Vorlef. H. Abschnitt.

zweyten durch die Division mittelst des Doppelten aller schon
gefundenen Glieder dec Wurzel suchet, m s. w.

4) Wenn nun die gegebene Große ein vollständiges
Quadrat ist, so wird diese vorgeschriebene Operation einmal
«in Ende nehmen; im Gegentheilc aber, wenn die vorgege¬
bene Gr'üße kein vollständiges Quadrat sepn sollte, so wurde
man auch mit diesem Verfahren nie zu Ende kommen, son¬
dern die Glieder der Wurzel würden ohne Ende fortgehen
wie es im Beispiele HI. zu ersehen ist,

Beyspisle.

I. i/(4—8^4-4^-l-^) —2—2^—

4_

- 8^ 4- 41^ 4-^! : 4

" 8^ H 4^ _

- 4^ 4- 4^ 4-^ !: 4-4^

w 4^ ch 4^^^

O

<r

Kt.

Bon d.Ausz. d. Quadrat-».Kubikwurzel. rz§


-: 2a — "

4^ a

. er^

^7 — 4 — 4--

4«' 8 a" 64«^

8«- 64^

Z. I4O.

Wenn aus einer mehrnanrigen algebraischen Grüße die
Kubikwurzel gezogen werden sollte, so fliessen aus den schon
bekannten Theilen, aus welchen der Kubus einer zweynami-
gcn Grüße <^4Za?ä4 -s- (a-I-ö)b zusammengesetzt

ist (§. IZZ.), folgende allgemeine Regeln:

1) Aus dem ersten Gliedr der gegebenen Größe (8^'
im folgenden Beyspiele I.) ziehe man die Kubikwurzel
(2-r), so giebt dieses Glied den ersten Theil der gesuchten
Wurzel; den Kubus hievon ziehe man von der gegebenen
Größe ab.

2) Da nun in dem Reste das dreyfache Produkt aus
dem Quadrate des ersten Thcils, multiplizirt mit dem zwey-
ten enthalten feyn muß (s. izz.); so dividire man solchen
durch das dreyfache Quadrat des schon gefundenen ersten
Ehestes (12^), so giebt der Quotient (Z§) den zweyte«

I 4 Lhe-l

rz6 Dritte Vorles. II. Abschnitt.

Theil der gebuchten Wurzel. Mit diesem Quotienten multi-
plizire man den Divisor, so ist dieses (z6n^) das drcyfa-
che Produkt aus dem Quadrate des ersten Thcilcs in den
zweyten. Ferner multiplizire man das dreyfache Quadrat
les zweyten Theiles mit dem ersten (gieb-t A4^); sodann
erhebe man auch noch den zweyten Theil zum Kubus ( giebt
27^^); und da alles dieses in dem Rest enthalten seyn muß,
O« IZZ«) so Ziehe man solches von dem Reste gehörig ab.

z) Bleibt nun noch ein Rest übrig, wie im folgenden
Teyspiele H., so ist es ein Zeichen, daß die Wurzel aus
n ehr , als zwey Gliedern bestehe. Man sehe daher die
'sl on gefundenen zwey Glieder (2^ 4- w) als den ersten
Theil der Wurzel an, und suche, wie vorhin, den zweyten;
man dividire zu dem Ende den Rest durch das dreyfache Qua¬
drat der schon gefundenen Wurzel, so giebt der Quotient das
dritte Glied der Wurzel. Mit diesem Quotienten multiplizire
mau den Divisor; das dreyfache Quadrat dieses Quotien¬
ten multiplizire man mit den vorhergehenden Gliedern der
Wurzel; endlich erhebe man auch diesen Quotienten zum
Kubus, und ziehe diese drey Produkte von dem Dividen-
dus ab. Und so wird dieses Verfahren Key jedem nachfol¬
genden Reste wiederholet, indem man jederzeit die schon ge¬
fundenen Glieder der Wurzel als den ersten Theil betrachtet,
und den zweyten suchet.

4) Kömmt man nun durch diese Operation einmal zu
Ende, so, daß kein Rest mehr übrig bleibt, so ist die vor--
gegebene Größe ein vollkommener Kubus, wovon die Wur¬
zel gefunden ist; im Gegenteile aber, wenn die vorgegebe¬
ne Grüße kein vollkommener Kubus seyn sollte, wie im fol-
Ktnden B'ysyiele M., so wird mag auch mit diese»«-Opera-
kryy sp.e zu Ende kommem

Von d.Ausz. d. Quadrat- u. Kubikwurzel. 137

Beyspiele.

I. (8-^ 4- 362^ 4- 5426' 4- 27^^) - 2« 4- zL
4^ 8-r?

362'1- 4- 54aL' 4- 27^ ! : 12^
^362'L^d 54«S' 27^^

O

z >

H' ^(8-^4-12^ — Z2.a4- Zz.r-r 4- 45.^4-27^—27)

— 2r'4-2e—g

8

122^—3 o.r4—3 ZW-4-45 .2'4-272'-27 j: l 2.^

12.2^ 4^ 6^ -b ,2^

—36.^—36 ^4-45.^4-27^—27

: I2 r"4- 12.2' 4- 3

Iss36 36.^41 92'4^ 54^4^ 274! 27

o

3 er' 5^ i or"

III. z/(a'4-^)—«4-1-u. s. w.

32' 92' 8l«b 2432"

ZlnmerkunF. Es ist hier noch zu erinnern, daß
man bey der Ausziehung der Quadrat-und Kubikwurzel aus
mehrnamigen algebraischen Größen, auch zugleich auf die
Ordnung der- Glieder zu sehen habe, damit nicht die «Divi¬
sion in irgend einem unrechten Glieds geschieht, wodurch
man mehrere Glieder in der Wurzel erhält, die sich zwar
wied r wechselweise tilgen, die Operation hingegen doch dadurch
verzögert wird. Da aber der Fall äusserst selten vorkömmt,
daß aus mehrnamigen algebraischen Größen die Quadrat-
oder Kubikwurzel zu ziehen wäre, sondern meistens nur aus
rinem oollstch-digen Quadrat einer zwepnamigen Größt, wel¬
ches ohnehin leicht zu ordnen ist, die Wurzel zu ziehen ver-

A A langt

IZ8 Dritte V orle s. n. Abschnitt.

langt wird , so wollen wir uns hiebey auch nicht länger
aufhalten.

i4r»

Um aber auch allgemeine Regeln bestimmen zu können,
nach welchen aus jeder gegebenen, mit noch so viel Ziffern
geschriebenen Zahl die Quadrat-und Kubikwurzel theilweise,
und zwar nach ihrer dekadischen Ordnung gefunden werden
kann, ist es vorher nothwendig, Untersuchungen anzustellen,
wie und auf welche Art die Theile des Quadrats oder Ku¬
bus bey unserem Zahlensysteme miteinander verbunden sind,
und wie weit sich nach der dekadischen Ordnung das Qua¬
drat , oder der Kubus einer jeden einzelnen bedenklichen Zif¬
fer der Wurzel in dem Quadrate oder Kubus aller Ziffern
erstrecke. Dieses laßt sich bestimmen, wenn man eine vor¬
gegebene Zahl nach ihrer dekadischen Ordnung in Theile zer¬
leget, und sodann eine solche Zahl, als eine mchrnamige
Größe, zum Quadrat oder Kubus (nach §. IZ2. und lZA.)
erhebet ; wie es in der Folge zu ersehen seyn wird.

s. 142.

Menn man eine Zahl, welche aus m (z B. aus Z)
Ziffern besteht, zum cttuaörat erhebt, so kann das
Muabrat nicht mehr als 2/» (als 6) und nicht weniger
als 2'2r— i(als 5) Ziffern haben.

Denn da die Fahl nur aus m (aus z) Ziffern besteht,
so muß dieselbe, wen» sie auch aus lauter ynern bestünde,
(nrrmlich wäre) , dennoch kleiner seyn als 1 mit m
angehängten Nullen (999 < 122,9); daher ist auch ihr
Quadrat kleiner als das Quadrat von l mit /er angrhäng-
ten Nullen (§. I ZZ. Grunds, i.). Nun aber ist das Qua¬
drat von 1 mit M angehängten Nullen ( vermög 121.)
«ine Einheit mit 2m angehängten Nullen (nämlich 1022"
" 1022322), welches dis möglich kleinste Zahl ist, die
mit 2m 4-1 (mit 7) Ziffern geschrieben wird; folglich kann,
das

Von d. Ausz. d. Quadrat-u. Kubikwurzel, izz
das Quadrat einer Dahl von m ( von Z ) Ziffern nicht aus
2'n 1 (aus 7) Ziffern, sondern höchstens nur aus 2 /n (aus 6).
Ziffern lest.hen.

Ferner ist die möglich kleinste Zahl von n (von A)
Ziffern eine Einheit mit m — i (mit 2) angehängten Nul¬
len (nämlich iso); und diese zum Quadrat erhoben gicbt i
Mit 2m —2 (mit 4) angehängten Nullen, (nämlich 1 20-
12222); folglich eine Zahl mit 2m — 1 (mit 5) Ziffern ;
dober muß auch das Quadrat von jeder andern Zahl von z»
(von -z) Ziffern wenigstens aus 2-n — i (aus Z) Ziffern
besiehe

§. 143-

Man kann demnach auch umgekehrt aus der Anzahl der
Ziffern einer vorgegebenen Zahl alsogleich wissen, aus wie,
viel Ziffern die daraus zu ziehende Quadratwurzel bestehen
müsse; wenn man nämlich eine gegebene Eluadratzahl
von der Rechten gegen die Linke in Rlassen von zwey
Ziffern abtheilet, wo die letzte Rlasse links bep einer
ungeraden Anzahl der Ziffern auch nur eine einzige Ziffer
enthalt, so besteht -re (Quadratwurzel davon aus so
viel Ziffern, als Rlassen vorhanden sind.

144.

Erhebt man ferner eine Zahl — (.., I222ri4- 122-7
4-12^4- a) , deren bedenkliche Ziffern nämlich von der
Rechten gegen die Linke u, L, a, a- u. s. w. seyn sollen,
«is eine mehrnamige Größe betrachtet, nach (Z. iza.) ins
Quadrat, so ist

das Quadrat der Einheiten —

- - Zehner — ö* . 122 >

- - Hunderte — . 12222 > (§« 121.)

- - Tausende — . 1222222

Ferner ist das doppelte Produkt aus den Einheiten in
-alle links folgende Ziffern — 2« ( ic>^ 4- 122c 4-.. . )>

Das

142 Dritte Dorles. !l. Abschnitt.

Das doppelte Produkt aus den Zehnern in alle links fol¬
gende Ziffern — 226(1 Ooo 4-1 ooock4-...);

Das doppelte Produkt aus den Hunderten in alle links
folgende Ziffern —222-7(1022^4-.. .) u. f. w.

Wenn man nun dieses alles durch die Addition nach
(§. 17.) in eine Summe bringt und gehörig ordnet , so
folget daraus

1) Daß das Quadrat der Einheiten bis in die erste
Ziffer der Summe auf der rechten Seite sich erstrecken müs¬
se, weil immer einige Einheiten in sich enthält, sobald a
eine bedeutliche Ziffer ist ; daß das Quadrat der Zehner m
der Summe sich bis in die dritte Ziffer erstrecken müs¬
se , weil Zehner mit Zehnern multipliziret zum Produkte Hun¬
derte geben; daß das Quadrat der Hunderte sich bis in die
fünfte, und das Quadrat der Tausende sich bis in die siebente
Ziffer erstrecken müsse u. s. w.

wenn man demnach die (Quadrqtzahl von der
Rechten gegen die Linke in Rlaffen eingetheilet, und
jeder Rlasse zwep Ziffern giebt, wo die letzte Rlasse
links auch nur eine einzige Ziffer behalten kann, s»
erstreiket sich das (Quadrat der Einheiten bis in die
rechte Ziffer der ersten Rlasse; das (Quadrat der Zehner
bis in die rechte Ziffer der zweiten Rlasse ; das (Quadrat
-er Hunderte bis zur rechten Ziffer der dritten Rlasse u.
f. w.; und folglich erstrecket sich das (Quadrat der höchsten
Ziffer -er Wurzel bis zur rechten Ziffer der letzten Rlasse.

2) Was die doppelten Produkte betritt, so kann das
doppelte Produkt aus den Einheiten in alle links stehende
Ziffern , nur bis in die zweyte Ziffer der Summe zur Rech¬
ten , oder bis in die linke Ziffer der ersten Klasse zur Rechter,
reichen, weil sich keine Einheiten mehr dabey befinden kön¬
nen. Das doppelte Produkt aus den Zehnern in alle links
folgende Ziffern, kann nur bis in die vierte Ziffer der Sum¬
me zur Rechten, oder bis in die linke Ziffer der zweyteir
Klaffe sich erstrecken, weil Zehner mit Hunderten multiplizi-

rer

Von N. Ausz. d. Quadrat- u. Kubikwurzel. 141

ret zum Produkte Tausende geben. Eben so kann das dop¬
pelte Produkt, aus den Hunderten in die links folgenden Zif¬
fern , sich nur bis in die linke Ziffer der dritten Klasse erstre¬
cken u. s. w. Es kann daher auch das doppelte Pro¬
dukt aus der letzten Ziffer der Wurzel links in die
nächst vorhergehende sich nur bis in die linke Ziffer der
vorletzten Rlasse erstrecken; es ist nchnlich bei) der Zahl
loooc/ 4- -h i 4- s ; wenn solche zum Quadrat
erhoben wird, das doppelte Produkt aus loooa' in looc
— i vOvoo, wo die bedeutlichen Ziffern von 2ccl nur
bis zur linken Ziffer der dritten Klaffe reichen können.

5- 145-

Alles dieses wohl erwogen giebt für die Ausziehung
der Quadratwurzel aus was immer für einer Zahl (z. B.
aus 21381376) folgende allgemeine Regeln.

1) Man theile die vorgegebene Zahl von der Rechten
gegen die Linke in Klassen von zwei) Ziffern ein, nämlich
-1^38! 13,76, wo für die letzte Klasse links auch nur ei¬
ne Ziffer übrig bleibt, wenn die vorgegebene Zahl eine un¬
gerade Anzahl Ziffern hat; so muß die Quadratwurzel aus
so vielen Ziffern bestehen, als Klassen vorhanden sind ver¬
mög (§. 14z.).

2) Da nun das Quadrat von der höchsten Ziffer der
Wurzel in der ersten Klasse links (21) ^anz enthalten sepn
muß (§. 144. N. i.), so ziehe man aus dieser Klasse die
Quadratwurzel , oder wenn es keine vollkommene Qrtadrat-
zahl ist, so nehme man die nächst kleinere Quadratzahl (16)
und ziehe die Wurzel daraus (4) , so hat man auf diese
Art die höchste Ziffer der Wurzel gefunden, welche hinter dem
Gleichheitszeichen angeschet wird. Diesen gefünbenen Theil
der Wurzel erhebe man wieder zum Quadrat, und ziehe
solches von der ersten Klasse ab.

142 .Dritte Vorlcs. n. Abschnitt. '

z)"'Da in demReste(Z)
nebst der erste» Ziffer der zwei¬
ten Klasse (3) das doppelte Pro¬
dukt, aus der schon gefundenen
Ziffer der Wurzel in die nächst
folgende Ziffer, ganz enthalten
seyn muß (§. 144. N. 2.); so
setze man zu dem Reste die erste
Ziffer (3) der nächstfolgenden
Klasse herunter, dividire diefe
Zahl (Zz) durch das doppelte
der schon gefundenenZiffer (durch
4.2 — 8), so ist der Quotient
(6) die zweytc gesuchte Ziffer
der Wurzel, welche neben der
schon gefundenen rechts augcse-
tzet wird. Mit diesem gesunde-

^2i!z8^z!76-M4

16

"Zä - 8

48

22

538^-' 8 6

2213 : 92 2

i844  2

36976 : 924 4

36976 4

0

neu Quotienten (6) multiplizire man den Divisor, und zieht,
das Produkt (48) vom Dividendus gehörig ab; und da ferner
in dem Reste (Z) nebst der zweyten Ziffer der zweyten Klasse
(8) auch noch das Quadrat der zweyten gefundenen Ziffer
enthalten seyn muß (§. 144. N. l.), so hänge man au diesen
Nest die zweytc Ziffer der folgenden Klasse an (58), und ziehe
das Quadrat (z6) der zweyten gefundenen Ziffer davon ab.

Dieses alles kann aber kürzer verrichtet werden, wenn
man zum ersten Neste (Z) beyde Ziffern der folgenden Klasse
(38) «"s einmal herunter setzet , und dieses (Zz8) durch
das Doppelte der schon gefundenen Wurzel (8) dergestalt di-
vidiret, daß die letzte Ziffer (8) von der Division frey
bleibe ; sodann den Quotienten (6) an den Divisor rechts
anhängt; diesen vermehrten Divisor (86) mit dem Quo¬
tienten (6) multipliziret, und Has Produkt (Zi6) von dem
ganzen Dividendus (ZZ8) gehörig abziehet, wie solches in
dem angeführten Bcyspiele bey der Wiederholung unter dem
ringeschloffenen Vierecke zu ersehen ist, so, daß bep der An-

wen-

Von d.Ausz. d. Quadrat-u. Kubikwurzel. 14z
weNöuNtz der Rechenkunst die in dem eingeschossenen
Vierecke angezcigte Arbeit gänzlich äusser acht gelas¬
sen wird.

4) Besteht nun die Wurzel aus noch Mehrern Zi^ftrn,
se sehe man die schon gefundenen Ziffern (46) als den ersten
Lheil der Wurzel an, und suche, wie vorhin, den zweyteir
Theil; mau setze daher zu dem Rest (22) die folgende Klaf¬
fe (iZ) herunter, und dividire dieses (221z) durch das
Doppelte der schon gefundenen Wurzel (92), so, daß wie¬
der die letzte Ziffer (z) von der Division frep bleibe; auf die¬
se Art g'ebt der Quotient (2) die dritte Ziffer der gesuch¬
ten Wurzel. Diesen Quotienten hänge man wieder rechts
an den Divisor an, multipiizire diesen vermehrten Divisor
(922) mit dem Quotienten (2), und ziehe das Produkt
von dem Dividcndns gehörig ab.

Z) Und so wird zu sedem Reste die nächstfolgende Klas¬
se herunter gesetzt; und durch das Doppelte der schon gefun¬
denen Wurzel so dividirct, dass die letzte Ziffer frey blei¬
be ; der Quotient wird zu den schon gefundenen Ziffern der
Wurzel hinzngcfüget, auch rechtsanden Divisor angehängt»
sodann dieser vermehrte Divisor mit der nämlichen angehäng¬
ten Ziffer multipliziert, und das Produkt von dem Dividen-
dns abgezogen.

6) Sollte irgendwo das Produkt aus dem Quotienten
in den vermehrten Divisor zu groß ausfallen, und nicht
von dem betreffenden Dividendus abgezogen werden könlien,
so ist es ein Zeichen» daß der Quotient zu groß angenom¬
men worden fcy, und vcnuindert werden müsse. In dem
folgenden Beispiele N. 1., ber> der ersten Division, muß
man sagen 4 in l6 geht ZM'al, da es doch bey ter gewöhn¬
lichen Divisidir 4mal giengc. Es ist aber bep der Auszie¬
hung ddr Quadratwurzel allzeit rathsam den Quotienten an¬
fänglich lieber zu groß , als zu klein anzunehmen, weil man
nach geschehenem Stzblrakkivnmicht so geschwind, wjv bey der

144 Dritte Vorles. H. Abschnitt.

gewöhnlichen Division entscheiden kann, ob der Quotient niclst
zu klein angenommen worden sey.

7) Sollte irgendwo das Doppelte der schon gefundenen
Wurzel in dem betreffenden Dividendns nicht enthalten seyii/
so muß in der Wurzel an der Stelle des Quotienten eine
Nulle gesetzt werden; sodann setze man zu dem Reste noch
eine Klasse herunter, und fahre mit der Operation auf die
vorgeschriebene Art fort, wie es im Beispiele N. 2. zu er¬
sehen ist.

8) Sind nun bereits alle Klassen herunter gesetzt, und
es geht die letzte Subtraktion genau auf, so ist es ein Zei¬
chen, daß die vorgegebene Zahl eine vollkommene Quadrat¬
zahl sey, wovon die gefundene Zahl die Wurzel ist. Bleibt
aber bey der letzten Subtraktion noch ein Rest übrig , wie
im Beispiele N. i., so ist es ein Zeichen, daß die vorge¬
gebene Zahl kein vollkommenes Quadrat, und folglich die
Wurzel dieser Zahl eine irrationale Größe sey (§. I2Z.),
dergestalt, daß die gesuchte Wurzel zwischen der gefundenen
2Z8 , und zwischen der rrm eine Einheit vermehrten Zahl
239, als zwischen zwey gefundenen Gränzen liegen müsse.

Beyspiele.

N. l. N. 2.

l/z!68!76-2z8 6z!48!24 64,22-- 8292s

4  ^4...

168 : 4 3 148 : 16

> 129 z 14804 : 162 9

Z976 : 46 8 9

3744 8 32364 : 1618 2

LZ2 Rest ^64. 2

2

146'

Von d.Ausz. Quadrat - u. Kubikwurzel. 14;

§. 146.

Um sich aber auch den Gränzen einer irrationalen Wur¬
zel durch Dezimalstellen nach Belieben nähern zu tonnen,
verfahre man auf folgende Art:

1) Man hänge an die vor¬
gegebene Zahl (im nebenstehenden
Beispiele an 1415), oder welches
tinerley ist, man hänge- nachdem
alle vorhandene Klassen schon her¬
unter gesetzt sind, an den letzten
Rest (46) eine Kläffe Nullen an,
dividire dieses (4620) durch das

Doppelte der schon gefundenen Wurzel (74), so ist der Quo-
tient (6) abcrmal eine Ziffer der Wurzel. Da aber diese
Wurzel vermög O- 121») zehnmal so groß ist, a.s die
gesuchte, weil durch das Anhängen zweper Nullen das Qua¬
drat mit 100 multiplizirt worden ist, so dividire man tvese
Wurzel durch 10, nämlich man schneide von dieser W'rzel
rechts eine Dezimalstelle ab, so hat man die gesuchte Wurzel
bis in die Zehntel richtig gesundem

2) Will man dieselbe genauer haben, so hänge man
abermal an den Rest (124) eine Klaffe Nullen an, und
dividirt dieses wieder durch das Doppelte der schon gefunde¬
nen Wurzel (752), ohne aüf die Dezimalstellen Acht zu
geben, so wird der Quotient aus erst angeführter Ursache
Hundertel bedeuten, und folglich die zweigte Dezimalstelle dell
gesuchten Wurzel seym

z) Und so könnte man sich, ohne Ende fort, der
Wurzel immer mehr nähern, da man jederzeit an den Rest
eine Klasse Nullen auhängt, und solchen sodann durch das
Doppelte der schon gefundenen Wurzel dividiret, ohne jedoch
jemals zu einer solchen Wurzel zu gelangen, die mit ch selbst
inultiplizirk, die vorgegebene Größe vollkommen zum Dor¬
schein bringet.

Vsrles. I. V. K Bey-

^14! 15 -- 37,61

9

515 : 67

469 7

4622 t 746

4476  6

12422 : 7^2

146 Dritte Dorles. U. Abschnitt.

Depspiele.

Auf diese Art ist nun im letzten Bepfpiele Z >2,2zä
über auch Z < 2,237; setzet man die Ausziehung dir
Wurzel weiter fort, so findet man 5^ A > 2,2362679/
und Z < 2,23626798 u. s. w.

147.

Wäre aus einem Dezimalbruche, öder auch aus einrr
ganzen Zahl, nebst einim angehängten Dezimaibruche, dir
Quadratwurzel zu ziehen, so beobachte man Folgendes:

1) Man hänge hinten eine Nulb- an, wenn der Deji-
maibruch eine ungerade Anzahl Dezimalstellen haben sollte;
sodann lasse man das Komma äusser Acht, und ziehe die
Quadratwurzel aus, als wenn es tine blosse ganze Zahl
wäre.

2) Da aber durch die Auslassung des Komma dir
vorgegebene Aahl mit i, nebst so vielen angehängten Nulle»,
als Dezimalstellen vorhanden sind, mnltiplizirt wird (Z. 102.),
so wird eben dadurch die Wurzel mit l nebst halb so viel
angehängten Nullen multipjiziret (§. 121.). Man schneide
daher von der gefundenen Wurzel so viele Tezinral>
stellen ab, als in der 7,ahl L'ezimalklassen Vorhände»
sind, so har man die verlangte Wurzel.

Z)

Von d.Ausz. d. Quadrat - u. Kubikwurzel. 147

Z) Sollte man die Wurzel mit mehrer» Dezimalstelle»
bestimmen, so hange man an den letzten Rest eine Klase
Nullen, und verfahre übrigens wie es in (Z. 146,) gesagt
worden ist,

Bcpspiele.

! 94/18213312L - 24,389 ! 94! 3d -- 0,971

4 8r

194 : 44 -kZZo : i87

176  4 130 9  7

1882 : 48z 2100 : 1941

1449  3 194s r

43333 : 4868 rZ9 Rest

38944  8

438921 : 48769

438921 9

148.

Ist endlich aus einem gemeine» Ärüche die Quadrat-
lvUrzrl zu ziehen, so muß dieselbe (§. 122.) aus dem Zäh¬
ler und aus dem Nenner gezogen werden. Nur kann man
die Arbeit erleichtern, wenn der Nenner irrational ist, indem
inan den Zähler und Nenner mit dem Nenner multipliziret
dadurch wird derselbe rational; so ist z, B,

2 10 l/10 3,1622

- - — - --- 0,6324,

S 2Z 5 Z

Oder man verwandle den gegebenen Bruch in einen Dezimal¬
bruch , und ziehe die Wurzel nach (Z. 147.). So ist z. B,

3

- l^o,Z75 >,2750 - 0,61 . . .

K 2 Z. »49*

r48

Dritte Vorlcs. tt. Abschnitt.

§- !49-

k^er Rubu« einer Zahl, die mit m (z. B. mitz)
Ziffern geschrieben wir-, kann nicht mehr als Zn
(als y) Ziffern, und nicht weniger, als Zm — 2
(als 7) Ziffern haben.

Denn da die Zahl nur aus m (aus z) Ziffern besteht,
so ist sie, wenn sie auch aus lauter ynern bestünde (näm¬
lich yyy ware), doch sicher kleiner als r mit m angehängten
Nullen (yyy < icxro); daher ist auch ihr Kubus kleiner,
als der Kubus von r mit m angehängten Nullen (§. 1 Z/.
Grunds, i.) Nun aber ist der Kubus von l mit m (mit
A) angehängten Nullen eine Einheit mit Z/n (mit y) ange-
hängten Nullen (nämlich 1222^^1222000220) vermög
(Z. I2l.), welches die möglichst kleinste Zahl ist, die mit
Z" -h I (mit 10) Ziffern geschrieben wird; folglich kann da
Kubus einer Zahl von r/r (von z) Ziffern, nicht aus
Am 4- i (aus io), sondern höchstens .aus A"r (aus 9)
Ziffern bestehen. -

Ferner ist die möglichst kleinste Zahl von w (von z)
Ziffern eine Einheit mit m — 1 ( mit 2 ) angehängten Nul¬
len (nämlich 120); hievon ist der Kubus eine Einheit mit
z/n — z (mit 6) angehängten Nullen nämlich roch
— i2QO2cx>) vermög (Z. r2i.), welches ,schon eine Zahl
von Z/" — 2 (von 7) Ziffern ist; folglich muß auch jede
andere Zahl von ( von z ) Ziffern wenigstens aus Im — Ä
(aus 7) Ziffern bestehen.

Und so kann man auch wieder umgekehrt aus der ge¬
gebenen Anzahl der Ziffern einer Kubikzahl alsogleich wissen aus
wie viel Ziffern die daraus gezogene Kubikwurzel bestehen
müsse. wenn nämlich eine gegebene Zahl von der
Rechten Hegen -ie Linke, in Rlassen von Z Ziffern
«bgetheilr wird, wo Sie letzte Rlasse links auch nur
2, oder gar nur I Ziffer enthalten kann, so besteht
Sie Rubikwurzel davon aus so viel Ziffern, als Rlassesi
vorhanden find.


Von d. Ausz. d. Quadrat - u. Kubikwurzel. 149
§. rZo.

Wenn man ferner eine Zahl . 12226 4- 122a
4- 10^ 4- «), deren bedcütliche Ziffern nämlich von der
Rechten gegen die Linke a, -, 6 u. s. w. seyn sollen,
als mehrnamig betrachtet, und solche nach den Regeln (Z, 13Z.)
zum Kubus erhebt, so ist
der Kubus der Einheiten — a?

- - Zehner — 1202 )

- Hunderte 1002222 >(§. irr.)

- - Tausende — 6-. 1222222222 )

u. s. w.

Sodann ist das dreyfache Produkt aus den Einheiten in
bas Quadrat der Summe von allen links folgenden Theilen
Za(l2S 4- 122- 4- 122264. . .

Das dreyfache Produkt aus den Zehnern in das
Quadrat der Summe von allen links folgenden Theilen
Z2§(100a 4- 12226 4- . .

Das dreyfache Produkt aus den Hunderten in das
Quadrat der Summe von allen links folgenden Theilen
322- (12226 4-...)? u. s. w.

Ferner ist das dreyfache Produkt aus dem Qua¬
drate der Einheiten in alle links folgende Theile
— 3^(12-4-122-4- 12226 4-. . .)
Das dreyfache Produkt aus dem Quadrate der Zehner in alle
links folgende Theile — 322-^(122-4- 12226 4- . . .)
Das dreyfache Produkt aus dem Quadrate der Hunderte in
alle links folgende Theile— 322220^ (12226 4-...) u, s. w.

Wird nun alles dieses nach der gewöhnlichen Addition
m eine Summe gebracht, so rassen sich wieder folgende
Schluffe daraus ableiten:

1) Der Kubus der Einheiten must in der Summe sich
dis in die erste Ziffer rechts erstrecken, weil a? immer einige
Einheiten in sich enthalten Muß, wenn a eine bedeutliche
Ziffer ist. Der Kubus von der bedcutlichcn Ziffer der
Zehner S, kann sich nur bis in die vierte Ziffer der Summe

K z rechts

rZo Dritte Vorlef. ». Abschnitt.

rechts erstrecken, weil Zehner zum Kubus erhoben Tausende
geben. Eben so kann der Kubus der Hunderte in der Sum¬
me nur bis in die siebente, und der Kubus der Tausende
nur bis in die zehnte Ziffer, von der rechten Seite gezählei,
sich erstrecken u. s. w.

Lheilt man daher die Kubikzahl von Her Reckten gegen
die Linke in Klassen ein, und giebt jeder Klasse, drei) Zif¬
fern , wo die letzte Klasse links auch nur eine, oder zwrg
Ziffern haben kann, so erstrecket sich der Kubus der Einhei¬
ten bis in die rechte Ziffer der ersten Klasse; der Kubus d«
Zehner bis in die rechte Ziffer der zweyken Klasse; der Kn-
bus der Hunderte bis in die rechte Ziffer der dritten Klas! i
u. f- w. ; und folglich erstrecket sich der Rubns det
höchsten Ziffer der Wurzel bis in öle rechte Ziffer ok-,-r
Stelle Her letzten Masse.

4) Das dreifache Produkt aus den Einheiten in i -
Quadrat der Summe aller links folgenden Ziffern kann >
in der Hauptsumme nur bis in die dritte Ziffer, oder ' > !
in die linke Ziffer der ersten Klasse erstrecken; weil in diestu
Quadrate das kleinste Glied schon Hunderte anzeigtt. Das dnh-
fache Produkt aus den Zehnern in das Quadrat der Euch
me aller links folgenden Ziffern kann sich nur bis in dst
sechste Ziffer, oder bis in die linke Ziffer der zweyten KliA
erstrecken; weil in diesem Quadrate das kleinste Glied Zehn¬
tausende bedeutet, und Zehntausende mit Zehnten multipli-
ziret zum Produkte Hunderttausende geben. Eben so kaaa
Las dreyfache Produkt aus den Hunderten in das Quadrat
der Summe aller folgenden Ziffern sich nur bis in die linke
Ziffer der dritten Klaffe erstrecken u. s.w.; folglich kann stä-
auch öas dreifache Produkt aus dem Quadrate der Höch'
sien Ziffer der Wurzel in die nächst vorhergehende Ziffer,
nur dis in die linke Ziffer -er vorletzten Masse er'
strecken.

Z) Ferner kann das dreyfache Produkt aus dem Qua¬
drate, der Einh.lten in alle links folgende Ziffern sich nur bis
in

Von d. Ausz. d. Quadrat - u. Kubikwurzel, izr

m die zweyte Ziffer rechts, oder bis in die mittlere Ziffer
der ersten Klasse erstrecken; weil Einheiten mit Zehnern mul-
tipliziret zum Produkt Zehner geben. Das dreyfache Produkt
aus dem Quadrate der Zehner in alle links folgende Ziffern
kann sich nur bis in die fünfte Ziffer, oder bis in die mittle¬
re Ziffer der zweiten Klasse erstrecken; weil Zehner ins Qua¬
drat erhoben Hunderte geben, und diese wieder mit Hunder¬
ten multiplizirek zum Produkte Zehntausende geben. Und
eben so kann sich das dreyfache Produkt aus dem Quadrat
der Hunderte in die folgenden Ziffern nur bis in oie mittle¬
re Ziffer der dritten blasse erstrecken u. s. w. tmher kamr
auch das -xe)rssache Produkt, aus der höchstenZiffe»
-er Wurzel in da» Pluahrat der vorhergehenden Ziffer«
sich nur bis in die mittlere Ziffer -er vorletzten Rlasse
rrstreckem

8- rZl»

Alles dieses in Betrachtung gezogen,"gicbt für die Aus¬
ziehung der Kubikwurzel, aus jeder mit noch so vielen Zif¬
fern geschriebenen Zahl (z-B. aus 929Z9677), folgende
Regeln: '

1) Man theile die vorgegebene Zahl von der Reckten
gegen die Kinke in Klassen ein, und gebe jeder Klasse drey
Ziffern, wo die letzte Klasse links auch nur eine, oder zwey
Ziffern behalten kqim; jo wird die Wurzel aus so vielen Zif¬
fern bestehen müssen , als Klassen vorhanden sind.

2) Da nun der Kubus der höchsten Ziffer der Wurzel
in der ersten Klasse links (in 92) enthalten seyn muß (§. lZo.
N. !.), so ziehe man aus dieser Klasse die Kubikwurzel;,
oder wett» sie keine vollkommene Kubikzahl ist, so nehme man
die nähst kleinere Kubikzahl (6.4), ziehe die Wurzel daraus
(4), so giebt dieses oie erste Ziffer der gesuchten Wurzel;
den Kubus hievon ziehe man von der ersten Klasse ab; (64
ton 92 bleiben 28 ).

K 4

Z)

IZ2

Dritte Vorles. n. Abschnitt.

5) Da in drin Reste (28)
nebst der linken Ziffer der folgen--
den Klaffe (9) das dreyfache Pro-
tiikt, aus dem Quadrate der ge¬
fundenen Ziffer in die nächst fol¬
gende Ziffer enthalten seyn muß
(§. 150. N. 2.) ; so setze man
zu dem Reste die erste Ziffer der
folgenden Klasse herunter (289),
und dividire dieses durch das drey-
facke Quadrat der schon gefunde¬
nen Wurzel (48)/ so ist der
Quotient (5) die zweite Ziffer der
gesuchten Wurzel; mit diesem Quo¬
tienten wird der Divisor multipli-
zirct, und das Produkt von dem
Dividendus abgezogen (242 von
289 bleiben 49). Da ferner in
dem Neste (49) nebst der Mittlern
Ziffer der folgenden Klasse (5) auch
noch das dreyfache Produkt, aus
dem Quadrate der zweyten gefunde-

1/921959^677-45z.

-64 __

-^89-'48

242

495

522

1959

12Z

i8Z4

28959 : 48

242

Z22

125

2 7125

18Z4677 6Z75

18225

1215

27

1834677

2

neu Ziffer in die erste, enthalten feyn muß (§.152. N. 5.); so sttze
man zu dem Reste die zweyte Ziffer der folgenden Klasse her¬
unter (495), und ziehe das Produkt (5/5.4^:522)
davon ab (522 von 495 bleiben 195 ). Endlich da in die¬
sem Reste (195) nebst der rechten Ziffer der zweyten Klasse
(9) auch noch der Kubus der zweyten gefundenen Ziffer ent¬
halten feyn muß (Z. 152. N. i.) , so fetze man zu diesem
Reste die letzte noch übrige Ziffer (9) dieser Klaff- herunter
(1959), und ziehe den Kubus der zweyten gefundenen Ziffer
(125) davon ab. ,

Alles dieses, wie es hier in dem nebenstehenden Bey-
spiele in einem Viereck eü.geschlossen ist, kann wieder kürzer
ver-

Vsn d. A lsz. Quadrat- u. Kubikwurzel. 153

verrichtet werden, wenn man zu dem ersten Reste (28) alle drey
Zi,je n der folgenden Klaffe auf einmal herunter setzet; dieses
(287Z9) durch das dreyfache Quadrat der schon gefundenen
Ziffer (4'. 3 —48) dergestalt dividiret, daß die letzten zwey
A'ffern (5^) von der Division frey bleiben; sodann multipli¬
zier men mir dem Quotienten (5) den Divisor (5.48^240)
ferner mnltipl'zire man das dreyfache Quadrat des Quotien¬
ten mit dem s.bon gefundenen ersten Theil (5^.3.4—320);
endlich erhebe man auch den Quotienten (5) zum Kubus
(12s), setze diese drey Produkte so untereinander, daß im¬
mer Has folgende um eine Stelle weiter zur Rechten gerückt
wird, addu-e solche zusammen, und ziehe die Summe von
dem Dividendns ab (27125 von 28959 bleiben 1834)
wie -s im nebenstehenden Beyspiele bey der Wiederholung un¬
terhalb des Vierecks zu ersehen ist; so, baß bey der An-
re enbung die in dem Vierecke angezcigte Arbeit gänz¬
lich äusser Acht gelassen wird.

4) Zu dem Reste (1834) setze man die nächstfolgende
Klasse (677) herunter, sehe die schon gefundenen Ziffern
(45) als den ersten Theil der Wurzel an, und suche wie
vorhin den zweyten Theil ; zu diesem Ende dividire man die¬
sen Rest (1854677) durchs das dreyfache Quadrat der schon
gefundenen Wurzel (45^.3—6275), so, daß wieder die
letzten zwey Ziffern (77) von der Division frey bleiben, so
ist der Quotient (z) die dritte Ziffer der gesuchten Wurzel; mit
diesem Quotienten wird der Divisor multipliziret (Z.6275

18225); sodann multiplizire man auch das dreyfache Qua¬
drat desselben mit den vorigen schon gefundenen Ziffern der
Vurzel (z? .z. 45 — 1215) ; endlich erhebe man auch den
Quotienten zum Kubus (z^ —27); addire diese drey Produk¬
te , wie vorhin zusammen, und ziehe ihre Summe von dem
Tividrndus ab n. s. w.

5) Sollte irgendwo die Summe von den drey Pro-
dük en zu groß ausfall.n, und von dem Dividendns nicht
«(gezogen werden können, so ist es ein Zeichen, daß der

K 5 Quo-

r-4

Dritte Äorlef. !l. Abschnitt.

Quotient zu groß angenommen worden sey, And daher vu-
mindert werden müsse.

Ware aber irgendwo der Divisor in dem betreffenden
Dividendus gar nicht enthalten, so muß in der Wurzel an
der Stellt des Quotienten eine Nulle gesetzet werden; so¬
dann setze man noch eine Klaffe herunter, und verrichte die
Division »ach der erst vorgeschriebenen Art, wie es im folgen¬
den Beyspiel N. i. zu ersehen ist,

6) Sind nun auf diese Art alle Klassen schon herun¬
ter gesetzt, und es gehr die letzte Subtraktion ohne Rest ge¬
nau auf, so ist die vorgegebene Zahl eine vollkommene Ku-
bikzahl; bleibt aber bey der letzten Subtraktion noch em
Rest übrig, wie im Beyspiel N. 2., so ist die vorgegebene
Zahl eine unvollkommene Kubikzahl, und hie gesuchte Ku¬
bikwurzel daher eine irrationale Größe, welche zwischen der
gefundenen Zahl (620), und der um eine Einheit vermehr¬
ten (621), als zwischen zwey Gränzen liegen muß.

Beyspiele.

§. 152/

Will man sich einer irrationalen Kubikwurzel durch De-
zimglst'llen nähern, so hange mau an die vorgegebene Zahl,
oder welches eimrley ist, an den letzten Rest eine Klasse

Von d. Ausz. d. Quadrat- u. Kubikwurzel. 155

Nullen, und suche auf die vorgeschriebene Art noch eine
Ziffer der Wur el. Da aber durch das Anhängen einer Klas¬
se Nullen die Zahl mit 1222 multiplizirt, und folglich da¬
durch die Kubikwurzel daraus zehnmal so groß wird, üls
hie gesuchte 121.), so dividirc man die gefundene Hun¬
zel durch 12; das ist, man schneide rechts eine Dezimal¬
stelle ab, so ist die Wurzel bis in die Zehntel richtig gefun¬
den. Und so kdnnen nach Belieben noch mehrere Dezimal¬
stellen der Wurzel gefunden werden, da man jedesmal aiz
, den Rest eine Klasse Nulle» anhängt, und die folgende De¬
zimalstelle suchtt.

Ist aus einen? Dezimalbruche, oder aus einer ganzen
Zahl nebst einem angehängten Dezimalbruche die Kubikwurzel
zu ziehen, so hänge man an den Dezimalbruch hinten eine oder
jwey Nullen an, dergestalt, daß immer die Anzahl der Dezimal¬
stellen durch z theilbar sey; sodann ziehe man die Kubik¬
wurzel aus, als wenn es eine blosse ganze Zahl wäre, und
schnei-

«Z6 Dritte Vorles. II. Abschnitt.

schneide kn der Wurzel so viele Dezimalziffern ab, als Dezi-
malklassen vorhanden sind, so ist dieses die verlangte
zel. Denn durch die Auslassung des Komma wird die Zghi.
so oft mit lQ22 multiplizirt, als Dezimalklassen Vorhand-!!
sind; folglich ist die Kubikwurzel eben so oft mit 12 nml-
tiplizirt worden ff§. 121.); daher muß selbe auch wieder ss
vielmal durch 12 dividirt werden, welches durch die Min¬
derung so vieler Dezimalziffern, als Klassen vorhanden sind,
bewerkstelliget wird.

Uebrigens, wenn die Wurzel mit mehrer» Dez-maM-.
len verlangt werden sollte, so kann man solche nach Be'ibm
bestimmen, indem man an den Rest jedesmal eine Klaffe
Nullen anhängt, und die folgende Dezimalziffer nach (j,
;Z2.) suchet.

Bcyspiele.

Z
^7o/9Z7!944-4,l4
6z.

6957 - 48

48

12

492l_

2036944 : Z24Z

20172

1968

64

2036 944

O

'584'622-2,834

512

72600 : 192

576 ' .

2l6

>27

^9787

I28lZoos : 20667
82668

3984

64
8326724
4Z26296 Rest

r§4<

Wenn aus einem Bruche, dessen Nenner ein unvoll-
lommener Kubus ist, die Kubikwurzel gezogen werden soll,
s»

Don 5. Ausz. d. Quadrat - u. Kubikwurzel. 157
so kann der Nenner rational gemacht werden, wenn man
An r und Nenner mit dem Quadrate des Nenners multi-
p.^-ret. So ist z. B.

Z A ,1-5.16 ' 8o ^80 4-3088

IX - r--er: D--— 1,2772«

4 4.16 64 4 4

Oder man verwandle den Bruch vorher in einen Dezimal-
bruch, und ziehe die Kubikwurzel aus nach (§» IZZ-)

1. Anmerkung. Wenn man eine Tafel der Quadrat-
rind Kubikzahlen bey Händen hat, so kann die Ausziehung
der Quadrat-und Kubikwurzel um vieles erleichtert werden.
Denn da dergleichen Tafeln gememiglich die Quadrat-und
Kubikzahlen aller Wurzeln von l bis 1002 enthalten, sö
findet man in denselben jedesmal die drcy ersten Ziffern von
der verlangten Wurzel, es möge die vorgelegte Zahl aus
Welcher die Wurzel gezogen werden soll, aus was immer
für einer Anzahl Ziffern bestehen, und mag entweder eine
blosse ganze Zahl scyn, odet kann auch Dezimalstellen bey
sich führen. Z. B. wenn aus 34,6853 die Kubikwurzel zu
ziehen ist, so hänge man hinten so viele Nullen an, damit
die Dezimalstellen sich genau in Klassen eintheilen lassen

1.53-), und seht es für eine blosse ganze Zahl an, näm¬
lich 34685320. Nun findet man in den Tafeln die nächst
kleinere Kubikzahl 34645976, und ihre Wurzel 326 ; daher
sind die drey erster» Ziffern der gesuchten Wurzel —3,26;
subtrahirt man nun diese Kubikzahl 34645976 von 34685302,
so ist der Rest 39324, Will man nun diese Wurzel mit mehre¬
ren Dezimalstellen haben, so dividire man diesen mit 3 an¬
gehängten Nullen vermehrten Rest, durch das dreyfache Qua¬
drat der schon gefundenen Wurzel, und verfahre überhaupt
nach (§. 151. u. 153.),

2. Anmerkung. Co wie wir für die Auszichung der
Quadrat-und Kubikwurzel aus zusammengesetzten Größen all¬
gemeine Regeln festgesetzt-haben; eben so könnte man auch

aus

J 58 Dritte Vorles. M. Abschnitt.

aus den bekannten Theilen der vierten, fünften, und h'öhkm
Potenzen einer zweynamigen Größe, für die Ausziehung soü
cher Wurzeln allgenreine Regeln ableiten; Da aber diese Re¬
geln schon zu weitläufig würden, und wir ohnehin weiter
hinten sehen werden, wie durch Hilfe der logarithmischen Ta-
ftln jede Wurzel aus einer gegebenen Zahl sehr leicht aus¬
gezogen werden kann, so wollen wir uns hiebey nicht aufhalten-

III. Abschnitt.

Von den Wurzelgrößen, und ihren
Rechnungsarten^

!5Z-

Alle diejenigen Größen, welche mit Wurzelzeichen be¬
haftet sind, werden insgesamt Wurzelgrössen genrnnt; und
es werden hier vorzüglich jene darunter verstanden , wo sich

die Wurzel nicht genau ausziehen läßt- z. B. Zs-

4

Z Zc u. d. gl-

Wurzelgrößen, bey denen das Wurzelzeichen den näm¬
lichen Exponenten hat, werden Wurzelgrößen von der näm¬
lichen Benennung genennt z im Gegentheil sind sie Wur-
zelgrößen von verschiedener Benennung. So sind z. B- Z 5-
1/", Z Wurzelgrößen von gleicher Benennung; hiu-
; 4

gtgen sind Z5, ZZ, Za von verschiedener Benennung.

IeSe':tt>urzelgröße kann, im erforderlichen Fall-
ohne Wurzelzeichen, als eine Potenz mit eineiN ge¬
brochenen Exponenten geschrieben werden, wenn matt
dem Exponenten der Größe unter dem Zeichen - dett
Wurzelexponenten als Nenner unterschreibt; Denn es ist

Von d. Würzelgrößen u.ihrenRechnungsartcn. t zh

?r ??r

(§. I2y.) , wo ünd /r was immer für Fakten

vorsrctlen können; eben so ist

s Z NI. 4 > -!

? « z -'4

a -a' (a'-w-) .

er—w?

Und so kann auch wieher umgekehrt jede Grösse, di«
zum Exponenten einen Bruch har, mit dem Wurzel¬
zeichen geschrieben werden, wenn man den Nenner al»
Exponent des Wurzelzeichens , und den "Zahler al»
Exponent der Grosse unter dem Wurzelzeichen ansetzet.
Lv ist z. B.

2 Z 2 7. 5 x.

a - ; LV - l/LV V—*-) - («°-

—, z —r A i I

--

?- l57-

wenn Man bey einer Wurzelgrosse sowohl den
Exponenten des Wurzelzeichens, als auch den Expo¬
nenten der Potenz unter -em Zeichen m t einer nam-
tichen Grösse multipliziret, oder -ividiret, so bleibt

die Grosse untzeändekt; nämlich «'"x. Denn

zr z?r

a'» —a,r— a">,v vermög (Z. 156.) ; oder wenn

?r

1 /- m r

? — " , so ist ; eben so ist a*>

a'-; t^a—— s/ a;

I. ! Z

Man

i6o Dritte Vorles. m. Abschnitt.

Man kann daher auch aus einer gegebenen Zahl
die 4te Potenzwurzel ziehen , wenn man zuerst die
(Quadratwurzel, und aus dieser noch einmal die (Qua.
dratwurzel ziehet. Und eben so kann die 6te Potenz.-
Wurzel ausgezogcn werden, indem man aus der (Qua¬
dratwurzel die Kubikwurzel, oder aus der Kubikwur¬
zel die (Quadratwurzel ziehet u. s. w.

iZ8»

Murzelgröfiett, bev denen die Grose rinder deni
Zeichen sich in solche Faktoren zerlegen last, daß einet
oder mehrere davon, vollkommene Potenzen von dem
Wurzelexponenten sind, können zum Theil rational
gemacht werden; wenn man aus den Faktoren - ö S
vollkommene Potenzen sind, die wurzeln ziehet, und
selbe als Faktoren äusser dem Zeichen «nsetzet; nämlich
z,n "r -l.

-  ">

vermög (§. 120.), und ö"-— t^-LnachO- 1564); folglich

/?L

Bepspieler

? - z z

I. 2.8-2al-^ 2aS ;

II. —Zl^2,4.«^.a.ö^.S—

III. 2 i/ (a V—^^) rr: 2 Zw- —a^) 2>rZ ( ? — a') t

IV. lZ (zZc -s- 6aöv -j- Z^v) Z Za(a^ 4- 2«ä -s- S')

(a-i-S) Z Za.

Durch diese Abkürzung können zuweilen verschiedene ir¬
rationale Glieder gleichartig gemacht, das ist dergestalt
verwandelt werden, damit selbe unter dem Zeichen vsLkoin-
inen gleiche, und vor dem Zeichen gleichnamige Größen ent¬
halten^ So z. B.scheinen die Glieder zZZZ^ undchZi?«^
ust-

Von d.Wurzelgrößen u. ihrenRechnungsarten. i6r
ungleichartig zu seyn; zerlegt man aber die Größen unter
dem Zeichen in Faktoren, und ziehet aus den rationalen Fak¬
toren die Wurzel ans, so ist 8«'^ 2.4 ,

— 6 / ; und Hl/ 4^2.9 l2«l/'2^;

folglich sind MUI 6-r l^2ä und 12« 26 gleichartige Glieder/
so, daß sie in ein Glied zusayimen addiret werden l'vnnen»
zt^ 8^ö--j-4t^ 18^^ — l8«t^ 2/.

159-

Itttd umgekehrt können die Großen äusser dem
Wurzelzeichen unter düs Zeichew gebracht werden,
wenn m«N -re Grössen äusser -em Zeichen auf -le Po¬
tenz Le» Wurzelexponenten erhebt, un- so-ann -iS
Grössen unter -em Zeichen -amit multipliziret; es ist
nämlich

"r — Z

a a'«. L; Z al^2«— l/l8 ^; 2
z

- IŽ(8«" —8 r"); (a — w) I/ (a-pw) — —

(a — w).

Hierdurch läßt sich entscheiden, welche von zweyen Wurzel¬
größen der nämlichen Benennung , die vor und unter dem
Zeichen verschiedene Gr'ößen haben , die größte sey; so ist
z. B. 2!^ 7 > Zl-^ 3; weil 2l^ 728, »Md zl^ Z
27 ist.

§. 160.

Wurzelgrößen von verschiedener Benennung kön¬
nen ohne Veränderung ihres Werthes auf gliche Be¬
nennung gebracht werden, wenn Man sie als Potenzen
Mir gebrochenen Exponenten vorstellet (§.156-)/ so-
öann diese gebrochenen Exponenten auf gleiche Benen¬
nung bringet, un- endlich solche wieder als Wurzel^
Stößen anschreibet.

vorles. I. V. ß Vty- ,

rLr Dritte Vorles. m. Abschnitt-

Beyspiele.

-l

<!^2 2" — 2^ — 1X2^ — t/g

(^5 - 5' - 5^ - l^Z

H.

m.

< -s i ir

>^3-3'-3^-^3^^729

/ -k- _L_ 7 2 7 1^.

^-l^2Z

) b I. .4^ 7 1 7 2^,

) l^7 — 7° — 7" — 1/7» z/2401

^l I ZI»  Z-»
z/«2 — a" — aZ"r" ^Z-»»
b »I »»IN mir

z/<7» c — «3 cr cZ-»"

7» _? , Zm»

l/«r — L"r «Z/»" — i/üS«

ZM/r
l/aZ," ^zm

Durch diese Reduktion der Wurzelgr'üßen ltiffr sich auch ent¬
scheiden , welche von zwei) Wurzelgrößen verschiedener Je-
4 6 . ä

nennung größer sey. Co ist z. B. l^Z > s^n; mil
12 6 12

— I2Z, und l/^Il l/^I2l.


s. l6i<

lVurzelgrössen werden aödirk, unö subtrahirt,
wenn man solche durch -re gewöhnlichen Aöditions-und
Subtraktionszeichen mit einander verbindet, und die
etwa vorhandenen gleichartigen Glieder nach (Z 6i.)
reduziret; zuweilen werden aber erst gleichartige Glieder
erhalten, wenn man die Wurzelgrößen von gleicher Benen¬
nung zuerst nach (.§. IZ8-) abkürzet.

Beyspiele.

1- 7v/8-k-5v^8 - 12^8-24V2.

II. -^Za-Vr8-5v"2 - Z^r-2v^2t

III.

Von d.Wmzelgrößenu. ihrenRechnungsarten. 163

s , z z

III. <ži6a^ -1- 4«^ — — 2 l^2ö

s 4

-h2«x/^"^x/^'—Z»I/L^ — -7^/^ —aj/2^.

IV. 2v^ (l6v/l8) — x/(l2v/2)—2^/(l6 . Zv/ 2)

-x/(4 - 3v/2)-8x/(Zv/2)-2^(Zv/2)

— 6l^(zl^2)— 61X^^18—61/18.

X 3 3 3

V. 3X^84-l6/Z)-2i^l4-/2o)-Zl/8(l4-2/Z)

s , - z

- 2lXX 4- t/4 . 5) - 6X(i 4-21/5)

- 2X'(r 4-2/ Z) - 4 i/(i 4- 2 / Z).

§. 162»

Sind lvurzelgröfien mit einander zu multipl, 'ži¬
ten , so müssen sie zuerst auf gleiche Benennung ge¬
bracht Werden; sodann multiplizire Man sowohl die
Größen unter dem Zeichen, als auch die Faktoren vor
dem Zeichen mit einander; es ist nämlich

/N ?r -I- -2-. /n/r ,/r/r

X e/Ä —aL"-, eü" — — ae j/L« .

,-r/r

— acsZ/

Beyspiele.

I. z/6 x 4/2 — 12/12-24/3.

3 6 6 6

tl. Zixz x 1-^6—Ai/9.1^216^ 5^19^4.

4

III. jX2OX6l^Z— i/^20.6^z - r^(2t^A).6l^I

! V. Z <2i>"l O) X 2 (5 s^ I Ov) - 6l^ (I 0L>o)

— 6!/l0 . !O—60.

Dieses Verfahren gilt auch, wenn einer oder bepde Faktoren
Mehrnamig seyn sollten'.

V. 2l^Z X (6 — ^7)—I2P^Z-2^21. ,

VI. erl^t-c.' X —> Six'oa"

r 2 . '/n

Dritte Vorles. M. Abschnitt.

VII. -l- tXL) X — lX/,) - tX^ - -XaL
4- lXaF —- 1^^^ — a — ^>.

Vili. Al^2 x Z lX (4 4- 61X2) — lAlX (8 4- I2lXn)

— 30IX (24- Z l-^2).

s z

IX. zlX (2 4- 4l^Z) x 4«x (6 4- 21/9) — i2lX (12

Z 3 8

4- 4I/9 4- 24I/Z 4- 81x27) — i2kX(z6

s 8 z,

4- 41/9 4- 24l/z) l2t^(9 . 4 4- 4l/)

r ss

4-6.4l^g) - 24^xs9 4- (64- IX3) lXz^

§. i6z.

Bey -er Division -er wurzelgröfien bringe man
solche ebenfalls auf gleiche Benennung, schreibe foöann
-en Divisor unter -en Divi-en-uv in Gestalt eines Bru¬
che?, un- kürze solchen ab.

Beyspiele.

, pXl2 12

l. tX-12 : rXz —-— sx- -1X4- 2.

^3 3

c^72-^2) -

" >^8 I^S

72 .32 , -

- - lxL- - lxo - p-4 I,

8 8^

s
r 2^X216 ü 6 »

III. 21X6 : 31x9- ---— - - ^5-,

zbxgr 8l 3

fa-)* ^(a4-^)

a —^r

s

V, 9 : lx729

I>6 l>S 2

Z

-- 4 lx(z6.

Le-

Don d.Wurzelgrößen u. ihrenRechnungsarten.i6Z

Besteht der Nenner aus zwey Gliedern, und es erschei¬
nen blosse Quadratwurzeln darinn, wie sich der Fall in der
Geometrie öfters ereignen wird; so kann derselbe rational
gemacht werden, wenn man das Zeichen eines Gliedes bey
dem Nenner ändert, mrd mit diesem geänderten Nenner so¬
wohl den Zähler als Nenner des Bruches multipliziret; so ist

vZ"4-vZ^ X-^) a—

"I. Z-^7 (3  4-  X  7)  (44-X  6)

4—x/6 (4 °—X 6) (4 4-X 6)

i2-l-Z>/ 6-!-4v/ 74- X42

ro

_8__ 8X(3-- XZ)

V(3^X5) 3-v/Z

- 8X(3- XZ) x (3 4- >/ Z)

(3 — X A) (3 4- X Z)

- ^X (3 - X 5 )  4-  8 X (IZ^-Z v/ 5)

9-5

- 6 X ( 3 -- X 5)4-2v/(lZ- Zv7Z).

Wäre der Nenner dreynamig, so ändere man die Zei¬
chen von zwey Gliedern des Nenners, und multiplizire mit
diesem geänderten Nenner sowohl den Zähler, als Nenner des
Bruches; so erhält man dadurch einen zweynamigen Nenner,
den man wieder wie vorhin rational machen kann. Z. B.

-2 v/ 6-l-Z v/ I O (2>/64-ZX IoX Z y/24-y/ 3"

3X2-XZ4-X5 "(3X2-X34-X 5)(3 X24- Xz-X5>

- 1^7  3,4 l8 XS-  9  X 24-X3O

IO 4- 2X 15

(i2>/z-l - 18X5-9X24- X 30)'(io-2VkA)

(IO -l-2v/l5)(l2-2l/lZ)

- 7X3O4- 27v/ < -  15 Z-30  x/2

IO k.!!ch

i66 Dritte Vorlef. m. Abschnitt.

Und auf eine ähnliche Art könnte man auch verfahren,
wenn der Nenner mehrere Glieder haben sollte.

;. 164.

Die Multiplikation und Division der eingebildeten, oda
unmöglichen Größen geschieht zwar nach eben den Regeln,
wie bey den übrigen Wurzelgrößen, nur aber pflegt man
gemeiniglich die Multiplikation der Größen unter dem Wur¬
zelzeichen nicht wirklich zu verrichten, sondern nur anzudcutm,
damit man jederzeit vor Augen habe^ daß die Wurzel aus
dem Produkt negativ genommen werden muß. So ist z. B.
lX--ex lX—ä— lX(— K X —rr) — lX -n.

Würde man aber die Multiplikation wirklich verrichten, so
wäre tX—§xlX —« — tX 4-«?—4--?, wo doch au¬
genscheinlich allhier -s« nicht angenommen werden darf, ml
die Wurzel hieraus lX 4. « , und nicht tX — er giebt,
wie es doch seyn sollte. Eben so ist auch ertX —

— eet?!X (—/- X — -ek) — ere X —IX ^ek — — erc kX wo die
Quadratwurzel aus wieder negativ zu nehmen ist, weil
das Produkt aus zwey negativen Faktoren entstanden iß-
Ueberhaupt ist es nur damals willkührlich, die Wurzel eines,
geraden Exponenten aus einer Größe positiv, oder negativ
zu nehmen (§. 119. Il ), wenn es noch unbestimmt iß,
aus welchen Faktoren, positiven, oder negativen, das Pro¬
dukt entstanden seh. Ist es hingegen bestimmt, daß das
Produkr aus zwey negativen Faktoren entstanden seh, wik
bey tX(— x — et) der Fall ist, so muß auch die Wusisi
negativ genommen werden , nämlich tX(— S X — ri)

— — lX tX ; und so müßte auch umgekehrt die Wurzel,
4- rX positiv genommen werden, wenn es bekannt wä¬
re , daß das Produkt e-U bep X (-st- kl x 4- et) aus positive"
Faktoren entstanden seh.

Bthspiele.

l. er tX —,^^xeiX — e/— «ekXA<— </)^ — — Ae?et
!!. er tX Let X c tXet — -reck zX — S.

Ul.

Vond.Wurzclgrößenu.ihrenRechnungsarten.i67

III. (4-i-^-3)(4-r^-3)-l6-i-4^-3
-4^-343-19.

IV. (4^24t4-2)(34I4-6)-3^'24-3^^2

4- — 12 —12.

er5

V. —"S : l^a — l/—— — — ö.

a

— a/>

VI. 14 — «S : — L -- lX -- -1^-7.

VII -34^- ^(-34l^-Z)(3-^-5) ^4- 6^-S

3- i-^-Z (3 4-^-5)(3-^-5) ^4

- ^-24-3  !^-Z

7

VIII (-i4-^-3) x("i -l^-Z) -1 -l^-Z

4- 34- 3-4-

IX. (_i4-l/-z)--^i4-.3^-34-9-3^-3-8.

X. (-1 -z)'--1-3^-34-943^-3-8.

Zlnm-rkunF. Um allen Jrrthum z» vermeiden pflegt
man auch sonst die Multiplikation und Division der unmögli¬
chen Größen gemeiniglich nur anzuzeigen, und nicht gänzlich zu
verrichten; Z.B. 3l4—rrX4«4X— — i2er>4-.<r xl4—
Nur wenn eine unmögliche Größe auf die Potenz des Wur¬
zelexponenten zu erheben ist, wird das Wurzelzeichen ausge-
4 » >r

lassen; z. B. (lx"—er)"— —<r; hingegen (4^--

— 4x — K X 4^ — er, oder abgekürzt — ix"— er. Wenn
inan diese Erinnerung äusser Acht liesse, so könnte man jede
negative Größe in eine positive verwandeln, als — er — (— " )*

— (— — zx-(- <7)^ — 4x^2— ^r; oder man könnte gar jede

unmögliche Größe möglich machen; nämlich ix"—er—(—er)-

2  4 4 -D- ,

— ( — )4 — ^(— er)^ — 4x4- er^ — 4 4x7 ,

wo bep 4x(_ a)^ — 4X — sx 4X— er die Multiplikation

L 4 nicht

rb8 Dritte Vorlef. M. Abschnitt.

nicht anders verrichtet werden darf, als O a)^ x (-a)E
-2

— (—— a. Man vergleiche Hm,
?f. Lürfa ftlbsilern. Algeb. I. B. S. 19z.

§- i6Z,

tVurzelgrö'ßen werden zu Potenzen erhoben, deren
Exponenten gegeben sind, wenn man die Größen äusser
und unter dem Zeichen auf die Potenz des gegebene»

Exponenten erhebet; nämlich (a^S)" — a" .

"r I "

Denn (ar ^)" (aL^)e- vermög (§. 129.) — a" 6'"

/??

vermög (§. 128.) - vermög (§. 156.). So z, B,iß

3 Z

(Z- 9^4^; ( ^3^)b - ^27-r';

( z 27 t^(

—27t^(a2—.r-)?. (a^.r^) 27. (<"?—.r^)p^(a^r°),

Wäre nun eine Wurzelgröße auf die Potenz des Wur¬
zelexponenten zu erheben, so erhebe man nur die Größe äusser
dem Zeichen, ugb multiplizire dieses mit der Größe unter W
Zeichen. So ist z. B,

(aix)))"r — 2". 3 — a"rF.

z

(4^2)^-64 . 2-128; (a^)'-a^,

(3^- 3)'- -27; (-ZP-'-Z)'- - 27.

< Q

4 4

(2—^"2)^—8 —12 p^2-l-12 — p^8 — 20-. 141^2,

Z z s

(h<r — — 2 4.^

166.

Von d.Wmzelgrößen u. ihrenRechnungsarten.i69

§. i66.

Und umgekehrt wir- aus einer Wurzelgröße wie¬
der eine andere Wurzel gezogen, wenn man aus der
Größe vor -em Zeichen, un- aus -er Größe unter -em
Zeicten die verlangte Wurzel zieht; welches aber kür¬
zer geschehen kann, wenn men vorher die Größe vor
-em Zeichen nach (§. 159.) unter -as Zeichen wirft,
und sodann -en Exponenten des Wurzelzeichens -ek
gegebenen Größe, mit -em Exponenten -er gesuchtes
Wurzel multipliziret. So istR.

/r /n /r /n n I /r I

z z 6 6 6

s/(2l^I2y)-lX^962^: 1^960— ^64. lA — 2 l^IZ

-2l/ IZ.

§. 167.

Da die Grüßen mit gebrochenen Exponenten als Wur-
zelgrößen vorgesiellet werden können (§, ^56.), so sind die
gefundenen Regeln für die Rechnungsarten mit Wurzelgrößen,
auch für die Größen mit gebrochenen Exponenten anwendbar ;
ngmlich es ist

" v ,r,n

I. x> " . kX/i""'.

,r/n <r»r-p»v  —

« n"»— - — 4^ - ,M /-

Woraus es zu ersehen ist , daß die gegebenen allgemeinen
Regeln (§. 6z. N. Z.) für die Multiplikation, und (Z. 65,
N. z.) für die Division, auch für die Größen mit gebro¬
chenen Exponenten statt finden.

L Z U-

1/0 Dritte Vorles. Hl. Abschnitt.

Fi 7 — _-^.".

zXir? '«°

Woraus wieder die im (§. 128.». 129.) gegebenen Regeln
für die Erhebung zu Potenzen, und Ausziehung der Wurzeln
auch für die gebrochenen Exponenten besiätiget werden»

Einige Beyspiele zur Uebung.

-I L. _7.

2«^(r/S—Za^) 2a S — 6«^.

r -L -L I -r L —t. "r

' -z- za (2^2 —s ') — 2«^s

-s- 65 — Zrr -Ltt

' "w a. ? -7

( aw — w ^ ) : w" — aw

— z — L. —2 —2. —I

s2aw — Sw ^) t aw — 2w ' — a Sw

1 -i a r -2 r .4

(a'w — Zw') ^rrw —6a"w -s- Hw'.

?. 168.

Es wird in der Folge sehr oft nothwendig feyn , bey
einer zusammengesetzten Potenz, eine Größe aus einem Glie¬
be unter dem Zeichen (inner den Klammern), hinweg zu
schaffen; z. B. es wird bey der Größe («"- 4- Sw")? ver¬
langt, die Größe er" aus dem zweyten Gsiede hinweg zu
schaffen , weiches auf folgende Art geschehen kann. Mau
dividire alle Glieder unter -em Zeichen durch diejenige
Größe, welche man aus einem Glieds hinweg schaffen
will, und setze eben diese Große auf die Potenz des ge¬
meinschaftlichen Exponenten erhoben, als Faktor aussek

-em Ferchen ; nämlich -j- Sw")? — w"?. s-- )

- w"? " -l- S> . Denn

Bon d. Wurzelgrößen u.ihrenRechnungsarten. 171

Denil(a^S^) —-—--)

(>r")? H» >

— w»-> (a m -z. ^,)/-> ,

Eben so lst.r(a^r—arr?) ? . (^')?(a?rr"? — er)?

— — a)-'

—z L —i — 2

Jmgleichen (er/- ss-a^-) — (a^) ' (i -s- a'^ -)

--, —i , -u -IÄ

— a ( I -s- a 9^ ?) '.

§. 169.

Und umgekehrt kann bcy einer durch Klammern ange-
zeigten Potenz einer zusammengesetzten Grüße, jeder äusser
dem Zeichen (äusser den Klammern) befindliche Faktor hinein¬
geschafft werden, wenn man -en Exponenten dieses Fak¬
tors durch -en gemeinschaftlichen Exponenten -ividiret,
«nd mit diesem geänderten Faktor jedes Glied unter
dem Zeichen multipliziret. So ist z. B.

? -k

. (a"--z-Lrr")7 —V9-

— -t > 1 __r. 2. r.

.r ^(aae—rr°) ?—. (sa7—a^°) > - — (aa7 —.r^)-
«a7 - («2 ^,2 (77 . (^2 ) r

Vierte

Vierte Vorlesung.

Kon den Verhältnissen und Proportionen/
nebst deren Anwendung auf verschiedene
Rcchnungsfragen.

I. A b s ch n i t t.

Von den Verhältnissen

170-

ie Begleichung zweyer gleichnamigen Größen gegen ei¬
nander nennt man ein verhaltnifi; und insbesondere heißt
hie Vergleichung, in welcher untersucht wird, um wie viel
die eine Größe die andere übersteige, ein arithmetisches
Verhssltnifi : die Vergleichung zweyer Größen hingegen,
wo man untersuchet, wie vielm«l, oder wie oft die eine
Größe in der andern enthalten sei), wird ein geometrisches
verhaltnifi genennt. Um wie viel die eine Größe die an¬
dere übersteige, ergiebt sich, wenn man ihre Differenz durch
die Subtraktion bestimmet; hingegen findet man, wie oft
die eine Größe in der andern enthalten scy, wenn man die
eine durch die andere dividiret, das ist, wenn man ihre»
Quotienten aufsuchet. Die Differenz bey einem arithmeti¬
schen Verhältnisse heißt sonst auch der Namen des Verhält¬
nisses ; und der Quotient bey einem geometrischen Verhält¬
nisse , der E.rponenw des Verhältnisses.

Das

k 73

Das arithmetische Verhältniß zwkyer Großen, z. B.
a lind , 39 und lZ, kann durch a L, Z9 -> iz,
und das geometrische Verhältniß eben dieser zwei) Größen
durch » : , 39: 13 bezeichnet werden ; es wird ausge¬
sprochen, a verhalt fick zu oder auch abgekürzt, «zu 3.
Die zuerst angesetzte Grüße heißt das erste, oder vorder¬
ste-, und die folgende Größe das zweyte, oder Zinter-
glie- des Verhältnisses. Ist das zweyte Glied eines Ver- '
hältnisses größer als das erste, so kann das Verhältniß
steigend heissen; im Gegentheil ist es ein fallendes verhält-
niß, wenn das zweyte Glied kleiner ist, als das erste.
Bey einem steigenden Verhältnisse ergiebk sich die Differenz,
wenn man vom zweyten Glieds das erste abzieht, und so
auch der Quotient, wenn man das zweyte Glied durch das
erste dividiret. Bey fallenden Verhältnissen ist es umgekehrt;
jedoch ist cs erlaubt, auch bey jedem fallenden Verhältnisse
die Differenz, und den Quotienten so zu bestimmen, daß
Man immer vom zweyten Gliede das erste abziehe, und so
auch immer nur das zweyte durch das erste dividire , wo
aber in einem solchen Fall die Differenz negativ, und der
Quotient ein achter Bruch seyn muß. Die Differenz eines
arithmetischen Verhältnisses wir- daher immer in -er
Folge durch -ie Subtraktion -es ersten Gliedes vsm
Zweyten, und -er (Quotient eines geometrischen ver»
hältnisses mittelst -er Division -es zweyten Glie-es
durch -as erste bestimmet wer-en. So sind bey den
arithmetischen Verhältnissen IZ 7-39, 14^ lZ, 20- !2
die Differenzen 26, l, — 8 i und bey den geometrischen
Verhältnissen 12 : z6, 14 : 21, l8 : 8 sind die Quo¬
tienten Z,

2 9

§. 171.

Gleiche arithmetische Verhältnisse sind solche, weicht
gleiche Differenzen, und gleiche geometrische Verhältnisse sind
jene^

,74 Vierte Vorles. I. Abschnitt-

jene, welche gleiche Quotienten' in der angeführten Bedeutung
(§. 170.) genommen haben; so sind iA ä- 8, lochz,
g 1 gleiche arithmetische Verhältnisse, wegen der gleichen
Differenz - 7 ; eben so sind 8 : i, 80 : io, 24 : Z
gleiche geometrische Verhältnisse- wegen des gleichen Quo¬

tienten hingegen 8 : Z, und 9 : 24 sind keineswegs
8

. Z
gleiche Verhältnisse, weil der Quotient im ersten Falle

8

und im zweyten — — ist-

3

Es wird nämlich bey der Bestimmung der Große eines
Verhältnisses nur blos allein bey einem arithmetischen auf
die Differenz, und bey einem geometrischen Verhältnisse auf
den Quotienten gesehen, die Glieder mögen sonst wie immer
beschaffen seyn. Wenn man daher bey zweyen, öder meh¬
reren Verhältnissen darthun kann, daß sie entweder gleiche
Differenzen, oder gleiche Quotienten haben , so sind solche
gleiche Verhältnisse; im ersten Fall gleiche arithmetische, int
zweyten gleiche geometrische Verhältnisse. Auch ist es ein¬
leuchtend, daß zwey Verhältnisse einander gleich se^n
müssen , wenn jedes einem nämlichen dritten Verhält¬
nisse gleich ist.

§. 172.

Jedes arithmetische Verhaltniß kann durch
4 (a-i-ss) vorgestellet werden.

Denn jedes erste Glied eines arithmetischen Verhält¬
nisses kann durch -r, und die Differenz, sie möge positiv,
öder negativ seyn, durch ck ausgedrücket werden; da mm
diese Differenz zum Vorschein kömmt, wenn man das erste
Glied von dem zweyten subtrahiret, so muß auch das zwey-
te Glied zum Vorschein kommen, wenn man das erste Glied
zu der Differenz addiret; es muß also das zweyte Glied des
arjch-

Von den Verhältnissen. :7z

arithmetischen Verhältnisses — (a 4- ck), rind folglich das
Verhältniß selbst « -7- (a -j- ck) seyn , wenn man für das
trste Glied a, und für die Differenz ck annimmk

^73-

Und jedes geometrische verhältniß kann durch
a : 07 vorgestellet werden.

Denn das erste Glied kann man durch a, und den
Quotienten eines jeden geometrischen Verhältnisses, es möge
solcher eine ganze, oder gebrochene, rationale oder irratio¬
nale Zahle seyn, durch 7 ausdrücken z nun must der Quo¬
tient zum Vorschein kommen, wenn man das zweyte Glied
durch das erste dividiret ; es muß also auch das zweyte
Glied zum Vorschein kommen, wenn man das erste Glied
mit dem Quotienten multipliziret (§. z6.); folglich muß das
zweyte Glied des geometrischen Verhältnisses «7, und das Ver¬
hältniß selbst a : seyn, wenn man für das erste Olied
a, und für den Quotienten 7 annimmt.

§. 174.

4 ,

Ein geometrisches verhältniß bleibt »«geändert,
wenn man das erste und zweyte Glied, beyde mit ei¬
ner nämlichen Größe multipliziret / dder auch beyde
dividiret.

Denn aus a : «7, wird E : E7 durch die Multi-
a «7

PIlkaeion mit m; und — : — durch die Division mit " >
?r ?r

Und es ist a : «7 -- a/u : UM7 , wie auch a : 27
« «7

— -—, weil bey jedem dieser Lrey Verhältnisse der

nämliche Quotient 7 statt findet, und aus der Gleichheit
der Quotienten auch die Gleichheit der Verhältnisse sich er-
Siebt (§. 171.).

Eben

176 Vierte Vorlef. i. Abschnitt.

Eben so bleibt ein arithmetisches Verhältniß ungeäudert,
wenn man von beyden Gliedern Gleiches abzieht, oder zu
beyden Gleiches hinzu addiret; denn wenn man in der al!-'
gemeinen Formel 2 (2 -h ck) zu beyden Gliedern /s

hinzu addiret, so hat man (2 -l- 4-

oder wenn man von beyden /> abziehet, so hat mau
(2—(2-j-,/—/>), wo jedes wieder die nämliche Diffe¬
renz ch hat; und daher ist 2 (2-chrk) — (2-i-/) V /-b/')
— (a —ch- (2 -b- at — /1).

Cs kann daher öfters ein geometrisches Verhältniß/
dessen Glieder große Zahlen sind, viel kürzer dargestellet wer¬
den, wenn man öeyde Glieder durch eine nämliche Zahl di¬
vidiert. Z. B. statt des Verhältnisses 18 : 6z kann man
schreiben 2 : 7.

Eben so kann auch ein geometrisches Verhältniß, worin
ein Glied, oder auch beyde Glieder Brüche sind, viel
deutlicher durch ganze Zahlen dargestellet werden, wenn malt
mit jedem Nenner das andere Glied des Verhältnisses nml-

2

tipliziret. Z. B. statt des Verhältnisses— : Z kann mait

2 Z

schreiben 2 : !Z, und statt - : — kann man schreiben

Ueberhaupt finden alle Veränderungen, welche mit den
Brüchen vorgenommen werden können, auch bey den geo¬
metrischen Verhältnissen statt, weil ein jedes geometrisches
Verhältniß als ein Lruch angesehen werden kann,
wovon das zweite Glied der Zähler, und das erste!
Mied der Nenner ist.

' 175-

Das Verhältniß der Produkte aus den ersten Gliedert
zum Produkte aus den zweyten Gliedern mehrerer geometri¬
scher Verhältnisse heißt ein zusammengesetztes Verhältnis;

Von den Verhältnissen. 177

fo ist j. B. Z . 7 : 12 . 21, nämlich 21 : 2Z2 tru¬
den Verhältnissen z : 12, und 7 : 21 zusammengesetzt.

Eben so ist auch aSs : «Sa/nn- ein
zusammmengesetztes Verhältniß.

Es folgt daraus, das der Quotient
des zusammengesetzten Verhältnisses dem Pro- § '
dukte aus den Quotienten der einfachen zu-
sainmenfttzenden Verhältnisse gleich sey.

176.

Sind nun die einfachen zusammense¬
henden Verhältnisse alle einander gleich, so « :

ist der Quotient des zusammengesetzten Ver- S : S/
haltniffcs jederzeit eine Potenz des Quotien- a : <7<^
ten von einem der einfachen Verhältnisse, 

und zwar das Quadrat desselben, wenn
zwey gleiche Verhältnisse, der Kubus, wenn ' / "

brey gleiche Verhältnisse zusammengesetzt wer¬
den u. s. w.

Daher ist das aus Mehrern gleichen Verhältnissen
Zusammengesetzte Verhältniß demjenigen Verhältnisse
gleich, welches man erhalt, wenn man beyde Glieder
eines -er einfachen Verhältnisse auf die Potenz des Ex¬
ponenten von -er Anzahl -er zusammensetzenden Ver¬
hältnisse erhebt. So ist im obigen Beyspiele aäaä:
dem Verhältnisse a": gleich, weil jedes den Quotienten

hat (Z. ,271.) Man pflegt deswegen auch die aus
Zwey, -rey, oder vier gleichen Verhältnissen zusammenge¬
setzten Verhältnisse, quadratische, kubische, hiquadrati»
sshe Verhältnisse zu neunem

U.

Vorles. I. L.


»78 Vierte Vorles. n. Abschnitt.

II. Abschnitt.

Von den Proportionen.

I
§. 177»

Eine Proportion ist die Gleichheit zweyer Verhältnisse;
und insbesondere wird die Gleichheit zweyer arithmetischen
Verhältnisse eine arithmetische, und die Gleichheit zweyet
geometrischen Verhältnisse eine geometrische Proportion gc-
nennet. Die zwey gleichen Verhältnisse werden durch das
Gleichheitszeichen verbunden; so stellt Z 7 — n iz
eine arithmetische, und 4 : 12 — 7 : 21 eine geometrische
Proportion vor; beyde werden ausgesprochen: Z verhalt
sich zu 7, gleichwie sich ll zu IZ verhalt; 4 verhalt -
sich zu 12, wie sich 7 zu 21 verhalt; oder auch ab- .
gekürzt, Z zu 7 wie n zu IZ; 4 zu 12 wie 7 zu 21.
Die vier Glieder in einer Proportion heissen insgesamt pro-
portionalglieder, und insbesondere werden das erste und
vierte Glied der Proportion zusammen die aussern, das >
zweyte und dritte aber die Mittlern Glieder genennet.

Wenn in einer Proportion die zwey Mittlern Glieder ,
einander gleich sind, so wird selbe eine stetige oder zusam¬
menhängende Proportion genennt. So ist z. B. 4 7
— 7 io eine stetige arithmetische, und 4 : 8 — 8 r 16
eine stetige geometrische Proportion.

Bey einer stetigen Proportion wird das vierte Glied j
die dritte Proportionalgroße genennt, weil eigentlich nur
drey verschiedene Glieder in der Proportion vorhanden sind;
eben deßwegen wird auch das zweyte und dritte Glied, die
mittlere Proportionalyroße genennet.

- Anmerkung. Einige Schriftsteller pflegen die Proper- >
tionen aus mancherley Art vorzustellen: so bezeichnen einige
die arithmetischen Proportionen mit z . 7 n . IZ, oder
auch z — 7 — ii — iZ, und die geometrischen Propor¬
tionen mit 4 : 12 :: 7 : 2i; oder auch 4.12 ^-7.2t,

die

Von den Proportionen. 179

die stetigen arithmetischen mit "-4.7.11, und die steti¬
gen geometrischen Mit :: 4.8.16, oder auch 4:8: 16.
Wir werden aber in der Folge / um allen Jrthum zu vermei¬
den , uns jederzeit der obcrwähnten Bezeichnung bedienen.

178»

^>urch die Formel a a 4- ci 7^ -st kann
jede arithmetische Proportion vorgestcllet werden.

Denn jede zwei) gleiche arithmetische Verhältnisse, wel¬
che zu einer arithmetischen Proportion erforderlich sind, kön¬
nen durch a « -st und S 7"" 4- ai vorgesiellet wer¬
den ; daher kann a 7- « -j- ck — L -I- ck jede arithme¬
tische Proportion vorstellen.

Soll nun die arithmetische Proportion stetig ftyn, so
muß daß dritte Glied 6 mit dem zwepten a 4- einerlei)
seyn; woraus das vierte Glied a 4- 2<i folget, wenn man
bermög (§. 172.) zu a 4- ri die Differenz addiret; so,-
daß daher jede stetige arithmetische Proportion insbesondere
auch durch die Formel a 7^ a -st ri — a 4- ei 7^ er 4- 2ei
vorgesiellet werden k'önnc^

179-

In jeder arithmetischen Proportion ist die Summe
der aussern Glieder der Summe der Mittlern Glieder
gleich.

Denn es ist in der allgemeinen Formel « 7" ( " 4- ei)
S 7^ ( S 4- ei) offenbar die Summe der aussern Glieder
der Summe der Mittlern Glieder gleich ; weil jede Summe
a 4- i> 4- <i ist; folglich ist auch in jeder arithmetischen
Proportion die Summe der aussern Glieder der Summe der
Mittlern gleich. So z. B. in der Proportion Z 7^ 7
n 7- iZ, ist z 4- iZ — 7 4- n ; ungleichen in der
Proportion Z st- 2 — iz lo ist Z -st io — IZ -st 2.

einer stetigen arithmetischen Proportion ist daher die
- Summe der Üussern Glieder dem doppelten Mittlern Gliebe

M 2 gleich;

L8o Vierte Vorles. II. Abschnitt.

gleich ; denn in der allgemeinen Formel a (4/ 4- <?)
(a4^2«l) , ist a 4- 4- 2,^' — («4- (a 4
^2(a-i-^)

§. 182.

Es kann daher sehr leicht zu drei) gegebenen Größen
einer arithmetischen Proportion ein viertes Proportionalgiied
gefunden werden, wenn man die zwey Mittlern Glieder zu¬
sammen addiret, und das erste davon abziehet. Denn es
sey das gegebene erste Glied — «, das zweyte — ö, das
dritte — a, und das vierte weiches gesucht werden soll ar,
soista-^-Sr^a-^-arz folglich ist nach (§. 179.)
a 4. ar - -j- s; daher auch ar — S 4- «r s, wenn
man beydcrseits « subtrahiret (§« 22. Grunds. 1.) Z. E.
es sollte zu den Gliedern Z, 74, 12^ das vierte arith¬
metische Proportionalglied gefunden werden, fo ist solches

- 7^ 4 12z - z - 19z - Z I4§, und die Propor¬
tion ist 5 74 I2Z- 14z.

Sollte zu zwey gegebenen Gr'ößen die dritte arithmeti¬
sche Prvportionalgr'sße gefunden werden, so subtrahire man
das erste Glied von dem doppelten Mittlern Gliede, und diese
Differenz ist das gesuchte dritte Proportionalglied. Denn es
sey a das gegebene erste, S das mittlere, und ar das zu fin¬
dende dritte Proportionalglied, so ist aS S ur ;

daher 2S — a 4- ar, und ar — 2^ — s.

Wäre endlich zwischen zwey gegebenen Gliedern das
mittlere arithmetische Proportionalglied zu finden, so additt
man die zwey gegebenen aussern Glieder, und dividire diese
Summe durch 2, Denn es sey das gegebene erste/Glicd

— a, das gegebene dritte Glied — S, und das zu findende
mittlere Proportionalglicd — ar, so ist « ar — ar

a 4-
daher ist a 4- ö — 2ar, und ar — --, wenn man bep-

2

dcrseits durch 2 dividirek (§, Z9, Grundfi I.) J. B. cs
soll

Von den Proportionen. r8r

soll zwischen Z und 8 die mittlere arithmetische Proportion
Z -s. 8

nalzahl gefunden werden, so ist selbe — —-—A?-, und
die Proportion ist Z I- ZH Z4- V" 8.

Anmerkung. So wie man hier zwischen zwey gege-
bene Gr'öZen die mittlere arithmetische Proportionalzahl ge¬
funden hat, so pflegt man auch auf eine ähnliche Art, bey
dm Versuchen, Beobachtungen, Finanzrechnungen und sonst
im gemeinen Leben zwischen mehrern bekannten Zahlen, wo
keine Ursache vorhanden ist, eine der andern vorznziehen,
das arithmetische Mittel, oder den sogenannten Durch¬
schnitt zu bestimmen. Man addiret nämlich alle die be¬
kannten Größen zusammen, und dividiret die Summe durch
die Anzahl der Größen; wodurch mau in einigen Fällen von
der Wahrheit am wenigsten abweicht. Z. B. man hat bey
einem Versuche mit einem Vombenphller, unter einerley
Umständen, z Probwürfe gemacht; mit dem ersten hat man
2262, mit dem zweyten 2512, mit dem dritten, 2365,
mit dem vierten 247A, und mit dem fünften 2382 Schrit¬
te erreicht; hieraus ist das arithmetische Mitttl 2398, wel¬
ches unter diesen Umständen für die erreichte mittlere Wurf*
weite ohne merklichen Fehler angenommen werden kann.

Da die arithmetischen Verhältnisse und Proportionen äusser
der Bestimmung des arithmetischen Mittels sonst von keinem
sonderlichen Nutzen sind, so wollen wir uns auch nicht länger
dabep aufhalten, sondern alsogleich zu den geometrischen Pro¬
portionen übergehen, welche in der Mathematik eine sehr
große Anwendung haben. Auch wird in der Folge bey den
geometrischen Verhältnissen und Proportionen das Beywort
Seonr-trisch nicht mehr ausdrücklich angesctzt, sondern im¬
mer stillschweigend dabey verstanden werden, wenn nicht da-
Kegeiithcil ausdrücklich angesetzt ist.

M z §. i8i-

r8r Vierte Vorles. II. Abschnitt.

z. i8i. '

Jede Proportion kann durch die Formel a :

— S : S7 vorgestellet werden.

Dsnn durch « : «7 und S : -7 können jede zwey
gleiche Verhältnisse ausgedriicket werden; nun aber stellen
zwey gleiche Verhältnisse eine Proportion vor: es kann dem¬
nach durch » : «7 — S : S7 jede Proportion vorgestellet
werden. Setzen wir nun - cu «7, so ist S7 — «7 .7 —
es kann demnach jede zusammenhängende Proportion durch
0 : «7 — «7 : §7* angezciget werden.

182.

In jeder Proportion ist das Produkt der ausseiM
dem Produkte der mittler» Glieder gleich.

- Denn es ist in der allgemeinen Formel « : «7 — ö :
sowohl das Produkt der äussern, als auch das ProduA der
Mittlern Glieder — «-7; daher muß auch in jeder Propor¬
tion das Produkt der äussern Glieder dem Produkte der Mitt¬
lern Glieder gleich seyn. So z. B. in der Proportion
4:12-7:2!, ist 4.2i — 7 . 12; in der Proportion
9 : 6 - 12 : 8, ist 9.8 6 . 12.

In einer stetigen Proportion ist daher das Quadrat
des mittleren Gliedes gleich dem Produkte der beyden äussern
Glieder z denn in der Formel « : «7 — a.7 : ist «7 .

§. i8Z.

lind mm sind wir auch im Stande zu jeden drey ge¬
gebenen Größen das vierte Proportionalglied zu bestimmen,
wenn wir das Prodrukt der zwey Mittlern Glieder dupch das
erste dividiren.

Denn es sey das gegebene erste Glied — a, das zweyte

— ö, das dritte — und das zu findende vierte Glied —

'0 muß « r s — <7 : ^.ftyn, daher (§- 182.)

folg-


Von den Proportionen. izz

Hs

folglich rr-—. (§. IZH. Grunds, i.); und die Proportion
«

Hs »

ist demnach a : H -- s : —. J. B. wenn zu Z , Z und 12
a

das vierte Proportionalglied gefunden werden soll, so ist

- , A . 12

Z : 5—12 : a?, nämlich ar — --— 20.

3

Zu zwey gegebenen Grüßen wird daher das dritte Propor¬
tionalglied gefunden, wenn man das Quadrat des Mittlern
Gliedes durch das erste dividiret; denn wenn s das erste, L das
mittlere und ar das zu findende dritte Proportionalglied ist,

so ist a : H ur s : ae, und arr; folglich .
s

Anmerkuny. Eigentlich ist es nicht nothwendig, daß
die drey ersten Glieder der Proportion gegeben scyn müssen,
um sodann jenes, welches an die vierte Stelle gehüret, fin¬
den zu können, sondern es mögen was immer für drei) Glie¬
der der Proportion gegeben seyn, so laßt sich jederzeit das
abgängige finden. Z. B. es sey « — 4 das erste,
H — 6 das zweyte, und s — 21. das vierte Glied einer
Proportion, man soll das dritte ar finden; so ist « : S
»s 4 . 21

-u: s, und SS Sa? (z. 182.); folglich ar— — — —'
S v

^2.7^14; und die Proportion ist 4: 6— 14: 21..

8- 184»

Sollte endlich zwischen zwey gegebenen Größen die
Mittlere Proportionale gefunden werden, so ziehe man aus
dem Produkte der äußern Glieder die Quadratwurzel aus,
welche das mittlere Glied scyn wird. Denn es sey a das
erste, s das dritte, und ar das zu suchende mittlere Glied;
so ist a : sr — : s, folglich a? — sH O« 182.), und

(§. iZ7. Grunds. 2.) Z. D. es sollte zwischen

M 4 4

»84 Vierte Vorles. H. Abschnitt.

4 und 9 das mittlere Proportionalglied 2 gefunden werden,
so ist 4 : 2 — 2 : y, nämlich 27' — z6, und 2^6;
imgleichen in 2 : 27 — 27: 12 ist 2^ — 24, und 2 — l/ 24
— 2 6; die mittlere Proportionale zwischen 2 und 12 iß

demnach irrational (Z. I2Z.)

§- l8Z.

Wenn zwey Produkte einander gleich sind, ss ste¬
hen ihre Faktoren, verkehrt genommen, in einer Pro¬
portion , so nämlich, daß die zwey Faktoren des einen
Produkts die beyden äußern, und die zwey Faktoren des
andern Produktes die beyden innern Glieder der Proportion
formircn,

K <7

Denn es sey a- — o-s, so ist auch — — —, wenn man
«s a

keydcrseits durch ack dividiret (Z. Z9. Grunds, i.); daher
haben —, und — gleiche Quotienten; folglich sind die Der-
a a

hältnisse a : - und ck : - einander gleich, und a : «7 — rs: S
ist eine richtige Proportion. Eben so ist auch S : § — «

a a

«me richtige Proportion; denn die Quotienten — und — sind
L es

einander gleich, welche man erhält, wenn man die voraus¬
gesetzten gleichen Produkte aS — «7^ durch dividiret.

Es ist aus diesem auch zu ersehen, daß man auch
aus der Gleichheit der Produkte der äussern und Mittlern
Glieder bcy vier in Gestalt einer Proportion angesetzken Großes
auf die Richtigkeit der Proportion schliessen könne.

Beyspiele.

Wenn »27— S-7^, so ist a : : 27

- «s<7 --7 2? , so ist «s : 2 — 2 : «7

' » — ^27, so ist I : 2 : «

- »'-r-a S—r/2—2?, soist «: 2 — (a — 27): sa -h -) u. s. w.

<186.

Von den Proportionen. 185
§. 186.

Wenn er—aS und sch so ist auch rr:^ —aLrsrk; denn
auch hier sind die Quotienten — und — einander gleich, wenn
.r ao

man^— durch rr — «5 dididiret (§. ZY. Gr. l.)

Wir haben also zwey Kennzeichen, aus denen wir auf
die Richtigkeit einer Proportion schliessen können;

ltens Aus der Gleichheit der Verhältnisse, das ist, aus der
Gleichheit der Quotienten.

ütens Aus der Gleichheit der Produkte der äussern und Mitt¬
lern Glieder.

Sobald eines dieser Kennzeichen von 4 Größen in der
Folge erwiesen wird, so können wir versichert sepn, daß
solche in einer Proportion stehen.

l87-

Mit den 4 Gliedern einer Proportion können nun ver¬
schiedene Verwandlungen vorgcnommcn werden, so, daß die
Proportion doch noch richtig verbleibt ; und zwar, da

a : — s : s-, j. B. 3 : 5 6 : 10, so ist

I. Durch die Verwechslung der Mittlern Glieder.

a : § — a- : ö- ; z : 6 — A : io;

ll Durch die Umkehrung der Glieder.

0-:« — s-:- ; io:6;

Ul. Durch übereinstimmende Addition der Glieder.

« -h : »Hl -j- z F:A— l6:io;

oder a: s : ; z : Z - 6 : 16;

Durch übereinstimmende Subtraktion,

— s ; z : 2 — 6 :4,
a — — -c/ : L ; 2:3 """4'6;

— a : syl — s: ; 2: Z 4' lo

M 5

r 86 Vierte Verles, n. Abschnitt.

V. wenn man em äusseres, und ein mittleres Glied

Mit einer nämlichen Grosse multipliziret.

ara : aar^ — 3 : 3^ ; 9 : 1Z — 6 : 12

am : a^ — 3ar : 3^ ; d' A — 18 : 12

a : amr/ — 3 : 3ar^ z Z : — 6 : Z2

a/) aar^ L/) : ; 12: IZ — 24 : Z2

VI. wenn man ein äusseres, und ein mittleres Glied

durch eine nämliche Große dividiret.

erhebt, oder aus selben gleiche wurzeln ziehet,
a? : : ^2 . 0 : 2Z — z6 : 102

a"^: a"2^»r — ^»1 . » . ^o"?

"" » » » K ,r

t^a: : 1XZ p^6: p^io,

Die Richtigkeit aller dieser Proportionen erhellet aus
der Gleichheit der Produkte der Mittlern und äussern Glieder,
oder auch aus der Gleichheit der Quotienten der Verhältnisse.

§. i8K

Die Vortheile, welche alle diese Verwandlungen in dec
Ausübung öfters verschaffen können, sind folgende:

i)

Von den Proportionen. 187

1) Durch I. und II. kann jedes Glied einer Proportion
an jede beliebige Stelle gebracht werden; z. B. wenn man
in der Proportion a: - das Glied « an die vier¬
te Stelle haben wollte, so kann man setzen «k : o — S:

2) Durch III. sann in einer Proportion, worin ein
äusseres, und ein mittleres Glied unbekannt,! ihre Summe
aber bekannt ist, jedes Glied insbesondere gefunden werden.
Z. B. es sey in der Proportion 6:^—9:^ sowphl
als^- unbekannt , ihre Summe aber sey — 25 , nämlich

— 2Z, so kann und jedes insbesondere ge¬
funden werden. Denn da 6 : en — 9 : so ist (nach
I.) 6 : 9 — a,: , nnd (nach III.) (6-l- 9) : 9

— (L- 4-^) : und (64- 9) : 6 — (^ 4^) : en,
nämlich iz : 9 Li 2Z : , und iZ: 6 — 2Z: en;

9.2Z

woraus man nach (§. i8Z.) findet —— — lZ,

6.2«;

Und u: — - r-r io.

Z) Eben so kann durch IV. ein äusseres und ein mitt¬
leres Glied in einer Proportion gefunden werden, wenn ihre
Differenz bekannt ist.

4) Durch V. kann man die in einer Proportion vor¬
kommenden Brüche Hinwegschaffen. Z. B. in der Proportion
8 : izs z : A wird der Bruch hinwcggeschafft, wenn
man dieses Glied, und dabey auch ein äusseres mir z mul-
tipliziret; nämlich 8: 42— Z: lA, oder 24 : 42 — Z : A.

Z) Durch VI, kann 'öfters eine Proportion, deren
Glieder große Zahlen sind, in kleine» Gliedern dargestellet
Werden , wenn man ein äusseres und ein mittleres Glied durch
einen gemeinschaftlichen Faktor dividiret. Z. B. cs sollte
»u den drep Zahlen Z2O, 256, 482 eine vierte Proportio¬
nale gefunden werden, so ist Z22 : 2Z6 — 480: ar,
und 2: 2Z6— z :.r, wenn man das ite und Zte Glied durch
160 dividiree; und ferner i: 128^2'^1^^^^' ist-^—384r

^88

Vierte Vorles. n. Abschnitt.

6) Durch VII. können die in einer Proportion ver¬
kommenden irrationalen Glieder hinweggeschafft werden,
wenn man alle Glieder der Proportion auf die Potenz des
Wurzelexponenten erhebet. Z. B. wenn a : S — s:
ist, so ist auch c? : d- — <? : ; imgleichen wenn a: ö

— : I/ «t, so ist <-? : — «k, und

Alle diese Vortheile sollen künftig bey der Anwendung
deutlicher gezeigt werden.

§- 189.

lVenu man die Glieder zweper oder mehrerer Pro¬
portionen nach -er Ordnung miteinander multipliziret,
so hat auch die daraus entstehende zusammengesetzte
Proportion ihre Richtigkeit; nämlich

z : A — 6 : io

<7 : am — et : ütm 2:4 — 7: 14

-:-zr^/:/zr 8:9^16:18

aes : aeemn-t — Seft^: Set/m/r^ ; 48:180 — ^72 : 2Z2O;

weil die Quotienten der zwei) zusammengesetzten Verhältnisse,
oder auch die Produkte der anssern, und mittler» Glieder
einander gleich sind.

ft 190.

Haben daher zwcy Proportionen einige Glieder gleich,
io kann, die aus ihnen zusammengesetzte Proportion nach (ft
r87-vl.) abgekürzt werden; nämlich

k. Wenn ein äusseres, und ein inneres Glied von einer
Proportion einem äusser», und einem inner» Gliede der an¬
dern Proportion wechselweise gleich sind ; so stehen die übri¬
gen Glieder ordentlich genommen in Proportion. Als

wenn a : - — § :

und a e — s : H
fo ist auckk- : S — e : /

z : 6 - Z : io

Z : io - 7 - l 4

z : 6 - 7 : 14

oder

!89

Z : 6 -- Z : 12

IZ : Z - io : 2^

16 : 6 -- Z r 2 "
einer Proportion dem drit-
gleich ist l j B.

Als

Z : 6 - 5 : ro
z : 2 - iz : i o
2 : 6 - A : iz

z : 6 — A : la

6 :  9  - i o : 15

3 : 9 - 5 - iS

3 : 6 - Z : ic>
12 : 6 — 22 : is

z : 12 - A : 20

z : 6 - A : 10
15 - 6 -- 5 2

z : lZ - 2 : is

Von den Proportionen

»der wenn a : S " a : -j

und S  :  s  —  ck  :  Z'

so ist auch « : « s :

oder wenn« : L — 0 :

und s : S — / :

so ist auch« : e — e :

wenn man allhier im letzten Beyspiele in der 2ten Propor¬
tion nach 187. n ) die Glieder umkehret, und sodann
die Glieder bepder Proportionen miteinander multipliziret.

II Wenn die beyden äußern Glieder der einen Propor¬
tion den bepden äußern Gliedern der andern Proportion,
oder bepde innere Glieder der einen Proportion den bepden
innern Gliedern der andern Proportion, oder auch bepde
äussere Glieder der einen Proportion den bepden innern Glie¬
der der andern Proportion gleich sind; so stehen die übrigen
Glieder verkehrt genommen in Proportion.

wenn a : H — 0 :
und a : « — /: ct
so ist auch s : s 0 :

wenn man die zweyte Proportion wie vorhin umkehret.

Öder wenn

und - : s c : /
so ist auch « : - : <2

wenn man ebenfalls die zwepte Proportion umkehret.
Oder wenn a : S — e
und s : « —

so ist auch « :

Hl. Wenn das letzte Glied
ten Gliede der andern Proportion

wenn

Vierte Vorles. n. Abschnitt.

19s

wen» a : 6 — a : cl
rind e  :  —  ei  :  §

so ist auch ae: L/'— c : F

z : 6 — Z : io

4 : 8 — io : 20

12 48- Z : 20

IV. Eben so, wenn mehrere Proportionen zusammen¬
gesetzt werden, wo immer das vierte Glied der vorhergehen¬
den Proportion dem dritten Gliede der folgenden gleich ist;

j. B.

wenn a : e.' : ci

und e : — ri : F

und H : r F : /?

und / : zzr — /z : zr

so ist as^i: F/H — c: zr

Z : 6 - Z : io
2 : 4 — io : 20

5 : 7 - 20': 28

6 : 9 - 28 : 42

182 : 1512 - Z : 42

§4 191.

Bey mehreren gleichen Verhältnissen verhalt sich
die Summe «Iler ersten Glieder zur Summe aller zwei¬
ten, gleichwie sich jedes erste Glied insbesondere Z»
seinem zweyten verhalt.

Denn mehrere gleiche Verhältnisse können durch a :

S: e: u. s. w. vorgesiellct werden. Nun

ist aber (a-s-K-l-a-l-ci) : — a: «7)

eben so auch «4-«i) r

u. s. w. weil das Produkt der Mittlern Glieder dem Pro¬
dukte der äussern Glieder gleich ist; folglich sieht das Der-
hältniß aus der Summe aller ersten Glieder zur Summe
aller zweyten Glieder mit jedem einzeln Verhältnisse in Pro¬
portion.

llt.

III. Abschnitt.

Von der einfachen Regel Detri.

§. ly2.

Die Lehre von den Proportionen wird von einigen Ma¬
thematikern mit Recht die Seele der Mathematik gencn-
nct, weil ihr Nutzen so allgemein über alle Theile derselben
ausgebreitet ist. Auch im gemeinen Leben ist die Anwendung
der Proportionen sehr nützlich ; die meisten Dinge, die im
menschlichen Umgänge in Rechnungen Vorkommen, sind durch
geometrische Verhältnisse mit einander verbunden ; als z. B.
die Maaren von einerlei) Gattung, und ihre Preise; die Ar¬
beit, und die Zeit, u, d. gl.; wer zweymal so viel Maare
kauft, muß auch zweymal so viel bezahlen; der dreymal so
viel kauft, zahlt dreymal so viel; zu einer 6fachen Arbeit
braucht man auch 6mal so viel Zeit, oder man muß 6mal
so viel Arbeiter dazu anstellen u. s. w.

§. IYZ.

Jm(§. 170.) ist zwar gesagt worden, ein Verhältniß
(ein geometrisches) sey die Vergleichung zweper gleichnami-
Sen Grüßen gegen einander, durch die Bestimmung, wie
oft die einein der andern enthalten sey ; so, daß daher das
Wort Verhältniß in dieser Bedeutung nur hey gleichnamigen
Dingen anzuwenden sey. Jedoch pflegt man im gemeinen
Leben das Wort verhältniß auch bey ungleichnamigen Din-
Sen zu gebrauchen. Der Redegebrauch: zwey auch un-
sleichnamige Dinge n und stehen im geraden Ver¬
hältnisse, oder dasVerhältniß von« zu 6 ist ein gerades
Derhalltniss; hat die Bedeutung, diese zwey Dinge aund
haben einen solchen Dezug auf einander, daß bcyde
Zugleich wachsen, oder beyöe zugleich abnehmen,
und zwar dergestalt , daß sich « Zu einem viel-

192 Vierte Vorles. m. Abschnitt.

fachen von -2 verhalte , wie L zu einem eben solchen
Vielfachen von L , nämlich a : — L ; S7.

sieht die Menge der Waare mit ihrem Preise im geraden
Verhältnisse, weil der Preis mit der Waare auf einerlei)
Art zugleich wächst, oder zugleich abnimmk; z. B. wenn es
bekannt isi, daß 2 Ellen von einem gewissen Tuche 7 Fl. ko-
sien, so müssen 6 Ellen als das Drepfache von 2 Ellen auch
gewiß 2i Fl. als das Drepfache von 7 Fl. kosten; und
die Verhältnisse 2 Ellen : 6 Ellen; und 7 Fl. : 21 Fl. find
einander gleich, und machen also eine richtige Proportion
aus; nämlich 2 Ellen : 6 Ell. — 7 Fl.: 21 Fl.

Wenn hingegen zwei) Dinge « und einen solchen
Bezug aufeinander haben, daß das eine eben so abnimmk, '

er

als das andere zunimmt, nämlich, daß 2 sich in — verwan¬

ze

delt, wenn 6 in 6/r übergeht; so sagt man, diese zwei)
Dinge a und sichen miteinander im verkehrten Verhält¬
nisse. So steht die Zeit, welche man braucht, um eine
gewisse Arbeit zu vollenden, mit der Anzahl der Arbeiter, die
zu dieser Arbeit angestellet werden, im verkehrten Verhältnis¬
se; denn so vielmal mehr Arbeiter man anstellet, eine eben
so vielmal kürzere Zeit wird man zur Vollendung dieser Ar¬
beit brauchen; z. B. wenn es bekannt ist, daß z Mann
eine Wiese in 8 Tägen abmähen, so werden 6 Mann nur
4 Läge zu dieser Arbeit brauchen, und die Verhältnisse
g M.: 6 M., nnd 8 T.: 4 T. werden dann erst eine rich¬
tige Proportion ausmachen, wenn man die Glieder des einen
Verhältnisses umkchret; nämlich 6M.: zM. -8 T. : chT.

Ueberhaupt, wo n und im geraden Verhältnisse
stehen, kann man sage», j->mehr a, destomehr ; jegrö-
siev -z, -estogrößer F; jelanger a, destolanger e-; oder
auch jeweiliger «, destoweniger ; Meiner«, desto kleiner
u. s. w., in der angeführten Bedeutung genommen; z. B.

jemehr Waare, destogrößer der Werth; jeweiliger Arbeiter an-
gesiellet werden, destoweniger Arbeit werden sie verfertigen u.d.gk.

. Hin-

Von der einfachen Regel Detri. 19z

Hingegen wo a und 6 im verkehrten Verhältnisse
sichen, kann man sagen jemehr er, destoweniger ; jegro-
ßer er, bestokleiner ; jelanger er, -estokürzek e- ; oder
auch jeweniger <r, destomehr L; jekleiner er, destogrößer e-,
u. s. w. ebenfalls in der angeführten Bedeutung genommen;
z. B. jemehr Arbeiter man zu einer Arbeit anstellet, dcstoweniger
Zeit wird man dazu brauchen ; je schmäler ein Tuch ist, destomehr
Ellen wird man hievon zu einem Kleid brauchen u.d.gl.

194.

Wären nun in einer solchen Proportion nur Z Glieder
bekannt, so läßt sich nach (§. l8Z«). auch das 4te finden;
z. B. es wäre die Frage , wenn Z Ellen Tuch io Fl. ko¬
sten, wieviel kosten 9 Ellen von diesem Tuche? so bezeichne
man die noch unbekannte Anzahl Gulden, welche 9 Ellen ko¬
sten müssen, mit er; und es findet sodann die Proportion
statt, Z Ellen : 9 Ellen ic> Fl. : .r, wo man nach

<y . io

(§« l8z.) findet er - - — zo Fl.

3

Die Anwedung der Regel, nach welcher man bey ei¬
ner Rechnnngsfrage zu drey gegebenen Gliedern das vierte
Proportionalglied findet, wird in der Ausübung auf die be¬
nannten Zahlen von den Rechenmeistern die Regel Detri ge-
nennet; und zwar heißt sie die gerade Regel Detri, wenn
die zwey ungleichnamigen Größen, welche in der Rechnungs-
frage Vorkommen, nach (§. 193.) im geraden Verhältnisse
Üehen ; im Gegenthcile aber, wenn diefe zwey Größen im ver¬
kehrten Verhältnisse stehen, so heißt sie die verkehrte Regel Detri.

195-

Zur Regel Detri gehören zwey Verhältnisse, wo in
dem einen beyde- Glieder, in dem andern aber nur ein Glied
bekannt, und das.zweyte noch unbekannt ist. Dasjenige
Glied in dem ersten Verhältnisse, welches sich unmittelbar
auf die im andern Verhältnisse noch unbekannte Zahl bezieht,
nennt man die Zragezahl. So ist lm obigen Leyspiele 9
vorles. I. B. N El-

194 Vierte Vorles. in. Abschnitt.

Ellen die Fragezahl; weil eigentlich nach der Anzahl Gulden,
welche diese 9 Ellen kosten müssen, gefragt wird.

Uebrigens muß es bey einer Rcchnungsfrage, welche
durch die Anwendung der Regel De tri beantwortet wird,
aus der Beschaffenheit der Sache bekannt seyn, daß die zwei)
ungleichnamigen Größen in einem richtigen, entweder gera¬
den oder verkehrten Verhältnisse stehen, in der Bedeutung
des (Z. 19z.); sonst läßt sich die Regel Detri nicht anwen¬
den. Z. B. wenn es bekannt wäre, daß in zwey Minuten
durch ein im Boden eines Fasses gebohrtes Loch A Epmer
Wein ausfiiessen, so könnte man keineswegs sagen, daß in
4 Minuten io Eymer Wein aus diesem Loche fliessen wer¬
den; die Proportion 2 M, : 4M. — A Eymer: io Eymer
ist nicht richtig, weil der Wein immer mit einer kleinen Ge¬
schwindigkeit herausgiesset; in jeder folgenden Minute fließt
demnach weniger heraus, als in der vorhergehenden. Man
kann daher die Menge des Weines , welche in 4 Minuten
aus diesem Loche fließt, durch die Regel Detri Nicht finden,
obwohlen es bekannt ist, daß in 2. Minuten Z Eymer ausfliessen,

§..196.

Um nun bey den Rechnungsfragen, wo eine Propott
kion wirklich statt findet, sowohl die gerade, als auch die
verkehrte Regel Detri jederzeit richtig anzuwenden, verfahre
man folgendermassen:

1) Man untersuche, ob die zwey ungleichnamigen Grö¬
ßen in der Rechnungsfrage (die Fragczahl, und die unbekannte
Große) nach (§, 19z.) im geraden oder verkehrten Verhältnisse
stehen, nämlich ob es eine gerade, oder verkehrte Regel Dem sep-

2) Das Verhältniß (in der Bedeutung §. 170.), i"
welchem beyde Glieder bekannt sind, wird zuerst vor das
Gleichheitszeichen gesetzt; und zwar, wenn es eine gerade
Regel Detri ist (Z. 194.), so setze man die Fragezahl an die
2te Stelle, und die mit ihr gleichnamige an die erste Stelle;
ist es aber eine verkehrte Regel Detri, so kömmt die Frage-

zahl

. Von der einfachen Regel Dctti. 195
zähl an die erste, und die mit ihr gleichnamige Zahl an die
zweyte Stelle zu stehen.

z) Das andere Verhältniß (in der Bedeutung §. r^o.),
in meinem sich die noch unbekannte Zahl befindet, kömmt
hinter das Gleichheitszeichen zu stehen, und zwar so, daß
jederzeit die noch unbekannte Zahl an der vierten, und die
mit ihr gleichnamige an der dritten Stelle stehe.

4) Sodann mulriplizire man in einem, wie im andern
Falle die zwei) Mittlern Glieder miteinander, und dividire
Las Produkt durch das erste Glied, so hat man die unbe¬
kannte Zahl gesundem

Z) Sollte irgendwo ein oder mehrere Glieder, Zahlen
von verschiedener Benennung enthalten, z. B. Gulden und
Kreuzer, oder Pfunde, Lothe, u, d. gl. so müssen solche
vorher auf gleichen Namen gebracht werden, und zwar so.
Laß das erste und zweyte Glied vollkommen gleiche Namen
haben. Und eben so wird auch das vierte- Glied in eben
solchen Einheiten gefunden werden , auf welche das dritte
Glied gebracht worden ist.

Man verfährt hier öfters am kürzesten, wenn man die
Größen kleinerer Gattung als Brüche von vergrößern Gattung
"ach (§. 92.) vorstellet/wie in folgenden Bepspiclen zu ersehen ist.

Beyspiele.

r. Frage. Wenn zl- Esten Tuch i6 Fl. kosten; wie
diel Ellen von diesem Tuch bekommt man für 122 Fl. ?

Antwort. 16 Fl.: ioo Fl. — Ellen : w Esten;

z«ch Mm.

16 4 2,4

Denn jemehr Gulden, desto mehr Esten; nämlich
ist hier eine gerade Regel Detri anzuwenden, vermög
IZZ- und 194.).

2. Frage. Eine gewisse Anzahl Patronen wird in 8
^agen von iZo Mann verfertigt; man wist aber diese Mu-

Ist 2 nition

iy6 Vierte Vorles. m. Abschnitt.

nition in 6 Tagen fertig haben; wie viel Mannschaft muß
hiezu angesiellet werden ?

Antwori. 6 Tage : 8 Tage — iZa M. : M.;

Folglich, Zo — 20O Mann. Dem
6 e

jemehr Tage, destoweniger Mannschaft; folglich ist hier
eine verkehrte Regel Detci anzuwcnden, vermög (j. 19z.
und 194.).

Z. Frage. Wie viel kosten 9 Pf. 24 koch von einer
Waare, wenn man für Z Pf. 1 Fl. za Kr. zahlen muß?

Antwort. 5 Pf.: 9^ Pf. i^- Fl. : er Fl.;

Folglich s

5 4 2

- 2 Fl. 5Z5 Kr.

Oder A Pf.: 9^ Pf. — 90 Kr.: er Kr.

40

Folglich er — 9^. — 9Z . 18 — 175-

— 2 Fl. AA4 Kr., wie vorhin.

4. Frage. Wenn 10a Mann in einer Nacht eine
Tranfchee von 160 Klafter verfertigen können ; wie viel
Mannschaft muß angestellt werden, wenn in der nämlichen
Zeit eine Transchee von 400 Klaftern verfertiget werden soll?

Antwort. 160 Kl. : 400 Kl. — 12a M. : er M.;

400.120 io. lOO

Folglich er — I—- - - — IO . 2Z

160 4

— 2Za Mann.

5- Frage. Wenn der jährliche kiedlohn eines Dicnstbo
then z6 Fl. beträgt, wie viel gebührt ihm für 8 Monate
und i2 Tage?

Antwort. 2Z Fl. 12 Kr.

Wenn hundert Gulden Kapital jährlich
^nterepc bringen ; wie groß muß das Kapitalsko», wovon
man Mrlich ioaa Fl. Interesse haben kann?

Antwort. 28571^ Fl. 7.

Von der einfachen Regel Detri. 197

7. Frage. Eine Rikofchekbatterie in einer Tranfchec ist
dermassen mit Patronen versehen, vaß sie durch 24 Stun¬
den, jede Stunde 20 Schüsse geben kann ; man hat aber
Z2 Stunden lang keine frische Munition zu hoffen, und hat
daher die vorhandenen Patronen für diese Zett einzutheilen;
wie viel Schüsse können in jeder Stunde gemacht werden?

Antwort. IA Schüsse.

8. Frage. Wenn man zu einem Luftballon 2360 El¬
len von einem Taffet braucht, welcher eine Elle breit ist; wie
viel braucht man zu eben diesem Ballon Ellen von einem
Taffet, welche i^ Ellen breit ist?

Antwort. 1888 Ellen.

9. Frage. Es befinden sich in einer Festung 6000
Mann Besatzung, welche für 2 Monate mit Proviant ver¬
sehen sind; nun wird die Festung mit einer Blokade bedro¬
het ; der Kommandant erhält Ordre sich durch z Monat
und io Tage zu halten; es ist die Frage, wie viel er von
der Mannschaft aus der Festung fortschicken muß ?

Antwort. z4 Monat: 2 Monat — 6000 M.: w M.;

- 10 6QQ0.2.Z

Folglich w ^6ooQ. 2: — --" — boo . v

3 *o

3620 Mann, welche in der Festung verbleiben können ;
mithin müssen 6ooQ — z6oo — 2400 Mann fortgeschaft
werden.

ic>. Frage. Nun fetze man den Fall, die ganze Mann¬
schaft müßte in der Festung bleiben; und da entsteht die
Frage, wie viel Zwieback einem jeden Mann täglich zu ge¬
ben sey, wenn sie für 2 Monate dergestalt mit Proviant ver¬
sehen sind, daß jeder Mann täglich 2 Pf. Zwieback erhalten
könnte.

Antwort zH- Monat: 2 Monat — 2 Pf. : Pf.;

3 io 5 5

22

-- > Pf. koch - I Pf 6» koch. Nm

,98 Vierte Vorles. m. Abschnitt.

Man sieht aus diesem Verfahren, daß es bey der An¬
wendung der Regel Detri besser ist, wenn man die Multi¬
plikation der Mittlern Glieder nicht alsoglcich verrichtet, son¬
dern selbe nur andeutek, weil sich öfters vortheilhafte Ab¬
kürzungen anbringen lassen, welche aus der Lehre von den
Brüchen entspringen.

Anmerkung. Man kann bey der Anwendung der ge¬
raden und verkehrten Regel Detri die Glieder auch folgender¬
massen ordnen: Dre Zahl, welche mit -er Fragezabl
gleichnamig ist, setze man an die erste, und d e Fra be¬
zahl selbst an die dritte Stelle; die noch unbekannte
Zahl an die vierte, und - ie mit ihr gleichnamige an
die zweyte Stelle. Um sodann die noch unbekannte
Zahl zu finden, multiplizire man bey der yeradcn Re¬
gel Detri die zwey Mittlern Glieder miteinander, und
-ivi-ire das Produkt durch das erste Glied; bey der
verkehrten Regel Detri aber multiplizire man das er¬
ste und zweyte Glied miteinander, und -iviöire das
Produkt durch das dritte Glied. Das obige Beyspiel
N. l. würde demnach also stehen : 16 Fl. : z l Elleg
— loo Fl. : rr Ellen Zl . loo : 16 — 2^ Ellen.

Obwohlen nun dawider eingewendet werden kann,
daß in diesem Bsyspiele 16 Fl. : Zl Ellen kein Derhältniß
in der Bedeutung (§. 172.) seyn kann, da diese zwey Glie¬
der ungleichnamig sind, fo sieht man doch wohl ein, daß
die Proportion dennoch richtig ist, wenn man die Glieder
derselben als unbenqnnte Zahlen betrachtet. Und muß
man denn dieses nicht auch bey dem vorigen Ansatz
16 Fl. : loo Fl. — z-5 Ellen : >v Ellen thun, wenn man
die zwey Mittlern Glieder 102 Fl. und zz Ellen miteinan¬
der multipliziret? Freylich iHunte, man hier auch diesem Vor¬
wurfe ausweichen, wenn man, um das vierte Glied zu
finden, zuvor das zweyte Glied ivO Fl. durch das erste
Fl. dividiret, und mit diesem unbenanntcn üuotienten

102

Ppn Ser einfachen Regel Detri. 199

— das dritte Glied zr Ellen multipliziret. Da
16 4

man aber nach dieser strengen Theorie eben das nämliche
Resultat, wie vorhin erhält, so kann die im gemeinen Leben
schon einmal so eiugcführte praktische Ordnung der Glieder,
und Auflösung der Regel Detri auch beybehnltcn werden.

!97> ..

Die Regel Detri findet auch vorzüglich ihre Anwendung
bey der Verwandlung (Reduktion) der Gewichte und Maße
eines Ortes, in jene eines andern Ortes, wenn das Verhalt-
niß, welches solche gegeneinander haben, bekannt ist. Z.B.
wenn es bekannt ist, daß ein köilucr Pfund sich zu einem
pariser Pfunde verhält , wie 4Z zu 45, nämlich daß 45
kyllner Pfunde 4z pariser Pfunde ausmachen, rind es wür¬
de gefragt, wie viel 94 pariser Pfunde nach dem Kollner
Gewichte betragen; so findet folgende Regel Detri statt:
43 par. : 94 par. — 45 kölln. : -r kölln. Pfund, folglich
a - d4'45 pariser Pfund - 98 Pf, i'ti- >-

43

Eben so, wenn es bekannt ist, daß sich eine prager
Elle zu einer wiener Elle, verhalte wie 16 zu 21, oder
bas 16 wiener Ellen 21 prager Ellen ausmachen; und
es wird gefragt, wie viel gcr wiener Ellen in prager Ellen
verwandelt betragen, so ist 16 wiener Ellen : zo wiener Ellen
20 . 21

- 21 pr. Ell.: w pr. Ell.; also ae - :-- Z9Z pr. Elb

ib

Imgleichen, wenn die Frage wäre; wie viel beträgt
eine Länge von ioo wiener Fuß nach dem pariser Fuß ge¬
messen, wenn es bekannt ist, daß 1440 wiener Fuß 1401
pariser ausmachen; so ist 1440 Wien. F. : 100 Wien. F.

1401.102

1401 par. F. : .r- par, F.; folglich - -"-7 —,
. 467 . io d

- -- 97 par. Fuß.

48 _

15-8.

2O2 Vierte Vorles. in. Abschnitt.

§. 198.

Es ist aber bey der Reduktion der Gewichte und Maße
nicht nur das Verhältniß, welches die Gewichte und Maße
verschiedener Oerter gegeneinander haben, zu wissen nöthig,
sondern man muß auch von den, an verschiedenen Oertern
gebräuchlichen Eintheilungen derselben unterrichtet seyn.
Insbesondere kömmt hier in Absicht des Gewichts zu bemer¬
ken , daß an einem nämlichen Orte öfters verschiedene Ge¬
wichte im Gebrauch sind; besonders ist in den meisten
Oertern das Gewicht, womit Silber, Gold und Edelgesteine
gewogen werden, von dem Kramer -oder Handelsgewicht ver¬
schieden ; so ist auch gemeiniglich ein Apothekerpfund von ei¬
tlem Handelspfunde verschieden.

Hier in Wien sind, vermög Protokoll des k. k. Zimmen-
kirnngsamtes, fünferley Gewichte im Gebrauch, nämlich:

1) Das Mark - oder Münzgewicht (auch Valva-
tronsgewkcht genannt), dessen man sich beym Miinzwesen,
beym Abwägen des Silbers, und der davon verfertigten
Dinge bedienet.

2) Das Rommerzial-oder Handelsgervicht, welches
rm gewöhnlichen Handel gebraucht wird.

Z) Das Dukatenyewicht, welches beym Abwäzeil
des Goldes, und der aus Gold verfertigten Sachen ge¬
braucht wird.

4) Das Iuwelengewicht, womit Perlen und Edel'
gesieine gewogen werden.

A) Das Apothekeryewicht.

Eine wiener Mark beträgt vermög der Einrichtung des

6

hiesigen k. k. MÜnzamkes vollkommen genau —-derwah-

5

ren köllnischen Mark, der man sich an vielen Orten Deutsch¬
lands bedienet; und es wird die wiener Mark eben so wie
die köllnifche in 16 Lothe, das Loth in4Quintl, das Quintl
in 4 Pfennige, der Pfennig in 2 Heller, und der Heller

Von der einfachen Regel Detrr. soi

in 128 Richtpfennige eingetheilet, so daß die Mark aus
6ZZz6 Richtpfennigen bestehet; mithin ist ein Richtpfennig

6

des wiener Markgewichts ebenfalls — eines Richtpfennigs
5

A
einer kollnifchen Mark? und ein k'ölln. Richtpfennig —

o

Wien. Richtpfennig.

Ein wiener Handelspfund wird in Z2 Lothe, ein Loth
in 4 Quintl, und ein Quintl in 4 Pfennige, zuweilen auch
noch ein Pfennig in lZ Grane eingetheilet. Es ist aber das
wiener Hanöclsgewicht um etwas weniges leichter als das
wiener Markgewicht, so daß ein halbes wiener Handels¬
pfund vollkommen genau nur aus 6AZ87 solchen Richtpfen¬
nigen bestehet, deren eine wiener Mark 6zzz6 hat.

Das Gewicht eines gesetzmässigen kaiserlichen Dukatens,
deren 67 auf eine k'öllnische Mark, und 82? auf eine Wiener-
Mark gehen, ist die Einheit des in N. Z. angeführten Du-
katengewrchts, und wird allhier in 6c> gleiche Theile ge-
theilet, die man Dukatengrane nennet. Eine Unze des wiener
Markgewichts enthalt demnach 60z Dukatengrane.

Das Gewicht der Juwelen wird durch Karate bestim¬
met ; ein Karat des wiener Juwelengewichts wiegt 48^
Richtpfcnnige des wiener Markgewichts ; ein Karat wird noch
m 4 Juwelengrane eingetheilet.

Ein wiener Apothekerpfunö hat, wie es sonst über¬
all gebräuchlich ist, 12 Unzen, und eine solche Unze besteht
allhier aus 2 genau eben so schweren Lothen, als das
Handeispfund deren Z2 hat. Eine Unze wird eingekheilt in
8 Drachmen, oder Quintl; ein Drachma in Z Skrupel,
und ein Skrupel in 20 Apothekergrane.

Bey den Gold - und Silberprobirwagen bedient man
ßch allhier, so wie in ganz Deutschland eines kleinen Ge¬
richts (gemeiniglich eines Pfennigs des Markgewichts,)

N 5 we!-*

2or Vierte Vorles. m. Abschnitt.'

welches eine verjüngte oder symbolische Mark genemretwird;
beym Silber theilt man diese verjüngte Mark in l 6 Lothe, und
ein solches verjüngtes Loch in i8 Silbergrane ; oder auch ein
Loch in 4 Qnintl, und ein Ouintl in 4 Pfennige. Bepm
Gold aber wird die verjüngte Mark in 24 Go.dkaratc, und
ein solcher Karat in 12 Goldgräne eingetheilet.

Anmerkung In Frankreich, Holland, und England
wird dix verjüngte Mark Silber in 12 Hanpttheile (Deniers,
Pfennige, oder Unzen), und ein solcher Haupttheil in Frank¬
reich und Holland in 24 Orains, in England aber in 28
vrvts eingetheilet. Ein Goldkarat aber der verjüngten Mark
wird in Frankreich in Z2, in Holland in 12, und in Eng¬
land in 4 6rain8 zertheilet, wo in England ein solcher
6ram noch in 4 tzuartors zerfället wird.

§. 199-

Wir wollen bey dieser Gelegenheit nur die zuverlässig-'
sien Vergleichungen der Gewichte, und Längenmaße einiger
Oerter hieher setzen.

I. Vergleichung einiger Gewichte nach Rkchtpfennigen
der köllnischen Mark, und Äsen des holländischen
Troys,Gewichts.

Wenn man eine kollnische Mark (als das Gewicht
oon 67 neugepräzten kais. königl. Dukaten) durch blosse
Halbirungen in 6AAZ6 Richtpfennige eintheilet, nämlich,
die Mark in 8 Unzen, die Unze in 2 Lothe, i. Loth in 4
Quentchen, i Quentchen in 4 Pfennige, einen Pfennig
in 256 Richtpfennige (zuweilen wird auch ein Pfennig in
17 Eßchen, wie auch in rg Grane zertheilet) so enthält,
vermög einer sorgfältigen Untersuchung,


r)

Von der einfachen Regel Dctri. 20z

1) In Amsterdam und ganz Hol¬
land ein Apothekerpfund des holländi¬
schen Troys-Gewichts von 12 Unzen.

d?s sind nämlich ^izZ Unzen holl.
Troys — 142 köllnisch, und 71 Unzen
der Wien. Mark — 8i Unzen holl. Tr.

8 Solche Unzen holl. Tr. sind eine
holl. Mark,

wo eine Unze in 20 Engels, und
ein Engel in Z2 Äsen zertheilet wird,
ft> daß eine Mark holl. Troys 5122
Äsen enthalte. 41 Äsen holl. Tr. sind
daher äusserst nahe — 552 Richtpfng.
der kölln. Mark — 460 Richtpfng. der
Wien. Mark, weil vermög (Z. 198-)
genau A wien. Mark — 6 kölln. Mark
sind. Denn vermög eigener Untersu¬
chung hat ein neuer messingener Einsatz
von 4 holl. Mark im hiesigen k. k.
Miinzamt gewogen 229782^4 Wien.
Richtpfng.; und ein anderer von I holl.
Mark 57444 i Wien. Richtpfng.

19 Unzen holt. Troys sind daher nicht
genau 20 Unzen köllnisch; und die
köllnifche Mark enthält nicht 4864,
wie es sonst allenthalben in den Büchern
angetroffen wird, sondern 4867^ Äsen
holl. Troys; welches in der Folge noch
Mehr bestätiget wird.

Ein Handelspsund in Holland von 16
ünzen, oder Z2 Loth, ist etwas schwe¬
rer als 2 holl. Mark; es enthält -

Es sind nämlich 256 Unzen holl.
Handelsgewicht — 257 hott. Troys,

iz84io 10280

und

204 Vierte Vorles. HI. Abschnitt.

und I2Z Unzen holl. Handelsgewicht
L- IZ2 Unzen köllnisch; wie auch i6i
Pfunde holl. Handelsgewicht — 142
Pfunden Wien. Handelsgewichr.

Denn ein neuer messingener ganzer
Zentner von ic>o Pfund amsterdamer
Handelsgewicht im hiesigen, nun zwar
aufgehobenen k. k. Zimmentiruugsamt,
mit einem Zeugnisse seiner Richtigkeit ver¬
sehen, hat gewogen 88 Pfund 6§- koth
Wien. Handelsgew. oder 11554164
Wien. Richtpfn. Ein anderer messin-

Richtpfennig
der
köll. Mark.

gener Einsatz, von Z2 koch holl. Han-
delsgcw. im hiesigen Münzamt hat ge¬
wogen 115528 2 Wien. Richtpfng. !

2) Zn London und ganz Englands
ein Apothekerpfund des englischen Troy-,
Gewichts ( nicht Troys-Gewichts ) von
r 2 Unzen -

Es sind nämlich 90 Unzen holl.
Troys 89 Unzen engl. Troy.

Die Unze des englischen Apothekcr-
pfundcs wird, wie es sonst gewöhn¬
lich ist in 8 Drachmen, ein Drachma
in Z Skrupel, und ein Skrupel in
20 Grane zertheilet. 12 solche Unzen
heissen auch eine englische Mark Troy,
wo aber eine Unze in 20 Pennys, ein
Penny in 24 Graus und ein Grän in
2O Mits zertheilet wird.

In England ist auch das sogenann¬
te ^voir klu poiäs Gewicht gebräuch¬
lich , wo ein Pfund in 16 Unzen, und
eine Unze in 16 Drachmen zertheilet

104560

Verw.In
Asin
holl. Tr.

7766

wird,

Von der einfachen Regel Detri. 205

wird, und es sind zi Unzen engl.
Troy — Z4 Unz. ^v. U. x.; daher
I Pf. ^voir clu poicls - -

Und endlich ist in England auch noch
ein Pfund Ronigsyewicht von 16 Un¬
zen — Pf. ^v. 6. p. - -

3) In Paris und ganz Frankreich
ein Apothekerpfund des französischen
Gewichts von 12 Unzen (korcls cis
Trance oder auch koiUs tle marc,
welches zuweilen in Deutschland unrich¬
tig koiäs äe Iro^es genannt wird )
enthält - - -

Es sind nämlich 4Z Unzen franz.
— 45 Unzen kölln.

8 solche Unzen sind eine franz. Mark.

Und i6 Unzen ein franz. Handels¬
pfund -

Die,Unze wird in 8 Gros oder
Drachmen, ein Gros in Z Deniers, und
ein Denier in 24 Gräns zertheilet.

Diese angeführte Bestimmung des
pariser Gewichts in kölln. Richtpfen¬
nigen, und in Äsen holl. Troys stim¬
met vollkommen überein sowohl mit H.
Arusens Angabe im Hamb. Kontori¬
sten ( i par. Mark — 5094 Äsen
holl. Troy vermög einer wirklichen in
Amsterdam vorgenommenen Untersu¬
chung ) als auch mit H. Ersenschmreds
Untersuchung in Oisyuis. cle poncl. <8c
wens. (1 kölln. Unze — 550 s Paris.
Grains); hingegen die fernere Ver¬
bleichung des H. Kruse (2t parr Mark

/

2oü Vierte Vorles. Hl. Abschnitt.

22 kölln. Mark ) muß unrichtig feyn,
weil solche mittelst des unrichtigen
Satzes ( 19 Äsen holl. Lr. — 256
köiln. Richtpfng. abgeleitet wurde.

4) In Wien und in allen österrei¬
chischen Staaten

i Wien. Apöthekerpfund von l2 Unzen.

i wie». Handelspfund von Z2 Lochen,
oder 16 Unzen - - -

i Wien. Mark von i6 Lothen oder 8

Unzen - - -

I Dukaten von 6o Gran -

l Karat des Wien. Juwelengewichts.

Es ist auch sonst überall i Juw.
Karat — 57 bis 58 kölln. Richtpfng.

Es sind daher 47 Unzen koiüs 6e
kratice oder pärifer koills 6s marc
— 41 Unzen Wien. Mark-Gewicht.

Und i8z franz. Pfunde sind gleich
162 Pfunden Wien. Handelsgewichr.

5) In Kölln und in mehr andern
Städten Deutschlands ein Handelspf.
von Z2 Loch — 2 Mark des wahrhaf¬
ten kölln. Gewichts -

Ein gut aufbewahrter messingener
Einsatz von i Mark kölln. vom Jahr
1716 mit dem Stempel von Kölln
versehen im hiesigen Münzamt hat ge¬
wogen 5461c) ib l Wien. Richtpfng.;
und ein anderer solcher Einsatz ohne
Jahrzahl, und nicht so fleißig ausge-
arbeitet Z4644 i Wien. Richtpfng.

Von der einfachen Regel Dein. 227

6) In Venedig ein großes Handels¬
pfund voni6Unzen (Uora Arollb), oder
2 Mark Münzgewicht -

Es sind nämlich 48 Unzen der venet.
Ubra Ar-"49 Unzen l'öllnisch.

Ein venetianisches kleines Handels-
Pfund von 12 Unzen (libra lottile) -

Es sind nämlich 8? Unzen Ui), sott.

— 70 Unzen Ub. Ar.

Auch ist in Venedig ein eigenes
Fleisch - und Viktualgewicht ( großes
oder schweres Gewicht pelo Z rolko ge¬
nannt) gebräuchlich; 19 Unzen dieses
Gewichts sind bepttahe ^zo Unz. Ub
sott, folglich I Pf. p. Ar. von 12 Unz.

Und endlich giebt es in Venedig auch
noch eine Opera lottile , welche be!)
dem Apothekergewicht, und in ver¬
schiedenen andern Fällen gebraucht^
wird; 2Z solche Unzen des venetiani-!
scheu Apothekcrgew. sind gleich 21 Un-
jen des venet. Markgew. und folglich
enthalt ein venet. Apothekerpfund von
12 Unzen

Denn vermög eigener Untersuchung
sink ein neuer messingener Einsatz von
2 Mark oder r Pfund Ub Zr, gewo¬
gen ! 11Z02 2 ; ein anderer von

Mark 27876 -H; ein Pfund Ub, sott.!
70528 ib I ; eine Unze Fleischgcwicht'
im Durchfchnitt 9280, und eine Unze
Apothekergewicht Z8A7wien. Richtpfng.

Diefe angeführten Gewichte waren
Wit Zeugnissen ihrer Aechtheit versehen,'

Ri'chtpfennlg
der
kölln. Mark.

133802

846z 3

lZ36zr

84295

Verw. tn
! Asea
jlwl! Tr

9938

6286

9744

6261

wel-

208 Vierte Vorles. HI. Abschnitt.

welche weiter unten folgen werden.
Hingegen hat ein anderer zwar gestem¬
pelter, aber mit keinem Zeugnisse ver¬
sehener messingener Einsatz von i venet.
Mark im hiesigen Münzamt gewogen
55698 i Wien. Richtpfng.

7) Zu Breslau, in Lemberg und
ganz Gallizien, ein Pfund von Z2
Loch des breslauer Gewichts, wie
solches allhier nach einem breslauer
Original verfertiget wird, wiegt 2Z
Loth, 0 Quintl, i/g- Pfng. Wien.
Markgewicht—94Z44 Wien. Richtpfng.

Ein breslauer Handelspfund ist daher

Und es sind 119 bresl. Pf. — loz
k'ölln. Pf. wie auch 6z bresl. — 47
Wien. Handelspf.

Eine einzelne ganz von Messing sall-
Ler ausgearbertete breslauer Mark im hie¬
sigen Münzamt hat gewogen 4Z994 i
»vien' Richtpfng. ; und eben daselbst
rin messingener Einsatz von i bresl.
Mark 45986^-1 »vien. Richtpfng.

Es ist daher eine breslauer Mark -

Und es sind sehr nahe 57 bresl.
Mark — 40 Wien. Mark — 48 kölln.
Mark.

8) Ein Frager Pfund von 2 Mark
im hiesigen Münzamt hat gewogen
119440^ 2 Wien. Richtpfng.; daher ist

Eine prager Mark von 8 Unzen -

Und es sind 107 pragerMark—117
Mark kölln. wie auch 124 prager Mark
— uz »vien. Mark.

9)

Von der einfachen Regel Detri. 229

9) Ein messingener Einsatz von 1
NÜrnb. Mark im hiesigen MUnzamt hat
gewogen 55684 ä: I Wien. Richtpfng.
enthalt daher - - -

Und vermög dieser Untersuchung wären
51 nürnb. Unzen — 52 kölln. Unzen.

Ein gut aufbewahrter Messing.
Einsatz mit der Aufschrift, Augspurg
1 Pfund von 2 Mark, im hiesigen
Münzamt hat gewogen 110176 4- 2l
Wien. Richtpfng.

Es ist daher l augspurg. Mark von j
8 Unzen ------

Und 461 Unz. augsp.—465 Unz.kölln.

li) Ein sauber ausgefertigter mess.
Einsatz von 1 Pfund zu 2 Mark, wo
1 Loth mit 12 r/, 4 Loth mit 6 ck,

Loth mit Z e/, und endlich 1 mit
i . . 12 bezeichnet war, im hiesigen
Münzamt hat gewogen 11469s chl 2^
Wien. Richtpfng.

Das Futteral hatte die deutsche Auf¬
schrift : Niederländer Gewicht; die
erste Hülse war am Boden, aussen mit
l marc, und inwendig mit 16 bezeichnet«

Dieses Pfund enthält daher

Und es sind2v solchePft—2i Pf. kölln.

Bey diesem, und dem vorigen Einsatz
war der eine Stempel ( vermuthlich des
Meisters mit den Buchstaben 6. 8.)
einerley; die zwey andern Stempel aber
waren verschieden; diese Merkmale, und
Krusens Angabe lassen vermuthen, daß
dieser Einsatz RegensMg, Markgew. scy«

Richkpfennig
der
kölln. Mark-

lVerw. in
Äsen

j holl Tr.

66821 496z

66105

49is

137628 1022L

Vorles. I, L.


ber-

Lis Vierte Vorles. m. Abschnitt.

.Ferner soll nach Hrn. Rrusens Angabe im Hamb. Kou-
torisien an Äsen holl. Troysgew. enthalten:

i Handelspfund von 16 Unzen oder Z2 Loth in
Antwerpen und ganz Niedcrland 9790, eine Mark ab»
von 8 UnzeN 5122 ; Augspurg schweres 10220, leichtes
9836; Berlin von 2 Mark 9750; Bern 10825; Brann--
schweig von 2 Mark, Dresden und Leipzig 9716; Con-
stantinopel 1 Oku 26396; Coppenhagcn und ganz Dstmie-
mark 10388, eine Mark aber von 8 Unzen 4888; Dan¬
zig 9262; Genf großes 11462, kleines 9552; Hamburg
12280; Hannover von 1^ Apothekerpfnnd 10127; kista-
bon und ganz Portugal von 2 Mark 9552; Madrit und
ganz Spanien von 2 Mark 9592; Marseille 8359; Mün¬
chen und Regenspurg 11671, eine Mark aber in Ncgeu-
spurg Z111; Petersburg und ganz Rußland 8Ai2; Stock¬
holm und ganz Schweden 8848, eine Mark aber von 8
Unzen 4384; Warschau 7863.

Ferner 1 Pfund von 12- Unzen in Corfrka 7166;
Florenz 727z ; Genua schweres 7140, leichtes 6720;
Livorno 7131 ; Mantua 68Z4; Mayland 6822; Neapel
6677; Padua 6952; Parma 7256; Rom 7345; Turin
von 1^ Mark holl. Troys 7682. Apothekergewicht in
Deutschland (mit Ausnahme der österreichischen Monarchie
und Hannover) 7444.

Da nun vermög obangeführten, 41 Äsen — ZZ2 k'ölln.
Richtpfng. sind, so ist es leicht diese angeführten Gewichts
aris dem für bekannt angenommenen Gewichte von 67 kaip
Dukaten abzuleiten, um eine bestimmte Kenntniß davon jN
erlangen, wie viel solche nach dem wahren kölln. Gewichte
betragen. Nur dürften diese Angaben des Zrn Rruse bis
auf die Einheiten der Äsen nicht allenthalben richtig ftynr
weil diese Verhältnißzahlen an mehrcrn Orten mittelst der un¬
richtigen Angabe ( 1 kölln. Mark — 4864Äsen holl. Troys)
abgeleitet wurden. Daß diese Angabe unrichtig sepn mufft,
erhellet auch schon daher, weil 7s neugeprägte Dukaten
159

Von der einfachen Regel Dein. 21 l

Engels holl. Tr. und 67 solche eine köllnische Mark
wiegen müssen. Auch sind die Gewichtseinsätze einer nämli¬
chen Gattung, die von verschiedenen Künstlern verfertiget wer¬
den, öfters bey 10222 Äsen um 1 oder 2,zuweilen auch um
mehr Äsen verschieden. Neber dieses sind die Gewichtsemfatze
in ihrer Zertheilung öfters nicht genau abgeglichen, so, daß
die Schlußfolge aus der abgeführten Untersuchung eines Thei-
lcs des Gewichteinsatzes auf das ganA Gewicht unrichtig aus¬
fallen muß, wie es aus folgendem erhellet.

Die Richtigkeit des öbangeführtcn venekianischen Ge¬
wichtes , welches auch in Triest gebraucht wird, war mit
folgenden in italienischer Sprache abgefaßten Zeugnissen ver¬
sehen; nur der Anfang und das Ende bcy dem ersten war
lateinisch-

Im Nam. des Barmh. Gottes Amen. Im Jahre v.
d. Nenschw. uns.H.J. Chr. 1787 am Don. d. ZtenApr.

L, 7' L. Nicoletti, Wag - und Gewichtsauffther im
hiesigen Münzhause ist in Meiner, des össentl. Notars, und
der unten gesetzten Zeugen Gegenw. erschienen, und hat mit¬
telst eines freywill. aus Liebe zur Wahrheit, in meine Hande
abgeleg. Eides erkläret: daß die zwey Gewichtseinsätze, der
«ine von ! kleinen, der andere von r großen venet.
Pfunde, wo zugleich der größere Einsatz 2 Mark Goldarb.
Gew. beträgt (cliLÜiaru, clre 6 öue Llarcüi, uoo s pelo
<l< libra lottile veneta, v l'altro a pelo cli libra allagros-
ka veneta, ^ual iVIarcs alla Arolka korma il peso cli dlar-
düs 6uo pelo <kL orelics Lrc.), welche derselbe an L. V.
korta verkaufet , wahre und ächte Gewichte von einem klei¬
nen und von einem großen Pfunde sind, wie solche in der
Hauptstadt (Pella rlomiaante) üblich sind; und welche hie-
lnit mit dem Stempel des heil. Markus bezeichnet werden.

viel bez. rc. Venedig rc.. , ,

Bep der Prüfung enthielt Wien. Richtpfennige vom gro-
Pfunde der ganze Einsatz von i6 Unzen mAO2j
K Unz. 55748; 4 Unz. 27864; 2 Mz- 13950; r Unz.

O 2 6972

2i2 Vierte Vorles. m. Abschnitt.

6970; der Uebcrrest von 1 Uiiz. 6964. Dom kleinen Pfun¬
de der ganze Einsatz von 12 Unz. 70A28; 6 Unz. ZZ264;
Z Unz. 17624; 2 Unz. 11768; der Ueberrest von 1 Unze
5862.

Ferner wurden spater eingeschickte, mit nachstehendem
Zeugnisse versehene venet. Gewichte untersuchet:

Venedig den i4ten Aug. 1789. Ich End. unter;.
Hssentl. Waag - und Gewichksaufseher im Münzhause bezeugt
hiemit, daß diese überschicktcn Gew. achte, und richtige
venet. Gew. sind. Als, ein Einsatz von 4 Unz. des Gold-
arb. Gew. .»c. Sodann 1, Unz. 1 , Drachm.

1, Z Skr. deo geringen Gewichts für die Apotheker (Dacia
Uetta lottila 6a i, Drama ät merra; 8crupolosr

merro a6 urro 6i lpiciaUi äc marceri 6a cetta 6rc.)
Ferner 1, Unze des sogenannten schweren Gewicht»
für die Lebensmittel ec. (mit Beibehaltung der Schreibart;
Diu cmcia 1 , A 6etto pelso ^roaa acl urro 6e come-
lribeili carnami cararolli, L frutarolli il tutto 6i pelo
Oiulü-nmo). Und endlich einige Karate und Grane rc. L.
NicoleNi Lc.

Es enthielt wie». Richtpfng. Mark 27876, war aber
in der Zertheilung eben so unrichtig als die vorigen; vom
Apothekergew. 1 UnzeA8Z7; Unze 2928; ^Unze 146ZU
1 Drama 726; Drama Z62^; I 8cropo!o 140; voM
Viktualiengcwichte eine Unze 9276; Unze 4640, und H
Unze 2Z2i^ Wien. Richtpfng. Ein Karat war im Durch¬
schnitte beynahe eben so schwer als ein Wien. Juwelenkarat;
und so auch i Gran bcynahe — 1 wie». Dukatengran.

Ein zierlich ausgcarbeiteter englischer Gewichtseinsich
eines seyn sollenden 6. p. Gewichts von 4 Pfunden
bep einer künstlichen Ramsdenschen Waage in der hiesigen
Med. Chyrurg.. Akademie , womit ein jeder das Gewicht
seines cigenenKörpers selbst finden kann, und wobey mittelst jeder
Unze ein Gewicht von 7 Pfunden angegeben wird, wurde
bep der Untersuchung folgendermassen befunden:

Von der einfachen Regel Detri. 21 z

Die äussere Hülse mit der Aufschrift Z2 O. 16 8lon.
224 Pf. wog Wien. Richtpfng. 212264; der Ueberrest von
Z2 Ounc. 21Z124; ferner 16 Unz. 126326; 8 Unz.
57168; 4 Unz. 26576; 2 Unz.-13448; 1 Unz. 6762;
und der noch ferner zcrtheilte Ueberrest von 1 Unz. 6864.
Wer sollte wohl aus London so was unrichtiges erwarten?
So grobe Fehler in der Zertheilung waren doch bey keinem
der angeführten im Deutfchlande verfertigten Gcwichtseinsätzr
anzutreffen. Nur schade, daß keine Gelegenheit vorhanden
war, auch einen franzüs. Gcwichtseinsatz in seiner Zerthei¬
lung zu prüfen.

Die bey den angeführten Untersuchungen gebrauchte soge¬
nannte valvationswaaFc, undGewichtszertheilungwren.Val-
varionsgewicht ( dein Hrn. Joh. Eblezeie, Waag - Gewicht-
und Maaßenfabrikanten allhier gehörig, welchem zugleich für
seine dießfalls bezeigte gefällige Bereitwilligkeit hiemit gedan-
ket wird), wqr mit äusserster Genauigkeit verfertiget. Ucber-
haupt hat sich bey dieser Untersuchung gezeiget, daß die Ge¬
wichte , Waagen, und Maße sowohl zum allgemeinen, als
auch zum besonders Gebrauche im Durchschnitte genommen,
vielleicht nirgends in der ganzen Welt mit einer so genauen
Richtigkeit, Gleichförmigkeit und Uebereinstimmnng, sowohl im
Ganzen als auch in ihrer Zertheilung verfertiget werden, als
allhier in Wien, welches man porzüglich der Einrichtung des
vorher bestandenen eigenen Zimmentirungs - Amtes zu verdan¬
ken hat..Nun aber, da dieses eigeneZimmentirungs-Amt im
Jahre 1787 aufgehoben worden, so ist mit Grunde zu be¬
fürchten , daß zum großen Nachtheile des allgemeinen Besten
in der Zukunft die dießfällige Unrichtigkeit, und Ungleichför-
Migkcit sich auch allhier nach und nach einfchleichen wcr-de;
uichr zwar bey der Erzeugung der Gewichte, Waagen, und
Maße, weil auf deren Richtigkeit dießfalls nun der Wien.
Städrmagistrat die Aufsicht hat, sondern bey deren so viel
faltigem Gebrauch« in der Handlung, und andern Geschäften.

O z

LiH Vierte Vorles. m. Abschnitt.

Anmerkung. Eben noch zu rechter Zeit, da dieser Bogen M
wird, ergiebt sich die Gelegenheit aus den Paris. Llem. se-? kcieocii
1767 nachstehende aufVeranlassung der pariser Akademie d. Miss, dunj
Hrn. Tillet abgeführte Untersuchungen einiger von den franz. Eesack
schäften eingeschickten Gewichte einzurücken, um verschiedene Angaben so¬
wohl in Rrusens Hamb. Kontoristen, als auch in vielen andern A
chern, welche dergleichen Rrusens Angaben enthalten, prüfen und k
richtigen zu können, als:

Von der einfachen Regel Dein. 21Z

,r6 Vierte Vorles. m. Abschnitt.

Aus dieser Untersuchung, mit der vorigen verbunden, ist
es zu ersehen, daß die in verschiedenen Städten Deutschlands
ringeführte köllnische Mark von 6ZZZ6 Richtpfennigen nicht
Überall einerlei) sey, wo inzwischen diejenige köllnische Mark,
welche Key der Einrichtung des Wien. Münzamtes O- 198-)
zum Grunde gelcget wurde, sehr genau zwischen allen das
Mittel hält. So scheint auch das niederländische l'ro^s.-
oder- 1'ro^e8--Gewicht verschieden zu seyn; eine Mark
Gewicht in den vereinigten Niederlanden von 512a
Äsen scheint mit einer Mark Gewicht in den öster¬

reichischen Niederlanden ebenfalls von Ai2c> Afen nicht ei¬
nerlei) zu seyn; diefe wiegt 4629, und jene 46z il Paris.
Gräns, weil die parif, Mark in Holland A094 Äsen holl.
Tr. soll gewogen haben. Und diese Verschiedenheiten sind die
Hauptursachen der so vielfältigen Abweichungen in den Ab¬
gaben der Gewichtsvergleichungsn von den wirklich vorge-
Nvmmene» Prüfungen. Diese Abweichungen werden auch
nicht eher gehoben, als bis man sich entschließt die
zuverlässigsten Gewichtsvergleichunyen künftig nicht
mehr in Äsen, und auch nicht mehr in köllnische»
Grwichtstheilen, sondern in einem andern bekannten,
sich immer gleichförmig bleibenden, und leicht zu ha»
benden Gewichte anzugeben. Da nun die Gewichte all-
hier !u Wien allgemein mit einer ausserordentlichen Genauig¬
keit , Gleichförmigkeit, und Uebereinsiimmung sowohl !>n
Ganzen als auch in ihrer Zertheilung verfertiget werden,
dabey auch um einen geringen Preis zu haben sind (ein zee-
theiltes wren. Apothekergew. in einem säubern Kästchen von
12, 6> z, 2, i, -H. Unzen, 2, i, i-, r- Drachma,
4, Z, 2, I Skrupel, und IQ bis i Gran, wo 16 solche
Unzen ein Wien. Handelspf. von Z2 Loth sind, kostet bcy
dem obgenannten Hrn. Edlezeit auf dem Er. Stephanskirchhoft
4 Gnlden) , so dürfte es für Deutschland rathsam seh«,
künftig anzustellende Gewichtsunterfuchungen in Granen des
Wien. Apothekergew. anzugeben. Noch besser wäre es ftey-'
lick

Von der einfachen Regel Dein. 217
lich dergleichen Prüfungen der Gewichte mit dem bis in die
Richtpfennige zertheilten Wien. Mark - oder Münzgewichte
(mitdem eigentlichen wiener Valvationsgewichte, wo Zof
ucugeprägte kais, königl, Dukaten auf i Mark gehen) vorzu-
nehmen; ein solches Wien. Valvationsgewicht kostet ebendaselbst
14^, und eine dazugehörige Valvationswaage Gulden.

Es ist dermalen keine Zeit mehr übrig zu den bcyden
obigen Untersuchungen mehrere kritische Bemerkungen hinzu-
zusetzen; wie viel nun ein berliner, dresdner, Hamburger,
pariser, turiner, wiener Pfund rc., sowohl in Äsen holl,
Troys, als auch in Äsen nieder!. Troyes Gew. enthalte, wen»
diese zwei) Gewichte doch wirklich verschieden seyn sollten, wird
ein jeder selbst leicht finden können.

u. Zuverlafiiye verFleichunF einiyev Fußmafie , und
Ellen mit dem königl. parif. Fuß,

Wenn man einen königl. Paris, Fuß (welcher so be¬
schaffen ist, daß ein pariser Kubikfuß Regenwasser 70 Paris.
Pfunde wiegt) in 1440 gleicht Lhcile theilet, (nämlich
den Fuß in 12 Zolle, den Zoll in 12 Linien, und die Linie
>n io Skrupeln) ; so enthalt an solchen Skrupeln

i Fuß in Bayern 1282; Dännemark 1Z91; ; Eng-
land izZi; Frankreich 1440; Spanien 12ZZ; Rußland
2Z86 ; Schweden izi6; Amsterdam 1255; Augsburg
iZiZ; Berlin 157z; Braunschweig 1260; Gotha 1275z
Hamburg 1272 ; Hanover 1295 ; Kölln 1222 ; Leipzig
!2ZZ; Nürnberg Werkfuß IZ47, und Artilleriefuß 1298; Z-
Roin I kglmo 992; Turin (pisse cli lipranclc») 2277 z
Venedig 1542; Wien 1421; der rheinländische Fuß 1Z91' «
6 Fuß heissen gemeiniglich i Klafter, und 12 Fuß r
Ruthe.

Vollkommen genau verhält sich der wiener Fuß zum Pa-
lsser wie 122222 zu 122764. Und 1 nürnb. Artillericzoll
allhier —-- Wien. Zoll,

1728

0 8

Eine

LlF Vierte Vorles. m. Abschnitt.

Eine Elle in Amsterdam zo6o; Brüssel große Z278,
kleine ZOZ4; Dannemark von 2 rh. Fuß 27824 ; Dresden
2A09; Hamburg 2540; Hanover 2A92; Leipzig 2506;
Lemberg und ganz Gallizien vermöge eigener Untersuchung
eine brsslauer Ekle von 2 breslauer Fuß 2634 ; London
405 z; Nürnberg 2924; Paris 526z; Rußland 1 Arschi-
ne Zi 54; Schweden 26Z2; Wien Z4Z4.

III. Angabe und Vergleichung einiger andern in de»
österreichischen Staaten gebräuchlichen Maße
nach dem Protokoll des k. k. Zimmentirungsamtes.'

Eine wiener Elle ist genau — 2,46z Wien. Fuß, und
daher auch — Z454 pariser Skrupeln.

Ein wiener Metzens 1,9471 Wien. Kubikfuß; und r
Wien. Eymer von 40 Maaß oder 162 Seitel oder Z22 PU
ist—1,792 Wien. Kubikfuß; z Pfiff machen i Groß-Seitel.

rooo.

Von der einfachen Regel Dein. 219.

sböhmische Pinten fiZZo?

schlesische Quart s — > 496!

lOQo 4 > wren. Maaß

l mährische Maaß f j 7Z6 f

Oyrolische Maaß ä I. L73>

Mittelst der angeführten Veraleichungszahlen der Ge¬
wichte und Längenmaße verschiedener Oerter, ist cs nun leicht
eine gegebene Anzahl Pfunde, wie auch Klaftern und Füsse
eines Orts in eine gleichgültige Anzahl eines andern Ortes
zu verwandeln; 'z. B. da der Londncr Fuß ^ZZi, und der
wiener 1401 pariser Skrupeln enthält; so ist derwiener Fuß
langer, als der londner; und zwar dergestalt, daß ein wiener Fuß
zu einem londner Fuß sich verhält, wie 1401 zu iZAi; eben so
verhalt sich auch der wiener Zoll zum londner Zoll, nach der
zwölftheiligen Eintheilung ; es find daher IZZI wiener
§uß oder Zoll — 1401 londner Fuß oder Zoll vermög
(§. 182.); welches man den Reduktionssay für das wie¬
ner und londner Fußmaß zu nennen pflegt.; und man fin¬
det aus den in I. und II. angeführten Vergleichungen für
side zwey Orte den Reduktionssatz sehr leicht, wenn man die
dauebensiehenden Zahlen verkehrt nimmt. Wäre nun eine
gewisse Lange, welche im londner Fußmaße ausgedrückt ge¬
geben ist, in das wiener Fußmaß zu verwandeln ; so muß

IZZI

man die gegebene Zahl mit dem Bruch multiplizirem

Ware hingegen ein gegebenes wiener Fußmaß in das lond-

ner zu verwandeln, so muß man

1401
die gegebene Zahl mit- —
r35r

multiplizireu. Wenn mehrere gegebene Längenmaße mit ei-
nenr Bruch zu multipliziren wären, so kann man einen solchen

140!

Bruch, oder ein solches Verhältniß -—- nach (§. m. >
iZZi

bl einen einfachen Ausdruck, ohne merkliche Veränderung
des Berthes verwandeln. Auf diese Art findet man, daß
1421

L2o Vierte Vorles. m. Abschnitt.

142! 28 ' .

- äusserst nahe - - sen; denn, wenn man irzx
kZAi 27

28

mit multipliziret, so ist das Produkt 14212^, so daß
27

die letzte Ziffer mit der eigentlichen Verhältnißzahl 1401
völlig genau übereinstimmet, wo ohnehin bey dergleichen
Verhältnißzahlen die letzte Ziffer selten völlig genau richtig
ist. Es sind daher auch 27 wiener Fuk^ 28 londner Fuß.

Die kehre von der Abkürzung der Brüche nach
findet vorzüglich ihre Anwendung auf die Abkürzung solcher
Vcrhängnißzahlen, oder Reduktionsfatze bei) den Maßen
und Gewichten; so wie auch m verschiedenen andern Fällen.
Z. B. in unserer Artillerie ist es festgesetzt, daß sich der
Durchmesser der Kugel zum Durchmesser der Bohrung ver¬
halte, wie sich der Durchmesser einer 7pfündigen zum Durch¬
messer einer Zpfündigen Kugel verhalt. Nun ist der Durch¬
messer einer 7pfündigen eisernen Kugel — 3.922" und der
Durchmesser einer 8pfündigen Kugel — 4,08" nach dem
Nürnberger Artilleriefuß ; folglich ist das Verhciltniß des
Durchmessers der Kugel zum Durchmesser der Bohrung
- Z-902 : 4,28 Z902 : 4082, und endlich " 22: 2Z.:

wenn man das Verhältniß 3902:4082 nach (Z. 111.) abkürjet.

, 3922 22

»anlUch---— — — sehr nahe. Und

4^82 2Z

Von der einfachen Regel Detri.

22 l

2Z

Und wirklich wenn man 2922 mit —multipliziret,
22

jo ist das Produkt — 4079,^. Es ist demnach das Ver--
hältniß des Durchmessers der Kugel zum Durchmesser der
Bohrung bey unfern Kanonen dem Verhältnisse der zwey
unbenannten oder Absolutzahlen 22 zu 2z gleich; nämlich
wenn man den Durchmesser der Kugel "bep was immer für
einer Kanone in 22 gleiche Theile thellet, so ist der Durch¬
messer der Bohrung um einen solchen Theil größer, so daß
daher der Unterschied zwischen dem Durchmesser der Kugel

und der Bohrung (der Spielraum) —

-- des Kugeldurch-

22

Messers ist. Da aber gewöhnlich in der Artilleriezeichnung der
Durchmesser der Kugel in Z2 gleiche Theile getheilet wird,
so kann man, ohne einen Fehler zu besorgen, bep der Zeich-

nung der Kanonen für de» Spielraum — des Kugeldurch-'
32

ll l 1 „

Messers annehmen, weil — von. — nur um — des Ku-
Z2 22 704

gtldurchmessers verschieden ist, welches bep unserer größten Ku-

i

öel, nämlich bey der 24 Pfündigen, bepnahe nur — Linie

beträgt, welches auf einem verjüngten Maßstabe mit der
bnkelfpitze nicht mehr unterschieden werden kann.

Eben so findet man den Spielraum bep unsern lMerrr

l „

— des Bombendurchmessers, und folglich für die Jeuch-

21

Nung Z- Durchmesser z weil es festgesetzt ist, daß bey den
64

Pollern der Durchmesser der Bombe sich zum Durchnuster des
Flugs verhalte, wie der Durchmesser einer ircpfüadiaen zum
Durchmesser einer 2gpfündigen Bombe 20: 2z.

222 -

IV. Abschnitt.

Von der zusammengesetzten Regel Dctrü

s. LOO.

Die Rechnungsfragen, welche wir bisher durch die Re¬
gel Detri aufgelöset haben, waren alle so beschaffen, daß
in denselben jederzeit nur zwen eigentliche Verhältnisse in Be¬
trachtung gezogen wurden, weil alle übrigen Umstände voll¬
kommen einerlei) waren. Es kommen aber sehr oft Rech-
mmgsftagcn vor, wo mehr als zwei) Verhältnisse in Erna-
gung gezogen werden müssen. Z. B. es würde gefragt;
wenn loo Fl. Rapiral in 12 Monaten A Fl. Zins
bringen, wie viel Gulden Zins bringt ein Rapital
von 8z6 Fl. in der Zeit von 16 Monaten? Hier sicht
man wohl ein, daß in dieser Frage drey verschiedene Ver¬
hältnisse Vorkommen, nämlich das Verhältniß der Zeit/ des
Kapitals, und des Zinses. Jmgleichcn wenn gefragt wiir-
de ; wenn A Mann in 6 Tagen Faschinen verfer¬
tigen , wenn sie täglich 8 Stunden arbeiten; wie viel
Faschinen werden iZo Mann in Z Tagen verfertigen,
wenn sie täglich 12 Stunden arbeiten? so kommen in
dieser Frage vier Verhältnisse vor, nämlich das Verhältniß
der Mannschaft, der Täge, der täglichen Arbeitsstunden,
und der Anzahl Faschinen.

Die Auflösung solcher Rechnungsfragen, worin» mehr
als zwei) Verhältnisse vorkommen, pflegt man die zusam¬
mengesetzte Regel Detri zu nennen, so wie jene, worinn
blos zwei) Verhältnisse vorkommen, die einfache Regel De¬
tri genennet wird.

Jede zusammengesetzte Regel Detri besteht aus zwey
Theilen, wovon jener, worin» alle Glieder bekannt sind,
der bekannte Fall, und der andere, worinn sich die noch
unbekannte Zahl befindet, der unbekannte Fall genennet
wipd.-

Von der zusammengesetzten Regel Dein. 22z
wird. So ist im ersten gegebenen Beispiele der bekannte
Fall, daß 122 Fl. Rapital in 12 Monaten A Fl. Zins
bringen; und im zwcyten Beyspiele ist der bekannte Fall,
öaß g Mann in 6 Tagen 622 Faschinen verfertigen,
wenn sie tarlich 8 Stunden arbeite«.

Anmerkung. Die praktischen Rechenmeister pflegen
insbesondere jene zusammengesetzte Regel Detri, worinn drey
Verhältnisse vorkommen, die UeZuI-» guinc^ue zu nennen,
weil eigentlich Z Zahlen gegeben sind, wozu die sechste ge¬
funden werden soll. Aus gleichem Grunde nennen sie die
aus vier Verhältnissen zusammengesetzte .Regel Detri die Us-
guia leptem, jene mit fünf Verhältnissen, UsZuIu novenr
L. s. w, '

Z. 221.

Jede zusammengesetzte Regel Detri kann durch eine wie--
terholte einfache Regel Detri aufgelöset werden, indem
Man jedesmal nur zwey verschiedene Verhältnisse in die Rech¬
nung nimmt, und alle übrige Umsände für vollkommen ei-
nerley ansicht. Z. B. die oberwähnte Frage, wenn 122 Fl.
Kapital in 12 Monaten Z FI. ^ins bringen, wie viel
§l ^ins bringt ein Kapital von 836 Fl. in 16 Mo¬
naten, kann folgendermassen anfgcl'öset werden: Man suche
zuerst durch die einfache Regel Detri, wie viel dieses Kapi¬
tal von 836 Fl. in eben der Feit von 12 Monaten Ains
bringt, das ist , man lasse die Zeit gänzlich äusser Acht,
und ziehe nur das Derhältniß des Kapitals, und der Zinsen in
Betrachtung; so ist 122 Fl. K.: 836 Fl. K. — Z Fl. I.: Fl.

Z-8?,6 8z6 b. Da es nun bekannt

122 22

'st- wie viel dieses Kapital 836 Fl. in Zeit von 12 Mo-
uat Zins bringt, so läßt sich wieder durch die Regel Detrr
staden, wie viel solches in der gegebenen Zeit von 16 Mo¬
sten Zins trägt, nämlich 12M.: i6M.^4^5 Z.r-arFl.I.

224

Vierte Vorles. IV. Abschnitt.

Eben so kann auch das zweyte oberwähnte Beyspie!
mit vier Verhältnissen durch die dreymal wiederholte einfache
Regel Detri aufgelöset werden, indem man jedesmal »in
zwey Verhältnisse in Erwägung zieht, und die übrigen äusser
Acht läßt; nämlich man suche zuerst die Anzahl der Faschinen,
welche die 1Z2 Mann in eben der Zeit verfertigen werden,
in welcher 5 Mann 602 Faschinen zu Stand bringen; so
, i <0.622

ist 5 M. : 152 M. — 602 F. : er F. -

Z2.622— 18202.

Da es nun bekannt ist, wie viel Faschinen diese Mann¬
schaft in 6 Tagen verfertiget, so laßt sich auch finden, wie
viel FHchinen eben diese Mannschaft in den gegebenen z
Tägen verfertigen werde, wenn man die täglichen Arbeits¬
stunden noch äusser Acht laßt, nämlich 6 T. : Z T.

a.18022

— 18222 F.: er- F. -— - -- 9222 F. Endlich

6

ziehe man nun auch noch die täglichen Arbeitsstunden mit in
die Rechnung; so ist 8 St. : 12 St. — 9222 F. : ar F.

12.9222

-- H25 . 12 - 13522 Faschinen, wel-
o

che 152 Mann in z Tägen verfertigen werden, wenn sie
täglich 12 Stunden arbeiten.

Und eben auf diese Art könnte jede aus noch so viel
Verhältnissen zusammengesetzte Regel Detri aufgelöset werden.

Z. 222.

Um aber auch zu zeigen, wie jede zusammengesetzte Re¬
gel Detri kürzer, Fs durch die wiederholte einfache Regel
Detri aufgelöset werden könne, wollen wir die erste ober¬
wähnte Frage also stellen: wenn Zl. Rapital in r»
Monaten L 8l. Zins brinyen (als -er bekannte Fall))
wie viel Zins bringet ein Kapital Fl., in Monaten
als der unbekannte Fall)?

Wir

Von der zusammengesetzten Regel Detri. 22Z

Wir setzen nämlich, um die Auflösung allgemeiner zu ma--
ihm, i O2 Fl» Kapital 12 MonateA Fl. Zins—r/
8z6 Fl. Kapital — -K', i6 Monate — 2V; ferner wollen
lvir die Anzahl Gulden Zins, welche diese 8z6 Fl. in der
Zeit von 12 Monaten bringen, mit Z, und die Zinsen/ die
dieses Kapital in 16 Monaten bringt/ mit benennen; so
ist, wie oben

— L : Z, wenn die Zeit einerlei), und das Kapital
verschieden ist;

m : A: wenn das Kapital einerlei), und die Zeit

verschieden ist:

folglich auch -p 2 : vermög (§» 192. HI.)

Aämiich, wenn das Kapital, und die Zeit verschieden ist,
so verhalten sich die betreffenden Zinsen wie die Produkte aus
den Kapitalien in die Zeiten; oder wie man zu sagen
pflegt, der Zins steht mit demKapital, und mit der Zeit im
jusammengesetzten Verhältnisse, Setzen nstr nun wieder statt
der Buchstaben ihre angenommenen Werthe , so ist

5. 16 .836

rvO. 12 : 836 . 16 — 5 : r; daher r — —--

I2.l2S

4.836 836

- Fl. wie vorher»

3-22 g»Z

Eben so wollen wir ben dem zweyten obängeführten
Eeyspiele im bekannten Falle 122 Mann — m, 6 Tage

8 tägliche Arbeitsstunden — o-, 62a Faftlstnen —
und im unbekannten Falle i Zo Mann — L/, Z Tage — 2/
dZ tägliche Arbeitsstunden — <5' setzen; über dies wollen
h>r die Anzahl der Faschinen, welche dieses Mann verfertigen
würden, wenn sie ebenfalls t Täge, und täglich ^ Stunden
Heiken mit f, die Anzahl der Faschinen, die sie verfertige»
würden, wenn sie 2^ Täge, und täglich § Stunden arbeiten
uutF, endlich die Anzahl der Faschinen, welche dieses Mann

2 Lägen, da sie täglich -8' Stunde» arbeiten, mit 2^ be¬
nennen , so ist wieder wie oben

verles. l. L. P

226 Vierte Vorles. iv. Abschnitt.

-m: äiz —f, denn jemehr Mann, destomehr Faschinm
und r : T f: F, denn jemehr Tage, destomehr Faschinen
und § : — F : denn jemehr Arbeitsstunden, destomehr
Faschinen;

folglich auch m/o- : äl/Hb — vermög (§. 192. IV.)

Nämlich die Zahlen der verfertigten Faschinen verhal¬
ten sich gegen einander wie die Produkte aus der Anzahl der
Mannschaft, in die Arbeirstäge, und in die täglichen Arbeits¬
stunden; oder die Anzahl der Faschinen steht mit der Anzahl der
Mannschaft der Arbeitstage, und der täglichen Arbeitsstunden
im zusammengesetzten Verhältnisse.

5. 2QZ.

wenn daher die Bestimmung der gesuchten Grosse
in einer Rechnungsfrage von mehreren Größen derge¬
stalt abhangt, daß die gesuchte Größe einzeln betrach¬
tet, mit jeder der übrigen im geraden vekhältniße ste¬
het, so steht eben diese gesuchte Größe mit allen übri¬
gen Größen im zusammengesetzten Verhältnisse- So
steht z. B. die Menge der Arbeit mit der Anzahl der Arbeiter
und mit der dazu erforderlichen Zeit im zusammengesetzte»
Verhältnisse, weil die Menge der Arbeit mit der Anzahl der Arbei¬
ter allein im geraden, und mit der Zeit allein ebenfalls iM gera¬
den Verhältnisse steht. Wir wollen diesen Satz noch auf ei»
paar Bepspiele anwenden.

I. Frage. Wenn man einem Fuhrmann, um Za
Zentner ZO Meilen weit zu führen 8o Fl. bezahlen muß,
wie viel muß man bezahlen , um 60 Zentner 4Z Meile»
weit zu führen?

Antwort. Der Fuhrlohn steht mit der Fracht im ge¬
raden Verhältnisse, denn jemehr Fracht, destomehr Fuhr-'
lohn O- 193-)- und der Fuhrlohn sieht auch mit der»
Wege im geraden Verhältniß, denn je größer der Weg, de¬
sto größer der Fuhrlohn; folglich stehet der Fuhrlohn mit dec
Fracht , und mit dem Wege im zusammengesetzten Verhältnisse',

Nun

Von der zusammengesetzten Regel Dein. 227

Nun ist das Verhältniß der Fracht 52 : 62
des Weges go : 45
folglich Zo . Zo : 60.45 — 80 Fl. : er Fl.;

80.62.45 8.6.4Z

daher w —-- — 8 » 2 . y

So.Zo 5-3

- 144 Fl. Fuhrlohm

2. Krage. Zu einer Mauer , welche 6 Klafter lang,
8 Schuhe hoch, und 14 Schuh dick ist, braucht man
5184 Ziegelsteine; wie viel braucht man von diesen Ziegel¬
steinen zu einer Mauer, die 8 s Klafter lang, 2 Schuhe
dick, und 6 Schuhe hoch ist?

Antwort. Die Anzahl der Ziegelsteine steht mit der
Länge, mit der Hohe , und mit der Dicke der Mauer, mit
jedem insbesondere im geraden Verhältnisse; denn je länger
die Mauer desto mehr Ziegeln , je dicker die Mauer desto'
mehr Ziegeln, und je höher die Mauer desto mehr Ziegeln
(§. rgz. ); folglich sieht die Anzahl der Ziegeln mit der Länge,
Höhe, und Dicke der Mauer im zusammengesetzten Verhältnisse.

Nun ist das Verhältniß der Längen der Mauer 6 :8 s

- - Höhen 8 : 6

- - Dicken : 2

folglich 6.8 - 15 : 8-s. 6. 2 - 5184 Ziegeln : a? Ziegeln,

84.2.5184 V. 2.ZI84 25.2.5184.2
ANdw— —-—.-— --—-—

8.l4 8.^ 8.Z.Z

^25.288 —7220 Ziegeln«

Z. 224.

Kommen aber in einer Rechnungsfrage Verhältnisse
vor, welche mit dem Verhältniß, worinn sich die noch un¬
bekannte Zahl befindet, einzeln betrachtet, nicht in gerader,
sondern in verkehrter Proportion siehen, so kann der eben
erwähnte Satz erst angewendet werden, wenn man diese
Verhältnisse zuvor umkehret. A. B. es wäre die Frage:
^enn 122 Mann — n, in 5 Tagen — r, 250 Klaftern

. P 2 »

228 Werte Dorles. iv. Abschnitt.

c- von einer Schanze verfertigen; wie viel Manisschnft
müßte angestellet werden, wenn man die ganze Länge der
Schanze von 1002 Klaftern — in 2 Lägen — ^ver¬
fertigt haben will?

Benennet man nun die Anzahl der Mannschaft, welche
diese Klaftern in t Lägen zu Stand bringen würde mit M,
und die Anzahl der Mannschaft, welche diese Arbeit in 7
Lägen verfertigt, mit M, so ist

:^<—//?: M, denn je mehr Klafter, desto mehr Mann,
und M denn je mehr Läge, desto weniger Mann,
folglich Lt — /u : 192. Hl.)

/A^t 1222.100.5
und tli — —— -'— — 1222 Mann.

2.250

Nämlich das Verhältnis der Mannschaft ist dann erst dem
zusammengesetzten Verhältnisse aus der Anzahl der Klaftern
und der Anzahl der Läge gleich, wenn man vorher das Ver-
hältuiß der Läge umkehret.

Jmgleichcn eine Festung ist dergestalt mit Proviant ver¬
sehen, daß solche 6222 Mann — /A, durch 90 Läge — t,
jedem Mann täglich 2 Pfund Brod geben könne:
nun aber werden 1020 Mann fortgefchickk, uud die übrigen
A020 Mann müssen durch izo Läge — 2" ernähret
werden; wie viel Brod kann jedem Mann täglich verabreicht
werden?

Benennen wir die Anzahl der Pfunde, die jedem Mann
gegeben werden könnten, wenn sie mit dem Proviant nur
t Tage auskommen dürften, mit P, und die Anzahl der Pfun¬
de, so man jedem Mann nur gebe» kann, da sie Läge
auskommcn müssen, mit so ist

m : P, denn je mehrMannschaft, desto wenigerBrod,
und 7": t P:^>, denn je mehr Läge, desto weniger Brod;
folglich — />: vermög (Z. 192. Hl.)

nmt 2.6000.02 2.6 c
und -— —-

5200 izo 5,1z

r Pft 22 Loth beynahe.

-- Ps'

Näm-

Von der zusammengesetzten Regel DcLri. 229

Mmlich die Menge des Brodes steht hier umgekehrt im zusam-
nicngcsetzten Verhältnisse mit der Anzahl der Mannschaft §
und mit der Zeit.

§. 20Z.

Und nun läßt sich eine allgemeine Regel geben, wie
' jede, aus noch so viel geraden, und verkehrten Verhältnis?
fen zusammengesetzte Regel Detri, ganz einfach aufgel'öset wer¬
den kann, und zwar auf folgende Art: Man schreibe al¬
le Glieder -es bekannten Falles nach was immer für
»iner Ordnung in einer Linie dahin; die Glieder des
unbekannten -alles aber schreibe man so unter die vori¬
gen , daß die gleichnamigen Glieder untereinander zu
stehen kommen, und dort, wo Hie gesuchte Zahl hin¬
trift, fege man das Zeichen .r, Sodann prüfe man
das Verhaltniß der gesuchten Zahl rr zu jeder ungleich¬
namigen Große des einen Falles insbesondere nach
O- I9Z.), ob das verhatniß gerade, oder verkehrt sey;
und schreibe die gleichnamigen Größen paarweise so
untereinander, daß bep den geraden Verhältnissen die
Zahlen des bekannten Falles vorne, bey den ver¬
kehrten Verhältnissen aber hinten rechts zu stehen kom¬
men; auf diese Art verhalt sich sodann das Produkt aller
ersten Glieder zum Produkte aller zweyten, wie die zur ge¬
suchten gleichnamige Zahl sich zu -u verhält; und weil in
jeder Proportion das Produkt der äußern dem Produkte
der Mittlern Glieder gleich ist, so kann man die unbe¬
kannte re, und ihre gleichnamige Zahl gleich anfang»
kich so anfetzen, daß rr vorne zu stehen kömmt; auf
öiefe Art muß das Produkt der vorder» Glieder dem
Produkte der Hintern G ieder gleich seyn, woraus sich
bann die unbekannte Zahl a- durch die Division O- Z?.
brunds. i,) finden läßt. Die Glieder der Verhältnisse kön-
ucn hier durch einen stehenden Strich voneinander abgcsön-
bert werden, wo sodann 'öfters große Abkürzungen ange¬
bracht werden können, wenn man die Glieder rechts des

P z Stri-

rzv Vierte Vorles. iv. Abschnitt.

Striches als Faktoren des Zählers, un^ die Glieder links
des Striches als Faktoren des Nenners eines Bruches ansieht.

Beyfpiele.

i) Wenn 100 Mann in z Tagen einen Transcheegra.-
ben von 2Z0 Klafter lang, 7 Schuh breit, und z Schuh
tief verfertigen; in wie viel Tagen werden Zoo Mann eine
Lranschee von 600 Klaftern lang , 8 Schuh breit, und 4

ar z

Zoo ic>Q je mehr Mann desto weniger Tage,
252 620. je länger der Graben desto mehr Tage

78 je breiter der Graben desto mehr Tage,,
3 4  je tiefer der Graben desto mehr Tage

2) Wenn 2v Weber in 8 Wochen, da sie wöchentlich
K La;e, und täglich 10 Stunden arbeiten, 102 Stück
Lein'vand verfertigen, wo jedes Stück ZO Ellen lang, und
14- Ellen breit ist; wie viel Stück Leinwand werden 80
Weber in IZ Wochen, da sie wöchentlich 6 Tage, und täg¬
lich ir Stunden arbeiten, verfertigen, wenn jedes Stück
40 Ellen lang, und i Elle breit scyn soll?

Mn der zusammengesetzten Regel Detci. 2Z,

Anmerkung. Diese gegebene Auflösung der zusammen-
Zischten Regel Detriwodurch nun alle von (220. biK
204.) vorgelegte Rechimngsftagen sehr geschwind und leicht
?u beantworten sind, ist dem wesentlichen nach die sogenann¬
te Raeslsche Regel, weiche in manchen Büchern aus ver-
'chicdenc Arten vorgetragen wird.

L. 206.

Die zusammengesetzte Regel Detri findet auch ihre An¬
wendung , wenn das Verhaltniß zwcyer Größen nicht un¬
mittelbar bekannt, sondern erst durch bekannte Zwischenvcr-
hältnisse bestimmet werden muß. A. B. es würde gefragt,
wie verhalt sich der Wiener Fuß zum Berliner, wenn es be¬
kannt ist, daß sich der Wiener zum Pariser Fuß wie
1421 : 1440z der Pariser zum Turiner Me 720: rizy;

P 4 der

2zr Vierte Vorles. iv. Abschnitt.

der Turiner zum Loudner wie 2277 : 1351; nnd der Lond-
ner zum Berliner wie 6756 : 6866 verhalt?

Benennen wir einen Wiener Fuß mit , einen Pari¬
ser mit einen Turiner mit 7) einen Londner mit L, und
einen Berliner mit L
so ist : 7» —1421: 1440; nämlich 1440 1401

- D— 722:1139 - 1139^— 722 7

- 7^-2277:1351 - 1351^-2277^

- 7,:L—6756:6866 - 6866 6756 L

folglich auch vermög (§. 29. Grunds. I )

1440 1139^.13517:6866 L-1421 7.722 v. 2277 L.67Z6L

oder HZ9.1351.3433 ^-1421.2277.1689^
und :L— 1421.2277.1689 — 1139.1351.34Z3
endlich S 51 : Hcz - wenn man das Verhäitmß
nach (Z. 111.) abkürzet.

Dieses ist eigentlich der Grund der so berühmten Ret-
tenreyel, der sich die Kaufleute bey der Vergleichung der
Gewichte, Maße, und Münzen, wie auch bey Wcchselre-
duktionen u. d. gl., mit Vortheil bedienen. Wir wollen den
Gebrauch derselben gleich durch ein Beyspiel erläutern.

Wenn ein Stück holländisches Tuch von 32 brabantee
Ellen 262 holländische Gulden kostet, und ein holländischer
Gulden - 22 Stüver, 124 Stüver — 1 Holländer Duka¬
ten, 1 Holländer Dukat. — 4 Fl. 28 Kr. wiener Kourent
ist; wie viel kostet eine wiener Elle von diesem Tuch, da
89 wiener Ellen - 122 brabanter Ellen sind?

Non der zusammengesetzten Regel Dein. 2zz

ferner 89 . Z . Zr- — 67 . roo, nämlich 82iw — s/cx,;-
nud endlich er — 6700 : 8'21 — 8 Fl 21^ Kr.

Der Ansatz ist folgender: Man fangt bey ,-er unbe¬
kannten Zahl an, und fetzt solche oben an, und neben
ihr rechts setzt man die Zragezahl; sodann kömmt
links diejenige Zahl, welche mit der Frayezahl glei¬
chen Namen hat, und rechts neben ihr setzt man die
Zahl, welche in der Angabe mit ihr einerlei Werth
hat; ferner wird wieher zur linken jene Zahl gesetzt,
die mit der'letztgeschriebenen gleichnamig ist, und ne¬
ben ihr zur rechten jene, welche mit ihr einerley Werth
hat; und so weiter, bis man endlich rechts eine Zahl
erhalt, die mit der unbekannten ernerley Namen füh¬
ret. Uebrigens wird wie be)> -er ReesischeN Regel im
f j,22Z.) verfahren. .

V. Abschnitt.

Von der GesellschafLsrechnung.

Z. 207.

Wenn ein Ganzes in mehrere ungleiche Theile gctheilt
werden soll, die ein bestimmtes Verhältniß untereinander Ha¬
den müssen, so wird die Art, wie dieses geschieht, die
Tesellschaftvrechnung genennet; vermuthlich, weil sie auch
bey Handlungsgesellschaften angewendet wird, um den Ge¬
winn, und Verlust der einzelnen Personen nach einem bestimm¬
ten Verhältnisse zu berechnen. Z. B. Drey Kaufleute tre¬
ten in eine Handlungskompagnie ; der erste legt zur Hand¬
lung 4002 Fl., der zweyte 6400, der dritte 5622 ; sie
gewinnen mit dieser ganzen Einlage 12000 Fl.; wie viel
gebührt nun einem jeden?

Hier

P 5

2Z4 Vierte Vorles. V. Abschnitt.

Hier ist es klar, daß der ganze Gewinn verhältniß-
mässig nach den Einlagen getheilt werden muß, nämlich,
daß sich die Einlage eines jeden eben so verhalten muß zu
seinem Gewinn, wie die Einlage eines andern sich zu seinem
Gewinn verhält.

Benennen wir daher der Kürze halber, 4222 Fl.
mit a, 6422 mit ö, 5622 mit a, und den ganzen Ge¬
winn mit F; und überdies den noch unbekannten Gewinn
des ersten mit er, den Gewinn des zweyten mit und den
Gewinn des dritten mit r, so ist

a: er — — a:-, und daher nach (z. 191.)

: (rv4-^-j--r) a : .r L

Es ist aber a 4- L 4- c die stimmliche Einlage, und
.r4-x4-r: der stimmtliche Gewinn—F, (weil alle drey Ge-
winnste zusammen den ganzen Gewinn ausmachen müssen);
folglich verhalt sich die ganze Einlage zum ganzen
Gewinn, gleichwie eines jeden seine einzelne Einlage
sich zu seinem einzelnen Gewinn verhält.

Setzen wir nun wieder statt der Buchstabe«; ", e-, §
ihre Werthe, so ist

16222: 12222 4022: w — Z222 Fl. der Gew. d. rten

: - — 6422^-— 4822 Fl. der Gew. d. 2ten .

- : - — 5622: r4222 Fl. der Gew. d. zte»

Und eben so könnte man verfahren, wenn mehrere
Personen in der Gesellschaft wären.

Diese nämliche Auflösung kann auch angewender wer¬
den , wenn eine Mischung von verschiedenen Ingredienzen
gemacht werde» soll, wo die Verhältnisse der Ingredienzen
gegeneinander bekannt sind. Z. B. zu einein guten Schieß¬
pulver gehören 16 Theile Salpeter, 2 Theile Schwefel,
und z Theile Kohlen; und es sollen 622 Zentner von diesem
Pulver verfertigt werden; wie viel soll nun von jedem ins¬
besondere genommen werden?

Weil

Von der GefellschcMrechnung. ' 235

Weil nun bep jeder Menge Pulver die Menge Salpe¬
ter, die Menge Schwefel, und die Menge Kohlen sich gegen
Mander verhalten müssen wie 16:2:3, so ist auch hier

(16424-3) : 602 16 : w — 467^ Zent. Salpeter;

- : - — 2 : w — 574 Zent. Schwefel

- r - — z : ae 8Z^ Zent. Kohlen.

Jmgleichen: zu einem Feuerballensatz nimmt man i Pf.
Wachs, 24 Pf. Salpeter, 9 Pf. Schwefel, 4 Pf. Spieß-
-laß, 4 Pf. Sägfpäne, und 1 Pf. Pulver. Nun sollcg
4O22 Pf. von diesem Saß verfertigt werden: wie viel muß
von jedem genommen werden?

43 : 4220 — r : er- — 93^ Pf, Wachs

- : - — 24 : w — 2232^-f Pf. Salpeter

- : - 9 : w 8Z7/-s Ps. Schwefel

- : - -r 4 : er — 372^ Pf. Spießglas

— 4 ' - 372^ Pf. Sägspäne

- : - i : w 93^ Pf. Pulver

k. 228.

Es können bey einer Gesellschaftsrechnung nicht nur die
Einlagen, sondern auch die Zeiten, durch welche jeder sein
Geld in der Handlung liegen läßt, verschieden seyn. I.B.
jwey Personen treten in eine Handlung; der erste legt 6Zv2Fl.
— .und läßt dieses Geld durch 6 Monate — in der
Handlung liegen; der andere aber legt A422 Fl. — §, und
läßt dieses Geld durch A Monate — L in der Handlung lie¬
gen; und sie gewinnen damit 12222 Fl. a. Wie-viel
soll nun jeder bekommen?

Hier müssen sich die Gewinnste so gegeneinander ver¬
halten, wie die Produkte aiH den Einlagen in die Zeiten;
nämlich der Gewinn steht mit der Einlage und Zeit im zu¬
sammengesetzten Verhältnisse (§.223.); weil der Gewinn
mit der Einlage insbesondere im geraden,, und mit der Zeit
ins-

Lz6VierteNorl.v.Abs. v. d.Gesellschaftsrechnung,

insbesondere ebenfalls im geraden Verhältnisse steht. Benen¬
nen mir daher den Gewinn des ersten mit 6, und den Ge¬
winn des andern mit e, so ist 6 : Z- L. : e. r;

daher (L^4-er) : - (64-^) : 6?

und : cL (64-F) : §

oder

(L^4-er) : (64-F) :

- : - ea: :

-87.1.

Es ist aber 6s 4-^ « der sammtliche Gewinn; folglich
verhalt sich hier die Summe -er Produkte aus den Ein¬
lagen in die Zeiten zum ganzen Gewinn, gleichwie jedes
einzelne Produkt zum betreffenden Gewinn.

Setzen wir in unserm Beyspiele statt L, c, r ihre
Werthe, so ist

6.65024-5.5400:12000—6.6500: 6 —7090^ Fl.
- -- 4--- -- : - -5.5400:§-4909Fl.

Es ist übrigens leicht einzusehen, daß dieses auch statt
findet, wenn mehrere Personen unter diesen Umstanden in
Gesellschaft wären.

Anmerkung. Wir übergehen hier mit Stillschweigen
alle noch übrige, in den praktischen Rechenbüchern vorfindige
Rechnungsregeln, als kegulu ^IliZatjoms, k'slli, Lceci u.
d. gl., weil dergleichen Rechnnngsfragen durch die Analysis
ungemein faßlicher und kürzer, als hier noch geschehen kann,
aufgelöset werben könne», wie es in der Folge zu ersehen sey»
wird.

Fünfte

2Z7

Fünfte Vorlesung.

Von den Gleichungen des ersten und zweyterr
Grades, nebst deren Anwendung auf die
Auflösung verschiedener Aufgaben.

I. Abschnitt.

Von den Gleichungen und ihrer Auflösung.

209.

Eine jede algebraische Größe kann auf eine mannigfaltige Art

«usgedrückt, oder vorgestellt werden; z. B. die Größe 6 r kann

12^ 90«

durch 9? 4.-en!, oder durch 4. 9-r-u. f. w.

3 3

12«? Q2«

dorgestcllt werden; und es -Aa—4.9«-.

3 3

22 I4«L i>28«ä 42 , i8o>.

Eben fo ist 6-^4---- -(-4«ä -i-)

4 3 4^ 3 7 7

k'eil jedes nach vorgenommcncr Reduktion die Größe

5 4- zum Vorschein bringt. Eine solche Bezeichnung,
3

wodurch eine nämliche Größe auf eine doppelte Art ausgedruckt

12^- 90«

Kmd,z.B,9^4-t^—- — Za -- 4.9a-* , nennt

man

2Z8 Fünfte Verles. I. Abschnitt.

man cine Gleichung. Die Grüßen, zwischen welchen daß
Gleichheitszeichen stehet, nennt man Theile Ser Gleichung;
und jene Großen, die auf einer oder der andern Seite des
Gleichheitszeichens mit den Zeichen -ss oder — verbunden
sind, heissen Glieder -er Gleichung. Im letzt angeführtes
Beyfpiele besieht der eine Theil der Gleichung aus Z, und
der andere aus 2 Gliedern.

210.

Solche Gleichungen , deren Richtigkeit durch einen blos-
sen Anblick, oder durch die Reduktion der Glieder gleich in
die Augen fällt, ohne in Erwögung zu ziehen, was für
Werthe die darinnen vorkommenden Buchstaben haben, oder
wie solche voneinander abhäugen müssen, werden identische
Gleichungen genennt. Zuweilen aber ist es aus andern
Umständen bekannt, daß zwey algebraische Ausdrücke einan¬
der gleich fcyn müssen, ohne daß beyde die nämlichen Buch
staben führen, wo sodann die Gleichheit der zwei) algebrai¬
schen Ausdrücke auch keineswegs durch eine blosse Reduktion
der Glieder , ohne auf ihren Werth zu sehen, offenbar
werden kann. Z. B. das Gewicht einer Kugelpatrone seh
« Pf.; die dazu gehörige Kugel wiege 6 Pf.; das Pulver
hiezu seye Pst, und der Sacksamt Bindfaden wiege ckPf.;
so ist offenbar, daß a - L -l- c -s- </ sthn muß, welches
nicht durch einen blossen Anblick der Gleichung, sondern erst
aus der Bedeutung der Buchstaben a, 6, c, und et folget.
Eine solche Bezeichnung, wo zwep auf verschiedene Ard
ausgedrückte algebraische Großen einander gleich sind,
insofern man -en darinnen vorkommenden Buchstaben
gewisse werthe beylegt, heißt eine wirkliche algebrai¬
sche Gleichung. So ist bey den angeführten Umständen
a — L 4- a -l- ck eine wirkliche algelralfche Gleichung.
Eben so könnte auch 5« — — a -s-L-s-a eine wirk-
st

Ach algebraische Gleichung seyn , in so fern man aus gewiss
' sea

Don den Gleichungen und ihrer Auflösung. 2Zy
scn Umständen wußte, daß die Größen cr, L, c so vonei¬
nander abhängen, daß diese Gleichung statt haben must.

Z. 2H.

Die vorzüglichsten Eigenschaften der Gleichungen find
folgende:

1) In jeder Gleichung kann Iwan jedes Glied
aus einem Theile der Gleichung Hinwegschaffen, wenn
man solches in -en andern Theil -er Gleichung mit
veränderten Zeichen ^Überträge. A. B. in der Gleichung
4<r— AS -rr nr -st e kaUn das Glied — ZS auf die andere
Seite des Gleichheitszeichens geschafft werden, da man setzt
4» — m -st c- -st ZS, und so auch 4« — m -- u -st AS;
vermög (§. 16. u. 22. Grunds. 1.).

2) Wenn man alle Glieder der Gleichung mit einer
nämlichen Größe nrultipliziret oder dividiret, so bleibt die Glei¬
chung noch richtig, vermög (§.29M.Z9,Grunds.l<), Man kann
demnach in einer Gleichung jeden beliebigen Nenner
eines Gliedes hinrvetzschaffen, wenn man alle Glieder
der Gleichung mit diesem Nenner multipliziret. Und
auch kann man was immer für ein Glied von seinem
Koeffizienten befreyen, wenn mgn alle Glieder der Glei¬
chung durch diesen Roeffizienten öiviöirer. Es sep z. B.
ZaS

-— — Se a -st Zc eine Gleichung; man soll darinn
e

ZcrS

das erste Glied——vom Renner e, und von dem Numeri
e

Sc^ ue-stZ^
fchen Koeffizienten 5 bcfrepen, so ist sS —>— —-

5 ö
indem man alle Glieder mit c multipliziret, uud durch Z di-
bidiret.

Aus diesem erhellet auch, daß eine Gleichung noch
richtig verbleibe, wenn man die Zeichen aller Glieder ver¬
ändert, weil man sich vorstellen kann, man habe die ganze

Glei-

240 Fünfte Vorles. I. Abschnitt.

Gleichung mit — i multipliziret; wenn also «L —Lc-rc4--l
ist, so ist auch Lc —«L —— c — ck.

z) Eben so bleibt die Gleichung auch noch richtig,
wenn man beyde Theile zur gleichen Potenz erhebet, oder
aus beyden Theilen gleiche Wurzeln ziehet, vermög (s. iz/.
Grundsatz i. u.2.). Dadurch sind wir im Stande jedes Glied in
einer Gleichung von seinem Exponenten, oder von einein
5S-
Wurzelzeichen zu befreyen. A.B. in der Gleichung «4--e

4
soll L vom Koeffizienten, Nenner und Exponenten befreyet
5^

werden; so ist — — c — a nach N. r.; undZL'-4c—4-7,

4

Hs? z 4(7—42

uud auch Lr -verm. N. 2. z und endlich L — --.

a
Eben so soll in der Gleichung- Glied

2

Lc vom Wurzelzeichen befrepet werden ; so ist —
a a ?

— c --, und ( —Le)- l c-) z nämlich

2 2

Lc — c- — ec 4-,

4

212.

Eine Größe aus einer vorgelegten Gleichung finden,
oder vielmehr den Werth einer Größe aus einer vorgelegten
Gleichung bestimmen, heißt diese Größe durch die andern in
der Gleichung verkommenden Größen so ausdrücken, daß/
wenn man diesen gefundenen Ausdruck, statt der Größe in
der vorgelegten Gleichung substituiret, eine identische Glei¬
chung zum Vorschein komme. §. B. aus der Gleichung

4L

" 4- —--sc-5 den Werth von L finden , heißt L durch "

2

und

Von den Gleichungen und ihrer Auflösung. 241

und c so ansdrücken, daß, wenn man den gefundenen
Werth von in dieser Gleichung substituiret, eine identische
Gleichung zum Vorschein komme.

Zero-I-t-Z-r

Dieser Werth ist —>— -; man erhalt ihn,

4

wenn man nach (§. 2ii.) krachtet 6 ganz allein auf eine Seite
des Gleichheitszeichens, und zwar positiv zu erhalten, und es
vom Koeffizienten, vom Nenner, und von dem etwa noch vorfindi¬
gen Exponenten befreyet, welches sich allzeit thun läßt, wenn
nur nicht in der Gleichung mit zwey verschiedenen Expo¬
nenten erscheinet, wie es weiter folgen wirln Wäre nun in
der vorgelegten Gleichung a und <? in Zahlen bekannt, z. B.
a — 7, t.- — 4, und von wüßte man nur aus gewissen
llmsiänden, L hänge von a und c so ab, daß die angeführ¬

te Gleichung a -j- ac - Z statt finden müsse, ohne
Z

doch eigentlich zu wissen, was in Zahlen gelte, so ist durch
diese Operation auch L in Zahlen bestimmt, wenn man in
zau — l Z — Zu¬

dem gefundenen Werthe von S - statt <r

und a jhrx Werthe 7, und 4 substituiret; es ist alsdenn

L  _ solchen Fällen wird

4

§ die unbekannte Gr'öße genennet , und die Operation, selbe
ju finden, heißt die Gleichung auflösen.

§. 2IZ-

Wenn die Grüße, welche aus einer Gleichung bestim¬
met werden soll, nur in der ersten Potenz erscheinet, so wird
die Gleichung eine einfache, oder eine Gleichung vom ersten
Grade genennet; befindet sich aber die zu bestimmende Gro-
Vs in einer h'öhern Potenz, so heißt die Gleichung eine
höhere Gleichung, und zwar eine HUüörakifche, oder eine

Verles. I.B. O E.rr-

242 Fünfte Vorles. i. Abschnitt.

-Gleichung vom 2ten Grade, wenn der höchste Exponent
der zu bestimmenden Gr'öße — 2 ist; eine kubische, oder eine
Gleichung vom dritten Grade, wenn der höchste Exponent
der zu bestimmenden Größe — Z; eine Gleichung vom 4ten,
Aten, 6ten Grade, wenn der höchste Exponent der zu be¬
stimmenden Größe — 4, A, 6 ist u. f. w. So ist die
Gleichung — c? — 4,-4- rrc? 4- eine Gleichung vom
ersten Grad, wenn 6 daraus zu bestimmen wäre; eine qua¬
dratische Gleichung, wenn a, und eine kubische Gleichung,
wenn a daraus zu bestimmen wäre.

Eine höhere Gleichung heißt rein, oder eine reine hö¬
here Gleichung, wenn die zu bestimmende Größe nur in
einer einzigen Potenz in der Gleichung erscheinet. Befindet
sich aber die zu bestimmende Größe in der Gleichung zu ver¬
schiedenen Potenzen erhoben, so ist solche eine verwickelte
höhere Gleichung. So ist die Gleichung — 4^

eine reine kubische Gleichung, wenn « daraus zu bestimmen
ist; wäre hingegen L daraus zu suchen, so ist solche eine
verwickelte quadratische Gleichung ; weil «, obwohlen in
zwey Gliedern, doch nur in eben derselben Potenz, hin¬
gegen in der zweyten und ersten Potenz, in der Gleichung
erscheinet.

K. 2:4.

Wie aus einer einfachen, oder auch aus einer reinen
höhern Gleichung die unbekannte Große gefunden wird, iß
bereits in 2l2.) gesagt worden; nur kömmt noch zu
erinnern, daß, wenn die zu bestimmende Größe in mehrer»
Gliedern erscheint, alle Glieder, worinn sich sollche befindet,
auf eine Seite des Gleichheitszeichens, und die übrigen auf
die andere Seite geschaht werden müssen, nach (§.
sodann zerlege man sie in Faktoren, und befreye endlich die
zu suchende Größe von ihrem zusammengesetzten Faktor nach
(§. 39. Grunds, i.) Z, B,

Aus

Von den Gleichungen und ihrer Auflösung. 24z

Aus der Gleich. 2-rö — ac 4- es soll" gefunden werden ;

so ist 2 ^4-e,e —i-4-es nach (Z. 2H. N. i.)
und a( 2^4- 4-es durch Zerlegung in Faktoren/

L4-es

und endlich a — — . (§. 2H. N. 2 )

2o 4- e

Noch einige Beyspiele zur Uebung.

Aus derGleich. ae/4-Z—26 soll c gesund, werden;,
so ist ces 4-2c — es—A durch Urbertrag, der Glieder,
undc(a"eö — es4-2) — es — K durch Zerleg, in Faktoren/
es— ü

endlich c — --durch die Division.

a"6— es4-2

Aus aer4-^c —esc-^er soll .r- gefunden werden;

so ist c/.r — er— esc —durch Uebertrag. der Glieder,
und -i)- c(es—durch Zerleg, in Faktoren/

endlich er — —-- durch die Division.

a— l

erS I

Aus — — Lee 4- es 4- — soll)' gefunden werden;

so ist aö 4- esx 4- I durch die Nkultipl. mit^,
und aö - r —( Sc 4- es) durch die Zerleg, in Faktoren -

— cL — I

endlich —-. durch die Division»

^c 4- es

n, . —

Aus er" —er" —- ist er zu suchen;

c

so isto4-A). (a — er) -- durch Zerl. in Fakt»

c

und a u? — durch die Division mit (er 4-a-)

üblich er — g —, — durch llebertrag.-^der Gliedere

L r

244 Fünfte Vorles. I. Abschnitt.

Aus a2?—Sc4-1 —ZA4-Lr? ist 2 zu suche«;
so ist ar? — — AZ 4- L-e — I durch Uebertrag. der Glied,

und r?(a —— 34 4- durch Zerleg, in Faktoren,

34 4- 60
sodann r? — —-— durch die Division,

344-

endlich 2 — -— durch Ausziehung der Wurzeln.

Aus arv^ 4- Lar"? 4.IF—soll ar gefunden werden;
so ist aw"r — Lar"? 4- ar"? — Uebertr. der Glied,

sodann ar"?(a — L4-l) — Ig-L durch Zerleg, in Fakt.

18 — 6
ferner ar"? —--- durch die Division,

a —S4-r

« 1 z — L
endlich arx2 -- durch Ausziehung der Wurzeln.

er —L4- l

2IZ.

Ware aber aus einer verwickelten quadratischen Glei¬
chung die unbekannte Größe zu finden, so ordne man die
Gleichung so, daß die unbekannte Größe der zweyten Potenz
mit dem positiven Zeichen , ohne Nenner und Koeffizienten,
und neben ihr die unbekannte Größe in der ersten Potenz
(die was immer für Zeichen, Koeffizienten, und Nenner ha¬
ben kann) auf eine Seite des Gleichheitszeichens, und alle
übrige Glieder, worin» sich die unbekannte Größe nicht mehr
befindet, auf die andere Seite zu stehen kommen. Z. B.
wenn aus der Gleichung aL -- — ck — die Größe §

zu suchen wäre, so kann die Gleichung nach (§. 2H. N. l-
Lar ck — uö
und 2.) also geordnet werden: ar? — >— .

Eben so kann die Gleichung La--aar?4-ckear —ckar?4-^r
wenn rr daraus bestimmet werden solle, also geordnet werden:

Von den Gleichungen und ihrer Auflösung. 24Z

ssw- — a.r-2 -s F.T- — a.r' — /5 — ck

und,r^ ( ck — « ) st- ( — c ) . w ,5 — ck
/-/< — c-x ^ -- ck '

endlich a- 4- l-- ) . er —-.

ü> «— a

Man sicht aus diesem, daß jede verwickelte quadrati¬
sche Gleichung sich auf diese Formel bringen lasse: ast st-^.r—Z-';
wo -r die zu suchende Größe, und S aber jede zusam¬
mengesetzte posirive oder negative Größe vorstellen könne,
worinnen sich .r nicht mehr befindet. Betrachtet man nun
diese Formel, so sieht man alsogleich, daß der ite Theil
der Gleichung ein vollkommenes Quadrat von (erst-
wäre, wenn er noch das Quadrat dieses 2ten Gliedes
enthielte, und daß man sodann durch Ausziehung der Qua¬
dratwurzel die Gleichung aus eine einfache reduziren könnte.
Ulan «dürre demnach bey einer nach der angeführten
Art geordneten verwickelten quadratischen Gleichung
das Eluadrat des halben Koeffizienten der unbekannten
Große in der ersten Potenz, zu beiden Theilen der
Gleichung, und ziehe sodann beiderseits die Quadrat¬
wurzel , so ist die Gleichung auf eine einfache gebracht, wo
sich sodann die gesuchte Größe finden läßt. Die allgemeine
Formel für jede geordnete quadratische Gleichung
ist ast st. ./r - L
«ddirt
also ast st- ^ssr st- (4^)^ - st-
und st-^.r st- ( 5-^/7 - st-

ugmlich w st- st- 6 )

«Ndlich er (ast- L).

Daß das Zeichens gesetzt werden müsse, erhellet dar¬
aus, weil sowohl eine positive, als negative Wurzel ein posi¬
tives Quadrat giebt. Welches Zeichen von beyden aberbey der
Entwicklung genommen werden solle, müssen andere Umstän¬
de entscheiden, wie es weiterhin bey der Auflösung der Auf¬
gaben gezeigt werden wird.

Q z Ben-

<7 —4<rx2l

— 4-( —- ) durch Uebertr. d. Glieds
j.,- > 2<!> )

§ j

. 4- — i Uebertr. der Wed.
a—c ;

AusderGleich.4»2—-2^—-2 —a soll 2 gefunden werden;
so ist — -2? 4- 4«2 — ö2 — — a durch Uebertr. der Glieder ,
^2^ 4- ör,- — 422 — <7 durch die Multipl. mit -- l
-2? 4- (-—4a) 27 — <7 durch Zerleg, in Faktoren,

durch die Division mit ö

s 4»>.r

— ) Erg desL.

s 2S >

246 Fünfte Vorlef. i. Abschnitt.

Deyspiele.

Ans der Gleichung 32^—144—62 soll 2 gesunden werden-

so ist 32^-62-144 nach (§. 211. N. 1.)

2^ —22 — 48 durch die Division,
^'—224-1—484-1 wenn man das Quad, ergänzt,
2—1 — (484-1) —7 wenn man beyders.dieWurz ziehtž

a— s >.

2a—2-7>

2a—2<7
ö—a

2a—Je

2-

4a—S

2^r -—

2-

Aus der Gleichung — c — soll gef. werd,

so ist — «7^ 4- 0^- — — e durch Uebertr. der Glieder

^(a —<7)4-^(a—— <7 durch Zerleg, in Faktoren

Von den Gleichungen und ihrer Auflösung. 247

Es scy endlich aus der Gleichung

die Größe zu finden z

so ist 4- durch Uebertrag. der Glieder

e

^2^» -ä-"r -n durch die Division mit s

s

e e >.r e >.2

L-m 4- — 4- ( — ) -u aS 4- l—) Erg.desQuab.

>- 2a 2a

§ x

^4-— — 4- 4-), Ausz. derQuadr. Wurz.

> 2a >. 4,?

— 4^ i/l^aS 4- — , Uebert. der Glieder

2a 4«^-^

"r s <» V

I — 47 tX°s aS 4- — )! Ausz. d. /Aten Wurzel.

2a 4-r^^g

Man sicht aus diesem letzten Testspiele, daß alle hö¬
here Gleichungen, in welchen die unbckamtte Größe nur in
jwcy Potenzen erscheinet, und zwar so, dass der eine Ex¬
ponent dermalste -es andern gleich ist, als quadratische
Gleichungen behandelt werden können.

Wie aus den übrigen verwickelten höheren Gleichungen
die uirbekannten Größen gefunden werden können, wird Wei¬
ler unten in der 7ten Vorles. gezeiget werden.

II. Abschnitt.

Bon den algebraischen Aufgaben, und ihrer
Auflösung.

216.

Eine algebraische Aufgabe ist das Verlangen aus er
uigcn schon bekannten Größen, andere unbekannte, die un
ter gewissen Bedingungen von jenen abhängen müssen, durch
die Rechnung zu finden. Z. B. das Verlangen,. eine Zahl.

ßnden, die um ihre eigene Hälfte vermehrt, dre

Q 4 Zahl

248 Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

Zahl 12 zum Vorschein bringt, ist eine Aufgabe, tvor-
inn die Zahl 12 bekannt, und die andere von der verlang¬
ten Eigenschaft erst gesucht werden muß. Jmgleichen, zwex
Zahlen zu finden, die zusammen addiret die Summe
1/, und voneinander abgezogen, die Differenz 7 zum
Vorschein dringen, ist eine Aufgabe, worum zwey Zahlen
17 und 7 bekannt sind, und die andern zwey gefunden werden
sollen. Erstere heißt eine Aufgabe mit einer unbekannten
Größe, weil nur nach einer Größe gefragt wird; die ande¬
re aber ist eine Aufgabe mit 2 unbekannten Größen, weil
zwey Zahlen gefunden werden soffen. Ueberhaupt heißt cs
eine Aufgabe mit i, 2, Z, 4 . . unbekannten Größen,
wenn in der Aufgabe nach i, 2, z, 4 .. unbekannten Größen,
die in keinem deutlichen Zusammenhang mitciyander steheg-
geftaget wird.

217,

Eine Aufgabe heißt bestimmt, wenn nur ein einzig«
Werth für jede zu suchende Größe gefunden werden kann,
welcher den Bedingungen der Aufgabe ein Genügen leistet;
können aber deren mehrere gefunden werden, welche die ver¬
langte Eigenschaften haben, so ist es eine unbestimmte Auf¬
gabe. So z. B. sind beyde obangeführte Aufgaben bestimmt:
denn in der ersten kann die gesuchte Zahl nur 8 ftyn; und
in der andern sind die Werthe der gesuchten Größe nur 12
und A, weil außer diesen keine andere von der verlangten
Eigenschaft gefunden werden können. Hingegen ist folgende
Aufgabe: Zwey Zahlen zu finden, die miteinander
multiplizirt das Produkt 12 zum Vorschein bringen,
eine unbestimmte Aufgabe, weil verschiedene Zahlen diese
Eigenschaft haben, als A.4,2.6, 1.12, 24.4, und
w unendlich viele Brüche. Eine Aufgabe hingegen, wo gar
lein möglicher Werth gefunden werden kann, welcher der
Aufgabe ein Genüge leistet, heißt eine unmögliche Aufgabe.

8- 218.

Non d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 249

§. 218.

Um eine algebraische Aufgabe aufzulösen, pflegt man
die Größen, die noch unbekannt sind , mit den letzten Buch¬
staben des Alphabets , ar. . . und öfters auch, um
die Aufösur.g allgemein zu machen, die schon bekannten Zah¬
len mit", c, ck zu bezeichnen; sodann ist es nothwen-
big, daß man die Bedingungen, wie die unbekannten Grö¬
ßen von den bekannten abhängen müssen, wohl Überlege,
und selbe durch Gleichungen auszudrücken suche, wo hernach
die unbekannten Größen aus den Gleichungen leicht nach
vorhergehenden §phen zu entwickeln sind. Wie aber aus
den gegebenen Bedingungen der Aufgabe, oder aus dem Zu¬
sammenhänge, den die bekannten und unbekannten Größen
untereinander haben müssen, die Gleichungen zu formtreu
sind, läßt sich gar keine allgemeine Regel geben; es wird
hiezu ein gewisser Grad von Scharfsinn erfordert, den man
durch eine fleissige Uebung sehr verbessern kann. Es wird
aber kehr dienlich seyn, die Auflösung verschiedener Arten
von Aufgaben hier auseinander zu setzen, wodurch ein fleissi¬
ger Anfänger in den Stand gesetzet wird, verschiedene der¬
gleichen , und auch andere vorkommende Aufgaben geschickt
aufzulösen.

Auflösung -er Aufgaben mit einer unbekannten Größe.

8 2l9-

i. Aufgabe. Eine Zahl zu finden, die mit ihrer eige¬
llen Hälfte vermehrt, 12 zur Summe bringt,

Auflösung. Die gesuchte Zahl ftp — ar

so ist die Hälfte — "

2

also muß ar-j— — 12 seyn, laut Beding/

2

woraus ar - s folgt 212.),

Q 5 2*

2Zo Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

2. Aufgabe. Erne Zahl zu finden, daß man, wenn
man selbe durch 3 dividiert, eben so viel erhalte, als wenn
man zo von ihr abgezogen hatte.

Auflösung. Die Zahl sey ar

>r
diese durch z dividirt giebt —;

3

ziehet man aber von ihr zo ab, giebt ar — Zv;

ar

also ist — ar zci laut Bedingung;

3

daraus findet man nach (§. 212.).

z. Aufgabe. Es wurde Jemand um seine monatliche
Einnahme befragt, und er antwortete: Die Heilste, das
Drittel, und das Viertel zusammengenommen, übersteigt die
Einnahme selbst um 2 Fi. Wie viel hatte er monatliche
Einnahme?

Auflösung. Die monatliche Einnahme ftp r- ar Fl.,

so ist die Halste —, das Drittel —, und das Viertel —,

2 Z 4

. ar ar .r

zusammen giebt — 4-h - -

234'

Da dieses um 2 Fl. größer scnn soll, als die ganze Ein¬
nahme ar, so ziehe man 2 davon ab, so wird der Rest dec
ganzen Einnahme gleich seyn müssen; also ist
ar ar ar

—s— 4. — — 2 r^ar laut Beding:

234

woraus ar — 24 folget (§. 212.)

4. Aufgabe. Es wurde Jemand gefragt, wie alt er
sey? Und er antwortete: Wäre ich noch einmal so alt, als
«ch wirklich bin, so hatte ich eben so viel über 102 Jahre,
als mir jetzt noch hievon abgehen. Wie alt war dieser
Mann?

Auf-

Äon d. algebraisch. Aufgab. n. ihrer Auflös. 25 l

Auflösung. Die Anzahl seiner Jahre sey — ar;

also gehen ihm von hundert noch ab 122^-^- ;

wäre er noch einmal so alt, so hätte er 2r;

dann hätte er über 122 Jahre 2-r— 122>
also ist loo-.r —122,
woraus man findet .r —664 Jahre.

A. Aufgabe. Ein Vater war bestürzt, daß er schon
dreymal so alt sey, als fein Söhn; doch tröstet er sich da¬
mit , daß er nach 20 Jahren nur noch einmal so alt als sein
Lohn semi werde. Wie alt war ein jeder von beyden?

Auflösung. Des Sohnes Alter sep er Jahre,
so ist der Vater z.r Jahre alt;

in 22 Jahren wird der Sohn .r- -ft 22,
und der Vater z.r -ft 22 alt ftyn;

da aber der Vater alsdann noch einmal so alt als der Sohn
ftyn soll, so ist z.r -ft 22 — 2(4--ft 22), woraus .r

22 folgt; es ist daher der CoM 22, und der Vater 62
Jahre alt.

6. Aufgabe. Ein Frauenzimmer wurde um ihr Alter
befragt, und sie antwortete: Meine Mutter hat mich im
42 en Jahre ihres Alters gebohren: wenn man nun meine
Jahre mit den Jahren meiner Mutter multipliziret, so kom¬
men die Jahre Mathusalems zum Vorschein, der 969 Jahre
gelebt hat. Wie alt war jede?

Auflösung. Die Tochter sey er Jahre alt;

ft ist die Mutter .r- -ft 42;

folglich ist rr. (.r- -ft 42 ) — 969 ;

ftoraus a- , 22 -ft ^1^69 — 17 nach ( §. 21Z.) fle
künden wird.

7. Aufgabe. Es wurde Jemand von etlichen armen
Leuten um ein 'Allmosen gebeten: er wollte jedem A Kr,
geben, hatte aber um A Kr. zu wenig in seinem Deutel;
darauf gab er jedem nur 4 Kc. und da blieben ihm 2 Kr.

übrig.

2Zr Fünfte Volles, n. Abschnitt.

übrig. Wie viel waren der armen Leute, und wie viel Aceii-
zer hatte der Mann?

Auflösung. Die Anzahl der Armen sey — .r ;

hätte jeder Z Kr. bekommen, so würde er Ar Kr, ausge-
theilet haben; da ihm aber z Kr. davon fehlten , so war
sein Geld Z.r — z;

ferner hat er jedem 4 Kr« gegeben; also hat er ausgetheilet
4a? Kr,, und es bleiben ihm 2 Kr. übrig;

folglich war sein Geld auch — 4.^ 4- 2.

Es ist demnach A-r-— 417 4- 2; daraus folgt er " Z -

der Anzahl der Armen, und Zer — z ^22 — seinem ge¬
habten Gelde in Kreuzern.

8. Aufgabe. Es hat Jemand einen Bedienten gedun¬
gen, mir diesem Akkord, daß er ihm jährlich eine Livrai nebst
iZo Fl. geben will: der Bediente blieb nur 8 Monate im
Dienst, und der Herr gab ihm, nebst der Livrai, noch 86
Fl. Wie theuer ist die Livrai gerechnet worden?

Auflösung. Die Livrai koste er Fl. so gebührte dem
Bedienten auf ein ganzes Jahr iZo Fl. 4- er Fl. laut Ak¬
kord, und auf 8 Monat (l Ao4-er), denn 12 M.: 8^'

(iZv 4- er) : (iZo 4. ar) x ; und da er ihm nebst
der Livrai nur 86 Fl. gab, so muß ue-i-86 —(lZo-t-aH.
woraus 42 Fl. folget.

9. Aufgabe. Einem Kourier, der vor Z Tagen M
ist, uud täglich io Meilen macht, wird ein anderer naäiM
schickt, der täglich 12 Meilen macht. In wie viel TäM
wird er den ersten einholen?

Auflösung. Um diese Aufgabe allgemeiner zu machen;
sey die Anzahl der Tage, die der ite Kourier voraus hat r- u,
die Anzahl der Meilen, die er täglich macht /

die Anzahl der Meilen, die der zweyie macht

- re Anzahl der Tage, nach denen er den ersten einholet
so hat der erste schon voraus a xL Meilen, und während
den.

Bon d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 253
den rr Tagen, macht er noch Sxw Merlen ; also ist sein
zanzer Weg, bis ihn der zwepte einholet r- -s- Sa-; der
zweyte aber macht in Tagen aw Meilen; und weil er den
ersten eingcholt haben soll, so ist -j- Sw — aar, woraus
aS

ar - —- ist.

c — S

Znunserm Beyfpiele ist z , S^ rs, c-? 12, als»
g.io

arr--rZ Teige.'

2

Nach dieser Formel können verschiedene Aufgaben auf¬
gelöste werden. Z. B. es würbe Jemand gefragt, wie
viel es Uhr sey; und er antwortete : Ich) kann bie
Abteilungen der Minuten nicht mehr genau unterschei¬
de ; nur so viel sehe ich, baß ber Minutenzeiger den
Stundenzeiger zwischen 7 und 8 Uhr decke, wie viel
Uhr war es wohl?

Hier ist in unserer Formel a—7; weil um 7 Uhr der
Stundenzeiger sich schon 7 Stunden lang von l2 hinweg
bewegt hat, der Minutenzeiger aber um 7 Uhr genau auf
!2 Uhr wies; S — i, weil der Stundenzeiger in einer Stun¬
de nur eine Stundenabtheilung zurücklegt; e — 12, weil
der Minutenzeiger in jeder Stunde ganz herum lauft; als»
ist a: Stunden. Es war demnach 7/^ Uhr — 7 Uhr

38 Minuten.

Jmgleichen, ei» feindliches Torps ist vor 2 Tagen
aufgebrochen, und macht täglich z Meilen t man will
demselben nachsetzen, um es in 6 Tagen einzuhslen;
wie viel Meilen müssen tchglich gemacht werden?

Hier ist in der Formel a — 2, S — z , w -r 6,
woraus man sinket c — - — 4 Meilen.

w v

io. Aufgabe. Zwey Regimenter, welche a — 80
Meilen voneinander entfernt sind, brechen zugleich auf, und

mar-

rz4 Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

marschiren gegeneinander, um ihre Garnisonen zu verwech¬
sel» : das ite macht täglich L—4 und das 2te täglich
Meilen; in wie viel Lägen werden sic einander begegnen?

Auflösung. Die Anzahl der Tage seh — ar; in dieser Zeit
Macht das ite Regiment ä.r- Meilen, und das 2tt ca- Mei¬
len. Da sie aber einander begegnen, so haben beyde zu¬
sammen den ganzen Weg gemacht, folglich ist ^a-s- a -- a,
« 8o

woraus ar — -— — — — folget. Sir werden also
6-l-c 7

einander den I2ten Tag begegnen.
*

ir. Aufgabe. Vormals mußte jeder Hquseigenchümer
in der Stadt Wien jährlich das 7tel feines Zinserk ägnisses
als Zinssteuer kontribuiren ; da er aber jetzt das 6tel hievon
jährlich zahlen muß, wie viel muß er feine Inwohner stei¬
gern , damit er fein voriges Einkommen beybehalre?

Auflösung. Es ftp der jährliche Ertrag eines HanseS
a

— a Fl. gewesen: hiervon hat er Zinssteuer entrechtet -Fl.;

7

6 a

folglich ist ihm verblieben — Fl. Er steigere nun seine

7

Anwohner um ar Fl.; so ist der Ertrag a 4- ar: hievon die

Zinssteuer —-— ; so verbleibt ihm ; und da er
6 6

. 6a Ha-l-Zr.

das nämliche Einkommen behalten soll, so ist — —-—

7 6

woraus ar —.— folgt. Er muß also jeden Einwohner um
dm ZZten Lheil des vorigen Zinses steigern.

12. Aufgabe. Ein Vater stirbt und hinterläßt eilt
Vermögen a 7cx)0O Fl. und eine gewisse Anzahl Kinder:
gleich nach des Vaters Lod starben 2 Kinder davon, und
durch

Von H. algebralU. Aufgab. u. ihrer Auflös. 2Zz
durch diesen Umstand bekam jedes Kiyd um. 4020 Fl. mehr,
als es bekommen hätte, wenn keines gestorben wäre. Wie
viel waren anfänglich Kinder vorhanden?

Auflösung. Ihre Anzahl seh gewesen — er;

und da 2 davon gestorben, so verblieben noch er —2;

a

Im ersten Falle hatte jedes bekommen — Fl.

er

a

und da 2 gestorben, bekommt jedes-;

.r—2

da aber letzteres um 4200 Fl. mehr seyn soll als das erste,

so ist-4222 — — , eine verwickelte quadratische

er—2 .r

Gleichung , woraus nach ( §. 2iA. ) gefunden wird

^2222

iz. Zlufgabe. Zwey Kompagnien werden zu einer Ar¬
beit angestellt: man weiß, daß die erste Kompagnie allein
ilia-26 Lägen/ und die jweyte allein m e—rb Lagen
«it dieser Arbeit fertig würde : Wie viel Tage werden bey-
bc zusammen damit zu thun haben?

Auflösung. Da die erste Kompagnie in " - 26
Sen mit der Arbeit allein fertig würde, so macht sie taglicy
ben Bruch — — -- von der ganzen Arbeit; und die zwepke
a 26 .

aus der nämlichen Ursache — — Arbeit.

L» lo

Di- Anzahl der Täge, so sie tauchen, wenn s'e beyd-jusam.

'nen arbeiten , sey-^ , so macht die erste Kompagnie

* Tagen den Theil—, und die zweyte den Theil^ von —
zanzen Arbeit ; beydr Theile müssen -aber die ^anz-^b.-t

256 Fünfte Vorles. II. Abschnitt.

' w rr aL

ausmachen : folglich ist - 4- — r, woraus — —-

« L a -t- L

. „ 26. i6

folgt: nämlich —-- - y^L Tage.

26416

Auf die nämliche Art findet man, daß drey Wasser-
r'öhren ein Behältniß, welches die erste Röhre allein in a,
die zweyte allein in 6, und die dritte allein in c Stunden
anfüllen würde, wenn sie alle drey Zusammenflüssen , in .

--— Stunden anfüllen können.

14. Aufgabe. Awey Bombardier werfen aus einer
Batterie verschiedene Bomben: der erste hatte schon 50 Wm-
, fe gemacht, bis der zweyte zu werfen anfängt, und macht

7 Würfe, bis der zweyte deren Z macht; hingegen braucht
der zweyte zu 2 Würfen so viel Pulver als der erste zu Z.
Die Frage ist, wie viel Würfe wird der zweyte machen, bis
er fo viel Pulver verbraucht hat , als der erste ?

Auflösung. Die Anzahl der Würfe,. so der zweyte machen

7^

wird, sey er, so macht der erste während dieser Zeit -

5

Würfe, wegen Z : 7 — er : — z also hat der erste n>

6

7er

allem 52 -l— Würfe. Das Pulver, so der zweyte zu ei-

5

nem Wurfe braucht, sey — ce, so braucht der erste zu jedem
2«

Wurfe —« Das ganze verwendete Pulver des ersten >si

3 *

7er ^2«

demnach l Ao 4- — , und des zweyten uer. Weil sie

aber gleichviel Pulver verwendet haben sollen , so >si

Z' 7W-.2«

l Zc> -I— )— -- «er ; woraus er u- Zoo folget,
Z-^Z ls-

Non d. algebraisch.Aufgab. u. ihrerAuflös. 257

IA. Aufgabe. Unter a — roo Maß Wein, dessen
jede Maß ö> — ,g6 Kr^ werth ist, soll ein anderer Wein,
dessen jede Maß o- — l6 Kr. werth ist, gemenget werden,
damit jede Maß von der Vermischung — 24 Kr. werth
wird. Wie viel soll wohl darunter geschüttet werden?

Auflösung. Die Anzahl der Maßen, die vom Ke. Wein
darunter geschüttet werden müssen, sep — ar, so wird die
ganze Vermischung seyn n 4- ar-Maß. Und da jede Maß
ct Kr. werth seyn soll, so ist der ganze Werth der Vermi¬
schung (a-s-a-) . e/Kr. Da aber vor der Vermischung der
Werth des guten Weins — er. L, und des schlechtem .r-. eKr.
war, so muß aS 4- crar— ( a 4- .r ) . r? seyn; woraus fol-

-ct-ar^ -- 1A0.

a — c

Sollte ein Wein mit Wasser gemischt werden, z. B.
unter 40 Maß 24 Kr. Wein soll so viel Wasser geschüttet
werden, damit ein 16 Kr. Wein entstehe, so ist er —40,
^^24, cr- 0, weil das Wasser keinen Werth hat, und

l6; also ar -- 22.

Wäre aber auch noch a unbekannt , z. B. die Aufgabe
wäre also: Man will von zwe^erley weinen, von einem
36, und 16 Rr. wein einen Mittlern gemischten Wein
3" 24 Rr., und zwar 2Z0 Maß zuberciten: wie viel
s°ll von jedem genommen werden?

Hier ist zwar in unserer Formel, a und -r-, die An-
W der Maßen, des z6Kr., und des 24 Kr. Weins unbe-
>wntz doch aber ist ihre Summe <7 4- — 2Z3 Maß be-
^""t, weil beyde zusammen — 250 Maß seyn müssen.
^->an könnte demnach beyde rr und ar aus der angeführten
üorinel auf folgende Art finden:

rt— e

° ""h c) 4- r?): e/— c — «4-ar:k7 m >

^°rles. zz, nam-

2Z8 Fünfte Vorles. II. Abschnitt.

«ämlich c: : e/— c^a4-cr:a

z6—16 : 24 — 16 — 2Ao : a — 120
und — 0: — ül — a cr: cr

36—16 : 36—24 — 252 : --> iZc>.

Dieses pflegen die praktischen
Rechenmeister nach der sogenannten
AlligationyreFel auf nebenstehende
Art anzusetzen:

Z6i 8 i«x>

24 20

16 12 1Z0

20:250— 8:ias

-r: - - 12:150

Man konnte aber auch letztere Aufgabe durch folgende
Benennung auflosen: Es ftp der Werth des bessern Weines
z6 — der Werth des schlechtem 16 — e, der Werth
einer jeden Maß der Vermischung 24 — ei; die Anzahl der
Maßen, so die Vermischung haben soll — <?, und die An¬
zahl der Maßen, die man vom bessern Wein hiezu nehmen muß

— w; so müssen vom schlechtem genommen werden (a —-r)

Maß, weil beyde zusammen — a ftpn müssen. Nun ist vor
der Vermischung der Werth des bessern Weines . w, und
dec Werth des schlechtem a?), also zusammen

Lw 4- e(a—er); und Nach der Vermischung ist der ganze Werth
des gemischten Weines <r. ri, weil jede Maß ci Kr., also
«r Maß aci Kr. kosten müssen; folglich ist e « —w)

a (st—e) .

— ari, waraus er --— Maß des bessern Weines

folger, nnd die Anzahl der Maßen n —er des schlechtem Weines
ist sodann In unserm Bepspiele müssen dem-

s — c

nach iQO Maß vom bessern, und iZo vom schlechter»
Wein genommen werden.

Diese Auflösung kann auch bey Vermischung der Me¬
talle, Pulver, Feuerwerkssätze, und bey andern chemische»
Operationen zuweilen gut angewendet werden. Z. B. ei"
SilbdrbHjter hat zrveperlep Silber, ein iZlöthiseS,
und

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 2ZA

AN- em rolothiges: er soll ein A Mark, ober 2 Pf.
l6 Loth schweres Gefäß machen, welches izlöthiges
Silber enthalt; (man versteht hier unter dem Worte
izlöthiges Silber, daß bey einer Mark von 16 Loth
nur iz Loth reines Silber, und im übrigen Z Loth Zusatz
an Kupfer sich befinden; und so ist es auch unter iZlöchig,
ivlöthig rc. zu verstehen), wie viel muß von jedem
genommen werden?

Obige Formel auf dieses Beyspie! angewendet, giebt
a-2Pf. i6 Loth —80 Loth, — IZ, a-io, c/nz,
und daher w r- 48 Loth vom bessern Silber, vom schlech¬
tem aber 82 — 48 —Z2 Loth, zusammen 82 Loth.

Eben so: Man hat zwezeerley Lranöröhrensatze:
-er erste in eine Brandröhre von bestimmter Lange
geschlagen, bkennt durch 4F S: Sekunden, und der
andere, in eben diese Branöröhre geschlagen, brennt
wir durch 20 ^2 a Sekunden. Man will von diesen
zwepen Sätzen 12 a Pf. Satz mischen, wovon eben
diese Lrandröhre verfertigt durch Zo — c? Sekunden
-rennt. Wie viel muß von jedem genommen werden?

Um sich zu überzeugen, daß auch hier obige Auflösung
okigcwendct werden könne, so bilde man sich ein, daß von
l Pf. Satz m Brandröhren geschlagen werden können. Dir
Anzahl Pf., die man vom bessern Satz nehmen muß, ftp
wieder ; also vom schlechtem a — er Pf. Erstere geben m^-
Brandröhren, wo jede durch 6 Sek., also alle durch murS
bekund, brennen würden, wenn sie nacheinander angcziindet
würden; und letztere geben (<r — or)m Vrandröhren, wo
jede durch a Sek. brennet, also alle diese durch (a—a-) E Se¬
kunden. Von der Vermischung aber erhalt man Brand-
röhren, wo jede durch al Sek. brennen soll; also alle durch
anal Sek.; folglich ist mwL -j- — ume/, woraus

wieder w — —-- folget. Matt müßte demnach 4^ Pf.

vom bessern, und 7 t Pf. vom schlechtern Satz nehmen.

R 2 r6-

26o Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

i6. Aufgabe. Ein Oöerfeuerwerksmeister hak unter
feinem Kommando 2O Unteroffzier, theils Oberfenerwerker,
theils Feuerwerker: er gab jeder Parthey 24 Feuerballen
zu schnüren; und es ereignete sich, daß jeder Oberfeuerwer¬
ker um einen Feuerballen mehr, als ein Feuerwerker schnü¬
ren mußte. Wie viel waren Oberfeucrwerker, und wie viel
Feuerwerker?

Auflösung. Die Anzahl der Oberfeuerwerker sey — ar,
so ist die.Anzahl der Feuerwerker — 20 — ar. Ein jeder

24

Oberfeuerwerker mußte demnach — Feuerballen, und jeder
ar

24

Feuerwerker-Feuerballen schnüren; weil aber die ew

20 —ar

sie Anzahl der Feuerballen um r größer seyn soll als die 2tc,
24 24

so ist-I —-; hieraus folgt ar — 24 676

r 2O-ar

— Z4 4 26 — 8 Oberfeuerwerker.

Hier sieht man leicht ein, daß das Zeichen — genom¬
men werden müsse: denn würde man das Zeichen -i- neh¬
men; so wäre ar — Z4 -1- 26 60 , da doch in allem

nur 2c> Unteroffiziere waren. Man muß deßwegen bey al¬
gebraischen Rechnungen das doppelte Zeichen 4 vor den
Wurzeln (§. UH. II.) bis zu Ende der Rechnung bepbehaltcn,
wo sich dann erst entscheiden läßt, welches von beyden ge¬
nommen werden kann, um nicht auf falsche Rechnungen geführt
zu werden. Folgendes Beyspiel könnte noch zur Warnung dienen.
Man fetze die Zahl Ivov— a, i — S, 1021 — -

so ist «4-ö —<r, (§. l2. Grunds, i.)

a — «r — S

a — s — — S

also auch a? — -r-r — s? — s-r, (29. Grunds, l.)
^2 §2

«2—«c4-— , (§, l6. N. ! >

4 4

und

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 261

L L

und a — s — —, IZ/. N. 2.)
2 2

folglich « — S, nämlich 1020 — l.

Der Fehler liegt darinn, daß die Wurzeln aus beyden
Theilen der Gleichung positiv genommen wurden, da doch
der zweyte Theil hatte negativ genommen werden sollen,
weil das Quadrat von § aus -- S x — S entstanden ist.

Es wäre sodann a-— —s ö-), nämlich --—-»

2 > 2-^ 2 2

woraus wieder a 4- S — o ist, wie vorhin.

1/. Aufgabe. Ein sterbender Vater vermacht die Ver-
lastenschaft seinen Söhnen auf folgende Art: Der erstgebohr-
ne soll zuerst 1222 Fl., dann den 6ten Theil des Über¬
restes bekommen; von diesem, was der erste überläßt, soll
der 2te Sohn 2002 Fl. nebst dem 6ten Theile des Ueberre-
stes nehmen; Yon dem Reste soll der dritte Z222 Fl. nebst
dem Hte.n Theile des Ueberrestes nehmen; und so soll die Thci-
lung fort geschehen, bis die Verlaffenschaft erschöpfet ist.
Es fügte sich aber, daß in dieser Theilung jeder Sohn einen
gleich großen Theil bekam: wie viel waren es Söhne? wie
diel erhielt jeder? und wie stark war die Verlaffenschaft?

Auflösung. Die Verlassenschaft sey § Fl.

. , a.—1222 5222-s-a:

w bekömmt der i te 1020 4- ---— --—;

6 6

.... 5020-a: 5L--5OQO

gsio ließ er ubrrg a:------X

6 6

.. >>5^—5222 > .

ylevon nahm der 2te 2222 4- (--2222 ) : 6

-.55222 4-^ , ,

—-—— . Da aber bende gleichviel haben sollen,
36

ss ist - 65^^'. ,^us 25222 Fl.

6 36

R Z sol-

-6r Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

folget. Cs waren demnach 5 Cöhne, und feder erhielt
durch die vorgeschriebene Theilung ZOOv Fl.

18. Aufgabe. Eine Weibsperson gieng mitEyern in derCtadt
hausiren: im ersten Hause verkaufte sie die Halste ihrer Eyer
und noch Ey darüber; von dem Reste verkaufte sie im 2ken
Hause wieder die Hälfte mehr Ey, und eben so im Zten
Hause; da sie aber aus dem Zten Haus heraus gieng, i)s-
uete sie ihren Korb, und fand selben ganz leer; wie viel
Eyer hatte sic anfänglich?

rr — l

4

2

Auflösung. Die Anzahl der Eyer, so sie gehabt, sty
re r

--.r, so hat sie im ersten Haufe verkauft - -ft —, folglich

2 2

.a? r

blieben ihr noch-; hievon verkaufte ße im 2ten Ham

2 2

2

fe O 4.1. -

4 2

re—! rr—i rr—z

-, und es verblieben ihr noch
4

; hievon verkaufte sie im zten Haust
4

-ar-fti re— Z ä—k

-— ; also war ihr Rest - —

8 4 8

-

2

8

re—7

— —Da sie aber nun gar nichts mehr im Korbe Hais,
o

so ist-— <2, nämlich rr —7—s, und ar 7.

8 '

19. Aufgabe. Ein Bombardierhauptmaun wird gt-'
s agt, wie viel er bey seiner Kompagnie Oberfeuerwerker,
Feuerwerker , und Bombardiers habe, und rvie viel jeder
lägliche Löhnung erhalte ? Er sagte : Ich habe drepmal st
Vst!

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflöf. 26z

2

viel Bombardier, und —mal so viel Oberfeuerwerker, als
3

Feuerwerker; jeder Oberfeuerwerker hat täglich fo viele Kreu¬
zer als es Feuerwerker, jeder Feuerwerker um 4 Kr.' mehr,
als es Oberfeuerwerker, und jeder Bombardier nur den
dritten Thcil so viel Kr., als cs Feuerwerker sind; und die
tägliche Löhnung aller dieser Leute beträgt Z2 Fl. 48 Kr.
Wie viel Oberfeuerwerker, Feuerwerker, und Bombardier
hatte dieser Hauptmann, und wie viel Löhnung hatte jeder
täglich?

Die Anzahl der Feuerwerker sey — ar,

so ist die Zahl der Oberfeuerwerker — — ,

3

und der Bombardier' — ;

2w 2^
folglich haben alle Oberfeuerwerker täglich xer-- —

^2er ->. 2^

alle Feuerwerker erxl — 4-4 ) — — -4- 4^

^3 3

er

Und alle Bombardier zer x — r- er^»

3

Es ist demnach -j- — 4- 4er 4. er^ Z2.60 4-48;

2 3'

daraus folgt er -- - 4- 215.)

7 ^7 49^

endlich.r- -- z6. Er hatte demnach z6 Feuerwerker, 24
Oberfeuerwerker, und 108 Bombardier; jeder Oberfeuer-
Werker erhielt täglich z6, jeder Feuerwerker 28, und jeder
Bombardier 12 Kr.

20. Aufgabe. Iwey legen zusammen in eine Hand¬
lung a Fl. — 2voc>; der erste ließ sein Geld durch m — 17
Monate liegen, und erhielt Einlage samtGswinnö —i^ioFl.;

R 4 und

264 Fünfte Borkef. H. Abschnitt-

und der andere ließ sein Geld durch " — 12 Monate liegen,
und erhielt Einlage samt Gewinn c — 1042 Fl. Wie
groß war eines jeden seine Einlage?

Auflösung. Es sey die Einlage des ersten — w Fl.;
also ist die Einlage des zweyten — a -- .r; ihr gefammter
Gewinn aber ist^^4-o--a; folglich ist nach (208.)
777^ ( -4 c — i/)
ft/rw -j-" (a —: fä 4» c -- al — 77rae : -

7/r.r 4-a/r -/7^

777rr(/4-c—a)

— demGewinn des ersten. Es ist demnach-4- w—e-,

777.r4-a/-—77^7

weil der erste an Einlage samt Gewinn Fl. erhalten hat. Diese
Gleichung gehörig nach (§. 2 lZ.) aufgelöset, giebt 1202.

21. Aufgabe. Ein Vater stirbt, und hinterläßt ein
Kapital von no? Fl, nebst 4 Söhnen : nach io Mona¬
ten wurde das Testament erst eröfnet, und die Kinder hatten
in dieser Zeit das Kapital samt den betreffenden Interessen
gänzlich verzehret. Auf eben diese Art haben Z Kinder ein
Kapital von 1200 Fl, in lZ Monaten aufgezehret. Die
Frage ist, wie lange werden auf diese Art 6 Kinder mit ei¬
nem Kapital von 1650 Fl. auskommen?

Auflösung. Es sey die Anzahl der Gulden, so 100 Ak¬
in einem Monate Zins kragen w, so ist von noo Fl. M
io Monaten das Interesse no.r; mithin haben im ersten
Falle die 4 Söhne in io Monaten verzehret n oo-f-now Fl-

n oo4-n o.r

und zeder hat in einem Monate verzehrt  --—- Fl-

10.4

Im zweyten 7 Falle haben alle Z Söhne in iZ Monaten
I2oo 4- i2w. iZ Fl., und folglich hat jeder in einem Monate
I22O4-l2r.lt;

— -———- Fl. verzehrt. Da sie aber auf gleiche Art

3-lH

,, , , - . HOO4-iroi- i2Oo4«l2.l5^

gelebt haben sollen, so rst ——-—'

4o 45

wor-

Von d. algebraisch. Aufgab. u- ihrer Auflös. 26z

2

woraus w — gefunden wird; folglich hat in /edem Fallt

3

ein Kind in einem Monate 29^ Fl. verzehret. Nun fty
die Anzahl der Monate, so die 6Kinder miti6ZoFl, aus-
kommen—/; dieses Kapital trägt monatlich — 11 Fl,
Zins, also in x Monaten 11/ Fl. ; daher ist das Kapital
samt Interessen — 16ZO -l- 11/ Fl. Da aber jedes Kind
monatlich 29s Fl, verzehret, so brauchen 6 Kinder in/
Monaten 176? Fl.; und da das Kapital samt Interessen
verzehrt sepn soll, so ist 1767— i6zo -i- II/, woraus
/—10 folget.

22. Aufgabe. Es ist Jemand 102Q Fl. — -r schul¬
dig, die er aber erst nach verflossenen 18 Monaten — e?r
ohneJnteresse zu zahlen verbunden ist; der Gläubiger wünschet
aber alsogleich bezahlt zu werden; wie viel kann der Schuldner
wohl jetzt für diese Schuld geben, wenn der Gläubiger, so wie
der Schuldner mit 100 Fl. jährlich 8 Fl. — gewinnen kann ?

Auflösung. Es sey die Anzahl der Gulden die für diese
Schuld jetzt bezahlt werden können — ,
so kiznnte der Gläubiger mit diesen w Fl. in 12 Monaten
8^ 8-r

gewinnen- Fl.; denn ioc>:8 — ur : -;

icxr icx>

. I2 r- -

Und in 18 Monaten gewinnt er —

I0Q

. 8^ 18. 8 ^ I2w

denni2M.: 18M.-— :-- — ; er hat so-

IOO 1200 100

dann er -s- , welches l Ooo Fl. betragen soll;

100

folglich ist — 1000; hieraus folget.r —892^ Fl.

IOO

2Z. Aufgabe. Eil! Kaufmann ist in drey Terminen fol¬
gende Zahlungen zu leisten schuldig, nämlich nach verflosse¬
nen /n Monaten a Fl., nach re Monaten Fl., und nach

266 Fünfte Vorles. H. Abschnitt.

/- Monaten c Fl.; der Gläubiger aber wünschet die ganze
Summe a 4- 4- e auf einmal zu erhalten; nach wie viel
Monaten muß die Zahlung geschehen?

Auflösung. Man setze das Geld, so der Kaufmann m
einem Monate mit Fl. gewinnen kann —/), so kann er

amo
mit a Fl. in m Monaten-, mit L Fl. in " Monaten

lyc)

—, und Mit c Fl. in /- Monaten —° gewinnen ; mithin ist
rcro roo

der ganze Nutzen, den der Kaufmann noch von diesem ganzen
amu 4- 4- rm?

Gelbe ziehen kann -.

loc,

Es sey nun die Zeit, nach welcher die Zahlung der
ganzen Summe a 4- 6 4- u auf einmal geschehen kann — -r
Monaten, so ist der Nutzen den der Kaufmann noch in die-
(a-I-64-e)?a.'

ftr Zeit davon ziehen kann —-; und weil er

122

in einem wie in dem andern Falle gleichen Nutzen haben soll,
am»4- 4» sa4-ä4-c) /-.r

so ist---—-, und am 4- 4- cr

122 122

am4-^a4»c?'

— («4-S4-a)ae, endliche—-; nämlich «»an

a4^^4-c

multiplizire jede einzelne Summe mit der Zeit, in welcher
solche zahlbar ist, und dividire die Summe der Produkte
durch die ganze Schuld, so hat man die Zeit, nach welcher
alle Zahlungen auf einmal geschehen können.

Auflösung öer Aufgaben mit mehren unbekannten
Großen.

§. 222.

Wenn in einer Aufgabe nach zwenen. oder niehrern
Größen gefragt wird, die in keinem sehr deutlichen Zusam¬
menhänge untereinander flehen, sy bezeichne man jede unbe-
kann-

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 267
kannte Größe mir einem besonder» Buchstaben, und suche
sodann wieder die Bedingungen der Aufgabe durch Gleichun¬
gen auszudrücken. Kann man nun aus den Bedingungen
der Aufgabe eben fo viele Gleichungen ableiten, als man
unbekannte Gr'ößen angenommen hat, so ist es ein Zeichen,
daß die Aufgabe bestimmt sey ; reichen hingegen die Bedin¬
gungen der Aufgaben Nicht zu, so viele Gleichungen ansetzen
zu t'önncn, als man unbekannte Größen angenommen hat,
so ist sodann die Aufgabe unbestimmt. So kann in der
unbestimmten Aufgabe (Z. 217.), zwey Zahlen zu finden,
die miteinander multipliziret das Produkt a
zum Vorschein bringen, wenn man eine gesuchte Zahl
miter, und die andere mit benennet, nur folgende Glei¬
chung angesetzt werden, ; weiter laßt sich keine Glei¬

chung aus dieser Bedingung mehr ansctzen. Füget man hin¬
gegen zu obiger Bedingung noch diese hinzu: daß die zwei-
gesuchten Zahlen voneinander abgezogen die Differenz ck — 4
zum Vorschein bringen müssen, so findet noch folgende Glei¬
chung statt, a- — ck; wo er die größere, und 7 die
kleinere gesuchte Zahl verstellt;, unh die Aufgabe ist sodann
^stimmt,

, §. 22l.

Hat man nun aus den Bedingungen der Aufgabe ss
viele Gleichungen abgeleitet, als unbekannte Größen vorhan¬
den sind, so muß man trachten mit den Gleichungen solche
Veränderungen vorzunehmen, und dieselben so untereinander
zu verbinden, damit man zuletzt eine Gleichung erhalte,
worum sich nur eine Einzige unbekannte Größe befindet, die
man daraus finden, und durch die Substitution in den vori¬
gen Gleichungen eine unbekannte Größe nach der andern ent¬
wickeln kann.

Die Art aber, wie dieses geschehen könne, ist man¬
nigfaltig, und es wird am besten seyn, wenn eine Art nach
der andern in wirklichen Beispielen gezeigt wird, weil es
ohne-

268 Fünfte Verles, il. Abschnitt.

shnehin nur auf die Gestalt der Gleichungen selbst ank'ömmt,
welche Art zu wählen ist, damit der Zweck am kürzesten er¬
reicht wird. Aus obigen Gleichungen lx/ — a, und
können die unbekannten Größen ar, und / auf folgende Art
entwickelt werden:

Man suche aus jeder Gleichung den ÄZerth von ein»
nämlichen unbekannten Große, z. B. von a-, als wenn/

s

schon bekannt wäre: aus der ersten folgt w — —, und auS
/'

a
der2tena^Ä4-/> es ist also auch (Z. I2.N. Z.) ——
/

<r x'

woraus/s^l a-s—) folgt; oder wenn man

2

die für a und oben angenommenen Welche setzt, so ist / — 2.
Diesen Werth substituire man nun in einer der vorhergehen-

den Gleichungen, so findet man ar— — ck- n 4- — )

2 4>

Auf die nämliche Art kann man bey der Auflösung der
Aufgaben mit mehrern unbekannten Größen verfahren. J.
Unter z Regimenter, öle sich in einem Treffen tapfer
hielten, sind a — /Z26 8l. -ergesta t zu theilen, daß
von -em Regimente , welches sich am vorzüglichste"
auszeichnete, jeder Mann einen Gulden erhalten, und
-er Ueberreft unter -Le Mannsthaft der zwey übrigen
Regimenter gleich zertheilet werden solle, wird nun
dieser Gulden -em ersten Regimente zuerkennt, so er¬
halt ein jeder Mann der zrve? übrigen Regimenter H A.;
giebt man diesen Gulden dem zweiten Regimente, fi>
erhalt jeder Mann von den zrvep andern Regimentern
nur §l.; fallt endlich dieser Gulden -em dritten Re¬
giments zu, so bekömmt ein jeder von der übrige"
Mannschaft gar nur H 8l. wie stark ist jedes diese?
-reI» Regimenter?

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 269

Es ftp die Anzahl der Mannschaft des iten Regi¬
ments — rr, des 2ten " und des Aten r, so er-
häir im ersten Falle die gestimmte Mannschaft des itenRe-
> gimenks .r Fl., weil jeder Mann einen Gulden erhalt; und
die sämmkliche übrige Mannschaft der zwey andern Regi¬

menter bekommt Fl.; im zweyten Fall bekömmt das

2

zweyte Regiment Fl., und die übrigen bepden zusammen

—- Fl.; und im dritten Fall bekömmt das Zte Regiment
3

rFl. und die sammtliche übrige Mannschaft —- Fl.; also ist

4

--a . . . >

Weil jedesmal die ganze

/4 -  — a . . . L > Summe l Z26 Fl. genan-

Z -i aufgehen muß.

w-l-x )

r »st -— « . . . ?

4 -r

Aus der Gleichung folgt er — a — —

Aus der Gleichung L ist er - Z« -

Lud aus der Gleichung e ist er 4« -- 4--^

also auch a ——- -r: za — — r . . . .

2 , .

tlnd za—>z^-—. r—4a4^ . . , .

4-7 —r

Aus der Gleichung D ist

5

Zr — s

aus der Gleichung L' ist ---

2

als.

27» Fünfte Vorles. u. Abschnitt.

4^-»r Zr—a

also auch -- - - ; daraus folgt r

5 2

lZ.1226

2- IZ.78- 1214'

r?

!Z^

17'

Diesen gefundenen Werth von r substituire Man in
Z - 1014 — 1326

der Gleichung -L, so ist —-— 8Z8-

2

Diese beyden Werthe von und r in der Gleichung sub-

. <858-4-1014^

stituirt, geben er—iZ2b — s -Z92. Das

2

ike Regiment hatte daher Z92 , das 2te 8Z8, und das
Zte 1014 Mann.

,^-4-r

Aus den drey Fundamentalgleichun- ""

gen bey der vorgelegten Aufgabe können
die drey unbekannten Größen auch ^4.——a

auf folgenne Art entwickelt werden. 3

cr-I-X
24--

4

Man suche den Werth von der einen unbekannten Größt,
x- 2 —2 >

z. B. von er aus der ersten Gleichung' esistae ——-- I/

und substituire diesen Werth für er in allen übrigen Glei¬
chungen , 4- - — 4.N, und 72 4- r/ — 6 ,; auf diese Act

ist die eine unbekannte Größe -r hinweggcschaffet, und die
Anzahl der Hauptgleichungen um i vermindert worden.

Sodann suche man wieder aus einer von diesen letztem
Gleichungen den Werth für die eine unbekannte Größe (im ge¬
gebenen Bcyspiele folgt aus der letzten Gleichung^- — 6. — 7-),
und substituire diesen Werth in allen übrigen von diesen letz¬
tem Gleichungen statt der nämlichen unbekannten Größe
(näm-

Äon h. algebraisch. Aufgab. u. ihrerAuflöf. 271

IZa
(nämlich 302-3524-2 — 4«, woraus 2^: — folget)

^7

so wird auf diese Art auch die zweyte unbekannte Größe
hinweg geschaffet, und die Anzahl der Haupkgleichungen um
2 vermindert werden. Wenn man auf diese Art fortfahrt,
daß man nämlich wieder aus einer von diesen letzter» Glei¬
chungen, wenn deren noch mehrere vorhanden wären, den
Werth der einen unbekannten Größe suchet, und solchen in
allen übrigen dieser letztem Gleichungen statt der nämlichen
unbekannten Größe substituiret, so wird man endlich zu einer
Gleichung gelangen, in der sich eine einzige unbekannte Grö¬
ße befindet; man wird demnach den Werth dieser unbekann¬
ten Größe finden können, so wie im angeführten Benfpiele
13«

wirklich 2 - — gefunden wurde.

17

Wenn einmal eine unbekannte Größe gefunden ist, so
werden die übrigen leicht entwickelt, wen» man den Rück-
wkg geht, das ist, wenn man den gefundenen Werth in ei¬
ner der vorhergehenden Gleichungen substituiret; nämlich,
wenn man in der Gleichung — 6a — 72 den gefundenen
12a Ita

Werth —— für 2 setzet, so ist^ --.

17 17

Substituiret man endlich diese bepden Werthe für 7 und

2«-^—2-^

r in einer der vorhergehenden Gleichungen (in er——-—

so wird auch a- gefunden , nämlich er — Da nun

a -2 iA26 bedeutet, so ist er — 390 , x — 858 r und
— 1014, wie vorher.

222.

Diese letzte Auflösung der Gleichungen mit mehreren unbe¬
kannten Größen ist die allgemeinste; doch wird sie gemeiniglich
nur

2/2 Fünfte Dorles. n. Abschnitt.

nur damals angewendet, wenn die unbekannten Größen ent¬
weder untereinander multipliziert, oder wenn solche in ver¬
schiedenen Gleichungen zu verschiedenen Potenzen erhoben sind.
Sollten hingegen die unbekannten G ößen weder miteinander
multipliziert noch in verschiedenen Gleichungen zu verschiede¬
nen Potenzen erhoben seyn, so lönnen solche durch die blosse
Addition und Subtraktion entwickelt werden. Auch bedie¬
net man sich zuweilen noch anderer Kunstgriffe, theils um et¬
was geschwinder zum Ziele zu kommen, bisweilen auch, um
verwickelten höheren Gleichungen auszuweichen, wie man aus
folgenden Auflösungen einiger Aufgaben ersehen wird.

l. Aufgabe. Awey Zahlen zu finden, die zusammen
addirt die Summe / 17, und voneinander abgezogen die

Differenz ck — 7 zum Vorschein bringen.

Auflösung. Es ftp die größere gesuchte Zahl — er
ünd die kleinere — /

und er — — ck H 2

Um hier die unbekannten Größen etwas geschwinder z»
finden, addire man beyde Gleichungen zusammen, so erhält

-ff ck

man 2w —/ -ff ck; also -r — —-— ch. stdan»

2

ziehe man die untere von der obcrn ab , so erhält man
- /-ck -

2^-/— ck, also^ —-— z/—wennalss

2

zwey Zahlen durch ihre Summe, und durch ihre Diff-renZ
bestimmt werden sollen, so ist die größere Zahl gleich
der halben Summe mehr -er halben Differenz, und
die kleinere ist gleich der halben Summe weniger der
halben Differenz.

17 7

In Unserem Beyspiele ist w —-s-— — 12 , und

2 2

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 27z

7. Aufgabe. Ein Wirth wird gefragt, was er für
Weine habe? Er antwortet: 2 Maß von der rten, 2 Maß
von der 2ten, und i Maß von der Zten Gattung kosten
zusammen l Fl.; 2 Maß von der iten, Z Maß von der
2tcn, und 4 Maß von der Zten Gattung kosten 2 Fl.; io
Maß von der iten, 4 Maß von der 2ten und 2 Maß
von der Zten Gattung kosten Z Fl. Was kostet wohl eine
Raß von jeder Gattung?

Auflösung. Es fey der Preis einer Maß von der iten
Gattung — .r, von der 2ten —und von der Zten
Kr., so ist laut Beding.

2W 4- 2)- 4- — 62 - - -

2.r 4- Z^ -j- 42 122 - - -

ww 4- 4/ 4- 22 — 182 - - - <7

Um die vorhergehende Auflösung mittelst der Subtrak¬
tion auch hier anwenden zu können, muß man trachten,
eine, oder die andere Gleichung so zu verändern, damit
durch die Addition öder Subtraktion der Gleichungen eine
unbekannte Größe nach der andern weggeschafft werde.
Dieses könnte hier unter andern auch auf folgende Art ge -
fchehen: Man ziehe die Gleichung von der Gleichung 7Z
ab, fo verschwindet er; ferner multiplizire Man die Glei¬
chung mit Z, damit -r in seiber den nämlichen Koeffizient
ten, wie in der Gleichung (7 erhalte; fo ist

^-s-Zr—62 - - durch Subtrakt. von Z
6^-s-Zr —122-- - Z durch Subtrakt. (7 von

Weil hier - schön in beyden Gleichungen den näiulichen
^effizienten hat, so ziehe manD von/ ab, so erhält man,
f/' 62; also — 12. Dieser Werth von in der

Gleichung/) substituirt, giebt L — 16; und bende Werthe
M substituirt geben — 12.

vorles, I. B.


274 Fünfte Vorles. it. Abschnitt.

z. Aufgabe. Der algebraische Ausdruck 4-

^2 4- nu, als eine Funktion von u nach (§. 57.) soll
so beschaffen sehn, daß, wenn u — 1 gesetzt wird, der
ganze Ausdruck ebenfalls r seh, setzet man hingegen
» — 2, so soll 9, für n — A soll z6, für u — 4 soll los
zum Vorschein kommen. Das müssen wohl die Großen
ar, 4-, 2, u für Werthe haben?

Auflösung. Man setze in dem gegebenen Ausdruck ein¬
mal n — I, dann u — 2, u — Z, er— 4, so erhält man
folgende 4 Gleichungen

4-4- 2 4- « 22: i - - -

l6a? 4- 84" 4- 42 4- 2^ — 9 - - - L

' 8iar 4- 274- 4- 92 4- Ztt 22 Z6 - - - 6"

2Z6ar  4-  644-  4-  162  4-  4«  —  ioc>  -  -  -

Die unbekannten Gr'ößen können wieder auf die vorige
Art durch Subtraktion am leichtesten entwickelt werden; dem
«s ist

ex4- 4-4- L-b-u— r -

1^4- 7/4-Z24-U— 8 - durch Subtr. ^ckvon^

6z^4-19^4-524-» —27 - durch Subtr. L von

175-2  4- Z7/ 4-72  4-«^2  64  -  6  durch  Subtr.  t?von^

142-4-644-22 222 7- - durch Subtr. von

AOar4-12^-4-22 —19 - / - - L von

röorr4-18^4-22  222A7  -  L  -  -  ^von6

Z6L-4- 6/— 12 - - L durch Subtr. von t

6o^ 4- 64 — 18 - - 4/ - - / von

endlich 24rr— 6 - - durch Subtr. L von K

woraus Z?— folget.

Dieser Werth in L substktuirt giebt 4- 22- 4 ; beyde
Werthe für u? und 4 in substituirt, geben. 2 22: ; und

endlich alle drei) Werthe in substituirt, geben u —
Es ist demnach die gesuchte Funktion — 4- 4-

4-

Von d. algebraisch.Äufgab.L. ihrer Auflös. 275

4. Aufgabe- Peter klagte dem Paul, daß er so wenig
Geld habe: Du hast nicht Ursache zu klagen, erwiderte Paul;
denn wenn du mir einen Gulden gäbest, so hätten wir erst
gleichviel; würde ich dir hingegen einen Gulden geben, dann
hättest du noch einmal so viel Äeld als ich. Wie viel Gul¬
den hatte jeder Geld?

Auflösung. Die Anzahl der Gulden deS Peters sey —ar,
Und des Pauls — Würde nun Peter dem Paul einen
Gulden geben, so hätte Peter — i, und Paul i;
und da alsdann beyde gleichviel haben sollen, so ist er — i
Würde hingegen Paul dem Peter l Fl. geben,
so hätte Peter er 4- i, und Paul — i; und weil als¬
dann Peter noch einmal so viel, als Paul haben soll, so
ist a? -j- l — 2 — l ). Aus der ersten Gleichung folgt

er — -s 2; substituirt man diesen Werth von ar in der
jweyten Gleichung, so ist 4-2 4- i — 2 — l); wor¬

aus — A folget; also ist — Z ch- 2 — 7.

5. Aufgabe. Zwep Kanonier haben zusammen 1022
Patronen gefüllet, und gleichviel Pulver verwendet: der erste
spricht zum zweyten: Hätte ich so viel Patronen, als wie
du, gefüllet, so hätte ich 18 Zentner Pulver verarbeitet;
und der zweyte antwortet: Hätte ich nur so viel Patronen
wie du gefüllet, so würde ich nur 8 Zentner Pulver verar¬
beitet haben. Wie viel Patronen hatte jeder gefüllet, und
mit wie viel Pulver?

Auflösung^ Die Anzahl der Patronen des ersten sep—ar,
ünd des jweyten ; so ist das verwendete Pulver des
18^ —

ersten nach seiner Aussage —- Zentner, wegen Patr.: l8 Z«

18^

ar Patr. : — Zentner; und das verwendete Pulver des
8)'

iweyten ist nach seiner Aussage -, wegen ar Patr. : 8 Zent.

ar

S 2 "

276 Fünfte Vorles. ii. Abschnitt.

Patr.: — Zent. Da aber beyde gleichviel verwendet
18-2 8^

haben sollen, so ist -—- — -. Ferner ist a? 4-— iooo,
weil beyde miteinander lovo Patronen angcfüllt haben sol¬
len. Ans der ersten Gleichung ist 18^ — 8?", nämlich
rv — ; substituirt man diesen Werth rn der andern Glei-

3

2/
chung, so ist — 4 — IOO0, woraus — 600 fol--

3

get. Also er — 1020 — 600 — 4O2, und das von -e-
18-^ 8/°

dem verwendete Pulver ist — - - — 12 Zentner.

Ware aber die Bedingung der Aufgabe folgendermassen
gestellet: Der erste spricht zum zweiten t Hatte ich jede
Patrone mit so viel Pulver gefüllet, wie du die dei¬
nigen, so würde ich nur a — 562! Pf. Pulver ver¬
wendet haben; und der zweyte sagt: Hatte ich meine
Patronen mit so viel Pulver gefüllet, wie du die dei¬
nigen, so hätte ich ö — 1562^ Pf- verwendet; s»
wäre wieder, wenn man die Anzahl der Patronen des erste» mit
a-, und die des zwepten mit^ benennet, a- 4-^- — 1020.

Ferner ist das Pulver, welches der zweyte zu einer Pa-
a

trone verwendet hat — — Pf.; denn es ist nach Aussage des er¬
n¬

sten a- Patr. : a Pf. — i Patr.: —Pf.; und nachAussage des
a-

zweyten ist Patr. : S Pf. — i Patr. : — Pf. —demPu!-
ver, welches der erste zu einer Patrone verwendet hat; folg-
lich hat der erste zu allen Patronen — Pf., und der zweyte

Don d. algebraisch. Aufgabe u. ihrer Auflös. 277

«er ax

— Pf. verwendet; es ist demnach — — — , weil bende
er a?

gleichviel Pulver verwendet haben sollen. Aus der zweyten
« y

Gleichung ist er — — 7- wenn man

für a und s ihre Werthe setzet. Dieser Werth in der ersten
Gleichung substituier giebt ss- loocr, woraus
/ 625 folgt; also ist er iooo — 62Z — Z7Z.

6. Aufgabe. Zwey Wasserrohren haben ein Gefäß
von « — 2i Eymer mit Wasser angefüllet, indem die erste
s — 2 Stunden, und die zweyte r — z Stunden geflossen ist.
Ein andersmal haben eben diese 2 Röhren ein Behäitniß von
— Zi Eymer angefüllet, ha die erste F — 7, und die an¬
dere ss — 6 Stunden geflossen ist. Wie viel Stunden wer¬
den beyde miteinander fliessen müssen, damit selbe ein Bchält-
mß von L — 10O Eymer anfüllen?

Hier sieht man leicht ein, daß es yur auf die Men¬
ge des Wassers ankömmt, so jede Röhre in einer Stunde giebt.
Es sey darum die Menge des Wassers, so die er sie Röhre in ei¬
ner Stunde giebt -- er Eymer, so giebt sie in S Stunden
und in F Stunden Fr Eymer. Die Menge des Wassers, so
die zweyte Röhre in einer Stunde giebt sey — so giebt
sie in r Stunden , und in § Stunden A/ Eymer. Es
ist demnach Ser -H rx a, und Fr ss- — «t. Aus der

ersten Gleichung ist er ^7 ——, und aus der zweyte» ist
S

et—^7 a — rv ek --

g?- —also auch —- "F^ '

a/— Sat 21.7—2.^1 .

- — s.- F— — A Eymer, und
«F"^§ z.7-2.6

-v - I_—- z Eymer. Beyde Röhren, zusammen

- S z ge-"

278 Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

geben also Z 4-Z — 8 Eymer in einer Stunde; folglich brqu.-

. I0Q

chen sie, um icro Eymer zu Men — Stunden.

8

7» Aufgabe. Zwei) Zahlen zu finden, deren Summe
von der Summe ihrer Quadrate abgezogen die Differenz
78 — « , und deren Summe zu ihrem Produkte addiret die
Zahl Z) — — zum Vorschein bringet.

Auflösung. Es sey die größere Zqhl — er, und die
kleinere — so ist laut Bedingung
rrr-4-— « - - - -

a

2^4^-er 4.^- L

Wenn man hier, so wie bisher gezeigt worden, arbci-
ten wollte, so würde man in eine verwickelte Gleichung vom
4ten Grade gerathen; jedoch lassen sich aus diesen Gleichun¬
gen die unbekannten Größen auf folgende Art bestimmen:

Man multiplizire die Gleichung L mit 2, addire sie so-
'dann einmal zur Gleichung und ziehe sie auch von solcher
ab , so erhält man durch die Addition

4. 4. 22^ 4- 2ar 4- 2^-- — 2-r

uänlich (ar 4- 4^ (ar 4-^) — 2« - - k?

und durch die Sutraktion erhält man

-s- — ar — — 2ar/ — 2-r — 2^ — Q

nämlich (^ —— z(ar v

oder (ar — — z(ar 4-^) - - - - - 4>

Nun sehe man (ar 4- in der Gleichung k7 siir eine
rknnamige Größe an, und ergänze das Quadrat, so ist

(ar 4-^')2 4- (ar 4.^) 4- (z)' — 2a 4^ 4, wor¬
aus (ar 4-^) — — l^(2-r 4» — 12 ist. Diestu

Werth substituire man in der Gleichung L), so ist (.? —
— z. i2z also (a? — — 1^36 — 6.

Da

Non d. algebraisch- Aufgab. u. ihrer Auflös. 279

Da nun er 4- — 12

und L- — — 6

so ist er — 9, und — z, vermög (Z.222.Aufg. i.)

Oder auch, mau benenne die halbe Summe der zwey
gesuchten Zahlest mit a?, und die halbe Differenz dieser Zah^
len mit so ist vermög (Z. 222. Aufg. i.)
die größere gesuchte Zahl — er 4-
und die kleinere — a? —

folglich ist laut Bedingung der Aufgabe
o -h 4- (er — — 2a: — a

nämlich 2a? 4- 2^ — 2a? — a .

Und (er 4-^) (er — 4- 2a?^r^a

Ilä!Nlich a? — -f- 2er L

Multipliziert man nun die Gleichung L mit 2, uich addirek
selbe zu der Gleichung so erhalt man
4a? 4- 2er 20: 2a,
woraus man durch die Ergänzung des Quadrats findet
-l4-l^(8a-j-i) -I4-2A

er 2: —-——— —-— H

4 4

Eubstituiret man ferner diesen gefundenen Werth in der
Gleichung L, fo ergiebt sich — Z; folglich ist die größere
gesuchte Zahl er4-^ — 64-Z — 9, und die kleinere

л 6 — z z wie vorhin.

F. Aufgabe. Es sind drey Klumpen Metall, jeder
aus Gold, Silber, und Kupfer zusammengeschmolzen:

м iten sind 2 Loch Gold, 4 L. Silber, 8 L. Kapsel'

in» 2ten -z- - - 6 - -

Zten ry - Z -- - lZ

Wie viel Lothe müssen von jedem Klumpen genommen
werden, damit man einen 4ten Klumpen erhalte, woring
4 Loch Gold, 6 Loch Silber, und 9 Loch Kupfer enthalten
sind?

Auflösung. Man nehme vom iten Klumpen a?Loch,
»onr 2tcn Loch, und vom zten r Loch;

S 4 so

28o Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

woraus a?" 7, 6, und 2 — 6 gefunden wird.

Zlufgabe. Drey spielten miteinander Pharo: im er¬
sten Spiele hatte der ite die Bank; die zwey übrigen setzten

jeder die Hälfte ihres Geldes, und sie gewonnen; im zwei¬
ten Spiele hielte der 2te die Bank; beyde übrigen setzten die
Hälfte ihres Geldes, und gewonnen ebenfalls; hiemit über¬
nimmt der Zte die Bank; die zwey übrigen setzten wieder die
Hälfte ihres Geldes, und auch hier verlohr der Banquier.
Am Ende des dritten Spieles zählten sie ihr Geld, und fan¬

den, daß jeder 27 Dukaten hatte. Wie viel hatte wohl je¬
der im Anfänge ?

Auflösung. Cs sey die Anzahl der Dukaten, so der ite
beym Anfänge des ersten Spieles hatte " , jene des 2ten
-F-, und des Zten 22 2; so hat am End des ersten Spieles.

2 2a? — — 2

der ite a----—-    .Dukaten.

2 2 2.

v Zv-

der 2te v 4— — — Duft

2 2

2. Z2

der Zte 2 H — — — Duft

''2 2 Am

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflöf. 28?

Am Ende des zweyten Spieles hat

2X-7-2 6^-37-zr

der rte --r--—-

2 4 4

37 2x4-/4-- ZL 77—2.x —2-

der 2te — —  --—-— -—

2 44 4 .

22 22 QL

und der rte —- 4- — —

244

8


- 27

L7

-- 27

Und am Ende des dritten Spieles hat

6.X-37-  32 6x- Z7-  Z-^ 18^-97-92

8 8

l8°x — 97-9-

8
232-427-47

8

Wenn man die Gleichung Z mit Z multiplizitt, und zu
addirt, so erhält man

547-272
----4-27 -- - - - '

Wenn man ferner die Gleichung L mit 2, die Gleichung <7
Oer mit Z multiplizirt, und ^3 von (7 abzichet, so ist
8l'-64 ^ .. ..

8

Endlich L und D zusammen addirt giebk

<4- ,

— Z. 27; woraus 2 — 20 folget.

der ite
488

77—2.x—22 77—2X—22 217-62 — 62
der 2ke-4---—-—

488

92 6r4-z74-zr 774-2x4-22 232-4^-47
und der gte-—>-———---

Es ist demnach

217 —6x —6:

»8r Fünfte Vorles. H. Abschnitt.

Dieser Werth für 2 in D substituirt giebk 22 26;
und beyde Werthe in substituiret geben rr — ZA. Es hat¬
te demnach im Anfänge der ite zZ, der 2te 26, und der
Zte 2o Dukaten.

10. Aufgabe. Drey Regimenter werden zu einer ge¬
wissen Arbeit aiigesteiler: das ite und 2te Regiment hat eine
eben solche Arbeit gemeinschaftlich in «2-70 Teigen, das
ite und zte in L — 84 Tagen , und das 2te und zte in
c 22 140 Tagen vollendet. Nun ist die Frage, in wie viel
Tagen alle Z Regimenter miteinander diese Arbeit verfertigen
werden, und wie viel Tage ei» jedes insbesondere dazu ver¬
wenden würde? >

Auflösung. Es sey die AnzahlderTäge, so das lte Re¬
giment allein zu dieser Arbeit verwenden würde 22 rr, des
Lteu Regiments —und des Zten — rz

So wird vermög (Z. 219. Aufgabe iz.) das ite und

2te Regiment zusammen zu dieser Arbeit - Tage , das

^4-^-

ev2

ite und zte zusammen-, und das 2te und zte zusammen

1'2 rrv- W2

- - Tage brauchen. Es ist demnach - — « ; —
^4-2

^2 2«Le

— L; und e z woraus 2 — —— — 420,

1'4-2 aL4-ac—Le

2«Le 2a;Le

n- - 210, und rr- --- - 10Z

a«4^-e—ae Lc4-r/c—ao

gefunden wird; und folglich brauchen alle z Regimenter zu-
105.210.420

fammen - --— 60 Tage

1OA.2IO4- 105.420 4-210.42s

vermög (Z. 219. Aufg. iz.).

I I. Aufgabe. Eine Zahl zu finden, die aus Z Zif¬
fern von solcher Beschaffenheit besteht, daß die Summe der
.^Qua^

Von d. algebraisch. Aufgab. n. ihrer Auflös. 28z

Quadrate der einzelnen Ziffern, ohne auf ihren Rang zu se¬
hen — 124, das Quadrat aber der Mittlern Ziffer um 4
größer seh, als das doppelte Produkt der beyden ciussern;
ferner, wenn man von der gesuchten Zahl die Zahl 594 ab-
zieht, so sollen die gesuchten Z Ziffern, aus welchen die Zahl
besteht, in verkehrter Ordnung zum Vorschein kommen. Die
Frage ist nach der Zahl?

Auflösung. Es sey die ite Ziffer links — w, diemitt-
lere —und die letzte 2^2, so ist laut Bedingung
w? 4-4^ 4-124 - 5 - . r -

2^ 2WL 4-4 --------

I22V4-12x4-2—Z94—10224-IO/4-W - -
vermög (Z. 6.).

Q2r4-^94

Aus t? findet man ar —---— L 4- 6

99

Dieser Werth in und L fubstituirt, giebt

4- I22 4- Z6 4- 4- — 124 - - -

— 22^ 4-122 4- 4 - - - - 7 - -

Diese Gleichung -L von D abgezogen, giebt

22? 4- 122 4- z6 — 104 — 22^ — rar — 4, wsr-
«us 2 — — z 4- k^ 25—2 folgt. Dieser Werth in der
Gleichung Z und t7 fubstituirt, giebt - 6, und w —8.
Es ist demnach die gesuchte Zahl 862.

Folgende Beispiele wird ein fleissig«.' Anfänger nunmehr
selbst leicht ausarbeiten können.

I. Pythagoras wurde gefragt, wie viel er Schüler ha-
öe? er antwortete : die Halste studirt die Philosophie, der
-dritte Theil die Mathematik, und die übrigen, welche sich
noch im Stillschweigen üben, samt den drey Schülern, wei¬
che ich eben jetzt angenommen habe, machen den vierten Theil
meiner vorgehabten Schüler aus.

H. Eine Heidinn gieng in den Tempel Jupiters, und
hat, er möchte ihr Geld, das sie bey sich hatte, verdoppeln z

Zn-

284 Fünfte Vorles. il. Abschnitt.

Jupiter that es, und sie opferte zur Dankbarkeit 2 Fl,
Mit dem Uiberreste gieng sie in den Tempel des Apollo, bat
ein gleiches, und opferte «dermal zur Dankbarkeit für die
Verdopplung ihres bey sich habenden Geldes 2 Fl.; darauf
verfügte sie sich nach Haus, zahlte ihr Geld, und fand mir
Verwunderung, daß sie der Verdoppelung ungeachtet, nur
i Fl. habe. Nun ist die Frage, wie viel sie im Anfang
Geld gehabt habe?

III. Ein Sterbender hinterließ eine schwangere Frau,
und ein reines Vermögen — a ( z. B. 9220 Fl.). Sein
letzter Wille war dieser: gebührst du einen Sohn, so soll
derselbe von der Verlassenschaft /»mal so viel als du (z. B.
Zmal so viel) haben; gebührst du hingegen eine Tochter, so
nimm du /.mal so viel wie sie (z. B. 2mal so viel). Nun
fügte es sich, daß die Frau einen Sohn und eine Tochter
gebahr. Wie soll nun das Vermögen getheilet werden?

IV. Ein Meister dingt einen Gesellen also auf: für
jeden Tag, den du für mich arbeitest, zahle ich dir 7 Gro¬
schen : und für jeden Tag den du für deine Geschäfte anwcn-
dest, zahlst du mir für die Kost Z Groschen. Nach 50
Tagen trat der Gesell aus diesem Dienste, er machte mit sei¬
nem Herrn die Abrechnung, und es fügte sich, daß der Ge¬
sell vom Meister zwey Gulden zu fodern hatte. Nun ist dü
Frage, durch wie viel Tage dieser Gesell für seinen Herrn,
und durch wie viel Tage er für sich gearbeitet hat?

V. Zwey Bauern süeten miteinander 24 Metzen aus ;
der erste spricht zum zweyten : wenn mir jeder Metzen so viel
wieder bringet, als du gesüet hast, so werde ich iZZ Me¬
tzen bekommen. Wie viel hatte jeder gesüet?

VI. Ein Kaufmanu vermehrt sein Vermögen jährlich
um den dritten Theil ; nimmt aber am Ende eines jeden
Jahres iooo Fl. zur Erhaltung seiner Familie hinweg;
und wird doch dabey am Ende des dritten Jahres doppelt

so

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 28s
so reich, als er im Anfänge des ersten Jahres war. Wie
reich war dieser Kaufmann?

VIl, Es hatte Jemand zwey Goldstuffcn zu verkau¬
fen ; er begehrte für jedes Loth des ersten Stückes halb so viel
Gulden als das zweyte Stück Lothe wiegt, und die Anzahl
dieser Gulden betragt eben so viel, als beyde Stücke zusam¬
men Lothe haben. Der Käufer nimmt beyde Stücke, und
zahlt für jedes Loth eines jeden Stückes eben so viele Gul¬
den , als Lothe in dem Stücke enthalten sind; und nach
diesem Vergleiche betragt die ganze Zahlung 45 Fl. Wie
Ele Lothe wiegt ein jedes Stück?

VIII. Acht Pferde haben in sieben Wochen eine Wiese'
von 400 Quadratklafter dergestalt abgeweidet, daß sie so¬
wohl das Gras, welches im Anfang schon bereits da stand,
als auch jenes verzehrten, welches während dieser Zeit her¬
vorwuchs. Auf die nämliche Art haben 9 Pferde in 8 Wo¬
chen eine Wiese von Zoo Quadratklaftern abgeweidet. Wie
viel Pferde werden auf eben diese Art durch l2 Wochen
auf einer Wiese von 620 Quadratklaftern sich ernähren
können?

IX. Zwey Größen zu finden, deren Summe, Produkt,
und Differenz der Quadrate einander gleich sind.

22Z.

Bey den verwickelten quadratischen Gleichungen von
der Gestalt er- 4- L , und auch in verschiedenen
andern Fallen kömmt der Ausdruck w — I/' (a 4- zum
Vorschein; dieser Ausdruck läßt sich noch abkürzen, wenn

ein vollkommenes Quadrat seyn sollte; es ist nämlich

Um dieses einzusehen setze man

so ist

-NUN

286 Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

ntm setze man die irrationalen Glieder des eisten Theils die¬
ser Gleichung, den irrationalen Gliedern des zweyten Theils
gleich, und folglich auch die rationalen Glieder den rationa¬
len gleich, so ist L , und a ^^,4-2 ; aus

diesen Gleichungen findet man^ 0^—^), und

L — —(e? —/>; es ist demnach

sch s ; a-;

A. B. l^(Z4-2l/2) - -i-l-^2

t^(7-i-4^3) - ^(74-^48) - 24-l^z
»^(n-6i/'2)- t/(n-l^72)-

von -er Auflösung -er unbestimmten Aufgaben.

§ 224.

Wen» aus den Bedingungen einer Aufgabe nicht so
viele Gleichungen abgeleitet werden können, als unbekannti
Gr'ößen vorhanden sind, so ist es ein Zeichen, dast die vor¬
gelegte Aufgabe unbestimmt sey ; und es können für jede un¬
bekannte Größe mehrere, ja zuweilen unendlich viele Werthe
gefunden werden, die theils positiv, theils negativ, ganz,
oder gebrochen sind, und die Bedingungen der Aufgabe erfül¬
len. Die Art, wie solche gefunden werden, ist folgende:
Hhan schaffe nach (Z. 221.) durch Verminderung der Glei¬
chungen so viele unbekannte Größen weg, als möglich ist-
so wird man zuletzt eine Gleichung erhalten, in welcher sich
noch eine unbekannte Größe mehr befindet, als anfangs
Gleichungen zu wenig waren. In dieser letzten Gleichung
sehe man nur eine einzige Größe für unbekannt an, für die
übrigen unbekannten Größen aber nehme man beliebige Wer¬
the an, und bestimme erstere dadurch; diese Werthe substi¬
tuier man in den vorhergehenden Gleichungen wie (§. 22!-)-
so werden auch die übrigen weggeschafften unbekannten Grö¬
ßen gefunden. Als j.

Don d. algebraisch. Aufgab. U. ihrer Auflös. 387

!) Drep Zahlen zu finden, deren Summe — iz, dir
Summe der ersten und dritten aber der Differenz gleich ftp,
wenn man die erste vost der zwepten abziehet.

Auflösung. Benennet man die ite Zahl mit er, die 2te
rnit^, und die Zte mit 2, so ist laut Bedinge

er 4- 4- 2 — IZ

Und er 4- 2 22 — er - - - - A

Aus der Gleichung ^ist er — IZ — — 2, und aus

L ist ae-^^—-z also auch

2

7^—2

lZ —^ — 2— <7

woraus ^22 io — 42, eine Gleichung, worinn noch 2 um
bekannte Grüßen sind; weil aus den Bedingungen der Auft
gäbe nm eine Gleichung zu wenig abgeleitet werden konnte.
Man nehme demnach in der Gleichung (7 für 2 einen belie¬
bigen positiven oder negativen, ganzen oder gebrochenen Werth
an, bestimme dadurch und substituire bepde Werthe in
der Gleichung so läßt sich auch m finde».

Es ftp r - i, 2, Z, 4, 5, - - - 4, s -

ft ist ^2-9tz,94,9,84,84 - - - 9^95-

und er »2:4^34^3^ - - - 44 , 4>

2) Vier Zahlen zu finden, deren Summe — 18 ist,
und wenn man zu der erstem das 2fache der 2ten , das Zfache
ber Zten, und das 4fache der 4ten addirt, so solle Zc> zum
Vorschein kommen.

Auflösung. Es ftp die ite Zahl -m, die zwepte
die Zte — 2, und die vierte — so ist laut Beding.

^74.^4-24-«—18 - " "

und 4« 4" 3^ 4° 4" So

Aus

288 Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

Aus der Gleichung ist er — ig — . r —

And aus L ist ar — Ao —- 2^ Z2 -- 4« ; also auch

r85o-2>—Zr-4/r - e
woraus folgt — Z2 — 2r — Z« , eine Gleichung , die
noch z unbekannte Größen enthält, weil aus den Bedingun¬
gen der Aufgabe um 2 Gleichungen zu wenig abgeleitet wer¬
den konnten. Man nehme demnach in der Gleichung für
und « willkührliche Werthe an, bestimme daraus^, und
substituire diese Werthe in so läßt sich auch ar finden.
Es sey nun z. B.

r l, 2, z, 4, A, 6 -- -- -- - 1 -

und 2, Z, 4, Z, 6, 7 -- -- .- — 7-- -

so ist- 24, 19- 14, 9, 4,-1 - -- -4- 9 -

und a- — —9, -6, —Z, 0, Z, 6 -- -- -4-1 - -

Und so könnte für r und «feder beliebige andere Werth
angenommen werden, wo sich sodann und ar bestimmen
läßt. Man sieht aus diesem, daß- eine Aufgabe um so un¬
bestimmter ist, femehr unbekannte Größen in der letzten Glei¬
chung übrig bleiben.

Z) Ein Kaufmann ist ioo Fl. schuldig: fein Gläubi¬
ger begehrt zweyerley Tuch dafür z die Elle vom isten ko¬
stet 9 Fl., und vom 2ten 7 Fl. Wie viel soll er ihm von
feder Gattung geben ?

Auflösung. Es sey die Anzahl der Ellen von der ersten
Gattung er , und von der zweycen — , so muß

100 —Har

Har 4.7^ — 100 seyn, woraus —-— ^sg^t . da

7

keineGleichung mehr vorhanden ist, so muß wieder für a- ein belie¬
biger Werth angenommen werden. Weil aber hier in dieser Auf¬
gabe keine unbekannte Größe negativ erscheinen darf, so kann
zr nur so groß angenommen werden, damit 9a-<122, odet

Kon d. algebraisch. Aufgab. ü. ihrer Auflös. 289

IVO

er < — ist, weil sonst / negativ ausfallcn müßte z setzt man

9

demnach er — i, 2, Z, 4, ß, 6,7, 8, 9, io, n,
in iss -1^ — I"? b 2 7 e LL, 7,5 4L ?7 . I,s IL> , L,,
>0 <n — t Z/ 7/7/ 7^ 7/ 7/N°, 7 7 /7,

lind so könnten auch für er was immer für Brüche angenom-
lo6'

men werden, wenn sie nur — nicht übersteigen^

9

4) Es hat Jemand dreyerley Weine: vom ersten kostet
die Maß z6 Kr., vom zweyten 24 Kr., und vom dritten
l6 Kr.; er will hievon einen Eymer mischen, dessen Maß
20 Kr. werth ist. Wie viel kann von jedem genommen
werden?

Auflösung. Die Anzahl der Maßen vom ersten sey
er, vom 2ten — und vom Zten — r, so ist

er 4- 4- 2 — 40 - - -

Und z6er 4- 24^ 4- 162 " 40 . 20 -

Aus der Gleichung ist er — 4a — — 2, und

4O.2O — 24-— l6r 202—4- —6>-
aus ^8 isi er -- —---—-;

36 .9

200 — 42-6^-

also auch 40 — —. r -—-/ woraus

9

160—<2 22 — 40 .

—-^-,und.rt^-, folget. Weil nun hier eben-

3 3

falls keine negativen Größen zugekassen werden können, so muß

5- < 160 oder 2 < Z2 angenommen werden, sonst wäre^ — 0,
"der negativ z es muß aber auch 2 > 20, sonst ist er 0,
»der negativ. Man setze demnach

. 2^21, 22, 2z, 24 - - - Zo, Zl

soist^^ 18^, 16^-, iZ, !Z^ - - - 3§, r?

«Ud .r r-- z, 2, 2i - - 6i-, 7i'

Vorles. I. B.

§> 22Z-

29<r Fünfte Vorlef. n. Abschnitt.

22Z.

Es ist aus dem Vorhergehenden zu ersehen, daß bep
den unbestimmten Aufgaben unendlich viele Werthe für die
unbekannten Größen gefunden, werden können, wodurch die
Bedingungen der Aufgabe erfüllet werden. Allein bei) den
meisten Aufgaben wird die Anzahl diefer Werthe ungemein
dadurch eingeschränket, daß die gesuchten Größen nicht nur
positiv, sondern auch ganze Zahlen seyn müssen. Hiedurch
ereignet sich oft der Fall, daß nur einige wenige, ja zuwei¬
len gar keine Werthe für die unbekannten Größen gefunden
werden können, die den Bedingungen der Aufgabe ein Geuü-
tze leisten. Die Art, unter solchen Bedingungen alle mög¬
liche Werthe der unbekannten Größen zu finden, zeigen fol¬
gende Beyspiele:

1) Es sollen aus 12 Zentner Pulver iQoo Stuckpa-
tronen, und zwar die Zpfündigen mit i, die 6pfündigen mit
2, und die l2pfündigen mit Z Pfund Pulver gefüllet wer¬
den. Wie viel kann wohl von jeder Gattung erzeugt werden?

Auflösung. Es sey die Anzahl der Zpfündigen — er,
der 6pfündigen und der I2pfündigen — 2, so ist

w -l- -l- 2 — I QO0 - - 2/

UNd w -l- 2^ 4- Z2 — 1200 - - -

Zieht man die Gleichung von ab, so iß
4. 2- — 2O2; also — 200 — 22. ' Man sieht aus
dieser Gleichung, daß, wenn man für 2 eine ganze Zahl
annimmt, auch , und folglich auch w eine ganze Zahl sei?
müsse.

Es sei) also 2 2- i, 2, z, 4 - 99

so ist — 198, 196, 194, 192 -- 2

und .r 22 8OI, 802, 80Z, 824 -- 899

2) Es sind in einem Gicßhause zweverlci) Kanonenröh¬
re gegossen worden: von der iten Gattung wiegt jedes 16/

und

Von ö. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflbs. 291
tind von der 2ten 2A Zentner; und doch hat man zur zwei)-
ten Gattung um einen Zentner Metall weniger verbraucht,
als zur ersten. Wie viel waren von jeder Gattung ?

Auflösung. Es sey die Anzahl der Kanonen von der ersten
Gattung —und von der zweyten—so ist

2Z^4-l 9x4-1

l6 r —I --2ZX; also —--— — 7" 4- —

Weil nun a- eine ganze Zahl seyn muß, so kann hier für ^x
nicht jede beliebige Zahl, sondern nur eine solche angenom-
9^ 4- i

men werden, damit --— eine ganze Zahl wird. Mair

i6

o 1-- 4-i 16 — r

setze demnach ——:— ^7, so ist —  -

i6 9

-7 ^7— I

-^4---. - - A

9

Da nun ^x auch eine ganze Zahl seyn muß, so muß auch
7^ — r 7^—i

-eine ganze Zahl seyn. Es sep darum-— 77,

9 9

, 984-1 2S4-I

soist^-^--84--- - B

7 7

284-1 ,

Ferner sey, weil eine ganze Zahl seyn soll, --6,

7

. 76'—! <7—1 „

soistL-7---,<74-—-- C

2 L

<7^- l

lind da auch 8 eine ganze Zahl seyn soll, so sey —— — 7) >

2

so ist (7^ 27) 4-1. Da nun kein Bruch mehr übrig ist,
so substituire man diesen Werth von L7 in der Gleichung C, so
istL — 4. Z; dieser Werth von >8 in der Gleichung B

s»bstituirt giebt^-e 9 7)4- 4; und endlich dieser Werth

T 2 von

292 Fünfte Vorles. il. Abschnitt.

von in der Gleichung A substituirt, giebt-' 16 4- 7,
und ferner - - - - ar 2Z D 4 11 ,

wo für D'jede beliebige ganze Zahl gesetzt werden darf,
Setzer man darum

^) - o, I, 2, Z, 4, 5 -

so ist---- 7/23,39/55/ 7^/ 87 - <> ins unendliche,

und — 11,36,61,86,111,136 - )

Z)Es soll eine gewisse Anzahl von Gulden und Kreuzern ,
z. B. 4 Fl. 15 Kr. in lauter Siebnern, und Siebenzehnew
ausgezahlt werden: wie viel Stücke müssen von jeder Gat¬
tung gegeben werden?

Auflösung. Es sey die Anzahl der Siebner — .r-, und der
Siebenzehner —so ist /ar-f-i^Kr. —4.6o 4- iZKr.;
nämlich 7^-j-i7x— 255; daraus folgt

2557.^

er —---— — Z6 —- 2-z 4- —- .

7 ' 7

2 —2—7^

Es sey so ist-'- — -1 - 2^f- - ?!»

7 3 3

Es sey-L, fo ist — — z7?. Dieser Werth voir

3

in der Gleichung A substituirt, giebt -- — 7L 4. 1,
und ferner - - - - -^-34-17^

Es sey nun L o, 1, 2

so ist -- - 1, 8, r 5

und ar — Z4, 17, 0

Die Zahlung kann demnach nur auf zweyerley Art ge¬
schehen ; entweder mit 34 Siebnern, und 1 Sicbenzehner;
oder mit 17 Siebnern, und 8 Siebenzehnern.

4) Peter ist dem Paul 12 Kr. schuldig; sie haben keine
anderen Münzen, als Siebner und Siebenzehner. Wie soll
Peter den Paul bezahlen?

" Auf-

Von d. algebraisch. Aufgad. n. ihrer Auflös. 29z

Auflösung. Der Peter gebe dem Paul w Siebner,
dagegen gebe Paul dem Peter Siebenzehner zurück; da

mm die Schuld getilget seyn soll, so ist 7^r — 17^ 4- 12,
17^-4-12 , ,34'4-5

Hieraus ist er — - 4- l 4-

7 7

av-s--: 7-^—5 , -^—2

Es sey —- so ist-" - - - - 2^-14--- A.

— 2

es sei)- — L, so ist - zL 4- 2. Dieser Werth

3

von substituirt giebt — 7^ 4- Z

und ferner - - ar —

Es sey nun ^6 — o, i, 2, Z - — I,— 2,— Z
so ist — Z, io, 17, 24 - — 4,—n, —18

und er — 9, 26, 4z, 60 - — 8, —25, —42

Die negativen Zeichen zeigen an, daß die Zahlung vcr-
kchrtermassen geschehen k'önne, indem z. B. Peter dem Paul
4 Siebenzehner giebt, und von selbem 8 Siebner zurück er¬
halt. Die Zahlungen können in beyden Falle» auf unendlich
viele Arten geschehen.

Da ein Siebner und ein Siebenzehner zusammen 24 Kr.
^tragen, und jede gerade Anzahl der Gulden in Kreuzern ausge¬
drückt sich durch 24 Kr. genau theilcn läßt; so kann jede ge;
rade Anzahl der Gulden in gleichviel Siebnern und Siebenzehnern
«usgezahst werden. Denn es sey s eine gerade Zahl der

, a.6o s.6.10 a . lO

«ulde«, so ist -- - --- - -—— — einer gan-

24 6.4 4

len Zahl; woraus die Regel fließt: baß man an -ie Zahl
der Gulden, welche intern und I7nern auszuzahlen
'st, eine Null «»hangen, und hernach durch 4 dividiren
soll, so Wird der (Quotient die Anzahl der 7ner und l7»er
«»zeigen. Wenn z. V. 6 Fl. auszuzahlen wären so ist
62

' — 15 Siebner, und eben so viel Siebenzehner. -Wa-

.ui»


294 Fünfte Vorles. il. Abschnitt.

re aber eine Ungerade Anzahl der Gulden in Srebnem und Sie-
benzehncrn auszuzahlen, so kann solches zwar auf die nam-
kickse Art erhalten werden ; weil aber die Division mit 4 da
picht genau aufgeht, sondern allzeit ein halbes von 24
Kreuzern noch zu zahlen übrig bleibt, so muß solches nach
voriger Aufgabe durch die Umtauschung geschehen. Z. B.

70

Es wären 7 Fl. auf diese Art zu bezahlen, so ist — — 17z;

4

wegen dieses Restes ziehe man von dem Quotienten 17 einmal
Z ab, so hat man 14 Siebenzehner, und sodann addire man
9 hinzu, so hat man 26Siebner; oder man vermehre den
Quotienten um 4, so erhält man die Siebenzehner , und ver¬
mindere denselben um 8 / so hat man die Siebner.

Z) Eine Zahl zu finden, welche durch 2 dividirt i,
durch Z dividirt 2, und durch 4 dividirt z übrig läßt.

Auflösung. Es sey die gesuchte Zahl — w, so mWa
er-lw^.2w— Z

Hie dren Ausdrucke -, ---.-- ganze Iahlm

' ^ 2 Z 4

seyn. Man setze demnach den ersten Ausdruck-- —

2

so ist w 2^ 4-1 - - - - A

Diesen Werth fubstituire man in dem zweyten Ausdruck stau

rr, so muß —- eine ganze Zahl seyn. Es sey

.3

2^—1 „ 264-1 64-1

—— so ist^-^---L4--- - P

3 ^2 2

64-1

Es sey <7, fr ist L — 26^. r.

' 2

D.ieser Werth in der Gleichung B substituirt gieöt

— i z und dieser Werth in der Gleichung A substi-
tuir^Kebt w x: 66 — r - - - -

7

/

« Die-

Non d. algebraisch. Aufgab, u. ihrer Auflös. 295

Diesen Werth für er substituire man in dem dritten Aus-
w—r 66'—1—2 66'—4 (7

druck-, so muß --- —--— — 6' — 14 —

4 44 2

(7

eine ganze Zahl seyn; man setze — — D, so ist (7 — 2D.

Setzet man nun diesen Werth für l7 in der Gleichung C,
so ist endlich -r- irD — i.

Setzet man nunD — i, 2, Z - -

so ist - n, 2Z, ZZ - '

Es ist aus diesem hinlänglich zu ersehen, wie man in

dergleichen Fallen zu verfahren habe; nur ist noch zu erinnern,
daß, wenn in einer solchen Gleichung die Koeffizienten von er
und einen gemeinschaftlichen Faktor haben, welchen das
übrige Glied in der Gleichung nicht mit gemein hat, und
folglich die Gleichung sich nicht mehr abkürzen läßt, sich die
unbekannten Größen er und in ganzen Zahlen nicht fin¬
den lassen. Denn es sey in der allgemeinen Gleichung

4. ^8 — 6>, wo D, (7 ganze Zahlen vorstellen ,

und (7 durch a Heilbar, nämlich — —D, und — — D;

L'

aber fty durch a nicht theilbar, so ist D.v 4- — —
er

S ,

und — — D/ — D.r. Mären nun undganze Zahlen,

a

so sind auch D.r-, und D4 ganze Zahlen, und folglich auch
ihre Differenz eine ganze Zahl, welches aber hier nicht ist,
da D durch er nicht theilbar ist. So z. V. lassen sich aus
der Gleichung 9^ — — 4 die unbekannten Größen

w und 4 nicht in ganzen Zahlen bestimmen , weil man zuletzt

den Ausdruck erhält - -4. Wohl

3

aber lassen sich aus der Gleichung 9- - rssX - 6 die Grss-
§en .r und 4 in ganzen Zahlen finden, weil die Gleichung

T 4 durch

296- Fünfte Vorles. II. Abschnitt. .

durch z abgekürzt Aw — -- 2 aiebt, wo die Koessl-

ziente» von w und keinen gemeinschaftlichen Faktor mehr
haben.

6) Awey Quadratzahlen zu finden, deren Summe wie¬
der ein vollkommenes Quadrat ist.

Auflösung. Es sollen die Zahlen , und

Es sey nun 2 — 4- so iß

w^4-^ — 4. 4- nämlich a? 2: 47 2^-

w' - .-r- 4-

woraus^ ———- ist, und also 2 —-.

2 22/

Nun kann für ar und feder beliebige Werth angenommen
werden, wodurch sich und 2 bestimmen lassen; nur muß,
wenn die drey Quadrate lauter ganze Zahlen seyn sollen,
w ein vielfaches von und ar 4-^7 eine gerade Zahl seyn.
Es fty z. B.

r, i, i -- 2, 2 - A, Z -

und .2 - z, Z, 7 - 4, e> 9, isi -

so ist 4, 12, 24 -7 Z, 8 - 12, z6 -

und ' 2 -- A, IZ, 25 - Z, IO -- rz, 39

7) Drey Dahlen von solcher Eigenschaft zu finden,
daß sowohl die Summe von allen dreyen, als auch von
jeden zweyen zusammengcnommcn eine vollkommene Quadrat-
zahlst!).

Auflösung. Setzet man die drey ar4-^4-2"e?
gesuchten Zahlen - ar,^-, und die 2:

Wurzeln der vier Quadratzahlen 7, ar 4-2 —

so hat man ^-4-2 — t'

vier Gleichungen, und sieben unbekannte Größen, wodurch sich
in diesem Falle nichts bestimmen laßt.

Da nun diese Aufgabe so sehr unbestimmt ist, so sitzt
man noch einige willkührliche Bedingungen hinzu, aber doch
fo, daß die Aufgabe noch immer unbestimmt verbleibe,
Man

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. 297

Man setze z. B., daß die Wurzel /- um i kleiner als er ,
und § um i kleiner als /- fty; so erhält man folgende
Gleichungen:

-r 4- 7^ 4- 2 22 zz^ _ - - -

er 4-^7 22 (zz — i)^ 22 zz^ — 2zz 4- I - L

rr 4- 2 — (zz — 2)? 22 zz- — 4 '/ 4-4 - <7

4- 2 22

daraus folgt 2 — 2« —i

- 4^-4

er — zz^ — 6 'e 4- Z — (zz — 2)' — (2" — l)

22 ^(6'z-Z)

Und nun muß man suchen eine solche Zahl für zz anzuneh¬
men , daß kz" (6/z — Z) eine vollkommene Quadratzahl wird.
Eetzet man zz 22 A, so ist auch ? — S, und daher 2 — 9,
7 16, und .r- 22 o; setzet man aber zz 72 9, ' so ist

7 , 2 22 17, — Z2 und auch -r- — Z2 ; setzet
man ferner zz 22 21, so ist t - n, 2 — 41, 22 go,
und a: 22 Z2o. Man kann auch für zz gebrochene Zahlen
fetzen; z. B. zz 22 z, so ist t 22 2, 2 22 2, > 22 2, und

—u. s.w.

8) Zwey Zahlen von der Beschaffenheit zu finden,
daß die Differenz der Würfel der Differeiy der Wurzeln gleich
se>),

Auflösung, Es f-y die ein- Zahl — .r>, und die an¬
dere — so ist vermög Bedingung ^-.r—^; dar¬
aus folgt durch die DiPisiön ^4- l < und durch

, -..a:4-^(4^3^)

fernere Reduktion —-- -

2

Um diesen Ausdruck rational zu machen, setze man
^(4 - z r°) zzrr - 2; so ist 4 - - 4,/^ 4,4 ;

4?z
daraus folgt .r^r -,

"" -l- Z

T A Setzt

rZ8 Fünfte Vorles. H. Abschnitt.

Setzt man ferner diesen Werth für er in so iß

-r? — — Z

-. Und nun kann man für er jeden be-

kiebigen Werth annehmen, z. B. i, 2, Z, 4, Z, 6, . , .
und dadurch w und bestimmen; für /r 6 ist er —

Mehrere hieher gehörige analytische Untersuchungen fin¬
det man in Hnu L. Eulers vollständ. Anleit. zur Algebra
U. Th.

§. 226.

Es giebt Aufgaben, welche bestimmt zu seyn scheinen,
Md doch wirklich unbestimmt sind ; z, B. drey Zahlen zu
finden, wo die Summe der ersten und zweyten — 40, die
Summe der zweyten und dritten 102, und die Differenz
der dritten und ersten — 62 sey. Benennet man die dren
Zahlen mit .r , 2 so ist laut Beding.

er 4- 4O

4- 2 — iO0

Und L -- er ^2 60

wo es scheinet, daß die Aufgabe bestimmt sey , weil eben
so diele Gleichungen als unbekannte Größen vorhanden find.
Allein die letzte Bedingung zeiget keine neue Eigenschaft der
unbekannten Größen an, sondern wiederholt nur dasjenige,
was die zwey ersten Bedingungen ausgedrückt' haben; denn
man darf nur die erste Gleichung von der zweyten abziehen,
so hat man die dritte ; folglich ist diese Aufgabe unbestimmt,
und man findet nach (§. 224,) die Werthe der unbekannten
Größen

a-' - I, 2, Z, 4, 5 - -- 39

- 39' 3?/ 37, 36, 35 i

r 6i, 6r, 6Z, 64, 6z -- ? 99

§. 227.

Bon d. algebraisch. Aufgab. u. LhrerAuflös. 299

§. 227.

Endlich giebt es Aufgaben, deren Auflösung unmög¬
lich ist, das ist, wo für die unbekannten Größen gar keine
Werkhe gefunden werden können, die den Bedingungen ein
Genüge leisten. Dieses ereignet sich entweder, wenn die Be¬
dingungen der Aufgabe sich selbst widersprechens oder auch
wenn die Aufgabe rationale, positive, oder ganze Zahlen for¬
dert, und doch nur irrationale, negative, oder gebrochene von
der verlangten Eigenschaft gefunden werden können. So¬
wohl eines als das andere erfährt man (wo die Unmöglich¬
keit nicht ohnehin schon aus den Bedingungen klar vor die Au¬
gen fallen sollte) wenn man aus den Gleichungen entweder
etwas ungereimtes, oder für den Werth einer unbekannten
Größe eine unmöglicheWnrzel H9. Hl ), oder auch einen
negativen oder gebrochenen Werth findet, den die Natur der
Sache nicht zuläßt.

Beyspiele.

1. Aufgabe. Dreh Zahlen zu finden , wo die Sumnw
der ersten und zweyten 28, die Summe der zweyten und
dritten — za, und die Differenz, wenn die dritte von der
ersten abgezogen wird , — iZ sty.

Auflösung. Benennet man die drey Zahlen mit.r,/, r,
fo ist laut Bedingung ac — 28, "k- " ZO/ und

— r iZ. Subtrahirt man die erste Gleichung von der
Zweyten, so ist 2 — .r — 2 ; und diese Gleichung zu der
dritten addirt giebt .ac —r-s-r —.ac—17, nämlich 0 — 17,
welches ungcräumt ist; und folglich ist diese Aufgabe un¬
möglich.

2. Aufgabe. Es kauft Jemand einige Ellen Tuch,
und giebt für sede Elle eben so viele Gulden, als es Ellen
Tuch sind: er verkauft sie wieder, und bekommt für alle Ellen
zweymal fo viel Gulden als es Ellen sind, und gewinn,
bey diesem Handel 5 Fl. Wie viel waren cs Ellen?

Auf-

gor Fünfte Vorles. n. Abschnitt.

Z. B. in der vorgelegten Gleichung 6, sty « — 27,
und — 177147, wo ar gesucht werden soll,

daher m er: z

— I

so ist 177147 - (27)^ - 9

27 : (9)' - 3

9 : (3/ - r

1

und folglich .r — Z -!--

Ebenso läßt sich aus der Gleichung (Ai2)^— ZZZA44Z2
der Exponent ar bestimmen,

dennesisiZZZZ44Z2 : (Air)" — 128 ; daher m - 2
Air : (128)' - 4 " - l

i28 : (4)b - r ? - 3

4 : (2)" l s - 2

i

und folglich er — 2 -i- --" 27.

i 4- I

3-i-r_

2

Daß dieses angeführte Verfahren, den unbekannten Ex¬
ponenten zu finden richtig sey, erhellet aus folgender Be¬
trachtung :

In der Gleichung a — ö ist vermög Voraussetzung
i
a"r < /5, und a"-4-r > daher kann nur ar L- m 4- n
L. L ,

seyn; und es ist sodann nämlich a"* . <r s,

a, A

und . Setzet man nun den Quotienten — ek,

so ist auch — c, und «. Es sey nnn miedet

e" < a, und > a; daher kann c"4-r -s « seyn; und

Von d. algebraisch. Aufgab. u. ihrer Auflös. zc>Z

es ist sodann^ — " -I-, wegen — s; wo nun auch

aus der Gleichung — a,

« L.

- — — ci, und c/r — <7.

c.«

oder c". cr 22 a Weeder folgt.
Es sey nun wieder ri^ < c ,

, i

und ; also ist ei^-l-" — c, und 22^^-—.

a L.

ferner sey — e, so ist ei" 22 c, und e« — ei, wo nun

7/ 22 — ft», ». s. w. Substituirt man nun den Werth

Z'

I r

- -t- — statt ee jn der Gleichung 2 — , so ist

/ ee

I I

-; -dieser Werth in der Gleichung " -7 -i-. -
e, -t-1 --

Z'

fiir r gesetzt giebt

ir — g- —— - und also er 22 -?r 4--

/- 4- I 72 -i- I

e/^-i -u-i-l

7- L-i- k

7°

Weil eu — 7/r -ist.

Wenn man durch dieses Verfahren auf einen Quotien¬
ten gelanget, der genau — i ist, so ist dadurch die Arbeit
geendigt, und der gesuchte Exponent er leißt sich in einem
solchen Fall r'öllig genau angeben. Wenn hingegen niemals
ein Quotient genau — i seyn kann, so hat der gesuchte Ex¬
po-

Z24 Fünfte Vorles. n> Abschnitt. Von rc.

ponent w entweder einen irrationalen, oder auch einen trans.-
zenöenöen Werth, von solcher Beschaffenheit nämlich, daß man
ihn weder durch ganze, noch durch gebrochene Zahlen, und
auch nicht durch Wurzelgrößen genau angeben kann; nur
Lurch eine hinlängliche Annäherung kann man einen solchen
Exponenten bestimmen, und zwar wenn man das angeführte
Verfahren so weit fortsetzt, bis man auf einen Quotienten
gelanget, der schon ziemlich nahe — i ist.

Es sey z. B. 12^ — 62Z

so ist 625 : (12)^ — 6 2A m -- 2

10 : (6,25)' i,6 rr — i

6,25 : (1,6)- - i,Z2587 ? - 3

i,6 : (1,52587)' - 1,04857 7 " r

1,52587 : (1,04857)^ - 1,04404 8

1,24857 : (1,04424)' - 1,2243z - 1

1,24424 : (1,22433)^ — 1,22416 r " 9

1,22433 : (1,22416)' — 1,22216 rr -- I

! I, Z, 1, 8, 1,

2

I

13 4 35 39

, ,

1 4 5 44 49

9 / i

386 425

485 ' 534

nämlich w - 2f^ — 2,7958801'

Es wäre überflüssig, diese Untersuchung weiter anszch
führen, weil in der Folge die unbekannten Exponenten mittelst
der Logarithmen viel leichter zu bestimmen seyn werden.

Sech-

32Z

Sechste Vorlesung.

Vsn den Reihen, und ihrer Anwendung,

I. Abschnitt.

Von dm arithmetischen und geometrischen
Reihen,
von den Rethen überhaupt.

2L9.

Eine Folge von Gr'ößen, welche nach einem bekannten Ge¬
sche wachsen, oder abnehmen, wird überhaupt eine Reihe/
oder Progression, und zwar im ersten Falle eine steigende,
tmd im andern eine fallende Reihe genennet. Die Grsßen,
welche die Reihe bilden, heissen die Glieder der Reihe.

i- B. ist i, 2, 4, 8 > 16 eine steigende Reihe von Z Glie¬
dern, wo die Glieder nach einem solchen Gesetze wachsen, atz
jedes nachfolgende Glied doppelt so groß ist, als da na.,
vorhergehende. Hingegen ist 24, l8, .

bc Reihe von 4 Gliedern, wo jedes Nachfolgen .

dem nächst vorhergehenden entsteht, wenn man solches um o ic
Efferen; 6 vermindert,

2 Eine

vorlef. L. Lj

zo6 Sechste Dorles. I. Abschnitt.

Eine Reihe, deren Glieder nach dem einmal bekannteß
Gesetze ohne Ende fortlaufsn , wird eine unendliche Reihe
. i l l i i i

genennet. Sc ist z. B. «

24 8 lb Z2 64

und so ohne Ende fort, eine unendliche Reihe. Wenn aber
die Reihe irgendwo, z. B. mit ivoo Gliedern, oder wo
immer aufhöret, so ist sie eine endliche Reihe.

Z. 2Zo.

Es ist aus diesem zu ersehen, daß, wenn einmal das
Gesetz einer Reihe bekannt ist, die Reihe nach Belieben fort"
gesetzt, und das sovielte Glied der Reihe, als man will,
bestimmet werden könne; wie auch, daß man die Summe
von feder Anzahl Glieder der Reihe durch die Addition finden
könne. Allein wie beschwerlich wäre es nicht, wenn man,
um z. B. das tausendste Glied einer Reihe zu bestimmen,
vorher alle 999 Glieder entwickeln müßte? Noch beschwer¬
licher wäre es 1000 Glieder nach (Z. 17.) zu addiren, um
die Summe einer solchen Reihe von 1000 Gliedern j"
erhalten.

Es ist deswegen nothwendig, daß man bei) jeder ror-
kommenden Reihe einen solchen algebraischen Ausdruck, näm¬
lich eine Funktion von n (§. A7.) ausfindig mache, welche
so beschaffen ist, daß man, wenn in der Funktion "
gesetzet wird , dadurch das erste Glied der Reihe erhalte;
wenn man /r 2, /e — Z / — 4 rc. setzet, dadurch

auch das 2te , Zte, 4te Glied der Reihe zum Vorschein
komme. Eine solche Funktion von ", welche diese Eigen¬
schaft hat , wird deswegen das allgemeine, oder das
"te Glied der Reihe genennet. So z. B. ist in der Reihe
2, 5, 8, n , l4 - * « das allgemeine Glied — (z^ - '
denn man setze nur nacheinander // — i, /e — 2, /e — z, "^4
u. s. w. so erhält man das erste, zwente, dritte , dieru

Glied

Von d. arithmetisch, u. geometrisch. Rechen. 307

Glied der angeführten Reihe. Eben so sind
in den Reihen die ,tte» Glieder

Auf gleiche Weise muß man auch bey jeder Reihe eine an¬
dere algebraische Funktion von /e aussuchen, welche eine solche
Eigenschaft hat, daß, wenn man in der Funktion nachein¬
ander /r TUI, /e — 2, » — Z, /r — 4 u. s. w. setzet, da¬
durch die Summe von einem, von zwey, von drei), von
vier Gliedern rc. der Reihe zum Vorschein komme; eine sol¬
che Funktion von " wird die Gummenformel von /e Glie¬
dern, oder das summatorische Glied der Reihe genennet^
Co B. ist in der Reihe 2, Z, 8, n, 14 » » « » die
2 / 4- /e

Cununenformel --; denn setzt man in dieser Formel

2

i, so erhält man blos das erste Glied 2; setzt man
ferner ,r — 2, sodann " — Z, " - 4 u. s. w., so erhält
man 7 , iZ , 26 , 40 u. s. w. für die Summe von
2,3,4, Z Gliedern der Reihe.

Eben so sind die Summensormeln der fünf obangcführ-

km Reihen folgende: —-- bey I.z-bey II ;

2 2

2^4-Z/?-1-er ,44. r .

--beyIII.;--bey IV. z 3(2"-l)

6 6

dey V,; weil jede diefer Formeln so beschaffen ist, daß sie
die Summe so vieler Glieder der betreffenden Reihe zum
Vorschein bringet, als man die Grdße " Einheiten gelten
laßt.

U 2 2Zl.

zo8 Sechste Vorles. i. Abschnitt.

§. 2ZI.

Ware in einer Reihe die Summenformel, als eine
Funktion von er schon bekannt, so läßt sich das rrte Glied
leicht daraus bestimmen. Denn man setze nur er — i in
der Summenformel statt er, so wird man die SumMe
von (/r — i ) Gliedern haben; zieht man sodann diese
Summe von (er — i ) Gliedern, von jener Summe von
er Gliedern ab, so wird auf diese Art das E Glied
erhalten, weil die erste Summe von er Gliedern um dieses
erte Glied größer ist, als die zwepte Summe von (er — i)
Gliedern. J. B. in der Reihe Z, 7, n, iZ, 19 . « «
ist die Summe von er Gliedern — 2e? 4- er; folglich ist die
Summe von (er — I ) Gliedern — 2 ( er — I (er I)

— 2er^ — Zer 4- I; zieht man nun diese Summe von der
Summe von er Gliedern ab, so ist (2^4- er) —(2/^—Zzr4-l)

— 4er --1 dem erten Gliebe dieser Reihe.

Diese Regel aus der Summenformel von er Gliedern
das allgemeine Glied abzuleiten ist überall anwendbar, s»
bald bey was immer für einer Reihe das summatorische
Glied für bekannt angenommen wird. Allein gemeiniglich
wird aus dem bekannten Gesetze der Reihe zuerst das E
Glied, und aus diesem sodann die Summenformel bestimmet.
Wie aber dieses zu geschehen habe, muß bep jeder Gattung
der Reihen insbesondere gezeiget werden.

Von -en arithmetischen Reihen.

§. 2Z2.

Eine Reihe, in welcher gleiche Differenzen erhalten
werden, wenn man jedes vorhergehende Glied von dem
nächst darauffolgenden abziehet, wird eine arithmetische
Reihe genennet. A. B. 1,4, 7, 10, IZ . . . in-
gleichen i2, io, 8/ 6 . . . sind arithmetische Reihen/
weil in beyden die Differenzen beständig sind. In der er-

Von d. arithmetisch, u. geometrisch. Reißen. 509
sten Reihe ist die beständige Differenz — Z , nnd in der
zweyten — — 2. Man sieht hieraus, daß bey einer arith¬
metischen Reihe nur zwei) Glieder, oder das erste Glied ,
und die Differenz hinreichen, um die Reihe so weit als belie¬
big ist, fortsetzen zu können.

Es sey nun das erste Glied einer arithmetischen Reihe
-a, und die Differenz — eZ, in der Bedeutung, daß je¬
des vorhergehende Glied vom nächstfolgenden abgezogen wer¬
de, so ist das zweyte Glied — « 4- eZ; daraus folgt das
dritte Glied derReihe — a 4-2rZ; ferner das vierte—a 4- zff,
das fünfte — a 4- 4^ u. s. w. Es kann daher jede sowohl
steigende , als auch fallende arithmetische Reihe von gleichen
Differenzen durch nachstehende Formel vorgestellet werden:

Stelle i, 2, Z, 4, "

Reihe <?, (a-4-ch), (a-l-2^), (a-s-Z^)4- - - 2
Differenz ch, e/, <Z,

allwo c/ bey einer steigenden Reihe eine positive , und bey
einer fallenden eine negative Größe bedeutet. Z. B. man
setze in dieser Formel er — i und eZ - z, so hat man die
erste obangeführte Reihe i, 4, 7, 10, iz, 16 . . . ;
setzt man aber a 12, undeZ — — 2, so kömmt die
Zweyte obangeführte Reihe 12, io, 8, 6, 4, . . . zum
Dorfchein.

Das »te oder allgemeine Glied — Z in der angeführ¬
ten Formel einer arithmetischen Reihe ist leicht aus dem Ge¬
setze zu bestimmen, nach welchem die Glieder aufeinander fol¬
gen. Denn da jedes Glied der Reihe , z. B. das 4te aus a
und aus so vielen eZ (aus Z-Z) besteht, als demselben Elic-
ber vorhergehen, so ist das//te oder allgemeine-Glied, wenn
Man solches mit Z bezeichnet

k. Z — a 4- ( " — I ) r/.

Nämlich das nte Glied einer jede» arithmetischen
Reihe von gleichen Differenzen wird erhalten, wenn
Ulan zum ersten Gliedc <?, die nut der 'Anzahl der vor-

U z re--

Zlo Sechste Vorlef. I. Abschnitt.

hcrtzehenden Glieder (// — i) multiplizirte Differenz a!
hinzusetzet Z. B. in der Reihe der natürlichen Zahlen I, 2,
Z, 4, Z, 6 . . ist das /rte Glied — i 4-1 (- — 1) — //; wegen
n — i , und — l; das /rte Glied der ungeraden natürlichen
Zahlen i,z,5,7,9, n . .. ist r-l 4-2(/r-1)— 2// -1,
wegen a — i und at — 2 ; das /rte Glied der Reihe der
geraden natürlichen Zahlen o, 2, 4, 6, 8, io, 12 . . . .
ist ? — O-i-2(/r — l)—2/r — 2, wegen er —0 und ä —2;
und in der obangeführten Reihe 12, io, 8/ 6 . . . ist das
/rte Glied s — 12 — 2(/r — l) — 14 — 2-r, wegen
a 12, — 2.

Um nun auch die Summe von jeder beliebigen Anzahl
der Glieder in der angeführten allgemeinen Formel der arith¬
metischen Reihen zu finden, bezeichne man indessen die Sum¬
me von Z Gliedern mit so ist, wenn die Reihe einmal ge¬
rade , und sodann verkehrt geschrieben wird,

§ — n 4-<sa-s-cf)-i-(a4-2ak)4-(L4-Z«f)4'(er-fi4^)
§ (<r-ü4ck)-ch(<r4-z<k)4-(sa -j-2<t) 4<<r 4-ct) 4

folglich auch durch die Addition der zwey Gleichungen

2^—(2a-l-4^)4-(2a4-4^)4-(2a4-4f/)-l-(2a44ci)-l-(2a44^)

-(2 -4-4^) X A, wo (2/4-4^) L -l- («44'0, ch>
und endlich § — (2-24-4^) x —.

2

Nämlich die Summe von allen Z Gliedern wird erhalten,
wenn man die Summe aus dem iten und Aten Glieds nut
der halben Anzahl der Glieder multipliziret. Eben so findet
man die Summe von jeder andern beliebigen Anzahl dec
Glieder bey der nämlichen Reihe.

Es rvird daher bey jeder arithmetischen Reihe vsN
gleichen Differenzen dis Summe aller Glieder erhalten,
nenn man die Summe des ersten und letzten Gliedes
mit -er halben Anzahl der Glieder multipliziret.

Bon d. arithmetisch, u. geometrisch.Reihen, zu

Bezeichnet man nun bey einer solchen arithmetischen
Reihe die Summe von » Gliedern mit und das ?/te,
oder letzte Glied, wie oben, mit t, wenn die Reihe mit
dem etten Gliede aufhort, so ist die zweyte Fundamental¬
gleichung folgende:

II. § - <>4-t).

2

Setzet man aber für t in H. den Werth aus I., so ist das
2-7/r U-. et/r^ — et/r

summatorische Glied —--

2

wodurch sich aus dem iten Gliede, und aus der Differenz
bey jeder arithmetischen Reihe für jede gegebene Anzahl der
Glieder die Summe bestimmen läßt. Co z. B. ist bey der
Reihe der natürlichen Zahlen i, 2, z, 4, A, 6 ... die Summe
2»4-»2—n -j- ?? r)

von » Gliedern —-—---

222

Eben so ist in der Reihe der ungeraden Zahlen i, z,
S, 7 , 9 , n . . . die Summe von » Gliedern
2« 4- 2-^—2"
—--—

2

2ZZ.

Das summatorische Glied für jede arithmetische Reiht
von gleichen Differenzen kann man auch unmittelbar aus dem
allgemeinen Gliede er 4- et-? — et auf folgende Art ableitcn:

Man kann sich vorstellen , daß die Summe von -- Glie-
bern erhalten werde, wenn das allgemeine Glied er 4-et-- —et
aiit irgend einer Funktion von --, die heiffen mag, mul-
t'pliziret wird. Es kann demnach das summakorifche Glied

-r (er 4-et--"—et ) Xr?4-(<t/" "

besetzet werden, wo von solcher Beschaffenheit gedacht
'vird, daß diese Gleichung richtig scy. Feiner sei)

U 4 und

z ir Sechste Vorlef. i. Abschnitt.

und (a/— cs/) — L, so ist auch das fummatorische Glich
4- L/r - - - - A -

Setzet man nun in dieser Formel ->r -- i, so erhalt man
die Summe von einem Gliede — 4- ; setzet man aber

?r — 2 , so erhalt man die Sunime von zwep Gliedern
4- 2S.

Es ist aber in der Reihe a, (a 4- («4- rck),

(u 4- zal) . . . die Summe von einem Gliede a, und
die Summe von zwcy Gliedern — 22 4- cl; folglich iß
4- L — rr, und 4- rL — 2« 4- ; daraus folgt
— 4-ch und L — « — Substituirt man nun diese
Werthe in der obangenommenen Summenformel A, so ist
2U?r4-6^—

§ — 4^l"^ 4- — 4c/) « " -— -wie vorhin.

Anmerkung. Daß die Summenformel

§ ? 4-

ganz richtig mit jeder arithmetischen Reihe von gleichen Diffe¬
renzen zusammen gehöre, erhellet auch daraus.

Man setze in dieser Formel er — i statt ?r, so erhält man
die Summe von n — i Gliedern, die heissen mag, nämlich:

— ^(>r --1 4- Lf/r — i) — 2 ^rss. ^4-L/r—Z

Subtrahirt man ferner a' von a-, so erhalt man, vermög
2ZI.), das allgemeine Glied it derjenigen Reihe« welche
mit dem angenommenen summatorischen Gliede
zusammen gehöret, nämlich:

-- 2^ck/e — >-4-^.

Substituirt man endlich in diesem allgemeinen Gliede er l,
sodann » — 2, /r — z , /r — 4 «. s w., so entsteht fol¬
gende Reihe:

Stellen i, 2, Z, 4
Reihe (^4-D» (3^4-S), (Z^4L), (7^4-S)
Differenzen 2^, 2^, 2^l

wo-

Von ö. arithmetisch, u. geometrisch.Reihen, ziz
wodurch auch jede arithmetische Reihe von gleichen Differenzen
vorgestellet werden kann. Daher gehöret das angenommene
summatorische Glied ganz richtig mit jeder arithmetischen Reihe
von gleichen Differenzen zusammen.

234.

Durch Hilfe der in (s. 2Z2.) angeführten zwey Fuuda-
rnentalformeln — a 4- — i)ck und § — x (uss- r)

lassen sich sehr viele in der Mathematik und im gemeinen Le¬
ben vorkommende Aufgaben auflösen. Weil aber hier Mtr
zwey Gleichungen vorhanden sind, in welchen sich Z verschie¬
dene Größen befinden, als das erste Glied a, das letzte
Glied t, die Anzahl der Glieder er, die Differenz ck, mW
die Summe so müssen drey davon aus den Bedingun¬
gen der Aufgabe jederzeit bekannt scyn, wodurch sich sodann
die übrigen zwey nach (Z. 22t.) finden lassen; im Gegen-
kheile wäre die Aufgabe unbestimmt. Und da sich jede die¬
ser Z Größen auf viererley Art, und zwar jedesmal durch
drey andere Größen ausgedrückt, aus den zwey Fundamen¬
talformeln finden läßt; so können diese Werthe zum voraus
entwickelt, und auf folgende Art in eine Tafel eingetragen
werden, damit man bey einer vorkommenden Aufgabe die
passende Formel für die unbekannte Größe alsvHleich finden
könne»

zrch Sechste Vorles. l. Abschnitt.

Von d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen, zrz

2ZZ.

Einige hieher gehörige Aufgaben.

Es spielt Jemand Pharo, und setzt das erstemal eins»
dulden, das zweytemal z, das drittemal 5, das viertemal 7 Fl.
""d nach diesem Gesetze weiter fort. Die Frage ist, wie viel wird
" das zostemal, und wie viel insgesamt setzen müssen, wenn
" bis dahin immer verspielet.

zi6 Sechste Vorles. i. Abschnitt.

Die erste Frage wird durch die erste Forme!

— 59, und die andere Frage wird

durch die 6te Formel § — a« 4- (» — r — ooy Fl.

2
beantwortet; weil hier a — i, e/ 2, und ?r -- zo ge¬
geben sind, und im ersten Falle nach im andern aber
nach § gefragt wird.

H. Es ist aus Versuchen bekannt, daß ein freyfallen-
der Körper in der ersten Sekunde beynahe iZ pariser Fuß,
und in jeder darauffolgenden Sekunde um zo Fuß mehr,
als in der nächst vorhergehenden zurücklege. Nun ist em
Körper von einem Thurme 960 Fuß hoch herunter gefallen:
wie viel Zeit hat er wohl dazu gebrauchet?

I g

Dieses zeigt die lLte Formel zr — — 's

A u

/-25 a? I a

-^8 Sek.; weil hier a -- IZ >.

e? 4

ck — zo, und § — 960 gegeben sind, und nach der Anzahl
der Glieder /e gefragt wird.

Eben so läßt sich auch, wenn die Dauerzeit des ftepen
Falles /e — 8 Sekunden aus einer Beobachtung für bekannt
angenommen wird, mittelst der 6ten Formel die Höhe des
Thurmes § — 960 Fuß berechnen.

III. Unter Z Kanonier, welche auf die Scheibe schiessen,,
sollen ZZ Fl. dergestalt vertheilet werden, daß der vorzüglichste
aus ihnen n Fl., von den übrigen aber jeder etwas erhalten
soll, und zwar so, daß jeder minder vorzügliche immer um
gleichviel Gulden weniger erhalte, als der nächst vorhergehen¬
de. Nun ist die Frage, wie viel bekommt der schlechteste,
und um wie viel bekommt jeder folgende mehr?

Die erste Frage beantwortet die i8te Formel
u — — Z, und die andere Frage beantwortet die
zr

I2te

Von d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. 317*

2"t — 2-r
l2te Formel ck —-— 2, weil hier — ZZ>

— l)

/r — A und t — n gegeben sind, und im ersten Falle « >
im andern aber ck gesucht wird.

IV. Es setzt Jemand einen Groschen in die Lotterie,
und da er das erstemal nicht gewinnt, so seht er das zwey-
kemal zwey Groschen, das drittemal drey Groschen u. s. wt
immer um i Groschen mehr. Da aber die Lotterie einen
einzelnen Treffer i^ach zurück bezahlt, so ist die Frage,
wie vielmal kann solcher auf diese Art spielen, damit er
imrch einen Treffer doch noch all sein gesetztes Geld zurück
erhalte?

Da er das erstemal l, daS zweytemal 2, das dritte-
mnl z Groschen setzt u. s. w., so setzt er das /.temal /e Gro¬
schen, und wenn er da trift, so bekommt er 14" Groschen
jurück; er hat aber in Allem gesetzt 4-"); folglich ist
^r(i4-./r) — 14", wenn er nichts gewinnen, noch verspie¬
len soll. Hieraus ist er 2/mal.

V. Eine Kompagnie Soldaten wurde wegen Bestürmung
einer Festung dergestalt belohnet, daß derjenige Mann, wel¬
cher den Wall am ersten erstiegen, eine gewisse Summe Geld
bekam , der zweyte etwas weniger > der dritte wieder um
eben so viel weniger u. st w. Als das Geld ausgetheilet
wurde, konnten zwey dieser Soldaten wegen Blessuren nicht
Ztgenwartig seyn z man gab daher deren Antheil jweyeN
ihrer Kameraden. Diese zwey steckten sowohl ihr eigene»
erhaltenes Geld, als auch jenes ihrer zwey Kameraden in
einen einzigen Sack zusammen, und wußten in der Folge/
bey der Vertheilung nicht mehr, was jedem gebühre. Der
eine hatte für sich und seinen Kameraden 92 Fl. erhalten,
und erinnerte sich noch, daß er der zweyte und sein blessirter
Kamerad der siebente gewesen sey; der andere hatte für sich
rind seinen Kameraden 71 Fl. erhalten, und wußte, daß
w der eilfte, sein Kamerad aber der vierte gewesen sey«
Nun ist die Frage, was jedem dieser 4 Soldaten gebühre?

7

Zi8 Sechste Vorles. i. Abschnitt.

Da hier eigentlich weder das erste Glied, noch die
Differenz der Reihe bekannt ist, so sey der Theil, welchen
der allererste bekommen soll er-, und die Differenz, um
welche jeder nachfolgende weniger bekommen soll, als sein
vorhergehender, sey ; so bekommt der 2te a? der
zte a?—der 4te rr — z/, der 7te — und der Ute
er — i O/. Es haben aber der 2te und 7te zusammen 92 Fl.,
und dec 4te und ute zusammen 71 Fl. erhalten;
folglich ist w — -j- w — 6^ — 92
und er — 4- w — io>- — 71

daraus folgt cr — Z8^, und 4- Es bekam demnach
der 2te Z4^ Fl., der 4te 47^ Fl., der 7Le 37^ Fl., und
dec ute 2Z^ Fl.

VI. Es laßt Jemand einen Bcunnen graben, mit diesem
Akkord, daß er für die erste Klafter Z Fl., für die zweyte
n Fl., für die dritte 17 Fl., und so für jede folgende
Klafter,, weil die Arbeit immer beschwerlicher wird , um 6 Fl.
mehr als für die nächst vorhergehende zahlen wolle. Der
Bcunnrmneister bringt elnen Bcunnen zu Stande, welcher 24
Klafter tief ist. Wie viel gebührt ihm dafür Bezahlung?

Da die Zahlungen dec ganzen Klaftern in einer arith¬
metischen Reihe steigen, so müssen auch jene für die halben
Klaftern in eben einer solchen Reihe steigen. Es sey nun
die Gebühr für die erste halbe Klafter — w Fl., und die
Differenz —44 um welche für jede nachfolgende halbe Klaf¬
ter mehr bezahlt werden muß, als für die vorhergehende;
so kostet die 2ke halbe Klafter ^4-44 die Zte w 4- 2»', die
4te ^-ftZ^, und die Zte ^4-41^ Da aber laut Akkord
für die erste Klafter Z Fl. und sirr die zweyte 11 Fl. be¬
zahlt werden muß, so ist w -ft 4- — z, und

'7
(-r -ft 2/) 4- (w 4- Z4J — ii; daraus folgte —

und 4' — —, Es gebührt demnach dem Brunnenmeister

Bon d. arithmetisch, u. geometrisch. Rerhen.

. 19 . 25 . 3!_Zl7 5

- 4- --1--f--1--. — — 2ZL Fl^

4 4 4 4 4 4 2

Das nämliche erhält man, wenn man in der Formel
a/r -j-(/r— l), a —5, ci—6 und er—2^ setzet.

2

Von arithmetischen Reihen des 2ten, Zten, 4ten
Ranges u. s. w. und deren Anwendung»

§. 236.

Die arithmetischen Reihen, wovon bisher gehandelt
würde, pflegt man auch arithmetische Reihen des ersten
Ranges zu nennen, weil die ersten Differenzen der Glieder
beständig sind. Es giebt aber auch Reihen, wo man Key
der Subtraktion der Glieder noch keine gleiche Differenzen,
sondern eine arithmetische Reihe des ersten Ranges erhält,
und wo folglich erst die zweyten Differenzen dec Glieder be¬
ständig sind. A. B. bey der Reihe der natürlichen Quadrat-
jahlen 1, 4, 9, 16, 2Z, z6 . . . sind die ersten Differen¬
zen der Glieder -- z, A, 7, 9, n ... und die 2ten Diffe¬
renzen sind alle einander gleich, nämlich — 2.

Solche Reihen, bey denen die zweyten Differenzen der
Glieder gleich sind, werden überhaupt arithmetische Reihen
des zwepten Ranges genennet. Man sieht hieraus, daß
zu einer arithmetischen Reihe des zweyten Ranges drey Glie¬
der gegeben scyn müssen, um die Reihe sodann fortsetzen zu
können. Z. B. wenn die ersten drey Glieder einer solchen
Reihe 4, 7, 12, gegeben werden, so sind die ersten Diffe-
renzen z, Z, und die zweyte Differenz, welche hier unveran-
derlich flpn soll, ist — 2; folglich ist die Reihe der ersten
Differenzen — z, Z, 7, 9, n, iz, lZ . . > « ""d endlich
d-e vorgelegte Reihe — 4, 7, l2, l9, 28, 39 > » ' von
der Beschaffenheit, daß 19 - l2 4> 7, 28 - 19 4- 9/
39 » 28 4- n fty u, s. w.

Z- 2Z7»

ZLs Sechste Vorles. I. Abschnitt.

§. 2Z7.

Hs sey nun das erste Glied einer arithmetischen Reihe
des jiveyten Ranges — c-, und die ersten Differenzen sollen
seyn —a, (a-j-eZ), (u4-2ci), (a4-Z'O U. s. w., so
haben wir folgende allgemeine Formel, wodurch jede arith¬
metische Reihe des zweyten Ranges vorgestellet werden kamn
rres — e
2tes — e -s- a
ztes — e-s- a-s-(s-s-ef)
4tes — e 4- s 4" (a! 4- ei) 4- (cr 4- 2tf)
-ztes —

6tes — e 4- a 4- 4- ci) 4- (a 4- 2c/) 4- (c?4z ^)4(«44ch
7/tcs — c4-a-l-O-l-ci0»s. - - 4- s<,4-(/r—2)a'^
daraus ist zu ersehen, daß jedes Glied der Reihe aus dein
ersten Gliede e, mehr der Summe so vieler Glieder der
arithmetischen Reihe des ersten Ranges bestehe, als Glieder
in der Reihe demselben vorhergehen. Es besteht also auch
das /etc Glied aus dem ersten Gliede e, mehr der Summe
von (// i) Gliedern der arithmetischen Reihe des erstell
Ranges, nämlich das /rte Glied der angeführten arithmetischell
Reihe des zweyten Ranges, wenn solches -- / gesetzet wird/
ist vermög (§. 234. N. 6.)

L 4- 2a(/r—>i)4-c/(/r—tf(/r—i)

2

— Hck/? 4- (a — L«s)/7 4- (e4-cf — a).

Setzt man nun (<r —(e4^-
so ist das allgemeine Glied einer jeden arithmetischen Reiht
des zweyten Ranges durch nachstehende Formel sehr einfach
«usgedrückt z

t F'/? 4-

Lu»'

Vond. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen, zrr

Die Koeffizienten F>, H, F? können bcy einer jeden
gegebenen arirhiyetischen Reihe des 2ten Ranges jederzeit
sehr leicht bestimmet werden, und zwar auf folgende Art: Dan
setze in der angeführten Formel — i, sodann " — 2, uno
endlich z, fo erhalt man dadurch das ite, 2te, und zte
Glied der Reihe; da ferner diese dreh Glieder in einer vor¬
gelegten Reihe schon bekannt sind, fo hat man nun auf die¬
se Art drey Gleichungen, woraus sich die dreh unbekannten
Giößcn F>, H, Fs entwickeln lassen. -

Es fey z. B. das /rte Glied der Reihe ZA, 26, 20,
17 . . zu bestimmen , so setze man in der angeführten
allgemeinen Formel des /rten Gliedes // — i; dadurch ist
F'st- O 4- Fs — ZA als das ite Glied; sodann setze man
"-2, so ist 4^ 4- 2 4- Fs — 26 als das 2tc Glied;

endlich setze man er — Z, so ist yF' 4- Z(? 4- Fs — 20 als
das Zte Glied. Aus diesen dreh Gleichungen findet matt
F>—4, (l — — V, A — 47; folglich ist das /rte Glied
in der angeführten Reihe t — 4/r^ — V " 4-47-

Man kann auch überhaupt das ite Glied einer solchen
Reihe a, das zweyle — F, und das Zte — c setzen;
sodann ist vermög der angeführten Formel

F>4- H 4- Fs — er für /r — I
4^4-2(?4-Fs — ö ----- L
9^4-Z^-i-F? — 6 ----- z

. rr4-c —2^ 8^ — Aa —

darans folgt - -, (> - -1- '

2 2

6er 4- 26 — 6ö
und Fs — -—-—-

2

und folglich ist das allgemeine , oder /rte Glied

,, - («4-c—2S>-4-(siF—5a- Za)/ -4-(64-2-7—6

2

X

vorles. I. B.

2Z8.

Z22 Sechste Vorles. l. Abschnitt.

2Z8.

Da wir einmal das allgemeine Glied

I. t — -4- -s-

einer jeden arithmetischen Reihe des 2ten Ranges kennen, sc»
wird es nicht mehr schwer seyn auch das summatorische
Glied für jede solche Reihe anzugeben. Man kann nämlich
hier eben so, wie im (§. 2ZZ.) sich vorstellen, daß ans
dem allgemeinen Gliede — -j- H/e -l- /s das summato¬

rische Glied erhalten werde, wenn man ersteres mit irgend
einer Funktion von die F/e heissen mag, multipliziret;
man kann nämlich setzen, es sei) hier das summatorische
Glied

§ — -j- -f- /R/r

wo von solcher Beschaffenheit gedacht wird, daß diese
Gleichung richtig sey.

Setzet man ferner — ü, und^K—l7,

so kann man auch sagen, es sey in jeder arithmetische«
Reihe des 2ten Ranges das summatorische Glied

II. § — ss- L'/? -f-

wo die unbestimmten Koeffizienten s, (7 bcy jeder ge-
gebenen Reihe dieser Art, eben so wie vorhin die Koeffi¬
zienten des allgemeinen Gliedes, aus den drei) er¬

sten gegebenen Gliedern der Reihe bestimmet werden.

Es sep z. B. für die Reihe

ZA, 26, 20, I/, 17, 20, 26

das summatorische Glied zu bestimmen, so setze man in der
letzt angeführten allgemeinen Formel II. des summatorischen
Gliedes -r — l; und es ist sodann

-s- -i- (7 — ZA

als die Summe des i ten Gliedes. Darauf setze man /r — 2, so >se

8^4-46 4- 2^7-61

alS

Von d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen, 32z

als die Summe des iten and 2ten Gliedes. Endlich setze
man -r — Z, so ist

27^-l- 9K4- z(7- 8t

als die Summe des iten, 2ten und Zten Gliedes; nämlich
zz 4 26 4- 20 — 8l; daraus folgt L— — 6,
und 6' ; folglich ist für die gegebene Reihe das sum--

matorische Glied

§ r— 6^ 4- V

Setzt man auch hier allgemein das erste Glied jeder
Reihe dieser Art — a, das zwepte — , und das dritte — c;
so ist wieder

4° 4- k7 — Q su r /e — l

8^ 4- 4^ 4- 2<7 - a 4- ----- 2

27-^ 49^4-Z6 — a4^4"^ - — Z

daraus folgt

»4-6—2L c)L-6a—ae na4-2<7—7^

- ——, L- und <7--- --i

6 6 v

folglich ist

^-«4-c—2S> 6a—/,H«4-2c—7^

Anmerkung. Daß das angeführte summatorische Glied
4- 4- (7/r

§anz richtig mit jeder arithmetischen Reihe des 2ten Ranges
Zusammen gehöre, kann man auch hier, so wie im (K-2ZZ.
Anmerk,) mittelst des (§. 2Z i.) erweisen.

§. 2Z9-

Wenn man die Glieder folgender Reihe

I, k 4- ck, 14-2!/, I 4- z ci, I 4- 4^

x 2 nach


Z24 Sechste Vorles. i. Abschnitt.

nach und nach addiret, so erhält man nachstehende arithme-
rssche Reihe des 2ten Ranges

H. I, 2-chck, Z4-Z-/, 4-i-6<. Zss-IO^, 64-lZci -- --

deren allgemeines Glied l -l- (i — -lck).», und die -
Summe § — (§. 237. u. 238) 'si.

Setzet man nun in der Reihe li. ck i, sodann

— 2, ck — z, ck 4 u. s. w., so erhält man fol¬
gende Reihen:

1) I, Z, 6, 10, 15, 2!

2) I, 4, 9, 16, 25, 36

Z) I, Z, 12, 22, 3Z, ZI

4) 1,6, 15, 28, 45, 66 - -- u.s.w.

welche überhaupt Reihen der polygonal - oder viereckigen
Zahlen genennet werden, weil sich die Einheiten ihrer Glie¬
der in regelmässige Vielecke ordnen lassen. Und zwar ins¬
besondere heissen die Glieder der Reihe 1) dreyeckige Zah¬
len , oder Triangularzahlen, weil sich deren Einheit«
folgendermassen in Dreyecke ordnen lassen

0

O OO

O OO OOO

O OO OOO OOOO

I, 3, 6, IO, u. s. w.

Die Glieder der Reihe 2) heissen aus der nämlichen
Ursache viereckige - oder LluaSratzahlen (auch Tetrago-
nalzahlen), weil sich ihre Einheiten in regelmässige Vier¬
ecke gleichförmig vertheilen lassen.

Und so heissen weiter die Glieder der Reihe 3) fünf¬
eckige, oder pentagonalzahlen u. s. w.

Summirt man nun wieder die Glieder dieser Polygo-
nalzahlcn nach der Ordnung, so hat man folgende Reihen-'

a)

Von d. arithmetisch, ». geometrisch. Reihen. Z2Z

i, 4, io, 2o, Z5, 56 - - -

i, 14, ZO, 55, Yl

e) i, 6, i8, 40, 7.5, 126

ck) 1, 7, 22, Zo, 9Z, l6l

deren Glieder wieder überhaupt pyramidalzahlen genen-
net werden; weil man sich einbilden kann, daß gleichsam
Pyramiden, oder Spitzsäulen cmsiehen, wenn man die ob--
bemeidettn Polygonalzahlen nach der Ordnung, wie sie sum-
mirt werden, so übereinander leget, daß die kleinern immer ans
die nä-dstgrößern der nämlichen Gattung zu liegen kommen.
Eben deswegen heißen auch die Glieder der Reihe a) die
drryeckigen piwamidalzahlen, der Reihe lü) die vl'er-
ecki^l-n, der Reihe a) die fünfclkigen pyrarnidalzahlen
u, s. w.

240.

Aus den Kugeln von gleicher Größe lassen sich sowohl
drei) -- als auch viereckige Pyramiden auf obige Art wirklich
siechten , wie man sie in den Zeughäusern überall antrift.
- 'e Anzahl der Kugeln — ?, welche in der ecken Lage von oben
abwätts gezählt, sowohl bey der einen als der andern Py-
ramyde liegen , läßt sich demnach aus dem ecken Gliebe
k - - si - - ck),/, und so auch die Anzahl der Kugeln
ganzen Pyramide von » Lagen durch die Summenformel

-p. 0/ — bestimmen, aSwo bey der

2 " "

bleyeckigen Pyramide ck — i, und bey der vr-reck-g-n

2 ist. Es ist also bey der dreieckigen Pyramide die
Anzahl der Kugeln in der ecken Lage
. //--her O

-^./2 — .   - m " '/

2 2

lind die Summe der ganzen Pyramide eon ck Lagen, tiam--
die Anzahl aller Kugem

X Z

Z26 Sechste Vorles. l. Abschnitt

zr. (/r-l-1). (/r-l-2)

—-.

2.Z

Z. B. in einer dreyeckigen Pyramide von 22

. 22.21

ragen siegen unten auf der Erde--- 212,

2

20. 21.22

und in der ganzen Pyramide --— IO , 7.22

2-3

IZ4O Kugeln.

Vey der viereckigen Pyramide liegen in der etten kaze
r — /?, und in der ganzen Pyramide von /r Lagen
er. 04- l). 1)

.-—.

2.Z

Z. in einer viereckigen Pyramide von
20 Schichten liegen unten auf der Er¬
de 422, und in der ganzen Pyramide

rr

22.21.41

-'-. — ,0.7.41 - 2872 Kugeln.

2*3 .

Da bey dergleichen Pyramiden die Anzahl der Kugeln,
welche auf einer Seite der Grundfläche in einer Zeile liegen,
immer der Anzahl der Lagen gleich ist z fo ist es auch leicht du
Anzahl der Kugeln zu bestimmen, welche in einer unvollständig^
Pyramide liegen. Denn man darf nur die Pyramide so ö!
rechnen, als wenn sie ganz wäre, sodann auch den abgängig^
Theil bestimmen, und solchen von der ganzen Pyramiden'
ziehen, fo giebt der Rest die Anzahl der Kugeln der abgestutztcn

Pyramide.

Es sey z. B. bey einer viereckigen
abgestutzten Pyramide die unterste Reihe 22,
und die obere Reihe 8 Kugeln, so ist die
Anzahl dzr Kugeln, wenn die Pyramide ganz

„ 22.21.41

wäre -— -- 2872; da aber

oben

Von d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. 327

Mi eine Pyramide fehlet, bey welcher zur untersten Seite 7,

7.8.15

lind folglich in allen-— 140 Kugeln gehören,

2 - Z

so bleibt der Inhalt -er abgestutzten Pyramide 2870 — 140
r- 2730 Kugeln.

§. 241.

Wenn viele Kugeln zu schlichten sind / so werden sie
gemeiniglich in lange Haufen, deren Grundflächen Rechtecle
sind, übereinander geschlichtet, so daß oben eine einzige
Zeile von Kugeln zu liegen kommt, welche der Rücken -es
Kaufens genennt wird.

Befinden sich nun in dem Rücken m Kugeln, so lie¬
gen in der folgenden untern Lage zwey Zeilen, deren jede
(mch-i) Kugeln enthält, und folglich sind in der ganzen
zweyten Lage (2^4-2) Kugeln. In der dritten Lage sind
drey Zeilen , jede von (mH 2), folglich in allen (zm-i-6)
Kugeln z in der vierten sind vier Zeilen, von (Hr 4- Z), al¬
so in allen (4^4- 12) Kugeln u. s. w.; folglich sind in
deckten Lagern Zeilen, jede von i) Kugelnz

und daher sind in dieser ganzen Lage n (m 4- " — i) Ku-
Zrln enthalten.

Es sind demnach auch hier die aufeinander folgenden
Lagen der Kugel» von oben nach unten gezählt, Glieder ei¬
ner arithmetischen Reihe des zweyten Ranges, nämlich:

!te 2te Ate 4te zttcLage

en, (2^4-2), (zm-j-6), (4^4-12), n.->4-n-l).
folglich ist vermög (§. 238.) die Summe aller Kugeln,
Welche in /r Schicht»» enthalten sind, __

»  (er  4-  l).  (M  4-  Zm  —  2) "V---

mH" — l

r« ««

328 Sechste Wortes. I. Abschnitt.

Es sey z. B. der Rücken des Haufens — I0v, und
dis Eckseite, welche die Anzahl der Lagen anzeiget — 10,
so enthalt die unterste Lage 1290, und der ganze Haufen
Z8ZO Kugeln.,

Benennet man die Anzahl der Kugeln mit /1, welche in
der untersten Zeile liegen, so ist -v nr -H rr — l , und da
her —e /7 -s- I — z folglich ist

" I).(g-n 4- l — ,r)

—-e-.

2.Z

Und weil auch hier in der schmalen Seite der Grund¬
fläche eben so viele Kugeln, als in der Eckseite liegen, so
kann ein unvollständiger solcher Haufen eben so, wie die
unvollständige Pyramide im (§. 242.) berechnet werden.

Z. 242.

Man pflegt auch einen
langen Haufen zu schlich¬
ten, der an Heyden Enden
an Pyramiden angelegt ist.

Auch hier sind die Lagen der Kugeln von oben nach
unten gezählet, Glieder einer arithmetischen Reihe des 2ten
Ranges. Denn es sey der Rücken — /» Kugeln, so lie¬
gen in der 2tcn Lage zwey Zeilen zu (r/r — i); in der drit¬
ten drey Feilen zu (m — 2) ; in der vierten vier Zellen zu
(rrr —A); und daher in der /rte» Lage » Zeilen zu
Kugelnz weil hier die Zeile» immer um eine Kugel kürzer
werden. Die Reihe ist demnach

ite 2ke Zke 4tc ^teLage

m, (2m — 2), (Z,er — 6), (4m —12)..» (/rr -I- l —
deren Summe von rr Gliedern nach (Z. 238.) gefunden
wird,

n . (/rI). (Z"r — 2rr 4-2)

l  - — —— ———————


2 - 3

Don d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. Z29

Es sey z. B. der Rücken des Haufens m — Z2,
und die Eclseite — io, so liegen in der untersten Schich-
se 2 io, und im ganzen Haufen § 1520 Kugeln.

Wenn hier die Anzahl der Kugeln in der untersten Zeile
-/>gesehetwird, so ist-u — n-st i; und . i;

folglich ist

—-'-—»

2.3

Anmerkung. Wenn der

Haufen nur von einer Seite an

eine Pyramide angelehnt ist, so

sind die Lagen der Kugeln, von -—

»ben nach unten genommen,

Glieder einer arithmetischen Reihe des ersten Ranges. Denn
es sey der Rücken — /n, so sind in der zweyten Lage 2",
in der dritten Z/n, in der vierten 4^, und in der En
Lage m/r Kugeln, weil hier die Zeilen alle gleich lang sind;
und folglich jst dje Summe aller Kugeln

m .,e.(/e4-1)

e" —-—.

2

§. 24z,

Endlich lassen sich auch die Kugel» in einen Haufen
schlichten, dessen-Grundfläche aus einem Vierecke besteht,
aus welchem ein anderes kleineres Viereck gleichsam heraus-
Seschnitten ist; so daß die Schlichtung in der Mitte einen
Keren Raum habe, der an allen vier Seiten eingeschlossen ist.

Bey der Untersuchung eines sol¬
chen Haufens findet man, wenn oben
in? RückenKugeln sind, daß in der
jN'eyken Lage zwey Zeilen liegen, wo-
von die innere (en — 4), und die äusse-
l'< (n -st 4) Kugel» enthalt, und daß

X S

folg

ZZc> Sechste Vorles. I. Abschnitt.

folglich in der ganzen 2ten Lage 2"r Kugeln befindlich sind,
Ferner daß in der ztcn Lage drey Zeilen liegen, wovon die
mittlere , die innere n — 8, und die äussere -l- 8

Kugeln enthält, und daß folglich in der ganzen Zten Lage
Z Kugeln sich befinden; eben fo, daß in der 4ten Lage
4 >, in der Ztcn Z/n, und in der "teil Kugeln liegen;
folglich sind hier die Lagen der Kugeln Glieder einer arith¬
metischen Reihe des iten Ranges; es ist demnach die Anzahl
«rllcr Kugeln im ganzen Haufen

. "r

4- "///) rio-.

Sollte auf einer Seite eines solchen Haufens ein Ein¬
gang seyn, so ist ein solcher Haufen mit jenem in (Z. 241.)
angeführten freysiehcnden Haufen einerlei), und kann daher
nach (§. 241.) berechnet werden. Alle übrige Gattungen
von Kügeihaufen lassen sich in lauter hier schon beschriebe¬
ne Theile zerlegen, und können also nach den angeführte»
Formeln berechnet werden.

§. 244.

Aus den hier entwickelten Summenformeln der Kugel-
Haufen läßt sich eine allgemeine Regel gehen, nach welcher
alle Gattungen von Kugclschlichtnngen -berechnet werden kön¬
nen , nämlich:

Man addire zu dem Rüchen -cs Haufens beyöe
mit ihm gleichlaufende Grundzellen, und multiplizire
diese Summe mit einem SeitendreyeE; so ist öek
dritte Theil dieses Produkts die Anzahl aller Rugclu
des ganzen Haufens. Das Scitendreyeck ist allenthalben
on -j- i), weil es eine arithmetische Reihe des erste»
Ranges ist, wo das ite Glied — i, das letzte ro: ", und
die Anzahl der Glieder ebenfalls — n ist.

Von d, arithmetisch, u. geometrisch. Reihen, zz r

A. D. i) Bey der dreyeckigen Pyramide ist der Rü--
cken — l, die eine Grundzeile — er, und die andere gleich¬
laufende — r; folglich ist § — I(2 4-er). 4er(/r4- l).

2) Bey der viereckigen Pyramide ist der Rücken — i,
und jede der gleichlaufenden Grundzcilen — er; folglich
>r — e (l 4- er 4- er). ^/r(rr 4-1).

Z) Beym langen fteystehenden Haufen ist der Rücken
- m, jede der gleichlaufenden Grundzeilen — eer 4- rr — l ;
folglich — H(m -j- 2/er 4- 2er—2).!er(/r 4-1).

4) Bey dem beyderfeits angelehntcn Haufen ist der Rü¬
cken—m, und jede der gleichlaufenden Grundzeiten—eer—er4-i;-
folglich — g (m 4- 2/» — 2" 4-2). ^-er(rr 4-1)^

Und so auch bcy allen übrigen Arten von Haufen,
die unter verschiedenen Winkeln zusammengestossen sind. Nur
muß die Summe der beyden zum Rücken gleichlaufenden
Grundzeilen richtig bestimmet werden. So z. B. ist bey
dem im (§. 24z.) angeführten Haufen mit einem Eingänge,
wenn der Rücken er?, und eine Eckfcitc er Kugeln enthält,
die Summe der inncrn und äußern Grundzcile nicht — 2"? ,
wie bcy einem nur von einer Seite angelehnten Haufen,
sondern diese Summe ist — 2??? 4- 2" — 2, eben jo groß
als bey einem fteystehenden langen Haufen im (§. 241.).
Ist hingegen ein solcher Haufen ganz geschlossen, so ist die
Summe der äußern und innern Grundzeile — 2eer, wenn
bcr Rücken err Kugeln enthält; folglich ist die Summe aller
Kugeln

§ — ' (er? 4- 2m) . )er(rr 4-1)»

245.

Sollte aber!, eine gegebene Anzahl von Kugeln § in
»ine dreyeckigte Pyramide geschlichtet werde», ft ist 6. 240.)
er . (er -f- l) . (er 4- 2) er^ -4- Z"'  -4- 2er

-r —-— >

2 . Z o

und folglich 6/ — er' 4- Ze? 4- 2er

" eine

ZA? Sechste Vorles. I. Abschnitt.

eine verwickelte kubische Gleichung (§. 2IZ.), wovon dis
Auflösung zwar erst in der künftigen Vorlegung folgen wird;
doch aber laßt sich hier die Grundzeile /e auf folgende Act
bestimmen:

Da //b 4. — 6e, fo ist wenn man

links Z-? 4- 2^r abzieht (§. 22. Grundsatz 2.), und
?/-4- z/r-s-1 >6^, wenn Man eben da // 4-1 hinzu¬
setzet (§. 16. Gr. 2); nämlich , und (/c 4- 6-r;

also auch«<b^6>r, und 137.Gr.2-),

s ;

oder n < und >2 > ^6a-— i (§, 22. Gr« Z-),
s

Da nun der Unterschied zwischen und n keine ganze
Einheit beträgt, re aber doch hier eine ganze Zahl seyn muß,
so hat man folgende Regel: Man multiplizire die gege¬
bene Anzahl der Ruyeln mit 6 , und ziehe die Rubikwur-
zel nur in ganzen Zahlen daraus, substituire auch diese Ku-

brkwurzel stakt n in der Formel-—--kymmt

2-3

nun die gegebene Anzahl der Kugeln zum Vorschein, fo ist diese
eine dreyeckigc Pyramidalzahl, und läßt sich also genau in
eine dreyeüige Pyramide schlichten, wovon die Erundzcik
der gefundenen Kubikwurzel gleich ist. Ist aber die, nach
".(/r-s-i) .(/c-i-2)

der Formel---—- berechnete Summe kleiner,

2.3

als die gegebene Anzahl der Kugeln ".e; so ist es ein Zeichen,
daß die gegebene Zahl der Kugeln sich nicht genau in eine
drei)eckige Pyramide schlichten lasse. Ist endlich die gefunde¬
ne Summe größer, als die gegebene Zahl der Kugeln; sv
muß zur Grundzeile um eine Kugel weniger, als> die Ku¬
bikwurzel anzeigt, genommen werden, um einer, vollständige
Pyramide zu erhalten, wo noch ein Rest übrig bleihen wird.
§. B. es sollen i140 Kugeln in eine dreyeckige Pyramide
geschlichtet werden, so ist p^(6,1140) — l 8 ganze» EÄ"

2.Z

HI,

Bond, arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. zzz

l8.ly. 20

heiten, und -" 1142; folglich ist H42 eine

2.Z

Pyramidalzahl. Wären aber 777Z Kugeln in eine solche
3

Pyramide zu schlichten, so ist .7775) ZZ ganzen

Einheiten; es ist aber — 777s; folglich blei-

2.Z

bcn Kugeln übrig. Waren endlich 4022 Kugeln in eine
solche Pyramide zu schlichten, so ist .4222) — 28
28.2y.z2

MM Einheiten; es ist aber-— 4222; folg-

2. A

lich können nur 27 zur Grundzeile genommen werden, und
es bleiben noch z,z6 Kugeln übrig.

N. Auf eben diese Art läßt sich eine Regel finden,
um eine gegebene Anzahl der Kugeln in eine viereckige Pyramk
rr(/r 4- l). (2"4-1)
de zu schlichten. Denn da (Z. 242.)^ —  --7 /

2 > 3

und daher — ??? 4- -Z-? 4- so ist < Z^, und
^4-Z'?4- Z,r 4- r — (zr4- l)^> 3-e; oder er <

z

und (//4.1) > Da NU» hier ebenfalls er um keine

ganze Einheit von verschieden ist ; so murtlptlzrre
enan dir gegebene Anzahl der Lugeln mit Z, unck ziehe
die Rubikwurzel daraus, so wird wieder die Rubik:
Wurzel selbst, oder die um eine Einheit von ihr ver¬
schiedene Zahl die Grundzeile seyn, welches, wie^vorher
diy den dreyeckigen Pyramiden, allhicr mittelst der Hounei
^4-i). (»4-//4-I) ..

—-zu untersuchen ist»

ZZ4 Sechste Borles. t» Abschnitt.

Itl. Wäre endlich eine gegebene Anzahl der Kugeln in ch
nen langen freystehenden Haufen zu schlichten, so ist vermbz
(§» 241.)

2zr^ 4- Z/zrzz^ 4- Henze — 2rr
-»

6

Da nun in dieser Gleichung nr und n unbekannt sind,
so ist hier eine unbestimmte Aufgabe aufzulösen; und es muß
für eine Größe, zrr oder er, ein willkührlicher Werth ange¬
nommen werden. Nun ist es am besten er für bekannt m-
zimehmen; theils weil zz sich nach der Höhe des Haufens
richten muß, und theils auch, damit man der kubischen
6§4-2,r—2/?
Gleichung ausweiche ; es ist fodann zzr -- —-

> Zz?4-Zzr

/<"4- i)

Läßt sich nun für zz eine solche Zahl ausfindig machen,
damit auch m eine ganze Zahl wird, so läßt sich die ge¬
gebene Anzahl der Kugeln in einen solchen Haufen ohne Resi
schlichten; wo aber nicht, so kann für zz jede andere schickli¬
che Zahl angenommen, und für zzr der Werth nur in gan¬
zen Einheiten daraus bestimmet werden, wo sodann noch
ein Rest übrig bleiben wird, der nicht in einen solche
Haufen geschlichtet werden kann. Z. B. es sollen üZ5
Kugeln in einen solchen freystehenden Haufen geschlichtet
werden , so ist für zz — io, zzr — iZ; hingegen lassen
sich 162z Kugeln in keinen solchen Haufen genau schlichte».

Wenn viele solche Haufen geschlichtet, oder berechnet
werden sollten, so könnte man sich auf folgende Art eine
Tafel verfertigen, um nicht jedesmal nach den angeführte»
Formeln rechnen zu dürfen.

Die

Gon d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. 335

Der Rücken des Haufens n

! 7 ! 8 ! 9 u.s.w)

Die Lange der Grundfläche — /er -H zr — i

Tie !
Nreitt

Diefe Tafel ist auch für die viereckigen Pyramiden zu ge¬
brauchen, weil diese als lange Haufen, deren Rücken - i ist,
""gesehen werden können.

Cs ist sehr leicht diese Tafel fortzusetzen, wenn einmal die
rrste Vertikalkolonne, die nur bis " — Zo., oder höchstens — 40
irrtzusttzen ist, nach der Formel — - --—- berechnet

2. z

weil die horizontalen Kolonnen arithmetische Reihen des lten
w zz.(zz-i-i)

""wges sind, deren beständige Differenzen — sud,

'ra ?r -je Stelle -er horizontalen Kolonne anzeiget.

Auf

zz6 Sechste Vorles. l. Abschnitt.

Auf die nämliche Art kann auch eine Tafel für die auf bil¬
den Seiten angelehnken Haufen verfertigt werden, welche zugleich
auch für die dreyeckigen Pyramiden gelten wird, weil sie ebai-
fals als solche Haufe» anzufehcn sind, bey denen aber die zm
Rücken gleichlaufende Grundzcile — i ist

Auch die Fortsetzung dieser Tafel ist leicht einzusehen; demi dic
erste vertikale Kolonne wird nach der Formel a ---'

2.3 ,

berechnet, und die horizontalen Kolonnen sind Glieder einer arilb-
metischen Reihe des iten Ranges, deren Differenzen —-"

2
sind.

§. 246.

Eine Reihe, deren erste Differenzen Glieder einer arithmt^
schen Reihe des zweyten Ranges, und wo daher die dritten Dl-'
fermzen erst beständig sind, wird eine arithmetische Reihe öes
< ' -ritt

Von ö. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. 337

-ritten Ranges genennct. So z. B. ist die Reihe der drit--
ten Potenzen der natürlichen Zahlen eine arithmetische Reihe
des 3ten Ranges, nämlich:

Differenzen.

Hieraus erhellet, daß zu einer solchen Reihe 4 Glieder
gegeben feyn müssen, um die Reihe fortsetzen, und das zuge¬
hörige sowohl allgemeine, als auch summatorischc Glied bestim¬
men zu können.

Macht man hier eine dem (§. 237.) ähnliche Be¬
trachtung, so sieht man, daß jedes Glied einer solchen Reihe
aus einer angenommenen Größe mehr der Summe von ei¬
nigen Gliedern einer arithmetischen Reihe des 2ten Ranges
bestehe; diese Summe aber kann nun nach (Z. 238.) durch

4- (>?? 4- vorgestellet werden; folglich kann auch
bas »te, oder allgemeine Glied jeder arithmetischen Reihe
des 3ten Ranges auf folgende Art vorgestellet werben:

I. r 4. 4- 4- L.

Multipliziret man nun, um die Summe § zu erhalten, die-
sts allgemeine Glied mit wie im 238.)/ und setzet
stdann S, - (7, und ss

'sl das fummatorische Glied einer jeden arithmetischen Reihe
bls 3ten Ranges

U. 4- 4- O? 4- ,

wieder hier L, /), so wie auch in I. die
Effizienten^, H, /r, L aus 4 Gliedern einer Vorgeleg¬
en Reihe des erten Ranges bestimmet werden, wenn mau

r, v — 2, » — Z, sodann » — 4 setzet, und für
, und zugehörigen Werthe substituiret. So z. B. fin-

Vorles. I. B, P

ZZ8 Sechste Vorles. l. Abschnitt.

det man das »te Glied obiger Reihe der Zten Potenzen der nakör-"
lichen Zahlen r und die Summe

/^4 2»^ 4»^ /r^.(»4t)^

-r ----- s^<»4l)7

4 4

§. 247.

Eben so giebt es Reihen, deren 4te, Zte, 6te . . . Diffe¬
renzen erst beständig sind, und werden deshalben arithmetische
Reihen des vierten, fünften, sechsten Ranges genennet. Cd
z.B. ist die Reihe der 4ten Potenzen der natürlichen Zahlen eine
arithmetische Reihe des vierten Ranges; die Zten Potenzen der
natürlichen Zahlen sind eine arithmetische Reihe des Zten Ran¬
ges, und überhaupt die vrten Potenzen der natürlichen Zahlen sind
eine arithmetische Reihe des mten Ranges. Da aber solcheReihcd
in der ausübenden Mathematik äusserst selten Vorkommen, so wer'
den hier keine fernere Veyfpiele angeführet. Nur folget hier das
Gesetz der Formeln, sowohl für das »te Glied, als attch h"
die Summe von » Gliedern jeder dieser Reihen, damit ein jeder,
welcher das bereits Vorgetragene gut verstanden hat, in vorkoin-'
inenden Fällen Gebrauch davon machen kann.

M»

Von d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. 339

Man sieht aus diesem, daß jede Reihe, deren allge¬
meines und summatorisches Glied durch eine ganze ratio¬
nale Funktion von vorgestellet werden kann (von einer
solchen Gestalt nämlich als die eben angeführten sind), zur Fa¬
milie der arithmetischen Reihen gehöre; und daß cs aus dem
höchsten Exponenten des allgemeinen, oder auch des summa-
torischen Gliedes zu erkennen sey, von welchem Range die
dazu gehörige Reihe sey, und wie viel Glieder der Reihe
gegeben seyn müssen, um die Koeffizienten entweder des all¬
gemeinen, oder auch des summatorischen Gliedes bestimmen
zu können.

Von der Verbindung und Versetzung der Großen«

(ve Eombiuulions L kermutatioue.)

§. 248.

Es ist oft, sowohl bei) mathematischen Untersuchungen, als
auch im gemeinen Leben nothwendig, alle mögliche Fälle bey
einer vorkommenden Sache aufzusuchen, wie auch in gewissen
Fallen das Verhältniß der Wahrscheinlichkeit zur Unwahrschein¬
lichkeit eines Erfolges zu bestimmen. Z. B. da bey dec
arithmetischen Reihe des ersten Ranges Z Größen vorkom¬
men, wovon allzeit drey bekannt seyn müssen, um die 4te
daraus zu bestimmen (Z. 234.), so könnte gefragt werden:
Wie oft lassen sich Z Größen so verbinden, damit je-
öeömal 4 andere beysammen seyn f oder wie viele vci-
schiedene Formeln können überhaupt bey den arithmetischen
Reihen des ersten Ranges aufgestcllct werden?

Eben so, wenn von 90 Losen, oder Zahlen, die
m einem Topfe untereinander gemischet sich befinden,
nur 5 als Treffer heraus gezogen werden ; unöIemand
wollte behaupten, daß bey 10 von ihm unter den 92
gewählten Losen 3 Treffer seyn würden; wie verhalt
sich da die Wahrscheinlichkeit zur Unwahrscheinlichkeit,
daß unter den gewählten io LvseN 3 Treffer nch be
ßnden sollten?

Z40 Sechste Borles. l. Abschnitt.

Zur Beantwortung solcher Fragen ist es nothwendig,
allgemeine Untersuchungen anzustellen, wie oft sich » Größen
so verbinden lassen, damit jedesmal m verschiedene Größen
beysammcn stehen. Dieses kann auf folgende Art geschehen.

§. 249.

Wenn zwey einzelne Größen s und L zu jwey verbun¬
den werden sollen, so ist nur eine Verbindung möglich;
bey einer einzelnen Größe hingegen ist gar keine Verbindung
zu zweyen möglich. Kömmt aber zu zwey Größen a und ö
noch die dritte c hinzu, so läßt sie sich noch mit s und mit
ö verbinden; also sind r -h 2 z Verbindungen zu zweyen
bey drey Größen möglich, nämlich aS, sc, Lc. Kömmt
noch die vierte Größe ck hinzu, so erhalt man noch drey
Verbindungen «r/, Le/, eck; folglich sind in allen Z-i- Z -6
Verbindungen möglich. Kömmt noch die Zte Größe e hin¬
zu , so läßt sie sich abermal mit den vier vorhergehenden Grö¬
ßen verbinden, und man erhält folglich in allen 6 -l- 4
— io Verbindungen. Eben so findet man, daß sich 6
Größen iZmal zu zweyen verbinden lassen, u. s. w. Nun
sind die Zahlen der Verbindungen zu zweyen, bey l, 2, Z,
4, Z, 6 ... n Größen, Glieder einer arithmetische»
Reihe des 2ten Ranges, nämlich:

Bey Größen i, 2, z, 4, Z, 6 . . . «

sind Verbind, zu zwey 0, i, z, 6, io, 15 . . .
deren allgemeines Glied —§»(»— i) ist (§, 237.)

I. Folglich ist Sie Anzahl -er Verbindungen ;>«
zweien (oder Ser sogenannten Amben) bey « Große»
«  (-7  —' i)

2,1

Sollen die Größen zu breyen verbunden werden, st
ist bey einer Größe «, und bey zwey Größen s,
keine; bey drey Gröstey aber <r, e erst eine einzige

Wer-

Bon d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen,

Verbindung zu dreyen, nämlich möglich. Kömmt noch
die vierte Größe oi hinzu, so giebt solche mit jedem Ambo
der drei) vorhergehenden Größen mit nö, ac, öc verbunden
noch drei) andere Verbindungen zu dreyen, nämlich nebst
«öc, noch aecZ, öcet. Die Anzahl der Verbindungen
z» dreyen ist demnach bey 4 Größen — i -I- Z — 4.
Kömmt noch die Zte Größe e hinzu, so giebt solche mit den
6 Amben der 4 vorhergehenden Größen verbunden, noch 6
andere Verbindungen zu dreyen?, nämlich nebst uöc, «ör/,
arct, öc'rZ entstehen noch ace, «cte, ceZ^.

Die Anzahl der Verbindungen zu dreyen bey Z Größen ist
demnach — 4 4- 6 — io. Kömmt noch die 6te Größe
hinzu, so giebt solche mit den io Amben der Z vorherge¬
henden Größen verbunden, noch ic> andere Verbindungen
i» dreyen, welche mit den io Verbindungen zu dreyen der
5 vorhergehenden Größen zusammen 20 solche Verbindun¬
gen ausmachen. Die Anzahl der Verbindungen zu dreyen
bey 6 Großen ist demnach — 20. Eben so findet man die
Aazahl der Verbindungen zu dreyen bey 7 Größen - ZZ

fi w. Nun sind die Zahlen der Verbindungen zu dreyen
bch l, 2, Z, 4, Z, 6, 7 . . . " Größen, nämlich
b-e Zahlen 0, O, t, 4, io, 22, ZZ . . . Glieder einer
arithmetischen Reihe des Zten Ranges, deren allgemeines

Glied — ——-- ist vermög (!. 246.)
L-2-!

H Folglich ist Hie Anzahl -er Verbindungen zu
bvepen (oder -er sogenannten Ternen) bex » Grossen
r: !  ).(^  —  2)

3,2.1

Bey der Verbindung zu vieren kaffen sich ein«, zwey,
brey Größen Nullmal, vier Größen aber einmal verbinden
aSc-t/. Kömmt noch die Zte Größe e hinzu, so läßt fie sich
"ach mit jedem Terno der vorigen 4 Größen verbinden, mit
^rZ, ScrZ. Es sind also bey 5 Größen in al-
m r lem

Z42 Sechste Vorles. l. Abschnitt.

kein l -l- 4 — Z Verbindungen zu vieren. Kömmt noch dir
6te Größe hinzu, fo läßt sie sich noch mit jedem Temo
der vorigen Z Größen, nämlich noch lOinal verbinden; und
folglich sind hier Z ch io — lZ Verbindungen möglich
u. s. w. Diese Verbindungen zu vieren bey l, 2 , z , 4,
A, 6, 7 ... 77 Größen sind Glieder einer arithmetischen
Reihe des vierten Ranges, nämlich o, o, 0, l, Z,
77(77—1 )(7r—2) ("-t)
i . . . deren allgemeines Glied — ---——-

4.Z.2.I

ist vermög (§. 247.)

111. Folglich ist die Anzahl der Verbindungen ZN
vieren (oder der sogenannten Lluaternen) bey 77 Grö-
"(7-1) -  2)  O  -  Z)

Eben so kann man zeigen, daß sich 77 Größen zu sünfm
(»-2) («-Z) (77-4)

—-.-mal,

5.4.z.2.1

. -i) ("-2) (»-z) (77-4)(77-5)

zu sechsen ——-— ---mal,

6.Z.4.Z.2.I

u. s. w. verbinden lassen.

IV. Es ist demnach -Le Anzahl -er verschiedenen
Verbindungen bey 77 Grössen, wenn in jeder Verbin¬
dung 777 Grössen beisammen stehen

77. (/z-l) (77 —2) (77 —z) .... s?7—(777—;)l

777 . (/77 —1)(/77 — 2)(777 —Z) I

F. B. die fünf Größen in einer arithmetischen Reihe (das
erste Glied, die Differenz, die Anzahl der Glieder, das
letzte Glied , und die Summe aller Glieder)

A.4.2.2

——Amal zu vieren verbunden werden; das ss,
4.Z.L.!

es lassen sich aus diesen A Größen Z Gleichungen ableM-
wo in jeder Gleichung 4 Größen miteinander verbunden
sind; und da aus jeder dieser Z Gleichungen jede der 4
Glö-

Von d. arithmetisch, n. geometrisch. Reihen. 34z

Großen gesucht werden kann, so sind überhaupt A . 4-: 22
verschiedene Formeln möglich, wie es aus der im (§. 234.)
angeführten Tafel zu ersehen ist.

92.89.88

Eben so, da aus 92 Losen —- — 117482

Z.2.1

Verbindungen zu dreycn, nämlich 117482 Ternen gemacht
werden können; und da aus den 5 herausgezogenen Trcf-

^.4.2

sm, nur —- — 12 Ternen als Treffer entstehen, so

3.2.1

kommen auf einen Treffer 11748 Fehler. Da ferner auS

10 gewählten Losen -— 122 Ternen entstehen,

3-2.1

io verhält sich die Wahrscheinlichkeit unter den gewählten 12
Losen einen Terno zu treffen , zur Unwahrscheinlichkeit wie
122 zu 11748 , oder wie 12 zu 979. Und hiemit sind die
t'vey oben im (§. 248.) vorgeiegten Fragen beantwortet.

§. 2Z2.

rlufgabe. Es will jemand in die gewöhnliche Lotterie
Von 90 Numern so viel Zetteln zu A Numern spielen,
damit er alle herausgezogene 5 Numern auf einem Zettel
beyfammen habe. Wie viel muß, er in allem Zetteln setzen?
Wie viel Zetteln werden. darunter befindlich seyn, auf wel¬
chen 4 Numern getroffen sind? Wie viel Zetteln werden
drey, und wie viele zwey Treffer enthalten? Auf wie viel
Zetteln wird nur ein einzelner Treffer' sich befinden? Und end¬
lich wie viel Zetteln werden darunter seyn, worauf sich gar
kein Treffer befindet?

Auflösung. Da er alle Z herausgezogene Numern
beyfammen auf einem Zettel (einen Qmnterno) haben will;
so muß er alle Verbindungen der 90 Numern zu fünfen,
nqmlich 88 ^8'7-  8 6 ^^268 Zetteln se-

Z . 4 - 3 - 2 . i-

ZrSoiZl?

344 Sechste Vorles. I. Abschnitt.

tzen, unter welchen er ganz gewiß den Quinterno haben wird.
Da nun auch bey den 5 herausgezogenen Numern Z Qua--
tcrnen möglich sind, wovon jeder mit allen 8Z gefehlten
Numern gespielt worden ist; so hat er 5 . 85 425

Quaternen. Ueber dieses sind bey den herausgezogenen fünf

5'4>3

Numern - — 10 Lernen möglich, welche mit jeder

3-2.1

Verbindung zu zweyen der 85 gefehlten Numern gespielt
85. 84

worden sind; also hat er 10 X-— — 35700 Lernen.

Eben so giebt es bey den 5 herausgezogenen Numern

5 . 4

-- — io Amben, die mit jeder Verbindung zu dreyen

Her 85 gefehlten Numern gespielt worden sind; folglich
85 . 84.83

hat er io x-— 987/20 Amben, Ferner

3'2.1 x

sind die 5 getroffenen Numern Mik jeder Verbindung zu
vieren der 85 gefehlten Numern gespielt worden; folglich
hat er 5 x '  ^4'83 ^.82 10122925 Estratten.

4-3 » 2 . 1

.... . . 85'84'83-82.81

Endlich hat er noch - - — —  -:

5.4.3.2. 1

Zetteln, worquf sich gar kein Treffer befindet.

§. 251,

Das privilegirte k. k.Lottofpiel, wo 5 Numern aus 9^
als Treffer herausgezogen werden, ist allhier so eingerichtet,
daß die eingesetzte Einlage für jeden einzelnen Treffer (Lstratw)
i4fach, für jeden einzelnen an seiner Stelle errathenen Treffer
(LstkAtto cletermiriLto) 6/fach, für jeden getroffenen Ambo
24ofach, und für jeden getroffenen Terno 48oofach zurückbezah¬
let wird. Der Quaterno, und Duinterno wird allhier nicht
besonders, sondern nur nach der darrnn enthaltenen Anzahl
der

Von d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. 345
der Lernen und Amben bezahlet. Werden bey dem Ambo-
spiele mehr als zwey, und bey dem Ternospiele mehr als
drey Numern auf ein einziges Zettel gesetzet, so wird die
ganze Einlage auf ein einzelnes Zettel mit n Numern bey
482
dem blossen Ambofpiele für jeden getroffenen Ambo-

"O—1)
fach, und bey dem blossen Ternospiele für jeden getroffenen
28800

Terno —-fach zurückbezahlet. Aus diesen



( / — 2)

Angaben, und aus der Voraussetzung, daß im Durchschnitte
genommen die Lottokammer mit den sammtlichen Spielern
gleiches Glück habe, läßt sich nun berechnen, welcher Theil
der sammtlichen Einlage aller Spieler für die Treffer hinaus¬
bezahlet werde, und welcher Theil in der Lottokammer rheils
jur Bestreitung der Kosten, theils als reiner Gewinn zurück--
verbleibe. Als

i) Bey dem einfachen Estrattospiele werden von der
sammtlichen daraufges-tzken Einlage aller Spieler -z für die
Treffer hinaus bezahlet, und -Z zurück behalten. Denn wenn
«an alle 90 Numern als Estratto spielet, und auf jede
Numer a Fl. setzet, so ist die Einlage 92« Fl.; unter
dm 90 Numern werden richtig fünfe getroffen, und die
Zurückbezahlung dafür beträgt Z . 14" - 70« Fl-, wo nun
72a 7

92a - ib«

2) Bey dem Spielt auf Lstratw llstsrminuw werden
von der sammtlichen Einlage , oder ohngcfähr Z für die
92

besser hinausbczahlet, und davon wird zurückbehalten;
welches man eben so wie vorhin finden kann.

Z) Bey dem Ambofpiele werden von der lammtli-
chku Einlage aller Spieler -—, oder sehr nahe — für die
267 5

Keffer hinaus bezahlet, und -davon verbleiben der Lotto-
5 kam-

346 Sechste Vorlcs. i. Abschnitt.

kammer. Denn die Anzahl aller möglichen Amben bey yy
Numern ist 422A als Einlage, wenn auf jeden Ambo ei¬
ne Einlage i gesetzet wird ; bey den Z herausgezogenm
Numern sind 12 Amben als Treffer, wo die Einlage 1
für jeden solchen Treffer mit 240 hinausbezahlet wird ; da¬
her ist io x 240 — 2400 als Htnausbezahlung, wo
2400 z

nun -- sehr nahe — ist, welches auch auf folgende Art

4025 5

begreiflich wird. Es werde bey dem blossen Ambospiele auf
ein einzelnes Zettel mit allen 90 Numern die Einlage 2
gesetzet, so werden bey den A herausgezogencn Numem
io Amben getroffen, und weil in einem solchen Falle fiir
480 16

zeden getroffenen Ambo die ganze Einlage - — "7-

90.89 267

fach zurückbezahlet wird, so beträgt die Hinausbezahlung
162 z

—<r, welches sehr nahe — « ist,

267 5

4) Bey dem Ternospiele endlich ist die Hinausbezah-
400 2   ,

lung gar nur — >, oder beynahe — der stimmlichen Einla-

979 5

3

ge aller Ternospielcr, so daß fast — der Einlage in der ro>-'
tokammer zurückverbleibet. Denn, wenn bey dem bloss«"
Ternospiele auf ein einzelnes Zettel mit allen 90 Numern
die Einlage a gesetzet wird, so werten bey den A heraus-
gczogetten Numern IQ Lernen getroffen; und weil in einem
solchen Falle für jeden getroffenen Terno die ganze Einlage
28802 42 ,, ,

-— -— — fach zurückbezahlet wird, so benag«
90.88.89 979

402 2

die Hinausbezahlung —. «, welches sehr nahe — u isi,
979 5

Z

daß fast - a in der Lottokammer zurückverbleibet.

Z Auch

Von d» arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. 347

Auch die Wahrscheinlichkeit einen Treffer bei) dem Lotto¬
spiele zu errathen läßt sich berechnen; es verhält sich nämlich
die Wahrscheinlichkeit zur Unwahrscheinlichkeit mit drei) Nu-
mcrn einen Terno zu errathen wie i zu 11748; mit zwei)
Numern einen Ambo zu errathen wie io zu402Z; einen
einzelnen Treffer an seiner Stelle zu errathen, wie i zu 92;
und endlich einen einzelnen Treffer ohne auf seine Ordnung zu
achten, wie l zu iZ. Das ist, wenn ein nämliches Los
unausgesetzt fortgespielet wird, so wird solches im Durch¬
schnitte genommen immer in iZ Ziehungen einmal getroffen.
Auch ist nun leicht die Wahrscheinlichkeit eines Treffers zu be¬
rechnen, wenn bey dem Ambospiele mehr als 2, und bcy
dem Ternospiele mehr als Z Numern auf einem einzelnen
Zettel gespielet werden. Eben so leicht ist es auch nach den
vbangefuhrten Angaben die Einlage — u? zu berechnen, wen»
auf einem einzelnen Zettel » Numern dergestalt gespielet
werden, daß der Spieler für jeden getroffenen Ambo -? Fl.,
und für jeden getroffenen Terno Fl. erhalte. Z. B. für
ein Zettel mit io Numern, den Ambo mit 10, und Terno
mit Ivo Dukaten, den Dukaten zu 4 Fl. gerechnet, beträgt
die Einlage 17 Fl. Zo Kr.

Aus den angeführten Betrachtungen ist es zu ersehen,
daß die Lotterie, besonders bey dem Ternospiele, für die
Lottokammer ungemein vortheilhaft, aber auch eben darum
für die Spieler nachtheiltg eingerichtet sey; hauptsächlich für
solche, welche diese Einrichtung nicht begreifen können.

252.

Zuweilen ist es auch nothwcndig die Anzahl der Ver¬
setzungen (llilumorum permutationrim) von verschiedenen
Größen zu bestimmen. Z. B. es könnte gefragt werden,
wie oft können 6 Personen an einem Tische ihre Platze
verwechseln, bis sie gezwungen sind ihre vorige Stel¬
lung wieder anzunehmen? Dieses kann auf folgende
untersucht werden. 

Em;

A48 Sechste Vorles. l. Abschnitt.

Eine einzelne Grüße « laßt sich nur einmal ansetzen j
kömmt aber die zweyte hinzu, so sind zwey Versehungeg
a^, möglich. Kömmt nun noch eine dritte Größe -c hin¬
zu , so laßt sie sich bey jeder der zwey vorigen Versetzungen
dreymal anbringen, nämlich vorne, in der Mitte, und hin¬
ten; als cat-, ac/5, und t^s, Lca, Lsc; also sind
-ey drey Größen 2 . z — 6 Versetzungen möglich. Kömmt
eine vierte Größe cl noch hinzu, so läßt sie sich bey jeder
der sechs vorigen Versetzungen viermal anbringen, nämlich
vorne, an den zwey Mittlern Stellen, und hinten; z. B.
ekeaS, , eaLal; folglich sind hier 6.4-224

-- i. 2. Z. 4 Versetzungen möglich. Kömmt noch die fünf¬
te Größe e hinzu, so läßt sie sich wieder mit jeder der 24
vorigen Versetzungen fünfmal, wie , aecaL,

versetzen; und es sind also hier 24.A--12Y
-u r. 2 . z. 4 . Z Versetzungen möglich u, s, w. Folglich
lassen sich »Größen 1, 2, Z, 4 . . . »mal versetzen,
Im obigen Beyspiele können demnach die 6 Personen bey einer
Lasel 1.2.Z.4.Z.6 — 72omal ihre Platze verwechseln,
bis sie ihre vorige Stellung wieder einnehmen müssen.

Anmerkung. Die Untersuchung, wie pst sich » Grö¬
ßen versetzen lassen, wenn dabey /» gleiche Größen befind-
tich sind, wird dem eigenen Fleiße der Anfänger überlassen.
Z. B. wie viel verschiedene Zahlen können durch die Versetzung
mit den Ziffern 11234, wie viele mit 122ZZZ bezeichnet
werden? Auch können die fleißigem Anfänger versu¬
chen , die angeführten Gründe von den Verbindungen und
Versetzungen der Größen, ans die Berechnung der Wahr¬
scheinlichkeit in einigen besondern Fällen anzuwenden. 3-
B. beym Würfelspiele mit drey Würfeln könnte gefragt wer¬
den : wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit zur Unwahrschein¬
lichkeit? 1) Bey einem bestimmten gleichen Wurfe, etwa»
nm alle drey Sechser zu werfen; 2) bey einem unbestimm¬
ten gleichen Wurfe; z) bey einem bestimmten ungleichen
Wurfe, etwa» um eins, zwey, drey zu werfen; 4) bey ei¬
nem

1.2. Z

Kon d. arithmetisch, ».geometrisch.Reihen. 349
nem unbestimmten ungleichen Wurfe; A) bey einem ganz be¬
stimmten Wurfe von zwey gleichen, und einem davon ver¬
schiedenen Felde; 6) bey einem Wurfe, wo zwey gleiche
Felder bestimmt, das dritte aber unbestimmt gelassen wird;
7) bey einem Wurfe, wo zwey gleiche Felder unbestimmt
verbleiben, das dritte Feld aber bestimmt wird; 8) bey ei¬
nem Wurfe, wo die zwey gleichen Felder, nebst dem dritten
unbestimmt verbleiben; u. s. w.

Man findet nach vorgenommener Untersuchung, daß
in N. l. das Derhältniß der Wahrscheinlichkeit zur Unwahr¬
scheinlichkeit fey — l : 2l6, nämlich daß im Durchschnitte
genommen immer unter 216 Würfen einmal alle drey Sech¬
ser fallen, weil unter allen möglichen verschiedenen Würfen,
welche mit drey Würfeln gemacht werden tonnen, 6 Würfe
von drey gleichen Feldern, 90 Würfe von zwey gleichen
und einem davon verschiedenen Felde, und 120 Würfe von
gänzlich ungleichen Feldern, zusammen 216 verschiedene
Würfe sich befinden. Bey N. Z. ist das Derhältniß wie i
Zu Z6 u. s. w.

Wenn nun zwey Personen und S mit drey Würfeln
dergestalt um die Wette spielen, daß bey jedem Wurfe nach
N. 4. der Spieler hingegen bey jedem Wurfe nach N.
8- der Spieler ^8 die sämmtliche Einlage gewinne; so muß
vermög Billigkeit, die Einlage des zur Einlage des L
verhalten wie 4 zu Z. Wenn hingegen bey jedem
Wurfe nach N. 2., und ^8 bey jedem Wurfe nach N. z,
gewinnen soll, so müssen deren Einlagen gleich groß sepn.

In einigen Schrifien, j. B. in Hrn. Mönichs Lehr¬
buch de,. Math. I. B. l. Anh. §. lZ. wird das Derhältniß
sär N. i. ganz anders angegeben, nämlich l 8l6, weil
dwy Würfel iF Felder haben, die sich —'—
Wal zu dreyen verbinden lassen; allein weil ein Wülfel nicht
^ehr als ein einziges Feld auf einmal zeigen kann, so muycn

ZZO Sechste Verles, i. Abschnitt.

von diesen 8l6 Verbindungen folgende ausgeschlossen werd»,
i) ben jedem Würfel jede Verbindung der sechs Felder zu
6-5-4

drehen — —-- . Z — 60; 2) ben jedem Würfel jede

i . 2 . z

Verbindung der sechs Felder zu zweycn init den 12 Felde»
6.<

der beyden andern Würfel verbunden — —- . 12 . z — 540;

1.2

mithin verbleibt die Anzahl der möglichen Verbindungen mir
— stl6 — 60 -- 540 — 216, wie vorhin.

Von den geometrischen Reihen»

, 2ZZ.

Line Reihe, in welcher man beständig gleiche Quo¬
tienten erhält, wenn man jedes nachfolgende Glied durch das
vorhergehende dividiret, wird eine geometrische Reihe gemn-
net. So z. B. sind i, 2, 4, 8, r6, Z2 . . .
gleichen 8i, 27, 9, Z, i, 4 geometrische Reihen; weil
in der ersten der beständige Quotient 2, und in der ander»
erhalten wird, wenn man jedes nachfolgende Glied durch
das nächst vorhergehende dividiret. Man erhält demnach öcy
einer geometrischen Reihe jedes folgende Glied aus dem nächst
vorhergehenden, wenn man dieses mit dem Quotienten ninl-
tipliziret vermög (§. 17z.). Es erhellet hieraus, daß wenn
das erste Glied und der Quotient einer geometrischen Reihe
gegeben sind , die Reihe nach belieben forgesetzt werden könne.
Es seh z. B. das erste Glied einer Reihe — 2, und der
Quotient — Z, so ist das zweyte Glied — 6, das dritte
r-: 18 u- s- w.

Es seh nun das erste Glied — a, und der Quotient,
mit welchem man jedes vorhergehende Glied multiplisitt"
Muß, um das folgende zu erhalten fey — 7 ; so hat nin»
folgende allgemeine Formel für jede geometrische Reihe.

Stcl-

Bon d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. zzr

Stelle« ir z 4 A . . . . «

Glieder a, , . . . t

wo bey einer steigenden Reihe > i , hingegen bey einer
fallenden Reihe < i seyn muß. La nun hier jedes Glied
aus auf die Potenz der Anzahl der vorhergehenden
Glieder erhoben, multiplizirt mit a besteht, so ist das
allgemeine Glied — r. Benennet man nun das letzte
oder allgemeine Glied einer solchen Reihe mit t, und die
Anzahl der Glieder mit r/, so ist

I. t —

Neimlich bas letzte Glied einer jeden geometrischen Reihe
besteht aus -em (Quotienten zur Potenz der Anzahl
der Glieder weniger eins erhoben, multiplizirt mit
dem ersten Glieds.

Benennet man ferner die Summe von -- Gliedern mit §;
so ist § a 4- 4- 4- 4. ... 4- r

Um nun diese Formel geschickt abzukürzen multiplizire man
beyde Theile der Gleichung mit -

so ist a^4-a^4-a^4-a^» 4- . . .

und ferner durch die Subtraktion die zwei) Gleichungen,
das ist a, und

— a X — a

§ - - —--i

--l

oder wenn man vermög vorigen, t statt * setzet, so ist

II. , -

Nämlich, bie Summe einer jeden geometrischen Reihe
wird erhalten, wenn man das letzte Glied mit -em
(Quotienten multiplizirt, das erste Glied davon abziebt,
und -en Rest durch den um ein» verminderten (Quo¬
tienten -ividiret. .

5. 254«

Bey dm geometrischen Reihen sind ebenfalls wie bei¬
den arithmetischen 5 Größen in Betrachtung zu ziehen, näm-
iich das erste Glied — <?, das letzte — t, der Quotient
y, die Anzahl der Glieder und die Summe von
» Gliedern — §, wo wieder jedesmal drey bekannt ftp"
müssen um die übrigen zwcp daraus bestimmen zu können.
Nur wenn -r, noder gegeben wären, so lassen
sich die zwey übrigen blos durch höhere Gleichungen bestinp
men - wir es folgende Formeln zeigen.

AAr Sechste Vorles. i. Abschnitt.

So z. D. ist die Summe der obigen Reihe 14- 2 4-4 4- 8
Z2.2— i

4-164- Z2— —6z; eben so ist 8l 4-274-94-Z

2.4 — 81 2

-— — 82:-— 4- i2o.

4-l 3

Es ist aus diesem letzten Beyspiele zu ersehen, daß die
fallenden geometrischen Reihen eben so wie die steigenden btt
handelt werden können, ohne daß man nöthig habe die Reihe
umzukehren, nämlich das letzte Glied für das erste, und das
erste für das letzte anzusehen.

Die angeführte Formel H. kann man auch auf folgende Art
finden; In der geometrischen Reihe a 4- a- -ft^-fta^-ft
.... -ft wovon die Summe aller Glieder — -r ftp,
find« : ay, ay : ay-, gleiche Dett

hältnisse; und es ist bei) diesen gleichen Verhältnissen die
Summe aller vorder» Glieder — a- — §, und die Summe
aller Hintern Glieder es ist daher vermög (Z. 191.)
ry— -7
» —ay, woraus a- -r:-- folget.

Bon d. arithmetisch, u. geometrisch. Reihen. M

Vorles. I. L. J Hu

ZZ4 Sechste Vorles. I. Abschnitt.

Unter diesen 2O Formeln sind N. 4, 12, iZ, 16 HM
Gleichungen, deren Eigenschaften in der folgenden Vorlesung
kommen werden. Aus den Formeln N. 17, 18, ly, 20
/r zwar nach (§. 228.) gefunden werden; da aber dieses c-
was beschwerlich ist, besonders, wenn n ein Bruch ftyn s^^"
und die unbekannten Exponenten aus den Gleichungen durch
Lehre von den Logarithmen viel leichter zu bestimmen sind, si
lett wir lieber zuvor zur Kenntniß der Logarithmen schreite»,
hernach sowohl die Lehre von geometrischen Reihen, als vo» -
sarithmen durch wirkliche Beispiele anzuwenden suchen,

ZZ5

II. A d sch n rit.

Von den Logarithmen.

§« 2ZZ.

Wenn man eine beliebige Zahl cr nacheinander auf vcr^
schiedene Potenzen erhebet, so werden die Exponenten die
Logarithmen der hervorgeörachten Potenzen genennet. Z. B.
es sey <rc" — L, cc" — c, cc? — cs u. s. w.; so ist m
der Logarithmus von der Logarithmus von c, der
kogarithmus von cs, und wird also bezeichnet, c-r —Ic>§ S,
cc — IoL( c > x, — loZ cs. Und so ist der Logarithmus einer
jeden andern Zahl / derjenige Exponent, auf welchen cr er¬
hoben werden muß, damit / zum Vorschein komme. Auf
diese Art erhält man ein logarithmisches System, wovon
die Zahl cr die Grundzahl genenuet wird ; weil sie den ein¬
mal angenommenen Werth beständig beybehält, und das Sy¬
stem gleichsam auf derselben erbauet wird.

Wenn man bey einer angenommenen Grundzahl — «
die Exponenten m, -r, )v, - rc. in einer arithmetischen Rei¬
he steigen, nämlich gleichförmig zunchmen läßt, so werden
bie hervorgebrachten Potenzen in einer geometrischen Reihe
wachsen, oder zusammenhängende Proportionalglieder sepn;
j. B.

Exponenten, oder Logarithm. Z, Zc 7' 9c n "**
hcrvorgebr. Potenzen er?, cr^, c^, -r', cr" ...

lind daher kann man auch mit ^är. Vlucc; sagen: Die Lo¬
garithmen find von zusammenhängenden Proportional¬
größen gleichförmig zunehmende Begleiter (l^ozaritlimi
kunt hunmitstuM continue zoro^ortionalium coinites seczul-
äibkerenter),

Z 2

2Z6.

ZA6 Sechste Vorles. n. Abschnitt.

256.

Es sey nun auch — 7, u. s,

w.; so hat man miedet ein logarithmisches System; wovon
die Grundzahl und also m — LoZ </, /r — Laß und
/) — ist. Ist nun — a, so ist wegen a-« - ö
auch —y, wie auch c —r/—rc. (§. 1Z7. N. 1.),
und man hat eben dasselbe System. Ist aber von a
verschieden, so sind es verschiedene Systeme, und auch die
Größen L, e, c/ sind von 7, § verschieden, das heißt:

Gleiche Größen haben in einerley Systeme auch gleiche
Logarithmen, und in verschiedenen Systemen verschie¬
dene Logarithmen. Und umgekehrt, gleichen Loga¬
rithmen entsprechen in einerley Systeme auch gleiche
Zahlen, und in verschiedenen Systemen verschiedene
Zahlen.

§. 2Z7.

Die merkwürdigsten allgemeinen Eigenschaften der Lo¬
garithmen sind folgende:

1) Man setze in der Gleichung a"* -- L den Exponen¬
ten m — 0, so ist vermög (§. 126.) — i; und also
0 — loZ i, das heißt, in jedem System ist der Log«
rithmus von 1^:0.

2) Setzet man aber m ---1, so ist 6 — a, und aho
I — loZ a, nämlich : in jedem Systeme ist der Logarith¬
mus von der Grundzahl — i.

z) Nimmt man übrigens « > i an, so ist verivsZ
(§. I2Z. II.) > i, wenn m eine positive Iahl;^
vermög (?. 127.) eö < l, wenn eine negative Za)
bedeutet; das heißt, in jedem logarithmischen Systems
wo die Grundzahl größer ist. als l, find die Log§
rithmen der Zahlen, welche die Einheit übersteige",
sitiv, und die Logarithmen der eigentlichen Är: a/
sind negativ.

4)

Von den Logarithmen. 357

4) Wäre aber die Grundzahl a < i, so ist vermög
(§. I2Z.I.) si< i, wenn z?z positiv ; und vermög (§. 127.)
si > i , wenn zzr negativ; nämlich, in jedem logarith¬
mischen System, rvo die Grundzahl kleiner ist als r ,
sind die Logarithmen der eigentlichen Brüche positiv;
und die Logarithmen -er Zahlen, welche die Einheit
übersteigen, sind negativ. Man sieht hieraus, daß cs am
fiiglichsten ist für die Grundzahl einen Werth, der g-Mer
ist als i, und zwar positiv anzunehmen; hierdurch erhalten
nur die positiven Zahlen reelle Logarithmen, die Logarith¬
men der negativen Zahlen hingegen werden' sodann unmöglich,
sind zwckr je größer die Zahl ist, desto größer ist der dazu
gehörige Logarithmus ; weil si in der Gleichung —
immer um so größer wird, je größer man zsi annimmt.

A) Wenn — L , und <2" c ist, so ist auch
— sic, (Z. 29. N. l.), und alsozzz-s-zz
log sic. Es ist aber auch zzr — log si, und zz — log c,
folglich lo§ sic - log S -f- l«8 daß heißt, der Loga¬
rithmus eines Produktes besteht aus der Summe der
Logarithmen der Faktoren.

Daß dieser Satz sich auch auf ein Produkt mit mehre¬
ren Faktoren erstrecke, ist leicht eiiizusehrn. Denn cs sch
c^sisi-, so jst loz sic - loZ si -ch l«8
ch log/.

6) Da a'» — si und cr» - c , so ist auch (§. 39. N. r.)
also (m-zz) - log oder wenn man für m
«nd zz die gleichen Werthe IoZ ö, und Ing c setzet, so -st
log - log si - !oZ c; nämlich, der Logarithmus ei¬
nes (Quotienten besteht aus dem Loyaritpmns^des ^i-
videndus, weniger dem Logarithmus '

oder -er Logarithmus eines Bruches beste '

Logarithmus -es Zahlers, weniger dem Logar.thmus
des Nenners. I 3

ZA8 Sechste Vorlef. I!. Abschnitt.

7) Da a"? — ist, so ist auch a''"» — vermög

(§. IZ/. N. !.) und also loz L''; oder . 1oZ l>

log ; nämlich, -er Logarithmus einer Potenz
besteht aus -ein Logarithmus -er Wurzel multipli-
Zirt mit -em Exponenten -er Potenz.

8) Da a"? ö- , so ist auch vermög

nr loZ l>

c§. 1Z7.N. 2.); daher — — I'oZ z/s, und endlich --

> /

— loA iXe-z nämlich, -er Logarithmus einer Wurzel-
grofie besteht SUS -em Logarithmus Her Potenz
A -ivi-irt durch -en Exponenten 2 -es Wurzelzeichens

Aus diesen angeführten Sätzen erhellet nun, daß es bey
der Berechnung der Logarithmen nur nHthig sey, die Lo¬
garithmen der Primzahlen 2, Z, Z, 7/ i i .... zu be¬
rechnen , weil die übrigen durch eine blosse Addition leicht
daraus zu bestimmen sind.

. §. 2Z8.

In dem gewöhnlichen logarithmischen Systeme, wel¬
ches das gemeine, oder briggische System getrennt, und
am meisten in der Mathematik gebraucht wird, hat man
die Grundzahl <2 -- io gesetzt. Es ist sodann, weil
ro' — io, io^ — ioc>, - iOoo, ro- — loooo

ist , !oZ. IO — I, 1oZ — 2 , loZ IOOO Z<

lc>8 10020 — 4 tt. s. w. Eben so ist, weil 10^ —

I ? r. ,r

z/ro, 10»- — k/iü'" ist,

_ z

G IoA zXiv , — IoZ I/?c> , Ic>Z l/to,

1oZ

Hieraus erhellet, daß die Logarithmen der rationalen
Potenzen der Grundzahl ganze rationale Zahlen, und die-
. Lo-

Von den Logarithmen. 359

Logarithmen der irrationalen Potenzen der Grundzahl ratio¬
nale Brüche seyn müssen; und daß die Logarithnten aller
übrigen Zahlen weder rational noch irrational, sondern
transcendent (228.) seyn müssen; weil es nicht möglich
ist, eine rationale Grundzahl auf irgend einen Exponenten
zu erheben , daß eine solche Zahl vollkommen genau zum
Vorschein komme,

§- 2Z9.

Uebrigens kann man im briggischen Systeme doch sicher
schliessen , daß die Logarithmen der Zahlen zwischen i und
io kleiner als i, und größer als 0 seyn müssen; daß die
Logarithmen der Zahlen zwischen io und 100 aus einer
Einheit nebst einem Bruch, die Logarithmen der Zahlen zwi¬
schen 100 und looo aus zwei) Einheiten nebst einem Bruch,
die Logarithmen der Zahlen zwischen 1020 und 10020
aus drey Einheiten nebst einem Bruch, überhaupt daß der
' Logarithmus einer jeden ganzen Zahl aus so vielen ganzen
Einheiten, als die Zahl Ziffern hat weniger i, nebst einem
Bruch bestehen müsse, welche Brüche nur nähcrungsweise
durch Dezimalbrüche ausgcdrückt werden lönnen, die der
Wahrheit um so näher kommen, jemchr Dezimalstellen man
bei) demselben zu bestimmen trachtet. Auch wird deswegen
die Ziffer des Logarithmus, welche die ganzen Einheiten
anzcigt , die Rennziffer, oder Charakteristik genennet;
weil man diese also gleich kennt, sobald die Anzahl der Ziffern
von der dem Logarithmus zugehörigen Zahl bekannt ist. Und
umgekehrt , weil man aus der Kennziffer eines Logarithmus
ulso gleich erkennet, aus wie viel Ziffern die demselben ent¬
sprechende Zahl bestehen muß.

Auch ist es leicht einzusehen , daß in eben diesem brig-
Sischen Systeme der Logarithmus einer Zahl, welche butten
Nullen bey sich führet, dem Logarithmus der bcdcur.iä en
Ziffern in seinen Dezimalstellen vollkommen gleiche, und nur
in der Charakteristik um eben so viele Einheiten grö er bey.

z62 Sechste Vorles. n. Abschnitt.

als die Zahl hinten Nullen hat. So z. B. ist IoZ ZZ64"oq
- los 3564 X IO2Q — log IOOQ -l- loZ 3564 - 3 4
los« 356z.

6-; 489

Eben so ist auch Ion 654,89 — Io§ —-— loz

IO2

65489 — 2> das heißt, der Logarithmus eines D^imal-
bruches ist in den Dezimalstellen dem Logarithmus eben die¬
ser Zahl, als einer ganzen Zahl betrachtet, völlig gleich«
und nur allein in der Charakteristik um eben so viele Ein¬
heiten kleiner, als Dezimalstellen bey der vorgelegtcn Zahl
vorhandey sind,

§. 262,

Man könnte sich aber dem Logarithmus einer Zahl
nähern, welche keine vollkommene Potenz von der Grund¬
zahl ist, wenn man nach und nach eine solche irrationale
Potenz der Grundzahl aufsuchet, welche von der gegebenen
Zahl nur um einen solchen kleinen Bruch verschieden ist, der
bey einer vorkommenden Rechnung für nichts zu achten, und
also emes für das andere ohne einen Fehler zu begehen,
geletzt werden darf. J. B. es wäre der briggifche Logarith¬
mus von 5 zu berechnen, so könnte man folgendermassen
zu Werke gehen:

Da 5 zwischen 10°, und io* liegt, so suche man
zwischen diesen zwcyen Potenzen nach ( §. 184.) die mittlere
geometrische Propsrtionalzahl 10^ — 3,1622776624-
Da nun iv- < 5 ist, so suche man zwischen io? und 10
die mittlere Proportionale — io^ — 5,623413251.

aber ro^ >5 ist, so suche man zwischen iq^ und 10'
wieder die mittlere Proportionale 10^ — 4,216965034-
Ferner suche man wieder zwischen 10^ und io^ die mittlere

Pro-

Bon den Logarithmen. z6i

Proportionale — 12^ — 4,869675252. Auf diese Art
fahre man fort, und suche jedesmal zwischen der nächst
kleinern, und nächst größer» schon bekannten Potenz der
Grundzahl die mittlere geometrische Proportionale, so wird
man sich immer mehr und mehr der Zahl Z nähern; und
man kann die Arbeit so lange fortsctzen, bis man eine Po¬
tenz erhält, die nicht mehr merklich von der Zahl 5 verschie¬
den ist. So z, B. würde man, wenn man auf diese Art
LLL.l-6 L.Z.

22 mittlere Proportionalen suchet, die Potenz

- 5,000202864 . . . erhalten, welche von der Zahl 5

nicht mehr um -- verschieden ist. Man kann darum

1222222

in den Rechnungen, wo '-— nicht mehr zu achten ist,

1222222

loz Z -  _ 0,6989722 . . . fetzen, wo nur

4194Z24

die sieben ersten Dezimalziffern richtig sind; weil die Potenz der
Grundzahl nur bis auf die 7te Dezimalstelle übcreinsiimmt.

Man sieht hieraus, daß man die Arbeit noch weiter
fortsetzen, und jede mittlere Proportionale mit mehr als 7 De¬
zimalstellen entwickeln müßte, wenn man den Logarithmus
mit mehr als 7 Dezimalstellen richtig bestimmen wollte.

Beyläufig auf diese ungemein beschwerliche Art hat
Heinrich Krigy die Logarithmen der Zahlen von 1 bis 22020,
und von 92222 bis 122222 mit 14 Dezimalstellen berech¬
net , hernach hat Adrian vlarq die Lücke von 22222 bis
90222 mit 12 Dezimalstellen ausgefüllet, welche Logarithmen
sodann in ordentliche Tabellen eingetragen wurden, so daß
"ran zu jeder Zahl, die zwischen diese Grenzen fällt, den
gehörigen Logarithmus, und umgekehrt zu jedem gegeb¬
nen Logarithmus die entsprechende Zahl alsogleich finden lomi
ke, welche Tabellen unter dem Namen logarithmische
allgemein bekannt sind.

Man

J Z

Z6r Sechste Vorles. n. Abschnitt.

Man könnte zwar' auch den Logarithmus einer jede»
Zahl unmittelbar nach (§. 228.) finden. Es wird aber
weiter hinten, bey der Lehre von den unendlichen Reihen
(die aber bey Lrigg's, und vlacq's Zeiten noch nicht
bekannt waren) gezeigt werden, wie die Logarithmen aller
Zahlen auf eine ungemein kürzere Art hatten berechnet wer¬
den können.

261.

Der logarithmischen Tafeln giebt es heutiges Tages eine
Menge: in den meisten sind die Logarithmen nur mit sieben
Dezimalziffern anzutreffen, weil dieselben in den meisten Fällen
«ine hinlängliche Genauigkeit gewähren. Es wäre überfWg
ausführliche Beschreibungen von verschiedenen logarithmischen
Tafeln hier einzurücken, und deren Einrichtungen zu erläu¬
tern. Es ist am besten bey dieser Gelegenheit eine logarith¬
mische Tafel in die Hand zu nehmen, und deren Einrichtung,
wie auch den Gebrauch der Tafeln aus der beygefügten Ein¬
leitung zu erlernen. Hierzu dürfte vorzüglich dienlich seh»'
mein Logarithmisch - Trigonometrisches Handbuch,
statt der kleinen vlacgischen, wölfischen, und andern
dergleichen meistens sehr fehlerhaften Logarithmisch-'
Trigonometrischen Tafeln, für die Mathematik befliße¬
nen eingerichtet; 2te verbesserte und vermehrte Aufla¬
ge ; Leipzig in der weidmännischen Buchhandlung
r8oo. Denjenigen, welche sich mit der ausübenden Mathe¬
matik beschäftigen, dürften meine Logarihmisch-Trigono¬
metrische Tafeln nebst andern zum Gebrauche der Ma¬
thematik eingerichteten Tafeln und Formeln in zrrnh
Randen, Leipzig in -er Weidmännischen Buchhand¬
lung 1/97, sehr nützlich sepn; so wie diejenigen, du
äusserst feine mathematische Berechnungen zu machen haben,
meine Vollständige Sammlung grösserer Logarithmisch
Trigonometrischer Tafeln »

y Leipzig in der weidmännischen

Buchhandlung 1794, hierzu geeignet finden werden.

Von den Logarithmen. z6z

Die Gründe auf denen der Gebrauch der logarithmi¬
schen Tafeln beruhet, sind aus folgenden Betrachtungen zn
ersehen.

§. 262.

Wenn man in den logarithmischen Tafeln die Loga¬
rithmen von drey nacheinander folgenden Zahlen vergleicht,
ff findet man , daß die Differenzen immer einander mehr
und mehr gleichen, je größer die den Logarithmen entspre¬
chenden Zahlen werden, und zwar so, daß dieselben, wenn
die Zahlen schon grösser als 1222 sind, nur noch in der
/ten Dezimalstelle um einige wenige Einheiten mehr voneinan¬
der unterschieden sind. Nähern sich aber die Zahlen schon
gegen 12222, so beträgt der Unterschied in der 7tc» Dezi¬
malstelle keine ganze Einheit mehr ; als z. B.

Differenzen

0,0020435

2,2222435

Differenzen

2,2224336

O,OOO4ZZ2

Zahlen
9988
9989
9990

Logarithmen
3,0024341
3,2228677
3,2013229

Logarihmen
3'9994785
3,9995220
3,9995655

Hier sind demnach die Differenzen um keine Einheit in
der 7ten Dezimalstelle mehr verschieden.

Nimmt man aber drey Zahlen an, die um garz.
Einheit voneinander verschieden sind, so trist diese 1 ,
bey den Zahlen, die nur 1222 übersteigen, so r cr
dollkommen überein; als z. B.

Zahlen
1221
1222
1223

Hier sind die Differenzen nur noch in der letzten Dezi¬
malstelle um 4 Einheiten verschieden.

Zah-

z64 Sechste Vorles. n. Abschnitt.

Zahlen

1221

Logarithmen
Z,OO24Z4I
2,2226529
2,0028677

Differenzen

2,2222168

2,2222168

1221^

!222

Man kann demnach den Satz für richtig annehmen,
baß bey Zahlen die größer als 1222, und um keine Ein-
heit mehr von einander verschieden sind , die Differenzen
der Zahlen sich gegeneinander verhalten, wie die Dif¬
ferenzen der dazu gehörigen Logarithmen. Denn es iß
(1222-1221): (1221^—1221)—(IoZ1222—loA lovi)!
(log 1221^—log I22l); nämlich I : 2,2O24ZZ6:

O,2Q22l68>

§. 26z

Durch Hilft dieses Satzes kann man nun auch den Lo¬
garithmus einer Zahl finden, welche die Grenze der Tafeln
übersteiget ; z. B. es wäre nach einer Tafel, welche nur die
Logarithmen der Zahlen von 1 bis 12222 enthält, der Lo¬
garithmus von 5462289 zu finden, so verfahre man auf
folgende Art: Man schneide von -er Zahl so viele Al¬
fern durch ein Komma ab, damit man eine ganze Zahl
nebst einem Dezimalbruch erhalte, welche inner öle
Grenzen der Tafel fallt. In unserm Beyspiele ist ft"
dann 5462,289, wozu eigentlich der Logarithmus gesucht
wird. Aus dem gefundenen log 5462,289 folgt sodann un¬
mittelbar log 5462289, weil vermög, (§. 2Z9.) diese zwey
Logarithmen in den Dezimalstellen vollkommen gleich st»d-
Da nun log 5462,389 > log 5462, und auch log
5462,289 < los Z462 ftpn muß; so sey log Z462M
— log 5462 4-w; und es ist vermög (§.264.)/
Liese drey Zahlen um keine ganze Einheit voneinander unter¬
schieden sind (5462 - 5462) : ( 5462,289- Z467)
—(los 6^65— log 5462):(log 5462-289-108 546'^
nämlich 1:2,589 --- (log Z462 r- log 5462):

1202

Von den Logarithmen. z6z
rooo: z 89 - (> °8 5463 - l°8 5462) : Nänilich nm»
sage: i mit so viel Nullen, als man Ziffern abgeschnit-
ten hat, verhalt sich zu -en «-geschnittenen Ziffern,
gleich wie sich -ie Differenz -es nächst kleinern un-
nachst größern Logarithmus in -er Tafel, zur Differenz
-eS nächst kleinern un- -es gesuchten Logarithmus
verhalt ; welche gefundene Differenz man nur zum nächst
kleinern Logarithmus in der Tafel addiren darf. Endlich
setze man -iesem Logarithmus-ie ihm vermög (§.259.)
zugehörige Lharakteristik vor, so hat man -en gesuch¬
ten Logarithmus. In Unftrm Bepspiel ist IoZ 5463
3'7374312 , und log 5462 - 3'7373Zr/z also
loZ 546z - loZ 5462 - 79Z z folglich 1022 : 389

795 : ---— 309. Es ist demnach !o§

1222

5462,389 - Z,73735i7 309 - 3'7373826, und

folglich lož 5462389 - 6,7373826.

Es sey noch zur Zahl 7842365 der dazu gehörige
Logarithmus nach einer Tafel, welche die Logarithmen der
Zahlen bis 122222 enthält, zu finden; so ist in der Tafel
78423 — 4,8944435, und loZ 78424 - los 7842Z
55.65

- 55i folglich 122:65 — 55 : er— —- — 36. Es

122

ist also log 7842365 6,8944471'

Daß man bey dieser Division rv nur im Ganze» ohne
Annäherung bestimmen muß, ist leicht einzusehen; weil diese
Ganzen vermög (Z. 262.) nur zehnmillionte Theilchen sind.
Und die 8te Dezimalstelle ohnehin nicht mehr richtig erhalten
ivird; weswegen auch die letzte Ziffer um 1 vermehrt werden
Muß, wenn der Rest größer als ist.

In vollständigen logarithmischen Tafeln wird die hier
ungeführte Proportion erspart; weil auf sedem Blatte, für
die dort herrschenden Differenzen, die Proportionaltheile zum
voraus berechnet, und bepgefügt sind, welche sodann nur
zum

z66 Sechste Vorles. n. Abschnitt.

zum Logarithmus der Z ersten Ziffern addirt werden, wie k§
aus der Einleitung solcher Tafeln deutlich zu ersehen ist.

264.

Wenn man auf diese Art den Logarithmus zu einet
Zahl suchet, die aus 8 Ziffern bestehet, so findet man,
Laß wegen der Zten Ziffer der Logarithmus in der /ten De¬
zimalstelle höchstens um 4 Einheiten größer werden kann;
und zwar nur damals, wenn die erste Ziffer der Zahl 1,
und die achte ein 9 ist: in den übrigen Fällen aber ist mei¬
stens der Logarithmus einer Zahl mit 8 Ziffern dem Loga¬
rithmus der 7 ersten Ziffern bis in die /te Dezimalstelle
vollkommen gleich, oder um eine Einheit in der letzten De¬
zimalstelle verschieden. Wenn demnach zu einer Zahl, wel¬
che aus mehr, als 8 Ziffern bestehet, der Logarithmus ge¬
sucht werden soll, so suche man denselben nur zu den 7?
oder-8 ersten Ziffern auf, und setze die gehörige Charakteri¬
stik vor. A. B. es wäre loz 1009345976 zu suchen; so
findet man nach (§.263.) loz 10093459 — S,0040401,
und 1oZ 1009345976 — 9,0040401. Eben so findet
man loA 7985435 — ^-,9222986, und loZ 79854ZZ98
— 8,9022986.

Hat aber eine Zahl hinten Nullen bey sich; so sE
man nur zu den bcdeutlichcn Ziffern den Logarithmus, und
vermehre die Charakteristik um so viele Einheiten, als hinten
Nullen folgen, vermög (§. 259.).

§. 265.

Wenn zu einer ganzen Zahl nebst einem «„gehängten
Dezimalbmche der Logarithmus gesucht werden soll, fi> darl
man nur nach (§. 263.) den Logarithmus aufsuchen, als
wenn es lauter Ganze wären, und sodann wird die Charak¬
teristik um so viele Einheiten vermindert, als Dezimalstel¬
len vorhanden sind. Hätte aber der Dezimaibruch gar keine
Ganze, und die Anzahl der Dezimalstellen-wäre daher großer

Von den Logarithmen. 367
als öie Charakteristik, so ziehe man so viele Einheiten ab, .
damit die Charakteristik Null werde; die übrigen noch abzu-
zichenden Einheiten aber hange man hinten an den Logarith¬
mus mit dem Zeichen — an. Z. B. es ist log 0,8432
84Z2

- log--loZ 8432-10810200-3,9259326-4

12222

- 0,9259326 - I.

Man könnte hier zwar die Subtraktion verrichten,
UNd es ist log 0,8432 — 2,9259326 — 1,2222222

- — 2,2742694; allein es ist, wie wir in der Folge 1e-
hcn werden, viel vortheilhafter im Rechnen, wenn man die
negativen Logarithmen vermeidet.

Wenn zu einem achten Bruche, oder zu einer ganzen
Fahl nebst einem eingehängten Bruche der Logarithmus zu
suchen wäre; so kann man den gegebenen Bruch in einen
Dezimalbruch verwandeln; oder im letzten Falle kann man
auch die ganze Zahl mit dem beygefügten Bruche in einen After-
brnch verwandeln, und sodann den Logarithmus des Nen¬
ners von dem Logarithmus des Zählers abziehen vermög
(§. 257. N. 6.). So ist z. B. log 6^ — log

- log 27 — log 4; imgleichen log — log 5 — log 11.
Auch hier bey eigentlichen Lrüchen kann der negative
Logarithmus vermieden werden, wenn man zu der
Charakteristik -es kleinern Logarithmus so viele Ein¬
heiten addirt, damit die Subtraktion verrichtet wer,
den könne, und hinten eben so viele Einheiten mit
-em negativen Zeichen wieder anhängt. So ist j. D.

/7- — log 5 —log II — (2,6989722)— 1,0413927

- (1,6989722— l)— 1,2413927—2,6575773 — 1.

266.

Auch kann durch Hilfe des im ( 262.) angeführten
Satzes zu sedem gegebenen Logarithmus, der nicht genau
der Tafel anzutreffen ist, die dazu gehörige Zahl gefun¬
den

M Sechste Vorles. n. Abschnitt.

. den werden. Z.'B. es sey gb,8765432 ein gegeben« ko-
garithmus, ohne auf die Charakteristik zu sehen, weildieftlbk
(§. 259.) die Ziffern der dazu gehörigen Zahl nicht ändm,
sondern nur anzeigt, wie viel deren für die Ganzen abge-
schnitten werden muffen; man soll die dazu gehörige Zahl be¬
stimmen ; so ist in den größerer Tafeln der

nächst kleinere

der gegebene

der nächst größere

Logarithmen
K,876541l

*,8765432

X,8765469

zugeh. Zahle»
75256

75256 4 rr

7Z257

Diff.

21

SV

Und es ist nach (§. 262.) 58 : 2i — iao : -v, wo er
die abgeschnittenen zwey Ziffern vorstellct. Hieraus iß

ar --— 36. Folglich ist die gesuchte Zahl 7525636;

58

wo erst nach Beschaffenheit der Charakteristik die Ganzen von
den Dezimalstellen abgeschnitten werden müssen. Wäre also
die Charakteristik — 0, so ist die Zahl 7,525636 vermög
(§. 259.) ; wäre aber die Charakteristik — 6, so ist die
Zahl 7525636 ohne Dezimalstellen.

Sollte aber die Charakteristik > 6 sehn, so muß die
dazu gehörige Zahl aus mehr als 7 Ziffern bestehen. Da
sich aber die 8te Ziffer schon nicht mehr bestimmen läßt, weil
vermög (§. 264.) die Logarithmen zweyer Zahlen, die aus
8 Ziffern bestehen, und nur um einige Einheiten voneinander
verschieden sind, die 7 ersten Dezimalziffern vollkommen gleich
haben; so hänge man hinten noch so viele Nullen an, damit
man die der- Charakteristik entsprechende Anzahl der Ziffern er¬
hält. So z, B, ist 8,8765432 loZ 752563600,

K, 267,

Von den Logarithmen. 36z

267.

Wäre aber zu einem Logarithmus, dessen Charakteristik
0 ist, und bey welchem hinten noch einige Einheiten mit dem
negativen Zeichen angehängt sind 265.), die zugehörige
Zahl zu suchen; so setze man der Zahl, welche den Dezi¬
malstellen des Logarithmus entspricht, so viele Nullen vor,
als hinten am Logarithmus Einheiten abgezogen sind, wo¬
von aber eine für die Ganzen abgefchnitten werden must.
J. B. es wäre 0,9868747 °- 3 ein gegebener Loga¬
rithmus : man soll die zugehörige Zahl finden; so ent¬
spricht den Dezimalstellen des Logarithmus die Zahl 9702z,
und folglich ist die gesuchte Zahl 0,2097023. Sollte aber
zu einem negativen Logarithmus der zugehörige Bruch ge¬
funden werden, so mache man die Dezimalziffern des Lo¬
garithmus nach (§>265.) positiv, und verfahre sodann, wie
eben gesagt worden; oder man suche die Zahl auf, als wenn
der Logarithmus positiv wäre, setze selbe zum Nenner eines
Bruches, wovon der Zähler i ist, so hat man den gesuch¬
ten Bruch (§.257. N.6.). Z. B. es sey - 2,4353665 ein
gegebener Logarithmus; man soll den dazu gehörigen Bruch
linden, so ist 2,4353665 - log 272,5 , und also

-,4353665 -- IoZ —- Oder weil - 2,4353665

272,5

7-0,5646335 — z, und H-,5646335 — log 366972-
l° -st auch - 2,4353665 - loZ 2,02366972.

§. 268.

Wenn man nun mit einer logarithmischen THfcl vcrse-
öen ist, so können die mit großen Zahlen s^hr beschwerlichen
Multiplikationen und Divisionen durch eine blosse Addition
und Subtraktion verrichtet werden. Z. D. os sep in der
Gleichung er — — , a 628723, " 83629,

c

Verles. I, B. A a *

o

5 5 5

Nun ist loz K — IoZ 563,28 — 2,752724z , '

— 79Z4 — z,8994922, IoZ 4 — 2,6220602;

lich lož ^7 — 2,2226222, wozu .r — I22,IZ84
höret.

370 Sechste Vorles. n. Abschnitt.

c — 56722z , so kann ar auf folgende Art in Zahlen ge--
<r/5

funden werden: Es ist IoZ er — Io§ — (256.), und
e

!oz er — lož «L — log 0 (§. 257. N. 6.); endlich
1c>Z er — Ic>Z «4- IoZ 6 — log c (§- 257. N. 5.). Nun
ist loZ 62872z - 5'7984594, '»8 83629 - 4,9223569,
1oF 56722z - 5,7536227; folglich loz ^-4,9672156,
wozu die Zahl.r — 92729 gehöret.

Eben so kann die Erhebung zu Potenzen mit Hilft der
Logarithmen durch eine kleine Multiplikation , und die Aus--
ziehung der Wurzeln durch eine kleine Division geschehen.

Z9 54 z

A. B. es wäre der Bruch —zur dritten Potenz zu er-
8564

heben, so ist (§. 257. N. 7. ) I°Z

3(loZ 3954z - IoZ 8564), Nun ist I->?

0.204 ,

39543 - 4,5970696, und IoZ 8Z64 - 3,932670/'

folglich ist loz -Z X2,6643929-1,9931787'

8Zd4^

welchem Logarithmus die Zahl 98,441622 entspricht.

Auf die nämliche Art kann aus der GleiäM

.r - P^4^S, wo a — 563,28 , 3 - 79Z4 seh,
Größe ar in Zahlen entwickelt werden. Denn es n

IoZ4>?^ IoA44-Ic>Z^4-IoZ6 Ic>Z4-s2loga4lo^
IoZ er— ———— —-—-—-""

V on den Logarithmen. 371

8 ü Z 5 ?c>o7

Es fty nochp^—zu entwickeln,so istloglx^——-

7 7 3

0,6989702-2,8450980^ 1,6989702—1-0,8450982

3 3

. 0,853872 0-1

3

In dergleichen Fällen müssen die negativen Einheiten,
welche hinten angehängt sind, so eingerichtet werden, damit
die Division ohne Rest aufgeht; und man kann deswegen
Z 5 2,8538720-z

in unserm Beispiele also setzen: IoZ —---

7 3

-0,9512907—1, wozu die Iaht 0,8939036 gehöret
(§.267.). Eben so ist

loo 1^ 9 3 ,, . 3 !oZ 9 " 3 rr

'OZ -— — (IoZ 9 —log 11)— —--

II 4 4

2,86272 75-3,1241781  - 0,7385494- i  -

4 "4

377385494—4^ 2,9346373 - r wozu die Zahl

4
0,862275 gehöret.

§. 269.

In den Rechnungen , wo Logarithmen zu addircn,
und wieder einige abzuziehen kommen, kann man sich der
dekadischen Ergänzung bedienen. Die dekadische Ergan-
zunF xjner Zahl ist der Abgang, den man zu ihr addiren
uuisi, damit die nächstfolgende Potenz von 10 zum Vor¬
schein kömmt; fo ist z. B. 3 die dek. Erg. von 7; weil
7 4-3—12; die dek. Erg. von 76 ist 24, weil 76 4- 24
^102 ist u. s. w.

Die dekadische Ergänzung eines Logarithmus cr»
halt man gar leicht , ohne denselben aus der Tase-.
herausschreiben zu dürfen, wenn man von der Tharak-

A a 2 t"i°

Z7L Sechste Vorles. II. Abschnitt.

Leristik angefangen jede Ziffer -es Logarithmus von H
und die letzte be-eutliche Ziffer rechts von io abzicht,
So z. B. ist dek. Erg. loz 15 — 8/8239287; dek. Erg.
lox 22 — 8,6989702 u. s. w.

wenn nun in einer Rechnung einige Logarithmen
zu ad-iren, und wieder einige davon abzuziehen kom¬
men ; so schreibe man die zu a--iren-en Logarithmen
untereinan-er , und unter dieselben die dekadischen Er-
tzffnzungen der zu sübtrahirenden Logarithmen; aösi:
Le sodann dieses alles zusammen , und lasse bey der
Summe -er Rennziffern so viele Zehner hinweg, als
-ek. Erg. vorhanden find, so hat man das richtige
Resultat. A. B. es sey ans dee Gleichung or — IoZ 74256
4-loZ 2245-i- loz."2,22347 — loz 2,56 — loz 20z,47,
die Größe er zu entwickeln; so ist

loz 742Z6 - 4,8727316

loz 2245 - 3,312693 z

log 2,22Z47 - 0,5423295 - Z

dek. Erg. lox 2,56 9,5917622

dek» Erg.loz 223,47 — 7,6914996

Summe 26,2252142 — z

folglich w — 6,2252142 — 3 5,2252140

Eben so, wenn ae-loz 34,56-10869,9-10848,56; so-b
34-56 - 1,5385737
dek. Erg. loz 69,9 - 8/1555228

dek. Erg. loZ 48,56  — 8,3137213

Summe  18/2278178

folglich ur — 2,2278178 — 2.

272.

Der besondere Vürtheil, den die loganthmischeu Dsscis
gewähren, besteht darin, daß man durch Hilft derselben,
die

Von den Logarithmen. 37z

die unbekannten Exponenten aus einer Gleichung viel leichter
als nach (Z. 228.) entwickeln kann; denn es sey a-* — S,
so ist — log S , und vermög 257. N. 4.)
log s

log — log S; endlich a,- —-. Eben so aus der

lc>8 u

Gleichung — —"folgt, log s--*—ing S"*-*—";

NMNlich ai log « H ai- . log 0 — ma: . log S . log S,
und ?»a7 . los S — L' . log — a',/ . log a — n . log S;

» . los -
endliche ----.



7» , log S — log«--, loga

Auch kann aus folgender Gleichung «o"-* — Sa' — Ä.

durch Hilft der Logarithmen a? gefunden werden; denn cs
s "7-2- al s ">»7

Iic x"7-r-.^"2 , und nach (§. 2lZ.)a"--^-.a -

« « a

-nt — ) — )-j—; woraus a- —Hl/l—-z—)

^2«H ^2«> « 2« ^4«^

; endlich

s S .^S- Ä 1

lolgct. Ferner log <7^

„ s S P^(S^ -H 4»al)

nämlich — x log a — lps —-

2s 2-r

2 ss H ch- 4« 01

a- - -- x IoZ —- - -- -1 .

?er. log -- 2« .!

L. 27l.

Wenn für ein Cyskem einmal die Logarithmen berechnet
Und, so der Logarithmus einer jeden Zahl für jedes
andere System leicht daraus gefunden werden. Denn cö
sch in dem berechneten Systeme für die Grundzahl a der Lo¬
garithmus was immer für einer Zahl log S — m, und für
c>ne andere Grundzahl der Logarithmus eben dieser Zahl
a:, nämlich l^og s — a7 für die Grundzahl ; so ist ver--
A a ,g mög

374

Sechste Vorles. m. Abschnitt.

mög (Z. 25Z.) und auch — <5; folglich

ü„r, und für einerley System /2 loZ 2 — 2- loZ//:
/2 lo^ a

also ar — ——-—. Cs ist aber für die Grundzahl a,
log

/?r log i

loga^r; alsoistar- -- -- - --- Xloz5.

1ag^2 loZ log ^2

Z. B. aus dem berechneten Vriggifchen Systeme soll der ko-
-arithmns ar von jeder Zahl für die Grundzahl — Z

berechnet werden, so ist ar — --X log brig ö

log brig A

— —-X log brig L — 1,4226766 X log brig.

0,6989700

Man darf demnach nur den Driggischen Logarithmus einer
Zahl mit 1,4326766 multipliziren, so hat man den Loga¬
rithmus von der nämlichen Zahl für die Grundzahl <. Die
Zahl, womit die Logarihmen eines Systems multiplizier
werden müssen, um ein anderes neues System zu erhalten,
wird der Modul des neuen Systems genennet.

III. Abschnitt.

Anwendung der geometrischen Reihen und der
Logarithmen auf die Auflösung verschiedener
Aufgaben.

272.

Um den Gebrauch der logarithmischen Tafeln durch eine
fleissige Uebung sich eigen zu machen, kann folgende Anwen¬
dung der geometrischen Reihen, und Logarithmen auf die
Auflösung einiger Aufgaben nützlich seyn; als:

I. Aufgabe. Es hat Jemand einen Metzen Wenzen
ausgesäet; die Erndte hievon säet er im zweyten Jahr wie¬
der ganz aus; und.ssoon dieser 2t:n Aussat hat er wiedce
dir

Anw. d. geom. Reihen und Loganthnr. rc. 375
die ganze Erndte im Zten Jahr ausgesäet u. s. w. Wie
viel würde er wohl auf diese Art im loten Jahr eriidten,
wenn man annimmt, daß jeder Metzen Aussat jährlich 4
Metzen Erndte bringet ?

Auflösung. Da hier die Erndken in einer geometrischen
Reihe folgen; denn im l ten Jahr ist die Erndte 4, im 2ten
Jahr 16, im zten 64 u. s, w.; so ist (§. 2A4. N. i.)
a — 4, - — 4, /r — 12; folglich t — 4 . 4^ 4",
oder loZt—io 10^4-6,2226222; daher t —1248576
Metzen.

2. Aufgabe. Es spielt Jemand in die Lotterie, und
setzt das erstemal z Groschen; dupplirt aber jedesmal seinen
vorhergehenden Satz. Wie viel wird er wohl durch l2
Setzungen verspielen?

Auflösung. Da hier die nacheinander folgenden Sätze
di: geometrische Reihe Z, 6, 12, 24 . . . formiren, so
'st (Z. 254. N. 6.) er - z, 7 - 2 , er - 12; folglich
-5-3(2"-^ 1). jfl 10^2^-12 lož 2-3,6123622,
und also 2'^ — 4296 ; folglich § — z (4296 — 1)
3.429A 12285 Groschen — 614^ Gulden.

Man sieht aus dieser Auflösung, daß auch in den
Gleichungen, wo die unbekannte Größe sich nicht unmittelbar
logarithmisch entwickeln läßt, man doch einzelne Glieder der
Gleichung durch Hilfe der logarithmischen Tafel» entwickeln
kann, wodurch sich dann die unbekannte Größe leichter
ergiebt.

Z. Aufgabe. Zwischen 1 und 2 sollen noch II Glie¬
der eingeschaltet werden , damit eine geometrische Reihe von
13 Gliedern entstehet?

Auflösung. Weil hier das erste Glied der Reihe er — 1,
das letzte Glied t — 2, und die Anzahl der Glieder// — 13
ftyn soll ; so ist (§, 254. N. 13-) 7 - k^2 , und

A a 4 log

376 Sechste Vorles. ui. Abschnitt.

IvA 2

— 2,2252858. Nun ist aber die Reihe

r, 7, . 7", 2; folglich ist

10x7-2,2252858 zugehör.Zahl 1,259..

2 IvZ <7 —0,2501716 - - 1,122..

Z lo§--2,2752574 - - 1,189..

2ten Glied
zten --
4ten -

nloz-^ 0,2759438 -- -- 1,888..-I2ten-
1210x7 — 0,3212296^ - 2,222.. ^ 1 Ztm--

4. Aufgabe. Jedes Glied der geometrischen Reihe
<7, <77, ah,-, «7^ ... in m solche Theile zu theilen, da-
mit alle Theile wieder in einer zusammenhängenden geometri¬
schen Reihe stehen, und folglich eine Reihe zum Vorschein
komme, welche mmal so viel Glieder hat, als die Haupt¬
reihe ?

Auflösung. Es sey das erste Glied der gesuchten Reihe
" er, und ihr Quotient so ist die Reihe er, er/,
er/^ . .. er/°"r—1- . .. er/°2-»—r -

Da ,NIN djx Summe von en ersten Glie¬
dern dieser Reihe dem ersten Gliede der Hauptreihe gleich sch"
muß, so ist

^4-^4- rr/"' 4* . - . . 4- er/-"*"!

Ferner, da die Summe von den folgenden m Gliedern
dieser Reihe dem zweyten Gliede der Hquptreihe gleich st?"
muß; so ist

.,4-^^^r—r — 07. .. . ^
Multiplizipt man nun die Gleichung mit , so ist
4-n^"r4* 4.^"r-i-24,,,, . 6'

Folglich auch a- — , vermög (Z. 12. Grunds, Z')i

/»

»üMlich - — und — l/-.

Nu»

Anw. d. geom. Reihen und Leganthm. re. 377

Nun summier man in der Gleichung den ersten
Lheil derselben nach (§. 2Z4. N. Z.)z so ist die Summe

ZN

l) eri/-—t

- —--, mithin-- s, woraus rr--

1-1 i —i

folget. Es ist demnach die gesuchte Reihe
ZN ZN /zr ZN ZN

--,-,-...zz
I - — I - —1

Z. B. in d:r geometrischen Reihe 7/ 56, 448 ... soll
jedes Glied in drei) solche Theile getheilet werden, damit
wieder eine zusammenhängende geometrische Reihe entstehet;
so ist hier « - 7, - -- 8, und m - z; folglich ist daS
7(»^8-i) . .

erste Glied der gesuchten Reihe — ---— i , und

der Quotient - 2 ; daher ist die verlangte Reihe
*/2,4,8,16,32....

Summirt man ferner /e Glieder der angeführten Reihe
D nach (§. 2Z4. N. 6.), so ist

'N

- - I)

z. B. ist die Summe von 7 Gliedern der erst gefundenen

Reihe .H— ^7 8' —i — 64 >' 2 — i -127.

7

Die nämliche Summe würde man erhalten, wenn mau
der Hauptrcihe —Glieder summiret, das ist, wenn man

iu derSummenformel (j.264.N.6.) — statte substituiret.

Man

378 Sechste Vorles. m. Abschnitt.

Man sicht hieraus, in welchem Verstände man in der
allgemeinen Summenformei für // eine gebrochene Zahl an.-
nehmen kann. Nach dieser Formel läßt sich auch folgende
Aufgabe aufiösen.

5. Aufgabe. Es bestellt Jemand bey einem Juwelier
einen Diamanten mit diesem Akkord, daß er ihm für den
ersten Karat « den der Diamant wiegt 40 FI., für den
zweyten Karat 120 Fl., für den dritten Karat z6o Fl.
u. s. w. nämlich für jeden folgenden Karat zmal so viel,
als für den vorhergehenden zahlen wolle. Nun ist das Ge¬
wicht des Diamanten zH Karat, wie viel muß er dem Ju¬
welier bezahlen?

Auflösung. Da hier die Werthe der ganzen Karate ia
einer geometrischen Progression steigen, so müssen auch die
Werthe der Theile derselben ebenfalls in einer solchen Reih:
wachsen; und es ist, wenn man die obige Formel hier an¬
wendet, a — 40, <7 z , m — 4, und rr — lZ; folg-

4O(p^r^-i)
sich der ganze Werth des Diamanten § — -l--""

. 2

4 4 12 . log z

- 2Q(P^Z - - - I). Nun ist lož -

4

- 1,5526442, wozu die Zahl 35,534 gehöret; folglich

- 22 . 35,534 - 692,68 Fl. - 692 Fl. 41 K»
Mithin kostet das letzte Viertel Karat 172 Fi. 41 Kr.
Würde man aber für dieses letzte Viertel Karat den sttcn
Lheil von 1282 Fl. rechnen, welche der ganze 4te Karat
kosten würde; so hätte man 272 Fl., welches um 99 8^
i9Kr. zu viel ist. Weit mehr würde ...an fehlen, wenn man
für den Werth des Diamanten 424- 42.3 4-42.3^4-40-3 '
rechnen wollte, wo für das letzte Viertel Karat um 30Z
6 Kr. zu viel bezahlt würde.

6.

Anw. d. geom. Reihen und Logarithrn. rc. 379

6. Aufgabe. Cs hat Jemand ein Faß Wein, welches
2 — ioo Maß enthält , wovon jede Maß c — z6 Kr.
kostet; er zapfet 6 — i Maß heraus, und füllet das Faß
wieder voll, mit Wasser an. Nachdem sich das Wasser mit
dem Weine vollkommen vermischt hat, zapft er «dermal
Maß heraus , und füllet das Faß wieder mit
Wasser an. Wie oft kann nun dieses wiederholet werden,
damit jede Maß der Vermischung, welche sich noch im Faße
befindet, al — 24 Kr. werth sep ?

Auflösung. Da hier vorausgesetzt wird, daß sich das
Wasser mit dem Weine jederzeit völlig genau vermenge, so
läuft der- jedem Adzapfen wieder ein Theil Wasser mit her¬
aus ; und zwar verhält sich bey jedesmaligem Abzapfen die
ganze Vermischung zu der Menge der Vermischung, die ab¬
gezapft wird, gleichwie die Menge Wein, die sich in der
ganzen Vermischung befindet, sich zu der Menge Wein ver¬
halt, die benm Abzapfen mit heraus fließt; nämlich es ist
jedesmal a : 6 — wie die Meng- Wein, die noch im Faße ist,
jur Menge Wein, die unter den 6 Maßen mit abgczapft
wird. Nun sind nach dem ersten Abzapfen noch u — 6
6

Maß Wein im Faße; folglich-r:6—(-r —6): — (-r —6) —

nach

d"' Menge Wein, die bcynr zweyten Abzapfcn mit hcraus-
fiießt; und es bleiben also nach dem zweyten Abzapfen noch

— (a — 6)— - Maß Wein im Faße.

-7 2

(2 — 6)° — 6/

ferner ist wieder s: 6 - ---:-- der Men-

-7 a?

ge Wein, die bcym dritten Abzapfen ausfließt; und cs bleibt

(a-6)- (a-6)-

"och im Faße 2---- - -—; eben so

77 u-

(a—6)^

fi"det man, daß nach dem vierten Abzapfen —

dem

o

a

- log

- loZ

- IoZ

- log

i,5S6zor5
I,z802ll2
O,l76,09lZ
2,0200022
I/99Z6Z52
0,0243648

36

24
e/

IOO

99

— log

176091z

z8-> Sechste Varlcs. m. Abschnitt.

O--)-

dem fünften Abzapfen -; und folglich nach dem »km

(a —-)»

Zibzapfen-Maß Wein noch im Faß verbleiben,

wovon jede Maß o Kr. werth ist. Also ist der Werth der
(« —

ganzen Vermischung --- x -, weil das Wasser hier

a"—i

keinen Werth haben soll. Da aber jede Maß der Vermi¬
schung e/ Kr. werth seyn soll; so ist auch der Werth des

(a —

Vermischung oat Kr. Folglich ist -. c — a-t; und

» log (<r—-) 4- log <7 — (er — l) log Q— log «4-log

1og<7--logül

hieraus folgt /r --

log a — log (a — L)'

Nun ist in unserem Beyspicl:

log
log
log

log (a— S) — log
log L

Folglich er — 40 nebst einem Bruche. Nanu

43648

lich, wenn die Anzapfung 4omal wiederholet wird, so
die Vermifchung im Faße noch etwas besser als ein Wei"-
dessen Maß 24 Kr. kostet. Wiederholt man aber die Ab¬
zapfung 4imal, so ist eine Maß der Vermischung nicht Mh-
24 Kr. werth.

7. Aufgabe. EslegtIemand ein Kapitala — 20022 Fl-
zu - — A pr. Zcnto jährlichen Interessen an, und säM'
mit Ende eines jeden Jahres die Interessen zum Kapital, od"

- ' -' wei-'

Anw. d. geom. Reihen und Logarithm. rc. Z8t
welches cinerlep ist, er erhebt solche, und legt selbe gleich
wieder als ein Kapital an. Wie groß wird nun dieses Ka¬
pital nach der Zeit von 12 Jahren seyn?

Auflösung. Da 102 Fl. Kapital in einem Jahre e.' FI.
Interessen bringen, so bringt das Kapital a Fl., ebenfalls

in einem Jahre—- Fl. Interessen. Denn 122 Fl. Kap.:
122

a FH Kap. — c FH I.: — FH I.; mithin ist am Ende des
122

ac

ersten Jahres Kapital samt Interessen -— ali -I-)

122 122^

^122 -h ,

---al-). Man muß demnach -edesmal das

122 >

122 -h c

Kapital am ?lnfaNFe des Jahres mit ——-— multi-
pl'Ziren, um das Rapital samt Jntevessen am Ende
dieses I'ghres zu erhalten. Es ist demnach das Kapital
samt Interessen

Am Ende des iten Jahres^ a ——-—

/-I22 -h

Äten - --al --— )

>. 122

><122 -t-

zten - --al --- )

122

Folglich ist das Kapital samt Interessen attt Äide des »tetr
^122 ,

wahres a (-— > , oder wenn man den Dejr-

Malbruch setzet, j» ist § -a/.", und

V 122

'OZ IvZ a -h. /t Io§

Nun

z82 Sechste Vorles. HI. Abschnitt.

Nun ist in unserem Beispiele

log er — log- 20222 — 4/Z2I2Z22

» log /1 — 12 log l,2Z — 2,2542716

folglich log § — 4,5553016

und ö- 35917,12 Fl. - 35917 Fl. 71 Kr.

Diese Formel kann aber nicht unmittelbar angewendet
werden, um den Anwachs des Kapitals zu berechnen, wem
die Anzahl der Jahren ein Bruch seyn sollte. Denn es sepia

der obiges Aufgabe rr — m 4-, so ist der Anwachs des

-

^122 4-

Kapitals nach ne Jahren — al-) ; und dieses als

v 122

ein Kapital betrachtet, trägt noch in der Zeit von Jahren
-

-.« (-) Fl. Interesse, weil eben dieses Kapital
1227 122 >

x-1224-6-, l? >-1224-6-"'

a l-) Fl. meinem ganzen Jahre— al-) Si-

122 IO2 122

an Interessen bringet; mithin ist das Kapital samt Inte-
, L > >-122 4-6>"'

ressen nach ( nr 4. — ) Jahren a- — a l --- )

7 > V 102

<7 >-122 4- 6-"° xI22 4- 6 >

--)-e:a( -I si4—

1227 122 122 > 1227^

Würde man aber um den Anwachs des Kapitals nach

nr 4- — Jahren zu bestimmen, in der obigen Forint

7 l.

, I . . „ 122 4- re >

» m 4- — setzen; so wäre a- — a l-—— )

7 v 122

^122 4- >102 4" a-.—

- a ( —-- ) .(-—)? , welches Augenschcn'l^

nicht

Ant. d. geom. Reihen und Logarithm. rc. 383

nicht einander gleich seyn kann. Um den Fehler deutlicher
durch ein wirkliches Beyspiel einzusehen, sey oben zr — 124
Jahre; so ist das Kapital nach 12 Jahren angewachsen auf
35917,12Fl., und dieses tragt noch in 4 Jahr 897,9z Fl.;
weil 102 Fl. in dieser Zeit Fl. Interessen bringen. Mit¬
hin ist die ganze Sunvne nach 124 Jahren § — 36815,05 Fl.
Würde man aber in der obigen Formel zr — 124 setzen,

„ 2,^

so wäre 22022. (1,25) 2; dieses logarithmisch entwickelt
giebt 36804,1, welches um 11 Fl. beynahe zu wenig ist.
Beträchtlicher würde der Fehler sepn, wenn das anfängliche
Kapital größer wäre, oder wenn solches durch eine größere ,
Anzahl der Jahre immer aufdie angeführte Art vermehret wür¬
de. In den k. k. Staaten werden die Interessen in den öf¬
fentlichen Fonds halbjährig ausbezahlet. Wollte man mit
Ende eines jeden halben Jahres die Interessen wieder zum
Kapital schlagen, (welches allhier sehr leicht angeht, weil
die Interessen gewöhnlicherweise um 8 auch 14 Tage vor dem
verfallenen Termin schon ausgezahlet werden); so würde der
Anwachs dieses Kapitals beträchlichcr seyn, als im vorigen
Falle. Z. B. es legt Jemand in das wiener Banko-
Amt ein Rapital von 25200 zu Z4 pr. Zento jährli¬
chen Interessen an, und legt mit Ende eines jeden
halben Jahres die Interessen wieder als ein Rapital-
an; wie hoch wird dieses Rapital in 22 Jahren an-
u>achsen? Wendet man hier obige Formel § — ax" an, so

34
ist a — 25222 , zr — 42 halbe Jahre, und a —

— — — nämlich/z- (^loo-s- 122—1,0175;

4 122 ioo>

folglich log log 25222 4-42 log 1,2175-4-699316«,
und § — 52239,8- Würde man aber nur mit Ende eines jeden
Jahres die Interessen zum Kapitale schlagen, so wäre in der
Formel a — 25220, zr — 22 Jahre, und c — Z' — ,

- 45, nämlich /) - I,2Z5; folglich log § - log 25202

Z84 Sechste Vorlef. m. Abschnitt.

4- 22. log 1,235-4,6967462, und §-49744,6; als»
rim 29Z Fl. beynahe weniger als vorhin.

273.

Aus der Formel I. log § -a log a 4- log /?

- II. log a — log '§ — ,/ log /-
log § —. log a

fliessen folgende <

< ... log - log a

) Iv- /r —---

log ?

Nach jeder dieser Formeln können nun verschiedene hik-
hcr gehörige Rechnungsfragen beantwortet werden.

1. Frage. In einer Provinz befinden sich 2 Millionen
Menschen: wenn nun diese Summe jährüch um den 5^"
Thcil, daß ist um 2 pr. Jenko zunimmt, wie groß würde
wohl die Anzahl der Menschen nach 122 Jahren seyn?

Antwort. Hier ist «^2222222,/) — 1,22; 100;

folglich nach der Formel I. log § — log 2222200
4-i 22. log 1,22 — 7,161 2Z22, und § —14492222 bepnahe.

2. Frage. Es hat Jemand nach 4 Jahren eine Sunp
me von 6222 Fl. ohne Interessen zu fordern : wie viel iß
sie itzt werth, wenn die Interessen zu 4 pr. Zento, und die
Interessen von Interessen gerechnet werden?

Antwort. Hier ist § 6222, //2-4, und/) —i/Och

folglich nach der Formel II.

log a — log 6222— 4 log 1,04 3,712218t/ ""d

« - 5^28,827 Fl. - Zl28 Fl. 49 z Kr.

3. Frage. Ein Wucherer leihet Jemanden 622 Fl.

läßt sich dafür einen Schuldbrief von 802 Fl. ausstellen,
die nach 3 Jahren ohne Interessen zal lbar sind. Wie vic!
Interessen nimmt dieser jährlich von ico?

Antworts

Anw. d. geom. Reihen und Loganthm.re. z8s

Antwort. Hier ist a — 600, » — 800, n z;
. los 822 — los 622

folglich nach der Formel Hl. log ? -

3

r- 0,0416462, und -- -- i,roo6z also etwas mehr als
lo pr. Zento.

4. Frage. Wie lang muß ein Kapital liegen, damit das
Kapital samt den Interessen auf eine Summe anwachst, die noch
einmal so groß ist, als das anfängliche Kapital, wenn die
Interessen zu 4 pr. Zento vorgeschrieben sind, und die In¬
teressen jährlich zum Kapital geschlagen werden?

Antwort. Hier ist «r -- La, ? — l,o4; folglich ist
los La — los a lc>8 2
nach der Formel IV. a --T'

IoZl,o4 log 1,04

— l 7 Jahre, nebst einem Bruche, nämlich nach 18 Jahren
wird die Summe schon großer sepn als das Doppelte des an-?
fänglichen Kapitals.

k. L74.

Aufgabe. Ein Kapital a wird angelegt, und nach
Berkaus eines jeden Jahres nicht nur mit seinen gefallenen
Interessen zu a pr. Zento, sondern auch noch überdieß mit
einer Summe S vermehret. Wie groß wird wohl die ganze
Summe § nach a Jahren sepn?

Auflösung. Der Anwachs des Kapitals a nach » Iah¬
ten ist nach der vorigen Aufgabe -v", wo wie vorhin
. loo 4- <?

.-ist.

roč.

Der Anwachs der Summe S, die nach Verlauf des
trsten Jahres, oder mit Anfang des zwepten Jahres ange--
iegt wird, ist t, weil diese Summen nur durch n— l
Jahre anliegt.

Der Anwachs der Summe ä, die nach Ende des Lten
Jahres angelegt wird, ist —

vorles. I. B. B b Eben

z86 Sechste Vorles. Hl. Abschnitt.

Eben so ist der Anwachs der Summe S, welche mit
Ende des Zten Jahres angelegt wird — S/-"— Z u. s. w.

Endlich ist der Anwachs der Summe S, welche am Er¬
de des vorletzten, oder mit Anfang des letzten Jahres ange¬
legt wird — weil diese Summe nur ein Jahr liegt.

Es stehen demnach die Summen, auf welche die jährlich
zugelegten Theilc S anwachsen , in folgender geometrischen
Reihe:

-s- 4- 4 . . . . S/,"—r; hiervon ist die Summe

i)

— -„ach o. 2AL. N. Z.).

I

Addirt man nun zu diesem Betrage noch den Änwachi

des Kapitals a, so erhält man § — 4-- --

?- !

Es sey z. B. « — 6ooo, — Zoo, — io,

und die Interessen sind zu Z pr. Zento vorgeschrieben, neu¬
lich - i,oZ;

so ist — 9773,37 ? wenn man jedes insbesondere
und !,ZZiZ-8 logarithmisch entwickelt

alfo^-r-I- O,ZZIZ28.

M,chm ^78^

? — I o,oZ

folglich - 9773,37 -b 5788,94 - 15562,31.

Setzet man aber in dieser Aufgabe S , nämlich
daß die jährliche Zulage dem anfänglichen Kapitale gleich st;
so ist § — o/, -4 -s- 4 . . . . a/,"—r 4 a-s" >

also nach (§»254. N. Z.) ——

7-1

und I. 1o§ —Ic>8«-s-l0F/,4-l0F

II. loZ a— log^4-Iog(^—— —IoZ(z-"-l)

loe; s^/- 4- - i — loZ »

III. n —-——--— 1.

Jede

Anw. ö. gcom. Reihen und Logarithm. rc. Z87

Jede dieser Formeln löset nun wieder verschiedene da^.
her gehörige Nechnnngsfragc» auf, wie sich ein jeder deren
einige nach Belieben in Zahlen aufsetzcn, und durch Hilfe
der Logarithmen entwickeln kann; z. B.

i. 5rsFe. Ein Kaufmann war verpflichtet durch 6
Jahre hintereinander mit Anfänge eines jeden Jahres4002 Fi.
j» bezahlen: er hat aber gar nichts bezahlet. Wie viel ist
er am Ende des 6ten Jahres schuldig - wenn die Interessen
zu 4 pr. Zento , und Interessen von Interessen gerechnet
werden.

Antwort. Hier ist a 4220, n -- 6, c — 4;
cho 1,24; folglich ist nach der Formel

?. WZ§^I0Z4222>-r-.oz 1,24—loZ2,O4-I-io8(t,24^'-rI

—log 4222 4-10^26-j-log (1,24^—t).

Nun ist (4,24)^— 1,265318, logarithmisch entwickelt;

hrner!o§ (1,240--1) - IoZ 2,265z i8 — 0,4237667 - 1

lOF 26 - -- - 1,4149733

log 4022 " -- - 3,622 2622

lvZ § N- - - 4,4408022

ielglich L 27593,27 Fl.

2. 8r«ye. Es hat Jemand nach ^2 Jahren eine Sum¬
me von 12222 Fl. ohne Interesse zu erheben; er will aber
dafür wahrend diefer 22 Jahre mit Anfang eines jeden Iah-
ts eine gleiche Summe dafür erhalten, damit die Schuld
nach 22 Jahren ganz getilgct scy. Wie viel kann ihm jeihr-
Üch gegeben werden, wenn die Interessen zu 4 pr. Zentö
vorgeschrieben sind?

Antwort. Hier ist § 0^ 12222, » — 22, § — 4;
^lsv ? 1,04 ; folglich ist nach der Formel U. Ioz a-

'oz 12222 4- log 2,24— lOA 1,24 -- (1,04'^" 1 -

Nun ist (1,04)'° — 2,19112.

da:

B b 2

Z88 Sechste Vorles. ul. Abschnitt.

daher IoZ 12222— - - - 4,0000200

1oZO,s4 " - 2,6220600-2

dek.E.IoZ(i,04"°—i) — d.E. IoZ i, 19112 — 9,9240445
Lek. E.IoZ 1,24 — - - - 9,9829667

Folglich log« — -- - - 2,5292712

und a — 522,922, welches jährlich für diese Schuld be¬
zahlt werden kann; weil diese Summe zu 4 pr. Jenko an¬
gelegt, und jährlich auf die angeführte Art vermehrt in 2»
Jahren eine Summe von 12222 Fl. zum Vorschein bringet.

5- 275.

Aufgabe. Ein Kapital a wird zu «? pr. Jento ange¬
legt , und das Interesse jährlich zum Kapital geschlagen:
es wird aber hingegen mit Ende eines jeden Jahres eine
Summe S hinweggenommen; wie groß wird der Rest K
nach n Jahren noch seyn?.

Auflösung. Das Kapital a, wenn Nichts davon ge¬
nommen wird , bringt in /r Jahren die Summe 0?" zum
Vorschein vermög ( §. 27Z.); und die Summe S, die mit
Ende des ersten Jahres hinweggenommen wird, kann eben¬
falls als ein Kapital angesehen werden, welches in O — l)
Jahren auf S-o»—r anwachsen würde, wenn es durch diese
Zeit immer angelegt verbliebe. Eben so wächst die Summe
S, welche mit Ende des 2ten Jahres hinweggenommen wird,
als Kapital betrachtet auf S/,"—2 u, f. rv., und die Sum¬
me S, welche am Ende des vorletzten Jahres hinweggenom¬
men wird, auf Ho. Endlich , da am Ende des letzten Jah¬
res ebenfalls noch S Fl. hinweggenommen werden, so ist
nach » Jahren das Kapital 0^", um S4-S/?4-S/-1- . « - '

vermindert worden. Diese Reihe nach( 2Z4, N.A»)
SO" — i)

summirt, giebt --»

Anw. ö. geom. Reihen mrdLogarithm. rc. Z89
o" — l)

Folglich I. /? — a/,»--

?- I

- l) -K

II, a —---s- —

?"

UI. S («/,"

r

...

LV. /r --—-

KZ?»

Einigt Beyspiele zur Anwendung dieser Formeln.

I. Frage. Es legt Jemand ein Kapital von Z2202 Fl,
zu 4 pr. Zento an, und nimmt jährlich von den Interessen
802 Fl. zu seiner Unterhaltung weg; den Ueberrest aber
schlagt er zum Kapital. Wie groß wird dieses Kapital nach
!Z Jahren seyn?

Antwort. Hier ist a — 30222, S —8oo, n—IA,
Md 4. nämlich x — 1,04; folglich ist nach der For-
m-li < .>.5 800.(1,24)^-802

mel I. /? — 32022. (1,24)^-—-.

Nun ist(1,04)'^ — 1,800941, folglich^? — 38009,41.

r. Frage. Es hat Jemand durch 6 Jahre hinter¬
einander eine Rente von A22 Fl. zu geniessen: er ist gesinnt
diese Rente zu verkaufen; was wird sie wohl itzt werth
seyn, wenn die Interessen zu 3^ pr. Zento vorgeschrieben
sind? Oder, welches einergy ist: es will Jemand seinem
Freunde ein jährliches Auskommen von 502 Fl. bey einer
allgemeinen Lehnbank durch 6 Jahre anweifen; wie groß
Muß das Kapital seyn, welches bey dieser Bank zu erlegen
ist, wenn die Interessen zu pr. Zento gerechnet werden,
und am Ende des 6ten Jahres das Kapital samt den In¬
gressen verzehret seyn soll?

B b z Aut.

29o Sechste Vorles. m. Abschnitt.

Antwort. Hier ist das unbekannte Kapital a, dH
jährliche Rente 522 Fl. — 6 Jahre — er, 3^ — r,

mithin /) — 1,235; und da nach Ende des 6ten Jahres
das Kapital samt den Interessen verzehrt scy» soll, so ist dec Rest
A —oz folglich ist nach der Formel l!.

Zcw.(l,OZZ)«-.ZO0

(l,0Z5^.O,OZZ

-14286

^-2«zN.

(l,VZ5^

Z. Frage. Es ist ein Rittergut zu verkaufen, und es mek
den sich drep Käufer: der erste will dafür 34522 Fl. alsogleich
daar bezahlen; der zwcpte biethct 38222 Ft. aber so, daß er
6202 Fl. alsogleich, und 4 Jahre hintereinander mit Ende.eines
fedenJahres FooO Fl. erlegen will; der dritte brechet 422208!.
jedoch so, daß er 4222 alsogleich, und 6 Jahre hintereinan¬
der mit Ende eines jeden Jahres 6222 Fl. erlegen will. Wec
hat nun am meisten geborhm, wenn die Interessen zu A pr.
Zento gerechnet werden.

Antwort. Man untersuche so wie im vorhergehende^
Bcyspiele, wie viel die Z2222, welche der 2te in vier Zah¬
lungsterminen bezahlen will, für itzt werth sind; nämlich
man setze in der Formel II. L — 8222, er — 4, /a — i,oA,
und K -- 2, und man findet für den jetzigen Wertss mesch

8222(1,25)^-8222

Zahlungen a —--- --—

(l,2A)ch2,0Z

16222V
162202 — -—

(i,o5>'

— 28367,6, Mithin ist der Anbokh des zweytcn

- 6202 ch- 28367,6 - 34367,6 Fl.

Eben so bestimme man aus der Formel II., wie viel
die 6 Zahlungen des zten für itzt wert!) sind, indem man
F — 6222, " — 6, /) — 1,25 , — 2 setzet ; und

-man findet sür den jetzigen Werth a 32454,14. Mithin
istderAnboth desZten — 42224-32454,14 — 34454,14^
folglich hat der erste den größten Anboth gemacht.

4.

Auw. d. geom. Reihen und Logarithm. rc. 391

4. 8ra?e- Es soll eine gegenwärtige Schuld von
1002 Fl. in fünf jährliche Zahlungstermine eingetheilet wer¬
den, damit am Ende eines jeden Jahres eine gleiche Summe
bezahlt wird. Wie groß muß diese Summe scyn, wenn die
Interessen zu 5 pr. Zcnto vorgeschrieben sind?

Antwort. Man sehe die Summe, welche alle Jahre
bezahlt werden soll, als eine Rente an, wovon der gegen¬
wärtige Werth 1020 Fl. ist ; also ist hier a — 1222,
» — A, — i,2Z, A — c>; folglich nach der Formel

III. § - —232,97 Fl., welche in je-
1,25b-!

dem Termin bezahlt werden müssen.

5- 8r«ge. Es hatJemand ein Kapital von i22222Fl.
i» Z pr. Zento anliegen : allein mit den Interessen hiervon
kann er seinen Aufwand nicht bestreiten; er braucht jährlich
«ine Summe von 62228!., und ist daher bemüssiget vom Ka¬
pitale mit Ende eines jeden Jahres so viel hinweg zu nehmen,
daß dieses samt den gefallenen Interessen 6222 Fl. beträgt.
In wie viel Jahren wird der Mann wohl ein Bettler wer¬
den, wenn er so fortfährt?

Antwort. Hier ist a 122222, ö — 6222,
? 1,25, und — 0 ; folglich nach der Formel IV.

I0A—6222— I0Z—1 222 — 6222X

a —-— (IoZ-) :IoZi,2A

IvA 1,25 — 1222^

- z Ich,, bch--h.. W°°-

1,25 2,2211893

ke man nun wissen, wie viel ihm nach verflossenen 36 Jah¬
ren noch übrig bleibt, so setze man in der Formel I.

122222, S — 6222, /v — 1,25 und n — z6z so
Kndet man ^^4163,7 Fl., welche mit Anfang des z/ten
wahres noch vorhanden sind. Dieses bringt in vielem Iah-
" noch 228,2 §l. Interessen; mithin hat dieser Mann an,

Bb 4 Ende

M Sechste Vortes. in. Abschnitt-

Ende des Z7ten Jahres 4371,9 Fl. zu empfangen, ws so¬
dann das ganze Kapital samt Interessen verzehrt ist.

„ 0,778151z

Man wurde aber fehlen, wenn man » - -

0,021189z
r- 36,72z Jahre " z6 Jahre 266 Tage setzen wollte;
nämlich daß dieser Mann den nämlichen Aufwand durch z6
Jahre und 266 Tage treiben könne; denn der Rest 4163,78!.,
welcher nach verflossenen z6 Jahren verbleibt, bringt in
266 Tagen 151,7 Fl. Interessen; also hat er nach Verlauf
dieser Zeit in Allem 4315,4 Fl.; er braucht aber in dieser
Zeit zu seinem Aufwande 4372,6 Fl.; mithin hak er um
§7,2 Fl. zu wenig.

6. Frage. Eine Gemeinde hak von ihrer Herrschaft
rine Summe von 20022 Fl. ausgeborget: dagegen hat sie der
Herrschaft einen Wald, welcher jährlich 1522 Fl. reinen Nutzen
bringt, indessen zum Unterpfande Hindun gegeben. Wie viele
Jahre kann die Herrschaft diesen Wald mit Recht benutzen,
wenn die Interessen zu Z pr. Zento und Interesse» von Jn-
ressen gerechnet werden?

Antwort. Hier ist a 20220, /, 1520,— 1 ,oZ,
und weil das ganze Kapital durch Benutzung des Waldes
getilgt seyn soll, ist — 0; folglich nach der Formel lV-
. - 2^ -1-, ,,°z

log I,2Z - Zoo >

L- -^5-3- 477l^3 __ beynahe, durch

log I,2Z 2H89Z

welche die Herrschaft den Wald mit Recht benutzen darf.
Und wenn man nun in der Formel I /r - 22, « 2200a,

S — 1Z00, und/>^: i,oZ fetzet, so findet man747-4^''
welches die Gemeinde der Herrschaft nach verflossenen 22
Jahren bey der Zurücknahme des Waldes noch zu bezahlt
hat. Gesetzt aber die Herrschaft hätte das Pfand durch 3^
Jahre benutzet, und nun soll liquidrrt werden: so ist nach
dck

Z9Z

der Formel Z> H'. — — 13219,5. Nämlich die Herrschaft
muß der Gemeinde nebst dem Wald auch noch eine Summe
von 13219,5 Fl. zurückgeben.

Anmerkung. Diese angeführte Rechnungsaufgaben m'ö-
gen einstweilen hinreichend seyn, um den Nutzen einzusehen,
welchen die Logarithmen auch Key den, im gemeinen Lehen
vorkommenden Rechnungen verschaffen; und wie schwer
es demjenigen blos mechanischen Rechner fallen müsse, der¬
gleichen Aufgaben aufzulösen, dem die Theorie der Logarith¬
men ganz unbekannt ist. Indessen kann doch der fleissige An¬
fänger sich über alle diese vorhergehenden Formeln verschiedene
numerische Beyspiele aufsetzen, um sich den Gebrauch der
Logarithmen recht geläufig zu machen.

IV. Abschnitt.

Von den Funktionen, und ihren Verwandlungen.

Bey der Auflösung mathematischer Aufgaben findet man
»ft für die gesuchte Größe einen analytischen Ausdruck, wel¬
cher eine, oder auch mehrere unbestimmte Größen von der
Beschaffenheit enthalt, daß man für jede unbestimmte Gro¬
ße beliebige Werthe setzen könne, wodurch auch der gefun¬
dene Ausdruck verschiedene Werthe anuimntt. Z. B. aus der
Aufgabe zwey Größen er und zu finden, deren Pro-
er

dukt - « sey, folgt — a , , und.r -- NuNMk

man nun in der letzten Gleichung für^ einen beliebigen Werth
«n, etwa — so ist sodann ae — 2; setzt man -wer
- L a, so ist.-r-z u. s. w., wo für jeden geänderte r
Werth von sich auch er- verändert; nur «r allein wird hier
für unveränderlich angesehen. Diejenigen völlig b-.mmmtcn
Größen, welche in einer Gleichung immer -inen namllchen

PbZ

294 Sechste Vorles. lv. Abschnitt.

Werth beybehalten, werden bestssn-igo oder unveränderli¬
che Größen genennet; solche unbestimmte Größen aber,
denen man in einer Gleichung nach Belieben verschiedene Wer-
khe beylegen kann, heissen veränderliche Großen. So
sind in dem angeführten Beispiele -v, veränderliche Grö¬
ßen, a aber ist beständig. Man pflegt überhaupt die ver¬
änderlichen Größen, so wie die unbekannten mit den letzte»
Buchstaben des Alphabets .r, i-, r, und die beständige»
mit den ersten «, o- zu bezeichnen.

Ein algebraischer Ausdruck kann zwar »ach (§. Z7-)
eine Funktion von jeder darin» vorkommenden Größe genen-
net werden ; »ran pflegt aber diejenigen Ausdrücke, worin»
sich veränderliche Größen befinden, blos Funktionen von de»
veränderlichen Größen zu nennen. Sy sind z. B. die Aus-

drücke ass--ar, arr -—--, a — Funktionen

a —- rr

von der veränderlichen Größe er z und die Ausdrücke aa/>
4- arr

.- sind Funktionen von ar und von /»

u. f. w.

Ist daher zwischen zwey veränderlichen Größen -r und
eine Gleichung gegeben, so läßt sich sowohl rr durch/,
als auch x durch ar ausdrücken, das heißt, rr ist sowohl
eine Funktion von )', so wie eine Funktion von ar stW
muß.

277.

Die Funktionen werden eingetheilet in ganze und ge¬
brochene. Ganze Funktionen heissen diejenigen, worum sich
im Nenner keine veränderliche Größe befindet: hingegen wer¬
den jene Funktionen, welche im Nenner veränderlrche Größe»
enthalten, gebrochene Funktionen genennet.

Ferner werden die Funktionen in rationale, und er»
rationale Funktionen tnrgttheilet. Rational heissen sie»
wenn

Von d. Funktionen u. ihren Verwand!. zH§
wenn die veränderliche Gr'öße mit keinem Wurzelzeichen oder
gebrochenen Exponenten behaftet ist; im Gegentheile, wenn
sich in der Funktion die veränderliche Größe unter einem
Wurzelzeichen befindet, oder einen gebrochenen Exponenten
hat, so ist solche eine irrationale Funktion. Co z. B. ist

. , ,

-eine ganze rationale, al/.r — s eme ganze irrer¬
er

a.a? — L al^ (r-p^)

tioizale, ——— eine gebrochene rationale, und-

eine gebrochene irrationale Funktion,

§. 278,

Jede Funktion einer veränderlichen Gr'öße, aus wie
viel Gliedern sie auch bestehen mag, läßt sich auf so viele
Glieder bringen, als verschiedene Potenzen der veränderlichen
Größe vorhanden sind. Z. B. die Funktionen 4.

Zw — « 4- Aca4 —. 4^ -s- w? scheint 8 Glieder

Zu haben ; ordnet man selbe aber so, daß eincrley Poten¬
zen der veränderlichen Größe zusammen zu stehen kommen;
ft hat man (a—l).i44-(2a4-Zc4-l)a?4-5rr4-(Z^c—-a);
uamlich eine Funktion von 4 Gliedern, oder wenn man die
beständigen Koeffizienten (zöc — a) — A —
ira-sizc-i-1)— (7, und (s— r) setzt, so ist die
Funktion - Lr 4- (7^" 4-

?. 279.

Es läßt sich daher keine ganze rationale Funktion von
chlcr veränderlichen Größe ar gedenken, die nicht unter die
Gestalt oder Form 4- 4- 4- 4- - . . .

Zkbracht werden kann , wo die beständigen Koeffizienten

A, <7, D u. s. w., was immer für positive oder nc-
Mive, ganze oder gebrochene, rationale oder irrationale
^4he haben können, sind sede rationale gebrochene Fun!--
«" tion

I9ß Sechste Vorles. IV. Abschnitt.

. ^4 Lrt-4 t7^4Dw'..

rion kann daher durch die Form --— -—

«4^4 4

vorgestellet werden, wo die Koeffizienten derjenigen Poten¬
zen , welche in der Funktion abgehen, — o seyn müssen.

§. 28o.

Wenn man zwey Funktionen einer veränderlichen Größe
von einerlei) Form, z.B.(^4 ^4 k7.t^44>^44.r"4..)
und (a-j- 4a.r?4 et^b4<-^«4>.)

miteinander multiplizirt, die Faktoren mögen gleich viel,
eine bestimmte ober eine unbestimmte Anzahl der Glieder haben;
so kann das Produkt als eine Funktion von eben der nämli¬
chen Form dargestellet werden.

Denn es ist nach den Regeln der Multiplikation (§.64.)
(^4- Sar4 («4^40^4 <s^°4c.r6 .)

....

4L^r-4^S^4S6lr?4SD.r»4 ....

4^^6rr^ 4cZ^4 <7 <7^^ 4 ....
4-ak^a^4esSa44 ....

4e^4r4 4 ....

Sehet man nun-^a^«,sL4^^—A, at74^^4-e^^<

4 64 4 Z, «L 4 -D 4 c 64^ 4- ,

so ist (^4^4 64°4 D.^4-. .) x (a 4-L^4-o^' 4e/er4 .-)
- w 4 /Z^e 4 ^4 4- 4 ....

Das nämliche findet auch statt, wenn mehrere Fakto¬
ren von der nämlichen Form miteinander multipliziret werden.

§. 28i.

Wenn man die Funktion >64^4 64^4D.r^4 . >

die Anzahl der Glieder möge bestimmt seyn, oder ohne Ende
fortlaufcn, nach den Regeln (§. izr.) zum Quadrat erhe¬
bet, und die gleichnamigen Potenzen der veränderlichen Gra¬
ste untereinander gehörig ordnet, so ist
/^44 (7^44-§a44 . . »

Lrtzet

«b a*

a

H? w^

4- - -s- Hw

a'

, H^ w^ Hr

a^ «>

H^w^

"—- Hw «. s. W«

«t'

Von d. Funktionen n. ihren Verwandt. Z97

L^4-2^Lw4-L' ? , 4- 2 s <?, -k- e- ) 4-...

4-2^s 4-2SD^w'

4- 2^^

folglich ist das Quadrat wieder eine Funktion von der nämli¬
chen Form.

Auf die nämliche Art könnte auch die Funktion
4- -?w 4- <7a4 4- Owb 4- . . . . nach den Regeln
(§. iAZ«) zum Kubus erhoben werden.

Ueberhaupt muß jede Potenz eines ganzen Exponenten
von der Funktion 4- Sw 4- 6'w^ 4- Dw^ 4-
wieder eine Funktion von der nämlichen Form seyn; weil
jede Potenz ein Produkt von lauter Faktoren einer nämlichen
Form ist vermög (§. HZ.).

§. 282.

l

Jede gebrochene Funktion von der Gestalt ———
a 4- Hw
läßt sich nach den Regeln der Division ( §. 6/.) in eine un¬
endliche Reihe verwandeln; denn es ist

i H^w? H*w* .

l: (a 4- Hw) — — — —

a a*

, . Hw

L tL —

a

Hw

— — 4» Hw

a

Hw H* w?

398 Sechste Vorles. IV. AbschmtL

Setzet man nun die beständigen Koeffizienten —

— 6^,-- — D u. s. w., so ist

«- «- er''

--4- L'ar 4- 4, D.x? -s- , . . .

S 9- /-w

Eben so läßt sich auch durch eine blosse Division stst

gen, daß die Funktion ----- durch eine rbtü

er-l-

solche Form A-s- B.r-k- Cn.---1- Der- vorgestellet werden könne.

. r-f ..

Nun ist-- —-^B«4-D.r-4-B^4 ,)

<7-s.A.r-s-en7^-s-es.rb-k-.

!

X-——.-.-( ce 4- Dw -s- ^'.r' Z.r^ 4-..) X

s-s^.r.--l-c.r--l-</.r '-j-. ..

(A -s- Br -s- C.r- 4-Dw-4-....), und ferner wegen (§. 280.)
" a 4- b.r 4- c.r- 4- d-r^ -j- e.a4 -s- sr^4-. ... daher kann jedt
gebrochene rationale Funktion durch eine Eben solche Form vor-
Zestellet werden.

5. 28Z.

wenn eine Funl'tion einer verandvvlichen Gtöße
von dek Form r/4-/,'.r-s- L7n4-s-/).r--!-L.r''4-/^4.. ...
sie möge eine bestimmte oder unbestimmte Anzahl bet
Glieder enthalten, immer gleich Null verbleibet, was
Möge für -r was immer für einen Werth , auch -r — ci
annehmen, so muß jeder der beständigen Koeffizienten
— oseyn; nämlich^— o, 0, <7— o, D—0.

Denn man setze w — 0, so sind auch alle PotenZ-'il
vonw — o; daher verschwinden alle Glieder der Funktion
bis auf das erste Glied ; und man erhält sodann — v,
Da aber ^ eine beständige Größe ist, so muß auch bei) jedenl
andern Werthc von w der nämliche Koeffizient 2 seh».

Von d. Funktionen u. ihren Verwandt. 59z

Da nun ^"2 ist, so kann solches in der Funktion
ausgelassen werden, und man erhält2 —^rr4(4?4^4r^4..
oder wenn man alles durch er dividirct , so ist
o — L 4 (7r 4 D.r" -s- . . . , , wo nun wieder für
er 0, auch 6 — 2 seyn muß ; und folglich ist auch
L— o für jeden andern Werth von rr, weil K ebenfalls
eine beständige Große ist. Und eben so laßt sich zeigen,
daß (7 2, D — 2 u. s. w., nämlich daß jeder Koeffi¬
zient — o seyn muß.

Die Nichtigkeit des angeführten Satzes bey einer Funk¬
tion von der Form^4^w 4 (7rr^ 4..—2

läßt sich auch auf folgende Art darthuu.

Man nehme eine beliebige Anzahl der Glieder dieser Funk¬
tion, z. B. vier Glieder, nämlich >4!- 4— o,

und setze hier für die veränderliche Größe a- eben so viele ver¬
schiedene Werthe, damit man so viele Gleichungen erhalte, als
Glieder der Funktion genommen worden sind; nämlich man
sitze zuerst er i, sodann w — 2, w — Z, rr — 4 u. s. w>,
st erhält man folgende Gleichungen

^4^4 (74. o

4 2^il 4 4^ ^s- 8D — o

4 4 9(7 4 27D — 0

4 4Z 4 i6(7 4 64O — 0

Hieraus findet man durch die Subtraktion der Gleichungen
nach (222. O, — 2, (7 — 2, D — 0. Und
st kann man so viele Glieder der Funktion annchmen, als
inan will, und durch die Formirung eben so vieler Glcichutt-
Zeu zeigen; daß jeder Koeffizient — 2 seyn müsse.

So wie vorher erwiesen wurde, daß bey derangeflihr-
ttn Funktion unter der gefetzten Bedingung jeder Koeffizient
0 seyn müsse; eben so läßt sich dieses auch darthuu,
tvenn die vorgelegtc Funktion irgend eine andere Gestalt
hatte, z. B. "
o^4L^4(7^4?44'^42-4L^''b^4^4^4..,.

es

4os Sechste Vorles. iv. Abschnitt.

es mögen und - was immer für ganze oder gebröchük',
positive oder negative Zahlen, bedeuten.

Ist nun eine Funktion von der Gestalt «4- Sn" 4-
immer gleich einer andern Funktion
von der nämlichen Form

«4-Bn° -i- -/^4- 4- 4..... s-^4^-4 cün?^,

unter der Bedingung, daß n jeden beliebigen Werth an-
nehmen kann; so müssen die beyderseitigen Koeffizienten, die
zu einerley Potenzen von n gehören, einander gleich seyn-
«nd jene, welche auf der andern Seite keine csrrefpondiren-
den Koeffizienten der nämlichen Potenz haben, müssen für sich
0 seyn.

Denn da a -s- Sur? 4- -7^4- 4- ük^4r- _s, 4.

L 4 4- ^^4-4- Z^p4s-/4-.. ,. 4-7r^4-"-4- co^4?

ist, so ist auch, wenn man alle Glieder auf eine Seite des
Gleichheitszeichens bringet,

ce -j-^1 -p. .4^1 4-con^^

S — «.^4"?

-..-Fg

folglich ist vermöge des Vorhergehenden

2— a—o, /Z— S —c>, — c — o , V-.F —o, eo-:o;

Und daher «^a, Dc^s, <x—?r—§, und w—ö.

284»

Wir wollen von dem angeführten ungemein fruchtbar^
Satze alsogleich einige Anwendungen machen.

s —5 ,

Aufgabe. Man soll die gebrochene Funktion

sine gleichgültige Reihe verwandeln.

Auflösung. Man setze nach (§. 282.)

K —er
-— ^4' ^4° 6a? 4° 4- 4-...»

^4-«

«e

- ''

LZon d. Funktionen n. ihren Verwandt 4or

hie beständigen Koeffizienten /7, (7, D u. s. w., sollen
nämlich von der Beschaffenheit seyn, daß bep jedem Werth t
von w diese Gleichung statt finde. Um nun die Koeffizient- -

L, 6', 4) wirklich zu bestimmen, multiplizier man bor¬
de Theile der Gleichung mit dem Nenner «4 er; so erhält man
a--ae —a^-^aA.r-h-«Ler^-z-aDer3-s-a^er"-i-'. ..

4- 4 4. (7.rb 4- 4-. ..

bringt man nun die Gleichung auf Null, so ist

a^44rr^> 4^(7^ 4rr^^ 4 * * »

0 , a 4

4- I 4" 4- (7^ 4° ^7^ 4" , » -

daher ist vermög (§. 28Z.)

-^a —, a — 0, und — 4- l
2

aÜ 4 41— o, -L — —

er

2

--<74-L-o,

«L 4 D — o; u. s, w.

folglich ist

<7 — ,x 2rv 2w^ 2-r^ 2 a"

— — 1 — — 4- — - -- 4

a4-a- <r s''

welches man auch erhalten würde, wenn man

nach

(§.282.) durch die Division in eine Reihe verwandelt,
sodann solche mit.dem Zähler (a — er) multiplizuet.

Auf diese Art laßt sich auch jede andere
Funktion in eine gleichgiltigc Reihe verwandeln , ch.cn
dlc gegebene Funktion einer Reihe /

4 L^-ch---r- -ch . gleich fttzt, w- d-e (r--

pvnenten in einer solchen arithmetischen uuf c.nm,!. .,.
folgen müssen, daß alle Exponenten der veränderlichen Gre -,
^e, die sich sowohl im Zähler als -m Nenner befinde. ,,
darunter enthalten sind; sodann wird die angenommen^ -

V-rlesi I. L. § *

4oL Sechste Vorles. IV. MschniLr.

he mit dem Nenner der Funktion muktipliziret, die GleistM
auf 5?ull gebracht, und jeder Koeffizient entwickelt. Z.

i 4-

es sey-in eine unendliche Reihe zu verwandeln;

l—r—

so setze man

I -I- er?

- - I 4-^r4-Sr'4 er? 4-Or" 4- Lr'4 ^4..
I— r— -

Es ist hier für das erste Glied der Reihe r angenem-
men worden^ weil es einleuchtend ist, daß für er — o dis
Funktion — i sehn muß. Multipliziret man nun beyderftits
mit dem Nenner, und bringet die Gleichung auf Null, so ist
o — I 4- 4- 4- 6'.r? 4- 4. LVr? 4. 4 . . .

— l — — — L4'— ....

— .

daher ist l—0, R—i—0, <7 —L—i-o,
/)-. <7—^—0, L —S-.L—0,

nämlich I/S^2,e^:Z, /) —4, 9U.s.w.

folglich  -— l 4- r 42^4 Z---^4-4^4 6 r^4-9 ^4 - -'

l— >7 — ,r?

Wo jeder Koeffizient vom chten ängefangen aus dem ite»
rind ztcn vorhergehenden besteht; so z. B. ist der Kocffjinit

L 4- L', nämüch 9 — 6 4- z, und der barauffoizen-'
de ist - 9 4- 4 — iZ; so daß daher diese Hoeffiz-mtm
in einer sogenannten wicdorkehrenden, oder recurrente»
Reihe fortgehen. Maa nennt solche Reihen, wo jedes fol¬
gende Glied aus einigen vorhergehenden beseht, rmeScc-'
kebrend, oder recurrent, weil die i:en, 2teu, Zten.--
Differenzen immer die nämliche Reihe wiedergeben.

Imgleichrn es sen ---',"^7—" m eine g!e chgiltige Aeihe
2 4-t^er

ju verwandeln, sd setze inan

——— 4- 's- 4- 4- ^' 4- . - '

2 4-

Von d. Funktionen u. ihren Berwandl. 4^

L L

ss ist er4- l —2^4-2ö^ 4-2 6.r4-2O.r^ 4-2Lr'4- . .

^c. . ?

4- 4- 4- (7.r- 4- 4)' 4-. .. <:

-I_ . s

imd Q — 2^4-2^^' 4-26er 4- sD-r" 4- 2§.r'

— i 4- -j- Kar 4- 64 ? fl-Due'

—

karausfolgt^—^-7?——r,s'—u. s,

2-i-t^.r 2 4 8 A2

Eine ausführliche und gründliche Abhandlung vs
Derwandlung gebrochener Funktionen in gleichgflrige 54c-.
findet man in Hrn. pasquich inathenu Analpf. l. B.'

§. 285^

Aufgabe. Man soll die Funktion /

(ae - 2.^ 4- Z.^ — 4^ 4- z — 6^ 4 . . . . . )
in eine gleichgiltige Reihe verwandeln.

Auflösung. Es fty (.r —2^4-Za4 —44 4- ...

, -i. _r .7 »

— 4- /4r- 4- 4- 4- ' 4-.

Man hat hier auch im ersten Giiede .r angensnmi.'t,
weil für ^7 — 0 auch die ganze Funktion - 0 feyn muß.

Erhebet man nun beyde Theile der Gleichung zum Quadr >
f» erhält man ae — 2 r' 4- Za? — 4^4 5'

- 4- 2 4- /4.r^ 4- 2 «4- 64'

4.2 ^64-4- 2^/)^ 4- 2
4-2.^-r^

und wenn man bie Gleichung auf Null bringet

) 4-2^L) 4-ZL- -) 4-2^67 4-6'7

v-n 6x-4-246^b4.2^<^4-2

—4-2 —Z 4- 4 4-2^l/d^

5 -5

C c 2 Hl«-'

404 Sechste Vorles. i^. Abschnitt

Hieraus folget—i,L——i, (7— i, D— — i, L — i u. f. w.

folglich ist (ar — 2ar? 4- Z.r? — 4.^ 4- Zar? — .....)?

-I r. ?. s.

— ar? — ar? 4- — a ? 4- ar? 

Wenn man aber die Funktion (ar—2.r-?4-Z.r?—4^4. ..)?

_I. L

— >far? 4-Kar 4-<7ar?-4Da'? 4-K.r? setzet, so findet man
Hey der Entwicklung, daß die Koeffizienten an den geraden
Stellen K, D,Ku. s. w- — o seyn müssen.

Auf diese nämliche Art läßt sich auch jede andere.irra¬
tionale Potenz einer Funktion in einer gleichgiltigen Reiht
darstellen, wenn man die Funktion einer Reihe von schick¬
lichen aufeinander folgenden Potenzen der veränderlichen Grö¬
ße gleich setzet, sodann durch die Lehre von den Potenzen
die Funktion von dem Wurzelzeichen oder gebrochenen Expo-,
nentcn befreyet, und die unbekannten Koeffizienten nach dem
(§. 28z.) vorgetragenen Satze entwickelt. So z. B. findet
man auf diese Art

Z ar? a-- Za^ ioar'?

^(«?-4 ar?) ^2 «4- -— — -4 -—--  --4- - '

za? 9a? 8t«b L4Z a"

: Z

wenn man l/(a? 4- ar?) — a 4- ^arb 4- Lar- 4 Kar^-4> "
fetzet, beyde Theile der Gleichung zum Kubus erhebet, und
die Koeffizienten K, L' nach (§. 28Z.) entwickelt. Die
nämliche Reihe haben wir auch schön im (§. 140. Beispiel
N, Z. ) gefunden.

.. §. 286.

Aufgabe. Man soll das summatorische Glied einer Rei¬
he finden, deren allgemeines Glied eine gegebene rational
Funktion von " ist; als z. B. e 25 4-4^-^-".

Auflösung. Da das gegebene allgemeine Glied eine
rationale Funkrion von " ist, so kann solches vermsg
(§.247.) als das allgemeine Glied einer arithmetischen Rei-'
he des so vielten Ranges, als der höchste Exponent von "
Einheiten enthält, angesehen werden. In unserem Bryschs
ist

Boy d. Funktionen u. ihren Verwandt. 40z
ist es also das allgemeine Glied einer arithmetischen Reihe des
2ten Ranges; hiervon ist das summatorische Glied vermög
(j. 2Z8») -s — -si (7/r^.

Da nun // eine veränderliche Größe ist, so setze man
in dieser Formel (// — i) statt er, so wird man die Summe
von O — i) Gliedern haben , die wir mit -r* bezeichnen
wollen, nqmlich

? 1) 4- L(/r - i)-4- <7(/r - -^4- L/?

— 2^-i-^>4-<7/^ —ZO?4-zt7/e— t7.

Es muß aber die Summe von »— l Gliedern, von der
Summe von " Gliedern abgezogen (Z-2ZI.), das /Ne Glied
übrig lassen nämlich — r; folglich ist

L/?-j-2L/e—L—L>?-Z Nr

— 2A -l- gv? — /e, nämlich

25 4- -1re — ^4- 2 /7/e — /t 4-Z 6/4 — Z C/ej- (7;
und d ese Gleichung auf Null gebracht giebt

(7-25)4-(2^- Z <74- i>4- (Z

daher vermög (§. 28Z.) 24- 6'— 2Z — 0,2/7 — Z <74-l

- 0, Z L7 — 4 o. Aus diesen Gleichungen findet ma»

Es ist demnach die gesuchte Summenformel

^151 er -l- c),/- 4-

-

§- 287,

Der im (§. 28Z.) angeführte Satz kann auch mit Nu-
d'U angewendet werden, wenn eine gebrochene Funktion in
mehrere einfacher ausgedrüclte Brüche zu zerlegen ist, wel-
in der Integralrechnung öfters erforderlich styn wird.
Eine solche Zerlegung einer gebrochenen Funktion kann sehr
üicht bewerkstelliget werden, wenn sich nur der Nenner des
vorgegebenen Bruches in mehrere ungleiche Faktoren ausiö-
ten laßt , deren feder eine Funktion von einer r.ämüchen Erö-

4c»S Sechste Vorles. iv. Abschnitt.

ße des nämlichen Exponenten vorstellet. A. B. dec Bruq
-- kann in drey andere zertheilet werden, weil
.r— .r"

—-" —- -- ist: (der Nenner

l -v — b (a— r-)

besteht nämlich aus drey ungleichenFaktoren-r, <?4-m,n—.r;.
jeder ist e-ne Funktion von der nämlichen Größe er, auch
hat er in einem jeden Faktor den nämlichen Exponenten).

Um die drey Brüche zu finden, setze man

l />' 6'

—— —- __ j- 4-

r — er" ^7 «4-.r a—er

bringe diese drey Brüche auf eine gleiche Benennung, nämlich

I —.^.r? -i- u! ^.r — /r'.r" 4- er t7er- 4- 6er?

.--- —---, oder

a^.r— er? a^er — >r?

i — 4- (? 6 4- ak7) r 4- (t7 — — ^).rch undre-

duzire die Gleichung auf Null ; so ist

0 - (.? / -1) 4-( aÄ4- a 6'>r 4- ( (7- L - ^f)erch
folglich — i — o, <r^4-ak7 — o, <7— 0,

„ , I i i

nämlich — — , L — — - , <7 -.

2.^

iii i

Es ist demnach-" —--1--—

a?.r-—er? 2a^(«4-.r)

Diese Zertheilung findet auch noch statt, wenn säM
der Zähler des Bruches eine zusammengesetzte Größe ich"
sollte; nur muß in diesem Falle der höchste Exponent der¬
jenigen G öße, aus der man die ungleichen Faktoren
miret, in dem Zähler wenigstens um i kleiner ftyn ,
der höchste Exponent der nämlichen Größe in dem Nenner 'ch
Wäre aber der höchste Exponent der veränderlichen Große
im Zähler größer als im Nenner, so kann die angefüm^

zur Zertheilung der gebrochenen Funktion el-forderliche Eigen¬
schaft bloß allein mittelst der Division des Zählers d»n!
" ' den

Von d. Funktionen u. ihren Verwandt. 427

den Nenner bewirket werden. A. B. die Funktion
t  — -r-j-2  4-—  2-r^

- - -—' läßt sich durch die Division in
a^ — erb

I—er4-.r*

2r-4-2<r*4--verwandeln. Und nun wird der

a^.r —. ^rb

Bruch — —— -- in folgende drey Brüche zerleget,
a^r — .rb

l (l4-»4-a^) (l—aff-a^)

a? rv 2ab(a 4- .r) 2«'(a — ae)

l-er-s-^ L <7

— — — 4--4" —°—

ar—.r-b s4-^ a — .r

wenn Man

setzet, die Brüche

auf gleiche Benennung bringet, die ganze Gleichung auf
Null reduziert, und endlich die Größen >7, (7 bestimmet.

, a -i- ^><r 4- r.r' ^4-^ 4-t .r»

Eben fo laßt sich der Bruch —- „-— -—

rr'—2a.r^4-a'.r .r. (.r—

« 4- ^rr 4- ^Irr 4- l7

jertheilcn, wenn man — - -"-77- —-l- 7- 77"

erb — 2a.r' 4- a.r ar (rr—a /

sitzet, und fodann die Koeffizienten -L, k7 auf hie an¬
geführte Art bestimmet.

14-erb I 4-wb

Ferner da     .ist, f»

ab.r 4- .17» rr(ar4.a) (.r^—aa74-a^)

laßt sich dieser Bruch ebenfalls zerthcilcn, wenn man
i-I-wb F <7.r 4-

—- — —>- . 4- .-setzet; denn

ü-r-4- r «4-^ c? — aer 4-

die Größen S, <7, 7) lassen sich sodann auf die ange¬
führte Art richtig bestimmen.



Wäre endlich ein Bruch von dieser Gestalt 4.

ui andere zu verlegen, so fetze man

 " - 4- L.r- 4- 4-

'' 4- "(74^

C c 4 und

4oZ Sechste Vorles. iv. Abschnitt.

und bestimme darauf die Größen L, 6', v, Ll ül!s
die nämliche Art u. f. w. Eine vollständige Abhandlung
nber die Zerlegung gebrochener Funktionen findet man in A
L, Eulers Anleitung zur Analysis des Unendlichen von H,
m-chelsen übersetzt.

288.

?luch wird der im ( Z. 283.) angeführte Satz bey der
limkehrunF -er Funktionen, oder bey der sogenannten
lirgekehrten Methode der Reihen mit Nutzen gebrauchet.
Ss wird nämlich bey analytischen Untersuchungen zuweilen
'dne Größe er, als eine durch Potenzen der veränderlichen
Größe 4 ausgedrückte Reihe vorgelegt, z. B.

... 244^4484^". »— Z «2"^^' - - >«

wo r als eine Funktion von 4 gegeben ist; und cs wud
- erlangt , aus dieser Gleichung die Größe 4 dergestalt z«
ditwrckeln, daß sodann 4 als eine Funktion von der ve-
äuderlichen Größe er ausgedrückt sich, und zwar durch ei-u
. l.ihe von Potenzen der veränderlichen Größe w.

Um nun in A eine solche Reihe für 4 zu finden, fetze maa
- 7- .4r4LG 4- c7.r^-4/).r«4 ...... B
so ist^G4-2^K r^4-L^4-2^Lr"4 . »
v' - .

— ^.^4.  ....

Darauf substituire man diefe Werthe für 4, 4"/ 4^//
in der Gleichung A, und bring'e sodann die Gleichung auf 2,
w ist

-l2-ckS^.ra - 6L' >

l 4-!2^' — I2^l7 4r''

4 36 4S

— 24^' ->

Folg-


iöstt. Aus dieser Gleichung folgt / —

wo nun

B

Sub-

E c A

2^

3'

Von d. Funktionen u. ihren Verwandt. 429

Folglich istZ^— I — o, ZS— 6.^— O, zO-
4-12^ —O, ZS —6S'—I2^e-t- z6^S—24^—O.

l 2 2'

Daraus folgt , S— —, —, S—

3 3' 3^

u. s. w.

Es

w

3

Wenn man mehrere Koeffizienten bestimmet/ so sind die fol-
^4 ?

genden — —, -7., , ., —— , welches hier leicht einzu-

-. 3 3 3

MM ist; weil die vorgelegte Reihe

34^ — 6-^' 4- — 24^ . .. entsteht, wenn

3

mur den Bruch w — —— jn eine gleichgiltige Reihe auf-

—in eine gleichgiltigr Reihe aufgel'öset für den näm--
l'chen Werth giebt, der durch die Umkehrung der vprgelegten
Funktion gefunden wurde.

Auf die nämliche Art findet man aus der Gleichuug

r . u_ 4. .A

-7; US 2.4.6./ 2.4.S.8.S
ten Werth von w, wenn man
w - 4- 4- 4- 4-

setzetz denn es ist alsdann

^^^4- Z^'S^4-Z^^4-^
a-' - ^.4-z^ 4-. -

»' f. w.

ist demnach, wenn man in der Gleichung B für

6°, S die gefundenen Werthe setzet

2.r^ 2^ 2? .r4

4- —— 4. —— 4--- 4- . .. .

3 3' 3'

4IO Sechste Vorles. IV. Abschnitt.

Substituiret man nun diese Wcrthe für er, r>^,
in der Gleichung A, und reduziret sodann die ganze Glei¬
chung auf Null, so ist

-l- > 4- L7

- i(



4——s 4---s

2^3 2. Z . U, s. W,

3^' <
4-——(
2.4.Z>

i r i

Folglich^-!,L—-,<7---, /)'--

2-3 2.Z.4.Z 2.Z.4.Z.6.7

u. s. w.

Es ist demnach, wenn man m der Gleichung B für
L, 6^, /) . . . diese gefundenen Werthe setzet

eu — — —-l--—-—-— 4-. .

2-3 2.Z.4.A 2.Z.4,A.6,7

Man erhält den nämlichen Werth für rr, obschon et¬
was mühsamer, wenn man w — 4. Lr? 4- 6'2' 4- -li-'

4- 4- . . . setzet; denn bey der Entwicklung der Erö»en

S, 6, D. .. . findet man, daß L, /0, F'. . . u. s. w»
nämlich, daß die Koeffizienten der geraden Potenzen c>
sind, und daß folglich die gesuchte Reihe nur die ungeraden
Potenzen von 2 enthalten müsse. Wenn man hingegen d-e
gesuchte Reihe mit folgender Gestalt annehmen wollte/
.ar — ^/2? 4- L24 4- L7V 4- Dr» 4-. .. . so würden sich bei¬
der Bestimmung der Koeffizienten ^4, L, e Wider¬

sprüche zeigen, woraus es zu ersehen wäre, daß diese angr-
nommene Gestalt der Reihe nicht statt finden könne.

Bey der Umkehrung der Funktionen kömmt cs haupt¬
sächlich darauf an, daß man für die gesuchte Reche eiM
schickliche Gestalt annimmt, um sodann die Koeffizienten be¬
stimmen zu können. Wenn man für die gesuchte Reiht en»
unrichtige Gestalt wählet, so zeigen sich sodann bey der
stimmung der Koeffizienten Widersprüche; wodurch man P-

MN-

Von d. Funktionen n. ihren Verwandt. 411
zwungen wird die Potenzen der veränderlichen Gr'öße nach
irgend einem andern Gesetze bei) der gesuchten Reihe anzu-
nehmcn, und zwar so, daß sich bey der Bestimmung der
Koeffizienten keine Widersprüche ergeben. Nun zeigt es sich
überhaupt, wenn eine Reihe von dieser Form

— er//' -f- 4- 4- 4- - .

umzukehren, nämlich / durch eine Reihe der Potenzen von w
auszudrücken wäre , daß man für die gesuchte Reihe folgende
Gestalt annehmen lPnne.

/"^./'4-Lr- ch- / 4- Z).r /> -ch. .

Z. B. um die Reihe — rw^4- -t- »

nmzukchren, kann man setzen

er 4. 4. clr- 4- 0-« 4-L- ^4- . . .

Eben so läßt sich die Funktion

I r S L -7

umkehrcn, wenn man setzet

r ^2 4- » 4. 4- 4- . . . .

denn die Koeffizienten lassen sich sodann nach den angeführten
Dründen richtig bestimmen.

Abschnitt.

Anwendung der Reihen auf die Berechnung der
Logarithmen.

§. 289.

Wenn man nach (§- 255-) eine Fahl « > i für die
Grundzahl eines logarithmischen Eysteins annimmt, und
düse G.:.,rdzahl auf verschiedene Potenzen der Exponenten
m,

4rr Sechste Vorles. v. Abschnitt.

m, /r, /? rc. erhebet, so daß a" — c, a? ^circ.

sey , so sind diese Exponenten n, /r,/> Logarithmen h»
hervorgebrachten Potenzen 6, e, e/. Für /n — o in der
Gleichung — L wird 6 — i; für jeden positiven Werth
von "r wird L>i,z. B. und für jeden ne-

gativen Werth von m wird ein achter Bruch, oder 6 < i,
und daher — l — Um nun bey der angenommenen
Grundzahl a den Logarithmus einer Zahl ö zu finden, müß¬
te man einen solchen Exponenten m auffuchen, daß a"* — ö
wäre. Oder weil es erlaubet ist, jede Zahl durch i -I- r
vorzustellen (wo i 4- >r auch einen ächten Bruch bedeute»
kann, wenn man für .r einen negativen Bruch annimmt),
so würde man fijr die Grundzahl a den Logarithmus einer
jeden Zahl r 4- er haben, wenn man erneu solchen Expo¬
nenten der eine Funktion von .r ist, angeben könnte,

^5

daß a l 4- er sei). Und eben so würde man den Loga¬
rithmus einer andern Zahl i finden, wenn man einen
solchen Exponenten als eine Funktion von angeben

könnte, daß a — i 4-)^ sep. Sodann ist log (i 4--r)
und 1oZ (i 4-^) — 1^.

Nun kann die Frage aufgeworfen werden, ob es nicht
möglich sey in der Gleichung Ic>g (r -j- durch

eine solche Potenz - Funktion von er auszudrücken, daß diese
Funktion für jeden Werth für er den Logarithmus der Zahl
(i -I» er) vorsielle; wie auch loz (i 4-^) durch eine eben
solche Funktion von auszudrücken.

Um solche Funktionen zu finden, nehmen wir für
log (l-j-.r-) und log (iff-^) folgende gleichgiltige Reihen an
log (l -s- r) — ^/er 4- Lr- 4- s.'.rr" 4- D 4- -I-. >«

log (1 4- r ) -j- tz,; /-x« -j. 4- - - - D

wo die unveränderlichen Koeffizienten <7, . .in A

von solcher Beschaffenheit seyn sollen, daß die angenommene
Gleichung A brp jedem beliebigen Werthe von cr, und folg-

- lich

Anw. d. Reihen üuf d. Berechn, d. Logarithm. 4iZ
lich auch dann statt finde, wenn a- in übergeht, so daß
daher die Koeffizienten in A und B einerlei) Wertste haben.
Daß die angenommene gleichgiltige Reihe A oder B auch im
ersten Giiede die veränderliche Größe enthalten müsse, ist
einleuchtend; weil diese gleichgiltige Reihe so beschaffen seyn
muß, daß solche in log (i 4o) — o übergeht vermög
(§. 2A7. N. 1 .) , wenn die veränderliche Größe—Q gesetzet wird.
Es kommt nur darauf an, daß die Koeffizienten >4, 8,
8, 8 . . . richtig bestimmet werden; die angenommene
Gestalt der Reihe hat sodann nichts wiedersprechendes.

Um die Koeffizienten zu bestimmen, sehe man in den
.4'

obigen Gleichungen er — I 4 er, und a — I 4.x,
es sey 4° xjn Vielfaches von z. B. X" — 2^
so ist sodann , wenn fürund 8 die Reihen A und B
gesetzet werden, . -

2^ter 4- 28^ 4 28-r- 4 2 8.r" 4 28^ 4- . ..

— 4 4- 4- 8- 4- 8^^ 4- - .. ss

Auch ist sodann i 4^ — (l 4- er/

wegen (i 4-^) — a — er - (a )
nämlich es ist sodann i 4 — i 4 2ue 4 a?;

folglich — 2.r 4- rr^

— 4.^ 4 chr4 4

4 12.^ 4 6^ 4 4°
i6.r"» 4 Z2.r^ 4 . .. .

— Z2rrb 4 . .. .

Nun setze man diese Wertste für^x, in dr»

Gleichung C, -

Io ist 2^428.^428^428^428^4 .....

2^-er4^.r^

448^448.^48^

48^4 12^4-4 4. ..

4i684>4Z28.^4. ..

4Z2Lr^ 4 . ..

folg-

4i4 Sechste Vorses. V. Mschnitt.
folglich ist vermög (§. 28z.)

2^; nämlich

2L —^44«; L — —

217-4^4-8^;

2/1 4: L4 I2t 4 l6O D — —

2L — 6^4-Z2/)4-Z2L L — 4

— . 0 ' > ? "— ü^—'''

Es ist daher, wenn man tiefe Lerche in die Glei¬
chung A setzet

log (44 a ) — r — s 4 - -4.^ — 4 ^r-> 4- l ^.r-r , .
wo der Koeffizient rinbestunmt verbleibet, so wie die
Grundzahl « nach Willknhr anzunehmen ist. Wie nun dieser
Koeffizient mit der Grundzahl Zusammenhänge, wird wei¬
ter unten zu ersehen schn.

§. 292.

Damit nün diese gefundene Reihe (Z. 289.)
log (i 4-r) — r — j 4- - s u.

4. 4 ^--4.4 — -V^r-S4.. D

dergestalt schnell abnehme-, oder zusammeulaufe (convergire),
daß nur einige wenige Glieder in Wahlen entwickelt, den ge¬
suchten Logarithmus einer Zahl i 4 .v mit hinlänglicher Ge¬
nauigkeit darstellen, muß nothwendig.r ein ächrer Bruch seyn-

, i 1 r4l

Man setze daher rv — —, so ist i 4-r— i 4— -  -l

r: 2 r

/^2 4 I >

und loZ (l 4 rr) — lor -loz (2 4 l)

vermög (§. 2Z/. N. 6.); substituirt mau nun diese Werthe
in der Gleichung D, so ist

,x
iog (r4l)-losr----4 --ib .

-r 2^ 42^

Ferner, um nun die negativen Glieder verschwinden

machen , setze man ne — — — in der Gleichung Dz so
r

tox

Anw. d.Alelhen auf b. Berechn. d-Logarithm. 415

Kg (r-l)^-Iozr --—-7^- ' - - F

- 2r- Zr» 4"

Nun ziehe man die Gleichung F von E ab, so ist

2.^ 2^/ 2^s

l6g(r->-r) — !og(r — i) -!-1-- 4-. .. . G

2 Ar- Zr-

l i x
ederloZ(24-l) —Iog(^—i)4-2--t/.

Um nun mittelst der Reihe G den Logarithmus von
2 zu berechnen, setze man 2 — z; so erhalt man log 4 —
< 4 i 1 i >

loZ2 log log 2 — 2>^ l —I-1-1--4-... . )

2 3 3-3' 5-3' 7-3'

- 2.^/(o,ZZZZ 4-O.0I2Z-l-0,0208 4- 2,2221 4-....)
^.2,69z .... Ferner setze manr^: 2; L—4, so ist

2^(2,^224-2,241 4-0,0264-.. ^.1,296

loz 4_ 2^- 4- -- -i- -^7 -l- - . .)-^.l/626...

^4 3'4' 5-4'

Und so findet man auch los 7, log il, log iz, u. s. w.

Sllbstituiret man aber in der Gleichung G für 2 einen
solchen Werth, damit log (r-fi 1) lvß (2 i) die Diffe--,
reuz der Logarithmen zwever Fahlen wird, welche nur um
eine Einheit voneinander verschieden sind; so erhalt man eine
andere Gleichung, a»s welcher l er Logarithmus einerjeden Fahl
berechnet werden kenn, wenn der Logarithmus der nächst vor¬
hergehenden Fahl beiannt ist. Man setze bieserwegen
Idx (. 4. i) log (r - i) - log /> - log (/) - 1-

, 2 4- l > x

lumlich log (-) - IvZ l —

f»

4i6 Sechste Vorles. V. Abschnitt.

r-4-l ?

so ist --- — ——7; daraus folgt r — 2/7 — I.

L — I /7—1

Dieft Werthe in der Gleichung G substituirt, geben

loZ/.—IO8(/7-l)-2^(- —^... .Vmih

^2<-l Z(2-'-l/ >

Ion <7 -—--t- -k- ^7—2 ,^r

- ^2-'-I 3(2-

Si-

2

z_.__

Z(ch/-i/ 7(2-'-!/

Io^/)—loZ(/)-!)-i-2^(-!-—-^-l-... .V.H

^2/7-1 Z(2/7-l> >

Man setze nun /1 — 2, so ist loz 2 — O 4-

<!!!!! ! >

2 — -I-s- —- -s-!-' !-4- > - )

^3 3-Zb 5-3' 7^ 9-3' n-3 .

— . 0,6931472 . . . welches man erhalt, wenn man 6
Glieder dieser Reihe mit 7 Dezimalstellen richtig entwietelt.
Wollte man aber diesen Logarithmus mit mehreren Dezimil-
stellen haben, so müßten auch mehrere Glieder, und jedes
Glied mit mehreren Dezimalstellen entwickelt werden.

Und so konnten auch die Logarithmen der folgenden
Zahlen 3, 4, 5 . . . nach und nach aus dieser Rehe
berechnet werden, wenn man // — Z, dann — 4, ? -5
u. s. w. setzet.

) . §.291..

, Allein ist einmal der Logarithmus von 2 berechnet, m
kann die Reihe H zum ferneren Gebrauche noch viel schneller
abnehmend gemacht werden, wenn man x — -- setzet; denn
es ist sodann Ic>§ -- IoZ r ) 4- 2^—^-
^2-'-l

I I X. „

-s- —.--—Dhel'2loZ?

Z(2</-!/ Z(2-'-!/ >

1o  o  ß  Z-i-10Z4


Ic>§
IoZ

!,79l7S95

Ic>87

2 ^17 3.17' 5-17"

— Z 10824-^(2,25882354-2,220267840,2222221)
—^.1,2986122.

I»8 4-2lox2 —1,^862944.

2 ^49 Z.49^ 2

4-^(0,2224282 4- 0,2022228)—. i,6294379.

_ - , - .'

^loZ84-log6^ i > - Z loA2 4- lo8 6

2 ' ^97 3-97^ 2

4--^.(2,2103293 4-0,2222223) —> i/9459lori

8 - 3 !oK2 - -<2,2794415.

9 2 IvK Z — 2,1972244.

12 Iox 5 4- !oz 2 -^^2,3225851.

2 ^241 3.241^

IoZ44-Ios34-Io"i2 , , <

- -21-E>o-°-^.^(0,224149440,2202222)

2

- . 2,3978952.

Nnd so könnte man die Logarithmen aller Zahlen, so Welt
^an will, durch diese gefundene Reihe berechnen, ohne daß
">an noch die Größe bestimmet hätte, der man jedoch je--
den beliebigen unveränderlichen Werth beylcgen kann, j. B.

I, oder — 2,

^-ie Reihe nimmt so schnell ab , daß man, um den Loga--
k'thmus von 11 mit 7 Dezimalstellen, und um den koga--
rstbmus von 23 mit 12 Dezimalstellen richtig zu berechnen,
nur das erste Glied der Reihe allein entwickeln darf; weil

Vorles. l. V D b das

Anw. d.Reihen aufd. Berechn, d. Logarithm. 417

Setzet man nun in dieser Reihe für 7 die nacheinander
folgenden Primzahlen 3, 5, 7, n, 13 - - 5» erhält man

Io§44-1o8 2 i r , l >
2 ^17 3-17' 5-17^

2loZ24-l<>82 , l , 1_, 1_

4i8 Sechste Vorles. v. Abschnitt.

das zweyte Glied an diesen Stellen keine bedenkliche Mr
mehr giebt.

292.

Nimmt man nun für einen beliebigen Werth an,
und multipliziret alle, auf die eben gezeigte Art, berechne¬
ten Logarithmen damit, so erhalt man ein logarithmisches
System. Es ist aber am natürlichsten — i zu sehen,
damit man keine weitere Multiplikation verrichten darf, und
die obigen Logarithmen ungeändert bleiben. Man nennt
selbe daher auch die natürlichen Logarithmen, und wer¬
den bezeichnet mit log nat (I/0garltliinu8 nsturalis). Es
ist nämlich log nut 2 -0,69z 1472; log nat z —1,0986122;
log E 4 — 1,^62944; log QLt io — 2,zo2Z8Zl
u. s. w. Von einigen Schriftstellern werden die natürlichen
Logarithmen, aus geometrischen Gründen, auch hyperbolische
Logarithmen genennet.

§. 29z.

Hat man einmal die natürlichen Logarithmen aller
Zahlen berechnet, so läßt sich auch daraus nach (§.271.)
jedes andere System für eine angenommene Grundzahl be¬
rechnen ; so ist z. B. der Briggische Logarithmus einer
jeden Zahl 6 für die Grundzahl io, nämlich log brig

i i ,

— -X log U3t H — --— X log nut a

log NLt IO 2,ZO2Z85I

— o,4Z4294Z X log imt ; oder es ist log vulg

— O,4Z4294Z x log nat Lz weil man die Briggischen Lo¬
garithmen zur Unterscheidung von den natürlichen Logarith
men, wenn beyde in einer Rechnung Vorkommen, mit log vul-
(l^ogaritlimus vulgaii«) zu bezeichnen pflegt. Meifceiitheu-
aber werden die Briggischen Logarithmen blos mit log bezem!
net, so daß in der Anwendung log jederzeit einen BrM
schcn Logarithmen bedeutet, wenn nicht das Gegentheil au -
drücklich erinnert wird.

Man

Änt. d. Reihen auf d. Berechn, d. Logarithm. 419

Man darf daher nur alle natürliche Logarithmen mit
0,4342945 multipUziren, so erhält man das Briggische
System; deswegen wird auch 0,4342945 der Modul-es
Britischen Systems genennet nach ( §. 271.). Und um-
gekehrt können die Briggischen Logarithmen m natürliche ver¬
wandelt werden, wenn man selbe durch 0,4342945 divi-
diret; oder, welches einerley ist, mit 2,3225851 multi-
pliziret. Ueberhaupt heißt in den obangeführten Reihen die
Größe -er lo§arithmische Modul, weil für jeden an¬
dern Werth von aus dem natürlichen System ein anderes
erhalten wird. Und dieser logarithmische Modul hängt
!» jedem Systeme von der dazu gehörigen Grundzahl « der-
gestalt ab, daß — -- fey.

10Z NLt «

Damit man aber auch für jeden beliebig angenommenen
Werth für die zu diesem System gehörige Grund¬
zahl finden könne; so setze man dieselbe — l 4-^, weil sie
grösser seyn muß, als l, da i auf jede Potenz erhoben
wieder 1 giebt; und cs ist sodann vermög (Z. 257. N. 2.)
(i4-^) — i; es ist aber auch vermög (j. 289.)

4. - 4-— — — 4-.

^234

«lsvauch l ---- 4-....)

2 z 4

W'.d n-r f' v —'4. 4. _—4-..^)..... A

^234

Nun setze man nach (§. 288.)

4 -r r 4-, r 4, z 4- 4- . . . B

so ist ^2 ^-/„-2 4.2 4-L4»'4 4- 2 6^-4 4-..

4^ —4- 3 4-...

4 4-... .

«- s. w.

D d 2 Da

420 Sechste Vorles. V. Abschnitt.

Darauf substituire man diese Werthe für - /r, ,
in der Gleichung A, und reduzier die ganze Gleichung auf
Null; so ist

S ^m—l -f- Km—2 4. Km—3 4- Dm—4 -f- .. >

— m—r —r —3 —,^-D^m—4

' ' 4- ^^m—Z — ^/Km—4

4-^Km-4
— ^^*m—4

woraus nach (§. 28Z.) folgt — 1, K — * , <7——

1,2 1.2.Z

D -, L — -- U. s. W.

I.2.Z.4 I.2.Z.4.Z

Substituiret man diese Werthe in der Gleichung B,
so ist

m—2 m— z m—4

v — m—r 4--l- - 4--—-

1.2 I.2.Z l.2^Z.4

l I I I

und 14-^— 1 4- — 4- --- 4--4---1-

m I.2.m^ I.2.Z.M^ I.2.Z-4^

Setzet man z. B. m — 1, so erhält man die Grunde
zahl des natürlichen logarithmischen Systems

ii 1

-14-14- — 4-— 4--4-. .-2,7182818'

1.2 1.2.Z 1.2.Z.4

Diese Grundzahl 2,7182818 ... des natürlichen lo¬
garithmischen Systems werden wir in der Folge jederzeit mit
/e benennen, und uns von allem andern Gebrauch dieses
Buchstabens enthalten; nämlich es soll /r künftig jederzeit
2,7182818 bedeuten. Einige pflegen auch diese Grundzahl
«derzeit mit e zu bezeichnen; hat den Vorzug vor e, weil
die Exponenten, besonders die gebrochenen, auf /r bequemer
anzubringen sind.

§. 294-

Anw. d. Reihen auf d. Berechn, d. Logarithm. 427

294.

Auch laßt sich zu jedem gegebenen natürlichen Logarith¬
mus L- die dazu gehörige Zahl wo /r die Grundzahl
des nat. logarithmischen Systems bedeutet, dürch eine un¬
endliche Reihe ausgedrück't finden. Denn es sey — i 4^,
nämliche — loZnat (i 4^), so ist auch, vermög (§. 289.)

. ... .A

- z 4 s

Um nun den Werth von durch a- ausgedrückt zu fin¬
den, so setze man nach (Z. 288.)

/ — 4- 8^ 4- (4^ 4" 8^ 4- . B

!» ist 4- 2^8^ 4- -8^ 4 2^^^ 4-. .

4- A ^48^ 4... . .

4 ... °

u. s. w.

-^8^- - z /4 >

4.^;) —

48-8 (

-»4 .4

Wenn man diese Werthe für 4^^» j„ l'cr Glei¬
chung A substituiret und die Gleichung auf Null reduziret; so ist
0- 4-8

folglich 8— k7^-'—,8- —u.s.w,

1.2 1.2.Z I.2.Z.4

Es ist demnach, wenn man für 8, t7, 8 . . . .
dü gefundenen Werthe in der Gleichung. B substituiret

»4- — 4--z- -4- 4^-ü- . ,

1.2 I.2.Z I.2.Z.4 I.2.Z4-5

folglich L-r — 1 4 er 4-1-4- 4 - - .

1.2 I.2.Z I.2.Z.4

( D d Z Se-

422 Sechste Vorles. v. Abschnitt.

Setzt» wir nun z. D. den gegebenen natürlichen !sM
Z
rithmus er — 1,5222222 — i,Z — —; so ist

. 3 , 3° 3' 3^ ,

— r 4 — 4-- -j-1--4 ..

2 1.2.2? I.2.Z.23 I.2.Z.4.2"

— 4,4816 beynahe; welches man erhält, wenn man m
einige wenige Glieder dieser unendlichen Reihe entwickelt.
Setzen wir aber er — i, so ist

, il i

//—i4-r -1-1-4. . -2,7182818. >

1.2 I.2.Z 1.2.A.4
wie ehevor.

Durch Hilfe einer logarithmischen Tafel läßt stch der
Werth von für ein in Zahlen gegebenes er, nachdem ä
bereits bekannt ist, viel geschwinder und leichter berechnen.

§. 29Z.

Co wie wir gefunden haben, daß
.r? .r- er^

1 4 er 4 — 4-f--4 » . . . «.

2 2.Z 2.Z.4

sey ; eben so laßt sich zeigen, daß überhaupt

(n X log nut a)? (4 X log Nut«)'

— I4er X los nut a 4 —--

2 2.Z

(er X loZuuto)^

4 ———-—- 4 ,.. seyn müsse.

2.3.4

Um dieses einzusehen setze man — 1 44, s^
1oA nut I0Z nut ( 1 44); das ist a?(Io§ nsi
-.X- 4)'" 4 4)^-5^ 4 ....

oder wenn man nut a ) — setzet, so ist

- 4 — 24" ^4° — 4-44 4 4 . > „

Ans dieser Gleichung findet man nach dem vorh"'-
gchcndcn

/--:r4 - -'4 2-4—— r^-i-- r' 4 . > - -

2 2-Z 2.Z.4 o.A.4.5

Anw. d. Reihen auf d. Berechn, d. Logarithm. 42z

rr(Iog nuts)4-—^(lognuta^-l-^(log nstrr)--!-. -

2 2.Z

«nd endlich

— l 4- rr(log nut a) 4- (log nut a)^ 4> . ..

I

oder a-*—1-j-log nut a^4-2 (log a^)?4-(log nut 4».

2.Z

Setzen wir nun a — m, so ist auch

i 4- ur(log out rr) 4- (log nat .r)? 4- . ..

cdcr^—14- log nur rr-^4-4 (log natrr^)^4——(lognutrr^)^-

2.Z

§. 296.

Die Grundzahl der natürliche» Logarithmen wird auch
Meilen mit Vorthcil gebrauchet, um aus einer logarithmi¬
schen Gleichung eine unbekannte Größe zu entwickeln. Z. D.

/er e

aus der Gleichung log nut a? — —4- log nur —, seya? z«
/r ar

m
tNtWickeln, so ist 2 log nut er -1-log nute —log nut ue,

er

en

und- X I — log nut —. Nun kann log krut /r statt l gc-

<7

m a-'

setzet werden; daher ist auch — x log nut/r— log nut —;

/r

^lglichauch iQAQar/^ —vermLg(Z.257»N»7.u.8.)/
e

'N Z 2.

fernerä" — — vermög (§. 2Z6.), und endlich u — .

e

a

Es sey endlich aus der Gleichung log nut --

— log »sr c der Werth von u? zu bestimmen. 2» diesem

«

' ^tzspiele ist log nur —s- log nut c — m-a'/ oder log nur
er

D r> 4

424 Sechste Vorkes. v. Abschnitt.

— /7?^ . log NUt H — log 03t folglich

ae

— ^7 untr endlich ist ac — Ferner läßt sich

tr

diese Gleichung nicht reduziren; und dies ereignet sich gemen
niglich, sobald die unbekannte Grüße in der nämlichen Glei¬
chung als Faktor, und als Exponent erscheint. Es sty
z. B. folgende Aufgabe aufzulösen: eine Zahl .r zu finden,
. ,64

öre mit — multrpliziret ein Produkt zum Vorschein
5

bringt, welches der.rten Potenz von 4 gleichet. Ver¬

mög der Bedingung der Aufgabe ist — 4^ ; folglich ist
Z '

auch log 64 4- log a7 — log Z — rr log 4 ; oder
-cr log 4 — log .r co: log - 64 — log 5 ; nämliÄ
er . 2,62226 — log N7 — 1,12721 , . . . . A
weil log 4 — 2,62206 log 64 — 1.80618, »Nb
log 5 ^7 2,69897; nun versuche man für er eine solche Zahl
zu substituiren, daß der erste Lheil der Gleichung A dem
2ten Theile gleich werde; setzt man -r 2, so ist der erste
Theil der Gleichung ^2,92329; setzt man hingegen er re:Z,
so ist der erste Theil der Gleichung — 1,3292587; ks ist

2 4 3
demnach ae > 2, und er < z; man setze also er — —

^7 2,Z; und dann ist der erste Theil der Gleichung dem
zwchten vollkommen gleich; folglich ist die gesuchte Zahl
— 2,5 — Bey einer fernem Untersuchung findet man ,
daß auch die Zahl 2,288298 . . dieser Aufgabe ein Genü¬
gen leistet.

Aus der vorhergehenden Gleichung ao er könn¬
te der Werth für r durch eine unendliche Reihe entwickelt
werden; allein die Reihe würde von keinem Nutzen fiyu,
wenn sie nicht schleunig zusammenläuft: die gesuchte Reihe
kö rnte auf folgende Art gefunden werden. Da ss—
so ist auch vermög (§. 294.)

SS-NS» 425

zz,v zzrV -v

. sl 4" ZAL? 4^ 4" 4* -- 4" . . )

1.2 I.2.Z I.2.Z.4 >

zzr^Lrb zzr''^

— L? -s- z»L?^ -1- — 4--- -1- .-4- . > « .

1.2 I.2.Z I.2.Z.4

Nun setze man «o — ^, so ist

ZA^L?b zzz^ zzck

/ — L? -I- ZZ!L7^ 4--4--1-k" ....

1.2 I.2.Z 1.2.Z.4

Wenn man nun für den Werth von a? folgende Reihe annimmt

L? — 4- ^4^ 4- 4- 4- 4- ...

die Größen <7 ... nach (s. 28z.) bestimmet,
und endlich für .7. wieder ihre Wcrthe

sr, a-V, . . . substituiret, fo wird endlich die ge¬
suchte Reihe als der Werth von er zum Vorschein kommen.

Vl. Abschnitt.

Anwendung der Reihen auf eine allgemeine
Entwicklung der Potenzen.

§. 297.

Man erhebe eine zweynamige Größe a 4- ö nach,
(§. uz. ) auf die nacheinander folgenden Potenzen, so ist
(a-l-S)-—a 4. s
(44-K)2—s?4-2zzö 4. K2

^4-^—zzb4-Z<z^A4- Zs-2 4-

^4-/>)^,/4-4^s^4-^//L^ 4- 4"^ 4-
(-74--)^a^4'Zs''-4-los^^4'lOa^-'4- Zs-'' 4--^
(s4-L)^—^^4-6L^-4-l Zzv"-'4-2OU^^4-lZs^'4'6a-^ 4-
(,z4--)7-g74-»^^21 ^4-ZZz/--4-ZZ^4-21 a^'4-7»^4-^
ll. s. w.

Betrachtet man nun diese entwickelten Potenzen mit
Aufmerksamkeit, so wird man bey denselben folgendes Gesetz
bemerken.

D d Z r)

426 Sechste Vorles. vi. Abschnitt.

1) Die Anzahl der Glieder von einer jeden entwickel¬

ten Potenz ist um i größer als der Exponent von (a-l-ä);
fo besteht z.B. aus z Gliedern; («4-^)* aus6

Gliedern u. s. w.

2) In jeder dieser entwickelten Potenzen enthält jedes
Glied sowohl eine Potenz von als auch eine Potenz von
L; und zwar fängt « in dem ersten Gliede mit dem höchsten
Exponenten an, und in jedem folgenden Glied nimmt der
Exponent von a um r ab, so daß in dem letzten Gliede
sich a mit dem Exponenten 0 befindet, welches aber nicht
ausdrücklich angefetzt ist, weil a° — i ist. Die Potenzen von
L hingegen gehen in umgekehrter Ordnung, nämlich im ersten
Gliede befindet sich 6", und in jedem folgendenGliede wächst
der Exponent von 6 um i, fo daß im letzten Gliede 6 den
größten Exponenten hat.

3) 3" jeder Potenz ist der Koeffizient des ersten und
letzten Gliedes — l.

Es laßt sich daher jede Potenz eines ganzen positiven
Exponenten /r von durch folgende Formel vorstellen,
(o 4- L)" — 4. A«"-r 6 4- B«"-2 ö- 4- Z A 4-..

wo die Koeffizienten A, B, C, D, E... solche Größen sind,
damit diese Gleichung statt finde.

Untersuchet man nun das Gesetz, nach welchem die nu¬
merischen Koeffizienten von den oben entwickelten Potenzen,
fortgehen, so bemerket mau, daß in den nacheinander fol¬
genden Potenzen tzie Koeffizienten der zweyten Glieder in ei¬
ner arithmetischen Reihe des ersten Ranges fortgehen,
i,2,Z,4-Z>'6...; daß die Koeffizienten in den
dritten Gliedern nach einer arithmetischen Reihe des zwepten
Ranges 0, l, Z, 6, ro, IZ . . .; daß die Koeffizienten
von den vierten Gliedern nach einer arithmetischen Reihe des
dritten Ranges 0, 0, 1 , 4, io, 20 . . . ; daß die
Koeffizienten der fünften Glieder in einer arithmetischen Reihe
-es vierten Ranges Q, o, o, i, Z, r-z .., fortgehen u. s. w.

Sm

Anw. d. Reihen auf eine allg.Entw. d.Potcnz. 427

Suchet mau nun zu jeder dieser Reihen

7/ 8 . . '

o, I, Z, 6, IO, 15, 21, 28 . . .

0, 0, 1, 4, IQ, 2O, ZZ, 56 . . .

o, o, o, i, Z, 15, Z5,.7O ...

u. s. w, nach (§. 247.) das /rte Glied, so ist
das /rte Glied der ersten Reihe — /r

</r-i)

- jweyten - - -—-

1.2

/r(/r —l)(/r—2)

- dritten - - --

I.2.Z

//(//- i) (" — 2) (//-Z)
- vierten - —-—-

I.2.Z.4

I.2.Z

D - 

1.2

Da aber die oben angenommenen Koeffizienten A, B, C, D,
nichts anders sind, als eben die /rten Glieder dieser Reihen,
/</r-l)(/r-2)
so ist A ri: », B — --- , C - —

1.2
l)(/r-2)(/r-Z)
--- u. s. w.

1.2.Z.4

Klglich ist für jeden ganzen positiven Exponenten /r
, , /r(/r—l)

7!- a" 4- /ra" —r -s- - a"—

I.2.Z I.2.A.4

wo die Reihe nach demjenigen Gliede abbricht, in welchem der
Exponent von a Null wird; weil der Koeffizient eines je ui
folgenden Gliedes der Reihe - o seyn mnß. Z- B. wenn
Man /r 2 setzet, so ist nach dieser Reihe

, 2.1 2.1.0 ,, ,

(a-i-L)' -«24. -I-a° §2 4.-" rr-r 4-.. .

1.2 I.2.Z

a- 4- 2«L 4- L' ; weil das vierte und alle folgenden
Glie--

428 Sechste Vorles. VI. Abschnitt.

Glieder der Reihe den Koeffizienten o haben, und folglich
jedes derselben — v ist.

§. 298.

Aus dieser gefundenen Reihe ist es nun sichtbar, Safi
jeder Koeffizient eines folgenden Gliedes aus dem nächst
vorhergehenden Glieöe bestimmet werden könne, wem
man in dem vorhergehenden Glieds den Koeffizienten
mit dem Exponenten von a multipliziert, und dieses
Produkt durch die Stelle dieses Gliedes dividjret. Seist
—.i) (>—2)
z. P. der Koeffizient des vierten Gliedes —-—x-«

i.2 Z

-Man kann demnach jede zweynamige Größe sehr leiäst
zu was immer für einer Potenz eines ganzen Exponenten
(z. B. a-l-L auf die Hte Potenz) erheben, und zwar auf
folgende Art.

1) Man schreibe zwey Reihen untereinander, wovon
die erste bey der höchsten Potenz des ersten Gliedes der vor¬
gegebenen zweynamigen Größe anfängt, und sich bey der
oten Potenz endiget; die zweyte Reihe hingegen fängt bei¬
der oten Potenz des zweyten Gliedes der vorgegebenen Grö¬
ße an, und endiget sich bey der höchsten Potenz. In unstrM
Bcyspiele schreibe man folgende zwey Reihen

<?8, «?, a«, «ü, a", a-, r?, a°

A-, L-, L-,

2) Dann multiplizire man die Glieder der obern Rühe
mit den darunter stehenden Gliedern der untern Reihe, so er¬
hält man für die litteralischen Produkte

«b, «7/5, «V) ad, ad, aV^, ad, a^r,

z) Ferner ist der Koeffizient des ersten Gliedes — l;
und der Koeffizient des zweyten Gliedes ergiebt sich, wenn
man in dem ersten Gliebe den Koeffizienten mit dem Epp°'
- nen-

Anw. d. Reihen auf eine allg.Entw. d. Potenz. 429
nenten von a multipliziret, und dieses durch die Stelle des
i.8

Gliedes dividiret —- 8 ; der Koeffizient des dritten

i

Gliedes wird wieder gefunden, wenn man in dem zweyten
Gliebe den Koeffizienten mit dem Exponenten von a multi-
pliziret, und dieses durch die Stelle des Gliedes dividiret

-— 28; eben so erhält man den Koeffizienten des
2

vierten Gliedes, indem man in dem dritten Gliede den Koef¬
fizienten mit dem Exponenten von a multipliziret, und die-
, 28.6

ses durch die Stelle des Gliedes z dividiret - --— Z6

3

u. s. w. Man findet sodann

(a 4- a» 4- 8-r^ -I- 28"^ 4- /22^«

4- 4- 28^^ "i- 8-^^^ "i-

Ware das zweyte Glied einer zwcynamigen Größe,
welche zu einer Potenz erhoben werden soll, negativ, z. B.
es sollte (c—.r) nach diesen Regeln auf die /te Potenz er¬
hoben werden, so müssen die Glieder, in welchen sich die
ungeraden Potenzen des zweyten Gliedes befinden, negativ
genommen werden (§. n 8-) > nämlich es ist
(c-.r)7 r- c? — 7^ 4- 2I<^ - ZZc^ 4.

— 21 4-

299.

Äaß aber diese gefundene Reihe für (24-5)" nicht nur
allein wenn // eine positive ganze Zahl ist, sondern auch für
jeden andern ganzen oder gebrochenen, positiven oder nega¬
tiven Werth von /r angewendet werden könne, läßt sich auf
Agende allgemeine Art darthun.

Es ist («4-6)" -- a" — 7,

und

4zo Sechste Vorles. Vl. Abschnitt.

s

und wenn man — — er setzet, so ist («4- <-)" ur:u"5i4-Lr)»:
a

Es kömmt also nur darauf an, (r 4-u-)» durch eine gleich--
gii.igc Reche auszudrücken, unter der Bedingung, daß so¬
wohl a? als auch zr jeden beliebigen Werth annehmen könne.

Um eine solche Reihe zu finden, setze man

( l 4-ar)" — l 4- -^-^4- -s- Dar" 4- . . A

weil die Glieder der Reihe ganz sicher Funktionen von ar
seyn müssen; und es ist für das erste Glied der Reihe l an¬
genommen worden, weil für ar — o die Potenz (i 4-er)"
bcy jedem Werthe von // immer — 1 seyn muß. UebrigenS
sollen die beständigen Koeffizienten D. (7, D . ..»
so beschaffen seyn, daß die angenommene Gleichung stattfinde.

Um nun diese Koeffizienten bistimmen zu können, fitzt
man den veränderlichen Theil >Dr4-Da4 4- (7^4- . . . »
der für (i4-ar-)" angenommenen Reihe — nämlich

— -^ar 4-46^4-^4 ^4- Dar"4- ....

so ist X'-^'4-2^ar--r-L^4.2^<7a4-j- . . .

4- Z ^Dar" 4- . . .

)"»— ^"ar"4- . . .

Ferner da)" — ^ar-l-Dar? 4-t7ar-4-Dar" 4- . .
so ist i 4-— i 4- 4-^er^ 4- (7.^-j-Da"4- . - .

es ist aber auch (i 4--r)^ — l 4- -7a4-La"4- (7r-4-Da-"4. -
folglich auch (i 4-i4-)"(§. 12. N.Z.)
und l»8 4- ar)" — lož nut(i 4-)^) vermög (§.2Z6)

oder " IoZ »ar (i 4-^-)-Io»n-»t(i4-/)vcrm.(Z.2Z7N-7)
und wenn man statt IoZ nut (i 4- ar) und loz; uat (l4/)
die Reihe D (§. 90.) setzet, so ist

/rar?- /rar^ //ar" , v? v"

/e.r-4--4-..-)"-^-4--_-4-. « »

2 3 4 2 A 4

Nun substituire man in dieser Gleichung für 7^
)"^. . . die oben gefundenen Werthe, und rcduzirc die g»"-'
zc Gleichung auf Null, so ist

0

Anw. d. Reihen aus eine allg. Entw. d. Potenz. 4z r

4-L 4-^^ 4-^(,4.,.'

a -- ?a7 —r

- 4. I. /

4-^-LZa4
4-^" — ^/» --> -.1^4)

4-Z"

Folglich /r — o
.6 — 4-^ — o

L-- ^t74-4- /r - o

nämlich - ?r

</r-l)
m--

2
l)O-2)

2.Z

D - "("--r)("-2)(/r- Z)

2.Z.4

». s. w.

Es ist demnach, wenn man in der Gleichung A diest
gefundenen Werthe für (7, D . . . substituiret,
(14-a-X-i 4-/^4-^-^-4-—--- -4-. .

1.2 2.Z

setzet man nun wieder in dieser Gleichung — statt ^r, so ist
a

4—)-14- -.- 4-^--.- 4---- -

a> I« 1,2 a? I.2.Z «

/r(/r - !)("- 2)(/r - Z)
4----4- . - . .

1.2.Z.4 ««

da (a 4- a" ('i ist, ss ist auch

(a4^X

4zr Sechste Vorles. vi. Abschnitt.

_ . s , " s l) l>

(«-j-S)" --L" sich-. 1-. — 4"-—- . -

I. I <r l. 2 I . 2. Z

»(»  —  i  )(/r  —  2)^ — Z)

I.2.Z.4

»«"—rL ?<//—! >/--25-
nämlich (-r 4-5)" — a" -1-s—.—-.

l 1.2

I)(//—2)«"—

I.2.Z

1.2.3.4

»(»-l)(»-2)(»-3)a^«

-1-— - —!-.»

wo a, und -2 /eden beliebigen ganzen oder gebrochenen,
positiven oder negativen Werh haben kann. Nur wird dir
Reihe, wenn »keine positive ganze Zahl ist, niemalen ad-
brechen , sondern ohne Ende fortlaufen, wo man sodann
von der Reihe so viele Glieder entwickeln kann, als es die
Richtigkeit einer Rechnung nur immer fordern mag.

Anmerkuny. Diese gefundene Reihe für pfitzt
man den binomischen -Lehrsatz, oder auch das Nervtonischc
Binomium zu nennen, weil Newton am ersten gezeigt hat,
wie die KoeDzienten bey dieser Formel auf eine allgemein?
Art attszudrückcn sind.

§. 300.

Bevor wir'aber von dieser gefundenen Formel eine wei¬
tere Anwendung auf die Ausziehung verschiedener Wurzeln
machen, wollen wir dieselbe noch auf einen einfacher» An^
druck bringen; theils damit man solche leichter im Gedacht
niß behalten könne, theils auch damit man jedes folgende
Glied der Reihe aus dem schon entwickelten vorhergehenden
Gliede viel kürzer bestimmen könne. Man benenne i» dtt
gefundenen Formel

r,2

S (7

»a"—'A »(/r—

(a 4-6)" —

die

r

L <7
. 7?—I

Anw. d. Reihen auf eine allg. Entw. d. Potenz. 4zz

die Glieder der Reihe nach der Ordnung mit

s /r — l - -2—2 H

so istL-»^. L -- L.-; D -e: - -<7.

a 2 « Z «

n — 2 L

L- --^).-U. s.W,

4 a

Setzen wir nun das erste Glied der vorgegebenen zwey-
namizen Grüße a und den Quotienten , den man
erhält, wenn man das zwepte Glied dec vorgegebenen zwep-
S

namigen Grüße durch das erste dividiret, — — 9, so ist
a

»—2 "—2

LY4--c7C4-—..

s Z 4

§. ZOI.

Es sey nun nach dieser Formel l/°(a?-l'er)—(a?^er)
entwickeln, so ist a?; S - > und n ;

folglich

1 er

2 a? 2a

l er er er?

- .4-----—— -e

2 4 2a a? 2.4. a^

^—2 2 ^-? ar , l.Z.^ „

Z 6 2.4.«b "«? 2.4.6 a'

4 8 "2.4,6, a- "a? 2-4-6.8.^

u. s.w.

dorles. I. B. Er fols-

434

Sechste Vorles. vi. Abschnitt.

folglich ist ü- ar) — a — 4

2« 2.4.«^ 2.4.6.^

r.3.5.^ ,

--—-- — . . . «

2-4.6.8.ll^

Hierdurch läßt sich nun aus jeder vorgegebenen irratio¬
nalen Zahl die Quadratwurzel durch Annäherung finden,
wenn Man die vorgegebene Zahl in zwey andere zerleget,
wovon eine ein vollkommenes Quadrat ist, und deren Sum¬
me oder Differenz der vorgegebenen Zahl gleich ist; und
man thut am besten, wenn man eine solche Quadratzahl
wählet, welche in Rücksicht des andern Theiles ziemlich groß
ist, weil alsdann die Reihe sehr schnell abnimmt. Z. B.
es wäre durch diese Formel r-^zo zu entwickeln, so läßt
sich i/ZO vorstellen durch l^(2Z -j- A) , Und auch durch

(z6 — 6); man thut aber bester, wenn man Has zweyte
. er -r 1

wählt, weil im ersten Fall — -— — —, und im zwey-

2Z 5

w 6 1 ii

ten Fall , und — < — ist. veßet man

36 6 65

dämm ZO r/°(Z6 6), so ist, wenn man itt dir

obigen Formel — z6, und w — 6 setzet.

2 2.4.6 2.4.6.(6/ 2.4.6 8/6)'

r- 3-5-7

2.4.6.8.10. (6)^

Eine noch wert schneller abnehmende Reihe würde mau
für I/" 30 echalten, wenn man die Zahl unter dem Zeichen
mit einer vollkommenen Quadratzahl mulrrpliziret, und solche
zugleich wieder als Nenner unterschreibet, den Nenner aber
vor das Zeichen 'hmausschaffet. Z. B» wenn man setzet

30.*—- 1 1 .

r/Z0—-,-- —^'3000-— t^'(3O2Z -2Z)>

IOO 12 IS

denn

Anw. b. Reihen auf eine allg. Entw. d. Potenz.' 435
denn in diesem Falle ist in der obigen Formel rr- — Z225,

.V 25 I .

ar — 25, und — - - — — ; folglich

a- Z02Z 121

1 2Z l.2Z- t.Z.25 - X

10^ 2.ZZ 2.4.55- 2.4.6.55- '

r-3.55-2 5' >

ic>^ 2.55' 2.4.55» 2.4.6.55'

^55^_l ,_l_r.z

10^ 2.121 2.4.(121/ 2.4.6(121)-

i.Z-5_ >

2.4.6.8.(121/

55

- — (i- 0,0041408244) - 5,4772255761,
10

welches man erhalt, wenn man nur drey Brüche voll dieser
Reihe entwickelt; weil die folgenden Glieder bis in die zehnte
Dezimalstelle keine bedenkliche Ziffer mehr geben.

Wäre aus einer grossen irrationalen Zahl die Quadrat¬
wurzel durch Annäherung zu finden, wo die nächst kleinere
Wurzel in Rücksicht des Restes schon beträchtlich groß ist,
nämlich wenn « schon beträchtlich großer als wäre; so
erhalt man schon einige der folgenden Dezimalstellen der

w

Wurzel richtig, wenn man blos das erste Glied — allein
2«

entwickelt; z. B.

2ZI
^675915 - 1^(675684 -fi 2ZI) -- 822 4- —- -
2.822
^822,1425, wo die vierte Dezimaljiffer noch richtig ist;

(231/

weil das folgende Glied der Reihe — — -—— an der
2.4(822)»

vierten Stelle keine bedeutlichc Ziffer mehr giebt.

E e 2 Im-

4Z6 Sechste Vorles. vi. Abschnitt.

Jmglcichen ist l/8296,47 - ^(8593,29 4- 3,18)
, 3^8 .

-92,7-i- —" 92,7i7iZ-

Hierauf gründet sich die in verschiedenen praktischen
Rechenbüchern vorfindige Regel: daß wenn man bey Aus¬
ziehung -er (Quadratwurzel aus einer irrationalen Zahl
einige Ziffern der Wurzel (entweder durch wirkliches
Ausziehen nach ( §. 146.) , oder mittelst der Logarithe
men, oder auch durch Leyhilfe einer Tafel der (Qua¬
dratzahlen) schon gefunden hat, man nur das (Qua¬
drat dieser gefundenen Ziffern von der vorgegebenen
Zahl abziehen, und -en Rest -urch das doppelte der
schon gefundenen Wurzel dividiren soll, um noch einige
folgende Ziffern -er Wurzel richtig zu erhalten.

§» 302.

Es sey auch nach der Formel (§. 320.)

.1

— (c? st- zu entwickeln, so ist j— a"/
und H — sti —; folglich

"—3 8 , 2.A.wb w 2.<.8.-bst

L/) o--.H—--. st- - -- —— - L

4 A.4 2.3.3^ 2.A.4.3".«''

Anw. d. Reihen auf eine allg. Enkw. d. Potenz. 437

2..r4 2.Z.^

l.2.z'.a^ l.2.Z.Z^.-?

2.5.8.H.r^

3 ^7

folglich .r-) — s 4^-

I.Z.a?

1.2.Z.4.Z«. a" 1.2.Z.4.5.3^. a"

Durch diese Reihe läßt sich nun wieder seht seicht aus
einer vorgegebenen irrationalen Zahl die Kubikwurzel durch
Annäherung finden, wenn man die Zahl in solche jwcy
Thcile zerleget, wovon einer ein vollkommener Kubus, uud
in Rücksicht des andern beträchtlich groß ist; weil alsdann
die Reihe sehr schnell abnehmen wird, und in den meisten
Fällen nur das erste Glied der Reihe ganz allein entwickelt
werden darf, um die Kubikwurzel mit einigen Dezimal¬
stellen richtig zu erhalten. So ist z. B°

i/ZQQ - ^<5 l 2 -12) - 8 —- 8 - 0,062 - 7,937;

3'b4

weil das folgende Glied der Reihe die dritte Dezimalstelle in
der Wurzel nicht mehr ändert.

3^8

Jmgleichcn ^/572319 - >X( 571787 33^)

--824- ^ 62,22574, wo die fünfte Dezimal-

3<82/

Ziffer noch richtig ist , weil das folgende Glied an dieser stelle
keine bedeutliche Ziffer mehr giebt.

Hat man demnach durch Hilfe der Logarithmen ,
oder durch Hilfe der Tafeln der Rubikzahlen, die Wur¬
zel aus einer vorgelegten "Zahl mit einigen Dezimal¬
stellen bestimmt, und man wollte deren noch einige
richtig haben; so ziehe man nur den Rubus der schon
gefundenen Wurzel von -er vorgelegten Zahl ab , und
dividire den Rest durch das -reyfache (Quadrat der schon
gefundenen Wurzel, so wird der (Quotient noch einige
der folgenden Ziffern der Wurzel geben.

E e 3 ZOZ.

Da ist — a, H:

<r

3-7-«'

i-4

.^dann

— , uch
s

2..3.4.44

z.«-<

4ztz Sechste Vorlef. vi. Abschnitt.

§» 303.

Endlich wollen wir noch (a 4- w) - * nach der Formel
Zoo.) entwickeln.

—folglich

1-2.3.4.4'

304.

Sollte eine Grüße, die aus mehr als zwey Gliedern
bestehet, durch den binomischen Lehrsatz auf irgend eine
Potenz echoben werden, so muß man die vorgegebene Größe
als zweynamig verstellen. Z. B. es wäre M

entwickeln; so setze man e.' — z», - —9, undl—

.» L.

folglich ist (a 4- w) —4 — a—4

L

4 " ,

s
r.
3«"^^

4 a 2.4'
l_l 'e

-7—2 II 3.7.«—4^^. Z./.n.a—^^

Z Z.4 2.4' « 2.Z.4S

O 0-- -- - 3-7-11-^  3^7-H.1 5."- 4

4 ^4.4 2.Z.4S

u. s. w.

3
-. 2

N-I 7

2 2.4

-

1.2.4'

1.* I_y

Z.?.I  I.«—4 Z.7.1I.1A.2—4 L.»

1.2.Z.4'


4B
sodami substitnire man diese Welche in der Formel (§. Zoo.),
so wird man die verlangte Reihe erhalten. Da aber dergleichen
Reihen der Potenzen einer mehr als zweynamigen Größe von
keiner besondern Anwendung sind, so wollen wir uns dabcy
gar nicht aufhalten.

Anmerkung. Wenn man in (§, 299.) statt allenthalben
den negativen Werth-— Met, um für (a-f-w)—"eine
n-i-rr

Reihe zu erhalten; und wenn man sodann für /r auch einen
negativen Werth — m annimmt, so kömmt nachstehende Formel
zum Vorschein

(a-s-w)"- - . ( i 4- - 4- ,—--

v ,/ 4- -r 2 . ( « 4- -v

m(,?r 4- I) 4- 2).r- >

ch —-— l . .. )

2.Z.(a4-u-^ >

VII. Abschnitt.

Von her Summirung einiger besondern, thekls
endlichen, theits unendlichen Reihen, nebst
vorläufigen Begriffen von dem unendlich
Großen, und unendlich Kleinen,

30^

Obwohlen jede Grüße ohne Ende vermchrt werden kann,
Md man nie zu einer Größe gelangen wird, wo sich nicht
eine noch größere angeben laßt; so ist es doch in der Ma¬
thematik öfters nützlich, sich eine unendlich grosse Größe
ju gedenken, eine Grösse nämlich, die großer ist, al»
jede angebliche Grösse der nämlichen Gattung. Z. B.
wenn uns jemand in der ohne Ende fortlaufenden Reihe
( r -s. 24-Z 4-44-5 4- . . . . 4- ohne Ende) um das letzte
Glied, wie anch um die Anzahl der Glieder befragen würde;
st können wir nicht anders, als mit einer unendlich großen
ff e 4 Iah!

442 Sechste Vorles. vn. Abschnitt.

Zahl antworten. Das Zeichen, durch welches man in dec
Mathematik eine unendlich große Zahl vorzustellen pflegt,
ist «r ; es bedeutet nämlich dieses Zeichen cv eine Zahl,
die größer ist, als jede angebliche noch so große Zahl.
Eine Größe hingegen, welche ihre bestimmten Grenzen hat,
wird eine endliche Größe genennet.

Man kann zu dem Begriffe einer unendlichen großen
Zahl auf folgende Art gelangen. Es sey der Nenner 2

des Bruches eine veränderlich? Funktion, z. B. L —«—-r,
2  

so wird der Werth des Bruches immer mehr und mehr wüch¬
sen, je kleiner der Nenner 2 angenommen wird (§-78-);
bildet man sich nun ein, daß der Nenner r immer mehr und
mehr vermindert werde, bis er gleich Null wird, so muß
der Quotient ohne Zweifel unendlich groß feyn z nämlich es

ist — — Dieses läßt sich auch sehr deutlich einfehen,
0

wenn man in (§. 282.) bey der Verwandlung des Bruches

-—- in eine unendliche Reihe, s — i und er — 1 setzet;

„II

denn man erhalt sodann  -—— i-l-i-j-i4-i-ßl

i—i 0

-j-1 4-. . > - — c»

a I

Es ist demnach auch — — —. a — . a.

o O

§. 306.

So wie. man sich nun eine Zahl einbilden kann, wel¬
che größer ist, als jede angebliche noch so große Zahl; eben
so kann man sich auch einen unendlich kleinen Bruch verstellen,
einen Bruch nämlich, welcher kleiner ist, alg jeder an¬
gebliche noch so kleine Bruch. Z. B. wenn in der unend¬
lichen Reihe i, ß-, j , j .... die Nenner ohne

Ende


Bond.Summipung einiger besond. Reihen rc. 444

Ende wachsen, so wird der Nenner des letzten Gliedes — «
i

sepn; und das letzte Glied ist sodann « - . Nun aber wird
cO

der Werttz eines Bruches immer kleiner, je größer sein Ncn-

i
iier wird; daher muß der Werth eines solchen Bruches —

unendlich klein werden , wenn dessen Nenner unendlich
groß wird-

- Das Zeichen ? deutet demnach einen Theil der Ein-
QO

heit an, welcher kleiner ist, als jeder angebliche noch so
a I

kleine Theil. Eben so stellet — « —. «einen unendlich klei-
vv c»

nen Theil von a vor.

§- Z°7r

Hieraus folgt nun, daß ein unendlich kleiner Theil ei¬
ner Größe die Größe selbst weder vermehre noch vermindere,
wenn solcher hinzu addirt, oder davon subtrahirt wird;

nämlich daß i — l sen. Denn wäre i nicht
09 02

gleich 1, so müßte sich ein Unterschied angeben lassen, um
welchen die Einheit vermehrt oder vermindert worden ist,
welches wider den Begriff einer unendlich kleinen Größe ist.
Eben so ist auch « — — a H — a. Erne

unendlich kleine Große verschwindet demnach in 2lüE-
sicht einer endlichen Größe, wenn sie dazu addirt oder
davon subtrahirt werden solle. Und daher kann man
auch sagen : eine unendlich kleine Größe ist ein so kleiner
Theil eines Ganzen , daß solcher in Rüchsicht des Gan¬
zen für nichts anzusehen ist.

E e Z An-

442 Sechste Vorles. vn. Abschnitt.

Anmerkung. Den Anfänger darf es nicht befremden,
daß man in der Mathematrk Zeichen gebraucht , um unend-
tlch große und unendlich kleine Zahlen vorzustellen , da es
doch nach metaphysischen Gründen in der Natur keine solche
Zahlen giebt. Man darf sich hier nur erinnern, daß auch
in der Mathematik die unmöglichen Größen durch Zeichen

2/r

ausgedrückct (wie z. B. a), und sodann verschiedene
Rechnungen damit vorgenommen werden. Es kömmt nur
darauf an, ob die arithmetischen Arbeiten, welche man mit- -
telst der Bezeichnung der unendlich großen und unendlich klei¬
nen Größen vornimmt, auf eine leichte Art zu nützlichen
Untersuchungen und Anwendungen führen. In den folgenden
Theilen der Mathematik wird cs zu ersehen fevn, daß der
Nutzen, welcher aus der arithmetischen Betrachtung der un¬
endlich großen und unendlich kleinen Größen entspringt, weit
wichtiger, ausgcbreiteter, und für jeden auch nur mittel¬
mässigen Kopf faßlicher ist, als jener, welchen die Rech¬
nung mit unmöglichen Größen berschaffer.

Zo8.

Wen» man die unendlich großen und unendlich kleinen
Größen auf die angeführte Art bezeichnet, so sind solche so¬
dann , so wie die unmöglichen Größen, allen Rechnungsart
rcn unterworfen; sie können addiret, subtrahiret, nmltipliziret,
und dividiret werden ; so i st z. B. sv 4- sv — 2 cxe;

so

Z LV --2v«^:sv;c»Xa— svcrzsv:« —

a l I 2 1 a

a : sv — -— v. s. w. z eden so — 4 - — — z — <r — —;

Sv SO LV LV SV L0

! J I l I vv SV

--:L— —z — : — — x — — — l.

Sv LV t» sv 2V SV l SV

Imgleichen sv X sv — : sv^; sv^ x sv — so^

I I I I I !

x —» — — ; — x — - — u, s. w,

Sv Sv sv^ c«2 Sv sor

Dir

Von d. S ummirung einiger besond. Reihen rc. 44z

i i i

Die Potenzen co-»; —,——- ....

02^ 22? 22^

pflegt man die Ordnungen des unendlichen zu nennen; näm-
flch ov^ heißt eine unendliche Größe der zweyten Ordnung,
oder des zweyten Ranges; o-? eine unendlich große Größe

der dritten Ordnung, u. s. w. Eben so heißt — eine un-
endlich kleine Größe der zweyten Ordnung, oder des zwey-^
ten Ranges;— eine unendlich kleine Größe der dritten
22?

Ordnung u. s w°

309.

Wenn man eine endliche Größe a mit einer unendlich
großen Zahl 22 multipliziret, so ist das Produkt — 20 <r;
und wenn man a durch so dividipct, so ist der Quotient

-2 , wo die Größen , a, 22 a als drey aufeinander

22 <?2

folgende Glieder einer geometrischen Reihe anzusehen sind.
Wenn man nun die übrigen Glieder dieser Reihe beyderseits
anfetzt, so erhält man folgende geometrische Reihe

a a «

. . . .-,-, , c»a, -»'s, 22?«

.02 3 OO

es ist nämlich erlaubt zu «und —- die dritte zusammenhän-
22

gende Proportionalgröße zu suchen; und so auch zu a und
«-a; oder welches einerley ist, es ist auch ferner erlaubt
c» « mit «> zu mu-ltipliziren, und — durch zu divi-
biren u, f. w.

Aus der Detrachtung der angeführten geoinekrischen
^eihe können nun folgende Schlüsse abgeleitet werden.

i)

444 Sechste Vorles. vn. Abschnitt.

1) Jede endliche Große a verschwindet in Rück?
sicht einer unendlich grossen Grösse, wenn sie dazu ad-
Sire, oder -«von subtrahirt werden soll. Denn es ist
aus der Progression

«

— : a — a: 22 a

22

S

also auch a 4: —: 22 a a: 22 a (§. I87»)

22

s

Nun aber ist a 4 — — a (§. Z07.)

22

folglich auch 22 a 4^. a — 22 a.

2) Jede unendlich große Große einer niedrigem
Ordnnng verschwindet in Rücksicht einer unendlich gro¬
ßen Grösse einer höher» Ordnung. Denn da

a

—: 22 a: 22?«

22

a

so ist auch a 4 —. r a ^2 22'« 4 22 a: 22 *a

22

nämlich 22^a 4 22 a — 22 ?a.

Und so läßt sich auch zeigen, daß 22^s4 22
u. s. w.

Z) Eben so verschwindet auch jede unendlich klei?
ne Grösse einer höher» Ordnung in Rücksicht einer un¬
endlich kleinen Größe von einer niedriger» Ordnung,
wenn sie dazu addirt, oder davon abgezogen werde» soll;

a a aa« s

nämlich - 4 -- - —; -- — u. s. w.

22 22 ' 22 22^ 22^ 22

ZIO.

Es sey nun die Summe folgender unendlichen Reihe
s s L L

son Brüchen —b--!-- 4- — 4- . .,wo ^>e

e cm-

Zah-

Äon d. Summirung einiger besond. Reihen rc. 445

Zahler beständig sind , die Nenner aber in einer geometri¬
schen Progression beständig wachsen, zu bestimmen;

L r

so ist vermög (§. 2ZZ.) a --- ; - — —

e M

—i)

und nach (§. 254. N. 6.) ---

i)

Setzt man nun die Anzahl der Glieder » — w, so ist

>5 -— —--

-i)

Beyspiele.

l» 4 4- 4 4° 4 4- 4- .... — t

1.2

denn hier ist^ —l, e —2, m —2; folglich - — r

denn ö — I, c— 2, "r — 4; folglich — - — 4

2. Z

m. z z 4- — 1^6- 4- ^2 — 64 -i- ' - . » - f

1. — 2

denn L — i, c — 2, — 2 z folglich —-— 4

2. -z

iv. -z - S 4- 44 - 4-r 4- ^ . . . - ?o
denn L-Z, L--2, m — — 4; folglich.r - (Z.— 0: 2

— __, L..__ r_c> : ^_s_

' — 2*2^10*

V. Es ist das Gesetz eines ohne Ende fortlaufenden Dezimal-
bruchcs bekannt, z. B. o, 11 m . . . . man soll den ge¬
meinen Bruch herbepfchaffen, welcher nach I(§. 98.) in einen
Dezimalbruch verwandelt, den vorgelegtcn zum Vorschein
bringet.',

Hier ist ö—i, e^iv, und^r^iQ, weil o,nm

— 4- ——I-folglich ist der verlangte

io io- io?

i.io i«
Bruch § --— —

10.9 9

Eben

446 Sechste Vorles. vn. Abschnitt.

Eben so findet man , daß zu dem Dezimalbruch
57

o,575757 , - - - der Bruch — — —- gehöre ; weil in
99 33

diesem Falle 5 —Z7, c— und m—ioo ist.

Wollte man aber den Bruch herbepfchaffen, welcher in
einen Dezimalbruch verwandelt 0,9999 .... gicbt, so

> 9.10

ist hier S —9, c—io, undfolglich i;

IO.9

das heißt, es läßt der Bruch sich gar nicht angeben, welcher
in nnen Dezimalbruch verwandelt 0,9999 . . . giebt;
weil sich vermög Z06.) zwischen diesem ohne Ende fort¬
laufenden Dczimalbruch , und zwischen der ganzen Einheit
gar kein Unterschied angeben laßt, indem solcher unendlich
klein ist»

?. 3^»

Wenn maN die Glieder einer arithmetischen Reihe

tt, a-l-ül, a-i-2rk, s-i-Zül » . . . a4-(^r^l)ci

Wit den Gliedern einer geometrischen Reihe

L, 67, .... r

einzeln multipliziret, so erhält man nachstehende zusammen¬
gesetzte Reihe/

a-S, (s4-Zci)-5-^ ...»

wovon das allgemeine Glied ist

? sa!-h(^—-l r

und das summatorische Glied von dieser zusammenge¬
setzten Reihe läßt sich auf folgende Art bestimmen.

Man zertheile jedes Glied, z. B. 4-in so
viele Glieder, als der Koeffizient von al Einheiten enthält,
nämlich (a-s-Zek)^ —«^4- ^^4. 4- fi>

i -

Von d. Summirung einiger besond. Reihen rc. 447

§ —

4- a^7 4-

4- «^7- 4- LeZe/ 4-

4- 4- Z-e/7^ 4- 4-

4- 4- 4- ^^7" 4- ^^7- 4- ^7*

4. — — —. — > — — >—

4- «^7"—r /-^7"—r 4- ^7"—f 4- . . .

Nun ist von oben nach unten gezählet die Summe der
aLe/" -—«6

ersten Kolonne - -, vermög (Z. 254. N. Z.)

- V-i

Die Summe der 2ten Kolonne, welche um i Glied
weniger enthält,

^7" —6^7

ist, vermög eben der Formel —- Z

<7-l

^7" —7>ü7</-

die Summe der dritten -

--I

—äa^r

die Summe der vierten — — — ——

<7-l

die Summe der fünften -—

' 7-r

u. s. w.

aL«" -.«L

folglich F —-4- (ee — l) x ——

--l 7-1

-- (l 4--4-7^4-7^4- ... -4-7""')

und endlich, wenn man auch statt der hier in Klammern
ttngeschlossenen Reihe aus (§. 2Z4. N. Z.) den gleichen
7"—r_l

KZerth -- setzet, und alles gehörig reduzirct

7-1

-  l)4-^r/7^ ^^7(7«  —  !)

7-1 (7-l>

>. 312.

448 Sechste Vorles. vil. Abschnitt.

ZI2.

Setzet man in der angeführten Formel (§. zu.)
i i ,

— statt L, und— statt./, so erhält man von nachstehende-

Reihe

a <r4-ck a 4- 2c/ «4-Zrf

L' L</ /></? »

- l)«t

allgem. Glied

summat. Glieds —--——-

Setzet man hier /r —

(as—>a4-ck)s^

so ist —-— -— ; weil das 2te Glied im Zähler

l)

als eine unendlich große Große eines niedrigen Ranges in
Rücksicht des ersten Gliedes verschwindet;

(a§ — r

ferner § —-—

(s- — a 4- ck)s
und endlich § —--

z. B. -z 4- z 4- § 4- 4- . . . . . . . Z

i- 4 4- 4- 4-

-z -l- § -i--l- f -r 7^ -l-... §
weil hier im letzten Beyfpiele a i, ck i , S — 2/
und - — ist.

Eben fo ist 0,12345679212345679012 . . —
wenn mau hier a — i, Ä i, — 12 und 7 — 1^
setzet. Eben diese Summe findet man auch nach (§. 310-)?
wenn man dort

S— 122456792, c— 12^ und m — 12^ setzet.

§. 313'

Von d. Summirnng einigerbesond. Reihen re. 449

§» 3!3-

Es giebt auch Reihen, die sich summiren lassen, bey denen
die Zahler beständig sind, die Nenner aber in einer gewissen
arithmetischen Reihe des 2ten Ranges fortgehen; imgleiche»
wo die Zähler sowohl, als auch die Nenner in arithmeti¬
schen Reihen wachsen; jedoch muß der Rang der arithmeti¬
schen Reihe im Nenner wenigstens um 2 größer seyn als im
Zähler. Da aber dergleichen Reihen keinen besonder» Nu¬
tzen verschaffen, so wird es genug seyn nur einige wenige
aus diesen mit ihrem summatorischen Gliede hier anjusetzen;
als

s a a

I, Reibe-k--—>4--4-re.

allgemeines Glied e

<r

summat. Glied — —77-——

a

Setzet man nun er — c«, so ist —

Z. V.-k- — 4- — 4" — 4°' «» — t,

1.2 2.Z Z.4 4.A

Reihe —-——>-1-

^4-cs)(^4-2al) (^)(S4-2ni)(^4-Z^

<r

t ---—-

a(2" 4-et)er 4-

Vorles. I. B. Ff Se-

<r

e —

so ist §



HI. Reihe --j--

«42s

--——-—-



(^42<^) ... (^44^)



sö4(/r —l)^ s^4"^ s^4^4 l)^4

(2aL  — 4 -s-  (a^  -j- Se)»-

2ösS 4- 4 s2 -j- (// -s-1

Setzet man n 20

(a«k 4 öe)c>v^

I.

4

32

450 Sechste Vorles. VH. Abschnitt.

aÄ ca?

Setzet man ?r -- 02 ; so ist § --7-

«<^4 ^<7

2S(^4^). ^2V.Ä co 2-(--i-ti).Ä-'

1224 x

-4- --j- -- 4- — - 4 . . - -
r-Z-5 3.Z.7 S-7-9 7-9-n 8

4  .....




2.4.6 4.6.8 6.8.io ------ Z2

«4^ a42ü^

'tV.Reihe —4 -1--— — -

«41 («4i)(a4i4^) («4l)(«414<^)(s4t42^)

«4Zck 



4- («4 r ) («4 l 4^) («4 l 4-2^) («414z^)

2S^(44^)

I I I

--s---

I.2.Z 2.Z.4 Z.4.5

3 -3- 3

2.4.6 4.6.8 6.8.lcr

a

r



— i.

Man

2.Z-4-5

8

Bon d. Summirung einigerbesond. Reihen rc. 45^
«4-^—1 )rk 



(rr 4-l ) (<r 4" l 4-. .. sa 4-l 4-(^r — l)

I


(a-j-l)(c/4-l4-^) . . . i>4-l4- ("—

. I

Setzet man ?r — sr, ssist^— I— — — ir
sr

Z. B. -4-— 4---> 

2 2.Z 2.34

^.4. ^4.-6

3 3-5 3-5-7 ' 3 5-7-9

Die summatorischen Glieder zu din hier angeführten
Reihen sind dadurch entdeckt worden, daß man verschiedene
^/r -j- LV?

Funktionen von z. -, imgleichen —7—

L4-c>- L'4-/)/r 4-L'/r

n. s. w. für summakorische Glieder gewisser Reihen angese¬
hen hat; darauf hat man in einer jeden solchen Funktion ,

j. B. in- , um die Summe von » — i Gliedern zu



L4-e,r

erhalten, » — i statt gesetzet, und diesen letzten, Werth
/r— l) ^/r .

---— -von dem vorigen -7-7 - abgezogen; dadurch

L4-c-r

hat man vermög (§. 2Z!. ) das allgemeine Glied
r- --derjenigen Reihe erhallen, wel-




sL4-^M4-6(-r-i^

^/r
che mit dem angenommenen summatorischen Gliede —

Zr -j- 0/r
zusammen gehöret. Da man endlich in diesem allgemeinen
Gliede nacheinander l, 2, Z, 4, A  .... für /r gr¬
üßet hat , so hat man die aufeinander folgenden Glieder
'wer solchen Reihe erhalten.

452 Sechste Bortes. VH. Abschnitt.

Man kann überhaupt jede Funktion von n für ein
summatorisches Glied von irgend einer Reihe ansehcn, wozu
sich nach (Z. 2Zi.) das allgemeine Glied, und sodann die
Reihe selbst nebst ihrer Gestalt bestimmen läßt. Nur muß
die Funktion so beschaffen seyn, daß das nach (§. 2Zi.)
daraus abgeleitete allgemeine Glied mit der angenommenen
Funktion, für n — i einerley Werth habe. Z. B. wenn
man § -l-L/r -l- als das summatorische Glied
einer gewissen Reihe ansehen wollte, so wäre das allgemeine
Glied

und nun ist für n I der Werth § — (^4 4- 4-
hingegen e --(^4-L4-6)-S — daher ist nicht
(^-4-L/r 4- c>?) D" , sondern 4- S/r 4- <7^)
so beschaffen, daß letzteres für das summatorische Glied ei¬
ner gewissen Reihe angesehen werden könne.

AumerkunF. Es ist sonderbar, daß alle bisher be¬
kannten Kunstgriffe der Algebra nicht hinreichcn folgende un¬
endliche Reihe

i r i r

I. — -r- — — 4- -4- .. . .

i.A 5-7 9-1 r iZ.iA

oder überhaupt eine Reihe von der Form

a « a

H . 4.-—-. — 4*-- — 4- ,»

(^4-2^) (^4-Zct) (^4-4^)

richtig zu summiren. Man sollte denken, weil diese Reihc
blos aus den irngeraden Gliedern der Reihe

« rr a s

—- 4, —  -—j-1— --—-

S(/-4 (L-l-^(^4-2^) (ö4-2<0(/4"Zri0 ^4-Z^)^4-4^
besteht, deren Summe wir oben angegeben haben, daß sich

auch

Von d. Summirrrng einiger besond. Reihen re. 45z

auch die Summe dieser Reihe bestimmen lassen müsse, so wie
z. B. die Summe der Reihe .

« a « q

— 4- —I 4-!-. 4* . . ° .

ö

als der ungeraden Glieder der Reihe

s <r a a a

I- — 4" — -ft — 4- -— 4- ....

K

sich angeben läßt. Allein es bleibt bey dem, wie schon
gesagt worden , daß alle bisher bekannten Kunstgriffe der
Algebra nicht hinreichen, dergleichen Reihen, wie I. und II.
zu summiren , wenn nicht jedes Gliedes Nenner mit dem
zweyten Faktor des vorhergehenden Nenners anfängt. Nur
durch eine Annäherung kann man die Summe einer solchen
Reihe bestimmen; besonders wenn man die Reihe in eine
andere verwandelt, die sehr geschwind zusammenläuft, wel¬
ches man bey unendlichen Reihen, die nicht schleunig genug
abnchmen, jederzeit ins Werk zu stellen trachten muß; wir
haben ein solches Beylpiel bey der Reihe

laß out 2 — I — F 4- H 4 4- 4 — 4 4- . - > -

l , i , i i

— — 4-1-4-4-.. gesehen , die

l.2 Z.4 5.6 7.8

<1 ! l

wir in folgende Reihe los ast 2 — 2. l — 4- —-ft —-

^3 3-3' 5-3'

4-l-. -. . ) verwandelt haben, welche schon dergestalt

7-3'

abnimmt, daß man nur einige wenige Glieder 8 oder 9 ent¬
wickeln darf, um eine Annäherung zu der Summe aller
Glieder dieser unendlichen Reihe zu erhalten, die bis auf den
millionten Theil einer Einheit richtig ist.

F f3

§.214.

4Z4 Sechste Vorles. Vil. Abschnitt.

§. 314-

En ereignet sich zuweilen, daß nur einige wenige Glie¬
der , als z. B. das rote, zote, 4ote, zote und 6oke
Glied einer Reihe gegeben werden, ohne zu wissen, zu wel¬
cher Gattung diese Reihe gehöre; und doch wird es dabcy
verlanget, daß man die übrigen zwischenliegenden Glieder
ziemlich verläßlich bestimmen solle. Bcym Bombenwerfen
trägt sich dieses zu ; es sey z. B. die unter einem nämlichen
Erhöhungswinkel erreichte Weite mit 20 Loth Pulver — 89
Klafter, mit zo Loth — 2A0 , mit 40 Loth 420, mit
Zo Loth ZZo, und mit 60 Loth Pulver 650 Klafter;
nun sollen aus diesen, durch einen richtigen Versuch gefun¬
denen Wurfweiten unter dem nämlichen Erhöhungswinkel,
bey dem nämlichen Mörser, die zu den verschiedeiren Ladun¬
gen von 2o bis 60 Loth des nämlichen Pulvers zugehörigen
Wurfweiten vom Lothe zu Lothe durch Rechnung bestimmet
werden. Dieses kann auf folgende Art geschehen:

Da es einmal gewiß ist, daß die zu den verschiedenen
Ladungen von 20 bis 60 Loth zugehörigen Wurfweiten
eine zunehmende Reihe ausmachen, von der uns weder das
Gesetz, noch sonst etwas äusser dem2oten, zoten, 4oten«
Zoten, und 6oten Gliede bekannt ist; so setze.man die zu
Lochen des nämlichen Pulvers unter dem nämlichen Erhö¬
hungswinkel zugehörige Wurfweite

V- ^/r 4- L"- 4- 6,6 4- 4- Lnft

Um mm die Koeffizienten L, 6, L, L zu be¬
stimmen, setze man einmal » — 20, dann — zo, 40,
Zo, und endlich n — 60; und dg die Wurfweiten mit die¬
sen Ladungen schon bekannt sind,
Gleichungen

so erhält man folgende

80^20^4- 400§4- 820.064- 16020064- Z20.)000
2Z0—zo^4- 90064- 2700064- 81200064- 24Z2202^
422—42^4-162264- 6420064- 256000064-102402020
5Z0—50^4-2Z22S4-i2Z00064- 625000264-Z12520002^
6Z o-6o^4-z6oo6-!-2! 6222 6-4-12962022 64-777600900

Aus

Non d. Srwmirung einiger besond. Reihen re. 455

6912020

Aus diesen Gleichungen findet man ---;

288222,,
^679622^ 17662 212 1

' .

288222 288222 288222 288222

Es ist demnach die zu /? Lothen gehörige Wurfweite

—  69122222  4-  679622-1'—  17662^4  212^—^
288222

(679622^4212^)  —  (6912222^4  17662^4»^)
288222

Setzet man nun in dieser Formel — 20, zo, 42,
Ko, 62, so erhält man für die Wurfweiten die nämlichen Fah¬
len, die das angenommene Experiment gegeben hat; fetzet man
ferner in dieser Formel /r — 21,22, 2Z. .. . Z9, und re¬
duziert alles gehörig, so erhält man die zu 21, 22, 2Z
... K9 Lothen des nämlichen Pulvers und unter den nämli¬
chen Erhöhungswinkel zugehörigen Wurfweiten v in Klaftern.

ZrZ-

Wenn bey einer Reihe die aufeinander folgenden, in
Zohlen gegebenen Glieder 2, 2*, 2", 2"?, 2^, 2",
r"r . . . . so beschaffen find , daß solche ohne merklichen
Fehler als Glieder irgend einer arithmetischen Reihe eines
Hähern Ranges angesehen werden können (nämlich, daß die
daraus abgeleiteten Differenzreihen immer um einen Rang
niedrigere arithmetische Reihen werden, und endlich bcynahr
in Null übergehen); und wenn man- da das erste Glied
bey der ersten Differenzreihe mit bey der zwcyten Diffe-
renzreihe mit ^2, bey der dritten mit ^2, bey der vier¬
ten mit 4^2 u. s. w. bezeichnet; so ist nachstehende Formel

sehr brauchbar um zwischen 2 und 2' das an die — te Stelle
gehörige Glied — 2 einzufchalten.

F s 4 All-

456 Sechste Vorles. vil. Abschnitt.

Allgemeine Interpolationoformel.

^--4--.^--<^'24- ----—r

"r 2m^ 2.Z.^

/r(m—//) (2m—/r) (z^r—'?)

-----. id.....

2.Z«4."r^

Um den Gebrauch dieser Formel durch ein Beyspiel zu
«Mutern, stelle man sich vor, es wären die gemeinen Lo¬
garithmen mit 7 Dezimalstellen nickt weiter als bis loo
berechnet; und nun sollte loz- 94,6z mittelst der Interpo¬
lation (Einschaltung) berechnet werden ohne die Eigenschaf¬
ten der Logarithmen zu kennen. Dieses kann auf folgende
Art geschehen. Man setze hier 2 22 loz 94 22 ^-9731279;
sodann ziehe man die bey 94, 95, «96 , 97, 98, stehen¬
den Logarithmen voneinander ab, jeden vorhergehenden vom
nächst darauffolgenden, um die erste Differenzreihe zu erhal¬
ten ; aus dieser ersten Differenzreihe bestimme man eben so
durch die Subtraktion jedes vorhergehenden Gliedes vom
nächst darauffolgenden die 2te Differenzreihe; und darauf
eben so die zte; so ist sodann ^2 — 4- 45957'
^2 — — 481, H»2 — 4- iy, 22 oz ferner setze

-r

man — 22 O,6z; nämlich m " 102 und /r 22 6z ; cnd-
lich substituire man alle diese Werthe in der angeführten
Formel, so wird man ^22 94,6z erhalten, nämlich

I-»Z 94,63 - -V973I279 4- o,6z x 4Z957

4-0,116x481 4-0,05 x io 22 1,9760288

Diese allgemeine Jntervolationsfyrmel läßt sich aus fol¬
genden Gründen ableiten. Bey der angenommenen Reihe
2, Li, ^rr, r*", riv, 2^, . bezeichne man dieGliedei
der iten Differenzreihe mit ^2 , ^2', ^2" , .

der 2ten -- - -- ^2, ^-2', ^2", ^2"'. ..

der Zten - - -- ^2, ^-2-, ^2"'. ..

der 4ten - - - H"2, ^2^ u, s. w.

st

Von d- Summirung einiger besond. Reihen rc. 4Z7

so erhält man folgende Gleichungen:

4:—2'—r; 42'^2"—2*z 42"—r-'"—-r"; 42'"—2""—2'" ...
4'2-4r'-42; 4'2'-42"-42>; 4'2"-4r'"-4r", .

4-2—4'2'—-4'2; 4^2'—4'2"—4'2'....

4»r-4-2'—4-2...,

4-2— u. s. w.

Aus diesen Gleichungen folgen nachstehende Werthe für
2', 2", 2"'...»blos durch 2 und durch 42, 4'2, 4-2, 4*2...
ausgedrückt;

2' — 2 4 4r

2" - 4 242 4- 4'2

2"'— L 4- g4r 4- ^4'2 4- 4-2

r 4 442 4- 64'2 4 44^2 4- 4*2

2V - a: 4 A4r 4-124'2 4 u. s. w.

Nun sind die Koeffizienten allhier mit jenen des bino¬
mischen Lehrsatzes einerlei) (§, 297.); es ist daher das /te
Glied nach 2 in der vorgelegten Reihe, wenn man solches
mit 2^ bezeichnet, folgendermassen allgemein ausgedrückt;

, </--i)4'2 i) (>--2)4-2

2 — 24 /-42 4-!--

2 2.Z

</-—!)(/--2)(/--Z)4^2

»I-4 . . . .

2.Z-4

Setzet man endlich in dieser letzten Formel statt /- den
er er

eigentlichen Bruch — ; so erhält man für das an der — ten
/// //r

Stelle zwischen 2 und 2' einzuschaltende Glied den oban-
geführten Werth, wo bey 42, 4'2, 4-2 rc, auf die Zei¬
chen -s— die gehörige Rücksicht zu nehmen ist.

' Anmerkung. Wenn man (er —i) statt '- in der letz:
ten Formel setzet, so erhält man nachstehenden Werth für das

F f Z all--

4Z8 Sechste Vorles. VII. Abschnitt.

allgemeine Glied — T' einer /eden arithmetischen Reihe eines
höher» Ranges

(// — l)(// —

2^ 22 2 4- (/r —1)^2 4- ---

2

4---- 4- . . .

2.Z

Wenn man endlich auch bey der nämlichen Reihe 2/ r',
s", 2'" ... die Summe von i Gliede mit von 2
Gliedern mit von Z Gliedern mit u. s. w., und
endlich die Summe von n Gliedern mit — ^bezeichnet;
so ist das snmmatorische Glied einer jeden arithmetischen Reihe
eines höhern Ranges

„ , , "O-i)O-2)^

»d ^7 /r2 4-- -j- -——

2 2. Z

<-lX"-2X/r-Z)^

- - - ' 4 *

2.3.4

weil 22 2 ; — 2 4- 2^ 22 22 4- e^2 i

4-r^ 4- 2" 22 Z2 4- Z^2 4- ^2 ; — 42 4- 6^?

4- 4^^ 4- ^'2 ist u. s. w.

§. Zl6.

Bevor wir diese Abhandlung von den Reihen beschliess
sen, wollen wir noch das summatorische Gled § von der
Reihe der Een Potenzen der natürlichen Zahlen r"- 4-2"-
4- Z"- 4- 4"? 4- . . . . entwickeln.

. Um dieses zu finden^ setze man, weil die Een Poten¬
zen der natürlichen Zahlen in einer arithmetischen Reihe des
Een Ranges fortgehen, das summatorische Glied.

.r 22 1 4- L/2"r 4- e-r"r—r 4- D/r"-—r 4- . . -

weil vermög (§. 247.) das summatorische Glied dieser Funk¬
tion gleich gesetzt werden kann.

F-r-'

Von d. Sumnürmrg einiger besond. Reihen rc .459

Ferner setze man in diesem summat. Glicde " — r
statt/r; so wird man die Summe von i) Gliedern
der vorgelegken Reihe haben; nämlich es ist die Summe von
(/e-l) Gliedern der vorgeiegten Reihe

I-l- (7(/r—14.. .

Ziehet man nun die Summe ^von der Summen ab, so muß
das /tte Glied zum Vorschein kommen (§. 2ZI.); nämlich
es ist — /e"* - und daher

/e"- — 4- t7/r»2—r _s_ D/r'n—r 4- ...»

i) "- 4- r—i)<7(/r-1) —D(n— l )"--r—

Entwickelt man nun jedes Glied der zweyten Reihe
Nach (§. 299.), und bringet die ganze Gleichung^'auf Null;
so findet man vermög (§. 283.) nach gehöriger Reduktion

I I I e/r

e - - o-

"z 4- i 2 62

I m.(m-l).(n-2)

L — — -— . ----z — O

Z0 2.3.4

I l) . . . O—4) „

6^4---. -- - ---; /5— 0 N. s. W.

42 2.Z.4.Z.6

Es ist demnach das fummatsrische Glied von der Rcir
he der /7-ten Potenz en der natürlichen Zahlen

4 . ,^4-r ,

m4-; 5Z

4.2.

62"

I msm—i)5,/e — 2)

- — . -----. „m-Z

30 2.3.4

4- - m(m- i)(^-2)(m-zX^-4)

42' 2.3.4.5.H

"> s- w.

Oder

4- C

9. io

— a

2

2

???(//?  --  i  )(/?r  —  2)"^—''

2.Z.4

—  2)(^r  — s

2.z.4-5-6<

/?r(m  —  I)  .....  (m  —6)»"^—7

wo A -- 4^ B C - -H ist.

Und nun kann D auf folgende Art gefunden werden.
Man setze in dieser Formel F , und — iz so ist
§ — i — dem ersten Gliede in der Reihe der 8ten Poten¬
zen der natürlichen Zahlen; folglich ist, wenn man auch D
A, B, und C die schon bekannten Werthe setzet,

l 4 6°« 4 — Zö» ^4 4tr' -4- E)

rine Gleichung, woraus D — — folget.

Und darauf kann auch E bestimmet werden, wenn
man für A , B , C und D die schon bekannten Werthe sub-
siituiret, und m io, /r — i und — i setzet, um
«ine Gleichung zu erhalten, woraus E —4-/7 folget. So ¬
dann findet man auf die nämliche Art F — — ivenN
man M — 12, I, und — l setzet u, 5 w.

" Aus

2.Z.4.5.6.7.8

1)

2.Z

460 Sechste Vorles. Vis. Abschnitt.

Oder wenn man vom ztär Gliede angefangen die vor?
stehenden Koeffizienten mit A, B, C, D, E, F, G . . .
bezeichnet, so ist

I »r4r

. er -j

^4-1

m . /r"r—I

Von d. Summirung einiger besond. Reihen rc. 461

Aus dieser allgemeinen Formel folget das fummatorische
Glied für die natürlichen Quadratzahlen — 4-^ ,?-s-

— 4- l)(2^ 4- l) wie im (§. 2ZY.); für die Kubik-

zahlen 4-4^ 4-^»^ — 4-wie im(§. 246) ;

für die Biguadratzahlen — 4- ^»"4- 4»^ — u. s. w.

§- ZI7-

Setzet man nun in der allgemeinen Summenformel
(§. 316.) die Zahl der Glieder n — 00 , so verschwinden
in dieser Summcnformel alle Glieder in Rücksicht des ersten;
weil solches ein unendlich Großes eines höhern Ranges ist;

folglich ist -. 00 "»4 r — der Summe aller Glieder

n4-l

einer unendlichen Reihe der mten Potenzen der natürlichen
Zahlen.

3. B. i- 4-2- 4-Z" 4-4" -l- - - --°' -

iS 4- 2b 4- Zb 4- 4b 4- . . n-b —

I.

I"- 4- 2" 4- 3^ 4- 4^ 4- . . «r- —

Anmerkung. Wenn bey der Anwendung der Analysis'
des Unendlichen auf die Auflösung verschiedener Aufgaben
unendlich große Größen in Rücksicht einer andern unendlich
großen Größe eines höher» Ranges, oder auch endliche
Größen in Rücksicht einer unendlich Großen weggelassen wer¬
den; so ist da immer in einem solchen Gliede, auch im Nen¬
ner eine unendlich große Größe befindlich, so -aß eigentlich
bey der Anwendung jederzeit nur unendlich kleine Grö¬
ßen in Rücksicht endlicher rveggelassen werden, wie es
i»m Theil schon aus (§« zio. bis 313.) zu ersehen ist.
3. B. im (§. 313. H.) ist

a(2^ 4- 4-  ach-?

2-^ 4- 0^ 4- 4- 4-

ac/ 4- «(2^ 4- ck): »

2<5(<l> 4- 4- 4- ei: n 4- : n)

462 Sechste Volles-. Vil. Abschnitt.

wo offenbar für ?r — vr> die Summe § — —-

2^(6 4- ck) . a . S

— "7—7-7—— wird. Auf solche Art könnten überhaupt in
20^(1--f- «0

allen Fällen bey der Anwendung der Analysis die verschiede-
denen Ordnungen des Unendlichen vermieden werden, welches
aber mnuöthig wäre, da eben diese verschiedene Ordnungen
bloß wegen Abkürzung der arithmetischen Arbeiten cingeführt
sind. Nur muß man dabei) immer die gehörige Aufmerk¬
samkeit anwenden, damit die unendlich kleinen Größen in
Rücksicht endlicher, oder endliche Größen in Rücksicht unend¬
lich großer, und so auch unendlich große in Rücksicht anderer
eines höhern Ranges nicht zu voreilig Hinweggelaffen werden»
Wenn man z» B. bey einer arithmetischen Untersuchung findet-
eine gesuchte Größe sey

L — x (i —2-l-z—4-l-A-6-I-7—8-!—ohne Ende)

soisiL-—. (i-k-z4-A-l-7-!-9-^n-l- . . .)

-.(2-j-4-l-64-8-k-lo-l-i2-f- . . .)
80

Nun ist die Summe der ersten Reihe — wen»

man im (s. 2Z4. N. 6.) a — i, ck—2, und se¬

tzet; Und die Summe der zweyten Reihe ist — 02 4-

a z
wegen a — 2, ck — 2-, n rn LO; daher ist a: — -^.2°

— —. (ao — — <7. Würde man hier bey der
Summirung der zweyten Reihe in Rücksicht

weglassen; so wäre sodann 8 —.0 , und die Summe
88

, der

Bond. Oummirungeiniger besond. Reihenrc. 46z

der unendlichen Reihe l —24- Z— 4.4-Z —64-7—84—...
wäre daher — o, welches nicht scyn kann; «- darf hier
in Rücksicht os? nicht weggelassen werden, weil die zwey
mit bezeichneten Großen bey der ersten und zwcyten
Summe, wegen der entgegen gesetzten Zeichen, einander
aufheben.

Wenn man (i 4-ur)—r »ach (§. 299.) in eine un¬
endliche Reihe aufiöfet, oder auch (i4-a)—2 ,

--— — i —2U74-Z^—4^4-A.r"—6^—.. mit-
! 4-2er4-er^

telst der Division entwickelt, und sodann ur— i sitzet; so scheinet
li- 24-Z— 44- A— 64- 7— 8-i- 9— l 0 -j- . ohne Ende) j
zu siyn. Allein es ist wohl zu merken, daß bey einer stei¬
genden Reihe, in welche eine gewisse Größe, entweder durch
die Division, oder sonst auf eine andere Art aufgclösct wor¬
den, jederzeit noch ein Rest zu der Summe aller Glieder
hmzuzusetzen seh, um eine wahre Gleichheit zu erhalten^
Nur bey einer fallenden unendlichen Reihe kann man sagen,
daß sie der Größe vollkommen gleich sey, aus der sie ent¬
steht; weil der Nest bey einer solchen Reihe immer kleiner
wird, jemehr Glieder als man entwickelt, und endlich gar
veschwindct, wenn die Reihe ins unendliche fortgesetzet wird

Man findet z. B. wenn —— durch die Division in
Z-I

die unendliche Reihe

r

aufgelöste wird, daß der Rest nach zwey Gliedern ^-^1'

, 1 t

»ach brey Gledern — —-—, nach vier Gliedern-—--,

2.(Z)' 2.(3)"

lach n Gliedern -- —— > und folglich nach 00 Glie-

2.(z>

dem

464 Sechste Vorles. Vil. Abschnitt.

dem - -—i ncimlich man findet , daß dieser Rest in

2.3

Rücksicht einer endlichen Größe — O fey. Bey den wach-'
senden Reihen ist das Gegentheil; da wird der Rest immer
größer, und endlich — e», wenn die Reihe ohne Ende fort-
gefetzet wird.

Wenn man z. B.-durch die Division in die um

i 4-2

endliche Reihe r — 24-4— 84-16 —Z2 4-64—1284--..

(-2)"
ausiöset; so findet man den Rest nach n Gliedern — —

l 4- 2

(—2)" (— 2)°°

-; und folglich nach Gliedern -—

3 3

nämlich unendlich groß. Eben dieses ist bey einer unendli
chcn Reihe von gleichen Gliedern zu beobachtenz man findet

V. das —-sich durch die Division in folgende

i -l- i

Reihe i — i 4-1 — 14-1 i 4- — . . auflösen lasse, von

der man nur sagen kann, sie fey ——> wenn man den Rest
2

hinzufuget, der unverändert, und immer—4- —oder--—"7
2

ist; jenachdem man die Reihe entweder bey einer geraden oder
bey einer ungeraden Anzahl der Glieder endiget.

§« 3^8-

Auch die Summe der mten Potenzen einer jeden arith¬
metischen Reihe läßt sich nach den bisher angeführten Grin¬
den bestimmen. Es ist nämlich von der Reihe

4- («4-6)" 4-(«4-2S)^ 4.(44-^)"- 4-, § . 4-^

wenn

Bvnd.Summirung einiger besond. Reihen rc. 46Z

wenn man die Summe aller Glieder — § setzet,

, - 4- 4-

(m 4-i)^

4- A . — (Lm—r— «m— r)

2

?/-(/--—l) (m—2)öb

4-B. —-0"--Z —a»r-Z)

2.3.4

»r(/n — l) .. . sm — 4)^^

4-C. —---- (L^-L-a^-L

2.3.4-S-6

4- u. s. w.

doo die Koeffizienten A, B, C, D re. (die sogenannten
Lernoullrschen Zahlen ) die nämlichen Werthe haben, wie
>m(§. zi6.), nämlich A — -l-Z, B —— C —4-4'2/
D , E — 4- , F — — ^/-4-5 / G — 4-

H — — u. s. w.

i) Denn wenn man das erste Glied der angeführten
arihnietischen Reihe mit das 2te mit das gte mit e,
das 4te mit /), und das Ate (a 4- 4S), welches wir hier
bey der Erwägung für das letzte annehmen wollen, mit L
bezeichnet; so ist vermög (§. 299.)
tt"r—2^",

(«4-S)"r — (^4--)"- — 4-M^—tA

4-m(//r—I 2-24-^m(/-r—l).(/?r—2) 3^4-.. —

(a4-2S)"- — (L4-L)'" 4-//-LE-IA

4-'m(/n—2^4-^//r(/n—l).(/n—2)L"'—Z^4-4» "
(a4-zö)'» — (6'4-5)"r — (7« 4- I-

4-4//r(m—>1) 0/"——l).(m—2) ^^4-..—D

(«4-4-)"- — (L>4-?- )'" — /-'» 4-

4-z»r(,-r—l) 0"-—2^4-^M(»r—l).(m—2) O-r^4-. — L'»

Vorles. I. L. ÄS

466 Sechste Vorles. vn. Abfchnitt-

2) Daraus folgt, wenn man für 6'-»,
die gleichgiltigen Werthe setzet,

1^, 44-7r(/7r^-l)O^^2K^4, *

-4m(7"2—2^2 4,,

-4 4- l) 4. . ,

4"r^"^—2^4.

4a">

z) Und ferner, wenn man ("r 4 r) statt m in N.r.
setzet,
2"2-i-r <r"r-i-r

-.---— 4 L"» 4 t7'" 4 4. r''-

(«4 l)^

4 r4L^-r4/)»r-r4^-r —r"--r)

4 4 .... . -2^)

4 2^4 (//!-'l) (m— 2)^b z -4- ..... )

4) Nun bezeichne man die Summe der «rten Potenzen
aller Glieder mit L"* , die Summe der (m—i)ten Po¬
tenzen mit L"-— i, der (« —2)ten Potenzen mit -5"^
n. s. w.; so folget aus N. Z.

2"r4l —, ^m4r

—-4.

(«4i)s

-j- MSz-»—i r

4 l)S' z l)s- L"--2

4 2 4 l)(/K-.2)^r"r—3— . . .

Z) Jetzt setze man (m—i), sodann (/-r —2), str-'
ner O —4), (??r—6) u. s. f. statt m in N. 4.; so wird
man Summenformeln r, L«—4 sich die («—

(M —2), (»r—4)ten Potenzen erhalten; darauf muß man
für in N. 4. einen solchen Werth substituiren; da¬
durch

I

(a 4-gS>"

l
weil die Glieder, wo-

L"r—r

I mö
6

.. (/^4-4)^^

2.Z.4.Z.6r"-4-S

I

—-- .... vsrkom-

men, als unendlich kleine Größen verschwinden.

Diese angeführte Summenformel läuft sehr schnell zu¬
sammen, sobald a beträchtlich größer ist als welches in
einem jeden Falle sehr leicht erhalten wird, wenn man einige
Glieder der zu summirenden Reihe vorher durch die Addition
zusammenzählet. Es fey z. B. die unendliche Reihe
l i i i i i r ,

4- — 4, — 4. —.4. — 4. -— 4- —- 4- . . .

r- 4- 6' 8' io" ir' ' 14'

ju summiren; so findet man durch die blosse Addition die
Summe der erstem vier Glieder — O,Z559O3 / und sodann
Mittelst der angeführten Formel die Summe aller übrigen

G g 2 Glie-

Von d. Summirung einigerbesond. Reihen re. 467
durch wird dort -9^— I weggeschassct werden. Sodann wird
in dieser letztlich erhaltenen Summe nformel statt L'»—2 der
hier bemerkte gleiche Werth substituiret u. s. w. Setzet man
mm auf diese Art die Arbeit fort, fo wird allmählig die ob¬
angeführte Summenformel zum Vorschein kommen.

§. Z19.

Nimmt man izn Zi8.) den Exponenten m negativ,
und gedenkt die Reihe ohne Ende fortgesetzt; so erhält man
von nachstehender unendlichen Reihe

ii i r

— 4. —_4.-4

a"r O-l-2^,"

die Summe aller Glieder

i i

§ j_4.

(//r — I 2«"*

l m(m4-l)(-^4-2)^b l

Zv' 2.Z>4.a"r4Z 4^

468 Sechste Vorles. vn. Abschnitt.

Glieder " 0,255328 , wenn man s — 12, - 2,

m — 2 setzet, rind nur fünf Glieder der angeführten Sum-
menformel entwickelt. Es ist daher die Summe der vorge-
legtcn unendlichen Reihe — 2,355923 4- 0,255328
— 2,411231 . . .

Es ist leicht einznsehen, daß man von einer solchen
Reihe auch eine bestimmte Anzahl der Glieder, z. B. die
erstem 1220 summiren könne; denn wenn man zuerst die
Summe aller Glieder , und sodann die Summe vom looiien
Gliede angefangen, mittelst der angeführten Formel suchet;
so wird deren Differenz die Summe der erstem iooo Glie¬
der seyn-

Sit'

469

Siebente Vorlesung.

Von den höheren Gleichungen.

Von den Eigenschaften und der Auflösung der
verwickelten höheren Gleichungen.

§. 320.

Äbas eine verwickelte höhere Gleichung ftp, ist schon oben
(§.2IZ.) gesagt worden; nur kömmt hier noch anzumerken,
daß eine verwickelte höhere Gleichung, in welcher alle Po¬
tenzen der unbekannten Größe, von der ersten bis znr höch-
sten anzutreffen sind, eine vollständige höhere Gleichung ge-
aennet wird. Fehlet hingegen in der Gleichung irgend eine
Potenz von der unbekannten Größe, so ist es eine unvoll-
siand^e höhere Gleichung. So ist z.B. er? —12
eine vollständige kubische Gleichung; hingegen ist er* — Z.r?
4-2Zw — I2Z eine unvollständige Gleichung des Hten Gra¬
des ; weil darinn die 2te Potenz der unbekannten Größe
abgehet.

§. Z2I.

Das erste, was bey der Auflösung der verwickelten
höheren Gleichungen zu beobachten kömmt, ist, daß man sel¬
be ordne; das heißt:

r)

G g Z

470 Siebente Vorlesung.

1) Daß man alle Glieder der Gleichung auf eine Ech¬
te schaffe, damit sich auf der andern bloß c> befindet; näm¬
lich daß die Gleichung auf o gebracht werde.

2) Daß man die Glieder der Gleichung also stelle,
daß in dem ersten Gliede die höchste Potenz der unbekannten
Größe ohne Nenner und Koeffizienten mit dem positiven
Zeichen sich befinde.

Z) Daß in den folgenden Gliedern die immer nm eine
Einheit niedrigeren Potenzen der unbekannten Größe mit ihren
Zeichen und Koeffizienten folgen; und daß im letzten Gliede
sich die unbekannte Größe nicht mehr befindet; denn sonst
könnte die ganze Gleichung durch selbe dividiret werden, wo¬
durch die Gleichung um einen Grad vermindert wird.

4) Daß bey einer unvollständigen höheren Gleichung die
Stellen, wo die Glieder der abgängigen Potenzen der unbe¬
kannten Größe hingehören, mit einem Zeichen z. B. mit einem
Sternchen besetzet werden.

Z) Sollten sich in der Gleichung Glieder befinde»,
worinn die unbekannte Größe mit einem Wurzelzeichen oder
gebrochenen Exponenten behaftet ist; so schaffe man diese
Glieder guf die eine, und alle andere rationalen Glieder
auf die andere Seite des Gleichheitszeichen; sodann erhebe
man beyde Theile der Gleichung zur Potenz des Wurzelexpo¬
nenten ; dadurch werden die Ä?urzelzeichen, oder gebrochenen
Exponenten aus der Gleichung fortgeschaffet, wo sodann die¬
selbe nach dem erst Gesagten geordnet werden kann.

Beispiele.

4.^—2or^

l.. Die Gleichung -- 8 — Za- geordnet

3

giebt orS — 2ar^ — Vor- 4- 12 — 0

. 500

'M. Die Gleichung IOO—2orr-— --4^ geordnet

ar

giebt -'M — 5 '^ O 4- 2Z^ — !2Z — 0

Da

Von den höheren Gleichungen. 471

Da nämlich hier die zweyte Potenz von er- abgehet, so
wird die Stelle mit einem Sternchen bezeichnet.

UI. Ware die Gleichung iorr — IX 12er- — 2a? zrr ordnen,
so ist iczer — 2a? — l^I2r

und loorr^ — 42.^ 4- 4r- I2r- IZ7. N. I.)
endlich — 10a? 4- 2A.r — 3 — 0

Z

Jmgleichen es sei) zu ordnen 2 — A.r — 2.r^;

so ist 8 — I2l^zer- 4- iZer 4- 27.^ — 2.r^,
und 8 4- 18 r — 2^ — i2t^Zer- — ^27.^,
ferner 644-288-^4-292^—72^4-4^^—432^—2i6^4-27^
endlich a?— ^.r-4- 127.^-36^4- 16 —o.

Es kann demnach jede geordnete höhere Gleichung durch
die Formel

w"- 4- oa7"r— r 4- S.r"r— 2 4, z 4- . . . 4- -l — 0
vorgestellet werden. Co ist im Beyspiele I. wenn man es
mit dieser Formel vergleichet, ,/r-g,a-—2,L ——
c, cf, — 2, und 12. Vergleicht man hin¬
gegen das Beyspiel II. mit dieser Formel; so ist —4,

5, ^-0, L--25,c/, e, -0,

Und — ^2A,

§. Z22.

Derjenige Werth, welchen man in einer geordnetere
höheren Gleichung statt der unbekannten Größe setzen kann,
damit sich alle Glieder wechselweise tilgen, und — 0 werden,
wird eine Wurzel der Gleichung gcncnnt; so ist z. B. in
der Gleichung .r? — 9^ 4- iir 4- 21 2, eine Wurzel

3; weil Z für ar in der Gleichung gesetzt richtig 0 zum
Vorschein bringet. Eben so sind auch die Zahlen 7 und — 1,
Wurzeln dieser Gleichung, weil diese Zahlen statt r gesetzt,
ebenfalls der Gleichung ein Genügen leisten. Man sieht hier-
aus, daß znie höhere Gleichung mehr als eine Wurzel ha-

G g 4 bcir

472 Siebente Vorlesung.

-en könne. Wie viel aber derlsy Wurzeln vorhanden seyn
müssen, und wie solche gefunden werden können, wird erst
weiter unten gezeiget werden.

§- Z2Z.

Wenn man eine einfache Gleichung, die auf Null ge¬
bracht ist, z. B. ne — a — o mit einem binomischen Faktor
von der Form (ne — L) multipliziret; so erhält man

.r— a —c>
ne —ä

«ine quadratische Gleichung, worinn sowohl a, als auch 6 die
Wurzel seyn kann; weil jedes für ne gefetzt der Gleichung ein
Genügen leistet.

Multipliziret man diese erhaltene Gleichung übermal
mit -einem binomischen Faktor ne — c, so erhält man

n^ — O

A>ne^ -j-«L>ne

eine kubische Gleichung, wovon «, oder ö, oder auch c die
Wurzel seyn kann.

Multipliziret Man diese Gleichung wieder mik ne-ci,
so erhalt man

n^—< n? -s. — aZc? — O

z ss- — Sachs'

— -s-

4-

4- eäF

One vollständige Gleichung dessen Grades, wovon -r,
c, die Wurzeln sind; nämlich ne — -r, oder er , oder
.L- — c, yder endlich -r <?,

Bey-

Bon den höheren Gleichungen. 47z

Beyspielc.

I. (a?-Z)(ac —Z)O —6)(a?4-l2)-2

giebt — 4^ — 77^ 4- 542^ — 922 — 0, wovon

3, Z, 6, — io die Wurzeln sind.

II. (^4-Z) (^4-6)7^—9) — 0 giebt

-6z^-. 162-2, wovon — z, — 6, -l-9,
die Wurzeln sind.

III. (^4-v"—z)(^-4)(^——z) — 2 giebt

—4^?4- 12 — iv/ wovon4/l/— Z/Und—>/--Z

die Wurzeln sind.

IV. (^—2-r-t^ A)(.^4-l)(^—4)(a?-»2)(^—2—l^A)—czgiebt

— 9^ 4-21^4- A>r4 — Z427 — 8 — O, wovon 2—A,

— l, 4-4/ ^2/ 2 4- 5 die Wurzeln sind.

324.

Man kann sich daher bey jeder geordneten höheren Glei¬
chung verstellen, daß solche aus so vielen binomischen Fak¬
toren durch die Multiplikation zusammengesetzt sey, als der höch¬
ste Exponent in der Gleichung Einheiten enthält, und wo der
bekannte Theil eines jeden binomischen Faktors mit veränder¬
tem Zeichen genommen, eine Wurzel der Gleichung ist. Be¬
trachtet man ferner aufmerksam die im (§> Z2Z.) angeführ¬
ten, und mehr dergleichen durch die Multiplikation verschie¬
dener Faktoren zusammengesetzte geordnete höhere Gleichun¬
gen; so wird man dabey sehr leicht folgende Eigenschaften
entdecken.

1) Jede höhere Gleichung hat so viele Wurzeln, als
der höchste Exponent Einheiten enthält. Unter diesen Wur¬
zln können einige positiv , andere negativ; einige rational,
andere irrational; einige wirklich oder möglich, andere nur
Ungebildet oder unmöglich seyn. Auch können einige dieser
Wurzeln einander vollkommen gleich scyn.

2) Ist einmal eine Wnrzcl der Gleichung bekannt; so
Muß sich hie Gleichung durch ein Binomium, wovon die un-

G g H be-

474 Siebente Vorlesung.

bekannte Größe a- der erste Theil, und die bekannte Wurzel mit
verkehrtem Zeichen der andere Theil ist, genau dividircn lassen,
und der Quotient ist abermal — o; und man erhalt dadurch
eine um einen Grad niedrigere, geordnete höhere Gleichung.

Z) In jeder geordneten höheren Gleichung ist der Koef¬
fizient des zweyken Gliedes gleich der Summe aller Wurzeln,
aber mit entgegengesetzten Zeichen; fehlet demnach das zwcy-
tc Glied in der Gleichung, wie im Beyspiele III. (§. Z2Z.),
so muß die Summe der positiven der Summe der negativen
Wurzeln gleich seyn.

4) Der Koeffizient des dritten Gliedes ist gleich der
Summe der Produkte aus jeden zwei) und zwey Wurzeln mit
ihren zugehörigen Zeichen; und der Koeffizient des vierten
Gliedes ist gleich der Summe der Produkte aus jeder Ver¬
bindung der Wurzeln zu dreyen, aber mit verkehrtem Zei¬
chen u. s, w.

5) Das letzte Glied endlich ist das Produkt aus allen
Wurzeln, und hat das zugehörige Zeichen, wenn der höchste
Exponent der unbekannten Größe eine gerade Zahl ist, ins
Gcgenthcil hat es das entgegengesetzte Zeichen.

6) Wenn eine geordnete höhere Gleichung keine un¬

möglichen Wurzeln enthält; so kann die unbekannte Größt
so viele positive Werrhe, als Abwechslungen der Zeichen
4—. oder — 4-, und eben so viele negative Wcrthe haben,
als Folgen der Zeichen 4- 4-, oder-> in der Gleichung

vorhanden sind.

8) Wenn in einer geordneten Gleichung unmögliche
Wurzeln sich befinden , wie im Beyspiele IV. ; so müsse"
solche in gerader Anzahl darinnen befindlich, und allzeit zwey
davon nur bloß in den Zeichen 4- und — - verschieden siy"-
Das erste erhellet daraus, weil eine ungerade Anzahl unmög¬
licher Größen gar kein mögliches Produkt geben kann; ent¬
hielte demnach eine Gleichung eine ungerade Anzahl unmögli¬
cher Wurzeln; so müßte das letzte Glied der Gleichung,
das Produkt von allen Wurzeln, auch eine rmmH'.liche Größt
ftyn,

Von den höheren Gleichungen. 475
seyn, welches wider unsere Voraussetzung ist, da wir dir
Gleichung schon geordnet annchmcu. Das zweyte ist eben¬
falls leicht einzusehen; denn, würden nicht immer zwey und
zwcy unmögliche Wurzeln einander gleich, und nur in den
Zeichen verschieden seyn; so müßten sie in dem zweyte» Glie¬
be der Gleichung erscheinen, welches vermög N. 2. die Sum¬
me aller Wurzeln enthält ; und dann wäre die Gleichung
wieder nicht geordnet.

8) Jede geordnete höhere Gleichung, deren höchster
Exponent eine ungerade Zahl ist, enthält demnach wenigstens
eine mögliche Wurzel; die übrigen können theils möglich,
theils unmöglich seyn. Hingegen kann eine geordnete Glei¬
chung, deren höchster Exponent eine gerade Zahl ist, entwe¬
der lauter unmögliche, oder lauter mögliche, oder auch theils
mögliche, theils unmögliche Wurzeln enthalten, unter der
Bedingung in N. 7.

§. Z2Z.

Es ist daher sehr leicht zu untersuchen, ob eine geord¬
nete höhere Gleichung, deren Koeffizienten und letztes Glied
ganze Zahlen sind, rationale Wurzeln enthalte; weil der¬
gleichen Wurzeln unter den Faktoren des letzten Gliedes ent¬
halten seyn müssen (§. Z24. N. A.). Man zerlege demnach
das letzte Glied in seine Faktoren (§. 70.), und substituier
einen Faktor nach dem andern statt der unbekannten Größe
in der Gleichung; und zwar können alle Faktoren positiv
genommen werden, wenn man nach (§. Z24. N. 6.) ver¬
buchet, daß alle Wurzeln der Gleichung positiv seyn müssen.
Zollte man aber vermurhen, daß alle Wurzeln negativ seyn
Essen; so können die Faktoren negativ statt in der Glei¬
tung substituiret werden; hingegen müssen alle diese Fakto-
"n positiv und auch negativ statt genommen werden,
wenn die Gleichung positive und negative Wurzeln haben
kann. Soll nun die Gleichung rationale Wurzeln enthalten,
sd müssen solche unter diesen Faktoren enthalten seyn; und
zwar

476 Siebente Vorlesung.

zwar diejenigen Faktoren, welche statt der unbekannten Grösse
in der Gleichung gesetzt Null zum Vorschein bringen, sind
die gesuchten rationalen -Wurzeln.

Beispiele.

!. Es sollen die rationalen Wurzeln der Gleichung

rr' — 9 r?-j- ava? — 12 — O

gesunden werden. Die Faktoren des letzte» Gliedes 12,
sind i, 2, A, 4, 6, 12; und weil man hier, wegen der
Abwechslung aller Zeichen, lauter positive Wurzeln vermu-
thet (Z, Z24. N. 6.); so versuche man diese Faktoren po¬
sitiv genommen, einen um den andern in der Gleichung statt L
zu substituiren; und man findet, daß i, 2 und 6 der Glei¬
chung ein Genügen leisten. Es ist daher -r? -- j, oder w 2/
oder auch a? — 6.

II. Es sollen die rationalen -Wurzeln der Gleichung

a?4- 102?-l^ Zlw4-ZO— 0

gefunden werden. Die Faktoren des letzten Gliedes ZQ, sind
r , 2, Z, A, 6 , io, IA , Zo. Da aber hier wegen
einerley Zeichen lauter negative Wurzeln vermuthet werden;
so versuche man diese Faktoren negativ genommen, in der
Gleichung zu substituiren; und man findet, daß — 2, -"3
und — A die Wurzeln der Gleichung sind.

III. Es sollen die rationalen Wurzeln der Gleichung

rZa? O— 27427 4-2ZZ — 0,

gefunden werden. Die Faktoren des letzten Gliedes sind hier
i, Z/ Z/ rZ, 17^ Zr, 8Z, 2ZZ; und da sich hier, wegen
der vorhandenen Zeichen und wegen der Abwechslungen derselbe»/
positive und negative Wurzeln vermuthen lassen; so müsieu.
diese Faktoren, sowohl positiv als negativ, versuchetwerden;
und man findet, daß 4- i, 4- Z, —Z, — ^7 die gesuch¬
ten Wurzeln sind«

Es

Bon den höheren Gleichungen, 477

Cs kann hier noch erinnert werden, daß, wenn eine
Gleichung lauter positive , oder lauter negative Wurzeln hat,
man nur jene FaktoreU des letzten Gliedes statt er in der Glei-
chung substituircn darf, welche den Koeffizienten des zwey-
ten Gliedes nicht übersteigen; weil vermög (§. Z24. N. Z.)
das zweyte Glied die Summe aus allen Wurzeln ist. Z. B.
in der Gleichung er? — l 4- A4.r — 72 — 0 sind die Fak¬
toren des letzten Gliedes i, 2, Z, 4, 6, 8, 9, 12, 18,
24, z6, 72. Allein weil die Gleichung lauter positive Wur¬
zeln vermuthcn läßt; so können die Faktoren 18, 24, z6,
72 ausgelassen werden, weil sie den Koeffizienten iz des
jweyten Gliedes übersteigen.

326.

Sollte man durch dieses Verfahren uur einige, aber
nicht si> viele Wurzeln gefunden haben, als dec Gleichung
vermög (§. Z24. N. i.) zukommen; so ist es ein Zeichen,
daß die übrigen Wurzeln entweder irrational, ober unmög¬
lich, oder auch daß solche einigen von den schon gefundenen
Wurzeln vollkonrmen gleich ftyn. Mann kann aber sodann
die Gleichung um so viele Grade vermindern, als schon Wur¬
zln gefunden sind, wenn man selbe (§. 324. N. 2.) durch
jedes Binoinium dividirer, wovon der erste Theil die unbekann¬
te Größe er, und der andere schon eine bekannte Wurzel mit
geändertem Zeichen ist. Man erhält sodann eine Gleichung
von einem so vielten Grade, als noch Wurzeln unbekannt
stad. Wären nur noch zwei) Wurzeln zu suchen, so geräch
vra« dadurch auf eine quadratische Gleichung, wovon sich
"ach 2iz.) die zwey übrigen Wurzeln finden lassen. Soll¬
ten aber noch mehr als 2 Wurzeln unbekannt verbleiben; so
versuche man abermal die schon gefundenen Wurzeln in der
neuen erhaltenen Gleichung zu substituiren, um zu sehen, ob
dicht die vvrgelegte Wurzel einige gleiche Wurzeln enthalte.

Hex-

478 Siebente Vorlesung.

> Beispiele.

I. Es sollen die Wurzeln der Gleichung

er» — 4- Zer — 12— o

gefunden werden. Die Faktoren des letzten Gliedes sind

I, 2, z, 4, 6, 12; man findet aber unter allen diesen
Faktoren sowohl positiv als negativ genommen, keinen an
dern, als 4- 4, welcher der Gleichung ein Genügen leistet.
Man dividire deswegen die vorgelegte Gleichung — 4.^
4-Z.r-- 12 — 0 durch er —4; und man findet nach gesche¬
hener Division er^ 4- Z — 0. Hieraus ist er — 4^ 1/" — z.
Die Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind demnach 4,4- —Z,
und — i^-Z.

II. Es sollen die Wurzeln der Gleichung

—Sa^4- 2ler^ 4- — Z427 — 8 —O

gefunden werden. Hier sind die Faktoren des letzten Gliedes
l, 2, 4, 8, wovon — i, 4-2, 4-4 der Gleichung ein
Genügen leisten ; und also sind noch 2 Wurzeln abgängig.
Man multiplizire demnach die drey Vinomien .24-1, ue —2,
^—4 miteinander; das Produkt hiervon ista^—Aa?4-2ae-st 8/
und die vorgelegte Gleichung dadurch dividirt giebt

4-r--1 —o. Hieraus ist nach 2lA.) .r — 24- 6
oder er2 — l/A.

III. Es sollen die Wurzeln der Gleichung

er^4-Zer"-7^ — 2Za44- 8-^4- 60 — 0

gestanden werden. Die Faktoren des letzten Gliedes sind
I, 2, Z, 4, 5, 6, 10, i2, 15, 20, zo, 6o>
von diesen findet man. daß nur 4- 2 und — z der Glei¬
chung ein Genügen leisten; dividirt man nun die vorgelcgte
Gleichung durch .r°4- er—6, als durch das Produkt der Bino-^
mien er — 2 und er 4- Z; so erhalt man er^ 4- 2-^ — 3^'
rs — a, welches noch eine kubische Gleichung ist-

Ver-

Von den höheren Gleichungen. 479

Versuchet man nun die schon gefundenen Wurzeln statt er in
Lieser erhaltenen Gleichung zu setzen, und zwar nur diejeni¬
gen, welche unter den Faktoren des letzten Gliedes io die¬
ser letzten Gleichung anzutreffen sind ; so findet man, daß
-l- 2 abermal eine Wurzel ist ; dividirct man daher diese
Gleichung wieder durch er — 2, so erhält man a:? -j- 4 r-
4-Z —2; woraus(Z.2iZ.)gesundenwird.r —— 2-j-l^— r,
oder w — — 2 — I/"— i. Die Gleichung hat demnach drey
rationale Wurzeln, wovon zwen einander gleich sind, und
zwey unmögliche Wurzeln.

Anmerkung. Das bisher von (Z. Z2Z.) Angeführte
findet auch eine nützliche Anwendung, um aus einer zu¬
sammengesetzten algebraischen Größe, worum verschiedene
Potenzen eines nämlichen Buchstabens sich beftnden, die
mehrnamigen Faktoren zu bestimmen, und zwar auf folgen¬
de Art:

1) Man bividive alle Glieder der vorgegebenen Größe
durch jene einnamigen Faktoren, welche allen Gattungen gemein
sind.

2) Den übrigen mehrnamigen Faktor, worinnen die
Glieder keinen Buchstaben mehr gemein haben, setze man
— 2 ; nämlich man sehe selben für eine höhere Gleichung
an, woraus diejenige Größe, die in verschiedene» Potenzen
erscheint, gesucht werden soll; daher man nur einen solchen
algebraischen Ausdruck, als eine höhere Gleichung zu ord¬
nen, und überhaupt, wie bisher gesagt worden, zu verfah¬
ren hat.

Beispiele.

I. Es soll die Größer—6^4-n»?— 6,?r in Fak¬
toren zerlegt werden. Man dividire jedes Glied durch m,
und sitz? sodann nvr 6 — 2. Die

Faktoren des letzten Gliedes 6 sind l, 2, Z, 6, und man
findet, daß ,?r --- i der Gleichung ein Genügen leistet; da¬
her ist m — i ein Faktor. Dividiret man nun durch m - r.

482 Siebente Vorlesimg.

so erhält man — A/7? 46—0; woraus m — 2, oder
auch m — Z folget. Die Faktoren der vorgelegten Größe
sind demnach n, m-i, m —2, m —z.

II. Es soll erb 4. 2^ 4- 2a:^ 4 4 w/- — ZL

— in Faktoren zerlegt werden.

Das letzte Glied, in welchem sich kein er befindet, iß

— 4- Z^) ; die Faktoren hiervon sind x, und^ 4 3;

und man findet, daß — 4- statt er in der Größe gesetzt,
richtig 0 zum Vorschein bringet; mithin ist er 4 ein Fak¬
tor. Dividiret man nun die vorgelegte Größe durch (>r4/),
so erhält man er- 4 4^ 4 2-r — — z; dieses — 0

gesetzt, giebt nach (§. 21Z.) er^: 1, oder auch er——(/4Z)»
Es sind demnach die gesuchten Faktoren w 4^--, er^-i,
und.r4 4 Z.

327.

Wenn bey einer geordneten Gleichung keiner aus beit
Faktoren des letzten Gliedes so beschaffen ist, daß er mit dem
Zeichen 4 oder — genommen der Gleichung ein Genügen lei-"
siet; so kann man sicher schließen, daß die Gleichung keine
rationale Wurzel enthalte. Würde man dem ungeachtet
mögliche Wurzeln in der Glrichung vermuthen; so müssen
selbe ganz gewiß irrationale Größen seyn, die man am füg-
lichsten durch eine Annäherung bestimmen kann. Bevor wir
aber diese Annäherung erörtern, wollen wir noch von einige»
Verwandlungen, welche mit den Gleichungen vorgenommen
werden können, eine Meldung machen.

Z» 328.

Hebe geordnete höhere Gleichung kann in eine
andere dergestalt verwandelt werden , -aß alle ihre
wurzeln um eine beliebige Grösse vermehret , od
vermindert sind. So z. B. wird die Gleichung ?

— lor —8 — 0, deren Wurzeln 4, — i, — 2 find?
in «ine andere verwandelt, deren Wurzeln um 3 größer

wenn

Von den höheren Gleichungen. 48 r
wenn er 4- z — nämlich .r- z gesetzet wird;
denn es ist alsdann er? 4- 274 — 27

— er' -2 — 4" 6-" — 9

— ioer — 12^ 4- ZS

— 8 - - 8

- IO)-' 4- 2Z^- 14 - c>
die verwandelte Gleichung, deren Wurzeln 7, 2, l um
3 größer sind, als die vorhergehenden.

Wollte man nm diese letzte Gleichung in eine andere
dergestalt verwandeln, daß jede ihrer Wurzeln um 12 ver¬
mindertwäre; so setze man^—io—2, nämlich ^—2 4- io:
illsdann ist^ — -j- 4- ZOO2 4- 1222

— IO^ — — 122' — 2222 -- 1222

4 2Z^ — 4- 2Z2 4- 2Z2

- ! 4_._ - *4

4- 222' 4-I2Z2 4-216-2 2 die verwan¬
delte Gleichung, von deren Wurzeln — Z, — 8, -- 9,
jede um io kleiner ist, als die vorhergehenden.

Nun setze man auch in der allgemeinen Formel
er"* i 4, Z 4-... 4- — 0

4- /> statt er; so erhält man

1)
r" — 14->

1.2 >

4ar"^ sv?/? 14«a(?/r—I4.4<2^^" ^O

xm—2 r 4, r)

4  .............. s
4L 4->k

Kr die verwandelte Gleichung, in der jede Wurzel um
größer, oder kleiner ist als in der vorhergehenden, je nachdem
p negativ oder positiv genommen wird.

Vsrles. I. B. H h §.329.

482 Siebente Vorlesung.

§. 329.

Drese letzte Verwandlung bietet uns ein Mittel dm-, aus
jeder geordneten Gleichung das zweyte Glied hinweg zu schaf¬
fen , welches in folgenden besieht. Man setze statt der
unbekannten Grosse .r in -er gegebenen Gleichung eine
andere unbekannte Grosse zu welcher -er Rocsiizient
-es zweyten Gliedes getheilt durch -en höchsten Expo¬
nenten mit entgegengesetztem Zeichen hinzugefsigek ist.
Denn, wenn in unserer verwandelten Gleichung, die wir
aus der allgemeinen Formel hergeleitet haben, das zweyte
Glied verschwinden soll; so muß -st r — 0,

oder m/r -st a — o, nämlich — ftyn; und folglich

muß .r- -gesttzet werden.

Sollte man demnach aus folgender Gleichung
er? — 12^ -st 41er — 42 — o

das Fweyte Glied Hinwegschaffen,

so setze man .r — -st o — -st 4 - ist sodami

-st 48^- -st 64

— 12^ " — 12^ — 96/ — 192

-st 41er -st 414- 4. 164

- 42 -- 42

O — 79^ — 6 — v die verwandelte Gleichung e
in der das zweyte Glied verschwunden ist. Es ist in dieser
Gleichung^ — — 2, oder^- — — 1, oder endlich - Z-
Da nun er -st- 4, so ist in der vorhergehenden Gleichung
er — 2, oder er — z, oder endlich er — 7.

Alle verwickelte quadratische Gleichungen können nach
dieser Methode in reine Gleichungen verwandelt werden,
J. B. wenn man .r—4-? in der Gleichung (er^-stur^^)
setzet, so wird sie in folgende Gleichung > j

das

Bon den höheren Gleichungen. 48z
bas ist — ist (<r? -j- 46 ) verwandelt ; es ist aber
a--gesetzet worden; folglich rr —--—-—

2

§» 3Z0-

Auch giebt uns die im (§. Z28.) angeführte Vcrwand-
lung ein Mittel an die Hand, aus einer gegebenen geord-
Neten höheren Gleichung , bloß das letzte Glied einer andern
höheren Gleichung herbep zu schaffen, in welcher die Wurzeln
um eine beliebige Fahl größer oder kleiner sind , als die in
der vorgelegten Gleichung. Denn, da in der aus der all¬
gemeinen Formel abgeleiteten verwandelten Gleichung das
letzte Glied die nämliche Form, wie die vorgelegte Gleichung
hak; so fetze man in Her vorgelegten Gleichung- eine
positive Größe /) statt .v, unü reduzire alles gehörig;
so wirb dieses Resultat das letzte Glied einer neuen Glei¬
chung fexn, in welcher jede Wurzel um ? kleiner ist,
«Io in der vorgelegten Gleichung: oder man fetze in
ber vorgelegten Gleichung eine negative Große — />
statt rt; so wird dieses Resultat das letzte Glied einer
Neuen Gleichung feyn, in welcher jede Wurzel um /1
strößer ist, als in der vorgelegten. Dieses Mittel lei¬
stet uns bey Auflösung einer höheren Gleichung, in der das
letzte Glied aus sehr vielen Faktoren besteht, einen guten
Nutzen. Denn man versuche nur in einem solchen Falle statt
eine solche Zahl /0 in der gegebenen Gleichung zu substi-
tuiren, daß das Resultat sehr wenige Faktoren enthalte;
löse dieses Resultat in die Faktoren auf, addire zu jedem
Faktor die Zahl , die man statt rr gesetzet hat, wenn sie
positiv ist , oder ziehe diese Zahl von jedem Faktor ab,
^enn sie negativ ist, und versuche sodann, ob diese so ge¬
sunkene Fahlen der vorgelegten Gleichung ein Genügen lei¬
sten. A B. wenn man diese Gleichung aufzulösen hätte,

4oa-b 4. AHZ-a? — ZHOO r 4. H604 — o, in der
letzte Glied ungemein viele Faktoren enthält; so versuche

H h 2 man

484 Siebente Vorlesung.

man für a? eine solche Zahl zu substituiren, daß das Resul¬
tat nur aus sehr wenigen Faktoren zusammengesetzet sey;
setzet man -l- io satt a?, so ist das Resultat — 12202
— 40222 -I- Z9Z2O — Z9OO2 -i- 9A24 — 4; die Fak¬
toren davon sind 2, i, — t, —2; nun addire man zu
jedem Faktor 12, weil man diese positive Zahl statt ge-
sctzet hat; so erhält man die Zahlen 12, n, 9, 8, de¬
ren jede obiger Gleichung ein Genügen leistet.

§. ZZi-

Jede geordnete höhere Gleichung kann in eine
andere so verwandelt werden, das jede Wurzel mit
einer beliebigen Größe multipliziret ist.

Um dieses zu erhalten, setze man in der allgemeinen
Formel

4- 4. s -s «n»-— s 4- . . . . 4- - 0

die Große - statt .r , nämlich na? ; so erhält man
/r

oder wenn man beyde Therle der Gleichung mit mulli-
pliziret, so hat man

4- —e 4- ch 3 4- ... 4- ru 2

für die verwandelte Gleichung, deren Wurzeln man erhält,
wenn man die Wurzeln der vorgelegten Gleichung mit »
multipliziret ; und folglich erhält man auch die Wurzeln dec
vorgelegten Gleichung , wenn man die Wurzeln dieser verwan¬
delten Gleichung durch n dividiret.

Aus dieser Formel ist zu ersehen, daß man, uw die
Wurzeln einer geordneten Gleichung mit einer beliebigen Grü¬
ße n zu multipliziren, nur unter die Glieder der Gleichung
eine geometrische Reihe, deren erstes Glied r, und dec
Quotient — » ist, schreiben; und sodann die Glieder der
G!ie-

Von den höheren Gleichungen. 485

Elcichrtng mit den darunter stehenden Gliedern der Reihe
multipliziren solle. Z. B. es sollte die Gleichung^ —
4-2Z^- — 14 — O, deren Wurzeln i, 2, 7 sind, in ei¬
ne andere verwandelt werden, deren Wurzeln zmal so groß,
als die Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind; so schreibe
man also

— io^ 4- 2Z^ — 14 — o

i  z  y  27,  und man erhält

— 30^ -s 2077^- Z78 — o, für die verwan-
belte Gleichung; in welcher z, 6, 21 die Wurzeln sind.

Nur muß man nicht vergessen Key einer unvollständi¬
gen Gleichung auch unter die mit einem Sternchen bezeichne¬
ten Glieder die dazu gehörigen Glieder der Reihe zu schreiben.
Z. B. wenn man diese Gleichung w« ^4-4^0

in eine andere Gleichung verwandeln will, in der jede Wur¬
zel dieser gegebenen Gleichung mit 7 multipliziret ist; so
schreibe man also

w" -5^ K 4- 4 0

i/2, 4, 8, 16,  und man erhält

w" — 2ow^ 4-64 — 0 für die verwandelte Glei¬
chung , deren Wurzeln 2, 4, — 2, — 4 sind. Da nun
diese Wurzeln mit 2 multipliziret sind, so müssen die Wurzeln
der vorhergehenden Gleichung i, 2, — i, — 2 scpn„

3Z2» .

Diese Verwandlung giebt uns ein Mittel an die Hand
aus jeder geordneten Gleichung die Brüche wegzuschasscn ,
welches in folgendem besteht. Man suche eine Zahl auf,
die sich durch jeden Nenner der in Her Gleichung bc-
stn-lichen Lrüchc genau theilen laßt ( f- 84-)' schreibe
unter die Glieder der Gleichung eine geometrische Rei¬
he, deren erstes Glied — I, und der Quotient der ge-
Hmdenen-Zahl gleich sep z und multiplizire die Glieder

H h Z Ser

486 Siebente Vorlesung.

-er Gleichung mit -en -azu gehörigen Gliedern -ev
Reihe; so erhalt man eine Gleichung, öie von den
Brüchen befreiet ist, und deren wurzeln durch den
angenommenen «Quotienten der geometrischen Reihe di-
vidiret, -ie wurzeln -er gegebenen Gleichung zum
Vorschein bringen: z. B. um aus der Gleichung

st- st-/r st--/ — Q die Brüche wegzuschaffcn,
schreibe man also er? — st. st- — o
i, i8, 08?

oder auch auf diese Art . , er? — st- ststr st- '/ — o
i, 6, z6, 216

und multiplizire die Glieder der Gleichung mit den darunter
stehenden Gliedern der geometrischen Reihe; so erhalt man
im zweyten Falle er? — 27er- st- noer st- zz6 — 0 für
die verwandelte Gleichung, deren Wurzeln — 2, 8/ 21,
sind; nun sind diese Wurzeln nichts anders, als die mit 6
niultiplizirten Wurzeln der vorhergehenden Gleichung. Es sind
demnach die Wurzeln der gegebenen Gleichung — Z, A,
nämlich er oder r oder endlich ar — Z.

333»

Setzen wir » — in der Gleichung st- zrax"*—*

st- st_^,-^^-z st-. . ,st- — oz sh erhalten wir

st-- -j-  -— st.... -- — 0' eine Glel-

/, ^Zi¬

ehung , deren Wurzeln mit den Wurzeln der Gleichung
er"? st- r st. r st- . . st- — o vollkommen
einerlep; nur daß sie durch gethsilt sind. Wir ersehen
aus diesem, daß man jede geordnete Gleichung dergestalt
verwandeln kann, daß alle ihre Wurzeln durch eine beliebige
Grhße dividiret sind. Durch diese letzte, und die vorher¬
gehende Verwandlung kann man zuweilen aus einer gegebe¬
nen


Von den Höheren Gleichungen. 487

M!i Gleichung die irrationalen Koeffizienten hinwegschaffen.
Z. B. um aus der Gleichung

— 4'^^ 3 4- l2N7 — 24^3 — o die irrationalen
Glieder Hinwegzuschaffen, schreibe man unter diese Glei¬
chung folgende geometrische Reihe: i, k^Z, Z, Zl^Z,
und dividire, oder multiplizier die Glieder der Gleichung mit
den dazu gehörigen Gliedern der geometrischen Reihe; in dein
einen Falle erhält man —4^4-4 r —8 — 0, und
in dem andern — 12a? 4- gä r- — 216 — 2.

334»

Wenn eine geordnete höhere Gleichung, welche den zweyten
Grad übersteiget, zwar mögliche, aber irrationale Wurzeln ent¬
halten sollte ; so können solche durch eine Annäherung auf fol¬
gende Art entwickelt werden.

1) Man substituier in der Gleichung, statt der unbekann¬
ten Größe, die positiven natürlichen Zahlen 0, 1,2, Z, 4....
wenn inan in der Gleichung positive Wurzeln vermuthet;
sollte mau negative Wurzeln verbuchen, so substituier man
statt w die negativen Zahlen 2, — 1, — 2, -3,-4. ....
so wird die Zahl, bey der das Resultat das Zeichen ändert,
größer, und die ihr vorhergehende Zahl kleiner seyn, alS
dir gesuchte Wurzel. Z. B. es sey aus der Gleichung
za-- — 17^4-43 — 0, welche zwey positive, und
rine negative Wurzel zu haben scheint, der Werth von w zu
bestimmen; so verfahre man auf folgende Art.

488 Siebente Vorlesung.

Der eine positive Werth von ae in der vorgelegtm Glei¬
chung ist demnach größer als 2, und kleiner als Z; der an¬
dere positive Werth aber ist größer als 4, und kleiner als 5.

2) Nachdem man nun die Zahlen bestimmet hat, zwi¬
schen welche eine Wurzel fallen muß; so setze man, daß die
gesuchte Wurzel derjenigen Fahl, die das letzte Resultat mit
ungeändertem Zeichen gegeben hat, nebst einem Bruch /
gleich sey. In unserem Beispiele setze man also für die erste
Wurzel er — 2 4-

Z) Nun substituire man diesen Werth in der gegebe¬
nen Gleichung statt der unbekannten Größe: in unserem
Falle ist nämlich

- -ch 8 -st 12/ 4- 6/' 4- Z''

- AM- - - 12 - 12/- z/-

- 17^7 - - A4 - 17/

4- 4Z -4-43

0 - g - 17^' 4 z/-- 4.^;

Da aber/' ein ächter Bruch ist, so kann indessen, ohne
einen großen Fehler zu begehen, die 2te und Ate Potenz von
/° in der Gleichung hinweggclassen werden; und es ist
o — 5 — 17/, woraus /' — 0,29 folget. Es ist

demnach in unserer Gleichung w — 2,29 beynahe.

Erfordern es nun die Umstände der Aufgabe, den
Werth von .r- genauer zu haben, so kann man die Arbeit
wiederholen; nämlich man substituire nun 2,29 4-./ statt
in der vorgelegtcn Gleichung, und bestimme den Werth von
w auf die itzt gezeigte Art noch einmal u. s. w.

Wollte man auf eben diese Art die andere positive
Wurzel bestimmen, welche zwischen 4 rind 5 fallen muß;
und man setzte in der Gleichung 4 4- Z' statt er-, so würde
man finden /' — ein Zeichen, daß hie gesuchte Wurzel
viel naher ben 5 als bey 4 liegen muß; nämlich daß der
Bruch, welcher zu 4 qddirt werden muß, zu groß ist,
daß man dessen 2te und Zte Potenz äusser Acht lassen dürf»

Von den höheren Gleichungen. 489
te; man substituire deswegen in der Gleichung 5 --/"6«« .r-,
und man findet sodann/'— 0,28 beynahe; und folglich
er —4,72.

Sollte nun auch die negative Wurzel dieser Gleichung
gefunden werden; so setze man

er j Resultate

Es liegt* daher die negative Wurzel dieser Gleichung
zwischen — z und — 4; setzet man deswegen w — — 4 -4/,
so findet manZ'— 0,018; folglich er —-- 3,982.

335-

Es ereignet fich zuweilen auch, daß die Resultate wie¬
der zu wachsen anfangen, nachdem sie ehevor abgenommcn
hatten. In einem solchen Falle ist gemeiniglich jene Zahl,
wo die Resultate wieder zu steigen anfangen, von einer Wur¬
zel der Gleichung um keine ganze Einheit mehr unterschieden;
jedoch nur damals, wenn man mittelst angenommener gebro¬
chener Werthe für die unbekannte Grüße die Resultate dem c>
immer naher bringen kann. Z. B. wenn man in der Glei¬
chung er^ — 2W^ — 2iw -I- AZ —0, wie bisher gesagt wor¬
den , verfährt; so erhält man

w Resultate

Z9L> Siebente Vorlesung.

Es kann daher eine positive Wurzel dieser Gleichung
zwischen 2 und Z , und die andere zwischen z und 4, oder
auch beyde zwischen 2 und Z, oder endlich beyde zwischen
A und 4 liegen ; jedoch nur unter der Bedingung, daß die
Resultate dem o sich immer mehr nähern, wenn gebrochene Zah-

len, hier Z 4 —, statt w gesetzet werden. Versuchet man nun in
ZS < .

der vorgelegten Gleichung zz- stakt -r- zu setzen; so ist das Re¬
sultat — ; folglich liegt eine Wurzel der Gleichung zwi¬
schen Z And z-j, und die andere zwischen und 4 ; denen
mau sich wie vorhin nach Belieben nähern kann , wenn man
^3^4-/, oder w — — /setzet , und so wie im

(§» 334-) verfährt.

Sollten aber in einer Gleichung, nachdem man für
die unbekannte Größe o , i, 2, z  ..... und auch
0, — i, —2, —Z. . gesetzt hat, die Resultate unun¬
terbrochen steigen, ohne das Zeichen zu verändern; so kann
man versichert seyn, daß die Gleichung lauter unmögliche
Wurzeln enthalte. F. B. in der Gleichung — 2^
4- 4^ — 2w 4- Z , findet man , daß die Resultate ohne
Ende steigen, wenn man 0, i, 2, Z . . . . oder auch
o, —i, —2, —Z, —4. . . . statt er, fetzet; folg¬
lich enthält diese Gleichung gar keine mögliche Wurzeln,

Auch sind alle Wurzeln unmöglich, wenn die Resulta¬
te anfänglich zwar abnehmen, und sodann ohne Ende fort¬
wachsen ; dabey aber doch durch angenommene gebrochene
Werthe für die unbekannte Größe dem o nicht näher gebracht
werden können. So z. B. sind in der Gleichung — 12^
-s 56 S — i2Q r 4 loi — 0 alle vier Wurzeln unmög¬
lich, weil für r^: 0, 1,2, z, 4, Z, 6 . . die Re¬
sultate A — ioi , 26, A, 2, Z, 26 , ioi . . '
erhalten werde», und zugleich für w z 4 — wieder Z? > 2
zr

wird, dabey auch für Negative Werthe von er die Resultate
chne Ende forkwachstn,

§.336.

Von den höheren Gleichungen. 49,

336.

Wir können eine allgemeine Näherungsformel für alle
geordnete höhere Gleichungen hiehec setzen; diese ist folgende:

Wenn eine Wurzel dieser Gleichung er"- -i- s.r"l—r
4 Ser'"—r 4. z 4- ci.r^-4 4 ... 4- 6 — O,
hcynahe gleich w gefunden wird, so ist

(en  — 1)w"*  4-  (»r  —  2)  sw'"—4"  —  Z)

»irr'"—i 4- (m— l) sw'" 2 4- (sr>—2) 6w"^

4- (nr—4) cw'"—- 4- ... — 6

4- (nr—z) ew'"—4 4 (ne—4) e/w"'—5 4-...

Nämlich hey den kubischen Gleichungen er? 4- a^4-6w 4-6 — 0
2w^ 4- sw? — 6
ist — ——---

Zn? 4 2SW 4- 6

Bey den Gleichungen des 4ten Grades

a? 4- «er? 4- 6.^ 4 s.r 4 6 — Q

2r^4-2Sw^ 46re?—6
ist er — - U. s. W.

4w^4- Zsw^4 2Sw 4-6

Denn da wir annehmen, daß rs von dem wahren Wer-
the nur noch etwan um einen kleinen Bruch verschieden sey -
so ist er-w 4- wenn wir diesen Bruch mit^ bezeichnen

cs ist also auch

sr.sr—I

er'" — w'" 4m w'"— h/ 4--'— w'"—2-

1.2

M—I.sr—2 _

42^«—r—r4(^z—; dars"'—2/4-sw'"—

1.2

, , M— 2.S7—Z ,

4-oer»r—2—Sre,'"—r4-(sr—2)Sw'"—Z/4--Sw"-—4/--

M—Z.S7—4

4-cw«"- Z^-cw'"—Z4(m—z)cw"--4/4---sw^-5/'-j

4-6-6

s— 0

Da

492

Siebente Vorlesung.

Da nun beyde Th-ile der Gleichung — 2 sind, und
alle Potenzen des Bruches äusser der ersten, ohne einen
großen Fehler zu begehen, hinweggelassen werden können;
so ist

O —sw"-—* -j- 2 4- . , 4-^-s-^/'. s-Tru,""-t

-2 4. (/n—2)äre-"-—Z 4- . . .

— re>"r — are-^—2 >— —2 —, . , . . . —

//rrx^"—1 4(m—i)<rre-^—2-j_(„r—2)^ra^^24->,
«-"* — are-"r—r — Lre-"^—2 — ....— 6
;ind er — re> —---.-—--

mrr-"r—24-(m—24,^—2)^w"?^34-,

woraus endlich, wenn man hier alles auf einen gleichen Nen¬
ner bringet, und gehörig reduziret, die obangeführte Formel
folget.

Es seyz. B. ausderGleichung.r?—12^4-57^—94-0,
der Werth von ex zu bestimmen. Nun findet man vermög
(§. 554. N. i.) daß ar beynahe — g sey; vergleicht man
daher dieses Beyspiel mit der Näherungsformel der kubi¬
schen Gleichungen; so ist re>—Z , 12, L — 57, und

S— — 94; folglich

54—1284-94^42^12

27-72 4-57-12 Z

Um .17 genauer zu finden, kann man nun in der nämlichen
Formel re- — 5,5z fetzen, wodurch er — 5,5622 schon um
vieles genauer bestimmet wird u. s. w.

Imgleichenaus der Gleichung.?-?— iA.r44-72.v- 109^
sollen die Werthe von er gefunden. werden. Um diese zu be
stimmen, setze man

bepnahc.

Re-

Äon den höheren Gleichungen. 49»

er j Resultate

------.--

so findet man, daß der eine Mcrth von er- bepnahe — 3,
der zweyte beynahe — 5, und der dritte Werth endlich bey-
nahe — 6 sey. Wir wollen den ersten Werth von er durch
die angeführte Näherungsformel bestimmenz cs ist nämlich
m diesem Falle re, —3,«— — 15, 6 — 72, und -K — — 129;

54—1354129 28
folglich er — —----- — — — 3, 11 beyvahe.

27— 90 4- 72 9

Setzen wir nun re, —3,11; so ist
62,162462-145,2815 4-109  — 24,078962

29,2163-93,34-72 7,7163-

— 3,1205 schon sehr genau. Wäre es erforderlich den
Werth von er noch genauer zu haben; so mühte mau nun
— 3,1205 setzen, und dann würde man .u — 3,1226148
^'halten.

Um die zwey übrigen Werthe von er zu finden, setze
wan in der Näherungsformel einmal re, — 5 , und dann
^—6; oder auch man dividire die porgelegte Gleichung

iZ.r" 4. 72er — 129 — o durch (er — 3,1226 — 2),
f° erhalt man die quadratifche Gleichung er" — n,8794-1
4° 34,92914 — 2, in der er — 5,9397^ l (5,9397/
-34,92914^; nämlich ue - 5,Z473, °^r er - 6,5321
ist z es find demnach die Wurzeln der »orgelt-Lm Gleichun-

494 Siebente Vorlesung.

rr- — iZrr* 4- '72.17 — 109 — 0 folgende Zahlen;
Z/I2O6, 5,3473, und 6,5321.

Ans die nämliche Art findet man die Wurzeln folgender
Gleichung —as.r- — 1217 -s. iz —0, wenn m in in
der Näherungsformel der Gleichungen vom 4tcn Grade
a — 0, t- — — 2Q, e — — 12, — IZ, und re- — I/

oder w — Z, rer — — I, re/ — — 4 setzet ; denn wenn
0, 1, 2, 3, 4, 5, und auch O,-I, -2,-3, -4, -Z
für rr substituiret wird; fo zeigt sich», daß re- diese Wetthe
habe. Man erhält nach gehöriger Reduktion rr — 0.56z;
oder -r- -- 4,687 ; oder .r- — — 1,22z ; oder endlich
rr — — 4,027.

. §-337-

Wir können bey dieser Gelegenheit auch eine Näherungs¬
formel für die Ausziehung was immer für einer Wurzel aus
feder vorgegebenen Zahl hieher setzen; diese ist folgende:

Wenn aus einer Zahl er- die Wurzel rrr zu ziehen wäre,
/zr

und es ist schon beynahe -r — re?, welches man entweder
durch Hilfe der Logarithmen, oder sonst auf eine andere Art
schon bestimmet hat; so ist

2re/.(u7—re/'")

u7 7-:re-4-7—--- — sehr genau.

(?N4- l).Z7

Denn es sey der kleine Bruch —den man zu re/ noch

ZN
hinzufügen muß, umer—re-4- Z' zu. erhalten; so ist auch
er — (ru4-/)""; nämlich

m(/rr—i)

— re/'" 4- errre//"—r/4- —-re/''"—2 /V /4- » «

1.2

er — re/'"
folglich /— ——— ziemlich genau,
rrrre/'" r

er — re/'"


oder/'—-—--- UM vieles genauer.

/»re»"'—i 4- 2 r/rfm —l) w'"—2/

Nun

Von den höheren Gleichungen. 495

s

4

u. f, w.

,1?—

Nun substituirc man- statt in dem zweyten

Gliebe des Nenners bey dieser letzten Gleichung; so ist

2rt/-s-ro

2re>.  (^7—re^)

Z^-k-Z^

/ re-. (.r—

H7 — «1 4° —-;

Au/ 4-2.17

Nm den Gebrauch dieser Formeln deutlicher einzuschen,
wollen wir die Kubikwurzel aus A72 ausziehen.

Nun ist 4 loZ 572 - 0,9191320,

3

wozu die Zahl 8,30123 gehöret; es ist demnach
^572— 8,30123 beynahe; folglich —8,30103; und

2,22285901I31433809119

— 8,32123 4- -----

1714,999793235225454 „

— 8,30123 ->- 2,2222225225894044 na.nlich

^572 8,3012325225894044 sehr genau, und bis

"uf die letzte Dezimalziffer verläßlich, z,

4- 2 — I) (^7 —ru"^)

2«>. (a7 — ru"*)

(^r -j-19. 4-(m4-l).>17 '

"V, 2ru. (.17 — re-'i!)

4- I). 4- (m— 1 )^r

2u, . (.17—u/)

Ar^4-^

496 Siebente Borlesung.

338.

Es läßt sich auch ein allgemeiner Ausdruck für die
Wurzel einer jeden kubischen Gleichung, durch Hilfe der so.-
genantcn Laröanischen Regel angeben; und zwar auf fol¬
gende Art.

Man schaffe bey einer geordneten vollständigen kubischen
Gleichung nach (Z. 329.) das zweyte Glied hinweg, damit
die Gleichung die Form .r? 4 -uw 4^ — 0 erhalte. Um
den Werth für w in dieser letzten Gleichung zu bestimmen, se¬
tze man w — 4 4 2 ; so ist alsdann

4? 4 34^ 4- 344 4 4 ?4 4 -vr 4 7 —0.

Nun nehme man an , 4 und - sollen so beschaffen scyn,
daß in dieser letzten Gleichung 4^ 4 4 <7 -- 0

so ist auch 344 4- 342^ 4 44 4 -02 — 0 ; oder
342(4 4- 2) 4- />(4 4 2) — 0 , nämlich 342 — —

und folglich 4 —-. Substituiret Man nun diesen Werth

32

für 4 in der Gleichung 4- 4 2^ 4 <7 — 0, so erhält man
2^ 4 <7^ — — o; woraus man nach ( §. 2lZ')

findet,

2 4 ^-7' 4folglich ist

3

4-l^s-2-4l^(4H4 >

und weil w—442, so ist endlich

3 3

k^s-4/4^7'4 s-l7-^7'44?Ä

eine Wurzel der Gleichung er? 4 /?w 4 7 — <3.

Z. B. es seh aus der Gleichung wZ— r2w- 4 94^9

der Werth von er zu bestimmen , so setzr mau er- --«44
um nach (Z. 329.) das 2te Glied wegzuscbaffen ; dadurch
erhält man 4 9« 4 6 — O. Setzet man nun vermbZ
3 ^4-.

Mger Formel7-2-9, und 7^6, so ist hier«—^3 —l/ 9'
und

Von den höhern Gleichungen. 497

Und folglich ist in der vorgelegten Gleichung ^—>12^

8 Z

4- 57 94 - o eine Wurzel .r- — 4 4 s/z —

- 3,3621659, wie im (Z. gz6.)

Wenn man mittelst der angeführten Formel aus der
Gleichung ^4 ß.r- 4 20 — Q den Werth für er- suchet,
so findet man -r- 1 o 4 6 l^Z) 4- s^(— lo—6

Obwohlen nun hier der Werth von a? irrational zu scyn
scheinet, so findet man doch nach vorgenommener Untersu-
s

chung, daß io 4- 6^3) — — l 4 s^Z, und
§

10-61^3) — — i -- sei); und folglich ist
hier a? — — 2, welches man nach (L. 32Z.) noch leichter
findet.

339»

Um in solchen Fällen zu untersuchen, ob sich die Ku¬
bikwurzel aus einer Größe a 4 , welche nämlich aus

einem rationalen Gliede a, und aus einer quadratischen
Wurzelgröße bestehet, abgekürzet angebcn lasse; setze
g s

Man l. 4 — er 4 nämlich 4

8

- a- 4 und — er- — daraus

folgt durch die Multiplikation dieser zwep Gleichungen
z s

- L) - ; folglich II. - er- - 5).

Ferner folgt aus der Gleichung l. durch die Erhebung zur
Zten Potenz §4 - er-4 zer- 4-l<-4 wo

offenbar der rationale Theil a -w? 4 Z-^ feyn muff. Sub-
fiituiret man endlich in dieser letzten Gleichung für^den Werth
8

ans der Gleichung H. so ist Ill.er^——^-er—0.
?lus dieser Gleichung lll. muß man nun trachten den Werth
für nach (§. 325.) zu bestimmen, nachdem man ehevor
niich (§. ^A2. «. ZZZ.) die gebrochenen, tind auch die irra-
vo'rles t. B- I i tio-

498 Siebente Vorlesung.

tionalen Koeffizienten weggeschaffet hat. Läßt sich nun auf
Liese Art er bestimmen, so ergiebt sich sodann aus der Glei--
r

chung II. auch ; und läßt sich dadurch ab-

kürzen. So z. B. ist

z r ?

1^(2 2 -12 — l>(20 — l^4Z2) — t^2.

s r

Jmgleichen p^(2 4- l r i) 4- p^(2 — l l i)

— (2 -l- — i) -s- (2 — — i) — 4; u. s. w.

Anmerkuny. Wenn die kubische Gleichung von der
Form .r^ 4- -ver 4- o irrationale Wurzeln enthält, da-
bey aber /> negativ, und zugleich tst, so giebt

die im (§. ZZ8-) angeführte Formel für den Werth von ar
einen unmöglichen Ausdruck, der sich gar nicht übkürzen
läßt. Und eben deswegen ist auch die angeführte Formel in
der Anwendung von keinem besonder» Nutzen; wir wollen
uns daher auch nicht länger dabep aufhalten; machen auch
keine Erwähnung, daß man bey jeder Größe, nebst einer
möglichen, auch noch zwei) unmögliche Kubikwurzeln angeben
könne; z. B. — 2, oder — — l 4- 3?

oder endlich 1^8 — — r — — Z; die jwcy letzten un¬

möglichen Kubikwurzeln aus 8 werden gefunden, wenn die
höhere Gleichung er? — A o durch ar — 2 dividirct wird.
Auch mit der Zerfällung einer höhern Gleichung in mehrere
höhere Gleichungen wollen wir uns nicht beschäftigen.

kann nämlich zuweilen eine verwickelte Gleichung des 4^"
Grades, worin» das 2te Glied bereits weggeschaffet iß,
von der Form 4- -o«? 4- 4. — 0 w zwey

dratische Gleichungen zerlegen, wenn man L« 4-/?«^4-

— (/? 4- -r-/, 4- )-) X — .r« 4- r) c> setzet; da¬
durch erhält man nach gemachter Multiplikation/) — r — '

- — (2—^).r, drey Gleichungen, um die drs>)

unbekannten Größen er, r bestimnicn zu können.

Ans

Äon den hohem Gleichungen. 49S

Aus diesen drei) Gleichungen folgt r 4-)' — 4- a:-/
, V v v -l' s

lind r — )- — - z daher ist I. r -—--—-, und

/>4-^ - (?4-^)'

ll.^-^:--—z ferner^, oder— —-4

2 2rr 4 4a?

und endlich Hl. 4- 2-oa:- -s- — 4/) — o

eine höhere Gleichung, die als eine kubische behandelt wer¬
den kann, um rr zu finden. Laßt sich nun auf diese Art a?
bestimmen, so ist sodann in den zwei) Gleichungen I. und ll.
auch 2 und)- bekannt. Subsiituiret man endlich die gefun¬
denen Werthe für er-, )-, 2 in der Gleichung (>^4-an 4-^) x
an 4- -r) — cr, so hat man sodann die zwei) qua¬
dratischen Gleichungen —v, und an-j-2—0

aufzulösen, um alle vier Wurzeln der vorgelegten Gleichung
eck 4- 4- 4-/^0 zu bestimmen u. s. w.

Vollständige Untersuchungen über die Auflösung höherer
Gleichungen findet man in Hrn. L. Eulers Anleitung zur
Algebra 1l. Th. und in dessen Anleit, znr Analpsis des Ün-
»ndlicheu von Hrn. Michelsen übersetzet.

340»

Wenn ans einer verwickelten höher» Gleichung von
jwep veränderlichen Größen eine aus diesen als eine Funk¬
tion von der andern zu entwickeln ist, so kann man dabey
die Umkehrung der Funktionen (§. 288.) öfters mit Nu¬
tzen gebrauchen. J. B. um aus der Gleichung

4. — o den Werth für)' zu finden,

setze man)' — 4. 4- 4. 4-...

und versuche für und solche Werthe anzunehmen, damit
sich bei) der Bestimmung der Koeffizienten nach (j. 28Z.),
ivenn man einen solchen Werth allenthalben in der vorgeleg¬
ten Gleichung für)' subsiituiret, keine Widersprüche ergeben.
Ber> dem angeführten Bepspiele kann man 0 und
2 - t, oder -- g sind § - l, oder endlich ? - l

Z20

Siebente Vorlesung.

undL—— I annehnen. Im ersten Falle für/ —^4-^'ev

4. 4- 4- . . . ist a, - g-

2

. . _-^-,L-4--^, ...,«, f.w.

8« IvL- I28a^

Zuweilen können für und § auch gebrochene Werthe ge¬
nommen werden; z. B. um aus der Gleichung o/-— a4/

— a.r-b — o den Werth für / zu entwickeln, kann man
annehmen entweder /> — i und i, oder — o und

— Z, oder endlich -o — G und — — 4.

Diefe Werthe für /1 und - im letzten Deyspiele können
auf folgende Art gefunden werden. Man substituier den an¬
genommenen Werth/ — 4- L.r/>4-<? 4- t7r?4-r-^-. .

allenthalben statt/ in der gegebenen Gleichung, so ist sodann
0 — ?? 4^3«-^ Z?^rp4--4-Za^^ue;/>4r-4-.. -

— ^?4-Z — L^-/-4--4-Z — 6u^4-r-4; — ...
—

Nun sey i) die Potenz — rrr, und rry-4-- —
nämlich Z/) — z, und z/) 4- /1 4- z, so ist -v — k

und - — t; oder 2) es sey a7/>4-^ — und ^/-4-4^

— , so ist — 0 und <7 — — z; oder endlich Z) sch

^4^, und ^^4- jst — L und

— 4. Und eben so bestimmet man auch in andern
solchen Fällen vorläufig die Werthe für /? und </. Zm letz-
z  _ z .—

ten angeführten Falle für/ — ^-4-774- di- - 4-Da7

—L

4- Ler 4- « . . . findet man

_» 2. /7. 4

4- « - , L -- <7- 4- Z a°, /) - 5« <

L — Isl 4-^« ' u. s. w.

Einige Schriftsteller brauchen in solchen Fällen, um die
Werthe für und zu bestimmen, das sogenannte analy¬
tische Dreyeik, wovon in L Lüerksr Inliit. ^nu!/t.
«ine Abhandlung anjutreffen ist.

Schluss-

Von den höher» Gleichungen. zor

Schluß -- Anmerkung. Die Richtigkeit einiger Sätze in
diesem ersten Vande ist blos durch die gemeine Indukzion
Largethan worden, und zwar in der Absicht, damit mehre¬
re Lehrlinge auf eine leichtbegreifliche Art zur Kenntniß solcher
Sätze gelangen, und damit sie nicht wegen einigen Schwie¬
rigkeiten bep der schärfesten Beweisart allen Lust zur Mathe¬
matik verlieren. Z. B. daß die Anzahl der Amben bey er
Größen allgemein — — i) fey, ist blys daraus ge¬

schlossen worden, weil man mittelst der Lehre von den arith¬
metischen Reihen des zweyten Ranges dargethan hat, daß
diese Formel für 2, 4, § Größen richtig sey (§. 249.),

und weil man eben so zeigen konnte, daß solche auch für
6, 7, 8 und mehrere Größen gelte. Um nun in diesem
Beyspiele mit der größten Schärfe zu erweisen, daß die An¬
zahl der Amben bcy er Größen ganz richtig — — i)

seh, muß man noch aus den Eigenschaften der Amben zeigen,-
daß die Gestalt dieser Formel bey (,r 4- 1) Größen statt
sinken müsse, wenn man solche bey er Größen für richtig
annimmt; nämlich, daß bey (er 4- i) Größen die Anzahl
der Amben — H("4- 1) rr scyn müsse, wenn bey er Größe»
die Anzahl der Amben - 4<,r - i) ist, Dieses kann auf
folgende Art geschehen. Es sey bey er Größen die Anzahl
der Amben — 4,r(,r — i); nun gedenke man noch eine Grö¬
ße hinzugesetzet; so hat man sodann (er 4- i) Größen, und
dabey ^er(/r — I) 4- " — ^(/r 4- i)rr Amben; weil die hin?
»"gesetzte (n 4- i)te Größe mit jeder der er vorigen Grö¬
ßen verbunden noch er neue Amben hervorbringet, welche
mit den vorigen l->r(,r— i), zusammen 4(rr 4- i)'r Amben
betragen. Es muß daher ganz richtig für (er 4- i) Größen
b-e Anzahl der Amben - 4- sey», wenn fiir er

Größen die Anzahl — !e<er — i) ist. Nun gilt diese^For-
Mcl 'er(-? — wegen (§. 249) 9""» richtig für " 2;

also gilt solche, wegen des hier erwiesenen auch für 2-l- l Z;
"ad nun er — z gefetzt, gilt solche auch für Z 4- > — 4 >
und so gilt der Schluß immer für jede nächstfolgende um r
bloßere Aahl; daher gilt die angeführte Formel in der
8>ößtcn Scl'ärfe für jede beliebige Anzahl der Großen.

2 Eben

Los Siebente Vorlesung.

Eben so hat man im (§. 252.) blos mittelst der ge-'
meinen Induktion dargethan, daß bey n ungleichen Größen
die Anzahl der Versetzungen — ».(/r — i).(/r—.2) , , . i
sey, wo in jeder Versetzung » Größen beysammenstehen.
Weil man nämlich diese Formel für 2, Z, 4, Z, Größen
richtig fand, und auf eben die Art zeigen konnte, daß sol¬
che auch für 6, F, und mehrere Größen gelte, so be¬
hauptete man allgemein, sie sey für jede beliebige Anzahl/r
von ungleichen Größen richtig. Um nun in der größten
Schärfe zu erweisen, daß diese Formel i), (/r—2). .

. 1 richtig flrr jede beliebige Anzahl zr von ungleichen Grö¬
ßen die Menge aller Versetzungen vprstelle, wo in jeder
Versetzung alle n Größen beysammen stehen, fo muß man
noch aus der Natur der Sache (hier aus der Beschaffenheit
der Versetzung) erweisen, daß die Gestalt dieser Formel bey

4- I) ungleichen Größen richtig seyn müsse, wenn man
solche bey " Größen für richtig annimmt; welches auf fol¬
gende Art geschehen kann. Wenn diese Formel bey er Grö¬
ßen richtig ist, so ist bey » ungleichen Größen di? Anzahl
der Versetzungen " n.(4r — i).(Ir —2) . . . , i; nun
gedenke man noch eine ungleiche Größe hinzugefüget, so h^
pran (Ir 4- i) Größen; und bey einer jeden der vorigen
rr. (//, — i). (/r— Z) ... I Versetzungen giebt es 4-1)
Stellen, an denen die hinzugefügte (Je 4- i)te Größe stehen
kann, nämlich hinten und vorne, und zwischen jeden zMY
anliegenden Größen; daher ist bey O 4? l) ungleichen Grö¬
ßen die Anzahl der Versetzungen ganz richtig /r . (Ir — i)-
(-e—2). ..IX (Ir4-l) — ("4-l).'2.(/r—i).(a —S)
. . . i, wenn die erste Formel bey er ungleichen G-rößen
richtig ist; nämlich die Gestalt der angeführten Formel muß
für (er 4- i) Größen richtig seyn, wenn solche für" Größen
richtig ist. Es ist aber die Forme! /?.—;) . (/r — 2) > -
.. i wegen (§. 2,^2.) für — 2 ganz richtig; daher iß
, solche wegen des hier erwiesenen auch für 2 4- 1 — 3 uäl'
krg; und nun /e — Z gesetzt gilt ebey diese Formel guch füc

' _V ' ' 3

Von öen höhern Gleichungen. Zoz

A 4- I 4; und so gilt der Schluß immer für
jede darauffolgende um i größere Zahl "; folglich gilt die
angeführte Formel allgemein für jede beliebige Anzahl ,r von
ungleichen Größen.

Diese Beweisart beruhet überhaupt auf nachstehendem
Grundsätze. Ley mehrern Größen, die in einem ge¬
wissen Zusammenhangs miteinander flehen, findet ein
gewisses Gesetz statt: man findet aus richtigen Grün¬
den , daß bey 2, z, und 4 solchen Größen das Gesetz
G sey; wenn man nun eben dieses Gesetz — G bey
er Größen nach der gemeinen Induktion für richtig an¬
nimmt, und dabey aus den obwaltenden Eigenschaf¬
ten der vorhandenen Größen -arthun kann , daß sodann
eben dieses Gesetz auch bey (-/ -l- r) Großen richtig feyn
müsse, so ist das angenommene Gesetz — G für jede
Anzahl er der Größen wirklich allgemein richtig. Scharf¬
sinnigen Anfängern wird zur Uebung in dieser Beweisart bey
analytischen Untersuchungen des Hrn. I. Pasquill) Unter¬
richt in der mathematischen Analysis Leipzig bey Wcidman
179^ anempfohlen.

Wenn eine gesuchte Größe durch eine Reihe mittelst der
Bestimmung der Koeffizienten nach (§. 28Z. »- 288.) gefun¬
den wird, so läßt sich öfters das Gesetz der Koeffizienten
gar nicht entdecken, oder wenn solches auch vermög der ge-
weinen Induktion in die Augen fällt , so läßt es sich doch
nach den bereits vorgetragenen Gründen nicht allgemein er¬
weisen ; als z. B. bey der Reihe für loK (l 4- w) in (§. 289-)-
lön dergleichen Fällen muß man jederzeit trachten für die ge¬
suchte Größe eine sehr schnell abnehmende Reihe zu erhalten,
und man kann dabey einmal für allemal so viele Glieder der
^eihe wirklich bestimmen, als man deren zur Berechnung der
gesuchten Größe notywendig hat; dadurch ist die gesuchte
dr'Dr gewiß in hinlänglicher Schärfe richtig bestimmet.

All-

§04


Anhang,
von einigen Tafeln.

In folgender Tafel aller einfachen Faktoren sind alle
durch 2 , z, und Z nicht Heilbare Zahlen von i bis
loZoo in ihre einfache Faktoren aufgelLset; man findet
diFft Faktoren, wenn man die Hunderter in der ersten hori¬
zontalen Kolonne, die Zehner und Einheiten der vorgegebe¬
nen Zahl aber in der ersten vertikalen Kolonne, und endlich
den Ort anfsucht, an welchem diese zwey Kolonnen zusam-
menstossen; denn an diesem Orte sind die Faktoren anzutref¬
fen , wenn die vorgegebene Zahl deren einige enthält: sollte
hingegen an dem gefundenen Orte anzutreffcn seyn,
so ist dieß ein Zeichen, daß die vorgegebene Zahl eine Prim¬
zahl sep. Z. B. auf der Seite (§29) findet man, daß die
Zahl 4199 aus den einfachen Faktoren 13. 17. 19 zusam¬
mengesetzt sey; sie werden einfach genennt um sie von den
übrigen Faktoren 221---13.17; 247—15.19; Z2Z-^
17. r 9 zu unterscheiden, durch welche sich die vorgegebene Zahl
ebenfalls genau Heilen läßt. Auf der nämlichen Seite fin¬
det man, daß 4177 eine Primzahl sey, Die durch 2, Z,
und Z Heilbaren Zahlen sind in der Tafel weggeblieben,
weil die Faktoren 2, 3, ober Z einer vorgegebenen Zahl
gleich bey ihrem Anblicke in die Augen fallen (§. 69). Wür¬
de nun eine durch 2, I, oder Z Heilbare Zahl z. D«
111972 in die Faktoren zu zerlegen seyn, so sieht man al-
sogleich, daß 111972 — 2.2.3.9331 sey; weiters findet
man in der Lasel 9ZZ1 — 7.Z 1.43 i folglich ist 111972 —
2.2.3.7.ZI.4Z. Wenn jemand ein Belieben trägt diese b.a-
fel weiter fortzuführen, der kann Anton Felkels Faktorcn-
tafel in diese geschmeidige Gestalt umschaffen; diese sehr seltene
Felkelsche Tafel, die im Jahre 1776 die von Gehlensche Presse
zu Wien verließ, enthält ans 17 Regalbügen alle-einfachen

Anhang von einigen Tafeln. zsZ

Faktoren der durch 2, Z, und A nicht theilbarcn Zahlen von
r bis 428000.

Im 2ten Bande meiner logarith. trigonometr. Tafeln
Leipzig 1797 ist eine solche Tafel der einfachen Faktoren bis
102000, und ein Verzeichniß der Primzahlen bis 400202
enthalten, welche aus der erwähnten Felkelschen Tafel abge¬
leitet sind. Genannter Ant. Felkel hat laut der monarl. Lor-
resp. zur Befvrd. -er Erü-un- tzimmelökun-e August-^eft
!8oo Seite 22z eine Herausgabe der von ihm berechneten Fak-
toren-Tafeln bis 24 Millionen und 6mahl Hundert-Tausend zu
Lissabon angckündiget. Auch befindet sich im Stifte Kloster-
Neuburg oberhalb Wien eine handschriftliche Tafel aller einfa¬
chen Faktoren bis über eine Million, welche der kürzlich ver¬
storbene Stifts-Herr Florian Ulbrich berechnet hat. Bep die¬
ser Gelegenheit soll derselbe einige Fehler im oberwähnten Ver¬
zeichnisse der Primzahlen und in der Felkelschen Tafel entdecket
haben, zu deren Kenntniß aber ich bisher noch nicht gelangen
konnte, um solche zur Ausbesserung anzeigen zu können.

Die darauf folgende Tafel -er Potenzen enthält die
Lte, zte, 4tc, Ate, und 6tc Potenz aller Wurzeln von l
bis Ivy; sie kann sowohl bep der Auslösung der höheren
Gleichungen, als auch bep dem Einschaltcn oder Interpolli¬
ren (wenn nämlich zu einigen gegebenen Gliedern einer Reihe
die übrigen zwischeniiegenden Glieder nach (zi7) s" bestim¬
men sind), und auch in anderen Fällen gut- Dienste leisten.
Durch Hilft eben dieser Tafel findet man auch die Potenzen
von l,->; l,iz 1,2; i,Z; .... 9H; ungleichen die Po-
lenzen von o,ol ; 0,22; O,2Z; . .. . 0,99; wenn man
nur für die gesuchte Potenz die gehörigen Dezimalziffern in
der Tafel absondert.

Die Tafeln -er Quadrat-und Tubiczahlen, wie
auch die Tafeln -er Qua-rat-un- Lubicwurzeln bedar-
ftn keine Erläuterung , sie sind für sich deutlich genug z daß
diese nämlichen Tafeln auch auf einige Decimalbrüchc angc-
wcndet werden können, wird ohne meine Erinnerung ein se-
d-r bep dein ersten Anblicke selbst cinsehen.

So6  Tafel aller einfachen Faktoren.

ZQ8 _ Tafel aller einfachen Faktoren,

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7  .  Z67U9  -  ISI

Zlo _ Lüftl aller einfachen JakLoren._

Tafel aller einfachen Faktoren

§602 §922

6202 !

5302

Z272

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—Tafel aller ein fachen Faktoren.

Tafel  aller  emfachcrr  Faktorca.

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11. 17.41



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7?  -  ILA
7 - i2;i
Z7 - rzz

8) . 97

rz. i<7z

41 .

17 .

57 ii .

^7-7

kz!

kzf- /

k!.

'^^457

sz —

K k 2

Zi6 Tafel der Potenzen

aller natürlichen "Zahlen von i bis ioo. Z17

5i8_ Tafel der Quadrat zahlen, _

aller Wurzeln von r bis 1000.  Z19

Z2o Tafel der QuadraLzahlm ,

aller Wurzeln von i bis i»o«. Z2l

zri_ Tafel der Äubikzahlen

aller Wurzeln von ibisioo«._52 z

Z24 Tafel der KErzähl en_

a ller W urzeln von r bis icwo. §2Z

Z26 Tafel der Quadratwurzeln.

aller natürlichen Zahlen von i bis iooa. 527

A28_ Tafel d e r Quadratwurzeln.

<Eer natürlichen Zahlen von i bis ioo». Z29

vsrles. i. B.

K Za_ Tafel der K ubikwurzeln

aller natürlichen Zahlen von ? bis loos. k

Ll 2

5A2_ Tafel der Kubikwurzeln

aller natürlichen Zahlen von i bis 100 0. Zzz

S34

Verwandlung der Fuße, Zolle, Linien, und Punkte
des zwölftheiligen Maßes in Dezimaltheile der
Klafter, des Fußes, und des Zolles;

wie auch umgekehrt.

S3S

J n h a  l t.

Erste Vorlesung , von den Rechnungsarten mit
ganzen Größen.

I. Abschnitt, vorläufige Einleitung.

§. !. Einheit; Zahl. 2. Größe. Z. Mathematik; stetige,
unstetige Größe; Arithmetik; Geometrie; reine, angewandte
Mathematik, deren Haupttheile; technische Mathematik. 4.
bis 8- das Bezeichnen und Anssprechen der Zahlen. 9. bis
l!. unbenannte und benannte, ungleichnamige und gleich¬
namige Zahlen; die einfachste Vergleichung der letzter«. 12.
Drei) Grundsätze.

II. Abschnitt, von -er Addition.

§. iz. bis lA. Summe, Addition und deren Bezeich¬
nung. 16. Zwey Grundsätze. 17. und 18. Regeln, und
Prüfung der Addition.

HI. Abschnitt, von der Subtraktion.

§. 19. bis 2i. Differenz, Subtraktion, Minuendus,
Subtrahendus, Bezeichnung. 22. Drei) Grundsätze. 2Z. u.
24. Regeln und Prüfung der Subtraktion. 25. Einige Bey-
spiele zur Anwendung der Addition und Subtraktion.

IV. Abschnitt, von -er Multiplikation.

§. 26. bis 28. Multipliziren, Multiplikandus, Mnl-
ttplikqtor, Faktoren, Produkt, Bezeichnung, Einmaleins.

ZZ6 -

§. 29. Zwey Grundsätze, ZV. bis ZZ. Regeln und Prüfung
der Multiplikation. 34. Einige Beyspiele zur Anwendung.

V. Abschnitt, von -er Division.

§. ZZ. bis Z8- Dividiren, Dividendus, Divisor,
Quotient, Bezeichnung; Division einer benannten Zahl durch
rine gleichnamig benannte, durch eine unbenannte Zahl. Zy.
Drey Grundsätze. 40. Unveränderlichkeit des Quotienten in
gewissen Fällen bey geändertem Dividendus und Divisor.
41. bis 44. Regeln und Prüfung der Division. 4A. Einige
Beyspiele zur Anwendung.

VI. Abschnitt, von öen Rechnungsarten mit ungleich¬

namigen Größen, welche gleichnamig gemacht
werden können.

§. 46. Benennung und Eintheilung einiger in Rech¬
nungen vorkommenden Dinge. 47. bis Zi. Addition, Sub¬
traktion , Multiplikation und Division bey solchen ungleich¬
namigen Dingen.

VII. Abschnitt, von -en Rechnungsarten mit Buchstaben.

§. Z2. bis A8. Was jeder Buchsiab einzeln bedeute?
Gemeine und allgemeine Arithmetik. Bezeichnung der Ad¬
dition, Subtraktion, Multiplikation und Division der
durch Buchstaben ausgedrückten Größen; Exponent;
Koeffizient; algebraische Größe, einnamige, mehrna-
mige; deren Glieder, gleichnamige, ungleichnamige. Z9.
u. 60. Entgegengesetzte Größen, positive, negative. 6l. bis
67. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division
der algebraischen Größen. 68- Zerlegung der algebraischen
Größen in Faktoren durch mehrere Beyspiele erläutert. 69.
Kennzeichen der Theilbarkeit der Zahlen durch 2, Z, 4, A,
6, 8, 9, io, ji, 12; was eine Primzahl sey? 70.
Zerlegung einer Zahl in alle einfache und zusammengesetzte
Faktoren.

Zwey-

. -F 3 7

Zweyte Vorlesung , von den Rechnungsarten mit
gebrochenen Größen.

I. Abschnitt, von den Brüchen überhaupt.

§. 71. u. 72. Was ein Bruch fey? dessen Nenner,
Zähler, Bezeichnung; eigentlicher, uneigentlicher Bruch. 7,2.
u. 74. Der Werth eines bezeichneten Bruches, und dessen
Bestimmung. 7F. Verwandlung einer unbenannten ganzen
Zahl in einen uneigentlichen, und einer benannten Zahl in
einen eigentlichen Bruch. 76. Verwandlung einer ganzen
Zahl nebst einem Bruche, in einen einzelnen Bruch. 77»
bis 79. Wie sich der Werth eines Bruches verändere,
wenn dessen Zähler oder Nenner mit etwas multiplirct oder
dividiret wird. 80. Abkürzung der Brüche. 8l. Das
größte gemeinschaftliche Maß von zwei) gegebenen Zahlen
zu finden. 82. u. 8Z. Brüche von gleicher, von verschie¬
dener Benennung; letztere auf gleiche Benennung zu bringen.
84. Von mehreren Zahlen das kleinste Vielfache zu finden.
8Z. Verwandlung eines Bruches in einen andern von gegebe¬
nem Nenner oder Zähler. 86. Veränderung des Bruches,
wenn zum Zähler und Nenner etwas hinzu addiret, oder
davon subtrahiret wird.

ll. Abschnitt, von Ser ASSition, Subtraktion, Multi¬
plikation und Division Ser Brüche.

§. 87- bis 90. Regeln der Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division der Brüche. 91. Werth eines
gebrochenen Bruches. 92. Verwandlung ungleichnamiger
Größen in Brüche. 9A. Rechnungsarten mit benannten Brü¬
chen. 94. Einige Beispiele zur Anwendung.

III. Abschnitt, von Sen Dezimalbrüchen.

Z. 95. bis 97. Bezeichnung der Dezimalbrüche; Wer-
the der Dezimalstellen; Dezimalbrüche auf gleiche Benennung
zu

LZ8

zu kringln. 98. Verwandlung der gemeinen in Dezimal-
krüche. 99. bis 104. Addition, Subtraktion, Multiplika¬
tion und Division der Dezimalbrüche. 1 vL - Den Werth ei¬
nes benannten Dezimalbruches in Einheiten kleinerer Gattung
anzugeben. 106. Abgekürzte Multiplikation und Division der
Dezimalbrüche, nebst einigen andern Abkürzungen.

IV. Abschnitt, von zusammenhängenden Brüchen.

§. 107. Entstehung eines zusammenhängenden Bruches.
108. Verwandlung eines gewöhnlichen Bruches in einen
zusammenhängenden- 109. Aus den zusammenhängenden
Bruche lassen sich mehrere Brüche ableiten, die sich dem wah¬
ren Werthe immer mehr und mehr nähern, no. Großer
und wichtiger Nutzen davon bey Abkürzung der Brüche, m.
und 112. Praktische Regel um die abgekürzten Brüche ab-
Zuleiten sowohl bey eigentlichen, als auch bey uneigentlichen
Brüchen.

Dritte Vorlesung, von den Rechnungsarten mit
Potenzen und Wurzeln.

I. Abschnitt, von den Potenzen und tvurzeln überhaupt.

HL. bis 1,7. Potenz oder Dignität, Wurzel,
Exponent; 2te, Zte Potenz, oder Quadrat, Kubus, Qua¬
drat- und Kubikwurzel; /»re Potenz; »tte Wurzel^ Be¬
zeichnung der Wurzel. n8- Potenzen von positiven, von
negativen Wurzeln. 129. Wurzeln aus positiven, aus ne¬
gativen Größen. iso. bist 2Z. Potenz eines Produktes,
eines Bruches. 124. u. 125. Irrationale, rationale Wur¬
zeln. 126. u. 227. Einige Verwandlungen der Potenzen,
z. B. a", a—u. s. w. 128- u. 129. Einnamige Potenzen
wieder auf andere Potenzen zu erheben, und Wurzeln dar¬
aus zu ziehen. iZo. bis ig2. Die Theile des Quadrats
einer zwei) - und mehrnamigen Größe anzugeben. 1 ZZ- bis
2ZL. Und ebenso die Theile des Kubus. 1^6. Wie auch
die

-- S39

die Lheile der 4ten, Ften Potenz rc. einer zwey - oder mehr-
namizen Größe. iZ?. Zwey Grundsätze.

II. Abschnitt, von der Ausziehung der (Quadrat - und
Kubikwurzel aus zusammengesetzten Größen ins¬
besondere.

iZ8. bis 140. Regeln für die Ausziehung der
Quadrat- und Kubikwurzel aus mehrnamigen algebraischen
Größen. 141. bis 144. Untersuchungen, wie die verschie¬
denen Theile der Quadratzahlen in Beziehung auf deren
Wurzeln ngch der dekadischen Ordnung mit einander verbun¬
den sind. 145. bis 148. Daraus abgeleitete Regeln für
die Ausziehung der Quadratwurzel aus jeder vorgclegten
Zahl. 149. bis IF4> Eben solche Untersuchungen, und
daraus abgeleitete Regeln für die Ausziehung der Kubik¬
wurzel. Nutzen der Tafeln von Quadrat-und Kubikzahlen.

III. Abschnitt, von den wurzelgrsßen, unb ihren
Rechnungsarten.

iFL. Wurzelgrößen von der nämlichen, von ver¬
schiedener Benennung. Verwandlung der Wurzelgrößen
in Bruchpotenzen, und umgekehrt. 1^7. Solche auf eine an¬
dere Benennung zu bringen. iF8- iL9- Abkürzungen und
andere Verwandlungen der Wurzelgrößen. 160. Solche auf
gleiche Benennung zu bringen; gleichartige Wurzelgrößen.
161. Wurzelgrößen zu addiren und zu subtrahiren. 162.
Zu multipliziren. i6z. Zu dividiren; eine zusammengesetzte
irrationale Größe aus dem Nenner wegzuschaffen. 164.
Multiplikation und Division der unmöglichen Größen. Ob
es jederzeit willkührlich sey bey der Wurzel eines geraden
Exponenten 4- oder — zu nehmen z wenn dieses wäre, so
könnte man jede negative Größe in eine positive, ja sogar
jede unmögliche Größe in eine mögliche verwandeln. 16^.
Wurzelgrößen auf Potenzen zu erheben. 166. Wurzeln dar¬
aus zu ziehen. 167. Die Regeln für die Rechnungsarten der

Po-

Z4o -

Potenzen mit ganzen Exponenten gelten auch bey gebrochenen
Exponenten. 168 Bey einer angezeigten Potenz einer zusam¬
mengesetzten Größe ein Glied inner den Klammern von einem
Faktor zu befreyen. 169. Wie auch einen außer den Klam¬
mern befindlichen Faktor hineinzuschaffen.

Vierte Vorlesung, von den Verhältnissen und
Proportionen/ nebst deren Anwendung auf
verschiedene Rechnungsfragen.

I. Abschnitt, von -en Verhältnissen.

170. bis 176. Verhältniß, arithmetisches, geome¬
trisches ; Differenz oder Namen beym ersten, und Quotient
oder Exponent beym zwepten; vorderes, hinteres Glied;
gleiche, ungleiche Verhältnisse; astgemeine Bezeichnung; das
Verhältniß verbleibt in einigen Fällen ungeändert, wenn
man die Glieder verändert; zusammengesetztes Verhältniß,
quadratisches, kubisches, biquadrakisches.

II. Abschnitt, von -en Proportionen.

§. 177. Proportion, arithmetische, geometrische; Pro-
portionalglicder, die äußeren, die inneren; stetigen oder zu¬
sammenhängenden. 178. bis 180. Allgemeine Bezeichnung
der arithmetischen Proportion; deren Haupteigenschaft; ei¬
nige Folgen; arithmetisches Mittel oder Durchschnitt. i8i»
bis 184« Bezeichnung oder allgemeine Formel der geometri¬
schen Proportion; deren Haupteigenfchaft; einige Folgen.
I8L. Aus zwey gleichen Produkten eine Proportion abzulei-
ken, 186. Zwey Kennzeichen von der Richtigkeit einer Pro¬
portion. 187. Verschiedene Verwandlungen einer Propor¬
tion, durch Verwechslung, Umkehrung, Addition, Sub¬
traktion, Multiplikation, Division, Formirung der Poten¬
zen und Wurzeln. l88. Der daraus entspringende Nutzen.
189. u. 190. Zusammengesetzte Proportipnen und verschie¬
dene

-- Z4»

dene Abkürzungen derselben. 191. Merkwürdiger Satz von
mehrern gleichen Verhältnissen.

III. Abschnitt, von der einfachen Regel Detri.

§. 192. bis Einige Dinge, die im geometri¬
schen Verhältnisse Miteinander stehen. Bedeutung des Wortes
Verhälrniß im gemeinen Leben auch bey zwey ungleichnami¬
gen Dingen; gerades, verkehrtes Verhäitniß; solches prak¬
tisch leicht zu erkennen. Regel Detri, gerade, verkehrte; Fra¬
gezahl bey derselben. 196. u. 197. Anweisung die einfache
Regel Detri anzusetzen, und aufzulösen, nebst der Anwen¬
dung auf verschiedene Beyspiele. 198. u 199. Sorgfälti¬
ge Vergleichung verschiedener Gewichte und Maße gegenein¬
ander, theils durch eigene Untersuchung, theils durch kritische
Prüfung anderer Angaben bestimmet. Um solche Vergleichun¬
gen in kleinen Zahlen auszudrücken ist die Lehre von zusam¬
menhängen Brüchen höchst nützlich.

IV. Abschnitt, von der zusammengesetzten Regel Detri.

200. Zusammengesetzte Regel Detri; der bekannte,
der unbekannte Fall. 201. Auflösung der zusammengesetzten
Regel Detri durch Wiederholung der einfachen. 202. bis
204. Vorbereitung zur Auflösung der zusammengesetzten Re¬
gel Derri durch eine einzige Proportion, sowohl bey geraden
als auch bey verkehrten Verhältnissen 20L. Anweisung die
zusammengesetzte Regel Detri Vortheilhaft anzufetzen, und
aufzulösen, oder die sogenannte Reeslsche Regel. 206.
Anweisung die sogenannte Kettenregel vortheilhaft anzusetzen,
und aufzulöfen.

V. Abschnitt, von -er Gefellschaftsrechnung.

§. 207. u. 228. Gebrauch der Gefellfchaftsrcgel beym
Gewinn und Verlust; bey gleichen, bey ungleichen Dauer-
zeiten der Einlage; wie auch bey den Mischungen verschiede¬
ner Ingredienzien nach bekannten Verhältnissen,

Fünf-


F42

Fünfte Vorlesung , von den Gleichungen des nett
und -ten Grades, neöft deren Anwendung
auf die Auflösung verschiedener Aufgaben.

I. Abschnitt, von -en Gleichunsen nn- ihrer Auflösung.

Z. 209. und 2io. Gleichung, Theile, Glieder dersel¬
ben; identische, wirkliche algebraische Gleichung. 211.
Dreh merkwürdige Sätze von den Gleichungen. 212. Der
Werth einer unbekannten oder zu bestimmenden Größe in ei¬
ner Gleichung. ,2 iZ. Einfache, höhere, reine, verwickelte
Gleichung. 2r 4. Beyspiele zur Auflösung der reinen Glei¬
chungen 2!L. Auflösung der verwickelten quadratischen Glei¬
chungen durch mehrere Beispiele erläutert.

II. Abschnitt, von -en algebraischen Aufgaben un- ih-

rer Auflösung.

216. bis 218. Algebraische Aufgabe mit einer,
mit mehrern unbekannten Größen; bestimmte, unbestimmte,
ungereimte Aufgaben. Was bey der Auflösung einer alge¬
braischen Aufgabe überhaupt zu beobachten seh. 219. Auf¬
lösung der algebraischen Aufgaben mit einer unbekannten
Größe, durch mehrere Beyspiele erläutert, die theils auf
einfache, theils auf quadratische Gleichungen führen. 220.
bis 222. Auflösung der bestimmten Aufgaben mit mehreren
unbekannten Größen. Hinwegschaffung der unbekannten Grö¬
ßen 1) durch den Grundsatz, wenn zwey Größen einer drit¬
ten gleich sind, so sind solche auch unter sich gleich; 2)
durch die Substitution; Z) am gewöhnlichsten durch Addi¬
tion und Subtraktion mit andern Kunstgriffen verbunden,
Um die Verstandcskräfte der Anfänger zu schärfen, und sol¬
che zu analytischen Untersuchungen, und mathematischen Er¬
findungen geschickt auszubilden, sind in diesem Abschnitte meh¬
rere algebraische Aufgaben mit verschiedenen Einkleidungen
angebracht; welche theils aufgelöset, theils dem eigenen
Meiste des eifrigem Lehrlings überlassen sind. Die r6te

Auf-

54L

Aufgabe im siy. zeuget deutlich, daß von den zwep Aei-
chen vor einer quatratischen Wurzelgröße zuweilen eines
gänzlich ausgeschlossen sei). 2«z. Abkürzung der Wurzelgrü¬
ße (a in einigen Fällen. 224. n. 22F. Auflö¬
sung der unbestimmten Aufgaben. 2/6. u. 227. Erinnerun¬
gen über die unmöglichen oder ungereimten Aufgaben. 228.
Aus der Gleichung — L den Werth für w zu bestimmen.

Sechste Vorlesung, von den Reihen und ihrer
^Anwendung.

!. Abschnitt, von den arithmetischen und geometri
schon Reihen.

§. 229. bis 2Zi. Von den Reihen überhaupt; das
allgemeine, bas fummatorische Glied einer Reihe; aus dem
summatorifcheu Gliede läßt sich das Allgemeine sehr leicht
herleiten. 2Z2. bis 2^4. Arithmetische Reihe; deren allge¬
meine Bezeichnung; Formel für das /rte Glied als erste Fun¬
damentalgleichung; die Summe von rz Gliedern als die
zweyte Fundamentalgleichung; daraus entstehen zusammen
so verschiedene Formeln, von denen jede eine andere Frage
beantwortet. 2ZF. Anwendung dieser 20 Formeln auf die
Auflösung verschiedener Aufgaben. 2g6. bis 2Z8« Don den
arithmetischen Reihen des srenRanges; Formeln für das allge¬
meine und fummatorische Glied,wie solches in jedem Falle bep cinec
solchen vorgelegten Reihe zu bestimmen sep. 2Z9. Polygonal-unb
Pyramidalzahlen. 240. bis 24Z. Bestimmung der Formekr
für die Berechnung der Kugelschlichtungen. 244. Eine ein¬
zige allgemeine Regel um die verschiedenen Kugelschichtunge«
zu berechnen. 245. Umgekehrte Aufgabe von Kugelschlichtun¬
gen. 246. u. 247. Von höhern arithmetischen Reihen;
Formel für das allgemeine, und für das summatorifche
Glied. 248- bis 2A2. Von den Verbindungen und Verse¬
tzungen der Größen. Formeln für die sogenannten Amben,
Lernen, Quaternen re. aus der Lehre von höhern arichme-e
tischen

Z44 .-

tischeri Reihen abgeleitet. Anwendung davon auf die Berech¬
nung der Wahrscheinlichkeit in der gewöhnlichen Lotterie et¬
was zu treffen; Gewinn der Lottokammer von der sämmtli-
che» Einlage aller Spieler. Berechnung der Wahrscheinlich¬
keit beym Würfelspiele. 2LZ. u. 2^4. Von den geometri¬
schen Reihen ; deren allgemeine Bezeichnung; zwey Funda-
mentalfoimein, eine für das allgemeine, und die andere für
das summatorifche Glied; woraus wieder zusammen 20 ver¬
schiedene Gleichungen abgeleitet werden, um eben so viele
Fragen zu beantworten.

II. Abschnitt, von den Logarithmen.

§. 2ZA. u. 2Z6. Erklärung und Entstehung der Lo¬
garithmen; Grundzahl eines Logarithmischen Systems. 2^7.
Die merkwürdigsten Eigenschaften der Logarithmen. 2^8-
bis 270. Von dem gemeinen oder briggischen System der Lo¬
garithmen; Möglichkeit ihrer Berechnung; Kennziffer oder
Charakteristik. Anweisung zum Gebrauch der logarithmischen
Tafeln; deren großer Nutzen. 172. Modul eines logarith¬
mischen Systems.

III. Abschnitt, Anwendung der geometrischen Reihen

und der Logarithmen auf die Auflösung verschie¬
dener Aufgaben.

§. 272. bis 27A. Verschiedene Aufgaben, besonders
alle merkwürdige Fälle bey der zusammengesetzten Jnteresse-
rechnung, wo die logarithmischen Tafeln vorzüglich nützlich
sind.

IV. Abschnitt, von -en Funktionen, und ihren Ver¬

wandlungen.

§. 276. bis 282. Veränderliche, unveränderliche
Größe» in einer Gleichung. Funktion von einer, von mehre¬
ren veränderlichen Größen. Ganze, gebrochene, rationale,
irrationale Funktionen. Die Glieder einer Funktion zu ord¬

nen,

——L4S

MN, und kurz zu bezeichnen. Die Rechnungsarten mit Funk-
tivnen. 28Z. Merkwürdiger und sehr nützlicher Lehrsatz bey
einer geordneten und auf Null gebrachte» Funktion einer ver¬
änderlichen Grüße. 284- «. 28Z. Aufiösung gebrochener
und auch irrationaler Funktionen in gleichgiltige Reihen.
Erwähnung der rekurrenten Reihen. 286. Aus einem ratio¬
nalen allgemeinen Gliede einer Reihe das dazugehörige sum¬
matorische Glied unmittelbar abzuleiten. 287- Zerlegung ge¬
brochener Funktionen in mehrere einfacher ausgedrückte Brü¬
che. 288. Umkehrung der Funktionen, oder umgekehrte Me¬
thode der Reihe». Erinnerung, wie da die wahre Gestalt der
Reihe, oder das Gesetz der Exponenten beschaffen seyn müsse.

V. Abschnitt , Anwendung -er Reihen auf die Berech¬

nung -er Logarithmen.

289. Für jede Zahl i 4- läßt sich der zugehöri¬
ge Logarithmus nach den wenigen bisher angeführten Grün¬
den mittelst einer Reihe angeben. 290. Diese logarithmische
Reihe wird in eine andere verwandelt, die sehr schnell ab-
uimmt. 29 r. Eine ungemein schnell abnehmende Reihe für
die Berechnung der Logarithmen der Primzahlen. 292. u.
19Z. Natürliche, oder hyperbolische Logarithmen, bey de¬
nen der Modul ----- 1 ist. Der Modul des Briggischen Sy¬
stems. Verwandlung der natürlichen Logarithmen in Briggi-
sche, und umgekehrt. Zu einem gegebenen Logarithmischen
Modul die zugehörige Grundzahl, uno umgekehrt zu finden.
Berechnung der Grundzahl der natürlichen Logarith¬
men. 29Z.ll.2t-4. Eine Reihe fürund auch für a--. 296.
Eine Anwendung der Grundzahl ä der natürlichen Loga¬
rithmen.

VI. Abschnitt, Anwendung -er Reihen auf eine allge¬

meine Entwicklung -er Potenzen.

Z. 297 u. 298. Der binomische Lehrsatz für ganze
positive Exponenten wird aus der Lehre von höher» mich-

M m meti-

L4-6 ------s»»

mrtischen Reihen abgeleitet. 2y). Daß solcher für jeden Ex¬
ponenten gelte, wird mittelst der logarithmischen Reihe dar-
gethan. Zoo. bis A04. Geschmeidige Einrichtung des bino¬
mischen Lehrsatzes, und dessen Anwendung auf verschiedene
Beispiele. Abkürzungen bey der Ausziehung der Quadrat -
und Kubikwurzel. Eine andere Reihe für die /Me Potenz ei¬
nes Binomiums.

VH. Abschnitt, von -er Tumnnrirny einiger besbn-ern ,
therls endlichen, theils unendlichen Reihen, nebst
vorläufigen Begriffen von -em unendlich Großen,
und unendlich Kleinen.

§. ZOZ. bis zoy. Gewöhnliche Begriffe von dem un¬
endlich Großen und unendlich Kleinen für die Anfänger um
den Dortrag in verschiedenen höchst nützlichen mathematische»
Schriften verstehen zu können, zia. Summirung einer un¬
endlichen Reihe von Brüchen, deren Nenner in einer geome¬
trischen Progression wachsen , nebst Anwendung auf verschie¬
dene Beyspiele- zu. u. Z i 2. Summirung der Reihen, wel¬
che aus arithmetischen und geometrischen Progressionen zu¬
sammengesetzt sind. Zig. Summirung einiger besonder»
Reihen, wo die Nenner in höhern arithmetischen Progressio¬
nen steigen. Erwähnung einer besoudern Reihe, die sich nicht
genau summiren läßt. ziff. Nutzen der Reihen beym Bom¬
benwerfen. ziZ. Allgemeine Jnterpolationsformel; wie auch
allgemeines und summatorifches Glied für jede höhere arith¬
metische Reihe. Zi§. Summirung der /nten Potenzen dec
natürlichen Zahlen; Bestimmung der sogenannten Bernoul-
trschen Zahlenkoeffizienten. Z17. Summe einer unendliche»
Reihe von Potenzen der natürlichen Zahlen. Erinnerung über
das Weglasseu, oder Verschwinden einiger Größen bep arith¬
metischen Untersuchungen, und über die verschiedenen Ord¬
nungen des Unendlichen, wie auch über den Rest bry stei¬
genden Reihen. Zi 8- u zi 9. Summirung der///ten Poten¬
zen einer arithmetischen Reihe sowohl für einen positiven, als
auch für einm negativen Exponenten.

Sie-

." L47

SiebenteVorlesung,von den höheren Gleichungen,
von -en Eigenschaften UN- -er Auflösung -er verwi¬
ckelten höheren Gleichungen.

Z. A20. bis Z22. Verwickelte höhere Gleichungen;
vollständige, unvollständige; wie solche zu ordnen; allgemei¬
ne Bezeichnung einer geordneten höhern Gleichung; Wurzeln
derselben. Z2Z. u. Z24. Entstehung der löhern Gleichungen
aus der Multiplikation binomischer Faktoren, und daraus
abgeleitete Eigenschaften derselben. Z2Z. n. Z26. Bestimmung
der rationalen Wurzeln. Wie die gleichen rationalen Wur¬
zeln zu finden. Zerlegung algebraischer Größen in Faktoren.
Z27. bis Zzc>. Einige Verwandlungen der höher» Gleichun¬
gen; als Vermehrung und Verminderung der Wurzeln um
jede beliebige Zahl. Hinwegschaffung des 2ken Gliedes. Ver¬
minderung der Faktoren des letzten Gliedes. ZZi. bis ZZZ.
Multiplikation und Division der Wurzel»; Hinwegschaffung
der gebrochenen, und auch der irrationalen Koeffizienten.
Z.Z4. u ZZZ. Bestimmung der Gränzen für die irrationalen
Wurzeln; solche durch eine Annäherung anzugeben; wie die
unmöglichen Wurzeln zu erkennen. Zzd. Allgemeine Nähe¬
rungsformel für die Bestimmung der Wurzeln aus jeder ge-
ordneten höhern Gleichung. AZ7. Eine eben solche Nähe¬
rungsformel für die Auszichung der Potenzwurzeln aus vor¬
gelegten Zahlen. ZZ8. und Zgy. Die Auflösung der kubi¬
schen Gleichungen mittelst der Cardanischen Formeln, und
die Zerlegung der biquadratischen in zwey gemeine quadrati¬
sche Gleichungen, wird als eine bloß theoretische Uebung
nur kurz berühret. Z40. Und so auch die Auflösung dec
Verwichelten höheren Gleichungen von zwey veränderlichen
Größen mittelst unendlicher Reihen, wo zugleich gezeiget
wird, wie die Exponenten bey solchen Reihen zu bestimmen
find. Endlich eine Schlußanmerkung, worin eine kurze Anwei¬
sung enthalten ist, wie die scharfsinnigern Anfänger, nach¬
dem sie sich schon bereits einen guten Dorrath der nützlich¬
sten

L48

fit» mathematischen Wahrheiten eigen gemacht haben, die
Schlußfolgen nach der gemeinen Jnduction bey analytischen
Untersuchungen in verschiedenen Fällen in eine schärfere Be- -
weisart verwandeln können.

Anhang

von einigen Tafeln.

>) Tafel aller einfachen Faktoren der durch 2, z, F nicht
theilbaren Zahlen von i bis 10L00.

2) Tafel der 2, 4, L und 6ten Potenzen der natürlichen

Zahlen von i bis 100.

Z) Tafeln der Quadratzahlen der natürlichen Wurzeln von l
bis roso.

4) Tafel der Cubikzahlen der natürlichen Wurzeln von r
bis looo.

Z) Tafel der Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen vcn l
bis IVOO.

6) Tafel der Cubikwurzeln der natürlichen Zahlen von r

biS looo.

7) Tafel um Fuße, Zolle, Linien, und Punkte des zwölfthei¬

ligen Maßes in Decimaltheile der Klafter, des Fu-
ßeS und des Zolles; wir auch umgekehrt, zu verwandeln«

Gedruckt bey Math. Andreas Schmidt, k. k. Hofbuchdrucker.

Zusatz zu §. 199' Seite -rrZ. Zeile 9-

Beym Abdrucke dieses letzten Blattes erhalte ich aus
Paris die Etalons (Grundmuster) des neuen/aus -er Gro¬
sse unserer Erdkugel, abgeleiteten Maß-und Gewichts-
systems. Bey der genauesten Vergleichung derselben, mit
der Maß - und Gewichtsverfassung der k. k. Erbiande,
überzeugte ich mich mit Vergnügen, daß die von mir in mei¬
nem Log. Trig. Han-b Leipzig 1822, und in O. L. v.
Zach Monatl. Corrcsp. May 1822 angegebenen Verglei¬
chungen des alten und neuen französischen Gewichtes mit dem
Wiener, mit dem Mittlern Cöllnischen, mit dem Holländi¬
schen , mit dem Nürnberger u. m. a. Gewichten richtig sind;
obschon meine Bemühung, einen Etalon des französischen
?oicl cie Ll-wc zu erhalten, durch zwanzig Jahre vergeblich
war. Die Theile des erwähnten neuen Gewichts-Etalons
wurden bey der genauesten in meiner Gegenwart im Ci-
mentirungs-Zimmer des Wiener-Stadt-Magistrats vorgenom¬
menen Abwägung in Granen des Wien. Aporhek. Gewichtes
(von 12 Unzen zu 8 Drachmen zu 60 Gran) folgender
Maßen schwer befunden:

ZOO 6rammes^68A7^ Z 222 Orammes — 2742^ ;
rooOr.^ lZ7iz ; Ao 6r. — 68AZ; 22 6r.-2744Z;

ro 6r. - I37i^; 5 6r. -68/^-; 2 6r. - 27- ^Z ;

r Oramme - i Z-^. ; 6r. - 6^ ; 6r - 2^ -

6r. - 6r. — LsZ Wien. Gran.

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