     
P 46 (2018/2019) 64
Nashevo ravnovesje
G̌  M M
Svet, v katerem živimo, je zelo nepredvidljiv in
včasih bi rekli, da je celo kaotičen. Velikokrat ima-
mo morda občutek, da se ne bomo znašli ali pra-
vilno odločili, ko bo to potrebno. Pa lahko v dani
situaciji kaj predvidimo?
Del odgovora na to vprašanje se skriva v matema-
tični disciplini, ki ji pravimo teorija iger. Gre za re-
lativno mlado matematično smer, katere prvi večji
premik sta leta 1944 naredila John von Neumann in
Oskar Morgenstern z izdajo knjige Theory of Games
and Economic Behavior. V knjigi je podan matema-
tični pristop k ekonomskim problemom skozi teorijo
iger, ki se nanaša na von Neumannove raziskave v
teoriji iger, objavljene v letu 1928.
Osnove
Eden bolj zanimivih sklopov teorije iger se osredo-
toča na preproste modele, s katerimi lahko na ma-
tematični način interpretiramo konfliktne situacije
med udeleženci igre in njihovimi odločitvami glede
na podana pravila. V tem pogledu z besedo igra
označujemo kakršne koli interakcije (situacije) med
udeleženci, katere korist posameznika ni odvisna sa-
mo od njega, ampak tudi od odločitev vseh vplete-
nih. V prvi vrsti torej ne gre za igre, povezane s
srečo, ampak za igre, pri katerih je ob več ponovi-
tvah pomembna strategija.
Strateško igro sestavljajo udeleženci igre (igralci),
ki se odločajo istočasno, brez kakršnih koli informa-
cij o že izvedenih odločitvah (potezah). Na koncu
pa je rezultat igre vselej odvisen od vseh odločitev
hkrati.
Za ilustracijo vzemimo primer igre boja med dve-
ma spoloma, ki jo včasih najdemo tudi pod imenom
Bach – Stravinsky. Igro igrata dva igralca – mož in
žena, ki si želita skupaj preživeti zanimiv večer, ven-
dar si ga predstavljata vsak po svoje. Mož si želi, da
bi si skupaj ogledala nogometno tekmo, žena pa si
želi, da bi skupaj nakupovala. Igro enostavno pona-
zorimo s spodnjo tabelo oziroma matriko.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Nakupovanje 0, 0 1, 2
Nogometna tekma 2, 1 0, 0
Mož/Žena
Nogometna
tekma
Nakupovanje
TABELA 1.
Zadovoljstvo posameznika smo z vrednostmi v ta-
beli opisali na sledeči način:
Če se oba odločita, da gresta na nogometno tekmo,
potem bo to možu prineslo zadovoljstvo v vredno-
sti 2, ženi pa v vrednosti 1. Njemu se bo izpol-
nila želja, njej pa tudi ne bo povsem odveč, četudi
ne gresta tja, kamor bi želela ona, saj bosta večer
vseeno preživela skupaj. To označimo z vnosom
(2, 1).
Če se oba odločita, da gresta nakupovati, potem
bo to ženi prineslo zadovoljstvo v vrednosti 2, mo-
žu pa v vrednosti 1. Njej se bo izpolnila želja,
njemu pa tudi ne bo povsem odveč, četudi ne gre-
sta tja, kamor bi želel on, saj bosta večer vseeno
preživela skupaj.
Če se nikakor ne moreta dogovoriti, potem seveda
ne bosta zadovoljna, zato njunemu zadovoljstvu
pripišemo vrednosti 0.
Ravnovesje
John Forbes Nash, matematik ameriškega rodu, o ka-
terem govorita tudi roman in film z naslovom A Bea-
     
P 46 (2018/2019) 6 5
utiful Mind, je leta 1950 v svoji doktorski dizertaciji
opisal primer izida igre, ki mu dandanes pravimo Na-
shevo ravnovesje. Gre za stanje, v katerem se nobe-
den od igralcev ne bi odločil za zamenjavo svoje po-
teze, četudi bi predhodno poznal poteze vseh osta-
lih.
Tako ravnovesje ne obstaja vedno. Oglejmo si pri-
mer igre kamen–škarje–papir. To je igra, kjer tekmu-
jeta dva igralca. V vsakem krogu igre izbereta eno od
treh figur (kamen, škarje ali papir), ne da bi vedela,
kaj bo izbral drugi izmed njiju. V primeru, da oba iz-
bereta enako figuro, je ta krog igre neodločen, če pa
izbereta različni figuri, eden od njiju zmaga, drugi pa
izgubi. Pravila so, da kamen premaga škarje, škarje
premagajo papir, papir pa premaga kamen.
Tudi to igro lahko ponazorimo s tabelo (glej ta-
belo 2). Za poenostavitev bomo prvega igralca poi-
menovali oče, drugega pa sin.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Škarje −1,1 1,−1 0,0
Papir 1,−1 0,0 −1,1
Kamen 0,0 −1,1 1,−1
Oče/Sin Kamen Papir Škarje
TABELA 2.
V tabeli 2 smo za posamezni izid igre zmagovalcu
dodelili vrednost 1, poražencu pa −1. Če je prišlo do
neodločenega izida, smo obema dodelili vrednost 0.
Enostavno lahko vidimo, da ta igra nima Nashe-
vega ravnovesja, saj za oba igralca velja, da bi, v
primeru poraza, želela spremeniti svojo figuro. Re-
cimo, da oče izbere papir, sin pa kamen. Izid igre
bi imel vrednost (1, −1). Vendar pa bi, če bi imel to
možnost, sin svojo figuro raje spremenil v škarje in
zmagal. Podobno velja tudi za vse neodločene izide,
zato lahko vsak od njiju vedno izboljša svojo odloči-
tev, kar potrdi, da ravnovesja ni.
Poglejmo si še en primer znane igre, ki se ime-
nuje Zapornikova dilema. Tu imamo dva zapornika
(poimenujmo ju Milan in Janez), ki ju je policija are-
tirala, saj sta osumljena ropa. Zaprli so ju v dve lo-
čeni celici in jima tako preprečili, da bi na kakršen
koli način komunicirala drug z drugim. Rop sta re-
snično zagrešila, vendar jima policija tega ne more
dokazati. Policija ima sicer dovolj dokazov (posedo-
vanje orožja, neprimerno vedenje) za dveletno za-
porno kazen, vendar želijo primer zaključiti s pri-
znanjem vsaj enega od njiju, da bi na ta način dru-
gega lahko poslali v ječo za dlje časa.
Oba pa vesta:
Zločin lahko priznata ali pa ne.
Če eden od njiju prizna, drugi pa molči, potem bo
tisti, ki je priznal, oproščen, drugi, ki je molčal, pa
bo šel v zapor za štiri leta.
Če oba priznata, bosta šla v zapor za tri leta.
Če oba molčita, potem imajo policisti dovolj doka-
zov, da gresta oba v zapor za dve leti.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Molči 4,0 2,2
Prizna 3,3 0,4
Milan/Janez Prizna Molči
TABELA 3.
V razpredelnici 3 imamo zapisane vse možne iz-
ide igre. Recimo, da Janez prizna. Potem bo za Mi-
lana najbolje, če tudi on prizna, in tako dobi samo tri
leta zapora – izid igre bo (3, 3). Če pa Janez molči,
je bolje, če Milan prizna, saj bo v tem primeru opro-
ščen – izid igre bo (0, 4). Enak premislek velja tudi
v obratni situaciji. Nashevo ravnovesje je torej situ-
acija, ko oba priznata, da sta zagrešila rop, in tako
dobita vsak po tri leta zapora. Če bi si namreč eden
od njiju premislil, drugi pa bi vztrajal pri isti odlo-
čitvi, potem bi bil igralec, ki se je odločil spremeniti
odločitev, na slabšem.
Podoben razmislek o obstoju Nashevega ravnoves-
ja lahko naredimo tudi pri igri boja med dvema spo-
loma, ki je bila predstavljena v prejšnjem razdelku
(glej tabelo 1). Ugotovili bi, da za to igro obstajata
celo dve ravnovesji, ko gresta oba bodisi na tekmo
bodisi na nakupovanje.
Interpretacija obstoja ravnovesij
V tem razdelku si oglejmo, kaj lahko o interakcijah
sklepamo glede na obstoj oziroma neobstoj ravnove-
sij. V igri kamen–škarje–papir ravnovesja ni, kar je
tudi razlog, zakaj je ta igra zanimiva. Ne glede na
racionalnost obeh igralcev namreč ni strahu, da bi se
     
P 46 (2018/2019) 66
igra po nekem času stabilizirala in da bi oba igralca
začela v nedogled ponavljati svojo figuro. Po drugi
strani obstoj dveh ravnovesij pri primeru mož–žena
nakazuje na večen konflikt med spoloma. Četudi se
zakonca znajdeta v izidu, ki obema prinaša poziti-
ven rezultat, pa je nekdo od njiju prikrajšan, saj ve,
da se je moral za ugodno situacijo žrtvovati on. Ven-
dar pa za spremembo tega dejstva ni dovolj zgolj
bojkot dogodka. Če se želi ponovno znajti v pozitiv-
nem stanju, mora ne le odpovedati udeležbo, ampak
v svojo interesno sfero prepričati tudi soigralca, kar
je v vsakodnevnem življenju težko in od nas zahteva
kompromise. Nazadnje je zelo zanimiva tudi dilema
dveh zapornikov, ki ima eno samo ravnovesje. Več
empiričnih preizkusov je pokazalo, da bodo igralci,
če igrajo racionalno, v večkratni ponovitvi začeli izbi-
rati zgolj možnost ›priznam‹, kar pa privede do zani-
mivega konflikta. Namreč, za oba igralca bi bilo naj-
ugodneje, da bi molčala in sprejela vsak svojo dvole-
tno kazen. Ker pa ju vodi pragmatičnost in želja po
maksimizaciji osebnega ugodja, na koncu oba prista-
neta pri triletni kazni. To lepo ilustrira dejstvo, ki ga
je zelo dobro opisal tudi J. F. Nash, in sicer, da stre-
menje k maksimalni zadovoljitvi osebnih potreb ni
nujno tudi pot k družbenemu optimumu.
Literatura
[1] J. Baez, Game Theory, 2015.
[2] M. Dean, Game Theory, Lecture Notes for Fall
2009 Introductory Microeconomics, Brown Uni-
versity, 2009.
[3] E. Pertovt, T. J., Uporaba teorije iger za optimi-
zacijo delovanja brezžičnih omrežij, Elektronski
vestnik, 78 2011, 287–292.
[4] H. Hotz, A Short introduction to Game Theory.
[5] Tekmovanje ACM iz računalništva in informa-
tike, dostopno na rtk-info@ijs.si, ogled 10.
4. 2019.
[6] Zapornikova dilema, dostopno na sl.
wikipedia.org/wiki/Zapornikova_dilema,
ogled 10. 4. 2019.
×××
Paposovi
šestkotniki
M R
Papos Aleksandrijski, grško Πάππος ༁ ༁Αλεξαν-
δρεύς, na kratko Papos, tudi Papus iz polatinjene
oblike Pappus, je bil zadnji pomembnejši antični
matematik. O njem vemo le, da je bil učitelj v
Aleksandriji in da je 18. oktobra 320 tam opazo-
val Sončev mrk. Rodil se je okoli leta 290, umrl pa
okoli leta 350 našega štetja. Njegovo najbolj znano
delo je Zbirka, grško Συναγωγή, ki je nastalo okoli
leta 340. Papos je pisal v grščini. V obdobju rene-
sanse so ga prevajali v latinščino.
V svoji Zbirki se Papos pretežno ukvarja z geome-
trijskimi problemi. Oglejmo si pobliže enega, ki je
vzet iz [1] oziroma [2].
Včrtaj v dano krožnico sedem skladnih pravil-
nih šestkotnikov tako, da je eden okoli njenega
središča, na njegovih stranicah pa sloni vsak od
preostalih šestih z eno stranico, katere nasprotna
stranica je tetiva krožnice.
Včrtati šestkotnike pa je dovoljeno na klasični na-
čin, to se pravi s šestilom in neoznačenim ravnilom.
Predpostavimo, da je naloga že rešena. Dana kro-
žnica naj ima središče v točki O in polmer r (slika 1).
Na sliki smo označili točke A, B in C ter polmer r in
stranico a. Poiščimo aritmetično zvezo med a in r .
V ta namen podaljšamo daljico OA in na podaljšek
skozi B postavimo pravokotnico, ki ga seka v točki
C . Trikotnik OCB je pravokotni. Zanj je |OB| = r ,
|AC| = a/2, |OC| = 2a+a/2 = 5a/2, |CB| = a
√
3/2.
Po Pitagorovem izreku velja:
r 2 = (5a/2)2 + (a
√
3/2)2 = 28a2/4 = 7a2.