’ BSUl 41499 Šolske knjige, v c. kr. zalogi šolskih knjig na svetlo dane, ne smejo se prodajati draže, kakor je na čelnem listu postavljeno. Ohromili 2 ' jednota, dobimo imenovana števila (benannte Zahlen). Na pr. 5 je neimenovano, 5 kron pa imenovano število; izraz „ krona“ je ime drugega števila. § 4. Števila, katera izražajo določeno množino jednot, zovemo posebna števila (besondere Zahlen) \ pismeno jih izražamo s številkami (Ziffern). Na pr. 5 je posebno število, ker izraža le 5 jednot, ne več ne menj. Števila, katera izražajo sploh le neko množino jednot, so občna števila (allgemeine Zahlen)\ zaznamujemo jih s črkami. Na pr. a kot občno število lahko zaznamuje katerokoli množino jednot 5 lahko pomeni 1, 5, 20 ali tudi vsako drugo število. Le to je treba pomniti, da mora vsaka črka pridržati v vsem računu tisto vrednost, katero smo ji dali v pričetku računa. Za občna števila (črke) postavljati posebne številne vrednosti ter s temi zvrševati zahtevane račune, pravi se zamenjavati (substituieren). Ako se peča aritmetika le s posebnimi števili, imenujemo jo posebno aritmetiko ali računanje s številkami (besondere Arithmetik oder Zifferrechnen) ; ako pa se peča s posebnimi in občnimi števili, imenujemo jo občno aritmetiko ali računanje s črkami (allgemeine Arithmetik oder Buchstabenrechnen). § 5. Dve števili, ki imata isto vrednost, ki jih tedaj lahko zamenjamo med seboj, imenujemo jednaki (gleich). Ako hočemo naznačiti, da sta števili a in 6 jednaki, pišemo a = b; v tem slučaju je vselej tudi b = a. Takšen izraz, kakor a = b, imenujemo jednačbo (Gleichung ); b = a je obrat jednačbe a = b. Dve števili, kateri nimata jednake vrednosti, stanejednaki (ungleich) ; in sicer imenujemo manjše ono, kateremu je treba še kaj dodati, da dobimo drugo; to pa imenujemo večje. Daje število a večje od števila b, izražujemo z a >b\ v tem slučaju je tudi število b manjše od števila a, kar zaznamujemo z bVsoti prištejemo število, ako je prištejemo jed- nemu sumandu. 54 + 30 = (50 + 4) + 30 = (50 + 30) + 4 = 80 + 4 54 + 3 = (50 + 4) + 3 = 50 + (4 + 3) = 50 + 7. V obče: (a -j- b) + c = (a -j- c) -j- b = a + (b -f- c). 2. Obrnivši zadnjo jednačbo dobimo izrek: Številu prištejemo vsoto, ako prištejemo sumande drugega za drugim. jC Torej moremo tudi vsoto prištevati vsoti. Na pr. (60 + 5) + (20 + 4) = (60 + 20) + (5 + 4). Kako je seštevati istoimenske izraze. § 13. Vsoto, v kateri se nahaja jedno in isto občno število večkrat kot sumand, zaznamujemo krajše na ta način, da zapišemo .občno število le jedenkrat, pred to število pa postavimo število kažoče, kolikokrat se nahaja občno število kot sumand; na pr. a-j-a-j-a-j-a-j-a = 5 a. V izrazu 5 a imenujemo a glavno količino (Hauptgrdfie), 5 pa koeficijent (Coefficient.) Koeficijent pove, kolikokrat naj se glavna količina postavi kot sumand. Koeficijent more biti tudi občno število; na pr. ma = ) = +(a+b) — a+(— b) — — (a+6). Prav tisto dobimo tudi, uporabljajoč izreke o diferencah: -5+ (-2) = (0-5) -r (0-2) = (0-5) + (0-2) (§ 20., c.) = (0—5) — 2 = 0 — (5+2) (§ 19., 2). 22 II. pravilo: Dvoje jednako zaznamovanih števil sešte¬ jemo, ako postavimo pred vsoto njunih absolutnih vrednostij skupni predznak. Ako uporabimo to pravilo pri istoimenskih sumandih, moremo vsoto izraziti z jednim samim izrazom. Tako postopanje imenujemo krčenje (Bcducieren). — 2» -f- (— 5») = — (2x -j- 5 x) = — (2 + o)x = — lx. Jednako zaznamovana, istoimenska števila skrči¬ mo, ako postavimo vsoto koeficijentov s skupnim predznakom vred pred glavno količino. Za istoimenske pozitivne sumande velja isto, kar smo učili v § 14. §29. +7 + (-3)= + 4 + 3 + (—3) = + 4= + (7-3). — 7 + (+ 3) = — 4 +(—3) -f- (+ 3) = — 4 — — (7 — 3). Ako seštejemo pozitivno in negativno število, uničujeta se dve jednaki a nasprotni števili (§ 27.), od absolutno večje vrednosti pa še preostaje toliko jednot, kolikor jih ima diferenca absolutnih vrednostij. V obče: + a + (—&) = -{- (a — b) ako je a > b, = — (b — a) ako je b > a. III. pravilo: Dvoje različno zaznamovanih števil sešte¬ jemo, ako postavimo pred diferenco njunih absolutnih vrednostij predznak večjega števila. Istoimenska, različno zaznamovana števila moremo zopet skrčiti: + lx -f- (—3») = + 4cc -j- 3cc + (—3cc) = +4ir = + (7—3)» + 7?/ -}- (—9 y) — + 7y + (—7 y) + (—2 y) = —2 y = • (9 7) x. Kazlično zaznamovana, istoimenska števila skrči¬ mo, ako postavimo diferenco koeficijentov s predznakom (absolutno) večjega števila vred pred glavno količino. Kadar prištevaš negativna števila, pazi še na to-le poj asnilo: Ako ima kdo gotovo zalogo jednot ter njej pridene —5 (v obče —n) jednot, uniči s tem -j-5 (v obče +n) jednot svoje zaloge; torej pomeni 5 prištevati“ ravno isto kakor 5 odštevati". Negativno število prištejemo danemu številu, ako od tega odštejemo njega absolutno vrednost. Samo ob sebi se umeje, da pozitivno število prištejemo, ako prištejemo njega absolutno vrednost. 23 § 30. Pravila v § 28. veljajo tudi za več kakor dva sumanda. Na pr. -4jf+(-8y)+(-3y)=(-12y)+(-3y)=-15y=-(4+8+3)y. Ako je treba sešteti več deloma pozitivnih, deloma negativnih sumandov, tedaj poiščemo (ker smemo sumande zameni ti) najprej vsoto vseh pozitivnih, potem vsoto vseh negativnih sumandov ter končno seštejemo obe delski vsoti (po § 29.) Na pr. 3 a + (— 5 a) -j- (— a) -j- (a) + 18a = 22 a -j- (— 6a) = 16a. Ako ni-o vsi sumandi istoimenski, tedaj je primernejše, da seštejemo istoimenska števila zase. Na pr. 2 6 + (-8) + (46) + (-36) + (—9)+(—6) = 66 + (-46) + (-17) = = 26 + (—17) — 26 — 17. Ko si se nekoliko privadil računanju, moreš vmesne račune zvršiti na pamet. Seštevanje vecclenskih izrazov. § 31. Številne izraze, katere smo dobili po seštevanju ali odštevanju dveh ali več števil, na pr. a + 6, a —6, a-j-c — 6, a — c — 6 (§ 20., 6 in e), m -j- 2« + r + 6s, imenujemo veččlenske izraze ali polinome (mehrgliedrige Au.sdrucke oder PoJgnome). Posebej imenujemo izraz z dvema členoma dvočlenec ali binom (Brnom) , s tremi členi tričlenec ali trinom (Trinom), z jednim samim členom jednočlenec, jednočlenski izraz ali m o n o m (Monom). ha, a 6, 6 (m + n), m - r -~ so jednočlenski izrazi, kajti (m + n) r + s in (r + s), katera moramo po § 10. smatrati kot jedno število, nista spojena po seštevanju in odštevanju, marveč po višji računski operaciji. A izrazi 771 "“l - 71 • 5 + a, a-b, 6 - (m + n), 8 6+ so dvočlenski izrazi • ~T s ali binomi. Vsako vsoto relativnih števil, na pr. a + (— 6), a + (+c) + (—6), a + (—c) + (—6) imenujemo algebrajsko vsoto (algebraische Summe.) 24 Po pojasnilu v § 29. je algebrajska vsota a + (— 6) — a — b. Torej smemo diferenco a — b (binom) smatrati za algebrajsko vsoto iz števil (+ a) in (— b), ne da bi se ji vrednost količkaj izpremenila. Ce to storimo, izpustili smo le znak seštevanja. Po podobnem razmišljevanju najdemo, da je (a — c) — b = a — c — 6 = a + (— c) + (— 6). Ker je seveda tudi -f- a + (+ m) + (+ n) — a + m + n , izvajamo: V vsaki ,algebrajski vsoti prištevne znake lahko kar izpustimo. Ta izrek izražamo dostikrat v obliki pravila za mehanično računanje tako¬ le: Relativna (algebrajska) števila seštejemo, ako ja pripišemo z njih predznaki drugo k drugemu. Vsak veččlenski izraz smatramo torej lahko za algebrajsko vsoto, sestoječo iz toliko sumandov, kolikor je členov; a prezreti ne smemo, da pripadata posamezne člene vezoča znaka (+, —) kot predznaka k tem členom. Izraz: O/VV I -j 2 a — -—--r (2 y — 4) — [2 x — (y + i)] ima torej štiri člene: + 2«, +(22,-4), — [2* — («/ + 1)]. Vsota v oglatem oklepaju sestoji iz dveh členov: + 2x in — (y + 1). Polinom prištejemo torej ravno tako kakor vsoto (§ 12., 2): Polinom prištejemo danemu številu, ako vse člene zaporedoma prištejemo (z njih predznaki pripišemo). Na pr. m + (3a — b x) = m -\- 3a — b x\ m + (— x — 1) = m — x-\-\. Nahajali se v vsoti več istoimenskih števil, moremo ja (po § 28. in § 29.) skrčiti. Radi pišemo istoimenska števila kar drugo pod drugo. Na pr. a — 26 — c + (56 — 8c + 14 d) + (— 3c + 10 d) = a — 26 — c + 56 — 8c + 14cf _ - 3c + 10 d = a + 36 —12c + 24cZ. 25 Odštevanje relativnih števil. § 32. 1. + 7 - (+ 3) = 7 - 3 = 7 + (- 3) + a — (-f- b) = a — b = a (— b). Pozitivno število odštejemo od drugega relativnega števila, ako odštejemo njega absolutno vrednost, ali (kar je po § 29. isto) ako prištejemo isto toliko število z nasprotnim predznakom. 2. Ako ima kdo 8 K tako, da ima dejanski 11 K, od katerih pa je 3 K dolžan, tedaj se mu imetje poveča za 3 K, ako se mu dolg izbriše (odšteje). „Dolgove odjemati (brisati)" ali „gotovino izdajati", to je isto. 8 — (— 3) = 8 + (+ 3) — 11, a — (— čjlr= a 4- (-j- b). Negativno število odštejemo, ako prištejemo isto toliko število z nasprotnim predznakom. O pravosti obeh pravil se prepričaš, ako narediš preskušnjo (po § 17., 1.): 1. Oj -f- (— 6) -f- (-{- b') = (l . 2. = dp . 10 3 + cp • 10 2 + bp . 10 + op. Večštevilčno število pomnožimo z jednoštevil- čnim, ako z multiplikatorjem pomnožimo multiplikandove jednice, desetice, stotice, . . . Ako je katerikoli produktov ap, bp , cp, ... dvošteviičen, ondaj prištejemo desetice kot jednote produktu nastopnega višjega mesta. Da te jednote laže prištevamo nastopnemu višjemu mestu, pričenjamo pismeno množenje pri jednicak. Na pr. 124 jed.— 24 = 24 Govori: štiri in dvajset, dve; 793X8 = i 72 des. = 72.10 = 720 dvai.sedem des., štiri i.sedemdes., sedem; (BOstot.^SO.100=5600 šest in petdeset, tri in šestdeset. r.:m Računajoč na pamet pomnoži z jednoštevilčnim multipli¬ katorjem najprej višje in potem nižje jednote. Na pr. Koliko je 6 krat 78? 6krat 70 je 420, 6krat 8 je 48; 420 in 48 je 468. § 47. Ako je M večštevilčno število in N —p. 10 3 + q. 10 3 + r. 10 +s, ondaj je M. N = Mp . 10 3 + Mg . 10 3 + Mr . 10 + Ms. Dve večštevilčni števili pomnožimo drugo z drugim, ako pomnožimo multiplikand z vsako multiplikatorjevo številko, z jednicami začenši, ter dobljene delske produkte po vrsti še 35 z rastočimi potencami števila 10, pomaknivši v ta namen vsak naslednji produkt za jedno mesto dalje proti levi; delske produkte treba potem še sešteti in to tako, kakor stoje drugi pod dragim. Na pr. 973 X 854 3892 48650 778400 830942 krajše: 973 X 854 3892 4865 7784 830942 ali: 973 X 854 7784.. 4865. 3892 830942 Ako začnemo množiti z najvišjo multiplikatorjevo številko, moramo vsak naslednji produkt pomakniti za jedno mesto proti desni. — Primerjaj zadnji račun s primerom v § 44., 2. Pomni tudi to, da se pri množenju z jednicami mestna vrednost številk ne izpremeni, a da se pri množenju z deseticami, stoticami,. . . poviša za \, 2 , 3 . . mesta! 1 . 4. 7. 10 . 13. 16. 18. 30. 23. 34. 26. 28. 30. 32. . 34. 35. 36. v 37. 38. 39. 4a. 6. m . 3 n. a 2 . a. a 2 y. a 2 y. z 2 .3z. 5s 4 . x i y 3 . 5x 2 z 5 . 3 y 5 z. (x + 2). 3. (a + 46). 5x. (a — b) . x. (2x 2 — 5). 4 + 2x 2 . (m -f- n) . x -f- (m — n). x 7. (a+ 2). ! * 8(3-t/). n 2 . (x 2 — 2 m 2 ) + m 2 n 2 . Naloge. 2. 3 xy . 2. 3. 5a . b . 3. 5. a. 6 bc. 6 . 2x . 3 y. 4 z. 8. x 3 . x 3 . 9. m 3 . m 2 . m. 11. 3w 4 . m 3 . 12. 5a 2 x 3 .3a. 14. 8x 5 .3 b 2 . a. 15. a 3 6 4 c 3 . a 3 b 2 c. 17. lab 2 c 3 d 4 .3a 2 c 2 d 2 . 46 3 c 2 d 3 . 4 19. (a + 5). x. 3 21. (x 2 y 4- x y 2 ) . x y. v 23. (2a 2 - Za) . 4a. 25. (x 3 — 2x 2 ). 3x — 2x 4 . 27. (m + w)x — (m — n) . x. 29. m . (a 2 + x 2 ). 1 31. 5 a (mx 3 — ny 3 ). 33. 2a 2 b 2 (a 2 b — a b 2 ) - a 4 b 3 . Izloči v nalogi 34., 35. in 36. skupni faktor: 5a + 56; ax 2 -f 6x 2 ; (a -f m) x — mx. a.10 3 — 6.10 3 ; 9 ax 2 — Qy 3 ] ax + ay + a. a (2x - 3) - 26 (2x - 3) + a (2x - 3) - (2x - 3) 6. (3x 3 + 2 xy + y 2 ) (2x + ?/) + (» 3 + 4x 2 ?/ + xy 2 ) (1 + 3 y). (3c 2 + 4c + 5)(6c 2 + 2c + l). i - (8x 2 -j- ax -J- a 2 ) (x 2 + 2ax -f- 3a 2 ). 3 36 40. (y* .+ 2 y + 3) (4t/2 + 8 y + 3) — (y + \){y + 3). 41. Pomnoži a) 358, b) 8070 z 10, 100, 1000, 10000. *42. Koliko je 3 krat 21? 2 krat 36? 4 krat 41? 7 krat 69? *43. Koliko je 2krat 180? 4krat 213? 3krat 236? 6krat 149? 44. Pomnoži a) 875, b) 2168, c) 15786, s 5, 6, 7, 8. 45. Izračuni vrednost izrazu: 4a (3x 2 — 5 xy) — 56 (2X- — 0// 2 j za a = 5, 6 = 3, x = 6, y = 4. 46. 286712.7.4.8.3.6. *47. Koliko je 15krat 40? 12krat 27? 21 krat 43? 13krat 34? 48. 639.57. 49. 52029.475. 50. 7664.94. gl. 74509.3049. >j>2. 91234.7100. ,53.65800.978000. ,54. Pomnoži 9283 a) s 386, b) s 7405, c) z 91034. 55. Izračuni A = a 6, B = ac, C = ad, D = bc, E = bd , F= cd, za a = 325694, 6 = 816, c = 903, d = 981. 56. 6789.2345.7890. *5J I . Določi mestno vrednost številke na najvišjem mestu v nalogi 50., 51., 52., 53., 54. in 55., ne da bi tvoril produkt! *58. Določi produkt katerihkoli dveh številk z ozirom na njega mestno vrednost, na pr. 5X5, 7X9, 4X5 v nalogi 49.; 1X1, 7X2, 7X3 v nalogi 52. in drugih! 59. 86325.11 86325 949575 63. 64538.41 258152 2646058 ^65. 905643.31. 67. 583076.371. *69. Izračuni, uporabljajoč izrek v c) 23.32. 70. 83452.45. 72. 265824.64. 74 . 753467°°. 98 _ 1 506934 100-2 73839766 60. 709458. 11. 61. 288797.11. 62. 3705866.110. 64. 357946.128. 715892 2863568 45817088 66 . 447653.17. 68. 290884.185. 40., 2: a) 37.24; b) 17.18; 71. 149335.72. 73. 703796.320. 75 . 69374.399 27749600 400-1 27680226 37 76. 357908.997. 78. 480267.599. 77. 662452.9996. 79. 534426.99990. *80. Koliko velja a) 8 1 po 72 li; h) 18 kg po 47 h? *81. Koliko velja a) 9 m po 1 K 82 h; b) 12 hi po 20 K 38 li; 82. V Avstro-Ogrski se izkoplje vsako leto povprek 37180 kg čistega srebra; koliko goldinarjev, po 90 na 1 kg, moremo iz njega nakovati? 83. Nekdo prehodi vsako minuto povprek pot 83 m ter hoče narediti v vsem 15 km 310 m dolgo pot; koliko še mora prehoditi, ako je hodil že 2 uri? 84. Vsak kraj, ki je za 1 stopinjo bolj proti vzhodu, ima za 4 časovne minute poprej poldne; koliko kaže ura v Parizu, ki je za 14° bolj proti zahodu nego Dunaj, ako kaže ura na Dunaju 10 ur 28 minut dopoludne? 85. Avstro-Ogrska monarhija meri 6220 'm-: koliko ima prebi¬ valcev, ako se računi na 1 gm 2 povprek po 6500 prebivalcev? § 48. Ako je multiplikator pozitivno število, ondaj računimo ravno tako kakor z absolutno vrednostjo. Torej je: (+4).(+3) = (+4).3 = ('+4) + (+4) + (+4) = + 12 .... I. (- 4). (+ 3) = (- 4>. 3 = (— 4) + (— 4) + (— 4) = — 12 .... II. Ako je multiplikator negativno število, ne moremo porabiti pojma o množenju, kakeršnega smo podali § 35. Računimo pa lahko po a . (— 3) = a . (0 — 3) = a . 0 — [a . 3] = 0 — [a. 3] = — a . 3. Za a — + 4 dobimo: (+ 4). (- 3) = 0 - [(+ 4). 3] = 0 - [+ 12] = -12 .. IH. Za a — — 4 pa: (- 4). (- 3) = 0 - [(- 4). 3] = 0 - [- 12] = + 12 .. IV. V obče: I. ... (+ a). (+ b) = + ab. II. ... ( — «).(-(- b) = — ab. III. ... (+a).(-6)= - ab. IV. . . . (— a) . (— b) = + ab. 1. Dva jednako zaznamovana faktorja dasta pozi¬ tiven, dva nej ednako zaznamovana faktorj a dasta nega¬ tiven produkt. Množenje algebrajskih števil. 38 Da je jednačba III. prava, spoznaš tudi iz jednačbe II., ako v njej faktorja zameniš. 2. Za tri ali več faktorj ev izvirata iz prejšnjega izreka pravili: a) Ako so vsi faktorji pozitivni, pozitiven je tudi produkt. b) Ako so vsi ali vsaj nekateri faktorji negativni, tedaj je produkt pozitiven ali negativen, kakor je število negativnih faktorjev sodo ali liho. Na pr. (— 2«) (+ 3 ab) (— 4 ab 2 j (— 8ac) = — 192« 4 6 3 c. (— 4 a) (+ ab 3 ) (— ac 2 ) (+ bc 3 ) = -f- 4« 3 5 4 c 5 . § 49. Ker moremo veččlenske izraze smatrati za algebrajske vsote, veljajo za produkt iz veččlenskih izrazov pravila v §44.; predznak produktu vsakih dveh členov določujemo po § 48., 1. Na pr. (2aJ—3ax+4) (—5 a) — (2 ab) (—5 a) + (—3«cc) (—5«)-j-(4) (—5 a) = = - 10 a?b + 15 a?x - 20«. (4«2 _ 3o - 4) (3» 2 - la + 5) = = 12a 4 - 9a 3 - 12a 2 .= (4« 2 _ 3« - 4) (+ 3a 2 ). - 28a 3 + 21« 2 + 28a.= (4a 2 - 3o - 4) (- la). _ + 20a 2 - 15» - 20 . . = (4a 2 - U - 4) (+ 5). = 12a 4 — 37a 3 + 29a 2 + 13« — 20 produkt. § 50. 1. (a + b ) 2 — (a + b) {a + b) — a 2 + + b 2 , (a — b ) 2 — (a — b) (a — b) = a 2 — lab + 6 2 ; t. j. Kvadrat vsote ali diference dveh števil je jednak vsoti kvadratov obeh števil, več, oziroma menj, dvojnemu produktu teh števil. 2. (« -f- b) (a — b) — « 2 — b 3 , t. j. Produkt iz vsote in diference dveh števil je jednak diferenci kvadratov onih dveh števil. Naloge. *1. +9.-7. *2. - 19 . + 8. B. - 128 . + 39. 4. - 217.25. 5. + 14 . + 9 . - 8. 6. + 27 . - 6 . - 9 7 . - 2 . - 7 . - 11. - 20. 8. + 9 . - 5 . - 12 9 . [- 2345 - (+ 730)]. [+ 1357 + (- 1468)]. 10. 4. (- 3) - 5 (- 6) + 7 (- 5) - 9 (+ 8). 11. Izračuni (x — 1) (x — 4) (x — 7) (x — iO) za x — 3. 12. Izračuni x 2 — 6x — 16 za x = -f 8 in za ; = — 2. *13. Izračuni vrednost y 2 , y 3 , y* za y = 2,-2, f, f, — 3. 28. (2 + 3« - 4-a- - im-’). 6«2. 27. — 15« 2 a4. (2a 4 — 4a 3 x + 6a 2 # 2 ). 28. (lax l — 10/jz/ 2) ■ 4abx 2 — (9/>a4 -|- 5 ay~) . haby 2 . 28. (3 ay - d 2 y 2 ) . (- 2o) - (4a - 3aty) (- 5ay). 30. (+ 2a&) . (- \a 2 b 3 ) . (- 4a& 5 ) . (- 3o). - (2a + 6) . (- 3 a). 31. (3je — '2j) ■ (4- 4a4) — ‘2x ({x). (— 6 xy). (— y 2 ). 32. (8x + 6y + 5) (3a — 4). 33. ( x 2 — xy + y 2 ) (x + y )• 34. (>/ - 2 y + 1) (6y - 3). , 35. (5x* + 6» - 7) (4* - 5). 30. (x 4 — x s + a.' 2 — a: -f 1) (x + 1). 37. (x i + x 3 -)- x 2 -j- x + 1) (x — 1). 38. (a 4 + a 3 b -f- a 2 }) 2 + ab 3 + Z> 4 ) (a — h). 39. (a. 5 — a*b -j- a 3 b 2 — a 2 b 3 + ab* — h-') (a + b). 40. (16x 4 -f- 8 x 2 y 2 -f- y 4 ) (4a; 2 — z/ 2 .). 41. (a 2 + 2 ab + b 2 ) (a -f- b) + (a 2 — 2a/> + b 2 ) (a — b). 42. (5x 3 4- 4.r — 3) (4.x 4- 8) — (4rc? — 3x — 6) (5x 4- 4). 43. (x 4- 3) (y + 2). 44. (x 4- 3) (y — 2). 45. (x — 3) (y 4- 2). 40. ( x — 3) (y — 2). 47. (3sc + 2 y) (2x - 3 y) 48. (5« 2 - 3/4) T3a 2 - 4/4). 49. (2x 2 4- 3a 2 ) (5a4 - 4a 2 ) - (l(te 4 - 12a 4 ). 50. (5 - x 2 ) (7 4- y 2 ) 4- (7 - x 2 ) (6 + y 2 ). 51. (10 x*y 4- 4 x 3 y 2 — 5x 2 y 3 ) (9 x 2 y — 5 xy 2 4- 7 y 3 ). 52. (a? 4 4- x 3 y 4- xy 3 4- y 4 ) (a; 3 — xy 4- y 2 )- 53. (3a 3 - 4a 2 /z + 6 ab 2 - 2 b 3 ) 4- c/. * 59. (ax 2 + by 2 - cz 2 ) 2 . 00. (2x - 3) (3a; - 4) (4x - 5) (5* - 6). ^ ■ 01. (4» 2 + 3// 2 - 2c 2 ) (4a 2 - 3/4 4- 2c 2 ). 14. 6« . — 3. 10. - a 2 .- 4a. 18. -12a4.8 x 2 y 2 . 20. — 5x. — 5x. — hx. 22. — Qab 2 y 3 . 2/4 z/ 3 . — 8a 2 y. 24. (6« - $b). - 8 e. 15. — lab . 2ac. [17. 3x . — 5 xy. 19. - 8 ay 3 . Ii5«/v/. \21. 8 ab 2 .7 ac . — 18c 2 . (23. 12 x 2 y 3 z . - 9 xy 2 z 3 . -2a4 25. (7a4 - 6// 2 ). 2xy. 40 62. 65. "| 68 . 70. 72. 74. 76. 78. 79. 81. 83. 85. 86 . @ 7 . 88 . 03. (2 a + 56) 3 . 66. (10™ — w) 2 . 1.69, (« + 2)2. (3 - *) 2 . (a -f- 5) 2 — 10a. (x + a ) 2 + (* — a) 2. (* + 3) (x — 3). (a + 7) (a — 7) -f 49. (ha — 66) (ha -f- 66). (3* 2 + hy 0 ~) (3* 2 _ St/ 2 ) _ (2* 2 - (3 a - 46 + 5). S. 5*2. (6» 2 _ 9 a b + 462). (ha -f 66) (— 2* + 36). (* 2 2 xy + */ 2 ) (— « 2 + 2 xy — (3 — 4* 4- O* 2 ) (3 — 4* — 6*2). (1 — 2* + 3« 2 — 4a 3 ) (1 — 2* - (a 4- 6 — c) (a — 6 + c) ( 64. (3*2 4- 4t/2)2. 67. (5a 2 _ 26 3 )2. (* — 4)2 4- 8*. 71. (* -f- a) 2 — (* — a) 2. 73. (a, 4- 5) (a — 5). \75. * 2 —■ (* 4~ 4) (* — 4). 77. (3t/ 2 4- 26 3 ) (3^2 _ 26 2 ). - 4t/ 2 ) (2*2 4- 4t/ 2 ). 80. (7 4- 5« - 3« 2 ) (- 4a 2 j. 82. 3a* . (2a 2 4- 7a* 4- 5* 2 ). 84. (1 — m 2 ) (1 4 - m 2 ). - 2 / 2 )- 3*2 4- 4« :i ). 1 1 ^ T. De 1 j e nj e. § 51. Množenju nasproten račun je deljenje (delitev). Število a deliti s številom 6 se pravi, iz a kot produkta dveh faktorjev in iz 6 kot jednega teh faktorjev iskati drugi faktor. Dani produkt a imenujemo dividend ali deljen e c (Dividend), dani faktor 6 divizor ali delitelj (Divisor) in faktor, katerega iščemo, kvocijent ali količnik (Quotient). Kvocijent zaznamujemo z a: 6 ali o Kakor prav jasno razvidimo na primerih s posebnimi števili, da vsaka množitev dveh števil, na pr. 5 K X 3 = 15 K, ako jo obrnemo v delitev, dve po pojmu različni delitveni nalogi, namreč jedno, če je razven vsakikrat danega produkta 15 K, t. j. dividenda, kot divizor dan multiplikand 5 K, drugo, če je kot divizor dan multiplikator 3. 1. Ako je dan kot divizor multiplikand 5 K, tedaj je treba poiskati ono število, ki kaže, kolikokrat ’je treba 5 K postaviti kot sumand, da dobimo 15 K za vsoto. To število 3 dobimo, če preiščemo, kolikokrat moremo divizor 5 K odšteti od dividenda 15 K, 41 ali kolikokrat se nahaja divizor 5K v dividendu 15K. Delitev je tu merjenje (Messen). Pri merjenju imata dividend in divizor (produkt in multi- plikand) isto ime, kvocijent pa (kot multiplikator) je vselej neimenovano število. Kvocijent pove, kolikokrat se nahaja divizor v dividendu (kolikokrat ga moremo od divenda odšteti), ime se mu more določiti le po drugem umovanju. Na pr. Im velja 5 K; koliko metrov se dobi za 15 K? Tu sklepamo tako-le: Za 5 K se dobi lm, za 15 K se dobi torej tolikokrat lm, kolikorkrat se nahaja 5 K v 15 K. Tu merimo 15 K s 5 K ter dobimo 15 K : 5 K = 3. Kvocijent (3) je neimenovano število, vender je po navedenem umovanju jasno, da dobimo za 15K trikrat jeden meter ali kratko tri metre. 2. Ako pa je dan multiplikator 3 kot divizor, tedaj nam je poiskati ono število, katero daje, 3krat kot sumand vzeto, dividend 15 K za vsoto. Da dobimo to število (5 K), treba dividend 15K razdeliti na 3 jednake dele. Delitev je tu deljenje v ožjem pomenu (Theilen). Pri deljenju v ožjem pomenu je divizor kot multiplikator vselej neimenovano število; kvocijent kot multiplikand pa ima z divi d en dom kot produktom isto ime ter pove, kolik je jeden pripadajoči del. Na pr. 3 m veljajo 15 K; koliko velja 1 m? Tu sklepamo: lm je tretji del od 3 m, lm velja torej tretji del od 15 K. Tedaj je treba 15 K razdeliti na 3 jednake dele; kolikor K ima jeden takšen del, toliko K velja 1 m. Na ta način dobimo 15 K : 3 = 5 K. Daši tudi sta oba delitvena načina merjenja in deljenja po pojmu različna, dasta vender oba za isti dividend in divizor, ne glede na ime, isto število za kvocijent in sta zato v izvršitvi jeden sam računski način: 10 m : 2 m = 5, 10m:2 = 5m. Kolikorkrat se dasta 2 jednoti odšteti odlOjednot, prav toliko jednot ima jeden del, če razdelimo število 10 na 2 jednaka dela, kar razvidimo iz tega obrazca: 11111 42 Da število razdelimo s številom, poiščemo v številni vrsti ono število, katero da dividend, ako je tolikokrat vzamemo kot sumand, kakor kaže divizor. Deljenje dveh števil moremo v številni vrsti izvršiti le tedaj, kadar je dividend divizorjev mnogokratnik. § 52. Iz pojma o deljenju izvira: 1) . b = (« : b ). b = a in 2 ) ab : b = a. b 1. Kvocijent, pomnožen z di viz orje m, da dividend. (Preskušnja za pravost delitve.) 2. Ako razdelimo produkt dveh faktorjev z jednim teh faktorjev, dobimo drugi faktor. Mehanično izvršimo delitev z jednostavnim divizorjem tako, da „izpustimo skupni faktor 11 . Ce pa se divizor v dividenda ne nahaja kot faktor, delitve ne moremo izvršiti; moremo jo le nakazati. Na pr. 2 abc : 2 a = bc, 'labc : m — m 3. Število ostane neizpremenjeno, ako je s katerimkoli številom pomnožimo, potem pa z istim številom razdelimo. (Obrat jednačbe 1) in 2). Iz « . 1 = « izvira : a : a = 1 in a : 1 = a. Torej: 4. Vsako število da, samo s seboj razdeljeno, 1 za kvo cij ent. 5. Vsako število da, z 1 razdeljeno, samo sebe za kvocijent. Ker je «.0 = 0, tedaj je 0:0 = «. 6. Ničla, razdeljena z ničlo, da lahko vsaktero število za kvocijent. Izraz — rabi nam zato kot znamenje nedoločnosti. Izreki o kvocijentin. §53. Produkt razdelimo s številom, ako ž njim razdelimo jeden faktor. 1) (« . b ): c = (« : c) . b, 2 ) (a . b): c = a . (b : c). O pravosti teh izrekov se prepričaš naredivši preskušnjo po § 52., 1.: kvocijent X divizor = dividend. 1 ) (a : c) . b X c = (« : c) . c . b [po § 38., 1.] = a . b 2) a, (J : e) X c = « . (i: c) c = a . b 43 Izvod. Ako je treba število pomnožiti z drugim številom in s tretjim razdeliti, tedaj je vse jedno, v katerem redu množimo in delimo. Na pr. (8.100): 4 = (8 : 4). 100. § 54. Število razdelimo s produktom, ako je raz¬ delimo z jednim faktorjem in dobljeni kvocijent še z drugim faktorjem. 1) a : (b . c) = (a : b ): c, 2) a : (b. c) = (a : c): b. Dokaz po preskušnji (§ 52., 1.): kvocijent X divizor = dividend. (a: b) ■. c X ( bc ) = [(a : b) \ c]. c X b = (a : b) X b — a {a :c) :b X (bc) = [(a : c) : b]. b X c = (a : c) X c — a - Razdeli na pamet 360 s 24 (= 3.8), 30 (= 3.10) i dr. Izvod. Ako je treba število razdeliti z dvema številoma, razdelimo je lahko z vsakim posamič v kateremkoli redu, ali pa ob jednem z njiju produktom. Na pr. (70 : 2): 5 = (70 : 5): 2 = 70 : (2.5) 35:5 = 14:2 = 70:10 = 7. § 55. Ako pomnožimo jeden faktor v produktu, pomnožimo ob jednem tudi produkt (§ 38., 1); ako razdelimo jeden faktor, razdelimo tudi produkt; ako izvršimo oba računa istočasno, ne izpremeni se produkt (§ 52., 3). Torej: Vrednost produktu se ne izpremeni, ako mu jeden faktor s katerimkoli številom pomnožimo, drugi faktor pa z istim številom razdelimo. V obče: a . b = am . ( b : m), a . b = (a : m) . bm. Zato je: 64 X 25 = 16 X 100 = 1600. O pravosti zadnjih jednačeb se prepričaš, ako izrvšiš množitev (b\m). am: (b : m) . am = (b : m) . m X « = b X a. § 56. a 8 : a 3 = a 5 ; kajti a 5 . a 3 = a 8 . V obče: a m :a n — a m - n , ako je m > n. Potence iste podloge razdelimo, ako od dividendo- vega eksponenta odštejemo divizorjev eksponent ter s to diferenco potenciramo (vzmnožimo) skupno podlogo. 44 Dostavek: Ako je m — n, dobimo, uporabljajoč ta izrek, a m :a m k er j )a potenca imajoča 0 za eksponent po pojmu o potenci (§ 39.) nima nobenega pomena, treba tej potenčni obliki pomen še le določiti. Po § 52., 4. je a m : a m = 1 ; a° pomeni torej 1. Vsako število, vzmnoženo z ničlo, je jednako 1. Primeri: x 10 : x 7 = x 3 ; 8x 10 : x 7 = 8x 3 ; 24:X 6 y 2 : 3x- y = 8x 4 y. Dostavek: Delitev monoma z mononom izvršujemo v obče po § 53. in 54. Uporabljajoč navedene izreke razdelimo najprej dividendov koeficijent s koeficijentom divizorjevim in sploh dividend (oziroma vselej po jeden pripraven njegov faktor) zaporedoma z vsemi faktorji divizorjevimi. Ako kakega divizorjevega faktorja ni v dividendu, moremo delitev le nakazati. Na pr. 8 a:b=~~> 8a:2b = ~ 8 U 3 : Uh =--• ~f. Deljenje vsot in diferenc. § 57., 1. Ako ima deček 12 hrušek in 36 orebov, ima drug deček le takrat polovico ali tretjino tega, ako ima od vsake vrste polovico ali tretjino tistega, kar ima prvi deček. V obče: {a + b): c = — -f —. c c Preskušnja (po §52.,1.): c ~^ c + ~.c = a + b (dividend). Vsoto razdelimo s številom, ako vsak sumand razdelimo s številom in dobljene delske kvocijente seštejemo. Na pr. (90 + 6): 3 = (90 : 3) + (6: 3). 2. (a — b) : c = — — —. c c Preskušnja (po §52.,!.): c c—c = a—6 (dividend). Diferenco razdelimo s številom, ako minuend in subtrahend razdelimo s številom ter drugi kvocijent odštejemo od prvega. Na pr. (100 - 8): 4 = (100: 4) -(8: 4). 45 Dostavek. Ako združimo prvo jednačbo z drugo, dobimo: c_ d n n ‘ {a + b — c — d): n — "+~- n n § 58. Uporabljajoč izreka v § 57., 1. in § 41., 1. dokažemo lahko tudi ta-le važen izrek: Kvocijentu se vrednost ne izpremeni, ako dividend in divizor z istim številom pomnožimo, ali oba z istim številom razdelimo. Dokaz: Kvocijent pove, kolikokrat se nahaja divizor kot sumand v dividendo kot vsoti iz jednakih sumandov. Na pr. 12:4 = 3, ker je 4 +4 + 4 = 12 (= 4 X 3). Po § 41., 1. je: 4m + 4m + 4m = 12m; po § 57., 1. je: m m m 12 m' Iz tega je razvidno, da se nahaja 2, 3, . . . /»krat večje število v 2, 3, . . . mkrat večji vsoti prav tolikokrat, kolikorkrat se nahaja prvotno število (divizor) v prvotni vsoti (dividendu) in kolikorkrat se nahaja 2, 3, . . . mkrat manjše število v 2, 3, . . . mkrat manjši vsoti (dividendu). V obče: am : brn = a: b = — : —. m m Tudi ta izrek se da prav ugodno uporabljati. Na pr. 325 : 25 = (325.4): (25.4) = (325.4): 100. 7125 :125 = (7125.8): (125.8) = (7125.8): 1000. § 59. Kako je deliti vsoto z vsoto, razvidimo najlaže iz tega, kako je nastal dividend, ko smo pomnožili divizor s kvocijentom. Upoštevaj primer v § 44., 2. Ak o sta dividend in divizor po črki vodnici v istem zmislu (na pr. po padajočih potencah) urejena: dividend = 72a 4 + 101a 3 + 95a 2 + 43a + 12, divizor = 9a 2 + la + 3, uvidimo takoj, da je moral naj višji (prvi) člen dividendov pri množitvi divizorjevi s kvocijentom nastati iz produkta najvišjega (prvega) člena divizorjevega z najvišjim (prvim) členom kvocij entovim. 46 Zato dobimo prvi člen kvocijenta tako, da razdelimo, najvišji člen dividenda z najvišjim členom divizorja: 7 2 a 4 : 9 a 2 = 8a 2 = prvi člen kvocijenta. Prvi člen da pri množenju (§ 44.) nastopne člene v dividendu: (9a 2 + la + 3) 8a 2 = 72« 4 + 56« 3 + 24« 3 . A k o odštejemo to vsoto od dividenda: 72a 4 + 101a 3 + 95a 2 + 43 a + 12 72a 4 + 56a 3 + 24a 2 45a 3 + 71 a 2 + 43a + 12 = ostanek, nahaja se v ostanku vsota onih delskih produktov, ki so nastali iz drugega in tretjega kvocijentovega člena. Najvišji člen tega, na isti način urejenega ostanka, je zopet produkt iz najvišjega (prvega) člena divizorjevega in drugega člena kvocijentovega. Drugi člen kvocijenta dobimo torej tako, da razdelimo prvi člen urejenega ostanka s prvim členom v istem zmislu urejenega divizorja. 45a 3 : 9a 2 = 5 a = drugi člen kvocijentov. Ako zopet odštejemo od prejšnjega ostanka vse delske produkte, katere je dal člen 5a pri množenju, nahaja se v novem ostanku vsota delskih produktov iz tretjega člena in kvocijenta. 45a 3 + 71 a 2 + 43a + 12 45a 3 + 35a 2 + 15 a 36a 3 + 28a + 12 Tretji člen kvocijenta dobimo, ako razdelimo prvi (najvišji) člen novega ostanka s prvim členom v istem zmislu urejenega divizoija. 36a 2 : 9a 2 = 4 = tretji člen kvocijentov. Račun izvršimo tako-le: (72a 4 +101« 3 + 95a 2 + 43a + 12): (9a 2 + 7 a + 3)= 8a 2 + 5a + 4 72a 4 + 56a 3 + 24a 3 .(9a*+7a + 3)8 a\ 45 a s + 71a 3 + 43a 45a 3 +35a 2 + 15«. (9a ? + 7o + 3) 5a. 36a 3 + 28a+12 36a 2 + 28a +12 0 . . (9a 2 +7a+3)4. 47 Odtod izvajamo, da treba vsoto z vsoto deliti po tem-le pravila: Uredivši člene v dividendu in divizorju v istem zmislu, razdeli prvi dividendov člen s prvim divizorjevim členom; tako dobiš prvi člen kvocijenta; s tem delskim kvocijentom pomnoži ves divizor, produkt pa odštej od dividenda. Ako ravnaš z ostankom, katerega je treba takisto urediti, kakor sta urejena dividend in divizor, prav tako kakor s prvotnim dividendom, dobiš drugi kvocijentov člen i. t. d. Izračuni prejšnji primer še jedenkrat z rastoče urejenimi števili! Deljenje dekadnih. števil. § 60. Dekadna števila moremo smatrati za vsote, urejene po padajočih potencah števila 10. Potenco števila 10, ki pristopi k vsaki številki (koeficijentu dotičnega člena), spoznamo takoj po mestni vrednosti številke (§ 45., dostavek). Iz tega razvidimo, da je z ozirom na § 59. dvoje dekadnih števil deliti po tem-le pravilu: Za prvi delski produkt vzemi toliko najvišjih dividendovih številk, kolikor jih ima divizor, ali pa jedno več, ako bi bilo število, katero izražajo one številke, manjše od divizorja; tako dobiš najvišjo kvo- cijentovo številko in s to pomnoži ves divizor, produkt pa odštej od prvega delskega dividenda. K ostanku pripiši nastopno dividendovo številko, iz tega novega delskega dividenda določi potem drugo kvo- cijentovo številko ter to nadaljuj, dokler nisi vzel v račun vseh divi¬ dendovih številk. — Pomniti pa treba, da mora biti ostanek, katerega si dobil pri vsakokratnem odštevanju delskih produktov, manjši od di¬ vizorja, kajti sicer bi dobil v kvocijentu še drugo številko istega reda. Na pr. 830942 : 973 = 854 krajše: 830942 : 973 = 854 7784. 973 X 8 5254 5254 4865 . 3892' 3892 . 0 973 X 5 973 X 4 3892 0 Govčri: 24 in 5 je 29; 56, 58 in 2 je 60 i. d. t. V drugem slučaju smo delske produkte takoj pri množenju odštevali in zapisavali le ostanke. 48 Naloge. (4. 12«6: 2« ,7. « 5 : a 2 . 10. 8x 3 . 2xl 18. 16a 4 6 4 : 4«6 2 . \2. 6« : a. 8. 5 xy : y. 5. 8rnxy : 2a:. 6. abxy : by. |8. « 4 : a. j). a“ + K :a m . 11. 6// 2 ž : 3?/. 12. Ta 3 « 5 : acc 2 . 11. 9« 2 x 3 ?/: 3x7/. 15. 2a 6 m 3 x’ : a 3 mx i . 16. (6«6 . 2x): 3 ax. 18. (12a 2 x :i : 2«): 6x 2 . 20. (ax -f- ay) ■ a. 22. (a 3 x + a.x 2 ) ■ ux. 21. (8 x 3 y 3 - 12»: 2 //V‘) : 4x 2 // 2 . 17. (4a 2 x . 5«x 2 ) : 2a 2 x 2 . 19. (18a 2 6 3 c 4 : 3 atfc) : 2ac*. 21. (ax — bx ) : x. 28. (Ga 2 // — 3«// 2 ): 3«//. 4x 2 // 2 . §5. (12« 3 x 2 + 8«x 4 ): 3«x 2 . \26. (36«x -12te + 24cx): 6x. '27. (21m 4 + 15m 3 - 18/m 2 ) : 3 m? . § 8 . ( 5 a 3 - 25« 4 - 10« 3 + 15 «®): 5 « 2 . 29. (1 Qx i y 2 z - 25x 3 //V 2 - 15x 2 //V + 5 xyW) : 5 xy°-z. 30. (16« 3 6 2 c 8 + 8« 4 6 3 c® - 12« 5 6 4 c 4 - 20«®6 5 c 2 ): 4« 2 6 2 c 2 . 81. (x 2 + 2 xy + if ): (x + y). 32. f9« 2 + 6«6 + 6 2 ): (3« + b). 83. ( m 3 -{- 3m 2 « -j- 3 /mm 2 4- n 3 ): (m -f- n). 31. (4« 3 + 12« 2 6 + l !«/, 2 + 36): (2« + 36). 85. (3x 4 + 10 x 3 y + 14x 2 // 2 + Ylxy 3 + 10/y 4 ): (x 2 + 3 xy + 2// 2 ). ! 36. (14 x l y l -f 10 x 3 y -)- 17 xy 3 4- 10 y i + 3x 4 ): (5 y 2 4- 3cc 2 4- xy). 37. (86 3 + 126 3 + 66 + 1): (46 2 + 46 4- 1). 38. (12c 3 4- 20c 2 + lic 4- 2): (3c + 2). 39. Razdeli 2735000 z 10, 100, 1000. *10. Kolikokrat je: 4 v 240? 4 v 8400? 6 v 186? *11. Kolikokrat je: 3 v 54? G v 720? 7 v 301? 12. Razdeli a) 4240, b) 29680, c) 72080, d) 769560 s 5, 6, 7, 8, 9. 18. 140261 :41. 11. 5791338 : 63. 15. 134676 :29. 16. 309644 : 778. 17. 530376 :123. 18. 5606912 : 752. 19. Razdeli vsako števil: a) 24655445, b) 191205 s 607, 315. 50. 1472692768 :14734. 51. 36263918357 : 62883. *52. V nalogah 13. do 51. povej mestno vrednost naj višje kvocijen- tove številke, ne da bi izvršil delitev. 49 53. 66688: 32 (§ 54). 54. 125860 : 35. 55. 321111 : 63. 56. 278725 : 25 (§ 58). 57. 92278 X 25 = 9227800 : 4 (§ 55). 58. 764625 : 25. 59. 7753675 : 25. 60. 345673 X 25. 61. 814041 X 250. 62. 572375 X 125. 63. 39271 X 125. *64. Koliko velja 1 m, če se dobi za 15 K 12 h a) 6 m, b) 7 m? *65. Koliko velja 1 Z, če se dobi za 7 K 50 k a) 9 Z, b) 12 Z? 66. Ekvator naše zemlje ima 5400 zemljepis, milj v obsegu; kako dolga je jedna ekvatorjeva stopinja? 67. V drevesnici je v pravilnih vrstah nasajenih 31928 rastlin in sicer so v vsaki vrsti 104 rastline; koliko vrst je v drevesnici? *68. Kranjska ima 100 iMn 2 površine in 498153 prebivalcev; koliko prebivalcev pride povprek na 1 Hm 2 ? 69. Češka ima 5799560 prebivalcev, in sicer po 11153 na 1 f*m 3 ; kolika je nje površina? 70. Trgovec plača za 3200 kg sladkorja 3566 K ter hoče pri vsakih 100 kg imeti 8 K 50 h dobička; po čem mora prodajati k gl 71. Nekdo je zmešal 12 AZ vina a 72 K s 4 hi a 56 K; koliko velja 1 hi tega zmešanega vina? 72. Zlatar je zlil 7 kg srebra s čistino 720 tisočin z 2 kg srebra s čistino 540 tisočin; koliko tisočin čistega srebra je v 1 kg zlitine? 73. Neki oče zapusti 16800 K. To imetje je med njegovo ženo, 3 sine in 3 hčere tako razdeliti, da dobi mati 4 dele, vsak sin 3 in vsaka hči 2 isto tolika dela. Koliko dobi mati in koliko vsak otrok ? Deljenje algebrajskih števil. § 61. Pojem o deljenju absolutnih števil (§ 51.) velja neizpre- menjen tudi za algebrajska števila. Kvocijent dveh algebrajskih števil je pozitiven ali negativen, kakor sta obe števili ali jednako ali različno zaznamovani. (+ o) : (+ k) — + k, (— a ): (— b) — + k, (~f~ a ) • (■— b) = — k, (— &): (+ b) — — k; pri čemer pomeni k absolutno vrednost kvocijentovo. Močnik. Aritmetika. 4 50 Dokaz. Ako je dividend (produkt) pozitiven, morata imeti (po § 48., 1.) divizor in kvocijent (oba faktorja) jednaka predznaka; torej je (+ a): (+ b) = + k in (-f- a ): (— b) — — k. Ako je. dividend negativen, morata imeti divizor in kvocijent različna predznaka; torej je {— a) b) — — k in (— a): (— b) = + k. § 62. Ker moremo vsak veččlenski izraz smatrati kot algebrajsko vsoto, zato veljajo izreki o deljenju vsote (§ 57., 1 in § 59.) tudi za deljenje veččlenskih izrazov. Predznake kvocijentom iz posameznih členov določujemo po § 61. Na pr. (12a 4 6 3 - 8a 3 6 3 - 6a): (- 2 ab) = - 6a 3 6 3 + iab + ~ 0 (3a 3 - 4 ab - uv : (3a + 26) = a - ‘2b 3 a 3 + 2 ab - 6ab - 4 b* — 6a6 — 4 6 3 + + 0 § 63. Posebej pomni: 1) (a 3 — 6 3 ) : (a + b) = a — b, 2) (a 3 -& 3 ): b, in r,, r 2 , r 3 , r t , . . . zaporedoma dobljeni delitveni ostanki, ondaj stoji račun tako-le: 1. delitev: dividend a, divizor b, ostanek r,, Jasno je, da moramo, deljenje nadaljujoč, priti naposled do ostanka = 0, kajti vsakokratni ostanek mora biti celo število in vsaj za 1 manjši od divizorja, kateri je bil v prejšnji delitvi ostanek. Recimo, da je r t = 0. Potem je r 3 gotovo največja skupna mera števil a in b. Iz zadnje delitve namreč izvira, da je r s največja skupna mera števil r 2 in r s ; r 2 in r 3 pa sta v prejšnji delitvi divizor in ostanek, torej je (§ 67., 3) r 3 tudi najv. skupna mera med dividendom r t in divizorjem r 2 . Prav tako je zaradi predprejšnje delitve, v kateri sta r, in r 2 divizor in ostanek, r 3 najv. skupna mera med b in r,, in slednjič zaradi prve delitve je r 3 tudi naj večja skupna mera med a in b. Primera: 1. Recimo, da nam je poiskati najv. sk. mero števil 3. 4. 2 n n 1134 in 3654. Tu dobimo 3654: 1134 = 3 in ostanek 252 ali 1134 3654 3 1134: 252 = 4 „ „ 126 136 2524 252: 136 = 2 n „ 0 0 2 0 02 Najv. sk. mera = 126. 59 2. Poišči najv. sk. mero števil 377 in 848. 377 1 848 2 94 4 0 94 Najv. sk. mera = 1. Števili 377 in 848 sta relativni praštevili. Ako hočeš na ta način dohiti največjo skupno mero za več nego dve števili, poišči najprej najv. sk. mero za dve števili, potem za to mero in tretje število, takisto za to novo mero in četrto število i. t. d.; zadnja najv. sk. mera je zajedno najv. sk. mera vseh danih števil. Naloge. *1. Poišči najv. skupno mero števil a) 12 in 16, b) 15 in 20, c) 40 in 56, d) 72 in 96, e) 45 in 75! Razstavi ta-le števila na prafaktorje, potem pa poišči njih najv. sk. mero: 2. 84 in 308. 4. 108, 450 in 540. 6. 693, 819 in 945; 8. 12 acx, 14 a?x in 1 (mx- ; 10 . m 2 -j- 2 mn -j- n- in m 2 — n 2 12. a. 2 -f- 4 ab -f- 46 2 in a? -f- 2ai 3. 360 in 680. 5. 560, 620 in 760. 7. 504, 756, 1260 in 1764; 9. 10.i% 4 , 5x 3 y 3 in 2()x' 4 y~; 11 . a 2 - 2 ab + ž> 2 in a 2 - 6 2 ; - 3 ab°- - 6b s ; Poišči najv. skup. mero teh-le števil, ne da bi jih razstavil na prafaktorje: 13. 637 in 4277; 15. 1404 in 8658; 17. 7774 in 3718; 19. 39215 in 73997; 21. 1701, 6426, 10521; 14. 2091 in 1353; 16. 3552 in 5143; 18. 27671 in 21708; 20. 65429 in 145957; 22. 120582, 145530, 167706. 5. O najmanjšem skupnem mnogokratniku. §77. Najmanjši skupni mnogokratnik dveh ali več števil imenujemo najmanj še število, katero je deljivo z vsemi onimi števili. Da dobiš najmanjši skupni mnogokratnik dveh ali več števil, razstavi vsako dano število na prafaktorje in izmed teh prafaktorjev vzemi vse različne faktorje in sicer vsakega 60 tolikokrat, kolikorkrat se največkrat nahaja v katerem danem številu; produkt teh faktorjev je iskani najm. sk. mnogokratnik. Dokaz. Ta produkt je vsakako skupni mnogokratnik danih števil, kajti ima vse faktorje vsakega števila; a ta produkt je tudi najm. sk. mnogokratnik, kajti ni več deljiv z vsemi danimi števili, če mu izpustimo le jednega njegovih faktorjev. Primer. Poišči najm. sk. mnogokratnik števil 60, 108 in 1050. 60 = 2.2.3.5 108 = 2.2.3.3.3 1050 = 2.3.5.5.7; najm. sk. mnogokratnik = 2.2.3.3.3.5.5.7 = 18900. Uporabljajoč to razrešitev najdeš najm. sk. mnogokratnik več števil kratko tako-le: 1. Dana števila zapiši v jedno vrsto drugo poleg drugega ter kar prečrtaj ona manjša števila, katera so mera večjih. 2. Preišei, ali ni kako praštevilo skupna mera dveh ali več ostalih števil. Ako je, zapiši to mero na desno ter razdeli ž njo vsa ona števila, katerim je mera; kvocijente in vsa nedeljiva števila zapiši spodaj v novo vrsto drugo poleg drugega. 3. S to novo vrsto ravnaj prav tako kakor s prvo, in tako nadaljuj, dokler ne dobiš vrste s samimi relativnimi praštevili. 4. Naposled pomnoži drugo z drugim vsa relativna števila zadnje vrste in na desno zapisane skupne mere; produkt iz teh števil je iskani najm. sk. mnogokratnik. Primer. Poišči najm. sk. mnogokratnik števil 4, 6, 15, 60, 108, 1050. 4, 0, 45, 60, 108, 1050 30, 54, 525 45, 27, 525 9, 175 2 2 3 Najm. sk. mnogokratnik = 175 X9X3X2X2 = 18900. Ker so vsa števila, katera so deljiva s 60, deljiva tudi s 4, 6, 15, mora biti najm. sk. mnogokratnik ravnotolik, kolikeršnega smo dobili v poprejšnji nalogi. § 78. Ako se dana števila ne dado z lahka razstaviti na pra¬ faktorje, ondaj iščemo najm. sk. mnogokratnik na drug način, ki se opira na to-le umovanje. 61 * Ako razdelimo dve števili z njiju največjo skupno mero, dobimo za kvocijenta relativni praštevili. Produkt, katerega dobimo, pomno- živši pri delitvi jednega števila dobljeni kvocijent z drugim številom, ima faktorje obeh števil in je torej deljiv z obema številoma; a ni več deljiv, če mu izpustimo le jeden faktor. Ta produkt je najmanjši skupni mnogokratnik danih dveh števil. Da dobiš na ta način naj m. s k. mnogokratnik dveh števil, poišči najprej največjo skupno mero obeh števil, razdeli s to mero jedno število in z dobljenim kvocijentom pomnoži drugo. Produkt je iskani najm. skup. mnogokratnik danih števil. K a pr. poišči najm. sk. mnogokratnik števil 648 in 972. 648 972 1 324 je najv. sk. mera. 0 324 2 648:324 = 2; 972.2 = 1944, ali 972:324 = 3; 648.3 = 1944; najm. sk. mnogokratnik = 1944. Ako je treba na ta način poiskati najm. sk. mnogokratnik treh ali več števil, poišči najm. sk. mnogokratnik za prvi dve števili, potem za ta najm. sk. mnogokratnik in tretje število, za tem za drugi najm. sk. mnogokratnik in četrto število i. t. d. Zadnji najm. sk. mnogokratnik je ob jednem najm. sk. mnogokratnik vseh danih števil. Naloge. *1. Kolik je najm. sk. mnogokratnik števil a) 8 in 15? b) 10 in 25? c) 24 in 36? d) 12 in 52? e) 30 in 48? Razstavi ta-le števila na prafaktorje, potem pa poišči njih najm. sk. mnogokratnik. 2. 300 in 620; 4 . 120, 168 in 182; 6 . 3, 4, 6, 10 in 25; 8. 4, 5, 6, 12, 18, 25, 70; 10 . 4, 6, 7, 26, 35, 40, 56; 3. 240 in 486; 5. 105, 144, 270; 7. 2, 5, 9, 20, 21 in 24; 9. 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21; 11 . 8, 12, 16, 24, 32, 36, 256; 13 . 6 amn, 10arrirn, 5ern 2 ; 12 . a , 2 a 3 , 3 aS 2 , 12 abm\ 14 . 3*, 3 (* + 1), x - 2, 5 (x + 2), 20 (** - 4) in 6 (* + 2)2. 62 Poišči najm. skupni mnogokratnik naslednjih števil, ne da bi jih razstavil na faktorje: 15 . 874 in 943; 16 . 561 in 1530; 17 . 4314 in 9347; 18 . 20132 in 15099; 19 . 816, 765, 697; 20. 259, 3219, 7548. Til. Naloge v ponavljanje. *1. a) 57 + 12; 6 ) 39 + 63; c) 25 + 47; d) 86 + 35; e) 94 + 96. *2. a) 371 + 128; b) 607+134; c) 593 + 238; d) 369 + 158. 3. 132475.37060+ 7908.4296. 4. 83716.5009 — 63077.7080. 5. Seštej a ) 6a; + 5i/ b) 8n + 7 b — 6c + 5d x + 7y 9a — 66 + 7c — id 8x — y 7 a — 5 b — 8 c + 6d 6. (4 a' 1 + 5«-6 2 + 66'*) (7a 2 — 86+ 7. (2 d 1 + 36 ! ) (5o- — 46+ — (10a* — 126*). *8. Koliko zelja a) 24 1 a 26 h; b) 17 m a 2 K 34 h? *9. 9 kg velja 3 K 78 h, koliko velja 1 kg 7 10. (5 a + 26 — 3c) — (2 a — 36 + 5c) — {a — 26 — 4c). 11. 7 a — (3c — 66) — (6 a — 3c) — 36 + (3 a — 8c). 12. (9a 2 — 166 2 ):(3a + 46). 13. (8** — 26® 3 — 43a: 2 — T&x — 21) : (2a> 2 — 9® — 3). *14. a) 85 — 24; b) 74—53; c) 56 — 29; d) 81—47; e) 98 — 29. *15. a) 466 — 149; b) 393 — 208; c) 706 — 658; d) 832 — 399. 16. Kolika je vsota treh števil, katerih je prvo 789021, drugo za 179248 manjše od prvega, in tretje za 98764 manjše od drugega? 17. Pestalozzi je bil porojen v Curihu dne 12. januvarija 1. 1746. ter je umrl v Bruggu na Aargavskem dne 17. februvarija 1. 1827. Koliko starost je učakal? 18. (9-3)-(8- 7)+ (24 —20)-(18-9). 19. (a — 6) — (6 — a) + (c — a + 6). 20. 7 xy — [7yz — (3ars — 2 xy) + 3 xy\ — (6t/z — 3xz). 21 . ( 3 a + 86) 2 + ( 4 a + 66 )* — ( 5 a — 106 + 63 22. (aJ s + xY -j- y ’) : (x l — x'-y l + y*). 23. a) 86727.25; 6.) 13076.125; c; 399448.11. 24. a) 54352.41; 6; 56703.108; c) 870294.49. 25. a; 68304.63; b) 99755.48; c) 513942.270. 26. a) 17768.399; b) 64159.994; c) 806635:999. 27. a) 34625 : 25; b) 57625 :125; c) 8872472 : 56. 28. (6 b. Na pr. < 1 , 1 = 1 8 ’ 15 > 1 . Ulomek, katerega vrednost je manjša nego 1, imenujemo pravi ulomek (echter Bruck), vse druge ulomke pa neprave ulomke (unechte Brucke). 67 Število, sestavljeno iz celega števila in pravega ulomka, zovemo mešano število (gemischte Zahl); na pr. m m a -—-. 5 + 1 Ki viti a -f- § 82. V § 79. smo dokazali, da je 1 [«(!)] .b a ~b b = a. Iz te jednačbe izvajamo: Ako pomnožimo ulomek z njegovim imenovalcem, dobimo števec za produkt. § 83. Iz pojma o ulomku izvira: 1. Izmed dveh ulomkov, katera imata jednaka imenovalca, je oni večji, ki ima večji števec. 2. Izmed dveh ulomkov, katera inrata jednaka števca, je oni večji, ki ima manjši imenovalec. § 84. Vsak nepravi ulomek se da pretvoriti v celo ali mešano število; v ta namen treba števec razdeliti z imeno¬ valcem. Y = 20 : 5 = 4. 5 23 5 20 + 3 ~~ 5 = 4 + § 85. 1. Vsako celo število moremo pretvoriti na ulomek, čegar imenovalec je dano število. V ta namen je treba le produkt iz celega števila in danega imenovalca vzeti za ulomkov števec. an r r , . , 20 a = an:n = —. 5 = 5.4:4 = 20:4 = — . n 4 2. Vsako mešano število se da pretvoriti na ulomek. V ta namen pomnoži celo število z ulomkovim imenovalcem, ta produkt povečaj ali zmanjšaj za števec, kakor je ulomek pozitiven ali negativen; to število je števec, imenovalec pa ostane neizpremenjen. 6 f = 6 + f =|(s +j)4 3 = (16 + 2):3 = ¥' , m ■ ) ( . m 'l / , \ an + m « + T = j\ a + ~n) • n j : n = {an + m) : n = —• m \( m\| / \ an — m a “ T = |l° ~ ~^J ‘ n \ ■ n = - «*) : « = - JT~’ 68 § 86. Ker moremo vsak ulomek smatrati za kvocijent iu se le-ta ne izpremeni, ako dividend in divizor z istim številom ali pomnožimo ali razdelimo, zato velja izrek: Ulomku se vrednost ne izpremeni, ako števec in imenovalec z istim številom pomnožimo ali razdelimo. § 87. 1. Uporabljajoč prvi del izreka v § 86. moremo vsak ulomek, ne da bi se mu izpreminila vrednost, pre¬ tvoriti na drug ulomek, čegar imenovalec je mnogokratnik prejšnjega. V ta namen treba le novi imenovalec razdeliti s prejšnjim in s tem kvocijentom pomnožiti števec; dobljeni produkt je novi števec. Recimo, da hočemo na pr. ulomek — pretvoriti na imeno- O valeč 40. Tu dobimo 40:5 = 8; 4.8=32; torej = = ||. Ako bi hoteli ulomek — pretvoriti na imenovalec 4 bc, dobili bi Zb 4 bc : Zb — 2c; a . 2c = 2ac; , , . a ‘Lac ted ‘ J 28 = 44? Kadar pretvorimo ulomku obliko s tem, da pomnožimo imenovalec in števec z istim številom, pravimo, da smo ga razširili (ertveitern). 2. Ulomke razširjajoč pretvorimo jih lahko tudi več na nov skupni imenovalec, ki pa mora biti mnogokratnik vseh danih imenovalcev. Navadno pretvarjamo ulomke na najmanjši skupni imenovalec. V ta namen poiščemo najprej najmanjši skupni mnogokratnik vseh danih imenovalcev; ta je tudi najm. sk. imeno¬ valec. Da dobimo potem vsakemu ulomku novi števec, treba razdeliti novi skupni imenovalec s prejšnjim ter s kvocijentom pomnožiti prejšnji števec. — Primera. 1 . Pretvori ulomke 1 2 ’ 3 8 ’ 9_ 10 na najm. sk. imenovalec. 69 Najin. sk. imenovalec je 40, in zaradi tega dobimo: 40 tedaj _L_20 1 2 _ 40’ 8 2. Pretvori ulomke 15 40’ 4« J)_36 10 ~~ 40' na najm. sk. imenovalec. 2 b' 4 bc c?d Najm. sk. imenovalec je 4 bc 2 d. Zaradi tega dobimo: a _ ‘lac i d ~ ibc 2 d 3 m 3 cdm ibc ibc 2 d in = Ubn c 2 d ibc l d 4 bcM : 2 b = 2 72 mx z y s iObmx ’ 96 nx^y~' (a + 1) (a + 2) 2m (m — 1) 1 24 (a — b) (x — y)' 15 («- + b) (x — y) 2. Seštevanje in odštevanje ulomkov. § 89. 1. Hočeš li sešteti ulomka — in —, treba le, da vzameš mm’ mti del jednote najprej akrat, potem še 6krat. torej vkup (a + 6)krat. Torej je , . , b_ _ a + b mm m Ulomke jednakih imenovalcev seštejemo, ako se¬ štejemo vse števce ter damo tej vsoti skupni imenovalec. Na pr. 12 = 3.i. 8 2 12 ’ ab j_ a — b _ (a -j- b) + (a — b) 2a_ a 2m 2m 2m 2 m m 2. Kadar je treba sešteti ulomke nejednakih imenovalcev, pre* tvori jih najprej na skupni imenovalec, potem pa uporabi prejšnji izrek. Na pr. 9 E (1 4 11 1U — 1 - 2 - * 12 1 + 1 8^8 3, 5_ = 9 ,10 4 + 6 12 12 H) 12 bm a _j_ b __ an bm an m n mn mn mn § 90. Hočeš li ulomek — odšteti od ulomka —, ° m m moraš vzeti akrat mti del jednote, zmanjšan za Škrat mti del jednote, torej {a — S)krat mti del jednote a b a — b Ulomka jednakih imenovalcev odštejemo, ako sub- trahendov števec odštejemo od minuendovega in tej diferenci damo skupni imenovalec. Na pr. 1 _ 3_ = A _2_ 10 10 10 5 ’ 72 x + y _ x — y _ (a + y) — (a; — y) _ 2y mm m m' 2. Kadar je treba odšteti dva ulomka nejednakih imeno¬ valcev, pretvori ju najprej na skupni imenovalec, potem pa uporabi prejšnji izrek. Na pr. 8 4 8 8 8 ’ a b an bm an — m w mn mn mn Naloge. *!• 8 f, + 1; b) f + 41; c) 2f + 4f; d) lOjV + 6 f!. *2. oj i + | -f |; b) 8 tš + + rk; c) $to + &ro + 7^. ^ 3. 35^ + 57£ + 79H. 4. 54H + 98ff + 44 + 61H. *5. aj | + f; H; cj f + f; d) 3^ + fi- •6. a) | + f; b) 2| + S; c) 3| + 9£; dj 17f + 12&. *7. aj f + f + f; J) f + 5 + |; c) lf + 2f + 3|. i 8 . f + f + ‘to + -Ji. ^ f + iz + 1! + H- t 10. 23| + 21& + 58^ 4- 47fi 11. 52f + 93^ + 88 + 35H + 208£. 12. 4068 + 1234M + 5678M + 987^ + 6543B. 13. V neki jami nahajajočo se vodo moremo izčrepati z jedno vodno sesalko v 15 dneh, z drugo v 12 dneh; koliki del vode izčrepa v jednem dnevu a) vsaka sesalka zase, b) obe skupaj? 73 24. Dani so ti-le ulomki: f, £, f, za koliko je vsota prvih dveh ulomkov manjša nego 1? — za koliko vsota prvih treh, štirih, petih, šestih? 25. 28. 4* j_2x 3 3' 5 n« 3m m 36-T“T a: ^ 8 2/ a --j- 4 a - ; . 2a + x 3 + 3 ' ,29. + 2a 8 b + 3c 3 m 3 m L' 80. 3a — 2 2 « -f- 3 •ii x +y y~ x 8 12 1 2>ic~ x i j y* ^ z~ bc ac ab ’ 1 i 1 83. —I— g 4—,. X X 1 912f: 3; b) 184f:16; cj 791^:27; 179H : 34. Lokomotiva predirja v 4 urah 113f km; koliko v 1 uri? Ako velja 1 hi vina 36 K, koliko vina dobiš za 499|K? 1 t)o.c ~ 12nmx . Sar c. —-— : 5x. 40.-: 4ax. 40. -— : 3»»/. 56 o6c Smy 77 37. 39. 31 . 33. m. 34. 35. 36. *38. 39. 40. 41. ■^V-9 ah l 4 a 2 6 ' ^ • ***> 10m 3 /i 2 r ., , /B}. -- : om-/t\ xy l 1 + TO : 2 to . : (3o - 26). m + n 6a 2 -f- 5a6 — 66 2 2a + 36 1 -j- 2 m. — 2to 3 — to 4 1 — 2m + m 2 a) 15.f; b) 64.1; c) 31 &. ; d) 8.5f. «; & j; b-A; cj io&.& ; d) 27^. aj B-15^; b) 28f. 9|; cj 53|f . 8^; d) 216 : (1 + 2m + m 2 ). 16 25 * 15H- 37. Mf . 6 . & . f. C I | 1 . I 4 • g • I;,* Za koliko je produkt ulomkov f in f manjši nego vsak faktor? Za koliko je produkt ulomkov f, f, f in f manjši nego njih vsota? 1 kg sladkorja velja 96 h; koliko velja 2f, 5f, iU, ‘25 ro %? B ima 2|krat toliko denarja kakor A, C 1 j krat toliko kakor B, D pa le fkrat toliko kakor C; če ima A 45f K, a) koliko denarja ima vsak izmed ostalih? h) koliko pa imajo vsi skupaj? 43. 8a . 45. 2a 3 . 43. ax 26 y' 44. 4a% 2 ■ 'l— 3a6 2 xy bx ’la-c-y 46. (a — x) . ct 4 x ax 47. 3 ax . Ja—-—). 3acc 78 60. 61. *62. 68 . 64. *65. 66 . 67. 5 * 2 2x ~3~ + J 7x 2 5* _2_ ( 10 + 4 + 3 (' m m° 1 + ¥ + T+*(' il - m m* m 6 J + 3~“ T a) 24:f; b) 15: f; c) 10:f; d) 32:5|. a) V'■ Ši', b) c) %0 27 . L2 . 7 ) 0_3_ , • 35 5 a / °2 5 ' L 68 * <0 Jts : B ; j b) 140| : 6^ ; ic) 105^ : 12|; d) 135^ : 20H- 2711 vina je" treba v steklenice stočiti; koliko steklenic se potrebuje, če drži vsaka natančno f 11 Gotovo število srebernjakov tehta 13f kg , koliko je sreber- njakov, če tehta vsak u kg 1 Posoda za vodo se napolni po jedni pritočni cevi v 3 urah, po drugi v 4 urah; a) koliki del posode se napolni po vsaki cevi v 1 uri? b) v koliko urah se napolni posoda, če priteka voda istočasno po obeh ceveh? Vlak predirja po različno napeti cesti v prvih 3 urah 94! km, v drugih 2| ure 70|| km in v naslednjih 3f ure 122^ km ; kolika je njegova povprečna hitrost v 1 uri? n 2 m lam ,! ^ . 69. 72. (x + y): 74. 70. 12a 3 : —. x x+y ,? 6 . B. x — y ’ 26’ M j c It c | 4 (x -+- y) 8 (m — «) 9 (m •— n) ' 3 (x — y)’ I 1 o ’■) t«" x 2 n :) (, 75. ,77. L 79. 62) 2 /“ 71 fi 2 362 rt -f- b 'a — V x — y x 2 — b 2 ’ a + b’ ( 1.1 + xy x J r y x — y\ x* — y* 3* 3 9*2 xy\ 3* 4 y ~ 15 + 10) : 5y' 47 r 2 , 2 mo 0 * “ y 4- ' 3 5, —a — —b 4 7 5*° _ 43*2 g a 2 jl2a« 24a' 2 + b* 3 (3*2 j 4 6«2 5*3 * * -f- a x — a a _ a * + a a + 83. bx — ay *+j/ a — * ■ ■ a bx -f- ay x + y 79 II. Decimalni ulomki. § 95. Ulomek, čegar števec je celo število, imenovalec pa kaka potenca števila 10, tedaj 10, 100, 1000, . . 10 m , imenujemo deci- 213 517 57 malni u 1 o m e k (Decimalbruch); na pr. Jqq, -jg", Jqqq. ... Občna oblika decimalnega ulomka je kjer pomenita A in m celi števili. Vse druge ulomke imenujemo v nasprotje decimalnim ulomkom navadne ulomke (gemeine Brucke). Decimalne ulomke pišemo brez imenovalca; zato pa odrežemo v števcu od desne proti levi s točko, imenovano decimalna ali desetinska točka (Decimalpunkt), toliko številk, kolikor ima potenčni eksponent števila 10 v imenovalcu jednot, ali kar je prav isto, ko lik or ima, imenovalec ničel. Ako v števcu ni toliko številk, kolikor jih je treba odrezati, dopolnijo se prazna mesta na levi z ničlami. Na pr. 78317 = 78317 10 3 1000 78317, 37 37 10 5 100000 5483 io 4 “ 5483^ 10000 05483, = 0’00037. Številke na desni strani decimalne točke imenujemo decimalke ali desetinke (Decimalen). znači torej decimalni ulomek z m decimalkami. Da zvemo, kaj pomeni v decimalnem ulomku vsaka posamezna ji številka, vzemimo decimalni ulomek ^, ki ima 4 decimalke, ter recimo, da je m število pred decimalno točko in da so decimalne številke proti desni po vrsti a, b, c, d; tedaj je A — m . 10 4 + a . 10 3 + b . 10 2 + c . 10 + d, torej A __ m. 10 4 + a ■ 10 3 + b . 10- + c . 10 + d 10 4 , a i b = “ + io + ir 10 4 4- 4. A 10 3 10 4 80 Število na levi pred decimalno točko je celo število; prva decimalka pomeni desetine, druga stotine, tretja tisočine, četrta desettisočine, i. t. d. Na pr. , „ _ 3478 1 = 34000 + 700 + 80 + 1 1000 1000 — 34 _j_ jL _|_ JL _j— A_ 10 100 1000 V celem številu, napisanem po dekadnem sistemu (§ 8 .), ima vsaka številka na nastopnem mestu proti desni le deseti del one vrednosti, katero je imela na prejšnjem mestu. Prav isti zakon velja tudi za decimalke, kajti desetina je deseti del jednice, stotina je deseti del desetine, i. t. d. Uvedši decimalne ulomke smo tedaj dekadni številni sistem raztegnili in sicer tako, da se vrsta številnih redov . . . tisočic, stotič, desetic in jednic ne končuje z jednicami, nego se po istem zakonu t. j. da se smatra vsaka nižja jednota za deseti del jednote prejšnjega višjega reda — nadaljuje tudi pod jednice v desetinah, stotinah, tisočinah, . . . Decimalna točka loči prvotne številne rede od te razširjatve. V dekadnem sistemu ima tedaj število v obče to - le obliko: • . . c . 10 3 + b . 10 2 + a. 10 + j + — + ™ .. ., kjer pomenijo j, a, b, c,.. . številke jednic, desetic, stotič, tisočic, ... in a, p, -f, . . . številke desetin, stotin, tisočin, . . . Decimalni ulomek čitamo tako, da izgovorimo najprej celote pred decimalno točko, potem pa vsako posamezno decimalko z njenim imenovalcem Imenovalec posameznih decimalk pri izgovarjanju dostikrat tudi opuščamo ter imenujemo po vrsti le vse decimalke, ne izimši ničle. Izvod. Decimalnemu ulomku se vrednost ne izpremeni, ako mu pripišemo na desni kolikor si bodi ničel. Na pr. 0'23 = 0'230 = 0'2300 = 0'23000. Pretvarjanje navadnih, ulomkov na decimalne in obratno. § 96. Da pretvoriš navadni ulomek na decimalni ulomek, razdeli števec z imenovalcem, v kvocijentu pa postavi za celotami — (na njih mesto pride pri pravem ulomku ničla) — deci¬ malno točko. Ostanku pripiši potem ničlo, deli zopet ter zapiši dobljeno 81 kvocijentovo številko na desno ocl decimalne točke. Prav tako pripiši potem vsakemu naslednjemu ostanku ničlo ter nadaljuj deljenje, dokler ne dobiš delitve brez ostanka, ali, če se to ne zgodi, dokler nimaš toliko decimalk, kolikor jih želiš. - 7 - = 30:4 = 075 ||| = 329: 125 = 2632 4 20 115 790 0 400 250 0 Dokaz. Ako pripišeš ostanku celot ničlo, pretvoriš ga na desetine; ako potem te razdeliš, dobiš v kvocijentu desetine. Ce pripišeš ničlo prav tako ostanku desetin, pretvoriš ga na stotine in le-te razdelivši dobiš stotine; i. t. d. Dostavka: 1. Da moremo navadni ulomek natančno pretvoriti v decimalnega, treba, da postane ta decimalni ulomek končen (endlich), t. j. popreje omenjena delitev se mora dati izvršiti brez ostanka. Ako vzamemo, da sta števec in imenovalec relativni praštevili, tedaj je delitev brez ostanka le takrat mogoča, kadar imenovalec nima nikakega f a k t o r j a, ki je različen od 2 in 5; kajti z vsakokratnim pripisanjem ničle izvršimo množitev z 10 (5 X 2) ter s tem ostanku pridenemo le faktorja 2 in 5. V vseh slučajih, v katerih imenovalec celo nima faktorjev 2 in 5, ali v katerih ima razven teh še različne druge faktorje, da se navadni ulomek, v svoji najjednostavnejši obliki le približno pretvoriti na decimalni ulomek. Na pr. ~ = 23'0 : 78 = 0 2948 . . . 2. Kadar se navadni ulomek ne da natančno pretvoriti na deci¬ malni ulomek, tedaj moramo, pretvarjajoč ga na decimalni ulomek približno iste vrednosti, dobiti nekaj decimalk, katere se v istem redu ponavljajo. Kajti v vsaki delitvi je ostanek vselej manjši nego divizor; zato moremo dobiti le toliko različnih ostankov, kolikor je celih števil, ki so manjša nego divizor. Delitev nadaljujoč moramo dobiti naposled ostanek, katerega smo že poprej imeli, a potem se bodo tudi v kvocijentu v istem redu ponavljale številke, katere smo že poprej dobili, in prav tako se bodo ponavljali tudi prejšnji ostanki. Močnik. Aritmetika. 6 82 Na pr 1 _ 15 7'0:15 = 0'4666... 1 00 100 100 10 — = 18-0: 37 = 0‘486486... 37 3 20 240 180 320 240 18 Decimalne ulomke, v katerih se m koliko številk ponavlja v istem redu, imenujemo povratne ali p erij odičn e (periodisch), vrsto ponavljajočih se številk pa p o vračaj ali perij o do (Periode). Perijodo zapišemo navadno le jedenkrat, toda nad prvo in zadnjo njeno številko postavimo točko; tedaj je: 1 = 0'46 ; P - 0-486. § 97. Decimalne ulomke pretvarjamo v navadne ulomke po teh-le izrekih: 1. Končen decimalni ulomek pretvoriš na navadni ulo m e k, ako ga napišeš v obliki navadnega ulomka in tega, ako mogoče, še okrajšaš. Na pr. 075 = 15 _ 100 1 4’ 3T325 = 31 325 1000 = 31 13 40' 2. Čisto perijodičen decimalni ulomek, t. j. ulomek, ki nima pred perijodo nikakeršnih decimalk, pretvoriš nanavadni ulomek, ako vzameš perijodo za števec, za imenovalec pa toliko 9, kolikor ima perijoda številk. Dokaz. Ako zazuamiš iskani navadni ulomek z x, tedaj je 46 46 _ 46 , 46 * “ 100 + 10000 + 1000000 + 100000000 ■ To jednačbo pomnoživši s 100 dobiš lOOcc == 46 + 46 100 46 , 46 10000 1 1000000 + . . 83 Ako sedaj odšteješ prvo jednačbo od druge, dobiš 99x’ = 46, in odtod 46 35 - 99' 3. Mešano p e rij odi č en decimalni ulomek, t. j. ulomek, ki ima pred perijodo še druge decimalke, pretvoriš na navadni ulomek, ako odšteješ število, sestoječe iz decimalk pred perijodo, od števila, sestoječega iz decimalk pred perijodo in v perijodi, ter to diferenco vzameš za števec ulomku, čegar imenovalec ima toliko 9, kolikor ima perijoda številk, s toliko ničlami na desni, kolikor je pred perijodo decimalk. Na pr. 0'325 325 - 3 322 990' = ^7. 0'427 = 427 - 42 385 900 990 990' 900 Dokaz. Ako zaznamiš iskani navadni ulomek z a;, je 25 TL 180' _ 3 . 25 . 25 X ~ 10 ‘ 1000 " 100000 + 10000000 " Pomnoživši jednačbo najprej s 1000, potem z 10, dobiš 100te=300 + 25 + § + i | i + ... 10a; — 3 + TL — T. _|- — _ ~ 100 10000 ! 1000000 + Ako odšteješ zadnjo jednačbo od predzadnje, dobiš 990x = (300 + 25) - 3, in odtod _ 325 - 3 = 322 X ~ 990 990' • Četvero osnovnih računov z decimalnimi ulomki. § 98. Kačunanje z decimalnimi ulomki se opira na tiste zakone, kakor računanje š celimi števili, paziti pa je na mestno vrednost posameznih številk, t. j. na decimalno točko. Hočemo li decimalne ulomke seštevati ali odštevati, napišemo jih tako, da pridejo istoimenska mesta, tedaj tudi decimalne točke, natančno druga pod drugo, potem jih seštevamo ali odštevamo od desne proti levi kakor cela števila. Na praznih mestih si lahko mislimo ničle. 6* 84 215'3456 91-45923 35'312 0'5678 39"2 diferenca 123"88637 vsota 75'0798 Dostavek. Pri mnogih računih navadno zadošča, ako od decimalnega ulomka, imajočega veliko decimalk, pridržimo le nekaj decimalnih mest. Pogrešek, ki tako nastane, skušamo kar največ zmanjšati in sicer s tem, da zadnjo pridržano decimalko popra¬ vimo (corrigieren). Ta poprava sestoji v tem, da zadnjo pridržano decimalko povečamo za 1. kadar je prva izpuščena številka 5 ali večja od 5, in da zadnje pridržane decimalke ne izpremenimo, kadar je prva izpuščena številka manjša nego 5. Tak decimalni ulomek imenujemo okrajšan ali nepopoln. Da označimo decimalni ulomek za okrajšanega, pripišemo mu nekaj pik. 7"28374 da okrajšan na 4, 3, 2, 1 mesto: 7*2837 ..., 7"284 ..., 7'28..., 7 3 .., V pravilno okrajšanem decimalnem ulomku je pogrešek vselej manjši kakor polovica jednote poslednje pridržane decimalke. Kadar so v jednem izmed več sumandov (ali tudi v minuendu ali subtrahendu) desetine, stotine_nepopolne, nepopolne so desetine stotine.... tudi v vsoti (diferenci). V takem slučaju ne moremo vsote (diference) določiti natančneje kakor na desetine ali stotine; zato pa vzamemo od nižjih mest popravo. Na pr. ali 28-359 7'84 1707.. 134-5 ... 28'4... 7~8... 1707 .. 13 43 ... -S'82,43 7'61 ... 1373 ... —5‘82,6 7’60... § 99. 1. Decimalni ulomek pomnožimo s potenco števila 10, ako pomaknemo decimalno točko za toliko mest proti desni, kolikor ima multiplikator ničel. a ja « __ a a 10 “" 10 “ : 10 ’“ 10 “ ■ 3-14159 . 100 = 314-159, 0'097325 . 1000 = 97 325. 2. Dva decimalna ulomka pomnožimo, ako ju pomno¬ žimo, ne oziraje se na decimalni točki, kakor celi števili ter potem v produktu od desne proti levi odrežemo toliko decimalk, kolikor jih imata oba faktorja skupaj. a b _ ab 10“ ' io M ~~ 10“ + ™' Prav isto velja tudi takrat, kadar je jeden faktor celo število. Kadar produkt nima toliko mest, kolikor jih je treba odrezati, postavijo se na prazna mesta na levi ničle. 6'543 X 2 37 4 23 X 0 01307 1 269 2961 13 086 1 9629 45801 0 0552861 1550691 Pomniti je treba tudi to, da se pri množitvi z jednicami mestna vrednost ne izpremeni, a da se pri množitvi z desetinami, stotinami... zniža za 1, 2,... mesti. § 100. Kadar v produktu dveh decimalnih ulomkov nočemo dobiti nižjih mest, nego jih zahteva natančnost računa, uporabljamo okrajšano množenje (abgekilrzte Multiplication), pri čemer množimo z vsako multiplikatorjevo številko le one multiplikandove številke, katerih produkti vplivajo na zahtevana mesta. Na pr. 7 jed. X 6 desettisočin = 42 des.-tisočin. Desetice tega produkta (4 tisočine) vzamemo kot popravo. 7 jed. X 5 tisočin = 35 tisočin, torej zapišemo 7 jed. pod 5 tisočin (zahtevano decimalno mesto). 4 desetine X 6 des.-tisočin = 24 stotisočin ne vpliva na tretjo decimalko. 4 desetine X 5 tisočin = 20 des.-tisočin da 2 tisočini za popravo. 4 desetine X 1 stotina = 4 tisočine. Torej zapišemo 4 desetine pod i stotino. 9 tisočin X 2 desetini = 18 des.-tisočin, torej 2 za popravo. 9 tisočin X 5 jednic = 45 tisočin. Zato zapišemo 9 tisočin pod 5 jednic. Ako zapišemo multiplikatorjeve številke pod multiplikandove tako, da da produkt vsakih dveh druga nad drugo stoječih številk (najnižje) zahtevano decimalno mesto, pridejo vselej jednice jednega faktorja pod (oziroma nad) zahtevano 35 2156 X 7 409 na tri decimalke 3521 56 9 04 7 246 50 9 14 08 6 _ 31 7 260'91 2... 86 mesto drugega faktorja in stoje kat orje ve v obratnem redu. Na pr. a) 3'047653 X (T00867 na 4 decimal. 3’047 653 76 800’0 sploh vse številke multipli- b) 16'42 X 279-34 na 1 decimal. 16"42 ali 279"34 43-972 24"6l Okrajšano množiš torej tako-le: 1. Multiplikatorjeve jednice zapiši pod ono multiplikandovo mesto, ki se v produktu zahteva kot najnižje; vse druge številke pa napiši zraven teh jednic v obratnem redu tako, da se prikaže ves multiplikator obrnem 2. S prvo na desni stoječo številko obmenega multiplikatorja pomnoži najprej ono multiplikandovo številko, katera stoji za jedno mesto dalje proti desni, pa tega produkta ne zapiši, marveč si za¬ pomni le njega naj bližje desetice, katere dado popravo ali korek¬ turo; potem pomnoži ravno nad njo stoječo multiplikandovo številko, produktu prištej popravo in tu začni produkt napisavati; nato pomnoži zaporedoma vse multiplikandove številke. Prav tako množi z drugo, tretjo . . . multiplikatorjevo številko, dobljene okrajšane produkte pa piši tako drugega pod drugega, da pridejo njih najnižja mesta natančno drugo pod drugo. 3. Te delske produkte seštej in odreži v vsoti toliko decimalk, kolikor se jih zahteva. Dostavek. Ako je j eden faktor okrajšan (ali ako sta okraj¬ šana oba), produkta ne moremo tako natančno določiti, kakor bi hoteli. Na pr. produkta 8"43 ... X 26"859 ... ne moremo natančno določiti na 3 decimalke, 8"43?? . 958-62 ali 26'859 ... 34'8 ker ne poznamo dveh mest prvega faktorja, s katerima bi morali množiti 2 desetici in 6 jednic drugega faktorja, da bi dobili tišočine natančno. V tem slučaju moremo izračuniti le toliko veljavnih številk v produktu (ali za jedno več), kolikor zanesljivih multiplikatorjevih številk ustreza multiplikandovim številkam. Pišemo pa: 8-43.... ali 26‘859 ... 958‘(>2 ... 34"8 . 87 Mestna vrednost tiste številke jednega faktorja, ki stoji nad (ali pod) jednicami drugega faktorja, določuje mestno vrednost najnižjemu mestu produkta. Pogostoma jemljemo to najnižje mesto v produktu le za po¬ pravo. Na pr. V popolnem številu 604 moremo mesta desetin, stotin, .... po- polniti z ničlami, tedaj razvidimo, da moremo produkt zanesljivo izračuniti le na jedno decimalko. § 101. 1. Decimalni ulomek razdelimo s potenco števila 10, ako pomaknemo decimalno točko za toliko mest proti levi, kolikor ima divizor ničel. 345 67 : 10 = 34 567, 378 : 1000 = 0'0037S. 2. Hočeš li decimalni ulomek razdeliti z decimalnim ulomkom, pripiši dividendu in divizorju toliko ničel, da imata jednako število decimalk, potem izpusti decimalno točko ter izvrši delitev kakor pri celih številih. a h _ a 10“ _ a _ W ' IT ~ ~b ~ a: • 37452 : 1 '234 = 31452 :12340 = 2'54878 .... Prav tako ravnaj, kadar je dividend ali divizor celo število. Za praktično računanje pomni sosebno to-le: 17536 :128 = 137, 17536:12800 = 1 37, 1753600 : 12S = 13700, 17 536 : 128 = 0737, 17536 : 12 8 = 1370, 175375: 1'28 = 1370. (Dokaži pravost teh kvocijentov, uporabljajoč prejšnji izrek!) Vrsta veljavnih številk v kvocijentu je zavisna, kakor kažejo navedeni primeri, jedino le od številčne vrste v dividendu in divizorju. Zaporedne kvocijentove številke dobimo, ako se v dividendu 19'438.. ,X0'0604 .... nasprotno: 19*43 8 .. ,X604 40 60'0 1 16 6 40 6 _8 177 4 ali 177. . . 11740‘5 ... ali 11741 . . .. 88 in divizorju kar nič ne oziramo na decimalno točko, marveč izvršimo delitev kakor s celimi števili. Mestno vrednost najvišje kvocijentove številke, katera določuje tudi mestno vrednost vseh drugih, določujemo tako-le: 17536 :128 = 1 . . *, govori: 175 stotič : 128 jednic. = 1 stotica,- 6'4379 : 2827 = 0'002, govori: 6437 tisočin : 2827 jednic. daje 2 tisočini. Primerjajoč ta dva primera z nastopnima: 17536 :129 = 1 .. \ 6 4379 :2828 = 0 002, razvidimo, da za določitev mestne vrednosti nima nobenega pomena, če ima divizor razven celot tudi decimalke. Določujoč mestno vred¬ nost najvišji kvocijentovi številki moraš torej paziti le na celote divizorjeve: a) 17536:128*439=1..', govori: 175stotič: 128jednic. dajestotice. b) G'4379 : 2827*3475 = 0*002, govori: 6437 tisočin : 2827 jednic. da tisočine. Kadar divizor nima nobenih celot, tedaj je prav umestno, da dividend in divizor pomnožimo s primerno potenco števila * 10 ter decimalno točko premaknemo proti desni za toliko mest, da dobimo v divizorju j e dno celo mesto. Potem pa določimo mestno vrednost najvišje kvocijentove številke prav tako, kakor pri prejšnjih pri¬ merih. Na pr. c) 124*3 : 0*0045 = 124300 : 4'5 = 2 .... *, govori: 12 deset- tisočic : 4 jedn. daje 2 desettisočici. d) 26'48 : 0*145 = 264*8 : 1*45 — 1 . .*, govori: 2 stotici: 1 jedn. daje 1 stotico. Mestno vrednost najvišje kvocijentove številke lahko določiš, ne da bi premaknil decimalno točko, po tem-le pravilu: Divizor misli si zapisan pod prvi delski dividend; prva številka v kvocijentu ima prav tisto vrednost, katero ima v dividendu številka, stoj eča nad divizorj e- vimi j e dnicami. Na pr. a) 175 36 : 128*439 = 1 .. * c) 124*3 : 0*0045 = 2 ... * 128*439 0*0045 b) 6*437 9 : 2827*3475 = 0*002 2 827*3475 d) ? 26*48 : 0*145 = 1 .. * 0’14 5 89 Računajoč se prepričaj, da ima produkt vsake kvocijentove številke s ka¬ terokoli divizorjevo številko prav tisto mestno vrednost, kakor ona številka v divi- dendu, od katere je treba odšteti dotieni delski produkt. § 102. Da določimo v kvocijentu dveh števil le toliko številk, kolikor jih je zanesljivih in da se ob jednem izognemo nepotrebnemu računanju, v to nam služi okrajšano deljenje (abgekurzte Division). Bistvo okrajšane delitve je to-le: 1. Najprej poišči prvo kvocijentovo številko in tej določi mestno vrednost (§ 101.). Iz mestne vrednosti prve kvocijentove številke in iz števila zahtevanih decimalk lahko določiš, koliko številk je treba izračuniti v kvocijentu. 2. V divizorju odreži od leve proti desni toliko veljavnih številk, kolikor se jih zahteva v kvocijentu; te številke tvorijo okrajšani divi z or. Ako divizor nima toliko številk, kolikor jih je treba odrezati, začni na okrajšani način še le tedaj deliti, ko si vzel vse številke okrajšanega dividenda v račun. 3. Tudi v dividendi! pridrži le toliko najvišjih številk, kolikor se jih zahteva v kvocijentu, ali pa za jedno več, in to takrat, kadar prav toliko najvišjih številk nima v sebi okrajšanega divizorja. Številke, katere pridržiš, tvorijo okrajšani dividend. 4. Delitev okrajšanega dividenda z okrajšanim divizorjem prični na navadni način in jo nadaljuj, dokler nisi vzel v račun vseh številk okrajšanega dividenda; potem pa odreži pri vsaki poznejši delitvi najnižjo številko v divizorju, dokler jih je še kaj. Vsakikrat dobljeno kvocijentovo številko pomnoži najprej z najvišjo odrezano divizorjevo številko in prištej iz tega produkta dobljene najbližje desetice kot popravo produktu iz okrajšanega divizorja in dobljene kvocijentove številke. 5. Tako ravnaj, dokler ni v divizorju nobene številke več. Na pr. 3 dec. 3 dec. • 39 1 4 48 60 12 1 c) 48-438,6:27'3 = 1'7743 21 13 2 028 4 dec. 117: 2 , 7*. 3 8 90 V tretjem primeru se prične okrajšana delitev še le tedaj, ko smo vzeli že vse številke okrajšanega dividenda v račun. Dostavek. Ako je dividend ali divizor nepopolno decimalno število, dobimo v kvocijentu le toliko zanesljivo veljavnih številk, kolikor si jih vzajemno ustreza v dividendu in divizorju. Na pr. a) 13 84...: 5 3842 = 257 ... b) 284: 5 349 . . . = 5'309 . . . 5'(3<8<4(2 5 <3,49 . .. 3 07 3 8 1 5 0 p Popoloemu decimalnemu ulomku pristavimo lahko na desni katero¬ koli število ničel; a pri okrajšanem decimalnem ulomku kaj tacega nikakor ne smemo storiti. Naloge. Pretvori te-le navadne ulomke na decimalne: 1. a) 2. a) 3 . a) 2 _ 5 ’ jj 6 ’ 7_' 12 ’ b) b) b) 17 25 43 9 214 55 , 39 ^ “ŠČT , 36 c) 11 113 74 d) d) d) o i 125 25 37 31 36 e) e) e) 2344 625 1 043 41 107 32 ' f) ' 7J 13 933 108. {) 275 ' 7J 1640' 4. Pretvori te - le končne decimalne ulomke na navadne: a) 0 25, b) 075, c) 3 072, d) 5725, e) 0 0024, f) 8'0875. 5. Pretvori te - le čisto perijodične decimalne ulomke na navadne : a) 0'6, b) 54, c) 0 *21, d) 6 06, e) 4'243, f) 04378. (j. Pretvori te-le mešano perijodične decimalne ulomke na navadne: a) 0 26, b) 2'351, c) 4413, d) 04245, e) 079324. 7. 32 38 + 4349 + 21 ; 27 + 78'04 + 49'83. Seštej te-le decimalne ulomke najprej v vertikalni, potem v horizontalni meri: a) b) c) d) e) f) 8. 1978 + 35'096 + 871295 + 02087 + 4478063 + 15 892; 9. 37'09 + 18 388 + 244966 + 02897 + 3447585 + 74418 ; 10. 5 35 + 56 905 + 7*58506 + 0 5375 + 7493203 + 9 005 ; 11. 10 93 + 68227 + 348751 + 04884 + 0479728 + 56793. 12. Okrajšaj decimalne ulomke pod e) na 2, (3, 4) decimalke in poišči vsoto okrajšanih števil. 13. 5'273 . . . 14. 0 7619 15. 13*58 ... 1Š. 23 3182 .. . 0 689 ... L 0'7988 6 376 ^ 9 30 . . . 5 035 . . . 0-522 . . . 42 0457 0 2649 4 621 . . . 0 8098 86 93 . . . 68-16804 17. 83"8 - 25’4. 18. 57 16 - 9 58. 19. 3'407 - 0’562. 3«. 62 027 - 29 28. 31. 17-6 - 9 374. 33. 1 - 0 4736. 33. 257-328 - 138. 31. 85 - 46 55037. 35. Od 721 092 . . . odštej a) 248 ..., b) 937 c) 30454 ..., d) 58709 . . ., e) 28765 . . . 38. Izračuni A = a + b -j- c, B = a -j- b — c, C — a — b -\- c, D = b -j- c — a. za a = 23*4567, b = 39 0703, c = 51*809. 27. Če vzamemo, da preleti prosto padajoče telo v prvi sekundi svojega padanja 4'904 m in v vsaki naslednji sekundi za 9'808 m več nego v prejšnji; koliko m preleti a) v drugi, tretji in četr,ti sekundi, b) v prvih štirih sekundah? 38. Dolžina nihala, katero nihne vsako sekundo po jedenkrat, znaša na tečajniku 996 088mm, na ravniku 990891 mm; kolika je razlika obeh dolžin? 29. 1 km = 0 131823 avstr, milje; koliko avstr, milj ima 10, 100, 1000 km? 30. Pomnoži a) 24'27, b) 336'18, c) 0"27309 s 3, 4, 5, 8, 9. 31. 3 147.23. 32. 55*64.9 3. 33. 7 928.0'6. 34. 9-7084.0 925. 35. 37'1774.54 907. 36. 0 82745.0'0798. 37. Razdalja med mesecem in zemljo je 58 525 krat tolika kakor polumer Zemljinega ravnika; kolika je ta razdalja, če vzamemo, da ima ravnikov polumer 859'44 zemljepis, milj? Izračuni množeč na okrajšani način: 38. 31415.9'2587. (3 dec.) 39. 0'9156.23*85 1 . (2 dec.) 40. 12 0748.1 91345. (4 dec.) 41. 81 2867.0 1234. (3 dec.) 92 42. 5 376079.8 058876. (5 dec) 43. 86'43 ... X 0 503 . . . 44. 9’4152 . . . X 120 . . . 45. 143 57 ... X 140 2 . . . 46. 80-3 X 1 045 ... X 19 062 . . . 47. 8-14793.7 10936.2 51446. (4 dec.) 48. 4045.1 045.4045.1 045. (6 dec.) 49. Določi p — {a + b — c) (a — b -f~ c) (b + c — a) za a = 43078 . . ., b = 2 0912 . . ., c = 2 801 . . . 50. Razdeli a) 327 4, b) 58 06, c) 0 23, z 10, 100, 1000. 51. 38 4 : 4. 52. 0*675 :17. 53. 774772 :109. 54.268-8:32. 55. 0*3197 : 27 8. 56. 4735*02 : 0*53. 57. 71*541: 0‘9. 58. 0*5976 : 0 083. 59. 65*0448: 0*0024. 60. Zemlja preteče, vrteč se okoli solnca, v 1 uri 14787*68 zemljepis, milj; koliko a) v 1 minuti, b) v 1 sekundi? Izračuni deleč na okrajšani način: 61. 45-12345 : 3 8265. (3 dec.) 62. 986*256: 127*85. (2 dec.) ( 63. 13-794:28-376. (4 dec.) 64. 0*7123:43*566. (4 dec.) 65. 754-06:0'649. (2 dec.) 66. 3*1416: 7*825. (3 dec.) 67. 1 kg = 1*785523 . . . dunajskega funta; koliko kg ima 1 dun. funt? 68* 18-439 . . .: 4‘80_ 69. 156 :14*732 - 70. 9*7354 : 8*715 _ 71. 156*2 . . .: 4*98765. III. Naloge v ponavljanje. *1. Koliko velja 45 kg po 20 li? (20 h = | K). *2. Koliko velja 64 l, ako velja 1 l a) 10 h, b) 20 ti, c) 25 h, d) 50 h? *3. Koliko velja 48 m po 30 li ? (30 li = f K + ^ K). *4t. Koliko velja 127 kosov, če velja 1 kos a) 15 h, b) 24 h, c) 35 h, d) 60 h, e) 75 li? 5. Pretvori te-le navadne ulomke na decimalne: a) 5 ^, b) c) d) H. <>) H. f) m- 6 . (59-302 — 27-8775). 3 32. 7. 8-137526.3'04489i .7-628573. (5 dec.) 8. 68-0124152 : 7 961. 9. 0’0552801 : 0'423. 93 10 ^ xJ r^y _ 3.r — 7 y . 2-r — 3 y x + y x + y ^ x + y ' 8 m?x ny 4x 2 y 2 _ 5 a 2 y 2 o n l y 4«a:' 36 2 ' 3r 2 13. Poišči najv. skupno mero od a) 11467 in 16031; b) 2370, 56485 in 47005. *14. Pomnoži a) 45 b) 98, c) 16§ s 50‘ (50 = *15. Pomnoži a) 36, b) 48, c) 120 z 12| (12f = O *16. Pomnoži a) 24, b) 81, c) 135 s 33j (33f = ——J. 17. O 4 — a 3 y + ay 3 — y i ) (a 2 -f ay + y v ). 18. (S® 4 — 2x 3 — 3x 2 — 2x+7) (6x 2 + 4x — 7). 19. (16ff 4 — 8 a 2 b 2 — 6 4 ) : (4a 2 — 4 ab -f- b 2 ). 20. (O# 4 — 5* * 11 -f- 4® 2 -j- l\x — 4) ■■ (2x 2 — 3x -f- 4). 21. 29607:1202m. ' 22. 16rn X O/iT- „„ 22-594 , 18-597 — 12-6584 10 8724.0'368 ’ 7 395 1 0-325 2'45 *24. Trgovec je imel kos sukna; od tega je prodal |, in ostalo pa mu je še 9 rti. Koliko m sukna je bilo? *25. Koliko velja a) 28 l po 48 k? b) 16 m po 3 K 35 b? *26. lf hg velja 2 K 24 h; po čem je 1 lig? *27. 2| m velja 7j K; po čem je lm? *28. Kolik je najmanjši skupni mnogokratnik od a) 6 in 15? b) 12 in 18? c) 10 in 24? d) 20 in 25? 29. Poišči najm. sk. mnogokratnik od: a) 4, 5, 10, 12, 15, 36; b) 2, 5, 8, 11, 15, 21, 72. 30. « + 6 d 2 + b‘ a-h b ‘ 31. x 2 — y 2 - x x — 2 x 2 y 2 — y % x 2 -]- y l „„ /2 a 2 ax 3.t 2 \ (2« 3x \ 32, \ir-l2 -Jej : \T~tJ- 33. Za koliko se poveča ali zmanjša ulomek §|, a) ako števcu in imenovalcu prišteješ 1, b) ako od števca in imenovalca odšteješ 1? 94 Q/l 1 1 _L 38 r 47 , 73 ***• 3 6 ' 45 + 60+ 80- 40 i 45 72 J 75* *36. f m veljajo 3 K 36 h; koliko velja 1 m? 37. Pretvori te-le perijodične decimalne ulomke na navadne: a) 0 ; 36, b) 0-03, c) 4-3527, d) 6 513, e) 0’67954. Izračuni na okrajšani način na 3 decimalke: 38. 0-79596.73'804. 39. 256’8735.0'09276. 40. 572876 : 0'0275. 41. 242'87 :17'384. 42. 4 porabi od svojih letnih dohodkov § za hrano in obleko, f za stano- . ..„^ra 2 )j£^kurjav 3 - 4a 3 . o r 4;j. " = 25—a3. 47. -f + 17 =-f+ 18- 4 5 49. 7 = -£ * - 3. o 51. 2a; - ^ = 3 (a - 2). 5 53. ? -+.* = 2. O — X 40. kd* + 3 = 4cr. ,48 '*• 3 2 6 1 2 50. j x - 4 = j x - 3. 52 ’ f + J = z - 1 54. 1 1 — x 3 x “2 + T + T = 13 ’ -9 30 , 81 , , 7 »7.- 1- ?r = 4 + 777 ?/ 2>j 10 50. x -j-3 __ x — 3_ 5 9 Q y _i_ p) 2 2 - 1 61. - 9 = 4 3 63. 13 -x = 3 16 — x 4 ... 10.c + 1 = Qx + 3 5x-8 3x — 4 07 10,y +■ 1 _ j _ — 2 ‘ 3 {y + 1) y + 1 ' 60. -!(* + 4) = 1. -n Z , Z , Z , . 06 . — + — + -r=*+i. 5S/ 25_2® J ^ 2 ) = 3 X X 60. 7 - 1 = 9 77-‘ 5 14 a; — 5 , x -j- i _7x — 2 b.. — + ^ - 15 ~. 64. - 9_ x + 5 — 3 a; — 5 66 ^ , 2 __ 5x —J. ' x + 3 ’ .t -3 a; 3 - 9' ,68. 3 l x- - 8 a;—7 a:— 9 — — 5 ) = —— 2 — 3 V 4 / 8 3 7 °-|v4 in 11 3 U l tL (a + 3) + 2 + 1 1. 100 78> ® + 2_^±5 = a; + 2 _ 3 o - 2 _ 2 y 4 11 . 2*- 13 , 2®- 12 29 / 74 - - - - + 7® 58. 4 + + s 75. b a a —- bx , m — ucc 2(a; — 8) x — 8 x — a x — b 24 9 2 % ■ 4 70 - 9a; 3 (x - 8)' x a a 3. 76. 78. X b = —-- a. b + c, 79. -—- + 1 P _ a -f~ x x b — a _ a (b -j- c) % cn a "f - & 8U. -r . £C = a — b a -j- b a — b ( .. x -f* b (a — b) ci ~j~ b 81. i + x _ i = ^L+J? - lj JB. a -j- b ! )a — b I II. Uporaba jednačeb. § 106. V vsaki nalogi se stavijo neki pogoji, katerim morajo zadoščati števila, katera iščemo. Kadar moremo pogoje, veljavne za neznana števila, izraziti z algebrajskimi znaki, tedaj laliko določimo te neznanke, če razrešimo dotično jednačbo. Uporabljajoč jednačbe v razreševanje takih nalog treba paziti na dve stvari: 1. Da jednačbe sestavimo, t. j. da izrazimo dane pogoje z algebrajskimi znaki; 2. Da tako dobljene jednačbe razrešimo. Kako naj jednačbe sestavljamo, za to nimamo splošnih pravil; za to je treba bistroumnosti in mnogotere vaje. Začetnikom utegne stvar vsaj nekoliko zlajšati to-le pravilo: Dano nalogo si misli razrešeno in z neznanko ravnaj, kakor to zahtevajo pogoji naloge; tako dobiš za jedno in isto količino dva po obliki različna izraza. Ako ta izraza izjednačiš, dobiš zahtevano jednačbo. 101 Bolj jeclnostavne naloge moreš, ne da bi sestavljal posebne jednačbe, razrešiti tudi kar na pamet s samim umovanjem. Da se prepričaš, je li naloga prav razrešena, preišči, ali najdena vrednost neznanke tudi res zadošča pogojem naloge. Primeri. 1. Katerega števila 5ina je za 52 manjša nego število samo? Na pamet. Razlika med katerimkoli številom in njega petino je J. Ako je torej ta razlika, t. j. £ iskanega števila, jednaka 52, potem je njega petina 13, in število samo 5krat 13, t. j. 65. Pismeno. Ako zaznamimo neznano število z x, potem je njega . cc cc petina —. Ker pa je — za 52 manjši od x, treba, da postaneta 5 ' 5 jednaka,— prišteti še 52; torej dobimo o -f + 52 = *. 5 Razrešivši to jednačbo dobimo x = 65. Preskušnja. f od 65 je 13; 65 — 13 = 52. 2. Gospodar obljubi svojemu služabniku kot letno plačilo 180 K in obleko; a po 3 mesecih ga odpusti ter mu da le obleko za plačilo. Za koliko je gospodar zaračunil obleko? Na pamet. Ako dobi služabnik za 3 mesece, t. j. { leta obleko za plačilo, dobiti bi moral za ostale f leta še 180 K. torej za J leta 60 K. Ker pa dobi za ta čas obleko, zaračunila se mu je za 60 K. Pismeno. Vzemimo, da ima obleka vrednost x K. Plačilo na vse x i j 80 leto znaša potem (x -f 180) K, torej za 3 mesece — -- K; ker je pa dobil služabnik za ta čas le obleko, ki je vredna x K. mora biti x -j- 180 * “ 4 torej x = 60 K. 3. Nekdo odgovori, ko so ga vprašali za njegovo starost: Čez 10 let bom imel 2krat toliko let, kolikor sem jih imel pred 4 leti. Koliko let ima? Vzemimo, da ima x let, potem jih bode imel čez 10 let (x -f- 10), a pred 4 leti jih je imel (x — 4). 102 Ker je po pogojili naloge prvo število 2krat večje od drugega, treba, da dobimo jednačbo, drugo število pomnožiti z 2; tedaj je ai -j- 10 — 2(x - 4), in zato x — 18. 4. Oče je 48, sin pa 18 let star. Čez koliko let bode oče 4krat toliko star kakor sin? Recimo čez x let. čez toliko let bode oče (48 + x ), sin pa (18 + x) let star, in ker je po pogojih naloge starost očetova 4krat tolika kakor sinova, dobimo 48 + x = 4 (18 -f x), in iz te jednačbe x — — 8. Za neznanko x dobimo tu negativno vrednost. Ker smo rekli, da pomeni x v tej nalogi prihodnja leta. pomeniti mora za x dobljena negativna vrednost leta v nasprotnem zmislu (§ 54.), torej 8 preteklih let. t. j. oče je bil pred 8 leti 4krat toliko star kakor sin. 5. Neki vodnjak napolni jedna cev v 3, druga v 4 urah. V koliko urah se napolni vodnjak, ako sta zajedno odprti obe cevi? Recimo, da pomeni x iskano število in p vodnjakovo prostornino. Prva cev napolni v 1 uri v x urah druga 1 px _ IT’ v x „ -X; obe napolnita torej px 3 ~ X' Ker pa je ta vsota jednaka vodnjakovi prostornini, dobimo px , px ,. X , X x urah px , px . X , 3 + i =r a " y+ 4 i in iz te jednačbe x = 1 f. 6. Za slom (kurirjem), kateri je odpotoval iz nekega kraja pred 2 dnevoma, in kateri prehodi na dan 49 km., odpošlje se iz istega kraja drug sel, ki prehodi na dan 77 km. V koliko dneh dohiti drugi sel prvega,? Na pamet. Prvi sel ie dva dni prej odpotoval nego drugi ter v tem času naredil pot 21 drugi x dnij ; prvi naredi v tem času pot 49 (2 -f x) km , drugi llx km. Te poti pa sta jednaki; zato dobimo 49 (2 + x) = llx, in x = 3|. dneva. Naloge. Z zvezdico (*) zaznamovane naloge razreši na pamet in tudi pismeno. *1. 5kratnik nekega števila, povečan za 23, je jednak 88. Katero število je to? *2. Kateremu številu moraš prišteti 54, da dobiš njega 4kratnik ? *3. Katerega števila 3kratnik je za 42 manjši nego njegov 5kratnik ? *4. Ako pomnožim neko število s 3, dobim prav toliko, kakor če mu 3 prištejem; katero je to število? 5. Ako prišteješ mkratniku nekega števila število a , dobiš prav toliko, kakor če odšteješ od njegovega »kratnika število b. Katero število je to? *(5. Katerega števila četrtino moraš zmanjšati za 12, da dobiš njega 12ino? *7. Ako vzamem oino nekega števila 8krat, dobim za 6 večje število, nego je število samo. Katero število je to? *8. Polovica in petina nekega števila sta skupaj za 86 manjši nego njega 5kratnik. Koliko je to število? *9. Ako zmanjšam osmino nekega števila za njega desetino, dobim ravno toliko, kakor če zmanjšam petnajstino istega števila za 5. Koliko je to število? *10. Kateremu številu moraš prišteti njega polovico, tretjino in četrtino, da dobiš 100? 11. Ako prištejem nekemu številu število a ter vsoto razdelim z m, dobim prav toliko, kakor če od istega števila odštejem b ter diferenco razdelim z n. Katero število je to? 12. S katerim številom treba 230 razdeliti, da dobiš 13 za kvocijent in 9 za ostanek? 104 IB. Mislim si neko število. Ako je pomnožim s 5, od produkta odštejem 6, diferenco razdelim s 3 in kvocijentu prištejem 10, dobim dvakrat toliko število. Katero število sem si mislil? 14. Ako tretjini nekega števila prištejem 1 in od dvakratne vsote odštejem 6, dobim ničlo. Katero je to število? 15. Katero število je treba odšteti od števil 19 in 11, da je prva diferenca dvakrat tolika kakor druga? 10. Katero število moraš prišteti števcu in imenovalcu ulomka H, da dobiš ulomek |? 17. Katero število moraš odšteti od števca in imenovalca ulomka H, da dobiš ulomek |? 18. Katero število moraš prišteti števcu ulomka ~ in odšteti od b njegovega imenovalca, da dobiš recipročno vrednost danega ulomka? 19. Ako odšteješ od števca in imenovalca ulomka ff neko število, tedaj je produkt iz danega in novega ulomka jednak |. Katero je to število? 30. Ako prišteješ nekemu številu njega polovico in 6, tej vsoti zopet nje polovico in 6, dobiš 69. Poišči to število. *31. Ko sem zmanjšal neko število za njega polovico in še za 15, ostanek pa zopet za njega tretjino in še za 10, ostalo je 30. Koliko je bilo to število? Na pamet. Ker sem odštel naposled tretjino ostanka in 10, ostali sta še dve tretjini menj 10; torej je 30 + 10 ali 40 jednako § prvega ostanka; ako pa sta | ostanka = 40, potem je j njegova = 20 in ves prvi ostanek 3krat 20 = 60. Ker je pa ta za 15 manjši nego polovica neznanega števila, mora 60 -j- 15 ali 75 biti polovica tega števila in število samo 2krat 75 = 150. *32. A ima 315 K, B 205 K; koliko mora A dati 5-ju, da bodeta imela oba jednako ? 3B. Ko bi imel 20 K več, nego imam, imel bi ravno 5 K menj nego dvakrat toliko, kolikor imam. Koliko imam denarja? 34. Od blaga, katero je tehtalo 320 kg, prodalo se je nekaj, ostalo pa je še 50 kg več, nego se ga je prodalo. Koliko kg se je prodalo? *25. Deček je imel 60 orehov. Nekaj jih je dal svojemu tovarišu, njemu pa je ostalo še 4krat toliko, kolikor jih je oddal. Koliko orehov je dal tovarišu? 105 ‘'26. Nekdo uporabi od svojih letnih dohodkov polovico za hrano in stanovanje, f za obleko in perilo, f za druge manjše potrebščine, 280 K pa si prihrani. Koliko ima dohodkov na leto ? 27. Potnika so vprašali, koliko km je neki prehodil; a on od¬ govori: Ko bi bil prehodil še i8km, prišel bi bil 3 krat tako daleč, kakor sedaj? Koliko km je potnik prehodil? *28. Nekdo si je hotel za določeno vsoto denarja kupiti vina in sicer steklenico po 180 h; ker je pa steklenica veljala le 140 h, dobil je za svoj denar 8 steklenic več. Koliko steklenic je dobil? *29. Neki učitelj odgovori na vprašanje, koliko ima učencev: »Polovica mojih učencev je za 16 večja nego šestina in devetina. “ Koliko učencev ima učitelj? 30. Neki oče je 32 let, njegov sin pa 2 leti star; čez koliko let bode oče 3krat toliko star kakor sin? 31. Nekdo je 60 let, njegov sin pa 24 let star; pred koliko leti je bil oče 4krat toliko star kakor sin? 32. Nekdo odgovori na vprašanje, koliko je star: „Cez 12 let bodem 4krat toliko star, kakor spi bil pred 12 leti.“ Koliko je star? *33. Neki oče je sedaj 43 let star, a pred 8 leti je bil 5 krat toliko star kakor njegova hči; koliko let ima hči? *34. Nekdo hoče denar, kar ga ima ravno pri sebi, razdeliti med 10 ubožcev. Ako da vsakemu 20 h, ima ravno toliko premalo, kolikor ima preveč, ako da vsakemu 18 h. Koliko h ima pri sebi? 35. Ko se je tiskala neka knjiga, postavili so na vsako stran po 36 vrst in v vsako vrsto po 40 črk. Ako bi postavili na vsako stran po 4 vrste več in na vrsto po 5 črk več, potrebovali bi 2 poli menj. Koliko pol ima knjiga? 36. Železniški vlak je potreboval 4f ure, da je pretekel neko razdaljo, a potreboval bi bil le 3| ure, ako bi bil pretekel vsako uro 9' km več. Koliko km je pretekel vlak v vsaki uri? *37. Ako odvzamem od neke vsote polovico, od ostanka zopet polovico in od novega ostanka tudi polovico, ostane mi še 37 K. Kolika je bila prvotna vsota? 38. Neki igralec izgubi pri prvi igri 6 K menj nego J svojega denarja, pri drugi igri 2 K več nego £ ostanka, pri tretji igri 8 K več 106 nego tega, kar mu je ostalo po drugi igri, in ima še sedaj 28 K. Koliko denarja je imel s početka? 39. Za blago se je iztržilo 2744 K, a dobiček je znašal ^ kupnine. Kolika je bila kupnina? * 40 . Trgovec je kupil kos sukna, meter po 3f K, a prodal ga je meter po 4| K. Ako je imel pri vsem 27 K dobička, koliko metrov sukna je bilo? 41 . Trgovec z žitom ima neko določeno množino pšenice. Ako proda hi po 20 K. ima 384 K dobička; ako pa proda hi po 18 K; ima 96 K izgube. Koliko hi ima? 42 . V vodnjak priteka voda po treh ceveh; prva cev sama ga napolni v 4 urah, druga sama v 6 urah, tretja sama v 12 urah. V koliko urah se napolni vodnjak, ako priteka voda ob jednem po vseh treh ceveh? 43 . Dva delavca imata nalog, da očistita blata 435 m dolg jarek; prvi očisti na dan 42 m, drugi 45 m; kdaj bodeta izvršila delo ? 44 . Za neko delo se ponujata dva delavca; A bi dovršil delo v 18, B v 15 dneh. V koliko dneh bi A in B skupaj dovršila to delo? 45 . Od krajišč A in B 300 m dolge daljice se začneta dve telesi v istem času gibati drugo proti drugemu; prvo naredi v vsaki minuti pot 7 m, drugo pa pot 5 m. Koliko minut po početku gibanja se bodeta telesi srečali? Vsota potij, kateri naredita telesi do sestanka, je jednaka razdalji toček A in B. m. Kateri resultat dobiš v prejšnji nalogi, ako postaviš namesto števil 300, 7, 5 števila d, a, bi 47 . Iz A gre v 356 km oddaljeno mesto B sel, kateri prehodi 56 km na dan; istodobno odpotuje iz B v A drug sel, kateri pre¬ hodi 52 km, na dan; kdaj in v kateri razdalji od A se bosta ta dva sla srečala? 48. Od A do B je izpeljana 225 km dolga železnica. Od A se odpelje proti B osobni vlak, ki preteče vsako uro 30 km ; istodobno se odpelje od B proti A tovorni vlak, kateri bi imel osobni vlak srečati čez 41 pol ure. Koliko km mora tovorni vlak preteči vsako uro ? 107 * 49 . Za slom. kateri je pred 3 dnevi odpotoval iz mesta A ter prehodi vsak dan 40 km, odpošlje se iz istega mesta drug sel, kateri prehodi na dan 60 km. Kdaj bode drugi dohitel prvega? 50. Ob 7ih zjutraj se odpelje z Dunaja po zahodni železnici osobni vlak, ob 9ih zjutraj pa brzovlak; kdaj. bode dohitel brzovlak osobni vlak, če preteče prvi vsako uro 42, zadnji pa 26 km ? 51 . Iz A x B gre sel, ki prehodi po 12 milj na dan; jeden dan pozneje se pošlje iz A za njim drug sel; po koliko milj mora ta na dan prehoditi, da dohiti prvega v 4 dneh? 52. Za slom, kateri je pred 6 dnevi odpotoval iz 1, in kateri prehodi po 48 km na dan, pošlje se iz B, skozi katero mesto je šel, drug sel, ki prehodi 75 km na dan. V koliko dneh dohiti drugi sel prvega, ako znaša razdalja med A in B 99 km? 53. Od B proti C se odpelje poštni vlak ter naredi vsako uro pot 24 km-, istodobno se odpelje brzovlak v isto mer iz mesta A, katero je 36 km zadaj za B. ter dohiti poštni vlak v 3 urah. Koliko km preteče brzovlak v 1 uri? 54 . Dve telesi se gibljeta v isto mer, prvo od A, drugo od B, katero mesto je za 2 (d) m zadaj za A. in sicer se začne drugo telo 6 (tj sekund pozneje gibati nego prvo. čez koliko sekund od tedaj, ko se je začelo gibati drugo telo, hude le-to dohitelo prvo, ako naredi prvo v vsaki sekundi {(a) m, drugo j (b) m? 55. Dve telesi se začneta istočasno gibati na obodu kroga od iste točke in v isto mer; prvo preteče ves obod v 24, drugo v 18 minutah. V koliko minutah prideta telesi zopet skupaj? 56. Koliko časa mine od jednega sestanka kazalcev na uri do drugega? 57. Koliko minut čez 4 pride minutni kazalec ravno nad oni kazalec, ki kaže ure? III. Naloge v ponavljanje. *1. a) 56.3 + 38.4; I *2. a) 96.4- 54.5; I *3. a) j -. 255 + y -til; b) 36.9 + 74.4; c) 97.3 + 65.8. b) 98 • 3 — 24.9; c; 81.9 — 69.6. b) -f- -175+I-. 276; 5 o 108 *4. a) “ . 340 — ■ 448; 4 O b) 4.486- -.546; 07 5 . (17'45 + 48-354 + 8702 + 0'0089 — 56 2059) . 6 . 4-601 0'34 7 . /0-6 1-3 2'3\ , Q . C (oi)-F4*F8j :(3o “ 266} - 0-22 ' 0682' *8. Od katerega števila moraš odšteti 20, da ti ostane še šestina vsega števila ? *9. Vsota treh števil znaša 350; drugo število je dvakrat toliko kakor prvo, tretje dvakrat toliko kakor drugo. Katera števila so to? 10 . Ako prištejem števcu ulomka ^ neko število, od imenovalca pa odštejem 3kratnik tega števila, dobim ulomek f. Katero je to število? *11. Dva trgovca imata skupaj 505 K dobička; tega si hočeta tako razdeliti, da dobi prvi za 25 K več nego drugi. Koliko dobi vsak trgovec? 12 . 3 (4* — 5 j + 11 (2® + 9) = 33 (® + 3). 7 + x 10 -f- x 4 ~j— x /, 13 - l L 14 . 8 ®- 13 ^ 3® + 4 f 1. 2® — 1 ® -)- 1 15 . (Ut 2 -|- — 3) (4® + 8) — x4x l — 3rc — 6) (5® + 4). 16 . (24® 4 — 146® 3 + 329® 2 — 326® + 120) : (2® 2 — 7® + 6). * 17 . Železnica se napne pri vsakih 50 m dolžine za £ m ; kolike dolžine treba, da se napne za l| m? * 18 . Ako prišteje! 6kratnik nekega števila številu 204, dobiš njega 18kratnik. Koliko je ono število? 19 . Od katerega števila je ^ tolika kakor vsota iz 209.15 in 158.23? 2a r ' 5 b r ' 9 a 2 5 b' 1 0 a 2 + 5ab — b 2 a — b 3 b'> ‘ 4o t+ 66 3 '9« 3 ' ' a- + 4a6 + 4P — o + 2 b' 22 . 332166 :138. 23 . 3672444 : 732. 24 . 5586875 : 875. 490 ■ 65 ■ 24 370.81.35 0 _ 350.120.175 50.36 ' 280.63 ' ' 360.125 ' ' 28. Za koliko se poveča ali zmanjša ulomek če izpustimo v števcu in imenovalcu a) zadnjo, b) zadnji dve številki na desni ? *29. Za neko trgovino da A {, B f in C ostanek potrebne glavnice. Ako imajo vsi skupaj 720 K dobička; koliko dobi vsak? 5«+ 76 2a + 3 b 30 . 2« + 3 b 5 a — 7 b’ 31 . l a + 3 ®) - 2 a — 3® 109 32 33 /3ffl U ‘ /3x * l « 4 26 . c \ /2o , 36 4c\ 4^-?/- , 8j- 4y* . 8?y 2 0 \ /3x 2 . 2,y 2 \ a 2 6 2 "r" o 2 6* 6’- ^ a? ^ 6 2 1 /' 34. Nekdo voli | svoje gotovine sorodnikom, f ostanka siromašnici in ostalih 450 K svoji gospodinji; koliko je zapustil ta mož? 35. Vodnjak napolni jedna cev v 4§ ure, druga sama v 5| ure, tretja sama v ure; v koliko urah se napolni prazni vodnjak, ako so vse tri cevi ob jednem odprte? 36. Deček je dal svojemu najstarejšemu bratu polovico svojih orehov menj 8, drugemu bratu 8 menj kakor polovico ostanka, tretjemu zopet 8 menj kakor polovico drugega ostanka in prav tako tudi četrtemu bratu 8 menj kakor polovico zadnjega ostanka, a ostalo mu je še 20 orehov. Koliko orehov je sploh imel in koliko je dal vsakemu bratu? 37. 1K = 0‘8506 ... markam? a) Koliko kron dobiš za 453’5 mark? b) Koliko mark dobiš za 1120 K? 38. 1 frank = 0'9523 ... K. a) Koliko frankov dobiš za 400 K? b) Koliko K dobiš za 67 - 08 frankov? 39. Določi iz jednačbe sp = e (100 -\-p) po vrsti a) s; b) e; c) p. 110 Četrti oddelek. Razmerja in sorazmerja. I. Razmerja. § 107. Ako upoštevamo delitev v zmislu deljenja v ožjem pomenu, dobimo pojem ulomka, ako jo upoštevamo v zmislu merjenja, dobimo pojem razmerja (Verhaltnis). Razmerje dveh števil ali istovrstnih količin a .in b imenujemo dni izraz, ki kaže, kolikokrat je a večji nego b, ali kolikokrat se a nahaja v b. Razmerje dveh količin a in b izražamo zato tako, da postavimo med nji delitveni znak, tedaj a: b, kar čitamo: „a se ima proti b“ ali krajše „a proti b“. Dividend in divizor imenujemo člena (Glieder), in sicer je dividend prednji člen ( Vorderglied), divizor pa zadnji člen (Hinterglied). Ako je a :b = k, ondaj imenujemo neimenovano število k eksponent ali kvocijent razmerja a : b. Na pr. v razmerju 8:2 je 8 prednji člen, 2 zadnji člen in 4 eksponent. Kolikost razmerja je zavisna od njegovega eksponenta; čim večji je ta, tem večje je tudi razmerje. Dve razmerji sta jednaki, ako imata isti eksponent; na pr. 8:2 in 12:3, prav tako arn : ci in bm: b. Ako sta obratno dve razmerji jednaki, imata tudi jednaka eksponenta. Razmerje, čegar člena sta neimenovani števili, imenujemo šte¬ vilno razmerje (Zahlenverhaltnis); na pr. 8:2. Vsako razmerje med dvema istoimenskima številoma moremo izraziti s čistim številnim razmerjem; na pr. razmerje 10 K : 5 K je jednako razmerju 10 :5, kajti obe imata isti kvocijent 2. § 108. Ker vsako razmerje lahko smatramo za naznačeno delitev, zato veljajo vsi izreki, katere smo dokazali o dividendu, divizorju in kvocijentu, tudi o prednjem in zadnjem členu razmerja ter o njega eksponentu. Tedaj velja: 111 1. V vsakem razmerju je prednji člen jednak zad¬ njemu, pomnoženemu z eksponentom. (§ 51.) 2. V vsakem razmerju je zadnji člen jednak pred¬ njemu, razdeljenemu z eksponentom. (§ 51.) Ako je a: b = k, tedaj je 1 ) a = bk 2 ) b = a : k. Na pr. 10:2 = 5, torej 10 = 2.5 in 2 = 10:5. 3. Razmerju se ne izpremeni vrednost, ako oba njegova člena p o množi m o ali razdelimo z istim število m. (§ 58.) Na pr. 12 : 4 je jednako razmerju (12 . 2): (4.2) ali 24 : 8 ; 12:4 „ , , (12:2): (4:2) „ 6:2. Uporabljajoč prvi del tega izreka izraziti moremo s celimi števili tudi taka razmerja, kojih členi so ulomljena števila; v ta namen treba, da oba člena pomnožimo s skupnim mnogokratnikom obeh imenovalcev. Na pr. — . bd : . bd = ad : bc. b d Drugi del zadnjega izreka pa nam služi v to, da razmerje, čegar člena imata skupno mero, okrajšamo; to se zgodi, ako oba njegova člena razdelimo s skupno mero. Na pr. 12 12:8 = ^ : 4 abm : acm — b : c. § 109. Ako pomnožimo v dveh ali več razmerjih vse prednje in prav tako vse zadnje člene drugega z drugim, dobimo novo razmerje, katero imenujemo sestavljeno (zusammengesetzt) razmerje v nasprotje danim jednostavnim (einfach) razmerjem. Ako so na pr. ace : bdf 4.7.9 : 3 . 12.14 sestavljeno razmerje. Ako pomnožimo ali razdelimo jednostavnim razmerjem katerikoli prednji in katerikoli zadnji člen z istim številom, pomnožimo ali razdelimo s tem tudi prednji in zadnji člen sestavljenega razmerja, njega vrednost ostane torej neizpremenjena. 112 Naloge. Izrazi ta-le razmerja s celimi števili: *1. a) 1:5; b) ŠMŠ; 2 . a) 15 ^: 11 ; b) 128 |: 45 ^; 3 . a) 35 ' 4 : 12 ‘ 56 ; i) ^: — ; «6 ctc -) * . x H/ 3-i2. c) 0 05 : 1. c) (a—b ): ab a + b Izrazi ta-le razmerja z najmanjšimi celimi števili: 4. oj 30 : 24; ftj 112 :114; c) 240 : 96. 5. a) 5 : f; &j3i:4f; c) 15f : 6|. 6. a) 7'5 : 2'5; b) 0-625 : 0'5; c) 3‘208:i’28. 7. a) ax (m 2 — rfi) : ab (m -j- n ); b) —^ . aa; *8. Izmed dveh teles naredi A vsako minuto 80 m, B 96 m dolgo pot; v kakem razmerju sta hitrosti teh teles? *9. Telo A naredi v 8 minutah isto pot kakor B v 6 minutah; kako se imata njiju hitrosti? *10. Iz j'r, kg zlata se nakuje 3100 frankov, iz jj, kg srebra 200 frankov. V katerem razmerju sta vrednosti zlata in srebra? *11. Temeljna razdalja na termometru je razdeljena poEeaumurjevi delitvi na 80°, po Celsijevi na 100°; kakšno je torej razmerje med 1° B in 1° (7? 12. Kakšno je razmerje med vrednostjo 1 franka in 1 marke, ako je 100 frankov = 95'23 K in 100 mark — 117'56 K? 18. V kakšnem razmerju sta ploščini dveh pravokotnikov, katerih jeden je 28 m dolg in 15 m širok, drugi pa 25 m dolg in 16 m širok? 14. Izmed dveh parnih strojev vzdigne prvi v a sekundah b kg c m visoko, drugi v m sekundah n kg.p m visoko; v katerem razmerju sta njiju sposobnosti za delo? II. Sorazmerja. § 110. Izjednačitev dveh jednakih razmerij imenujemo soraz¬ merje (Proportion). Ako je a:b = k in c:d = k, tedaj je tudi a:b = c\d; ta izraz je sorazmerje in čitamo ga: „a se ima proti b, 113 kakor c proti d“ ali krajše: „a proti b kakor c proti d.“ Prvi člen a in četrti d imenujemo zunanja člena, drugi člen b in tretji člen c sta notranja člena; člena a in c zovemo tudi prednja, b in d pa zadnja člena sorazmerja. Sorazmerje, čegar notranja člena sta jednaka, imenujemo stalno sorazmerje (stetige Proportion) ; na pr. 16:8 = 8:4. Notranji člen 8 zovemo srednjo (geometrijsko) sorazmernico ali pro- porcijonalo (mittlere [geometrische] Proportionale) števil 16 in 4, in 4 tretjo stalno sorazmernico števil 16 in 8. Sorazmerje, v katerem so vsi členi neimenovana števila, zovemo številno sorazmerje (Zahlenproportion); na pr. 12:4= 15:5. Sorazmerje more imeti tudi imenovana števila; vender morata oba člena vsakega razmeija imeti isto ime. Na pr. 18 m : 3 m = 12 m : 2 m. 6 kg : 2 kg = 15 K : 5 K, 15 K :3K =25 :5. Ne le vsako razmerje, ampak tudi vsako sorazmerje, v katerem so imenovana števila, lahko izrazimo kot čisto številno soraz¬ merje (reine Zahlenproportion). Izreki o številnih sorazmerjih. § 111. 1. V vsakem številnem sorazmerju je produkt zunanjih členov jednak produktu notranjih členov. Dokaz. Vzemimo, da je a : b — c : d, in da je a:b = k, tedaj je tudi c: d —k. Iz tega izvira a — bk, c = dk. Ako pomnožimo prvo jednačbo z d, drugo pa z b, dobimo ad — bdk, bc = bdk in odtod ad = bc. O pravosti tega izreka se prepričaš tudi tako, da na mesto , vsakega prednjega člena postaviš produkt zadnjega člena in kvo- cijenta: bk : b = dk : d. Takoj je jasno, da sestoji produkt zunanjih členov iz istih faktorjev kakor produkt notranjih členov. M o 6 n i k. Aritmetika. 8 114 Iz navedenega izreka izvira: V vsakem stalnem sorazmerja je kvadrat srednje sorazmernice jednak produktu drugih dveh členov. Ako je a : b = b : c, tedaj je b 3 = ac. Na pr. Iz 16 : 8 = 8 : 4 izvira 8 2 =16.4. '■^-2. Vsak zunanji člen številnega sorazmerja je jednak produktu notranjih dveh členov, razdeljenemu z drugim zunanjim členom; in vsak notranji člen je jednak produktu zunanjih dveh členov, razdeljenemu z drugim notranjim členom. Ako je a : b = c : d, tedaj ad = bc, ondaj je ad T "A 3. Iz dveh jednakih produktov vselej lahko sestavimo sorazmerje; v ta namen treba le, da razstavimo vsak produktna dva faktorja ter da vzamemo faktor j a j ednega produkta za zunanja, faktorja drugega produkta za no¬ tranja člena sorazmerja. (Obrat od 1.) Recimo, da je ad = bc. Razdelivši to jednačbo z h d (produktom obeh členov, ki naj bi bila zadnja člena) dobimo ad : bd — bc : bd ali a : b = c : d. bc 7 bc a = — , d = — , d a , ad m b — —, c ■ c Daje številno sorazmerje pravo, spoznamo torej ne le iz tega, da sta eksponenta v obeh razmerjih jednaka, ampak tudi iz jednakosti produktov zunanjih in notranjih členov. § 112. Sorazmerje razrešiti se pravi, iz treh danih členov sorazmerja poiskati njega četrti, še neznani člen. a) Sorazmerje razrešiš, akct poiščeš eksponent znanega razmerja ter potem z njega pomočjo določiš neznani člen drugega razmerja. b) Številno sorazmerje razrešiš najlaže po § 111., 2. Na pr. Iz x : 2 = 15 : 3 dobiš : a) 15:3 = 5, x = 2.5 = 10; ali b) x=z = 10; tedaj 10 : 2 = 15 : 3 popolno sorazmerje. 115 Preobrazba sorazmerij. § 113;vVsako številno sorazmerje ostane pravo, ako zamenimo a) zunanja člena.med seboj, ali b) notranja člena med seboj, ali c) notranja člena z zunanjima. Dokaz. Recimo, da je a:b — c : d , torej ad — bc. a) Ako zamenimo v tem sorazmerju notranja člena, dobimo a : c — b : d. b) Zamenivši v teh dveh sorazmerjih zunanja člena, dobimo d: b — c : a, d: c — b : a. c) Ako zamenimo slednjič v vseh štirih sorazmerjih notranja člena z zunanjima, dobimo b : a = d : c, c : a — d : b, b : d = a : c, c : d — a : b. Da je vsak izmed teh sedem postavkov pi’avo sorazmerje, raz- vidimo iz tega, da je v vsakem produkt zunanjih (ozir. notranjih) členov ad jednak produktu notranjih (ozir. zunanjih) členov bc; produkta ad in bc pa sta po pogoju jednaka. Vsako sorazmerje lahko torej preobrazimo na osmero načinov, v ta namen mu je treba le člene drugače razvrstiti. §114. Sorazmerje ostane pravo, ako jeden notranji in jeden zunanji člen z istim številom pomnožimo ali razdelimo. , Dokaz: Ako je a:b — c: d, torej ad = bc, potem je tudi ad bc Iz ad = bc izvira namreč ne le adm—bcm, ampak tudi — • lil ul V vseh sorazmerjih pod 1) je produkt zunajih členov adm, produkt notranjih členov bcm, v sorazmerjih pod 2) je produkt zunanjih 8 * 116 členov , produkt notranjih členov —; vsa ta sorazmerja so m m torej prava. Uporabljajoč ta izrek moremo a) vsako sorazmerje, v katerem so ulomki, izraziti s celimi števili, b) vsako sorazmerje, v katerem imata po jeden notranji in zunanji člen kako skupno mero, okrajšati z isto skupno mero. § 115. 1. V vsakem sorazmerju se ima vsota ali diferenca prvih dveh členov proti prvemu ali drugemu členu, kakor se ima vsota ali diferenca drugih dveh členov proti tretjemu ali četrtemu členu. Dokaz. Ako je a:b==c:d, torej ad — bc, potem je tudi (a + b): a — (c + d) : c in (a + b): b — (c + d): d . . . a Te dve sorazmerji sta pravi, ako je v vsakem produkt zunanjih členov jednak produktu notranjih členov, t. j. ako je (a +. b) . d = a . (c + d) in (a +. b) . d = b . (c + d), torej ako je ac ^_bc = ac dl ud in ad ^£_bd = bc + bd. Ta produkta sta resnično jednaka, kajti po pogoju je ud — bc. 2. V vsakem sorazmerju se ima vsota prvih dveh členov proti diferenci teh členov, kakor se ima vsota drugih dveh členov proti diferenci teh členov. Dokaz. Ako je a : b — c : d, velja po 1. {a + b ): a — (c -j- d ): c in (a — b ): a = (c — d ): c, ali, ako zamenimo notranja dva člena, (a + b): (c + d) = a: c in (a — b): (c — d) = a: c, tedaj tudi (a + b): (c + d) = (a — č): (c — d), in če zamenimo notranja dva člena (a -j- b ): (a — b) — (c .-f- d): (c — d) .P 3. V vsakem sorazmerju se ima vsota ali diferenca prednjih členov proti vsoti ali diferenci zadnjih členov, kakor se ima vsak prednji člen proti svojemu zadnjemu členu. Dokaz. Vzemimo, da velja a : b — c : d. Zamenivši notranja člena dobimo a : c — b : d. 117 Potem velja po 1. (a i c ): a — (b +. d): b in (a + c): c = (b + d ): d in če zamenimo še notranja člena (a + c) : (b +_ d) = a : b in (a + c) : (b + d) = c: cč) .... T Dostavek. Ako je več številnih razmerij med seboj jednakih, ima se vsota vseh prednjih členov proti vsoti vseh zadnjih členov kakor vsak prednji člen proti svo¬ jemu zadnjemu členu. / Ako je a:b — c: d = f: g, tedaj velja tudi (a + c -f f) : (b 4- d -f- g) = n : b .S > / § 116. "Ako pomnožimo v dveh ali več sorazmerjih vse istomestne člene drugega z drugim, tvorijo pro¬ dukti zopet pravo sorazmerje./T Vzemimo, da velja a:b = c: d, torej ad = bc, dalje e :/ = g: h, „ eh =fg, in k : l = m : n. „ _ kn = Im. Ako pomnožimo zadnje tri jednačbe, dobimo adehkn = bcfglm. Če damo temu izrazu obliko a ek . dhn = bfl. cgm, dobimo iz njega sorazmerje aek : bfl = cgm: dhn .s Tako sorazmerje imenujemo sestavljeno, nasproti danim sorazmerjem, katera zovemo jednostavna. Naloge. Razreši ta-le sorazmerja: 1 . 3 : 8 = 12 : 3. 36 : x — 6 : 3. 5. * : 15 = 165 : 66. 7. ®:5 = i:f. 9. ; ®: f = 2f : 3. H. 51: 7f = ® : 2j. 13. 14:4f = ®: 5{. 15. lf : ® = 3M : 4|. 17. 10B::* = i3n:18i& 19. x : 0'35 = 2'38 :1'25 2. 12 : 27 = x: 15. . t 4. ® : 10 = 8 : 5. 6. 88 : cc = 72 : 63. 8. 31: 4 = 5|: ®. L 10. 71:2j=x: 5f. 12. ®: 1 = 31: 5. vl4. * : 101 = 4f : 91. 16. 171 : 12& = 141 : *. 18. 9H: 101 = 27|:®. 20. 14*35 : 218-275 = 9 18 : ar. 118 21 . m 22. x : 3f = m 3 . 3m 3 ' 2 ' 23. x:{m — 2 n) = (6 m + 8 n) : (Im. — 4 n). 24. (6 a -5 b):x = (12 o* - 4a& - 56 3 ): (8a 3 - lab - 36 3 ). 2 ^ m 3 — n 3 . m -f- n _ m 3 — 2mn H~ n 3 ^ m 3 + n 3 m — n m -f- n 27. (x a): x = b : c. 28. x : (a - *) = —- a + o oziraje se na § 115., 1. 29. Izpremeni obliko tema-le sorazmerjema, uporabljajoč § 113. in § 115.: a) 9 : 6 = 15 :10, b) 38 :12 = 24 : 8. 30. Ako velja a:6 = 2:3, b:c — 4:9, c:ež = 3:5inrf:e = 3:8, kako se ima a: c, a: d, a: el (§ 120.) 31. Postavi za prednji člen produkt iz zadnjega člena in kvoci- jenta ( a = bk, c = dk ) in dokaži, da so si v sorazmerjih a, P, r, s (§ 115.—116.) kvocijenti jednaki. III. Uporaba sorazmerij. § 117. Ako sta dve vrsti števil tako zavisni druga od druge, da pripada 2-, 3-, 4-, . . . »ikrat tolikemu številu jedne vrste 2-, 3-, 4-, ... mkrat večje število druge vrste, pravimo, da sta te dve vrsti števil premo sorazmerni (gerade projjortioniert), ali da sta v premem razmerju (stehen in einem geraden Verhdltnisse). Tako sta sorazmerni blago in cena, kajti ako velja 1 meter katerega¬ koli blaga a kron, velja 2-, 3-, 4-, ... m metrov istega blaga la, 3 a, 4 a, . . . ma kron. Ako pa sta dve vrsti števil tako zavisni druga od druge, da pripada 1-. 3-, 4-, ... mkrat tolikemu številu jedne vrste le 2gi, 3tji, 4ti . . . mti del števila druge vrste, pravimo, da sta te vrsti števil obratno sorazmerni (verkehrt proportioniertj, ali da sta v obratnem razmerju (im verkehrten Verhdltnisse). Tako 119 je na pr. število delavcev v obratnem razmerju s časom, ki se za delo potrebuje; kajti če potrebuje jeden delavec za neko delo a dnij, potrebujeta za isto delo dva delavca le polovico časa, dnij, trije delavci potrebujejo dnij, . . . m delavcev potrebuje le — dnij. 3 m Razreševanje nalog z jednostavnimi razmerji. Jednostavna regeldetrija. § 118. Vzemimo, da sta A in a dve števili jedne vrste, B in b tema pripadajoči števili druge vrste ter da sta te vrsti števil premo sorazmerni. Ako je A = ma, mora biti po pojmu o premem sorazmerju tudi B = mb. Potem pa imamo A: a — m in B : b — m in zato tudi A : a — B : b. 1. Ako sta dve vrsti števil premo sorazmerni, tedaj je razmerje med vsakima dvema številoma jedne vrste j e dna k o razmerju med pripadajočima številoma druge vrste, vzetima v istem redu. Recimo, da sta A in a dve števili jedne vrste, C in c pripadajoči števili druge vrste ter da sta te vrsti števil obratno sorazmerni. Ako C je A = ma. mora biti C — — ali c = mC. Zato dobimo A : a — m •’ m in c:C= m in tedaj tudi A : a — c : C. 2. Ako sta dve vrsti števil obratno sorazmerni, tedaj je razmerje med vsakima dvema številoma jedne vrste jednako razmerju med pripadajočima številoma druge vrste, vzetima v obratnem redu. Primera. 1. 7 m sukna velja 30 K, koliko velja 42 m istega sukna? — Ker sta te dve vrsti števil premo sorazmerni, dobimo 7 metrov 30 K x : 30 = 42 : 7 in 42 „ x K x = 180 K. 2. 16 delavcev izvrši neko delo v 6 dneh; koliko delavcev je treba najeti, da izvrše isto delo v 4 dneh? — Dani dve vrsti števil sta obratno sorazmerni, tedaj velja 16 delav. 6 dnij x : 16 = 6 : 4 x „ 4 „ x = 24 delavcev. Vsaka regeldetrijska naloga ima dva stavka: prvi izreka pogoj, drugi izraža vprašanje. 120 Da imajo regeldetrijske naloge sploh pomen in veljavo za praktično življenje, treba, da si mislimo pri vsaki taki nalogi za obe dve vrsti števil, kateri med seboj primerjamo, vse v pogojnem in vprašalnem stavku neimenovane okolščine kot jednake; ali, kar je jedno in isto, treba vsakako bodisi molče, bodisi izrekoma, staviti pogoj, da pripada vsaki jednoti jedne vrste v pogojnem in vprašalnem stavku ista množina jednot druge vrste. Na ta pogoj treba je paziti pri vseh sledečih nalogah, dasi tudi se zaradi kratkosti ne naglasa povsod izrekoma. § 119. Jednostavnejše regeldetrijske naloge dostikrat prav lahko razrešimo na pamet. V obče sklepamo tu iz dane vred¬ nosti za kako množino na vrednost jednote in potem iz najdene vrednosti za jednoto zopet na vrednost druge množine. Na pr.: 8 m sukna velja 64 K, koliko stane 5 m? — Ako velja 8 m 64 K, velja 1 m 8mi del od 64 K, torej 8 K ; 5 m velja zatorej Škrat 8 K, t. j. 40 K. 6 delavcev izvrši neko delo v 20 dneh, koliko dnij bode po¬ trebovalo za isto delo 5 delavcev? — Ako izvrši delo 6 delavcev v 20 dneh, potrebuje 1 delavec 6krat 20 dnij, tedaj 120 dnij; 5 delavcev pa potrebuje za isto delo le 5ti del onega časa, katerega potrebuje 1 delavec, zatorej Sti del od 120 dnij, t. j. 24 dnij. Krajša je razrešitev na pamet, kadar je množina v vprašalnem stavku mnogokratnik ali del ali mnogokratnik kakega dela istoimenske množine v pogojnem stavku. Na pr.: 5 hi ječmena velja 42 K 30 h; koliko stane 30 Ar? — 30 M je 6krat 5 hi. tedaj velja 6krat 42 K 30 h, t. j. 253 K 80 h. 100 K kapitala daje na leto 5 K obrestij; koliko obrestij daje na leto 25 K kapitala? — Ker je 25 K 4ti del od 100 K, da tudi le 4ti del od 5 K, tedaj 1 K 25 h obrestij. 48 m velja 60 K 72 h; koliko velja 36 m? — 30 m je 3krat 12 m ; 12 m je 4ti del od 48 m, 12 m velja tedaj 4ti del od 60 K 72 h, t. j. 15 K 18 h; 36 m pa velja 3krat 15 K 18 h, zatorej 45 K 54 h. V posameznih slučajih lahko razrešiš regeldetrijske naloge tudi tako, da množino vprašalnega stavka primerno razstaviš. Na pr. Koliko velja 30 kg, ako velja 14% 43 K 82 h? 30 kg je 2krat 14% in še 2%; 2krat 14 % velja 2krat 43 K 82 h, t. j. . . . 87 K 64 h; 2 % veljata 7mi del od 43 K 82 h, t. j. . . . 6 „ 26 „; 30 % velja (vsota);.93 K 90 h. 121 Ako velja 5 hi vina 184 K, koliko velja 19 hU - 20 hi bi veljalo 4krat 184 K. t. j. 736 K. Da dobimo ceno za 19 hi, treba, da še od 736 K odštejemo ceno 1 hi. Jeden hi velja 5ti del od 184 K, t. j. 36 K 80 h. Ako od 736 K odštejemo 36 K 80 h, dobimo 699 K 20 li. Razreševanje nalog s sestavljenimi razmerji. Sestavljena regeldetrija. § 120. Primer. 3 zidarji sezidajo v 14 dneh 50 m 3 zidu; v koliko dneh sezida 7 zidarjev 125m 3 zidu? To nalogo lahko razstavimo na te-le dve nalogi z jednostavnimi razmerji: I. 3 zidarji sezidajo zid v 14 dneh; v koliko (y) dneh sezida 7 zidarjev isti zid, ako ostanejo vse druge okolščine iste? Ker je število zidarjev v obratnem razmerju s številom delav¬ nikov, katerih treba za določeno delo, odgovarja onemu vprašanju sorazmerje z/: 14 = 3:7, iz katerega dobimo y = 6. II. Ako sezida 7 zidarjev v y (= 6) dneh 50 m 3 zidu, v koliko (x) dneh sezida prav toliko zidarjev 125 m 3 zidu? — Iver je kolikost dela (zidu) v premem razmerju s številom dnij, ki se potrebujejo za delo, dobimo odgovor na stavljeno vprašanje, če razrešimo sorazmerje x:y = 125:50, s čimer dobimo neznanko prvotne naloge x = 15. Neznanke y pa ni treba s pomočjo posebnega sorazmerja res izračuniti; kajti neznanko x lahko izračunimo kar neposredno. V ta namen je treba le sestaviti prejšnji dve sorazmerji. Kajti ako pomnožimo istomestne člene sorazmerij y : 14 = 3:7 in x\y = 125:50, dobimo y . x : 14 . y = 3 .125 : 7.50, in če okrajšamo z y x : 14 — 3 .125 : 7 . 50, kar pišemo radi večjega pregleda tako-le: x: 14= 3: 7 125 : 50. 122 Tukaj pa je pomniti, da je treba v tretjem in četrtem členu druga pod drugim stoječa števila pomnožiti. Razmerje x: 14 je torej jednako sestavljenemu razmerju in sicer sestoječemu iz razmerij 3-7 in 125:50. — Izrek: Ako je katerakoli vrsta števil tako zavisna od več drugih vrst, da je z vsako posamič ali premo ali obratno sorazmerna, tedaj je razmerje med vsakima dvema šte¬ viloma one prvevrste jednako sestavljenemu razmerju, in sicer sestavljenemu iz j ednostavnih razmerij med vsakima dvema pripadajočima številoma drugih vrst, vzetima v istem ali v obratnem redu, kakor so števila dotične vrste premo ali obratno sorazmerna s števili prve vrste. Na pr. Ako izvrši 20 delavcev, ki delajo na dan 12 ur, v 5 tednih 375 m dolg nasip; v koliko tednih izvrši 12 delavcev, ki delajo po 10 ur na dan, prav tak 600 m dolg nasip? 20 delav. 12 ur na dan 5 tedn. 375 m dolžine, 12 „ 10 B „ „ te „ 600 m a:: 5 = 20 : 12 12: 10 _ 600 : 375 ® : 1 = 16 :1 x = 16 tednov. § 121. 1. Bolj lahke naloge razrešujemo tudi s pomočjo sklepov kar na pamet. Na pr. 4 delavci, kateri delajo po 12 ur na dan, izvrše neko delo v 7| dneva; koliko driij potrebuje za isto delo 6 delavcev, ako delajo le po 10 ur na dan? Ako potrebujejo 4 delavci 7} dneva, potrebuje 1 delavec 4krat toliko časa, torej 4krat 7f dneva, t. j. 30 dnij; 6 delavcev potrebuje le 6ti del od 30 dnij, t. j. 5 dnij, ako delajo po 12 ur na dan. Ako bi ti delavci delali le 1 uro na dan, potrebovali bi 12krat 5 = 60 dnij; ker pa delajo 10 ur na dan, potrebujejo le lOti del od 60 dnij, t. j. 6 dnij. 2. Prav tako lahko sklepamo tudi, kadar računimo pismeno. 123 Pri nalogi, katero smo razrešili v § 120., dobili bi ta-le pismeni sklepovni račun: 3 zid. potrebujejo za 50 m 3 1 „ potrebuje „ 50 „ 7 » » v 50 „ 7 1 7 125 • » » » „ 14 dnij 14.3 , 14.3 7 • 14.3 7.50 ” 14.3. 125 7.50 = 15 dnij. N aloge. *1. 6 m sukna velja 36 K; koliko velja 12 m? Na pamet: Ako velja 6 m sukna 36 K, velja 1 m le 6ti del od 36 K, t. j. ■6 K; 12 m velja 12krat 6 K = 72 K. — Ali krajše: 12 m je 2krat 6 m ; 12 m velja torej 2krat toliko, kakor 6 m, torej 2krat 36 = 72 K. *2. 1 hi velja 28 K; koliko velja 40 Z? *3. 200 kg kave velja 640 K; koliko kave dobiš za 128 K? *4. Pri 100 K je 16 K dobička; koliko dobička je pri 425 K? *5. Neka hiša daje na leto 540 K obrestij; koliko v 8 mesecih ? *6. 16 zidaijev sezida zid v 20 dneh; v koliko dneh bi sezidalo isti zid 10 zidarjev? Na pamet: Ako potrebuje 16 zidarjev za delo 20 dnij, potrebuje za isto delo 1 zidar 16krat toliko časa, torej 320 dnij; 10 zidarjev pa le 1 Oti del onega časa, ki ga potrebuje 1 zidar, torej le 1 Oti del od 320, t. j. 32 dnij. 7. Ako znaša zračni tlak na 1| dm 2 154%; kolik je zračni tlak na lm 2 ? 8. Jeden delavec zasluži v 4 dneh ravno toliko kakor drugi delavec v 5 dneh; ako si tedaj prvi v 15 dneh zasluži 37|K, koliko zasluži drugi v istem času? J). Rokopis da 126 stranij po 45 vrst; koliko stranij bi dal, ako bi se stavilo na stran le 35 vrst? 10 . Ako se zavrti kolo v 48 minutah 264krat, a) kolikokrat se zavrti v 26 minutah, h) v koliko minutah se zavrti 840krat? 11 . Sprednje kolo na vozu ima a metrov, zadnje h metrov v obsegu; kolikokrat se zavrti prvo, če se zadnje zavrti jpkrat? a = 2'8; b = 4'2; p = 170. 124 *12. 3000 delavcev dodela železnico v 9 mesecih; koliko delavcev treba še najeti, da se železnica dodela v 6 mesecih? 13. Na njivi, ki meri 6j ha, pridela se 68} hi pšenice; a) koliko pšenice se pridela na njivi, ki meri 3} Aa? b) na koliko ha se pridela 37f hi pšenice? 14. Stroj vzdigne v a sekundah b kg na določeno višino; v katerem času vzdigne b' kg do iste višine? « = 93, b = 4185, b' = 3912. 15. 47 l olivnega olja tehta ravno toliko kakor 43 l vode; koliko tehta 1 l olivnega olja, ker tehta 1 l vode 1 kg ? 16. Ako je razmerje med prostornino trde in zrahljane zemlje jednako 10:17, a) koliko zrahljane zemlje da 248 m 3 trde zemlje? b) koliko trde zemlje da 300 m 3 zrahljane zemlje? 17. Ako vloži zidar na dan v podzidje po 500, v oboke pa le po 325 opek in se mu plača za 1 m 3 podzidja 1 K 25 h, koliko stane potem delo za 1 m 3 oboka?_ 18. 15 delavcev izvrši neko delo v 10 dneh, ako delajo na dan po 12 ur; koliko delavcev je treba najeti, da zgotovijo isto delo v 6 dneh, ako delajo le po 10 ur na dan? 19. Dvoje zobatih koles sega drugo v drugo; A ima 60, B pa 120 zobcev; kolikokrat se zavrti S v 36 sekundah, ako se zavrti A v 12 sekundah lOkrat? Na pamet: Ker ima B 120 in ne 60 zobcev, zavrti se le polovico od lOkrat, t. j. 5krat; ker pa se ne vrti 12 ampak 36 sekund, zavrti se Škrat 5 = 15krat. 20. Parni stroj, ki čini 4 konjske sile, vzdigne v 5 sekundah breme 1500% im visoko; koliko kg more vzdigniti parni stroj, kateri čini 6 konjskih sil, v 12 sekundah prav tako visoko? v21. Travnik, kateri je 512 m dolg in 72 m širok, da 10 voz sena po 900%; koliko voz sena po 1000 % da 384 m dolg in 192m širok travnik? VJ!22. 80 m dolg, 5 to širok in 2 m globok prekop izkoplje 20 delavcev v 18 dnVb; koliko delavcev zgotovi 120 m dolg, 6 m širok in 3 m globok prekop v 36 dneh? Na pamet: Če bi bil prekop mesto 80 m le 40 m dolg, treba bi bilo le } od 20, t. j. i0 delavcev; ker je pa prekop 120 to, tedaj 3krat takd dolg, treba je 3krat 10, t. j. 30 delavcev; i. t. d. 125 23. 4500 mož ima kruha za 8 mesecev, ako ga dobiva vsak po lt kg na dan. A pride jih še 500 mož; koliko kg kruha sme prejeti vsak na dan, da izhajajo ž njim 7f meseca? 24 . V rudniku sta dva parna stroja; prvi vzdigne vsake 2 mi¬ nuti 7 hi vode iz globočine 84 m, drugi pa vsake 3 minute 10 hi iz globočine 108 m. V koliko minutah bi spravila oba parna stroja 2550 hi iz globočine 120 m ? 25 . Nekdo ima toliko volne, da se da iz nje natkati 16 kosov sukna, ki so po 54 m dolgi in f m široki. Iz nekaj te volne so natkali že dva kosa 1 \m širokega sukna, vsak kos po 48m; koliko kosov 1 \m širokega sukna se da natkati iz ostale volne, ako je vsak kos 40 m dolg? 26. 6 delavcev je izkopalo v 4 dneh 300 m dolg, 1 i\dm širok in 3 \dm globok prekop. Da se pri drugem prekopu izkoplje 5 m 3 , potrebuje se prav toliko časa, kakor pri prvem za 6 m 3 , a) Koliko delavcev izkoplje drugi prekop v 9 dneh, če je ta 245 m dolg, 10 dm širok in 6 dm globok? h) V koliko dneh izkoplje drugi prekop 10 de¬ lavcev, ako je le-ta 280 m dolg, Si, dm širok in 5 dm globok? IV. Naloge v ponavljanje. *1. Koliko je 6kratna diferenca med iof in 6j? *2. Zmanjšaj 7kratnik od 5f za 29f, od ostanka pa vzemi četrtino. 3. Bakrena žica, katera ima pri temperaturi 0° C dolžino 1 m, meri pri temperaturi 30° C. 1-000515 ...m. a) Koliko dolžino ima pri temperaturi 30° C. bakrena žica, ki meri pri temperaturi 0° C. 8‘435 .. .m, (12'57 ...m)? h) Na katero dolžino se skrči bakrena žica, ki je merila "pri 30° C. (V083 .. . m (0'675 ... m), ako jo ohladimo do 0° C ? 5 — 3 a __ 3 — la 8 12 g 26 ajh/ 4 & r ’ 45 a 2 6 3 c‘ 40 abV g a 2 -j- 1 , d 1 — 2a -f- ( a- — j a 1 -f- 2a -f-1 9. Izračuni te-le produkte na 4 decimalke: a) 24-83275.2-0437- bj 27 0889.0\3067. c) 6'354.0-00875. 126 10. Določi te-le kvocijente na 3 decimalke: a) 815-9025 : 87'53. b) 12 345 : 678’908. c) 2'8752 : 0'0207. *11. 10?« velja 138 K; koliko velja 65 m ? *12. 45 1 velja 54 K; koliko velja 10 l? *13. Hitrosti poštnega voza in lokomotive se imata kakor 2:9; lokomotiva preteče v 2 urah 54 km; koliko pot naredi poštni voz v 12 urah? 14. Izmed treh zidarjev sezida prvi v 3 urah 151 dm 3 , drugi v 4 urah 265 dm 3 , tretji v 6 urah 381 din 3 ; d) Koliko dm 3 sezidajo vsi v 1 uri? b) V koliko dneh sezidajo vsi trije 16420 dm 3 zida, ako delajo po 10 ur na dan ? 17. 0 + l):(:r-5) = 0 + 3):0 —7). 18. (8* — 1) : -f- 2) = (6® — 9) : (3a; — 4). *19. Katerega števila tretjina je za 4 večja nego četrtina? *20. Lokomotiva naredi v 1 uri pot 30 km in pride od H do B v 6 urah; koliko km dolgo pot bi morala narediti v 1 uri, da bi prišla od A do B v 5 urah? 21. Parni stroj, ki čini 4 konjske sile, vzdigne v 5 sekundah 1500% težko breme 1 m visoko; koliko kg vzdigne parni stroj, ki čini 6 konjskih sil, v 12 se¬ kundah prav tako visoko? 22. (le®* — A8x 3 y + 108a;% 2 — 108ar y 3 -f- 81*/*) (4® 2 -j- 12 xy — 9 g 1 ). 23. (64o 6 - 432 a*b 3 -f 7296«) : (4 2 -f- 2 (a + 6) c -f- c 2 2 (a + 6 -f- c) eč -j- cč 2 + + 2 (a + 5 + c + d) e + e 2 , i. t. d. Iz tega izvajamo za vz množ e vanj e polinomov na kvadrat ta-le tvorbeni zakon: 1. Prvi člen danega izraza da sam svoj kvadrat. 2. Vsak nastopni člen da po dve sestavini, namreč dvojni produkt iz vsote vseh predstoječih členov s tem členom in sam svoj kvadrat. 3. Vsota vseh teh sestavin je iskani kvadrat. Primer. (2a - 36 + 4c) 2 = 4a 2 - 12 ab + 96 2 + 2 (2o - 36). 4c + 16c 2 = 4« 2 - 12«6 + 96 2 + 16ac - 246c + 16c 2 . Dostavek. Obe sestavini, ki jih da vsak člen danega polinoma v kvadratu, lahko združimo tudi v jeden člen in sicer s tem, da prištejemo ta člen dvojni vsoti vseh predstoječih členov in to vsoto še s tem členom pomnožimo: 2a . 6 + 6 2 = (2a + 6). 6; 2(« + 6).c + c 2 = [2(« + 6) + c].c; i. t. d. § 132. Ker moremo vsako dekadno število smatrati za polinom, urejen po padajočih potencah števila 10, zato velja pravilo, katero smo določili za vzmnoževanje sestavljenih algebrajskih izrazov na kvadrat, tudi za dekadna števila. Na pr. 3417 3 = (3000 + 400 + 10 + 7) 2 = (30 00 3 + 2.30 00.400 -f 400 2 + 2.3400 .10 + 10 2 + + 2.3410.7 + 7 2 . Ako pišemo te sestavine drugo pod drugo, dobimo: 9 * 132 (kvadrovanje dekadnega števila) velja torej to-le pravilo: 1. Prva ali naj višja številka danega števila da sama svoj kvadrat 2. Vsaka nastopna številka da v kvadratu dve sestavini: dvojno pred njo stoječe število, pomnoženo s to številko, in sama svoj kvadrat. 3. Te sestavine zapišemo drugo pod drugo tako, da pride vsaka nastopna za jedno mesto dalje proti desni, ter jili naposled seštejemo, kakor stoje; vsota je iskani kvadrat. Na pr. 3140 2 31417 2 Kvadrat dekadnega števila ima ali dvakrat toliko številk kakor dano število ali pa jedno menj; kajti prva številka da v kvadratu jedno ali dve mesti, vsaka nastopna pa po dve mesti. Ako razstavimo tedaj kvadrat od desne proti levi na razdelke po dve številki — prvi razdelek na levi more imeti tudi le jedno številko — dobimo prav toliko razdelkov, kolikor številk ima dano število. 133 / ČL \ 2 GL^ Dostavka. 1. Iz = J(p razvidimo, da je računiti kvadrat decimalnega ulomka prav tako, kakor kvadrat celega dekadnega števila, treba le v kvadratu števčevem odrezati dvakrat toliko decimalk, kolikor jih ima decimalni ulomek. Kvadrat deci¬ malnega ulomka ima torej vselej sodo število decimalk. 2. Sestavini, kateri da druga in vsaka nastopna številka danega števila v kvadratu, lahko združimo v jedno samo sestavino, ako dvojnemu številu stoječemu pred to številko, pripišemo to novo številko, tako dobljeno število pa pomnožimo z ravno tisto številko. A vsak nastopni produkt moramo potem pomakniti za dve mesti dalje proti desni. V obče ie namreč (2 A . 10). p + p 2 = 12 A . 10 -j- p) p. Ako izračunimo zadnji primer na ta način, dobimo 32 . . . . 9.. 61.1 .... 61.. 624.4 .... 2496.. 6281.1 .... 6281.. 62827.7 .... _ 439789 31417 2 = 987027889. Dostavek. Kvadrate okrajšanih števil računimo sploh po načinu okrajšane množitve. (§ 100., dostavek.) Kubovanje števil. § 133. (a -j- b) 3 — (a + b) 2 (a + b) — (a 2 -f ‘lab + b 2 ) (a -f- b) — a 3 + 3 a°-b + 3ab 2 + /A t. j.: Tretja potenca (kub) hinoma je jednaka vsoti iz tretje potence prvega člena, trojnega kvadrata prvega člena, pomnoženega z drugim členom, trojnega prvega člena, pomnoženega s kvadratom drugega člena,in tretje potence drugega člena. Da dobimo po tem izreku tretjo potenco (kub) trinoma (a+6+c), treba le, da smatramo (a + b) za jeden sam člen. Tako dobimo (a + b -j- c) 2 = = [(a + b) + c] 3 = (a -f b) s + 3 (a -J- b) 2 . c + 3 (a -(- b) c 2 + c 3 = o 3 + 3 a 2 b + 3 ah" 1 + b 3 + 3 (a + 6) 2 c + 3 (a + b) c 2 -f- c 3 . 134 Prav tako dobimo: (a + b + c + d) 3 = [(a -j- b + c) + = = (a + b + c) 3 + 3 (a + b + c) 2 d + 3 (a + b + c) d 2 + d 3 = « 3 + 3 a% + 3o6* + b 3 + 3 (a -f &) 3 c + 3 (a + b) c 2 + c 3 + 3 (a -f- b + e) 2 d -f- 3 (a + b + c) d 2 -f- d s , i. t. d. Iz tega izvira za kubovanje veččlenskega izraza ta-le tvorbeni zakon. 1. Prvi polinomov člen da sam svoj kub. 2. Vsak nastopni člen da tri sestavine, namreč trojni kvadrat iz vsote vseh pred njim stoječih členov, pomnožen s tem členom, trojno vsoto pred njim stoječih členov, pomnoženo s kvadratom tega člena, in sam svoj kub. 3. Vsota vseh teh sestavin je zahtevani kub. Na pr. (?/ 2 + 2 y - 3)3 = = 2/6 + 6y5 + 12^4 + 8y3 - 9 (y* -f 2y) 3 + 27 (z/ 3 + 2 y) - 27 = y 6 + 6 y° + 12 da m ovamo pri deci¬ malnih ulomkih v števčevem kubu odrezati 3krat toliko decimalk, kolikor jih ima dani decimalni ulomek. Dostavek. 2. Tretjo potenco okrajšanih števil računimo sploh po načinu okrajšane množitve. (§ 100., dostavek.) Naloge. 1. a 5 . a 4 . 2. x> . x 2n . S. (2®) 3 . (2x) : \ 4. c n + J . a n ~ k 5. ‘Sa 2 x 2 . Ta 3 * 4 . (». 2a 2 m 3 :r 4 .3 am 5 x s . 7. 3a 2 x . 15 ax 2 .4 a 2 x s . 8. Tam 2 .3 b 2 n 2 .8a 2 bm 3 n. 9. (8a 3 x 2 - 5 bhj 2 ). 3a%2. 10. (2 ci 2 b - 3 ab 2 - 46 3 ). 8a%. 11. (3m 2 — 8m — 5) (7 m 2 + Trm — 6). 136 12. Izračuni: a) 4 8 iz 4 5 = 1024 in 4 3 — 64; b) 15 5 iz 15 3 = 3375 in 15 2 = 225; c) 104 10 iz 1‘04 8 = 1-368569... in f04 3 = 1 0816; d) 1-025 6 iz 1'025 4 = 1 103813 ... in r025 2 = 1*050625. 13. x» : x 3 . 14. 27«« : 3a 2 . 15. a 2 »+! : a—1 16. 30xy : 5 x*y. 17. 8x a +' 2b : 12x 5i -“. 18. 3a«6 W : a 4 6 3 c#. 19. 104a6 3 x»: (91 a^x ~: 7a 4 6 4 x). 137 3a-x \5, »g _ \ 56»y / ’ 4-3' 78 » 3 6-i' 74 a°. a' 75. -a s ».o--. 76. 2- 3 .4-3. 77. 78. (*-i)-i. 79. bx*.b- i x~ 3. ,80. (|)-4. (1)-1. ,81. 5 -2 . (|)-2. 82. —4a : (—a) — 4 83. a — 4 : — a 4 . 84. ( — 6a - 5 ) : (3 a ~ 1 ). 85. (2« + 36) 2 . 86. (8x - ly)l 87. (5a 2 - 6«/ 3 ) 3 . 90. + MV ' 3x a-m J 91. (a + 2 b - 3c)2. 92. (4 + 2 y- y*)*. 93. (3x - 25 y + 82)2. 94. (6x 3 — 5x2 _f_ 4x 3)2. 95. (7x 6 — 4x 4 + x~ — 8) 2 . 4c\2 5 d) ' 98. (- a + b + c)8 + (o - b + c)2 + la + b - c)2. 99. Določi kvadrat od 2 desetic, 3 stotič, 4 tisočic, 1 desetine, 3 tisočin, 4 des.-tisočin. 100. 3762. loi. 25432. 103. 50792. 1103. 734162. 104. 8-472. 105. 74-062. 106. 0-83152. 107. 2 34562- 108. 27042. 109. (37-082..O«. 110.(1 3 079. ..)*. 111. (4*6029 .. .) 2 . 4 138 II. O korenih. § 135. Razkor enitev (Wtirzelausziehen , Radiči er en) služi nam takrat, kadar hočemo iz vrednosti dane potence ( a = p m ) in nje eksponenta (m) poiskati pripadajočo podlogo (p). Število a razkoreniti s številom m ali številu a poiskati mti koren, se pravi iz potence a in eksponenta m izračuniti podlogo. Dano potenco a imenujemo radikand ali kar število, dani eksponent m korenski eksponent (Wurzelexponent), iskano podlogo p pa mti koren (Wurzel) števila a , ter pišemo m V a== P- 3 Na pr. 4 3 = 64, tedaj obratno \/64 = 4. Drugi in tretji koren imenujemo tudi kvadratni oziroma kubični koren. m Za sedaj ima V« le takrat kaj pomena, če je a zares mta potenca kateregakoli celega ali ulomljenega števila in kadar sta radikand in eksponent neimenovani števili. § 136. Iz navedenega pojasnila izvira: 1. Koren, vzmnožen s korenskim eksponentom, d& radikand. , (Ja)- = a, (V27) 3 = 27. 2. Številu šene izpremeni v red n ost, ako je s katerim¬ koli številom vzmnožimo in z istim številom razkorenimo. m m a — vhh; « = (Vah. Zato moremo vsako število pretvoriti na koren. Na pr. b = V(h; 3 = V¥ = V8l; 5 = V625. Vzmnoževanje in razkorenjevanje sta tedaj nasprotna računa; razkorenjevanje je obrat vzmnoževanja. 3. Prvi koren vsakega števila je število samo. Ker je a 1 = a, tedaj je tudi V a = « a 1 = a, 139 Za prvi koren ne pišemo niti eksponenta 1, niti korenskega znaka. Za drugi koren pišemo pač korenski znak, ne pa eksponenta 2. 2 V« pomeni torej \Ja. m m 4. VI = 1- 5. VO = 0. Izreki o korenih. § 137. 1. Produkt razkorenimo, ako razkorenimo vsak njegov faktor. m mm 3 _ 3 3 Vab = V« • Vb, V8.64 = V8 • ^64 = 2.4 = 8. m m Dokaz. Ako je \a . \b zares pravi koren, mora dati, vzmnožen s korenskim eksponentom ra, radikand ab. In res je (V«. Vb) m = (V«) m . (\Jb) m ( § 125., 2 ) = ab (§ 136., 1. Uporabljajoč ta izrek, radikand lahko deloma razkorenimo, ako ima namreč kak faktor, ki se da razkoreniti z dotičnim številom. Na pr. n _ n n n Va n b — V «’ 1 . \/b = a . \/b, Vla= V4. v« = 2 V«; Vm = V 5.49 = 7 V5. Tako moremo dostikrat korene, imajoče isti eksponent pa raz¬ lične radikande, pretvoriti na take, ki imajo isti radikand, in jih potem še skrčiti. Na pr. V8 + V50 + V72 - VI28 = V471T+ VŠO + VšO -^6472 = = 2V2 + 5V2 + 6V2 - 8V2 = 5V2. 2. Obrnivši prejšnji izrek dobimo mm m _ Ma.\Jb= Vab, t. j. Korene istih korenskih eksponentov pomnožimo, ako produkt radikandov razkorenimo s skupnim korenskim eksponentom. Uporabljajoč ta izrek in pa onega v § 136., 2. moremo obratno vsak korenov faktor spraviti pod korenski znak, in sicer tako, da dotični faktor vzmnožimo s korenskim eksponentom in to potenco pomnožimo z radikandom. Na pr. a\Jb = V «' 1 . Mb — V a n b, 2V5 — V8. V'5 = \/40. no § 138. 1. Kvocijent (ulomek) razkorenimo, ako raz- korenimo dividend in divizor (števec in imenovalec). 3 Dokaz. \ (§ 126., 2) =y(§ 136., 1). ' \/h ’ (\/6) ra 2. Obratno dobimo = I /i ' Vb P t.j.: Dva korena istih korenskih eksponentov razdelimo, ako kvocijent iz obeh radikandov razkorenimo s skupnim korenskim eksponentom. § 139. 1. Potenco razkorenimo, ako razkorenimo podlogo, ali pa če potenčni eksponent razdelimo s korenskim eksponentom. 1 ) vV) = (V'a) m , V( 8 5 ) = (\/S ) 5 = 2 5 . K. 6 2) v'W = (f, y,3 6 = 3 t = 3 3 . Dokaz. D | (Va)»|”=- |(Va>| m (§ 127., 3) = a™ (§ 136., 1). o\ ( m \ n m 2) UV = a” * ” (§ 127., l) = o-. 2. Obrnivši jednačbo 1.) dobimo (\/a)™ = y'( a ’"X t. j.: Koren vzmnožimos številom, ako ž njim vzmnožimo radikand. Izvod. Kadar je treba število vzmnožiti in razko- reniti, izvrši se to lahko v kateremkoli redu. 3. Ako obrnemo jednačbo 2.), dobimo n a n — V(a m ), t. j.: Število vzmnožimo z ulomkom, ako je vzmnožimo s števcem in razkorenimo z imenovalcem. m Potenca z ulomljenim eksponentom pomeni torej toliki koren, kakor kaže imenovalec, iz tolike podlogine potence, kakor kaže števec. §140. Koren razkorenimo s številom, ako ž njim razko- renimo radikand, ali pa če ž njim pomnožimo korenski eksponent. no vi : /it, g 1) V (V«) = V (V/a), \/ (V/27) : m n mn 3 2) y/ ( y a ) = ]/a, \/ (V'64) = V/(V27) = y3; V/64 = 2. Dokaz. . v j n m j m n m n |v(Va)| = V (Va) m (§ 139., 2) = \ ! a (§ 136., 1). mn n l mn j n n mn n 2) ( \'a) m = VKVahl (§136., 2)=y/(V/a>“ (§ 136, l) = \/a. Izvod. Ako je treba število razkoreniti z dvema številoma, razkorenimo je lahko ali z vsakim številom posamič v kateremkoli redu, ali pa kar s produktom obeh ob jednem. § 141. Korenu iz katerekoli potence se vrednost ne izpremeni, ako korenski in potenčni eksponent z istim številom pomnožimo ali razdelimo. Kajti Uporabljajoč prvi del tega izreka lahko pretvorimo vsakeršne korene na skupni korenski eksponent. 3 3 10 Recimo, da je treba korene \/a, \ r b-, \/c 3 , \Jd 7 pretvoriti na skupni korenski eksponent. Najmanjši skupni mnogokratnik danih korenskih eksponentov je 30; tedaj dobimo 30 30 30 2 = 15, torej 3 = 10, 5=6, 5 » 30 \/a — Va 1 '"’, 3 30 \Jlt = V'/* 30 , 30 = Ve 18 , Vc3 10 30 M d 7 = \/^l. 30 : 10 = 3. 142 Zato moremo tudi korene, imajoče različne eksponente, mno¬ žiti in deliti (§ 137., 2. in § 138., 2.), ako jih poprej pretvorimo na take, ki imajo isti korenski eksponent. \'a . \'a = y«/ ! . V'«'* = V« 3 . a 3 = \/a 5 ; 4 3 12 12 12 _ 12 \/« 3 : \/a = y/a° : \'a ' 1 = v a 9 : a 4 = \/a 5 . Uporabljajoč drugi del onega izreka okrajšujemo korene, kadar imata korenski in potenčni eksponent kako skupno mero. 8 4 mp m Na pr. V'a fi = \/a 3 , \a v = \/a. Kakšne predznake imajo koreni. § 142. 1. Pozitivno število, razkorenjeno s katerim¬ koli lihim številom, da pozitiven koren. V + 27 = + 3; kajti (+ 3) 3 = + 27. V obče: 2 ” + 1 2)1 4 - 1 V -j- a = -f- cc . 2. Negativno število, razkorenjeno s katerimkoli lihim številom, da negativen koren. V obče: V-27 = - 3; kajti (- 3) 3 = - 27. 2n + 1 2«+ 1 V — a = — \/a. 3. Pozitivno število, razkorenjeno s katerimkoli sodim številom, da dve jednaki a različno zaznamo¬ vani števili. V + 16 = ±2; kajti (+ 2) 4 = -f 16 in (— 2) 4 = + 16. 2n _ 2 n V obče : V -f- a = jP ^a. 2 n 4. Sedaj si treba ogledati še V* — a. Ako vzmnožimo bodisi pozitivno bodisi negativno število s sodim številom, nikdar ne dobimo • 2 n negativnega števila; zatorej pomeni M — a neko število, katerega ni 143 med onimi, s katerimi smo se pečali doslej. To novo število imenujemo imaginarno (umišljeno) število (imaginare Zahl), v nasprotje vsem drugim številom, katera imenujemo realna (istinita) števila (reelle Zcihlen). Na pr. V — 4 ne more biti niti -j- 2 niti — 2, kajti (-j- 2) 2 = + 4 in (- 2) 2 = + 4. Sod koren iz negativnega radikanda je imaginarno število. 2n Daši imaginarno število V — a v aritmetiki ne pomeni nič drugega nego število, katero da, 2«krat kot faktor vzeto, število — a, vender ga ne kaže v matematiki prezirati, kajti že v aritmetiki je pri višjih algebrajskih računih dostikrat prav koristno, v geometriji pa ima prav določen pomen. Ako dobimo v čisto aritmetični nalogi, v kateri se more vprašati le po realnem številu, imaginarno število za resultat, kaže to, da se naloga z danimi pogoji ne da razrešiti. Iracijonalna števila. m § 143. Ko smo v § 135. pojasnili pojem izraza \/a, smo vzeli, da je radikand a mta potenca kateregakoli celega ali ulomljenega števila. Ako pa celo število a ni »ita potenca kakega celega m števila, potem \/a ne more biti niti celo število niti ulomek; vender se da približno izraziti z ulomkom in sicer tako natančno, kakor le hočemo. Recimo na pr., da nam je določiti \/2. Ker je 2 med i 2 = 1 in 2 2 = 4, zato je \/2 med 1 in 2. Dalje je 2 med 1‘4 3 = 196 in 1'5 2 = 2'25, „ i'41 2 = 1*9881 „ 1'42 2 = 20164, „ 1'414 2 = 1*999396 „ 1’415 2 = 2T0225, i. t. d. Tedaj je Sjl med 1'4 in 1'5 . 1’41 , 1-42 „ 1’414 „ T415 i. t. d. Iz tega razvidimo, da je \/2 med dvema številoma, kateri lahko toliko zbližamo, kolikor le hočemo; da ima torej 1/2 določeno vred¬ nost, katere sicer ne moremo izračuni# s popolno natančnostjo, a vender tako natančno, kakor hočemo. 144 § 144. Števila, katerih ne moremo po vsem natančno izraziti niti s celimi števili niti z ulomki, a z ulomki približno tako natančno, kakor le hočemo, imenujemo iracijonalna števila (irrationale Zahlen), v nasprotje celim in ulomljenim številom, katera zovemo racijonalna števila (rationale Zahlen). Z iracijonahiimi števili računiti se pravi, računiti z njih približnimi vrednostmi. Ker so pa te približne vrednosti racijonalna števila, veljajo tudi o iracij onalnih številih vsi občni izreki, katere smo dokazali o racijonalnih številih. § 145. Ulomek, čegar imenovalec je iracijonalen monom ali binom, pretvorimo lahko, ne da bi mu izpremenili vrednost, na tak ulomek, ki ima racijonalen imenovalec; v ta namen treba le števec in imenovalec pomnožiti s primernim faktorjem. Ulomek oprostiti iracij onalnega imenovalca se pravi, imenovalec po r a cij on ali ti (den Nenner rational macken). Tu se pečajmo z nekaterimi lažjimi slučaji. v v S 1. Ako hočemo ulomku, imajočemu obliko ——, kjer je m > n, \Ja n dati racijonalen imenovalec, treba le števec in imenovalec pomnožiti m z \la m ~ n . Kajti m •s gVa m — 71 m m m \l an \ a n Sa m ~ n 3 m m\< i 2 * * * * * * . Na pr. vr - — 1 \a a m m g\J a m—n _ š\/a m — n 7/ a \ CC v, f 5 10 3 \/a _ 3 V a, \j o? _3 V« 9 ]/a 3 a a 2. Ako hočemo ulomek, ki ima obliko —-— ali ——-nre- a ± \/b V« ± \Jb tvoriti na ulomek z racijonalnim imenovalcem, treba le števec in imenovalec pomnožiti z a + \lb oziroma s y'a + \ h. Kajti « __ S(a + \/h) _ š (a + \Jh) a ± ['b (a± \Jb) (a + \/b) a 2 — b ’ g __ s (y« + \/b) __ g (V« + \Jb) \Ja ±1/5 (V« ± \Jb) (V« + \/b ) a — b 145 Na pr. 3 5 —y/2 3 (5+ V/2) _ 15 + 3V2 5 8 - 2 23 ' 15 _ IS (y/s — V2> , \/5 +V2 5-2 _ “ l '“ »-J. § 146. Ako je v jednačbi neznanka pod korenskim znakom, prav lahko odpravimo koren. V ta namen uredimo jednačbo tako, da stoji koren, katerega hočemo odpraviti, sam na jedili strani, potem pa vzmnožimo oba dela jednačbe s korenskim eksponentom. Ako v jednačbi neznanko oprostimo korenskega znaka, pravimo, da jednačbo poracijonalimo (Die Gleichung rational machen). Recimo, da treba poracijonaliti na pr. jednačbo V2x +3 = 5. Jednako vzmnoženo z jednakim da jednako. Ce vzm n ožimo oba dela jednačbe na kvadrat, dobimo racijonalno jednačbo 2x + 5 = 25, ki se da prav lahko razrešiti. Računanje kvadratnega korena. § 147. Iz zakona (§ 131.), po katerem so sestavljene sestavine polinoma v njega kvadratu, razvidimo, da nam je račun iti kvadratni koren urejenega polinoma po tem-le navodilu: 1. Prvi člen urejenega polinoma je kvadrat prvega korenovega člena. Prvi korenov člen dobiš torej, ako izračuniš kvadratni koren prvega radikandovega člena. Kvadrat dobljenega prvega korenovega člena odštej od radikanda. 2. Prva dva člena v ostanku imata oni dve sestavini, kateri da nastopni korenov člen v kvadratu, in sicer je prvi člen v ostanku produkt iz dvojnega že najdenega korena in nastopnega korenovega člena. Ako torej razdeliš prvi člen ostanka z dvojnim že znanim korenom, dobiš nastopni korenov člen. Potem tvori sestavini, kateri da ta novi korenov člen v kvadratu; v ta namen prištej ta novi člen dvojnemu že znanemu korenu ter vsoto pomnoži z ravno tem členom (§ 131., dostav.), dobljeni produkt pa odštej od polinomovega ostanka. 3. To postopanje nadaljuj, dokler nisi vzel vseh radikandovih členov v poštev. Močnik. Aritmetika. 10 146 Ako ne dobiš nobenega ostanka, tedaj je dani polinom popoln kvadrat in dobljeni kvadratni koren racijonalen; če pa dobiš ostanek, je kvadratni koren iracijonalno število. Primer. Vx 4 -j- 6x 3 — x 2 — 30* + 25 = x 2 -j- 3x — 5 x 4 -j- 6x 3 — x 2 : (2x 2 + 3x '. 3x + 6x3 _f_ 9 X .2 — 10x 2 — 30x -f- 25 : (2x 2 + 6x — 5). — 5 — 10x 2 — 30x -f 25 0 § 148. Prav tako izvira iz zakona (§ 132.), po katerem so sestavljene sestavine posamičnih korenovih številk v kvadratu, da je računiti kvadratni koren celega dekadnega števila po tem-le navodilu: 1. Število razdeli, pri jednicah začenši, na razdelke po dve številki — prvi razdelek na levi more imeti tudi le jedno številko — potem poišči največje število, katerega kvadrat se nahaja v prvem razdelku na levi ter to zapiši kot prvo številko v koren. Kvadrat te prve korenove številke odštej od prvega razdelka. 2. Ostanku pripiši nastopni radikandov razdelek. Tako dobljeno število brez njega zadnje številke razdeli z dvojnim že znanim korenom ter kvocijent zapiši kot novo številko v koren, ob jednem pa tudi k divizorju. Tako popolnjeni divizor pomnoži z novo korenovo številko, produkt pa odštej od dividenda, kateremu pa moraš privzeti prej izpuščeno številko. 3. To postopanje nadaljuj, dokler nisi vzel v račun vseh radi- kandovih razdelkov. Ako dobiš naposled kak ostanek, tedaj je kvadratni koren danega števila iracijonalno število. Da to natančneje določiš, pripiši zadnjemu in vsakemu nastopnemu ostanku po dve ničli, sicer pa računi kakor poprej. V kvadratnem korenu postavi decimalno točko, predno vzameš prvi dve ničli v račun. Na pr. 147 V3|76|36 = 194 V/23|61 = 48'59 . . . 1 2 76 : 2.. 29.9. ..261 15 36:38.. 384.4... 15 36 O 4825 87500: 970a 87381 119 Produkt iz vsakokratnega popolnjenega divizorja in nove številke lahko kar takoj, ko 1 množiš, ob jednem od dividenda odštevaš. Prejšnja primera dobita potem to-le obliko: V/3176136 = 194 \/23|61 = 48'59 ... 2 76 :2o 7 61: 8s 15 36 : 384 5700 : 96s 0 87500: 970o 119 § 149. 1. Kvadratni koren decimalnega ulomka računimo prav tako kakor kvadratni koren celega števila; vender moramo decimalni ulomek razdeliti od decimalne točke proti levi in proti desni na razdelke po dve mesti ter v korenu postaviti decimalno točko, predno vzamemo prvi razdelek decimalk v račun. Kadar ima zadnji razdelek decimalk na desni le jedno številko, pripišemo mu ničlo, da dobimo sodo število decimalk. Na pr. V/l|52'27j56 = 12*34 ^68*30 = 8*2643 ... 52 :2 2 8 27 : 24a 9856:2464 0 4 30 : 16s 1 0600:164g 72400 :16524 630400:16528s 134551 2. Kvadratni koren navadnega ulomka računimo tako, da izračunimo kvadratni koren njegovega števca in imenovalca, ali pa tako, da pretvorimo navadni ulomek na decimalnega ter potem izračunimo kvadratni koren tega ulomka. Na. pr. V/144 _ 12. V/529 23’ \/l = V0'625 = 07905 ... 10 * 148 § 150. Ako smo v korenu določili n veljavnih številk, dobimo še h —1 številko na okrajšani način in sicer tako, da razdelimo ostanek z dvojnim že najdenim korenom, uporabljajoč okrajšano delitev, kakor se to razvidi v teh-le primerih, če primerjamo najvišja mesta: V® = 1174734... yi|38 = 1174734... Ostanek 07724 ne izvira iz obeh sestavin, kateri daje vsaka zadnjih treh korenovih številk v kvadratu (radikandu), ampak le iz produkta, sestoječega iz dvojnega že dobljenega korena in teh številk. [Kvadrat (7) tisočin da le (49) milijonin]. Zadnje tri številke dobimo torej, ako izvršimo delitev. 0'1724. .. : 23‘4<8. Zadmjo divizorjevo številko je treba vsakikrat odrezati*ter jo uporabiti za popravo. Ako hočeš v kvadratnem korenu na okrajšani način izračuniti le določeno število decimalk, izračuni najprej na navadni način polovico zahtevanih decimalk in še jedno, potem še le postopaj na okrajšani način. Ako bi hotel na pr. 48532 določiti na 2, 3, 4, 5, 6 mest, dobiš v korenu 5, 6, 7, 8, 9. veljavnih številk; od teh pa smeš po okrajšani delitvi določiti le 2, 2, 3, 3, 4 številke. Fl4'0382 . .. moreš izračuniti na 4, F669'62... in ]^669‘6. .. na tri decimalke. Računanje tretjega korena. § 151. Iz tvorbenega zakona za tretjo potenco veččlenskega izraza (§133.) izvira obratno, da nam je računiti tretji koren urejenega polinoma po tem-le navodilu: 149 1. Za prvi člen iskanega korena vzemi tretji koren prvega radikandovega člena ter njega tretjo potenco odštej od radikanda. 2. Prvi člen ostalega polinoma razdeli s trojnim kvadratom že znanega korena; kvocijent je nastopni korenov člen. Potem tvori one sestavine, katere da ta novi korenov člen v kubu, namreč: trojni kvadrat že prej znanega korena, pomnožen s tem členom, trojni prejšnji del korena, pomnožen s kvadratom tega člena, in kub tega člena, ter odštej vsoto teh treh sestavin od prejšnega radikandovega ostanka. 3. To nadaljuj. Ako naposled ne dobiš nobenega ostanka, je tretji koren racijonalen, sicer pa je iracijonalen. Na pr. V/[z/ 6 — 6// 5 + 21 y i — 44// 3 + 63 y % — 54// + 27] = y l — 2// + 3 3 in \'d'. 105. j/16 . 106. \Ja . ia. 107. 2 \/2 . \/3. 108. VaP • V^b. \ 109. \/x . \'x* . yx\ 110. la 5 : Va. 111. V9 : V3. 112. V’« 4 : V« 2 - 113. ( V2 . VD : fa Pretvori te-le ulomke na take, ki imajo racijonalen imenovalec 114. 118. 122 . 125. 126. 128. 130. 132. 134. 136. 137. 138. 139. 140. 2 W 115. V24 J/p_ \ stroškov 400 K; koliki so stroški? — Tuje dan znesek za blago, zmanjšan za stroške, ter imamo sorazmerje: x: 2 = 400: 98. Iz tega razvidimo, da moramo v obče vzeti za p$ pri računu od sto število 100, » » nad„ „ 100+p „ „ pod,, „ 100-p kot istovrstno z dano vsoto. Račun od sto. § 157. Ako zaznamimo procente s p, znesek od vsote n pa z z, dobimo sorazmerje z :p = v : 100 in odtod Z = EL 100 t. j.: Pri procentnem računu od sto je znesek jednak stotemu delu produkta iz dane vsote in procentov. Pri pr o milu treba dano vsoto pomnožiti s promilom ter produkt razdeliti s 1000. Za n in p dobimo iz prejšnjega sorazmerja lOOz . lOOz v — -m p =-. p v Izrazi tudi te dve formuli z besedami! Procentne račune razrešujemo tudi po sklep o vnem računu (Schlussrechnung); bolj jednostavne tudi kar na pamet. Primeri: 1. Koliko je a) 5$ od 2450; b) od 6800? a) 2450 po 5 % b ) 6800 p o 122*50 272 34 306 161 Po sklepovnem računu: b) 1 % ali j^- 0 od 6800 je 68, 4% torej 4krat 68 = 272, |% je polovica od 68, t. j. 34; 272 in 34 je 306. 2. Katera vsota da po znesek 87? 8700 1740; Po sklepovnem računu : torej vsota sama = 17‘4.100 = 1740. 5% 1%, t. j. iskane vsote je 87 n j? » 17 4; 3. Koliko °/o je 18K od 450K? Po sklepovnem računu: 1% od 450 K je 4| K ; 18 K je torej toliko % od 450 K, kolikokrat se nahaja 41 K v 18 K, tedaj 4°/o- Računi nad sto. § 158. Za procentni račun nad sto velja sorazmerje z :p — v : (100 -{-p), v katerem imajo z, p in v isti pomen kakor v § 157. Iz tega sorazmerja dobimo vp * M +y g (1 00 + p) p p = 10Qg v — z Primeri. 1. Koliko znašajo 4 °/o nad sto od 2912 K? g; 4 = 2912: 104; g = 112 K. 2. Katera vsota da po 6^ nad sto 75K za znesek? v: 106 = 75 : 6; v = 1325 K. 3. Koliko °/o nad sto je 120 K od 3120 K? Tu dobimo p : 120 = (100 + p ): 3120, torej 3120p = 12000 + 120 p in p = 4^. Močnik. Aritmetika. n 162 Računi pod sto. § 159. Ako pomenijo p, v, z prav isto, kakor poprej, dobimo za procentni račun pod sto s :p = v : (100 — p); torej: s (100 — p) lOOz pv 100-p ’ v = P p v -f- z Primeri: 1. Koliko je 5 °/o pod sto od 2109 K? z: 5 = 2109 : 95; z = 111 K. \ 2. Od katere vsote znašajo 4^ pod sto 64K? v : 96 = 64 : 4; v = 1536 K. 3. Koliko °/o pod sto da 5031 K 129 K za znesek? p : 129 = (100 — p ): 5031, torej 5031p = 12900 — 129jo, in p = 2f °/o. Naloge. *1. a) 2 °/o od 50, 25, 20, 10, 75, 300, 650, 975; b) 4 o/o od 400, 1600, 350, 775, 860, 1230, 2575; c) 5^ od 600, 1400, 50, 350, 920, 489, 2860. 2. Koliko je a) 4^ od 635? ^c) Q{°/o od 1830? 3. Koliko je a) l°/oo od 7360? c) lfo/oo od 8380? 4 . Kolik znesek da vsota 5280"*K po a) \°/o , b) 3 \°/o, c) 4f °/o, b) od 846? d) 7f % od 6052? b) lp/oo od 8640? Id) lfo/oo od 14320? \ d) 5f^, e) 6f.*? 5. Izmed 400 ljudij, ki so stari 35 let, jih umrje do 60. leta 40^ ; koliko jih učaka torej 60. leto? 0. Neka 6350 m dolga cesta se vzdiguje za 1‘8$ ; koliko m i znaša vzdig? 7 . Neko mesto je imelo 1840. leta 15860 prebivalcev; do leta 1880. se je prebivalstvo pomnožilo za 25 r /o . Koliko prebivalcev je imelo mesto 1. 1880.? 8. Za neko stavbo se potrebuje 64800 opek; koliko opek je treba kupiti, ako se jih 8\°/o polomi ali poizgubi? 9 . Dolenja Avstrijska ima 1885840 ha rodovitne zemlje, in sicer 42 \°/o njiv; koliko ha merijo njive? * 10 . Katera vsota da a) po 2 % 48 ? h) po 8°/o 84? c) po 4^ 38? 11 . Koliko prebivalcev ima mesto, ako jih znaša 22 % 572? 12 . Ako dobiš iz pese 5 °/o neprečiščenega sladkorja, koliko kg pese je treba za 47200 kg neprečiščenega sladkorja? IB. Goveje meso izgubi, ako se skuha, 15^ svoje teže; a) koliko tehta 3 \kg surovega mesa (brez kostij), kadar je skuhano? h) koliko surovega mesa je treba vsak dan kupiti za 12 oseb, da dobi vsaka | kg kuhanega mesa? * 14 . Koliko % je a) 12 od 200? b) 16 od 400? d) 36 od 800? e) 80 od 1200? 15 . Koliko °/o je a) 40 h od 8 K? I) 35 K od 1050 K? c) 308 K od 5600 K? d) 116‘64K od 1728K? 16 . V sreberni zlitini, katera tehta 12f kg, je 5 kg bakra; koliko °/o bakra je v tej zlitini? 17 . Iz 25 kg surove kave dobimo le 21f kg žgane kave; koliko % svoje teže izgubi torej kava, ako jo prežgemo? 18 . Češka je imela 1880. leta 5,560819, leta 1890. pa 5,843250 prebivalcev; za koliko °/o se je prebivalstvo pomnožilo v tej dobi? 19 . Kolik je znesek nad sto od vsote? a) 923 K po 3$ ? b) 1555 K po 5|#? c) 680'85 K po 2 $1 d) 3047 K po 20 . Da preračuniš vrednost krone v franke, treba, da dodaš 100 K še 5^. Koliko K je tedaj a) 92‘4 franka? b) 66 frankov? 77'7 franka? 21 . Koliko °/o nad sto je 105 K od 3105 K? c) 38 od 2000? 0 63 od 1400? li 164 22. Kolik je znesek pod sto a) od 2508 K po i0#? b) od 836 K po 8|^? 23. Izračuni vsote tem-le zneskom in procentom pod sto? a) 300 K po 10^? b) 128jK po llf^? 24. Koliko °/o pod sto je 66K od 3234K? 25. Keki davek s 32^ doklado vred znaša 125 K 40 li; kolik je davek brez doklade? 26. Ako odštejemo od števila vinarjev 15 %, dobimo istovredni znesek fenigov. Koliko vinarjev je tedaj a) 51 fenigov? b) 68 fenigov? c) 1 marka 19 fenigov? d) 94 fenigov? 27. Trgovec je iztržil za blago po odbitku stroškov 6676* K; koliko je bilo stroškov? 28. Pri nakupu blaga je znašal 3 \°/o odbitek 1751 K; koliko K je plačal kupec? O tari. § 160. Ako stehtamo blago s posodo vred, v kateri se nahaja, imenujemo to težo surovo ali nečisto težo (Brutto-, Sporco- gemcht). Kar pa zaradi posodne teže odštejemo od nečiste teže, zovemo taro (Tara) in težo blaga samega čisto težo (Nettogemicht). Taro izražamo dostikrat v procentih; v tem slučaju jo računimo od nečiste teže po procentnem računu od sto. Decimalke pri kilogramih se jemljejo v poštev le pri zelo dragem blagu, sicer pa se ali prezirajo ali pa se število kilogramov poveča za 1, ako znašajo 5 ali več desetin. Na pr. Koliko velja 5 vreč kave, ako znaša nečista teža 773 kg , tara 5 ter se računi 100 kg čiste teže po 330 K? 773 po 5$ Nečista teža 773 kg 38'65 kg 5 °/o tar e 39 „ _ čista teža 734 kg po 330 K 2202 220 20 2422'20 K. 165 O skontu ali rabatu. § 161. Kupcu, ki kupuje blago na debelo, ni treba blaga precej plačati, ampak še-le v določenem roku; zato pa se mu blago računi nekoliko draže. Ako pa kupec blago vender le precej plača, dovoli se mu zaradi takojšnjega plačila odbitek od kupnine, katerega imenu¬ jemo diskont, skonto ali rabat (Warendiscont, Sconto, Rabatt), ter ga računimo po procentih od sto. Ako od kupnine odštejemo skonto, dobimo gotovo plačilo (contante Zahlung). Pri marsikaterem blagu določuje izdelovalec sam ceno, po kateri se morajo njegovi izdelki prodajati na drobno, prodajalcu na drobno pa dovoljuje neki odbitek od določene cene kot odškodnino za stroške in trud; tudi tak odbitek se imenuje rabat. Tak je na pr. knji g ar s ki rabat (Buchhandlerrabatt). Navadno znaša ta take procente, s katerimi moremo prav ugodno računiti; na pr. Tl j °/o ali f one cene, po kateri se knjiga prodaja, ali 25 °/o, ali 20^. Knjigarski rabat računimo po procentih od sto, dostikrat pa kar po navadni delitvi. 'Primera. 1. Ako znaša kupnina za neko blago 5192 K; a) koliko znaša skonto po 2 % ? h) koliko je gotovo plačilo? Kupnina K 5192 Skonto po 2 °/o „ 103‘84 Gotovo plačilo K 5088*16. 2. Knjigar-založnik je razposlal knjig, vrednih 2518K; koliko ima zanje terjati, ako daje 20 °/o rabata? 2518 po 20 ^ ali: od 2518K 2518 K 503*60 K rabata 503'6 K 503~6 „ 2014*4 K. O senzariji. § 162. Pri nakupu in prodaji blaga med trgovci istega mesta posredujejo zapriseženi ljudje, katere imenujemo mešetarje ali s e nzal e (Mahler, Sensale). Nagrada, katero dobivajo za svoj trud, zove se mešetarina ali senzarija (Sensarie, Courtage). V trgovini z blagom znaša senzarija navadno po 1 %, in sicer plačuje kupec \°/o, prodajalec pri menicah pa l°/oo. 166 Primera. 1. Koliko znaša \°/> senzarije pri blagu, prodanem za 4580K; koliko dobi za blago prodajalec, in koliko mora kupec plačati? 4580 po 22'90 K senzarije. Prodajalec dobi: za blago.K 4580 ako se odbije \°/o senzarije . „ 22'90 ostane mu čistega . . K 4557‘10. Kupec plača: za blago.K 4580 | °/o senzarije. „ 22'90 vsega skupaj .... K 4602'90. 2. Za koliko se je kupilo državnih papirjev, ako znaša l%o senzarije 5 K 64 h? z = 5'64.1000 = 5640 K. O proviziji. § 163. Ako naroči kdo komu dragemu, da izvrši zanj kako opravilo, na pr. da kupi ali proda blago, tedaj imenujemo osebo, katera da nalog, poveriteljaali komitenta^ Commiltent), osebo pa, ki dobi in izvrši nalog,poverjenika, opravnika ali komisijonarja (Commissionar). Nagrada, katero dobi poverjenik za svoj trud, zove se opravnina ali provizij a (Provision , Commission) ter se računi po procentih od sto. Ako pridejo v poštev različni stroški ali odbitki, računi se provizija vselej od največje vsote; pri nakupu tedaj od kupnine, povečane za vse stroške, pri prodaji iz skupila za blago ne gledč na stroške. Provizija in drugi stroški povečujejo vrednost za nakup in zmanjšujejo vrednost skupila (čisto skupilo). Račun, katerega pošlje poverjenik svojemu poveritelju o kupljenem ali prodanem blagu, imenuje se nakupni račun ali faktura (Faktura), oziroma prodajni račun (Verkaufsrechnung■). Primeri. 1. Koliko znaša provizija po in koliko je čisto skupilo za prodano menico, glasečo se na 1785'12K? A 167 1785*12 po £$ Menični znesek . . 1785*12 K, 8'9256 K provizije. ako se odbije \°/o provizije. . 8'93 „ ostane čistega skupila . . 1776*19 K. 2. Neki trgovec v Trstu kupi za trgovca na Dunaju 3 zaboje sicilijanskega grozdjiča štev. 12. do 14., nečiste teže 768 kg, tare po 18 kg od zaboja, 100 kg čiste teže po 62 K. Izračuni znesek, o katerem se izda faktura, ako znašajo stroški za zaboje, nakladanje i. t. d. 31'16K in ako se računi \°/o senzarije in c l°/o provizije. F aktura. 3. V Vratislavu se proda po naročilu nekega trgovca v Pragi 218 cnt. pšenice, in sicer 200 funtov po 19*80 marke; voznina znaša 30 fenigov od vsakega centa, na darilih za merjenje, pijačo i. t. d. se izplača 10*80 marke, senzarije \ °/o. Kako se glasi prodajni račun, ako se računi 'l{°/o provizije? Prodajni račun. 168 O zavarovalnini. § 164. Društva, katera prevzemajo proti določeni pristojbini odškodovanje za nezgode in izgube, nastale bodisi po prirodnih, bodisi po izrednih prirodnih dogodkih, imenujemo zavarovalna društva (Versicherungs- oder Assecuranzgesellschaften). Pristoj¬ bino, katero njim treba plačevati za to, da prevzamejo odškodovanje, imenujemo zavarovalnino (Versicherungsprtimie), pismo pa, s katerim društva potrjujejo, da se je kdo res in za koliko se je zavaroval, zavarovalno pismo ali polico (Polizze). Zavarovalnino računimo od zavarovane vsote po procentih od sto. Na pr. Kolika je zavarovalnina od zavarovanih 15280 K po \\°/> ? 152.80 po i% 76-40 „ \o/o 19-10 „ 248'30 K. O dobičku in izgubi. § 165. Pri računih o dobičku in izgubi moramo v poštev jemati troje: stroške pri nakupu, dohodke pri prodaji in dobiček ali izgubo. Trgovci računijo dobiček ali izgubo navadno po pro¬ centih; na pr. imeti 6^ dobička se pravi, za vsakih 100 K, ki so se izdale pri nakupu, prejeti 106 K pri prodaji; 6% izgube imeti pa se pravi, za 100 K, izdanih pri nakupu, prejeti pri prodaji le 94 K. Primera. 1. Trgovec je kupil m sukna po 9 K 60 li; po čem mora prodati m, da ima 15 % dobička? 9"6 po 15 % kupna cena . ... 9 K 60 h 4’80 15^ kobička ... 1 „ 44 „ 1"440 K dobička. prodajna cena . . 11 K 04 h. 2. Blago, ki se je kupilo za 725 K, prodalo se je za 674 K 25 h; koliko °/o je bilo izgube? kupna cena ... 725 K = 50'75 . 100 _ - o/ skupilo . 674 „ 25 h ' 725 izguba . . 50 K 75 h 169 Naloge. 1. Blago ima 2792 kg nečiste teže; kolika je njega čista teža, ako se računi tare a) 3 °/o, b) c) 12 # ? 2. Blago ima 2150 % nečiste in 1978 kg čiste teže; koliko % znaša tara? 3. Kolik je skonto po 2f$ pri a) 2577 K, h) 3538 K. c) 939'85 K, d) 171417 K? (4. Koliko veljajo 4 sodi smokev, imajoči 518 kg nečiste teže, 10^ tare, ako se plača za vsakih 100 kg čiste teže po 48 K in se računi 1 \°/o skonta? *5. Ako se računi pri knjigi 20 %, 25 %, 33|^ rabata, koliki del one cene je to, po kateri se knjiga prodaja? *6. Koliko znaša rabat po 33|^, ako kupi kdo knjig za a) 1518*24 K, b) 917| mark? *7. Kolika je senzarija po \°/o od a) 918 K, b) 506 K 58 h, c) 3096 K? x 8. Za kupljeno blago se plača s ',°/o senzarije vred 2653 K 40 Ii; kolika je prvotna kupnina? J). Kolika je provizija po ‘2% od a) 458 K, b) 720 K, c) 912 K 50 h? 10. Kolika je provizija od 4760 Iv a) po \°/o ? b) po ? c) po \\°/o ? d) po 1 \% ? (JI- A je prodal za nekoga drugega za 2085 K 25 h blaga; koliko ostane prodajalcu, ako se odbije 1 4 J provizije? X 12. Blago stane pri nakupu z '2°/o provizije vred 3207 K 90 li: oj kolika je provizija? b) kolika kupnina sama? 13. Za prodano blago se iztrži po odbitku 2 j provizije 2158-K 88 li: koliko znaša provizija? 14. Trgovec proda za nekoga drugega za 3518 K blaga, mešctarju plača \%, zase pa zaračuni \\% provizije; koliko dobi prodajalec? J5. Koliko treba plačati za 2308 kg nečiste teže, ako znaša tffk 8$, 100 čiste teže pa velja 85'72 K, in se računi '1% skorja in lf °/o provizije? v 170 16. Koliko zavarovalnine treba plačati od 7850 K a) po \/l b) po l°/ol c) po l°/oo? d) l|°/oo? *17. Hišni posestnik je zavaroval pri zavarovalnem društvu svojo hišo ter plačal 37 K 68 h; koliko je hiša vredna, ako je računilo društvo \/ hišne vrednosti? *18. 5/, 6 \/, 81/, i0/, m/o, 16|, /, 20/ dobička je koliki del kupnine? *19. Za koliko je treba prodati blago, katero se je kupilo za 780 K, da bode a) \.0/ dobička, b) iO/ izgube? 20. Pri blagu, katero se je kupilo za 4250 K, bilo je pri prodaji dobička 340 K; koliko / je bilo dobička? 21. Trgovec je iztržil za blago, pri katerem je imel 3 / izgube, 1040 K; a) koliko je imel izgube?, b) za koliko je bil kupil blago? 22. Nekdo je iztržil za prodano blago 1590 K; koliko / je imel dobička, ako je znašal le-ta 90 K? 21. Za prodano blago se je iztržilo 1410 K; koliko / je bilo izgube, ako je znašala le-ta 90 K? 24. Dunajčan dobi iz Trsta 4 zaboje grozdjiča, imajoče 972 kg nečiste teže, tare se računi po 18 kg od zaboja, 100 kg čiste teže po 60 K, senzarije \/, provizije '1 /; carina, voznina in drugi stroški znašajo 137 K 28 li; po čem mora prodati kg, ako hoče imeti 15^ dobička? II. O obrestnem računu. 1. O jednostavnem obrestnem računu. § 166. Denar, katerega kdo ali sam uporablja tako, da mu kaj nese, ali komu drugemu posodi proti temu, da mu plačuje le-ta za uporabo določen znesek, naposled pa vender le povrne ves posojeni denar, imenujemo kapital ali glavnico (Kapital), znesek pa, kateri se plačuje za uporabo kapitala, obresti (Zinsen, Interessen). Obresti se računijo po procentih; le-ti veljajo za 100 kapitalnih jednot in za časovno jednoto, navadno za jedno leto. Leto se računi pri obrestnih računih po 360 dnij, mesec po 30 dnij. 171 Obrestni račun je tedaj procentni račun, pri katerem pa treba razven količin, ki se nahajajo v vsakem procentnem računu, v poštev jemati še čas. v Obresti imenujemo jednostavne ali proste (einfache Zinsen), ako ostane kapital ves čas, ko tečejo obresti, neizpremenjen; ako se pa obresti koncem vsakega leta ali polleta pridevajo kapitalu in same zopet nalagajo na obresti, imenujemo jih obrestne obresti (Zinseszinsen). § 167. Podlaga obrestnemu računu je sestavljeno sorazmerje; toda vsako tako nalogo je moči tudi razrešiti po sklepovnem računu. Sklepovni račun nam rabi sosebno, kadar računimo na pamet. Na pr. Kapital 1346 K je naložen po 5^; koliko obrestij da v 3 letih? Uporabljajoč sklepovni račun, dobimo: 1346 K kap. da po 1^ vi let. 1346 „ „ „ „ 5 °/o „ 1 1346 100 1346 . 5 K obrestij 1346 „ °/o „ 3 „ ” 100 ” ” 1346.5.3 n v " » 100 ” ” = 201'9 K obrestij. Uporabljajoč sestavljeno sorazmerje: 100 K kap. v 1 let. 5 K obrestij x : 5 = 1346 : 100 1346 , „ „ 3 3 : 1 x ■ 1346.5.3 100 ' V obče: Ako zaznamujemo kapital, procente, število let in obresti oziroma s k, p, l, in o, dobimo takisto o = in odtod 100. o kp Primeri. 1. Koliko obrestij d& 350 K po 4^ v 3 letih? 7 100. o /c — , j pl p = 100 100. o ki Izrazi te formule z besedami. 172 a) Na pamet. 350 K da v 1 letu po \ °/o lOOti del od 350 K, tedaj 3| K, po 4^ torej 4krat 31 K = 14 K; v 3 letih tedaj 3krat 14 K = 42 K obrestij. b) Po formuli: o = ‘ t ^ = 42 K. 100 2. Kateri kapital da po 4$ v 5 letih 540 K obrestij? a) Na pamet. 4 °/o kapitala v 5 let. — 540 K 4^ „ » 1 » =108» 1^! t. j. jfoo n » 1 » = 27 „ tedaj je kapital sam = lOOkrat 27 K = 2700 K. b) Po formuli: k = —= 2700 K. 4.5 3. Po koliko °/o treba 3450 K kapitala na obresti naložiti, da bode dal v 2 letih 276 K obrestij ? a) Na pamet. Po 1 °/o da 3450 K kap. v 1 letu 34f K, v 2 letih 69 K; 276Kje tedaj toliko °/o, kolikorkrat ima 276 število 69 v sebi, torej 4^. n -n r i- 100.276 , „/ b) Po formuli: p =■■ - -■— = 4%. 4. Koliko časa treba imeti kapital 4800 K izposojen po 5^, da da 600 K obrestij? a) Na pamet. 4800 K da v 1 letu po 1 °/o 48 K, po 5^ tedaj 5krat 48 K = 240 K; 600 K obrestij da tedaj isti kapital v toliko letih, kolikorkrat je 240 v 600, torej v 2f leta. b) Po formuli: 100.60 0 4800.5 = 21 leta. § 168. Navadno pa se računijo obresti za katerikoli kapital in katerikoli čas tako-le: 1. Najprej izračuni obresti za jedno leto po proeentnem računu, pomnoživši stoti del kapitala s procenti. 2. Obresti za več let dobiš, ako pomnožiš obresti za jedno leto s številom let. 3. Ako so dani tudi meseci in dnevi, uporabljaj razstavni način (Zerfdllungsmethode); mesece namreč razstavi na pripravne dele leta, in dneve na pripravne dele meseca, potem vzemi od obre- 173 stij za jedno leto, oziroma za jeden mesec, prav toliko delov in vse te zneske prištej obrestim za leta. Na pr. Koliko obrestij da 4850 K kapitala po 4 \°/o v 3 letih 7 mesecih 12 dneh? 4850 K po 4 \°/o v 3 1. 7 m. 12 dn. 218 25 K obr. v 1 I 65475 K obr. v 3 1. 109 125 „ „ , 6 m, =|1. 18787 „ „ „ 1 „ od 6 m. 6'062 „ „ „10 dn. =f m. 1'212 „ „ „ 2 „ = | od 10 dn. 789 336 K. §. 169. Dostikrat treba izračuniti obresti le za določeno število dni j. A k o je k oni kapital, kateri je po p°/o d dnij na obresti na¬ ložen, ondaj dobimo 100 K kap. v 360 dn. p K obr. k d n n d n ® J) n Ako je p — 6, dobimo: x : p tedaj x = k : 100 d : 360 kpd 36000' obresti = k. 6. d 36000 kd 6000' Tukaj imenujemo število 6000 obrestni divizor (Zins- divisor) za 6^. Sploh dobimo za nastopne procente te-le obrestne divizorje: za Z°/o . . . 12000, za 5^ . . . 7200, za 4 °/o . . . 9000, za 6$ . . . 6000; in za te procente velja pravilo: Obresti za določeno število dnij dobimo, ako po¬ množimo kapital s številom dnij ter ta produkt (obrestni produkt) razdelimo z dotičnim obrestnim divizorjem. Primera. 1. Koliko obrestij da 780 K kapitala po 6^ od dne 3. aprila do dne 12. avgusta? 174 Od dne 3. aprila do dne 3. avgusta so 4 m. = 120 dn. » » 3. avgusta „ „12. „ ie 9 „ 78 0.129 129 dn. 15 60 7 020 100,620 : 6,000 = 1677 K. 2. Koliko obrestij d& 4559 K 90 h po ^\°/o v 54 dneh? 4560 X 4| X 54 ali 4560 x 54 36000 246240:9000 = 29'64 K. 27-36 po 4^ + 2'28 po \°/o = jž od 4 °/o K 29-64 po 4f %. Naloge. *1. Izračuni letne obresti od a) 30 K, 75 K, 120 K, 350 K, 862 K, 924 K po 5(4) ^; b) 500 K, 125 K, 350 K, 720 K, 375 K, 880 K po 4 *2. Koliko znašajo obresti po 4^ od a) 200 K v 3 letih? b) 525 K v 5 letih? c) 465 „ , 8 „ d) 255 „ „ 6 „ *•>. Koliko znašajo obresti po 6$ od a) 300 K v 4 letih? b) 475 K v 3 letih? c) 650 „ „ 3 „ d) 1250 , , 5 „ 4. Vdova ima naloženih 19120 K kapitala po 5f^; koliko sme potrošiti na dan, ako živi zgolj ob obrestih onega kapitala? (j). Koliko obrestij da a) 4105 K po 5^ v 3 letih? b) 2412 K po 5f$ v 5 letih? 6. Koliko obrestij da 1428 K a) po 5^ v 4 mesecih? b) po 6 °/o v 7 mesecih? c) po 4 |°/o v 5 mesecih? d) po 5f$ v 9 mesecih? 7. Koliko obrestij da a) 6720 K po 4,^ vi letu 5 mesecih? b) 2928 K po 5|^ v 2 letih 7 mes. 15 dneh? c) 5704 K po §\°/o v 3 letih 10 mes. 20 dneh? 175 8. Koliko znašajo obresti po Q% od a) 984 K v 65 dneh? b) 2250 K v 212 dneh? c) 2127'6 K v 96 dneh? d) 3284 K v 192 dneh? 9. Koliko obrestij da a) 8888 K kapitala po 4 °/o v 12 dneh? \b) 9379 K kapitala po 4 \°/o v 147 dneh? 10. Koliko obrestij da a) 945 K po 5|^ od dne 1. avg. do dne 7. nov.? b) 1278 K po &\°/o od dne 25. maja do dne 3. okt.? 11. Poišči obrestne divizorje (§ 169.) za a) 2$, 8^; b) 4 9%. 12. Na posestvu je 18500 K dolga; čez 2 leti plača posestnik dolg in 5|^ obrestij; koliko mora plačati? *13. Kolikokrat večji je kapital od letnih obrestij a) po 5 °/o, b) po 4$? *14. Kateri kapital da na leto obrestij a) 20 K, 25 K, 30 K, 36 K, 82 K, 145 K in to po 5^? b) 10 K, 24 K, 40 K, 75 K, 120 K, 200 K po 4^? *15. Kateri kapital da po 5^ v 3 letih a) 75 K, b) 90 K, c) 125 K obrestij? 16. Izračuni kapital, kateri da (jt) po 4^ v 2 let. 70 K obrestij, bj po 5$ v lf let. 93|s K obrestij. 17. Kateri kapital da a) po v 3 let. 837 K obrestij? L b.) po 6j^ v 1| let. 390 K obrestij? *18. Koliko °/o se računi, ako da v 1 letu a) 800 K kap. 40 K obrestij? b) 1500 K kap. 80 K obrestij? c) 600 K kap. 27 K obrestij? d) 1400 K kap. 63 K obrestij? 176 *19. Koliko °/o se računi, ako da a) 400 K kap. v 2 let. 28 K obrestij? b) 700 „ „ v 4 „ 140 „ c) 300 „ „ y 4 „ 42 „ d) 800 „ „ v % „ 120 „ „ 20. Po koliko % da 4260 K kapitala v 3 letih 4 mesecih 710 K obrestij? 21. Kapital da v 3 letih po 4 \°/o 60f K obrestij; drug, za 150 K večji kapital pa da v istem času 90 K obrestij; po koliko % je drugi kapital na obresti naložen? 22. Po koliko '/o treba 9110 K naložiti na obresti, da dajo od dne 2. maja do dne 15. oktobra 205 K 23 h obrestij? 28. Po koliko °/o treba kapital naložiti na obresti, da bodo jednostavne obresti a) v 20, b) v 25, c) v 33f let. kapitalu jednake? 24. Koliko °/o nosi sreberna renta, katero kupimo (po kurzni vrednosti) za 97* * * § 53 gl.? (4'2 gl. je letni znesek.) *2->. V katerem času da a) 225 K kap. po 4^ 45 K obrestij? b) 320 „ „ „5 o/o 32 „ „ 1 c) 1200 „ „ „4 ji 240 „ „ ^ d) 450 „ „ „6^ 94^„ 26. V katerem času da La) 5460 K kap. po 365 K obrestij? ib) 5244'55 K kap. po 5 \°/o 956'3 K obrestij? „-27. Koliko časa mora biti kapital naložen na obresti, da zna¬ šajo obresti a) po 4 °/o, b) po 5 °/o, c) po 6 °/o prav toliko kakor kapital ? 2. O diskontnem računu. § 170. Recimo, da kdo takoj izplača vsoto, katero ima brez obrestij plačati še-le čez nekaj časa; tedaj mu očividno ne bode treba plačati vsega, kar je dolžan, nego plačal bode le oni znesek, kateri da, povečan z obrestmi, ki bi narasle do plačilnega roka, ves dolg; dolžniku se mora tedaj dovoliti nekaj odbitka. Ta odbitek se zove diskont (Diskont) ter se računi po procentih. Ako 177 odštejemo diskont od dolga, zove se ostanek gotova, sedanja ali diskontovana kapitalna vrednost (der bare, gegenwdrtige, discon- tierte Wert des Capitals). Na pr. Nekdo hoče takoj izplačati brezobresten dolg 418 K, katere je dolžan plačati še-le čez lf leta; a) koliko odbitka se mu mora dovoliti, ako se računi 6 °/o diskonta na leto, b) koliko je go¬ tovega plačila? 100 K takoj je vrednih, ako se računi 6 °/o obrestij, čez lf leta 109 K; obratno: 109 K, katere treba brez obrestij plačati še-le čez lf leta, vrednih je sedaj le 100 K, ali od vsakih 109 K treba 9 K diskonta odbiti, ako se plačajo lf leta prej. Tedaj : a) 109 K dolga 9 K disk. x : 9 — 418 : 109 418 „ „ x „ „ x = 34'51 K disk. b) Dolga je.418 K odštev. 6^ disk. za lf leta.34'51 „ ostane gotovega plačila. 383'49 K Preskušnja. 3 83‘49 K po 6% Gotovo plačilo 383’49 K 23'00 94 K obrestij vil. 6% obresti za 11 leta 34’51 K 11‘50 47 K „ vi 1. kapital čez 11 leta 418'— K - 2 jfr- 2 34-5141 K. Iz tega je razvidno, da je računiti diskont nad sto. č^ko bi računiti diskont od sto, dobili bi: 418 K po 9% Dolga 418 K 37'92 K diskonta odštev disk. 37'62 K ostane gotovega plačila 380'38 K Toda 380'38 K gotovega plačila bi ne dalo s 6°/ 0 obrestmi vred čez 11 leta dolžnega kapitala 418 K, ampak le 414'61 K. Ker je pa račun od sto pripravnejši nego račun nad sto in razloček med obema resultatoma za kratke roke neznaten, zato računijo trgovci diskont ali skonto pri zneskih za blago (§ 161.) vsikdar po pripravnejšem računu od sto, zakaj tu gre navadno le za kratke roke. Iz prav tistih vzrokov se računi tudi menični diskont, o katerem bodemo govorili pozneje (§ 190.), vselej od sto. Ak o je v r obče v vsota, izplačna čez n let brez obrestij, g go¬ tovo plačilo, katero mora plačati dolžnik, ako se računi p% diskonta, ondaj velja 9 : » - 100 : (100 + n p), tedaj g = ^ + 12 Močnik. Aritmetika. 178 Naloge. 1. Kateri kapital narase v 6 mesecih (| leta) s ^\°/o obrestmi vred na 349 K 35 h? \J5. Dolžnik plača upniku 5343 K 75 h ter poplača s tem ka¬ pital in 5f °/o obresti za li leta; koliko znašajo obresti, in kolik je kapital ? ; v -5. Nekdo bi moral 2345 K plačati čez 1 leto; a on plača takoj ter dobi 5 °/o diskonta; koliko znaša a) diskont, b) gotovo plačilo? '4. Koliko -je vrednih 850 K, katere treba plačati čez 2 leti, sedaj, ako se računi 5 °/o diskonta? ,5. A ponuja za hišo 11820 K proti temu, da plača kupnino še-le čez 1 leto in 4 mesece; koliko K je ponudba sedaj vredna, ako se računi 4f °/o diskonta? 15. A mora plačati B-j u 1245 K čez 5 let; koliko bi mu moral plačati čez 3 leta in 2 meseca, ako se računi 5i$ diskonta? 7. Za 980 K, izplačnih čez 6 mesecev, plača se takoj 931 K; koliko °/o diskonta se računi? 8. A posodi 5-ju 1850 K po §°/o ter mu precej odtegne obresti za 1 leto; za koliko je na škodi B, kateri bi moral obresti prav za prav-plačati še-le koncem leta? 9. A ponuja za posestvo 40000 K v gotovini, B pa 44000 K, in sicer hoče plačati 20000 K precej, ostalo vsoto pa čez 2 leti. Kateri ponuja več, ako se računi 5 °/o diskonta? 3. O rokovnem računu. § 171..Dostikrat se plačajo brezobrestne vsote, katere bi tre- balo plačati drugo za drugo ob določenih rokih (Termine), vse kar ob jednem, ali pa ob drugih rokih, nego je bilo iz prva določeno. Kdaj naj se to zgodi, da ne bode na škodo niti dolžniku niti upniku, uči rokovni račun (Terminrechnung). Recimo, da so k t . k>, A ; j oni kapitali, katere treba plačati ozi¬ roma čez m\, m«, m 3 let (mesecev) brez obrestij. Vzemimo dalje, da se plačajo vsi ob jednem in to čez t let (mesecev). 179 Da ne bode na ta način oškodovan niti dolžnik niti upnik, treba, da je gotova vrednost vsega plačila je-dnaka vsoti gotovih vrednostij vseh posamičnih plačil. Dolo¬ čujoč gotove vrednosti, morali bi računiti diskont nad sto (Hof¬ manu o v način). V resnici pa se navadno uporablja ne tako na¬ tančni, a pripravnejši Carpsowov način, kateremu je podstava diskont od sto, t. j. obresti. Ta način se tedaj opira na izrek: Obresti vsega plačila& 1 + ft 2 + &.smorajo biti tolike kakor obresti posamičnih plačil ki, /t 3 , /c 3 skupaj. Tedaj, ako vza¬ memo obrestno mero po p°/o, je (k,. + k 2 + k 3 ) ft _ ktpm x k 2 pm 2 k 3 pm s 100 ~ 100 + _ 100 + 100 ’ 'P ali, ako razdelimo s (k, + k 2 -)- k 3 )t = hm, + k 2 m 2 -f k 3 m 3 . Iz te jednačbe je moči določiti vsako posamično količino, ako so znane vse druge. Navadno treba poiskati t, t. j. povprečni plačilni rok (mittlerer Zahlungstermin). Iz prejšnje jednačbe dobimo: _ k,m t + k 2 m 2 J r k 3 m 3 . ki -(- k 2 -f- k 3 t. j. povprečni plačilni rok najdemo, ako pomnožimo vsako posamično plačilo z njegovim rokom ter vsoto teh produktov razde¬ limo z vsoto vseh posamičnih plačil. Na pr. -4 je kupil hišo za 8000 K proti temu, da plača kup¬ nino v več obrokih, ne da bi se mu računile obresti, in sicer: 3500 K čez 2 meseca, 2000 K čez 3 mesece, 1500 K čez 4 me¬ sece in 1000 K čez 5 mesecev; kdaj lahko plača vso kupnino ob jednem? (Povprečni plačilni rok.) 3500 K čez 2 mes. . 2000 „ „ 3 „ . 1500 „ „ 4 „ . 1000 „ , 5 „ • ' 8000 . 7000 . 6000 . 6000 . 5000 24000 : 8000 = 3 mes. Kak6 se lahko prepričaš, je li resultat prav? 12 * 180 Dostavek. Kadar so posamična plačila jednaka, in sicer vsako = h, ondaj je povprečni plačilni rok t hm i + hm^ + _ m± -j- + »713 _ — - 3 ’ tedaj jednak povprečnemu številu posamičnih rokov. Naloge. *1. Štirje kapitali po 600 K so izplačni čez 4, 5, 7, 8 me¬ secev; čez koliko mesecev se lahko plačajo vsi ob jednem? *2. 4800 K treba plačati v treh jednakih obrokih čez 2, 2f in 3 leta; kdaj se plača lahko ves dolg na jedenkrat? *3. Nekdo je dolžan 1200 K in od teh mora vsake 3 mesece odplačati po 300 K; kdaj bi moral plačati ves dolg ob jednem? *4. A mora 10000 K plačati v 4 obrokih, in sicer: 3000 K čez 4 mesece, 2500 K čez 6 mesecev, 2000 K čez 8 mesecev in kar ostane, čez 1 leto; kdaj lahko plača vse ob jednem? (Pres- kušnja na obresti.) V_5. Kdaj treba plačati 1800 K ob jednem, ako je izplačnih 300 K čez 1 leto, 400 K čez lf leta, 500 K čez 2f leta in ostanek čez 3f leta in to brez obrestij? iJj. A mora -B-ju plačati: 1600 K dne 1. julija, 1400 K dne 1. septembra, 1000 K dne 1. novembra; kdaj lahko plača vse tri kapitale ob jednem? Roke računi od dne 1. julija. 7. A bi moral plačati brez obresti 2000 K čez 2 leti in 1600 K čez 4 leta, plača pa 2400 K že čez lf leta; kdaj mora plačati ostanek? Ker povprečni rok x ni zavisen od procentov (zakaj ne?), računimo najbolje jednoprocentne obresti: 20.2 + 16.4 = 24 . 1| + 12 . x (Ostanek = 1200 K) x = ? 8. Nekdo bi moral 3000 K plačati čez 8 mesecev, plača pa 1800 K takoj; kdaj mora plačati ostanek? 9. A bi moral plačati 800 K čez 2 meseca, 500 K čez 3 mesece in 600 K čez 4 mesece, plača pa 800 K čez 1 mesec in 500 K čez 31 meseca; kdaj mora plačati ostalih 600K? 181 10 . Nekdo bi moral plačati dne 20. marcija 1500 K, dne 25. junija 2000 K in dne 30. septembra 1200 K; plača pa dne 1. marcija 1000 K, dne 25. maja 800 K in dne 15. avgusta 1600 K; kdaj mora plačati ostanek? 4. O obrestnoobrestnem računu. § 172. Ako se pridevajo obresti koncem vsakega leta ali polleta kapitalu ter se s tem vred nalagajo zopet na obresti, pravimo, da je kapital naložen na obrestne obresti. (§ 166.) Pri obrestnoobrestnem računu imamo, prav tako kakor pri jedno- stavnem obrestnem računu, štiri količine, namreč: kapital, čas, pro¬ cente in obresti. Obrestna ddba je tudi tu jedno leto, ako se izrekoma kaj nasprotnega ne poudarja. Ako je kapital po ffo naložen na obresti, narase 100 kapitalnih jednot (kron, mark) v jednem letu z obrestmi vred na 100 + p ; 1 kapitalna jednota je tedaj vredna čez 1 leto z obrestmi vred = 1 + Vrednost 1 -f 100 100 100 na katero narase kapitalna jednota z obrestmi v 1 letu (v obče v 1 časovni dobi), navadno imenujemo obrestno mero (Zinsfuss). Za 4^ je tedaj obrestna mera 1 + ±_ 100 P04. § 173. Naloga. Na koliko narase kapital a n m letih, ako ga po naložimo na obrestne obresti? Ker je vredna kapitalna jednota z obrestmi vred čez 1 leto V 1 + zato ima kapital a čez 1 leto vrednost 100 “ = “ 0 + im)' t. j.: Vrednost, na katero narase kapital v jednem letu, dobimo, ako pomnožimo njega početno vrednost z obrestno mero. Naloživši novi kapital e t zopet jedno leto na obresti, dobimo koncem leta ( 1+ 4)~ a ( 1 + ioo) -i l + v_ 100 ) - « (l + jJjj) • 182 V 3, 4,... letih narase kapital na £3 — e2 — e 3 (* + ioo) = “ ( 1 + im) ' 0 + 5oo) - “ (‘ + 100 ) ' 0 + ioo)= “ 0 + Ioo) S - (‘ + 100 ) = “ (‘ + wo)‘' i. t. d. Kapital ima tedaj koncem mtega leta vrednost / p \ m e '*' ~- a V ' ioo/ ’ t. j.: Končni kapital je jednak početnemu kapitalu, pomnoženemu s toliko potenco obrestne mere, kolikor je dob. Ako je naloženih na pr. 2000 K po 5^ na obrestne obresti, narasejo: v 1 let. na 2000. 1 ‘05 K „ 2 „ „ 2000.(1-05)2,, „ 3 „ „ 2000.(1-05)3,, „10 „ „ 2000.(l-05)io„ Ako se obresti ne piidevajo kapitalu koncem vsacega leta, nego koncem vsacega polleta, treba vzeti dvakrat toliko dob, kakor je danih let, a za vsako dobo le polovico procentov, tedaj v formuli e = a (1 + za p in m oziroma ~~ in 2 vi. Na pr. za 4 °/o m v 100/ 2 in 8 let dobili bi e lB = a. ( 1'02) 16 . V nastopni preglednici so sestavljene že izračunane potence obrestne mere za 2, 2f, 3, 4, 5 procentov za m = 1, 2, 3,... 29, 30. 183 Primera. 1. Koliko bode vrednih 5800 K čez 20 let, ako se 3& obresti kapitalizujejo celoletno? 5800 . (1'03) 20 = 5800.1 806111 ... = 10475*44 K. V gorenji preglednici so razven števil v prvih treh vrstah vsa nastopna števila okrajšena na 6 mest. 184 2. Na koliko narase kapital 1234 K v 7 letih, ako je po 4^ na obrestne obresti naložen in se obresti kapitalizujejo polletno? Tu treba vzeti 14 polletij in procente za polleta, namreč 2 %■ tedaj 1234 . (l - 02) 14 = 1234.N319479 ... = 1628'24 K. § 174. Ako pa treba obratno določiti vrednost, katero je imel kapital pred toliko časom, in to glede na obrestne obresti, t. j. iz končnega kapitala izračuniti početni kapital, ondaj dobimo iz formule t. j.: Početni kapital je jednak končnemu kapitalu, raz¬ deljenemu s toliko potenco obrestne mere, kolikor je dčb, alije d nak ko n enemu kapitalu, po množenemu z reci¬ pročno vrednostjo te potence. Na pr. 2000 K je bilo vrednih pred 12 leti, ako se računi obrestnih obrestij 2000 . 1 (1"05) 12 K. V nastopni preglednici so sestavljene že izračunane recipročne vrednosti dotičnih potenc obrestne mere za 2, 2f, 3, 4, 5 procentov in to za m = 1, 2, 3, . . . 29, 30. 185 Primera. 1. Koliko je bilo vrednih 7310 75 K pred 15 leti, ako se računi 5 °/o obrestnih obrestij in kapitalizovanje celoletno? 731075 . = 731075.0781017 ... = 35166 K. (1 05) lo 2- Kateri kapital treba naložiti po 4^ na obrestne obresti, da narase pri polletnem kapitalizovanju v 12 letih na 5200 K? 5200 . -7rL*r= 5200 • 0 621721 ...= 3232-95K. (1'02) 34 Dostavek. Formule, katere smo dobili v §§ 173. in 174. za obrestne obresti, veljajo tudi za druge količine, rastoče v stalnem razmerju, n. pr. za prirastek prebivalstva v deželi, lesa v gozdu, i. t. d. S**"'! tl 186 Naloge. 1. Na koliko narase 1350 K v 24 letih, ako so naložene po 4^ na obrestne obresti? 2. Na koliko narase, ako se računijo obrestne obresti: a) 3480 K po 5$ v 15 letih? c) 120 K po 5$ v 12 letih? b) 6340 „ „ 4^ „ 22 , d) 5165 , „ 3^ „ 28 „ 3. Nekdo ima v hranilnici 4600 K. Na koliko narase ta kapital v 11 letih, ako plačuje hranilnica po 5 °/° na leto ter kapitalizuje obresti polletno? 4. Nekdo naloži 3560 K po 4^ na obresti proti temu, da se le-te kapitalizujejo polletno; na koliko narase kapital v 10 letih? 5. Gozd ima sedaj 9800 m 3 lesa; koliko ga bode imel čez 10 let, ako ga vsako leto prirase po 3^? 6. Mesto je imelo 1850. leta 35846 prebivalcev; koliko jih je imelo leta 1880., ako se je pomnožilo prebivalstvo vsako leto za 2|%? j 7. Nekdo mora plačati 3000 K čez 1 leto, 2000 K čez 2 leti, 1000 K čez 3 leta in 4000 K čez 4 leta; koliko bodo vredni vsi ti zneski čez 4 leta, ako se računi 5 °/o obrestnih obrestij in se obresti kapitalizuj ej o celoletno ? 8. Nekdo je nosil 4 leta zaporedoma v začetku vsakega polleta po 140 K v hranilnico ; koliko si je prihranil v tem času, ako plačuje hranilnica za pol leta 2^ obrestij in jih kapitalizuje polletno? 9. Koliko je bilo vrednih 2485 K pred 5 leti, ako se računi 5 °/o obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje? 10. Koliko je 8500 K, izplačnih čez 9 let, sedaj vrednih, ako se računi 4$ obrestnih obrestij ter celoletno kapitalizovanje? 11. Koliko je sedaj vrednih a) 750 K izplačnih čez 25 L, ako se računi 3 % obr. obrestij ? b) 4060 „ „ „ 17 „ „ „ „ 4* „ „ (^ 6372 „ „ „ 12 „ „ „ „ 5 $ „ 12. Kateri kapital treba po 4 °/o naložiti na obrestne obresti, da narase v 7 letih na 4711 '03 K? 187 13. Kateri kapital treba naložiti po 5^ na obrestne obresti s polletnim kapitalizovanjem, da narase v 10 letih na 8000 K? 14. Dežela ima sedaj 1258750 prebivalcev; koliko jih je imela pred_ 25 leti, ako jih je vsako leto priraslo po 2j$? 15. Nekdo hoče prodati njivo. A mn ponuja 3600 K v gotovini, B 4250 K, izplačnih brez obrestij čez 2 leti, C 4310 K, izplačnih brez obrestij čez 3 leta. Katera ponudba je za prodajalca najugod¬ nejša, ako se računi 5^ obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje? Da bode moči ponudbe drugo primerjati drugi, treba izračnniti njih vred¬ nost za isti čas, torej njih sedanjo ali pa njih vrednost čez 3 leta. 16. Nekdo hoče dobivati 3 leta koncem vsakega leta po 1000 K; koliko mora v ta namen takoj naložiti, ako se računi 5 °/o obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje? 17. Koliko mora A dati B-ju. da mu bode ta 5 let zaporedoma koncem vsacega leta izplačeval po 586 K, ako se računi 4 °/o obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje? 18. A prevzame hišo ter še zaveže, da bode dosedanjemu posestniku 15 let zaporedoma koncem vsakega leta izplačeval po 1200 K; na koliko se je cenila hiša, ako se računi 5 % obrestnih obrestij ? III. O družbenem računu. § 175. Družbeni račun ali razdelbeno pravilo (Gesellschaftsrechnung, Theilregel) se uporablja tedaj, kadar treba razdeliti dano število na več delov tako, da so ti deli med seboj v istem razmerju kakor druga dana števila. Števila, izražajoča razmerje med posamičnimi deli, zovemo raz merska števila ( Verhaltniszahlen). Družbeni račun je jednostaven ali sestavljen; prvega uporabljamo, kadar je dana le j e dna vrsta, drugega pa, kadar je danih več vrst razmerskih števil. § 176. Recimo, daje vjednostavnem družbenem računu s število, katero nam je razdeliti, a, b in c pa so razmerska števila. Ako imenujemo neznane dele x, y in z, tedaj velja 188 x : y = a : b in y : z = b : c, ali x : a = y : b in y : b = z : c, tedaj x : a — y : b = z : c. Odtod pa dobimo, po dostavku k § 115. (x -j— y -j— z) (ct -j- b -j— c) -— x (x — y ■ b ali, ker je po pogoju x + y + z = s, = z : c, s : (a + b + c) = x : a, s : (a + b + c) = y : b, s : (a + b + c) = z : c, Pri jednostavnem družbenem računu razdeli tedaj število, katero treba razdejati na dele, z vsoto vseh razmerskih števil, dobljeni kvocijent pa pomnoži zaporedoma z vsakim razmerskim številom; produkti so iskani deli. Ako so razinerska števila ulomki, treba vsa pomnožiti z najmanjšim skupnim imenovalcem ter takisto pretvoriti na cela števila; ako imajo vsa razmerska števila kako skupno mero, treba jih ž njo okrajšati. Na pr. Med štiri osebe A, B, C, D treba razdeliti 5610 K v razmerju števil f, 6 ; A \ B ! c ! D | 5610 : 33 = 170 8 ; 9; 10 ; 170 K 170 „ 170 „ 170 „ 6 = 1020 K 8 = 1360 „ 9= 1530 „ 10 = 1700 „ dobi A, B , C, D , 5610 K vsi skupaj. Prav tisto pravilo dobimo tudi po sklepovnem računu. Vzemimo, da treba na pr. 640 K med tri osebe A, B, C razdeliti v razmerju števil 9, 7 in 4; koliko dobi vsaka oseba? A dobi 9, B 1 in C 4, tedaj vsi skupaj 20 jednakih delov; 20i del od 640 K je 32 K; tedaj dobi A 9krat 32 K = 288 K B 7krat 32 , = 224 „ C 4krat 32 „ =128 „ Takisto sklepamo sosebno tedaj, kadar računimo na pamet. 189 § 177. Vsak sestavljeni družbeni račun lahko pretvorimo na jednostavnega. Na pr. Trije trgovci so se združili za podjetje, pri katerem je bilo 2300 K dobička; kako jim je razdeliti ta dobiček, ako se je udeleževal podjetja A z 2000 K 8 mesecev, B s 4000 K 6 mesecev, C z 8000 K 5 mesecev? Tu treba dobiček razdeliti ne le v razmerju vlog, ampak tudi v razmerju časa. Toda, ker je prav tisto, če se udeležuje A z 2000 K 8 mes. ali pa s 16000 K 1 mesec, » „ „ B s 4000 „ 6 „ „ „ „ 24000 „ 1 „ „ „ „ C z 8000 „ 5 „ „ „ „ 40000 „ 1 „ zato morajo dobiti vsi trije v obeh slučajih prav toliko dobička. Toda v drugem slučaju se vsi trije udeležujejo podjetja jednako dolgo, in zato treba razdeliti dobiček med nje le po razmerju vlog, t. j. produktov 16000 K, 24000 K in 40000 K. katere lahko smatramo za razmerska števila jednostavnega družbenega računa. Račun stoji tako-le: A 2000 K 8 mes. B 4000 „ 6 „ O 8000 „ 5 „ 16000 2 24000 3 40000 2300:10 = 230.2 = 460 K 230 . 3 = 690 „ 230.5 = 1150 „ 230 2300 K. Pri sestavljenem družbenem računu pomnoži tedaj vsa istemu delu pripadajoča razmerska števila drugo z drugim, dobljene produkte pa vzemi za razmerska števila jednostavnega družbenega računa in le-tega potem uporabi v razrešitev naloge. Naloge. *1. 175 K treba med dve osebi A in B razdeliti tako, da dobi A 2, B 3 jednake dele; koliko dobi vsaka oseba? *2. Razstavi število 160 na dva dela tako, da se bosta imela kakor 7:9; kolika sta ta dva dela ? *<$. Štiri osebe kupijo srečko; A da 50 h, B dd 1 K, C 1 K 50 li, D 2 K. Srečki pripade dobitek 8000 K; koliko dobi vsaka oseba? 4. Za skupno podjetje dd A f, B | in C ostali del potrebne vsote. Dobička imajo 240 K; koliko dobi vsak? 5. Za belo steklo se vzame 13 delov kremenjaka, 4 dele pepellke in 1 del krede; koliko treba vzeti vsake tvarine za 125% stekla? 190 6. Iz 1 kg zmesi, ki ima 95 delov bakra, 4 dele kositra in 1 del cinka, skuje se 600 jednovinarskih kosov. Koliko kg je treba vzeti vsake kovine, da se nakuje jednovinarskih kosov za 15000 K? 7. Trgovec je dolžan: A -ju 2000 K, .B-ju 3200 K, C*-ju 1200 K, .D-ju 2800 K, ff-ju 4600 K, imetja pa ima le 8625 K; koliko dobi vsak upnik pri delitvi in koliko procentov izgubi vsak? I 8. 67270 K treba razdeliti med pet oseb v razmerju števil 3> 5 j 32 i 4 oi 601 koliko dobi vsaka? i 9. Nekdo zapusti 15845 K imetja, katero je tako razdeliti med njegove tri dediče, da dobi A 2krat toliko kakor B, in B 3krat toliko kakor C; koliko dobi vsak dedič? 10. Med tri osebe treba 9150 K razdeliti tako, da dobi A tolikokrat po 5 K kakor B po 3 K, in C tolikokrat po 3 K kakor B po 4 K; koliko dobi vsaka oseba? 11. Trije trgovci kupijo nekaj blaga; pri prodaji imajo 15 °/o dobička in tega razdele med seboj po razmerju svojih vlog. Koliko je vložil vsak izmed njih, ako ima A 810 K, B 350 K in C 220 K dobička ? 12. Trije trgovci so zložili 16000 K ter nekaj časa tri^li skupaj. Ko so se razdružili, dobil je A 5400 K, B 6200 K, C 8400 K; koliko je bil vsak vložil, in koliko °/o je bilo dobička? 18. Tri osebe so tržile skupno. A je vložil 1500 K na l leto, B 1200 K na 6 mesecev, O 1000 K na 8 mesecev; dobička imajo 960 K; koliko tega dobička dobi vsak? 11. Tri občine dobe za neko delo 500 K. Iz občine A je de¬ lalo 11 delavcev 10 dnij po 9 ur na dan; iz občine B 9 delavcev 9 dnij po 10 ur na dan, iz občine C 15 delavcev 5 dnij po 6 ur na dan; koliko plačila dobi vsaka občina? 15. A začne tržiti dne 1. januvarija z 8000 K kapitala; dne 1. marcija pristopi B s 5000 K in dne 1. maja C s 3000 K. Koncem leta imajo 1059 K dobička; koliko tega dobička dobi vsak? 16. Za podjetje se je potrebovalo 9000 K; M je dal f na 10 mesecev, B § na 8 mesecev, C pa ostali del vsote na 6 me- c 191 secev; računski sklep je izkazal 629 K dobička; kako se je moral ta razdeliti? 17 . A je najel v gostilni 3 sobe za 3 dni, B 1 sobo za 4 dni, C 3 sobe za 5 dnij. Ob koncu tedna je dobil krčmar, ki računi posa¬ mično sobo ( B ) za polovico draže, 48 K. Koliko je plačala vsaka osgba? IY. O zmesnem računu. § 178. Dostikrat je treba več istovrstnih, a po vrednosti ali dobrini različnih stvarij zmešati tako, da dobimo zmes srednje vrednosti. Pri tem je paziti na te-le količine: 1.) na množino po¬ samičnih sestavin, 2.) na njih vrednost in 3.) na vrednost zmesi. Račun, kateri uči, kako je katerokoli teh količin najti iz drugih, zovemo v obče zmesni račun (Mischungsrechnung). Sem spadajo zelo različne naloge, a izmed vseh sta te-le dve za praktično življenje najbolj važni. 1. Kako je najti, koliko je vredna jednota zmesi, katero smo dobili iz več istovrstnih stvarij različne vrednosti. Ta račun imenu¬ jemo povprečni račun (Durchschnittsrechnung). 2. Kako je najti razmerje, v katerem treba dvoje ali več isto¬ vrstnih stvarij različne vrednosti zmešati, da dobimo zmes srednje vrednosti. Zmesni račun imenujemo v tem slučaju aligacijski račun (Alligationsrechnung). § 179. 1. Podstava povprečnemu računu so prav jedno- stavni sklepi. Na pr. Trgovec zmeša trojo kavo: G kg po 3'84 K, 8 kg po 3'60 Iv in 10 kg po 3'36 K; koliko velja 1 kg zmesi? 6 kg po 3'84 K velja 23 04 K 8 „ „ 3-60 „ „ 28 80 „ 10 n „ 3 36 „ „ 33 60 „ 24 kg zmesi 85'4 4 K tedaj velja 1 kg zmesi 3'56 K 2. Pri aligacijskem računu pa treba sklepati na poseben način; kako, pokaže ta-le naloga: Krčmar hoče imeti vino po 40 K hi, ima pa le vino po 32 K in po 60 K hi ; v katerem razmerju mora zmešati to dvoje vino, da velja hi zmesi ravno 40 K? 192 Ako pomeni x množino hi, katere je treba vzeti od boljše vrste, in y število hi, kateri se vzemo od slabše vrste, tedaj je, ker morata biti vrednosti obeh snovij skupaj jednaki vrednosti zmesi, 6(te + 32 y = 40 (x + y). Iz tega dobimo: r* (60 - 4:0)x = (40 - 32 )y ali X : y = (40 - 32) : (60 - 40) = 8 : 20 = 2 : 5. Pismeni račun stoji tako-le: Boljšo vrsto moramo zmešati s slabšo vrsto v razmerju 8 : 20 ali 2 : 5. Vzemimo v obče, da sta A in B dve istovrstni tvarini in da ima njiju jednota vrednost a, oziroma h in da je a > b. V katerem razmerju treba zmešati te dve tvarini, ako hočemo, da bode imela jednota zmes’ srednjo vrednost m, tedaj a.>m>&? Recimo, da treba zmešati x jednot tvarine A z y jednotami tvarine B. Ker morata pa sestavini, kateri smo porabili za zmes, biti toliko vredni kakor zmes sama, velja x . a + y . h = (x -j- y) ■ m, tedaj x (a — m) = y (m — 6), ali x : y = (m — b) : (a — m ); t. j.: Množina boljše in množina slab-še tvarine se imata kakor diferenca med srednjo in slabšo vrednostjo in diferenca med boljšo in srednjo vrednostjo. Račun stoji tako-le: a m — b m b a — m Kadar je dana tudi množina zmesi, izvršujemo račun po druž¬ benem računu. N aloge. *1. Nekdo zmeša 1 l vina po 72 h z 1 l po 80 h in 1 Z po 90 h; koliko velja 11 zmesi? *2. Nekega dne je kazal termometer zjutraj 16°, opoludne 22°, zvečer 13°; kolika je bila povprečna temperatura onega dneva? 193 3. Posestvo je dalo čistih dohodkov v 5 letih zaporedoma po 2565 K 24 h, 2844 K 64 h, 2085 K 38 h, 2633 K, 2408 K 84 h; koliko povprek na leto? *4. Koliko je vreden 1 Z zmesi, ako zmešaš 5 Z vina po 72 h s 4 Z vina po 80 h in 1 Z vode ? 5. Krčmar zmeša 4 hi vina po 48 K, 3 hi po 56 K in 5 hi po 60 K; koliko je vreden 1 hi zmesi? 6. Nekdo zmeša 39 Z špirita po 40 stopinj s 26 Z po 30 stopinj; koliko stopinj ima zmes? 7. Nekdo je izposodil 3600 K ( po 4f °/o, 4500 K po 5^ in 1900 K po 6^; po koliko % bi moral izposoditi vsoto vseh teh treh kapitalov, da bi dobil iste obresti? *8. Trgovec ima dvoji riž, kg po 70 h in po 56 h; ta dvoji riž hoče zmešati tako, da mu bode moči kg zmesi prodajati po 64 h; v katerem razmerju mora zmešati oboji riž? *9. V kakšnem razmerju treba zmešati špirit po 60 stopinj in po 45 stopinj, da dobimo špirit po 50 stopinj? 10. Iz srebra po 800 in po 600 tisočin čistine hoče srebrar zliti (legovati) srebro po 720 tisočin čistine; v katerem razmerju mora zliti oboje srebro? 11. Koliko Z vina po 75 h in koliko po 1 K moraš zmešati, ako hočeš dobiti 100 Z zmesi po 84 h? 12. Čisto srebro (po 1000 tisočin čistine) in srebro po 400 tisočin čistine treba zliti tako, da bode imela zlitina po 835"tisočin čistine; koliko je vsakega srebra treba vzeti za 24 kg zlitine? 13. Avstrijske dvajsetice se kujejo iz 500tisočinskega, goldinarji iz 900tisočinskega srebra. Koliko kg mora novčarnica zliti od vsake vrste, da skuje 5000K (po 835 tisočin), ako tehta 1K 5j? 14. Koliko kg po 18 h treba dodati 564 kg po 32 h, da bode veljal kg zmesi 24 h? 15. Koliko (g) kg bakra treba dodati 3 kg zlata po 850 tisočin čistine, da bode imela zlitina po 700 tisočin čistine? (y + 3) kg tehta zlitina. Močnik. Aritmetika. 13 194 V. O verižnem računu. § 180. Verižni račun (Kettenrechnung) uporabljamo tedaj, kadar treba poiskati odnošaja med dvema količinama s pomočjo znanih vmesnih določil. Primer. Iz 1 kg čistega zlata se nakuje 164 kosov po dvajset kron (3280 K). Koliko kron dž, 10 funtov sterlingov (£), ako se iz 40 standard-troy-funtov nakuje 1869 £. ako je v 12 standard-trov- funtih ll troy-funtov čistega zlata in ako tehta 1 troy-funt 0 373242 ... %? Tukaj imamo nastopne jednačbene odnošaje: cr -K = 10 £, 1869 £ = 40 standard-troy-funtov, 12 standard-troy-funtov = 11 troy-funtov čistega zlata,*) 1 troy-funt čistega zlata = 0'373242 ... kg čistega zlata, 1 kg čistega zlata = 3280 K. Ker stoje na levi in desni jednačaja zgolj istovredna števila, dobimo, ako produkt desnih števil razdelimo s produktom levih števil, kvocijent 1. 10£x40 st.-troy-ft.xllft. čist. zl.x0'37342... kg čist. zl.x3280K_ *K xl869£xl2st.-troy-ft.xlft. čist.zl. x 1 kg čist. zl. Različna imena ne predrugačijo računa, ako so števci in imeno¬ valci istoimenski (pri množenju ni treba jemati imen v poštev), ker dd kvocijent iz istoimenskih števil neimenovano število: 10£ 40st.-troy-ft. 11 ft.čist.zl. P‘373242 ...kg čist.zl. 3280 K _ 1869 £' 12st.-troy-ft.’ 1 ft. čist. zl. ‘ 1 kg čist. zl. xK ’ torej x K JR_ iO 11 P'373242... 3280 K 1869' 12' 1 ' 1 • xK 10 X 40 X 11 X 0'373242 ... X 3280 , 1869 X 12 X 1 X 1 10 x 10 X 11 X 0 124414 ... X 3280 „ 1869 = 448884 ... : 1869 = 240 174 ... K. **) *) Na vrednost primešanega bakra (prim. prihodnji oddelek) se v novčinem računu nikoli ne oziramo. **) Ker je bila po zakonu z dne 2. avgusta 1892. leta, iz katerega smo posneli jednačbeni odnošaj „1 kg čistega zlata = 164 kosov po dvajset kron 11 , vrednost 10 £ = 240'174 K = 120'08 gl., zat6 se je dejalo, da smo prešli po kurzu 120 h kronski veljavi. 11 195 Da dobimo v števcu in v imenovalcu vedno ista imena, pričnemo račun vselej z istim imenom, s katerim smo nehali, in sklenemo verigo še-le potem, ko se je vrnilo ime neznanke. — Odtod ime verižni račun. Ako primerjamo ravnokar najdeni izraz za x in pa dano nalogo, kakeršna je v verižni obliki, raz vidimo, da velja za verižni račun to-le pravilo: 1. Najprej potegni vertikalno črto in zapiši na levo te črte neznanko x z nje imenom, na desno pa ono znano količino, za katero treba iskati zneska, katera ima torej isto vrednost kakor neznanka x. Spodaj zapiši vsa vmesna določila, in sicer začni na levi vselej s količino, ki ima isto ime kakor najbližja prejšnja na desni; zraven na desno pa postavi vsakikrat tisto količino, ki ima isto vrednost kakor ona na levi. Takisto nadaljuj, dokler ne dobiš na desni količine, ki ima isto ime kakor neznanka x. 2. Potem razdeli produkt vseh neimenovanih števil, zapisanih na desni, s produktom vseh števil, zapisanih na levi spodaj pod x; kvocijent je iskana vrednost neznanke x. Na pr. Ako velja v Angleški 1 kvarter pšenice 40 šilingov, koliko K velja potem 1 hU (11 kvarterjev = 32 hi, 20 šiling. = 1 £, 10 £ = 240 K.) Razrešitev: x K 32 hi 1 kvart. 20 šiling. 10 £ 1 hi 11 kvart. 40 šiling. 1 £ 240 K _ 11.40.240 - 32.20.10 = 17‘5 K Naloge. 1. Nekdo kupi v Hamburgu 3894 funtov kave za 5125 mark; koliko K velja 1 kg. ako sta 2 hamb. fnt. = 1 kg, in je 100 mark = 118 K. [Preskušnja po sklepih in po sorazmerjih.] 2. Koliko K velja 1 frank? (1 kg čistega zlata =164 kosov po dvajset kron = 3444| frankov.) [Preskušnja po sklepih.] 3. Vzemimo, da tehta 5 m dolga železnična šina 125i kg in da velja v Belgiji 100 kg šin 27^ franka; koliko gl. a. v. stanejo šine, katerih je treba za 1 kml (100 frankov = 46 gl. a. v.) 13 * 196 4 . Avstrijski goldinar ima 900 tisočin čistega srebra; koliko g tehta tak goldinar, ako je v 45 goldinarjih 500 g čistega srebra? 5. Koliko velja blago, ki ima 455 kg nečiste teže, ako se plača po odbitku 10^ tare kg čiste teže po 62 h? 6. Trgovec kupi 4 kose sukna, kos po 30 m, za 612 K; po čem mora prodajati m, ako hoče imeti 15 % dobička, t. j., ako hoče za vsakih 100 K, katere je izdal pri nakupu, 115 K iztržiti pri prodaji? 7. Nekdo je kupil 949 kg blaga za 876 K, potem pa je po 100 kg prodal za 87 K; ali je pri tej kupčiji kaj pridobil ali izgubil, in to koliko procentov? Verigo začni: x K pri prodaji da 100 K pri nakupu (izdanih), ako i. t. d. 8. Ako se kupi hi vina po 48 K, l pa proda po 64 h, koliko % je dobička? 9. Koliko pene velja 1 standard-unca zlata, ako se iz 40 standard- troy-funtov (po 12 sterl.-unc) nakuje 1869 funtov sterlingov (£)? [1 £ = 12 šilingov po 12 pene.] V kakšnem razmerju sta si ceni zlata in srebra, ako velja 1 standard-unca srebra v Londonu 39 pene? 10 . Stroj velja v Angleški 875 funtov sterl.; stroškov je v Londonu 8 °/o, prevoznih in drugih stroškov do Dunaja pa 25^ tega, kar stroj velja; koliko K stane stroj na Dunaju, ako je 10 funt. sterl. = 240 K? TI. O novčnem računu. § 181. Pri novcih treba razločevati: 1. Kov (das Geprage), t. j. napise in podobe, ki se nahajajo na novcih vzvišeni. 2. Kovino (das Metali), iz katere je novec skovan. Menj vredni drobiž (Scheidemiinzen) se kuje navadno iz brona, bakra in niklja, novci večje vrednosti pa so od srebra ali zlata. Ker sta pa te dve kovini precej mehki, zlivata se s tršo kovino, navadno z bakrom, da se novci preveč ne obrusijo v prometu. 3. Težo. Vso težo novca imenujemo njega robelj (Schrot oder Eohgemickt), težo čistega zlata ali srebra, kar ga je v njem, pa 197 jedro ali zrno (Kom, Feingevncht). Kot novčna utež (Munz- gewicht) rabi v avstrijsko-ogrski državi kilogram s svojimi nižjimi razdelki. Prej je rabila kot novčna utež kolonjska marka (kolnische Mark) = = 233'87 g, tudi dunajska marka (Wiener Mark) = 280'67 g in od 1. 1857. nemški funt = 500 g. 4. Čistino (Feinheit), t. j. razmerje med zrnom in robljem. Izraža jo navadno ulomek, čegar števec je zrno, imenovalec pa robelj. V Avstrijsko-Ogrski, v Nemčiji in v večini drugih držav se izraža čistina v tisočinab ( Tausendtheilen); na pr. čistina avstr, kosom po 20 kron je ali 0'900, pravi se: v 1000 utežnih delih novca (robelj) je 900 delov čistega zlata (zrno) in 100 delov bakra (primesi); krajše pravimo tudi: kosi po dvajset kron imajo ^6 čistine^ Prej se je izražala v Avstriji in Nemčiji čistina srebernih novcev v lotih, zlatih novcev v karatih, in sicer se je delila marka (=»288 grčnov) pri srebru na 16 lotov po 18 grenov, pri zlatu na 24 karatov po 12 grčnov. Na pr. Stare avstrijske dvajsetice so bile 9f lotne, t. j. v 16 delih je bilo 9| dela čistega srebra; ces. zlatniki (cekini) so 23§ karatni, t. j. v 24 delih je 23| dela čistega zlata; standardsko srebro in standardsko zlato (na Angleškem) je 22karatno ali ima j4 čistine. Za zlatnino in srebernino so v Avstriji ustanovljene nastopne stopinje čistine: Zlato štev. 1 čistina 0"92,0 „ „ 2 „ 0-84,0 „ „ 3 „ 075,0 „ , 4 „ 0-580; srebro štev. 1 čistina 0*950, „ „ 2 0"900, n n 3 „ 0-800, n , ^ „ 0-750. Zakonite določbe o teži, čistini, razdelitvi in kovanju novcev zovemo novčno mero (Munzfufi). Pri novcih treba razločevati trojno vrednost: notranjo ali kovinsko, zakonito in trgovsko. Notranja vrednost novca je vrednost njega čiste kovine; zakonito vrednost določuje vlada, in ta vrednost velja v obče za ono deželo, kjer se kuje novec; trgovska ali kur zn a vrednost (Handelsmert, Carsivert) je ona premenljiva vrednost, katero ima novec v trgovini in prometu. Ako se ravna v kaki deželi vrednost vseh novcev po določenem srebernem novcu, pravimo, da ima dežela sreberno veljavo (Silbervdhrung); kadar je pa zlat novec podlaga denarnemu sistemu, 198 ima dežela zlato veljavo (Goldivahrung); na pr. Avstrija (kronska veljava), Nemčija, Angleška. Ako je naposled kje v državi, na pr. na Francoskem, vrednostno razmerje med zlatimi in srebernimi novci zakonito določeno, tako da vsakdo lahko plača, v kateri kovini hoče, tedaj pravimo, da ima država dvojno veljavo (Doppelivahrung). Avstrijsko novčno razmerje. § 182. Denar, po katerem se računi v državi, imenuje se računski novec te države. V avstrijsko-ogrski monarhiji se je doslej računilo na goldinarje in krajcarje avstrijske veljave. (1 gl. = lOOkr.) Vrednost goldinarju avstrijske veljave je bila iz prva ustanovljena po tako zvani „petinštiridesetgoldinarski meri“, t. j. iz 500 g čistega srebra se je kovalo po 45 gl. Gr, čistine). Ko so pa leta 1879. kovati nehali sreberne novce na račun zasebnikov, tedaj je bila avstrijska veljava oproščena usode srebra, čegar vrednost je čimdalje bolj padala v trgovini. Ker je bila denarna potreba čimdalje večja in se menjala niso do malega nič pomnožila, narasla je trgovska vrednost goldinarju dosti nad notranjo vrednost, ki je znašala leta 1892. po tržni ceni srebra samd okolo 75 kr. Z zakonom z dne 2. avgusta 1892. leta se je namesto dotedanje avstrijske veljave uvedla zlata velj ava (Goldwahrung). Nje računska jednota je krona (K), ki se deli na 100 vinarjev (h). Razločujemo: 1. Deželne novce (Landesmunzen) , 2. drobiž (Scheidemilnzen) in 3. trgovske novce (Handelsmunzen). 1. Deželni novci so prava, denarna znamenja, katera morajo deželni prebivalci v vsaki množini prejemati za denar. Fo avstrijski kronski veljavi se kuje iz tuoo skega zlata: a) dvajsetkronskih novcev 164 iz 1 kg čistega zlata; njih zrno znaša 6'09756 g, torej njih robelj 6'7750G g\ b) desetkronskih novcev 328 iz 1 kg čistega zlata. Iz jednega kilograma čistega zlata se torej nakuje 3280 kron. 20kronski novci se kujejo tudi na račun zasebnikov, ako plačajo le-ti ko- valnine 4 do 6 kron. 199 Zlati novci, katerim se teža v navadnem prometu ni zmajšala pod 6‘74 g oziroma 3'37 g (prestopna teža, Passiergeieicht ), prejemljejo se pri vseh plačilih za polnotežne; nasprotno pa se zlati novci, ki so se v prometu tolikanj obrusili, da nimajo več gorenje prestopne teže, ob državnih troskih jemljo iz prometa. 2. Drobiž se rabi samo tedaj, kadar se poravnavajo manjši novčni zneski. Država določuje, koliko drobiža mora največ vsakdo vzprejemati. Drobiž se kuje ali iz srebra, toda njega notranja vred¬ nost je manjša od zakonite vrednosti, ali pa iz nežlahtnih kovin, t. j. iz niklja, brona, bakra. Vrednost drobiža je torej sosebno oprta na zaupanje (kredit) države. Ti-le novci se še kujejo po kronski veljavi: 1) sreberni novci: jednokronskih novcev 200 iz 1 kg paškega srebra (robelj 5 g ); 2) novci od niklja: a) dvajsetvinarskih novcev 250 iz 1 kg čistega niklja (teža 4 g ); h) desetvinarskih novcev 333 iz 1 kg-, 3) bronasti novci: a) dvovinarski novci, b) jednovinarski novci (300 oziroma 600 iz 1 kg). Jednokronski novci, novci iz niklja in brona se kujejo samo na račun države. Jednokronskih novcev se smč nakovati za 140 milijonov, novcev od niklja za 42 milijonov, novcev od brona največ za 18*2 milijona. Pri vseh državnih in javnih blagajnicah se vzprejemljejo ti novci po nomi¬ nalni vrednosti, in sicer jednokronski novci neomejeno — ti so torej višja vrsta drobiža — novci od niklja in brona pa do 10 kron. V zasebnem prometu ni nihče dolžan vzprejemati za plačilo jednokronskih novcev nad 50 K, novcev od niklja nad 10 K in novcev od brona nad 1 K. 3 . Trgovski novci nam v obče ne rabijo kot denar; kujejo se zato, da se olajšava trgovina z inozemstvom. Vrednost, izražena v računskih deželnih novcih, imenuje se njih kurz. V Avstriji se kujejo cesarski zlatniki (cekini) kot trgovski zlati novci, in sicer se nakuje 290’519 cekina (#) iz 1 kg čistega zlata (zlato je 23f karatno) *); levantinski tolarji s podobo cesarice Marije Terezije slav¬ nega spomina in z letnico 1780 kot trgovski sreberni novci, in sicer se kuje po 12 tolarjev iz dunajske marke (srebro je 13) lotno). *) 8i|f° ces. zlatnikov se nakuje iz dunajske marke (0'280668 kg) čistega, zlata v čistini 23 karatov 8 grenov. 200 Izza leta 1870. sta v prometu še dva avstrijska trgovska zlata novca, kakeršnih pa sedaj več ne kujejo: a) osemgoldinarski novci v vrednosti 20 frankov; b) štirigoldinarski novci v vrednosti 10 frankov, 172f iz 1 kg, oziroma § kg čistega zlata. 42 avstrijskih zlatih goldinarjev (carinskih ali frankovnih zlatih goldinarjev) ima po zakonu tisto vrednost kakor 100 kron. Nihče ni dolžan vzprejemati novcev po osem in po štiri goldinarje, vender pa se pri vseh carinskih plačilih prejemajo za 8, oziroma za 4 carinske zlate goldinarje. Jednogoldinarski novci avstrijske veljave ostanejo še na¬ dalje v prometu in se računijo po 2 kroni. Računi se torej: 1 dvajsetkronski novec po 10 goldinarjev, 1 desetkronski novec „5 „ 1 krona „ 50 krajcarjev, 1 dvajsetvinarski novec „10 „ 1 desetvinarski novec „ 5 „ 1 dvovinarski novec „ 1 krajcar. 1 jednovinarski novec „ ro krajcarja. Kdaj se drobiž avstrijske veljave vzame iz prometa, to se do¬ loči ukazoma. Prej so računili v Avstriji na konvencijske no vc e fConventiommunzej. 1 goldinar je imel 60 kr., 1 krajcar 4 fenige (Pfennig ); 100 gl. konvencijske veljave = 105 gl. avstrijske veljave. § 183. V Avstriji imamo tudi papirnat denar, in sicer: a) državne note po 1, 5, 50 gl; b) bankovce po 10, 100, 1000 gl. To so imovniški papirji (Inhaberpapiere), s katerimi se izdatnik (država, oziroma avstrijsko-ogrska barka) zaveže, da plača zneske, na katere se glase. Njih vrednost v trgovini se opira zgolj na zaupanje (Credit), katero ima izdatnik. Avstrija si mora večino zlata, katerega je treba, da se zamenjajo državne note, še-le preskrbeti tako, da si izposodi zlato; zaradi tega dandanašnji še ni moči do cela zamenjati vseh not („izplačavati v zlatu"). V naši državi imajo državne note „posilni kurz"; vse državne blagajnice jih prejemljejo za plačilo. Ge zaradi neugodnega (trgovskega ali politiškega) položaja opeša zaupanje do izdatnika, utegne se zgoditi, če se vrše plačila v notah, 201 ko bi se morala vršiti v kovanem denarju, da se mora plačati nadavek ali ažija (Agio). Ta se izraža v procentih kovanega denarja. V državah, kjer so državne note in bankovci popolnoma pokriti (fundirani) s kovanim denarjem in rabijo z at 6 le za lažji promet, zgodi se tudi, da imajo proti kovanemu denarju nadavek (disažijo), ker jih je pripravneje razpošiljati. Najvažnejši inozemski novci. § 184. 1. Nemška država ima zlato veljavo in računi na marke po 100 fenigov. 1 kg čistega zlata = 1391 zlatnika po 20 mark = 2790 mark = 3280 K. 1 marka = 1*17562 K. Na Nemškem se kujejo zlatniki po 20, 10 in 5 mark. 2 marki = 2*35125 K veljata jeden avstrijski zlati goldinar (markovni zlati goldinar). 2. Francoska in Belgija računita v zlatu in srebni na franke po 100 centimov. 1 kg čistega zlata = 172§ zlatnika po dvajset frankov (napoleondori) = 3444| franka = 3280 K. 1 frank = 0*952258 K. Na Francoskem se nakuje 3100 frankov iz 0'9 kg čistega srebra (sreberni franki). Zlatnik za 20 frankov ima prav tisto notranjo vrednost kakor 1 avstr, zlatnik po osem goldinarjev, 1 zlatnik za 10 frankov pa ima tisto notranjo vrednost kakor 1 avstr, zlatnik po štiri goldinarje. Jednačba 1 frank = 0*952258 K velja tudi za švicarski, italijanski, srbski, grški, bolgarski, romunski kov in za ruske polimperijale novejšega kova. Novčne jednote nazivljejo v teh deželah franke (po 100 rapnov), lire (po 100 centesimov), dinare (po 100 par), drahme (po 100 sept), leve (po 100 stotink), leje (po 100 banov). Na Nizozemskem računijo na zlate goldinarje. Holandski goldinar = 1*983744 K. — Na Švedskem in Norveškem imajo skandinavske krone. Skandinavskakrona = 1‘32258 avstr. kron. 3. Angleška računi v zlatu na funte ali livre sterlingov (£) po 20 šilingov (sh.) po 12 pencev ali denierjev (d.). 202 1 kg čistega zlata = 136*5776 funta sterlingov = 3280 K. 1 funt sterlingov (sovereign) = 24*01741 K. 4. Severna Amerika računi v zlatu in srebru na dolarje. 1 kg čistega zlata = 664*662 dolarja = 3280 K. 1 dolar v zlatu = 4*9351 K. 5. Ruska: 1 zlati rubelj (po 100 kopejk) = 3*809525 K. Vrednostno merilo za inozemstvo je papirnati rubelj s posilnim kurzom in sreberni rubelj, čegar vrednost za inozemstvo se da izračuniti le po dnevnem kurzu. 6 . Turška: 1 zlata lira (po 100 pijastro v) = 21*4288 K. § 185. Kako je računiti čistino, zrno in robelj. Čistina (e) se izračuni, ako zrno (z) razdelimo z robljem (r) (§ 181). Z f č = —. Zato je r zrno z — r .6, robelj r — z: c. Primeri. 1. Avstrijska krona tehta 5 g in ima 4^ g čistega srebra; kolika je čistina? v ., , 167 _ 835 c ho 10 §186. Kako izračunimo novcem notranjo vrednost. Da izračunimo novcem notranjo vrednost, uporabljamo najjednostavneje jednačbene odnošaje § 184.: 1 kg čistega zlata = 3280 kron = 2790 mark — 3444| frankov — = 136*5776 funtov sterlingov = 664*662 dolarjev. Račune izvršujemo ali po sklepovnem ali po verižnem računu; na pr. 1. Koliko mark je 100 kron? 203 x mark 100 K x = 27900 : 328 = 85‘061 . .. mark. 3280 K 2790 mark. Ker velja 100 K primeroma 85 mark, izpremenimo jih pri manjših zneskih v marke kar tako, da od števila kron odštejemo 15%. Za večje zneske nam rabi jednačba 1 K = 0 85061 mark. Kakč preračunimo torej vinarje na fenige ? 2. Koliko centimov je 100 vinarjev? x cent. 100 h 3280 K 1 fr. 100 h 1 K 3444| fr. 100 cent. X : 310000 328 = 105 0135 cent. če je treba torej vinarje izpremeniti na centime, prištejemo vinarjem 5%. Takisto se tudi manjši zneski kron preračunajo na franke (zakaj ?) 3. Koliko mark velja avstrijski zlatnik po osem goldinarjev? 2511:155 = 1 zl. po osem gold. x _ . 1550 1 kg čistega zlata 9 2790 mark = 16*2 mark. 1 zlatnik po osem goldinarjev je torej = 8'1 avstr, zlatega goldinarja (markovnega zlatega goldinarja). x mark 172| zl. po 8 gl. 1 kg čist. zl. 4. Pri carinskih plačilih se vzprejemlje osmi del avstrijskega osemgoldinarskega novca za jeden carinski zlati goldinar (frankovni zlati goldinar). Koliko kron velja 1 carinski zlati goldinar? x K 8 car. zl. gl. 172f osemgl. n. lc«. zl. gl. * = 4 io ; «50 = 2 . 380MK 1 osemgold. novec 9 3280 K 42 carinskih zlatih goldinarjev je 99'9S7 . . . K; zato je ustanovil zakon z dne 2. avgusta 1892. leta, da je pri plačilih, katera se dejanski morajo izvršiti v avstrijskih zlatih goldinarjih (sosebno carinska plačila), 42 avstr, zlatih goldinarjev (frankovnih zlatih goldinarjev) = 100 K. § 187. Kak6 izračunimo novcem kurzno vrednost. Na dunajski borzi se zabeležuje kurz posamičnih novcev (per Stilck), in to v bankovcih (Bankvaluta). Navadno sta zabeležena dva kurza: po prvem (denar) se je novec želel kupiti, po drugem (blago) se je prodajal. Na pr. Dne 31. decembra 1892. so zabeleženi v kurzni tabeli (kurznem listu): 204 Novci po 20 frankov . . 9'59 (denar), 9'6i (blago). Novci po 20 mark . . 11'82 (denar), 11'835 (blagd). Torej se je dobilo 60 mark za 35‘505 gl. a. v. Naloge. 1. Izračuni naloge 1., 2., 3. v § 186. po sklepovnem računu. *2. Koliko čistino ima sreberna kepa, katera tehta 640 g ter ima 480 g čistega srebra ? , 3. Koliko tisočin primesi je v zlitini, v kateri je H čistega srebra? 4. Ruski sreberni rubelj tehta ‘207315 g ter ima 17 9961 g čistega srebra; kolika je njegova čistina v tisočinah? J). Koliko čistino dobi zlitina, ako zlijemo 3 kg srebra, imajo- čega 0'800 čistine, a) z jednim kg čistega srebrd, b) z jednim kg bakra? 6. Od 1 kg srebra, imajočega 0’945 čistine, nakuje se 100 ho¬ landskih goldinarjev; izračuni hol. goldinarju zrno. 7. Koliko srebra in koliko bakra je v sreberni šibiki, katera tehta 3| kg in ima 0'520 čistine? 8. Od 1 kolonjske marke (233'87$) 23| karatnega zlata se kuje po 67 ces. zlatnikov; izračuni ces. zlatniku zrno. 9. Koliko tehta denarna pošiljatev 100 novcev po dvajset kron? 10. Novčnc zlato ima takisto ?t> čistine; koliko zlata in koliko bakra je v 3'82% novčnega zlata? 11. V 45 gl. a. v. je 500 g čistega srebra, njih čistina znaša tV. koliko tehta 100 srebernjakov po goldinarju? 12. Od 500 g čistega zlata se kuje po 69| nem. zlatnikov po 20 mark; njih čistina znaša f 0 ; izračuni robelj zlatnika po 20 mark. 13. Koliko tehta sreberna zlitina, ki ima 2257 g čistega srebra in U"čistine? *14. Preračuni 60 h, 80 h, 75 h v centime.*) *) Zneski v štev. 14., 15., 16., 18. se jemljo kot manjši zneski (pri¬ meri § 186) 205 *15. Preračuni 20 K, 90 K, 24 K v franke. 16. Preračuni a) 66 h, b) 48 h, c) 24 li, d) 54 h v fenige. 17. Koliko kron je a) 120 frankov, h) 360 mark, c) 180 fran¬ kov 45 cent., d) 1204 mark 5 fenigov? 18. Preračuni a) 42K, h) 18K, c) 72K, d) 84K v marke? 19. Koliko frankov dobimo a) za 2080 K, b) za 745 K? 30. Koliko mark je a) 3844 K, b) 703 K 50 h? 31. Koliko frankov je a) 120 funtov sterlingov, b) 80 funtov sterlingov 15 šilingov? 33. Koliko kron je a) 10 šilingov (sh.), b) 6 pene (d.)? 33. Trgovec prinese 2 kg lomnega zlata štev. 3. (§ 181.) v av¬ strijski no včni urad. Koliko kron prejme, če plača novčni urad m 1 kg čistega zlata 3274 K. (6 K je kovalnina za zasebnike.) 34. Trgovec je dolžan v London 60 ft. st. (£) 10 šilingov (sh.). Koliko goldinarjev a. v. mora poslati v London, če je treba plačati nadavka a) 8%»! b) 1 $ ? 35. Koliko avstrijskih markovnih zlatih goldinarjev (2 marki) je vreden 1 frank? 36. Trgovec mora plačati 120 gl. v zlatu carine. Koliko znaša carina a) v kronah, b) v goldinarjih a. v., če se računi 19$ nadavka? 37. Koliko seje moralo dne 31. decembra 1892. leta na dunajski borzi plačati a) za 240 mark 60 fen., b) za 120 frankov 50 cent. (§ 187.) (Računi podobne naloge po dnevnem kurzu!) Tli. O meničnem računu. § 188. Da bi bil trgovski promet lahek, vender pa popolnoma varen, ustanovil se je za promet najvažnejših listin o terjatvah za¬ konito poseben postopek (menični red), ki je tako strog in hiter, da je moči ž njim dolžnika najizdatneje pravno preganjati. Listina, s katero se je izdatnik meničnopravno zavezal, da plača določeno vsoto denarja o določenem času določeni osebi ali sam ali 206 po kom drugem, imenuje se menica (Wechsel). — Izdatnik mora to listino v nje vsebini (kontekstu) označiti za menico in jo pod¬ pisati; navadno se podpiše na koncu listine na desni strani. — Glede na plačevalca razločujemo lastne ali suhe (eigene) in po te gn en e, tuje menice (fremde, gezogene WechselJ. a) V lastni menici (jedini menici) (Solaivechsel) izreka iz¬ datnik z besedo „plačam“, da sam izplača menico. (Primer na str. 207.) b) V potegneni (trasovani) menici, imenovani tudi kar potežka ali trata, naroči izdatnik komu drugemu z besedo „pla- čaj te“, naj izplača menično vsoto, in je porok za izplačilo. (Primer na strani 207.) a) Lastna menica na strani 207. je nastala takd-le: PeterKorenje kupil prilvanuSelanu blaga za 500 K 20 h in se zavezal, da plača ta znesek na koncu leta. Podpisavši menico, podredil se je menični strogosti. V lastni menici imamo vsaj dve osebi: 1. izdatnika (Aussteller), ki se zaveže plačati menično vsoto (tukaj Petra Korena); 2. re¬ mi te nt a (Remittent) ali prvega imetnika menice, kateremu se iz¬ datnik zaveže plačati znesek (tukaj Ivana Selana). Obične besede „yrednost v blagu 11 , »vrednost v gotovini 11 , „vred- nost prejel 11 , »vrednost v računu 11 (valutna pobotnica) pomenijo, kakšno vrednost je izdatnik prejel od remitenta. Besede »ali na njega ukaz 11 pomenijo, da smč Ivan Selan menico odsto¬ piti tudi komu drugemu. Cejena pr. Ivan S el an jednako vsoto dolžan Jakob u Kosu v Ljubljani, lahko provzroči z odstopnim izrecilom, ki se vselej napiše na zadnjo (hrbtno) stran menice, da se znesek izplača naravnost Jakobu Kosu. Če izpustimo te obične besede, takisto dvojno oznanilo meničnih vsot, tedaj menica nikakor še ne izgubi svoje veljavnosti. Menični imovnik sme po avstrijskih in nemških meničnih za¬ konih odstopiti svojo menico, komurkoli hoče, če se ni izreklo kaj nasprotnega (z besedami »ne na ukaz“ ali kako drugače). Odstopno izrecilo se mora vselej zapisati menici na hrbet (in dossoj in se ime¬ nuje indosament. Kdor menico odstopi, zove se in do s ant ali žirant; on je „meničnopravno“ porok za znesek, kakor vsakdo, ki menico podpiše. 207 Obrazec lastne jedine menice: 208 (Hrbtna stran jedine menice.) (Hrbtna stran potegnene menice ali trate.) 209 b) Spredi natisnena potežka ali trata je lahko nastala tak6-le: a) Ivan Rak ima terjati 120'3K od Jožefa Semena in je ta znesek sam dolžan Martinu Kolarju. Zato izda (potegne, trasuje) na Jožefa Semena menico in jo pošlje (remituje) Mar¬ tinu Kolarju, ki ima potem pravico vsoto ob svojem času izterjati od Jožefa Semena. P) A. B. (na pr. Anton Bregar) v Celovcu je dolžan Martinu Kolarju 120'3K in ve, da ima Ivan Rak teijatev pri Jožefu Semenu v Celju. Zato kupi od Raka menico, katero je ta firma potegnila na Jožefa Semena, izplačno Martinu Kolarju. To menico pošlje (remituje) A. B. Martinu Kolarju, ki jo vzprejme na¬ mesto denarja za plačilo. t) Martin Kolar je dolžan komu (na pr. Leopoldu Sta¬ niču) 120'3K; zato kupi od Raka menico, katero le-tA potegne na svojega trgovskega prijatelja Jožefa Semena. Odstopek se izvrši z izrecilom (indosamentom) na hrbtu menice. V tem primeru je Martin Kolar remitent Leopoldu Staniču. V trgovskem prometu se imenuje praviloma prvi imovnik menice remitent. V vsaki potegnem menici so vsaj tri osebe: L izdatnik ali trasant (Aussteller, Trassant), ki menico izda, potegne ali tra¬ suje (tukaj Ivan Rak); 2. potezovnik ali trasat (der Be- zogene, Trassat), katerega izdatnik pozove, naj plača menično vsoto (tukaj Jožef Semen); 3. oseba ali firma, kateri se izplačaj menica, remitent (Bemittent). Izrecilo, za če ga v račun potezovnik izplačaj menično vsoto, obseženo je v obični opomnji; „in postavite jo na račun" (pokritveno razmerje). V slučaju (/S), da izdatnik ne trasuje na potezovnika na svoj račun, nego po naročilu tretje osebe (Antona Bregarja), označi se ime naročnikovo (komitentovo) z začet¬ nicama: „in postavite jo na račun (z) A. B. u (komisijska trata). Ako se odda trata dalje, pristopijo nove osebe. Na hrbtni strani spredi natisnene trate je razvidno, da jo je Martin Kolar najprej remitoval na Leopolda Staniča, ta na kmetsko posojilnico ljubljanske okolice, ta pa naposled na Andreja Roso, kateri jo še-le izterja. — Pour acquit (iz¬ govori: pur akf) pomeni: „Potrjujem vzprejem". — Kdor ima trato, ima pravico, le-to pokazati trasatu v plačilno izrecilo, „v vzprejem". Še-le, ko jo je potezovnik „vzprejel“. kar 14 Močnik. Aritmetika. 210 s podpisom potrdi na menice sprednji strani, porok je trasat menično- pravno. Trasat, ki je menico vzprejel (akceptoval), zove se akceptant (Acceptant), njega izrecilo pa vz pr e jem (akcept). Med trgovci se vsaka vzprejeta menica imenuje kar „akcept“. Da je potegnena menica veljavna, mora obsezati: 1. kraj, dan, mesec in leto, ko se je izdala; 2. čas, kdaj se izplačaj menična vsota (plačilni rok ali dospetek, ( Verfallszeit ); 3. oznamenilo „menica a , katero je vzprejeti v besedilo samo (ne v nadpis); 4. ime one osebe, kateri se menica izplačaj (ime remitentovo); 5. menično vsoto; G. podpis izdatnikov (trasantov); 7. ime tistega, ki se je pozval, da plača (ime trasatovo); 8. kraj, kje se izplačaj menica. V lastni menici se seveda izpusti ime trasatovo in njega bivališče. Med trasatom in izdatnikom se imenuje menica trata, med prvim imovnikom in izdatnikom (ali v obče med prednjim i nastopnim imovnikom) rimesa (Iilmesse). § 189. Čas, kdaj se ima menica izplačati, t. j. plačilni rok ali dospetek (Verfallszeit), zaznamuje se četvero: a) Na določen dan, na pr. dne 8. maja tega leta, sredi (medio) maja t. 1. (sredi znači zmerom 15. dan meseca), zadnjega (ultimo) maja t. 1. (dne 31. maja). Take menice se imenujejo dnevne menice (Tagivechsel) ; na pr. V Ljubljani, dne 3. septembra 1895. Za, K. 800'50 a. zl. v. Sredi meseca novembra t. I. plačam za to jedino menico (g na ukaz gospoda Ivana Strela vsoto od osemsto kron 50 h a. zl. v. <$)L vrednost v blagu. ' Izplačna pri hranilnici v Celju. Andrej Mrak. 211 V Trstu, dne 18. avgusta 1894. Za K 600 a. zl. v. Dne 1. decembra 1894. plačajte za to prvo menico na ukaz gospoda Pavla Husa vsoto od šeststo kron a. zl. v. vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Simonu Križanu v Ljubljani. Anton Klun & dr. b) Na vid (auf Sicht), in sicer 1. takoj na vid (na zahte¬ vanje, a vista, a piacere), kadar treba menico še tisti dan izplačati, ko se je predložila, in 2. na določen čas (8 dnij, 3 tedne, 2 meseca) po vidu, kadar treba menico izplačati toliko časa po pokazu. Pri poslednjih menicah na vid mora dostaviti akceptant, kdaj jo je vzprejel. Vender ostane vzprejem veljaven, če tudi se datum ne dostavi. Na pr. VLubljani, dne 19. januvarja 1894. Za K 928'85 a. zl. v. Na vid plačajte za to prvo menico na ukaz gospoda Petra Bezka vsoto od devetstoosemindvajset kron 85 h a. zl. v. vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. i y Gospodu Jožef u Samcu v Mariboru. Jurij Gričar. Al T V Trstu, dne 19. januvarja 1894. Za 508gl. a. v. Štirinajst dnij po vidu plačajte za to prvo menico na ukaz & na Rožnika vsoto od j JČ petstoinosem goldinarjev a. v. S > vrfalpijst prejeli in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Jožefu Kovaču v Celju. Peter Končan. 212 c) Na določen čas od izdatnega dne, na pr. 2 meseca a dato, 3 tedne od denašnjega dne. Take menice se imenujejo dato-menice. Na pr. V Ljubljani, dne 13. maja 1894. Za gl. 69T57 a. v. Štiri mesece a dato plačajte za to prvo menico na vjtaz najin lastni šeststosedemindevetdeset goldinarjev 57 kr. vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Andreju Severu v Mariboru. Klun & Rode. V Trstu, dne 6. maja 1894. Za 2566'60 K a. zl. v. Tri mesece a dato plačajte za to drugo*) menico prve ne, na ukaz gospoda Petra Zorca vsoto od dvetisočpetstošestinšestdeset kron 60 h vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Jožefu Trdini v Ljubljani. Ravel Dolinar. Vzprejetci prva menica pri gospodu Antonu Novaku. d) Na kak sejem ali tržni dan. V Ljubljani, dne 3. decembra 1894. Za rubljev 4800 v srebru. Na nižjenovgorodskem semnju o sv. Petru in Pavlu leta 1895. plačajte za to prvo menico na ukaz gospoda Ivana Petroviča vsoto od štiritisočosemsto rubljev v srebru vrednost v blagu in postavite jo na račun po poročilu. Gospodu Ivanu Kosu v Peterburgu. Frančišek Gruden. *) Izraz „druga“ (secunda) znači, da seje izdala menica v „dveh‘' izvodili ter da imamo pred seboj „ drugi 1 izvod. 213 O meničnem diskontu. § 190. Menice, izplačne v naši državi, se imenujejo diskonti (DiscontenJ. Te so ali mestne menice (Platzmechsel) ali rimese (v ožjem zmislu); ime se ravna po tem, če so izplačne na bivališču imovnikovem ali pa če jih je treba še-le odposlati, da se izplačajo. Ako se mestna menica izplača pred nje dospetkom, dovoli se dolžniku zaradi tega, ker plača prej, nego bi moral, primeren popust, odbitek ali diskont^ Discont, Escompt) imenovan. Menico pred nje dospetkom prodati ali kupiti proti primernemu diskontu, pravi se, menico diskontovati (discontieren). Menični diskont izražamo v procentih za 1 leto in trebalo bi ga prav za prav računiti nad sto; v resnici pa se računi vselej po pripravnejšem procentnem računu o d sto, ker gre tu le za kratke roke, za te je pa razloček med jednim in drugim resultatom neznaten. Menični diskont se računi tedaj prav tako kakor obresti za določeno število dnij, namreč za čas od dne, katerega se diskontuje, do dne dospetka; a pri določevanju tega časa se ne všteva dan, katerega se diskontuje, ali pa dan dospetka. Meseci se računijo po toliko dnij, kolikor jih res imajo, leto pa po 360 dnij. Na pr. Menica za 960 K, izplačna 31 dnij po vidu ter vzprejeta dne 18. junija, diskontuje se dne 27. junija po 4$; koliko se dobi zanjo? Vzprejela se je dne 18. junija Meničin znesek . . . 960 K Dospela bode dne 19. julija \ °/o disk. za 22 dnij 2'35 „ Proda se dne 27. junija gotova vrednost. . . 957‘65 K Junija 3 dni Julija 19 „ 22 dnij. Kako je izračunavati menice na tuja mesta. § 191. Menice, glaseče se na tuja mesta, zovejo se tuje (inozemske) menice ali devize (auslandische Wechsel, Devisen). Devize se glase na tujo veljavo. — Primere glej v § 189., d. — Pri nakupu ali prodaji tujih menic treba s pomočjo danega meničnega kurza (Wechselcours) preračuniti tuji denar (menično vrednost, Wechselvaluta) na svoj domači denar, ali pa obratno. Takovo preračunavanje zovemo menično redukcijo (Wechselreduction). 214 Menični kurz je zavisen od notranje vrednosti tujega denarja, od časa, ki ga ima menica še do dospetka, dalje, ali se menica ponuja ali se po njej povprašuje. Pri meničnem kurzu treba vselej gledati na dvojno veljavo, na veljavo domačega in tujega mesta; jedna je nepremenljiva, draga premenljiva. Na avstrijskih borzah velja zmerom 100 (za London 10) jednot tujega denarja kot nepremenljiva valuta in zabeleženi kurz, kaže, koliko gl. a. v. v bankovcih se zanje dobi ali plača. Ako je na pr. kurz v Pariz 48, pravi se to: za lOO frankov treba plačati 48 gl. a. v. v bankovcih. Menice se preračunavajo po procentnem ali po sklepovnem računu. Na pr. 1. Dunajski trgovec ima v Amsterdamu plačati 2360 hol. gl.; mesto denarja pošlje menico; koliko mora zanjo plačati, ako je kurz v Amsterdam 99'70? 2360 odbitka ■ ■ • 7'08 2352'92 gl. a. v. 2. Dunajski trgovec ima v Parizu za svoj račun terjati 2494*41 gl. a. v.; za koliko frankov bode izdal menico, ako je kurz v Pariz 48? sc: 100 = 2494*41 : 48, • x = 5196*92 frankov. Naloge. 1. Menica za K 800*5, izplačna sredi meseca novembra (§189., a.), proda se dne 8. oktobra; diskonta se računi 4 \°/o. Koliko se dobi zanjo? 2. Izračuni diskont in gotovo vrednost teh-le menic: 3. Sredi avgusta izplačna menica za 849 K se diskontuje dne 26. junija po 61 % ; koliko je menica ta dan vredna? 4. Menica za 3180 K, izplačna 14 dnij po pokazu, vzprejeta dne 20. novembra, diskontuje se dne 23. novembra; kolika je nje gotova vrednost, ako se računi 4) fo diskonta? 215 5. Menica za 3048'72 K, izdana dne 13. maja, izplačna 2 meseca a da to, diskontuje se dne 18. junija; koliko treba zanjo plačati, ako se računi 5f % diskonta in f °/o provizije? Provizijo računi od meničnega zneska. 6. Dne 24. aprila diskontuje avstro-ogrska banka te-le menice po 5 °/o \ za 3128 K na J. Kovača, dne 20. maja; „ 1073 „ „ F. Lavriča, zadnjega maja; „ 536 „ „ A. Bonača, 31. dnij po pokazu, vzprej. dne 8. aprila; „ 2895 „ „ L. Purgaja, od dne 28. marcija, 2 meseca a dato. Koliko mora banka izplačati za vse te menice? 7. Dunajski trgovec ima v Augsburgu terjati 2915 drž. mark; to terjatev poravna z menico, katero izda na svojega dolžnika ter proda po 57*6; koliko dobi za to menico? 8. Trgovec v Marseille-u ima od Dunajčana terjati 5682 frankov 56 centimov; koliko je vredna ta terjatev v avstr. v., če je 100 frankov = 48T0 gl. a. v.? 9. Koliko je na Dunaju vredna menica v Berlin za a) 738 mark po 56 8, b) 1335 mark po 56'92, c) 3085 mark 48 fenigov po 56'85? 10. Dunaj kupi 3708 frankov v Pariz po 46‘80; koliko stane ta deviza, ako treba plačati |%o senzarije? 11. Dunaj kupi po naročilu 7123 vlaških pijastrov v devizah v Bukarešt po 17'15 ter računi \'fo provizije in f%o senzarije; kateri znesek v a. v. bode Dunaj pripisal naročevalčevemu računu? 12. A kupi na Dunaju menice v Hamburg: za 2032 mark, diskonta za 126 dnij, „ 1760 „ „ „ 80 „ „ 3188 „ „ „ 52 „ Koliko mora plačati za vse, ako je kurz v Hamburg 59'20 in se računi diskonta po 4|^ ? 13. V Amsterdam seje poslalo za 2227'75 gl. a. v. 2345 hol. gl.; po katerem kurzu je odposlal Dunaj svojo menico? 14. Kolik je kurz v Bruselj, ako se pri \°/o provizije za 5248 frankov dobi 2241 gl. 55 kr. a. v. ? 216 TIII. Kako je izračunavati državne papirje in akcije. § 102. Kapitale za večja družbena podjetja (železniške zgradbe, tvorniške naprave i. t. d.), takisto posojila države, deželi in večjih občin se pogostoma priskrbe tako, da po več zasebnikov vsak nekaj vplača. Tem se plačilo potrdi z listino, ki izreka, da je imovnik plačal določen delski znesek, da mu torej vsako leto gre določen delež podjetniškega dobička, oziroma državnih (deželnih, občinskih) dohodkov. Kdor ima tak vrednostni papir, ta se udeležuje družbenega podjetja, oziroma upnik je tistega, kdor je najel posojilo. Svojega zneska pa ne more nikoli odpovedati, nego le, če proda vrednostni papir, utegne dobiti zanj primerno vrednost. Po drugi plati pa prihranke lahko plodonosno nalagamo, če kupujemo take vrednostne papirje. Vrednostni papirji so ali javni ali zasebni ter se glase na določen znesek, katerega imenujemo imensko ali nominalno vrednost (Nominalvoert). 1. Javni vrednostni papirji (offentliche Effecien) so dolžna pisma, katera izdado ali posamične države (državni papirji) ali pa z državno dovolitvijo dežele in večja mesta za delske zneske obrestljivega posojila. Glede na razdolžitev so državne zadolžnice: a) obligacije (Obligationen), ki se poravnavajo po določenem (razdolžnem) načrtu; b) neobrestljive in obrestljive srečke (Lose), katerih kapitalna vrednost se poravnava po žrebnem načrtu, pri čemer se uporablja ali ves obrestni znesek ali le del tega zneska za izplačilo premij (dobitkov); c) rente (stalen, fundiran državni dolg), pri katerih se je država pač zavezala, da plačuje obresti, ne pa da vrne posojeni kapital. Javnim vrednostnim papirjem prištevamo tudi: zastavna pisma (Pfandbriefe), zadolžnice, ki se izposojajo s posredovanjem bank in kreditnih društev na zemljišča (Hipotheken) ; zemljiškoodvezne obligacije (deželne rente), s katerih izdajo (emisijo) se zemljišče oprosti realnih bremen; zadolžnice mest in javnih podjetij (uravnava dunavske reke). 2. Zasebni vrednosti papirji so ali akcije (delnice), prioritete (prednice) ali zasebne srečke. 217 Akcije ali delnice (Actien) so oni vrednostni papirji, kateri spričujejo, da je postal njik lastnik s tem, da je vplačal določen znesek, deležnik večjih prevoznih, obrtnih ali trgovskih podjetij. Dohodki od vsake posamične akcije se zovejo dividenda, in ti so ali določene obresti ali del dobička, ki ga potjetje nese, ali največkrat oboje ob jednem. Redna divenda velja v zadnjem slu¬ čaju za obresti, iz veni'e dna pa razdeljuje ostali dobiček. Prioritetne obligacije ne dado imovniku pravice, da bi imel kaj deleža pri dobičku, kar ga je več; zato pa se morajo njih popolne obresti izplačevati pred obrestmi akcij. Zasebne srečke se izdajajo z dovolitvijo dotične države (pogostoma v dobrodelne namene). Da se obresti pripravneje plačujejo, imajo zadolžnice več obrestnih nakaznic (pobotnic), ki se zovejo kuponi (odstrižki). Imovnik ob vsakem obrestnem roku odstriže določeni kupon in ga prinese (kot pobotnico) določeni izplačevalnici (Zahlstelle), da se mu izplačajo obresti. — Kupon sreberne rente za 100 gl. slove: § 193. Vrednostni papirji imajo premenljivo vrednost; ta premenljiva vrednost se zove kurz ter ni zavisna le od nominalne vrednosti, nego tudi od obrestne mere in dobička, dalje od tega, ali se po dotičnem papirju povprašuje ali se papir ponuja. Na avstrijskih borzah se zabeležujejo kurzi v gl. a. v. bankovne valute (v papir¬ natem denarju), in sicer pri vseh zasebnih srečkah in akcijah za vsako posebej (pr. StilckJ, a pri vseh državnih papirjih, zemljiških odveznih obligacijah, zastavnih pismih in večinoma tudi pri prioritetah v procentih, t. j. za 100 gl. nominalne vrednosti. Pri nakupu takih vrednostnih papirjev, kateri nes6 obresti, mora kupec prodajalcu plačati ne le kapitalno vrednost, nego tudi še ne 218 potegnene obresti, in to od zadnjega obrestnega roka do dne, ka¬ terega jih kupi. Pri vrednostnih papirjih se računijo obresti vselej od nominalne vrednosti; mesec se računi po 30 dnij. Na avstrij¬ skih borzah se računijo obresti v papirnatem denarju tudi pri onih vrednostnih papirjih, pri katerih bi se morale računiti prav za prav v zlatu ali srebru, in to brez ažije za zlato ali srebro. Primeri. 1. A kupi dne 3. decembra 8 akcij avstro-ogrske banke po 985; koliko mora plačati zanje? (Nominalna vrednost jedne akcije = 600 gl. a. v., 5 % obresti niso izplačane od dne 1. julija.) 8 akcij po 985 gl. 7880 gl. obresti od 8 akcij po 600 gl. = 4800 gl. od dne 1. jul., t. j. za 150 dnij po 5%> . 101 „ 33 kr. 7981 gl. 33 kr. 2. Nekdo kupi dne 6. novembra 2400 gl. jednotnega državnega dolga v srebru po 97*50; koliko mora plačati? (4' $ obresti od dne 1. julija.) 2400 gl. po 97'50 . 2340 gl. 41^ obr. od dne 1. jul., t. j. za 125 dnij . . . 35 gl. 2375 gl. 3. Dne 17. februvarja se proda na borzi 45000 gl. zlate rente po 116*10. Mešetarina \°/o. Kuponi l./IV. in l./X. 45000 gl. po 116*10 . . .. 52245 gl. Obresti od dne 1. oktobra, 136 dnij po 4 °/o 680 gl. 52925 gl. !%o mešetarine. 26 gl . 12 kr. Čistega zneska. 52898 gl. 88 kr. Mešetarina se pri nakupu prišteva, .pri prodaji odšteva. Naloge. *1. Koliko velja 9 sreček iz leta 1864. po 187? *2. Kolike velja 6 kreditnih sreček po 184, 12 Palffy-jevih sreček po 55 in 15 sreček Rudolfove ustanove po 24*75? 219 3. Koliko je vrednih dne 18. avgusta 2500 gl. jednotnega državnega dolga v bankovcih s kuponi od dne 1. maja po 97*89? (Obresti po 4|$.) 4. Nekdo proda dne 6. decembra 3000 gl. zlate rente po 116*15; koliko dobi zanje? (Obresti 4 °/o od dne 1. oktobra.) 5. Koliko treba plačati dne 9. septembra za 6 celih sreček iz leta 1860. po 143*50 ? (Nominalna vrednost po 500 gl., 4%' obresti od dne 1. maja.) 6. Nekdo kupi dne 1. maja: 9 akcij Rudolfove železnice po 100*70 (4 \° drugi po 4%; kolik je vsiik kapital, ako daje prvi dvakrat toliko obrestij kakor drugi ? 80. A si izposodi 1200 K in plača na račun 5 % obrestnih obrestij in v povrnitev kapitala na koncu vsakega leta 800 K; a) kolik bode dolžni ostanek po 10 letih, b) koliko je dolžni ostanek vreden sedaj? 31. Izračuni, koliko kron je vrednih a) 5840 frankov, b) 6800 mark 50 fenigov. (§ 184.) 224 Sedmi oddelek. O jednačbah. prve stopinje z več neznankami. I. Kako je razreševati jednačbe z dvema neznankama. § 194. Jedna sama jednačba ne določuje dveh neznank; zakaj brezštevilno je vrednostij, katere zadoščajo jednačbi, ako jih postaviš za dve neznanki. Ako vzamemo na pr. jednačbo 2x + 5y = 26, dobimo, če smatramo za sedaj x za neznanko, y pa za znano število, x = Kolikor različnih vrednostij vzamemo za y, toliko različnih vrednostij dobimo za cc; ker pa vzamemo lahko za y brez števila različnih vrednostij, dobimo jih tudi za x brez števila; raz¬ rešitev je tedaj nedoločena. Da je moči x in y določiti popolnoma natančno, treba še druge jednačbe, izražajoče odnošaj med x in y, da odpravi nedoločeno razrešitev prve jednačbe; druga jednačba mora biti od prve bistveno različna, nasprotovati ji pa tudi ne sme. Da razrešimo dve jednačbi z dvema neznankama, treba iz obeh jednačeb napraviti tretjo, ki ima le j e dno neznanko. O drugi neznanki pravimo, da jo iztrebimo (eliminieren). § 195. Kabijo nam sosebno trije iztrebljevalni načini. 1. Primerjalni način (Comparationsmethode). Vrednost jedni neznanki se določi iz obeh jednačeb, te dve vrednosti se izjedna- čita, in potem se razreši dobljena jednačba, ki ima le drugo neznanko, Na pr. 2x -\-hy — 2& ... 1.) in 3x — 2y = 1 . . . 2) Iz teh jednačeb dobimo 26 - 5 y 2 3), x -- in x = 1 + 2y 3 ‘ Tedaj 26-5 y 1+2 y 2 3 in odtod y = 4. Ako postavimo to vrednost za y v 3), dobimo x = 3. 2. Zamenjevalni način (Substitutionsmethode). Vrednost j edni neznanki se določi iz jedne jednačbe, in ta vrednost se postavi v drugo jednačbo; tako dobljena jednačba ima le j e dno neznanko, in ta se potem določi. Na pr. x + 2y = 8 . . . 1) in 6x — 5y = 14 . . . 2) Iz 1) dobimo x = 8 — 2y. Ako postavimo to vrednost v 2), dobimo 6 (8 — 2 y) — 5y = 14; in odtod y — 2. Zamenivši vi) y s to vrednostjo, dobimo x = 4. 3. Način jednakih koeficijentov (Methode der gleichen Coefficienten). Neznanki, katero je iztrebiti, priskrbi v obeh jednačbah isti koeficijent; to dosežeš, ako pomnožiš vsako jednačbo s primernim faktorjem; tako izpremenjeni jednačbi potem seštej ali odštej, kakor imata ta dva koeficijenta nejednak ali jednak predznak; tako dobljeno jednačbo z j e dno neznanko treba potem razrešiti. Na pr. 4* — 3y = 9 . . . 1) in 6x -f 5y — 61 , . . 2) Pomnoživši tedaj prvo jednačbo s 3 in drago z 2, dobimo 12* - 9 y= 27, 12* — 10 y = 122. Odštevši prvo od druge, dobimo: ISh/ b= 95, tedaj y = 5. Ako zamenimo s to vrednostjo y v 1), dobimo x = 6. Kateri izmed teh treh iztrebljevalnih načinov je v vsakem posamičnem slučaju najugodnejši, ravna se po tem, kakšne koeficijente imajo neznanke. § 196. Da je moči iz dveh jednačeb z dvema neznankama določiti vrednosti teh neznank, treba, da sta te dve jednačbi popolnoma nezavisni druga od druge in tudi nasprotovati si ne smeta, kakor je razvidno iz teh-le primerov. 1. 4* — 3y = 9 in — 2y = 6.' Druga jednačba je z a vi sna od prve, zakaj dobili smo jo iz prve, pomnoživši le-td z f. Uporabivši za razrešitev teh dveh jednačeb primerjalni način, dobimo 9 + 3)/ _ 18 + 6y 18 -f %y = 18 + 6y 4 “ 8 ’ 0 = 0. Za y tedaj ne dobimo nikakeršne vrednosti. Močnik. Aritmetika. 15 22 G 2. 4« — 3y = 9 in 8 x — 6y — 15. Druga jednačba nasprotuje prvi, zakaj nje prvi del je 2kratnik prvega dela prve jednačbe, 15 pa ni 2kratnik števila 9. Ako upora¬ bimo za te dve jednačbi način jednakik koeficijentov, dobimo 8 x — 6y — 18 8 x — Qy — 15 0 = 3. Razrešitev danih jednačeb daje torej protislovje. 1. x + y = 11, x — y = 3. 3. 2x — y = 4, 4x + 3 y = 18. 5. 7x — 2y = 12, 3x 2 y = 8. 7. 8* — oy = 25, 3.'- + 7 y — 3G. 9. 16*/ - 25z = 7, 5 z — 24 y — 9. 11. 3®+ 7 = 4*/ +3, 4* — 8 = 5 y — 10. . 13. x y = 20, x J~ y ' 15. x — y = 12, V- = 1 9 8 3 1 0 n. = % j x + jy = L Naloge. 2. 2x -f = 12, a; -f- 4«/ = 12. 4. 3x + y = 19, 3x — 2y — 7. 6. 4.t + 5*/ = 22, 5x — 4 y = 7. 8. 3a; + 4 a -j- 6 a — b a -f- b 40 . X a -f- b + 45 . 4 ab § 197. Za določitev treh ali več neznank je treba prav toliko jednačeb; le-te ne smejo biti med seboj v nikakem nasprotju in druga mora biti od druge po polnem nezavisna. V razrešitev več skupaj spadajočih jednačeb s prav toliko ne¬ znankami se uporabljajo isti načini, katere smo navedli v § 195. za razrešitev dveh jednačeb z dvema neznankama. Iz danih jednačeb se namreč iztrebi jedna neznanka; nato se dobi jedna neznanka in jedna jednačba menj; iz teh novih jednačeb se odpravi zopet druga neznanka, in to se ponavlja, dokler ne dobimo naposled le j e dne jednačbe z j e dno neznanko, iz katere je moči določiti vrednost te neznanke. Dobljena vrednost se postavi v jedno izmed prejšnjih dveh jednačeb; tako se določi druga neznanka. Potem se postavita obe te dve vrednosti v jedno izmed prejšnjih treh jednačeb, i. t. d.; tako se določijo zaporedoma vrednosti vseh neznank. Primeri. 1. 8x + 5y + 2z = 24 6cc — 3z/ + z = 3 4a; -f- 9 y — 6z = 4. Uporabljajoč primerjalni način, dobimo _ 24 — 5y — 2z x = _ 3 + 3 y 6 x ~ _ • 4 - 9y + 62 , tedaj 24 — 5?/ — 2« _ 3 + 3,y — z ~8 6 ’ 3 + 3+ — z _ 4 — 9y + 6 z 6 _ 4” Določivši iz zadnjih dveh jednačeb y, dobimo 60- 2 z y y 27 6 + 20 z ), tedaj 60 - 2 z 27 6 + 20 z 33 33 in odtod z = 3. Ako postavimo vrednost za z v katerikoli prejšnji izraz za y, 60-2 z na pr. v y 27 dobimo y = 60 - 2 . 3 27 Ako postavimo naposled vrednosti za y in z v katerikoli prej dobljeni izraz za x, dobimo x = 1. Preskušnja. 8 .1+5.2 + 2.3 = 24, 6 . 1 - 3 . 2 + 3 = 3, 4. 1+9.2 — 6.3— 4. 2. 3a; + y + z = 18 J 2x + 3 y + 2 z = 28 | Po zamenjevalnem načinu. 5x + 2 y + 3z = 38 ) Iz prve jednačbe je y = 18 — 3x — z. Ako postavimo to vred¬ nost v drugo in tretjo jednačbo, dobimo 2x + 3 (18*— 3x — z) + 2z — 28, ali lx + z = 26, 5a; + 2 (18 — 3x — z) + 3z = 38, ali x + z = 2. S tem smo skrčili nalogo na razrešitev dveh jednačeb. Po načinu jednaldh koeficijentov dobimo x = 3, z = 5. Ako postavimo dobljeni vrednosti za a; in z v izraz y — 18 — — 3x — z, dobimo y = 4. 230 3. 3x — 2y -f- 5z = 8 j 2x -f 5 y — 2z — 18 j Po načinu jednakih koeficijentov. 4 o 3 — y -f- 2z = 14 ' Da iztrebiš iz prvih dveh jednačeb x, pomnoži prvo z 2, drugo s 3; tako dobiš 603 — 4 y lOz = 16 6 x -f 15y — 6 z = 54 odštev. a) 1% — 16z — 38 Da iztrebiš iz druge in tretje jednačbe x, treba le drugo po¬ množiti z 2 , ter potem odšteti, tedaj 4® + 10 y — 4z — 36 ix — y -f- 2z = 14 odštev. b) Hy_ 6 z = 22. Tako si dobil dve jednačbi z neznankama y in z, kateri prav lahko razrešiš: 19z/ — 16z = 38 X H . 209 = 7, 2ir — 3?/ + 4z = 13. 231 7. 7« — 2y -j- 7z — 60, 3x + iy + 2z = 20, 5« — 8y — 3z + 2 =0. 9. 4« — 2y + 3« = 8, lx Sy — z — 59, 10« -\-3y — lz = 49. 11 . x + y + z — 100, x : y — 5:3, y : z — 3:2. 1;{ *+'!& +Z? = 18, 2« , 5?/ 2« _ ,q T + 12 + T“ iy ’ + % + i? = 23. 10 ^ 6 ^ 5 y + 2 « —- 112, \x + \z = 36, 2y - « _ 3 x — y in x M y 4- Z l 17 -t + t + t _I _|_ 2 + 8 + 5 13, 10 , 3« — y — z — 10. 5___ T__ ' 3« — 1 3y + 4 ’ 3 __2_ 5y — 7 3z - 5 ’ _2_ = 3 3z + 1 5« + 7 8. 4« + 3y — 5z = 13, 3« — 4z/ + g = 2, — 2« + ly + 3z = 11. 10. x — 3y + z = 2, 20« — y — 2z = 7, 7« + 9«/ — 4z = 3. 12. 0’4« + 0‘5 y + 0‘7z = 51, 0‘3« + 0‘4y + 0‘5z = 38, 0'2« + 0‘3y + 0‘4z = 29. 14. X + ~a + T ~ f + ^ + |- 612 ’ | + | + 2 = 612. 16. x ± 1 = 2 , y + 1 y + 2 _ a g + i 2 + 3 _ l « +1 ~ 2 ' m x + y i y + z ib. 2 + 3 x ± - z - + y + z = e, 2 3 2« + 2y — 5z = 10. ' M f+l + l -A + l+A X y z _7_j_4_6_ x y z 11 , 25, 19 . 232 21. x -j- y -f- z == o/, x — y + z — b, x + y — z— c. 23. — + \ = m, a b x . z -1- = n, a c y i 3 t-.+ — = p- o c 25. \Jx -f- \Jy = 5, \Jx + \/z = 6, vV+V® = ?• 27. ?< -f- cc = 15, m + y = 14, * + y = 13, a; -f z = 12. 29. 3w — x + y + 2s = 20, 2u + 3x — y + z = 17, w 2 12 U’ 27§> 55|> 138^ 5 b) 8krat 5^, lf, q\, isf, 48^j, 6lf|> 104^ je koliko ? 2. (1117 + 9r! + vf) . 64 - ( 2 ! + 8ni + 13rll • 54. *3. Koliko obrestij da a) 350 K po 4% v 3 letih? b) 375 K po 6% v 2 letih? c) 780 K po 5% v 4 letih? d) 1600 K po 4v 3 letih? *4. Kateri kapital da po 3^% 62; K ohiestij na leto? 5. Kapital da po 4% 321 K obrestij na leto; v koliko letih da kapital P° 3j °/o prav tiste obresti? 6. A ponuja za hišo 8850 K v gotovini, B pa 9000 K in sicer hoče pla¬ čati polovico takoj, drugo polovico čez 6 mesecev. Kateri ponuja več, ako se računi 4% obrestij? 7. Menica za 2345 K, izplarna sredi novembra, diskontuje se dne 5. sep¬ tembra po 4%; koliko dobi prodajalec zanjo? 8. Hamburški trgovec plača za Dunajčana 12820 mark in za ta znesek izda na Dunajčana menico, računajoč sebi f % provizije in 1 °/ 00 senzarije ter 166 mark po 100 gl. a. v. Za koliko gl. a. v. izda tedaj menico? *9. Koliko gl. papirnatega denarja treba plačati za 3200 gl- v zlatu, ako ima zlato 20% ažije? * 10 . Koliko % ima zlato ažije, ako dobiš za 1080 gl. v papiiju 900 gl. v zlatu? *11. Krčmar ima pri hi vina 18K ali 25% dobička; po čem je kupil hi? 239 12. Trgovec dobi 1400% blaga, po 12 K 100% in 1225% po i 5;} K 100 kg\ stroškov je 12 K 75 h. Koliko % bode imel dobička, ako proda Itg po 20 h? 13 a — x _ aJ r x — 2« _ ax — 2b b — x b -(- x ax — 26 ax-\-2a 15. j/a: -J- \%x — 2. 16. 2 \/3a: — 1 = ^ ^ . *17. Katerega števila Skratnik je za 6 manjši od števila 50 ? 18. Od katerega števila treba odšteti njega desetino, da dobiš število 77 ? 19. Mislim si število. Ako je pomnožim z 2, na desni pripišem številko 5, potem razdelim z 11 ter kvocijent povečam za 1, dobim dvakrat toliko število, kakor sem si je mislil. Katero število je to ? 20. Iz nekega mesta se odpošlje sel, kateri potrebuje za vsakih 54 km po 5 ur; 4 ure pozneje se pošlje za njim drug sel, kateri potrebuje za vsakih 42 km 3 ure. V koliko urah dohiti drugi sel prvega ? *21. 15 m velja 64 K; koliko velja 40 m? 22. Nekdo zmeša 5 l po 36 h in 7 l po 48 li; koliko velja i l zmesi? 23. Izmed dveh cevij daje prva v 1 uri po 6§ hi vode, druga pa v istem času po 7 \hl\ v koliko urah se nateče 77ff hi vode, ako sta odprti obe cevi? 24. J nekega dolga treba izplačati dne 15.januvarija, j dne 31. jauuvarija, 1 dne 28. februvarija in ostanek dne 31. marcija. Kdaj bi se lahko poplačal ves dolg objednem? ♦25. Tri osebe razdele 360 K med seboj tak<5, da dobi B dvakrat toliko kakor A, in C 3krat toliko kakor A; koliko dobi vsaka oseba? 26. Tri osebe razdelč 688 K med seboj tak<5, da dobi A tolikokrat po 2 K kakor B po 3 K, in C tolikokrat po 6 K kakor B po 5 K; koliko dobi vsak ? 27. Nekdo je zapustil 15650 K, določivši, naj si razdelč njegovi štirje dediči to imetje tako-le: B naj dobi 250 K več nego A, C 300 K menj nego A in B skupaj, D pa 750 K menj nego A, B in C skupaj. Koliko bode vsak dobil? 28. J/269361. 29. J/646T7 (4 dec.) 30. j/i292il'12 . . . 31. J/592704. 32. \/i25751 (3 dec.) 33. ^2 918076 - 34. Koliko velja 3600 gl- 4%ne zlate rente po 116 5 z obrestmi za 136 dnij? 35. Ako se računi 1 kg čistega zlata po 3280 K (3274 K), koliko velja 4-1 kg zlata po 900 tisočin čistine ? 36. Koliko gl. a. v. velja 95-] »», ako velja 68-'; angl. yarda 17] funta ster- linga, in je 17 yaid. = 16 m, 10 funt. sterl. = 121 gl. a. v. 37. 2® — 2y + 4* — u = 4, 3x -j- y — 5z -f- u = — 6, — x -J- 4y + 2* — 5a = — 7, x — y -\- z — u — — 2. 240 *38. Razstavi število 150 na dva dela tako, da bode prvi jednak f drugega? 39. 1200 K treba takd razdeliti med tri osebe, da dobi druga 3krat toliko kakor prva menj 20 K, tretja 4krat toliko kakor druga in še 20 K. Koliko dobi vsaka oseba? 40. Mislim si dva ulomka, ki imata isti imenovalec; njiju diferenca je jed- naka f, razmerje med njiju števcema pa je 5:1; ako zmanjšam večji števec za 12, in povečam manjšega za 12, velja obratno razmjere 1 : 5. Katera dva ulomka sem si mislil? 41. Nekdo ima dva soda in v vsakem nekaj vina. Ako ga izlije iz prvega f v drugega, in potem iz tega -5 v prvega, tedaj ga je v vsakem sodu 80 l. Koliko l ga je bilo iz početka v vsakem sodu? 42. Krčmar ima dvoje vino, lil po 80 K in hi po 120 K, in iz tega dvojega vina hoče namešati 15 hi po 96 K. Koliko mora vzeti vsakega vina? 43. Nekdo naloži v hranilnico početkom vsakega leta po 2000 K po 5% na obrestne obresti; koliko mu mora hranilnica izplačati koncem tretjega leta? 44. Koliko je vrednih 7520 K, izplačnih v 8 letih, sedaj, ako se računi 5 % obrestnih obrestij ? 45. Za skupno podjetje vloži: A 3000 K takčj in čez 1 leto še 2000 K; B 2000 K takdj in čez lf leta še 2400 K; C 4000 K takoj in čez 2 leti še 1600 K. Podjetje traja 3 leta ter da 9050 K dobička. Koliko tega dobička dobi vsak družabnik ? 46. 1 K = 0-85061 . . . mark. a) Koliko kron je 605‘09 (703’4 . . .) mark? b) Koliko mark je 208'4 K (3097 ... K)? 47. Šola šteje 178 učencev. V drugem razredu je 5 učencev več nego v prvem, v tretjem pa 9 menj nego v drugem, v četrtem 7 menj nego v tretjem. Koliko učencev je v vsakem razredu? 48. Izmed dveh igralcev ima A 4krat toliko denarja kakor B. Ko pa A izgubi B-ju 5 K, ima A sam še 3krat toliko kakor B. Koliko denarja je imel vsak iz početka? 49. Ob konkurzu dobi nekdo za svojo terjatev v znesku 5760 K samo 3840 K; koliko % je izgube? 50. Blago ima nečiste teže 430 kg in velja 480 K; tara znaša 30 kg, pro¬ vizija 2%, voznina 54 K. Po čem je treba prodajati 1 kg, ako znašaj dobiček 16f%? 51. Dolg 160 K, ki je izplačen čez 6 mesecev, plača se takoj; koliko znaša gotovo plačilo, če je 5% diskonta? 52. A proda na Dunaju te-le menice: a) za 3416 državnik mark v Berlin po 59'20, b) za 5204 franke v Pariz po 48'30, c) za 837 funtov sterlingov v London po 121'75; koliko iztrži za vse, ako se računi jj°/ 00 senzarije? 241 53. Iz dveh mest, kateri sta si vsaksebi za 81 km, gresta si A in B naproti. Ako odide A 3 ure prej z doma nego B, srečata se v 7 urah; ako odide pa B 3 ure prej, srečata se še-le v 8 urah. Koliko km prehodi vsakteri v jedni uri ? *54. Pšenici je padla cena za 8%; koliko velja sedaj {hi, ako je veljal doslej 15 K 50 h ? *55. Koliko vode je treba priliti 8 l kisa po 40 h, da bode 1 l zmesi vreden še 32 h? 56. Nekdo hoče namešati 27 hi pšenice in rži; vsak hi tehtaj 76 kg. Koliko je treba vzeti vsakega žita, ako tehta 1 hi pšenice 78 kg, { lil rži pa 72 kg ? 57. Poišči tri števila, katera imajo td-le svojstva: Ako prišteješ prvo 3 kratni vsoti drugih dveh, dobiš 115; ako prišteješ drugo 4 kratni vsoti drugih dveh, dobiš 135; ako prišteješ naposled tretje 5 kratni vsoti drugih dveh, dobiš 145. 58. Kakšna bi bila razrešitev prejšnje naloge, ako postaviš za števila 3. 4, 5, 115, 135, 145 občna števila m, n, p, a, b, c? *59. Pri 100 K je 12f K dobička; koliko ga je pri 325 K? *60. Pri 40 K je 3§ K dobička; koliko ga je pri 100 K? 61. A mora plačati 400 K takoj, 500 K v 6 mesecih in 500 K v 1 letuj plača pa 300 K čez 1 mesec, 200 K čez 2 meseca in 100 K čez 3 mesece. Kdaj mora plačati ostanek? 62. Blago se je kupilo za 1573 K 20 h. Koliko velja blago v resnici, ako je bilo 2% skonta, £ % senzarije (od kupnine), 216 K 50 h drugih stroškov in 2% provizije (od vsega zneska)? *63. Kateri kapital da po 5 (4) °/ 0 aj 30 K, b) 45 K, c) 52 K, d) 75 K, e) 124 K letnih obrestij? 64. A mora plačati B- ju: dne 15. julija 2340 K 58 h, dnč 20. sept. 1547 K 83 h, nasprotno pa mora B plačati yl-ju: dne 18. oktobra 3104 K 75 li, dne 10. decembra 873 K 6 h. Dne 31. decembra obračunita oba; kdo izmed njiju je drugemu kaj dolžan in koliko, ako se računijo obresti po 4%? 65. Nekdo dobiva od svojega kapitala 2392 K obrestij na leto; f kapitala ima naložene po 5%, 5 po 6%. Kolik je ves kapital? *66. Število 108 razdeli na 3 dele takd, da se ima prvi del proti drugemu kakor 3 : 5, in drugi proti tretjemu kakor 10 : 11. 67. Ded in oče imata skupaj 112 let, oče in sin 46 let, ded in sin 82 let. Koliko let ima vsak? M očnik. Aritmetika. 16 242 68. Nekdo ima dvoje srebro. Ako zlije l\ kg prvega in 2§ kg drugega, dobi srebro po 0*880 čistine; ako pa zlije 4f kg prvega in 5f kg drugega srebra, tedaj ima zlitina po 0'850 čistine. Koliko čistino ima vsako srebro? 69. Narodna banka diskontuje dne 18. junija po 4% menico za 556 K izplačno sredi julija,• , „ 1320 „ izdano dne 28. aprila 3 mesece a dalo-, „ „ 1084 „ izplačno 31 dnij po vidu ter vzprejeto dne 8. junija; koliko mora plačati za vse? 70. Dunajčan ima plačati v Londonu 425 funtov sterl. V ta namen kupi menico v Amsterdam po 99 - 80 (100 hol. gl. = 99*8 gl. a. v.) ter jo pošlje v London, kjer se mu za vsakih 12"10 hol. gl. 1 funt sterl. zapiše na korist. Koliko plača za oni dolg? 71. Nekdo kupi dne 13. januvarija 3500 gl. zastavnih pisem n. a. hranilnice po lOOf; koliko mora plačati zanje? (Zaostale 4|% obresti od dne 1. novembra.) 72. Kapital je izposojen po 4%. Ako razdeliš peti del kapitala z letnimi obrestmi vsega kapitala in prišteješ kvocijentu 75, dobiš toliko kron, kolikor znašajo letne obresti vsega kapitala. Kolik je kapital? 73. Mesto je imelo 1850. leta 35846 prebivalcev, - koliko jih je imelo leta 1875., ako se je pomnožilo prebivalstvo vsako leto za 2f%? 74. Nekdo je 10000 K dolžan; koliko bode še čez 10 let dolžan, ako odplača čez 3 leta 2500 K, čez 6 let 1000 K in se računi 5% obrestnih obrestij? 75. A mora plačevati B- ju, dokler ta živi, vsako leto po 320 K; B pa želi, da mu izplača A vse zneske takoj; koliko mu bode A izplačal, ako vzamemo, da bode B še 12 let živel in se računi 5% obrestnih obrestij ter celoletno kapital izovanje? 76. Dunajčan dobi iz Trsta 12 vreč milanskega riža, nečiste teže 2110%, tare 15 kg, 100 kg čiste teže po 24f gl. Stroškov je v Tistu 5 gl. 25 kr., provizije 2%, voznine po 2§ gl. od 100 kg, carine po 80 kr. od 50 kg nečiste teže, stroškov na Dunaju 7 gl. 47 kr. Koliko ga stane 100 kg čiste teže na Dunaju? 243 Dodatek. O jednostavnem knjigovodstvu. Občna pojasnila. § 1. Trgovci in obrtniki morajo vse dogodke, ki se tičejo njih trgovskega imetja in njegovih izprememb, zapisavati v knjige, v to odločene, in to zaradi tega, da vedo vsak čas natančno, kako je z njih trgovino ali obrtom, koliko imajo terjati in koliko so dolžni ter koliko je vsega njih imetja. To zapisavanje imenujemo knjigo¬ vodstvo (Buchfuhruvg, Buchhaltung). § 2. Pri vsakem knjigovodstvu je treba najprej vedeti, koliko je bilo imetja takrat, ko je kdo začel trgovino ali obrt. Imetju v širšem zmislu pripada ne le vsa premičnina in ne- primičnina, ki jo kdo ima, nego tudi vse iz te posesti izvirajoče, še ne izpolnjene zaveze; v ožjem zmislu razločujemo trojno imetje: aktivno, pasivno in čisto imetje. Aktivnemu imetju pripadajo denarji in vse druge, denarno vrednost imajoče stvari, katere ima kdo ali v svoji posesti ali od drugih teijati, ne glede na to, ali so vse te stvari njegova prosta, popolna lastnina, ali pa so zadolžene. V aktivno imetje trgovca spa¬ dajo tedaj denarji, državni papirji, blago, menice, ki se mu imajo izplačati, terjatve (aktivni dolgovi), premičnina (hišna oprava, orodje, i. t. d.) in neprimičnina (poslopja, zemljišča, i. t. d.) Pasivno imetje pa imenujemo vse, kar imajo drugi od trgovca ali obrtnika terjati. Semkaj spadajo menični in drugi dolgovi, katere ima poplačati (pasivni dolgovi). Kar ostane, ako pasivno imetje odštejemo od aktivnega imetja, imenujemo čisto imetje. Popis in ocenitev vseh posamičnih sestavin aktivnega in pasiv¬ nega imetja imenujemo inventar ali inventuro; posamične sestavine treba v ta namen res prešteti, stehtati ali izmeriti. 16 * 244 § 3. Vsak dogodek, kateri izpremeni sestavine trgovskega imetja, zovemo poslovni dogodek (Geschaftsfall). Poslovni dogodek je na pr., ako se blago proti gotovemu plačilu proda, zakaj takrat se zmanjša zaloga, a gotovina se poveča. Da bode m6či poslovne dogodke prav zapisavati v posamične knjige, treba sosebno natančno razločevati, kdo je dolžnik, kdo upnik. Vsakdo, kdor od trgovca (obrtnika) kaj prejme, ne da bi mu zato kaj dal, postane njegov dolžnik (debitor, Schuldner). Vsakdo, kdor trgovcu (obrtniku) kaj d&, ne da bi zato od njega kaj prejel, postane njegov upnik (creditor,Glaubiger). Dolžnika zaznamujemo v knjigovodstvu z „debet“ ali „ima' dati“ (debet, Soli), upnika pa s „credit“ ali „ima dobiti 11 (credit, flaben). Koga za dolžnika zapisati, pravi se tudi: zapisati mu kaj v dolg (ihn debitieren, ihn belasten) ; koga za upnika zapisati, pravi se tudi: zapisati mu kaj na korist (v imetek) (ihn creditieren, ihm gutschreiben). Pri meničnih plačilih velja t6-le: Vsakdo, kdor menico izda, postane trasatov dolžnik za meničin znesek. Vsakdo, kdor menico vzprejme, postane trasantov upnik. Vsakdo, kdor nam menico pošlje, postane naš upnik za meničin znesek. Vsakdo, kdor rimeso prejme, postane pošiljateljev dolžnik. § 4. Poslovne dogodke zapisujemo v različne knjige ali po vrsti, kakor se je ravno kateri pripetil, ali pa istovrstne skupaj v oddelke za to odločene. Knjigo, v katero se zapisujejo najprej vsi oni poslovni dogodki, pri katerih se ne plačuje v gotovini, po vrsti, kakor se gode, zovemo dnevnik (Tagebuch, Journal, Prima-Nota). Vblagajniško knjigo (Cassabuch) zapisujemo prejemke in izdatke v gotovini, tudi po vrsti, kakor prihajajo. Knjigo, v katero zapisujemo trgovskih prijateljev dolgove in terjatve, po osebah razvrščene, imenujemo glavno knjigo ( Hauptbuch). Knjige, ki opisujejo natančneje one poslovne dogodke, katerih omenja dnevnik le kratko, ali obširneje popisujejo prejem in oddajo onih stvarij, katere so v blagajniški in glavni knjigi zaračunane le posredno, zovemo postranske ali pomožne knjige (Neben- 245 oder Hilfsbucher). Njih število se ravna po tem, kaka in kolika je trgovina. Najvažnejše so: p i s m ovni p r c p i s n i k f Briefcopierbuch), fakturna knjiga (FacturenburJi), skontrovne knjige (Scontro - bilcher), in sicer blagovno-skontrovna knjiga ali blagovna knjiga (Waren-Scontro, Warenbuch), menično-skontrovna knjiga ali menična knjiga (Wechsel-Scontro), skontrovna knjiga za vrednostne papirj e (Effecten-Scontro) in dospetna knjiga ( Verfallsbuch). § 5. Račun, v katerega zapisujemo vse poslovne dogodke, ki se tičejo jedne in iste osebe ali stvari, imenujemo konto (Conto). Konti so dvoji: osebni konti in stvarni konti; prvi pojasnjujejo računska razmerja z osebami, drugi računska razmerja neživih imo- vinskih sestavin. Vsak konto ima po dve nasprotni strani. Na levo, z „debet“ ali „ima dati“ zaznamovano stran se zapisujejo oni postavki (Posten), za katere postane oseba ali stvar dolžnik trgovine ali obrta, na desno s „credit“ ali „ima dobiti 11 zaznamovano stran pa oni, za katere postane oseba ali stvar upnik. § 6. Da iz knjig ni le razvidno, koliko je dolgov in terjatev, nego tudi koliko je pri vsakterem blagu dobička ali izgube, zapisuje se vsak postavek po dvakrat, namreč pod „debet“ jednega in ob jednem pod „credit“ drugega konta tako, da sta si „debet“ in „credit“ različnih kontov vedno jednaka. Tako zapisavanje služi tudi v kontrolo, ali se je res vse prav vknjižilo. To vknjiževanje imenujemo dvojno knjigovodstvo (doppelte Buchfuhrung). Poslovni dogodki se pa vknjižujejo lahko tudi tako, da je raz¬ vidno zlasti računsko razmerje s trgovskimi prijatelji. T&ko vknjiževanje zovemo jednostavno knjigovodstvo (einfache Buchfuhrung). A tudi iz jednostavnega knjigovodstva se da v obče razvideti uspeh trgovine (obrta). Jednostavno knjigovodstvo je pripravno osobito za manjše trgovine, za obrte in rokodelstva. § 7. Kako je voditi posamične knjige, določuje nekoliko zakon, nekoliko pa veljajo občna načela in one oblike, kakor so se sčasoma razvile v trgovskem prometu. 246 V prvem oziru določuje občni trgovski zakonik z dne 17. dec. 1.1862. to-le: člen 28.: „Ysak trgovec je dolžan voditi knjige, iz katerih je razvidna njega trgovina in stan njegovega imetja. Dolžan je hraniti prejeta trgovska pisma in od odposlanih pridržavati prepise (odtiske) ter jih po vrsti, kakor gredo, vpisavati v pismovni prepisnik. člen 29.: „Vsak trgovec mora tedaj, ko začne trgovati, natančno popisati vsa svoja zemljišča, svoje terjatve in dolgove, svojo gotovino in vse drugo svoje imetje, ob jednem tudi povedati, koliko so posamični deli imetja vredni, ter ta popis skleniti tako, da je razmerje med imetjem in dolgovi razvidno; tak inventar in tako bilanco mora izdelati vsako leto." Člen 33.: „Inventar in bilanco mora trgovec svojeročno podpisati. Ako je več družbenikov, ki so porok vsak zase, morajo se vsi podpisati. Inventar in bilanca se zapisujeta lahko v knjigo, za to odločeno, ali pa se sestavita vsakokrat vsak posebej. Y zadnjem slučaju se morajo inventarji in bilance po vrsti urejati in hraniti." Člen 31.: „Sestavljaje inventar in bilanco, treba postaviti vsem delom imetja in terjatvam ceno, ki jo res imajo ob popisu. Dvojhenim terjatvam je postaviti verjetno ceno, one pa, ki se ne dado izterjati, treba je odpisati." Člen 32.: „Pri vknjiževanju v trgovske knjige in pri drugih potrebnih zapiskih mora rabiti trgovec živ jezik in njega pismenke. Knjige morajo biti vezane, in list za listom mora imeti zaporedoma tekoče številke. Na prostoru, ki se navadno popisuje, ne sme biti praznin. Kar seje zapisalo iz prva, ne sme se s prečrtavanjem ali drugače izpremeniti tako, da bi se ne moglo citati; strgati (radieren) se ne sme nič in tudi ne predrugačiti tako, da bi se potem ne vedelo, ali je bilo iz prva tako, ali se je naredilo še-le pozneje." člen 33.: „Trgovci morajo trgovske knjige hraniti deset let, računajoč od dne, katerega se je zadnjič kaj vanje zapisalo. Prav tisto velja o prejetih trgovskih pismih, o inventarjih in bilancah." Člen 34.: „Trgovske knjige, katere so se pravilno vodile, veljajo trgovcem pri pravdah o trgovskih stvareh za nepopoln dokaz, katerega je moči spopolniti s prisego ali drugimi dokazili." Člen 35.: „Koliko se je moči na trgovske knjige, katere so se vodile nepravilno, ozirati kot dokazilo, ravna se po tem, kakšna in kako važna je nepravilnost in vsa stvar sploh." Člen 36.: „V trgovske knjige zapisujejo lahko tudi trgovski pomočniki, ne da bi se s tem zmanjšala njih dokazilna moč." 247 I. O jednostavnem trgovskem knjigovodstvu. 1. Bistvene knjige. § 8. Bistvene knjige jednostavnega knjigovodstva so: inventarna knjiga, ako se inventure vsaka posebej ne pišejo in spravljajo, dnevnik, blagajniška knjiga in glavna knjiga. O inventuri ali popisu. Popisuje imetje (§ 2.), naštejemo najprej aktivno imetje. Začeti je z gotovino, katera se prešteje. Potem se popišejo vrednostni papirji in menice v tuja mesta; njih vrednost se določi na podlagi dnevnega kurza. Nato se določi vrednost onim mestnim menicam, katere se nam bodo izplačale — diskont se odšteje. Potem pride na vrsto zaloga blaga; to se v resnici stehta, izmeri ali prešteje ter navadno zaračuni po isti ceni, kakor je bilo kupljeno. Ako je še kaj drugega, trgovini pripadajočega premičnega ali nepremičnega imetja, oceni in popiše se tudi to. Naposled se naštejejo še dolžniki vsak posebej s svojim dolgom; ti se izpišejo iz glavne knjige. Vsota teh zneskov kaže, koliko je aktivnega imetja. Potem se popiše pasivno imetje. Temu pripadajo najprej trate, katere bode treba plačati; tudi pri teh se diskont odšteje. Potlej se navedejo posamič vsi upniki s svojimi terjatvami. Ako se vsi ti zneski seštejejo, dobi se vse pasivno imetje. Ako se od aktivnega imetja odšteje pasivno, kaže diferenca čisto imetje. Ako se koncem kake dobe imetje zopet popiše ter čisto imetje prvotne inventure primerja čistemu imetju te inventure (bilance) kaže diferenca med obema, koliko je bilo v tem času dobička ali izgube, kakor je zadnje imetje večje ali manjše od prejšnjega. Kak6 je urejena inventura, razvidno je iz tega-le primera. 248 Inventura, sestavljena dne 30. junija 1895. leta. 249 O dnevniku. § 9. Dnevnik je odločen v to, da se vanj najprej jasno in natančno zapisujejo vsi oni poslovni dogodki, kateri provzročujejo dolg ali terjatev, in to po vrsti, kakor prihajajo. V dnevniku se zaznamujejo strani z zaporedoma tekočimi števili. Vsakemu postavku se dostavi datum, ime in bivališče trgov¬ skega prijatelja, ob jednem se kratko in jasno pove, zakaj je postal naš dolžnik ali upnik, in naposled znesek; le-ta se zapiše pri dolž¬ nikih v razpredelek, zaznamovan z „debet“, pri upnikih pa v onega, ki je zaznamovan s „credit“. Najprej se zapišejo v dnevnik ter¬ jatve in dolgovi, kakor jih navaja inventura. V pojasnilo bodi ta-le primer: Dnevnik. 1. Julija 1895. 1. Debet Credit 250 2. Debet Credit 251 3. Debet Credit 252 O blagajniški knjigi. § 10. V blagajniško knjigo se zapisujejo vsi dohodki in razhodki v gotovini, in sicer vsak dan sproti. V blagajniški knjigi se zaznamujeta po dve nasprotni strani z istim številom. Leva stran ima nadpis „debet“ ali „dohodki“, desna „credit“ ali „razhodki“. Na levi strani se zabeležuje pre¬ jeti, na desni izdani denar. Vsakemu postavku se dostavlja 1. leto, mesec in dan; 2. kratko pojasnilo, od koga in zakaj se je prejel denar, ali komu se je dal in zakaj; 3. znesek. Kadar je jedna stran polna, seštejejo se zneski dohodkov in razhodkov, vsoti pa se preneseta na nastopni dve strani. Blagajniška i. Debet (dohodki) Julija 253 Koncem vsakega meseca se račun blagajniške knjige sklene. V ta namen se seštejejo dohodki in razhodki, potem se zadnja vsota od prve odšteje in diferenca, saldo imonovana, postavi kot ostanek v blaga j niči (Cassabestand) na stran razhodkov; tako se vsoti na obeh straneh izjednačita. Te vsoti se zapišeta pod črti, kateri sta se prej potegnili v razpredelkih za zneske, in pod vsako se potegne nekoliko niže potem še črta sklepovnica. Naposled se pre¬ nese saldo pod prvi dan nastopnega meseca kot prejemek na nov račun, in to zaradi tega, da je razvidno, koliko je v blagajnici denarja. V pojasnilo je pridejan tu-le obrazec blagajniške knjige. knjiga. 1895 1. Credit (razhodki) 254 O g-laTni knjigi. § 11. Namen glavni knjigi je, da nam pojasnjuje, koliko nam je vsakdo, s komer smo v trgovski zvezi, dolžan ali koliko ima od nas terjati. V nji ima vsak trgovski prijatelj svoj račun (konto ); le-ta ima dve nasprotni, z istim številom zaznamovani strani, zgoraj v sredi pa kot nadpis ime in bivališče trgovskega prijatelja. Na levo, z „debet“ zaznamovano stran se zapisujejo vsi oni postavki, za katere je postal trgovski prijatelj naš dolžnik, na desno, s „credit“ zaznamovano stran pa vsi oni, za katere je postal naš upnik (§ 5.) Na jeden in isti folij (folium) pa postavimo lahko tudi dva ali tri račune, ako vemo že naprej, da bodo posamič potrebovali le malo prostora. Na koncu se doda glavni knjigi abecedno urejen imenik vseh onih oseb, katerim so se računi zapisali, in vsakemu imenu se dostavi število folija, na katerem je dotični račun. V glavno knjigo se prepisujejo postavki iz dnevnika in blagaj¬ niške knjige. Iz dnevnika se morajo prepisati vsi postavki v glavno knjigo, zakaj v njem so zabeleženi le taki dogodki, ki provzročujejo dolg ali terjatev, in sicer pod „debet“ ali pod „credit“ dotičnega računa, kakor so v dnevniku zapisani pod „deb et“ ali pod „credit“. Iz blagajniške knjige pa se prepišejo v dotične račune glavne knjige le oni postavki, kateri so se prejeli (izdali) v ta namen, da se kaka terjatev (dolg) poplača ali deloma ali popolnoma. Tudi se prepisujejo tu postavki drugače, nego iz dnevnika. Dohodki so v blagajniški knjigi zapisani pod „debet“; a ker se morajo plače- valcu zapisati na korist, treba jih je postaviti v njegovem računu v glavni knjigi pod „credit“. Obratno pa je treba razhodke, kateri so v blagajniški knjigi zapisani pod „credit“, prejemniku zapisati v dolg, torej jih v njegov račun v glavni knjigi zapisati pod „debet“. Prepisujoč posamične postavke v dotični račun glavne knjige, zapiši na dotično stran: 1. datum, 2. stran dnevnika ali blagaj¬ niške knjige, na kateri je zapisan dotični postavek, 3. kratko pojas- 255 nilo, zakaj je postala ona oseba naš dolžnik ali upnik, in 4. znesek. — Vsakemu postavku je v glavni knjigi odločena posebna vrsta; vrste naj bodo druga od druge jednako oddaljene, da ne bode moči pozneje kaj zapisati mednje. V znamenje, da si postavek prepisal v glavno knjigo, zapiši v tako zvani kazalni razpredelek (Bezugscolonne) dnevnika ali blagajniške knjige pred prepisani postavek število folija glavne knjige. § 12. Ako treba glavno knjigo skleniti koncem katerekoli dobe, seštejejo se zneski vsakega računa pod „debet“ in pod „credit“, potem pa se manjša vsota odšteje od večje; razliko imenujemo saldo. Ako je vsota vseh posamičnih zneskov pod „debet“ večja od vsote pod „credit“, ondaj nam je oseba, za katero velja račun, več dolžna nego ima od nas terjati; ona je tedaj res naš dolžnik, in saldo kaže, koliko nam je dolžna, Ako pa je pod „credit“ večja vsota nego pod „debet“, ondaj ima oseba več od nas terjati, nego nam je dolžna, in saldo kaže, koliko ima sploh od nas terjati. Ako se zapiše saldo na ono stran, kjer se je dobila manjša vsota, tedaj se obe vsoti izjednačita. Pod tema jednakima vsotama se potem potegnejo sklepovne črte, prazni prostor pa se preseče s prečno črto. Ako je na vsaki strani le po jeden postavek tudi potem, ko se je saldo zapisal, treba le potegniti črte sklepovnice. Ker se zapisuje saldo le zaradi tega na ono stran, kjer je manjša vsota, da se obe vsoti izjednačita, zato je treba, da se spozna pravi prejšnji račun, isti saldo v novem računu zapisati na nasprotno stran. Ker se je postavil saldo jedenkrat pod „debet“, drugikrat pa pod „credit“, izpremenil se ni račun prav nič; a doseglo se je to, da je prejšnji račun poravnan, in da izraža saldo, prepisan v novi račun, resultat prejšnjega računa. V pojasnilo so sestavljeni tu-le trije računi glavne knjige. 256 Glavna 1 Debet J. Bizjak 3 Debet G. Jaklič 5 Debet F. Tomec 257 knjiga. tukaj Credit 1895 1. Julija 30. 31. D. 2. B. 1. Za s roj akcept . . . „ svoje gotovo plačilo „ saldo na novi račun 3 V Postojini. Cred;t 5 Y Trstu Credit Močnik. Aritmetika. 17 258 2. O pomožnih in postranskih knjigah. O pismovnem prepisniku. § 13. Knjigo, v katero se prepisujejo trgovska pisma, katera piše trgovec svojim trgovskim prijateljem, zovemo pismovni pre- pisnik. V pismovnem prepisniku se zaznamujejo strani z zaporedoma tekočimi števili. Pri vsakem prepisu se zapiše v prvo vrsto na levo kraj, kamor je pismo namenjeno, v sredo ime trgovskega prijatelja, kateremu smo pisali, in na desno datum. Potem se začne v drugi vrsti prepis pisma od besede do besede. Končni poklon se kot nebistvena reč izpušča. Pod prepis se potegne še prečnica. Pismovni prepisnik ima na koncu abecedni imenik vseh trgovcev, katerim so se odposlala pisma; v ta imenik treba precej, ko se je pismo prepisalo, zapisati stran, na kateri je prepis. O fakturni knjigi. § 14. V to knjigo se prepisujejo od vnanjih trgovcev prejete fakture od besede do besede; ob jednem se spodaj dostavlja voznina in drugi stroški, navadno tudi kalkulacija. Za blago, katero se kupi ali proda doma, ni treba posebne postranske knjige, ako so dotični računi natančno zabeleženi v dnevniku in blagajniški knjigi. O skontrovnih knjigah. § 15. Skontrovne knjige imenujemo one knjige, v katere se zapisuje prejem ali oddaja blaga, s katerim tržimo. V skontrovni knjigi ima vsako posamično blago poseben račun (konto). Vsak tak konto ima po dve nasprotni strani; na levi strani dobi nadpis „debet“ ali „prejem“, na desni „credif' ali ,,oddaj a“, v sredo pa se zapiše ime blaga. Vsak prejem se vknjiži z vsemi bistvenimi okoliščinami z zneskom vred na levo, vsaka oddaja prav tako na desno stran. Najvažnejše skontrovne knjige so te-le: 1. Blagovno-skontrovna knjiga ali blagovna knjiga. Iz blagovne knjige ni le vsak čas razvidno, kolika je zaloga, nego tudi, kdaj, kaj in po čem smo kupili ali prodali, od koga smo kupili ali komu smo prodali; blagovna knjiga naposled tudi kaže, koliko dobička ali izgube je bilo pri vsakterem blagu. 259 Vsakemu posamičnemu blagu se odmeni poseben račun in v tem se nahaja: 1. leto, mesec in dan, 2. prodajalčevo ali kupčevo ime, 3. mera in teža, 4. cena, 5. znesek. 2. Menično-skontrovna knjiga. V to knjigo se zapisujejo one menice, katere prejemamo, in katere se nam imajo ali ob dospetku izplačati ali s katerimi smemo ukreniti drugače. Pri vsaki menici treba povedati znesek in dospetek, kje in kdaj se je izdala, kdo je akceptant, po čegavem ukazu,, i. t. d. Kadar se menica izkupi ali proda, treba to zabeležiti v raz- predelku, za to odmenjenem, znesek in dospetek pa prečrtati. 3. Skontrovna knjiga za vrednostne papirje; vanjo se zapisujejo kupljeni in prodani vrednostni papirji. Vsake vrste vrednostni papir ima svoj račun, v katerem treba navesti pri vsakem postavku: 1. leto, mesec in dan, 2. prodajalčevo ali kupčevo ime, 3. število obligacije, 4. nominalno vrednost, 5. kurz, 6. znesek. Kdor trži z državnimi papirji le po malem, temu ni treba zato posebne skontrovne knjige, nego naj dotične račune zapiše kar v blagovno knjigo. § 16. Kadar hočemo v blagovni ali skontrovni knjigi za vred¬ nostne papirje skleniti račun, treba le zalogo, katero je izkazala inventura, s ceno in zneskom vred zapisati na stran oddaje, kakor bi se bilo blago res prodalo. Potem se seštejejo zneski na obeh straneh; vsota na levi strani kaže, koliko se je izdalo za prejeto blago; vsota na desni strani pa pove, koliko se je za prodano blago res izkupilo in koliko bi se še izkupilo za zalogo. Ako se jedna vsota odšteje od druge, kaže ostanek dobiček, ako je vsota na strani oddaje večja, v nasprotnem slučaju izgubo. Da se račun izjednači, postavi se ostanek kot dobiček na levo, kot izguba na desno stran. Potem se potegnejo pod vsotami tež (mer) in zneskov, katere vsote morajo biti na levi in desni strani jednake, sklepovne črte. Naposled se postavi še zaloga s ceno in zneskom vred na levo stran v novi račun. Menično-skontrovna knjiga ne potrebuje sklepa; zaloga se kar prepiše v novi račun. V pojasnilo bodi ta-le račun iz blagovne knjige. 17 * 260 Blagovna i Prejem Račun O O dospetni knjigi. § 17. Namen dospetni knjigi je ta, da trgovec iz nje vsak čas lahko razvidi, katere menice bode moral plačati in kdaj, za katere menice bode denar prejel in kdaj se bode to zgodilo; v prvem slučaju mora pripraviti potrebni denar, v drugem pa lahko določi že naprej, kaj bode počel s prejetim denarjem. V dospetni knjigi se odloči vsakemu mesecu po jeden folij; na levo stran se zapisujejo rimese, na desno trate. O odpravni ali spedieijski knjigi. § 18.'V to knjigo se zapisuje vse ono vozno blago, katero se pošilja dalje. knjiga. 261 l sladkorju. Oddaja. V odpravili knjigi sta odločeni vsakemu dogodku po dve na¬ sprotni strani; na levo se zapiše prejem voznega blaga, na desno njega odposlatev. Na levo stran se zapiše tedaj ime in bivališče onega, ki je blago izročil ali poslal, dan naznanila, ime voznika, ki je blago pripeljal, čas, v katerem se ima blago oddati, in voznina; ime in bivališče onega, kareremu je blago namenjeno, in kako se bodo plačali stroški, ali se namreč povzamejo ali pa zapišejo na pošiljateljev račun; naposled se dostavi dan, katerega se je blago prejelo in koliko je bilo stroškov ob prejemu in do odposlatve. Na desno stran se zapiše ime onega, komur se je poslalo blago, ime voznika, čas, v katerem mora blago oddati, in voznina, natančni popis voznega blaga in stroškovni račun; naposled se še dostavi, ali so se stroški povzeli, ali na čegav račun so se zapisali. 262 3. Kako je izkazati uspeh pri jednostavnem knjigovodstvu. § 19. Sklep glavne knjige kaže, koliko ima trgovec terjati in koliko je dolžan. Da dobimo uspeli vsega trgovanja, treba vse imetje popisati in temu še dodati terjatve in dolgove, kakor jih kažejo saldi glavne knjige. Iz tega je moči določiti končno čisto imetje. Primerjajoč to čisto imetje prvotnemu, zvemo, koliko dobička ali izgube je dala trgovina v tej dobi. . . . O resničnosti tako najdenega uspeha se prepričamo, ako, sklenivši skontrovne knjige, iz njih in iz dnevnika izpišemo ter skupaj sesta¬ vimo posamične dobičke in izgube. Ako potem vse dobičke in vse izgube seštejemo ter manjšo vsoto odštejemo od večje, mora se pokazati isti uspeh, kakor ga je izkazala inventura. —- X-- II. O jednostavnem obrtnem knjigovodstvu. 1. Za večje obrte. § 20. Pri večjih obrtili so knjige urejene prav tako kakor pri trgovskem knjigovodstvu in se tudi prav tako vodijo. Inventarna knjiga, dnevnik, blagajniška in glavna knjiga so tudi tu bistvene knjige; kot pomožne knjige pa nam rabijo: pismovni prepisnik, fakturna knjiga, materij alua knjiga (zapisnik neizdelanega tvoriva, Materi alienbuch). blagovna ali skladiška knjiga (Lagerbuch), naročilna knjiga (Bestellungsbuch), me¬ ni čn o- sk o utr ovna in d o sp e tu a knjiga. V inventarno knjigo se prepisujejo inventure (§ 8.) V dnevnik (§9.) se zapisujejo oni poslovni dogodki, ki se vrše na up, in sicer po redu. kakor prihajajo. V blagajniški knjigi (§ 10.) se zaračunavajo dohodki in razhodki v gotovini: prvi se vknjižujejo na levi, drugi na desni strani, in to vsak dan sproti; sklepajo pa se računi vsak mesec. Glede uredbe glavne knjige in vpis a vanj a. vanjo velja, kar smo povedali v §§ 11. in 12. Ako se v blagajniško knjigo in dnevnik natančno vpisujejo posamični poslovni dogodki, ondaj jih je treba v glavni knjigi omenjati le ob kratkem, zakaj v kazalnem razpredelku zapisana stran kaže, kje so natančno zabeleženi v onih knjigah. 263 Fakturne knjige je treba le tedaj, kadar obrtnik tvorivo naroča s tujih trgovišč in dobiva o njem račune. Pri večjih obrtih je treba posebnega zapisnika za neizde¬ lano tvorivo (materijalne knjige); na levo stran se zapisuje kup¬ ljeno, na desno v delavnico oddano tvorivo. Koristna je pri takih obrtih tudi skladiška Knjiga; urejena je nekamo tako kakor blagovna knjiga pri jednostavnem trgovskem knjigovodstvu. Na levo stran se zapiše vsako skladišču oddano, izvršeno delo z izdelno ceno vred; kadar pa se proda, zapiše se zopet na desno z dostavkom, za koliko se je prodalo. Naročena dela se zapisujejo v naročilno knjigo; le-tž. ima te-le razpredelke: 1. za datum naročila, 2. za ime in stanovanje naročnikovo, 3. za natančen popis naročenih stvarij in 4. za opazko, da se je naročilo izvršilo. Obrtnikom, ki imajo le po malem opraviti z menicami, ni treba menično-skontrovne knjige; menice, ki jim pridejo kdaj v roke, zabeležujejo lahko v dospetni knjigi. 2. Za manjše obrte. § 21. Trgovsko knjigovodstvo je moči uporabljati le pri večjih obrtih. Mali obrtnik nima časa za tako zamudno zapisavanje; on hoče iz svojih zapiskov le razvideti, kaj bistveno pospešuje njegov obrt. A misliti mu je vender tudi na to, da si zagotovi, če bi nastala pravda, s svojim knjigovodstvom važno dokazilo. Da veljajo po § 121. občnega sodnega reda rokodelcu knjige za pol dokaza, treba, da ima svoj dnevnik v redu; v tega mora natančno zapisavati vse, kar je dolžan in kar ima terjati, leto, dan in tudi osebe, za katere je naredil kako delo, ali katere so mu izgotovile kako delo. Da rokodelec ustreza tej zakoniti določbi in da vsak čas lahko pozve, koliko je vsega njegovega imetja, zato mu je treba najprej dnevnika, v katerega mora kratko in jasno zapisavati vse obrtne dogodke, bodisi da se vrše proti gotovemu plačilu ali na up, in to po redu, kakor se vrše. Obrtnik mora vse one poslovne dogodke, ki se vrše na up, iz dnevnika prepisati v naročniško knjigo (Kundenbuch) ter jih tu 264 urediti po osebah, in to zato, da vsak čas ve, kaj je vsaki posamični osebi dal na up ali koliko je sam od nje prejel na up. Dnevnik in naročniška knjiga sta bistveni knjigi vsakega malega obrtnika. Dnevnik dobi za nadpis mesec in leto, v njega posamične razpredelke pa se zapisuje: 1. Stran naročniške knjige, na katero so se prepisali iz dnev¬ nika oni poslovni dogodki, ki so se na up vršili. 2. Dan. 3. Poslovni dogodek z vsemi bistvenimi okoliščinami. Pri postav- kih, ki povzročujejo dolg ali terjatev, zapiše se najprej ime in bivališče osebe, kateri se je kaj dalo na up ali od katere se je kaj prejelo na up, in potem še-le poslovni dogodek. 4. Znesek. Le-ta se zapiše pri poslovnih dogodkih, ki se vrše proti gotovemu plačilu, pod „dohodke“ ali „razhodke“ četrtega (gotovinskega), pri onih na up pa pod „ debet* ali „credit“ petega (upnega) razpredel ka. Kadar se plača katerokoli na up prodano ali kupljeno blago, prečrta se znesek v upnem razpredelku ter dostavi, kdaj se je to zgodilo, potem pa se isti znesek zapiše v gotovinski razpredelek pod „dohodke" ali „razhodke“. Kadar je katera stran popisana, preneseta se vsoti dohodkov in razhodkov na nastopno stran. V naročniški knjigi ima vsak naročnik svoj račun; le-ta ima za nadpis naročnikovo ime in bivališče, v posamične razpredelke pa se zapisuje: 1. Datum. 2. Stran dnevnika, s katere se je dotični postavek prepisal semkaj. 3. Stvar, katera se je prodala ali kupila. 4. Znesek, kateri se zapiše pod „debet" ali pod „credit“. Ako se pošlje naročniku račun, treba to zabeležiti v naročniški knjigi. Iz naročniške knjige obrtnik koncem vsake dobe lahko izpiše svoje terjatve in dolgove. Da zve uspeh svojega obrta, treba mu je le prešteti gotovino (le-ta se mora ujemati z diferenco prejemkov in izdatkov, zabeleženih v dnevniku), določiti vrednost blagu in izdelkom, 265 ter sestaviti inventuro. Primerjajoč zadnjo inventuro prvotni, zve, koliko je imel v dotični dobi dobička ali izgube. Dobro je, ako ima mali obrtnik razven ravnokar omenjenih dveh bistvenih knjig tudi naročilno knjigo (§ 20.) in dospetno knjigo. V prvo naj zabeležuje naročena dela, v drugo pa naj zapiše k dotičnemu dnevu račune ali menice, za katere bode denar prejel ali katere bode moral plačati. Dospetno knjigo lahko nadomešča tudi pratika. -- III. Načrt jednomesečne trgovine kot vaja v prak¬ tični uporabi jednostavnega knjigovodstva. Jose/ Leban v Ljubljani si omisli za svojo trgovino na pod¬ lagi inventure dne 1. julija 1. 1895. nove knjige. Kakd je tekla trgovina meseca julija 1. 1895. Dne 1. julija. Kakor inventura izkazuje, imel sem aktivnega in pasivnega imetja: 1. Gotovine 3984 K. 2. Rimes: za 1440 K na A. Vičiča v dan 12. julija, „ 980 „ „ B. Kočevarja „ „ 15. julija, „ 2520 „ „ M. Pavliča „ „ 10. avgusta. 3. Blaga: 4. Blaga v prodajalnici: Kakor izkazuje prodajalniška inventura za 952 K. Terjatev 356 K, a od teh treba odbiti 3 '/o. 5. Premičnine in pohištva za 1920 K. 266 6. Terjatev: pri G. Lozarju v Kranju 1520 K „ F. Kosu v Loki 900 „ „ J. Golobu v Kamniku 1632 „ „ K. Končanu v Borovnici 420 „ „ M. Volku tukaj 540 „ 7. Trat: za 1348 K na ukaz S. Ceha v dan 9. julija, „ 1760 „ „ „ P. Novaka „ „ 15. julija, „ 1038 „ „ „ A. Kralja „ „ 25. avgusta. 8. Dolgov: A. Pasiniju v Trstu 1700 K N. Finku v Brnu 1452 „ K. Bregarju tukaj 1070 „ Za domače potrebe sem dal 360 K, trgovskim pomočnikom 240 K. Prodajalnica je iztržila 190 K. Dne 3. julija. Prodajalnici sem dal za prodajo na drobno: 150 kg Java-kave po 356, 300 kg Eio-kave po 328, G Lozar v Kranju je poslal 600 E v gotovini in rimeso za 820 K na M. Turka v dan 10. julija, na up pa je prejel: 200 kg Java-kave po 360, 350 kg Rio-kave po 336, 150 „ sladkorja „ 94, 500 „ sladkorja „ 86. Stroškov za zaboje i. t. d. sem računil 37 K. Prodajalnica je iztržila 162 K. Dne 4. julija. Izplačal sem trato za 1348 K na ukaz 8. Ceha v dan 9. julija s 6^ diskonta. Kupil sem od K. Bregarja tukaj proti svojemu akceptu v dan 20. julija 663 kg sladkorja po 80. Prodajalnica je iztržila 134 K. Dne 5. julija. S. Kosu v Loki sem poslal na njegovo naročilo: 120 kg Java-kave po 360, 100 kg sladkorja po 94, 350 „ sladkorja „ 86, 50 „ zabel, olja „ 164. Prodajalnica je iztržila 204 K. 267 Dne 6. julija. Prejel sem od K Goloba v Kamniku 1200 K v gotovini ter mu prodal na up: 100% Java-kave po 360, 100 % sladkorja po 94, 200 „ sladkorja „ 86, 100 „ riža „ 50. Prodajalnica je iztržila 162 K. Dne 7. julija. Kupil sem menico za 1600 K na J. Kluna v Trstu v dan 31. julija s ()% diskonta ter jo poslal A. Pasiniju v Trst. Prodajalnica je iztržila 156 K. Dne 8. julija. Prejel sem po naročilu od N. Finka v Brnu na up: 1 sod sladkorja, nečiste teže 435%, tare 24%, po 86 3 sode „ „ „ 1336 „ „ 73 „ „ 78 ter plačal za voznino in druge stroške 33 K 48 h. Prodajalnica je iztržila 186 K. Dne 10. julija. Vd rimeso na M. Turka sem prejel 820 K. Prodal sem J. Končanu v Borovnici: 200 % Rio-kave po 336 in 300 kg sladkorja po 86. Prodajalnica je iztržila 176 K. Dne 11. julija. M. Volk tukaj mi je plačal v gotovini 500 K ter prejel: 100 kg sladkorja po 94 in 200 kg sladkorja po 86. Kupil sem menico za 2000 K na A. Simona v Brnu v dan 10. avgusta ter jo poslal N. Finku v Brn. Prodajalnica je iztržila 160 K. Dne 12. julija. A. Pasini v Trstu mi je poslal na moje naročilo fakturo o Stroškov je računil 36 K 92 h, zaves znesek pa potegnil name menico po naredbi G. Funteka v dan 12. septembra. Za rimeso na A. Vičiča sem prejel 1440 K. Prodajalnica je iztržila 224 K. 268 Dne 13. julija. Prodal sem B. Sirku tukaj proti njega jedno- mesečnemu akceptu: 200 kg Java-kave po 360, 200 kg sladkorja po 94, 100 „ zabel, olja „ 164, 50 „ grozdjiča „ 54. Prodajalnica je iztržila 148 K. - Dne 14. julij a. Kupil sem od J. Perdana tukaj proti gotovemu plačilu: 350 kg riža po 46. Prodajalnica je iztržila 140 K. Dne 15. julija. Za riineso na B Kočevarja se mi je izplačalo 980 K. Izplačal sem 1760 K za danes izplačno trato na ukaz P. Novaka. Prodajalnica je iztržila 190 K. Dne 17. j ulij a. Dobil sem gori naznanjeno blago od A. Pasinija v Trstu ter plačal za voznino in druge stroške 258 K 44 k. Prodajalnica je iztržila 156 K. Dne 18. julija. Dal sem prodajalnici za prodajo na drobno: 100 kg Java-kave po 356, 420 kg Rio-kave po 328, 150 ,, sladkorja „ 92, 500 „ sladkorja „ 84, 150 „ zabel, olja „ 148, 100 „ grozdjiča „ 48, 200 „ riža „ 48. Prodajalnica je iztržila 182 K. Dne 19. julija. F. Kos v Loki je poslal riineso za 1500 K na A. Kuglerja v Brnu v dan 20. avgusta ter prejel na up: 200 kg Rio-kave po 336, 250 kg sladkorja po 86, 100 „ zabel, olja „ 164, 100 „ grozdjiča „ 54. Prodajalnica je iztržila '170 K. Dne 20. julija. Izplačal sem za svoj danes dospeli akcept 530 K 40 h. Prodajalnica je iztržila 156 K. Dne 21. julija. Prejel sem od N. Finka v Brnu: 1 sod sladkorja, neč. teže 412 kg, tare 23 kg, po 88, 2 soda „ „ „ 883 „ „ 47 „ „ 78. ter mu poslal rimeso za 1500 K na A. Kuglerja v Brnu v dan 20. avgusta. Stroškov sem plačal ob prejemu blaga 24 K 50 li. Prodajalnica je iztržila 166 K. 269 Dne 22. julija. Plačal sem K. Bregarju tukaj 1000 K v goto¬ vini ter prejel: 200 kg sladkorja po 88, 500 kg sladkoija po 80. Prodajalniea je iztržila 196 K. Dne 24. julija. J. Končan v Borovnici je poslal 900 K v gotovini. Prodajalniea je iztržila 172 K. Dne 25. julija. Prodal sem M. Volku tukaj na up: 100% sladkorja po 94 in 200% sladkorja po 88. Prodajalniea je iztržila 174 K. Dne 26. julija. Prodal sem J. Kovaču tukaj proti gotovemu plačilu: 50% Java-kave po 356, 100% zabelil, olja po 148, 100 „ riža „ 48, 50 „ grozdjiča „ 54. Prodajalniea je iztržila 232 K. Dne 27. j ulij a. Izplačal sem trato za 1038 K na ukaz A. Kralja, izplačno dne 25. avgusta, s 6^ diskonta. Prodajalniea je iztržila 168 K. Dne 28. j ulij a. A. Pasini v Trstu mi je poslal na moje naročilo na up: 2 soda Java-kave, neč. teže 478%, tare 39%, po 320, 3 sode Rio-kave, „ „ 725 „ „ 51 „ „ 272. Za voznino in druge stroške sem plačal 155 K 82 li. Prodajalniea je iztržila 186 K. Dne 29. julija. G. Lozar v Kranju mi je poslal 100 ces. zlatnikov, katere sem na njegov račun po 10 K 56 h prodal; senzarije sem plačal \°/o. Prodajalniea je iztržila 266 K. Dne 30. julija. V prodajalnici je bilo meseca julija 56 K stroškov; danes pa je iztržila 196 K ter izkazuje: Blaga za 1078 K. Dolgov 410 K, od teh treba 3 % odbiti. Dne 31. j ulij a se sklenejo knjige in sestavi inventura. Recimo, da se ujema ostanek v blagajnici s saldom blagajniške knjige in da je v zalogi toliko blaga, kolikor ga izkazuje blagovnik. Premičnina in pohištvo naj se postavita v račun po prvotni vrednosti z 1^ odbitka. a) Koliko je sedanje aktivno, pasivno in čisto imetje? b) Kolik je uspeh jednomesečne trgovine? 270 Kazalo. Stran Uvod. 1 Prvi oddelek. Četvero osnovnih računov s posebnimi in občnimi celimi števili. 4 I. O dekadnem številnem sistemu.— II. Seštevanje. 6 III. Odštevanje.11 IV. Množenje.28 V. Deljenje.40 VI. O deljivosti števil, o najveeji skupni meri in o najmanjšem skupnem mnogokratniku.51 VII. Naloge v ponavljanje . . ..• . . 62 Drugi oddelek. Četvero osnovnih računov z ulomljenimi števili 65 I. Navadni ulomki.66 II. Decimalni ulomki.79 III. Naloge v ponavljanje.92 Tretji oddelek. Jednačbe prve stopinje z jedno neznanko ... 95 I. Kazreševanje jednačeb prve stopinje z jedno neznanko .... 96 II. Uporaba jednačeb. 100 III. Naloge v ponavljanje. 107 Četrti oddelek. Razmerja in sorazmerja.110 I. Razmerja.— II. Sorazmerja.112 III. Uporaba sorazmerij.118 IV. Naloge v ponavljanje.125 Peti oddelek. O potencah in korenih.127 I. O potencah. II. O korenih.138 III. Naloge v ponavljanje. 156 Stran Sesti oddelek. O najvažnejših gospodarskih in trgovskih računih 159 I. 0 procentnem računu.— II. O obrestnem računu.170 1. O jednostavnem obrestnem računu .— 2. O diskontnem računu.176 3. O rokovnem račuru.178 4. Obrestnoobrestnem računu.181 III. O družbenem računu.187 IV, O zmesnem računu.191 V. O verižnem računu.194 VI. O novčnem računu.196 VIL O meničnem računu.205 VIII. Kakd je izračunavati državne papige in akcije.216 IX. Haloge v ponavljanje. 220 Sedmi oddelek. O jednačbah prve stopinje z več neznankami . 224 I. Kakd je razreševati jednačbe z dvema neznankama.— II. Kakd je razreševati jednačbe s tremi ali več neznankami . . . 228 III. Kakd je uporabljati jednačbe z več neznankami v razreševanje nalog 232 IV. Naloge v ponavljanje. 238 Dodatek. O jednostavnem knjigovodstvu.243 Občna pojasnila.— I. O jednostavnem trgovskem knjigovodstvu.247 II. O jednostavnem obrtnem knjigovodstvu.262 III. Načrt jednomesečne trgovine kot vaj a v praktični uporabi jedno- stavnega knjigovodstva.265 Natisnil Karol Gorišek na Dunaja. NARODNA IN UNIVERZITETNA KNJIŽNICA «■1 m II lllllll NINI lili IIIIIIII 00000492089 Ičnikova knjiga posebne in občne TMETIKE za učiteljišča. v Po četrti nemški od ■Lj J -'n Behackerja, 'učiteljišča v Libercah, 'renski prevod. Močnikova knjiga posebne in občne ARITMETIKE za učiteljišča. Po četrti nemški od Anton. Behackerja, c. kr. ravnatelja na učiteljišču v Libercah, predelani izdaji urejeni slovenski prevod. Velja v platnu vezana 2 K 60 li. -■——*- Na Dunaju. ■'«, V cesarski kraljevski zalogi šolskih knjig. 1895. 1 U v o d. § 1. Karkoli je sestavljeno iz istovrstnih delov, ali kar si vsaj moremo misliti sestavljeno iz istovrstnih delov, imenujemo količino (Grofie). Vsaka količina se da povečati, ako ji pridenemo še nove dele, ali zmanjšati, ako od nje odvzamemo jeden ali več delov. Znanstvo o količinah imenujemo matematiko (Mathematik). Ako hočemo natančno dognati, kolika je kaka reč, moremo to storiti le tako, da jo primerjamo z drugo istovrstno rečjo, kateri smo veličino natančno določili in s katero primerjamo potem sploh vse istovrstne reči. Tako določeno množino kake reči imenujemo jednoto (Einheit). Kar ima jednoto večkrat v sebi, imenuje se množina (Vielheit). Izraz, kateri pove, kolikokrat ima množina v sebi jednoto, zovemo število (Zakl). Oni del matematike, kateri se peča s števili, imenujemo arit¬ metiko ali računstvo (Arithmetik). § 2. Tvoreč števila začenjamo z jednoto. Ako pridenemo jednoti še jedno jednoto, številu, tako dobljenemu, zopet jednoto, in tako dalje, dobimo vrsto naravnih števil (naturliche Zahlen). Jednoto samo in tudi vsako število, katero smo dobili dodajoč jednoto, imenujemo celo število (ganze Zakl). Ako hočemo povedati, da še niti jednote ni, rabimo izraz ničla (Nuli, 0). Ker nastane'število še le takrat, ako vzamemo jednoto vsaj jedenkrat, tedaj je ničla pri¬ četek vsaki tvorbi števil. Iz danih števil s pomočjo določenih izprememb druga števila iskati, pravi se računi ti (recknen). Število, katero računajoč dobimo, imenuj emo-r e suit at ali znesek računa (Besultat). § 3. Ako štejoč ne jemljemo v poštev, kakšna je jednota, imenujemo dobljena števila neimenovana ali brezimenska števila (unbenannte Zaklen)\ ako pa gledamo tudi na to, kakšna je M o Č n i k. Arithmetik. 1