Glasilo Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije 
Ljubljana, MAJ 2015, letnik 62, številka 3, strani 81–120 

Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇ03100–1000018787 cina 4, 
cun: Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohoriˇc (urednik za .ziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´
c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ
cni urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Raˇ
cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. ˇ
Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇclanarina znaša 24 EUR, za druge 
cno. Celoletna ˇdružinske ˇcnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
clane in študente pa 12 EUR. NaroˇPosamezna številka za ˇ
clane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je vˇcno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇ
clanjeno v Evropsko matematiˇcno unijo (IMU), v Evropsko .zikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇ
cisto in uporabno .ziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇc­
cnosti z Ameriškim matematiˇ
nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. So.nancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ
cuna iz naslova razpisa za so.­nanciranje domaˇcih znanstvenih periodiˇcnih publikacij. 
©c2015 DMFA Slovenije – 1967 cana pri pošti 1102 Ljubljana 
Poštnina plaˇ
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV 
Revija Obzornik za matematiko in .ziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇclanke iz mate­matike, .zike in astronomije, vˇclankov objavlja prikaze novih knjig 
casih tudi kak prevod. Poleg ˇs teh podroˇcila o dejavnosti Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije ter vesti 
cij, poroˇ
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. ˇ
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle­ˇ
cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇcek v angleškem jeziku, klasi.kacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilˇcrpen opis, da jih 
cene, morajo imeti dovolj izˇlahko veˇceno od besedila. Avtorji ˇ
cinoma razumemo tudi loˇclankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ
cunalni­ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ
crk 
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma .ziko na zgoraj na­pisani naslov uredništva. Vsak ˇclanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇ
cno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematiˇclankih splošnost) rezultatov. ˇ
cnih ˇCe je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇcunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. 
cic urejevalnikov TEX oziroma LAvtor se z oddajo ˇ
clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. 
O DEFINICIJI POVRˇSINE 
BARBARA DRINOVEC DRNOVˇSEK 
Fakulteta za matematiko in .ziko, Univerza v Ljubljani Inˇstitut za matematiko, .ziko in mehaniko 
Math.Subj.Class.(2010): 26B15,28A75,51M25 
Vˇclankupredstavimoprimer, skaterimjeH.A.Schwarzpokazal,dapovrˇsine ukri­vljene ploskve ne moremo de.nirati kot natanˇcne zgornje meje povrˇsin vseh bliˇznjih po­ligonalnih ploskev. 
ON THE DEFINITION OF SURFACE AREA 
We present an example published by H. A. Schwarz which shows that the area of a surface cannot be de.ned as the supremum of areas of all approximating polyhedral surfaces. 
Vmatematiki, .zikiinraˇcunalniˇstvupogostoobravnavamogladkeobjek­te, naprimergladkekrivulje,ploskve ali telesa. Pri obravnavigeometrijskih lastnostise moramopogosto zateˇcik aproksimaciji: ˇceˇzelimo ocenitidolˇzino gladkekrivulje, silahkoizberemodovoljgostoposejano mnoˇzico toˇck nakri­vulji, izraˇcunamo dolˇzino prirejene poligonalne krivulje in dobimo ustrezni pribliˇzek. Stakimiinpodobnimiproblemi se sreˇcujemo vdiskretnidiferen­cialni geometriji in v raˇcunalniˇski gra.ki. 
V ˇclanku bomo obravnavali primer, ki ga je leta 1890 objavil H. A. Schwarz [7] in ki pove, da moramo biti pri aproksimaciji povrˇsine, ki jo dobimo na podoben naˇcin, zelo pazljivi. 
O de.niciji dolˇzine 
Krivuljo v ravnini lahko aproksimiramo s poligonalno krivuljo: na krivulji siizberemo nekaj toˇck,kijih zaporedomapoveˇzemo zdaljicami. Dolˇzina dobljenepoligonalnekrivuljeaproksimiradolˇzinodanekrivulje. ˇ
Cedodamo toˇcko na krivulji in ustrezno daljico zamenjamo z dvema, je dolˇzina nove poligonalnekrivuljeboljˇsipribliˇzek zadolˇzinokrivulje. Zapoljubnidve taki poligonalnikrivuljidobimo natanˇcnejˇso aproksimacijo z unijoizbranih toˇck. Ker z dodajanjem novih toˇck dolˇzino poligonalne aproksimacije poveˇcamo, je za de.nicijo dolˇzine krivulje smiselno vzeti natanˇcno zgornjo mejo dolˇzin opisanih poligonalnih krivulj. 

Slika 1. Aproksimacija gladke krivulje s poligonalno. 
Prevedimo sedaj zgornji intuitivni zapis v matematiˇcni jezik. Naj bo krivulja K podana parametriˇcno kot mnoˇzica toˇck 
K = {(x(t),y(t)):t . [a,b]}, 
kjer sta x,y:[a,b]› R dani zveznifunkciji. Pravimo,dajekrivulja K tir poti (x,y):[a,b]› R2 . Poligonalna krivulja, ki aproksimira K,je doloˇcena z delitvijo D = {t0,t1,...,tn}intervala[a,b], pri ˇcemer velja a = t0 <t1 < ··· <tn = b inje sestavljenaizdaljic od toˇcke(x(tj-1),y(tj-1)) do toˇcke 
(x(tj),y(tj))  za j  =  1,. . . ,n.  Dolˇzina poligonalne poti, ki pripada delitvi  
D, je  
n  

LJ
l(D)= (x(tj)-x(tj-1))2 +(y(tj)-y(tj-1))2 . j=1 
Dolˇzino krivulje K pa de.niramo s predpisom l(K)= sup{l(D):D delitev intervala[a,b]}. Pravimo, daje krivulja K izmerljiva, ˇceje l(K)< .. Navedimoizrek,kipokaˇze,daje zgornjade.nicija smiselna[1,8]: 
Izrek 1. Naj bo K krivulja,kijepodanaparametriˇcnokot tirgladkeinjek­tivne poti (x,y):[a,b]› R2 . Potemje K izmerljiva in velja 
b 
l(K)= x˙2(t)+˙y2(t)dt. 
a 
Dolˇzinaje neodvisna odizbireinjektivnegladkeparametrizacije. 

O de.niciji povrˇsine 

Idejo o aproksimacijigladkekrivulje spoligonalnimiposploˇsimo naploskve takole: gladko ukrivljeno ploskev aproksimiramo s poliedrsko, ki je sesta­vljena iz trikotnikov z ogliˇsˇci na dani ploskvi. Zanima nas, kako dobro se povrˇsina poliedrske aproksimacije pribliˇza povrˇsini dane ploskve. 
Leta1890jeH.A.Schwarz objavilprimer,kigabomo spoznali v tem razdelku. Sprimerombomopokazali,da tudipri zelopreprostih ukrivljenih ploskvah zgornja metodabrezkakˇsnihdodatnih zahtevpopolnoma odpove. 
Vzemimo pravokotnik s stranicama 1 in 2. ter stranici dolˇzine 1 zle­pimo, da dobimo plaˇsˇc pokonˇcnega kroˇznega valja s polmerom in viˇsino 1. Povrˇsina plaˇsˇca valja je 2.. Poliedrsko ploskev, ki aproksimira plaˇsˇc va­lja,konstruiramotakole: vpravokotnikustranicodolˇzine2. nareˇzemo na n enakih delov, stranico dolˇzine 1 pa na m enakih delov ter tako pravokotnik razdelimo na nm skladnihpravokotnikov. Vsakega od majhnihpravokotni­kov z diagonalama razdelimo na 4 trikotnike. Za ogliˇsˇca poliedrske ploskve . vzamemo vsa ogliˇsˇca trikotnikov na plaˇsˇcu valja. Trikotniki v . pa naj ustrezajo trikotnikom v opisanem razrezu majhnih pravokotnikov. Poliedr­skaploskevje vˇcrtana valju, omejujejo4mn trikotnikov. Njeno povrˇsino oznaˇcimo s P(m,n). 
Brez raˇcunanja premislimo, da povrˇsina poliedrske ploskve . s poveˇce­vanjem m in n ne konvergira nujno proti povrˇsini plaˇsˇca valja. Pokaˇzimo, ˇ
da povrˇsina . naraˇsˇca ˇcez vse meje, ˇce m raste precej hitreje kot n. Ce pri danem n poveˇcujemo m, se ˇstevilo trikotnikov poveˇcuje. Polovica vseh trikotnikov ima eno stranico vzporedno osnovni ploskvi valja. Ploˇsˇcine teh trikotnikov so pri danem n navzdol omejene s pozitivnim ˇstevilom, ki je neodvisno od m,kajtidolˇzina stranice,kije vzporedna osnovniploskvi va­lja, se ne spreminja, viˇsina nato stranicopaje navzdol omejena z razdaljo 
ˇ
srediˇsˇca te stranice do plaˇsˇca valja. Ce pri danem n vzamemo m dovolj velik,jepovrˇsinapoliedrskeploskvepoljubno velika. Torej lahkoizberemo zaporedje mn, daje limn›. P(mn,n)= .. 
Izpeljimo sedaj formulo za izraˇcun P(m,n). Izberimo enega od mn pra­vokotnikov naplaˇsˇcu valjain njegova ogliˇsˇca oznaˇcimo z ABCD,preseˇciˇsˇce njegovih diagonal pa z X. Naj bo W srediˇsˇce loka AB na plaˇsˇcu valja, Y srediˇsˇce daljice AB in Z srediˇsˇce daljice AD (glejsliko 2). 

Slika 2. Element poliedrske aproksimacije. 
Izraˇcunajmo najprej ploˇsˇcino trikotnika AXD. Dolˇzina stranice AD je 
1 
, viˇsina na AD je daljicaZX,kije skladna z AW. Pri raˇcunanju dolˇzine 
m
daljice AW prereˇzemo valj z ravnino skozi A vzporednoz osnovnoploskvijo valja(glej sliko3). 

S 
1 
A B 
W 
Slika 3. Prerez valja. 
.
Kot .ASW je , zatoje |AW|=2sin . . Torejje 
n2n 
11 . p.AXD = 
|AD||AW|= 
sin 
. 
2m 2n 
Zaizraˇcunploˇsˇcine trikotnika XAB,izraˇcunajmo najprejdolˇzinodaljice ˇ
YW. Ce upoˇstevamo,dajekot .ASB enak 2., dobimo 
n 
.. 
|YW|=1-|SY|=1-cos 
=2sin2 
. 
n 2n 
Ker stadaljici XW in WY pravokotni, z uporabo Pitagorovega izreka izpe­ljemo 
J
|XY|= |XW|2 + |WY|2 = 1 +4sin4 . 
. 
4m2 2n 
2.
Pri izraˇcunu dolˇzine daljice AB ˇse enkrat upoˇstevamo,daje .ASB = 
n .
in dobimo |AB|=2sin 
(glejsliko3). Zatoje 
n 
J 
1 . 1 . p.XAB = 
|AB||XY|= sin 
+4sin4 
. 
2n 4m2 2n 
Ker sta trikotnika AXD in BXC ter trikotnika XAB in XCD skladna,je 
  
J 
1 .. 1 . 
P(m,n)=2mn
sin + sin +4sin4 
m 2nn 4m2 2n
J
  
.. . 
=2nsin 
1+cos 
1+16m2 sin4 
. 
2n2n 2n
ˇ
Ce vzamemo m = n, dobimo 
 J 
.. . n›.
P(n,n)=2nsin 1+cos 1+16n2 sin4 
-› 2., 
2n2n2n
ˇce vzamemo m = n3, pa dobimo 
J
  
.. . n›.
3
P(n ,n)=2n sin 1+cos 1+16n6 sin4 
-› .,
2n2n 2n
sin x
kjer smopri raˇcunanjulimit uporabili znanodejstvolimx›0 =1. Drugi 
x 
primer ustreza razmisleku zgoraj. Hitro lahko premislimo, da velja ˇse veˇc: ˇce vzamemo neomejeni naraˇsˇcajoˇci zaporedji naravnih ˇstevil mk in nk, za kateri velja 
mk
lim = . . [0,.],
2
k›. n
k 
potemje 
  
lim P(mk,nk)= .1+ 1+.2.4. 
k›. 
Torej lahko v limiti dobimo poljubno ˇstevilo, ki je vsaj 2..  S tem je opis  
primera konˇcan.  
81–87  85  

Kajjeˇslonarobe? ˇsljamogeometrijskoinpremiˇ
Ce razmiˇsljujemo opri­meru, ko m naraˇsˇca precej hitreje od n, opazimo, da poliedrska aproksima­cija sicer leˇzi v ˇcedalje manjˇsi okolici plaˇsˇca valja, vendar so trikotniki nanj skorajpravokotni. Kadarpa m in n rasteta enakohitro, so trikotniki skoraj tangentni naplaˇsˇc valja. Pozitivni rezultat za takepoliedrske aproksimacije so avtorjidokazali v[3]. 
V literaturi se pojavljata dve razliˇcici Schwarzevega primera. Opisani primerjepovzetpo[4,6], vˇclanku[9] pajede.niranapoliedrskaploskev z istimi ogliˇsˇci in drugaˇce doloˇcenimi trikotniki. V obeh primerih pridemo do enakega zakljuˇcka. V raznih spletnih virih najdemo slike takih ploskev, ki jih avtorji razliˇcno poimenujejo, npr. Schwarzeva lanterna, Schwarzev ˇskorenj[5, 10, 11, 12]. 
Zatopovrˇsine ukrivljenihploskev vsaj na enostaven naˇcin ne moremode­.niratipodobnokotdolˇzinekrivulj, ampak se zateˇcemokde.niciji zintegra­lom: najboploskev. . R3 podana z regularnoparametrizacijo.r: D › R3 , kjerje D odprta podmnoˇzica v R2 [2];torejje. = {.r(u,v):(u,v). D}. Potemje povrˇsina ploskve . de.nirana s 
P(.)= ..ru ×.rv.dudv, 
D 
kjer .ru in .rv oznaˇcujeta parcialna odvoda .r po u in v, . ·. pa dolˇzino vektorja. Povrˇsina ploskve . ni odvisna od izbire njene regularne parame­trizacije. Intuitivno od tod lahko razberemo, kaj gre narobe pri poliedrski aproksimaciji: vintegraluraˇcunamosparcialnimaodvodoma. ˇ
Ce sta sipa­rametrizaciji dveh ploskev blizu v odvodih prvega reda, potem se povrˇsini malo razlikujeta, v nasprotnem primeru pa to ni nujno res. 
Do podobnega fenomena pride ˇze pri aproksimaciji dolˇzine, kar pona­zorimo z naslednjim primerom. Oglejmo si doloˇcanje pribliˇzkov za obseg enotskegakroga. Zaprvo aproksimacijo vzamemo obsegkvadrata,kije oˇcr­tan enotskemukrogu. Nato vsako ogliˇsˇceprojiciramo vzporedno z ustrezno diagonalo na enotskokroˇznicoin za naslednjo aproksimacijo vzamemo obseg poligonalne krivulje na sliki 4. 
Postopek nadaljujemo. Vse poligonalne krivulje imajo obseg 8. Po do­volj velikem ˇstevilu korakov poligonalna krivulja leˇzi v poljubno majhni okolici enotskekroˇznice. Kajje narobe? 

Slika 4. Obseg kroga. 
LITERATURA 
[1] J. Globevnik in M. Brojan,Analiza 1, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 2010. 
[2] J. Globevnik in M. Brojan, Analiza 2, dostopno na http://www.fmf.uni-lj.si/ ~globevnik/skriptaII.pdf, ogled 23. 1. 2015. 
[3] K. Hildebrandt, K. Polthier in M. Wardetzky, On the convergence of metric and geometric properties of polyhedral surfaces, Geom. Dedicata 123 (2006), 89–112. 
[4] T. W.K¨
orner, A companion to analysis, A second .rst and .rst second course in 
analysis, Graduate Studies in Mathematics 62, American Mathematical Society, 
Providence, 2004. 
[5] E. Lamb, Counterexamples in Origami, verzija 30. 11. 2013, dostopno na http:// blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/11/30/counterexamples­in-origami/#respond, ogled 2. 2. 2015. 
[6] T. Ramsey, An 1890 Example From H. A. Schwartz of How Not To De.ne Surface Area, dostopno na http://www.math.hawaii.edu/~ramsey/SchwartzExample.pdf, ogled 23. 1. 2015. 
[7] H. A. Schwarz,Sur une d´e.nition erron´ee l’aire surface courte, Gesammelte Mathe­matische Abhandlungen, Berlin, 1890, II, 309–311. 
[8] S. Strle, Krivulje v ravnini, dostopno na http://ucilnica1314.fmf.uni-lj.si/ pluginfile.php/16624/mod\_resource/content/0/zapiski-krivulje.pdf, ogled 
23. 1. 2015. 
[9] F. Zames, Surface area and the cylinder area paradox, College Math. J. 8 (1977), 207–211. 
[10] Mathema Home Ausstellung, dostopno na http://www.mathema-ausstellung.de/ de/ausstellung/grenzen/bilder0c37.html?image=0, ogled 2. 2. 2015. 
[11] Modell eines Schwarzschen Stiefels, dostopno na http://www. universitaetssammlungen.de/modell/1859, ogled 2. 2. 2015. 
[12] DGGS – Hans Havlicek: Visualisation – Schwarz lanterns,dostopno na http://www. geometrie.tuwien.ac.at/vis/vis069.html, ogled 2. 2. 2015. 
MIKROSKOPIJA PRI BREWSTROVEM KOTU 
LUCIJA ˇSEK OLENIK1,2
COGA1, IRENA DREVENˇ
1Fakulteta za matematiko in .ziko, Univerza v Ljubljani 2Institut Joˇzef Stefan 
PACS: 42.15.Eq, 79.60.Dp 
V ˇclanku so razloˇzeni osnovni principi delovanja mikroskopije pri Brewstrovem kotu. Nato sledi opis strukturne organizacije v tankih plasteh organskih molekul, ki plavajo na vodni povrˇsini. Na koncu je podanih nekaj primerov posnetkov tovrstnih povrˇsinskih plasti, dobljenih z opisano tehniko mikroskopiranja. 
BREWSTER ANGLE MICROSCOPY 
We present basic principles of operation of Brewster angle microscopy. We also de­scribe structural organization in thin .lms of organic molecules .oating on water surface. In the last part we give some examples of images of this kind of surface structures obtained by the presented optical microscopy technique. 
Uvod 
Svetovno leto svetlobe nas spodbuja k razmiˇsljanju o pomenu, ki ga ima svetloba ne le v naˇsem vsakdanjem ˇzivljenju, ampak tudi pri tehnoloˇskem razvoju ˇcloveˇstva. Za velik napredek znanja in tehnologije na podroˇcjih, kot so biologija, medicina, farmacija, kemija in znanosti o materialih, ter tudi na ˇstevilnih podroˇcjih .zike je v veliki meri zasluˇzna tehnika optiˇcne mikrosko­pije. Zaradi raznolikosti preiskovanih materialov se je optiˇcna mikroskopija razvila v ˇstevilne razliˇcice, ki omogoˇcajo optimalno mikroskopiranje spe­ci.ˇcnih vrst vzorcev. Ena od teh je fazna mikroskopija, ki je namenjena opazovanju tankih vzorcev iz prozornih snovi, kot so posamiˇcne ˇzive celice ali bioloˇska tkiva. Z obiˇcajnim presevnim mikroskopom pri tovrstnih vzorcih namreˇc naletimo na teˇzave, saj je intenziteta prepuˇsˇcene svetlobe skozi njih praktiˇcno neodvisna od debeline in lomnega koliˇcnika opazovanega obmoˇcja. To pomeni, da nekaterih podrobnosti v strukturi vzorca, kot so variacije go­stote in postopne spremembe debeline, ne moremo dobro razloˇciti. V takih primerih lahko kontrast slike znatno izboljˇsamo z metodami, ki zaznavajo fazni zamik prepuˇsˇcenega optiˇcnega polja, kot sta fazno-kontrastna mikro­skopija in diferenˇcno-interferenˇcna mikroskopija [1, 2]. Osnova delovanja fazno obˇcutljivih tehnik je interferenˇcno meˇsanje optiˇcnih ˇzarkov, ki gredo skozi razliˇcna obmoˇcja vzorca ali pa deloma skozi vzorec in deloma mimo vzorca. Tipiˇcna debelina vzorcev pri faznem mikroskopiranju je na obmoˇcju od 1 do 50 µm. 
Leta 1991 pa sta dve skupini raziskovalcev neodvisno razvili novo tehniko za mikroskopiranje tankoplastnih struktur, s katero je mogoˇce opazovati tudi vzorce prozornih snovi z debelino, manjˇso od 1 nm. To je mikroskopija pri Brewstrovem kotu, ki jo obiˇcajno oznaˇcujemo z angleˇsko kratico BAM (Brewster Angle Microscopy) [3, 4]. Tehnika BAM je najbolj primerna za opazovanje tankih povrˇsinskih nanosov na ravni podlagi iz homogenega materiala, kot je na primer tanka plast nafte na povrˇsini vode. Zato so se z razvojem BAM moˇcno razmahnile zlasti raziskave spontane organizacije razliˇcnih vrst organskih molekul na vodni povrˇsini. 
Osnove delovanja mikroskopije pri Brewstrovem kotu 
Tehnika BAM je osnovana na pojavu, da pri vpadu svetlobe na mejo dveh snovi pri Brewstrovem kotu .B dobimo svetlobo, ki je linearno polarizirana v smeri pravokotno na vpadno ravnino. Tej polarizaciji reˇcemo transverzalno elektriˇcna (TE), polarizaciji, ki je pravokotna nanjo, pa transverzalno ma­gnetna (TM) polarizacija (slika 1 levo). Opisani fenomen lahko razloˇzimo preko naˇcina, kako se elektriˇcni dipoli atomov v bliˇzini meje dveh snovi odzivajo na TM polarizirano svetlobo. Znano je, da elektriˇcni dipoli ne od­dajajo nobenega sevanja v smeri svojega nihanja. Pri vpadu svetlobe pri Brewstrovem kotu pa postane smer nihanja svetlobe v snovi 2 (tj. smer ni­hanja elektriˇcnih dipolov) vzporedna s smerjo odbite svetlobe in poslediˇcno ni odboja za TM polarizacijo. Iz slike 1 je razvidno, da sta pri tem lomljeni in odbiti ˇzarek med seboj pravokotna (. + ß = 90., kot ß oznaˇcuje nagib lomljenega ˇzarka glede na vpadno pravokotnico). Iz tega lahko z uporabo lomnega zakona, n1 sin . = n2 sin ß, dobimo zvezo za Brewstrov kot .B 
.B = arctg(n2/n1), (1) 
pri ˇcemer sta n1 in n2 lomna koliˇcnika snovi nad mejno ploskvijo in pod njo. Pri vpadu svetlobe iz zraka na povrˇsino vode (n1 =1,00, n2 =1,33) se polarizirani odboj zgodi pri .B = 53,1. . V realnosti lomni koliˇcnik na mejni ploskvi ne preskoˇci diskretno iz ene vrednosti v drugo, ampak je sprememba zvezna, zaradi ˇcesar odbita svetloba tudi pri Brewstrovem kotu ni povsem linearno polarizirana. Na meji zrak-voda je tako na obmoˇcju . ~ .B naj­manjˇsa dosegljiva odbojnost za TM polarizirano svetlobo RTM ~ 10-8 [5], medtem ko ima odbojnost za TE polarizirano svetlobo na tem obmoˇcju 
ˇ
vrednost RTE ~ 0,08. Ce pri . ~ .B povrˇsino vode opazujemo skozi pola­rizator (polarizacijski .lter), katerega prepustna smer sovpada s smerjo TM 
Lucija ˇ
Coga, Irena Drevenšek Olenik 

Slika 1. Shema loma in odboja svetlobe pri Brewstrovem kotu .B brez vmesne tanke plasti (levo) in z vmesno tanko plastjo (desno). 
polarizacije, je povrˇsina videti temna oz. nere.ektivna, saj je intenziteta odbite svetlobe s TM polarizacijo izredno ˇsibka. Navedeni uˇcinek polariza­cijskih .ltrov izkoriˇsˇcamo, kadar se pri fotogra.ranju ali pa pri gledanju v objekte, napolnjene z vodo, ˇzelimo znebiti odboja svetlobe od vodne povr­ˇsine. 
Opisane razmere pa se moˇcno spremenijo, ˇce na povrˇsino nanesemo tanko plast neke tretje snovi z lomnim koliˇcnikom n3 (slika 1 desno). Posku­ˇsajmo dobiti oceno za spremembo odbojnosti za TM polarizirano svetlobo pri . = .B na meji zrak-voda, ˇce nanjo nanesemo plast snovi z lomnim koliˇcnikom n3 =1,5 in debelino d = 1 nm. Odbojnosti na mejnih ploskvah zrak-vmesna plast in vmesna plast-voda podajata Fresnelovi enaˇcbi [6] 
  2   2
tg(. - .) tg(. - ß)
R13 =,R32 =, (2) 
tg(. + .)tg(. + ß)
pri ˇcemer velja n1 sin . = n2 sin ß = n3 sin .. S kotom . smo oznaˇcili nagib ˇzarkov glede na vpadno pravokotnico v vmesni plasti. Vrednosti R13 in R32 sta si pri izbranih podatkih med seboj zelo podobni in z mirno vestjo lahko vzamemo R13 ~ R32 = R0 ~ 10-3 . V okviru tega pribliˇzka lahko za izraˇcun celostne odbojnosti RTM , ki jo dobimo z upoˇstevanjem veˇckratnih odbojev na obeh mejah, uporabimo znano zvezo, podano z Airyjevo funkcijo [6]: 
    
1  
RT M = 1 - TT M = 1 - ,  (3)  

· sin2 .
1+ F 
2
kjer TTM oznaˇcuje prepustnost, F =4R0/(1 - R0)2 kontrast meje, . = 4.dn3 cos ./. pa fazni zamik med zaporednimi odbitimi ˇzarki. Za nadaljnji izraˇcun bomo vzeli ˇse . = 658 nm, kar ustreza valovni dolˇzini laserja v BAM sistemu, ki ga uporabljamo pri naˇsih eksperimentih, ki so podrobneje opisani v nadaljevanju. Pri navedenih podatkih potem dobimo . ~ 8. · 10-3 . Ker velja R0 . 1 in tudi . . 1, izraze v enaˇcbi (3) razvijemo do prvega ˇclena v Taylorjevi vrsti in pridemo do zelo preprosto zveze 
RTM ~ R0.2 , (4) 
iz katere sledi RTM ~ 60 · 10-8 . Z opisanim raˇcunom smo ugotovili, da le 1 nm debela povrˇsinska plast z lomnim koliˇcnikom n3 =1,5 v obmoˇcju . ~ .B povzroˇci poveˇcanje odbojnosti za TM polarizirano svetlobo kar za faktor 60 glede na ˇcisto vodno povrˇsino. To poveˇcanje odbojnosti poslediˇcno povzroˇci znatno poveˇcanje intenzitete odbite svetlobe, ki ga z modernimi videoka­
ˇ
merami brez teˇzav zaznamo. Ce med polarizator in videokamero dodamo ˇse objektiv za obiˇcajno optiˇcno mikroskopijo, lahko z opisanim sistemom opazujemo mikroskopske podrobnosti pri nastanku, strukturiranju in faznih transformacijah povrˇsinske plasti. Pri tem, podobno kot pri drugih vrstah optiˇcne mikroskopije, lahko doseˇzemo lateralno loˇcljivost do okoli 0,5 µm. Za osvetljevanje opazovanega obmoˇcja namesto obiˇcajne ˇzarnice uporabimo lasersko svetlobo, saj nam njena monokromatiˇcnost zagotavlja dobro de.­nirane vrednosti lomnega koliˇcnika oz. Brewstrovega kota .B in s tem tudi dober kontrast slike. Pojavi pa se manjˇsa teˇzava. Zaradi naklona optiˇcne osi objektiva pod kotom (./2 - .B) glede na opazovano povrˇsino je slika ostra le za izbrani pas povrˇsinskega sloja, ki leˇzi na ustrezni razdalji pred objektivom. Pri mikroskopiranju veˇcjih obmoˇcij zato objektiv postopno premikamo v smeri odbitega ˇzarka in na koncu posnetke posamiˇcnih pasov zdruˇzimo v enotno sliko. BAM se obiˇcajno uporablja za kvalitativno analizo strukture .lma. Za kvantitativno analizo pa ga po navadi kombiniramo z drugimi tehnikami, na primer optiˇcno elipsometrijo. 
Enomolekulske plasti na meji zrak-voda 
Surfaktanti oz. povrˇsinsko aktivne snovi zmanjˇsujejo povrˇsinsko napetost vode. Najpogosteje gre za am..lne molekule, sestavljene iz hidro.lne (po­larne) »glave« in hidrofobnega (nepolarnega) »repa«. Tipiˇcen predstavnik tovrstnih molekul so maˇsˇcobne kisline, katerih glavo tvori karboksilna sku­pina, rep pa alifatska veriga. Za am..lne molekule je lega na gladini vode (meja zrak-voda) energijsko zelo ugodna, saj se hidro.lna glava lahko potopi 
Lucija ˇ
Coga, Irena Drevenšek Olenik 

Slika 2. Fazni diagram in sheme razliˇcnih faz, ki se pojavljajo pri spreminjanju povrˇsine Langmuirjevega .lma. 
v vodo, hidrofobni rep pa ostane v zraku. Enomolekulske plasti am..lnih molekul na vodni povrˇsini imenujemo Langmuirjevi .lmi, po Nobelovem na­grajencu za kemijo Irvingu Langmuirju, ki se je poleg Agnes Pockelsove prvi ukvarjal z znanstvenimi raziskavami na tem podroˇcju. 
Za manipulacijo Langmuirjevih .lmov se uporablja plitvo korito iz te­.ona. Korito napolnimo s tekoˇco »podfazo«, ki je najpogosteje ˇcista voda, vodna raztopina soli ali pa izbran pufer. Na povrˇsino podfaze nato po kaplji­cah nanesemo majhen volumen (tj. nekaj mikrolitrov) raztopine izbranega am..la. Na zaˇcetku je gostota molekul v .lmu tako majhna, da sta pozicija hidro.lnih glav in orientacija hidrofobnih repov nakljuˇcni. Takemu stanju reˇcemo plinsko stanje oz. plinska faza Langmuirjevega .lma. Ko pa zaˇc­nemo molekule stiskati na manjˇse obmoˇcje vodne gladine, medmolekulske interakcije postajajo vedno bolj izrazite, kar vodi do nastanka novih faz in faznih prehodov med njimi. Stiskanje izvedemo s pomikanjem zapornic, ki omejujejo podroˇcje povrˇsinskega nanosa. Slika 2 prikazuje shemo tipiˇcnega faznega diagrama. Na horizontalni osi je podana povrˇsina obmoˇcja vodne gladine, ki odpade na posamiˇcno am..lno molekulo. Izraˇcunamo jo po zvezi A1 = A/N, pri ˇcemer je A povrˇsina celotnega obmoˇcja .lma, N pa ˇstevilo am..lnih molekul v .lmu. Na vertikalni osi pa je podan povrˇsinski tlak ., ki oznaˇcuje razliko med povrˇsinsko napetostjo ˇciste vode .0 (72,8 mN/m pri 

Slika 3. BAM posnetki Langmuirjevih .lmov treh maˇsˇcobnih kislin v kapljevinski kon­denzirani fazi [7]. 
25 .C) in povrˇsinsko napetostjo vode, na kateri obstaja Langmuirjev .lm: .= .0 - .. Povrˇsinsko napetost merimo s preprosto napravo, ki je sesta­vljena iz obˇcutljive tehtnice in tanke ploˇsˇcice, ki je obeˇsena na tehtnico ter potopljena skozi mejo podfaza-zrak (Wilhelmyjeva metoda). Rezultanto sil, ki deluje na ploˇsˇcico (odˇcitek na tehtnici), pretvorimo v povrˇsinsko napetost preko znanih dimenzij ploˇsˇcice. 
Pri stiskanju .lma, ki je v speci.ˇcni fazi, povrˇsinski tlak . naraˇsˇca s padajoˇco vrednostjo A1, na obmoˇcjih koeksistence dveh faz pa je kon­stanten. Detajli krivulje .(A1), ki jo imenujemo izoterma Langmuirje­vega .lma, so doloˇceni s kemijsko sestavo am..lnih molekul, z lastnostmi vodne podfaze (ˇcista voda, voda z dodatkom soli, itd.) in s tempera­turo sistema. Karakteristiˇcni znaˇcilnosti izbrane faze sta njena stisljivost C = -((dA1/d.)/A1)max in limitna povrˇsina AL, ki jo dobimo z ekstrapo­lacijo najstrmejˇsega dela krivulje .(A1) na horizontalno os. Minimalna povrˇsina, na katero lahko stisnemo eno alifatsko verigo, je okoli 20 °
A2 (kvadratni angstromi), kar ustreza vrednosti AL za trdno fazo (S), v ka­teri so hidrofobni repi orientirani pravokotno na gladino vode. 
Primeri posnetkov enomolekulskih plasti 
Za slikanje z BAM sistemom so ustrezne faze, katerih morfoloˇske lastno­sti se s ˇcasom le malo spreminjajo, saj za posnetek posamiˇcne slike, zaradi v prejˇsnjem poglavju omenjene potrebe po postopnem premikanju objek­tiva preko opazovane povrˇsine, potrebujemo okoli 10 sekund. Opazovana struktura se v tem ˇcasu ne sme preveˇc premakniti oz. odplavati iz obmoˇcja opazovanja. Zato sta za BAM analizo najbolj primerni obmoˇcji kapljevinske kondenzirane faze (Lc) in trdne faze (S) (slika 2). Na sliki 3 so prikazani BAM posnetki Lc faze Lagmuirjevih .lmov treh maˇsˇcobnih kislin z razliˇcno 
Lucija ˇ
Coga, Irena Drevenšek Olenik 

Slika 4. Shema orientacije alifatskega repa glede na vodno gladino. Vodna gladina je vzporedna z ravnino xy. 
ˇ
dolgimi alifatskimi verigami: palmitinske, stearinske in araˇsidne. Ceprav ˇ
je debelina .lmov le okoli 2 nm, je kontrast slike izjemno dober. Crna oz. najtemnejˇsa obmoˇcja ustrezajo vodni povrˇsini praktiˇcno brez povrˇsinskega nanosa, svetlejˇsa obmoˇcja pa domenam kondenziranega povrˇsinskega sloja. 
ˇ
Ze majhna sprememba v strukturi am..lne molekule lahko vodi do vidnih sprememb v morfologiji .lma. Iz slike 3 je razvidno, da se z daljˇsanjem alkilne verige spreminja oblika domen in mej med njimi. Tako dobimo bolj ukrivljene domene pri palmitinski kislini, ravne in ˇzagaste domene pri stea­rinski kislini ter meandriˇcne domene pri araˇsidni kislini. 
Domenska struktura, ki se kaˇze v razliˇcnih odtenkih sive barve, je posle­dica nehomogene orientacije hidrofobnih repov. Medtem ko je zenitni kot . za vse domene bolj ali manj enak, pa se azimutni kot . od domene do domene moˇcno spreminja (slika 4). Zaradi tega se od domene do domene spreminja tudi orientacija optiˇcnih osi in s tem vrednost efektivnega lo­mnega koliˇcnika za TM polarizirano svetlobo. Poslediˇcno nekatere domene odbijajo veˇc, druge pa manj svetlobe. 
Za pripravo Langmuirjevih .lmov lahko poleg maˇsˇcobnih kislin upora­bimo tudi ˇstevilne druge molekule. Zanimiv primer so nukleozidi DNK, pri katerih am..lno naravo doseˇzemo tako, da na sladkorno skupino (deoksiri-

Slika 5. BAM posnetka Langmuirjevih .lmov gvanozinskih derivatov z eno (a) in z dvema (b) alifatskima verigama. Posnetek (a) je narejen na obmoˇcju fazne koeksistence med kapljevinsko ekspandirano in kapljevinsko kondenzirano fazo, posnetek (b) pa na obmoˇcju kapljevinske ekspandirane faze. 
boza) pripnemo eno ali veˇc alifatskih verig. Na sliki 5 sta prikazana BAM posnetka Lagmuirjevih .lmov derivatov gvanozina z dodatkom ene in dveh alifatskih verig s 16 ogljikovimi atomi. Razberemo lahko, da je molekul­ska organizacija derivata z eno verigo povsem drugaˇcna kot pri derivatu z dvema verigama, kar je posledica razliˇcnega razmerja med hidro.lno (nu­kleinska baza) in hidrofobno izrazitostjo molekule (ena ali dve hidrofobni verigi) [8]. 
Tanke plasti nukleozidov DNK so zanimive predvsem zaradi njihove spo­ˇ
sobnosti selektivne vezave na razliˇcne bioloˇsko pomembne molekule. Ce vodni podfazi, na povrˇsini katere je Langmuirjev .lm zgoraj opisanih de­rivatov gvanozina, dodamo vodotopni derivat citozina, se zaradi speci.ˇcne interakcije med nukleozidoma medsebojna organizacija molekul v .lmu in s tem tudi oblika izoterme .(A1) lahko moˇcno spremeni. Langmuirjeve .lme modi.ciranih nukleozidov DNK zato lahko uporabimo kot zelo obˇcutljive senzorje za zaznavanje komplementarnega nukleozida v vodni raztopini [9]. 
Sklep 
Zaradi razcveta nanotehnologije, ki smo mu priˇca v zadnjih desetletjih, se 
uporaba tehnike BAM ˇsiri na vedno bolj raznolika podroˇcja. Vzporedno s 
tem se razvijajo tudi novi naˇcini mikroskopiranja, ki zmogljivosti BAM ˇse 

Lucija ˇ
Coga, Irena Drevenšek Olenik 
poveˇcujejo. Nedavne raziskave so pokazale, da je kontrast BAM posnetkov moˇzno znatno poveˇcati, ˇce Langmuirjevemu .lmu dodamo molekule, ki ab­sorbirajo svetlobo pri valovni dolˇzini laserskega sevanja, ki ga uporabljamo za osvetljevanje .lma [10]. Pred kratkim so se pojavile tudi komercialne BAM naprave z alternativnim sistemom osvetljevanja, pri katerem je objek­tiv orientiran pravokotno na povrˇsino, zaradi ˇcesar ni veˇc treba slikati po pasovih, ampak lahko celotno sliko v obiˇcajni video-resoluciji (20–35 posnet­kov na sekundo) zajamemo naenkrat [11, 12]. To odpira nove moˇznosti za analizo dinamiˇcnih pojavov v Langmuirjevih .lmih, kot so na primer pro­cesi, povezani s kemiˇcnimi reakcijami, ali pa svetlobno-inducirani strukturni prehodi. Zato boste o BAM zelo verjetno sliˇsali tudi ˇse kdaj potem, ko bo svetovno leto svetlobe ˇze za nami. 
LITERATURA 
[1] 	M. Spencer, Fundamentals of Light Microscopy, Cambridge University Press, UK, 1982. 
[2] 	J. Mertz, Introduction to Optical Microscopy, Roberts and Company Publishers, Boulder, USA, 2010. 
[3] 	S. H´enon in J. Meunier, Microscope at the Brewster angle: Direct observation of .rst-order phase transitions in monolayers, Rev. Sci. Instrum. 62 (1991), 936–939. 
[4] 	D. H¨obius, Direct visualization of monolayers at the air-water interface 
onig in D. M¨
by Brewster angle microscopy, J. Phys. Chem. 95 (1991), 4590–4592. 

[5] 	J. Meunier, Why a Brewster angle microscope?, Colloids Surf. A 171 (2000), 33–40. 
[6] 	R. Guenther, Modern Optics, John Wiley & Sons, New York, 1990, str. 72 in str. 
109. 
[7] 	A. Marin, BAM slike monoslojev maˇsˇcobnih kislin, magistrsko delo, Univerza v Lju­bljani, 2015. 
[8] 	L. ˇsek-Olenik, Lamellar versus compact self-assembly 
Coga, S. Masiero in I. Drevenˇof lipopoguanosine derivatives in thin surface .lms, Colloids Surf. B 121 (2014), 114-121. 
[9] 	W. Miao, X. Du in Y. Liang, Molecular recognition of 1-(2-Octadecyloxycarbonylethyl) cytosine monolayers to guanosine at the air-water interface investigated by infrared re.ection-absorption spectroscopy, J. Phys. Chem. B 107 (2003), 13636–13642. 
[10] 	J. J. Giner-Casares in G. Brezesinski, Current microscopy contributions to advances in science and technology, Vol. 2, ur. A. M´endez-Vilas, Formatex Research Center, Badajoz, Spain, 2012. 
[11] 	C. Lhevender, S. H´enon, R. Mercier, G. Tissot, P. Fournet in J. Meunier, A new Brewster angle microscope, Rev. Sci. Instrum. 69 (1998), 1446–1450. 
[12] 	http://accurion.com/thin-film-characterization-imaging-ellipsometry/ nanofilm_ultrabam, ogled 25. 5. 2015. 
PREGLED SODOBNE PROGRAMSKE OPREME IN 
SPLETNIH APLIKACIJ ZA MATEMATIKE – 1. DEL 

´C2,3
NINO BAˇC1, JURIJ KOVIˇ
SI 
1Fakulteta za matematiko in .ziko, Univerza v Ljubljani 
2Inˇstitut za matematiko, .ziko in mehaniko 
3FAMNIT, Univerza na Primorskem 

Math. Subj. Class. (2010): 00-02, 00A09, 68N01, 97P40 
Matematikova izobrazba v informacijski dobi zahteva poleg obvladanja osnovnih ma­tematiˇcnih disciplin (algebre, analize itd.) tudi poznavanje in spretno uporabo najrazliˇc­nejˇsih raˇcunalniˇskih programov in spletnih aplikacij. V ˇclanku je podan pregled sodobnega matematiˇcnega programja. ˇclanku navedene povezave na prosto dostopne pro-
Stevilne v ˇgrame omogoˇcijo bralcu, da jih nemudoma preizkusi. 
A REVIEW OF CONTEMPORARY SOFTWARE AND WEB APPLICATIONS AVAILABLE TO MATHEMATICIANS – PART 1 
The mathematician’s education in the information age demands not only the mastery of basic mathematical disciplines (e. g. algebra, analysis, etc.), but also familiarity with and skillful application of various software and web applications. In this article we present a review of contemporary mathematical software. Numerous links to free tools enable the reader to immediately try them out. 
Uvod 
»Ljudje si danes ne ˇzelijo veˇc samo kupiti raˇcunalnika, ampak ˇzelijo 
tudi vedeti, kaj lahko z njim naredijo. Mi jim bomo pokazali prav 
to.« — Steve Jobs, soustanovitelj podjetja Apple. 
ˇ
Ceprav ˇzivimo v informacijski dobi, se njenega neizmernega potenciala za hi­trejˇse uˇcenje, prodornejˇse raziskovanje in uspeˇsnejˇse sodelovanje morda niti 
ˇ
ne zavedamo dovolj. Ce parafraziramo znani mit o slabi izkoriˇsˇcenosti ˇclo­vekovih moˇzganov [1], dejansko uporabljamo le majhen odstotek moˇznosti, ki nam jih ponuja tehnologija. Osnovnoˇsolci osebni raˇcunalnik uporabljajo predvsem za igranje iger. Dijaki in ˇstudentje se zanimajo predvsem za so­cialna omreˇzja. Starejˇsi pa se dostikrat zadovoljijo z uporabo dveh, treh programov, in potem menijo, da znajo dovolj ali da so ˇze prestari za uˇcenje novih stvari. Veˇcina diplomantov matematike se sicer zaposli na delovnih mestih, kjer razvijajo programsko opremo, a celo raˇcunalniˇcarji sami ne po­znajo vseh razpoloˇzljivih orodij. Ta se dandanes bliskovito razvijajo, mi pa temu razvoju komaj sledimo. 
c, Nino Baši´
Osnovno matematikovo orodje je seveda osebni raˇcunalnik z dostopom do interneta. To osnovno orodje matematiki uporabljajo razliˇcno intenzivno: nekateri zgolj za urejanje besedil, branje elektronske poˇste in brskanje po spletu, drugi pa si z njim znajo pomagati na vse mogoˇce naˇcine (progra­miranje, ˇstudij na daljavo, pisanje bloga, sodelovanje v forumih, izdelava videopredstavitev itd.). Spet tretjim niti osebni raˇcunalnik ne zadoˇsˇca: za svoje izraˇcune uporabljajo superraˇcunalnike ali gruˇce raˇcunalnikov. Takˇsne zahtevnejˇse uporabnike utegne zanimati omreˇzje SLING [2], ki uporabnikom omogoˇca dostop do infrastrukture za paralelno raˇcunanje. V tem prispevku se bomo omejili na programe, ki teˇcejo na enem raˇcunalniku. 
Programska orodja lahko v grobem razdelimo na sploˇsna, ki so name­njena tako rekoˇc vsakomur (npr. Skype, Dropbox, slovarji itd.), in posebna orodja za posamezne stroke (npr. AutoCAD za arhitekte, ChemDraw za ke­mike itd.). V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj najuporabnejˇsih sploˇsnih orodij, posebej pa se bomo osredotoˇcili na orodja, namenjena matematikom. Veˇc pozornosti bomo namenili prostim1 programom. 
Programe lahko razdelimo tudi na tiste, ki teˇcejo lokalno, tj. na naˇsem lastnem raˇcunalniku, in na tiste, ki teˇcejo v oblaku, tj. na oddaljenih stre­ˇznikih. Nad programi, ki teˇcejo lokalno, imamo popoln nadzor. Lahko jih posodabljamo in nameˇsˇcamo razˇsiritve, ali pa tudi ne, kakor ˇzelimo. Nad programi v oblakih obiˇcajno nimamo nobene kontrole, vse je prepuˇsˇceno podjetju ali posamezniku, ki te storitve vzdrˇzuje. Mnogi ljudje se (dostikrat upraviˇceno) poˇcutijo nelagodno ob misli, da so njihovi podatki shranjeni na nekih oddaljenih streˇznikih, za katere sploh ne vedo, kje pravzaprav .ziˇcno so. 
Bralcu priporoˇcamo, da ˇclanek bere za raˇcunalnikom in sproti obiskuje predlagane spletne strani. Za laˇzje brskanje smo na spletnih straneh Ob­zornika objavili seznam povezav iz priˇcujoˇcega ˇclanka: www.obzornik.si/ 62/3/basic-kovic-povezave.html. Nadalje predlagamo, da prosto pro­gramje, ki danes po kakovosti ne zaostaja za plaˇcljivimi programskimi reˇsi­tvami, naloˇzi na svoj raˇcunalnik in ga preizkusi. Vsak raˇcunalniˇcar dobro ve, da je interaktivna lastna izkuˇsnja vredna tisoˇckrat veˇc kot duhamorno prebiranje dokumentacije. Pri pisanju prispevka smo imeli v mislih tako ˇstudente kot tudi pedagoge in raziskovalce; mislimo, da bo vsakdo naˇsel kaj zase. 
1 ˇ
Ce vas zanima toˇcna de.nicija prostega programa, si lahko ogledate kakˇsen intervju z Richardom M. Stallmanom, na primer: www.youtube.com/watch?v=KR0rrXMJreM (Ri­chard Stallman on free software), ali pa si pogledate de.nicije na strani www.gnu.org/ philosophy/categories.sl.html. 
Spletni brskalnik in iskalnik 

Najprej razˇcistimo pomen pojmov brskalnik in iskalnik. Spletni brskalnik je program, katerega osnovna funkcija je prikaz HTML dokumentov. Da­nes sta najbolj razˇsirjena brskalnika Mozilla Firefox (www.mozilla.org/ firefox) in Google Chrome (www.google.com/chrome). Oba delujeta na vseh treh najpopularnejˇsih operacijskih sistemih, to so: Linux, Windows in OS X. (V nadaljevanju bomo z »vsemi tremi operacijskimi sistemi« vselej mislili omenjene tri.) Po funkcionalnosti sta si brskalnika zelo podobna: oba omogoˇcata zaznamke (shranjevanje povezav do priljubljenih spletnih strani), beleˇzita zgodovino brskanja, omogoˇcata »incognito« naˇcin (brska­nje brez beleˇzenja zgodovine), imata napredna orodja za razvijalce (angl. developer tools) in omogoˇcata namestitev certi.katov (ki jih potrebujemo za dostop do spletne banke). V oba lahko namestimo vtiˇcnike (angl. plug-ins), ki omogoˇcajo poganjanje programov v Javi [10] in Flashu [11] znotraj brskalnika, ter razliˇcne razˇsiritve (angl. extensions), ki na primer blokirajo oglasna sporoˇcila, nam omogoˇcajo shranjevanje .lmˇckov s portala YouTube (www.youtube.com) na raˇcunalnik in podobno. Za najboljˇso uporabniˇsko izkuˇsnjo si namestite najnovejˇso razliˇcico katerega od njiju. 
Iskalnik je spletna storitev, ki omogoˇca iskanje spletnih strani z ˇzeleno vsebino. Na tem podroˇcju dominira iskalnik Google (www.google.com). Google omogoˇca ˇstevilne napredne moˇznosti iskanja, ki se jih veˇcina upo­rabnikov niti ne zaveda. Z operatorji iskanja lahko zelo natanˇcno doloˇcimo, kaj ˇzelimo najti. Vnesimo v Google naslednje: 
latex site:fmf.uni-lj.si filetype:pdf 

S tem povemo, da iˇsˇcemo dokumente v formatu PDF, ki vsebujejo besedo »latex«, na spletnem mestu fmf.uni-lj.si. Veliko o naprednih moˇznostih iskanja se lahko nauˇcite iz videolekcij na www.powersearchingwithgoogle. com. Slovenskim uporabnikom spleta je znan tudi iskalnik Najdi.si (www. najdi.si), ki pa ni tako mogoˇcen kot Google. V »vzhodnem bloku« je bolj popularen iskalnik Yandex (www.yandex.com), ki posnema Googla. De­lovanje iskalnikov temelji na ˇstevilnih algoritmih iz umetne inteligence oz. podatkovnega rudarjenja [3]. 
Omenimo ˇse storitev TinEye Reverse Image Search (www.tineye.com). Ta je namenjena iskanju spletnih strani, ki vsebujejo sliko, ki jo podamo is­ˇ
kalniku (npr. naloˇzimo z naˇsega raˇcunalnika). Ce denimo sumite, da si je nekdo neko sliko »sposodil« s spleta, ga boste tako zlahka razkrili. (ˇ
Ce iskal­nik slike ne najde, to ne pomeni nujno, da je ni nikjer na spletu.) Slikovno iskanje seveda omogoˇca tudi Google. 
c, Nino Baši´
Spletni imenik je zbirka povezav na druge spletne strani, ki so razvr­ˇsˇcene v tematske sklope. Od iskalnikov se bistveno razlikujejo v tem, da ljudje podatke v imenik vnaˇsajo roˇcno. Po drugi strani pa iskalniki svojo bazo podatkov vzdrˇzujejo samodejno s pomoˇcjo pajkov, tj. programov, ki sami od sebe brskajo po spletu in zbirajo podatke. Kako velika prednost je avtomatiˇcno rudarjenje podatkov, je jasno razvidno iz dejstva, da je nekoˇc popularni imenik Mat’Kurja (matkurja.si) ˇze davno utonil v pozabo. Na svetovni ravni je bolj znan imenik DMOZ (www.dmoz.org). 
Na tem mestu si omembo zasluˇzi ˇse Wikipedija (en.wikipedia.org oz. sl.wikipedia.org). To je prosta spletna enciklopedija, ki jo sponzorira ne­pro.tna organizacija Wikimedia Foundation. Enciklopedijo so s skupnimi moˇcmi ustvarili prostovoljci ˇsirom po svetu; ureja jo lahko vsak, pri ˇcemer se je treba drˇzati doloˇcenih pravil (npr. preverljivost in nepristranskost in­formacij). Vsebino lahko piˇsete v veˇc kot 200 jezikih. Trenutno vsebuje veˇc kot 4,7 milijona ˇclankov v angleˇsˇcini in veˇc kot 140 000 ˇclankov v slo­
ˇ
venˇsˇcini. Ceprav govori o matematiki in logiki po nekaterih ocenah le 1 % ˇclankov, je ˇze to ogromna koliˇcina. Gotovo ste ˇze mnogokrat sami iskali na spletu programje, ki je uporabno za vas. Skoraj vsak program, ki ste ga sneli na internetu, ima tudi svoj ˇclanek na Wikipediji; opis programa tu je objektivnejˇsi kot na uradni domaˇci strani, kjer ga pogosto prehvalijo. Na Wikipediji (predvsem angleˇski) najdemo aˇzurne informacije o avtorju, za­dnji razliˇcici programa, na katerih operacijskih sistemih deluje, pod katero licenco se distribuira in naslov uradne spletne strani. Skoraj vsak program, ki ga bomo omenili v nadaljevanju, ima tudi svoj ˇclanek na Wikipediji; povezav ne bomo navajali, saj jih lahko poiˇsˇcete sami. 
ˇ
Ce se vam kak ˇclanek na angleˇski Wikipediji, na primer en.wikipedia. org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes, zdi predolg oz. prezahteven, lahko en v naslovu spremenite v simple. Kar sami poskusite, kaj se zgodi. 
Wikimedia Foundation poleg enciklopedije sponzorira ˇse druge sorodne projekte, ki jih lahko ureja vsak: 
• 
Wikislovar (prost slovar), 

• 
Wikiknjige (uˇcbeniki in priroˇcniki), 

• 
Wikivir (leposlovje, listine, arhivsko gradivo), 

• 
Wikiverza (izobraˇzevalno gradivo), 

• 
Wikivrste (Darwin bi bil ponosen), . . . 


Za konec omenimo ˇse storitev Wayback Machine (archive.org/web), za katero skrbi nepro.tna organizacija Internet Archive. Gre za nekakˇsen arhiv svetovnega spleta, kjer si lahko ogledate posnetke spletnih strani skozi ˇcas. Najstarejˇsi posnetek domaˇce strani Fakultete za matematiko in .ziko je z dne 18. aprila 1997. 
Google Translate (translate.google.com) je storitev, ki omogoˇca prevajanje besedil med veˇc kot 90 jeziki. Med njimi je seveda tudi sloven­ˇsˇcina. Za nekatere jezike vam lahko Google Translate besedilo tudi prebere 
ˇ
(predvaja). Ce v polje za vnos besedila vnesete spletni naslov, se v polju ˇ
za prevod pojavi povezava na vneseni naslov. Ce jo odprete, opazite, da Google Translate prevede celotno spletno stran. Tako lahko Google Tran­slate uporabljate kot namestniˇski streˇznik (angl. proxy server) in si s tem omogoˇcite dostop do spletnih strani, ki so na vaˇsem omreˇzju sicer blokirane. 
Veˇcnamenska raˇcunska orodja 
Nekatera programska orodja so veˇcnamenska in zdruˇzujejo ˇsiroko paleto funkcionalnosti. Omogoˇcajo numeriˇcno in simbolno raˇcunanje, linearno pro­gramiranje, delo s kombinatoriˇcnimi objekti (gra., konˇcne grupe ipd.) in ˇse marsikaj. O naˇcinih njihove uporabe obstajajo debele knjige in priroˇcniki. Najbolj znano komercialno orodje te vrste je Mathematica. Za standardno razliˇcico je treba odˇsteti neverjetnih 3.505 e (brez DDV). Za nas bo bolj zanimiva spletna storitev Wolfram Alpha, ki zdruˇzuje raˇcunsko moˇc Ma­thematice in obseˇzno zbirko faktografskih podatkov. Osnovna razliˇcica je dostopna na naslovu www.wolframalpha.com. V okence preprosto vnesete izraz v sintaksi Mathematice ali pa kar vpraˇsanje v preprosti angleˇcini. ˇ
sˇCe bi radi na primer izvedeli vse o trikotniku s stranico dolˇzine 4 in prileˇznima kotoma 45. in 50., vnesite v okence: 
triangle 45. , 4, 50. 
Za primerjavo ˇzivljenja in dela Bernoullija, Gaussa in Eulerja pa vnesite: 

Bernoulli vs. Gauss vs. Euler 

ˇ
Stevilne zglede najdete na www.wolframalpha.com/examples. 
Oglejmo si ˇse en zanimiv primer uporabe. Denimo, da ste numeriˇcno priˇsli do reˇsitve neke enaˇcbe (znanih je samo prvih nekaj decimalnih mest) in sumite, da je to vrednost nekakˇsnega izraza, ki vsebuje znane matematiˇcne konstante in funkcije. Kot primer vzemimo ˇstevilo 9,8696044. To ˇstevilo lahko vnesemo v Wolframovo Alpho (pri ˇcemer moramo biti pozorni na decimalno piko): 
9.8696044 

c, Nino Baši´
Wolfram Alpha predlaga kar nekaj izrazov, katerih decimalni zapis se ujema s tem, kar smo podali: 
.2 , 6.(2), 3e . +2. + 4 log(.) - 39 log(2.) + tg-1(.), ... 
Na spletu najdemo storitev Inverse Symbolic Calculator (isc.carma. newcastle.edu.au), ki je specializirana prav za tovrstne poizvedbe. Pre­dlagamo, da jo preizkusite sami. 
Sage 
Prosta alternativa Mathematici je programski paket Sage (sagemath.org), ki temelji na programskem jeziku Python 2 in ponuja enoten vmesnik do specializiranih matematiˇcnih programov, kot so Maxima, GAP in R (nekatere bomo predstavili v naslednjem ˇclanku). Tako uporabniku zadostuje pozna­vanje jezika Python 2 in se mu ni treba poglabljati v speci.ko posameznih orodij. Poleg tega so snovalci Sagea tudi sami implementirali mnogo funk­cionalnosti, ki jih posamiˇcna orodja ne premorejo. Ker je Sage zelo obseˇzen programski paket, priporoˇcamo, da ga najprej preizkusite na spletu s stori­tvijo SageMathCloud (cloud.sagemath.com). Za zaˇcetek si oglejte kakˇsno od videopredstavitev na www.sagemath.org/help-video.html. Nato se le pogumno lotite vodnika www.sagemath.org/doc/tutorial/tour.html. 
Dobra stran Sagea je tudi ta, da lahko k razvoju prispeva kdorkoli – tudi vi! Vedno veˇc raziskovalcev se odloˇca, da svoje algoritme implementirajo v Sageu in jih tako naredijo javno dostopne. Sprva so na voljo v obliki dodatnih paketov za Sage (www.sagemath.org/download-packages.html), kasneje pa si lahko utrejo pot v standardno distribucijo. Sage lahko brez teˇzav namestite na Linux ali OS X, v sistemu Windows pa za zdaj ˇse ne deluje oz. lahko deluje le znotraj Linux virtualke. 
Programska oprema za virtualizacijo (na primer Oracle VM Virtual-Box, www.virtualbox.org) nam omogoˇca kreiranje navideznih raˇcunalni­kov, na katere lahko namestimo razliˇcne operacijske sisteme. Z uporabo virtualk si pogosto pomagajo programerji, ki ˇzelijo preizkusiti svoje pro­grame na razliˇcnih operacijskih sistemih. Uporabne so tudi za uˇcne na­
ˇ
mene. Ce operacijski sistem virtualke pokvarimo, jo enostavno pobriˇsemo in naredimo novo. 
Stavljenje besedil, preglednice in predstavitve 
Gotovo ste vsi sliˇsali za plaˇcljiv pisarniˇski paket Microsoft Office. Prosta 
alternativa temu je pisarniˇski paket LibreOffice (sl.libreoffice.org). 

Osrednji trije programi so Writer, Calc in Impress. Writer je urejeval­nik besedil, ki nadomesti Word. Calc je namenjen izdelavi preglednic s ˇstevilskimi podatki in nadomesti Excel. Impress pa se uporablja za iz­delavo predstavitev in nadomesti PowerPoint. Poleg teh treh programov paket vkljuˇcuje ˇse program za risanje Draw, program za delo s podatkov­nimi bazami Base in urejevalnik enaˇcb Math. LibreO.ce deluje na vseh treh operacijskih sistemih, je poslovenjen in omogoˇca izvoz dokumentov v format PDF. 
Omembo si zasluˇzi tudi storitev Google Drive (drive.google.com), ki omogoˇca hrambo dokumentov v oblaku in njihovo deljenje s sodelavci. Za uporabo storitve potrebujete Googlov raˇcun (accounts.google.com). Sto­ritev Google Drive vkljuˇcuje tudi pisarniˇske programe Google Docs (bese­dila), Google Sheets (preglednice) in Google Slides (predstavitve). Sto­ritev Google Forms vam omogoˇca, da na spletu ustvarite vpraˇsalnike, od­govori anketirancev pa se shranjujejo v preglednico, ki jo lahko pregledujete z Google Sheets. Vsi programi teˇcejo v brskalniku, kar pomeni, da lahko svoje dokumente urejate na kateremkoli raˇcunalniku, ki ima dostop do in­terneta in spodoben brskalnik. 
OLATEXu je bilo samo v slovenˇsˇcini ˇze mnogo povedanega in napisa­ˇ
nega [4, 5, 6, 7], tako da mu ne bomo namenili veliko prostora. Ce ˇzelimo uporabljati LATEX, moramo na raˇcunalnik namestiti TEX distribucijo (to je skupek programov, paketov in pisav, ki jih potrebujemo za stavljenje be­sedil). Najpopularnejˇsi distribuciji sta MiKTeX (miktex.org), ki je narejen samo za Windows, in TeX Live (www.tug.org/texlive), ki teˇce na vseh treh operacijskih sistemih. Obe distribuciji vkljuˇcujeta preprost urejeval­nik TeXworks, ki ga sestavljata dve okni: eno je namenjeno urejanju kode, drugo pa je pregledovalnik PDF dokumentov. TeXworks uporablja tehno­logijo SyncTEX [8], ki omogoˇca, da ob kliku na PDF dokument urejevalnik pokaˇze pripadajoˇce mesto v kodi (in obratno). V LATEXu obstajajo razredi dokumentov, ki nam omogoˇcajo izdelavo predstavitev; najbolj znan je bea­
ˇ
mer. Stevilni paketi so namenjeni izdelavi slik; izpostavili bomo paket tikz (glejte naslednji razdelek). Od izida razliˇcice LATEX 2. dne 23. decembra ˇ
1993 pa do danes se pri LATEXu ni zgodilo niˇc prelomnega. Ce vas zanima aktualno dogajanje okrog LATEXa, lahko preberete serijo ˇclankov Georga Gr¨atzerja z naslovom What is new in LATEX? [12], ki so bili objavljeni v Notices of the American Mathematical Society (in so dostopni tudi na spletu). 
Uporabniki TEXa se zdruˇzujejo v druˇstvih; osrednje druˇstvo je TeX Users Group (tug.org), s kratico TUG. Poleg tega obstajajo ˇse ˇstevilna lokalna druˇstva, na primer nemˇski DANTE (www.dante.de), nizozemski NTG (www.ntg.nl), poljski GUST (www.gust.org.pl) itd. Druˇstva izdajajo gla­
c, Nino Baši´
sila in publikacije, organizirajo strokovna sreˇcanja, skrbijo za dopisne se­zname ipd. Slovenski dopisni seznam uporabnikov (La)TEXa najdemo na spletnih straneh druˇstva Lugos: liste2.lugos.si/cgi-bin/mailman/ listinfo/tex-list. 
Sladokusci bodo ˇzeleli preizkusiti ConTeXt (wiki.contextgarden.net), ˇ
LATEXovega mlajˇsega bratranca. Ce v LATEXu nismo zadovoljni s privzetim videzom dokumenta in bi ga radi prikrojili po svoje, lahko vse skupaj hitro postane zapleteno. ConTEXt ponuja uporabniku veliko boljˇsi nadzor nad oblikovanjem, ne da bi se mu bilo treba nauˇciti nizkonivojskega TEXa. 
MetaPost je programski jezik za izdelavo slik na podlagi matematiˇcnega opisa objektov. Lahko bi tudi rekli, da slike programiramo. Interpreter, ki zna opise pretvoriti v format PostScript, se imenuje mpost (poˇzenemo ga v ukazni vrstici) in je del vsake spodobne TEX distribucije. Bralcu, ki bi se ˇzelel poglobiti v MetaPost, priporoˇcamo ˇclanek Learning MetaPost by Doing [9]. Razvijalci ConTEXta so izdelali MetaFun, ki je nadgradnja jezika MetaPost. Obseˇzen in lepo izdelan priroˇcnik je na voljo na www. pragma-ade.com/general/manuals/metafun-p.pdf. 
Tudi LATEX dandanes teˇce v oblaku; ShareLaTeX (www.sharelatex.com) je spletna storitev, ki na las spominja na urejevalnik TeXworks, poleg tega pa nam omogoˇca hrambo dokumentov v oblaku. Brezplaˇcni raˇcun omo­goˇca deljenje dokumenta z enim sodelavcem, plaˇcljiv raˇcun pa deljenje z veˇc sodelavci in celotno zgodovino sprememb. Storitev omogoˇca tudi sin­hronizacijo z Dropboxom (ki ga bomo predstavili v naslednjem ˇclanku). To pomeni, da lahko z omenjeno spletno storitvijo urejate dokumente, ki jih imate shranjene v Dropboxu. 
ˇ
Predstavitve so lahko tudi roˇcno delo. Ce ste lastnik gra.ˇcne tablice ali tabliˇcnega raˇcunalnika, jih lahko izdelate lastnoroˇcno z uporabo pro­grama Xournal (xournal.sourceforge.net). Tako izdelane prosojnice imajo osebno noto in lahko popestrijo duhamoren simpozij. 
Obvezna oprema vsakega raˇcunalnika je tudi pregledovalnik PDF do­kumentov. Za sistema Windows in OS X je najprimernejˇsi Adobe Reader (get.adobe.com/reader). To je edini pregledovalnik, ki v celoti podpira vso funkcionalnost PDF dokumentov (obrazci, digitalno podpisovanje, . . . ). Pri podjetju Adobe so se odloˇcili, da razliˇcice za Linux ne bodo veˇc raz­vijali. Uporabniki Linuxa imajo med drugim na voljo programa Okular (okular.kde.org) in Evince (wiki.gnome.org/Apps/Evince), ki pa sta manj zmogljiva kot Adobe Reader. Za digitalno podpisovanje lahko v sis­temu Linux uporabljate aplikacijo JSignPdf (jsignpdf.sourceforge.net). 
Vedno bolj popularen, ˇse posebej za elektronske knjige, je tudi format DjVu. Veˇc informacij o tem formatu in povezave do pregledovalnikov dobite na djvu.org. 
Na koncu pisarniˇskega sklopa omenimo ˇse programˇcek PDF Split and Merge (www.pdfsam.org). Ta nam omogoˇca preprosto manipulacijo s PDF dokumenti, in sicer razrez dokumenta (npr. na posamezne strani) ter zdru­ˇzevanje veˇc dokumentov v enega (zaporedno, »na zadrgo« ipd.). 
Risanje 
ˇ
Ce piˇsete v LATEXu, lahko slike izdelate znotraj samega dokumenta z upo­rabo paketa tikz. PGF in TikZ2 sta pravzaprav programska jezika za izdelavo slik. Slike ne nariˇsemo s klikanjem in vleˇcenjem miˇske, paˇc pa z ustreznimi ukazi podamo matematiˇcni opis objektov na sliki. PGF je niz­konivojski jezik, TikZ pa je visokonivojski jezik, zgrajen nad PGF-jem. (V podobni relaciji sta LATEX in TEX.) Zaˇcetnik bo shajal samo z jezikom TikZ. Za pokuˇsnjo si poglejmo Petersenov graf na sliki 1, ki smo ga narisali z naslednjimi ukazi: 
\ begin { tikzpicture } 
\ tikzstyle { every node }=[ draw , thin , circle , 

fill=blue!50, inner sep=3pt] \tikzstyle{every path}=[draw, line width=1pt] \foreach \i in {0, 1, ..., 4} { 
\node (a _\i) at (90 + 72*\i:1) {}; 
\node (b _\i) at (90 + 72*\i:2) {}; 
\path (a _\i) --(b _\i); 

} 
\foreach \i in {0, 1, ..., 4} { \pgfmathtruncatemacro{\j}{mod(\i + 1, 5)}; \pgfmathtruncatemacro{\k}{mod(\i + 2, 5)}; \path (a _\i) --(a _\k); \path (b _\i) --(b _\j); 
} 
\ end { tikzpicture } 

Na www.ctan.org/pkg/pgf lahko najdete Minimal introduction to TikZ. Ta kratki spis je nadvse primeren za prvo spoznavanje s paketkom TikZ. Na isti spletni strani najdete tudi PGF Manual. To je zelo obseˇzen, vendar odliˇcno napisan priroˇcnik; poglabljanje v TikZ zaˇcnite s poglavjem Tutori­als and Guidelines. Mnogo primerov slik, ki so izdelane s TikZ-jem, najdete na www.texample.net/tikz/examples. 
2PGF je akronim za »Portable Graphics Format«, TikZ pa je rekurzivni akronim za »TikZ ist kein Zeichenprogramm«. 
c, Nino Baši´

Slika 1. Petersenov graf, narisan v TikZ. 
TikZ ima ˇstevilne knjiˇznice, ki vam olajˇsajo risanje miselnih vzorcev, dreves, konˇcnih avtomatov, elektriˇcnih vezij, koledarjev in ˇse in ˇse. Lahko naredite lepe barvne prelive, riˇsete v ˇzelvji gra.ki in podobno. 
GIMP (www.gimp.org) je prost program za urejanje bitnih (rastrskih) slik3 , ki deluje na vseh treh operacijskih sistemih. GIMP je akronim, ki pomeni GNU Image Manipulation Program. Bolj primeren je za ureja­nje obstojeˇcih slik oz. fotogra.j, saj ponuja ˇstevilna orodja za retuˇsiranje slik. Primerljiv je s komercialnim programom Adobe Photoshop. GIMP ima odliˇcen priroˇcnik, ki ga najdete na uradni spletni strani. Za prvo spoznavanje priporoˇcamo kakˇsnega od vodnikov za zaˇcetnike na povezavi www.gimp.org/tutorials (npr. kako popravimo efekt rdeˇcih oˇci). Kot za­nimivost naj povemo, da je kot stranski produkt razvoja GIMP-a nastala prosta knjiˇznica za gra.ˇcne uporabniˇske vmesnike GTK+. 
Inkscape (inkscape.org) je prost program za izdelavo vektorskih slik (te slike ostanejo gladke pri poljubni poveˇcavi), ki deluje na vseh treh opera­cijskih sistemih. Primerljiv je s komercialnim programom Adobe Illustra­tor. S programom Inkscape lahko naredimo geometrijske objekte razliˇcnih oblik. Eden od osnovnih objektov je pot (angl. path). To lahko nariˇsemo prostoroˇcno, lahko jo podamo kot zlepek B´ezierjevih krivulj, lahko pa na­redimo tudi klotoido (Eulerjeva krivulja). Na geometrijskih objektih lahko izvajamo a.ne transformacije bodisi z vleˇcenjem miˇske bodisi z numeriˇcnim 
ˇ
podajanjem parametrov transformacije. Ce imamo gra.ˇcno tablico, lahko piˇsemo kaligrafsko. Na strani inkscape.org/en/learn so zbrane povezave na vodnike, videolekcije in (prosto dostopne) knjige. 
Program gnuplot (www.gnuplot.info) je namenjen risanju grafov funk­cij. Je prost in deluje na vseh treh operacijskih sistemih. Z njim lahko pripravite slike visoke kvalitete, kakrˇsne so objavljene v znanstvenih pu­
3Bitna slika je pravzaprav matrika, katere elementi predstavljajo barve ustreznih pi­kslov. 
blikacijah. Moˇzno je tudi risanje v 3D in izvoz slik v ˇstevilne formate. Deluje v ukazni vrstici in je zelo zmogljiv; ima kar 250 strani dolg priroˇc­
ˇ
nik, ki ga najdete na uradni spletni strani. Ce se ga ˇzelite nauˇciti upora­bljati, boste potrebovali nekaj ˇcasa; za zaˇcetek priporoˇcamo videolekcije, ki jih je pripravil Glen MacLachlan: prvi od petih delov je na naslovu www.youtube.com/watch?v=9k-l_ol9jok. 
Programerje oz. ljubitelje ukazne vrstice bo navduˇsil programski paket ImageMagick (www.imagemagick.org). To je v osnovi programska knjiˇznica za obdelavo slik, ki jo lahko programerji uporabljajo iz ˇstevilnih programskih jezikov. Lahko pa do njenih funkcij dostopate tudi iz ukazne vrstice: www. imagemagick.org/script/command-line-tools.php. Najbolj uporaben med temi programi je convert, ki lahko sliko poveˇca, zrcali, obreˇze, zamegli itd. Primer uporabe: 
convert -resize 200% slika.jpg slika2.jpg 

ˇ
Ce zgornji ukaz poˇzenemo v ukazni vrstici, bo program odprl datoteko slika.jpg (ˇce le-ta seveda obstaja), sliko poveˇcal za 200 % in jo shranil v datoteko slika2.jpg. 
Dia (wiki.gnome.org/Apps/Dia) je prost program, ki je specializiran za risanje diagramov (diagram poteka, diagram elektriˇcnega tokokroga, UML diagram, shema raˇcunalniˇskega omreˇzja itd.). Deluje na vseh treh operacij­skih sistemih. Za zaˇcetek priporoˇcamo poglavje DIA: Charts and Diagrams (www.togaware.com/linux/survivor/DIA_Charts.html) iz prosto dosto­pne knjige [13]. 
Omembo si zasluˇzi ˇse program Ipe (ipe.otfried.org), ki je namenjen risanju vektorskih slik in deluje na vseh treh operacijskih sistemih. Omogoˇca vstavljanje besedila in enaˇcb v TEXu ter izvoz slik v formata PDF in EPS. Odlikuje se po orodjih za pripenjanje objektov na druge objekte ali mreˇzo, kar nam omogoˇca izdelavo lepo poravnanih slik. Tako je nadvse primeren za izdelavo tehniˇcnih skic, ki jih nameravamo vkljuˇciti v TEX dokument. Vse, kar mora uporabnik vedeti, je opisano v uˇcbeniku ipe.otfried.org/ manual/manual.html. 
Dinamiˇcna geometrija 
GeoGebra (www.geogebra.org) je prost program za dinamiˇcno geometrijo v ravnini, ki deluje na vseh treh operacijskih sistemih (in tudi na pame­tnih telefonih). GeoGebro je ustvaril matematik Markus Hohenwarter, ki je trenutno profesor na Univerzi Johannesa Keplerja v Linzu. Projekt je 
c, Nino Baši´
zaˇcel ˇze leta 2001, ko je delal ˇse na Univerzi v Salzburgu. Kasneje se mu je prostovoljno pridruˇzilo veˇc programerjev in prevajalcev, ki GeoGebro ves ˇcas nadgrajujejo. GeoGebra je v prvi vrsti namenjena srednjeˇsolcem in njihovim uˇciteljem. Program pozna toˇcke, vektorje, daljice, premice, mno­gokotnike, stoˇznice ipd. Riˇsemo lahko s klikanjem miˇske ali pa podamo opise objektov z enaˇcbami; odtod tudi ime, saj je »GeoGebra« skovana iz besed »geometrija« in »algebra«. Z GeoGebro lahko nazorno ilustriramo razliˇcne geometrijske izreke, npr. da v vsakem trikotniku preseˇciˇsˇca simetral kotov, stranic in teˇziˇsˇcnic leˇzijo na isti premici4 . 
Svoje prve korake lahko zaˇcnete z branjem vodnikov, ki jih najdete na wiki.geogebra.org/en/Tutorials (med njimi je tudi knjiga Introduc­tion to GeoGebra), ali pa z ogledom posnetkov na njihovem YouTube ka­nalu (www.youtube.com/user/GeoGebraChannel). Priroˇcnik za GeoGebro (wiki.geogebra.org/en/Manual) vsebuje sistematiˇcen pregled vse funkci­onalnosti, ki jo program ponuja. Vsak uporabnik lahko svoje izdelke objavi na GeoGebraTube (www.geogebratube.org), kjer je zbranih ˇze veˇc tisoˇc konstrukcij. 
Cinderella (cinderella.de) je program za dinamiˇcno evklidsko, sferno in hiperboliˇcno geometrijo, ki deluje na vseh treh operacijskih sistemih. Odlikuje se po tem, da ima vgrajen .zikalni pogon (tj. program, ki omo­goˇca simuliranje .zikalnih sistemov) in svoj lastni skriptni jezik Cindy-Script. Program je sicer lastniˇski, a je od leta 2013 dalje brezplaˇcen. Naj­veˇc ga uporabljajo univerze po Nemˇciji. Lahko zaˇcnete z dokumentacijo (doc.cinderella.de, glejte razdelek Quick start) ali pa si pogledate pre­davanje Ulricha Kortenkampa na povezavi vimeo.com/3826066. Pri zaloˇzbi Springer so leta 2012 izdali knjigo The Cinderella.2 Manual. 
Vredno je omeniti ˇse program OK Geometry (z-maga.si/index?action= article&id=40), pionirski projekt dr. Zlatana Magajne. Program nam po­maga opaziti vrsto relacij v geometrijskih konstrukcijah. Po svojem kon­ceptu je edinstven v svetovnem merilu. Za zdaj se uporablja predvsem v pedagogiki. 
Programiranje za najmlajˇse 
Omeniti moramo ˇse vedno bolj priljubljena okolja za vizualno programiranje, ki otrokom olajˇsajo zaˇcetke programiranja in jih navajajo na algoritmiˇcno razmiˇsljanje. Igri.kacija (angl. gami.cation) pomeni, da uˇcno gradivo pri­pravimo v obliki privlaˇcne igre, s katero uˇcenci z lahkoto osvajajo znanje. Pedagoˇsko pomembnost igri.kacije so prepoznali ˇze na mnogih univerzah po 
4To je tako imenovana Eulerjeva premica. 
svetu in pri nas. Pomembno je, da otroke navduˇsimo za programiranje, ne pa da jih od njega odvrnemo. Ponovno ˇzelimo poudariti, kako pomembna 
ˇ
je interaktivna izkuˇsnja in eksperimentiranje. Ze odrasli ljudje ne marajo prebirati duhamornih priroˇcnikov, otroci pa ˇse manj. Bolj znana razvojna okolja za otroke so Alice, Kodu, Scratch in Greenfoot. Vsakega bomo na kratko predstavili. 
Alice (www.alice.org) je objektno osnovan uˇcni programski jezik. Do­bimo ga skupaj z integriranim razvojnim okoljem (angl. integrated deve­lopment environment, s kratico IDE), ki naredi programiranje zelo udobno. Razvija ga skupina, ki jo je vodil pokojni Randy Pausch, najprej na Uni­verzi v Virginiji, nato pa na CMU. Omogoˇca izdelovanje zgodb oz. animacij v 3D svetu ter kot tak ni namenjen matematiˇcnemu raˇcunanju. Naˇs svet, ki je pravzaprav ravnina, poselimo z objekti, ki so lahko ˇzivali, predmeti in osebe. Te objekte lahko sprogramiramo, tako da se premikajo, govorijo, spreminjajo obliko itd. Osnovne ukaze oz. stavke (zanke, pogojne stavke) kar povleˇcemo z miˇsko v okno, kjer sestavljamo naˇso programsko kodo. Liki v animacijah lahko govorijo bodisi z besedilom v oblaˇckih (kot v stripih) ali pa s predvajanjem avdiodatotek. Isto sceno lahko prikaˇzemo iz razliˇcnih zornih kotov (spremenimo postavitev kamere). Alice je narejen izkljuˇcno kot uˇcni jezik in zato nima vse kompleksnosti »industrijskih« jezikov. Omo­goˇca enostavno deljenje vaˇsih izdelkov na spletu. Alice 2 je bolj primeren za osnovnoˇsolce, Alice 3 pa za srednjeˇsolce. Slednji se lahko uporabi tudi kot uvod v programski jezik Java. 
Scratch (scratch.mit.edu) razvijajo na MIT ˇze od leta 2006. Deluje na vseh treh operacijskih sistemih, teˇce pa tudi v brskalniku. Vmesnik je narejen po vzoru lego kock. Stavki so predstavljeni s pravokotnimi bloki (le-ti spominjajo na lego kocke), ki jih na ustrezen naˇcin zlagamo skupaj. Omogoˇca programiranje preprostih iger in animacij. Interakcija s kamero, ki zaznava premikanje, vse skupaj ˇse bolj popestri. Svoje izdelke lahko ob­javite in jih delite z drugimi uporabniki. Tisti s programerskim znanjem boste opazili, da Scratch uporablja paradigmo dogodkovno vodenega pro­gramiranja. 
Po Scratchu se zgleduje Blockly Games (blockly-games.appspot.com), ki so ga izdelali pri Googlu. Z reˇsevanjem ugank, labirintov in podobnih na­log postopoma spoznavamo nove programske konstrukte. Podoben portal je tudi Code.org (code.org), ki je skupno delo inˇzenirjev iz razliˇcnih podjetij in je tudi zelo lepo izdelan. 
Kodu Game Lab (www.kodugamelab.com) je izdelalo podjetje Microsoft. Deluje na sistemu Windows in igralni konzoli Xbox. Kodu se zgleduje po okolju Alice ter omogoˇca izdelavo zgodb in iger. Vse se dogaja v 3D okolju, kjer ima vsak objekt individualno interakcijo s preostalim svetom. Podobno 
c, Nino Baši´
kot pri Alice in Scratchu tudi tukaj vse naredimo z miˇsko. Vsakemu objektu posebej doloˇcamo lastnosti (npr. da plava na vodi) in naˇcin interakcije z dru­gimi objekti (lahko se jedo, streljajo ipd.). Vodniki za Kodu so ˇze vgrajeni v samo okolje, njihova zahtevnost pa se postopno stopnjuje. Na internetu lahko dobimo svetove, ki so jih izdelali drugi uporabniki, in jih prikrojimo po svoje. 
Greenfoot (www.greenfoot.org) je primeren za izdelavo preprostih ra­ˇcunalniˇskih iger v 2D svetu. Pri Greenfootu se teˇzko izognemo pisanju programske kode v Javi. Zato ga priporoˇcamo dijakom kot uvod v objektno programiranje. Odliˇcen uvod v Greenfoot je serija videolekcij Joy of Code (www.greenfoot.org/doc/joy-of-code). 
Uˇcenje in ˇstudij na spletu 
V ˇclanku smo ˇze omenili YouTube, kjer lahko vsakdo objavi videoposnetke. V poplavi neumnih posnetkov se tu in tam najde tudi kaj kvalitetnega. Ljudje z bolj izbranim okusom imajo rajˇsi portal Vimeo (vimeo.com), ki je drugi po velikosti, takoj za YouTubeom. Naˇsega bralca rajˇsi usmerimo na VideoLectures.net (videolectures.net), kjer so zbrani posnetki iz­kljuˇcno znanstvenih predavanj. Obiˇcajno imamo na strani dve okni: v enem spremljamo predavanje, v drugem pa prosojnice. Portal, ki vsebuje ˇze veˇc kot 19 000 posnetkov veˇc kot 12 000 razliˇcnih predavateljev, so zasnovali raziskovalci z Instituta Joˇzef Stefan, zaˇcetek tega projekta pa sega v leto 2001. 
V zadnjih letih je na spletu nastalo lepo ˇstevilo portalov, ki ponujajo izobraˇzevalne vsebine v obliki teˇcajev. V angleˇsˇcini se je zanje uveljavila kratica MOOC, ki pomeni Massive Open Online Course [14]. Znaˇcilnost teh teˇcajev je, da vse poteka po spletu; teˇcajnik mora imeti le dostop do interneta. Stevilo udeleˇˇzencev obiˇcajno ni navzgor omejeno. Veˇcino teˇcajev so pripravili na uglednih univerzah (MIT, Harvard, Stanford, . . . ) in so za udeleˇzence brezplaˇcni. 
Eden od bolj zanimivih takˇsnih portalov, ki je namenjen predvsem osnov­noˇsolcem in srednjeˇsolcem, je Khan Academy (www.khanacademy.org). Ame­riˇcan Salman Khan (po izobrazbi matematik, raˇcunalniˇcar in MBA) je bil zaposlen kot analitik druˇzbe tveganega kapitala. Leta 2004 je zaˇcel svojo sestriˇcno inˇstruirati matematiko. Ker sta bivala daleˇc narazen (Salman v Bostonu, sestriˇcna pa v New Orleansu), sta uporabljala program za komuni­kacijo, ki je omogoˇcal skupno risalno povrˇsino. Ker so tudi drugi bratranci pri njem iskali uˇcno pomoˇc, se je Salman odloˇcil, da svoje videolekcije (angl. screencasts) objavi na portalu YouTube. Izkazalo se je, da je bratrancem to bolj vˇseˇc, ker lahko posnetek zaustavijo, premislijo in nato z gledanjem nadaljujejo. Poleg tega si lahko posnetek ogledajo veˇckrat. Khan je kmalu zaˇcel dobivati zelo pozitivne komentarje neznancev z vsega sveta, ki so prav tako spremljali njegove razlage na YouTube. Leta 2006 je ustanovil nepro­.tno organizacijo Khan Academy, leta 2009 pa pustil svojo staro sluˇzbo in se popolnoma posvetil pouˇcevanju. Danes organizacija zaposljuje skupino veˇsˇcih programerjev, ki skrbijo za interaktivne vsebine. Lekcije se preple­tajo s kvizi, ki so namenjeni preverjanju in utrjevanju znanja. Stran je pri­vlaˇcna za otroke, saj uporabniki z reˇsevanjem nalog zbirajo toˇcke in posebne znaˇcke. Trenutno pokriva naslednja podroˇcja: matematiko (osnovnoˇsolski, srednjeˇsolski in tudi visokoˇsolski nivo), biologijo, .ziko, kemijo, ekonomijo, zgodovino, umetnost in raˇcunalniˇstvo. 
Omenimo portal mathtutor. (www.mathtutor.ac.uk), ki ponuja vi­deoposnetke z inˇstrukcijami matematike. Na portalu lahko najdemo tudi izroˇcke in interaktivne vaje. Pripravila ga je skupina matematikov z britan­skih univerz. Tudi v Sloveniji lahko najdemo podobne entuziaste. Andrej 
P. ˇstevilne razlage matematiˇsol-
Skraba je posnel ˇcnih (predvsem srednjeˇskih) vsebin. Posnetki so zbrani na portalu Astra.si (astra.si). Izo­braˇzevalne vsebine ponujata ˇse portala E-um (www.e-um.si) in Nauk.si (www.nauk.si). Slednji je namenjen predvsem uˇciteljem. 
Bolj znani portali, ki ponujajo visokoˇsolske teˇcaje, so: 
• 
Coursera (www.coursera.org), 

• 
edX (www.edx.org) in 

• 
Udacity (www.udacity.com). 


Poleg gledanja videolekcij (ki vkljuˇcujejo tudi vpraˇsanja v obliki kvizov) se od udeleˇzencev priˇcakuje tudi sprotno reˇsevanje domaˇcih nalog. Teˇcaji imajo tudi forume, kjer lahko udeleˇzenci in uˇcitelji razpravljajo o obravna­vanih temah. 
Najstniki, ki ˇzelijo zdruˇziti prijetno s koristnim, se bodo uˇcili izdelave spletnih strani na portalu CodeBabes (codebabes.com), kjer lekcije poda­jajo brhke mladenke. 
Na spletni strani mathschallenge.net najdemo skoraj 400 matematiˇc­nih nalog z reˇsitvami, ki so razvrˇsˇcene v 4 teˇzavnostne skupine. Primer naloge: 
Dokaˇzi, da je e . 2,7182818284 iracionalno ˇstevilo. 

Bralcu, ki ima rajˇsi takˇsne naloge, ki vkljuˇcujejo pisanje raˇcunalniˇskega programa, bo gotovo vˇseˇc portal Project Euler (projecteuler.net), na katerem je zdaj ˇze veˇc kot 500 nalog. Pri vsaki nalogi (te so lahko zelo 
97–112 111 
c, Nino Baši´
kompleksne) je treba na koncu poiskati doloˇceno ˇstevilo. To ˇstevilo lahko vnesemo prek obrazca in dobimo povratno informacijo o pravilnosti. 
Dijaki in uˇcitelji boste morda ˇzeleli pobrskati po portalu Geometry from the Land of the Incas (gogeometry.com), kjer najdemo naloge iz geome­trije in njihove reˇsitve (na primer www.gogeometry.com/LangleyProblem. html), dinamiˇcne predstavitve izrekov, miselne vzorce ipd. Na ˇzalost stran vsebuje oglasna sporoˇcila in ima zastarel videz, a jo ˇse vedno posodabljajo in je morda vredna ogleda. 
Srednjeˇsolec se bo razveselil portala Mathway (mathway.com), ki omo­goˇca, da prek enostavnega uporabniˇskega vmesnika vnesemo neko matema­tiˇcno nalogo, spletna storitev pa nam bo izdelala reˇsitev po korakih. Portal naj se uporablja kot izhod v sili, ne pa kot sredstvo za reˇsevanje domaˇcih nalog iz matematike. 
S tem ˇclankom ˇse zdaleˇc nismo pokrili vsega zanimivega programja. V naslednjem ˇclanku bomo predstavili ˇse marsikaj uporabnega. Seveda upamo, da ste ˇze v obstojeˇcem prispevku naˇsli kaj zase. 
LITERATURA 
[1] 	R. Boyd, Do People Only Use 10 Percent of Their Brains?, http://www. scientificamerican.com/article/do-people-only-use-10-percent-of-their­brains/, ogled 7. 10. 2014. 
[2] 	Slovenska iniciativa za nacionalni grid, http://www.sling.si/, ogled 7. 10. 2014. 
[3] 	M. Kramar Fijavˇz, Kako iˇsˇce Google? Obzornik mat. .z. 61 (2014), 121–131. 
[4] 	M. Razpet, Sedi in piˇsi z LATEX-om! Ljubljana, DMFA Slovenije, 1991. 
[5] 	V. Batagelj, B. Golli, TEX : povabilo v TEX, LATEX, BIBTEX, PICTEX. Lju­bljana, DMFA Slovenije, 1990. 
[6] 	T. Oetiker, Ne najkrajˇsi uvod v LATEX 2., 2006, dostopno na http://www-lp.fmf. uni-lj.si/plestenjak/vaje/latex/lshort.pdf. 
[7] 	A. Taranenko, Mala ˇsola LATEXa (prvi del), Presek 32 (2005), 27–30. 
[8] 	The o.cial SyncTEX page, http://itexmac.sourceforge.net/SyncTeX.html, ogled 
24. 3. 2015. 
[9] 	A. Heck, Learning MetaPost by Doing, MAPS 32 (2005), 56–116, dostopno na http://maps.aanhet.net/maps/pdf/32_14.pdf in http://maps.aanhet.net/maps/ pdf/32_15.pdf. 
[10] 	Wikipedia, Java applet — Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia. org/wiki/Java_applet, ogled 7. 10. 2014. 
[11] 	Wikipedia, Adobe Flash Player — Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en. wikipedia.org/wiki/Adobe_Flash_Player, ogled 7. 10. 2014. 
[12] 	G. Gr¨ATEX? 
atzer, What is new in LI. Breaking free, Notices Amer. Math. Soc. 56 (2009), 627–629. 
[13] 	G. Williams, GNU/Linux Desktop Survival Guide, 2014, dostopno na http://www. togaware.com/linux/survivor/index.html. 
[14] 	Wikipedia, Massive open online course — Wikipedia, The Free Encyclopedia, http: //en.wikipedia.org/wiki/Massive_open_online_course, ogled 7. 10. 2014. 

NOVE KNJIGE 


Keith Devlin, The man of numbers: Fibonacci’s arithmetic revo­lution. Bloomsbury Publishing, 2011, 192 strani. 
Keith Devlin je bralcem ˇze kar dolgo ˇcasa znan po knjigi Math­ematics: the new golden age, ki smo jo dobili leta 1993 tudi v slovenˇsˇcini z naslovom Zlata doba matematike. V predstav­ljeni knjigi pa je podrobno opi­sal ˇzivljenje in delo Leonarda iz Pize, ki nam je bolj domaˇc kot Fibonacci, ter vpliv njego­vih del na razvoj evropske ma­tematike. Kdo le ne pozna zna­menitega Fibonaccijevega zapo­redja (Fnn=0, to se pravi 0, 1,
). 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Zaporedje se priˇcne z 0 in 1, nato pa je vsak nadaljnji ˇclen vsota prej­ˇsnjih dveh: 
F0 =0, 
F1 =1, 
Fn+2 = Fn+1 + Fn,n =0, 1, 2, 3,... 
Fibonaccija je, kot pojasnjuje in utemeljuje Devlin, pravzaprav pravilneje poimenovati Leonardo iz Pize. Mesto Piza, italijansko Pisa, leˇzi ob izlivu reke Arno v Ligursko morje. Po vsem svetu je postalo znano po poˇsevnem stolpu, ki so ga priˇceli graditi ravno v ˇcasu Leonardovega otroˇstva. Precej podatkov o njegovem ˇzivljenju in delu ni popolnoma zanesljivih. Niti ni znano, kdaj toˇcno je ˇzivel, kje se je rodil in kje umrl. Navadno v matematiˇcni literaturi navajajo, da je Fibonacci italijanski matematik, rojen okoli leta 1170 v Pizi, umrl pa okoli leta 1250 tudi v Pizi. Njegovo najpomembnejˇse delo je Liber abbaci iz leta 1202. Leta 1228 je to knjigo, dopolnjeno in popravljeno, ˇse enkrat objavil, ˇce temu lahko tako reˇcemo, kajti napisana je, tako kot prva, na roko, in sicer v latinˇsˇcini. V resnici naslov Liber abbaci v nekaj izvodih, ki so se ohranili, ni nikjer razviden, sam Leonardo pa je besedo abbaci zapisal le nekajkrat. Naslov so knjigi dodelili drugi na podlagi nekaj prvih zaˇcetnih besed. V Leonardovi dobi ˇse ni bilo tiska in zato so knjige seveda prepisovali. 
Beseda liber pomeni knjiga, beseda abbaci pa je rodilnik besede abba­cus. Misleˇc, da je Leonardo naredil napako, ko je zapisal abbaci, in da bi moral napisati abaci, kar je pravilen rodilnik besede abacus, so mnogi svo­jevoljno zaˇceli pisati Liber abaci, kar bi pomenilo Knjiga abaka. Latinska beseda abacus izvira iz grˇske .ß.., pravzaprav iz njenega rodilnika .ß..... Grki so to besedo najverjetneje prevzeli od Feniˇcanov. Jezikoslovci si niso popolnoma enotni, kaj je prvotno pomenila, dejstvo pa je, da je abak postal sinonim za preprosto raˇcunalo s kamenˇcki, ˇcepki, ploˇsˇcicami ali kroglicami in da ga pod razliˇcnimi imeni in v razliˇcnih izvedbah poznajo mnogi narodi. 
Vsebina najbolj znane Leonardove knjige Liber abbaci, ki ji Devlin posveti najveˇc pozornosti in je ne more prehvaliti, pa je daleˇc od tega, da bi se iz nje uˇcili raˇcunati na abak. Razumeti je treba, da v Leonardovem ˇcasu ˇse ni bil izoblikovan italijanski knjiˇzni jezik, latinˇsˇcina pa je bila tudi ˇze pomeˇsana z mnogimi nelatinskimi izrazi, tako da se ne smemo prav niˇc ˇcu­diti, ˇce je kdo kakˇsno besedo zapisal malo po svoje. Po Devlinu pa vse kaˇze, da so celo razlikovali med besedama abacus in abbacus. Popolnoma moˇzno je, da je slednja pomenila veˇsˇcino raˇcunanja na sploˇsno, prva pa preprosto napravo, ki je pomagala raˇcunati. Zato je knjiga Liber abbaci po zasnovi in vsebini Knjiga raˇcunstva, za tiste ˇcase pravi uˇcbenik raˇcunstva, predvsem za praktiˇcne potrebe v trgovini in banˇstvu. ˇ
cniˇSe dolgo po Leonardovi smrti so se drugi avtorji zgledovali po njej in ga bolj ali manj navajali. 
V ˇcasu Leonardovega ˇzivljenja so cvetela italijanska obmorska mesta, zlasti Benetke, Genova, Piza in Amal.. Razpredla so moˇcno trgovinsko mreˇzo po celotnem Sredozemlju in se tudi med seboj spopadala za pre­vlado. Bil je to tudi ˇcas kriˇzarskih vojn (1095–1291), pa tudi investiturni boj med papeˇzi in Svetim rimskim cesarstvom ˇse ni bil konˇcan. Leonardov oˇce Guglielmo je bil mestni pisar in trgovec, ki je postal pizanski trgovin­
 
ski zastopnik v mestu Bugia (v italijanˇsˇcini), Bougie (v francoˇsˇcini),.  .    , Bidˇzaja (v arabˇsˇcini) ob Sredozemskem morju v danaˇsnji Alˇziriji. Na po­tovanja v Bizanc, Sirijo, Egipt in Provanso je jemal tudi Leonarda, ki je spotoma spoznal arabsko matematiko, ki je bila takrat na precej viˇsji ravni kot evropska. Mnogi Evropejci so hodili ˇstudirat matematiko, astronomijo, .lozo.jo in medicino v Cordobo in Toledo v takrat arabski ˇOkoli 
Spaniji. leta 1190 je Guglielmo vzel sina Leonarda s sabo v Bugio, da bi se tam od arabskih uˇciteljev dobro nauˇcunati z indijsko–arabskimi ˇZe
cil raˇstevilkami. ˇLeonardov oˇce je spoznal veliko prednost le-teh pred rimskimi, ko je videl, kako hitro in spretno raˇcunajo arabski trgovci. Ko se je Leonardo vrnil do­mov v Pizo, je brez teˇzav napisal Liber abbaci in s tem veliko pripomogel k razvoju italijanske in evropske matematike. Napisal je ˇse druge knjige, ki jih pogosto omenjajo: Practica geometriae (1220/21), Flos (1225), Liber quadratorum (1225). Iz vseh se vidi, da je dobro obvladal tudi Evklidova in Diofantova dela. 
V ˇcem je pravzaprav odlika knjige Liber abbaci?ˇ
Ze na prvi strani uvede indijsko–arabske ˇstevke vkljuˇcno z niˇclo, nato pokaˇze njihovo praktiˇcnost za raˇcunanje, pokaˇze veliko primerov, na primer raˇcunanje obresti in preraˇcu­navanje med valutami, reˇsuje enaˇcbe, dela z ulomki, z zaporedji, popolnimi ˇstevili, koreni, pribliˇzki in s ˇse marsiˇcim drugim. Liber abbaci vsebuje tudi znameniti problem kuncev, kar danes obravnavamo pri Fibonaccijevem za­poredju. Zapis ˇstevil z indijsko–arabskimi ˇstevkami so razvili v Indiji, po zaslugi Arabcev pa se je hitro ˇsiril proti zahodu. S tem smo dobili zelo pripraven desetiˇski mestni zapis ˇstevil z desetimi znaki, ˇstevkami. Dolgo ˇcasa so bili ˇze Indijci v dilemi, kaj je z niˇclo. Nekaj ˇcasa je sploh niso pisali, ampak so v mestnem zapisu puˇsˇcali prazen prostor, kar je omogoˇcalo nespo­razume in zlorabe. Potem so le uvedli zanjo poseben znak okrogle oblike, ki so ga imenovali ˇsunja, v sanskrtu ´s—unya, v pisavi devanagari, s katero piˇsemo sanskrt, pa Y  . Znak za niˇclo so prevzeli Arabci in jo imenovali as-sifr,v 
 
arabski pisavi   \. Sˇcasoma je arabska beseda za niˇc postala izraz za vse ˇstevke pri Nemcih, ki so zaˇceli v tem smislu uporabljati besedo Zi.er in od njih je k nam priˇsla beseda cifra. Iz iste arabske besede so nastale ˇse ˇsifra, ˇsifrirati, deˇsifrirati, pa francoska beseda chi.re in angleˇska cipher. Niˇcla je bila dolgo nekaj posebnega. Trajalo je kar nekaj ˇcasa, da so jo priznali za ˇstevilo. 
Ime Fibonacci naj bi po neki razlagi nastalo iz besedne zveze Filius Bonaccii, kar pomeni sin Bonaccia. Nekateri se nagibajo k mnenju, da je Bonaccio bilo le druˇzinsko ime, priimkov v danaˇsnjem smislu pa takrat ˇse ni bilo. Sebe Fibonacci res na zaˇcetku knjige Liber abbaci imenuje Fi­lius Bonaccii, pa tudi Leonardo Bigollo, kar pomeni v toskanskem nareˇcju Leonardo Popotnik (Potepuh, Klateˇz, Vagabund). Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja (1803–1869) je verjetno najbolj kriv, da dandanes najveˇc uporabljamo ime Fibonacci in celo kombinacijo Leonardo Fibonacci namesto Leonardo iz Pize. Prav Carucci naj bi leta 1838 prvi uporabljal tako ime. Matematiˇcni zgodovinar Baldassarre Boncompagni Ludovisi (1821–1894) je leta 1852 priskrbel prvo moderno izdajo Liber abbaci. Pripomnimo, da je prva tiskana matematiˇcna knjiga izˇsla leta 1478 v Trevisu nedaleˇc od Benetk. Napisana je v beneˇskem nareˇcju, avtor pa je neznan. Naslov te knjige tudi ni toˇcno doloˇcen, vˇcasih je to Arte dell’abbaco, vˇcasih pa Aritmetica di Treviso. Namenjena je praktiˇcni uporabi, zlasti v trgovini, ki se je v tistem obdobju zelo razmahnila. Podobno kot Leonardov Liber abbaci, ki ji je pravzaprav za zgled, da velik poudarek na raˇcunanje z indijsko–arabskimi ˇstevilkami. 
Nikomur pa ni uspelo dokazati, da je Leonarda v ˇcasu njegovega ˇzivlje­nja kdorkoli klical Fibonacci. Tudi izraz Fibonaccijevo zaporedje je novej­´ 
ˇsega datuma. Fran¸cois Edouard Anatole Lucas (1842–1891) je tisti, ki je zaporedje (Fn). poimenoval po Fibonacciju. Po Lucasu se imenuje za­
n=0 poredje (Lnn=0, ki je de.nirano podobno kot Fibonaccijevo: 
). 
L0 =2,L1 =1,Ln+2 = Ln+1 + Ln,n =0, 1, 2, 3,... 
Zaˇcne se takole: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,... Med obema zaporedjema obstajajo zanimive analogije in povezave. 
Indijski strokovnjak za metriko v poeziji Pingala, v sanskrtu Pi˙ngala, v pisavi devanagari R4. J., ki se je tudi ukvarjal z matematiko, naj bi v 3. stoletju pred naˇsim ˇstetjem ˇze poznal binomske koe.ciente, Pascalov ˇstevilski trikotnik in ˇstevilsko zaporedje, ki je pravzaprav Fibonaccijevo. 
Fibonacci se je izkazal tudi kot neke vrste tekmovalec leta 1225, ko se je v Pizi mudil cesar Svetega rimskega cesarstva Friedrich II. von Hohenstaufen (1194–1250). Znana je naloga: 
2
Poiˇsˇci take ulomke a, b, c, za katere velja a2 +5 = b2 ,a2 - 5= c. Fibonacci je baje takoj naˇsel reˇsitev: a = 41/12,b = 49/12,c = 31/12. 
Obstaja matematiˇcna revija, poimenovana po Fibonacciju: The Fibona­cci Quarterly, ki izhaja od leta 1963. Njena ustanovitelja sta bila Verner Emil Hoggatt Mlajˇsi (1921–1980) in Alfred Brousseau (1907–1988). 
Marko Razpet 

VESTI 

BISTROUMI 2015 – CANJE MLADIH MATEMATIKOV, 
SREˇ
FIZIKOV IN ASTRONOMOV 

Druˇstvo matematikov, .zikov in astronomov Slovenije ˇze tradicionalno or­ganizira tekmovanja iz matematike, .zike, astronomije, razvedrilne mate­matike in poslovne matematike. Letoˇsnja novost je bilo tekmovanje Kre­sniˇcka, kjer so se osnovnoˇsolci od 1. do 7. razreda preizkusili v znanju naravoslovja. Vseh tekmovanj se je v vseh kategorijah udeleˇzilo veˇc kot 
130.000 uˇcencev in dijakov, skupaj pa je bilo podeljenih 825 zlatih priznanj (www.dmfa.si/Aktualno/Statistika.html). Med prejemniki zlatih pri­znanj je bilo 177 nagrajencev, ki so bili skupaj z druˇzinskimi ˇclani, mentorji in predstavniki ˇsol povabljeni na podelitev nagrad, imenovano Bistroumi, ki je tokrat potekala v Grand hotelu Union, v nedeljo, 24. maja. 
Vse zbrane je pozdravil predsednik DMFA dr. Matej Breˇsar. Z veseljem je nagovoril ˇstevilne mlade, ki ob reˇsevanju matematiˇcnih problemov odkri­vajo svoje zadovoljstvo. Leto 2015 je mednarodno leto svetlobe in ob tej 

Dr. Janez Strnad je s ˇstevilnimi strokovnimi in poljudnimi ˇclanki, uˇcbeniki ter drugimi knjigami ogromno prispeval k razumevanju naravoslovja in ˇsirjenju znanstvene kulture pri nas. Na FNT (danes FMF) na Univerzi v Ljubljani je pouˇceval uvodna poglavja iz .zike in na Inˇstitutu Joˇzef Stefan opravljal raziskovalna dela. Je ˇcastni ˇclan DMFA Slovenije in zasluˇzni profesor Univerze v Ljubljani. Foto: Jan ˇ
Suntajs Dr. Uroˇs Seljak je kozmolog, zaposlen v Centru za kozmoloˇsko .ziko v Berkeleyju v Ka­liforniji. Danes se ukvarja z vpraˇsanji o vesolju, s svojo bistroumnostjo pa je izstopal ˇze v dijaˇskih letih. Leta 1984 je na matematiˇcni olimpijadi zastopal Jugoslavijo. Mladim sporoˇca, kako pomembno je imeti nekaj, s ˇcimer se ukvarjaˇs in kar pozitivno pripomore k razvoju mladega ˇcloveka. Foto: Jan ˇ

Suntajs 
priloˇznosti smo lahko sliˇsali dr. Janeza Strnada, ˇcastnega ˇclana DMFA, ki je na kratko orisal razvoj .zikalnega razumevanja svetlobe. Prisluhnili smo tudi prispevku pogovora z dr. Uroˇsem Seljakom, slovenskim astro.zikom, ki zdaj ˇzivi in dela v Ameriki. 
Nagrade so tekmovalcem podelili ˇclani tekmovalnih komisij ter uprav­nega odbora DMFA. Posebej velja omeniti podeljevalca nagrad osnovnoˇsol­skim nagrajencem v matematiki. Nagrade je namreˇc podelil kar sam baron Jurij Bartolomej Vega. Svoj glas mu je posodil voditelj prireditve Nik ˇ
Skr­lec, absolvent na AGRFT in aktualni rekorder v pomnjenju decimalk ˇstevila pi, ki je za vzorec na odru mimogrede zrecitiral prvih 140 decimalk. Poleg njegovih domislic sta prireditev popestrila ˇse matematik in komik dr. Uroˇs Kuzman z zabavnim vloˇzkom ter pianist Urban Staniˇc z dvema izjemnima glasbenima toˇckama. Program prireditve je pripravil dr. Boˇstjan Kuzman, pri izvedbi pa je sodelovala ˇ
Studentska sekcija DMFA. 
Poleg tekmovalcev so bili letos nagrajeni tudi udeleˇzenci z najboljˇsimi prispevki za AstroVid(eo), nagradni nateˇcaj za videoposnetke s pouˇcno astronomsko vsebino. Kot pa je ˇze v navadi, se je prireditev konˇcala z razglasitvijo olimpijskih ekip ter ˇzeljo po prijetnih poˇcitnicah, polnih nepo­zabnih doˇzivetij. 
Bistroumi 2015 – sreˇ
canje mladih matematikov, .zikov in astronomov 

Matematiˇcno Vegovo tekmovanje ima med vsemi tekmovanji najdaljˇso tradicijo. V zadnjih letih pa poleg »obiˇcajnih« nagrad podeljujejo tudi nagrado Diamantni kenguru. Letos so jo prejeli trije devetoˇsolci, ki so v vseh letih ˇsolanja zbrali najveˇcji seˇstevek toˇck na tekmovanju Kenguru. Foto: Jan ˇ
Suntajs 
Olimpijske ekipe DMFA 2015 
56. mednarodna matematiˇcna olimpijada (Chiang Mai, Tajska, julij 2015). 
• 	
Amadej Kristjan Kocbek, II. gimnazija Maribor 
ˇ


• 
Luka Lodrant, SC Ravne na Koroˇskem, gimnazija 

• 
David Popovic´, Gimnazija Beˇzigrad, gimnazija 

• 	
Jakob Jurij Snoj, Gimnazija Novo mesto 
ˇ


• 	
Lenart Treven, Sko.jska klasiˇcna gimnazija, Ljubljana 
ˇ


• 
Domen Vreˇs, SC Ravne na Koroˇskem, gimnazija 


Vodja ekipe: dr. Gregor Dolinar, IMO Advisory Board Pomoˇcnik: Matej Aleksandrov 
ˇ
IMO streˇznik: dr. Matjaˇz Zeljko 

Urban Staniˇc je dijak matematiˇcnega razreda na Gimnaziji Beˇzigrad in uˇcenec klavirja na ˇ
Konservatoriju za glasbo in balet Ljubljana. Ceprav je kot izjemen matematik v zadnjih letih pobiral nagrade na matematiˇcnih tekmovanjih, mu teh ne manjka niti na glasbenem podroˇcju, ki ga je izbral tudi za predmet svojega ˇSuntajs 
studija. Foto: Jan ˇ

ˇ
Clani ekip, ki bodo slovenske barve zastopale na petih mednarodnih olimpijadah iz znanja. Foto: Jan ˇ
Suntajs 
Bistroumi 2015 – sreˇ
canje mladih matematikov, .zikov in astronomov 
46. mednarodna .zikalna olimpijada (Mumbai, Indija, julij 2015). 
• 	
Tomaˇz Cvetko, Gimnazija Beˇzigrad, gimnazija 
ˇ


• 
Jakob Jazbec, SC S. Kosovela Seˇzana, gimnazija in ekonomska ˇsola 

• 
Aleksej Jurca, Gimnazija Beˇzigrad, gimnazija 

• 
Blaˇz Karner, Gimnazija Beˇzigrad, gimnazija 

• 
ˇ


Zan Kokalj, II. gimnazija Maribor 
Vodja ekipe: dr. Jurij Bajc Spremljevalka: dr. Barbara Rovˇsek 
9. mednarodna olimpijada iz astronomije in astro.zike (Java, Indonezija, julij/avgust 2015). 
ˇ
• 
Jakob Jazbec, SC S. Kosovela Seˇzana 

• 
Aleksej Jurca, Gimnazija Beˇzigrad, gimnazija 

• 
Darko Kolar, Gimnazija Murska Sobota 

• 
Jakob Robnik, Gimnazija Beˇzigrad, gimnazija 

• 
Kriˇstof Skok, I. gimnazija v Celju 


Vodja ekipe: Andrej Guˇstin, SERˇ
S Ljubljana 
9. srednjeevropska matematiˇcna olimpijada (Koper, Slovenija, avgust 2015). 
• 
Aleksej Jurca, Gimnazija Beˇzigrad, gimnazija 

• 
David Opalicˇ, I. gimnazija v Celju 

• 
David Popovic´, Gimnazija Beˇzigrad, gimnazija 

• 
Jakob Jurij Snoj, Gimnazija Novo mesto 

• 	
Timen Stepiˇsnik Perdih, I. gimnazija v Celju 
ˇ


• 
Domen Vreˇs, SC Ravne na Koroˇskem, gimnazija 


Vodja ekipe: Vesna Irˇsiˇc 
4. evropska dekliˇska matematiˇcna olimpijada (Minsk, Belorusija, april 2015). 
• 	
Klara Drofenik, I. gimnazija v Celju 
ˇ


• 
Martina Lokar, Sko.jska gimnazija Vipava 

• 
Klara Nosan, I. gimnazija v Celju 

• 
Timeja Straˇsek, I. gimnazija v Celju 


Vodja ekipe: Mihaela Puˇsnik 
Lara Kozarski 
Obzornik mat. .z. 62 (2015) 3 
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO 
LJUBLJANA, MAJ 2015 
Letnik 62, številka 3 

ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 
VSEBINA  
ˇClanki  Strani  
O de.niciji površine (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mikroskopija pri Brewstrovem kotu (Lucija ˇCoga, Irena Drevenšek Olenik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pregled sodobne programske opreme in spletnih aplikacij za matematike – 1. del (Nino Baši´c, Jurij Koviˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  81–87 88–96 97–112  
Nove knjige Keith Devlin, The man of numbers: Fibonacci’s arithmetic revolution (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  113–116  
Vesti Bistroumi 2015 – sreˇcanje mladih matematikov, .zikov in astronomov (Lara Kozarski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  117–XI  

CONTENTS  
Articles  Pages  
On the de.nition of surface area (Barbara Drinovec Drnovšek) . . . . . . . .  81–87  
Brewster angle microscopy (Lucija ˇCoga, Irena Drevenšek Olenik) . . . .  88–96  
A review of contemporary software and web applications available  
to mathematicians – Part 1 (Nino Baši´c, Jurij Koviˇc) . . . . . . . . . . . . . . .  97–112  
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  113–116  
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  117–XI  

Na naslovnici: BAM posnetek tankega .lma gvanozinskega derivata na vodni površini (posnetek je nastal v laboratoriju Centra odliˇ
cnosti Nanocenter).