 P51(2023/2024)2 9 CeloletnepripravenaMednarodno matematiˇ cnoolimpijado L H Že vrsto let Društvo matematikov, fizikov in as- tronomov Slovenije organizira Državno tekmova- nje srednješolcev v znanju matematike za Vegova priznanja, na katerem se dijaki potegujejo za zlata priznanja. Atojezanajboljšetekmovalcelevrhle- denegore–skoziletapotekajotudiizbirniprocesi za mednarodna tekmovanja, na katerih se pome- rijonajboljšimladiumiscelegasveta. Vletošnjem šolskem letu bo potekal izbor za štiri mednarodna tekmovanja za srednješolce. Mednarodna matematiˇ cna olimpijada (MMO) je najstarejša mednarodna olimpijada iz znanja. Njeni zaˇ cetki segajo v leto 1959, ko je Romunija organi- zirala tekmovanje za države tedanjega vzhodnega bloka. Od takrat je bila organizirana vsako leto z iz- jemo 1980. Na letošnji izvedbi je sodelovalo kar 618 tekmovalcev iz 112 držav, kar je najveˇ c na tovrstnih olimpijadah. 65. MMO bo prihodnje leto gostilo me- sto Bath v Veliki Britaniji, potekala pa bo med 11. in 22. julijem. V 6-ˇ clansko ekipo se bodo uvrstili tek- movalci, ki bodo na treh izbirnih testih in državnem tekmovanju zbrali najveˇ c toˇ ck. Na Srednjeevropski matematiˇ cni olimpijadi (SMO) sodeluje 10 srednjeevropskih držav. Na tekmovanje se znova uvrsti 6 tekmovalcev, ki se niso uvrstili na MMOinnisovzadnjemletnikusrednješole. Stemje udeležba na mednarodnih tekmovanjih omogoˇ cena veˇ cjemu številu dijakov, poleg tega pa služi še kot dodatna motivacija in priprava na MMO v prihajajo- ˇ cem šolskem letu. Prihodnjo izvedbo SMO bo konec avgusta gostilo mesto Szeged na jugu Madžarske. SLIKA1. Slovenska ekipa na 64. Mednarodni matematiˇ cni olimpijadi v Chibi na Japonskem DodatnospodbudodekletomnudiEvropskadekli- ška matematiˇ cna olimpijada (EDMO). Olimpijada je namenjena spodbujanju deklet k udeležbi na mate- matiˇ cnih tekmovanjih, kot je MMO, saj tam predsta- vljajo le okoli 10 % tekmovalcev. Nanjo se uvrstijo najboljša štiri dekleta glede na rezultate prvih dveh izbirnih testov. Letošnjo izvedbo smo organizirali v Sloveniji,prihodnjeletopabotekmovalkemed11.in 17. aprilom gostila Gruzija v mestu Tskaltubo. Zadnje mednarodno tekmovanje v znanju mate- matike je Romunski matematiˇ cni master (RMM), ki poteka vsako leto v glavnem mestu Romunije, Buka- rešti. Znano je po zelo zahtevnih nalogah. 15. RMM bo potekal med 26. februarjem in 2. marcem. Za- radi zgodnjega termina tekmovanja bosta za izbor štiriˇ clanskeekipeštela1.izbirnitestindodatnekva- lifikacije za to tekmovanje.  P51(2023/2024)2 10 Kernalogenazgorajnaštetiholimpijadahpogosto zahtevajo znanje, ki presega srednješolski uˇ cni na- ˇ crt,skoziletoorganiziramopripravenatekmovanja. Te veˇ cinoma vodimo študenti, ki smo se v preteklo- stiuvrstilinazgorajnaštetatekmovanjainsmozato zelo dobro seznanjeni s koncepti, ki so potrebni za uspeh. Pripravepotekajo v obliki 4-urnihpredavanj, s ka- terimizaˇ cnemovoktobru,potekajopadokoncašol- skega leta. Skupaj tako organiziramo med 10 in 15 predavanj. Pri nekaterih organiziramo za tekmoval- ce, ki so na pripravah v preteklosti, že sodelovali še višjinivo. Vpreteklemšolskemletusmoobravnavali naslednje teme: preštevanja, naˇ celo vkljuˇ citev in izkljuˇ citev, Diri- chletov princip usmerjeni koti modularna aritmetika indukcija funkcijske enaˇ cbe potenca toˇ cke na krožnico polinomi invariante in dvojno štetje Menelajev, Cevov in pascalov izrek, homotetija neenakosti diofantske enaˇ cbe rekurzija, kombinatorne igre zaporedja Na višjem nivoju so bile teme naslednje: teorija grafov izogonalna konjugiranost in simediane lema o dvigu eksponenta konstrukcije v teoriji števil napredne metode v funkcijskih enaˇ cbah inverzija rodovne funkcije Na spletni strani www.dmfa.si/Tekmovanja/- MaSSA/Priprave.aspx je objavljen seznam leto- šnjihpriprav,kisesprotiposodablja. Tamlahkonaj- dete tudi gradiva, rezultate izbirnih testov in druge informacije o poteku priprav in tekmovanj. Olimpijske ekipe doloˇ cimo z izbirnimi testi. Vsa- ko leto organiziramo tri teste, za to šolsko leto so predvideni datumi 16. 12. 2023, 15. 2. 2024 in 11. 5. 2024. Da so ta v izvedbiˇ cim bolj podobna sa- mim mednarodnim tekmovanjem, trajajo kar 4 ure in pol, priˇ cemer ima prvi test 5 nalog, preostala dva pa po 3. Nekaj preteklih izbirnih testov in natanˇ cna merilaizboralahkonajdetenazgornjispletnistrani. SLIKA2. Tekmovalke med pisanjem Evropske dekliške matematiˇ cne olimpijade v Portorožu Naloge, ki so pojavljajo na izbirnih testih in med- narodnih tekmovanjih, se zelo razlikujejo od šolskih. Pogosto morajo tekmovalci sami odkriti po- stopek, ki vodi do rešitve. Pri tem so jim v pomoˇ c nekateri izreki, kot je naslednji: Dirichletov princip: ˇ Ce n+ 1 predmetov razvr- stimo v n škatel, bosta zagotovo v neki škatli vsaj dva predmeta. Dirichletovprincipjezeloenostavenkoncept. Pre- senetljivopasedaapliciratinazelozanimivenaˇ cine, s katerimi lahko rešimo tudi zahtevne naloge. Naloga: Naj bo n naravno število in X ⊆ {1,2,3,...,2n} množica, za katero velja |X| = n+1. Dokaži,daobstajatatakirazliˇ cništevilix,y ∈ X, da veljax|y aliy |x. Rešitev. Oglejmo si najprej, kaj se zgodi pri majh- nih vrednostih številan. Take primere je zelo lahko analizirati, pogosto pa lahko pri tem najdemo kak vzorec, ki nam pomaga pri reševanju splošnih pri- merov. Pri n = 1 seveda velja X = {1,2}, in ker velja 1| 2, je pogoj res izpolnjen. Pravzaprav lahko opazimo še veˇ c; ˇ ce velja 1 ∈ X, je pogoj zagotovo izpolnjen, saj 1 deli vsako naravno število.  P51(2023/2024)2 11 Pri n = 2 velja X ⊆ {1,2,3,4}. Denimo, da šte- vili x in y iz navodila naloge ne obstajata. ˇ Ce velja 3 ∈ X, dobimo tako pogoj 1 6∈ X, saj 1 | 3. Ker pa 2|4,jelahkovX leenoizmedtehštevil. Pravzaprav smo množico {1,2,3,4} razdelili na množici {1,3} in{2,4}, iz vsake izmed teh pa lahko vzamemo kve- ˇ cjemu eno število. To po Dirichletovem principu ni mogoˇ ce. Dobilismotorejidejozasplošnorešitev. ˇ Cemno- žico {1,2,3,...,2n} razdelimo na n množic, pri ˇ ce- mer se v vsaki množici vsa števila med seboj delijo, lahkopoDirichletovemprincipunajdemotakištevili x iny. Poskusimo poiskati te množice. V prvi mno- žicinajboštevilo1. Ker1delivsakonaravnoštevilo, dodatnih omejitev nimamo, zato lahko dodamo kar število 2. Naslednje število, ki je deljivo tako z 1 kot z 2, je 4. ˇ Ce nadaljujemo na tak naˇ cin, bomo v prvo množico dali natanko potence števila 2. V drugi množici naj bo najmanjše število, ki ga še nismo uporabili – 3. Podobno kot prej ugotovimo, da je naslednje število, ki je deljivo s 3, enako 6, na- slednje 12 in tako dalje. V drugi množici bodo tako natanko števila oblike 3·2 k za nekk∈N 0 . Ta razmislek lahko posplošimo –ˇ ce jea najmanj- še število v množici, so vsa ostala oblike a· 2 k . V vsaki množici se tako res vsa števila delijo paroma. Preostane nam torej še to, da preštejemo, koliko množic smo s tem dobili. Oglejmosispetnajmanjšaštevilavvsakimnožici. ˇ Ce je katero izmed njih sodo, denimo 2a, je vse- bovano tudi v množici, ki vsebuje število a. To ni mogoˇ ce, saj smo pri konstrukciji vedno izbirali naj- manjša števila, ki jih še nismo razdelili v množice. Vsa najmanjša števila množic so torej liha. Ni težko videti, da so ta tudi v razliˇ cnih množicah. Zapišemo lahko torej {1,2,...,2n}={1,2,4,8,...}3,6,12,...2n−1. Množico smo tako razdelili na n delov (toliko je na- mreˇ c lihih števil manjših od 2n). Po Dirichletovem principu množica X vsebuje dva elementa x in y iz istega dela, za katera seveda veljax|y aliy |x. ˇ Ce vas zanima, kako se spopasti s podobnimi na- logami, ali pa morda celo uvrstitev v katero izmed olimpijskih ekip, vabljeni, da se nam pridružite na celoletnih pripravah! ××× Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za- porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zaˇ cetkuvrstice(stolpca)nad(pod)diagonalo. Pritem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razliˇ cne. 4 13 11 11 14 16 8 12 8 15 ˇ  ˇ   4 13 11 3 8 11 14 1 5 8 16 8 3 5 12 8 3 5 15 8 7 ×××