Bojan Kuzma ZBIRKA IZPITNIH NALOG IZ VERJETNOSTI Urednica zbirke: Petruša Miholič (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 9) Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, Univerza na Primorskem Primorski inštitut za naravosloven in tehnične vede Koper Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije UNIVERZA NA PRIMORSKEM UNtVERSITA DEL LITORALE UNIVERSITY OF PRIMORSKA Titov trg 4, SI - 6000 Koper Tel.: + 386 5 611 75 00 Fax.: + 386 5 611 75 30 E-mail: info@upr.si h tt p :l/www. u p r. s i © TeMeNa, 2009 Vse pravice pridržane Koper, 2009 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 519.2(075.8)(079.1)(0.034.2) KUZMA, Bojan Zbirka izpitnih nalog iz verjetnosti [Elektronski vir] / Bojan Kuzma. - El. knjiga. - Koper : Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, 2009. - (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike ; št. 9) Način dostopa (URL): http://temena.famnit.upr.si/files/files/zv_9_DS.pdf ISBN 978-961-92689-8-8 246644992 Zbirka izpitnih nalog iz verjetnosti Bojan Kuzma Koper, 2009 Kazalo 1 Predgovor 3 2 Kolokviji 4 3 Pisni izpiti 16 1 Predgovor Zaradi stalnih in ponavljajočih se Zelja slušateljev po primerkih starih izpitnih vprašanj sem se odločil izdati zbirko vseh kolokvijev in izpitov pri predmetih kjer sem svojčas sam vodil vaje. Pričujoča zbirka obravnava teme iz verjetnosti. Zbirka je nastajala skozi več let, ko sem vodil vaje na Univerzi v Mariboru iz predmetov Verjetnost ter Verjetnostni račun in statistika. Zato kaksne od nalog vsebujejo tudi vprasanja iz Statistike. Kljub temu sem se odločil, da bom tudi taksne izpite obdrzal v tej zbirki, kajti večina vprasanj na njih se vedno sodi v področje verjetnosti. Na tem mestu bi rad dodal, da naloge niso moje. Večinoma sem jih črpal iz znanih zbirk nalog kot so (i) M. Usčumlič, P. Miličič: Zbirka zadataka iz vise matematike 1. Beograd. Naučna knjiga, 1984. (ii) B. G. Sergeevič, B. P. Demidovič (prevajaleč I. Uremovič): Zadači i rijeseni primjeri iz vise matematike s primjenom na tehničke nauke. Zagreb. Tehnička knjiga, 1978. (iii) M. Dobovisek, M. Hladnik, M. Omladič: Resene naloge iz analize I. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, 1972. (iv) V. Batagelj: Diskretne strukture. 1 - naloge. Ljubljana, IMFM FNT, Oddelek za matematiko, 1979. (v) M. Dobovisek, B. Magajna: Naloge iz algebre 1. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, 1984. (v) M. Kolar, B. Zgrablič: Več kot nobena, a manj kot tisoč in ena resena naloga iz linearne algebre. Ljubljana, Pedagoska fakulteta, 1996. Tu in tam pa se najde tudi kaksna izvirna naloga. Glede na raznovrstnost snovi sem bil dolgo časa v dilemi, v katerem vrstnem redu naj zbirko uredim. Odločil sem se za kronoloski razpored. Naj na konču zazelim obilo veselja pri resevanju. 2 Kolokviji 1. Slučajni spremenljivki X in Y sta porazdeljeni z gostoto fCxy(x + y); (x,y) G [0,1] x [0,1] [0; sicer Izračunaj C in preveri, če sta X in Y neodvisni. 2. Slučajni spremenljivki ( in £ sta neodvisni in porazdeljeni z gostoto p(*):=r;-X< 0 (a> 0). Poišči gostoto slučajne spremenljivke X := |! 3. Izračunaj vse začetne in centralne momente spremenljivke £ iz prejsnje naloge. 4. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N (a, a) z neznanima parametroma a in a. Zanjo imamo slučajni vzoreč 3, 2 3, 0 3, 4 3, 1 3, 1 3, 0 3, 3 2, 9 2, 9 3, 2 Preizkusi z njim hipotezo H0(a = 3, 2) in hipotezoHi(a = 0,18)! 1. Iz skatle, ki vsebuje b belih, c črnih in a rdečih kroglič povlečemo vsakič po eno krogličo. Izračunaj verjetnost, da bomo potegnili belo krogličo pred črno, če krogliče vsaki č vrnemo nazaj v skatlo. 2. Na neskon čno sahovsko tablo s kvadratki dol zine a je padel kovaneč premera 2r < a. Izra č unaj verjetnost, da (a) čelotni kovaneč le zi znotraj enega kvadratka. (b) čelotni kovaneč le zi znotraj dveh kvadratov. 3. Tristan in Izolda igrata igro do popolnega poraza enega izmed njiju. Na začetku ima Tristan dvoje jabolk, Izolda pa tri. V vsakem koraku dobi Tristan od Izolde eno jabolko z verjetnostjo p, Izolda pa pravtako eno jabolko od Tristana z verjetnostjo q := 1 — p. Izračunaj verjetnost, da zmaga Izolda. 4. Delaveč v tovarni oskrbuje s tiri stroje, ki stojijo enakomerno nanizani v ravni vrsti z medsebojno razdaljo d. V dani časovni enoti mora delaveč oskrbeti ž-ti stroj z verjetnostjo pi := pri tem gre iz stroja, ki ga je ravnokar oskrbel direktno k i-temu stroju. Poisči povprečno dolzino poti, ki jo mora opraviti nas delaveč! 1. Slučajni vektor (X, Y) je enakomerno razporejen znotraj območja, ki ga omejuje krivulja |x| + |y| = 1. (a) Ali sta slučajni spremenljivki X in Y nekorelirani? (b) Ali sta neodvisni? 2. Slučajni spremenljivki X in Y sta neodvisni; prva je porazdeljena normalno s parametroma a in a, druga pa enakomerno na intervalu [—n, n]. Naj bo T := X sin Y. Dokazi, da je gostota pT slučajne spremenljivke T podana s formulo 1 Z*71" g 2 a > |)? 3. Slučajna spremenljivka X ima gostoto porazdelitve | x — a | p(x) := Ae s— [a > 0). Določi konstanto A, matemati čno upanje in disperzijo. 4. Diskretna slučajna spremenljivka X ima rodovno funkčijo podano z G(t) := 1 3- 2t Izra čunaj njeno matemati čno upanje, disperzijo in verjetnost, da za-vzeme vrednosti na intervalu (3, 6]. KOLOKVIJ IZ VERJETNOSTI 4.12.1997 1. Dva igralca eden za drugim meceta obtežen kovanec; grb pade z verjetnostjo p. Igralec, ki je vrgel grb, dobi toCko, drugaCe pa ne dobi ni Cesar. Zmaga tisti, ki prvi zbere n tock vec od drugega. Kolika je verjetnost, da zmaga igralec, ki je bil drugi na vrsti? 2. Palico dolzine l prelomimo na dva dela. Nato si z verjetnostjo p izberemo krajši in z verjetnostjo q =1 — p dalj si del. Doloci gostoto porazdelitve dolzine izbranega dela, ce je tocka preloma palice enakomerno porazdeljena po celi palici. 3. Na daljici dolzine a nakljucno razporedimo dve tocki. Kolika je verjetnost, da bo razdalja med njima vecja od vsote razdalj posamezne tocke do najblizjega oglisca. 4. Poisci disperzijo Pascalove slucajne spremenljivke, ki zavzame vrednosti m, m + 1,... z verjetnostmi pk := (^-1)pmqk-m. (Nasvet: Najprej preveri, da je G(t) := (1 — qt)-m rodovna funkcija te porazdelitve.) KOLOKVIJ IZ OSNOV VERJETNOSTI 4.12.1997 1. Med petnajstimi zarničami jih je pet pokvarjenih. Na slepo srečo si izberemo tri. Izračunaj verjetnost, da (a) Nismo izbrali nobene pokvarjene. (b) Smo izbrali natanko eno pokvarjeno. (č) Smo izbrali vsaj eno pokvarjeno. 2. Na neki univerzi je 60% vseh studentov zenskega spola. Na grad-benistvo je vpisanih 18% vseh studentk in 24% vseh studenov moskega spola. Ce na slepo izberemo studenta, za katerega ugotovimo, da studira gradbeni stvo, poi s či verjetnost, daje zenskega spola. 3. Med petimi ključi nam le dva odpreta ključavničo. Kolikokrat pov-pre čno moramo seči v z ep, da vstopimo skozi vrata, če (a) ključ vsaki č vrnemo? (b) ga ne vrač amo? 4. Izra čunaj verjetnost, da je razlika dveh pozitivnih realnih stevil manj sa od njunega produkta. (Stevili sta manj si od ena). 16.1.1998 1. Dve po s teni kočki vrz emo dvakrat zapored. Naj slu č ajna spremenljivka X meri stevilo padlih sedmič na obeh kočkah, spremenljivka Y pa naj meri stevilo padlih dvojk na prvi kočki. (a) Ali sta X in Y neodvisni? (b) Izračunaj kovariančo Cov(X, Y) in korelačijo r(X, Y) 2. Slu čajna spremenljivka X je porazdeljena zvezno in enakomerno na intervalu [—a, a]. Bodi Nari si porazdelitveno funkčijo Y in izračunaj njeno matemati čno upanje. 3. 48 zdravnikov je odgovarjalo na vprasanje "ali je potrebno pri neki bolezni pačientom dajati tudi aspirin?" Pri tem jih je 26 odgovorilo z DA, 12 jih je odgovorilo NE, preostali pa odgovora niso vedeli. Preveri na stopnji značilnosti a =1% hipotezo, da so odgovori dani povsem naključno; da je torej verjetnost vsakega odgovora enaka. 4. Rodovna funkčija sluč ajne spremenljivke X je podana z enačbo i/2; X < —a/2 Y := 2; X > a/2 X; sičer (t) : 2 + 5t2 log 2 - 5t2 log (2 - t) (2 + 5 log 2) Poi s či E(X), D(X) ter P [X > 1]. 2. KOLOKVIJ IZ VERJETNOSTNEGA RACUNA IN STATISTIKE 3.2.1998 1. Slučajni vektor (X, Y) je enakomerno porazdeljen znotraj kroga polmera r s sredi s čem v koordinatnem izhodi s ču. Poi s či povprečno vrednost ter disperzijo dolzine vektorja (X, Y)! 2. Za slučajni spremenljivki X in Y vemo, da je E(X) = -1, E(Y) = 2, poleg tega pa je D(X) = 1, D(Y) = 25 in E(XY) = a. Poi s č i vsa mozna stevila a, in pokazi, da lezijo v nekem zaprtem intervalu. Ce je a =1, ali lahko poi s če s taki stevili a in b, da bo Cov(X, aX + bY) = 0; Ce lahko, kaksni sta tedaj matematični upanje in disperzija spremenljivke V := aX + bY? 3. Pokaz i, daje /(x,y) := < (4-2 .r—2 y+x y) (l+.r+;H-.r y)2 . ^ ^ ^ 0; x < -1 V y < -1 (2 - y) (2 + 2 y)2; x> 1 g(x); sičer porazdelitvena funkčija sluč ajnega vektorja (X, Y) pri primerno izbrani konstantni A in funkčiji g. Izra č unaj A in g ter P[XY > 0]. 4. Gostota verjetnosti slučajne spremenljivke X je n c2 + x2 Po njenem dvakratnem realiziranju smo dobili vrednosti (xi, x2). Očeni parameter c po metodi maksimalne zanesljivosti (za vzorče dol z ine 2). Nato dobljeno čenilko popravi, da bo postala nepristranska. KOLOKVIJ IZ VERJETNOSTNEGA RACUNA IN STATISTIKE 5.5.1998 1. Naj bodo slucajne spremenljivke X, X2,... neodvisne, in Xn porazdeljena enakomerno na intervalu [n, n2 + 2n]. Ali porazdelitvene funkcije slucajnih spremenljivk _ Xn - n 1 n • o n2 konvergirajo sibko k porazdelitveni funkciji neke slucajne spremenljivke Y? Ce je odgovor pritrdilen, doloci Y. 2. Slucajni vektor (X, Y) je porazdeljen enakomerno na zgornji polovici kroga s srediscem v tocki T(1, 0) in polmera r = 1. Izracunaj regre-sijo E(Y/X), in povej, katero znano krivuljo dobis. 3. Poisci gostoto verjetnosti karakteristicne funkcije 1 — |t|; —1 < t < 1 f (t) := 0; sicer 4. Delec se v enakomernih casovnih presledkih giblje po ogliscih mreze, prikazane na spodnji sliki; pri tem se z isto verjetnostjo pomakne na katerokoli sosedno oglisce. Zapisi prehodno matriko ustrezne Mar-kovske verige, klasificiraj stanja in poisci stacionarno porazdelitev. 3 Pisni izpiti IZPIT IZ VERJETNOSTI 13.4.1994 1. Na intervalu (0,a); a > 0 sluč ajno izberemo točko. Dolo či kovariančo med dol z ino kraj s ega in dolz ino dalj s ega nastalega odseka ! 2. Slučajna spremenljivka ima rodovno funkčijo G(t) := 6t2(t — 3)-1(t — 4)-1. Izra čunaj porazdelitveni zakon zanjo! 3. Slučajni vektor (X, Y) je porazdeljen enakomerno na obmo čju D, ki ga omejujeta krivulji (a) y = 2 — 2x — x2 in (b) y = x — 1. Izra čunaj regresijsko krivuljo E(Y/X)! 4. Slu čajno spremenljivka X je porazdeljena enakomerno na intervalu (a, b), kjer sta a < b neznana parametra. (i) Očeni parametra a in b po obeh metodah! (ii) Neznano slu čajno spremenljivko Z smo realizirali 1000 krat in dobili naslednje rezultate: Na stopnji zna čilnosti a = 0, 01 preizkusi interval frekvenca [-100,-1) 10 [-1,1) 100 [1,10) 100 [10,15) 150 [15, 30) 20 [30, 40) 190 [40, 50) 90 [50,55) 100 [55,60) 200 [60,100] 40 hipotezo, da je Z porazdeljena enako kot X! IZPIT IZ VERJETNOSTI 21.2.1995 1. Naj bo X diskretna slu čajna spremenljivka, ki zavzame le pozitivne čelo s tevilske vrednosti, in f njena rodovna funkčija. • Dolo č i rodovno funkčijo za slu č ajno spremenljivko Y := 4X + 1! • Pokaz i, da Y in X nista neodvisni! • V primeru, ko je rodovna funkčija spremenljivke X podana z f( \ 2z 3 — z izra čunaj s e E (Y) in D(Y)! 2. Na intervalu [0, b] slu č ajno izberemo to čko, ki [0, b] razdeli na dva dela. Naj slu čajna spremenljivka X meri dol zino kraj sega, slu čajna spremenljivka Y pa dol zino dalj sega od dobljenih delov. Izra čunaj pogojno matemati čno upanje E(X/Y). 3. Na kro zničo polmera 1 slu čajno in neodvisno nanesemo tri to čke (porazdelitev za vsako to čko je enakomerna). Izračunaj verjetnost, da sta poljubni dve točki oddaljeni za manj kot 4. Igralno kočko smo vrgli 1000-krat. Rezultate metov smo si zapisali v naslednjo tabelo: Ali lahko trdimo, da kočka ni po s tena? cifra frekvenca 1 50 2 155 3 221 4 128 5 271 6 175 (Nasvet: test x2.) 5. Klasificirajte stanja homogene markovske verige z matriko prehodnih verjetnosti P v odvisnosti od parametra p G [0, 1]! Oznaka: q = 1 — p. 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 p 0 q 0 0 0 1 0 21.2.1995 1. Naj bo X diskretna sluCajna spremenljivka, ki zavzame le pozitivne celostevilske vrednosti, in f njena rodovna funkcija. • DoloCi rodovno funkcijo za sluCajno spremenljivko Y := 5X + 1! • Preveri, Ce sta Y in X neodvisni. • V primeru, ko je rodovna funkcija spremenljivke X podana z f( \ 2z 3 — z izra Cunaj s e E (Y) in D(Y)! 2. Na intervalu [0, b] slu C ajno izberemo to Cko, ki [0, b] razdeli na dva dela. Naj sluCajna spremenljivka X meri dolzino kraj sega, sluCajna spremenljivka Y pa dolz ino dalj sega od dobljenih delov. IzraCunaj pogojno matemati Cno upanje E(X/Y). 3. SluCajni spremenljivki X in Y sta neodvisni in enakomerno porazdeljeni na intervalu [0,1]. IzraCunaj porazdelitev sluCajne spremenljivke T := V—2 ln Y cos(27rX). (Nasvet: Najprej dokaz i, da je gostota sluC ajne spremenljivke T enaka rl/i + i r1 t i -e 2 dx + / ——--e 2 coscix_ J0 cos2(2nx) J3/4 cos2(2nx) Nato v dobljena integrala vstavi novo spremenljivko u := tan(2nx).) 4. Igralno kocko smo vrgli 1000-krat. Rezultate metov smo si zapisali v naslednjo tabelo: cifra frekvenca 1 60 2 145 3 221 4 128 5 271 6 175 Ali lahko trdimo, da kocka ni postena? (Nasvet: test x2.) 18.4.1995 1. Za dogodka A in B (ne nujno disjunktna) velja sledeče: P [A] = 2P [B] P[A\B] = 3P[A{B\ P [A U B] = r Izračunaj P [A]. Pri katerih r je naloga smiselna ? 2. Slučajne spremenljivke X1, X2 in M so neodvisne; prvi dve sta porazdeljeni z gostoto Določi porazdelitev slučajne spremenljivke S := i=1 Xj, in izračunaj njeno matemati čno upanje! 3. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena z gostoto p(x) := Ae-|x| (x G R). Dolo či neznan parameter A, poi s či karakteristi čno funkčijo in dolo či vse za četne momente ! 4. Prehodna matrika homogene Markovske verige je p(x) : 0; x < 0 e-x; x > 0 M pa je diskretna in porazdeljena po 010 010 111 - 2 4 4 - Klasifičiraj njena stanja in določi stačionarno porazdelitev ! 31.8.1995 1. Palico dolzine a nakljucno prelomimo na 2. mestih. Slucajna spremenljivka X meri najkraj sega, Y pa najdalj sega izmed tako dobljenih odsekov. (a) Ali sta neodvisni? (b) Izracunaj njuno kovarianco! 2. Ali ima lahko slucajna spremenljivka rodovno funkcijo oblike F (t) := e1 — a sin(t) za kaksen a G R? Odgovor utemelji! (Nasvet: najlazje bo slo s Taylorjevo vrsto ) 3. Slucajni vektor (X, Y) ima gostoto Doloci konstanto C, nato se izracunaj regresijski krivulji E(Y/X) oziroma E(X/Y)! 4. Slucajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N (a, a) z neznanima parametroma a in a. Zanjo imamo slucajni vzorec 3, 2 3, 0 3, 4 3, 1 3, 1 3, 0 3, 3 2, 9 2, 9 3, 2 Preizkusi z njim hipotezo H0(a = 3, 2) in hipotezo H\(a = 0,18)! 0 < x,y < 1, x + y < 1 drugod 1. Na kro zničo polmera 1 slu čajno in neodvisno nanesemo tri to čke (porazdelitev za vsako to čko je enakomerna). Izra čunaj verjetnost, da sta poljubni dve to čki oddaljeni za manj kot 1! (Nasvet: resi nalogo najprej za dve točki) 2. Neodvisni slu čajni spremenljivki X in Y sta enako porazdeljeni z gostoto verjetnosti Koliksna je gostota verjetnosti slučajne spremenljivke T := X — Y? Izra čunaj s e E (T) in D (T)! 3. Dana je slu čajna spremenljivka X, ki ima gostoto porazdelitve Določi njeno karakteristi čno funkčijo, vse začetne momente ter disperzijo! 4. Igralno kočko smo vrgli 1000-krat. Rezultate metov smo si zapisali v naslednjo tabelo: Ali lahko trdimo, da kočka ni postena? cifra frekvenca 1 51 2 160 3 221 4 128 5 270 6 170 (Nasvet: test x2.) IZPIT IZ VERJETNOSTI 2.7.1996 1. Na robu kvadrata K, z ogli s c i v tockah Ti(1, —1), T2(1,1), T3(—1,1), T4(—1, —1) si slucajno izberemo tocko. Naj slucajna spremenljivka X meri razdaljo te tocke od koordinatnega izhodisca. Izracunaj njeno porazdelitveno funkcijo in gostoto porazdelitve. 2. Za kak s ne dogodke A in B velja enakost P[A] = P[A\B] + P[A\B] ? Tu nam P[X] pomeni verjetnost dogodka X. (Nasvet: Upo s tevaj, da mora biti P [A] > P [AB].) 3. Rodovna funkcija sluc ajne spremenljivke X je oblike t2 G(t) : 2t Izra cunaj verjetnostno funkcijo X, njeno mediano in matemati cno upanje. 4. Naj bo slu cajna spremenljivka porazdeljena enakomerno na intervalu (1 — a, 2a) pri nekem neznanem parametru a. Slu cajno spremenljivko dvakrat realiziramo. Dolo ci cenilko parametra a po obeh metodah in oceni a, ce smo pri realizaciji dobili naslednji vrednosti: 0, —1. IZPIT IZ VERJETNOSTI 2.9.1996 1. Kočka, ki ima pobarvane straniče, je razdeljena na 1000 enakih kočkič; v notranjosti velike kočke ni nobene barve. Veliko kočko razdremo in na slepo izvle čemo eno malo kočkičo. Poi s či verjetnost, da bo imela dve straniči pobarvani! 2. Igralča A in B za čneta igro z za četnim kapitalom tri oziroma stiri dolarje. Igra poteka tako, da igralča izmeni čno me četa kovaneč. Ce pade grb, dobi tisti, ki je grb vrgel od nasprotnika en dolar, v nasprotnem primeru pa mora en dolar plačati nasprotniku. Igra se konča, ko eden od igralčev izgubi ves denar. Izra čunaj verjetnost, da zmaga igraleč A. 3. Slučajni vektor (X, Y) je porazdeljen enakomerno na krogu s sredi s čem v koordinatnem izhodi s ču in polmera 1. Poi s či matemati čno upanje razdalje (X, Y) do to č ke 0! 4. Slučajna spremenljivka je porazdeljena enakomerno; E(X) = 4 in D(X) = 3. Poi s či njeno gostoto in njeno mediano! IZPIT IZ VERJETNOSTI 17.9.1996 1. Dokazi, da iz p(B/A) = p(B/A) sledi neodvisnost dogodkov A in B! 2. Igralča A in B začneta igro na sledeč način: Najprej da igraleč A igralču B a jabolk. Nato igraleč B me če kovaneč dokler prvi č ne pade grb. Končno vrne igraleč B igralču A toliko jabolk, kolikokrat je metal kovaneč. Določi stevilo a, da bo igra postena. 3. Za sluč ajni vektor (X, Y) je E{X) = 0, E(Y) = 2, D{X) = 2, D(Y) = 1 in r(X,Y) = 2 Poi s č i matematično upanje in disperzijo slučajne spremenljivke Z := 2X — 3Y. 4. Poi s či verjetnost, da bodo koreni kvadratne ena čbe x2 + 2ax + b (a) realni. (b) pozitivni. (Tu sta a in b realni stevili; |a| < n in |b| < m.) Kaj se zgodi, ko m, n naras č ata preko vseh meja? 5. Diskretna slu čajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu ak P(X = k) :=(1 + fl)fc+1; («>0, fcGN). Poi s či njeno karakteristi čno funkčijo in nato se matemati čno upanje ter disperzijo. 24.1.1997 1. Slu čajni spremenljivki X in Y sta neodvisni in normalno porazdeljeni; E(X) = a, E(Y) = b in D(X) = D(Y) = a. Poi s č i premer kroga s sredi s čem v točki (a,b), v katerem se vektor (X, Y) nahaja z verjetnostjo 90%. (Nasvet: pri integračiji uvedi polarne koordinate!) 2. Na neki prireditvi je bilo n moskih in n zensk; skupno torej 2n ljudi. Poi s či verjetnost, da se bodo posedli za ravno mizo tako, da dve osebi istega spola ne bosta sedeli skupaj. Poi s či isto verjetnost, č e je miza okrogla. 3. Na paličo dolzine 1 slučajno in neodvisno nanesemo tri točke (porazdelitev za vsako to čko je enakomerna). Izračunaj verjetnost, da sta poljubni dve točki oddaljeni za manj kot ^ 4. Porazdelitvena funkčija F sluč ajne spremenljivke X ima obliko _. . le ; xx 0 F(x):= ' . (a> 0). 0 sičer Poišči porazdelitveno funkcijo slučajne spremenljivke Y := --k! IZPIT IZ VERJETNOSTI 7.2.1997 1. Poi s c i verjetnost, da bo imel kub naravnega stevila (torej N3) zadnji dve cifri enaki 1 2. Poi s ci zvezo med a in b, da bo az f (z) := b + z rodovna funkcija neke slu cajne spremenljivke Y. Izra cunaj se E(Y) in D(Y)! 3. Slucajni spremenljivki X in Y sta neodvisni in enakomerno porazdeljeni na intervalu [0,1]. Dokaz i, da je gostota porazdelitve sluc ajne spremenljivke T := \J—2 lnl" cos(27rX) enaka i f C 2 cos2 (2 7r x) kjer je Q := [1/4, 3/4] za t < 0 oziroma Q = [0,1/4] U [3/4,1] za t < 0. Nato v dobljena integrala vstavi novo spremenljivko u := tan(2nx) in dokaz i, da je T porazdeljena normalno. 4. Na enotskem krogu smo si sluc ajno izbrali tri tocke A, B in C. Izracunaj verjetnost, daje trikotnik ABC topokotni. 9.6.1997 1. Verjetnost, da z rentgenskim pregledom ugotovimo TBC pri bolnem C loveku je fl, medtem ko je verjetnost, da zdravega Cloveka pomotoma proglasimo za bolnega enaka a. Naj bo 7 delez vseh bolnikov s TBC v celotni populaciji ljudi. Izra Cunaj verjetnost, da je oseba, ki so ji z rentgenskim pregledom ugotovili TBC v resnici zdrava! Pri katerem delez u 7 je ta verjetnost ekstremna? 2. Slu C ajni spremenljivka T je enakomerno porazdeljena na intervalu [0, 2n]; slu C ajni spremenljivki X in Y pa definiramo z X := cos T in Y := sin T. Poi sCi kovarianco med X in Y. Ali sta neodvisni? Utemelji! 3. SluCajni vektor (X, Y) ima gostoto DoloCi konstanto a, porazdelitveno funkcijo FX,Y in obe robni porazdelitvi. 4. SluCajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N (a, a) z neznanima parametroma a in a. Zanjo imamo sluCajni vzorec 3, 2 3, 0 3, 4 3, 1 3, 1 3, 0 3, 3 2, 9 2, 9 3, 2 Preizkusi z njim na stopnji znaCilnosti a = 0.02 hipotezo H0(a = 3, 2) in hipotezo Hi (a = 0,18)! 5. Delec se giblje po vseh naravnih stevilih vkljuCno z 0; z verjetnostjo p sko Ci iz s tevila i na s tevilo i + 1 in z verjetnostjo q := 1 — p sko C i na stevilo (i — 1) ■ sgn i. Zapi si prehodno matriko P in dolo Ci stacionarno porazdelitev! (Nasvet: Stacionarno porazdelitev lahko dobi s tudi tako, da zapi s e s (PT — I)x = 0, kjer je x = (xi, x2,.. .)T. Tako dobi s diferenCno enaCbo, ki povezuje xk z xk+i.) 0 < x,y < 1, drugod 23.6.1997 1. Daljičo AB dol z ine l smo slu č ajno prelomili v dveh to čkah. Daljiča nam tako razpade na tri dele. Poisči verjetnost, da bo dolzina najkraj sega dela večja od a, kjer je 0 < a < 2. Pet atomov si izmenjuje virtualne fotone; vsaki č, ko pride foton do atoma T, ga le ta z isto verjetnostjo poslje kateremukoli od preostalih delčov. Ce pride foton do atoma T2, jo z enako verjetnostjo poda delčem T3,T4 in T5. Atom T3 foton ali absorbira, in ga ne podaja ve č naprej, ali pa ga z isto verjetnostjo poda atomu Ti, medtem ko si atoma T4 in T5 foton izmenjujeta. Izra čunaj verjetnost, da pride foton od atoma T1 do enega od atomov T4 oz. T5. (Nasvet: Ce je A dogodek, katerega verjetnost računamo, bodi A/T3 dogodek, da se zgodi A, če je foton ravnokar pri atomu T3, ITD. Nato uporabi pogojno verjetnost) 3. Na rob kvadrata, ki ga določajo oglisča T1(-1, —1), T2(-1,1) pade zrnče peska. Naj slučajna spremenljivka D meri njegovo oddaljenost od koordinatnega izhodi s ča. Izra čunaj popre čno vrednost D. 4. Diskretna slu čajna spremenljivka X lahko zavzameme le nenegativne čelo stevilske vrednosti 0,1,..., in je porazdeljena po zakonu P(X = t) = p(1 — p)t-i; (0 0 in p + q < 1. Poi s c i matemati c no upanje za X in Y. ■vn—k da je p (X = k) = 2_ raj_ k sr^n-k \ i-kvJJ Z^m=o " ' ■) (Nasvet: Upo stevaj, da je P(X = k) = m=o P(X = k,Y = m) k\(n—k)\l 0 4. Slucajni vektor (X, Y) je porazdeljen normalno po zakonu N (a, a, a, t, r); torej je gostota podana z 1 1 (z-a)2 2r(x-a)(y-a) (y-a)2\ p(x, y) = - , P d-r2) V 0 p(x) = 0; sičer Poi s či gostoto pT sluč ajne spremenljivke X T := X + Y 4. Celo stevil čna slučajna spremenljivka X ima rodovno funkčijo _ (-1 + a)312 (—1 + a t) Poi s či čenilko parametra po obeh metodah. 5. Slučajna spremenljivka Y1 je enakomerno porazdeljena na [0,1]. Ce je pri realizačiji Y1 = x1, naj bo slu čajna spremenljivka Y2 porazdeljena enakomerno na intervalu [x1,x1 + 1]. Ce je pri realizačiji Y2 = x2, naj bo slu č ajna spremenljivka Y3 porazdeljena enakomerno na [x2,x2 + 1]. Poi s či E(Y); i = 1, 2, 3. Opomba. Kandidati iz pedagoške fakultete rešujejo naloge številka 1,3,4,5. Ostali resujejo prve stiri. 15.9.1997 1. Med stevili 1, 2,..., N izberemo sluCajno k razli Cnih stevil. Koliksna je verjetnost dogodka, da je vsako od teh stevil veCkratnik danega stevila q. 2. Dva pozabljiva sostanovalca na razli Cne naCine pozabljata deznike. Oseba A vedno vzame dez nik, ko gre ven; oseba B pa vzame deznik z verjetnostjo p = 1/2. Vsak od njiju lahko pozabi dez nik v trgovini z verjetnostjo p =1/4. Po obisku treh trgovin se vrneta domov. DoloCi verjetnosti: (a) da imata oba de znik, (b) imata samo en dez nik, (c) da je oseba B izgubila deznik, Ce ves , da imata skupaj en sam de znik. 3. SluCajni spremenljivki X in Y sta neodvisni in enako porazdeljeni z gostoto . I e-x; x > 0 p(x) = I 0; sicer Poi s Ci gostoto pT sluC ajne spremenljivke X T := X + Y 4. Celo stevil Cna sluCajna spremenljivka X ima rodovno funkcijo Gy(() := tl±^Jl (—1 + at) Poi s Ci cenilko parametra po obeh metodah. 5. Slučajna spremenljivka Y1 je enakomerno porazdeljena na [0,1]. Ce je pri realizačiji Y1 = x1, naj bo slu čajna spremenljivka Y2 porazdeljena enakomerno na intervalu [x1,x1 + 1]. Ce je pri realizačiji Y2 = x2, naj bo slu č ajna spremenljivka Y3 porazdeljena enakomerno na [x2,x2 + 1]. Poi s či E(Y); i = 1, 2, 3. Opomba. Kandidati iz pedagoške fakultete rešujejo naloge številka 1,3,4,5. Ostali rešujejo prve štiri. 8.12.1997 1. Na ravnini so narisane vzporedniče, ki so med sabo oddaljene d enot. Na ravnino pada igla dol z ine l < d. Kak s na je verjetnost, da bo presekala eno izmed vzporednič? 2. Paličo dol zine l prelomimo na dva dela. Nato si z verjetnostjo p izberemo kraj si in z verjetnostjo q =1 — p dalj si del. Izračunaj popre čno dolz ino izbranega dela, če je točka preloma paliče enakomerno porazdeljena po čeli paliči. 3. Slučajni vektor (X, Y) je porazdeljen enakomerno na trikotniku z ogli s či v točkah T1(0, 0), T2(1, 0) in T3(0,1). Poi s či regresijsko krivuljo E(Y/X) ter pogojno porazdelitveno gostoto P(X/Y). 4. Celo stevil čna slučajna spremenljivka X ima rodovno funkčijo G,(t) := (—1 + a t) Poi s či čenilko parametra po obeh metodah. 5. Homogena Markovska veriga ima prehodno matriko 4/5 0 1/5 P = 0 4/5 1/5 0 4/5 1/5 Izra čunaj porazdelitev verjetnosti po 4. koraku, če je za četna porazdelitev (1, 0, 0). Določi stačionarno porazdelitev, klasifičiraj stanja in izračunaj povprečen čas prve vrnitve v povrnljiva, pozitivna stanja. Opomba. Kandidati iz pedagoške fakultete rešujejo naloge številka 1,3,4,5. Ostali rešujejo prve štiri. 27.1.1998 1. Za okroglo mizo sedi n z ensk in n mo s kih; skupno torej 2n ljudi. Kaks na je verjetnost, da nobeni dve z enski ne bosta sedeli skupaj. Ali je verjetnost ista, če je miza ravna? 2. Naj bo X zvezna slu čajna spremenljivka z gostoto verjetnosti Določi neznano stevilo k, izračunaj P(X > 5|B), kjer je B dogodek, da X zavzame vrednosti med 4 in 7, ter določi E(X). 3. Po s ten kovaneč vrz emo s tirikrat. Naj slu č ajna spremenljivka X meri stevilo grbov, slučajna spremenljivka Y pa naj meri največje stevilo zaporednih grbov ( če npr. pade GGCG, je Y = 2). Poi s či Cov(X, Y) 4. V Ljubljani in Mariboru so merili končentračijo zveplovega dioksida v enem dnevu. Pri tem so dobili naslednje rezultate (v mg/m3) Ali lahko na stopnji zna čilnosti a = 1% trdimo, da je zrak v Ljubljani bolj onesnaz en? Upostevas lahko, da so izmerki razporejeni priblizno normalno, in da sta merilni napravi enako natan čni. in p(X,Y). Lj 25 80 55 24 33 75 61 62 27 65 Mb 51 54 40 45 36 35 12 11 27.1.1998 (a) Granato izstrelimo pod kotom a glede na ravno podlago. Poi s Ci popre Cen domet granate in nari si porazdelitveno funkcijo dometa, Ce je kot a enakomerno porazdeljen na [0,n/2]. (b) SluCajna spremenljivka X ima gostoto verjetnosti enako Od nje neodvisna sluC ajna spremenljivka Y je porazdeljena enakomerno na intervalu [-1,1]. Poi s Ci gostoto verjetnosti in mate-mati Cno upanje sluC ajne spremenljivke T := |X — Y|. (c) Slu C ajna spremenljivka X ima rodovno funkcijo enako GX (t) := et-1. Od nje neodvisna slu C ajna spremenljivka Y zavzame vrednost 0 z verjetnostjo p0 := 1/3 in 1 z verjetnostjo p1 := 2/3. DoloCi rodovno funkcijo sluCajne spremenljivke X + Y in njeno gostoto porazdelitve. (d) Diskretna sluCajna spremenljivka X lahko zavzameme le nenega-tivne celo stevilske vrednosti n, in je porazdeljena po zakonu OCeni parameter p po metodi maksimalne zanesljivosti. (e) Diskretne sluCajne spremenljivke X1,..., Xn so neodvisne in enako porazdeljene; njihova karakteristiCna funkcija je enaka f (t) := cos t. Poi s Ci karakteristi Cno funkcijo spremenljivke P (X = n) = p(1 — p) n- 1 (0

4.) (b) Neodvisne sluc ajne spremenljivke Xi,... , Xn so porazdeljene po zakonu —1 0 1 1/5 3/10 1/2 Izracunaj verjetnosti dogodkov X1 = X1 ■ X2 ■ ■ ■ Xn pri n =1 in pri n > 2. (c) Obteženo kocko mecemo toliko casa, da pade dvojka ali pa petka. Poskus smo ponovili desetkrat, in pri tem dobili naslednje rezultate: poskus 12 3 45678 9 10 potrebni meti 15 3 86792 10 7 Po metodi momentov poi s ci cenilko za verjetnost dogodka, da pade dvojka ali petica, in v jo uporabi v na sem primeru. (d) Slucajni spremenljivki X in Y sta neodvisni in enako porazdeljeni z gostoto . I e-x; x > 0 P(x) = Sn 0; sicer Poi s ci gostoto pT slu cajne spremenljivke T :: X X + 2Y (e) Slučajna spremenljivka Yi je enakomerno porazdeljena na [0,1]. Ce je pri realizačiji Y1 = x1, naj bo sluč ajna spremenljivka Y2 porazdeljena enakomerno na intervalu [x1,x1 + 1]. Ce je pri realizačiji Y2 = x2, naj bo slu č ajna spremenljivka Y3 porazdeljena enakomerno na [x2,x2 + 1]. Poi s či E(Y); i = 1, 2, 3. Opomba. Kandidati iz pedagoške fakultete rešujejo naloge številka 1,3,4,5. Oštali rešujejo prve štiri. 25.2.1998 (a) Naj bo X diskretna sluCajna spremenljivka, ki zavzame le pozitivne celostevilske vrednosti, in f njena rodovna funkcija. • Dolo Ci rodovno funkcijo za sluC ajno spremenljivko Y := 4 + 2X! • V primeru, ko je rodovna funkcija spremenljivke X podana z 2z Gx(z) 3 — z' izraCunaj se E(Y) in D(Y)! (b) Kovanec polmera 1 pade v krog polmera a > 4. Poi s Ci verjetnost, da je kovanec bli zje sredi s Cu kroga kot njegovemu zunanjemu robu. (c) Verjetnost, da tarCo zadene prvi strelec je 1/5, dajo zadene drugi pa 1/4. Strelca se pri streljanju izmenjujeta, dokler eden izmed njiju tarCo ne zadene. i. Kolikokrat v popreCju se zamenjata? ii. Kolikokrat se morata zamenjati, da bo tarCa zadeta vsaj s 95% verjetnostjo? (d) Stehtali smo 14 paketov pralnega praska, in pri tem dobili naslednje rezultate: kg s t. paketov 9.3 9.4 9.5 9.7 9.9 10.0 10.2 10.4 1 2 2 1 4 1 2 1 Ali lahko pri stopnji zna Cilnosti a = 0.01 zavrnemo trditev proizvajalca, da je v paketih popreCno 10kg praska? Predpostavi, da so izmerki zaradi netoCnosti tehtnice porazdeljeni priblizno normalno. 3.6.1998 (a) Na daljiči dolz ine 1 sluč ajno izberemo tri točke. Kaksna je verjetnost, da prva izbrana to č ka lezi med zadnjima dvema? (b) Nenegativni čelostevilski slučajni spremenljivki X in Y sta neodvisni in obe enako porazdeljeni po zakonu P[X = k] = p(1 - p)k (0

q x < q Zanjo imamo vzoreč 1^5, 3^0, 3^1. Očeni parameter q po obeh metodah. (e) Markovska veriga ima prehodno matriko P 1/2 1/3 0 1/6 0 1/2 1/6 0 1/3 0 0 0 2/3 0 1/3 1/6 1/2 0 1/3 0 0 0 0 0 1 Določi vse zaprte mnoziče stanj, in pokaz i, daje veriga razčepna. Nato klasifičiraj njena stanja in poi s či stačionarno porazdelitev. 10.6.1998 (a) Na daljici AB dolzine l si slucajno izberemo to cki M in N. Izracunaj verjetnost, da je razdalja med M in A manj s a od razdalje med N in B. (b) Naj bo zvezna slucajna spremenljivka X porazdeljena enakomerno na [—2, 2]. Poi s ci porazdelitveno funkcijo spremenljivke Y = min{1,1/X}! (c) Igralec A vrz e 3 po s tene kovance, igralec B pa 2. Zmaga tisti, ki je vrgel ve c grbov; s tem od nasprotnika dobi vse kovance, s katerimi je le-ta igral (torej ima skupno 5 kovancev). Ce sta oba vrgla enako stevilo, se igra ponovi. Koliko kovancev v povpre cju dobi prvi, in koliko drugi? (d) V tedenskem porocilu so resevalci zabelez ili naslednje stevilo nujnih primerov po to sr Ce pe so ne 20 25 45 40 30 30 13 Ali lahko z gotovostjo 95% trdimo, da je stevilo nesre c odvisno od dneva? 24.6.1998 (a) Na robu kvadrata K, z ogli s ci v to ckah T1(1, —1), T2(1,1), T3(—1,1), T4(—1, —1) si slucajno izberemo tocko. Naj slucajna spremenljivka X meri razdaljo te tocke od koordinatnega izhodi s c a. Izracunaj njeno porazdelitveno funkcijo in gostoto porazdelitve. (b) Za kaksne dogodke A in B velja enakost P[A] = P[A\B] + P[A\B] ? Tu nam P[X] pomeni verjetnost dogodka X. (Nasvet: Upo s tevaj, da mora biti P [A] > P [AB].) (c) Denimo, da so slucajne spremenljivke X1,...,Xn neodvisne in enako porazdeljene. Ce je E(X1) = a in je D(X1) = a2, poi s ci E(Xk— (d) Naj bo gostota porazdelitve slucajne spremenljivke X enaka pri nekem a > 0. Poi s ci cenilko parametra a po metodi momentov in po metodi maksimalne zanesljivosti. Preiskusi ju na vzorcu 0-5, -1-0, 07, 0-4. X) ter D(Xk — X); tuje X1 + ■ ■ ■ + X, n n (e) Homogena Markovska veriga je podana z matriko P 0 0 0 1 1/2 1/2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1/4 1/4 0 1/4 1/4 Poi s ci vse zaprte mno zice stanj, dolo ci stacionarno porazdelitev in izra cunaj porazdelitev po treh prehodih, ce je za cetna porazdelitev verjetnosti podana z vektorjem (1/2, 0,1/4, 0,1/4). (f) Slucajni vektor je porazdeljen enakomerno v kvadratu z ogli s ci v to ckah T(1, 0),T2(0,1), T3(—1, 0), T4(0, —1). Poi s c i pogojno porazdelitev slucajne spremenljivke X glede na dogodek X < 2Y in njeno pogojno mate-mati cno upanje. 30.6.1998 (a) Verjetnost, da strelec A zadene tarčo je verjetnost, dajo zadene strelec B pa je i. IzraCunaj verjetnost, da bo tarCa zadeta, Ce vemo, da sta oba strelca ustrelita dvakrat. ii. Denimo, da vsak strelec ustreli samo enkrat. Pri ogledu tarCe smo ugotovili, da je v njej en sam izstrelek. Kak s na je verjetnost, da jo je zadel strelec A? iii. Recimo, da ima A na voljo le dva strela. Kolikokrat mora se ustreliti strelec B, da bo tarCa zadeta z vsaj 90% verjetnostjo? (b) Diskretni sluC ajni vektor (X, Y) ima naslednjo porazdelitev: y X x\ -3 2 4 l 0,1 0,2 0,2 3 0,3 0,1 0,1 i. PoisCi porazdelitev spremenljivk X oz. Y ! ii. IzraCunaj kovarianco, cov(X, Y) ! iii. Izračunaj korelaciio, ti. ) ! j j j j & x (Jy iv. Ali sta X in Y neodvisni? (c) Rodovna funkcija diskretne sluCajne spremenljivke X je podana z Gx{t) ■■= 1 - VT^T2 Poi s Ci E(X), D(X) ter izraCunaj verjetnost, da X zavzame lihe vrednosti. (d) U Cenci petih razli Cnih s ol so se na maturitetnem preizkusu znanja takole odrezali: A B C D E zadosten 10 15 5 4 5 dober 20 25 25 15 16 odličen 7 3 10 4 6 (Tabela podaja s tevilo u č enčev iz posameznih s ol, ki so dosegli ustrezen uspeh.) Ali lahko na stopnji značilnosti a = 005 zavrnemo hipotezo, da je znanje neodvisno od posamezne sole? IZPIT IZ VERJETNOSTNEGA RACUNA in STATISTIKE 20.8.1998 (a) Pri metu kovanča pade čifra z verjetnostjo p in grb z verjetnostjo 1 — p; (0 < p < 1). Poi s č i verjetnost Pn, da bo v n metih padla čifra sodo mnogokrat. (Nasvet: Poiskusi Pn izraziti s Pn-1.) (b) Naj bosta slu čajni spremenljivki X in Y neodvisni, porazdeljeni z gostoto {g-x; x 0 n • ~ 0; sičer Naj bo U := min{X,Y} in V := max{X,Y}. Ali sta U in V neodvisni? (Nasvet: Upo stevaj formulo P [U < u, V < v] = P [U < u, V < v, X < Y ] + P [U < u, V < v, X > Y ].) (č) Celo stevilska slučajna spremenljivka X ima rodovno funkčijo enako t2 Gx(t):= 2- t Izračunaj njeno matemati čno upanje in disperzijo, ter verjetnost, da zavzame soda stevila. (d) U čenči petih razli čnih sol so se na maturitetnem preizkusu znanja takole odrezali: A B C D E zadosten 10 15 5 4 5 dober 20 25 25 15 16 odličen 7 3 10 4 6 (Tabela podaja stevilo u čenčev iz posameznih sol, ki so dosegli ustrezen uspeh.) Ali lahko na stopnji značilnosti a = 005 zavrnemo hipotezo, da je znanje neodvisno od posamezne sole? (e) V zari se nahaja prvih n naravnih stevil; eno za drugo jih brez vrac anja potegnemo k. Sluc ajna spremenljivka Xj nam vrne cifro, ki smo jo izvlekli na i-tem mestu. Koliko je matemati cno upanje slu c ajne spremenljivke T i=1 Kaj nam meri spremenljivka T? (f) Klasificirajte stanja homogene markovske verige z matriko prehodnih verjetnosti P v odvisnosti od parametra p G [0, 1]! Oznaka: q = 1 — p. P 0 p 0 q 0 0 0 0 1 0 10000 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 k 27.8.1998 (a) Vrzemo dve posteni kocki; naj bo A dogodek, daje vsota pik strogo ve cja od 5 in strogo manj s a od 10, B pa dogodek, daje produkt pik ve cji ali kvecjemu enak 9. Izracunaj verjetnosti P [A], P [B], P [AU B] ter P[A\B]. (b) Na voljo imamo osem skatel s kroglicami; v petih sta po dve beli in tri crne kroglice, v treh pa po pet belih in tri crne kroglice. Na slepo si izberemo skatlo in iz nje potegnemo belo kroglico. Kaksna je verjetnost, da izbrana s katla pripada drugi skupini? (c) Stiri razli cne kape med seboj pome s amo, in jih razdelimo njihovim lastnikom; vsak dobi po eno kapo. Poi s ci popre cno stevilo lastnikov, ki so dobili svojo kapo. Narisi tudi porazdelitveno funkcijo ustrezne slu cajne spremenljivke. (d) Dva razli cna tipa kave so testirali na vsebnost kofeina; pri tem so od obeh proizvajalcev vzeli nekaj 100 gramskih zavoj ckov in jih analizirali. Rezultati (v mg/100g) so podani v spodnji tabeli A 200 214 20'2 23'6 251 226 B 24'2 218 237 228 27'0 25'3 231 26'8 Predpostavimo, da so pri obeh proizvajalcih odstopanja od idealne vsebnosti kofeina enaka. Na stopnji znacilnosti a = 005 testiraj hipotezo, da obe vrsti kave vsebujeta v poprecju enako mnogo kofeina. IZPIT IZ VERJETNOSTNEGA RACUNA in STATISTIKE 7.9.1998 (a) V ravnini je dano 5 koncentri cnih krogov S1, S2,..., S5 s sredi s c em v to cki (0, 0); polmer k-tega kroga bodi k enot. Verjetnost, da tocka A pade v notranjost kroga S5 je enakomerno porazdeljena znotraj kroga S5. Poisci verjetnost, da kvadrat, ki ima sredi sce v to cki (0, 0) in eno ogli s ce v tocki A seka natanko k krogov! (b) Slucajni vektor (X, Y) lahko zavzame le diskretne vrednosti z verjetnostmi C_ Pij '■= TT—;-, , • , ("i, j = 1,2,...). Poi s ci konstanto C, marginalne porazdelitve in kovarianco med X in Y. (Nasvet: Pri iskanju marginalne porazdelitve si lahko pomagas tako, da p^j razbiješ na parcialne ulomke p^j = + jr^ + (i+j+i)' Nato naPiši prvih nekaj členov, jih pokrajšaj, in nadaljuj z indukcijo. Pri kovarianci najprej ugotovi, ce sploh obstaja.) (c) Poi s ci verjetnost, da bo pri n metih kovanca padlo liho mnogo grbov, ce ve s, da grb pade z verjetnostjo p; 0 < p < 1. (d) Slucajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N (a, a) z neznanima parametroma a in a. Zanjo imamo slu c ajni vzorec 3, 2 3, 0 3, 4 3,1 3,1 3, 0 3, 3 2, 9 2, 9 3, 2 Preizkusi z njim hipotezo H0(a = 3^2) in hipotezo H1(a = 0T8)! (e) Slučajne spremenljivke X,Y in N so neodvisne; N je diskretna in zavzame vrednost 0 z verjetnostjo p in 1 z verjetnostjo 1 — p; 0 < p < 1. Izrazi karakteristično funkcijo spremenljivke T := N ■ X + (1 — N) ■ Y s karakterističnima funkcijama fX in fY spremenljivk X oz. Y. (f) Klasifičiraj stanja homogene Markovske verige s prehodno matriko 1/3 2/3 0 0 1/2 1/2 0 0 1/4 0 1/4 1/2 0 0 0 1 15.9.1998 (a) Poi s ci verjetnost, da bo v n metih obte z enega kovanca grb padel dvakrat; drugi c v poslednjem metu. Privzemi, da grb pade z verjetnostjo p. (b) V krog polmera 1 pade to c ka T(x,y); njena verjetnost je enakomerno porazdeljena po celem krogu. Poi s ci verjetnost, da je 2 x2 > y. (c) Dvakrat vrz emo po s ten kovanec, nato pa s e tolikokrat po s teno igralno kocko, koliko krat je padel grb. Naj slucajna spremenljivka X meri stevilo grbov, Y pa vsoto vseh pik, ki smo jih vrgli s kocko. Poi s ci porazdelitev slucajnega vektorja (X, Y) in kovari-anco Cov(X, Y)! (Ce smo vrgli dve cifri, se smatra, da je ustrezna vsota enaka 0.) (d) Dva hladilnika enake prostornine so ve ckrat zmerili glede na porabo kWh/dan Pri tem so dobili naslednje rezultate tip A 1.8 1.5 1.5 1.7 1.2 1.7 1.3 1.2 1.2 1.6 tip B 1.5 1.4 1.6 1.4 1.4 1.4 1.4 1.3 Ali lahko na stopnji zna cilnosti a = 5% trdimo, da je drugi hladilnik var cnej si? Upo stevas lahko, da so izmerki razporejeni pribliz no normalno, in da sta merilni napravi enako natan cni.