Geometrie in Verbindung mit dem Zeichnen für Liirger schulen. Von vr. Fran; Ritter von Mornik. Mit 188 in den Tert gcdrncktcn Holzschnitten. Uierto iinnrrändertr Anflagr. Das Recht der Übersetzung behält sich der Verfasser vor. Preis 7V kr. --- .. " Prag: F. Tempsky. > !!!!.;. Leipzig: G. Freytag. >12686 Druck vcui Heiur. Merc« in Prag. Vorurort zur ersten Auslage. Das von mir verfasste, bereits in IS. Auflage erschienene Lehrbuch „Anfangs- gründe der Geometrie für Unterrealschulen" ist bisher auch an den Bürgerschulen verwendet worden. Dabei mussten jedoch, da die Lehrpläne der beiden Gattungen von Schulen bezüglich der Anordnung des geometrischen Lehrstoffes wesentlich von einander abweichen, mehrere Partien aus ihrer Verbindung gerissen und an andere Stellen versetzt werden. Der Absicht, diesenr Übelstande zu begegnen, - verdankt das vorliegende Buch, das durch entsprechende Umarbeitung des obigen speciell für die Zwecke der Bürgerschulen eingerichtet wurde, seine Entstehung. In der ersten Classe der Bürgerschule sollen den Schülern die ebenen Gebilde mit 'ihren charakteristischen Merkmalen vorgeführt werden; dazu dienen die ersten fünf Abschnitte des ersten Theiles dieses Buches, der die Planimetrie behandelt. Der sechste, siebente und achte Abschnitt, welche sich auf die Ähnlichkeit, auf die Berechnung des Umfanges und des Flächeninhaltes der ebenen Figuren beziehen, sowie der Anhang über kleine praktische Vermessungen und über das Situations¬ zeichnen bilden den Lehrstoff für die zweite, die im zweiten Theile enthaltenen Lehren der Stereometrie den Lehrstoff für die dritte Classe. Was die Darstellungsweise betrifft, suchte ich zwischen jenen Lehrbüchern, welche den Unterrichtsstoff mit ermüdender Breitspurigkeit vollständig ausgearbeitet enthalten, und zwischen solchen, welche ein bloßes Gerippe von Erklärungen, Lehr¬ sätzen und Constructionsaufgaben bringen, die Mitte zu halten. Ich hoffe, dass das Buch in dieser Form sich am geeignetsten erweisen werde, die häusliche Wieder¬ holung des in der Schule Gelernten zu unterstützen und dadurch das sichere und möglichst gleichmäßige Fortschreiten aller Schüler zu fördern. Zu den einzelnen Lehrsätzen sind, wie der Lehrplan fordert, überall nur leichtfassliche Beweife gegeben worden, die theils auf ganz einfachen Schlüssen, theils auch unmittelbar auf den Beziehungen beruhen, welche sich aus der Entstehung der betreffenden Raumgebilde ergeben. An die Sätze über die Größenbestimmung der Flächen und Körper schließen sich zahlreiche Übungsaufgaben an, denen das metrische Maß zugrunde liegt. Graz, im März 1874. Der Verfasser. Vorwort zur zweiten Auflage. Nie gegenwärtige Auflage weiset in Vergleichung mit der früheren mehr¬ seitige Verbesserungen bezüglich des Textes und dessen Anordnung nach. Die zum Verständnisse des Zeichnens einfacher Objecte des Bau- und Maschinenfaches erforder¬ lichen, früher am Schluffe des Buches enthaltenen Grundlehren über die geometrische Darstellung der Raumgebilde auf einer Ebene sind, damit ihr inniger Zusammen« Hang mit den Sätzen der Stereometrie klarer hervortrete, hier bei der Behandlung der räumlichen Gebilde selbst an den geeigneten Stellen eingefügt worden. Einige Lehrstoffe, die der bestehende Lehrplan für Bürgerschulen nicht ausdrücklich vor¬ schreibt, als die Aufnahme von Grundstücken mit dem Messtische und das Nivellieren, wurden in der vorliegenden Auflage gänzlich weggelassen; auch habe ich in dem Abschnitte über die Lage der Geraden gegen eine Ebene und der Ebenen gegen einander bedeutende Kürzungen vorgenommen. Graz, im April 1877. Aer Verfasser. J n h a l 1. Seite Einleitung.1 Erster Tsteil. Die Marnmetrie. I. Punkte, gerade Linien und Winkel . ..4 II. Geradlinige Figuren . 24 III. Congrnenz der geradlinigen Figuren.32 IV. Der Kreis.55 V. Die Ellipse, Hyperbel und Parabel.65 VI. Ähnlichkeit der ebenen Figuren.73 VII. Umfang der ebenen Figuren.88 VIII. Flächeninhalt der ebenen Figuren.92 Anhang. 1. Ausnahme kleiner Flächen auf dem Felde.117 2. Grundsätze des Situationszeichneus .119 Zweiter Tsteil. Die Stereometrie. I. Gerade Linien und Ebenen im Raume.125 II. Körper. 138 III. Oberfläche der Körper.. - H9 IV. Cubikiuhalt der Körper .155 Zu Moruik's Gramrtrie für Ä ü rgerfchuleu. 4. A u flage. Zrrichti g un g. Da nach bereits beendigtem Drucke dieses Lehrbuches mit Erlasse des Herrn Ministers für Cultus und Unterricht vom 26. März 1883 Z. 5485 die Einführung gleicher, von den bisher gebrauchten theilweise abweichender Abkürzungszeichen für die metrischen Maß- und Gewichtsgrößen in den Schulen angeordnet wurde, so wird ersucht, in dem vorliegenden Buche in dieser Beziehung zu setzen. Einleitung. Körper, Flächen, Linien und Punkte. Z. 1. Jedes Ding, das einen Raum einnimmt, heißt ein Körper. Jeden Körper kann man sich aus Theilen bestehend denken; er ist also eine Größe, und zwar, weil er sich im Raume ausdehnt, eine Raumgröße. Der Raum, den ein Körper einnimmt, ist nach allen Seiten hin begrenzt. Man sagt darum: Ein Körper ist ein nach allen Seiten begrenzter Raum. Ein Körper, wie er in der Wirklichkeit verkommt, besitzt außer der Eigen¬ schaft, einen Raum einzunehmen, noch verschiedene andere Merkmale, als: Stoss, Farbe, Härte, Gewicht, u. dgl. Ein solcher Körper heißt ein physischer Körper. Denkt man sich von einem physischen Körper alle anderen Eigenschaften hinweg und betrachtet art ihm nur den Raum, den er einnimmt, so hat man die Vor¬ stellung eines mathematischen Körpers. Das einzige Merkmal, das einem mathematischen Körper zukommen muss, ist also das Ausgedehntsein im Raume. Jeder Körper dehnt sich nach dreiHauptrichtungen aus, in die Länge, Breite und Höhe, auch Tiefe oder Dicke. Z. 2- Die Grenzen der Körper heißen Flächen. Eine Fläche ist eine Raumgröße, welche nur zwei Ausdehnungen hat, Länge und Breite. Die Fläche ist kein Theil eines Körpers, sie ist nur dessen Grenze. Wenn man noch so viele Flächen auf einander legt, so kann kein Körper entstehen, man erhält immer wieder eine Fläche. Z. Z. Die Grenzen der Flächen heißen Linien. Eine Linie ist eine Raumgröße, welche nur eine Ausdehnung hat, die Länge. Die Linie ist weder ein Theil der Fläche, noch ein Theil des Körpers; sie ist bloß die Grenze einer Fläche. Wenn man noch so viele Linien an einander legt, so erhält man doch keine Fläche und keinen Körper, sondern immer nur wieder eine Linie. Z. 4. Die Grenzen der Linien heißen Punkte. Der Punkt ist weder lang, noch breit, noch dick, er hat keine Ausdehnung und ist daher keine Größe. Ein Punkt ist kein Theil einer Linie, er ist nur die Grenze derselben. Wenn man noch so viele Punkte in einander legt, so erhält man doch keine Linie, sondern stets nur einen Punkt. Močnik, Geometrie für Bürgerschulen. 4. Aufl. 1 2 Entstehung und Elntheitnng der Linien. Flächen und Körper. tz. 5. Wenn sich ein Punkt im Raume fortbewegt, so entsteht eine Linie. Die Linien theilt man in gerade und krumme ein. Bewegt sich ein Punkt ununterbrochen in derselben Richtung fort, so heißt die dadurch entstehende Linie eine gerade Linie oder eine Ge¬ rade. Wenn aber der Punkt bei der Bewegung seine Richtung fortwährend ändert, so heißt die dadurch beschriebene Linie eine krumme Linie. Ein Stein, den man frei fallen lässt, fällt in einer geraden Linie zur Erdei ein Stein, welcher seitwärts geworfen wird, beschreibt eine krumme Linie. Eine Linie, welche aus lauter geraden Linien zusammengesetzt, aber selbst nicht gerade ist, heißt eine gebrochene Linie. Z. 6. Wenn sich eine Linie im Raume in einer anderen Richtung als in der ihrer Verlängerung fortbewegt, so entsteht eine Fläche. Zur Lersinnlichung dieser Bewegung kann man sich eines Stäbchens oder eines Drahtes bedienen. Die Flächen theilt man in ebene und krumme ein. Eine Fläche, auf welcher nach jeder beliebigen Richtung eine gerade Linie gezogen werden kann, heißt eine ebene Fläche oder eine Ebene. Eine Fläche, auf welcher sich entweder nur nach einer oder nack- gar keiner Richtung gerade Linien ziehen lassen, heißt eine krumme Fläch e. §. 7. Wenn sich eine Fläche in einer anderen Richtung als in der ihrer Erweiterung fortbewegt, so entsteht ein Körper. Zur Versinnlichung dieser Bewegung kann man sich eines Papierblattes bedienen. Die Körper theilt man in eckige und runde ein. Ein Körper, welcher von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt ein eckiger oder ebenflächiger Körper. Ein Körper, welcher nicht von lauter Ebenen, sondern entweder bloß von krummen oder theils von ebenen, theils von krummen Flächen begrenzt wird, heißt ein runder oder krummflächiger Körper. Betrachte die Modelle der geometrischen Grundkörper und gib bei jedem derselben an, wie diele Punkte, wie viele und was für Linien, wie viele und was für Flächen daran Vorkommen, ob daher der Körper ein eckiger oder ein runder ist. Figuren oder Gebilde. Z. 8. Allseitig begrenzte Raumgrößen heißen Figuren oder Gebilde. Man unterscheidet ebene und räumliche Gebilde. 3 Jene liegen in einer und derselben Ebene, diese liegen nicht in einer und derselben Ebene. Die ebenen Gebilde sind nach der Beschaffenheit ihrer Grenzen entweder geradlinig, oder krummlinig oder ge- mischtlinig. Die räumlichen Gebilde sind nach der Beschaffenheit ihrer Grenzen entweder ebenflächig oder krummflächig oder g e m ischtflächig. Größe und Gestalt -er Namngröstcn. Z. 9- Bei jeder Raumgröße nimmt man insbesondere auf zwei Sachen Rücksicht, auf dieGröße und auf die F o r m oder G e stalt. Zwei Raumgrößen können verschiedene Gestalt, aber gleiche Größe haben. So kann eine krumme Linie dieselbe Länge haben, wie eine Gerade; eine rund begrenzte Wiese kann eben so viel Flächenraum einschließen, als eine viereckige; hier ist also die Gestalt verschieden, die Große gleich. Raumgrößcn, welche dieselbe Größe haben, heißen gleich. Das Zeichen der Gleichheit ist —. Umgekehrt können zwei Raumgrößen dieselbe Gestalt haben, während sie sich in der Größe unterscheiden, z. B. zwei Kreise, oder zwei Würfel, welche verschiedene Größen haben. Raumgrößen, welche dieselbe Gestalt haben, heißen ähnlich. Das Zeichen der Ähnlichkeit ist cx?. Raumgrößen, welche dieselbe Größe und dieselbe Ge¬ stalt haben, heißen eongruent. Zwischen zwei congrucnte Größen wird, da sie gleich und ähnlich sind, das Zeichen gesetzt. Zwei congruente Raumgrößen unterscheiden sich nur durch den Ort, in dem sie sich befinden; sie müssen daher, wenn die eine durch Ver¬ schieben oder durch Drehung an die Stelle der andern gelegt wird, sich vollständig decken. Geometrie und ihre EmtsteUung. Z. 10. Die Lehre von den Raumgrößen wird Geometrie genannt. Sie zerfällt in zwei Haupttheile: in die Planimetrie und in die Stereometrie. Die Planimetrie handelt von jenen Raumgrößen, welche in einer und derselben Ebene liegen; die Stereometrie aber beschäftigt sich mit jenen Raumgrößen, welche sich nicht in einer und derselben Ebene, sondern im dreifach aus¬ gedehnten Raume befinden. 1* Erster Weil'. Die Planimetrie. I. Punkte, gerade Linien und Winkel. 1. Punkte. Darstellung Les Punktes. Z. 11. Ein mathematischer Punkt kann, da er weder Länge, noch Breite, noch Dicke besitzt, nicht gesehen, sondern nur gedacht werden. Um nun die Stelle, wo man sich einen Punkt denkt, dem Auge sichtbar zu machen, bringt man dort mit dem Bleistifte, mit der Feder oder Kreide einen Tupfen an. Die materiellen Zeichen haben jedoch, wenn sie noch so fein gemacht werden, immer etwas Länge, Breite und Dicke, sind also Körper und nicht mathematische Punkte; sie sind nur Zeichen der Punkte. Je feiner das Punkt¬ zeichen gemacht wird, desto näher kommt es dem gedachten mathe¬ matischen Punkte. Ein Punkt wird dadurch angegeben, dass man zu dem ihn versinnlichenden Tupfen Zeinen Buchstaben oder eine Zahl setzt. In der Wirklichkeit betrachtet man solche Örter oder Gegen¬ stände, durch welche die Lage und Größe von Linien bestimmt wird, als bloße Punkte. Wenn man z. B. von der Entfernung zweier Städte von einander spricht, so wird jede Stadt nur als ein Punkt angesehen. Auf dem Felde werden Punkte durch Pflöcke oder andere Merkmale kenntlich gemacht. Gegenseitige Lage -er Punkte. 8-12- Zwei Punkte n und b (Fig. 1) können entweder neben einander liegen, wie in I, wo der Punkt a links von dem Punkte b, und der Punkt b rechts von dem Punkt s, liegt; oder sie können gerade über einander liegen, wie in II, wo a über b, und b unter u liegt; oder sie können schräg oberhalb oder unterhalb einander liegen, wie in III und IV. 5 Fig. 1. I II III IV n h g, 3. K » » » « « d d d Welche und wie viele Lagen sind bei drei Punkten möglich? Zeichne dieselben. Zeichne vier Punkte, welche s.) nebeneinander, Ist gerade über einander, e) in derselben Richtung schräg oberhalb einander liegen. 2. Gerade Limen. Bestimmung Lee Geraden. Z. 13. Durch eineu Punkt lassen sich unzählig viele gerade Linien in allen möglichen Richtungen ziehen. Ist noch ein zweiter Punkt gegeben, so wird es unter allen früheren Richtungen der Geraden eine einzige geben, in welcher die Gerade durch beide Punkte geht. Durch zwei Punkte ist eine gerade Linie v o ll k oin m en b e stimint. Zwei Gerade, welche zwei Punkte gemeinschaftlich haben, fallen zusammen und bilden eine einzige Gerade. Zwei von einander verschiedene Gerade können nur einen gemeinschaftlichen Punkt haben. Man sagt: sie schneiden sich in diesem Punkte, und nennt den gemeinschaftlichen Punkt ihren Durchs chnittspu nkt. Z. 14. Die unbegrenzte Gerade wird durch jeden in ihr liegenden Punkt in zwei Theile getheilt, deren jeder sich nur nach einer Richtung unbegrenzt ausdehnt. Eine durch einen Punkt halb begrenzte Gerade heißt Strahl. Eine durch zwei Punkte ganz begrenzte Gerade heißt Strecke; die beiden Grenzpunkte nennt man ihre Endpunkte. Die Strecke zwischen zwei Punkten bestimmt die Entfernung oder den Ab stand derselben. Ein Strahl wird durch den Grenzpunkt und einen zweiten in ihm liegenden Punkt, eine Strecke durch ihre Endpunkte bezeichnet. Unbegrenzte oder halbbegrenzte gerade Linien lassen sich nur der Richtung nach, Strecken der Richtung und Länge nach bestimmen. Darstellung -er Gern-en. Z. 15. Da eine Linie durch die stetige Bewegung eines Punktes entsteht, so ergibt sich daraus auch die Art und Weise, wie man eine 6 Linie sichtbar darstellen kann. Um den Weg kenntlich zu machen, den der Punkt während der Bewegung durchlaufen hat, muss man die Spitze einer farbelassenden Feder oder eines Bleistiftes, welche den sich bewegenden Punkt vorstellt, etwas andrücken, wodurch überall die Spur der Bewegung zurückbleibt. Diese zurückgelassene Spur ist dann, da sie nicht bloß die Länge, sondern auch immer etwas Breite und Dicke hat, zwar keine mathematische Linie, sie ist nur das Zeichen der Linie. Je feiner die Linie gezeichnet wird, desto mehr nähert sie sich der mathematischen Linie. Die gezeichneten Linien heißen volle, punktierte, ge¬ strichelte oder gestrichelt punktierte, je nachdem sie ohne Unterbrechung, oder durch Punkte, oder durch Striche, oder durch Striche und Punkte dargestellt sind (Fig. 2). Fig. 2. Es wird Anfängern angeratheu, sich im Zeichnen sehr langer gerader Linien aus freier Hand fleißig zu üben. Dabei bestimmt man zwischen den beiden Endpunkten mehrere Zwischenpunkte und nimmt dann das Zeichnen der Linie stückweise vor. Eben so wird das Verlängern einer Geraden über einen End¬ punkt hinaus wesentlich erleichtert, wenn man vorerst einen oder mehrere Punkte bestimmt, welche mit den Endpunkten der gegebenen Geraden in derselben Richtung liegen. Zum geometrischen Zeichnen gerader Linien bedient man sich des Lineals. Wie prüft man die Nichtigkeit eines Lineals? Bauhandwerker bilden gerade Linien mittelst einer straff gespannten Schnur. Aufgaben. 1. Bestimme zwei Punkte und verbinde sie aus freier Hand durch eine Strecke. 2. Verlängere diese Strecke über den einen Endpunkt hinaus. 3. Bestimme drei Punkte, welche nicht in gerader Linie liegen, und ziehe durch je zwei eine Gerade. Wie viele Gerade sind da möglich? 4. Wie viele Strecken sind zwischen einer bestimmten Anzahl von Punkten, von denen je drei nicht in einer geraden Linie liegen, möglich? 7 Zwischen 2 Punkten ist nur 1 Strecke möglich, „ 3 „ sind 1 -s- 2 — 3 Strecken möglich, » 4 » ,, 1-s-2-s-3^6 „ „ „ 5 „ „ 1 -s- 2 -s- 3 -s- 4 —10 „ „ n. s. w. Gesetz! 8- 16. Auf dem Felde werden gerade Linien durch eine Zwischen zwei Pflöcken ausgespannte Schnur bezeichnet; häufig wird die Gerade zwischen zwei durch Pflöcke, Stäbe, Mcssfahnen oder andere Merkmale bezeichneten Punkten auch nur gedacht. Wenn die Endpunkte einer Geraden auf dem Felde sehr weit von einander abstehen, so dass man von dem einen zu dem andern nicht deutlich genug sehen kann, so werden mehrere Zwischenpunkte bestimmt, welche mit den Endpunkten in gerader Linie liegen. Man nennt das Bestimmen solcher Zwischenpunkte das Abstecken der Geraden, und die dazu gebrauchten Stangen Absteckstäbe. Um zwischen zwei Stäben und L (Fig. 3) einen dritten 0 in gerade Linie zu bringen, trete man ein paar Schritte hinter den einei: Stab L zurück, lasse durch einen Gehilfen den einzurichtenden Stab zwischen zwei Fingern Fig. s. frei halten und gebe ihm durch Zeichen mit der Hand zu verstehen, dass er feinen Stab so lange rechts oder links bewege, bis man ihn in der Richtung der beiden Stäbe L und erblickt, indem man dabei immer an derselben Seite der Stäbe vorbeivisiert; ist dieses der Fall, so gibt man dem Gehilfen ein Zeichen, worauf er den Stab frei fallen lässt und in dieser Stellung in die Erde steckt. — Beim Abstecken einer langen Linie werden immer die entfernteren Stäbe früher eingerichtet, als die näheren. Um eine Gerade (Fig. 4) auf dem Felde bis zum Punkte 0 zu verlängern, stelle man sich nach dem Augenmaße in der Gegend dieses Punktes auf, visiere an der Seite des Stabes, den man zwischen Fig. 4. z-wei Fingern frei hält, nach den beiden Stäben L und wodurch die zu verlän¬ gernde Gerade bezeichnet ist, und bewege sich mit seinem Stabe so lang rechts oder links,, bis sich alle drei Stäbe decken; dann wird der Stab gehörig in die Erde gesteckt. 8 Parallele und mchtparallele Gerade. 8-17. Beiden geraden Linien hat man auf zwei Sachen Rück¬ sicht zu nehmen, auf die Richtung und auf die Länge derselben. Zwei Gerade, welche in einer Ebene liegen, haben entweder dieselbe Richtung, oder sie weichen in ihren Richtungen von einander ab. Haben zwei gerade Linien dieselbe Richtung, so dass sie überall gleich weit von einander abstehen, so heißen sie parallel; wenn aber ihre Richtungen von einander abweichen, so daß sie sich auf der einen Seite nähern, auf der anderen entfernen, so heißen sie nichtparallel. Die nichtparallelen Geraden werden nach jener Seite hin, wo sie sich nähern, konvergierend, nach der andern Seite divergierend genannt. So sind (Fig. 5) und OO parallele Linien, und 0? convergierend, und ?0 divergierend. Dass mit LO parallel ist, drückt man so aus: 01). Fig. 5. Zwei parallele Gerade können, weil --- sie durchaus gleich weit von einander entfernt bleiben, nie Zusammentreffen, wenn man sie auch noch so weit ver- /U längert; zwei nichtparallele Gerade aber müssen, hinlänglich verlängert, in einem s Punkte zusammentreffen, und zwar auf derjenigen Seite, nach welcher sie convergieren. Convergierendc Gerade haben daher immer einen gemeinschaftlichen Durchschnitts¬ punkt, aber auch nur einen einzigen. In der Wirklichkeit Pflegt man häufig auch solche Linien, welche nicht¬ parallel sind, aber in ihrer Richtung so wenig abweichen, dass sie sich erst in einer sehr großen Entfernung schneiden würden, als parallel anzunehmen. Die Sonnen¬ strahlen fahren divergierend ans, aber wegen der sehr großen Entfernung der Sonne von der Erde kann man Sonnenstrahlen, welche auf zwei nahe liegende Orte der Erde auffallen, fast ohne Fehler als parallel betrachten. Wenn man einen Körper fallen lässt, bewegt er sich in der Richtung gegen die Mitte unserer Erde; die Linien, in welchen zwei frei fallende Körper sich bewegen, würden also, wenn man sie ver¬ längern könnte, im Mittelpunkte der Erde zusammentreffen, sind demnach conver- gicreud; weil jedoch die Entfernung bis zur Mitte der Erde sehr groß ist, so ist für eine kleine Strecke der Erde die Abweichung in den Richtungen jener beiden Geraden so gering, dass man dieselben füglich als parallel annchmen darf. Nm zu einer schon gezeichneten Geraden eineParallele nus freier Hand zu zeichnen, bestimme man zuerst zwei oder mehrere in gleicher Entfernung von der gegebenen Geraden liegende Punkte und ziehe dann durch dieselben eine gerade Linie. 9 Aufgaben. 1. Zeichne eine Gerade, und zu ihr in beliebiger Entfernung eine Parallele. 2. Zeichne eine Gerade, und zu ihr durch einen nicht in ihr liegenden Punkt eine Parallele. 3. Zeichne zwei Parallele, und zu ihnen noch eine dritte Parallele. 4. Zeichne eine Gerade in beliebiger Richtung, und zu ihr in gleichen Ent¬ fernungen drei Parallele. 5. In wie vielen Punkten können sich eine bestimmte Anzahl gerader Linien, von denen je zwei nicht parallel sind, schneiden? 2 Gerade haben 1 Durchschnittspunkt, 3 „ „ 1-s-2nu 3 Durchschnittspnnkte, 4 „ „ 1 2 -s- 3 — 6 „ 5 „ „ 1-j-2-s-3-f-4 —10 „ n. s. w. Gesetz! vertikale, iMyontale mW schräge Gerade. Z. 18- 1- Eine Gerade, welche die Richtung eines Bleilothes d. i. eines freihängenden, durch eine Bleikugel gespannten Fadens hat, heißt vertical oder lothrecht. Ein freifallender Körper fällt in verticaler Richtung. Wird durch eine verticale Gerade eine Ebene gelegt, so heißt diese eine Vertical-Ebe ne. Welche Handwerker bedienen sich des LotheS oder Senkbleies? Wann stehet an einem Wagebalken das Zünglein vertical? Beim Zeichnen wird die Verticale durch eine von oben nach unten oder umgekehrt gezogene Gerade dargestellt. Um eine Verticale mit freier Hand zn zeichnen, bestimmt man mehrere Punkte, welche gerade über einander liegen, und zieht durch dieselben, wenn die Verticale lang sein soll, von oben nach unten, nnd wenn die Verticale nur kurz sein soll, von unten nach oben eine Gerade. 2. Eine Gerade, welche die Richtung eines am ruhigen Wasser¬ spiegel schwimmenden Stäbchens oder eines auf beiden Seiten gleich¬ belasteten Wagebalkens hat, heißt horizontal oder wagrecht. Eine Ebene, in welcher sich nach allen Richtungen horizontale Gerade ziehen lassen, heißt eine Horizontal-Ebene; z. B. die Oberfläche des Wassers, die Bodenfläche eines Zimmers. Beim Zeichnen wird die Horizontale durch eine von der Linken gegen die Rechte gehende Gerade dargestellt. Um eine H orizontale aus freier Hand zu zeichnen, bestimmt man mehrere neben einander liegende Punkte und zieht dann durch dieselben eine Gerade. Eine gerade Linie, welche weder vertical noch horizontal ist, heißt schräge oder schief. 10 Aufgaben. 1. Wie viele verticale Linien sind durch einen Punkt möglich? 2. Wie diele horizontale Linien sind durch einen Punkt möglich? 3. Ziehe auf deiner Schreibtafel eine beliebige Gerade und bringe dann die Tafel in eine solche Lage, dass die Gerade s.) eine verticale, b) eine hori¬ zontale, e) eine schräge Richtung hat. 4. Zeichne in gleichen Entfernungen fünf horizontale Linien. 5. Zeichne ebenso fünf verticale Linien. 6. Zeichne ebenso fünf schräge, zu einander parallele Linien g.) von links unten nach rechts oben, d) von links oben nach rechts unten. Gleiche und ungleiche Strecken. tz. 19- Um zwei Strecken hinsichtlich ihrer Länge zu vergleichen, lege man sie so auf einander, daß sie einen Endpunkt gemeinschaftlich haben. Fallen dann die anderen zwei Endpunkte ebenfalls zusammen, so sind die beiden Strecken gleich. Fallen aber die anderen End¬ punkte der beiden Strecken nicht zusammen, so sind die Strecken ungleich, und zwar ist diejenige die kleinere, deren zweiter Endpunkt zwischen den Endpunkten der andern Strecke liegt, diese die größere. Wenn zwei Strecken gleich sind, muss man sich dieselben auch so vorstellen können, dass sie auf einander gelegt sich decken. Um auzuzeigen, daß die Strecken ^.8 und OD ungleich sind, schreibt man LU > 08, wenn LU größer ist als 61) und ^.8 < 01), wenn ^.8 kleiner ist als 08. Zeichne iu gleichen Entfernungen a) sechs horizontale, d) sechs verticale, e) sechs schräge Strecken, welche gleich lang sind. Kumme und Differenz der Strecken. §. 20. t- Zeichnet man (Fig. 6) eine Strecke L.8 und ver¬ längert sie um die Strecke 80, so ist die verlängerte Strecke ^0 so groß, als ^8 und 80 zusammengenommen, oder es ist ^.0 die Fig- 6. Summe der beiden Strecken ^.8 und 80, !->-i was so angeschrieben wird: -s <7 L.0 — )P8-j-80. 2. Zeichnet man eine Strecke ?PO (Fig. 6) und trägt auf die¬ selbe eine kleinere Strecke 80 von 0 aus bis 8 auf, so zeigt der unbedeckte Theil ä.8 der größeren Strecke an, um wie viel diese länger ist als die kleinere Strecke; L.8 ist also die Differenz zwischen L.0 und 80, was so ausgedrückt wird: ,V8 — ^.0 — 80. II Aufgaben. 1. Zeichne eine Strecke L6, und nimm darin irgendwo zwischen dm End¬ punkten einen Punkt U an. Welche zwei Strecken sind dadurch entstanden? Was ist die ursprüngliche Strecke in Bezug auf dieselben? — Wie wird daher eine Strecke als Summe zweier Strecken dargestellt? 2. Zeichne eine Strecke verlängere sie über L hinaus um ein beliebiges Stück 1)0. Um wieviel ist die verlängerte Strecke L6 größer als die Ver¬ längerung U6? — Wie kann man also eine Strecke als Differenz zweier Strecken darstellen? 3. Zeichne eine Strecke ad, verlängere sie über b hinaus, und bestimme zwei Punkte e und ü so, daß ab — da -s- ne und ab — nä — bä wird. Viri fache und Theile der Strecken. 8- 2 t- I- Trägt inan (Fig. 7) auf eine Gerade von L ans die gleichen Stücke 80, Ov, vv, . . . auf, so ist Fig- 7. LO das Doppelte von L6, l——>——-—-!—-!— LV das 3fache von LV, F -7 L F LV das 4fache von LV, n. s. w. Die erhaltenen Strecken sind also Vielfache der Strecke LV. 2. Unigekehrt ist LV die Hälfte von LO, das Drittel von LI), der 4te Theil von LV, u. s. w. Die Strecke LO ist also durch den Punkt v in 2, LV durch die Puukte L und 0 in 3, LV durch die Punkte v, 0 und v in 4 gleiche Th eile getheilt. Aufgaben. 1. Zeichne eine Strecke und verlängere sie so, dass sie 3mal so lang wird, als sie ursprünglich war. 2. Zeichne zwei horizontale Strecken, von denen die zweite 5mal so groß ist als die erste. 3. Zeichne sechs parallele Strecken so, dass die zweite das Doppelte der ersten, die dritte das 3fache der ersten, ... die sechste das 6fache der ersten sei. 4. Eine gegebene Strecke aus freier Hand in 2 gleiche Theile zn theil en oder zu halbieren. — Man bestimme in der Strecke einen Punkt so, dass er von den beiden Endpunkten derselben gleich weit entfernt ist. 5. Zeichne eine Strecke, theile sie in 2 gleiche Theile und dann jede Halste wieder in 2 gleiche Theile. Wie viele gleiche Theile erhältst du? — Wie wird also eine Strecke in 4 gleiche Theile getheilt? 6. Wie wird eine Strecke in 8, 16 gleiche Theile getheilt? 7. Eine Strecke (Fig. 8) in 3 gleich eTheilc zn theilen. — Man b bestimme in der Strecke zwei Punkte so, dass sie von L , einander und von den Endpunkten der Strecke gleich weit absteheu. Im allgemeinen wird man bei der Thcilung einer Strecke in gleiche Theile die beiläufig bestimmten 12 Theilungspunkte mit dem Bleistifte zuerst sehr fein bezeichnen, dann dnrch die Theilungspunkte und durch die Endpunkte kleine parallele Linien ziehen und ihre Ab stände vergleichen. Sind diese gleich, so ist die Theilung richtig; sind sie ungleich, so müssen die etwa unrichtigen Theilungspunkte so lange nach rechts oder links verschoben werden, bis jene Abstände gleich groß erscheinen. 8. Theile eine gezeichnete Strecke in 2 gleiche Theile und dann jeden Theil wieder in 3 gleiche Theile. — Wie wird also eine Strecke in 6 gleiche Theile getheilt? 9. Wie wird eine Strecke in 12, 24, — in 9, 18 gleiche Theile getheilt? 10. Theile eine Strecke in 5, 7 gleiche Theile. (Der Vorgang ist ähnlich wie bei der Theilung einer Strecke in 3 gleiche Theile.s 11. Wie wird eine Strecke in 10, 15, 20, — in 14 gleiche Theile getheilt? Messen der Strecken. Z. 22. Die Länge einer Strecke bestimmen, heißt dieselbe messen. Um eine Strecke zu messen, nimmt man irgend eine Strecke von bestimmter Länge als Einheit an, und untersucht, wie oft die als Einheit angenommene Strecke in der zu messenden enthalten ist. Die Zahl, welche dieses anzeigt, heißt die Maßzahl der Strecke. Die Einheit des Längenmaßes ist das Meter (m), das iil 10 Decimeter (cim) n 10 Centimeter («n) k 10 Milli¬ meter (mm) eingetheilt wird. 1000 Meter —1 Kilometer (Lm), 10 Kilometer — 1 Myriameter (Mu). Zum Ausmessen der Längen dienen Stäbe von Holz oder Metall, worauf eine oder mehrere Längeneinheiten nebst den Unter- theilungen aufgetragen sind; sie heißen Maß st äb e. Fig. 9 stellt die Länge eines Decimeters mit dessen Eintheilung in Centimeter und Millimeter vor. Fig. 9. Anfängern ist anzuralhen, dass sie zur Übung des Augenmaßes verschiedene Längen zuerst annäherungsweise mit dem Ange abschätzen und dann mit dem Ma߬ stabe genau messen. Zum Messen det Strecken auf dem Felde bedient man sich der Messlatten oder der Mess kette. Verjüngte Maßstäbe. Z. 23. Wenn man eine in der Natur gemessene Strecke auf dem Papiere verzeichnen will, so geschieht dieses gewöhnlich nicht in der wahren Größe, sondern in einem kleineren, verjüngten Maße. Es wird nämlich angenommen, dass eine bestimmte Länge, z. B. 13 ein Centimeter auf dem Papiere, eine bestimmte Länge z. B. ein Meter oder 20 Meter in der Wirklichkeit vorstellen soll. Ein Maßstab, auf welchem die in der Wirklichkeit üblichen Längenmaße verkleinert aufgetragen sind, heißt ein verjüngter Maßstab, im Gegensätze zu einen: natürlichen Maßstabe, worauf die Längeneinheit in ihrer wahren Große aufgetragen wird. Einen Maßstab von 3 Meter, worauf man auch Deci¬ meter entnehmen kann, in der Verjüngung 1— 3 cm na¬ türlicher Größe zu zeichnen. Man zeichne (Fig. 10) eine Gerade, trage darauf 3 om natür¬ licher Größe 3mal auf und theile dann den ersten Theil links in 10 gleiche Theile. Fig. 10. Ausgaben. 1. Ziehe drei parallele Gerade, und trage von dein obigen Maßstabe auf die erste 2 m, auf die zweite 1 m S äm, auf die dritte 2 m 7 cim auf. 2. Ziehe drei Strecken und bestimme nach dem obigen Maßstabe, wie viel Meter und Decimeter die Länge einer jeden beträgt. 3. Zeichne einen Maßstab von 5m, worauf Im —2e»r des natürlichen Maßes ist und wovon man noch 5 em ablesen kann. 4. Zeichne mit beliebiger Verjüngung einen Maßstab von 400 Meter so, dass man noch die Zehner der Meter abnchmen kann. 3. Winlrrl. Entstehung und Sewichunng der Winket. Z. 24- Dreht sich der Strahl Orp (Fig. 11) in einer und der¬ selben Ebene um den Grenzpunkt 0 iir der Richtung des Pfeiles, so dass er nach und nach in die Lagen Oö, 00, Ov, . . . und zuletzt wieder in die ursprüngliche Lage zu stehen kommt, so weicht er bei dieser Drehung von seiner ursprünglichen Lage Orp immer mehr ab. Fig- 11- Die Abweichung der Richtungen Zweier F 0 Strahlen, die von demselben Punkte aus- gehen, heißt ein Winkel; die Strahlen, welche den Winkel bilden, nennt man die Schenkel, und ihren Durchschnittspunkt den Scheitel des Winkels. / Man bezeichnet einen Winkel entweder /' durch den Buchstaben am Scheitel, oder durch 14 einen kleinen Buchstaben, den man in die Öffnung des Winkels setzt, oder durch drei Buchstaben, von denen zuerst der Buchstabe an dem Fig. 12. einen Schenkel, dann der Buchstabe am Scheitel, S und zuletzt der Buchstabe am andern Schenkel ausgesprochen wird. In dem Winkel (Fig. 12) ist 0 der Scheitel, OL und OL sind die O Schenkel; der Winkel heißt daher: Winkel 0, oder Winkel in, oder Winkel LOL oder LOL. Auf dem Felde ist ein Winkel als bezeichnet anzusehen, wenn der Scheitelpunkt und irgend zwei in den Schenkeln liegende Punkte angegeben sind. Ein Winkel wird desto größer, je mehr seine Schenkel von ein¬ ander abweichen. Die Länge der Schenkel hat keinen Einfluss auf die Größe eines Winkels; denn wenn die Schenkel noch so weit verlängert werden, so behalten sie doch dieselben Richtungen, also bleibt auch die Abweichung ihrer Richtungen, d. i. der von ihnen gebildete Winkel unverändert. Z. 25. Legt man die Flächen zweier Winkel so auf einander, dass die Scheitel und ein Paar Schenkel derselben zusammenfallen, so sind die beiden Winkel gleich, wenn das andere Paar Schenkel ebenfalls zusammenfällt, die Winkel sich also decken, und ungleich, wenn das andere Paar Schenkel nicht zusammensällt. Im zweiten Falle ist derjenige Winkel der kleinere, dessen zweiter Schenkel zwischen den Schenkeln des andern Winkels liegt, dieser der größ ere. Umgekehrt: Sind zwei Winkel gleich, so können sie urit den Winkelslächen so auf einander gelegt werden, dass, wenn der Scheitel und ein Paar Schenkel zusammenfallen, auch das andere Paar Schenkel zusammenfällt. Arten -er Winkel. Z. 26. 1- Dreht sich in einer Ebene der Strahl OL (Fig. 13) um den Grenzpunkt 0, bis er den vierten Theil einer vollen Umdrehung gemacht hat, so heißt der dadurch erzeugte Winkel LOL Fig. 13. ein recht er Winkel. Der rechte Winkel wird gewöhnlich mit dem Buchstaben U x bezeichnet. Alle rechten Winkel x sind einander gleich. .Ein Winkel LOL, zu dessen Ent- stehung weniger als eine Vierteldrehung 15 erforderlich ist, heißt ein spitzer Winkel. Ein Winkel LOL, zu dessen Entstehung mehr als eine Viertel-, aber weniger als die halbe Umdre¬ hung erfordert wird, heißt ein stumpfer Winkel. Ein spitzer Winkel ist also kleiner, ein stumpfer Winkel größer als ein rechter; beide werden auch schiefe Winkel genannt. Um einen rechten Winkel zu erhalten, braucht man nur ein Stück Papier zweimal so zusammenzulegen, dass die Buglinien genau auf einander fallen. 2. Nach einer halben Umdrehung kommt der bewegliche Strahl in eine Richtung, welche seiner anfänglichen Richtung gerade Fig. 14- entgegengesetzt ist. Der Winkel LOO (Fig. 14), welcher durch diese Drehung entsteht, heißt ein gestreckter Winkel. //DchX — Seine Schenkel bilden eine gerade Linie. Ein gestreckter Winkel ist gleich V zw e i R e chten. i Ein Winkel LOL, welcher kleiner als fs ein gestreckter ist, heißt ein hohler Winkel. Ein Winkel LOL, welcher größer als ein gestreckter ist, heißt ein erhabener Winkel. Der rechte, der spitze und der stumpfe Winkel sind hohle Winkel. Voil je zwei Strahlen werden immer zwei Winkel gebildet, ein hohler und ein erhabener; übrigens ist im allgemeinen immer der hohle zu verstehen, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird. 3. Nach einer ganzen Umdrehung gelangt der bewegliche Strahl wieder in seine ursprüngliche Lage. Der Winkel, der durch diese Drehung entsteht, heißt ein voller Winkel. Seine Schenkel fallen zusammen. Ein voller Winkel ist gleich zwei ge¬ streckten Winkeln oder vier Rechten. Aufgaben. U Was für einen Winkel beschreibt der Minutenzeiger einer Uhr in 10, 15, 25, 30, 40 Minuten, in 1 Stunde? 2. Was für einen Winkel bilden die beiden Zeiger einer Uhr a) nm 6, 3, 9 Uhr, b> um 2, 5, 10 Uhr? 3. Was für einen Winkel besckireibt die Windfahne, wenn sie sieh a) von Nord nach Süd, b) von Ost nach Süd, v) von Süd durch West und Nord nach Ost, ck) von Ost nach Südwest dreht? 4. Zeichne drei hohle Winkel, von denen der erste ein rechter, der zweite ein spitzer, der dritte ein stumpfer Winkel ist. .5. Zeichne a) einen gestreckten, b) einen erhabenen, v) einen vollen Winkel. 16 Summe und Differenz der Winkel. Fig. 15. Z. 27. 1. Dreht man in dem Winkel LOL / und ziehe vom Scheitel o aus zwei Gerade oa und oä so, dass nob n noe -st boe und nob — noä — doä wird. 17 Vielfache mW Theile der Winkel. 16' §. 28- 1. Sind (Fig. 16) die Winkel LOL, / Ll LOO, 00V, LOL, . . . einander gleich, so ist der / / /^ Winkel LOO das Doppelte des Winkels LOL, LOD //^6 das Dreifache, LOL das Vierfache von LOL, u. s. w. Die Winkel LOO, LOL, LOL, . . . sind also Viel¬ st-fache des Winkels LOL. 2. Umgekehrt ist der Winkel LOL die Hälfte von LOO, der dritte Theil von LOL, der vierte Theil von LOL, u. s. w. Aufgaben. 1. Zeichne nach dem Augenmaße drei Winkel, von denen der zweite 2mal, der dritte 3mal so groß ist als der erste. 2. Was für ein Winkel ist das Doppelte a) eines rechten, b) eines stumpfen, c) eines gestreckten Winkels? 3. Was für ein Winkel ist die Hälfte n) eines rechten, dl eines stumpfen, Fig. 17. o) eines gestreckten, ä) eines erhabenen, e) eines vollen Winkels? 4. E i n c n Wi n k elLOL (Fig.17) i n zw e i g l e iche 6^' Theile zu th eilen, oder zu halbieren. — Man mache OU — OH und^ bestimme einen Punkt 0 so, dass er von N und 11 gleich weit entfernt ist; zieht man dann 00, so ist Winkel LOO —LOO —V2 LOL. 5. Zeichne einen rechten Winkel und halbiere denselben. 6. Wie wird ein Winkel in 4, 8 gleiche Theile getheilt? 7. Versuche einen Winkel nach dem Augenmaße in 3, 5, 6 gleiche Theile zu theilen. Das Winkelmaß. Z- 29- Zar Messung der Winkel nimmt man irgend einen bekannten Winkel als Einheit an und untersucht, wie oft derselbe in dem zu messenden Winkel enthalten ist. Die Einheit des Winkelmaßes bildet wegen seiner unver¬ änderlichen Größe der rechte Winkel. Man theilt ihn in 90 gleiche Winkel, welche Grade heißen; der 60ste Theil eines Grades heißt eine Minute, der 60ste Theil einer Minute eine Secunde. Die Größe eines Winkels ist vollkommen bestimmt, wenn man angibt, wie viel Grade und Gradtheile er enthält. Die Grade, Minuten und Secunden eines Winkels bezeichnet man durch ", z. B. 57 Grade 48 Minuten 15 Secunden — 57" 48' 15". Močnik, Geometrie sür Bürgerschulen. 4. Aufl. 2 18 Aus den Erklärungen in §. 26 folgt: Ein hohler Winkel enthält weniger als 180" und zwar insbe¬ sondere ein spitzer weniger als 90", ein rechter 90", ein stumpfer mehr als 90°. Ein gestreckter Winkel hat 180", ein erhabener Winkel mehr als 180°, ein voller Winkel 360°. Die Kreislinie. Z. ZO. Dreht sich eine Strecke OL (Fig. 18) um den Punkt 0 in derselben Ebene so lange herum, bis sie wieder in ihre ursprüng¬ liche Lage kommt, so beschreibt während dieser Drehung der Punkt L Fig. 18. eine krumme Linie LVOVL^, welche K r e i s- linie oder Kreis heißt. Die Kreis¬ linie ist also eine krumme Linie von solcher Beschaffenheit, dass alle ihre Punkte von einem innerhalb liegenden Punkte gleich weit ent¬ fernt sind. Der Punkt 0, von welchem alle Punkte der Kreislinie gleich weit ab¬ stehen, heißt der Mittelpunkt oder das Centrum; die ganze Kreislinie selbst wird auch Umfang oder Peripherie des Kreises genannt. Eine Strecke, welche vom Mittelpunkte zu irgend einein Punkte des Umfanges gezogen wird, heißt ein Halbmesser (Umlius) des Kreises, z. B. 0^., Ov, 00. Da alle Punkte der Peripherie vom Mittelpunkte gleich weit abstehen, so sind a ll e H a l b m e s s er eines Kreises einander gleich. Eine Strecke LV, welche von einem Punkte des Umfanges durch den Mittelpunkt bis an die entgegengesetzte Seite des Umfanges gezogen wird, heißt ein Durchmesser (vmEtor). Jeder Durch¬ messer eines Kreises ist doppelt so groß als der Halbmesser des¬ selben, daher sind auch alle Durchmesser eines Kreises einander gleich. Jeder Theil des Umfanges, wie LL, wird ein Kreisbogen genannt; die Hälfte des Umfanges heißt insbesondere ein Halb¬ kreis, und der vierte Theil ein Quadrant. Zum geometrischen Zeichnen des Kreises bedient man sich des Zirkels. 31- Der Umfang eines jeden Kreises wird in 360 gleiche Bogen, welche man Bogen grade oder bloß Grade nennt. 19 Fig. 19. eingetheilt. Es kommen daher auf den Halbkreis 180, auf den Qua¬ dranten 90 Grade. Die Eintheilung des Halbkreises in Grade sieht man an dem Transporteur (Fig. 19), bei welchem die Kante den Durchmesser, und der Einschnitt 0 den Mittelpunkt vorstellt. Jeder Grad wird in 60 gleiche Theile, Bogen¬ minuten, und jede Mi¬ nute in 60 Bogense- cunden eingetheilt. Man bezeichnet die Grade, Minuten und Se¬ kunden bei den Bogen auf gleiche Weise wie bei den Winkeln. Messen der Winkel durch Kreisbogen. §. 32- Theilt man die Peripherie eines Kreises in 360 Bogen¬ grade und zieht von dem Mittelpunkte zu jedem Theilungspunkte einen Halbmesser, so entstehen um den Mittelpunkt 360 Winkel, welche alle unter einander gleich sind, weil bei je zweien, wenn sie gehörig auf einander gelegt werden, die Schenkel zusammenfallen. Die Summe aller dieser Winkel ist gleich 360 Winkelgraden; folglich ist einer derselben gleich einem Winkelgrade. Da hiernach ein Winkel am Mittelpunkte so viele Winkelgrade enthält, als der zugehörige Bogen Bogengrade hat, so kann jeder Winkel durch den Kreisbogen, welchen man aus dem Scheitel zwischen den Schenkeln beschreibt, gemessen werden. Darauf beruht der Gebrauch des Transporteurs zum Messen gezeichneter Winkel, und zum Zeichnen in Graden ange¬ gebener Winkel. Aufgaben. 1. Zeichne beliebige Winkel, schätze zuerst ihre Größe nach dem Augenmaße ab, und miss sie dann mit dem Transporteur. 2. Zeichne zuerst nach dem Augenmaße aus freier Hand, und dann mit Hilfe des Transporteurs einen Winkel von 90°, 45", 60°, 30°, 58°, 87", 3", 100°, 118°, 176°. Nelmumnlrcl. Z. 33- Wird ein Schenkel eines Winkels über den Scheitel hinaus verlängert, so entstehen zwei Winkel, welche denselben Scheitel und einen gemeinschaftlichen Schenkel haben, und deren beide anderen 2* 20 Fig. 20. Schenkel auf entgegengesetzten Seiten des /- Scheitels in einer geraden Linie liegen. Solche , j Winkel heißen Nebenwinkel. So ist LOL (Fig. 20) ein Nebenwinkel ./<7 von 006; ebenso sind LOI) und 001) Neben- winkel. Da je zwei Nebenwinkel zusammen genommen einen gestreckten Winkel geben, so folgt: Die Summe zweier Nebenwinkel ist gleich zwei Rechten. Aufgaben. 1. Was für Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie gleich sind, und was für Winkel sind sie, wenn sie ungleich sind? 2. Wie groß ist der Nebenwinkel von 20°, 35", 64°, 100°, 148°, 55«, 40°, 115° 16' 45"? Senkrechte nn- schiefe Gerade. Z. 34. Bildet eine Gerade mit einer andern Geraden zwei gleiche Nebenwinkel, so sagt man: sie steht auf ihr senkrecht. Bildet eine Gerade mit einer andern Geraden zwei ungleiche Nebenwinkel, so steht sie aus ihr schief. Eine Senkrechte bildet also mit der Geraden, worauf sie senk¬ recht steht, zwei rechte Winkel; eine Schiefe bildet mit der andern Geraden einen spitzen und einen stumpfen Winkel. In Fig. 20 ist LO senkrecht auf LO, was inan so bezeichnet: LO 4. LO; dagegen steht 00 aus LO schief. Die Senkrechte wird auch Loth oder Perpendikel genannt. Wenn sich eine horizontale und eine verticale Linie durchschneiden, so bilden sie stets einen rechten Winkel, stehen also immer senkrecht auf einander. Aber nicht von je zwei senkrechten Linien kann mau sagen, dass die eine horizontal und die andere vertical ist. Bei der Wage steht immer das Zünglein senkrecht ans dem Wagebalken; jedoch ist das Zünglein nur dann vertical, und der Wagebalken horizontal, wenn die beiden Schalen leer oder gleich belastet sind; in jedem andern Falle sind sie schräge. Übung im Zeichnen senkrechter Linien aus freier Hand. Ziehe eine Gerade, nimm darin fünf Punkte an, und errichte in jedem derselben auf die Gerade eine Senkrechte. Welche Lage gegen einander haben diese Senkrechten? Zeichne zwei parallele Gerade, nimm in der einen fünf Punkte an, und fälle ans jedem ans die andere Gerade eine Senkrechte. Wie verhalten sich diese Senkrechten in Bezug auf ihre Länge? Zur Bestimmung der Senkrechten auf dem Felde dient das Winkel kreuz. Dieses besteht aus zwei unter rechten Winkeln 21 Zusammengefügten Brettchen, die an den Enden mit senkrechten Stiften versehen sind, und wird auf einein Stative horizontal befestigt. Um auf dem Felde in einem Punkte einer Geraden auf diese eine Senkrechte zu errichten, stelle man über den gegebenen Punkt den Mittelpunkt des Winkel- treuzes, und bringe die beiden Stifte des einen Brettchens in die Richtung der Geraden; dann visiere man über die beiden anderen Stifte, und lasse in ihrer Richtung einen Stab einsetzen; dieser gibt den Punkt an, durch welchen die gesuchte Senkrechte gehen soll. Um mit Hilfe dieses Werkzeuges denjenigen Punkt 0 (Fig. 20) der Geraden L.6 zu bestimmen, in welchem die von L darauf gezogene Senkrechte eintrisft, lasse man in L einen Stab einstecken, und stelle sich mit dem Winkclkreuze in der Geraden ^6 dort auf, wo beiläufig die Senkrechte hinfallen dürfte; bringe die beiden Stifte des einen Brettchens in die Richtung der Geraden L6 und visiere über die beiden anderen Stifte. Trifft die Visierlinie gerade auf den gegebenen Punkt 8, so ist der Punkt unter der Mitte des Werkzeuges der Ort, wo die Senkrechte eintrifft; erscheint aber der gegebene Punkt L rechts oder links von der Visierlinie, so rücke man das Winkelkreuz nach der Seite desselben so lauge, bis man ihn in der Richtung der Stifte erblickt, wobei übrigens die zwei anderen Stifte beständig in der Richtung der Geraden ^0 bleiben müssen. tz. 35- Es sei (Fig. 21s Ov L LL. Wenn die Ov längs der LL mit sich selbst parallel fortschreitet, bis sie in die Lage LL kommt, so wird während dieser Bewegung die Lage der 00 gegen die LL nicht geändert; es wird daher Ov auch in der Lage LI? auf LV senkrecht stehen. Daraus ersieht man: Fig> 21. I.StehteineGeradeaufeiner L andern Geraden senkrecht, so ist auch jede mit der ersteren Paral¬ lele auf der zweiten Geraden senk- recht. 2. Stehen zwei Gerade auf derselben dritten senk¬ recht, so sind sie unter einander parallel. Scheitelwinkel. Z. 36- Verlängert man beide Schenkel eines Winkels LOL (Fig. 22) über den Scheitel 0 hinans, so heißt der von diesen Ver- Fig- 22. längerungen gebildete Winkel 00V der Scheitelwinkel des gegebenen Winkels LOL. Scheitelwinkel werden also von densel- ben zwei geradenLinien auf entgegengesetzten Seiten ihres Durchschnittspunktes gebildet. Da zwei sich schneidende Gerade auf beiden Seiten des Durch¬ schnittspunktes ihre Richtungen beibehalten, so ist auch die Abweichung 22 dieser Richtungen auf beiden Seiten dieselbe; d. h. je zwei Scheitelwinkel sind einander gleich. Gegenwinkel, Wechsrlwrnkcl und Ämvinkei. big 2Z 8' 37- Werden zwei gerade Linien von einer dritten geschnitten, so entstehen um die / beiden Durchschnittspunkte acht Winkel. Die gier Winkel, welche zwischen den beiden ge- / schnittenen Geraden liegen, heißen innere, / die anderen vier äußere Winkel. In Fig. 23 7-, /n. sind und 08 die beiden geschnittenen Geraden, LI? ist die schneidende Gerade; e, 6, in und n sind innere, a, d, o und p sind äußere Winkel. Ein äußerer und ein innerer Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf derselben Seite der Schneidenden liegen, heißen Gegenwinkel. Zwei äußere Winkel oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf verschiedenen Seiten der Schnei¬ denden liegen, werden W e ch s elwi n k el genannt. Zwei äußere, oder zwei innere Winkel, welche verschiedene Scheitel haben und auf der¬ selben Seite der Schneidenden liegen, heißen An winkel. Gegenwinkel Wechselwinkel s. und iv, u und p, b „ n, b „ o, e „ o, e „ n, ä „ x, ä „ in, 8- 38- Schreitet (Fig. 24) die Gerade Anwinkel a und o, b „ p, o „ m, ä „ n. ^.8 längs der 88 mit sich selbst parallel fort, bis sie in die Lage 08 kommt, so wird sie, da Fig. 24. sich dabei ihre Lage gegen die 88 nicht ändert. /-L mit dieser stets dieselben vier Winkel bilden; es / werden also, wenn ^8 nach 0V gelangt, je zwei E—Gegenwinkel auf einander fallen, also einander / gleich sein; je zwei Wechselwinkel werden in zwei /7 «-/K Scheitelwinkel übergehen, also auch einander gleich sein; je zwei Anwinkel endlich werden zuNeben- -lk' Winkeln, also zusammen 180" betragen. Es ist also 1) a — in, 2) a — p, h — n, b — o, e — o, o — n, cl — p, ä — in. 3) a -st o — 180», b -stp — 180°, o -stin— 180°, ci Z- n — 180«; d. h. 23 Werden zwei parallele Gerade von einer dritten geschnitten, so sind 1. je zwei Gegenwinkel einander gleich, 2. je zwei Wechselwinkel einander gleich, 3. je zwei An Winkel zusammen gleich 180°. Umgekehrt folgt: Werden zwei Gerade von einer dritten so geschnitten, dass entweder zwei Gegen¬ winkel oder zwei Wechselwinkel gleich sind, oder zwei Anwinkel zusammen 180° betragen, so müssen die geschnittenen Geraden parallel sein. Aufgaben. 1. Zeichne zwei parallele Gerade L.L und 0V und durchschneide sie durch eine dritte Gerade LU, welche die anderen in O und 8 trifft. Benenne jeden der dadurch entstehenden Winkel mit drei Buchstaben. Gib alle Paare von Reben-, Scheitel-, Gegen-, Wechsel- und Anwinkeln an. 2. Es sei (Fig. 24) der Winkel u —112°; wie groß ist b, e, ü, m, n, o, x? 3. Welche Richtungen haben die Schenkel g) zweier gleicher Gegenwinkel, d) zweier gleicher Wcchselwiukel? ß. 39. Ist (Fig. 25) O0j40 und 01MO, so sind m und a zwei Winkel, deren parallele Schenkel nach derselben Seite gerichtet sind; sie sind einander gleich, weil beide dem gemeinschaftlichen Gegenwinkel x gleich sind; also in — a. Fig. 25. Die Schenkel der Winkel n und a sind auch paarweise parallel, es sind jedoch nur zwei / /' parallele Schenkel nach derselben Seite, die / / beiden anderen aber nach entgegengesetzten a -/.r F Seiten gerichtet; da n -s- m — 180° ist und N statt in auch der Winkel a gesetzt werden kann, so ist auch u -s- u — 180°. Daraus folgt u) Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise einander parallel sind, sind einander gleich, wenn beide Paare der Parallelen Schenkel nach derselben Seite gerichtet sind. d) ZweiWinkel, deren Schenkel paarweise einander parallel sind, betragen zusammen 180°, wenn nur ein Paar der parallelen Schenkel nach derselben Seite, das andere aber nach entgegengesetzten Seiten gerichtet ist. Z. 40. Es sei (Fig. 26) VL 40 und OK P 40. Man drehe die Schenkel DU und OK des Winkels KOK als eine feste 24 Fig- 26. Verbindung um den Scheitel O um einen rechten Winkel, so dass sie in die Lage I)L' und vl^ kommen. In I haben nun die Winkel LDl^undLLOpaar- - weise parallele und nach den¬ selben Seiten gerichtete Schenkel; also ist Winkel LDI^ —UtpO, folglich auch Winkel LI)ll — LLO. In II sind auch die Schenkel der Winkel LDI" und LLO paarweise parallel, jedoch ein Paar nach derselben, das andere Paar nach entgegengesetzten Seiten gerichtet; also ist LDIX -s- Lä.0 — 180°, folglich auch Winkel LM -j- — 180°. Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise auf einander senkrecht stehen, sind entweder gleich, oder ihre Summe ist gleich 180». Wann findet die erste und wann die zweite Beziehung statt? II. Geradlinige Figuren. 1. Dreiecke. DestaudtheNc der Dreiecke. Z. 41- Eine von drei Strecken begrenzte ebene Figur heißt ein Dreieck. Die drei Strecken heißen Seiten des Dreieckes. Jedes Dreieck hat drei Seiten nnd drei Winkel. Jede Seite hat zwei anliegende und einen gegenüberliegenden Winkel. Jeder Winkel wird von zwei Seiten ein geschlossen und die dritte liegt ihm gegenüber. Fig. 27. Nenne in dem Dreiecke L.ÜO (Fig. 27) alle drei <7 Seiten und alle drei Winkel. / X Nenne zu jeder Seite die anliegenden Winkel und / x^ den gegenüberliegenden Winkel. / Nenne zu jedem Winkel die Seiten, von denen er / x cingeschlossen wird, und die Seite, welche ihm gcgen- Seiten des Dreieckes. 8- 42- In jedem Dreiecke ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte; denn der Umweg über ^0 und 25 6L, um von L nach L zu gelangen, ist länger als der gerade Weg über LL. Diejenige Seite, über welcher man sich das Dreieck errichtet denkt, heißt die Grundlinie. Da man sich über jeder Seite das Dreieck errichtet denken kann, so kann im allgemeinen auch jede Seite Fig. 28. Grundlinie sein. Der Scheitel des Winkels, welcher der Grundlinie gegenttberliegt, wird /! die Spitze oder der Scheitel, und die / > Senkrechte, die von der Spitze auf die Grund- / ! linie gefällt wird, die H ö h e des Dreieckes A genannt. Nimmt man im Dreiecke ^.L6 (Fig. 28) L.L als Grundlinie an, so ist 0 der Scheitel und Ov die Höhe. Winkel des Dreieckes. §. 43. Verlängert man eine Seite eines Dreieckes, so bildet die Verlängerung mit der anliegenden Seite einen Winkel, welcher ein Außenwinkel des Dreieckes heißt, während die drei Winkel im Dreiecke innere Winkel sind. Fig. 29. MV (Fig. 29) ist ein Außen- winkel des Dreieckes ^.LO. Xx / Verlängere jede Seite eines Dreieckes / X / nach beiden Seiten. Wie diele Außenwinkel / werden dadurch gebildet? Welche unter ihnen / /') -r/ X sind als Scheitelwinkel gleich? Nenne zu jedem --l---Außenwinkel den inneren anliegenden, und die beiden nicht anliegenden Winkel. 8. 44. Wird in dein Dreiecke 4L0 (Fig. 29) die Seite LL verlängert und durch L die LV i L6 gezogen, so entstehen die zwei Winkel in und n, von denen m dem Winkel a als Gegenwinkel, u dem Winkel e als Wechselwinkel gleich ist. Die Summe der drei Winkel s, e, b, ist daher so groß, als die Summe der Winkel in, n, b. Die letztere Summe aber beträgt einen gestreckten Winkel oder zwei Rechte; also muss auch die Summe von a, o und b zwei Rechte betragen. Die Summe der drei inneren Winkel eines Dreieckes ist also gleich zwei Rechten oder 180°. Aus diesem Satze folgt: 1. Zwei Dreieckswinkel betragen zusammen weniger als 180". Können in einem Dreiecke zwei rechte Winkel, oder zwei stumpfe Winkel oder ein rechter und ein stumpfer Winkel Vorkommen? Jedes Dreieck hat daher wenigstens zwei spitze Winkel. 26 2. Wenn in einem Dreiecke zwei Winkel bekannt sind, so findet man den dritten, indem man die beiden gegebenen Winkel addiert nnd ihre Summe von 180" subtrahiert. Zwei Winkel eines Dreieckes sind: n) 65° nnd 87°; 5) 43° 10' und 102° 27'; e) 25° 46' 21" nnd 74° 48 ' 49"; ä) 57° 38' 34" nnd 61° 10' 16"; wie groß ist der dritte Winkel? 3. Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich zwei Winkeln eines andern Dreieckes, so müssen auch die dritten Winkel in beiden Drei¬ ecken gleich sein. 4. Jeder Außenwinkel eines Dreieckes ist gleich der Summe der beiden inneren ihm nicht anliegenden Winkel. Denn der Außenwinkel 060 (Fig. 29) ist die Summe der Winkel m und u; diese sind aber den Winkeln u und e gleich. Eintheilung der Dreiecke mich den Seiten. Z. 45- In Beziehung ans die Länge der Seiten unter¬ scheidet man ungleichseitige, gleichschenklige und gleich¬ seitige Dreiecke. Fig. 30. Ein Dreieck ^.LO (Fig. 30), in welchem alle drei Seiten einander ungleich sind, heißt ungleichseitig; ein Drei¬ eck MO, in welchem zwei Seiten einander gleich sind, heißt gleichschenklig; ein Dreieck OUck, in welchem alle drei Seiten gleich sind, wird gleich¬ seitig genannt. Im gleichschenkligen Dreiecke heißen die gleichen Seiten Schenkel, die dritte Seite die Grundlinie und der ihr gegen¬ überliegende Eckpunkt der Scheitel. , Fig. 31. Aufgaben. 1. Ein gleichseitiges Dreieck zu zeichnen. Zeichne (Fig. 31) eine Strecke ^8, errichte in der Mitte N derselben eine Senkrechte und bestimme in ihr den dritten Dreieckspnnkt 0 so, dass er von und von 8 so weit entfernt ist, wie von 8. Um die Richtigkeit zu prüfen, drehe man das Zeichenblatt so, dass 80 in die horizontale Lage kommt; dann sieht man sogleich, ob der dritte Punkt Uber der Mitte der 80 die bezeichnete Stellung hat. 27 2. Ein gleichschenkliges Dreieck zu zeichnen. Errichte in der Mitte der Grundlinie eine Senkrechte und nimm einen beliebigen Punkt derselben als dritten Dreieckspunkt an. Lmtheilnng der Dreiecke nach den Winkeln. 46- Mit Rücksicht ans die Winkel gibt es spitzwinklige Dreiecke, in denen alle drei Winkel spitz sind; rechtwinklige, in denen ein rechter und zwei spitze Winkel Vorkommen; und stumpf¬ winklige, in denen ein Winkel stumpf, die anderen zwei spitz sind. Fig. 32. In Fig. 32 ist ein spitzwinkliges, 4DL ein recht¬ winkliges und ein stumpf¬ winkliges Dreieck. Jin rechtwinkligen Drei- ecke heißt die dein rechten Winkel gegenüberliegende Seite LI? die Hypotenuse; die beiden Seiten VL und Öl', welche den rechten Winkel einschließen, werden Katheten genannt. Aufgaben. 1. Ein rechtwinkliges Dreieck zn zeichnen. Zeichne einen rechten Winkel und verbinde zwei Punkte der Schenkel durch eine Strecke. 2. Zeichne s) einen spitzen, b) einen rechten, e) einen stumpfen Winkel, schneide . von den Schenkeln gleiche Strecken ab und verbinde dis Endpunkte durch eine Strecke. Was für ein Dreieck erhältst du? 2. Vierecke. DrstandtheUe -er Vierecke. 47- Eine von vier Strecken begrenzte ebene Figur wird ein Viereck genannt. Fig- 33. Ein Viereck hat vier Seiten und vier Winkel. Die Strecke, welche zwei gegenüber- / l stehende Eckpunkte verbindet, heißt Dia- / 'X f g o n ale. / Xs Aufgaben. -2. Wie viele Diagonalen können in einem Vierecke gezogen werden? 2. Nenne in dem Vierecke L.L6I) (Fig. 33) alle vier Seiten und alle vier Winkel. Neune die Diagonale. 28 Z. 48- Zieht man in einem Viereck eine Diagonale, so betragen alle Winkel des Viereckes eben so viel als die Winkel der beiden Dreiecke, in welche das Viereck zerlegt wird; die Winkel in jedem der zwei Dreiecke betragen nun zwei Rechte, daher die Winkel des Viereckes vier Rechte. In einem Vierecke beträgt also die Summe aller Winkel vier Rechte oder 360". Wenn in einem Vierecke alle vier Winkel gleich sind, wie groß ist jeder? Eliitheilimg -er Vierecke nach den Richtungen der gegenüber¬ liegenden Seiten. Z. 49. Ein Viereck, in welchem keine Seite nut einer andern parallel ist, heißt ein Trapezoid (Fig. 34, I.). Ein Viereck, in welchem zwei gegenüberliegende Seiten parallel, die anderen zwei Seiten aber nichtparallel sind, heißt ein Trapez (Fig. 34, II.). Ein Viereck, in welchem je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt ein Parallelogramm (Fig. 34, III.). Fig. 34. Ein Trapez, in welchem die nichtparallelen Seiten einander gleich sind, heißt gleichschenklig. In einem Parallelogramme kann man was immer für eine Seite als Grundlinie annehmen; die Senkrechte, die darauf von der gegenüberliegenden Seite gefält wird, ist dann die Höhe. In einem Trapeze versteht man unter der Höhe eine Senk¬ rechte, welche von einem Punkte der einen parallelen Seite auf die andere parallele Seite gefällt wird. Aufgaben. 1. Zeichne ein gleichschenkliges Trapez. 2. Zeichne zwei Parallele, dann eben so zwei andere Parallele, welche die früheren dnrchschneiden. Was für ein Viereck entsteht dadurch? In einem Parallelogramme sind je zwei gegenüberliegende Seiten einander gleich, und ebenso je zwei gegenüberliegende Winkel einander gleich. Eintheilung -er Parallelogramme nach der Größe der Seiten und Winkel. Z. 50- Ein Parallelogramm, in welchem weder alle Seiten noch alle Winkel gleich sind, heißt ein Rhomboid (Fig. 35, I.); ein Parallelogramm, in welchem alle Seiten gleich sind, ein 29 Njhombus (Fig. 35, II.); ein Parallelogramm, in welchem alle Winkel gleich sind, ein Rechteck (Fig. 35, III.); ein Parallelogramm endlich, in welchem alle Seiten und alle Winkel gleich sind, ein Quadrat (Fig. 35, IV.). Fig. 35. Im Rechtecke und im Quadrate ist jeder Winkel ein rechter; im Rhomboid und im Rhombus kommen zwei gleiche spitze und zwei gleiche stumpfe Winkel vor. Darum werden das Rechteck und Quadrat auch rechtwinklige, das Rhomboid und der Rhombus schief¬ winklige Parallelogramme genannt. Aufgaben. 1. Ein schiefwinkliges Parallelogramm (Rhomboid oder Rhombus! zu zeichnen. Zeichne einen spitzen oder stumpfen Winkel a) mit ungleichen Schenkeln, d) mit gleichen Schenkeln und ziehe durch die Endpunkte Gerade, welche mit den Schenkeln parallel sind. Was für ein Viereck entsteht in jedem Falle? 2. Ein rechtwinkliges. Parallelogramm (Rechteck oder Quadrat) zu zeichnen. Zeichne einen rechten Winkel n) mit ungleichen, l>) mit gleichen Schenkeln, und ziehe durch die Endpunkte Gerade, welche mit den Schenkeln parallel sind. Was für ein Viereck entsteht in jedem Falle? 3. Vielecke. Gestandtheile der Vielecke. Z. 51- Eine von mehreren Strecken begrenzte ebene Figur heißt Vieleck oder Polygon. Jedes Vieleck hat so viele Seiten als Winkel; zwischen je zwei Seiten liegt ein Winkel, zwischen je zwei Winkeln eine Seite; ferner liegen an jeder Seite zwei Winkel und zwei Seiten. Die Summe aller Seiten eines Vieleckes heißt der Umfang, und die Größe der von den Seiten eingeschlosfenen Fläche der Flächeninhalt desselben. Die Winkel eines Vieleckes können spitze, rechte, stumpfe, und selbst auch erhabene sein; die letzten nennt man auch einsprin¬ gende Vieleckswinkel. 30 Zeichne ein Vieleck, in welchem ein rechter, ein stumpfer, ein einspringender und zwei spitze Winkel Vorkommen. Eine Strecke, welche zwei nicht unmittelbar auf einander fol¬ gende Eckpunkte des Vieleckes verbindet, heißt Diagonale. Z. 52. In jedem Vieleck ist die Summe aller Winkel gleich so vielmal zwei Rechten, als das Vieleck Seiten hat, weniger vier Rechten. Nimmt Ulan innerhalb des Vieleckes ALOVUb' (Fig. 36) einen beliebigen Punkt 0 an, und zieht von diesem zu allen Eckpunkten gerade Linien, so erhält man so viele Dreiecke, als das Vieleck Seiten hat; die Winkel eines solchen Dreieckes betragen zwei Rechte, daher die Winkel aller Dreiecke so vielmal 2 Rechte, als das Vieleck Fig. S6. Seiten hat. Unter den Winkeln der Dreiecke kommen nun alle Vieleckswinkel vor, aber überdies auch noch die Winkel um den Punkt 0 herum, die nicht Vieleckswinkel sind und die zusammen 4 Rechte betragen. Um daher bloß die Summe der Vieleckswinkel zu erhalten, muss man voir der Winkelsumme aller Drei¬ ecke noch 4 Rechte subtrahieren. ElnthrUung der Vielecke nach der Anzahl der Seiten. Z. 53- Die Vielecke werden nach der Anzahl ihrer Seiten in dreiseitige oder Dreiecke, vierseitige oder Vierecke, fünf¬ seitige oder Fünfecke, u. s. w. eingetheilt. Im engeren Sinne versteht man unter Vieleck eine Figur, welche mehr als vier Seiten hat. Aufgaben. 1. Wie groß ist die Summe aller Winkel eines Fünfeckes? — eines Sechs-, Sieben-, Acht-, Neun-, Zehneckes? 2. Kann in einem Dreiecke eine Diagonale gezogen werden? 8. Wie viele Diagonalen können von einem Eckpunkte in einem Bier-, Fünf-, Sechs-, Sieben-, Acht-, Neun-, Zehnecke gezogen werden? In wie viele Dreiecke wird dadurch jedes der genannten Vielecke zerlegt? 4. Wie viele verschiedene Diagonalen sind überhaupt in einem Vielecke möglich? Im Vierecke sind 2, „ Fünfecke „ 2 -s- 3 — 5, „ Sechsecke „ 2 -s- 3 -s- 4 — 9, „ Siebenecke „ 2 -s- 3 -f- 4 -s- 5 — 14, „ Achtecke „ 2 -s- 3 -f- 4 -s- 5 -f- 6 — 20. Diagonalen möglich. Gesetz! 31 EintlseUuilg der Vielecke nach der Größe der Keilen und Winkel. Z. 54. Ein Vieleck heißt gleichseitig, wenn alle Seiten einander gleich sind; sonst ungleichseitig. Ein Vieleck heißt gleichwinklig, wenn alle Winkel einander gleich sind; sonst ungleichwinklig. Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich und alle Winkel gleich sind; sonst unregelmäßig. So ist z. V. der Rhombus ein gleichseitiges, das Rechteck ein gleich¬ winkliges, das Quadrat ein regelmäßiges Viereck. Da in einem regelmäßigen Vielecke alle Winkel gleich sind, so findet man die Größe eines derselben, wenn man zuerst die Summe aller Winkel bestimmt, und dieselbe durch die Anzahl der Winkel dividiert. So beträgt ein Winkel des regelmäßigen Dreieckes . . — go°, „ „ „ „ Viereckes . . - 90°, „ Fünfeckes . . ^0" — 108°, „ „ „ „ Sechseckes . . ^-° — 120°, u. s. w. Aufgaben. 1. Ein regelmäßiges Vieleck zu zeichneu. Bestimme die Größe eines Vieleckswinkels, zeichne eine Strecke, welche die Seite des Vieleckes vorstellt, und trage in den Endpunkten derselben den Vieleckswinkcl auf; von den neuen Schenkeln schneide Stücke ab, welche der angenommenen Vielecksseite gleich sind, trage in den Endpunkten wieder Fig. 37. den Vieleckswinkel auf und setze dieses Ver- fahren fort, bis das Vieleck geschlossen ist. / ch 2. Zeichne ein regelmäßiges Fünfeck. (Die Prü- Xn fung geschieht, indem man alle Diagonalen / X Zieht und nachsieht, ob je eine mit einer Seite Parallel ist.) /X / 3. Zeichne ein regelmäßiges Sechseck. (Es müssen / X / je zwei gegenüberliegende Seiten und eine ck L kV Diagonale parallel sein.) Das regelmäßige Sechseck kann auch ans folgende Art leicht gezeichnet werden: Verlängere die Seite M3 (Fig. 37), Uber welcher das Sechseck beschrieben werden soll, nach N und N, mache ^N am IM — M, zeichne über Als das gleichseitige Dreieck NM, theile die Seiten NI? und 10? in drei gleiche Theile und ziehe M, 80 und IW. 4. Zeichne ein regelmäßiges s.) Achteck, b) Zehneck. 32 III. Congrnenz der geradlinigen Figuren. I. Congruenz dcr Dreiecke. Csnstnirtion und Congruen; der Dreiecke. 8- 55. Zwei Dreiecke sind congruent, d. i. sie haben dieselbe Größe und dieselbe Gestalt, wenn in denselben alle sechs Bestand¬ stücke, die drei Seiten und die drei Winkel, paarweise gleich sind. Da durch die Größe gewisser Seiten und Winkel eines Drei¬ eckes auch die Größe der anderen, z. B. durch die Größe zweier Winkel die Größe des dritten Winkels, bestimmt ist, so kann man aus der Gleichheit von weniger als sechs Bestandstücken in zwei Dreiecken auf ihre Congruenz schließen. Um zu sehen, wie viele und welche Bestandstücke in zwei Drei¬ ecken paarweise gleich sein müssen, damit die Dreiecke congruent seien, braucht man nur zu untersuchen, wie viele und welche Stücke erforderlich sind, um mit denselben ein Dreieck von bestimmter Größe und Gestalt zu construieren, weil dann alle Dreiecke, welche in diesen Stücken übereinstimmen, congruent sein müssen. a) Ist nur ein Bestandstück, eine Seite oder ein Winkel gegeben, so lassen sich, wie man aus Fig. 38 I und II ersieht, unzählig viele verschiedene Dreiecke construieren, die alle jenes Stück enthalten. Durch ein Bestandstück ist also die Größe und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. Fig. 38. I 1 d) Auch mit zwei Bestandstücken: mit zwei Seiten, mit einer Seite und einem anliegenden Winkel, mit einer Seite und dein gegenüberliegenden Winkel oder mit zwei Winkeln, können, wie Fig. 39 I—IV zeigt, unzählig viele Dreiecke construiert Fig. 89. M Ml 33 werden, welche die gegebenen Bestandstücke gleich, die anderen aber ungleich haben. Durch zwei Bestandstücke ist also die Größe und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. e) Sind drei Bestandstücke gegeben, so können es sein: 1. alle drei Seiten, 2. zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel, 3. zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel, 4. eine Seite und zwei Winkel, 5. alle drei Winkel. Da durch zwei Winkel eines Dreieckes auch der dritte Winkel bestimmt ist, mit zwei Winkeln aber, wie man aus Fig. 39 IV ersieht, sich kein bestimmtes Dreieck construieren lässt, so wird auch durch drei Winkel die Größe und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. Der letzte der angeführten fünf Fälle liefert alfo keine bestimmte Cvnstruetion. Es bleiben demnach nur die ersten vier Fälle zu untersuchen übrig. ß. 56- Ein Dreieck zu construieren, wenn die drei Seiten gegeben sind. Es seien (Fig. 40) u, b, c: die Längen der drei Seiten. Trägt man die Strecke — u auf, so sind dadurch zwei Eckpunkte des Dreieckes, und L, bestimmt. Soll die zweite Seite ^.6 die Länge b haben, so muss der dritte Eckpunkt 0 von um die Strecke b entfernt sein; 0 muss also in der Kreislinie liegen, welche aus mit dem Halbmesser b beschrieben wird. Soll die dritte Seite LO die Länge e haben, so muss der Eckpunkt 6 auch in der Kreislinie liegen, welche aus 8 mit dem Halbmesser o beschrieben wird. Der dritte Eckpunkt 0 kann daher nur in dem Durchschnitte dieser beiden Močnik, Geometrie für Bürgerschulen, s. Aufl. g 34 Kreislinien liegen. Da sich aber die beiden Kreise in zwei Punkten 6 und 0^ schneiden, so erhält man zwei Dreiecke tpLO und LLLb, welche die gegebenen drei Seiten haben. Diese zwei Dreiecke haben jedoch dieselbe Größe und Gestalt, da sich, wenn das Dreieck um die Seite gedreht und auf das Dreieck L.66 gelegt wird, beide Dreiecke vollständig decken. Durch drei Seiten ist also die Größe und Gestalt eines Dreieckes vollkommen b estimm t. Für die vorliegende Ausgabe hat man demnach folgende Auf¬ lösung: Man mache L.L — u, beschreibe aus L. mit dem Halbmesser b und aus L mit dem Halbmesser e Kreisbogen, welche sich in 6 schneiden, und ziehe die Geraden LO und L6; dann ist LLO das verlangte Dreieck. Geschieht die Auflösung einer Aufgabe, wie hier, mittelst des Lineals und des Zirkels, und gründet sie sich auf die Lehren der Geometrie, so heißt die Zeichnung eine geometrische Construction. Zeichnet man mit denselben drei Seiten a, b, 6 noch ein zweites Dreieck VLlff, so muss dieses mit gleiche Größe und dieselbe Gestalt haben, also mit ihm congruent fein. Daraus folgt: (I. Congrurnssah.) Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben alle drei Seiten paarweise gleich sind. Aufgaben. 1. Zeichne vier Dreiecke mit den Seiten s) 3 sm, 2 sm, 4 sm; b) 5 cm, 4 em, 3 sm; c) 17 mm, 24mm, 28 mm; ck) 2 SM 6 MM, 3 SM 2 MM, 4 SM 1 MM. 2. Versuche mit den Strecken 2 em, 3 em, 6 em ein Dreieck zu konstruieren. Wie müssen die drei gegebenen Strecken beschaffen sein, damit man mit ihnen ein Dreieck zeichnen könne? 3. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Grundlinie 25 mm und dessen Schenkel 31mm ist. 4. Zeichne ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seite s)3eM, d) 2sm 2mm beträgt. 5. Ein Dreieck ^80 (Fig.40) zu übertragen, d. i. ein Dreieck IWt? zu zeichnen, welches mit dem Dreiecke ^.80 congruent ist. Mache M— L8, beschreibe aus v mit dem Halbmesser L.0, und aus L mit dem Halbmesser 80 Kreisbogen, welche sich in t? schneiden. Ziehe dann vt? und L8, so entsteht das Dreieck I)L8, welches mit ^80 con¬ gruent ist. 35 Fig. 41. 6. Einen Winkel 8^6 (Fig. 41) zu übertragen, d. i. einen Winkel zu zeich- XX XX nen, welcherdemWinkel 'X 8L.0 gleich ist. --X— -A—. Ziehe DL; dann beschreibe aus mrt einem beliebigen Halbmesser einen Bogen, welcher die Schenkel des gegebenen Winkels in N und (V schneidet; mit demselben Halbmesser beschreibe auch aus I> einen Bogen, welcher OL in L durchschneidet; endlich fasse mit dem Zirkel den Abstand LlVs, und durchschneide damit aus L den von I) aus beschriebenen Bogen in L. Wird nun VL gezogen, so ist der Winkel LVL — 8^0, da -4 VLL ist. Dasselbe Verfahren wird auch angewendct, um auf dem Felde einen Winkel abzustecken, der einem gegebenen Winkel gleich ist; nur bedient man sich statt des Zirkels einer gespannten Schnur oder der Messkette und zum Anreißen des Bogens eines Kettennagels. Z. 57- Ein Dreieck zu con st rvieren, wenn zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind. Fig. 42. Es seien (Fig. 42) n und b _j_die zwei gegebenen Seiten und m / V der von ihnen eingeschlossene Winkel. x Construiert man in L den gegebenen / /X Winkel in und trägt auf dessen Schenkeln ^.L — a und L.0 — b L auf, so ist dadurch die Lage der Eckpunkte L und O, daher auch die dritte Seite L0 bestimmt. Durch zwei Seiten und den von ihnen eingeschlosse¬ nen Winkel wird also die Größe und Gestalt eines Dreieckes vollkommen bestimmt. Construiert inan mit denselben drei Stücken ein zweites Dreieck, so muss es mit dem früheren in der Größe und Gestalt überein¬ stimmen, d. h. mit ihm congruent sein. Daraus folgt: (II. Congrueiysah.) Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben zweiSeiten und der vonihnen ein¬ geschlossene Winkel paarweise gleich sind. Zwei rechtwinklige Dreiecke sind congruent, wenn in den¬ selben die Katheten paarweise gleich sind. Z* 36 Aufgaben. 1. Constrniere folgende Dreiecke: n) zwei Seiten 3 cm und 4 sm, eingeschlossener W. 82": d) „ „ 15 mm „ Wurm, „ „ 65°; o) „ „ 2 cur 2 mm „ 6 cm 6mm, „ „ 124". 2. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 21mm und 29 mm. 8. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel 1cm 8mm und dessen Winkel am Scheitel 76° ist. ß. 58- Ein Dreieck zu construieren., wenn zwei Seiten und dereiner dieser Seiten gegenüberliegende Winkel gegeben sind. Der gegebene Winkel kann der größeren oder kleineren der beiden Seiten gegenüberliegen. a) Es seien (Fig. 43) u und b die beiden gegebenen Seiten und zwar a größer als b; der der größeren Seite a gegenüber¬ liegende Winkel sei in. Fig. 43. - Man trage den Winkel m auf . _ § und wache den einen Schenkel ^6 /x / gleich der Seite b, deren gegen- -/ / X / überliegender Winkel nicht gegeben / X / / x / ist; dadurch sind zwei Eckpunkte des E— X-Dreieckes, und 0, bestimmt. Der dritte Eckpunkt 8 muss in dem weiten Sch enkel L8 des Winkels liegen und zugleich von dein Eck¬ punkte 0 um die Strecke u entfernt sein. Beschreibt man daher aus 6 mit dem Halbmesser a eine Kreislinie, so muss 8 in dem Durch¬ schnitte dieser Kreislinie mit dem Schenkel ä.8 liegen. Die Kreislinie schneidet den Schenkel L8 in zwei Punkten 8 und 8H und man erhält daher zwei Dreiecke ^80 und L8'0. Von diesen enthält jedoch nur das erste Dreieck L80 die gegebenen drei Stücke; das zweite ^8"0 hat zwar auch die zwei gegebenen Seiten, aber nicht den gegebenen Winkel, sondern dessen Nebenwinkel, genügt sonnt der Aufgabe nicht. Durch zwei Seiten und den der größe¬ ren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel ist also die Größe und Gestalt eines Dreieckes vollkommen bestimmt. Zeichnet man mit denselben drei Stücken noch, ein zweites Dreieck, so muss dieses mit dem früheren gleiche Größe und dieselbe Gestalt haben. Daraus folgt: 37 gegen- ein e aulie- Man ziehe n a; dadurch sind zwei Eckpunkte des Dreieckes, L. und L, be¬ stimmt. Trägt uran in den Winkel m und in L den Winkel n auf, so muss der dritte Eckpunkt 0 in dem Durchschnittspunkte der beiden der Seite L.L die gegebenen (III. Congrueiysah.) Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben zwei Seiten und der der größeren dieser Seiten gegenüberliegende Winkel paarweise Geraden LO und LO, welche mit Winkel bilden, liegen. Man erhält also das Dreieck ^86, welches eine völlig bestimmte Größe und Gestalt hat. Durch eine Seite und die beiden ihr anliegenden Winkel ist also die Größe und Gestalt eines Dreieckes vollkommen be¬ stimmt. b) Es seien (Fig. 44) a und b die zwei gegebenen Seiten und zwar s. kleiner als d, und der Winkel, welcher der kleineren Seite a gegen¬ überliegt, sei m. Durch das gleiche Verfahren, wie oben, erhält man zwei Drei¬ ecke und ^.8'6, welche beide die gegebenen drei Stücke ent¬ halten, aber in der Größe und Gestalt verschieden find. Durch zwei Seiten und den der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkel ist also die Größe und Gestalt eines Dreieckes nicht bestimmt. Zeichne ein Dreieck, in welchem zwei Seiten s,) 4 em nnd 2 cm, d) 3om 2 mm und 2om 4mm, e) 28mm und I9mm sind, und der der größeren Seite itberliegende Winkel m) 62", u) 86°, x) 117" beträgt. Z. 59- Ein Dreieck zu construieren, wenn Seite und zwei Winkel gegeben sind. Die zwei Winkel sind entweder die der gegebenen Seite genden, oder es ist der eine ein anliegender, der andere der gegen¬ überliegende Winkel. n) Es sei (Fig. 45) a die gegebene Seite und die Winkel in und n die ihr anliegenden Winkel. Fig. 45. 38 Wird mit denselben drei Stücken n, in und n noch ein zweites Dreieck gezeichnet, so muss es mit VLO gleiche Größe und gleiche Gestalt haben, also mit ihm congruent sein. Daraus folgt: (IV. Cangruciysatz.) Zwei Dreiecke sind congruent, wenn in denselben eineSeite und dieihr anliegenden Winkel paarweise gleich sind. d) Sind von einem Dreiecke eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel gegeben, so ist dadurch auch der dritte Winkel bestimmt; dann sind aber eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt, und man kann allgemein sagen: Durch eine Seite und zwei Winkel wird ein Dreieck vollkommen bestimmt. Zwei rechtwinklige Dreiecke sind congruent, wenn in den¬ selben eine Kathete und ein spitzer Winkel, oder die Hypotenuse und ein spitzer Winkel paarweise gleich sind. Aufgaben. 1. Zeichne folgende Dreiecke: n) eine Seite 4cm, anliegende Winkel 72° und 47°; b) „ „ 3 cm, „ „ 65° „ 56°; e) „ „ 2'8 em, „ „ 102° „ 25°. 2. Versuche mit der Seite 2ckm und den Winkeln 105" und 75° ein Dreieck zu zeichnen. Wie müssen die anliegenden Winkel beschaffen sein, damit die Constrnction des Dreieckes möglich sei? 3. Construiere ein Dreieck, in welchem eine Seite 27 mm, ein anliegender Winkel 59° und der gegenüberliegende Winkel 72° beträgt. 4. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, wenn gegeben sind: a) eine Kathete — lem 5mm und der anliegende spitze Winkel — 57°; b) eine Kathete — 3cm und der gegenüberliegende Winkel — 63°; e) die Hypotenuse — 2 em und ein anliegender Winkel — 42". Z. 60- Nimmt mau in deu Winkeln ^L6 und ^Lv (Fig. 46) 46 LO —LV an, und zieht und Vv, so stimmen die dadurch entstehenden Dreiecke VL6 und L.LV /> in zwei Seiten überein; dagegen ist die dritte Seite i VO im ^Z VLO größer, als die dritte Seite L.V im ^z VLV; zugleich ist der der Seite vo gegen- l ( übcrliegende Winkel ^LO im l^LO größer als V der der Seite ^.v gegenüberliegende Winkel t^LV im ^Z VLV. Daraus folgt: I. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten Paarweife gleich, die dritten Seiten aber ungleich, so liegt 39 der größeren dieser Seiten auch ein größerer Winkel gegenüber. 2. Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten paarweise gleich, die vonihnen e i n g e s chl o s s e n e n Wi n k e l a ber ungleich, so liegt dem größeren dieser Winkel auch eine größere Seite gegenüber. 2. Anwendung der Congruerysätze. Lehrsätze über -re Dreiecke. Z. 61- Es seien in dem Dreiecke L.LO (Fig. 47) zwei Seiten L.0 und LL gleich. Man halbiere die Seite LL im Punkte v und Fig- 47- vergleiche die beiden Dreiecke LOV und L6V; /ix es ist in denselben die Seite vv gemein- / X schastlich, ferner LO — LO nach der Voraus- / ! X setzung, und LV — LV vermöge der Con- / X struction; in den beiden Dreiecken sind also S X? alle drei Seiten paarweise gleich, folglich sind die Dreiecke LOD und L6V congruent. In congruenten Dreiecken müssen die Winkel, welche den gleichen Seiten gegenüberliegen, gleich sein; der gemeinschaftlichen Seite Ov liegt im Dreiecke LOV der Winkel L, im Dreiecke LOV der Winkel ö gegenüber; also ist L — L. Wenn also im Dreiecke LLO die Seite LO — LO ist, so muss auch der Winkel L — L sein, d. h. Sind in einemDreiecke zweiSeiten gleich, so sind auch die ihnen gegenüberliegenden Winkel gleich. In einem gleichschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der Grundlinie gleich. In einem gleichseitigen Dreiecke sind alle drei Winkel gleich; ein gleichseitiges Dreieck ist also auch gleichwinklig. Aufgaben. 1. Wie groß ist jeder Winkel eines gleichseitigen Dreieckes? 2. Wie groß ist der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn ein Winkel an der Grundlinie s.) 52°, l>) 37° 12' 50" ist? 3. Wie groß ist ein Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn der Winkel am Scheitel s) 71°, d) 25" 46', c) 59" 19' 42" beträgt? 4. Wie groß ist jeder spitze Winkel in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecke? 5. Zeichne folgende gleichschenklige Dreiecke: n) Grundlinie — 3om, ein Winkel an der Grundlinie — 41"; d) Grundlinie — 27mm, Winkel am Scheitel — 68°; 40 o) ein Schenkel — 35mm, ein Winkel an der Grundlinie — 62"; ü) em Schenkel — 2 em 6 mm, Winkel am Scheitel — 84". 6. Zeichne ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse 38mm ist. Z. 62- Es sei umgekehrt in dem Dreiecke L86 (Fig. 47) der Winkel L — 8, so lässt sich zeigen, dass auch die Seite 86—L6 sein müsse. Fällt man nämlich von 0 auf L8 die Senkrechte 6V, so erhält man zwei Dreiecke, welche alle drei Winkel paarweise gleich, und überdies die Seite 61) gemeinschaftlich haben, die also congruent sind; in diesen Dreiecken liegen den gleichen Winkeln in und n die Seiten L6 und 86 gegenüber, also ist L6 — 86. Sind also in einem Dreiecke zwei Winkel gleich, so sind auch die ihnen gegenüberliegenden Seiten gleich. 8- 63- Sind in einem Dreiecke zwei Winkel un¬ gleich, so sind auch die ihnen gegenüberliegenden Seiten ungleich, und zwar liegt dem größeren Winkel auch eine größere Seite gegenüber. Es sei im Dreiecke L86 (Fig. 48) der Winkel 8L6 größer als L86; so lässt sich zeigen, dass auch 86 größer sein müsse als L6. — Schneidet man von dein größeren Winkel '''' ' bei L durch die Gerade LV einen Theil ab, 'X so dass der Rest 8LV — L8V sei, so ist im / Dreiecke L8V auch LV — 8V. Es ist nun im / X Dreiecke L6V die Summe von LV und V6 // größer als L6; LV und V6 ist aber so viel F als 8V und V6, folglich soviel als 86; also ist wirklich 86 größer als L6. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist also die Hypotenuse, im stumpf¬ winkligen die dem stumpfen Winkel gegenüberliegende Seite die größte Seite. Aus dem III. Congruenzsatze (Z. 58) folgt daun auch: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind congruent, wenn in den¬ selben die Hypotenuse und eine Kathete paarweise gleich sind. Fig. 49. § 8- 64- Zieht man vom Punkte 6 (Fig. 49) zu der Geraden L8 die Senkrechte 6V und überdies irgend eine andere Gerade z. B. 68, so entsteht ein rechtwinkliges Dreieck 6V8, und es muss darin die Hypotenuse 68 größer sein, als die Kathete 6V. 41 Die Senkrechte ist daher die kürzeste Gerade, die von einem Punkte zu einer geraden Linie gezogen werden kann. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Gerade dient dazu, um die Entfernung jenes Punktes von der Geraden zu messen. Z. 65. Es sei in dem gleichschenkligen Dreiecke kILO (Fig. 47) Ov st, L.L. Die rechtwinkligen Dreiecke ^Ov und LOD haben die Hypotenuse gleich, und eine Kathete gemeinschaftlich, folglich sind sie congruent, und es müssen auch die zweiten Katheten darin gleich sein, nämlich ^0 — LV. Die Grundlinie L.L ist also im Punkte v halbiert worden. Zieht man daher in einem gleichschenkligen Drei¬ ecke vom Scheitel eine Senkrechte auf die Grundlinie, so wird diese dadurch halbiert. Der Beweis für diesen Lehrsatz ist auch noch gütig, wenn Lil — L.0 — L6 d. i. wenn das Dreieck gleichseitig ist. Im gleichschenkligen sowie im gleichseitigen Dreiecke wird also die Grund¬ linie von der Höhe halbiert. Da nach dem obigen Satze die Strecke zwischen dem Scheitel und der Mitte der Grundlinie auf dieser senkrecht steht, durch die Mitte der Grundlinie aber auf dieselbe nur eine einzige Senkrechte gezogen werden kann, so ist auch der folgende Satz richtig: Die Senkrechte, welche man in der Mitte der Grundlinie eines gleichschenkligenDreieckes auf diese errichtet, geht durch den Scheitel. Z. 66- Es fei das Dreieck ^.80 (Fig. 47) gleichschenklig, nämlich ^0 — LO. Halbiert man die Grundlinie L.L im Punkte v, und zieht die Strecke 6V, so sind die zwei Dreiecke LOV und LOV congruent. Es müssen daher die Winkel in und n, welche in den kongruenten Dreiecken den gleichen Seiten gegenüberliegen, gleich sein; sind aber diese Winkel gleich, so steht Ov senkrecht auf ^L. Daraus folgt: Verbindet man in einem gleichschenkligen Drei¬ ecke die Mitte der Grundlinie mit dem Scheitel, so steht die Verbindungslinie auf der Grundlinie senkrecht. Auf diesem Lehrsätze beruhet die Einrichtung und der Gebrauch der Schrot- Wage sFig. SO). Diese ist ein hölzernes gleichschenkliges Dreieck, in dessen 42 Fig. 50. Spitze ein unten mit einer Kugel beschwerter Faden befestigt Wirch und an dessen Grundlinie, oder einem damit verbun¬ denen Gradbogen die Mitte durch einen Theilstrich bemerkt ist. Dieses Werkzeug dient dazu, um zu untersuchen, ob eine Gerade horizontal ist. Stellt man nämlich die Schrot- wage mit der Grundlinie auf die zu Prüfende Gerade, und spielt der beschwerte Faden genau in die Mitte der Grund- linie ein, so ist die Gerade horizontal, sonst steht sie gegen " den Horizont geneigt. Denn der beschwerte Faden ist allezeit vertical: soll die Grundlinie, und die darunter befindliche Gerade horizontal sein, so muss sie auf den vertikalen Faden senkrecht stehen: dies ist aber der Fall, wenn der Faden genau in die Mitte fällt. Fig- 51. Z. 67. Zeichnet man über der Grundlinie LL (Fig. 51) zwei gleichschenklige Dreiecke LLO und LLV und zieht durch die Scheitel 0 und v die Strecke Ov, so sind die Dreiecke LOD und LOV congruent (warum?); folglich müssen darin die Winkel, welche den gleichen Seiten gegenüber¬ liegen, gleich sein. Den gleichen Seiten LV und LV liegen die Winkel a und b gegenüber, also ist n—5; den gleichen Seiten LO und 80 liegen die Winkel o und ä gegenüber, also ist e — ck. Durch die Gerade Ov wird also jeder Winkel am Scheitel halbiert. Weil nun LO —LO, OL — OL und s, — l> ist, so ist LOL LOL, daher LL — LL. Die Grundlinie LL wird also durch die Gerade Ov im Punkte L halbiert. Aus der Congruenz der Dreiecke LOL und LOL folgt ferner, dass auch die Winkel LLO und LLO gleich sind, oder dass OL 4. LL ist. Zeichnet man daher über einer Strecke zwei gleich¬ schenklige Dreiecke und zieht durch die Scheitel eine Gerade, so halbiert diese l. die Winkel an den Schei¬ teln, sie halbiert 2. die gemeinschaftliche Grundlinie und steht 3. auf der Grundlinie senkrecht. Loustrnrtiansmlfgllben. Z. 68- Eine gegebene Strecke LL (Fig. 52) zu hal¬ bieren. Die Auflösung beruht auf dem Satze: Zeichnet man über einer Strecke zwei gleichschenklige Dreiecke und zieht durch die Scheitel eine Gerade, so halbiert diese die Grundlinie. 43 Ng- W. Man braucht daher nur über LL zwei ^XX gleichschenklige Dreiecke zu construieren und ihre XV Scheitel 0 und v durch eine Gerade zu ver- X X^ binden. Dabei sind jedoch die Schenkel der X_Xx gleichschenkligen Dreiecke für die Lösung der ^X7 Z Aufgabe entbebrlich. Die Auflösung ist also: X^ , X Um die Strecke zu halbieren, beschreibe X / man aus ihren Endpunkten mit gleicher Zirkelöffnung nach oben und unten Kreis¬ bogen, welche sich in zwei Punkten schneiden, und ziehe durch die beiden Punkte eine Gerade; diese Gerade halbiert die gegebene Strecke. Aufgaben. 1. Zeichne verschiedene Strecken und halbiere jede derselben. 2. Zeichne eine Strecke und theile sie in 4, 8 gleiche Theile. Z. 69- Einen gegebenen Winkel LOL (Fig. 53) zu halbieren. Fiq. gg. Man mache zuerst den Winkel LOL zum Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen /X Dreieckes, indem man von den Schenkeln des / X Winkels gleiche Stücke ON und M abschneidet. / X Dann braucht man nur noch über der Grund- linie LM ein zweites gleichschenkliges Dreieck / X /X UidiL zu construieren und durch die Scheitel ^4/ X / X^ beider Dreiecke die Gerade 01) zu ziehen. Das / XX /X Zeichnen der Grundlinie LM und der Schenkel Nv und M ist für die Lösung nicht noth- wendig. Man hat demnach folgende Auflösung: Um einen Winkel zu halbieren, beschreibe man aus dem Scheitel einen Bogen, welcher die beiden Schenkel schneidet; aus den Durch¬ schnittspunkten beschreibe man wieder mit demselben Halbmesser zwei Bogen, welche sich in einem Punkte schneiden, und ziehe dann durch diesen Punkt und den Scheitel des Winkels eine Gerade; diese Gerade halbiert den gegebenen Winkel. Aufgaben. 1. Zeichne verschiedene hohle Winkel und halbiere sie. 2. Zeichne einen Winkel und theile ihn in 4 gleiche Theile. 44 8- 70. Auf eine gegebene Gerade M (Fig. 54) von einem außer ihr befindlichen Punkte 0 eine Senk¬ rechte zu fällen. Fig. 54. Es handelt sich zuerst darum, ein gleichschenkliges Dreieck zu zeichnen, dessen Scheitel der Punkt 0 ist, und dessen Grundlinie in die Gerade M fällt. Zu diesem Ende beschreibt man aus 0 -F mit einem hinlänglich großen Halbmesser einen Kreisbogen, welcher die Gerade M in zwei Punkten N und dl schneidet; dadurch ist die gemeinschaftliche Grund¬ linie LM bestimmt. Construiert man dann über dieser Grundlinie ein zweites gleichschenkliges Dreieck NM und zieht die Gerade 0V, so muss diese auf Nkil, also auch aus ^.0 senkrecht sein. Man hat daher folgende Auflösung: Nm aus einem Punkte zu einer Geraden eine Senkrechte zu ziehen, beschreibe man aus jenem Punkte einen Kreisbogen, welcher die Gerade in zwei Punkten schneidet; aus diesen beschreibe man wieder mit demselben Halbmesser zwei Bogen, die sich in einem Punkte schneiden, und verbinde diesen Punkt mit dem gegebenen Punkte durch eine Gerade; diese ist die gesuchte Senkrechte. Sowie auf dem Papiere, kann diese Aufgabe auch auf dem Felde gelöst werden; nur bedient man sich zum Beschreiben der Kreisbogen anstatt des Zirkels einer straff gespannten Schnur. — Eine andere Lösung ist die mittelst des Winkclkreuzes (Z. 34). 8- 71- In einem Punkte einer Geraden auf diese eine Senkrechte zu errichten. u) Die Auflösung beruht auf dein Satze: Zieht man in einein gleichschenkligen Dreiecke vom Scheitel eine Gerade zu der Mitte der Grundlinie, so steht diese Gerade aus der Grundlinie senkrecht. Fig. 55. Es sei (Fig. 55) M die gegebene Gerade und 0 ein Punkt derselben. Man braucht nur ein gleichschenkliges Dreieck NM zu construieren, dessen Grundlinie in die Gerade M so hineinfällt, dass der Punkt 0 die Mitte der Grundlinie LM -F ist, und dann den Scheitel O mit dem Punkte 0 zu verbinden. 45 Um daher in einem Punkte einer Geraden auf diese eine Senk¬ rechte zu errichten, schneide man von jenem Punkte aus an der Geraden gleiche Stücke ab, beschreibe aus ihren Endpunkten mit demselben Halbmesser zwei Bogen, welche sich in einem Punkte schneiden, und ziehe durch diesen und den gegebenen Punkt eine Gerade; diese ist die gesuchte Senkrechte. b) Liegt der gegebene Punkt in der Geraden so, dass sich die Abschnitte zu beiden Seiten derselben nicht machen lassen, so ver¬ längere man zuerst die Gerade, und verfahre dann nach der frü¬ heren Methode. Geht aber die Verlängerung nicht an, so nehme Fig. 56. Denn inan (Fig. 56) über der Geraden LL einen Punkt 0 an, beschreibe aus demselben mit dem Halbmesser OL einen Kreisbogen 0^.1) und ziehe durch v und 0 eine Gerade, welche jenen Bogen in 0 durchschneidet; verbindet man diesen Punkt 0 mit dem gegebenen Punkte L. durch eine Gerade L.0, so ist diese die verlangte Senkrechte. im gleichschenkligen ^VO ist Winkel in — p, „ ' „ 00 ist Winkel n —g, daher m -st u — p-st «p Die Winkel m, n, x, g bilden nun die Winkel eines Drei¬ eckes, also ist in-stn-stp-sth — 2 k; folglich ist die halbe Summe m -st n — R, mithin LO P. L.L. Die Errichtung einer Senkrechten auf dem Felde kann auf dieselbe Art wie auf dem Papiere auSgefiihrt werden, nur dass man sich statt des Zirkels einer Schnur bedient. — Die Lösung dieser Aufgabe mittelst des Winkelkreuzes ist in Z. 34 angegeben worden. Z. 72- Übungsaufgaben. 1. Einen Winkel von a) 60", b) 30", e) 120", ä) 150" geometrisch zu construieren. u) Durch Construction eines gleichseitigen Dreieckes. t>) Durch Halbierung des Winkels von 60°. es und ü) Durch Construction des Nebenwinkels von 60°, bezüglich von 30°. 2. Einen Winkel von u) 90°, b) 45°, c) 135° geometrisch zu construieren. ul Nach 8. 70 oder 8- 71. b) und o) Durch Halbierung des Winkels von 90°, und durch Construction des Nebenwinkels von 45°. 46 3. Die vier merkwürdigen Punkte eines Dreieckes zu bestimmen. n) Fälle von jedem Eckpunkte eines Dreieckes eine Senkrechte auf die gegenüberliegende Seite — eine Höhe. Die drei Höhen eines Dreieckes schneiden sich in einem Punkte. i>) Ziehe von jedem Eckpunkte eines Dreieckes eine Gerade, welche den Winkel an jener Ecke halbiert — eine Winkel Halbie¬ rungslinie. Die drei Winkelhalbierungslinien eines Dreieckes schneiden sich in einem Punkte. e) Halbiere jede Seite eines Dreieckes und ziehe von jeder Mitte eine Strecke zu dem gegenüberliegenden Eckpunkte — eine Mittellinie. Die drei Mittellinien eines Dreieckes schneiden sich in einem Punkte. ck) Halbiere jede Seite, und errichte darauf in der Mitte eine Senkrechte — ein Mittelloth. Die drei Mittellothe eines Dreieckes schneiden sich in einem Punkte. Praktische Äuwrn-ung -er Coilgrnrnjsätze. Zi 73- Die Entfernung zweier Punkte auf dem Felde zu bestimmen, wenn fich dieselbe wegen eines dazwischen befindlichen Hindernisses nicht unmittel¬ bar messen lässt, wenn man aber von einem dritten Punkte aus zu beiden hin messen kann. Fig- 57. Es seien und k (Fig. 57) H H die beiden Punkte, deren Entfernung man wissen will, zwischen welchen / Z- B. ein Teich liegt, so dass eine unmittelbare Messung nicht stattfinden kann. Man wähle einen solchen Standpunkt 6, dass man / von ihm nach den beiden anderen ^'Punkten in gerader Linie messen kann, messe die Strecken 6L. und EL mit den Meterstäben oder mit der Messkette, verlängere dieselben über den Scheitel 0 hinaus, und trage die gemessenen Längen auf die entsprechenden Verlängerungen bis und auf. Da nun das Dreieck und daher —ist, so braucht man nur die Entfernung L" zu messen; diese stellt auch die gesuchte Länge L.L vor. 47 Eine einfachere Lösung dieser Aufgabe wird im Z. 132 ange¬ geben werden. Z. 74- Die Entfernung zweier Punkte L und L auf dem Felde zu bestimmen, wenn man nur zu einem der¬ selben gelangen kann. Fig. 58. Man errichte in dem zu¬ gänglichen Punkte L (Fig. 58) mittelst des Winkelkreuzes auf LL eine Senkrechte LLH wähle darin einen Punkt 0, von dem aus man nach L sehen kann, und mache 0L^ — 6L, sodann errichte man in L/ auf LL/ eine Senkrechte, und suche darin denjenigen Punkt LH welcher mit L und 0 in einer geraden Linie liegt. Wird nun L/1L gemessen, so gibt die gefundene Länge (wegen der Congruenz der Dreiecke LLO und L/ILL) zugleich die gesuchte Entfernung LL an. Eine andere Auflösung dieser Aufgabe wird unter H. 133 folgen. 3. Congruenz der Vierecke. Lehrsätze über die Parallelogramme. Fig. 59. Daraus folgt: 8- 75. Es fei (Fig. 59) LL Ov und LV LO. Zieht man die Diagonale LV, so sind die Wechselwinkel a und 6, und eben so die Wechselwinkel o und b einander gleich; daher ist LLV LOV, und folglich LL — 00, LV — LO. 1. Jedes Parallelogramm wird durch die Diago¬ nale in zwei congruente Dreiecke getheilt. 2. In jedem Parallelogramme sind die gegenüber¬ stehenden Seiten gleich; oder Parallele zwischen Parallelen find einander gleich. Aus dem letzten Satze folgt auch: Senkrechte zwischen Parallelen find einander gleich. 48 Z. 76- Es seien in dein Vierecke LLOV (Fig. 59) die Seiten i4L —Ov und L.V—LO. Zieht man die Diagonale LV, so erhält man die Dreiecke ^Lv und LOV, welche congruent sind, weil sie alle drei Seiten paarweise gleich haben; es müssen daher die den gleichen Seiten L.L und Ov gegenüberliegenden Winkel n und ä gleich, daher, weil diese Winkel Wechselwinkel sind, die Geraden äD und LO parallel sein; wegen L.V —LO folgt eben so 6 —b, und weil diese Winkel Wechselwinkel sind, ^L 00. Es ist also ^L Ov und ^v LO, mithin das Viereck ^LOV ein Parallelogramm. Wenn daher in einem Vierecke je zwei gegenüber¬ liegende Seiten gleich sind, so ist das Viereck ein Parallelogramm. Fig 60. 8-77- Durch einen Punkt 0 (Fig.60) mit einer Geraden L.L eine 0 Parallele zu ziehen. / /7> Ziehe von 0 zu der LL eine beliebige / / Strecke Ov, schneide von v aus das Stück VL ab, beschreibe aus O mit dem Halbmesser VL, aus L mit dem Halbmesser VO Kreis!- bogen, welche sich in L schneiden, und ziehe OL. Dann ist OVLL ein Parallelogramm, daher OL VL, oder OL ^L. 8- 78. Es sei L.LOV (Fig. 61) ein Parallelogramm, also Fig. 61. ^L Ov, ^v LO. Zieht man die Diago- A H.0 und LV, so ist wegen ^.ö — Ov, 0 und d — ä das Dreieck Hvo ovo, / / folglich iVO —00, LO —VO; d. i. die LX / Diagonalen eines jeden Parallelo- grammes halbieren einander. Zusatz. Von den Diagonalen der Parallelogramme gelten noch folgende Sätze: 1. Die Diagonalen eines Rechteckes sind einander gleich. Kann unter Anwendung des II. Congruenzsatzes (Z. 57) bewiesen werden. 2. Die Diagonalen eines Rhombus stehen senkrecht auf einander. Die Wahrheit dieses Satzes beruht auf ß. 67. 3. Die Diagonalen eines Quadrates sind einander gleich und stehen senkrecht aufeinander. 49 K. 79- Es sei in dem Dreiecke 460 (Fig. 62) die Seite 40 in mehrere, z. B. 4 gleiche Theile getheilt, also 00 — 06 — 66 — 64, und man ziehe 06, 68 und 64 sämmtlich parallel mit der Seite 48; Fig. 62. dann lässt sich beweisen, dass dadurch auch 06 5 in 4 gleiche Theile getheilt wird. — Man ziehe die Linien 6L, 86 und -IN parallel mit 40. Weil Parallele zwischen Parallelen gleich sind, so ist 6L — 06, 86 — 66 und 4N — 64. Nach der Voraussetzung sind die Strecken 08, 06, 66 und 64 gleich, daher müssen auch die Strecken 0V, 68, 86 und -IN gleich sein; in den Dreiecken 008, <848, 864 und 4416 sind überdies die Winkel a, b, e und ä als Gegenwinkel gleich, ferner die Winkel 6, t, Z und ll gleich, weil ihre Schenkel parallel sind. Die genannten vier Dreiecke haben also eine Seite mit den beiden anliegenden Winkeln gleich, sind folglich congruent; den gleichen Winkeln s, k, A und 6 stehen in diesen Dreiecken die Seiten 06, 68, 84 und 46 gegenüber, also ist 06 — 68 — 84 — 46. Die dritte Seite 06 ist somit wirklich in 4 gleiche Theile getheilt worden. Wenn also in einem Dreiecke eine Seite in mehrere gleiche Theile getheilt ist, und man zieht durch jeden Theilungspunkt eine Parallele mit einer zweiten Seite, so wird dadurch auch die dritteSeite in ebenso viele unter einander gleiche Theile getheilt. Z. 80- Eine gegebene Strecke in beliebig viele gleiche Theile zu theilen. Fig. 63. n) Es sei die Strecke 4.6 (Fig. 63) z. B. in 5 gleiche Theile zu theilen. Man Ziehe durch 4 eine andere Gerade 4.0 von ? beliebiger Richtung und Länge, und trage 2-^4 s s z darauf von .4 aus 5 beliebige gleiche Theile. Verbindet man den Endpunkt 8 des fünften Theiles mit 6 durch die 86, und zieht durch 0, 6, 6, 6 Parallele mit 86, fo theilen diese auch die 48 in 5 gleiche Theile 46, 146, 6N, 4M, 6'6 G 79). b) Um die vielen Parallelen zu vermeiden, lege man an 66 (Fig. 64) durch 6 die beliebige Gerade 60, und durch 6 die Močnik, Geometrie für Bürgerschulen. 4. Aufl. 4 50 Fig. 64. LV 6L., trage sowohl auf die ^0 als L0 4 gleiche Theile auf, und ziehe durch die Theilungspunkte die geraden Linien Ml, IL, OlL, M, so Heilen diese die ^L in 5 gleiche Theile. Eine andere Lösung dieser Auf¬ gabe wird in tz. 129 angegeben werden. Csngruen? und Coustrurtion -er Vierecke. 8- 81- Zwei Vierecke sind congruent, wenn in denselben alle vier Seiten und alle vier Winkel nach der Ordnung paarweise gleich sind. Hieraus folgt: 1. Zwei Parallelogramme sind congruent, wenn in denselben zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel paarweise gleich sind. 2. Zwei Rechtecke sind congruent, wenn in den¬ selben zwei anstoßende Seiten paarweise gleich sind. 3. Zwei Quadrate sind congruent, wenn sie eine Seite gleich haben. Ein Parallelogramm ist demnach durch zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel, ein Rechteck durch zwei anstoßende Seiten, ein Quadrat durch eine Seite unzweideutig bestimmt. §. 82. Constructionsaufgaben. 1. Ein Parallelogramm zucon st r vieren, wenn zweiSeiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind. Man zeichne in L. (Fig. 65) einen Winkel—in, schneide von den Schenkeln ipL — u und ^v — b ab; hierauf beschreibe man aus L mit dem Halbmesser ^.v einen Bogen, und durchschneide ihn aus v mit dem Halbmesser ; dann ist LLOV das verlangte Parallelogramm. 51 2. Ein Quadrat zu construieren, wenn gegeben ist: g.) die Seite (26 mm); d) die Diagonale (32 mm). 3. Ein Rechteck zu construieren, wenn gegeben sind: o) zwei Seiten (28 mm und 19 mm); b) eine Seite und die Diagonale (25 mm, 35 mm). 4. Einen Rhombus zu construieren, wenn gegeben sind: a) eine Seite und ein Winkel (38 mm, 45°); b) die Grundlinie und die Höhe (32 mm, 24 mm). 5. Ein Trapez zu construieren, wenn gegeben sind: a) eine Parallelseite nut den ihr anliegenden Winkeln-und eine der nicht parallelen Seiten (35 mm, 60°, 45° und 12 mm); b) drei Seiten und die Höhe. 6. Ein gleichschenkliges Trapez zu zeichnen, wenn die Parallelseiten (26 mm, 22 mm) und die Höhe (18 mm) gegeben sind. 4. Cmrgluely -er Vielecke und symmetrische Gebilde. Lehrsätze von den regeimiitzigen Vielecke». K. 83. Es sei das Vieleck ^80081' (Fig. 66) regelmäßig, also L8 — 80 — OO — 08 — 66 — 1^, und L — 8 — 0 — O — 8 — 8. Aid 66. Halbiert man zwei Winkel und 8, die an einer Seite liegen, so entsteht ein gleich- /X ! / X schenkliges Dreieck L-80. Zieht man von dem X ! /X-' X Scheitel 0 desselben zu den übrigen Eckpunkten -A6 die Strecken 00, 00, 06, ... so wird da- / ! X durch das Vieleck in lauter congruente gleich- ^x^/ Xlv schenklige Dreiecke getheilt; denn legt man das S L erste Dreieck ^.80 um die Seite 08, so deckt es das Dreieck 800, dieses kann ebenso mit dem nächsten zur Deckung gebracht werden, u. s. f. Die Strecken OL, 08, 00, . . . sind also einander gleich. Da congruente gleichschenklige Dreiecke auch gleiche Höhen haben, so sind auch die von 0 auf die Seiten gefällten Senkrechten 06, OH, 0-1, . . . einander gleich. 4* 52 Daraus folgt: 1. Halbiert man in einem regelmäßigen Vielecke zwei auf einander folgende Umfangswinkel, und ver¬ bindet den Durchschnittspunkt der Halbierungslinien mit den übrigen Eckpunkten des Vieleckes durch Strecken, so wird dadurch das Vieleck in lauter con- gruente gleichschenklige Dreiecke getheilt. 2. In jedem regelmäßigen Vieleck gibt es einen Punkt, der von allen Eckpunkten und auch von allen Seiten gleich weit entfernt ist. Dieser Punkt heißt der Mittelpunkt des regelmäßigen Viel¬ eckes. Man findet ihn, indem man zwei auf einander folgende Viel¬ eckswinkel halbiert. Clmgruen? -er Vielecke. Z. 84- Zwei Vielecke sind congruent, wenn sie alle Seiten und alle Winkel nach der Ordnung paarweise gleich haben. Fig- 67. „ Z w e i V i e l e cke äUEVLP und (MUI.U 2 (Fig. 67), welche aus gleich vielen derOrd- nung nach kongruen¬ ten Dreiecken zusam¬ mengesetzt sind, sind selbst congruent. Denn legt man beide Vielecke so aufeinander, dass zwei gleich¬ liegende Dreiecke auf einander fallen, z. B. ^80 auf 6lUll, so muss auch das zweite Paar Dreiecke sich decken, folglich auch das dritte Paar, . . .; daher decken sich auch die ganzen Vielecke, d. i. sie sind congruent. Z. 85. Ein Vieleck L86V88 (Fig. 67) zu übertragen, d. i. ein Vieleck zu zeichnen, welches mit dem Vielecke H.80VL8 congruent ist. Man zerlege das gegebene Vieleck von aus durch Diagonalen in Dreiecke, beschreibe mittelst der Durchschnitte von Kreisbogen so viele in derselben Ordnung liegende Dreiecke, welche mit denen des gegebenen Vieleckes congruent sind. Die dadurch entstehende Figur ist mit der gegebenen congruent. Es ist hier nicht nöthig 53 die Diagonalen wirklich zu ziehen; dieselben können in dem gegebenen wie in dem neu entstehenden Vielecke bloß gedacht werden. ß. 86- Auf dem Zeichnen congruenter Vielecke beruht das geometrische Copieren der Gebilde in gleicher Größe. Dabei können die Hauptpunkte des Gebildes, wie bei der Lösung der Aufgabe in §. 85, mittelst der Durchschnitte von Kreisbogen bestimmt werden. Ein anderes geometrisches Verfahren beim Copieren besteht in der Bestimmung der Hauptpunkte durch Koordinaten. Zieht man in einer Ebene von einem bestimmten Punkte X (Fig. 68) einen Strahl XX, und fällt von irgend einem Punkte N auf diesen Strahl eine Senkrechte Nk, so heißt das dadurch abgeschnittene Stück X? des Strahls die Abscisse, die Senkrechte N? selbst aber die Or¬ dinate, und beide zusammen die Coordinaten jenes Punktes N. Der Strahl XX heißt die Ab¬ scis s e n l i n i e, der Punkt Xder Anfangspunkt. Wenn der Anfangspunkt X und die Richtung der Abscissenlinie XX gegeben sind, so ist die Lage eines jeden Punktes N vollkommen bestimmt, wenn dessen Coordinaten X? und Nk bekannt sind; denn Fig. 68. man braucht nur von X aus an der Abscissenlinie ein Stück abzu¬ schneiden, welches der Abscisse Xk gleich ist, dann im Punkte ? eine Senkrechte zu errichten, und die Ordinate kN darauf aufzutragen; der Endpunkt ist der gesuchte Punkt N. Um mittelst der Coordinaten ein Gebilde X66VL .... (Fig. 69) zu copieren, nehme man im Originale irgend eine Gerade XL als Abscissenlinie, und X als Anfangspunkt derselben an, und fälle von allen Hauptpunkten Senkrechte auf die Abscissenlinie. Sodann ziehe man auf dem Copierblatte die Abscissenlinie as in schicklicher Lage, trage darauf in der Ordnung alle Abscissen von u bis ll, l, m, n,.. . 54 e Daraus ergeben Gebilde: Eckpunkten die Senkrechten Dck, Ls, Lk a>ff L.L und wendet die Figur als eine feste Ver¬ bindung um als Axe um, so heißt das -r' Gebilde welches man dadurch erhält, mit dem gegebenen Gebilde LBOVLL symmetrisch, und die Gerade L.L, um welche die Umwendung geschieht, die Sy mm etra le. Zweisymmetrische ebene Gebilde sind immer auch congruent; ihre gleichenBestandstücke folgen jedoch in Beziehung auf die Symmetrale in entgegengesetzter Ordnung auf einander. sich folgende Eigenschaften der symmetrischen auf, errichte in diesen Punkten Senkrechte, und trage auf ihnen die entsprechenden Ordinaten von b bis d, von I bis i, von m bis o,... auf, so ist dadurch die Lage aller Punkte in der Copie bestimmt; man braucht sie dann nur gehörig durch Linien zu verbinden. Mechanische Methoden des Copierens: das Pikieren (Durchstechen des Originals), das Durchzeichnen, besonders auf durchscheinendem Papier, das Copieren mittelst der Quadrat¬ netze, u. s. w. Symmetrische Gebilde. 8- 87- Fällt man in der Figur (Fig. 80) von den Fig. 70. 1. Zwei symmetrisch liegende Seiten sind gleich. 2. Zwei symmetrisch liegende Winkel sind gleich. 3. Zwei symmetrisch liegende Seiten schneiden sich auf der Symme¬ trale, oder sind ihr parallel, oder bilden eine Gerade, welche auf der Symmetrale senkrecht steht. 4. Die Gerade, welche zwei symmetrisch liegende Punkte verbindet, steht auf der Symmetrale senkrecht und wird von ihr halbiert. 5. Jeder Punkt der Symmetrale ist a) von zwei symmetrisch lie¬ genden Punkten, b) von zwei symmetrisch liegenden Seiten gleich weit entfernt. Wie konstruiert man zu einem gegebenen Gebilde ein ihm symmetrisches? Z. 88- Aus dem Begriffe der Symmetrie folgt: a) In einem gleichschenkligen Dreiecke ist die Höhe, in einem gleichseitigen Dreiecke jede der drei Höhen eine Symmetrale. 55 d) In einem Quadrate ist sowohl jede Diagonale, als auch jede Gerade, welche zwei gegenüberliegende Seiten halbiert, eine Shmmetrale. e) In einem gleichschenkligen Trapeze ist die Gerade, welche die zwei parallelen Seiten halbiert, eine Shmmetrale. cl) In einem regelmäßigen Vielecke ist jede Gerade, welche durch den Mittelpunkt und entweder durch einen Eckpunkt oder durch die Mitte einer Seite geht, eine Shmmetrale. IV. Der Kreis. 1. Der Punkt und der Kreis. Z. 89- Ein Punkt liegt innerhalb des Kreises, oder in dem Umfange desselben, oder außerhalb des Kreises, je nachdem die Entfernung des Punktes vom Kreismittelpunkte kleiner, eben fo groß, oder größer ist als der Halbmesser des Kreises. 2. Vie Gerade und der Kreis. Z. 90. Eine Gerade hat mit der Kreislinie zwei Punkte, oder nur einen Punkt, oder gar keinen Punkt gemeinschaftlich, je nachdem ihre Entfernung von: Kreismittelpunkte kleiner, eben fo groß, oder größer ist als der Halbmesser des Kreises. Fig. 7i. Eine Strecke ^8 (Fig. 71), welche I zwei Punkte des Umfanges verbindet, heißt / eine Sehne. Eine Sehne ist um so größer, je näher sie dem Mittelpunkte liegt; die / / ( X längste Sehne ist daher diejenige, welche // X durch den Mittelpunkt selbst geht, nämlich X' 9 / der Durchmesser, wie LV. X, / Eine Gerade 6V, welche durch die Verlängerung einer Sehne ^8 über ihre Endpunkte hinausgeht, heißt eine S e c a nte. Eine Gerade LV, welche mit der Kreislinie nur in einem Punktes zusammentrifft, während alle andern Punkte derselben außerhalb des Kreises liegen, heißt eine Berührungslinie oder Tangente. 56 Durch den Schnitt des Kreises mit der Geraden entstehen fol¬ gende Figuren: 1. Der Kreisabschnitt oder das Kreissegment, d. i. ein Theil der Kreisfläche, welcher von einer Sehne L8 und dem dazu gehörigen Bogen L8 begrenzt wird; 2. der Kreisausschnitt oder Kreissector, d. i. ein Theil der Kreisfläche, welcher von zwei Halbmessern und dem dazwischen¬ liegenden Bogen begrenzt wird, wie L08L. Lehrjahr über die Geraden im Kreise. Z- 91- Zu gleichen Sehnen gehören in demselben Kreise auch gleiche Bogen; und umgekehrt: zu gleichen Bogen gehören auch gleiche Sehnen. Von der Richtigkeit dieser zwei Sätze kann man sich überzeugen, indem man die betreffenden Kreisabschnitte übereinander legt; man findet, dass unter jeder der zwei obigen Voraussetzungen die beiden Kreisabschnitte vollkommen übereinander fallen, folglich im ersten Falle auch die Bogen, im zweiten auch die Sehnen sich decken. Z. 92. 1. Es sei die Sehne L8 (Fig. 72) im Punkte 0 halbiert, also LO — 86. Da auf LO — 80 und 00 — 00, so ist LOO 800, also Winkel m — n, folglich 00 ch. L8; d. h. Die Gerade, welche den Mittelpunkt eines Kreises mit der Mitte einer Sehne verbindet, steht auf der Sehne senkrecht. 2. Es sei (Fig. 72) 00 ch. L8. Man ziehe die Halbmesser LO und 80, wodurch zwei recht¬ winklige Dreiecke LOO und 800 entstehen: in diesen ist die Hypotenuse LO — 80, und eine Kathete 00 gemeinschaftlich; also ist -0 LOO (L-s 800, folglich auch LO — 80; d. h. Fig. 73. Zieht man in einem Kreise vom -Mittelpunkte auf eine Sehne eine Senk- / z- X rechte, so wird durch diese die Sehne hal- j biert. (Umkehrung des Satzes 1.) 3. Es sei (Fig. 73) LO — 80, und Ov L L8, so lässt sich zeigen, dass die Senkrechte 08 durch den Mittelpunkt des Kreises geht. Würde 08 nicht durch den Mittelpunkt des Kreises gehen, so müsste dieser Mittel¬ punkt außerhalb der Senkrechten 08, z. B. in 8 liegen; dann aber 57 müsste die Gerade LO, da sie das angenommene Centrnm L mit der Mitte der Sehne verbindet, auf dieser Sehne LL senkrecht stehen, was jedoch nicht sein kann, da durch einen Punkt 0 auf eine Gerade LL nur eine Senkrechte gezogen werden kann. Da aus der Annahme, dass der Mittelpunkt nicht in der Ov liege, ein Widerspruch hervor geht, so ist die Annahme selbst falsch; folglich ist das Gegentheil wahr: VO geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Halbiert man also in einem Kreise eineSehne und errichtet im Halbierungspunkte auf dieselbe eine Senkrechte, so muss diese durch den Mittelpunkt des Kreises gehen. (Umkehrung des Satzes 1.) Z. 93- Errichtet man in dem Endpunkte eines Halbmessers auf denselben eine Senkrechte, so ist diese eine Tangente des Kreises. Fig. 74. Es sei (Fig. 74) LL ch. Ov. Jede schiefe Strecke wie OL, OL, ... ist länger als die Senkrechte Ov; also liegen die Punkte L, L . .. außerhalb der Kreislinie. Die Gerade LL hat daher mit der Kreislinie nur den Punkt v gemein¬ schaftlich, alle anderen Punkte liegen außerhalb des Kreifes; LL ist also eine Tangente des Kreises. 3. Der Winkel und der Kreis. Z. 94- Ein Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkte eines Kreises liegt, dessen Schenkel daher Halbmesser des Kreises sind, heißt ein Centriwinkel. Ein Winkel, dessen Scheitel in der Peripherie eines Kreises liegt und dessen Schenkel Sehnen des Kreises sind, heißt ein Peri- Fig. 75. pheriewinkel. LOL (Fig. 75) ist ein Centriwinkel, der auf dem Bogen LL aufsteht; LOL ist ein / V. Peripheriewinkel, der auf demselben Bogen LL /--LS aussteht. / Gehen die Schenkel eines Peripherie- X/ / Winkels durch die Endpunkte eines Durch- /7^—Messers, wie bei dem Winkel LOO, so heißt derselbe ein Winkel im Halbkreise. 58 Lehrsätze über die Winkel im Kreise. Z. 95. Zu gleichen Centriwinkeln gehören auch gleiche Sehnen und Bogen; umgekehrt: zu gleichen Seh¬ nen gehören gleiche Centriwinkel, und: zu gleichen Bogen gehören auch gleiche Centriwinkel. Von der Richtigkeit dieser drei Sätze überzeugt man sich, wenn man entweder zwei gleiche Centriwinkel, oder zwei gleiche Sehnen, oder im dritten Satze zwei gleiche Bogen annimmt, und dann die betreffenden Kreisausschnitte über einander gelegt denkt; man findet, dass sich unter jeder dieser Voraussetzungen die beiden Kreisaus¬ schnitte vollkommen decken, dajs also für jede Voraussetzung auch die angeführten Behauptungen richtig sind. 8- 96- Vergleicht man einen Centri- lind einen Peripherie¬ winkel, welche beide auf demselben Bogen eines Kreises stehen, so sind in Bezug auf die Lage der Schenkel des Peripheriewinkels drei Fälle möglich: entweder liegt der Mittelpunkt des Kreises in einem Schenkel des Winkels (Fig. 76, I), oder liegt derselbe zwischen den Schenkeln des Winkels (Fig. 76, II), oder liegt er außerhalb der Winkelfläche (Fig. 76, III). Fig- 76. a) In Figur 76, I ist in als ein Außenwinkel des Dreieckes 806 gleich der Summe der innern entgegengesetzten Winkel, also in — a ff- d; aber li und a sind als Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes einander gleich, daher m — a ff- a — 2a. b) Zieht man in Figur 76, II den Durchmesser 6V, so ist nach a) der Winkel in — 2 a, n — 2 b, daher auch in ff- n — 2 (a ff- 6), d. i. der Winkel ^08 — 2 ^68. o) Wird in Figur 76, III der Durchmesser 68 gezogen, so ist nach a) der Winkel LOV — 2868, ferner ^.08 — 2^.68; daher auch LOD — ^.08 — 2 (868 — L68), d. i. Winkel L08 — 2^.68. 59 Es findet somit allgemein der Satz statt: Wenn ein Centri- und ein Peripheriewinkel auf demselben Bogen ausstehen, so ist der Centriwinkel doppelt so groß, als der Peripheriewinkel. Daraus folgt: Peripheriewinkel, welche in demselben Kreise auf gleichen Bogen aufstehen, find einander gleich. Fig. 77. Z. 97. LOV (Fig. 77) ist ein Winkel im Halbkreise. Zieht man den Durchmesser OL, so sind nach dem vorhergehenden Satze die Peripheriewinkel LLB und VLB einzeln die Hälfte der Centriwinkel LOL und VOR, da¬ her muss auch die Summe der ersteren die Hälfte von der Summe der letzteren sein. Allein LOL und VOL betragen zusammen zwei Rechte, also muss die Summe LOV -s- VLB, d. i. der Winkel LOV im Halbkreise, gleich einem Rechten sein. Der Winkel im Halbkreise ist also ein Rechter. - 7g §. 98- Es sei (Fig. 78) 0 der Mittel- XX—X punkt eines Kreises und LL — LO. Das .st-'XDreieck LLO ist gleichseitig, daher jeder Winkel //X X desselben gleich 60". -6s-st Schneidet man also in einem Kreise X / mit dem Halbmesser als Sehne einen Bogen ab, so beträgt der dazu gehö¬ rige Centriwinkel 60°. ß. 99- Es sei (Fig. 79) 0 der Mittelpunkt eines Kreises und LO _j_ LO, ferner 0 die Mitte der LO. Zieht man LO, schneidet 6V — 00 ab, und beschreibt mit dem Reste LV den Kreisbogen LV, so lässt sich die Sehne LV genau lOmal im Kreise Herum¬ tragen; es ist also der Mittelpunktswinkel LOV der lOte Theil von 360° d. i. 36°. Wenn man also in einem Kreise zwei auf einander senkrechte Halb¬ messer zieht und die Mitte des einen mit dem End¬ punkte des andern durch eine Strecke verbindet, Fig. 79. sodann auf dieser die Hälfte des Halbmessers auf- 60 trägt und mit dem Reste einen Bogen abschneidet, so beträgt der zu diesem Bogen gehörige Centriwinkel 36". Constructionsmlfgliben. 8- 100. Durch drei Punkte L, 0 (Fig. 80), welche Fig. 80. nicht i n e i n e r g e r a d e n L i n ie liegen, einen Kreis zu beschreiben. / . Man ziehe die Strecken und L0 und i errichte in den Mitten derselben die Senkrechten VL / ""d k'O, so ist nach §. 92, 3 der Durchschnitt 0 V/ ! S dieser Senkrechten der Mittelpunkt und OL. der Halbmesser des gesuchten Kreises. 8- 101. 1- Durch einen Punkt in dem Umfange des Kreises an diesen eine Tangente zu ziehen. Man ziehe zu den: gegebenen Punkte einen Halbmesser und errichte darauf eine Senkrechte, so ist diese die verlangte Tangente (§. 93). 2. Durch einen Punkt (Fig. 8l) außerhalb des Kreises an diesen eine Tangente zu ziehen. Fig. 81. Man verbinde den gegebenen Punkt mit dem Mittelpunkte 0 des gegebenen Kreises durch die Strecke ^.0, halbiere diese in 0, und beschreibe aus 0 mit dem Halbmesser OL einen Kreis, welcher den gegebenen in den Punkten 0 und L durchschneidet. Zieht man nun H.V und so sind diese beiden Geraden Tangenten des Kreises (Z. 97). Fig. 82. 102- EinenKreisbogen iiL (Fig. 82) zu halbieren. Man beschreibe aus den Endpunkten L und L mit demselben Halbmesser Bogen, welche sich in 0 durchschneiden, und ziehe die Gerade 00; diese halbiert den gegebenen Kreisbogen in v (8- 95). 103- Die Kreislinie in mehrere gleiche Theile zu theilen. Man bestimme die Größe eines Centriwinkels, indem man 360° durch die Anzahl solcher Winkel d. i. durch die Zahl der verlangten gleichen Theile des Kreises dividiert, construiere den gefundenen Winkel 61 am Mittelpunkte, und trage die durch seine Schenkel abgeschnittene Sehne in der Peripherie herum. Mechanisch kann die Construction der Winkel und daher die Kreistheilung mit Hilfe des Transporteurs jedesmal vorgenommen werden. Geometrisch lassen sich nur diejenigen Theilungen der Kreis¬ linie ausführen, bei denen der entsprechende Centriwinkel geometrisch construiert werden kann. Hierher gehören folgende Aufgaben: a) Die Kreislinie in 2 gleiche Theile zu theilen. Man ziehe einen Durchmesser. Durch Halbierung der Bogen erhält man dann 4, 8, 16, . . . gleiche Theile. b) Die Kreislinie in 6 gleiche Theile zu theilen. Man trage den Halbmesser als Sehne im Kreise herum (Z. 98). Nimmt man zwei solche Theile für einen einzigen, so ist die Kreislinie in 3 gleiche Theile getheilt. Wie wird man die Peripherie in 12, 24 gleiche Theile theilen? e) Die Kreislinie in 10 gleiche Theile zu theilen. Die Auflösung ist in dem Lehrsätze tz. 99 enthalten. Betrachtet man zwei Theile zusammen für einen, so ist die Kreislinie in 5 gleiche Theile getheilt. Wie wird der Kreisumfang in 20, 40 gleiche Theile getheilt? ck) Die Kreislinie in 15 gleiche Theile zu theilen. Man schneide vom 6ten Theile der Peripherie den lOten Theil derselben ab, so ist der Rest der 15te Theil. Durch Halbieren der Bogen kann man dann 30, 60, ... . gleiche Theile erhalten. 4. Das Vieleck und der Greis. 8- 104- Ein Vieleck, dessen alle Eckpunkte in dem Umfange eines Kreises liegen, dessen Seiten also Sehnen des Kreises sind, heißt dem Kreise eingeschrieben und der Kreis heißt um das Vieleck beschrieben. Ein Vieleck, dessen Seiten Tangenten des Kreises sind, heißt dem Kreise umgeschrieben und der Kreis heißt in das Vieleck beschrieben. 62 Ein dem Kreise eingeschriebenes Vieleck heißt auch ein Seh¬ nenvieleck, ein dem Kreise umgeschriebenes Vieleck ein Tan¬ ge n t e n v i e l e ck. Lehrsätze über die regelmäßigen Sehnen- und Tangenten- uielrcke. 8- 105. Jedem regelmäßigen Vielecke lässt sich ein Kreis ein- und umschreiben. Es sei L.L0VLL (Fig. 83) ein regelmäßiges Vieleck. Halbiert man zwei Winkel, z. B. Z. und L, so besitzt der Durchschnittspunkt 0 der beiden Halbie¬ rungslinien die Eigenschaft, dass er von allen Seiten und eben so von allen Eckpunkten gleichweit absteht. Beschreibt man daher aus 0 mit der auf Z.L Senkrechten 06 als Halbmesser einen Kreis, so muss der Umfang desselben durch die Punkte 6, U, I, L, 0, N gehen, und da die Seiten des Vieleckes Tangenten zu diesem Kreise sind, so ist dieser dem Vielecke eingeschrieben. Beschreibt man ebenso aus dem Mittelpunkte 0 mit dem Halbmesser ^.0 einen Kreis, so muss derselbe durch alle Eck¬ punkte H., L, 0, I), ll, L gehen, und ist somit dem Vielecke umge¬ schrieben. tz. 106- l- Theilt man den Umfang eines Kreises in mehrere gleiche Theile und zieht durch je zwei auf ein¬ ander folgende Theilungspunkte eine Sehne, so ist das von diesen Sehnen gebildete Vieleck regelmäßig. Ist (Fig. 83) die aus 0 mit dem Halbmesser 0L. beschriebene Kreislinie in mehrere gleiche Theile getheilt, und zieht man die Sehnen LL, 00, 00, Oll, 00, IH, so sind in dem Vielecke LOOOOO die Seiten als Sehnen des Kreises, welche zu gleichen Bogen gehören, und die Vieleckswinkel als Peripheriewinkel, welche auf gleichen Bogen aufstehen, einander gleich. Das Vieleck ist daher gleichseitig und gleichwinklig, also regelmäßig. Zusatz. Die Seite des einem Kreise eingeschriebenen regelmäßigen Sechseckes ist gleich dem Halbmesser des Kreises. (§. 98.) Fig. 83. 63 2. Theilt man einen Kreis in mehrere gleiche Theile und zieht durch jeden Theilungspunkt eine Tangente, so wird von diesen Tangenten ein regelmäßiges Vieleck eingeschlossen. Ist (Fig. 83) die aus 0 mit dem Halbmesser 06 beschriebene Kreislinie in mehrere gleiche Theile getheilt, und errichtet man in den Punkten 6, H, I, ll, L, I., N auf die zu denselben gezogenen Halbmesser Senkrechte, so erhält man das dein Kreise umgeschriebene Vieleck LLOOLO; und es ist zn beweisen, dass dieses gleichseitig und gleichwinklig sei. Da die Centriwinkel des Kreises nach der Annahme gleich sind, so ist leicht einzusehen, dass die Vierecke 60 60W, HOllO,. . . über einander gelegt sich vollkommen decken, also congruent sind. Ans dieser Congruenz aberfolgt erstlich, dass der Winkel L — L — 0 . . . ist, ferner dass sowohl 60 — 86 — llO — . . . . als auch ä.6 — 08 — Oll — .... ist, somit auch die Summen dieser gleichen Stücke, nämlich die Vieleckseiten 00, 00 ... . gleich sind. Construcüonsaufglcken. Z. 107. 1. Einem Kreise ein regelmäßiges Vieleck a) einzuschreiben, d) umzuschreiben. (Fig. 84.) Fig 84. Man theile die Kreislinie in so viele gleiche Theile, als das Vieleck Seiten haben soll, und ziehe durch die Theilungspunkte a) Sehnen, b) Tangenten des Kreises. Beschreibe in einen Kreis ein regelmäßiges Vier-, Fünf-, Sechs-, Acht-, Zwölfeck. Wenn man in denselben Kreis verschiedene regel¬ mäßige Vielecke beschreibt, so sieht man, dass, je mehr Seiten ein Vieleck hat, die Seiten desselben um so weiter vom Mittelpunkte abstehen, also desto näher an der Kreis¬ linie liegen; dass zwar der Umfang und Mchenraum des eingeschriebenen Vieleckes stets kleiner ist als der Umfang und der Inhalt des Kreises, dass aber der Unter¬ schied zwischen beiden um so geringer wird, je mehr Seiten das Vieleck hat. Beschreibe um den Kreis ein regelmäßiges Drei-, Fünf-, Sechs-, Acht-, Zwölfeck. Je mehr Seiten das umgeschriebene regelmäßige Vieleck hat, desto näher liegen die Eckpunkte desselben an der Kreislinie. Der Umfang und der Flcichcnraum des umgeschriebenen Vieleckes sind zwar stets größer als der Umfang und der Inhalt des Kreises, aber der Unterschied zwischen beiden wird nm so kleiner, je mehr Seiten das Vieleck hat. 64 Man kann demnach den Kreis als ein regelmäßiges Vieleck von unendlich vielen Seiten betrachten. 2. Um ein regelmäßiges Vieleck einen Kreis zu beschreiben. Man halbiere (Fig. 83) zwei Vieleckswinkel und L, die einen Schenkel gemein haben; aus dem Durchschnittspunkte 0 der beiden Halbierungslinien beschreibe man mit dem Halbmesser einen Kreis, welcher durch alle Eckpunkte des Vieleckes geht und somit uin das Vieleck umgeschrieben ist. 3. In ein regelmäßiges Vieleck einen Kreis zu beschreiben. Man halbiere (Fig. 83) zwei auf einander folgende Seiten ^.8 und LO, errichte in den Halbierungspunkten 6l und U Senkrechte, welche sich in 0 durchschneiden. Der aus 0 mit dem Halbmesser 06 beschriebene Kreis wird alle Seiten des gegebenen Vieleckes berühren und daher dem Vielecke eingeschrieben sein. 5. Lage der Kreise gegen einander. ß. 108- Zwei Kreise, welche einen gemeinschaftlichen Mittel¬ punkt haben, heißen concentrische Kreise, wie Fig. 85. Fig. 85. Die zwischen ihren Peripherien liegende Fläche heißt Kreisring. / X Zwei Kreise, welche keinen gemeinschaftlichen / s s ) ) Mittelpunkt haben, heißen excentrische Kreise. 'V / / Die Strecke, welche die Mittelpunkte zweier excentri- X X scher Kreise verbindet, heißt die Centrale der beiden Kreise. Zwei excentrische Kreise können sich entweder berühren oder schneiden, oder es ist keines von beiden der Fall. Zwei Kreise berühren sich, wenn ihre Umfänge nur einen Punkt gemeinschaftlich haben. Die Berührung geschieht von innen (Fig. 86 I), oder von außen (Fig. 86 II), je nachdem der eine Kreis innerhalb oder außerhalb Kes andern liegt. Bei der inneren Berührung zweier Kreise ist die Centrale OO gleich der Differenz der Halbmesser ^.0 — bei der äußeren Berührung ist die Centrale OO gleich der Summe der Halbmesser ^.0 -st ^O. In beiden Fällen liegt der Berührungspunkt auf der Centrale. 65 Zwei Kreise schneiden sich, wenn ihre Peripherien (Fig.87) zwei Punkte gemeinschaftlich haben. Das gemeinschaftliche Fig. 87. Stück der beiden Kreisflächen heißt eine Linse, jedes der nicht gemeinschaftlichen Stücke ein Mond. Beim Durchschnitte zweier Kreise ist die Centrale 00' größer als die Differenz der Halbmesser ^.0 — 80', aber kleiner als die Summe derselben ^0 -st 80'. Zwei excentrische Kreise, welche sich weder berühren noch schneiden, können entweder ganz in einander oder ganz außer einander liegen. Die Centrale ist im ersten Falle kleiner als die Differenz, im zweiten Falle größer als die Summe der Halbmesser. Welche Fälle sind in Beziehung aus die gegenseitige Lage bei drei Kreisen möglich? Wie viele Punkte haben drei sich schneidende Kreise mit einander gemeinschaftlich? V. Die Ellipse, Hyperbel und Parabel. 1. Die Ellipse. 109- Es seien in einer Geraden zwei Punkte und 8 (Fig. 88) ge¬ geben. Befestigt man in ä. und 8 Stifte und legt um dieselben einen an den Enden zusammen gebundenen Faden, der um die gegebene Strecke 88 länger ist als der Abstand ^.8 der beiden Punkte und 8, spannt sodann den Faden mittelst eines Zeichenstiftes N und führt Močnik, Geometrie für Bürgerschulen. 4. Ausl. 5 Fig. 88. 66 diesen so, dass der Faden immer straff gespannt bleibt, um die beiden Punkte herum, so beschreibt der Punkt N eine krumme Linie, welche Ellipse heißt. Die Ellipse ist also eine krumme Linie von solcher Beschaffenheit, dass die Summe der Entfernungen eines jeden ihrerPunkte von zwei gegebenen Punkten immer derselben gegebenen Strecke gleich ist. Sie ist, wie der Kreis, eine geschlossene krumme Linie. ' Die zwei gegebenen Punkte lp und L heißen die Brenn¬ punkte der Ellipse; die Entfernungen eines Punktes N von den beiden Brennpunkten, nämlich die Strecken und LN, werden Leitstrahlen jenes Punktes genannt. Die Strecke Ov, welche durch die beiden Brennpunkte geht, heißt die große Achse. Die Endpunkte 0 und v derselben heißen die Scheitel, und der Halbierungspunkt 0 der Mittelpunkt der Ellipse. Die große Achse Ov ist gleich der gegebenen Strecke K8. Man kann daher sagen: Die Summe der Leitstrahlen eines jedenPunktes der Ellipse ist dergroßen Achse gleich. Die Strecke Llk, welche im Mittelpunkte 0 auf die große Achse senkrecht steht, heißt die kleine Achse der Ellipse. Die Entfernung eines Brennpunktes der Ellipse von dem Mittelpunkte derselben heißt die Excentricität der Ellipse. Je kleiner die Excentricität ist, desto mehr nähert sich die Ellipse einem Kreise. Die Ellipse ist in der Anwendung von großer Wichtigkeit; man baut z. B. Gewölbe, Wasserbehälter, Rasenplätze, Blumenbeete u. dgl. von elliptischer Form: am wichtigsten aber ist diese Linie in der Astronomie, indem unsere Erde und alle Planeten unseres Sonnensystems in mehr oder weniger gestreckten Ellipsen sich um die Sonne bewegen, die sich in einem der Brennpunkte aller jener elliptischen Bahnen befindet. In dem rechtwinkligen Dreiecke L.Olk ist die Hypotenuse gleich der halben großen Achse, die Kathete Olk gleich der halben kleinen Achse und die Kathete LO gleich der Excentricität der Ellipse. Sind daher von diesen drei Größen zwei gegeben, so kann man aus denselben die dritte bestimmen. Z. 110- Wenn die große Achse und die Entkernung der beiden Brennpunkte gegeben sind, beliebig viele Punkte dex Ellipse zu bestimmen. 67 Fig. 89. Brennpunkten nach oben schnittspunkte bl und 8 in die Strecke blbch so muss Es seien (Fig. 89) V und L die beiden Brennpunkte. Man ziehe durch dieselben eine Gerade, halbiere den Ab¬ stand ^.8 in 0, und trage von 0 aus bis 0 und v die halbe Länge der ge¬ gebenen großen Achse auf; 08 ist nun die große Achse der Ellipse, 0 und 8 sind ihre Scheitel. Beschreibt man ferner mit der halben großen Achse aus beiden und unten Bogen, so liegen die Durch- der Ellipse. Zieht man durch diese Punkte dieselbe, weil über ^.8 als Grundlinie nach oben und unten ein gleichschenkliges Dreieck gedacht werden kann, durch den Punkt 0 gehen, und auf ^.8 senkrecht stehen; blb ist also die kleine Achse der Ellipse. Nun nehme man in der Strecke L8 irgend einen Punkt V an, so wird dadurch die große Achse in zwei Abschnitte getheilt; beschreibt man znerst mit dem größeren OV aus beiden Brennpunkten nach oben und unten Bogen, und dann ebenso mit dem kleineren Abschnitte 8V, so sind die vier Durch¬ schnittspunkte N, N, 8 und 0 Punkte der Ellipse, weil für jeden derselben der eine Leitstrahl dem Abschnitte OV der großen Achse und der andere Leitstrahl dem Abschnitte 8V, also ihre Summe der ganzen großen Achse gleich ist. Auf diese Art werden, wenn man in der Strecke ^8 verschiedene Punkte annimmt, beliebig viele Punkte der Ellipse bestimmt werden. Verbindet man diese Punkte durch eine stetig gekrümmte Linie, so erhält man dadurch die verlangte Ellipse, und zwar um so genauer, je mehr Punkte derselben man bestimmt hat. Fig. 90. ß. 111- 1. In ein gegebenes Rechteck NiMtz (Fig. 90) eine Ellipse zu beschreiben. Man ziehe durch die Mitten der Seiten die Strecken 01) und blbh so sind diese be¬ züglich die große und die kleine Achse und ihr Durchschnitt 0 der Mittelpunkt der Ellipse. Theilt man nun sowohl die 00 als die 00 in gleich viele z. B. in vier gleiche Theile, und verbindet die Thei- lungspunkte I, II, III der 00 mit bl, die Theilungspunkte I, II, III der 00 mit 8 durch gerade Linien, so geben die Durchschnitte 5* L' 1, 2, 3 dieser Strecken Punkte der Ellipse, durch deren Verbindung man den zwischen 0 und L liegenden Ast dieser Linie erhält. Eben so kann man die zwischen L und O, O und k?, I? und 0 liegenden Punkte der Ellipse bestimmen. Eine andere Auslösung dieser Aufgabe zeigt die Fig. 91. Fig- si. Die Halbierungspunkte L, b) 6, H o der Seiten ^.L, LO, Ov, geben vier Punkte. Theilt man ferner jede der Seiten ! L.L und OO in 7 gleiche Theile, und ver¬ bindet die ersten und sechsten Theilungs- punkte durch Strecken, so sind auch ihre » sA L § 6 _S Durchschnitte mit den Diagonalen, nämlich v»., I,, N, l>I Punkte der Ellipse. Man hat somit zur Bestimmung der Ellipse acht Punkte. 2. Einem Trapeze eine Ellipse einzu schreiben. Fig. 92. Die Mitten L und 6 (Fig. 92) z, <7 der beiden Parallelseiten sind Punkte der Ellipse; ebenso die Punkte II, welche man erhält, wenn /-XXXXXl, ?, H, k, 8, I dieser und der früher gezo¬ genen Strecken in der Ellipse. Man hat also zur Bestimmung der Ellipse zwölf Punkte. 3. Eine angenäherte Ellipse durch Zusammen¬ setzung mehrerer Kreisbogen zu construieren. Fig. 93. Man trage (Fig. 93) auf eine Gerade L8 — LO — Ov auf, und beschreibe /X /X / aus L und 0 die Bogen b^.b' nnd 6011, X X/^ X/o welche sich verlängert in I und L durch- V /X / schneiden. Durch diese Punkte I und L und X.^/ X/ X > durch die Mittelpunkte L und 0 ziehe man gier Gerade, welche die vorhin beschrie- 69 denen Bogen in vier Punkten L, L, 6 und V schneiden. Beschreibt man nun aus den Bogen LV, und aus I den Bogen LH, so erhält man die krumme Linie ^LVV6L, deren Gestalt einer Ellipse ähnlich ist. 2. Die Hyperbel. tz. 112. Es seien in einer Geraden zwei Punkte L und v (Fig. 94) gegeben. Man befestige in L. die eine Kantenecke eines Lineals ^v, so dass es um diesen Punkt gedreht werden kann. Sodann befestige man das eine Ende eines Fadens, welcher um Fig. 94. eine gegebene Strecke L8 kürzer als äv ist, in L und das andere in L. Dreht man nun das Lineal um die Kantenecke L und führt dabei im Innern des Fadens einen Zeichenstift N so an der Kante ^L, dass dabei der Faden stets gespannt bleibt, so beschreibt der Stift einen Ast VN einer krummen Linie, welche Hyperbel heißt. Wendet man das Lineal nach unten, so erhält man durch das eben beschriebene Verfahren den unteren Ast vi§ der Hyperbel, welcher mit dem oberen Aste VN congruent ist. Wird dann die Kantenecke des Lineals in L angebracht und das zweite Ende des Fadens, welches früher in v war, nun in L. befestiget, so kann auf gleiche Weise durch die Drehung des Lineals und die Bewegung des Stiftes die krumme Linie VLtz erzeugt werden, welche den zweiten ebenfalls aus zwei Ästen bestehenden Theil der Hyperbel bildet und mit NIM congruent ist. 70 Die Hyperbel ist demnach eine krumme Linie von solcher Beschaffenheit, dass die Differenz der Entfer¬ nungen eines jeden ihrer Punkte von zwei gegebenen Punkten immer derselben gegebenen Strecke gleich ist. Sie besteht aus zwei getrennten Theilen und erstreckt sich mit vier Ästen ins Unendliche. Die zwei gegebenen Punkte X und L heißen die Brenn¬ punkte der Hyperbel, die Strecken XN und UN Leit strahlen des Punktes N. Die Strecke OV, deren Verlängerung durch die Brennpunkte geht, nennt man die Hauptachse, die Endpunkte 0 und v der¬ selben die Scheitel, und den Halbierungspunkt 0 den Mittel¬ punkt der Hyperbel. Die Hauptachse OV ist gleich der gegebenen Strecke U8. Man kann daher sagen: Die Differenz der Leitstrahlen eines jeden Punk¬ tes der Hyperbel ist der Hauptachse gleich. XN — UN — XX — LX — . . — 00. Die Entfernung OX — OL des Mittelpunktes von jedem Brennpunkte heißt die Excentricität der Hyperbel. Errichtet man im Mittelpunkte 0 eine Senkrechte auf die Haupt¬ achse und beschreibt aus einem Brennpunkte X mit der Excentricität OX als Halbmesser einen Kreisbogen, welcher jene Senkrechte in den Punkten L und U schneidet, so heißt die Strecke UU die Neben¬ achse der Hyperbel. Z. 113- Wenn die Hauptachse und die Entfernung der beiden Brennpunkte gegeben sind, beliebig viele Punkte der Hyperbel zu bestimmen. Es seien (Fig. 95) X und U die beiden Brennpunkte. Man verbinde dieselben durch die Strecke XL, halbiere diese in 0, und trage von 0 aus bis 0 und v die halbe Länge der gegebenen Hauptachse auf; OU ist nun die Hauptachse der Hyperbel, 0 und v sind ihre Scheitel. Nun nehme man in der Geraden LX irgend einen Punkt V an, und beschreibe mit dem Halbmesser OV aus den beiden Brennpunkten nach oben und unten Bogen, hierauf ebenso mit dem Halbmesser VV, so werden die Durchschnittspunkte N, X, L, tz dieser Bogen in der Hyperbel liegen; denn es ist für jeden derselben der eine Leitstrahl gleich der Strecke OV, der andere der 71 Strecke LV, also ihr Unterschied gleich OV — LV — 6V. Niinmt man in der Geraden LX verschiedene andere Punkte und verfährt auf die eben angegebene Weise, so kann man dadurch beliebig viele Punkte erhalten, welche, durch eine stetige Linie verbunden, die verlangte Hyperbel geben. 3. Die Parabe!. Z. 114. Es seien (Fig. 96) die Gerade XL und der außer ihr liegende Punkt 0 gegeben. Man nehme ein bei I) rechtwinkliges hölzernes Dreieck LOL und einen Faden von der Länge VL, Fig. 96. befestige das eine Ende des Fadens im Punkte 0 und das andere in L. Lässt man dann das Dreieck mit der Kathete LL längs der Geraden XL fortgleiten, und führt zugleich - den Zeichenstift XI längs der Kathete I)L so — -^fort, dass dabei der Faden immer straff ge- ^spannt bleibt, so beschreibt der Stift Xl den 6,-/ _- oberen Ast einer krummen Linie, welche Pa- rabel heißt. Dreht man das Dreieck so um, x dass die Kante VL in die Richtung 6lL fällt, " und verfahrt dann wie vorhin, so erhält man den unteren Ast der Parabel, welcher mit dem UF oberen congruent ist. Die Parabel ist demnach eine krumme Linie von solcher Beschaffenheit, dass jeder ihrer Punkte von 72 einer gegebenen Geraden eben so weit entfernt ist als von einem gegebenen Punkte. Die gegebene Gerade XL heißt die Leitlinie, der gegebene Punkt 6 der Brennpunkt der Parabel. Die Strecke NO, welche man von einem Punkte N der Parabel zum Brennpunkte zieht, wird der Leitstrahl jenes Punktes genannt. Die Gerade, welche durch den Brennpunkt senkrecht^mf die Leitlinie gezogen wird, heißt die Achse, und der Punkt 0, in welchem die Achse von der Parabel geschnitten wird, der Scheitel der Parabel. Die Parabel ist keine in sich selbst zurückkehrende krumme Linie; ihre beiden Äste gehen immer weiter auseinander, je weiter sie sich vom Scheitel entfernen. Die Parabel findet häufige Anwendung. Eine schief gegen den Horizont oder auch horizontal abgeschossene Kugel beschreibt eine Parabel; ein ans einer Röhre horizontal hervorschießender Wasserstrahl beschreibt einen parabolischen Bogen. Die Parabel wird selbst in den Künsten und Gewerben mannigfaltig angewendet; auf den Eigenschaften dieser krummen Linie beruhen die Reverberen bei Lampen, der Gebranch der Hohlspiegel, der Hör- und Sprachrohre u. dgl. 8- 115- Wen» der Brennpunkt und dieLeitlinie gegeben sind, beliebig viele Punkte der Parabel zu b e sti in m e n. Es sei (Fig. 97) XL die Leitlinie, und 0 der Brennpunkt. Man ziehe vom Brennpunkte auf die Leitlinie eine Senkrechte Ov, und verlängere diese über den Brennpunkt hinaus. Halbiert man Fig. 97. nun den Abstand OO im Punkte 0, so ist 0 der Scheitel und OX die Achse der Parabel. Nimmt man in der Achse irgend einen Punkt V an, errichtet in diesem auf die Achse eine Senkrechte, misst den Abstand dieser Senkrechten von der Leitlinie, d. i. die Strecke Vv und beschreibt damit aus dem Brennpunkte nach oben und unten Bogen, welche jene Senkrechte in den Punkten N und X durchschneiden, so sind N und X Punkte der Parabel, weil sie von der Leitlinie eben so weit abstehen, als vom Brennpunkte. Wenn man auf diese Weise sehr viele Senkrechte auf der großen Achse errichtet, und sie gehörig durchschneidet, so erhält man beliebig viele Punkte der Parabel. Liegen diese sehr nahe an einander, so gibt ihre Verbindung mit einem freien Zuge die ver¬ langte' Parabel. 73 VI. Ähnlichkeit der ebenen Figuren. I. Verhältnisse und Proportionen -er Strecken. Z. II6- Vergleicht man (Fig. 98) die zwei Strecken ^8 und Ov mit einander, so sieht man, dass Ov in 3mal enthalten ist. Fig. 98. tT ,/ ! ->- 1L L' ! - -'->-- ! Z' - z, s !->--! zz Diese Vergleichung gibt das Verhältnis von LV zu 61), welches man so anschreibt LV : Ov; LV heißt das Vorderg lied Ov das Hinterglied. Da Ov in L.8 3mal, in Ov aber Imal enthalten ist, so verhalten sich die zwei Strecken LV und Ov so wie die Zahlen 3 und 1, oder sie haben das Verhältnis 3:1, und umgekehrt verhält sich 01) zu LV wie 1 : 3. Man sagt: die Strecke LV wird von der Ov gemessen und nennt darum Ov ein Maß von LV. Ist ferner die Strecke VN in der vv 5mal, in der 6v 3mal enthalten, so haben die Strecken vv und M das Verhältnis 5:3; die Strecke VN ist ein gemeinschaftliches Maß von 08 und M. Z. 117. Um das gemeinschaftliche Maß zweier Strecken zu finden, trage man die kleinere Strecke auf die größere so oft auf, als es angeht. u) Ist die kleinere Strecke Ov (Fig. 98) in der größeren Hl mehrmal, z. B. 3mal, enthalten, so dass kein Rest übrig bleibt, so ist Ov selbst das gemeinschaftliche Maß zwischen LV und Ov; das Verhältnis dieser Strecken ist in diesem Falle gleich 3:1. b) Lässt sich aber die kleinere Strecke auf der andern nicht genau auftragen, ist z. B. die Strecke Ov (Fig. 99) in der LV 3mal enthalten, und es bleibt noch ein Nest LV übrig, so trage man den Rest 08 auf Ov so oft auf, als es angeht; es sei 08 in Fig. 89. > - -füML t—t— 74 Ov 3mal eilthalten, und es bleibe noch die Strecke ID üb.rig. Diesen Rest wird man wieder auf den nächst vorhergehenden LL auftragen, und es sei ID in HL genau 6mal enthalten. ID ist dann das gemeinschaftliche Maß von LD und Ov; denn man hat LL — 6 LV, Ov — 3 LL -si ID — 19 ID, LL — 3 Ov -siLL — 63 ID. Aus dieser Darstellung ersieht man, dass die Strecke LL das Maß LV 63mal, und die Strecke Ov dasselbe Maß LV nur 19mal enthält; die Längen dieser beiden Strecken verhalten sich also wie die Zahlen 63 und 19, oder, das Verhältnis von LL zu Ov ist 63 : 19. Anfänger sollen sich in der Auffassung der Verhältnisse nach dem Augenmaße besonders fleißig üben. Aufgaben. 1. Bestimme das Verhältnis u) zwischen der Länge und der Höhe der Schnl- tafel, 1) zwischen der Breite und Höhe des Fensters. 2. Zeichne mehrere Strecken und bestimme das Verhältnis zwischen je zweien zuerst nach dem Augenmaße und dann mittelst des Messens durch ein gemeinschaftliches Maß. Z. 118- Die Gleichheit zweier Verhältnisse wird eine Pro¬ portion genannt. Haben (Fig. 100) sowohl die Strecken LL und Ov als die Strecken LL und Ov das Verhältnis 3 : 2, so sind die zwei Ver¬ hältnisse LL : Ov und LL : ov gleich, und geben die Proportion LL : 00 — LL : ov, welche so gelesen wird: LR verhält sich zu Ov, wie sich LL zu Ov verhält. Man sagt in diesem Falle auch: die Strecken LL und LL sind den Strecken Ov und Ov propor¬ tioniert oder proportional- Fig. IM. tLO-i-!- 0r—>- ! .0 6 >-—§- /r In der Proportion LL: OV — LL: Ov ist LL das erste, Ov das zweite, LL das dritte, Ov das vierte Glied; auch heißen LL und Ov die äußeren, Ov und LL die inneren Glieder der Proportion. Wenn zwei Strecken LV und aä (Fig. 101), die erstere in den Punkten L, 0, die letztere in den Punkten b, o so getheilt sind, dass 75 Fig. 101. M : — LO : do — 6V : oä oder V t7 LL : U6 : LO — ad : do : oä ist , so -! i D man, dre zwei Strecken LV und „ acl sind einander proportional getheilt. Eine Proportion, in welcher die inneren Glieder gleich sind, z. B. LV : LM — LM : Utz, heißt eine stetige Proportion. LM heißt, dann die mittlere geometrische Proportionale zwischen LV und Utz. 2. Ähnlichkeit der Dreiecke. Ahniichkcitssähe. Z. 119- Zwei Dreiecke, welche dieselbe Gestalt haben und sich nur durch die Große unterscheiden, heißen ähnlich. Fig. 102. Um die Merkmale zweier ähnlicher Dreiecke anschaulich darzustellen, lasse man eine Gerade LU (Fig. 102) auf einem Schenkel LU des Winkels UL8 parallel zu ihrer ersten Lage so fortschreiten, dass sie auf jenem Schenkel gleiche Stücke LU, UV, DU, UV, IM abschneidet; dann werden auch die Abschnitte des zweiten Schenkels L6, OL, 6U, ckv unter einander gleich, und es entstehen die Dreiecke LLO, LVL, MV, Mill, MV, welche zwar verschiedene Größe haben, in der Gestalt jedoch übereinstimmen, somit ähnlich sind. Vergleicht man nun irgend zwei dieser Dreiecke, z. B. LVL und MV, so findet man, dass sie erstlich paarweise gleiche Winkel haben; denn der Winkel am Scheitel L ist beiden Dreiecken gemein¬ schaftlich, die anderen zwei Winkel aber sind als Gegenwinkel paar¬ weise gleich. Vergleicht man ferner die Seiten der beiden Dreiecke, so sieht man, dass M 2 solche Theile enthält, als deren auf LL 5 kommen; die Seiten LV und M haben also das Verhältnis 2 : 5. Ebenso enthält M 2 solche Theile, von denen M 5 enthält; es haben also auch die Seiten M und M das Verhältnis 2 : 5. Dasselbe Verhältnis haben auch die Seiten VL und LV; denn zieht man durch jeden Theilungspunkt der Seite M eine Parallele mit M, so wird dadurch DU in 2, und LV in 5 Theile getheilt, 76 welche alle untereinander gleich sind, so dass sich auch die Seiten OL und KU so Verhalten wie 2:5. Es ist also KV : KL — KL : KV — VL : KV, d. i. in den beiden Dreiecken sind je zwei Seiten, welche den gleichen Winkeln gegenüberliegen, einander pro¬ portional. Daraus folgt: In ähnlichen Dreiecken sind alle drei Winkel paarweise gleich und die gleich lieg en den Seiten pro¬ portional. Aus der vorstehenden Darstellung ergeben sich noch folgende Sätze: t. Zieht man in einem Dreiecke mit einer Seite eine Parallele, so werden durch dieselbe die beiden anderen Seiten proportional geschnitten. 2. Umgekehrt: Werden zwei Seiten eines Dreckeckes von einer Geraden proportional geschnitten, so ist Dieselbe mit der dritten Seite parallel. 3. Zieht man in einem Dreiecke mit einer Seite eine Parallele, so ist das gegebene Dreieck dem durch die Parallele abgeschnittenen Dreiecke ähnlich. Aus der obigen Erklärung ähnlicher Dreiecke ergibt sich, dass zur Ähnlichkeit zweier Dreiecke sechs Bedingungen erforderlich sind: die Gleichheit dreier Paare von Winkeln, und die Gleichheit der Verhältnisse zwischen je zwei Paaren von Seiten. So wie man jedoch auf die Congruenz zweier Dreiecke meistens schon aus der Gleichheit dreier Bestandstücke derselben schließen kann, so kann auch schon aus dem Eintreffen einiger von den zur Ähnlichkeit erforder¬ lichen Bedingungen auf die Ähnlichkeit zweier Dreiecke geschlossen werden. Die Fälle, in denen dieses geschehen darf, enthalten die folgenden Sätze. Z. 120. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in den¬ selben alle drei Winkel wechselseitig gleich sind. Es sei in den Dreiecken KLO und DLL (Fig. 103) der Winkel K — v, L — L, und 0 — 13 Man schneide von der KO ein Stück 00 ab, welches der Ob' gleich ist, und ziehe OH I, KL, so ist das Dreieck KLO cx? 080. Das letztere Dreieck Fig. 103. 77 6116 ist nun mit 600 congruent, denn die Seite 06 — 60, der Winkel 6 — D, weil beide dem Winkel gleich sind, und der Winkel 0 — 0. Wenn aber das Dreieck ^60 nut 6H0 ähnlich, und 6H0 mit 600 congruent ist, so muss auch L80 600 sein. Da in zwei Dreiecken, welche zwei Winkel wechselseitig gleich haben, auch die dritten Winkel gleich sein müssen, so folgt, dass man schon aus der Gleichheit zweier Winkel in zwei Dreiecken auf die Ähnlichkeit derselben schließen kann. Aufgabe. Über einer Geraden OL (Fig.103) ein Dreieck zu con- struieren, welches mit einem gegebenen Dreiecke L86 ähnlich ist. Man trage in v den Winkel IDO — ÜLO und in 6 den Winkel I)Ll? — L80 auf; ihre Schenkel schneiden sich im Punkte 0, und es ist DbD L80. Z. 121. Auf dem vorhergehenden Ähnlichkeitssatze beruhen auch folgende zwei Sätze: 1. ZweiDreiecke sind ähnlich, wenn die Seiten des einen mit den Seiten des andern parallel find. Es sei (Fig. 104) L.8 60; ^.0 60 und 60 00. — Winkel, deren Schenkel parallel sind, sind einander gleich; also ist der Winkel L — 6, 6 — 0 und 0 — 0, mithin sind die Dreiecke ^60 und 600 ähnlich. Welche Seiten sind in zwei solchen Dreiecken proportional? 2. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn dieSeiten des einen auf denSeiteu des andern senkrecht stehen. Fig. 105. Es sei (Fig. 105) 60 4_ ^.6, 60 st. 60 und 00 HO. Nach Z. 40 ist der Winkel 6 — d, L. —g,, 0 —o, folglich ist L60 cvo 600. Welche Seiten sind in zwei solchen Dreiecken proportional? Z §. 122- Zwei Dreiecke sind ähn¬ lich, wenn zwei Seiten des einen zweien Seiten des andern proportional, und die von diesen Seiten eingefchlossenen Winkel gleich sind. Es fei (Fig. 103) L.0 : 60 — 80 : 00 und 0 — 0. Man mache 06 — 60, und ziehe 66 ^.8, so ist das Dreieck Fig. 104. 78 X86 686. Alan braucht nur uoch zu zeigen, dass das Dreieck 686 888 ist. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke X.86 und 686 folgt X6 : 66 — 86 : 68. Diese und die in der Voraussetzung enthaltene Proportion haben die ersten drei Glieder gleich, also müssen sie auch das vierte Glied gleich haben, folglich 68 — 88. Da nun die zwei Dreiecke 686 und 888 zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel wechselseitig gleich haben, so sind sie congruent. Das Dreieck X.86, welches mit 686 eongrnent ist, muss daher auch mit 888 ähnlich sein. 8- 123- Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Seiten des einen zweien Seiten des andern propor¬ tional, und die den größeren dieser Seiten gegen¬ überliegenden Winkel gleich sind. Es sei in den Dreiecken ^86 und 888 (Fig. 103) ^.6 : 88 - 86 : 88, X6 > 86, 88 > 88, und 8 — 8. Man mache 66 — 88 und ziehe 68 f X.8, so ist das Dreieck t186 cx) 686, daher X6 : 66 — 86 : 68. Diese und die frühere Proportion haben die ersten drei Glieder gleich, also müssen sie auch die vierten Glieder gleich haben, folglich 68 — 88. Dann aber ist /X 686 /X 888; allein /X -^86 cx) /X 686, mithin auch /X ^86 cx) /X 888. Z. 124. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn in den¬ selben die drei Seiten des einen den drei Seiten des andern proportional sind. Es sei (Fig. 103) X6 : 88 — 86 : 88, und X6 : 88 — ^.8 : 88. Man mache 66 — 88, und ziehe 68 ^.8, so ist das Dreieck L86 cx) 686, daher X6 : 66 — 86 : 68, und tp6 : 66 — X8 : 68. In der dritten und ersten der hier vorkommenden Proportionen sind die drei ersten Glieder gleich, also muss darin auch das vierte Glied gleich sein, nämlich 68 — 88; ebenso haben die vierte und zweite Proportion drei Glieder gleich, also muss in denselben auch das vierte Glied gleich sein, nämlich 68 — 88. Die beiden Drei¬ ecke 686 und 888 haben also alle drei Seiten gleich, folglich sind sie congruent. Weil nun das Dreieck X86 mit 686 ähnlich ist, so muss es auch mit dem Dreiecke 888 ähnlich sein. 79 3. Anwendung der Ahnüchkeitssiitze. Lehrsätze. Z. 125. Es sei (Fig. 106) das Dreieck XLOcx)VLL; ferner seien XL und VL die Grundlinien, 06 und LH die Höhen dieser Dreiecke. Weil nach der Voraussetzung der Winkel X — v und ro — u ist, so ist /X XO6 cxi /X VLV, „nd daher 06 : LH — X0:VL. Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke XLO und VLL ist aber auch XL : VL — xo:VL; daher ist auch 06: LV — XL: VL, d. h. In zwei ähnlichen Dreiecken verhalten sich die Höhen so wie die Grundlinien. 8- 126- Es sei XLO (Fig. 107) ein rechtwinkliges Dreieck. Fällt man von L eine Senkrechte LV auf die Hypotenuse, so haben, wie man aus der Figur sieht, die dadurch entstehenden kleineren Dreiecke XLV und LOV mit dem gegebenen Dreiecke XLO und unter einander gleiche Winkel; es ist daher XLO cxi XLV, also XO: XL — XL : Xv, f XLO cxi LOV, „ XO : LO — LO : Ov, j ' ' XLV cx) LOV, „ Xv : LV — LV :0V.... 2) man also in einem rechtwinkligen Dreiecke von dem Scheitel des rechten Winkels auf die Hypo¬ tenuse eine Senkrechte, so ist 1. jede Kathete die mittlere Proportionale zwischen der ganzen Hypotenuse und dem ihr anliegenden Abschnitte derselben; 2. dieSenkrechte die mittlereProportionale zwischen den beiden Abschnitten der Hypotenuse. Construrtimlsaufgatzell. 8- 127- Zu drei gegeben enStrecken a, d, o (Fig. 108) die vierte Proportionale zu finden. Construiere einen beliebigen Winkel X, schneide auf dessen Schenkeln XL — u, XO — L, Xv — o ab und ziehe OL LV. Fig. 106. Fig- 107. Zieht 80 Fig. 108. !-, Dann ist X88 cv) X08, daher HZ : XO — X8 : L.8, oder Ä : d — o : X8. Z. 128- MehrereStrecken nach einem gegebenen Verhältnisse zu vergrößern oder zu verkleinern. u) Mittelst des Proportional¬ oder R e d u c t i o n sw i n k els. Es seien z. B. die Strecken X8, 61), 88 (Fig. 109) in dem Verhältnisse 6-8 : IL zu vergrößern. Man ziehe eine Gerade 0X von unbestimmter Länge, und beschreibe von Fig. 109. 0 aus mit dem Halbmesser 68 einen Bogen, welcher die ox in LI schneidet; aus LI beschreibt inan mit IX als Halbmesser einen Bogen, welcher den frü¬ heren in Li durchschneidet; zieht man nun durch 0 und X die Gerade OX von unbestimmter Länge, so ist XOX der Reductions- winke l für die verlangte Vergrößerung. Trägt man auf beide Schenkel L.8 auf, indem man OX" — 08" — L8 macht, so ist X"8" die für X8 gesuchte ver¬ größerte Strecke. Macht man eben so 00" — 08" — 60, 08" — 08" — 88, so sind 0"8" und 8"8" die zu den Linien 08, 88 gehö¬ rigen vergrößerten Strecken. Wäre das Verhältnis nicht in Linien, sondern in Zahlen angegeben, so würde man auf einer Geraden so viel gleiche Theile auftragen, als die größere Verhältniszahl anzeigt; von diesen würde man mit dem Zirkel zuerst so viele abfassen, als die erste Verhältnis¬ zahl anzeigt, und mit diesem Halbmesser aus 0 einen Bogen LILi beschreiben; dann würde man mit dem Zirkel so viele Theile abnehmen, als die zweite Verhältniszahl anzeigt und damit aus LI den früheren Bogen durchschneiden; durch die Schenkel OLI und 08 ist nun der Reductionswinkel bestimmt. 81 Aufgaben. 1. Zeichne vier Strecken und verkleinere sie in dem Verhältnisse S : 2. 2. Zeichne drei Strecken und vergrößere dieselben in dem Verhältnisse 2 : 3. Der Reductionswiukel ist für jede Verkleinerung anwendbar, für Ver¬ größerungen aber nur dann, wenn die Linien nicht über das zweifache ver¬ größert werden sollen. b) Man kann auch folgendes Verfahren anwenden: Um die gegebenen Strecken 0^, 0L, 00 (Fig. 110) z. B. in dein Verhältnisse 4 : 3 zu ver¬ kleinern, ziehe man eine Gerade LO, trage von L aus 3, und ebenso von? aus 4 gleiche Theile auf; in den Endpunkten Lund 8 errichte man die Senkrechten UI und 8V, trage auf die entferntere Senkrechte 8V die gegebenen Strecken von 8 bis -4/, LH 0' auf, und ziehe durch den Punkt L und die Punkte L.H LH (I gerade Linien, welche die nähere Senk¬ rechte in den Punkten L", 0" treffen; die Geraden U^", UL", RO" sind dann die gesuchten verhältnismäßig verkleinerten Strecken. Wären die gegebenen Strecken in dem Verhältnisse 3 :4 zu vergrößern, so würde man sie auf die nähere Senkrechte UI auf¬ tragen; auf der Senkrechten 8V erhielte man dann die verhältnis¬ mäßig vergrößerten Strecken. Aufgaben. Zeichne drei Strecken und verkleinere sie in dem Verhältnisse 0 2 : 1, N) 3 : 2. Zeichne eine Strecke und vergrößere sie in dem Verhältnisse n) 1: 2, d) 3 : 5. 8- 129. Eine gegebene Strecke in mehrere gleiche Theile zu theilen. Fig. m. a) Es sei die Strecke LM (Fig. 111) b z. B. in 5 gleiche Theile zu theilen. Man ziehe eine beliebige Gerade ipL, trage /hfX darauf von L. aus 5 gleiche Theile bis L auf, beschreibe aus und L mit dem // / ! zX Halbmesser tIL zwei Kreisbogen, welche Lk/ ,/> ,'A 'fA sich in 0 schneiden, und ziehe ^0 und LO. / / / > X Trägt man nun die gegebene Strecke von S -D L 0 aus bis N und N auf, zieht LM und von 0 auMdie Geraden Ov, OL, OL, 00, Močnik, Geometrie für Bürgerschulen. 3. Ausl- 6 82 so wird durch diese die NX in die verlangte Anzahl gleicher Theile getheilt. b) Wenn sehr kleine Theile z. B. 10 gleiche Theile der Strecke XL (Fig. 112) zu bestimmen sind, welche bei der vorhergehenden Construction undeutlich erscheinen würden, so wende man folgendes Verfahren an: Man errichte auf XL in den Endpunkten die Senk¬ rechten X0 und LL, trage auf jede 10 gleich große Theile bis 6 und I) auf und ziehe durch je zwei zusammengehörige Theilungs- punkte eine Gerade. Zieht man nun die Transversale XL, so ist ab der lOte Theil von XL, oä ist ob u. s. w. von der Strecke XL. Z. 130- Einen tausendtheiligen Transversalma߬ stab anzufertigen. Man trage aus eine Gerade XLX (Fig. 113) 10 gleiche Theile auf, deren jeder 100 Einheiten vorstellen soll, so dass auf die ganze Linie 1000 Einheiten kommen. In den Endpunkten errichte man zwei Senkrechte, trage darauf wieder 10 beliebig große, jedoch gleiche Theile auf, und ziehe durch die letzten Theilungspunkte eine Strecke, welche der zuerst gezogenen Geraden parallel und gleich sein muss, und welche ebenfalls in 10 gleiche Theile getheilt wird. Sodann ziehe man durch die gegenüberstehenden Theilungspunkte gerade Linien, welche alle entweder auf XX senkrecht stehen oder mit XX parallel sind. Um nun einen Theil XL wieder in 10 gleiche Theile zu theilen, braucht man nur in irgend einer Abtheilung eine Diago¬ nale b 200 zu ziehen. Es ist dann ab der lOte Theil von der Strecke zwischen 200 und 300, folglich auch von XL; ebenso enthält 83 eä 2 solche Theile, ok 3 Theile u. s. w. Diese Theile trägt man nun sowohl auf XL als LO auf, zieht dann durch 0 rind 0-, sowie durch je zwei folgende Theilungspunkte Transversalen und schreibt an die Theilungspunkte die Zahlen so hin, wie man sie an der Figur sieht. Die ganze Strecke XLX enthält 1000 Theile; XL ist der lOte Theil davon und enthält somit 100 Theile; L6 ist der lOte Theil von XL, enthält demnach 10 solche Theile; ml endlich ist der lOte Theil von L6, enthält also einen solchen Theil, wie deren auf die ganze Linie 1000 kommen, ml ist also der lOOOste Theil derselben; n2 enthält zwei solche Theile u. s. w. Stellt z. B. XL ein Decimeter vor, so ist 6L ein Centimeter, ml ein Millimeter des verjüngten Decimalmaßes. Aufgaben. 1. Elne auf dem Papiere verzeichnete Strecke zu messen. 2. Verzeichne ein 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, Lseitiges Vieleck, und bestimme die Länge der einzelnen Seiten. 3. Eine Strecke von bestimmter Länge auf dem Papiere zu zeichnen. 4. Lonstruiere ein Dreieck, dessen Seiten 137, 160, 185 sind. 5. Zeichne mit der Seite 209 ein Quadrat. 6. Zeichne ein Rechteck, dessen Seiten 271 und 80 sind. praktische Anwendung der Ahnlrchkritssätze. Z. 131- Einen Winkel auf dem Papiere zu zeichnen, der einem gegebenen Winkel auf dem Felde gleich ist. Man trage, auf dem Felde, von dem Scheitel X (Fig. 1l4) aus, auf beiden Schenkeln dieselbe Länge z. B. 10 Meter bis LI Flg m und X auf, und messe dann die am einen Kreisbogen und durchschneide denselben aus m mit der Zirkelvffnung wn, welche nach demselben Maßstabe gleich NX ist; zieht inan an, so ist der Winkel man — LlXX. Z- 132- Die Länge einer Strecke zu bestimmen, wenn sich dieselbe wegen eines zwischen ihren Endpunkten b er¬ findlichen Hindernisses nicht unmittelbar messen lässt. 6* 84 Für diese Aufgabe ist bereits iu Z. 73 eine Auflösung angeführt worden, die jedoch nicht anwendbar ist, wenn der Boden keine Verlängerung der Geraden ^0 und L0 gestattet. In diesem Falle messe man ebenfalls (Fig. 115) die Strecken 0^ und OL, trage aber dann nur einen bestimmten, z. B. den 4ten Theil der erhaltenen Länge OL. von 0 bis a, und ebenso den 4ten Theil der 6L von 6 bis b auf; in a und b schlage man Pflöcke ein. Misst man nun die Entfernung ad, so ist diese wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke Lab und gesuchten Entfernung man braucht daher die gefundene Länge ab nur noch mit 4 zu multiplicieren, um zu erhalten. Z. 133- Die Länge einer Strecke zu bestimmen, wenn man nur zu einem Endpunkte derselben gelan¬ gen kann. Die für diese Aufgabe in §. 74 angegebene Auflösung kann nur dann angewendet werden, wenn die Beschaffenheit des Bodens das Ausstecken und Messen der Geraden Dl? möglich macht. Ist dieses nicht der Fall, so führt folgendes Verfahren zum Ziele: Fig- 116. Man wähle zuerst einen dritten Stand¬ punkt 0 (Fig. 116), von dem man zu einein der beiden Punkte und L hin messen kann, messe wirklich zu dem zugänglichen Punkte ä. hin, und trage von der gefundenen Länge z, B. den 4ten Theil von 0 bis a auf. In a wird ein Winkel Lab abgesteckt, welcher so groß ist als der Winkel und in dessen Schenkel ab derjenige Punkt b bestimmt, welcher zugleich in der OL liegt. Misst man dann die Entfernung ab, so darf man nur dieselbe mit 4 multiplicieren, um die verlangte Länge zu finden. 8- 134- Die Länge einer Strecke zu bestimmen, die an ihren beiden Endpunkten unzugänglich ist. Es sei z. B. die Entfernung der beiden Bäume L und L (Fig. 117), welche sich jenseits eines Flusses befinden, zu bestimmen. Fig. 115. LL.L der 4te Tbeil der 85 Man wähle zwei solche Standpunkte 0 und v, dass man zwischen ihnen unmittelbar messen, und von ihnen aus nach den beiden gegebenen Punkten L und L sehen kann. Man messe die Stand- Fig- linie Ov, und trage darauf von 0 aus z. B. ihren 4ten Theil bis ä auf. In dem Punkte ä steckt man einen Winkel Ocln aus, welcher dem Winkel Ov^ gleich ist, und geht auf dem Schenkel äs. so weit fort, bis man in die Richtung OL. nach a kommt. Eben so steckt man in ä einen Winkel Oäb ab, welcher eben so groß ist als der Winkel OVL, und geht auf dem Schenkel äb so weit, bis man in die Richtung OL nach b kommt. Endlich messe man ab, und multipliciere die erhaltene Länge mit 4, so hat man den gesuchten Abstand LL. §. 135- Die Höhe eines zugänglichen Gegenstandes zu bestimmen. a) Es sei z. B. die Höhe eines Baumes (Fig. 118) zu finden. Man wählt einen Punkt 0, von dem man in gerader Linie zu .4 hin messen kann, steckt in 0 einen Stab 01) vertical ein und Fig- 118. legt sich hinter demselben in einer solchen Lage auf den Rücken, dass man die Spitze Mx v des Stabes mit der Spitze L des Bau- mes in gerader Richtung erblickt; den V Ort v, wo sich das Auge befunden hat, X und wo die Verlängerung der Geraden LV hinfällt, bezeichnet man mit einem Pflocke, und misst die Entfernungen VO und VL, so wie die Länge des Stabes Ov. Nun hat man zwei ähnliche Dreiecke ^.Lv und Ovv, daher ist ä.8 : Ov — : OL, woraus man das unbe¬ kannte Glied ä.L finden kann. Wäre z. B. Ov — 2 m, Ov — 3 m, XL — 9»r, so hätte man die Proportion XL : 2 — 9 : 3, woraus XL — 6m folgt. b) Auch aus dem Schatten eines Gegenstandes kann dessen Höhe gefunden werden. Man misst nämlich die Länge des Schattens, welche der Gegenstand wirft, und auch die Länge des Schattens, den zu derselben Zeit ein vertical stehender Stab wirft; hierauf 86 dieser Proportion wird dann die verlangte misst man noch die Höhe des Stabes und schließt: die Höhe des Gegenstandes verhält sich zur Höhe des Stabes, wie sich die Länge des Schattens des Gegenstandes zur Länge des Schattens des Stabes verhält. Aus Höhe gefunden. Fig. 119. 8- 136- Die Höhe eines unzugänglichen Gegenstandes zu bestimmen. Man soll z. B. die Höhe eines Thurmes (Fig. 119), welcher jenseits eines Flusses liegt, finden. Die Auflösung geschieht auf dieselbe Art wie bei der Bestimmung der Höhe eines zugänglichen Gegen¬ standes, nur muss die Entfernung L4, weil man sie nicht unmittelbar messen kann, nach der Auflösung in Z. 133 mittelbar bestimmt werden. 4. Ähnlichkeit der Vielecke. Z. 137. Zwei Vielecke sind ähnlich, wenn ihre Winkel paar¬ weise gleich, und die gleichliegenden Seiten proportional sind. Zwei Vielecke, welche aus gleich vielen der Ord¬ nung nach einander ähnlichen Dreiecken zusammen¬ gesetzt sind, sind selbst einander ähnlich. Es sei (Fig. 120) das Dreieck HOIi IW, L.VL I4IL. Nach dieser Voraussetzung sind je zwei gleichliegende Fig. 120. Dreieckswinkel gleich, und je zwei glcichliegende Dreiecksseiten haben dasselbe Verhältnis zu einander. — Es ist zuerst zu beweisen, dass auch je zwei gleichliegende Vieleckswinkel ein¬ ander gleich sind. Weil die Winkel a, b, e einzeln den Winkeln m, n, p gleich sind, so müssen auch, ihre Summen gleich sein, nämlich — II Die Winkel L und 6l sind nach der Annahme gleich. Ferner ist der Winkel 0 n H, weil beide aus gleich großen 87 Winkeln zusammengesetzt sind; und aus demselben Grunde 8—1. Endlich ist nach der Annahme auch 8 — 8. Nun ist noch zu zeigen, dass die gleichliegenden Seiten der beiden Vielecke proportional sind. Nach der Voraussetzung ist 88:86 — 80: 68. Ferner sind die Verhältnisse 80 : 68 und 08 : 81 gleich, weil sie beide einem dritten Verhältnisse 80 : 88 gleich sind. Wegen 08 : 81 — 88 : 81, und 88 :18 — 88 : 81 folgt eben so 08 : 81 — 88 :18. Endlich ist nach der Annahme 88 :18 — 88 : 88. Es ist also 88 : 86 — 80 : 68 — 08 : 81 — 88 : 18 — 88 : 88. Die beiden Viel¬ ecke 88088 und 86818 haben also in der Ordnung gleiche Winkel und proportionierte Seiten; sie sind demnach ähnlich. ß. 138- Aufgabe. Über einer gegebenen Strecke 86 (Fig. 120) ein Vieleck zu construieren, welches einem gegebenen Vielecke 88088 ähnlich ist. Man ziehe die Diagonalen 80, 88, mache 88" — 86, und iehe 8"0" 80, 0"8" 08, 8"8" 88; so ist das Vieleck 88"0"8"8" 88088. Construiert nian nun über 86 ein Vieleck 86818, welches mit 88"0"8"8" congruent ist, so ist dasselbe das verlangte Vieleck. Zeichne ein beliebiges Sechseck und dann ein zweites ihm ähnliches, so dass sich die Seiten des ersten Sechseckes zu jenem des zweiten wie 10 : 3 verhalten. Zeichne zwei ähnliche Achtecke, deren gleichliegende Seiten sich wie 4 : 5 verhalten. Auf der Lösung der obigen Aufgabe beruht das Copieren der Figuren nach einem vergrößerten oder verkleinerten M a ß st a b e. 8- 139. Wenn jede Seite eines Vieleckes 2mal, 3mal, 4mal so groß ist als die gleichliegende Seite eines ähnlichen Vieleckes, so wird auch die Summe aller Seiten, d. i. der Umfang des ersten Vieleckes, 2mal, 3mal, 4mal so groß sein als der Umfang des zweiten Vieleckes. Die Umfänge ähnlicher Vielecke verhalten fich also wie je zwei gleichliegende Seiten. Wie verhalten sich die Umfänge zweier regelmäßiger Vielecke von gleich vielen Seiten? , ß. 140. Werden die von einem Punkte 8 (Fig. 121) gezogenen Strahlen in den Punkten 8 und u, 8 und b, 0 und o, . . . proportional geschnitten, so sind die Vielecke 8808 . . und ubeä . . ähnlich. 88 Es sei 8^.: 8a — 88 : 8b — 80: 80 . .; dann sind die Dreiecke 8^L und 8ab, 880 und 8bo, 80V und 8ock, . . . ähnlich, daher ä.8 : ab — 80 : bo, weil beide Verhältnisse dem Verhältnisse 88 : 8b gleich sind. Eben so folgt 80 : be — ov : o7r : ckn — I> : cl, und II : n — 2U7r : 2r7c — U : r; d. h. die Umfänge zweier Kreise verhalten sich so wie ihre Durchmesser oder Halbmesser. 91 Z. 144- Aufgaben. 1. Der Durchmesser eines Kreises beträgt 64m; wie groß ist der Umfang? 64m X 3H oder 64m X 3 14 genauer 64m X 3.1416 18ß4m 18'84 4m 18'84964m. 2. Der Durchmesser ä eines Kreises ist u) 5'8 m, b) 3'85 m, o) 5m 84m 3 sm; wie groß ist der Umfang u? 3. Wie groß ist der Umfang u eines Kreises, dessen Halb¬ messer r — 1 m 8 4m ist? 4. Wie groß ist der Kreisumfang, wenn der Halbmesser n) 2 m, b) 3'84 m, o) 715 am beträgt? 5. Wie groß ist u) der Durchmesser, d) der Halbmesser eines Kreises, dessen Umfang 20 m beträgt? 6. Wie groß ist r für n) u — 2'5 m, b) u — 131'95 4m; o) u — 18 m 3 4 m 4'69 sm? 7. Der Minutenzeiger einer Uhr ist 14 sm lang; welche Länge hat der Weg, den seine Spitze in einer Stunde beschreibt? 8. Das Schwungrad an einer Maschine hat 2 m 54m Durch¬ messer; wie groß ist sein Umfang? 9. Der Umfang eines Baumes ist 84m 6 sm; wie groß ist der Durchmesser? 10. Der Drechsler soll einen Haspel bon 2 m 24m Umfang anfertigen; wie groß muss er den Durchmesser annehmen? 11. Jeder Grad des Erdäquators ist 15 geographische Meilen lang; wie groß ist n) der Umfang, b) der Halbmesser des Äquators? 12. Von einem gezahnten Rade von Im 34m Durchmesser soll die Entfernung der Zähne von Mitte zu Mitte 24m 2 em betragen; wie viele Zähne wird das Rad^ erhalten? 13. Ein Wagenrad, dessen Durchmesser 1'1 m beträgt, hat auf einer zurückgelegten Strecke 240 Umläufe gemacht; wie lange war die Strecke? 14. An einem Wagen hat jedes Vorderrad Im, und jedes Hinterrad 1'4m Durchmesser; wie viele Umläufe hat jedes Rad gemacht, wenn der Wagen eine Strecke von 1 Kilometer zurück¬ gelegt hat? 15. Welchen Durchmesser hat ein Locomotivrad, das sich auf einem Schienenwege von 990m 315mal umdreht? 92 16. Ein Mühlstein von l'4m Durchmesser macht in jeder Minute 100 Umdrehungen; welche Geschwindigkeit hat dabei ein Punkt des Umfanges; d. h. wie lang ist der Weg, den ein Punkt des Umfanges in 1 Seeunde durchläuft? 17. Von zwei Rollen, welche durch dieselbe Schnur in Umlauf gesetzt werden, hat die eine 2-4 cim im Durchmesser und dreht sich 8mal, während die andere 3 Umdrehungen macht; welchen Durch¬ messer hat die zweite Rolle? 18. Man will einen kreisrunden Tisch auf 8 Personen machen; wie groß wird man den Durchmesser dazu nehmen, wenn man auf eine Person 8<7m des Umfanges rechnet? 19. Ein kreisrundes Wasserbecken (Bassin) hat im Umfange 42 Steine, deren jeder an der inneren Seite 29 om lang ist; wie lang muss ein Balken sein, damit er genau über die Mitte reiche und auf jeder Seite noch 6<7m hervorstehe? 20. Der Durchmesser der Winde bei einem Brunnen ist 37 em; wie tief ist der Brunnen, wenn das Seil, das bis auf den Boden reicht, 12mal um die Winde geht? 21. Wie lang ist ein Bogen von 35° bei einem Kreise, dessen Halbmesser 2ckm ist? Umfang — 4 X 3'14 — 12'56 ÄM, 12'56 : x — 360 : 35, woraus die gesuchte Bogenlänge x — U22ck-n. 22. Bestimme die Bogenlänge von a) 56°, b) 120°, o) 180° in einem Kreise vom Halbmesser 1--r. 23. Der Durchmesser eines Kreises ist a) 1-w, b) 2-n, o) 3-n; welche Länge hat in jedem Kreise ein Bogen von 60°? 24. Ein Bogen von 48° hat 1'26 m Länge; wie groß ist der Halbmesser dieses Kreises? 25. Welchen Durchmesser hat ein Kreis, in welchem ein Bogen von 15° a) 3cim, b) 7'5 ÄM, o) 25'2 cim, ck) 4'5M lang ist? 26. Wie viel Grade hat ein Bogen von 7'853 cim Länge, wenn der Kreisdurchmesser 2 m beträgt? VIII. Flächeninhalt der ebenen Figuren. 8-145- Der Flächenraum, welchen die Grenzlinien einer ebenen Figur einschließen, heißt der Flächeninhalt der Figur. 93 Zwei Figuren, welche gleichen Flächeninhalt haben, heißen flächengleich. So wie eine Linie nur durch eine Linie, eben so kann eine Fläche nur durch eine Fläche gemessen werden. Um daher den Flächeninhalt einer Figur zu bestimmen, muss man irgend eine bestimmte Fläche als Einheit annehmen und untersuchen, wie ost dieselbe in der gegebenen Fläche enthalten ist. Die Zahl, welche dieses anzeigt, heißt die Maßzahl der Fläche. Als Einheit des Flächenmaßes nimmt man ein Qua¬ drat an, dessen Seite der Einheit des Längenmaßes gleich ist, von welcher dann das Quadrat den Namen erhält. Ein solches Quadrat heißt ein Quadratmeter (stss-n), ein Quadratd e cimet er (^ck-r), . . ., je nachdem die Seite einem Meter, Decimeter . . . gleich ist. Eine Fläche messen heißt demnach untersuchen, wie viele Quadrat¬ meter, Quadratdecimeter, ... die Fläche enthält. Die Bestimmung des Flächeninhaltes geschieht übrigens nicht durch unmittelbares Aufträgen der genannten Quadratmaße auf die zu messende Fläche, da dieses sehr mühsam und meistens auch unausführbar wäre. Man bestimmt vielmehr den Flächeninhalt mittelbar, indem man diejenigen Strecken, von denen die Größe der Figur abhängt, nut dem Längenmaße misst und aus den Ma߬ zahlen dieser Strecken den Inhalt der Fläche durch Rechnung findet. 1. Flächeninhalt -er geradlinigen Figuren. Flächeninhalt eines (Quadrates. Z. 146- Es sei eine Seite des Quadrates (Fig. 122) 3^M. Theilt man jede Seite in 3 gleiche Theile, deren jeder 1Äm lang ist und verbindet dann die gegenüberstehenden Theilungspunkte - ^>2 durch gerade Linien, so zerfällt das gegebene ' Quadrat in lauter kleinere Quadrate, deren jedes ! 1 ßZetm vorstellt; und zwar enthält der Streifen längs der Seite 3isZck-r, der darüber befindliche Streifen ebenfalls 3ßZcim, und der dritte Streifen . ! ! ! auch 3ßZckm. Man hat also im ganzen 3mal 3sIM — 94 Zeichne ein Quadrat, dessen Seite 4om ist, und bestimme auf gleiche Weise, wie viel sZ om dasselbe enthält. Der Flächeninhalt eines Quadrates wird also gefunden, indem man die Maßzahl einer Seite mit sich selbst multipliciert, d. i. zur zweiten Potenz erhebt. Daher kommt es, dass man auch im Rechnen die zweite Potenz einer Zahl das Quadrat derselben nennt. Bezeichnet man die Maßzahl der Seite eines Quadrates durch s, und den Flächeninhalt desselben durch k, so ist k — 8^. Heißen 8 und 1' die Seite und der Flächeninhalt eines zweiten Quadrates, so ist ebenso 1^ — 8^; daher b' : k — 8- : 8^, d. h. die Flächeninhalte zweier Quadrate verhalten sich wie die zweiten Potenzen ihrer Seiten. Die Benennung des Flächeninhaltes hängt von der Benennung der Seiten ab; ist z. B. die Seite in Metern ausgedrückt, so wird die Zahl, welche man als Flächeninhalt bekommt, Quadratmeter anzeigen; ist die Seite des Quadrates in Decimetern angegeben, so erhält man auch den Flächeninhalt in Quadratdecimetern. Wenn der Flächeninhalt eines Quadrates bekannt ist und man die Länge einer Seite ,finden will, so braucht man nur eine Zahl zu suchen, welche mit sich selbst multipliciert den gegebenen Flächeninhalt gibt, d. h. inan darf nur aus dem bekannten Flächen¬ inhalt die Quadratwurzel ausziehen*.). Es ist also 8 — pX. Z. B. der Flächeninhalt eines Quadrates beträgt lOfiZm 75fiZa!m 84fZstm; wie groß ist eine Seite? lOf^m 75fZM — 10'7584 fZm. X10'7584 — 3'28 M — 3-n 8om. 8- 147- Ein Quadrat, dessen Seite lOcim beträgt, hat 10 X lO sZcim — 100 fZckm Inhalt. Ein solches Quadrat ist nun 1 sZm, also ist 1 — lOOfisscim. *) Die Aufgaben, welche sich auf das Ausziehen der Quadratwurzel gründen, werden, wenn die Schüler damit noch nicht vertrant sind, später nachzuholen sein; sie sind hier zur Unterscheidung von anderen Aufgaben mit kleineren Lettern gedruckt. 95 Eben so folgt: 1 fZckm — 100 s^jem 1 üjLm — 1000000 ^m 1 ßZom — 100 (Zm^ IsZä/m — 100fZ^-r. Beim Bodenflächenmaße heißt eine Fläche von 100 Ujm ein Ar, eine Fläche von 100 Ar ein Hektar; daher ist IfffjMn — 10000 Hektar. 8- 148- Aufgaben. 1. Die Seite eines Quadrates ist n) 21m, b) 5m 4^m, e) 3m 5cim 9 em, ä) 0 715 m; wie groß ist der Flächeninhalt? 2. Zeichne mit Hilfe eines verjüngten Maßstabes ein Quadrat, dessen Seite 2m 35 em ist, und berechne dessen Flächeninhalt. 3. Der Umfang eines Quadrates ist 23m 2cim; wie groß ist der Flächeninhalt? 4. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist 15 UM 12Q>M 34HseM; wie groß ist die Seite? 5. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Flächeninhalt u) 376'36 sHÄM, b) 2 mm IS ssMm 16 UM», o) 12'3201 UM ist. 6. Wie viel kostet ein quadratischer Bauplatz von 36 m Seiten¬ länge, wenn man das j^m mit 5 fl. 50 kr. bezahlt? 7. An der Fläche eines Quadrates, dessen Seite 48 em ist, wird der Rand 3 em breit vergoldet; wie viel Hjckm beträgt die Vergoldung? 8. Man will in einem quadratförmigen Garten, dessen Seite 58m 54m ist, ringsherum einen Weg machen, der eine Breite von Im 2 4m haben soll; welchen Flächenraum wird dieser Weg einnehmen? 9. Es ist ein Quadrat zu construieren, welches so groß ist, als zwei Quadrate zusammengenommen, deren Seiten 2ÄM öem 10 mm und 9äm 3 em 4 mm sind; welche Länge wird man zur Seite des verlangten Quadrates anneh¬ men müssen? 10. Zeichne ein Quadrat, welches gleich ist der Summe dreier Quadrate mit den Seiten 14m 2 em, 2ck--r 4 em und 2 Am 6 em. Flächeninhalt eines Rechteckes. 8- 149- Es sei in dem Rechtecke 0 (Fig. 123) die Grundlinie ä.8 — 6 em, und die Höhe äD —4om. Theilt man die in 6, die äD in 4 gleiche Theile, und zieht mit denselben durch die L Theilungspunkte parallele Linien, so ist ein 96 jedes der dadurch entstehenden Quadrate IsZom, und man hat 4 Streifen solcher Quadrate, je von 6 fisten; der Flächeninhalt des Rechteckes LLOO beträgt daher 4mal 6fissom — 24fisstM. Durch ähnliche Zeichnungen und Schlüsse findet man, dass ein Rechteck, welches 7-n lang und 3m breit ist, 7X3 —21sHm ent¬ hält; dass die Fläche eines Rechteckes, dessen Grundlinie und Höhe 8ÄM und 5cim sind, 8 X 5 — 40sZckM beträgt. Der Flächeninhalt eines Rechteckes wird also gefunden, indem man die Maßzahl der Grundlinie mit der Maßzahl der Hohe (oder die Länge mit der Breite) multipliciert. Man pflegt diesen Satz kürzer so auszudrücken: Der Flächeninhalt eines Rechteckes ist gleich dem Products aus der Grundlinie und der Höhe. Ist der Flächeninhalt eines Rechteckes und zugleich die Grund¬ linie bekannt, so findet man die Höhe, indem man den Flächeninhalt durch die Grundlinie dividiert. Eben so wird die Grundlinie gefunden, indem man den Flächeninhalt durch die Höhe dividiert. Bezeichnet A die Grundlinie, ü die Höbe eines Rechteckes, und t' den Flächeninhalt desselben, so ist k k k — 8 . d, § — -j-, ü — —. u Z ß. 150. Aufgaben. 1. Wie groß ist der Flächeninhalt k eines Rechteckes, dessen Grundlinie Z — 18m, und dessen Höhe b — 12m ist? 2. Bestimme den Flächeninhalt eines Rechteckes für u) Z — 9'2 M, b) Z — 12 m 3 cim 3 em, e) Z — 3'215 m, ü — 5'8 m, ü — 9 m 2 om; Ii — 1064 m. 3. Der Umfang eines Rechteckes beträgt 87 m 4ckm, die kürzere Seite 18 m 4ckn; wie groß ist der Flächeninhalt? 4. Der Inhalt eines Rechteckes ist 34'2(Zm, die Grundlinie 9-n; wie groß ist die Höhe? 5. Ein Rechteck ist 2m 8<2m breit und enthält 16ßZm 91 20fi>M; wie lang ist dasselbe? 6. Wie groß ist die Breite eines Rechteckes, das a) 5'28 m lang ist und 21'56 fissm enthält, d) 2 m 3 cim 4 em lang ist und 3 ßZm 72 sZcim 6 ßZem enthält? 97 7. Miss die Länge, Breite und Höhe des Schulzimmers und berechne, wie viel Flächenraum der Boden, die Decke und die vier Wände (Thür und Fenster mitgerechnet) haben. 8. Eine Tischplatte ist 1'4m lang und 1'2m breit; wie groß ist ihre Fläche? 9. Ein Spiegel mit Rahmen hat 6ckm 3 cm Breite und 8 cm 5 cm Höhe; wie groß ist der Inhalt der sichtbaren Spiegelfläche, wenn der Rahmen 5 am breit ist? 10. Wie viel Ar hat ein rechteckiger Garten von 38 m Länge und 32 m Breite? 11. Ein Acker enthält 71-74 Ar, seine Länge ist425'6m; wie groß ist seine Breite? 12. Jemand vertauscht einen Acker, welcher 746 MjsPm Flächeninhalt hat, gegen einen andern von gleichem Inhalte, welcher 18 m 2ckm breit ist; wie lang muss dieser Acker sein? 13. Jemand kauft einen Bauplatz von der Form eines Rechteckes, 34m 4ckm lang und 19 m 2ckm breit, und bezahlt das Qua¬ dratmeter zu 5^ fl.; wie viel kostet der Bauplatz? 14. Ein Saal ist 4'4m lang und 3'5« breit; wie viel Bretter braucht man, um den Fußboden dieses Saales zu dielen, wenn jedes Brett 2'5m lang und 3'1 ckm breit ist? 15. Ein Acker ist 116m lang und 18 m 5<7m breit; wie viel Weizen wird zur Aussaat erfordert, wenn man auf ein Ar 2^ Liter- Weizen aussäet? 16. Wie viel kosten 8 Fenster, jedes Im 8ckm hoch und Im Ickm breit, wenn das Quadratmeter zu 9 fl. 40 kr. gerechnet wird? 17. Durch eine Wiese, welche 43 m lang und 12 m 3ckm breit ist, wird der Länge nach ein 2 m breiter Graben gelegt; wie viel Flächenraum enthält noch die Wiese? 18. Jemand besitzt einen Garten in der Form eines Rechteckes, welcher 68'4m lang und 42 5 m breit ist; er will denselben mit einer 8ckm breiten Mauer umfassen; wie viel Raum wird diese Mauer wegnehmen? 19. Wenn man zur Bekleidung einer Seitenwand in einem Saale 54 Meter 125 cm breites Tuch braucht, wie viel wird man für die gleiche gegenüberstehende Wand brauchen, wenn das Tuch 150 cm breit ist? Močnik, Geometrie für Bürgerschulen, t. Aufl. 7 98 20. Zeichne mit Hilfe eines verjüngten Maßstabes ein Rechteck, welches 2 m I ckm 8 em breit ist, und denselben Inhalt hat als ein Quadrat, dessen Seite 5 m 8ckm ist. 21. Ein Cassatisch, der 2'3m lang und 1-2m breit ist,, soll eine Steinplatte erhalten, die Ickm Holzrand stehen lässt; wie viel kostet die Platte, wenn das sZm mit 8^ fl. bezahlt wird? 22. Ein Hof von 18 m Länge und 12 m Breite soll mit Stein¬ platten belegt werden, welche 3ckm lang und eben so breit sind; a) wie viel Platten sind erforderlich, b) wie hoch kommt die Pflasterung, das Ujm zu ß fl. gerechnet? 23. hat zwei Gärten von gleicher Größe, einen quadratischen von 56 m Seitenlange und einen rechteckigen von 42 m Breite; um jeden dieser Gärten will er eine Hecke anpflanzen lassen; wie viel Meter wird die Hecke um den rechteckigen Garten länger sein als die um den quadratischen? 24. 6 größere Thüren, jede 2'3 m hoch und 1'3 m breit, und 4 kleinere Thüren, jede 1'9m hoch und Im breit, sollen von innen und außen mit Ölfarbe angestrichen werden; wie theuer kommt der Anstrich, wenn das fl^m 85 kr. kostet? 25. Ein ebenes Dach von 7'4 m Länge und 5'8 m Breite soll mit Zinkplatten belegt werden; a) wie viel Platten von 1'5m Länge und 8ckm Breite sind dazu erforderlich, wenn an jeder Seite der Platte 3 em durch die Falze verloren gehen; b) wie viel kosten dieselben, wenn jede Platte 6 Kilogramm wiegt und 1 Kilogramm Zinkplatte mit 48 kr. bezahlt wird? Flacheniichall eines schiefwinkligen Parallelogramms. 8-151- Jedes schiefwinklige Parallelogramm (Fig. 124) kann in ein Rechteck von derselben Grundlinie und Höhe verwandelt Fig. 124. werden, indem man das rechtwinklige Dreieck <7 llvll an die Stelle von -VOll überträgt. Um ! 7 s-? den Inhalt des Rechteckes zu finden, muss ! / / man die Grundlinie mit der Höhe multipli- --eieren; daher ist auch der Flächeninhalt eines schiefwinkligen Parallelo¬ gramms gleich dem Products aus der Grundlinie und der Höhe. Ist z. B. die Grundlinie L.L— 10 m, die Höhe W —4 m, so ist 10X4 —40fl>r der Flächeninhalt des Parallelogramms. 99 Folgesätze. 1. Zwei Parallelogramme von gleicher Grundlinie und gleicher Höhe sind einander gleich. 2. Zwei Parallelogramme von gleichen Höhen verhalten sich wie ihre Grundlinien. 3. Zwei Parallelogramme von gleichen Grundlinien verhalten sich wie ihre Höhen. K. 152- Aufgaben. 1. Wie groß ist die Fläche eines Parallelogramms, in welchem die Grundlinie 4m 3ckm 4om und die Höhe 2m 3ckm 2 em beträgt? 2. In einem Nhomboid ist die Grundlinie a) 108 cim, b) 17'7m, e) 8 m 5cim lom; die Höhe a) 64ckm, d) 9'3 ckm, o) 7m 4ckm 8 em; wie groß ist der Flächeninhalt? 3. Der Flächeninhalt eines schiefen Parallelogramms beträgt 18 81ßZckm, die Höhe ist 3/^m; wie groß ist die Grundlinie? 4. Wie groß ist der Inhalt eines rautenförmigen Platzes, dessen Grundlinie 47'2 m und dessen Höhe 28'5 m ist? 5. Ein Acker hat die Gestalt eines schiefwinkligen Parallelogramms von 8 Hektar 32 Ar Inhalt und 225 m Höhe; wie groß ist die Grundlinie? 6. Von einer Wiese, welche die Form eines Rhomboids hat, worin die Grundlinie 66'4 m und die Höhe 45'2 m beträgt, wird ein Stück von 14 m Höhe parallel mit der Grundlinie abgeschnitten und zu Ackerland gemacht; a) wie groß war die Wiese, b) wie groß ist das übrig bleibende Stück derselben? Flächeninhalt eines Dreieckes. 8- 153- Jedes Dreieck (Fig. 125) kann als die Hälfte eines Parallelogramms dargestellt werden, welches mit ihm gleiche Fig. 125. Grundlinie und Höhe hat; man braucht nur durch et, s zwei Scheitelpunkte L und 0 mit den gegen- ZV / liegenden Seiten parallele Linien zu ziehen. Um X X / den Flächeninhalt des Parallelogramms zu er- -halten, muss man die Grundlinie mit der Höhe multiplieieren; zur Bestimmung der Dreiecksfläche wird inan daher auch die Grundlinie mit der Höhe multiplieieren, aber von diesem Produete nur die Hälfte nehmen. ?-i- 100 Der Flächeninhalt eines Dreieckes wird also ge¬ funden, indem man das Product aus der Grundlinie und Höhe durch 2 dividiert. Wird der doppelte Flächeninhalt eines Dreieckes durch die Grundlinie dividiert, so erhält man die Höhe; wird er durch die Höhe dividiert, so erhält man die Grundlinie. Bezeichnet Z die Grundlinie, ll die Höhe und t den Flächen¬ inhalt eines Dreieckes, so ist . 8 . d 2k , 2k Folgesätze. 1. Zwei Dreiecke von gleicher Grundlinie und gleicher Höhe sind einander gleich. 2. Zwei Dreiecke von gleichen Höhen verhalten sich wie ihre Grundlinien. 3. Zwei Dreiecke von gleichen Grundlinien verhalten sich wie ihre Höhen. Sind dieZ drei Seiten a, b, ch; eines Dreieckes gegeben und bezeichnet 8 die halbe Summe derselben, also 8 — , so wird, was aber hier noch nicht nachgewiesen werden kann, zur Berechnung des Flächeninhaltes t des Dreieckes aus dessen drei Seiten folgende Formel angewendet: t — V X (s — a) X 0 — b) X (s — Drücke diese Formel mit Worten aus. Ist z. B. a — 9m, 5 — 6m, o — 5m, so hat man g. -s- b e — 20m, t — V 10.1.4 ."Z-— VWÖ; 8 10m, 8 — a — 1 m, k — 14'14 fs^m. 8 — b— 4m, 8 — e — 57»; Zusätze. 1. In einem rechtwinkligen Dreiecke wird gewöhnlich eine Kathete als Grundlinie angenommen; die andere Kathete stellt dann die Höhe vor. Der Flächeninhalt eines recht¬ winkligen Dreieckes ist daher gleich dem halben Producte der beiden Katheten. 101 2. Jedes Quadrat, wie auch jeder Rhombus, kann in zwei Dreiecke zerlegt werden, deren gemeinschaftliche Grundlinie die eine Diagonale und deren Höhen die Hälften der anderen Diago¬ nalen sind (Z. 78, 2 und 3). Daraus folgt: Der Flächeninhalt eines Quadrates oder eines Rhombus ist gleich dem halben Products der beiden Diagonalen. 3. Der Flächeninhalt eines Trapezoides wird berechnet, indem man dasselbe durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, von diesen die Flächeninhalte bestimmt und addiert. Z. 154- Aufgaben. 1. Wie groß ist der Flächeninhalt eines Dreieckes, worin die Grundlinie 10 m und die Höhe 6 m beträgt? 2. Berechne den Flächeninhalt k eines Dreieckes für g,) A — 3'5 m, b) K — 1 m 4 ckm 2 cm, e) K — 7 m 9 ckm 4 cm, ü — 3'2 m, b — 5 ckm 9cm; ü — 5 m 6 ckm 3 cm. 3. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die eine Kathete 29 m 3ckm, die andere 18 m 4ckm; wie groß ist der Inhalt? 4. Wie groß ist die Grundlinie eines Dreieckes, dessen Höhe 5'6 m, und dessen Inhalt 40'32 jsssm beträgt? 5. Ein Dreieck hat 20Hjm 67sDckm Inhalt, und 5m 3ckm zur Grundlinie; wie groß ist die Höhe? 6. In einem rechtwinkligen Dreiecke, welches 21 oss^ckm ent¬ hält, ist eine Kathete 7m 4ckm; wie groß ist die zweite Kathete? 7. Wie groß ist der Inhalt eines Rhombus, dessen Diagonalen 2'26 m und 1'75 m betragen? 8. Die Diagonale eines Quadrates ist 3m 4ckm 2cm; wie groß ist der Inhalt desselben? 9. Ein Dreieck hat die Seiten n — 4 m 3 ckm, b — 5 m 2 ckm, 6 — 3m 5ckm, wie groß ist der Flächeninhalt k desselben? 10. Bestimme k, wenn gegeben sind in) a — 57 m, n) u — 7'35 m, x>) g, — 7 m 3 ckm 5 cm, b — 73m, l) — 13'43 m, b — 20m 5ckm 5cm, 6—64m, e — 804m, e — 15m 2ckm 9 cm. 11. Ein Stück Land von der Gestalt eines Dreieckes hat 108m zur Grundlinie und 72 m zur Höhe; wie viel ist es wert, wenn das Hektar zu 1015 fl. gerechnet wird? 102 12. Die Seite eines Quadrates ist 4m 4ckm 4 em. Zeichne verjüngt ein rechtwinkliges Dreieck, welches eben so groß ist als jenes Quadrat, und dessen eine Kathete 5m 5ckm 8 em ist. 13. Ein Thurmdach besteht aus 4 gleichschenkligen Dreiecken. Wie viel sssjm Blech braucht man zu dessen Deckung, wenn die Grundlinie eines solchen Dreieckes 2m 2ckm und die Höhe 4m 5ckm beträgt, und wenn für Verschnitt und Falze 6°/» hinzugerechnet werden? 14. Ein Acker hat die Form eines Trapezoides, worin eine Diago¬ nale 73'4m lang ist und von den beiden anderen Eckpunkten um 28'2 m und 33'7 m absteht; wie groß ist der Inhalt des Ackers? 15. Ein rautenförmiger Garten enthält 2 Ar; wie groß ist darin die kürzere Diagonale, wenn die längere 25 m beträgt? 16. Eine Tischplatte von 12ckm Länge und 9ckm Breite enthält in der Mitte als Verzierung einen Rhombus, dessen Diago¬ nalen 4ckm und 3ckm sind; um wie viel ist die Tischfläche größer als der Inhalt dieses Rhombus? 8- 155- Es seien (Fig. 126) 7^60 und abO zwei ähnliche Dreiecke, deren gleichliegende Seiten sich wie 5 : 3 verhalten. Theilt Fig. 126. man ä.0 in 5 gleiche Theile, von denen auf aO <7 3 kommen, und zieht durch die Theilungspunkte der L.0 Parallele mit und LO, so zerfallen / X die gegebenen Dreiecke in lauter congruente und /X /X nut mnO gleiche Dreiecke, und zwar ist L.LO /x ^7' /X — mnO, abO — 9 mnO, daher a / X 'X X r- ^0 : abO — 25 : 9. /X ?x /X , X Dasselbe Verhältnis 25 : 9 haben aber auch 'V Quadrate zweier gleichliegenden Seiten. X/ x^/ X/ X, Zwei ähnliche Dreiecke verhalten sich also wie dieQuadrate ihrer gleich¬ liegenden Seiten. Flächeninhalt eines Trapezes. ^27 8' 156. Um den Flächeninhalt des Trapezes ^LOV (Fig. 127) zu erhalten, braucht man es / nur durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zu / / zerlegen. Man erhält dadurch // ! X ^LLO —z^ll.oll, ^01) — z 00 . Oll, also Trapez ^llOV — 1 (LL 4- Ov). Oll; d. h. 103 der Flächeninhalt eines Trapezes wird gefunden, indem man die halbe Summe der beiden parallelen Seiten mit der Höhe des Trapezes multipliciert. Heißt die eine der Parallelseiten n, die andere b, und die Höhe d, so ist der Flächeninhalt 1 - . d. Z. 157. Aufgaben. 1. In einem Trapeze betragen die parallelen Seiten 36 m und 27 m, die Höhe ist 18 m; wie groß ist der Flächeninhalt? 2. Berechne den Flächeninhalt folgender Trapeze: a) Parallelseiten 5m und 6m, Höhe 4m; b) „ 3'5 m und 2'8 m, Höhe 1'6m; e) „ 2m 5ckm 4om und 5 m 3ckm 9 em, Höhe 4 m 2 ckm 8 em. 3. In einem Trapeze, dessen Parallelseiten 5^m und 4Zm sind, beträgt der Flächenraum 18s^m 81sD<7m; wie groß ist der Abstand der beiden parallelen Seiten? 4. Ein Platz hat die Form eines Trapezes, worin die Parallel¬ seiten 185m 5ckm und 140m 5ckm betragen und 25?» 2ckm von einander abstehen; welchen Flächenraum hat dieser Platz? 5. In einem Trapeze betragen die Parallelseiten 3 m 3cku und 1?» 5ÄM, die Höhe Im 3) die Hypotenuse 2'08m, eine Kathete 08m; o) die Hypotenuse 3m 4ckm 8 cm, eine Kathete 2m 2 Am 9 cm; wie groß ist die andere Kathete, wie groß der Flächeninhalt? 3. Es soll eine Leiter gemacht werden, welche, wenn sie unten 2m weit von dem Hanse an dasselbe angelegt wird, daran 5m hoch reicht; wie lang wird die Leiter sein müssen? — (Die Leiter kann als Hypotenuse eines recht¬ winkligen Dreieckes angesehen werden, der Abstand vom Hause 2m bildet die eine Kathete, die Höhe 5 m die andere.) 4. Bei einem gewöhnlichen Hausdache ist der Dachstuhl 14 m breit; wie laug müssen die Dachsparren werden, wenn der Dachstuhl 6m hoch werden soll? — (Die Länge eines Dachsparrens bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes, dessen Katheten die Höhe und die halbe Breite des Dachstuhles sind.) 5. In einem gleichseitigen Dreiecke beträgt eine Seite 8cüm; wie groß ist n) die Höhe, b) der Flächeninhalt? — (Die Höhe eines gleichseitigen Dreieckes bildet die Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes, worin als Hypotenuse die ganze Seite, als zweite Kathete die halbe Seite des gleichseitigen Dreieckes vor¬ kommt.) 110 6. Berechne die Höhe und den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Seite u) 2 Am 4cm, b) 4m 2 Am 6cm beträgt. 7. In einem gleichschenkligen Dreiecke beträgt die Grundlinie 3m 4ckn 6om und die Höhe 4m 2Am 4e»r; wie groß ist ein Schenkel? 8. In einem gleichschenkligen Dreiecke beträgt die Grundlinie 4'8 und jede der gleichen Seiten 5'2 Am; wie groß ist die Höhe, und wie groß der Flächeninhalt? 9. Wie groß ist die Diagonale eines Quadrates, dessen Seite Im ist? 10. Der Halbmesser eines Kreises ist 6 Am; wie groß ist der Abstand seines Mittelpunktes von einer Seite des eingeschriebenen regelmäßigen Sechseckes? (tz. 106, Zusatz.) 11. Zeichne ein Quadrat, welches so groß ist, als die Summe zweier anderen Quadrate. 12. Zeichne ein Quadrat, welches gleich ist dem Unterschiede zweier gegebener Quadrate. 3. Verwandlung und Theilung geradliniger Figuren. Verwandlung geradliniger Figuren. Z. 165. Eine Figur in eine andere verwandeln, heißt eine Figur construieren, welche mit der ersten flächengleich ist. - E 1. Ein ungleichseitiges Dreieck L.L0 (Fig. 133) in ein gleichschenkliges zu verwandeln. //IxX Man halbiere die in v, ziehe VL ch. // E xx und 6L verbindet man den Durch- schnittspunkt L mit und L, so ist das verlangte gleichschenklige Dreieck. 2. Ein gegebenes Dreieck (Fig. 134) in ein anderes zu verwandeln, das einen gegebenen Winkel m enthält. Fig.zi34. Man eonstruiere den Winkel L4.I) — m ziehe ov f L.L; zieht man noch OL, so / / Vz ist LLV das verlangte Dreieck. 3. Ein schiefwinkliges Dreieck in ^l ein rechtwinkliges zu verwandeln. Die Auflösung wie bei der Aufgabe 2., worin jedoch m als rechter Winkel angenommen werden muss. 111 4. Ein gegebenes Dreieck LLO (Fig. 135) in ein anderes zu verwandeln, das eine gegebene Grund- Man mache LV — a, ziehe VO und damit parallel die LV, welche die verlängerte LL in v trifft; Lvv ist nun das verlangte Dreieck. Denn es ist LLV — LLV, , . LVV — 6VL, also / X LLV -ff LVV — ^7 LLV -s- LVL, oder ^7LVV —LLL. linie a hat. Fig. 135. Um den Flächeninhalt eines Kreisabschnittes zu finden, berechnet man den Flächeninhalt des zugehörigen Kreisaus¬ schnittes und subtrahiert davon den Inhalt des Dreieckes, um welches der Ausschnitt größer als der Abschnitt ist. Den Flächeninhalt eines Kreisringes findet man, indem man die Flächen der beiden Kreise, deren Unterschied der Ning ist, berechnet und von einander subtrahiert. Z. 171- Aufgaben. 1. Der Halbmesser eines Kreises ist 10m; wie groß ist der Flächeninhalt? Halbm. — 10m oder 10 X l0 Durchm.— 20 m 100 X 3'1416 Umfang— 62'832 314'16 s^m. halb. Halbm. — 5m Flächeninhalt — 314'16 ssZm. 2. In einem Kreife ist der Halbmesser a) r — 265 m, b) r — Im 7 <7m 8om, e) r — 35^cim; wie groß ist der Flächeninhalt 1? 115 3. Wie groß ist 1, wenn der Durchmesser ck a) 13 m, b) 5135 m, o) 8 «km 3 em 4mm beträgt? 4. Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, dessen Flächeninhalt 7 lUur 76LÜÄM beträgt? 7 sH« 76 sUckm — 776 lückm 776 : 3'14 - 247'14 ^247'14 — 15'7 ckm — 1»» 5 ckm 7 em 147 : 25 22 14 : 307 65 5. Wie groß ist der Durchmesser eines Kreises, dessen Flächeninhalt s) 6 59736 mm, 5) 3 lüm 86 Mm 41'68 Ulem beträgt? 6. Ein kreisrunder Saal hat 8m 5c^m im Durchmesser; wie groß ist der Flächeninhalt? 7. Eine Scheibe hat Im 48 em im Umfange; wie groß ist n) ihr Durchmesser, b) ihr Flächeninhalt? 8. Der Umfang eines Baumes ist 2Zm; wie groß ist der Flächeninhalt eines Querschnittes? 9. Wie viel Menschen haben in einem kreisrunden Saale Platz, dessen Durchmesser 14m ist, wenn ein Mensch 17^ckm. einnimmt? 10. Auf einem Anger ist eine Kuh mit einem 2'8 m langen Stricke angebunden; wie viel sHm Weide sind ihr zugemessen? 11. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Inhalt gleich ist der Fläche eines Kreises vom Halbmesser 8äm? 12. Bestimme den Halbmesser eines Kreises, der au Inhalt gleich ist einem Quadrate mit der Seite 2 m 3ckm. 13. Wie groß ist der Inhalt eines Kreisausschnittes, dessen Halbmesser 5'8 m und dessen Bogenlänge 8'2 m ist? 14. Ein Kreisausschnitt von 4'52 cim Halbmesser hat n) 18", d) 40", o) 106° 30; wie groß ist die Länge des Bogens, wie groß der Inhalt des Ausschnittes? 15. Wie viel Grade umfasst der Bogen eines Kreisausschnittes, dessen Fläche 74Zßfssfcim und dessen Halbmesser 7 <2m beträgt? (ar — 3^). 16. Wie groß ist der Inhalt eines Kreisabschnittes, dessen Sehne —2m 5cim dem Halbmesser des Kreises gleich ist? 17. Wie groß ist die Fläche eines Kreisringes, wenn die zwei concentrischen Kreise 3m 6<2m und 4m 4cim zu Durchmessern haben? 8* 116 18. Bestimme den Flächeninhalt eines Kreisringes, wenn die ihn einschließenden Kreisumfänge 315-8 mm und 410 5 mm betragen. 19. Wie groß ist der längere Halbmesser eines Kreisringes von 50 24 L^enr, wenn der kürzere Halbmesser 3om beträgt? 20. Auf einer Schießscheibe beträgt der Durchmesser des innern schwarzen Ringes 0'25 m und die Breite des weißen Ringes 0'3 m; wie groß ist der weiße Ring? 21. Die Fläche eines Kreises beträgt 72'9 bMm, die Fläche eines kleineren concentrischen Kreises 49'134 wie groß ist die Breite des Kreisringes? 22. Ein kreisrunder Grasplatz von 18m Durchmesser ist mit einein 2 m breiten Wege umzogen; wie viel Flächenraum nimmt dieser Weg ein? 23. Um einen kreisrunden Thurm von 32 m Umfang wird ein 3m breiter Graben gezogen; welche Fläche nimmt dieser ein? 24. Ein Garten ist 68m 2<7m lang, 41m 3cim breit; in der Mitte desselben befindet sich ein kreisrunder Teich, welcher sammt der ihn einschließenden Mauer 12m 4<2m im Durchmesser hat; wie groß ist die Landfläche des Gartens? 25. In einen Kreis, dessen Halbmesser 2m 4cöm ist, wird ein regelmäßiges Sechseck beschrieben; um wie viel ist die Fläche dieses Sechseckes kleiner als die Fläche des Kreises? 5. Flächeninhalt einer Ellipse. 8- 172- Man hat gefunden, dass eine Ellipse eben so viel Flächenraum einschließt, als ein Kreis, in welchem das Quadrat des Halbmessers gleich ist dem Products aus den beiden Halbachsen der Ellipse. Da nun der Flächeninhalt eines Kreises gleich ist dem Quadrate des Halbmessers, multipliciert mit der Ludolfischen Zahl, so folgt: Der Flächeninhalt einer Ellipse wird gefunden, indem man das Product der beiden halben Achfen mit der Ludolfischen Zahl multipliciert. Z. B. wie groß ist der Flächeninhalt einer Ellipse, deren Achsen 11m und 7 m sind? Product der Halbachsen — XZ — 19». Flächeninhalt — 19z X 3z — EsHm. 117 Aufgaben. 1. Die halbe große Achse einer Ellipse ist 29) eine horizontale, v) eine schiefe Ebene? 4. Welche Lage gegen einander können oder müssen eine horizontale Gerade und u) eine verticale, b) eine horizontale, o) eine schiefe Ebene haben? 5. Welche Lage gegen einander können oder müssen eine schiefe Gerade nnd u) eine verticale, b) eine horizontale, o) eine schiefe Ebene haben? 181- Zieht man von einem Punkte (Fig. 144) im Raume eine Senkrechte auf die Ebene LIU, so heißt der Fußpunkt dieser Senkrechten die Projection des Punktes L. auf die Ebene, und die Ebene selbst die Projection sebene. 127 Projectionsebene, so fällt er Unter der P r o j e c ti o n einer Strecke auf eine Ebene versteht man die Strecke zwischen den Projectionen ihrer Endpunkte auf diese Ebene. Ist L/ die Projection des Punktes ^., und L" die Projection des Punktes L auf die Ebene LM, so ist die Strecke die Projection der Strecke auf diese Ebene. Ist eine Strecke zur Projectionsebene parallel (wie in I), so ist ihre Projection mit der Strecke gleich lang. Ist eine Strecke gegen die Projectionsebene schief (II), so ist ihre Projection kleiner als die Strecke. Ist eine Strecke auf der Projectionsebene senkrecht (III), so ist ihre Projection ein Punkt. Liegt die gegebene Strecke in der Projectionsebene, so fällt sie mit ihrer Projection zusammen. 8- 182- Es stehe (Fig. 145) ^6 schief, LO dagegen senkrecht auf der Ebene LM, so ist ^.0 die Projection der in der Ebene lM, und L^.0 heißt ihr Neigungswinkel gegen diese Ebene. Wenn man einen Stab mit dem einen Ende schief gegen den Fußboden hält, so ist seine Neigung gegen den Boden gleich dein Winkel, den er beschreibt, wenn man ihn frei fallen lässt. Zieht man durch in der Ebene NX irgend eine Gerade L.I), macht LL —LO und zieht LL, so ist diese länger als die Senkrechte ä.0; in den Dreiecken und L.LO sind also zwei Seiten paar¬ weise gleich, dagegen die dritten Seiten ungleich; daher liegt auch der größeren dieser Seiten ein größerer Winkel gegenüber, also Winkel LtIL > d. h. Unter allen Winkeln, welche eine Gerade mit den durch ihren Fußpunkt in einer Ebene gezogenen Geraden bildet, ist ihr Neigungswinkel gegen diese Ebene der kleinste. Liegt der gegebene Punkt in der mit seiner Projection zusammen. Fig. 144. Fig. 145. 128 Aufgaben. 1. Nimm in der Senkrechten (Fig. 144) beliebige Punkte an. Welches ist ihre gemeinschaftliche Projection auf die Ebene Nbt? Kann man ans der Projektion eines Punktes auf eine Ebene auf dessen Lage im Raume schließen? 2. Ziehe (Fig. 144) verschiedene Strecken, deren Endpunkte in den Senkrechten und L'L liegen, und bestimme ihre Projectionen auf die Ebene NH. Kann man ans der Projection einer Strecke auf die Ebene auf die Lage der Strecke im Raume und auf ihre Länge schließen? 2. Lage der Ebenen gegen einander. 8- 183- Zwei Ebenen sind entweder parallel, wenn sie nämlich überall gleichweit von einander abstehen, so dass sie, auch noch so weit erweitert, nie Zusammentreffen; oder gegen einander geneigt, wenn sie hinlänglich erweitert Zusammentreffen. Der Ab st and zweier paralleler Ebenen ist die Senkrechte, welche von einem Punkte der einen auf die andere gefällt wird. Fig. 146. Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich, hin¬ länglich erweitert, in einer geraden Linie. Der Winkel (Fig. 146), den die Senkrechten bilden, die man in irgend einem Punkte der Durchschnittslinie zweier Ebenen auf dieselbe in den beiden Ebenen errichtet, heißt der Neigungswinkel dieser Ebenen. Ist der Neigungswinkel zweier Ebenen ein rechter, so heißen sie auf einander senkrecht, sonst schief. Den Neigungswinkel zweier Ebenen kann man durch die oberen oder unteren Ränder eines aufgeschlagenen Buches versinnlichen. Aufgaben. 1. Welche Ebenen im Schulzimmer sind parallel; welche stehen senkrecht, welche schief auf einander? 2. Können a) zwei verticale, b) zwei horizontale, o) zwei schiefe Ebenen sich schneiden? 3. Welche Lage gegen einander können oder müssen s) zwei verticale Ebenen, d) eine verticale und eine horizontale Ebene, o) eine verticale und eine schiefe Ebene, ä) zwei horizontale Ebenen, o) eine horizontale und eine schiefe Ebene, t) zwei schiefe Ebenen haben? Z. 184- Unter der Projection einer geradlinigen Figur auf eine Ebene versteht man die Figur, welche erhalten wird, wenn man die Projectionen der Eckpunkte der gegebenen Figur auf diese Ebene durch Strecken verbindet. In Fig. 147 stellt die Projection des Quadrates L60V auf die Ebene dar. 129 Die Projektion eines Quadrates ist ein gleich großes Quadrat (I), oder einfflächenkleineres Parallelogramm (II), oder eine Strecke (III), je nachdem die Ebene des Quadrates mit der Projektionsebene parallel, oder gegen die Projectionsebene schief, oder auf der Projektions¬ ebene senkrecht ist. Fig. 147. I II III Ist eine ebene Figur krummlinig, so ist auch ihre Projection auf eine Ebene im allgemeinen krummlinig, und nur dann eine Strecke, wenn die Figur auf der Projectionsebene senkrecht steht. Was für eine Figur ist die Projection eines Kreises, wenn die Ebene des Kreises u) mit der Projectionsebene parallel, ist gegen die Projectionsebene schief, o) aus der Projectionsebene senkrecht ist? Sind mehrere Gerade auf einer Ebene senkrecht, so haben alle Figuren, deren entsprechende Punkte in denselben Senkrechten liegen, dieselbe Projection auf diese Ebene. Daraus folgt, dass man aus der Projection einer Figur auf eine Ebene weder auf die Lage noch auf die Größe derselben schließen kann. Um nun Figuren geometrisch so darzustellen, dass man aus der Darstellung selbst ihre Lage im Raume und ihre Ausdehnungen entweder unmittelbar entnehmen oder durch einfache Constructionen finden kamt, projiciert man dieselben auf zwei sich senkrecht schneidende Ebenen, von denen die eine horizontal, die andere vertical ist. Die Pro¬ jection auf die horizontale Ebene heißt dieHorizontal-Projection oder der Grundriss, die Projection auf die vertikale Ebene die V^ertical-Projection oder der Aufriss. Die Durchschnittslinie der horizontalen und der vertikalen Projectionsebene heißt ihre Achse. Es seien (Fig. 148) XXH die horizontale, XXV die vertikale Projectionsebene, XX ihre Achse und a ein darzustellender Punkt des Raumes. Fällt man von a die Senkrechte km" auf die Horizontalebene, so ist ihr Fußpunkt n' der Grundriss des Močnik, Geometrie für Bürgerschulen. 4. Ausl. 9 130 Punktes n; fällt man von a die Senkrechte na" auf die Verticalebene, fo ist ihr Fußpunkt a" der Aufriss des Punktes a. Legt man durch die beiden Senkrechten ag/ und na" eine Ebene, welche die Achse XX in dem Punkte m senkrecht schneidet, so erscheinen die Projektionen s/ und a" als die gegenüberliegenden Eckpunkte des Rechteckes na/wn". Ist kV der Grundriss und b" der Aufriss eines zweiten Punktes b im Raume, so ist die Strecke s/kv der Grundriss und die Strecke n"b" der Aufriss der Strecke ab des Raumes. Durch den Grundriss und den Aufriss wird eine Strecke der Lage und der Größe nach vollkommen bestimmt. Durch die Con- struction des Rechteckes 8/nm"a erhält man die Lage des Punktes a, durch die Construction des Rechteckes kvnk>"k> die Lage des Punktes b und durch Verbindung beider die Lage und Länge der Strecke ab. Was für eine Projection gibt eine Gerade im Raume, wenn dieselbe n) mit der verticalen, l>) mit der horizontalen, o) mit beiden Projections- Ebenen parallel ist; ä) auf der verticalen, s) auf der horizontalen Projections- Ebene senkrecht steht; k) in der verticalen, Z) in der horizontalen Projections- Ebene liegt? Da bei Zeichnungen die beiden Projektionen auf ein und dasselbe Papierblatt, also auf eine einzige Ebene zu stehen kommen, so denkt man sich (Fig. 148,1) die horizontale Projections-Ebene um die Achse XX um 90° gedreht, so dass sie in die Erweiterung der verticalen Projections-Ebene fällt. Bei dieser Darstellungsweise erscheint dann der Grundriss unterhalb, der Aufriss oberhalb der Achse (Fig. 148, II). Auch sieht man, dass dabei die beiden Projektionen 131 eines jeden Punktes immer in einer auf der Achse senkrechten geraden Linie liegen, welcher Umstand die Constructionen wesentlich erleichtert. Eine ebene Figur des Raumes wird auf den Projec- tionsebenen dargestellt, indem man die Projectionen ihrer Grenz¬ linien bestimmt. Ist die Ebene der Figur mit der horizontalen Projektionsebene parallel, so ist der Grundriss mit der Figur congruent, und der Aufriss eine Strecke. Ist die Ebene der Figur mit der verticalen Projectionsebene parallel, so ist der Grundriss eine Strecke, und der Aufriss mit der Figur congruent. Aufgaben. 1. Zeichne Grund- und Aufriss einer 4ömur langen Strecke, welche zur horizontalen und verticalen Projectionsebene parallel, und von der ersteren 25mm, von der letzteren 33 mm entfernt ist. 2. Zeichne Grund- und Aufriss eines Quadrates mit der Seite 53mm, das im Abstande 38mm mit der Horizontalebene parallel, und dessen eine Seite im Abstande 50mm mit der Berticalebene parallel ist. 3. Von einem Kreise ist ns der Grundriss ein Kreis, der Aufriss eine Strecke; d) der Grundriss eine Strecke, der Aufriss ein Kreis; o) Grundriss und Aufriss sind Strecken. ä) der Grundriss ist eine Strecke, der Aufriss eine Ellipse; a) der Grundriss eine Ellipse, der Aufriss eine Strecke; 1) Grundriss und Aufriss sind Ellipsen. Welche Lage gegen die Projectionsebene hat der Kreis in jedem dieser Fälle? 3. Körperecken. Z. 185- Die gegenseitige Neigung mehrerer Ebenen, welche in einem Punkte zusammentreffen, heißt ein körperlicher Winkel oder eine Ecke; z. B. die Ecke eines Zimmers, eines Kastens. Die Geraden, in denen sich je zwei auf einander folgende Ebenen durch¬ schneiden, nennt man die Kanten, und den Punkt, in welchem alle Ebenen zusammenstoßen, die Spitze oder den Scheitel des Körperwinkels. Ein Winkel, welcher von zwei auf einander folgenden Kanten gebildet wird, heißt ein Kanten winkel. Um einen Körperwinkel zu benennen, gibt man entweder bloß den Buchstaben am Scheitel an, oder man nennt auch die Buch¬ staben an allen Kanten, so jedoch, dass der Buchstabe am Scheitel 9* 132 Fig. 149. Eine von drei, vier, . 8- 186. Es sei aus den Kantenwinkeln a, b, e (Fig. 150) eine zuerst gesetzt wird. Die Ecke (Fig. 149) heißt die Ecke 0, oder die Ecke 0LL0; 0 ist die Spitze; OL, OL, 00 sind die Kanten, LOL, LOO, OOL die Kantenwinkel. Von zwei Ebenen kann keine Ecke gebildet werden, weil dieselben in einer geraden Linie, und nicht bloß in einem Punkte zusammenstoßen; zur Entstehung einer Ecke sind also wenigstens drei Ebenen erforderlich. Ecke heißt dreiseitig, vierseitig .... je nachdem sie . . Ebenen gebildet wird. Körperecke zu bilden. Man braucht zu diesem Ende nur die Ebenen LOL und LOO Fig. iso. so lange um die Geraden OL und 00 zu S drehen, bis die Schenkel OL und Ov in einander fallen. Damit ein Körperwinkel / / l entstehen könne, müssen OL und Ov außer- / s X halb der Ebene LOO zusammenfallen, was / s nur dann möglich ist, wenn die Winkel a l und e zusammengenommen größer sind als d. Ebenso lässt sich zeigen, dass 8, -st b größer als e, und b -st o größer als a sein müssen. In jeder dreiseitigen Ecke ist also die Summe zweier Kantenwinkel größer als der dritte. Die Drehung der Ebenen LOL und LOO um die Geraden OL und 00 kann auf zweierlei Art geschehen, entweder auf der vorderen oder auf der Hinteren Seite der Ebene LOO. Die zwei Ecken, die dadurch entstehen, haben nach der Ordnung gleiche Kantenwinkel und gleiche Neigungswinkel der Seitenebenen, und dennoch können sie nicht so in einander gelegt werden, dass sie sich decken, weil ihre gleichen Bestandtheile im entgegengesetzten Sinne — in der einen Ecke von links nach rechts, in der andern von rechts nach links — auf einander folgen. Die beiden Ecken stehen in derselben Beziehung zu einander, wie ein Gegenstand zu seinem Spiegelbilde, oder wie die rechte Hand zur linken. Zwei solche Ecken heißen symmetrisch. §. 187. In jeder Ecke ist die Summe der Kanten¬ winkel kleiner als vier Rechte. 133 Denn würden alle Kantenwinkel zusammen vier Rechte betragen, so müssten alle Seitenebenen in eine einzige Ebene hineinfallen und könnten daher keine Ecke bilden. Wenn mehrere ebene Winkel zusammen 360" oder mehr als 360° betragen, so können sie keine Ecke bilden. II. Körper. 1. Von -en Körpern im allgemeinen. Einthrilung der Körper. Z. 188- Man unterscheidet eckige und runde Körper; erstere werden von lauter Ebenen eingeschlossen, letztere entweder von ebenen und gekrümmten Flächen, oder von einer einzigen gekrümmten Fläche. So ist der Würfel ein eckiger Körper; eine Walze, eine Kugel sind runde Körper. Wenn ein Körper auf einer Ebene aufliegt, so heißt diese die Grundfläche; und wenn mit dieser als Grundfläche betrachteten Ebene eine zweite Ebene parallel läuft, so sagt inan: der Körper hat zwei parallele Grundflächen. Bei dem Würfel z. B. kann jede Fläche als Grundfläche betrachtet werden; eine Walze hat zwei Grundflächen, nämlich die beiden Kreisflächen. Die übrigen Grenzflächen eines Körpers werden Seitenflächen genannt. Drei Ebenen bilden eine Ecke, schließen aber noch keinen Raum ein. Damit ein Raum nach allen Seiten abgeschlossen, d. i. damit ein Körper gebildet werde, sind wenigstens vier Ebenen erforderlich. Die Durchfchnittslinie je zweier Grenzebenen wird eine Kante des Körpers genannt. Die eckigen Körper werden in regelmäßige und unregel¬ mäßige eingetheilt. Regelmäßige oder reguläre Körper heißen diejenigen, bei denen alle Grenzflächen congruente regelmäßige Vielecke und alle Ecken congruent sind; alle übrigen Körper sind unregelmäßig. Unter der Oberfläche eines Körpers versteht man die Summe aller Grenzflächen desselben. Die Summe der Seitenflächen heißt insbesondere die Seitenoberfläche des Körpers. Die gekrümmte Seitenvberfläche heißt auch Mantelfläche. 134 Der Raum, welchen die Oberfläche eines Körpers einschließt, heißt dessen Cubikinhalt. Regelmäßige Körper. 8- 189- Aus dem Satze, dass die Summe aller Kantenwinkel einer Ecke kleiner als 360" sein muss (Z. 187), folgt, dass es nur fünf regelmäßige Körper geben kann. Denn der Winkel eines regelmäßigen (gleichseitigen) Dreieckes beträgt 60°; von solchen Winkeln können drei, vier oder auch fünf eine Ecke bilden; aus sechs oder mehr als sechs solchen Winkeln aber kann keine Ecke entstehen, da ihre Summe 360° oder mehr als 360° beträgt. Von gleichseitigen Dreiecken können daher nur drei regelmäßige Körper begrenzt werden, nämlich das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder. Fig. 151. Das Tetraeder (Fig. 151, I) wird von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt, von denen je drei in einer Ecke zusammenstoßen; es hat 4 Ecken und 6 Kanten. Das Oktaeder (Fig. 151, II) wird von acht gleichseitigen Dreiecken eingeschlossen, von denen je vier eine Ecke bilden; es hat 6 solche Ecken und 12 Kanten. Das Ikosaeder (Fig. 151, III) wird von zwanzig gleich¬ seitigen Dreiecken begrenzt, deren je fünf eine Ecke bilden; es hat 12 Ecken und 30 Kanten. Fig. iss. Der Winkel eines regelmäßigen Viereckes (Quadrates) ^7— ist ein rechter; von solchen Winkeln können nur drei in -Nlii ü! einer Ecke zusammentreffen; aus vier oder mehr als vier K W i rechten Winkeln kann keine Ecke gebildet werden. Es gibt daher einen einzigen von Quadraten begrenzten Körper; er heißt Hexaeder, Cubus oder Würfel. Das Hexaeder (Fig. 152) wird von sechs Quadraten eingeschlossen und hat 8 dreiseitige Ecken und 12 Kanten. 135 Der Winkel eines regelmäßigen Fünfeckes beträgt 108°; von solchen Winkeln können nur drei eine Ecke bilden. Es gibt daher einen einzigen von regelmäßigen Fünfecken begrenzten regelmäßigen Körper. Dieser heißt das Dodekaeder (Fig. 153) und hat 12 Seitenflächen, 20 dreiseitige Ecken und 30 Kanten. Im regelmäßigen Sechsecke ist jeder Winkel 120°. Von solchen Winkeln kann keine Ecke gebildet werden, da schon drei zusammen 360° betragen. Eben so wenig kann aus den Winkeln eines regelmäßigen Vieleckes von mehr als sechs Seiten eine Ecke entstehen. Es gibt daher nur fünf regelmäßige Körper. Das Prisma. 8- 190. Unter den unregelmäßigen Körpern kommen besonders zwei Arten sehr häufig vor; solche, welche sich über der Grundfläche in durchaus gleicher Weite ausdehnen, bei denen daher die Seiten¬ kanten parallel sind, sie heißen Prismen; und solche, welche über der Grundfläche in eine Spitze zusammenlaufen, bei denen nämlich alle Seitenkanten in einem und demselben Punkte zusammentreffen, sie heißen Pyramiden. Ein Prisma (Fig. 154) ist ein Körper, welcher von zwei congruenten und parallel gestellten Vielecken und von so vielen Parallelogrammen, als eines der Vielecke.Seiten hat, begrenzt wird. Man kann sich ein Prisma L.LOVLb'OH da¬ durch entstanden denken, dass sich eine gerad¬ linige Figur aus ihrer Ebene heraus mit ihrer anfänglichen Lage parallel in unver¬ änderter Größe so fortbewegt, dass ihre Eck¬ punkte gerade und mit einander parallele Linien beschreiben. Die Grundflächen eines Prisma sind con- gruente und parallel liegende Vielecke, die Seitenflächen sind Parallelogramme. Die Seitenkanten eines Prisma sind unter einander gleich und parallel. Der Abstand der beiden Grundflächen heißt die Höhe des Prisma. Nimmt man auf die Lage der Seitenkanten gegen die Grundfläche Rücksicht, so ist das Prisma ein senkrechtes Fig. 154. 136 oder ein schiefes, je nachdem die Seitenkanten auf der Grund¬ fläche fenkrecht oder schief aufliegen. In einem senkrechten Prisma ist die Höhe gleich einer Seitenkante; die Seitenflächen sind Rechtecke. Sieht man auf die Anzahl der Seitenkanten, so heißt das Prisma drei-, vier- oder mehrseitig, je nachdem es drei, vier oder mehrere Seitenkanten hat. Ein Prisma, dessen alle Grenzflächen Parallelo¬ gramme sind, heißt ein Parallelepiped. Dieses ist, wie jedes Prisma, entweder senkrecht oder schief. Ein Prisma, dessen alle Grenzflächen Rechtecke sind, heißt ein rechtwinkliges Parallelepiped. Ein rechtwinkliges Parallelepiped muss immer auch ein senkrechtes sein. Ein Prisma, das von lauter Quadraten eingeschlossen wird, heißt ein Würfel, Cubus. Jeder Würfel ist ein rechtwinkliges Parallelepiped; es hat lauter gleiche Kanten und congruente Grenz¬ flächen. Die Pyramide. Z. 191- Eine Pyramide (Fig. 155) ist ein Körper, der von irgend einem Vielecke und von so vielen Dreiecken, als das Vieleck Seiten hat, begrenzt wird. Man kann sich eine Pyramide Fig. 155 O^LOVL dadurch entstanden denken, dass sich eine ? geradlinige Figur L.L6VL aus ihrer Ebene heraus M -mit ihrer anfänglichen Lage parallel in stetig ab- /ZM nehmender Größe so fortbewegt, dass ihre Eckpunkte . ' gerade und in einem Punkte zusammentreffende Linien beschreiben. Die Grundfläche einer Pyramide ist irgend ein Vieleck, die Seitenflächen sind immer Dreiecke. Der Punkt, in welchem alle Seitenflächen zusammenstoßen, heißt der Scheitel oder die Spitze, die Senkrechte von der Spitze auf die Grundfläche die Höhe der Pyramide. Eine Pyramide, in welcher die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, und der Fußpunkt der Höhe in den Mittelpunkt der Grund¬ fläche fällt, heißt eine senkrechte Pyramide; jede andere ist schief. In einer senkrechten Pyramide sind alle Seitenkanten gleich, und alle Seitenflächen congruent. 137 Eine Pyramide ist drei-, vier- oder mehrseitig, je nach¬ dem sie drei, vier oder mehrere Seitenkanten hat. Der Cylinder. Z. 192. Ein Cylinder (Fig. 156) ist ein Körper, welcher von zwei gleichen parallelen Kreisen und von einer gekrümmten Fläche begrenzt wird. Ein Cylinder kann als ein Prisma betrachtet werden, dessen Grundflächen Kreise sind. Man kann sich einen Cylinder dadurch entstanden denken, dass sich eine Kreisfläche aus ihrer Ebene heraus mit ihrer ursprünglichen Lage parallel in unveränderter Größe so fortbewegt, dass der Mittelpunkt stets in derselben Geraden bleibt. Fig. 156. Die gekrümmte Seitenfläche des Cylinders heißt der Mantel desselben. Die Gerade, welche die Mittelpunkte der beiden Kreisflächen verbindet, wird die Achse, und der Abstand der beiden Kreisflächen dieHö h e des Cylin¬ ders genannt. Steht die Achse auf der Grundfläche senkrecht, so heißt der Cylinder ein senkrechter, sonst ein schiefer. Einen senkrechten Cylinder kann man sich dadurch ent¬ standen denken, dass sich ein Rechteck um eine seiner Seiten herumdreht. k'Jn einem senkrechten Cylinder stellt die Achse zugleich die Höhe vor. Ist in einem senkrechten Cylinder die Achse dem Durchmesser der Grundfläche gleich, so heißt er ein gleichseitiger Cylinder. Der Kegel. Z. 193- Ein Kegel (Fig. 157) ist ein Körper, der von einem Kreise und von einer in einen Punkt auslaufenden gekrümmten Fläche begrenzt wird. Ein Kegel kann als eine Pyramide betrachtet Fig. 157. werden, deren Grundfläche ein Kreis ist. Man kann sich einen Kegel dadurch entstanden denken, dass sich /z eine Kreisfläche aus ihrer Ebene heraus mit ihrer anfänglichen Lage parallel in stetig bis zu einem / Punkte abnehmender Größe so fortbewegt, dass der F Mittelpunkt stets in derselben Geraden bleibt. F !WM Die gekrümmte Seitenfläche des Kegels nennt man den Ai a n tel, und den Punkt, in welchen sie zusammen- läuft, den Scheitel oder die Spitze des Kegels. Die Mantelfläche eines Kegels ist so beschaffen, dass 138 jede Strecke, welche von der Spitze zum Umfange der Grundfläche gezogen wird, ganz in diese gekrümmte Fläche fällt. Eine solche Strecke heißt eine Seite des Kegels. Die Strecke, welche die Spitze mit dem Mittelpunkte der Grundfläche verbindet, heißt die Achse, und die Senkrechte von der Spitze auf die Grundfläche die Höhe des Kegels. Ein Kegel, dessen Achse aus der Grundfläche senkrecht steht, heißt ein senkrechter; jeder andere ein schiefer. Einen senk¬ rechten Kegel kann man sich dadurch entstanden denken, dass sich ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten herumdreht. In einem senkrechten Kegel ist die Achse gleich der Höhe und alle Seiten sind einander gleich. Ist in einem senkrechten Kegel die Seite dem Durchmesser der Grundfläche gleich, so heißt er ein gleichseitiger Kegel. Die Gugel. 8- 194- Eine Kugel (Fig. 158) ist ein Körper, welcher von einer einzigen gekrümmten Fläche so begrenzt wird, dass jeder Punkt der Oberfläche von einem innerhalb liegenden Punkte gleich weit absteht. Dieser innerhalb der Kugel liegende Punkt heißt Fig. 158. dn Mittelpunkt derselben. Eine Strecke, welche vom Mittelpunkte bis an die Oberfläche gezogen wird, A Hm heißt ein Halbmesser; eine Strecke, welche von einem Punkte der Oberfläche durch den Mittelpunkt bis zu dem entgegengesetzten Punkte der Oberfläche geht, wird ein Durchmesser der Kugel genannt. Man kann sich jede Kugel durch Umdrehung eines Halbkreises um den Durchmesser entstanden denken. Dieser Durchmesser heißt dann die Achse, und dessen Endpunkte sind die Pole der Kugel. Die einzelnen Lagen der sich drehenden Kreislinie heißen Meridiane und die Kreislinien, welche die einzelnen Punkte der sich drehenden Kreislinie beschreiben, Parallelkreise. 2. Geometrische Darstellung und ebene Schnitte der Körper. 8- 195- Unter der Projection eines Körpers auf eine Ebene versteht man das Gebilde, welches erhalten wird, wenn man die Linien und Flächen des Körpers auf diese Ebenen projiciert. 139 Zeichnet man die Projectionen eines Körpers auf eine horizontale und aus eine verticale Ebene d. i. seinen Grundriss und Aufriss, so sind durch diese die Flächen und Linien bestimmt, von denen der Cubikinhalt des Körpers abhängt. Der Grundriss und der Aufriss eines Körpers enthalten demnach die geometrische Darstellung seines Cubikinhaltes. Um die Oberfläche eines Körpers geometrisch darzu¬ stellen, construiert man alle Grenzflächen desselben zusammenhängend in einer einzigen Ebene. Eine solche Zeichnung heißt das Netz des Körpers. Die Körpernctze dienen nicht bloß zur Bestimmung der Oberfläche, sondern auch, indem man sie gehörig ausschneidet und zusammenfügt, zur Anfertigung von Modellen der Körper. Das Prisma. Z. 196- Fig. 159 stellt in I den Grundriss, in II den Aufriss, in III das Netz eines senkrechten fünfseitigen Prisma dar, dessen Grundfläche auf der Horizontalebene ruht, und von welchem eine Seitenfläche mit der Verticalebene parallel ist. Fig. ISS. Der Grundriss ist mit der Grundfläche des Prisma congruent und stellt daher die Größe der Grundfläche dar, der Aufriss gibt die Höhe des Körpers. Gib aus dem Grund- und Aufrisse n) die sichtbaren, d) die gedeckten Eck¬ punkte des Prisma an. Gib aus den zwei Projectionen die Kanten des Prisma an, welche a) als sichtbare Strecken, d) als Punkte, v) als gedeckte Strecken erscheinen. 140 Gib die Flächen des Prisma an, welche n) als sichtbare Flachen, b) als Strecken, o) als gedeckte Flächen erscheinen. Dasselbe wird in Beziehung auf die Projectionen der später folgenden Körper anzugeben sein. Um das Netz des Prisma zu erhalten, zeichne man die Parallelo¬ gramme (Rechtecke), welche dieSeitenoberfläche bilden, so neben einander, dass se zwei eine gemeinschaftliche Seite haben, und construiere dann über und unter einein dieser Parallelogramme die Grundflächen. Z. 197- Wird ein Prisma durch eine Ebene durchschnitten, welche mit der Grundfläche parallel ist, so ist die Schnittfläche, wie aus der Entstehung des Prisma hervorgeht, mit der Grundfläche congruent. Durch jeden solchen Durchschnitt zerfällt das Prisma in zwei Prismen, welche unter einander gleich oder ungleich sind, je nachdem der Schnitt durch die Mitte einer Seitenkante, oder außerhalb derselben angebracht wird. Legt man durch zwei nicht unmittelbar auf einander folgende Seitenkanten eine Ebene, so heißt der dadurch entstehende Schnitt ein D i a g o n a lf chnitt des Prisma. Ein Parallelepiped wird durch jeden Diagonalschnitt in zwei gleiche dreiseitige Prismen getheilt. Die Veranschaulichung dieser und der weiter angeführten Schnitte geschieht mit Hilfe zerlegbarer Modelle. Die Pyramide. Z. 198- Fig. 160 stellt in I den Grundriss, in II den Aufriss, in III das Netz einer auf der Horizontalebene aufgestellten vierseitigen senkrechten Pyramide dar. Der Grundriss gibt die Grundfläche, der Aufriss die Höhe der Pyramide. 141 Jede Seitenkante oct kann als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes dargestellt werden, dessen Katheten der Grundriss <8<8 dieser Kante und die Höhe o"in der Pyramide ist. Das Netz einer Pyramide erhält man, wenn man zuerst die Seitendreiecke neben einander so construiert, dass sie den Scheitel gemeinschaftlich haben, und an eines dieser Dreiecke unten die Grund¬ fläche anlegt. Z. 199- Wird eine Pyramide parallel mit der Grundfläche durch eine Ebene durchschnitten, so ist der Schnitt, da die Pyramide nach oben gleichförmig abnimmt, der Grundfläche ähnlich. Die Pyra¬ mide zerfällt durch einen solchen Querschnitt in zwei Theile, eine kleinere Pyramide und einen zwischen zwei parallelen Ebenen enthaltenen Körper, den man eine abgekürzte Pyramide oder einen Phramidenstumpf nennt. Ein Pyramidenstumpf L.80sbo (Fig. 161) ist daher der Unter¬ schied zwischen zwei Pyramiden 0^.80 und 0s.be, deren Grundflächen die untere und die obere Grundfläche der abgekürzten Pyramide sind, Fig. 161. und deren gemeinschaftlicher Scheitel 0 in dem Durchschnitte der verlängerten Seitenkanten des Stumpfes liegt. Die Entfernung der beiden Grundflächen ist die Höhe des Pyramiden¬ stumpfes. Es fei 08 die Höbe der Pyramide 0^.80, so ist Ox die Höhe der Pyramide Oabo und i>8 die Höhe des Pyramidcnstumpfes. Zieht man Lp und sx, so ist wegen ^.8 sp . . . 08 : Ox — Oä. : Os, und wegen ^8 ab . . . ä.8 : ab — OL. : Os; daher - 08 : Op — ä.8 : ab, d. h. DieHöhen der zwei Pyramiden, d eren Unterschied ein Pyramidenstumpf ist, verhaltensich wie zwei gleich¬ liegende Seiten der Grundflächen des Pyramiden¬ stumpfes. Wenn die Höhe eines Pyramidenstumpfes und zwei gleichliegende Seiten der unteren und der oberen Grundfläche des¬ selben bekannt sind, so lassen sich daraus die Höhen der beiden Pyramiden finden, deren Unterschied der Pyramidenstumpf ist. 142 Bezeichnet man durch L und u die Höhen der zwei Pyramiden, durch ü die Höhe des Pyramidenstumpfes, durch 8 und s zwei gleich¬ liegende Seiten der Grundflächen des letzteren, so ist nach dem vor¬ hergehenden Satze : u — 8 : 8. Da sich in jeder Proportion die Differenz der ersten zwei Glieder zur Differenz der letzten zwei Glieder so verhält, wie das erste Glied zum dritten oder wie das zweite — L! 8 — 8 — : 8, oder, weil — u — It ist, L : 8 — s — L : 8, woraus , d — 8 Drücke diese zwei Formeln zum vierten, so hat man — u : 8 — 8 — a : 8, ü : 8 — 8 — u : 8 d.8 , , , 8, — folgt. Worten aus. Ist z. B. 8 — 6 LM, 8 — 4em und ü — 5 em, so ist .5.6- 5.4^ 6 — 4 b — 4 Wie construiert man das Netz eines senkrechten Phramidenstnmpfes? Nie regelmäßigen Körper. Z. 200- Es gibt nur fünf regelmäßige Körper (Z. 189). Diese sind: a) Das Tetraeder (der Vierflächner). Fig. 162. Fig. 162 I ist der Grundriss, II der Aufriss, III das Netz eines Tetraeders. Um das Netz eines Tetraeders zu erhalten, eonstruiere man mit der Kante des Tetraeders ein gleichseitiges Dreieck, und sodann über jede Seite wieder ein gleichseitiges Dreieck. 143 d) Das Hexaeder (der Sechsflächner, Würfel, Cubus). Fig. 163. Fig. 163 I stellt dm Grundriss, II den Aufriss, III das Netz eines Würfels dar. Das Netz des Würfels erhält man, wenn man die vier Quadrate, welche die Seitenoberfläche bilden, neben einander zeichnet und dann an den entgegengesetzten Seiten eines dieser Quadrate noch zwei Quadrate konstruiert. o) Das Oktaeder (der Achtflächner). Bei diesem und den folgenden regelmäßigen Körpern beschränken wir uns auf die Construction der Netze. Fig. 164. Das Netz eines Oktaeders (Fig. 164) wird erhalten, wenn man mit der Kante des Oktaeders zuerst das Netz eines Tetraeders zeichnet und dann an dieses ein zweites mit ihm congruentes Netz so anlegt, dass beide Netze eine Seite gemeinschaft¬ lich haben. Wird ein Oktaeder durch eine Ebene geschnitten, welche durch drei Eckpunkte geht, so muss dieselbe auch noch durch einen vierten Eckpunkt gehen, und man erhält als Schnittfläche ein Quadrat. Das Oktaeder kann demnach in zwei gleiche Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zerlegt werden, ä) Das Dodekaeder (der Zwölfflächner). Um das Netz des Dodekaeders (Fig. 165) zu konstruieren, zeichne man mit der Kante des Dodekaeders ein regelmäßiges Fünfeck, beschreibe über den Seiten desselben wieder regelmäßige Fünfecke 144 Fig. 165. (wobei man sich mit Vortheil der Verlängerung der Diagonalen bedient), und lege an dieses Netz ein zweites mit ihm congrnentes so an, dass beide in einer Seite Zusammenstößen. «) Das Ikosaeder (der Zwanzigflächner). Das Netz eines Ikosaeders (Fig. 166) erhält man, wenn man auf eine Gerade die Kante des Ikosaeders 5mal austrägt, über diesen Strecken nach oben und unten gleichseitige Dreiecke construiert, dann alle Scheitel auf einer Seite durch eine Strecke verbindet, und längs derfelben, nachdem sie verlängert wird, wieder gleichseitige Dreiecke zeichnet, so dass ihrer auf jeder Seite fünf erscheinen. Der Cistinder. 201- Fig. 167 stellt in I den Grundriss, in II den Aufriss, in III das Netz eines senkrechten Chlinders dar. 145 Der Grundriss gibt die Grundfläche, der Aufriss die Höhe des Cylinders an. Was für Gebilde sind der Grundriss und Aufriss eines Cylinders, der mit seiner Mantelfläche auf der Horizontalebene ruht, und dessen Achse mit der Vertical- ebene parallel ist? Denkt man sich die Mantelfläche eines senkrechten Cylinders vom Cylinder trennbar (z. B. als Papierhülle) und nach der Richtung einer Seite durchschnitten, so bildet dieselbe, wenn man sie auf eine Ebene ausbreitet, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umfange der Grundfläche, und dessen Höhe der Höhe des Cylinders gleich ist. Um daher das Netz eines senkrechten Cylinders zu construieren, zeichne man ein Rechteck, dessen Grundlinie 3ß-mal so groß ist als der Durchmesser der Grundfläche, und dessen Höhe der Höhe des Cylinders gleich ist, und beschreibe sodann zwei der Grundfläche gleiche Kreise, von denen der eine die Grundlinie, der andere die gegenüberliegende Seite des Rechteckes berührt. Fig. 168. Z. 202- Die Beschaffenheit des S ch n itt e s ... - ./f. eines Cylinders durch eine Ebene hängt von der Lage dieser Ebene ab. Durchschneidet man (Fig. 168) einen Cylinder parallel mit der Achse, so ist die Schnittfläche ein Rechteck LUOV, oder schiefes Parallelogramm, je nachdem sg her Cylinder senkrecht oder schief ist. Wird ein l Ä senkrechter Cylinder durch eine auf die Achse senk- rechte Ebene geschnitten, so ist der Schnitt Utz' ein Kreis; ist aber die Achse gegen die schneidende Ebene schief, so ist der Schnitt 60 eine Ellipse. Der Wegri. 8-203. Fig. 169 I stellt den Grundriss, II den Aufriss, III das Netz eines senkrechten Kegels dar- Der Grundriss gibt den Halbmesser der Grundfläche, der Aufriss die Höhe und die Seite des Kegels. Wird die Mantelfläche des Kegels auf eine Ebene ausgebreitet, so erscheint sie als ein Kreisausschnitt, dessen Halbmesser die Seite des Kegels, und dessen Bogenlänge der Umfang der Grundfläche des Kegels ist. Um daher das Netz eines senkrechten Kegels zu erhalten, zeichne man mit der Seite als Halbmesser einen Kreisausschnitt, dessen Bogenlänge 3Imal so groß ist als der Umfang der Grundfläche des Močnik, Geometrie sür Bürgerschulen. 4. Aufl. 10 146 Kegels und construiere dann einen der Grundfläche gleichen Kreis, welcher den Bogen des Kreisausschnittes berührt. Fig. 169. Z. 204- Besonders wichtig sind die Schnitte, welche entstehen, wenn ein senkrechter Kegel von einer Ebene durchschnitten wird. Geht der Schnitt durch die Achse (Fig. 170,1), so ist er ein gleich sch enk- er auf der Achse senkrecht, oder was dasselbe ist, geht er parallel mit der Grundfläche, so ist er ein Kreis VL. Steht aber (Fig. 170,11) die schneidende Ebene auf der Achse schief, so sind drei Fälle möglich. Ist die schneidende Ebene mit einer Seite des Kegels parallel, so entsteht die P ar a bel LEI); trifft die schneidende Ebene alle Seiten des Ke¬ gels, so ist die Durchschnittsfigur eine Ellipse trifft die Schnittebene nicht alle Seiten des Kegels und ist sie auch keiner Seite desselben parallel, so ist der Schnitt eine Hyperbel 6W. Man kann sich diese Schnitte sehr gut versinnlichen, wenn man ein kegel¬ förmiges zugespitztes Trinkglas nimmt, und dasselbe etwa bis zur Hälfte mit Wasser füllt. Wenn die Achse des Glases vertical steht, so wird der Schnitt der horizontalen Wasseroberfläche mit der Fläche des Glases ein Kreis sein; wird das Glas oben geschlossen, damit das Wasser nicht herausfließen kann, und dann so weit geneigt, bis die schneidende Wasseroberfläche mit der Seite des Kegels parallel wird, so ist der Schnitt eine Parabel; neigt man das Glas weniger, so entsteht die Ellipse; neigt man es mehr, so ist der Schnitt eine Hyperbel. ' sM Die krummen Linien, welche durch den Schnitt einer Kegelfläche mit einer Ebene entstehen, heißen mit einem gemeinschaftlichen Namen Kegelschnittslinien. liges Dreieck steht Fig. 170. 147 Z. 205- Wird (Fig. 171) em Kegel durch eine Ebene ad ge- schnitten, welche mit der Grundfläche parallel ist, so zerfällt er in zwei Körper, einen kleineren Kegel, und einen zwischen zwei parallelen Kreisflächen enthaltenen Körper, welcher ein abgekürzter Kegel oder ein Kegel stumpf genannt wird. Ein Kegelftumps LUlm ist daher der Unterschied zweier Kegel, welche die Grundflächen des Stumpfes zu ihren Grundflächen haben, und deren Scheitel der Punkt ist, in welchem die erweiterte Mantel¬ fläche des Stumpfes zusammenläuft. Die Ent¬ fernung kx> der beiden Kreisflächen ist die Höhe des Kegelstumpfes. Eine Strecke, welche von dem Umfange der oberen Grundfläche längs der Mantelfläche bis zum Umfang der unteren Grundfläche gezogen wird, nennt man eine-Seite des abgekürzten Kegels, z. B. Der Kegelstumpf steht mit dem Pyramidenstumpfe in derselben Fig. 171. 6 Beziehung, wie der Kegel mit der Pyramide (Z. 193). Wie sich beim Pyramidenstumpf zwei gleichliegende Seiten der beiden Grundflächen verhalten, so verhalten sich beim Kegelstumpf die Halbmesser der beiden Grundkreise. Wenn daher die Höhe ll des Kegelstumpfes und die Halbmesser U und r seiner Grundflächen bekannt sind, so kann man daraus mit Rücksicht auf Z. 199 die Höhen L und a der beiden Kegel bestimmen, deren Unterschied der Kegelstumpf ist; man erhält r . ü . U . ü L , und a. — - . U — r k—r Wie wird das Netz eines senkrechten Kegel¬ stumpfes construiert? Die Kugel. 8- 206. Fig. 172 I stellt den Grundriss, II den Aufriss einer Kugel dar. Der Grund- und der Aufriss einer Kugel sind Kreise, deren Durchmesser dem Durchmesser der Kugel gleich ist. Steht die Achse der Kugel auf derHorizontalebene senkrecht, so erscheinen im Grundriss alle Meridiane als Durchmesser, im Aufriss einer als Kreis, einer als Durchmesser 10* 148 und alle übrigen als Ellipsen; die Parallelkreise erscheinen im Grundriss als concentrische Kreise, im Aufriss als parallele Sehnen. Die Oberfläche der Kugel lässt sich, da sie doppelt gekrümmt ist, nicht in eine Ebene ausbreiten; daher kann von der Kugelfläche auch kein vollkommen genaues Netz construiert werden. Ein angenähertes Netz der Kugel (Fig. 173) erhält man durch folgendes Verfahren: Man theile eine Strecke ^b>, welche 3^-nial so groß ist als der Durchmesser der Kugel, in 12 gleiche Theile und trage auf deren Ver¬ längerungen über L und 8 hinaus noch je 9 solche Theile auf. Beschreibt man dann mit einem Halbmesser von 10 solchen Theilen aus den Punkten 1, 2, 3, ... ., und ebenso aus den Punkten 1, II, III, . . . Kreisbogen, welche die Gerade ^8 schneiden, so erhält man 12 gleiche Zweiecke, welche gehörig zusammengebogen ziemlich genau die Kugelfläche geben. Fig. 173. 8- 207- Schneidet man eine Kugel durch eine Ebene, so ist die Schnittfläche ein Kreis, welcher um so größer ist, je näher am Mittelpunkte der Schnitt gemacht wird. Am größten wird er, wenn die Schnittfläche durch den Mittelpunkt geht; ein solcher Kreis, dessen Mittelpunkt im Mittelpunkte der Kugel liegt, dessen Halb¬ messer also so groß ist als der Halbmesser der Kugel, heißt ein größter Kreis der Kugel. Durch den Schnitt einer Kugel.durch eine Ebene zerfällt die Kugel in zwei Theile, welche man Kugelabschnitte nennt, und welche unter einander gleich oder ungleich sind, je nachdem die schneidende Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel oder außerhalb desselben geht; im ersten Falle heißt jeder der beiden Kugelabschnitte 149 eine Halbkugel. Die gekrümmte Oberfläche eines Kugelabschnittes heißt eine Kugelmütze oder Calotte. Wird eine Kugel durch zwei parallele Ebenen durch¬ schnitten, so heißt der zwischen ihnen befindliche Theil der Kugel eine Kugelschicht, und der dazu gehörige Theil der Kugelober¬ fläche eine Kugelzone (Gürtel). III. Oberfläche der Körper. 1. Oberfläche der eckigen Körper. Z. 208. Um die Oberfläche eines eckigenKörpers zu finden, braucht man nur den Flächeninhalt jeder Grenzebene für sich zu bestimmen und alle gefundenen Flächen zu addieren. Oderflüche eines Prisma. Bei einem Prisma berechne man zuerst die Seitenflächenals Parallelogramme; ihre Summe gibt die Seitenoberfläche; dazu addiert man noch die doppelte Grundfläche. Bei dem senkrechten Prisma bildet die Seitenoberfläche, wenn man sich dieselbe auf eine Ebene abgewickelt denkt, ein Rechteck, dessen Grundlinie dem Umfange der Grundfläche, und dessen Höhe der Seitenkante des Prisma gleich ist. Man findet daher die Seiten¬ oberfläche eines senkrechten Prisma, indem man den Umfang der Grundfläche mit einer Seitenkante multipliciert. Oberfläche einer Pyramide und eines Pyramidenstumpfes. Bei der Pyramide bestimmt man zuerst die Seitenflächen als Dreiecke und addiert zu ihrer Summe die Grundfläche. Ist die Pyramide eine senkrechte, so braucht man nur ein Seitendreieck zu berechnen und dessen Fläche mit der Anzahl der Seiten¬ kanten zu multiplicieren; dazu wird noch die Grundfläche addiert. Bei dem Pyramiden stumpf bestimmt man zuerst die Seiten¬ flächen als Trapeze, und addiert zu ihrer Summe die beiden Grund¬ flächen. Oberfläche eines regelmässigen Körpers. Bei dm regelmäßigen Körpern wird nur eine Grenz- ebene berechnet und ihre Fläche mit der Anzahl der Grenzebenen multipliciert. 150 8. 209. Aufgaben. 1. Wie groß ist die Oberfläche eines Würfels, dessen Seite a) 27 em, 5) 2m 4 Äm, «) 1'35 m beträgt? 2. Die Oberfläche eines Würfels beträgt 398'535 ffff em; wie groß ist eine Seite desselben? 3. Es soll ein würfelförmiges, oben offenes Gefäß von 0-38 m Kantenlänge angefertiget werden; wie viel ffffm Kupferblech braucht man? 4. Berechne die Oberfläche folgender rechtwinkliger Parallelepipede: a) Länge 24ckm, Breite 18ckm, Höhe 36ckn; 5) „ 1'26 m, „ 1'05 m, „ 0'84 m; o) „ 12m1Äm4om, „ 5m7ckm5em, „ 8m 3^m. 5. Wie groß ist die Seitenoberfläche eines fünfseitigen Prisma, in welchem die Grundlinien der einzelnen Seitenparallelogramme 10'5 Äm, 8'2 eim, 9'4 ckm, 11'8 cim, 9'4 <^m, und die bezüglichen Höhen 24'7 Äm, 25'2 Äm, 24'4 ckm, 24'2 cim, 24'8 cim sind? 6. Eine vierseitige Schachtel, welche 3rim lang, 1'5cim breit und 1'6 ckm hoch ist, soll mit buntem Papier überzogen werden; wie viel ffffckm Papier braucht man dazu? 7. Wie groß ist die Oberfläche eines vierkantigen Holzes von 2'3 m Länge, 0'8 m Breite und 0'2 m Dicke? 8. Ein viereckiges Gefäß von Blech ist 0'6 m lang, 0'5 m breit und 0'4m hoch; wie viel ffffm Blech ist daran, wenn das Gefäß oben unbedeckt ist? 9. Die Seitenoberfläche einer 4'2 m hohen senkrechten Säule, deren Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlange 0-4m ist, soll einen Ölanstrich erhalten; wie viel kostet derselbe, wenn für das ffffm 75 Kr. gezahlt werden? 10. Wie hoch kommt eine Kiste zu stehen, die 2 m lang, 1'2 m breit und 13 m hoch ist, wenn 1 ffff m mit 80 kr. bezahlt wird? 11. Eine Grube, welche 3 m lang, 2'1 m breit und 1'8 m tief ist, soll auf dem Boden mit Steinplatten belegt, an den Seiten mit Dielen geschützt, und mit einem Deckel von gewöhnlichen Brettern versehen werden. Wie viel ffff m Steinplatten, Dielen und Bretter sind dazu nöthig? 12. Die Grundfläche eines senkrechten Prisma ist ein regel¬ mäßiges Sechseck, die Höhe gleich Im 8ckm; wie groß ist die Ober¬ fläche, wenn eine Seite der Grundfläche Im I ckm ist? 151 13. Die Grundfläche einer senkrechten Pyramide ist ein Quadrat von 6ckm Seitenlange, die Seitenhöhe beträgt 12'37 ckm.; wie groß ist ihre Oberfläche? 14. Ein Thurmdach hat die Form einer senkrechten vierseitigen Pyramide von 96 m Umfang der Grundfläche und 102 m Seiten¬ höhe; wie viel fissm Blech sind zur Eindeckung erforderlich, wenn für Verschnitt und Falze 6°/„ hinzugerechnet werden? 15. Die Grundflächen eines senkrechten Pyramidenstumpfes sin Quadrate mit den Umfängen Im 6ckm und Im 2ckm, die Höhe eines Seitentrapezes beträgt 2 m 8 ckm; wie groß ist die Oberfläche? 16. Die Grundflächen eines senkrechten Pyramidenstumpfes sind gleichseitige Dreiecke mit den Umfängen 1-74m und 1'llm, die Höhe eines Seitentrapezes beträgt 0'84m; wie groß ist die Oberfläche? 17. Die große Pyramide bei Ghizeh in Ägypten hat 145 m Höhe, ihre untere Grundfläche ist ein Quadrat, dessen Seite 187m beträgt, die obere ist auch ein Quadrat von 4m Seitenlänge; wie groß ist die Seitenoberfläche? 18. Bestimme die Oberfläche eines Oktaeders, dessen jede Seite 8ckm ist. 19. Ein Würfel und ein Ikosaeder haben 2ckm 2om zur Kante; wie verhalten sich ihre Oberflächen? 2. Oberfläche der runden Körper. Oberfläche eines Listinders. 8- 210. Um die Oberfläche eines Cylinders zu erhalten, berechnet man die beiden Grundflächen als Kreise, dann die krumme Mantelfläche, und bringt diese Flächen in eine Summe. In einem senkrechten Cylinder findet man die Mantel¬ fläche, indem man den Umfang der Grundfläche mit der Höhe multi- pliciert. Denn die Mantelfläche lässt sich in ein Rechteck abwickeln, welches mit dem Cylinder gleiche Höhe hat, und dessen Grundlinie dem Umfange der Grundfläche des Cylinders gleich ist. Oberfläche eines Kegels und eines Kegelstumpfes. Z. 211- Die Oberfläche eines Kegels findet man, indem man zuerst die Grundfläche, dann die Mantelfläche berechnet und beide addiert. Bei einem senkrechten Kegel wird die Mantelfläche gefunden, indem man den Umfang der Grundfläche mit der halben 152 Seite des Kegels mulüpliciert. Denn, wenn man sich die Mantel¬ fläche des senkrechten Kegels abgewickelt denkt, so erscheint sie als ein Kreisausschnitt, dessen Bogen dem Umfange der Grundfläche, und dessen Halbmesser der Seite des Kegels gleich ist; nun ist der Flächeninhalt eines Kreisausschnittes gleich der Länge des Bogens mulüpliciert mit dem halben Halbmesser; folglich ist die Mantel¬ fläche eines senkrechten Kegels gleich dem Umfange der Grundfläche mulüpliciert mit der halben Seite. Die Mantelfläche eines senkrechten Kegelstumpfes wird gefunden, indem man die Summe der Umsänge seiner Grund¬ flächen mit der halben Seite desselben mulüpliciert. Denkt man sich nämlich in dein Mantel des Stumpfes unzählig viele Seiten gezogen, so zerfällt derselbe in Figuren, die man als ebene Trapeze ansehen kann; es ist daher die Mantelfläche des Kegelstumpfes gleich der Summe aus den Flächen aller dieser Trapeze, also der Summe ihrer Parallelseiten, d. i. der Summe der Umfänge der beiden Grundkreise, multipliciert mit der halben Höhe der Trapeze, d. i. mit der halben Seite des Kegelstumpfes. Oberfläche einer Kugel. 8- 212- Die Oberfläche einer Kugel ist, wie jedoch hier noch nicht bewiesen werden kann, gleichdem vierfach enFlächen- inhalte eines größten Kreises derselben. Bezeichnet man den Halbmesser der Kugel durch r und die Oberfläche derselben durch o, so ist r°-r der Flächeninhalt eines größten Kreises, folglich c> — 4r^. Man kann daher auch sagen: Die Oberfläche einer Kugel wird gefunden, indem man das 4fache Quadrat des Halbmessers mit der Ludolfischen Zahl multipliciert? Wenn man umgekehrt aus der bekannten Oberfläche einer Kugel den Halbmesser derselben finden will, darf man nur die Oberfläche durch die 4fache Ludolfische Zahl dividieren; der Quotient stellt das Quadrat des Halbmessers vor; zieht man daraus die Quadratwurzel, so erhält man den Halbmesser selbst. Es ist demnach 153 Heißt U der Halbmesser und 0 die Oberfläche einer zweiten Kugel, so ist auch 0 — 4U°-r, daher 0 : o — 4U°-r : 4^-r — U- : r^; d. h. die Oberflächen zweier Kugeln verhalten sich wie die Quadrate ihrer Halbmesser. Z. 213- Aufgaben. 1. Berechne die Oberfläche folgender senkrechter Chlinder: a) Durchmesser der Grundfläche 5^m, Höhe 8cim; b) „ „ „ 0'25 m, „ 1'4 m; e) „ „ „ 1 m 6 r 4 e m, „ 2 m 5 8 e m. 2. Ein gleichseitiger Chlinder hat 4 m zur Seite; man suche seine Mantelfläche. 3. Wie verhält sich die Mantelfläche eines gleichseitigen Chlinders zur ganzen Oberfläche desselben? 4. Die Mantelfläche eines senkrechten Chlinders ist 62'8 f^Äm, der Durchmesser der Grundfläche 4^m; wie groß ist die Höhe? 5- Wie groß ist die Oberfläche eines gleichseitigen Chlinders, dessen Achse Im 2äm beträgt? 6. Wie groß ist die Oberfläche eines senkrechten Chlinders, dessen Höhe 2'28 m ist, und dessen Grundfläche 1'52 m zum Durchmesser hat? 7. Wie groß ist die Oberfläche eines senkrechten Chlinders, in welchem die Höhe 3^m 4sm und a) der Umfang der Grundfläche 7ckm 8 em, b) der Inhalt der Grundfläche 8Hst<7m beträgt? 8. Wie viel Hst <7m Eisenblech braucht man für eine Ofenröhre, welche 5 m lang ist und 2ckm auflegen, und zwar bis zu einer Höhe von 1ÄM, und von da bis zur Höhe von 2ekm liegt noch eine Schichte von 4Uck-r; also enthält der Würfel 4X2 — 2><2X2 — 8^ ckm. Um dieses zu versinnlichen, schneide man sich 8 kleine nnd gleiche Würfel aus, und lege diese gehörig neben nnd auf einander. Man überzeugt sich auf gleiche Weise, dass ein Würfel, dessen Seite 3 ÄM ist, 3 X 3 X 3 — 27 ciur, „ 4m „ 4X4X4— 64^ m, „ 5om „ 5 X 5 X 5 — 125 ^om, u. s. w. enthält. Daraus folgt: Der Kubikinhalt eines Würfels wird gesunden, indem man die Maßzahl einer Seite (Kante) dreimal als Factor setzt oder zur dritten Potenz erhebt. Darum Pflegt man auch im Rechnen die dritte Potenz einer Zahl den Cubus derselben zu nennen. Wenn man umgekehrt aus dem Cubikinhalte eines Würfels die Länge einer Seite finden will, so braucht inan nur jene Zahl zu suchen, welche dreimal als Factor gesetzt den Cubikinhalt gibt, d. h. man braucht nur aus dein gegebenen Cubikinhalte die Cubik- wurzel auszuziehen. Bezeichnet s die Länge einer Seite und k den Cubikinhalt eines Würfels, so ist ü — und 8 — ^k. Heißt 8 die Seite und L der Cubikinhalt eines zweiten Würfels, so ist L — 8», daher L : k — 8» : 8»; d. h. die Cubikinhalte zweier Würfel verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Seiten. Z. 217- Ein Würfel, dessen Seite 10 cim beträgt, hat 10 X 10 X 10 — 1000 Mm. Ein solcher Würfel ist nun 1 Cubikmeter; also ist l^m — 1000 158 Eben so folgt lUcim — 1000 U em, lUom — 1000 U mm. 1 Cubikdecimeter heißt als Hohlmaß ein Liter; 100 Liter — 1 Hektoliter. Z. 218. Aufgaben. 1. Wie groß ist der Cubikinhalt eines Würfels, dessen Seite n) 12c^m, 5) 2m 3eim, e) — 0'575 m ist? 2. Berechne n) die Oberfläche, b) den Inhalt eines Würfels, dessen Seite a) 123mm, b) Im 5cim 3em beträgt. 3. Wie groß ist die Kante eines Würfels, dessen Inhalt a) 2 Um, b) 6451'776 U em beträgt? 4. Eine Seitenfläche des Würfels beträgt 3Um 61U^m; wie groß ist der Cubikinhalt? 5. Ein würfelförmiges Gesäß hat 4'8 sim innere Weite; wie viel Liter fasst es? 6. An einem Würfel von Granit beträgt jede Seite 1'4m; wie viel wiegt der Würfel, wenn ein Uckm Granit 2-7 Kilogr. wiegt? 7. Es soll ein Würfel gemacht werden, welcher so groß ist als zwei andere Würfel, deren Seiten 5ckm 4 em und 4ckm 9 em betragen; wie lang wird eine Seite desselben genommen werden müssen? Cnlnlmchitlt eines Prisma überhaupt. 8- 219- Es sei der Cubikinhalt eines senkrechten Parallel- epipeds (Fig. 174), an welchem die Länge — 4> deren Scheitel in D liegt und deren Grundfläche L08D ist. Legt man an diese noch eine dreiseitige Pyramide BOLD, deren Scheitel in 8 liegt und deren Grundfläche das mit L.L0 congruente und parallel gestellte Dreieck DLD ist, und vergleicht dieselbe mit der gegebenen Pyramide VLLO, worin man v als Scheitel und ^80 als Grundfläche annimmt, so sieht man, dass die beiden Pyramiden gleiche Grundflächen und gleiche Höhe haben, dass sie demnach ebenfalls inhaltsgleich sind. Diese drei gleichen dreiseitigen Pyramiden bilden zusammen das dreiseitige Prisma ^80DM, welches mit der 11* 164 Pyramide V^LO gleiche Grundfläche und gleiche Höhe hat; die gegebene dreiseitige Pyramide ist somit wirklich der dritte Theil eines dreiseitigen Prisma von derselben Grundfläche und Höhe. Da der Cubikinhalt eines Prisma gleich ist dem Products aus der Grundfläche und der Höhe, so ist der Cubikinhalt einer dreiseitigen Pyramide gleich dem Products aus der Grundfläche und dem dritten Theile der Höhe. Z. 224- Jede mehrseitige PyramideOLLOVL (Fig. 180) lässt sich in lauter dreiseitige Pyramiden zerlegen, welche mit ihr Fig. 180. dieselbe Höhe haben. Der Cubikinhalt einer drei- seitigen Pyramide ist gleich der Grundfläche multi- M pliciert mit dem dritten Theile der Höhe; daher ist der Cubikinhalt aller dreiseitigen Pyramiden, d. i. '.i UX der Cubikinhalt der mehrseitigen Pyra- fl Wi mide gleich der Summe der Grundflächen aller dreiseitigen Pyramiden, d. i. der Grundfläche der mehrseitigen Pyramide, multipliciert mit A dem dritten Theile der gemeinschaft¬ lichen Höhe. Es gilt also allgemein der Satz: Der Cubikinhalt einer Pyramide ist gleich dem Products aus der Grundfläche und dem dritten Theil der Höhe. Z. 225- Um den Cubikinhalt eines Pyramiden- stumpfes zu finden, bestimme man die Inhalte der beiden Pyra¬ miden, deren Unterschied der Pyramidenstumpf ist, und subtrahiere den Inhalt der kleineren Pyramide von dem der größeren. Kürzer gestaltet sich die Berechnung nach folgendem Satze; Der Cubikinhalt eines Pyramidenstumpfes wird gefunden, indem man die Summe der beiden Grund¬ flächen und der Quadratwurzel aus dem Products der- selben mit dem dritten Theile derHöhe multipliciert. Annäherungsweise findet man den Cubikinhalt eines Pyramiden stumpfes, indem man die halbe Summe der beiden Grundflächen mit der Höhe des Stumpfes multipliciert. Z. 226- Aufgaben. 1. Berechne den Cubikinhalt folgender Pyramiden: u) Grundfläche 13 fffl Äm desselben wiegt 7'2 Kilogramm. Wenn nun das Kilogramm zu 32 Kr. gerechnet wird, wie viel kostet die ganze Walze? 20. Zu einer Wasserleitung braucht man in einer Länge von 848 m Röhren von Blei, welche 1'6 om dick sind und deren Weite im Lichten 8om beträgt; wie viel kostet das Blei, wenn l^cim desselben 11'35 Kilogramni wiegt und das Kilogramm Blei mit 40 Kr. bezahlt wird? 21. Ein Mühlstein hat 1-6m im Durchmesserund ist 3ckm dick; die innere vierseitige Öffnung ist l äm weit; wie viel wiegt derselbe, wenn lUckm Stein 2'7 Kilogramm wiegt? 22. Wie viel Ziegel braucht man, um ein Thor zu verlegen, welches mit vollem Bogen geschlossen ist, wenn die Weite in Lichten 2'4 m, die Höhe bis zum Schlusssteine 3'6 m, die Dicke der Mauer 8ckm ist, und wenn auf l^m Mauerwerk 264 Ziegel gerechnet werden? Clckilmchait rineš Kegels und eines Krgelstmnpfes. Z. 230- Da ein Kegel als eine Pyramide, deren Grundfläche ein Kreis ist, betrachtet werden kann, so folgt: Der Cubikinhalt eines Kegels ist gleich dem Pro¬ ducts aus der Grundfläche und dem dritten Theile der Höhe. 8- 231- Der Cubikinhalt eines Kegelstumpfes wird aus dieselbe Weise, wie der Inhalt eines Pyramidenstumpfes, berechnet, indem man die Summe der beiden Grund¬ flächen und der Quadratwurzel aus dem Producte derselben mit dem dritten Theile der Höhe multi- pliciert. In der Praxis begnügt man sich häufig mit einer ange¬ näherten Bestimmung des Cubikinhaltes eines Kegel¬ stumpfes, indem man diesen als einen Cylinder berechnet, dessen Grundfläche gleich ist der halben Summe der beiden Grundflächen des Stumpfes, und dessen Höhe die Höhe des Stumpfes ist. 170 Z. 232. Aufgaben. 1. Wie groß ist der Cubikinhalt eines Kegels, dessen Grund¬ fläche 127^foM und dessen Höhe 9cm beträgt? 2. Berechne den Cubikinhalt folgender Kegel: a) Halbmesser der Grundfläche 6'2 ckm, Höhe 7-5 Mr; b) „ „ „ 14^ om, „ 23Zom; e) Umfang „ „ Im Ickrr 8om, Höhe 2m4cim6em. 3. Der Inhalt eines Kegels ist 26 ckm 225 om, die Grund¬ fläche 4flss<7m 25fl^6M; wie groß ist die Höhe? 4. Der Inhalt eines Kegels ist l^m 88^<7m 52 die Höhe Im 8ckm; wie groß ist die Grundfläche? 5. Wie groß ist der Halbmesser der Grundfläche eines Kegels, dessen Höhe 3'5 cim, und dessen Inhalt 55'894 beträgt? 6. Wie groß ist der Cubikinhalt eines senkrechten Kegels, dessen Seite 2-4 cim beträgt, und dessen Grundfläche 2cim zum Halbmesser hat? 7. In einem gleichseitigen Kegel ist die Seitenlänge 7'5 cim; wie groß ist a) die Oberfläche, b) der Inhalt? 8. Die Mantelfläche eines senkrechten Kegels ist 2ssflckm 85flflom, der Halbmesser der Grundfläche 5 em; wie groß ist der Cubikinhalt? 9. Welche Länge hat die Seite eines Würfels, der einem Kegel von 4'2 ckm Durchmesser und 4-5 cim Höhe an Inhalt gleich kommt? 10. Ein kegelförmiger Filtriertrichter soll ein Liter halten, und oben 1'5 Äm Durchmesser haben; wie groß muss dessen Höhe sein? 11. In einem kegelförmig aufgeschütteten Getreidehaufen beträgt der Umfang der Grundfläche 2 m 5 cim und die Höhe 1 m; wie viel Hektoliter Getreide enthält der Haufen? 12. Ein Heuschober hat 2'6 m Durchmesser und 4'5 m Höhe; wie viel Kilogramm Heu enthält er, wenn das ^m Heu 114 Kilo¬ gramm wiegt? 13. Ein messingener Kegel ist 21 em hoch und hat eine Grund¬ fläche von 10'5 em Durchmesser; wie groß ist das Gewicht desselben, wenn 1 l>(j Mr Messing 8z Kilogramm wiegt? 14. Welchen Wert hat eine Tanne, welche 12'6 m hoch ist und unten 2-2m im Umfange hat, wenn das Um Holz mit 6 fl. 40 kr. bezahlt wird? 171 15. Aus einem kegelförmigen, mit Wasser gefüllten Gefäße von 21 em Durchmesser und 15 em Höhe wird das Wasser in ein chlindrifches Gefäß von 12 em Durchmesser gegossen; wie hoch wird das Wasser in diesem Gesäße stehen? 16. Wie groß ist der Cubikinhalt eines Kegelstumpfes, dessen Grundflächen 3 m und 2 m zu Durchmessern haben und 1'2 m von einander abstehen? 17. Die Durchmesser der Grundflächen eines senkrechten abge¬ kürzten Kegels sind 2'4 und 1'8 messer ^.0 beschriebene Kreis die Grundfläche eines ) Rundholzes vor, so ist das Quadrat die Grund- " fläche des größten scharf vierkantigen Holzes, welches ,f /1 sich aus jenem Rundholze bearbeiten lässt. Der Flächeninhalt eines solchen Quadrates kann aus dem Durchmesser des Kreises leicht gefunden werden; er ist nach l53, Zusatz 2, gleich dem halben Products der beiden Diagonalen, d. i. dem halben Quadrate des Durchmessers. Ist z. B. der Durchmesser des Rundholzes lO ckm, so ist die Fläche des eingeschriebenen Quadrates 10° — y —50 (HÄM. Diesem gemäß lässt sich schon aus den Dimensionen des Rund¬ holzes vorhinein berechnen, welchen Cubikinhalt das größte daraus bearbeitete vierkantige Holz haben wird. Soll dieses prismatisch sein, so wird die Fläche des Quadrates gesucht, welches der kleineren Grundfläche des Rundholzes eingeschrieben wird, und dieselbe mit der Länge multipliciert. Soll das behauene Holz ungleiche Grund¬ flächen haben, so sucht man die halbe Summe der Quadrate, welche in die beiden Grundflächen des Rundholzes beschrieben sind, und multipliciert dieselbe mit der Länge des Holzes. Aufgaben. l. Aus einem Rundholze, welches 4 m lang und am oberen Ende -18 cm Durchmesser hat, soll der größte viereckige Balken mit gleichen Grundflächen bearbeitet werden; wie groß wird der Inhalt desselben sein? Močnik, Geometrie für Bürgerschulen. 4. Aufl. 12 178 Quadratfläche — — 1152s^em Inhalt - 1152 X 400 — 460800^1 cm — 04608 Um. 2. Bestimme den Inhalt des größten vierkantigen Balkens mit ungleichen Grundflächen, welche aus einem 7 m langen Rundholze, das oben 38 em und unten 50 cm im Durchmesser hat, gehauen werden kann. 3. Ein Baumstamm hat unten 42 cm, oben 32 cm im Durch¬ messer, und ist 4'5 m lang: wie groß wird der Inhalt des daraus behauenen größten vierkantigen Holzes sein, wenn dieses gleiche, und wie groß, wenn es ungleiche Grundflächen haben soll? 3. Bestimmung des Culkikiichaltes Lurch das Gewicht. Z. 239. Der Kubikinhalt eines Körpers lässt sich auch durch das Gewicht bestimmen. Die Größe des Druckes, den ein Körper von beliebigem Raum¬ inhalte auf seine Unterlage ausübt, heißt das absolute Gewicht des Körpers. Das Gewicht, das eine Cubikeinheit, z. B. ein Cubik- decimeter, des Körpers hat, nennt man dessen speci fisch es Gewicht. Z. B. lUckm Silber wiegt 10'51 Kilogramm; diese sind das speciftsche Gewicht des Silbers für l Ucim als Cubikeinheit. Da l^cim destilliertes Wasser 1 Kilogramm wiegt, so zeigt das speciftsche Gewicht eines Körpers für l^cim auch an, wie vielmal so groß als das Gewicht eines bestimmten Raumtheiles reinen Wassers das Geivicht eines eben so großen Raumtheiles des betreffenden Körpers ist. Hier folgen die fpecifischen Gewichte einiger Körper. 1 Cubikde cimeter 179 Platin . . . wiegt 21'45 Kilogr. Quecksilber . „ 13'60 „ Silber . . . „ 10'51 „ Steinkohle (im Mittel) . . „ 1'30 „ Es sei z. B. der Cnbikinhalt Stahl .... wiegt 7-82 Kilogr. Tannenholz . „ 0'48 „ Zink .... „ 7-19 „ Zinn .... „ 7-29 „ Zucker.... „ 1'50 „ eines Silberbarrens, der 32 Kilo¬ gramm wiegt, zu bestimmen. Da 1UÄm Silber 10'51 Kilogr. wiegt, so nehmen 32 Kilogr. Silber so viel U ckm Raum ein, als wie oft 10'51 Kilogramm in 32 Kilogramm enthalten sind; man hat daher 32 : 10'51 — 3-045 Uckm. Der Cubikinhalt eines Körpers in Cubikdeci- metern wird demnach gefunden, indem man das absolute Gewicht desselben in Kilogrammen durch das specifische Gewicht für 1 Cubik- decimeter dividiert. Hiernach kann man auch den Inhalt eines Gefäßes durch das Gewicht bestimmen. Man wägt das leere Gefäß ab, füllt es mit Wasser, bestimmt dann das Gewicht des so gefüllten Gefäßes, und subtrahiert das erste Gewicht von dem zweiten. So viel Kilogramm der Gewichtsunterschied beträgt, so viel Cubikdecimeter oder Liter hält das Gefäß. Umgekehrt findet man aus dem Cubikinhalte eines Körpers das absolute Gewicht desselben, indem man dessen specifisches Gewicht mit der Maßzahl des in Cubikdecimetern ausgedrückten Cubikinhaltes mulüpliciert. Ist z. B. das absolute Gewicht von 346Uckm Steinkohlen zu bestimmen, so hat man: 1 ckm Steinkohlen wiegt 1'3 Kilogr. 346 „ „ wiegen 1'3 Kilogr. X 346 —449'8 Kilogr. ß. 240. Aufgaben. 1. Wie viel enthält ein Balken Eichenholz, der 135 Kilo¬ gramm wiegt? 2. Eine Goldstange wiegt 28'5 Kilogramm; welchen Cubikraum nimmt sie ein? 3. Welchen Cubikinhalt haben 3450 Kilogramm Blei? 4. Wie viele Kugeln von 1 em. Durchmesser können aus 4 Kilo¬ gramm Gusseisen gegossen werden? 5. Ein Gefäß wiegt leer 1'45 Kilogramm, mit Wasser gefüllt 10'95 Kilogramm; wie viel Liter hält es? 12» 180 6. Es soll ein cylinderförmiges Gewicht von 1 Kilogramm aus Messing gegossen werden; wie hoch muss dasselbe werden, wenn der Durchmesser 0-4 cim betragen soll? 7. Eine Walze von Messing soll 20 Kilogramm wiegen und lang sein; welchen Durchmesser muss sie haben? 8; Wie viel Kilogramm wiegt eine Stange Stabeisen, die 6 m lang, I cim breit und 025 ckm dick ist? 9. Wie viel Kilogramm wiegt eine vierseitige Pyramide von Gusseisen, wenn eine Seite der quadratischen Grundfläche 06 m lang ist und die Höhe 3 m beträgt? 10. Wie viel wiegt eine Kugel von Marmor, deren Durch¬ messer 04 m beträgt? 11. Welches Gewicht hat ein Zuckerhut von 2 ckm Bodendurch¬ messer und 4ckm Höhe? 12. Wie viel wiegt ein sZm Buchenholz von 80 em Scheit¬ länge, wenn man für die leeren Zwischenräume des Inhaltes in Abzug bringt? 13. Wie hoch kommen 18 Kugeln von Gusseisen zu einer Gitterverzierung, wenn jede 1-2 ckm Durchmesser hat und das Kilo¬ gramm Gusseisen 28 Kr. kostet? 14. Wie viel Hufeisen zu Kilogramm Gewicht lassen sich aus einer Eiseustange von l^m Länge, 5em Breite lind 1 em Dicke schmieden? 15. Wie viele Gewichte zu 1 Kilogramm köunen aus einer- alten eisernen Kugel von 3<7m Durchmesser gegossen werden, wenn six der Masse in Abgang kommt? „ _ K^i^ir^ic^ SSSSS4S2S9S