Aritmetlka za učitelilšč a Skisal dr. Fr. vitez Močnik. Po drugem natisku posloveni l Celestina . V Ljubljani. Natisnila in založila b, v tem slučaji je tud i število b manjše od števila a in to zaznamennjemo z b < a. Takšne izraze kakor a > b ali b < a imenujemo nejednaeb e (Ungleichttngen). § 6. Podstava matematiki so nekatere resnice, katere so same o b sebi jasne, katerih tedaj tudi dokazovati ni treba. Take resnice imenujemo osnovne resnice ali a k s i j orne (Grundsčltze, Axiome), Reki, kateri niso sami ob sebi jasni, ampak katerih resničnos t treba še le iz druzih že spoznanih resnic izvajati, zovemo izrek e ali teoreme (Lehrsátze, Th,eoreme) ; te treba dokazati. Rek, čegar resničnost neposredno iz kacega pojma ali dokazanega reka izvira, imenujemo izvod (Folgesatz) . § 7. Občne matematične osnovne resnice. 1 .) Vsaka količina je sama sebi jednaka. a = a, 3 = 3. 2.) Celota je jednaka vsem svojim delom skupaj . 3.) Celota je večja nego nje del . 4.) Ako sta dve količini jednaki tretji, jednaki sta tudi med seboj . Ako je a = c in b c, potem je tudi a = b. 5.) Jednake količine na jednak način izpremenjene dadé zope t jednako. 6.) Ako je prva količina jednaka drugi, druga pa večja (manjša) od tretje, večja (manjša) je tudi prva od tretje . 1* Ako je a = b, Ako je a = b, b ,; b< ondaj je tudi a > c. ondaj je tudi c . 7.) Ako je prva količina večja (manjša) od druge , drága pa večja (manjša) od tretje, ondaj je prva tem večj a (manjša) nego tretja. Ako je a>b, Ako je a c. ondaj je Tudi a b± d, je tudi a+c>b± d ( 7., 6). 3.) Nejednako, prišteto k nejednakemu s prav tak á postavljenim nejednačajem, dá nejednako s prav tisti m nejednačajem. 11 Ako je a > b, c>d ; ondaj je a + b ± d. Dokaz je prejšnjemu podoben . 1,Taloee l. a ± 2.x±x±x. 2b+b. 4. 3m + 2m. 5. 6y y -i- 4y. 6. 4c ± 7c ± 9c. 7. 3a + 5a 4-7a + 9a. 8. 2x ± 4x 4-6x 4-12x. 9. (x --~-3) + 5. 10. (4a ± 6) ± 2a. 11. (6 ± 5x) 7x. 12. (5y-f -2a) -+ 4y. 13. (2m + 5n ± 3p) + 4p . 14. (a ± 6b 10c) + 7a . 15. [(3x ± 14y) ± y] + 2x. 16. [(5m+2n)+3m]+6n . 17. 5 + (2a l). 18. 7x + (12x + 9). 19. 9m + (3m ± 5n). 20. 12y + (23x + lly). 21. 4a + [3a ± (2a --4--22. x + [3x + (8x ± 9y}]. 23. 24. (8b -~-- 5c) + (3b -{-4!c). (+7)+(2a+1). 25. bX+2y-1-8z 26. m + 2n ± 3p ± 4r 4x ± 7y -÷ 3z 2m -}- 4n + 6p 4-8r 8x -~- 5y +- 6z 4m ± 8n ± 12p.-+- 16r Izračunaj vrednost téh--le vsot za a = 2, b = 3, c 4: 27. 5a ± 6 (b + c). 28. 5 b ± 6 (a ± c). 29. 5c ± 6 (a ± h). 30. 5 (a ± b) + 6c. Z zvezdico zaznamenovane naloge razreši tu in pozneje na pamet . 31. a) 40 + 20 b) 50 + 60; c) 43± 10; d) 38 + 20; e) 47 + 50. 32.* a) 45 + 13; b) 67 + 21 ; c) 38 ± 42; d) 57 + 45; e) 63 + 57. 33. a) 520 + 100; h) 370 4-200; c) 761 + 300; d) 254 + 500. 34. a) 317 + 450; b) 436 + 324; c) 321 + 654; d) 827 + 173. 35. 785 36. 2637 37. 45630 38. 924492 364 6071 39987 827726 130 958 41865 776462 819 8705 7986 61678 39. 73308 4-905476 4-217663 + 8978 ± 544879. 40. 369258 + 741852 + 15307 ± 847941 ± 403507. 41. Neka železnica je imela dohodkov : v prvem četrtletji 1270584 gl., v druzem 1583614 gl., v tretjem 1609375 v četrtem 1364227 gl. ; koliko vse leto ? 42. V četverokotniku merijo koti 73 0 12' 47" 880 40' 42" 67' 39' 58" in 130' 26' 43"; kolika je njih vsota ? 43. Cesar Ferdinand I. je začel vladati v Avstriji dne 2 . marcija 1835. l., a vlade se je odrekel čez 13 let 9 mes . ., kedaj se je to zgodilo ? 44. Preširen je bil rojen v Vrbi na Gorenjskem dné 3. decembra . 1800, umrl pa je 48 let 2 meseca in 5 dnij star ; kedaj je umrl ? 45. Od jednega ščipa do druzega (sinodski mesec) mine 29 dnij 12 ur 44 minut 3 sek.; ako je tedaj dné 16. aprila ob 8ih 45 min. 35 sek. ščip, kedaj bode prihodnji ? III. Odštevanje. § 17. Obrat seštevanju je odštevanje (Subtraction). Od števila a število b odštevati, se pravi, iz a kot vsote dveh števil in b kot jednega sumanda drugi sumand c iskati. Znak odštevanju je — (menj ali minus), tedaj pišemo a — b c ter imenujemo a minuend ali zmanjševanec (Minuend), b subtrahend, zmanjše valec, odštevanec (Subtrahend) in a b diferenco ali osta nek (Diferenz, Rest); c zovemo vrednost diference. Ker vsota dveh naravnih števil ne more biti manjša nego jede n sumand, zato si mislimo minuend vselej večji od subtrahenda . Vsako seštevanje dveh števil, n . pr. : 7 ---}-. 6 = 13, dá, ako j e obrnemo, dve nalogi za odštevanje : razven vsote 13, katera je kot minuend vselej dana, je namreč dan kot subtrahend ali prvi suman d 7 ali drugi sumand 6. Ako je dan kot subtrahend prvi sumand 7, ondaj nam je preiskavati, koliko treba k številu 7 še prišteti, d a dobimo 13 ; v tem slučaji moramo od števila 7 v številni vrsti z a toliko naprej šteti, da pridemo do števila 13 ; število 6, katero na ta način seštevajoč najdemo, je drugi sumand, diferenca. Ako je pa drugi sumand 6 kot subtrahend dan, tedaj nam je preiskavati, h kateremu številu treba prišteti 6, da dobimo 13 za vsoto, t . j, koliko od 13 še ostane, ako prištetih 6 zopet odštejemo, ostalo število 7 je iskani prv i sumand, ostanek. Ker je pa za vsoto vse jedno, kateri izmed dveh sumandov je prvi ali drugi, je tudi za diferenco vse jedno, ali se poslužujemo 13 odštevajoč prve ali druge zgoraj navedene razrešitve. Pri prvi nalog i dobimo diferenco 6 tudi, ako od števila 13 število 7 odštejemo, i n pri drugi nalogi diferenco 7 tudi taká, da prištejemo k številu 6 toliko, da dobimo število 13 . Odštevanje dveh števil a in b je Inki izvršiti na dvojen način. Pomaknemo se namreč lahko v številni vrsti od minuenda a za toliko jednot nazaj, kolikor jih ima subtrahend b ; število, do katerega na ta način pridemo, je iskana diferenca . Pomaknemo pa se lahko tudi v številni vrsti od subtrahenda b za toliko jednot naprej, da pridemo do minuenda a; število, kažoče, koliko jednot smo k subtrahendu prišteli, je diferenca. Pri imenovanih številih morata imeti minuend in subtrahend isto ime in to dobi potem tudi diferenca . § 18. Iz pojma o diferenci izvira : l.) Ako prištejemo k diferenci dveh števil subtra hend, dobimo minuend . (a—b)--b=a, b j(a — b) = a. 2.) Ako odštejemo od vsote dveh števil jeden sumand, dobimo drugi sumand . (a -i- b) — a = b, (a-i-b)---b=a. 3.) Število ostane neizpremenjeno, ako isto števil o prištejemo in odštejemo in obratno. a = (a + b) b, a = (a — b) + h . 4.) Diferenca ie jednaka ničli, ako je subtrahen d jednak minuendu. a — a = O. 5.) Ako je subtrahend d, jednaka je diferenca mi nuendu. a—0=a, O — O = O. Izreki o diferencah. § 19. Za kolikor zmanjšamo v vsoti jeden nje sumand, za prav tolik o se zmanjša tudi vsota. Od vsote odštejemo tedaj število, ako je od jed-nega nje sumanda odštejemo. (70 ± 8) — 20 (70 — 20) 8, (70 ± 8) — 5 70 ± (8 — 5) . V obče : 1 .) (a + b) — c = (a — c) 4-b, 2.) a + (b — c). (a+b)—c= § 20. Obrnivši jednačbo 2.) v § 19., dobimo a --[-- (b c) = (a-j-b) — c , t. j.: K številu prištejemo diferenco, ako minuend prištejemo in subtrahend odštejemo. Ta izrek uporabljamo pri računanji na pamet, N . pr. 357 + 96 357 + (100 — 4) = (357 + 100) — 4 = 457 — 4 =. 453, § 21. Za kolikor povečamo minuend, za prav toliko se poveča tud i diferenca. Za kolikor zmanjšamo subtrahend, za prav toliko se poveča tudi diferenca . K diferenci prištejemo tedaj število, ako jek minuendu prištejemo, ali od subtrahenda odštejemo. 1.) (a — b) --~- c = (a+ c) 2.) (a — b) 4-c = a — (b — c). Tudi ta izrek uporabljamo pri računanji na pamet. N. pr. 97 + 85 =7--(100 — 3) + 85 (100 + 85) — 3 185 — 3 182 . § 22. Ako jednačbo 2.) v § 21 . obrnemo, dobimo a — (b—c) = (a — b) -~-c t. j.: Od števila odštejemo diferenco, ako minuend odštejemo in subtrahend prištejemo. Uporaba pri računanji na pamet. N. pr. 543 — 194 543 — (200 — 6) (543 — 200) + 6 = 343 6 = 349 . § 23. Za kolikor zmanjšamo minuend, za prav toliko se zmanjš a tudi diferenca, Za kolikor povečamo subtrahend, za toliko se zmanjš a diferenca. 15 Od diference odštejemo tedaj število, ako je od minuenda odštejemo ali k subtrahendu prištejemo . 1.) (a—b)—c=(a—c)---b, 2.) (a — b) — c a (b c). Iz druge jednačbe izvira tudi : Kadar je odšteti dve števili zaporedoma, odštej e se lahko tudi kar ob jednem njiju vsota . N. pr. (628 — 48) — 52 = 628 — (48 -F-52) = 628 — 100 = 528. § 24. Ako jednačbo 2 .) v § 23. obrnemo, dobimo a — (b c) = (a — b) — 13 — (4 4-5) = (13 — 4) — 5 , t, j.: Od števila odštejemo vsoto, ako sumande zaporedoma odštejemo. Vsled tega je ~i tudi vsoto o d vsote odštevati . pr. (90 + 7) — (20 + 5) = (90 — 20) (7 — 5), (700+40+8) (200+30+5) = (700-200)+(40--30)+(8-5). § 25. Ako povečamo jeden sumand za 1, 2, 3, . poveča se tudi vsota za prav toliko. Ako zmanjšamo drugi sumand za 1, 2, 3, . . zmanjša se vsota za prav toliko. Ako torej obe izpremembi ob jednem izvršimo, dobimo zopet prvotno vrednost vsote . Odtod izvira : Vsota ostane neizpremenjena, ako k jednemu nj e sumandu katero koli število prištejemo in od druzeg a sumanda isto število odštejemo. V obče: a + b = (a + m) ± (b — m), a ± b = (a — m) --t-- (b + m). Uporaba pri računanji na pamet. N. pr. 37+ 45 =40 ± 42 = 82, 36 + 49 = 35 -f-50 = 85. I § 26. Ako povečamo minuend in subtrahend za 1, 2, 3, . . ., poveča se diferenca zaradi novega minuenda za 1, 2, 3, . . ., a zaradi večjega subtrahenda se ob jednem za prav toliko zmanjša ; nje prvotna 16 vrednost ostane tedaj neizpremenjena. Ako zmanjšamo minuend in subtrahend za 1, 2, 3, . . zmanjša se diferenca zaradi novega minuenda za 1, 2, 3, . . ., a ob jednem se zaradi manjšega subtrahenda za prav toliko poveča; nje vrednost ostane torej neizpremenjena . Odtod izvira : Diferenca ostane neizpremenjena, ako k minuend u in subtrahendu isto število prištejemo, ali od obeh ist o število odštejemo. V obče : a — b = (a I-m) — (b -]--9n), a — b = (ct m) — (b m). Uporaba pri računanji na pamet. N. pr. 76 —.28 == 78 — 30 = 48, 95 — 32 = 93 — 30 = 63. § 27. Istoimenske izraze odštejemo, ako diferencokoefieijentov pred skupno glavno količino postavimo . 5a — 2a = 3a. Dokaz. Ako je 3a prava diferenca števil 5a in 2a, dobiti moramo minuend, ako prištejemo k nji subtrahend, In res j e 3a + 2a 5a. Kakó je mnogočlenske izraze seštevati in odštevati . §28. Kadar je več števil z znaki 4-ali — združenih in je treba naznačene račune v istem redu od leve proti desni izvršiti, kakor se nahajajo ona števila s svojimi znaki, takrat se oklepaji vselej lahk o izpusté, ne da bi trpela določenost. Tedaj je d=a+b+ c [(a+ b)+ c] [(a—b)+c] d a ---- b `]-c d, [(a—b)—c]—d=a b d. c Izraz, ki ima več z znakom 1ali — združenih sestavin, zovemo m n o g o č l e n s k izraz ali polinom (mehrglieclriger Ausdruck, Polynom) ; števila, katera treba prišteti, imenujemo njega aditivn e člene (additive Glieder), in ona, katera treba odšteti, njega s u b a k t i v n e člene (subtractive Glieder), Člen brez znaka je aditiven . 17 Dvoelensk izraz imenujemo d v o élenee ali binom (Binom) , tročlensk izraz pa t r o čl enee ali trin9 in (Trinorn) . Izraz, kateri ima le jeden člen, zovemo jednoelensk izraz ali monom (einglieclriger Ausdruck, Monom). § 29., , Iz zgoraj dokazanih izrekov o seštevanji in odštevanji vsot in diferenc in iz tega, kar smo v prejšnjem paragrafu o napisavanji polinomov povedali, izvira : 1.) K številu prištejemo mnogočlensk izraz, ako p pišemo njega člene z neizpremenjenimi znaki k številu. N. pr. a ± (b c) — (a + b c (§ 2., 2.) = a ± b -+- (§ 28.), a ± (b — c) = (a + b) (§ 20.) = a + b — c (§ 28.) 2.) Od števila odštejemo mnogočlensk izraz, ako pri pi njega člene z nasprotnimi znaki k:številu. N. pr. a — (b -4-c = (a—b)—c (§ 24.) = a — b — c (§ 28.), a---(b — c) =(a—b)+c( 22.) = a — b + c (§ 28 .) § 3o. Izvodi. 1.) Oklepaje lahko vselej odpravimo. V ta namen treba le, kadar stoji pred oklepajem znak 4-, oklepaj brez vsake izpremembe izpustiti, kadar stoji pa znak —, vsem členom, ki so bili med oklepajem, nasprotne znake dati . Tako izpremembo imenujemo razreševanje oklepaje v (Klammernaufltisung). N. pr. a —{5b — [(3a + 2c) — 2b] + (2a — 4c» =a— 5b -{- [(3a± 2c) — 2b] — (2a— 4c ) =a— 5b 4-(3a+2c)—2b — 2a+ 4c =a— 5b ,3a+2c — 2b 2a ± 4c. 2.) Obratno pa denemo lahko tudi v vsacem mnogočlenske m izrazu več členov med oklepaj in to taká, da zapišemo med oklepaj vse člene z neizpremenjenimi znaki, kadar stoji oklepaj za znakom +, in vsak člen z nasprotnim znakom, kadar stoji oklepaj za znakom — . N. pr. x± 2a — 3b 4c =x+(2a—3b 4c), x—2a ± 3b— 4c = x—(2a— 3b 4c). 3.) Mnogoelensk izraz lahko skrčimo (reducieren), ako ima več istoimenskih števil. V ta namen seštejemo najprej aditivne, 2 18 potem subtraktivne istoimenske člene ter drugo vsoto od prve od štejemo. N. pr. 6a — 5a — 3a + 8a — 2a . (6a -~-8a) (5a ± 3a + 2a) 14a — 10a = 4a. Kakó je odštevati dekadna števila. § 31. Odštevanje dekadnih števil se opira na izreke, dokazane §§ 19., 24. in 26. Subtrahend pišemo takó pod minuend, da pridejo jednice po d jednice, desetice pod desetice, . . ; potem odštejemo najprej jednice, potlej desetice, stotice i. t. d. in to takó, da prištejemo k vsaki sub trahendovi številki toliko jednot, da dobimo nad njo stoječo minuendovo številko ; vsakokrat prišteto številko zapišemo na dotično mest o v ostanek. Ako je katera subtrahendova številka večja nego nad nj o stoječa v minuendu, ondaj povečamo zadnjo za 10 ter odštejemo ; da pa ostane diferenca neizpremenjena, treba potem povečati tud i številko naslednjega višjega reda v subtrahendu za 1 ( 26.) N. pr. l.) 978 = 900 -]-- 70 4-8 265=200-~-60± 5 713 = 700 ± 10 ± 3 2.) 3582 3 tis. --]-- 15 stot . -+- 8 des. 4-12 jedn. 1853 2 » 4-8 »±6 »+3 » 1729 = 1 tis. 4-7 stot. ± 2 des. -]-- 9 jedn . Tu smo povečali minuend in subtrahend za 10 jednic = 1 des., in za 10 stot. = 1 tis. Pri odštevanji n a pamet odštevamo od neizpremenjeneg a minuenda najprej stotice, potem desetice in slednjič jednice. N. pr. Koliko je 791 menj 548? 791 menj 500 je 291, menj 40 j e 251, menj 8 je 243 . Dostikrat je moči tudi izrek § 26. ugodno uporabiti . N. pr. 853 298 =---- 855 — 300 = 555 . Odštevanje jednačeb in nejednačeb . § 32. 1 .) Jednako od jednakega odšteto da jednako. Ako je a = b in c =-. -- d, ondaj je tudi a — c b d. Izvira neposredno iz § 7,, 5. 19 2.) Jednako od nejednakega odšteto dá nejednako s prav tistim nejednačajem. Ako je a > b in c = d, ondaj je a - c b - d. Dokaz. Ako bi ne bilo a - c b - d, moralo bi biti a - c --< b - d; a potem bi moralo biti tudi (a - c) -{-c (b - d) ± d (§ 16., 1. in 2.), tedaj a < b (§ 18., 1.), kar pa pogoju nasprotuje. 3.) Nejednako od jednakega odšteto dá nejednako z nasprotnim nejednačajem . Ako je a = b in c d, ondaj je a - c < b - d. Dokaz. Ako bi bilo a - c b - d, moralo bi biti v obeh slučajih (a - c) -}- c (b - d) + d (§ 16., 2. in 3.), tedaja > b (§ 18., L), kar pogojil nasprotuje. 4.) Nejednako, odšteto od nejednakega z nasprotni m nejednačajem, dá nejednako s prvim nejednačajem. Ako je ct b in q < d, ondaj je ct - c b - d. Dokaz kakor pri 3.) T-7 a, 1 o e l . 3a - 3a. 2. 8x - 5x. 3. (a + 6) - 2. 4. (5rn + 7) - 2m. 5. (8x + 4y) - 3y. G. 3b -}- 9b - 5b . 7. [ 8. 6n ± 7n -]-- 13n - 9n. 9. (a-2)-f-5a. 10. (7y -- 9) 6. 11 . (15x-18y)5y. 12. f(lOa-8)--f-3a]+7. 13. (9m - 4) - 5. 14. (12a - 7b) - 7a. 15. f(4z-1)-7]-z. 16. 7n 13n-5n-2n. 18. 2y + (5y - 6m). 19. 6x - (2x + 5). 20. 9a - (4ct ± 5 b). 21.9a - (7a - 4b). 22. 3x - (9 - x). 23. (3x-f-5y)-(2xy). 24. (9m ± 13n) - (3m - 5n). 25. 12a - 7b 26. 8x - 9y 5a - 3b 4x 8y -4- 27. 17m - 15n l-13p 28. 9a 4-8b - 7 c 12m - 14n 4-10p 2a + 8b - 6c 29. 23a - 26b ± 19c - 7d 30. 15u ± 38x - 9y 21z 18a + 14b - c 4-8d 8u -~-22x± 9y-llz 31. (27a-18b ± 15c) - (20a --~- 2b - 15c) 4-(8a - 5b -}-30c). 32. (a + b) - {a - [x - (b - a)». 2* 33. 2x — [(3a ± 4x)—(4x—1)]—(x— 2a — 2). Izračunaj vrednost téh-le izrazov za a = 4, b 34. (8 a + 7b) — (5 a — 4b) — (2 ct — b) ; 35. 8a (7b — 5a) — [(4b — 2a) — b] ; 36. 8a + (7b — 5a) — [4b — (2a — h)] ; 37. (8a--7b)-[5a--(4b----2a)--bj. a) 70 — 20; b) 140 — 50; c) 54 — 20 ; d) 81 — 40; e) 187 — 50. 39. a) 59 — 47; b) 65 — 24; c) 167 — 53; d) 73 — 44; e) 715 — 69 . 40.* a) 340 200; b) 770 — 400; c) 843 — 500; d) 667 — 300. 41 . a) 865 — 340; b) 598 — 324; c) 528 — 461; d) 952 — 507 . Izračunaj, uporabljajoč izrek 26. : 42.* a) 314 — 95 ; b) 248 — 73 ; c) 477 — 197; d) 632 — 303. Izračunaj, uporabljajoč izrek § 25 . : 43. a) 137 + 29; b) 225 --- 198; c) 367 ± 402; d) 543 — 290 . 44. 785 45. 6318 46. 5043 47. 91737 261 4165 1827 8264 48. 78118 49. 43070 50. 123456 511, 30285 8 43489 36548 78907 19057 9 52, 471708 — 345725. 53. 870194 — 401896 . 54. 3660791 — 877553 . 55. 6092743 — 5694146. 56. (837145 + 24093) — 618814 . 57. (732801 — 93786) — 48079. 58. Seštej števila 650890, 126604, 531899, 863925, potem p a odštej od vsote zaporedoma prve tri sumande ; kolik je ostanek ? 59. Od števila 73154 2 82591 odštej šte- j 72859 vila 127986 231578 ostanek 216528 Ako treba od danega števila dvoje ali več števil odšteti, ondaj seštej vs a ta števila ter njih vsoto od danega števila odštej . Sicer pa lahko seštevajoč o b jednem tudi odštevaš . V ta namen seštej najprej jednice vseh števil, katere treb a odšteti, potem pa poišči, koliko treba k njih vsoti 24 še prišteti, da dobiš naslednje višje število, imajoče na mestu jednic 2, t . j. 32 ; prav tisto velja za desetiee, stotine i. t. d. Računajoč govori : 8, 14, 23, 24 in 8 je 32, ostane 3 ; 3, 10, 18, 23, 32 in 2 je 34, ostane 3 ; i. t. d. 60. 401894 (139214 -~- 91078 -{- 35709 -~- 102775) . 61. 5404791 — (879356 + 937885 + 704799 I689557) . 62. 3924623 — (1572809 -+- 379886 ± 1027795 ) (236976 4-187595 4-229868) . 63. Mont Blanc v Savoji je 4632 m, Triglav pa 2865 m visok ; za koliko je prva gora višja od druge ? 64. Oče zapusti starejšemu sinu 6840 gl., mlajšemu pa 1580 gl . menj ; koliko dobita oba sinova skupaj ? 66. Mesec ni od zemlje zmerom jednako oddaljen ; njega najmanjša razdalja iznaša 48020 milj, največja 54680 milj ; za koliko je v prvem slučaji zemlji bliže nego v druzem ? 66. Praga ima 50 ° 5' 20", Dunaj 48 ° 12' 35", Grade c 47 ° 4' 2" in Trst 45° 38' 8" zemljepisne širine ; za koliko širinski h stopinj je Praga severnejša nego vsaktero ostalih mest ? 67. Vodnik je bil rojen dne 3. februvarja 1. 1758., umrl pa je dne 8. januvarja 1. 1819. ; kolike starosti je tedaj učakal ? 68. Cesar Franc Josip I. je bil rojen dne 18. avgusta 1. 1830., vladati pa je začel dne 2. decembra l. 1848 .; a) koliko let je imel tedaj? b) koliko jih ima danes? c) koliko časa vlada Že ? IV. Množenje. § 33. :S' t e v ilo a s številom b n o it i se pravi, število a tolikokra t kot sumand postaviti, kolikor ima b jednot. Število a imenujemo multiplikand ali množenec (Multiplicand), b multiplikator al i množit elj (Multt'plicator) in oba dva skupaj f a k t o r j a (Factoren); število pa, katero pri množenji dobimo, produkt (Product) . Produkt je torej vsota jednakih sumandov ; multiplikand je jeden izmed teh jednakih sumandov, multiplikator pa kaže, koliko takih sumandov treba vzeti . Produkt iz multiplikanda a in multiplikatorja b zaznamenujemo z a X b, ali a . b (t. j. a bkrat), ali tudi, kadar sta oba faktorja občni števili, kar z ah. Produkt dveh celih števil imenujemo tudi multiplikandov mnogo kratnik (Vielfaches) . N. pr. 12 = 4 . 3 ; 12 je 3kratnik števila 4. Iz pojma o množenji izvira : a) Produkt je jednak multiplikatorju, ako je multi plikand 1 . 1. a = a. b) Produkt je jednak o, ako je multiplikand O. O . a = O. O Multiplikator je vselej neimenovano število. Multiplikand je lahko neimenovano ali imenovano število ; v zadnjem slučaji ima tudi produkt isto ime kakor multiplikand . d) Multiplikator mora biti celo število ter večji od 1 . 2.) Produkt več nego dveh števil je tisti, katerega dobimo, pomnoživši produkt prvih dveh števil s tretjim, ta novi produkt s četrtim številom, i. t. d. Tedaj a . b . c (ab) . c, a .b .c .d= (ab) .c .c1, i. t. d. Izreki o produktih . § 34. Produkt se neizpremeni, ako faktorja med seboj za, menjamo. Vzemimo, da sta n. pr. 5 in 3 dana faktorja. Ako razstavim o 5 na pet jednot in te v horizontalni vrsti predočimo ter potem 3 take vrste drugo pod drugo napišemo , 1+11-1+1+ 1 1 + 1 ± 1 + 1 ± 1 l + 1 ± 1 ± l -}-1 dobimo očividno prav toliko jednot, naj že seštejemo jednote vseh horizontalnih ali jednote vseh vertikalnih vrst . V prvem slučaji dobimo 5 jednot škrat, ali 5 . 3 ; v drugem 3 jednote 5krat, ali 3 . Tedaj je 5. 3 = 3 . 5. V obče: a . b b . a. Ta izrek velja tudi za več faktorjev . Kajti v produktu iz ve č faktorjev moremo po dva in dva sosedna faktorja med seboj zamenjati, pustivši druge na njihovem mestu, na tak način moremo teda j vse zamenjati. Takó je n. pr. za tri faktorj e a .b .c=a .c .b=c .a .b=c .b .a=b .c .a=b .a . c . Tedaj je tudi za produkt iz več faktorjev vse jedno, v katerem redu jih množimo. Dostavek. a) Da bode veljal prejšnji izrek v obče, treba, da je tudi 1. a = a . 1 ino .a = a. O . Na ta način pa dobita tudi izraza a . l in a . O natančno določen pomen, katerega dosedaj nista in-lela, kajti pojem o množenji ga ne kaže. Dobimo namreč asi =l.a = a in ct . O = O. a = O, t. j. : 1.) Vsako število, z l pomnoženo, dá samo sebe z a produkt. 2.) Vsako število, z 0 pomnoženo, dá O za produkt. b) Koeficijent moremo smatrati za faktor glavn e količine. 3a = a ± a -}- a = a . 3. § 35. 1.) Produkt pomnožimo s številom, ako jelen fakto r pomnožimo. (ab) . c (ac). b = a . (bc). Dokaz. Ker je a.b .c a.c.b= b.c (§ 34.), je tudi (a.b).c = (a.c).b = a . (b . c) (§ 33., 2.) N. pr. (20 . 4). 5 = (20 . 5) . 4 = 20 . (4 . 5). Izvod. Število pomnožimo z dvema številoma, ak o je v katerem koli redu z vsakim posamič, ali kar ob jed nem z njiju produktom pomnožimo . 2.) Število pomnožimo s produktom, ako je po množimo z jednim faktorjem in dobljeni produkt še z druzim faktorjem . a. (bc) = (ab) . c = (ac)b . Dokaz izvira neposredno iz 1. N. pr. 8. (10. 3) = (8. 10). 3 = (8.3).1O. § 36. 1.) Vsoto pomnožimo s številom, ako vsak sumand s številom pomnožimo in dobljene delske produkte seštejemo . (a-j-b} .c =---ac bc. Dokaz. a + b) . c (a+b)+(a+b)+(a+b)+ . . . . (ckrat) a --]-- b -E-ct-`-b ± a ± b + . . . . (ckrat) = a + a + a + (ckrat) -~- b-}-b +b + (ckrat) = ac + bc. N. pr. (30 ± 6). 7 30. 7 4-6 . 7, (200+80+3).5= 200 . 5 -}- 80. + 3 . 5. 2.) Diferenco pomnožimo s številom, ako pomnožimo s številom minuend in subtrahend ter drugo diferenco od prve odštejemo. (a — b) c ac bc. Dokaz. b) (a—b)+(a—b)+(a—b)+ . . .(ckrat) = a ± a -~- a ± . . . (ckrat)] [b 4-b + b+. (ckrat)] .. ac — bc. Uporaba pri računanji na pamet. N. pr. 87. 2 — (90 — 3). 2 = 90. 2 — 3. 2 = 180 — 6 174. § 37. Obrnivši jednačbi § 36 ., dobimo ac -~-bc = (a -}-- b) c, ac — bc = (a — b) . c-; tj. produkte, imajoče skupen faktor, seštejemo ali od štejemo, ako pomnožimo s skupnim faktorjem oziroma vsoto al i diferenco njihovih neskupnih faktorjev . Ta račun zavemo izločevanje (Herausheben) skupneg a faktorja. § 38. 1.) Število pomnožimo z vsoto, ako je z vsakim sumandom pomnožimo ter delske produkte seštejemo. a . (b c) ab + &c. Dokaz. a. b + c) = (b --~ c) . a(34.)=ha+ca(36., 1 .) = ab + ac (§ 34.) N. pr. 68. (50 ± 3) = 68. 50 + 68 . 3. 2.) Število pomnožimo z diferenco, ako je z minuendom in subtrahendom pomnožimo ter drugi delski produkt od prvega odštejemo . a . (b — c) ab — ac. Dokaz je prejšnjemu podoben . Ta izrek se dá pri računanji s posebnimi vili dostikrat prav ugodno uporabiti. N, pr. 346. 299 = 346. (300 — 1) 346. 300 — 346 . 1 , 758. 994 = 758. (1000 — 6) = 758 . 1000 758 . O produktih iz jednakih faktorjev. §39. Produkt, čegar faktorji so jednaki, zaznamenujemo krajš e takó, da zapišemo samo jeden tak faktor in k temu zgoraj na desn o število, katero kaže, kolikokrat je le-tá, faktor postaviti ; n. pr. a .a .a .a .a --.--- as. Produkt iz več jednakih faktorjev zovemo potenco ali v z m n o ž (Potenz); število, katero kaže, koliko je jednakih faktorjev, imenujem o potenčni eksponent ali tudi kar eksponent (Potenzexponent) , faktor pa podlogo, osnovno število ali koren (Basis, Grunclzahl, Wttrzel). V potenci am , katero čitamo : «a na mno » (potenco povišan ali vzmožen) ali «a z m vzmnožen», je a podloga, m eksponent. Drugo potenco a2 imenujemo tudi kvadrat, tretjo a 3 k ub števila a. N. pr. 10 . 10= 102 = 100 , 10 . 10. 10= 10 3 = 1000, 10 . 10. 10 .10= 104 10000, i. t. d Vsako število a smatramo za prvo potenco od a ; tedaj a = 10 = 101. Kadar se nahaja v mnogočlenskem izrazu več potenc iste pod loge, urejamo jih navadno, da posamične člene lažje pregledamo , po potenčnih eksponentih one podloge . V ta namen denemo na prvo mesto najvišjo potenco in za to nižje in nižje potence, ali pa postavimo najprej člen brez potence ali z najnižjo potenco skupne pod loge in potem višje in višje potence. V prvem slučaji pravimo, da j e polinom urejen po padajočih (fallend), v druzem po rastoči h (stei,qend) potencah skupne podloge. Takó dobi n. pr. izraz 3x2 + 4 5x — 6x3 4-x4, urejen po padajočih potencah, tá-le obliko : x4 — 6x3 3x2 I5x + 4, in urejen po rastočih potencah, tó-le : 4 -{- 5x ± 3x2 6x3 + x4. § 40. Potence iste podloge pomnožimo, ako vzmnožim o skupno podlogo z vsoto eksponentov . a5 . a3 aaaaa . aaa + 22. V obče : am am Kakó je množiti mnogočlenske izraze . § 41. 1.) Mnogočlensk izraz pomnožimo s številom, ako pomnožimo s številom vsak njegov člen ter posamičnim produkto m damo znake dotičnih multiplikandovih členov. (a — b — c + d — e) f f bf — cf -}- df ef 2.) Število pomnožimo z mnogočlenskim izrazom , ako je pomnožimo z vsakim njegovim členom ter posamičnim produktom damo znake dotienih multiplikatorjevih členov. a, (b — c — d ± e —f) .,-------ab — ac — ad -}- ae af 3.) Polinom pomnožimo s polinomom, ako pomnožim o ves multiplikand, t . j. vsak njegov člen z vsakim rnultiplikatorjevi m členom ter gledé posamičnih produktov pomnimo, da so aditivni , ako imata dotična faktorja jednaka, in subtraktivni, ako imata raz lična računska znaka. (a — b + c) (d — e — f) ad — bd + cd — ae -}-be — ce — af -}- bf - Resničnost teh treh izrekov izvira iz §§ 36. in 38. Izvod. Pomni posebno 1.) (a+b)2 = (a+b)(a+b) a 2 ---}-2ab + b 2, (a—b)2=(a—b)(a---)=a2—2ab+b2 : t j. : Kvadrat binoma je jednak kvadratu prvega člena , več ali menj dvojnemu produktu obeh členov, več kvadratu druzega člena. 2.) (a + b) (a — b) ct2 — b2, t. j . : Produkt iz vsote in diference dveh števil je jednak diferenci kvadratov onih dveh števil. § 42. Ako imajo polinomi, katere treba druzega z druzi m pomnožiti, potence iste podloge, treba jih najprej na isti način uredili. Ako pomnožimo potem ves multiplikand z vsakim multiplikatorjevim členom, dobimo delske produkte, ki so prav takó urejeni. Da te delske produkte potem lažje skrčimo, pišemo jih takó , da pridejo istoimenski členi drug pod druzega. N. pr. 4a 3a — 4 multiplikan d 3 a 7a + 5 multiplikator 12 a 4 9a. 12a' — 28a. ± 210 ± 28a 20a2 — 15a — 20 12a4 — a3 ± 29a2 ± 13a — 20. § 43 . Izreki prejšnjih paragrafov ueé, da je produkt dveh členo v katerih koli izrazov takó-le določevati : l.) Oziraje se na znak vzemi produkt aditiven ali subtraktiven, kakor imata dotična dva člena jednak ali različen znak . 2.) K o efieijent produkta je jednak produktu obeh koeficijentov ; kajti 3a . 4b = 3 .a .4 .b = 3 .4 .a .b = 12ctb. 3.) Glavno količino produkta dobiš, ako glavni količin i faktorjev (v abcédnem redu) drugo poleg druge zapišeš, in pri potencah iste podloge skupno podlogo z vsoto eksponentov vzmnožiš . Kakó je množiti dekadna števila . § 44. Dekadno število pomnožimo z 10, 100, 1000, . ako mu na desni oziroma 1, 2, 3, . . . ničle pripišemo . Kajti, ako mu na desni 1, 2, 3, . . . ničle pripišemo, pride vsaka številka oziroma za 1, 2, 3, . . . mesta dalje proti levi ter dobi na ta način l0krat, 100krat, 1000krat, . . toliko vrednost (§ 8.) ; zatorej postane tudi število samo (§ 36 ., 1 .) l0krat, 100krat, 1000krat, . . . toliko. N. pr. 376 .10 = 3760, 583 .1000 = 583000. V obče pomenja A. . 10 » dekadno število, čegar številčna vrsta A . ima na desni m ničel . Dostavek. Vsako dekadno število moremo smatrati za polinom , urejen po padajočih potencah števila 10. N. pr. 6547 = 6000 -l- 500 -}- 40 + 7 = 6. 103+ 5 . 102+ 4. 10 + 7. 28 Red (Rang) vsake posamične številke določuje eksponent on e potence od 10, katere koeflcijent je dotična številka ; vsled teg a moremo ta eksponent števila 10 tudi redovni eksponent (Rang- exponent) številke imenovati. N. pr. v številu 6547 je 1 redovni eksponent številke 4 in 3 redovni eksponent najvišje"' številke 6 . V vsakem dekadnem številu je redovni eksponen t najvišjega mesta za 1 manjši od števila številk. Tedaj je i . 10m-l+ p 10m -2 i . ..a +c .102+b.10+ a občni izraz rnštevilčnega dekadnega števila, imajočega a jednic , b d e s e t i c jednot (m— 1) reda. § 45. Ako je _M= e . 104+ d . 103 1-. 102 b 10 + ct, ondaj je M.p = ep . 104 - dp 103 I-ep . 10 2 + bp 10 + ap. Večštevilčno število pomnožimo tedaj z jednoštev ile n im, ako multiplikandove jednice, desetice, stotice, . . z multiplikatorjem pomnožimo ter posamične produkte pod pomnožen e multiplikandove številke zapišemo . Ako je kateri koli teh produktov dvoštevilčen, n. pr. ep r . 10 + s, ondaj zapiši na to mesto le nižjo številko s, višjo r pa prištej k produktu naslednjega višjega mesta. N. pr . 752 . 4 ali krajše : 752 . 4 8 jednic 3008 20 . deseti c 28 . . stolic 3008 Računajoč n a pamet pomnoži z jednoštevilčnim multiplikatorjem najprej višje in potem nižje jednote. N. pr. Koliko je 6krat 78? 6krat 70 je 420, 6krat 8 je 48 ; 420 in 48 468. Kadar je ceno kaki stvari s pomočjo množenja izračunati, onda j kaže dostikrat ceno jednote razložiti na desetice in krajcarje . N. pr. 1 kg velja 64 kr. ; koliko velja 9 kg ? 9 kg po 64 kr. 9 kg po 6 desetic velja 9krat 6 des. = 54 d. = 5 gl. 40 kr. 9 » » 4kr. » 9krat 4 kr 36 » vsega skupaj 5 gl . 76 kr. § 46. Ako je M večštevilčno število i n N p 103+ r. 10 + s . 10 t, ondaj je M. N Mp . 103+ .Mr . 102 i Ms . 10 jM-t. Dve večštevilčni števili pomnožimo torej drugo z d r u z i m, ako pomnožimo multiplikand z vsako multiplikatorjevo številko, z jednicami začenši, ter dobljene delske produkte po vrsti še z rastočimi potencami števila 10, pomaknivši v ta namen vsak naslednji produkt za jedno mesto dalje proti levi ; delske produkte treba potem še sešteti, in to kakor stojé. N. pr. 6237 ali : 6237 954 954 24948 24948 311850 3118 5 5613300 5613 3 5950098 5950098. Ako začnemo množiti z najvišjo multiplikatorjevo številko, ondaj treba vsak naslednji produkt za jedno mesto dalje proti desni pomakniti . Množenje jednačeb in nejednačeb . § 47. 1.) Jednako z jednakim pomnoženo dá jednako. Ako je a = b in c -= d, ondaj je tudi ac =----bd. Izvira neposredno iz § 7 ., 5. 2.) Jednako z nejednakim pomnoženo dá nejednako z istim nejednačajem . Ako je a = b in c > d, ondaj je ac jbd. Dokaz. Vzemimo, da je cd ± x, potem je po 1.) ac b (d --t-- x), ali ac bd + bx; toda bd + bx bd (§ 7., 3.), tedaj tudi ac bd ( 7., 6.) 3.) Nejednako, pomnoženo z nejednakim s prav takó postavljenim nejednačajem, dá nejednako s tistim nejednačajem. Dokaz je prejšnjemu podoben . 30 Z,Taloge. l. 4a . b. 2. 3xy. 2. 3. 5a . b . 3. 4. m. 3n. 5. a. 6bc. G. 2x. 3y. 4z. 7. a2. a. S. x5 . x3 . 9. m 3 . m2 . m. 10. ay2 . a2y. 11. 3m" . 2m 3 . 12. 5 a 2x3 . 3a. 13. z2 . 3z . 5z4 . 14. 8x3 . 3b2 . a. 16. a3 b"c5 a3b 2 c. 16 . 7x"y3 . 5x2z5 3y 5z. 17. 2ab2e 3d" . 3a2c 2 d2 . 4b3c2 d3. 18. (x+2) .3. 19. (a4-5) .x. 20. (3a -+- 4b) . 5x. .444: (x2y -~-- xy 2) . xy. 22. (a — b) . x. 23. (2a9 — 3a) . 4a. --,,24-. (2x2 — 5) . 4 ± 2x2 . 25. (x3 — 2x2) . 3x — 2x". (m + n) x 4-(m — n) , x. 27. (m 4-n) ,x — (m — n) . x. 28. 7 . (a 4-2). 29. m . (a2 -t- x2 ). 30. 8 (3 — y). 31. 5a (mx y3). 32. . (x2— 2m2) -{-- m2n2. 2a2 b (a b — ab ) a4b3. Izloči v naslednjih nalogah skupni faktor : 34. 5a + 5b. 35. ax2 -t- bx2. 36. (a + m) x — mx. 37. a . 103 — b . 103. 38. 9ay2— 6y3. 39. ax-}-ay + a. 40. a (2x — 3) — 2b (2x — 3) +- (a — b) (2x — 3). Seštej : 41. 3ax — 5by 42. 12 x4 + 20x3 8x2 4ax 2by — 9x3 — 15x + 6x ax — 3by +- x2 15x — 2 Odštej : 43. 9mx -{- 6ny — 3pz 44. a3 — a24-22a — 8 mx— 3ny4-8pz 20a. 15a 10a 45, Izračunaj vrednost izrazu : 4a (3x2 — 5xy) — 5b(2x2— 6y2) za a = 5, b 3, x = 7, y 4. 47. (x 3) (y — 2). 46'. (x+ 3) (y l-2). 48. (x — 3) (y ± 2). 49. (x — 3) (y — 2) . 50. (3x-~-2y) (2x — 3y). 51. (5a 2 — 3b 2) (3a 4b ). 52, (2x2 3a2) (5x2— 4a2) — (10x4— 12a4). -} -(5 — x2) (7 + y2)± (7 — x2) (6 -~- y2). ~4. (a --~- 2) 55. (2ct-4--5b) . 56. 3 2+4y) . 57. (3 — ) . 58. (lOm n) 59. 2b ) ( 60. (a + 5)2 — 10a. 61. (x — 4) 2 + 8x. 62. (x + a) 2 -{- (x — a) 2. 63. (x -}- a)2 — (x 64: (x -}- 3) (x — 3). 65. (a+5) (a — 5). 66. (a - 7) (a — 7) ± 49 . 67. x2 — (x + 4) (x — 4). 68. (5a — 6b) (5a 4-6b). 69. (3y 2 -~-2b2) (3y2 — 2b ). 70. (3x2 + 5y2) (3x2 — 5y2) (2x2 — 40) (2x2 -}- 4y2 ). 71. (3a—4b+5) . 8. 72 (7+5a—3a2) .4a2. 73. 5x2 . (6a2 — 9ab + 4b 2). 74. 3ax . (2a2 7ax -~- 5x2). (8x I 6y -~- 5) (3a 4-4). 76. (x2 — xy + y2) (x -}- y). 77. (y2 — 2y + 1) (6y — 3). 78. (5x2-}- 6x — 7) (4x — 5). 79. (x4 — x 3 — x2— x 1) (x 1). -,,SQ. (x4 ± x3 -[-- x 2 x + I) (x — 1) . 81. (a4 -~- a 3 b -~- a2 b 2 -~-ab3 + b4 ) (a — b). 82. (a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5) (a + b) . (16x 4 + 8x2 y2 + y4) (4x2 — y2). 84. (a2+2ab+ b2)(a+b) -E-(a2 —2ab+b 2) (a — b). ~ .(5x2 -f-4x—3)(4x8)—(4x2 —3x—6)(5x-f-4) . 86. (x -}- 1) (x ± 2) (x ± 3). 87. (x ± 3) (x — 2) (x — 1) . —NSW. (x 4-a) (x -~- b) (x + c). 89. (x — a) (x — b) (x — c). 90. (3a — 2b -}- c) 2. 91 . (ax2 4-by 2 — cz2)2 . --''92 ' .' (2x — 3) (3x—4) (4x—5) (5x—6) . 93. (4a2 -~-3b 2 — 2c 2) (4a2 — 3b2 --~-2c2). 94. (10x4y + 4x3y2 — 5x2y3) (9x2y — 5xy 2 -~-- 7y 3). 95. (x 4 + x3 y + xy3 y4) (x2 —xy-f-y . 96. (3a3 —4a2 b+6ab2 —2b3) (4a2 —3ab+b2 ). 97. (x 3 + 2x2 y + 2xy2+ y3) (x3— 2x2y+ 2xy2 — y3). 98. (a4+2a3—3a2—3a+1) (a3 — 3a2 + 3a — 1). 99. (a2 —2ab-f-3b2)(3a2 +ab—2b2 )(2a3 —3b3 ). (4x2 4xy — y2) (x2 —2xy 4-2y2) (2x 2 -{-2xy + 3y2). 1(11 . Pomnoži a) 358, b) 509, c) 2977, d) 8070 z 10, 100, 1000, 10000. 102.* Koliko je 3krat 21? 2krat 36? 4krat 41? 7krat 69 ? 103.* Koliko je 2krat 180? 4krat 213? 3krat 236? 6krat 149 ? 1 D4. Pomnoži a) 875, b) 2168, c) 15786, d) 357986 z 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 105. 51709 .3.5 .6 .6.8 .8 .9. 106. 286712. 7 . 4. 8. 3 . 7. 2. 9 .5. 6. 107. Koliko je 15krat 40? 12krat 27? 21krat 43? 13krat 34 ? 108. 739 . 57 . 109. 1098 . 68. 110. 7664 . 94. 111. 3467 . 238. 112. 52029 . 475 . 113. 12378 . 968 . 114. 57964 . 9876. 115. 74509 . 3049. i 16. 91234 . 7800. 117. 893600 . 3718. l 18. 65800 . 978000 . l 19. 665070 . 83850 . 120. Pomnoži 928386 a) s 386, b) s 7405, c) s 91034 . 121. Izračunaj A a b, B (te, C a d, D b c, E b d, F cd za a = 325694, b 547816, c 769039, d 981256 . 122. 56789 . 12345 . 45678 . 67890 . 123. 86325 . 11 124. 709458 . 11 . 86325 125. 288797 . 11 . 949575 126. 3705866 . 110. 128. 357946 . 12 8 127. 64538 . 41 715892 258152 286356 8 2646058 45817088 129. 905643. 31. 130. 447653. 17 . 582076 . 271 . 132. 290884 . 185 . 133.* Izračunaj, uporabljajoč izrek § 35., 2.: a) 73 . 24, b) 17. 18, c) 23. 32, d) 19 . 42, e) 29 . 35. 134. 83452 . 45 135. 149335 . 72. x 5 136. 265824 . 64. 417260 /37. 703796 . 320. 375534 0 139. 357908 . 997 . 138. 753467 0 ,, . 98 140. 662452 . 9996. 1506934 lp0 2 141. 313678 . 9930. 73839766 143. 480267 . 599. 142. 69374 . 399 27749600 400 _ 1 144. 917304 . 2999. 27680226 145. 534426 . 99990. 146.* Koliko velja a) 8 l po 72 kr .? b) 18 kg po 46 kr.? 147.* Koliko velja a) 9 m po 1 gL 82 kr.? b) 12 hl po 20 gl. 38 kr. ? 148. V Avstro -Ogerski se izkoplje vsako leto poprek p o 37180 kg čistega srebra ; koliko goldinarjev, po 90 na 1 kg, je ~i iz njega nakovati ? 1'49. Zračni tlak na 1 dm 9 iznaša 103 kg 320 g; kolik je tlak na 1 m9 ? 33 150. Nekdo prehodi vsako minuto poprek po 83 m; kolik o mora še prehoditi, ako je Že 2 uri hodil in iznaša vsa po t 15 km 310 m? Aystro-ogerska država ima 6225 Mm2 ; koliko ima prebivalstva, ako se računa na 1 Mm poprek po 6395 prebivalcev ? V. Deljenje. § 48. Množenju nasprotno je deljenje (delitev). Število a s številom b deliti se pravi, iz a kot produkta dveh števil in iz b kot jednega teh faktorjev druzega faktorja iskati. Dani produkt a imenujemo dividend (deljenec), dani faktor b divizor (delitelj) in iskani faktor k v o ci a. j e n t (količnik) . Kvocijent zaznamenujemo z a : b ali b Vsako množenje dveh števil, n. pr. 5 X 3 15, dá obrneno dve pojmovno različni delitveni nalogi, bodi si da je razven vsakokrat danega produkta 15, dividenda, dan kot divizor ali multiplikand 5 ali pa multiplikator 3. Ako je dan kot divizor multiplikand 5, treba je onega števila iskati, katero kaže, kolikokrat treba 5 kot sumand postaviti, da dobimo dividend 15 za vsoto. To število 3 dobimo, ako preiščemo, kolikokrat je ~l divizor 5 od dividenda 15 odšteti, ali kolikokrat i m a dividend 15 divizor 5 v sebi. Delitev je tu m er j en j e (Messen) . Ako je pa multiplikator 3 kot divizor dan, ondaj treba nam onega števila iskati, katero da, 3krat kot sumand vzeto, dividend 1 5 za vsoto ; to število 5 najdemo, ako razdelimo dividend na 3 jednake dele. Delitev je tu deljenje v ožjem pomenu (Theilen). Še bolj razvidna je razlika med obema delitvenima načinoma pri imenovanih številih. N. pr. Množitvena naloga : 1 m velja 5 gl., koliko veljajo 3 m? Odgovor: 5 gl. X 3 = 15 gl. Delitveni nalogi, kateri iz le naloge izvirata, sta : a) 1 m velja 5 gl. ; koliko m dobimo za 15 gl.? Tu sta dana produkt in multiplikand, multiplikatorja treba je iskati . Tu sklepamo : Za 5 gl. dobimo 1 m, za 15 gl. bodemo dobili tolikokrat po 1 m, kolikorkrat ima 15 gl. v sebi 5 gl., tedaj 3krat po 1 m, t. j. 3 m. Tu merimo 15 gl. s 5 gl., ter dobimo 15 O. : 5 gl. 3. Ako uporabljamo delitev imenovanih števil v razrešitev kake naloge o merjenji , 3 34 morata biti dividend in divizor kot produkt in multiplikand isto imenska ; kvocijent pa je kot multiplikator vselej neimenovan ; še le drugo umovanje dati mu more imé, kakor v navedenem primeru ime «meter» . b) 3 m veljajo 15 gl ., koliko velja l m? Tu sta dana produk t in multiplikator, multiplikanda pa je treba iskati . Tu sklepamo : 1 m je tretji del 3 m, 1 m velja tedaj le tretji del od 15 gl . Tedaj treb a 15 gL na tri jednake dele razdeliti, in kolikor goldinarjev ima ta k del, toliko goldinarjev velja l m; na ta način dobimo: 15 gl.: 3 --=--- 5 gl. Ako uporabljamo delitev imenovanih števil kot deljenje v ožjem pomenu, mora hiti divizor kot multiplikator vselej neimenovan ; kvocijent je kot multiplikand istoimensk z dividendom kot, produktom. Kakor je množenje ponavljano prištevanje istega števila, pra v takó je tudi delitev ponavljano odštevanje istega števila od dane vsote . Pri merjenji vprašamo, kolikokrat je ~i divizor od dividend a odšteti, n. pr. število 15 ima število 5 3krat v sebi, pravi se : število 5 se dá od števila 15 3krat odšteti. Pri deljenji vprašamo , katero število je moči od dividenda tolikrat odšteti, kakor zahtev a divizor ; n. pr. 5i del števila 15 je 3, pravi se : število, katero je moči od števila 15 5krat odšteti, je 3. Deljenje se dá vselej v merjenje izpremeniti. Ako nam je n . pr, 15 s 5 razdeliti, moramo Sega dela od 15 iskati ; tega pa najdemo, ako od vsakih 5, ki so v 15, vselej le 1 vzamemo, potem dobim o tolikokrat po 1, kolikorkrat je 5 v 15, t. j. 5 i del o d 15 j e toliko, kolikorkrat ima 15 število 5 v sebi. Akoravno sta tedaj oba dva delitvena načina, merjenje in deljenje, pojmovno različna, dasta vender oba za isti dividend in iste divizor, ne glede na imé, isto število z a kvocijent, ter tvorita v izvršitvi jeden sam računsk način . Da torej število s številom razdelimo, poiščemo v številni vrsti onega števila, katero dá, tolikrat kot sumand vzeto, kakor divizo r kaže, dividend, Deljenje dveh števil je ~i v naravni številni vrsti le tedaj izvršiti, kadar je dividend mnogokratnik divizorjev ( 33 .) § 49, Iz pojma o deljenji izvira : 1.) Kvocijent, z divizorjem pomnožen, dá dividend. (a : b). b = a. 2.) Ako razdelimo produkt dveh števil z jedni m faktorjem, dobimo drugi faktor. ab: a = b ; ab: b = a. 35 3.) Število ostane neizpremenjeno, ako je s kateri m koli številom pomnožimo in potem z istim število m zopet razdelimo in obratno. a=(ab):b ; a (a : b) 4.) Vsako število dá, samo s seboj razdeljeno, 1 z a kvoeijent, a : a = l , kajti. 1.a=a. 5.) Vsako število dá, z l razdeljeno, samo sebe z a kvocijent, a :1 = 1: 1 = L 6.) Ako razdelimo O s številom, ki je od O različno , dobimo 0 za kvocijent. O:a = O, kajti O . a = O. 7.) Ničla z ničlo razdeljena dá lahko vsakter o število za kvocijent. 0 : 0 = a ; a pomenja katero koli število, kajti a . 0 = 0. Izraz rabi nam zato kot znamenje nedoločenosti. 0 Izreki o kvocijentih. § 50. Produkt razdelimo s številom, ako jeden faktor z njim razdelimo. 1.) (a. b) c = (a:c).b, (12. 9): 3 = (12 :3). 9 , 2.) (a .b) :c=a .(b :c), (12.9):3= 12 .(9 :3). Dokaz. l.) Ako je (a : c) . b pravi kvocijent števil (a . b) in c, ondaj mora dati, z divizorjem c pomnožen, dividend ab (§ 49., l.) Ker pa je {(a:c).b].c= {(a:c).c].b(§ 35., 1.) = a. b (§ 49., zato je (a : c) . b pravi kvocijent. 2.) Prav takó je . (b: c)] c a. [(b : c). c] (§ 35., l.) = a. b (§ 49., 1.), tedaj tudi druga razrešitev naloge prava. Izvod. Ako treba število z druzim številom pomnožiti in s tretjim razdeliti, ondaj je vse jedno, v katere m redu množimo in delimo . N.pr. (8 . 100) : 4 (8: 4). 100. 3* § 51. Število razdelimo s produktom, ako je razdelimo z jednim faktorjem in dobljeni kvocijent še z druzim faktorjem. 1.) a: (b. c) (a:b):c, 24 :(2 .3) = (24 :2): 3 ; 2.) a: (b. c) = (a: c): b. 24 :(2.3) = (24 :3): 2. Dokaz. Izraza (a : b) : c in (a : : b zadostujeta oba § 49. , kajti [(a : b) : c] . (b . c) {[(a : b) : c] . . b (§ 35., 2.) _ (a : b) . b (§ 49., L)= a (§ 49., L) in prav tak ó [(a : c) : b] (b. c) {[(a: c): b] b} c (§ 35., 2.) (a:c}. (§ 49., L)= a (§ 49., 1.) Izvod. Ako treba število z dvema številoma razdeliti , ondaj je razdelimo lahko z vsakim posamič v katerem koli redu, ali pa kar ob jednem z njiju produktom . N. pr. (70: 2): 5 = (70 : 5): 2 = 70: (2. 5) 35:5= 14: 2 = 70 : 10 7. § 52. Produkt ostane neizpremenjen, ako mu jeden faktor s katerim koli številom pomnožimo in drugi fakto r z istim številom razdelimo. Dokaz. 1.) a. b [(a. b). m]: m (§ 49., 3.) [(a. m). b] :m (§ 35., 1.) am. (b: m) (§ 50.) 2.) a . b [(a .b) :rn] .rn (§ 49., 3.) [(a :m) .b].rn (§ 5o.)= (a :m) -b m (§ 35., L) Ta izrek je móči prav ugodno uporabiti pri računanji s posebnimi števili. N. pr. 64. 25 = (64: 4) . (25. 4) = (64 : 4). 100 = (64 . 100) : 4, 64. 125 = (64: 8). (125. 8) = (64 : 8). 1000 = (64. 1000): 8. § 53. Kvocijent ostane neizpremenjen, ako dividend i n divizor z istim številom pomnožimo, ali oba dva z isti m številom razdelimo. 1.) a : am: bm, 2.) a:b= (a:m):(b :m Dokaz. l.) Vzemimo, da je a : b k, tedaj a = bk. Ako pomnožimo to jednačbo z m, dobimo am bkm ; razdelivši le-tó jednačbo z bm, dobimo dalje am : bm= k, iz te in prve jednačbe p a a: b am : bm. Dokaz za 2.) je prejšnjemu podoben. Tudi ta izrek je ~i prav ugodno uporabljati. N. pr . 325 : 25 = (325 . 4) : (25 .4) = (325 . 4) : 100, 7125 125 = (7125 . 8) : (125. 8) = (7125 . 8) : 1000. § 54. Potence iste podloge razdelimo, ako od dividendoveg a eksponenta odštejemo eksponent divizorjev ter s to diferenco skupno podlogo vzmnožimo. : a3 as, kajti a s . a3 (§ 49., l.) V obče : am : a"' = a"' — ako je m > n. Dostavek . Ako je m = n, dobimo, uporabljajoč ta izrek , am :con = a'n — n = a ° ; ker pa potenca, imajoča 0 za eksponent , nima vsled pojma o potenci (§ 39 .) nikakeršnega pomena, treba tej novi potenčni obliki pomen še le določiti. Po § 49., 4. je am : am = 1; pomenja tedaj 1 . § 55. 1.) Vsoto razdelimo s številom, ako vsak sumand s številom razdelimo in dobljene delske kvocijente seštejemo . a+b a+b c cc b Dokaz. ~a -~-b~. c = a — . c — c (§36.,1.) = a + b (§49.,1.) cc N. pr. (90 ± 6): 3 = (90: 3) + (6 : 3). 2.) Diferenco razdelimo s številom, ako minuend in subtrahend s številom razdelimo ter drugi kvocijent od prvega odštejemo. a—ba b c cc Dokaz. (: ) c . c — c (§ 36., 2.) = a — b (§ 49., l.) N. pr. (100 — 8): 4 = (100: 4) (8: 4). Kakó je deliti polinome . § 56. Polinom razdelimo s številom, ako vsak njegov člen s številom razdelimo ter posamičnim kvocijentom znake dividendovi h členov damo. a— b — ea-bc f .ff f t f Resničnost tega izreka dokažeš, uporabljajoč večkrat zapore doma § 55., l. in 2. § 57. Kakó je deliti polinom s polinomom, razvideti je najlažje iz načina, kakó postane dividend iz divizorja in kvocijenta ter kakše n je odnošaj med divizorjevimi in kvocijentovimi členi v njiju produktu , t. j. v dividendo. Ako je a + b -}-c divizor, m -j- n + p kvocijent , dobimo, ako pomnožimo ter Belske produkte druzega pod druzeg a zapišemo : a -f -b + c divizor m + n + p kvocijent am + bm -I-cm -l- an + bn + cn dividend +ap bp + cp Prvi dividendov člen am je produkt iz prvega divizorjevega člena a in prvega kvocijentovega člena m; prvi kvocijentov člen dobimo tedaj, razdelivši prvi dividendov člen s prvim členom divizorjevim. — Ako izračunamo sedaj sestavine, katere je dal m v produktu, pomnoživši ves divizor z m, ter ta produkt od dividenda odštejemo, ondaj je prvi člen an v ostanku produkt iz prvega divizorjevega člena a in druzega kvocijentovega člena n. Drugi kvocijentov člen dobimo torej, razdelivši prvi člen ostanka s prvim divizorjevim členom. Ako odštejemo od prejšnjega ostanka zope t 39 delski produkt, katerega je dal n v dividendu, namreč produkt i z vsega divizorja in n, potem je prvi člen ap v novem ostanku produkt iz prvega divizorjevega člena a in tretjega kvocijentovega člena p. Tretji člen kvocijenta dobimo tedaj, razdelivši prvi čle n zadnjega ostanka s prvim divizorjevim členom ; i . t. d. Odtod izvajamo, da treba polinom s polinomom takti-l e deliti : Uredivši člene v dividendu in divizorji na isti način, razdeli prvi dividendov člen s prvim divizorjevim členom ; na ta način dobi š prvi člen kvocijenta ; s tem delskim kvocijentom pomnoži ves divizo r in produkt odštej od dividenda. Ako ravnaš z ostankom, katerega treba na isti način urediti, kakor sta bila urejena dividend in divizor, prav taká kakor s prvotnim dividendam, dobiš drugi kvocijento v člen, i. t. d. N. pr. (3a2 —4ab--4b2) :(3a+2b)==a—2b 3a2 + 2a b — bab 4b 2 6ab — 4b 2 + O Pomni posebno : 1.} ((a2—b2)a:(a+b)=a—b, 2.) (a9 —b2) : — b) = a + b ; a2+ ab a2 — ab + ab— b -+ ab b O t. j. diferenca kvadratov dveh števil, razdeljena z vsot o ali diferenco teh števil, dá za kvocijent oziroma diferenco ali vsoto istih dveh števil. § 58. Oziraje se na prejšnje izreke določuj torej kvocijent dveh členov katerih koli izrazov takó-le : l.) Gledé na znak vzemi kvocijent aditiven ali subtraktiven , kakor sta oba člena jednako ali različno zaznamenovana . (Izvira iz § 41. in § 49., 2.) 40 2.) Za k o e f i c i j e n t daj kvocijentu kvocijent iz dividendovega in divizorjevega koeficijenta. 3.) Glavno k o lič i n o kvocijentovo dobiš, ako izpustiš v dividendo vse one faktorje, katere ima tudi divizor, in to v jednake m številu kakor jih ima divizor . Kako deliti dekadna števila . §59. Iz izrekov v §§ 56. in 57. izvira, ako so mnogočlenski izrazi dekadna števila, t. j. po padajočih potencah števila 10 urejeni polinomi, da je dvoje dekadnih števil takó-le deliti : Za prvi dolski dividend vzemi toliko najvišjih dividendovih šte vilk, kolikor jih ima divizor ali pa jedno več, ako bi bilo število, ki je one številke izražujejo, manjše od divizorja ; na ta način dobiš najvišjo kvocijentovo številko in s to pomnoži ves divizor, produkt pa odštej od prvega delskega dividenda. K ostanku naslednjo dividendovo številko pripisavši določi iz tega novega delskega dividend a drugo kvocijentovo številko in to nadaljuj, dokler nisi vzel vseh dividendovih številk v račun. Pomniti pa je, da mora biti ostanek, katerega pri odštevanji dolskih produktov dobiš, manjši od divizorja, kajti sicer bi dobil v kvocijentu še drugo številko istega reda . N. pr. 132886 : 538 = 247, krajše : 132886 : 538 = 247 1076 252 8 3766 2528 2152 O 376 6 3766 0 V druzem slučaji smo delske produkte takój pri množenji odštevali in l e ostanke napisavali . Deljenje jednačeb in nejednačeb . § 60. l.) Jednako z jednakim razdeljeno dá jednako. a = Ako je a = b in c = d, potem je tudi ,bI . Izvira neposredno iz § 7., 5. 2 .) Nejednako razdeljeno z jednakim dá nejednak o z istim nejednačajem. 41 Ako je a > b in c = d, ondaj je a d Dokaz. Ako bi ne bilo -c-'-b moralo bi. biti. ab a po cd' cd tem bi bilo -ac-c d• d (§ 47., 1. in 2.), tedaj tudi a b (§ 49., 1.), kar pogoju nasprotuje. 3.) Jednako razdeljeno z nejednakim dá nejednak o z nasprotnim nejednačajem . Ako je a b in c > d, ondaj je bd . b Dokaz. Ako bi bilo a -- j moralo bi biti v obeh slučajih c d' ab _ cd . d (§ 47., 2. in 3.), tedaj a > b, kar pogoju nasprotuje. 4.) Nejednako, razdeljeno z nejednakim z nasprot nim nejednačajem, dá nejednako s prvim nejednačajem . Ako je a > b in c < d, ondaj je --aj bd • Dokaz je prejšnjemu podoben . 1\T' a l o g' e l. 15a : 5. --i.- 6a : a. 3. 5xy : y. 4. 12ab: 2a. 5. 8mxy: 2x. abxy: by. 7. as : a2. 8. a4 : a. 9. c n--1n a'''. 10. 8x3 2x2. 11. 6y2z : 3y. 12. 7a3x5 : ax2 . 13. 16a4b4: 4ab2. 14. 9a2x3y : 3xy. 15. 2a6m3x2 a 16. (6ab . 2x) : 3ax. 17. (4a2x : 5ax2) : 2a2x2. (12a2x3 : 2a) : 6x2. 19. (18a2b3c4 : 3ab 2c) : 2ac2. t,,.20. (ax + a y) : a. 21. (ax — bx) : x. 22. (a2x + ax2) : ax. 23. (6a2y — 3ay2) 3ay. -24'. (8x3y 3 12x2y2z2): 4x2y2. 25. (12a3x2 -]--9ax4) : 3ax2 . -26. (36ax — 12bx 4-24cx) : 6x. 27. (21m4 --}-15m3 18m2) : 3m2. 28. (5a3 — 25a4 — 10a5 -}-- 15a 6) : 5a2. ~10x4y2z — 25x3y2z2 15x2y2z 3 -}-5xy2z4) 5xy2z. 30. (16a3b 2 c 8 4-8ct4b3c 6 — 12a5b4c4 20a6b sc2) : 4a2b2c2. 31 . (x22xy-~--y2):(x--y). 32. (x2—2xy y2) : (x y). `-} . (9a2 - --M 4b2) : (3a + 2b).,—34. (16x2 y2) : (4x — y). 36. (x4 — 1) : (x -}- 1). 36. (x4 (x — 1). 42 aZ. (a + b5) : (a ± b). 38. (a6 — b6) : (a2 ---b 2}. 39. (28a2 67ab + 40b 2) : (7a — 8b). 40. (20a5 — 18a4 b -4-4a3b2) : (4a2 — 2ab). 41. (a3 ± a' — 2a — 8) : (a — 2). (16x3 -}- 4x2y — 29xy" --]-- 10y3 ) : (3x + 5y). -43. (15 ± 8x — 32x2 -}-32x3 — 15x4) : (3 ± 4x — 5x2). 44. (a' — 2a2b 2 4-b 4) (a2 -j- 2ab 4-1,2). — 4a 3 b -}- 6a2b 2 — 4ab3 + b4) : (a' — 2ab 4-V). 46. (15x4 ± 8x3y — 41x 2y2 + IOxy 3 8y4) : (5x2 +6xy-8y2 ). 47. (4x6 15a2x" + 10a4x' — 9a6) : (2x 3 — ax' + ± 3a3). . (27a6 — 33a5b — 45a4b' -~- 71a3b 3 — 36ab5 --}-16b°) : (9a3 — 2a b 5ab2 -}- 4b 3). 49. Razdeli 2735000 z 10, 100, 1000. 50.* Kolikokrat je: 3 v 240? 4 v 84? 6 v 186 ? 51.* Kolikokrat je : 3 v 54? 6 v 72? 7 v 301? 52. Razdeli a) 4240, b) 29680, c) 72080 z 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. 53. 134676 29. 54. 5791338 : 63 . 56. 309644 : 778 . 56. 5606912 : 752. 57. 1472692768 : 14734 . 58. 36363918357 : 62883 . 59. 66688 : 32. 60. 56538 : 81. 8 8336 61. 125860 35. .4 2084 62. 321111 : 63. Izračunaj, uporabljajoč prikrajške : 63. 764625 : 25. 64. 345673 X 25. 65. 634750 : 125. 66. 53028 X 125 . 67. 7825 X 25 + 3284 X 125 — 8598125 : 125. 68.* Koliko velja l m, ako dobiš za 15 gl . 12 kr. a) 6 m, b) 7 m? 69.* Koliko velja 1 l, ako dobiš za 7 gl . 56 kr. a) 9 l, b) 12 l? 70. Ekvator naše zemlje ima 5400 zemljep . milj v obsegu ; kakó dolga je 1 ekvatorjeva stopinja ? 71. Kranjska ima 100 Mm" površine in 481243 prebivalcev ; koliko prebivalcev pride poprek na 1 Mm' ? 72. Česka ima 5560819 prebivalcev, in sicer po 10706 na 1; kolika je nje površina? 43 73. Trgovec plača za 3200 kg sladorja 1784 gl. ter hoče pr i vsacih 100 kg 4 gl. 25 kr. dobička imeti ; po čem mora kg prodajati ? 74. Neki oče zapusti 16800 gl . To imenje je med njega Ženo, 3 sinove in 3 hčere takó razdeliti, da dobi mati 4 dele, vsak sin po 3 i n vsaka hči po 2 jednaka dela. Koliko dobi mati in koliko vsak otrok ? vI. Naloge v ponavljanje, l .* a) 57 ± 12 ; b) 39 -+- 63; c) 25 ---i- 47; d) 86 .4-35; e) 94 ± 96. 2.* a) 371 ± 128; b) 607 ± 134; c) 593 -.j- 238; d) 399 + 158 . 3. 132475 . 37160 ± 7908 . 4296 . 4. 83716 . 5809 — 63077 . 7089 . o. Seštej a) 6x + 5y b) 8a + 7b 6c + 5d x + 7y 9a — 6b+ 7c— 4d 8x— y 7a— 5b—8c± 6d (4a4+5a2b2 +6b 4) (7a2—8b2). 7. (2a2+ 3b2) (5a2— 4b2) — (10a4 — 12b4) . 8. (5a+2b—3c) -- E(2a—3b+Sc) — (a—2b—4c)]. 9. 7a — {(3c — 6b) — [(6a — 3c) — 3b } (3a — 8c)]}. 10. (9a2 — 16b2) : (3a+ 11. (8x4 — 26x3 — 43x2 — 78x — 21) : (2x2 — 9x — 3). 12.* a) 85 — 24; b) 74 — 53; c) 56 — 29; d) 81 — 47; e) 98 — 29. 13.* a)466 — 149; b) 393 —208; c) 706 — 658; d) 832 — 399. 14. Pestalozzi je bil rojen v Ziirich-u dné 12 . januvarja 1746. I., umrl pa je v Brugg-u na Aargau-skem dné 17 . februvarja 1827.1 . ; koliko let je imel, ko je umrl ? 15. 7xy — [7yz (3xz — 2xy) + 3xy] — (6yz — 3xz). 16. (3a + 8b)2+ (4aI6b)2 — (5a — 10b) 2. 17. (x8 -4-x4y4+ y8) : (x4 — x2y2 + y4). 18. a) 86727 . 25 ; b) 13076 . 125; c) 399448 . 11. 19. a) 17768 . 399 ; b) 64159 . 994 ; c) 806635 . 999 . 20. a) 34625 : 25 ; b) 57625 : 125 ; c) 8872472 : 56 . 21. (a2x — b2y)2 4--(a2x -}-b2y)2 — (a4x2 + b 4y2). 22. (16x 8x4+ 12x. 6x24-2x — l): (2x2+l). Drugi oddelek. Četvero osnovnih računov z algebrajskimi celimi števili. l. Negativna števila. § 61. Naravna števila je móei le tedaj odštevati, kadar je minuen d večji od subtrahenda ali prav tolik. Ako treba n. pr. od števila 6 Število 4 odšteti, pomaknemo se v številni vrsti od števila 6 za 4 jed note nazaj in na ta način pridemo do števila 2 ; tedaj je 6 — 4 2. Treba li od števila 6 isto število 6 odšteti, pomaknemo se od šte vila 6 za 6 jednot nazaj ter pridemo do ničle, katera je izhodišče , vsem naravnim številom, tedaj 6 — 6 = Ako bi pa trebalo od števila 6 odšteti večje število, n . pr. 8, šteli bi najprej od števila 6 za 6 jednot nazaj ter prišli do ničle, a potem bi morali še za 2 jednoti nazaj šteti ; le-tó pa v naravni šte vilni vrsti ni mogoče, ker se končuje pri ničli. Da je móči tudi tedaj odštevati, kadar je minuend manjši o d subtrahenda, za to treba števil, katera dobimo, če štejemo od ničl e nazaj. Da dobimo taka števila, treba le številno vrsto, ki se do sedaj le naprej brez konca razteza, po istem tvorbnem zakonu tudi od ničle nazaj raztegniti in ob jednem primerno izraziti nasprotje med števili, katera dobimo, če štejemo jedenkrat od O naprej, drugokrat od O nazaj . Le-tó pa dosežemo, ako imenujemo prvotna števila, katera dobivamo , štejoč od O vselej za jedno jednoto naprej, pozitivna, števila pa, katera dobivamo, pomikajoč se po istem tvorbnem zakonu od O nazaj , negativna števila ter prva zaznamenujemo z znakom I-(več, plus), 45 druga pa z znakom — (menj, minus) . Na ta način dobimo tó-le dvostransko številno vrsto : 4, 3, 2, l, O, + 1, 4-2, + 3, + 4, . . Pozitivna števila veljajo nam tu za prvotna števila naravne številne vrste, negativna pa so nova števila, izražajoča nasprotje pozitivnim številom . I-4 pomenja 4 od O naprej štete jednote, — 4 pomenja 4 od O nazaj štete jednote . Torej je zgoraj iskana diferenca 6 — 8 = — 2, tedaj negativn o število. Pozitivna in negativna števila si moremo predočiti, načrtavš i na premi črti od točke o v določeno mer jednake daljice ; krajišča teh daljic nam predočujejo zaporedna naravna (pozitivna) števila. 4 3 — 2 — 1 O +1 ± 2 + 3 -{-4 Ako si hočemo na tej štev i.ln i črti tudi negativna števila predočiti, treba le premo črto, katera se je s prva le v jedno mer (proti desni) raztezala, podaljšati čez nje izhodišče o tudi v nasprotno mer (proti levi), ter tudi tukaj jednake daljice načrtati ; krajišča na levi načrtanih daljic predstavljajo negativna števila . § 62. Števila, imajoča predznak (Yorzeiehen), imenujemo r e l at i vna (vziralna) ali algebrajska števila, v nasprotje številom brez znaka , katera zovemo absolutna (samoobsebna) števila. Vsako algebrajsko število sestoji iz predznaka in absolutne vrednosti. Pr e dz n a k kaže, da je število na pozitivni ali negativn i strani številne vrste ; absolutna vrednost pa pové, katero mest o ima število v vrsti pozitivnih ali negativnih števil . Predznaka + ne pišemo niti v začetku številnega izraza niti za jednačajem znaka — ne smemo nikdar izpustiti . Število. pred katerim ne stoji ni kakeršen znak, treba tedaj za pozitivno smatrati. Dve algebrajski števili, imajoči jednako absolutno vrednost, a različen predznak , imenujemo nasprotni (entgegengesetzt); n. pr. ± 4 in — 4. Količine, izražajoče n. pr. pomikanje proti severju in proti jugu, dviganje in padanje, imenje in dolgove, višino nad in pod morsko gladino, dobo pred rojstvom in po rojstvu Kristusovem, i . t. d., katere 46 je moči v dveh nasprotnih zmislih šteti, zovemo nasprotne koli e i n e. V matematiki zaznamenujemo jedno izmed dveh nasprotnih količin, in to katero koli, a dosledno, s --{--, drugo z — . Ako dobimo v katerem koli računu za iskano količino negativno vrednost — n, ondaj pomenja tak rezultat, da ima dotičn a količina n jednot, a v nasprotnem zmislu, kakor se je bil s prva za ta račun določil. N. pr. Dogodek A se je vršil leta 65. po Kristusu, dogodek B 128 let pozneje kakor A, in dogodek C 246 let prej kakor A ; katerega leta p o Kr. se je pripetil dogodek C? To dobimo x = 65 -}- 128 — 46 = — 53 ; t. j. dogodek C se je pripetil leta 53. pred Kristusom . 2. Kakó je algebrajska števila seštevati in odštevati . § 63. Ker smo, uvedši negativna števila, naše številstvo raztegnili , treba tudi računom prvotne pojme takó raztegniti, da bodo za negativna števila veljavni. Iz teh raztegnenih pojmov bode potem sam o ob sebi jasno, kakó je račune same izvrševati . Absolutna števila seštevati se pravi, pomikati se v naravn i številni vrsti od prvega sumanda za toliko jednot dalje, kolikor ji h ima drugi sumand . Za algebrajska števila dobi ta pojem, ker veljajo tu absolutna števila za pozitivna, negativna pa izražujejo nasprotje pozitivnim , tó-le občnejšo obliko : Algebrajska števila seštevati se pravi, pomikati se v algebrajski številni vrsti od prvega smnanda za toliko jednot, koliko r jih ima drugi sumand v ono mer, katero zahteva predznak druzega sumanda ; število, do katerega na ta način v številni vrsti pridemo, je iskana vsota. N. pr. Recimo, da nam je izračunati vsoto (+5) ± (—3). V ta namen se pomaknemo v številni vrsti od števila + 5 v negativno mer za 3 jednote dalje ; na ta način pa pri demo do števila ± 2; tedaj je (+5) + (—3) = , 1 2. Izvodi. 1.) Prištevanje pozitivnega števila je prištevanje njega absolutne vrednosti ; prištevanje negativ nega števila je odštevanje njega absolutne vrednoti . a ± (+ b) = aI-b, a + (— b) = a — b , 7+ (±3) 7l-3, 74- (—3) = 7 — 3. 2.) Dvoje jednako zaznamenovanih števil seštejemo , ako postavimo pred vsoto njiju absolutnih vrednosti j skupni predznak. (— a) (- b) — (a + b), (+ a) H-b) l-(a + b), (-I-5) 4-(-I-3) = l-(5± 3), 5) 4-3) = — (5+). 3.) Dvoje različno zaznamenovanih števil sešteje rno, ako postavimo pred diferenco njiju absolutni h vrednostij predznak večjega števila. (+ a)+(—b) +(a—b) za a > b — (b — a) » a l b (— a) + (-E-b) (a — b) » a > b + (b — a) » a l b N. pr. H-5) I(— 3) — + (5 — 3) ± 2 4.) Vsota dveh nasprotnih števil je jednaka ničli (števili se uničujeta). (+a) + (— a) = O, (— a) 4- H-a) O, (4-5)l-5) = o, (— 5)+(+5) = o § 64. Pri odštevanji absolutnih števil se pomikamo v naravni šte vilni vrsti od minuenda za toliko jednot nazaj, kolikor jih ima sub trahend . Algebrajska števila odštevati se tedaj pravi, pomikati se v algebrajski številni vrsti od minuenda za toliko jednot, kolikor jih ima subtrahend, -tudi nazaj, ako je ta pozitiven, a naprej, ako je negativen, tedaj v obče pomikati se v nasprotno mer, kakor jo zahteva subtrahendov predznak ; število, do .katerega na ta način v številni vrsti pridemo, je iskana diferenca . Iz tega pojasnila izvira : Odštevanje pozitivnega števila je odštevanje njeg a absolutne vrednosti ; odštevanje negativnega števila j e prištevanje njega absolutne vrednosti. a — (+ b) = a — b, a — (— b) a b, 8 — ( 5) = 8 — 5, 8 — (— 5) = 8 5. § 65. Algebrajsko število odštejemo od druzega algebraj skega števila, ako prištejemo k neizpremenjenemu minuendu subtrahend z nasprotnim predznakom . (+a)—(—b)— l a)4- (+h), (-F5)—(—3)=(-[-. 5) + (-k-3) ; (— a) — (+ b) — a) + (— b), (— 5) — (+ 3)= (—5)± (— 3); (—a)—(--b) ) (+ b), (—5)—(--3)= (—5)+ (+ 3)- Dokaz. Diferenco (+ 5) — (+ 3) najdemo, pomaknivši se od števila i 5 v negativno mer za 3 jednote ; na ta način pridemo d o števila ± 2. A prav tisto storimo tudi, ako nam je k številu -[--5 število — 3 prišteti, tedaj j e (+5)—(+3)= (+5)+ (—3)= 2. Vzemimo, da nam je še diferenco (+- 5) — (— 3) izračunati . Tu treba od števila + 5 v pozitivno mer za 3 jednote se pomakniti ; na ta način pridemo do števila --~- 8 . Prav tisto bi pa tudi storili, ako bi nam bilo k številu ± 5 število -]-- 3 prišteti ; zatorej je H-5) — (— 3) (+ 5) (± 3) ---= + 8. Na isti način dobimo 5) —(+ 3) = (—5)+ (— 3) — 8, §66. Vsoto, imajočo algebrajska števila za sumande, imenujem o algebrajsko vsoto ; n. pr. (+ a)+(— b)+ (— c)l-H-d)+ (—A. Diferenco dveh algebrajskih števil nam je moči vselej v alge brajsko vsoto izpremeniti. ( 65.) Vsako algebrajsko vsoto pretvorimo lahko na polin o m. V ta namen treba le znake za seštevanje in oklep l ije izpustiti ter predznake za računske znake smatrati . (-a)+(—b)+(—c)+(+d) = a — b — c + Izvira neposredno iz § 63., izvoda l. V algebrajskih vsotah se znaki za seštevanje in oklepaji pr i posamičnih sumandih navadno izpuščajo . V tej obliki se razločuj e algebrajska vsota od polinoma le v tem, da treba smatrati teg a računske znake + in — za predznake v oni, t. j. aditivne in subtraktivne člene tega za pozitivne in negativne sumande v oni . Na vrednost obeh nima ta različni pomen znakov nikakeršnega vpliva , kakor je razvidno iz § 63., izvoda Izreki oseštevanji inodštevanjipolinomov ( 29., l. in 2.) veljajo tedaj tudi za a l g e b r aj s k e vsot e, treba le aditivne in sub traktivne člene tu za pozitivne in negativne sumande smatrati. l. + 7 + (— 2). — 15 -l- (— 5). 3. — 31 — (-+- 14). 4.l-95 — (— 67). 6. l-412 ± (— 318) ± (4-104). 6. -}- 752 — (-~- 319) + (— 284). 7. + 378 — (— 129) + (— 245) — (+ 88) — (— 236). 8. Izračunaj x — (x — 2) ± (x — 4) — (x — 6) -~- (x — 8) za x = 3. 9. — 8a + (--[- 7a). 10. -[-- 5x + (— 5x). 11. + 6m — (— 4m). 12. — 15y — (— 20y). 13. — 4x ± (— 7x) — (— 12x) . 15. (6a—3b—9c) l-(— 4a ± 5b — c). 16. 8ct — 6b + 4c 17. 3 — 4x -4-- 5x -5a— 3b + 7c -4 3x 2x a+ 4b — 9c 2 ± 9x — 3x 18. (xy_z)_(x_yz)-j-(_x+y+z)_(_x_y+z). 19. [(a — b) — b] — (b — a). 20. 5a — [(3a — (a — b)]. 21. x [(y — x) — (y — z)]. 22. x — [(x + z) — (y + z)] . 23. Nekdo stopi 65krat naprej, potem 37krat nazaj, potlej p a zopet 48krat naprej ; a) kolikokrat je stopil sploh, b) za koliko korako v se je oddalil od prvotnega mesta ? 24. Reka sama požene parobrod vsako minuto za 65 m z vodo, parna sila sama pa vsako minuto za 412 m ; koliko m prevoz i parobrod vsako minuto a) z vodo, b) proti vodi? Kakó je algebrajska števila množiti in deliti . § 67 e Množeč absolutna števila vzamemo multiplikand tolikokrat ko t sumand, kakor kaže multiplikator . Algebrajska števila množiti se pa pravi, vzeti multiplikand tolikokrat kot sumand, kakor zahteva multiplikatorjeva absolutn a vrednost in to z neizpremenjenim ali nasprotnim predznakom, kako r je multiplikator pozitiven ali negativen . § 68. l.) Dva jednako zaznamenovana faktorja dasta pozitiven, dva različno zaznamenovana faktorja dasta negativen produkt. H-a) . (4-b) --]--ab, 4) . (+ 3) + 12, (— a) . (-]- b) = — ab, (— 4) . (+ 3) — 12 (— a) . (— b) = + ab, (— 4) . (—3) = -]-- 12. Dokaz. Vsled pojma o množenji dveh algebrajskih števil j e (+-4) .(+3)= ( 4)4- H-4)+ (±4)= + 12, (— 4) . (--1--3) = (— 4) ± (— 4) + (— 4) = — 12 , (+4). (— 3) = (— 4) --I--- (— 4) ---1-- (— 4) = — 12 , (— 4). (— 3) = (+ 4) ± (4-4)l-(+4) = ± 12. 2.) Za več faktorjev izvira iz prejšnjega izreka : a) Ako so vsi faktorji pozitivni, pozitiven je tud i produkt. b) Ako so vsi faktorji negativni, ali ako je vsaj nekaj negativnih, ondaj je produkt pozitiven ali nega tiven, kakor je število negativnih faktorjev sodo al i liho. § 69. Pojem o deljenji absolutnih števil ( 48.) velja neizpremenjen tudi za algebrajska števila . Kvocijent dveh algebrajskih števil je pozitiven al i negativen, kakor sta obe ali jednako ali različno zaznamen ov ani. a I.) (--I- a) : b) 3.) (+ a) : (-- b) b ' a Dokaz. 1 .) (+ -b-) . (+ b) _ -{- ~b • b) (§ 68., l.) +a(§49., L) Prav taki dokažeš 2.), 3.) in 4.) § 70. Izreki o množenji in deljenji polinomov (§§ 41., 42., 56.—58.) veljajo tudi za algebrajske vsote ; le aditivne in subtraktivne člene treba tu (oziraje se na § 66 .) za pozitivne in negativne sumand e smatrati . a 1 o gED. I.* + 9 . — 7. 19 . ± 8. 3. — 128 . --i-- 39. 4. — 217 . — 25. 5.+14.+9.—8. 6.+27.—6.---9. 7.—2.—7 .— 11. — 20. 8.+9.—5.—12.—15. 9. [— 2345 — (+ 730)] . [l- 1357 + (— 1468)] 5 10. 4 . 3 —5 .— 6 7. 5 — 9 . .. -}-- 8 11. Izračunaj (x — 1) (x — 4) (x — 7) (x — 10) za x = 3 . 12. Izračunaj x2 6x — 16 za x + 8 in za x — 2. 13. Telo, pomikajoče se v premi črti vsako sekundo za 12 m a) n a p r oj, b) nazaj, je sedaj v točki A ; na kateri strani in v kateri razdalji od A bode to telo čez 25 sekund? Na kateri strani in v kateri razdalji od A je bilo to telo pred 25 sekundami ? 14. 6a. — 3. 15. — 7ab . tac. 16. a2. 4a.-17. 3x .— 5 xy. 18. — 12x4. 8x2y2. 19. — 8ay3. 15a3y. 20. -2-5x . 5x. — 5x.' 21. 9ab2 . 7ac.— 18c . 22. — 6ab2y 3 . 2b3y3. — 8a2y. 23. 12x2y3z .-9xy2z..-2x2z. 24. (6a — 5b) . — 8c. 25. (7x2— 6y2) — 2xy. 26. (2+3a—4a2 —5a3) .—6a2 . 27. — 15a2x2. (2a4 4a3 x -{-6a2x2). 28. (7ax2 — lOby 2) 4abx2 — (8bx2+5ay2) . — 5aby2. 29. (5a + 6b) (— 2a + 3b). 30. (1 — m2) (l + m2). 31. (x2 4-2xy y2) (— x2+ 2xy — y2). 4* 32. (3 — 4x 4-6x2) (2 — 6x — 18x2). 33. (1 — 2a I3a2 — 4a3) (1 — 3a -j- 5a2 — 7a3 ). 34. (a Ib — ,) (a — b -}-c) (— a + b + c 36, -+- 63: — 36. — 48: + 12. 37. ± 264: — 4. 38. — 3840: — 30 . 39. [2760 — (-j- 732)] : [— 62 — (— 23)]. x -14 5 40. Izračunaj 5 x — x x —10 — (x-za x = 8. 7— x 3 (6 — x) 41 .* Toplomer je kazal nekega dne zjutraj -80 R., o poldne + 2° R . , zvečer — 5 0 R . ; kolika je bila poprečna dnevna toplina? 42. 12a4: — 3a. 43. — 14a4b2: 2a2b. 44. — 4a2m4x5: — 2m x . 45. 36x3y2z4 : — 9xy z3 . 46. (8ab — 12ac): — 4a. 47. — (16a3 24a2): — 8a2. 48. (18am2y3— 27bmy2---[-- 36cy) : — 3y. 49. (— 16a3b2c5+ 8a4b3c4— 12a 5b4c34-20a6 b 5c : 4a2 b 2c 50. (1 — x 5) : (1 — x). 51. (6x3— 23x2± 24x — 10) : (— 2x + 5). 52. (— 30x4+ 2x3-}- 125x2± 51x — 27) : (— 6x2— 8x + 3) . 53. (6a4— 5a3 + 4a2 -~-lla— 4) : — 2a2±3a — 4). 54. (2 — 7x + 16x 25x3± 24x4 16x5) : (2 — 3x + 4x2). 4. Naloge v ponavljanje. L*Koliko velja : a) 18 l po 36 kr.? b) 13 m po 1 gl. 74 kr.? c) 21 l po 64 kr.? d) 12 m po 5 gl. 28 kr.? 2.* — l . 2 . — 3 . 4 .— 3. [10 — 2 . — 3 — (7 — 10 : 2)] : 2. [x—(m± [x—(ml-[x— (rtl- P)]. 5. (9a-Sb)(a+2b-3)-(3a-5b)(3a--b-3). (4a3 -16a2 --j-7a20) :(2a-5). 7. a) 728 ± 154; b) 398 ± 542; c) 827 — 452; d) 643 — 397. 8.* 15 l velja 6 gl. 60 kr. ; koliko velja 1 l? 9. Nekdo je bil rojen dne 5 . januvarja 1809. 1 ., umrl pa je, imajoč 60 let 6 mesecev in 12 dnij ; kedaj je umrl ? (4a 3b4 + 8a5b7— 12a7 b5 : — 2a2 b3. 10. 11. (8m — 5x) — {(2 rn - 3n — 4x) + [(3 x — 2n (4m ± 3n)]} . 12. (1 — 2a + 3a2 — 4a3) (1 — 3a + 5a 2— 7a ). 13. — 2906. 2076. — 249. 157. 14. a) 123469037 : — 24679 ; b) — 462191832 : — 79251 . 15. (24x3— 26x2y + 18xy 4y ) : (4x2— 3xy +42). Tretji oddelek. O razdelnosti števi l § 71 . O številu pravimo, da je z druzim številom raz delno, ako dá, z le-tém razdeljeno, celo število za kvocijent . Divi dend zovemo v tem slučaji divizorjev mnogokrat 11 i k (Vielfaches), divizor pa dividendovomero (Mass). Takó je n. pr. Število 18 s 6 . ab z a razdelno ; ab je mnogokratnik števila a, in a mera števila ab, Vsako število je razdelno z 1 in samo s seboj. števila, katera so le z 1 in sama s seboj razdelna, imenujemo abso lutna praštevila ali kar praštevila (Primzahlen); n. pr. 3, 11, 29 . Število, izraženo s katero koli črko, treba za praštevilo smatrati, ak o se izrekoma nasprotno ne poudarja. Števila, katera so razdelna n e le z 1 in sama s seboj, nego tudi z druzimi števili, zovemo _s e stavljena števila ; n. pr. 8, 15, abc. Število, s katerim je razdelnih dvoje ali več druzih števil, imenujemo skupno mero (gemeinschaftliches Mass) teh števil, n. pr. 3 j e skupna mera števil 12 in 21 ; m je skupna mera števil arnx, bmy, cmz. Števila, katera nimajo razven 1 nikakerane druge skupne mere , zovemo relativna, (m ) praš t e v il a (relative Primzcthlen); pr. 2, 9, 12 ; prav takó ab, bc, cd, abcd. Stevilo, katero je razdelno z dvema ali več druzimi števili , imenujemo skupen mnogo kr at n i k (qerneinschaftliches Vielfache) teh števil; n. pr. 20 sku-pen-mnogokratnik števil 2, 4, 5, 10 ; 8abcd pa števil 2abc, 4d, 8acd. Ako število a ni razdelno s številom b, ondaj imenujemo število r, katero dobimo, od š' tevši od dividenda a največji mnogokratnik divizorja b, ki ga ima dividend v sebi, pr. bk, delitveni ostane k (Divisionsrest). Tedaj je r = a — bk, in a = bk -j- r. 55 l. Občni izreki. § 72. .1 .) Ako ima dvoje a več števil kako skupno mero , razdelna je z njo tudi njih vsQt a ,—.—. Dokaz. Vzemimo . da so števila a. b in c s številom m razdelna potem je razdelna z m tudi njih vsota a + b + c. Kajti po pogoji je a: m = k, b : m = c : m = k,, kjer pomenjajo k, k, , cela števila, tedaj a = mk, b mk,, c Ker pa dá j e nako k jednakemu prišteto jednako, dobimo a + b -4-c mk -~- m kt ± ali, ako razdelimo obe strani te jednačbe zrn, (a-(--b--c) :m=k-~-k1 +k2 ; ker pa dá vsota a + b c, z m razdeljena, celo število k + kl -{-k9 za kvocijent, zato je re s z m razdelna . 2.) Ako imata dve števili kako skupno mero, razdeln a je z njo tudi njiju diferenca. Vzemimo, da je^ m-"- skupna mera števil a in b, in da je a: m — k, b : m k,, tedaj a = mk, b mk,. Drugo jednačbo od prve odštevŠi, dobimo a — b mk — Ink, in odtod (a — b) = k — k,, tedaj je diferenca a — b res z m razdelna . § 73. 1.) Ako ima število kako mero, razdelen je z njo tud i vsak njegov mnogokratnik. Dokaz. Recimo, da je šteVilo a z m razdelno, in sicer a: m k, tedaj mk ; potem je pa tudi ar = mkr, in ar : m =z.- kr; a-jev mnogokratnik ar je torej res z m razdelen. 2.) Ako je število razdelno z dvema relativnim a prašteviloma, razdelno je tudi z njiju produktom. Dokaz. Vzemimo, da je število a z relativnima prašteviloma m in n razdelno. Ker nimata te dve števili nikakeršnega skupnega faktorja, a pa mora vse faktorje števil m in n imeti, zato mora število a tudi vse faktorje produkta mn imeti, tedaj z mn razdelno biti . Ako je število razdelno n. pr. z 2 in 3, razdelno mora biti tudi z njiju produktom 6. 74. 1.) Ako imata skupno mero dividend in divizor, raz delen je z njo tudi delitveni ostanek. Dokaz. Vzemimo, da sta števili a in b z m razdelni, in da dá a, z b razdeljen, k za kvocijent in r za ostanek ; tedaj r a — bk. 56 Ker je a z m razdelen, prav takó b, tedaj tudi njegov mnogokratnik bk, zato mora biti z m razdelna tudi diferenca a — bk in ta je jednaka r. Odtod izvajamo : Vsaka skupna mera med dividendom in divizorje m je tudi skupna mera med divizorjem in delitveni m ostankom. 2.) Ako imata skupno mero divizor in delitveni ostanek, razdelen je z njo tudi dividend. Vzemimo, da dobimo, a z b razdelivši, k za kvocijent in r za ostanek, tedaj a --= bk + r, in da je m skupna mera števil b in ker pa je z In razdelen b, tedaj tudi njegov mnogokratnik bk, in prav takó r, razdelna mora biti z m tudi vsota bk + r in ta je jednaka a. Ta izrek izražujemo tudi takó-le : Vsaka skupna mera med divizorjem in delitveni m ostankom je tudi skupna mera med dividendom in divizorjem. 2. Kakó je spoznavati razdelnost dekadnih števil. § 75. Dekadno število je z 2 ali 5 razdelno, ako so njeg a jednice oziroma z 2 ali 5 razdelne. Dokaz. Vsako dekadno število je ~i razstaviti na mnogokratnik števila 10 in jednice ; n. pr. 3576 = 357. 10 ± 6, 4385 = 438. 10 ± 5. Število 10 je pa z 2 in 5 razdelno, tedaj tudi vsak mnogo kratnik števila 10; ako so še jednice danega števila z 2 ali 5 raz delne, razdelno je tudi število. Dostavki. 1.) Dekadno število je z 10 razdelno, ako je njeg a najnižja številka O. 2.) Ona števila, katera imajo na mestu jednic 0, 2, 4, 6 ali 8 , katera so tedaj z 2 razdelna, imenujemo_~rte~ade Zahlen). Sodo število zaznamenujemo, ker je mnogokratnik števila 2 , v obče z 2 m, kjer pomenja m katero koli celo število . 3.) Ona števila, katera imajo na mestu jednic 1, 3, 5, 7 ali 9 , katera tedaj niso z 2 razdelna, ZOVjffijiha (nepar) š t ev ila ~ungerade Zahlen). Občna oblika lihim številom je 2m + 1 ali 2m 1, kajti vsako liho število je za 1 večje ali manjše od sodega. § 76. Dekadno število je razdelno s 4 ali. 25, ako je raz delno s 4 ali 25 število, katero izražata njegovi dv e najnižji številki. Dokaz. Vsako dekadno število razstavimo lahko na dva dela, na mnogokratnik števila 100 in število, izraženo z njega deseticam i in jednicami, n. pr. 9132 = 91. 100 ± 32, 8475 = 84. 100 ± 75. stevilo 100 je razdelno s 4 in 25, tedaj tudi vsak njegov mnogokratnik ; ako je še drugi del, imajoč desetice in jednice danega števila, s 4 ali 25 razdelen, ondaj je tudi število samo razdelno . Dostavek. Dekadno število je razdelno s 100, ako sta njega najnižji dve številki ničli. § 77. Dekadno število je razdelno z 8 ali 125, ako je raz delno z 8 ali 125 število, katero izražajo njega tri naj nižje številke.. Dokaz . Vsako dekadno število je móči takó na dva dela razstaviti, da je prvi mnogokratnik števila 1000, drugi pa ima stotice , desetice in jednice danega števila ; n. pr. 37912 = 37 . 1000 + 912, 56388 = 56 . 1000 -{- 388 . Vsak mnogokratnik števila 1000 je razdelen z 8 in 125 ; ako je razdelno z 8 ali 125 tudi število iz treh najnižjih mest, ondaj j e razdelno tudi dano število . Dostavek. Dekadno število je razdelno s 1000, ako so njega tri najnižje številke ničle. § 78. Dekadno število je razdelno s 3 ali 9, ako je njeg a Šte,vilena vsota razdelna oziroma s 3 ali 9. Dokaz. Vsako dekadno število je Inči& takó na dva dela razstaviti, da ima prvi same mnogokratnike števila 9, drugi pa številčno vsoto danega števila; n. pr. 75624 = 7.10000 + 5. 1000 + 6. 100 + 2 . 10 + 4 =. 7. (9999 + 1) +5 .(999 + l) + 6. (99 + 1) + 2. (9 + l) +4 = 7.9999 + 7 + 5 . 999 + 5 + 6. 99 + 6 + 2. 9 + 2 + 4 = (7 .9999 + 5.999 + 6.99 + 2 .9) + (7 + 5 + 6 + 2 + 4). Prvi del ima same mnogokratnike števila 9, tedaj je razdele n s 3 in 9 ; ako je razdelen s 3 ali 9 tudi drugi del, namreč številčna vsota, razdelno je tudi dano število. Dostavek. Število, katero je razdelno z 2 in 3, razdelno je tudi s 6 ( 73., 2.) § 79. Dekadno število je razdelno z l 1, ako je razdeln a z 11 diferenca med številčnima vsotama lihih in sodih .., .. .. mest. Dokaz. Vsako dekadno število razstavimo lahkó takó na dv a dela, da ima prvi same mnogokratnike $tevj,lajy, drugi pa diferenco med številčnima vsotama lihih in sodih mest ; n. pr. 653972 = 6 .100000 + 5 .10000 + 3 .1000 + 9.100 + 7 .10 + 2 = 6 (100001 — 1) + 5. (9999 + 1) + 3 . (1001 — l) + 9. (99 + l) + 7. (11 — l) + 2 = 6.100001 — 6 + 5.9999 + 5 + 3 , 1001 — 3 + 9.99 + 9 + 7.11 — 7 + 2 = (6.100001+ 5. 9999 + 3.1001 + 9.99 + 7. 11) + [(5 + 9 + 2) — (6 + 3 + 7)] , tedaj 653972:11 = (6.9091 + 5.909 + 3. 91 + 9.9 + 7) + ±9+2)-(6+3±7)': 11 IT a, l o ge.. 1. Katera izmed števil 3924, 1038, 5016, 8033, 9062, 8752 , 16536, 24300, 39235, 74636 so razdelna z 2, katera tudi s 4, in katera niti s 4 niti z 2 ? 2. Katera izmed števil 352, 1630, 2876, 4756, 9492, 12748 , 22062, 25864, 30508 so razdelna z 2, katera tudi s 4, in kater a z 8? 3. Katera izmed števil 273, 1540, 5926, 8028, 12345, 20475 , 38124, 67089, 705426 so razdelna s 3, katera tudi z 9, in katera niti s 3 niti z 9? 4. S katerimi izmed števil 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25, 100, 125, 1000 so razdelna tá-le števila : a) 312; b) 6225 ; c) 17280 ; d) 71016 ; e) 948656 ? f) 720: g) 6472 ; h) 76450; z) 484572 ; k) 567000? l) 534; m) 8625 ; n) 10692 ; o) 73450'; p) 350496? 3. Kako razstavljati števila na faktorje. § 80. Vsako končno sestavljeno število je moči na sam e prafaktorje razstaviti. Dokaz. Vsako sestavljeno število se mora vsaj na dva faktorja razstaviti dati ; le-tá je moči razstaviti, ako sta sestavljeni števili , zopet na faktorje, kateri so ali praštevila ali zopet sestavljena števila; v zadnjem slučaji razstavljanje nadaljujoč, moramo dobit i slednjič same prafaktorje. Kajti sicer bi moralo biti dano število sestavljeno iz brezkončno mnogih prafaktorjev, ki bi bili vsi večji od 1, a ondaj bi bilo število samo brezkončno veliko, kar je prot i pogoju, § 81. Kakó je razstaviti sestavljeno število na njega prafaktorje. Dano število razdeli z najmanjšim praštevilom, s katerim j e razdelno, ne oziraje se na 1 ; kvocijent razdeli zopet z najmanjši m praštevilom, s katerim je razdelen, ne izvzemši prejšnjega praštevila , in takisto ravnaj z vsakim naslednjim kvocijentom, dokler ne dobiš kvocijenta, ki je sam praštevilo, Drug za drugim uporabljeni divizorj i in pa zadnji kvocijent so prafaktorji danega števila . Ako treba n . pr. 630 na prafaktorje razstaviti, dobim o 630 : 2 315 ali 630 315: 3 = 105 315 105 : 3 =--- 35 105 35: 5 = 7 35 7 tedaj 630 = 2,315 = 2 . 3. 105 = 2. 3 . 3 . 35 = 2 .-'3. 3. 5. 7. § 82 Kak() je razstaviti občen številen izraz na prafaktorje . 1.) Pri jednoelenskih izrazih so posamične črke same prafaktorji ; ako ima tak izraz tudi potence, ondaj vzemi podlogo toliko krat kot faktor, kakor kaže eksponent. N. pr. abc = a . b . c; ab2m3 a.b.b .m.m . m; 21a2mx2 =3.7.a.a .m.x . x. 2.) Kakó je razstavljati polinome na prafaktorje, za to nimamo občnih pravil ; zaradi tega navajamo tu le dva posebna slu čaja, katera se mnogokrat uporabljata . a) Polinom, čegar vsi členi imajo skupno mero, razstavim o po § 37. na dva faktorja, ako vzamemo izločeno skupno mero za jelen faktor, za drugi faktor pa kvocijent, katerega dobimo, ako raz delimo dani izraz z ono skupno mero ; n. pr. l.) Sax 4bx x (3a - 4b), 2. 20x4 - 16x3 (, 12x2 = 4x2 (5x2-4x 3). b) Iz izvoda v § 41 . izvira dalje : 1 .) a' -4-2ab -F-b (a-~-b) (a--~-b), 2.}O -2ab b (a - b) (a b), 3.) a b (a 4-b) (a - b): Razstavi tá-le števila na prafaktorje : L a) 420 ; b) 504 ; c) 1260 ; d) 1694; e) 2025. 2. a) 2268; b) 3075 ; c) 3828 ; d) 5376; e) 10528. 3. a) 76a3 ; b) 66ab2 ; c) 26x2y2 ; d) 72a3b 2 ; e) 60ax2y4. Razstavi na dva faktorja, uporabljajoč § 82., 2., a) : 4. 18ab 15ac. 5. 9x2 - 24xy. 2a4 - 4a3 4-6a2 . 7. ax4y2 -]--bx3y3 -]--cx2y4. 8. a3b 2x -a2b2x2 + ab2x3. 9. 5x3z2-15x 2z3 --}- 25xz4. Razstavi na faktorje, uporabljajoč § 82., 2., h) : 10. x2 ± 2x -]--1. 11. m' -2m + 12, 4a2 12a ± 9. -}-M. 9b2 -12b ± 4. 14. y' + 10y ± 25. 15. x2 - 6xy ± 9y . 16. 4x2 - 1. 17. 9a2 16b2 . 18. 25x2- 16y2. 19. 6x2- 54a . 20. a - (b -j-- c) 21. (b - c)' O največji skupni meri.. § 83. Največjo skupno mero dveh ali več števil imenujemo ono največje število, s katerim so vsa ta števila razdelna. Največjo skupno mero dveh ali več števil najdeš, ako vsako izmed njih na prafaktorje razstaviš in potem izmed teh one 61 izločiš, kateri so vsem danim številom skupni ; njih produkt je iskana največja skupna mera. Dokaz. Ta produkt je gotovo skupna mera vseh danih števil , kajti vsako izmed njih irna vse njegove faktorje ; a je tudi največja skupna mera, ker bi ne bilo vsako izmed danih števil z njim raz delno, ako bi mu dodali še kateri koli faktor . N. pr. Poišči največjo skupno mero števil 300 in 420. 300 =--2. . '3\. 5; 420 = . 7; naju. sk. mera . 24. 3 . 5 60. § 84. Največjo skupno mero dveh števil pa najdeš, n e razstavlja joč ji na prafaktorje, tudi na tá-le način : Večje izmed danih dveh števil razdeli z manjšim, potem divizor z delitvenim ostankom, novi divizor z novim ostankom, i . t, d., dokler ne dobiš za ostanek ničle ; zadnji divizor je največja skupna mera danih dveh števil . Dokaz. Ako sta a in b dani dve števili, in sicer a > b in r1, r2, r3, r,, .. . zaporedoma dobljeni ostanki, ondaj stoji račun takó-le : dividend a, divizor b, ostanek r, , » b, » , 1'3 7 » r2, » r4, t . d. Najprej je očividno, da moramo, deljenje nadaljujoč, priti slednjič do ostanka = O, kajti vsakokratni ostanek mora biti cel o število in vsaj za 1 manjši od divizorja, kateri je prejšnji ostanek . Vzemimo, da je n. pr. = 0. Skupna mera števil a in b je potem r3 gotovo. Iz zadnje delitve izvira namreč, da je r3 sk. mera od r2 in r, ; r2 in r, sta pa v prejšnji delitvi divizor in ostanek, tedaj je (§ 74 .) r3 tudi sk. mera med dividendom r 1 in divizorjem r2, prav takó je zaradi predprejšnj e delitve, v kateri sta r1 in r2 divizor in ostanek, r3 skupna mera med b in r1 , in slednjič zaradi prve delitve r3 tudi skupna mera med a in b. Toda r3 je tudi največja skupna mera števil a in b. Kajti ako bi imeli te dve števili še večjo skupno mero m > r3, ondaj bi morala (po § 74., izv. 1.) zaradi prve delitve, v kateri sta a in b dividend in divizor, z m razdelna biti tudi divizor b in ostanek ri, tedaj zaradi druge delitve tudi r, in r2, in slednjič zaradi tretje delitve tudi in r,, kar je pa nemogoče, ker je m > Tedaj je r3 najv. sk. mera števil a in b. Primeri. 1.) Recimo, da nam je poiskati najv. sk. mero števil 1134 in 3654. Tu dobimo 3654 :1134 = 3 in ostanek 252, ali 1134 3654 3 1134 : 252 = 4 » » 126 126 2524 252: 126 = 2 » » 0 O2 Najv. sk. mera = 126. 2 .) Poišči najv. sk. mero števil 377 in 848. 377 848 2 Najv. sk. mera = 1. l 94 4 Števili 377 in 848 sta relativni praštevili . 0 94 3.) Poišči najv. sk. mero števil 3 a 3— 2a2 — 3 a b f-a--2b2+ in a2 b 2. 2a2 — 3 a b ± a + 2b2 b) : (a 2 — b2) = 3a — 2 --{ 2 - - 3ab 1, 2 ± a ± 2b2 '"' 1 , 2 b2 - a + b ostanek — b2) ;(a + b) -=-- a — b. Iskana najv. sk. mera je zadnji divizor a + b. Ako hočeš na ta način (imenujmo ga delitveni naei n) najti najv. sk. mero z a več nego dve Števili, poišči jo najprej za prvi dve števili, p o t - e 'M — i a m 1ret~e število, takisto za to novo mero in četrto število, i. t. d . ; zadnja najv. sk. nyerp. je ob jedne m najv. sk. mera vseh danih števi. Naloga 1 .* Poišči najv. sk. mero števil a) 12 in 16, b) 15 in 20, c) 40 in 56, d) 72 in 96, e) 45 in 75 . Razstavi ta-le števila na prafaktorje, potem pa poišči njih najv. sk. mero : 2. 84 in 308. 3. 360 in 680. 4. 108, 450 in 540. o. 560, 620 in 760. 6. 693, 819 in 945 . 7. 504, 756, 1260 in 1764 . 8. 12acx, 14a2x in 16ax2 . 9. 10x2y4 , in 20x4y2. 10. m2 -2 m n --}- n2 in m2 — n2 . -} i i. a2 — 2ab--~- b2 in a2 — b2 . 12.a2 — 2ab — 8b2 in a2+ 2ab — 3ab2 6b3 . Poišči najv. sk. mero téh-le števil, ne razstavljajoč jih na prafaktorje : 13. 637 in 4277. 14. 2091 in 1353. 15. 1404 in 8658. M. 3552 in 5143. 17. 7774 in 3718 . 18. 27671 in 21708 . 19. 39215 in 73997. 20. 24955 in 338625 . 21. 1701, 6426, 10521. 22. 120582, 145530, 167706. 23.12a - 2a2 35a — 11 in 6a2± lla 4-3. 24. 24x3 10x2 56x 4-10 in 6x2— x — 15. 5. O najmanjšem skupnem mogokratniku . § 85. Najmanjši skupni mnogokratnik dveh ali več števil imenujemo najmanjše število, katero je z vsemi onimi števili razdelno . Da dobimo najmanjši skupni mnogokratnik dveh al i več števil, treba vsa dana števila na njih prafaktorje razstaviti i n izmed teh vse različne faktorje vzeti, in sicer vsacega tolikokrat , kolikorkrat séVk-afel--Mi'in'ié'd-da-nlfištevil največkrat nahaja ; produkt teh faktorjev je iskani najm. sk. mnogokratnik. Dokaz. Ta produkt je gotovo skupen mnogokratnik vseh danih števil, ker ima vse faktorje vsakega izmed njih ; pa tudi najm. sk . mnogokratnik je, kajti ako le jednega izmed onih faktorjev izpustimo , že ni več produkt ostalih z vsemi danimi števili razdelen . Primer . Poiščimo najm. sk. mnogokratnik števil 60, 108 in 1050. 60 = ‘.2 .. . 5, 108 ='. . . 3 .3, 1050 = . 5 .7, tedaj najm. sk. mnogokratnik = 2 . 2 . 3 . 3 . . . 5 .5 .7 =18900. To razrešitev uporabljajoč najdeš najm. sk. mnogokratnik več števil kratko takó-le : l.) Dana števila zapiši v jedno vrsto drugo poleg druzega te r ona manjša, katera so mere večjih, tako:5j prečrtaj. 2.) Potem poglej, ali ni kako praštevilo skupna mera dveh al i več ostalih števil. Ako je, zapiši to mero na desno ter razdeli z nj o vsa ona števila, katerim je mera ; kvocijente in vsa druga nerazdelna števila pa zapiši spodaj v novo vrsto drugo poleg druzega. 3.) S to novo vrsto ravnaj prav takó kakor s prvotno, i n takó nadaljuj, dokler ne dobiš vrste, katera ima sama relativna praštevila . 4.) Slednjič pomnoži drugo z druzim relativna števila zadnj e vrste in na desno zapisane skupne mere ; produkt je iskani najm. sk. mnogokratnik. Primer . Poišči najm. sk. mnogokratnik števil 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50. 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50 1 9, 12, 16, 45, 25 2 6, 8, 45, 25 2 $, 4, 45, 25 2 4, 9, 5 Najm. sk. mnogokratnik = 4. 9. 5. 2. 2 . 2 . 5 = 7200. § 86. Ako se ne dadá dana števila lahko na prafaktorje razstaviti , ondaj iščemo najm. sk. mnogokratnik na delitveni n a č i n. a) Da dobiš na ta način najm. sk. mnogokratnik dveh števil , poišči najprej njiju najv . sk. mero, s to razdeli jedno izmed danih dveh števil in s kvocijentom pomnoži drugo. Dokaz. Recimo, da sta a in b dani dve števili. Ako nimata te dve števili nikakeršne skupne mere, ondaj je njiju produkt ab ob jednem njiju najm. sk. mnogokratnik. Ako pa a in b nista relativni praštevili nego je m njiju najv . sk. mera, in sicer a : m = c, b: m = d, kjer nimata c in d nikakeršnega skupnega faktorja več , ondaj dobimo a = mc in b md. Vsak mnogokratnik števila a mora imeti tedaj faktorja m in c, vsak mnogokratnik števila b p a faktorja m in d, vsak skupen mnogokratnik števil a in b torej faktorje m, c in d ; najm. sk. mnogokratnik števil a in b je potem očividno oni, kateri ima l e te tri faktorje. Ta najm. sk. mnogokratnik števil a in b moremo pa tudi takó-le izraziti : med (mc).d = a . (b : m) (md) c b . (a : m). Pols n. pr. najm. sk. mnogokratnik števil 648 in 972 . E48 972 1 Najv. sk. mera = 324 . O 324 2 648 : 324 — 2; 972 . 2 = 1944, aI 972: 324 = 3; 648. 3 = 1944; tedaj najm . sk. mnogokratnik = 1944. b) Ako treba poiskati na ta način najm . sk. mnogokratnik treh ali več števil, ondaj poišči najm. sk. mnogokratnik za prvi dve števili, potem za ta najm . sk. mnogokratnik in tretje število, i . t. d. Zadnji najm. sk. mnogokratnik je ob jednem najm. sk. mnogokratnik vseh danih števil. Dokaz je prejšnjemu podoben. 1Ta.lcge. l.* Kolik je najm. sk. mnogokratnik števil a) 8 in 15 ? b) 10 in 25? c) 24 in 36? d) 12 in 52? e) 30 in 48? Razstavi naslednja števila na prafaktorje, potem pa poišči nji h najm. sk. mnogokratnik : 2. 300 in 620. 3. 240 in 486. 4. 120, 168 in 182. 5. 105, 144 in 270. 6. 3, 4, 6, 10 in 25 . 7. 2, 5, 9, 20, 21 in 24. 8. 4, 5, 6, 12, 18, 25, 70. 9. 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21 . 10. 4, 6, 7, 26, 35, 40, 56. 11 . 8, 12, 16, 24, 32, 36, 256 . 12. a, 2a2 , 3ab2, 12abm. 13. 6amn, 10am2n, 5a2n2. 14. 3x, x — 2, 5 (x ± 2}, 20 (x2— 4) in 6 (x -}-2)2. Poišči na delitveni način najm. sk. mnogokratnik téh-le števil : 15. 874 in 943. 16. 561 in 1530. 17. 1716 in 2222 . 18. 6987 in 8083. 19. 816, 765, 697 . 20. 259, 3219, 7548. 21. 24a3± 14a2— 26a -!- 4 in 6a2± 5a — 6. 22. a3-+- 2a2b — ab 2— 2b3 in a2— 3ab — 10b2. 6. Naloge v ponavljanje. 1 .* Izračunaj a) 8kratnik vsote 28 I 39 ; b) tretji del 7kratnika od 87. 2.* Katerega števila 3kratnik treba za 20 povečati, da dobiš 167 ? 3. 2460 . 11 (4375 : 125) -}-(825 X 25)1 4. 5a — {2b--(4b—3a)] — (8b — 4a)). 5. (x -{- l) (x — 2) (x } 3) (x — 4). (4x2 — 16xy -~- 16y2) (2x—4y) — 8xy (12y — 6x) . 7. S katerimi izmed števil 2 do 11 je razdelno število 68640 ? 8. Poišči naju, sk. mero in najm. sk. mnogokratnik števil : a) 1081 in 1403 ; h) 913, 1245 in 1411; c) 12a2 b -}-18ab 12a4 b — 27a2 b 3. 9. Poišči najm. sk. mnogokratnik števil : a) 12, 15, 20, 36, 40, 45 ; b) 36, 42, 54, 84, 90, 112. 10. Razstavi na prafaktorje : a) 61380, b) 2ab -~- 4ac, O xy — x, d) (rn2 n ). 11. (18a5x2 —20a2x5 -i-47a 3 x4—48a4x3) :(6a3x+5ax3 —8a2 x 12.* 6krat a) 122, b) 192, c) 236, d) 324, e) 420. 13.* a) 476 + 450 ; b) 775 ± 164; c) 960—324 ; d) 724—590. 14. Iz Pariza se odpošlje ob 10. uri 58 min. 15 sek. brzojavka na Dunaj, do kamor potrebuje 1 uro 8 minut . Kedaj dospé na Dunaj, ako je dunajska ura pariški za 56 min. 10 sek. naprej? Četrti oddelek. Cetvero osnovnih računov z ulomljenimi tevii . § 87 . Deljenje je moči v vrsti celih števil 1e tedaj izvršiti, kadar j e dividend mnogokratnik divizorjev. N. pr. kvocijent 8 : 3 je večji od 2 in manjši od 3, zatorej ga v dosedajšnji številni vrsti ni moči predoeiti . Da bode moči kvocijent a : b tudi tedaj določiti, kadar število a ni mnogokratnik števila b, za to treba novih števil . Le-tá dobimo, ak o prvotno jednoto na b jednakih delov razdelimo ter jeden tak del, katerega z w-(l beli-lina) zaznamenujemo, za novo jednoto vzamemo. S to novo jednoto prav takó kakor s prvotno štejoč, dobimo tó-le novo številno vrsto : 1 234 a -bbb'b' • b v kateri najdemo natančno vrednost vsakega kvocijenta, naj smo razdelili katero koli celo število z b. Vsako tako novo število imenujemo u l o ml j eno število , jo_E-!.,?k ali drobec (qebrochene Zahl, Bruch) v nasprotje celi m številom , s katerimi smo se dosedaj pečali ; a zavemo ulomko v števec (Z'hler), b imenovale Q„(Nenne). U lo m e k je torej število, katero izražaje jeden ali več jednaki h delov prvotne jednote. Imenovalec kaže, na koliko jednakih delov smo prvotno jednoto razdelili, števec pa pové, kolikokrat smo jede n tak del vzeli . Ulomek -ba-pomenja tedaj beni del jednote akrat vzet ; ali a1 I. O navadnih ulomkih. Občna svojstva ulomkov. § 88. Ako razdelimo jednoto na b jednakih delov, jednaka je vsot a vseh teh b delov zopet jednoti ; tedaj 1 .b 1. Ako vzamemo menj nego b tacih delov, dobimo menj, ako jih pa vzamemo več nego b , dobimo več kakor jednoto. Ulomek je torej manjši od l, ako je a < b ; jednak 1, ako je a = b; in večji od 1, ako je a > b. N. pr. 8 13 5 <8 8 81` Ulomke, katerih vrednost je manjša od 1, katerih števec j e tedaj manjši od imenovalca, imenujemo prave u l o m k e (echteBriche), vse druge neprave ulomke (unechte Bri~che) . tevilá , x séšiáv jená iz-–celega števila in pravega ulomka, zovemo m e š a n o število (gemischte Zakl); n. pr , , , ,,»>um, m 54 4 = a --a m ' n § '8 :' Ako pomnožimo ulomek z njegovim imenovalcem , dobimo števec za produkt. a b = a. b Dokaz. a • b — • a ~ . b (§ 87.) . a (i§ 35., 1.) = a (§ 88.) § 90. Vsak kvocijent moremo smatrati za ulomek, i n obratno vsak ulomek za kvocijent; dividend je ulomko v Števec, divizor pa imenovalec. a : b b Dokaz. a : b) . b ( 49., L), -c! .b = a ( 89.); tedaj b : b) b ^ba b, torej a: b a 69 § 91. Iz pojma o ulomku izvira : 1.) Izmed dveh ulomkov, imajočih isti imenovalec, e oni večji, kateri ima večji števec. 2.) Izmed dveh ulomkov, imajočih isti števec, je oni večji, kateri ima manjši imenovalec. §92. Vsak nepravi ulomek je moči pretvoriti na celo al i mešano Število ; v ta namen treba le števec z imenovalcem raz deliti. 20 20 : 5 = 4. - 23 --5 20 ± 3 5 = 4 3 + 5 V obče : a m am+r r m a, § 93. 1.) Vsako celo število je ~i pretvoriti na ulomek, č e g a r imenovalec j e dan. V ta namen treba le produkt iz celega števila in danega imenovalca za ulomkov števec vzeti . a 20 a = an : n n = 5 = 5. 4: 4 = 20: 4 = — • n 4 2.) Vsako mešano število je moči na ulomek pretvo riti. V ta namen pomnoži celo število z ulomkovim imenovalcem in ta produkt povečaj ali zmanjšaj za števec, kakor je ulomek po zitiven ali negativen ; to število je števec, imenovalec ostane neizpre menjen . = 5 + = [(5+*) .3] :3 = (15+2) :3 an± m a m= (m = n [ a+-) .1J : n (an-F-m) :n n n an —m a mn= [(a -In-n) .nl:n = (an — m) ;n n § 94. Ker moremo vsak ulomek za kvocijent smatrati, le-ta pa neizpremenjen ostane, ako dividend in divizor z istim številom pomno žimo ali razdelimo, zato velja : Ulomku ostane vrednost neizpremenjena, ak o števec in imenovalec z istim številom pomnožimo al i razdelimo. a am 8 8. 432 ; b m ' 12 12.4 48 a a:m8 8: 4 2 b h:m' 12 12 : 4 § 95. 1.) Uporabljajoč prvi del izreka v § 94., pretvorimo lahko vsak ulomek, ne izpremenivši mu vrednosti, na drugega, ki ima za imenovalec mnogokratnik prejšnjega imenovalca. V ta namen treba le novi imenovalec s prejšnjim razdeliti in s tem kvocijentom prejšnj i števec pomnožiti ; produkt je novi števec. Recimo, da nam je n. pr. ulomek 5 na imenovalec 40 pretvoriti . Tu dobim o 32 40 ; 5 = 8; 4 . 8 = 32; tedaj 4 40 imenovalec Ako bi hoteli ulomek naI4bcpretvoriti, dobili bi a b2 — a tac 4bc: 2b = 2c ; a .2c = 2ac ; tedaj 2—b 4bc Kadar izpreminamo ulomku obliko, množeč njega števec i n imenovalec z istim številom, pravimo, da ulomek razširjam o (erweitern). 2.) Ulomke razširjajoč pretvorimo jih lahko tudi več n a n o v skupen imenovalec, treba le, da je ta imenovalec mnogokratnik vseh danih imenovalcev . Navadno pretvarjamo ulomke na naj manjši skupni imenovalec. V ta namen poiščemo najprej najm . sk. imenovalec. Da dobimo potem novi števec vsakemu ulomku, treba le novi skupni imenovalec s prejšnjim razdeliti ter kvocijent s prejšnjim števcem pomnožiti . N. Pr' 1.) Pretvori ulomke 2 , š , na najm . sk. imenovalec. Najm. sk. mnogokratnik vseh imenovalcev, torej najm. sk. imenovalec, je 40, in zaradi tega dobimo 40 40 : 2 . 20, 1 .20 = 20 ali 2 20 2 0 40 : 8 = 5, 3 . 5 = 15 8 5 1 5 tedaj 40 : 10 = 4, 20 9 3 . 4 15 36 9 3 6 g . (-T 4 3 6 _ 2 40 ' 8 40 ' 10 4 0 71 a3mn 2.) Recimo, da nam pretvoriti ulomke 4b,, 4 T, d-, na najm. sk. imenovalec. Najm. sk. imenovalec je 4bc 2 d, tedaj dobimo a 2ac2d 4bc2d :2b = 2c2d, 2c2 d . a = 2ac2 d ; tedaj 2b— 4bc 2 d 3m 3cdm 4bc2 d : 4bc cd, cd. 3m = 3 cdm ; 4bc 4bc2d 4n 16bn 4bc2 d : c2d 4b, 4b. 4n = l6bn; c2d 4bc2d 96. Uporabljajoč drugi del izreka v § 94., je ~i ulomek, čegar števec in imenovalec sta z istim številom razdelna, okrajšati (d kúrzenl; v ta namen treba le števec in imenovalec z njij u skupno «.,** . mero razdeliti. N. pr. 35 200 20 40 8 240 — 24 4am 2m 12a 2bx2 4a b 6 an 3n 15 acx3 5cx T,T' a, 1 o e. Pretvori na cela ali mešana števila : i 24 27 32 37 30 57 96 104 223 4' 2' 5 ' 4' 6 ' 3' 8' 7 ' 10 982 744 2383 3383 13785 40597 9 2. a) 5' 24' 9 ' 30 128 ' 96 ax 3bx2 4a+ 3 am+b 3ax—b ab2c—mx b) , ax 4'na 3x ab Pretvori na neprave ulomke : 3.* 6, 74, 13*, 312, 154, 211, 27., 301. 4. a) 77*, 951, 5612, 56 4 8330 , 324?4 . b 5y x2 b)a+ x m' ,5x 2x' x m+n a —b x 2 — 2xy y2 c) m 1 1± 2 ' ± a + b ' 4xy b2— c2 a2— b 2 c a a 4 -2b' d) 1 2bc 2bc 2 b a' -b2 5.* Pretvori ulomke 3 , *, l, -Z na skupni imenovalec 24. 6. Pretvori ulomke —2 3P na imenovalec 30abxy. 1 a ' 3ab' 6 ax 10b y 72 Pretvori té-le ulomke na najm . sk. imenovalec : a) in b) in c) -kin w;d) in 3 -i- -o-. in ;,--y; b) -i-%- in in 2 f; d) -1,4 in4. 1 2 3 5 3 7 7911 13l Tu, 2? 3? 4? 67 W, 12 • 8, 18?---T8s , 1 l 2 18 19 25 2l 3 5 7 11 41 65 Tfl 4-151 56' 3, 4, 65 12, 20 ' 1? 52319 29 1 27 .1, T70, +~, 12 8 41, 36 A*, 12 1 5a 3bc 4def 16. a2' m' 31'1 2 ' 4m3 ' 5m 4 a—2 a-3 17. /s. y+1 y—1 y2 + +1' a+2' a+ 3 y y2_ 19. x + 1 x2+2x 3x x2— 1 x—1' x2 —1 ' x +1' x2 +1 Okrajšaj té-le ulomke : 24 1 5 18 35 60 24 ~ 0. *8-6, --H-, 'i-S- , , H, TVT-. 21. a) b W40 ; O Mb ; d) 4---00$ ; *4245 .12 .18 6.12 .20 .28 6. 21 .24.36 .75 22. & 4. 10. 27 b) 4. 8. 16. 30 0 8. 27 . 50 56. 60 63 7 . 23. a) M; b) O 71 M; w9-7, 9-,TV5 n(n-I) (n-2) (n -3) (n -4) 24. Izračunaj vrednost izrazu za n = 6, 1 .2.3.4 . 5 prav takó za n = 8, potem pa dobljena ulomka okrajšaj . Okrajšaj té-le ulomke : 25. a) 132abbmxx ; b) 12a 2x ; 1450abtmnx: ; 72mx2y3 d) 96nx'y 2 a(a +l) b) 2m (m — l) . 15(a+b) (x —y) 26. a) -, (a + 1) (a + 2) ' _ 1 0 24 (a — b) (x y) 3a—6b b 6a+ 3b . ,) 3a'b—2a2 c 27. a) 8a - 16b ' 4a2— b2 ' bab — 4ac 2. Kakó e ulomke seštevati in odštevati . §97. l.) Ulomke jednakih imenovalcev seštejemo, ak o seštejemo njih števce ter tej vsoti skupni imenovalec za imenovalec damo. a a+b +b m m m Dokaz izvira neposredno iz § 55., 1.) in § 90. 73 N. pr. 7 5 7+5 12 = =14; 8 8 8 8 = 2 a+b a—b (a+ b)+ (a —b) 2a a 2m2m = 2m 2m m 2.) Kadar je treba ulomke nejednakih imenovalce v sešteti, ondaj jih pretvori na skupen imenovalec, potem pa uporabi prejšnji izrek. N. pr. 5 9 1019 - 12 , 6 12 12 12 b an bm an+b m n mn mn mn § 98 . l.) Ulomke jednakih imenovalcev odštejemo, ako subtrahendov'' števec od minuendovega odštejemo ter tej diferenc i skupni imenovalec za imenovalec damo . a b a —b m m m Dokaz izvira neposredno iz § 55 ., 2.) in § 90. N. pr. 7 37—34 2 1010 10 10 x+y x—y (x+ Y) — x +y — x+ y 2y — V') mmm mm 2.) Kadar je treba odšteti ulomke nej e dn ak i h imenovalcev, ondaj jih pretvori na skupen imenovalec, potem pa prejšnji izre k uporabi. N. pr. 6 88 8' an bm an — bm mn mn mn e_ l.* a) 81 ± g; b)š+41 . c) 24- ± OT,72 + _. #._. 2. *a) :g-—H 2 l— * ; b)875+ i5 + O5 6xó l— 7 % . 3. 35-,--,---~--57á + 79U . 4. 54E- + 98 I , 44 I 613 . 5.* a)j -2-; b) f. 1& ; 2 + 4; d) `J172 + 18 6.* ct) 3 --~— 4; b) ± c) 3—7 ± N---; d) 17 + 12 2 . 7. -Z ; b) 2 4- -I; c) 1š 4- 2 1. 3 5• 8. + ± 11 . 9. S l-1 2 244-H. 10. 231 ± 21 -- 5824 + ** - 11. 52;4 ± 9314 ± 88 ± 35-H ± 208376 . 12. 4068 I-1234g -j- 5678H ± 9874- ± 65434 2 . 11.* a) 1 1 11. ; b) *; c) 8 5 2*; d) 374* --1 8-k 14.* ct) 235 — 16; b) 1 ,,; c) 10 -U ; d) 78 — 39-j .7-6-. 15.* 5031-n- -16. (2342 5 — 4761-41 . 17.* a) $ ---4 ; b) 21' — T4; O 16 — T%-;d) 81-*— 18.* a) 12+-. — 820 ; b) 1~>š 7 , — c) 5814 — 194 19. 265-N- - 156-U . 20. 3744 $ — 2152á. 21. 437T7-- - 18714. 22. 3294 109š-~ , 23. Recimo, da imamo té-le ulomke : i, 4, š;; za kolik $1 o 1š 2 je vsota prvih dveh ulomkov manjša od l? — za koliko vsot a prvih treh, štirih, petih, šestih ? 24. 3 8 [11-- - l$+ 1 2) — IT~ul l 25. 32 3 — (14 (4-2) — -} 121± 6~ 28 4x2xm z 26. 27. 3. 334 88 a+4x I 2a—x 30. a+ b 2a - b +3 c 29. 33 3m3m 3a—2 2a+ 3 x+ Y x— 31 . 32 5 3 ` 8 12 2 y2 z2 34. 1 + 12 --~-- t-x3 x bcac ah' xx y 36. J— 1 a+b a—b a + b —b. _ a — b + a + b a—b a+ b 39 9a+2 7a+5 8—7a + 5—3a 3—7 a 3468 12 2 '54 37. 38. —, — a 40. 2x—1 3x — 1 2x—3 2x 3x+1 4x— 3 4t. x — l ± x—2 x— 3 a+b—c b+c b+c—a -~ 42. - ab ac bc 75 Kakó je ulomke množiti in deliti . §99. Ulomek pomnožimo s celim številom, ako z njim števec pomnožimo ali imenovalec razdelimo. aam a 2.) «, .m = l.) *m, b:m Dokaz l.) a a b a m a —} --}-( m krat) a + a + a ± . (mkrat b am b 2.) b a . m abm (vsled l.) = <:hrnb : : m ( m )94 . b a : m' Drugi način je ~i le tedaj uporabiti, kadar je ulomko v imenovalec s celim številom razdelen . Dokaži ta izrek, uporabljajoč § 91., še na téh-le primerih : 23 a) is X4, b) X4. § 100. Ulomek razdelimo s celim številom, ako z njim števec razdelimo ali imenovalec pomnožimo . a 2.) Lb :M=—• bm Dokaz. 1.) Ako je izraz a b pravi kvocijent, dati mora, z divi zorjem zorjem m pomnožen, dividend za produkt. In res je a :m = (a :m) , m. = (§ 99.) bb b Takisto dokažeš tudi 2 .) Prvi način je ~i le tedaj uporabiti, kadar je ulomkov števe c s celim številom razdelen. Dokaži ta izrek, uporabljajoč § 91., še na téh-le primerih : 18 a): 3 b) 25 § 101. Vzemimo, da treba n. pr. 5 s 4 pomnožiti. Tu bi morali, oziraje se na ono, kar smo v § 33. o množitvi povedali, število 5 l- krat kot sumand vzeti, to pa očividno nima nikakeršnega zmisla . Treba torej pojem, katerega smo za množenje celih števil prej ustanovili , takó raztegniti, da se bode dal uporabiti tudi za ulomke . Da pomnožimo 5 s 3, treba vzeti 5 3krat za sumand; da pa pomnožimo 5 s četrtim delom od 3, vzeli bodemo 3krat za suman d ne števila 3 samega, nego njega četrti del ; tedaj 5555 15 5 T ± 44 X 3 44 Število z ulomkom pomnožiti se tedaj pravi, število na toliko jednakih delov razdeliti, kakor kaže ulomkov imenovalec te r jeden tak del tolikokrat za sumand vzeti, kakor kaže števec . Naloge praktičnega življenja same kažejo, da nam je na t a način raztegniti pojem o množitvi. Da v obče iz izneska za jednoto najdemo iznesek katere koli istovrstne množine, treba pomnožiti jednotin iznesek s številom, množino izražujočim. Ako velja n. pr. 1 m 5 gl ., veljajo 4 m 5 gl. 4. Pomen tega produkta je razviden iz razrešitve te naloge ; dobimo namreč : 1 m velja 5 gl. ; T m velja četrti del od 5 gl ., tedaj 15 gl . ; 3 m veljajo 3krat toliko, kolikor 4 m, tedaj gl. X 3 ; zato je 5 gl.X 72- = gl. X 3. Število pomnožimo tedaj z ulomkom, ako je z imenovalcem razdelimo in kvocijent s števcem pomnožimo . a m a m am n n n ; 10 3 1 0 - 3 = 5 2 . 3 = 6. m Ako je ulomek pomnožiti z ulomkom dobimo po prej b — šnjem izreku am aam . m. m b n bn bn t. j. : Ulomek pomnožimo z ulomkom, ako pomnožimo števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. N. pr. 7 3 . 7 21 5 .10 50 77 Dostavek. Ako dasta dve števili 1 za produkt, imenujemo vsako izmed njiju obratno ali recipročno (um,qekehrt, reciprok) vrednost druzega . Takó je a . a1 — 1, tedaj a 1 recipročna vrednost števila a,, m nn m » »» nm n 9 3 4 4 3 _» »» . 43 4 § 102. Ker je v § 48. ustanovljeni pojem o delitvi obče veljaven, iz vira iz njega tudi izrek, kakó je deliti z ulomkom, namreč : Število razdelimo z ulomkom, ako je s števcem raz-, delimo in kvocijent z imenovalcem pomnožimo, ali ako je z ulom kovo recipročno vrednostjo pomnožimo . ma 40 l.) a:– 8: n m .5 3' mn 8 8. 5 40 2.) a:–n a. — m' *533 Dokaz. l.) Ako je izraz (a-n) pravi kvocijent, dati mora, z divizorjem "-—n'pomnožen, dividend a za produkt. In res j e ma a (–a . n) [(– . n) : nl . m (§ 101.) =. m = a. mnm m 2.) Prav takó 'e tudi n)m nm a •. —=a . (— —)=a .l=a. (— m n mn Takisto dokažeš lahko tudi, da j e ama:m 84 8:4 2 l.) , b :n 9 155 15:5 3 9 am an 84 8540 2 2.) b ' n bm' 155 154 60 Dostavek . Ulomek, čegar števec ali imenovalec, ali tudi čegar števec in imenovalec sta zopet ulomka, imenujemo dvojen ulom e k ali u l o m l j e n ulomek (Doppelbrueh, Bruchbruch). 78 Vsak dvojen ulomek pretvoriš lahko na jednostavnega, uporab ljajoč § 94. ali § 90. N. pr. 8 15 8. --- -_ 3 . 1'J 5 3 ali 15 1\Talagel.* a) . 6; b) h. 7; c) . 5; d) 25 . 16. a) . 6; b) N-. 12; c) šó . 30; d) . 20. 3. a) 74 . 9: b) 82 .5; c) 5~5. 6; d) In . 24. 4. a) 81-10. 74; b) 5745. 79; c) 2585ó. 85; d) 6074*. 120. 5.* 1 m velja f gl .; koliko velja 5, 12, 37, 72 m? 6.* 1 hl velja 234 gl. ; koliko velja 6, 15, 32 hl ? 6x2 2a 2x2 3c. 8. mil ' My. .. y2. 7 4m-15 b2y2 5 2 2422 a — b 10. . 12. a ±' . (a b). 5y 2ab2b. m 13. (a + b2—a) 2a. 14. ± a m4. 13m3 2m2 m) loi • m3 m2 m . 12n. 16. (+—) • 4n3 3n 2 2n 2a 2 ga _4) . (; x2 x x3 (I+ a2b 2 —2abc2+ c4 18e a2b2 — 2abc2 c4). 4abc2 19. ) T84 ; 4; b) lt : 6; c) 3 i : 7; d) 7w : 12. 20. a) á:5; b)áá:4 ; c) d) 91-~b-:15. lit :9; 21, a) 9124 : 3; b) 1842-: 16; c) 791-4 ; 27; d) 1795 : 34. 22. Lokomotiva predirja v 4 urah 113* km ; koliko v 1 uri ? 23. Koliko hl vina bodeš dobil za 4992 gl., ako je hl po 18 gl. 15ax 25 12amx 8x224 - 5x : 4ax. 26. : 3my. 5b 5bc 3my 10m 3 n 2 27. .. . 2ab2. 28. : 5mQn2. xy2 4a2b 79 a2 m— b2 29. 1 --~-: 2 m. b) . m +n + 5ab — 6b2 3/ .: (3a — 2b). 2a+ 3 b 1 + 2m — 2m 3 — m4 : (l + 2m 4 1 — 2m + m 2 33. a ) 15 . *; b ) 64 .4; c ) 31 . - , -O; d ) 8 . 5w . 34.a) . ; b) ; c) 101%. . 2; d) 27*~ . 15 .2 35. a) š á. 15 b) 28 3. 95. c) 53 4. d) 216-2-w . 154 . 36. 64. 4 . . l5. 37. f 12-. 6 . 11 . 38.* Za koliko je produkt ulomkov 4 2 -manjši nego vsak faktor ? 39. Za koliko je produkt ulomkov 2 , š , 2 in š manjši neg o njih vsota ? 40. l kg eukra velja 48 kr. ; koliko velja 21 25T%-kg ? 41 . B ima 2 2krat toliko denarja kakor A, C 1-7-krat tolik o kakor B, D pa le *krat toliko kakor C; recimo, da ima A 452 &a ; a) koliko denarja ima vsak izmed ostalih, b) koliko ga imajo vs i skupaj ? b 2b 3ab 2 42. 8a 4 43. a x . 44. 4 4 2x y bxg b 45. 2a3 46. . 47. 3ax 2 (a 2a2c ax ax 4x 7a 2ab Sax 5 48. 49. 50. mx 3. 3y 9b cd cm 9 ny 10m 4a 7b 2a 2c 6a 2x 5x . 3b . . 52. 5b 8x 5c 3x y 3a b 5y 53. 12a 2 b 13x2y6 6a 2b 14c 5d 54. 39xY' 24a4 b 7b 3cl 15e 6a 55.*a+b .a—b a—b 56. l -+ v m — n m ± n * 2b a2 3a2 a x2—2x+ 4 x4+ 8 57. (a3 58. 2b 3b 2 4b3 4b2 x4 2x2+ 4 x2 — 9 a ab 59. (l+ -b-a) ( b a+b a— h 7x25x 2 60. (3 2 2x )(104 3 m 61. (l+ ±2 m23 ±. 62.* a ) 24 :.; b ) 15 : c ) 10 : *; d ) 32 : 5 1. 3. G) E--: 32 ; b) 1 ,T h; c) 40 : jg ; d) 8.4 : 64. a) 7 1"?--: b) 1401-: 5-f5-§-; c) lO5iá :14 ; d) 1354 ; 2-U66.* 272 l vina treba v steklenice iztočiti ; koliko steklenic s e potrebuje, ako drži vsaka natančno po š l? 66. Vlak predirja, ker je cesta različno napeta, v prvih tre h urah 944 km, v naslednjih 22 ure 702ó km in potem v 32- ure 127 17?,km ; kolika je njega poprečna brzina v 1 uri ? 2m 3b 2 67. 2am : 68. 12a 3 : "2. 69. 6a2y : bx 2y x + a4-b 70. Cx }- y} : „zklá b 2} : x— a —b y2.x y 3a . 5x 72. 4y ' 2b a2— b2 ` a 4-b l xy 74. a --: 75-x± y ,_ y : x2 y2 c 76. 4(x+ Y) . 8(in —n) 77. (3x' 9x2 xy 3x 9 (m — n) 3 (x — y) 4y 15 -T-10 5y 47 3 5 78. a 2 210a b 4 9 a2 5x6 43x2 3x2 6 a2 79. 12a' 24 a2 5x2 4a2 5x2 4 š 80. a) b) , 5. 6 1. 4 1 2 4 24± 2* ;4 ' 3 11+ 5 :13 22--1 23 [(2 1 4 : 7) X 1š~: 4 - 84. (41_13 ) . 2--+ 4 31—114 . (24— .5-1 86. 2 4 ti,~25 -5l~ 2 +24-31 : lš a +b a — b 2'b ab m+n a—b 86. a) a b) a2 b2C) a2 1)2-a2 b2 m2 _ n2 b a2b2 2 a b xx bx—ay a4 87. x+a x— x+ya` 88. a a bx+ ay a x — a x + a x + y II. O decimalnih ulomkih. § 103. Ulomek, čegar števec je celo število, imenovalec pa cela potenc a števila 10, tedaj 10, 100, 1000, . . . 10% imenujemo decimale n 213 517 57 ali deset i. n s k ulomek (Decimalbruch) ; n. pr. 100 , -w , I000. Občna A. oblika decimalnega ulomka je , kjer pomenjata A in m celi števili. 10. Vse druge ulomke zovemo v nasprotje decimalnim ulomko m navadne ulomke (gemeine Britche). Decimalne ulomke pišemo brez imenovalca ; zato pa odre žemo v števci od desne proti levi s točko, decimalna ali desetinska točka (Decimalpunkt) imenovano, toliko številk, kolikor im a potenčni eksponent števila 10 v imenovalci jednot, ali kar je prav tisto, kolikor ima imenovalec ničel. Ako v števci ni toliko številk, kolikor jih je treba odrezati, ondaj dopolnijo se prazna mesta na lev i z ničlami. N . pr. 78317 78317 5483 5483 0 , 5483 , -78 . 317, 10 1000 10 10000 37 37 = O . 00037 . 105 100000 Številke na desni decimalne točke imenujemo decimalke al i desetinke (Decimalen) . znaki torej decimalen ulomek z m decimalkami. Da zvemo, kaj pomenja v decimalnem ulomku vsaka posamičn a A. številka, vzemimo decimalni ulomek kateri ima 4 decimalke ; 10" recimo, da j e A=,. . . 105 -e. 104± d . 103+ c 10 b 10 a, tedaj A .. f. 105 + e .10 4+ d.10 3+ c. +b .10+a 104 = 104 dc ba . .f. 10 eij I 103 + 104 102 ' Število pred decimalno točko je tedaj celo število ; prva decimalka pomenja desetine, druga stotnine, tretja tisočnine , četrta desettisočnine, i. t. d. 34781 34000+ 700+ 80+ 1 N. pr. 34. 781 = 1000 1000 78 1 = 34 + + 100 --4- 10 1000 6 V celem številu, napisanem po dekadnem zakonu ( 8 .), ima vsaka številka na naslednjem mestu proti desni le deseti del on e vrednosti, katero je imela na prejšnjem mestu . Prav tisto velja tud i o decimalkah, kajti desetina je deseti del jednice, stotnina deseti de l desetine, i. t. d. Uvedši decimalne ulomke smo tedaj le dekadn i številni sistem raztegnili in to takó, da se ne končuje vrsta številnih redov . tisočev, stolic, desetic, jednic pri jednicah, neg o se po istem zakonu, t. j. vsaka nižja jednota se smatra za deseti del jednote prejšnjega višjega reda, nadaljuje v desetinah, stotninah , tisočninah, .. tudi pod jednice. Decima111a točka loči prvotne številne rede od te dopolnitve. V dekadnem sistemu ima tedaj število v obče tá-le obliko . 1034-b. 10 + a. 10 I j --{- c Y4--: -} -‘ + 1.02 1-:O3 1a kjer pomenjajo j, a, b, c . . . številke jednic, desetic, stotie, tisočic, . in a, (3, I, . . številke desetin, stotnin, tisočnin . Decimalen ulomek eitamo takó, da izgovorimo najprej celot e in potem vsako posamično decimalko z nje imenovalcem ali bre z tega, ali pa vse decimalke z njih skupno vrednostjo . Izvod. Decimalnemu ulomku vrednosti ne izpremenimo, ak o mu pripišemo na desni kolikor si bodi ničel. N. pr. 0 . 23 == 0 . 230 0-2300 == 0-23000. Kako je pretvarjati navadne ulomke na decimalne in obratno . § 104. Da pretvoriš navaden ulomek na decimalen ulomek , razdeli števec z imenovalcem, v kvoeijentu pa postavi za celotam i (na njih mesto pride pri pravem ulomku ničla) decimalno točko . K ostanku ničlo pripisavši, deli zopet ter dobljeno kvoelj"e-n --Šrev ilko na desno od decimalne točke zapiši ; prav takó pripiši potem k vsakemu naslednjemu ostanku po jedno ničlo ter deljenje nadaljuj, dokle r ne dobiš delitve brez ostanka, ali, ako se to ne zgodi, dokler nima š toliko decimalk, kolikor je zahtevanih . 3 4 30 : 4 = 0 .75 329 12 5 ,---,, 329 : 125 2 . 63 2 20 79 0 0 40 0 250 O 83 Dokaz. Ako pripišeš k ostanku celot ničlo, pretvoriš ga n a desetine, in ako le-té razdeliš, dobiš tudi v kvocijentu desetine . Ako pripišeš ničlo prav takó k ostanku desetin, pretvoriš ga na stotnine, in le-té razdelivši dobiš tudi v kvocijentu stotnine ; i. t. d. Dostavek. l.) Da je moči navaden ulomek natančno na decimalen ulomek izpremenili, treba, da je ta končen (endlich) decimalen ulomek, t. j. prej omenjena delitev se mora dati izvršili brez ostanka. A to je, ker vzamemo, da sta števec in imenovalec navad nega ulomka relativni praštevili, le tedaj mogoče, kadar nima imenovalec nikakega od 2 in 5 različnega faktorja . V vseh slučajih, v katerih imenovalec faktorjev 2 in 5 cel o nima, ali v katerih ima razven teh še druge različne faktorje, ~i je navadni ulomek v njega najjednostavnejši obliki le približno n a decimalen ulomek pretvoriti . 23 N. pr. 23.0: 78 = 0 .2948 . 78 7 40 380 680 56 2.) Kadar ulomka ni móči natanko na decimalen ulomek pretvoriti, ondaj moramo, njega približno vrednost računajoč, dobiti nekaj decimalk, katere se v istem redu ponavljajo. Kajti v vsaki delitvi je ostanek manjši od divizorja ; zato je le toliko različnih ostankov mogočih, kolikor je celih števil, ki so manjša od divizorja. Delitev nadaljujoč, moramo dobiti tedaj slednjič ostanek, katerega smo že prej imeli ; a potem se bodo tudi v kvocijentu v istem redu ponavljale številke, katere smo bili že prej dobili, in prav takó se bod o ponavljali tudi prejšnji ostanki. N. pr. 18 — = 7.0: 15 = 0 .4666 . . 18'0: 37 = 0 .486486 . 15 37 l 00 3 20 100 240 100 180 10 320 240 18 Decimalne ulomke, v katerih se nekoliko številk v istem red u ponavlja, imenujemo povratne ali pen i j o dne (periodisch), vrsto ponavljajočih se številk pa p o v r a č a j ali p e rij o do (Periode). 6* 84 Perijodne decimalne ulomke imamo dvoje : č is tqpij'o e (rein periodiseh), t. j. take, pri katerih začenja perijoda s prvo deci malko, in nečisto ali mešano p_e r i j od n e , , (unrein periodisch) , ,,,,,, ---" t. j. take, ki imajo pred perijodo še druge decimalke . Perijodo pišemo navadno le jedenkrat, toda nad prvo in zadnjo njeno številko postavimo točko ; tedaj je 7 18 = 0.46 0 .486. 15 37 § 105. Pretvarjajoč decimalne ulomke na navadne ulomk e razločuj té-le slučaje : l.) Končen decimalen ulomek pretvoriš na navade n ulomek, ako ga v obliki navadnega ulomka napišeš ter tega, ak o mogoče, okrajšaš . 32 5 N. pr. 0 .75= 17o50 4, 31. 325 =---- 31 1000 == 31 40. 132.) Čisto perijoden decimalen ulomek pretvoriš n a navadnega, ako vzameš za števec perijodo, za imenovalec pa toliko 9, kolikor ima perijoda številk. 46 * 0 .4a = 99 Dokaz. Ako zaznamenujeŠ iskani navadni ulomek z x, ondaj j e x 0 :'4B44 46--. . To jednačbo s 100 pomnoživši, dobiš 100x = 46':464644646 . . Ako prvo jednačbo od druge odšteješ, dobi š 99x = 46 , in odtod 46 x 99 3.) Mešano perijoden decimalen ulomek pretvori š n a navadnega, ako odšteješ število, obstoječe iz decimalk pre d perijodo, od števila, sestavljenega iz decimalk pred perijodo in v perijodi, ter to diferenco vzameš za števec ulomku, čegar imenovale c ima toliko 9, kolikor ima perijoda številk, s toliko ničlami na desni , kolikor je pred perijodo decimalk. 325 —3 322 0 . 325 =-= 990 990 Dokaz. Ako zaznamenuješ iskani navadni ulomek z x, ondaj j e x 0 . 325252525 . . Pomnoživši to jednačbo najprej s 1000 in potem s 10, dobi š 1000x 325 . 242525 . . 10x =--- 3 . 262525 . Ako tretjo jednačbo od druge odšteješ, dobiš 990x = 325 — 3, in odtod 325 —3 322 x 990 990 oetvero osnovnih računov z decimalnimi ulomki, § 106. Za decimalne ulomke veljajo prav tisti zakoni kakor za cela števila, zatorej je z njimi tudi prav takó računati kakor s celimi števili , paziti je le na vrednost posamičnih številk, t. j. na decimalno točko. Ako nam je decimalne ulomke seštevati ali odštevati , pišemo jih takó, da pridejo istoimenska mesta, tedaj tudi decimaln e točke, natanko druga pod drugo ; potem jih seštevamo ali odštevam o od desne proti levi, kakor cela števila . Na praznih mestih misliti si moremo ničle . 35 .312 215.3456 0 . 5678 91 . 45923 39 .2 diferenca 123 . 8863 7 vsota 75 . 0798 § 107. l.) Decimalen ulomek pomnožimo s potenco števila 10, ako pomaknemo decimalno točko za toliko mest proti desni, kolikor ima multiplikator ničel . a aa 10n 10,71 : 10n 10m— n 3.14159. 100 = 314 .159, 0 .097325. 1000 = 97.325. 2.) Decimalen ulomek pomnožimo z decimalnim ulomkom, ako ga pomnožimo, ne oziraje se na decimalni točki, kakor celi števili ter potem v produktu od desne proti levi toliko decimalnih mest odrežemo, kolikor jih imata oba faktorja. ab a 10m Ion 110m+ n Prav tisto velja tudi, ako je jeden faktor celo število . Kadar produkt nima toliko številk, kolikor jih je treba odrezati, postavijo se na prazna mesta na levi ničle. 6.543 . 2. 37 13 086 1 9629 45801 4. 23 . 0. 0130 7 1 26 9 296 1 0.0552861 15 .50691 § 108. Pri praktičnih računih zadostuje navadno, ako pridržimo o d decimalnega ulomka, imajočega veliko decimalk, le nekaj decimalni h mest, in sicer toliko, kolikor jih zahteva natančnost računa. Pogrešek, ki na ta način nastane, skušamo kolikor mogoče zmanjšati in to taká, da povečamo, o (corrigieren), zadnjo pridržano decimalko za 1, ako je prva izpuščena številka 5 ali večja od 5 ; kadar je pa prva izpuščena številka manjša od 5, tedaj ostan e zadnja pridržana decimalka neizprernenjena . Takó vzamemo mest o decimalnega ulomka 0 . 728374, ako zadostujejo 4 decimalke, 0 . 7284 , in če zadostujejo 3 decimalke, 0 . 728. Tak decimalen ulomek imenujemo okrajšan. Okrajšan decimalen ulomek izražuje le približn o vrednost popolnega decimalnega ulomka, toda pogrešek ni nikda r večji nego pol jednote zadnjega pridržanega decimalnega mesta . Kadar nočemo dobiti v produktu dveh decimalnih ulomko v nižjih mest, nego jih zahteva natančnost računa, poslužujemo se okrajšanega množenja, =ožeč z vsako multiplikatorjevo številko le one multiplikandove številke, katerih produkti uplivajo na zahte%ana mesta. Kakor lahko razvidno, je v ta namen takó-l e ravnati : 1.) Jednice multiplikatorjeve zapiši pod ono multiplikandov o mesto, katero se–vproduklu kot najnižje zahteva ; vse druge številk e pa napiši zraven teh jednic v obratnem redu. takó, da se prikaže ves multiplikator obrnen . 2.) S prvo na desni stoječo številko obrnenega muli iplikatorja pomnoži najprej ono multiplikandovo številko, katera stoji za jedn o mesto dalje proti desni, pa tega produkta ne zapiši, zapomni si le njega najbližje dese'tice, katere dadé popravo ali korekturo ; potem pomnoži ravno nad njo stoječo številko multiplikandovo, k produktu prištej popravo in tu začni produkt napisavati ; na to pomnoži zaporedoma tudi vse naslednje multiplikandove številke . Prav takó množi z drugo, tretjo, . . multiplikatorjevo številko, dobljene okrajšane delske produkte pa piši takó druzega pod druzega, da pridejo njih najnižja mesta natanko drugo pod drugo . 3.) Te delske produkte seštej in v vsoti odreži toliko decimalk , kolikor je zahtevanih. N. pr. Recimo, da nam je na okrajšani način izračunati : a) 35.2156 . 3. 506 na 3 decimalke. b) 3 . 047653 . 0.00086 7 na 5 decimalk. 35. 2156 6 053 3 . 047653 76 80000 105 647 17 608 211 24 4 1 8 2 123 . 466 0. 00264 Ako hočeš, da je zadnja decimalka zanesljiva, izračunaj jedn o več, nego je prav za prav zahtevanih . Prav takó kakor decimalne ulomke množiti je na okrajšani način tudi cela števila, ako se zahteva le nekaj najvišjih mest. Ako nam je n. pr. produkt 310786 . 45067 izračunati na deset tisočice, dobimo 310786 . 4506 7 76054 1243144 15539 3 1864 217 1400618 desettisočic = 14006180000. § 109. l.) Decimalen ulomek razdelimo s potenco števila 10 , ako pomaknemo decimalno točko za toliko mest dalje proti levi , kolikor ima divizor ničel. aa Ion 10,n+ n 345 .67: 10 = 34 -567, 3 .78: 1000 = 0 .00378. 88 2.) Ako je razdeliti decimalen ulomek z decimalnim ulomkom, ondaj pripiši k dividendu in divizorji na desni tolik o ničel, da bosta imela oba isto toliko decimalk, potem izpusti decimalni točki ter delitev izvrši kakor pri celih številih. a b a10m a — =— a : b. 10 rn * 10 m — bb 3 .1452 : 1 .234 = 31452 : 12340 = 2 .54878 . . . Prav takó ravnaj tudi, ako je dividend ali divizor celo število . Bolj praktično pa je uporabljati tá-le pravila, katera so sama ob sebi jasna . a) Decimalen ulomek razdelilno s celim številom , ako ga razdelimo kakor celo število ter v kvocijentu decimalno točk o postavimo, predno vzamemo prvo dividendovo decimalko v račun . N. pr . 487 .75: 25 = 19.51 237 127 25 0 b) Število razdelimo z decimalnim ulomkom, ako pretvorimo, pomnoživši dividend in divizor s primerno potenco števila 10 , divizor na celo število ter potem delimo kakor pri a). N. pr. 0 .05496 36.84 = 5.496: 3684 = 0 .00149 . . 34461 : 0 .63 = 3446100 : 63 = 54700. Dostavek. Iz prejšnjega je jasno, da je zavisna številčna vrst a v kvocijentu le od številčne vrste v dividendu in divizorji ; zaporedne kvocijentove številke dobimo tedaj, izvršivši delitev, ne oziraje s e na decimalni točki v dividendu in divizorji, kakor pri celih številih . Da določimo kvocijentovim številkam mestno vrednost, treba si l e divizor pod prvi delski dividend zapisan misliti ; prva številka v kvocijentu ima prav tisto mestno vrednost, katero ima nad jednicami divizorjevimi stoječa številka v dividendu ; ako je pa določena mestna vrednost prve kvocijentove številke, določena je tud i mestna vrednost vseh druzih. pr. a) 9142 .2326 : 34 .9 = 2 . .., b) 3 .4856 83 .7 = 0 .04 . . 349 837 Pri a) stojé divizorjeve jednice (4) pod dividendovo številko 1, katera pomenja stotice ; vsled tega pomenja stotice tudi prva kvocijentova številka 2 . Pri b) stojé divizorjeve jednice (3) pod dividendovo številko 8 in ta im a vrednost stotnin ; tedaj ima vrednost stotnin tudi prva kvocijentova številka 4 . 89 § 110. Da določimo v kvocijentu dveh števil le toliko številk, koliko r jih je zanesljivih, in se ob jednem izognemo vsemu nepotrebnem u računanju, v to služi nam okrajšano deljenj e. Bistvo okrajšane delitve je tó-le : 1.) Najprej poišči prvo kvocijentovo številko in tej določi mestn o vrednost (uporabljajoč dostavek k § 109 .) Iz mestne vrednosti prve kvocijentove številke in iz števila zahtevanih decimalk določiš lahko , koliko številk je treba sploh v kvocijentu izračunati. 2.) Za okrajšani divizor vzemi toliko najvišjih divizorjevih številk, kolikor se jih v kvocijentu zahteva, za okrajšani d i v i d e n d tudi prav toliko, ali pa jedno več, ako bi imel pri navadnem deljenji prvi delski dividend jedno številko več nego divizor . 3.) S prvo kvocijentovo številko pomnoži najprej najvišjo izpuščeno divizorjevo številko ; iz tega produkta dobljeno popravo prištej k produktu iz okrajšanega divizorja in prve kvocijentove številke in ta produkt odštej od okrajšanega dividenda. 4.) K ostanku ne pripiši nobedne nove številke, za to pa odreži v divizorji najnižjo ; potem deli kakor poprej in takó ravnaj , dokler ni v divizorji nobedne številke več. 5.) Ako dani dividend nima toliko številk, kolikor jih mor a imeti okrajšani dividend, ondaj mu pripiši toliko ničel, kolikor im a številk premalo. Ako ima pa divizor premalo številk, začni na okrajšani način še le tedaj deliti, ko si vzel že vse številke okrajšanega dividenda v račun. N. pr. 3 dec. 3 dec. 876.54138 ; 1,8. ,9,5,7 9 = 46. 236 8. 91125 : 9, 4.175 = 0. 094 118 22 39 4 48 1 69 12 1 Okrajšana delitev se more uporabljati tudi pri celih številih , ako se zahteva le nekaj najvišjih mest. Ako hočemo določiti n. pr. kvocijent 35874137 : 8435 le do stotic, dobimo 358174137 : 8,4135 = 42 stotic 21 4 90 Z•Ta.loge_ Pretvori té-le navadne ulomke na decimalne : 2 17 39 57. 2346 107 . 1.a) --5 . b) ; c) s~-' d) 125' eJ 625' • 32 43 36 25 . 1043 312 2. ) 41 ;f) 13 • a) 56 ' b) 9 11 37 ' e) 7 214 11 3 31. 108 933 d) 275 a)Ji; b)55 ; --7 ; 36 ' e) • 1640 PretvQri té-le decimalne ulomke na navadne : 4. a) 0.25, b) 0 .75, c) 3 .072, d) 5 .725, e) 0.0024,f) 8 .0875 5. a) O.6, h) 5 .i, c)0 .21, d) 6 .06, e) 4 . 4Š,f)0.4378 6. a) 0.26, b) 2 .351, c) 4.413, d) 0 .1245, e) 0 .793. 24.. 7. 32 .38 -I 43 .49 –I– 21 .27 -- 78 .04 ---49.83. 8. 5 .273 9. 0 .7619 10. 13'58 11. 23 .3182 0 .689 0 .7988 6.376 9 .305 5 .035 0 .5225 42.0457 0 .2649 4 .621 0.8098 86 .93 68 .16804 1283 .8 — 25 .4. 13. 57 .16 — 9 .58. 14. 3 . 407 — 0 . 562. 15. 62 . 027 — 29 . 28. 16. 17 . 69 . 374. 17. 1 — 0 . 4736. 18. 257 . 328 — 138. 19. 85 — 46 . 55037 . 20. Izračunaj A = a 4-b c, B a b — c, C=a—b c, D=1.-1 c — a za a 23 .4567, b 39 .0703, c 51 .809. 21. Recimo, da preleti prosto padajoče telo v prvi sekund i svojega pada 4.904m in v vsaki naslednji sekundi za 9 .808 m več kakor v prejšnji ; koliko m preleti a) v drugi, tretji, četrti sekundi. ? b) v prvih štirih sekundah? 22. 1 km = 0 . 131823 avstr. milje; koliko avstr. milj ima 10, 100, 1000km ? 23. Pomnoži a) 24.37, b) 1.928, c) 336 .18, d) 0.27309 z 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24. 3-147. 23. 2,5. 4 .5378 . 58 . 26. 7 .928 . 0 .6, 27. 89-2586. 5.35. 28. 9 .7084. 0 .925. 29. 0 .82745.0 .0798. 91 30. Razdalja med mesecem in zemljo je 58 . 525krat tolik a kakor polumer zemljinega ekvatorja ; kolika je ta razdalja, ako vzamemo, da ima ekvatorjev polumer 6377 . 5 km? Izračunaj, na okrajšani način množeč : 31. 3 .1415 . 9.2587. (3 dec.) 32. 0 .9156 . 23 .851. (2 dec. 33. 12 . 0748 . 19 . 1345. (4 dec.) 34. 81 .286 . 12 .34. (3 dec.) 35. 57 . 3 7 . 28. (2 dec.) 36. 3 . 735 .0-i 6. (4 dec. 37. 1 . 045 . 1 . 045 . 1 . 045 . 1 . 045. (6 dec .) 38. Izračunaj na 4 decimalke p (a + b + c) ( a + b—c) (a—b+c) (b+c—a) za a 1 . 30785, b = 2 .09122, c 2.80116. 39. Razdeli a) 327 .4, b) 58 .06, c) 9 .233, d) 0 .5942 z 10, 100, 1000, 10000. 40. 38.4 ; 4. 41. 0 .2244 ; 6. 42. 0 .25673 : 7. 43. 268.8 : 32. 44. 0. 675 : 17. 45. 7 . 74772 ; 109. 46. 71 . 541 : 0 . 9. 47. 0 . 3197 : 27 . 8. 48. 4735 . 02 : 0 . 53. 49. 0 . 5976 : 0 . 083. 50. 2 00093724 :0 . 0054. 51. Zemlja preleti, vrteč se okoli solnca, v 1 uri 14787 . 68 zemljep. milje; koliko a) v l minuti, b) v l sekundi ? Izračunaj, na okrajšani način deleč : 52. 45 .12345 3.8265. (3 dec.) . 986 .256 : 127 . 85. (2 dec.) 54. 0 .7123 ; 43.566. (4 dec.) 55. 754 . 06 : 0 . 649. (2 dec.) 56. 57 .6:0 .082754. (2 dec.) 57. 9 .82467 : 0.758, (3 dec.) 58. 486 : 92 . . (3 dec.) 59. 23 .24: 0.085. (2 dec.) 60. 1 kg = 1 . 785523 dun . funta ; koliko kg ima 1 dun. funt? (o de III. Naloge v ponavljanje. Koliko velja 45 kg po 20 kr.? (20 kr. = gl.) 2.* Koliko velja 64 l, ako velja. 1 l a) 10 kr., b) 20 kr., c) 25 kr., d) 50 kr.? 3.* Koliko velja 48 m po 30 kr.? (30 kr. gl. + r ~, gl.) 4.* Koliko velja 127 kg po a) 15 kr., b) 24 kr., c) 35 kr., d) 60 kr., e) 75 kr.? 92 5. Pretvori na decimalne ulomke té-le navadne ulomke : b) O 27 , d ?5 O 22, g~. 6. (59 . 302 — 27.8775) . 3. 32 . 7. 8. 137526 . 3.044891 . 7 .628573. (6 dec.) 8. 68. 0124152 : 7.961 . 9. 0.0552861 : 0.423. 10. 17x+ 12y 3x— 7y 1 2x--3y x+y x +u x +Y 5a2!1 2 " 8m 3x ny 4x2y2 5n 2y 4 m x 3b2 * 3x2 13. Poišči naj v. sk. mero števil: a) 11467 in 16031, b) 2370, 56485 in 47005. „„.._ 1020) . 14. Pomnoži a) 45, b) 98, c) 16* s 50 . 100) 15. Pomnoži a) 36, b) 48, c) 120 z 12 2. (12=). 16. Pomnoži a) 24, b) 81, c) 135 s 331. (33). nea ± b b bb 2. x4 — 2x2y2 y4 18. Y2 x2 + y2 19. (2 a 2 ax 3x2 . (2a 9 1216 3 4 20. Za koliko se poveča ali zmanjša ulomek š , a) ako k števcu in imenovalcu 1 prišteješ, b) ako od števca in imenovalca l odšteješ? 21. {(1O1 — 94) . 3.1] ± 4} . 22. [ 23.* m veljajo 2 gl. 36 kr.; koliko velja 1 m? 24a+l a+2 a+ 3 . ,, 2 a—3 25. (27a6 — 33a3 b — 45a4 b 2 --~--71a3 b 3 36ab3 -{--16b6) : (9a3 2a2b 5ab2 -}- 4b3). Peti oddelek. O jec1iiačiah prve stopinje z jediio neznanko . §m. Izjednačenje dveh številnih izrazov, imajočih isto vrednost , imenujemo jednačbo .. N. pr. x = x, (x-F-2)(x--2==x2—4, 7 x — 6 = 5x. Izraza na obeh stranéh jednae'aja zovemo jednačbina de a ; vsakteri ima lahko zopet po več členov. V jednačbi 7x — 6 = 5x je 7x— 6 prvi, 5x drugi del ; prvi del ima dva člena 7x in — 6. Jednaebe so dvoje : identične in določilne jednač'be . Identična ali istovna (identisc4) jednačba ostane veljavna. za vsako vrednost, katero damo njenim še nedoločenim količinam ; to svojstvo imata jednaebi x x in (x ± 2) (x — 2) x2 — 4, kateri ostaneta pravi, naj si damo količini x katero koli vrednost , Vsaka formula, izražujoča katero koli aritmetično operacijo, je tak a c identična jednačba. , , Določilne j e d n a č b e (Bestimmungsgleichungen) so pa one, katere ne ostanejo veljavne za vse, nego l e z a določene vrednosti njih neznank. Jednačba 7x — 6 = 5x je torej določilna jednačba, kajti nji zadostuje le vrednost x = 3. Vsaka določilna jednačba izražuje pogoj, kateremu morajo njena neznana števil a zadostovati. Vrednosti neznanke, zadostujoče določilni 'ednačbi, imenujem o » korene (W;urzeln) te jednaebe. Koren jednaebe 7x — 6 = 5x je 3, kajti ako postavimo v jednačbo za x to število, zadostuje ji po polnem . Jednač'bi korene določiti, pravi se, jednačbo razrešiti. Po številu neznank, ki jih ima jednačba, razločujemo jed načbe z jedno, z dvema in več nezna,nkami. N. pr. 7x—3=4x je jednačba z jedno, 5x — 3y = 8 jednačba z dvema , 7 x = 3y — 5z 4-5 jednačba s tremi neznankami. Jednačbo, katera nitna neznank v višjih potencah kakor v prvi , in tudi produkta iz več neznank ne, imenujemo jednačbo prv e st o p i nje (ersten Grades). Jednačbo, katera ima razven neznank sama posebna števila , zovemo št e v i l eno j o dn aebo (Zifergleichung) ; n. pr. 7x — 6 = 5x . Jednačbo, katera ima razven neznank tudi občna števila, imenujem o črkovno j e dna ebo (Buchstabengleichun&; n. pr. ax—b cx + d. l . Kako e raz jednabe prve stopinje z jedno -neznanko . § 112 . Jednačbe prve stopinje razrešujemo, opirajoč se na osnovn o resnico ( 7,, 5.) : , Jednako na jednak način izpremenjeno dá zopet jednako. Iz te občne osnovne resnice izvajamo té-le posebne reke : a) Jednako k jednakemu p r-išteto dá jednake vsote. b) Jednako od jednacega odšteto dá jednake diference. c) Jednako z jednaeim pomnoženo dá jednake produkte. d) Jednako z jednakim razdeljeno dá jednake kvocijente. Odtod izvira : l .) Vsak člen je moči iz jednega jednaebinega dela z nasprotni m znakom v druzega prenesti (transponieren). N. pr. : Iz 3x = 16 — 5x dobimo 3x 15x= 16 ; » x 4-3 = 8 x = 8 — 3. V prvi jednaebi smo k vsakteremu delu prišteli, v drugi pa smo o d vsakterega dela 3 odšteli . 2 .) Iz vsake jednačbe je »Mi ulomke odpravil i ; v ta name n treba le oba dva jednačbina dela z najmanjšim skupnim mnogokrat nikom vseh imenovalcev pomnožiti. N. pr. Iz 1 = 2 dobimo x — 4 = 8 ; 2x ox - -11 dobimo 4x = 15x — 66 . 2 3) Vsak faktor jednega dela je ~i prenesti kot di v i zo r v drugi del. N. pr. 35 Iz 7x 35 dobimo x ali x 5. 7 § 113. Uporabljajoč prejšnje izreke, razrešuj torej jednaebe p r v e stopinje z jedno neznanko takú-le : 1.) Ako ima jednačba ulomke, odpravi jih ; v ta namen pomnoži oba dva jednačbina dela z najmanjšim skupnim mnogokratnikom vse h imenovalcev. (Odpravi ulomke.) 2.) Ako so v jednačbi sestavljeni, z oklepaji združeni izrazi, ondaj izvrši res one račune, katere oklepaji le nakazujejo . (Razreši oklepaje .) 3.) Vse člene, imajoče neznanko, prenesi v prvi del ter ji h potem skrči ; znane člene pa prenesi v drugi del ter jih tudi skrči. (Prenesi in skrči .) 4.) Neznanko oprosti njenega koeficijenta ; v ta namen razdel i z njim oba dva jednačbina dela . (Razdeli z neznankinim koeficijentom .) Ako se hočeš prepričati, si-li jednačba res prav razrešil, treba le neznanko v dani jednačbi zamesiti z najdeno vrednostjo ter iz raza na obeh stranéh skrčiti . Razrešil si jo prav, ako dobiš na obe h stranéh isti rezultat, t. j. ako se izpremeni dana jednačba v identično, drugače ne. Primeri. 1.) 4x 5 = 17. „ Razrešitev: 4x = 17 — 5 Presk.: 4 4-3- ± 5 , 17 4x 12 I5 = 17 x 3. 17 17. 5 = 2x — 36. 2.) Razrešitev: x 10x 180 0 Presk. : 2. 20 — 36 x — 10x = -- 180 o — 9x — 180 4 4O — 36 x 20. 4 4. 3.) 6 (2x-5)= 5 x jl . Razrešitev : 12x—30 = 5x 112 Presk.: 6. (2. 6 — 5) 5.6 -}--12 12x—5x=. 12+30 6.(12-5)=30+12 7x 42 6 .7=42 x 6. 42=42. 1. 5x ± 4 19. 2. 3x — 4 20. 3. 70 — 3x = 40. 4. 42x — 35 = 75. 5. 92 — 27y = 11. 6. 29 = 6z — 13. 7. 7x + 8 = 5x ± 18. 8. 17 ± 8x = 71 x. 9. 39x — 168 = 24x + 42. 10. 5y — 60 = 324 — 19y. 11. 5z — 40 8z — 73. 12. 47x 155 = 35x — 25. 13. 2x+ 2 2x—3+ 5x. 14, 14y—234- 17y = 24y + 109 . 15. 2x — 11 -I-- 2x — 5x + 7 = 7x — 7. 16. 155 — 3x — 27 = 35 17x + 138 — 13x. 17. a + x = b. 18. a — x = b. 19. ax -{- b c. 20. ax — b = cx — d. 21 . 3a—4x=9a 6b—6x. 22. 2a — 5y + b = 4y. 23. a 2 x -{- ax — abx a — b -}- 1. 24. 6ax — Tac -}-- Sax — 5ab = 2ax -{-2ab. 25. 7 (x — 5) = 35 j 7. 26. 5 (3 + x) + 16 = 61. 27. 20 — (y — 4) 2y. 28. 9 (2x—7) 5 (4x — 15). ' 29. 2 (x — 7) = 3 (8 — x) ± 22 . 30. 3 (7 — 8z) ± 7 (4z — 3) = 1. 31. 8x + 5 (2x — l) = 2 (x + 4) — 5. 32. 2 (2x — 19) ± 3 (x — 3) = 2 (x — 1) . 33. 22 (x -~- 1) — 8 (x -~-7) = 5 (x -}- 5) — 32 . 34. 3 (5+x)— 2 (x -~- 6) = 3 (2x ± 9) — 9 (4 ± x). 35. 12 (3x — 7) — 3 (2x,+- 28) = 15 (16 — 2x) + 4 (18 — 5x). 36. (x — l) (x -}- l) = x2 -~- x -~- l. 37. (5+x) (4 — x) = (3 — x) (x 2) ± 22. 38. 2 [3(3y — 4) — 8] (lly — = 2 (5 -2y).~ 39. 5 [3 ± (2x — 7)] — 7 (x ± 5) I= 3 [4(3 —x) — x] 40. a (x b) = b (a — x) — c. 41 . p (y r) --~ r (y -~- p) 42. (x — a) — n (x — b) = (a ± b) x . 43, 2a (a — x) ± (a — h) x = a 2 -~-b 2. 44. z (z — 2ct) — (b — z)2 = 3b2 — 4a 97 46. —2x= 25 — x. 46. 4- 3 = 4x. 3 4x 47. ± 17 = 18. 48. 4 — 32 —x 9 3x 2z z 49. 60. 2 3. 61. 2x 3 2:. 62. 3 5 = z — 2. 6 + x 3. 64. x zz 56. 13. .56 . 4 2 -T-3 3090 45 25 2(5— 57. = 4 . 3. ,,.. , y ~2y 37 xx 69. x+ 3 x—3 7 1 9 —y =2 60.Y 59 5 14 3z+5 2z--1 x—5 x+l 7x —2 61. —9= — 7. 62. 43 34 15 13--x x5 63. 64. x+ 9 16 — x x—3 5* 10x + 1 6x 4 2 5x— I . 65. 66. 5x—8 — 3 x x +3 x— 3 — x2—9 10y+1 3y—2 41 67. 68. — 3 I) y+1 x--8 69. (x + 4) l ~l 1 1 70. k4(x+ 3)+ ) + II= 3z 7z 71. ..z -~-z - -4- - + ± 49. 234 8 4x+ 5 7x—8 72 x 43 . 26 x2 +J + l+y--2 2y 2—3y 73. Y 2 4 14 3 2x — 13 12 29 70 — 9x 74. 2(x—8) x --8 24 — 3(x—8) x — a x — b x 76. 76. — b - b -a. b a a a — bx m — nx b + c) 77. 78. a c by p Y 79. a— b a +x b (a— b) x x a +b 7 a+b b—a «2 2 SO a — b a +b a— SL ± a±b) 2. Kakó je jednačbe uporabljati. v razreševanje nalog . § 114. V vsaki nalogi so dani gotovi pogoji, katerim morajo iskana števila zadostovati . Nauk, kaká je uporabljati aritmetične zakone v razrešitev nalog, izražujoč odnašaje med znanimi in neznanimi števili z jednaebami ter iz teh jednačeb vrednosti za neznana števil a iskajoč, zovemo algebro. Razrešujočim s pomočjo a l g e b r e kako nalogo nam je torej na dvoje paziti : l.) Da jednačbe sestavimo (ansetzen), t. j. da izrazimo dane pogoje z algebrajskimi znaki. 2.) Da na ta način dobljene jednačbe razrešim o. Kakó je jednačbe sestavljati, za to nimamo nobednih občni h pravil; za to je treba bistroumnosti in vaje. Začetnikom bode stvar vsaj nekoliko zlajšalo to-le pravilo : Dano nalogo si misli razrešeno in z neznanko ravnaj, kakor to zahtevajo pogoji naloge ; na ta nači n dobiš za jedno in isto količino dva po obliki različna izraza, in ako ja izjednačiš, dobiš zahtevano jednae'bo . Jednostavnejše naloge je moči, ne sestavljajoč jih v jednačbe , kar n a pamet s samim umovanjem razrešiti . Ako se hočeš prepričati, je-li kaka naloga prav razrešena, treba le poskusiti, ali najdena vrednost neznanke tudi res pogojem nalog e zadostuje. Primeri. l.) Katerega števila Sina je za 52 manjša nego število samo ? Na pamet . Razlika med katerim koli številom in njega petino je jednak a dotičnega števila. Ako je torej ta razlika, t. j. 5 iskanega števila 52, pote m je njega petina 13, tedaj število samo 5krat 13 = 65. Algebrajsko . Ako zaznamenujemo neznano število z x, potem je njega x petina x5-. Ker je pa za 52 manjši od x, treba, da postaneta jednaka, k x6 še 52 prišteti ; tedaj dobim o Ako to jednačbo razrešimo, dobimo x = 65. Preskušnja. 5 od 65 je 13; 65 — 13 52. 99 2.) Gospodar obljubi svojemu služabniku kot letno plačilo 90 gl . in obleko ; a čez 3 mesece ga odpusti ter mu dá le obleko za plačilo. Za koliko se je obleka zaračunala ? Na pamet. Ako dobi služabnik za 3 mesece, t. ji-leta obleko za plačilo, dobiti bi moral za druge 4 leta še 90 gl ., tedaj za leta 30 gl . Ker pa dob i za ta čas obleko, vredna mora biti le-tá 30 gl . Algebrajsko, Vzemimo, da je obleka x gl, vredna . Plačilo za celo let o iznaša torej x + 90 gl ., tedaj plačilo za 3 mesece x+490 gl . ; ker pa dobi slu žabnik za ta čas le obleko, katera je x gl. vredna, mora biti x--90 x 4 tedaj x = 30 gl . 3.) Nekdo odgovori, vprašan, koliko let ima : Čez 10 let jih bom imel 2krat toliko, kolikor sem jih imel pred 4, leti. Koliko let ima? Vzemimo, da ima x let, ondaj bode jih imel čez 10 let x + 10 , jih je imel pred 4 leti x — 4. Ker pa je po pogojih naloge prvo število 2krat toliko kakor drugo, treba , da dobimo jednačbo, drugo z 2 pomnožiti; tedaj x + 10 2 (x — 4) , in zato x 18 . Preskušnja. Cez 10 let bode imel 28 let, pred 4 leti je imel 14 let, in res je 28 = 2 . 14. 4.) Neki oče ima 48, njegov sin pa 18 let . Čez koliko let bod e imel oče 4krat toliko let kakor sin ? Recimo čez x let. Čez toliko let bode pa imel oče 48 + x, sin 18 + x let. Ker je pa po pogojih naloge prvo število 4krat toliko kakor drugo, zato treba, da dobimo jednaebo, drugo število s 4 pomnožiti ; tedaj velj a 48 + x .= 4 (18 +x in x — 8. Tu dobimo za x negativno vrednost. Ker smo pa rekli, da pomenja x v tej nalogi prihodnja leta, pomerjati mora za x dobljena negativna vrednost leta v nasprotnem zmislu (§ 62 .), tedaj 8 pr e t e če n i h let, t. j. oče je imel pred 8 leti 4krat toliko let kakor sin . 5.) Neki vodnjak napolni jedna cev v 3, druga v 4 urah. V koliko urah bode vodnjak poln, ako sta odprti obe cevi ob jednem ? Vzemimo, da pomenja p vodnjakovo prostornino in x iskano število ur . Prva cev napolni v 1 uri P tedaj v x urah P—x -druga cev napolni v 1 uri ; 3 ' 3 7* px , tedaj v x urah 4; obe cevi napolnita tedaj v x urah p x Ker pa mora biti ta vsota jednaka vodnjakovi prostornini p, zato velj a .p a;x = I), ali 4 x tedaj x = 6.) Za kurirjem, kateri je pred 2 dnevoma iz A odpotoval, i n kateri prehodi vsak dan po 49 kilometrov, pošlje se od ravno ta m drug kurir, kateri prehodi po 77 kilometrov na dan . V koliko dne h bode drugi kurir prvega dohitel ? Na pamet . Prvi kurir je 2 dni prej odpotoval nego drugi ter v tem čas u prehodil 2krat 49 = 98 kilometrov. Ker prehodi drugi po 77 kilometrov n a dan, tedaj 28 kilometrov več nego prvi, zmanjša se njiju razdalja vsak dan z a 28 kilometrov, tedaj postane čez 98 = 3-4 dneva ničli jednaka, t . j . drugi kurir 28 bode dohitel prvega v 3 dneva . Algebrajsko. Recimo, da dohiti drugi kurir prvega v x dneh tedaj po tuje prvi 2 + x, drugi x dnij, prvi prehodi 49 (2 + x), drugi 77x kilometrov. Ker morata pa oba prav toliko poti prehoditi, zato velj a 49 (2 + x) = 77x, tedaj x = 31-dneva . 3.\.T 8., o Z zvezdico zaznamenovane naloge razreši na pamet in algebrajsko . I .* 5kratnik nekega števila, za 23 povečan, je jednak 88. Katero število je to ? 2.* H kateremu številu treba 54 prišteti, da dobiš njeg a 4kratnik ? 3.* Katerega števila 3kratnik je za 42 manjši od njegovega 5kratnika ? 4.* Ako pomnožim neko število s 3, dobim prav toliko, kakor če je za 3 povečam, katero je to število ? o. Ako prišteješ k mkratniku nekega števila a, dobiš prav toliko, kakor če od njegovega nkratnika b odšteješ . Katero število je to ? 6. Katerega števila četrtino treba za 12 zmanjš'ati, da dobi š njega 12ino ? 7.* Katerega števila Sina, 8krat vzeta, je za 6 večja nego število samo ? 8.* Polovica in petina nekega števila sta skupaj za 86 manjši negp njega 5kratnik. Koliko je število? 101 9.* Katerega števila osmina, zmanjšana za njega desetino, j e jednaka njegovi za 5 zmanjšani petnajstini ? 1'0.* [ kateremu številu treba prišteti njega polovico, tretjino in četrtino, da dobiš 100 ? 11. Ako prištejem k nekemu številu a ter vsoto z m razdelim , dobim prav toliko, kakor če od števila b odštejem ter diferenco z n razdelim. Katero število je to ? 12. S katerim številom treba 230 razdeliti, da dobiš 13 za kvocijent in 9 za ostanek? -i 'N 13. Mislim si število. Ako je pomnožim s 5, od produkta odštejem 6, diferenco razdelim s 3 in h kvoeijentu prištejem 10, dobi m dvakrat toliko število. Katero število sem si mislil ? 14. Ako tretjino nekega števila za 1 povečaš in dvojno vsot o za 6 zmanjšaš, dobiš O. Katero je to število ? M. Katero število treba od vsacega izmed števil 19 in 11 od šteti da bode prva diferenca dvakrat tolika kakor druga ? 16. Katero število treba k števcu in imenovalcu ulomka i8 prišteti, da dobiš ulomek 1-? 17. Katero število treba od števca in imenovalca ulomka 4-4odšteti, da dobiš ulomek f ? IS. Katero število treba k števcu ulomka a prišteti in od b — njega imenovalca odšteti, da dobiš recipročno vrednost danega ulomka ? 19. Ako odšteješ od števca in imenovalca ulomka ~-f neko število, potem je produkt iz danega in novega ulomka jednak Po išči to število . 20. Ako prišteješ k nekemu številu njega polovico in 6, k tej vsoti zopet nje polovico in 6, dobiš 69. Izračunaj to število. ' 21 .* Ko se je zmanjšalo neko število za njega polovico in š e za 15, ostanek zopet za njega tretjino in 10, ostalo je še 30 . Koliko je bilo število ? Na pamet. Ker se je odštela na zadnje tretjina ostanka in 10, ostali st a še dve njegovi tretjini menj 10 ; tedaj je 30 + 10 ali 40 jednako 3 prveg a ostanka; ako sta ostanka = 40, ondaj je -A-njegova = 20 in ves prvi ostanek = 3krat 20 -= 60 . Ker je pa ta za 15 manjši nego polovica neznaneg a števila, mora 60 + 15 ali 75 biti polovica tega števila, tedaj število sam o 2krat 75 = 150 . 22.* A. ima 315 gl., B 205 gl., koliko mora A B` ju dati, da bosta oba jednako imela? 23. Ako bi imel 20 gl . več, kakor imam, imel bi ravno 5 gl. menj nego dvakrat toliko, kolikor imam . Koliko imam tedaj denarja? 102 24. Od 320 kg blaga se ga je nekaj odprodalo, a ostalo ga j e vender še 50 kg več, nego se ga je prodalo . Koliko kg se je prodalo ? 25.* Deček ima 60 orehov . Nekaj jih dá svojemu prijatelju , a njemu jih ostane še vender 4krat toliko, kolikor jih je prijatelj u dal. Koliko orehov je dal prijatelju ? 26.* A. izda polovico svojih letnih dohodkov za hrano in stanovanje, osmino za obleko in perilo, petino jih potroši za druge stvari, prihrani pa si 260 gl . Koliko ima dohodkov na leto ? 27. Neki popotnik, vprašan, koliko km je prehodil, odgovori : Ako bi bil 48 km več prehodil, prišel bi bil 3krat takó daleč kakor sem. Koliko km je popotnik prehodil ? 28.* A si je hotel za določeno vsoto denarja vina kupiti, steklenico po 90 kr. ; ker je pa steklenica le 70 kr . veljala, dobil g a je za isti denar 8 steklenic več. Koliko steklenic ga je dobil ? 29.* Učitelj odgovori na vprašanje, koliko ima učencev : Polovica mojih učencev je za 16 večja nego šestina in devetina skupaj . Koliko je imel učencev ? 30. Oče ima 32, njegov sin 2 leti ; čez koliko let bode imel oče ravno 3krat toliko let kakor sin ? 3 1 . Oče, kateri je imel pred 8 leti 5krat toliko let kakor njegova hči, ima sedaj 45 let ; koliko let ima hči ? 32. Oče ima 60, njegov sin pa 24 let ; 13ed koliko leti je imel oče 4krat toliko let kakor sin? ;,,‘e~ I 4,4 33. Nekdo, vprašan, koliko ima let, odgovori : Čez 12 let jih bodem imel 4krat toliko, kakor sem jih imel pred 12 leti . Koliko ima let ? 34.* Nekdo hoče denar, kar ga ima ravno pri sebi, med 10 ubožcev razdeliti. Ako dá vsacemu 20 kr., ima prav toliko premalo, kolikor ima preveč, ako dá vsacemu 18 kr. Koliko krajcarjev ima pri sebi? 35. Ko se je tiskala neka knjiga, postavilo se je na vsak o stran po 36 vrst in v vsako vrsto po 40 črk ; ako bi se bilo pa postavilo na vsako stran po 4 vrste več in v vsako vrsto po 5 črk več, imela bi bila knjiga 2 poli menj. Koliko pol je imela knjiga ? 36. Železnišk vlak je potreboval 42 ure, da je predirjal nek o daljavo ; potreboval pa bi bil le 34 ure, ako bi bil pretekel vsako uro po 91 km več. Koliko km je predirjal vsako uro in kolika je bila daljava ? 37.* Ako vzamemo od neke vsote polovico, od ostanka zopet polovico in od novega ostanka tudi polovico, ostane še 37 gl. Kolika je bila prvotna vsota? 103 38. Igralec izgubi v prvi igri 6 gl . menj nego l svojega denarja, v drugi igri 2 gl . več nego *ostanka, v tretji igri. 8 gl. več nego 4-onega, kar mu je pco drugi igri ostalo, in sedaj i e 28 gl. ; koliko je imel s poeetka? T~,~-á(J‘)Zj-& ~ ÷--e/ 39. Za neko blago se je iztržilo 2744 gl ., a dobiček 'e iznašal 3 Jt -á--á--kupnine kolika je bila le-ta ? -z.-s' 2f , 2'rt) 40.* Trgovec je kupil kos sukna, meter po 3c gl., a potem ga zopet prodal, meter po 12 gl. Koliko metrov je imel kos, ako j e bilo vsega dobička 27 gl . ? 4 1 . Žitar ima nekoliko hektolitrov pšenice . Ako proda hektoliter po 10 ima 192 gl. dobička ; ako ga proda par 9 gl., izgubi 48 gl. Koliko Id ima pšenice? /0)1 42. V vodnjak priteka voda iz treh cevij ; prva sama ga na polni v 4 urah, druga sama v 6 urah, tretja sama v 12 urah . V koliko urah bode vodnjak poln, ako priteka voda ob jednem iz vse h treh cevij ? 43. Dvema delavcema treba 435 metrov dolg prekop blat a očistiti, prvi očisti na dan 42 metrov, drugi. 45 metrov; kedaj bode delo dovršeno ? 44. Za neko delo se ponujata dve osebi ; A bi dovršil delo v 18, B v 15 dneh . V koliko dneh bi A. in B skupaj delo dovršila ? 45. Od krajišč A in B 300 metrov dolge daljice se začnet a dve telesi istodobno drugo proti druzemu pomikati ; prvo preteče vsako minuto 7, drugo 5 metrov . Koliko minut po početku premikanja se bosta srečali ? Vsota poti, kateri pretečeta telesi do sestanka, je jednaka razdalji toček A in B. 46. Kateri rezultat dobiš v prejšnji nalogi, ako postaviš mest o števil 300, 7, 5 števila d, a, b? 47. Iz A gre v 356 krn oddaljeno mesto B kurir, kateri prehodi po 56 km na dan ; istodobno odpotuje iz B v _A drug kurir , kateri prehodi po 52 krn na dan. Kedaj in v kiteri razdalji od A 3-5 se bosta kurirja srečala? 7 6J, -+ 48. Od A do B je železnica. Od A se odpelje proti B poštn i vlak, kateri preteče vsako uro po 30 krn ; istodobno se odpelje od B proti A tovorni vlak, kateri bi imel poštni vlak čez 42 ure srečati. Koliko krn mora tovorni vlak vsako uro preteči, ako iznaša razdalja med A in B 225 km ? 49.* Za kurirjem, kateri je pred 3 dnevi iz mesta A odpotoval, pošlje se od ravno tam drug kurir, kateri prehodi vsak dan 104 po 60 km. Kedaj bode drugi prvega dohitel, ako prehodi ta vsa k dan po 40 km? 50. Ob 7ih zjutraj se odpelje z Dunaja po zahodni Železnici poštni vlak, ob 9ih zjutraj pa brzovlak. Kedaj in v kateri razdalj i od Dunaja bode dohitel brzovlak poštni vlak, ako preteče prvi vsak o uro po 42, drugi po 26 km? ,/-/ I& 51 .* Iz A v B gre kurir, ki prehodi po 12 milj na dan ; jeden dan pozneje pošlje se iz _A drug kurir za njim, po koliko milj mor a le-tá na dan prehoditi, da bode dohitel prvega v 4 dneh ? 52. Za kurirjem, kateri je pred 6 dnevi iz A odpotoval, i n kateri prehodi po 48 km na dan, pošlje se iz B, skozi katero mesto je sel, drug kurir, kateri prehodi po 75 km na dan. V koliko dneh bode drugi prvega dohitel, ako iznaša razdalja med A in B 100 km? 53. Od B se pelje proti C poštni vlak, kateri preteče vsako uro po 24 km ; istodobno se odpelje brzovlak v isto mer iz mesta A , katero je za 36 km zadaj za B, ter dohiti poštni vlak v 3 urah . Po koliko km preteče brzovlak v 1 uri ? 54. Dve telesi se pomikata v isto mer, prvo od A, drugo od B, katero mesto je za 2 m zadaj za A, in sicer se začne drug o 6 sekund pozneje pomikati kakor prvo. Čez koliko sekund od tedaj , ko se je začelo drugo pomikati, bode le-tó prvo dohitelo, ako preteče prvo vsako sekundo 1-, drugo 9 m? 55. Kateri rezultat dobiš, ako postaviš v prejšnji nalogi mesto števil 2, 6, -I, 1 števila d, t, a, b ? 56. Dve telesi se začneta istodobno na obodu kroga od ist e točke v isto mer pomikati ; prvo preteče ves obod v 24, drugo v 18 minutah. V koliko minutah bosta zopet skupaj ? 57. Koliko časa mine od jednega sestanka kazalcev na uri do druzega? 58. Koliko minut čez 4 bode minutni kazalec ravno nad oni m 4,,,, , ki ure kaže? , f .1/ , ll,,,'M&-(,,e ,,/ ,á z-~ ; pp I.* a) 56. 3 + 38. 4 b) 3'6. 9 + 74 c) 97 .3+65 .8. 2.* a) 96 . 4 — 54. 5, b) 98 . 3— 24 . 9; c) 81 .9 69.6. 12 2 — 255 4- s . 111, b)5 . 175 . 276, 1 c) . 512 + . 264. S8 3 . 340 . 448 ; h) 4 -9 486 -- 546 : c) 5 . 280 2 —3 108. O .7 5>. (17 .45 t-48 .354 ± 8 .702 + 0 .0089 — 56 .2059) • 1 .847 4.601 0.34 6 ' 0'22 0 . 682 0.6 1.3 . 2'3 (3 5 — 2 .66). (0 .9 ' 2'4 2 '8 8. 3 (4x — 5) --~-- 11(2x + 9) = 33 (x 7+x 10+x 4+x . 5 13 7 8x—3 3x+ 4 10. 2x—1 x1 11 .* Železnica se napne pri vsacih 50 m dolžine za -rn ; ko like dolžine treba, da se napne za 11- m ? 12.* Ako prišteješ 6kratnik nekega števila k 204, dobiš njega 18kratnik. Koliko je ono število ? 13. Katerega števila 64ina je tolika kakor vsota iz 209 . 1 5 in 158 . 23? 142a' 5b" 9a2 5b2 . 3b' * 4a4 6b3 ' 9a6 .x2 + 5ab — b 2 a — b a2 + 4ab + 4b2 a + 2 b .16. 332166 : 138. 17. 3672444 : 732. 18. 5586875 : 875. 490 .65.24 370.81 .35 350 .120 . 175 19. 2. 2 1. 50 . 36 280 . 63 • 360 . 125 22. Za koliko postane ulomek 478:81 večji ali manjši, ako v števci in imenovalci a) zadnjo, h) zadnji dve številki na desni izpustiš ? 2a + 3x 9 23 . 2a c 3b4 24. 34a ) 2b - •2 2+4 5c 3 4x2 y2 8x2 4,14 8y2 ‘3x2 L 21'2_ I). 25. (3x' -1-b' ).a" a' — a2b 2 a' b2 b2 26. Nekdo voli svoje gotovine sorodnikom, ostanka siroti masnici in ostalih 225 gl. svoji gospodinji; koliko gotovine je mož zapustil? 27. Vodnjak napolni jedna cev v 4 2 ure, druga v 55 ure, tretja pa ga izprazni v 132 ure; v koliko urah bode prazni vodnjak poln, ako so vse tri cevi ob jednem odprte? Šesti oddelek. O razme 'in soraz e ih. l . O razmerjih. § 115. Delitev dveh števil je ali deljenje v ožjem pomenu ali merjenje ; v prvem zmislu število s številom razdelivši dobimo ulomke, v druzem razmerje (Yerhčlltnis). Razmerje dveh števil ali dveh istovrstnih količin a in b imenujemo izraz, ki kaže, kolikokrat je a večji od b , ali kolikokrat ima a b v sebi (kolikokrat je b v a). Ako hočem o torej razmerje dveh količin a in b izraziti, treba le med nji delitven i znak postaviti, tedaj a : b, kar čitamo : a se ima proti b, ali krajše, : a proti b. Dividend in divizor zovemo člena (Glieder), in sicer dividend prednji člen (Yorderglied), divizor zadnji člen (Mnter(jlied), razmerja. Ako je a : b = k, ondaj imenujemo neimenovano število k eksponent ali k v o c i j e n t razmerja a : b. N. pr. V razmerji 8 : 2 je 8 prednji člen, 2 zadnji člen in 4 eksponent. Kolikost razmerja je zavisna od njega eksponenta ; čim večji je ta, tem' večje tudi razmerje . Dve razmerji sta j e d n a k i, ak o imata isti eksponent ; n. pr. 8 : 2 in 12 3, prav taká dih 'a >a in b m : b. Ako sta obratno dve razmerji jednaki, imata tudi jednak eksponent . Razmerje, čegar člena sta neimenovani števili, imenujemo številno r a z merj e (Zahlenverh~ltnis); n. pr. 8 : 2. Vsako razmerje med dvema istoimenskima številoma je moči pretvoriti na čisto številno razmerje; n. pr. razmerje 10 gl. : 5 gl. je jednako razmerju 10 : 5, kajti obe dve imata isti eksponent 2 . 116. Ker smatramo lahko vsako razmerje za naznačeno delitev, zato veljajo vsi izreki, katere smo o dividendo,–''di''v-i-z'or'ji–in kvocijent u dokazali, tudi o prednjem in zadnjem členu razmerja ter o njega eksponentu. Tedaj velja : . V vsakem razmerji je prednji člen jednak zadnjemu členu, `pomnoženemu z eksponentom. (§ 49.) 2.) V vsakem razmeri je zadnji člen jednak pred njemu členu, razdeljenemu z eksponentom. (§ 49.) Ako je a :b = k, je tudi l.) a = bk ; 2.) b = a : k. N. pr. 10: 2 = 5, tedaj O 2. 5 in 2 = 10 : 5. 3.) Razmerje (t. j. njega vrednost) ostane neizpreme n eno,, ako oba njegova člena z istim štev 'Iám'j;o'"m'-n o"--' zimo ali razdelimo. (§ 53.) pr. Razmerje 12 4 je jednako razmerju (12 . 2) : (4 . 2) ali 24 : 8 ; » 12 : 4 » » » (12:2):(4 :2) » 6 : 2. Množitve se poslužujemo tedaj, kadar hočemo s ce i števili izraziti razmerje, čegar člena sta ulomka ; v ta namen treba l e oba dva člena s skupnim mnogokratnikom imenovalcev pomnožiti. N. pr. 2 23 . . 12 : . 12 = 8 : 9. a c a ------. bel : bd ad : bc. Delitev služi nam v to, da razmerje, čegar člena imata skupno mero, okrajšamo, kar se zgodi, ako oba njegova člena s skupno mero razdelimo. N. pr. , , 1 12: 8 2 = — = 3 : 2; abm :acm b :c. 4 ,,.',,' . § 117. Ako pomnožimo v dveh ali več razmerjih vse prednje in pra v takó vse zadnje člene druzega z druzim, dobimo iz produktov nov o razmerje ; le-tó razmerje imenujemo sestavljeno nasproti danim j e dnostavnim razmerjem. Ako so n. pr. a : b 4 :3 c : d 7 : 12 e: f 9 : 14 jednostavna razmerja, ondaj je ace: bdf 4. 7 . 9: 3. 12. 14 sestavljeno razmerje. Ako pomnožimo ali razdelimo jednostavnim razmerjem kateri koli prednji in kateri koli zadnji člen z istim številom, pomnožim o ali razdelimo s tem tudi prednji in zadnji člen sestavljenega razmerja, njega vrednost ostane torej neizpremenjena . 1\Ta,lo go. Izrazi tá-le razmerja s- celimi števili : 19. 13 . 2.7 I* a) : 5; b) ) 30 ` 30 , a) 151-30 : : b) 128* : 4516; c) 0.05 : 14 . 35 .4 : 12.56 ; b) t-6 : a-,; (c b): ab L a Izrazi naslednja razmerja z najmanjšimi celimi števili : 4. t) 30: 24; b) 112: 144 ; , 240: 96. 5. a ) 5 : b) 34-: 4 c) 15 : 63. a) 7 .5 : 2 . b) 0.625 : O .5 ; c) 3 .208 : 1 .28. y . x2 — y2 „ a) ax (m — n2) : ab (in -{-- n): bx2 . Izmed dveh teles preteče A v vsaki minuti 80 In, B 96 m ; v kakem razmerji sta njiju brzini ? 9.* Telo A preteče v 8 minutah isto pot kakor B v 6 minutah ; v katerem razmerji sta njiju brzini? 10.* Izmed dveh koles, katerih zobci sezajo drug v druzega , ima prvo 28, drugo 36 zobcev ; kakšno je razmerje med brzinama , s katerima se vrtita te dve kolesi ? 11 .* Razstoj med lediščem in vreliščem je razdeljen na Réaumurjevih toplomerih na 80”, na Celsijevih na 100 ° ; kako je torej razmerje med 10 R. in 1° C.? 12. Kakšno razmerje je v Avstriji med vrednostjo zlata i n srebra, ker se kuje iz 1 kg čistega zlata 1724 zlatnika po osem goldinarjev, iz 1 kg čistega srebra pa 90 goldinarjev, in velja zlatnik po osem goldinarjev 8 1-1-6 gl. v srebru ? 13. Izmed dveh pravokotnikov je prvi 28 m dolg in 15 m širok, drugi 25 m dolg in 16 m širok ; v kakem razmerji sta njiju ploščini ? 14. Izmed dveh parnih strojev vzdigne prvi v a sekunda h b kg c m visoko, drugi pa v d sekundah e kgfm visoko ; v katerem razmerji sta njiju sposobnosti za delo? 2. O sorazmerjih. § 118. Izjednaeen 'e dveh jednakih razmerij imenujemo sorazmerje ali proporci jo (Proportion). Ako je a : b = k in c ; d = k, je tudi a: b c : d ; ta izraz je sorazmerje in čitamo ga ; a se ima proti b, kakor c proti d, ali krajše : a proti b, kakor c proti d. Prvi člen a in četrti d imenujemo tudi vnanja člena, drugi b in tretji c notranja člena ; člena a in c zavemo tudi prednja, b in d z a d n j a člena sorazmerja . Sorazmerje, čegar notranja dva člena sta jednaka, imenujemo stalno sorazmerje (stetige Proportion); n. pr. 16 : 8_= 8 : 4. Notranji člen 8 zovemo srednjo (geometrijsko) s o r a z m e r n i e-o ali proporcijonalo števil 16 in. 4, in. 4 tretjo stalno soraz m e r ni eo števil 16 in 8 . Sorazmerje, v katerem so vsi členi neimenovana števila, imenujemo številno sorazmerje (Zahlenproportion) ; n. pr. 12 : 4 = 15 : 5. Sorazmerje more imeti tudi imenovana števila ; treba le, da imata oba dva člena vsakega razmerja isto ime ; n. pr. 18 m : 3 m 12 m : 2 m. 6 kg: 2 kg = 15 gl. : 5 gl. 15 gl. : 3 gl. = 25 : 5. Ne le vsako razmerje nego tudi vsako soraznerje, imajoč e imenovana števila, ~i je izpremeniti na čisto številno sorazmerje. zreki o številnih sorazmerjih . § 119. l. Vvsakem številnem sorazmerji je produkt vnanji h členov jednak produktu notranjih členov. ~Vzemimo, da je a; b c : d, in a:b k, tedaj tud i c : d k. Odtod pa dobimo a = bk, c dk. Pomnoživši prv o teh jednačeb z d in drugo z b, dobimo ad bdk, bc bdk, in odtod ad bc. Iz tega izreka izvira : V vsakem stalnem številnem sorazmerji je kvadrat srednje sorazmernice jednak produktu iz druzih dveh členov. Ako je a : b b: c, ondaj je b 2 ac. N. pr. Iz 16: 8 = 8: 4 dobimo 82= 16 . 4. 2.) Vsak vnanji člen številnega sorazmerja je jednak produktu notranjih dveh členov, razdeljenemu z drugi m vnanjim členom ; in vsak notranji člen je jednak produktu vnanjih dveh členov, razdeljenemu z druzim notranji m členom. Ako je a : b c : d, tedaj ad bc, ondaj je bc bc adcad a d b d'a' c ' b 3.) Iz dveh jednakih produktov je moči vselej sorazmerje sestaviti ; v ta namen treba le vsak produkt na dv a faktorja razstavit ter faktorja jednega produkta z a vnanja, faktorja druzega produkta za notranja člena so razmerju vzeti. (Obrat od l .) Recimo, da je ad bc. Razdelivši to jednačbo z b d, dobimo ad : bd bc : bd, ali a : b c : d . Pravo številno sorazmerje je torej spoznati ne le iz tega, da sta eksponenta v obeh razmerjih jednaka, nego tudi iz jed nakosti produktov vnanjih in notranjih členov . § 120. Sorazmerje razrešiti se pravi, iz treh danih členov sorazmerja njega še neznani člen najti . a) Sorazmerje razrešiš, ako poiščeš eksponent znaneg a razmerja ter potem z njega pomočjo neznani člen druzega razmerj a določiš. b) Številno sorazmerje je najlažje razrešiti s pomočjo § 119., 2 . N. pr. iz x: 2 = 15 : 3 dobiš a ) 15 : 3 = 5, x = 2 . 5 = 10; ali b) x 2. 315 = 10 ; tedaj 10 : 2 = 15 : 3 popolno sorazmerje. 111 Kakó je izpremeniti sorazmerju obliko . § 121 . Vsako številno sorazmerje ostane pravo, ako za menjamo a) vnanja člena med seboj, ali b) notranj a člena med seboj, ali c) notranja člena z vnanjima . Dokaz. Vzemimo, da velja a : b = c ; d, tedaj ad bc. a) Ako zamenjamo v tem sorazmerji notranja člena, dobim o a : b d. b) Zamenjavši v teh dveh sorazmerjih vnanja člena, dobim o d : b =z-- c : a, d: c = b ; a. c) Ako zamenjamo slednjič v vseh teh štirih sorazmerjih notranja člena z vnanjima, dobimo b: a = d : c, c: a = d : b, b: = a : c, c: d = a : b. Da je vsak izmed zadnjih sedem pastavkov pravo sorazmerje , razvidno je iz tega, ker je v vsakem izmed njih ad produkt vnanji h členov in bc produkt notranjih členov ali obratno, produkta ad in b c pa sta po pogoji jednaka. Vsako sorazmerje je máči torej na osmer način izraziti ; v ta namen treba le njega člene drugače razvrstiti. § 122. Sorazmerje ostane ' pravo, ako jeden vnanji in jede n notranji člen, z istim številom pomnozimo ali razdelimo . Dokaz. Ako velja a ; b = c : d, tedaj ad bc, velja tudi l.) am: bm = c: d, a; b -=-- cm: dm, am b = cm : d, a: bm = c : dm; ab cd : — c:d a:h= — mm mm bd : b m:d a:---c:_ . ma mm Kajti iz ad bc izvira ne le adm bcm, nego tudi a(' '. Toda mm v vseh sorazmerjih l .) je adm produkt vnanjih, bcm produkt notranjih 11 2 členov; prav takó je v sorazmerjih 2.) produkt vnanjih členov pro dukt notranjih členov pa bC ; vsa ta sorazmerja so torej prava. Uporabljajoč ta izrek moremo a) vsako sorazmerje, v katere m so ulomki, izraziti s celimi števili ; b) vsako sorazmerje, v katere m imata jeden vnanji in jeden notranji člen skupno mero, z le-tá skupn o mero okrajšati. § 123. 1.)V vsakem sorazmerji se ima vsota (diferenca) prvi h dveh členov proti prvemu ali drugemu členu, kakor se im a vsota (diferenca) zadnjih dveh členov proti tretjemu al i četrtemu členu. Dokaz. Ako velja a : b c : d, tedaj ad bc, velja tudi (a + :,,a (c -1- d): c, in (a + b) : b (c+d):cl. Te dve sorazmerji sta pravi, ako je v vsakem produkt vna njih členov jednak produktu notranjih členov, t . j . ako je (a +A) . c = a . (c + d) in (a ± b). d = b . (c + d), tedaj ako je .a,q+ bc ='«c + ad in ad + ‘b~l bc +NI. To pa je tu, kajti po pogoji je ad bc. 2.) V vsakem sorazmerji se imata vsota diferenc , prvih dveh členov, kakor se im ta vsota4idiferenca zadnjih dveh členov. Dokaz. Ako velja a : b c : d, ondaj velja vsled 1.) (a + b): a =(c+d):cin (a — b : a = (c—d):c, ab.t ali a , ali, ako notranja člena zamenjamo , (=a: c in (a—b):(c--c1) = a : c, tedaj tudi (a + b) : (c d) = (a — b): — d), in če zamenjamo tu notranja člena (a + b) : (a — b) ( d) : (c — d). 3.) V vsakem sorazmerji se ima vsota (diferenca) prednjih členov proti vsoti (diferenci) zadnjih členov , kakor se ima vsak prednji proti svojemu zadnjemu členu . Dokaz. Vzemimo, da velja a : b c : d. Zamenjavši notranja člena, dobimo a : b: d. 113 A potem velja vsled l .) (a±c) :a = (br-c1) :b in (a±c) :c (b±cl) : d, in, ako v vsakem izmed teh dveh sorazmerij notranja člena zamenjamo , (a + c): (b + d) = a: b in (a--c):(b+d)= c: d. Dostavek . Ako je več številnih sorazmerij med sebo j jednakih, ima se vsota vseh prednjih členov proti vsot i vseh zadnjih členov, kakor vsak prednji člen proti svojemu zadnjemu členu. Ako velja a :b=e :d=f: g, velja tudi : (b d + g) a ; b. § 124. Ako pomnožimo v dveh ali več številnih sorazmerji h vse istomestne člene druzega z druzim, tvorijo produkt i zopet sorazmerje. Recimo, da velja a :b c : d, tedaj ad bc, dalje e: f = g : h, » eh = fg, slednjič k : l = m : n, » kn lm. Ako pomnožimo, dobimo Ako damo temu izrazu oblikdobimo odtod sorazmerj e ad e h k n o aek . dhn bcfglm. bfl . cgm , aek : bfl cgm : dhn. To sorazmerje imenujemo sestavljeno nasproti danim soraz merjem, katera zovemo j e d n o s t a v n a . Dostavek. Ako imamo a : b =a : b :c bi :ci c : d = ci :d, pišemo krajše a:b:c:d . . .= a, : b, : c, : d, . . Tako sorazmerje imenujemo zaporedno ali verižno sorazmerj e Uortlaufenc1e Proportion, Kettenproportion) . 8 114 e- Razreši tá-le sorazmerja : l. 3; 8 = 12 : x. 2. 12 : 27 = x : 15. ,3. 36: x = 6 : 3. 4. x : 10 = 8 5. *5. x 15 = 165 : 66. 6. 88 ; x = 72 : 63. 7 x: 5 = : 8. 3-'2-: 4 = 54 : x. 9. x: 2 = 2} : , v 10. 7*: 21 = x : 551,: 74 = x : 22. 12. x : = 3 : 5. 13. 14 : 4*,= x : h>: 14. x: 101- = 4? : 15. 19 :x = 31* : 4.1. M. 17? : 12 14 = 14g ; x. 17. 10H : x = 1315 : 184 . 18. 92 $ : l09 27$ = : x. 19. x : 0 .35 = 2 .38 : 1. 25. 20. 14'35 : 218.275 = 9.18 : a b " 3m2 : 21. —: — ' 22. x : 34 — m m p 2 23. x : (m — 2n) (6rn-1-8n) : (2rn—4n). 24. (6a — 5b): x = (12a2 — 4ab — 5b2): (8a2 — 2ab — 3b 2). 2 m + n m2 —2mn+ n2 25. -2 :. m2+ n2 m —n m + n b2 a +b L 26. (b + 42 b3 b2 b a--bi' b 27. (51—x) :3-2- = x : 28. (44 + x): x = 52 : 2$. 29. (x + a): x = b : c. ab 30. x : (a — a+b' 31. Izpremeni obliko téma-le dvema sorazmerjema, uporabljajo č § 121. in § 123. : a) 9 : 6 = 15 : 10, b) 36 ; 12 = 24 : 8. 32. Izračunaj a : c, a : d, a : e, ako je a : b — 2 : 3, b :c = 4 ; 9, c :d= 3 :5 in d :e — 3 : 8. (§ 124.) 3 O uporabi sorazmerij. § 125. Ako sta dve vrsti (Arten) števil taká druga od druge zavisni, da spada k 2-, 3-, 4-, . . . mkrat tolikemu številu jedne vrste 2-, 3-, 4-, mkrat toliko število druge vrste, ondaj pravimo, t e dve vrsti števil sta premo sorazmerni (nerade proportioniert), 115 ali oni sta v premem razmerji (stehen geraden Yerh~iltnisse). Takó sta blago in cena premo sorazmerni ; kajti ako velja 1 mete r katerega koli blaga a goldinarjev, treba plačati za 2, 3, 4, . m metrov istega blaga 2a, 3a, 4a, . . ma goldinarjev. N. pr. Ako velja 1 m sukna 5 gl., veljata 2 » » 2krat 5 gl., tedaj 10,0., veljajo 3 » 5 » » 15 » »4 » 4 5» 20» velja 5 5 » 5» » 25 » i. t. d. Sploh je razvidno, da je razmerje med vsakima dvema števi loma metrov jednako razmerju med pripadajočima Številoma goldinarjev ; pr. 2 m: 5,m = 10 gl. : 25 gl., ali 2 : 5-= 10 : 25. Ako sta tedaj dve vrsti števil premo sorazmerni , ondaj je razmerje med vsakima dvema številoma jedn e vrste jednako razmerju med pripadajočima številoma druge vrste, vzetima v istem redu. 2.) Ako sta pa dve vrsti števil takó druga od druge zavisni, ;;41'a spada k 2-, 3-, 4-, . . mkrat tolikemu številu jedne vrste, l e 1 1, . . . 1 — stevlla druge vrste, ondaj pravimo, te dve vrsti 2'3'4' m števil sta obratno sorazmerni (verkehrt proportioniert), ali on i s t a v o b r a t n e m r a z m e r j i (stehen verkehrten Yerháltnisse) . To velja n. pr. o številu delavcev in o številu delovnikov ; kajti ako potrebuje 1 delavec za kako delo a dnij, potrebujeta za isto del o a dnij, a — dnij . . in ,delav d3 delavci potrebujejo le d, 2 delavca le — 23 cev potrebuje le m dnij. N. pr. Ako potrebuje 1 delav. za neko delo 60 dnij, potrebujeta 2 » le od 60 dnij, tedaj 30 dnij, potrebujejo 3 » » » 60 20 » » 4 » - » 60 » » 15 potrebuje 5 » » » 60 » » 12 8* Tu je razvidno, da je razmerje med vsakima dvema številom a delavcev jednako razmerju med pripadajočima številoma delovnikov , toda vzetima v obratnem redu ; n. pr. 3 delavci : 5 delavcem 12 dnij : 20 dnem, ali 3 ; 5 12 ; 20. Ako sta torej dve vrsti števil obratno sorazmerni , ondaj je razmerje med vsakima dvema številoma jedn e vrste jednako razmerju med pripadajočima številom a druge vrste, toda vzetima v obratnem redu. Kakó je uporabljati jednostavna razmerja v razreševanje nalog . § 126. Razrešitev onih nalog, katerih količine so v jednostavnih razmerjih, — takó zvana j e dn o st a v n a r e g el d e t r i j a (einfache &geldetri) —, opira se na izreka prejšnjega paragrafa. N. pr. l.) 7 m sukna velja 30 gl., koliko velja 42 m prav tacega sukna? Ker sta te dve vrsti števil premo sorazmerni, dobimo 7 m 30 gl. x: 30 = 42 : 7, 42 » x » tedaj x ---- 180 gl . 2.) 16 delavcev izvrši neko delo v 6 dneh ; koliko delavce v treba najeti, da izvršé isto delo v 4 dneh? Dani dve vrsti števil sta obratno sorazmerni, tedaj velj a § 16 delav. 6 dni x: 16 = 6 :4 x » 4 » x —= 24 delav. ' '-'';' , r x Vsaka regeldetrijska naloga ima dva stavka : prvi izreka pogoj , drugi izraŽuje vp r aš an j e. Da imajo regeldetrijske naloge sploh pomen in veljavo za praktično življenje, treba, da si mislimo pri vsaki taki nalogi za obe dve vrsti števil, kater i med seboj primerjamo, vse v pogojnem in vprašalnem stavku ne imenovan e okolščine kot jednake ; ali, kar je prav tisto, treba vsakako, bodi si molčé bod i si izrekoma, staviti pogoj, da spada k vsaki jednoti jedne vrste v pogojnem i n vprašalnem stavku ista množina jednot druge vrste. Na ta pogoj je paziti pri vseh naslednjih nalogah, da si tudi se ne naglaša zaradi kratkosti povsod iz rekoma. 117 § 127. Jednostavnejše regeldetrijske naloge je moči dostikrat kar na pamet razrešiti. V obče sklepamo tu iz dane vrednosti za kako množino na vrednost jednote n potem iz te vrednosti na vrednost kak e druge množine. N. pr. .) 8 m sukna velja 32 gl., koliko velja 5 m? — Ako velja 8 m 32 velja 1 m 8mi del od 32 gl., torej 4 gl. ; 5 m velja zatorej 5krat 4 gl., t. j. 20 gl. -2.) 6 delavcev izvrši neko delo v 20 dnéh, koliko dnij bode potrebovalo za isto delo 5 delavcev? — Ako izvrši delo 6 delavce v v 20 dnéh, potreboval bode 1 delavec 6krat 20 dnij, tedaj 120 dnij ; 5 delavcev pa bode potrebovalo za delo le Sega dela onega časa, katerega potrebuje 1 delavec, zatorej Sega dela od 120 dnij, t . j. 24 dnij. Krajša je razrešitev na pamet, kadar je množina v vprašalne m stavku mnogokratnik ali del ali mnogokratnik kakega dela istoimenske množine v pogojnem stavku. N. pr. 1.) 5 hl ječmena velja 21 gl. 15 kr. ; koliko stane 30 hl? 30 hl je 6krat 5 hl, tedaj velja 6krat 21 gl. 15 kr., t. j. 126 gl. 90 kr. 2.) 100 gl. kapitala daje na leto 5 gl. obrestij; koliko obrestij daje na leto 25 gl. kapitala? — Ker je 25 gl. četrti del od 100 gl., da tudi le četrti del od 5 tedaj 1 gl. 25 kr. obrestij . 3.)48 m velja 60 gl. 72 kr.; koliko velja 36 m? — 36 m je 3krat 12 m ; 12 m je četrti del od 48 m, 12 m velja tedaj četrti del o d 60 gl. 72 kr., t. j. 15 gl . 18 kr.; 36 m pa velja 3krat 15 gl. 18 kr., zatorej 45 gl. 54 kr. V posamičnih slučaj,ih je moči razrešiti regeldetrijske nalog e tudi na ta način, da se množina vprašalnega stavka primerno raz stavi. N. pr. l.) Koliko velja 30 kg, ako se plača za 14 kg 43 gl. 82 kr.? 30 kg je 2krat 14 kg in še 2 kg; 2krat 14 kg velja 2krat 43 gl. 82 kr., t. j. 87 gl. 64 kr., 2 kg sta 7mi del od 14 kg, tedaj veljata tudi 7mi del od 43 gl. 82 kr., t. j. 6 gl. 26 kr.; 87 gl. 64 kr. in 6 gl. 26 kr. je 93 gl. 90 kr. 2.) Ako velja 5 hl vina 92 gl., koliko velja 19 hl? — 20 hl veljalo bi 4krat 92 gl., t. j. 368 gl. Da najdemo ceno za 19 hl, treba še od 368 gl. odšteti ceno 1 hl; 1 hl velja 5i del od 92 gl., t. j. 18 gl. 40 kr.; ako odštejemo od 368 gl. najprej 18 gl., ostane 350 gl ., in od tega še 40 kr., ostane 349 gl. 60 kr . 11 8 Kakó je uporabljati sestavljena razmerja v razreševanje nalog . § 128. Kakó je razreševati naloge, katerih količine so v sestavljeni h razmerjih, — takó znano sestavljeno r e g e l d e t r i j o — pokazati hočemo na téj-le nalogi : 3 zidarji sezidajo v 14 dneh 50 m. zidú ; v koliko dneh bod e sezidalo 7 zidarjev 125 m 3 zidú ? To nalogo je moči razstaviti na té-le dve nalogi z jednostavnimi razmerji : l.) 3 zidarji sezidajo neki zid v 14 dneh ; v koliko (y) dne h bode sezidalo 7 zidarjev isti zid, ako ostanejo vse druge okolščin e prav tiste ? Ker je število zidarjev v obratnem razmerji s številom delov nikov, katerih je za določeno delo treba, odgovarja na ono vpra šanje sorazmerje y: 14 = : 7 iz katerega dobimo y = 6 . 2.) Ako sezida 7 zidarjev v y (= 6) dneh 50 m 3 zidú, v koliko (x) dneh bode sezidalo prav toliko zidarjev 125 m 3 zidu.? Ker je kolikost dela v premem razmerji s številom dnij, ki se za delo potrebujejo, dobimo odgovor na ono vprašanje, razrešivši sorazmerje x : y 125 : 50; odtod pa dobimo neznanko prvotne naloge x = 15 . Neznanke y pa ni treba s pomočjo posebnega sorazmerja re s izračunati ; kajti neznanko x je moči kar neposredno določiti. V ta namen treba le prejšnji dve sorazmerji sestaviti. Ako pomnožimo namreč istomestne člene sorazmerij y: 14 = 3 : 7 in x : y = 125 : 50, dobimo x : 14.= 3 . 125 : 7 . 50 in, ako okrajšamo prvo razmerje z y, x; 14 = 3 . 125 : 7 . 50, katero sorazmerje je ~i zaradi lažjega pregleda tudi takó-le na pisati : x: 14 = 3 : 7 125 : 50. Tu je le pomniti, da treba drugo pod druzim stoječa števila pomnožiti. Razmerje x : 14 je torej jednako sestavljenemu razmerju, i n sicer je le-tó sestavljeno iz jednostavnih razmerij 3 : 7 in 125 : 50. Ako primerjamo, kakó so razvrščena števila v teh razmerjih in kakó v nalogi, namreč 3 zid. 14 dn. 50 m3 7 X,» 125» ter pomnimo, da je število cinij s številom delavcev obratno, s številom m3 pa premo sorazmerno, vidimo takáj, da sta k x dnem in 14 dnem spadajoči števili zidarjev v obratnem, dotični števili m 3 pa v istem redu v razmerje postavljeni. Odtod izvajamo izrek : Ako je katera koli vrsta števil od več druzih vrs t takó zavisna, da je z vsako posamič ali premo ali obratno sorazmerna, potem je razmerje med vsakima dvema številoma one prve vrste jednako sestavljenemu razmerju , in sicer sestavljenemu iz razmerij med vsakima dvem a pripadajočima številoma druzih vrst, vzetima v istem al i v obratnem redu, kakor so števila dotične vrste s števil i prve vrste premo ali obratno sorazmerna. Uporabljajoč-ta izrek, razrešuj tedaj naloge sestavljene regeldetrije kratko tako-le : l.) V prvo razmerje postavi neznanko in ono število, katero ima isto -" kakor neznanka. 2.) Drugo razmerje proporcije je sestavljeno ; da dobiš njega posamična razmerja, primerjaj vrsto neznanke posamič z vsako drugo vrsto in to zato, da zveš, jeli sta te dve vrsti premo ali obratno sorazmerni ; potem postavi v razmerje števili vsake vrste , spadajoči k neznanki in k številu, ki ima isto ime kakor neznanka , in to v istem ali v obratnem redu, kakor je dotična vrsta z vrst o neznanke premo ali obratno sorazmerna . 3.) Dobljeno sorazmerje razreši. V ta namen razdeli produkt vseh notranjih členov s produktom vseh znanih vnanjih členov . Primer. Ako dovrši 20 delavcev, delajočih po 12 ur na dan, v 5 tednih 375 m dolg nasip ; v koliko tednih bode dovršilo 12 delavcev, kateri delajo po 10 ur na dan, prav tak 600 m dol g nasip? 120 20 del. 12 ur na dan 5 tedn. 375 m d. 12 » 10 » » x » 600 » » x: 5 = 20 : 12 12 ; 10 600 : 375 5 .20 . 12 .600 x 16 tedn. 12. 10 . 375 § 129. 1.) Lažje naloge je ~i tudi tu s pomočjo sklepov kar n a pamet razrešiti. N. pr. 4 delavci, kateri delajo po 12 ur na dan, dovršé neko delo v 74 dneva ; koliko dnij potrebuje za isto delo 6 delavcev, ako delaj o le po 10 ur na dan? Ako potrebujejo 4 delavci 72 dneva, potrebuje l delavec 4krat toliko časa, tedaj 4krat 71- dneva, t. j. 30 dnij; 6 delavcev pa potre- Kuje le 6ega dela od 30 dnij, t. j. 5 dnij, ako delajo po 12 ur na dan ; ako bi pa delali le po 1 uro na dan, potrebovali bi 12kra t 5 dnij, t. j. 60 dnij; ker pa delajo po 10 ur na dan, potrebovali bod o le 10ega dela od 60 dnij, tedaj 6 dnij . 2.) Prav takó sklepamo tudi pismeno računajoč . Pri nalogi, katero smo razrešili v § 128., dobili bi, uporabljajoč pismeni sklepovni račun : 3 zid. potrebujejo za 50 m3 14 dn. 1 » potrebuje 50 » 14 . 3 14 . 3 » » 50» _ » 7 14 .3 7» 7 .5o 3. 125 7 125 » 14. .5o = 15 dn. 7 Z,T a, 1 o g e.. l.* 6 m sukna velja 18 gl.; koliko velja 12 m sukna? Na pamet . Ako velja 6 m sukna 18 gl ., velja 1. m 6i del od 18 gl ., tedaj 3 gl., 12 m bode veljalo torej 12krat 3 gl., t. j. 36 gl. — Ali krajše: 12 m je 2krat 6 m, 12 m bode veljalo tedaj 2krat toliko kakor 6 m, torej 2krat 18 gl . = 36 gl . 2.* 1 hl velja 20 gl.; koliko bode veljalo 40 l ? 3.* 200 kg kave velja 320 gl . ; koliko kave bodeš dobil za 64 gl. ? 4.* Pri 100 gl. je 16 gl . dobička ; koliko dobička je pri 425 gl .? 5.* Hiša daje na leto 540 gl. obrestij, koliko v 8 mesecih? 6.* 16 zidarjev sezida zid v 20 dneh ; v koliko dneh bi sezidalo prav tisti zid 10 zidarjev ? Na pamet. Ako potrebuje 16 zidarjev 20 dnij, potreboval bi 1 zidar 1Fkrat toliko dnij, tedaj 320 dnij, 10 zidarjev pa potrebuje le 10ega dela onega časa, katerega potrebuje 1 zidar, torej bega dela od 320 dnij, t. j. 32 dnij . 7. Ako iznaša zračni tlak na 1-1 clm 2 154 kg, kolik je zračni tlak na 1 m'? 8. Izmed dveh delavcev zasluži jeden v 4 dneh toliko, koli kor drugi v 5 dneh; ako torej prvi .v 15 dneh 184 gl. zasluži, koliko zasluži drugi v istem času ? ' 9. Rokopis da, 126 stranij po 45 vrst ; koliko stranij dal, ako bi se stavilo na stran le po 35 vrst ? 10. Ako se zavrti kolo v 48 minutah 264krat, a) kolikokrat se zavrti v 36 minutah, b) v koliko minutah se zavrti 840krat ? 41 . Sprednje vozno kolo ima a m, zadnje pa b m v obsegu ; kolikokrat se je zavrtelo sprednje, ako se je zavrtelo zadnje pkrat ? a 2 .8, b 4.2, p = 170. 12.* 3000 delavcev dodela neko Železnico v 9 mesecih, koliko delavcev treba še najeti, da bode Železnica v 6 mesecih gotova ? 13.- Na njivi, imajoči 6 .1 ha, se pridela 682 hl pšenice ; a) koliko pšenice se pridela na njivi, ki ima 3;4 ha? b) koliko ha treba, da se pridela 37-hl pšenice ? 14. Stroj vzdigne v a sekundah b kg c m visoko, v katerem času vzdigne b kg c1 m visoko ? a = 93, b 4185, c = 5~ b = 3912, c~= 1 c. 1,5. 47 l olivnega olja tehta toliko kolikor 43 l vode ; koliko tehta 1 l olivnega olja, ako tehta 1 l vode 1 kg ? 16. AkQ , je razmerje med prost*ornino trde in zrahljane zemlj e kakor 10 ; 17, a) koliko zrahljane zemlje dá 248 m3 trde zemlje, b) koliko trde zemlje dá 300 m3 zrahljane zemlje? 17. Ako vloži zidar na dan v podzidje po 500, v oblok pa le po 325 opek, in se mu plača za 1 m3 podzidja I gl. 25 kr., koliko potem za 1 m3 obloka ? 18. 15 delavcev dovrši neko delo v 10 dneh, ako delajo p o 12 ur na dan, koliko delavcev treba najeti, da bodo izgotovili ist o delo v 6 dneh, ako delajo le po 10 ur na dan? 19. Dvoje zobatih koles zaseza drugo v drugo ; A ima 60, B 120 zobcev ; kolikokrat se zavrti B v 36 sekundah, ako se za vrti A v 12 sekundah 10krat ? Na pamet. Ker ima B 120 in ne 60 zobcev, zavrtelo se bode le polovic o od 10krat, t. j. 5krat ; ker se pa ne vrti 12, ampak 36 sekund, zavrtelo se bod e 3krat 5 = 15krat. 20. Parni stroj 4 konjskih sil vzdigne v 5 sekundah 1500 kg 1 m visoko ; koliko kg bode vzdignil stroj 6 konjskih sil v 12 sekundah prav takó visoko? >21. Travnik, kateri je 512 m dolg in 72 m širok, dá 10 vozo v sena po 900 kg ; koliko vozov sena po 1000 kg bode dal 384 m dolg in 192 m širok travnik ? 22.* 20 delavcev izkoplje 80 m dolg, 5 m širok in 2 m globok prekop v 18 dneh ; koliko delavcev bode izkopalo 120 m dolg, 6 m širok in 3 m globok prekop v 36 dneh ? Na pamet. Ako bi bil prekop 40 In in ne 80 m dolg, treba bi bilo le j od 20, t. j. 10 delavcev ; ker pa je prekop 120 m, tedaj 3krat takó dolg, treb a bode 3krat 10, t. j . 30 delavcev ; i, t. d . 23. 4500 máž ima kruha za 8 mesecev, ako ga dobiva vsak po l} kg na dan. A pride jih še 500 máž, koliko kg bode treba dati vsakemu na dan, ako hočejo izhajati s kruhom 7Ž meseca? 24. V rudniku sta dva parna stroja, prvi vzdigne vsake 2 minuti 7 hi vode 84 m visoko, drugi vsake 3 minute 10 hi vode 108 m visoko. V koliko minutah spravila bi oba dva stroja 2550 hi vod e 120 m visoko? 25. A ima toliko volne, da je ~i iz nje natkati 16 koso v sukna, ako je vsak po 54 m dolg in po m širok. Iz nekaj volne se natkata 2 kosa 11 m širokega sukna, vsak kos po 48 m ; koliko kosov širokega sukna, kos po 44 m, je máči iz ostale volne 14 m natkati? 6. 6 delavcev je izkopalo v 4 dneh 300 m dolg, 8-3 -dm širok in 6 dm globok prekop. Pri druzem prekopu se potrebuje za 2j m prav toliko časa kakor pri prvem za 42 m 3. a) Koliko delavcev je treba, da izkopljejo drugi 245 m dolgi, 113 dm široki in 32 dm globoki prekop v 9 dneh ; b) v koliko dneh izkoplje drugi preko p 10 delavcev, ako je le-tá 250 m dolg, 94 dm širok in 4-1 cim globok? 123 4. Naloge v ponavljanje. 1.* Kolika je hkratna diferenca med 10w in 61-? 2.* Zmanjšaj 7kratnik števila 5§- za 294, od ostanka pa vzemi četrtino. 65-k . 19 259~ 8 23 1241 . 15 15081 ž. 17 3. 3-65-12-38-5$ 23 3a+4 7a+ 5 8 — 7a 5—3a 3— 7a 4. 3 4 6 8 — 12 12 a 2 b 26xu6 26x3 y4z5 39x2y 3z4 • 13x,y' 3601) 6 45a2 b3 c 4 40ab 2 c3 y2 (x2 a 2 +1 a2 — 2a+l 7. 8. 4a2 2 a2—1 a2 + 2a + 1 9. Izračunaj té-le produkte na 4 decimalke : a) 24 .83275. 2.0437. b) 27.0889. 0 .3067. c) 6.354. 0.00875. d) 5 .047329 . 0 . 00278. 10. Izračunaj té-le kvocijente na 3 decimalke : a) 815 .9025 : 87 .53, b) 12 .345 : 678.908. c) 4328 .6 : 9876.702. d) 3 .8752 : 0 .0207. 11.* 30 m velja 138 gl .; koliko velja 65 m? 12.* 45 l velja 27 gl. ; koliko velja 10 l ? 13.* Brzini poštnega voza in lokomotive se imata kakor 2 : 9, lokomotiva pride v 2 urah 55 km daleč ; kakó daleč pride poštni vo z 3 12 urah ? 14. Izmed treh zidarjev sezida prvi v 3 urah 158 dm3, drugi 3 4 urah 205 dm3, tretji v 6 urah 281 dm3 zidú ; a) koliko dm 3 sezidajo vsi trije v 1 uri, b) v koliko dneh sezidajo vsi 1708 dm3 zidú , ako delajo po 12 ur na dan ? 2x 1,5. (x + a) : (x — a ) b : c. 16. 4 : s- = 1 : (15 — .17. (x -{- 1) : (x — 5) = (x + 3) : (x — 7). 18. (8x — 1) : (4x + 2) = (6x — 9) : (3x — 4). 19.* Katerega števila tretjina je za 4 večja od njega četrtine ? 20. Ob 6ih zjutraj se odpelje od A proti B poštni voz ter preteče vsako uro po 72km ; 20 minut čez 2 popoldne zapusti mesto A vlak, kateri preteče vsako uro po 36 km, ter dospe ob jednem s poštnim vozom v mesto B ; koliko km je od A do B? Sedmi oddelek . O najvažnejših gospodarskih in trgovskih računih. O proeentrtem računu. § 130. Stotnino katerega koli števila imenujemo procent ali o d s t o t e k (10/0) istega števila. 2°/0, 3°/0, . . p0/0 kakega števila je 2 3 dotičnega števila. Procenti tedaj kažejo, kolik o 100' 100'' , 100 jednot katere koli vrste treba vzeti od 10 0 j e d n o t iste vrste . Pri nekaterih količinah se računa iznesek od 1000 jednot in to tedaj , kadar bi bili procenti zelo majhni ulomki. Tak iznesek imenujemo p r o mi l ali odtisoček (Promille, % o), n. pr. 2 °/, 0 se pravi, od 1000 jednot treba vzeti jednote. Pri procentnih računih treba paziti na štiri količine : 1.) na število 100 kot osnovno število ; 2.) na iznesek, ki se jemlje od 100, t. j. na procente; 3.) na vsoto, od katere treba procente računati; 4.) na procentni iznesek, t. j. na množino, katero dobimo od dane vsote po procentih. § 131. Procentni račun je trojen : od sto (volt Hundert), n a d s t o Hundert) in pod sto (in Hundert) . 1 .) Od sto se računa, kadar je vsota, od katere treba procentni iznesek izračunati, istovrstna z osnovnim številom 100. N. pr. Pri nakupu blaga, katero je 400 gl . veljalo, bilo je 2 0/0 stroškov ; koliko iznašajo stroški? To nalogo razrešimo s pomočjo téga-l e sorazmerja : x: 2 = 400 : 100. 2.) Nad sto se računa, kadar vsota, od katere treba procentn i iznesek izračunati, ni istovrstna z osnovnim številom 100, nego s številom 100, povečanim za procente. N. pr. Neko blago stane z 2 stroškov vred 400 gl. ; kol'iko iznašajo stroški? Tu velj'a sorazmerje : x: 2 = 400 : 102. 3.) Pod sto se slednjič računa, ako je dana vsota, od kater e treba procentni iznesek izračunti, istovrstna z osnovnim številom 100, zmanjšanim za procente. N. pr. Za prodano blago se iztrži po odbitku \2 0/o stroškov 400 O., koliko iznašajo stroški? Tu dobimo x: 2 = 400 : 98. Iz tega je razvidno, da treba smatrati za p % pri računu o d sto število 100, » nad » » 100± » » pod » » 100 —p za istovrstno z dano vsoto. O računu od sto. § 132. Ako zaznamenujemo procente s p in iznesek od vsote s z dobimo sorazmerje i : p : 100, in odtod 8p 100 ' t. j. : Pri procentnem računu od sto je iznesek jedna k 100tnemu delu produkta iz dane vsote in procentov. Pri promilu treba dano vsoto pomnožiti s promilom ter produkt razdeliti s 1000. Za s in p dobimo iz prejšnjega sorazmerj a 100i . 100i m p —— .--= s Izrazi tudi te dve formuli z besedami , Procentne račune razrešujemo tudi s pomočjo s k l e p o v n e g a računa. Jednostavnejše naloge razreši kar n a pamet. Primeri. l.) Koliko je a) 5% od 200, b) 42 °J° od 6800? a) 2450 po 5% b) 6800 po 44 122.50 272 34 306 S pomočjo sklepovnega računa : b) 1 0/0, t. j . -fh-od 6800 je 68, 4% torej 4krat 68 = 272, 12--°/o je polo vica od 68, t. j. 34; 272 in 34 je 306 . 2.) Katera vsota dá po 5 /o 87 za iznesek ? 8700 s = = 1740. 5 Po sklepovnem računu : 5% iskane vsote je 87 , 1 04,t. j. ]..-1-u; » 17. 4, tedaj vsota sama = 17 . 4 . 100 = 1740. 3.) Koliko % je 18 gl. od 450 gl.? p 1800 4 0/,. 450 Po sklepovnem računu : 10/, od 450 gl. je 44 gl.; 18 gl. 'e torej toliko 0/o od 450 gl., kolikorkra t ima 18 gl. 41- gl. v sebi, tedaj 4°4 . O računu nad sto. § 133 . Za procentni račun nad sto velja, ako imaio p, m isti pomen kakor v § 132., sorazmerje : p (100 -j-p), tedaj ~v.=XlOO + p) 100 i Z = "W'15 100 + p' p Primeri. 4' l.) Koliko iznašajo 4% nad sto od 2912 gl. _i:4 2912: 104 ; i = 112 gl . 2.) Katera vsota dá po 6% nad sto 75 gl . za iznesek ? s :106 = 75 : 6; 1325 gl. 3.) Koliko 0/0 nad sto je 120 gl, od 3120 gl.?/ Tu dobimo 3 c, p: 120 = (100 + p) : 3120, tedaj 3120p = 12000 + 120p in iz te jednačbe p 40/, . O računu pod sto. 134. Ako pomenijo p, prav tisto kakor prej, dobimo za procentni račun pod sto :p (100 —p) , tedaj Z,(100 — p) 100 = 100 P V+t Primeri. l.) Koliko 'e 5 0/0 pod sto od vsote 2109 g . : 5 = 2109 : 95; = 111 gl. 2.) Od katere vsote iznašajo 4% pod sto 64 gl . :96 = 64: 4, s = 1536 gl. 3.) Po koliko 0/0 pod sto dá 5031 gl . 129 gl. za iznesek ? p: 129 = (100 — p) : 5031 , tedaj 5031p 12900 — 129p, in p = 21-% Naloge_ l.* a) 2°/0 od 50, 25, 20, 10, 75, 300, 650, 975 ; b) 4 0/0 od 400, 1600, 350, 775, 860, 1230, 2575 ; c) 5°/0 od 600, 1400, 50, 350, 920, 480, 2860. 2. Koliko j e a) 4% od 635? b) 51-0/0 od 846? c) 64 % od 1832? d) 74 °/° od 6052? 3. Koliko j e a) 1 0/oo od 7360? b) 1°/00 od 8640? c) 12 °/oo od 8380? d) lroo od 14320 ? 1 -,'-, 4. Kolik iznesek dá vsota 5280 gl. po a) l %, b) o C) 41 0/0, d)1'3/0 , O 6š°/o ? 5. Izmed 409 35letnih ljudij jih umrje 40°/0 do 60. leta; liko jih učaka torej 60. leta ? 6. 6350 m dolga cesta je napeta za 1 .8°/0; koliko m iznaša tedaj napetost ? 7. Prebivalstvo mesta, katero je imelo leta 1840 . 15860 du pomnožilo se je do leta 1880. za 25 0/0; koliko prebivalcev je imelo tedaj mesto leta 1880 .? 8. Za neki zid se potrebuje 64800 opek ; koliko opek je treba kupiti, ako se jih %0/0 polomi in drugače poizgubi ? 9. Dolnja Avstrijska ima 1885840 ha rodovitne zemlje, i n sicer 44 0/,, njiv; koliko ha ima njiv ? 10.* Katera vsota dá a) po 20/0 48; b) po 3 0/0 74; c) po 4°/0 38 za iznesek? l i. Koliko duš ima mesto, ako jih iznaša 22 0/0 572 ? 12. Ako dobiš iz pese 5 0/0 neprečiščenega cukra, koliko kg pese je treba za 47200 kg neprečiščenega eukra ? M. Goveje meso izgubi, ako se skuha, 15% svoje teže ; a) koliko tehta 3* kg sirovega mesa (brez kostij), kadar je kuhano ? b) koliko sirovega mesa treba vsak dan za 12 oseb kupiti, da dobi vsaka kg kuhanega mesa ? 14.* Koliko 0/0 je a) 12 od 200? b) 16 od 400? O 38 od 2000 ? d) 36 od 800? e) 80 od 1200? f) 63 od 1400 ? lo. Koliko 0,'0 je a) 40 kr. od 8 gl.? b) 35 gl. od 1050 gl.? O 308 gl. od 5600 gl.? d) 116 .64 gl. od 1728 gl.? 16. V sreberni zlitini, tehtajoči 122 kg, je 5 kg bakra ; koliko % bakra je v tej zlitini ? 17. Ako prežgeš 25 kg kave, dobiš le 24-kg žgane kave ; koliko % svoje teže izgubi tedaj kava, ako se prežge ? 18. Česka je imela leta 1780. 2561794, leta 1870. pa 5140156 prebivalcev; za koliko °Jo se je tedaj nje prebivalstvo v tej dobi pomnožilo? 19. Kolik je iznesek nad sto od vsote a) 923 po 3 0/0? b) 1555 po 52°/o? c) 680 .85 po 2%? d) 3047 .5 po °/o ? 20. Koliko ostane od a) 3528 gl., b) 907 .48 gl. po odbitku 2°/0 nad sto ? 21. Koliko 0/0 n a d sto je 105 gl. od 3105 gl.? 22. Kolik je iznesek p o d sto od a) 2508 gl. po 10'/,,? b) 836 gl. po 82 °/o ? c) 7018 gl. po 2-1 0/4? d) 16011 gl. po 61%? 129 23. Izračunaj vsote k tém-le izneskom in procentom : a) 300 gl. po 10 %, b) 128* gL po llj°/o , c) 130 .2 gl. po d) 781- gl. po 12 %. 24. Koliko % pod sto je 66 gl. od 3234 gl. ? Nekdo plača davek in 32 0% priklada ; koliko plačuje davka , ako je plačal vsega skupaj 1~5 gl. 40 kr.? " 26. Koliko plačuje kmet davka, ako plača po odbitku 4 0/0 popusta 398 gl. 40 kr.? Trgovec je iztržil za neko blago po odbitku 24-.% stroškov 6676 gl ; koliko je bilo stroškov? :,.' - Pri nakupu blaga je iznašal 340/0 odbitek 1752 gl.; koliko g . e plačal kupec? .5 O tari. v § 135. Ako zvagamo blago s posodo vred, v kateri je, imenujemo t o težo surovo ali nečisto težo (Brutto-, Sporcogewicht) . Odbite k od nečiste teže zaradi one,.e zpyemotaro (Tara) in težo blaga samega čisto težo (Nettogewicht). Žara je dana dostikrat v procentih ; v tem slučaji jo je računati od nečiste teže po procent nem računu o d sto. Decimalke se jemljejo v poštev le pri zelo dragem blagu, sicer pa se ali prezirajo ali pa se število kilogramov za 1 poveča, ako iznašajo 5 ali več kakor 5 desetin. N. pr. Koliko velja 5 vreč kave, ako iznaša nečista teža 773 kg, tara ter se računa 100 kg čiste teže po 165 gl . ? 773 po 5 °/, Nečiste teže 773 kg 5 0/, tare 39 » 38 . 65 kg čiste teže 734 kg po 165 440 4 36 70 1211 . 10 gl . O skontu ali rabatu. § 136 . Kupcu, ki kupuje blago na debelo, ni treba blaga precej pla čati, nego še le o določenem roku, a zaradi tega zaračuna se m u blago nekoliko dražje. Ako pa kupec blago vender le precej plača, 9 130 dovoliti se mu mpra zaradi gotovega plačila odbitek od kupnine ; ta odbitek se zove l~.agovni diskont, skonto, tudi rabat ( cliseont, Sconto, Rabatt) ter se računa po procentih o d sto. Ako se odšteje skonto od kupnine, zove se ostanek gotovo plačilo (con , tante Pri marsikaterem blagi,' določuje izdelovalec sam ceno, po ka teri se morajo njega izdelki na drobno prodajati, prodajalcu n a drobno pa dovoljuje kot odškodnino trud odbitek o d omenjene cene, tudi tak odbitek se imen «tjé rabat. Tak ~é n. pr. k n j i g ar s k i rabat (Buchh~ncllerrabatt,). Ta iznaša navadno tak e procente, s katerimi je prav pripravno računati ; n. pr. 333 0/0 ali one cene, po kateri se knjiga prodaja, 25 0/0 , 20 0/o . Knjigarski rabat se računa po procentnem računu o d sto, dostikrat pa se tudi kar kratko delitev uporablja. N. pr. l.) Nekdo je kupil za 5192 blaga ; a) koliko iznaša skont o glr po 2 0/o, b) koliko 'e gotovega plačila ? Kupnine je g L 519 2 2 0/0 skonta je » 103 . 84 gotovega plačila je gl . 5088 . 16 . 2.) Knjigar-založnik je razposlal knjig, vrednih 2518 gl . ; koliko ima zanje terjati, ako daje 200 1'0 rabata? 2518 po 20 0/0 ali od 2518 gl . 2518 gl . 503.6 gl . 503 .60 gl. rabata 503 .6 gl. 2014 .4 gl. O senzariji. 137. Zaprisežene osebe, katerim je posredovati med trgovci istega mesta pri nakupu in prodaji blaga, zovejo se m eŠ e t a rj i ali s e n- z ali (Makler, Sensale). Nagrada, katero dobé za svoj tri d, zove s e mešetarina ali s enzari j a (Sensarie, Courtage). c Senzarija iznaša pri blagu navadno 1 0/0 , in sicer plača kupe c 2 °/a, prodajalec 2 °/o, pri menicah pa 1 0/oo . N. pr. l.) Koliko iznaša -1 0/0 senzarije pri blagu, prodanem za 4580 gl . ; koliko dobi za blago prodajalec in koliko mora kupec plačati? 13 1 4580 po 1 22 .90 gl. senzarije. Prodajalec dobi : za blago . . . . . gl. 4580 ako se odbije 1.-0/0 senzarije » 22 . 9 0 ostane mu čistega . gl.4557 . 10. Kupec plača : za blago . . . . gl. 4580 % senzarije » 22 . 90 vsega skupaj . . . gl. 4602 . 90 . 2.) Za koliko se je kupilo državnih papirjev, ako iznaša 1 0/00 senzarije 5 gl. 64 kr.? x = 5 .64. 1000 = 5640 gl . O proviziji. § 138. Dostikrat naroči kdo komu druzemu, da izvrši zanj kako opravilo, n. pr. da kupi ali proda kako blago ; osebo, katera nálog daje , zovemo po v e r i t elj a ali k o rn i t e n t a (Committent), osebo pa, katera nálog dobi in izvrši, poverjenika, opravnika ali komisijo n a r j a (Commissiondr). Nagrada, katero poverjenik za svoj trud dobi , zove se provizija ali o p r a v n i n a (Provision, Commission) ter s e računa po procentih o d sto. Pri nakupu se računa provizija od kupnine, povečane za vse druge stroške. V tem slučaji treba potem provizijo k prejšnjemu iznesku prišteti. Pri prodaji se računa provizija kar od izkupnine , gredno so se odšteli drugi stroški . Provizijo treba tu z vsemi druzim i stroški vred od prvotne izkupnine odšteti ; kar ostane, je čista i z k u p n i n a za prodano blago. Račun, katerega pošlje poverjenik svojemu poveritelju o kupljenem ali prodanem blagu, zove se oziroma nakupni račun (Faktura) ali prodajni račun. Primeri. l.) Koliko iznaša provizija po °Jo , in kolika je čista izkupnina, ki se dobi za prodano menico, glasečo se na 1785 . 12 gl.? 1785 . 12 po I-% Menični iznesek ‘ . . . . 1785 . 12 gl . 8 . 9256 gl . proviz . ako se odbije 4-% proviz . . 8. 93 » ostane čiste izkupnine 1776 . 19 gl . 9* 132 2.) Tržačan kupi za Dunajčana 3 zaboje sicilijanskega grozdjiča št. 12. do 14., nečiste teže 768 kg, tare po 18 kg od zaboja , 100 kg čiste teže po 31 gl. Izračunaj iznesek, o katerem se pošlj e faktura, ako iznašajo stroški za zaboje, nakladanje, i. t. d. 15 .58 gl., in se računa 2 °/4 senzarije in 2 % provizije. Faktura. 3 zaboje sicilijanskega grozdjiča št. 12. do 14. nečiste teže 768 kg tare po 18 kg od zaboja 54 » čiste teže . . 714 kg po 31 . gl. 221 34 Stroškov : za zaboje, nakladanje, i. t. d. . 15. 58 gl. 2% senzarije (od 221 .34 gl,) . . 1 .11 » 16 69 gl. 238 3 2% provizije (od 238 . 03 gl.) . » 4 76 gl. 242 79 3.) Pražan zaukaže prodati v Vratislavu 218 cnt. pšenice, in sicer 200 funtov po 19 . 80 marke ; vozarina iznaša 30 pfenigov od ent. ; darila za merjenje, pijačo, i, t. d. se plača 10 .80 marke, senzarije pa % ; koliko je čiste izkupnine, ako se računa 2j% provizije? Prodajni račun. 218 cnt. pšenice po 19 .80 za 200 funtov . . mark 12158 20 Stroškov : vozarine po 30 pf. od cnt. . . mark 65 .40 darila za merjenje, pijačo, i . L. d . . 10 .80 -1 0/0 senzarije (od 2158 . 2 marke) . . » 10 . 7 9 21% provizije (od 2158 . 2 marke) . » 48 . 56 1 35 55 čiste izkupnine mark 2022 6" O zavarovalnini § 139. Društva, katera prevzemó proti določeni pristojbini odškodovanje za nezgode in izgube, nastale bodi si vsled prirodnih, bodi s i vsled izvenrednih dogodkov, zovejo se zavarovalna društv a (Assecuranz-Gesellschctften). Pristojbino, katero jim treba naprej pla čati za to, da prevzemó odškodovanje, imenujemo zavarovalnin o (Versiehertngspr~mie), pismo pa, s katerim potrjujejo, da se je kdo 133 res in za koliko se je zavaroval, polico (Polizze). Zavarovalnin a se računa od zavarovane vsote po procentih od sto. N. pr. 5. 0/ T 0? Kolika je zavarovalnina od zavarovanih 15280 gl . po 15280 po 4 0/,, 7640 » 2°/o 1910 » *o/o 248 .30 gl. bičku in izgubi . § 140. ‘ Pri računih o dobičku in izgubi treba paziti na troje : n a pri nakupu, na dohodke pri prodaji in na dobiče k ali izgubo. Trgovci računajo dobiček in izgubo navadno po procentih ; n. pr. 6 0/0 dobička imeti se pravi, za 100 gl., ki so se izdal i pri nakupu, dobiti 106 gl. pri prodaji; 6 °/0 izgube pa, za 100 gl ., izdanih pri nakupu, le 94 gL pri prodaji iztržiti . N. pr. l.) Trgovec kupi m sukna po 4 gl . 80 kr. ; po čem mora m prodati, da bode imel 15 0/,, dobička? 4.8 po 15% Kupna cena 4 gl. $O kr. 24 0 15 % dobička — » 72 » 0. 720 gl . dobička . prodajna cena 5 gl . 52 kr. 2.) Blago, katero se je za 725 gl . kupilo, moralo se je z a 674 gl. 25 kr. prodati; koliko 0/0 je bilo izgube? Kupnina 725 gl. 50 .75 . 100 7 o o. izkupnina 674 » 25 kr . x 72 5 izguba 50 gl. 75 kr. Naloge_ Blago ima 2792 kg nečiste teže ; kolika je njega čista teža, ako se računa tare a) 3 0/0 , b) 5$ 0/,, e) 12 0/0? 2. Blago ima 2150 kg nečiste in 1978 kg čiste teže ; koliko % iznaša tara ? 3. Koliko iznaša skonto po 21% pri a) 2577 gl., b) 3538 gl. , e) 93-. 5 d) 1714 .17 g .? 4 Koliko veljajo 4 sodi smokev, imajoči 518 kg nečiste teže , ako 10 0 /0 tare ter se plača za vsacih 100 kg čiste teže po 24 gl., in se računa 12 °/o skonta? 5.* 20 0/0 , 25 0/0 , 33--0/o rabata je koliki del one cene, p o kateri se knjiga prodaja ? 6.* Koliko iznaša rabat po 33 10 /0 , ako kupi kdo knjig z a a) 1518 .24 gl., b) 917-3- marke? 7.* Koliko je senzarije po 2 °Jo od a) 918 gl.? b) 506 gl. 58 kr. ? c) 3096 gl.? d) 2744 gl. 87 kr. ? 8. Za kupljeno blago se plača s Ž °/o senzarije vred 2653 gl . 40 kr. ; kolika je prvotna kupnina ? 9. Koliko je provizije po 2 0/ 0 od a) 458 gl.? b) 720 gl.? c) 912 gl. 50 kr.? d) 1325 gl.? 3915 gl.? f) 1118 gl. 75 kr. ? 10. Koliko je provizije od 4760 gl. po O 12 01o ? a) -1 010 ? b) š °l° ? d) I. 0/0 ? , 11 . Nekdo proda za nekoga druzega blaga za 2085 gl. 25 kr. ; koliko ostane prodajalcu po odbitku 12 % provizije ? 12. Neko blago stane pri nakupu z 2 °t o provizije vred 3207 gl . 90 kr. ; a) koliko je provizije, b) kolika kupnina sama ? 13. Za prodano blago se iztrži po odbitku 2 /o provizij e 2158 gl. 88 kr. ; koliko iznaša provizija ? Trgovec proda za nekoga druzega blaga za 3518 gl ., me šetarju plača I- %, zá-se pa zaračuna 1 ° fo provizije ; koliko dobi prodajalec? Koliko treba plačati za 2308 kg nečiste teže, ako iznaš a tara 8 °/o , 100 kg čiste teže pa velja 85 . 72 gl., in se računa 2 skonta .4n-4i°1a -provizije 16. Koliko zavarovalnine treba plačati od 7850 gl. a) po -1 0/o ? b) po c)po 1 %? d) po 12 10? golo ? 17.* Hišni posestnik je zavaroval pri zavarovalnem društvu svojo hišo ter plačal 18 gl. 84 kr. ; koliko je hiša vredna, ako j e računalo društvo Ž 0/0 hišine vrednosti ? 18.* 5 °Io, 64 °/0, 8* °10, 10 010 , 1Z2 0/0, 161 0/0, 20 0 /0 dobička koliki del kupnine ? 19.* Za koliko treba prodati blago, katero se je za 780 gl . kupilo, da bode a) 10 10 dobička, b) 10 % izgube ? 20. Pri blagu, katero se je za 4250 gl. kupilo, je bilo pri prodaji 340 gl . dobička ; koliko 0/o je bilo dobička ? 21, Trgovec je iztržil za blago, pri katerem je imel 3 0/0 izgube, 1040 gl . ; a) koliko je imel izgube, b) za koliko je bil blago kupil? Nekdo je iztržil za prodano blago 1590 O ., koliko % j e imel dobička, ako je iznašal le-tá 90 gl.? 23. Za prodano blago se je iztržilo 1590 gl ., koliko 0/0 je bilo izgube, ako je iznašala le-tá 90 gl . ? 24. Dunajčan dobi iz Trsta 4 zaboje grozdjiča, imajoče 972 kg nečiste teže, tare se računa po 18 kg od zaboja, 100 kg čiste tež e po 30 gl., senzarije 2 %, provizije 2 °/0 ; carina, vozarina in drugi stroški iznašajo 68 gl. 64 kr.; po čem mora kg prodati, ako hoč e imeti 15 % dobička? I. O obrestnem računu. l. O jednostavnem obrestnem računu . § 141. ' Denar, katerega kdo ali sam taká uporablja, da mu kaj nese , ali komu druzemu s tem pogojem posodi, da mu plačuje le-ta za uporabo določen iznesek, slednjič pa vender le ves posojen denar zopet povrne, imenujemo kapital ali glavnico (Kapital), iznesek pa, kateri se plačuje za uporabo kapitala, obresti (Zinsen, Interessen). Obresti se računajo po procentih ; le-ti veljajo za 100 kapi talnih jednot in za časovno jednoto, navadno za jedno leto. Leto se računa pri obrestnih računih po 360 dnij, mesec po 30 dnij . Obrestni račun je tedaj procenten račun, pri katerem pa treb a razven količin, ki se v vsakem procentnem računu nahajajo, v poštev jemati še čas. Obresti imenujemo jednostavne ali proste (einfaehe Zinsen), ako ostane kapital ves čas, ko tečejo obresti, neizpremenjen ; ako se pa obresti koncem vsacega leta ali poluleta h kapitalu pridevajo in same zopet na obresti nalagajo, ondaj jih imenujem o obrestne obresti (Zinseszinsen) . § 142. Podloga obrestnemu računu je sestavljeno sorazmerje ; toda vsako tako nalogo je moči tudi s pomočjo sklepovnega računa raz rešiti. Sklepovni račun nam rabi posebno, kadar računamo na pamet. N. pr. Kapital 1346 gl. je po 5 % naložen; koliko obrestij da v 3 letih? Uporabljajoč sklepovni račun, dobimo : 1346 gl. kap. dá po 1 0/0 v 1 let . 1346 gl. obrestij 100 1346 .5 1346 » » » 5 o/o » »» 100 1346 .5 .3 5%»3 100 » 1346»»» » » » Uporabljajoč sestavljeno sorazmerje : 100 gl. kap. v 1 let. 5 gl. obrestij x: 5 = 1346 : 100 346 » » 3 »x 3;1 1346. 5 .3 x 10 0 V obče : Ako zaznamenujemo kapital, procente, število let in obresti oziroma s k, p, l in o, dobimo na isti nači n kp Ioo , in odtod 100 .o 100 .o 100.o k = Pl -P k z kp Izrazi te formule z besedami.. Primeri. l.) Koliko obrestij dá 350 gl. po 4 °to v 3 letih? a) Na pamet. 350 gl. dá v 1 letu po 10/0 100tni del od 350 gl., tedaj 32 gl., po 4 0/o torej 4krat 3-1 gl . = 14 gl. ; v 3 letih tedaj škrat 14 gl. = 42 gl . obrestij . 350 .4 .3 b) Po formuli : o = 42 gl. 100 2.) Kateri kapital dá po 4 % v 5 letih 540 gl . obrestij ? a) Na pamet. 4 0/0 kapitala v 5 let. = 540 gl. 40,10 » »1 » 108 0/0, t. J. T-~'---~-» 1 » = 27 tedaj je kapital sam = 100krat 27 gl . =----- 2700 gl. 100 . 540 b) Po formuli : k = 2700 gl. 4 .5 3.) Po koliko 0/0 treba 3450 gl . kapitala na obresti naložiti , da bode dal v 2 letih 276 gl . obrestij ? a)Napamet.Po 1% dá3450gl.kap.v1letu.344 gl., v 2 letih 69 gl.; 276 gl. je tedaj toliko %, kolikorkrat ima 276 število 69 v sebi, torej 4 % . 100 . 276 b) Po formuli : 3450. 2 = 404. 4.) Koliko časa treba imeti kapital 4800 gl . po 5 °to izposojen , da bode dal 600 gl. obrestij`? 137 a) Na pamet. 4800 gl. dá v 1 letu po l % 48 gl., po 5 % tedaj 5krat 48 gl. = 240 gl., 600 gl. obrestij dá tedaj isti kapital v toliko letih, kolikorkrat je 240 v 600, torej v 24 leta. 100 . 600 formuli ' =--- 21 leta ') P0 l = 4800 . 5 2 § 143. Navadno pa se računajo obresti za kateri koli kapital i n kateri koli čas takó-le : 1.) Najprej izračunaj obresti za jedno leto po .procentnem računu, pomnoživši stotni del kapitala s procenti . 2.) Obresti za več let dobiš, ako pomnožiš obresti za jedn o leto s številom let. 3.) Ako so dani tudi meseci in dnevi, uporabljaj razstavn i način (Zerfállungsmethocle) ; mesece razstavi namreč na pripravn e dele leta, in dneve na pripravne dele meseca, potem vzemi od obrestij za jedno leto, oziroma za jeden mesec prav toliko delov in vs e te izneske prištej k obrestim za leta . N. pr. Koliko obrestij da 4850 gl. kapitala po 42 /o v 3 letih 7 mesecih 12 dneh ? 4850gl. po 42 °/0 v 3 1. 7 m. 12 dn. 194 00 24 25 218.25 gl. obr . v 1 1. 654.75 gl. obr. v 3 1. 109.125 6 m. =l- I. 18 187 • • » 1 » -i od 6 m. 6.062 • • » 10 dn. = 4 m. 1.212 • • » 2 » od 10 dn. 789.336 gl. = 789 gl. 34 kr. § 144. Dostikrat treba izračunati obresti le za določeno število dni j. V tem slučaji izračunaj najprej obresti za 6 0/0 in iz teh po razstavnem načinu obresti za dane procente . Ako je k oni kapital, kateri je po 6 0/ d dnij na obresti naložen, ondaj dobim o j4 100 gl. kap. v 360 dn. 6 gl. obr. x : =k :100 k» »d »X»» d :360, tedaj x kd 6000 ' 13 8 t. j. obresti po 6% za določeno število dnij dobimo, ak o pomnožimo kapital s številom dnij ter ta produkt naj prej s 1000 in potem še s 6 razdelimo. N. pr. l.) Koliko obrestij dá 780 gl. kapitala po 6 / od dne 3. aprila do dne 12. avgusta? Od dne 3. aprila do dne 3. avgusta so 4 m. 120 dn. » 3. avgusta » » 12. » je 9 » 129 dn. 780 .129 15 6 7 02 100, 620 : 6,00 0 16.77 gl. 2.) Koliko obrestij dá 4559 gl . 80 kr. po 8 °to v 57 dneh? 4560 .57 228 0 31 92 259,920 : 6,000 43 .32 gl. obr. po 6% 14.44 » » » 2% — od 6 V() 57 .76 gL obr. po 8%. Nalogo_ I .* Izračunaj letne obresti o d a) 30 gl., 75 gl., 120 gl., 350 gl., 862 gl., 924 gl. po 5 b) 55 gl. 80 kr., 110 gl ., 235 gl ., 560 gl., 772 gl. po 4 °/4 ; c) 500 gl., 125 gl., 350 gl ., 720 375 gl., 880 gl. po 42 0/0 . 2.* Koliko iznašajo obresti po 4 0 /0 od a) 200 gl. v 3 letih? b) 525 gl. v 5 letih ? c) 465 » » 8 » d) 255 » » 6 » 3.* Vdova ima naloženih svojih 9560 gl, kapitala po 5 2 0/o ; koliko sme na dan potrošiti, ako živi o samih obrestih onega kapitala ? 4. Koliko obrestij d á a) 4105 gl. po 5 0/0 v 3 letih ? b) 2412 gl. po 5 0/0 v 5 letih? Koliko obrestij dá 1428 gl. • a) po 5 0/0 v 4 mesecih? b) po 6 °Jo v 7 mesecih ? c) po 42 10 v 5 mesecih? d) po 54 0/0 v 9 mesecih? 13 9 ,6. Koliko obrestij dá a) 6720 gl, po 4 0/0 v 1 letu 5 mesecih ? ) 2928 gl. po bi% v 2 letih 7 mes. 15 dneh? ) 5704 gl. po 62 0/0 v 3 letih 10 rnes. 20 dneh? 7. Koliko iznašajo obresti po 6 0 / o od a) 984 gl. v 65 dneh? b) 2250 gl. v 212 dneh? c) 2127 .6 gl. v 96 dneh? d) 3284 gl. v 192 dneh? 8. Koliko obrestij d á a) 8888 gl. kapitala po 7 0/o v 12 dneh ? b) 1278 gl. kapitala po 62 0/0 v 147 dneh ? 9. Koliko obrestij dá a) 945 gl. po 51 0/ 0 od dne 1. avg. do dne 7. nov.? b) 9379 gl. po 6 Ž °/, od dne 25. maja do dne 3. okt.? 10. Na koliko narase kapital k v l letih, ako je po p 0/0 na jednostavne obresti naložen ? 11. Na nekem posestvu je 8500 gl . dolga ; čez 2 leti plač a posestnik dolg in 54 0/0 obresti ; koliko mora plačati ? 12 .* Kolikokrat večji je kapital od letnih obrestij a) po 5 °/, , b) po 4 0/0? 13.* Kateri kapital daje na leto obrestij a} 20 gl., 25 gl., 30 gl., 36 gl., 82 gl., 145 gl. in to po 5 °/° ? b) 10 gl., 24 gl., 40 gl., 75 gl., 120 200 gl. po 4 0/o ? 14.* Kateri kapital dá po 5 0/0 v 3 letih a) 75 gl., b) 90 gl., c) 125 gl. obrestij ? 15. Izračunaj kapital, kateri dá a) po 4 0/0 v 2 let. 70 gl. obrestij , j) po 5 0/, v 12 let. 941 gl. obrestij. 16. Kateri kapital dá a) po 4% v 3 let. 837 gl. obrestij ? b) po 6 2 °/, v 1 let. 390 gl. obrestij ? 17.* Koliko °/, se računa, ako dá v 1 letu a) 800 gl. kap. 40 gl . obrestij ? b) 1500 gl. kap. 80 gl . obrestij ? c) 600 gl. kap. 27 gl. obrestij ? d) 1400 gl. kap. 63 gl. obrestij? 18.* Koliko 0/0 se računa, ako dá a) 400 gl. kap. v 2 let. 28 gl. obrestij b) 700 » » » 4 » 140 » » c)800 » » » 2 Ž » 120 » » IS. Po koliko °/, dá 4260 gl. kapitala v 3 letih 4 mesecih 710 gl. obrestij ? Neki kapital dá v 3 letih po 4°/0 604 gl. obrestij, drug, za 150 gl . večji kapital pa dá v istem času 90 gl . obrestij ; po koliko °/, je drugi kapital na obresti naložen ? 21. Po koliko 0/, treba 9110 gl . na obresti naložiti, da dad é od dne 2. maja do dne 15. oktobra 205 gl. 23 kr. obrestij ? 22. Po koliko °/, treba kapital na obresti naložiti, da bodo jednostavne obresti a) v 20, b) v 25, c) v 333 let. kapitalu jednake ? 23.* V katerem času d á a) 225 gl. kap. po b) 320 » » k c) 450 » » » 24. V katerem času dá 4 0/0 5 0/, 6 0/ 0 45 32 942 » gl. o » brestij ? » » )(a) 5460 gl. kap. po 52 0/0 365 gl. obrestij ? b) 5244 . 55 gl. kap. po 54 0/0 956 . 3 gl. obrestij ? c) 6580 .5 gl. kap. po 41 0/0 849 .82 gl. obrestij ? „.-- 25. Koliko časa mora kapital na obresti naložen biti, da iznašajo obresti a) po 4 0/0, b) po 5 %, c) po 6 % prav toliko kakor kapital? 2. O diskontnem računu . § 145. Recimo, da kdo kako vsoto, katero ima brez obrestij še le čez nekaj časa plačati, takój izplača ; v tem slučaji mu očividno n e bode treba plačati vsega, kar je dolžan, nego plačal bode le oni iznesek, kateri dá, za obresti, ki bi narastle do plačilnega roka, povečan, ves dolg ; dolžniku se mora dovoliti tedaj v tem slučaji nek i odbitek. Ta odbitek se zove diskont (Discont) ter se računa p o procentih. Ako odštejemo diskont od dolga, zove se ostanek gotova , sedanja ali disk o n t o v ana kapitalna vrednost (bare, ge,qenwdrti, qe, discontierte Wert des Capitals) . N. pr. Nekdo hoče takój izplačati brezobresten dolg 418 katere je dolžan še le čez 12 leta plačati ; a) koliko odbitka se mu mora dovoliti, ako se računa 6 0/0 diskonta na leto, b) koliko je gotovega plačila? 100 gl . takój je vrednih, ako se računa 6 °jo obrestij, čez 12 let a 109 gl.; obratno:1_09 gl., katere treba brez obrestij še le čez 12 leta plačati, vrednih je sedaj le 100 gl,, ali od vsakih 109 gl. treba 9 gi. diskonta odb'ti, ako se plačajo 12 leta prej . Tedaj a) 109 gl. dolga 9 gl. disk. x: 9 418 : 109 418 » x x 34 .51 gl. disk. b) Dolga je . . 418 - gl. odštev. 6 0/0 disk. za 1* 1. . 34.51 ostane gotovega plačila . 383 . 49 gl. Preskušnja. 3 83 .49 gl. po 6 °/, Gotovo plačilo 383 .49 gl . 23 .00 94 gl. obrestij v 1 l . 60/, obresti za l-i leta 34-51 » 11 .50 47 kapital čez 12 leta 418.--. gl » » 2 » 34.5141 gl. Iz tega je razvidno, da je računati diskont n a d sto. Ako bi računali diskont o d sto, dobili bi : 418 gl. po 9 0/o Dolga 418 gl. . 37.62 gl. diskonta odštev. disk. 37.62 » ostane gotovega plačila 380 .38 gl. Toda 380 . 38 gl. gotovega plačila ne dalo bi s 6% obrestimi vre d čez q leta dolžni kapital 418 gl., ampak le 414 . 61 gl. Ker pa je račun od sto pripravnejši nego račun nad sto, in razloče k med obema rezultatoma za kratke roke neznaten, zato računajo trgovci diskon t ali skonto pri i z n e s k i h z a bl ag o (§ 136 .) vsikdar po pripravnejšem računu o d sto, kajti tu gre navadno le za kratke roke . Iz prav tistih vzrokov`.a una "TU-menični diskont, o katerem bodemo pozneje (§ 165.) govorili, vselej o d sto . Ako je v obče v vsota, izplačna čez n let brez obrestij, g go.. sovo plačilo, katero rnora dolžnik plačati, ako se računa p 0/ diskont] , ondaj velja 100 .v g : v 100 : (1OO---pn), tedaj g ± .p n 100 .-,.7' ek, e. I. Kateri kapital narase v 6 letih s 5.10/0 obrestimi vred na 452 gl. 20 kr.? '4 , 2. Dolžnik plača upniku 5359 gl. ter poplača s tem kapital i n 52°/, obresti za 3 leta ; koliko iznašajo obresti in kolik je kapital? 3. Nekdo bi moral čez 1 leto 2345 gl. plačati; a on plača takáj ter dobi 5 °jo diskonta ; koliko iznaša a) diskont, b) gotovo plačilo ? 54 . Koliko je vrednih 850 gl ., katere treba čez 2 leti plačati, sedaj, ako se računa 5 % diskonta ? 5. _A ponuja za neko hišo 11820 gl . s tem pogojem, da bod e kupnino še le čez 3 leta plačal ; koliko gl. je ponudba sedaj vredna , ako se računa 5 % diskonta ? I, Fi . .A mora B-ju 1245 gl ., čez 5 let plačati ; koliko bi mu moral čez 2 leti plačati, ako se računa 54 0/0 diskonta ? 7. Za 980 gl., izplačnih čez 6 mesecev, plača se takój 931 gl . ; koliko 0/0 diskonta se računa ? 8. A posodi B-ju 1850 gl. po 6 0/0 ter mu obresti za 1 leto precej odtegne ; za koliko je B na škodi, kateri bi moral obresti prav za prav še le koncem leta plačati?/ /0 , 9. A ponuja za neko posestvo 40 000 gl . v gotovini, B pa 44 000 in sicer hoče 20 000 gl . precej, ostalo vsoto pa čez 2 let i plačati. Kateri ponuja več, ako se računa 54 ''/o diskonta ? 3. O rokovnem računu. § 146. Dostikrat se plačajo brezobrestne vsote, katere bi trebalo drugo za drugo ob določenih rokih (Termine) plačati, vse kar ob jednem , ali pa ob druzih rokih nego je bilo s prva določeno. Kedaj naj se to zgodi, da ne bode niti dolžniku niti upniku na škodo, uči rokovni račun (Terminrechnung) . Recimo, da so ci , c3 oni kapitali, katere treba oziroma čez m,, m, let (mesecev) brez obrestij plačati. Vzemimo dalje, da se plačajo vsi ob jednem in to čez t let (mesecev) . Da ne bode na ta način oškodovan niti dolžnik niti upnik , treba, da je gotova vrednost vsega plačila jednaka vsot i gotovih vrednostij vseh posamičnih plačil. Določujoč gotove vrednosti bi morali računati diskont nad sto (H o f f m a n n - o r način). V resnici pa se navadno uporablja ne takó natančni, a pripravnejši C a r p s o w-ov način, kateremu je podstava diskont o d sto , t, j. obresti. Ta način se opira tedaj na izrek : O b r e–s-fbs e g a p l čila ci -~- c~ --~- c.3 morajo tolike biti kakor obresti posa 143 m i č n i h p l a č i l c,, c2 , c3 s k u p a j . Tedaj, ako vzamemo obrestn o mero po p0/,, je (c,+ +c,)pt_ c,pm, C3.P M3 C2PM2 100 100 100 100 ali, ako razdelimo s ó0 ' (c, --c2 c,) t c1m + C2m2 ca , . Iz te jednačbe je moči vsako posamično količino določiti, ak o so znane vse druge. Navadno treba poiskati t, t. j. p o p r e č n ' p l a č i l n i r o k (mitt- Ierer Zahlungsterrnin). Iz prejšnje jednačbe dobimo t_ c, m1 + c2 m2 + c, m3. c, + c 2 t. j. p o p r e č n i p l a č i 1 n i r o k najdemo, ako pomnožimo vsako posamično 'pTáeilo 'z njegovim rokom ter vsoto teh produktov razde,_ im—o z vsoto vseh posamičnih plačil . N. pr. A je kupil hišo za 8000 gL s tem pogojem, da plača kupnino v več obrokih, ne da bi se mu računale obresti, in sicer : 3500 gl, čez 2 meseca, 2000 gl. čez 3 mesece, 1500 gl . čez 4 mesece in 1000 gl. čez 5 mesecev ; kedaj plača lahko vso kupnino o b jednem? (Poprečni plačilni rok). 3500 gl. čez 2 mes. 7000 2000 » » 3 » . . 6000 1500 » » 4 » 6000 1000 » » 5 » 5000 8000 24000 ; 8000 3 mes. Kakó se lahko prepričaš, je-li rezultat prav ? Dostavek . Kadar so posamična plačila jednaka, in sicer vsako =c, ondaj je poprečni plačilni rok + cm, c m3 Ml +M2 +m 3 , 3c 3 tedaj jednak poprečnemu številu posamičnih rokov. § 147. Ako treba kapitale c,, c,, c3 oziroma čez m,, m2 , m, let (mesecev) plačati, plača pa se kapital k, čez n, , kapital k2 čez n, let (mesecev), ondaj nastane vprašanje, kedaj treba ostane k (c1 4-c2 + ca ) — (k1± k2) r plačati, da ne bode niti dolžni k niti upnik na škodi . Ako zaznamenujemo število teh let (mesecev) s t, , ondaj mor a biti, prav takó kakor v § 146 ., za katere koli procente p ali k, p ni k,p n, l 00 100 k,n, ± k n rp t 100 rt, CI .Pm1 100 ci mi + ;m, Pm2 100 ± C3P i% 100 c.3 n Iz te jednačbe pa dobimo (c i m i + c2 m2 + r k2 1 2 N. pr. bi moral čez 3 leta 300 gl., čez 4 leta 500 gl. in čez 5 let 600 gl. plačati; plača pa že čez 2 leti 400 gl. in čez 22 leta 600 gl. ; kedaj bode moral ostanek plačati ? 300 gl.. 3 = 900 gl. 400 gl. . 2 800 gl. 500 » . 4 = 2000 600 » . 24- = 1500 » » 600 » . 5 = 3000 1000 gl. 2300 gl. 1400 gl. 5900 gl. 1000 » 2300 » ostanek 400 gl . 3600 gl . ; 400 gl. = 9. Ostanek 400 gl. treba mu bode tedaj še le čez 9 let (od početka računano) plačati. 1,7 a. 1 o o. Štirje kapitali po 600 gl. so čez 4, 5, 7, 8 mesecev izplačni ; čez koliko mesecev se plačajo lahko vsi ob jednem ? 2.* 4800 gl. treba v treh jednakih obrokih čez 2, 2 in 3 let a plačati ; kedaj se plača lahko ves dolg na jedenkrat ? 3.* Nekdo je dolžan 1200 gl . in od teh mora vsake 3 mesec e po 300 gl. odplačati ; kedaj bi moral ves dolg ob jednem plačati ? 4. A mora 10000 gl. v 4 obrokih plačati, in sicer : 3000 gl. čez 4 mesece, 2500 gL čez 6 mesecev, 2000 gl . čez 8 mesecev i n kar ostane čez 1 leto ; kedaj plača lahko vse ob jednem ? 5. Kedaj treba plačati 1800 gl. ob jednem, ako je izplačilih 300 gl. čez 1 leto, 400 gl. čez 11-leta, 500 gl. čez 2 leta in ostanek čez 3.k leta in to brez obrestij ? .A mora B-ju plačati: 1600 gl. dne 1. julija, 1400 gl.dne 1. septembra, 1000 gl. dne 1. novembra ; kedaj plača lahko vse tri kapitale ob jednem ? Roke računaj od dne 1 . julija . 145 7. A. bi moral plačati 2000 gl . čez 2 leti in 1600 gl. čez 4 leta , plača pa 2400 gl. že čez 11 leta; kedaj bode moral ostanek plačati ? 8. Nekdo bi moral 3000 gl . čez 8 mesecev plačati, plača p a 1800 gl. takój kedaj bode moral ostanek plačati ? . A. bi moral plačati 800 gl. čez 2 meseca, 500 gl. čez 3 me- Ilsece in 600 gl. čez 4 mesece, plača pa 800 gl. čez 1 mesec i n 600 gl. čez 31meseca; kedaj bode moral ostalih 500 gl. plačati? . 4. O obrestnoobrestnem računu. § 148. Ako se pridevajo obresti koncem vsacega leta ali poluleta h kapitalu ter se s tem vred zopet na obresti nalagajo, ondaj pravimo : kapital je naložen na obrestne obresti. (§ 141. ) Pri obrestnoobrestnem računu imamo, prav takó kakor pr i jednostavnem obrestnem računu, Štiri količine, namreč : kapital, čas, procente in obresti. Obrestna doba je tudi tu jedno leto, ako se iz rekoma nasprotno ne poudarja. Ako je kapital po p% na obresti naložen, narase 100 kapitalnih jednot (goldinarjev, mark) v jednem letu z obrestimi vred na 100 + p ; 1 kapitalna jednota je tedaj p vredna čez l leto z obrestimi vred 100nost 100 1 + 100' 1 + Ioo , na katero narase kapitalna jednota z obrestimi v 1 letu , imenujemo navadno obrestno mero (Zinsfuss) . Za 4 0/ je tedaj obrestna mera 1 + = 1 .04. § 149. Naloga. Na koliko narase kapital a v m letih, ako g a po p% na obrestne obresti naložimo ? Ker je vredna kapitalna jednota z obrestimi vred čez 1 let o 1 ± IPoo , zato ima kapital a čez 1 leto vrednos t a 1 -~- 100 t . j. vrednost, na katero n-6ase kapital v jednem letu, dobimo, pornnoživši njega početno vrednost z obrestno mero. Naloživši novi kapital e zopet jedno leto na obresti, dobim o koncem leta — e, (i+ - 100 100) * 100 00 10 146 V 3, 4, . . . letih bode narasel kapital n a _ 2 (l ) = a (l + ---(l 10) = a (l ó~oo um 4 e4 (I + 100 a (I ± . (l± 100 =a(i± 00~3' 100 i. t. d. Kapital bode imel tedaj koncem mnoga leta vrednos t P = a (l +_IQP t. j. : Končni kapital je jednak poéetnemu kapitalu, pomnoženemu s toliko potenco obrestne mere, kolikor je dob. Ako je naloženih n. pr. 2000 gl. po 5 na obrestne obresti , ondaj narasejo : v 1 let. na 2000. 1 .05 gl. 2 » » 2000 . (1 .05)2» 3 » » 2000 . (1.05)3» .. .... »10 » » 2000 . (J.05) 10 Ako se obresti ne pridevajo h kapitalu koncern vsacega leta neg o koncem vsacega poluleta, ondaj treba vzeti dvakrat toliko dob kakor je danih let, a za vsako dobo le polovico procentov tedaj v formul i - em ± 100 ' za p in m oziroma PT in 2 m. N. pr. za 4 % in 8 let dobili bi ei , a . (J. .02)16. V naslednji tablici so sestavljene že izračunane potence obrestn e mere za 2, 24, 3, 4, 5 procentov in za m = 1, 2, 3, . . . 29, 30. 2 0/, 3 °/4% 5 1 1 .02 1.025 1 .03 1 .04 1 .05 2 1 .0404 1 .050625 1 . 0609 1 . 0816 1 . 1025 3 1 . 061208 1 .076891 1 . 092727 . 124864 1 . 157625 4 1 . 082432 1 . 103813 1 .125509 1 . 169859 1 . 215506 5 1 . 104081 1 . 131408 1 . 159274 1 . 216653 1 . 276282 6 1 . 126162 1 . 159693 1 . 194052 1 . 265319 1 . 340096 7 1 . 148686 1 . 188686 1 .229874 1 . 315932 1 . 407100 8 1 . 171659 1 . 218403 1 . 266770 1 . 368569 1 . 477455 9 1 . 195093 1 . 248863 1 . 304773 1 .423312 1 . 551328 10 1 . 218994 1 . 280085 1 . 343916 1 .480244 1 . 628895 11 1 . 243374 1 . 312087 1 . 384234 1 .539454 1 . 710339 12 1-268242 1 . 344889 1 . 425761 1 .601032 1 . 795856 13 1 . 293607 1 . 378511 1 . 468534 1 .665074 1 .885649 14 1 . 319479 1 . 412974 1 . 512590 1 . 731676 1 . 97993 2 15 1 . 345868 1 .448298 1 . 557967 1 .800944 2. 078928 5o/o m 2%q 3 40/0 16 1 . 372786 1 . 484506 .1 .604706 1 . 872981 2 . 182875 17 1 . 400241 1 . 521618 1 . 652848 1 . 947900 2 . 29201 8 18 1 . 428246 1 . 559659 . 702433 2 . 025817 2 . 40661 9 19 1 . 456811 1 . 598650 1 .753506 2-106849 2 . 526950 20 1 . 485947 1 . 638616 1 .806111 2 . 191123 2 . 653298 21 . 515666 . 679582 1 . 860295 2 . 278768 2 . 785963 22 1 .545980 1 .721571 1.916103 2 .369919 2 .925261 23 1 . 576899 1 . 764611 1 . 973587 2 . 464716 3 . 07152 4 24 1 . 608437 . 808726 2 . 032794 2 . 563304 3 . 225100 25 1 . 640606 1 . 853944 2 . 093778 2 . 665836 3 . 38635 5 26 1 . 673418 1 . 900293 2 .156591 2 . 772470 3 .555673 27 1 . 706886 1 . 947800 2 . 221289 2 . 883369 3 . 73345 6 28 1 . 741024 1 . 996495 2 . 287928 2 . 998703 3 . 92012 9 29 1 . 775845 2 . 046407 2. 356566 3 . 118651 4 . 116136 30 1 .811362 2 .097568 2 .427262 3 .243398 4. 321942 N. pr. l.) Koliko bode vrednih 5800 gl, čez 20 let, ako se 3 % obresti celoletno kapitalizuiejo ? 5800 • (1 .03)20= 5800.1 .806111 = 10475 .44 gl. 2.) Na koliko narase kapital 1234 gl . v 7 letih, ako je po 4 0/0 na obrestne obresti naložen in se obresti poluletno kapitalizuiejo ? Tu treba vzeti 14 poluletij in procente za pol leta, namreč 2%, teda j 1234. (1 .02)14= 1234. 1 .319479 1628.24 gl. § 150. Ako pa treba obratno določiti vrednost, katero je imel kapital p r e d toliko in toliko časom in to oziraje se na obrestne obresti , t. j. iz končnega kapitala početni kapital izračunati, ondaj dobimo iz formule )2. 1 takój 100 1 a .P + "100 100 t. j. : Početni kapital je jednak končnemu kapitalu, raz deljenemu s toliko potenco obrestne mere, kolikor j e dob, ali jednak končnemu kapitalu, pomnoženemu z reci pročno vrednostjo te potence. N. pr. 2000 gL je bilo vrednih pred 12 leti, ako se računa obrestnih obrestij 1 2000 - gL (1 .05)12 10* V naslednji tablici so sestavljene že izračunane recipročn e vrednosti dotičnih potenc obrestne mere za 2, 22, 3, 4, 5 procento v in to za m = 1, 2, 3, . . . 29, 30. m 2 % 2j 0 /0 3 0/0 4 0/, 5 0/ 0 1 0 . 980392 0 . 975610 0 . 970874 0 . 961538 0-95238 1 2 0 . 961169 0 . 951814 0 . 942596 0 . 924556 0. 90702 9 3 0 . 942322 0 . 928599 0 . 915142 0 . 888996 0. 86383 8 4 0 . 923845 0 . 905951 0 . 888487 0 . 854804 0 . 82270 2 5 0 . 905731 0 . 883854 0 . 862609 0 . 821927 0 . 78352 6 6 0 . 887971 0 . 862297 0 . 837484 0 . 790315 0 . 74621 5 7 0 . 870560 0 . 841265 0 . 813092 O 759918 0 . 71068 1 8 0 . 853490 0 . 820747 0 . 789409 0 . 730690 0 . 676839 9 0 . 836755 0 . 800728 0 . 766417 0 . 702587 0 . 644609 10 0 . 820348 0 . 781198 0 . 744094 0 . 675564 0 . 61391 3 11 0 . 804263 0 . 762145 0. 722421 0 . 649581 0 . 58467 9 12 0 . 788493 0 . 743556 0. 701380 0 . 624597 0 . 556837 13 0 . 773033 0 . 725420 0. 680951 0 . 600574 0 . 53032 1 14 0 . 757875 0 . 707727 0. 661118 0 . 577475 0 . 505068 15 0-743015 0 . 690466 0. 641862 0-555265 0 . 48101 7 16 0. 728446 0 . 673625 0 . 623167 0 . 533908 0 . 45811 2 17 0. 714163 0-657195 0 . 605016 0. 513373 0 . 436297 18 0. 700159 0 . 641166 0 . 587395 0. 493628 0 . 41552 1 19 20 0. 686431 0. 672971 0 . 625528 0. .6. 10271 0-570286 0 . 553676 0-474642 0. 456387 0 . 395734 0 . 376889, 21 0. 659776 0. 595386 0 . 537549 0. 438834 0 . 358942 22 0. 646839 0 . 580865 0 . 521893 0. 421955 0 . 341850 23 0 . 634156 0. 566697 0 . 506692 0 . 405726 0. 32557 1 24 0 . 621722 0. 552875 0 . 491934 0 . 390121 0. 310068 25 0 . 609531 0. 539391 0 . 477606 0 . 375117 0. 295303 26 0 . 597579 0. 526235 0 . 463695 0 . 360689 0. 28124 1 27 0 . 585862 0. 513400 0 . 450189 0 . 346817 0. 26784 8 28 29 0 . 574375 0-563112 (l . 500878 0 . 488661 0 . 437077 0 . 424346 0-333477 0 . 320651 0. 255094 0 . 242946 30 0 . 552071 0 . 476743 0 . 411987 0 . 308319 0. 231377 N. pr. 1.) Koliko je bilo vrednih 7310 . 75 gl. pred 15 leti, ako se računa 5 °jo obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje ? 1 7310.75 - = 7310 .75 . 0 .481017 = 3516 .6 gt. (1 .05) 15 2.) Kateri kapital treba po 4 0/0 na obrestne obresti naložiti, da bode narasel pri poluletnem kapitalizovanji v 12 letih na 5200 gl. ? 1 5200 . = 5200 . 0 . 621722 = 3232 . 95 gl. (1 .02)24 Dostavek. Formule, katere smo dobili v §§ 149. in 150. za obrestne obresti, veljajo tudi za druge v stalnem razmerji rastoč e količine, n. pr. za prirast prebivalstva v deželi, lesú v gozdu, i. t. d. 1\Taloge l . Na koliko narase 1350 gl. v 24 letih, ako so po 4 0/,, na obrestne obresti naloženi ? 2. Na koliko narase, ako se računajo obrestne obresti : a) 3280 g!. po 5 % v 15 letih? b) 6340 » 4 % » 22 » c) 5165 » » 3 % » 28 » 3. Nekdo ima v hranilnici 4600 gl. Na koliko bode narasel ta kapital v 11 letih, ako plačuje hranilnica po 5 % na leto ter obresti poluletno kapitalizuje ? 4. Nekdo naloži 3560 gl . po 4 °/0 s tem pogojem na obresti , da se le-té poluletno kapitalizujejo ; na koliko bode narasel kapital , v 10 letih ? ~. Gozd ima sedaj 9800 m 3 lesú ; koliko ga bode imel čez , 10 let, ako ga vsako leto po 3 0/0 priraste ? -6. Neko mesto je imelo leta 1850. 35 846 prebivalcev ; koliko jih je imelo leta 1880., ako se je pomnožilo prebivalstvo vsak o leto za 24--% ? 7. Nekdo mora plačati 3000 gl . čez 1 leto, 2000 gl . čez 2 leti, 1000 gl. čez 3 leta in 4000 gl. čez 4 leta; koliko bodo vsi ti izneski čez 4 leta vredni, ako se računa 5 % obrestnih obrestij in se obresti celoletno kapitalizujejo ? 8. Nekdo je nosil 4 leta zaporedoma v začetku vsacega polu leta po 140 gl. v hranilnico ; koliko si je prihranil v tem času , ako plačuje hranilnica za pol leta 2 '/o obrestij in te poluletno kapit alizuj e ? 9. Koliko je bilo vrednih 2485 gl. pred 5 leti, ako se računa 5 % obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje ? 10. Koliko je 8500 izplaenih čez 9 let, sedaj vrednih, ako se računa 4 % obrestnih obrestij ter celoletno kapitalizovanje ? 111. Koliko je sedaj vrednih a) 750 gl., izplačilih čez 25 l., ako se računa 3 % obr. obrestij ? b) 4060 » » » 17 » » » » 4 o% » » c)6372 » » » 12 » » » » 5 oio» » 12. Kateri kapital treba po 4 % na obrestne obresti naložiti , da narase v 7 letih na 4711 . 03 gl.? '1i3. Kateri kapital treba po 5 0/o na obrestne obresti s polu letnim kapitalizovanjem naložiti, da narase v 20 letih na 8000 gl. ? 'I 14. Neka dežela ima sedaj 1258750 prebivalcev ; koliko jih je imela pred 25 leti, ako jih je vsako leto po 21- % priraslo ? 15. Nekdo hoče njivo prodati.. A mu ponuja 3600 gl. v gotovini, B 4250 izplačnih brez obrestij čez 2 leti, C 4310 gl ., izplačnih brez obrestij čez 3 leta. Katera ponudba je za prodajalca najugodnejša, ako se računa 5 0/4 obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje ? Da bode moči ponudbe drugo z drugo primerjati, treba njih vrednost z a isti čas izračunati, torej njih sedanjo ali pa njih vrednost čez 3 leta . 16. Nekdo hoče dobivati 3 leta koncern vsakega leta po 1000 gl .; koliko mora v ta namen takój naložiti, ako se računa 5 °to obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje ? 17. Koliko mora A B-ju dati, da mu bode ta 5 let zaporedoma koncem vsacega leta po 586 gl. izplačeval, ako se računa 4 % obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje ? IS* A prevzame neko hišo ter se zaveže, da bode dosedanjemu posestniku 15 let zaporedoma koncem vsacega leta po 600 gl . izplačeval, na koliko se je hiša cenila, ako se računa 5 0/0 obrestnih obrestij? III, O drukbenem računu. § 151. Družbeni račun ali razdelbeno pravilo (Gesellschaftsrechnun, q, Theilregel) uporablja se tedaj, kadar treba razdeliti dan o število takó na več delov, da so ti deli med seboj v istem razmerj i kakor druga dana števila. Števila, izražajoča razmerje med posamičnimi deli, zovemo r a z m e r s k a števila (Verh~ltniszahlen). » Družbeni račun je j e d n o s t a v e n ali sestavljen ; prvega uporabljamo, kadar je dana le j e d n a vrsta, druzega pa, kadar j e danih več vrst razmerskih števil . 1 . O jednostavnen družbenem računu. § 152. Recimo, da je s število, katero nam je razdeliti, a, b in c p a so sorazrnerska števila . Ako imenujemo neznane dele x, y in z, velja x= s, x : z=a:b : c. ~O, Iz tega zaporednega sorazmerja dobimo té-le dve jednostavni sorazmerji : x : y =--. a: b in y:z=b :c (dostavek k § 124.), ali, ako zamenjamo v obeh notranja člena , x: a = y: b in y b = z : c, tedaj x :a y:b= z: c. Odtod pa dobimo, uporabljajoč dostavek k § 123 . , x -~ `-{-- z~ : {a + b -~-- c) x :a y :b z : c, ali, ker je po pogoji x -{- y -}- z = s, ,s-: (a + b 4-c) x : a, tedaj x + b+ . a' s : -}-y: b, » b. (a-bc) y a +b + c s: (a ± b c) = z : c, » z c. b a + + c Pri jednostavnem družbenem računu razdeli tedaj število, katero treba razdejati na dele, z vsoto vseh razmerskih števil, dobljeni kvocijent pa pomnoži zaporedoma z vsakim razmerskim številom ; produkti so iskani deli . Ako so razmerska števila ulomki, treba vsa z najmanjšim skupnim imenovalcem pomnožiti ter takisto na cela števila pretvoriti ; ako imajo vsa raz merska števila kako skupno mero, treba jih s to skupno mero okrajšati. N. pr. Med štiri osebe A, B, C, D treba razdeliti 5610 gl . v razmerji števil 2, 6, -2-, 6. l 6; 170 gl. . 6 = 1020 gl. dobi .A, B 8; 170 » 8 =1360 » » B, C 9; 170 » 9 =1530 » » D -t 10; 170 » .10 =1700 » » D, 5610 gl. : 33 = 170 gl. 6610 gl. vsi skupaj . Prav tisto pravilo dobimo tudi, uporabljajoč sklepovni račun . Vzemimo, da treba n. pr. 640 gl. med tri osebe A, B, C v razmerji števil 9, 7 in 4 razdeliti ; koliko dobi vsaka oseba ? A dobi 9, B 7 in C 4, tedaj vsi skupaj 20 jednakih delov ; 20i del od 640 gl. je 32 gl ; tedaj dobi A 9krat 32 gl. = 288 gl. B 7krat 32 » = 224 » C 4krat 32 » 128 » Takisto sklepamo posebno tedaj, kadar na pamet računamo . 152 2. O sestavljenem družbenem računu . § 153 . Vsak sestavljen družbeni račun je ~i izpremeniti na jedne-staven . N. pr. Trije trgovci so se združili za neko podjetje, pri katere m je bilo 2300 gl. dobička ; kakó jim je ta dobiček razdeliti, ako se j e udeleževal podjetja A. z 2000 gl. 8 mesecev, B s 4000 gl. 6 mesecev, C s 8000 gl. 5 mesecev ? Tu treba dobiček razdeliti ne le v razmerji vlog, ampak tud i v razmerji časa. Toda, ker je vse jedn o ali se udeležuje A z 2000 gl. 8 mes. ali pa s 16000 gl. 1 mesec, » B s 4000 » 6 » » » 24000 » 1 » » C s 8000 » 5 » » » » 40000 » 1 zato morajo dobiti vsi trije v obeh slučajih prav toliko dobička . A v druzem slučaji se udeležujejo vsi trije jednako dolgo podjetja , in zato treba razdeliti dobiček med nje le po razmerji vlog, t . j. produktov 16000 gl ., 24000 gl. in 40000 gl., katere smatramo lahko za razmerska števila jednostavnega družbenega računa. Račun stoj i takó-le : A. 2000 gl. 8 mes. 16000 2 230 gl. X 2 = 460 gl. B 4000 » 6 » 24000 3 230 » X 3 = 690 » C 8000 » 5 » 40000 5 230 » X 5 = 1150 » 2300 gl. : 10 = 230 gl. 2300 gl. Pri sestavljenem družbenem računu pomnoži tedaj vsa k istemu delu spadajoča razmerska števila drugo z druzim, dobljen e produkte pa smatraj za razmerska števila jednostavnega družbenega računa in le--téga uporabi potem v razrešitev naloge. Na, 1 o e_ I.* 175 gl. treba med dve osebi A. in B taká razdeliti, da dobi A 2, B 3 jednake dele ; koliko bode dobila vsaka oseba ? 2.* Razstavi število 160 takó na dva dela, da se bosta imela kakor 7 : 9 ; kolika sta ta dva dela ? 3.* Miri osebe kupijo srečko ; A dá 50 kr., B dá 1 gl., C 1 gl. 50 kr., D 2 gl. Srečki pripade dobitek 8000 gl . ; koliko dobi vsaka oseba ? 4. Za neko skupno podjetje dá A 2, B 1 in C ostali del potrebne vsote. Dobička imajo 240 gl. ; koliko dobi vsak? 15 3 5. Za belo steklo se vzame 13 delov kremenjaka, 4 dele pepelike in 1 del krede ; koliko treba vzeti vsake tvarine za 125 ky stekla? 6. Trgovec razpošlje 2133 kg kave, 1735 kg eukra in 923 kg popra ter plača vozarine 65 gl . 30 kr., koliko vozarine pride na vsaktero blago ? Trgovec je dolžán : _A-ju 2000 gl., B-ju 3200 gl., C-ju 1200 gl., D-ju 2800 gl., E-ju 4600 gl., imenja pa ima le 8625 gl . ; koliko bode dobil vsak upnik pri delitvi in koliko procentov bod e vsak izgubil ? 8. 67270 gl. treba razdeliti med pet oseb v razmerji števil 4 *- -g-koliko dobode vsaka ? 2 3, 5,š , ; 9. Nekdo zapusti 15845 gl. imenja, katere je med njegove tri dediče takó razdeliti, da dobi A 2krat toliko kakor B, in B 3kra t toliko kakor C ; koliko dobi vsak dedič ? JO. Med tri osebe treba 9150 gl. takó razdeliti, da dobi _A tolikokrat po 5 gl. kakor B po 3 gl., in C tolikokrat po 3 gl. kakor B po 4 gl ., koliko dobode vsaka oseba ? 11. Trije trgovci kupijo neko blago ; pri prodaji imajo 15 0/0 dobička in tega razdelé med seboj po razmerji svojih vlog . Koliko je vsak izmed njih vložil, ako ima _A 810 gl., B 350 gl. in C 220 gl. dobička? 12. Trije trgovci so zložili 16000 gl., ter nekaj časa skupno trgovali. Ko so kupčijo razdrli, dobil je A 5400 gl, B 6200 gl ., C 8400 gl., koliko je bil vsak vložil in koliko % je bilo dobička ? 13. Tri osebe so skupno trgovale. .A je vložil 1500 gl. na 1 leto, B 1200 gl. na 6 mesecev, C 1000 gl. na 8 mesecev, dobička imajo 960 gl . ; koliko tega dobička dobode vsak ? 14. Tri občine dobé za neko delo 500 gl . Iz občine A. je delalo 11 delavcev .10 dnij po 9 ur na dan ; iz občine B 9 delavcev 9 dnij po 10 ur na dan, iz občine C 15 delavcev 5 dnij po 6 u r na dan ; koliko plačila dobode vsaka občina ? 15. .A začne trgovati početkom leta z 8000 gl. kapitala, dva meseca pozneje pristopi B s 5000 in še dva meseca pozneje C s 3000 gl. Koncem leta imajo 1059 gl. dobička; koliko tega dobička dobode vsak? ti& Za neko podjetje se je potrebovalo 9000 O. ; A je dal A na ltrm' eseeev, B f na 8 mesecev, C pa ostali del vsote na 6 mesecev ; računski sklep je izkazal 629 gl. dobička ; kaká se je moral ta razdeliti? 17. .A. začne trgovati dne 1 . januvarja z 8000 gl. kapitala ; dne I. maja pristopi B s 5000 gl ., in dne 1. julija C s 6000 gl . ; koncem decembra je,bilo 1180 gl. 33 kr. dobička. Koliko tega dobička dohode vsak družabnik ? Iv. O zmesnem računu , § 154. Dostikrat je treba več istovrstnih, a po vrednosti ali dobrot i različnih stvarij takó zmešati, da dobimo zmes srednje vrednosti . Pri tem paziti je na té-le količine : 1.) na množino posamičnih sestavin, 2.) na njih vrednost in 3 .) na vrednost zmesi. Račun, kateri uči, kakó je katero koli teh količin iz druzih najti, zovemo v obče zmesni račun (Mischungsrechnung). Sém spadajo zelo različne naloge, a izmed vseh imata té-le dve za praktično življenje največjo važnost : 1.) Kakó je najti., koliko je vredna jednota zmesi, katero sm o dobili iz več istovrstnih stvarij različne vrednosti. Ta račun imenujemo po p r e č n i račun (Durchschnittsrechnung). 2.) Kaká je najti razmerje, v katerem treba dvoje ali več isto vrstnih stvarij različne vrednosti zmešati, da dobimo zmes srednj e vrednosti. Zmesni račun imenujemo v tem slučaji ali g aeij s k i račun (Alligationsrechnung) . 155 . 1.) Podstava poprečnemu računu so prav jednostavni sklepi . N. pr. Trgovec zmeša trojo kavo : 6 kg po 1 .92 gl., 8 kg po 1 .80 gl, in 10 kg po 1 . 68 gl. ; koliko velja 1 kg zmesi ? 6 kg po 1 .92 gl. velja 11 .52 gl. 8 » 1 . 80 » 14 . 40 » 10 > ) 1 . 68 › » 16 . 80 » 24 kg zmesi 42 . 72 gl. tedaj velja 1 kg zmesi 1 . 78 gl. 2.) Pri ali g a c i j s k e m računu pa treba na poseben način sklepati ; kakó, pokazati hočemo na téj-le nalogi : Krčmar hoče imeti vino po 20 gl . hl, ima pa le vino po 16 gl . in po 30 gl. hi; v katerem razmerji mora to dvoje vino zmešati, da bode veljal hl zmesi ravno 20 gl.? 155 1 hl boljšega vina velja 30 gl. — 20 gl. = 10 gl. več, 1 hl slabejšega vina pa 20 gl. — 16 gl. = 4 gl. menj kakor 1 hl zmesi . Pri prodaji bode tedaj pri vsacih 4 hl boljšega vina, ki so se za zmes uporabili, prav toliko izgube, kolikor bode pri, vsacih 10 hl slabšega vina dobička, namreč 4 X 10 = 40 gl. Da se tedaj dobiček in izguba poravnata, vzeti bode treba na vsake 4 hl boljšega vina 10 hl slabšega, t. j. boljše in slabše vino treba zmešati v razmerji 4: 10 ali 2 : 5. Pismeni račun stoji takó-le : 4' 2 10 5 V zemimo v obče, da sta A in B dve istovrstni tvarini, in d a ima njiju jednota vrednost a, oziroma b in da je a > b. V katerem razmerji treba te dve tvarini zmešati, ako hočemo, da bode imel a jednota zmesi srednjo vrednost m, tedaj a > m > b? Recimo, da treba zmešati x jednot tvarine A z y jednotami tvarine B. Ker morata pa sestavini, kateri smo za zmes porabili, toliko vredni biti kakor zmes sama, velj a x .a±y .b= (x --~- y) . m, tedaj x (a — m) = y (m — b), ali x: y = (m —b) : (a—m); t. j. : Množina boljše in množina slabejše tvarine se imata kakor diferenca med srednjo in slabejšo vrednostjo in diferenca med boljšo in srednjo vrednostjo. Račun stoji takó-le : a — In. Kakó je ravnati, kadar je dana tudi množina zmesi, uči družbeni račun. N. pr. Trgovec ima dvojo kavo, namreč kg po 160 kr. in po 148 kr. ; od te dvoje kave hoče napraviti 18 kg zmesi po 156 kr . ; koliko kg vsake kave bode moral v ta namen vzeti ? 156 160 8 2 6 kg x 2 = 12 kg po 160 kr. 148 4 1 6 » X 6 » » 148 » 18 kg :—3-= 6 kg § 156. Kadar treba več nego dvoje blago zmešati ter v ta namen poiskati razmerskih števil posamičnim sestavinam, ki se zmešajo , velja načelo : ako zmešamo vselej po jedno boljše in po jedno slabše blago takó, da dobimo zmes zahtevane srednje vrste, ondaj dadé gotovo tudi vse te zmesi skupaj isto srednjo vrsto. Take naloge dadé po več razrešitev, so tedaj v obče nedoločene . N. pr. l.) Troje blago po 48, 36 in 24 kr . kg treba takó zmešati, da bode veljal kg zmesi 40 kr., koliko delov treba vsacega vzeti ? 40 48 4 + 16 201 5 Tu zmešamo najprej blago po 48 kr. in po 36 kr . , 36 A. 8 2 potem po 48 kr. in po 24 kr. ; za razmerska števila 24 8 8 2 dobimo 20, 8 in 8, ali 5, 2 in 2. Ako vzamemo n. pr. 5 kg po 48 kr. in 2 kg po 36 kr., potem treba še 2 kg po 24 kr. dodati, ako hočemo dobiti zmes po 40 kr . kg. In res 5 kg po 48 kr. =--- 240 kr. 2 » 36» 72» 2 » 24 » 48» 9 kg zmesi velja 360 kr . 1 » »40» 2 .) Krčmar hoče čvetero vino, hl po 15 gl., po 18 gl., po 24 gl. in po 28 gl. takó zmešati, da hode dobil 38 hl po 20 gl . ; koliko hl lahko vzame v ta namen vsacega vina ? a) Vzemi najboljšo in najslabejšo vrsto, in potem obe srednji vrsti . A 15 8 2 hl x 8 = 16 hl po 15 gl. = 240 gl. B 18 4 2 » X 4 = 8 » 18 » = 144 » 20c 24 22 » x 2 = 4 » 24 » = 96 D285 2 »x 5 = 10 » 28 » 280 38 hl: 19 = 2 hl 38 hl 760 gl. 1 » velja tedaj res 20 k) Vzemi A in C, potem B in D. A 15 4 2 hl x4= 8 hl po 15 gl. = 120g1. B 18 18 2 » x 8 = 16 » » 18 » = 288 » 20 c 24 5 2 x 5 = 10 » » 24 » 240 » D28 2 2 » X 2 = 4 » 28 » 112 » 38 hi : 19 2 hl 38 hl 760 gl. tedaj velja 1 » 20 » c) Vzemi in C, A. in D, B in C. .A 15 4 + 8 12 lih hl x 12 = 16-4 hl po 15 gl . 244T4--gl. B 184 4 » X 4 = 51? » » 18 » = 97+14:» 20 c 24 5 + 2 7 11-4 » x 7 = 94 » 24 » = 228 » D 285 5 1» X 5 = 6+-.-1 » » 28 » 190 38 hl : 28 = 4--' hl 38 hl . 760 gl. tedaj 1 » .20 » Koliko sestav je tu še mogočih, in v katerem slučaji bi bila jedna al i druga ugodnejša od ostalih ? 15 7 1\7' alog e l.* Nekdo zmeša 1 l vina po 36 kr. z 1 l po 40 kr. in 1l po 56 kr. ; koliko velja 1 l zmesi ? 2.* Nekega dne je kazal toplomer zjutraj 16 0, o poltrdne 22 0, zvečer 13'; kolika je bila poprečna toplina onega dneva ? 3. Neko posestvo je dalo čistih dohodkov v 5 letih'zaporedom a 2565 g]. 24 kr., 2844 gl. 64 kr., 2085 gl. 38 kr., 2633 gl., 2408 gl. 84 kr. ; koliko poprek na leto ? 4.* Koliko je vreden 1 l zmesi, ako zmešaš 5 l vin a 34 kr. s 4 l vina po 40 kr. in 1 l vode ? Pri vodi in bakjy jemljemo v poštev le množino, vrednost pa smatram o kot ničli jednako, kadar nam služita te dve tvarini v to, da zmanjšamo dobroto vinu ali kateri dragi kovini . Krčmar zmeša 4 hl vina po 24 gl., 3 hl po 28 gl. in 5 hl po 30 gl . ; koliko je vreden 1 hl zmesi ? 6. Nekdo zmeša 39 l špirita o 40 stopinj s 26 l po 30 stopinj ; koliko stopinj bode imela zmes ? 7. Nekdo je izposodil 3600 gl . po 44 0/0, 4500 gl. po 5 0/o in 1900 gl. po 6 0/0 , po koliko % bi moral izposoditi vsoto vseh te h treh kapitalov, da bi dobil iste obresti ? . Trgovec ima dvoj riž, kg po 35 kr. in po 28 kr.; ta dvoj riž hoee takó zmešati, da mu bode »Mi kg zmesi po 32 kr. prodajati ; v katerem razmerji mora oboj riž , zmešati? 9. Iz srebra po 800 in po 600 tisočnin čistine zliti . (legovati) hoče srebrar srebro po 720 tisočnin čistine ; v katerem razmerj i mora oboje srebro zliti ? 10. Koliko l vina po 36 kr . in koliko po 56 kr. moraš zmešati, ako hočeš dobiti 100 l zmesi po 42 kr. ? 11. Čisto srebro (po 1000 tisočnin čistine) in srebro po 640 ti- sočnin čistine treba takó zlili, da bode imela zlitina po 750 tisočni n čistine, koliko vsacega srebra treba vzeti za 24 kg zlitine? 12. Zlatar potrebuje za neko delo kg zlata po 700 tisočnin čistine in to si hoče zliti iz zlata po 650 in po 900 tisočnin čistine , koliko mora vsacega v ta namen vzeti ? 13. Koliko kg po 18 kr. treba dodati k 564 kg po 32 kr., da bode >veljal kg zmesi 24 kr. ? 14. Koliko bakra treba dodati k 3 kg zlata po 850 tisočni n ine, da bode imela zlitina po 700 tisočnin čistine? 15. Srebrar potrebuje srebra po 650 tisočnin cistine ; ima pa le čisto srebro in tako, ki ima po 720 tisočnin čistine, tedaj mor a bakra dodati , v katerem razmerji bode zlil te tri sestavi-ne ? ' kL-16. Nekdo hoče dobiti 4 kg zlata po 750 tisočnin čistine ; koliko zlata po 900, 720 in 640 tisočnin čistine treba mu v ta namen zliti? 17. Trgovec ima petero blago, kg po 60 kr., po 68 kr., po 72 kr., po 75 kr., po 86 kr. ; na koliko načinov zmeša lahko t o petero blago takó, da bode veljal kg zmesi 70 kr.? 18. Iz špirita po 62, 40, 35 stopinj in vode treba namešat i 94 l špirita po 50 stopinj, koliko treba vzeti vsacega ? V. O verižnem računu . § 157 . Verižni r a eu n (Kettenrechnung) uporabljamo tedaj , kadar treba odnošaja med dvema količinama s pomočjo znanih vmesni h določil poiskati . Kakó je ravnati v takem slučaji, pokazati hočemo na téj - l e nalogi : Koliko kr. a. v. veljajo 4 dkg, ako velja 7 kg 75 frankov? 2 Da bode ~i izračunati, koliko kr. a, v. veljajo 4 dkg, treba ne le vedeti, da velja 71-kg 75 frankov, nego tudi še tá-le vmesna določila: 1 kg ima 100 dkg, 2 frk. 100 kr. a. v . Popolni nalogi damo sedaj lahko tó-le verižno zvezo : x kr. a. v. veljajo . . . 4 dkg, ako iznaša 100 dkg 1 kg, ako stane 74--kg ... 75 frankov, in ako veljata 22 frk . . 100 kr. a. v.? To nalogo razstavimo lahko na té-le tri jednostavno-regeldetrijske naloge : a) Koliko (y) kg dadé 4 dkg, ako iznaša 100 dky 1 kg? Tu dobimo y kg 4 dkg » y 1 = 4 : 100. 100 » 159 b) Koliko (z) frankov velja y kg, ako velja kg '75 frankov ? Tu dobimo z frank. y kg 7 z :75 y :7ry. 75 » 2 c) Koliko (x) kr. a. v. je vrednih z frankov, ako se plača z a 22 franka 100 kr. a. v .? Ako določimo x, dobim o a. v. x kr. z frank. x: 100=z : 21 100 2» g Ako pomnožimo v dobljenih treh sorazmerjih istomestne člen e druzega z druzim, dobimo xyz : 1 . 75. 100 = 4yz : 100 . 7-ff . 2, ali x 1 . 75. 100 = 4 : 100 . 72 . 22 ; tedaj 4 . 1 . 75.100 x - — = 16 kr. a. v. 100 .72. 24Ako primerjamo ravnokar najdeni izraz za x in pa dano nalogo, kakeršna je v verižni obliki, razvidimo, da velja za verižn i račun tó-le pravilo : 1.) Najprej potegni vertikalno črto in na levo te črte zapiš i neznanko x z nje imenom, na desno pa ono znano količino, za katero treba izneska iskati, katera ima torej isto vrednost kakor neznanka x. Spodaj zapiši vsa vmesna določila, in sicer začni na lev i vselej s količino, ki ima isto ime kakor najbližja prejšnja na desni ; zraven na desno pa postavi vsakokrat tisto količino, ki ima isto vrednost kakor ona na levi. Takisto nadaljuj, dokler ne dobiš na desni količine, ki ima isto ime kakor neznanka x . 2.) Potem razdeli produkt vseh na desni zapisanih neimeno - vanih števil s produktom vseh na levi spodaj pod x zapisanih ; kvo eijent je iskana vrednost neznanke x. N. pr. Ako velja v Angleški 1 kvarter pšenice 52 šilingov, koliko gl. a. v. velja potem 1 hl? (11 kvarterjev =. 32 hl, 20 šiling. =-fnt. sterl., 10 fnt, sterl, = 118 gl. a. v .) Razrešitev x gl. a. v. 1 hl 11 .52 .118 x 32 . 20 . 10 32 hl 11 kvart. kvart. 52 šiling. = 10 .55 gl. a. v. 20 šiling. 1 fnt. sterl. 10 fnt. stori. 118 gl. a. v. Naloge_ '1,, Nekdo kupi v Hamburgu 3751 fnt . kave 5f25 mark ; koliko gl. a. v. velja 1 kg, ako sta 2 hamb. fnt. = 1 kg, in je 100 mark 57 gl. a. v. ? 2. Koliko londonskih cnt . je 2534 kg, ako je 100 lond. fnt. 45-~s--kg in ima l lond. eni 112 lond. fnt . ? 3. Vzemimo, da tehta 5 m dolga Železnocestna Sina 1252 kg , in da velja v Belgiji 100 kg šin 27 franka; koliko gl. a. v. stanejo šine, katerih je treba za 1 km? (100 frankov = 46 gl. a. v.) 4. Avstrijski goldinar ima 900 tisočnin čistega srebra ; koliko g tehta tak goldinar, ako je v 45 goldinarjih 500 g čistega srebra ? 5. Koliko velja blago, ki ima 455 kg nečiste teže, ako se plač a po odbitku 10 % tare kg čiste teže po 62 kr . ? 6. Trgovec kupi 4 kose sukna, kos po 30 m, za 512 gl.; po čem mora m prodati, ako hoče imeti 15 % dobička, tj., ako hoče za vsacih 100 gl ., katere je pri nakupu izdal, 115 gl . pri prodaj i iztržiti? 7. Nekdo je kupil 923 kg nekega blaga za 876 gl., potem p a je po 100 kg za 87 gl. prodal ; ali je pri tej kupčiji kaj dobil al i izgubil, in to koliko procentov ? Verigo začni: x gl. pri prodaji dá 100 gl. pri nakupu (izdanih), ako i. t. d . Ako se kupi hi vina po 24 gl ., l pa po 32 kr. proda, koliko % je dobička ? 9. Ako kupi kdo 100 kg blaga za 87 povrh pa še 2 % provizije plača, po čem mora kg prodati, ako hoče imeti 12-1 °/ ° dobička? 10. Neki stroj velja v Angleški 875 funtov sferi. ; stroškov je v Londonu 8 0/0 , prevoznih in drugih stroškov do Dunaja pa 25 °/ 0 tega, kar stroj velja ; koliko gl. a. . v. stane stroj na Dunaji, ako j e 10 funt. sterl. = 118 gl. a. v.? II . V Smirni velja kantaro smokev 272 piastrov, stroški pr i nakupu iznašajo ondi 5 %, provizija 2 0/0 , vozarina do Dunaja, carina in drugi stroški pa 24 % ; po čem pride v a. v. kg smokev na Dunaji, ako je l kantaro =----- 56--h kg in 100 piastrov 8 . 5 gl. a. v.? 16 1 VI. O novčnem računu . § 158. Ono občno menjalo, katero določuje v trgovini in promet u vrednost različnemu blagu, imenujemo denar (Geld). Za uporabo kot denar so najbolj pripravne kovine, in to drage kovine, zlat o in srebro. Kovinske kose, določene oblike in teže, z napisom, grbom, ime nom in podobo onega, ki jih daje kovati, imenujemo novce ali peneze (M~nzen,) . Pri novcih treba razločevati : 1.) K o v (das Gepr~ge), t. j. napise in podobe, ki se nahajaj o na novcih vzvišeni. 2.) Kovino (das Metali), iz katere je novec kovan. Menj vredni drobiž (Scheidemilnzen) se kuje navadno iz bakra, novci večj e vrednosti pa so od srebra ali zlata. Ker sta pa te dve kovini precej mehki, zlivata se s kako tršo kovino, navadno z bakrom, da se novc i v prometu preveč ne obrusijo. 3.) T e Ž o. Vso težo novca imenujemo njega robelj (Schrot) , težo čistega zlata ali srebra, kar ga je v njem, pa jedro ali zrno (Kom). Kot novčna utež (Múnzgeu)icht) rabi v avstro-ogersk i državi kilogram s svojimi nižjimi razdelki . Prej rabila je kot novčna utež kolonjska marka (k~lnisehe _Mark) = 233 . 87 g, tudi dunajska marka (Wiener Mark) = 280 .67 g in od 1. 1857. ,nemški funt = 500 g. 4.) Čistino (Feingehalt), t. j. razmerje med zrnom in robljem. Izraža jo navadno ulomek, čegar števec je zrno, imenovalec pa robelj . V Avstro-Ogerski, v Neme'iji in v večini druzih držav izraža se čistin a v t i s o č n i n a h (Tausendtheilen) ; pr. čistina avstr. srebrnjakom p o goldinarji je ;oo ali 0 . 900, pravi se : v 1000 utežnih delih jednega goldinarja (robelj) je 900 delov čistega srebra (zrno) in 100 delo v bakra (primesi) ; krajše pravimo tudi : goldinarji imajo P?-, čistine. Prej se je izraževala v Avstriji in Nemčiji čistina srebernih novcev v lotih , zlatih novcev v karatih, in sicer se je delna marka pri srebru na 16 loto v po 18 gré"nov, pri zlatu na 24 karatov po 12 gré'nov . N. pr. Stare avstrijske dvaj setice so bile 9 š lotne, t. j. v 16 delih je bilo 94-dela čistega srebra; ces. zlat niki (cekini) so 231 karatni, t. j. v 24 delih je 231 dela čistega zlata . Zakonite določbe o teži, čistini, razdelitvi in kovanji novce v zovemo novčno mero (Milnzfuss). 11 162 Pri novcih treba razločevati trojno vrednost : notranjo ali kovinsko, zakonito in trgovsko. Notranja vrednost novc a je vrednost njega čiste kovine ; zakgpit.o vrednost določuje vlada , in ta velja v obče za ono deželo, kjer se novec kuje ; trgovsk a ali k u r z n a vrednost (lIandelswert, Curswert) je ona premenljiva vrednost, katero ima novec v trgovini in prometu. Ako je ta premenljiva vrednost novca višja nego zakonita, zove, se prebitek n a d a v e k ali až ij a (Agio). V nekaterih deželah ima tudi srebro ažij o nasproti papirdaTemu denarju. Ako je n. pr. na avstr. borzah srebro zabeleženo s 103, ondaj ima 3 % ažije, t. j. za vsacih 100 gl. srebra se plača 103 gl. v bankovcih ali državnih notah. Ako se ravna v kaki deželi vrednost vseh novcev po določene m srebernem novci, ondaj pravimo, da ima dežela 9Lno )7-e lj a v o (Silberwáhrung); kadar je pa zlat novec podloga denarnemu sistemu , ondaj ima dežela zlato,v e lj a y ,(Goldwahrung) . Zlato veljavo imaj o med drugimi Angleška, Portugalska, Zjedinjene države severo-amerišk e in v najnovejšem času tudi Nemška. § 159. Najvažnejši zlati novci so : 1.) Avstro-ogerski zlatniki po osem goldinarjev (Aeht guldensti~cke); kuje se jih po 155 od 1 kg T.ó čistega zlata. Po istem razmerji se kujejo tudi zlatniki po štiri goldinarje. '' 2.) Zlatniki po dvajset frankov v Francoski, Belgiji i n Švici in zlatniki po dvajset lir v Italiji ; jednaki so avstr. zlat nikom po osem goldinarjev. Prav takó so zlatniki po deset fran kov in deset lir jednaki avstr. zlatnikom po štiri goldinarje . 3.) Ces. zlatniki (cekini, Dueaten) ; 67 jih tehta l kolonjsko marko = 233 . 87 g; njih zlato je 231 karatno. 4.) Nemški državni zlati novci, in sicer zlatniki po pet, d e s e t in dvajset mark ; zlatnikov po deset mark se kuje po 1394 od 1 funta ---= 500 g čistega zlata ; čistina iznaša -A,. 5.) Angleški s o v e r e i g n i (funt ali iker sterling) ; kuje se jih po 46n od I troy-funta = 373 . 246 g 14 čistega zlata . 6.) Ruski polu i m p e r iali ; teh gre po 624 55 na 1 ruski funt= = 409 . 512 g 1Ž čistega zlata . Najvažnejše sreberne novčne mere so : 1 .) 45goldinarska mera ali avstrijska veljava (a. v. , dsterreichisehe Wahrung). Od 500 gramov čistega srebra se kuj e po 45 goldinarjev (čistina 1%) . 163 Do leta 1857 . je rabila v Avstriji dv a setgol din a rs k a mera ali k o n v e n c i j s k a veljava (k. v., Conventions - Manzfuss), po tej se je kovalo o d 1 kolonjske marke (233 . 87 g) čistega srebra po 20 goldinarjev k. v. po 60 kr. po 4 vinarje. 2.) Frank o v n a mera (v Francoski, Belgiji, Italiji in Švic i po tej se kuje od 1 kg srebra, imajočega čistine, po 1854. frank a (lire). 3.) S reb er na rabeljska mera v Rusiji ; čistina iznaša *4~ , zrno jednega rublja pa 17 . 9961 g. Kakó 'e izračunavati čistino, zrno in rob« . § 160. a) Čistino najdeš, ako razdeliš zrno z rabljem . N. pr. Nove avstr. dvajsetice tehtajo po 21g ter imajo po l* g čistega srebra; kolika je njih čistina? 1 1 4 500 Čistina 23 8 1000 Nove dvajsetice imajo tedaj 500 tisočnin čistine. b) Zrno je jednako produktu iz roblja in čistine. N. pr. Od 1 kg zlata, imajočega -f~-~ čistine, kuje se po 155 zlatniko v po osem goldinarjev ; koliko čistega zlata je v vsakem takem zlatniku ? 1000 Robelj = 155 g. 1000 9 Zrno = 5 .80645 g. 155 O c) R ob elj je jednak zrnu, razdeljenemu. s čistino. N. pr. Koliko tehta 1 ces . zlatnik, ker je 231 karaten ter ima 3 . 4421 g čistega zlata? Čistina= 23:--71 . 24 72 71 Robelj = 3 .4421 : — 3.4906 g. 72 Kakó je izračunavati novcem notranjo vrednost . § 161. Po različnosti novčne mere je mčči take naloge tudi različn o razreševati Ako treba določiti novcu vrednost v avstr. v., ondaj je najkrajše izračunati najprej vrednost jednemu gramu čistega srebr a 11 * 164 ali zlata v avstr. v. ter to vrednost pomnožiti z njega zrnom, izraženim v gramih. N. pr . 1.) Koliko je vreden 1 g čistega srebra, ker je v 45 gl . a. v. 500 g čistega srebra? 45 gl. : 500 = 0 .09 gl. = 9_ kr. l g čistega srebra je tedaj 9 kr. vreden . ,r. 2.)Koliko gl. a. v. je vrednih 100 frankov ? 1 frank ima 4 . 5 g čistega srebra , 100 frankov » 450 » » » 9 kr. X 450 = 4050 kr. 40 .5 gl. a. v. 3.) Koliko je vreden l g čistega zlata, ako je razmerje med vrednostjo zlata in srebra 152 : l ? 9 kr. 139-21-, kr. 1 . 395 gl. a. v. v srebru. 4.) (Sliko avstr. srebernih goldinarjev je vreden zlatnik po ose m goldinarjev, ker ima njega zrno 5 . 80645 1 .395 gl. X 5 .80645 = 8 .1 gl. a. v. v srebru. Prav takó kakor pri zlatih in srebernih novcih je računati čistino in notranjo vrednost tudi pri nekovanem zlatu in srebru ; pomniti je le, da nam rabita tu izraza nečista teža in čista teža (Rauhgewicht, Feingewicht) za robelj in zrno. Kakó je izračunavati novcem kurzno vrednost. § 162. Na dunajski borzi se zabeležuje kurz posamičnih novcev (per Sti ek) in to v bankovcih (Bankvalutct) ; le za srebro (sreberne goldinarje ali kupone sreberne rente) je dan kurz v procentih. Vred nost se izračuna potem oziroma s pomočjo množitve ali procentneg a računa. N. pr. I.) Kurz ces. zlatnikom je 5 gl. 35 kr.; koliko velja 31 tacih zlatnikov? 5.35 X 31 160 5 165 .85 gl. v bankovcih . 2.) Koliko je vrednih 658 gl. srebra v papirnatem denarji, ako 3 0/0 ažije? 658 po 103 19.74 677.74 gl. v papirnatem denarji. Naloge_ l.* Nove avstrijske dvajsetice imajo po 500, desetice po 400 , petice po 350 tis59:nin čistine ; izrazi čistino teh novcev z najmanjšimi ulomki. 2. Izračunaj zrno, robe in notranjo vrednost v prejšnji nalogi omenjenih novcev, ako se jih kuje od 1 kg čistega srebra ozi roma po 750, 1500, 3000 .č-!t, ,' ,- 3.* Koliko čistino ima sreberna kepa, katera tehta 40 g te r ima 480 g čistega srebra ? 4. Koliko tisočnin primesi je v zlitini, v kateri je čisteg a srebra? L , Ruski sreberni rubelj tehta 20 . 7315 g ter ima 17 . 9961 g čistega srebra ; kolika je a) njegova čistina v tisočninah, b) njeg a notranja vrednost v gl. a. v. in c) koliko rubljev se kuje od l kg čistega srebra? 6. Od 1 kg srebra, imajočega 0 . 945 čistine, kuje se 100 holandskih goldinarjev ; izračunaj hol. goldinarju zrno in notranjo vrednost v gl. v. 7. Koliko srebra in koliko bakra je v sreberni šibiki, kater a tehta 3jkg in ima 0 . 520 čistine ? Od 1 kolonjske marke 231 karatnega zlata se kuje po 67 ces. zlatnikov, izračunaj ces. zlatniku zrno in notranjo vrednost v a . v. 9. V 45 gl. a. v. je 500 g čistega srebra, njih čistina iznaš a koliko tehta 100 srebernjakov po goldinarji ' 10. Od 500 g čistega zlata se kuje po 694 nem . zlatnikov po 20 mark; njih čistina iznaša ; izračunaj zrno, robelj in notranjo vrednost v a, v. jednega tacega zlatnika . ll. V 20 gl. k. v. je 233 . 87 g čistega srebra, koliko gl, a . v. je tedaj 1 gl. k. v. vreden? 12. Nekdo zamenja 715 avstr, zlatnikov po osem goldinarje v za angleške sovereigne, koliko bode dobil sovereignov? 13. Na dunajski borzi je bil nekega dn e kurz ces zlatnikom . . . . . 52 gl. . 5. v ban » » » po 8 gl. 9.35 » kovcih » angl. sovereignom . 11 . 78 » koliko je veljalo 158 vsacih tacih zlatnikov ? 14. Ko je imelo srebro 25 °/o ažije, plačalo se je za dun . cent (56 . 006 kg) cukra 32 gl . v bankovcih, pozneje, ko je bilo le 2 % ažije, za kg 56 kr . ; kedaj je bil cuker primerno dražji ? 166 VII. O meničnem računu. § 163 . Pismo, s katerim se izdatelj meničnopravno zaveže, da hoč e določeno vsoto denarja o določenem času določeni osebi ali sam , ali po kom tretjem izplačati, zove se menica (Wechsel). Gledé na plačevalca se delé menice na lastne (eigene) in tuje ali po t eg n ene, trasovane (fremde, gezogene, trassierte) menice. a) Lastne menice so one, v katerih se izdatelj zavezuje, da bode na menici zaznamenovano vsoto sam plačal. N. pr. J. Kos v Ljubljani kupi od J. Pavliča ravno tam za 2000 gl . blaga, izplačnih čez 2 meseca, ter mu dá o tem izvesku tó-le menico : V Ljubljani dne 7. avgusta 1883. 1 . Za gl. a. v. 2000. Dva meseca od današnjega dne plačam za to jedino menic o gospodu J. Pavliču dva tisoč goldinarjev a. v. J. Kos. Kadar mineta dva meseca, dolzán je Kos po meničnem prav u lastniku te menice na njej imenovano vsoto izplačati . Za lastno menico sta vsaj dve osebi potrebni : l.) i z d a t e lj , kateri se je zavezal, da bode na menici zaznamenovano vsoto—pM': čal (tu Kos) ; 2.) remitent ali prvotmnik menice (Remittent, erster Inhaber), kateremu mora izdatelj plačati (tu Pavlič). .. b) Menice, katere se je zavezal izdatelj po kom tretjem izplačati, zovejo se tuje, pot e g n e n e ali trasov a n e menice. N. pr. F. Pečar v Ljubljani prejme od H. Witgena v Hamburgu za 1200 mark blaga, izplačnih čez 3 mesece. V Ljubljani je pa trgovec F. Rupnik, kateri je s hamburškim trgovcem F. Kornom v trgovski zvezi. Pečar ne bode kupil one vsote nemškega denarja za avstrijsk i denar, da bi jo poslal v Hamburg, kar bi bilo neprilično, nevarno in tudi ne brez stroškov, nego on gre k Rupniku ter mu dá tolik o v a. v., kolikor je onih 1200 mark vrednih in zato prejme od Rupnika tó-le menico : V Ljubljani dne 15. julija 1883.1 . Za mark 1200. Čez tri mesece od današnjega dne plačajte za to prvo menico gospodu H . Witgenu jeden tisoč dve sto mark. F. Rupnik. Gospodu F. Kernu v Hamburgu. 167,., To menico pošlje Pečar iz Ljubljane Witgenu v Hamburg, i n ta jo predloži (prezentuje) Kornu, naj ta izreče, ali bode plačal al i ne. Korn izjavi potem na menici pismeno, da bode o določenem času plačal, t. j. on v z p r ej m e (acceptiert) menico in njega dolžnost je, ob omenjenem času Witgenu ono vsoto izplačati . Pečar je po ravnal s tem svoj dolg v Hamburgu na prav jednostaven način . Ako bi pa Korn menice ne vzprejel, ondaj bi moral izdatelj po menične m pravu iznesek, na katerega se menica glasi, pa tudi stroške povrniti . Menica je tedaj jako pripravno sredstvo, da poravnajo trgovc i različnih mest med seboj svoje dolgove in terjatve. Pri tujih menicah treba ozir jemati v obče na 4 osebe : 1.) na i z d a t e l j a ali t r a s a n t a (Aussteller, Trassant), kateri me . .-,„ . rimo Izdá, potegne ali trasuje (tu Rupnik) ; 2.) na t r a s at a (Trassat) ali tistega, na katerega ime se je menica izdala,-k-a-tere"ga izdatelj pozivlje, da naj plača menični iznesek (tu Korn) ; le-tá zove se, ako je menico vzprejel, tudi v z pr e j emnik ali akceptant (Acceptant) ; 3.) na p o Š ij.j,,a,,t.lj,a ali remitenta (Remittent), j. ono oseb o katera menico kupi, da jo pošlje svojemu upniku (tu Pečar) ; 4.) na pr ed l o Ž it el j a ali p r e z e n t a n t a (Pre'sentant), kateri menico pred lo i,-'da':'sé --v-ž'13'r-ejme in pozneje izplača (tu Witgen). Menica se zove gledé na trasanta in trasata trata (Trcttte), gledé na remitenta in prezentanta rimesa (Rimesse) . § 164. Čas, kedaj se ima menica izplačati, t . j. plačilni rok ali do spet e k (Yerfallszeit), zaznamenuje se na četver način : a) Na določen dan, n. pr. dne 8. maja tega leta, sred i (medio) maja t. I. (sredi znači zmerom 15 . dan meseca), zadnjeg a (ulti~no) maja t. 1. (dne 31 . maja) . b) Na pokaz (auf Sicht), in sicer 1.) takój na pokaz (na zahtevanje, a vista, a piacere), kadar treba menico še tisti dan iz plačati, ko se je predložila, in 2.) na določen čas (8 dnij, 3 tedne , 2 meseca) po po k az u, kadar treba menico izplačati toliko časa p o predloženji. Pri poslednjih menicah n a pokaz mora dostaviti akceptant, kedaj jo je vzprejel. Vender ostane vzprejem veljaven, č e se tudi datum ne dostavi . c) Na določen čas od dne izdanja, n.pr.2 meseca od danes (a (lato), 3 tedne od današnjega dne . d) Na kak sejem ali tržni dan. O meničnem diskontu. 165 . Menice, glaseče se na veljavo tistega mesta, kjer so se izdale in ravno tam izplačne, zovejo se mestne menice (Platzwechsel). Ako se mestna menica pred nje dospetkom izplača, dovoljuje se dolžniku zarad tega, ker—prej_plae'a,nego bi moral, primeren po-pust, odbitek ali diskont (Discont, Escompt) imenovan. Menico pred nje dospetkom proti primernemu diskontu prodati ali kupiti , pravi se, menico disk o nt o v a t i (discontieren) . Menični diskont izražamo v procentih za 1 leto in trebalo b i ga prav za prav n a d sto računati ; v resnici pa se računa vselej po pripravnejšem procentnem računu o d sto, ker gre tu le za kratk e roke, za te je pa razloček med jednim in drugim rezultatom neznaten. Menični diskont se računa tedaj prav taká, kakor obrest i za določeno š evl o ,nir-na'i'i-l~'é"é—z-a e"a'"so - d ' dn-e--''I'-aT~'i.'ei'a''eAI.' ''s''''' on--.:.-'' ne 'á'ospetka, a pri določevanji tega časa se ne všteva ali '(Tá",-katerega's'ediskontuje ali pa dan dospetka' ' " .Meseci se računajo p o toliko dnij, kolikor jih po pratiki res imajo, leto pa po 360 dnij._ N. pr. f Menica za 960 gl ., izplačna 31 dnij po pokazu, ter vzprejet a dne 18. junija, diskontuje se dne 27. junija po 4%, koliko se dobi zanjo? Vzprejela se je dne 18 . junija Menični iznesek 960 gl. Dospela bode dne 19 . julija 4 0/0 disk. za 22 dnij 2.35 » Proda se dne 27 . junija gotova vrednost . . . 957 . 65 gl. Junija 3 dni Julija 19 » .t tiao ,, 22 dnij. i, I t „t Kakó je izračunavati menice na tuja mesta. § 166. Menice, glaseče se na tuja mesta in navadno tudi na tujo veljavo, zovejo se tuje (inozemske) menice ali devize (auslcndisch e Wechsel, Devisen). Pri nakupu ali prodaji tujih menic treba s po močjo danega meničnega kurza (Wechselcours) preračunati tuj i denar (rnenično vrednost, Wechselvctluta) na svoj domači denar, ali pa obratno. Takovo preračunavanje zovemo m e n ie'n o redukcij o (Wechselrecluction) . 169 Menični kurz je zavisen od notranje vrednosti tujega denarja, od časa, ki ga ima menTá—áTem--dás jE~fka, dalje menica p o n uj a ali se po njej p o pr aguj e. Pri meničnem kurzu treba vse16rna a-v o j n o veljavo gledati, na veljavo domačega in tujega mesta, jedna je nepremenljiva, druga premenljiva. Na 'avstrijskih borzah velja zmerom 100 (za London 10) jednot tujega denarja kot nepremenljiva valuta, in zabeleženi kurz kaže, koliko gl. a. v. v bankovcih se zanje dobi ali plača . Ako je n. pr. kurz 3 Pariz 44, pravi se to : za 100 frankov treba plačati 44 gl. a. v. 3 bankovcih . Menice se preračunavajo s pomočjo procentnega ali sklepov nega računa. N. pr. 1.) Dunajsk trgovec ima v Amsterdamu 2360 hol . gl. plačati ; mesto denarja pošlje menico ; koliko mora zanjo plačati, ako je kur z 3 Amsterdam 97 . 50? 2360 po 974 al i 100 hol . gl. . 97 . 50 gl . a. v. 1652 0 2000 hol. gl. . 950 . 00 gl . a. v. 21240 1180 300 » 60 » » • . 292. 5 0 58. 5 0 » » » » 2301 . 00 gl. a. v. 2301 .00 gl . a. v. 2.) Dunajčan ima v Parizu za svoj račun 2485 gl. a. v. terjati ; za koliko frankov bode menica izdal, ako je kurz v Pariz 46 ? 46 gl. a. v. . • . 100 frk, 1» » » . 140 » 2485 x 100 2485 » » » = 5402.17 frk. 46 1,Taloee. 1. Menica za 1249 . 13 gl., izplačna dne 15. junija, se proda dne 8. maja ; diskonta se računa 42 % ; koliko se dobi zanjo ? 2. Izračunaj diskont in gotovo vrednost téh-le menic : Menični iznesek kupi se dospetek diskonta a) 1834 gl. 56 kr. dne 3. aprila dne 31. maja 6 % 5 0/0 b) 2508 » 80 » » 27. marcij a » 2. maja c) 960 » » » 18. junija 15. avgusta 41 °/o d) 3074 » 75 » » 20. avgusta » 20. oktobra 64 0/o L Sredi avgusta izplačna menica za 849 gl. se diskontuje dne 26. junija po 61- %; koliko je menica ta dan vredna? 4. Menica za 3180 gl., izplačna 14 dnij po pokazu, vzprejet a dne 20. novembra, diskontuje se dne 23 . novembra ; kolika je nje gotova vrednost, ako se računa 4-1 % diskonta ? ,,5. Menica za 3048 . 72 gl., izdana dne 13. maja, izplačna 2 meseca', dato, diskontuje se dne 18 . junija ; koliko treba zanjo plačati, ako se računa 52 % diskonta in j % provizije? Provizijo računaj od meničnega izneska. 6. Dne 24. aprila diskontuje avstro-ogerska banka té-le me- nice po 5 % : za 3128 gl. na J. Kovača, dne 20 . maja ; » 1073 » » F. Lavriča, zadnjega maja ; 536 » A. Bonača, 31 . dnij po pokazu, vzprej . dne 8. aprila ; • » 2895 » » L. Purgaja, od dne 28 . marcija, 2 meseca a dato . Koliko mora banka za vse te menice izplačati? 7. Dunajsk trgovec ima v Augsburgu 2915 drž . mark terjati ; to terjatev poravna z menico, katero izda na svojega dolžnika te r po 57 . 6 proda ; koliko dobi za to menico ? 8. Trgovec v Marseille-u ima od Dunajčana 5682 franko v 56 cen(imov terjati ; koliko je vredna ta terjatev v avstr. v. . če j e 100 frankov 46 .75 gl. a. v. ? 9. Koliko je na Dunaji vredna menica v Berolin za a) 738 mark po 56 . 8, b) .1335 mark po 56 . 92, c) 3085 mark 48 pfenigo v po 56 .85? 10. Dunaj kupi 3708 frankov v Pariz po 46 . 80, koliko stane ta deviza, ako treba 2 0/ 00 senzarije plačati ? l/. Dunaj kupi po naročilu 7123 vlaških piastrov v devizah v Bukarešt po 17 . 15 ter računa 4 % provizije in «rioo senzarije ; kateri iznesek v a. v . bode Dunaj naročevalčevemu računu pripisal ? 12. A kupi na Dunaji menice v Hamburg : za 2032 mark, diskonta za 126 dnij , »1760 » » 80 » »3188 » » 52 » Koliko mora za vse plačati, ako je kurz v Hamburg 56 4- in se računa diskonta po 42 °/o ? 13. V Amsterdam se je poslalo za 2227 . 75 gl. a. v. 2345 hal, gl.; po katerem kurzu odposlal je Dunaj svojo menico ? 14. Kolik je kurz v Bruselj, ako se pri -i % provizije z a 5248 frankov 2241 gl. 55 kr. a. v. dobi? 17 1 VIII. Kakó je izračunavati državne papirje in akcije. § 167. Državni papirji so dolžna pisma o manjših izneski ' h --- jetega posojila, izdana od države same ali z nje dovoljenjem od po samičnih dežel, večjih družbenih podjetij ali celo od posamičnih posestnikov. Iznesek, na katerega se kateri koli državni papir glasi, zove s e njega imep.oyna,, ali nominalna vrednost (Nominalwert). Državne papirje delimo na obresti d a j o č e zadolžnice ali o b gaeije (Obligationen) in sreč k,,.e (Lose); od prvih se izplačujej o obresti o – ločenih rokih po določeni obrestni meri in to navadn o proti tiskanim nakaznicam,kuponom (odstrižkom), druge dajó do ločene dobitke ter se o določenih rokih izžrebujejo. Nekatere srečke nesó tudi redne obresti. Akcije ali delnice (Actien) so oni vrednostni papirji, kateri izpričujej ''da je postal njih lastnik s tem, da je vplačal določe n o, izvesek, deležnik večjih prevoznih, obrtnih ali trgovskih podjetij . Dohodki od vsake posamične akcije zavejo se djvjsl in ti so ali določene obresti ali del dobička, ki ga podjetje nese, ali največkrat oboje ob jednem . Redna dividenda velja v zadnjem slu čaji za obresti, izven reji-4a pa razdeljuje ostali dobiček. Razven akcij izdajajo taka akcijska društva tudi obresti dajoča dolžna pisma ; ta nimajo sicer nikakeršne pravice do dobička, a obrest i se jim morajo izplačati še pred akcijami in zaradi tega se zovej o prioritetne obligacije ali prioritete (prednice). Akcije, prioritete in javne zaklade (jentliche Fonds) zovem o , s skupnim imenom vrednostne papirje (Efecten, Wertpapiere). § 168. Vrednostni papirji imajo premenljivo vrednost ; ta premenljiva vrednost zove se kurz ter ni le od nominalne vrednosti zavisn a nego tudi od obrestne mere in dobička, dalje od tega, ali se po detičnem papirji pop'r—ašuje ali se papir ponuja. Na avstrijskih borzah se zabeležujejo kurzi v gl. a. v. bankovne valute (v papirnatem denarji), in sicer pri vseh zasebnih srečkah in akcijah za vsako posebej (pr. Sti~ ck), a pri vseh državnih papirjih, zemljiščnih odvezni h obligacijah, zastavnih pismih (Pfandbriefe) in večinoma tudi pri prioritetah v procentih, t. j. za 100 gl. nominalne vrednosti . 172 Pri nakupu tacih vrednostnih papirjev, kateri obresti nesó, mor a kupec prodajalcu plačati ne le kapitalno vrednost, nego tudi še n e potegnene obresti in to od zadnjega obrestnega roka do dne, katerega jih kupi. Pri vrednostnih papirjih se računajo obresti vselej od nominalne vrednosti ; mesec se računa tu po 30 dnij. Kadar se glasi vrednostni papir na konv. veljavo, imajo tudi obresti to ime ; te treba tedaj, ker je izražena kurzna vrednost v a. v., tudi na a. v. preračunati. Na avstrijskih borzah se računajo obresti v papirnatem denarji tudi pri onih vrednostnih papirjih, pri katerih bi se morale računati prav za prav v zlatu ali srebru, i n to brez ažije za zlato ali srebro . Pri večini državnih papirjev treba od obrestij odbijati Še dohodarino, le akcije, zastavna pisma in nekatere prioritetne obligacije so davka proste. Primeri. 1.) A. kupi dne 3. decembra 8 akcij avstro-ogerske banke po 845 ; koliko mora zanje plačati? (Nominalna vrednost jedne akcije .600-gl . 501 obresti niso izplačane od dne l . julija .) 8 akcij po 845 gl . . . . . . . 6760 gl. obresti od 8 akcij po 600 gl. = 4800 gl. od dne 1. jul., t. j. za 152 dnij po 5 % 101 » 33 kr. 6861 gl. 33 kr. 2.) Nekdo kupi dne 6 . novembra 2400 gl . jednotnega državnega dolga v srebru po 73 . 90, koliko mora plačati? (4 .°/ obresti od .ulija. ) 2400 gl. po 73 . 90 1773 . 60 gl. 41% obr. od dne l. jul., t. j. za 125 dnij . 35 . 00 » 1808 . 60 gl. 3.) Koliko dobodeš dne 16 . septembra za 12 sreček iz L 1854., prodanih po 126? (Nominalna vrednost po 250 gl . k. v., 4% obresti o d dne 1. aprila, dohodarine 20 % .) 12 sreček po 250 gl. k. v. = 3000 gl. k. v. 3000 gl. k. v. po 126 3780 . - gl.a.v. 4% obresti od 3000 gl, k. v. za 165 dnij 55 gl. k. v. = 57 .75 gl. a. v. 20 % dohodarine 11.55 ,,» » 46.20 » » » 3826 .20 gl. a. v . 17 3 T,T a 1 o ge. l .* Koliko velja 9 sreček iz leta 1864. po 174? 2.* Koliko velja 6 kreditnih sreček po 178 , 12 Palffy-jevih sreček po 42 i n 15 sreček Rudolfove ustanove po 19 ? j. Koliko je vrednih dne 18. avgusta 2500 gl. jednotnega državnega dolga v bankovcih s kuponi od dne 1. maja po 81 . 5 ? (Obresti po 0/0 .) t,4. Koliko treba plačati dne 9. septembra za 6 celih sreček iz leta 1860. po 136 .50? (Nominalna vrednost po 500 gl., 5% obresti od dne 1. maja, dohodarine 20 % .) Nekdo kupi dne 1. maja : 9 akcij Rudolfove železnice po 184 . 75 in 12 » erdeljske » 182. Koliko mora za vse plačati? (Nominalna vrednost po 200 gl . , 5% obresti od dne 1. januvarja.) Nekdo proda dne 6. decembra 9 sreček iz leta 1854. po 128 . 5 ; koliko dobi zanje? (Nominalna vrednost po 250 gl. k. v. , 4% obresti od dne 1. aprila, dohodarine 20 °jo.) j. A proda dne 26. februvarja : a) 18 prioritetnih obligacij erdeljske železnice po 99 (nominalna vrednost po 200 gl., 50/0 obresti od dne 1. oktobra) ; b) 2400 gl. k. v. štajerskih zemlji Šenih odveznih obligacij po 10 4 (50/0 obresti od dne 1. novembra, dohodarine 10 'Jo); koliko dobi za vse? 8. A kupi dne 4. oktobra 6000 gl . zastavnih pisem štajerskega hranilnega društva po 101 . 50 ; koliko mora zanje plačati, ako se računa 2 °/o° senzarije? (5-°/0 obresti od dne 1 . julija .) 9. Koliko treba plačati dne 26 . aprila za „ ,t) 2 akciji Ferdinandove sev. "železnice po 2465 (nominalna vrednost po 1000 gl. k. v.), b) 6 akcij Elizabetine železnice po 233 (nominalna vrednost p o 200 gl. k. v.), ako treba povrniti nepotegnene 50/0 obresti od dne 1. januvarja naprej, in se računa I-0/00 senzarije ? 1'0. Nekdo proda na Dunaji dne 26. novembra : 4 akcije avstro-ogerske banke po 862 (nominalna vrednost p o 600 gl., 5€'/0 obresti od dne 1. julija), 8 sreček iz leta 1860 po 136 .50 (nominalna vrednost po 500 gl., 5% obresti od dne 1. nov., dohodarine 20 0/0), 3500 gl. zastavnih pisem avstr . zemljiščnega kreditnega zavoda po 117 .5 (50/0 obresti od dne 1. novembra) , koliko dobi za vse, ako se računa 2 °/00 senzarije in š % provizije IX. Naloge v ponavljanje . I .* Nekega dne je kazal toplomer ob 6ih zjutraj 12 0, ob 10ih 15 0, ob 2h popoldne 21°, ob 6ih zvečer 16 0 ; kolika je bila poprečna toplina onega dne ? 2.* Nekdo zmeša 3 l vina po 40 kr. s 5 l po 56 kr.; koliko velja 6 l zmesi ? 3. 100 — [(21- + 161?2 3š -8v) -1 ~' 4. (1 — 51):[42 — . (II- - 3)]. 1 3 -22 5. Izmed štirih števil je prvo 254-, drugo za 84 večje od prvega, tretje za 121 manjše od druzega, četrto pa je jednako diferenci med prvim in tretjim ; kolika je vsota vseh štirih števil ? 6. Koliko iznašajo 4 % od 775 gl. a) od, b) nad, c) pod sto ? 7. Katera vsota dá 75 gl. po 6 0/0 a) od, b) nad, c) pod sto ? 8. Po koliko 0/0 a) o d, b) nad, c) pod sto dá vsota 1634 gl . 86 gl. za iznesek ? 9. Koliko veljajo 4 zaboji smokev, imajoči 511 kg nečiste teže, ako se računa 10 % tare in kg čiste teže po 36 kr ? 10. Ako pomnožiš neko število s 15, k produktu prišteješ 20 , vsoto razdeliš s 4 in od kvocijenta odšteješ 14, dobiš trojno on o število ; katero število je to ? I I. 5a'b2c 12a b2c 3 5m5n 4p4 2ab 2c _ 4a5b5 c 5 • mnp 6m2 n2p2 . 20m2np (35(a2 — b 2) 21 (a —b) 12x(x— y) 12. 64 (x2 — y2) • 40 (x + y) 5y (a + b) 13.a) (x 5): x = 3: 2, b) (21 — x): 2 = x: 5. 14. Od l kg zlata, imajočega 900 tisočnin čistine, se nakuj e 155 zlatnikov po osem goldinarjev ; koliko gl. a. v, je 1 tak zlatnik vreden, ako je razmerje med vrednostjo zlata in srebra 152 : l ? 15. Koliko papirnatega denarja treba plačati za 2350 gl. v zlatu, ako ima zlato 17 % ažije ? 16. Koliko treba v zlatu plačati za 3285 gl . papirnatega denarja, ako ima zlato 16 0/0 ažije ? 17.* A kupi vrt za 1200 gl. ter se zaveže, da bode vsake 3 mesece po 240 gl. odplačal ; kedaj bi moral vso kupnino ob jed nem plačati? 18. Koliko obrestij dá a) 3678 gl. po 5 0/0 v 1 letu 5 mes.? b) 5782 gl. po 54 % v 6 mes. 12 dneh? O 986.85 gl. po 61% v 2 letih 8 mes. 21 dneh? 17 5 19. Koliko obrestij dá a) 942.75 gl. po 44 0/0 v 37 dneh? b) 1348 gl. po 51. °/0 v 132 dneh ? 20. Koliko obrestij d á a) 1745 gl. po 6 0/0 od dne 15. aprila do dne 12. julija? b) 5680 gl. po 61 % od dne 1. julija do dne 18. oktobra ? 21. Nekdo kupi v Trstu 5 sodov blaga, imajočih 5219 kg ne čiste teže ; koliko bode moral za vse blago takáj plačati, ako se računa 10 °/ tare, 100 kg čiste teže po 14 gl. in 2 0/0 skonta? x—1 2x 7 22. --2• 3 + 4 5 ± 4xxxx 9= x 23 23. 2 . 3-r 5–r 6-T-11 66 23-75x — 25 x — 0. 08 2 .93x 24. — = 3 .6x. 25. — 0 .00925. 6 .25 5 16 26. 7(2x -- 5) ± 3(2x — 3) — (5x — 7) = I. 3 4 27. Nekdo naloži 3485 gl. po 4 % na obrestne obresti; na koliko bode narasel kapital v 3 letih ? 28. Koliko ti bode izplačala zavarovalna banka čez 8 let, ak o si ji plačal vsako leto po 200 gl . in se računa 4 °/a obrestnih obrestij ? 29. Trgovec plača za neko blago s senzarije vred 2653 gl. 40 kr. ; koliko je senzarije? (Nad sto.) 30. Za neko blago se je iztržilo po odbitku senzarij e Ž 5537 gl. 42 kr. ; za koliko se je blago prodalo? (Pod sto.) 31. Pretvori té-le čisto perijodne decimalne ulomke na navadne : a ) O b ) O c ) 6.023, d ) 0 .324, e ) 4 .514$. 32. Pretvori té - le mešano perijodne decimalne ulomke n a navadne : a ) 0 . 16, b ) 2. (A, c ) 15. 327, d ) 0 . 1472, e) O. 65fi3. 33. Menica za 2929 mark, izplačna 3 tedne po pokazu te r vzprejeta dne 11 . avgusta, se diskontuje s 4 % dne 17 . avgusta ; koliko treba zanjo plačati ? 34. Dunajsk trgovec mora za blago, katero je iz Marseille-a dobil, 5633 frankov 63 centimov plačati ; koliko gl. a. v. bode moral svojemu trgovskemu prijatelju na korist zapisati, ako je kurz v Marseille 46 . 15? 35.* Nekdo kupi sukna, m po 5 gl., potem pa proda 4 m po 27 gl. ; koliko m je kupil, ako ima 504 gl . dobička? 36.* 1000 gl. treba takó med A in B razdeliti, da dobi A tolikokrat po 3 gl. kakor B po 2 gl. Koliko dobi vsak? 37. Trije trgovci zložé za skupno podjetje potrebni kapital, in sicer dá A 8000 gl., B 7200 gl., C 4800 gl . Dobička je 2322 gl . menj nego 16 0/0 vloženega kapitala ; koliko dobička pride na vsacega? x + y 1 38. — ± 1. 39. 2y 2x x2y2 + (x y)2 (x yy 40. (~x-j--a)(2x— a) — (4x — 3a) (7x + a) + (3x — a) (6x + 2a) . 41. (48y8— 14a4y4 17a6y2— 6a8) (6y4— 3a2y2+2a4). 42. 3x2 19y2 12a4y4\ ( x y 2a2y2 3a2 x2 2 a4 -T-3a x 43.* 6 delavcev izkoplje neki prekop v 72 dneh; v koliko dneh bi ga izkopalo 8 delavcev ? 44. A ima v svoji fabriki 24 plinovih plamenov, kateri gor é po 4 ure na dan, in za te plača v 6 mesecih 300 gl ., koliko bod e moral plačati. B, ako je gorelo pri njem po 30 plamenov 52 mesec a po 42 ure na dan ter je vsak plamen 1 . 4 krat toliko plina potreboval kakor pri A ? 45. Po koliko °to treba kapital na obresti naložiti, da dá v 3 letih toliko obrestij, kolikor po 6 % v 2 letih ? 46. Nekdo podeduje 4850 gl ., izplačnih čez 5 let ; na njegov o željo se mu izplača dedščina takój, koliko dobi v gotovini po odbitku 4 0/0 diskonta ? 47. Trgovec ima dvoje blago, kg po 60 kr. in po 36 kr., to dvoje blago hoče taká zmešati, da mu bode moči kg zmesi po 45 kr. prodajati. Koliko kg vsacega blaga mora vzeti za 80 kg zmesi? 48. Kurz avstr. zlate rente, katera daje 4 0/0 obrestij, je 89 ; kolik kurz bi morala imeti primeroma ogerska zlata renta, ker daj e 6 % obrestij ? 49. Nekdo bi rad dobival 5 let zaporedoma vsako leto p o 1000 gl., kolik kapital mora v ta namen naložiti, ako se 5°/ o obrestne obresti celoletno kapitalizujejo ? 50. Neka vsota se je med tri osebe takó razdelila, da je do bil A. 100 gl. in 3 ostanka, B novega ostanka in še 500 gl., C pa ostalih 2500 gl. Kolika je bila vsota, koliko je dobil A, koliko B ? 51. Dunajsk trgovec proda za Tržačana 6 sodov zabelneg a olja, imajočih 3285 kg nečiste teže ; tare se računa 16 %, 100 kg čiste teže pa po 75 gl . ; stroškov je 21 gl. 35 kr., senzarije provizije 14 i,. Sestavi prodajni račun. Osmi oddelek. O potencah in korenih. I. O potencah. § 169 . Število a na mno potenco povišati ali a z m vzmno Žiti (potencevati) se pravi, število a mkrat kot faktor postaviti. ( 39.) Število a imenujemo snovno 9.izLQ,, alipodlog?, m potenčni eksponent in dobljeni produkt p mno otenco Števila a, pl e o 't' '''.p' . Potenca je torej produkt iz jedna i faktorjev. Vzmnoževanje ima za sedaj le kak pomen, ako je eksponen t celo pozitivno Število ter večji od 1 ; razven tega morata biti podloga in eksponent neimenovani števili. Prvotni pojem potence smo raztegnili v 39 ., vzemši, da je = a, in v § 54., dokazavši, da je a° = 1. Izreki o potencah . § 170. I.) Potence istih podlog pomnožimo, ako vzmnožim o skupno podlogo z vsoto eksponentov. am . an am + n, Dokaz. an = a. a. a (enkrat). a:a. a . . (nkrat) = a . a . a . . . (m4-n)krat = a.+ n. 2.) Ta izrek obrnivŠi, dobim o + n am an t. j.: Število v z m n o ž i m o z vsoto, ako je vzmnožimoz vsakim sumandom ter dobljene potence drugo z drugo pomnožimo . 12 § 171 . 1.) Potence istih podlog razdelimo, ako skupno podlogo vzmnožimo z diferenco med dividendovim in divizorjevim eksponentom . am: an am—n, as : —as. Dokaz . am— . an am—n± am ; = as + 3 as . 2) Kot obrat dobimo am—n= : an Stevilo vzmnožimo z diferenco, ako je z m .nuendom in subtrahendom vzmnožimo ter prvo potenco z drugo razdelimo. 1.) Potence istih eksponentov pomnožimo, ako produkt njih podlog s skupnim eksponentom vzmnožimo . am bm (ab)m , 23 . 53 = 103 . Dokaz. am bm a. a. a .. (mkrat). b b. b . (mkrat) ab ah . ab . . . (mkrat) (§ 34.) (ab)m . 2.) Kot obrat dobimo (a b)m am . bm, f~ ,v. t. j. : Produkt vzmnožimo s številom, ako vsak faktor z njim vzmnožimo. § 173 . 1 .) Potence istih eksponentov razdelimo, ako vzmnožimo kvocijent njih podlog s skupnim eksponentom . am 214 = 34 . bm 74 Dokaz . am a. a. a. . (mkrat) a . (mkrat) bm b. b b. . . (mkrat) b 2.) Ako ta izrek obrnemo, dobim o am 4,1 ( b t. j.: Kvocijent(uek) vzmnožimo s Številom,' ako dividend in divizor (števec in imenovalec) z njim vzmnoŽimo. 179 § 174. l .) Potenco vzmnožimo s številom, ako podlogo s produktom obeh eksponentov vzmnožimo. amn, (a4) 3 Dokaz. a n amam . (nkrat) am +m + + . . . (nkrat)=. n. 2.) Obrat : amn = (am)n , tj. : Število vzmnožimo s produktom, ako je vzmnožimo z jednim faktorjem in dobljeno potenco še z druzim faktorjem . 3.) Ako treba potenco zopet vzmnožiti, ondaj smemo eksponenta med seboj zamenjati. (am)n = (a n) m. Dokaz. Vsled l .) (am)n = a" in (a up= a" ; ker pa je mn nm ( 34.), je tudi cen " anm tod a (am)n (an) m. Kakšne predznake imajo potence . § 175 . l.) Pozitivna podloga dá, s katerim koli celim številom vzmnožena, vsikdar pozitivno potenco. Dokaz. Po § 68., 2., a) je (+ a2) = ± a. + a = a a = -}- a2 , a)3= ± a . -J- a .4-a = --}- a a a =+ (+a)4=+a .+a .-J--a .+a=-i-aaaa = . t. d. ; v obče (+ a)m am . 2 .) Negativna podloga dá, s sodim Številom vzmno .. .. ... žena, pozitivno, in z lihim Štev'nóm vzmnožena, negativno potenco. Dokaz. Po § 68., 2., je (—a)2=—a .—a=+aa=+a9. (—a)3=—a .—a .—a=—aaa=—a3, (—a)4=—a .—a .—a .--a=+aaaa=+a , —a)5=—a .--a .—a .-a .—a=—aaaaa=—a 5 . d. ; v obče (_a)2m a2 m ( a)2 m -~- 1 a2 qn 12 * O potencah z negativnimi eksponenti . § 176 . Jednaeba am : a"' am – n uči, kakó je deliti potence iste pod loge (§ 171., l.), a uporabljali smo jo do sedaj le, ako je bil m 5 n. Ako jo uporabljamo tudi tedaj,kadar je m < n, in sicer m + p =--- n , dobimo potenco z negativnim eksponentom ; kajti : a n : «m -1-P = a–P. Da bode tedaj zakon, katerega ona jednaeba izražuje, obč e veljaven, treba tudi potencam z negativnimi eksponenti tak pome n dati, da velja prvotni pojem o potenci tudi zanje . Ta pomen pa dobimo, ako damo kvocijentu, katerega a –P izražuje, drugačno obliko . Dobimo namreč am 1 c n. : ar' = + P .ap ap Tedaj a –P 1 ap t. j. : Potenca z negativnim eksponentom je jednak a ulomku, čegar števec je l, imenovalec pa ista potenca s pozitivnim eksponentom. " Da dokažemo ta izrek za posebnoštevilne eksponente, določim o pr. a : a5. Tu dobimo a2 : as = a2–5 a–3 , in ,..»,, a2 a5 a2 — a. a 1 1 – a5 aaaaa a a a a tedaj 1 , Dostavek . Iz a –P1 – dobimo apap a –P tedaj a p -Vsako potenco, katera je kot faktor v števci, prenesem o a –P torej lahko kot faktor v imenovalec ulomkov, in obratno ; v ta namen treba le eksponentu predznak v nasprotnega izpremeniti . § 177 . Vsi izreki, katere smo dokazali o potencah s pozitivnimi eksponenti, veljajo tudi o potencah z negativnimi eksponenti. Kajti 1 a-m a -•_ a-, an a,n+n (ab)_ m 1 (a .b m, (1)n 1 m)n = a--; i. t. d. tv. Kakó je vzmnoževati števila na kvadrat ali drugo potenco . § 178. Ako pomnožimo število samo s seboj, dobimo njega kvadrat . Ako hočemo torej kvadrat binoma a -}- b izračunati, treba ga le z a ± b pomnožiti, a potem dobim o (a+ b)2=a2-j-2ab ---b2, t. j. : Kvadrat binoma je jednak vsoti iz kvadrata prveg a , ',"'.,,»h., h nt h A ,.,t• člena, dvojnega produkta obeh členov in kvadrata dru tega člena. Ako bi hoteli trinom a + b 4-c na kvadrat vzmnožiti, treba ga le za binom smatrati ter v ta namen a + b za prvi, in c z a drugi člen vzeti.; tedaj je (a+b-i' c)2= [(a ± b) + c] 2= (a + b) + 2 (a + b) . c c2 — a2 + 2ab -4-b 2± 2(a + P). c c2. Prav takó dobimo (a+b+c+d)2 = — [(a+b+c)+d]2=(a+b+c)2+2(a+b+c) .d+d2 — a2 + 2ab + 2(a + b) c 4-c2 4-2(a b + c) . d + d2; (a b c d + e)2 = + 2ab -}-b2+ 2(a + b),c-~-c2--[- 2(a -~- b + c)d + d + + 2 (a + b + c d) e e2, i. t. d. Iz tega je razvidno, da velja za vzmnoževanje polinom a na kvadrat tá-le tvorbni zakon : 1.) Prvi člen danega izraza dá sam svoj kvadrat. 2.) Vsak naslednji člen dá po dve sestavini, namreč dvojn i produkt iz vsote vseh prejšnjih členov in tega člena, ter sam svoj kvadrat . 3.) Vsota vseh teh sestavin je iskani kvadrat, Primer. (2a -- 3b -]-4c)2 = 4a 2 12ab --}-9b9 4-2(2a — 3b) . 4c + 16c2 4a2 — 12ab 9b2 + l6ac — 24bc + 16c 2 . Dostavek . Sestavini, kateri dá vsak člen danega polinoma v kvadratu, moči je tudi v jeden sam člen združiti. V ta namen treba e ta člen k dvojni vsoti vseh prejšnjih členov prišteti ter dobljen o vsoto še s tem členom pomnožiti ; kajti 2ab -}- b 2= (2a + b) . b: 2 (a + b) c + c2 = 2a -]--p=-c] , c ; i, t , d . §179. Ker je ~i vsako večštevilčno dekadno število smatrati za polinom, urejen po padajočih potencah števila 10, zato velja pravilo, kakó je sestavljene algebrajske izraze na kvadrat vzmnoževati , tudi za dekadna števila. Recimo, da nam je izračunati n. pr. kvadrat števila 3417. Tu dobimo 3417 = (3000 ± 4004-10 ± 7)2 = 300024-2. 3000. 400 ± 4002± 2. 3400. 10 + 104-- I--2 . 3410. 7 ± 72; ali, ako sestavine drugo pod drugo zapišemo ter res izračunam o 3417 =--3000 2 . 90000 + 2 . 3000 . 400 . 240000 0 + 4002 . 160000 4-2 . 3400 . 10 68000 10 2 . . . 100 + 2 . 3410 . 7 . 47740 + 72 . 49 ali, ako ničle izpustimo 11675889 , 341'7 2 32 9 . 2 . 3 .4 . . 24. 42 . . 16 . 2 .34 .1 . . . 68 . 1 2 . . l . 2 . 341 . 7 . . 4774 . 7 49 11675889. 183 Za vzmnoževanje dekadnega števila na kvadrat velja tedaj tá-le pravilo : 1.) Prva ali najvišja številka danega števila dá sama svoj kvadrat. 2.) Vsaka naslednja številka dá v kvadratu dve sestavini : dvojno pred njo stoječe število, pomnoženo s to številko in sama svoj kvadrat . 3.) Te sestavine zapišemo takó drugo pod drugo, da pride vsaka naslednja za jedno mesto dalje proti desni, ter jih potem seštejemo , kakor stojé ; vsota je iskani kvadrat . pr. 417 2 31417 2 42 . 6 . 32 . . 9 2 . 4 . l . 8 . 2 . 3 . 1 6 . 1 2 . 1 2 1 2 . 41 . 7 . 574 . 2 . 31 . 4 . 24 8 . 7 2 . . 49 4 1 6 173889 2 . 314 -1 .62 1 2 . 1 . 2 . 3141 . 7 . 43 97 4 72 . 149 9187 02 78 89 Kvadrat dekadnega števila ima ali dvakrat tolika številk kako r dano število ali jedno menj ; kajti prva številka dá v kvadratu jedn o ali dve mesti, vsaka naslednja pa po dve mesti . Ako razstavim o tedaj kvadrat od desne proti levi na razdelke po dve številki — prvi razdelek na levi more imeti tudi le jedno številko — dobimo prav toliko razdelkov, kolikor ima dano število številk . 2 a2 Dostavek. l.) Iz je razvidno, da je računati ton 10 2n kvadrat decimalnega ulomka prav takó kakor kvadrat celega dekad nega števila, le treba v kvadratu števca dvakrat toliko decimalk od rezati, kolikor jih ima dani decimalni ulomek . ~tevilo decimalk v kvadratu decimalnega ulomka je tedaj vsikdar sodo . 2.) Sestavini, kateri dá druga in vsaka naslednja številka da nega števila v kvadratu, je moči v jedno samo združiti. V ta namen treba le k dvojnemu pred to številko stoječemu številu to novo številko pripisati in na ta način dobljeno število z ravno tisto številk o pomnožiti, a vsak naslednji produkt je treba za dve mesti dalj e proti desni pomakniti ; v obče je namre č (2~ . 10)p p (2A. [0 + p)p• Ako izračunamo zadnji primer na a način, dobim o 314172 . . 9. . 61.1 . 61. . 624.4 . . . 2496. . 6281 .1 6281 . . 62827 .7 439789 987027889. Kakó je števila vzmnoževati na kub ali tretjo potenco . § 180. Ako pomnožimo kvadrat katerega koli števila zopet s tem šte vilom, dobimo njega tretjo potenco. Tedaj je 2b + 3ab2 ,-+-b 3, (+ b) = (a2+2ab+b2)(a+b) — a ~ --~-- 3 a Tretja potenca (kub) binoma je jednaka vsoti i z tretje potence prvega člena, trojnega kvadrata prveg a 'lena, pomnoženega z druzim členom, trojnega prveg a člena, pomnoženega s kvadratom druzega člena in tretj e potence druzega člena . Da dobimo, uporabljajoč ta izrek, tretjo potenco trinom a a + b + c, treba le a + b za jeden sam člen smatrati; tedaj (a+ b+ c) = [(a + b) + c] = (a + b) 3+ 3 (a ± b)2 c + 3 (a +b). + c3 c 3 + 3a2b 3ab2 I 1,3 + 3(a b) 2. c 4-3 (a b) . c2+ c a. s In prav takó (a 4-b + c + d) [(al-b + + d] = (a+b+c)3 ± 3 (a --I--b + c)2d ± 3 (a + b + c) d2 -E-.•d3 a3 + 3a2b+ 3ab2+ b3 4-3 (tu -~-b) 2c + 3 (a l-b) c2 -}-c. -} -f- 3 (a + b + c)2d ± 3(a -~--b + c) d2 da, -} . d.- t Odtod izvira, da je polinom takó-le na tretjo potenc o vzmnoževati: l.) Prvi polinomov člen dá sam svoj kub. 2 .) Vsak naslednji člen dá tri sestavine, namreč trojni kvadra t iz vsote vseh prejšnjih členov, pomnožen s tem členom, trojno vsoto 185 vseh prejšnjih členov, pomnoženo s kvadratom tega člena in kub tega člena. 3.) Vsota vseh teh sestavin je zahtevana tretja potenca . Primer. (y2+2y_3)3 y64-60 4-12y' -- 8y. 9(y + 2y) 2 -4-27 (y2+ 2y) — 27 y6+ 6y5+ 12y' + 8y — 9y' — 36y3 -36y2 -}- 27y2 4-54y — 27 y6+ 6y5+ 3y4— 28y. 9y2± + 54y — 27 . § 181. Prej navedeni tvorbni zakon za kub algebrajskega polinom a uporabimo lahko tudi za kub dekadnega števila. Ako nam je n. pr. izračunati kub števila 4213, dobimo, ako pišemo sestavine takój drugo pod drugo : 4213 = (4000 + 200 + 10+ 3) 40003 . 4-3 . 40002. 200 . + 3 . 4000 . 2002 ± + 3 . 42002 . + 3 . 4200 . --}+ 3 . 42102 . ± 3 . 4210 . --} ali, ako ničle izpustimo 2003 . 10 . 109 . 103 . 3. 32 . 3' 421 3 43. . 3, 42.2 . 3 . 4.22 . 23 . 3 . 422. 1 3 . 42.12 . 13 . 3 . 421 2. 3 . 3 . 421 . 32 . 33 . . .. . . . . 6490000(J900 9600000000 480000000 8000000 529200000 1260000 1000 159516900 113670 27 = 74778091597 .64 . 96 . 48 . 8. 5292 . . 126 . 1595169 . 11367 . 27 74778091597, Iz tega izvira, da je tretjo potenco dekadnega števil a takó-le računati : 1.) Najprej vzmnoži prvo ali najvišjo številko danega števila n a tretjo potenco . 2.) Za vsako naslednjo številko dohodi tri sestavine : trojni kvadrat pred njo stoječega števila, pomnožen s to številko, trojno pre d njo stoječe število, pomnoženo s kvadratom te številke in tretjo potenco te številke . 3.) Te sestavine zapiši takó drugo pod drugo, da pride vsak a naslednja za jedno mesto dalje proti desni, potem pa jih seštej, ka kor stojé. pr. 123 3 3054 3 1 3 . . .1 . 33 . . .27 3 . 1 2 .2 . 3 . 302 .5 . 1 350 0 . 3 . 1 . 2 2 . 12 . 30 . 52 . 22 50 . 23 . S . 53 , . 12 5 3 . 12 2 . 3 . 1296 . 3 . 305 2 . 4 111 630 0 . 3 . 12 . 3 2 . 324 . 3 . 305 . 42 . 146 40 . 33 . 27 43 . 6 4 1860867 2814841401 464 Tretja potenca dekadnega števila ima trikrat toliko števil k kakor dano število, ali pa za dve ali tudi za jedno menj ; kajti prva številka danega števila da v tretji potenci jedno, dve ali tr i mesta, vsaka naslednja pa vsikdar po tri mesta. Ako razstavimo tedaj tretjo potenco od desne proti levi na razdelke po tri mest a prvi razdelek na levi ima lahko dve ali tudi le jedno številk o dobimo prav toliko razdelkov, kolikor ima dano število številk. a3. Dostavek. Iz (--) 3 = izvira, da treba pri decimalnih 10n 10 3n ulomkih v tretji potenci števca škrat toliko decimalk odrezati, koli kor jih . ma dani decimalni ulomek. Naloge_ I. a.. ct 4. 2. . x 2n. 3. (2x) 3 . (2x) 5. 4 an'+ 1 a n 5. 3a2 x2 . 7a. x4. 2a2 m3 x4 . 3am x . 7. 3a2 x . 15ax2 . 4a2 x 7am2 . 3b n2 . 8a2 bm3 n. 9. (8a3x2 5b 3 y ). 3x y 10. (2a2b b2 4b3). 8a3 b . (3m2 — 8m — 5) (7m 2 ± 5m — 6). 187 12. Izračunaj a ) 48 iz 4 5 = 1024 in 43 = 64 ; h) 155 iz 153= 3375 in 152 = 225; c) 1 .04 10iz 1 .048= 1 .368569 in 1 .042= 1 .0816 (na 6de d) 1 .025' iz 1'0254= 1.103813 ;n 1 .0252= 1 .050625 (na 6 dec) 15. a2n + l : 13, x : x 3. 14. 27 : 3a2. 16. 30x4y3 : 5x3y. 17. 8xa+2b: 12x2'-a. 18. 3a6b3c4d5 : a4b d3. 19. 104ab3x9 :(91a5b6x7 :7a4b 15ax4 3x 3 8a6xy4 4a6xy 20 -21. 8 8by2 4y 3bc2 z 5 5bc2z 4 22: 2 x ,+'-9x x9) : 23. (24x4 — 38a2x2 -j-15 a4) : (4x2 3a9) . 24. 23.5 . 2a. 252. 42. 26. 44 . 54 . 54. 27. (3a)5 . (4a) . 28. (x• --- - Y)2 (x — Y)2. 29. (2x) . 30. (ab c)6. 31. (5a x)4 32. 453 : 9 3. 33. (8a2)5: (2a)5. 34. xn : (5a26c2)4 35. (5a 36. (84a2b4x3)2: (6ab3x)2. (,) 3 39 • 38. 37. . (E1)3 • 41. ()3 40. 18x4 . . (1)2 . 3x " 42. 43. (3 ) (4} 3. 4)3. (~b 44. 3x3 . 2-45. 4a I 3by) ' a2 — b2 x — H, 46. (a63. 47. (x . 48. (10a9)4. 49. (3m2n3)9. 50. (2x2y4)6. 51. (am2x.) 5. 2 3a2x\3 7a4m2y' 3 . x52 53 (- (2) . x4y6) 4 2a2x2 34by2J 54. 8b2n3x4I 6ax2 2 ‘3b2 56. 56. (a4b5c2\ 3 a'b4 c 3 by (5b 2y 5a2 057. [(2x3Y2)3 .(3x4y23 (2xy2)5.(3x2z2) 1 . (5y3z)3 2 )2 58. 6x2y2 (10x 3y2)2 (6y2z 4) 3 60. (-61. ( 63. (— a2b3)5. 64. (— 3x3yz 18 8 2 3a2x 65. 66. (-2a3 67. 5b 2y 68. 3--2 . 69. 5 -3. 70. 15 71. 0 . 25-2 . 72. 73. 4-3 . 6-1 ~74. a s . 75. ct2 ,n a-m 76. 2-3.4- 77. bx9 .b-i x 78. (x-2 )4. 79. (x-) 80. (3l 4.( Si. 5 -2. (1)-2. 82, a-: a4. -4a:a-4 L/84. (- 6a-5) (- 3ct-1), 5. (2a ± 3b) 2. x 7y) 2 . 87, (5a2- 6y3)2. 89. 3 88. 4a-2 (4x2 90. (ct 3 m2 6x29. ._.~. 3a+ 2x 5 2z2) 2. 3x a2m 91. (a--2 b c)2. 92. (4 + 2y -y2)2. 93. (3x - 5y + 8zr. 94. (6a' -- 5x ± 4x -3) . 95. (27x 6 -54x4--}- 36x2- 8) . ----~ a 2a) . 97. (2a I 3b 4e\ 2 96`. (2 2 3 3b( 3 2 2y 1y 98. 41.2 3b 2 99. (- a ± b + c)2 I (a-b c)2 + (a ±b -c) 100. 3762: 101. 25432. 102. 5079 2. 103. 734162. 104. 8 .472. 105. 74 .062. 106. 0 .8315 2. 107. 2 .34562.T 108. 927042. 109. 3721822. 110. 13 .50792. 111. 4.6129082. 112. (942)9 . 113. 8134. 114. 5'2764. 115. 76448. (3x + 2y). . 117. (4a - 3} 3. 118. (2ax9 --}- 3by 119. --121. ( 120. (~--) 3• 122. (y 2 j 2y -3) 3. 123. (x2- 3xy + 2y5 3. 3 124. (1 - 2x - 3x2+ 4 x 3)3. 125. (1 - 2a24- 4a4- 8ct 2x2 9xy. 126. 2) 127. 4a _ 2 3a &t' 128. 7343. 129. 8623. 130. 6035". 131, 217093. 132. 782563. 133. 9 .173. 134. 5.9463. 135. 69 .90233. 136. (57 3)3. 13/. 0 .6239. 138. 1 .376 9. 139. 1 .05". O korenih. § 182. R a z ko r en j ev a n j e (Wurzelausziehen, Radicieren) rabi nam , kadar treba iz vrednosti potence in nje eksponenta podloge poiskati . Število a s številotn m razkoreniti, ali številu a mneg a korena poiskati, pravi se, iz potence a in eksponenta m pod logo izračunati. Dano potenco a imenujemo r a d i k a n d (Radikand) ali kar število, dani eksponent m korenj eksponent (Wurzelexponent), in iskano podlogo p mni koren (Wurzel) števila a, pi m šemo pa 1/čt p. 3 N. pr. 43 = 64, tedaj obratno V64 = 4. Drtigi in tretji koren imenujemo tudi oziroma kvadratni in kubični koren. Za sedaj ima l/a le tedaj kak pomen, kadar je a mna potenca katerega koli celega ali vlomljenega števila ter radikand in pra v takó korenj eksponent neimenovano število. § 183 k prejšnjega pojasnila izvira : l.) Koren ima to svojstvo, da d' s korenjim eksponentom vzmnoŽen, radikand. 27. (-I/a 2.) Stevilo ostane neizpremenjeno, ako je s katerim koli številom vzmnoŽimo in z istim številom razkorenimo. m a = 1/(a) a ; a ---- Vsled tega je moči vsako število na koren pretvoriti ; n. pr. s b — Vzmnoževanje in razkorenjevanje sta tedaj nasprotna računa ; razkorenjevanje je o brat vzmnoŽevanju . 3.), Prvi koren vsakega števila je jednak številwsa ~ enemu. Ker je a = a, je tudi 1/—a =-- -- Za prvi koren ne pišemo torej niti eksponenta l, niti korenjega znaka . Pri druzem ali kvadratnem korenu pišemo pač znak, ne 2 — pa eksponenta 2 ; l/ a pomenja tedaj Va. m m 4.) -ff = I, 5.) 1/-(j = O. Izreki o korenih . 184 . 1.) Produkt ra z k o r e n i m o, ako vsak faktor razkorenimo . 33 Vab . 1/ b, 1/8 .64 Y .Y= 2. 4 = 8. Dokaz. Ako je Ya .1/--6' pravi koren, dati mora, s korenjim eksponentom m vzmnožen, radikand ab. In res je m (-(m -c-t 1/b)m (fm -t )m( 172., 2.) = a . b ( 183., 1 .) Uporabljajoč ta izrek je móči radikand deloma razkoreniti, ak o ima kak faktor, ki se da z dotičnim številom razkoreniti . N. pr. n 1/a" . b . Yb = a Vb , 1/4a — Y .Y= 23/a. Na ta način je moči dostikrat korene, imajoče isti eksponent, a različne radikande, na take pretvoriti, ki imajo isti radikand, ter potem skrčiti. N. pr. +YoY—Y~-}-28 = I/4.2 + 1/25.2 -~- 1/36.2 — 1/64 .2 = 21/2 + 5 1/2 + 8 -V2 — 8 V2 = 51f-2-. 2.) Ako prejšnji izrek obrnemo, dobim o 1/a.1/b 1/ab, t. j. : Korene istih korenjih eksponentov pomnožimo, ako produkt radikandov s skupnim korenjim eksponentom razkorenimo . Uporabljajoč ta izrek in pa § 183., 2., moremo obratno vsak korenov faktor pod korenj znak spraviti ; v ta namen treba le dotični faktor s korenjim eksponentom vzmnožiti ter to potenco z radikandom pomnožiti. N. pr. n a 3/--b-1/a" . 1/-6= rct;'b, 33 33 21/ 5 .V-5" 1/40. 19 1 § 185. 1.) Kvocijent (ulomek) razkorenimo, ako dividend in divizor (Števec in imenovalec) razkorenimo . 3 3 \/V 7 27 125 3 1/125 Dokaz . 37., 2.) a 183., 1.) Yb 2.) Obrat : m t.j. : Korene istih korenjih eksponentov razdelimo, ako kvocijent iz radikandov s skupnim korenjim eksponentom razkorenim9. § 186. Y x1 .) Potenco razkorenimo, ako podlogo razkorenimo, al i pa, ako potenčni eksponent razdelimo s korenjim eksponentom. 3 ~(85) (M = 2 m an, Dokaz . a) [(nl/a)']n= [(nl/-c-t)nr(§ 174., 3.) a'n (§ 183., l.) m b) (a ' '''n) = an.n (§ 174., 1.) = am . n 2.) Jednačbo 1/(an") = Va obrnivsi, dobimo j. : Koren vzmnožimo s številom, ako radikand z njim vzmnozlmo.,n---. Izvod. Kadar je število vzmnožiti in razkoreniti vrši se to lahko v katerem koli redu. 192 3.) Ako obrnemo jednačbo 1/(a m )a n dobim o a?' = 1 lam }, t. j. : Število vzmnožimo z ulomkom, ako je s števcem vzmnožimo in z imenovalcem razkorenimo . Potenca z vlomljenim eksponentom pomenja tedaj toliki koren, kakor imenovalec kaže, iz tolike podlogine potence kako r števec kaže. Dostavek. Prvotni pojem o potenci velja tudi za potence z vlomljenimi eksponenti. Kajti po prejšnjem j e a (1f)= Va. I/a . V-"c-; . . (mkrat). § 187. Koren razkorenimo s številom, ako z njim radikand razkorenimo, ali pa korenj eksponent pomnožimo . 3 3 1 .) 1~( l/6) = (1/ a), I/ (V27) 1/(1/27) — m nmn 36 2.) ]/(1/a) = l/a, I/ (V64) I/64 — 2. Dokaz . ";'/ (11)rn 1 .) [-';/ (1/ a '(§ 186., 2.) = -;'/ a (183., 1). mnn [In n mn (l/)m 2 .) ar' (§ 183., 2.) (1/a) mn (§ 174., 1.) n 1/ a. Izvod. Ako treba število z dvema številoma razkore niti, razkorenimo je lahko ali z vsakim posamič v katerem koli redu, ali pa s produktom obeh ob ednem . , ,.,‘§ 188. Koren iz katere koli potence ostane neizpremenjen , ako korenj in potenčni eksponent z istim številom pomnožimo al i razdelimo. .- Kajti Vam a n = Vami) ; in . .:p .:p 1/a m = a n an 'P =--*Vam Uporabljajoč prvi del tega izreka, pretvorimo ahko vsakeršn e korene na skupen korenj eksponent. 193 3 5_ 10 Recimo, da nam je pretvoriti n. pr. korene 1/Ct, Vb2, Ve", -V& na skupen eksponent. Najmanjši skupni mnogokratnik danih korenji h eksponentov 2, 3, 5, 10 je 30 ; tedaj dobimo 30 30 : 2 = 15, torej l/a = l~a 3 30 30 : 3 = 10, » 3''--0 — 1lb", 30 30 ; 5 = 6, » Ve' 10 30 30; 10 = 3, » -((-:--P lfd2 I. Vsled tega je máei tudi korene, imajoče različne eksponente, množiti in deliti (§ 184., 2., in § 183., 2.); v ta namen treba jih le prej na skupen korenj eksponent pretvoriti. N. pr. 3666 6 1ra .ra 3/a' . 3/a1/a.. a l/a' ; 4 12 12 12 12 1/a : V a = 3/a' 3/a' = l/a' : a = 3/a' . Uporabljajoč drugi del onega izreka, lahko koren okrajšamo , ako imata njega korenj in potenčni eksponent skupno mero. . N. pr. 4 &3 Val) = l/ a . Kakšne predznake imajo koreni. X rn § 189. Pozitivno število, razkorenjeno s katerim koli lihiM številom, da pozitiven koren. 3 + 27 = -{--3. Kajti (-~-± 27. 2n+l 2n+ l V obče : 2. Negativno število, razkorenjeno s katerim kol i lihim številom, da negativen koren. 3 -V 27 3. Kajti ( 27. a— 2n+ l 2n V obče : -a = - 3/a. 194 Pozitivno število, razkorenjeno s katerim kol i sodim številom, dá dve ednaki, a različno zaznameno ,' ~ s ' i-rffrl-š t e vili. 4 4 I 'L It+ 16 = 2. Kajti (4-2) 4 = + 16 in (— 2) 4 = -{-16 . 2n 2n V obče: V+ a = l/a. 2n 4.) Sedaj treba si ogledati le še V a. Ker ne dá niti pozitivno niti negativno število, s sodim številom vzmnoženo, negativnega šte 2n vila, zato pomenja V a število, katerega ne nahajamo med onimi , s katerimi smo se do sedaj pečali. To novo število imenujemo i m a _ g i n a r no število (imagináre Zahl) v nasprotje vsem drugim številom, katera zovemo realna (reell) števila . N. pr. 4 ni niti -=-- ± 2, niti = — 2, kajti (-J- 2) 2= + 4 in prav takó tudi (-- 2) 2 = I-4. Sod koren iz negativnega radikanda je imaginarn o število. n Da si tudi imaginarno število a v aritmetiki nič druzega ne pomenja nego število, katero da, 2n krat kot faktor vzeto, — a , vender ne kaže je v matematiki prezirati, kajti že v aritmetiki je pr i višjih algebrajskih računih dostikrat velike koristi, v geometriji p a ima prav določen pomen . Ako dobimo v čisto aritmetični nalogi, v kateri se more le po realnem številu vprašati, imaginarno število z a rezultat, ondaj je to znamenje, da naloge pod danimi pogoji ni mo goče razrešiti. O iracijonalnih številih . § 190. Pojasnjujoč 1/a v § 182., smo vzeli, da je radikand a ntna potenca katerega koli celega ali ulomljenega števila . Sedaj si hočem o še slučaj ogledati, kadar ta pogoj ne velja . Ako celo Število a ni ntna potenca katerega koli cele n ga števila, ondaj ne more biti l/ a niti celo število niti ulo v mek ; vender moremo 1/ a približno z ulomkom izraziti, i n to taks natančno, kakor le hočemo . 195 Dokaz . a) Ako izračunamo po vrsti ntne potence celih števil , namreč ne . -Pn, (p 41 )n . in ne najdemo števila a med temi potencami, ondaj mora biti med dvema sosednima potencama, n. pr. med in (p + 1)n, tedaj 1/ a pri' n med p in p --~-1; celo število torej Va ni. Toda 1/c tudi ulomek - ne more biti ; kajti ako bi bil jednak, recimo, ulomku p ps+r s kjer sta r in s relativni praštevili, ondaj bi morala ntn a s potenca tega ulomka, imajočega najjednostavnejšo obliko, jednak a biti celemu številu a, kar ni mogoče . n b) Vender ima izraz -t/a tudi v tem slučaji prav določen po men. Med celi števili p in p -j-1 uvrstimo namreč lahko ulomke z imenovalcem m. Ako vzmnožimo števila ~ p --i- p+;,, , .p+ , p+ +. — + na ntno potenco, ondaj je število a med dvema sosednima takim a p + Inpotencama, n. pr. med in p + c l" tedaj med mm c ~ številoma p 4-in p + katerih diferenca je 1 — mm m c Ako vzamemo tedaj za lnia število p4-ali pa p + c mm , potem je pogrešek manjši od — Ker pa vzamemo lahko m tak ó m ~ velik, torej ;,, -- ,, taká majhen, kakor le hočemo, zato je moči -V-ct-takó natančno določiti, kakor le hočemo . c p + imenujemo spodnjo, p + 1 zgornjo približn o mm vrednost izraza . pr. Recimo, da nam je določiti 1/2. Ker je 2 med 1 9 = 1 in 22 = 4, zato je -1/--2' med 1 in 2. Dalje je 2 med 1.42 =.-- 1 .96 in 1 .5 2 = 2 .25, 1 .412 1. 9881 » 1'422 = 2.0164, » 1.414 — 1.999396 » 1 .4152= 2 .002225, i. t. d. Zaradi tega je 1/2 med 1 .4 in 1 . 5, » 1 .41 » 1 .42, » 1 . 414 1 .4 15, i, t. d. 13* 196 Iz tega je razvidno, da je 1/2 med dvema številoma, kateri je moči takó zbližati, kakor le hočemo, da ima torej 1/2 določeno vrednost; te vrednosti ne moremo sicer s popolno natančnostjo do ločiti, a določimo jo lahko s toliko natančnostjo, s kolikoršno jo le hočemo. § 191 . Števila, katerih ni moči niti s celimi števili niti z ulomki n a aneno izraziti, a z ulomki p rib ližno takó natančno, kakor l e hočemo, imenujemo iracij o n aln a števila (irrationale Zahlen) v nasprotje celim in ulomljenim številom, katera zovemo racij o n a l n a e v il a (rationale Zahlen) . Z iracijonalnimi števili računati, pravi se, z njih približnim i vrednostimi računati. Ker so pa te približne vrednosti racijonalna števila, veljajo vsi občni izreki, katere smo o racijonalni h številih dokazali, tudi o iracijonalnih številih. § 192. Ulomek, čegar imenovalec je iracijonalen monom ali binom, pretvorimo lahko, ne da bi mu izpremenili vrednosti, na takega, k i ima racijonalen imenovalec ; v ta namen treba le števec in imenovalec s primernim faktorjem pomnožiti. Ulomek iracijonalnega imenovalca oprostiti, pravi se, imenovalec poracijonaliti (den Nenner rational machen) . Tu se hočemo pečati le z nekaterimi lažjimi slučaji. z l.) Ako hočemo dati ulomku, imajočemu obliko kjer je Va. n m, racijonalen imenovalec, treba le števec in imenovalec z -ar' — ' pomnožiti. Kajti _ n ,/ ZVan n ZZ aYn-m Z a n — n Y Cim n 1/ ;'Aa . n — m n Va n a 3 s ~ o 1\1 . pr. mT— m 4- t2 a 3Va– 5 31/-a . Ya2 a 3 lVc—tg a 2.) Ako nam je pretvoriti ulomek, imajoč obliko ali a +V-6 z na takega, ki ima racijonalen imenovalec, treba le števe c V a + in imenovalec z a 1/-6-ali l/a 4: l/ pomnožiti. Kajti 19 7 Z Z(ct _T,Vb) Z(a b a446-=- + fb) (a b a2— Z Z(Vct :i: lih) Z(1/a +l/b ) + Vb — (V + lb) (V a T. -Vb) a — b 3 3(5 +1/2) 15+ 31/2 N. pr. 5 — '1/2 52 — 2 = 23 1 5 15 (Y5 — 1/2) 5 (~/ 6 — V-4 5 — 2 V5 + -V-2 § 193 . Ako se nahaja v jednačbi neznanka pod korenjim znakom , moči je koren odpraviti. V ta namen treba le jednačbo takó urediti, da stoji koren, katerega hočemo odpraviti, sam na jedni stran i in potem oba jednačbina dela s korenjim eksponentom vzmnožiti . V jednačbi neznanko korenjega znaka oprostiti, pravi se, jednaeb o p o r a c i j o n a l i t i (die Gleichung rational machen) . Recimo, da nam je poracijonaliti n . pr. jednačbo 1/2x -~-- 3 = 5. Jednako z jednakim vzmnoženo dá jednako. Vzmnoživši oba dva dela dane jednačbe na kvadrat, dobimo racijonalno jednačb o 2 x 4-3 = 25, katero prav lahko razrešimo . Kakó je izračunavati kvadratni koren . § 194. Iz zakona (§ 178.), po katerem so sestavine polinoma v njega kvadratu sestavljene, je razvidno, da je kvadratni koren urejeneg a polinoma takó-le računati : 1.) Prvi člen urejenega polinoma je kvadrat prvega korenovega elena ,, Da dobiš torej prvi korenov člen, izračunaj kvadratni koren prvega radikandovega člena, potem pa njega kvadrat od radikanda odštej . 2.) Prva dva člena v ostanku imata oni dve sestavini, kateri dá naslednji korenov člen v kvadratu, in sicer je prvi člen v ostank u produkt iz dvojnega Že najdenega korena in naslednjega korenovega č~elra--.ko razdeliš tedaj prvi člen ostanka z dvojnim že znani m korenom, dobiš naslednji korenov člen . Sedaj izračunaj sestavini, kateri dá ta .novi korenov člen v kvadratu, v ta namen prištej ta novi člen (§ 179., dostav. 1 .) k dvojnemu že prej znanemu korenu, 198 to vsoto pomnoži z ravno tem členom, dobljeni produkt pa odštej od polinomovega ostanka. 3.) Takisto nadaljuj . Ako ne dobiš slednjič nikakeršnega ostanka , ondaj je dani polinom popoln kvadrat in kvadratni koren racijonalen ; ako dobiš pa ostanek, ondaj je koren iracijonalen. N. pr. 1/x4-}-6x3 — x2— 30x + 25 = x2 .4-3x — 5 x4 ± x3 x2 (2x2± 3x) . 3x + 6x3 + 9x2 — 10x 30x + 25: (2 + 6x — 5}, — 5 10x2 30x + 25 O § 195 . Prav taká izvira iz zakona (§ 179 .), po katerem so sestavin e posamičnih korenovih številk v kvadratu sestavljene, da je k v a dratni koren celega dekadnega števila takó-le računati : l.) Število razdeli, pri jednicah začenši, na razdelke po dv e številki ; prvi razdelek na levi more imeti tudi le jedno številko . Potem poišči največje številke, katere kvadrat ima prvi razdelek n a levi v sebi ; to zapiši kot prvo številko v koren. To številko vzmnoži na kvadrat in tega odštej od prvega razdelka . 2.) K ostanku pripiši naslednji radikandov razdelek . Na ta način dobljeno število brez zadnje številke razdeli z dvojnim že znani m korenom in kvocijent zapiši kot novo številko v koren, ob jedne m pa tudi k divizorju. Taká izpremenjeni divizor pom'';].oži s to novo korenovo številko, produkt pa odštej od dividenda, h kateremu p a treba privzeti prej izpuščeno številko . 3.) Takó nadaljuj, dokler nisi vzel vseh radikandovih razdelko v v račun. Ako dobiš slednjič ostanek, ondaj je kvadratni koren daneg a števila iracijonalno število. Da to približno določiš, pripiši k zadnjem u in vsakemu naslednjemu ostanku po dve ničli, sicer pa računaj kakor prej ; v kvadratnem korenu postavi decimalno točko, predno vzameš prvi dve ničli v račun. N. pr. V3J76j36 = 194 1/2316 l 48 . 59 . . 1 1 6 27G : 2 . . . 2 .1 76,1 29.9 . . .261 70 4 l 53, 6 : 38 . . 2 .19 5 70,0 : 96 384.4 . . . l 53 6 4 82 5 O 87 50, 0 : 9709 8738 1 11 9 Produkt iz vsakokratnega izpremenjenega divizorja in nov e številke moreš tudi takój, ko množiš, od dividenda odštevati. Prejšnja dva primera bi dobila potem tó-le obliko : -t/ 317 O6 194 1/2316 l = 48.59 . 2 7,6 :29 7 6,1 :8 l 5 3,6 : 384 5 70,0 : 965 O 87 50,0 : 9709 119 § 196. 1.) Kvadratni koren decimalnega ulomka je prav takó računat i kakor kvadratni koren celega števila : le treba decimalni ulomek o d decimalne točke proti l e v i in proti d osni na razdelke po dve mest i razdeliti ter v korenu decimalno točko postaviti, predno se vzame prvi razdelek decimalk v račun . Kadar ima zadnji razdelek decimalk na desni le jedno številko, tedaj pripiši mu ničlo, da bode število decimalk sodo. N. pr. 1/1(5 2.2 7j5 6 = 12.34 V0.6813 0 = 0.8264 . 5,2 : 2, 4 3,0 : 16, 8 2,7 : 24, 10 60,0 : 1646 9 85,6 : 2464 72 40,0 : 16524 0 6 304 2.) Ako je izračunati kvadratni koren n a v a d n e g a u l o m k a , ondaj izračunaj kvadratni koren njegovega števca in imenovalca ; ali pa pretvori navadni ulomek na decimalnega ter potem izračunaj kvadratni koren tega. N. pr. /144 -12 V144 = 529 11529 2 3 1 fj V0625 = 0.7905 . § 197. Račun je máči izdatno prikrajšati, ako se zahteva v kvadratnem korenu le določeno število decimalk. V tem slučaji izračunaj na navadni način polovico korenovih številk in še jedno, k ostank u pa ne pripiši novega razdelka, nego v novem divizorji izpusti zadnj o številko, potem pa izračunaj naslednje korenove številke, uporabljajo č okrajšano delitev. Ako bi hotel določiti n. pr. V138 na 5 decimalk natančno, te daj vsega skupaj na 7 veljavnih številk, izračunal bi prve 4 številk e na navadni način, zadnje 3 pa z okrajšano delitvijo . Dobil bi : l/113 8 = 11 .7 4 3,8 :2, 170,0 : 2 2; 1 10Q : 2 344, 1'7 24 : 2,3,418 80 10 1 Kakó je izračunavati tretji koren. § 198 . Iz tvorbnega zakona za tretjo potenco mnogočlenskega izraz a ( 180.) izvira obratno, da je računati tretji koren urejeneg a polinoma takó-le : l.) Za prvi člen iskanega korena vzemi tretji koren prvega radikandovega člena ter njega tretjo potenco od radikanda odštej . 2.) Prvi člen ostalega polinoma razdeli s trojnim kvadratom že znanega korena ; kvocijent je naslednji korenov člen. Potem izračunaj one sestavine, katere dá ta novi korenov člen v kubu, namreč trojni kvadrat prej Že znanega korena, pomnožen s tem členom, trojni prejšnji del korena, pomnožen s kvadratom tega člena in kub teg a člena . , vsoto vseh teh sestavin odštej od prejšnjega radikandoveg a ostanka. 3.) Takisto nadaljuj, Ako ne dobiš slednjič nikakeršnega ostanka , ondaj je tretji koren racijonalen, sicer pa iracijonalen. 20 1 N. pr. 1/[y' — 6y 5+ 21y4 44y3 -~--63y 54y + 27] y 2y ±3 Y6 3y4 — 6y5-j- 21y4— 44y3 + — 6y5 + 120 + — 8y3 9y" — 36y 3 I -63y -54y+27 12y3+ 12u ) + 9y4 36y3+ 36y + 27y T54y + 27 O § 199. Iz tvorbnega zakona za kub celega dekadnega števila ( 181 . ) je razvidno, da treba tretji koren dekadnega celega števila takó-l e računati : l.) Število razdeli, pri jednicah začenš , proti levi na razdelk e po tri številke ; prvi razdelek na levi sme imeti tudi le dve ali l e jedno številko. Potem poišči največje številke, katere tretja potenca ne presega števila v prvem razdelku ; le-tó zapiši kot prvo številko v koren, potem pa jo vzmnoži na tretjo potenco in to odštej o d prvega' radikandovega razdelka. 2.) K ostanku pripiŠi naslednji razdelek ; na ta način dobljeno število brez zadnjih dveh številk razdeli potem s trojnim kvadratom ž e znanega korena, kvocijent pa zapiši kot novo številko v koren . Potlej izračunaj one sestavine, katere dá ta nova korenova številka v kubu , namreč trojni kvadrat že prej znanega korena, pomnožen s to številko, trojni prej znani koren, pomnožen s kvadratom te številke i n kub te številke ; prvo sestavino zapiši pod dividend, vsako naslednj o pa za jedno mesto dalje proti desni, potem pa odštej vsoto vseh treh sestavin od dividenda, privzemši njega prej izpuščeni dv e številki. 3.) Takó nadaljuj, dokler nisi vzel vseh radikandovih razdelko v v račun. Ako dobiš slednjič ostanek, ondaj je tretji koren iracijonalen, izračunaš pa ga lahko takó natančno, kakor le hočeš. V ta namen postavi v korenu decimalno točko, potem pa pripiši k zadnjemu i n vsakemu naslednjemu ostanku po tri ničle, sicer pa računaj kakor prej. 202 N. pr. 1/7617651625 — 4,6 43 . ..64 12 7,65 : 48 . . . 3.42 3.42.2 . . 9 6 3.4 22 4 8 28 1 2 6 77 6,25 : 5292 . . 3. 422 7 390,00 : 132 3 3.422. 5 26460 6 615 3.42.52 . . . 3150 157 5 53. 125 0 61625 § 200. 1.) Prav takó je računati tudi tretji koren decimalnega ulomka ; le treba decimalni ulomek od decimalne točke proti levi in proti desni na razdelke po tri številke razdeliti ter v korenu decimalno točko postaviti, gredno se vzame prvi razdelek decimalk v račun . N. pr. 3 3 V13 .1441256 = 2:36 1/0.0021360 = 0.133 . 81 5 1,44 : 12 l 3,60 : 3 36 9 54 27 27 27 9 77 2,56 : 1587 16 30,00 : 507 9 522 15 21 248 4 351 2 16 27 0 73 63 2.) Tretji koren n a va d nega ulomka najdeš, ako izračuna š tretji koren njegovega števca., in imenovalca, ali ako navadni ulome k pretvoriš na decimalen ulomek ter tega tretji koren izračunaš . N. pr. 3 l 64 4 343 7 3 V5.666666 . = 1.7828 . . § 201. Račun je ~i izdatno pr i k r a j š a t i, ako treba v tretjem korenu določeno število številk izračunati. V ta namen izračunaj polovico zahtevanih korenovih številk na navadni način ; druge številke dobiš s pomočjo okrajšane delitve, in sicer vzemi zadnj i ostanek za dividend, trojni kvadrat že najdenega korena brez zadnj e številke pa za divizor. 3 Ako treba n. pr. V-3-na 5 decimalk izračunati, dobiš 3 == 1 . 44.$25 1 20,00 : 3, 12 48 64 2 560,00 : 58 8 2 352 67 2 64 140 16 : 62,2,0 8 15 74 3 30 19 3 .1/4 . 49. 3:-1/27 . 125. 3 s ~. ' 1/32 a ± b) 5. 4 1/4a. 9. 1/x . 3 10. xl/y3z. . 11. -I/9aab. 12. x. y5z4 . M. (a2 ± b2} (a2 b 2) 12 -1V27 + 1/48. -~1/ 50 ± 1/72 — V128. IS: 91/48 — 31/75 — 21/ 2. 17. 1/20 -+- 1/45 1/125 . 18 41/28 ± 51/63 3 -V' 175. 19. / l/a. 20. a2 x -~}-2b2x -+-31/c x. 3 3 3 3 3 21. 51/2 + 61/54 — 3V16 . 43x — 21/24x ± 1/192x. 38 ss 23. VT3 24. 1/9 .~. 25. . 1/16. 3 44 26. 1/'c-t---2 .1/--ct. 27. I/a. a". 28. . xy> s 66 444 29. 31/8 . 1/4 — 21/2 . 1/32. 30. -Vx .1/x. .xy. 31. 3/2ct .1/ 6b .1/3ab. 32. 'Vab ~l« 33. (3 } 1/2) (3 — 1/2). 34. (84-1/-' 7) (4 — 1/7) . 3 333 36 . (1/10 — 1/5) (1/15 -}- 1/20). 36. (1/32 + 3/48)(1/2 — ~31 . 39. (21/8 61/18 + 31/ O) . -t/2. 40. (31/8 — 5 V32) Spravi pri téh-le korenih faktor pod koren] znak : 41. 31/5. 42. 21/4. 43. 31/19. 3 3 x /12 44. 41/5 a. 45. 4x -V x. 46. —y x2y 'h I y 47. 4 (x_)\I . a2b x3y x— y L, 49. V:4f. 50. 1/24 . 3 18O b 52. \/ —la.2 53. 4 27c4 9 /49 5. 65. 57. / 16 \ 16 2 x'y7 a4b'' 5 55 ~/ . Ii . Vb4 ' 58. (V3 — !Ab) 33 e' b (te' 59. 60. 1/ 128 :3/8. 61 . 1/81 :1/3. 62. 148x : 1/6x. 5 vat b2 63. 871-31 • 64. . 66. 2' Va— b vaš 3 5 c2x -V a'b'x a 3b4c 7 66. 67. 3 x 4y 8 alb * 2b 6x4 6 4 68. 1/82 . 69. 25". 70.1/645 16" 71. -V(a 3 72. -V(x 2xy 205 73. -VW . 74. -Va° . 75. 1/264 +1/2 . 76. Pretvori na korene ter izračunaj : a) 25~, b) 161, c) 84 d) 32 e) 480'5 f) 810'25, g) 641.5, h) 16175, 9—12 k) 125—3 , l) (,-1-J-c 64 23 77. x . x4 . 78. a-65-: a ~. 79.34 .27 4 . 80. 243* : 9 3 . : x, (/)3. 83. 85. (Vab 77 86. W13/)3. 88. (1/a) (/2. a 91. (21/8 3 V2) . 3 3_3 92. ( i~2 +1/A) 93. (-V-c-&--1Ca)3. 94. (4a/—3b/a) 5 3 96.V64 . 97 . -V2'°. 3 99. V-V--(-t-: 100. Vv ~ 3 102. Ux-Vx. 103. 104. Okrajšaj té-le korene : 4 2n a) 1/x2 b) c) 1/x d) 1/a3 7''. 106 . Pretvori té-le korene na skupen korenj eksponent : 34 6 a) in 1/72 ; b) in V. 8 63 106. -(2--. 107. Vct . -Va. 108. 2 . . 34 6 109. ab2.ct2b. 110. Vx .Vxs. 353 6 111. 1/9 : 1/3. 112. 1Va4 :1/a2. 113. (-V2--.1/4 : 1/2. Pretvori té-le ulomke na take, ki imajo raeijonalen imenovale c 9 16. 1 .19. 2+1/8 VT 2+v3 120. 122. 52 2— 21/5 + 123. 3- 124. 3 + 3V5 — 125. Va+x± ya-x "Va x — Va — x Poracijonali té-le jednačbe, potem pa jih razreši : 126. 31/x — 1 = 4 . 127. Vx 3 5. 128. 17 — =---- 15. 129. 14 = 4 + 3 x. 130. 31/6x I7 = 51/5x 6. 1 i . x 4 {-5 1/xT 3 132. 4 x. 133. Vx 1/x — 7 134. 1/(4a" — 12ab -{--9b2). 1135 . 1/(9m4 — 12m'n' ± 4n .136. 1/(x4 6ax34- lla 6a.x -{- a4). 137. 1/(16m6 --{-- 16m5 -{-4m4 16m 3 — 8m' + 4). 138. 1i(16a6 24a5-}- 25a4— 20a. + 10a2 4a -{- 1}. 139. 1/(9y6— 12y5-+- 10y4 28y3+ 17y — 8y l- 16). 140. 1/(25 — 70a ± 139a' — 236a3+ 235a4— 198a5+ 121a6 141. llx2 9 3Iz ,r ~! 6. 43 -t~7056 . 144. V11664. 145. 1/135424. 146. 11556516. 147. 1/226576. 148. 3/1920996. 149. 1/26956864. 150. 1/53993104. 151 . 3/395850816 . 152, -t/422220304 . 153. V54782211136. yfhty ,:',. . ~I5'4. 1/1406 . 25155. 1!973521166. -t/0 . 00178929. 157. V785 . 6809 . 168. 3/0 . 97535376. 159. 1/44105 .040144. 60 VMi. 161. 1/?mm. 162. 1/4853801 $. 4 8 163. 1!1!9986576. 164. 1/362673936 . 165. 1/1475789056 . Izračunaj té-le iracijonalne korene na 5 decimalk : 166. 1/28. 167. I/320. 168. V6584. 169. V-6-52747 . 170. 1/3.92. 171. 1/0.101. 172. 1/8.376. 173. V~O7854. 174. 0. 123457. 175. 1/55 . 25734. 176. V19 . 383838. 3? 1 9 1 177. ? _ as. 1y-7-i . 179. 1/251T;-. 3 180. 1/(a3x bx4 y2 + 3ab2x2y" — b3y6). Ml . V(8x6 — 36x 5 4-78x4 — 99x 3+ 78x' — 36x ± 8). 182. 1/(64x 144ax5 -}- 204a2 x 171a. x. --j- 102a4x2 — 36a5x 8a6). 3 I l a' a2 c 8ac2 64c3 183. ' 8b 3 b 2d 3 bde 27d 3 3 3 184. 1/5832 . 185. 1/12167. 186. 1/59319. 3 3 3 187. 1/262144. 188. 1259712. 189. 8615125. 3 3 190. 1/746142643. 191 . V1767172329. 192. 11627881709547 . 3 3 3 193. 1/0 . 778688. 194. 1/474 . 552 . 195. 1178 .402752. 3 3 3 196. 197. 1/32 . 856. 198. 1/0 00008427 . 1-7--~''TVT%-'. Izračunaj té-le iracijonalne korene n a 5 decimalk : 3 33 199. 1/100. 200. 11'201. 1/ 8135. 5213. 202. 1/47838. 3 3 3 3 203. 0. 3. 204. 1/25 .643. 205.1/0 .0957. 206. -v/0 .12345. 3 33 207. 1/ 1/4~# 208. 1/-g. 209. 1/8T7 . , ni. Naloge v ponavljanje. l.* Razstavi v razmerji 3 : 5 števila : a) 20, b) 28, e) 35, d) 5, e) 0 .32. 2.* Trgovec je imel kos sukna, ko ga je prodal l , -I i n ostalo mu je še 9 m sukna. Koliko m je imel kos? 3. Kateri kapital narase v 5 letih s 5% prostimi obrestirn i na 2000 gl.? 4. Koliko obrestij da a) 1800 gl. po 5 0/0 od dne l . januvarja do dne 20. februvarja ? b) 6400 mark po 4 0 /0 od dne 1 . februvarja do dne 18 . maja ? c) 5600 frankov po 41-- °jo od dne 1. novembra do dne 24. januvarja? 5. Koliko velja 12 sodov rumenega voska, imajočih 6767 kg nečiste teže in 636 kg tare, ako se računa 100 kg čiste teže p o 195 .48 gl. in dovoli 24-0/0 skonta? 6. 660 : (23 — 2w). 7. {[(10-4-94) . 35] -~-- 4» : (2a2x2 2 (6axy . (5b2)4 . [(2xy2) 5 . (3x 2z24. ( 5y 3 z)T. 9. ) 3b~l 5b 2 yl \3a2 (10x 3y 2) 2 (6y 2 z'')' ,,-10. Trgovec je prodal za svojega poveritelja blaga za 2930 gl . 70 kr. ter imel pri prodaji 52 gl. 40 kr. stroškov; koliko mora poveritelju poslati, ako računa 3 0/0 provizije? II.* Ako odšteješ od nekega števila polovico in od ostanka zopet polovico, odštel si 150. Katero število je to? 12.* Katero število treba s pomnožiti, da se poveča za 1-? 13. Iz mesta _A odpotuje v mesto B sel, kateri potrebuje z a vso pot 10 dnij. Drug sel pa gre iz mesta B v mesto _A ter prehodi vso pot v 15 dneh. V koliko dneh se bosta sla srečala, ak o oba ob jednem odpotujeta ? -\ 14. xin +.3 . x9n-5 . x4-m. 15. (x2y2 — 2abxy -1-a2 b 2) 4 16. (2a2bab2 x) 2 . 17. (1 4x + 1/5y) (1/4x — y). 18. Trgovec je plačal za 2734 kg mandelnov in 2891 kg kave 121 gl. 95 kr. vozarine ; koliko vozarine je plačal za mandelne in koliko za kavo ? 19. Za kurjavo šolske sobe se je potrebovalo vsako zimo 18 m 3 bukovega lesa ; v prihodnje hočejo pa s premogom kuriti . Koliko kg premoga bode treba, ako tehta 1 m 3 bukovega lesa 376 kg in im a premog za 70 0/0 večjo kurilno moč nego bukov les iste teže ? 20. Koliko zlata, imajočega po 720 tisočnin čistine, treb a zliti s 3 kg po 900 tisočnin čistine, da bode imela zlitina po 840 ti- sočnin čistine ? 21. Gozd ima sedaj 80000 m 3 lesi. a) Koliko ga je imel pred 10 leti, b) koliko ga bode imel v 10 letih, ako ga vsako leto po 2 0/0 priraste ? 22. Izračunaj, na okrajšani način deleč, na 3 decimalke : a) 83 .422 : 31 .586, b) 345 .6352: 0.789, c) 6 .54728 : 15 .23, d) 0.47 : 16.982. 23.* A in B razdelita 585 gl. taká med seboj, da je razmerje med njiju deležema kakor š ; -; koliko dobi vsak ? 24. V Hamburgu velja funt Portorico - kave 91 pfenigov, stroškov je ondi 3 0/o , provizije 2 °/0 ; vozarine do Dunaja, carine , i, t. d. je 14 °/,. Koliko velja 1 kg te kave na Dunaji, ako j e 100 mark = 56 .8 gl. a. v. in 1 kg = 2 fnt .? 25. 7 (3x — 6) -+- 5 (x — 3) --[- 4 (17 — = 11. a — bx ax — b ax— 2a ax—2 b 26. —27 b a ax—2b ax ± 2a 28. 5 4-1/2x = 7. 29. 21/x + 3 = 7 (2 3/x — 3). 30. Nekdo je izposodil dne 1. maja 1550 gl. po 4 °/a ; ko se mu je denar povrnil, iznašal je kapital z obrestimi vred 1619 3- gl. ; kedaj se mu je kapital povrnil ? 31. Kaj je ugodnejše, kupiti avstr. papirne rente (obrestij po 45 ° j°} ali zlate rente (obrestij po 4 0/o v zlatu), ako je kurz prve 7 3 in druge 88 in ima zlato nasproti papirnatemu denarju 17 0/0 ažije ? 32. 1/119025. 33. 146335249. 34. 1/9820611801. 33 35. 3/857375 . 36. ~156590819. 37. ~8297i . . Kapital, kateri je bil do sedaj po 4 0/o izposojen, naloži se po 6 0/0 in vsled tega da 52 gl. obrestij več na leto ; kolik je kapital ? 39.* Koliko časa treba 100 gl. a) po 2 °/0, b) po 4 °/o , c) po 5 0/0 na obresti naloženih imeti, da bodo proste obresti kapital u jednake? 40. Od 102 milijona državnega dolga se plačuje vsako let o po 367500 gl . obrestij ; koliko 0/o iznašajo obresti ? 41. 86g km dolga železnica da prvo leto 212652 gl . čistega dobička in vsled tega nese kapital, ki se je za nje zidanje potreboval 3 0/0 obrestij. Koliko je veljal poprek 1 km te železnice ? 42. (16x 1—48x3y + 108x2y2 108xy3+81y4) (4x2+12xy - 9y2). 43. (64a6— 432a3b3 --{- 729 b s} ; (4a2 12ab --{-- 9b 2 ). 44.* Ako odšteješ neko število od števila 80, ostane ti še 20 več nego si odštel. Katero število je to ? 45.* Dvema delavcema treba 665 m dolg prekop blata osnažiti ; prvi izgotovi po 45 m, drugi po 50 m na dan. Kedaj bode vse delo gotovo ? 46. Neki kapital je po 4 0/, izposojen. Ako razdeliš petin o kapitala z letnimi obrestimi vsega kapitala, h kvocijentu pa 75 pri 210 šteješ, dobiš prav toliko goldinarjev, kolikor dá ves kapital obresti j na leto. Kolik je kapital? 47. Ako odšteješ od nekega števila 10, ostanek pomnožiš s 3, iz produkta izračunaš kvadratni koren in od tega odšteješ 17, dobiš 1. Koliko je ono število ? 48. Ako prišteješ h kvadratnemu korenu iz nekega za l povečanega števila kvadratni koren iz istega za 1 zmanjšanega števila , dobiš 2 za vsoto. Katero število je lo ? 49. A, B in C so izgubili pri nekem skupnem podjetji 20 °/ 0 . Razmerje med vlogami je bilo 9 : 8 : 7, in kapitala je ostalo po odbitku izgube še 22480 gl. 80 kr. a) Koliko je dobil vsak nazaj, b) koliko je vsak vložil, c) koliko je vsak izgubil ? 50. Nekdo si izposodi 1200 gl. ter plača na račun 5 °jo obrestnih obrestij in dolga koncem vsacega leta po 100 gl.; a) koliko bode še čez 10 let dolžan, b) koliko je ta dolg sedaj vreden? Deveti oddelek. O jednačJah prve stopinje z več neznankami . I. Kakó je razreševati jednabe z dvema neznankama. § 202. J e d n a sama jednačba dveh neznank n e določuje, kajt i brezštevilno je vrednostij, katere jednačbi zadostujejo, ako jih za neznanki v jednačbo postaviš. Ako vzamemo n. pr. jednačbo 2x + 5y = 26, dobimo, če smatramo za sedaj x za neznanko, y p a 26 y za znano število, x 2 • Kolikor različnih vrednostij vzamem o za y, toliko različnih vrednostij dobimo za x ; ker pa vzamemo lahko za y brez števila različnih vrednostij, dobimo jih tudi za x bre z števila ; razrešitev je tedaj nedoločena. Da je ~i x in y po polnem natanko določiti, treba še druge jednačbe, izražujoče odnošaj me d x in y, da nedoločeno razrešitev prve odpravi, druga jednačba mor a biti od prve bistveno različna, pa nasprotovati ji tudi ne sme . Da razrešimo dve jednačbi z dvema neznankama, treba iz obe h jednačeb napraviti tretjo, imajočo le j e d n o neznanko. O drugi neznanki pravimo, da jo iztrebimo (eliminieren). § 203. Rabijo nam posebno trije iztrebljevalni načini. l.) Primerjalni način (Comparationsmethode). Vrednost jedn i neznanki se določi iz obeh jednačeb, te dve vrednosti se izjednačit a in potem se dobljena jednačba, imajoča le drugo neznanko, razreši . N. pr. 2x ± 5y = 26 . l.) in 3x — 2y = 7- -l . . 2.) 14* 265y — Iz L) dobimo x 2 1+ 2y iz 2.) dobimo x 3 26—5y 1+2y tedaj 23 in odtod y = 4. Ako postavimo to vrednost za y v 1.) dobimo 2x 15 .4 = 26, in odtod x = 3. 2.) Z amen j e v a l n i način (Substitutionsmethode) . Vrednost jedni neznanki se določi iz jedne jednačbe in ta vrednost se postav i v drugo jednačbo na ta način dobljena jednačba ima le j e dno ne znanko in ta se potem določi. N. pr. x 4-2y = 8 .. l.) in 6x — 5y = 14 . . . 2.) Iz 1.) dobimo x = 8 — 2y . Ako postavimo to vrednost v 2 .), dobimo 6(8 — 2y) — 5y = 14, in odtod y = Zamenjavš'i v l .) y s to vrednostjo, dobimo x = 4. 3.) Način jednakih koeficijentov (Methode der gleichen Co~fficienten) . Neznanki, katero je iztrebiti, priskrbi se v obeh jed načbah isti koeficijent, kar se doseže, ako se pomnoži vsaka jednačba s primernim faktorjem ; takti izpremenjeni jednačbi se potem seštejet a ali odštejeta, kakor imata ta dva koeficijenta nejednak ali jednak predznak, na ta način dobljeno jednačbo z j e d n o neznanko treb a potem razrešiti. N. pr. 4x — 3y = 9 . . . 1.) in 6x + 5y = 61 . . . 2.) Najmanjši skupni mnogokratnik števil 4 in 6 je 12. Pomnoživši tedaj prvo jednačbo s 3 in drugo z 2, dobim o 12x — 9y = 27, 12x + 10y = 122. Odštevši prvo od druge, dobim o 19y = 95, in odtod y = 5. Ako zamenjamo s to vrednostjo y v 1.), dobimo x = 6. Dostavek. Kateri izmed teh treh iztrebljevalnih načinov je v vsakem posamičnem slučaji najugodnejši, ravna se po tem, kakšn e koeficijente imajo neznanke . Navadno se določi le vrednost jedn e neznanke na jeden ali drug prej navedeni način, dobljena vrednos t se postavi potem v jedno izmed danih jednačeb in odtod se dob i vrednost druge neznanke. 213 § 204. Da je moči iz dveh jednačeb z dvema neznankama vrednost i teh neznank določiti, treba, da sta te dve jednaebi po polne m druga od druge nezavisni in tudi nasprotovati si n e srneta, kakor je iz téh-le primerov razvidno . l.) 4x — 3y = 9 in 8x-2y 6. Druga jednaeba je od prve zavisna, kajti dobili smo jo iz prve , pomnoživši le-tá z *. Uporabivši za razrešitev teh dveh jednačeb primerjalni način, dobimo 9 -}-3y 18+ 6y 4 -8 18 + 6y = 18---6y 0 = O. Za y ne dobimo tedaj nikakeršne vrednosti . 2.) 4x — 3y = 9 in 8x — 6y 15. Druga jednačba nasprotuje prvi, kajti nje prvi del j e 2kratnik prvega dela prve jednačbe, 15 pa rji 2kratnik števila 9 . Ako uporabimo za te dve jednačbi način jednakih koeficijentov, dobimo 8x — 6y 18 8x — 6y = 15 _ O = 3. + Razrešitev danih jednačeb daje torej protislovje. 1 , 7 a , 1 o e x4- y = 11, 2. 2x -{-y = 12, x — y = 3. x4-4y = 12. 3. 2x — y = 4, 4. 3x --~--y= 19, 4x + 3y = 18. 3x — 2y = 7. 7x — 2y = 12, 4x + 5y = 22, 3x + 2y = 8. 5x—4y= 7. 7. 8x — 5y 25, 8. 3x + 4y = 4, 3x + 7y = 36. 12x — 6y = 5. 9. 16y— 25z = 7, 10. 28x ± 6y = 9, 5z— 24y = 9. 9y — 4x = 2. 1 1. 3x + 7 = 4y + 3, 12. 3.7x — 16 .6= 4 .5y, 4x — 8 = 5y — 10. 1. 5x — 2.7 = 2 .4y. 214 x y =. 20, 14. y = 3x — 33, x + 8. Y' 43 .15. x — y = 12, 16. x -j-2y = 30, 3x =L + 98 52 154 y 17. x —y = 2, 3 8x— 9 4, 1 x — 1y 1x+ y 4. 3. 23 74 x 19. . 4 — 3 = 17, 5x 5y 27. 4 -1 74 2 t. -5-, 22. y x1 xy 3 y +4 2 12x—1 x 23. II + 7y = 22, 24. y 0.3 0 .2' xy — x = l. = 10 -}2 0.9 0.9 25. x 4-y = 36, 26. x: y = 4 1, x: y =. - - - 3 : 2. (x — : (y + 6)= 1 : 4: 27. (2x -~-y — 1) : (3x ± 2y + 11) = 1 : 2, (5x—3y4) :(6x—3y-~-3) = 3 : 4. 28. (x— 4) (y ± 7) = (x — 3) (y ± 4) , (x 5) (y — 2) = (x + 2) (y — l). 38 286 29. 30. x y3 15 4 9 4 — = 2. xy y x 2 , 5 3 1.6 2.7 31. 32. — = - - 1, xy 62 3 0.8 3. 6 . xy 10 xy 33. ax -~-}-- y = m, 34. nx — my = m — n, x + by n. mn(x + y) = m2 + n2. 35. ax — by a2 b 2, 36. (a-~-c)x(a—c)y_—2bc, bx ay = a2 (b—c)x(bc)y=2ac. b 2. -} ab .Xa+2b- 38 y b 37. , xy b cc + y _x+y x c. . abbc ac 215 39 40. x .a+b a-b a+b b b 2 a, x y_l x 4ab .=.- a2-b2 a + b T a—b — a— b a —b a + b 41. :l/x -}- y 4 ; 5, 42. x 1 ± 1/y, x+y=25. y = 4 — 3 x-}--x2. 43. 21/-—Vy = 5, 44. 33/'--23/y = 9, ed/ -' 1~ x ~-}- 2 = 20. 21~ — 31/y 1. 3 43 45. 46. =6 1/32 + x — — y V, j ' 4 3. 34 = vi y l V20 — x II. Kako je razreševati jednae s tremi ali več neznankami. § 205. Za določitev treh ali v e č neznank je treba prav toliko jed-načel) ; le-té ne smejo biti med seboj v nikakem nasprotji in druga mora biti od druge po polnem nezavisna. V razrešitev več skupaj spadajočih jednačeb s prav toliko neznankami se uporabljajo isti načini, katere smo navedli v § 203 . za razrešitev dveh jednačeb z dvema neznankama. Iz danih jednačeb se iztrebi namreč jedna neznanka, na kar se dobi jedna neznanka in jedna jednačba menj, iz teh novih jednačeb se odpravi zope t druga neznanka in to se ponavlja, dokler ne dobimo slednjič le j e d n e jednačbe z jed n o neznanko, iz katere je ~l vrednost te neznanke določiti. Dobljena vrednost se postavi v jedno izmed prejšnjih dve h jednae'eb ; na ta način se določi druga neznanka. Potem se postavita obe te dve vrednosti v jedno izmed prejšnjih treh jednačeb , i. t. d. ; na ta način se določijo zaporedoma vrednosti vseh neznank. Primeri. l.) 8x + 5y + 2z 24 6x—3y+ z= 3 4x + 9y — 6z= 4. Uporabljajoč primerjalni način, dobim o 24 — 5y — 2 z x = 8 24—5y—2z 3 ±3 6Y —z 3+ 3y- x tedaj 3+3y z 4 9y ± 6z 6 4— 9y+ 6z 6 4 Dolo'čivši iz zadnjih dveh jednačeb y, dobim o 60— 2z 27 60 — 2z 6 ± 20z tedaj 27 = 33 6 ± 20z y 33 in odtod z 3. Ako postavimo vrednost za z v kateri koli prejšnji izraz z a y, 60 — z n. pr. v y= 27 2 dobimo 60—2 .3 y 2. = 27 Ako postavimo slednjič vrednosti za y in z v kateri koli prej dobljeni izraz za x, n. pr. v x = + 3u6 -z , dobimo 3l-3 . 2—3 x —L 6 Preskušnja. 8 . 1 +5 .2+2 .3=24, 6 . 1 — 3 .2 -i- 3= 4. 1 + 9. 2 — 6. 3 4. 2.) 3x -}-- y + z 18 2x + 3y + 2z 28 zamenjevalni način. 5x ± 2y ---[- 3z 38 Iz prve jednačbe je x = 18 Y — z . Ako postavimo to vred- 3 nost v drugo in tretjo jednačbo, dobimo 2 X 18—Y—z+3y+2z=28, ali 7y ± 4z = 48, 18 — Y — 5 X ± 2y I-3z = 38, ali y -{- 4z = 24 . Iz zadnje jednačbe dobimo y 24 — 4z ter, ako postavim o to vrednost v predzadnjo jednačbo 7 (24 — 4z) 4-4z = 48, in odtod z= 5. Zamenjavši z z njega vrednostjo v y = 24 — 4z, dobimo y=24—4 .5=4. 21 7 Ako postavimo slednjič vrednosti za y in z v izraz 18 — y — z x3 dobimo 18 —4—5 x 3 3.) 3x — 2y 4-5z 8 2x ± 5y — 2z 18 način jednakih koeficijentov. 4x — y -~- 2z =---- 14 Da iztrebiš iz prvih dveh jednačeb x, pomnoži prvo z 2, drug o s 3 ; na ta način dobiš 6x — 4y -+- 10z 16 odštev. 6x ± 15y — 6z= 54 + a) — 19y ± 16z — 38 Da iztrebiš iz druge in tretje jednaebe x, treba le drugo z 2 pomnožiti, ter potem odšteti, tedaj 4x + 10y — 4z = 36 4x— y 2z= 14 _ — + b) l l y — 6z = 22. Jednačbi a) in b) imata le neznanki y in z . Da iztrebiš iz njiju y, pomnoži a) z 11 in b) z 19. Tedaj — 209y + 176z = — 418 seštev. 209y — 114z= 418 62z = O; torej z = O. Ako postaviš vrednost za z v jednačbo lly — 6z = 22, dobiš lly= 22, tedaj y = 2. Ako postaviš slednjič vrednosti za y in z v katero koli izme d danih jednačeb, n. pr. v jednačbo 3x — 2y + 5z = 8, dobiš 3x — 2 .2 = 8, in odtod x = 4. .I,Talage« x+y=12, 2. x + y = 30, x Iz = 10, 3y — 2z = 25, y ± z = 8. x —2z=3. . 3. x 4-3y =-.--- 30, 4. 3x — 4y = 6, 3x ± 2z = 25, 2x + 3z = 26, 4y — 3z = 12. 5y 6z = 18. 218 5. 2x - 3y 4z = - 2, 6. 5x --,-3y4- 2z =217, 5x ± 2y = 32, 5x - 3y = 39, 3y-5z= 8. 3y - 2z = 20. 7. 8x - 3y -]- z = 25, 8. 3x + 2y - 6z 12, 5x + 6y - 9z = 20, - 4y -}- 2z = O, 10x 9y =13. 6x + z=26. 9.3x-}-y 4- 2z = 13, 10. 6x - 4y + 3z 28, x-{-2y-}-3z = 17, 4x y - 3z = 7, 2x ± 3y ± z = 12. 2x - 3y -I- 4z = 13., 1 i. 7x -- 2y `-}-- 7z = 60, /2. 4x + 3y - 5z = 13, 3x ± 4y + 2z = 20, 3x-4y I- z = 2, 5x-8y- 3z±2=0. - 2x -}- 7y --1--- 3z = 11 . 13. 4x - 2y ± 3z = 8, 14. x - 3y ± z = 2, 7x + 8y - z = 59, 20x - y - 2z =--. -- 7, 10x 3y - 2z 49. 7x -}-- 9y - 4z 3. x + y + z = 100, 16. 0 .4x+0 .5y+0 .7z= i x: y = 5 : 3, 0 .3x + 0 .4y ± 0 .5z y: z = 3 : 2. 0 .2x±0 .3y+0 .4z= 17.X 3y 7z l& x + 2 --{-2-612, 5 4 I 16=18, 2x5y2z x z = 19, +y+ -3 = 612, 5 12 X 4z x - ~ y+ ± 5Y 23. z 612. 106 5 4 -T4 x+ 1 19.y+2x 112 , 20. Y + 1 y+ 2 .x ---{-= 36, = 4, z + 1 2y-z z + 3 i z-y x+1 -' z x+ y 21. --Y --= 13, 22. 5, 34 23 x z x + z y+ z g = 10, T 6, 23 3x y - z = 10. 2x1 .2y-5z = 6. 7 23 511 23` 24. 3x-3y 4' x Y z 3 2 328 - -+ - 25, 5x-7=3z-5' x Y z 2 3. 74 19, 3z+15y+ 7 x Y z 219 25. x y + z = a, 26. ax by = m, x — y + z = b, ax + cz = n, x 4-y — z = c . by czp. 27 + b = m, 28. 1 -% - 1 = a, . a z xz b, -z yz 11 ac x -t-I = . + b c xy 29. l'x + 1/y — 5, 30. 1/--o-c — y 4, 1/x + l/z — 6, -1/y + 1/z 6, 1/y + I/z — 7. —Vx } 1/y l/z — 8. 31. u -}- x = 15, 32.3u + 5x4-y 2z = 37, u -+- y = 14, u4-3x + 3y ± 4z = 47, x + y = 13, 4u 3x -[- y z = 26, x ± z = 12. 2u + 4x 2y j3z = 42. 33. 3u — x -i- y -{- 2z = 20, 34. x -~-jy—z = 6, 2u + 3x — y+ z= 17, kx— *u= 5, u 2x + 3y — z = 21, 4x ._% z — 4u = 4, — u 4-x 4-2y -[-- 3z = 12. -. +*zu= 3. III. Kako je uporabljati jednae z več neznankami v razreevanje nalog. 206. Kadar ima naloga dvoje ali več neznanih števil, ondaj treb a v njih določitev iz pogojev naloge prav toliko jednae'eb sestaviti, kolikor je neznank . Razrešivši te jednačbe, dobimo potem vrednosti neznank. Dostikrat je moči tako nalogo razrešiti s pomočjo le jedne jednačbe z jedno neznanko ; v ta namen treba le vse druge s t o neznanko in danimi znanimi števili izraziti. Ako treba razstaviti n. pr. število 40 na dva dela, zadostujoč a danemu pogoju, ondaj zaznamenujemo lahko iskana dela z x in y in jedna jednačba je potem x y = 40 ; drugo sestavimo iz danega pogoja. Zaznamenujemo pa lahko tudi jeden del z x in druzega, ker je vsota obeh 40, s 40 — x ; uporabivši drugi dani pogoj, dobimo potem jednačbo z le jedno neznanko. Jednostavnejše naloge je moči tudi tu na pamet razrešiti . Primeri . l.) Mislim si dve števili, katerih prvo je za 3 manjše od druzega; ako pomnožim prvo s 4 ter od produkta odštejem 18, dobim drugo. Kateri števili sem si mislil ? a) Na pamet . Za 18 zmanjšano četverno prvo število je jednako druzemu , t. j. za 3 večje od prvega ; tedaj je za 21 zmanjšani 4kratnik prvega števil a jednak temu številu samemu ; razlika med 4kratnikom tega števila in število m samim, t. j. 3kratnik tega števila je torej 21, tedaj prvo število 7. Drugo Število je za 3 večje od prvega, tedaj 10. b) Algebrajsko s pomočjo dveh jednačeb z dvema neznankama . Recimo , da sta x in y iskani števili. Ker je prvo za 3 manjše od druzega, velja x y — 3. Vsled druzega pogoja je 4kratnik prvega števila, za 18 zmanjšan, jednak dru zemu številu ; tedaj 4x — 18 y. Razrešivši te dve jednaebi, dobimo x = 7 in y 10. c) Algebrajsko s pomočjo le jedne jednačbe z jedno neznanko . Ako imenujemo prvo število x, ondaj je drugo x + 3. Po pogojih naloge je tedaj 4x — 18 x + 3, in odtod x =-- 7 ter x + 3 = 10. Preskušnja. Drugo število 10 je res za 3 večje nego prvo 7 ; dalje je raz lika med 4kratnikom števila 7 in pa številom 18 število 10, t. j. drugo iskano število . 2.) Oče ima sedaj 2krat toliko let kakor njegov sin ; pred 15 leti pa jih je imel 5krat toliko kakor sin. Koliko let ima oče, koliko sin ? Ako vzamemo, da ima sin x let, potem ima oče 2x let ; pred 15 leti j e imel torej oče 2x — 15 in sin x — 15 let . Tedaj velja jednačba 2x — 15 = 5(x — 15) , iz katere dobimo x = 20, 2x = 40. Oče ima tedaj 40, sin pa 20 let. Razreši to nalogo tudi s pomočjo dveh jednačeb z dvema neznankama . 3.) Nekdo razdeli 100 gl . takó med tri osebe, da dobi B dva krat toliko kakor .A, in C 10 gl . več nego polovico tega, kar dobita A in B skupaj. Koliko dobi vsaka oseba ? a) S pomočjo treh j ednaeeb . Vzemimo, da dobé A, B, C, oziroma x , y, z goldinarjev, potem je x + y + z = 100 . Ker dobi B dvakrat toliko kakor A, velj a y 2x. In ker dobi slednjič C 10 gl. več nego polovico tega, kar dobita A in B skupaj, imam o X+ y z + 10. 2 Razrešivši te tri jednačbe, dobimo x = 20 ;y = 40, z = 40. b) S pomočjo le jedne jednačbe. Vzemimo, da dobi A x goldinarje v potem » B 2x C x+2x ± 10 »» 2 tedaj x + 2x x + 2x + + 10 = 100, 2 in odtod x -=--- 20 . A dobi torej x = 20 goldinarjev, B » 2x = 40 » 3x C + 10 = 40 2 4.) Dve telesi, katerih specifična teža je oziroma s., in s,, treba v novo telo takó spojiti, da bode imelo le-tó specifično težo s in bode tehtalo p kilogramov, koliko kg vsacega telesa treba za to vzeti? Ako zaznamenujemo z x in y število kilogramov, katere treba vzeti o d prvega, oziroma druzega telesa, ondaj je prostornina prvega telesa , in druzega , ‘P-pa prostornina spojine . 82 8 Ker morata imeti obe sestavini skupaj prav tisto absolutno težo kako r spojina, velja x + y Ker morata biti tudi prostornini obeh sestavin skupaj jednaki prostornini spojine, dobimo x P ? + 8 2 in odtod 1P 82) y 2P . 8 (8 1— 82) 8(81-8 2) Naloge_ ' l.* Vsota dveh števil je 47, njiju diferenca 9 ; kateri števili sta to? 4 2.* Katerih dveh števil je ne le vsota nego tudi kvocijent 3 ? -3.* Diferenca dveh števil je 12, 3kratnik prvega pa je jednak ,kratniku druzega ; kateri števili sta to ? 4. Polovica nekega števila je za 18 večja nego petina druzega števila ; dvojno drugo število pa je za 32 večje od prvega . Kateri sta te dve števili? 5. Mislim si dve števili, kateri sta za 1 različni . Ako razdelim večje s 4 in manjše s 5, različna sta tudi kvocijenta za 1 ; kateri števili sem si mislil? , j 6. Diferenca dveh števil je 10 ; ako odštejem večje od 135, manjše od 105, imata se ostanka kakor 9 ; 7. Kateri števili sta to ? 7. Razmerje med dvema številoma je 2 : 3 ; ako prišteješ k vsakemu 16, ondaj je razmerje med vsotama kakor 10 : 13. Kakó se zoveta števili ? 8. Ako povečaš prvo izmed dveh števil za 10, ondaj je 4kra t toliko kakor drugo ; ako povečaš pa drugo za 16, potem je škrat toliko kakor prvo . Kateri števili zadostujeta tema dvema pogojema ? 9.* Razstavi število 50 takó na dva dela, da bode prvi za 6 manjši od druzega. L„I_Q. Razstavi število 32 takó na tri dele, da bode prvi za 5, drugi za 3 večji od tretjega ; kateri so ti trije deli ? 11. Razstavi število 48 takó na tri dele, da bode razmerje med njimi kakor 4 : 5 : 7. 12. Število 76 razstavi takó na dva dela, da bode, ako raz deliš večjega z 11 in manjšega s 7, vsota teh kvocijentov 8 . 13.* Mislim si ulomek. Vsota iz števca in imenovalca je 16 ; ako pa števec za 2 povečaš in imenovalec za 2 zmanjšaš, dobi š recipročno vrednost onega ulomka . Kateri ulomek sem si mislil ? 14. Kateri ulomek se izpremeni na ulomek I, ako odšteješ od njega števca in imenovalca 3 ; in na ulomek ako prišteješ k njega števcu in imenovalcu 5 ? 15. Izmed treh števil je prvo jednako polovici vsote iz druzi h dveh, drugo tretjini vsote iz prvega in tretjega, tretje pa je za 1 0 manjše od vsote prvih dveh. Katera so ta števila ? 16. Poišči tri števila, katera imajo tá-le svojstva : Ako zmanjŠaš• vsako izmed prvih dveh za 3, ondaj se imata ostanka kakor 1 : 2 ; ako zmanjšaš prvo in tretje vsako za 4, dobiš ostanka, kater a se imata kakor 1 : 3 ; ako povečaš drugo in tretje vsako za 5, po tem je razmerje med vsotama 3 : 4. 17.* V nekem deželnem zboru se je vzprejel neki predlog z večino 10 glasov . Koliko poslancev je glasovalo za in koliko zope r predlog, ako jih je 64 sploh glasovalo? M.* Sredi maja je nekje dan za 6 ur 15 minut daljši o d noči ; kakó dolg je dan, kakó dolga noč? 19.* Neki deček pravi : Jaz in moj oče imava skupaj 40 let ; a moja leta so le 5i del očetovih let. Koliko let ima oče, koliko sin? 20. Oče, ki ima 25 let več od sina, bode jih imel čez 5 le t dvakrat toliko kakor sin. Koliko let ima oče, koliko sin?t-2t Oče, kateri ima sedaj 3krat toliko let kakor njegov sin, bode jih imel čez 12 let le dvakrat toliko kakor sin. Koliko let ima oče, koliko sin? 3 22. Tri osbe razdelé med seboj 350 gl., in sicer takó, da dobi B 18 gl. več kakor C, in A 14 gl . 'več kakor B; koliko dobi vsaka oseba ? 23. Med tri osebe Vse razdeli neka,vsota takti, da dobi B 20 gl. , menj nego A, in C 20 gl. menj nego B ; vsota sama je za 25 gl . e večja nego četverni C-jev delež. Koliko dobi vsak ? 24.* A ima v dveh mošnjah 206 in sicer v prvi 44 gl. več nego v drugi ; koliko ima v vsaki ? 25. Dve osebi imata vsaka nekaj denarja. Ako bi dal A B-ju 4 gl., imela bi oba jednako; ako bi dal pa B A-ju 5 gl., potem bi imel A dvakrat toliko kakor B. Koliko denarja ima vsak? 26. Na mizi leži nekaj denarja. A pravi: Jaz imam dvakrat toliko denarja ; B, jaz ga imam 3krat toliko ; C, jaz ga imam le n a pol toliko, kolikor ga imata A. in B skupaj. Vsi skupaj imajo 240 gl . ; koliko denarja je na mizi in koliko ga ima vsak ? 27.* V neki družbi je 88 oseb, gospodov in gospá, in sice r je razmerje med številom gospodov in gospa 5 : 6. Koliko gospodo v in koliko gospá je v družbi ? 28. V neki družbi je bilo 3krat toliko gospodov kakor gospá ; pozneje pa so prišli še 3 gospodje s 4 gospémi in potem je bilo 2krat toliko gospodov kakor gospa ; koliko gospodov in gospá j e bilo s prva v družbi? 29. V neki družbi je bilo 2krat toliko možkih kakor Žensk ; ko je pa 6 gospodov s svojimi gospémi odšlo, ostalo je 5krat tolik o možkih kakor žensk. Koliko možkih in koliko žensk je bilo s prv a v družbi ? 30.* Neki kapital daje na leto 420 gl . obrestij ; ako bi bil po 1 % več naložen, dajal bi 84 gl. obrestij več. Kolik je kapital, koliki so procenti ? 31. Nekdo ima izposojena dva kapitala, prvega po 4 %, druzega po 5 % ; oba dva skupaj mu neseta na leto 1000 gl . obrestij. Ako bi bil pa vsak kapital po l % več izposodil, dobil bi vsak o leto 220 gl. več obrestij. Kolika sta kapitala? 32. Dva zidarja zidata zid ; ako delata oba, sezidala bosta zid v 12 dneh ; ako dela pa A 2 in B 3 dni, potem sezidata v tem čas u 5i del vsega zidú. V koliko dneh dovršil bi delo vsak sa m 33. Za neko skupno podjetje je dal A 10000 gl ., B 000 gl. Ko sta razdelila dobiček, dobil je A. 800 gl. menj nego B. Koliko dobička je imel vsaj(? /7- 3i. Ilieron, kralj Sirakuški, je imel krono od zlata in srebra , tefitajoeo 20 funtov, pod vodo pa le funta ; koliko zlata in koliko srebra je bilo v kroni, ako izgubi v vodi na videz zlato 11 in srebro -fl-o-svoje teže ? 35. Nekdo ima dvoje vino. Ako zmeša 12 litrov boljšega in 4 litre slabšega vina, velja 1 liter zmesi 52 kr. ; ako zmeša pa 6 litrov boljšega in 10 litrov slabejšega vina, stane liter zmesi 46 kr . Po čem je liter vsakega vina ? ,,36. V dveh sodih je 351 litrov vina ; ako ga vzameš iz prvega šestinW in iz druzega tretjino, ostane ti ga v obeh sodih jednako . Koliko litrov vina je v vsakem sodu?) /SI 37. V dveh sodih je v vsacem nekaj vina . Ako izliješ iz prvega toliko v druzega, kolikor ga je že v njem ; potem iz druzega v prvega toliko, kolikor ga je sedaj notri ; potlej zopet iz prvega v druzega toliko, kolikor ga je bilo prej v njem ostalo : ondaj ga je v obeh sodih jednako, namreč po 72 litrov . Koliko litrov je bilo s prva v vsacem sodu 38. Izmed dveh cevij daje prva v 10 minutah 17 litrov menj vode nego druga v 9 minutah ; obe dve dasta v 5 minutah 305 litrov. Po koliko litrov daje vsaka v jedni ur* ? 39. V vodnjak priteka voda iz dveh cevij . Ako je odprta prva 2, druga 14 - hektolitra vode ; ako je pa ure, nateče se 251, prva 4, druga pa 13 ure odprta, ondaj 3 ó hektolitra menj. Po koliko litrov vode daje vsaka cev v jedni uri? ., ,, rt, : ~z 40. Dva popotnika sta 9 kilometrov drug od ddruzega oddaljena. Ako si gresta naproti, snideta se v 1 uri ; ako gresta pa v isto mer, doide hitrejši druzega v 5 urah. Po koliko kilometro v prehodi vsak v jedni uri? IV. Naloge v ponavljanje. L* a) 5krat , n, 12-1-7 77,-, 274, 55, 138A ; b) 8krat 14, 151, 48-?-o-, 61h7, 104-h i š s je koliko? 2. (11-9 + 7 ).64--(2*--8 +13 ).54. 3.* Koliko obrestij dá a) 350 gl. po 40/o v 3 letih? b) 375 gl. po 6 0/o v 2 letih? 780 » » 50/0 »4 » d) 1600 » » 420/o » 3 » 4.* Kateri kapital dá po 310/0 62 gl. obrestij na leto? 5.* Neki kapital dá po 4 0/0 321 gl. obrestij na leto ; v koliko letih dá kapital po 34--0/o prav tiste obresti ? 6. A ponuja za neko hišo 8850 gl . v gotovini, B pa 9000 gl . , in sicer hoče polovico takáj, drugo polovico čez 6 mesecev plačati . Kateri ponuja več, ako se računa 6 0/0 obrestij ? 7. Menica za 2345 gl., izplačna sredi novembra, diskontuje s e dne 5. septembra po 6 °to ; koliko dobi prodajalec zanjo ? 8. Hamburšk trgovec plača za Dunajčana 12820 mark in z a ta iznesek izda na Dunajčana menico, računajoč sebi 4-0/0 provizij e in 1 °/00 senzarije ter 178 mark po 100 gl . a. v. Za koliko gl. a. v. izda tedaj menico ? 9. Koliko gl . papirnatega denarja treba plačati za 3248 gl. v zlatu, ako ima zlato 162 0/0 ažije? 10. Koliko 0/0 ima zlato ažije, ako dobiš za 1102 gl. v papirji 950 gl. v zlatu ? 11.* Krčmar ima pri hl vina 9 gl. ali 25 °to dobička ; po čem kupil hl? 12. Trgovec dobi 1400 kg blaga, po 12 gl . 100 kg, in 1225 kg, po 152 gl. 100 kg ; stroškov je 12 gl. 75 kr. Koliko 0/o bode imel dobička, ako proda kg po 20 kr.? 2+x —x 13. 84x — 4-5Tx 3* x --[-1 = 0. 14. 3 + 2x —x a +x 16 ax — 2a ax-2b 15a . b —x b + x a x— 2b — ax + 2a 17.~ -I-3x — 2. 21/3x — 1 = 5x 4-8 V3x --1 19.* Katerega števila 8kratnik je za 6 manjši od števila 50 ? 20. Od katerega števila treba njega desetino odšteti, da dobi š število 77? 15 21. Mislim si število. Ako je pomnožim z 2, na desni pri pišem številko 5, potem z 11 razdelim ter kvocijent za 1 povečam , dobim dvakrat toliko šteyilo, kakor sem si je mislil . Katero število je to? 22. Iz nekega mesta se odpošlje kurir, kateri potrebuje za vsacih 54 km po 5 ur ; 4 ure pozneje se pošlje za njim drug kurir , kateri potrebuje za vsacih 42 km 3 ure. V koliko urah bode drugi kurir prvega dohitel ? 23.* 15 m velja 64 gl. ; koliko velja 40 m? 24.* Izmed dveh revij dáje prva v 1 uri po 6* hl vode, druga pa v istem času po 72hl ; v koliko urah se bode nateklo 77+2 hl vode, ako sta obe cevi odprti? 3 3 25. + 17-g± 21/50. 26. 51/5 — 21/40 ± 31/135.3 27. 1/4xy 5y3/xy — xl/4xy -{-~3 25xy3 . 46 44 28. 1/4 . 1/8. 29. Ota -+- 1/a 3) (l/a' — ~a' -i-(/f2 30. (l/a ± l/b)2 . 31. (118 + l/2)2 (1/-8-1/2)2. 3 32. 1 : 1/0 .25. 33. 31/ 8 : 21/2. 7 \/i . V: '3 . v88 55 36. Razstavi tá-le števila na njih prafaktorje : 240, 356, 540, 1536, 4158, 5250, 6048 . nekega dolga treba izplačati dne 15. januvarja, 4 dne 37. 3 31. januvarja, j dne 28. februvarja in ostanek dne 31. marcija. Kodaj bi se poplačal lahko ves dolg kar ob jednem ? 38.* Tri osebe razdelé 360 gl . takó med seboj, da dobi B dvakrat toliko kakor A, in C škrat toliko kakor A ; koliko dobi vsaka oseba ? 39. Tri osebe razdelé 688 gl. takó med seboj, da dobi A tolikokrat po 2 gl. kakor B po 3 gl., in C tolikokrat po 6 gl. kakor B po 5 gl. ; koliko dobi vsak ? 40. Nekdo je zapustil 15650 gl., določivši, da naj razdelé njegovi štirje dediči to imenje takó-le med seboj : B naj dobi 250 gl. več nego A, C 300 gl. menj nego A in B skupaj, D pa 750 gl. menj nego A, B in C skupaj . Koliko bode vsak dobil ? 41. 1/269361. 42. 1/646 . 1764. 43 . I/1292114916 . 3 3 3 44. 1/592704. 45. 1/125751501. 46. 1/2.918076589. 47.* Nekdo zmeša 5 l po 36 kr. in 7 l po 48 kr .; koliko bode veljal 1 l zmesi ? 48. Nekdo kupi papirne rente, katera daje po 41% obrestij , po 732 ; po koliko 0/0 je naložil svoj kapital ? 49. Koliko treba plačati za 3500 gl . 50/0 zastavnih pisem av. zemljišč'nega kreditnega zavoda po 117-,2- z obrestimi za 136 dnij vred ? 50. Ako se računa 1 kg čistega zlata po 1395 gl ., koliko velj a potem 42 kg zlata po 900 tisočnin čistine ? 51. Koliko gl. a, v. velja 954- m, ako velja 682 angl. yarda 172 funta sterlinga, in je 17 yard. = 16 m, 10 funt. sterl. = 118 gl. a. v. ? 52. 2x — 3y-4-4z — 5u ± 6w 6, 3x+ y—5z+ ti —3w= 3, x 4y ± 2z — 5u ± 3w = 8, x— y -}- z— u -{- w = 3, x± y -{-z+ u -}-w 15. 53.* Razstavi število 150 takó na dva dela, da bode prvi jednak druzega. 54. 1200 gl. treba takó med tri osebe razdeliti, da dobi druga škrat toliko kakor prva menj 20 gl., tretja 4krat toliko kakor druga in še 20 gl. Koliko dobi vsaka oseba ? 55. Mislim si dva ulomka, ki imata isti imenovalec ; njiju diferenca je jednaka , razmerje med njiju števcema pa je 5 : 1 ; ako zmanjšam večji števec za 12, in povečam manjšega za 12, ondaj velja obratno razmerje 1 : 5. Katera dva ulomka sem si mislil ? 56. Nekdo ima dva soda in v vsakem nekaj vina. Ako ga izlije iz prvega -1 v druzega, in potem iz tega 5 v prvega, potlej ga je v vsakem sodu 80 l. Koliko l ga je bilo s početka v vsakem sodu ? 57. Krčmar ima dvoje vino, hl po 40 gl. in hl po 60 gl., in iz tega dvojega vina hoče namešati 15 hl po 48 gl. Koliko mora vsacega vina za to vzeti? 58. Nekdo naloži v hranilnico početkom vsacega leta po 2000 gl. po 5 % na obrestne obresti ; koliko mu bode morala koncem tretjeg a leta hranilnica izplačati ? 59. Koliko je vrednih 7520 gl., izplačnih v 8 letih, sedaj, ak o se računa 5 % obrestnih obrestij ? 60. Za neko skupno podjetje vloži : A 3000 gl. takój in čez l leto še 2000 gl.; B 2000 gl. takój in čez 1-1 2- leta še 2400 gl. ; C 4000 gl. takój in čez 2 leti še 1600 gl . Podjetje traja 3 leta ter dá 9050 gl. dobička. Koliko tega dobička bode dobil vsak družabnik ? 15* IJeseti oddelek . O jednaah druge stopinje z jedno neznanko. I. Kako je razreševati jedrtabe druge stopinje . § 207. Jednačbo, v kateri je po odpravi imenovalcev, korenov ter oklepajev druga potenca neznanke najvišja, imenujemo j e d n a č b o druge stopinje ali kvadratno jednačbo (Gleieh~tng des zweiten Grades, quadratisehe Gleichun9). Kvadratne jednačbe delimo na cisto in mešano kvadratne. Čisto kvadratna jednačba je ona, v kateri se nahaja neznanka le v drugi potenci ; n. pr. x2 = 5, x2 —a = b. Mešano kvadratna jednačba pa je ona, katera ima neznanko v drugi in prvi potenci ; n. pr. 2x2= 5x — 9, x2 ±ax=b. § 208. Vsaki čisto kvadratni jednaebi damo lahko oblik o x2 = a, kjer pomenja a pozitivno ali negativno število. V ta namen treba le pravila, navedena v § 113 . uporabiti ter, ako ima jednačba tud i korene, le-té odpraviti (§ 193 .) Recimo, da je n. pr. dana čisto kvadratna jednačba x 2 = 9. Ako jednako z jednakim razkorenimo, dobimo zopet jednako . Vzemši tedaj od obeh dveh jednačbinih delov kvadratni koren, dobimo 1/x2 1/9, ali x ± 3. Neznanka x ima torej dvojno vrednost, namreč 3 ali — 3 , kajti (--~-- 3)2= 9, in tudi ( 3)2= 9, Ako nam je v obče jednačbo x = a razrešiti, ondaj dobimo, poiskavši iz obeh dveh delov kvadratni koren, x +l/ a. Vsaka čisto kvadratna jednačba ima tedaj dva korena ; le-tá imata isto absolutno vrednost, a nasprotna predznaka . Korena sta ali oba realna ali oba imaginarna, kakor j e a pozitivno ali negativno število. Primeri. l.) x2= 36 2.) = — 36 x = + 1/36 + 6. x = +1/-- 36. x— 41 3.) 4.) 1/33±2x— =x--[-1 2x + 1 x +6 33+-2x =(x+ 1) (x — 4) (x -~-- 6) = 2x + 1 33±2x—x2=x2±2x± l — 4x4-6x — 24 = 2x--J-1 — 2x2= — 32 x2 =25 x2= 16 x = + 5. x =4-4 § 209. Občna oblika urejene mešano kvadratne jednačbe je +ax=b. Vzemimo, da nam je razrešiti n . pr. mešano kvadratno jednačb o x2 --[- 8x = 20. Prvi del jednačbe ni kvadrat monoma, ker ima dva člena ; a tudi popolni kvadrat binoma ni, kajti le-tá ima po znani formul i (a + b)2 = a2 + 2ab --}-- b 2 tri člene. Da bode ~i tedaj kvadratni koren prvega dela najti ter takisto neznanko določiti, treba k obem a deloma tako število prišteti, da bode prvi del popoln kvadrat binoma . Ako smatramo x2 za kvadrat prvega člena, tedaj x za prv i člen binoma, dalje 8x za dvojni produkt, tedaj 4x za produkt obe h členov, ondaj je 4 drugi binomov člen ; da bode tedaj prvi jednačbi n del popoln kvadrat binoma x ± 4, treba še kvadrata druzega člena , namreč 16. Prištevši tedaj k obema jednačbinima deloma 16, dobimo +8x+16=20+16,ali (x --}- 4)2 = 36, in, ako vzamemo od obeh jednačbinih delov drugi koren , x 4-4 =+I/36, ali x ± 4 = + 6, tedaj ali x = — 4+ 6 = -}-2, ali x — 4— 6 = 10. 230 Preskušnja.(+ 2)24-8 .± 2 = 4+ 16 = 20, in prav takó ( 10)2± 8 .— 10 = 100— 80 = 20. Ako imamo v obče jednačbo x2 + ax b, ondaj treba prvi del v popoln kvadrat dopolniti ter v ta namen k a obema deloma prišteti polovico koeficijenta neznanke x, t. j. z. Na ta način dobimo a2 2 ---}-b, ali 4 a2 2 +b, 24 in, ako vzamemo od obeh dveh delov kvadratni koren , 2 a + b, tedaj — v 4 X = 2+b. 2 Jednačba i a torej ále dva korena : xt a —}--+b in x2 2 Odtod izvajamo : V urejeni mešano kvadratni jednačbi je tedaj ne znanka jednaka polovici koeficijenta prve potence z nasprotnim predznakgjp,,_ povečani ali zmanjšani z a k v a a rii~ kb-r 'en iz algebrajske vsote iz kvadrata on e koeficijentove polovice in znanega člena. 2 Ako je b pozitivno število, sta oba korena realna, kajti -T je vsikdar pozitivno število. Kadar je b negativno število, sta korena le tedaj realna, ak o a2 a2 4 b; za — b postane v tem slučaji količina pod korenjim 4 znakom ničli jednaka in korena sta jednaka in realna, za _2b 4 pa sta oba korena imaginarna . Primeri. 1.) x~ ± 6x = 112 2.) x2— 12x = — 35 x =—3+ -}-112 x = 6 + l/36 — 35 3 +1/121 = 6 + - -3+ 11 = 6 +1 8, x9 = 14. = 7, x9 =5. 231 3. 8x2 — 10x = 3 4.) 1/3x — 2 — l =I/4x — 7 10= x2 8x8__ 3x — 2 — 21/3x — 2--1 = 4x-7 f-3 x = ± -~/U-x + 6 = 2 1/3x — 2 = A + -6 4 x2 — 12x + 36 = (3 x — 2) A + x2 — 24x = — 44 x 12 + V111 — 44 4 = 12 + 1/100 = 12 + 10 x, =-- 22, x, = 2 . 5.) ± (3a — 2b) x 6a b 3a— 2b 1/[(3a — 2b) 2 x + bab 2 —V L 4 3a—2b + 9a 2 + 12ab+ 4b2 2 — 4 3a—2b 3a+ 2b + 22 x, 2b, 3a. § 210. O odnošajih med znanimi števili urejene mešano kvadratn e jednačbe in nje korenoma je tó-le pomniti : 1.) Vsota obeh korenov je jednaka koeficijentu prv e neznankine potence, vzetemu z nasprotnim predznakom . 2.) Produkt obeh dveh korenov je jednak členu brez neznanke, vzetemu z nasprotnim predznakom. Dokaz . Ako zaznamenujemo korena jednačbe x 2 -}-ax b z x in x,, ondaj je x —a , ,,,, ,,„,,, tedaj , , aa a, in 2 a2 )2a2 --b=—b. (V4 44 N.pr. Iz x2—6x = 16 izvira x, =-- 8 in x, — 2; tedaj = 6, x,x = — 16. S pomočjo prejšnjih dveh izrekov je ~i takój jednačbo nap ati ako sta dana nje korena. 232 Ako sta dana n. pr. korena 4 in — 6, ondaj j = — 24 , tedaj x, x2 = — 2, e - x2 I-2x = 24 jednačba, katere korena sta 4 in — 6. Naloge_ l. x2 = 49. 2. x — 64 = O. 3. x2 = 56169. 4. x2— 0.0729 5. = 54. F. 3 : x x : 12. 7. 5x2 — 1 =- 2 -I--8. x2 4093 = x2-4-139. 5 9. (2x — 3) (2x 4-3) 7. 10. -I)(x 2 (x `~` x3 4x12 11 . 12. 150 - 2x x 2x x- 8 32-x 7x 2 144x+ 3 . x +8 32+x 5(x + 2) 16x x -1 x-l L x --I-- l 3x2 -7 x + 1 -2 16 x + 1 x--1 x2-1 2 2 9+x 10 17. 18. 1 3 l~x -2 9 --x --x 19. x2= 4a2 — 4ab --}-b 20. (a -}-- x) (a - x) 2ab. x -a a—x 1-bx 22 21. xa 0. x - a I -ax b -x 23. Va+x—Vct—x =1/2a . 24. 2x11a2± x2+ 2 (O I-x2) 5a2. 26. x2—4x = 21. 26. x2 12x = — 35. 27. x2± 12x= 45. 28. x2—16x l- 63 = O. 29. x2—4x = — 4. 30. x2— 2x 15. 31. x2—6x + 7 = 0. 32. x2-4- 20x = 96. 33. x24-3x 10. 34. x2+ x 56. 36. x24-5x — 36= 36. z' ± 17x — 70. 37. 5x2 + 7x 24. 38. 8x2± 26x = — 21. 39. 12x2= 20x — 3. 40. 5x24- 13x = — 17. 41. I-0.3x = — 0 .02. 42. 25x2 — 4.5x = 7 .36. 3x 11 5x 43. 44. 16 5 x2 x 45. 4 -}-2x =-- 8 * 46. 9. 62 233 10x + 3 47. x -}-x 1 2 3. 48. x. 3x + 2 6x+ 5 13x+ 42 11(x+ 2) 49. = 4x — 15. 50. 2x— 3 9x—4 7x — 4 x+24x 63 1 51. = 5. 52. x — 1 -T-x x + 3 x + 1 4 3x—4 2 —x x+ 1 2x—3 53. — 9 = 54, x — 4 2 x+2 3x-4 . 55. (x+3)2+(x-I--5)2 = 514. 56. x (x -~-11). (x+3)(x+4)+(x—3)(x—1) x + 11 4x+50 5 5 12 57. = 6. 58. x x2 x lx +2 4x+3 4(x—3) 19—2x 59. 7 5 x —5 32 2 60. x — 8 x — 9 x + 12 7x—2 I x+2 6x2+9x + 61 . 3x + 2 3x + 23x + 2 -T- -T--T-3x — 2 = 9x 3x — 2 = 9x3x — 2 = 9x2 22 — —— 4 44 62. x ---[- 71/ x — 30. 63. 2x — 31/x 1 = 4. 64. 7x — 13 — 12 = l/5x 1. 66. l/8x — 7 i3 = ~15x ± 4. 66. 6x ± 25 = 6x — 24 ~ x — 99. 67. 4x— 11 + 5 x-}-25 = -t/18x 4-19. 68. 1/2 (7x 30) I 21/4x + 25 = 21/15x 79 . 69. x2 — (a ± b) x + ab = O . 70. x2 — (ct — b) x = ctb. 71. x2—4ax = 9b 2— 4a2. 72. 4x2— 4ax = b2— a ab b 73. 74. a— + abx a2 -{-b2. x2 (1 — x)2 x X ab x2+ 1 2x 75. 76. x 2 + 1 a2 + b2 a2+ b2 a2- b2 1 a +b 1 x + 2a 1 77. x a b 78. = 4 abx x — cta a 79. ax — b>lx = c. 80. l/a -}- x ±1/b — x =l/a+ b. Napiši. jeclnaebe, ki imaj o naslednje korene : SL j5 in-5. 82. + 31/--in 1/2. 83. — 3 in ± 7. 84. 12 in 7. 85. 10 in -1. ' 86. — 9 in — 13. 87. in V . 88. 3in 89. 0 .7 in — 2 .4. 90. 1 .36 in 0.75. a+b in a—b 91. 1 -}-1l in 1 --k. 92 22 234 1 I. Kakó e uporabljati jediiabe druge stopinje v razreševanje nalog. § 211. Ako dadé pogoji katere koli naloge, izraženi z algebrajskimi znaki, jednačbo, imajočo neznanko v drugi potenci, ondaj določimo vrednost tej neznanki, akó kvadratno jednačbo razrešimo. Na ta način dobimo vselej dve vrednosti, kateri imata v aritmetičnem ozir a prav tisto pravico, pri uporabnih nalogah pa je vender vselej š e preiskavati, zadostujeta li obe ali le jedna vrednost pogojem dan e naloge. Primeri. l.) Katero število dá, s svojo tretjino pomnoženo, 972 za produkt? Ako imenujemo iskano število x, potem je njega tretjina —x tedaj po pogojih naloge x x — = 972, ali x2 = 2916, in odtod x + 54. 2.) Dva kosa sukna veljata vsak po 120 gl . ; v druzem kosu je 6 metrov sukna več nego v prvem, a vsak meter prvega sukn a velja 1 gl. več nego vsak meter druzega. Koliko metrov ima vsak kos ? Ako ima prvi kos x metrov, ima jih drugi x + 6; 1 meter prvega velj a 120 120 gl., 1 meter druzega gl. Po pogojih naloge dobimo tedaj jednačb o x x +6 120 120 x x + 6 ± I, ali, ako to jednačbo uredimo x2 + 6x 720, n odtod x = 24 ali x — 30. Negativna vrednost nima v tej nalogi nikakeršnega pomena . Zaradi tega ima prvi kos x = 24 m, drugi » x + 6 = 30 3.) Koliko sekund potrebuje telo, katero smo z brzino 200 m vertikalno kvišku zagnali, da pride 400 m visoko, ako preleti prost o padajoče telo v prvi sekundi 4 ' 9 m ? V x sekundah prišlo bi telo, imajoče brzino 200 m, 200x m visoko, a v istem času bi padlo vsled teže, kakor uči fizika, za 4 .9 x2m. Da tedaj v resnici višino 400 m doseže, velja 200x — 4.9x2 -= 400, tedaj x = 38 .7 ali x = 2 .12. 235 Obe vrednosti zadostujeta nalogi, kajti telo bode dvakrat 400 m visoko , namreč čez 2 . 12 sekunde, ko še kvišku leti, in čez 38 . 7 sekund, ko pada. Ako zaznamenujemo v tej nalogi v obče prvotno brzino, višino, čas v .g sekundah in pot pri padanji v prvi sekundi oziroma s c, v, t m — dobim o 2' jednaebo g t2 ct — v, 2 iz katere je moči vselej četrto količino določiti, ako so znane druge tri . Ako je med znanimi tremi količinami tudi čas t, določimo, c, v ali g s pomočjo jednačbe prve stopinje . Nato ge. l. Produkt iz četrtine in petine nekega števila je 180 . Koliko je ono število ? 2. Pomnoživši 5kratnik nekega števila z njega četrtino, dobimo 480. Koliko je število ? 3. Ako razdeliš 192 z nekim številom, dobiš njega 3kratnik . Kak6 se zone število ? 4. Katero število treba za 6 povečati in za 6 zmanjšati, d a bode produkt teh novih dveh števil 325 ? 5. Kolika je srednja geometrijska proporcijonala števil 4 8 in 363? Ako povečaš 12kratnik nekega števila za 45, dobiš njeg a kvadrat. Koliko je število ? 7. Ako prišteješ k nekemu številu 40 ter to vsoto z neizpremenjenim številom razdeliš, ondaj je kvocijent za 2 manjši nego prvotno število. Koliko je to? 8. Ako vzameš vsoto ain diferenco iz nekega števila in pa 5, ondaj je vsota kvadratov dobljenih števil 178. Koliko je ono število ? 9. Razstavi število 53 takó na dva sumanda, da bode njij u produkt 612. 10. Razstavi število 15 takó na dva dela, da bode vsota njiju kvadratov 113 . 11. Razstavi število 15 takó na dva dela, da bode razmerj e med njiju kvadratoma 4 : 9. 12. Katero število je za 19 manjše nego kvadrat prejšnjega števila? 13. Od katerega števila treba njega recipročno vrednost odšteti, da dobiš 2&? 236 14. Števec in imenovalec nekega ulomka iznašata skupaj 33 . Ako bi bil števec za 39 in imenovalec za 20 večji, bil bi ulome k dvakrat tolik. Kateri je oni ulomek ? 15. Diferenca dveh ulomkov je in števec jednega je n a pol tolik kakor imenovalec druzega, imenovalec vsacega ulomka p a je za l večji od števca. Katera ulomka sta to ? 16. Prosto padajoče telo preleti v prvi sekundi 4 . 9 m, poti pa rastejo kakor kvadrati časov. Koliko sekund potrebuje telo, da pade z višine 150 m? 17. _A kupi za 117 gl . pšenice, in sicer plača za vsak hl 4 gl . menj nego je hi, koliko hl pšenice je .A kupil ? 18. Nekdo kupi njivo, katero potem kot stavben prostor zope t za 816 gl. proda. Pri prodaji ima prav toliko 0/,, dobička, kakor j e za njivo goldinarjev dal. Za koliko je bil njivo kupil ? 19. Oče zapusti svojim otrokom 14400 gl., katere naj bi na jednake dele med-se razdelili ; koralo po njegovi smrti umrjeta dva izmed njih in vsled tega dobi vsak izmed ostalih 1200 gl. več nego bi bil sicer dobil. Koliko otrok je zapustil oče ? 20. Med več ubožcev treba 110 gL na jednake dele razdeliti . Ker pa jih pride k razdelitvi 5 več nego se je pričakovalo, dob i vsak -k gL menj nego je bilo s početka določeno. Med koliko ubožcev se je razdelila ona vsota ? 21. Trgovec naroči za 1080 gl . kave. Ker pa je med tem cena kavi poskočila, in sicer za 18 gl . pri vreči, dobi trgovec 2 vreči menj nego je pričakoval. Koliko vreč tedaj dobi ? 22. Nekdo kupi za 400 gl . sukna ; ako bi bil veljal m 1 gl. menj, dobil bi ga bil za oni denar 20 m več. Koliko m sukna je kupil ? 23. Voznik ima nalogo, 15000 kg sena v mesto zvoziti . Ker naloži vsakokrat po 100 kg več nego je bilo s prva določeno, treba mu je 5krat menj peljati nego je prej mislil. Kolikokrat bi bil moral peljati? 24. Trgovec je imel v dveh letih zaporedoma isto toliko 0/0 dobička in na ta način je povečal svoj kapital od 12000 gl. na 15870 gl. Koliko % je imel dobička ? 25. Izmed dveh popotnikov potrebuje prvi za 520 km 3 dni več nego drugi, ker prehodi ta po 12 km več na dan nego prvi. Koliko dnij potrebuje vsakteri za ono pot ? 26. Poštni vlak pride v nekem času 100 km daleč ; brzovlak pa potrebuje za isto daljavo 1 uro menj, ker predivja vsake 3 ure po 25 km več. Koliko km preleti poštni vlak vsako uro? 237 27. Drevesnica ima obliko pravokotnika, v katerem stoji 56 0 dreves v jednakih razdaljah ; v vsaki vrsti po dolzem je 8 dreves več nego v vsaki po čez. Koliko dreves je v vsaki vrsti ? 28. Pri nekem vozu ima zadnje kolo 2 m več v obsegu nego sprednje. Na poti, 6000 m dolgi, zavrti se sprednje kolo 500krat več nego zadnje. Kolik obseg ima sprednje kolo ? 29. Iz soda, v katerem je bilo 144 l vina, odtočilo se ga j e nekaj l ter prav toliko vode pritočilo ; potem se je odtočilo prav toliko l zmesi ter z nova toliko vode pritoeilo . V zmesi je bil o sedaj še 121 l čistega vina. Koliko l se je vsakokrat odtočilo? 30. Kakšen rezultat dobiš, ako postaviš v prejšnji nalogi z a števili 144 in 121 občni števili a in b? ilI. Naloge v ponavljanje. L* Koliko je a) 2 04, od 700, 40, 120, 260, 475, 580, 1425 ? b) 5 0/0 od 500, 20, 380, 540, 660, 810, 1250 ? 2.* Pri 100 gl. je 12 gl. dobička; koliko ga je pri 324 gl.? 3.* Pri 40 gl. je 32 gl . dobička ; koliko ga je pri 100 gl . ? 4.* Lokomotiva, katera predirja vsako uro po 30 km, pride v 6 urah od A. do B ; koliko km bi morala vsako uro predirjati , da bi prišla od A, do B v 5 urah ? 5. Koliko vrednost ima x v naslednjih sorazmerjih : a) 124: x 82: 28, b) x 6 :76 , c) x: 21* = 12* : 18j, d) 3 : 5j ----z. x: 731., e) x: 50 = 0.24 : 0 .64, f) 78 .8 : 18 .5 = 154 .78 : x? 6. Koliko zlata po 900 tisočnin čistine je v 12 kg 25 dkq zlata po 800 tisočnin čistine ? 7. Parni stroj 4 konjskih sil vzdigne v 5 sekundah 1500 kg 1 m visoko ; koliko kg bi vzdignil stroj 6 konjskih sil v 12 sekundah prav takó visoko ? 8. 20 delavcev izvrši neko delo v 18 dneh ; v koliko dneh bode delo končano, ako odide čez 4 dni 12 delavcev, čez 11 dni j pa jih pride zopet 8 nazaj ? 9.* Pšenici padla je cena za 6 04, ; koliko velja sedaj l hi, ako je veljal dosedaj 9 gl. 50 kr. ? 10.* Katera vsota da po 11-°/0 78 gl. 60 kr. provizije? 11. Pri nekem konkurzu dobi A za 5760 gl., katere ima terjati, le 3840 gl . ; koliko % ima izgube? 238 12. Trgovec kupi 600 kg blaga za 421 . 05 gl., čez 8 mesecev pa je proda po 80 kr, kg ; koliko % dobička ima na leto ? 13. Neko blago ima 430 kg nečiste teže ter velja 480 gl. ; tare je 30 kg, provizije 2 0/ 0 , vozarine 54 gl. Po čem se mora kg prodati, da bode 16-1 % dobička ? 14. Nekdo kupi sukna ter plača za vsake 41 m po 151 gl . , proda pa sukno po 4 gl. m. Koliko m je kupil, ako ima pri vse m suknu 428 gl . dobička ? x— 2 3x—11 10+4y 8y—28 16 7 16. 13 y 2. 3 8 11 17. 21/x — 7 = 1/3 x — 17. 18. V10 ± 2Vx— l --=--4. 19.* Od katerega števila treba 20 odšteti, da ti ostane š e njega šestina? 20. Za katero število treba v produktih 32 . 26 in 36 . 24 vsak faktor zmanjšati, da bodeta nova produkta jednaka ? 21. Deček dá najstarejšemu bratu polovico svojih orehov menj 8, druzemu polovico ostanka menj 8, tretjemu zopet 8 men j nego polovico sedanjega ostanka, in prav takó četrtemu 8 menj nego polovico novega ostanka ; njemu pa jih ostane še 20. Koliko orehov je imel deček s prva in koliko jih je dal vsakemu bratu ? 22. S katero početno hitrostjo treba telo vertikalno kvišk u zagnati, da bode dospelo v 4 sekundah 500 m visoko, ako pade tel o v prvi sekundi za 4 .9 m? 23.* Koliko velja a) 28 l po 48 kr.? b) 16 m po 3 gl. 35 kr. . 24.* 14 kg velja 2 gl. 24 kr. ; koliko velja 1 kg ? 25.* 21- m veljata 94 gl . ; koliko velja l m ? 26. Poišči najm. sk. mnogokratnik števil a) 6 in 15, b) 12 in 18, c) 16 in 24, d) 20 in 25. 27. Poišči najm. sk. mnogokratnik števil a) 4, 5, 10, 12, 15, 36, b) 2, 5, 8, 11, 15, 21, 72. 28. Koliko obrestij dá a) 3210 gl. po 3 % od dne 5. februvarja do dne 30. junija? b)2545 » » 4 0/0 » » 17. maja do dne 28. oktobra ? c) 4080 » » 51-0/0 » » 26. marcija do dne 9. julija ? 29. Nekdo je kupil hišo, katera daje po 680 gl . čistih dohod kov na leto, za 10120 gl ., po koliko 0/ 0 je naložil svoj kapital? 30. Dva kapitala, katerih vsota je 3600 gl., dasta 168 gl . obrestij na leto. Kolik je vsak kapital, ker je prvi po 5 °/ 0, drugi po 4 % izposojen ? 31. Kolik je dolg, izplaken v 3 letih 9 mesecih, ako je njeg a gotova vrednost po odbitku 4 0/, diskonta 1080 gl . ? 32. Nekdo bi moral 960 gl. v 6 letih plačati, a on plača t a dolg takáj ; koliko je gotovo plačilo, ako se računa 5 0/0 diskonta ? 3. 1814--.100 34. 434 .32 .122 51.. 5737 2 ó 284 . 28 35. A porabi 3 svojih letnih dohodkov za hrano in obleko , za stanovanje, kurjavo in svečavo, ,±2 za druge potrebščine, 349 gl. 25 kr. pa si prihrani. Koliko dohodkov ima na leto ? (3 a3 b2)3 . (2 x3y9 2 0a2x4 5b2 4 2 36 7. (0 ) (4 x 2 y3) 2 (3 a2 1)3) 2 b3y3 9 a3 x' 3 4 12 38. 1/1/16' . 813 . 39. 3 -V0--. 51/b 3 1/-b. 40. (2~6 ± 51/3 — 71i)( — 21/3 ± 41/2). 13 ±6 B— b 41. 423 43. 5 ± 2»1/3 »V3 — VT3 — vb 44.* Koliko gl. a. v . treba plačati oziraje se na notranjo vrednost za a) 136 mark, b) 1315 mark, c) 83 mark 72 fenig.? 45. Koliko gl. v bankovcih dobiš za a) 600 gl., b) 368 O., c) 1820 gl., d) 736.25 gl. v zlatu, ako je 16 0/0 ažije ? 46. Koliko gl. v zlatu bodeš dobil za a) 316 gl., b) 578 gl. , c) 950 gl., d) 2340 gl. papirnatega denarja, ako ima zlato 164% ažije ? 47. Koliko tisočnin čistine ima zlitina, ako je v 20 kg zlitin e a) 5 kg, b) 8 kg, c) 15 kg čistega srebra? 48. Sreberna šibika tehta 42 kg in nje srebro ima po 750 ti- sočnin čistine ; koliko je vsa šibika vredna, ako velja 1 kg čisteg a srebra 90 O. ? 49. A proda na Dunaji té-le menice : a) za 3416 mark v Berolin po 57 . 2, b) za 5204 franke v Pariz po 45 . 8, c) za 837 funtov sterl. v London po 117 . 75 ; koliko iztrži za vse, ako računa 2 0/oo senzarije? 50. Nekdo kupi dne 12. decembra 1500 gl. k. v. českih zemljišenih odveznih obligacij po 1034 ; koliko mora zanje plačati ? (5% obresti od dne 1 . novembra, dohodarine 10 '% . ) x± 12 I-8 — 522x 1 . = 3, 3y -37 3y — 4 9y—3x 2x — 12 =3, =1. 7 7y -1- 4 53.* Vsota treh števil je 300; drugo je dvakrat toliko kakor prvo, tretje dvakrat toliko kakor drugo. Katera so ta števila ? 54. Iz dveh mest, kateri sta za 81 km drugo od druzega oddaljeni, gresta si A in B nasproti . Ako odide A 3 ure prej z dom a nego B, srečata se v 7 urah ; ako odide pa B 3 ure prej, srečata se še le v 8 urah. Koliko km prehodi vsak v jedni uri ? 55. Tri števila imajo to svojstvo, da je vsota prvega in druzega 66, vsota prvega in tretjega 70, in vsota druzega in tretjega 76 . Koliko je vsako ? 56. Poišči tri števila, katera imajo ta-le svojstva : Ako prišteješ prvo k trojni vsoti druzih dveh, dobiš 115 ; ako prišteješ drugo k četverni vsoti druzih dveh, dobiš 135 ; ako prišteješ slednjič tretj e k peterni vsoti druzih dveh, dobiš 145 . 57, Kakšna bode razrešitev prejšnje naloge, ako postaviš z a števila 3, 4, 5, 115, 135, 145 občna števila m, n, p, a, b, c? 58. Pluta ima spec. težo 0 . 25, železo pa 7 . 9. Koliko kg plute treba spojiti z 12 kg železa, da bode spoj plaval, t. j., da bode njega spec. teža 1 ? 59. Pretvori té-le perijodne decimalne ulomke na navadne : a ) 0.36, b ) 2 .02, c ) 0.372, d) 6 .5148 ; e ) 0 .86, f ) 0 .03, g ) 4 .3527, h) 0.67954. Izračunaj na okrajšani način na 3 decimalke : 60. 9 .5074. 0.3487. 61. 4.9728.0 .04725. 62.0 .79596. 73.804. 63. 256.8735 . 0 .09276. 64. 27 .942 : 8 .5674. 65. 37 .8268 : 0 .8927. 66. 5 .72876 : 0 .0275. 67. 242 .87 : 17 .384. 68.* Koliko vode treba k 8 l jesiha po 18 kr . priliti, da bod e l zmesi še 16 kr. vreden? 69. Trgovec hoče namešati iz dvojega špirita 640 l špirit a po 75 stopinj ; za zmes vzame 460 l po 40 stopinj . Koliko stopinj mora imeti drugi špirit, katerega za zmes uporabi? 70. Nekega skupnega podjetja se je udeleževal A s 1250 gl . 4 mesece, B z 2380 gl. 5 mesecev, C s 3000 gl . 3 mesece in D z 2710 gl. 10 mesecev ; dobička je bilo 2188 gl. 48 kr. ; koliko tega dobička dobi vsak ? 71. i/198025. 72. 1/1292 . 114916. 73. 1/3163725009. 74. 1/91125. 7 . 1/49027896. 76. 1/0 .428661064. 77. V(a — 6 a5 4-11 a -- 16a. -]-- 31a — 10a -}-25). 3 78. V(8x' — 36x5+ 66x4 63x3 -{- 33x2 9x -{- 1). 79. A. mora plačati 500 gl. takój, 500 gl. v 6 mesecih in 500 gl. v 1 letu ; plača pa 300 gl. čez 1 mesec, 200 gl. čez 2 meseca in 100 gl. čez 3 mesece. Kedaj bode moral plačati ostanek ? 80. A ponuja za neko hišo 20000 gl ., katere hoče pa še le čez 4 leta plačati. Kolika je gotova vrednost te ponudbe, ako se računa 5 % obrestnih obrestij in celoletno kapitalizovanje ? SL Neko blago se je kupilo za 1573 gl. 20 kr. Koliko velja blago v resnici, ako je bilo 2 % skonta, °/o senzarije (od kupnine), 216 gl. 50 kr. druzih stroškov in 2 0/0 provizije (od vsega izneska) ? 2 1 x 14 2(x—l) 82. 5 x + 4-x—5 = . 83. 6 + 3x x x+ 4 4x+7 7--x 84. 3 9 x — 3' x 86. Vx ± 2 a (a ± b) — 2a a + b 86. Več oseb je potrošilo potujoč 432 gl . ; ker dve osebi nista ničesar plačali, plačati je morala vsaktera ostala oseba 3 gl. več. Koliko je bilo vseh oseb ? 87. Dva sla odpotujeta ob istem času iz dveh za 84 km oddaljenih mest ter si gresta nasproti, jeden potrebuje za vsak km 2 minute več nego drugi . V koliko minutah prehodi vsakteri 1 km, ker se srečata v 5 urah ? 88. A in B sta prodala skupaj 100 m blaga, in sicer jede n več nego drugi, iztržila pa sta vender oba jednako. Ako bi bil imel A toliko .m kakor B, iztržil bi bil 63 O. ; ako bi bil pa B toliko m imel kakor A, iztržil bi bil le 28 gl . Koliko m je prodal A, koliko B ? 16 Jednajsti oddelek . O logaritmih. I. O logaritmih v obče. § 212. Račun, kateri uči, kakó je najti potenčni eksponent iz vrednosti potence in nje podloge, imenujemo logaritmov an j e (Logarithmieren). Število a s številom b logaritmovati se pravi, iskati potenčneg a eksponenta, s katerim treba podlogo b vzmnožiti, da dobimo a kot potenco. Število b je podloga, dano število a, katero za potenc o smatramo, imenujemo pa lo garitm an d ali kar s kratka števil o (numerus) in iskani potenčni eksponent logaritem (Logarithmus) . Ako je bn = a, ondaj je n logaritem števila a za podlogo b in to zaznamenujemo takó-le : n = logb a. Ako veljajo vsi logaritmi za jedno in isto podlogo b, pišem o krajše n = log a, misleč si podlogo b znano. pr. 100 = 1, 10 1 = 10, 102 = 100, 103 = 1000 , 10—1 = 0 .1, 10—2 = 0.01,. . Vzemši 10 za podlogo, dobim o log 1 --,:--.--- O, log 10 1, log. 100 = 2, log 1000 log 0 .1 = — l, log 0 .01 = — 2, . . Logaritmand in podloga morata biti vsikdar neimenovani števili. Logaritmovanje je drugi obrat vzmnoževanju. Da ima vzmno ževanje dva bistveno različna obrata, razkorenjevanje in logaritmovanje, a seštevanje in množenje le po jednega, temu je vzrok ta , da se izpremeni pri vzmnoževanji vrednost, ako dani dve števil i med seboj zamenjamo, da je tedaj izraz a' različen od b a . § 213. Iz pojma o logaritmu je razvidno . ' 1.) Logaritem vsake podlogeza to podlogo jednak 1 . Ako je b podloga, ondaj je log b 1, kajti b 1 2.) Logaritem Števila 1 je za vsako podlogo jednak O. Kajti b° = 1, tedaj log 1 = O. 3.) Za jedno in isto podlogo imajo jednaka števil a tudi jednake logaritme ; in obratno ; k jednakim logarit mom spadajo tudi jednaka števila. 4.) Za podlogo, večjo od 1, ima večje število tud i večji logaritem ; in obratno : čim večji je logaritem, te m ve čje',Število. § 214. Logaritme vseh števil naravne številne vrste za jedno in isto podlogo skup zovemo logaritemski sistem. Negativno število ne more biti podloga logaritemskemu sistemu , kajti njega potence ne dadé vseh mogočih števil . Ako bi vzeli n. pr. — 10 za podlogo, dobili bi (— 10) ( 10)1= — 10, (— 10-= -V— 10, (--10)2 = 100, 3 (— l0) -t/102, (— 10)3 = — 1000 , 9 (— 10) 1 '107, (— 10)4 = 10000 ; . t. d. Eksponenti so čedalje večji in večji, a dotične potence nimaj o nikakeršnega tvorbnega zakona ; one so sedaj pozitivne, sedaj negativne, nekatere realne, druge imaginarne ; tudi to je razvidno, da nekaterih števil pr. 10, 1000, . . . z nikakeršno potenco števila — 10 izraziti ne moremo. Tudi jednota ne more biti podloga logaritemskemu sistemu , kajti vsaka nje potenca je zopet 1 . Podloga logaritemskemu sistemu more biti tedaj le tako pozitivno število, ki je večje od 1 . Ker pa je vsaka cela ali ulomljena, pozitivna ali negativna potenca pozitivnega števila vselej pozitivno število, zato ne morej o biti logaritmi negativnih števil realni, ampak oni so i m a g i n a r n i . Kadar imajo tedaj računi, katere treba s pomočjo logaritmov izvršiti, tudi negativna števila, treba le-ta med računanjem za abso 16 * letna števila smatrati ter njih predznake še le v poštev jemati, do ločujoč rezultatu predznak. Uporabljata se samo dva logaritemska sistema, namreč n a vadni ali Briggov za podlogo 10, in naravni ali Neperje v za iracijonalno podlogo 2 . 718281828 . . Občni izreki o logaritmih . § 215. L) Logaritem produkta je jednak vsoti iz logarit mov posamičnih faktorjev. Dokaz. Vzemimo, da je b podloga in M=bnz , tedaj log M m, N =..- bn log N n, P bP , » log P p. PomnoživŠi vse jednáebe na levi drugo z drugo, dobimo MNP b'n+n+P. Da dobimo tedaj število MNP, treba podlogo b vzmnožiti na potenco m 4-n -}- p, ali m + n -~--p je logaritem števila MNP, tedaj logMNP m ± n p ali, ako postavimo za m, n, p njih vrednosti, log MNP log M + log N + log P. N. pr. log 3ab = log 3 -}- log a ± log b. log 6 log 2 ± log 3 log 15 = log 3 4-log 5. log 30 log 2 + log 3 + log 5. 2 .) Logaritem ulomka (kvocijenta) je jednak loga ritmu števca, zmanjšanemu za logaritem imenovalca. Dokaz. Vzemimo, da je b podloga in M = bm tedaj log M = m, N bn, » log N n; m tedaj — —n N zatorej log = m — n log M — lo,q N. ---. N. pr. log 29 i- = log 29 — log 31 . log 35 . 29 = log 3150209 = log 3529 — log 100. a± b log =.---log (a -i- b) — log (a — h) . a6 3.) Logaritem potence je jednak logaritmu podloge, pomnoženemu s potenčnim eksponentom. Dokaz. Vzemimo, da je b podloga in M = bm , tedaj log M = m. Vzmnoživši prvo jednačbo na ptno potenco, dobimo MP tedaj log .11P mp p log M. N. pr. log 5" = 3 lo log (2a)" = 3 log 2 a =z= 3 (log 2 ± log a). log 2a3 =. log 2 -t-log a" = log 2 -}-3 log a. 4.) Logaritem korena je jednak logaritmu radika n a , razdeljenemu s korenjim eksponentom. Dokaz. Recimo, da je b podloga in III= bm , tedaj log M = m. Ako razkorenimo prvo jednačbo s Številom p, dobimo -VM 1/bm m = bp, tedaj p log _ log _ pp 3 N. pr. log '75 log ; a s log b loga — logb Ing 5 5 .. • .¦ 3 log = l o gi Naloge_ 1. log 3xyz. 2. log 6 a x a ± x 3. log (a2 — b2). 2ax xy 4. log b . og3xy . 6, loga(b 5mx 2 y2 . 3(a2-62)x 7. log I m2 9 10g(3a± 2b)Y 8. 10g x ---Txy , . 10. log a4. 11 . log ax". 12. log (ax) 3. 13. log5a2x2. 14. log2 b2}. 15. loga2m3.(3nx M2n3 b2 x2 —y2 16. log .2,,, 17. log IS. log x2+7 3 5 19. logV . 20. log 3 a2 b x 21. log x. 3 5 --3 2—a xV' ‘-- 22. log K23. log 3 24. log 5by2s 3-Vr 5 a2Va2b3 26. log v7_ x2 . 27. log 3—. . 25. log x Y b 2-Va2b 28. log 3. 100. 29. log 3500 . 30. log 123000. 31 . log 32. log 0 .13. 33. log 0 . 0834 . 567\ 3 34. log 4 36. 36. log 1 83 . 25 10g (6781 15 2 s4 /34 .1/ 17 .13 37. 38. . 39. log logV(L 1'gV V / — 3 7 . 142. ffi II. O Briggovih logaritmih, § 216. B r i g g o v l o g a r i t e m katerega koli števila imenujemo oni potenčni eksponent, s katerim treba podlogo 10 vzmnožiti, da dobim o ono število kot potenco. V Briggovem sistemu je 100 = 1, tedaj log 1 O; 10' 10, » log 10 1; 102 = 100, » log 100 2; 103=1000, » log 1000 3, i. t. d. ; 10-1=0 .1, log 0.1 10' = 0.01, log 0.01 — 2; 10-3= 0.001, » log 0 .001 =-= — 3, i. t. d. Iz tega je razvidno : 1.) V Briggovem sistemu so le logaritmi dekadnih jednot (celi h potenc števila 10) cela števila . Logaritmi vseh druzih števil so me d O in 1, med l in 2, 2 in 3, i. t. d. ter so iracijonalna števila; približno jih izražujemo z decimalnimi ulomki. Briggov logaritem je sestavljen tedaj v obče iz celot in decimalk ; celote imenujem o njega karakteristiko ali značajko (Charakteristik, Kennzifer), decimalke pa m a n t i s o (Mantisse) . 247 2.) Karakteristika vsacega celega števila je za 1 manjša od števila njegovih številk. Vsako jednoštevilčno število je namreč večje od 1 in manjš e nego 10, logaritem števila 1 je 0, logaritem števila 10 je l ; logarite m katerega koli jednoštevilčnega števila je torej večji od 0 in manjši od 1 , tedaj ima 0 celot in nekaj decimalk, njega karakteristika je tedaj 0 . Vsako dvoštevilčno število je večje od 10 in manjše nego 100 ; log 10 = 1, log 100 = 2 ; logaritem vsacega dvoštevilčnega števila je torej med 1 in 2, njega karakteristika tedaj 1, i. t. d. 3.) Vsa števila, ki so večja od 1, imajo pozitivne logaritme ; logaritmi vseh pozitivnih števil, ki so manjša od 1, so pa negativni, in sicer sta negativni karakteristika in mantisa. Logaritme z negativnimi mantisami pretvarjamo navadno na take, ki imajo pozitivno mantiso in negativno karakteristiko; v ta namen odštejemo negativni logaritem od števila, ki je za 1 večje od karakteristike, n a ta način dobljeni pozitivni mantisi pa zadaj dodamo kot negativn o karakteristiko ono za 1 večje število. N. pr. — 2.34567 = 3 — 2 .34567 — 3 0 .65433 — 3 . § 217. V Briggovem logaritmu katerega koli števila s e izpremeni le karakteristika, mantisa pa ostane neizpre menjena, ako število s katero koli potenco števila l 0 pomnožimo ali razdelimo. Dokaz. Kakor znano, je log(a . 10 n ) log a + log 10n= log a + n, a log ton loga — log 10 n= loga n. V prvem slučaji postane tedaj logaritem števila a za celo število n večji, v druzem manjši, t. j. dobi drugo karakteristiko, a man tisa ostane neizpremenjena. N. pr. log 3946 = 3 . 59 616, tedaj log 39460 = log 3946 + log 10 = 3 .59616--1 = 4.59 616; log 394600 = log 3946 + log 100 = 3 .59616 ± 2 = 5.59616 ; 24 8 in prav taká log 394.6 = log 3946 — log 10 =3 .59616 =2 .59616 ; log 39.46 = log 3946 — log 100 = 3 .59 616 —2 = 1. 59 616 ; log 3 .946 = log 3946 — log 1000 = 3 .59616— =0.59616 ; log 0 . 3946 = log 3946 — log 10000 = 3 .59616—4 =0 .59616 — 1 ; log 0 . 03946 = log 3946 — log 100000 3 .59 616 — 5 = 0 .59 616 — 2. Tu je mantisa zmerom jedna in ista, izpremina se le karakteristika, in sicer je le-tá za vsako število jednaka redovnemu eksponentu njegove najvišje veljavne številke. Odtod izvira : 1.) Logaritem vsacega števila ima za karakteristik o redovni eksponent njegove najvišje veljavne številke. 2.) Logaritmova mantisa je zavisna le od razvrstitve številk v danem številu, nikakor pa ne od njih mestne vrednosti, zategadelj imajo isto mantiso vsa števila, ki se le v tem razločujejo, da stoji decimalna točka na različnem mestu. O logaritmovniku . § 218. Logaritme vseh celih števil od 1 do 10000, ali od 1 do 100000 nahajamo zbrane v posebnih tabelah in to na 5, 6 ali . 7 decimalk ; tako zbirko imenujemo logaritmovnik (Logarithmentafeln) . V lo garitmovniku so le mantise logaritmov, kajti karakteristika se določ i v vsakem slučaji lahko po § 216., 1. Manjši logaritmovniki imajo le mantise četveroštevilčnih števil in te na pet ali šest decimalk. Logaritmi s petimi decimalkami zadostujejo pri navadnih praktičnih računih po polnem . S pomočjo tacega logaritmovnika je ~i najti na prav pri prost način, katerega natančneje logaritmovnikov uvod opisuje, vsakemu. številu njegov logaritem in obratno število, spadajoče k danem u logaritmu . 1.) Kakó je najti logaritem danemu številu. V logaritmovniku poišči mantiso danega števila, za karakteristiko pa vzemi redovni eksponent najvišje veljavne številke . 249 a) Ako je število če t v e r o š t e v n o, poišči prve tri številke v prvem razpredelku na levi in od ondod pojdi v isti vrsti v on i ra'zpredelek, kateri ima zgoraj in spodaj četrto številko za nadpis ; tu najdeš zadnje tri številke mantise . Prvi dve številki stojita v raz predelku, z O zaznamenovanem, in sicer v isti vrsti, ali nekolik o bolj zgoraj, ali pa tudi v naslednji spodaj iri to tedaj, kadar stoji pred zadnjimi tremi številkami mantise zvezdica . Takó je n. pr. log 5134 3.71046 log 0 .5375 0 .73038 — 1 log 528.9 = 2 .72337 log 0.05497 0 .74013 — 2 b) Ako ima dano število menj nego štiri številke, ondaj si mislimo toliko ničel pripisanih, da dobimo četveroštevilčno število . Ako treba n. pr. logaritma števila 38 poiskati, poišči mantiso za 3800. c) Ako ima dano število pet ali šest številk, ondaj poišči najprej kakor zgoraj pod a) v logaritmovniku mantiso prvih štiri h številk in pa diferenco med to in naslednjo večjo mantiso, ki je v logaritmovniku . Potem vzemi iz one pomočne tablice na desni, kater a ima to diferenco na čelu, proporcijonalne dele za peto in šesto številko in te prištej k mantisi prvih štirih številk . N. pr. log 215.87 = 2.33405 log 7 .24638 = 0 .86010 dif. 20 7 . . . 14 dif.6 3 . 1 8 2 . 33419 8 . . 0 5 0 . 8601 2 2.) Kakó je najti število k danemu logaritmu. V logaritmovniku poišči številk, ki spadajo k dani mantisi i n le-tém določi potem mestno vrednost ; v ta namen daj najvišji številki ono mestno vrednost, katero zahteva karakteristika. Prvih dveh mantisinih številk išči v razpredelku, z 0 zaznamenovanem, zadnjih treh pa v isti ali kateri naslednji vrsti, ali pa tud i med z zvezdicami zaznamenovanimi prejšnje vrste . a) Ako najdeš v s e mantisine številke v logaritmovniku, ondaj vzemi prve tri številke iskanega števila iz prvega razpredelka n a levi in to v oni vrsti, v kateri si našel zadnje tri mantisine številke, četrto številko pa iz najzgornje ali najspodnje vrste onega razpredelka, v katerem so one mantisine številke . N. pr. log x 2 .91046 log y 0.90811 — 2 x 813 .7 y = 0 .08093. 250 b) Ako pa ne najdeš dane mantise natančno v logaritmovniku , ondaj poišči najbližjo manjšo, ki je v logaritmovniku, in k tej četveroštevilčno število kakor pod a) ; to dá prve štiri številke iskanega števila. Potem izračunaj diferenco onih dveh v logaritmovniku nahajajočih se mantis, med katerima je dana mantisa, in tudi diferenco med dano in ono manjšo mantiso, iz te diference pa določi, uporabljajoč ono pomočno tablico, katera ima prvo diferenco na čelu , peto in šesto številko. log a = 0.88016 — 1 log b 2.50729 013 . . . 7588 718 . . 3215 dif. 5 3 6 dif.14 11 ,,.¦,,,¦ , 98 7 12 9 b 321 . 579. a == 0 . 75886 Kakó je z logaritmi računati . § 219. V obče veljajo za računanje z logaritmi ista pravila kako r za dekadna števila, pomniti je le še tó-le : l.) Ako dobiš pri seštevanji logaritmov dve karakteristiki, pozitivno in negativno, ondaj ji skrči . N. pr. 2 . 27056 0 . 08341 1 0 .62279 — 2 2 .97676 — 3 = 0.97676 — 1 . 2.) Ako je pri odštevanji minuend manjši od subtrahenda, ondaj prištej, da ne bode mantisa negativna, k minuendu toliko po zitivnih jednot, da bode večji nego je subtrahend, a potem vzem i za karakteristiko v ostanku prav toliko negativnih jednot. N. pr. ± 2 —2 2 .65 348 4.07 513 0 .57 835 — 2. 3.) Ako si pomnožil logaritem, ki ima negativno karakteristiko, s katerim koli številom, skrči negativno karakteristiko in pa pozitivno, katero si morebiti dobil . N. pr. (0 .93115 — 2) X 5 = 4.65575 — 10 = 0 .65575 — fi. 4.) Ako je razdeliti logaritem, ki ima negativno karakteristiko, s kakim številom, treba negativno _karakteristiko, ako n i razdelna z onim številom, za toliko jednot povečati, da bode raz delna ; prav toliko jednot moraš pa tudi k celotam pozitivne man tise prišteti. Na ta način se izogneš vlomljeni karakteristiki . N. pr. — + (0.47 532 — 3) : 4 = (1 .47 532 — 4) :4 = 0 .36 883 — l. Kakó je uporabljati Briggove logaritme. § 220. Uporabljajoč občne izreke § 215., izpremeniš lahko množenj e na seštevanje, deljenje na odštevanje, vzmnoževanje na množenj e in razkorenjevanje na deljenje. 1.) Ako treba dvoje ali več števil drugo z druzim pomnožiti , vzemi njih logaritme ter jih seštej ; vsota je logaritem produkta ; ako poiščeš tedaj k onemu logaritmu število, je le-tó zahtevani produkt. N. pr. x = 2 .1345 . 3 .8902 . 0.7849. log 2 .1345 = 0 .32 930 log 3 .8902 = 0.58 997 log 0 .7849 = 0.89 481 — 1 log x = 0 .81 408 = log 6.5174 x = 6 .5174. 2.) Ako je dvoje št e v i s pomočjo logaritmov drugo z druzim razdeliti, odštej divizorjev logaritem od logaritma dividendovega ; ostanek je logaritem kvocijentov . Število, spadajoče k tem u logaritmu, je zahtevani kvocijent. N. pr. a) x = 7 .6912 : 218.8 7 + 2 —2 log 7 .6912 = 0 .88 594 log 218-87 = 2 . 34 019 log x = 0 .54 575— 2 = log 0 .03514 x = 0 . 03514. 3-4156 .4.023 b) x 1 . 2378 . 5 .8709 log x log 3 .4156 + log 4.023 - (log 1.2378 + log 5 .8709) log 3.4156 = 0 .53 347 log 4 .023 = 0 .60 455 1 .13 802 log 1 .2378 0.09 265 , log 5 .8709 = 0.76 871 log x 0 .27 666 = log 1 .8909 x=. 1. 8909. 3.) Kadar treba število na katero koli potenco vzrnno ž iti, poišči logaritem onega števila ter ga pomnoži s potenčni m eksponentom ; produkt je logaritem iskane potence ; potenco samo dobiš, ako poiščeš k onemu logaritmu število. N. pr. x 1 .05 2'. log 1 . 05 ----,---0 . 02119 x 20 log x =.- 0 .42 380 = log 2 .6533 x 2 .6533 . 4.) Da izračunaš določeni koren katerega koli šte vila, poišči njega logaritem in tega razdeli s korenjim eksponentom ; kvocijent je logaritem zahtevanega korena ; koren dobiš, ako poiščeš k temu logaritmu števila. N. pr. 6 a) x 1/60. log 50 = 1 .69 897 : 6 log x 0 .28 316 = log 1 .919.4 x 1 . 9194 . b) x /1 . 052 2 . Y2-'- 3 21/F8 log x -.-,-->-- [ 2 log 1 . 052 --~-log 2 3 (log 2 ± ~ log 18) ] log 1 . 052 = 0 . 02 202 2 log 1 .052 = 0 . 04 404 log 23 1 .36 173 j1og23 = 0 .68 086 0 . 72 490 log 2 = 0 .30 103 log 18 1 .25 527 jlogl8 = 0 . 41 842 0 .00 545 . 9 log x 0 .00 061 = log 1 .0014 x 1 .0014 . § 221. Prav ugodno se dadé logaritmi uporabiti pri o b r e st n o o brestnih računih. Ako je e končna vrednost, na katero naraste po p procento v naložen kapital a pri celoletnem kapitalizovanji v m letih, ondaj j e po § 149. Ako logaritmujemo obe strani te jednačbe, dobim o log e log a -- m log (l ± 4), in odtod log a = loge — m log 1 -~- log e — log a log Io o m log e—loga m P log 1 -i- S pomočjo teh jednačeb je moči, ako so izmed količin a, e, p, m tri znane, četrto izračunati . Kadar se obresti. poluletno kapitalizujejo, treba mesto p in m oziroma 2 in 2m postaviti. Primeri. l.) Na koliko narase kapital 1300 gl. v 25 letih, ako se račun a 4 0/,, obrestnih obrestij? e 1300 . 1 .0425 log 1 .04 = 0 .01 703 25 log 1 .04 = 0 .42 575 log 1300 = 3 .11 394 log e = 3 .53 969 = log 3465 e = 3465 gl. 2.) Kateri kapital narase v 10 letih pri poluletnem kapitalizovanji in 5% obrestnih obrestih na 2000 gl . ? 2000 a = l -025 20 lo 2000 = 3 .30 103 log 1 .025 = 0 .01 072 20 log 1 .025 =0 .21440 log a 3 . 08 663 log 1220 . 7i a = 1220 .7i gl. 3.) Po koliko % treba 614 gl. 19 let na obrestne obresti naložiti, da narastejo na 1859 gl. ? log 1859 -log 61 4 log (l ± IP oo 19 log 1859 = 3.26 928 log 614 = 2 .78 817 0 . 48111 : 19 log l + -0 .02 53 , = log 1.06 10 0 1 -}- 100 1 .06, tedaj p = 6 0/0 . 4.) Koliko let treba 2518 gl . po 5% na obrestne obresti naložiti, da narastejo na 4522 gl . ? log 4522 -log 251 8 .0 log 4522 = 3 .65 5'log 1 .05 = 0 .02119 M log 2518 = 3 .40 106 0.25 447 : 0.02119 = 12 let. a. Poišči v logaritmovniku logaritme téh-le števil : 1. log 7. 2. log 58. 3. log 312. 4. log 993. 5. log 3905. 6. log 1358. 7. log 4850. 8. log 9499. 9. log 6458. 10. log 3094. 11. log 5759. 12. log 7766. 13. log 12345. 14. log 50736. 15. log 83925. 16. log 46357. 17. log 13088. 18. log 74613. 19. log 525729 . 20. log 683744 . 21. log 807625 . 22. log 290537 . 23. log 426853. 24. log 109307 . 25. log 4.9. 26. log 72 .85. 27. log 0 .7839. 28. log 7 .0843. 29. log 0 .07072. 30. log 1 .0001. 31 . log 349.008. 32. log 6 .0606. 33. log 1 .000939. Poišči k tém-le logaritmom števila : 34. 3.59 605. 35. 3.15 594. 36. 2 .94 468. 37. 0 .76027 . 38. 0.64018 -1. 39. 0.97 007 - 2. 40. 1. 36544. 41. 2 .60 555. 42. 0 .46 318 - 1. 43. 3.89763. 44.0 .39 094-- 2. 45. 0 .88 226. 46. 2 .30852. 47. 0 .73 280- 1. 48. 1.07 365. 49.0 .41582. 50. 1 .66 246. 51. 0 .01 923. 52.4 .38 368 . 53. 0 .72 421-54. 1 .83 378 25 i Izračunaj s pomočjo logaritmov té-le izraze : 65. 1 . 2345 . 1 . 5432. 56. 8 . 57353 . O . 72985 . 1 . 025 . 1 . 079 . 0 . 5628 . 58. 37 . 8946 . O . 01897 . O . 5764, 4-789 0. 36979 59. -60. 61. 5-457 3.14159 ' 0.39846 . 2 .3456.5.2193 413 . 5124 . 21358 62. 63. 760 .0 . 12345 425 . 4998 . 76231 0-765473 5.20408 .0.058926 64 .. 65. 8 .9376. 0 .93457 0.001975. 92 .8407 . 66. (1 .05) 2 67. 1 . 025) 2 68. (1 . 045)16 . 69. (435 9 5196 8 53-139 7 70. 417 6913 71. (53 . 7081 (98-562 8 ( 2 .01 10 72. (30146)* . 73. 12 .341 7 .8651 2035 .0.008762 3.90253.1.079384 74. 75. 3164 . 0 .005925 0.8596 2 . 1 .07253 3 3. 76. 1/26. 77. I/ 1. 78. vT8.4 s 6 79. 1/793 . 81. V113 .5. 82. V1 .8354. 3 s 82. 1/fi--1 . 83. v2294 84. 723 . 12 s 2-3783 . 86. 87. V()5 . 3 6 85. 629 3. 059 2 88. 207 92 . 3 .578 0 .035 89. 90. 1 . 2083\i/2 7 YIO 713 105 8 .357 2 .317 7 .V7 (a — b+c) (a + b_ 9L za a = 3.058, b =--- 2 .793, c 3 .159. bc 3 V1 . 037 3 . V9.2342 93. 1/10±V10 92. 15 .735 2 s4 3 83 . .V9103 94. 95. \7sv~.57. V1 9 37 .262 0-045 . 4 .162 96. Na koliko narase 860 gl. kapitala v 15 letih, ako se po 44-njo na obrestne obresti naložijo ? 97. Nekdo naloži 1600 gl. v hranilnici, katera plačuje 5 % obrestij ter te poluletno kapitalizuje, koliko mu bode morala hranilnica čez 10 let izplačati? l » 3 1 98. V gozdu je sedaj 35800 m 3 lesú, na leto ga priraste po 2%. Koliko lesú bode imel gozd čez 12 let? 99. Brezobresten kapital 9000 gl . je čez 10 let izplačen ; kolika je njega gotova vrednost, ako se računa 5 % obrestnih obrestij? 100. Kateri kapital narase v 9 letih, po 42 0/ 0 na obrestne obresti naložen, na 5234 gl . ? 101. Neko mesto ima sedaj 36230 prebivalcev ; koliko je imelo prebivalstva pred 30 leti, ako ga je vsako leto po 2 °j o prirastlo? 102. Na obrestne obresti naložen kapital 7537.8 gl. narase v 20 letih na 20000 gl . ; po koliko 0/ 0 je naložen ? 103. A posodi B'ju 250 gl. za 3 leta brez obresti, zato mu dá pa B dolžno pismo o 300 gl. Koliko 0/0 je dobil A, ako se računajo obrestne obresti ? 104. V koliko letih narase kapital 500 gl. na 3041 gl., ako je po 5 % na obrestne obresti naložen ? 105. V koliko letih se podvoji po 42 % na obrestne obrest i naložen kapital pri poluletnem kapitalizovanji ? IM Naloge v ponavljanje. L* Za koliko je 3kratnik števila 54 manjši od 5kratnika števila 7-1-? 2.* 15 m velja 69 gl . ; koliko velja 65 m? 3. Poišči najv. sk. mero in najm. sk. mnogokratnik števil : a) 465 in 589, b) 612 in 1080, c) 6579 in 9159 , d) 93345 in 165375, e) 168, 312 in 504 . 4. 53 •~2 ~16~•[4__._.24 .12 4 21 1 : 2]. 21 S 2-2 3 ---- 4 : 5 6 . 12 (2 — 11) 1): • ( 3 -~2 Š + 6. Dunaj ima 14° 2' 36", Berolin pa 11 0 2' 30" vzhodne dolžine od Pariza ; koliko je ura na Dunaji, kadar je v Berolin u poldan? 7. 250 delavcev izkoplje 15000 m dolg in 8 m širok preko p v 24 dneh, ako delajo po 12 ur na dan ; koliko delavcev je treba, da izkopljejo 9000 m dolg in 72 m širok prekop v 18 dneh, ak o delajo po 11 ur na dan in je delo še jedenkrat taká težavno kakor v prvem slučaji? 257 Izračunaj té-le izraze na 3 decimalke, uporabljajoč a) okrajšano množenje ali deljenje, b) logaritme : 8. 5.4832. 7 .519. 9. 6 .9754. 0.2844. 10. 304.279 . 0 .0532. 11. 1 .065 . 1 .052 . 1 .0475. 83.423 3.7936 0 . 8464 12. 13. 14. 31 .586 13. 859 0 .00163 3478 .0 .07643 403 . '7 . 19 . 12 . 0'795 15. 1 6. 4019. 0 .08251 378 . 8 .23 . 15.6324 17.* Ako bi izdal polovico svojega denarja in pa četrtino, ostalo bi mi še 15 gl. Koliko denarja imam tedaj ? 193—x 2x— 3 18. 81 22x 10 19.(x+l 3)(3x 3x( 3 5x+2 3 22 3 2x— 1 3x+ 2 20. 8x — 10= x — 2 3x—6 5x—10 5x+5 6x + 12. 2x — 5 5x— 2 + 1= 92. 21' x + 2 x + 3 3x — 7x— 3 23. 1/2x -}--V 8x = 6. 24. 3/4x ± 2 xl/3. 25.* Miri osebe razdelé 2000 gl, tak() med seboj, da dobi, A na pol toliko kakor B, C 4 tega, kar D, in D I one vsote. Koliko dobi vsak? 26. Izmed dveh igralcev je imel prvi 4krat toliko denarj a kakor drugi. Ko je pa drugi od prvega 5 gl, dobil, imel je prvi l e še škrat toliko denarja kakor drugi. Koliko denarja je imel vsak pred igro? 27. Stevilčna vsota nekega dvoštevilčnega dekadnega števil a je jednaka njega četrtini. Ako k omenjenemu številu prišteješ število 18, dobiš število, katero ima prav tisti dve številki, pa v obrat nem redu. Katero število je to ? 28. Ako ima pšenica za 28 % višjo ceno nego rež, za kolik o 0/0 ima potem rež nižjo ceno nego pšenica ? 29. Krčmar kupi 70 hl vina, hl po 29 gl., s pogojem, da bode plačal kupnino v 2 mesecih ; koliko mora v gotovini plačati, ako s e računa 62 °/0 diskonta za 1 leto ? 30. Trgovec kupi nekega blaga 756 kg nečiste teže ; tare se računa 10 %, 100 kg čiste teže po 75 .5 gl., stroškov 14 .03 gl. , senzarije %, provizije 2 % . a) Koliko ga stane blago, b) koliko 0/,, ima dobička, ako iztrži za vsacih 100 kg po 87 . 45 gl.? 17 ' 3 t.Nekdo izposodi 480 gl. po 5 0/0 ter obresti za 1 leto precej odtegne. Za koliko je dolžnik na škodi ? 32. Krčmar zmeša troje vino, namreč 16 hl po 60 gl., 2 hl po 44 gl. in 2 hl tretjega vina in hl zmesi velja 56 gl . Po čem je hl tretjega vina ? 33. Trije mojstri so dobili za neko delo skupaj 1312 gl. A je imel 12 pomagačev in ti so delali 10 tednov po 5 dnij n a teden ; B je imel 8 pomagačev, kateri so delali 11 tednov po 6 dni j na teden, C pa 40 pomagačev, kateri so delali, 3 tedne po 7 dnij na teden. Vsak mojster je naložil svoj delež 5 let na obresti in koncem te dobe je dobil .A 500 gl., B 492 .8 gl., C 728 gl. Kolik je bil delež vsacega mojstra in po koliko % ga je bil vsak na obresti naložil ? 34. Nekdo dobiva od svojega kapitala 2392 gl . obrestij na leto 5 kapitala ima naložene po 5 °to , I- po 6 °h> . Kolik je ves kapital ? 35. Dolžnik plača neki dolg, katerega bi moral še le čez 4 let a plačati, takój, kolik je dolg, ako odtegn zaradi gotovega plačil a dolžnik upniku 144 računajoč 6 0/0 diskonta ? 9a 2 37. (a4b 5c 3 x'y4 3 2 a23 y+ b 36. ( 38. 25 x 2 x2y 3 a 5 b 7 c y2 — 34 6 7 282 . 39. 40. 2.xx 41. . 1/x 361 4 4 3112 x Yx .Yx 42. (V5 -~- 1/10 + 1/15)2. 43. (1 — 21/2 4-31/~3) 31/3—2V2 2 44 _ 45. -If~--i: V3 -V 2 3 - -V 5 6. Trije kapitali , namreč 2400 gl., 1240 gl., 4260 gl. so bili oziroma po*,°/0, 5 % in 4 °/0 prav toliko časa na obresti naložen i ter dali skupaj 546 .6 gl. obrestij. Koliko obrestij je dal vsak kapital in koliko časa je bil vsak izposojen ? 47. A mora plačati 225 gl. v 4 mesecih, 150 gl . v 6 mes., 300 gl. v 9 mes. in še četrti iznesek v 1 letu. Kolik je poslednji iznesek, ako se plačajo lahko vsi izneski ob jednem v 8 mesecih? 48. Ako proda trgovec neko blago za 120 gl., ima 15 0/0 izgube, za koliko je mora prodati, da bode imel 15 'jo dobička ? 9 x0 x5 26x4 53x3 2x2 20x 2y5 T 25. 4' V(16y6 9 y4 6 y3 3 y2 y 3 Iox. 45x 4 27x 5 27x, 15x2 1 50. V( ± a 2 a2 a3 4 a4 2 a5 8 je 259 Izračunaj na 4 decimalke a) na okrajšani način razkorenjujoč , b) uporabljajoč logaritme, té-le korene : 5 1 . 1f. 52. 1V2 . 5. 53. 1/578. 54. V'382. 33 3 5. -(5. 56. V0 .08. 57. 1/72.9. 58. 1/~~. 7 59. 1800 gl. treba med 3 osebe takó razdeliti, da dobi A_ in še 1 °/0 , B -A- in 2 %, C pa ostanek ; koliko bode dobil vsak ? Štiri osebe so razdelile neki iznesek takó med seboj, d a je bilo razmerje med A-jevim in B-jevim deležem kakor 2 : §, med B-jevim in C-jevim kakor 4 : I, med C-jevim in D-jevim pa kaior -~ : Koliko sta dobila B in C, in kolik je bil ves iznesek, ako st a dobila A. in D skupaj 922 .5 gl.? 61 . Trije trgovci so nekaj časa skupno trgovali ter pridobili 3311 gl. Kakó je ta dobiček med-nje razdeliti, ako je bilo razmerje med njih vlogami kakor : -i-7-6. : 4-4 in je udeležba trajala v razmerji 6: 7 : 8 ? 62.* V katerem razmerji treba zmešati špirit po 60 stopinj i n po 45 stopinj, da bode imela zmes 50 stopinj ? 63. Koliko vode treba priliti k špiritu po 60 stopinj, da bode imela zmes le 6 stopinj ? 64. Mlinar hoče namešati od pšenice in reži 27 hl take zmesi, da bode tehtal hl po 76 kg ; koliko hl vsacega žita mora vzeti, ako tehta 1 hl pšenice 78 kg, 1 hl reži pa 72 kg? 65. 6x + 14y — 7z = 13, 5x ± 3y = 11. x—u+z 2x—2 5y+ 4z— 2x 25 3 t z 66. a (x — y) + b (x y) =.--- O, (x--y)(a2—b2) = 2a. 67. Ded in oče imata skupaj 112 let, oče in sin 46, ded i n sin 82. Koliko let ima vsak ? 68. Vsota treh števil je 85 . Drugo s prvim razdeljeno dá 2 za kvocijent in 7 za ostanek, tretje z druzim razdeljeno pa dá 2 za kvocijent in 1 za ostanek. Katera so ta tri števila ? 69. A, B, C so naložili vsak svoje imenje na obresti, in sice r A po 5 %, B po 54- % in C po 41%. A in B dobivata skupaj na leto 530 gl. obrestij, B in C 750 O., A in C pa 620 gl. Koliko je vsak izposodil? 70. Kapital naraste v 35 leta z jednostavnimi obrestimi vre d na 2814.24 gl., v 5 letih pa bi narastel na 3013 .5 gl. Kolik je kapital in po koliko °jo je na obresti naložen ? 71. Nekdo ima dvoje srebro. Ako zlije 74-kg prvega in 22 kg druzega, dobi srebro po 880 tisočnin čistine ; ako pa zlije 44. kg prvega in 5 kg druzega srebra, ondaj ima zlitina po 850 tisočni n čistine. Po koliko tisočnin čistine ima vsako srebro ? 72. Vlak predirja neko daljavo v določenem času. Ako bi predirjal vsako uro po 33 km več, potreboval bi za ono daljavo ur e mQj ; ako bi pa vsako uro po 14 km menj predirjal, potreboval b i 4 ure več.. Kolika je daljava in koliko časa potrebuje vlak, da j o predirja? 73. Narodna banka diskontuje dne 18. junija po 5 menico za 985 gl., izplačno zadnjega junija ; » » 556 » » sredi julija ; » » 1320 » izdano dne 28 . aprila 3 mesece a dato; » 1084 » izplačno 31 dnij po pokazu ter vzprejeto dn e 8. junija ; koliko mora za vse plačati ? 74. Dunajčan ima plačati v Londonu 425 funtov sterl. V ta namen kupi menico v Amsterdam po 98 (100 hol. gl. = 98 gl. a. v.) ter jo pošlje v London, kjer se mu za vsacih 11 . 75 hol . gl. 1 funt sterl . na korist zapiše. Koliko plača za oni dolg ? 1,75. Nekdo kupi dne 13. januvarja 3509 gl. zastavnih pisem d. a. hranilnice po 10(4, koliko mora zanje plačati? (Zaostale 51-0/0 obresti od dne 1 . novembra .) 76. 2) 1)x— . 4 3 2 + 2). 77, x + 3 12 + x a — b 78. x — 3 12 -- x cx 2b x 60 (x--a)2~ 3a 2 —b2 " +b — 79. -÷ 1 = 80. x — 6 x + 4. 2ax 2ax 81. Trgovec ima pri prodaji nekega blaga prav toliko °h, dobička, kolikor je bil za blago goldinarjev dal . Za koliko je bil blago kupil, ako ima 4 gl. dobička ? 82. Dve cevi napolnita skupaj vodnjak v 3 urah ; prva ga napolni sama 3 2 ure prej nego druga. V koliko urah napolni vsaka posamična cev vodnjak ? Neko mesto je imelo leta 1850 . 35846 prebivalcev ; koliko jih je imelo leta 1875,, ako se je pomnožilo prebivalstvo vsak o leto za 2J2--%? 26 1 84. Nekdo je 10000 gl . dolžán ; koliko bode še čez 10 let dolžán, ako odplača čez 3 leta 2500 gl ., čez 6 let 1000 gl. in se računa 5 0/0 obrestnih obrestij ? 85. A mora plačevati B-ju, dokler ta živi, vsako leto p o 320 gl. ; B pa želi, da mu izplača A vse izneske takój ; koliko m u bode A. izplačal, ako vzamemo, da bode B še 12 let živel in s e računa 5 0/o obrestnih obrestij ter celoletno kapitalizovanje? (Uporabi tablico v § 150. ) 86. A dobi iz Lyona 350 m svilene robe, m po 44 franka ; skonta se mu dovoli 2 0/0 , carina iznaša 20 0/0 , vozarina in drugi stroški. 4 0/0 kupnine. Po koliko gl . mora prodajati m, ako hoče imeti 20 °/, dobička, in se računa 100 frankov po 46 gl . ? 87. Dunajčan dobi iz Trsta 12 vreč milanskega riža, nečiste teže 2110 kg, tare 15 kg, 100 kg' čiste teže po 242 gl. Stroškov je v Trstu 5 gl. 25 kr., provizije 2 0/0 , vozarine po 2* gl. od 100 kg , carine po 80 kr . od 50 kg nečiste teže, stroškov na Dunaji 7 gl . 47 kr. Koliko ga stane 100 kg čiste teže na Dunaji ? Izračunaj, uporabljajoč logaritme : 57 88. 1/15. 89. 1/1 .25. 90. 1/7 1 v. 3 92. (2109 01)3. (1245)0.07. 9l . V59592 2456 85 * 19341 43 5 V1 . 3573 . V8.252 5076 93. 94. 6 . 8315 7381 '1'183 . 9,5 . Koliko časa treba kapital po 4 °to na obrestne obresti naložiti, da se potroji, ako se računa a) celoletno, b) poluletno kapitalizovanje ? 96. V gozdu se je pomnožil les v 12 letih od 27000 m 3 na 35000 m3; po koliko 0/0 ga je vsako leto priraslo ? 97. Po koliko 0/o treba 2525 gl. na obrestne obresti naložiti, (la bode ta kapital v 10 letih na prav toliko narasel, na koli kor narase kapital 2518 gl. v 12 letih, ako se po 50/0 na obrestne obresti naloži? Dodatek. O jedostaviiei knjigovodstvu.. Občna pojasnila . § Trgovci in obrtniki morajo vse dogodke, ki se tičejo nji h trgovskega imenja in njegovih izprememb, zapisavati v knjige, v to odločen, in to zaradi tega, da vsak čas natanko vedó, kakó je z njih trgovino ali obrtom, koliko imajo terjati in koliko so dolžni ter koliko je vsega njih imenja. To zapisavanje imenujemo knjigo vodstvo (Buchf"hrung, Buchhaltung) . § 2. Pri vsacem knjigovodstvu je treba najprej vedeti, koliko je bilo imenja takrat, ko se je začela trgovina ali obrt. K i m e n j u v Mrjem zmislu spada ne le vsa premičnina in neprimičnina, ki jo ima kdo v svoji lasti, nego tudi vse iz te posesti izvirajoče, še ne izpolnjene zaveze ; v ožjem zmislu razločujemo trojn o imenje : aktivno, pasivno in čisto imenje. K aktivnemu i m e n j u spadajo denarji in vse druge, denarn o vrednost imajoče stvari, katere ima kdo ali v svoji posesti ali o d drugih terjati, ne gledé na to, ali so vse te stvari njegova prosta , popolna lastnina, ali pa so zadolžene. V aktivno imenje trgovca spadajo tedaj denarji, državni papirji, blago, menice, ki se mu imajo izplačati, terjatve (aktivni dolgovi), premičnina (hiŠna oprava, orodje, i. t. d.) in neprimičnina (poslopja, zemljišča, i . t. d.) Pasi v n o im e n j e pa imenujemo vse, kar imajo drugi od trgovca ali obrtnika terjati. Semkaj spadajo menični in drugi dolgovi, katere ima poplačati (pasivni dolgovi) . Kar preostane, ako pasivno imenje od aktivnega imenja od štejemo, imenujemo čisto imenje. Popis in ocenitev vseh posamičnih sestavin aktivnega in pasivnega imenja imenujemo i n v e n t a r ali inventuro ; posamične sestavine treba v ta namen res prešteti, izvagati ali izmeriti. § Vsak dogodek, kateri sestavine trgovskega imenja izpremeni, zovemo poslovni dogodek (GeschLftsfalO . Poslovni dogodek je n . pr . , ako se blago proti gotovemu plačilu proda, kajti na ta način s e zmanjša zaloga, a gotovina se poveča. Da bode ~i poslovne dogodke v posamične knjige prav zapisavati, treba pred vsem natanko razločevati, kdo je dolžnik, kd o upnik. Vsak, ki od trgovca (obrtnika) kaj prejme, ne d a bi mu zato kaj dal, postane njegov dolžnik (debitor, Schuldner). Vsak, ki trgovcu (obrtniku) kaj dá, ne da bi za to o d njega kaj prejel, postane njegov upnik (creclitor, Glaubiger) . Dolžnika zaznamenujemo v knjigovodstvu z « d e b e t » ali « i m a dati» (debet, Soli), upnika pa s «credit» ali ((ima dobiti » (credit, Haben) . Koga za dolžnika zapisati, pravi se tudi : mu kaj v dolg zapisati (ihn debitieren, ihn belasten); koga za upnika za pisati, pravi se tudi : mu kaj n a korist (v imetek) zapisat i (ihn creditieren, ihm gutschreiben) . Pri meničnih plačilih velja tó-le : Vsak, ki menico izda, postane trasatov dolžnik za menični iznesek. Vsak, ki menico vzprejme, postane trasantov upnik. Vsak, ki nam menico pošlje, postane naš upnik za menični iznesek . Vsak, ki rimeso prejme, postane pošiljateljev dolžnik . § 4. Poslovne dogodke zapisujemo v različne knjige ali po vrsti, kakor se ravno kateri pripeti, ali pa istovrstne skupaj v oddelke z a to odločene. Knjigo, v katero se zapisujejo najprej vsi oni poslovni dogodki , pri katerih se ne plačuje v gotovini, po vrsti, kakor se godé, zovem o dnevnik (Tagebuch, Journal, Prima-Nota). V blagajniško knjigo (Cassabuch) zapisujemo prejemke in izdatke v gotovini, tudi po vrsti, kakor prihajajo. Knjigo, v katero zapisujemo naših trgovskih prijateljev dol gove in terjatve, po osebah razvrščene, imenujemo glavno knjig o (Hauptbuch) . Knjige, ki one poslovne dogodke, katerih dnevnik le kratk o omenja, natančnejše opisujejo, ali prejem in oddajo onih stvarij obširneje popisujejo, katere so v blagajniški in glavni knjigi le posredn o zaračunane, zovemo postranske ali p o m o č n e knjige (eben-oder Hilfsbúcher) . Njih število se ravna po tem, kaka in kolika je trgovina. Najvažnejše so : pis m o vni p r e p i s ni k (Briefcopierbuch), fakturna knjiga (Facturenbuch), skontrovne knjige (Scontrobúcher), in sicer blagovni skontrovnik ali blagovnik (Waren- Scontro, Warenbuch), menični skontrovnik ali menični k (Wechsel-Scontro), skontrovnik za vrednostne papirje (Efecten- Scontro) in d o s p e t n i k (Verfallsbuch). § 5. Račun, v katerega zapisujemo vse poslovne dogodke, ki se tičejo jedne in iste osebe ali stvari, imenujemo konto (Conto) . Konti so dvoji : osebni konti in stvarni konti ; prvi pojasnjujejo ra čunska razmerja z osebami, drugi računska razmerja neživih sestavin imenja. Vsak konto ima dve nasprotni strani. Na levo, z «debet » ali «ima dati » zaznamenovano stran se zapisujejo oni postavk i (Posten), za katere postane oseba ali stvar dolžnik trgovine ali obrta, na desno s «credit» ali «ilrla dobiti » zaznamenovano stran p a oni, za katere postane oseba ali stvar upnik . § Da iz knjig ni le razvidno, koliko je dolgov in terjatev, nego tudi koliko je pri vsakaterem blagu dobička ali izgube, zapisuje se vsak postavek po dvakrat, namreč pod «debet » jednega in ob jed nem pod «Credit» druzega konta, takó da sta si «debet» in «er odit» različnih kontov vedno jednaka. Táko zapisavanje služi tudi v kontrolo, ali se je res vse prav vknjižilo. To vknjiževanje imenujemo dvojno knjigovodstvo (doppelte Buchfihrung) . Poslovni dogodki se pa vknjižujejo lahko tudi takó, da je raz vidno pred vsem računsko razmerje s trgovskimi prijatelji . Táko vknjiževanje zovemo jednostavno knjigovodstvo (einfache Buck fijhrung). A tudi iz jednostavnega knjigovodstva se dá vspeh trgo vine (obrta) v obče razvideti. Jednostavno knjigovodstvo je pripravno osobito za manjše trgovine, za obrte in rokodelstva. Tu se hočemo pečati le z jednostavnim knjigovodstvom . § 7. Kakó je posamične knjige voditi, določuje deloma zakon, deloma pa veljajo občna načela in oblike, kakor so se v trgovskem prometu s časom razvile . V prvem ozira določuje občni trgovski zakonik z dne 17 . dec. . 1862. tó-le : Člen 28.: «Vsak trgovec je dolžán knjige voditi, iz katerih je razvidna njega trgovina in stan njegovega Imenja . On je dolžán prejeta trgovska pisma hraniti in od odposlani h prepise (odtise) pridržavati ter po vrsti, kakor gredó, v pismovn i prepisnik vpisavati . » Člen 29.: «Vsak trgovec mora tedaj, ko začne trgovati., natanko popisati vsa svoja zemljišča, svoje terjatve in dolgove, svoj o gotovino in vse drugo svoje imenje, ob jednem tudi povedati, ko liko so posamični deli imenja vredni ter ta popis takti skleniti, d a je razmerje med imenjem in dolgovi razvidno ; tak inventar in tako bilanco mora izdelati vsako leto . » Člen 30.: «Inventar in bilanco mora trgovec svojeročno podpisati. Ako je več družbenikov, ki so vsak zá-se porok, ondaj morajo vsi podpisati . Inventar in bilanca se zapisujeta lahko v knjigo, za to od ločeno, ali pa se sestavita vsakokrat vsak posebej . V zadnjem slučaji se morajo inventarji in bilance po vrsti urejevati ter hraniti. » Člen 31 . : «Sestavljaje inventar in bilanco treba postaviti vse m delom imenja in terjatvam ceno, ki jo ob popisu res imajo . Dvomnim terjatvam je postaviti verjetno ceno, one pa, ki s e ne dadé izterjati, je treba odpisati . Člen 32. : «Pri vknjiževanji v trgovske knjige in pri druzih potrebnih zapiskih se mora posluževati trgovec katerega živečega jezika in njega pismen. Knjige morajo biti vezane in list za listom mora imeti zapo redoma tekoče število . Na prostoru, ki se navadno popisuje, ne sme ostati prazni h mest . Kar se je s prva zapisalo, se ne sme s prečrtavanjem ali na 266 kak drug način takó predrugačiti, da bi se ne moglo čitati ; strgati (radieren) se ne sme nič in tudi ne takó predrugačiti, da bi se potem n e vedelo, ali je bilo s prva takó, ali se je še le pozneje takó naredilo. Člen 33. : « Trgovci morajo trgovske knjige deset let, hraniti , računajoč od dne, katerega se je zadnjič kaj vanje zapisalo . Prav tisto velja o prejetih trgovskih pismih, o inventarjih "i n bilancah. Člen 34. : «Trgovske knjige, katere so se pravilno vodile, veljajo trgovcem pri pravdah o trgovskih stvareh za nepopoln dokaz , katerega je moči s prisego ali drugimi dokazili popolniti. Člen 35.: «Koliko se je moči na trgovske knjige, katere so se nepravilno vodile, kot dokazilo ozirati, ravna se po tem, kakšna in kakó važna je nepravilnost in vsa stvar sploh. » Člen 36. :