OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 57 ŠT. 4 STR. 121–156 JULIJ 2010 C KM Y 2010 Letnik 57 4 i i “kolofon” — 2010/10/29 — 10:42 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, JULIJ 2010, letnik 57, številka 4, strani 121–156 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Marko Petkovšek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Dreven- šek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re- publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport. c© 2010 DMFA Slovenije – 1796 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 121 — #1 i i i i i i . PRAVA SIMETRIČNA VERIŽNICA MARKO RAZPET Pedagoška fakulteta v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 49J05, 49S05 Z metodo variacijskega računa izpeljemo enačbo simetrične verižnice v radialnem gra- vitacijskem polju. Podamo tudi nekatere lastnosti dobljene krivulje. THE TRUE SYMMETRIC CATENARY By using the calculus of variations, we derive the equation of the symmetric catenary in a radial gravitational field. Some properties of the obtained curve are also given. Nekaj zgodovine problema Tanka, gibka, neraztegljiva in homogena nit ali veriga, ki jo obesimo v dveh točkah tako, da prosto visi, zaradi težnosti po umiritvi zavzame obliko krivulje, ki ji pravimo verižnica. Znanstveniki so se že od nekdaj zanimali, kako bi to znamenito krivuljo opisali tudi matematično. Galileo Galilei (1564–1642) je trdil, da je verižnica kar parabola. Okrog leta 1646 je Christiaan Huygens (1629–1695) v nekem pismu Marinu Mersennu (1588– 1648) zaupal, da verižnica ni parabola. Do tega sklepa je prǐsel tudi Joa- chim Jungius (1587–1657) in to tudi potrdil z eksperimentom. Ko je bil na voljo infinitezimalni račun, so se s problemom oblike verižnice na pobudo Jakoba Bernoullija (1654–1705) spoprijeli Johann Bernoulli (1667–1748), David Gregory (1659–1708) in Gottfried W. Leibniz (1646–1716). Prǐsli so do ugotovitve, da je verižnica del grafa funkcije x 7→ a ch(x/a). Robert Ho- oke (1635–1703) je raziskoval trdnostne lastnosti obokov, ki imajo v preseku obliko narobe obrnjene verižnice. V gradbenǐstvu so take oboke izdelovali že veliko prej. Baje je angleško besedo za verižnico, catenary, predlagal Thomas Jefferson (1743–1826), tretji predsednik ZDA. Beseda temelji na latinski catena, kar pomeni veriga. Raziskovali so tudi nehomogene, razte- gljive, vrteče se in druge verižnice. Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 121 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 122 — #2 i i i i i i Marko Razpet Običajno pridemo do enačbe verižnice z uporabo načela, da se prosto obešena idealna veriga umiri tako, da je njeno težǐsče najniže (Bernoulli- jevo načelo statike). Ravnina, v kateri je verižnica, je navpična. Do ena- kega rezultata pridemo, če uporabimo načelo, ki pove, da se veriga umiri tako, da je njena potencialna energija najmanǰsa (Hamiltonovo načelo). Eno in drugo pa zahteva znanje variacijskega računa, zlasti reševanje vezanih, izoperimetričnih variacijskih nalog (več o tem je napisanega na primer v [2, 4, 5]). Običajna verižnica nastane ob predpostavki, da je potencialna energija točkaste mase sorazmerna z njeno vǐsino nad izbrano vodoravno ravnino in da je celotna verižnica v homogenem gravitacijskem polju, kjer je pospešek prostega pada v območju verižnice povsod enak. To je zelo natančno res, dokler so razsežnosti verižnice zelo majhne v primerjavi s polmerom Zemlje, na kateri verižnico realiziramo. Če pa bi realizirali verižnico ogromne dolžine in jo obesili zelo visoko, pa bi morali upoštevati pojemanje pospeška prostega pada z vǐsino. Tako verižnico si je zamislil že Johann Bernoulli in najbrž še kdo. Ni pa splošno znano, do katerih rezultatov so prǐsli. Pokojni prof. Egon Zakraǰsek (1941–2002) se je ukvarjal z različnimi, običajno težjimi matematičnimi nalogami, tudi z verižnico. O tej je predaval na Sredinem seminarju nekaj let pred svojo prezgodnjo smrtjo. Na koncu ga je nekdo vprašal, kakšna bi bila zelo dolga in zelo visoko obešena verižnica v zemeljskem gravitacijskem polju. Profesor se je samo prijazno nasmehnil. Toda razvoj znanosti je prinesel fulerene in ogljikove nanocevke. Ko je prof. Denis Arčon, Zoisov nagrajenec za vrhunske znanstvene in razvojne dosežke na področju fizike, v okviru občnega zbora in 60-letnice DMFA Slovenije no- vembra 2009 na Bledu predaval o fulerenih in nanocevkah, je povedal tudi morda nekoliko futuristično zamisel, da bi z nanocevkami, ki imajo primerne fizikalne lastnosti, povezali med seboj zelo oddaljene točke na Zemlji in v ve- solju. Ob tem se je morda marsikomu porodila misel o ogromnih verižnicah, pri katerih je treba upoštevati nehomogenost gravitacijskega polja. Iskanje po literaturi pa je pokazalo, da sta se s problemom prave veriž- nice, to je verižnice v radialnem gravitacijskem polju, že pred letom 2000 temeljito ukvarjala Jochen Denzler in Andreas M. Hinz ter leta 1999 objavila članek [1]. V pričujočem prispevku bomo do prave simetrične verižnice prav tako prǐsli z variacijskim računom kot pravkar omenjena avtorja, dobljeno diferencialno enačbo pa bomo reševali nekoliko drugače. 122 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 123 — #3 i i i i i i Prava simetrična verižnica Matematična formulacija problema Zamislimo si verižnico v gravitacijskem polju ~F (~r) = −GM ~r r3 , r = |~r| > 0, kjer je G splošna gravitacijska konstanta in M masa Zemlje ali kakega dru- gega planeta, na katerem bi verižnico realizirali. Polje ~F je potencialno: ~F (~r) = − gradU(~r), U(~r) = −GM r . Privlačno sredǐsče je v točki O, ki ustreza vektorju ~r = ~0. Privlačno sredǐsče lahko nadomestimo tudi s kroglo polmera R in sredǐsčem v točki O, pri čemer je masna gostota krogle odvisna le od r. Takrat obravnavamo verižnico, če je le-ta v celoti v tistem prostorskem območju, kjer velja r > R. Verižnica naj bo dolga 2` in homogena, to se pravi, da je njena krivulj- ska masna gostota % = dm/ds konstantna. Pri tem je ds diferencial ločne dolžine. Ukvarjali se bomo z najpreprosteǰsim primerom, ko ima verižnica krajǐsči v različnih točkah A− in A+, ki sta na enaki, dovolj veliki razda- lji od točke O. Tedaj je iskana krivulja simetrična, kar olaǰsa računanje. Simetričnost verižnice sledi iz načela njene minimalne potencialne energije. Posledica tega načela je tudi ta, da verižnica leži v ravnini, ki jo določajo točke A−, A+ in O, ter konveksnost verižnice, gledano iz točke O. Celo- tna verižnica je v trikotniku OA−A+. Nesimetrično verižnico obravnavata avtorja v [1]. Za udobno računanje vpeljemo polarni koordinatni sistem s polom v točki O in polarno osjo, ki je pravokotna na daljico A−A+, kakor kaže slika 1. Polarna kota točk A− in A+ sta potem ustrezno −α in α. Smiselno je vzeti naravno omejitev 0 < α < π/2. Polarna radija obeh točk sta enaka r1. V polarnih koordinatah lahko zapǐsemo: A±(r1,±α). Enačbo verižnice bomo iskali v polarnih koordinatah: r = r(ϕ). Njena celotna potencialna energija je Wp[r] = −GM% ∫ α −α 1 r √ r2 + r′2 dϕ (1) pri pogoju P[r] = ∫ α −α √ r2 + r′2 dϕ = 2`. (2) 121–133 123 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 124 — #4 i i i i i i Marko Razpet Pri tem smo uporabili izraz za diferencial loka krivulje r = r(ϕ) v polar- nih koordinatah in označili r′ = dr/dϕ ter upoštevali, da ima infinitezimalno majhna masa dm na razdalji r od točke O potencialno energijo −GM dm/r. Iščemo tako pozitivno in odvedljivo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), definirano na in- tervalu [−α, α], ki minimizira integral (1) pri pogoju (2) in z dodatkom r(±α) = r1. Graf rešitve, ekstremalo v polarnih koordinatah, bomo ime- novali prava simetrična verižnica. Na njej doseže polarni radij minimum v točki T (r0, 0). Pri tem je R ≤ r0 < r1. • •• • •• ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ......... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ........ .... .... ... ..... ..... ...... ...... ........ ........... ................... .... .... ... ..... ..... ...... ...... ........ ........... .............. .......................... ......................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .. ............................................................................................................................. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .......r r1r1 A+ A− T O ϕ = 0 ϑ = 0 ϑ > 0 ϑ < 0 `` ϕ > 0 ϕ < 0 ϕ = −αϕ = α ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . . .. .. . . . ...... ..... ..... ..... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ..... ..... ... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ....... ~n~n ~n .................................................................................................. .............................................................................................................. ............. ........... .......... .......... ......... .. .... ......... ........ ........ ....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ..... Slika 1. Prava simetrična verižnica. Dolžina 2` verižnice med točkama A− in A+ zadošča naravnim pogojem (slika 1): tetiva A−A+ krožnice r = r1 mora biti kraǰsa kot 2`, kar pa mora biti manj od 2r1, iz česar sledi naravna omejitev: r1 sinα < ` < r1. (3) Brez škode za splošnost lahko rešujemo nalogo tako, da vzamemo GM% = −1 in ǐsčemo ekstremalo funkcionala F [r] = ∫ α −α 1 r √ r2 + r′2 dϕ (4) pri pogojih P[r] = ∫ α −α √ r2 + r′2 dϕ = 2`, r(±α) = r1. (5) 124 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 125 — #5 i i i i i i Prava simetrična verižnica Gre torej za tipičen vezan problem variacijskega računa. Reševanje nas spominja na Lagrangeevo metodo iskanja vezanih ekstremov pri funkcijah več spremenljivk. Uporabimo izrek, ki ga je utemeljil Lazar A. Ljusternik (1899–1981). Več o Ljusternikovem izreku najdemo na primer v [2, 4, 5]. Sestavimo funkcional L[r] = F [r]− λP[r] = ∫ α −α ( 1 r √ r2 + r′2 − λ √ r2 + r′2 ) dϕ, (6) kjer je λ neka realna konstanta. Vpeljemo f(r, r′, ϕ) = 1 r √ r2 + r′2 − λ √ r2 + r′2 = ( 1 r − λ ) √ r2 + r′2 (7) in nastavimo potreben pogoj za ekstrem funkcionala (6), to je Euler-Lagrangeeva diferencialna enačba drugega reda: d dϕ ( ∂f ∂r′ ) − ∂f ∂r = 0. (8) S problemom, ali dobljena rešitev zares minimizira funkcional F , se tukaj ne bomo ubadali, zanesli se bomo pač na fizikalno vsebino naloge. Ker spremenljivka ϕ v (7) eksplicitno ne nastopa, lahko diferencialni enačbi (8) takoj znižamo red (glej na primer [2, enačba (10), str. 365]): f(r, r′)− r′ ∂f ∂r′ (r, r′) = −c . (9) Pri tem je c integracijska konstanta. V našem primeru dobimo najprej iz (9) ( 1 r − λ ) (√ r2 + r′2 − r ′2 √ r2 + r′2 ) = −c. in po poenostavitvi: r(λr − 1) = c √ r2 + r′2. (10) Poglejmo še, kakšni sta lahko konstanti c in λ, ki pri naših pogojih obstajata po Ljusternikovem izreku. Očitno je c 6= 0. Za λ = 0 pa bi dobili diferencialno enačbo cr′ = ±r √ 1− c2 in za |c| < 1 bi imeli za rešitev lo- garitemsko spiralo, kar pa spet ne gre. Torej bomo v nadaljevanju privzeli pogoja c 6= 0 in λ 6= 0. 121–133 125 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 126 — #6 i i i i i i Marko Razpet Reševanje problema Omenili smo že, da sta J. Denzler in A. M. Hinz v [1] problem reševala drugače. V enačbo (10) sta vpeljala novo funkcijo ρ(ϕ) = 1/r(ϕ), ki nam enačbo poenostavi. Po odpravi korena in odvajanju dobimo namreč pre- prosto nehomogeno linearno enačbo s konstantnimi koeficienti, ki jo zlahka rešimo. Vsemu navkljub pa se bomo naloge lotili po nekoliko dalǰsi, morda celo naravneǰsi poti. Označimo s ϑ orientirani kot od zunanje normale na krivuljo do podalj- ška polarnega radija r (slika 1). Iskali bomo ekstremalo, ki je konveksna, gledano iz točke O. Zato mora kot ϑ zvezno naraščati od negativnih na pozitivne vrednosti, ko kot ϕ narašča od −α proti α. Znano je (glej na primer [3, enačba (5), str. 439]), da velja enakost tg µ = r/r′, če je µ kot med polarnim radijem in tangento krivulje. Zato je r′ = r tg ϑ. Iz enačbe (10) dobimo λr − 1 = c/ cos ϑ in r = 1 λ ( 1 + c cos ϑ ) . (11) Iz enakosti dr dϑ = dr dϕ · dϕ dϑ hitro sledi c sinϑ λ cos2 ϑ = dϕ dϑ · r tg ϑ = 1 λ · dϕ dϑ tg ϑ ( 1 + c cos ϑ ) in po preureditvi dϕ dϑ = c c + cos ϑ . (12) S tem imamo povezavo med kotoma ϕ in ϑ, in sicer ϕ = c ∫ ϑ 0 dθ c + cos θ , (13) pri čemer smo upoštevali, da je ϕ = 0, ko je ϑ = 0, kar je posledica mi- nimalnosti polarnega radija r v temenu T in enačbe r′ = r tg ϑ. Funkciji (11) in (13) nam določata družino ekstremal v polarni parametrični obliki. Toda s tako obliko nismo popolnoma zadovoljni, kajti radi bi izločili kot ϑ in dobili eksplicitni izraz r = r(ϕ). 126 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 127 — #7 i i i i i i Prava simetrična verižnica Preprost rezultat, ki nam bo obenem povedal predznak konstante c, dobimo za ukrivljenost κ iskane krivulje po formuli κ = rr′′ − r2 − 2r′2√ (r2 + r′2)3 . (14) Pri tem upoštevamo r′ = r tg ϑ in (12). Najprej izračunamo r′′ = r′ tg ϑ + r cos2 ϑ · dϑ dϕ = r tg2 ϑ + r cos2 ϑ ( 1 + cos ϑ c ) , nato pa po poenostavitvi dobimo: κ = cos2 ϑ cr . Krožnica r = a (a > 0) je konkavna, gledano iz točke O, njena ukrivljenost pa je po (14) enaka −1/a, torej negativna. Iskana ekstremala pa je, gledano iz točke O, konveksna in mora zato imeti po (14) pozitivno ukrivljenost na celotnem intervalu [−α, α]. To pomeni, da je c > 0, iz (11) pa sklepamo, da je tudi λ > 0. Integral (13) računamo z univerzalno substitucijo τ = tg(θ/2), ki nam da cos θ = (1− τ2)/(1 + τ2), dθ = 2 dτ/(1 + τ2) in ϕ = 2c ∫ t 0 dτ (c− 1)τ2 + (c + 1) , t = tg ϑ 2 . (15) Brez težav iz (11) in (12) izrazimo za ekstremalo diferencial loka: ds = √ r2 + r′2 dϕ = c λ · dϑ cos2 ϑ . Z integracijo dobimo še dolžino s(ϕ) ekstremale med njenim temenom in točko, ki ustreza polarnemu kotu ϕ: s(ϕ) = c λ ∫ ϑ 0 dθ cos2 θ = c λ · tg ϑ = cr ′(ϕ) λr(ϕ) = −cr(ϕ) ( 1 λr )′ (ϕ). (16) Rezultat (16) je pomemben pri določevanju konstante c pri dani dolžini ` in danem kotu α. Iz oblike integranda v (15) razberemo, da se kot ϕ izraža s funkcijo ar th v primeru 0 < c < 1 in s funkcijo arc tg v primeru c > 1. Primer c = 1 121–133 127 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 128 — #8 i i i i i i Marko Razpet je posebno lep, ker nam da preprost rezultat: ϕ = t = tg(ϑ/2). Sedaj si oglejmo vse tri možnosti, ki dejansko pridejo v poštev pri omejitvi (3). A. Najprej se vprašajmo, ali obstaja pri omejitvi (3) rešitev, v kateri je 0 < c < 1. Tedaj dobimo iz (15): ϕ = 2c√ 1− c2 ar th √ 1− c 1 + c t, t = √ 1 + c 1− c th ϕ √ 1− c2 2c . (17) .................................................................................................................................................................................................................................... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . ...... ..................................................................................................... ................... ......................... ............ ......... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ...... ...... ..... . 0 π 1 σ ................................................................................................................................ .................................... ............... `/(r1α) σ0 sh σ/σ sinσ/σ Slika 2. Parameter σ0 reši enačbo sh σ/σ = `/(r1α) oziroma sinσ/σ = `/(r1α). Iz izraza (11) izpeljemo 1 λr = cos ϑ c + cos ϑ = 1− t2 (1 + c)− (1− c)t2 , nato pa iz (16) in (17) sledi po kraǰsem računu 1 λr(ϕ) = 1− c ch(ϕ √ 1− c2/c) 1− c2 , s(ϕ) = r(ϕ) c sh(ϕ √ 1− c2/c)√ 1− c2 . (18) Iz pogojev s(α) = ` in r(α) = r1 dobimo iz druge relacije v (18) enačbo ` = r1 c sh(α √ 1− c2/c)√ 1− c2 , v katero za lažjo obravnavo vpeljemo novo neznanko σ = α √ 1− c2/c 6= 0, (19) tako da dobimo transcendentno enačbo ` r1α = sh σ σ . (20) 128 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 129 — #9 i i i i i i Prava simetrična verižnica Iz poteka funkcije σ 7→ sh σ/σ, ki je namreč večja kot 1 in naraščajoča za pozitivne σ (slika 2), razberemo, da ima enačba (20) natanko eno rešitev σ0 > 0 pri pogojih 0 < α < 1, r1α < ` < r1. Enačbo (20) seveda rešujemo v konkretnem primeru numerično, za kar je na voljo precej metod. Ko iz- računamo σ0, dobimo iz (19) natanko določeno konstanto c = α/ √ α2 + σ20, ki očitno zadošča pogoju 0 < c < 1. Iskana krivulja je tedaj določena z relacijo 1 λr(ϕ) = 1− c ch(σ0ϕ/α) 1− c2 . Ker je 1 λr1 = 1− c chσ0 1− c2 , s čimer je določena tudi konstanta λ, dobimo nazadnje za rešitev: r(ϕ) = r1 1− c chσ0 1− c ch(σ0ϕ/α) , c = α√ α2 + σ20 . (21) B. Nato poglejmo, ali obstaja pri omejitvi (3) rešitev, v kateri je c > 1. Podobno kot v primeru A dobimo iz (15): ϕ = 2c√ c2 − 1 arc tg √ c− 1 c + 1 t, t = √ c + 1 c− 1 tg ϕ √ c2 − 1 2c . (22) Iz izraza (11) izpeljemo 1 λr = cos ϑ c + cos ϑ = 1− t2 (c + 1) + (c− 1)t2 , nato pa iz (16) in (22) sledi po kraǰsem računu 1 λr(ϕ) = 1− c cos(ϕ √ c2 − 1/c) 1− c2 , s(ϕ) = r(ϕ) c sin(ϕ √ c2 − 1/c)√ c2 − 1 . (23) Iz pogojev s(α) = ` in r(α) = r1 dobimo iz druge relacije v (23) enačbo ` = r1 c sin(α √ c2 − 1/c)√ c2 − 1 , v katero za lažjo obravnavo vpeljemo novo neznanko σ = α √ c2 − 1/c 6= 0 (24) 121–133 129 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 130 — #10 i i i i i i Marko Razpet in dobimo transcendentno enačbo ` r1α = sinσ σ . (25) Iz poteka funkcije σ 7→ sinσ/σ, ki je namreč manǰsa kot 1 in padajoča za 0 < σ < π (slika 2), razberemo, da ima tudi enačba (25) natanko eno rešitev σ0 pri pogojih 0 < α < π/2, r1 sinα < ` < r1α. Očitno velja relacija sinα/α < sinσ0/σ0, iz česar sledi σ0 < α. Ko izračunamo σ0, dobimo iz (24) natanko določeno konstanto c = α/ √ α2 − σ20, ki očitno zadošča pogoju c > 1. Iskana krivulja je tedaj določena z relacijo 1 λr(ϕ) = 1− c cos(σ0ϕ/α) 1− c2 . Ker je 1 λr1 = 1− c cos σ0 1− c2 , s čimer je določena tudi konstanta λ, dobimo nazadnje za rešitev naše naloge krivuljo: r(ϕ) = r1 1− c cos σ0 1− c cos(σ0ϕ/α) , c = α√ α2 − σ20 . (26) C. V najenostavneǰsem primeru c = 1 lahko pridemo do rezultata za 1/(λr(ϕ)) tudi z limitnim prehodom iz primerov c 6= 1, na primer: lim c→1+0 1 λr(ϕ) = lim c→1+0 ( 1− c 1− c2 − ϕ 2 2c + (c2 − 1)ϕ4 4!c3 − . . . ) = 1− ϕ2 2 . Pri tem smo uporabili razvoj funkcije cos v potenčno vrsto. Za c = 1 je zato 1 λr(ϕ) = 1− ϕ2 2 in po (16) še s(ϕ) = ϕr(ϕ). Ta primer očitno nastopi, če je ` = r1α in 0 < α < 1, kajti tedaj velja s(α) = r(α)α. V tem mejnem primeru je parameter λ določen z relacijo 1/(λr1) = (1− α2)/2 in iskana krivulja je r(ϕ) = r1 1− α2 1− ϕ2 . (27) 130 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 131 — #11 i i i i i i Prava simetrična verižnica • •• •..................................................................................................................... .................................................................................................................... ..... ..... ........ ......... ......... ........... ............. ................... ................................................................................................................................................................................ .................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... r A+ A− T O ϕ = 0 ϕ = 1 ϕ = −1 r = r0 r = r1 ``ϕ = α ϕ = −α ..................................................................................................................................................... ................... ............ .......... .......... ......... ......... ......... ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ...... .... ...... ....... ....... ....... ...... ....... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ..... . ..... ....... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ....... ....... ....... ...... ..... . ...... ...... .... . .... . .... . ..... ..... .. .... ... .... .......... ....... ....... ..... ..... ..... ..... ...... ...... Slika 3. Prava verižnica r(ϕ) = r0/(1− ϕ2) s krivinskim krogom v temenu T . Ukrivljenost rešitve v temenu T je v vsakem primeru κ = 1/(cr0) in krivinski polmer je tam cr0, kjer je r0 = r(0). • • • .................................................................. ........................................................................ O A+ A− r1r1 ϕ = −αϕ = α ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....................................................................................................... ................ .............. ..................................................................................................................................................................................... ................. ............... ......................................................................................................................................... .................. .............. ............. ............ ...................................................................................................................... ......... ........ ....... ..... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ............................................................................................................................. ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ............................................................................................................................................................... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... ... .. O A+ A− • • •...................................................................................................................................... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ................................................. .................. . .. ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Slika 4. Prave verižnice (levo) in primerjava ene od njih s klasično (desno). Slika 4 na levi strani kaže prave simetrične verižnice različnih dolžin skozi isti točki. Krepkeje je načrtana tista, za katero je ` = r1α (c = 1) in se njen polarni radij izraža racionalno s kotom ϕ. Nad njo so verižnice, za katere je r1 sinα < ` < r1α (c > 1) in se njihov polarni radij izraža s funkcijo cos, pod njo pa verižnice, za katere je r1α < ` < r1 (0 < c < 1) in se njihov 121–133 131 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 132 — #12 i i i i i i Marko Razpet polarni radij izraža s funkcijo ch. Parameter c > 0 na sliki se manǰsa od zgoraj navzdol. Na desni strani slike pa je s polno črto narisana prava verižnica, s pik- často pa klasična verižnica enake dolžine. Glavni rezultat in sklep Če se ne oziramo na velikost planeta, na katerem realiziramo prave simetri- čne verižnice, so njihove enačbe za −α ≤ ϕ ≤ α take: A. Za 0 < α < 1, r1α < ` < r1: r(ϕ) = r1 1− c chσ0 1− c ch(σ0ϕ/α) , sh σ0 σ0 = ` r1α , c = α√ α2 + σ20 . B. Za 0 < α < π/2, r1 sinα < ` < r1α: r(ϕ) = r1 1− c cos σ0 1− c cos(σ0ϕ/α) , sinσ0 σ0 = ` r1α , c = α√ α2 − σ20 . C. Za ` = r1α, α < 1: r(ϕ) = r1 1− α2 1− ϕ2 , c = 1. Če bi katerokoli verižnico po zgornjih enačbah nadaljevali prek krajǐsč A±, bi se bližala asimptotama, ki sta vzporedni poltrakoma ϕ = ±(α/σ0) ar ch(1/c) oziroma ϕ = ±(α/σ0) arc cos(1/c) oziroma ϕ = ±1 . Da se izračunati, kje se asimptoti v posameznem primeru sekata, vendar dobimo precej zapletene izraze. Zato konèajmo računanje samo še z eno zanimivostjo. Za vsako naravno število n ≥ 4 zlahka sestavimo sklenjeno verigo pravih, najenostavneǰsih verižnic (27), če vzamemo α = π/n < 1. Skupna dolžina 132 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 i i “Razpet-prava” — 2010/10/29 — 7:38 — page 133 — #13 i i i i i i Prava simetrična verižnica sklenjene verige je 2πr1, kar je enako obsegu njenega očrtanega kroga. Pol- mer včrtanega kroga pa je r0 = r1(1− α2) (slika 5). • .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........... ......... ....... ..... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... .... ..... ....... ......... ............ .......................... .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............ .......... ........ ...... ..... .... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... .... .... .... ..... ..... ........ ......... ............ .................... ......................................................................... .................... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... ..... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . r0 r1 ................... .................. 2π/n .......... ......... ...... ...... ...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... ....... ..... ..... .... ..... ..... ...... ..... .......................................................................................................... ...... ...... ...... . ....... .......... ... ....................................................................................................... ........................................ ........................................................................................................ .................. .................. ......................................................................................................... ................... ................... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ....... .................. .................. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... Slika 5. Sklenjena veriga pravih verižnic. Našli smo enačbo prave simetrične verižnice v radialnem gravitacijskem polju. Uporabili smo mehansko načelo najmanǰse potencialne energije, infi- nitezimalni in variacijski račun, pa tudi numerično reševanje enačb nam je prǐslo prav. Vsekakor je zanimivo primerjati klasične in prave verižnice v konkretnih primerih (slika 4). LITERATURA [1] J. Denzler, A. M. Hinz, Catenaria Vera – The True Catenary, Expo. Math. 17 (1999), str. 117–142. [2] F. Križanič, Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun, DZS, Ljubljana, 1974. [3] I. Vidav, Vǐsja matematika I, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2008. [4] I. Vidav, Vǐsja matematika III, DZS, Ljubljana, 1976. [5] E. Zakraǰsek, Analiza III, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 2002. 121–133 133 . NARAVNA KONVEKCIJA V VODORAVNEM VALJU ALEŠ MOHORIČ Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani PACS: 47.55.P- Prispevek opisuje preprost model naravne konvekcije v valjasti geometriji. Reševanja sklopljenega sistema diferencialnih enačb, ki opisujejo gibanje in toplotne tokove tekočine, se lotimo s Fourierjevo metodo in obdržimo čim manj členov. Rešitve poenostavljenega sistema v faznem prostoru težijo k Lorenzovemu atraktorju, če je temperaturni gradient dovolj velik. Rešitve, ki jih poǐsčemo numerično, dajo občutek za temperaturne gradiente, velikosti tokov in časovno skalo, na kateri pride do sprememb. NATURAL CONVECTION IN A HORIZONTAL CYLINDER The article describes a basic model of natural convection in cylindrical geometry. We solve the coupled system of dynamical and thermodynamical equations describing a liquid by truncating the Fourier series. The solutions of the simplified system tend toward the Lorenz attractor in phase space for large enough temperature gradients. The numerical solutions offer an insight into the order of temperature gradient, flow, and characteristic time, typical for convection in a closed container. Uvod Do prenosa toplote lahko pride na tri načine: s prevajanjem, sevanjem in konvekcijo. Pri konvekciji toploto prenaša tok tekočine. Tekočina toploto prejme v delu z vǐsjo temperaturo, se pretoči v del z nižjo temperaturo in tam toploto odda. Konvekcija je prisilna, če tok tekočine poganjajo črpalke. Tako hladimo procesor v računalniku. Ko se procesor zaradi obremenitve preveč segreje, se vključi ventilator in požene tok hladnega zraka čez rebra hladilnika nad procesorjem. Tok v tekočini lahko požene tudi vzgon, če se gostota tekočine pri segrevanju dovolj spremeni. V tem primeru poganja tok gravitacija. V breztežnostnem prostoru do konvekcije ne pride. To lepo opazimo na plamenu sveče, ki se na Zemlji zaradi navpičnega toka vročega zraka razpotegne v obliko kaplje, v breztežnem prostoru pa ostane okrogel, ker ni dotoka svežega zraka (slika 1). Naravna konvekcija je torej masni tok tekočine v gravitacijskem polju, kjer je zaradi temperaturnega gradienta gostota tekočine pri dnu manǰsa kot 134 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju Slika 1. Plamen sveče na levi in plamen v breztežnem prostoru na desni. V breztežnem prostoru ni naravne konvekcije in plamen je okrogel ter šibek, saj ni dotoka svežega zraka s kisikom. Vir: NASA. pri vrhu in vzgon požene masni tok. Konvekcija je v splošnem tok z zaple- teno geometrijo in dinamiko. Ta tok lahko postane turbulenten z zapletenim časovnim potekom. Najlažje rešitve poǐsčemo z modelsko analizo. Primer kaže slika 2, ki prikaže konvekcijo v žarnici. Dinamiko konvekcije opǐsejo Navier-Stokesova enačba, kontinuitetna enačba ter enačba toplotnega pre- vajanja. Sistem enačb v prvem približku poenostavimo na Lorenzov sistem enačb, ki opǐsejo Lorenzov oscilator. Oscilatorju v faznem prostoru ustreza fraktalni Lorenzov atraktor [1]. Sistem enačb nastopa tudi pri obravnavi konvekcijskih tokov v atmosferi [3]. Konvekcijski tok je pri dovolj velikih temperaturnih razlikah kaotičen. Ena od najbolǰsih metod, s katero lahko spremljamo spreminjanje hitrosti, je slikanje z jedrsko magnetno resona- nanco. Gibanje lahko opazimo na slikah, s katerimi merimo porazdelitve difuzijske konstante. Kot primer si bomo ogledali konvekcijo vode v vodo- ravnem valju, ki ga pri vrhu oboda hladi izparevanje alkohola [7]. Naravna konvekcija Gibanje tekočine opǐsemo v okviru hidrodinamike. Tekočino obravnavamo zvezno - še tako majhen del sestavlja veliko število molekul. Tekočino opi- šemo s trenutnim hitrostnim, tlačnim ter gostotnim poljem. Preostale koli- čine lahko izračunamo z enačbami stanja. Pogoj za nastanek konvekcije je 134–143 135 Aleš Mohorič Slika 2. Konvekcija v žarnici, kjer tok plinov požene kovinska žička, segreta z električnim tokom, ter prisilna konvekcija v fenu. Sliki sta narejeni z računalnǐsko simulacijo. Vir: COMSOL Inc. in 121 Designs Pty Ltd. dovolj velik temperaturni gradient [2]: dT dz = − g T β cp , (1) ki za vodo pomeni naraščanje temperature za 1 K z vsakim metrom glo- bine. V enačbi nastopajo gravitacijski pospešek g, absolutna temperatura T , specifična toplota pri konstantnem tlaku cp ter koeficient prostornin- skega temperaturnega raztezka β. Gostota tekočine se ne spreminja, ko del prostornine v časovni enoti zapusti toliko tekočine, kot jo vanjo pride. To izrazimo s kontinuitetno enačbo: ∂ρ ∂t + ∇ · (ρv) = 0 . (2) Drugi Newtonov zakon poda pospešek elementa tekočine a = F/m: ∂v ∂t + (v · ∇)v = f − ∇p ρ + ν∇2v . (3) V pospešku na levi strani upoštevamo popolni odvod hitrosti po času, saj tekočino opǐsemo s hitrostnim poljem. Na desni so na enoto mase prera- čunane zunanja sila f , sila zaradi krajevno odvisnega tlaka ter sila zaradi viskoznosti tekočine. Pri tem sta ν = η/ρ kinematična in η dinamična vi- skoznost. Tlak, ki je povsod enak, ne povzroči toka tekočine. Če je poleg 136 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju tlaka edina zunanja sila teža, zamenjamo f z gravitacijskim pospeškom g. Enačba velja za nestisljivo tekočino v približku majhne hitrosti in njenega gradienta. Robni pogoj za mirujoče stene zahteva v(r) |rob = 0. Stanje tekočine se ireverzibilno spreminja zaradi notranjega trenja in to- plotnega prevajanja. Sprememba temperature elementa tekočine v Boussi- nesq-ovem približku [5] sledi iz energijskega zakona ∂T ∂t + v · ∇T = χ∇2T . (4) Tu je χ toplotna prevodnost. V približku zanemarimo toploto, ki nastaja pri notranjem trenju med plastmi tekočine, vpliv tlaka na gostoto in tempe- raturno odvisnost vseh snovnih lastnosti (viskoznosti, toplotne prevodnosti, specifične toplote...) razen gostote. Približek dobro velja za počasne tokove, majhne hitrostne gradiente in majhno temperaturno razliko med vrhom in dnom posode. Konvekcijski tok začne teči, ko temperaturni gradient preseže omenjeno mejo. Pri dovolj nizkih temperaturnih gradientih je tok laminaren in sta- cionaren. Pri vǐsjih pa tok postane turbulenten. Število, s katerim ka- rakteriziramo režim konvekcije, sestavimo iz dveh brezdimenzijskih števil: Prandtlovega števila, ki je razmerje viskoznega prenosa gibalne količine in prenosa toplote, Pr = ν χ , in Grashofovega števila, ki je razmerje vzgona in viskozne sile, Gr = gβl 3∆T ν2 . Pri tem je l tipična razsežnost posode, v kateri je tekočina, ∆T je razlika temperatur med dnom in vrhom posode. Gra- shofovo število pove tudi, kako učinkovit je prenos toplote s konvekcijo. Pri majhnih vrednostih Gr naravna konvekcija k prenosu toplote ne prispeva pomembno. Meje med laminarnim in turbulentnim gibanjem pri naravni konvekciji ne določamo z Reynoldsovim številom kot pri toku, saj ni tipične hitrosti, temveč z Grashofovim številom - gibanje je turbulentno pri velikih Gr (∼ 50000) - ali pa s produktom Grashofovega in Prandtlovega števila, kot bo razloženo kasneje. V nadaljevanju si oglejmo naravno konvekcijo v neskončno dolgem vodo- ravnem valju z negativnim temperaturnim gradientom v navpični smeri: T (r = R,ϕ, t) = T0 + 1 2 ∆T ( 1 − r · n R ) . (5) n je enotski vektor v navpični smeri (glej sliko 3). V Boussinesqovem približku ρ(r) = ρ0 (1 − β[T (r) − T0]) (6) 134–143 137 Aleš Mohorič Slika 3. Neskončno dolg valj s polmerom R leži v temperaturnem polju z linearnim gradientom. Temperatura na dnu valja je ∆T vǐsja kot na vrhu. Prikazana je smer gravitacijskega polja (g) in enotski vektor v navpični smeri (n). Kot ϕ merimo od vrha valja v nasprotni smeri urnega kazalca. se kontinuitetna enačba poenostavi v ∇ · v = 0. Če je gibanje tekočine dvodimenzionalno, to enačbo avtomatično izpolnimo, če hitrost zapǐsemo s funkcijo toka ψ, ki jo v cilindrični geometriji, ko ni gibanja vzdolž osi z, vpeljemo z vr = − 1 r ∂ψ(r, ϕ) ∂ϕ , vϕ = ∂ψ(r, ϕ) ∂r . (7) Krivulje ψ = konst. so tokovnice. Temperaturno polje v tekočini zapǐsemo kot vsoto linearnega gradienta (5) in majhnega popravka θ(r, ϕ, t): T (r, ϕ, t) = T0 + 1 2 ∆T ( 1 − r · n R ) + θ(r, ϕ, t) . (8) Hitrostno in temperaturno polje v enačbah (3) in (4) nadomestimo z nastavki (7) in (8), se z rotorjem enačbe (3) znebimo člena s tlakom in dobimo enačbi: ∂θ ∂t = − 1 r ∂(ψ, θ) ∂(r, ϕ) + ∆T 2R ( − ∂ψ ∂r sinϕ− 1 r ∂ψ ∂ϕ cosϕ ) + χ∇2θ , (9) ∂∇2ψ ∂t = − 1 r ∂(ψ,∇2ψ) ∂(r, ϕ) + ν∇2 ( ∇2ψ ) + gβ ( − ∂θ ∂r sinϕ− 1 r ∂θ ∂ϕ cosϕ ) (10) in ∂(a,b) ∂(r,ϕ) = ∂a ∂r ∂b ∂ϕ − ∂a ∂ϕ ∂b ∂r . 138 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju Robni pogoji za θ sledijo iz predpostavk, da je ta količina na robu valja s polmerom R enaka nič in da je v notranjosti valja omejena. Simetrijski razlogi narekujejo sodost v kotu. Robne pogoje za funkcijo toka dobimo iz robnih pogojev za hitrost: ψ(ϕ) = −ψ(ϕ) , ψ(r < R) <∞ , ∂ψ ∂ϕ |R= 0 , ψ(ϕ) = ψ(ϕ+ k2π) . Tangen- cialna komponenta hitrosti na robu v prvem približku ne more biti enaka nič. S tem se odrečemo napovedim toplotnega prevajanja, hitrostno polje pa večinoma ostane neprizadeto, saj se hitrost na steni bistveno spremeni v dokaj tanki plasti [2] debeli približno δ ∼ √ νl/v0. Pri tem je v0 hitrost nad plastjo, l pa dolžina plasti. Enačb (9) in (10) ne moremo analitično rešiti, lahko pa temperaturni popravek in funkcijo toka razvijemo v ustrezni bazi – Besslove in harmonične funkcije – in obdržimo najnižje rede: ψ(r, ϕ, t) = χa11(t)J1(ξ11r/R) sinϕ , (11) Ra ∆T θ(r, ϕ, t) = b02(t)J0(ξ02r/R) + b11(t)J1(ξ11r/R) cosϕ , (12) kjer je ξnm m-ta ničla Besslove funkcije Jn reda n. Zapisani nastavki že ustrezajo robnim pogojem. Ra je Rayleighovo število, ki ga dobimo kot produkt Grashofovega in Prandtlovega števila: Ra = βg∆T8R3 νχ (13) in ima vlogo kontrolnega parametra. Člen J0(ξ01r/R) odpade zaradi defini- cije temperaturnega odmika – povprečni odmik je enak nič. Hitrostno polje in temperaturni popravek, ki se vzpostavita v vodorav- nem valju, v preseku kaže naslovnica. Puščice na sliki predstavljajo hitro- stno polje. Opazimo lahko simetričen vzorec dveh vrtincev – neke vrste Benardovo celico, ko se tekočina dviga po sredini in pada na robovih va- lja. Temperaturno polje pokaže, da je temperatura tik nad dnom, kamor priteka bolj segreta voda z dna valja, povǐsana v primerjavi z linearnim pro- filom (rdeča). Od vrha pa se ob straneh vijeta dva kraka relativno nižje temperature tekočine (modra), ki se shladi ob zgornjem robu valja. Časovni potek sprememb hitrosti in temperature dobimo z rešitvijo ne- linearnega sistema diferencialnih enačb za koeficiente razvoja a11, b02 in b11. 134–143 139 Aleš Mohorič Sistem dobimo, ko nastavke vstavimo v enačbi (9) in (10). To je Lorenzov [3] sistem diferencialnih enačb: ḃ02 = c2a11b11 − ξ 2 02b02 −Ra c1a11 , (14) ḃ11 = −c3a11b02 − ξ 2 11b11 , (15) ȧ11 = −σξ 2 11a11 − σc4b02 , (16) Pika pomeni odvod po času τ = χ R2 t, brezdimenzijski parameter σ = ν/χ, številske konstante pa so c1 = ξ11 ∫ 1 0 J0(ξ11x)J0(ξ02x)xdx 4 ∫ 1 0 J 2 0 (ξ02x)xdx ≈ 0.80 c2 = ξ11 ∫ 1 0 (J0(ξ11x) − J2(ξ11x))J1(ξ11x)J0(ξ02x)dx 2 ∫ 1 0 J 2 0 (ξ02x)xdx ≈ 2.6 c3 = ξ02 ∫ 1 0 J1(ξ02x)J1(ξ11x)J1(ξ11x)dx ∫ 1 0 J 2 1 (ξ11x)xdx ≈ 3.8 c4 = ξ02 ∫ 1 0 J1(ξ02x)J1(ξ11x)xdx 8ξ211 ∫ 1 0 J 2 1 (ξ11x)xdx ≈ 0.019 Sistem enačb (14), (15) in (16) rešimo numerično. V Mathematici za to poskrbi ukaz: atr=NDSolve[ A11’[t]==- 95 A11[t]- 0.13 B02[t], B02’[t]==2.6 A11[t] B11[t]-Ra 0.8 A11[t]-31 B02[t], B11’[t]==-3.8A11[t] B02[t] - 15 B11[t], A11[0]==0,B02[0]==1,B11[0]==0, {A11,B02,B11},{t,0,zgmeja},MaxSteps->maxsteps] , kjer zgmeja in maxsteps predstavljata normiran čas, do katerega ǐsčemo rešitev, ter število iteracij pri numeričnem reševanju. Kontrolni parameter Ra bistveno vpliva na tip rešitve. Pri majhnih vrednostih Ra lastne konvekcije ni oziroma hitro zamre. Z vǐsanjem tempe- raturne razlike se konvekcijski tok ustali pri stalni vrednosti, nato se v toku pojavijo stabilne oscilacije, ki pri dovolj velikih Ra pridejo v kaotične in rešitev enačb je čudni atraktor. V prostoru vseh treh parametrov (faznem prostoru) opǐse rešitev sistema enačb krivuljo, ki ne konvergira k določeni 140 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju Slika 4. Lorenzov atraktor kaže razvoj nelinearnega dinamičnega sistema v faznem pro- storu vseh spremenljivk; dveh komponent temperaturnega popravka ter funkcije toka. vrednosti, ampak se suče okoli dela faznega prostora, ki mu lahko rečemo čudni atraktor. Primer take rešitve za Ra = 350000 kaže slika 4. Na meritve difuzije z magnetno resonanco [7] vpliva le hitrost, ki je podana s spremenljivko a11. V primeru, da konvekcijo vzbudimo in potem temperaturo na zgornjem in spodnjem robu izenačimo (r = 0), ostane v prvem približku: ∂a11/∂t = −ν ( ξ11 R )2 a11 . (17) Konvekcijski tok eksponentno pojema. Relaksacijski čas za vodo v valju premera 10 cm pri 20oC s σ = 6.3, χ = 1.4 × 10−7m2/s, ν = 9 × 10−7m2/s in β = 2.2×10−4/K je približno 150 s. Če je zunanji temperaturni gradient stalen, se hitrost lahko kaotično spreminja, če temperaturni gradient preseže mejno vrednost. Spremenljivki a11 = 1 ustreza na sredini valja hitrost v = 1×10−6 m /s, spremenljivki τ = 1 pa ustreza čas t = 3.5×104 s. To pomeni, da so konvekcijski tokovi kljub kaotičnosti lahko zelo počasni in se počasi spreminjajo. Razvoj nestabilnosti in prehod v kaotično gibanje nazorno kaže slika 5. Za male vrednosti Ra je tekočina v mehanskem ravnovesju in konvekcije ni (slika 5 a), nato se pojavi stabilen konvekcijski tok pri Ra > 2.5×104 (slika 5 b). Šele pri večjih temperaturnih razlikah (Ra = 3.1×105, slika 5 c) postane konvekcija kaotična vendar s stabilno periodo. Kogar zanima več o nastanku nestabilnosti, mu priporočam [6]. 134–143 141 Aleš Mohorič Slika 5. Spreminjanje hitrosti konvekcije s kontrolnim parametrom - temperaturno raz- liko. Za majhne vrednosti Ra je tekočina v mehanskem ravnovesju in konvekcije ni (a), nato se pojavi stabilen konvekcijski tok pri Ra > 2.5 × 104 (b). Šele pri večjih tempe- raturnih razlikah (Ra = 3.1 × 105) postane konvekcija nestacionarna (c) in končno (pri Ra ∼ 106) kaotična, vendar s stabilno periodo (d). Konvekcija in NMR Pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco (NMR) dobimo sliko sestavljeno iz slikovnih elementov. Pri najbolj običajnem načinu slikanja z NMR je signal slikovnega elementa odvisen od števila vodikovih jeder v elementu, strukture elementa (vrste tkiva in podobno, kar vpliva na relaksacijski čas), tehnike slikanja in gibljivosti molekul v elementu [8]. Gibljivost pomeni, kako hitro in kako naključno se gibljejo molekule. Naključno gibanje mole- kul, ko molekula naključno spreminja svojo smer, imenujemo difuzija. Ure- jeno gibanje molekul imenujemo tok. Difuzijo opazimo v vseh tekočinah in je povezana z viskoznostjo. Bolj ko je tekočina viskozna, šibkeǰsa je difu- zija in počasneje se molekule razbežijo po prostoru. Tok molekul ne vpliva na velikost signala slikovnega elementa, razen če se tok v času, ko signal zajemamo, večkrat naključno spremeni. Do tega pride pri kaotični naravni konvekciji. Fluktuacije hitrosti se na sliki pokažejo kot predel s šibkeǰsim 142 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju signalom. Tako smo pri meritvah difuzije v zemeljskem magnetnem polju dobili levi del slike 6, čeprav bi pričakovali le bel krog, ko ni konvekcije. Iz geometrije in dinamike konvekcijskega toka, kot sta bili predstavljeni v preǰsnjem poglavju, lahko naredimo napoved, ki jo kaže desni del slike 6. Dobro se ujema z meritvami za enako temperaturno razliko, kot smo jo pri poskusu izmerili s termočlenom. Slika 6. Levo: izmerjena porazdelitev difuzijske konstante z jedrsko magnetno resonanco. Na sliki so izrazite temne proge, ki jih pri tekočini brez konvekcije ni. Na desni je napoved modela iz poglavja o naravni konvekciji za temperaturno razliko nekaj stotin kelvina, ki se dobro ujema z meritvijo. LITERATURA [1] H.G. Schuster, Deterministic Chaos: an introduction, VCH, Weinheim, 1988. [2] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Pergamon, Oxford, 1987). [3] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci. 20, 130-41 (1963). [4] B. Saltzman, Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem, J. Atmos. Sci. 19, 329-41 (1962). [5] J. Boussinesq, Theorie Analytique de la Chaleur 2, 172, Gauther-Villars, Paris (1903). [6] C. Sparrow, The Lorenz Equations, Bifurkations, Chaos, and Strange Attractors (Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1982). [7] A. Mohorič, J. Stepǐsnik, M. Kos, and G. Planinšič, Self-diffusion imaging by spin echo in earth’s magnetic field, J. Magn. Reson. 136, 22-26 (1999). [8] P. T. Callaghan, Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy (Oxford Uni- versity Press, Oxford, 1991). 134–143 143 NOVE KNJIGE Cornelia Faustmann, Walter Thirring, EINSTEIN ENTFORMELT – Wie ihm ein Teenager auf die Schliche kam, Seifert Verlag, Du- naj, 2007, vezano in tiskano v Ljubljani, 100 strani. Einstein brez formul. Kako ga je do- umel najstnik. Ali je posebna teorija relativnosti res razumljiva le matema- tično in fizikalno nadarjenim? Priču- joča knjižica nas skuša prepričati, da ne. Ravno nasprotno, vsakdo jo lahko razume, in to celo brez aritmetike in formul, kakor razberemo iz naslova. Razlagamo si jo lahko samo s slikami in diagrami. Avtorja jo duhovito in ša- ljivo, o čemer se bralec lahko sam pre- priča, predstavita v štiridejanki. V njej nastopajo vǐsja bitja, pa tudi čisto na- vadni ljudje in zemeljski geniji z znan- stvenimi ambicijami. Vsi rešijo uganko o prostoru in času in se približajo sa- memu Einsteinu. Avtorja prav nič ne varčujeta z ilustracijami, napetimi zgodbami in življenjepisi matematikov in fizikov, ki so pripomogli k razvoju geometrije in teorije relativnosti. Tisti pa, ki nikakor ne morejo shajati brez formul, imajo na voljo ustrezen dodatek, da si z njim lahko potešijo svojo znanstveno slo in tako niso prehudo prikraǰsani. Knjižica poljudno razloži pojem relativnosti in postopoma vpelje po- jem inercialni opazovalni sistem. V vseh inercialnih opazovalnih sistemih morajo imeti fizikalni zakoni enako obliko. Ker pa je s poskusi potrjeno, da ima svetloba v vseh takih sistemih enako hitrost c, ne glede na to, ali se eden glede na drugega gibljejo premo in enakomerno ali ne, ni več mogoče govo- riti o absolutni sočasnosti dogodkov. Dogodka, ki se v enem opazovalnem sistemu zgodita istočasno, se v drugem, ki se glede na prvega giblje premo in enakomerno s hitrostjo v 6= 0, ne zgodita več istočasno. Časovna razlika je tem večja, čim večja je hitrost v, za katero se izkaže, da v praznem prostoru ne more preseči svetlobne hitrosti c. Tako kot Einstein, avtorja vzameta c = 1. Dogodki se dogajajo v prostoru in času, ki ju neločljivo združimo 144 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 Einstein v štirirazsežni svet Minkowskega. Da pa si vse skupaj laže predstavljamo, pogledamo ta svet v projekciji na ravnino, v kateri je prva razsežnost kra- jevna, druga pa časovna. V tej ravnini postavimo pravokotni koordinatni sistem Oxt, ki ustreza mirujočemu opazovalnemu sistemu. Točkam D pravi- mo dogodki. Dogodki, ki se zgodijo istočasno za opazovalca v tem sistemu, ležijo na vzporednicah osi x, dogodki, ki se zgodijo na istem mestu, pa na vzporednicah osi t. Inercialnemu opazovalnemu sistemu, ki se glede na mirujočega giblje premo in enakomerno s hitrostjo v < 1, na začetku pa sta se njuni izhodǐsči ujemali, priredimo poševnokotni koordinatni sistem Ox′t′. Kot α od osi x do osi x′ je enak kotu od osi t′ do osi t. Pri tem velja tg α = v. Dogodki, ki se zgodijo istočasno za opazovalca v tem drugem sistemu, pa seveda le- žijo na vzporednicah osi x′, dogodki, ki se zgodijo na istem mestu, pa na vzporednicah osi t′. Tako predstavimo dogajanje s tako imenovanim dia- gramom Minkowskega. Dogodek D ima v vsakem od koordinatnih sistemov svoje koordinate: D(x, t) in D(x′, t′). Lepa vaja iz analitične geometrije oziroma linearne algebre nam da ravno Lorentzevo in obratno Lorentzevo transformacijo koordinat: x′ = x − vt √ 1 − v2 , t′ = t − vx √ 1 − v2 ; x = x′ + vt′ √ 1 − v2 , t = t′ + vx′ √ 1 − v2 . Pri tem vzamemo, da je razmerje enot na sliki v smeri x′ in x oziroma t′ in t enako k = √ (1 + v2)/(1 − v2). Z diagrami Minkowskega avtorja pojasnjujeta na primer probleme v zvezi z istočasnostjo in zaporednostjo dogodkov glede na opazovalni ko- ordinatni sistem, skraǰsanje dolžine (ℓ = ℓ′ √ 1 − v2) in podalǰsanje časa (T = T ′/ √ 1 − v2). Povesta tudi, zakaj se ujemata simetrali t = x in t′ = x′ v diagramu Minkowskega. Cornelia Faustmann se je rodila leta 1986 in je na gimnaziji kot del svojih obveznosti napisala maturitetno nalogo Entstehung und Eigenschaf- ten Schwarzer Löcher–Nastanek in lastnosti črnih lukenj. Temo je predla- gala sama, po nasvetu svoje profesorice fizike pa je morala nalogo prilagoditi gimnazijskim standardom, z dalǰso verzijo pa je kandidirala za nagrado na nekem državnem razpisu. Delo je prǐslo v roke prof. Walterju Thirringu, ki mu je bilo tako všeč, da je nemudoma stopil v stik z avtorico in jo prepričal, da sta skupaj napisala in izdala pričujočo knjižico. Tako Avstrijsko fizikalno društvo kot tudi Avstrijsko društvo za astronomijo in astrofiziko je Corne- Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 145 Nove knjige lijo nagradilo. S tem si je pridobila laskavi vzdevek čudežni otrok fizike. Od leta 2004 študira astronomijo in latinščino na dunajski univerzi, kjer od leta 2007 opravlja tudi delo tutorke za latinsko slovnico in pripravlja doktorsko disertacijo. Leta 2008 je izšla njena knjiga Schwarze Löcher–Črne luknje. α α • O D os x os t os x′ os t′t = x, t′ = x′ ............................................................................................................................................................................... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .. . . . . . . . x t x′ t′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagram Minkowskega Dodajmo še to, da je Cornelijina mati dr. Gerlinde Faustmann, ki jo nekateri poznamo kot veliko poznavalko življenja in dela barona Jurija Vege. Kot glavna govornica je sodelovala ob praznovanju njegovega roj- stnega dneva leta 1997 v Zagorici in na svojem obisku imela v organizaciji FMF, IMFM in DMFA predavanje o Vegi. S svojim prispevkom se je ude- ležila tudi Vegovih dnevov leta 2004 ob 250-letnici njegovega rojstva. Prof. dr. Walter Thirring se je rodil leta 1927. Fiziko je študiral na univerzah v Innsbrucku in na Dunaju, kjer je doktoriral leta 1949 in 10 let kasneje postal profesor za področje teoretične fizike, kjer je eden od najuspešneǰsih v Avstriji. Po njem se imenuje Thirringov model v kvantni teoriji polja. Osebno je poznal velike fizike, kot so Schrödinger, Heisenberg, Einstein in Pauli. V petdesetih letih preteklega stoletja je deloval na neka- terih amerǐskih in evropskih inštitutih in univerzah. V letih 1968–71 je bil direktor teoretičnega oddelka pri CERN-u. Ima okoli 150 znanstvenih objav, številna mednarodna odlikovanja, med drugim Eötvösovo medaljo (1967), Schrödingerjevo nagrado (1969), Planckovo medaljo (1978), častni doktorat Univerze Komenskega v Bratislavi (1994) in Poincaréjevo nagrado (2000). Upokojil se je leta 1997. Je član več znanstvenih akademij. Thirringova velika ljubezen je glasba, zlasti orgelska. Marko Razpet 146 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 i i “Hook” — 2010/10/29 — 10:32 — page 147 — #1 i i i i i i DVE KNJIGI O ROBERTU HOOKU Jim Bennett, Michael Cooper, Michael Hunter in Lisa Jardine: LONDON’S LEONARDO – THE LIFE AND WORK OF RO- BERT HOOKE, Oxford University Press, Oxford 2003, 240 strani. Stephen Inwood: THE MAN WHO KNEW TOO MUCH – THE STRANGE AND INVENTIVE LIFE OF ROBERT HOOKE 1635– 1703, Pan Books, London 2003, 544 strani. Obe knjigi ponovno odkrivata zanimivo podobo Roberta Hooka (1635–1703), ki ga poznamo pred- vsem po Hookovem zakonu: raz- teg vzmeti je premo sorazmeren sili. Hooke je to izrazil po latinsko: UT TENSIO, SIC VIS (Kakršen razte- zek, takšna sila) in to sprva skril v anagram: CEIIINOSSSTTUU. Njegovi drugi dosežki so bili tri sto- letja skoraj pozabljeni. Šele v za- dnjih letih spoznavamo, da je bil odličen znanstvenik in izumitelj na mnogih področjih in da je njegova intuicija prehitevala čas zlasti na področju geologije in biologije, kjer je pravilno razložil nastanek fosi- lov in zagovarjal spreminjanje vrst. Hookova vsestranskost, ki je vklju- čevala tudi slikarsko izobrazbo, je najbolje prǐsla do izraza v knjigi Mi- crographia or some Physiological Descriptions of Minute Bodies made by Magnifying Glasses with Observations and Inquiries thereupon (1665). V njej najdemo naravnost čudovite slike žuželk, pa tudi rastlinskega in mine- ralnega sveta, sad natančnega opazovanja z mikroskopom in povečevalnim steklom. Odkril je in imenoval celice v pluti, čeprav so ga zanimale predvsem zaradi mehaničnih lastnosti plute – prožnosti in majhne gostote. Hookova Micrographia je imela izreden vpliv na evropsko znanost. Slovenski prevod Hookovega opisa celic najdemo na spletni strani Zeleni škrat. Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 147 i i “Hook” — 2010/10/29 — 10:32 — page 148 — #2 i i i i i i Nove knjige Skoraj neverjetno je, da Angleži do zdaj njegovih dosežkov niso posku- šali ovekovečiti. Razlog je v Hookovem konfliktu z Isaacom Newtonom. Ko je Newton leta 1672 objavil svoj članek o barvah, je Hooke zavrnil Newtonove re- zultate o beli svetlobi kot mešanici barv in svetlobi kot curku delcev – sam je za- govarjal valovno teorijo. Kot je sam pri- znal, je za študij Newtonovega članka in pisanje zavrnitve ”imel časa“ le tri ali štiri ure. To za Hooka, ki je bil navajen delati hitro in več stvari hkrati, verjetno niti ni bilo posebno nenavadno. Zdi se, da je bilo v ozadju tudi ljubosumje na New- tona. Newton je užaljen hotel izstopiti iz Royal Society, ker tega Hooku nikoli ni mogel odpustiti. Ta zamera je imela za Hooka posledice, ki jih je čutiti še da- nes. Obe knjigi se Newtonovega odnosa do Hooka lotevata skrajno previdno. Prvo knjigo so napisali štirje specialisti. Zadnji del zelo podrobno opi- suje Hookovo nenehno jemanje raznih poživil, kar mu je sčasoma uničilo zdravje. Najden je bil namreč Hookov dnevnik, ki vsebuje mnoge presene- tljive podrobnosti. Stephen Inwood je drugo knjigo kljub velikemu obsegu naredil privlačno. Knjiga opisuje tudi takratno družbo in vsebuje nekatere bolj škandalozne strani življenja Hooka in njegovih sodobnikov. Nekatere podrobnosti se slovenskemu bralcu zdijo prvi hip nezanimive. Hooke je bil recimo Gresham Professor of Geometry na Gresham College v Londonu. No, prav ta položaj je pred kratkim dobil Robin Wilson, matematik, ki ga dobro poznamo tudi pri nas. Hooke je bil s svojimi racionalnimi in dobrimi razlagami naravnih po- javov presenetljivo moderen. Poleg znanosti se je ukvarjal še z drugimi stvarmi. Bil je eden od arhitektov obnove Londona po velikem požaru leta 1666, stavbar in zemljemerec, izumitelj vertikalnih drsnih oken, uravnove- šenih z utežmi. Tudi ti njegovi prispevki so bili dolgo pozabljeni. Peter Legǐsa 148 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 i i “Mathematicians OMF” — 2010/10/29 — 11:16 — page 149 — #1 i i i i i i Mariana Cook, MATHEMATICIANS – An Outher View of the Inner World, Princeton University Press, 2009, 200 strani. Knjiga je zbirka 92 črno-belih celo- stranskih fotografij matematičark in matematikov, ki jih je fotografinja Ma- riana Cook v nekem časovnem obdobju posnela v Princetonu. Odprta knjiga ponuja bralcu na desni strani fotogra- fijo osebe, na levi strani pa njeno kraǰso življenjsko zgodbo. Marsikatera vse- buje kakšno zanimivo anekdoto ali pa opis odločitve, po kateri je kdo krenil na pot matematičnih znanosti. Ko be- remo za posamezno osebo besedilo, ki ga je bodisi napisala sama ali pa je na- stalo kot rezultat pogovora s fotografi- njo, se nam zdi, kot da nam z desne strani želi povedati nekaj zelo pomemb- nega. Morda tudi to, da je samo človeško bitje s svojo osebnostjo, navadami in nagnjenji, tako kot vsi drugi. Vendar pa prej ali slej uvidimo, da le imajo nekaj, kar nima vsak. Osebe v knjigi so različnih starosti, obeh spolov, različnih polti in narodnosti. Mariana Cook je napisala knjigi predgovor, v katerem opisuje, zakaj se ji zdijo matematičarke in matematiki izjemni. Uvod je napisala ena izmed 92 oseb, predstavljenih v knjigi, in sicer Robert Clifford Gunning, profesor matematike na Univerzi Princeton, sklepno besedo pa Brandon Fradd, ki je diplomiral iz matematike v Princetonu in zaradi dobrega poznavanja ma- tematičark in matematikov dal Cookovi idejo, da je izdala o njih knjigo s fotografijami. Mariana Cook je priznana amerǐska fotografinja, ki je svoje zbirke foto- grafij razstavljala v več umetnostnih galerijah v ZDA, Parizu in Londonu. Izdala je tudi več knjig s svojimi fotografijami. Morda bo tukaj predstav- ljeno delo prǐslo v roke tudi mladim bralkam in bralcem in upajmo, da bo kdo od njih dobil navdih za študij matematike. Marko Razpet Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 149 ŠOLA MERJENJE KVALITETE1 Prispevek na Posvetu o poučevanju fizike, kemije in matematike2 DAMJAN KOBAL Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani in BOJAN HVALA Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Če merimo kvaliteto pouka v naših šolah po številu odličnih ocen, številu maturantov, številu diplomantov, doktorandov, smo lahko ponosni. Kvali- teta šole pa ni v številu odličnih spričeval, ampak v odličnosti in globini vsebine. Kvalitete ni mogoče meriti, lahko jo le ocenimo. Ocena pa zahteva odgovornega in pristojnega ocenjevalca in dejansko ni težka. Tako učitelji kot otroci in starši namreč dobro vedo, kdo je dober in kdo slab učitelj ali učenec in kaj je dobro ter kaj slabo znanje. V novih tehnološko-medijskih razmerah je delo učitelja vse težje. Zahteva veliko inovativnosti, poleg strokovnega in pedagoškega znanja pa tudi močno in zrelo osebnost. Le tak učitelj lahko v šoli ustvari intelektualno in čustveno izjemne dogodke, ki se dotaknejo učenca. Zato potrebujemo in- telektualno zmožne, osebnostno zrele in pedagoškemu delu predane učitelje. Zato morajo biti kriteriji pri izobraževanju učiteljev večstranski in dovolj vi- soki. Ne potrebujemo velike množice medlih učiteljev, pač pa zmerno število odličnih. Odličnih učiteljev imamo v naših šolah kar nekaj. Poleg njih imamo tudi ravnodušno-ležerne učitelje, ki si iz meseca v mesec služijo plačo; in končno tudi učitelje, ki iz tega ali onega razloga v šoli delajo veliko škodo. Ključno vprašanje je, ali znamo prepoznati ene, druge in tretje? Ali znamo prve 1Ponatis s soglasjem avtorjev in SAZU 2SAZU, Ljubljana, 22. 9. 2010 150 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 Merjenje kvalitete nagraditi, druge spodbuditi in tretje odstraniti? Bojimo se, da je odgovor negativen. Kaj lahko storimo, da bi bil pouk v naših šolah kvalitetneǰsi? a. Da bi bil pouk lahko kvaliteten, se moramo ločiti od zablode permi- sivne vzgoje, ki se je izrodila v kaotičen sistem nezaupanja, izigravanja, lenobe in nesmiselne (pre)obremenjenosti. Mladi potrebujejo izzive, ne udobja. Mladi potrebujejo enostaven in pregleden sistem dolžnosti. Ja- sna pravila obnašanja. Potrebujejo (simbolično) ” brezpogojno ljubezen matere“ in tudi ” pogojno ljubezen očeta“. Mladi potrebujejo ” motiva- cijo“, torej odgovorne odrasle, ki jih znajo, zmorejo in smejo ” pognati v tek“. Potrebujemo učitelje, ki zmorejo globoko misliti, da bi lahko obvladali gnetljivega duha mladih. Potrebujemo učitelje, ki bodo znali v mladih razvijati kritičnost, ki jih edina lahko obvaruje pred moder- nim suženjstvom potrošnǐstva. Mlade je treba učiti konstruktivnega in odgovornega reševanja (lahko razumljivih, a težko rešljivih) proble- mov. Nasprotno pa ” permisivna vzgoja“ živi v iluziji, da problemov ni. Problemi in konflikti so sestavni del življenja, spretnost in modrost pri njihovem reševanju pa sta vir navdiha in temelj človeškega dostojanstva. Šola naj mlade povede od odgovorov na naravne otroške zakaje do od- raslih zakajev, ki odgovarjajo na probleme človeškega bivanja. Čeprav je mogoče razumeti ” vzgib staršev in vzgojiteljev“, da bi otroke zaščitili pred problemi, je ” zaščitnǐska“ vzgoja nezrela, neodgovorna in škodljiva. Človek se lahko produktivno uči in navaja novega le v mladosti. Petin- dvajsetletni študent, ki mu mati rešuje življenjske in študijske probleme, je izgubljen in nima več skoraj nikakršnih možnosti dostojnega življe- nja. Niti on niti njegovi bližnji. Akademiki in tudi drugi ljudje, ki se z veseljem lotevamo svojega dela, se najbrž dobro zavedamo, kako vzne- mirljivo utegne biti delo, tako v znanosti, umetnosti kot tudi drugje, kako se odpirajo svetovi, kako se rojevajo in ugašajo upanja in kako ču- dovito se včasih sestavijo dogodki in spoznanja. Kako torej produktivno delo utegne biti veliko bolj zabavno od vsake tako imenovane zabave. Tovrstnega duha odprtosti in radovednosti je v naših šolah premalo. Tudi zaradi permisivne vzgoje. b. Da bi bil pouk lahko bil kvaliteten, je treba nujno zagotoviti primerno selektivnost šolskega sistema. Velik del osnovnošolcev se z odličnim 150–155 151 Damjan Kobal in Bojan Hvala uspehom vpǐse na srednje šole in tudi tam je prehodnost skoraj po- polna. Ovir za vpis na univerzitetne študijske programe je malo, število razpisanih mest nesorazmerno visoko. Financiranje univerze po številu študentov odstranjuje tudi zadnje filtre v sistemu. Večina generacije se torej dovolj gladko zapelje skozi različne faze sistema in se znajde na ogromnem in nepreglednem zaposlitvenem trgu. Na njem potem divja krut boj, v katerem sposobnost in znanje pogosto nista ključna. V se- lektivnem šolskem sistemu bi diploma pomenila solidno službo in bi že s tem motivirala kvalitetneǰsi študij. c. Da bi bil pouk bolj kvaliteten, bi ga morali osvoboditi forme. Forma- lizem le navidezno dobro definira pomene, o katerih govorimo. Forma- lizem marsikje postaja slepilo pomena in odsotnost odgovornosti. Na- mesto miselnega napora pri iskanju pomena se neodgovorno zatečemo k formalnemu. Namesto odgovornih ” Kaj to sploh pomeni?“, ” Ali otrok to razume?“, ” Zakaj me ne razume?“, ” Kako bi lahko razumel še drugače?“ imamo poudarjene ” pomene v okvirčkih“! Kot rečeno, kvalitete pouka ni mogoče formalno meriti. Da bi jo lahko formalno merili, smo marsi- kje pouk sistemsko zakomplicirali, vsebinsko pa trivializirali. Iluzija, da bomo s formo preprečili napake, je ena največjih zablod moderne dobe. Dostojanstvo človeka temelji na svobodi in odgovornosti. Na pravici in dolžnosti, da se odloča. V naivnem pohodu formalizma, ki naj bi pre- prečil človeške napake, smo napake pomnožili, odgovornost zmanǰsali in človeku vzeli dostojanstvo. Da bi pouk naredili kvaliteten, je nujno, da učitelju damo vsebinsko in organizacijsko svobodo. Namreč, neskončni sistem kombinacij in nesmiselnih formalnopravnih ” moraš“ in ” ne smeš“ ima za posledico, da učitelji ne znajo, si ne upajo ali ne smejo ” razu- mno in jasno odgovoriti“ niti na najosnovneǰsa (sistemska) vprašanja, kaj šele postavljati jasne in dovolj težke zahteve. Kot bi igrali igro, ka- tere pravil ne poznamo in se moramo za vsako potezo posvetovati, ali je v skladu s pravili . . . Pri taki igri ni strategije, ni globine, ni izziva. Taka igra ubija, namesto da bi razvijala duha. Dobre igre imajo enostavna pravila, ki jih hitro obvladate/razumete, da se lahko čim prej posvetite vsebini. d. Da bi bil pouk kvaliteten, mora učitelj nujno imeti pravico ocenjevanja. Pod krinko objektivnosti je namreč učitelju odvzeta pravica ocenjeva- 152 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 Merjenje kvalitete nja, znanje naj bi le še meril. Objektivno meril. Na podlagi točno določenih pravil in forme, ki naj bi zagotavljali objektivnost. Ocena je odgovorno dejanje posameznika in jo je nemogoče formalizirati. Učite- ljevo dajanje ocene temelji na dostojanstveni odločitvi. Za učenca je ocena izziv, ogledalo, nagrada, kazen,. . . V strahu, da bi učitelj storil napako, in v želji, da bi bila učencu dana nova priložnost, smo iz ocene marsikje naredili sprevrženo laskanje, ki ima z objektivnostjo komaj kaj povezave. Iz ocene smo naredili virtualni mehanizem, ki učenca ne spodbuja k naporu in delu, ampak k iskanju bližnjic in vedno novih možnosti. Značilno za celo šolsko vertikalo, še najbolj pa za osnovne šole, je, da so meje odličnosti postavljene zelo nizko. Število odličnih ocen je nerazumno visoko, naši učenci so po anketah mednarodnih raz- iskav izrazito in neupravičeno samozavestni. Vse to zamegljuje kritičen pogled na lastne sposobnosti, povzroča napačne poklicne odločitve in znižuje prag napora, ki so ga učenci pripravljeni vložiti v opravljanje dela. V nekaterih šolah ravnatelji celo odkrito pozivajo k nižanju kri- terijev. Zlahka podeljena odlična ocena je zdravilo za vse težave, kup odličnih ocen kratkoročno zagotavlja vsesplošno zadovoljstvo. Dolgo- ročno pa se s tem povzroča velika škoda. Koristno bi bilo analizirati ekonomsko, izobraževalno, človeško in čustveno škodo, ki jo povzroča (hiper)inflacija ” podeljevanja spričeval“. e. Da bi pouk naredili kvaliteten, je nujno učitelju dati konkretno stro- kovno podporo v obliki možnosti vzajemnih konzultacij in svetovanj ter vzorčnih ur, ki naj jih opravljajo najugledneǰsi učitelji. Slednje bi ob veliko nižji ceni imelo na kvaliteto pouka veliko večji vpliv kot trenu- tni sistem vsebinsko pogosto škodljivih in zgolj formalnih inšpekcij, kot kompleksen in nepregleden sistem formalnih izobraževanj in kot razve- jen sistem projektnih aktivnosti učiteljev. f. Da bi pripravili okvire za kvaliteten pouk, je nujno na vseh ravneh šolske organizacije promovirati zdrav razum, sistematičnost, jasnost, razumlji- vost in preprostost – v jeziku ” psihoanalize“: od Junga k Frommu. g. Da bi pripravili okvire za kvaliteten pouk, je nujno vzpostaviti smiseln sistem vrednotenja učiteljev, ki naj temelji na kvaliteti dela v razredu. 150–155 153 Damjan Kobal in Bojan Hvala Težavnost vrednotenja resnega učiteljskega dela in lahkotnost, s ka- tero lahko štejemo in merimo formalne učiteljske ” strokovne dosežke“, nikakor ne moreta biti opravičilo za povzdigovanje slednjega in za pre- ziranje prvega. Z drugimi besedami, znanje bi morali izvzeti iz košarice banalnih potrošnǐskih artiklov in mu vrniti vrednost, ki temelji na ra- dovednosti duha in ne na ambiciji in partikularnih interesih. Gledano s finančnega vidika posamezne šole vlaganje v kvaliteto osnovnih šolskih dejavnosti niti ni smiselno. Učitelj, ki se razdaja v razredu in tke pri- stno mrežo odnosov z učenci in starši, danes v viziji šole pomeni manj od učitelja, ki se v razredu sicer slabo počuti, zato pa je spreten pri iz- peljavi projektov, s katerimi šoli za nekaj rezultatov sumljive teže lahko zagotovi dodatne prihodke. Najbrž bi bilo treba pogosteje poudarjati, kaj je pravo bistvo učiteljeve dejavnosti. h. Da bo pouk kvaliteten, ga je nujno graditi na miselnih izzivih in zado- voljstvu, ki ga daje razumevanje. Že pred 2500 leti je Platon zapisal: Skozi vzgojo moramo pomagati mladim najti užitek v učenju. Če je (bolj pridobitev kot) posedovanje materialnih dobrin eden najprimar- neǰsih gonov, ki poganja moderno potrošnǐsko družbo, je želja po razu- mevanju najprimarneǰsi vzgib človeškega duha. Učenje zahteva jasno in preprosto strukturo z dovolj miselnega napora. Pouk naravoslovja je pri tem ključen, saj vseskozi gradi na principih pomena (in je tudi navdih v vlogi iskalca pomena). Ne nazadnje je kvaliteten pouk naravoslovja, ki utrjuje dojemanje eksaktnih pomenov, nujen predhodnik humanistične izobrazbe, kjer postajajo pomeni ohlapneǰsi (manj formalni), da bi lahko zaobjeli najkompleksneǰse pojme človeškega bivanja. Na področjih ke- mije, fizike . . . se podeljujejo Nobelove nagrade. Najvǐsja nagrada na področju matematike, po časti primerljiva z Nobelovo, je Fieldsova me- dalja. Na njej je zapisano (v latinščini): Iščeš, da bi prešel lastnega duha in razumel svet. Citat je vzet iz 2000 let stare Maniliusove Astro- nomicae in cel odstavek čudovito opisuje vrednoto in poslanstvo znanja, ki se je v današnji šoli v veliki meri izgubilo in z njim kvaliteta pouka: . . . ǐsčeš, da bi premeril nebo, in čeprav si rojen s smrtjo, ǐsčeš, da bi lahko osvojil vedenje, ki ga vsebuje tvoja usoda, ǐsčeš, da bi prešel la- stnega duha in razumel svet. Muke na poti spoznavanja so primerljive z nagrado spoznanja in nikar ne pričakuj resnice brez visoke cene . . . Manilius’s Astronomica 4.392 154 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 Za sklep se vprašajmo, kdo je učitelj in kakšnega učitelja želimo. Ker želimo odgovornega, pristojnega in kompetentnega učitelja, mu vrnimo odgovorno- sti in pristojnosti. Začnimo mu zaupati, kajti čeprav ni brez napak, je bolj zaupanja vreden, kot so mnogi stihijski mehanizmi, ki jih poganjata forma in ambicija. Če nam učitelji niso všeč, jih zamenjajmo z bolǰsimi, a ne oropajmo jih zaupanja, brez katerega ni mogoče učiti. Za začetek pa se z mislijo legendarnega amerǐskega in svetovnega menedžerja Leeja Iacocce, dolgoletnega direktorja Forda in Chryslerja, zamislimo nad razumnostjo naše družbe. Lee Iacocca namreč pravi: V razumni in civilizirani družbi bi najbolǰsi izmed nas hoteli postati učitelji, saj je prenašanje spoznanj člo- veštva na mlade generacije dejanje najvǐsje časti in odgovornosti, ki si ga je mogoče zamisliti. Bojimo se, da naša šola drsi v medlost, ravnodušnost in nižanje kvalitete. Obstajajo učitelji, ki v duhu pravih pedagogov želijo svo- jim učencem dati popotnico v obliki znanja in izoblikovanja osebnosti, a ti niso prepoznani in nagrajeni. Bojimo se, da vse bolj prevladuje pragmatičen ležeren pristop z nizkim vložkom in nizkimi pričakovanji do učečih. Temu bi se želeli izogniti. V ta namen po najvǐsji instituciji znanosti in umetnosti pozivamo k ponovnim razmislekom tako glede organiziranosti celotne šolske vertikale, vzgojnih osnov, pa tudi možnosti za prepoznavanje in podporo tistih posameznikov, ki šolsko poslanstvo jemljejo iskreno in ga v vsej svoji globini razumejo. Damjan Kobal in Bojan Hvala VESTI ASTRONOMSKE NOVICE 1. DMFA Slovenije in Fakulteta za matematiko in fiziko sta pričeli cikel poljudnih predavanj iz astronomije z naslovom Sprehod skozi vesolje. Predavanja so vsak prvi četrtek v mesecu od 19h–20h v Peterlinovem paviljonu (poleg Inštituta Jožef Štefan), Jadranska 26, Ljubljana. Prvo predavanje je bilo 7. oktobra, ko je o začetkih astronomije preda- val prof. dr. Tomaž Zwitter. Naslednje predavanje bo 4. novembra, ko bo Anja Lautar predavala o telesih v Sončnem sistemu. Datume in seznam predavanj, ter prosojnice in posnetek predavanja, ki je že bilo, lahko dobite na spletni strani http://www.sprehodskozivesolje.si/ www.astronomija2009.si. Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 155 2. Tudi letos bo potekalo tekmovanje iz znanja astronomije pod organi- zacijo DMFA Slovenije. Šolsko tekmovanje bo 2. decembra, državno pa 18. decembra. Na spletni strani www.astronomija2009.si je odprt forum Tekmovanje iz astronomije namenjen vprašanjem glede tekmo- vanja in izmenjavi izkušenj med mentorji tekmovalcev. Tudi vzorčne naloge bodo kmalu objavljene na tem spletnem naslovu. 3. V soboto, 6. novembra 2010 bodo s pričetkom ob 14. uri v Portorožu na občnem zboru DMFA potekala predavanja namenjena mentorjem tek- movalcev kot tudi ostalim učiteljem astronomije v osnovnih in srednjih šolah. V primeru lepega vremena bodo potekala tudi opazovanja na prostem. 4. V mesecu novembru nameravamo organizirati dvodnevno astronomsko delavnico Opazovanja s teleskopi s poudarkom na pridobivanju praktič- nih izkušenj iz priprave in izvedbe opazovanj v šolah. Vsi zainteresirani za sodelovanje na delavnicah za dodatne informacije pošljite elektronsko pošto na astro2009@fmf.uni-lj.si. Anja Lautar VPRAŠANJA IN ODGOVORI Spoštovani bralci, v urednǐstvu smo se odločili, da vam v razmislek občasno ponudimo zanimive probleme. Če imate na zalogi kakšno zanimivo fizikalno ali matematično nalogo, vas prosimo, da nam jo skupaj z rešitvijo pošljete na naslov zaloznistvo@dmfa.si. Bralce pozivamo, da zastavljeni problem skušajo rešiti in nam rešitve pošljejo na zgornji naslov. Radovednost tistih, ki jim bo problem pretrd oreh, bomo potešili v naslednji številki, kjer bomo objavili najbolj posrečeno rešitev. Gepard in gazela Nekaj let bo že, kar smo asistenti pri fiziki tuhtali o četrti nalogi prvega kolokvija. Četrta naloga na fizikalnem kolokviju običajno velja za težko – 156 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 Naloga sicer ne z veliko računanja, le zvito. Razmǐsljali smo o sledečem problemu, ki pa na koncu ni prǐsel v poštev, saj smo se sami preveč namučili z njim. Ob ravnem potoku se napaja gazela, ko jo uzre gepard. Zveznica med gepardom in gazelo je pravokotna na potok. Gazela in gepard se poženeta v tek v istem trenutku in takrat začnemo meriti čas. Gazela beži s konstantno hitrostjo v0 vzdolž potoka, gepard pa s konstantno hitrostjo v1 tako, da je ves čas usmerjen proti gazeli. Po kakšni krivulji se giblje gepard ter kje in po kolikšnem času ujame gazelo? Podoben problem je poznan tudi kot ” Kmet in prašiček“, ko kmet lovi prašička, da mu ne uide iz ograde, v kateri je pozabil zapreti vrata. Slika 1 Obzornik mat. fiz. 57 (2010) 4 157 i i “kolofon” — 2010/10/29 — 11:15 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, JULIJ 2010 Letnik 57, številka 4 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Prava simetrična verižnica (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–133 Naravna konvenkcija v vodoravnem valju (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . 134–143 Nove knjige Einstein Entformelt (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144–146 Dve knjigi o Robertu Hooku (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147–148 Mathematicians (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Šola Merjenje kvalitete (Damjan Kobal in Bojan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150–155 Vesti Astronomske novice (Anja Lautar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–156 Vprašanja in odgovori Gepard in gazela – naloga (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156–XV CONTENTS Articles Pages The true stmmetric catenary (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–133 Natural convection in a horizontal cylinder (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . 134–143 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144–149 School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150–155 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155–156 Questions and Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156–XV Na naslovnici: V dolgem vodoravnem valju polnem tekočine, ki ga grejemo pri dnu, se pojavi konvekcija. Slika prikazuje v preseku hitrostno polje in polje tempe- raturnega popravka k linearnem temperaturnem profilu, ki se vzpostavita v valju. Puščice na sliki predstavljajo hitrostno polje in opazimo lahko simetričen vzorec dveh vrtincev – neke vrste Benardovo celico, ko se tekočina dviga po sredini in pada na robovih valja. Na temperaturnem polju razberemo, da je temperatura tik nad dnom, kamor priteka bolj segreta voda z dna valja, povišana v primerjavi z linearnimu profilom (rdeča), od vrha pa se ob straneh vijeta dva kraka relativno nižje temperature tekočine (modra), ki se shladi ob zgornjem robu valja. Slika sodi k članku Naravna konvekcija v vodoravnem valju.