Izdelava matematičnega modela DK 517 947 ^^oS za ogrevanje jekla asm/sla: u4s, f216 v industrijskih pečeh* Božidar Brudar Opisan je primer, kjer s pomočjo matematičnega modela predvidevamo skrajšanje procesa ogrevanja in s tem prihranek energije. Predpostavljamo, da gre za izmenjavo toplote s sevanjem. Enačbo za prevajanje toplote smo rešili numerič-no za dvodimenzionalni model. uvod Za uspešno valjanje jeklenih ingotov in bram je potrebno, da jih enakomerno ogrejemo na temperaturo od 1200° do 1300° C. V jeseniški železarni jih ogrevamo v globinskih pečeh, ki so kurjene z mazutom. Koliko časa moramo segrevati bloke v globinski peči, je odvisno od začetne toplotne vsebnosti. Ta pa je odvisna od časa, ki preteče od konca vlivanja v jeklarni do prihoda v valjamo (track time). S stališča ekonomike ogrevanja je zaželeno, da je ta čas čim krajši. Od specifične toplote in toplotne prevodnosti materiala pa je odvisno, koliko časa traja, da se hladen blok ogreje na zaželeno temperaturo. Izdelali smo matematični model, po katerem lahko izračunamo, kako hitro se ogreje tak blok od 0° do 1300° C, če je temperatura površine ves čas 1300° C. Tako smo simulirali najhitrejše možno ogrevanje hladnega bloka. Če pa hočemo določiti, koliko časa moramo ogrevati v globinski peči blok, ki je še vroč, je treba najprej poznati njegovo začetno temperaturno porazdelitev. Izdelali smo dvodimenzionalni matematični model, s katerim smo simulirali ogrevanje in ohlajanje vročega bloka s sevanjem. Ko smo določili začetni temperaturni profil v preseku brame B 8, smo izračunali temperaturno porazdelitev in toplotno vsebnost za nekaj tipičnih pogojev ogrevanja. V obeh primerih smo predpostavili, da so naši bloki v obliki kvadra in da so specifična toplota, toplotna prevodnost in gostota materiala konstante1. * To je povzetek elaborata ki je bil izdelan s sofinansi-ranjem SBK naloga št. 236 — 1973 Božidar Brudar je diplomirani inženir in magister fizike in višji strokovni sodelavec v raziskovalnem oddelku Železarne Jesenice. Seznam uporabljenih simbolov a —■ dolžina kvadra b — širina (kvadra c — višina 'kvadra cp — specifična toplota h — brezdimenzijski korak v (krajevni smeri 1 — brezdimenzijski korak v časovni smeri r — brezdimenzijska koordinata v smeri x (kvader) R — mrežna razdalja s — brezdimenzijska koordinata v smer; y (kvader) S — konstanta, ki povezuje krajevni in časovni korak t — čas t„ — referenčni čas t' — časovni korak T — temperatura v bloku Tv — temperatura na površini bloka (homogeni pogoji) T, — temperatura bloka v začetku Tq — temperatura v sredini preseka Ti — temperatura v okolici bloka u — temperatura v brezdimenzijski obliki (kvader) v — brezdimenzijska koordinata v smeri z (kvader) w — čas v brezdimenzijski obliki (kvader) x — krajevna koordinata v smeri dolžine pravokotnika x„ — referenčna dolžina X, — ortogonalni polinom (e) X2 — ortogonalni polinom (T0) Xim — vrednosti, pri katerih je Y minimalen X2m y — krajevna koordinata v smeri širine pravokotnika Y — vsota kvadratov razlik temperature (sevanje) z — krajevna koordinata v smeri višine kvadra e — emisijski koeficient i — brezdimenzijska koordinata v smeri y (sevanje) $ — temperatura v brezdimenzijski obliki za primer sevanja X — toplotna prevodnost 5 — brezdimenzijska koordinata v smeri x (sevanje) p — gostota snovi a — Štefanova konstanta t — čas v brezdimenzijski obliki za primer sevanja ogrevanje hladnega bloka Predpostavljamo, da imamo ingot v obliki kvadra z robovi a, b, c z začetno temperaturo T (x, y, z, 0) = T,. Izhodišče koordinatnega sistema si izberemo v enem od oglov kvadra, osi pa so vzporedne z robovi a, b, c. Blok postavimo v peč, ki ima tako moč, da je temperatura površine bloka ves čas Tv = konst. Toplotno enačbo 32T , 92T 92T p.cp a T ... H---1--— ---(1) ax2 ay2 a z2 \ g t smo rešili s Fourierovo metodo za separacijo spremenljivk. Pri tem smo si izbrali začetni pogoj T (x, y, z, 0) = T! in robne pogoje: T (0, y, z, t) = T (a, y, z, t) = Tv T (x, 0, z, t) = T (x, b, z, t) = Tv T (x, y, 0, t) = T(x,y,c,t) = Tv Rešitev enačbe (1) lahko zapišemo (Dodatek I) v obliki: t-i.-f^ k, k2 k, u3. k, . k2. k3 ^ a ' k,ny \ . ( k,nz sin | . sm . exp pri čemer so k1; k2, k3 zaporedna liha cela števila. Tako lahko izračunamo temperaturo za vsako točko ob vsakem času. Izdelali smo računalni- 1300° C 1000- 1300°C 700-1000°C 500 - 700°C td0-50CK 300 - iCO'C 200 -30CK ■X 0 0,5 1,0 (m) Slika 1 Porazdelitev temperature v osnem preseku po 1 uri ogrevanja 1300°C 1100-1300°C Slika 2 Porazdelitev temperature v osnem preseku po 2 urah ogrevanja ški program, ker je računanje trojnih vrst zelo zamudno. Po tem programu lahko za vsak kvader poljubnih dimenzij in lastnosti izračunamo, kako se temperatura spreminja s časom, če predpostavimo tako idealno ogrevanje. Na slikah 1 — 5 so narisane izoterme v osnem preseku brame B 8 (a = 1,170 m, b = 0,630 m, c = = 1,950 m, p = 7800 kg/m3, X = 20,0 kcal/mhst, cP = 0,170 kcal/kgst) po 1 uri, dveh urah, treh urah, petih urah in osmih urah ogrevanja, če je Tj = 0°C, in Tv = 1300° C. OGREVANJE TOPLEGA BLOKA Pri zalaganju toplih blokov v globinsko peč (kratek track time) je treba upoštevati, da že blok sam vsebuje precej toplote. Od začetne porazdelitve temperature je odvisno, koliko časa mora blok ostati še v peči, da doseže temperaturno porazdelitev, ki je primerna za valjanje. Porazdelitev temperature v srednji presečni ploskvi brame smo določili takole. Bramo B 8 s transportnim časom približno 2 uri smo postavili na tla, pokrita z dolomitnim peskom. Tudi glava je bila prekrita z ostanki lun- Slika 3 Porazdelitev temperature v osnem preseku po 3 urah ogrevanja keritskega praška in zato toplotno izolirana. Temperatura okolice je bila 20° C in tako se je brama ohlajala na zraku 3 ure. Vsakih 15 minut smo izmerili temperaturo v sredini obeh stranskih ploskev v točkah A in B (slika 6). Izmerjene vrednosti smo narisali kot točke na sliki 7 in se vprašali, kakšna je morala biti temperaturna porazdelitev v začetku, če predpostavljamo, da se je blok 3 ure hladil s sevanjem. Nadalje smo predpostavljali, da je bila začetna porazdelitev taka, kot jo prikazuje slika 6, kjer pada temperatura v smeri I in J od srednje vrednosti T0 po paraboli druge stopnje, obenem pa je temperatura v točkah A in B enaka začetnim izmerjenim vrednostim (810° oziroma 900° C). Predpostavljali smo, da je ohlajanje dvodimenzionalno in z metodo ortogonalnih polinomov (Dodatek III) poiskali take vrednosti za T0 in emisijski koeficient e, da se je izračunani potek temperature v točkah A in B kar najbolje ujemal z izmerjenimi vrednostmi. Tako smo izračunali, da je T0 = 1360° C in e = 0,99. Takrat je bila vsota kvadratov razlik med izračunanimi in izmerjenimi temperaturami v točkah A in B minimalna. Srednje pov- prečno odstopanje med izmerjenimi in izračunanimi temperaturami je znašalo = 16° C. (Krivulji na sliki 7). Če torej privzamemo, da je Tc = 1360° C in t = 0,99 in da se temperatura po preseku spreminja po paraboli drugega reda, dobimo pri ohlajanju s sevanjem v točkah A in B temperaturni potek, ki je kar najbolj podoben izmerjenemu. Tak blok bomo imenovali optimalni blok. Poskusili smo tudi s predpostavko, da je temperatura po preseku porazdeljena po paraboli 4. reda, pa smo dobili precej slabše rezultate. Vrednost za e je v okviru vrednosti, ki so jih dobili drugi avtorji10' n, ki so upoštevali konvekcijo. Tudi praktično smo se prepričali, da je takšen model pravilen13. V laboratoriju smo ogreli manjši blok (100 X 100 X 200 mm) na 1220« C in ga pustili, da se je hladil na zraku. Pri tem smo merili temperaturo v sredini bloka in v sredini stranske ploskve. Primerjali smo izmerjene vrednosti z izračunanimi po tem modelu. Enačba, ki smo jo reševali za primer sevanja: + p.^L (2) a x2 gy2 X a, t Slika 4 Porazdelitev temperature v osnem preseku po 5 urah ogrevanja I290-1300°C 1280-129CK 1270-128CTC 1260- 127CPC Slika 6 Predvidena začetna porazdelitev temperature Robni pogoji: 1 = e.o-.dp«-!/) o V ;x = Cas ( ure) Slika 7 Temperatura na površini brame v točkah A in B (točke — izmerjena, črta — izračunana) 200----- J II_J- 0 5 TO 15 | 20 25 B S Mrežne točke Slika 8 Optimalni blok na zraku s temperaturo 20* C Slika 5 Porazdelitev temperature v osnem preseku po 8 urah ogrevanja Slika 9 Optimalni blok v peči s temperaturo 1300° C Zaradi nelinearnih robnih pogojev smo jo rešili numerično3 in izdelali računalniški program13 za tak dvodimenzionalni problem. Z njim smo simulirali nekaj tipov ogrevanja in ohlajanja in prišli do zanimivih zaključkov. V dodatku II je nakazan način, po katerem smo rešili ta problem. OHLAJANJE NA ZRAKU IN ZALAGANJE V PEČ Na sliki 8 je narisan temperaturni potek v srednji presečni ploskvi brame B 8 v smeri B — S (slika 6), ki bi se ohlajala na zraku s temperaturo 20° C. Oglejmo si potek temperature pri bloku, ki bi ga takoj založili v peč (slika 9) in pri bloku, ki bi se prej 1 uro hladil na zraku (slika 10). Pri ohlajanju na zraku bi se toplotna vsebnost tako zmanjšala, da bi potrebovali 2 uri ogrevanja več, če bi hoteli doseči enako temperaturno porazdelitev kot pri optimalnem bloku. Na slikah 11, 12, 13 in 14 so narisani temperaturni profili v srednji presečni ploskvi v optimal-J nem bloku, ki bi se najprej 1 uro ohlajal na zraku po 15 minutah ogrevanja v peči, po 1 uri in po 2 urah ogrevanja v peči s temperaturo 1300° C. Zanimivo je videti, kako bi prodirala toplota v tak blok z zunanje strani in od sredine navzven. o U- s m tu —i M M « O c optimalni blok brez homogen. optim. bi. 1 uro homi na 900° C d? d ° g do .3 ho* s-3 S O m C optim. bi. 1 uro hlajenja na zraku v začetku 169,7 172,0 161,9 146,4 po pol ure 199,0 193,4 184,9 181,4 po 1 uri 206,0 200,5 193,4 192,1 po 2 urah 212,0 208,4 203,6 203,3 po 3 urah 215,5 212,9 209,7 209,6 Zato smo pri večini internih predpisov za ogrevanje delno ali v celoti odpravili začetno homo-genizacijo. 128CC 1200-1300%: 1100-1200°C D50-W0°C 1000 -1050°C 900-100CTC 1276°C 1250% -1300°C 1200°C -1250°C ■115CTC -1200°C -1275 r ^ 200 LEGENDA 7 2 v Cas (ure) -WO°C -1200° C -1100° C -1000°C \-900°C Slilka 14 Porazdelitev temperature po 2 urah ogrevanja 0 B 10 15 -J Mrežne točke Slilka 15 Optimalni blok v peči s temperaturo 900" C optimalni blok v peči ----7 ura homogenizacije (900°C) -----3ure homogenizacije (900°C) -------/uro ohlajanja na zraku (20°C) Slika 16 Ogrevanje brame z različnimi začetnimi pogoji (°C) 1500 20 1000 500 B (kcal/kg,- Temperatura homogenizacije 90(fC I Ki nadaljnih Turah ogrevanja po 3 ur lh hamoge-nizacijt na 900°C II. 1 - 0 ' 1 . . homogenz 900C 960C\K120 : wo'c mdt\ itad . 1$ (h. 1200 C Slika 17 Ogrevainje po regulativu Začetna temperatura 960°C 1 1 -ah na KOCK I 1 \ 1 ——r*""—-^. i \ / i l V r \ po Turi na 960°C j po turah na \ 1 1 1 t 1 1 1 l 1 i 1100° C \ 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 l sredina Slika 18 Ogrevanje brez homogenizacije SIMULIRANJE REŽIMA OGREVANJA Interni predpis Železarne Jesenice za ogrevanje blokov neke določene kvalitete predpisuje naslednje: Vroč blok naj ostane 3 ure v nekurjeni vroči komori globinske peči. Nato jo je treba ogreti na 1100° C s hitrostjo 60° C/h. Na tej temperaturi naj ostane 3 ure. Nato je treba segreti peč na temperaturo 1200° C s hitrostjo 40°/h. Na tej temperaturi naj bi ostala 4 ure. Takšno ogrevanje smo simulirali z našim dvodimenzionalnim modelom. Na sliki 17 je narisan temperaturni profil v smeri B-S-A za ogrevanje po tem predpisu. Nato smo računsko »odpravili« začetno homo-genizacijo pri temperaturi 900° C (slika 18) in za eno uro skrajšali čas zadrževanja na temperaturi 1100° C in 1200° C (slika 19). Po teh računskih eksperimentih bi toplotna vsebnost v bloku še vedno naraščala tako, da bi to ne presegalo zmogljivosti naših peči, čas ogrevanja bi bil pa znatno krajši. Iz slike 17 se lepo vidi, kako bi padala toplotna vsebnost zaradi začetne homogenizacije. Res je, da bi se tempera- Slika 19 Ogrevanje brez homogenizacije, skrajšano za 2 uri ture izenačile, vendar pa bi bil blok po 5 urah energijsko še vedno na istem kot ob zalaganju v peč. Podobno obdelavo smo naredili tudi s predpostavko, da je začetna temperatura nekur-jene komore 1000° C. Tudi v tem primeru smo ugotovili, da bi bilo možno znatno skrajšati čas zadrževanja na temperaturi 1100° C. Tudi na podlagi teh ugotovitev smo naredili pomembne spremembe v naših regulativih. Prednost eksperimentiranja z modelom je v tem, da lahko računsko spreminjamo posamezne faze in ugotavljamo, kako bi se to odražalo v celotnem procesu. Zaključek Opisana analiza ogrevanja in ohlajanja z matematičnim modelom nakazuje širše možnosti pri uporabi matematične fizike pri izboljševanju tehnologije in povečevanju proizvodnje. S prvim modelom smo simulirali najhitrejše možno ogrevanje hladnega bloka, z drugim pa smo simulirali bolj realne pogoje pri zalaganju vročih blokov v globinsko peč. Če je model veren prikaz dejanskih pogojev, je s pomočjo računalnika možno Začetna temperatura 960°C ro 1500 (kcal/kg) azdelitev eksperimentirati (spreminjati parametre v modelu), kar je hitrejše in mnogo cenejše kot eksperimentiranje v praksi. Računalniški program lahko uporabimo tudi za druge dimenzije blokov z drugimi fizikalnimi lastnostmi. Nadaljnje delo bo potekalo v smeri izpopolnjevanja računalniških programov13, da bo model bolje opisoval dejansko dogajanje. Predvsem bo treba kontrolirati temperaturo v več točkah na površini in upoštevati tudi fazne spremembe12 v bloku, pri katerih pride do sproščanja toplote. Upoštevati bo treba tudi to, da se pri različnih kvalitetah specifična toplota in toplotna prevodnost spreminjajo s temperaturo2. Posebej bo treba študirati problem konvekcije. Očitno pa je, da že grob model da zelo koristne rezultate in nakazuje, katerim fazam tehnološkega procesa je treba posvetiti posebno pozornost. Dodatek I. Enačbo I smo pretvorili v brezdimenzijsko obliko z uvedbo novih spremenljivk: U = T—T„ T,. x r = — s = -y-b a2. p . cP v = w — 37-U ar + — ■2 b2 t„ = a2U a2U -+- 9SZ aU 3W (3) Robni pogoji: U (0, s, v, w) = U (1, s, v, w) = 0 U (r, 0, v, w) = U (r, 1, v, w) = 0 U (r, s, 0, w) = U (r, s, l,w) = 0 Začetni pogoji: U (r, s, v, 0) = lir1! Ti Enačbo (3) rešimo s Fourierovo metodo za se-paracijo spremenljivk. Vpeljemo: U (r, s, v, w) = W (w). R (r). S (s). . V (v) in to vstavimo v enačbo (3). Ce nato levo in desno stran enačbe delimo z (R . S . V . W), dobimo naslednji izraz: W' R" S" V" —.=— + — +—• = — K2 W R S V Če upoštevamo robne pogoje, lahko zapišemo rešitev enačbe (3) v obliki: U (r, s, v, w) = ^ d (k„ k2, k3). sin (kjitr). sin k„k2,k3 (k2us). sin (kjTtv). exp (—K2w) pri čemer je K2 = k^2 + + b2 c1 k,, k2, k3, po katerih seštevamo, so zaporedna cela števila 1, 2, 3 .... Konstante d (k1; k2, k3) določimo iz začetnega pogoja. V času t = 0 namreč velja: 2 d (kj, k2, k3). sin sinf^ k„k2,k3 V a / V b sinp^j.I^ če levo in desno stran množimo s sm J .sin- sin- a b c in integriramo po x v mejah od 0 do a, po y v mejah od 0 do b in po z v mejah od 0 do c, dobimo: d (k„ k2, k3) = T'~Tv . --- T, n3. k,. k2. k3 pri čemer so kj, k2, k3 zaporedna liha cela števila. Končno lahko zapišemo splošno rešitev enačbe (1): 64 . (T,—Tv) T (x, y, z, t) = Tv+ 2 k„k2,k3 ' ki?cx \ . / k2Tty sm- sinl . exp a 7t2 . X . t / . Cp. a2( . /1 , sm - ■k3 . k!. k2 k3itz sm k,2 + —k22 + —k32 b2 Rešitev (4) je zapisana v obliki neskončne vsote po lihih celih vrednostih ku k2 in k3. Zaradi eksponentne funkcije ta vsota razmeroma hitro konvergira. x„ = Dodatek II. Vpeljemo nove spremenljivke: x y t TI = — T=- x0 xa t, X p . cp. \ n = t = --& E ■ ff • T,3 t„ = ■th6. A = T t7 e . ff . xc Tz4 Td .. . neka zunanja temperatura Tako lahko zapišemo enačbo v brezdimenzijski obliki: '(5) = V —A V^/p e2 d _ d'r\2 Robni pogoj: dT Indeks p označuje, da je treba upoštevati vrednosti na robu. Enačbo (5) smo rešili numerično za pravokotnik in kvadrat. Pri pravokotniku smo si izbrali takšne dimenzije, da so se le-te ujemale z velikostjo srednje presečne ploskve brame B 8, pri kvadratu smo pa upoštevali dimenzije ingota OK 650. Pravokotnik smo razdelili na mrežo kvadratov s stranico R = 0,0315 m. Tako smo v pravokotniku srednje presečne ploskve brame B 8 dobili mrežo 21 x 38 točk. Pri ingotu smo izbrali mrežno razdaljo R = 0,0325 m in študirali 21 x 21 mrežnih točk. Če mrežno razdaljo R delimo z x0, dobimo brezdimenzijski korak v krajevni smeri h = — Podobno dobimo brezdimenzijski korak v časovni smeri 1, če delimo časovni korak t' s časom t0: 1 = t' časovnega koraka si ne moremo več poljubno izbrati. Stabilnostni kriterij za reševanje enačbe2 zahteva, da mora biti izpolnjen pogoj: h2 4 Ugodno je izbrati za S = 0,25, ker se pri taki izbiri koraka v krajevni smeri izkaže, da je t' = 1 minuta v obeh primerih. V točki (i, j) mreže (slika 20) lahko izračunamo »brezdimenzijsko« temperaturo #i,j,k+i časovnem koraku, če poznamo temperaturo v sosednjih točkah po k-tem koraku: k+ 1 = S ■ ( —l.j, k + + l,j,k + 1, k + + 0u + i.k) + (1—4S).0u>k+ ... (6) llli-r iT/ U l) [i 1Rj*i R 4- 2 h Dodatek III. V tabeli II je podana vsota kvadratov razlik med izmerjenimi in izračunanimi temperaturami v točkah A in B za vse kombinacije parametrov e in Tc. Z analizo variance4'8 (Tabela III) smo določili, koliko prispevajo posamezni ortogonalni polinomi5. 6'7 k vsoti kvadratov odvisne spremenljivke Y. Pri tem predstavlja L linearno komponento, Q kvadratično, K kubično in Č komponento četrte stopnje. o rJC ! a s 1 t i Slika 21 Mrežne točke na robu ploskve Tabela II m 1 0. X u) 7 0, 1H X U) j—I + 00 'L? X uJ m + r-II 0 L 11 X u) x2 = — 2 T = x 0 1000° C 75072 47943 27641 15752 x2 = — 1 T = 1100° C 41857 22446 11475 11114 x2 = 0 T = 0 — 1200° C 18922 8724 7745 19604 x2 = + 1 T = 1300° C 7350 5931 15254 39892 x2 = + 2 T = 0 1400« C 5087 12996 33957 71497 Slika 20 Mrežne točke v sredini ploskve Po formuli (6) lahko izračunamo temperaturo v vsaki točki znotraj pravokotnika. Če hočemo izračunati še temperature na robu (slika 21), je treba rešiti enačbo (7), ki odgovarja sevalnemu robnemu pogoju: Če upoštevamo le člene do druge stopnje polinoma, upoštevamo le efekte Lp, QT, Qe in LT. Le (tabela IV). Linearna komponenta Le in vse ostale so statistično nepomembne9. Regresijska formula: Y = 25013 — 2601. X2 + 5618 . X22 + 5602 . X!2 + + 5235 . X,. X2 pri čemer je (7) X2 = T—1200 100 X,= 0,85 —e 0,05 Numerično reševanje s tako kratkim časovnim korakom je precej zamudno3. Zato smo izdelali obširnejši program za računalnik za poljuben kvadrat ali pravokotnik. X/ = x,2 = _/ T— 1200 y_2 100 J /0.85-e V 51 l 0,05 J J Tabela III Tabela V Efekti Komponente Vsota kvadratov x (106) Prost, stopnje LT 271,5 1 T Qt 1767,1 1 Kx 0,9 1 ČT 0,0 1 Vsota (T) 2039,5 4 Le 7,1 1 £ Os 627,6 1 K£ 2,4 1 Vsota (e) 637,1 3 Lr-L, 5481,6 1 T . E Qt • oE LT.QE 5,2 32,0 1 1 Qt.Le 0,0 1 Vsota (T. e) 5518,8 4 Ostanek 0,5 8 Vsota 8195,9 19 Tabela IV: Efekti Kompo- yso'a ; kvadr. nente x (106) Prost. Povp. st. kv. Opomba LT T Qt e T . e LT . L 271.5 1767,1 627.6 5481,6 1 1 1 1 Vsota 8147,8 4 Ostanek 48,1 15 Vsota 8195,9 19 3,2 R2 = 0,994 Minimum določimo iz pogojev c? Y Ti" = 0. 9Y as X 1 min 3,35 e = 1,02 = 0. X2min = 1,79 T„ = 1380° C Efelkti Komponente Vsota ikvadr. x (10s) Prost, st. Si; e . T QT l£ Qe l£ L, . Qt 271.5 1767,1 7.1 627.6 5481,6 32,0 5.2 Vsota 8192,1 Ostanek 3,8 12 0,3 Vsota 8195,9 19 Regresijska formula: Y = 25013 — 2601 . X2 + 5618 . X22 + 5602 . X!2 + + 5235 . X,. X2 + 267 . X, + 895 . X2. + + 136 . X22. X[ Minimum določimo iz pogojev: aY 3 T 2>£ 0 in 91=0 Ximin — 2,2 e = 0,96 X 1,34 ■2 min T„ = 1334° C če pa upoštevamo člene do tretje stopnje, so pomembni sledeči efekti: Lx, QT, LE, 0E , LE . Lx, Q£ Lt in Le . Qx (tabela V). Komponente višjih stopenj so nepomembne, če pomembnost ocenjujemo z F-testom9. če vzamemo srednjo vrednost rezultatov iz obeh regresijskih enačb, je £ = 0,99 in T0 = 1360° C. Literatura 1. W. Hedligenstaedt: Warmetechnische Rechnungen fiir Industrieofen, Verlag Stahleisen M. B. H., Diisseldorf 1951, stran 77 in 173. 2. H. Koline: Digitale und analoge Losungsmethoden der Wamieleitungsgleichungen, Westdeuscher Verlag, Koln und Opladen 1970. 3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press 4. B. Ostle: Statistics in Research, The Iowa State Univer-sity Press, 1969 5. O. L. Davies: Design and Analysis of Industrial Experi-ments, Hafner Publishing Company, 1971 6. B. Brudar: Interpretacija diagramov, Železarski zbornik 1973, št. 1 B. Brudar: Faktorski posikus in metoda ortogonalnih polinomov, Železarski zbornik 1973, št. 2 7. A. Linder: Planen und Auswerten von Versuchen, Birk-hauser Verlag, Basel 1969 8. System/360 Scientific Subroutine Package (360 A-CM-03) Version III., IBM Programers'Manual 9. A. H. Bowker, G. J. Lieberman: Engineering Statistics, Prentice — Hali, Inc., 1959 10. Elliot, Gleisser, Ramakrishna: Thermochemistry for Steel-maiking, Addisson Wesley Publishing Company, Inc., stran 740 11. E. Millies: Das Temperaturfeld eines Vorbandes, Archiv fiir das Eisenhiittenwesen, Heft 9, Sept. 1964, stran 855 12. L. S. Darken, R. W. Gurry: The Physical Chemistry of Metals, Mc Graw Hill Booik Company, 1953, stran 397 13. B. Brudar: Magistrsko delo, 1973 ZUSAMMENFASSUNG Um die Stahlblocke erfolgreich walzen zu konnen, miissen diese gleichmassig auf eine Temperatur 1200°— —1300° C aufgewarmt sein. Die Erwarmungszeit ist von dem Anfangswarmegehalt, der spezifischen Warme und der Warmeleitfahigkeit abhangig. Ein mathematischer Modeli ist ausarbeitet worden, nach welchem die notige Warmezeit zum ervvarmen des Blockes von 0° bis auf 1300° C errechnet vverden kann, \venn die Oberflachentemperatur durchaus 1300° C ist. So ist die schnellst mogliche Erwarmung eines kalten Blockes simuliert worden. Fiir das Studium der Erwarmung heisser Blocke ist ein zweidimensioneller mathematischer Modeli ausarbeitet \vorden, mit welchem das Erwarmen und Abkiihlungen durch das Strahlen simulliert worden ist. Den Anfangs-temperaturprofil im Querschnitt der Bramme B 8 (9200 kp) haben wir festgestellt, und danach die Temperaturver-teilung und den Warmegehalt fiir einige Warmebedingun-gen ausgerechnet. Wir haben festgestellt, dass wir ziemlich viel Energie und Zeit ersparen konnten, wenn wir ubereinstimmend mit diesem Modeli die Anfangshomogenisierung abschaffen und einige Phasen bei der Erwarmung der heissen Blocke in Tiefofen verkiirzen wiirden. SUMMARY Satisfactorial rolling of steel ingots is conditioned by uniform soaking to 1200—1300° C. Time of heating depends on the initial heat capacity, specific heat, and themial conductivity of material. A mathemathical model is proposed for calculation of heating cold ingot to 1300° C if the surface temperature is constant at 1300° C. Thus the fastest heating of cold ingot is being simulated. Further, a two-dimensional mathematical model is proposed for heating hot ingots taking in account heating and cooling by radiation. The initial temperature profile in the cross section of the B 8 (9200 kp) slab was determined, the variation of temperature was calculated, and the heat capacity for various heating conditions was specified. Substantial amount of energy and time could be saved if initial homogenizing were abolished and some steps of heating hot ingots in pits \vere shortened. 3AKAIOTEHHE Aah vcneniHora npoKaTbiBaHHfl cahtkob CTaAH Heo6xoAHMO hx paBHOMepHO corpeTb Ha Teiun-pv 1200—1300° U. IIpoAOAJKiiTeAb-HOCTfa narpeBa 3aBHCHTt ot ha^aALHOra coAep>KaHHa TenAOTbi, yAeAb-ho« tenaotb h tenaonpoboahocth MaTepiiaaa. PaCCMOTpeH MaTaMaTHMeCKHH MOAeAb, Ha OCHOBaHHH KOTOpora mojkho BbicTOTaTb 6bicTpoTy HarpeBanHH x0A0AH0ra CAHTKa c 0° AO 1300° u, n0A VCAOBIKM ecAH TeMn-pa noBepxHoc™ CAHTKa Bce BpeMS HarpeBa Ha BbicoTe 1300° U. TaKHM 06pa30M yAaAOCb cth-myahpobatb HarpesaHne xoA0AH0ra CAHTKa b caMoe KopoTKoe BpeMfl. Aah H3yHeiiHH HarpeBa ropai«lx cahtkob pa3pa5oiaH AByxpa3-Mepubifl m a :re m MI !i*iecK HH moacab npn noMomu KOTopora cthmyah-poBaAH HarpeB h 0XAa>KACime b33b bo BHHMaHHe paAnauiiio. Onpe-AeAH.vn nepBOHaiaABHbiii TeMnepaTypHbttt npocjiiiAi. b ceieHHH SpaMU B 8 (9200 Kn) h BbimicAHTH TeMnepaxypHoe paccnpeAeAemie ii coAepacaHHe TenAOTbi aas HeKOTopux ycAOBHii HarpeBa. VCTaHOBACHO, HTO MOJKHO cGepe^b AOCTaTOMHO 3HeprHH H Bpe-MeHH, ecAH B COrAaCHII C 3THM MOAeAeM HCKAIOMHTb nepBOHaiaAb-Hyio roMoreHH3aiiHio h coKpaTHTb HeKOTopbie (j>a3w npn HarpeBe ropa