P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 5 Strani 258-262
Janez Rakovec:
KAKO DOBIMO VSE TOCKE NA ENOTSKI KRO-ŽNICI
Ključne besede: matematika, teorija števil.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1054-Rakovec.pdf
© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
KAKO DOBIMO VSE TOČKE NA ENOTSKI KROŽNICI
V Presekovi knjiSnici je ravnokar v slovenskem prevodu izšla težko pričakovana knjiga Matka! znamenitega matematika Sergea Langa. Eno njenih poglavij govori o pitagorejskih trojicah, to je o trojicah celih it evil (a, b, c), ki zadoščajo enačbi a2 + b2 — c2. Avtor pokajfe, kako dobimo prav vse pitagorejske trojice s tem, da poiščemo vse urejene pare racionalnih števil (x,y). ki zadoščajo enačbi x2 + y2 = 1. To so, gledano geometrijsko, vse racionalne točke (ki imajo obe koordinati racionalni) na enotski krožmci.
V	ravnini naj bo izbran pravokotni koordinatni sistem. Naj bo k enotska krofnica v tej koordinatni ravnini, toje krofnica s polmerom 1 in s središčem V izhodišču O koordinatnega sistema (slika l). Torejje k mnofica vseh tistih točk 7~(x,y) v ravnini, katerih koordinati zadoščata enačbi x2 + y2 — 1. (U poštevati je treba, da je razdalja poljubne to£-ke T"(x,y) od izhodiSča O enaka
v^ + r3')
V	knjigi Matka! izvemo, kako lahko dobimo točke na krožnici k na naslednji način. Naj bo t poljubno realno število in naj bosta koordinati x in y točke T(x, y) tile funkciji t~ja:

Slika 1.
1- r
X —
y -
21
1 + t2 J 1 + t2 Tedaj točka T(x, y) leži na enotski krožnici k. Iz (*) namreč izhaja:

x2 + y2 =
l-2f2 + t4
■ +
4 f
l + 2f2 + t"
1 + 2t2 + f4 1 + 2t7 + tA 1 + 2 i2 + t4 Velja pa tudi tale, obratna trditev, ki jo zapišimo kot izrek:
= 1
IZREK. Za poljubno točko 7"(x,y) na enotski krožnici k, različno od točke P[~ 1, 0), obstaja takšno realno število i, da velja:
_ 1 - t2 2t * ~ iTT2 ' T+72
Preden bomo to dokazali, ne bo odveč nekaj pojasnil. Izrek pove, da se koordinati vsake točke na kroinici k, razen P(—1,0), izraiata s formulama (*). če upoštevamo Se prejSnjo ugotovitev, to pomeni: Ko t preteče vsa realna števila, tedaj točka T(x, y), kjer je x = j ~ , y = , preteče vso enotsko kro/nico k, z izjemo točke P(-1,0), Lahko tudi rečemo: Z (*) je dana preslikava (predpis), ki vsakemu realnemu številu t G 51 priredi ustrezno točko 7~(x,y) G k in ki množico realnih števil IR preslika na enotsko kroinico k brez točke P{—1, 0). Neodvisno spremenljivko t navadno imenujemo parameter, pravimo, da je krofnica k z zvezama (*) podana parametrično.
Z (*) smo torej dobili vse točke na enotski krofnici, razen točke P(—1, 0). Če pa za t vstavimo poljubno racionalno Število, sta očitno tudi x =	in
y = j-^j- racionalni Števili. Izkaie se: Ko t preteče vsa racionalna Števila, tedaj ustrezna točka 7"(x, y) preteče vse racionalne točke na enotski krofnict, razen točke P(—1, 0). (Glej konec dokaza naSega izreka.) Tako torej dobimo vse urejene pare racionalnih Števil (x,y), ki zadoščajo en ačbi x2 + y2 = 1. Iz teh pa dobimo, kot ie rečeno, vse pitagorejske trojice.
2e večkrat omenjena izjemna točka P(~ 1, 0) ima koordinati x = —1, y = 0, ki se ne izraiata s formulama (*), če naj bo namreč y j^j* — 0,
mora biti t = 0 in potem je x = ^ = 1, torej x ni enak —1.
DokaŽimo naS izrek najprej po algebraični poti, kakor je to narejeno v knjigi Matka! (ie da se tam avtor povsod omeji na racionalna Števila). Naj bo 7~(x,y) poljubna točka na enotski krožnici k, različna od P(—1,0). Želimo najti tako realno Število t, da bosta izpolnjeni enačbi (*), Uganemo; Treba je vzeti t = - Tedaj je (x + l)f = y in potem (xil)2i2 = y2. Ker je 7~(x, y) € k, je x2 + y2 ^ 1 in tako je y := 1 — x2. Torej je
(x + 1 )7t2 - 1 - x2 - (1 + x)(l - x)
Ker je x / — 1 in tako x + 1 ^ 0, lahko to enačbo delimo z x + 1 in dobimo:
(x + l)t2 = l-x
Preuredimo:	x(l + t7) - 1 - t2
i » ■ 1-t3 In ze imamo:	x = ^+(7
, .2
Potem je:	x + 1 = ^¡^ = ^
in končno:	y = (x + l)f =
Torej za poljubno točko T(x. y) £ k, različno od	P( —1. 0), res obstaja
tak f e IR- (naSli smo ga: t = da velja: x =	y = j^j-. (Či
ima točka T(x, y) racionalni koordinati, je seveda tudi t racionalno število.)
Ta algebraični dokaz našega izreka je kar enostaven in kratek, seveda potem, ko enkrat uganemo, da moramo vzeti t =:	Pravzaprav pa lahko
do tega pridemo brez ugibanja - le domisliti se moramo: če naj veljata enačbi (*). ^daj mora biti x + l =	= ^ in potem ^ =	=
= t. (Vendartudi to ni kar na dlani - marsikdo se sploh ne bi domislil, da se splača pogledati, upoštevaje {*), koliko je tedaj x + 1.)
Razmišlja nje ob algebralčnem dokazu iz knjige Matka! meje spodbudilo, da sem si zamislil naslednji, geometrijski dokaz našega izreka. Ta bo sicer daljši od aigebraičnega dokaza, zato pa bodo imeli vsi posamezni koraki nazoren, geometrijski pomen in jih bomo lahko spremljali na sliki. Parameter t bomo vpeljali tako, da mu bomo dali natanko določen geometrijski pomen; izkazalo pa se bo, da je ta t isti kot zgoraj, torej t = xjf ^.
V koordinatni ravnini imamo enotsko krofnico k, na njej pa "izjemno" točko P( —1.0) (slika 2), Naj bo T(x,y) poljubna točka na krofrtici k, različna od P(—1,0). Skozi točko T polofimo pravokotnico na abscisno os; ta seka abscisno os v točki T1, ki ima isto absciso kot T, ordinato pa 0: T' =
= 7"'(x, 0). Potegnimo ie premico skozi točki P in T\ natanko je določena, saj je P f T. Ta premica seka ordlnatno os v neki točki U; njena abscisa je 0, njeno ordinato pa imenujmo t, torej U = U(0. t). S točko T je točka U in njena ordinata t natanko določena; izkazalo se bo, da je i = -^rr. Obratno
x -r 1
pa je z U oziroma t tudi točka T natanko določena, saj je T presečišče krofnice k s premico skozi P in U. Torej sta koordinati x in y točke T nata nko določeni s i, se pravi, x in y sta funkciji f-ja; izkazalo se bo, dajex=i^i ny=^.
Skozi izhodišče O položimo pravokotnico na daljico PT; ta seka PT v neki točki S. Ker je trikotnik PTO enakokrak: | PO | — | TO | = 1 In je daijica SO njegova višina, je točka S središče osnovoice PT. Torej je \PT\=2\PS\.
Trikotniki POS, PUO in PTT' so očitno pravokotni in imajo še skupen
Slika 2.
ostri kot Tp pri ogliSČu P, zato so si podobni. Dolžine nekaterih njihovih stranic lahko Že takoj ugotovimo: | PO \ = 1, | UO | = t, \ PT' ( = | PO \ + + |Or'| = l + x, | TT' | = y.
Parameter i bomo izrazili s koordinatama x,y točke T.
Trikotnika PUO in PTT' sta podobna, zato je j^gj =
Seveda je = £ = t inlj^j = Torej je i =
Koordinati x.y točke T pa bomo izrazili s parametrom i. Za trikotnik PUO pove Pitagorov izrek: j PU \7 = \ PO \2 + ] UO |2 = = 1 + t2. Torej je [ PU \ = Vi + t7.
Trikotnika POS in PUO sta podobna, zato je = = -^-L^. Torej jejPSI^IPOl-^^^. Potemje!PT| = 2|P5l+=-7TL_. Trikotnika PTT' in PUO sta podobna, zato je l^J = jjgj = ^77777-Torej J, | PT' J = | PT J	=	- ^ = ^ ¿eVje
PT' \ = 1 + *, je x « | PT' | -X = ^ - 1 a	Nadalje je
=	Torejjey = | IT'| = | PT' i ^
Tako smo dokazali naš izrek: Za poljubno točko T(x,y) g k, različno od P(-1,0), smo našli tak f € IR, da je x =	= T^Z- Pri iem
je t ordinata presečišča premice skozi P in T z orainatno osjo, hkrati pa je t =	(V primeru, ko je T = P, seveda takega t-ja ne moremo dobiti,
saj gre skozi eno in isto točko T — P nešteto premic.) Obratno pa je točka T(x,y) presečišče krožnice k s premico skozi P(—1, 0) in (7(0. t).
Slika 2 je narejena za primer, ko je x > 0 in y > 0. Bralec lahko sam nariie slike za druge možnosti lege točke T(x. y), ki so seveda nekoliko drugačne; ogleda naj si sliko 3. NaS dokaz pa v bistvu velja za vse primere, le da bi ga bi!o treba tu in tam Se izostriti. {Tako namesto: | UO \ = t, | TT' | = y upoštevamo: j UO \ = \ t |, j TT' | = | y j, kar velja vedno, tudi kadar je y < 0 in s tem t < 0.)
Geometrijski pomen parametra t nam pomaga nazorno videti, kako ustrezna točka T(x, y) (v smislu formul (*)) potuje po krožnici k, ko i teče po realnih ftevillh. Dogovorimo se, da poljuben t kar enačimo s točko U(0. t) na ordinatni osi; s tem pa množico realnih števil ]R enačimo z ordinatno osjo. Zdaj lahko rečemo za poljuben t £ 1R: ustrezna točka T (v smislu formul (+)) Je presečišče premice skozi P in t s krofnico k (slika 3).
Ob sliki ni težko ugotoviti, da velja naslednje. Ko je f = 0, je ustrezna točka T enaka T(1.0). Ko je t = 1, je T = T(0, 1); ko pa je t = -1, je T = ^(0. (V teh dveh primerih T sovpada s i.) Ko t narašča od 0 do
/
1, tedaj ustrezna točka 7 potuje po prvem kvadrantu krofnice k od 7(1,0) do 7(0, 1), (Prvi kvadrant krožnice k je pač njen presek s prvim kvadrantom koordinatne ravnine.) Ko t naraiča od 1 čez vsako mejo, tedaj 7 potuje po drugem kvadrantu krožriice k od
7~(M) proti	Ko pa
pada od 0 do —1, tedaj 7 potuje po četrtem kvadrantu kroŽnice k od 7(1,0) do 7(0, -1), Ko t pada od —1 pod vsako mejo, tedaj 7 potuje po tretjem kvadrantu krožnice k od 7(0, —l) proti P(— 1, 0). (Seveda bi do teh spoznanj lahko prav tako prišli na podlagi formul (*).)
Iz vsega tega lahko povzamemo: Ko t preteče v pozitivnem smislu vso množico realnih števil IR, oziroma ordinatno os, tedaj ustrezna točka 7 preteče vso enotsko krožnico k, z izjemo točke P( —1,0), v pozitivnem smislu (ki je nasproten smislu urnega kazalca). Pri tem gre 7 skozi vsako posamezno točko na k samo enkrat, saj je tudi t s točko 7 natanko določen in zato dobimo vsako posamezno točko na k samo pri enem f-ju. Torej lahko rečemo:
Slika 3.
Preslikava, ki vsakemu t £ 1 priredi ustrezno točko 7 £ k (v smislu formul (*)), preslika množico realnih števil IR bijektivno (povratno enolično) na enotsko krožnico k brez točke P{ —1,0).
O tej preslikavi smo spregovorili Že takoj za našim izrekom. Zdaj pa smo Se dodali ugotovitev o njeni bijektivnosti.
Za bralce, ki dobro poznajo kotne funkcije, ne bo pretežka naslednja NALOGA
Na sliki 2 sta označena kota <7P7' = tp in <707' = ip. Kakšna je zveza med njima? Parameter t (ordinato točke U) in koordinati X,y točke T izrazi s kotnimi funkcijami kota ip. Odtod izpelji formuli: x — j^jj-,
Janez Rakovec
KAKO DOBIMO VSE TOČKE NA ENOTSKI KROŽNICI
- Rešitev s str. 262
Kot tp je obodni, kot tp pa središčni kot nad istim lokom na krožniei k. {Glej sliko 2 na str. 260.) Zato je tp — 2tp.
Očitno je tan ip — se pravi i = tan tp. Dalje je x = cos (p, y = sin ip. Potem je
x = cos 2ip ~ cos2 tp — mn7 tp = cos2tp (l -	= cos2 ip(l-Un7 tp)
\ cos^ ip J
v — sin 2tp ~ 2sin tpcostp — 2 5'n ^ cos2 ip — 2 tan tp cos2 tp
cos tp
Ker je 1 + tan2 tp = ^^ Je cos—J^. Upoštevajmo še, da je tan ip = t, pa dobimo:
? ,v	1	1 " f2
x = (1 — tan tp) * --— -7?
V	YJ 1 + tan 2tP l+t2
1 2t
y 2 tan tp ■ --= --
7	1 + tan 2tp l+t2
Janez Rakovec