ERK'2019, Portorož, 148-151 148 Numerič ni izrač un razporeditve koncentriranih navitij v električ nih strojih Danilo Makuc Univerza v Ljubljani, Fakulteta za elektrotehniko, Tržaška cesta 25,1000 Ljubljana E-pošta: danilo.makuc@fe.uni-lj.si Numerical calculation of concentrated windings in electrical machines Abstract. Concentrated winding, also called fractional slot winding are very common in nowadays electrical machines, especially permanent magnet motors. Unfortunately, the design process of a winding scheme for such winding is not straightforward and intuitive. The paper presents a development of an algorithm for a numerical calculation and distribution of an arbitrary concentrated winding. The results can be directly used in scripts for modeling of electrical machines, which are often an option in different tools for finite elements analysis. 1 Uvod Izmenič ni električ ni motorji s trajnimi magneti so pogost element električ nih pogonov, saj z veliko speci- fič no moč jo (W/kg) uspešno opravljajo funkcije zahte- vnih servopogonov, pri mnogih električ nih vozilih pa tudi nalogo glavnega pogonskega motorja. Razmeroma majhne dimenzije teh strojev, ki so posledica velike gostote magnetne energije trajnih magnetov, in s tem manjšega prostora, potrebnega za vzbujanje, so posredno omejile tudi prostor namenjen aktivnemu navitju. Obič ajno je pri motorjih z zunanjim rotorjem navitje namešč eno v notranjosti motorja, tako da je prostorska stiska še več ja. Pri distribuiranih oz. porazdeljenih navitjih se želena prostorska porazdelitev magnetnega polja v stroju doseže z ustrezno porazdelitvijo magnetne napetosti (Amper-ovojev) v utore. Pri takih navitjih so torej tok, število ovojev in nenazadnje število utorov, tiste količ ine, ki neposredno vplivajo na obliko magnetnega polja. Pri pomanjkanju prostora se, tudi zaradi tehnoloških omejitev, hitro odloč imo za manjše število utorov, to pa že določ a največ je število magnetnih polov, ki ga z distribuiranim navitjem lahko izvedemo. Pri nač rtovanju navitij uporabljamo količ ino: "število utorov na pol in fazo", ki dejansko predstavlja to, kar ime pove, pomembna pa je zato, ker predstavlja osnovo za izdelavo vezalnega nač rta navitja. Izrač u- namo ga s pomoč jo števila vseh utorov (Z), števila parov magnetnih polov (p) in števila faz navitja (m): 2 = Z q p m . (1) Č e q ni celo število, govorimo o ulomkastih navitjih, ki so v določ eni meri izvedljiva, a ko je q manjši od 1, se navitje spremeni v drugač en tip navitja, ki ga imenu- jemo koncentrirano navitje. Posamezne tuljave, ki medsebojno povezane sestavljajo fazno navitje, lahko praktič no zasedajo poljubno površino utorov, ne morejo pa objeti manj kot enega zoba, saj je najkrajša tuljavica (zanka) lahko vstavljena le v dva sosednja utora. Pri dvoplastnih izvedbah navitij so tako tuljavice ovite okoli vsakega zoba, saj vsaka od njih zaseda polovico utora in si ga lahko delita, pri enoplastni izvedbi pa ena tuljavica zaseda celoten utor zato so tu tuljavice ovite le okoli vsakega drugega zoba (slika 1). Šele ustrezna medsebojna električ na povezava teh tuljavic ustvari navitje posamezne faze. 1 2 3 1 2 3 A A B B A A B B Slika 1. Tuljavice enoplastnega (zgoraj) in dvoplastnega (spodaj) koncentriranega navitja. Pri distribuiranih navitjih, ki imajo za q več kratnik 1/2 ali kar célo število, je razporeditev tuljavic v utore razmeroma enostavna in intuitivna, saj nač eloma izhaja iz simetrij faz in magnetnih polov. Največ krat lahko vezalni nač rt navitja izdelamo "peš" in grafič no, brez dodatnega rač unanja. Pri koncentriranih navitjih take simetrije obič ajno ni, zato pri nač rtovanju teh navitij brez rač unanja ne gre. Pri modeliranju in analizi električ nih strojev z metodo konč nih elementov (MKE) je v modelu potre- bno definirati tudi navitje, saj to, poleg trajnih magne- tov, predstavlja glavno magnetno vzbujanje. Pri velikem številu utorov, več faznih in več plastnih navitjih, je zato s tem veliko dela. Več ina programskih orodij za analize z MKE omogoč a uporabo skriptov (npr. LUA, Visual Basic) ali celo neposredno vodenje iz drugih programov (npr. Octave/Matlab, Mathematica, SciLab), kar velikokrat uporabimo za avtomatiziran izris in definicijo celotnega modela motorja. Zaželeno je torej poznati navijalni nač rt navitja in sicer v taki obliki, da ga lahko enostavno uporabimo v teh skriptih oz. programih. V nadaljevanju je predstavljen razvoj algoritma za numerič ni izrač un razporeditve koncentriranega navitja v utore električ nega stroja. 149 2 Nač rtovanje navitij Nač rtovanje navitja električ nega stroja več inoma temelji na inducirani napetosti v tem navitju, izjema so le vzbujalna navitja, kjer je osnova nač rtovanja magnetno polje, ki naj ga navitje ustvari. V našem primeru se bom omejil na več fazna navitja izmenič nih rotacijskih strojev, ki so sicer lahko tudi primarno namenjena ustvarjanju, obič ajno vrtilnega, magnetnega polja, a je inducirana napetost še vedno glavni dejavnik, ki določ a magnetne razmere v taki elektromagnetni strukturi. 2.1 Kazalci utorskih induciranih napetosti Na pojem utorskih induciranih napetosti naletimo pri spoznavanju nač rtovanja navitij dokaj zgodaj. Temelji na dejstvu, da dobimo, zaradi prostorske premaknitve utorov, tudi č asovno (fazno) premaknitev induciranih napetosti v ovojih posameznega utora. S poznavanjem vektorjev teh utorskih napetosti, je omogoč eno enostavno grafič no ali numerič no seštevanje teh kazalcev in s tem določ anje induciranih napetosti v navitjih, ki zasedajo ustrezne utore. Na sliki 2 je primer razporeditve navitja in kazalcev teh utorskih napetosti za primer stroja z štiripolnim (p = 2) in trifaznim navitjem (m = 3), ki je razporejeno v 12 utorov (Z = 12). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 +A +A -A -A +B +B -B -B +C +C -C -C N N S S 1 7 4 10 3 9 6 12 5 11 8 2 Slika 2. Shema motorja z vrisanimi faznimi navitji (A, B, C) in smermi toka ter zvezda kazalcev utorskih napetosti. To, da navitju v enem utoru priredimo kazalec inducirane napetost, izgleda na prvi pogled skregano z osnovnim indukcijskim zakonom, saj je tam govora o zanki. Dejstvo je namreč , da je inducirana napetost sorazmerna č asovnemu odvodu magnetnega pretoka skozi zaključ eno zanko, kar izrač unamo z enač bo: S d e B dS dt = − ⋅ ∫ , (2) kjer je B gostota magnetnega pretoka, S pa površina, ki jo določ a ta zanka. Enač ba (2) je splošna, zato velja tudi za tuljavo z N ovoji, a v teh primerih si težko predstavljamo površino, ki jo le-ti določ ajo. Zaradi tega več inoma obravnavamo tuljavo kot skupek zank, pri č emer vsak ovoj predstavlja eno zanko. A č e uporabimo Stokesov izrek, lahko v enač bi (2) ploskovni integral nadomestimo z linijskim ter tako inducirano napetost zapišemo z magnetnim vektorskim potencialom A: = − ⋅ ∫ L d e A dl dt , (3) kjer je L zaključ ena zanka, ki določ a površino S iz enač be (2), kar pa je dejansko zanka, ki jo opisujejo vsi ovoji tuljave. Zaradi nač ina gradnje in posledič no oblike magnetnega polja v rotacijskih strojih, magnetne razmere velikokrat obravnavamo dvodimenzionalno, saj vektor gostote magnetnega pretoka B nima aksialne komponente oz. komponente v smeri osi z. V takih primerih se izrač un z enač bo (3) poenostavi in moramo poznati le magnetni vektorski potencial v utorih, ki definirajo zanko navitja [1]. To dejstvo je osnova za uporabo kazalcev utorskih induciranih napetosti, ki pa jih bom pri koncentriranih navitjih uporabil le pri izrač unu faktorja navitja. 2.2 Osnova nač rtovanja koncentriranih navitij Pri koncentriranih navitjih tuljava objema en zob, zato lahko inducirano napetost izrač unamo neposredno z magnetnim pretokom v zobu in z enač bo (2). Namesto utorskih induciranih napetosti uporabimo vektorje magnetnih pretokov v posameznih statorskih zobeh, oz. posledič no induciranih napetosti v tuljavah na zobeh. Č e je navitje dvoplastno in so tuljavice navite okoli vsakega zoba, so fazni koti teh induciranih napetosti: ( 1) 360 α = − ⋅ ⋅ ° i p i Z , (4) pri č emer je i zaporedna številka statorskega zoba, p pa število parov magnetnih polov rotorskega magnetnega polja, več inoma ustvarjenega s trajnimi magneti, Kot primer vzemimo, da želimo narediti trifazno (m = 3) dvoplastno navitje na statorju z 12-imi utori oz. zobi (Z = 12) in rotorjem, ki ima 10 magnetnih polov (p = 5). Fazni kot med kazalci induciranih napetosti v tuljavicah sosednjih zob bo tako 150°. Shema takega motorja in kazalci teh napetosti so prikazani na sliki 3. Z zamenjavo priključ kov (ali smeri navijanja) tuljavice lahko zamenjamo polariteto inducirane napetosti (fazno premaknemo za 180°), zato ob kazalce s pozitivnimi številkami zob, narišemo še kazalce z zamenjano polari- teto in jih označ imo z negativnimi številkami (slika 4a). V faznem navitju želimo č im višjo inducirano napetost, zato zaporedno vežemo napetosti tistih tuljavic, katerih vektorska vsota bo dala največ jo dolžino kazalca napetosti. Največ jo vsoto bomo dobili, č e seštejemo kazalce, med katerimi je najmanjši fazni kot. Ker je število zob, ki jih v našem primeru objemajo tuljavice enega faznega navitja, znano (Z/m = 12/4 = 4), iz nabora kazalcev enostavno izberemo tiste štiri, ki so 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S N N N N N S S S S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Slika 3. Geometrija motorja s trajnimi magneti (Z = 12, p = 5, m = 3) in kazalci magnetnih pretokov v statorskih zobeh. 150 si po kotu najbližje (slika 4b). Pri trifaznem sistemu je fazni kot med napetostmi 120°, tako da tudi pri izboru zob (tuljavic) za ostali dve fazi izberemo ustrezno fazno premaknjene kazalce. 3 Algoritem za porazdelitev tuljav koncentriranega navitja Algoritem za izrač un koncentriranega navitja mora biti splošen, tako da bo dal ustrezno porazdelitev in vezavo tuljavic, ne glede na število zob, magnetnih polov in števila tuljavic v enem utoru. Postopek je naslednji: 1. Zobe najprej indeksiramo z zaporedno številko, vsakemu pa priredimo vrednost izrač unanega faznega kota kazalca inducirane napetosti, zapisane- ga z vrednostjo manjšo od 360°. Tako bi za opisani primer dobili kazalce, ki so prikazani v tabeli 1a. 2. Vsakemu izrač unanemu kazalcu napetosti generi- ramo še en možen kazalec, in sicer za tuljavico na istem zobu, a z nasprotno polariteto (tabela 1b). 3. Vrstni red vseh možnih kazalcev napetosti uredimo po velikosti faznega kota (tabela 1c). 4. Število zob (utorov) in faz določ a tudi število tuljavic, ki sestavljajo fazno navitje. Iz nabora urejenih kazalcev izberemo toliko zač etnih kazalcev, kolikor je teh tuljavic (tabela 1c). 5. Navitja naslednjih faz dobimo tako, da enako število tuljavic izberemo na zobeh, ki imajo kazalce induciranih napetosti fazno premaknjene za osnovni fazni kot več faznega navitja; pri 3-faznem sistemu je ta kót 120° oz. 240° (tabela 1c). Sedaj, ko vemo katere zobe in s kakšno polariteto zasedajo tuljavice faznih navitij, lahko izdelamo navi- jalni nač rt. Pri izdelavi modelov električ nih strojev z MKE, je predvsem pomembna informacija o tokovnem vzbujanju v posameznem utoru, zato raje izdelamo shemo, ki neposredno kaže katero fazno navitje in s kakšno smerjo toka (navijanja) je v posameznem statorskem utoru (slika 5). Razviti algoritem za izrač un koncentriranih navitij je izdelan v okolju Octave oz. Matlab in vrne rezultat v obliki matrike, kjer vrstica predstavlja plast navitja, stolpec pa utor. Utorska porazdelitev in smeri toka tuljav za naš primer so prikazane v tabeli 2. Zaradi številč nega indeksiranja faz pri generiranju modelov z MKE so le-te namesto s č rkami označ ene s številkami. Tuljavica, ki pri dvoplastni izvedbi zaseda polovico utora na obeh straneh zoba, je označ ena v enem utoru zgoraj, v drugem pa spodaj, č eprav so dejansko sosednje tuljavice koncentriranih navitij obič ajno ena zraven druge (slika 5) in ne ena nad drugo. Tabela 2. Oblika zapisa rezultata utorske porazdelitve in smeri tokov tuljav vseh faznih navitij. Utor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Plast 1 1 2 -2 -3 3 1 -1 -2 2 3 -3 -1 Plast 2 1 -1 -2 2 3 -3 -1 1 2 -2 -3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S N N N N N S S S S +A -A +A -A +A -A +B -B +B -B +B -B +B -B +C -C +C -C +A -A -C +C -C +C Slika 5. Geometrija motorja s trajnimi magneti (Z = 12, p = 5, m = 3), ki ima v statorskih utorih tuljave označ ene s fazo, ki ji pripadajo (A,B,C) in smerjo toka v tuljavi. 3.1 Enoplastna koncentrirana navitja V primeru, ko želimo izrač unati enoplastno koncen- trirano navitje, se prav tako izrač unajo vektorji indu- ciranih napetosti tuljavic na posameznih zobih, a ker v tem primeru tuljavica zaseda celotna utora ob zobu, lahko postavimo tuljavice le na vsak drugi zob, zato tudi uporabimo kazalece vsakega drugega zoba. Za isti pri- mer motorja je torej možnih 12 kazalcev (slika 6a), vseh tuljavic pa je 6 (le na lihih zobeh), tako da je posamezno fazno navitje sestavljeno le iz dveh (slika 6b). Tabela 1. (a) Osnovni nabor kazalcev induciranih napetosti, (b) vse možne napetosti tuljavic, (c) kazalci, urejeni po kotih z označ enimi izbranimi tuljavicami za posamezna fazna navitja. (a) (b) (c) ZOB KOT ZOB KOT ZOB KOT 1 0° 1 0° 1 0° 2 150° 2 150° -7 0° 3 300° 3 300° 6 30° 4 90° 4 90° -12 30° 5 240° 5 240° 11 60° 6 30° 6 30° -5 60° 7 180° 7 180° 4 90° 8 330° 8 330° -10 90° 9 120° 9 120° 9 120° 10 270° 10 270° -3 120° 11 60° 11 60° 2 150° 12 210° 12 210° -8 150° -1 180° 7 180° -2 330° -1 180° -3 120° 12 210° -4 270° -6 210° -5 60° 5 240° -6 210° -11 240° -7 0° 10 270° -8 150° -4 270° -9 300° 3 300° -10 90° -9 300° -11 240° 8 330° -12 30° -2 330° 1 2 3 4 5 -7 -1 6 -2 7 8 9 10 11 12 -12 -5 -10 -3 -8 -8 -6 -11 -4 -9 1 2 3 4 5 -7 -1 6 -2 7 8 9 10 11 12 -12 -5 -10 -3 -8 -6 -11 -4 -9 (a) (b) A B C Slika 4. (a) Kazalci vseh možnih induciranih napetosti tuljavic in (b) izbrane tuljavice za posamezna fazna navitja. 151 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 S N N N N N S S S S -A +A -A +A -B +B -B +B +C -C +C -C 1 3 5 -7 -1 7 9 11 -5 -3 -11 -9 A B C (a) (b) Slika 6. (a) Kazalci vseh možnih napetosti posameznih tuljavic enoplastnega navitja motorja s trajnimi magneti (Z = 12, p = 5, m = 3) in (b) geometrija motorja z označ enimi tuljavami. 4 Numerič ni izrač un faktorja navitja Zaradi geometrije in nelinearnih lastnosti magnetne strukture, prostorska porazdelitev magnetnega polja v zrač ni reži rotacijskih strojev ni sinusna (harmonič na), tako da pri vrtenju rotorja inducirana napetost vsebuje, poleg osnovne, tudi višje harmonske komponente, kar je več inoma nezaželeno. Pomemben podatek vsakega navitja je zato tudi faktor navitja, ki podaja razmerje med aritmetič no in vektorsko vsoto kazalcev inducirane napetosti navitja. Obič ajno želimo, da bi bil le-ta za osnovno harmonsko komponento č im več ji (največ 1), za višje harmonske komponente pa č im manjši. Numerič ni izrač un faktorja navitja za poljubno število harmonskih komponent je del algoritma za izrač un koncentriranega navitja. Princip je tak, da izrač unamo kazalce utorskih induciranih napetosti za tako število magnetnih polov rotorja, kot jih ima ustrezna harmonska komponenta magnetnega polja. Osnovna harmonska komponenta, ki jo edino upošte- vamo že pri osnovnem izrač unu navitja, ima število magnetnih polov dejanskega rotorja, vse višje pa več kratnik le-tega. V našem primeru, kjer je rotor 10-polni (p = 5), bi npr. 2., 3., 4. in 5. harmonska komponenta tako imele 20, 30, 40 in 50 magnetnih polov. Tudi za izrač un faznih kotov kazalcev utorskih napetosti lahko uporabimo enač bo (4). Pri izrač unu faktorja navitja za peto harmonsko komponento (p' = 5·p = 25), bi v našem primeru dobili kazalce s koti: 5, ' ( 1) 360 ( 1) 30 α = − ⋅ °= − ⋅ ° h i p i i Z pri č emer je i zaporedna številka utora. Te kote upora- bimo za zapis kazalcev z enotskimi vektorji v komple- ksnem prostoru (tabela 3). Ker vemo, kako so tuljavice vezane v fazno navitje (tabela 2), vektorsko seštejemo kazalce tistih utorskih napetosti (u h5 , i ), ki jih določ ajo te tuljave, pri č emer tistim v utorih z negativno smerjo toka, spremenimo predznak. Tako je v našem primeru aritmetič na vsota enotskih kazalcev 8, dolžina vektorske vsote pa 0,5359, kar pomeni, da znaša faktor navitja za 5. harmonsko komponento 0,067. Na enak nač in lahko izrač unamo faktorje navitja za poljubno število harmonskih komponent. 5 Neuravnoteženost magnetnega polja Pri koncentriranih navitjih obstaja možnost, da kljub simetrič ni porazdelitvi faznih navitij, pri določ enih kombinacijah števila utorov (Z) in parov magnetnih polov (p), pride do neuravnoteženosti magnetnega polja, ki ga ustvari več fazno navitje, ko je ustrezno vzbujano (slika 7). Taka neuravnoteženost ponavadi pripelje do velikih radialnih sil in s tem ležajnih obremenitev, zato se po zaključ enem izrač unu porazdelitve koncentrira- nega navitja izvede še kontrola uravnoteženosti magnet- nega polja. Z upoštevanjem ustreznega tokovnega vzbujanja faznih navitij se za vsak zob izrač una prostorski vektor magnetne napetosti. Da je magnetno polje uravnoteženo, mora biti vektorska vsota vseh teh vektorjev enaka nič , v kolikor ni, algoritem posreduje obvestilo o neuravnoteženosti. Slika 7. Primer uravnoteženega magnetnega polja (levo) pri statorju: Z = 15, p = 5 in neuravnoteženega (desno), pri istem številu utorov, a drugač nem številu magnetnih polov: p = 7. 6 Zaključ ek Nač rtovanje koncentriranega navitja kar klič e po nume- rič nem reševanju. Predstavljeni algoritem tako določ i utorsko porazdelitev in vezavo tuljav, poleg tega pa še izrač una faktorje navitja in preveri uravnoteženost magnetnega polja. Hiter izrač un in ustrezna oblika rezultatov z opozorili in sporoč ili, omogoč a enostavno integracijo algoritma v druge programe za generiranje in simulacijo modelov električ nih motorjev. Literatura [1] S. Shepard: Finite Element Analysis of Electrical Machines, Kluwer Academic Publishers, 1995. [2] N. Bianchi, M. Dai Pré, L. Alberti, E. Fornasiero: Theory and Design of Fractional-Slot PM Machines, Coop. Libraria Editrice Universita di Padova, 2007. [3] M. Caruso, A. O. Di Tommaso, F. Marignetti, R. Miceli, G. R. Galluzzo: A General Mathematical Formulation for Winding Layout Arrangement of Electrical Machines, Energies 2018, Volume 11, 446. Tabela 3. Fazni koti in kompleksni kazalci induciranih napetosti v utorih, ki jih zaseda dvoplastno navitje prve faze. i α h5,i u h5,i 1 0° +1,000 + j0,000 2 30° +0,866 + j0,500 6 150° -0,866 + j0,500 7 180° -1,000 - j0,000 8 210° -0,866 - j0,500 12 330° +0,866 - j0,500