K Lehr- und Übungsbuch r r t h in e t i k für die unteren Mussen -er Realschulen. Or. Franz Kitter von Močnik. Achtzehnte verbesserte Auflage. Drittes Heft. Preis: geheftet 30 kr., gebunden 45 kr. Buchhändler der kaiserlichen Akadem^ der Wissenschaften in W 1890. D Lwifvöyffb. Druck von Rudolf M. Rohrer in Brünn. I. Allgemeine Zahlen. H. 1. Zahlen, welche eine bestimmte Menge von Einheiten ausdrücken, heißen besondere Zahlen; sie werden durch Ziffern bezeichnet. Z. B. 5 ist eine besondere Zahl; sie drückt eine genau bestimmte Menge von Ein¬ heiten aus, indem man sich darunter nicht mehr und nicht weniger als 5 Einheiten vorstellen kann. Rechnungen, die man mit besonderen Zahlen ausführt, können darum auch nur für einzelne besondere Falle gelten, und müssen so oft erneuert werden, als nur die mindeste Veränderung in der Angabe gemacht wird. Um nun auch Rechnungen, die für alle ähnlichen Fälle gelten und von den besonderen Werten der in einer Aufgabe vor¬ kommenden Größen ganz unabhängig sind, vornehmen und die dadurch gefundenen Ergebnisse in einer leicht übersichtlichen und allgemeinen Form darstellen zu können, hat man Zahlen eingeführt, welche jede beliebige Menge von Einheiten bedeuten können und darum allgemeine Zahlen genannt werden. Als die zweckmäßigste Bezeichnung für solche allgemeine Zahlen stellen sich die Buchstaben dar. So drückt z. B. a als Zahlzeichen eine allgemeine Zahl aus, unter welcher man sich jede willkürliche Menge von Einheiten oder deren Theilen vorstellen kann; a kann 1, 2, 10, oder jede andere Zahl anzeigen. Nur ist zu bemerken, dass jeder Buchstabe den Wert, den man ihm beim Anfänge der Rechnung beigelegt hat, durch die ganze Rechnung beibehalten muss; nimmt man für a in irgend einer Aufgabe einen bestimmten Wert, z. B. 2 an, so muss man in dieser Auf¬ gabe für a durchgängig den Wert 2 beibehalten. Die Wahl der Buchstaben zu allgemeinen Zahlzeichen rührt wahr¬ scheinlich davon her, dass man anfänglich die Wörter selbst in die Rech¬ nung setzte und später nur die Anfangsbuchstaben beibehielt. Wir haben z. B. in der Procentrechnung (II. Heft, Z. 37) nachgewiesen, dass der Antheil der Procente eines Betrages berechnet wird, indem man den Betrag mit dem Procentsatze multipliciert und das Product durch 100 dividiert. Man könnte diesen Satz auf folgende Art allgemein ersichtlich machen: . c» Betrag X Procentsak Anthell der Procente —--—, Moknik, Arithmetik für Realschulen. III. 18. Aufl. I 2 oder, wenn man statt der Wörter nur ihre Anfangsbuchstaben setzt, und zwar die kleinen lateinischen, a - -X p 100 ' Hier kann d jeden willkürlich großen oder kleinen Betrag, p jeden beliebigen Procentsatz vorstellen; a ist dann die Zahl, welche den zu dem angenommenen Betrage und dem angenommenen Procentsatze gehörigen Antheil an Procenten anzeigt. Der Ausdruck a — stellt daher den oben angeführten Satz ganz allgemein und doch so klar dar, dass ihn jeder sogleich herauslesen kann, wenn er nur die Bedeutung der Buchstaben a, d, p kennt. Wenn in einer Rechnung verschiedene Buchstaben vorkommen, so werden dadurch im allgemeinen auch eben so viele verschiedene Zahlen angedeutet; in besonderen Fällen ist es jedoch möglich, dass zwei Buchstaben denselben Wert haben. So können in dem obigen Ausdrucke die Zahlen b und x, wiewohl durch verschiedene Buchstaben ausgedrückt, in einzelnen Fällen auch einander gleich sein. Werden in der Arithmetik nur besondere Zahlen in Betrachtung gezogen, so heißt sie besondere Arithmetik oder Zifferrechnen; werden in derselben nebst besonderen auch allgemeine Zahlen betrachtet, so heißt sie allgemeine Arithmetik oder Buchstabenrechnen. Z. 2. Die Operationszeichen sind bei allgemeinen Zahlen dieselben wie bei besonderen Zahlen. Sind a und b zwei allgemeine Zahlen, so drückt a b ihre Summe, a — b ihre Differenz, a Xb oder a . b ihr Product, und a : b oder-^- ihren Quotienten aus. Das Multiplicationszeichen wird bei allgemeinen Zahlen weg¬ gelassen; z. B. statt a xb oder a . l> schreibt man ab, „ a X b X 6 „ a. b . 6 „ „ abe, In einer Zahlenverbindung an die Stelle der allgemeinen Zahlen (Buchstaben) besondere Zahlenwerte setzen und mit diesen die vorgeschriebenen Rechnungen ausführen, heißt substituieren. Ist z. B. der Ausdruck x — a -s- b — e für die besonderen Werte a — 2, b — 3, e — 4 zu berechnen, so hat man x — 2-i-3 — 4 — 5 — 4 — 1. 3 Z. 3. Ein Zahlenausdruck, welcher mehrere durch das Zeichen 4- oder — verbundenen Bestandtheile enthält, heißt ein mehrgliedriger Ausdruck oder ein Polynom. Die einzelnen durch das Zeichen 4- oder — verbundenen Bestandtheile eines solchen Ausdruckes nennt man seine Glieder. Kommen in einem Ausdrucke zwei Glieder vor, so heißt er ins¬ besondere ein Binom; kommen darin drei Glieder vor, so heißt er ein Trinom. So ist z. B. a 4- b ein Binom, u— I) -4 e ein Trinom, und beide Ausdrücke sind mehrgliedrig. Ein Zahlenausdruck, welcher nur ein Glied enthält, heißt ein ein¬ gliedriger Ausdruck oder ein Monom; z. B. 8, x. ß. 4. Ist mit einem mehrgliedrigen Ausdrucke eine weitere Rechnungs- operation vorzunehmen, so schließt man denselben in Klammern ein, welche jedoch weggelassen werden können, sobald dadurch keine Zweideutigkeit entsteht. Ist z. B. von a die Differenz d—o zu subtrahieren, so schreibt man: 8 — (d — o). Ohne Klammern würde der Ausdruck 8 — d — 6 bedeuten, dass von 8 b zu subtrahieren, und von der erhaltenen Differenz noch e zu subtrahieren ist. So wird für die Zahlenwerte 8 — 8, b — 5 und 6 — 2 a — (k _ e) — 8 — (5 — 2) — 8 — 3 — 5, 8 — b — o —8— 5 — 2 —3 — 2 — 1. Um anzudeuten, dass 3 4- b mit o — ck zu multiplicieren sei, schreibt man: (u -4 d) (o — ä). Beim Weglassen der Klammern hätte der Ausdruck 8 4- d . o — ä die Bedeutung, dass zu a das Product b . o zu addieren, und von der erhaltenen Summe ä zu subtrahieren ist. Wird z. B. u — 4, 4 — 1, 6 — 5, ä — 3 gesetzt, so ist 0 4- k>) (o — 1) (5 — 3) — 5 . 2 — 10, 3-4-4.o — ä — 4-41.5—3 — 4-45 — 3 — 9 — 3 — 6. Sollen in einer durch die Zeichen 4- und — vorgeschriebenen Ver¬ bindung von Zahlen die dadurch angezeigten Operationen in der Reihen¬ folge, wie diese Zahlen mit ihren Zeichen von links nach rechts vorkommen, vollzogen werden, so kann man, ohne der Bestimmtheit dadurch Abbruch zu thun, die Klammern weglassen. Hiernach kann man setzen: s(a -j- 4) -4 oj -4 ck — 3, -4 4 -4 o -4 ä, s(u — 4) 4- oj — ä — u — d4-e — ä, s(u — 4) — oj — ä — u — b — o — ä. Aufgaben. Gib die Bedeutung folgender Ausdrücke an: 1. 8 -4 (o ck). 3. 8 -4 sd — (6 -4 ä)j. 5. (in — p) -4 lx — ll). 2. x —- (x -4 r)- 4. x — s(a — 4) — os. 6. 8 — sb — (o-4(ä — sZs. 4 7. (a -si d) . in. 8. a . (m — n). S. (L — d) (o — ck). 10. sm — (p — g)s . (x — i). 11. (a : d) . e. 12. (a — x) . (in : v). 13. Wie unterscheiden sich die Ausdrücke: inxsi- x — r, in (x -si 7) — 2, in (x -si 5 — 2) ? 14. Wie unterscheiden sich die Ausdrücke (a : d) : e und a : (b : e) ? Welche Zahlenwerte erhalten sie für a — 16, d — 4, 6 — 2? 15. Berechne die Zahlenwerte folgender Ausdrücke: a) x — s(a — l>) — (in — n)s, d) x — sa — (d -- in — n)s o) x — sa — (d — in) — ns, ä) x — s(a — d — in) — ns für x — 15, a — 15, b — 7, ni — 4 und n — 2. Z. 5. Das 2fache, 3fache, 4fache, . . einer allgemeinen Zahl a wird durch 2a, 3a, 4a, . . ausgedrückt. In einem solchen Ausdrucke 4a heißt dann a die Hanptgröße und 4 der Coefficient. Der Coefficient zeigt also an, wie oft die Hauptgröße als Summand zu setzen ist; er kann daher immer als Factor der Hauptgröße betrachtet werden; so ist 4a — a si— a si— a si— a — a 4, 1 wird als Coefficient nicht angeschrieben; es bedeutet daher a soviel als la. Der Coefficient kann selbst auch eine allgemeine Zahl sein; z. B. raa bedeutet, dass a in mal als Summand zu setzen ist, also ina — a si— a si— a si— a si— a si— . . . (in mal). Ausdrücke, welche dieselbe Hauptgröße haben, heißen gleichnamig, z. B. 5a und 6a, 3x und x. Ausdrücke, welche verschiedene Hauptgrößen haben, heißen ungleichnamig, z. B. 3a und 7d, 5x und 5^. II. Addition und Snbtrartion. 1. Addieren allgemeiner Zahlen. Z. 6. 1. Die Addition zweier allgemeinen Zahlen a und d ist im allgemeinen als ausgeführt anzusehen, wenn man den Ausdruck a si- d hinsetzt. Die Summe a si- b enthält so viele Einheiten als die Summanden a und d zusammen genommen. 2. Unter der Summe mehrerer Zahlen versteht man die Summe, welche erhalten wird, indem man zu der Summe der beiden ersten Zahlen die dritte, zu der neuen Summe die vierte Zahl u. s. w. addiert. Es ist demnach a si- d si- 6 (a si— d) si- 6, a -j- d si- o si- ck — s(a si- d) si- es si- ck, u. s. f. 5 Rechengesetze der Addition. Z. 7. 1. Da die Gesammtheit der in den Summanden enthaltenen Einheiten dieselbe bleibt, mögen diese in was immer für einer Ordnung gezählt werden, so folgt: Die Reihenfolge der Summanden ist für den Wert der Summe gleichgiltig. 5 —4 4 — 4 —4 5 — 9, a —4 b — b 4" a ; a -4 b 4" a — a —4 6 —4 b — b -4 a -4" o — b —4 o 4^ a — . . 2. Ist zu der Zahl 3 die Summe 4 4- 5 zu addieren, so gelangt man zu derselben Zahl 12, ob man in der natürlichen Zahlenreihe von 3 aus auf einmal um 4 -4 5 d. i. um 9 Einheiten vorwärts schreitet, oder ob man von 3 zuerst um 4 Einheiten, und dann von 7 noch um 5 Ein¬ heiten vorwärts schreitet; es ist somit 3 4- (4 -4 5) — 3 -4 4 4- 5. Allgemein a -4 (b -4 o) — a -4 b 4- e. Zu einer Zahl wird also eine Summe addiert, indem man zu ihr die einzelnen Summanden addiert. Ebenso ist (a 4- b) 4- (0 4- ä) — a 4- b 4- o 4- ä. Hieraus folgt: Enthält ein mehrgliedriger Ausdruck bloß Summanden, so kann man in demselben die Klammern ohne weiteres weglassen, aber auch umgekehrt wieder nach Belieben anbringen. Z. 8. Eine Abkürzung kann in der Summe nur eintreten, wenn die Summanden gleichnamige Ausdrücke sind. Gleichnamige Ausdrücke werden addiert, indem man ihre Coeffi- cienten addiert und die erhaltene Summe vor die gemeinsame Hauptgröße setzt. Z. B. 3a -4- 4a — 7a; denn 3a — a -4- a -4- a 4a — a —4 a —4 a 4" a 3a 4— 4a — a 4— a —4 a —4 a —4 a a -4 a — / a. Aufgaben. 1. a 4- a. 2. k -4 b -4 b. 3. 2x 4- x. 4. 3ra 4- 2in. 5. 7e 4- 3o. 6. 8x -4 -4 5^. 7. 2a 4- 4a 4- 6a 4- 8a. 8. 3x 4- 5x -4 7x 4- 9x. 9. 8'25a 4- 5-5a 4- 3'75a. 10. "zX -4 ?/gX 4- 4- ^x. 11. Wenn n -4 3 eine ganze Zahl vorstellt, wie heißen dann die vier nächstfolgenden ganzen Zahlen? 12. (a 4- 2) -4 3. 13. (3x 4- 5) -4 4x. 14. (3a 4- 5x) 4- 7x. 15. (5b -4 2^) 4- 3b. 16. Bestimme die Zahlenwerte der Summanden und der Summe in der Aufg. 14 für a —2 und x —4, in der Aufg. 15 für b —5 und v —3. 6 17. f(3x 147) -ff ff- 5x. 19. 2 ff- (5g, ff- 3). 21. (5x 3) ff- (2x ff- 4). 23. 3g -ff 2d 9a -I- d 25. 0'6g -ff 0'2d 1-3g -ff 1'6d 18. ((4g -ff 3d) ff- 5a) ff- 6d. 20. 7w (3m -ff 4). 22. (87 -ff 2ch -ff (87 ff- 5r). 24. 2g -ff 5b ff- 80 10g 4- 7b -ff 4e 26. 6 :'-4x 4^5'157 4- 7'62r 3'72x 4- 4'557 5'84^ 27. Welchen Zahlenwert haben die Summanden und die Summe in ir x — 0'5, 7 — 0'8 und r — 1'5 ? 32. Berechne die Werte folgender Summen für g— 1, b —2, 0 —3: g) 8g -ff 6 (b -ff o): b) 8b -ff 6 (g -ff 0); e) 8o -ff 6 (g -ff b); ä) 8 (g -ff b) ff- 6e. 2. Subtrahieren allgemeiner Zahlen. Z. 9. Die Differenz g — d zweier Zahlen muss so beschaffen sein, dass der Subtrahend d zu ihr addiert den Minuend g gibt. (8 — 3) ff- 3 — 8, oder 3 ff- (8 — 3) — 8; (g — d) ff— d — g, „ d —ff (g — d) —— g. Aus dem Begriffe der Subtraction folgt: Ist der Subtrahend dem Minuend gleich, so ist die Differenz gleich Null 4 — 4—0, g — g — 0. Rechengesetze der Subtraction. ß. 10. 1. Ist zu der Zahl 8 die Differenz 7 — 4 zu addieren, so ist es gleichgiltig, ob man in der natürlichen Zahlenreihe von 8 aus auf einmal um die Differenz 7 — 4 d. i. um 3 Einheiten vorwärts schreitet, oder ob man von 8 zuerst um 7 Einheiten vorwärts, und dann um 4 Ein¬ heiten rückwärts schreitet; es ist daher 8 -ff (7 — 4) — 8 ff- 7 — 4. Allgemein g ff- (b — e) — g -ff b — a — 2a — a -4 a —4 a — 3a. 8 Ein mehrgliedriger Ausdruck, welcher mehrere gleichnamige Ausdrücke enthält, wird auf einen einfacheren Ausdruck reduciert, indem mau zuerst die Summanden, dann die Subtrahenden addiert und die zweite Summe von der ersten subtrahiert. Z. B. 7 a — 4a — 5a -l- 8a — 2a — (7a —8a) — (4a -l- 5a -i- 2a) — 15a — 11a — 4a. Aufgaben. 1. 5a — 5a. 2. 8x — 3x. 3. 14v — v. 10. 6m 9m — 12m 18m — 15m — 5m. 11. 5a -1- 10b — 2a — 6b -i- 3a — v. 12. Wenn n -1- 5 eine ganze Zahl vorstellt, wie heißen dann die fünf nächstvorhergehenden ganzen Zahlen? 25. Bestimme für die Substitutionen a — 5, b — 3, 6 — 2 und ä — 1 die Werte folgender Ausdrücke: 9 38. Welchen Zahlenwert haben der Minuend, der Subtrahend und die Differenz in Aufg. 37 für s — 3'5, d — 2'4, o — 1'6? 39. (6x — 17v) -i- (9x — 11),) — (7x — 20v). 40. (27 s — 18 b -st 15 e) — (20 s st- 2 d — 15 e) -st (8a — 5d -st 20e). 41. (a -st l>) — ss — sx — (d — s)ss. 42. 2x — t(3a st- 4x) — (4x — y) — (x — 2s — 2). 43. Bestimme die Werte folgender Ausdrücke für x — 8, v —6: s) lOx — 8^ — (6x — 4v)— (2x -st v); d) lOx — 8z, — s6x — (4)' — 2x)j -st ; e) 10x — (87 — 6x) — (4), — (2x st- v)s; ä) 10x — f8x — (6x — 4v)f — (2x -st ch. 3. Algebraische Zahlen. §. 12. Die Subtraction kann, so lange man auf das Gebiet der natürlichen Zahlen beschränkt ist, nur dann ausgeführt werden, wenn der Minuend größer oder eben so groß ist, als der Subtrahend. Ist z. B. von 6 die Zahl 4 zu subtrahieren, so schreitet man in der Zahlenreihe von 6 aus um 4 Einheiten zurück, wodurch man zur Zahl 2 gelangt; also ist 6 — 4 — 2. Ist ferner von 6 die gleiche Zahl 6 zu subtrahieren, so schreitet man voll 6 um 6 Einheiten zurück, und gelangt zur Null, welche der Ausgangspunkt der natürlichen Zahlen ist; man hat also 6 — 6 — 0. Ist dagegen von 6 eine größere Zahl, z. B. 8 zu subtrahieren, so müsste man, nachdem man von 6 zuerst um 6 Einheiten zurückgezählt hat und dadurch zur Null gelangt ist, von Null aus noch um 2 Einheiten weiter zurückschreiten, was jedoch an der natürlichen Zahlenreihe, da dieselbe mit 0 abbricht, nicht möglich ist. Um daher die Subtraction auch dann aussühren zu können, wenn der Minuend kleiner ist als der Subtrahend, ist man genöthigt, auch Zahlen anzunehmen, welche durch das Rückwärtszählen von 0 aus erhalten werden. Es kommt dabei nur darauf an, dass die ursprünglich bloß nach vorwärts ohne Ende fortschreitende Zahlenreihe nach dem gleichen Bildungsgesetze von 0 auch nach rückwärts erweitert, und dass der Gegensatz der von 0 nach vorwärts und rückwärts fortschreitenden Zahlen entsprechend ausgedrückt werde. Letzteres geschieht, indem man die ursprünglich vorhandenen Zahlen, welche von 0 aus immer um eine Einheit nach vorwärts schreiten, positiv, die Zahlen aber, zu denen man gelangt, wenn man von 0 nach demselben Bildungsgesetze rückwärts schreitet, negativ nennt, und die ersteren mit dem Vorzeichen -st (ptuch, die letzteren mit dem Vor- 10 zeichen — (ininuch bezeichnet. Die dadurch entstehende zweiseitige Zahlen¬ reihe ist daher ... — 4, — 3, — 2, — 1, 0, st- 1, st- 2, st- 3, st- 4, . . . Während hier die positiven Zahlen die ursprünglichen Zahlen der natürlichen Zahlenreihe vorstellen, treten die negativen als Zahlen einer neuen Form ans, die den Gegensatz zu den positiven ansdrücken. st- 4 be¬ deutet 4 von 0 aus nach vorwärts gezählte Einheiten, — 4 bedeutet 4 von 0 aus nach rückwärts gezählte Einheiten. Hiernach ist die oben gesuchte Differenz 6 — 8 — — 2, also eine negative Zahl. Man kann die positiven und negativen Zahlen bildlich darstellen, indem man auf eine gerade Linie von einem Punkte 0 ans nach einer bestimmten Richtung gleiche Strecken aufträgt; die Endpunkte dieser Strecken versinnlichen die auf einander folgenden natürlichen (positiven) Zahlen. — 4 —3 —2 —1 0 st-1 st-2 st-3 st-4 Um dann an dieser Zahlenlinie auch die negativen Zahlen zu ver¬ anschaulichen, darf mait nur die ursprünglich bloß nach einer Richtung (nach rechts) sich erstreckende gerade Linie über den Anfangspunkt 0 hinaus auch nach der entgegengesetzten Richtung (nach links) verlängern, nnd auch hier gleich große Strecken auftragen; die Endpunkte der links aufgetragenen Strecken versinnlichen die negativen Zahlen. Z. 13. Die mit Vorzeichen versehenen Zahlen werden relative oder algebraische Zahlen genannt, im Gegensätze zu den Zahlen ohne Vor¬ zeichen, welche absolute Zahlen heißen. Jede algebraische Zahl besteht aus einem Vorzeichen und einem absoluten Werte. Das Vorzeichen zeigt an, ob sich die Zahl auf der Positiven oder negativen Seite der Zahlenreihe befindet; der absolute Wert zeigt an, welche Stelle die algebraische Zahl in der Reihe der positiven oder negativen Zahlen einnimmt. Es ist nicht nöthig, stets beide Vorzeichen zu gebrauchen; man pflegt das Vorzeichen st- als selbstverständlich dort wegzulassen, wo es ohne Störung des Sinnes und des Zusammenhanges einer Rechnung geschehen kann. Zwei algebraische Zahlen, welche gleichen absoluten Wert, aber ver¬ schiedene Vorzeichen haben, heißen einander entgegengesetzt; z. B. st- a und — a. ß. 14. Der Begriff des Gegensatzes, welcher zwischen den positiven nnd negativen Zahlen besteht, tritt in zahlreichen Fällen des praktischen Lebens hervor, z. B. bei den Richtungen vorwärts nnd rückwärts, rechts 11 und links, aufwärts und abwärts, bei der Zeit vor und nach Christi Geburt, bei Vermögen und Schulden, Einnahme und Ausgabe, Gewinn und Verlust u. dgl. Der Gegensatz besteht darin, dass je zwei solche ent¬ gegengesetzte Größen mit einander in Verbindung gebracht, sich gegen¬ seitig entweder ganz oder theilweise aufheben. Z. B. Wenn jemand in einer bestimmten Richtung 20 Schritte vorwärts geht und dann von dem erreichten Punkte 20 Schritte in entgegengesetzter Richtung, also nach rück¬ wärts macht, so ist er, obwohl er 40 Schritte weit gegangen, doch um nichts von seinem anfänglichen Orte entfernt, und es ist in Bezug auf das erreichte Ziel eben fo viel, als wenn er sich gar nicht bewegt hätte; 20 Schritte nach vorwärts und 20 Schritte nach rückwärts heben sich also gegenseitig ganz auf. Ebenso heben sich 20 fl. Vermögen und 20 st. Schulden ganz auf; dagegen heben sich 20 fl. Vermögen und 8 fl. Schulden nur theilweise auf, indem durch ihre Vereinigung d. i. nach der Tilgung der Schulden noch 12 fl. Vermögen übrig bleiben. Von zwei entgegengesetzten Größen wird die eine, gleichviel welche, als positiv und die ihr entgegengesetzte als negativ angenommen. Betrachtet man z. B. Vermögen als positiv, so muss man Schulden als negativ annehmen. 4. Addition und Subtraction algebraischer Zahlen. Addieren algebraischer Zahlen. Z. 15. Nachdem durch die Einführung der negativen Zahlen das ursprüngliche Zahlengebiet erweitert wurde, muss man auch die früheren Begriffe der Rechnungsoperationen angemessen erweitern, so dass sie auch auf negative Zahlen anwendbar werden. Zu einer Zahl eine absolute (positive) Zahl addieren heißt, in der Zahlenreihe von der ersten Zahl aus um so viele Einheiten vorwärts schreiten, als die zweite Zahl angibt. Für negative Zahlen wird man, da diese den Gegensatz zu den positiven Zahlen ausdrücken, die Erklärung so fassen müssen: Zu einer Zahl eine negative Zahl addieren heißt, in der Zahlenreihe von der ersten Zahl um die Einheiten der zweiten rückwärts schreiten. Eine positive Zahl addieren heißt also, ihren absoluten Wert addieren; eine negative Zahl addieren heißt, ihren absoluten Wert subtrahieren. 8 >(-si 2) — 8 > 2, g, -s- O b) — a -si b, 8 -j- (— 2) — 8 — 2, asi- (— b) — a — b, 12 Z. 16. Nach diesen Erklärungen erhält man 6) 2) - (6 -l- 2) - -s- 8, (- 6) ^- (- 2) - - (6 2) - - 8 ; allgemein (-f- k) -s- (->- b) — -j- (a -s- b), (— 3,) si- (— d) — — (a -j- b); d. h. Zwei gleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man ihre absoluten Werte addiert und dieser Summe das gemeinsame Vor¬ zeichen gibt. 2. Ebenso erhält man 6) -i- (- 2) - >(6 - 2) - 4, (- 6)>(-^ 2)^-(6-2)^-4; allgemein (si- a) -s- (— b) — (a, — d), oder — — (b — a), (— u) -s- (->- b) — — (a — b), oder — -j- (b — u); d. h. Zwei ungleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man den kleineren absoluten Wert von dem größeren subtrahiert und dieser Diffe¬ renz das Vorzeichen des größeren absoluten Wertes gibt. 3. Endlich ergibt sich (^-6)-i-(-6)-^6-6-0; allgemein (-s- u) -j- (— u) — -f- u — a — 0; d. h. Zwei entgegengesetzte Zahlen geben zur Summe Null (heben sich gegenseitig auf). Die Summe zweier Gewinne wie zweier Verluste ist wieder bezüglich ein Gewinn oder ein Verlust; die Summe eines Gewinnes und eines Verlustes gibt den Überschuss des einen über den andern als Gewinn oder Verlust; sind Gewinn und Verlust einander gleich, so heben sie sich gegenseitig ganz auf. Subtrahieren algebraischer Zahlen.' 8- 17. Ist von einer Zahl eine absolute (positive) Zahl zu sub¬ trahieren, so schreitet man in der Zahlenreihe vom Minuend um so viele Einheiten rückwärts, als der Subtrahend anzeigt. Von einer Zahl eine negative Zahl subtrahieren heißt nun, in der Zahlenreihe vom Minuend um die Einheiten des Subtrahends vor¬ wärts schreiten. Eine positive Zahl subtrahieren heißt also, ihren absoluten Wert subtrahieren; eine negative Zahl subtrahieren heißt, ihren absoluten Wert addieren. Z. 18. Aus diesen Erklärungen folgt (-si a) — (->- b) — L — b. 13 Nach der Erklärung der Addition ist aber auch (-st u) -st (— b) — -st u — d; folglich ist (-st u) — (-st b) — (-st u) -st (— b). Ebenso ergibt sich (-st a) — (— d) — (-st u) -st (-st bst (— u) — (-st b) — (— a) -st (— bst (— u) — (— b) — (— a) -st (-st b). Zwei algebraische Zahlen werden demnach subtrahierst indem man zum unveränderten Minuend den Subtrahend mit entgegengesetztem Vorzeichen addiert. Statt Jemandem 3 fl. Vermögen zu nehmen, kann man ihm 3 fl. Schulden (die Verpflichtung, so viel zu bezahlen) geben; statt ihm 3 fl. Schulden abzu¬ nehmen, kann man ihm 3 fl. Vermögen (damit er selbst die Schuld damit zahle) geben. Z. 19. Eine Summe aus positiven und negativen Zahlen heißt eine algebraische Summe; z. B. (fl- sh fl- (— b), (fl- u) -st (— b) -st (— o) -st (fl- ä) -st (— 1). Nach der Erklärung der Addition algebraischer Zahlen ist (fl- u) -st (— b) -st (— o) -st (st- ä) — u — b — o-stä. Jede algebraische Summe kann daher als ein mehrgliedriger Ausdruck dargestellt werden, indem man die Additionszeichen und die Klammern weglässt und dann die Vorzeichen als Operationszeichen ansieht. Da die algebraischen Summen auch gewöhnlich in dieser Form dar¬ gestellt werden, so ergeben sich für die Addition und Subtraction algebraischer Summen aus den Rechengesetzen 4 und 5 in Z. 10 folgende zwei Sätze: 1. Zu einer Zahl wird eine algebraische Summe addiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit unveränderten Vorzeichen zu der Zahl hinzufügt. 2. Von einer Zahl wird eine algebraische Summe subtrahierst indem man ihre einzelnen Summanden mit entgegengesetzten Vorzeichen zu der Zahl hinzufügt. Aufgaben. 1. (st-8) ^(-5). 2. (^7) st-(-7). 3. (- 13) st- (^ 6). 4. (- 38) st- (- 12). 5. (st- 3-105) -st (— 4-342). 6. (— 5'684) st- (-st 10). 7. (-st 28) — (— 28). 8. (— 317) — (^ 509). 9. (fl- 35V.) - (fl- 24' ,). 10. (- 71-/,) - (- 80-st). 14 11. Das Festland Europas liegt zwischen 36° und 71° nördlicher Breite, zwischen 12° westlicher und 63° östlicher Länge (von Paris aus); wie viele Grade dehnt sich dasselbe a) in die Breite, 6) in die Länge aus? 12. Drei Orte tl, L und 6 liegen in gerader Linie, 6 ist von ff um 13'784 von L um 8'095 entfernt; wie weit ist L von .4 entfernt, a) wenn 0 zwischen ff und L liegt, d) wenn 6 auf der Ver¬ längerung der Strecke ffö liegt? 13. Ein Dampfschiff wird durch die Einwirkung des Stromes allein jede Minute 65-» abwärts getrieben, durch die Kraft des Dampfes allein legt es jede Minute 312-» zurück; wie viel Meter legt es in der Minute a) stromabwärts, 6) stromaufwärts zurück? 14. (ff- 4a) -ff (-4- 6a). 15. 16. (— 13x) — (-ff 8x). 17. 18. (ff- 2'8a) — (ff- 3'6a). 19. 20. (ff-15)^(-8)>(ff-5). 21. 22. (- 75) -1- (-ff 52) - (- 58). (-ff 9in) -ff (— 5m). (-ff 16u) — (— 5n). (— 4'398) — (— 6'158). (—378)—(—249)—(-ff518). 23. (— 4x) ff- (— 2x) — (— x) ff- (-ff 9x). 24. (-ff 8a) — (— 9a) — (-ff 7a) -ff (— a). 25. Jemand geht 65 Schritte vorwärts, hierauf 37 Schritte rückwärts, dann wieder 48 Schritte vorwärts: a) wie viel Schritte hat er im ganzen gemacht; b) wie viel Schritte ist er von dem Orte entfernt, von dem er ausgieng? 26. Berechne — (x — 2) ff- (x — 4) — (x — 6) -ff (x — 8) für x — 3. 27. (ff- 987) s— 368 — (— 245)). 28. (— 37'68) — fff- 24-02 — (ff- 10'08)). 29. (ff- 95358) — f— 13561 -ff (ff- 58912 — (— 3796))). 30. (7a — 46 — 2o) -ff (— 5a -ff 56 — o). Addiere: 31. 3x —2^-ff 2 32. 13x— 7)- —3r — x -j- 3^ -ff 2r — 4x -ff 3^ -ff 4r 2x — v ff- 3r 8x — 10z- — r 33. 0-092a ff- 3'174b — 3'28 6 — 6'2 ä 0135a — 1-8956 ff- 4'0166 -ff 6'57 ck — 0 '06 a -ff 0-96 d — 4'188o -ff 6'915ä 34. Welchen Zahlenwert haben die Summanden und die Summe in 33. für a — 0'5, 6 — 0'4, e — 0'3 und ä — 0'2 ? Subtrahiere: 35. — 3x — 4^ -ff 5r — 4x -ff 2^ — 6r 36. 35'2a ff-17-36 — 23'86 — 6'4a -ff 8'56 -ff 11'26 15 37. ^,a>^b 38. > Z- — — »/4X — v«r ff- stz 39. (x-ffv — r) — (x — v -ff y-ff(— x -ff -ff y — (—x — 7 -ffr). 40. (g. -ff 1>) - (8 — d) -j- (— a -ff b) -ff (L — e) -ff (a -ff d — g) — (a — b -ff 0) -ff (a — d — o) — (— a -ff b —6). 41. 2a -ff 3d ff- f5a — 2d ff- (6b — 12a -ff (6a — 8b)ss. 42. L — fb — — s(a — d) — as -d- d) — ds. 43. 2x — z- — f2x — (2x — 3v — (2x -s- 3r))s. 44. 9a — 5K — f7a — 4b — (3a ff- 10b — (4b — 7a)ss. 45. 9 — 13na -ff 18n — (10 — 3m ff- 14u) — ((7 — 5iu) — (10 -ff 6n)s — f( — 15w -j- 9n) — (8 — 11w)s. III. Multiplikation und Division. 1. Multiplicieren allgemeiner Zahlen. Z. 20. 1. Das Product a . d oder ad zweier Zahlen zeigt an, dass der Multiplicand a so oft als Summand zu setzen ist, als der Multiplicator d anzeigt; also a . d — a ff— a —ff a ff— a ff— . . . (bmal). 2. Unter dem Producte mehrerer Zahlen versteht man das Product, welches erhalten wird, indem man das Product der ersten zwei Zahlen mit der dritten, das neue Product mit der vierten Zahl, u. s. w. multipliciert. Hiernach ist a . d . 6 — (ad) . 0, a . d . 0 . ä — s(ad) . es . cl, u. s. w. 3. Ein Product, dessen Factoren einander gleich sind, wird abgekürzt dadurch bezeichnet, dass man nur einen Factor anschreibt und ihm rechts oben die Zahl beisetzt, welche anzeigt, wie vielmal derselbe vorkommt; z. B.: statt 4 . 4 schreibt man 4^, „ aaa „ ,. a^, „ xxxx „ „ xff Ein Product gleicher Factoren nennt man eine Potenz; die Zahl der gleichen Factoren heißt der Potenzexponent, auch bloß Exponent, und der Factor, der so oft vorkommt, als der Exponent anzeigt, die Wurzel oder Basis. So ist a^ eine Potenz, 4 ist der Exponent und a die Basis. Die Begriffe Coefficient und Exponent dürfen mit einander nicht verwechselt werden; es ist n 3, X" ä -s- 9- -s- Ä, 16 welche Ausdrücke wesentlich verschieden sind; z. B. für a — 2 ist 4n—2-i-2-^2-st2 — 8, ^ — 2x2x2x2 — 16. Jede Zahl n wird als die erste Potenz von a angesehen; also a — gX Die zweite Potenz einer Zahl a wird insbesondere auch das Quadrat, die dritte Potenz der Cubus von u genannt. Wenn in einer» mehrgliedrigen Ausdrucke mehrere Potenzen derselben Basis vorkommen, so pflegt man wegen der leichteren Übersicht die einzelnen Glieder nach den Potenzexponenten der gemeinsamen Basis zu ordnen, indem inan entweder niit der höchsten Potenz beginnt und dann immer niedrigere Potenzen folgen lässt, oder indem man zuerst jenes Glied setzt, welches keine oder die niedrigste Potenz der gemeinsamen Basis enthält und dann zu immer höheren Potenzen hinaufsteigt. Im ersten Falle heißt das Polynom nach fallenden, im zweiten nach steigenden Potenzen der gemeinsamen Basis geordnet. So erhält z. B. der Ausdruck 3x? -j- 4 -j- 5x — 6x3 ^4 fallend geordnet die Form: x^ — 6x3 5x 4, und steigend'geordnet: 4 -s- 5x -i- 3x? — 6x3 ^4 Zusatz. Jede dekadische Zahl kann als ein nach den fallenden Potenzen von 10 geordnetes Polynom dargestellt werden. Z. B. 6547 — 6000 -tz- 500 -f- 40 7 — 6 . IO» -P 5 . 10? 4.10 -i- 7. Rechengesetze der Multiplication. Z. 21. 1. Die Reihenfolge der Factoren ist für den Wert eines Zahlenproductes gleichgiltig. Es feien z. B. 5 und 3 die beiden Factoren; zerlegt man 5 in fünf Einheiten, die in einer wagrechten Reihe anschaulich gemacht werden, und bringt 3 solche Reihen unter einander an, 11111 11111 11111 so erhält man offenbar gleichviel, ob man die Einheiten aller wagrechten oder jene aller lothrechten Reihen zusammenzählt. Zählt man die Einheiten der wagrechten Reihen, so erhält man 5 Einheiten 3mal, oder 5.3; zählt man die Einheiten der lothrechten Reihen, so bekommt man 3 Einheiten 5mal, oder 3.5. Es ist daher 5 . 3 — 3 . 5. Allgemein ist n . l> — b . n. 17 Um zu zeigen, dass der Satz auch für drei Faetoren gilt, setze man die Zahl a bmal als Summand und bringe 6 solche Reihen unter einander an, nämlich L a -s- a -e- . . . (bmal) a a -s- a -j- . . . (bmal) a -i- a a -!- . . . (bmal) (emal). Jede wagrechte Reihe enthalt a dmal, also ad; alle e wagrechten Reihen enthalten ad emal, also das Product (ad) e. Jede lothrechte Reihe enthält a emal, also ae; alle d lothrechten Reihen enthalten ao dmal, also das Product (ao) d. Es ist somit (ad) e — (ao) d. Ebenso ergibt sich (da) o — (do) a und (oa) d — (od) a. Man hat daher (ad) e — (da) o — (ao) d — (oa) d — (do) a — (od) a, oder ado — dao — aod — oad — doa — oda. 2. Nach dem Vorhergehenden ist a (do) — (do) a — (ad) o — (ao) d — ado — aod. Eine Zahl wird also mit einem Producte multipliciert, indem man sie mit dem einen Factor und das erhaltene Product mit dem andern Factor multipliciert. Ebenso ist (ad) (oä) — adocl. Hieraus folgt: Enthält ein Ausdruck bloß Factoren, fo kann man in demselben die Klammern nach Belieben weglassen und ebenso nach Belieben wieder anbringen. 3. Kommen in den Factoren Potenzen derselben Basis vor, so lässt die Rechnung eine bedeutende Vereinfachung zu. Es ist a . a? — a . aa — aaa — a?, a^ . a? — aaaaa. aa — aaaaaaa — ast allgemein a" . a" — a " ". Potenzen derselben Basis werden also multipliciert, indem man der gemeinsamen Basis die Summe der Exponenten der Factoren zum Potenzexponenten gibt. 4. Für algebraische Zahlen muss der Begriff des Multiplicierens entsprechend erweitert werden. Ist eine Zahl mit einer absoluten (positiven) Zahl zu multiplicieren, so setzt man den ungeänderten Multiplicand so oft als Summand, als der Multiplicator anzeigt. Im Gegensätze dazu heißt dann eine Zahl mit einer negativen Zahl multiplicieren, den Multiplicand so oft als Subtrahend, d. i. den Multi- Moilnik, Arithmenk für Realschulen. I!I. 18. Aufl. 2 18 plicand mit entgegengesetztem Vorzeichen so oft als Summand setzen, als der absolute Wert des Multiplicators anzeigt. Nach diesen Erklärungen ist 4) . (-i- 3) - (^ 4) 4) 4) — > 12, (-H- 4). (- 3) - (- 4) (- 4) -t- (- 4) - 12, (- 4) . (^ 3) (- 4) >(- 4) -1- (- 4) - 12, (- 4) . 3) - (^- 4) ^ (> 4) ^ (^- 4) - 12; allgemein (-1- a) . (->- b) — ab, (-(- a) . b) — — ab, (— a) . b) — — ab, (— a) . (— b) — -i- ab. Zwei algebraische Zahlen werden demnach mit einander multipliciert, indem man das Product aus ihren absoluten Werten positiv oder negativ nimmt, je nachdem beide Factoren gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben. Man drückt diesen Satz auch so aus: Zwei gleichbezeichnete Factoren geben ein positives, zwei ungleichbezeichnete Factoren ein negatives Product. Wer 4 Schritte nach vorwärts 3mal macht, kommt 12 Schritte nach vor¬ wärts; wer 4 Schritte nach rückwärts 3mal macht, legt 12 Schritte nach rückwärts zurück. Jemandem 4 fl. Gewinn 3mal hinwegnehmen (ihn darum verkürzen), ist so viel, als ihm einen Verlust von 12 fl. zuziehen. Jemandem 4 fl. Verlust 3mal hinwegnehmen (ersparen), ist so viel, als ihm einen Gewinn von 12 fl. zumitteln. Für drei oder mehrere Factoren ergibt sich aus dem vorgehen¬ den Satze: Sind alle Factoren positiv, so ist auch das Product positiv. Sind alle oder auch nur einige Factoren negativ, so ist das Product positiv oder negativ, je nachdem die negativen Factoren in gerader oder in ungerader Anzahl vorkommen. Aus den voranstehenden Rechengesetzen lassen sich für die Multipli¬ kation zweier eingliedriger Ausdrücke folgende Regeln zusammenfassen: u) Rücksichtlich des Zeichens ist das Product positiv oder negativ zu setzen, je nachdem die Factoren gleiche oder verschiedene Zeichen haben. b) Der Coefficient des Productes ist das Product aus den Coefficienten der Factoren; denn 3a.4b — 3.a.4.b — 3.4.U.K — 12ab. e) Die Hauptgröße des Productes erhält man, indem man die Buchstaben, welche in den Hauptgrößen der Factoren vorkommen, (in alphabetischer Ordnung) neben einander stellt, und bei Potenzen derselben 19 Basis der gemeinsamen Basis die Summe der Exponenten zum Expo¬ nenten gibt. 8- 22. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jedes Glied desselben mit dieser Zahl multipli- ciert und die einzelnen Products mit den Zeichen der Glieder des Multi- plicands zusammenstellt. (a — b -st e) . in — am — bin -s- ein. Beweis für in — 4: (a b —st ch . 4 — a — b —st e —st a — b —st e —st a — i) —st e —st a — b -st e — a —st a —st a —st a — b — b — b — b -st e -st e —st e -st e also (a — b -st o) . 4 — a. 4 — b . 4 -st e . 4. Da man die Factoren eines Zahlenproductes vertauschen darf, so ist auch in . (s — b -st e) — ain — bin -st ein. ß. 23. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einem mehr¬ gliedrigen Ausdruck multipliciert, indem man den ganzen Multi¬ plikand, d. i. jedes Glied desselben, mit jedem Gliede des Multiplicators multipliciert und die einzelnen Producte als Summanden oder Subtrahenden zusammenstellt, je nachdem die bezüglichen Factoren gleiche oder verschiedene Zeichen haben. (a — b -st e) . (ni -st n — p) — (a — b -st o) . rn -st (a — b -st o) . n -st (a — b -st e) . — x — ain — bin -st ein -st an — bn -st en — ap -st bx — ep. Zusätze, a) Insbesondere erhält man (a -st b) (a — b) — a? -st ab — ab — b^ — a^ — b°; d. h. Die Summe zweier Zahlen multipliciert mit deren Diffe¬ renz gibt die Differenz der Quadrate dieser Zahlen. Umgekehrt: Die Differenz der Quadrate zweier Zahlen ist gleich der Summe dieser Zahlen multipliciert mit ihrer Differenz. b) Bei mehrgliedrigen Ausdrücken, welche nach den Po¬ tenzen derselben Basis fortschreiten, erhält man, wenn dieselben gleichartig geordnet sind, durch die Mnltiplication des Multiplicands mit den einzelnen Gliedern des Multiplicators Theilproducte, welche eben so geordnet sind. Man schreibt diese Theilproducte, um sie leichter zu redu- 20 cieren, so an, dass ihre gleichnamigen Glieder unter einander zu stehen kommen. Z. B- 4a? — 3a — 4 Multiplicand 3a^— 7a -h- 5 Multiplicator 12a' !'^ I2a- — 28a" -> 21a^ 28a -l- 20a^ — 15a — 20 ^12a^ — 37a" > 29a" 13a 20 Product. 26. 9 . — 5. 27. — 12.4- 4. 28. — 12 . — 4. 29. — 118 . 63. 30. 5-3 . — 0'8' 31. — 3^ . 5"/z. 32. Ein Körper, welcher sich in gerader Linie in jeder Secunde 12 m a) nach vorwärts, d) nach rückwärts bewegt, befindet sich gegen¬ wärtig im Punkte auf welcher Seite und in welchem Abstande von wird er sich nach 25 Secunden befinden? Auf welcher Seite und in wel¬ chem Abstande von 4. befand sich derselbe vor 25 Secunden? 33. — 7a. a. 34. — x". — 3x. 35. 2a? . — 7a". 36. — 2a"x. 8ax". 37. — 5'2dx" . — 3'5d"^. 38. — 19 . — 27 . -p- 31. 39. 83 . — 25 . 49. 40. — 35 . — 63 . -fi 14 . — 84 . — 49. 41. Berechne (x — 1) (x — 4) (x — 7) (x — 10) für x — 3. 42. Berechne x" — 6x — 16 für x — — 2. 43. 7a? 1? . 4a" e" . — 3do. 44. 5a"x" . 6axx" . — 2^. 45. Welchen Zahlenwert hat der Ausdruck in 44. für a — 5, x — 2 und x — 3 ? b — 46. (2a — 3d) . 4o. 47. (3x" — 5x -h- 1) . — 1 . 48. (x" -j- — r"). a"xvx. 49. (8x" — 3xz- -l- 5^") . — 2x^. 50. (ad"o" — a"d"o — a"do") . a"d"o". 51. Welchen Zahlenwert hat der Ausdruck in 50. für a — — 2/g und o — "fi? 52. (1 — 5x -j- 6x" -j- 3x" — 2xZ . — 5x". >./ /2, 21 53. — 3x. (— 2a -j- 2d — 4e). 54. ÜL'X' . (4a^ — 5^x 4- 2a-x-). 55. (-»/ix» — » -4- Vr^ — ". F») - Addiere : 56. 7ax— 4dv 57. 8x^— 6x^v— 4x-.v- 5ax - 6dv 12x^v 4- 9x-z - -j- 6xv^ 9ax — dv' E i 6x4-' — 12xv» — 8v'- Subtrahiere : 58. 8anr — 7du -4- 6op 59. 9x'^ — 36x- -4- 63x — 54 — 2am 4- 7bii 4- 6ep 9x^ — 18x- -j- 37x 60. (x-^ — 2xv- -4- 4^3) . tzx? (Zx^ 2x-v — xv-) . 3xv. 61. 5v (6v^ — 4v- — 8v -4 1) — 6v' (5v- — 4v 4- 6). 62. (x -j- 3) (v -4- 2). 64. (2x -4 3x) (3x — 2^). 66. (4ax -4 8dv) (2ax — 2d^). 68. (a 4- 3) (a — 3). 70. (3a 4- 2d) (3a — 2d). 63. (m — 5) (u 4- 4). 65. (6a — 2d) (4a 4- 3d). 67. (5x- — 3v-) (3x- — 4v-). 69. (x 4-5) (x — 5). 71. (4x- (4xS 72. 4m- — (2iu 4- 3) (2iu — 3). 73. (6a -4 7d -4 8o) (3x 4- 4v). 74. (a-" — 5a- -4 6) (4a — 7)'. 75. (9x- — 24x -4 16) (3 x — 4). 76. (x? -4 4- x) (x- — 1). 77. (2a-x- — 4ax — 9) (7ax 4- 8). 78. (16a4 4- 8a-d- -4 d?) (4a- — d-). 79. (x^ — xb -4 X- — x 4- 1) (x 4- 1). 80. (x^ -4 x^ 4- x? 4- x -4 1) (x — 1). 81. (g4 -4 a^d -4 a-d- -4 ad^ 4- d^) (a — d). 82. — g4) -4 a^d- — 3414 -4 ad^ — d°) (a -4 d). 83. (x — x — 2) (x -4 v — 2). 84. (4x 4- 7 v — 5) (3x — 5^ — 6). 85. (3x- — 4x — 5) (2x- — 3x -4 4). 86. (1 — 2x -4 3x-) (3 — 2x 4- 4x-). 87. (51? -4 3dv — v') (2d- — 4dv 4- 5^-). 88. (V^ - V-," -I- 74-) (V-- - ' 54 - 74-)- 89. (6x3 5x-v — 5x^- — x-s) (2x2 — xx 4- 3v-). M. (1 — 3a -7 5gs (2 -4 4a — 6a- — 8g3). 91. (x -4 3) (x — 3) (x- 9). 92. (x — 5) (x — 4) (x — 3). 93. (3x — 5a) (6x — 7») (7x 4- 4a). 94. (7a-x- -4 4ax -4 1) (3a-x- 4- 3ax -4 2) (a-x- — 2sx 4- 3). 22 2. Quadrieren und Kubieren. Quadrieren mehrgliedriger Ausdrücke. ß. 24. Eine Zahl quadrieren oder znm Quadrat erheben heißt, sie zweimal als Factor setzen, also mit sich selbst multiplicieren. Um das Binom a 4- b zum Quadrat zu erheben, darf man es nur mit a -4 b multiplicieren; man erhält (a -4- d)? — (a -4 b) (a 4- b) — a? 4- ab -4 ab 4- l?, oder (a -tz- b)^ — a? -s- 2ab -4 b^. Das Quadrat eines Binoms besteht also aus dem Quadrate des ersten Gliedes, aus dem doppelten Producte beider Glieder und dem Quadrate des zweiten Gliedes. Die zwei Quadrate a- und l? sind immer positiv; das doppelte Product 2ab ist dagegen positiv oder negativ, je nachdem a und b gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben. Es ist (a — b)? — g? -- 2ab si- b4 Um ein Trinom a 4- b 4- 6 zum Quadrate zu erheben, betrachte man dasselbe als ein Binom, indem man a 4- b als das erste, und e als das zweite Glied ansieht; es ist also (a 4- b 4- o)? — f(a 4- b) 4- — (a 4- b)? -j- 2 (a 4- b) . o 4- 6? — a? 4- 2ab 4- b2 4- 2 (a -4 b) . e -4 Ebenso findet man ja 4" b 4" o —4 ä)" — — f(a 4- b 4- e) 4- ckj^ — (a 4- b 4- 4- 2 (a 4- b 4- e). ck 4- — 4- 2ab -4 (4 -4 2 (a 4- b) . o 4- «2 4- 2 (a 4- b 4- 0) . ä 4- ä^, (a 4- b -4 6 ch <1 -4 o)? — — -4 2ab -4 b^ 4- 2 ja -st b) 0 4- 6^ -j- 2 (a 4- b -st ch ä si- -4 2 (a 4- b 4-- 6 ä) o 4- 6^, u. s. w. Aus den hier abgeleiteten Ausdrücken ergibt sich für das Quadrieren eines Polynoms folgendes Bildungsgesetz: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt sein eigenes Quadrat. 2. Jedes folgende Glied gibt zwei Bestandtheile: das doppelte Product aus der Summe aller vorangehenden Glieder mit diesem Gliede, und das eigene Quadrat. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist das gesuchte Quadrat. Z. B. (2a — 3b -4 4e)2 — — 4a? — 12ab --4 9b^ 4-2 (2a — 3b) . 4o 4- 16(4 — 4a? — 12ab 4- 9b? -4 16ao — 24bo 4- 16e4 Aufgaben. - (x -4 1)". 4. (x 4- 2a)4 7. (a? — 4)4 10. (6ir4 — bi?)-. 2. (x — 1)2. 5. (2x — 3zs)2. 8. (1 — 2x2)2. 11. (1-4a 4- 0-5b)2. 3. (a —3)2. 6. (5ax — 4kv)2. 9. (2x2 12. (7.x-2/^)2. 23 13. (x -j- 4? — 8x. 15. (x -j- g,)2 -j- (x - a)2. 17. (a -s- 2K — 3e)2. 19. (2x2 — 5x -j- 4)2. 21. (- - 2/bd s ^)2. Quadrieren dekadischer Z 14. (2-r — 5)2 Z- 20a. 16. (x -s- a)2 — (x — a)2. 18. (5x — 4^ -s- 3ch2. 20. (5a2 — 2sk Z- 3K2)2. 22. (x^ — 3x2 gx — 7)2. hlen. ß. 25. Das Quadrat einer dekadischen Zahl erhält man am einfachsten durch unmittelbare Multiplikation der Zahl mit sich selbst. Z. B. 1372 — 1Z7 1Z7 — 18769, 2-732 — 2-73 . 2-73 — 7'4529. Das Quadrat eines Decimalbruches enthält doppelt so viel Decimalen als der Decimalbruch selbst, woraus folgt, daß in einem vollständigen Quadrate die Decimalen immer in gerader Anzahl vorkommen müssen. Die Quadrate der einziffrigen Zahlen sind: Zahl: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; Quadrat: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Um später das Ausziehen der Quadratwurzel (Z. 32) leichter be¬ gründen zu können, soll hier für das Quadrieren einer dekadischen Zahl noch ein zweites Verfahren aufgestellt werden. Da sich nämlich jede dekadische Zahl als ein nach den fallenden Potenzen von 10 geordnetes Polynom darstellen lässt, so kann man das fürs Quadrieren mehrgliedriger algebraischer Ausdrücke abgeleitete Verfahren auch auf dekadische Zahlen anwenden. Um z. B. 736 zum Quadrate zu erheben, hat man 7362 — (700 30 -l- 6)2 — 7002 -t- 2 . 700.30 -l- 302 -l- 2 . 730.6 -l- 6'' oder, wenn man die Bestandtheile unter einander setzt und entwickelt, folgende Bestandtheil um eine Stelle weiter rechts gerückt wird, 7362 721... 49 . 2.7.3.... 42 . 32. 9 . 2 . 73 . 6 . ' . . 876 . 62. . . . 36 541696 . 24 Man verfährt daher, um eine dekadische Zahl zum Quadrat zu erheben, auf folgende Art: 1. Man erhebt die erste Ziffer links zum Quadrat, 2. Aus jeder folgenden Ziffer bildet man zwei Bestandtheile: das Product aus der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer und ihr eigenes Quadrat. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander gesetzt, dass jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert; die Summe ist das gesuchte Quadrat. Aufgaben. Z. 26. Eine Zahl cubieren oder zum Cubus erheben heißt, die Zahl dreimal als Factor setzen. Um das Binom u -ff 1) zum Cubus zu erheben, braucht man nur das Quadrat (a ff- d)2 noch mit s ff- b zu niultiplicieren. Es ist also (a ff- b)' — (a -ff k)- (a -ff b) — -ff 2sb ff- b?) ff- ff), somit 0 ff- k)» — ff- 3kffff ff- Zalff . ff, j der Cubus eines Binoms besteht aus dem Cubus des ersten Gliedes, dem dreifachen Quadrate des ersten Gliedes multipli- ciert mit dem zweiten Glieds, dem dreifachen ersten Gliede mul- tipliciert mit dem Quadrate des zweiten Gliedes, und dem Cubus des zweiten Gliedes. 25 Um nach diesem Satze den Cubus eines Trinoms s -st b -st o zu erhalten, betrachtet man s -st b als das eine Glied und o als das andere Glied eines Binoms; man erhält dann 0 -st b st- e)" — s(s st- b) st- — (s -st b)° st- 3 (s st- d)" . e -st 3 (s -st b) e? st- e° — s° st- 3s-b st- 3 ab- -st b° st- 3 (s -st b)- 6 -st 3 (s -st b) o' -st 6°. Eben so folgt (s -st b -st 6 -st ä)° — ss -st b -st e) st- äst — — (s -st b -st o)° -st 3 (s -st b -st e)- ä -st 3 (s st- b st- o) ä- st- ä° — s° -st 3s-b -st 3s b- st- b° st- 3 (s -st z-»)s o -st 3 (s -stb) g2 -st 3 (s -4- b -st o)- ä -st 3 (a -st b -st o) ä- -st ä°, u- s- f- Hieraus ergibt sich für das Cubieren eines mehrgliedrigen Ausdruckes folgendes Bildungsgesetz: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt seinen eigenen Cubus. 2. Jedes folgende Glied liefert drei Bestandtheile: das dreifache Quadrat der Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit diesem Gliede, die dreifache Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit seinem Quadrate, und seinen eigenen Cubus. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist der verlangte Cubus. Z. B. (I- st- 2v - 3)° - — ^6 -st 6Q -I- 12)^ st- 8z4 — 9 (v- -st 2v)2 -st 27 (v- -i- 2v) — 27 — i2v^ -st 8v° — 9v^ — 36v° — 36)-- st- 27,s- -st 54y — 27 — -st 6v° -st 3v° — 28v° — 9v- -st 54v — 27. Aufgaben. dieselbe 3mal als Factor; z. B. 319° — 319 . 319 . 319 — 32461759, 1-28° — 1'28 . 1-28 . 1-28 — 2'097152. Da der Cubus eines Decimalbruches 3mal so viel Decimalen als der gegebene Decimalbruch enthält, so muss in einem vollständigen Cubus die Anzahl der Decimalen stets ein Vielfaches von 3 sein. 26 Die dritten Potenzen der einziffrigen Zahlen sind: Zahl: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; Cnbus: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. Zur leichteren Begründung der Lehre vom Ausziehen der Kubik¬ wurzel (ß. 34i soll auch hier ein zweites Verfahren, eine Zahl zum Cubus zu erheben, abgeleitet werden. Dasselbe beruht auf dem Bildungsgefetze für den Cubus eines mehrgliedrigen algebraischen Ausdruckes. Zerlegt man z. B. die Zahl 423 in ihre dekadischen Bestandtheile und entwickelt dann den Cubus, so ergibt sich: 423» — (400 4-20-4- 3)» oder mit Weglassung der Nullen: 423» 4».... 64. 3 . 42 . 2 . . . . 96. 3.4.22.. .. 48 2» . . . . 8. 3.422 3 ... . 15876. 3.42.32.. .. 11Z4 3» . . . . 27 75686967 Zur Entwicklung des Cubus einer dekadischen Zahl ergibt sich hiernach folgendes Verfahren: 1. Man erhebe die erste Ziffer links zum Cubus. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bilde man drei Bestandtheile: das Product aus dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer, das Product aus der dreifachen vorangehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer, endlich ihren Cubus. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander geschrieben, dass jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert. 27 Aufgaben. Entwickle nach dem abgeleiteten Verfahren: s. Dividieren allgemeiner Zahlen. ß. 28. Der Quotient a:b zweier Zahlen muss so be¬ schaffen fein, dass er mit dem Divisor b multipliciert den Dividend b gibt. (a: b) . b — a. Aus dem Begriffe der Division folgt: 1. Dividiert man das Product zweier Zahlen durch den einen Factor, so erhält man den andern Factor. ab : a — d; ab : b — a. 2. Jede Zahl durch sich selbst dividiert gibt 1 zum Quotienten. a : a — 1; denn 1 . a — a. 3. Jede Zahl durch 1 dividiert gibt sich selbst zum Quotienten. a:1 —a; 1:1 — 1. Rechengesetze der Division. Z. 29. 1. EinProdnct wird durch eineZahl dividiert, indem man einen der Factoren dadurch dividiert. (a . d) : e — (a : a) . d oder (a . d) : e — a. (d : <;). Soll der Ausdruck (a : o) . d der richtige Quotient sein, so muss er mit dem Divisor e multipliciert den Dividend a . b geben. Nun ist wirklich (a : e) . b . o — (a : e) . e . b — a . b. Ebenso ist a . (b : e) eine richtige Form des Quotienten; denn a . sb : e) . 6 — a . b. 2. Eine Zahl wird durch ein Product dividiert, indem man sie durch den einen Factor und den erhaltenen Quotienten durch den andern Factor dividiert. a : (b . e) — (a : b) : 6. Denn ffa : b): es . b . 6 — s(a : b) : es. e . b — (a : b). b — a. 28 3. Einfach gestaltet sich die Division allgemeiner Zahlen, wenn sie Potenzen derselben Basis sind. Man hat r? : g — .asa : a — aa — ast a°: a- — aaaaa : an — aaa — a? : — aaaaaaa: aaa — aaaa 7 a^, allgemein Potenzen derselben Basis werden also dividiert, indem man von dem Exponenten des Dividends den Exponenten des Divisors subtra¬ hiert, und die erhaltene Differenz der gemeinsamen Basis zum Potenz¬ exponenten gibt. Dieser Satz hat vorerst nur Sinn und Giltigkeit, wenn der Potenz¬ exponent na des Dividends größer ist als der Potenzexponent n des Di¬ visors. Sind beide Exponenten gleich, io würde man nach diesem Satze eine Potenz mit dem Exponenten Null erhalten; ist der Exponent des Dividends kleiner als der des Divisors, so käme bei Anwendung des obigen Satzes eine Potenz mit negativem Exponenten zum Bvrschein. Es muss daher zunächst noch die Bedeutung solcher Potenzen festgestellt werden. Nach dem obigen Satze ist : 0^ — g» - es ist aber auch ab : zb — aaa : asa — 1: folglich a« — 1 d. h. eine Potenz mit dem Exponenten 0 ist gleich 1. Nach dem obigen Satze hat man ferner a^ : g? — a?—° — a-b - es ist aber auch aaaaa aaa a^' folglich d. h. eine Potenz mit negativem Exponenten ist gleich 1 divi¬ diert durch dieselbe Potenz mit positivem Exponenten. Nach dieser Erweiterung des Begriffes einer Potenz hat nun der oben für die Division zweier Potenzen derselben Basis aufgestellte Satz allge¬ meine Giltigkeit. 4. Bei der Division algebraischer Zahlen sind vier Fälle zu unterscheiden. 29 s) Ist -1- ab durch st- b zu dividieren, so muss der Quotient st- u sein, weil nur eine positive Zahl st- u mit einer positiven st- b multipliciert ein positives Produet -st ad geben kann; also (->- ad) : (st- b) — st- u. d) Es sei -st ad durch — d zu dividieren; hier muss man den Quotienten a so bezeichnen, dass er mit — d multipliciert -st ad gibt; nun kann nur eine negative Zahl mit einer negativen multipliciert ein positives Product geben; der Quotient a muss also negativ sein und man hat (st- ad) : (— d) — — a. e) Um — ad durch -st b zu dividieren, muss man eine Zahl suchen, welche mit -st b multipliciert —ad gibt; diese Zahl kann nur —a sein; somit (— ab): (st- b) — — u. ck) Durch dieselbe Schlussfolge erhält man auch (— ad): (-— b) — -st u. Zwei algebraische Zahlen werden demnach dnrch einander dividiert, indem man den Quotienten ihrer absoluten Werte positiv oder negativ nimmt, je nachdem Dividend und Divisor gleiche oder verschiedene Borzeichen haben. Aus den voranstehenden Rechengesetzen ergibt sich für die Division zweier eingliedriger Ausdrücke: a) Bezüglich des Zeichens ist der Quotient positiv vder negativ zu setzen, je nachdem Dividend und Divisor gleiche oder verschiedene Zeichen haben. b) Der Coefficient des Quotienten ist der Quotient des Coefficienten des Dividends durch den des Divisors. o) Die Hauptgröße des Quotienten ist die Hauptgröße des Dividends nach Weglassung derjenigen Buchstaben, welche auch im Divisor vorkommen, und zwar in gleicher Anzahl, als sie im Divisor enthalten sind, folglich bei Potenzen derselben Basis die gemeinschaftliche Basis mit einem Potenz¬ exponenten, welcher gleich ist dem Exponenten des Dividends iveniger deni Exponenten des Divisors. Kommen im Divisor Buchstaben vor, welche der Dividend nicht enthält, so kann man die Division durch dieselben nur anzeigen, indem man sie in den Quotienten als Nenner setzt; z. B.: abx : bv — K. 30. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird durch eiue Zahl dividiert, indem man jedes Glied desselben durch diese Zahl dividiert und den einzelnen Quotienten die Rechnungszeichen der Glieder des Dividends gibt, (u — b — o st- ck): m — (u : in) — (b : in) — (o : in) st- (ck : m). 30 Denn sta : in) — (k : in) — (o : in) -st stl : in)s . in — (a : in) . m — (b : in) . in — (e : in) . w P (ä : m) . m — a — k — e — ä. A. 31. Sind Dividend und Divisor mehrgliedrige Ausdrucke, so lässt sich das Divisionsverfahren am einfachsten aus der Art und Weise ableiten, wie der Dividend durch die Multiplikation aus dem Divisor und Quotienten entsteht, Ivie dabei die Theile des Divisors und Quotienten in ihrem Produkte, dem Dividende zu einander gestellt erscheinen. Ist der Divisor a -j- b -n e, der Quotient m -j- u -p x, so erhält man durch die Multiplikation, wenn die Theilproducte unter einander geschrieben werden, Divisor a -st k -st o Quotient w -st n -st p Dividend uni km -j- em -st an -st kn st- en -st ap -st kp -st ep. Der erste Theil nm des Dividends ist das Product aus dem ersten Theil n des Divisors und dem ersten Theile m des Quotienten; man erhält daher den ersten Theil des Quotienten, wenn man den ersten Theil des Dividends durch den ersten Theil des Divisors dividiert. — Bildet man nun die Bestandtheile, welche m im Produkte hervorgebracht hat, indem man den ganzen Divisor mit m multipliciert, und subtrahiert dieses Product vom Dividende, so ist der erste Theil an des Restes das Product aus dem ersten Theile a des Divisors und dem zweiten Theile n des Quotienten. Wird daher dieser erste Theil des Restes durch den ersten Theil des Divisors dividiert, so erhält man den zweiten Theil des Quotienten. — Wenn man das Theilproduct, welches n im Dividende hervorbrachte, nämlich das Product aus dem ganzen Divisor und aus u, von dem früheren Reste subtrahiert, so ist der erste Theil des Restes ax, welches das Product aus dem ersten Theile a des Divisors und dem dritten Theile p des Quotienten darstellt. Man findet daher den dritten Theil des Quotienten, wenn man den ersten Theil des letzten Restes durch den ersten Theil des Divisors dividiert; u. s. w. Hieraus ergibt sich folgendes Verfahren für das Dividieren zweier mehrgliedriger Ausdrücke: Man dividiere, nachdem die Glieder des Dividends und des Divisors gleichartig geordnet wurden, das erste Glied des Dividends durch das erste Glied des Divisors; dadurch erhält man das erste Glied des Quotienten; mit diesem Theilquotienten multipliciere man den ganzen Divisor und sub¬ trahiere das Product vom ganzen Dividend. Mit dem Reste verfahre man dann eben so, wie mit dem ursprünglichen Dividend, um das zweite Glied des Quotienten zu erhalten, u. s. s. Z. B. (3i? — 4ab — 4b^) : (3a 2b) — a — 2b 3a^ -j- 2ab 31 — 6ab — -Id? — 6ab — 41^ -1- -1- 0 Zusatz. Insbesondere erhält man (g? — d?) : (a -s- b) — a — d, nnd sa^ - - b?) : (a — b) — a -p- b; d. h. die Differenz zweier Quadrate durch die Summe der Wurzeln dividiert gibt die Differenz der Wurzeln; die Differenz zweier Quadrate durch die Differenz der Wurzeln dividiert gibt die Summe der Wurzeln. 36. (20ao -ß- 12be): 4a. 37. (15a^ — 25ad): 5a. 38. (21in^ -h- 15m^ — 18iu-): 3u?. 32 39. (12)? — 24x2x -st 30xx2) : 6x. 40. (5g? — 35^ — 15g° -st 10g0) : — 5m 41. (16x»x0 — 12x^2 4) . 4^--^- 42. (7xx — 14xr -st ? ^xr) : gxx. 43. Bestimme: 44. Berechne die Zahlenwerte der Ausdrücke in 43. für g — 4 und b — 7. 45. (15n2 -st 1Oab — 101?) : (5g — 2d). 46. (35x2 — 27xx — 18x2) . — 6x). 47. (4s? — 28gx -st 49x2) . (2g — 7x). 48. (24^2)? — 38gdxx -st 15d2x2): (4ax — 3bx). 40. (42g^ — 23a2x2 — 5xZ: (7g2 — 5x2). 50. (36x2x2 — 4o): (4xx -st 5). 51. (104x^ -st 88ax'2 — 19): (13x2 _ 2g). 52. (64x2 25): (8x -st 5). 53. (9x2 „ 4g) . __ 7), 54. (4x^ — 40^2 7^ -st 20) : (2x — 5). 55. (15x0 4x-v — 29xx2 -st 10z?) : (3x -st 5x). 56. Berechne den Zahlenwert des Ausdruckes in 55. für x — ! 6 und x — 2-5. 57. (x^ — 1) : (x2 -st 1). 58. (g? — 1): (g — 1). 59. (48x2 — 42^s __ 444X -st 5x -st 72): (8x — 4x — 9). 60. 15 -st 8x — 32x2 -st 32x^ — 15xch : (3 -st 4x — 5x2). 61. (3g^ — 11a,o -st 29g2 — 27g st- 30): (3g2 — 2g -st 5). 62. (12 st- x — 18x2 — 7-Z^s 36x°) : (4 — 5x — 6x2). 63. (8mo st- 27) : (4m^ — 6n? -st 9). 64. (12r? — 37g0 st- 29g2 -st 13a — 20) : (3g? — 7a -st 5). 65. (18x0 — 47x^ — 10x0 -st 55x2 42X — 49) : (6x2 4x _ 7). 66. (12g? -st 26ad — 10d2 — 36ae -st 29da — 21^) : (2a -st 5d — 7a). 67. (ist — 9g^x2 -st 27gV _ 27x«) _ 9xZ. 68. (15x^ -st 8x0x — 41x2x2 lyxxO -st 8x0) : (5x2 gxx — 8x2) 69. (x'> — xO) : (xO — 2x2x st- 2xz? — xO). 33 70. (a° — 16aV -/ 64d'ff : -/ -j- 12u2hL 16^S _r_ 10^. 71. (17'28x4 — 6'74x2/ — 5'59/) : (5'4x2 — 4'3^2). 72. (',, — 14/ -P- 45/): (i . 2a -i- 3/) — ? ' 73. (^// -j- -/ 6/) : (s/^s __ /- z^s) — 74. (/—^ zUd—'' zd-—, ^d6 —Vs0^):(3L —5b-i-V^e.) IV. Änsziehrn der Gnadrat- und der Lubikwurzel. 1. rlusziehen der Quadratwurzel. Z. 32. Aus einer Zahl die Quadratwurzel ausziehen heißt, eine Zahl suchen, welche mit sich selbst multipliciert die gegebene Zahl zum Producte gibt. Die Quadratwurzel aus einer Zahl wird durch das vor¬ gesetzte Wurzelzeichen z angezeigt. Z. B. Aus 64 die Quadratwurzel ausziehen heißt, eine Zahl suchen, welche mit sich selbst multipliciert 64 gibt; diese Zahl ist 8, denn 8 X 8 — 64. Man schreibt -/64 — 8 und liest: Quadratwurzel aus 64 ist gleich 8. Die einziffrigen Quadratwurzeln sind: /1 — 1, /16 — 4, /49 — 7, /4 — 2, /25 — 5, /64 — 8, /9 — 3, /36 — 6, /81 — 9. tz. 33. Das Verfahren beim Ausziehen der Quadratwurzel ist die Umkehrung der oben in Z. 25 dargestellten Erhebung zum Quadrate. So wie beim Quadrieren die aus den Wurzelziffern gebildeten Bestandtheile des Quadrates in diesem zusammengesetzt wurden, eben so müssen dieselben beim Ausziehen der Quadratwurzel wieder auseinander genommen werden. Es sei z. B. 467 zum Quadrate zu erheben, und dann aus dem gefundenen Quadrate die Quadratwurzel zu ziehen. Wir stellen, nm die Vergleichung zu erleichtern, das Quadrieren und das Ausziehen der Quadratwurzel neben einander. 467- 42 . 2.4.6. 62 2 . 46 . 7 . 72 Da die erste Wurzelziffer im Quadrate eine oder zwei Stellen gibt, wegen jeder folgenden Wurzelziffer aber im Quadrate immer zwei Stellen Močnik, Arithmetik für Realschulen. III. 18. Ausl. 34 zuwachsen, so enthält das Quadrat einer Zahl entweder doppelt so viel Ziffern, als deren die Wurzel hat, oder um eine weniger. Wenn man daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Abtheilungen zu zwei Ziffern theilt, wobei die erste Abtheilung links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so hat man so viele Abtheilungen, als die Quadratwurzel Ziffern hat. Im vorliegenden Falle hat das Quadrat 218089, woraus die Quadrat¬ wurzel gezogen werden soll, drei solche Abtheilungen. Das Quadrat der ersten Wurzelziffer ist in der ersten Abtheilung enthalten; man findet daher die erste Ziffer der Quadratwurzel, wenn man die Zahl sucht, deren Quadrat der Zahl in der ersten Abtheilung am nächsten kommt, ohne größer als sie zn sein; diese Zahl ist 4. Wird ihr Quadrat 4- — 16 von der ersten Abtheilung subtrahiert, so bleibt 5 als Rest. . Setzt man zu dem Reste 5 die zweite Abtheilung 80 hinzu, so müssen in der so entstehenden Zahl 580 die Bestandtheile vorkommen, welche die zweite Wurzelziffer im Quadrate hervorbringt, nämlich das Product aus ihr und der doppelten ersten Ziffer und ihr Quadrat, und zwar erstreckt sich jenes Product nur bis auf die erste Ziffer in der zweiten Abtheilung, ist also in 58 enthalten. Dividiert man daher die Zahl 580 mit Ausschluss der letzten Ziffer, nämlich 58, durch das doppelte der ersten Wurzelziffer, nämlich durch 8, so erhält man die zweite Wurzelziffer 6. Wenn man dann die Bestandtheile des Quadrates, welche aus dieser zweiten Wurzelziffer entstehen, nämlich 2 . 4 . 6 — 48 und 6- — 36 an den gehörigen Stellen von 580 subtrahiert, so bleibt 64 als Rest. Setzt man zu diesem Reste die dritte Abtheilung 89 hinzu, so enthält die dadurch entstehende Zahl 6489 die Bestandtheile, welche die dritte Ziffer im Quadrate hervorbringt, und zwar kommt das Product aus dieser Wurzelziffer und der doppelten ihr vorangehenden bereits gefundenen Zahl in der Zahl 6489 mit Ausschluss der letzten Ziffer, also in 648 vor. Dividiert man daher 648 durch das doppelte der bereits gefundenen Wurzel, d. i. durch 92, so erhält man die dritte Wurzelziffer 7; u. f. w. Aufgaben. Bestimme folgende Quadratwurzeln, indem du dabei die in dem obigen Beispiele durchgeführten Schlüffe anwendest: 1. P47P1 — 69 2. P96!04 — 98 O?. . 36^ 81 116Z : 12 150f4 : 18 2.6.9.. 108 144 92 . . . -81 64 0 0 3. P1024. 4. P5625. 5. P6561. 35 6. -/21609. 9. <49729. 7. <65536. 10. <654481. 8. <408321. 11. -» 820836. 12. <26 52 25 — 515 5< . 25 15.2 : 101 101 . 1 . . 10 1 5 12.5 : 1025 1025 . 5 . . 512 5 0 Rechne ebenso: 13. <15376. 1». <299636. 19. <32 5 2 42 09 — 5703 75.2 : 107 3 4209 : 11403 0 Bestimme ebenso: 20. <91068849. 22. ->/11669056. 24. <1655025124. 26. <4222140484. 28. «5 2'2 <5 6 — 12'34 5.2 : 22 8 2.7 : 243 9 8 5.6 : 2464 0 Anstatt die beiden Bestandtheile, welche jede neue Wurzelziffer im Quadrate hervor¬ bringt, einzeln zn bilden und ihre Summe zu subtrahieren, kann man die neugefundene Wurzelziffer sogleich zu dem doppelten der früheren Wurzelziffern d. i. zu dem bezüg¬ lichen Divisor dazusetzen, und sodann das Produet aus der dadurch gebildeten Zahl und der neuen Wurzelziffer subtrahieren. 1< -,/404496. 18. <11943936. Das Product aus dem jedes¬ maligen Divisor, nachdem man ihm die neue Wurzelziffer angehängt hat, und aus dieser neuen Ziffer kann auch so¬ gleich während des Mnltiplicierens von dem Dividende subtrahiert werden. 21. z 104101209. 23. -, 100020001. 25. z 6449053636. 27. -, 5478220225. Bei Decimalbrüchen geschieht die Eiutheilnng der Ganzen vom Decimal- punkte gegen die Linke und die Ein- thcilung der Decimalen vom Deeimal- punkte gegen die Rechte; es wird dann in der Wurzel der Deeimalpnnkt gesetzt, 14. -,'654481. 17. 5943844. bevor man die erste Abtheilung v 29. <0-2407. 31. z/5-4756. 33. <0'556516. 35. <27-973521. 37. Bestimme , 7'38. Da man für 7'38 auch <7-3 8 — 2-716 . . . 3 3,8 : 47 90,0 : 541 35 90.0 : 5426 3 344 n Decimalen in Rechnung zieht. 30. z 59 29. 32. <229-2196. 34. <6325-0209. 36. z 0'00(0 522756. -380000 . . setzen kann, so ist Bleibt beim Wurzelausziehen am Ende ein Rest, so ist die vorgelegte Zahl kein vollständiges Quadrat; die Würze ist in diesem Falle nicht genau, sie kann jedoch nähernngsweise mit jeder beliebi¬ gen Genauigkeit bestimmt werden, indem 3* 36 man sich nämlich der vorgclcgten Zahl beliebig viele Dccimalabtheilnngen von Nullen beigefügt denkt, und dem jedesmaligen Reste eine Abtheilung von zwei Nullen anhängt, übrigens aber wie vorhin verfährt. Eine solche Wurzel heißt irrational. Wenn die gegebene Zahl ein Decimalbruch ist und die letzte Abtheilung rechts nur eine Ziffer enthalten sollte, so wird derselben sogleich eine Null angehängt. Bestimme auf 3 Decimalen: Sind s, 6 und k bezüglich die Maßzahlen der Seite, der Diagonale und des Flächeninhaltes eines Quadrates, so hat man s — X/l, ä — 8 X/2, 8 — 64. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, dessen Flächeninhalt u) 9216 em?, b) 1'1025 m^ g? 4 clm? 89 a»^, beträgt? 65. Die Seite eines Quadrates ist u) 57 am, b) 3 m 8 ckm 4 am, e) 372/5 clm; wie groß ist die Diagonale? 66. Die Diagonale eines Quadrates ist a) 38 am, b) 0'578 m, o) 128Vs cm; wie groß ist die Seite? 67. Ein Messtischblatt ist ein Quadrat von 7 ckm 8 em Seitenlänge ; wie lang ist die Diagonale? 68. Wie groß ist die Seite eines Quadrates, welches so groß ist als zwei andere Quadrate zusammengenommen, deren Seiten 1 m 2 t7m 4 am und 1 m 5 Äm 2 am sind? 69. Die Oberfläche eines Würfels beträgt 19 44 ckm/ wie lang ist eine Kante desselben? Bezeichnet man die Maßzahl der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes durch s, und die Maßzahlen der beiden Katheten durch b und e, so ist 8 — z/ -z- e-, d — / n? — est e — / .4 k-. 37 70. Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes sind a) 4'51 m, d) 1 m 5 ckm 9 cm, 6'04 m; 2 m 1 ck-» 2 cu»; wie groß ist die Hypotenuse? 71. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse u) 397 cm, k) 5'65 m, eine Kathete a) 228 cm, b) 3'96 m; wie groß ist die zweite Kathete? 72. Wie lang muss eine Leiter sein, um bis zur Spitze einer 4'35 m hohen Mauer zu reichen, wenn sie unten 2-32 m von der Mauer absteht? 73. Eine 6 m 15 cur lange Leiter wird gegen eine vertikale Wand so aufgestellt, dass der Fuß der Leiter 2 m 75 cm von der Wand absteht wie weit ist das obere Ende der Leiter vom Fußboden entfernt? 74. Wie groß ist die Höhe eines gleichseitigen Dreieckes, dessen Seite 2'34 m beträgt? 75. Wie groß ist die Höhe eines gleichschenkligen Dreieckes, in wel¬ chem die Grundlinie 136 cm und ein Schenkel 85 cm beträgt? 76. In einem gleichschenkligen Dreiecke ist die Grundlinie 38'88 Äm und die Höhe 36'45 c/m; wie groß ist die Länge eines Schenkels? 77. In einem gleichschenkligen Dreiecke ist ein Schenkel 13 m 9 ckm 1 cm und die Höhe 5 m 3 cim 5 cm; wie groß ist die Grundlinie? 78. Auf ein 8 m 85 cm breites Haus soll ein 3 m 75 cm hohes Dach gesetzt werden; wie lang müssen die Dachsparren sein, wenn sie 64 cm Vorsprung erhalten? — Bezeichnet r die Maßzahl des Halbmessers eines Kreises, t die Maßzahl des Flächeninhalts und n die Ludvlfsche Zahl, d. i. einen der Näherungswerte Zr/„ 3'14 oder genauer 3'1416, so ist 79. Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt a) 2909'34 c^m^, b) 14 m^ 86 c7m? 17 cm?; wie groß ist der Halbmesser? 80. Wie groß ist der Durchmesser eines Kreises, dessen Flächeninhalt 38^/g cim^ beträgt? 81. Ein kreisrunder Tisch soll 1 m? Fläche haben; Ivie groß muss der Halbmesser genommen werden? 82. Die Seite eines Quadrates ist 3'85 c/m; wie groß ist der Durchmesser eines flächengleichen Kreises? Ist r die Maßzahl des Halbmessers und o die Maßzahl der Oberfläche einer Kugel, so ist, wenn n die Ludolf'sche Zahl bezeichnet, r-V^° ' In 38 83. Die Oberfläche einer Kugel beträgt a) 10 rOu? b) 49 88 ck-r? 92 e/u-; wie groß ist der Halbmesser ? 84. Eine Kugel hat gleiche Oberfläche mit einem Würfel, dessen Kante 2 ckm 4'5 em beträgt; wie groß ist der Durchmesser der Kugel? 2. Ausziehen der Kubikwurzel. Z. 34. Aus einer Zahl die Kubikwurzel ausziehen heißt, eine Zahl finden, welche dreimal als Faetor gesetzt die gegebene Zahl gibt. Um die Kubikwurzel aus einer Zahl anzuzeigen, setzt mau vor diese das Wurzel¬ zeichen und in dessen Öffnung die Ziffer 3. Z. B. Aus 216 die Kubikwurzel auszieheu heißt, eine Zahl suchen, welche dreimal als Faetor gesetzt 216 zum Produkte gibt; diese Zahl ist s 6, denn 6 X 6 X 6 — 216. Man schreibt -, 216 — 6 und liest: Kubik¬ wurzel aus 216 ist gleich 6. Die einziffrigen Kubikwurzeln sind: —1, P64 —4, P343 - 7, >8 —2, ^125 — 5, P512—8, 27 — 3, 216 — 6, z 729 — 9. Z. 35. Das Verfahren, nach welchem aus einer Zahl die Kubikwurzel ausgezogen wird, lässt sich aus dem in K. 27. entwickelten Gesetze ableiten, nach welchem die Bestandtheile der Kubikwurzel in dem Kubus zusammen¬ gestellt erscheinen. Erhebt man z. B. 537 zum Kubus, und ist dann aus dem gefundenen KubuZ die Kubikwurzel zu ziehen, so hat man s 5373 -1/154 854 153 — 537 .125 125 M 854 : 75. .3.52 3 . 52 . 3 . 22 5 22! 5 3 . 5 . 32 . 1,35 .... 1 35 33 . >27 . ! 27i 5! 977 153 : 8427 . . 3.53- 3.532.7 . 5 898 9 . 5.8989 3 . 53 . 72 . 77 91 . 77 91 7s . 343 . 343 154 854 153 j ^0 Da die erste Wurzelziffer im Kubus eine, zwei oder drei Stellen gibt, wegen jeder folgenden Wurzelziffer aber im Kubus immer drei Stellen zuwachsen, so enthält der Kubus einer Zahl entweder dreimal so viel Ziffern, als deren die Kubikwurzel hat, oder um zwei oder eine weniger. Theilt 39 man daher den Cubus von der Rechten gegen die Linke in Abteilungen zu drei Ziffern, wobei die erste Abtheilung links auch nur zwei oder eine Ziffer enthalten kann, so hat man so viele Abtheilungen, als die Wurzel Ziffern enthalt. Im vorliegenden Falle hat der Cubus 154854153, woraus die Cubikwurzel gezogen werden soll, drei solche Abtheilungen. Der Cubus der ersten Wurzelziffer ist in der ersten Abtheilung ent¬ halten; die erste Ziffer der Cubikwurzel wird daher gefunden, wenn man die größte Zahl nimmt, deren Cubus in der ersten Abtheilung enthalten ist; in 154 ist der Cubus von 5, nämlich 125, enthalten: die erste Wurzel¬ ziffer ist also 5. Wird 5^ — 125 von der ersten Abtheilung subtrahiert, so bleibt 29 als Rest. Setzt mau zu diesem Reste die zweite Abtheilung hinzu, so enthält die so entstehende Zahl 29854 die Bestandtheile, welche aus der zweiten Wurzelziffer hervorgehen, nämlich das Product aus dem dreifachen Quadrate der ersten Wurzelziffer mit der zweiten, das Product aus der dreifachen ersten Ziffer mit dem Quadrate der zweiten, und den Cubus der zweiten Wurzelziffer, und zwar erstreckt sich das erste Product nur bis auf die erste Ziffer der zweiten Abtheilung. Wird daher die Zahl 29854 mit Ausschluss der letzten zwei Ziffern, nämlich 298, durch das dreifache Quadrat der ersten Wurzelziffer, nämlich durch 75, dividiert, fo erhält man die zweite Wurzelziffer 3. Entwickelt man dann die drei Bestandtheile, welche diese neue Ziffer im Cubus hervorbringt, nämlich 3 . 5? . 3 — 225, 3.5.3? — 135 und 33 — 27, rückt jeden derselben um eine Stelle weiter nach rechts und subtrahiert dann diese Zahlen von 29854, so erhält man 5977 als Rest. Setzt man zu diesem Reste die dritte Abtheilung dazu, so enthält die so gebildete Zahl 5977153 die Bestandtheile, welche die dritte Ziffer im Cubus hervorbringt, und zwar kommt das Product aus dieser Wurzelziffer und dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden Zahl in der Zahl 5977153 mit Ausschluss der letzten zwei Ziffern, also in 59771, vor. Dividiert man daher 59771 durch 3 . 53? — 8427, so erhält man die dritte Wurzelziffer 7; u. s. w. Aufgaben. 1. P592j704 — 84 8». 512 807,04 : 192 3 . 8?.4 . .768 3 . 8 . 4?. . 38 4 4». . 64 0 2. g/5832. 3 3. -,/'97336. 4. ch205379. 5. ch614125. s 6. ch912673. 40 7. /7301384. 8. /139798359. 9. -/223648543. 10. /152273304. 11. /281011375. 12. /731432701. 13. /12230590464. 14- /60006085875. 15. /12'2 30 590 464 — 2'304 Bei Decimalzahlen geschieht die Ein- theilung der Ganzen vom Decimalpunktc gegen die Linke, die Eintheilung der Decimalen gegen die Rechte; in der Cubikwurzel wird der Decimälpunkt ge¬ setzt, bevor man die erste Abtheilung von Decimalen in Rechnung bringt. 4 2,30 : 12 36 5 4 27 63^904,64 : 158700 634800 1104 0 64 ' '0 16. / 571'787. 18. / 11089'567. 20. /796'597983. 22. /12'895213625. 24. /0'074246873427. 26. /9,2 95 — 2l-025 . . . 8 1 2,95 : 12 1 2 6 340000,00 : 132300 264600 252 0 8 17. /0'103823. 19. z 15'252992. 21. /644972-544. 23. /1593'413632. 25. /914'367667816. Bleibt beim Ausziehen der Cubik¬ wurzel am Ende ein Rest, so ist die Wurzel nicht genau; sie lässt sich aber mit jeder beliebigen Genauigkeit in Decimalen bestimmen, indem man dem zuletzt erhaltenen und jedem folgenden Reste eine Abtheilung von drei Nullen anhängt und übrigens wie vorhin ver¬ fährt. 75147 920,00 : 13255212 66276 060 15 765 0 1 25 8856 093 75 4) Bestimme auf 3 Decimalstellen: Bezeichnen s und v bezüglich die Maßzahlen der Seite nnd des Cubik- inhaltes eines Würfels, so ist 3 8 — V V. 47. Der Cubikiuhalt eines Wiirfels beträgt g.) 195'112 b) 72 4/-^ 511 c»? 713 wie groß ist die Seite des Würfels? 48. Wenn man 21952 gleiche würfelförmige Steine so in einen Haufen bringen würde, dass in der Länge, Breite und Höhe gleich viele Stücke sind; wie viel Steine kommen in jede Reihe? 49. Wie lang ist die Seite eines Würfels, welcher so viel Raum einnimmt, als zwei Würfel zusammengenommen, deren Seiten 3 ckm 4 em und 2 7 en? sind? 50. Es soll ein würfelförmiger Kessel gefertigt werden, welcher 18 /) (7a — 5)?. 18. a) (4x2 b) (5x — gghs. 19. (3-4x — 0-5^) (2-5x — 1'2v). 20. (12x» — 7x2 (gx — 5). 21. Bei einem Geschäfte, zu welchem 4 4800 fl., L. 3650 fl. und 0 3280 fl. hergegeben hat, werden 12°/g gewonnen; wie viel gewinnt jeder? 22. Jemand soll 200 fl. nach 2 Jahren und 1800 fl. nach 4 Jahren ohne Zinsen zahlen; er bezahlt 2500 fl. schon nach IVz Jahren; wann muss er dann den Rest zahlen? 23. Ein Wasserbehälter kann durch eine Röhre in 21^, durch eine zweite in 3^ Stunden gefüllt werden; in wie viel Stunden wird der Wasserbehälter voll, wenn beide Röhren gleichzeitig geöffnet sind? 4» 52 24. L) -/208574891. 25. a) -/412455481. 26. s,) -/0'857375. k) -/52301824. d) -,/3163725009/ k) -/109902239. 27. a) -/80677-568161. k) -/69021909208. 28. Ein Haus wurde für 24500 sl. gekauft; der jährliche Mietzins¬ ertrag ist 1980 fl.; zu wie viel °/o verzinset sich das Capital, wenn für Reparaturen 125 fl. in Anschlag gebracht werden und wenn die Steuer 350/0 des Mietzinses beträgt? 29. Ein Triester kauft in Amsterdam 3214 Pfd. Kaffee und bezahlt das Pfd. mit 4/z st. holländisch; die Spesen betragen 200/g; wie viel fl. ö. W. muss er bezahlen, wenn 100 st. holl. — 101 fl. ö. W. gerechnet werden? 30. Ein Wiener ist nach Hamburg den Reinertrag einer Verkaufs¬ rechnung mit 2155 fl. ö. W. schuldig und übermacht dafür einen Ham¬ burger Wechsel; auf wie viel Mark muss dieser gestellt werden, wenn der Curs auf Hamburg 59'75 ist. 31. Am 13. März werden verkauft: 6000 fl. C. M. böhm. Grundentlastungs-Oblig. ä 109, 2500 „ „ „ niederösterr. „ „ ä 110 und 3000 „ „ „ tirol. „ „ ä 105. (Zinsen a 5°/g mit lOO/g Einkomm.-St. seit 1. November.) 32. Jemand erspart jährlich 450 fl. und legt diese am Ende eines jeden Jahres auf 5"/g Zinseszinsen an; zu welchem Betrage wachsen diese Ersparnisse in 15 Jahren an? 33. Jemand hat nach 4 Jahren 5250 st. zu fordern; wie viel erhält er jetzt für seine Forderung, die Zinseszinsen zu 5°/g gerechnet? 34. Aus 1 Lr/ feinen Silbers werden 90 österr. Güldenstücke ge¬ prägt; wie viel Guldenstücke gehen auf 1 LA Münzsilber d. i. feines Silber? 35. Wenn 100 LA einer Ware für 87 fl. eingekauft, und überdies 20/g Provision gegeben werden, wie theuer muss man das LA verkaufen, wenn man 12^/sig gewinnen will? 36. erhielt 5 Kisten einer Ware, von denen jede 82 LZ- Brutto wog, gegen 120/0 Tara, zu dem Einkaufspreise von ^/z sl. pr. LA Netto; wenn nun die Ware mit IlVsiVo Gewinn wieder verkauft wurde, wie groß war der ganze Gewinn? 37. * Für 20 fl. kauft man 48 Lr/; wie viel für 45 fl. ? 38. * Für 5 Monate beträgt der Zins eines Capitals 16 fl. 50 kr.; wie viel für 1 Jahr? 53 39.* s,) 450 fl. Capital geben jährlich 27 fl. Zins, d) 360 „ „ „ „ 16^ z fl. Zins; zu wie viel °/g sind diese Capitalien angelegt? 40. * Ein Wein ä 60 kr. pr. / war gemischt aus 60 / a 65 kr. und einer geringeren Sorte; welchen Wert hatte 1 / der zweiten Sorte? 41. * Von zwei Zahlen ist die zweite 5mal so groß als die erste, ihre Summe beträgt 72; wie heißen die zwei Zahlen? Da die zweite Zahl das 5fache der ersten ist, so ist die Summe beider das 6fache der ersten Zahl. Ist nun diese Summe, d. i. das 6fache der ersten Zähl, gleich 72, so ist die erste Zahl selbst der 6te Theil von 72, somit 12, und folglich die zweite Zahl 5mäl 12, also 60. 42. * Von zwei Zahlen, deren Differenz 30 ist, ist die eine 3mal so groß als die andere; welche Zahlen sind es? 43. * Ein Lehrer gab auf die Frage, wie viel Schüler er habe, fol¬ gende Antwort: die Hälfte meiner Schüler beträgt 16 mehr als der 6te und 9te Theil derselben. Wie viel Schüler hatte er? 44. * Drei Personen sollen 350 fl. so unter sich theilen, dass L 18 fl. mehr erhält als 6, und 4 14 fl. mehr als L; wie viel erhält jeder? 45. * Eine bestimmte Arbeit kann allein in 5 Tagen, L allein in 7 Tagen zustande bringen ; wann wird die Arbeit fertig, wenn 4. und L gleichzeitig arbeiten? 46. a) /3'0976. d) /514089. d) /422220304. d) /961504'803. d) P627881709547. 47. a) /97535376. 48. / /41063625. 49. u) /1767172329. 50. An einem 4d^). /3x^ x 4X /4x^ x 3ä r --2x) l s -e -2 - 61. Für 100 LA Weizen bezahlte man an einem Tage in Breslau 22'4 Mark und in Budapest 12'6 fl.; wie theuer hätte der Weizen in Breslau sein müssen, damit die Preise an beiden Orten gleich wären, wenn an diesem Tage der Curs auf Breslau 59'60 fl. pr. 100 Mark war? 62. Drei Personen beschließen auf 2 Jahre ein Geschäft in Gemein¬ schaft zu führen; legt dazu 4800 ft., 8 ebenfalls 4800 fl. und 0 6000 fl. ein. Nach 4 Monaten nimmt 800 fl., nach 8 Monaten 8 300 fl. und nach 10 Monaten 6 1000 fl. zurück. Am Schlüsse theilten sie einen Gewinn von 1415 fl.; wie viel gebürt jedem? 63. Es hat jemand nach und nach folgende Zahlungen zu leisten: den 17. März 250 fl., den 13. Juli 300 fl., den 21. August 400 fl., den 7. Oktober 250 fl. und den 18. December 500 fl. An welchem Tage kann er diese sämmtlichen Posten auf einmal abtragen? (Man berechne hier die einzelnen Zeiten vom 1. März an, von welchem Zeitpunkte aus dann auch das Resultat zu nehmen ist.) 64. Eine Arbeit, für welche 18 fl. gezahlt werden, können und 8 in 4 Tagen vollenden, und 0 in 5 Tagen, 8 und 6 in 6 Tagen; wie hoch würde sich hiernach der Tagelohn für jeden der drei Arbeiter stellen? 65. Ein Capital, wovon die eine Hälfte zu 6°/g, die andere zu 5^/zO/, angelegt ist, bringt jährlich 324'3 fl. Zinsen; wie groß ist das Capital? 66. Jemand hat in der Sparkasse 2345 fl. 30 kr.; er legt zu Anfänge eines jeden halben Jahres 50 fl. dazu; wie groß wird das Capital nach 4 Jahren bei 5°/„ halbjähriger Verzinsung? 67. Ein Kaufmann eröffnete sein Geschäft mit einem Fonde von 22800 fl.; wenn er nun durch 10 Jahre jährlich 6°/o beim Geschäfte gewann, wie groß wird der Handelsfond am Ende des 10. Jahres? 55 68. Ein Leipziger Kaufmann bezieht von Wien eine Ware ä 40 kr. pr. L^, Spesen sind 1O°/o; er verkauft das Pfund — Vg LA für 52 Pfenn.; wie viel °/<> gewinnt er, wenn 100 Mark—60 fl. sind? 69. Berechne folgende Factura (Einkaufsrechnung): Hamburg, am .... . 42 Kisten Congo-Thee Brutto 4034 Pfund . . „ Tara 16 Pfund pr. Kiste Netto ft^Pfund^l^ Mark Pr. Pfd. . . Mark. Diverse Spesen Mark 123 „ 18, Ausgangszoll - - - „ - - „ - - - - - Mark Provision Vs°/(> „ . ! - - Mark ....!.. 70. In einer Faetura ist der Preis der gekauften Waren 2260 fl. 18 kr., Sconto 1Vs"/o, verschiedene Spesen 62 fl. 20 kr., Sensarie 1o/„ (vom Preis), Provision 2^//g. Wie groß ist der Betrag der Einkaufsrechnung? 71. * Ein Arbeiter hat in 2?/g Monaten 181^ ft. verdient; wieviel in */z Monat? 72. * Der Arbeitslohn für 4 Arbeiter auf 5 Wochen ist 140 fl.; wie viel beträgt derselbe für 7 Arbeiter auf 9 Wochen? 73. * Ein Wucherer lieh einen Landmann 45 fl. und forderte als Zins jedes Vierteljahr 2^ fl.; wie viel o/o nahm er? 74. * 8 und 0 kaufen gemeinschaftlich 40 m Tuch für 150 fl.; erhält 6 »r und 0 4 m mehr als L; wie viel muss jeder bezahlen? 75. * Welche Zahl hat die Eigenschaft, dass ihr 5ter Theil 8mal genommen um 6 größer ist als die Zahl selbst? 76. * Theile die Zahl 48 in zwei Theile so, dass der eine um 18 größer sei als der andere. 77. * Von 120 LZ- wurde ein Theil verkauft und es blieben noch 28 mehr übrig als verkauft wurden; wie viel LA wurden verkauft? 78. * Zwei Zahlen verhalten sich wie 5 : 3, ihre Summe ist 56; welches sind die Zahlen? 79* In 2 Zimmern befinden sich 32 Personen; gehen aus dem ersten Zimmer so viele in das zweite als schon dort sind, so sind in beiden gleich viele. Wie viele Personen waren in jedem Zimmer? 80. Berechne die Zinsen folgender Capitalien; a) 4007 fl. zu vom 1. Juli bis 23. November; b) 6140 ft. zu 5^// /g vom 14. Oct. bis 31. December. 56 2°/o und findet so 86 fl.; wie viel beträgt die richtig gerechnete Provision? 86. Jemand hat ein Jahreseinkommen von 2400 fl.; wie viel kann er täglich ausgeben, wenn er 3°fl an Einkommensteuer, zahlen muss und jährlich 500 fl. ersparen will? 87. Bei dem Kaufe eines Ackers wird bestimmt, dass von der Kauf¬ summe 600 fl. sogleich, die übrigen 636 fl. aber nach 1 Jahre gezahlt werden sollen; der Käufer zahlt jedoch auch diese sogleich und erhält 5° § Discont; wie viel hat er zusammen bar zu zahlen? 88. Jemand hat nach 6 Monaten 4000 fl. zu bezahlen; er zahlt 2400 fl. bar; wann hat er den Rest zu zahlen? 89. Jemand mischt 27 einer Waare, von der das Zx/ 28 kr. kostet, mit 12 einer geringeren Sorte, und nun kommt das /x/ der Mischung auf 24 kr.; wie viel kostet 1 der zweiten Sorte? 90. Zu einem Geschäfte gibt 4. 12500 fl., ö 10500 fl., 6 14000 fl.; wenn nun der Gewinn von 7500 fl. so getheilt wird, dass /l für seine besondere Mühe als Geschäftsleiter außer seinem verhältnismäßigen Antheile noch 15 des Gewinnes erhält, wie viel bekommt jeder? 91. (4aV fl- 8a°bs — 12a'b°) : 2-fllfl. 92. (8a? — 276») : (2a — 3b). 93. (16a? — 46ax fl- 15x-) : (8a — 3x). 94. Wenn man eine Ware für 150 fl. verkauft, so verliert man 10"/»; wie theuer muss man sie verkaufen, um 5°,fl zu gewinnen? 95. Beim Verkaufe einer Ware zu 462 fl. gewinnt man 16?//. wie viel °/g gewinnt man, wenn sie für 420 fl. verkauft wird? W. Am 18. Mai wird ein Wechsel von 1355 fl., zahlbar ultimo Juni, ä 40/g discontiert; wie groß ist dessen Wert? 97. I. bezog für einen nach 72 Tagen fälligen Wechsel bei 5°fl Discont 594 fl.; auf welche Summe lautete der Wechsel? 98. Für eine nach 3^ Jahren fällige Schuld erhielt jemand nach Abzug von 6°/g Jahresdiscont bar 3555 fl.; wie groß war die Schuld? 99. (5a?x? — 4ax fl- 6) (3a-x? fl- 4ax — 5). 100. (-fla- -fl (5/^2 — s^ab fl- - zbfl. im — 2 3v4 /4x 3 — E' 19)- 3 4x7 V3x 2 8x7' 57 102. Jemand will ein Grundstück verkaufen. I. dielet ihm 3900 fl. bar, I> 4250 fl. ohne Zins nach 2 Jahren zahlbar, 0 4310 fl. ohne Zins nach 3 Jahren zahlbar. Welches Anerbieten stellt sich bei 5'Z, ganzjähriger Verzinsung als das vortheilhafteste für den Verkäufer heraus? 103. legt in einem Geldinstitute, welches die eingezahlten Beträge mit 50Z jährlich capitalisiert, 2850 fl. an; welche Summe kann er nach 18 Jahren beheben? 104. nimmt ein Capital von 12000 fl. auf und zahlt für Rechnung der 50/0 Zinsen und der Capitaltilgung am Schlüsse eines jeden Jahres 800 fl.; a) wie groß wird noch der Schüldrest nach 10 Jahren sein, d) welchen gegenwärtigen Wert hat dieser Schuldrest? 105. In einem österr. Zehnkreuzerstücke sind Silber und Kupfer in dem Verhältnisse 2 : 3 mit einander gemischt; wie viel Silber und wie viel Kupfer hat man nöthig, um 6600 fl. in Zehnkreuzerstücken zu Prägen, wenn 300 Zehnkreuzerstücke Vz /ez/ wiegen? 106. Wie viel muss man am 14. August für 1500 fl. ungar. Goldrente zum Curse 101 zahlen? (Zinsen zu 4°/g seit 1. April.) 107. Die 50/0 österr. Papierrente steht an einem Tage auf 97; welches wäre der entsprechende Curs für IV/Z allgeineine Papierrcnte? 108. Was ist vortheilhafter, allgemeine Papierrente (Zinsen 4^ I §) zum Curse 82 oder österr. Goldrente (Zinsen 4"/o in Gold) zum Curse 110 zu kaufen, wenn das Gold gegen Papiergeld 20°), Agio genießt? 109. Ein Wiener hat in London 215 Pfund Sterling zu fordern. Was ist für ihn vortheilhafter, über diesen Bewag unmittelbar auf London einen Wechsel zum Curse 122 fl. für 10 Pfund St. zu ziehen, oder durch einen Frankfurter jene Summe auf London zum Curse 204 Mark für 10 Pfund St. zu entnehmen und sich von ihm den Betrag zum Cmfe 168 Mark für 100 fl. zu übermitteln zn lassen, wenn der Frankfurter Geschäftsfreund 2/4°,g Provision rechnet? 110? 20 m kosten 36 fl.; wie viel kosten 35 m? 111. * Jemand braucht in 30 Tagen 48 fl. 50 kr.; wie viel kommt auf 21 Tage? 112. * Theile die Summe von 126 fl. im Verhältnisse der Zahlen 2, 3 und 4. 113. * In wie viel Jahren betragen die Zinsen eines zu 4"Z ange¬ legten Capitals so viel als das Capital selbst? 114. * Die Hälfte und der dritte Theil einer Zahl betragen um 7 weniger als die Zahl; wie heißt sie? 58 115. * Von zwei Zahlen ist die erste 4mal so groß als die zweite; vermindert man die erste um 6 und vermehrt die zweite nm 6, so erhalt man gleichviel. Welche Zahlen sind es? 116. * .1. und L haben gleich viel Geld; tritt .1 an 3 15 fl. ab, so hat L doppelt so viel als 4; wie viel Geld hatte jeder? 117. * Ein Bauernmädchen wurde gefragt, wie viel Eier sie im Korbe trage. davon, erwiderte sie, betragen 5 mehr als derselben. Wie viel Eier trug sie? 118. a) 1 545'2225. 119. a) i 1292114916. 120. a) i 125751501. 121. a) ^2-918076589. 122. * Ein Eisenbahnzug geht b) 1/50'296464. b) 1/0-1626186276. b) l/256047875. b) P166920094216. Wien auf der Westbahn ab und legt stündlich 30 zurück.; nach 1^/z Stunden wird ihm eine Locomoüve nachgesendel, welche stündlich 45 /em zurücklegt; in welcher Zeit wird sie den Zug erreichen? 123. Eine Dampfmaschine von 36 Pferdekraft bewegt in 18 Tagen ä 12 Stunden eine Erbmasse von 9 m. Länge, 5 -m Breite und 6'3 »r Höhe; in wie viel Tagen ununterbrochener Arbeit wird eine Erdmasse von 15 -n Länge, 7 m Breite und 4 m Höhe durch eine Dampfmaschine von 24 Pferdekraft bewegt werden? 124. Ein Legat von 1800 fl. soll unter drei Diener im Verhältnis ihres Alters und ihrer Dienstzeit vertheilt werden. war 44 Jahre alt und diente 15 Jahre, L war 40 Jahre alt und diente 12 Jahre, 0 war 36 Jahre alt und diente 10 Jahre; wie viel erhält jeder? 125. Einem Arbeiter wird sein Wochenlohn von 7 fl. 20 kr. auf 8 fl. 28 kr. erhöht; wie viel °, /g beträgt die Lohnerhöhung? 126. Ter Reinertrag einer Verkaufsrechnung betrug nach Abzug von 2'/4°/o Spesen 3479'9 fl.; für wie viel fl. war die Ware verkauft worden? 127. (4^x - 57b) - (27«x > - 17s)- 128. 5a -j- 3b — f3a — (2b -j- 4e)j. 129. 7x — 2z^ — fx — (3x — ?) -j- (2x — 3chf. 130. 8a — 3b -j- (6 — 5b) — f5b — 7b — (3a — 6)j. 131. Zu wie viel "Z wurde ein am 12. August fülliger Wechsel von 3456 fl. am 23. Juni discontiert, wenn der Discont 19 fl. 20 kr. betrug? 132. Wie viel kostet ein Wechsel auf Paris pr. 2920 Franken zum Curse 48-65? 133. Jemand leiht 2450 fl. auf ein Jahr zu 6" g aus, zieht aber die Zinsen sogleich ab; um wie viel ist dabei der Schuldner, welcher die Zinsen erst nach Ablauf des Jahres zu zahlen hätte, im Nachtheil? 59 134. Jemand leiht ein Capital vvn 3600 fl. zu 5V//ft aus, wovon er selbst einen Theil zu 4"/o ausgenommen hat: wie groß ist der ihm ge¬ hörende Theil des Kapitals, wenn er einen jährlichen Zinsüberschuss von 154 fl. hat? 135. 4, L und 6 erlitten bei einem gemeinschaftlichen Geschäfte 20°/g Verlust; ihre Einlagen verhalten sich wie 9:8:7 und das Capital nach Abzug des Verlustes beträgt 22480 st. 80 kr.; a) wie viel erhält jeder zurück; d) wie viel hat jeder verloren? 136. Zur Ausführung einer Arbeit verwendet man anfangs 20 Mann 3 Wochen lang jeden Tag 8 Stunden, dann 30 Mann 4 Wochen täglich lO Stunden, und endlich 40 Mann, welche in 2 Wochen bei täglich 9sttindiger Beschäftigung mit der Arbeit fertig werden. In wie viel Wochen würden 50 Mann bei täglich 12stündiger Arbeit das ganze Werk zustande gebracht haben? 137. 4 hat nach 3 Jahren 300 fl., nach 4 Jahren 500 fl. und nach 5 Jahren 600 fl. zu zahlen; er zahlt jedoch schon nach 2 Jahren 400 fl. und nach 2i g Jahren 500 fl.; wann wird der Rest fällig sein? 138. Wenn 1 Gold 15' „ mal so viel wert ist als 1 Silber, welchen Wert in Gulden ö. W. hat ein neues 4-Guldenftück, da aus 500 A Gold, das Vio stin ist, 155 4-Guldenstücke geprägt werden? 139. Ein österr. Ducaten wiegt 3'49058 A nnd ist 23- . Karat. fein; wie viele Ducaten können aus 1 /g feinen Goldes geprägt werden? 140. Ein Commissionür kauft 75 20-Frankstücke im Curse zu d fl. 66 kr. und 80 Stück russ. Halbimperiale ä 10 fl. 65 kr. und rechnet Vs°/vo Sensarie und Provision; auf welchen Betrag lautet die Rechnung? 141. (225^ — 480ad -j- 256^): (15a — 16d). /2x2 11 2W4 /3x 5vä 13^2 — 45 " 3x2/ : 4x/' 143. (63x-- — 16x2 — ig2x — 80) : (9x -4- 10). 144. (30x^ — 2xs — 12^ — 5ix 27) .. 5^ 7^ __ 9), 145. Am 22. Februar werden gekauft: 2500 fl. Pfandbriefe der Bodencredit-Anstalt ä 101'25 (Zinsen ä 40/0 seit 1. Nov.); 2000 fl. Pfandbriefe der galiz. Rustical-Credit-Anst. ä 56 (Zinsen ä 3°/g seit 1. Jänner). 146. Ein Prager Kaufmann erhält aus Amsterdam 25 Ballen englischen Pfeffer, Brutto 3540 Pfund, Tara 4 Pfund pr. Ballen, ä 40 Cents pr. Pfund, Sconto 2°, 0; verschiedene Spesen fl. 18 „ 72, Sensarie V2V0, Provision IVzO/». Wie lautet die Factum? 60 147. Ein Kaufmann in Wien verkauft für einen Triester Kaufmann 6 Fässer Tafelöl, gewogen Brutto 3285 4.y, Tara 24chg zu fl. 75 pr.