1. mednarodna Konferenca o učenju in poučevanju matematike 1st International Conference on Learning and Teaching Mathematics Zbornik prispevkov Conference Proceedings KUPM 2012 Maribor, 23. in 24. avgust 2012 Maribor, August 23 and 24, 2012 1. mednarodna Konferenca o učenju in poučevanju matematike KUPM 2012 Zbornik prispevkov Maribor, 23. in 24. avgust 2012 1st International Conference on Learning and Teaching Mathematics KUPM 2012 Conference Proceedings Maribor, August 23 and 24, 2012 Organizator / Organizer: Zavod RS za šolstvo / The National Education Institute of the Republic of Slovenia Organizacijski in programski odbor / Organizing and programme committee: Mojca Suban Ambrož, Silva Kmetič, Janja Bizjak, Tadej Blatnik, Jerneja Bone, Mojca Dolinar, Darjo Felda, Alenka Lipovec, Zlatan Magajna, Vladimir Milekšič, Sonja Rajh, Amela Sambolic Beganovic, Mateja Sirnik, Vesna Vršič, Amalija Žakelj Uredniški odbor zbornika / Editorial team: Silva Kmetič, Jerneja Bone, Sonja Rajh, Amela Sambolic Beganovic, Mateja Sirnik, Mojca Suban Ambrož Avtorji plenarnih predavanj / Authors of plenary lectures: Mara Cotič, Darjo Felda, Nives Jozic, Alenka Lipovec, Zlatan Magajna, Jasmina Milinkovic, Erich Ch. Wittmann, Amalija Žakelj Avtorji uvodnikov v tematske sklope / Authors of thematic tracks leading articles: Jerneja Bone, Silva Kmetič, Sonja Rajh, Mateja Sirnik Avtorji prispevkov v tematskih sklopih / Authors: Darja Antolin, Olga Arnuš, Gertrud Aumayr, Tina Balantič, Ivan Bauman, Andreja Berlot Koncut, Lea Bole, Mirjam Bon Klanjšček, Tatjana Božič Geč, Damijana Čekada, Boris Černilec, Jana Cimerman, Dušanka Colnar, Darja Delač Felda, Magdalena Doberšek, Jan Dobrindt, Uroš Drnovšek, Sonja Flere, Metka Flisar, Rado Gorjup, Alojz Grahor, Adriaan Herremans, Diana Horvat, Saša Horvat Kovačič, Darka Hvastija, Tatjana Ilovar, Sonja Ivančič, Metka Jemec, Sara Kalaveshi, Andreja Klančar, Katja Kmetec, Silva Kmetič, Saša Kocijančič, Katja Končina, Mladen Kopasic, Iris Kravanja Šorli, Miha Kukec Mezek, Irena Kutoš, Iztok Lačen, Polona Legvart, Marija Magdič, Nives Markun Puhan, Ema Maver, Tomaž Miholič, Antonija Miklavčič-Jenič, Petar Mladinic, Polona Mlinar, Vilma Moderc, Iris Mohorič, Andreja Novak, Leonida Novak, Andrej Oberwalder Zupanc, Almira Okršlar, Nataša Olenik, Martina Omerzel, Nataša Pavšič, Mateja Peršolja, Petra Peterka, Evgenija Peternel, Mateja Pintar, Marija Pisk, Suzana Pleminitaš-Centrih, Mojca Plut, Simona Pustavrh, Jolanda Radolli, Irena Rauter Repija, Milena Ristic, Marko Rožič, Brigita Sajko, Jožef Senekovič, Vera Serdt, Darja Sever, Helena Skok Schlegel, Mateja Sirnik, Mateja Škrlec, Suzana Štefanec Kodila, Milena Strnad, Monika Šuligoj, Katarina Tadic, Matejka Tirgušek, Jože Tratar, Nataša Vanček, Majda Vehovec, Karmen Virc, Mateja Vodenik, Katja Vodlan, Vanja Vogrin, Maja Vogrinčič Bizjak, Simona Vreš, Erich Ch. Wittmann, Karmen Zadravec, Lucija Željko, Dejan Žnideršič, Željka Zoric Strokovni pregled / Reviewing: Člani programskega in organizacijskega odbora in učitelji člani Predmetne razvojne skupine za matematiko. The members of programme and organising committee and the members of development group for mathematics Jezikovni pregled povzetkov / Proofreading: Milena Kerndl Jezikovni pregled povzetkov v angleščini/ Proofreading: Vilijenka Šavli Jezikovni pregled prispevkov / Proofreading: Andreja Čuk Tehnično uredili / Design: Jerneja Bone, Amela Sambolic Beganovic Izdal in založil / Publisher: Zavod RS za šolstvo Predstavnik / Represented by: mag. Gregor Mohorčič Objava na spletnem naslovu: http://www.zrss.si/pdf/zbornikprispevkovkupm2012.pdf Prva izdaja Ljubljana, 2012 Publikacija je brezplačna. The publication is free of charge. CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 37.091.3:51(082) MEDNARODNA konferenca o učenju in poučevanju matematike (1 ; 2012 ; Maribor) KUPM 2012 [Elektronski vir] : zbornik prispevkov = conference proceedings / 1. mednarodna konferenca o učenju in poučevanju matematike, Maribor, 23. in 24. avgust 2012 = 1st International Conference on Learning and Teaching Mathematics, Maribor, August 23 and 24, 2012 ; [organizator Zavod RS za šolstvo ; avtorji Mara Cotič ... et al.]. - 1. izd. - El. knjiga. - Ljubljana : Zavod RS za šolstvo, 2012 Način dostopa (URL): http://www.zrss.si/pdf/zbornikprispevkovkupm2012.pdf ISBN 978-961-03-0055-7 (pdf) 1. Gl. stv. nasl. 2. Cotič, Mara 3. Zavod Republike Slovenije za šolstvo 263329536 © Zavod RS za šolstvo, 2012 Vse pravice pridržane. Brez založnikovega pisnega dovoljenja gradiva ni dovoljeno reproducirati, kopirati ali kako drugače razširjati. Ta prepoved se nanaša tako na mehanske (fotokopiranje) kot na elektronske (snemanje ali prepisovanje na kakršen koli pomnilniški medij) oblike reprodukcije. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced in any form (print, photoprint, or by any other means - photocoping or electronic copying) without a written permission from the publisher. KAZALO DOBRODOŠLI NA PRVI MEDNARODNI KONFERENCI O UČENJU IN POUČEVANJU MATEMATIKE KUPM 2012..............................................................................................................................12 Silva Kmetič, Mojca Suban Ambrož, Zavod RS za šolstvo TEACHING AND LEARNING MATHEMATICS ALONG FUNDAMENTAL MATHEMATICAL IDEAS FROM KINDERGARTEN TO THE MATURA.......................................................................................................................................................13 Poučevanje in učenje matematike ob temeljnih matematičnih pojmih in konceptih od vrtca do mature ddr. Erich Ch. Wittmann, Fakulteta za matematiko, Univerza Dortmund MED UTEMELJEVANJEM IN DOKAZOVANJEM...........................................................................................................26 Between Argumentation and Proof dr. Zlatan Magajna, Pedagoška fakulteta, Univerza Ljubljana JE KVADRAT LIK ALI OKVIR?......................................................................................................................................35 Is Square a Figure or a Frame? dr. Alenka Lipovec, Pedagoška fakulteta, Univerza Maribor REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION FROM THEORY TO PRACTICE........................................................................43 Pouk matematike v realističnem kontekstu od teorije do prakse dr. Jasmina Milinkovic, Pedagoška fakulteta, Beograd REŠEVANJE REALISTIČNIH PROBLEMOV NA ZAČETKU ŠOLANJA................................................................................50 Solving Realistic Problems at the Beginning of Schooling dr. Mara Cotič, dr. Darjo Felda, Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta UČENJE USMJERENIM OPAŽANJEM...........................................................................................................................58 Directed Observation Learning Nives Jozic, Filozofska fakulteta, Split ODKRIVANJE IN PREPOZNAVANJE UČNIH TEŽAV IN UKREPI POMOČI UČENCEM Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI.............................................................................................................................................................67 Detection and Identification of Learning Difficulties as well as the Assistance Measures for Pupils with Learning Difficulties in Mathematics dr. Amalija Žakelj, Zavod RS za šolstvo PRISTOPI, STRATEGIJE IN OBLIKE DELA PRI POUKU MATEMATIKE S PREVERJENO UČINKOVITOSTJO....................................................................................................................79 Silva Kmetič, Zavod RS za šolstvo, OE Maribor POMEN MATEMATIČNEGA POGOVORA ZA RAZUMEVANJE MATEMATIKE................................................................80 The Importance of Mathematical Discussion for Understanding of Mathematics Polona Legvart, OŠ bratov Polančičev Maribor RAZVIJANJE SPRETNOSTI OCENJEVANJA PRI POUKU MATEMATIKE - ISKANJE PRIBLIŽKOV.......................................88 Developing Estimation Skills at Mathematics - Searching for Approximations Darja Antolin, Pedagoška fakulteta Maribor, Univerza v Mariboru GLUHA MATEMATIKA.......... Math Telephone Game Tomaž Miholič, OŠ Duplek OBDELAVA PODATKOV MALO DRUGAČE................................................................................................................103 Non-conventional Data Handling Saša Horvat Kovačič, OŠ Ljubno ob Savinji UČNE TEŽAVE PRI UČENJU MATEMATIKE................................................................................................................108 Learning Difficulties at Mathematics Mateja Vodenik, Evgenija Peternel, OŠ dr. Antona Trstenjaka Negova RAZVOJ RAČUNSKIH STRATEGIJ PO NAČELIH METODE MONTESSORI PRI UČENCIH S TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI 115 Development of Calculating Strategies by the Montessori Method with Pupils Showing Learning Difficulties at Mathematics mag. Nataša Vanček, OŠ Venclja Perka Domžale POTENCE PO METODI MONTESSORI.......................................................................................................................123 Powers by Montessori Method Maja Vogrinčič Bizjak, Tehniški šolski center Nova Gorica POGOSTE UČNE TEŽAVE ROMSKIH UČENCEV PRI MATEMATIKI..............................................................................131 Mathematics Skill Deficits of Roma Pupils mag. Iztok Lačen, OŠ I Murska Sobota REŠEVANJE MATEMATIČNIH BESEDILNIH NALOG V 4. RAZREDU PRI UČENCIH Z GOVORNO-JEZIKOVNO MOTNJO . 137 Textual Task Solving in Grade 4 by Students with Speech-Language Disordes Diana Horvat, Center za sluh in govor Maribor UČENCI S POSEBNIMI POTREBAMI IN TEŽAVE PRI MATEMATIKI.............................................................................143 Pupils with Special Needs and Difficulties in Mathematics Tatjana Božič Geč, OŠ Martina Krpana, Ljubljana OBLIKOVANJE POJMA ŠTEVILO PRI OTROKU V 1. RAZREDU....................................................................................153 Development of the Term Number for Children in Grade 1 Sonja Flere, Mladen Kopasic, OŠ Polje RAZVOJ POJMA ŠTEVIL V 1. RAZREDU OSNOVNE ŠOLE...........................................................................................163 The Development of Understanding Numbers in Grade 1 of Primary School Andreja Berlot Koncut, OŠ Frana Erjavca Nova Gorica IZKUSTVENA POT DO OBLIKOVANJA ŠTEVILSKE PREDSTAVE ZA ŠTEVILO IN ZA ZAPIS ŠTEVILKE..............................173 An Experiential Way to the Forming of Numerical Perception for Number and Figure Writing Monika Šuligoj, OŠ Dobrovo ZABAVNA POŠTEVANKA.........................................................................................................................................182 Amusing Multiplication Jana Cimerman, OŠ Hruševec Šentjur REŠEVANJE BESEDILNIH NALOG Z UPORABO BRALNO UČNIH STRATEGIJ................................................................189 Solving Textual Tasks and Reading Strategies Suzana Štefanec Kodila, OŠ I Murska Sobota RAZVIJANJE DIVERGENTNEGA MIŠLJENJA PRI REŠEVANJU MATEMATIČNIH PROBLEMOV......................................196 Developing Diverge Thinking at Solving Mathematical Problems mag. Uroš Drnovšek, OŠ Toneta Okrogarja, Zagorje ob Savi NADARJENI UČENCI IN MATEMATIKA ..................................................................................................................... 202 Gifted Students and Mathematics Majda Vehovec, OŠ Šenčur DELO Z NADARJENIMI UČENCI V 2.TRIADI OSNOVNE ŠOLE................. Working with Gifted Children in the Second Triad of Primary School dr. Lucija Željko, OŠ Sostro RAZISKAVA OBLIK DIFERENCIACIJE PRI POUKU MATEMATIKE V 8. IN 9. RAZREDU DEVETLETNE OSNOVNE ŠOLE ... 214 Research on Types of Differentiation at Mathematics Lessons in Grade 8 and 9 Helena Skok Schlegel, OŠ Dobrovo DIFERENCIACIJA PRI POUKU MATEMATIKE.............................................................................................................221 Differentiation at Mathematics Lessons Boris Černilec, Zavod za gluhe in naglušne Ljubljana NIVOJSKI POUK MATEMATIKE V 1., 2. IN 3. LETNIKU GIMNAZIJE............................................................................229 Ability Grouping at Mathematics in Grade 1, 2 and 3 of Grammar School Sonja Ivančič, ŠC Srečka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola NAČINI REŠEVANJA BESEDILNIH NALOG..................................................................................................................239 Methods of Solving Textual Tasks Lea Bole, Sara Kalaveshi, Katja Vodlan, Vilma Moderc, OŠ Valentina Vodnika Ljubljana UPORABA KONCEPTA SIMETRIJE PRI REŠEVANJU PROBLEMOV IN ODKRIVANJU NOVEGA ZNANJA........................247 Use of the Symmetry Concept to Problem Solving and Knowledge Acquisition Alojz Grahor, Škofijska gimnazija Vipava PROBLEMSKE NALOGE IN OPISNO OCENJEVANJE....................................................................................................256 Problem Solving Tasks and Descriptive Assessment Simona Pustavrh, ŠC Novo mesto, Srednja elektro šola in tehniška gimnazija "TODAY CHAMPIONS IN MATH, TOMORROW IN EQUAL CHANCES": A SHORT OVERVIEW OF STRENGTHS AND WEAKNESSES OF FLEMISH EDUCATION...................................................................................................................265 "Danes prvaki v matematiki, jutri z enakimi možnostmi": kratka predstavitev močnih in šibkih točk izobraževanja matematike v Belgiji Adriaan Herremans, University of Antwerp STRAH PRED OCENJEVANJEM, KAJ JE ŽE TO? UVAJANJE FORMATIVNEGA SPREMLJANJA IN SPREMINJANJE POUČEVANJA..........................................................................................................................................................276 Fear of Assessment - a Thing Long Forgotten Introduction of Formative Assessment Altering of Teaching Methods Mateja Peršolja, OŠ Preserje pri Radomljah MATEMATIKA KOT DEL KULTURE ČLOVEKA.............................................................................................................285 Mathematics as a Part of Human Culture Olga Arnuš, Darka Hvastija, Gimnazija Bežigrad Ljubljana UMEŠČANJE ŠOLSKE MATEMATIKE V KULTURNI KONTEKST UČENCEV....................................................................293 Placing School Mathematics into the Students' Cultural Context Polona Mlinar, OŠ Ivana Tavčarja Gorenja vas VPELJEVANJE KOMPETENCE UČENJE UČENJA V POUK.............................................................................................299 Introducing Learning to Learn Competence into Lessons Darja Delač Felda, Gimnazija Kočevje MATEMATIKA IN EKONOMIJA Z ROKO V ROKI........................................................................................................303 Mathematics and Economics Hand in Hand Karmen Virc, Mojca Plut, Ekonomska šola Novo mesto UČITELJ STROKOVNO TEORETIČNIH PREDMETOV HKRATI UČITELJ MATEMATIKE...................................................308 Teacher of Professional Theoretical Subjects at the same Time Mathematics Teacher too Andrej Oberwalder Zupanc, Srednja šola Domžale, Poklicna in strokovna šola UČENICI ISTRAŽUJU POVIJEST MATEMATIKE...........................................................................................................314 Students Research the History of Mathematics Željka Zoric, Prirodoslovno matematički fakultet, Sveučilište u Splitu MINI PREISKAVA V PODALJŠANEM BIVANJU..........................................................................................................320 Mini Investigation of Extended Stay at School Irena Kutoš, OŠ Tišina UPORABA ODPADNE EMBALAŽE PRI MATEMATIKI.................................................................................................326 Using old Packaging Material at Mathematics Lessons Petra Peterka, OŠ Jurija Vege Moravče MATEMATIKA ZA ŽIVLJENJE....................................................................................................................................331 Mathematics for Life Tatjana Ilovar, OŠ Preserje pri Radomljah LASTNOSTI VEČKOTNIKOV......................................................................................................................................337 Characteristics of Polygons Nataša Olenik, OŠ Antona Žnideršiča Ilirska Bistrica TOČKOVNIK IN DOSEŽKI MERJENJA ZNANJA...........................................................................................................343 Assessment Guidelines and the Achievements in Assessment of Knowledge Jožef Senekovič, OŠ Bojana Ilicha, Maribor POVEZOVANJE VSEBINSKIH IN PROCESNIH ZNANJI PRI POUKU MATEMATIKE........................................................351 Learning Mathematics through Integrating Subject Knowledge and Process Skills mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo, OE Kranj PROCESI RAZMIŠLJANJA PRI POUKU MATEMATIKE.................................................................................................356 Thinking Processes in Teaching Mathematics Silva Kmetič, Zavod RS za šolstvo, OE Maribor AKTIVNA RABA INFORMACIJSKO-KOMUNIKACIJSKE TEHNOLOGIJE PRI UČENJU IN POUČEVANJU MATEMATIKE.........................................................................................................................366 mag. Mateja Sirnik, Zavod RS za šolstvo, OE Kranj ZAVRTIMO GEOMETRIJSKE LIKE V PROSTORU........................................................................................................367 Lets Rotate Geometric Shapes in Space Vanja Vogrin, OŠ Trzin PROGRAM, S KATERIM RAZGRNEMO TELESA V NJIHOVE MREŽE............................................................................374 Solid Figure Net Forming Application Nataša Pavšič, OŠ Puconci SMISELNOST UPORABE LASTNEGA E-GRADIVA PRI OBRAVNAVI NOVE SNOVI PRI MATEMATIKI V OŠ....................382 The Aim of Using Teachers' own e-learning Materials for Introducing New Topics in Elementary School Mathematics Jože Tratar, Katja Končina, OŠ dr. Pavla Lunačka Šentrupert ŠTIRIKOTNIKI - PROBLEMSKI POUK GEOMETRIJE Z UPORABO E-GRADIV.................. Quadrilaterals - Problem Based Teaching of Geometry with the Use of e-materials Andreja Klančar, OŠ Lucija PREVERJANJE ZNANJA PRI MATEMATIKI Z UPORABO PROGRAMA MICROSOFT MOUSE MISCHIEF.........................398 Assessing Knowledge at Mathematics with the Use of Microsoft Mouse Mischief Programme Antonija Miklavčič - Jenič, Dejan Žnideršič, OŠ Dolenjske Toplice E(KO)-FRAJER.SI......................................................................................................................................................406 E(co)-dude.si Katarina Tadic, OŠ Davorina Jenka, Cerklje na Gorenjskem MEDPREDMETNO POVEZOVANJE - ZBIRANJE IN PREDSTAVITEV PODATKOV.........................................................413 Cross-curricula Connection - Data Collection and Presentation Iris Mohorič, OŠ Milojke Štrukelj Nova Gorica URA GEOMETRIJE V GRŠKEM GLEDALIŠČU..............................................................................................................420 A Lesson of Geometry in Greek Theatre Simona Vreš, ŠC Ravne na Koroškem, Gimnazija Ravne na Koroškem VIZUALIZACIJA I RAZINA APSTRAKCIJE....................................................................................................................428 Visualisation and Level of Abstraction Petar Mladinic, 5. gimnazija u Zagrebu, Hrvatska UPORABA IKT PRI UČNEM SKLOPU MERILA ZA SREDINO IN RAZPRŠENOST V 9. RAZREDU OSNOVNE ŠOLE............437 The Implementation of ICT into the Mathematics Theme 'The Means and Dispersion in Grade 9 of Primary School' Tina Balantič, OŠ Šmartno v Tuhinju PRIMERI UPORABE IKT PRI POUKU IN REŠEVANJU TER RAZISKOVANJU REALNIH PROBLEMOV..............................444 Examples of ICT Use in School and Investigation of Real Life Problems Ivan Bauman, Konservatorij za glasbo in balet Maribor POVEZAVA UČNE POTI IN IKT..................................................................................................................................451 Linking a Natural Learning Path with ICT Ema Maver, OŠ Fram LINEARNA FUNKCIJA IN UPORNOST VODNIKOV......................................................................................................457 Linear Function and Resistance of Conductors Martina Omerzel, ŠC Celje, Srednja šola za kemijo, elektrotehniko in računalništvo Z I-TABLO IN E-GRADIVI V SPLETNI UČILNICI DO BOLJŠIH MATEMATIČNIH PREDSTAV V 1. TRILETJU......................463 IWB and e-materials in e-learning Environment for Better Mathematical Conceptions in the First Cycle of Primary School Magdalena Doberšek, Mateja Pintar, Suzana Plemenitaš-Centrih, OŠ Dobje UVAJANJE NOVOSTI IZ UČNIH NAČRTOV IN KATALOGOV ZNANJA..........................................469 mag. Sonja Rajh, Zavod RS za šolstvo, OE Murska Sobota PROBLEMSKO NARAVNAN POUK V PRVEM RAZREDU OSNOVNE ŠOLE...................................................................470 Problem Based Learning in Grade 1 of Primary School Karmen Zadravec, OŠ Franceta Prešerna Črenšovci REŠEVANJE IN RAZISKOVANJE MATEMATIČNIH IN REALNIH PROBLEMOV V 1. RAZREDU.......................................477 Solving and Researching Mathematical and Real Problems in Grade 1 of Primary School Milena Ristic, OŠ Jakoba Aljaža, Kranj TORTNI PRIKAZI V POVEZAVI Z ULOMKI ... Pie Charts in Connection with Fractions Marija Pisk OD NAČRTA REŠEVANJA DO VREDNOTENJA REZULTATOV MATEMATIČNIH IN REALNIH PROBLEMOV Mathematical and Everyday Problems from a Problem Solving Plan to Evaluation Metka Flisar, OŠ Tišina, Vera Serdt, OŠ Gornja Radgona RAZISKOVANJE VZORCEV PRI IGRI HANOJSKI STOLPI..............................................................................................501 Researching Patterns in Towers of Hanoi Puzzle Katja Kmetec, OŠ Brinje Grosuplje ROZETA...................................................................................................................................................................509 Rosette Metka Jemec, OŠ prof. dr. Josipa Plemlja, Bled ŠTEVILSKI STOLPIČI IN ŠTEVILSKI KVADRATI............................................................................................................517 Number Columns and Number Squares Marija Magdič, OŠ Turnišče VZORCI....................................................................................................................................................................525 Patterns Damijana Čekada, OŠ Antona Žnideršiča, Ilirska Bistrica RAZISKOVANJE ODVISNOSTI MED KOLIČINAMI V 8. RAZREDU OSNOVNE ŠOLE......................................................536 Investigating Relationships between Variables in Grade 8 Dušanka Colnar, OŠ Frana Kocbeka Gornji Grad SLOVENŠČINA + MATEMATIKA = ?..........................................................................................................................543 Slovene + Mathematics = ? Brigita Sajko, Matejka Tirgušek, VIZ II. OŠ Rogaška Slatina MATEMATIKA - VEČ KOT UČNI PREDMET...............................................................................................................549 Mathematics - more than a Subject that We Teach in School Milena Strnad TIMSKO POUČEVANJE PRI EKSPERIMENTALNI VAJI UPOR ČLOVEŠKEGA TELESA.....................................................557 Experimental Practical Work by Means of Team Teaching Saša Kocijančič, Almira Okršlar, Tehniški šolski center Kranj, Strokovna in poklicna šola REŠEVANJE REALNIH PROBLEMOV - OSMISLIMO MATEMATIČNE VSEBINE............................................................564 Real Problem Solving - Modern Challenges in Teaching Mathematics Jolanda Radolli, Prometna šola Maribor UČENJE MATEMATIKE SKOZI IGRE V DOŽIVLJAJSKI PEDAGOGIKI............................................................................572 Learning Mathematics through Games in Experiential Pedagogy Iris Kravanja Šorli, OŠ Martina Krpana, Ljubljana ANALIZA IN REFLEKSIJA DOSEŽKOV DIJAKOV PRI ŠPORTNI VZGOJI Z UPORABO MATEMATIČNIH ZNANJ................581 The Analysis and Reflection of Student's Achievements in Sports Activities by the Use of the Mathematical Knowledge Mirjam Bon Klanjšček, Rado Gorjup, Gimnazija Nova Gorica MATEMATIKA IN NARAVOSLOVNI PREDMETI..........................................................................589 Jerneja Bone, Zavod RS za šolstvo, OE Nova Gorica MATEMATIKA + ŠPORTNA VZGOJA = X; X > IGRA....................................................................................................590 Math + Physical Education = X; X > Game Leonida Novak, Nives Markun Puhan, Zavod RS za šolstvo UPORABA MATEMATIČNEGA ZNANJA V SKLOPU TEHNIŠKEGA DNEVA...................................................................601 The Application of Mathematical Knowledge in the Framework Of Technical-Science Day Activities Darja Sever, OŠ I Murska Sobota FOTOGRAFIJA KOT UČNI PRIPOMOČEK PRI TEMAH RAZMERJE, SORAZMERJE IN PODOBNOST...............................608 Photography as a Teaching Tool at Ratio, Proportion and Similarity Themes Miha Kukec Mezek, OŠ Stranje DO PREDPISA KVADRATNE FUNKCIJE KOT MATEMATIK ALI FIZIK............................................................................615 To General Form of Quadratic Function as Mathematician or as Physicist Marko Rožič, Srednja šola Črnomelj STEKLENA PRIZMA - PRILOŽNOST ZA MATEMATIČNO RAZMIŠLJANJE....................................................................624 The Glass Prism - An Opportunity for Mathematical Thinking Irena Rauter Repija, Gimnazija Ljutomer DELAVNICE............................................................................................................................633 CALCULATING AREAS BY COUNTING NAILS.............................................................................................................633 Računanje ploščine s preštevanjem žebljičkov Adriaan Herremans, University of Antwerp WHAT SCIENTIFIC CALCULATORS ARE CAPABLE OF?...............................................................................................657 Kaj zmorejo znanstvena računala? Jan Dobrindt, Educational Technology Consultant Texas Instruments PRACTICING BASIC SKILLS IN A PRODUCTIVE WAY..................................................................................................658 Utrjevanje osnovnih veščin na učinkovit način Erich Ch. Wittmann, Technical University of Dortmund, Project "mathe 2000" ANIMIRANA VIZUALIZACIJA BESEDILNIH NALOG.....................................................................................................667 Animated Visualisation of Textual Tasks Andreja Novak, OŠ Hajdina CLASS ACTIVITIES FOR DESCRIBING REAL WORLD PHENOMENA WITH MATHEMATICAL MODELS USING TI- NSPIRE™ ................................................................................................................................................................................676 Dejavnosti za opisovanje realističnih pojavov z matematičnimi modeli s TI-Nspire™ mag. Gertrud Aumayr, University College of Teacher Education Vienna/Krems MATEMATIČNO MODELIRANJE Z NUMERIČNIM ŽEPNIM RAČUNALOM..................................................................677 Mathematical Modelling with a Numeric Calculator Mateja Škrlec, Gimnazija Ljutomer IMENSKO KAZALO AVTORJEV.................................................................................................684 DOBRODOŠLI NA PRVI MEDNARODNI KONFERENCI O UČENJU IN POUČEVANJU MATEMATIKE KUPM 2012 Vse okoli nas se spreminja. Ali se spreminja tudi pouk matematike? V zadnjem desetletju so bili prenovljeni vsi učni načrti in katalogi znanj in prinesli nekaj ključnih novosti, od avtonomije učitelja do učenja z uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije. Ta konferenca je priložnost, da pokažemo, kako poučujemo matematiko po vsej vertikali, od 1. razreda osnovne šole do 4. letnika srednje šole, matematiko danes, za jutri. Več kot 500 prijavljenih udeležencev bo v dveh konferenčnih dneh lahko spremljalo raznolik program: 117 avtorjev se bo v 104 prispevkih predstavilo s predavanji, krajšimi predstavitvami in delavnicami. Tako smo v letu 2012 skupaj ustvarili vsebino te konference. Povezali smo teorijo in prakso učenja in poučevanja matematike. Rezultat naših skupnih prizadevanj so poleg vsebin, ki jih bomo poslušali, tudi trajnejše oblike zapisov rezultatov konference. Izrabili smo različne medije, in sicer: tiskana izdaja zbornika povzetkov, e-izdaja zbornika povzetkov, e-izdaja zbornika prispevkov, ki je pred vami, ter objave predstavitev in video posnetkov na spletni strani konference: http://www.zrss.si/kupm2012/. Želene vsebine smo najavili v naslednjih tematskih sklopih: 1. Strategije in oblike dela pri pouku matematike s preverjeno učinkovitostjo 2. Aktivna raba informacijsko-komunikacijske tehnologije pri učenju in poučevanju matematike 3. Uvajanje novosti iz učnih načrtov in katalogov znanja 4. Matematika in naravoslovni predmeti 5. Ugotavljanje znanja pri matematiki Tematski sklopi v zapisu zgoraj so urejeni po številu prispevkov od največjega k manjšemu. Nekatere prispevke je težko umestiti, saj spadajo v več tematskih sklopov. Pri večini prispevkov smo upoštevali izbiro avtorja. Zaradi manjšega števila prispevkov v tematskem sklopu Ugotavljanje znanja pri matematiki so prispevki tega sklopa prerazporejeni v druge tematske sklope. Želimo, da konferenca postane stalni strokovni dogodek, ki bo družil učitelje po vsej vertikali in strokovnjake s področja didaktike matematike ter prispeval k bogatitvi in razvoju pouka matematike. Za programski in organizacijski odbor: Silva Kmetič in mag. Mojca Suban Ambrož TEACHING AND LEARNING MATHEMATICS ALONG FUNDAMENTAL MATHEMATICAL IDEAS FROM KINDERGARTEN TO THE MATURA Poučevanje in učenje matematike ob temeljnih matematičnih pojmih in konceptih od vrtca do mature ddr. Erich Ch. Wittmann, Fakulteta za matematiko, Univerza Dortmund wittmann@math.tu-dortmund.de Abstract Mathematical knowledge has been and is developing in the process of research. Therefore it is only natural that mathematics is taught and learned also in process. This structural-genetic approach can be best supported by systematically pursuing fundamental mathematical ideas over the grades. This will be exemplified in the paper by means of three "learning trajectories" on linear equations, composing and decomposing figures, and operative proofs. Key words: fundamental ideas of mathematics, substantial learning environments, learning trajectories. Povzetek Matematično znanje se je v procesu raziskovanja spreminjalo in se spreminja tudi danes. Naravno je, da je tudi samo poučevanje in učenje matematike proces. Takšen strukturno -genetični pristop najbolje podpira sistematično obravnavanje temeljnih matematičnih idej po posameznih razredih, kar bo v prispevku predstavljeno na lineanih enačbah, sestavljanju in razstavljanju likov ter operativnih dokazih. Ključne besede: temeljne matematične ideje, ustrezno učno okolje, učna usmeritev. Introduction During the past decades mathematics education has been re-shaped by paradigm shifts that have affected all major elements of teaching and learning: (1) Students are less seen as passive recipients of knowledge, but more as active agents in the exploration of subject matter. (2) Correspondently the traditional role of teachers as instructors has been expanded by their role as organizers of learning processes. (3) Most importantly the traditional view of mathematics as a body of ready-made structures has given way to a view of mathematics as the science of patterns that are open to investigation. It is mathematical activity that counts. General objectives or „competences" like „modeling", „exploring", „reasoning" and „communicating" have been aligned with content objectives (Winter 1975). While there is general agreement about these new paradigms the views about how teaching and learning in the classrooms can be changed accordingly are diverse. At least three broad approaches can be distinguished: One is based on general theories of teaching and learning and is exemplified by the bulk of papers which appear in the context of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME). A second approach is based on psychometric competence-models. It is widely used in projects that pretend to define and to shape students' achievement in mathematics by means of standardized tests. In contrast with these two approaches there is a third approach which used to be the dominating one in the past, which, however, has lost its influence in recent decades: the mathematically founded approach, as typically represented by Freudenthal 1973 and Winter 1987. It is a moot and troubled question why today this approach is not receiving the attention it deserves. The main reason might be that in the mainstream of international mathematics education mathematics is seen just a subject matter that has to be especially prepared and embedded in educational theories in order to be usable for teaching and learning. In fact, however, mathematics, understood properly, carries in itself processes of teaching and learning. In a book published in 1978 Peter Heintel, at that time rector of the University of Klagenfurt, described the mathematically founded approach as follows: "mathematics education [in its proper sense] means a discipline that is rooted in mathematics itself. It means a re-construction of the processes that are inherent in mathematics, so to speak "frozen in", and their transformation into learning processes". The present paper is fully in line with this mathematically founded approach of mathematics education. The objective is to show that fundamental mathematical ideas form a natural basis for developing learning trajectories that start in early years and are continuously pursued over the grades. The proposal to use fundamental ideas as key elements of a spiral curriculum was prominently articulated in Jerome Bruner's book "The Process of Education" (Bruner 1960) and since then has received much attention in theoretical discussions. However, in elaborating this proposal for the teaching practice in a systematic way much has still to be done. The three examples of this paper are taken from the developmental research systematically conducted in the project "mathe 2000" since 19871. This project is based on an understanding of mathematics education as a design science. This means that is centered at designing, researching and implementing substantial learning environments (see Wittmann 1995 and Wittmann 2002). The structure of the following sections reflects this methodology: the three learning trajectories that have been selected for this paper are communicated as coherent series of learning environments. Linear equations The first learning trajectory uses the rich algebraic structure of arithmogons (McIntosh&Quadling 1975). As we wanted to introduce arithmogons in our curriculum already in grade 1 we changed the authors' original geometric setting so that counters can be used. In the simplest case a triangle is divided in three fields (Fig. 1). We put counters or write numbers in these fields. The rule is as follows: Add the numbers in two adjacent fields and write the sum in the box of the corresponding side. Fig. 1 Fig. 2 Various problems arise in this context: When starting from the inner numbers, the outer numbers can be obtained by addition. When one or two inner numbers and respectively 1 see www.tu-dortmund.de/mathe2000 two numbers or one outer number outside are given the missing numbers can be calculated by addition or subtraction. When the three outer numbers are given (Fig. 2), an immediate calculation is not possible. So some thinking is required. Children in grade 1 can find the solution by (more or less) systematically varying the number of counters in the inner fields (see the sequence of trials in Fig. 3). There are, however, also systematic solutions that arise in the course of a continued study of arithmogons. In grade 2 children re-visit arithmogons with bigger numbers. In grade 3 they are guided to discover a systematic solution of the difficult case (see Fig. 4): In the first step they complete some arithmogons and calculate the sum of the inner numbers and the sum of the outer numbers. They discover that the latter sum is twice as much as the first one and prove this relationship by pointing out that each inner number contributes to two outer numbers. They also discover that the sum of an inner number and the opposite outer number is the sum of the three inner numbers. Based on these relationships the inner numbers can be derived from the outer numbers in the following way: The three outer numbers are added. Fig. 3 The result is divided by 2 and is the sum of the inner numbers. Now each outer number is subtracted from this sum. The result of each subtraction is the opposite inner number. 250 + 387 + 143 = 780 : 2 = 390 390 - 387 = 3 390 - 250 = 140 390 - 143 = 247 Fig. 4 At the secondary level arithmogons are analyzed with algebraic tools and the difficult case is solved by means of a linear equation. The early method of systematically varying the numbers in the inner left field is a very good help for finding the equation (Fig. 5). 244 + x + x = 250 244 + 2x = 250 I (- 244) 2x = 6 I (:2) x = 3 143 - 3 = 140 244 + 3 = 247 Fig. 5 Triangles can be extended to quadrilaterals, where new phenomena arise: Either we have more than one solution (Fig. 6) or no solution (Fig. 7). For the existence of solutions it is necessary and sufficient that the sums of opposite numbers are equal. Each of these sums is the sum of all inner numbers. 25 25 1 7 X 25 - x 17 - x 11+) 36 19 X 27 - x 19 - x 9 + x 36 28 28 x + 25 - x = 25 25 = 25 x + 27 - x = 25 27 = 25 Fig. 6 Fig. 7 In later years arithmogons can be described and solved by means of systems of linear equations (Fig. 8). As shown in McIntosh&Quadling 1975 arithmogons can be generalized to polygons with n sides and be described with the notions of linear algebra: the inner and outer numbers can be written as vectors, and the relationship between them is a linear mapping from R into Rn. Interestingly the corresponding matrix is non-singular for odd n and has the rank (n-1) for even. Furthermore the two-dimensional structure of arithmogons can be generalized to "arithmohedra" in an obvious way: Numbers are assigned to vertices and faces of a polyhedron such that the numbers assigned to the faces are the sum of the numbers assigned to the vertices of this face. In this way a rich variety of examples can be created. In this way a rich context is provided that can be explored by students and student teachers in a course on Linear Algebra with great gains. All phenomena and all concepts relevant for the theory of systems of linear equations occur and can be explained in this context, up to Steinitz' theorem and the dimension theorem. x + y = 143 y + z = 387 x + z = 250 Fig. 8 Composing and decomposing figures A fundamental idea of elementary ge described it as follows: Fig.9 is „fitting". Freudenthal (1969, 422-23) In paving a floor with congruent tiles there is a leading idea, I mean fitting. It is the same as in space and it is realized as concretely. Fitting is a motor sensation. Psychologists can tell you how strongly the motor component of the personality is marked at a young age, how important motor apprehension and memory may be. Things fit. Do children ask why? Apart from a rare exception young children do not. All these miracles of our space do not seem to make any impression. But they grind as millstones. The highest pedagogical virtue is patience. One day the child will ask why, and there is no use starting systematic geometry before that day has come. Even worse: it can really do harm. Friedrich Froebel, the founder of the kindergarten movement, gave a wonderful introduction into early geometry. The 7th of his famous gifts consists of wooden tablets of various shapes that can be put together to make more complex forms. For the teaching of geometry in later years the original Froebel tablets are not optimal as the angles and sides of the Froebel tablets do not fit well. In Froebel's footsteps other shapes have been tried, and one combination has turned out as superior: It consists of congruent isosceles right triangles and congruent rhombuses with angles 45° and 135°. The side of the rhombuses is equal to the smaller side of the triangles (Fig. 9). In the "mathe 2000" early maths project kindergarten kids use these shapes for covering a variety of different figures (Fig. 10, 11) Fig. 10 Fig. 11 Fig. 12 From the geometric point of view the two shapes are most interesting: If the common side is denoted by a, then the area of the triangle is a2/2, while the area of the rhombus is V2a2/2. Because of the irrationality of the square root of 2 the number of triangles and the number of rhombuses needed to cover a figure cannot be changed although the position of the shapes within the figure may vary. In the early maths program of "mathe 2000" the figures have been carefully selected: Kindergarten kids can realize that a small square can be covered by two triangles, a bigger one by four triangles. This is a special case of the Pythagorean theorem. They can also see that a bigger triangle can be covered by four congruent triangles whereby the vertices of the inner triangle are the midpoints of the sides of the big triangle. This figure is very important in teaching geometry in the middle grades. In grade 1 children decompose square paper in two or four parts by folding and cutting along axes of symmetry and re-arrange the parts in various ways. Many of the new figures will become important later in the curriculum. For example: The four isosceles rectangular triangles of two small squares can be put together to make one big square - a special case of the Pythagorean theorem (Fig. 13). Fig. 13 Fig. 14 In grade 2 the Chinese tangram is used. There are 13 convex polygons that can be covered by the seven tangram shapes. To find the coverings of these polygons is a rich exercise in fitting. For fitting activities in grade 3 a template is used which allows for drawing squares, regular triangles, pentagons, hexagons and octagons with the same side length (Fig. 14). Children can explore experimentally which figures fit which way. They realize that there are only three regular tessellations and discover some semi-regular tessellations (Fig. 15) Fig. 15 Fig. 16 In grade 4 children make regular polygons from cardboard by means of the „drawing clock" (Fig. 16) and build the five Platonic solids. The name „drawing clock" is derived from the fact that a circle is divided into 60 equal parts. As 60 is divisible by 3, 4, 5 and 6 the drawing clock allows for a convenient construction of squares, regular triangles, pentagons, hexagons and octagons. For example, to draw a regular polygon one has to divide the circumference in five equal parts of "12 minutes" each and connect the points. When drawing clocks of different sizes are used polygons of different sizes are obtained. The shapes are copied on cardboard. The circular segments attached to the sides of the polygons can be folded down and used as folds to paste the polygons together. In this way children can make stable models of all five Platonic solids. The proof of the existence of at most five Platonic solids at the end of book 13 of Euclid's "Elements of Mathematics" is fully in line with children's arguments. In grade 5 cutting and fitting experiments with polygons will be used to found the concept and the measure of an angle what neatly corresponds to the historic development. In the following grades cutting polygons into pieces and re-combining these pieces is the usual way to the area formulas and to the Pythagorean theorem (Fig. 17, 18). Students will re-visit configurations they met already in the kindergarten and in the early grades. Fig. 17 Fig. 18 Unfortunately discrete geometry does not play a major role in the higher grades. In teacher education, however, composing figures, decomposing figures and re-arranging the parts are powerful tools for (1) proving the Bolyai-Gerwien theorem on the equivalence of the notions "equal area" and "equidecomposable" of polygons and (2) for deriving the regular and semiregular tessellations and the Platonic and Archimedean solids. Operative proofs Proofs are the very heart of mathematics. Therefore proofs have to play an essential role in any authentic teaching of mathematics. In higher mathematics proofs are embedded in systematic-deductive presentations of axiomatic theories and almost identified with these presentations. So it seems impossible at first sight to include rigid proofs at the lower levels. However, as the historic development of mathematics shows proofs were present when 600 BC the Pythagorean brotherhood introduced the notion of a logical conclusion and established mathematics as the science that we know today. Instead of formal means of representations the Pythagoreans used other means. Greek arithmetic at the times of Pythagoras underwent a period which is called "^901-arithmetic" and can be considered as the cradle of arithmetic (Becker 1954, 34-41, Damerow/Lefebre 1981). "^901" is the Greek word for pebbles which the ancient Greek mathematicians used for representing numbers and classes of numbers. For example, they represented even numbers by double rows of pebbles, and odd numbers by double rows and a singleton. More complex patterns define other classes of numbers, the so-called "figurate numbers": triangular numbers, square numbers, pentagonal numbers, etc. Also in the later Roman period "calculi" were used until the middle ages. Counters are the modern form of ^901. In primary teaching they are usually seen and used as mere teaching aids. However, as soon as they are connected to their ancestors they reveal a tremendous potential for investigating and explaining, that is, proving patterns in a rigid way. This will be demonstrated by means of some learning environments. In the early maths program of "mathe 2000" the "race to 10 plays a central role. The rules are simple: A line of circles is numbered from 1 to 10 (Fig. 19). The first player starts by putting 1 or 2 counters on the first circle or the first two circles, the second player follows by putting 1 or 2 counters on the next circles similarly. Continuing in this way the players take turns until one of them arrives at the target and in doing so wins the game. While playing the game repeatedly children get more and more familiar with the mathematical structure of the game. By analyzing the moves backwards they realize that the position 7 is a winning position: The player who reaches this position forces his opponent into a bad move: if the opponent puts down one counter the first player puts down two counters and reaches 10. If the opponent puts down two counters then the first player can reach 10 by putting down one counter. In the same way the positions 4 and 1 are recognized as winning positions. For the children it is an important experience at this early age that this game is governed by a strict logic. If a child follows the strategy he or she will win. Fig. 19 In grade 1 counters are used for introducing odd and even numbers in the old Greek way (Fig. 20). Fig. 20 These patterns are printed on cardboard so that children can combine them and form sums. Based on these experiences children are then asked to find sums with an even result. This task is a first suggestion to look at the structure more carefully. The subsequent task is more direct: After calculating the four packages of sums in Fig. 21 children are asked "What do you notice? Can you explain it?" At this early level teachers are expected to refrain from pushing the children. All that teachers have to do is to listen to children's spontaneous attempts of making some sense of the data. 4+6 = 5 + 1 6 + 8 = 7 + 3 8 + 4 = 9 + 5 10 + 2 = 5 + 7 12 + 8 = 9 + 9 2 + 1 = 1 + 8 = 4 + 3 = 3 + 6 = 6 + 5 = 5 + 4 = 8 + 7 = 7 + 2 = 10 + 9 = 9 + 0 = Fig. 21 In grades 2 and 3 even and odd numbers are revisited in wider number spaces. Children are given packages of exercises similar to those in Fig. 21 with bigger numbers and asked the same questions. At this level the even/odd patterns are recognized and expressed in the children's own words. In grade 4 children have enough experience with even and odd numbers so that the following task can be set which explicitly demands a proof: Even numbers can be represented by double rows, odd numbers by double rows and a singleton. Use this representation to prove that a) the sum of two even numbers is always even, b) the sum of two odd numbers is always even, c) the sum of an even and an odd number is always odd. Children realize that no singletons occur when even patterns are combined, that in the case of two odd patterns the two singletons form a pair and yield again an even result. Furthermore children recognize that the singleton is preserved if an even and an odd pattern are combined and that in this case the result is odd. The teacher's task is to take up the children's attempts and to assist in formulating coherent lines of argument. It is interesting to note that the formal algebraic proof is based on the same arguments: If n = 2k and m = 2i then n + m = 2 (k + i) If n = 2k + 1 and m = 2i + 1 then n + m = 2(k + I +1) If n = 2k + 1 and m = 2i then n + m = 2 (k + i) + 1 In grade 2 rectangular arrays of dots are used for representing multiplication. This representation is the only one at this level that allows for founding the arithmetical laws and therefore it is well suited for proofs. The task in Fig. 22 is part of a typical learning environment. a) Suche die Aufgabenpaare auf der Einmaleins-Tafel. Wie wurden die Aufgaben gebildet? Beschreibe und setze fort. I 2 • 2 I I 3 • 3 I [Ol | 5 - S I 1■3 2-4 3-5 4•6 b) Rechne aus. Was fällt dir auf? Beschreibe. c) Verschiebe den Malwinkel am Hunderterfeld immer von der ersten zur zweiten Aufgabe. Wie viele Punkte verlierst du in der untersten Zeile? Wie viele Punkte gewinnst du in der rechten Spalte? Fig. 22 Students compare the results of couples of tasks: one is the product of two equal numbers, the other one is derived form the first one by reducing one factor by 1 and increasing the other factor by 1. It turns out that the results differ by 1. The proof suggested by the pictures on the right hand side of Fig. 24 is as follows: The last row in a square array is removed and another column is added. The effect of these operations is that the new array has one dot less. This result is independent of the special examples, it depends only on the operations. This is typical for operative proofs. It is not by chance that this exercise is a special case of the second binomial formula: In the "mathe 2000"-curriculum the whole teaching of arithmetic is based on the arithmetical laws. In this way a firm foundation for algebra in the middle grades is established. In grade 3 counters are used again in a different way. In a seminal paper Heinrich Winter showed how the divisibility rules can be derived from operations with counters on the place value table (Winter 1985). The following learning environment, an exercise in long addition, draws on Winter's idea. The underlying rule is this: By using only the six digits 2, 3, 4, 5, 6 and 7 two three-digit numbers are formed an added. Beyond mere calculations students should find the biggest and the smallest result and should try to reach round numbers like 800, 900, 1000, ... or to approximate them as far as possible. It is easy to find the biggest and the smallest result (Fig. 23). As far as round numbers are concerned 900 can be reached, others can only be approximated (Fig. 24). 753 357 467 567 657 423 426 ,642 576 572 —H- 1395 603 702 801 900 999 1008 357 625 635 735 634 734 763 .,473 it72 ,462 ,562 I5?42 603 1098 1 107 1 197 1206 1296 1 305 Fig. 23 Fig. 24 The calculations reveal interesting patterns: 603, 702, 801, 900, 1008, 1107, 1206, 1305 and 999, 1098, 1197, 1296. Operations with counters on the place value table allow for explaining these patterns. We take an arbitrary calculation, for example 574 + 236 and represent it on the place value table (Fig. 25). 574 ill 810 Til H T O *•* • •• • • • • •• 5 + 7 + 4 = 16 co inters 11 coulters Fig. 25 For representing the first number 574 we need 5 + 7 + 4 = 16 counters, for the second one 2 + 3 + 6 = 11 counters. Altogether 16 + 11 = 27 counters are needed. It is important to realize that all sums formed with the digits 2, 3, 4, 5, 6, and 7 require 27 counters. In order to add the numbers on the place value table the counters in each column are pushed together. Then we have 10 counters in the ones column, 10 counters in the tens column, and 7 counters in the hundreds column (Fig. 26). This not yet the final result. In order to get the final result 10 counters have to be removed from the ones column and be replaced by 1 counter in the tens column (Fig. 27), that is, 9 counters have to be "cast out". Tfc H T o *•* • • • * S** ••• AtagetlH' 27 cmiten Tfc H T o ::: * IS coulters Fig. 26 Fig. 27 In the same way 10 counters have to be removed from the tens column and to be replaced by 1 counter in the hundreds column. Again 9 counters are "cast out". The final result 810 is represented by 9 counters (Fig. 28). Hi H T O • ••i •• Fig. 28 In Fig. 24 the fifth addition (result 999) has no carries. Therefore the result has the digit sum 27. There are some results with one carry and the digit sum 18 and some results with two carries and the digit sum 9. The operation of "casting out nines" is completely independent of special numbers: In any addition of numbers the sum of the digit sums of the summands differs by a multiple of 9 from the digit sum of the result. This multiple is determined by the number of carries. The operating of "casting out nines" can also be extended to multiplication and the corresponding patterns can be explained in a similar way with the place value table. In number theory the patterns for addition and multiplication can easily be explained by means of the residue ring modulo 9. From this higher standpoint the explanation with the place value table seems superfluous. However, it is not. We have to see the relationship the other way round: "Casting out nines" paves the way for the residue ring modulo 9. More generally: Arithmetic taught with respect to algebraic structures is a good foundation of algebra. The use of counters must not be restricted to the early grades. In fact counters can also be a powerful tool for investigating more demanding problems. For example, it is possible to derive all square numbers that at the same time are triangular numbers by means of operations with counters. We conclude this learning environment with the derivation of the formula for the geometric series from experiences with the place value table. Students are always happy to realize the chain reaction that happens when numbers like 99, 999, 9999, ... are represented at the place value table and one counter is added: one column after the other is cleared and every time one counter moves to the next column until finally one counter is left. This procedure can be transferred to symbols, for example: 9999 + 1 = 9 • 103 + 9 • 102 + 9 • 101 + 9 • 100 + 1 = 9 • 103 + 9 • 102 + 9 • 101 + 10 = 9 • 103 + 9 • 102 +102 = 9 • 103 + 103 = 104. As the number 10 is not relevant here the operations can be applied to a geometric series with the same effects: .n-1 , , /_ a \ ~1 . h \ ~0 , 4 _ /_ a \ ~n , /_ a \ ~n-1 (q - 1) • qn + (q - 1) • qn-1 + ... + (q - 1) • q1 + (q - 1) • q0 + 1 = (q - 1) • qn + (q - 1) ■ qr + ... + (q - 1) • q1 + q = (q - 1) • qn + (q - 1) • qn-1 + ... + (q - 1) • q2 + q2 =.....= qn+1 For q^ 1 we get the formula 1 + q + q2 + ... + q + qn = (q - 1)/ (q - 1) This example shows how operations with "concrete" objects like counters can pave the way for operations with symbols. Conclusion For the success in teaching and learning mathematics it is of crucial importance to guarantee a smooth progress from level to level. What is learned at one level must be a sufficient basis for learning at the next level. New subject matter must never come out of the blue but it must be well built upon knowledge that has been firmly acquired previously. Fundamental ideas of mathematics are invaluable in securing the necessary coherence. References 1. Becker, O. (1954): Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Darstellung. FreiburgMünchen. 2. Bruner, J.S. (1960): The Process of Education. Harvard University Press, Cambridge, Mass. 3. Damerow, P./Lefevre, W. (eds.) (1981): Rechenstein, Experiment, Sprache. Historische Fallstudien zur Entstehung der exakten Wissenschaften, Stuttgart. 4. Freudenthal, H. (1973): Mathematics as an Educational Task.: Reidel, Dordrecht. 5. Freudenthal, H. (1987): Didactical Phenomenology of Mathematical Structures.: Reidel, Dordrecht. 6. Heintel, P. (1978): Modellbildung in der Fachdidaktik. Carinthia, Klagenfurt. 7. McIntosh, A. & Quadling, D.: Arithmogons. Mathematics Teaching No. 70, 18-23. 8. Winter, H. (1975): Allgemeine Lernziele für den Mathematikunterricht? Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 7, 106-116. 9. Winter, H.: Neunerregel und Abakus - Schieben, denken, rechnen. Mathematik lehren 11/1985, 22 -26. 10. Winter, H. (1989): Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Einblicke in die Ideengeschichte und ihre Bedeutung für die Pädagogik. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden. 11. Wittmann, E.Ch. (1995): Mathematics Education as a 'Design Science'. Educational Studies in Mathematics 29, 355-374. 12. Wittmann, E.Ch. (2002): Developing mathematics education in a systemic process. Educational Studies in Mathematics 48, 1-20. MED UTEMELJEVANJEM IN DOKAZOVANJEM Between Argumentation and Proof dr. Zlatan Magajna, Pedagoška fakulteta, Univerza Ljubljana zlatan.magajna@pef.uni-lj.si Povzetek Zmožnost prepričljivega utemeljevanja trditev je eden od elementov vseh sodobnih opredelitev matematične pismenosti. Kljub temu pa je utemeljevanje med manj poudarjenimi vidiki matematičnega znanja v našem matematičnem kurikulu. Pri svojih razlagah sicer večina učiteljev matematike skuša utemeljiti obravnavane postopke in trditve, redkeje se zgodi, da od svojih učencev oz. dijakov pričakujejo poznavanje teh utemeljitev, še redkeje pa od svojih učencev in dijakov pričakujejo samostojno utemeljevanje trditev. Matematično trditev lahko utemeljimo na različnih ravneh strogosti in različnih ravneh prepričljivosti, pogosto tudi z različnimi strategijami in različnimi vsebinskimi prijemi. V predstavitvi bomo izhajali iz dejstva, da namen utemeljevanja pri pouku matematike presega zgolj prepričevanje o pravilnosti obravnavanih izrekov in postopkov. Pokazali bomo, kako z različnimi utemeljitvami iste trditve dosežemo različne učne učinke. Zato je prav, da učitelji poznajo različne prijeme pri utemeljevanju in v posameznih primerih izberejo najbolj primeren način. Pri tem je potrebno upoštevati tudi matematično predznanje in zrelost otrok. Ključne besede: utemeljevanje, dokazovanje, formalnost utemeljevanja, prepričljivost utemeljitve. Abstract Making well founded judgements is a constituent part of today's interpretation of mathematical literacy. However, providing arguments is a less emphasised aspect of Slovenian mathematics curriculum. In general, mathematics teachers in their explanations give some sort of proof or argumentation, why a presented theorem is true, but they seldom expect their students to be familiar with a proof, and they rarely expect them to give their own proof or explanation of a fact. Giving proofs and arguments in school mathematics is not just about convincing the students of the correctness of a presented statement, in fact it supports several other learning aims. A statement in school mathematics can be substantiated in a more or less convincing way, on various levels of conformity to academic practices, often also with different strategies of argumentation. With some examples we shall illustrate how choosing an appropriate level of formality and an appropriate strategy of presenting a proof, besides taking into account the students' previous knowledge and maturity, are essential for achieving specific aims of argumenting. Key words: argumentation, proof, convincingness, formality of argument. Uvod Že od antike sloni dokazovanje v matematiki na dedukciji. Zato je razumljivo, da deduktivno sklepanje in dokazovanje zavzema pomembno mesto pri učenju matematike in v samem pojmu matematičnega znanja. Dokazovanje in utemeljevanje je omenjeno v vseh učnih načrtih matematike za vse stopnje šolanja. Obstoječi učni načrt za naše osnovne šole (MZSŠ RS, 2011) predvideva, da že v prvem triletju učenci »analizirajo in obnovijo problem s svojimi besedami ter utemeljijo rešitev«, pri učnih ciljih drugega in tretjega triletja je na primer zapisano, naj učenci »utemeljijo kriterije razvrščanja«, »utemeljijo postopke dela«, »utemeljijo pravila za reševanje linearnih enačb«, »utemeljijo postopek geometrijske konstrukcije in utemeljijo, argumentirajo rešitev«. Katalog znanj iz matematike za srednje strokovne šole (MZSŠ RS, 2007) namenja utemeljevanju in dokazovanju poseben sklop ciljev (Dijak sklepa, utemeljuje in dokazuje). Kot primer navedimo: »(Dijak) uporabi matematično sklepanje (z dedukcijo) pri utemeljevanju trditev. Razčlenjuje rešitev problema (npr. geometrijskega) na korake in deduktivno utemeljuje posamezne korake.« ter »Dijaki ustno in pisno utemeljujejo in dokazujejo preproste matematične trditve (ne le reprodukcijo dokaza).« Še natančneje so tovrstna znanja poudarjena v učnem načrtu za gimnazije, saj je dokazovanje, utemeljevanje in argumentiranje v učnem načrtu (MZSŠ RS, 2008) eksplicitno omenjeno na 37 mestih. Tudi sodobna opredelitev matematične pismenosti (OECD, 2006) navaja zmožnost utemeljevanja (v originalu: »to make well-founded judgements«) kot eno od treh komponent matematične pismenosti. Razvoj učenja dokazovanja v šolah v zadnjih 150 letih poglobljeno analizira Herbst (2002). V zvezi z vlogo dokazovanja v učnem procesu je identificiral tri obdobja. V prvem obdobju, imenovanem Obdobje tekstov, se je dokazovanje nanašalo izključno na izdelane klasične dokaze pomembnih izrekov. Dokazi so bili obravnavani kot matematična vsebina, ki naj bi jo dijaki znali reproducirati. V drugem obdobju, imenovanem Obdobje izvirnosti, je bila problematika dokazovanja usmerjena v iskanje čim razumljivejših dokazov pomembnih izrekov. Dokaze so skušali poenostaviti in jih opremiti z razumljivimi diagrami, tako da bi bili dijakom čim dostopnejši. Šele v tretjem obdobju, imenovanem Obdobje vaj, je dokazovanje postalo sredstvo za razvijanje mišljenja. Avtorji so šele v tem obdobju v učbenike dodajali vaje za dokazovanje, torej preproste in ne nujno pomembne trditve, ki naj bi jih dijak samostojno dokazal. Poanta Herbstove analize je ugotovitev, da je uvajanje samostojnega dokazovanja preprostih dokazovalnih trditev povezano s krčenjem vsebin iz prvih dveh obdobij. Po njegovem mnenju je to dvorezen meč, saj poglobljena obravnava matematičnih vsebin z vključenimi dokazi omogočala izgradnjo baze znanja, ki je pomembna za uspešno dokazovanje. V matematični vedi dokazovanje in utemeljevanje načeloma služi verifikaciji, t.j. potrjevanju pravilnosti dokazovane trditve. Vendar je v šolskem okolju to le ena od funkcij dokazovanja. Že Herbstova analiza zgodovine dokazovanja jasno kaže na odmik v namenu dokazovanja v šolski matematiki od zgolj verifikacije. Vlogo dokazovanja v šolski matematiki natančno obravnava Hanna (2000), ki navaja vrsto namenov dokazovanja v šolski matematiki. Prvi namen je že omenjena verifikacija, to je utemeljevanje pravilnosti trditve, ki jo dokazujemo. Druga možna pomembna funkcija dokaza je razlaga oz. pojasnitev, ki daje vpogled, zakaj neka trditev drži. Naslednja pomembna funkcija je povezovanje in sistematizacija. Dokazi namreč pogosto povezujejo med seboj mnoga predhodna znanja v deduktivno strukturo. Med nameni, ki jih navaja Hanna, naj omenimo še komunikacijo, saj se prav ob dokazih naučimo, kako sporočati utemeljitve obravnavanih matematičnih vsebin. Ne nazadnje je namen dokazovanja raziskovanje definicij in pogojev, pri katerih trditev drži. Pogosto je prav iz dokaza razvidno, ali in zakaj je nek pogoj nujen ali zadosten. Kot bomo videli v nadaljevanju, različni dokazi različno dobro služijo posameznim namenom dokazovanja. Motivacijski vidik dokazovanja Čeprav v šolski matematiki dokaz zavzema pomembno mesto, je v očeh učencev in dijakov dokazovanje tako rekoč (zanje) nepomemben del matematike. Avtorji učbenikov in učitelji pri pouku sicer običajno obravnavane trditve bolj ali manj strogo utemeljijo - a, kot kaže, velja nek tih dogovor, da tovrstno utemeljevanje sodi v posebno 'vrečo', ki ni del tiste matematike, ki naj bi jo znal dijak ali učenec. To lepo ilustrira razmišljanje nekega dijaka srednje strokovne šole, ki je na vprašanje, kako upošteva izreke in dokaze, ko se uči matematiko, odgovoril: Preskočim jih. V bistvu jih ne upoštevam. Zame izrek ni pomemben. Zame ni važno, zakaj je nekaj dolgo toliko in toliko - jaz naredim to, kar naloga od mene zahteva. Izreki zame niso pomembni. Razen če se jih moramo naučiti, če jih učitelj sprašuje pri ustnem spraševanju, drugače pa ne. Dokaze si v šoli sicer zapisujem, vendar se jih nima smisla učiti ali se z njimi ukvarjati. Eden od razlogov, da učenci in dijaki postavljajo utemeljevanje v senco drugih znanj, je nemara ta, da ob pouku, ki mu prisostvujejo, ne pridejo dovolj do izraza vse funkcije dokazovanja. Torej da pri pouku predstavljenih dokazov ne uporabijo za raziskovanje dokazanih trditev in da dijaki redko sporočajo utemeljitve trditev. Tudi če se učenci in dijaki zavedajo verifikacijske funkcije dokaza, to zanje še ni zadosten razlog, da bi se poglobili v dokaz. Le zakaj bi se ob nekem izreku poglabljali v dokaz (ki ga nemara komajda ali pa sploh ne razumejo), če pa je pravilnost trditve splošno sprejeta in jo je preverilo na stotine matematikov. Za trditve, ki so bodisi nepomembne ali pa se o njih vsi strinjamo, običajno ne čutimo potrebe po dokazovanju njihove pravilnosti. To potrebo pa začutimo, kadar se soočimo z razlogi ali pomisleki o pravilnosti kake pomembne trditve. To ni nekaj novega: izredno lepo so to razdelali sholastični filozofi, ki so svoje teze utemeljili tako, da so najprej navedli argumente nasprotne teze, nato dokazali svojo tezo in na koncu še ovrgli prej predstavljene argumente nasprotne teze. Šele ko za dano trditev vidimo alternativno možnost in tudi argumente zanjo - šele tedaj postane utemeljevanje zares smiselno in pomembno. To je tudi v skladu s sodobno kognitivno teorijo (Orton, 2004), kjer pri učenju ne gre le za to, da učenec spozna neko novo dejstvo. Vsaj toliko je pomembno tudi to, da učenec uvidi, zakaj drugače ne more biti oz. da uvidi, da njegova morebitna napačna predstava ni ustrezna. Ne nazadnje tudi Bruner poudarja pomen kontrasta pri odkrivanju: trditev dobi pravi pomen šele, ko uvidimo, da pri nekaterih spremenjenih pogojih ne drži. Naj navedemo nekaj primerov, ko pred utemeljitvijo trditve lahko učence soočimo z protiargumenti. Že na razredni stopnji se učenci srečajo z zakonom zamenljivosti za vsoto (naravnih) števil, torej a + b = b + a. Toda: ali je vseeno, če pri kosilu krompirju sledi sladica ali če sladici sledi krompir? Je 'enako', če zlijem kislino v vodo ali če vodo zlijem v kislino? Prav obravnava navedenih protiargumentov lahko pomembno izboljša ali celo popravi razumevanje pojma števila in operacije vsote. Ena od 'klasičnih napak' učencev pri razumevanju ploščine je trditev, da je ploščina paralelograma enaka produktu dolžin njegovih stranic (p = a ■ b), kar seveda nasploh ne drži. Toda: Denimo, da si predstavljamo obseg pravokotnika kot okvir, ploščino pravokotnika pa kot opno iz milnice v okvirju. Če nato pa okvir deformiramo, tako da postane paralelogram, se seveda stranice in obseg okvirja ne spremenijo, prav tako tudi ne ploščina, saj ni 'nič milnice ušlo iz okvirja'. Ali pa: če pogledam okno od strani, vidim paralelogram. Ploščina okna pa se ne spremeni, če ga gledam postrani in je torej enaka produktu stranic. Tudi v tem primeru je razmislek o gornjih argumentih lahko priložnost za razjasnitev pojma ploščine, utemeljitev pravilnosti pri obravnavi ploščine paralelograma pa tako postane pomembnejša. Prepričljivost in formalnost utemeljitve Prepričljivost utemeljitve dosežemo s predstavitvami, ki se dobro ujemajo z učenčevimi predhodnimi prepričanji, izkušnjami in predhodnim znanjem. Prepričljivost utemeljitve je torej subjektivna: neka utemeljitev koga lahko prepriča, nekoga drugega pa ne. Formalnost utemeljitve pa, po drugi strani, razumemo kot skladnost s preverljivimi in v krogu matematikov dogovorjenimi načini utemeljevanja. Tako pri prepričljivosti kot pri formalnosti utemeljitve ne gre za dihotomne značilnosti utemeljitve. Torej govorimo o večji in manjši prepričljivosti oz. formalnosti. Že Bruner ugotavlja, da nasploh dosežemo večjo prepričljivost z enaktivnimi predstavitvami (predstavitve, ki temeljijo na podoživljanju dogodkov), po drugi strani pa so formalne utemeljitve izvajane v simbolnem kontekstu in so zato pogosto manj prepričljive. Kot bo razvidno v nadaljevanju, pravkar povedano ni pravilo. Značilni načini utemeljevanja V nadaljevanju bomo predstavili nekaj značilnih načinov utemeljevanja, ki se jih poslužujemo pri obravnavi v šolski matematiki. Posamezne načine bomo ponazorili s primeri in ob tem razmislili o prepričljivosti in o možni vlogi predstavljene utemeljitve. Utemeljitev s primeri Kot pove samo ime, utemeljitev s primeri temelji na več primerih, ki naj bi potrjevali določeno trditev. Da bi trditev dokazali na ta način, moramo seveda preveriti prav vse primere. To seveda največkrat ni mogoče, tako da se pri pouku omejimo na nekaj primerov, ki so včasih izbrani slučajno, včasih po nekem vzorcu, včasih pa so premišljeno izbrani. Kot rečeno, na osnovi nekaj primerov trditve nasploh ne dokažemo v splošnosti. Oglejmo si, kot zgled, zakon zamenljivosti za množenje (naravnih) števil. V razredu ta zakon utemeljimo s primeri tako, da za nekaj parov števil zmnožimo prvega z drugim in drugega s prvim. Na Sliki 1 (levo) sta predstavljena tovrstna računa, ki dasta enak rezultat. Če v razredu napravimo več podobnih primerov, lahko učenci to doživijo kot zelo prepričljiv argument za zakon zamenljivosti, dejansko pa taka utemeljitev nima kake verifikacijske vrednosti. Računa na levi tudi ne pojasnita, zakaj dobimo obakrat enak rezultat, saj v osrednjih vrsticah nastopajo povsem drugačna števila. Očitno je neznaten tudi komunikacijski in raziskovalni pomen take utemeljitve. Na desni strani Slike 1 pa je predstavljen račun enakega zmnožka z Napierovo metodo množenja. V tem primeru je zamenljivost faktorjev dokaj razvidna iz algoritma. Zato ima preverjanje s takim izračunom večjo verifikacijsko vrednost. A utemeljevanje s primeri je največkrat zelo pomembno iz povsem drugega razloga: primeri predvsem omogočajo učencem, da bolje razumejo, za kaj sploh gre pri obravnavani trditvi. 37*64 222 148 2368 Utemeljevanje s primeri uporabljamo, nemara ne da bi se tega zavedali, tudi pri utemeljevanju geometrijskih trditev s programi dinamične geometrije. Na Sliki 2 je prikazano, kako s programom dinamične geometrije preverimo Talesov izrek: Če vzporednica stranici trikotnika seka ostali dve stranici, potem ju deli v enakem razmerju. Za konkreten načrtani trikotnik in dano vzporednico eni od stranic izračunamo razmerji, opisani v izreku, in ju primerjamo. Z vlečenjem izbranih točk nato spreminjamo obliko trikotnika in položaj vzporednice, pri tem pa opazujemo ali se izračunani razmerji ujemata. Čeprav zaradi uporabe programa to ni neposredno razvidno, gre pri tovrstnem utemeljevanju za preverjanje primerov. Teh je seveda veliko in so med seboj lahko zelo raznoliki, zato je verifikacijska vrednost utemeljitve večja, kot če bi preverili le nekaj primerov, ne moremo pa govoriti o dokazu. Opisana utemeljitev z uporabo dinamične geometrije ne pojasnjuje, zakaj velja Talesov izrek, omogoča pa raziskovanje pogojev veljavnosti izreka, saj je konstrukcijo možno preprosto spreminjati. Slika 2 Utemeljevanje z vpogledom Pri utemeljitvi z vpogledom dosežemo razvidnost obravnavane trditve s premišljenim načinom predstavitve nastopajočih pojmov. Gre torej za izrazito neformalno utemeljitev, ki je ob primernih predstavitvah pojmov lahko nadvse prepričljiva. Omenili smo že zakon zamenljivosti za vsoto (naravnih) števil. Na levem delu Slike 3 je predstavljena vsota 3 + 5. Predstavitev temelji na ordinalnem pojmovanju števila: število 3 smo predstavili s tremi rumenimi kockami, vsoto pa smo predstavili z dodajanjem modrih kock v desni smeri, zato je na Sliki 3 na levi predstavljena vsota 3 + 5. A če to zaporedje kock postavimo med dva učenca (Slika 3 desno), bo isto predstavitev vsote eden videl kot 3 + 5, drugi pa kot 5 + 3. Število kock je v obeh primerih enako, torej je 3 + 5 = 5 + 3. Povedano očitno ne velja le za števili 3 in 5, temveč za katerikoli (naravni) števili. Opisana utemeljitev je zelo prepričljiva in tudi dobro pojasnjuje zamenljivost. Podobno lahko utemeljimo zamenljivost množenja s pravokotnim vzorcem kock. C Slika 3 Kako pa bi utemeljili že omenjeni Talesov izrek z vpogledom? V izreku nastopa pojem enakega razmerja dolžin. Razmerje dolžin lahko predstavimo z elastičnim trakom z označenimi točkami. Če trak raztegujemo, se razmerja nastopajočih dolžin ohranjajo. Zato lahko Talesov izrek (pravzaprav njegov obrat) predstavimo takole (Slika 4): Kraka AC in BC predstavimo z elastičnima trakovoma, katerih eno krajišče pritrdimo na letvico, ki predstavlja osnovnico AB. Na krakih označimo točki P in Q, tako da ti točki delita oba kraka v enakem razmerju. Če sedaj kakorkoli pomikamo točko C, pri čemer elastična trakova, ki predstavljata kraka, poljubno raztegujemo, opazimo, da je zveznica med točkama P in Q vedno vzporedna osnovnici. To zveznico lahko ponazorimo z dodatno letvico, ki je poteka skozi P in Q. Opisani model, v katerem sta letvici ob spreminjanju oblike trikotnika vedno vzporedni, deluje kot nek čarovniški trik. Zato model ne pojasnjuje Talesovega izreka, prej velja obratno: Talesov izrek pojasnjuje, zakaj sta letvici na modelu stalno vzporedni. c Slika 4 Vizualni dokazi Vizualne dokaze odlikuje neposrednost in prepričljivost. Ti dokazi temeljijo na slikovnem prikazu (sliki ali animaciji), namen slike pa ni ponazoritev trditve, temveč njena utemeljitev. Vizualni dokazi so praviloma zelo domiselni in včasih ob sliki sploh ni potrebna razlaga ali opis. Slika 5 (levo) je vizualni dokaz trditve, da je geometrijska sredina dveh pozitivnih števil manjša ali enaka aritmetični sredini teh števil. Za pozitivni števili a in b torej vedno velja V(ab) < (a + b)/2 . Na sliki je kvadrat s stranico a, v njem manjši kvadrat s stranico b, med njima pa kvadrat s stranico (a + b)/2. Na sliki poiščimo pravokotnik s stranicama a in b ter kvadrat s stranico (a + b)/2 ter primerjajmo njuni ploščini. Sicer pa slika pove vse. A slika ni le prepričljiva utemeljitev trditve, da je geometrijska sredina dveh števil manjša ali enaka njuni aritmetični sredini. Iz slike lahko tudi razberemo, kdaj sta si sredini enaki in kdaj je aritmetična sredina strogo večja od geometrijske. Prisotne so torej verifikacijska funkcija, pojasnjevalna in tudi raziskovalna funkcija. Toda, ali je vizualni dokaz že pravi 'matematični' dokaz? Nasploh je odgovor nikalen: slika je v vsakem primeru predstavitev vsebine trditve, predstavitev pa ne dokazuje predstavljenega. Povedano drugače: slika lahko zavaja. Preprost primer (priredili smo ga po učbeniku (Legiša, 2000)), ki 'dokazuje', da je 20 = 21, prikazuje Slika 5 (desno). Kot je 'razvidno', diagonala deli pravokotnik na dva skladna pravokotna trikotnika. Vsakemu od njiju smo odvzeli po dva paroma skladna pravokotna trikotnika, kot je prikazano na Sliki 5 (desno). Preostala pravokotnika sta zato ploščinsko enaka, pri čemer prvi meri 21 enot, drugi pa 22 enot. Seveda nas je zavedla slika. Poznanih je še veliko podobnih, pravzaprav še bolj zagonetnih primerov, ko slika zelo prepričljivo 'dokazuje' nekaj, kar zagotovo ne velja. A to ne zmanjšuje vrednosti vizualnih dokazov. Če je možno vizualni dokaz formalizirati, potem gre za pošten dokaz, ki je predstavljen na duhovit, neposreden in privlačen način in je zato zelo dobrodošel v šolskem okolju. 7 in b (a+b)/2 a Slika 5 Generični dokaz Generični dokaz je dokaz, izveden na konkretnem primeru. Dokazujemo torej konkre ten primer, vendar je pri tem razvidno, da utemeljitev velja v vsakem primeru. Ker je generični dokaz izveden na konkretnem primeru, ja nasploh lažje razumljiv kot splošen dokaz. Ilustrirajmo tovrstni način dokazovanja na primeru Talesovega izreka. Zamislimo si trikotnik (Slika 6 levo), katerega osnovnica je vodoravna, ostali stranici pa merita 7 in 14 enot. Od oglišča C odmerimo na vsakem kraku 3/7 dolžine stranice. Pokazati želimo, da nastali točki P in Q določata daljico, ki je vzporedna osnovnici, torej vodoravna. Res! Razdelimo vsako od poševnih stranic trikotnika na 7 skladnih delov in ob njih napravimo pravokotne trikotnike (kot neke vrste stopnice z vodoravnimi in navpičnimi katetami, Slika 6 desno). Zlahka pokažemo, da so dolžine navpičnih katet vseh teh trikotnikov med seboj skladne in da vodoravne katete zaporednih trikotnikov na levi in desni ležijo na skupnih premicah, ki so vzporedne osnovnici. Tretja od teh vzporednic, gledano od točke C navzdol, poteka skozi točki P in Q, zato je zveznica PQ vzporedna osnovnici. V gornjem odstavku smo z uporabo neformalnega besednjaka želeli prikazati, da je utemeljitev mogoče razumljivo predstaviti že učencem na razredni stopnji, argument pa dopušča dodelavo v povsem neoporečen dokaz. Narava utemeljitve pa je taka, da jo razvidno lahko priredimo za vsak primer, kadar točki P in Q delita stranici trikotnika v razmerju, ki ga lahko zapišemo kot ulomek. Opisana utemeljitev, ki je običajno uporabljena tudi v naših učbenikih, ima ob omenjeni omejitvi ustrezno verifikacijsko vrednost, predvsem pa zelo lepo pojasni, zakaj izrek velja. Formalni dokaz Formalni dokazi so v bolj ali manj poenostavljeni obliki tudi prisotni v šolski matematiki. Načeloma morajo biti povsem neoporečni, temeljiti morajo zgolj na formuliranih predpostavkah in deduktivnih sklepih iz predhodno utemeljenih trditev. Ti dokazi zatorej ne morejo temeljiti na ponazoritvah. Zaradi simbolnih predstavitev (nesimbolne so lahko le v pomoč), so lahko težje razumljivi, a to ni pravilo. Spomnimo se vsakemu otroku nadvse razumljive utemeljitve z vpogledom zakona o zamenljivosti za vsoto naravnih števil. Formalni dokaz tega zakona, izpeljan iz Peanovih aksiomov, je tako zapleten, da zagotovo presega srednješolsko raven matematike. Po drugi strani je formalni dokaz trditve, da je geometrijska sredina dveh pozitivnih števil vedno manjša ali enaka njuni aritmetični sredini, tako preprosta, da jo zmore izvesti z nekaj algebrajske manipulacije izvesti že kak devetošolec in vsak srednješolec (Slika 7 levo). desno). i—- a + b sla■ b <- 2 2< (a + b) 4 ■ a ■ b < (a + b)2 4 ■ a ■ b < a2 + 2 ■ a ■ b + b 0 < a2 - 2 ■ a ■ b + b 0 < (a - b )2 Dokažimo trditev o geometrijski in aritmetični sredini dveh pozitivnih števil še drugače (Slika 7 desno). Za dani pozitivni števili a in b obstaja daljica AB in na njej točka D, tako da velja |AD|=a in |DB|=b. Pravokotnica na AB v točki D naj seka polkrog nad AB v točki C. Če je S središče polkroga nad AB, potem je |SC| = (a + b)/2. Po Talesovem izreku o polkrogu je trikotnik ABC pravokoten in zanj velja višinski izrek, torej |DC|=V(ab). Če sta točki D in C različni, je SDC pravokotni trikotnik in v njem je hipotenuza SC zagotovo daljša od katete DC. Če pa se točki D in C ujemata, daljici SC in dC sovpadata. V vsakem primeru torej velja |DC|<|SC| oziroma V(ab) < (a + b)/2 . Oba gornja dokaza verificirata obravnavano trditev. Prvi se naslanja na poznavanje algebre in algebrajsko manipulacijo, drugi pa povezuje več geometrijskih izrekov, tako da lepo udejanja povezovalno funkcijo dokaza. Geometrijski dokaz, ki je sicer zahtevnejši, bolje pojasnjuje, zakaj velja obravnavana trditev. En in drugi dokaz pa omogoča raziskovanje, npr. kdaj velja enakost in kdaj stroga neenakost. Zaključek V prispevku smo se omejili na dokazovanje pri obravnavi vsebin v šolski matematiki. Povezali smo tri vidike dokazovanja. Prvi vidik je namen dokazovanja, ki v šolski matematiki nikakor ni le verifikacija obravnavanih trditev. Drugi vidik je prepričljivost in formalnost utemeljitve. Tretji vidik pa je način dokazovanja. Pri izbiri načina utemeljevanja učitelj izbira med vrsto različnih načinov dokazovanja: od preprostega preverjanja do formalnega dokaza. Pri izbiri načina utemeljevanja je potrebno biti pozoren na predhodno znanje učencev oz. dijakov, zahtevnost utemeljitve in prepričljivost utemeljitve. Predvsem pa se moramo vprašati, kakšna naj bo vloga utemeljitve oz. dokaza, ki ga želimo predstaviti. Skrbeti moramo, da so v učnem procesu ustrezno zastopani vsi nameni utemeljevanja in dokazovanja. Viri 1. Hanna, G. (2000): Proof, Explanation and Exploration: an Overview. Educational Studies in Mathematics 44: 5-23. 2. Herbst, P. G. (2002): Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof In The Early Twentieth Century, Educational Studies in Mathematics 49, 283-312. 3. Legiša, P. (2000): Matematika 1. Geometrija v ravnini. DZS, Ljubljana.. 4. Mason, J., Burton, L., Stacey, K. (1982): Thinking mathematically. Addison-Wesley Publishing Company, Wokingham. 5. Nelsen, R. B. (1993): Proofs Without Words. MAA Service Center, Washington. 6. OECD (2006). Assessing Scientific, Reading and Mathematical Literacy. A Framework for PISA 2006. http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/pisa2006/37464175.pdf (20. 8. 2012). 7. Orton, A. (2004): Learning Mathematics. Issues, Theories and Classroom Practice. Continuum, London. 8. Reid, D. A., Knipping, C. (2010): Proof in Mathematics Education. Sense Publishers, Rotterdam. 9. Tall, D. ed. (1991): Advanced Mathematical Thinking, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 10. MZSŠ RS (2007): Srednje strokovno izobraževanje. Katalog znanja. Matematika. http://portal.mss.edus.si/msswww/programi2011/programi/SSI/KZ- IK/KZ MAT SSI 383 408.pdf (20. 8. 2012). 11. RS (2008): Učni načrt. Gimnazija. Matematika. http://portal.mss.edus.si/msswww/programi2012/programi/gimnazija/ucni nacrti.htm (20. 8. 2012). 12. MZSŠ RS (2011): Program osnovna šola. Matematika. Učni načrt. http://www.mizks.gov.si/fileadmin/mizks.gov.si/pageuploads/podrocje/os/prenovljeni UN/U N matematika.pdf (20. 8. 2012). JE KVADRAT LIK ALI OKVIR? Is Square a Figure or a Frame? dr. Alenka Lipovec, Pedagoška fakulteta, Univerza Maribor alenka.lipovec@uni-mb.si Povzetek Predstavljena bo opredelitev t. i. znanja za poučevanje, ki znanstvenike določenega področja razlikuje od učiteljev tega področja. V kontekstu matematike gre za amalgam matematičnega znanja, didaktičnega znanja in poznavanja šolskega konteksta. V prispevku bodo predstavljene tri raziskave, ki znanje za poučevanje osvetljujejo skozi primere po celotni vertikali. Odmevna raziskava o razlikah med znanjem ameriških in kitajskih učiteljev razrednega pouka poudarja, da ameriški učitelji težje kontekstualizirajo preproste simbolne zapise, imajo večje težave pri poglobljenem razumevanju tradicionalnih algoritmov in težje definirajo temeljne koncepte kot kitajski učitelji. Na ameriško raziskavo navezana slovenska raziskava o znanju bodočih slovenskih učiteljev matematike s področja iskanja podkonceptov pri računskih operacijah z ulomki in decimalkami ugotavlja, da iskanje podkonceptov oz. razstavljanje učnih ciljev ni kompetenca, ki za bodoče učitelje pride "naravno", še posebej ne v nepodpornih kontekstih. Rezultati slovenske študente namreč postavljajo ob bok ameriškim. Podrobneje bo opisana slovenska raziskava s področja geometrije, ki posega na področje dojemanja eno-, dve- in tridimenzionalnih geometrijskih oblik po celotni vertikali. Rezultati vseh raziskav kažejo, da je matematično učenje za poučevanje merljivo, kar pomeni, da lahko z raziskavami s tega področja vplivamo na učinkovitost programov izobraževanja učiteljev. Ključne besede: znanje za poučevanje, tradicionalni algoritmi, ulomki, geometrija, dimenzije. Abstract Content pedagogical knowledge is the leading topic of the presented paper. This knowledge is unique and it distinguishes a teacher from a scientist. In case of mathematics it can be viewed as amalgam of mathematical knowledge, didactical knowledge and acquaintance with school context. Results of three empirical studies will be presented. Results highlight content pedagogical knowledge throughout the whole school vertical. Resounding study contrasting American and Chinese elementary teachers pointed out, American teachers' problems with contextualization of basic symbolic representations, deep understanding of traditional algorithms and evidencing fundamental concepts. Slovenian mathematical teachers were participating in the study regarding fractions and decimals calculations. Results of the American study were used as a mirror, showing that, the Slovenian preservice mathematics teacher is in the field of unpacking learning goals into their constituent parts, similar to American colleague. Unpacking mathematical learning goals is not a tendency that comes "naturally" to pre-service teachers, especially in non-supporting contexts. The third study is dealing with geometrical concepts, more concretely with distinguishing one-, two- or three dimensional objects. The results of all studies show, that content pedagogical knowledge is measurable, and as a result it can improve the effectiveness of teacher training programmes. Key words: content pedagogical knowledge, traditional algorithms, fractions, decimals, geometry, dimensions. Uvod Koncept didaktičnega znanja vsebine (angl. Pedagogical Content Knowledge, PCK) je prvi predlagal Shulman (1986). Opisal ga je kot znanja predmeta, znanja didaktike in poznavanja šolskega konteksta. PCK je edinstvena za učitelje in razlikuje npr. učitelja matematike od matematika znanstvenika. Znanje izkušenih učiteljev matematike o matematiki je organizirano s perspektive poučevanja in se uporablja kot osnova za pomoč učencem pri razumevanju določenih konceptov. Znanje matematika, na drugi strani, pa je organizirano z raziskovalne perspektive in je uporabljeno kot podlaga za izgradnjo novega znanja na tem področju (Veal, MaKinster, 1999). PCK torej združuje znanje didaktike in znanje o vsebini predmeta. Pri matematiki vsebinsko znanje predstavlja znanje matematike, strokovno oziroma didaktično znanje pa znanje didaktike matematike. Do sedaj je veljalo, da je znanje specialne/predmetne didaktike poseben primer znanja splošne didaktike, a raziskave kažejo, da načela splošne didaktike niso nujno direktno prenosljiva na različna predmetna področja, kar je za matematiko ugotovil npr. DeBock s sodelavci (2007), ki je empirično zaznal negativni vpliv napotka o vizualizaciji (risanju skic). V zadnjih dveh desetletjih so raziskovalci s področja izobraževanja bodočih učiteljev matematike razširili pojem PCK. Na podlagi Shulmanovega koncepta je Ballova s sodelavci (Ball, D. L., Thames, M. H., Phelps, G. (2008): Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, Vol. 59, str. 389-407. Hill, H. C., Ball, D. L., Schilling, S. G. (2008): Unpacking Pedagogical Content Knowledge: Conceptualizing and Measuring Teachers' Topic-Specific Knowledge of Students. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 39, No. 4, str. 372- 400.) opisala naslednje komponente: splošno matematično znanje, ki ga pridobi večina izobraženih ljudi (angl. common content knowledge, CCK), specializirano matematično znanje, ki je edinstveno in nujno za poučevanje matematike (angl. specialized content knowledge, SCK), znanje, ki združuje znanje matematike in poznavanje učencev (angl. knowledge of content and students, KCS), znanje, ki združuje znanje matematike in znanje didaktike matematike (angl. knowledge of content and teaching, KCT) in poznavanje učnega načrta. (Slika 1). Zgornje štiri komponente si lahko ogledamo na primeru odštevanja večmestnih števil (npr. 721 - 263). Pričakujemo, da dobro izobraženi odrasli vedo, kako opraviti izračun oz. pridobiti razliko, zato se to nanaša na CCK. Tretja komponenta vključuje učiteljevo vedenje VSEBINSKO ZNANJE DIDAKTIČNO ZNANJE VSEBINE Slika 1: Razdelan Shulmanov model o tipičnih napakah kot je npr. odštevanje manjše od večje števke. Učitelji morajo znati tudi pomagati učencem pri odpravljanju teh napak, kar spada pod KCT (učitelj pomaga učencu, da sam ugotovi, kje je naredil napako). SCK pa predstavlja matematično znanje, ki je nad tistim, ki se pričakuje od vseh dobro izobraženih odraslih oseb, toda ne zahteva poznavanja učencev ali znanja poučevanja. V našem primeru učitelj razume, zakaj odštevamo 3 od 11 oz. zakaj 6 prištejemo 1 in nato odštevamo od 12. V slovenskem prostoru še ni jasno, ali gre za pomembno in potrebno znanje; mednarodne raziskave (npr. Liping, 1999) pa potrjujejo pozitivno korelacijo med dobrim SCK in učinkovitim poučevanjem za razumevanje. V nadaljevanju bomo predstavili tri raziskave s tega področja. Posebej se bomo posvetili nalogam, ki so bile zastavljene učiteljem in nekoliko manj primerjalnim rezultatom. Osnovni namen prispevka je torej reflektivno razmišljanje bralca, ki ga v ta namen spodbujamo, da se nalog loti, preden prebere nadaljevanje. Učitelji razrednega pouka na Kitajskem in v ZDA Matematično znanje za poučevanje so mnogi želeli izmeriti. Najbolj odmevna raziskava je gotovo primerjava ameriških in kitajskih učiteljev razrednega pouka, ki jo je opravila Liping, M. (1999): Knowing and teaching elementary mathematics. Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. LEA, New Jersey., ki govori o poglobljenem znanju zgodnje matematike (angl. profound understanding of fundamental mathematics, PUFM). PuFm je več kot zdravorazumsko konceptualno razumevanje zgodnje matematike - gre za zavedanje konceptualnih struktur in temeljnega odnosa do matematike ter sposobnost prenašanja tega na učence. Zdi se, da je PUFM pri učiteljih, ki poučujejo v ZDA, bistveno slabše kot pri učiteljih, ki poučujejo na Kitajskem. Kitajski učitelji bolj poglobljeno vedo, »zakaj« npr. algoritmi delujejo tako, kot delujejo, kar smo že opisali na primeru pisnega odštevanja. Bolj so sposobni opisati temeljno znanje (pisnemu množenju z dvomestnim številom bi posvetili več časa kot množenju z enomestnim ali tromestnim številom). V tem primeru je bil učiteljem predstavljen naslednji scenarij: Nekateri učitelji opažajo, da več učencev pri množenju trimestnih števil ne »zamika« delnih zmnožkov. Kaj bi predlagali tem učiteljem? Samo 30 % učiteljev iz ZDA je menilo, da je potrebno poglobiti razumevanje delovanja algoritma oz. razumevanje koncepta mestne vrednosti, grupiranja in distributivnostnega zakona, kar je bila strategija, ki jo je predlagalo 92 % kitajskih učiteljev. Vsi kitajski učitelji so poudarjali, da je temeljni element znanja množenje z dvomestnim številom. Tretji scenarij govori o sposobnosti učitelja, da pojem prikaže skozi raznolike reprezentacije. Scenarij je naslednji: Poučujete deljenje ulomkov. Da bi pojem pridobil na smiselnosti, učitelji včasih podajo besedilno nalogo, ki opisuje življenjski primer. Kaj menite, katera zgodba bi bila primerna za primer 1 -: - ? Manj kot polovica (43 %) učiteljev iz ZDA je bila sposobna izvesti računski postopek, kitajski učitelji niso imeli s proceduro nobenih težav. Tudi tisti ameriški učitelji, ki so količnik znali izračunati, niso bili sposobni predstaviti besedilne naloge. Večina jih je predstavila naloge, kjer je šlo za deljenje z 2 in ne za deljenje z - (npr. Imamo 1- pice ter jo razdelimo 2 4 med dva otroka). Samo en učitelj je bil sposoben povedati konceptualno čisto nalogo, ki pa je bila pedagoško problematična, ker je vsebovala kot rezultat 3- osebe (Imam 1- kolača in vsakemu otroku želim dati - kolača. Koliko otrok lahko dobi kolač?). Velika večina kitajskih učiteljev (90 %) je bila sposobna povedati zgodbo, celo več zgodb na to temo. Uporabljali so tri modele deljenja: merjenje oz. kvocientno deljenje (Vsak dan zgradimo - km ceste. Koliko dni gradimo 1- km?), razdeljevanje oz. partitivno deljenje (Polovica škatle tehta 1- kg, koliko tehta cela škatla?) in produkt količin (Ploščina pravokotnika meri 1- cm, ena stranica meri - cm, koliko meri druga stranica?). V zadnjem primeru je scenarij sledeč: Predstavljajte si, da eden izmed vaših učencev pride vas navdušen v razred in pove, da je odkril, da če se obseg lika povečuje, se povečuje tudi ploščina. Učenec svojo ugotovitev utemelji z risbo 4 x 4 in 4 x 8 pravokotnikov. Kako ravnati? Približno enak delež (nekaj manj kot 10 %) ameriških in kitajskih učiteljev je trditev sprejel kot pravilno. Med ostalimi pa je prišlo do večjih razlik. Ameriški učitelji bi v veliki večini pomoč poiskali najprej npr. v učbeniku, pri učiteljih na predmetni stopnji in šele nato bi odgovorili učencu. Kitajski učitelji pa bi samostojno skupaj z učencem iskali protiprimer, sistematično raziskovali možnosti ali natančno definirali pogoje, v katerih bi trditev lahko držala. Čeprav je SCK široko raziskovan v mednarodnih vodah (posvečena mu je tudi konferenca SeMt leta 2011), pa si v slovenskem področju šele utira pot. Predstavljene scenarije smo neformalno predelali tudi s slovenskimi bodočimi učitelji matematike. Rezultati niso bili natančno obdelani, občutek pa pravi, da so slovenski študenti bolj podobni ameriškim kot kitajskim učiteljem. Bodoči učitelji matematike v Sloveniji in ZDA Predstavili bomo SCK slovenskih bodočih učiteljev matematike na vsebinskem sklopu racionalnih števil (Lipovec, Ferk, 2012). Raziskava je primerljiva z raziskavo Morrisa, Hieberta in Spitzerja (2009) na vzorcu ameriških bodočih učiteljev matematike. Bodočim učiteljem smo zastavili naloge, ki so zahtevale predvidevanje idealnega odgovora, ocenjevanje učenčevega pravilnega dela, vrednotenje nepravilnega odgovora učencev in analiziranje učne ure. Opazovali smo, ali so v teh kontekstih bodoči učitelji sposobni razbiti koncept npr. seštevanja ulomkov na podkoncepte, kar učitelju pomaga pri operativizaciji cilja. Osvetlimo s primerom. Če mora učenec primerjati dva ulomka, so podkoncepti, ki jih mora poznati, naslednji: količina je opredeljena kot 1, zaradi razdelitve 1 v n enakih delov dobimo enote velikosti -, števec predstavlja število enot velikosti -, količine so lahko n n zapisane z ekvivalentnimi ulomki. Scenarij pri vrednotenju nepravilnega odgovora temelji na uporabi kompleta za ulomke in vključuje problem, kjer učenci razmišljajo o tem, ali bi raje imeli ^ € ali ^ €. Študenti najprej preberejo opis ure in nato odgovorijo na vprašanje. Nika je podala napačen odgovor. Rekla je: »Hočem Je večje.« in narisala (QQOOO<$) O0QO „ sliko ----- . Cesa Nika ne razume pri primerjavi ulomkov? Scenarij pri ocenjevanju pravilnega odgovora (seštevanje decimalk) je bil sledeč: Podana je naloga: Sara je imela dva kosa vrvi. En kos je dolg 0,08 metra, drugi kos pa 0,06 metra. Kako dolgo vrv ima Sara? Maja je napisala: »Zapomnila sem si, da je 0,01 metra enako kot centimeter. Torej sem vzela ravnilo in nekaj preje. Uporabila sem ravnilo, da sem odrezala dva kosa preje. En je bil dolg 8 centimetrov, en pa 6 centimetrov. Kosa sem združila in uporabila ravnilo, da sem ugotovila, koliko je rezultat.« Nika je verjetno primerjala le števca, kar kaže na nerazumevanje koncepta celote. Kljub temu, da se je kar 88 % bodočih učiteljev nanašalo na idejo celote v drugih kontekstih (pri karo papirju, pri denarju, itd ...), se je le 15 % bodočih učiteljev nanašalo na podkoncept, ko so analizirali Nikin odgovor. Pri analizi pravilnega odgovora je bila situacija še slabša: 41 % študentov se ni nanašalo na noben podkoncept, pri analizi nepravilnega odgovora pa je bilo takih študentov le 15 %. Očitno bodoči učitelji lažje razdelajo učni cilj z opredelitvijo posameznih podkonceptov, ko analizirajo napačne odgovore. Sklepamo, da je večino bodočih učiteljev zmotila pravilnost Majinih odgovorov, čeprav so kazali zelo malo razumevanja. Rezultati prejšnje naloge nakazujejo, da so bodoči učitelji poskušali razstaviti učni cilj, ko je učenec podal nepravilen odgovor. To podpira ugotovitev, da bodoči učitelji lahko identificirajo posamezne podkoncepte, ko je kontekst podporen: nepravilni odgovori učencev kažejo, da je nekaj narobe, zato hitro razstavijo matematične ideje, da prepoznajo vir težav. Pri pravilnih odgovorih učencev pa ni izrecnega nanašanja na podkoncepte in identifikacijo podkonceptov. V zadnjem času je bila večkrat omenjena uporabnost nepravilnih odgovorov učencev za načrtovanje učne poti. Zdi se, da bi bilo potrebno večjo pozornost posvetiti tudi analizi pravilnih odgovorov, kar za sedaj ostaja odprt problem. Pri analiziranju učne ure naloga od bodočih učiteljev zahteva, da preberejo besedilo učne ure, kjer seštevamo ulomke. Besedilo je razdeljeno na dva segmenta. V prvem gospa Golob obrazloži običajen postopek za seštevanje ulomkov enakih imenovalcev. Učenci podajo pravilne odgovore, toda ker poznajo postopek, njihovi odgovori zahtevajo malo ali nič obvladovanja učnega cilja. V drugem delu pa gospa Golob poziva učence, da sami ugotovijo, kako sešteti dva ulomka z različnima imenovalcema. Zdi se, da se učenci produktivno borijo s koncepti učnega cilja, vendar ne najdejo pravilnega odgovora. Po branju besedila bodoči učitelji ocenijo učinkovitost lekcije, spremenijo oziroma dopolnijo enega od dveh segmentov ter obrazložijo svojo preureditev. [začetek drugega segmenta] Gospa Golob: »Večina vas razume, kako seštevamo ulomke, ko so imenovalci enaki. Kaj se zgodi, če so različni?« Gospa Golob na tablo napiše \ + »Kaj mislite, kakšen bo odgovor? Zakaj ne delate malo sami na problemu, da vidimo, kaj boste dobili? Dala vam bom nekaj časa. Ne pozabite, lahko narišete slike in uporabite komplete ulomkov.« Po 5 minutah gospa Golob povpraša, alije kdo dobil odgovor. Saša: »Narisala sem čokoladico in jo razdelila na dva dela. Narisala sem še eno čokoladico in jo razdelila na tri dele. Nato sem označila en del na vsaki čokoladi. To mi je dalo dva dela. Vseh delov je pet, zato mislim, da je odgovor j«. Jaka: »Uporabil sem komplet ulomkov. Vzel sem en rumen kos za polovico in en zelen kos za tretjino. Ko sem ju združil, je bilo, kot da bi bila 1. Mislim, da je 1.« Luka: »Narisal sem sliko in je bilo videti, da je skoraj 1.« Ura se nadaljuje na podoben način, do konca ure učenci ne najdejo rešitve, se ji pa približajo. Gospa Golob napove, da se bodo s problemom ukvarjali še naslednjo uro. Kar 76 % slovenskih bodočih učiteljev matematike je kot bolj učinkovit segment izbralo drugi, bolj raziskovalno usmerjeni segment, ki pa so ga preuredili tako, da so učenci na koncu izvedeli pravilen odgovor. Že večkrat je bilo zapisano, da je pot reševanja matematičnega problema pomembnejša od rezultata problema in naša šola je vsaj formalno zapisana problemskemu pristopu in razvijanju procesnih znanj. Žal realnost kaže, da se celo bodoči učitelji, ki bodo poučevali še dolga leta, počutijo nelagodno, če rezultat ni eksplicitno podan znotraj šolske ure. V vseh situacijah so se slovenski študenti odrezali podobno dobro (ali slabo) kot njihovi ameriški sovrstniki, ki imajo bistveno slabšo matematično predizobrazbo. Bodoči učitelji razrednega pouka v Sloveniji Razlikovanje med geometrijskimi oblikami, tj. različnimi dimenzijami, je pomemben cilj v šoli. V nižjih razredih zato like senčimo in izbiramo težke, neprozorne modele teles. V višjih razredih pa se, posebej pri izbiri enot za površino in volumen, kaže, da imajo učenci težave. Preprosto vprašanje Kam je izginil kvader po tem, ko smo škatlico razrezali v mrežo? kaže na deficit na področju zaznavanja dimenzij, zato smo se osredotočili na ta vidik. Motivacija je bila naloga, ki je zapisana v enem izmed slovenskih delovnih zvezkov za 4. razred. Scenarij, ki smo ga predstavili bodočim učiteljem razrednega pouka je bil sledeč: Recimo, da ste učencem 4. razreda dali za domačo nalogo naslednjo nalogo: Nariši krožnico in kvadrat tako, da bosta imela: a) eno skupno točko, b) dve skupni točki, c) štiri skupne točke in d) osem skupnih točk. Naslednji dan pride do vas učenka, ki pove, da je rešila naloge a), b) in c) ter da naloga d) nima rešitve.Opišite, kako bi reagirali. Nameravali smo analizirati, ali bodo študenti ugotovili, da d) primer nima rešitve. Težave pa smo lahko zaznali že pri b) in c) primeru (Slika 2). Slika 2: Pravilni in nepravilni rešitvi b) in c) primerov Izkazalo se je, da večina študentov kvadrata ne dojema kot lik, ampak ga zaznavajo kot okvir, tj. lomljeno sklenjeno črto. Samo 6 % študentov je namreč učenkin odgovor sprejelo kot pravilen. Dodatno je treba povedati, da so natanko ti študenti pred kratkim pripravljali nastop na temo, kjer je bilo potrebno razlikovati črte, like in telesa. Čeprav so rezultati študentov slabi in nakazujejo dejstvo, da verjetno povratna informacija učiteljev ob tej konkretni nalogi v učbeniku ni najboljša, pa dodajmo, da so nalogo napačno rešili tudi vsi matematiki - znanstveniki. Toda matematik znanstvenik ne bo verjetno nikoli zašel v podobno situacijo, učitelj matematike pa skoraj zagotovo bo. Zaključek Predstavljene raziskave kažejo na pomembnost koncepta didaktičnega znanja vsebine. V naporih za izobraževanje učiteljev ga ne moremo spregledati. Če želimo kvalitetno izobražene učitelje, tega ne moremo doseči ne s poglobljenimi vsebinami iz splošne didaktike, ne s poglobljenimi vsebinami iz matematike, kajti znanje, ki ga potrebuje učitelj, je specifično. Jasno je, da se bodoči učitelji tekom študija ne morejo naučiti vsega znanega o razmišljanju učencev na številnih področjih matematike, zdi pa se smiselno, da so seznanjeni z učenčevimi razmišljanji na nekaterih področjih (in da to znanje obstaja tudi na drugih področjih). Za sedaj raziskave ne govorijo mnogo o tem, kako konkretno izboljšati PCK oz. PUFM. Kitajsko-ameriški primer nakazuje, da če je že osnovnošolsko in srednješolsko izobraževanje kvalitetno, učitelji tudi v nadaljevanju učijo z razumevanjem in poglobljeno. Če pa so šolske izkušnje učiteljev negativne in vezane na instrumentalno učenje postopkov, se taki učitelji tudi sami zatekajo k transmisijskem načinu poučevanja. Za učitelje je namreč profesionalno znanje in praktično poučevanje globoko povezano z njihovimi lastnimi šolskimi izkušnjami (Connelly, Clandinin, 2000). Zato je s spremembo verjetno potrebno začeti na kadrovskih šolah znotraj specialnih didaktik. Do sedaj je znanih nekaj intervencijskih programov v tujini in tudi pri nas (Carpenter in dr., 1999; Veal, MaKinster, 1999; Philipp in dr., 2007; Lipovec, Pangrčič, 2008; Lipovec, Antolin, Lutovac, 2007). Nekateri programi se osredotočajo na poglabljanje znanja specialne didaktike kot npr. CGI (Cognitively Guieded Instructions), kjer so s tem, da so učiteljem uzavestili, kako različne strukture imajo računske operacije, dosegli izboljšanje v načinu poučevanja. Drugi programi izpostavljajo pomembnost posvečanju konkretnim vsebinam pouka oz. didaktični transformaciji vsebine v šolsko obliko. Mnogi programi poudarjajo pomembnost kvalitetnih vodenih praktičnih usposabljanj, kjer študent pride v stik z učiteljem praktikom, ki je v tesni navezi s kadrovsko šolo in izvaja sodoben pouk v timu z didaktikom raziskovalcem. Nekateri programi temeljijo na ideji Summerhilla (učitelji se učijo od učencev), zato bodoče učitelje konfrontirajo z matematično perspektivnimi učenci z namenom preoblikovanja študentskega pogleda na strategije učenja in posledično poučevanja. V zadnjem času so predvsem v skandinavskem svetu zelo zanimive metode biblioterapije, kjer bodoči učitelji skozi narativno terapijo uzaveščajo svoje šolske izkušnje. PCK in PuFm sta zagotovo znanji, ki si jih želi vsak učitelj. Odprto ostaja vprašanje o tem, kako daleč po vertikali naj bi učitelj posedoval znanje SCK. Zagotovo velja, da mora poglobljeno razumeti vsebine, ki jih poučuje, verjetno pa naj bi posedoval vsaj znanje CCK za naslednjo stopnjo vertikale, tj. razredni učitelj do konca osnovne šole, osnovnošolski učitelj pa do konca srednje šole. Koliko CCK se torej lahko pričakuje od gimnazijskega učitelja, še posebej če ponovno poudarimo, da matematiki raziskovalci ne posedujejo nujno znanja SCK za razredno stopnjo? Pridobivanje opisanih znanj ni lahko, kajti tako kot pri matematiki kot znanosti velja tudi pri znanjih, ki smo jih opisovali v prispevku, znan rek Per aspera ad astra. Je pa po našem mnenju nujno, da se kadrovske šole zavedo, katero znanje potrebujejo učitelji ter da se učitelji zavedo, da je pridobivanje tega znanja nujno potrebno za kvalitetno poučevanje. Viri 1. Ball, D. L., Thames, M. H., Phelps, G. (2008): Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, Vol. 59, str. 389-407. 2. Carpenter, T.P., Fennema, E., Loef Franke, M., Levi, L., Empson, S.B. (1999): Children's mathematics. Cognitively guided instructions. VA: National Council of Teachers Of Mathematics. Reston. 3. Connelly, F., Clandinin, D. (2000): Narrative understanding of teacher knowledge, Journal of curriculum and supervision, Vol. 15 , 315-331. 4. De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D., Verschaffel, L. (2007): The illusion of linearity: From analysis to improvement. Springer, Rotterdam. 5. Hill, H. C., Ball, D. L., Schilling, S. G. (2008): Unpacking Pedagogical Content Knowledge: Conceptualizing and Measuring Teachers' Topic-Specific Knowledge of Students. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 39, No. 4, str. 372- 400. 6. Liping, M. (1999): Knowing and teaching elementary mathematics. Teachers' Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. LEA, New Jersey. 7. Lipovec, A., Ferk, E. (2012): Matematično znanje za poučevanje. Pedagoška obzorja, Vol. 27, No. 1/2, str. 53-70. 8. Lipovec, A., Antolin, D., Lutovac, S. (2010): Reflection in pre-service teachers' autobiographies. V: Janik, Tomaš (ur.), Knecht, P. (ur.): New pathways in the professional development of teachers, (Austria, Bd. 7). Wien; Berlin: Lit, str. 222-227. 9. Lipovec, A., Pangrčič, P. (2008): Elementary preservice teachers' change. Acta didactica napocensia, Vol. 1, No. 2, str. 31-36. 10. Philipp, R. A., Amborose, R., Lamb, L. L., Sowder, J. T., Schappelle, B. P., Sowder, L. (2007): Effects of early field experiences on the mathematical content knowledge and beliefs of prospective elementary school teachers: An experimental study. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 38, No. 5, str. 438-76. 11. Morris, A. K., Hiebert, J., Spitzer, S. M. (2009): Mathematical Knowledge for Teaching in Planning and Evaluating Instruction: What Can Preservice Teachers Learn? Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 40, No. 5, str. 491-529. 12. Shulman, L. (1986): Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational researcher, Vol. 15, No. 2., str. 4-14. 13. Veal, W. R., MaKinster, J. G. (1999): Pedagogical Content Knowledge Taxonomies. Electronic Journal of Science Education, Vol. 3, No. 4 REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION FROM THEORY TO PRACTICE Pouk matematike v realističnem kontekstu od teorije do prakse dr. Jasmina Milinkovic, Pedagoška fakulteta, Beograd jasmina.milinkovic@uf.bg.ac.rs Abstract This paper addresses realistic mathematics education (RME). The idea of RME was conceptualized in Netherlands and was determined by Freudenthal's view about mathematics. It proposes that mathematics must be connected to reality and be relevant for learners. The focal point of mathematics education should be on activity, on the process of mathematization in an educational context. This paper discusses theoretical basis as well as practical issues in implementing RME. In the first part we shell explain the main principles of RME: 1) progressive schematization, 2) multiple models, 3) genuine realistic contexts, 4) integration of various learning strands. In the second part we shell discuss issues related to implementation of RME in the classroom. Preparing pre-service and in-service teachers for RME education is a critical point in attempt to implement it. We will pay attention to teaching methods in RME classroom, teachers' curriculum planning, textbooks and assessment. Provided analysis, explanations and examples may inspire teachers to reconsider their practice. Key words: realistic mathematics education, mathematization, realistic context, integrative teaching. Povzetek Prispevek obravnava pouk matematike v realističnem kontekstu (org.: realistic mathematical education-RME). Ideja o RME je bila zasnovana na Nizozemskem, določil pa jo je Freudenthalov pogled na matematiko. Govori o tem, da mora biti matematika povezana z realnostjo in mora biti učencu blizu. Osrednji poudarek pouka matematike bi moral biti na dejavnostih, na procesu matematizacije in na učnem kontekstu. Prispevek opisuje teoretične temelje in praktični vidik izvajanja RME. V prvem delu bomo opisali osnovna načela RME: 1) progresivna shematizacija, 2) številni modeli, 3) avtetični realistični kontekst, 4) integracija različnih učnih sklopov. V drugem delu bomo obravnavali vidike izvajanja RME v razredu. Ključnega pomena za uspešno uvajanje RME v pouk matematike je priprava bodočih učiteljev in učiteljev za ta proces. Pozornost bomo namenili učnim metodam pri pouku matematike v realističnem kontekstu, učnim pripravam učitelja, učbenikom in ocenjevanju. Podane analize, razlage in primer bodo morda omogočili učiteljem nov pogled na svojo prakso. Ključne besede: realistični pouk matematike, matematizacija, realistični kontekst, integrativno poučevanje. Introduction This paper addresses realistic mathematics education (RME). The idea of RME was conceptualized in Netherlands and was determined by Freudenthal's view about mathematics. RME presuppose a certain view about mathematics as a school subject, how it should be thought. It may be considered as an alternative to mechanistic or structuralist approach. According to the first, mathematics is a set of rules and algorithms. Those rules and algorithms need to be acquired and extensively practiced in school in order to achieve high proficiency. The emphasses is on verifying and applying rules to similar problems. For the French school of Dieudonne, mathematics is organized deductive system. For them learning mathematics is primarily cognitive challenge of understanding the structure of mathematics system. In contrast, RME proposes that mathematics must be connected to reality and be relevant for learners. The focal point of mathematics education should be on activity, on the process of mathematization in educational context. Instead of learning readymade strategies, learners are called upon to invent them and then gradually guided toward more formal approach. This paper discusses theoretical basis as well as practical issues in implementing RME. The main principles of RME The ideas of Freudentahal and Treffers are foundations of RME mathematics. Treffers (1987) described the following characteristics of RME: 1) use of context; 2) the use of models; 3) the use of students own productions and constructions; 4) the interactive teaching process; and 5) intertwinement of various learning strands. Next in greater details we point to main principles of RME. Hans Freudenthal believed that children need to rediscover mathematics by doing it. Van den Huvel-Panhuizen recognizes that the RME principles are rooted in Treffers' instructional theory (1987) who stressed importance of context, "vertical instruments", pupil's constructions and productions, interactive instructions and intertwining of learning strands. Progressive schematization As Freudenthal contemplated about mathematics education, he pointed to mathematization as one of key issues. Treffers (1978, 1987) distinguished two types of mathematization in educational context: horizontal and vertical. Horizontal mathematization involves going from real world into world of mathematical symbols. Students are going though process of solving real life situation with mathematical tools. Vertical mathematization is the process of building up and reorganization within the mathematical structure by discovering connections and relation among concepts and finding shortcuts. Schematization is process of gradual building up of mental schemes toward formal schemes of mathematics science. Schematization in mathematics is a result of mathematization. While learning mathematics students pass through various levels of understanding. At the beginning of learning process they start off with problem solving and development of ability for finding informal context dependent solutions. Students gradually build schemes of underlying principles and even broader relationships. The ability to reflect on previous activities signifies next level in process of learning. Progressive schematization is a product of horizontal and vertical mathematization. Thus, formal schemas are reached in several consecutive stages from horizontal mathematization to vertical mathematization. Multiple models The process of modeling transfers problems given in real context into mathematical domain. Students develop their thinking models to support their understanding. The models are mediating tools between real world and abstract mathematical world. Models help students to solve problems on different levels of abstraction. Modeling situation is a component of process of solving problems in real context though process of mathematization. The result is a mathematical model. Solution of the problem is first recognized in math domain on a model and then translated into real context. Models serve as didactical tools for bridging the gap between context related informal mathematics and formal mathematics system (Van den Heuvel-Panhuizen, 2000). Genuine realistic contexts Traditionally teaching mathematics in primary grades relies on children intuition. Teacher starts with tasks so simple that the solution is "visually obvious". Trivial problem situations are often presented with pictures. For example, students might be asked to count on number of birds sitting on an electrical wire and change of number of birds when some additional birds arrived. Realistic contexts in RME may be distinguished by its complexity. The context must be rich and need to elicit contemplation over it. Realistic contexts of multifaceted problems provide opportunity for extended learning experience and for making connections and transfer. Context problems function as a source for the learning process. So the role of problems in real context is dual. First they are used to elicit, to constitute or re-invent mathematical concepts. Second, problems are used to show how mathematical knowledge can be applied, used to solve real context problem situations. Results of intuitive real world problem solving based on sensory experience are spontaneously formed mathematical concepts. Knowledge in form of mental schemas is initially based on perception. We may call it sensory based knowledge. Identification of common and uncommon characteristics, connections and relations leads to distinction between cases which fit well (or not) with the schema. Mathematics symbols, words and objects stand instead of things, beings, and situations. Yet, the word realistic may be somewhat confusing. The term does not refer exclusively to what we call "real situations" from learner's surrounding. Rather the term "realistic" can be clarified as situation 'imaginable" for learners. The context indeed may be one from real world but may also be context of fairy tales, novels, etc. Sometime even "formal world of mathematics" may be imaginable for children. Micic (2005) along that line discusses possible ways of exploring properties of triangle using game like activity with didactical tool called "mrdalice" (dangler). A typical example of real context problem is keeping track of ongoing changes in the number of passengers in a bus (Gravemeijer, 1994). A narrative about what happens on each bus stop leads to discussions (often in small groups), invented representation and development of informal solving strategies. +4 - -2 2 -- 6 -- 3 — 2 + 4 = 6 Figure Bus problem Integration of various learning strands When considering the issue of integration of mathematics we could talk about integration on a level of studying a particular problem, lesson, unit, strand, subject or curriculum. In domain of mathematics, as House, (2003, p. 5) explains it implies holistic mathematics curriculum where 1) topics from wide variety of mathematical fields have been blended to stress connections among fields; or/and 2) relationships among topics within mathematics as well as between mathematics and other disciplines have been underlined. Within integration of mathematical topics we may further distinguish (a) integration through unifying concept, such as function or mathematical modelling, (b) integration by merging areas (strands) of mathematics. Perception of reality as a complex system is a result of our recognition of particulars and how those particulars are linked or intertwined (however obviously or not). This is reflected in the way how we gain new knowledge in school or generally in life. Recognition of connections is a basis for knowledge development in sciences as well as in school subjects (Milinkovic et al, 2 one important goal of integrative approach is to allow children to develop multifaceted view of problems. Using rich ill defined problem situation leads pupils to identify problem and then develop a plan for resolving the issue which calls for making connections and transfer of knowledge (Milinkovic et al., 2012, in print). The main objective is to facilitate development of holistic approach to problems and cohesion and connection of functional knowledge (Milinkovic 2010). For example, over the course of four year curriculum in USA students will explore in-depth. The mathematical themes of number, common fractions, ratio, decimal fractions, integers, measurement, synthetic geometry, coordinate geometry, transformation geometry, probability and statistics, algebra, patterns and functions (Mathematics in Context (MIC) Project curriculum). Although many units in the MIC curriculum are focused on one domain, many others emphasize connections of mathematical concepts. An MIC unit "Connections" connects geometry, number, probability and algebra. Students begin with an exploration of different kinds of maps, draw and study graphs, extend their understanding of different representations and practice making decisions. Implementation of RME in classroom One of great concerns of educational research programs is the implementation the programs in schools. Beside willingness of state officials to approve changes in school curriculum critical factor are teachers. The success of reforms depends on motivation of teachers to put additional effort, go to seminar, read, write new lesson plans and prepare didactical materials for children. If teachers recognize that what is advocated for them is worth trying in school, success is on horizon. The RME approach is predominantly used in Netherland but the ideas are accepted worldwide. New programs based on RME are studied and implemented. Let us mentioned three research projects that were designed within framework of RME: 1) Mathematics in Context, 2) Core Plus Mathematical Project and 3) Connected mathematics. In this paper we predominantly describe the approach developed in Mathematics in Context Project. Preparing pre service and in service teachers for RME education Answering some basic questions would help teachers to prepare for RME: 1)What is teacher role in RME classroom? 2) What teaching methods should they use? 3)What educational materials should be used?; 4) How to assess students progress? As Marja Van den Heuvel-Panhuizen out is bluntly "in RME both the teacher and the educational materials (textbooks) have a crucial role in students acquire knowledge. The students need room to construct mathematical concepts and tools by themselves" (Van den Heuvel-Panhuizen, 2000, p. 9). Educational materials are the most important tools in planning learning process. Textbooks determine content as well as teaching methods. If students are expected to re-invent mathematics than textbooks need not to stop them from the process of discovery. Rather teachers as well as textbook need to provide guidance in the process of re-discovery. Teaching methods in RME classroom The instructional approach for RME has program relies on "social constructivists" philosophy of learning process. It is based on notion that each brings personal experience of the worlds and constructs own understanding of subject matter based on interactions in classroom as a social environment. Construction of knowledge is a result of development of common meanings, interpretations justifications and conjectures negotiated in the classroom. Processing begins with an experience; mediated information is organized and stored in memory. The mind organizes repeated experience into "schema" - complex network of related facts (concepts, rules, procedures, strategies), and relationships (Greeno, 1991, Romberg, 1991). Then, what is the role of the teacher in RME classroom? Teacher is a facilitator, the one who organizes learning. The teacher makes decision regarding: cooperative group work, individual work, manipulatives and use of technology. The teacher is expected to allow students to struggle and learn on their own pace. It often takes longer time to construct own mathematics then if being told what to do. The teacher needs to be patient enough to let students (sometime slowly and with great difficulty) solve problems in informal way instead of memorizing formal procedure without understanding. The teacher also needs to track students' progress over time. Successful communication will help students to develop further. Daily teachers 'curriculum planning' Daily planning is always linked to key goals set by government through curriculum and/or standards of achievements. The meaning of mathematical numeracy, when and what should be taught, the role of practicing computational skills, use of calculators and new media have effects on teaching practice. At the beginning of development of RME, prominent was effort to make real context problems and horizontal mathematization was prioritized. Over years, RME programs shifted emphasis, recognizing the importance of vertical mathematization. Let us describe an "ordinary" class in RME. It would begin with a concrete problem situation of interest for students. Students are asked to solve through modeling. The problem is the contexts for learning. The more or less complex problem needs to embodies one or more important mathematical ideas (e.g. the sum of two sides of triangles is always bigger that the third one). This is followed by activities planned by teacher to fit children needs. The teacher needs to plan a set of activities that build on initial situation such as exploring activities in different contexts, game like, activities etc. Figure Metaphors for teaching methods (Wubbels, et al, p. 21) Assessment How do teachers know what students know in RME? Teacher needs to use multiple sources of information in order to get picture of students' understanding and performance. The purpose of assessment in RME is to gain information about development of structure of mathematical knowledge. Important elements of this process are planning and gathering evidence of students' mathematical competence and creating an informative profile to verify students progress and compared the results to students' earlier profiles, teacher goals and standards. The students' profile needs to have information about: 1) how they solve (meaningful) mathematical problems; 2) how they communicate ideas (use mathematical language); 3) how they reason mathematically; 4) do they make connections between mathematics and other domains, and everyday life; 5) their understanding of mathematical concepts and procedures; their disposition toward mathematics (creativity, interest, confidence). Sources of information include checklists from observations, interviews, portfolio, performance tasks, and construction of models, written essays, and class presentations, take home activities, peer assessment. For example, in MIC unit Dealing with Data, teachers' manual has suggested individual and class activities. First students were told a short introductory story. Memory "top, ..car,...fix, ...leg, ...dog" These are simple words of one syllable, and one easy to remember. How many do you think you could remember of the 20 (in any As pupils start to show interest in the story they were given a set of data from a study dealing with issue of human memory. Based on the data they are asked 1) to represent data visually using graphs; to analyze graph; 3) to find patterns; 4) make conclusion about relationship between age and memory. They also needed to decide which of the visual representation the best is and to explain why do they think so. Finally they need to calculate the mean and the median for each age group. But this is not the end of assessment. For group/class assessment they are asked to .."Organize an experiment to see whether your class is better at memorizing then the ones above (given). Graph the results and compare them to your previous answers." Finally, they are assessed on various concepts and procedures addressed in the unit (from drawing steam and leaf graph, box plot, histogram), calculate mean, media) to giving argument in additional activity showing ability to solve problems in different context (in this case about habit of smoking among youngsters). Final Remarks RME is ongoing, developing educational approach to teaching mathematics. It does not provide definite answers on how we should teach mathematics on all grade levels. We do not know whether it is suitable for all profiles of students (gender, interest in math, future professions). But it is certainly worth thinking off. Bibliography 1. De Lange, J. (1987): Mathematics, Insights and Meaning. OW&OC, Utrecht University, Utrecht. 2. Fredenthal, H. (1991): Revisiting mathematics educations. China lectures. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 3. Gravemeijer, K. P. E. (1994): Developing Realistic Mathematics Education. CD-b press/Freudenthal Institute, Utrecht. 4. Greeno, J. (1991): Number sence as a situated knolwing in a conceptual domain. Journal for research in mathematics education, 22(3) 170-213. 5. House, P. A. & Coxford, A. F. (1995): Connecting Mathematics across the Curriculum. 1995 Yearbook. NCTM. 6. National Center for Research in Mathematical Sciences Educational Staff at the University of Wisconsin-Madison T. A. Romberg, Director, G.Burrill, M. A. Fix, J. A. Middleton, M. Meyer, M. Pligge, J. Brendefur, L. J. Brinker, J. Browne, J. Burrill, R. Byrd, P. Christiansen, B. Clarke, D. Clarke, B. Cole, F. Dremock, T. Halevi, J. Milinkovic, M. Shafer, J. A. Shew, K. Schultz, A. ,N. Simon, M. Smith, S. Z. Smith, M. S. Spence, & K. A. Steele, Freudenthal Institute Staff at the University of Utrecht, The Netherlands, J. deLange, Director, E. Eijs, M.van Reeuwijk, M. Abels, N. Boswinkel, F. van Galen, K. Gravemeijer, M. van den Heuvel-Panhuizen, J. Auke de Jong, V. Jonker, R. Keijzer, M. Kindt, J. Niehaus, N. Querelle, A. Roodhardt, L. Streefland, A. Treffers, M. Wijers and A. de Wild (1998): Mathematics in Context: A middle school curriculum for grades 5-8, developed by the Mathematics in Context (MiC) project. Enciclipedia Brittanica, Educational Corporation. 7. Micic, V. (2005): Ucenje otkrivanjem - mozda novi pristup. Nastava matematike, L. 4, 1321. Drustvo matematicara Srbije. 8. Milinkovic, J. (2012): Problem solving in integrated research: the results of an action research project. In Feyza Doyran (Ed) Research on Teacher Education and Training (pp.165-176). Athens Institute for Education and Research. 9. Milinkovic, J. (2010): Pupils' active learning in integrated mathematics and technical education class: case study. In Student in contemporary learning and teaching (pp 97-109). Učiteljski fakultet. 10. Milinkovic, J. (2007): Realno okruzenje kao izvor matematickih pojmova, Didakticko metodicki aspekti promena u osnovnoskolskom vaspitanju. 11. Romberg, T. (1991): How one comes to know. Paper presented as the ICMI Study conference on Assessment in mathematics and its effects, April, 1991, Calonge, Spain. 12. Treffers, A. (1987): Three dimensions. A Model of Goal and Theory Description in Mathematics Instruction - the Wiskobas Project. Reidel Publishing Company, Dordrecht. 13. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2001): Realistic Mathematics Education as work in progress", Proceedings of 2001 The Netherlands and Taiwan Conference on Mathematics Education. 14. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2000): Mathematics education in the Netherlands: A guided tour. Freudenthal Institute Cd-rom for ICME9, Utrecht University, Utrecht. REŠEVANJE REALISTIČNIH PROBLEMOV NA ZAČETKU ŠOLANJA Solving Realistic Problems at the Beginning of Schooling dr. Mara Cotič, dr. Darjo Felda, Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta darjo.felda@pef.upr.si, mara.cotic@pef.upr.si Povzetek Matematično pismenost razvijamo s holističnim pristopom učenja in poučevanja: z raziskovalno dejavnostjo, reševanjem problemov iz vsakdanjega življenja, vključevanjem aktualnih vsebin in sodobnih tehnologij. V prispevku prikazujemo model poučevanja in učenja strategij reševanja realističnih problemov z vključevanjem štirih vrst realističnih problemov, ki izhajajo iz vsakdanjega življenja in naj bi jih učenci reševali na začetku šolanja. To so realistični problemi s preveč podatki, s premalo podatki, z nasprotujočimi podatki in z več rešitvami. Pri reševanju navedenih realističnih problemov ima pomembno vlogo modeliranje. Predstavljamo tudi rezultate raziskave, ki kažejo, da z ustreznim poučevanjem in učenjem pri otrocih razvijamo njihove sposobnosti za reševanje realističnih problemov. Ključne besede: pouk matematike, realistični problemi, strategije reševanja problemov, modeliranje. Abstract Mathematical literacy is developed through a holistic approach to teaching and learning: through research activities, solving problems of every day life, involving actual contents and contemporary technologies. In the paper we present the teaching and learning model for strategies of solving realistic problems, that includes four types of realistic problems taken out of every day life, and which are supposed to be solved by pupils at the beginning of their schooling. These are realistic problems containing redundant data, or not sufficient data, or contradictory data, or realistic problems with multiple solutions. Modelling plays an important role in the solving of realistic problems. We present also the results of the research, which states, that by applying adequate teaching and learning, children develop abilities for solving realistic problems. Key words: instruction of mathematics, realistic problems, strategies of solving problems, modelling. Uvod Pouk matematike je namenjen graditvi pojmovnega aparata in spoznavanju ter učenju postopkov, ki posamezniku omogočajo vključitev v zgoraj omenjeni sistem matematičnih idej in posledično vključitev v kulturo, v kateri živimo. To velja tudi za osnovnošolski pouk matematike, ki pa ima še dodatne posebnosti: obravnava temeljne in za vsakogar pomembne matematične pojme, in to na načine, ki so usklajeni z otrokovim kognitivnim razvojem, s sposobnostmi, z osebnostnimi značilnostmi in z njegovim življenjskim okoljem. Že v začetku šolanja se morajo otroci seznaniti z dejstvom, kako je matematika narejena oziroma kako nastaja in kako jo uporabljajo, ko se ukvarjajo z njo. Ni dovolj, da jo »vsrkavajo« in vadijo matematične rutinske primere. Večkrat je poudarjeno, da bi moral pouk matematike razvijati naslednje vidike učenja: raziskovanje, reševanje problemov, ustvarjalno mišljenje, obdelavo podatkov, logično sklepanje in ocenjevanje rezultatov. Žal pa mnogi ne vidijo in ne pojmujejo matematike kot ustvarjalne discipline. Učenje matematike doživljajo kot memoriranje določenih dejstev in pravil ter izvrševanje ponavljajočih algoritmov, dokler si ne zapomnijo »mehaničnega« poteka postopka, ne glede na to, ali sploh razumejo, kar delajo. Da bi bilo učenje matematike ustvarjalno, je potrebno učenca vključiti v praktično reševanje realističnega problema ali nekega drugega matematičnega problema, ki ima več možnih poti za rešitev. Občasno je potrebno učenca izzvati s t. i. raziskovanjem problema, ki ima več rešitev in več možnih strategij reševanja. Otrok večkrat najde izvirne premisleke in povezave na poti do rešitve, ki naj bi jih izmenjal s sovrstniki, ter s pogovorom sprejemal in razvijal nove zamisli, ki bi ustvarjalno bogatile »matematično ponudbo«. Ustvarjalno raziskovanje in reševanje problemov je odlična pot razvoja matematičnih konceptov, velikokrat pa tudi koristno orodje za utrjevanje postopkov. Seveda se z raziskovanjem in reševanjem problemov prvenstveno »brusi« strategije oziroma miselne veščine ali logično sklepanje v matematičnem kontekstu. V okviru tega učenci: - postavljajo vprašanja in predpostavljajo morebitne zaključke, - izbirajo strategije in reprezentacije, - uporabljajo svoje miselne veščine, - dokazujejo ali ovržejo trditve, - kritično pregledajo, preverijo in ocenijo svoje delo, - razvijajo potrpežljivost in vztrajnost, da pridejo do rešitve (ACME, 2008). Naštete veščine niso značilne zgolj za matematiko oziroma matematične dejavnosti. Matematiki sicer pripisujemo posebno mesto, ko govorimo o logičnem razmišljanju ali dokazovanju, vendar so t. i. deduktivni procesi in sklepanja prisotni tudi drugod, npr. v naravoslovju ali slovenskem jeziku. Pridobljene in ustrezno razvite veščine lahko koristno uporabljamo na različnih področjih. Reševanje realističnega problema Na začetku šolanja morajo biti realistični problemi, ki jih rešujejo učenci, zelo preprosti. Veliko raziskav je pokazalo na težave učencev ob reševanju realističnih problemov. Težave so največkrat v razumevanju besedila problema in iskanju ustrezne matematične vsebine, saj učenci povsem naključno operirajo z danimi podatki in ne upoštevajo njihove povezave z realističnim kontekstom. Napake v reševanju niso posledica pomanjkanja izkušenj, saj se izkaže, da se tudi uspešnost reševanja »tradicionalnih« problemov bistveno ne izboljša, čeprav se večkrat ponavlja reševanje le-teh (Renkl, Stern, 1994). Realistične probleme največkrat rešujemo z matematizacijo nematematične situacije, to je: - izgradimo matematični model glede na ustrezno realistično situacijo oziroma situacijo iz vsakdanjega življenja, - rešimo matematični problem, ki smo ga izgradili, - rešitev matematičnega problema, ki ustreza matematičnemu modelu, prenesemo v realistično okolje. Največjo oviro pri reševanju realističnih problemov predstavlja izgradnja matematičnega modela, saj je pri tem pomembno poznavanje konteksta realistične problemske situacije in nujna določena mera ustvarjalnosti (Winter, 1994). Nezanemarljivo oviro predstavlja tudi zadnji korak pri reševanju realističnega problema, ki se je niti učenci višjih razredov osnovne šole velikokrat ne zavedajo. Prav zaradi tega je potreben pogovor, saj se le z ustreznim utemeljevanjem postopkov reševanja in ne zgolj s preverjanjem računanja oziroma drugih postopkov reševanja matematičnega modela učenci začnejo zavedati problemske situacije in pravilno prenesejo matematični rezultat v realistično okolje. V literaturi najdemo sheme (Slika 1), ki nakazujejo, kako naj bi potekalo reševanje realističnega problema. Z matematizacijo oziroma ustreznim modeliranjem naj bi se prešlo iz realne situacije v matematično domeno, kjer se lahko reši problem, preveden v matematični jezik, nato pa se matematična rešitev tolmači v jeziku realne problemske situacije (Müller, Wittmann, 1984). Slika 1: Reševanje realističnega problema Ko skušamo razumeti, zakaj ima veliko otrok težave s standardnimi besedilnimi nalogami, s katerimi je podan matematični problem, čeprav je potrebno uporabiti »le« naučeni postopek, je potrebno raziskati, kako razvijejo ustrezen matematični model. V začetnih letih šolanja učenci ne doživljajo matematike kot pripomočka za reševanje realističnih problemov. Matematika je zanje neke vrste reprezentacija množice različnih stvari oziroma predmetov, na primer žogic, kock, paličic ipd. s števili. Zanje je torej situacija modeliranja v resnici obrnjena (Slika 2), nakazuje proces vizualizacije oziroma ilustracije (Peter-Koop, 2004). Slika 2: Povezava med dejansko in matematično situacijo V ospredju ni manipulacija z matematičnimi objekti, pač pa manipulacija z realnimi objekti. To pomeni, da »standardne« besedilne naloge niso najbolj primerne za razvoj veščin matematičnega modeliranja, saj že besedilo samo vodi do izbire ustrezne matematične operacije ali matematičnega postopka in ni potrebno iskati oziroma raziskovati vezi med realno problemsko situacijo in matematiko. Za razvoj matematične pismenosti so primerni nekoliko bolj zahtevni problemi, ki predstavljajo učencem izziv. Na začetku šolanja je bolje, da učenci te probleme rešujejo v manjših skupinah, kajti v tvornem sodelovanju najdejo primerne strategije reševanja, obenem pa v pogovoru izpostavijo morebitne kritične točke, za katere poiščejo optimalno rešitev. Na ta način lahko vsak posameznik pridobiva izkušnje in gradi matematično pismenost. Problemi iz realnega sveta, primerni za starostno stopnjo učencev, naj ne vsebujejo toliko številskih podatkov, da bi učence odvrnili od analize opisane problemske situacije in usmerili v računanje oziroma iskanje računskih ali drugačnih algoritmov. Podatki naj bodo raje dani opisno, tako da se učenci usmerijo v ocenjevanje in približne izračune ter iskanje in zbiranje ustreznih podatkov. Problemi morajo biti dovolj »odprti«, da v postopku reševanja zahtevajo od učencev utemeljene odločitve glede na matematični model, ki ga uporabijo (Peter-Koop, 2004). Reševalec realističnega problema najprej izgradi model situacije. Model odseva reševalčevo razumevanje realne situacije in je odvisen od posameznika, njegovega osebnega razumevanja realne situacije in izkušenj, ki jih ima s podobnimi realnimi situacijami. Ni nujno, da model dejansko ustreza situaciji, saj se velikokrat zgodi, da zlasti učenci na začetku šolanja niso dovolj pozorni na vse okoliščine, ki jih nakazuje dani realistični problem. Običajno je realna situacija kompleksna, model pa je že nekoliko poenostavljena različica, v kateri reševalec opusti nekatere informacije in se osredotoči na tiste, ki so nujne za rešitev danega realističnega problema. Prehod iz realne situacije v model ne poteka sistematično - je zgolj neke vrste subjektivni izkušenjski pogled na situacijo, ki kaže nagnjenost posameznika k nekemu načinu ukvarjanja s sorodnimi situacijami. Model situacije je temelj oblikovanja realističnega modela. Reševalec zavestno idealizira in poenostavlja model situacije, ki je zanj tisti del realne situacije, ki ga dojema kot ključnega za rešitev danega realističnega problema. Znanja in spoznanja, ne nujno matematična oziroma ne le matematična, vodijo posameznika do realističnega modela. Realistični model lahko podamo s primerno sliko ali opisno, pri čemer se bolj ali manj naslonimo na model situacije. V fazi matematizacije se miselni tokovi usmerjajo z realističnega modela v matematične vsebine. Ustrezne slike ali opisi dobivajo matematično simboliko oziroma matematični jezik, s čimer nastane matematični model realne situacije - matematični problem. Reševalec z uporabo primerne strategije reševanja problema in izbranimi matematičnimi postopki pride do matematičnega rezultata. S tolmačenjem matematičnega rezultata, ki je nastal z matematično rešitvijo matematiziranega realističnega modela, se pravzaprav vračamo v realistični model, ki se je medtem preobrazil v realistično rešitev. S tolmačenjem vzpostavljamo povezave med matematično rešitvijo in modelom rešitve realne situacije. Reševalec je tako pred nalogo preverjanja in potrjevanja skladnosti realistične rešitve z modelom situacije, ki dejansko predstavlja njegovo razumevanje dane realne problemske situacije. Pri veliko otrocih je večkrat opaziti intuitivno preverjanje skladnosti, ko ne znajo razložiti, zakaj so privzeli določeno rešitev oziroma zakaj so jo zavrnili. Zanesejo se na svoje občutke ali na izkušnje. Seveda je potrebno učence zaradi razvijanja matematične pismenosti navajati na preverjanje realistične rešitve in potrjevanje odločitev, ki temeljita na ustrezni razlagi. Utemeljevanje, ki sloni na modelu situacije, kot si ga je ustvaril reševalec problema, je pomembno tudi zaradi izmenjave mnenj z drugimi reševalci, ki so si ustvarili drugačne modele situacije. Več reševalcev tako bodisi potrdi identičnost ali sorodnost rešitve ali pa določena razhajanja, ki zahtevajo nadaljnjo obravnavo problemske situacije. Če med reševalci ni interakcije, lahko vsak posamezni reševalec problema dobi »svojo« rešitev, ki je morda ne preverja dovolj temeljito že zaradi tega, ker si je ustvaril pomanjkljiv ali izkrivljen model situacije. Kratka predstavitev raziskave Namen raziskave je bil preizkusiti in dograditi model reševanja realističnih problemov pri pouku matematike na razredni stopnji. V raziskavi smo uporabili procesno-didaktični pristop (Žakelj, 2004) poučevanja in učenja matematike preko problemskih situacij, ki izhajajo iz učenčevih življenjskih izkušenj. Z raziskavo smo ta model preverili v učni praksi. Postavili smo raziskovalno hipotezo: Eksperimentalna skupina bo uspešneje kot kontrolna skupina reševala realistične probleme s preveč podatki, s premalo podatki, z več rešitvami in z nasprotujočimi podatki. V raziskavi je bil v okviru empiričnega raziskovalnega pristopa uporabljen pedagoški eksperiment, ker je primeren pri proučevanju novosti, ki jih vnašamo v pouk matematike. Torej je v naši raziskavi uporabljena kavzalna-eksperimentalna metoda. Načrtovali smo enofaktorski model eksperimenta s šolskimi oddelki kot primerjalnimi skupinami z dvema modalitetama. Za primerjalne skupine smo vzeli obstoječe oddelke tretjega razreda na različnih osnovnih šolah. Skupino, v katero smo uvedli eksperimentalni faktor, smo imenovali eksperimentalna skupina (ES); skupino, v kateri so učiteljice poučevale na »tradicionalen način«, pa kontrolna skupina (KS). Eksperimentalna skupina je bila deležna popolnega eksperimentalnega tretmaja, ki je vključeval: - realistične matematične probleme, - strategije reševanja realističnega matematičnega problema, - modeliranje. V eksperimentu je sodelovalo 134 učencev tretjega razreda iz obalnih osnovnih šol. V eksperimentalno skupino (ES) je bilo vključenih 66 učencev, v kontrolno skupino (KS) pa je bilo vključenih 68 učencev. Preverjali smo znanje učencev v eksperimentalni in v kontrolni skupini ter zbrali dosežke otrok pri realističnih problemih: - s preveč podatki, - s premalo podatki, - z več rešitvami, - z nasprotujočimi podatki. Raziskava je potekala šest mesecev. Testa znanja (začetni in končni) smo za namen raziskave izdelali sami in jima določili najvažnejše merske značilnosti: veljavnost, objektivnost, zanesljivost in občutljivost. Za ugotavljanje razlik v znanju matematike na vseh ravneh znanja med učenci eksperimentalne in kontrolne skupine na začetku in koncu eksperimenta smo uporabili Levenov test homogenosti varianc in t-preizkus. Rezultate smo interpretirali v skladu z zahtevo po preglednosti in logiki dokazovanja postavljenih hipotez. Pri vsaki interpretaciji rezultatov je dodana še tabela z rezultati. Pri preizkusu hipotez smo se ravnali po pravilu, da je največje dopustno tveganje za zavrnitev hipoteze 5 % napaka. Na začetku eksperimenta smo analizirali razlike v uspešnosti reševanja realističnih problemov s t-testom, ki je pokazal, da razlike v znanju med ES in KS niso statistično pomembne. Na kratko omenimo še analizo razlik v uspešnosti reševanja realističnih problemov med učenci ES in KS ob koncu eksperimenta. Nekaj podatkov je v preglednici 1. Dosežki učencev na drugi ravni znanja (končni test) Test Skupina n Dosežki Aritmetična Standardni Min Max v % sredina odklon Preveč ES 66 73,20 3,66 1,254 0,00 5,00 podatkov KS 68 47,20 2,36 1,407 1,00 5,00 Premalo ES 66 91,50 3,66 0,669 0,67 4,00 podatkov KS 68 81,25 3,25 0,952 0,00 4,00 Več rešitev ES 66 68,63 5,49 1,895 0,25 8,00 KS 68 45,13 3,61 2,280 0,00 7,75 Nasprotujoči ES 66 71,80 3,59 1,105 0,25 5,00 podatki KS 68 64,00 3,20 1,128 0,50 5,00 Preglednica 1: Osnovne statistične ocene pri nalogah na končnem testu Glavni namen naše raziskave je bil preveriti hipotezo, da so učenci iz ES, ki so bili deležni novega modela poučevanja in učenja realističnih problemov, uspešnejši pri reševanju vseh vrst realističnih problemov kot učenci iz KS, ki so bili deležni klasičnega poučevanja in učenja problemov. Če primerjamo razlike v aritmetičnih sredinah vseh spremenljivk med ES in KS (Preglednica 1), ugotovimo, da je bila ES uspešnejša pri reševanju vseh vrst realističnih problemov. Z Levenovim testom homogenosti varianc in t-preizkusom smo preverili, v katerih spremenljivkah sta se skupini na koncu eksperimenta statistično pomembno razlikovali (Preglednica 2). Levenov test homogenosti varianc t-preizkus F p t p T2 Preveč podatkov 0,004 0,949 5,516 0,000 T2 Premalo podatkov 5,752 0,018 *2,995 0,004 T2 Več rešitev 0,285 0,594 5,040 0,000 T2 Nasprotujoči podatki 0,458 0,500 2,031 0,044 Preglednica 2: Prikaz razlik v znanju reševanja matematičnih problemov ES in KS na končnem testu znanja (Opomba: *uporabljena je bila Cochran-Coxova aproksimativna metoda t-testa) Iz Preglednice 2 je razvidno, da se skupini statistično pomembno razlikujeta v vseh štirih spremenljivkah, s čimer smo potrdili hipotezo: Eksperimentalna skupina bo uspešneje kot kontrolna skupina reševala realistične probleme s premalo podatki, s preveč podatki, z nasprotujočimi podatki in z več rešitvami. Zaključek Z raziskavo smo potrdili, kako zelo je pomembno in potrebno učence na začetku šolanja primerno voditi oziroma usmerjati, ko se srečujejo z reševanjem realističnih problemov. Učenci, ki so bili deležni poučevanja strategij reševanja realističnih problemov po našem modelu, so bili uspešnejši kot učenci iz kontrolne skupine, ki jih strategij nismo učili, pri reševanju vseh vrst realističnih problemov. Da bi se izogibali prevelikemu vplivu na otrokov postopek reševanja, ki naj bi ga čim bolj samostojno izgrajevali, ponudimo učencem na začetku šolanja manj kompleksne probleme, iz katerih laže izluščijo tiste informacije in podatke, ki so potrebni za oblikovanje učinkovitega in dovolj preprostega modela situacije. Nikakor pa ne smemo učencem onemogočiti, da bi reševali realistične probleme, češ da je njihovo znanje še premalo učinkovito, saj morajo stalno razvijati in nadgrajevati ustrezne strategije reševanja realističnih problemov, v katere vključujejo svoja znanja in spretnosti. Pomembno je še poudariti, da se je potrebno vživeti v ustrezno problemsko situacijo in uporabiti znanja in izkušnje iz vsakdanjega življenja, če je realistični problem dan kot besedilna naloga. Zlasti učenci na začetku šolanja se raje zatekajo k iskanju številskih podatkov in uporabijo naključno izbrano operacijo, čeprav je dobljeni rezultat popolnoma brez smisla. Tak zgrešeni vzorec reševanja besedilnih nalog je pogost tudi pri starejših učencih, saj je uspešno reševanje matematičnih problemov v »življenjski« preobleki odvisno le od sreče pri izboru prave operacije ali postopka in pravilnega rokovanja s podatki. Več raziskav o zagotavljanju in višanju ravni matematične pismenosti je pokazalo, da je potrebno v pouk matematike vnesti določene spremembe. Učenci bi se morali dejavneje vključiti v pogovor, iz katerega bi lahko izluščili njihovo znanje in razumevanje matematike, njihov način razmišljanja in sklepanja ter utemeljevanja izbranih metod in postopkov reševanja problemov. Interaktivno poučevanje, v katerem so sodelovali vsi učenci v razredu, z nekaj dela v skupinah ali individualnega dela in z uporabo žepnih računal ob računanju na pamet in izvajanju miselnih strategij se je izkazalo kot učinkovito (Reynolds, Muijs, 1999). Reynolds in Muijs (1999) izpostavljata izkazovanje slabših rezultatov v nižjih razredih osnovne šole, v katerih je veliko ponavljanja računskih postopkov, preveč individualizirane oblike dela in premalo poudarka na spretnosti računanja na pamet. V nasprotju s tem pa so glavne značilnosti dela v uspešnejših razredih: - jasna struktura učne ure, dober izkoristek časa s primernimi izzivi, koraki in motivacijo, - učitelj nastopa kot moderator, - stalna interakcija med učiteljem in učenci, spremljanje dojemljivosti in napačnih pojmovanj ter konstruktivna pomoč učencem, - preverjanje znanja in spretnosti ter hiter priklic določenih pojmov, - uporaba raznovrstnih aktivnosti na določeno temo za utrjevanje in poglabljanje znanja (Reynolds, Muijs, 1999). Viri 1. ACME (2008): Mathematics in Primary Years. A discussion paper for the Rose Review of the Primary Curriculum. The Advisory Committee on Mathematics Education. http://www.acme-uk.org/downloaddoc.asp?id=108 (21. 1. 2010). 2. Müller, G., Wittmann, E. (1984): Der Mathematikunterricht in der Primarstufe. Vieweg, Braunschweig. 3. Peter-Koop, A. (2004): Fermi problems in primary mathematics classrooms: Pupils' interactive modelling processes. V Mathematics education for the third millennium: Towards 2010, Proceedings of the 27th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia. MERGA, Sydney. 4. Renkl, A., Stern, E. (1994): Die Bedeutung von kognitiven Eingangsvoraussetzungen und schulischen Lerngelegenheiten für das Lösen von einfachen und komplexen Textaufgaben. Zeitschrift für Pädagogische Psychologie, Vol. 8, No. 1, str. 27-39. 5. Reynolds, D., Muijs, D. (1999): The effective teaching of mathematics. A review of research, School Leadership & Management, Vol. 19, No. 3, str. 273-289. 6. Winter, H. (1994): Modelle als Konstrukte zwischen lebensweltlichen Situationen und arithmetischen Begriffen. Grundschule, Vol. 26, No. 3, str. 10-13. 7. Žakelj, A. (2004): Procesno-didaktični pristop in razumevanje matematičnih pojmov v osnovni šoli. Doktorska disertacija, Filozofska fakulteta, Ljubljana. UČENJE USMJERENIM OPAŽANJEM Directed Observation Learning Nives Jozic, Filozofska fakulteta, Split nives.jozic@ffst.hr Sažetak Ponekad je dovoljno samo malo volje i mašte da razbijemo svakodnevnu monotoniju poučavanja i rješavanja matematičkih zadataka. Umjesto učenja i razvijanja proceduralnih znanja rješavanjem dugih algoritamskih postupaka te suhoparnim ponavljanjem i uvježbavanjem sličnih zadataka, bit nastave matematike treba biti u razvoju matematičkih procesa, mišljenja i zaključivanja te usvajanju konceptualnih znanja temeljenih na razumijevanju sadržaja. Buduci da ne postoji savršen pristup niti savršena strategija koji garantiraju savršeno učenje, korisno je poznavati različite pristupe, njihove prednosti i nedostatke te ih kombinirati kako bi proces poučavanja optimizirali, a ishode učenja pospješili. Cilj ovoga rada je ukazati kako se strategijom učenja usmjerenim opažanjem mogu uvoditi apstraktni matematički pojmovi, postavljati opca pravila, zadaci rješavati s razumijevanjem te poticati interes i pozitivan stav učenika prema matematici. Odabirom različitih primjera, koji su okosnica rasprave, želi se dati poneka ideja kako se učenici mogu usmjeravati na argumentiranu raspravu i samostalno postavljanje matematičkih zakonitosti: od uočavanja bitnih elemenata, preko postavljanja i formuliranja problema, istraživanja i uočavanja pravilnosti do povezivanja sadržaja u jednu funkcionalnu cjelinu. U tu svrhu, korisno je na primjer običnu fotografiju obuci u ruho dosjetljivih interpretacija kako bi učenike motivirali i potakli na aktivno sudjelovanje i samostalno otkrivanje matematičkih zakonitosti. Ključne riječi: usmjereno opažanje, istraživanje, formuliranje problema, uočavanje pravilnosti, matematičke zakonitosti. Abstract Sometimes, all it requires, in order to break up the monotony of everyday teaching and solving mathematical problems, is a little effort and imagination. Instead of learning and developing of procedural knowledge by solving lengthy algorithmic procedures and dull repetition and practice of related tasks, the essence of teaching mathematics should be in the development of mathematical processes, thinking and reasoning, as well as adapting conceptual knowledge based on the understanding of the content. Since there is no flawless approach or ideal strategy that would guarantee perfect teaching, it is useful to be acquainted with different approaches, their advantages and disadvantages, and combine them in order to optimize the teaching process and enhance learning outcomes. The aim of this paper is to show how directed observation as a learning strategy can be used to introduce abstract mathematical concepts, define general rules, solve tasks with a higher level of understanding and encourage interest and positive attitude of students towards mathematics. The intent behind selecting different examples, which form the backbone of the discussion, was to present some ideas on how the students can be guided to participate in argumentative debate, and define the laws of mathematics independently: starting with identifying essential elements, through defining and formulating the problem, researching and recognizing relevant regularities, and finally uniting the content into a single functional unit. With this purpose, it is useful to use an everyday object, for example an ordinary photo, and disguise it with witty interpretations, in order to motivate and encourage students to actively participate and discover the laws of mathematics by themselves. Key words: directed observation, research, formulation of the problem, detecting regularities, laws of mathematics. Uvod Učenici na satu matematike, rješavajuci brojne slične zadatke, često postavljaju pitanje: što ce to nama u životu? Nemogucnost uvida u smislenost i primjenjivost sadržaja koji se uče, demotiviraju učenike u radu, a slabiji ishodi učenja narušavaju njihovo samopouzdanje i vjeru u vlastite sposobnosti. Suvremene teorije učenja sugeriraju poticanje aktivnosti učenika te učenje temeljeno na iskustvu, a razna novija istraživanja u obrazovanju naglašavaju važnost pozitivnog radnog ozračja i osjecanja ugode pri učenju u svrhu boljih ishoda učenja i stjecanja trajnih znanja. Buduci da su zadaci najčešci i najmocniji alat koji se koristi u nastavi matematike, upravo ciljanim odabirom različitih vrsta zadataka, učenici se mogu aktivno uključiti u proces učenja i stvaralačkog rada. Kada pridobijemo pozornost učenika i motiviramo ih na aktivan rad, stvara se pozitivno radno ozračje unutar kojeg se učenici više upuštaju u rasprave, bez straha od pogreške. Radeci tako, učenici u radu sudjeluju s vecom koncentracijom te uspješnije uspostavljaju veze medu promatranim elementima, postavljaju pitanja, uočavaju pravilnosti te samostalno izvode zaključke. Primjeri učenja usmjerenim opažanjem Postavimo pred učenike sljedecu situaciju: Nalazite se u salonu namještaja gdje tražite staklene police za knjige i nude vam se dvije vrste prikazane na slici. Na njima je istaknuto da su svi otvori dimenzije 30cm x 30cm x 30cm, a prodaju se po istoj cijeni (Slika 1). Je li neka od njih ipak isplativija i zašto? Postavljanjem ovakvih zadataka pred učenike, odmičemo na trenutak od čiste matematike i skrecemo pozornost na važan životni element - isplativost. Ipak, da bi došli do odgovora na postavljeno pitanje, služit cemo se matematičkim zaključivanjem pa u tu svrhu usmjeravamo pozornost učenika na bitne elemente. Prvo što mogu uočiti je to da je prva polica uža i viša, a druga je šira i niža i to točno onoliko koliko je niža, toliko je šira. To može voditi na zaključak da su jednako isplative. Ipak, usmjeravajuci pozornost na otvore i znajuci da su svi jednakih dimenzija pa se na svaku od njih može staviti jednaka količina knjiga, opažamo da u višoj polici imamo 8 otvora, a u nižoj polici 9. Na temelju toga može se zaključiti da je polica sa 9 otvora isplativija jer su im cijene iste, a na nju se može smjestiti više knjiga. Uočimo da se dilema riješila bez formalnih postupaka matematike, elementarnim prebrojavanjem i logičkim zaključivanjem. Uz to bi mogli konstatirati da onaj tko je formirao cijene ne poznaje niti te elementarne postavke jer za izradu druge police treba utrošiti više materijala (dvije staklene ploče više) pa bi cijene trebale biti različite. No, do potrebnog zaključka može se doci koristeci još neke matematičke činjenice. Uočimo da su obje police jednake dubine, pa možemo promatrati samo dvije dimenzije: dužinu i visinu. Buduci da se koristi unutrašnjost police, prirodno je odrediti ploštinu dobivenih likova: pravokutnika i kvadrata. Ploština pravokutnika dimenzije 60 cm x 120 cm je P = 72 dm2, a ploština kvadrata dimenzije 90 cm x 90 cm je p = 81 dm2. Kako su dubine polica jednake, veci volumen ima ona polica kojoj je ploština prednje strana veca. Buduci da je ploština kvadrata veca od ploštine pravokutnika, može se zaključiti da veci volumen ima polica čija je prednja strana kvadrat pa je ona i isplativija jer se na nju može staviti više knjiga, a cijene su im jednake. Zadržimo se još malo na primjeru polica te uočimo još neke pravilnosti na temelju kojih cemo postaviti matematičku tvrdnju vrijednu učenja i primjenjivu u svim sličnim situacijama. U nastavi matematike se uz ploštinu nekog lika prirodno vezuje i opseg tog lika. U našem primjeru, jednostavnim računom dobivamo opseg pravokutnika: o = 2 (6 +12) = 36 dm i opseg kvadrata o = 6 • 6 = 36 dm te uočavamo da su ova dva lika jednakog opsega, iako vecu površinu zauzima kvadrat. Postavimo opcu tvrdnju: TVRDNJA: Ako pravokutnik i kvadrat imaju jednake opsege, tada kvadrat zauzima vecu površinu. Istražimo je li ova tvrdnja zaista uvijek vrijedi. S učenicima viših razreda osnovne škole i s učenicima srednje škole možemo govoriti o formalnom dokazivanju tvrdnje (poučka, treorema...). Ako kvadrat i pravokutnik imaju jednake opsege to znači da možemo promatrati dva komada žice (dvije dužine) jednakih duljina te od jednog oblikujemo model kvadrata, a od drugog model pravokutnika. Za oblikovanje modela kvadrata, žicu (dužinu) dijelimo na četiri jednaka dijela duljine a. Za oblikovanje modela pravokutnika žicu (dužinu) najprije dijelimo na pola, a zatim svaku polovicu na još dva dijela: ako je jedan dio od duljine a manji za x, tada je drugi dio od duljine a veci za x. Slika 3: Od tako dobivenih dijelova oblikujemo modele kvadrata i pravokutnika, stavimo jedan preko drugoga i usporedimo: Dio pravokutnika koji je izvan kvadrata premjestimo osnom simetrijom u drugi dio kvadrata koji je preostao izvan pravokutnika. Uočimo da je popunjen još jedan dio kvadrata, ali ne i sve. Buduci da ovim postupkom možemo oblikovati jedinstveni kvadrat, a pravokutnika cijelu klasu (pravokutnici jednakog opsega), zgodno je u ovom trenutku iskoristiti neki od programa dinamičke geometrije te pokazati da se premještanje djela pravokutnika na opisani način može provoditi za bilo koji pravokutnik iz te klase. Konačno se može zaključiti da je ploština kvadrata uvijek veca od ploštine pravokutnika jednakog opsega kao kvadrat. Istraživanje (dokazivanje) se može provesti i algebarski: Ako je stranica kvadrata duljine a, tada je njegova ploština: Pkvadrata = a2. Ako su stranice pravokutnika duljina a + x i a - x, tada je ploština pravokutnika: pravokutnika Ppra Buduči da je x > 0, zaključujemo Pk, P = (a + x)(a - x) = a2 - x 2 pravokutnika kvadrata P > P kvadrata pravokutnika ' kvadrata Elementi motivacije u nastavi mogu biti razne zanimljivosti i povijesne priče koje se prirodno vezuju uz sadržaj. Tako se u ovom slučaju možemo poslužiti povijesnom pričom koja tvrdi da su stari Egipčani opisana svojstva kvadrata i pravokutnika ponekad zloupotrebljavali pri podjeli zemljišta. Kada bi naišli na one koji ne poznaju matematičke činjenice, uvjeravali bi ih da če zemljište biti veče ako ima duže granice kao što su zemljišta pravokutnog oblika u usporedbi sa zemljištima kvadratnog oblika koja imaju krače granice. Priča se može proširiti na sve ostale četverokute jednakog opsega, medu kojima če opet kvadrat imati največu ploštinu. Daljnjim istraživanjem došli bi do jednog izoperimetrijskog problema koji kaže da od svih likova jednakog opsega največu ploštinu ima krug. Usporedujuči likove prema opsezima i ploštinama, prirodno je upitati se možemo li na temelju površine zaključiti nešto o njihovim opsezima. Na primjer, uzmimo dva lista papira jednakih dimenzija 40cm x 20cm te ih podijelimo na dva jednaka dijela na sljedeči način: Buduči da su listovi jednakih dimenzija, njihove ploštine su jednake, ali i ploštine njihovih polovica su jednake. No, što je s opsezima? Polazni listovi imaju jednake opsege, ali nakon dijeljenja, u prvom slučaju dobiveni dio je kvadrat i njegov opseg je 80cm, a u drugom slučaju imamo dva pravokutnika opsega 100 cm. Na temelju uočenih elemenata može se zaključiti da je opseg kvadrata manji od opsega pravokutnika jednake ploštine. Postavimo opču tvrdnju: TVRDNJA: Ako kvadrat i pravokutnik imaju jednake ploštine, tada kvadrat ima manji opseg. Istražimo je li ova tvrdnja zaista uvijek vrijedi. Uzmimo proizvoljni pravokutnik čije su stranice duljina a i b te kvadrat jednake površine stranice duljine c. To znači da je a • b = c2. c b Uspostavimo geometrijsku vezu medu duljinama a, b i c koristeCi Euklidov poučak: nad promjerom duljine a + b konstruiramo kružnicu te u točki T konstruiramo okomicu na taj promjer (vidjeti sliku). Ta okomica siječe kružnicu u točki R. Dužina TR je upravo duljine c jer za nju vrijedi: c = Vab ^ c2 = ab Uočimo da je polumjer opisane kružnice duljine ^^ te je duljina c uvijek manja ili jednaka duljini polumjera. Jednakost vrijedi kada je a=b, a to isključujemo jer u tom slučaju pravokutnik postaje kvadrat. Dakle, c < a + b 2 2c < a + b 4c < 2 (a + b) 0kvadrata < 0pravokutnika D / a+b j 2 c \ n 1 \ a S T b Konačno se može zaključiti da je opseg kvadrata uvijek manji od opsega pravokutnika koji je jednake ploštine kao i kvadrat. OpCim razmatranjem došli bi do duala iskazanog izoperimetrijskog problema: od svih likova jednake ploštine najmanji opseg ima krug. Često se dogada da učenici rješavajuCi pojedinačne zadatke svoju pozornost usmjere na sami postupak rješavanja umjesto da cjelovito sagledavaju sve elemente, te provjeravaju smislenost zadanih podataka i dobivenih rješenja. Kako bi to izbjegli, dobro je osmišljavati zadatke koji Ce imati više ili manje podataka ili Ce zadani podaci biti nekorektni. Na primjer, ako zadamo učenicima da odrede ploštinu pravokutnog trokuta kojemu je duljina hipotenuze 10 cm, a visina na tu hipotenuzu 6 cm, učenici naviknuti na proceduralno rješavanje zadataka, vjerojatno Ce napravit sljedeCe: (a) zapisat Ce c = 10 cm, vc = 6 cm, (b) postavit Ce formulu: P = c • v 2 (c) uvrstit Ce zadane podatke i izračunati P = 30 cm2. Neki učenici Ce vjerojatno nacrtati i skicu. No, je li zadatak riješen? Odnosno, imaju li podaci u zadatku smisla? BuduCi da se radi o pravokutnom trokutu, središte njemu opisane kružnice nalazi se u polovištu hipotenuze te je njezin radijus 5 cm. Duljina visine spuštene na hipotenuzu ne može biti veča od 5 cm, što znači da trokut sa zadanim elementima ne postoji pa nema smisla niti računati ploštinu. Postavlja se pitanje: znaju li učenici što znači riješiti matematički zadatak i kako ih poučavati da zadatke rješavaju na pravilan način. Ako se prisjetimo da tijekom rješavanja zadataka imamo četiri faze: fazu razumijevanja, fazu izrade strategije za rješavanje, fazu rješavanja te fazu provjere i interpretacije rješenja, uočit čemo da učenici najčešče provode samo treču fazu - proceduralni postupak. Usmjeravanjem pozornosti na sve faze rješavanja zadataka i odabirom sličnih primjera učenike se može poučiti pravilno rješavati matematičke zadatke i time poboljšati njihove ishode učenja. Kako bismo potaknuli učenike na funkcionalno povezivanje različitih matematičkih sadržaja i motivirali ih na rješavanje nekih nezaobilaznih suhoparnih sadržaja možemo se poslužiti i raznim fotografijama, bilo sa svojih putovanja ili onih dostupnih na Internetu. Kada radimo sa učenicima algebarske razlomke često se suočavamo s neprestanim ponavljanjem pitanja svrhovitosti takvih, njima besmislenih, procedura te stalnim ponavljanjem neočekivanih pogrešaka. Na primjer, u velikoj mjeri su zastupljeni zadaci Y r2 . Y r2 3 tipa: pojednostavni izraz: — a I + — a - b I = — a + b I . Promijenimo malo pristup, 3 3 potaknimo njihovu radoznalost i maštu te ih do istog izraza dovedimo usmjerenim opažanjem. Na primjer, na pročelju Crkve Orsanmichele u Firenci iz 13. stolječa može se opaziti sljedeči ukras: Uočimo da su oku lijepe figure nastale igrom kružnih lukova i kružnica. Budimo barem na trenutak arhitekt koji se sprema u izgradnju tog pročelja te konstruirajmo dominantne kružne lukove i kružnice. Od kuda krenuti? Da bi konstruirali neki kružni luk ili kružnicu trebamo znati gdje smjestiti iglu šestara i koliko rastvoriti šestar, tj. trebamo odrediti gdje je središte kružnice pripadnog luka i njezin polumjer. U tu svrhu prvo uočimo vanjski polukrug te dva unutarnja polukruga koja se preklapaju i dijele promjer vanjskog na tri jednaka dijela. U prostoru izmedu tih kružnih lukova smještene su maksimalne kružnice, tj. kružnice koje ih dodiruju. Rekonstrukcijom pročelja dolazimo do sljedeceg crteža: Ako je duljina polumjera najvece kružnice r tada usmjerenim promatranjem dolazimo do duljina polumjera ostalih kružnica: (a) Duljina polumjera kružnih lukova izmedu kojih se nalaze kružnice zelene boje je trecina promjera velike kružnice, tj. 2r/3. (b) Promjer kružnice plave boje je trecina promjera velike kružnice, tj. 2r/3, pa je polumjer te kružnice r/3. Dakle, njezin polumjer je x = 1 r. Da bismo odredili radijuse kružnica crvene, zelene i žute boje, uočimo istaknute pravokutne trokute odgovarajucih boja. Pri tome koristimo uvjet dodira dviju kružnica i Pitagorin poučak. 2r/3 r/3 r/3 (c) Radijus kružnice crvene boje: 3 r) +(r - y)2 =f|r + y y = 5r (d) Radijusa kružnice zelene boje: (e) Radijusa kružnice žute boje: 2 r) + (fr"z 1 z = — r 6 2 — r + z 3 — r I +| — r + k I = I 2 r - k 3; 13 k = — r 9 Opažajuci veze medu pojedinim elementima i konstruiranjem potrebnih veličina povezujemo različite matematičke sadržaje u jednu funkcionalnu cjelinu: uvjet dodira dviju kružnica, dijeljenje dužine na jednake dijelove, Pitagorin poučak, kvadriranje razlomaka, binoma, rješavanje jednadžbi, svojstva jednakosti itd. Umjesto rješavanja niza sličnih zadataka u kojima formalno koristimo primjenu Pitagorina poučka ili rad s algebarskim razlomcima, razvijajmo umijece opažanja u svrhu daljnjeg učenja. 2 2 2 Zaključak Bez obzira koju vrstu zadataka obradivali u nastavi matematike važno je učenike usmjeravati na pravilno i potpuno rješavanje matematičkih zadataka. Biranjem odredenih vrsta zadataka i primjera iz svakodnevnog života koji su učenicima bliski, pridobijamo njihovu pozornost te potičemo učenike da aktivnim sudjelovanjem samostalno dolaze do novih spoznaja. Usmjeravajuci učenike da uočavaju i povezuju što više elemenata te osim proceduralnog rješavanja brojnih zadataka uvidaju i mogucnosti primjene, postavljamo dobre temelje za učenje s razumijevanjem i povezivanje naučenoga u jednu funkcionalnu cjelinu. Dakle, odvažimo se promišljenim odabirom, pravilnim i potpunim rješavanjem zadataka, poticati učenike da grade cjelovita i trajna znanja: usmjerenim opažanjem, istraživanjem, uočavanjem pravilnosti, postavljanjem i formuliranjem tvrdnji, povezivanjem poznatih sadržaja u jednu funkcionalnu cjelinu i razmatranjem mogucnosti primjene. Literatura 1. Bognar, L., Dubovički, S. (2012): Emocije u nastavi. Croatian Journal of Education, Vol 14, No. 1/2012, str. 135-163. 2. Freudenthal, H. (2002): Didactical phenomenology of mathematical structures. Kluwer Academic Publisher, New York. 3. Lambic, D., Lipkovski, A. (2012): Mjerenje utjecaja stavova učenika na proces stjecanja matematičkog znanja. Croatin Journal of Education, Vol 14, No. 1/2012, str. 187-205. 4. Jozic, N. (2012): Fotografija kao inovativno nastavno sredstvo. Zbornik radova 5. kongresa nastavnika matematike Republike Hrvatske. Hrvatsko matematičko društvo, Zagreb. 5. Polya, G. (2003): Matematičko otkrice. Hrvatsko matematičko društvo, Zagreb. 6. Tall, D. (2002): Advanced Mathematical Thinking. Kluwer Academic Publisher, New York. 7. http://www.visitflorence.com/florence-churches/orsanmichele.html (15. 3. 2012). 8. http://flickrhivemind.net/Tags/orsanmichele/Interesting (15. 3. 2012). ODKRIVANJE IN PREPOZNAVANJE UČNIH TEŽAV IN UKREPI POMOČI UČENCEM Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI Detection and Identification of Learning Difficulties as well as the Assistance Measures for Pupils with Learning Difficulties in Mathematics dr. Amalija Žakelj, Zavod RS za šolstvo amalija.zakelj@zrss.si Povzetek K uspešnosti učenca pri doseganju pričakovanih dosežkov in ciljev pouka, poleg dejavnikov, kot so kakovost učenčevega življenja, spodbudno ali nespodbudno domače okolje, njegove intelektualne sposobnosti, prispevajo tudi šolski dejavniki, tako organizacija pouka kot učiteljeva ravnanja pri poučevanju. Po zakonu o osnovni šoli ima vsak učenec z učnimi težavami pravico, da mu šola prilagodi metode in oblike dela, organizira dopolnilni pouk in druge oblike individualne in skupinske pomoči. Da lahko šola učinkovito izvaja ustrezne ukrepe pomoči, je potrebno učne težave učencev pravočasno prepoznati, odkriti vrste in vzroke težav ter na osnovi ugotovitev načrtovati ustrezne ukrepe pomoči. Za izvajanje učinkovite pomoči učitelj potrebuje veliko znanja tako o vrstah in vzrokih učnih težav učencev kot tudi didaktičnega in metodičnega znanja za poučevanje učencev z učnimi težavami. V osrednjem delu prispevka predstavimo pristope izvajanja prilagoditev za učence z učnimi težavami pri matematiki, pristope pri odkrivanju in prepoznavanju učnih težav ter strategije in ukrepe pomoči za premagovanje učnih težav pri matematiki. Pri razvoju metodičnih korakov za delo z učenci z učnimi težavami smo izhajali iz splošnih načel in smernic, ki so opredeljene v konceptu dela za učence z učnimi težavami (Koncept dela, 2007), jih nadgradili in prilagodili za poučevanje učencev z učnimi težavami pri matematiki v osnovni šoli. Ključne besede: matematika, učne težave, specifične učne težave, prepoznavanje, izvajanje prilagoditev. Abstract Apart from the elements, such as quality of pupils' life, encouraging or discouraging home environment, intellectual abilities, etc., the pupils' performance and success in attaining the expected results and learning objectives is influenced also by the school factors, i.e., organisation of education and teachers' actions within the teaching process. The Elementary School Act provides that each pupil with learning difficulties has the right to the adjusted methods and forms of work ensured by the school, the right to remedial classes and other types of individual and group assistance. In order to ensure effective implementation of adequate assistance measures, it is necessary that pupils' difficulties are detected in time, that the type and the source of difficulties are identified and that the assistance measures are put in place on the basis of those evidences. Large amount of teachers' knowledge is required in order to perform effective assistance, both in terms of recognising the reasons of pupils' learning difficulties, as well as in terms of didactic and methodological knowledge for teaching pupils with learning difficulties. In the main part of our article we present certain ways of adjustments to pupils with learning difficulties in mathematics, we show different approaches to detection and identification of learning difficulties, as well as the strategies and measures for assistance in overcoming learning difficulties in mathematics. In order to develop methodological steps of working with pupils with learning difficulties we base our work on general principles and guidelines, determined in the concept of work with pupils with learning difficulties (Koncept dela (Working Concept), 2007), by upgrading and adjusting them for teaching pupils with learning difficulties in mathematics at primary schools. Key words: mathematics, learning difficulties, specific learning difficulties, identification, implementation of adaptation. Uvod Matematika je s številnimi izobraževalno-informativnimi, funkcionalno-formativnimi in vzgojnimi nalogami eden izmed temeljnih predmetov v osnovni šoli (Učni načrt, Matematika 2011). Pouk matematike je namenjen graditvi pojmov in povezav, spoznavanju ter učenju postopkov, ki posamezniku omogočajo vključitev v sistem (matematičnih) idej in posledično vključitev v kulturo, v kateri živimo. Osnovnošolski pouk matematike obravnava temeljne in za vsakogar pomembne matematične pojme, in to na načine, ki so usklajeni z otrokovim kognitivnim razvojem, s sposobnostmi, z osebnostnimi značilnostmi in njegovim življenjskim okoljem (npr. narava kot vir za matematično ustvarjanje in raziskovanje). Pri pouku matematike spodbujamo različne oblike mišljenja, ustvarjalnost, formalna znanja in spretnosti ter učencem omogočamo, da spoznajo praktično uporabnost in smiselnost učenja matematike (prav tam, str. 4). Žal pa matematika učencem pogosteje kot ostali predmeti povzroča težave. Mnogim učencem matematika ni zanimiva, do nje ne čutijo veselja, nasprotno, veliko učiteljev meni, da so učenci za učenje matematike nemotivirani. Tudi iz teh razlogov se pogosto učijo brez razumevanja in v obravnavanih vsebinah ne vidijo smiselne uporabe in povezave z vsakdanjim življenjem. Mnogi čutijo do matematike odpor in celo strah. Od tu je korak do učnih težav zelo kratek. Po zakonu o osnovni šoli, ima vsak učenec z učnimi težavami pravico, da mu šola prilagodi metode in oblike dela, organizira dopolnilni pouk in druge oblike individualne in skupinske pomoči. V 12. členu Zakona o osnovni šoli piše (Ur.l. RS, št. 12/1996): »Izobraževanje učencev z učnimi težavami se izvaja tako, da jim šola prilagodi metode in oblike dela ter jim omogoči vključitev v dopolnilni pouk in druge oblike individualne in skupinske pomoči«. Učenci z učnimi težavami niso usmerjeni z odločbo, na podlagi katere bi bil za njih oblikovan individualiziran program. Vendar pa so na podlagi že zgoraj omenjenega 12. člena Zakona o osnovni šoli upravičeni do ustreznih prilagoditev v poučevanju in učenju. Da lahko šola učinkovito izvaja ustrezne ukrepe pomoči, je potrebno učne težave učencev pravočasno prepoznati, odkriti vzroke in značilnosti učnih težav ter na osnovi ugotovitev načrtovati ustrezne ukrepe pomoči. Za izvajanje učinkovite pomoči učitelj potrebuje veliko znanja tako o vrstah in vzrokih učnih težav učencev kot tudi didaktičnega in metodičnega znanja za poučevanje učencev z učnimi težavami. Zgodaj odkrite težave pri matematiki in načrtovanje ustreznih oblik pomoči lahko v veliki meri pomagajo pri nadaljnjem otrokovem razvoju na intelektualnem in socialnem področju. Učitelji odkrivajo in prepoznavajo učne težave ter nudijo oblike pomoči učencem različno: nekateri redno prilagajajo priprave na pouk kot tudi samo izvajanje učnega procesa glede na potrebe učencev (npr. na podlagi vnaprejšnjih predvidevanj učnih težav), redno prilagajajo načine utrjevanja znanja ter načine preverjanja in ocenjevanja znanja, prilagajajo učno okolje (sedežni red, tihi kotiček ...) in prilagajajo učno gradivo, omogočajo uporabo primernih učnih pripomočkov (žepno računalo, številski trak ...), redno zagotavljajo učencem pomoč mobilnega specialnega pedagoga ali šolskega svetovalnega delavca oz. drugih strokovnih delavcev, omogočajo učencem podaljšan čas pisanja preverjanja znanja, redno oblikujejo kriterije ocenjevanja, jih predstavijo učencem, pojasnijo ocene učencem, se z njimi pogovorijo o dosežkih na preizkusih, drugi redkeje ali nikoli. Prav tako lahko učitelji učence redno usmerjajo v njihovi pripravi na pouk, drugi to naredijo le občasno (Žakelj 2010). Tudi pri nudenju različnih oblik pomoči se učitelji in šole odločajo različno. Nekateri redno izvajajo dopolnilni pouk, skupinske svetovalne ure za učence izven pouka, individualne svetovalne ure za učence izven pouka, pomoč učencem v času podaljšanega bivanja (v sodelovanju z učiteljem OPB), dodatno individualno pomoč izven pouka, ki jo nudijo specialni pedagog, šolski svetovalni delavec ali drug strokovni delavec, delo v manjših skupinah izven pouka, pomoč sošolcev, sodelovanje s starši oz. pomoč staršev, drugi to naredijo le občasno (Žakelj 2010). Splošne in specifične učne težave Lerner (2003, v: Magajna at. all. 2008b, str. 26) definira učence z učnimi težavami kot »heterogeno skupino otrok z različnimi kognitivnimi, socialnimi, emocionalnimi in drugimi značilnostmi, ki imajo pri učenju pomembno večje težave kot večina otrok njihove starosti«. Učne težave so lahko kratkotrajne (prehodne) do tistih, ki so vezane na čas šolanja oziroma do tistih, ki trajajo vse življenje. Lewis in Doorlang (1987, v: Magajna at. all. 2008b) razlikujeta splošne ali nespecifične učne težave in specifične učne težave. Splošne ali nespecifične učne težave lahko izvirajo iz okolja (npr. ekonomska in kulturna prikrajšanost, socialna-emocionalna prikrajšanost, socialna-kulturna drugačnost, večjezičnost in večkulturnost), nekaterih notranjih dejavnikov (npr. splošno upočasnjen razvoj kognitivnih sposobnosti, motnja pozornosti, hiperaktivnost, podpovprečne in mejne intelektualne sposobnosti) ali neustreznih vzgojno-izobraževalnih interakcij (npr. strah pred neuspehom, nezrelost, pomanjkanje učnih navad). Zaradi naštetega posamezniki ovirano usvajajo in izkazujejo znanje ali veščine (Magajna 2000, v: Magajna at.all. 2008b). Učenci, ki imajo pri matematiki splošne učne težave, imajo le-te običajno tudi pri drugih predmetih in na splošno počasneje usvajajo znanja. Pod izrazom specifične učne težave razumemo heterogeno skupino primanjkljajev, ki se kažejo na kateremkoli od naslednjih področij: pozornost, pomnjenje, mišljenje, koordinacija, komunikacija, branje, pisanje, pravopis, računanje, socialna kompetentnost in čustveno dozorevanje (Magajna at. all. 2008a, str. 11). Specifične učne težave pri matematiki določajo: neskladje med intelektualnimi sposobnostmi, splošno šolsko uspešnostjo in izrazitostjo težav pri matematiki; izrazitost učnih težav pri matematiki v primerjavi z vrstniki; vztrajnost učnih težav pri matematiki kljub vsem možnim prilagoditvam v šoli, trudu otroka in pomoči doma ter kompleksnost težav na izobraževalnem, organizacijskem, motoričnem in socialnem področju (Haskell 2000, v: Kavkler 2010). Specifične učne težave pri matematiki, ki se razprostirajo na kontinuumu od lažjih, zmernih do težkih, lahko razdelimo v dve skupini: diskalkulija in specifične aritmetične učne težave (Magajna at. all., 2008a , str. 45). Specifične aritmetične učne težave so povezane: - s slabšim semantičnim spominom: učenci imajo težave pri priklicu dejstev iz dolgotrajnega spomina (npr. poštevanka, seštevanje, odštevanje); - z aritmetičnimi proceduralnimi postopki: težave pri avtomatizacijii postopkov (npr.: deljenje, prehodi med deseticami pri odštevanju); - z neustrezno uporabo vizualno-prostorskih spretnosti (prav tam). Učenci z diskalkulijo imajo težave pri: dojemanju pojma število, osnovnih računskih operacijah, obračanju številk, avtomatizaciji, pisnem računanju (npr. nepravilno podpisovanje ...), reševanju besedilnih nalog. Diskalkulija je motnja v učenju matematike, ki kaže, da otrok v usvajanju procesa in načinu reševanja matematičnih problemov zaostaja za vrstniki leto ali več. Kaže se v različni intenziteti (lažja, zmerna, težja). Otrok je povprečno ali nadpovprečno inteligenten in ima "normalne" pogoje za učenje. Otrok napreduje pri učenju matematike, vendar dosti počasneje kot vrstniki in neprimerno svoji mentalni in kronološki zrelosti (Dobravc, 2010). Simptomi diskalkulije so izraženi že v predšolski dobi, saj ima otrok težave z razvrščanjem predmetov po barvi, obliki in velikosti, z ugotavljanjem vzorcev, usvajanjem pojmov večji -manjši, daljši - krajši, s štetjem, primerjanjem količin, z učenjem pojma število, s povezovanjem količine s simbolom (štiri rože povežejo s simbolom 4), slabšim pomnjenjem števil in tako dalje. Učenci, ki imajo specifične učne težave pri matematiki, imajo kompleksne vzgojno-izobraževalne potrebe na štirih področjih: - na področju organizacije (njihove šolske potrebščine in učni pripomočki so neurejeni, slabo razporejajo zapis na listu, slabo ocenjujejo prioritete in načrtujejo porabo časa, kar je še posebej opazno pri pisnem preverjanju in domačem učenju, imajo težave s prostorsko orientacijo); - na področju fine motorike (težave imajo pri geometriji, pisanju števil, računov in besedil ter pri dejavnostih z drobnimi učnimi pripomočki); - na področju socializacije (pogosto težje razumejo pravila, socialne relacije in neverbalne znake socialnih sporočil, so pogosto slabše vključeni v socialno okolje); - na področju matematičnih vsebin v zvezi s problemskim matematičnim znanjem (slabše razumejo navodila, matematične pojme, imajo slabše razvite številske in prostorske predstave, težave pri branju in razumevanju besedilnih nalog, težave z logičnim sklepanjem ...), pogosto pa tudi s proceduralnim znanjem. Vzroki učnih težav Učenci imajo učne težave lahko pri različnih vsebinah, vendar pa je pogostost učnih težav pri posameznih vsebinah večja. Učitelji razrednega pouka, učitelji matematike ter strokovni delavci šolske svetovalne službe ocenjujejo, da imajo na razredni stopnji OŠ učenci z učnimi težavami pri matematiki veliko do zelo veliko težav pri: poštevanki, seštevanju in odštevanju s prehodom, posebej pri pisnem deljenju, računskih operacijah, reševanju matematičnih problemov in pri besedilnih nalogah; na predmetni stopnji pri količinah, merskih enotah in pretvarjanju, pri orientaciji, pri enačbah predvsem na konceptualnem področju (npr. pri razumevanju pojmov spremenljivka, enačba), pri algebrskih izrazih ter pri reševanju matematičnih problemov in besedilnih nalogah. Vsebine, pri katerih imajo učenci po mnenju učiteljev tudi pogosto velike težave, so še: racionalna števila, računanje z negativnimi števili, linearna funkcija, učenje algoritmov, načrtovanje z geometrijskim orodjem (Žakelj, 2010). Najpogostejše ovire, ki po mnenju in izkušnjah učiteljev precej oz. zelo otežujejo učenje matematike, so še: nerazumevanje matematičnih pojmov, slabše številske in prostorske predstave, težave pri logičnem sklepanju, težave pri branju in razumevanju besedila, nepoznavanje ali neobvladovanje strategij reševanja problemov (prav tam). Vzroki za učne težave so raznovrstni. Izvirajo lahko iz učenca samega, lahko so vzroki širši in izvirajo iz šolskega ali domačega okolja (organizacija pouka, nespodbudno domače okolje, strah, anksioznost, revščina, jezikovna različnost idr.), lahko pa so v kombinaciji dejavnikov med posameznikom in okoljem. Eno ključnih vprašanj je, kako pri učencih prepoznati učne težave. Najpogostejši znaki, prek katerih lahko prepoznamo, da ima učenec pri pouku matematike učne težave, so: • učno gradivo usvaja počasneje kot vrstniki, • ima težave pri nalogah, ki zahtevajo logično mišljenje, • ima težave pri razumevanju in izvajanju algoritmov, postopkov, • ima težave pri branju in/ali pisanju, • kratkotrajna pozornost. Izvor učnih težav so lahko tudi pomanjkljive učne in delovne navade, nespodbudno domače okolje ter znaki, ki so v veliki meri povezani z vedenjem učenca pri pouku: - učna učinkovitost zelo niha (od dneva do dneva, od predmeta do predmeta ...), - počasneje se prilagaja spremembam dejavnosti, - ne sledi navodilom, - strah pred neuspehom (izogiba se nalogam, odlaša z nalogami), - nima domačih nalog, - ni pripravljen na sodelovanje, - pisni izdelki in ustno izkazano znanje se pomembno razlikujeta, - pri šolskem delu pogosto kaže zaskrbljenost in negotovost, - ima tremo pri preverjanju znanja, - kaže izrazit odpor do šolskega dela, - kaže znake nemoči, potrtosti, vdanosti v usodo, - moti pouk, ne upošteva pravil, - daje vtis, da bi bil lahko glede na svoje sposobnosti učno uspešnejši, - slabše razume jezik šolanja, - slabe ocene. Izvajanje prilagoditev učencem z učnimi težavami pri matematiki (v nadaljevanju UTMAT) Danes se od šole oz. učitelja pričakuje, da prav vsakemu učencu s primernim pristopom omogoči, da usvoji določena matematična znanja. Zato pogosto učne težave razumemo kot izziv učitelju, da učenec doseže optimalno, glede na svoje zmožnosti in sposobnosti. Ta zahteva učitelja postavlja pred velike izzive in preizkušnje, kako poučevati, kako prepoznati potrebe in težave učencev in katere ukrepe izbrati, da bodo učinkoviti. Vse to zahteva na eni strani kvalitetno oz. prilagojeno poučevanje, na drugi strani pa razumevanje oz. vedenje, kaj je temeljno matematično znanje, razumevanje vlog udeležencev (učencev, učiteljev, strokovnih delavcev, staršev) pri soustvarjanju pouka in matematike ter s tem povezane zahteve po spremembi izvajanja pouka (ustvarjanje spodbudnega in varnega učnega okolja, kjer bodo imeli priložnost soustvarjati pouk in matematiko vsi učenci). Značilnosti izvajanja prilagoditev učencem z učnimi težavami pri matematiki (UTMAT) so: - Razvijati učinkovite pristope učenja in poučevanja za učence z učnimi težavami pri matematiki in razdelati primere dobre poučevalne prakse (didaktična gradiva; metode odkrivanja učnih težav ter strategije pomoči) ter jih z medsebojnim sodelovanjem učiteljev širiti naprej). - Sistematično spremljati napredek učenca (diagnostično, formativno in sumativno spremljanje znanja). - Spodbujati sodelovanje med vsemi udeleženci (npr. kolegialne hospitacije, kritično prijateljevanje, samoregulacija učenja; vrstniško sodelovanje in oblike pomoči). - Pripraviti in izdelati priporočila za področje učenja in poučevanja učencev z učnimi težavami pri matematiki. Ravnanja učiteljev pri načrtovanju in izvajanju učnega procesa s perspektive pomoči učencem z učnimi težavami so tesno povezana z njihovimi stališči in pojmovanji o pomembnosti posameznih matematičnih vsebin. Pri razvoju modela UTMAT, ki je postavljen s perspektive pomoči učencem z učnimi težavami pri matematiki, smo izhajali iz splošnih načel in smernic, ki so opredeljene v konceptu dela za učence z učnimi težavami (Magajna at.all. 2008a), jih nadgradili in prilagodili za poučevanje učencev z učnimi težavami pri matematiki v osnovni šoli. Pri tem smo se oprli na ugotovitve Shieelda (2005, v: Kavkler 2010), da anksioznost učenca povzroča pet dejavnikov: stališča učenca in učitelja do matematike, kurikul, strategije poučevanja, razredna kultura in ocenjevanje. Našteto seveda terja spremembe pri učenju in poučevanju učencev z učnimi težavami pri matematiki: spremembe v pojmovanju in razumevanju matematičnega znanja s perspektive nujnosti, osmišljanja in uporabnosti matematičnih znanj v življenju, spremembe v razumevanju izvajanja pouka ter spremembe v razumevanju vlog udeležencev pouka matematike. Konceptualna zasnova modela UTMAT tako temelji na načelih: - osmišljanje matematičnega znanja s perspektive pomoči učencem z učnimi težavami, - pouk kot vzajemna dejavnost učenca in učitelja ter - načelo udeleženosti. Osmišljanje matematičnega znanja s perspektive pomoči učencem z učnimi težavami pomeni premislek o tem, kateri matematični pojmi ali postopki so nujni, da jih usvoji sleherni učenec. Pomemben je premislek o tem, kako ravnati, če določenih ciljev in vsebin učenec ne doseže. Odločitev je odvisna od: pomembnosti vsebin pri nadaljnjem izgrajevanju znanja, od uporabnosti v življenjskih situacijah, od vrste učnih težav, posebnosti posameznih učencev idr. Pouk kot vzajemna dejavnost učenca in učitelja, v katerem potekata učenje kot učenčeva aktivnost in poučevanje kot učiteljeva aktivnost, je načelo, ki pomeni razumevanje njunega odnosa kot vzajemne odgovornosti obeh za uspeh in premagovanje učnih težav. Drugače rečeno, učne težave učenca so problem učenca in učitelja. Načelo udeleženosti pomeni soustvarjati pouk in soustvarjati matematiko ter skozi proces upoštevati učenčeve potrebe na kognitivnem, socialnem in emocionalnem področju. V praksi soustvarjanje matematike pomeni izražanje matematičnih misli, izražanje poznavanja in razumevanja matematičnih pojmov, postopkov ter odnosov med njimi. Prav tako pa soustvarjanje pomeni upoštevanje potreb učencev na socialnem in emocionalnem področju. (Npr. vključevanje učenca pri načrtovanju metod dela. Učitelj in učenec se npr. dnevno dogovarjata o njegovem domačem delu, učenec si postavi lastne cilje ter sooblikuje mrežo pomočnikov.). Posamezna področja modela UTMAT so opredeljena v dveh ključnih vsebinskih stebrih: Prvi določa elemente spodbudnega in varnega učnega okolja, drugi določa metodične korake za izvajanje prilagoditev učencem z učnim težavami pri matematiki (Shema 1). Shema 1: Izvajanje prilagoditev učencem z učnimi težavami pri matematiki (UTMAT) Spodbudno in varno učno okolje lahko ustvarijo ozaveščani strokovni delavci, ki poznajo tako značilnosti učencev z učnimi težavami kot pristope za izvajanje prilagoditev učencem z učnimi težavami ter se ravnajo po načelu udeleženosti. Metodični koraki modela UTMAT, ki so krožno povezani in se spiralno nadgrajujejo, so: sprotno in sistematično spremljanje napredka učenca (diagnostično, formativno, sumativno), organizacija pouka, identifikacija učnih težav, izvajanje ustreznih strategij/ukrepov pomoči, refleksija učitelja in učenca ter evalvacija učinkovitosti pomoči. Metodične korake modela UTMAT opredelimo v načrtu obravnave učnih težav, in sicer: ravnanja učitelja pri ključnih odločitvah, povezanih z obravnavo matematičnih vsebin glede na obseg, globino in smiselnost matematičnih znanj s perspektive učencev z učnimi težavami pri matematiki, pristope identifikacije učnih težav, ukrepe pomoči, načine spremljanja napredka učenca ter vlogo udeleženosti. Pri načrtovanju dejavnosti pouka vključujemo tudi učence, upoštevamo močna področja posameznih učencev, interese ter motivacijske stile. Načrtujemo vlogo šolske svetovalne službe in sodelovanje s starši. Načrtovanja didaktične enote s perspektive pomoči učencem z učnimi težavami pri matematiki Načrt obravnave učnih težav je sestavni del načrtovanja pouka, bodisi globalnega, etapnega ali izvedbenega načrtovanja. Vsebuje elemente, ki so v pomoč, da delo poteka tekoče. Didaktična enota obsega vsebinsko in časovno zaokroženo celoto, v kateri uresničujemo cilje in vsebine ter opredelimo potrebne didaktične situacije s perspektive učencev z učnimi težavami. V elementih načrtovanja didaktične enote z vidika obravnave učnih težav opredelimo/ - psihološki vidik (značilnosti učencev, motivacija ...), - splošne in operativne cilje didaktične enote (stopnjo nujnosti posameznih ciljev in vsebin s perspektive pomoči učencem z učnimi težavami), - vsebine (obseg, globino vsebine, njeno sporočilnost ...), - potrebno predznanje za usvajanje novih ciljev in vsebin (stopnjo nujnosti posameznih ciljev in vsebin s perspektive pomoči učencem z učnimi težavami), - načine prepoznavanja učnih težav, - ukrepe pomoči za doseganje ciljev ob morebitnih težavah (prilagojeni didaktični pristopi, didaktično gradivo, pomoč strokovne suportivne službe na šoli), - spremljanje napredka učenca (diagnostično, formativno, sumativno), - načine izdelave in uporabo didaktičnih pripomočkov/gradiv (namen didaktičnih pripomočkov, kdo izdela didaktične pripomočke/gradiva; kdaj, čemu in koliko časa učenec pripomoček uporablja ...), - domače naloge (obseg, namen, vrste domačih nalog; domače naloge kot sredstvo za razvijanje samostojnosti, ustvarjalnosti, odgovornosti; domače naloge kot sredstvo za razvijanje pozitivnega odnosa do šole, znanja, šolskih obveznosti), - načine vključevanja učencev pri soustvarjanju pouka, - refleksijo učitelja in učenca (vprašanja, morebitne oporne elemente za zapis). Pri načrtovanju ciljev in vsebin določimo (Žakelj & Magajna, 2010): - Cilje in vsebine, ki so ključni, nujni, bistveni in jih je potrebno razumeti v vsem bistvu. Če teh ciljev učenec ne usvoji, so tudi pri ostalih ciljih ukrepi pomoči lahko neučinkoviti. - Cilje in vsebine, ki jih lahko učencem z učnimi težavami poenostavimo, priredimo ali celo opustimo. - Cilje in vsebine, ki se le navezujejo na obravnavano temo in pri katerih do težav pride tudi v primeru usvojenosti ključnih in poenostavljivih cijev iz razlogov, ki niso neposredno vezani na samo obravnavano vsebino. - Pri načrtovanju ciljev in vsebin določimo/predvidimo tudi ravnanja učitelja v primeru, da znanje ni usvojeno kljub dodatnim ukrepom. Konceptualno in proceduralno znanje se prepletata praktično skozi celotni pouk matematike. Za učence z učnim težavami je lahko zahtevno tako proceduralno znanje kot tudi razumevanje matematičnih pojmov (konceptualno znanje). Ko gre za učence z učnimi težavami, se mora učitelj pogosto odločati med tem: Ali razumevanje ali postopki. Odločitev je odvisna od: - Pomembnosti ciljev in vsebin pri nadaljnjem izgrajevanji znanja. Pri nekaterih vsebinah je pomembnejše razumevanje, drugje je pomembneje, da učenec obvlada postopek. - Od uporabnosti v življenjskih situacijah. - Od posebnosti posameznih učencev z učnimi težavami. Primer. Načrtovanje ciljev in vsebin s perspektive učnih težav pri matematiki Sklop: Procentni račun, 7. razred OŠ - Cilji in vsebine, ki so ključni in se nanašajo na razumevanje pojma odstotek. Sem sodijo cilji, ki so namenjeni izgrajevanju koncepta ODSTOTEK. Npr.: prepoznati celoto, prepoznati del celote, prikazati p % od a grafično, grafično ponazoriti del celote, oceniti delež. Če teh ciljev učenec ne usvoji, so tudi pri ostalih ciljih ukrepi pomoči lahko neučinkoviti. - Cilji in vsebine, ki jih lahko učencem z učnimi težavami poenostavimo, priredimo ali celo opustimo. To so cilji povezani z osnovnimi postopki: izračunati del, izračunati delež, izračunati celoto. Če učenec usvoji ključna znanja, potem mu lahko z ustreznimi poenostavitvami (navodili, pripomočki ipd.) pomagamo, da uspešno 'nastavi' račun. Čeprav morda ne razume postopka, pa razume, kaj računa in zna osmisliti izračun. - Cilji in vsebine, ki se le navezujejo na obravnavano temo. Na procentni račun se navezujejo še drugi cilji (npr. besedilne naloge, morda razni izračuni). Pri doseganju teh ciljev pri posameznih učencih lahko prihaja do težav iz drugih vzrokov, tudi če so bili usvojeni ključni in poenostavljeni cilji (težave z branjem besedila, računanjem ipd.). Ravnanja učitelja v primeru, da znanje ni usvojeno kljub dodatnim ukrepom_ - Koncept ODSTOTKA je nujen tako z vidika izgrajevanja matematičnega znanja kot z vidika uporabe v življenju. Zato so cilji: prepoznavanje dela, deleža, celote, grafični prikaz odstotka, ocena odstotka ipd. nujni. Cilji: računanje deležev, računanje odstotkov, računanje osnov idr. morajo biti doseženi, vendar si učenci z učnimi težavami pri tem lahko pomagajo s pripomočki. Glede na vrsto težave pridejo v poštev različni pripomočki, npr. kartonček s formulami, računalo, 'stotiški kvadrat z deleži'. Ukrepi pomoč Za učence z učnimi težavami je pomembno, da so pravila učenja jasna in strukturirana, da vključujejo jasno organizacijo informacij in jasno zaporedje korakov. Strukturirano/vodeno učenje je primerno za učence, ki rešujejo probleme na podlagi celostnega vtisa in težko samostojno ločijo del od celote. V razredu jih prepoznamo po pasivnem pristopu k učenju (manj zapisujejo, izpisujejo, podčrtavajo), imajo manjšo sposobnost za organiziranje in strukturiranje učnega gradiva, težje izločajo pomembne podatke iz besedila, delajo z metodo poskus - napaka, težave imajo s prevajanjem besedilnih problemov v matematične formule. Seveda je tudi te učence treba k dejavnemu učenju spodbujati. Prilagodimo tempo dela, izvajamo izkustveno učenje, delo s konkretnim materialom ... Ne glede na učne težave, tudi sicer, so med učenci razlike, tako v sposobnostih kot v učnih stilih. Pri delu z učenci z učnimi težavami pa bi lahko rekli, da so raznolike učne situacije, prilagojene posamezniku, in izkustveni pouk nujni. Npr. v prvem triletju so pri razvijanju številskih predstav lahko učinkovite dejavnosti barvno zapisovanje simbolov in števil, iskanje asociacij (na matematične pojme), zapisovanje števil na večjo podlago, razvrščanje predmetov v enostavno tabelo, razvrščanje s pomočjo gibanja in na tleh narisanih preglednicah, postavljanje igrač v diagrame, posredovanje navodil po delih (kartončki), barvno zapisovanje števil, oblikovanje plakata z najbolj pogostimi izrazi, ki se navezujejo na posamezne pojme (npr. seštevanje: vsota, dodam, prinesem ... in odštevanje: manj, vzamem stran, prodam ... ), slikovna predstavitev števil, izdelava lastnih didaktičnih pripomočkov idr. Pomembno je tudi, da učenci števila jasno izgovarjajo in se znajo, ko števila izgovarjajo, tudi poslušati. Če si jasno prisluhnejo, bodo slišali vse števke in povečini tudi mestne vrednosti le-teh. S tem bodo njihove predstave o številih jasnejše in tudi sama števila bodo po nareku pravilno zapisali. Poleg tega vzporedno razvijajo tudi slušno pozornost. Nekatere dejavnosti oz. ukrepi so tudi taki, ki naj bi jih učitelj uporabljal za vse učence in ne zgolj za učence z učnimi težavami (urjenje tehnike branja in pisanja, risanje risb oz. skic, priprava delovnega prostora, učenje po korakih, življenjsko ponazarjanje problemov, učenje organizacije zapisov ...). Poleg strukturiranega in sistematično vodenega poučevanja je za učence z učnimi težavami nepogrešljiva tudi uporaba učnih pripomočkov. Pogosto učenci z učnimi težavami lahko usvajajo matematične pojme in postopke ter rešujejo naloge le ob pomoči ustreznih opor. Učni pripomočki morajo biti uporabni, učencu morajo služiti kot opora za ponazoritev pojmov in odnosov, kot pomoč pri razumevanju, opora v procesu učenja, kot opomnik s koraki reševanja idr. Poleg tega, da pripomoček služi učencu kot kognitivno sredstvo, mu lahko pomeni tudi občutek varnosti ali pa motivacijsko sredstvo. Pri odločitvah za pripomočke izhajamo iz potreb učencev, naučimo jih, kako jih uporabljati ter tudi kako naj jih samostojno izdelajo, npr. kartonček s formulami za pomoč pri priklicu; karo papir pri seštevanju/odštevanju zaradi pravilnega podpisovanja; po korakih zapisan postopek reševanja, ki ga izdela učenec sam z izrazi, ki jih razume; razpredelnica z enotami; kartončki s poštevanko ali večkratniki; tabela večkratnikov; stotični kvadrat pri učenju osnovnih računskih operacij; kovanci, žetoni, ploščice, s pomočjo katerih ponazarjamo števila, štejemo naprej, nazaj, po ena, po dve, dopolnjujemo števila, seštevamo, odštevamo, množimo; različne predloge; žepno računalo; uporaba opomnikov idr. Ključno je tudi, da razmislimo, kdaj učenec učne pripomočke uporablja oz. kdaj so učni pripomočki smiselni in učinkoviti. Žepno računalo na primer je pri obravnavi procentov lahko učinkovito, če posameznik slabo obvlada računske postopke, ne pa, če ne razume koncepta odstotka. Zaključek Kot rečeno na uspešnost učenca pri doseganju pričakovanih dosežkov in ciljev pouka poleg zunanjih dejavnikov kot so kakovost učenčevega življenja, spodbudno ali nespodbudno okolje, iz katerega prihaja (Toličic in Zorman, 1977, Serpell 1993, Malačič et. all, 2005, Žakelj at. all, 2009b, Žakelj in Grmek, 2010), intelektualne sposobnosti posameznika (Marjanovič Umek at. all. 2006) idr., vplivajo tudi šolski dejavniki, tako organizacija pouka kot učiteljeva ravnanja. Po Zakonu o osnovni šoli ima vsak učenec z učnimi težavami pravico, da mu šola prilagodi metode in oblike dela, organizira dopolnilni pouk in druge oblike individualne in skupinske pomoči. Da lahko šola učinkovito izvaja ustrezne ukrepe pomoči, je potrebno učne težave učencev pravočasno prepoznati in odkriti vrste in vzroke težav. Za izvajanje učinkovite pomoči učitelj potrebuje veliko znanja, tako o vrstah in vzrokih učnih težav učencev kot tudi didaktičnega in metodičnega znanja za poučevanje učencev z učnimi težavami. Zgodaj odkrite težave pri matematiki in načrtovanje ustreznih oblik pomoči lahko v veliki meri pomagajo pri nadaljnjem otrokovem razvoju na intelektualnem in socialnem področju. Viri 1. Dobravc, S. (2010): Matematika brez solza. Interno gradivo. Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. 2. Kavkler , M. ( 2010):Učne težave pri matematiki - značilnosti, prepoznavanje in obravnava. Interno gradivo. Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. 3. Malačič, J. et al. (2005): Študija o kazalcih ustvarjalnosti slovenskih regij. Služba vlade Republike Slovenije za regionalni razvoj in Ekonomska fakulteta, Ljubljana. 4. Magajna, L., Kavkler, M., Čačinovič Vogrinčič, G., Pečjak, S. in Bregar Golobič, K. (2008a): Koncept dela, program osnovnošolskega izobraževanja. Učne težave v osnovni šoli. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 5. Magajna, L., Pečjak, S., Peklaj, C., Čačinovič Vogrinčič, G., Bregar Golobič, K., Kavkler, M. in Tancig, S. (2008b): Učne težave v osnovni šoli. Problemi, perspektive, priporočila. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 6. Marjanovič Umek, L., Sočan, G., Bajc, K. (2006): Šolska ocena: koliko jo lahko pojasnimo z individualnimi značilnostmi mladostnika in koliko z dejavniki družinskega okolja. Psihološka obzorja, 15 (4), 25-52. 7. Serpell, R. (1993): Interference between Sociocultural and Psyhological Aspects in Cognition. V: E. A. Forman, N. Minick in C. A. Stone, Context for Learning. Oxford Uninversity Press, Inc., New York. 8. Toličič, I., Zorman, L. (1977): Okolje in uspešnost učencev: vpliv socialnoekonomskih in demogeografskih dejavnikov na šolski uspeh in osebnostne lastnosti otrok. Državna založba Slovenije, Ljubljana. 9. Učni načrt, Program osnovna šola, Matematika. Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana, 2011. http://www.mizks.gov.si/si/delovna podrocja/direktorat za predsolsko vzgojo in osnovno solstvo/osnovno solstvo/ucni nacrti/posodobljeni ucni nacrti za obvezne predmete/ 10. Zakon o osnovni šoli (ZOsn), Ur.l. RS, št. 12/1996 11. Žakelj, A., Cankar, G., Bečaj, J., Dražumerič, S., Rosc-Leskovec, D. (2009 b): Povezanost rezultatov NPZ pri matematiki in slovenščini s socialno-ekonomskim statusom učencev: poročilo o raziskavi. Zavod RS zašolstvo, Ljubljana. 12. Žakelj A., Ivanuš Grmek, M. (2010): Povezanost rezultatov pri nacionalnem preverjanju s socialno-kulturnim okoljem učencev, poukom in domačimi nalogami. Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. 13. Žakelj, A., Magajna , Z. (2010): Načrt obravnave učnih težav. Interno gradivo. Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. 14. Žakelj, A. (2010): Podpora učiteljem pri izvajanju prilagoditev učencem z učnimi težavami pri matematiki. Analiza vprašalnika. Interno gradivo. Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. PRISTOPI, STRATEGIJE IN OBLIKE DELA PRI POUKU MATEMATIKE S PREVERJENO UČINKOVITOSTJO Silva Kmetič, Zavod RS za šolstvo, OE Maribor silva.kmetic@zrss.si Pod temo Pristopi, strategije, metode in oblike dela pri pouku matematike s preverjeno učinkovitostjo smo izpostavili naslednje podteme: • Nevralgične točke pri učenju in poučevanju matematike • Različne organizacijske tehnike pri pouku matematike • Diferenciacija in individualizacija pouka • Učne težave pri učenju matematike S poudarkom preverjena učinkovitost smo želeli spodbuditi dokumentirane vzročno-posledične zveze med učinki učenja in poučevanjem. Obstoječi naslov bi lahko zapisali tudi drugače: Kako in zakaj tako poučujem? Naslov pokriva spoznavno-razvojni vidik učenja in organizacijo pouka, zato se je tukaj zbralo največ prispevkov. Izpostavili bi nevralgične ali šibke točke pri učenju in poučevanju, saj so posredno vpletene v ostale izpostavljene vsebine. Šibke točke so vsebine oziroma matematični pojmi in postopki, ki večjemu številu učencev predstavljajo problem pri razumevanju in zapomnitvi. Včasih so to tudi vsebine, ki jih je težko razložiti tudi z vidika matematike. Za učitelje so te vsebine poseben izziv v iskanju poti do razvoja ustreznega znanja za večje število učencev. Nevralgične točke pri učenju in poučevanju so pokrite z organizacijsko motivacijskimi dejavnostmi, manj pa z dejavnostmi, ki bi pomagale učencem s spoznavnega vidika učenja. V prispevkih bomo prebirali o razvoju številskih predstav, računskih operacij in o strategijah reševanja besedilnih in problemskih nalog. Prispevke o diferenciaciji in individualizaciji pouka smiselno dopolnjujejo prispevki o delu z nadarjenimi učenci in o premagovanju učnih težav učencev z učnimi in drugimi primanjkljaji. Seznanimo se z matematičnim pogovorom in pomenom matematične narativnosti, problematiko vrednotenja kompleksnih znanj, timskim poučevanjem, ocenjevanjem oz. računanjem s približki, s procesi matematičnega mišljenja, ki so sopotnik raziskovanja in reševanja problemskih nalog ... Skupina prispevkov se ukvarja s poukom celostno in motivacijsko, z osmišljanjem matematike z realnim in poklicnim kontekstom in s kompetencami vseživljenjskega učenja. Na mnoga vprašanja nismo odgovorili, gotovo pa lahko najdete ideje in vzpodbude za iskanje lastnih rešitev v prispevkih, predstavljenih v tematskem sklopu Pristopi, strategije, metode in oblike dela pri pouku matematike s preverjeno učinkovitostjo. POMEN MATEMATIČNEGA POGOVORA ZA RAZUMEVANJE MATEMATIKE The Importance of Mathematical Discussion for Understanding of Mathematics Polona Legvart, OŠ bratov Polančičev Maribor polonca.legvart@guest.arnes.si Povzetek V razredni skupnosti, v kateri ima vsak otrok dovolj možnosti, da pojasni svoje matematično razmišljanje skozi matematični pogovor, lahko otrok razvije svoje lastno razumevanje matematičnih konceptov. Samo matematično izražanje podpira oblikovanje skupnosti učencev, ki vzpodbuja vsakega od njih, da izrazi probleme, razloži svoje rešitve, odgovori na vprašanja in utemelji odgovore. Obstajajo različni tipi matematičnih pogovorov, ki zahtevajo različne strukture organiziranja učencev v razredu in spodbujajo različne vrste interakcij. Učenci razvijajo matematično narativnost skozi različne oblike matematičnih pogovorov s tem, da svoja opažanja predstavijo drug drugemu, skupaj oblikujejo teorije, si izmenjujejo strategije reševanja in generirajo pravila. Pogovor pri tem pojmujemo tudi kot otrokov notranji dialog, ki se izraža bodisi v besedah, številih ali vizualnih predstavah. Ključne besede: zgodnje poučevanje matematike, matematični pogovor, matematično mišljenje, matematična narativnost, kultura poučevanja. Abstract In a classroom group, where every child has enough opportunity to explain its own mathematical thinking through mathematical discussion, everybody can develop their own understanding of mathematical concepts. The mathematical expression itself supports the building of a community of pupils, which encourages each of them to express their own problems, explain their solutions, respond to questions and reason the answers. Different types of mathematical discussion demand different kinds of organisation and support different kinds of interaction. The children develop their mathematical narration through different forms of mathematical discussion, by introducing their observations to others, modelling theories together, exchanging solution strategies and generating rules. We understand the discussion itself as the child's internal dialogue, expressed either with words, numbers or visual imaginations. Key words: early teaching of mathematics, mathematical talk, mathematical thinking, mathematical narration, culture of theaching. Uvod Jezik ni le sredstvo komunikacije, temveč tudi sredstvo mišljenja in učenja. Vez med matematiko in jezikom je temeljna in kompleksna. Vse faze pouka so tesno povezane z jezikom in pogovorom. V pogovoru učitelji spoznavajo predznanje učencev, opozarjajo jih na neustreznost njihovih pojmovanj, preverjajo, kako so razumeli razlago, učni tekst in podobno (Marentič Požarnik, Plut Pregelj, 2009, str. 36). Izkušnje iz tujine prav tako govorijo o vplivu »kognitivne revolucije« v psihologiji in redefiniranju pogleda na učenje posameznika, natančneje tudi pri poučevanju matematike v osnovni šoli. Pri tem, opirajoč se na Brunerja (1990, 1996), izpostavljajo pomen socialne narave učenčevega učenja na eni strani in razumevanja učenja kot aktivnega konstruktivnega procesa, kjer učenci s svojimi interpretacijami ustvarjajo smisel sveta. Sledijo mnoge raziskave, ki nakazujejo pomembne »razlike v kvaliteti in naravi učenja matematike pri učencih, zlasti na področjih razlage in pojasnjevanja v procesu iskanja matematičnih rešitev. Še več, potrjeni so bili vplivi na kvaliteto matematičnega razmišljanja in razumevanja matematike« (Wood, 2002). Učiteljev izbor didaktičnega modela poučevanja je praviloma tesno povezan z učiteljevim profesionalnim usposabljanjem, didaktičnimi priporočili v učnih gradivih in drugih pedagoških dokumentih ter avtonomnim pedagoškim raziskovanjem. Koliko učitelj sledi prenovljenim kurikularnim izhodiščem, seveda ne sme predstavljati dvoma, kljub temu pa raziskovanje šolske prakse kaže na didaktična področja, ki se le s težavo ločijo od tradicionalnih predstav. S prispevkom želimo izpostaviti, kako pomembno je v zgodnjem poučevanju matematike definirati ne le vsebino, temveč tudi kulturo poučevanja. Pri tem vidimo pomembno vlogo matematičnega pogovora, torej vloge jezika, ki ga želimo podrobneje razčleniti v nadaljevanju. Matematika in jezik Jezik predstavlja vez med resničnim življenjem in matematiko. Razlaga vsakodnevnih situacij skozi matematične modele zahteva dobro razumevanje matematičnih znakov, simbolov in principov. Nekateri raziskovalci so mnenja, da spoznavni razvoj omogoča usvajanje jezika, ali celo »da je otroku zgodnje znanje o tem, kako deluje svet, nujno potrebno, da lahko usvoji govor, ki ga obdaja« (Marjana Erženičnik Pačnik, 2001, str.21). Za matematiko se zdi, da je eno njenih pomembnejših poslanstev v »vzpostavitvi sistema pisnih simbolov, ki se zdijo popolni in se zato pouk matematike opira nanj« (Math Talk, 1988). Zato je tudi učni pogovor najpogosteje omejen na prezentacijo simbolov, ki se v tradicionalnem pouku največkrat omeji na učiteljevo razlago. Danes smo bliže razmišljanju, da matematična raba jezika ni v izvoru bistveno drugačna od ostalih rab ter da vprašanja identitete, forme in funkcije predmetov in simbolov ter njihov namen in smisel prav tako predstavljajo ključna izhodišča za poučevanje, učenje in raziskovanje matematike« (Pimm, 1995, str. 14). Dati priložnost učencem, da govorijo o matematiki, poveča možnost za njeno razumevanje in izboljšanje natančne rabe jezika in učenca nauči (Swan, 2005, str. 31): ■ kaj besede in simboli pomenijo, ■ kako je možno ideje povezovati skozi vsebino, ■ zakaj so določene metode uspešne, ■ zakaj je nekaj narobe, ■ kako lahko učinkoviteje rešiš probleme. Nekatera prizadevanja za posodobitve pouka matematike vidijo torej priložnost v matematičnem pogovoru (diskusiji). Zanje je tovrstna dejavnost kompleksna učna situacija za učitelja in učenca, ki zajame vse elemente didaktike pouka. Pomemben je izbor nalog, vrsta in način postavljanja vprašanj, zanimajo nas učni stili, sam proces učenja, ki ga evalvacija pogovora odkriva, in ne nazadnje organizacija pouka. Matematični pogovori prispevajo k ustvarjanju razredne kulture (pri nas uporabljamo tudi izraz klime), v kateri se pričakuje odgovorno sodelovanje in aktivno razmišljanje. Primer: CD 7 5 4 2 CO 4 CD 8 CD Učiteljica: Pred seboj imamo skupine kvadratov s števili. V nekaterih skupinah manjka po eno število (ki ni enako), ki pa jih lahko poiščemo z utemeljitvijo, ki velja za vse rešitve. Učenec A: V sredinskem kvadratu manjka 7. Učenec B: Ja. Učiteljica: Kako si prišel do 7? Učenec A: Ker je med 6 in 7 razlika 1 in je tudi med 4 in 5 razlika 1, sem k 6 dodal eno več. Učiteljica: Ali enako pravilo velja tudi za zadnje štiri kvadrate? Učenec B: Izgleda, da ne. Ta je eno število »vsiljivec«. Učiteljica: Kaj to pomeni? Učenec B: To je število, ki vse pokvari in potem ni več prav. Učiteljica. Torej prvo pravilo ne deluje. Učenec A: Ne, ne deluje. Učiteljica: Morda pa lahko izvemo kaj več iz prve skupine kvadratov. Učenec B: Zakaj sta dva pobarvana? Tišina. Učenec A: Aha, ker če ju seštejemo, dobimo 10. Učenec B: V drugi skupini bi lahko potem tudi pobarvali 6 in 4, pa so jih pozabili. In v tretji tudi. Tišina. Učenec B: Ampak lahko bi tudi pobarvali 3 in 7 v prvih kvadratkih. Učenec A: Seveda, morda pa je pravilo takšno, da morajo pari kvadratov biti skupaj 10? Učenec B: Ja, tako bo. Bravo, našli smo pot. Učiteljica: Res je. Ali bi morda obstajal še kakšen drug način? Matematični pogovor, izveden v času pouka, maja 2012, ob nalogi v delovnem zvezku Empirične analize pouka matematike so z analizo učnega pogovora pripeljale do generalizacije vzorcev kulture pogovora v različnih kulturah poučevanja (Wood, 2002): Konvencionalna kultura poučevanja kontekst pogovora matematično razmišljanje aktivnost učenca pos ušalci učitelj učenci poročanje poprava odgovor priklic odgovora in/ali postopka pove odgovor, opiše postopek preveri in oceni rešitve nalog je pozoren Reformna kultura poučevanja kontekst matematično aktivnost poslušalci pogovora razmišljanje učenca učitelj učenci o odgovornost za sodelovanje strategije reševanja, razmišljanje primerjanje iskanje nasprotij išče različne poti d g o v o sprejme izdelek išče/najde različne poti spraševanje, poizvedovanje, preiskovanje razlogi za razčiščevanje, postavljanje išče najboljšo rešitev, poišče —s n o t z a u sprašuje, išče argumente poti ponujajo smisel, sprašuje vprašanj razloge zanjo č e nj e pojasnjevanje, argumentiranje razlogi za zagovarjanje ali nov izziv tehta, brani rešitve se (ne) strinja, išče izzive se (ne) strinja, išče izzive Odgovornost za učenje matematike, ki se razvija skozi tri ločene kontekste (strateško reševanje, spraševanje in pojasnjevanje), spodbuja premik od teoretičnega kognitivnega razumevanja matematike h konceptualnemu razumevanju. Odgovornost za učenje se poveča in s tem tudi učenčeva avtonomija v učenju. Analize so pokazale tudi povečanje odgovornosti za sodelovanje pri učenju in spremembe v vzorcih vedenja, zlasti spremenjene vloge poslušalca. (Wood, 2002.) V literaturi avtorji razvijajo različne kategorije učnega pogovora. Pri prvi se bomo oprli na Lyn Wichkham, ki med formalnimi in manj formalnimi oblikami pogovora umešča naslednje (Wickham, 2008). Formalni so: Transmisijski pogovor. To je vrsta učnega pogovora, pri katerem učitelj vidi svojo nalogo v prenosu v učnem načrtu definirane učne vsebine. Učitelj učni pogovor vodi, pri čemer ni veliko priložnosti, da bi učenci uporabljali in razvijali svoj matematični jezik. Nanj se učenci odzovejo s formalnim/prezentacijskim govorom. Je tudi pri nas pogost. Formalni/prezentacijski pogovor. Z njim učenci izrazijo svoje razumevanje z govorjenjem ali zapisom. Praviloma je oblikovan v skladu s pričakovanji poslušalcev in ni namenjen predstavitvi govorčevih idej (Norman, 1992, str.126 v Wichkam, 2008). Tudi ta oblika pogovora je pri nas zelo pogosta, na kar kažejo pojasnila učiteljev, da s pogovori v razredu želijo predvsem »popestriti razlago, zbuditi oziroma vzdrževati pozornost učencev, jih morda tudi bolje motivirati in aktivirati, zlasti pa ugotoviti, koliko so si zapomnili od prejšnjih ur in kaj že vedo, tako da potem na to navežejo nadaljnjo obravnavo snovi.« (Marentič Požarnik, Plut Pregelj, 2009, str. 16). Neformalni so: Disputacijski (razpravljalni) pogovor. Namenjen je izmenjavi mnenj, pri čemer praviloma gre za nestrinjanje ali uveljavitev individualnih odločitev, stališč oziroma rešitev. Podatki postanejo argumenti in različna stališča konfliktne točke. V tem primeru ne gre za individualni pristop, četudi gre za skupinsko oblikovane naloge. Kumulativni (povzemajoči) pogovor. V tem primeru gre za ubesedovanje »skupnega vedenja« in iskanje stičnih idej in rešitev. Najpogosteje ga srečamo v obliki povzemajočih zaključnih nastopih ob zahtevnih vsebinah, kjer se išče soglasje ali prilagojenost nekim pomembnejšim normam, vsebinam. Eksplorativni (raziskovalni) pogovor. Odkrivanje, raziskovanje in preiskovanje mnenj drugih z namenom konstruktivnega iskanja skupnih idej je značilnost eksplorativne oblike pogovora. Zlasti je dobrodošel pri reševanju zahtevnih problemov, saj implicira sodelovalne oblike dela, vključuje kritični razmislek in pripomore k iskanju transparentnih in najbolj smiselnih rešitev. Matematični pogovor pa ima lahko tudi različne strukture participacije oz. načine organiziranja učencev v razredu. S tem se usmerjajo in razvijajo različne oblike interakcij. Tudi tovrstnih klasifikacij je v strokovni literaturi zelo veliko, mi pa bomo povzeli standarde Ameriškega nacionalnega sveta učiteljev matematike (NTCM), katerega poslanstvo je podpora učitelju pri razvoju kvalitete matematičnega poučevanja in matematičnemu pogovoru in njegovim oblikam posveča posebno in pomembno pozornost. Navajajo naslednje oblike matematičnega pogovora: Reši in povej (razloži, vprašaj, utemelji). Skupina 4-5 učencev rešuje matematični problem z uporabo strategije, ki jo izberejo sami. Dva od njih gapredstavita, pri čemer se od ostalih pričakuje, da bodo postavljali vprašanja in se med seboj podprli v prizadevanjih za razumevanje problema in kako ga rešiti. Korak za korakom. Skupina učencev, ki rešujejo isti matematični problem, pozorno, korak za korakom razvija pot do rešitve, jo sproti predstavlja sošolcem ter medsebojno usklajuje. Delo v parih. Pri reševanju problema sodelujejo pari učencev, si medsebojno pojasnjujejo strategije reševanja, napovedujejo možne rešitve in si ob težavah vzajemno pomagajo. Delo celotnega razreda pod vodstvom učencev. Učenec, ki v procesu učenja že razume matematični koncept in je pri tem hiter in spreten, usmerja strategijo reševanja določenega matematičnega problema s celotnim razredom. V idealnem primeru lahko pride na vrsto vsak učenec. Delo po scenariju. V primeru rabe scenarija skupina učencev predstavi matematično vsebino in odnose na vizualen način. Pred ostalimi sošolci na konkretnem primeru »odigrajo« določeno matematično situacijo. Delo v majhnih skupinah. Učitelj lahko, če to dopuščajo tema, prostor in čas, spodbudi učence k spontanemu ali k naprej načrtovanemu oblikovanju skupin. Pri predstavitvi rezultatov sodelujejo vsi člani skupine. To je bilo le nekaj ponujenih oblik dela z vključevanjem matematičnega pogovora. Njihova raba pri pouku matematike zahteva premisleke in premike v načrtovanju, izvajanju in evalvaciji pouka matematike. Izkušnje kažejo, da je potrebna drugačna struktura (didaktična artikulacija) pouka, izbor nalog in dejavnosti, posledično pa se spremni tudi kultura poučevanja. Pomen narativnosti v matematiki Matematično mišljenje in razumevanje sta med seboj povezana. Šola pa je »po večini usmerjena v razvijanje logično-analitičnega, znanstvenega mišljenja, ki je usmerjeno v odkrivanje zakonitosti objektivnega sveta in si prizadeva odkriti resnico na podlagi nekih pravil, po katerih ljudje svet opazujejo, merijo, predelujejo, klasificirajo, dokazujejo ipd.« (Marentič Požarnik, Plut Pregelj, 2009, str. 43). S te perspektive je lahko razumevanje matematičnih količin mentalni proces, ki se dogaja v glavi učenca, zahteva določene pogoje in mehanizme, kot je količina in trajanje ponovitev in ni nujno vezan na jezik oziroma razvoj govora. V dokaz je vrsta eksperimentov z živalmi, kot so golobi, miši in opice, ki so v procesu hranjenja razumele vzorec in po mnenju raziskovalcev razumele količine ter simbole zanj, kot je npr. potrebno število dotikov, časa ipd., da so v eksperimentu prišle do želene nagrade. Če sledimo temu razmišljanju, bi lahko sklepali, da je za razvoj matematičnega mišljenja, recimo razumevanja matematičnih količin, najpomembnejša ponavljajoča izkušnja, ki se skozi akumulacijski model zasidra v zavest oziroma generalizira v t. i. razumevanje, ki se manifestira skozi pravilno rešeno nalogo na testu (Gallister, Gelman, 2005, str. 9). Živalim vse to uspe, ne da bi obvladale govor. »Poleg logično-analitičnega mišljenja, s katerim dokazujemo resničnost nekega pojava in hipotez, obstaja tudi pripovedno (narativno) mišljenje, ki odseva subjektivno, a še vedno resnično plat človekovega sveta in vključuje njegova čustva, voljo in motive. Logično-analitično mišljenje se nanaša na preverjene empirične resničnosti, tudi tiste, ki jo je zgradil človek (abstraktni sistemi, npr. matematika), s pripovednim mišljenjem pa si razlagamo verjetnost zgodbe glede na namene, ki jih imajo protagonisti zgodbe (Marentič Požarnik, Plut Pregelj, 2009, prav tam). Ker se matematično mišljenje izraža z znaki, ki so lahko besede ali grafi (simboli, risbe, diagrami ali sheme), je potrebno v procesu učenja vzpostaviti semiotično povezavo med znaki in razumevanjem. To je mogoče z inter- ali intrapersonalno refleksijo, kjer pomembno vlogo igra prav matematični govor in osmišljanje skozi lastni zaznavni svet. Nekateri raziskovalci vidijo v zgodnjih letih poučevanja matematike prav v »matematični narativnosti« pot do boljšega razumevanja in večjega interesa (Perkkila, Aarnos, 2007). Raziskava, narejena v okviri Univerze Jyvaskyla, v kateri je sodelovalo nekaj manj kot 300 otrok, potrjuje, da se učenci skozi pouk matematike seznanijo z različnimi oblikami matematičnih simbolov, ki pa jih nujno ne povezujejo z vsakodnevnimi izkušnjami, temveč ostanejo v referenčnem okvirju »učenja matematike«. Delno smo jo preizkusili tudi pri nas na osnovni šoli in pripravljamo v prihodnje širšo študijo. Najmlajšim šolarjem so ponudili serijo fotografij vsakdanjega življenja in jih poprosili, naj odgovorijo na naslednja vprašanja: Ali na sliki opazijo karkoli, kar bi povezali z matematiko? Kako zaznavajo matematiko na izbrani sliki? Ali lahko zapišejo svoje matematične ideje pod izbranimi slikami? Primer: i i i 1 „To ni matematika. To je SPO." „Lahko bi prešteli, koliko je jagod." „Tu ni nič matematike. Matematika so številke." „Če bi šteli grozdje, bi moral poznati do 100. To pa zna moj brat, ki že hodi v šolo." „Lahko izračunaš, koliko grozdja je treba za en sok." „Lahko bi ga stehtali." „Lahko bi napisali račun s plusom. Ali pa z minusom, če bi jagode pojedli." Matematični pogovor, izveden v času pouka, junija 2012, slikovni vir prosto dostopen Dobljeni odgovori so pokazali, da kljub vključevanju učencev v mnogo dejavnosti z matematičnim pogledom učenci pogosto dojemajo matematiko kot izoliran učni predmet, ki v resnici nima pomena v njihovem vsakdanjem življenju. Omenjeni eksperiment pa nekateri raziskovalci vidijo tudi kot način, kako vzpostaviti odnos med matematičnimi simboli in referencami razumevanja matematike. Učenje matematike dobi dodaten smisel. Sklep Med ljudmi je precej razširjeno prepričanje, da so "eni bolj za matematiko, drugi pa bolj za govorjenje". To ni utemeljena delitev, saj je tudi za matematično izražanje in učenje jezik zelo pomemben. Pri pouku matematike lahko to izkoristimo z uporabo matematičnega pogovora. Na ta način učenca postavimo v aktivnejšo in odgovornejšo vlogo. V strokovni literaturi s področja didaktike matematike so opisane različne kategorije pogovora, formalne in neformalne. Učitelj jih mora izbirati s premislekom in glede na cilje pouka. Na razredni stopnji je narativnost še pomembnejša kot sicer v šoli. Skozi pripoved si otrok ustvarja vse bolj artikulirano sliko svojega okolja. Postopoma se vključuje tudi strokovni jezik, skupaj s simboli. Vse to velja tudi za pouk matematike. Na ta način otroci lažje in hitreje razberejo abstraktna matematična razmerja v realnem okolju. Učenje matematike dobi dodaten smisel. 1. Gallister C. R., Gelman R. (2005): Mathematical Cognition. Pridobljeno 2. 4. 2012, iz http://bilder.buecher.de/zusatz/14/14676/14676883 vorw 1.pdf 2. Marentič Požarnik, B., Plut Pregelj, L. (2009): Moč učnega pogovora. DZS, Ljubljana. 3. Norman, K. (1992): Thinking voices - The work of the national oracy project. Hodder and Stoughton, London. 4. Math Talk (2th ed.). (1988): Leckhamton: The Mathematical Association and Stenley Thornes Publishers ltd. 5. Math Talk Learning Community (b.d.). NTCM. Pridobljeno 2. 4. 2012 iz: http://www.eduplace.com/math/mthexp/pdf/mathtalk.pdf 6. Erženičnik Pačnik, M. (2001): Nekateri vidiki razvoja otrokovega govora z ozirom na zgodnejše všolanje. Doktorska disertacija. Univerza v Ljubljani, Filozofska fakulteta, Ljubljana. 7. Perkkila, P., Aarnos, E. (2007): Children talk about mathemtic and mathematical talk. Pridobljeno 4. 4. 2012, iz https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/18035/978-951-39-3057-8.pdf?sequence=1 8. Plut Pregelj, L. (2005): Sodobna šola ostaja šola: kaj pa se je spremenilo. Sodobna pedagogika, 56 (122), 16-31. 9. Pimm, D. (1995): Symbols and meanings in school mathematics. Routledge, London in New York. 10. Swan, M. (2005): Standards units: Improving learning in mathematics. DfES, Sheffield. 11. Wickham, L. (2008): Generating mathematical talk in the Key Stage 2 classroom. Pridobljeno 28. 4. 2012 iz http://www.bsrlm.org.uk/IPs/ip28-2/BSRLM-IP-28-2-20.pdf 12. Wood,T. (2001): Teaching differently: Creating oportunaties for learning mathematics. Theory into Practice, 40. (Special issue, realizing Reform in School Mathematics). 13. Wood, T. (2002): What does it Mean to Teach Mathematics Differently? Pridobljeno: 1. 5. 2012, iz http://www. nzcer. org. nz/pdfs/BES016.pdf RAZVIJANJE SPRETNOSTI OCENJEVANJA PRI POUKU MATEMATIKE - ISKANJE PRIBLIŽKOV Developing Estimation Skills at Mathematics - Searching for Approximations Darja Antolin, Pedagoška fakulteta Maribor, Univerza v Mariboru darja.antolin@uni-mb.si Povzetek V prispevku so predstavljene tri različne vrste ocenjevanja približkov: ocenjevanje pri merjenju, ocenjevanje pri razvijanju številskih predstav in ocenjevanje pri računskih operacijah. V okviru vsake vrste ocenjevanja navajamo ocenjevalne strategije, ki omogočajo pestro in predvsem uporabno možnost razvijanja ocenjevalnih spretnosti otrok pri pouku matematike na razredni stopnji. Poleg izsledkov raziskav s področja ocenjevanja so v prispevku predstavljeni tudi praktični primeri aktivnosti za vsako izmed treh vrst ocenjevanja. Analiza slovenskih učbenikov za razredno stopnjo je namreč pokazala, da se v njih ocenjevanje pojavlja le v zametkih in še zmeraj v premajhnem obsegu, čeprav je kot operativni učni cilj že nekaj časa prisoten v učnem načrtu za osnovno šolo. Tudi rezultati raziskav PISA in TIMSS kažejo, da so učenci v Sloveniji na področju ocenjevanja še zmeraj slabi. Ključne besede: ocenjevanje, spretnosti, merjenje, računske operacije, števila. Abstract In this article three different types of estimation are presented: measurement estimation, quantity estimation and computational estimation. Within each type of estimation, strategies are proposed, to enable rich and useful option to develop the estimation skills of children in mathematics on primary level. Further more, the article exposes the findings of some researches concerning estimation and includes practical examples of activities for each type of estimation. Namely, analysis of Slovenian textbooks for elementary level has revealed, that estimation is rarely included in them, although it is stated as an operative objective in the elementary curriculum. Also, findings of the PISA and TIMSS researches have indicated, that Slovenian children do not have appropriate estimation skills. Key words: estimation, skills, measurement, computation, quantity. Uvod Ocenjevanje kot termin ima v slovenskem prostoru več pomenov. V Slovarju slovenskega knjižnega jezika (SSKJ, 1997) najdemo ocenjevanje pod izrazom aproksimacija, kar pomeni približna ocenitev, približno ocenjevanje. V matematiki ocenjevanje tipično pomeni najti zgornjo in spodnjo mejo količine, ki je ne moremo takoj precizno izračunati in je tudi upravičena domneva (Vir 17). Termin ocenjevanje se uporablja tudi za vrednotenje oziroma ocenjevanje z ocenami, vendar nas ta vidik ne bo zanimal. V prispevku pozornost namenjamo ocenjevanju kot eni izmed spretnosti pri pouku matematike. Ocenjevanje se že nekaj časa izkazuje kot koristna in uporabna sposobnost v mnogih situacijah, tudi v vsakdanjem življenju. Repež, Drobnič Vidic in Štraus (2008) menijo, da bi z izgradnjo ocenjevalnih spretnosti morali začeti že pred vstopom v šolo in jih postopno ter sistematično izgrajevati do take mere, da se bodo učenci znali spopadati z vsakdanjimi izzivi in problemi. Z razvijanjem spretnosti ocenjevanja predstavljamo učencem drugo dimenzijo matematike. Učenci kmalu spoznajo, da je matematika veliko več kot pa le računanje in natančnost. Ocenjevanje spodbuja prilagodljivost pri delu s števili in z meritvami ter daje učencem možnost za preverjanje smiselnih rezultatov. Ocenjevanje je torej spretnost, ki jo lahko vključujemo v najrazličnejše dejavnosti, tako vsakdanje oziroma življenjske kot v načrtovane šolske dejavnosti (NCTM, 1989). Učni načrt za matematiko (2008) predvideva ocenjevanje na področju merjenja, številskih predstav in pri računskih operacijah. Kljub temu pa je pregled slovenskih učbenikov za razredno stopnjo pokazal, da je ocenjevanje v njih prisotno le v skromni meri (Vrtin, 2010). Posledice tega kažejo tudi rezultati raziskav TIMSS 2003 (Japelj Pavešič idr., 2005), TIMSS 2007 (Japelj Pavešič idr., 2008) in PISA 2006 (Repež, Drobnič Vidic in Štraus, 2008), iz katerih je razvidno, da so slovenski učenci na področju ocenjevanja še zmeraj slabi. V nadaljevanju predstavljamo ocenjevanje pri vsakem od treh vsebinskih področij, skupaj z različnimi ocenjevalnimi strategijami. Z uporabo teh ocenjevalnih strategij želimo pri učencih ozavestiti, da je ocenjevanje (Reys, 1981): hitrejše (hitrejše od pisanja na papir in hitrejše od tipkanja na žepno računalo); smiselno (ocena je 'dovolj blizu' tistemu, kar potrebujemo); miselna operacija (računamo samo s števili, s katerimi lahko operiramo) in da je uporabno. Ocenjevanje Van de Walle (2007: 246-247) predlaga naslednje smernice za razvoj spretnosti ocenjevanja: - Povezanost z vsakdanjim življenjem. Z učenci se pogovarjamo o situacijah, v katerih uporabljamo ocenjevanje pri računskih operacijah, ocenjevanje pri merjenju in ocenjevanje pri razvijanju številskih predstav v realnem življenju. - Terminologija pri ocenjevanju. Besede in fraze, kot so okrog, blizu, komaj, skoraj, približno toliko kot, malo več ali manj kot in med, so del terminologije ocenjevanja. Učenci morajo razumeti, da se skušajo z oceno čim bolj približati realnemu podatku, seveda z uporabo najhitrejše in najenostavnejše metode. Razumeti morajo, da pravilne ocene ni. - Uporaba že znanega. Uporaba znanja, ki ga že imamo, igra glavno vlogo pri ocenjevanju. Brez predhodnega spoznavanja posameznih enot za količine kot so dolžina, ploščina, čas, denar in masa ne bi mogli ocenjevati s standardnimi enotami in oceniti, ali bomo na primer lahko kupili vsa živila s seznama, če imamo v denarnici le 10 evrov. - Sprejemljivost ocen v obsegu. Vsak učenec bo k ocenjevanju pristopil z nekoliko drugačno metodo in vsak bo pri oceni dobil nekoliko drugačen rezultat. Vsi pa bodo ugotovili, da se ocene gibljejo v bližini natančnega rezultata. Tako pridejo do spoznanja, da različni pristopi predvidevajo različne rezultate. - Uporaba različnih metod. Razpravljanje o različnih ocenjevalnih metodah in strategijah je prav tako pomembno, kot je razvijanje sposobnosti in učenja osnovnih operacij in računanja. Kakršno koli nalogo damo učencem, lahko do njene rešitve pridemo na podlagi različnih metod in strategij. Pogovor o različnih pristopih bo učencem pomagal do spoznanja, da ne obstaja pravilna ocena. Različne strategije razvijajo različne ocene, lahko pa se zgodi, da z različnimi strategijami pridemo do enakih ocen. Ocenjevanje pri merjenju Ocenjevanje pri merjenju pomeni, da določimo približno mero, ne da bi nekaj natančno izmerili. Ocenjujemo lahko brez uporabe enot, samo s primerjanjem z znanim mejnikom (npr. vaša soba je nekoliko večja od naše, češnja je mnogo višja od slive, v levem kozarcu je približno toliko vode kot v desnem ...), lahko pa ocenjujemo z uporabo nestandardnih ali standardnih enot: dolžino sobe lahko ocenimo s pomočjo korakov, palice ali slamice, ocenimo lahko tudi maso lubenice ali katerega drugega sadja (Van de Walle, 2007). Ocenjevanje pri merjenju služi kot sredstvo za poučevanje in ovrednotenje merjenja s pomočjo naprav, zato je ocenjevanje pri merjenju tudi pomembna samostojna vsebina in je pogosto edina razpoložljiva ali potrebna metoda za reševanje problemov. Ker ocenjevanje ne potrebuje pripomočkov, lahko z njegovo pomočjo naloge rešujemo hitro. To lahko ljudem, ki se ukvarjajo s storitvami, kot sta na primer polaganje podov in šiviljstvo, pripomore do hitre rešitve (Usiskin, 1986). Joram, Subrahamanyam in Gelman (1998) v svojem članku z naslovom Measurement Estimation: Learning to Map the Route From Number to Quantity and Back podajajo predloge za poučevanje ocenjevanja pri merjenju. V pričujočem delu se osredotočijo na ocenjevanje linearnih mer, kot sta dolžina in razdalja, ker gre za količino, ki se začne pri otrocih razvijati prva. Omenjeni avtorji menijo, da se ocenjevanje pri merjenju na nek način zelo dobro navezuje na mentalno štetje. Številska os, na kateri so predstavljena števila, bi zlahka predstavljala tudi merske enote, če so te izražene v celih številih. Po njihovih ugotovitvah je ključ do uspešnega merskega ocenjevanja konstrukcija mentalne merske osi, na kateri so predstavljene mentalne velikosti in njim pripadajoče merske enote. Joram in ostali (1998) poudarjajo pomembnost ocenjevanja pri merjenju v praksi, kar pomeni, da je potrebno razumeti, da je merjenje situacijsko pogojeno. Tako nekdo popolnoma razume, koliko znaša velikost 12 palcev. Da pa bi razumel, da je 12 palcev v določenem kontekstu velika mera, v drugem pa ne, mora razumeti odnose med kontekstom in merami. Strategije ocenjevanja pri merjenju Ocenjevalne strategije pri merjenju so metode in postopki, ki nam lahko pomagajo in služijo pri reševanju različnih problemov. Obstaja pet različnih strategij (Van de Walle, 2006: 278-279): - Uporaba referenčnih ali osebnih mejnikov S pomočjo te strategije seznanimo učence z enotami. Učenci morajo za posamezne enote imeti dober primerek iz ocenjevanja nestandardnih enot (relativne, konstantne), koristne pa so tudi različice standardnih enot. Učenci lahko na ta način s pomočjo nestandardnih enot v mislih primerjajo predmete, ki jih ocenjujejo. Primer: To drevo je visoko približno toliko kot štiri vrata, torej je visoko 8 ali 9 metrov. Razvoj osebnih mejnikov izboljša spretnosti ocenjevanja. Naštejmo nekaj možnih osebnih mejnikov (gre za natančne mere, s katerimi se srečujemo v vsakdanjem življenju): • Otroško ravnilo je dolgo 30 centimetrov. • List formata A4 je dolg 21 centimetrov in širok 30 centimetrov. • Razdalja od nosu in konice prsta je približno 1 meter. • Šolska vrata so visoka 200 centimetrov ali 2 metra. • Masa čipsa znaša 30 gramov. • Prostornina klasične pločevinke pijače znaša 333 mililitrov. • Vinska steklenica vsebuje 750 mililitrov vina. • Prostornina soka ali mleka v tetrapaku znaša 1 liter (1000 mililitrov). • Liter vode je enak enemu kilogramu (1000 gramov). - Metoda "koščkov" Za učence je morda lažje oceniti dolžino posameznih delov stene kot pa dolžino celotne stene. Težo kupa knjig je lažje oceniti, če prej določimo težo »povprečne« knjige. Slika 1 prikazuje, kako lahko po delih ocenimo dolžino sobe s pomočjo predmetov, ki so v sobi (okno, oglasna deska ...) in s prostori med posameznimi deli. Nato uporabimo osebni mejnik, na primer moja postelja meri okoli 2 metra. V dolžino sobe lahko spravim 3 takšne postelje in še pol metra. Torej znaša dolžina sobe med 6 in 7 metrov. Slika 1: Ocenjevanje količin po delčkih - Subdivizija Ta strategija je podobna metodi koščkov, kjer ocenjevalec predmet razdeli na posamezne kose oziroma odseke. Če morajo učenci oceniti dolžino stene, ta pa nima nobenih uporabnih vizualnih odsekov, jo lahko v mislih razdelijo na polovico in nato na četrtine ali celo osmine. Ta postopek razpolavljanja ponavljajo tako dolgo, dokler ne dobijo dolžine, ki je za njih obvladljiva. To metodo lahko uporabimo za merjenje dolžine, prostornine in površine. - Iteracija enote (miselna ali fizična) Dolžino, površino in prostornino lahko vizualno razdelimo na posamezne enote. Pri tem lahko učenci uporabijo roke ali pa si pomagajo z oznakami ali pregibi oziroma gubami. Kadar ocenjujemo dolžino, so kot enote zelo uporabne telesne mere. Če učenec ve, da je njegov korak dolg tri četrtine metra, lahko prehodi določeno razdaljo in jo nato oceni tako, da pomnoži telesno mersko enoto s številom korakov. Za merjenje krajših razdalj lahko uporabimo roko ali prste. - OMO zaporedje (oceni - meri - oceni) Izberemo pare objektov, ki imajo primerljive mere. Prvi predmet učenci ocenijo, nato pa izmerijo. Za tem ocenijo drugi predmet. Primeri: razdalja med očmi in širina glave, teža peščice frnikol in teža vrečke frnikol, razlika med širino okna in širino zidu. Ocene sprejmemo v širokem intervalu. Za dolžino je sprejemljivo 10 odstotkov, za maso ali volumen pa 30 odstotkov odstopanja. Pomembno je, da ocenjevanje postane dnevna rutina, poleg tega učencem omogočamo, da se poskusijo v ocenjevanju vseh lastnosti danega objekta (Van de Walle, 2006). Aktivnosti s področja ocenjevanja pri merjenju je v primerjavi z aktivnostmi, ki pokrivajo ostali dve področji ocenjevanja, največ. V nadaljevanju navajamo le nekaj primerov: - V TV oddaji si zadel denarno nagrado. Ponudili so ti, da izbiraš med naslednjimi možnostmi: • 1 kg kovancev v vrednosti 1 €, o • 1 m2 pokrit s kovanci v vrednosti 50 centov, • 15 m dolgo črto, ki jo sestavljajo kovanci v vrednosti 10 centov (tako, da kovanci ležijo eden poleg drugega). Kaj boš izbral, če želiš prejeti čim večjo vsoto denarja? - Kako dolga bi bila črta, ki bi jo oblikovali vsi učenci vašega razreda, tako da bi se prijeli za roke? - Prašiček (Brahier, Kelly in Swihart, 1999), - Voda (Ellis in Yeh, 2007), - Golobica miru (Potts, 2000), - Hišica (Emenaker, 1999). Ocenjevanje pri razvijanju številskih predstav O ocenjevanju pri razvijanju številskih predstav govorimo, kadar določimo približek številu v neki množici števil. Primer: ocenimo število študentov v neki predavalnici ali pa število bombonov v neki posodi, ne da bi študente oziroma bombone predhodno šteli (Van de Walle, 2007: 246). Opfer in Siegler (2007) ugotavljata, da ima večina učencev težave pri ocenjevanju. Ne glede na to, ali gre za ocenjevanje razdalje, denarnih zneskov, števila posameznih predmetov ali pozicije števil na številski osi so namreč ocene od 5 do 10 let starih otrok zelo nenatančne. Slabe ocenjevalne sposobnosti lahko usodno vplivajo na splošno matematično znanje, saj igra ocenjevanje odločilno vlogo pri številnih matematičnih dejavnostih. Opfer in Siegler (2007) menita, da imajo učenci težave z ocenjevanjem pri razvijanju številskih predstav zaradi neprimerne izbire številske reprezentacije. Učenci uporabljajo nepravo reprezentacijo v tistih primerih, kjer bi bila bolj zaželena prava. Primer: Za lačno žival sta 2 ali 3 kosi hrane veliko bolj pomembni kot razlika med 87 in 88 kosi hrane. Prav tako je razlika, če prejmemo darilo za 1 evro ali za 100 evrov veliko bolj pomembna kot pa razlika v znesku prejetega darila med 1 000 001 evrov in 1 001 100 evrov. Omenjena avtorja govorita o t.i. linearni in logaritemski reprezentaciji. Linearna sprememba je običajna (od 100 do 1000 je 900). Logaritemska sprememba pa pomeni predstavitev z zapisom s potenco (100 = 102), linearna razlika 900 torej ustreza logaritemski razliki 1. Večja kot so števila, večja je razlika med eno in drugo obliko. Primer: 100 000 000 in 10 000 000 izgledata le za 10 narazen, v resnici je razlika med njima ogromna, mnogo večja kot med 100 in 1000, ki imata enako logaritemsko razliko. Za učence je ocenjevanje velikih števil in njihovo primerjanje mnogo težje kot pri majhnih številih. Strategije ocenjevanja pri razvijanju številskih predstav Številske predstave so močno povezane s svetom okoli nas in predstavljajo začetek osmišljanja sveta na matematični način. Obstajajo vsaj tri različne strategije, ki nam pomagajo pri reševanju nalog pri ocenjevanju števil. Te so zelo podobne neka terim strategijam, ki jih uporabljamo pri ocenjevanju pri merjenju in ocenjevanju pri računskih operacijah; razlikujejo se le v kontekstu posameznih nalog. - Subitizacija - Izraz subitizacija je izpeljan iz latinske besede s pomenom 'suddenly' (nenadoma) in pomeni direktno zaznavo, občutljivost za številnost skupine. Subitizacija je »takojšnje videnje koliko.« Razvija koncept števila, obenem pa je pomembna, ker spodbuja ocenjevanje. S tem mislimo predvsem na perceptualno subitizacijo, kjer učenci prepoznajo število brez uporabe matematičnih procesov (Van de Walle, 2006). - Uporaba referenčnih ali osebnih mejnikov. Da bi učenci lahko ocenjevali število bombonov v večjem kozarcu, potrebujemo manjši kozarec z bomboni, katerega število bombonov je znano. Ta manjši kozarec učencem predstavlja neko referenco, s pomočjo katere lahko ocenijo in določijo število bombonov (Taylor-Cox, 2001). - Metoda "koščkov" temelji na ideji, da je za učence morda lažje oceniti število sponk ali barvic, če si jih grupirajo v množice po približno 10 elementov. Na področju razvijanja številskih predstav lahko najdemo različne aktivnosti, skozi katere razvijamo številske predstave, še posebej na področju večjih števil, kot je številski obseg nad 1000. Kot primer nekaj aktivnosti, ki so podrobneje predstavljene v istoimenskih člankih citiranih avtorjev: - Koliko frnikol potrebujemo za poln vrč? (Taylor-Cox, 2001), - Koliko bilk trave je na nogometnem igrišču? (Nuget, 2006). Ocenjevanje pri računskih operacijah Kadar koli se srečujemo z računanjem v realnem življenju ali v šoli, imamo na razpolago raznoliko izbiro, s pomočjo katere se lahko odločimo, kako se bomo soočili z računanjem. Odločitev, ki jo moramo sprejeti, je, ali potrebujemo natančen odgovor ali pa bo približen rezultat zadovoljiv. Če imam v žepu 100 evrov in grem v trgovino po televizor in pralni stroj, je tudi brez računanja jasno, da ne morem kupiti ničesar. Gre torej za določanje števila, ki je približek izračuna, ki ga ne moremo ali ne želimo natančno izračunati (Van de Walle, 2007: 246). Ocenjevanje pri računskih operacijah je definirano kot iskanje približnih odgovorov, ne da bi (pred tem) dejansko izračunali rezultat (na primer: 146 + 69 + 48 = 260; 47 • 53 = 2500). Z raziskovanjem kognitivnih procesov, ki se odvijajo pri računskem ocenjevanju, lahko pridobimo informacije o učenčevem splošnem razumevanju matematičnih konceptov, odnosov in strategij. Računsko ocenjevanje ni samo pomemben sestavni del matematike, pogosto se uporablja tudi v vsakodnevnih situacijah, v katerih je groba ocena kontekstualno dovolj natančna. Primer je situacija, kjer moramo oceniti, koliko znaša cena večerje, ki stane 22,5 evra, v ameriških dolarjih, ali kadar je potrebno pretvoriti temperaturo iz stopinj Farenheit v stopinje Celzija (Lemaire, Lecacheur, 2002). Strategije ocenjevanja pri računskih operacijah Ocenjevalne strategije pri računskih operacijah so algoritmi, s pomočjo katerih lahko določimo približen rezultat. V nadaljevanju so naštete tiste strategije, ki bi jih dober ocenjevalec moral poznati. Seveda s temi strategijami podamo učencem samo predloge. Bolj kreativno pa je, če poskusijo izvesti svojo strategijo. Prav tako lahko učenci vadijo različne strategije, dokler jim le-te niso popolnoma jasne. Potem, ko smo predstavili različne strategije, učencem dovolimo izbiro le-teh. Pri skupinskem delu ni pomembno, katero strategijo bo učenec znotraj skupine izbral. Več strategij namreč ponuja več možnih odgovorov in ugotovitev za dano nalogo (Van de Walle, 2007: 251). Čelno ocenjevanje Metoda se osredotoča na vodilno oziroma skrajno levo števko v nekem številu. Oceno prilagodimo glede na to, koliko preostalih števk smo izpustili. Ta metoda je pri seštevanju in odštevanju najprimernejša takrat, ko imajo števila enako veliko mest. V primeru, da ima eno število manj mest, zanemarimo celotno število. Mlajši učenci naj najprej vadijo s skrajno levimi števkami. Posebno pozornost namenimo tudi takrat, ko števila niso zapisana v stolpcu. Strategije s pomočjo vodilnih števk se ni težko naučiti, saj ne vključuje zaokroževanja ali spreminjanja števil (Van de Walle, 2007: 251). Slika 2: Ocenjevanje skrajnih levih števk pri seštevanju v stolpcu in ko števila niso v stolpcu Pri množenju in deljenju vzamemo samo prvi števki vsakega faktorja. V primeru, da imata obe števili več kot dve števki, uporabimo obe. Pri deljenju se najbolje približamo oceni, če razmišljamo o množenju. Izogibamo se reševanju problemov s tradicionalnimi računi, saj preprečujejo večjo poglobitev v problem. Primer: 3482: 7 100 • 7 = premalo 1000 • 7 = preveč 34 : 7 = med 4 in 5, torej je po metodi od spredaj na konec ocena 400, bližja ocena pa je 500. Zaokroževanje Ocenjevanje, ki temelji na zaokroževanju, pomeni spremembo problema v tolikšni meri, da z njim lažje računamo na pamet. Lahko naredimo vse, kar nam olajša računanje ali ocenjevanje oziroma poenostavi števila v neki zgodbi, grafu ali pogovoru. Lahko rečemo: »Včeraj sem potreboval 57 minut do doma« ali »Včeraj sem potreboval približno eno uro do doma«. Prvi izraz je natančnejši, medtem ko drugi predstavlja zaokroženo število, ki pa je boljše pri pogovoru. Da je ocenjevanje uporabno, mora biti zaokroževanje prilagodljivo, prav tako moramo dobro poznati koncepte zaokroževanja (Van de Walle, 2007). Uporaba združljivih števil Kadar množimo veliko števil, je koristno, če poiščemo dva ali tri števila, ki jih lahko združimo, da dobimo 10 ali 100. Na ta način bomo lažje ocenili rezultat. Ta postopek je prikazan na Sliki 3 (a). V resničnem življenju so pogoste situacije, kjer imamo veliko število seštevancev, med katerimi se relativno majhne razlike in katerih vsoto je potrebno oceniti. Taka situacija nastopi, kadar imamo niz cen za podobne izdelke. Kot prikazuje Slika 3 (b), lahko v tem primeru izberemo povprečno število, ki je reprezentativno za vsa števila v nizu, in nato z množenjem izračunamo skupno vsoto. Primer: Spisek vsebuje največ števil okoli 60, zato izračunamo 5 krat 60 je 300. Ostanejo nam tri števila, katerih vsoto ne bo tako težko oceniti, saj smo si predhodno olajšali delo z združevanjem petih števil (Van de Walle, 2007). Slika 3: Uporaba združljivih števil pri seštevanju in ocenjevanje vsote z uporabo povprečja Metoda združljivih števil je najuporabnejša pri deljenju. S pomočjo te metode prilagodimo deljenec ali delitelj (ali oba) in na ta način poenostavimo deljenje tako, da lahko rezultat izračunamo kar na pamet. Če imamo podan račun 325 deljeno z 11, najprej prilagodimo deljenec. Na voljo imamo dve možnosti (Van de Walle, 2007): 1. število 325 zaokrožimo na 330 in deljenec ostane 11, 2. število 325 zaokrožimo na 300 in deljenec 11 na 10. Ocenjevanje pri računskih operacijah je pogosto vključeno in uporabno tako pri aktivnostih ocenjevanja pri merjenju kakor tudi pri aktivnostih ocenjevanja pri razvijanju številskih predstav. Težko namreč najdemo primere, ki bi bili naravnani zgolj na eno samo vrsto ocenjevanja, saj se med seboj posamezne vrste ocenjevanj zelo prepletajo. V nadaljevanju navajamo aktivnosti, kjer je ocenjevanje pri računskih operacijah vendarle nekoliko bolj izpostavljeno: - Pri aktivnosti Čakalna vrsta učenci hitro ocenijo število ljudi v vrsti in čas, ki ga bodo morali preživeti v vrsti (Figure this!, b.d.) - Aktivnost Bitje srca (The beat of your heart, b.d.) učencem omogoča razvijanje spretnosti ocenjevanja in razumevanja velikih števil. Motiviramo jih z naslednjimi vprašanji: »Kako hitro bije tvoje srce? Koliko časa traja, da tvoje srce udari 1000-krat? Če bi začel šteti svoj srčni utrip ob polnoči 1. januarja 2012, kdaj bi naštel milijonti srčni utrip?« Zaključek Na področju ocenjevanja obstaja veliko različnih strategij, preko katerih učencem približamo in omogočimo razvoj spretnosti ocenjevanja. Žal se zaradi pomanjkanja slovenskih virov in skromne pokritosti vsebin ocenjevanja v učbenikih postavlja vprašanje, ali slovenski učitelji temu področju posvetijo dovolj pozornosti in si poiščejo gradiva na svetovnem spletu ali v drugih tujih virih, kjer je prisotnost teh vsebin veliko večja. S predstavitvijo modela razlikovanja treh vsebinskih področij ocenjevanja po Van de Wallu (2008), ki ga v slovenskih virih ni zaslediti, in opredelitvijo ocenjevalnih strategij znotraj vsake vrste ocenjevanja, želimo učitelje spodbuditi k temeljitejšemu razvijanju in izgrajevanju spretnosti ocenjevanja pri pouku matematike. Predstavljeni primeri lahko služijo kot izhodišče za najrazličnejše načine izvajanja ocenjevalnih aktivnosti z učenci na razredni stopnji. Viri 1. Brahier, D., Kelly, M., Swihart, J. (1999): This Little piggy. Teaching Children Mathematics, Vol. 5, No. 5, str. 274-280. 2. Ellis, M., Yeh, C. (2007): From Leaks to Liters: Estimating Water Loss. Teaching Children Mathematics, Vol. 6, No. 4, str. 45-47. 3. Emenaker, C. (1999): Gingerbread-House Geometry.Teaching Children. 4. Mathematics, Vol. 6, No. 4, str. 208-215. 5. Figure this! (b.d). iz (http://www.figurethis.org/pdf/ch/challenges 1-4.pdf (3. 2. 2012). 6. Japelj Pavešic, B., Svetlik, K. Rožman, M. in Kozina, A. (2008): Matematični dosežki v raziskavi TIMSS 2007. Pedagoški inštitut, Ljubljana. 7. Japelj Pavešic, B., Brecko, B. N., Bezgovšek, H., Cucek, M., Kozina, A., Lipovec, A., idr. (2005): Slovenija v raziskavo TIMSS 2003: (Raziskovalno poročilo). Pedagoški inštitut, Ljubljana. 8. Joram, E., Subrahmanyam, K., Gelman, R. (1998): Measurement Estimation: Learning to Map the Route From Number to Quantity and Back. Review of Educational Research, Vol. 68, No.4, str. 413-449. 9. Lemaire, P., Lecacheur, M. (2002): Children's strategies in computational estimation. Journal of Experimental Child Psychology, Vol. 82, No. 4, str. 281-304. 10. Mednarodna raziskava trendov znanja TIMSS 2003 (2004): Matematične in naravoslovne naloge za nižje razrede osnovne šole (Raziskovalno poročilo). Pedagoški inštitut, Ljubljana. 11. Mednarodna raziskava trendov znanja TIMSS 2007 (2008): Matematične in naravoslovne naloge za nižje razrede osnovne šole (Raziskovalno poročilo). Pedagoški inštitut, Ljubljana. 12. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1989): Curiculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston. 13. Nugent, C. (2006): How Many Blades of Grass Are on a Football Field. Teaching Children Mathematics, Vol. 12, No. 6, str. 282-288. 14. Opfer, J. E., Siegler, R. S. (2007): Representational change and children's numerical estimation. Cognitive Psychology, Vol. 55, str. 169-195. 15. Potts, K. (2000): Milk-Jug Mosaic: Create a Mathematical Dove of Peace. Teaching Children Mathematics, Vol. 6, No.7, str. 438-441. 16. Rapež, M., Drobnič Vidic, A., Štraus, M. (2008): PISA 2006 - Program mednarodne primerjave dosežkov učencev. Izhodišča merjenja matematične pismenosti v raziskavi PISA 2006. Nacionalni center PISA (Pedagoški inštitut), Ljubljana. 17. Reys, R., Bestgen, B. (1981): Teaching and Assesing Computational Estimation Skills. The Elementary School Journal, Vol. 82, No. 2, str. 116. 18. SSKJ (1997): Slovar slovenskega knjižnega jezika (The Dictionary of Standard Slovenian). 2nd edition. DZS, Ljubljana. 19. Taylor-Cox, J. (2001): How Many Marbles in the Jar? Estimation in the Early Grades. Teaching Children Mathematics, Vol. 8, No. 4, str. 208-214. 20. The beat of your heart (b.d.). http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?ID=L175 (3. 4. 2012). 21. Učni načrt: Program osnovnošolskega izobraževanja. Matematika. (2008): Posodobitveni osnutek učnega načrta. Ministrstvo za šolstvo, znanost in šport, Zavod RS za šolstvo Ljubljana. 22. Usiskin, Z. (1986): Reasons for estimating. V Estimation and mental computation. VA. NCTM, Reston. 23. Van de Walle, J. A. (2006): Teaching student centered Mathematics: Grades 3-5 (Sixth Edition). Allyn and Bacon. 24. Van de Walle, J. A. (2007): Elementary and Middle School Mathematics. Teaching Developmentally (Sixth Edition). Allyn and Bacon. 25. Vrtin, M. (2010): Iskanje približkov - ocenjevanje pri pouku matematike. Diplomsko delo. Univerza v Mariboru. Pedagoška fakulteta, Maribor. 26. http://en.wikipedia.org/wiki/Estimation (4. 2. 2012). GLUHA MATEMATIKA Math Telephone Game Tomaž Miholič, OŠ Duplek tomaz.miholic@guest.arnes.si Povzetek Matematični jezik je jasen in enoznačen, kljub temu (ali pa prav zato) izražanje v njem učencem predstavlja eno izmed nevralgičnih točk. V prispevku prikažemo, kako model igre »gluhi telefon« prilagoditi matematiki, delu v dvojicah in sodelovalnemu učenju. Učenje skozi igro tako postane način, kako učence motivirati in jih hkrati spodbuditi k sporazumevanju v njim tujem jeziku sporočanja - v matematičnem jeziku. Aktivnost učence izmenično postavlja v vlogo interpreta in zapisovalca matematičnih pojmov. Učenci si z izbiro različno težkih pojmov sami diferencirajo pouk. Tematski sklop geometrije v osnovni šoli je dober primer, kjer so učenci prisiljeni poznati tako simbolni kot grafični način interpretacije, nista pa edina. Ta oblika dela je uporabna povsod, kjer je smiselno matematične pojme predstaviti na različne načine. Učenci ob aktivnosti razvijajo kritičen pogled na kvantiteto in kvaliteto zapisanih matematičnih lastnosti in s tem bogatijo svoje pojmovne predstave. Ključne besede: učenje, igra, kviz, matematični jezik. Abstract Mathematical language is clear and explicit, in spite of all that (or that is why) using it causes students one of the neuralgic problems. This article shows how the model of simple social activity »Telephone game« can be adapted for learning and expressed in mathematical language. In the activities, students are in turns in the role of an interpreter or a note taker of mathematical concepts. Students themselves differentiate their learning with the possibility to choose the demanding level of the concepts. When learning geometry, students are compelled to be familiar with the symbol and graphic way of interpretation, but those are not the only ones. This kind of work is appropriate wherever it is reasonable to present mathematic concepts in different ways. Students throughout the activities develop chritical view of quantity and quality of written mathematical characterists and thus enrich their concepts. Key words: learning, game, quizz, mathematical language. Matematični jezik Razumevanje in uporaba matematičnega jezika je ena izmed kompetenc, s katero dosegamo cilje pouka matematike. Matematični jezik je jasen in enoličen. V osnovni šoli učencem najmanj težav povzroča branje, največ pa zapisovanje in sporočanje v matematičnem jeziku. Situacija je razumljiva, saj za doseganje znanj, ki so nižje na Bloomovi taksonomski lestvici, zadostuje poznavanje matematičnega jezika, šele znanja višje na tej lestvici pričakujejo od učencev kvalitetno pretvarjanje problemskih situacij v matematični jezik. Matematično razmišljanje je v veliki meri odvisno od izdelanih pojmovnih shem, ki si jih izdela vsak sam (Bergsten, 1999: 127). Pojmovnih shem torej učencem ne moremo vsiliti, lahko pa oblikujemo takšno učno okolje, ki bo učence usmerjalo v izdelavo le teh. Razlike med učenci glede na stopnjo doseganja znanj na taksonomski lestvici niso zgolj posledica nezmožnosti uporabe matematičnega jezika, ampak so povezane s sposobnostjo matematičnega mišljenja. Z razvijanjem zmožnosti izražanja v matematičnem jeziku spodbujamo matematično razmišljanje in učencem omogočamo doseganje zahtevnejših ciljev. Za učenca najkvalitetnejša komunikacija v matematičnem jeziku še vedno poteka v smeri učenec - učitelj, saj učenec tako dobi takojšnjo povratno informacijo o korektnosti svojega izražanja, učitelj pa se lahko sproti prilagaja nastalim situacijam. Število učencev v učnih skupinah tej obliki onemogoča aktiviranje vseh učencev hkrati, zato je primerno oblikovati ustrezno manjše skupine in obliko učenec - učitelj nadomestiti z dialogom učenec - učenec. Učenci so tako izmenično postavljeni v vlogo sporočevalca in vlogo poslušalca. Gluha matematika Učenje skozi igro je lahko eden izmed načinov, kako učence motivirati (Magajna 2007: 9). V primeru, da izberemo ustrezno učno obliko - npr. delo v dvojicah, lahko učenju skozi igro dodamo tudi družabno noto. Igra, ki jo bom imenoval »Gluha matematika«, je kolaž t.i. »Matematičnih narekov« in igre »Gluhi telefon«, kjer se zaradi različnih komunikacijskih šumov original popači. Idejo te družabne aktivnosti odlično povzema tudi igra na pametnih mobilnih telefonih »Draw Something«, ki hkrati aktivira dva igralca, ponuja diferenciacijo in dodaja sodelovalno noto. Govorimo lahko o individualizaciji, socializaciji in diferenciaciji, ki sestavljajo eno izmed temeljnih didaktičnih načel (Strmčnik, 1987). Kako se igramo z »Draw Something«? »Draw Something« lahko brezplačno naložimo na svoj mobilni telefon ali tablični računalnik (http://bit.ly/dstlnk002dst). Igra poteka vedno v dvojicah - soigralca lahko določimo ali naključno izberemo. Cilj igre ni premagati soigralca, ampak skupaj z njim zbrati čim več točk. Kot že samo ime igre pove, se vse vrti okrog risanja. Svojemu soigralcu moramo določen pojem ali stvar narisati dovolj natančno, da lahko on ugotovi njegov pomen. Uspešno ugotovljen motiv prinaša točke, s katerimi si lahko obogatimo risarsko okolje znotraj igre. Potek igre: Izbremo soigralca delo v dvojicah Izberemo motiv diferenciacija Izbrani motiv narišemo (ga pretvorimo v likovni jezik) in ga pošljemo soigralcu Uspešno ugotovljeno ime motiva obema prinaša nagrado motivacija Igra se nadaljuje tako, da soigralec izbere nov motiv, ga nariše in nam ga pošlje - mi pa moramo ugotoviti, kaj je narisano. V korakih igre so možnosti za diferenciacijo, sodelovalno delo v dvojicah, humor in učinkovito motivacijo - prvine, ki jih je vredno uporabljati pri organizaciji aktivnosti v razredu. Saj pri matematiki ne rišemo tortic! Igra »Draw Something« razvija zmožnost branja in sporočanja v likovnem jeziku. Tako kot v matematičnem jeziku je tudi tukaj bistveno lažje brati sporočila kot jih zapisovati - risati. Z vajo postanemo dobri risarji in znamo poudariti bistvo na sliki, pri tem pa se zabavamo in uživamo. Model je torej dober in če likovni jezik nadomestimo z matematičnim ter nekoliko prilagodimo obliko, lahko dobimo učinkovito orodje za razvijanje uporabe in razumevanja matematičnega jezika. Kljub temu, da model povzemamo po igri, ki uporablja in sloni na sodobni informacijsko komunikacijski tehnologiji (pametni telefoni in tablični računalniki), pa le ta ni pogojen s tehnologijo in ga zlahka realiziramo tudi z bolj tradicionalnimi sredstvi (papir, svinčnik in geometrijsko orodje). Uporaba slednjih učencem omogoča enostavno dokumentiranje svojih aktivnosti za morebitno kasnejšo refleksijo -učenje. Geometrija in merjenje je tema, kjer se kaže velik razkorak med poznavanjem odnosov med geometrijskimi elementi in zapisovanjem le teh z matematično simboliko. Tako učenci v 6. razredu zlahka prepoznajo dve vzporedni premici, nekoliko težje zapišejo to lastnost s simboli (npr: p||r) in še težje natančno opišejo njuno lego (npr: p||r in d(p, r) = 4 cm). Matematični jezik na tej stopnji ni tako obsežen, da se ga z vajo ne bi dalo usvojiti; vajo pa lahko organiziramo po zgoraj opisanem modelu. Delo poteka v dvojicah, zato učencem pripravimo vsa gradiva v pisni obliki - bistveni del so lističi z nalogami - »kartice«, kjer jim lahko naloge diferenciramo ter tako kompenziramo po sposobnostih heterogeno sestavljene dvojice. Učenec na kartici izbere primer, ga opiše z matematičnimi simboli in opis preda sošolcu. Sošolec po zapisanih simbolih konstruira sliko. Pravilnost se lahko preveri s prekrivanjem originala s kartice in nastale konstrukcije na listu. Primer »kartice« 1: Primer »kartice« 2: Izberi primer, medsebojno lego geometrijskih elementov opiši z matematičnimi simboli na list in list predaj sošolcu. Sošolec naj po tvojem opisu konstruira sliko. V kolikor bo sošolec konstruiral sliko, ki se sklada z izbrano sliko, sta si zaslužila zvezdico ali dve. 1. primer 2. primer Izberi primer, po navodilih konstruiraj sliko in list predaj sošolcu. Sošolec naj po tvoji risbi opiše lego geometrijskih elementov. V kolikor sošolec pravilno ugotovi in zapiše vsaj pet lastnosti, ki so zapisane tudi na tej kartici, sta si zaslužila zvezdico ali dve. 1. primer p, r in t so premice v ravnini p||r r||t d(r,t) = 6 cm d(p, r) = 3 cm d(p, t) = 9 cm ★ 2. primer p, r in t so premice v ravnini plr r||t Aep Aer {B}=pnt d(A, B) = 3 cm ★ ★ Tako zastavljena kartica omogoča, da pravilnost rešitve učenci preverjajo samostojno s prekrivanjem njihovega izdelka in konstrukcije na kartici. Učenci morebitne nepravilne rešitve sami analizirajo in poiščejo distraktor. Vključevanje učitelja je minimalno. Tudi ta kartica omogoča samostojno preverjanje pravilnosti rešitve in analizo morebitnih napak. Za uro tovrstne aktivnosti moramo učencem ponuditi dovolj različnih kartic, tako da tudi najuspešnejši učenci ne uporabijo vseh. V skupini oblikujemo dvojice tako, da so le te učno enakovredne. Najbolje je dvojico sestaviti z bolj in manj uspešnim učencem. Tako eden vadi osnove matematičnega jezika, drugi pa poleg tega tudi analizira in korigira razmišljanja sošolca. Zagotoviti moramo zasebnost učenca, ki sporočilo s kartice prevaja v konstrukcijo in tako preprečiti, da bi učenec rešitev s kartice prebral. Konstantno aktivnost obeh učencev dosežemo tako, da obema dovolimo hkrati izbrati kartico in prevesti sporočilo na papir, ki ga nato izmenjata. Znotraj skupine lahko organiziramo tekmovanje med dvojicami - zmaga tista dvojica, ki zbere največ zvezdic. Izdelki učencev nastajajo na papirju formata A5 ali izjemoma A4, na katerih so poleg konstrukcije zapisani tudi odnosi med geometrijskimi elementi - te izdelke učenci na koncu ure prilepijo v zvezek. Učitelj sproti rešuje morebitne dileme o pravilnosti konstrukcij ali zapisa odnosov med geometrijskimi elementi. Matematika ni samo geometrija Pri hitrem preletu učnega načrta matematike lahko zasledimo nekaj tematskih sklopov, kjer lahko s takšno obliko dela učenci utrjujejo ali usvajajo nova znanja, od nas pa je odvisno, ali bo aktivnost namenjena zgolj utrjevanju ali pa bo tudi problemsko naravnana. Tematski sklop Razre d Oblika sporočil Racionalna števila -ulomki kot deli celote 6 Pobarvan del lika Zapis z ulomkom Aritmetika in algebra 6 Zapis števila z rimskimi številkami Zapis števila z arabskimi številkami Aritmetika in algebra 6 Zapis števila z besedami Zapis števila z številkami Geometrija in merjenje 6 Narisan kot Velikost kota, zapisana v kotnih stopinjah Računske operacije in njihove lastnosti 6 Zapis računskega izraza z drevesnim prikazom Zapis računskega izraza z oklepaji Geometrija in merjenje 6 Narisani dve krožnici Opisana lega teh krožnic Geometrija - trikotniki 7 Načrtan trikotnik Zapis podatkov za skladen trikotnik Transformacije 7 Konstruirana transformacija daljice, premice ali lika Simbolni zapis transformacije Funkcija 9 Zapis predpisa funkcije Narisan graf funkcije Funkcija 9 Zapis predpisa funkcije Tabelirane vrednosti odvisne in neodvisne spremenljivke Izrazi 8 Zapis izraza Izpostavljen skupni faktor Izrazi 8 Zapis izraza Razcepljen izraz Povsod tam, kjer lahko matematični pojem predstavimo na več kot en način, lahko brez večjih težav oblikujemo aktivnost, ki bo učence aktivirala in jim omogočala samoevalvacijo svojega znanja. Ugotovitve Aktivnost je bila uspešno izvedena z učenci šestega razreda pri poglavju o vzporednicah, pravokotnicah in razdaljah med geometrijskimi objekti. Učenci so sami ugotovili kdaj je podatkov dovolj, premalo ali preveč in tako razvijali kritičen odnos do danih podatkov. Aktivnost sicer lahko oblikujemo kot tekmovanje v razredu, vendar pa znotraj skupine -dvojice - poteka sodelovalno učenje, saj se posamezni učenec trudi doseči dober rezultat zase in hkrati pomagati sošolcu ter tako osvojiti čim več točk. Ne nazadnje je vredno omeniti tudi medsebojno interakcijo v skupini, ki pozitivno vpliva na medsebojne odnose. Viri 1. Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika/predmetna komisija Amalija Žakelj ... [et al.]. El. knjiga. Ljubljana. Ministrstvo za šolstvo in šport: Zavod RS za šolstvo, 2011. 2. Bergstem, C. (1999): From sense to symbol sense. European Research in Mathematics Education I.II: Group 6. Forschungsinstitut fuer Mathematikdidaktik, Osnabrueck. 3. Strmčnik, F. (1987): Sodobna šola v luči učne diferenciacije in individualizacije. Zveza organizacij za tehnično kulturo Slovenije, Ljubljana. 4. Kralj, A. (2003): Elementi spodbudnega učnega okolja - sodelovalno učenje. Seminarska naloga pri predmetu pedagoška psihologija. Pedagoška fakulteta v Ljubljani. 5. Magajna, Z. (2007): Igre pri pouku matematike. Seminar DMFA http://www.dmfa.si/Seminarji/2008/Magajna.pdf 6. Resnik Planinc, T: Učne oblike in učne metode. Filozofska fakulteta v Ljubljani. http://www.cpi.si/files/cpi/userfiles/TrajnostniRazvoj/Ucne oblike in ucne metode.pdf (15. 5. 2012) OBDELAVA PODATKOV MALO DRUGAČE Non-conventional Data Handling Saša Horvat Kovačič, OŠ Ljubno ob Savinji shkovacic@gmail.com Povzetek V devetem razredu smo si pri pouku matematike zastavili naslednji izziv: z znanjem matematike želimo ugotoviti, ali so devetošolci boljši tekači od prvošolcev. Izziv smo reševali v okviru tehniškega dne, katerega cilj je bil, da učenci praktične meritve časa pri teku na 60 in 600 m, ki so jih izmerili pri športnem dnevu, nadgradijo s statistično obdelavo in uporabo IKT. Učenci so obdelali podatke za svoj razred in med obdelavo sproti spoznavali nove pojme: modus, mediana, razpršenost, medčetrtinski razmik, kvartili. Nato so podatke predstavili z grafikoni kvartilov in jih primerjali med razredi. Pri obdelavi podatkov za vse učence šole so uporabili programa Excel in Geogebra. Na koncu so rezultate kritično ovrednotili in analizirali, ali takšna obdelava podatkov lahko odgovori na zastavljeno vprašanje. Ključne besede: obdelava podatkov, medpredmetno povezovanje, IKT. Abstract The pupils in grade 9 were challenged with the following task during their mathematics lesson: to find out, by using their mathematical knowledge, who are better runners - the pupils in grade 9 or in grade 1. They worked on this issue during the technical school-day. The goal was to upgrade the practical measurements of time at a 60m run and 600m run acquired on a school sports day, by using statistical processing and ICT applications. While processed the data for their own class the learners learned new concepts, such as: modus, median, dispersion, semi-quartile range, quartiles. They also presented the data with whiskers diagrams and used them to compare the data of the two classes. The data were processed using Excel and Geogebra software. At the end they critically evaluated the results and made an analysis, whether the data handling can give answers to the question asked. Key words: data handling, cross-curricular links, ICT. Uvod Učni načrt za matematiko v osnovni šoli vključuje obdelavo podatkov v vse razrede (Žakelj in ostali, 2011). Vzporedno z obravnavo drugih matematičnih vsebin učenci zbirajo in beležijo podatke, jih urejajo in razporejajo po različnih kriterijih in jih prikazujejo na različne načine: kot figurni prikaz, prikaz s stolpci oziroma vrsticami in tortni prikaz. V sedmem razredu spoznajo aritmetično sredino, v devetem razredu pa še modus, mediano in medčetrtinski razmik, rezultate pa prikažejo s škatlo z brki. Obravnava obdelave podatkov je v devetem razredu po navadi potisnjena na konec šolskega leta, ko je motivacija učencev za delo že nizka. Včasih se zgodi, da za poglobljeno obravnavo celo zmanjka časa. Zato sem se odločila, da izpeljem tehniški dan, ki bo v celoti namenjen obdelavi podatkov. Pri tem sem želela učencem predstaviti statistiko na čim bolj zanimiv način in hkrati pokazati uporabnost v vsakdanjem življenju. V nadaljevanju bom opisala potek tehniškega dne, kjer so učenci izvedli statistično raziskavo in ob konkretni kompleksni nalogi spoznali merila za sredino in razpršenost. Delo je potekalo projektno in je vključevalo načrtovanje, zbiranje podatkov, obdelavo podatkov, oblikovanje ugotovitev in predstavitev rezultatov (Magajna, Žakelj, 2000). Odločila sem se za medpredmetno povezovanje s športno vzgojo. Takšno sodelovanje je zelo koristno, ker se razumevanje matematične snovi izboljša, hkrati pa postane šolsko znanje uporabno in trajnejše (Vidovič, 2010). Ideja in cilji Idejo za izvedbo tehniškega dne sem dobila, ko se je napovedoval športni dan. Učenci so med seboj ugibali, kdo bo najhitrejši v teku. Ker sodelujejo vsi učenci šole, je to velika količina podatkov, ki bi jih bilo zanimivo obdelati. Izvedbo tehniškega dne sem načrtovala na osnovi naslednjih učencem namenjenih ciljev: • Postavijo hipotezo in jo s pomočjo rezultatov raziskave potrdijo ali ovržejo • Kritično razmišljajo o potrebnih podatkih • Zberejo podatke • Uporabijo orodja za obdelavo podatkov, ki jih že poznajo in kritično razmišljajo o njihovi uporabnosti • Spoznajo modus, mediano in medčetrtinski razmik • Narišejo škatlo z brki • Podatke urejajo s programom Excel in Geogebra • Utemeljijo ustreznejšo izbiro za prikazovanje podatkov • Interpretirajo rezultate Motivacija, priprava in zbiranje podatkov Tehniški dan smo z učenci načrtovali že pri eni izmed ur matematike. Zastavila sem jim nekaj vprašanj in jih s tem spodbudila k razmišljanju: Kdo med devetošolci najhitreje teče? Ali kdo od mlajših učencev teče hitreje? Iz katerega razreda je učenec, ki teče najpočasneje? V katerem razredu so najhitrejši tekači in v katerem najpočasnejši? Učenci so postavili trditev, da so prvošolci najpočasnejši, nato pa se hitrost približno enakomerno povečuje. Na vprašanje: »Kako bi lahko to dokazali?«, so takoj dobili idejo, da bi na športnem dnevu merili čase teka za vse učence. S profesorico športne vzgoje sva se dogovorili za sodelovanje. Skupaj sva načrtovali dejavnosti športnega dne in učencem določili zadolžitve. Učenci so si vnaprej pripravili preglednice, v katere so vpisovali podatke, ki so jih izmerili. Merili so čas teka na 60 m in na 600 m in zbirali podatke ločeno po razredih. Analiziranje podatkov Kaj narediti s tako veliko količino podatkov? Kako iz teh podatkov lahko ugotovimo, v katerem razredu tečejo najhitreje in v katerem najpočasneje? To so bila vprašanja, ki smo si jih najprej zastavili. Učenci so predlagali, da bi izračunali povprečne vrednosti za vsak razred posebej in jih primerjali med seboj. Uporaba programskega orodja Excel za računanje povprečnih vrednosti in risanje stolpčnih diagramov zanje ni bila novost, zato so hitro dobili rezultate, ki so prikazani spodaj. Slika 1: Tabeli in grafa povprečnih vrednosti izmerjenega časa; prikaz narejen s programskim orodjem Excel Pred analizo rezultatov smo naredili še povezavo s fiziko in razložili obratno sorazmernost med porabljenim časom in hitrostjo. Učenci so bili zelo presenečeni nad dobljenimi rezultati, ki se niso ujemali z njihovimi predvidevanji. Pri teku na 60 m se sicer takoj vidi trend zmanjševanja časa porabljenega za tek, medtem ko pri teku na 600 m ta trend skoraj ni opazen. Pri teku na 60 m se hitrost do 6. razreda hitro povečuje, nato pa je povečanje hitrosti do 9. razreda le še zelo majhno. Vendar v tem primeru lahko rečemo, da so devetošolci v povprečju hitrejši tekači od ostalih učencev. Pri teku na 600 m so bili, glede na dobljene rezultate, najhitrejši učenci 5. razreda. Ob tem so se učenci spomnili, da sta v petem razredu dva učenca, ki zelo hitro tečeta, medtem ko so v devetem razredu kar trije učenci ekstremno počasni. Ugotavljali smo, kako ta dejstva vplivajo na povprečno vrednost. Učenci so sami prišli do ugotovitev, da lahko nekaj ekstremnih vrednosti zelo vpliva na povprečje in da bi bilo dobro na nek način te vrednosti upoštevati. Tako so začutili potrebo po obravnavi druge oblike obdelave podatkov, ki bi dala bolj pregledne rezultate. Sledila je obravnava novih pojmov: modus, mediana, minimum, maksimum, medčetrtinski razmik, kvartili in škatla z brki (Strnad, 2009). Učenci so se nato razdelili v skupine. Vsaka skupina je obdelala podatke za enega izmed razredov najprej klasično, s svinčnikom in papirjem. Škatle z brki so vse skupine narisale v istem merilu in jih nato predstavile na skupnem plakatu. V nadaljevanju so celotno obdelavo naredili še s programom Excel, kjer so spoznali funkcije: MIN, MAX, MODE, MEDIAN, QUARTILE. Slika 3: Obdelava podatkov s programskim orodjem Excel Za risanje škatle z brki oz. diagrama kvartilov smo uporabili program GeoGebra in dobili naslednje grafe: Slika 4: Grafikon kvartilov: čas teka na 60 m in na 600 m; prikaz narejen s programsko opremo GeoGebra Interpretacija in predstavitev rezultatov Plakat z narisanimi grafikoni smo obesili na tablo. Vsaka skupina je morala oblikovati svoje ugotovitve in jih predstaviti ostalim. Na koncu smo oblikovali skupne ugotovitve. Pri tem sem jih vodila z vprašanji, tako da so lahko kritično ugotavljali, katera obdelava jim da bolj kompleten odgovor na zastavljeno vprašanje. Njihove ugotovitve so bile, da so za vzporedno primerjavo podatkov škatle z brki mnogo boljše kot samo izračun povprečne vrednosti. To se je pokazalo predvsem pri podatkih za tek na 600 m. Primerjava tretjega in sedmega razreda pokaže, kako sta lahko dve skupini s približno enako mediano zelo različni. Hitro tudi ugotovimo, v katerem razredu je najhitrejši in v katerem najpočasnejši tekač. V tretjem in petem razredu je srednja polovica učencev zbrana v ozkem intervalu, medtem ko so podatki v ostalih razredih bolj razpršeni. Se pa že na prvi pogled vidi, da se škatle postopno premikajo v desno, kar pomeni, da se tudi tukaj kaže trend povečevanja hitrosti pri teku. Zaključek Izbira konkretne naloge iz življenja učencev se je pokazala kot velik motivacijski faktor. Učenci, ki sicer niso dobri matematiki, na športnem področju pa dosegajo dobre rezultate, so bili še posebej motivirani. Delo je bilo zasnovano tako, da je spodbujalo sodelovanje, učenci so bili ves čas aktivni, samostojni in ustvarjalni. Spoznali so tudi pomen timskega dela. Delo je bilo deljeno, vendar šele rezultati vseh predstavljajo celoto. Sodelovanje s športno vzgojo smo uporabili kot motivacijo in kot vir podatkov. Pri športni vzgoji pa so uporabili podatke naše raziskave za spoznavanje in razumevanje gibalnih zakonitosti. Pokazalo se je, da takšno delo povečuje motivacijo za nadaljnje aktivnosti, saj so učenci sami predlagali, da bi raziskali, kako se je njim hitrost teka spreminjala od prvega do devetega razreda. Viri 1. Magajna, Z., Žakelj, A. (2000): Obdelava podatkov pri pouku matematike 6-9. ZRSŠ, Ljubljana. 2. Strnad, M., Štuklek, M. (2009): Presečišče 9. DZS, Ljubljana. 3. Vidovič, Š. (2010): Tehniški dnevi v okviru strokovnih osnov in medpredmetnega povezovanja. Diplomsko delo. UNI Maribor, Fakulteta za naravoslovje in matematiko. 4. Žakelj, A. in ostali (2011): Učni načrt za osnovno šolo. Program osnovnošolskega izobraževanja, Matematika. MŠŠ in ZRSŠ, Ljubljana. UČNE TEŽAVE PRI UČENJU MATEMATIKE Learning Difficulties at Mathematics Mateja Vodenik, Evgenija Peternel, OŠ dr. Antona Trstenjaka Negova mvodenik@gmail.com, evgenija.peternel@guest.arnes.si Povzetek Učne težave pri učenju matematike se pojavijo zelo zgodaj. Že v prvem triletju osnovne šole naj bi bile avtomatizirane računske spretnosti, da lahko učenec nadgrajuje svoje matematično znanje v drugo in tretje triletje. V prvem razredu je čas, ko se začnejo oblikovati učenčeve učne navade, prav tako osnovno računanje in številske orientacije ter povezava med konkretnim in abstraktnim pri učenju matematike. Učenci z učnimi težavami pri učenju matematike težje preidejo s konkretnejše ravni dojemanja na abstraktnejšo, zato potrebujejo materialno oporo. Na začetku so najprimernejši predmeti iz učenčevega okolja, nato različne preglednice ter številski trakovi in na koncu abstraktni simboli - števila. Zelo pomembno je razumevanje in pomoč odraslega (učitelja) in vrstnikov, kontinuirano spremljanje napredka učenca, njegovega razumevanja dejstev in postopkov ter razvoj pojmovnega znanja. Ni dovolj, da učencu dovolimo uporabljati različne opornike, pripomočke, računalo. Še večjega pomena je, da ga naučimo strategij, ki mu bodo v oporo pri učenju in v vsakdanjem življenju. V prispevku na primerih iz prakse primerjamo, kako se izražajo učne težave v prvem in kako v tretjem triletju, kako poskušamo pomagati učencem pri premagovanju teh težav ter kateri so bili uspešni in malo manj uspešni pristopi. Ključne besede: matematika, učne težave, prvo triletje, spremljanje znanja, učne strategije. Abstract Learning difficulties at mathematics appear very early. Already in the first three years of primary school, calculation (arithmetic and numeracy) skills should be automated, so that the child could build up and develop mathematics knowledge in the second and third three-year-cycle. In grade 1, there is enough time to start building up pupils' learning habits as well as their basic calculation skills, numeric orientation and the relationship between the concrete and the abstract at mathematics. Children with learning disabilities face major problems while shifting from concrete to abstract comprehension at mathematics; therefore they need a kind of material support. At the beginning, objects from the pupil's environment are the best aids, afterwards pupils can use various tables and numeric lines and finaly, abstract symbols - numbers follow. It is of high importance that the pupils are exposed to understanding and help of peers and a teacher and furthermore, their progress and comprehension of facts, procedures and development of the conceptual knowledge should be monitored continuously. It is not enough to let the pupils use different props, aids or a calculator. It is much more important to teach them strategies useful when learning in their everyday life. In the contribution concrete examples illustrate how learning difficulties are expressed in the first and how in the third three-year-cycle. Moreover, it shows in what manner we helped pupils to overcome their learning problems and how successful the various approaches we used, were. Key words: learning difficulties, first three-year-cycle, monitoring of knowledge, learning strategies. Uvod Matematično znanje je kompleksno in vključuje štiri elemente, in sicer deklarativno, proceduralno, konceptualno in problemsko matematično znanje. Matematično znanje vključuje kvantitativno dimenzijo znanja, vezano na količino matematičnega znanja pri posamezniku, ter kvalitativno dimenzijo znanja, ki predstavlja uporabnost posameznikovega matematičnega znanja (Kavkler, 2007). Učne težave pri matematiki se razprostirajo na kontinuumu od lažjih do zelo izrazitih, od kratkotrajnih do vseživljenjskih, od tistih, ki so prisotne le na enem področju učenja matematike, do tistih, ki povzročajo splošno učno neuspešnost. Vsak učenec ima občasno težave pri usvajanju določenih matematičnih znanj. Učne težave pa imajo tisti učenci, pri katerih opažamo v primerjavi z vrstniki v matematičnem znanju in strategijah večje in dolgotrajnejše odstopanje od povprečja (Kavkler,2007: 80). Obravnava učnih težav pri matematiki bo ustreznejša, če bomo ugotovili, katerih elementov matematičnih znanj otrok ne obvlada in potem glede na to spoznanja obravnavali posameznega otroka. Specifične učne težave pri matematiki imajo učenci s primanjkljaji aritmetičnih sposobnosti in spretnosti, ki niso posledica motenj v duševnem razvoju. Ti primanjkljaji se nanašajo na obvladovanje osnovnih aritmetičnih sposobnosti in spretnosti (seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja), manj pa na bolj abstraktne sposobnosti in spretnosti algebre, trigonometrije in geometrije (Magajna, 2008). Otroci, ki imajo specifične težave pri matematiki, imajo kompleksne vzgojno-izobraževalne potrebe na štirih področjih: o organizacije o fine motorike o socializacije o matematičnih vsebin v zvezi s problemskim matematičnim znanjem. Sodobni pristopi na področju poučevanja in učenja se osredotočajo na interaktivno naravo procesov učenja in poučevanja ter vplive neusklajenosti med značilnostmi učenca in učnega okolja pri nastajanju težav. Ti pristopi poudarjajo tako načrtovanje in izvedbo pomembnih sprememb v okolju kot tudi obravnavo otroka v smeri povečane usklajenosti, učne in psihosocialne kompetentnosti učenca in okolja. Učenčev šolski neuspeh izvira največkrat iz več vzrokov in pomeni kompleksen problem. Posledice učnih težav se pogosto kažejo predvsem v učnem neuspehu učenca, prisotne pa so tudi kot čustvene in vedenjske težave, nemirnost, nespretnost, motnje pozornosti, motnje pomnjenja, strah, utrujenost ...(Tamše 2006). O učnem neuspehu govorimo, kadar otrok ni sposoben izpolnjevati predpisanih zahtev oziroma nalog. Na Sliki 1 (Mikuš Kos 1991) je prikazan začaran krog šolskega neuspeha, ki ponazarja razpršitev slabe akademske samopodobe na celotno samopodobo in oblikovanje čustev preko učnih težav. Posledično lahko vpliva na motiviranost za šolsko delo, odpor do šole ... Sodobni pristopi skušajo pomoč zastaviti širše ob upoštevanju celovite učenčeve osebnosti, njegove vsakdanje življenjske situacije v šoli in doma ter življenjske perspektive. Osnovni namen pomoči je raziskovanje in soustvarjanje pogojev, ki v procesu učenja in pomoči omogočajo učenčevo optimalno udeleženost. f--TT—-——----s Pritisk, konflikti v družini in šoli, poslabšanje odnosov s starši Občutja nezmožnosti, nesposobnosti, manjvrednosti, nedejavnost, depresivnost Izguba volje do učenja, odpor do šole. manjša zmožnost uspešnega dela Ovna možnosti nadaljnjega šolanja in možnosti zaposlitve v 1 1' " v"1'' — Slikal: Začarani krog šolskega neuspeha (Mikuš Kos 1991: 53) Potrebe učencev s težavami pri učenju matematike Približno 6 % otrok v populaciji ima hujše težave pri učenju matematike, dosti večji pa je odstotek otrok z blažjimi učnimi težavami pri matematiki (Kavkler, 1992). Učenci potrebujejo: o razumevanje in pripravljenost odraslega in vrstnikov, da se jim pomaga o jasno opredeljene oblike pomoči o preverjanje razumevanja predznanj o učenje po korakih o preverjanje točnosti sprejema informacij (slušnih in vidnih) o življenjske in konkretno ponazorjene probleme o konstrukcijo znanja z organizacijo ustreznih dejavnosti o sodelovalno učenje o učenje organizacije zapiskov o razvoj pojmovnega znanja o razdelitev zapletenih nalog na dele in učenje strategij reševanja le-teh o pomoč pri priklicu dejstev in postopkov o veččutno učenje dejstev o učenje postopkov z oporami o uporaba žepnega računala pri preverjanju zahtevnejših matematičnih vsebin o učenje strategij rabe pripomočkov o učenje strategij reševanja matematičnih besednih in nebesednih problemov o partnerski odnos s starši o starši potrebujejo konkretna in razumljiva navodila ter nasvete, kako naj pomagajo svojemu otroku o spodbujanje in razvijanje učenčevih močnih področij in pozitivne samopodobe. Najpomembnejši element šole so učitelji, ki so prisiljeni spremeniti in prilagoditi svoj način dela. Primer iz prakse - prvo triletje Če želimo otroku pomagati, moramo učitelji dobro poznati otroka in vzroke za njegov neuspeh. Učenec, poimenujmo ga Staš, je že v prvem razredu kazal težave na področju organizacije v razredu, pogosto je imel neurejene šolske potrebščine, zelo slabo prostorsko orientacijo, velike težave s pozornostjo in koncentracijo pri pouku in delu v šoli, njegova motivacija za učenje je bila zelo nizka, interes je kazal samo za igro v igralnici. Na začetku drugega razreda so se pokazale težave pri osnovnih logično-matematičnih pojmih, kot so klasifikacija in seriacija. Težave je imel tudi pri štetju do 20, števila je preskakoval, se izgubljal med štetjem in ni vedel, katero število sledi. Učencu sem omogočila podaljšan čas podajanja snovi, sedel je čisto spredaj v razredu, da sem lahko preverjala, ali sledi pouku, ga spodbujala k sodelovanju in mu pomagala, da je ostal osredotočen na delo. Velik poudarek sem dajala dejavnostim z različnimi predmeti, pri tem sem upoštevala postopnost, povezavo obravnavanih tem z učenčevim i življenjskimi izkušnjami ter igro, za katero je kazal velik interes in mu je bila pomembnejša od učenja in drugega šolskega dela. Ob pomoči različnih preprostih igrač sva vadila in utrjevala učno snov. Staš je sam prinašal različne predmete iz narave, kateri so mu bili pripomočki pri štetju in kasneje tudi pri računanju. Sama sem mu izdelala različne tabele, kartončke in preglednice ter jih slikovno opremila. Preverjanje in ocenjevanje sva skupaj vnaprej načrtovala in ga po potrebi razdelila na več manjših enot. Po ocenjevanju znanja je sledila širša razlaga z analizo napak in analizo uspešno izkazanega znanja ter pogovorom, kaj je potrebno izboljšati. S težavo je usvojil minimalni nivo znanja ob koncu 2. razreda: sešteval in odšteval je v množici naravnih števil do 20 brez prehoda in s prehodom ob pomoči številskega traku s štetjem. S težavo je oblikoval številske predstave in pojme do 100, ob pomoči stotičnega kvadrata. Med šolskim letom pa sva veliko delala tudi na krepitvi samopodobe in čustvene stabilnosti, na razvijanju pozornosti in koncentracije ter na korelaciji primanjkljajev. V tretjem razredu je Staš pri pouku funkcioniral v skladu s svojimi sposobnostmi, vendar pomembno pod ravnjo preostalih učencev v razredu, težje je sledil zapletenim primerom z več stopnjami. Počasi je usvajal snov, uspešen je bil pri delu s konkretnimi pripomočki, njegovi dosežki so bili zelo nizki. Imel je težave s posploševanjem in uporabo znanja v drugih situacijah. Utrjevala sva različne matematične spretnosti z izvajanjem različnih iger štetja materialov (predmetov), reševanja računskih operacij z nastavljanjem množic, opremljanjem le-teh s številskimi listki, zapisa računov ter branja računov, urejanja številskih vrst, prepoznavanja števk s pomočjo tipa in imenovanje le-teh. Pri podajanju snovi sem bila pozorna na uvodne povezave nove teme z že obravnavanimi temami, da je lahko učenec povezal informacije v mrežo podatkov, nudila sem mu tudi multisenzorno učenje, podajala sem kratka in jasna navodila s sprotnim preverjanjem razumevanja, kompleksne naloge sem razdelila na krajše dele in mu ob tem nudila različne vizualne pripomočke. Čas preverjanja in ocenjevanja znanja sem mu podaljšala, ter mu po potrebi prilagodila na manjšo količino nalog. Ob koncu tretjega razreda je Staš usvojil vse minimalne standarde znanja in napredoval v naslednji razred. Primer iz prakse - tretje triletje Ugotavljamo, da se težave v višjih razredih stopnjujejo. Učenci ne obvladajo osnovnih računskih operacij, imajo slabo pojmovno shemo, težave nastopajo pri proceduralnih znanjih. Čeprav jim nudimo različna pomagala ali prav zaradi preštevilnih kartončkov in opomnikov se izgubijo. Menim, da se upirajo tudi s tem, da na neki stopnji prenehajo uporabljati ta pomagala in jih ne prinašajo več k pouku. Iz tega lahko sklepamo, da je veliko bolj pomembno, da pridobijo ustrezne (življenjske) strategije in kompetence, kot da jih preobremenimo s številnimi »pomagali« pri ocenjevanju. So pa različni konkretni materiali brez dvoma potrebni v fazi spoznavanja novih znanj in povezovanja s preteklimi izkušnjami. Tudi v tem kontekstu je manj več. Pozitivne rezultate pri samem pouku so v zadnjem času pokazali naslednji »pripomočki«: o wiki - pripomoček v spletni učilnici, o miselni vzorci (s programom X Mind ali Free Mind) kot pripomoček pri gradnji pojmovnih shem, o strategija učenja z razdeljenim listom. WIKI Učitelj pripravi v spletni učilnici dejavnost, poimenovano wiki. Pripravi torej gesla - ključne besede, ki jih učenci pojasnijo z besedami in grafično. Pred tem se pri pouku naučimo uporabljati spletno učilnico in program za dinamično geometrijo (na naši šoli Geo gebro). Wiki dopolnjujejo učenci deloma v šoli deloma doma. Nastane zapis, ki predstavlja pojasnila vseh ključnih matematičnih pojmov v nekem poglavju. S tem učenci sami oblikujejo gradivo za učenje pojmov in povezav med njimi. To je odličen pomočnik pri organizaciji pedagoškega dela. Še posebej se njegova uporabnost potrjuje v fazi utrjevanja in sinteze znanj. Učenci niso imeli pri izvedbi aktivnosti nobenih težav. Pokazalo pa se je, da so mnogi k delu pristopali tudi od doma, da so svoje izdelke dopolnjevali, da so sodelovali z drugimi, si med seboj pomagali in se dopolnjevali. Učitelj lahko preverja aktivnost v spletni učilnici, lahko daje sprotne in osebne povratne informacije učencem, jih spodbuja pri delu in pomaga učencem pri prevzemanju odgovornosti za lastno delo in rezultate lastnega učenja. Še posebej učenci s težavami so pri analizi dela in uporabnosti dejavnosti zapisali, da jim je wiki v veliko pomoč pri učenju, ker je »tam vse na enem mestu« in ker so zapisane »samo pomembne stvari«. Ne smemo namreč pozabiti, da imajo učenci s težavami pri učenju matematike velikokrat tudi težave pri organizaciji zapiskov. Hkrati spodbujamo razvijanje kompetenc. Splošnih, kot so obvladovanje časa in dela, zavzetost za rezultate in odgovornost, pozitiven odnos do stalnega učenja, uporabe znanja in izkušenj, kakor tudi osebnostne in vedenjske in kompetence za delo z informacijami. Najbolj pomembno pa je, da ustvarjamo varno učno okolje, v katerem lahko vsak napreduje, kjer se je dovoljeno zmotiti in kjer vsak učenec doda kamenček v mozaik za skupen rezultat skupine. Prispevek prav vsakega učenca je nepogrešljiv. POJMOVNE SHEME Na začetku leta pokažemo učencem nekaj primerov miselnih vzorcev, izdelanih s programi, prosto dostopnimi na spletu. Ti programi omogočajo prikaz nastajanja miselnega vzorca. Vstavljamo lahko slikovno gradivo, povezave na drugo lastno gradivo ali na spletne strani. S tem miselni vzorci lahko rastejo (dobimo dodatne, bolj pogljobljene informacije) ali pa se krčijo. Za učence s slabšimi predstavami je pomembno, da se lahko tudi doma učijo s samostojnim in dinamičnim delom z različnimi shemami. Na sestankih strokovnih delavcev namreč pogosto ugotavljamo, da je uporaba računalnika pri učenju še vedno motivacijski faktor, še posebej pri učencih s slabšo tehniko branja in zato slabšim razumevanjem prebranega. Ključna beseda, povezana z definicijo, skico ali drugim grafičnim prikazom in morda še s primerom uporabe, večini močno olajša učenje. UČENJE UČNIH STRATEGIJ Zelo pomembno je, da učence učimo strategij učenja. V praksi se je kot ena bolj uspešnih metod izkazala metoda, pri kateri razdelimo list na dva dela. Na levo stran zapišemo opis, definicijo, narišemo skico in podobno, na desnem delu je ključna beseda, matematični pojem in podobno. Z učenci iz zapiskov in iz učbenika izpišemo bistvene podatke. Nato iz njih izluščimo ključno besedo oz. matematični pojem. Velikokrat iz matematičnih učbenikov učenci prej najdejo ključne besede in nato iščejo definicije oziroma opise. Nato se učijo tako, da enkrat skrijejo ključne besede, ki jih poimenujejo iz opisov, drugič pa obratno. Na ta način utrjujejo matematično terminologijo in simboliko, učijo se opisati dejstva in postopke v logično smiselnem zaporedju, razbirati informacije iz zapisanega, povezovati pojme in postopke in drugo. Zaključek Pomoč učencu, pri katerem so se pokazale težave pri učenju matematike, sem si zastavila na podlagi natančnega sprotnega spremljanja in ugotovila, da učenec potrebuje veliko različnih vaj, drugačne prijeme kot ostali učenci in individualizirane zahteve. Učenec je bil zelo uspešen in motiviran za različne dejavnosti s ponazorili. Računal je le z materialno oporo (prsti, preglednice ...) in podaljšanim časom reševanja nalog, razdeljenih na krajše dele. Ponazorila sva naredila skupaj, uporabo le-teh sem mu približala in pokazala, kako naj jih čim hitreje in čim bolj spretno tudi uporablja. Zavedala sem se, da ni dovolj, da števila in računske operacije učenec razume, vse to je bilo potrebno natančno avtomatizirati, da si jih je čim hitreje priklical iz spomina. Formativno spremljanje mi je omogočilo sprotno in celostno spremljanje učenčevega napredka, katerega sem predstavila staršem in učencu samemu ter pridobitev kakovostne povratne informacije. Učenci prehajajo v tretjem triletju skozi zelo občutljivo fazo odraščanja, kjer se še toliko bolj kritično ocenjujejo. Zato so v prispevku navedeni primeri pomembni tudi s perspektive izgradnje pozitivne samopodobe učenca z učnimi težavami. Učencem omogočajo, da izkusijo, da je njihov prispevek pomemben za uspeh skupine. Omogočajo jim tudi, da si lažje organizirajo delo in da porabijo za delo toliko časa, kot ga potrebujejo. Ne glede na vsa prizadevanja učitelja popolna individualizacija znotraj razreda ni vselej mogoča. Predvsem pa učencem omogočajo razen pridobivanja matematičnih znanj tudi pridobivanje kompetenc za vseživljenjsko samostojno učenje. Viri 1. Kavkler, M, Reid, G., Košak Babuder, M., Viola, S., Magajna, L. (2007): Specifične učne težave pri matematiki. V: Učenci s specifičnimi učnimi težavami: skriti primanjkljaji - skriti zaklad. Str. 77-112. Društvo Bravo - društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami, Ljubljana. 2. Kavkler, M., Žerdin, T., Magajna, L. (1991): Brati, pisati, računati. Pomurska založba, Murska Sobota. 3. Kavkler, M. (1992): Drugačne potrebe učencev s specifično razvojno motnjo pri učenju matematike, njihove strategije in kognitivni stil reševanja provlemov. Zbornik Pef: Kaj hočemo in kaj zmoremo. Str. 214-221, Ljubljana. 4. Kavkler., M., Tancig, S., Magajna, L. (2004): Razvoj aritmetičnih znanj in strategij pri prvošolcih devetletne osnovne šole. Preverjanje in ocenjevanje: specializirana strokovna pedagoška revija, letnik 1, številka 4, str. 31-38. 5. Magajna, L. Kavkler, M., Čačinovič Vogrinčič, G., Pečjak, S., Bregar Golobič, K. (2008): Učne težave v osnovni šoli: problemi, perspektive, priporočila. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 6. Geary, D.C., Hoard, M.K., Byrd-Craven,J., & Desoto, M.C. (2004): Strategy choices in simple and complex addition: Contributions of working memory and counting knowledge for children with mathematical disability. Journal of Experimental Child Psychology, 88, p. 121151. 7. Manfreda Kolar, V. (2006): Razvoj pojma število pri predšolskem otroku. Pef, Ljubljana. 8. Mikuš Kos, A. (1991): Šola in duševno zdravje. Svetovalni center za otroke, mladostnike in starše, Ljubljana. 9. Stock, P., Desoete, A., Roeyers, H. (2010): Detecting Children With Arithmetic Disabilities From Kindergarten: Evidence From a 3-Year Longitudinal Study an the Role of Preparatory Arithmetic Abilities. Journal of Learning Disabilities, Vol. 43, Issue 3, p. 250-268. 10. Šoštarič, H. (2009): Pomoč učencem pri matematiki. Diplomsko delo. Pedagoška fakulteta, Maribor. 11. Tamše, M. (2006): Odnos vrstnikov do otrok z učnimi težavami. Diplomsko delo. Pedagoška fakulteta, Maribor. 12. Komljanc, N. (2006): Računalniški program za spremljanje učenčevega napredka. ZRSŠ (2007). RAZVOJ RAČUNSKIH STRATEGIJ PO NAČELIH METODE MONTESSORI PRI UČENCIH S TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI Development of Calculating Strategies by the Montessori Method with Pupils Showing Learning Difficulties at Mathematics mag. Nataša Vanček, OŠ Venclja Perka Domžale natasa.vancek@guest.arnes.si Povzetek Uspešno reševanje matematičnih problemov je v veliki meri odvisno od razumevanja pojmov, konceptualnega in proceduralnega znanja. Matematika je eden od šolskih predmetov, pri katerem je po celem svetu največji odstotek neuspešnih učencev v vseh obdobjih izobraževanja. Otroci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki so manj uspešni, ker slabše obvladajo osnovne aritmetične operacije in imajo slabše proceduralno in deklarativno znanje, predvsem zaradi pomanjkljivo razvitih proceduralnih, jezikovnih in vizualnih zmožnosti za reševanje matematičnih problemov. Pomemben vidik pri iskanju vzrokov za neuspehe je tudi sposobnost abstrakcije in zapomnitve. Učenje matematike zahteva določeno sposobnost abstrakcije in sposobnost zapomnitve nekaterih osnovnih vsot in produktov števil od nič do devet. Otroci s specifičnimi učnimi težavami potrebujejo pri učenju matematike veliko konkretizacije, kompleksne in abstraktne pojme razumejo lažje s pomočjo ponazoritev in praktičnega materiala. Maria Montessori je bila mnenja, da ima otrok poleg »filozofskega uma«, ki se kaže v učenju jezika, tudi »matematični um«. Vzgojno-izobraževalni proces po metodi montessori poteka med tremi enakovrednimi dejavniki: otrok, učitelj in okolje. Metoda temelji na posebnih strukturiranih razvojnih materialih, ki so materializirane abstrakcije in razvijajo matematični um. Trdila je, da sta roka in um tesno povezana, zato je zagovarjala tezo, da se mora znanost (matematika) poučevati preko rok - dela z rokami (od konkretnega materiala k abstraktnemu). Otroci, ki delajo s tovrstnimi materiali, imajo pri matematiki manj težav, snov bolje razumejo, znanje je bolj utrjeno, pomnjenje pa učinkovitejše. Ključne besede: vzgojno-izobraževalni proces, učne težave pri matematiki, pedagogika montessori, razvojni strukturirani materiali. Abstract Successful mathematical problem solving strongly depends on understanding the concepts and conceptual and procedural knowledge. Mathematics is one of the school subjetcs with the highest percent of failure on all levels of education all around the world. Children with specific learning difficulties are less successful at mathematics as they are less proficient in arithmetic operations and possess weaker procedural and declarative knowledge, especially due to the lack of procedural, linguistic and visual abilities for solving mathematical problems. An important aspect when seeking reasons for failure is the ability to abstract and memorize. Learning mathematics requires a certain ability of abstraction and ability to memorize some basic sums and products of numbers from zero to nine. Children with specific learning difficulties need a lot of concretisation when learning mathematics. They understand complex and abstract terms better if offered exemplifications and practical materials. Maria Montessori believed that children possess »philosophical mind« which is shown in language learning, as well as »mathematical mind«. Education process following the Montessori Method functions among three equal factors - the child, the teacher and the environment. The method is based on specially structured didactic materials, which are materialized abstractions and they develop mathematical mind. Montessori claimed that hand and brain are closely connected, thus she argued that science (mathematics) should be taught through hand (from concrete material towards the abstract). Children working with such materials show fewer learning difficulties at mathematics as they understand the matter better, their knowledge is more consolidated and the process of remembering is more effective. Key words: education process, learning difficulties at mathematics, montessori pedagogics, structured didactic materials. Uvod Pri svojem delu specialne pedagoginje na osnovni šoli se največkrat srečujem ravno z otroki s težavami pri matematiki. Za dobro obvladovanje aritmetike je ključnega pomena razumevanje pojma števil, obvladovanje različnih vrst štetja in razvoj matematičnega proceduralnega in pojmovnega znanja. Štetje je osnova za razumevanje števil in aritmetičnih operacij. Opažam, da otroci s težavami pri matematiki potrebujejo drugačen način poučevanja in dela, klasični, frontalni način poučevanja ne prinaša zadovoljivih uspehov. Otroci s SUT pri matematiki pogosto uporabljajo podporne strategije, razvojno nižje strategije in imajo vse življenje težave s priklicem dejstev in postopkov. Otroci sčasoma razvijejo odpor in strah do matematike, tako postane matematika eden najbolj osovraženih predmetov. Pred leti sem spoznala pedagogiko montessori in ugotovila, da se matematiko da poučevati tudi na otroku prijaznejši način. V prispevku bom opisala značilnosti učencev s težavami pri matematiki, njihove težave in poučevanje matematičnih dejstev po metodi montessori. Metoda montessori je pedagoški koncept, ki ga je predlagala Maria Montessori in ga je sama poimenovala „pomoč naravnemu razvoju otroka". Je mnogo več kot samo metodološko - didaktični model. Na teoretski ravni namreč združuje vsa najmodernejša spoznanja o kognitivnem, socialnem, moralnem in čustvenem razvoju otroka. Otroka spremlja od prvega dne življenja preko različnih razvojnih faz, ki jih poimenuje „občutljiva obdobja", do zrelosti (Kobal, 2009: 30). Specifične učne težave pri matematiki Specifične učne težave pri matematiki vključujejo primanjkljaje aritmetičnih sposobnosti in spretnosti, ki niso pogojene z motnjo v duševnem razvoju ali z neustreznim šolanjem. Primanjkljaji se nanašajo na obvladovanje osnovnih računskih sposobnosti in spretnosti seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, manj pa na bolj abstraktne matematične sposobnosti in spretnosti iz algebre, trigonometrije in geometrije (WHO, ICD-10, 1992). Na težave pri matematiki vplivajo različni dejavniki: • Težave zaradi nižjih intelektualnih sposobnosti • Težave, pogojene z drugimi motnjami: > motnje branja (težave z razumevanjem in pomnjenjem, obračanje številk ...) > motnje pisanja (slabša grafomotorika - geometrija) > motnje govora in jezika > slabše prostorske sposobnosti > težave s pozornostjo (impulzivno reševanje nalog, pozabi nalogo, zmoti se pri ustnem računanju ...) > slabša organiziranost dela (manj samostojni, več časa) • Specifične motnje pri računanju > Razvojna diskalkulija (normalno inteligenten otrok hude težave pri osnovnih računskih operacijah) > Specifična razvojna aritmetična motnja (razume pojem števila, računskih operacij, nastavi račun, ima pa težave z izračunom) • Strah (povzeto po Kavkler, 2002: 158). Perat navaja kot eno od slabosti pri učenju matematike dejstvo, da se učenje matematike pričenja „previsoko in papirnato - na znanstven in realnemu življenju odtujen način, ne pa z elementi, ki jih ponuja svet okoli šole". Pojem števila je potrebno vezati na količino. Če želimo računstvo osmisliti, ga moramo doživeti kot dejavnost. Poudarja, da je za pridobivanje pojma števila potrebno hkrati uvajati tudi seštevanje in množenje ter odštevanje in ustno deljenje kot obratni operaciji od množenja in seštevanja. Nadalje priporoča, da morajo biti matematične predstave pridobljene na realnih modelih, ki so otipljivi, vidni in enostavni ter omogočajo kasnejšo abstrakcijo. (povzeto po Perat, 2004: 245-248) Pri poučevanju matematike je po Scoppoli priporočljivo upoštevati naslednje značilnosti in usmeritve: • Upoštevati je potrebno znano didaktično načelo „od konkretnega k abstraktnemu", na osnovi praktičnih izkušenj in problemskih situacij (didaktični materiali). • Pokazati, kjer je mogoče, različne strategije za reševanje istega problema. • Kjer je le možno, uporabljati individualni pristop, ki upošteva tempo in psihofizični razvoj otroka; največji neuspehi pri poučevanju matematike, kar se pri odraslih kaže kot strah pred matematiko (t. i. „math panic") oziroma občutek nesposobnosti, imajo korenine v dejstvu, da so bile osnovne vsebine predstavljene otrokom, ko le-ti še niso imeli izdelanih instrumentov za sprejemanje le-teh. • Vrednotiti uspehe in stalno dajati pozitivno povratno informacijo; izogibati se poudarjanju pomanjkljivosti, ki jih dela otrok. • Nove koncepte dodajati postopoma in po vrsti napredovati do naslednjih posplošitev. • Izkoristiti vsakdanje priložnosti, ki jih povežemo z matematiko (npr. rezanje jabolka na enako velike dele celote in poimenovanje polovica, četrtina ...). • Uporabljati čim več različnih primerov, ki so dovolj jasni za otrokovo sposobnost dojemanja. • Spodbujati in uporabljati pomoč vrstnikov otrokom, ki kažejo težave pri učenju. Čim bolj pogosto zapisovati postopke matematičnega razmišljanja in rezultate, da zmanjšamo težave pri uporabi matematičnega simbolnega jezika. (povzeto po Kobal, 2009: 39) Značilnosti učencev s težavami pri matematiki Če želimo učinkovito pristopiti k reševanju težav, moramo poznati osnovne značilnosti, ki se pojavljajo pri otrocih z učnimi težavami: • Slabše proceduralno znanje; sem sodijo postopki reševanja, strategije ustnega in pisnega računanja, matematični koraki pri reševanju besedilnih nalog. Proceduralno znanje pridobimo z vajo. • Slabši dolgoročni semantični spomin; težave pri shranjevanju aritmetičnih dejstev v dolgoročni spomin in priklicu iz njega. Posledično to pomeni slabši priklic aritmetičnih dejstev - poštevanka, seštevanje manjših števil, terminov. • Vizualno-spacialne težave; predstavljajo problem predstavljivosti, nižja učinkovitost pri geometriji, slabša orientacija - težave z določanjem mestnih vrednosti, postavljanjem decimalne vejice, obračanje števil. • Slabše konceptualno (pojmovno) znanje; zajema slabše razumevanje pojmov števila, štetja, desetiških enot ... • Slabše deklarativno znanje; pomeni slabše obvladovanje aritmetičnih dejstev. • Skromen delovni spomin; slabša zapomnitev postopkov računanja in reševanja enačb. • Razvojno manj razvite strategije reševanja aritmetičnih problemov; pri delu so počasnejši, manj točni, sproti pozabljajo postopke. (povzeto po Kalan, 2006:125) Teoretska izhodišča metode montessori Osrednja misel pedagogike montessori je brezpogojno zaupanje v sposobnosti in notranjo energijo otroka, ki je celota fizičnega in umskega in v katerem se inteligenca začne razvijati preko gibanja in uporabe čutov (Sledi otroku, on ti bo pokazal pot). Glavni cilj izobraževanja je razvijati energije in sposobnosti otroka, da bo lahko optimalno napredoval in stopal po poti neodvisnosti (Pomagaj mi, da naredim sam!). Temeljna predpostavka pedagogike montessori je, da je otrok sposoben samoizgradnje in samovzgoje s pomočjo učitelja, ki je usposobljen za raziskovanje in opazovanje otrok, ki otroku pomaga, da dela in se uči sam v skrbno pripravljenem okolju. Otroku omogočimo svobodno gibanje v okolju, kjer samostojno izbira aktivnosti. (Montessori, 2006: 62) Vzgojno izobraževalni proces po metodi montessori poteka med tremi enakovrednimi dejavniki: otrok, učitelj in okolje. Med njimi prihaja do interakcij, ki omogočajo spreminjanje vsakega od njih. V okolje so vključeni tudi t. i. materiali montessori, ki so nastali kot plod dolgoletnega raziskovanja in preizkušanja v različnih šolah po svetu in so jih izbrali otroci. Maria Montessori jih imenuje razvojni materiali, saj so narejeni za otroke, da razvijajo določene spretnosti, sposobnosti in mišljenje. Materiali niso namenjeni učitelju, da bi jih uporabljal pri poučevanju, temveč izključno otrokom, ki svobodno manipulirajo z njimi. Najpomembnejše mesto med njimi prav gotovo zavzemajo strukturirani materiali za vzgojo čutov in za razvoj logično matematičnega mišljenja. Vsak material se otroku najprej predstavi na sistematičen način, preden otrok začne z njim samostojno manipulirati. Temeljna značilnost montessori materialov je gotovo izolacija ene same lastnosti, kar pomeni, da material razvija eno sposobnost/veščino. Večina materialov vključuje kontrolo napake, kar pomeni, da otroku omogoča povratno informacijo o pravilni uporabi ali rešitvi, ne da bi za to potreboval učitelja. Značilnost montessori materialov je tudi njihova privlačnost (Stvari, ki govorijo) in »aktivnost«. Material mora biti primeren za lastno aktivnost otrok, (otroci ga uporabljajo sami brez pomoči odraslega) in da otroka motivirajo k dejavnosti. Pomembna lastnost razvojnih materialov je tudi njihova preprostost -»omejitev«, v smislu omejitve dražljajev. To pomeni omejeno število materiala (omogoča preglednost) in preprostost le-tega (Montessori, 2007: 116). Maria Montessori je bila mnenja, da ima otrok poleg »filozofskega uma«, ki se kaže v učenju jezika, tudi »matematični um«. Že po naravi naj bi bil človekov um matematični, kar se kaže v naravni ljubezni otroka do matematičnih konceptov. Zato je razvila posebne strukturirane razvojne materiale, ki so materializirane abstrakcije in razvijajo matematični um (Raapke 2006: 119). Znanost (matematika) se mora poučevati preko rok - dela z rokami (od konkretnega materiala k abstraktnemu). Maria leta 1948 zapiše: „Človeška inteligenca ni več naravna inteligenca, temveč je matematična inteligenca. Brez vzgoje in razvoja matematike si ni mogoče predstavljati razvoja in napredka našega veka." (Kobal, 2009: 44). Montessori materiali za razvoj logično-matematičnega mišljenja Pri svojem delu redno uporabljam številne montessori materiale, v prispevku se bom osredotočila samo na matematične in natančneje opisala tiste, ki so namenjeni razvijanju številskih predstav in računskih strategij. Za seštevanje in odštevanje s prehodom čez desetico (v obsegu do 18) je M. Montessori razvila posebno desko s tabelo za seštevanje in odštevanje. Na deski zgoraj so natisnjena števila od 1 do 18, deska je razdeljena na majhne kvadrate v obliki tabele. Deski so priloženi modri in rdeči leseni trakovi, ki predstavljajo števila od 1 do 9. Z dodajanjem modrih in rdečih trakov na deski (npr. modra 5 + rdeča 7) odčitamo rezultat na tablici (12). Pri odštevanju lahko uporabimo še bele trakove, s katerimi si pomagamo pri nastavljanju računov. Material posebej nazorno prikaže prehod čez desetico in otroku zaradi geometrijske predstavitve števil olajša učenje začetnih računskih operacij. O flu; Ufflsi Slika 2: Prikaz seštevanja Ključni material za razumevanje decimalnega sistema so t.i. zlati biseri (banka zlatih biserov). Zlati biseri so ključ za spoznavanje in usvajanje decimalnega sistema. Na ozkem lesenem pladnju so od desne proti levi razvrščene naslednje skupine biserov: ena (enica) - en biser, deset (desetica) - palčka iz 10 biserov, sto (stotica) - kvadrat iz 10 x 10 biserov, tisoč (tisočica) - kocka iz 10 x 10 x 10 biserov. •..... H4WWB ttfltllMl ...... UUuM TTŽ Slika 3: Zlati biseri Slika 4: Desetice v stotici Slika 5: Stotice v T Otroci pridobijo in utrdijo količinsko predstavo ter poimenovanje za vsako skupino biserov (ena, deset, sto, tisoč); vidijo in otipajo razliko med desetiškimi enotami, s preštevanjem odkrivajo, koliko manjših skupin je vsebovanih v večji sosednji skupini. Prav tako jih lahko uporabljajo pri računskih operacijah z večjimi števili (seštevanje, odštevanje), kar jim zelo olajša začetne težave. Poleg »banke zlatih biserov« se uporabljajo tudi simboli za desetiške enote od 1 do 9000, to so na kartončkih napisani večkratniki desetiških enot. Enice so zelene, desetice modre, stotice rdeče in tisočice ponovno zelene. Številski simboli se uporabljajo za prirejanje količin (biserov) k ustreznemu simbolu (asociacija simbol - količina). Ker je biserov veliko, otroci lahko tudi zelo velikim številom (npr. 8597) prirejajo konkreten material in na tak način pridobijo čisto konkretno predstavo o sestavi velikih števil. Simboli desetiških enot se uporabljajo tudi za sestavljanje in branje velikih števil. Številu najprej priredimo ustrezno število biserov, ki jih opremimo še z zapisanimi simboli. Nato se kartončki polagajo drug na drugega, začenši z največjim. Otrok tako lažje razume zapis velikih števil, pridobi uvid, iz koliko mestnih vrednosti je posamezno število sestavljeno in kako si mestne vrednosti sledijo. Na tak način otroci manj zamenjujejo mestne vrednosti (enice, desetice itd.), saj pridobijo čisto konkretno izkušnjo o sestavi števil. Slika 6: Simboli za desetiške enote Slika 7: Prirejanje simbolov h količini Materiala, ki služita za boljšo materializacijo številske vrste, sta tudi t. i. stotiška veriga in tisočiška veriga. Stotiška veriga je veriga, sestavljena iz sto zlatih biserov (deset palčk po 10 biserov), s katero otrok utrjuje orientacijo na številski vrsti, spoznava odnose med števili, se uri v štetju in spoznava sestavo števil v obsegu do 100. Poleg so tudi puščice s števili (E od 1-9, D od 10-90 in stotica), s katerimi se števila priredi ustrezni količini. Za prikazovanje mestnih vrednosti se uporabljajo vedno iste barve (zelena, modra, rdeča). Tisočiška veriga je veriga sestavljena iz tisoč zlatih biserov (sto palčk po 10 biserov), način dela je enak kot pri stotiški verigi. Slika 8: Tisočiška veriga Slika 9: Stotiška veriga Za bolj nazorno razumevanje sestave števil se uporabljajo t. i. Seguinove deščice. To sta dve leseni deščici, na katerih je devetkrat natisnjeno število 10, in devet lesenih ploščic, na katerih so natisnjeni simboli od 1 do 9, ki jih lahko vstavljamo na mesto enic (prekrivamo število 0). Otroci oblikujejo števila od 11 do 19 s pomočjo bisernih in pisanih bisernih palčk in jih nato nastavijo še na Seguinovi deščici (npr. število 11 sestavijo iz bisernih palčk, nato vzamejo ploščico 1 in vstavijo na prvo natisnjeno število 10, tako da prekrijejo 0). Na tak način spoznavajo simbole za števila od 11 do 19 in števila memorirajo. Konkretni predstavitvi števila sledi še simbol oz. zapis, na tak način se vzpostavi asociacija med količino in simbolom (zapisom). Druga serija Seguinovih deščic služi oblikovanju in memoriranju števil v obsegu do 99 (na dveh lesenih deščicah so natisnjena števila 10, 20, 30 .do 90, zraven je še devet lesenih ploščic s števili od 1 do 9). Otroci utrjujejo zaporedje števil od 11 do 99. Zelo primerne so za otroke, ki menjujejo enice in desetice in so njihovi zapisi števil pogosto napačni. Seguinove deščice nazorno pokažejo sestavo desetiških enot posameznega števila, saj natisnjene desetice nudijo stalno vidno oporo; vstavljajo se samo enice. Tako otrok lažje vzpostavi vidno in slušno povezavo. Slika 10: Seguinove deščice - 2. serija Slika 11: Seguinove deščice - 1. serija Slika 12: Pisane biserne palčke Slika 13: Sestavljanje števil do 20 Za učenje množenja se uporablja posebna deska za množenje z utori. Zgoraj so natisnjena števila, v odprtino na levi strani vstavljamo ploščico s številom, s katerim želimo množiti. Na ustrezno zgoraj zapisano število položimo rdeč žeton, da označimo, do kod vstavljamo kroglice. V utore vertikalno vstavljamo zahtevano število rdečih kroglic (npr. 5 x 4 - na število 5 položimo rdeč žeton, v predalček vstavimo število 4, v utore vstavljamo vsakič po štiri kroglice. Vstavljamo jih samo do števila, označenega z rdečim žetonom). To predstavlja dobro predpripravo na avtomatizacijo poštevanke. Podoben material se uporablja tudi za deljenje (deska za deljenje), le da so tam števila zapisana zgoraj in levo na tablici. Ob številih zgoraj vstavimo ustrezno število figuric (delitelj; npr. 3) V lonček damo število zelenih kroglic (količnik), ki jih želimo razdeliti (npr. 27). V utore vstavljamo vodoravno zelene kroglice po principu vsaka figura dobi isto število kroglic. Otrok tako na preprost način raziskuje in spozna princip deljenja/množenja, ta material se uporablja predvsem v uvodni fazi. Slika 14: Deska za množenje in deljenje Zaključek Montessori materiali za razvoj logično-matematičnega mišljenja so izvrsten material za izgradnjo številskih predstav, ki so temeljnega pomena za nadaljnje učenje matematičnih vsebin. Po večletnih izkušnjah in uporabi teh materialov pri delu z otroki s težavami pri matematiki sem prepričana, da lahko način dela po metodi montessori pomembno pripomore k izboljšanju uspehov pri matematiki. Metoda poudarja razvoj ustreznih številskih predstav in upošteva specifičnost otrokovih razvojnih potreb (od konkretnega k abstraktnemu). Otroci postopoma razvijajo zahtevnejše miselne strategije reševanja matematičnih problemov in s tem tudi boljše računske strategije. Viri 1. Kalan, M. (2006): Razvoj računskih strategij v nižjih razredih osnovne šole pri učencih s težavami pri matematiki. V: Otroci in mladostniki s specifičnimi učnimi težavami -spodbujanje, podpiranje in učinkovita pomoč. Društvo Bravo, Ljubljana. 2. Kavkler, M. (2002): Kako otroci rešujejo osnovne aritmetične probleme. V: Specifične učne težave otrok in mladostnikov. Svetovalni center, Ljubljana. 3. Kobal, H. (2009): Maria Montessori in njen prispevek k poučevanju matematike v predšolskem obdobju (diplomsko delo). Filozofska fakulteta, Ljubljana. 4. Montessori, M. (2006): Srkajoči um. Uršulinski zavod za vzgojo, izobraževanje in kulturo. Ljubljana. 5. Montessori, M. (2007): Die Entdeckung des Kindes. Verlag Herder, Freiburg im Breisgau. 6. Perat, Z. (2004): Matematika prvega triletja. Jutro, Ljubljana. 7. Raapke, H.D. (2006): Montessori heute. Rowohlt Taschenbuch Verlag, Reinbek bei Hamburg. POTENCE PO METODI MONTESSORI Powers by Montessori Method Maja Vogrinčič Bizjak, Tehniški šolski center Nova Gorica majavb@gmail.com Povzetek V prispevku prikažemo, kako z uporabo montessori materialov predstavimo potence, konkretno kvadratno in kubično število. Montessori metoda prilagaja prehod s konkretnega na simbolno in potem še na abstraktno raven posamezniku. Nekateri učenci potrebujejo več dela z materiali, da potem preidejo na naslednjo raven. Za druge pa je ta prehod hitrejši. S konkretnim materialom lahko tudi mlajši otroci rešijo naloge, ki se zdijo na prvi pogled zahtevne. Ugotovila sem, da otrok s podporo konkretnih materialov lažje razvija matematična spoznanja. Ključne besede: metoda montessori, veriga, kvadratno število, kubično število, geometrijski liki. Abstract The aim of my contribution is to demonstrate how powers of numbers, square and cube numbers can be presented with the use of Montessori materials. The Montessori Method differs from the common primary school presentation as it adjusts the transition from the concrete level to the symbolic one, and later on to the abstract level to the single individual. Some pupils require more work with materials to be able to move on to the next level. For others this transition is faster. By using concrete materials even younger children have opportunity to solve the exercises that at first sight appear demanding. I have established that a child can, with the support of concrete materials, better acquire the knowledge of mathematical concepts. Key words: Montessori Method, chain, square of number, cube of number, geometric figures. Uvod Namen tega prispevka je prikazati montessori metodo pri matematiki. Uporaba konkretnih materialov je dobra podlaga za vnaprejšnje razumevanje matematike na simbolni in abstraktni ravni. Materiali so narejeni tako, da zadovoljujejo otrokove potrebe po delu z vsemi čuti. Pri le-teh je kontrola napake prisotna, učenci so sami sposobni odkriti in popraviti svoje napake. Z materiali lahko tudi mlajši otroci rešujejo naloge, ki se nam zdijo na prvi pogled pretežke. Vendar je treba paziti na to, da material predstavimo učencu v pravem trenutku njegovega razvoja. Učitelj predstavi učencu nov material zelo počasi in natančno od začetka do konca. Ob končanem predstavljanju učenec vajo ponovi. Večinoma učenec dela z materialom tako, kot mu je bil predstavljen. Lahko pa ga uporablja na način, ki ga je sam odkril. In če je pri tem vidna inteligenca, kar je vzpodbudno za učenčev razvoj, mu učitelj dovoljuje ponavljati to isto vajo ali eksperimentirati še naprej, kolikor časa učenec to želi. Izmed mnogih matematičnih vsebin, ki jih obravnavajo v osnovni šoli, sem si izbrala temo uvod v potence, t.j. kvadratno in kubično število. Predhodno učenec že zna dobro seštevati, odštevati, množiti in deliti. Predstavila bom samo nekatere predstavitve kvadratnega in kubičnega števila, s katerimi se srečuje učenec v Osnovni šoli Montessori. Predstavitve si sledijo po stopnji zahtevnosti. Vsaka predstavitev je predstavljena po korakih. Le-te učitelj nazorno predstavi učencu. Ko učenec obvlada vse spodaj zapisane predstavitve, preide na naslednjo stopnjo, t.j. poglobljeno kvadriranje in kubiranje naravnih števil, prehod na simbolno raven, kvadrat in kub dvočlenika, kvadrat tričlenika. V predstavitvah so uporabljeni naslednji materiali: členi, na katere so nanizane kroglice od 1 do 10, verige z barvnimi kroglicami, kvadrati in kocke iz barvnih kroglic. Kvadratno in kubično število ter oblikovanje geometrijskih likov Na začetku poglavja potenc učenec oblikuje na preprogi geometrijske like. Pri tem uporablja verige z barvnimi kroglicami različnih dolžin. Predstavitev 1: i) Na preprogo položimo verigo s tremi členi. Prikazano je na Sliki 1. Učencu razložimo, da je veriga iz treh členov, vsak člen pa ima nanizane tri kroglice. ii) Verigo s tremi členi oblikujemo v trikotnik. Učenca vprašamo po imenu in številu stranic lika. Učenec položi pod lik kartonček z napisom trikotnik. iii) Predstavljena je tudi veriga iz štirih členov s štirimi kroglicami. Učenec preoblikuje verigo v lik, ki ga poimenuje, opiše ter pod njega doda kartonček z napisom kvadrat. iv) Učenec ponovi postopke iz ii). in iii). poglavja za verige iz petih, šestih, sedmih, osmih, devetih in desetih členov. v) Učenec raziskuje verigo z enim in dvema členoma. Ugotovi, da veriga z enim členom predstavlja točko, druga pa daljico. Slika 1: Geometrijski liki (Priročnik za matematiko, izobraževanje v pedagogiki Montessori za vzgojitelje otrok v starosti od 3 do 6 let, 2010) Predstavitev 2: i) Verigo s tremi členi oblikujemo v trikotnik, kar prikazuje Slika 2. Okoli njega oblikujemo verigo s štirimi členi v kvadrat. ii) Učenec nadaljuje delo, tako, da okoli kvadrata oblikuje verigo s petimi členi v pentagon, .... Na koncu okoli pravilnega devetkotnika - nonagona oblikuje verigo z desetimi členi v pravilni desetkotnik - dekagon (op. poznavanje imen pravilnih n-kotnikov je v predstavitvi iii) Iz izdelka nato vidi, da liki s krajšimi stranicami ležijo znotraj likov z daljšimi stranicami. Slika 2: Pravilni mnogokotniki. (Priročnik za matematiko, izobraževanje v pedagogiki Montessori za vzgojitelje otrok v starosti od 3 do 6 let, 2010) Geometrijska predstavitev kvadratnega števila Geometrijsko predstavimo kvadratno število in zapišemo s simbolom. Predstavitev 1: i) Na preprogo položimo verigo s štirimi členi, kot prikazuje Slika 3. Učenec obnovi znanje iz Predstavitve 1. Opiše predstavljeno verigo. Nato jo preoblikuje v kvadrat tako, da jo zgiba trikrat. ii) Poleg kvadrata položimo kartonček, na katerega napišemo 4. Nato dodamo še dva kartončka, na enem je znak za množenje, na drugem pa ponovno 4. Razložimo zapis 4x4. iii) Zapis 4x4 krajše zapišemo 42. To napišemo na kartonček, ki ga položimo zraven prejšnjega zapisa (4x4 = 42). iv) Učenec ponovi zgoraj zapisane korake za verige dolžin 3,5,6,7,8,9,10. Slika 3: Kvadratno število (Priročnik za matematiko, izobraževanje v pedagogiki Montessori za vzgojitelje otrok v starosti od 3 do 6 let, 2010) Predstavitev 2: i) Na vrh preproge položimo v levi kot verigo z enim členom. »To je ena.« ii) »Če želim narediti kvadrat, moram verigo z enim členom vzeti enkrat.« Člen z eno kroglico položimo desno od prejšnje. iii) Učenec napiše na kartonček 1x1 in ga položi desno od izdelka, kar je prikazano na Sliki 4. Na drugi kartonček napiše 1x1 v krajši obliki 12 in ga položi desno od prejšnjega. S tem postopkom ponovi zapis potence, ki ga je spoznal v Predstavitvi 1. iv) Učenca vprašamo po številu kroglic, ki sestavljajo kvadrat. Število 1 napiše na kartonček in ga položi desno od napisa 1 2. v) Učenec ponovi zgoraj zapisane korake še za verige dolžin do 1 0. Zlaga jih eno pod drugo. Npr. verigo z dvema členoma zgiba v kvadrat. »Da sem dobil/a kvadrat, sem vzel/a člen z dvema kroglicama dvakrat.« Učenec napiše na kartončka 2x2 , 2 2 ter ju položi desno od verig. Ugotovitev, koliko kroglic sestavlja kvadrat, zapiše na kartonček. 3 n* Slika 4: Kvadratna števila do 10 (Priročnik za matematiko, izobraževanje v pedagogiki Montessori za vzgojitelje otrok v starosti od 3 do 6 let, 2010) Geometrijska predstavitev kubičnega števila Geometrijsko predstavimo kubično število in zapišemo s simbolom. Materiali, ki jih uporabljamo, so verige z barvnimi kroglicami, kvadrati iz barvnih kroglic, kocke iz barvnih kroglic. Predstavitev 1: i) Na preprogo položimo verigo s šestnajstimi členi, kar je prikazano na Sliki 5. Zgibamo jo v štiri kvadrate. Dobili smo kvadrat 42 štirikrat. Pod kvadrate položimo kartonček z napisom . ii) Na desno od zgibane verige položimo kvadrate iz kroglic enega na drugega, štirikrat. Učenca vprašamo, kaj smo dobili. Svojo ugotovitev ponazori s kocko. Zapis 42 x 4 krajše zapišemo 43. Kartonček s tem napisom položimo pod kocko. iii) Iz prejšnjih predstavitev obnovi pomen zapisa 42. Na kartonček zapiše zapis 42 v daljši obliki . iv) Učenec prebere zapis 4x4x4 = 4 3. Ta zapis pove, da pri kocki gledamo dolžino, širino in višino. v) Prejšnje korake ponovi še za verige s številom členov do 1 0. -433381». Slika 5: Kubično število (Priročnik za matematiko, izobraževanje v pedagogiki Montessori za vzgojitelje otrok v starosti od 3 do 6 let, 2010) Predstavitev 2: i) Na levo stran preproge položimo verigo z enim členom, pri čemer predstavlja kvadrat, kar predstavlja Slika 6. Ker smo jo vzeli enkrat, na desno stran od kvadrata položimo člen z eno kroglico, ki predstavlja kocko. ii) Učenec položi na desno stran kartonček z napisom 1 2 x 1. Zapis 1 2 zapiše kot 1 x 1. Poleg prejšnjega kartončka položi zraven še dva kartončka z napisom 1 x 1 x 1 in 1 3. iii) Učenec prešteje kroglice, ki sestavljajo kocko, ter napiše ugotovitev na kartonček. iv) Postopek ponovi še za ostale kvadrate in kocke. Npr. pod prejšnjim izdelkom položi kvadrat 2 2 dvakrat ter kocko 2 3. Zraven materialov položi še kartončke z napisom 2 2 x 2 , 2x2 x 2 , 2 3, 8. Slika 6: Kubična števila do 10 (Priročnik za matematiko, izobraževanje v pedagogiki Montessori za vzgojitelje otrok v starosti od 3 do 6 let, 2010) Predstavitev 3: i) Verigo iz 2 5 členov preoblikujemo v pentagon, Slika 7. Vsaka stranica pentagona je sestavljena iz petih členov, vsak člen pa ima nanizanih pet kroglic. ii) Učenec obnovi znanje iz prejšnjih predstavitev ( verigo iz petih členov zgiba v kvadrat 5x5 ). V vogale pentagona zloži kvadrate 5 x 5. iii) Pet kvadratov 5x5 zloži enega na drugega. Iz izdelka uvidi, da je dobil kocko. Na sredino pentagona položi kocko 5 3. iv) Zgornje postopke ponovi za verige s členi do dolžine 10. iS \ m v v N V \ \ Slika 7: Pentagon (Priročnik za matematiko, izobraževanje v pedagogiki Montessori za vzgojitelje otrok v starosti od 3 do 6 let, 2010) Igre Predstavitev 1: i) Učenec položi na preprogo kvadrate iz kroglic ( 1 x 1,2 x 2,3 x 3,4 x 4,5 x 5,6 x ). ii) Kvadrate položi enega na drugega, od največjega do najmanjšega. Na list zapiše število kroglic, ki jih vsak kvadrat vsebuje. Nato pa zapiše še vsoto vseh kroglic, ki jih nastala piramida vsebuje. iii) Podobno naredi učenec še za kocke iz kroglic, ki jih postavi eno na drugo in zapiše končno število kroglic, ki jih zavzame nastali stolp. iv) Zapiše tudi, kolikšna je razlika med številom kroglic stolpa in piramide. Predstavitev 2: i) Učenec pozna tabelo za množenje. Na preprogi ponovno ponazori tabelo za množenje. V vodoravni smeri položi člen z eno, dvema, tremi ... desetimi kroglicami. Podobno naredi še v vertikalni smeri. Nato dopolni tabelo. Npr. pod stolpec, kjer je člen z dvema kroglicama, položi dva člena z dvema kroglicama, tri člene z dvema kroglicama, štiri člene z dvema kroglicama ... ii) Učenca napeljemo na povezavo med členom z eno kroglico in kvadratom 12, dva člena z dvema kroglicama in kvadratom 2 2 ... Učenec zamenja po diagonali člene s kvadrati. iii) Učenca spomnimo na komutativni zakon množenja. Ali damo člen s tremi kroglicami dvakrat ali pa damo člen z dvema kroglicama trikrat, v obeh primerih je število vseh kroglic šest. ( iv) Učencu nakažemo, da člen z desetimi kroglicami lahko nadomestimo s kvadratom 1 2 in s členom z devetimi kroglicami. Na kartonček zapiše 1 0 = 1 2 + 9. Podobno naredi še za 2 0 kroglic (člen z desetimi kroglicami položi dvakrat). Dva člena po deset zamenja za vsoto kvadrata in dva člena po . Na kartonček zapiše . Učenec nadaljuje še za ostale člene dolžine 30,40 ... 90. Predstavitev 3: Ko ima učenec dobro utrjene pojme o kvadratnem in kubičnem številu, lahko preide na naslednjo stopnjo, to je, računske operacije s kvadratnim in kubičnim številom. Seštevanje: i) Na papir napišemo račun 42 + 42 = . ii) Učenec vzame dva kvadrata 4x4. Pove število kroglic vsakega kvadrata ( 16). iii) Na papir napiše 42 + 42 = 16 + 16, sešteje in zapiše rezultat 3 2. iv) Podobno naredi še za ostale kvadrate. Odštevanje: i) Na papir napišemo račun . ii) Učenec položi na preprogo kvadrat 6x6. S koščkom papirja pokrije 3 2 in prešteje kroglice, ki so ostale. iii) Na papir napiše . Množenje: i) Na papir napišemo račun . ii) Učenec položi na preprogo tri kvadrate 4x4. Učenca vprašamo po številu kroglic. iii) Učenec napiše na papir nadaljevanje računa: 42 x 3 = 16 x 3 = 48. iv) Na papir napišemo račun 42 x 32. Učenec položi na preprogo devet kvadratov 4x4. Na papir zapiše: . v) Račun 42 x 32 izračunamo še na drugačen način. Učenec položi na preprogo člen s štirimi kroglicami trikrat. Število vseh kroglic je 1 2. To ponovi še enajstkrat. Spozna, da je število vseh postavitev 1 2. Na list zapiše 42 x 32 = (4 x 3) 2 = 12 2 = 144. Deljenje: i) Na papir napišemo račun 5 3 : 5. Učenec na preprogo položi kocko 5 3 in pet kegljev. ii) Učenec zamenja kocko s petimi kvadrati 5x5. Keglje postavimo v vrsto. Pod vsak kegelj položimo kvadrat 5x5. iii) Na papir napiše: . Zaključek Pri pouku lahko z zgornjimi predstavitvami izboljšamo, popestrimo ali pa dopolnimo predstavitev kvadratnega in kubičnega števila. Te in nadaljnje predstavitve bi lahko bile dobre iztočnice za izboljšanje razumevanja matematičnih pojmov. Slovenskih šol, ki bi uporabljale elemente pedagogike Marie Montessori, je zelo malo. Pomanjkanje je tudi ustrezne strokovne literature v slovenskem jeziku. Se pa stanje na tem področju počasi izboljšuje. V prihodnosti bom stremela k temu, da se bom še globlje poglobila v Montessori pedagogiko. Tudi pri pouku matematike bom poskušala vpeljati nekatere predstavitve, ki jih je Maria Montessori zapisala v kurikulih. Namreč nekateri dijaki, ki se vpisujejo v srednje strokovno izobraževanje, prihajajo s slabim predznanjem iz osnovne šole. In rešitev je na dlani. Skozi aktivnost z materiali, tako fizično kot mentalno, bi lahko učenec pridobil temelje matematike. Maria Montessori je želela s svojimi materiali usposobiti mladega človeka, da bi ta s pomočjo svojega matematičnega uma razumel svet narave in kulture v njunih matematičnih strukturah in jih obvladoval - v dobrem smislu (Kordeš, 2004). Viri 1. Baša, M. (2010): Priročnik za matematiko, izobraževanje v pedagogiki Montessori za vzgojitelje otrok v starosti od 3 do 6 let. 2. Kordeš, D., M. (2004): Angelin vrtec: Program vrtca Montessori. 3. Kordeš, D., M. (2010): Program osnovne šole Montessori. 4. Montessori, M. (1988): The Montessori method. 5. Montessori, M. (1917): The Montessori Elementary Material. 6. Standing, E. M. (1998): Her life and work. POGOSTE UČNE TEŽAVE ROMSKIH UČENCEV PRI MATEMATIKI Mathematics Skill Deficits of Roma Pupils mag. Iztok Lačen, OŠ I Murska Sobota iztok.lacen@gmail.com Povzetek V Sloveniji imajo učenci Romi z Zakonom o romski skupnosti v Republiki Sloveniji z Zakonom o organizaciji in financiranju vzgoje in izobraževanja ter z Zakonom o osnovni šoli omogočene posebne pravice na področju izobraževanja. S sprejemom Strategije vzgoje in izobraževanja Romov v Republiki Sloveniji (2004) pa učenci Romi ne smejo biti več obravnavani kot učenci s posebnimi potrebami, ampak jih mora država posebej obravnavati in šolam priznati ugodnosti za vzgojo in izobraževanje romskih učencev v obliki individualnih in skupinskih ur, financiranja učbenikov itd. V prispevku želim prikazati primer prakse izvajanja učne pomoči učencem Romom v Osnovni šoli I Murska Sobota. Vse prej omenjene ugodnosti nudimo učencem Romom tudi v naši šoli. Sam se s poučevanjem učencev Romov ukvarjam že vrsto let in ob opazovanju ter doslednem beleženju posameznikovega napredka in doseganja ciljev ugotavljam, da se pri matematiki pojavljajo težave pri isti učni snovi oz. so težave pri doseganju enakih učnih ciljev. Podatki kažejo, da učenci Romi tako pogosto zgolj delno dosegajo posamezne cilje pri matematiki v prvi triadi, posledično pa nastajajo vrzeli, ki potem pomembno vplivajo na nadgrajevanje znanja v višjih razredih. Tak elementarni problem še vedno ostaja usvajanje številskih predstav in razvoj pojmov s konkretne na abstraktno raven. Težave so pogosto povezane tudi z delnim doseganjem ciljev pri slovenščini, predvsem zaradi nizke bralne pismenosti. Ključne besede: matematika, učne težave, učenci Romi. Abstract In Slovenian schools, Roma pupils have special rights and privileges that are granted by the Roma Community Act, the Organization and Financing of Education Act, and the Primary School Act. The Strategy of Education of Roma in Slovenia (2004), no longer perceive Roma pupils as children with special needs, but as a population that needs to be treated specifically by the state, meaning that schools have to provide special individual and group lessons in the process of education of Roma children, besides financing the purchase of their textbooks, etc... In this article I want to give an example of good practice of learning support to Roma pupils at school where I work, Osnovna šola I Murska Sobota. Our school provides Roma pupils all the benefits mentioned above. I myself have taught Roma pupils for many years and have kept records from which progress and achievement of each student can be seen, and from which I have observed that the same parts of mathematics cause problems to all of them. They all have difficulties of achieving the same learning objectives too. The data thus show that in the first three years Roma pupils often achieve individual goals in mathematics only partially, and consequently this knowledge gap has a significant impact on their performance in higher grades. One of such elemental problems is still the acquisition of the idea about numerical representations and development of concepts from concrete to abstract level. They also have problems closely linked with poor school performance in Slovenian language, mainly due to low reading literacy achievement. Key words: mathematics, learning difficulties, Roma pupils. Uvod in metodologija Učenci Romi so po slovenski šolski zakonodaji lahko ob soglasju staršev deležni dodatne učne pomoči v obliki individualnega poučevanja ali vključevanja učitelja v oddelek (Strategija ..., 2004). Pri izvajanju učnih ur pa učitelji pogosto opažamo različne učne težave, ki so pogosto odraz različnih dejavnikov (nerazumevanje učne snovi, nerazumevanje navodil, slabe bralne sposobnosti ali drugi moteči dejavniki). V čim večji želji pomagati učencem Romom, da bi zapolnili vrzeli v znanju, se učitelji poslužujemo najrazličnejših metod in oblik dela. Mnogokrat pa kljub temu težav ni mogoče odpraviti in posledično učenci Romi ne dosežejo vseh zastavljenih standardov znanja (minimalnih in temeljnih). Na Osnovni šoli I Murska Sobota imamo v šolskem letu 2011/2012 na šoli 46 učencev Romov. Po predpisih (ZOFVI, 1996; ZOsn, 1996; Strategija ..., 2004 in Dopolnitev k Strategiji 2004, 2011) imamo odobrenih 1,5 učne obveze učitelja (33 učnih ur tedensko) za pomoč učencem Romom. Pomoči so deležni vsi učenci Romi po vsej vertikali, v kolikor se s pomočjo strinjajo tudi njihovi starši. Pomoč izvajamo individualno in skupinsko v oddelku ali izven oddelka. Na šoli pomoč učencem Romom nudijo tudi trije romski pomočniki. V okviru svoje učne obveze nudim učno pomoč učencem Romom v 2. triletju. Na tak način spremljam njihov individualni napredek od 4. do 6. razreda. Delo izvajam pri pouku ali izven pouka, večinoma v individualni obliki. V šolskem letu 2011/2012 je v 5. razredu 7 učencev Romov, od tega pomagam 3 učencem v obsegu 4 učnih ur tedensko, eni uče nki nudim dodatno strokovno pomoč v obsegu ene ure tedensko, trije učenci pa nimajo soglasja staršev za izvajanje učne pomoči. Kljub temu skupaj z razredničarko spremljam njihov napredek, saj ob morebitnem poslabšanju stanja starše obveščamo in jim po želji nudimo dodatno pomoč v manjšem obsegu ur. Glede na predmete je največ učnih ur namenjenih matematiki, ker je tu največ težav. Po potrebi in v dogovoru z razredničarko pa nudim pomoč v manjšem obsegu tudi pri drugih učnih predmetih. V enakem razmerju in pri istih učencih Romih sem izvajal učno pomoč v šolskem letu 2010/2011. Šolsko leto Vrsta učne pomoči f 2010/2011 Pomoč učencem Romom 140 DSP 35 2011/2012 Pomoč učencem Romom 140 DSP 35 Skupaj 350 Tabela 1: Število učnih ur (f), ki sem jih izvedel z učenci Romi v 4. razredu (šolsko leto 2010/2011) in v 5. razredu (šolsko leto 2011/2012) Tako lahko na podlagi vseh izvedenih učnih ur ob skrbnem beleženju učenčevega napredka in evalvaciji doseženih ciljev predstavim nekatera spoznanja o pogostih učnih težavah učencev Romov na Osnovni šoli I Murska Sobota. V namen preiskovanja sem uporabil deskriptivno in kavzalno-neeksperimentalno metodo empiričnega raziskovanja. Vsi podatki so prikazani s postopkom frekvenčne distribucije (f). Učne težave učencev Romov na Osnovni šoli I Murska Sobota Učenci Romi imajo prav tako kot vsi drugi učenci pri pouku splošne učne težave (slabša sposobnost uvidevanja bistva, sklepanja in posploševanja, težave pri razumevanju pojmov, težave na predstavni oz. miselni ravni, slabša zmožnost predvidevanja, skromnejši besednjak) in specifične učne težave (kognitivne sposobnosti: slabše vidno-prostorske sposobnosti, slabše sposobnosti slušnega predelovanja informacij, težave z zaporedji - problemi avtomatizacije veščin, težave s hitrostjo izvajanja; metakognitivne sposobnosti; jezikovno funkcioniranje; učna motivacija; emocionalno funkcioniranje; socialna vključenost; domače in šolsko okolje) (Učne težave v osnovni šoli: koncept dela, 2008). Pravkar omenjene težave se še posebej odražajo pri slovenščini, matematiki in tujih jezikih. Pri matematiki je tako ključnega pomena dobra osnova, ki jo učenci prinesejo iz nižjih razredov. V našem primeru je tako ključno, da v 1. triletju dobro usvojijo vsaj minimalne standarde znanja, da lahko potem v 2. triletju sledijo učni snovi in jo nadgrajujejo. Še posebej koristno je, da imajo v 1. triletju vedno možnost spoznavati učno snov s konkretnim materialom, obvezno mora slediti slikovni prikaz in šele nato simbolni nivo. Če je kateri od teh korakov izpuščen, se lahko zgodi, da učne snovi ne razumejo in je kasneje ne morejo nadgrajevati. V teh primerih je potrebno »vračanje nazaj«, za kar pa v 4. in 5. razredu pogosto ni dovolj časa. Prav tako je izrednega pomena permanentno ponavljanje in utrjevanje učne snovi. Pri tem bi želel izpostaviti, da ni dovolj, da učenci učno snov obvladajo zgolj pri ocenjevanju znanja. Znanje je potrebno nenehno utrjevati in ponavljati, saj se vsebine pri matematiki zelo prepletajo. Učni pripomočki oz. konkretni material f Pripomočki za konkretni, slikovni ali simbolni prikaz števil ter računanje (link kocke, palčke, zamaški, računalo s kroglicami, številski trak, stotični kvadrat ...) 278 Pripomočki za geometrijo (modeli geometrijskih likov in teles, modeli geometrijskih teles za prikaz mreže, geometrijsko orodje ...) 45 Pripomočki za računanje z denarjem (simbolični bankovci in kovanci) 15 Pripomočki za merjenje različnih merskih enot (posode za merjenje prostornine, uteži, merilne palice za dolžino, ravnila ...) 12 Ostali pripomočki 5 Tabela 2: Število učnih ur dodatne pomoči učencem Romom pri matematiki (f), pri katerih so uporabljali učne pripomočke oz. konkretni material v 4. in 5. razredu skupaj pri vseh učnih urah, ki sem jih izvajal v šolskih letih 2010/2011 in 2011/2012 (350 ur) Iz tabele je razvidno, da so učenci Romi, ki sem jim nudil učno pomoč, zelo pogosto uporabljali različne učne pripomočke oz. konkretni material. Najpogosteje sem zabeležil uporabo stotičnega kvadrata, s katerim si pomagata oba učenca z odločbo dodatne strokovne pomoči skoraj vsako učno uro, kadar je potrebno računanje (vse računske operacije). S stotičnim kvadratom namreč pogosto zapolnjujeta vrzel, ki se pojavlja že od začetka šolanja, tj. dojemanje in razumevanje osnovnih številskih predstav. Ob tem sem jima v 4. razredu izredno pogosto ponudil v uporabo še link kocke, palčke ali računalo s kroglicami. V 5. razredu je bil stotični kvadrat dovolj. Pripomočke za računanje so učenci Romi pogosto uporabljali tudi pri učnih urah z vsebino geometrije (obseg, ploščina), merskih enot (računanje z merskimi enotami) in drugih vsebinah, ki sočasno zahtevajo računanje. Kot anekdoto bi izpostavil dogodek, ko učencu nisem mogel ponuditi simboličnega denarja in kovancev, in sem mu ponudil konkretni denar. Učenec je takrat, vsaj po občutku, dosti bolje obvladal računanje z denarjem. Učenci morajo imeti na izbiro več vrst konkretnega materiala, da lahko izberejo tisto, kar jim bolj ustreza. Ob koncu šolskega leta sem si še posebej zabeležil učni uspeh učencev Romov pri matematiki. Za vsakega, ki sem mu nudil učno pomoč, dodatno strokovno pomoč ali zgolj spremljal njegov napredek, sem si beležil doseganje minimalnih in temeljnih standardov znanja. Skupaj z razredničarkami smo izpolnili tabelo, v kateri opisno ocenjujemo doseganje posameznih standardov znanja. Šele nato smo ob pregledu številčnih ocen zaključili oceno. 4. razred (2010/2011) 5. razred (2011/2012) © © © © © © 1. Poimenuje in nariše ravne črte (daljica, premica, poltrak) 0 1 6 1. Pozna in riše geometrijske elemente z geometrijskim orodjem 0 1 6 2. Opiše kvadrat/pravokotnik in kocko/kvader 0 1 6 2. Opiše odnose med geometrijskimi elementi 0 2 5 3. Riše z geometrijskim orodjem 0 0 7 3. Pozna lastnosti pravokotnika in kvadrata ter ju nariše 0 1 6 4. Nariše simetrično obliko 0 0 7 4. Prepozna mreži kocke in kvadra 1 2 4 5. Oceni, meri in meritev izrazi s smiselno mersko enoto 0 2 5 5. Pokaže lego simetrale 1 1 5 6. Primerja (istoimenske, enoimenske) količine in računa z njimi 0 1 6 6. Meri, zapiše in pretvarja (med sosednjima enotama) merske količine ter računa z njimi 1 1 5 - - - - 7. Izmeri obseg lika 0 1 6 - - - - 8. Določi ploščino pravokotnika in kvadrata 0 1 6 7. Šteje, bere, zapiše in primerja števila v množici naravnih števil do 10 000 0 1 6 9. Šteje, bere, zapiše in primerja števila v množici naravnih števil do milijona 0 2 5 8. Pisno sešteva in odšteva v množici naravnih števil do 1000 0 1 6 10. Pisno sešteva in odšteva v množici naravnih števil do milijona 0 1 6 9. Pisno množi in deli z enomestnim številom v množici naravnih števil do 1000 0 1 6 11. Pisno množi in deli z dvomestnim številom v množici naravnih števil do 10 000 1 1 5 10. Deli z ostankom (v okviru poštevanke) 0 1 6 12. Izračuna vrednost številskega izraza z oklepaji 1 2 4 11. Dele celote zapiše z ulomkom 0 2 5 13. Izračuna del od celote 1 1 5 12. S premislekom reši enačbo v množici naravnih števil do 20 0 2 5 14. S premislekom reši enačbo v množici naravnih števil do 100 1 1 5 13. Razporedi elemente in bere prikaze 0 1 6 15. Razporedi elemente po več lastnostih in bere prikaze 1 2 4 14. Zbere podatke, jih predstavi v preglednici in s prikazi 0 1 6 16. Grafično prikaže množice in odnose med njimi 1 2 4 15. Reši matematični problem in problem iz vsakdanjega življenja 1 2 4 17. Reši matematični problem in problem iz vsakdanjega življenja 1 3 3 Standardni znanja so povzeti po Učnem načrtu. Program osnovna šola. Matematika (2U11). Tabela 3: Število Učencev Romov, ki ne dosegajo (©), delno dosegajo (©) ali v celoti dosegajo (©) minimalne standarde znanja v 4. razredu (šolsko leto 2010/2011) in 5. razredu (šolsko leto 2011/2012) Tabela prikazuje minimalne standarde znanja za 4. in 5. razred, kakor so jih dosegali učenci Romi, ki so v šolskem letu 2010/2011 obiskovali 4. razred in v šolskem letu 2011/2012 5. razred Osnovne šole I Murska Sobota. Vsi učenci so vsaj delno dosegli minimalne standarde znanja za 4. razred in so tako uspešno napredovali v 5. razred, kakor prikazuje tudi tabela 4. V 5. razredu pa en učenec z odločbo o dodatni strokovni pomoči kljub vsej učni pomoči ni dosegel vseh minimalni standardov znanja in je bil zato ob koncu šolskega leta ocenjen z negativno oceno. Ob primerjavi podobnih ciljev v 4. in 5. razredu ugotavljam, da je zaradi težje učne snovi pri nekaterih učencih doseganje ciljev zgolj delno in ne več v celoti. Kljub temu pa so ostali učenci napredovali v višji razred. Ob natančnejšem pregledu posameznih minimalnih standardov znanja ugotavljam, da imajo učenci Romi več težav pri računanju (vse računske operacije, še posebej pa množenje in deljenje), pri geometriji, kadar je potrebno rešiti besedilno nalogo ali izračunati obseg, ploščino ipd. Težave pa imajo tudi z reševanjem nalog, ki obravnavajo matematični problem in problem iz vsakdanjega življenja. Težko namreč najdejo povezavo med učno snovjo in problemi iz vsakdanjega življenja. Vse izpostavljene težave pa so pogosto pogojene še s slabo bralno pismenostjo. Tako sem v več kot 200 primerih evalvacij zapisal, da učenec ne razume prebranega navodila ali besedila naloge. Težave so pogojene s slabo usvojeno tehniko branja. DSP - učenec in Učenci 4. razred (2010/2011) 5. razred (2011/2012) f f Učenec 1 (DSP) zadostno (2) zadostno (2) Učenec 2 (NS) dobro (3) dobro (3) Učenec 3 (NS) dobro (3) dobro (3) Učenec 4 dobro (3) dobro (3) Učenec 5 (DSP) zadostno (2) nezadostno (1) Učenec 6 (NS) dobro (3) zadostno (2) Učenec 7 zadostno (2) zadostno (2) za učno pomoč Tabela 4: Število učencev Romov (f) glede na učni uspeh pri matematiki ob koncu šolskega leta v 4. razredu (šolsko leto 2010/2011) in v 5. razredu (šolsko leto 2011/2012) Iz tabele je razvidno, da so vsi romski učenci napredovali iz 4. v 5. razred. Pri tem so imeli štirje učenci zaključeno oceno dobro (3), trije učenci pa zadostno (2). Zadostno sta imela zaključeno učenca Roma z odločbo o dodatni strokovni pomoči. Vsi trije učenci, ki nimajo soglasja staršev za učno pomoč, so v 4. razredu imeli zaključeno oceno dobro (3). V 5. razredu je učni uspeh pri dveh učencih padel za eno oceno, od tega je en učenec z odločbo o dodatni strokovni pomoči, en učenec pa nima soglasja staršev za učno pomoč. Pri slednjem lahko trdim, da bi bil učni uspeh boljši, v kolikor bi starši dovolili učno pomoč. Žal se v tem primeru in tudi v drugih dogaja, da starši zavračajo učno pomoč v prepričanju, da bodo otroci z učno pomočjo na neki način diskriminirani ali drugače prikrajšani. V takih primerih svetujem, da se v sodelovanje s starši vključi poleg razrednika in izvajalca učne pomoči še šolska svetovalna služba in po potrebi tudi vodstvo šole, da se staršem predstavi prednosti učne pomoči za učence Rome. Zaključek Na podlagi pričujočih podatkov in dosedanjih izkušenj lahko trdim, da je učna pomoč za učence Rome zelo koristna. Učencem je tako zagotovljena dodatna učna pomoč, ki je lahko redna ali občasna. Ob tem pa je pomembno, da učitelj, ki nudi učno pomoč, poskrbi za optimalne pogoje, da lahko tudi romski učenci dosežejo vsaj minimalne standarde znanja in uspešno napredujejo po vsej vertikali. Tako sem oblikoval nekaj smernic, ki jih je dobro upoštevati za uspešno delo z učenci Romi: 1. Učitelj naj dosledno spremlja vsakega učenca in si beleži njegov napredek. 2. Učencu je potrebno ponuditi čim več učnih pripomočkov, obvezno pa mora slediti delu s konkretnim materialom še slikovni in simbolni nivo. 3. Učitelj, ki nudi učno pomoč učencu Romu, mora dobro sodelovati z razrednikom, svetovalno službo, vodstvom šole in s starši učenca. 4. Za učni uspeh pri matematiki je potrebno krepiti tudi druga znanja, predvsem tehniko branja. 5. Učenci Romi naj rešujejo čim več nalog, ki obravnavajo probleme iz vsakdanjega življenja, saj jim bo to nenazadnje tudi v nadaljnjem življenju v veliko korist. 1. http://www.mizks.gov.si/fileadmin/mizks.gov.si/pageuploads/podrocje/razvoj_solstva/projekt i/Strategija_Romi_dopolnitev_2011.pdf (19. 5. 2012). 2. Strategija vzgoje in izobraževanja učencev Romov v Republiki Sloveniji (2004): Ministrstvo za šolstvo in šport, Ljubljana. 3. Učne težave v osnovni šoli: koncept dela (2008): Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 4. http://sharepoint.osfmalgaja.si/aktualno/prenovljeni%20uni%20narti/UN_matematika.pdf (19. 5. 2012). 5. http://www.uradni-list.si/1/objava.jsp?urlid=199612&stevilka=567 (19. 5. 2012). 6. http://www.uradni-list.si/1/objava.jsp?urlid=199612&stevilka=570 (19. 5. 2012). REŠEVANJE MATEMATIČNIH BESEDILNIH NALOG V 4. RAZREDU PRI UČENCIH Z GOVORNO-JEZIKOVNO MOTNJO Textual Task Solving in Grade 4 by Students with Speech-Language Disordes Diana Horvat, Center za sluh in govor Maribor horvat.diana@gmail.com Povzetek V prispevku bomo predstavili težave, s katerimi se pri pouku matematike srečujejo učenci z govorno-jezikovno motnjo. Namen prispevka je predstaviti strategije, ki so se v vzorcu učencev pokazale kot učinkovite. Učenci, vključeni v vzorec, so v šolskem letu 2011/2012 obiskovali 4. razred osnovne šole. Večina učencev je imela dobro ali zmerno dobro razvito bralno tehniko, vendar so se pojavljale težave pri razumevanju prebranega, kar je za reševanje besedilnih nalog ključnega pomena. Ugotovili smo, da je učencem pri izbiri ustrezne računske operacije pomagala obrazložitev pomena besed ali besedna razčlenitev, ki so si jo ustrezno obarvali. Pri besedilnih nalogah, kjer so morali učenci uporabiti več računskih operacij (sestavljeni računi), smo besedilo razdelili na več krajših, vsebinsko povezanih delov. Pri reševanju so učenci izdelali skico, ki je ponazarjala besedilo. S pomočjo skice so si lažje predstavljali dogajanje v besedilu in tako tudi ustrezno odgovorili na vprašanja. Ključne besede: besedilne naloge, govorno-jezikovne motnje, strategije reševanja. Abstract In this article we are going to present difficulties which pupils with speech and language disorders face in mathematics lessons. The purpose of the article is to present strategies which were proven as efficient with the sample of the grade 4 primary school pupils in the school year 2011/2012. The majority had well or moderately well developed reading skills however; problems appeared in understanding the text, which is the most important aspect in solving textual tasks. We have discovered that the explanation of the meaning of the words or systematically defining words by using different colours helped students a lot while selecting the proper arithmetic operation. In the textual tasks which require many arithmetic operations (compound calculus) we divided the text into several shorter, context-related parts. While solving the mathematical problem the pupils made a sketch to illustrate the text itself. It helped them to picture what is taking place in the text easier and therefore to answer the question correctly. Keywords: textual tasks, speech and language disorders, strategies for problem solving. Uvod Matematika ima v izobraževanju pomembno vlogo, saj jo imajo učenci vsa leta šolanja. Od matematične uspešnosti je mnogokrat odvisna kasnejša izobraževalna in zaposlitvena možnost vsakega posameznega učenca. Pa vendar so učne težave pri matematiki med najpogostejšimi učnimi težavami. Ravno zato jim je potrebno posvetiti vsaj toliko pozornosti, kot jo posvečamo bralni pismenosti in težavam na jezikovnem področju (Kavkler, 2007). Namen prispevka je predstaviti delo in težave, s katerimi se srečujejo otroci z govorno -jezikovno motnjo. V prispevku se bomo osredotočili na reševanje besedilnih nalog, ki so pogost problem tudi pri učencih, ki nimajo učnih in govorno-jezikovnih težav. Besedilne naloge so naloge, ki so pisno ali ustno izražene z besedami (Bezgovšek Vodušek, 2009). Učni načrt za matematiko ponuja model pouka, pri katerem je vodilna matematičnodidaktična dejavnost reševanje problemskih nalog. Otrokom matematični problemi pomenijo situacije, pri katerih ne poznajo ali si ne morejo priklicati postopka, ki bi jih neposredno pripeljal do rešitve. Vendar vsaka naloga ne predstavlja vsakemu problema. Kar je za nekoga lahko problem, nekomu drugemu predstavlja le rutinsko reševanje naloge (Cotič idr. 2007). Poznamo tri oblike besedilnih nalog: 1. Naloge, pri katerih matematične simbole ubesedimo. Na primer: Koliko je zmnožek števil 12 in 7? 2. Ubesedene naloge z matematičnim kontekstom. Na primer: Katero število dobiš, če deliš število 50 z vsoto števil 6 in 4? 3. Kontekstualizirane matematične naloge, pri katerih besedilo opisuje realen svet. (Bezgovšek Vodušek, 2009) Besedilne naloge so širši izraz za vse prej omenjene naloge. V preteklosti so izraz besedilne oziroma kontektualizirane naloge imenovali tudi tekstne naloge, uporabne naloge; v tuji literaturi tudi realistične naloge, življenjske naloge, avtentične naloge, matematični problemi ... Besedilne naloge so se pri pouku začele uporabljati v 70. letih 20. stoletja. Mnogo delodajalcev se je namreč v tistem času razburjalo, da njihovi zaposleni ne znajo prenesti šolske matematike v vsakdanje življenje (prav tam). V preteklosti so se matematične problemske naloge pogosto reševale na en način; vsebovale so vedno toliko podatkov, kolikor jih je bilo potrebnih za rešitev. Besedila so bila pogosto zelo kratka in preprosta, reševanje je bilo omejeno na iskanje ključne besede, ki je nakazovala rešitev. Zato naj bi učencem na razredni stopnji zastavljali tudi matematične probleme, ki nimajo zadostnega števila podatkov za rešitev, imajo več podatkov, kot jih je potrebnih za rešitev, ali pa imajo naloge več možnih rešitev. Prav tako naj bi otroke spodbujali, da lahko naloge rešujejo na različne načine in da se nekaterih nalog zaradi protislovja ne da rešiti (prav tam). Leto 2007 je bilo v Sloveniji v znamenju pismenosti. Slovenska vlada je s tem projektom želela izboljšati splošno pismenost pri prebivalcih ter s tem omogočiti hitrejši razvoj družbe in gospodarstva (Kavkler, 2007). Pojem pismenost zajema tudi računsko pismenost, kot je na primer reševanje računskih in problemskih nalog, s katerimi se srečujemo v vsakdanjem življenju, pri tem pa je nujno potrebno znanje seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Raziskava OECD (1998) je pri odraslih z deklariranimi učnimi težavami pokazala zelo nizko raven računske pismenosti. Na podlagi raziskav IALS je bilo ugotovljeno, da težave, ki so prisotne že v času šolanja, v kasnejši dobi ne izginejo (prav tam). Pomembno vlogo pri reševanju pisnih problemskih nalog ima tudi sposobnost branja. Učenci, ki slabše berejo, imajo pri reševanju problemskih nalog veliko več težav kot tisti, ki imajo dobre bralne sposobnosti. Bralne sposobnosti posledično vplivajo na razumevanje matematičnih problemov (Kavkler, 2007). Do težav v jezikovnem razvoju lahko pride zaradi različnih dejavnikov. Lahko so posledica poškodovanega vida ali sluha, poškodovanega živčevja ali posledica čustvenega in socialnega okolja. O specifičnih jezikovnih motnjah govorimo takrat, kadar sta inteligentnost in sluh v mejah normale, vendar imajo osebe zaradi jezikovnih primanjkljajev tolikšne težave, da to vpliva na njihov učni uspeh. Motnje v jezikovnem razvoju se lahko kažejo na dva načina, in sicer na področju razumevanja ali na področju sporočanja. Pri matematiki imajo največ težav z besedilnimi nalogami, saj si jezika ne znajo »prevesti« v matematični simbolni jezik. Velikokrat imajo težave z zapomnitvijo besed, ki pomenijo računske operacije, zato račune sestavljajo z ugibanjem. Ker se otroci z govorno-jezikovno motnjo zavedajo svojih težav, imajo pogosto odpor do reševanja tovrstnih nalog (Žerdin, 2003). Reševanje matematičnih besedilnih nalog pri učencih z govorno-jezikovno motnjo v 4. razredu V razred je bilo vključenih osem učencev, kar je predstavljalo celotno populacijo razreda. Vaje za uspešno reševanje besedilnih nalog smo delali v času rednega pouka kot tudi med urami dopolnilnega pouka. Vsi učenci so imeli težave na področju govora ali razumevanja prebranega. Prav tako so imeli vsi učenci dobro razvito bralno tehniko, a so imeli težave z razumevanjem prebranega in s procesiranjem podanih informacij. Ker so se otroci zavedali, da imajo težave na jezikovnem področju, so pogosto čutili strah in odpor do nalog, pri katerih so morali iz prebranega priti do rešitev. Reševanja besedilnih nalog smo se lotili sistematično. Kot cilj sem si zadala, da učenci najprej pridobijo zaupanje in veselje do reševanja besedilnih nalog, zato smo začeli najprej reševati lažje besedilne naloge, ki smo jih postopoma nadgrajevali z vedno težjimi. Sprva so učenci potrebovali veliko vodenja. O vsaki besedilni nalogi smo se skupaj pogovarjali, nato pa nalogo predstavili tudi konkretno z materiali, ki so jih učenci lahko prijeli v roke. Vsak tip besedilnih nalog smo reševali na drugačen način. Naloge, pri katerih matematične simbole ubesedimo S tem tipom nalog učenci niso imeli večjih težav. Pred reševanjem tovrstnih nalog so imeli že dobro razvito procesno računanje vseh računskih operacij (povz. po Cotič idr. 2009). Vsak učenec si je pri pouku matematike izdelal štiri kartončke. Na vsakem kartončku so bili poimenovani členi posamezne računske operacije. Pri izdelavi kartončkov smo uporabili tri barve: modro, rdečo in zeleno. Števila in imena ustreznih členov smo napisali z enako barvo. Na sliki predstavljamo kartonček na primeru odštevanja. Primer: Kolikšna je razlika, če je zmanjševanec 24, odštevanec pa 7? 2,4 Slika 1: Kartonček za ubeseditev matematičnih simbolov pri odštevanju Pri reševanju nalog so lahko učenci, ki so imeli težave s priklicem ustreznih simbolov, pogledali, katero računsko operacijo morajo pri posamezni nalogi izbrati. Kartončke so postopoma uporabljali vedno redkeje, dokler niso usvojili matematičnih pojmov pri osnovnih računskih operacijah. Ubesedene naloge z matematičnim kontekstom Pri tem tipu nalog sem učenčevo pozornost usmerjala na besede, ki namigujejo, katero računsko operacijo morajo uporabiti. Tudi v tem primeru smo si izdelali podobne kartončke, na katerih so bile zapisane najpogostejše besede, ki se pojavljajo v kontekstu. Namen kartončkov je bil učence usmerjati pri samostojnem reševanju nalog. Kartončke so učenci proti koncu šolskega leta uporabljali vedno redkeje. Primer reševanja naloge: Katero število dobiš, če deliš število 50 z vsoto števil 6 in 4? Najprej so učenci besedilo glasno prebrali. Nato so s pomočjo kartončka nad besedo deliš zapisali znak : in nad besedo vsota zapisali znak +. Besedilo so ponovno prebrali in zapisali številski izraz. Sprva je bilo pri učencih potrebnega veliko vodenja, da so postali pozorni na to, da vrstni red števil ni naključen. Dodam Dam zraven Za večje SEŠTEVANJE + Vzamem Odvzamem Dam stran ODŠTEVANJE Pomnožim Krat MNOŽENJE Deli Razdeli DELJENJE Slika 2: Kartonček za pomoč pri reševanju jezikovnih izrazov pri besedilnih nalogah Kontekstualizirane matematične naloge To so naloge, pri katerih besedilo opisuje realen svet. Pri reševanju takšnih nalog so imeli učenci pričakovano največ težav. Učenci so si ob pogovoru o matematičnem problemu sicer znali predstavljati opisano situacijo, vendar tega niso znali prenesti v matematični zapis. Različne tipe kontekstualiziranih nalog sem razdelila v skupine, saj smo pri vsakem tipu uporabljali drugačen pristop k reševanju problema. 1. Enostavnejše kontekstualizirane matematične naloge Primer reševanja naloge: V eni škatlici je 8 čokoladic. Koliko čokoladic je v 80 škatlicah? Z učenci smo glasno prebrali besedilno nalogo in obkrožili bistvene podatke. Učenci so sicer vedeli, o čem naloga govori, vendar niso razumeli, katero računsko operacijo (seštevanje ali množenje) morajo uporabiti. (Ponavadi so računske operacije ugibali glede na to, pri kateri učni snovi se je naloga pojavila. Besedilne naloge izven konteksta so b ile velikokrat napačno rešene). Ponavadi smo si za lažjo predstavo narisali sličico, s katero so si učenci pomagali priti do rešitve. V tem primeru je bilo risanje slike preveč zamudno. Nalogo smo najprej reševali na konkretni ravni z manjšimi števili in delali zapis na tabli. Po zgledu smo nadaljevali zapis na naslednji način: V 1 škatli je 8 čokoladic. V 2 škatlah skupaj je 16 čokoladic. 2 • 8 = 16 V 3 škatlah skupaj je_čokoladic. 3 • 8 = 24 V 8 škatlah skupaj je_čokoladic. 8 • 8 = 64 V 80 škatlah skupaj je_čokoladic. 80 • 8 = 640 2. Kontekstualizirane matematične naloge z obsežnejšim besedilom Primer reševanja naloge (povz. po Cotič, M. idr. 2009): Po glasnem branju besedila sem učence vspodbudila, naj si pri reševanju pomagajo z risanjem. Najprej smo vzeli rdečo barvico in obkrožili prvo skupino rož (4 rožice s petimi cvetovi). Nato smo obkroženo z isto barvico narisali in zraven zapisali številski izraz za množenje. Vrednost številskega izraza smo izračunali. Nato smo vzeli modro barvico in obkrožili naslednjo skupino rožic, narisali skico, zapisali številski izraz in izračunali njegovo vrednost. Enako smo naredili s tretjo skupino rožic, le da smo tedaj vzeli zeleno barvico. Nato smo vzeli svinčnik in ponovno prebrali ter podčrtali vprašanje »Koliko cvetov so imele vse rožice skupaj?«. Besedo skupaj smo nato obkrožili. Sledil je pogovor o tem, katero računsko operacijo bi izbrali. Skupaj smo zapisali številski izraz in ga izračunali. ___J _ £ Tira je na travniku rubtila 4 rožice s petimi cvetnimi Irtti,. v K— - ' • '-V* vi v w ^ L/ fl J / v / T' + + = 37 S' T '.V / 0- (Jy> KVOtils Mr Mnlb> Slika 3: Slikovni prikaz reševanja besedilnih nalog z obsežnejšim besedilom 3. Strukturirane kontekstualizirane matematične naloge To so naloge, pri katerih je besedilo razdeljeno na več delov, učenci pa morajo nekatere podatke poiskati v že prej rešenih nalogah. Tudi pri reševanju teh nalog smo z učenci uporabljali barvice. Učenci so za reševanje tovrstnih nalog potrebovali veliko vodenja, saj zaradi predstav in težav z orientacijo v besedilu niso našli povezave med podatki v trenutni nalogi in podatki v že rešenih nalogah. Primer: Otroci so na šoli izpolnjevali anketo o najljubših slaščicah. Rezultati treh najbolj priljubljenih so prikazani v spodnji razpredelnici. Čokoladni bonboni Sadna torta Čokolada dečki 37 64 28 deklice 41 53 56 a. Koliko dečkov je sodelovalo v raziskavi? b. Koliko deklic je sodelovalo v raziskavi? c. Je v raziskavi sodelovalo več dečkov ali deklic in za koliko? d. Katera sladica je bila najbolj priljubljena? e. Koliko otrok se je odločilo za čokoladno sladico? Zaključek V začetku šolskega leta so imeli učenci zaradi zavedanja svoje motnje velik odpor do reševanja besedilnih nalog. Le-te so reševali z ugibanjem, besedila pogosto niti niso natančno prebrali. Pri usvajanju matematičnega jezika za osnovne računske operacije smo ugotovili, da učenci pri reševanju nalog z ubesedenimi simboli niso imeli večjih težav. Največje težave so se pojavile pri reševanju besedilnih nalog z obsežnejšim besedilom in pri razdeljenih besedilnih nalogah. Pri teh so učenci potrebovali veliko vodenja. Kot učinkovita se je pokazala uporaba barv, s katerimi so si učenci obkrožili in narisali pomembne podatke. Vendar, ker se je nekaterim učencem zdel takšen postopek reševanja predolg, so sami na krajši način iskali načine, kako na najhitrejši način rešiti nalogo. Večina otrok se je orientirala po številih, tisti s slabšimi številskimi predstavami so si številske izraze narisali s pikicami. Zaradi velikega problema s številskimi predstavami so bili učenci pri težjih nalogah še vedno v veliki meri neuspešni. Z nadaljnjim delom želimo učence usmeriti v samostojnejše reševanje nalog, večjo osredotočenost na matematični problem in oblikovanje odgovorov, ki izhajajo iz njega. Viri 1. Bezgovšek Vodušek, H. (2009): Kontekstualizacija pri pouku matematike v nižjih razredih osnovne šole. Magistrsko delo. Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo. Maribor. 2. Cotič, M.; Felda, D.; Bremec, B.; Pisk, M. in Benčina Smotlak, N. (2007): Svet matematičnih čudes 4. Kako poučevati matematiko v 4. razredu devetletne osnovne šole? Priročnik: 4. razred devetletne osnovne šole. DZS, Ljubljana. 3. Cotič, M.; Felda, D.; Bremec, B.; Pisk, M. in Benčina Smotlak, N. (2009): Svet matematičnih čudes 4. Samostojni delovni zvezek. DZS, Ljubljana. 4. Kavkler, M. (2007): Specifične učne težave pri matematiki. V Učenci s specifičnimi učnimi težavami: skriti primanjkljaji - skriti zakladi. Društvo Bravo, Ljubljana. 5. OECD. (2000): Literacy in the Information Age, Final Report of the International Adult Literacy Survey OECD, Paris. 6. Žerdin, T. (2003): Motnje v razvoju jezika, branja in pisanja. Svetovalni center za otroke, mladostnike in starše, Ljubljana. UČENCI S POSEBNIMI POTREBAMI IN TEŽAVE PRI MATEMATIKI Pupils with Special Needs and Difficulties in Mathematics Tatjana Božič Geč, OŠ Martina Krpana, Ljubljana tatjana.bozic-gec@guest.arnes.si Povzetek V Osnovno šolo Martina Krpana je vključenih 23 učencev s posebnimi potrebami, kar predstavlja približno osem odstotkov vseh učencev na šoli. Ena tretjina jih je usmerjenih zaradi primanjkljajev na matematičnem področju, pri nekaterih pa so učne težave pri matematiki posledica primanjkljajev na drugih področjih. Težave pri matematiki so najpogosteje posledica specifičnih učnih težav, na primer diskalkulije ali specifične aritmetične učne težave. Vzrok lahko izhaja tudi iz jezikovnih, bralnih in pisnih primanjkljajev, slabše razvite strategije reševanja problemov, slabega priklica in neavtomatizacije matematičnih procesov, impulzivnosti, kratkotrajne pozornosti, slabše razvite finomotorične sposobnosti in drugo. Pomemben del učiteljevih nalog zajema prepoznavanje primanjkljajev učencev glede na njegovo starost in razvoj ter posledično zaznavanje težav, zagotavljanje ustreznih prilagoditev prostora, metod in oblik dela, učnih pripomočkov ter nudenje druge pomoči. Tako se učencu, ki ima primanjkljaje, zagotovi enakovredne možnosti za napredek in razvoj na vseh področjih. Pomembno področje dela je prilagojeno preverjanje in ocenjevanje učenca s posebnimi potrebami. Upoštevati je potrebno prilagoditve, ki se jih glede na primanjkljaj predvidi in dogovori v individualiziranem programu. Hkrati morajo biti v ocenjevanje vključeni vsaj minimalni standardi znanja. Le-teh se ne sme zniževati, saj bi s tem razvrednotili ocene in znanje učenca. Prilagoditve ne smejo imeti vpliva na oceno. Ključne besede: učenci s posebnimi potrebami, specifične učne težave, prilagoditve pri pouku. Abstract 23 pupils with special needs attend Martin Krpan Primary School that is about eight percent of all the pupils in the school. One third of them are entitled to additional professional assistance because of having mathematics deficits. However, some pupils have learning difficulties in mathematics as a result of deficits in other subject areas. Difficulties in mathematics appear most frequently due to specific learning disabilities, for example dyscalculia or specific arithmetic learning difficulties. Problems can also be a consequence of language, reading and writing deficits, less developed strategy of solving problems, difficulties with the retrieval and non- automation of mathematical procedures, impulsiveness, attention deficit, less developed fine motor skills, etc. The important role of a teacher is to detect a problem, to identify the pupil's deficit considering his/her age, development and consequently problems, to adapt learning environment, teaching methods, techniques and aids, as well as to offer other assistance. These measures ensure that pupils with disabilities have equal opportunities to progress and develop in all areas. An important scope of work includes adapted assessment and evaluation of pupils with special needs. Note that adaptations, which are in accordance with a pupil's deficit anticipated and agreed already in an individualized program, should be taken into account. At the same time, we must be careful that assessment of a pupil encompasses at least the minimal educational standards. They should not be lowered, as by doing so, student's knowledge and grades would be consequently. Adaptations must not have any impact on grades. Key words: pupils with special needs, specific learning disabilities, adaptation in the classroom. Uvod Strokovni delavci na šoli si vedno želimo, da bi učenci usvojili zastavljene cilje in da bi jim znali omogočiti uspešno pridobivanje znanja. Vendar vedno ni tako. Nekateri učenci izstopajo in so kljub svojim in učiteljevim prizadevanjem neuspešni. Pomembno je, da učitelj pravočasno prepozna težave otroka, mu glede na težave nudi individualiziran pristop, diferencira šolsko delo in ga vključi v redne oblike pomoči na šoli, t.j. dopolnilni pouk ter individualna in skupinska učna pomoč. Če učenec kljub temu ne napreduje oziroma je neuspešen, se v delo vključi svetovalna služba. Le-ta lahko ugotavlja, kakšne so učne navade oziroma učne težave učenca. Od profila svetovalnega delavca na šoli je odvisno, na kakšen način išče vzrok za otrokove težave in kakšno obliko pomoči izbere. Ob nenapredku učenca je naslednji korak usmeritev v zunanjo obravnavo. Zunanji strokovnjaki učenca diagnosticirajo in lahko na šolo pošljejo priporočila za delo z učencem z učnimi težavami ali pa ga usmerijo kot otroka s posebnimi potrebami, določijo program usmeritve in sklop prilagoditev. Učencu, ki ima primanjkljaje, se tako zagotovi enakovredne možnosti za napredek in razvoj na vseh področjih. Prilagodi se mu lahko prostor, metode in oblike dela, učne pripomočke, domače naloge idr., glede na vrsto primanjkljaja pa se mu nudi ustrezna oblika učne pomoči. Pomembno je, da izhajamo iz vsakega otroka posebej, da sodeluje cela strokovna skupina in da v sodelovanju s starši predvidimo ter se poleg drugih področij, dogovorimo o ustreznih prilagoditvah v individualiziranem programu. Le-ta je živ dokument, ki se skozi šolsko leto spreminja in dopolnjuje v dobro učenca. Eno od pomembnih področij dela je prilagojeno preverjanje in ocenjevanje učenca s posebnimi potrebami. Otrok mora za pozitivno oceno doseči vsaj minimalne standarde znanja, katerih ne smemo zniževati. Z opuščanjem ali zniževa njem bi razvrednotili ocene in znanje učenca. Prilagoditve ne smejo imeti vpliva na oceno, vendar pa morajo učencu omogočati enakovredne pogoje. V Osnovno šolo Martina Krpana je vključenih 23 učencev s posebnimi potrebami, kar predstavlja približno osem odstotkov vseh učencev na šoli. Ena tretjina jih je usmerjenih zaradi primanjkljajev na matematičnem področju, pri nekaterih pa so učne težave pri matematiki posledica primanjkljaja na drugih področjih. Tudi nekateri drugi učenci imajo težave na matematičnem področju, vendar se bom v članku opredelila predvsem na učence s posebnimi potrebami, možna področja primanjkljajev na matematičnem področju in opisala primer učenca iz prakse. Učenci s posebnimi potrebami Zakon o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami (ZUOPP, Url. RS, št 54/00) opredeljuje, da so učenci s posebnimi potrebami otroci z motnjami v duševnem razvoju, slepi in slabovidni otroci, gluhi in naglušni otroci, otroci z govorno-jezikovnimi motnjami, gibalno ovirani otroci, dolgotrajno bolni otroci, otroci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja in otroci z motnjami vedenja in osebnosti, ki potrebujejo prilagojeno izvajanje programov vzgoje in izobraževanja z dodatno strokovno pomočjo ali prilagojene programe vzgoje in izobraževanja oziroma posebne programe vzgoje in izobraževanja. S spremembo zakonodaje (ZUOPP, Url. RS, št 58/11), ki stopi v veljavo 1. 9. 2012, se uvrščajo med otroke s posebnimi potrebami tudi otroci z avtističnimi motnjami. Vovk Ornik (2011) opredeljuje, da naštete skupine učencev potrebujejo prilagojeno izvajanje izobraževalnih programov s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo ali prilagojene izobraževalne programe oziroma posebni program vzgoje in izobraževanja. V skupino otrok s posebnimi potrebami spadajo tudi učenci z učnimi težavami in nadarjeni učenci, za katere se ne vodi postopek usmerjanja, se pa pripravi izvirni delovni projekt pomoči. Učenci s specifičnimi težavami se torej pojavljajo v dvojni vlogi, kot učenci z učnimi težavami in kot učenci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja. Šola mora za te učence prilagoditi metode in oblike dela ter jim omogočiti vključitev v dopolnilni pouk in druge oblike individualne in skupinske pomoči. Specifične učne težave so namreč lahko lažje, zmerne ali težje, kot otroke s posebnimi potrebami pa naj bi se usmerjalo le učence z najtežjimi specifičnimi učnimi težavami, torej učence s primanjkljaji na posameznih področjih učenja. Opara et al. (2010) so v Analizi vzgoje in izobraževanja otrok s posebnimi potrebami v Sloveniji pokazali, da je po podatkih o izdanih odločbah v Republiki Sloveniji od leta 2005 do 2009 razvidno, da je Zavod RS za šolstvo glede na Kriterije za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj izdal največji delež odločb o usmeritvi za skupino otrok s primanjkljaji na posameznih področjih učenja (35,8 %). Sledijo otroci z več motnjami hkrati (25,4 %), sledi skupina otrok z motnjami v duševnem razvoju (11,3 %), dolgotrajno bolni otroci (9,2 %) in otroci z mejnimi intelektualnimi sposobnostmi (5,2 %). Za slednjo je viden upad od leta 2005, saj je bila omenjena skupina v letu 2007 izvzeta iz skupine otrok s posebnimi potrebami. V najmanjšem deležu so zastopani slepi in slabovidni otroci in mladostniki (1,0 %) ter otroci in mladostniki s čustvenimi in vedenjskimi motnjami (0,6 %). Vendar pa iz podatkov ni razvidno, koliko otrok je bilo usmerjenih zaradi težav na matematičnem področju. Učenci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja V skladu s Pravilnikom o spremembah in dopolnitvah Pravilnika o organizaciji in načinu vodenja komisij za usmerjanje otrok s posebnimi potrebami ter o kriterijih za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami (2007) so otroci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja heterogena skupina otrok, pri katerih se zaradi znanih in neznanih motenj v delovanju centralnega živčnega sistema pojavljajo izrazite težave pri branju, pisanju, pravopisu in računanju. Pojavljajo se lahko tudi zaostanki v razvoju pozornosti, pomnjenja, mišljenja, koordinacije, komunikacije, socialnih sposobnosti in v čustvenem dozorevanju. Primanjkljaji na posameznih področjih učenja lahko trajajo celo življenje in vplivajo na učenje in vedenje posameznika. Podskupine primanjkljajev na posameznih področjih učenja Zupančič Danko in Žunko-Vogrinc (2011) delita primanjkljaje na posameznih področjih učenja na: - disleksijo in disgrafijo; - specifične učne težave pri matematiki, ki se delijo na diskalkulijo in specifične aritmetične učne težave; - dispraksijo. Magajna, Kavkler in Košir (2011) pravijo, da lahko delimo specifične učne težave v dve glavni skupini, ki vključujeta: • Specifične primanjkljaje na ravni slušno-vidnih procesov Le-ti povzročajo motnje branja (disleksija), pravopisne težave (disgrafija) in druge učne težave, ki so povezane s področjem jezika (specifične motnje pri aritmetiki itd.). • Specifične primanjkljaje na ravni vidno-motoričnih procesov Le-ti povzročajo težave pri pisanju (disgrafija), matematiki (spacialna diskalkulija), načrtovanju in izvajanju praktičnih dejavnosti (dispraksija) ter na področju socialnih veščin. Specifične učne težave pri matematiki Žunko-Vogrinc (2011) meni, da so za nizke matematične dosežke krive splošne ali specifične učne težave in da so najpogostejše ovire, s katerimi so povezane učne težave pri matematiki: • jezikovne in komunikacijske težave, ki učenca ovirajo pri pisanju in branju matematičnih besedil ter pri pogovorih o matematičnih idejah in strategijah reševanja matematičnih problemov; • nizka motivacija, slaba samopodoba in zgodovina učne neuspešnosti; • primanjkljaji, povezani s procesi in strategijami reševanja besednih problemov, ki vplivajo na razumevanje besednih problemov in prevedbo informacij besednega problema v matematični jezik; • spominske težave in slabše razvite strategije, ki pri učencu ovirajo razvoj in predstavitev pojmov in matematičnih operacij, priklic matematičnih dejstev, razvoj pojmov, učenje algoritmov ter formul ter vplivajo na težave pri reševanju besednih problemov. Diskalkulija Diskalkulijo opredeljuje Magajna (2008) kot možno posledico možganske okvare. Kaže se kot težava dojemanja števil in aritmetičnih operacij. Meni, da je lahko tudi razvojna in da je povezana s slabšim konceptualnim, proceduralnim in deklarativnim matematičnim znanjem. Specifične aritmetične učne težave Kavkler (2007) zapiše, da so specifične učne težave pri aritmetiki pogostejše kot diskalkulija in da se kažejo kot slaba avtomatizacija aritmetičnih dejstev in postopkov. Pravi, da težave lahko nastanejo pri sprejemu ali predelavi informacij oziroma predstavitvi rezultata in da so specifične aritmetične učne težave pogojene: • s slabšim semantičnim spominom, ki vpliva na priklic aritmetičnih dejstev; • s proceduralnimi težavami, ki se kažejo v slabšem obvladovanju postopkov (avtomatizaciji) pri izvrševanju korakov v aritmetičnih operacijah ali pri reševanju besednih problemov; • s vizualno-specialnimi težavami, ki vplivajo na reševanje nalog, saj imajo učenci lahko težave pri orientaciji, postavljanju vejice v številu idr. Prilagoditve učencem s primanjkljaji na posameznih področjih učenja Magajna (2008) pravi, da učenci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki v procesu poučevanja in učenja potrebujejo razumevanje in pripravljenost odraslega ali vrstnikov, da se jim pomaga in jasno opredeli oblike pomoči. Potrebno je preverjanje razumevanja predznanj, ki so pogoj za uspešno nadaljnje učenje in točnosti sprejema slušnih ali vidnih informacij. Priporoča učenje po korakih, življenjske in konkretno ponazorjene probleme, sodelovalno učenje, veččutno učenje dejstev in učenje postopkov z oporami. Priporoča tudi konstrukcijo znanja z organizacijo ustreznih dejavnosti, razvoj pojmovnega znanja, ki obsega ponazoritev pojmov ter rabo v konkretnem življenju, razdelitev zapletenih pojmov na dele in učenje strategij reševanja le-teh in pomoč pri priklicu dejstev in postopkov ter učenje rabe strategij pripomočkov, prav tako žepnega računala. Pravi, da je potrebno upoštevati jezikovne sposobnosti učenca, saj je matematični jezik zelo abstrakten in zapleten. Meni, da je potrebno uporabiti različne načine razlag in učence učiti matematične izraze s pomočjo pripomočkov (slovarjev, ponazoritev ipd.) ter jih učiti strategij reševanja matematičnih besednih in nebesednih problemov. Predlaga pomoč in prilagoditev za gibalno manj spretne učence, ki potrebujejo pomoč pri geometriji, več prostora pri nalogah na učnih listih, uporabo večjih didaktičnih pripomočkov in pomoč učencem, ki so slabše organizirani z učenjem organizacije zapiskov, strategij izbiranja nalog, ob opori v učenju korakov v postopku. Opozarja, da učenci z bralnimi težavami potrebujejo pomoč pri branju navodil in besednih problemov ter da je potrebno spodbujanje in razvijanje učenčevih močnih področij ter njegove samopodobe. Priporoča organizacijo vrstniške pomoči in partnerske odnose s starši. Učenci s posebnimi potrebami na Osnovni šoli Martina Krpana Na OŠ Martina Krpana imamo triindvajset učencev s posebnimi potrebami. Osem je usmerjenih kot dolgotrajno bolni otroci, dva kot otroka z govorno-jezikovno motnjo, devet kot otroci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja in štirje kot otroci s kombiniranimi motnjami (kombinacije govorno-jezikovne motnje, gibalne oviranosti, dolgotrajne bolezni, primanjkljajev na posameznih področjih učenja in vedenjskih in čustvenih motenj). Za vsakega je v skladu z zakonodajo izdelan individualiziran program, v katerem je opredeljeno trenutno stanje učenca, njegove težave oziroma ovire, letni cilji, aktivnosti in področja dela, oblike in obseg pomoči ter evalvacija. Primer iz prakse (prepoznavanje, prilagoditve, uspešnost) Opis težav učenca A Pri šolskem delu v četrtem razredu učenec ni bil uspešen in razred ponavlja kljub individualizaciji pri pouku in diferenciranemu delu, vključenosti v dopolnilni pouk ter v individualno in skupinsko pomoč. Po obravnavi v svetovalni službi je bil usmerjen v obravnavo v zunanje strokovne institucije. Učenec je bil ob zaključku leta 2010/2011 negativno ocenjen pri slovenščini in matematiki. Težave je imel pri branju, razumevanju prebranega, pisanju (grafomotorika, zapis, slovnična in pravopisna pravila). Navodila nalog je težje razumel, potreboval je dodatno razlago. Šibek je bil tudi na področju govora, mišljenja, logičnega sklepanja, pozornosti in predstavljivosti. Pri matematiki si je ob zaključku četrtega razreda še pomagal s stotičnim kvadratom ali z računanjem na prste, delno je imel težave s seštevanjem in odštevanjem pri prehodu čez desetice. Poštevanke ob zaključku šolskega leta ni znal. Kljub večkratnemu učenju jo je pozabil. Imel je probleme pri deljenju brez in z ostankom ter reševanju besedilnih nalog. Učenec je imel slabo številsko predstavljivost, ni prepoznaval likov in teles. Pri spoznavanju okolja mu je manjkalo splošne razgledanosti, sklepanje s posameznega na splošno in obratno je bilo ovirano s šibkim besednim zakladom. Njegovo močno področje je bila angleščina, kjer je z lahkoto dosegal večino zastavljenih ciljev. V strokovnem mnenju je opredeljeno, da učenec nima razvidnih težjih ali kroničnih obolenj. Psihološki pregledi so pokazali nizke podpovprečne splošne intelektualne kapacitete. Profil sposobnosti je neharmoničen. Težave so na področju priklica informacij iz dolgoročnega spomina, posledično ima učenec skromen besednjak in slabšo splošno poučenost. Težave ima na področju razumevanja, pri analizi, sintezi in integraciji nebesednih informacij. Ima tudi šibko in kratkotrajno pozornost ter slabše delovno pomnjenje. Njegov tempo dela je počasen. Opis pomoči učencu A Učenec je usmerjen kot otrok s primanjkljaji na posameznih področjih učenja. Ima tri ure dodatne strokovne pomoči na teden, ki jo izvaja specialni pedagog. V individualiziranem programu so opredeljene prilagoditve na vseh področjih, med drugim tudi matematičnem. Zavedati se moramo, da je delo z učencem kompleksno in da pomoč in prilagoditve le na enem področju ter netimsko delo ne prinašajo želenih rezultatov. Predstavila bom le prilagoditve, ki učencu omogočajo enakovredne pogoje za delo na matematičnem področju: • organizacija pouka - izvajanje treh ur dodatne strokovne pomoči individualno v oddelku ali izven njega oziroma občasno v manjši skupini Pri obravnavi nove učne snovi je specialni pedagog prisoten pri pouku. Učenca opazuje pri rednem delu in zazna njegove težave, ga usmerja pri sledenju učiteljeve razlage in mu pomaga pri uporabi učnih pripomočkov. Učenec sliši razlago učitelja, ki jo po potrebi specialni pedagog na individualni uri izven oddelka konkretizira. Pri individualnem pristopu se učenec uči strategij reševanja posameznih nalog, uri uporabo učnih pripomočkov in razvija ali kompenzira svoje sposobnosti na področju primanjkljaja. Občasno se učenec vključi v manjšo skupino otrok s težavami pri posamezni snovi, ponavadi pri preverjanju ali utrjevanju. Manjša skupina, v kateri je izvajanje prilagojeno, učenca motivira in mu da občutek uspešnosti. Večje število odgovorov na posamezno vprašanje učencu omogoča tudi boljšo pomnjenje snovi. - individualne prilagoditve metod in oblik dela - več časa za izvajanje dejavnosti, za sprejemanje, predelavo in razumevanje informacij - multisenzorni pristop Učencu čimvečkrat omogočimo sprejem informacij po večih možnih senzornih poteh: slušni,vidni, taktilni poti. - pri pouku sedi bliže učitelju, da lažje komunicira z njim in da lahko učitelj spremlja njegovo delo - pomoč učitelja pri pripravi na šolsko delo Ker ima učenec težave pri organizaciji, je pomemben del prilagoditev pri pouku priprava na šolsko delo. Učenec ima večjo mizo (dvosed), da ima pregled nad učnimi pripomočki in ponazorili, ki jih potrebuje pri konkretni uri. Učitelj že med odmorom opozori učenca, kaj naj pripravi in ob začetku ure neopazno preveri učenčev delovni prostor. Pomemben je tudi pregled in dosegljivost pripomočkov na delovnem prostoru učenca. V učilnici je tudi stalni kotiček za učne pripomočke, ki so učencu vedno dosegljivi. Občasno učitelj pripravi tudi dodatno učno gradivo z več slikovnega materiala in dodatna ponazorila. - pomoč in nadzor učitelja pri zapisu v zvezek in beležko Učitelj je pozoren, da je tabelska slika pregledna, barvna in sistematična. Po potrebi učencu pripravi skelet tabelske slike, ki ga ta med poukom dopolni in ob koncu ure prilepi v zvezek. Učitelj tudi večkrat neopazno preveri zapis učenca v zvezek. Pogosto se zgodi, da je zapis nepravilen ali pomanjkljiv. Preverjanje le ob zaključku ure se je izkazalo za neuspešno. V dogovoru s starši ima učenec posebno beležko za vsakodnevno komunikacijo. V beležko si učenec zapisuje, kaj je za domačo nalogo. Učitelj zapis ob zaključku ure preveri in po potrebi dopolni. Starši pa učitelja obveščajo o domačem delu in morebitni neuspešnosti ter težavah. - po potrebi fotokopije daljših zapisov - kotiček za mirno delo • preverjanje in ocenjevanje - podaljšan čas pri preverjanju in ocenjevanju znanja - preverjanje in ocenjevanje znanja po manjših vsebinsko zaključenih sklopih - ocenjevanje naj bo sprotno, napovedano in dogovorjeno - dodatno preverjanje razumevanja vprašanj in navodil ter po potrebi dodatna ustna pojasnila - napak, ki so posledica primanjkljaja, se pri ocenjevanju ne upošteva - pri pisnem ocenjevanju posebej oblikovana naloga, z večjim tiskom, več prostora za pisanje, večjim razmikom med vrsticami in po potrebi manjšim številom nalog v posameznem vsebinskem sklopu, vsako vprašanje na svojem listu - pri besedilnih nalogah se besedilo prebere in preveri razumevanje • pripomočki - pripomočki in ponazorila za boljše razumevanje in zapomnitev snovi Učencu se omogoči uporaba kartončkov in tabel za priklic podatkov (npr. tabela s poštevanko pri deljenju, stotični kvadrat, kartončki z zapisom postopka osnovnih računskih operacij). Učinkovitejša je raba vizualnih pripomočkov. • podajanje navodil - enoznačna, enostavna in konkretna navodila - pomoč pri branju in po potrebi ustna obrazložitev pisnih navodil - po potrebi večkratna ponovitev navodil - sprotno preverjanje razumevanja navodil - po potrebi so kompleksnejša navodila razčlenjena - grafične in barvne opore Učencu so grafične in barvne opore v pomoč pri priklicu ali usmerjanju pozornosti na določena navodila, ključne podatke ali pojme. Smiselno je navajanje na uporabo enakih barvnih označevalcev besedila za enaka navodila ali poudarke. • domače naloge - po potrebi količinsko prilagojen obseg domačih nalog - pomoč in nadzor učitelja pri zapisovanju domačih obveznosti v beležko - individualna pomoč učitelja pri domači nalogi v podaljšanem bivanju Timsko sodelovanje pri delu z učencem s posebnimi potrebami je zelo pomembno. Učitelj v podaljšanem bivanju mora poznati primanjkljaje posameznega učenca in prilagoditve, ki mu omogočajo, da je uspešen pri domači nalogi. Načrtovanje metod, oblik in strategij dela po posameznih področjih: • motorično področje: - spodbujanje in pomoč pri aktivnostih, ki so vezane na grafomotoriko, fino motoriko in vidno motorično koordinacijo rok - razvijanje orientacije v prostoru, na ploskvi, sebi in drugih • matematično področje: - grafične in barvne opore (uporaba slik, grafov, skic, poudarjenih računskih operacij, podčrtovanje pomembnih delov besedil, ključnih besed, delov računov.) - uporaba različnih učnih pripomočkov in ponazoril (računalo, stotični kvadrat, tabela za pretvarjanje mer, kvadrat s poštevanko idr.) - pomoč pri poznavanju, razumevanju, uporabi matematičnih pojmov in povezav med njimi ter izvajanjem in uporabo postopkov posameznih korakov reševanja nalog in zapis postopkov - učenje notranjega govora, ki otroka vodi skozi postopek reševanja problema - razvijanje sklepanja, posploševanja, raziskovanja in reševanja preprostih problemov - razvijanje razumevanja in uporabe matematičnega jezika (branje, pisanje in sporočanje matematičnih besedil) - učenje zbiranja, urejanja, strukturiranja, analiziranja, predstavljanja podatkov ter - interpretiranja in vrednotenja preprostih podatkov oziroma rezultatov - razčlenitev kompleksnejših vsebinskih sklopov na posamezne dele - razčlenitev besedilnih nalog Kompleksnejše besedilne naloge je potrebno razčleniti na posamezne probleme. Smiselno je, da se za vsakim problemom postavi vprašanje in označi prostor za reševanje in odgovor. Tako razčlenjena besedilna naloga učencu omogoča večjo preglednost nad podatki in da možnost, da reši posamezne dele naloge. • branje in pisanje: - dodaten čas in prostor za pisanje - razvijanje razumevanja besedil in navodil Učenca učimo poslušati, brati in obnavljati poslušano ali brano besedilo ter navodila. Učitelj učenca pri obnavljanju posluša in mu po potrebi pomaga s podvprašanji. Preverja tudi razumevanje posameznih besed ali pojmov. Učenec mora v besedilu prepoznati bistvene podatke. Naslednji korak je podčrtavanje in izpis. Pomembno je, da učenec vadi ob raznovrstno zastavljenih nalogah, ki ga spodbujajo k različnim dejavnostim in v njem sprožajo različne miselne procese (pomnjenje, prepisovanje podatkov, uporaba podatkov ...). Pri pripravi besedila je smiselno upoštevati učenčeve izkušnje in področja, ki so mu blizu. Učenec si lahko izdela slovar neznanih besed oziroma pojmov in ga skozi šolsko leto dopolnjuje ter uporablja pri šolskem in domačem delu. Večkratna ponovitev omogoča boljše pomnjenje in razumevanje. - razvijanje avtomatizacije zapisa števil in črk • motivacijsko področje - omogočanje priložnosti za doživljanje uspeha - razvijanje motivacije za delo pri matematiki - konkretne pohvale in vzpodbude • pozornost in koncentracija - vaje za daljšanje pozornosti in koncentracije Uspešnost učenca Učenec v tem šolskem letu uspešno zaključuje četrti razred. Tudi pri matematiki je osvojil minimalne standarde znanja ob predvidenih prilagoditvah in pomoči večih strokovnih delavcev in vrstnikov. Naučil se je določenih strategij in uporabe učnih pripomočkov in ponazoril, s katerimi kompenzira svoj primanjkljaj. Pri urah dodatne strokovne pomoči je aktiven in motiviran za delo. Velik napredek je, ker pogosto sam izpostavi problem, ki ga ne razume. Tudi pri delu v oddelku je opazen napredek. Ostali učenci sprejemajo prisotnost specialnega pedagoga v oddelku in občasno poprosijo za pomoč. Vsi učenci so pridobili s stalnim, dosegljivim kotičkom za učne pripomočke. Med šolskim letom je potekala sprotna evalvacija napredka otroka in uspešnosti prilagoditev. Sprotna evalvacija je pomemben del procesa, saj le tako vidimo, ali smo na pravi poti ali pa si moramo zastaviti nove cilje. Ob evalvaciji so se skoraj vse prilagoditve izkazale za potrebne in uspešne. Nekatere smo opustili, saj sčasoma niso bile več potrebne, ker je učenec razvil nekatere sposobnosti oziroma so se spremenile okoliščine dela. Skozi celo šolsko leto smo sodelovali s starši, ki so v okviru svojih zmožnosti nudili pomoč otroku in pogoje za delo. Bistveno je bilo redno sodelovanje in zaupanje. Zaključek Pri delu z učencem, ki je neuspešen pri matematiki, moramo biti pozorni tako na čustveno kot tudi na izobraževalno področje. Iz prakse vsak učitelj ve, da imajo nekateri učenci tremo in strah pred njegovim predmetom. Le-ta lahko izhaja iz negativnih izkušenj zaradi ponavljajočih se neuspehov. Pri takšnem učencu je pomembno, da mu učitelj razloži, na kateri stopnji znanja je, in da z učencem zastavi dosegljive izobraževalne cilje. Učitelj lahko največkrat sam ugotovi, ali gre za neprimeren izobraževalni pristop z njegove strani ali pa za učne težave pri otroku. Prvi koraki v dobro učenca so narejeni že s tem, da se takega učenca opazi in najde vzrok za njegov neuspeh. Pogosto so primanjkljaji pri učencu tako veliki, da pridobi status otroka s posebnimi potrebami. Timsko delo učitelja s starši, ostalimi učitelji in svetovalno službo ter po potrebi z zunanjimi strokovnjaki je korak k boljšemu poznavanju učenca, njegovih težav, učnega stila in pripravi predvidoma najbolj uspešnih oblik pomoči učencu. Te zajemajo prilagoditve učnega okolja, časa, učnih pripomočkov, domačih nalog in drugih obveznosti, preverjanja in ocenjevanja ter seveda učiteljevih metod in pristopov. Pomemben del je sprotna evalvacija, ki nam pokaže kako uspešni smo pri delu. Pri tem ne smemo pozabiti na klimo v oddelku in na šoli in počutje učenca s posebnimi potrebami. 1. Magajna, L., Kavkler, M., Košir, J. (2011): Osnovni pojmi. V Učenci z učnimi težavami -Izbrane teme. Pedagoška fakulteta Univerze v Ljubljani, Ljubljana. 2. Opara, B., Barle Lakota, A., Globačnik, B., Kobal Grum, D., Košir, S., Macedoni Lukšič, M., Zorc, D., Bregar Golobič, K., Molan, N., Vovk Ornik, N., Klavžar, K. (2010): Analiza vzgoje in izobraževanja otrok s posebnimi potrebami v Sloveniji. JRZ Pedagoški inštitut, Ljubljana. 3. Pravilnik o spremembah in dopolnitvah Pravilnika o organizaciji in načinu dela komisij za usmerjanje otrok s posebnimi potrebami ter o kriterijih za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami, Uradni list RS, št. 25/2006, Uradni list RS, št. 23/2007. 4. Reid, G., Kavkler, M., Viola, S. G., Košak Babuder, M., Magajna, L., (2007): Učenci s specifičnimi učnimi težavami: Skriti primanjkljaji - skriti zakladi, Društvo Bravo - društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami, Ljubljana. 5. Vovk Ornik, N. (2011): Zakonodaja na področju vzgoje in izobraževanja otrok s posebnimi potrebami. V Delo z otroki s posebnimi potrebami: Praktična podpora in strokovni napotki za delo z otroki s posebnimi potrebami. Založba Forum Media, d. o. o., Maribor. 6. Zakon o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami, najdeno na spletnem naslovu: http://www.uradni-list.si/1/objava.jsp?urlid=200054&stevilka=2496 (24. 5. 2012). 7. Zakon o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami, najdeno na spletnem naslovu: http://www.uradni-list.si/1/content?id=104630&part=&highlight. =Zakon+o+usmerjanju+otrok+s+posebnimi+potrebami (24. 5. 2012). 8. Zupančič Danko, A., Žunko-Vogrinc, S. (2011): Otroci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja. V Delo z otroki s posebnimi potrebami: Praktična podpora in strokovni napotki za delo z otroki s posebnimi potrebami. Založba Forum Media, d. o. o., Maribor. OBLIKOVANJE POJMA ŠTEVILO PRI OTROKU V 1. RAZREDU Development of the Term Number for Children in Grade 1 Sonja Flere, Mladen Kopasic, OŠ Polje sonjaflere@yahoo.com, mladenkopasic@gmail.com Povzetek Seznanjanje otroka z matematičnimi pojmi se prične že v predšolskem obdobju. Sprva otrok pridobiva čim več kvalitativnih in kvantitativnih predstav, in sicer z različnimi čuti - z vidom, sluhom, otipom, okusom. Šele nato lahko usvoji pojem števila. Otrok mora imeti jasne predstave o množicah ali količinah, ki jih pridobi na podlagi izvajanja predštevilskih dejavnosti. V prvem razredu so v učnem načrtu za matematiko cilji v zvezi z oblikovanjem pojma število zajeti pri vsebinskih sklopih logika in jezik ter v sklopu naravna števila. V okviru diplomske naloge (Flere, 2010) so bila analizirana učna gradiva za 1. razred, ki vplivajo na oblikovanje pojma število pri učencih. Analiza gradiv je pokazala, da so v nalogah s področja oblikovanja pojma števila pri otroku večinoma vključene predštevilske dejavnosti. Vendar pa so vedno bolj zastopane tudi dejavnosti s štetjem. Zato so bila izdelana lastna učna gradiva oz. didaktične igre treh tipov, in sicer igre s kocko, igre s kartami in domine. Po empirični raziskavi je bilo ugotovljeno, da je pri oblikovanju pojma števila pri otroku potrebno uporabljati različne strategije. Lastne didaktične igre so se pri tem izkazale kot odličen učni pripomoček. Ključne besede: število, štetje, načela štetja, konzervacija števila, didaktične igre. Abstract Children are acquainted with the concepts of mathematics already in the preschool period. Initially, children acquire as many as possible qualitative and quantitative concepts with a variety of senses - by seeing, hearing, touching and tasting. Only then they can grasp the concept of a number. The child must have a clear picture of the masses or quantities which they acquired through implementation of numerous activities. In Curriculum of mathematics for grade 1 the objectives related to the formulation of the concept of number are covered in the context of logic and language and within the natural numbers. In my BA (Flere 2010) I analysed teaching materials of grade 1 which affect pupils' development of concept of number. The analysis of the material showed that the tasks concerning the child's understanding of the concept of the number involved mostly preschool activities. However, more and more activities including counting are represented. Specific teaching materials or three types of educational games were therefore created by me for that purpose, such as games with a dice, card games and dominoes were. According to empirical research different strategies need to be used when conceptualising the number with young children. My own instructional games have proved to be an excellent teaching tool. Key words: number, counting, counting principles, conservation of the number, didactic games. Uvod S spretnostmi matematike se v vsakdanjem življenju nenehno srečujemo. Vsak dan je potrebno nekaj izračunati, prešteti, oceniti ... Otrok pokaže zanimanje za vse to že zelo zgodaj. Od vseh nas (učitelji, vzgojitelji in starši) pa je odvisno, kako kvalitetno bo njegovo znanje in spretnosti na omenjenem področju. Zelo pomembne so pridobljene količinske predstave in izkušnje z različnimi dejavnostmi štetja, ki jih otrok pridobi v prvem razredu in tudi že na predšolski stopnji. Dejavnosti, povezane s štejem, uvrščamo v področje aritmetike, in sicer v oblikovanje pojma števila. Področje vsebuje izvajanje različnih predštevilskih dejavnosti, štetje in oblikovanje številskih in količinskih predstav števil. Če želimo otroku ponuditi čim bolj naravno pot do usvojenega in oblikovanega pojma števila, je treba izhajati iz otroka samega. Zastavimo si vprašanja, kaj otrok že zna in česa je že sposoben. Prav tako moramo biti pozorni na želje otrok in njihove sposobnosti. Pri tem upoštevamo, da otrok, še posebno ob vstopu v šolo, nenehno hrepeni po igri, veselju in sproščenosti. Usvajanje matematičnih pojmov lahko povežemo z igro, pa naj bo to na prostem ali z družabnimi igrami. Tako je razumevanje oz. usvajanje matematičnega sveta otroku lažje, hitrejše in kakovostnejše, znanje pa trajnejše. Na podlagi raziskav strokovnjakov in analize učnih gradiv, vključene v diplomski nalogi, nagrajeni s Prešernovo nagrado (Flere, 2010), sva ugotovila, da so se oblikovali različni pogledi na oblikovanje pojma število. V nadaljevanju bova opisala te poglede in preko učnih gradiv predstavila njihovo vključenost v izobraževalni sistem. Pri tem bova predstavila tudi praktične primere lastnih didaktičnih iger za lažje in trajnejše usvajanje pojma število, ki so se izkazale za zelo uspešne. Oblikovanje pojma število Razvoj štetja pri otroku Za razvoj pojma števila je pomembno že predštevilsko obdobje. To nam pove, da je pojem število prva otrokova izkušnja z aritmetiko na zanj abstraktnem nivoju. Pri otroku ga začnemo razvijati že v predšolskem obdobju, nadaljuje pa se nato v prvem razredu. Sprva si pomagamo s Piagetovimi dejavnostmi razvrščanja, urejanja in prirejanja (Justin, 1991: v Flere, 2010). Te so del tako imenovanega predštevilskega obdobja (Hodnik Čadež, 2002). Nato pa otrok na podlagi omenjenih dejavnosti usvoji pojem števila, ki sodi v najvišjo stopnjo razvoja. Za razumevanje pojma števila Piaget (Labinowicz, 1989) in Justin (1991) poudarjata tako imenovane predštevne dejavnosti, ne pripisujeta pa vidnejšega pomena dejavnostim štetja. Za predstavnike novih pogledov na razvoj pojma števila in današnje strokovnjake pa je eden izmed pomembnih dejavnikov prav štetje (Ferbar, 1990; Gelman in Gallistel, 1978: v Manfreda Kolar, 2006; Kavkler, 2004). Različni pogledi na oblikovanje pojma število Znan švicarski psiholog Piaget, ki je preučeval otrokov razvoj od rojstva dalje, je pri usvajanju pojma števila izhajal predvsem iz predštevilskih dejavnosti, s katerimi naj bi otrok gradil logične misli. Z njimi Piaget pogojuje otrokovo razumevanje pojma število (Labinowicz, 1989). Logične misli je preverjal z nalogami, kot so razredna inkluzija, seriacija, vzporejanje in konzervacija števila. Otrok usvoji razredno inkluzijo takrat, ko pri štetju miselno postavlja predmete v nizu. Štetje tako postane poimenovanje zaporednih nizov (inkluzija števila). Npr. 6 ni več le ime, ampak predstavlja odnos, ki vsebuje ena, dva, tri, štiri, pet in šest. Šest je več kot pet, kar je več kot štiri ... Otrok spozna, da je ena skupina istočasno del druge, četudi se po fizični podobi lahko razlikujejo (Labinowicz, 1989). Ko otrok razume pojem urejanja na podlagi konkretnih izkušenj, začne dojemati tudi urejanje abstraktnih števil. Spozna, da je vsak člen v štetem nizu večji od predhodnega in manjši od naslednjega (Labinowicz, 1989). Takrat rečemo, da je usvojil seriacijo ali urejanje po vrstnem redu. Najbolj enostaven in direkten način primerjanja enakosti dveh nizov predmetov ena proti ena je vzporejanje. Otrok mora vrsti enih predmetov dodati enako število drugih predmetov. Otrok ima pred sedmim letom starosti pri tem težave, saj se osredotoči le na začetek in konec vrste. Otrok primerja obe vrsti brez štetja. Pravo štetje namreč vsebuje poleg naštevanja imen tudi vzporejanje imen števil s predmeti. Piaget pravi, da je to abstraktnejši primer vzporejanja ena proti ena. Aktivnost ena proti ena prispeva predvsem k otrokovemu razumevanju množenja kot ujemanja med nizi (Labinowicz, 1989). Konzervacijo števila smo uporabili tudi pri svoji raziskavi ugotavljanja razumevanja le-te. Preizkus konzervacije števila poteka v treh korakih (Labinowicz, 1989): 1. Pred otroka postavimo dve vrsti predmetov. Predmeti ene vrste se morajo od predmetov druge vrste ločevati po vsaj eni lastnosti: O O O O O O J J J J J J Otroku postavimo vprašanje: »Ali je v obeh vrstah enako število predmetov? Če je odgovor pravilen, potem nadaljujemo. Vprašamo ga, koliko predmetov je v posameznih vrstah? 2. Otroka opozorimo: »Glej, kaj bom sedaj naredila.« Eno vrsto pred njegovimi očmi raztegnemo tako, da se vrsti po dolžini ne ujemata več. O O O O O O J J J J J J Ponovno vprašamo: »Ali je v obeh vrstah enako število predmetov?« Če otrok trdi, da je v obeh vrstah enako število predmetov, potem je otrok konzerviral pojem števila, sicer pa ne. Piaget na osnovi dobljenih rezultatov trdi, da se otrok pred sedmim letom še ni sposoben osredotočiti na spremembe oz. preurejanje, temveč samo na končno stanje (da sta dolžini vrst v drugem delu preizkusa različni), in ne razume, da lahko določene postopke vrnemo v njihovo prvotno stanje. Otrok prav tako še ne razume, da sprememba dolžine vrste ne spremeni števila (Manfreda Kolar, 2006). Zato Piaget trdi, da otroci do sedmega leta starosti odgovorijo, da je več predmetov v tisti vrsti, ki je daljša. Piagetov pojem števila torej vključuje razumevanje pojma konzervacije ter ostalih nalog za izgrajevanje logičnih misli. Štetju ne pripisuje velikega pomena, temveč ga opredeli kot proces, ki ga otrok z razumom začne izvajati šele ob zgrajenih logičnih mislih. Strokovnjaki novejših raziskav (Gelman in Gallistel, 1978: v Manfreda Kolar, 2006), pa pri razumevanju pojma števila močno poudarjajo pomen štetja kot dolgotrajnega procesa usvajanja števila. Z različnim oblikami preštevanja otrok postopoma pridobiva količinsko predstavo in s tem znanje o samem pojmu števila. Vse to pripomore k tako imenovanemu »pravemu štetju«, ki ga strokovnjaki pogojujejo z načeli štetja. Načela štetja (Ferbar, 1990; Gelman in Gallistel, 1978; v Manfreda Kolar, 2006) so: načelo povratno enoličnega prirejanja (tvorba parov), načelo urejenosti, načelo kardinalnosti, načelo abstrakcije, načelo nepomembnosti vrstnega reda. Načelo povratno enoličnega prirejanja nam pove, da je potrebno vsakemu od preštetih predmetov prirediti natanko eno ime (števnik, številko ...). Pri tem mora otrok ločiti prešteti predmet od še ne preštetega in vsakemu predmetu prirediti drugo ime. Poleg tega mora biti vrstni red imen (števnik, številka ...) urejen. To poudarja načelo urejenosti. Načelo kardinalnosti razlaga, da zadnji števnik oziroma ime, ki ga uporabimo pri preštevanju, opredeli moč množice. Razumevanje le-tega spodbujamo z vprašanjem Koliko je ...? Na osnovi raziskave, ki jo je izvedla soavtorica prispevka (Flere, 2010), je bilo ugotovljeno, da otrok lahko že pred sedmim letom starosti konzervira število. Prav vsi otroci, ki še ne konzervirajo števila, pa upoštevajo prva tri načela štetja in se tako s tem vedno bolj približujejo odraslemu štetju. Tako lahko trdimo, da otrok že na predšolski stopnji izvaja dejavnosti štetja z razumevanjem, saj se že zaveda določenih načel štetja, ki jih izpostavlja R. Gelman. Torej imamo na eni strani pogled »logične misli«, katerega predstavnik je Piaget. Pri oblikovanju pojma števila izpostavlja pridobivanje logičnih misli. Otrok preko dejavnosti razvrščanja, urejanja in prirejanja usvoji operacije seriacije, inkluzije, vzporejanja in pojem konzervacije, ki so torej pomembni dejavniki za razumevanje pojma števila. Po njegovem mnenju otrok šele po usvojenih logičnih mislih na določeni razvojni stopnji prične izvajati proces štetja z razumevanjem. Na drugi strani pa predstavniki pogleda »pomen štetja« (Gelman in Gallistel, 1978: v Manfreda Kolar, 2006) v nasprotju s Piagetom (»logične misli«) pri razumevanju pojma števila močno poudarjajo pomen štetja kot dolgotrajnega procesa usvajanja števila. Z različnimi oblikami preštevanja v različnih situacijah štetja otrok postopoma pridobiva količinsko predstavo in s tem znanje o samem pojmu števila. Pri organiziranju izkušenj mora biti torej poskrbljeno, da je otroku omogočeno štetje na različne načine (Hodnik Čadež, 2002; Markovac, 1990): Naj omenimo le nekaj načinov štetja: • otrok šteje stvari, ki jih lahko premika; • otrok šteje stvari, ki se jih lahko dotakne z roko ali z nogo, ne more pa jih premakniti; • otrok šteje stvari, ki jih vidi, ne more pa se jih dotakniti ali premakniti; • otrok šteje predmete v gibanju; • otrok šteje predmete in pojave, ki sledijo drug drugemu. Pri igranju na različne inštrumente otrok šteje število udarcev, zvokov; • otrok šteje stvari, ki jih ne vidi (npr. otrok prešteje število dreves na svojem vrtu, ko je v razredu). Analiza učnih gradiv Pri pregledu učnih gradiv sva se opredelila na dve gradivi za 1. razred (Hodnik Čadež in drugi avtorji; Manfreda Kolar in drugi avtorji). Cilje z omenjenega področja iz učnega načrta za matematiko zasledimo v sklopih logika in jezik, naravna števila in število 0 ter računske operacije. Na podlagi analiz učnih gradiv za osnovno šolo lahko trdimo, da se pri oblikovanju pojma števila pojavljata dva pogleda. Otroke se uvaja v pojem števila preko dejavnosti razvrščanje, urejanje, prirejanje in tudi štetje. V učnih gradivih se otroci najprej spoznajo z dejavnostmi pogleda »logične misli«, tako imenovanimi predštevnimi dejavnostmi (razvrščanje, urejanje in prirejanje). Razlike v pogledih na oblikovanje pojma števila pridejo do izraza predvsem pri uvajanju otrok v števila. Pri pogledu »pomen štetja« so izpostavljene različne dejavnosti preštevanja. Števila se vpeljuje z dejavnostmi štetja. Naloge tipa »pomen štetja« omilijo prehod k simbolnemu zapisu števil. Z vključevanjem simbolnih ponazoritev omogočajo otrokom, da nalogo rešijo s štetjem ali pa si pomagajo s prirejanjem. Učna gradiva z nalogami tipa »pomen štetja« izhajajo iz poznavanja simbolnega zapisa več števil hkrati, seveda skozi dejavnosti štetja. Šele po nalogah številskih in količinskih predstav sledijo naloge uvajanja in utrjevanja samega zapisa števil. Nekaj primerov nalog učnih gradiv, ki otroke spodbujajo k štetju: Prva naloga (Slika 1) je uvrščena v sklop Logika in jezik z glavnim ciljem - primerjati moči množice s pomočjo prirejanja in usvojiti pojem več, manj, ali je enako. Vključuje dejavnosti prirejanja. Učenec najprej vsakemu elementu množice priredi po en simbol ali obratno, hkrati pa simbole tudi šteje. Tip nalog uvajanja v števila učna gradiva za devetletno osnovno šolo izražajo prednost vse bolj uveljavljenemu pogledu »pomen štetja«. Osnovni cilj teh nalog je namreč utrditev količinskih in številskih predstav več števil hkrati in ne vsakega števila posebej, kot to izpostavlja pogled »logične misli«. Slednji je namreč prevladoval v osemletni osnovni šoli, kjer je otrok pri vsakem številu posebej spoznal najprej njegov simbol in zapis, šele nato so sledile naloge štetja. Slika 1: Naloga prirejanja z dejavnostjo štetja (Manfreda Kolar, 2010: 22) Pri drugi nalogi (Slika 2) učenec moči množice še ne predstavlja s pomočjo simbolov, ampak z drugimi ponazoritvami (pike, prsti ...) in tako ohranja postopen prehod k simbolnemu zapisu števil. Učni cilj je šteti do 5 pri različnih razporeditvah pik istega števila. Pri tem si pomaga s štetjem. Slika 2: Različne razporeditve ponazoritev enakega števila spodbujajo k štetju (Hodnik Čadež in dr. 2010: 22) Pri naslednji nalogi (Slika 3) je poudarek na učnem cilju poznavanje simbolnega zapisa več števil hkrati in štetje do 5. Učenec vsakemu številu priredi po en predmet. S preštevanjem simbolnih zapisov števil mora poiskati ustreznega za prešteto število elementov. Slika 3: Naloga poznavanja simbolnega zapisa več števil hkrati s štetjem (Hodnik Čadež, Knez, 2010: 20) Zanimiva je tudi naslednja naloga (Slika 4). Iz nje lahko razberemo, da gre poleg zgoraj omenjenih ciljev tudi za računsko operacijo seštevanja, ki se jo otrok še ne zaveda. Slika 4: Naloga utrjevanja številskih predstav števil do 5 (Hodnik Čadež, Knez, 2010, str. 18) Lastne didaktične igre Tako kot pri vsakem uvajanju nove snovi je tudi pri pojmu številu tako, da je potrebno izhajati iz konkretnih izkušenj, ki jih bo otrok pridobil. Najučinkovitejša metoda je didaktična igra. To je vsaka igra, ki ima v ozadju kakršen koli didaktični cilj. Učenje s tovrstno igro je hitrejše in učinkovitejše, pridobljeno znanje na tak način pa trajnejše in kakovostnejše. V ta namen je soavtorica prispevka izdelala nekaj lastnih učnih pripomočkov, ki spodbujajo usvajanje pojma število. Izhajala je iz pogleda »pomen štetja«. Igre s kocko: vključili smo družabne igre z eno ali z dvema igralnima kockama. Igralna kocka ima lahko standardno razporeditev pik ali pa nestandardno, s katero spodbujamo štetje. Z igro želimo otroka spodbujati k štetju. Otrok namreč vržene pike na igralni kocki prešteje, ker niso postavljene v klasični razporeditvi. Pri tem si lahko pomaga z glasnim preštevanjem pik ali z dotikanjem le-teh. Izbira strategije štetja je odvisna od njihovih dosedanjih izkušenj s štetjem. Igra spodbuja k preštevanju predmetov in pik na igralni kocki. Otrok zaradi nestandardne razporeditve pik na igralni kocki prešteje vrženo število le-teh. Poleg tega pa si s štetjem pomaga tudi pri ugotavljanju enakosti med množico predmetov na posameznih kosih (torticah) in vrženim številom pik. S prilepljenimi predmeti na torticah želimo pri otroku še dodatno razvijati količinsko predstavo števil. Otrok elemente lahko prešteje s pogledom ali z dotikanjem. Pri igri lahko uvedemo met z dvema igralnima kockama. Z njimi skušamo otroka navajati na računsko operacijo seštevanja. Slika 5: Igra Po kamnih do zlate jablane Slika 6: Igra Tortice Slika 7: Igra Natikaj Pri tej igri učenec šteje do 10 in prepozna moč množice preko simbolnih znakov. Z uvedbo dveh igralnih kock želimo spodbujati operacijo seštevanje zgolj na intuitivni ravni, torej s štetjem. Otrok na vprašanje, koliko je vseh pik na dveh igralnih kockah, enostavno sešteje dve količini, a se te operacije po navadi ne zaveda. Poleg pik otrok šteje še paličice, ki so postavljene v ravno vrsto. Z igro želimo otroka spodbujati k razvijanju kvantitativnih predstav in pojmov. Zato otrok šteje nestandardne razporeditve pik na igralnih kockah bodisi od 1 do 3 bodisi od 1 do 5. Z uvedbo dveh igralnih kock želimo spodbujati operacijo seštevanje preko štetja. Igra dopušča tudi uvedbo dveh igralnih kock, pri čemer ima kocka standardno postavitev pik. S tem želimo pri otroku spodbujati zmožnost štetja od določenega števila dalje. Otrok namreč na kocki s klasično postavitvijo pik že s pogledom ugotovi njihovo število. Na kocki z nestandardno razporeditvijo pik pa je primoran v štetje. Tako otrok lahko šteje tudi od števila standardne razporeditve pik dalje. Prav tako pa z uporabo konkretnih predmetov (okraskov) pri otroku spodbujamo strategijo štetja predmetov, ki se jih lahko premika. Glede na vrženo skupno število pik dveh kock vsaki piki priredi po en okrasek za tulec in jih šteje. Otrok lahko okraske med štetjem prelaga iz škatle na kupček ali iz škatle pritrjuje direktno na tulec ali pa jih na kakšen drug način zlaga. Z igro želimo pri otroku spodbujati štetje oziroma zmožnost štetja v različnih situacijah. Otrok, ki meče kocko, najprej prešteje pike na igralni kocki, ki so nestandardno razporejene po posameznih ploskvah, nato vsi igralci v mislih preštevajo število pik, ki jih eden izmed njih ponazarja na določen način (ploska, hopsa ...). Igro lahko uporabimo za medpredmetne povezave (glasbena, športna, likovna vzgoja ...). Z igro razvijajo zmožnost sledenja zaporednim pojavom, ki so lahko: • gibalni pojavi (primeri iz igre Vrtiljak: počep, poskok, predklon, poskok na eni nogi), Slika 8: Igra Tulci Slika 9: Igra Vrtiljak • slušni pojavi (primeri iz igre Vrtiljak: oponašanje oglašanja psa, mačke, ptiča; udarci na triangel, boben, po kolenih; plosk). Igra s kartami: karte so izdelane tako, da je količina prikazana z nestandardno razporeditvijo predmetov v množici. i»-: t: Slika 10: Igra Daj več Otrok moč množice predmetov ugotavlja z dejavnostjo štetja. Z njo si pomaga pri primerjanju samih množic predmetov. Pri štetju sličic na kartah še posebej spodbujamo strategijo štetja predmetov z dotikom, saj predmetov ne more fizično premikati ali kako drugače zlagati. Predmete na kartah lahko le gleda ali se jih dotika in si tako pomaga pri samem štetju. Poleg štetja želimo s predstavljeno igro utrjevati matematične izraze večji, manjši, je enako ter razvijati logično sklepanje. Otrok sprva izloča karte naključno, vendar s ponovitvami igre in s spodbujanjem učitelja igra postane bolj sistematična. Zaključek Če analize učnih gradiv za osnovno šolo povežemo s predstavljenimi teoretičnimi pogledi na oblikovanje pojma števila, to pomeni, da se otroka uvaja v pojem število s predštevilskimi dejavnostmi (tj. prirejanje, razvrščanje in urejanje), ki jih navaja in opisuje že Piaget. Vendar pa novejši pogled, t.i. pogled »pomen štetja«, ki je na področju oblikovanja pojma števila vedno pogosteje zastopan v matematičnih učnih gradivih, sprva predpostavlja predštevilske dejavnosti. Vse nadaljnje oblikovanje pojma števila pa izpeljuje preko dejavnosti štetja. V prispevku so torej omenjene različne dejavnosti usvajanja pojma števila, izpostavljava pa štetje kot izhodišče za učenje aritmetike oz. oblikovanje matematičnih pojmov. Meniva namreč, da je zaradi vedno večjega pomena štetja (tj. pogled »pomen štetja«) p ri otroku potrebno razvijati dejavnosti štetja in gak temu spodbujati, pri tem pa gavestno opominjati na upoštevanje načel štetja in s tem usmerjati v odraslo štetje. Zato sva se osredotočila na didaktične igre, ki spodbujajo predvsem k štetju. Učenci so jih z zanimanjem sprejeli, saj so bile drugačne od tistih, ki so jih navajeni. Z njimi so se z veseljem igrali. Ker pa je igra odlična motivacija, so se igre izkazale tudi kot zelo učinkovit učni pripomoček. Nestandardna postavitev pik ali predmetov otroka prisili v štetje. Pri tem si pomaga z različnimi strategijami: dotikanje pik ali predmetov, glasno štetje. Ker ob taki igri štetje poteka po navadi na glas, štejejo prav vsi igralci in hkrati drug drugega preverjajo. Medtem ko pri igri s standardno postavitvijo pik otrok že na pamet ve, katero število pik je vrgel. Tako le-te otrok ne spodbujajo k štetju. Igra, ki v celoti spodbuja k štetju in so jo otroci tudi najbolje sprejeli, je zagotovo Vrtiljak. Otrok, ki je bil na vrsti, je najprej preštel pike na igralni kocki, nato pa sproti štel gibe telesa ali zvoke, ki jih je moral izvesti. Ostali igralci pa so morali le-te zelo pozorno opazovati in jih preštevati. Zanimivo jih je bilo opazovati pri izbiri strategije štetja. Večina jih je štela po tihem, pri tem pa izgovarjala števnike. Nekateri so si pri štetju pomagali tudi tako, da so število gibov sproti nakazovali s prsti. Ob opazovanju radovednih otrok, ki se igrajo, pa hkrati učijo, z učnimi pripomočki, ki jih je izdelal sam, človek dobi dodatno motivacijo, voljo in zagon, da bi jih izdelal še več. Ker pa se v zadnjih letih večina sodobnega učnega gradiva izdeluje kot IKT e-gradivo, bova tudi avtorja prispevka več delala na tem področju. Vendar pa učenci, predvsem v prvi triadi, potrebujejo konkretne predmete, igre, ki jih lahko zaznajo z različnimi čuti, zato bova zagotovo izdelala še tudi kaj takega. Pri tem bi izpostavila tudi to, da ni vsak kupljen didaktični pripomoček dober, temveč lahko odlične izdelamo tudi sami. Pomembna je le njihova učinkovitost. Vseeno pa izgradnja pojma število s štetjem ne more biti alternativa zapletenim procesom količinskih predstav, temveč le dodatek oz. bogatitev teh procesov. Viri 1. Ferbar, J. (1990): Štetje. Pedagoška obzorja, Novo mesto. 2. Flere, S. (2010): Različni pogledi na oblikovanje pojma števila pri otroku. Diplomsko delo. Pedagoška fakulteta, Ljubljana. 3. Hodnik Čadež, T. (2002): Cicibanova matematika: priročnik za vzgojitelje. Državna založba Slovenije, Ljubljana. 4. Hodnik Čadež, T., Knez, S. (2010): Mlinček: Vadnica za matematiko za 1. razred osnovne šole. Modrijan, Ljubljana. 5. Justin, M. (1991): Razvijanje matematičnih predstav in pojmov pri predšolskem otroku. Pedagoška obzorja, Vol. 18, No. 6, str. 13-22. 6. Kavkler, M., Tancing, S. (2004): Razvoj štetja pri prvošolcih devetletne osnovne šole. Preverjanje in ocenjevanje, Vol. 4., No. 1, str. 131-141. 7. Manfreda Kolar, V. (2006): Razvoj pojma pri predšolskem otroku. Pedagoška fakulteta, Ljubljana. 8. Manfreda Kolar, V., Urbančič Jelovšek, M. (2010): Prva matematika: Učbenik za matematiko v prvem razredu osnovne šole. Mladinska knjiga, Ljubljana. 9. Labinowicz, E. (1989): Izvirni Piaget. Državna založba Slovenije, Ljubljana. RAZVOJ POJMA ŠTEVIL V 1. RAZREDU OSNOVNE ŠOLE The Development of Understanding Numbers in Grade 1 of Primary School Andreja Berlot Koncut, OŠ Frana Erjavca Nova Gorica abkoncut@gmail.com Povzetek Ljudje se pri učenju podobnih vsebin poslužujemo podobnih oblik in metod učenja, čeprav nam niso blizu. V osnovni šoli se največkrat poslužujemo ustaljenih oblik in metod poučevanja, ki pa niso primerne za vse učence. Vedno večje so razlike v sprejemanju znanja med učenci, ki so pravkar stopili v šolo. Veliko je prvošolčkov, ki pridejo v šolo visoko motivirani za učenje in tudi z veliko predznanja, prav toliko pa je tudi tistih, ki še ne zmorejo slediti pouku in mirno sodelovati, njihovo predznanje pa je šibko. Od vseh pa pričakujemo, da bodo usvojili znanje, ki je predpisano v učnem načrtu. Pri vseh predmetih, tako tudi pri matematiki, je osnovo znanje temelj za nadaljnje delo. Pri matematiki so osnovno znanje števila in odnosi med njimi, nadgradimo pa jih z računskimi operacijami. V prispevku predstavimo različne oblike in metode, ki smo jih ob pomoči vzgojiteljice vpletli v pouk z mislijo, da so v oddelku šestletniki, ki ne zmorejo sedeti za mizo in mirno slediti pouku, ampak se nemirno presedajo, vstajajo in neprestano klepetajo. Prav v ure matematike sem vpletla gibanje z različnimi materiali in tako aktivno vključila učence v pouk. Ob koncu leta sem lahko z gotovostjo rekla, da so učenci usvojili pojem števil do 20 in odnose med njimi. Ključne besede: matematika, gibanje, števila, odnosi med števili. Abstract When learning similar topics, people use similar learning styles and methods even though they might not suit them best. In primary schools most frequently used teaching styles and methods are those already established and commonly used, which are not the best for all the students, though. The differences in knowledge acquisition of students who have just started to go to school are on the increase. On the one hand there are many grade 1 students who are highly motivated and have a rich prior knowledge, while on the other hand not a few of them neither cannot follow the lessons nor can quietly take part during the studying process, just because of their insufficient prior knowledge. In the end, all pupils ere expected to master the topics according to the Curriculum. The basic knowledge is a foundation for further work not only in mathematics, but also in all the other school subjects. Speaking about mathematics, numbers and relationships between them is the basic knowledge, upgraded later with the mathematics operations. In this article I present different learning styles and methods which I have put into practice with the help of a kindergarten nurse, considering that in the class there are many six-year old pupils who cannot seat still at their desk and quietly learn for longer period of time during the lesson. Instead of doing this, they restlessly move, stand up and chat all the time. This is why I have introduced movements, physical activities with different materials at mathematics, thus actively involved all the students into the learning process. At the end of the school year, I can say with absolute certainty, that the pupils have learnt the concept of numbers and their relationships up to 20. Key words: mathematics, movement, numbers and their relationships. Uvod Dr. Marija Kavklar je v svojem prispevku Specifične učne težave (Magajna in ostali, 2007: 78 - 112) zapisala, da je računska pismenost opredeljena kot znanje in spretnosti, ki so potrebni za reševanje računskih nalog, ali sposobnost opravljanja različnih operacij, ki jih zahteva vsakdanje življenje. Zajete so vse štiri osnovne računske operacije: seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, ki se pojavljajo posamezno ali v kombinacijah, s količinami, opredeljenimi v številčni ali besedilni obliki. Če je za bralno pismenost pogoj, da poznamo glasove in črke, ki jih nato povezujemo v besede, povedi, verze, zgodbe in pesmi, je za računsko pismenost pogoj, da poznamo števila in odnose med njimi. Da je matematična pismenost prav tako pomembna kot bralna pismenost, je primerljiv podatek, da jo imajo učenci na urniku po 4 ali 5 ur tedensko, vključena je v nacionalno preverjanje znanja ob zaključku osnovnošolskega izobraževanja, ob zaključku srednješolskega ali poklicnega šolanja pa učenci iz matematike pišejo maturo ali zaključni izpit. Po večletnih podatkih je matematika najpogosteje negativno ocenjen predmet v OŠ, saj je kar 30 % negativnih ocen prav pri matematiki (prav tam, str. 79). Prav zaradi omenjenega so avtorji novega učnega načrta za matematiko v uvodu zapisali, da je matematika eden od temeljnih predmetov v šoli (Vir 6), pomembna pa je tudi njena vloga podpore drugim predmetom. Osnovnošolski pouk matematike obravnava temeljne in za vsakogar pomembne matematične pojme na načine, ki so usklajeni z otrokovim kognitivnim razvojem in sposobnostmi (prav tam). Kot učiteljica sem lažje razumela, da učenec težko procesira črko v glas pri branju in obratno pri pisanju, kot pa dejstvo, da učenec ne poveže števila z njegovim zapisom, ne dopolni preproste številske vrste, ne poveže števila 5 s prsti ene roke. A tako kot je glas pomemben pri govoru in črka pri pisanju, so števila pomembna pri štetju in zapisu računa. Učenci naj bi v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju gradili konceptualni sistem za reprezentacijo številskih predstav in pojmov ter prepoznavali, opisovali in uporabljali zakonitosti osnovnih računskih operacij. Če si podrobneje ogledamo sklop naravnih števil in števila 0, pa v učnem načrtu preberemo, da učenci: • štejejo, zapišejo in berejo števila do 20, vključno s številom 0, • ocenijo število predmetov v množici, • uredijo po velikosti množico naravnih števil do 20, • določijo predhodnik in naslednik danega števila, • prepoznajo, nadaljujejo in oblikujejo zaporedja števil, • primerjajo števila po velikosti. Kako učencu približati vse to znanje in dosegati zapisane cilje, je bil zame velik izziv. Predvsem je bil izziv motivirati učence, da izvedejo neko nalogo večkrat, jo utrdijo in usvojijo. Učenec, ki nima težav, ne potrebuje toliko vaj in ponovitev kot učenec s težavami. Prav zato pri svojem delu stremim za tem, da učence z učnimi težavami motiviram za delo, saj je le motivacija tista, ki nas sili v to, da nekaj naredimo. Utrjevanje pojma števil Ljudem so bila števila pomembnejša kot pisava, zato so jih iznašli že tisoče let pred pisavo. Še danes je na svetu veliko nepismenih, vendar so se skoraj vsi naučili šteti in računati. Štetje in računanje srečamo na vsakem koraku, zato se tega naučimo spontano. Brez števil ne bi bilo trgovine, zemljemerstva, umetnosti, astronomije. Števila srečamo dobesedno na vsakem koraku, pomislimo le na uro in denar. Večina učencev ob vpisu v 1. razred pozna števila do deset in jih tudi prešteva. Le malo je tistih, ki se pri tem še motijo. Prve težave pa se pojavijo, ko učence prosimo, naj štejejo nazaj, naj začnejo šteti pri točno določenem številu (5, 6, 7 ...), ali v določenem obsegu (od 3 do 6). Šele takrat opazimo, da je štetje v zaporedju od 1 do 10 avtomatizirano in da učenci pri tem naštevajo števila, ne da bi si število količinsko predstavljali (kot bi pripovedovali pesmico). Štetje omogoča otroku, da že v zgodnjem otroštvu ugotavlja količine in rešuje enostavne aritmetične probleme, če so naloge ustrezno ponazorjene in povezane z življenjskimi izkušnjami otroka. Otroci potrebujejo veliko vaj različnega štetja z različnimi materiali in dejavnostmi, ki jih organiziramo kot igre. Na ta način jim abstraktni pojem števila približamo in mu damo smisel. Matematično znanje ni le usvajanje števil in preštevanje, ampak njihova kasnejša uporaba, računanje. Če učenec zaradi takšnih ali drugačnih težav ne uspe usvojiti določenega števila, ga umestiti na številski trak, mu določiti predhodnika in naslednika, večja in manjša števila, lahko pričakujemo velike težave pri računanju. Prav zaradi tega je pomembno, da že v prvem razredu poskrbimo, da učenci čim bolj usvojijo števila in odnose med njimi. Ker pa so si šestletniki med seboj zelo različni in na različne načine sprejemajo znanje, jim je potrebno ponuditi različne načine in poti. Vedno manj je učencev, ki pridno sedijo v šolski klopi in poslušajo učitelja, ki jim posreduje znanje. Vse več pa je tistih, ki potrebujejo gibanje, konkreten material, ki se ga dotaknejo, pogledajo, postavljajo v različne položaje in odnose. Tu se pokaže učiteljeva domišljija, iznajdljivost in pripravljenost stopiti iz okvirjev tradicionalne šole. Izsledki študij kažejo, da je učenje z gibanjem uspešnejše od klasičnega, tradicionalnega učenja (Kavčič, 2005). Gibanje je za otroka igra, zabava in če je otroku blizu, je tudi čustveno podkrepljena. Če združimo vse to, dobimo učenca, ki je pozoren, aktiven, pripravljen sodelovati in vključevati vsa senzorna področja, ker pa je vse skupaj še zabavno, je za delo visoko motiviran. Igre s prsti Že naši predniki so si znali zelo dobro pomagati pri štetju, zato ne vidim razloga, da si ne bi pomagali tudi mi. Pri nas uporabljamo desetiški sistem, kar lahko povežemo z desetimi prsti rok. Ker so nam prsti vedno na razpolago, je smiselno in tudi v šolski praksi utečeno, da učencem predavamo količinski pomen števila prav s prsti. > Najenostavnejša igra s prsti je, da vodja, to je lahko učitelj ali eden izmed učencev, pove število, učenci pa pokažejo toliko prstov. Če število govori učenec, tudi preverja pravilno število pokazanih prstov. > Izpeljanka prejšnje igre bi bila, da učencem pokažemo kartonček s številko, oni pa pokažejo ustrezno število prstov. Kartončke s številkami lahko zamenjamo s kartončki, na katerih so narisani različni predmeti. Preden učenec pokaže prste, mora prešteti število predmetov na kartončku, nato pa število prstov prirediti številu predmetov. > Učenci so v parih. Prvi ima pri sebi kartončke s številkami, drugi pa kaže število prstov. Igra poteka tako, da učenec pokaže število prstov, drugi pa dvigne kartonček z ustrezno številko. Po določenem času učenca zamenjata vlogi. Kartončke s številkami lahko zamenjamo s kartončki, na katerih so narisani različni predmeti. Preden učenec pokaže prste, mora prešteti število predmetov na kartončku, nato pa število prstov prirediti številu predmetov. Igre s telesom Kavčičeva (Kavčič, 2005: 15) povzema po Frostigovi (1989), da gibalna vzgoja koristi šolskemu učenju posredno in neposredno. Gibalna spretnost vpliva posredno na celotno sposobnost učenja, tako na čutila kot tudi na spomin, zaznavanje, pozornost, orientacijo v prostoru in času, asociativno mišljenje in sposobnost reševanja problemov. > To igro najlepše igramo v velikem odprtem prostoru, da se učenci lahko prosto gibajo. Ob prostem gibanju igra glasba. Na naš znak glasba utihne, učencem pokažemo kartonček s številom. Učenci prepoznajo število na kartončku in izvršijo nalogo, za katero smo se predhodno dogovorili (naredijo toliko počepov, poskokov, objamejo toliko sošolcev, prijateljev ..., kolikor prikazuje število na kartončku). > Učenci se prosto gibajo po prostoru, v ozadju igra glasba. Na naš znak glasba utihne, učencem pokažemo kartonček s številom, udarjamo na boben ... Učenci prepoznajo število na kartončku, preštejejo udarce na boben ... in okamnijo. Kip ima položaj, za katerega smo se predhodno dogovorili: najljubšega števila, najmanj ljubega števila, manjšega števila od 5, večjega števila od 3 ... > Pantomima. Izbranec mora ostalim udeležencem brez uporabe govora samo z uporabo telesa in kretnjami pokazati neko število. Kdor ugane, kaj prikazuje, nadaljuje igro. Pri mlajših učencih lahko dovolimo, da si pomagajo s poskoki, ploskanjem ... Nato pa jim naloge otežujemo. Ostali morajo ugotoviti število, ki ga izbrani učenec predstavlja. Kdor prvi ugane, kaj prikazuje, nadaljuje igro. Igre z baloni Učenci pri svojih igrah zelo radi uporabljajo žoge, a so te za igre v razredu neprimerne, zato si lahko pomagamo z baloni. Ti so pisani, lahki, mimogrede jih najmanjša sapica odpihne iz smeri, v katero smo ga namenili, ne poškodujejo nikogar in ničesar ... Pri opisanih igrah uporabimo toliko balonov, kolikor je otrok. Če imamo v skupini več otrok, kolikor je število, ki ga utrjujemo, pustimo nekaj balonov brez števila. Na balone napišemo števila. > Učenci vržejo balone v zrak in pri tem pazijo, da ne padejo na tla. Ko da vodja znak, vsak ujame en balon in vodja da navodilo: postavite se v pravilno številsko vrsto tako, da bo prvi, kdor ima balon s številom 1, kdor ima na balonu število 2 bo drugi ... Učenci z baloni brez števila preverijo, ali je številska vrsta pravilno sestavljena (glej Sliko1). Nalogo lahko izpeljemo tudi tako, da učenci sestavijo številsko vrsto začenši z največjim številom, točno določenim številom npr. 14 v naraščajoči vrsti (14, 15, 16, 17, 18, 19, 20) ali v padajoči vrsti (14, 13, 12, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1) Slika 1: Številska vrsta > Učenci vržejo balone v zrak in pri tem pazijo, da ne padejo na tla. Ko da vodja znak, vsak ujame en balon in vodja da navodilo: naprej naj stopijo učenci, ki imajo balon s številkami npr. 5, 9, 11, 16, 20. Vajo večkrat ponovimo tako, da pred skupino kličemo različna števila. Poklicano število lahko izvede zanimivo nalogo, npr. v sosednjem razredu zapoje pesmico, naredi tri poskoke, na tablo nariše rožo ... Če želimo nalogo nadgraditi, pokličemo pred skupino učence z baloni, ki imajo številke napisane samo z ravnimi črtami, krivimi črtami, imajo napisano številko 2 (baloni 2, 12 in 20), ali številko 6 (balona 6 in 16) ... Hoja po stopnicah Metoda realistične matematike (Prosen Zupančič, 2006: 9) govori o tem, da razvoj formalnega znanja temelji na otrokovih neformalnih strategijah; pomembna je povezava aritmetičnih problemov z realnimi situacijami, povzetimi iz otrokovega vsakdanjika. Po tej metodi naj bi učni proces prehajal iz opornega materiala preko konkretnega in grafičnega do abstraktnega. Veliko naših učbenikov in delovnih zvezkov ima naloge, ki prikazujejo otroke, ki hodijo po stopnicah gor in dol. Naloge naj bi prikazovale naraščajočo in padajočo številsko vrsto. Le malo učiteljev pa odpelje učence na šolsko stopnišče, kjer skupaj hodijo po stopnicah navzgor in štejejo po eno število naprej, pri hoji navzdol pa po eno število nazaj. > Z učenci stojimo ob vznožju stopnic. Ko stopimo na prvo stopnico, štejemo 1, ko stopimo na drugo, štejemo 2 ... Po nekajkratni vaji učenci hodijo po stopnicah, se na naš znak ustavijo in povedo, na kateri stopnici stojijo. Če imajo učenci težave, jim lahko ob robu stopnic napišemo številke. > Učenci hodijo po stopnicah navzdol in se na naš znak ustavijo ter povedo, na kateri stopnici stojijo. Če imajo učenci težave, jim lahko ob robu stopnic napišemo številke. > Vajo lahko nadgradimo tako, da učence prosimo, naj stopijo na peto, sedmo, osmo ... stopnico. Da bo vaja zanimivejša, lahko učence pošiljamo na želeno stopnico z vrha ali vznožja stopnic. > Učenci stojijo ob vznožju stopnic in ob hoji glasno povedo le številko stopnice, na katero stopijo z desno nogo (pogoj za izvedbo te vaje je, da začnejo vsi učenci hoditi z npr. desno nogo). Učenci bodo ob hoji šteli: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Vajo ponovimo tako, da štejemo leve korake in dobimo: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. > Če želimo nalogo nadgraditi, lahko štejemo tudi pri sestopanju: 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 oz. 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1. Tudi pri tej nalogi lahko za podporo namestimo ob robu stopnic kartončke s številkami. Utrjevanje odnosov med števili Pri matematiki in nasploh v življenju s števili ne samo preštevamo člane neke množice, ampak jih neprestano primerjamo in razvrščamo. Prav zaradi tega si mora učenec že v prvem razredu razviti sposobnost natančnega matematičnega izražanja, pridobiti mora smisel za red, preglednost in natančnost pri delu. Pridobiti mora sposobnosti ocenjevanja, primerjanja in prostorske predstavljivosti. Vse te vrline pripomorejo k hitrejšemu in lažjemu usvajanju računskih operacij, večjih številskih vrednosti, soočanju z različnimi matematičnimi problemi in reševanju le-teh. Pomembna dejavnost, ki jo učenci ob vstopu v šolo dobro poznajo, je prirejanje. Večina otrok nima težav s prirejanjem odnosov med predmeti: večje - manjše, daljše - krajše, težje - lažje ... Pri prirejanju elementov v množici pa se pojavi kar nekaj težav. Učenci, ki nimajo dobro usvojenih številskih predstav, se srečujejo s težavami, ko postavimo pred njih kartončka s številkami in jih prosimo, naj dvignejo kartonček, na katerem je napisana večja številka. V primeru, da je ena izmed številk na kartončku napisana z drugačno (npr. večjo) pisavo, bo učenec, ki nima usvojenih številskih predstav, dvignil ta kartonček, ker bo primerjal obliko zapisanih številk in ne vrednost zapisa. Da bi učencem približali prirejanje in odnose med števili, jim te odnose predstavimo preko igre in gibanja. Kot sem že zapisala, je zelo veliko učencev v naših šolah kinestetičnega tipa, zato zelo težko sprejemajo učno snov vizualno in avditivno, naše šole pa so naravnane prav v to smer. Če vaje usvajanja, utrjevanja ali preverjanja znanja prilagodimo tako, da so jim blizu, na igriv in sproščen način, bodo rezultati bistveno boljši. Igre s prsti Pri utrjevanju odnosov med števili smo pri igrah s prsti omejeni. Pri utrjevanju števila do 10 lahko igra en sam učenec, saj imamo deset prstov na obeh rokah, pri utrjevanju števil do 20 se igro igramo v paru, dva učenca imata skupaj dvajset prstov. > Učenci so v parih. Prvi s prsti pokaže npr. število 4 in napove pravilo več, kar pomeni, da mora drugi učenec pokazati večje število od 4. Če drugi učenec pokaže pravilno število prstov, vlogi zamenjata. Pri igri se uporabljajo vsi trije izrazi za odnose med števili: več, manj in enako. Ko utrjujemo števila do 20, igro igrajo v trojicah, en učenec pokaže ali pove število, druga dva pa se skupaj dogovorita in pokažeta zahtevano število prstov. > Na podoben način lahko iščemo predhodnika in naslednika danega števila. V tem primeru učenec, ki pokaže število, napove, katero število mu mora sošolec pokazati: predhodnika, naslednika ali enako število. Če utrjujemo predhodnika in naslednika števila do 20, igrajo igro trije učenci. En učenec pove število in napove predhodnika in naslednika, druga dva učenca pa se dogovorita, kako bosta iskano število prikazala. > Učenec za hrbtom pokaže npr. število 8. - Drugi učenec skuša s pomočjo vprašanj ugotoviti skrito število: Je število manjše od 5? - Prvi učenec: Ne. - Drugi učenec: Ali je število večje od 5? - Prvi učenec: Da. - Drugi učenec: Ali je število manjše od 10? - Prvi učenec: Da. - Drugi učenec: Ali je število večje od 7? - Prvi učenec: Da. - Drugi učenec: Je število 8? - Prvi učenec: Da. Po končani igri vlogi zamenjata. Igre s telesom > Učenci se prosto gibajo po prostoru, v ozadju igra glasba. Na naš znak glasba utihne, učencem pokažemo kartonček s številom, udarjamo na boben ... Učenci prepoznajo število na kartončku in se zberejo v skupine, ki so večje, manjše ali enake številu na kartončku, odvisno od predhodnega navodila vodje. Vajo lahko nadgradimo tako, da posamezna skupina pove, za koliko je večja ali manjša od danega števila. Izpeljanka te igre je vaja, pri kateri se učenci družijo v skupine, ki so številčno enake predhodniku ali nasledniku izbranega števila. > Učenci stojijo poljubno po prostoru. Vodja pove ali pokaže številko na kartončku in učenci naredijo večje, manjše ali enako število počepov, poskokov, predklonov, odvisno od navodila vodje. Vajo ponovimo tako, da naredijo toliko počepov, poskokov ..., kot je predhodnik ali naslednik izbranega števila. Igre z baloni Omenila sem že, da so baloni kot pripomoček pri pouku zelo uporabni. Ne služijo nam le kot učni pripomoček, saj se lahko po končani uri učenci z njimi igrajo v učilnici. Ko uro popestrimo z baloni, učenci tega ne sprejemajo kot učenje, ampak kot igro. > Učenci vržejo balone v zrak in pri tem pazijo, da ne padejo na tla. Ko da vodja znak, vsak ujame en balon. Postavijo se v vrsto, kot je bilo podano navodilo (npr. pred tablo naj pridejo števila, ki so večja od 15, ki so med 7 in 14, ki so manjša od 11 ...). Učenci, ki niso stopili v vrsto, preverijo, ali je bila naloga pravilno izvedena (Slika 2). > Učenci vržejo balone v zrak in pri tem pazijo, da ne padejo na tla. Ko da vodja znak, vsak ujame en balon in da navodilo: pred tablo pride učenec, ki ima balon s številko 10. Ko imenovani učenec pride pred skupino, povabimo še učenca, ki imata balon s številko predhodnika in naslednika števila 10. Vajo večkrat ponovimo, lahko pa jo tudi nadgradimo tako, da namesto predhodnika in naslednika povabimo število, ki je za dva večje, za tri manjše ... od danega števila (Slika 3). Slika 2: Števila, večja od 15 Slika 3: Predhodnik in naslednik števila 10 Kadar preštevamo množico stvari, vrstni red ni pomemben, ko pa karkoli razvrščamo in urejamo, je vrstni red zelo pomemben. Poleg tega, da razvrščamo učence po velikosti in starosti, nam idej v učilnici kmalu zmanjka. Z baloni lahko utrjujemo tudi to. > Učenci vržejo balone v zrak in pri tem pazijo, da ne padejo na tla. Ko da vodja znak, vsak učenec ujame en balon in vodja da navodilo: postavite se v pravilno številsko vrsto tako, da bo prvi, kdor ima balon s številom 1, drugi, kdor ima na balonu število 2 ... Ko učenci postavijo pravilno številsko vrsto (Slika 4), jih prosimo, naj se obrnejo v desno in naredijo kolono (izraz poznajo iz ur športne vzgoje). Učence prosimo, naj dvignejo balon tisti, ki imajo na balonu napisano številko 5. Preštejemo, kateri po vrsti so tisti učenci, in pridemo do zaključka, da so peti po vrsti (ravno toliko imajo napisano na balonu - številko 5). Na podoben način pokličemo in imenujemo še druge vrstilne števnike in se ob tem z učenci pogovorimo (Slika 5). > Ko učenci utrdijo vrstilne števnike, lahko z baloni izpeljemo različne izpeljanke npr: zavrti naj se tisti, ki stoji pred 10. balonom, počepne naj tisti, ki stoji za 15. balonom, pesem naj zapojeta učenca, ki stojita med 15. in 18. balonom ... Slika 4: Prvi v koloni Slika 5: Peti v koloni Hoja po stopnicah Učenci vedno težje sedijo v šolskih klopeh in poslušajo frontalno razlago učne snovi, še posebej, če imamo v mislih hiperaktivnega ali nemirnega učenca. Tudi če odmislimo ta dva tipa otrok in se zamislimo nad raziskavami, ki kažejo, da vedno več naših učencev popoldneve presedi pred računalnikom ali televizorjem, je prav, da jim ponudimo čim več gibalnih dejavnosti. Prav korelacija dveh ali več predmetov je rešitev tega. Šolsko stopnišče lahko uporabimo ne samo za utrjevanje snovi iz matematike, ampak tudi pri uri športne vzgoje. Če oboje združimo in povežemo v zanimivo nalogo, bomo učencem ponudili gibanje in utrdili znanje iz matematike. > Učenci stojijo ob vznožju stopnišča in na naš znak stečejo na stopnico številka 5, 9, 12 ... (Slika 6). Lahko pa na določeno stopnico napotimo le enega učenca, ostalim pa razdelimo kartončke z navodili npr. - Postavi se na stopnico, ki je med stopnico številka 7 in 13. Učenci na 8. sliki so se postavili na stopnice, ki so med 1. in 6. stopnico. - Postavi se na stopnico, ki je za 5 višje od izbrane stopnice. - Postavi se na stopnico, ki je za 5 nižje od izbrane stopnice. - Postavi se na stopnico, ki je višja od izbrane stopnice. - Postavi se na stopnico, ki je nižje od izbrane stopnice. Slika številka 7 prikazuje učence, ki so se postavili na stopnice, ki so niže od 6. stopnice. Slika 6: Število 3 Slika 7: Števila, manjša od 6 > Učenci stojijo ob vznožju stopnišča in na naš znak stečejo na želeno stopnico (peto, sedmo ...). Če je učencev preveč in je stopnišče preozko, jih razdelimo v več skupin. Če imamo več skupin, se lahko pogovarjamo še o odnosih med števili, npr. katera skupina je pred (vrstni red) - pod (številska vrsta) in katera za (vrstni red) -nad (številska vrsta) izbrano stopnico. Učencem v pomoč lahko položimo na rob stopnice kartonček s številkami, pri tem moramo biti pozorni, da za številko napišemo piko, če utrjujemo vrstilne števnike. Slika 8: Števila med 1 in 6 > Izbranega učenca postavimo na 7. stopnico. Prosimo ga, naj stoji tako, da je z obrazom obrnjen proti nam. Ostale učence razdelimo v skupine, ki dobijo vsaka svoje navodilo, npr.: - Postavite se na stopnico pred izbranim učencem. - Postavite se na stopnico za izbranim učencem. - Postavite se tri stopnice pred izbranim učencem. - Postavite se pet stopnic za izbranim učencem ... Zaključek V pouk matematike uvajam gibalne elemente v vse etape ure (uvod, osrednji del in zaključek). V ure vnašam situacije iz otrokovega vsakdanjega življenja. Veliko smo se pogovarjali, kako bi določen problem rešili, in ob predlaganih rešitvah so učenci pojasnjevali načine in poti do cilja. Spodbujala sem njihovo domišljijo in velikokrat so me presenetili z izjemnimi zaključki. Nikoli jim ni bilo dovolj vaj in tako smo naredili veliko več ponovitev, kot bi jih s klasičnim frontalnim ponavljanjem. Ko v ponavljanje in utrjevanje vključim gibanje, so učenci tudi notranje motivirani za delo in zato nimam težav pri dodatnih ponovitvah. Če v nalogo vpletem še zgodbico o marsovcih, vitezih, palčkih ..., ki želijo osvojiti najvišjo stopnico na šolskem stopnišču, so še dodatno motivirani. Na svoji poti morajo rešiti kar nekaj nalog in ugank, ki so napisane na kartončkih in jih rešujejo na stopničkah na poti do vrha. Na cilju ni smela manjkati nagrada. Proti koncu šolskega leta so že sami sestavljali različne naloge in jih potem predstavljali ostalim učencem v razredu, reševali pa smo jih skupaj. Z uvedbo gibanja v pouk so učenci v razredu postali bolj mirni in pripravljeni sodelovati, tudi ko je pouk potekal frontalno. Predvsem se je povečala pripravljenost za delo pri učencih, ki so bili hiperaktivni in nemirni. Tudi če v pripravo na pouk nisem vključila gibanja in so bili učenci nemirni, sem s petminutnimi gibalnimi prekinitvami dosegla, da so se zopet umirili. Velikokrat je bilo dovolj že, da sem v učilnici nekajkrat udarila na tamburin, učenci so prešteli udarce in naredili npr: toliko počepov ali poskokov, se tolikokrat zavrteli okoli svoje osi, kot je bilo udarcev. Po gibalni aktivnosti so bili zopet pripravljeni na delo. Tudi učenci, ki so na začetku šolskega leta imeli težave s povezovanjem količine predmetov v množici s številom, ki je tej množici pripadalo, ali z določanjem odnosov med števili, so po nekaj mesecih vaj sodelovali pri pouku kot njihovi sošolci. Z gotovostjo lahko rečem, da so učenci tudi laže usvojili obe osnovni računski operaciji, seštevanje in odštevanje. Zelo pomembno se mi zdi, da so učenci pri tem postali zelo povezani med sabo. Predvsem pri nalogah, ki so sestavljene skupinsko, se je pokazalo, da so sodelovali kot usklajena ekipa. Povezanost učencev se ni poznala samo pri dejavnostih, vezanih na matematiko, ampak tudi v prostočasnih dejavnostih na šolskem igrišču, v času podaljšanega bivanja in popoldne izven šole. Viri 1. Kavčič, R. A. (2005): Učenje z gibanjem pri matematiki, Priročnik gibalnih aktivnosti za učenje in poučevanje matematike v 2. razredu devetletke. Bravo, Ljubljana. 2. Kavkler, M. (1991): Brati, pisati, računati. Pomurska založba, Murska Sobota. 3. Magajna, L., Kavkler, M., Čačinovič Vogrinčič, G., Pečjak, S., Bregar Golobič, K. (2008): Koncept dela: učne težave v osnovni šoli. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 4. Prosen Zupančič, H (2005): Kako narediti matematiko bolj enostavno - Uvod v realistične metode in modele v začetnem obdobju učenja matematike. Bilten Bravo, letnik 2, številka 4, str. 9-11. 5. Reid, G., Kavkler, M., Viola, Stephen, G., Košak Babuder, M., Magajna, L. (2007): Učenci s specifičnimi učnimi težavami: skriti primanjkljaji - skriti zakladi. Bravo, Ljubljana. 6. http://www.mizks.gov.si/fileadmin/mizks.gov.si/pageuploads/podrocje/os/prenovljeni UN/U N matematika.pdf ( 17. 5. 2012) IZKUSTVENA POT DO OBLIKOVANJA ŠTEVILSKE PREDSTAVE ZA ŠTEVILO IN ZA ZAPIS ŠTEVILKE An Experiential Way to the Forming of Numerical Perception for Number and Figure Writing Monika Šuligoj, OŠ Dobrovo, DOBROVO monikasuligoj@gmail.com Povzetek Obravnava števil, oblikovanje številskih predstav in normativni zapis številk je v prvem razredu ena od vsebin pri predmetu matematike. V prispevku je opisan eden od možnih pristopov k obravnavi števila, oblikovanju številskih predstav, v tem primeru števila osem, in vpeljavi normativnega zapisa te številke. Zapis posameznih številk so tista kritična mesta, ki učencem pogosto povzročajo težave. Pojavljajo se pri ohranjanju dogovorjene smeri zapisa in vztrajanju pri potezah, ki potekajo od vrha navzdol in od leve proti desni. Manj težav povzročajo številke, ki so sestavljene iz ravnih potez, več pa tiste, ki imajo katero od ravnih potez v poševni legi, in tiste, ki jih moramo zapisati s črtami, ki potekajo v loku, krivuljah in zankah. Taka je tudi številka osem. Za usvajanje normativnega zapisa je smiselno načrtovati take dejavnosti, ki bodo otroku s težavami pomagale k zapisu do te mere, da ga bo avtomatiziral. V prispevku opisujem niz dejavnosti, ki to omogočajo, hkrati tudi aktivnosti, ki vodijo k oblikovanju pojma za omenjeno število. Dejavnosti so načrtovane in organizirane tako, da učenci doživljajo pojem števila in številke skozi življenjsko izkušnjo in aktivnosti, ki jih notranje motivirajo. Ključne besede: številka, število, številske predstave, normativni zapis, učne težave. Abstract Dealing with numbers, forming of numerical perceptions and the normative figure writing are only some of the topics in mathematics lessons in grade 1. This paper describes one of the possible approaches dealing with a number, in shaping of the concepts of a number, in this case the number eight, and the introduction of the normative writing of this figure. Figure writing represents a critical point and often causes pupils lots of trouble. The problems occur while keeping the agreed direction of writing and persisting to follow the strokes going from the top to the bottom and from the left to the right. Fewer difficulties occur with figures consisting of straight lines and more problematic are the ones with some of the straight but inclined lines and those written with lines formed with arches, curves and loops. The number eight is one of them, that is why certain activities have to be planned when introducing the normative writing of this number, which will help children, who have problems with writing, to automatize it. I also present a series of activities that enable this to happen and activities that help to form the concept of the learnt number. The activities are also planned and organised so that the pupils grasp the concept of number and the numeral through their life experience and activities that motivate them. Key words: figure, number, numeric perception, normative writing, learning problems. Uvod S prispevkom želim poudariti pomembnost premišljenega in načrtnega obravnavanja vsakega posameznega števila v obsegu od nič do deset, v povezavi s tem pa obravnave zapisa števke v normativnem zaporedju potez. Otroci ob vstopu v prvi razred spontano in samoiniciativno zapisujejo številke, a zaporedje potez ni usklajeno z normativnim. Do upodobitve posamezne številke so iz radovednosti in vedoželjnosti prihajali s preslikavo. Ker so te poteze že v večini avtomatizirane, jih je zelo težko preusmeriti in doseči, da bi posameznik števke zapisoval v normativnem zaporedju potez in sledil osnovnim orientacijskim smernicam: od zgoraj navzdol in od leve proti desni. Drug problem pa se kaže v tem, da otroci ob vstopu v prvi razred večinoma nimajo težav s štetjem in štejejo zelo daleč v nizu rastočega zaporedja naravnih števil. To pa še ne pomeni, da imajo oblikovane tudi številske predstave zanje. Pogosto se pokažejo težave, ko mora otrok operirati s števili (primerjanje in opredeljevanje velikostnega odnosa, urejanje števil v rastočem, padajočem zaporedju), ki so večja od pet in manjša od deset. V obsegu do pet otroci večinoma nimajo težav, morda tudi zato, ker jim je do tega obsega ena roka vedno na razpolago pri prikazovanju številčnosti, druga pa za spremljanje štetja s kazanjem. Prav tako zaporedje števil od ena do pet doživljajo podprto z močnim čustvenim nabojem, saj vsako leto na svoji torti prižgejo eno svečko več. Potem pa imajo celo leto mnogo časa, da vsakemu, ki jih vpraša po starosti, lahko to povedo z besedo in še pokažejo s prstki. Piaget pravi, da je besedno štetje eno izmed prvih otrokovih spoznanj o številu. V nadaljevanju pravi, da se oblikovanje pojma števila začne z logičnim mišljenjem in z ukvarjanjem s predmeti (Labinowicz, 2010: 91). Zato smo strokovni delavci v prvem obdobju šolanja odgovorni za to, da otrokom organiziramo dejavnosti tako, da bodo aktivni in bodo imeli ponujene čim boljše okoliščine za sprejemanje, urejanje in obdelovanje informacij, vezanih na števila in številke. Da bi to dosegli v čim večji meri, se moramo zavedati, da imamo ljudje različne stile učenja. To zavedanje lahko koristno vnesemo v načrtovanje obravnave posameznega števila in v povezavi z njim zapisa znaka zanjo. Informacije iz okolja sprejemamo s čutili. Posebno močno so pri tem udeleženi vid, sluh in tip, ni pa zanemarljiv tudi voh in če je možno tudi okus. Vsak od nas ima enega od načinov sprejemanja sporočil iz okolja bo lje razvitega. Z načrtovanjem dejavnosti, ki razvijajo vse poti sprejemanja informacij, pa lahko tiste, ki niso dominantne, bolje razvijemo in si s tem izboljšamo pogoje za učenje. To velja tako za otroke kot tudi za odrasle. Deporter v knjigi Kvantno učenje pravi, da bi lahko bili uspešnejši, če bi znali nadzorovati svoj odziv na določeno situacijo in rešiti težave tako, da bi za splet okoliščin, ki določajo to situacijo, izbrali najboljšo rešitev. Koliko več bi lahko dosegli, če bi v večini primerov ''delali pravo stvar'' (Deporter, 1996: 122). Dejavnosti, ki vodijo k oblikovanju številske predstave in usvajanju normativnega zapisa posamezne številke, izpeljemo tako, da vsak otrok lahko maksimalno napreduje s pomočjo svojega dominantnega senzornega področja. Obdelane informacije pa naj ima možnost urediti in preoblikovati v znanje še s podporo drugih senzornih področij. Pri upoštevanju stila učenja in razmišljanja se je pokazalo, da je bolje, če so učenci prožni pri uporabi različnih poti, s pomočjo katerih pridejo do cilja (Peklaj, 1995: 176). V podporo pri odločitvah za dejavnosti, ki bodo razvijale oblikovanje številskih predstav, je tudi teorija, ki sta jo v knjigi Umetnost učenja opisala Rose in Cool. Predstavljata sedem inteligenc: jezikovno, matematično-logično, vidno-prostorsko, slušno, medosebno, avto-refleksivno in telesno-gibalno. Pravita, da vsaka od inteligenc predstavlja svoj način preučevanja vsebine in razvija drugačno sposobnost. Upoštevati je potrebno, da je pomembno, kako se lotimo problemov. Zavestno uporabljanje vseh inteligenc oziroma načrtovanje dela tako, da vključujemo dejavnosti, ki omogočajo njihovo aktivno uporabo, zagotavlja bolj uravnoteženo učenje, spodbuja razmišljanje in širi obzorje (Rose, Cool, 1993: 112). Pri delu v prvem razredu se opiram na ta izhodišča in obravnavo številke in števila organiziram tako, da jo učenci doživijo z vsemi čutili in aktivirajo vse razpoložljive ''lovilce'' dražljajev iz okolja. V tem prispevku bom predstavila možen način obravnavanja števila in številke osem. Zapis te številke je za precej otrok eden izmed težjih, zaradi zahtevnejšega zaporedja potez, ki zahteva tudi dobro orientacijo na ploskvi, ki ji je zapis namenjen. Obravnava števila osem in normativni zapis številke Motivacijski del Motivacija je gonilo aktivnosti, ki je vezana na obravnavo in požene otrokovo dejavnost. Otroka predrami in navduši za vključevanje v tok dogajanja, ki je v šoli vezano na pouk in učenje. Pomembna je za posameznika in za skupino, ki pod vodstvom strokovnega delavca v oddelku usmerja delo in učence vodi k doseganju načrtovanih in z učnim načrtom opredeljenih ciljev. Pripovedovanje pravljic in zgodb učence vedno pritegne. Za uvodno dejavnost sem izbrala pripoved, ki bo nato učence vodila k oblikovanju številske predstave in usvajanju normativnega zapisa številke. Za obravnavo števila osem sem izbrala pripoved, ki govori o izmišljenem dogodku na kmetiji. Živali želijo zbuditi Tončka, ker ugotovijo, da bi moral v šolo, on pa še vedno spi. V vsebino sem vključila več živali, ki poskušajo z bujenjem zaspanega Tončka. Zaradi obravnave števila osem je nastopilo osem živali: petelin, pes, krava, konj, pujs, ovca, mačka in muha. Vse so se trudile in poskušale zbuditi Tončka s svojim oglašanjem, pa ni šlo. Uspelo je le nadležni muhi. Pripovedovanje lahko pospremimo z aktivno vključitvijo otrok, ki posnemajo glasove živali in pomagajo pri bujenju. V ta namen jim lahko razdelimo vloge. Še posebno uživajo, če izdelamo pripomočke, ki na preprost način ponazarjajo posamezno žival in si jih otroci nadenejo na glavo. Živali, ki v pripovedi nastopajo, predstavimo s slikovnim gradivom in jih preštejemo. Primer nam ponuja tudi možnost urejanja slikovnega gradiva v zaporedje, ki ga nakazuje zaporedje nastopanja posamezne živali pri poskusu bujenja in opredeljevanje položaja z izjavami je bil/a pred/je bila za. Prav tako lahko izpostavimo kardinalni in ordinalni pomen števila, saj lahko živalim opredelimo vrstni red v tem smislu, da določamo, katera po vrsti je žival poskušala prebuditi Tončka. Ta del zaključimo s predstavitvijo znaka za število osem, z obliko številke. Na tablo pripnemo sliko hleva, v katerem bivajo nastopajoče živali in sliko hiše, v kateri živi Tonček. Na kmetiji imajo traktor in Tončkov očka se z njim ''zapelje'' okoli obeh stavb. Igrački traktorju namočimo gume z barvo, tako da sled, ki jo pušča igrača, zariše obliko številke osem, tako kot to prikazujeta Slika 1 in Slika 2. Slika 1: Situacija na tabli Slika 2: Otroci delajo poteze Oblikovanje številske predstave Štetje v rastočem in padajočem zaporedju Preštevanje do osem in predstavitev znaka/simbola za števko osem povežemo še z oblikovanjem številske predstave za to število. Iščemo predmete in stvari v našem okolju, ki jih je toliko, da jih lahko preštejemo in štetje končamo s številko osem. Učenci so običajno pri tem zelo aktivni in izvirni in kar tekmujejo med seboj, kdo bo kaj našel. Vsako ugotovitev tudi sproti preverjajo in učenci takoj povedo, če se je kdo pri preštevanju uštel. Na misel jim pridejo gumbi, število deklic/dečkov v oddelku, število stropnih svetilk, oken, polic, razstavljenih likovnih izdelkov na panoju. Najbolj aktivni brskajo po spominu tudi med predmeti, ki jih ne vidimo, jih imajo doma, ali pa so v telovadnici, na parkirišču, v stranišču Zelo smiselno je, da načrtujemo tudi dejavnosti, ki ponujajo priložnost, da štejemo v padajočem zaporedju. Lahko si pripravimo posnetke, ki ponujajo tako štetje, kot je na primer vožnja skozi predor, v katerem je osem odstavnih niš, ki so oštevilčene v padajočem zaporedju; odštevalnik pod semaforjem, ki odšteva čas, ki ga imamo na razpolago do tedaj, ko se bo prižgala zelena luč, in uporabimo samo situacijo od osem navzdol; odštevanje časa pred izstrelitvijo rakete, ki se začne z osem. Učence spodbudimo, da tudi oni iščejo primere, ko v življenjski situaciji štejemo v padajočem zaporedju. Žal je teh situacij zelo malo. Obravnava številke ponuja smiselne medpredmetne povezave. Vsak možen trenutek zaznamo kot izziv in ga uporabimo za preštevanje in štetje. Te priložnosti iščemo pri spoznavanju okolja, športni vzgoji, glasbeni vzgoji. Simpatične so pesmice, ki ponujajo padajoča zaporedja, tako kot je to pesmica o račkah, slonih. Začenjamo lahko z besedilom, ki ponuja osem slončkov, ki se zibajo na gugalnici. Potem pa enega pokliče mama in odide domov. Pesmica se nadaljuje s pozibavanje sedmih slončkov, šestih, petih, štirih, treh, dveh, enega in nazadnje ni na gugalnici nobenega več. Na enak način lahko prepevamo o osmih račkah, ki so šle na sprehod, pa se ena izgubi in jih ostane še sedem. Pesem se izteče, ko se postopoma izgubi po ena račka, dokler se ne izgubi še poslednja. Za utrjevanje številske predstave si lahko izdelamo ali pa uporabimo kupljene didaktične igre, ki zahtevajo branje številk in štetje. Če igra zahteva uporabo igralne kocke, si jo lahko izdelamo sami. Nanjo na eno od ploskev napišemo številko osem ali pa narišemo osem pik. Kocka je lahko tudi taka, da ima na enem ali dveh poljih zapisano številko osem, na enem ali dveh poljih ima narisane pike v nestandardni postavitvi, druge ploskve na kocki pa so prazne ali pa imajo še kakšne druge simbole, ki pomenijo kaj posebnega: počakaš, dobiš neko dodatno nalogo, moraš nazaj in podobno. Predstavitev števila na več načinov - skupine Vsaka izkušnja omogoča otroku, da gradi koncepte s pomočjo aktivnega učenja. V dejavnosti, ki jo organiziramo v skupini, učenci delujejo raziskovalno in povezovalno. Iščejo strategijo za skupno reševanje problema, ki od njih zahteva, da število osem predstavijo na različne načine, tako kot nekaj možnosti prikazuje Slika 3. Pri tem uporabijo link kocke. Vsaka skupina poskuša sestaviti čim več možnih rešitev in vsako od njih pusti sestavljeno na omizju, tako da ima vsak od članov skupine ves čas pregled nad rešitvami, ki so že nastale. Slika 3: Nekaj možnih primerov postavitve osmih link kock Učencem omejimo čas, ki ga imajo za to aktivnost na razpolago. Po izteku časa si ogledamo, kaj se je pri posamezni mizi nabralo in koliko idej so utegnili prikazati z link kockami. Iščemo ideje, ki so pri posameznem omizju samo njihove in jih na drugih omizjih nismo videli. Na skupnem omizju predstavimo vse različne dobljene rešitve. Učenci so pri tem zelo kritični in hitro opazijo, če hoče kdo njihovo idejo predstaviti za svojo. Hkrati pa jim ideje, ki jih vidijo pri drugih, porodijo nove zamisli. Dopustiti jim moramo, da jih izživijo. Urejanje števil po velikosti, raziskovanje odnosov V nadaljevanju učencem ponudimo škatlice, v katerih so predmeti. Vsak dobi eno. Škatlice so različnih barv, to pa zato, da bomo lahko kasneje oblikovali skupine, v katere se bodo družili učenci s škatlo enake barve. Prešteti morajo elemente v njej in ugotoviti, ali je v njej osem, več kot osem ali manj kot osem predmetov/stvari. Svoje ugotovitve ubesedijo. Nato delajo v dvojicah in par primerja število elementov, ki jih imata vsak od njiju v svoji škatlici. Velikostni odnos med njunima podatkoma izrazijo s smiselno in matematično pravilno oblikovano izjavo, v kateri uporabita besedne zveze več kot/manj kot. Oblikujemo še skupine z enakim številom preštetih elementov. Nato se učenci združijo v skupine tako, da upoštevajo barvo škatlice. Učenci z enako barvo stopijo skupaj. Učitelj pripravi elemente v škatlicah tako, da je možno sestaviti več skupin, v vsaki skupini je osem, lahko tudi manj škatlic, v njih pa različno število elementov (1-8). Ugotovijo, koliko elementov ima vsak, in nato svoje škatle uredijo tako, da upoštevajo številčnost. Sami se odločijo, ali bodo to opravili v padajočem ali v rastočem zaporedju. Zelo privlačna je tudi dejavnost, ko učencem na hrbet pripnemo/prilepimo list z napisano številko. Če želimo hkrati vključiti v aktivnost celo skupino oddelka, pripravimo številke od 0 do 8 oziroma od 1 do 8, vsak niz v drugi barvi, da bomo na podlagi barv oblikovali skupine. Vsak niz ima lahko vse številke, lahko pa katero od njih izpustimo. Učenci se bodo družili po barvah. Pomagati si bodo morali med sabo, da ugotovijo, katere barve številko imajo na svojem hrbtu in katera številka je to. Nato morajo v skupini številke urediti v rastočem ali v padajoče zaporedju. Tudi pri tem ne bo šlo brez medsebojne pomoči. Če so urejanje opravili v rastočem zaporedju, je lahko njihova naslednja naloga, da ga preuredijo v padajoče. Pri tej dejavnosti največ težav povzroča komunikacija. Najpogosteje je potrebno poslušati samo enega, da informacijo slišijo vsi in se potem lahko orientirajo, kako bodo nalogo opravili. Običajno se v vsaki skupini najde nekdo, ki ima več organizatorskih sposobnosti. Ta pogosto vzame vajeti v svoje roke in opravi urejanje. Nalogo lahko otežimo in učencem dovolimo le komunikacijo z mimiko in gibi. Iskanje števila na številskem traku in oblikovanje izjav Delo lahko organiziramo v dvojicah, v skupinah ali individualno. Na papirnati podlagi pripravimo številski trak, ločeno pa kartončke z napisanimi številkami. Učenci prihajajo po številke in jih umeščajo na številski trak. Številski trak je lahko pripravljen tudi tako, da je na njem nekaj števil že napisanih, vstaviti morajo le še tiste, ki manjkajo. Navodilo za delo oblikujemo tako, da mora vsak, ki prinese številko na številski trak, svojo odločitev utemeljiti z izjavo: npr.: 4 bom postavil pred 5, ker je 4 za ena manjše od 5; 7 bom postavil za 6, ker je 7 za ena večje od 6; 3 je za ena manjše od 4, zato jo bom postavil pred 4; 2 je za 1 večje od 1, zato jo bom postavil za 1; 8 je za 2 večje od 6, zato jo bom postavil za 6 tako, da bo med njima lahko stala še 7; Zaznavanje števila in številčnosti kot vsote Delo organiziramo po skupinah. Vsaka skupina dobi slikovno gradivo na kartončkih. Za eno skupino pripravimo niz sličic, ki nakazujejo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 elementov (prsti na rokah, pike na kocki, metuljčki ...). Dva od možnih primerov prikazuje Slika 5. Za vsako možnost dobi skupina mnogo sličic (najmanj po deset za vsako število), tako da se ne more zgoditi, da bi jim kartončkov zmanjkalo. Slika 5: niz sličic, ki prikazujejo števila od 1 do 8 Učenci dobijo nalogo, da sestavijo čim več možnosti, v katerih bo skupno število pik osem. Možnosti sproti nakazujejo s postavitvijo kartončkov v niz (npr. 2 + 6). Učenci se ob tej dejavnosti ne morejo opirati na izkušnjo standardnega prikazovanja posameznega števila s prsti ali pikami. Število običajno pokažejo s prsti na vedno enak način, igralne kocke pa tudi ponujajo postavitev pik na vedno enak način. Število osem lahko prikažejo na različne načine in pri tem postavljajo tudi pokazane prste na različne načine. Prav to, da število lahko s prsti pokažejo na več načinov, spodbudi v njih izziv, ki ga sprejmejo z navdušenjem. Uživajo v iskanju različnih možnosti. Zaznavanje z vsemi čutili, uporaba vseh vrst inteligenc Izziv so učencem tudi revije in drugo slikovno gradivo, kjer lahko iščejo informacije, ki so vezane na število in številko osem. Zanimanje in delovno vnemo ohranjamo na visoki ravni, če organiziramo in vodimo različne dejavnosti. Vključimo lahko tudi gibalne in take, kjer izreko besed - številk podredijo kazanju z roko. Učenci izvajajo dejavnosti z osemkratnimi ponovitvami. Stojimo v krogu in se izštevamo tako, da štejemo od ena do osem. Preštevanje končamo s številom osem in pokažemo osmega, izštetega. Na začetku določimo skupno izhodišče za začetek izštevanja. Izštevamo pa se lahko tudi tako, da štejemo v padajočem zaporedju. V svoji praksi sem imela tudi primer učenca, ki preštevanja s kazanjem preštevancev ni mogel uskladiti z besednim štetjem. Pri odpravljanju te težave so zelo priročne izštevanke. Ritem izrekanja izštevanke je enakomeren in otrok skozi to dejavnost postopoma uskladi govor in gib. Učenci imajo te vrste dejavnosti zelo radi, saj vključujejo veliko gibanja. Na svoj račun pridejo tisti, ki imajo dominantno kinestetično področje. Zelo radi igrajo gibalne igre, ki so najlažje izvedljive v telovadnici. Primer take igre je tudi naloga, ki zahteva, da s svojimi telesi oblikujejo podobo številke. V teh primerih moramo delo organizirati tako, da eden od skupine, ki bo številko oblikovala, nadzoruje in usmerja postavljanje ležečih teles. Zanimiva in priljubljena je tudi dejavnost v skupinah, kjer vsaka skupina dobi nalogo da oblikuje eno od številk, drugi pa ugibajo/preberejo, katera številka je to. Grafomotorika, ki podpira zapis številke V učilnici namišljeno določimo položaj hleva in položaj hiše, nato pa posnemamo smer vožnje Tončkovega očeta in se gibljemo, hodimo, tečemo, poskakujemo po eni nogi v smeri, ki jo je Tončkov oče zarisal s traktorjem. Del učencev se giblje v prostoru, v učilnici, del pa te gibe prenese na premikanje igrače - traktorja - na podlagi lista, kartona, lesene ploskve, kjer je postavljena hiša in hlev. Podobno dejavnost lahko organiziramo tudi tako, da učenci z magnetom premikajo igračo na listu. Z magnetom drsijo, ga premikajo pod listom, na listu pa je igrača - vozilo, ki jo magnet privlači. Učenec mora igračo premikati tako, da vleče zankasto linijo in na ta način uri poteze, ki so potrebne za zapis številke. Učenci med dejavnostmi, ki potekajo v učilnici, in med dejavnostmi, ki potekajo na ploskvah listov, krožijo. Ta dejavnost med učenci zbudi slino zanimanje in navdušenje. Notranje so motivirani in skozi dejavnost, ki jo jemljejo kot igro, sledijo načrtovanemu cilju. Vse podlage in traktorje jim pustimo na poličkah, kjer so vedno dosegljivi. Učenci po njih segajo tudi v prostem času. Normativni zapis številke Pri zapisovanju znaka/simbola sledimo osnovnim orientacijskim pravilom. Poteze za zapis številke si sledijo od zgoraj navzdol in od leve proti desni, v dogovorjenem zaporedju potez, ki jih za števke od nič do devet nakazuje Slika 6. Taka je naša osnovna orientacija, ki je vključena tudi v branje in pisanje. Vedno določimo točko začetka. Učenec se s pisalom postavi nanjo, s pogledom ''prepotuje'' linijo, ki jo mora opraviti in nato vleče potezo v nakazanem zaporedju. Večino števk zapišemo z eno potezo, brez vmesnega ustavljanja (6, 8, 9), nekatere z vmesnim ustavljanjem zaradi spremembe smeri poteze (1, 2, 3), nekaj pa je takih številk, ki jih pišemo z dvema ločenima potezama (4,5,7). Slika 6: nakazano zaporedje potez za normativni zapis števk (VIR: M. Cotič, 52 - priloge, učni listi) Učencem demonstriramo zaporedje potez za zapis številke osem. Označimo točko, kjer s pisanjem začnejo, prav tako pa tudi smer vlečenja potez. Organiziramo pisanje številke na tablo. Spodbujamo pisanje z velikimi potezami. Za to je primerna tudi velika pola papirja in debelejši flomastri ali krede. Postopno usmerjamo posameznike na pisanje številke na manjše ploskve lista, odvisno od tega, koliko je posameznik suveren in samostojen. V ta namen pripravimo plitve pokrove kartonastih škatel, v katerih je sipek material (zdrob, moka, mivka). Učenci s kazalcem pišejo številko v te materiale. Na drugem delovnem mestu - kotičku - iz mehkega materiala (plastelin) ali iz različnega odpadnega materiala (zamaški, kamenčki, pokrovčki) oblikujejo številko. Zelo radi učenci delajo tudi s ploščicami ali kartonastimi karticami, v katere reliefno upodobimo številke osem, dodamo pa tudi druge, tiste, ki smo jih že obravnavali. Učenci s tipom in drsenjem po izboklini ali vboklini na spodnji strani kartončka, ki jo oblikuje številka, prepoznajo številko. To lahko naredimo z vrezovanjem ali lepljenjem številke na podlago. Uporabimo lahko hrapav papir ali sipek, droben material, ki ga nanesemo na ploskev in z njim oblikujemo številko. Pri tej dejavnosti učenci kartončke/ploščice obrnejo tako, da se številk ne vidi. Premešajo jih, nato pa s tipanjem iščejo, kje, na kateri ploščici/kartončku je številka osem. Priljubljena je tudi igra pošta s številkami. Postavijo se v krog in sošolcu, ki stoji pred njimi, na hrbet napišejo številko. Začne učenec, ki ga določimo z izštevanko. Na hrbet sošolca napiše številko. Ta počaka, da je pisanje zaključeno in šele potem lahko začne s pisanjem številke na sošolca pred njim. Pošta prispe, ko se zvrstijo vsi. Težave, ki se pojavljajo pri pisanju Ob vsaki novi številki pisanje posameznika spremljam in sledim njegovemu napredku, reagiram na njegove težave. Pogosto opažam, da so posamezni učenci med pisanjem napeti, skrčeni in sklonjeni nad zvezek tako, da so mu preblizu. Pri pisanju dvigajo roko in ne opravijo zapisa z eno potezo, pač pa z več manjšimi. Še težavnejša je za njih naloga, če se list, na katerega pišejo, premika, drsi po ploskvi mize. Pogosto imajo učenci slabo razvito orientacijo na listu. V zapisu so različno velike številke, težave imajo s pisanjem v omejen prostor dveh črt, med zapisanimi številkami so različni presledki, zapisane številke so različno velike, široke, napisane razpotegnjeno ali stisnjeno. Učencem s takimi težavami je na kožo pisano učenje skozi igro in take naloge, ki so predstavljene kot igra in ne kot naloga, tako da dobi otrok veselje do pisanja. Prav to podpirajo ponujene dejavnosti. Nekateri gredo skozi njih samo enkrat, drugi večkrat, odvisno od posameznika. Prav zaradi občutka igre se učenci k takim dejavnostim vračajo tudi sami od sebe. Za te otroke organiziram dejavnosti, za katere opazim, da so jim všeč. Vodim in usmerjam ter spodbujam jih toliko časa, da do avtomatizma usvojijo zaporedje potez in številko napišejo v različnih velikostih. Vsak napreduje v svojem tempu. Piaget pravi: Število je več kot poimenovanje - z njim se povsem strinjam Piaget pravi, da število izraža odnos, odnosi pa ne obstajajo v resničnih predmetih. Odnosi so abstrakcija, so strukture v zavesti, ki se vsiljujejo stvarem. Razvoj logičnega mišljenja prispeva k učenčevemu razumevanju pojma število. Zato je tudi pot do oblikovanja tega pojma bolj zapletena in pogosto premalo opažena in spremljana. Če pojem števila in številske predstave nista trdno oblikovana, se to ponovno pokaže kot težava takrat, ko začnemo s števili operirati (izražati odnose, jih uporabljati v računskih situacijah). Marsikoga zavede, če otrok besedno tekoče šteje. To ni zagotovilo, da je pojem števila oblikovan. Pravo štetje ni le naštevanje števil, pač pa vzporejanje števil s predmeti. Pojma števila učencem ne moremo posredovati z besedo. Da otrok doseže stopnjo logičnega matematičnega spoznanja, morata biti miselna in fizična dejavnost med sabo močno povezani. Matematika se začenja z ukvarjanjem s predmeti in prav to moramo učencem pri pouku omogočiti. Učenci, ki so deležni takega pristopa pri poučevanju, napredujejo hitreje in lažje premagujejo težave, ki jim s stopnjevanjem zahtevnosti prihajajo nasproti. Zaključek V katerikoli starosti lahko ob spodbudnih vplivih iz okolja povečamo svoje umske sposobnosti. Zakaj ne bi tega izkoristili tudi v obdobju šolanja, ko otrok vodeno in usmerjeno vstopa v svet načrtovanega izobraževanja. Možgane moramo neprestano spodbujati k intelektualnim dejavnostim in povezovanju z okoljem ter situacijami, ki nam jih le-to ponuja. To obrodi bogate sadove in pripravi možnosti, da vsak učenec napreduje v svojem tempu, svoj uspeh opazi in se ga veseli. Zato je moje delo v prvem razredu usmerjeno v iskanje novih in novih smiselnih in zanimivih dejavnosti, ki bi bile v pomoč učencem, predvsem tistim, ki imajo težave. Pomemben je občutek posameznika, da napreduje. To dviga njegovo samopodobo in pripomore k hitrejšemu napredovanju. Vse to se mi bogato obrestuje, ko vpeljemo računske operacije in operiramo s števili zaradi dodajanja in odvzemanja. Če se takrat učenec seštevanja in odštevanja loteva tako, da mora do vsakega rezultata priti s preštevanjem, potem mu to vzame mnogo preveč časa. Hkrati se vanj naseli občutek, da je pri tem manj uspešen, saj zelo hitro opazi tiste, ki ga v tem prekašajo. Tudi oblikovane številske predstave dajejo to možnost. Moje delo in načrtovanje aktivnosti za učence pa je vedno bolj usmerjeno tudi v uporabo možnosti, ki nam jih ponuja sodobna tehnologija, računalnik in i-table. Viri 1. Cotič, M. (2003): Igraje in zares v svet matematičnih čudes. Kako poučevati matematiko v 1. razredu devetletne osnovne šole. DZS, Ljubljana. 2. Deporter, B. (1996): Kvantno učenje: osvobodite genija v sebi. Glotta Nova, Ljubljana. 3. Labinowicz, Ed. (2010): Izvirni Piaget: Mišljenje - učenje - poučevanje. DZS, Ljubljana. 4. Marentič, B., Magajna, L., Peklaj, C. (1995): Izziv raznolikosti: stili spoznavanja, učenja, mišljenja. Educa, Nova Gorica. 5. Rose, C., Cool, L. (1993): Umetnost učenja. Tangram, Ljubljana. 6. Žakelj, A. [et al.]. (2011): Učni načrt. Program osnovne šole. Matematika. MŠŠ, ZRSŠ, Ljubljana. ZABAVNA POŠTEVANKA Amusing Multiplication Jana Cimerman, OŠ Hruševec Šentjur jana.cimerman@gmail.com Povzetek Matematika, eden od temeljnih učnih predmetov v OŠ, obravnava osnovne in za vsakogar pomembne matematične pojme. Ti so usklajeni z otrokovim kognitivnim razvojem, sposobnostmi, osebnostnimi značilnostmi in njegovim življenjskim okoljem. V 1. triletju je poudarek na razvijanju in usvajanju številskih predstav, ki temeljijo na praktičnih aktivnostih ob uporabi konkretnih materialov, primernih ponazoril in didaktičnih pripomočkov ter sodobnih gradiv. Osrednja naloga v tretjem razredu je dobro obvladanje poštevanke in deljenja. Učenje poštevanke je lahko zabavno, sproščujoče in učinkovito, če učitelj zagotovi osnovne pogoje za delo v učilnici, z osebno zavzetostjo prisluhne potrebam učencev ter jim prilagaja poti do znanja in če se zaveda, da pripomore k manjšemu pozabljanju vse, kar se učenci naučijo ob igri. Do avtomatizacije poštevanke vodi več poti. Predstavila bom pot, ki pelje od igre vlog pri pridobivanju novega znanja do didaktičnih iger pri urjenju znanja. Eno izmed poti vodijo starši, ki se na tematskem roditeljskem sestanku seznanijo s šolskimi aktivnostmi, spoznajo preproste, ročno izdelane didaktične igre za utrjevanje in urjenje poštevanke ter v delavnici vsaj eno izmed iger izdelajo. Ključne besede: avtomatizacija, didaktične igre, poštevanka, številske predstave. Abstract Mathematics is one of the basic school subjects in the primary school. It deals with basic mathematical concepts that are important for everyone, and which are harmonized with pupils' cognitive development, skills, personal characteristics and living environment. In the first three grades of primary school, development and assimilation of numeric perceptions, based on practical activities, the use of specific materials, appropriate illustrations, didactic accessories and contemporary materials are emphasized. The main task in grade 3 is to master multiplication and division. Learning how to multiply can be fun, relaxing and efficient, if teachers assure basic conditions for work in the classroom, if they pay close attention to pupils' needs, if they adjust their teaching methods and if they keep in mind that pupils learn the most, while playing. There are many ways that lead to automatization of multiplication. I am going to present a method that leads us from acquireing new knowledge by roll playing to arranging knowledge with didactic games. One of the ways is performed by parents who at a parental meeting get acquainted with school activities, learn how to make didactic games for practising multiplication and manufacture themselves at least one of the games at the work shop. Key words: automatization, didactic games, multiplication, numeric perception. Uvod Med šolskimi predmeti, s katerimi se spopada naš šolar, ima matematika pomembno mesto. »Matematika je kraljica vseh znanosti. Zaljubljena je v resnico, oblečena pa preprosto in jasno. Dvorec te vladarice obdaja gosto trnje in kdor bi ga rad dosegel, mora skozi goščavo.« (J. Sniadecki, poljski matematik in filozof, 1756-1830) Matematika je predmet, ki zahteva poseben pristop. Učitelji pri učencih spodbujamo različne oblike mišljenja, ustvarjalnost, formalna znanja in spretnosti ter jim omogočamo, da si razvijajo delovne navade, vztrajnost, natančnost, iznajdljivost. Učenci postopno spoznavajo, da pravilna rešitev matematičnih nalog ni stvar posebnega daru, temveč plod predhodnega znanja, razmišljanja, dela in motiviranosti. Govorimo o notranji in zunanji motivaciji. Notranja motivacija se nanaša na učenčevo notranjo željo, interes, radovednost in zavzetost v neki aktivnosti. Nasprotno pa se zunanja motivacija nanaša na situacijo, ko se učenec udejstvuje v aktivnosti zaradi zunanje motivacijske spodbude. Zunanje motiviran otrok deluje zaradi zunanjih posledic, kot so: pohvala, graja, kazen, nagrada, ocena, lahko pa tudi želja, da ustreže staršem ali učiteljici. Kot učiteljica si pogosto zastavljam vprašanje, na kakšen način poučevati, da bom pri učencih spodbujala in vzdrževala notranjo motivacijo. Najprej moram omogočiti urejen in udoben razred, prijateljsko in sodelovalno vzdušje, nato moram z osebno zavzetostjo prisluhniti potrebam učencev, poznati njihove sposobnosti ter ugotoviti, kateremu čutilu daje posameznik prednost pri sprejemanju novega znanja. Ločimo različne stile zaznavanja - vidnega, slušnega in gibalnega. Če pri otroku prevladuje vizualni (vidni) stil zaznavanja, si zapomni predvsem slikovne podobe, situacije, ki vsebujejo ilustracije, barvne vsebine. Avditivni ( slušni) stil zaznavanja imajo otroci, ki radi prisluhnejo razlagi, glasno ponavljajo učno snov, se učijo ob glasbi. Otroci, ki pripadajo kinestetičnemu (gibalnemu) stilu, dajejo prednost igri, gibanju, premikanju, si pomagajo s prstki . Pri učenju pa nihče ne sprejema informacij le slušno ali vidno. Vsak ima svojo kombinacijo načinov; vsi pa največ pridobimo, če je v učenje vključenih čim več različnih čutov. Človek si zapomni 90 % tega, kar vidi, sliši, pove in stori (Colin in Goll, 1993). V razredu je večje število učencev in ker po verjetnosti spadajo v vse tri opisane stile, je pomembno, da v poučevanje vključimo več različnih načinov sprejemanja informacij, kajti le tako si lahko vsak izbere informacijo na svoj način. Matematične vsebine v 1. triletju V prvem triletju je poudarek na razvoju številskih predstav, ki temeljijo na praktičnih aktivnostih. V 1. razredu seštevajo in odštevajo do 20 na konkretni ravni s štetjem oziroma preštevanjem konkretnih predmetov tako dolgo, dokler jih potrebujejo oziroma ne naredijo miselnega preskoka na abstraktno raven (razumejo). V 2. razredu seštevajo in odštevajo do 100 z didaktičnimi ponazorili (npr. enotskimi kockami, link kockami, denarjem, ponazorili za desetiške enote, pozicijskim računalom, številskim trakom, stotičnim kvadratom ipd.). V 3. razredu je poleg širitve številskega obsega do 1000 ter seštevanja in odštevanja brez prehoda v njem osrednja naloga dobro obvladanje poštevanke in deljenja. Standard znanja ob koncu 3. razreda se glasi: Učenci usvojijo do avtomatizma zmnožke (produkte) v obsegu 10 x 10 (poštevanka)in količnike, ki so vezani na poštevanko (Učni načrt za matematiko, 2011). Pri množenju in deljenju sta pomembni dve stvari: a) razumevanje množenja in deljenja ter b) urjenje poštevanke do največjega avtomatizma. Zame je pomemben končni cilj, do katerega vodi več poti. Izbiram takšne poti, ki omogočajo raziskovanje in vodijo do znanja, ki je usvojeno z razumevanjem. Načela, ki jih upoštevam pri avtomatizaciji osnovnih računskih operacij, še posebej pri množenju, so: > čas učenja (potrebna je vsakodnevna vadba, krajši čas ( večkrat po 5 minut), > kraj učenja (primerno je »priložnostno učenje«, mimogrede, ko se peljemo v šolo, na sprehodu, ko kuhamo, pospravljamo, se igramo - takšno obliko učenja otroci praviloma ne razumejo kot učenje), > povezava z vsakdanjim življenjem (za otroka je učenje smiselno, če znanje takoj, neposredno uporabi - v trgovini, na igrišču, pri igri, na parkirišču). Didaktične igre Za začetek obravnave poštevanke so meni najprimernejše problemske naloge. Postavim nek problem, ki ga otroci rešijo na konkretni ravni. Učenci se reševanja lotijo na različne načine. Njihova razmišljanja in utemeljitve, pa četudi napačne, so zelo dobra iztočnica za kritično mišljenje in sodelovalno učenje. V vsakem primeru učence pripeljem do pravilnega razmišljanja, samo da so za usvajanje znanja notranje motivirani. K temu v veliki meri pripomorejo didaktične igre. Didaktične igre so posebne igre, ki jih uporabljamo pri pouku in se nekoliko razlikujejo od navadnih, otroških iger. Vsaka otroška igra ima v širšem pomenu sicer vzgojno izobraževalno nalogo, vendar je ta bolj ali manj nehotena in naključna. Pouk pa je premišljen in organiziran vzgojno-izobraževalni proces, tako da se njegove naloge s prosto igro ne bi mogle uresničiti. Zato uporabljamo didaktične igre, ki imajo vlogo uresničevanja vzgoje in izobraževanja pri pouku oziroma so cilji na določen način vgrajeni v igro. Didaktične igre so učinkovit način za izobraževanje, ker vzbujajo pozornost in zanimanje učencev ter jih motivirajo k dejavnostim (Bognar, 1987: 88). S praktičnega vidika didaktične igre delimo na igre s pravili in ustvarjalne igre, kamor sodijo igre vlog in konstrukcijske igre. Cilji didaktičnih iger: -povečati motivacijo učencev, -popestriti pouk, -izzvati večjo pozornost in povečati aktivnost vsakega posameznega učenca, -zagotoviti učinkovito učenje in dolgotrajno pomnjenje dejstev, -vplivati na občutke samostojnega nadzorovanja, -navajati učence na uporabo matematike v vsakdanjem življenju, -uriti spomin, -naučiti se pravil igre in jih strpno, dosledno ter vztrajno upoštevati, -razvijati zdravo tekmovalnost. (Pulko, 1999: Matematika v šoli 7, 42) Igra vlog Primer: Cilj: Učenec zapiše nakazano vsoto enakih seštevancev v obliki nakazanega produkta. Naslov igre vlog: Prodajamo, kupujemo. Učna sredstva: predmeti (barvice, zvezki, knjige), denar - kartončki iz matematične mape), trakovi. Potek igre: V učilnici pripravimo več »stojnic« s prodajalci. Pri prvi trgovec prodaja barvice po 2 €, pri drugi zvezke po 5 €, pri tretji knjige po 10 € ... Učence spodbudim, da kupujejo po več enakih predmetov. Trgovec za prodane predmete na trak napiše račun (seštevanja), skupaj s kupcem ga izračunata, izvedeta plačilo in račun pritrdita na tablo. ~5~+ 5 + 5 = 15 V nadaljevanju ure skupaj preračunamo račune, nato učence usmerim k iskanju načina, s katerim bi trgovec lahko račun zapisal krajše oz. kako zapisati nakazano vsoto enakih seštevancev v obliki nakazanega produkta. 5 + 5 + 5 = 3 • 5 Igre s pravili Trudim se, da urjenje poštevanke poteka na čim bolj pester in zanimiv način. To dosežem z različnimi igrami, ki jih pripravim sama, prilagodim pa jih trenutnim ciljem in učencem. Igre nudijo možnost samostojnega igranja, igre v dvoje ali v skupini ter možnost samokontrole. Postavljena pravila morajo biti kratka, jasna in natančna, sam potek igre pa učencem zabaven in privlačen. V proces urjenja in avtomatizacije poštevanke vključim tudi starše. Na tematskem roditeljskem sestanku jih seznanim s pridobivanjem poštevanke v šoli, predstavim jim načela in didaktične igre, potek posameznih iger ter ponudim nekaj nasvetov za delo doma. Izvedo, da igra učence motivira, zbuja večjo pozornost, zagotavlja trajnejše znanje ter krepi odnose med učenci, starši in učitelji. Ker so igre enostavne, si jih ob koncu sestanka po želji tudi izdelajo. Igre s pravili, ki so najpogosteje izbrane s strani učencev pred poukom, med poukom, v času dopolnilnega pouka, so: Sodelovalne karte Izdelava: Iz kartona oz. tršega papirja izrežemo pravokotnike velikosti 6,5 cm x 9,5 cm. Na eni strani zapišemo račun množenja ali deljenja, na drugo pa računu pripadajoči rezultat. Katere račune napisati na karte? Napišemo račune množenja in deljenja, za katere menimo, da si jih otrok težje zapomni. Kartončke plastificiramo. Potek igre: Igro lahko igra učenec sam, saj služijo karte za samostojno učenje, lahko pa tudi v paru. Iz skupnega kupa izmenjaje jemljeta karte in sproti povesta rezultate. Rezultate preverita s pomočjo zapisa na drugi strani karte. Pravilni rezultat se nagradi z odloženo karto na mizo, nepravilen rezultat se vrne v nov krog. Zmaga tisti, ki na mizo odloži več kart. Hišice Izdelava: Iz barvne valovite lepenke izrežemo trikotnike, iz barvnega kartona pa kvadratke (5 x 5 cm). Trikotniki predstavljajo strehe hiš, nanje napišemo zmnožke ali količnike. Na kvadratke, ki predstavljajo zgradbe hiš, pa napišemo račune množenja ali deljenja. Potek igre: Učenec izbere račun (npr. kvadrat), nato pa poišče njemu pripadajoči rezultat (trikotnik). Igro lahko igra eden ali več učencev, sestavljene hišice so na vpogled do konca igre. Zmaga tisti, ki pravilno sestavi več hišic s streho. Rožice Izdelava: Na karton narišemo cvetlico z devetimi cvetnimi listi. V sredini je krog. V vsak cvetni list napišemo eno števko. Na krog pa polagamo manjše krožce s števkami do 10. Števka v krožcu nam pove, katero poštevanko utrjujemo. Potek igre: Učenec bere račune in jih sproti izračuna, druga oseba ga posluša in kontrolira. Račune množenja lahko tudi zapiše. Na podoben način učenci sami izdelajo več rožic za deljenje. Izdelava: Iz kartona oz. tršega papirja izrežemo kartončke. Na eni strani zapišemo račun množenja ali deljenja. Na drug kartonček pa zapišemo njegov rezultat. Na hrbtno stran ne pišemo ničesar. Da bodo kartončki trajni, jih plastificiramo. Potek igre: Kartončke dobro premešamo in jih navzdol obrnjene položimo na mizo. Igra lahko več igralcev tako, da iščejo pare (račun in rezultat). Kdor zbere več pravilnih parov, je zmagovalec. Slika 1: Sodelovalne karte Slika 2: Učenec pri sestavljanju hišic Slika 3: Rožica s poštevanko števila 5 Spomin Slika 4: Pri igri spomin Evalvacija dela z didaktičnimi igrami Učenci se radi vključujejo v igre vlog, saj so jim poznane že iz vrtca oz. 1. in 2. razreda. V 3. razredu igro vlog vključim v uvodnem delu učne ure. Zanimivo je tudi vključevanje učencev v igre s pravili: -učenci, ki se radi družijo, posegajo po igrah, kjer je lahko več sodelujočih (spomin, karte) -učenci, ki se držijo zase, sestavljajo hišice ali igrajo karte, -učenci, ki za zapomnitev poštevanke potrebujejo več časa, izberejo rožice (ob branju računov pridobijo čas za sprotno razmišljanje in reševanje računov množenja), pa tudi karte (ki nudijo pomoč na hrbtni strani), -učenci, ki poštevanko znajo bolje, radi tekmujejo v igri spomin, v sestavljanju hišic, v igranju kart, izdelujejo nove karte in rožice ter si izmišljajo nova pravila. Sodelovanje staršev Starši so pobudo lepo sprejeli in v večini izdelali po dve igri, najbolj uporabne so se jim zdele sodelovalne karte in igra spomin. Otroci so jih s ponosom prinesli pokazat in se pohvalili z druženjem ob njih. Dobra stran didaktičnih iger: -aktivnost vseh sodelujočih, -dobro počutje, sproščenost, -zdrava tekmovalnost, -povezanost med učenci ter otroci in starši -učenci napredujejo v svojem tempu, si razvijajo čut odgovornosti in sposobnost za sodelovanje z vrstniki, -vedo, da je lahko igra narejena na papirju, kartonu, zato so motiviraniza lastno ustvarjanje novih iger in pravil, -igro je mogoče dopolnjevati (dodajati nove poštevanke in izločati že usvojene). Zavedam se, da igra ne sme postati sama sebi namen. Ko mine prvo navdušenje, igro umaknem in jo vrnem, ko si jo ponovno zaželijo. Zaključek Usvajanje matematičnega znanja v 1. triletju predstavlja temelj za usvajanje matematičnih znanj v višjih razredih, zato ni naključje, da je matematika v 1. triletju povezana z vsemi ostalimi vzgojno izobraževalnimi predmeti (ŠVZ, GVZ, SLJ, LVZ, SPO). Pri pouku matematike razvijamo pri otroku osnovne matematične pojme, sposobnosti za ustvarjalno delo, različne oblike mišljenja, znanja in spretnosti. Skozi proces spoznavajo praktično uporabnost matematike. Učenje poštevanke je lahko zabavno, sproščeno, učinkovito, če kot učiteljica izbiram različne poti, ki vodijo k zastavljenemu cilju, da vsak učenec razume in dobro obvlada poštevanko. Zato izbiram tiste, za katere sodim, da so primerne za delo z učenci, ki jih poučujem. Predstavljene igre imajo značilnosti igre, ki jih imajo otroci radi, zaradi možnosti prilagajanja težavnosti pa jim zagotavljajo uspeh, s tem pa dvigujejo samozaupanje in ljubezen do matematike. Moja praksa potrjuje, da so didaktične igre primerno sredstvo učenja matematike v 1. triletju OŠ ter da v didaktičnih igrah učenci radi sodelujejo, saj se ne zavedajo, da se ob njih učijo. Pridobivajo ne le znanje, temveč tudi socialne veščine medsebojnega sodelovanja, upoštevanja pravil ter ustreznega odzivanja ob zmagi in porazu. Izdelava didaktičnih iger predstavlja za učitelja dodatno delo, ki je poplačano v trenutku, ko vidi, da učence navdihuje v tolikšni meri, da se k igram radi vračajo, jih dopolnjujejo, ali pa celo sestavljajo nove igre in nova pravila. Viri 1. Bognar, L. (1987): Igra pri pouku na začetku šolanja. DZ Slovenije, Ljubljana. 2. Rose, Colin in Goll, L. (1993): Umetnost učenja. Tangram, Ljubljana. 3. Pulko, L. (1999): Uporaba didaktične igre pri pouku matematike, Matematika v šoli 7. 4. Učni načrt za matematiko, (2011), Ministrstvo RS za šolstvo in šport, Ljubljana. 5. Fotografije - osebni arhiv. REŠEVANJE BESEDILNIH NALOG Z UPORABO BRALNO UČNIH STRATEGIJ Solving Textual Tasks and Reading Strategies Suzana Štefanec Kodila, OŠ I Murska Sobota suzana.kodila@gmail.com Povzetek Naša šola je s šolskim letom 2011/2012 pristopila k projektu Opolnomočenje učencev z izboljšanjem bralne pismenosti in dostopa do znanja. V prispevku je predstavljena uporaba bralnih učnih strategij pri reševanju besedilnih nalog. V tem šolskem letu učim v 2. razredu. Pri matematiki sem namenila pomembno vlogo branju besedilnih nalog po korakih in pogovoru o razumevanju prebranega. Moj prispevek je rezultat praktičnega dela. Prikazala bom postopno reševanje besedilnih nalog. Opažam, da z branjem in načrtno uporabo učnih strategij učenci lažje rešujejo besedilne naloge. Pri tem uporabljajo strategije pred branjem, med branjem in po branju. Ključne besede: besedilne naloge, prvo triletje, bralne učne strategije. Abstract In school year 2011/2012 our school acceded to the project Empowerment of Learners by Improving Reading Literacy and Access to Knowledge. The paper presents the use of reading learning strategies while solving textual tasks at mathematics. This school year I teach grade 2. At mathematics I paid a lot of attention to the importantance of reading textual tasks step by step and discussing their understanding. My contribution is the result of my practical work. I will present gradual solving of textual tasks. In my work I have noticed that by reading and with systematic use of learning strategies students can solve mathematical problems easier. They use strategies before, during and after reading. Key words: word problems, early mathematics, reading teaching strategies. Uvod Z željo, da bi učencem olajšali proces pomnjenja, ki bi naj bilo učinkovitejše in dolgotrajneje, smo se sistematično lotili uporabe bralnih učnih strategij pri pouku. Učim v 2. razredu, kjer prehajamo iz predbralnega obdobja v obdobje začetnega branja. Nekateri učenci pa dosegajo tudi stopnjo utrjevanja spretnosti branja. »Branje je zelo pomembno. Vpliva na razvoj otroka, na njegov intelekt, na čustveni, domišljijski in jezikovni razvoj. Z njim se širi besedni zaklad in razgledanost. Znano je, da imajo učenci, ki veliko berejo, tudi boljši učni uspeh.« (Pavlin, 2005: 67). V 2. razredu posvečamo veliko pozornost branju. Pečjakova pravi, da je branje visoko organizirana spretnost in sposobnost, ki vključuje številne dejavnike. Večina avtorjev govori o dveh temeljnih dimenzijah pri bralnem procesu in sicer o dekodiranju in razumevanju, nekateri avtorji pa govorijo o dveh dimenzijah in sicer o učenju branja in o učenju s pomočjo branja (Pečjak, 1999). V obdobju začetnega branja gre za asociativno zvezo črka-glas. Z bralnimi vajami v šoli in v domačem okolju pa učenci urijo bralno spretnost - tehniko branja. Tudi reševanje besedilnih nalog je vezano na spretnost branja. S tem ne mislim samo na obvladanje bralne tehnike, ampak tudi na branje z razumevanjem. Pri branju besedilnih nalog se morajo učenci osredotočiti na vsebino prebranega. Zato sem se odločila, da bom učence skozi celo šolsko leto spodbujala k izboljšanju bralne tehnike in branju z razumevanjem. Pri matematiki sem si zadala nalogo, da bomo reševali besedilne naloge po zastavljenih korakih. Pri tem sem učence od začetka navajala na uporabo bralnih učnih strategij: a) Strategija pred branjem z aktiviranjem predznanja učencev (pogovor, ocenitev predhodnega znanja). b) Strategija med branjem (označevanje in zapisovanje bistvenih informacij). c) Strategija po branju (odgovarjanje na vprašanje). Ker pa učenci različno obvladajo tehniko branja in pri nekaterih še ni prisotno branje z razumevanjem, morajo biti besedilne naloge prilagojene njihovim sposobnostim in spretnostim reševanja (diferencirano delo). Matematični problem Všeč mi je zapis Polye: »Veliko odkritje reši velik problem; vendar pa je tudi v rešitvi še tako majhnega problema drobec odkritja. Vaš problem je lahko majhen, toda če zbudi vaše zanimanje in sproži vaše iznajditeljske sposobnosti in če ga rešite sami, boste po umskem naporu doživeli tudi veselje nad odkritjem. V mladih letih takšne izkušnje lahko porodijo smisel za umsko delo in puste svoj pečat v našem mišljenju in značaju za vse življenje. Učitelj matematike ima veliko priložnost. Če pri pouku mehanično uri šablonske operacije, ubije v učencih zanimanje, zavre njihov duhovni razvoj in tako zapravi veliko priložnost. Če pa zbuja zanimanje učencev v tem, da jim daje naloge, ki ustrezajo njihovemu znanju, in jim pomaga pri reševanju s spodbudnimi vprašanji, lahko zbudi v učencih nagnjenje k samostojnemu mišljenju in jim pokaže pot do njega.« (Polya, 1985). Sama sem mnenja, da nam matematika nudi različne povezave z realnim svetom. Tako lahko matematiko uporabimo v različnih problemskih situacijah (osebnih, izobraževalnih, družbenih in znanstvenih), v katere so umeščeni problemi. V današnjem svetu želimo učencem posredovati veliko več kot samo rutinska znanja, zato so želje in zahteve po učenju strategij reševanja in raziskovanja različnih matematičnih problemov v konteksu problemskih situacij pri pouku matematike toliko bolj prisotne (Cotič, Felda, 2011: 163). Reševanje besedilnih nalog Pri reševanju besedilnih nalog sem pozorna na cilj: »Razume problemsko situacijo in uporabi smiselno računsko operacijo pri reševanju matematičnega problema.« Pri tem me vodijo didaktična priporočila iz Učnega načrta: »Sklop matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami vključuje različne probleme glede na vsebino in tip problema (zaprti, odprti). Vedno pa je problem naloga, v kateri učenci ne poznajo vnaprej poti do rešitve in jo morajo samostojno načrtovati. Učenci problem analizirajo tako, da povežejo vsebino naloge s podatki in ugotovijo odnose med podatki. Sistematično rešujejo problem tako, da branju besedila sledi analiza podatkov, nato matematični zapis postopka reševanja in ob koncu kritično vrednotenje rešitev ter oblikovanje odgovora. Učence spodbujamo, da uporabljajo in razvijajo različne strategije pri reševanju problemov.« (Učni načrt, 2011: 18-21). »Pri matematiki je reševanje besedilnih nalog (matematičnih problemov) ena temeljnih dejavnosti. Otroke na reševanje besedilnih nalog navajamo že zelo zgodaj. Predvsem je bistveno, da otrok razume besedilo take naloge. To lahko preverimo tako, da jo otrok po svoje ubesedi ali pa ponazori bodisi grafično bodisi s predmeti. Z otroki se nato pogovarjamo o poteh, ki vodijo k rešitvam problemov, ali pa skupaj ugotovimo, da so nekateri problemi nerešljivi.« (Cotič, Felda, Hodnik Čadež, 2003: 99). Pri usvajanju reševanja besedilnih nalog sem učencem predstavila korake reševanja: 1. Natančno in z razumevanjem preberemo besedilo naloge ter si skušamo predstavljati 'matematično zgodbo'2. Lahko jo tudi narišemo. 2. Zapis ponovno preberemo. Označimo podatke in ključne besede, ki nam bodo pomagale sestaviti račun. 3. Napišemo račun in ga izračunamo (lahko je več računov). 4. Ponovno preberemo vprašanje in zapišemo odgovor (toliko, kolikor je vprašanj, je tudi odgovorov); pri njegovem oblikovanju si pomagamo z označenimi deli v vprašanju besedilne naloge. 5. Rešitev pregledamo in po potrebi popravimo napake. V učilnici imamo na vidnem mestu obešeno aplikacijo s postopki reševanja. Korake ali postopek reševanja z označevanjem in zapisovanjem bistvenih informacij ponovimo pri vsakem reševanju besedilnih nalog. Predstavila bom učno uro, ki sem jo izvedla v mesecu januarju. Na kratko bom opisala še učno uro, ki je potekala v mesecu maju. To uro so se lahko učenci spoprijeli s problemi, pri katerih so imeli možnost predstaviti svoje kritične interpretacije reševanja. Učni uri sta bili namenjeni utrjevanju reševanja matematičnih problemov. Seštevamo in odštevamo do 20 V uvodni uri smo s pomočjo motivacijske igre Razredna knjigarna (Slika 1) oblikovali matematične zgodbe. Učence sem povabila, da si ogledajo razredno knjigarno. Prodajalno opišejo in oblikujejo besedilno nalogo, ki sem jo zapisala na tablo: V KNJIGARNI IMAJO 3 KNJIGE, 1 ZVEZEK IN 5 BARVIC. KOLIKO ŠOLSKIH PRIPOMOČKOV IMAJO V KNJIGARNI? Slika 1: Razredna knjigarna Ob nalogi so ponovili postopek reševanja. Po opisanih postopkih so ustno rešili matematični problem, ki je na tabli. Sledila je dejavnost z link kockami. V razredni knjigarni so nastopali trije učenci. V knjigarni prodajalec (1. učenec) prodaja različne šolske pripomočke (knjige, barvice, zvezek). Kupec (2. učenec) ima 20 link kock. Pride v trgovino, nakupi in plača z link kockami. Po nakupu prešteje, koliko link kock mu je 2 Z 'matematično zgodbo' na nek način osmišljamo matematične vsebine. Naše življenje je svet 'zgodbenosti' v smislu nizanja dogodkov, odločitev ipd. Če si znamo tudi matematiko oz. matematično nalogo 'približati' kot neko logično zaporedje korakov, jo je veliko enostavneje rešiti. Učenci tako znanje tudi laže ponotranjijo. Iz tega razloga so primerne naloge oz. problemi, ki izhajajo iz njihovih življenjskih izkušenj (Žakelj, 2003). ostalo, in celotno dejavnost opiše v obliki matematičnega problema: V trgovini sem kupil zvezek, ki stane 8 kock. Imel sem 20 kock. Koliko kock mi je ostalo? Tretji učenec na tablo zapiše račun in odgovor. Po uvodnih dejavnostih so začeli z diferenciranim reševanjem besedilnih nalog (Slika 2). Pripravljeni so bili trije različni učni listi, ki so se razlikovali po znaku in zahtevnosti besedilnih nalog (sonček - najlažje naloge, ptička - lažje naloge in jagoda - težje naloge). Učencem sem na kratko predstavila zahtevnost reševanja posameznega učnega lista. Glede na (pred)znanje oz. obvladovanje matematičnih postopkov sem jih razdelila v skupine: - RUMENA SKUPINA: reševanje od najlažjih do lažjih nalog (od sončka do ptičke), - MODRA SKUPINA: reševanje od lažjih do težjih nalog (od ptičke do jagode), - RDEČA SKUPINA: reševanje težjih nalog (jagoda), nato še dodatnih nalog (sova); člani te skupine so ob računu, ki je bil zapisan na tabli, tudi sami sestavili in v zvezek zapisali besedilno nalogo. Učenci so se lahko odločili tudi za reševanje nalog po vrsti, torej od najlažjih do težjih nalog (od sončka do jagode). Po uspešnem reševanju zadnje skupine nalog so lahko izbrali še dodatno nalogo (sova). Po razdelitvi v skupine je sledilo samostojno reševanje matematičnih problemov. Sproti sem spremljala njihovo delo, jim po potrebi svetovala, individualno pomagala in po končanem delu naloge tudi pregledala. Slika 2: Reševanje besedilnih nalog Zaključna dejavnost V zaključnem pogovoru smo opravljeno delo analizirali. Učenci so najprej predstavili svoje izkušnje z reševanjem matematičnih problemov. Ob poročanju je na tabli nastal prikaz s stolpci, na osnovi katerega smo ugotovili, katere naloge je rešilo največ učencev, koliko jih je reševalo najlažje naloge (sonček), koliko lažje (ptička) in koliko težje besedilne naloge (jagoda). Zanimiv je bil tudi podatek, koliko se jih je spoprijelo z dodatnimi nalogami (sova). Učenci so ob tem izražali tudi svoja občutja oz. mnenja o delu. Ob zaključku Ko sem analizirala naše delo, nisem mogla mimo tega, kako so me učenci razveselili s svojo motiviranostjo za reševanje besedilnih nalog. Vsi so bili aktivni; z zadovoljnimi obrazi so se ubadali z zadolžitvami in se veselili, če oz. ko so jih pravilno opravili. Upoštevali so korake reševanja. Brez večjih težav so se lotevali matematičnih problemov; moja pomoč je bila potrebna razmeroma malokrat. Le pri treh učencih iz rumene skupine (najlažje naloge) sem opazila, da so nekateri še težko našli in označili bistvene podatke, drugi pa so imeli predvsem težave s samim branjem (in razumevanjem) prebranega (petim članom te skupine sem pri branju morala pomagati). Razveseljivo je bilo tudi to, da so učenci po končanem delu samoiniciativno posegali po dodatnih oz. zahtevnejših nalogah. Če jih niso uspeli rešiti v šoli, so to želeli opraviti za domačo nalogo. Pomemben je podatek, da je samostojno sestavilo in napisalo besedilno nalogo kar 14 učencev. Seštevamo in odštevamo desetice (Sliki 3 in 4) V uvodni dejavnosti so ob sliki (10 banan, 10 jagod, 10 ananasov) sestavili besedilno nalogo, ponovili postopek reševanja in ustno rešili problem. Nato so v skupinah narisali sliko, ki je ponazorila zastavljeno besedilno nalogo: Pod drevesom raste 20 gob. Tine jih je našel in 10 nabral. Koliko gob še raste pod drevesom? Dodali so še račun in odgovor. Slika 3 in 4: Rešujemo Z reševanjem nalog so začeli v delovnem zvezku (Cotič, Felda, Hodnik Čadež, 2004: 16), kjer so vsi učenci rešili besedilne naloge. Po navodilu in natančnem ogledu prve naloge so samostojno reševali matematične probleme seštevanja in odštevanja desetic. Pri reševanju so si lahko pomagali s sliko. Pri vsakem problemu so zapisali račun in odgovor (Slika 5). Slika 5: Reševanje nalog v delovnem zvezku Diferencirano reševanje nalog Po delu v delovnem zvezku pa so začeli z reševanjem izbranega učnega lista (Slika 6). Pripravljena sta bila dva različna učna lista, ki sta se razlikovala po znaku in zahtevnosti besedilnih nalog (ptička - lažje naloge in jagoda - težje naloge). Predstavila sem jim zahtevnost reševanja posameznega učnega lista. Tudi to uro sem učence razdelila v barvne skupine (rumena, modra in rdeča). Barvne skupine so bile označene na mizi z barvnimi link kockami. Po uspešnem reševanju teh nalog so lahko izbrali še dodatne naloge (sova) v delovnem zvezku (Cotič, Felda, Hodnik Čadež, 2004: 17), kjer so se učenci srečali z nalogo, ki ima preveč podatkov, nalogo, ki nima zadostnega števila podatkov za rešitev, in nalogo, ki vsebuje besedo »ali«. Slika 6: Reševanje besedilnih nalog Dodatne naloge je to uro reševal le en učenec (Slika 6). Opazovala sem njegovo samostojno delo. Pri reševanju ni potreboval pomoči, čeprav sem pričakovala dodatna vprašanja. Ko se je učna ura zaključila, sem učencem rdeče skupine predlagala reševanje dodatne naloge za domačo delo. Zaključek Tudi druga učna ura je pokazala, da učenci zelo radi rešujejo besedilne naloge, kar pripisujem prilagojenim nalogam in možnosti tekmovanja. Vsi učenci so bili aktivni. Z radovednostjo so se spopadli z matematičnimi problemi in se razveselili pravilno rešene naloge. Upoštevali so korake reševanja. Redko je bila potrebna moja individualna pomoč. Tudi učenci iz rumene skupine (najlažje naloge) so lepo usvojili postopke reševanja besedilnih nalog. Individualno pomoč je bila redka, največkrat le kot nasvet pri označevanju bistvenih podatkov (učenec z DSP). Pomoč je bila največkrat potrebna zaradi branja, ki še ni na stopnji razumevanja celotnega besedila. Po končanem delu so posegali po dodatnih nalogah. Če jih niso uspeli rešiti pri pouku, so jih dokončali za domačo nalogo. Pri reševanju nalog so nekateri potrebovali pomoč učiteljice v podaljšanjem bivanju ali pa staršev. Učenci zelo radi izbirajo dodatne naloge. Pri izbiri so se lahko sami odločili, katere naloge bodo reševali. Naslednji dan smo domače delo analizirali. Zanimalo me je reševanje dodatnih nalog s sovo. Razvila se je zanimiva debata o reševanju takšnih nalog, ki jim pomenijo dodaten izziv. Podobne naloge smo reševali že pri dodatnem pouku. Nanizali so različne rešitve pri zadnji nalogi, ki pa je nerešljiva, saj ima premalo podatkov in se ne navezuje na ostale besedilne naloge (potrebnih podatkov ni v drugi besedilni nalogi). »Učenci četrtih razredov so odšli na izlet v oddaljeno mesto z dvema avtobusoma. V enem je bilo 40 otrok. Koliko otrok je bilo v drugem avtobusu?« (Cotič, Felda, Hodnik Čadež, 2004: 17). Pri nalogi je manjkal podatek, koliko učencev je v četrtih razredih. Učenci so ugotovili, da se lahko v življenju večkrat srečamo s takšnimi problemi. Ob tem pa je pomembno, da si pomagajo z vprašanji: Ali so za rešitev problema potrebni vsi podatki? Kateri niso potrebni za rešitev problema? Kateri podatki so potrebni za rešitev problema? Ali lahko rešiš problem? Zakaj ne? Kateri podatek manjka? Ali lahko poiščeš manjkajoči podatek? (Cotič, Felda, Hodnik Čadež, 2003: 99). Zaključila bi z mislijo, da je treba učence pri reševanju nalog spodbujati k razmišljanju. Predvsem pa morajo biti pozorni pri sestavljanju besedilne naloge, kjer je potrebno besedilo zapisati zelo natančno. Ker so matematične naloge odsev življenjskih situacij, so lahko te rešljive ali pa ne. Tudi v vsakdanjem življenju se večkrat zgodi, da o kakem dogodku izvemo le posamezne podatke, ne pa celovite informacije (Cotič, Felda, Hodnik Čadež, 2003). In zaradi tega je lahko reševanje matematičnih problemov za nekatere učence poseben izziv. Da pa bo več takšnih učencev, je potrebno, da jih navajamo na samostojno razmišljanje in obvladovanje situacij že na začetku šolanja, ko se začnejo srečevati s tovrstnimi zadolžitvami. Pri tem pa ne smemo pozabiti na uporabo bralnih učnih strategij. Pri svojem delu opažam, da z usmerjenim branjem in načrtno uporabo učnih strategij učenci lažje rešujejo matematične probleme. Z uporabo učnih strategij jih navadimo na natančno branje z iskanjem in označevanjem bistvenih informacij (številke, besede), ki so potrebne za reševanje naloge. S pomočjo teh informacij (podatkov) lažje nastavijo račun. Pri reševanju jim je v veliko pomoč tudi skica naloge, ki je lahko podana ali pa jo sami narišejo. Večkrat sem opazila, predvsem pri boljših učencih, da so se izognili risanju, saj so bili mnenja, da je to nepotrebno. So pa čez čas ugotovili, da jim je lahko skica v veliko pomoč, predvsem ko rešujejo daljše in zahtevnejše besedilne naloge. Učenci so pozorni tudi na vprašanje besedilne naloge, kjer obkrožijo besede, ki jih bodo uporabili pri pisanju odgovora. V pomoč so jim tudi vrstilni števniki, ki jih zapišejo nad označenimi besedami. To jim pomaga pri pisanju odgovora, saj je manj napak pri oblikovanju povedi (vrstni red besed). Viri 1. Cotič, M., Felda, D. (2011): Razvijanje matematične kompetence: postavljanje in reševanje problemov pot do matematične pismenosti. V Razvijanje različnih pismenosti. Univerzitetna založba Annales, Koper. 2. Cotič, M., Felda, D., Hodnik Čadež, T. (2003): Svet matematičnih čudes 2 (priročnik). DZS, Ljubljana. 3. Cotič, M., Felda, D., Hodnik Čadež, T. (2004): Svet matematičnih čudes 2 (3. zvezek). DZS, Ljubljana. 4. Pavlin, A. (2005): Motivacija za branje v 2. Razredu. EDUCA, Letnik XIV, No. 2/3, str. 6768. 5. Pečjak, S., Gradišar, A. (2002): Bralne učne strategije. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 6. Pečjak, S. (1999): Osnove psihologije branja. Znanstveni inštitut Filozofske fakultete, Ljubljana. 7. Polya, G. (1985): Kako rešujemo matematične probleme. Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Ljubljana. 8. Učni načrt (2011): Matematika. Ministrstvo RS za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. RAZVIJANJE DIVERGENTNEGA MIŠLJENJA PRI REŠEVANJU MATEMATIČNIH PROBLEMOV Developing Diverge Thinking at Solving Mathematical Problems mag. Uroš Drnovšek, OŠ Toneta Okrogarja, Zagorje ob Savi urosdrnovsek@gmail.com Povzetek Na razredni stopnji izobraževanja imajo učitelji pri pouku matematike dodobra izdelano metodiko poučevanja, s katero učence pripravijo na reševanje rutinskih matematičnih problemov, ki od njih zahtevajo predvsem dosledno reprodukcijo naučenega znanja oz. demonstracijo osnovnih matematičnih postopkov. Pri reševanju nalog iz logike je uspeh učencev manj predvidljiv, učitelji pa pri iskanju prave strategije, ki bi učencem pomagala izboljšati rezultate, nemalokrat ostanejo brez odgovora. V prispevku opišemo sklop aktivnosti, s katerimi smo pri učencih 3. razreda razvijali divergentno mišljenje. Nadalje prikažemo rezultate raziskave, v kateri smo primerjali skupino učencev, ki je bila vključena v opisane aktivnosti, s kontrolno skupino učencev, ki v načrtno razvijanje elementov divergentnega mišljenja ni bila vključena. Dobljeni podatki kažejo, da lahko z izvajanjem opisanih aktivnosti izboljšamo uspeh učencev pri reševanju nalog iz logike. Ključne besede: divergentno mišljenje, kreativnost, logika, matematika, razredna stopnja izobraževanja. Abstract When it comes to teaching mathematics in elementray school teachers have a wide spectrum of well developed approaches at their disposal, to prepare students to cope with different routine mathematical problems, that demand the reproduction of absorbed knowledge or demonstration of some basic mathematical principles. But when it comes to solving different logical problems, students' success is less predictable and teachers, searching for the best strategy that would help students to overcome the problems, usually have a hard time finding the useful approach. In this paper we describe different activities we used to develop students' divergent thinking skills. Furthermore, we present some results of our research when comparing two groups of students. Only one group was involved in activities for fostering divergent thinking, while the other group was not. We provide some evidence that implementing activities for developing divergent thinking into classroom can have a positive impact on students' abilites to cope with different logical problems. Key words: divergent thinking, creativity, logic, mathematics, elementary school education. Uvod Živimo v času, ko najvišjo dodano vrednost dosežemo s sposobnostjo posameznika, da iz širokega nabora znanj, do katerih je prišlo človeštvo predvsem v zadnjem stoletju, ustvari nekaj novega, izjemnega, privlačnega, ustvarjalno dovršenega. Mnogi gospodarski subjekti se že dolgo časa zavedajo, da kreativno razmišljanje ni le domena u metnosti, ampak ustvarja pogoje za uspešno implementacijo podjetnih idej ter omogoča hitro rast družbe na splošno. Tako v mnogih podjetjih na lastno roko izvajajo sklope izobraževanj, katerih primarni namen je pozitivno vplivati na ustvarjalnost zaposlenih. Pri tem se postavlja vprašanje, kakšno vlogo je pri razvoju kreativnega mišljenja odigral celoten šolski sistem, v katerem je večina omenjenih posameznikov pridobivala znanja, ki naj bi jih pripravljala na življenje. Posamezna predmetna področja tako v osnovnih kot srednjih šolah se počasi zavedajo, da deklarativna znanja, zapisana v učnih načrtih, predstavljajo le orodje, ki učencem omogoča, da s kančkom ustvarjalnosti kreirajo nekaj novega, s čimer njihovo šolsko delo dobi širši smisel. Vseeno pa je eksplicitno razvijanje kreativnosti v šolah še vedno bolj dodatek k rednemu delu nekoliko bolj zavednih učiteljev kot pa splošno uveljavljena praksa. V prispevku bomo opisano problematiko zožili na predmet matematike ter poskušali zajeti elemente kreativnosti, ki so značilni za to predmetno področje. Izhodišče za definiranje kreativnosti v matematiki naj predstavlja opis ustvarjalne dejavnosti, ki jo je v svojem delu izrazil Sriraman (2004: 19). Avtor meni, da gre pri kreativnosti predvsem za sposobnost delovanja, ki temelji na originalnosti, medtem ko je matematična kreativnost zmožnost posameznika, da na podlagi globljega razumevanja poišče nenavadno rešitev danega problema ne glede na njegovo stopnjo kompleksnosti. Številni raziskovalci (npr. Kim idr., 2003; Hylock, 1997; Balka, 1974) poudarjajo, da so za ustrezno merjenje in razvoj matematične kreativnosti pomembni elementi divergentnega mišljenja, in sicer: - fluentnost (sposobnost produciranja čim večjega števila različnih idej v čim krajšem času), - originalnost (sposobnosti produciranja inovativnih, novih, nenavadnih idej), - fleksibilnost (sposobnost razmišljanja o problemu v širokem kontekstu, izven ustaljenih smernic, ter hitro preklapljanje med različnimi vrstami problemskih situacij), - elaboracija (dovršenost ponujenih rešitev, idej). S problemskimi situacijami, ki bi vključile potrebo po zgoraj naštetih elementih, se nam odpirajo možnosti, da natančneje spremljamo matematično kreativnost posameznikov in, kot bomo ugotovili v nadaljevanju, tudi vplivamo na razvoj kreativnosti ter posledično učinkovitosti pri reševanju kompleksnejših matematičnih problemov. Izraz naloge iz logike ali logične naloge je v našem šolskem prostoru pogosto uporabljan za vrsto problemskih situacij, pri katerih pot iz začetnega stanja do cilja, t. j. rešitve naloge ni vedno znana in enoznačna, sam proces reševanja pa zahteva globlji premislek. Tipičen primer opisanih nalog v prvem triletju osnovnošolskega izobraževanja so preprostejše naloge iz kombinatorike, širok spekter tovrstnih nalog pa v osnovnih šolah vsako leto ponudi matematično tekmovanje Kenguru. V nadaljnji omembi matematičnih problemov oz. kompleksnejših problemskih situacij bomo imeli v mislih predvsem naloge iz logike, opisane na tem mestu. English (1997) je preučevala značilnosti reševanja in postavljanja kompleksnejših logičnih problemov pri učencih na razredni stopnji izobraževanja. Ugotovila je, da je za razvoj otrokove sposobnosti reševanja logičnih nalog najbolj pomembna zmožnost divergentnega razmišljanja, t. j. percepiranja določene matematične situacije z različnih vidikov. Pri tem mora problemska situacija omogočiti pogoje, ki takšno razmišljanje stimulirajo. Avtorica še ugotavlja, da je pri samem razvoju divergentnega mišljenja, ki omogoča kompetentno soočanje s kompleksnejšimi problemskimi situacijami, pomembna tudi dejavnost konstruiranja matematičnih problemov. Tako naj otroka ne bi le soočali z različnimi problemskimi situacijami, ampak ga tudi spodbudili, da tovrstne naloge sestavlja sam. Da je matematična kreativnost povezana z nekaterimi elementi sestavljanja matematičnih nalog, je ugotavljal tudi Balka (1974). V svoji študiji je udeležence soočil s situacijami, v katerih so morali sami razvijati matematične probleme. Kreativnost je nato meril z ugotavljanjem fleksibilnosti, originalnosti ter fluentnosti problemov, ki so jih kreirali udeleženci. Avtor meni, da so bili udeleženci ob aktivnosti sestavljanja problemov spodbujeni, da svoje matematično znanje uporabijo fleksibilno ter ga uporabno aplic irajo v različnih okoliščinah. Becker in Shimada (1997) sta v svojem delu podala predlog, kako transformirati pouk matematike, da bi le-ta bolj neposredno vplival na razvoj matematične kreativnosti. Avtorja menita, da je ključ v reševanju odprtih problemov, t. j. problemov, ki majo več možnih rešitev ali pa različne poti do le-teh. Le tovrstne problemske situacije namreč lahko aktivirajo divergentno mišljenje pri učencih in posledično pomenijo premik od matematike, ki temelji na računanju, do matematike, ki temelji na ustvarjalnem reševanju problemov. V pričujočem prispevku ne želimo zagovarjati radikalne spremembe vsebin matematičnih učnih načrtov ali načinov dela v šolah, temveč le poudariti pomen nekaterih aktivnosti za razvoj divergentnega mišljenja in uspešnejše soočanje s kompleksnejšimi matematičnimi problemi. Navkljub dejstvu, da se nekatere izmed tovrstnih aktivnosti občasno že izvajajo v šolah, pa menimo, da je za dosego vidnih učinkov potrebna sistematična izvedba aktivnosti znotraj daljšega časovnega okvirja. Namen prispevka je (1) prikazati, kako smo v okvir rednega pouka na razredni stopnji izobraževanja vključili prakso razvoja divergentnega mišljenja, ter (2) preučiti učinke omenjene prakse na uspeh učencev pri reševanju nalog iz logike. Metodologija Vzorec V raziskavo smo vključili priložnostni vzorec 28 učencev 3. razreda osnovne šole. V izbranem vzorcu je bilo 9 dečkov in 19 deklic. Starost učencev se je gibala na intervalu od 8 do 10 let. Postopek zbiranja in obdelave podatkov Učence smo razporedili v dve skupini glede na razred, ki ga obiskujejo. Morebitne razlike v predznanju skupin smo preverili na podlagi doseženih točk v okviru matematičnega tekmovanja Kenguru. Statistično pomembne razlike med razredoma A in B nismo potrdili (t = -1, p = 0,332), pri čemer pa je potrebno poudariti, da je od 28 tekmovalo le 18 učencev. Teden po tekmovanju smo z učenci v razredu A pričeli z izvajanjem aktivnosti za razvoj divergentnega mišljenja, medtem ko v razredu B tovrstnih aktivnosti niso bili deležni. Po dveh mesecih smo z eksperimentalno skupino (razred A) kot tudi s kontrolno skupino učencev (razred B) izvedli test, sestavljen iz različnih logičnih nalog. Pri sestavljanju testa smo izhajali iz nalog, ki jih navadno nudi matematično tekmovanje Kenguru. Podobno kot pri tekmovanju Kenguru smo oblikovali tudi točkovni sistem in kriterije vrednotenja. Za vsako od nalog, pri katerih so učenci obkrožili pravilno rešitev, so prejeli 4 točke, za nalogo, pri kateri so obkrožili napačno rešitev, pa smo jim eno točko odšteli. Učenci so imeli za dokončanje vseh nalog v testu na voljo 45 minut. Učitelji, ki so bili pri izvajanju testa prisotni, so lahko učencem prebrali nalogo, niso pa smeli z namigi kakorkoli vplivati na uspešnost učenca pri reševanju. Branje nalog je bilo potrebno, saj smo hoteli zmanjšati učinek slabše bralne tehnike na uspeh učencev. Dobljene podatke smo obdelali s programom za statistično obdelavo SPSS 15.0. S testom Kolmogorov-Smirnova smo potrdili podobnost porazdelitve naših podatkov z normalno distribucijo, z Levenovim preizkusom pa homogenost varianc. Za preverjanje statistične značilnosti razlik med skupinama smo uporabili t-test za neodvisne vzorce. Opis aktivnosti za razvoj divergentnega mišljenja Pri izboru aktivnosti za učence smo se koncentrirali predvsem na naloge, ki so od učencev zahtevale aktivacijo posameznih elementov divergentnega mišljenja, to so fleksibilnost, fluentnost in originalnost. Pri vodenju učencev skozi različne problemske situacije, ki smo jim jih zadali, smo se oprli na model reševanja problemov, ki sta ga predlagala Bransford in Stein (1984). Model vključuje naslednje faze: 1) Identifikacija problema. 2) Definiranje problema skozi razmišljanje o njegovem jedru ter izločevanju relevantnih informacij. 3) Raziskovanje in predlaganje čim več različnih možnih rešitev skozi aktivnosti kot je npr. nevihta možganov (ang. brainstorming). 4) Razmišljanje o strategijah reševanja problema. 5) Evaluacija celotnega postopka reševanja problema. Pri izvajanju aktivnosti smo še posebno pozornost namenili 3. in 4. fazi, pri čemer smo spodbujali nizanje čim večjega števila idej, ki bi nas vodile k rešitvi (fluentnost), posebej smo pohvalili izvirne, nove ideje (originalnost) ter poskušali na problem gledati z različnih vidikov, oz. ga predrugačiti ter razstaviti na več preprostejših nalog tako, da bi bilo reševanje lažje (fleksibilnost). Vsak dan so učenci dobili nalogo iz logike, pri kateri so morali uporabiti enega ali več elementov divergentnega mišljena. Tipičen primer problemske situacije, s katerimi so se soočali učenci, navajamo spodaj. Kralj ima bazen v obliki kvadrata. Na vsakem od oglišč bazena stoji star hrast. Kralj želi bazen na mestu, kjer je sedaj, razširiti, pri tem pa ima dve zahtevi: - bazen mora ostati kvadratne oblike, - stari hrasti morajo še vedno stati zunaj bazena, ne da bi jih premaknili. Kraljev arhitekt je zelo hitro našel rešitev. Poskusi jo najti tudi ti. Učencem smo vedno najprej predstavili problem, nato pa jim pustili čas, da so ga skicirali in o njem razmislili. Sledila je nevihta možganov. Učenci so nekaj časa povsem sproščeno nizali ideje, ki bi nas lahko pripeljale do rešitve. Vse predloge učencev, tudi tiste manj smiselne, smo zapisali na tablo in jih tam pustili. V nadaljevanju navajamo nekatere zanimivejše ideje učencev. Bazen zgradimo pod zemljo, tako bodo hrasti še vedno stali zunaj. Hraste skrivaj presadimo. Bazen razširimo v dno (naredimo globljega). Učenci so do rešitve redko prišli že takoj po predstavitvi problema, zato smo jih pogosto spodbudili, da o problemu še naprej razmišljajo, se o njem pogovorijo s sošolci in dokončno rešitev zapišejo doma ter jo naslednji dan predstavijo. Občasno so se učencem zanimive ideje ali celo končna rešitev utrnile v času do konca pouka, mnogokrat pa so do rešitve prišli doma, pri čemer niso bili redki primeri, ko je problemsko situacijo z navdušenjem reševala in se o njej pogovarjala cela družina. Naloga za učence ni bila obvezna. Naslednji dan smo z učenci ob množici idej, zapisanih na tabli prejšnji dan, problem rešili. Če noben od učencev do rešitve ni prišel niti doma, smo jim rešitev problema postopoma razkrili z namigi kot na primer: - drevesa lahko stojijo kjerkoli ob bazenu, - poskusimo bazen obračati... Vedno smo preverili, ali obstajajo tudi druge rešitve oz. različne poti do rešitve. Nato smo na tabli obkrožili ideje, ki so nam pri reševanju problema najbolj pomagale, oz. tiste, ki so se rešitvi zelo približale. Učenci so nadalje razmišljali, kako bi sami sestavili podoben problem (po analogiji) ter ga predstavili svojim sošolcem. Zadnji mesec aktivnosti so učenci naloge iz logike doma sestavljali tudi sami ter jih poskušali predstaviti tako, da bi za reševanje motivirali svoje sošolce. V večini primerov so bile naloge, ki so jih učenci sestavili doma, zelo podobne tistim, ki smo jih reševali v razredu, navadno so spremenili le določen element v nalogi, sam značaj poti reševanja problema pa se ni bistveno spremenil. Če izhajamo iz prej navedenega primera, so učenci pri sestavljanju podobne naloge zamenjali obliko bazena, število in vrsto dreves, nekateri so situacijo postavili v današnji čas ter spremenili osebe ipd. Rezultati Učenci so imeli možnost, da za vseh 10 pravilno rešenih nalog prejmejo 50 točk. Vseh točk na preizkusu ni dosegel noben učenec. Tabela 1 kaže, da so učenci v razredu A (eksperimentalna skupina) v povprečju dosegli 26,1 točk, učenci v razredu B (kontrolna skupina) pa manj, in sicer 14,6 točk. Pri obeh skupinah, še posebno pa v razredu B, je opaziti velik standardni odklon, kar kaže na večje razlike v uspehu učencev in posledično na precejšnjo razpršenost rezultatov. Slednje odslikava precej realno stanje v veliki večini razredov osnovnih šol. Razlike med učenci v prvem triletju so namreč še posebej opazne zaradi različnega predznanja, s katerim učenci vstopijo v proces osnovnega šolanja, ter seveda zaradi precejšnjih razlik v razvoju otrok. V Tabeli 1 je opazna izrazita razlika med aritmetičnima sredinama dosežkov, ki smo ju izračunali za učence razredov A ter B. Razliko smo preverili s t-preizkusom (t = 3,015, p < 0,05), s katerim smo potrdili statistično pomembno razliko med obema razredoma v uspešnosti pri reševanju nalog. Učenci razreda A so bili pri reševanju uspešnejši od svojih vrstnikov v razredu B. Preizkus homogenosti varianc Razred Število učencev Aritmetična sredina Standardni odklon Preizkus razlik aritmetičnih sredin N — s F a t a (P) x A 14 26,1 9,6 B 14 14,6 10,5 0,0 12 0,912 3,015 0,006 Tabela 1: Izid t-preizkusa razlik med učenci v uspešnosti pri reševanju nalog glede na razred Diskusija V prispevku smo opisali aktivnosti, ki smo jih znotraj manjše skupine učencev 3. razreda izvajali z namenom razvoja nekaterih elementov divergentnega mišljenja. Aktivnosti smo realizirali skozi daljše časovno obdobje, ob koncu izvajanja pa smo preverili uspešnost učencev pri reševanju logičnih nalog ter jo primerjali z uspešnostjo skupine učencev, ki v aktivnosti ni bila vključena. Izkazalo se je, da so bili učenci v skupini, ki je bila vključena v program razvoja divergentnega mišljenja, statistično pomembno uspešnejši od učencev, ki se omenjenega programa niso udeležili. Z raziskavo smo želeli prispevati delček v mozaiku študij, ki gradijo na spoznanju, da je za uspešno soočanje posameznikov s kompleksnejšimi življenjskimi problemi bistvenega pomena kreativnost oz. z njo povezano divergentno razmišljanje. Slednje bi moralo postati temelj slehernega osnovnošolskega sistema, v katerem želimo izobraziti generacije, ki na podlagi pridobljenega znanja konstruirajo novitete, pomembne za napredek celotne družbe. Pogosto se pojavijo pedagoški delavci, ki ob predstavitvi različnih aktivnosti za razvoj kreativnega mišljenja dobijo občutek, da so opisane dejavnosti že sestavni del njihove prakse, saj jih občasno, t. j. kadar se v okviru učnega načrta ponudi možnost, izvajajo. Seveda se občasna aktivnost ne more primerjati s sistematičnim in z rednim vsakodnevnim udejstvovanjem, zato učinek na učence ni tako viden in se pomen tovrstnih dejavnosti v očeh učiteljev posledično zmanjšuje. Učinek aktivnosti, ki jih opisujemo v prispevku, bi bilo potrebno v nadaljnje preizkusiti še na večjem vzorcu. Smiselno bi bilo razmisliti tudi o drugih možnostih preverjanja izenačenosti eksperimentalne in kontrolne skupine v znanju in sposobnostih. Sami smo si pri tem pomagali z rezultati matematičnega tekmovanja Kenguru, na katerem pa niso sodelovali vsi učenci, vključeni v raziskavo. Mnogokrat smo priča negodovanju učiteljev, da zaradi prenatrpanega učnega načrta v kombinaciji s počasnejšo, učno manj sposobno skupino učencev, ni časa za izvajanje dodatnih aktivnosti. Pri realizaciji programa zato obstajajo možnosti, da se le-ta prilagodi specifičnim potrebam posameznih razredov. Vseeno pa menimo, da predstavljena izhodišča nudijo realno osnovno za implementacijo programa v okvire rednega dela v šolah ne glede na zahteve učnih načrtov ter značilnosti učencev. Viri 1. Balka, D. S. (1974): The development of an instrument to measure creative ability in mathematics. Dissertation Abstracts International, Vol. 36, No. 1, str. 98. 2. Becker, J. P., Shimada, S. (1997): The open-ended approach: A new proposal for teaching mathematics. National Council of Teachers of Mathematics, Reston, Virginia. 3. Bransford, J., Stein, B. (1984): The IDEAL Problem Solver: A guide for improving thinking, learning, and creativity. W.H. Freeman, New York. 4. English, L. D. (1997): The development of fifth-grade children's problem-posing abilities. Educational Studies in Mathematics, Vol. 34, No. 3, str. 183-217. 5. Haylock, D. (1997): Recognizing mathematical creativity in school children. International Reviews on Mathematical Education, Vol. 29, No. 3, str. 68-74. 6. Kim, H., Cho, S., Ahn, D. (2003): Development of mathematical creative problem solving ability test for identification of gifted in math. Gifted Education International, Vol. 18, No. 2, str. 184-174. 7. Sriraman, B. (2004): The Characteristics of Mathematical Creativity. The mathematics Educator, Vol. 14, No. 1, str. 19-34. NADARJENI UČENCI IN MATEMATIKA Gifted Students and Mathematics Majda Vehovec, OŠ Šenčur o-jsmsencur.kr@guest.arnes.si Povzetek S prenovo šolskega sistema na začetku prejšnjega desetletja je bila posebna pozornost namenjena nadarjenim učencem in sistematičnemu delu z njimi. V prispevku je predstavljen pojem splošne in matematične nadarjenosti, opredeljene so značilnosti nadarjenih otrok, predstavljene so metode in oblike dela z nadarjenimi učenci. Predstavljeni modeli dela z nadarjenimi učenci v Sloveniji so del raziskave, izvedene med ravnatelji slovenskih osnovnih šol. Rezultati raziskave kažejo, da delo z nadarjenimi učenci šolam ne predstavlja večjih težav kljub zahtevnemu postopku identifikacije nadarjenih učencev. Delo z nadarjenimi je ena od temeljnih nalog šole, ki je opredeljena v letnem delovnem načrtu; med vsebinami za delo z nadarjenimi učenci pa je največji del namenjen naravoslovju in matematiki. V prispevku je poseben poudarek namenjen matematično nadarjenim učencem, predstavljeni modeli dela z njimi so zbrani iz mednarodnih raziskav, ki sta bili izvedeni leta 2006 in 2011 v okviru Evropske unije. V prispevku so nanizani tudi nekateri konkretni napotki za delo z matematično nadarjenimi učenci, predstavljena so navodila za uspešno sestavljanje zahtevnejših nalog. Ključne besede: nadarjeni učenci, matematično nadarjeni učenci, evidentiranje in identifikacija nadarjenih, modeli dela z nadarjenimi učenci. Abstract The renovation of the school system at the beginning of the last decade has devoted special attention to the gifted students and systematic work with them. This article presents a concept of general and mathematical talent, defines the characteristics of gifted children and explains methods and work with them. The presented models of working with gifted students in Slovenia are part of the survey, conducted among Slovenian primary school principals. The survey results show that working with gifted students does not present any difficulties for schools, despite the demanding process of identifying them. Talent management is one of the fundamental tasks of the school, which is defined in the annual work plan. Major part of the content designed for working with gifted students is assigned to science and mathematics. In this article special emphasis is devoted to mathematically gifted students; the presented models of working with them taken from the international research done in 2006 and 2011 in the European Union. The article reveals concrete directions for working with mathematically gifted students and presents the instructions for effective structuring of the complex tasks. Key words: gifted students, mathematically gifted students, recording and identification of talent, models of work with gifted students. Uvod Temeljna naloga vzgoje in izobraževanja je med drugim tudi skrb za nadarjene učence, usmerjanje nadarjenih in razvijanje njihovih potencialov. Šola naj bi poskrbela, da bi vsak posameznik kar najbolje razvil svoje potenciale. Nadarjenost se kaže v najrazličnejših oblikah, nanjo vplivajo številni dejavniki, pogojujejo pa jo tako visoke intelektualne sposobnosti kot sposobnost rešiti in opraviti določene naloge bolje in hitreje od vrstnikov. Z uvedbo devetletne osnovne šole v Sloveniji je delo z nadarjenimi učenci postalo zakonska obveza. Določen je postopek evidentiranja in identifikacije nadarjenih učencev, opredeljeno je delo z njimi, izvedba in umestitev izvedbe v program pa je avtonomija šole. Koncept dela z nadarjenimi učenci, ki je bil sprejet leta 1999, opredeljuje temeljna načela za delo z nadarjenimi učenci in predlaga oblike dela z njimi. Te izhajajo iz modelov dobre prakse tistih šol, ki so že pred uveljavitvijo zakonodaje ponujale programe dela z nadarjenimi učenci. Nadarjenost, delo z nadarjenimi učenci V družbi se kaže potreba po novi definiciji nadarjenosti, ob upoštevanju, da je nadarjen tisti posameznik, ki lahko naredi več, hitreje in bolje na raznih področjih dejavnosti, kot to naredijo ostali. Otroci, ki so delno nadarjeni, so v razvoju posebnih sposobnosti pred svojimi vrstniki in dosegajo nadpovprečne dosežke na le enem področju (Žagar, 1999). V sodobnih mednarodnih študijah je zaznati zelo jasen trend opredeljevanja nadarjenosti, in sicer od strožjih psihometričnih definicij in poudarjanja učenčevih potencialov, merjenih izključno s testi intelektualnih sposobnosti, k razvojni paradigmi, ki definicijo nadarjenosti razširja na sociokulturni kontekst ter poleg intelektualnih sposobnosti izpostavlja učenčeve dosežke, ki implicirajo delo, marljivost in znanje kot pogoje uspešnosti, torej realizirane potenciale, ter tudi nekatere druge, neintelektualne spremenljivke (Juriševič, 2011). Nadarjeni otroci potrebujejo njim prilagojen pouk in dejavnosti, ki bodo omogočale razvoj njihovih sposobnosti, kar je opredeljeno tudi v zakonodaji. Leta 1996 so bili nadarjeni učenci uvrščeni med otroke s posebnimi potrebami; odkrivanje in delo z nadarjenimi učenci je postala tudi zakonska obveza. Bela knjiga iz leta 2011 je skrb za nadarjene učence opredelila kot splošni cilj vzgoje in izobraževanja. Novela Zakona o osnovni šoli (2011) nadarjenih učencev ne uvršča med učence s posebnimi potrebami. Delo z nadarjenimi učenci v Sloveniji temelji na skrbi šole, da bi vsak učenec v okviru vzgojno-izobraževalnega procesa optimalno razvil svoje potenciale. Zakonodaja omogoča različne didaktične pristope za nadarjene učence na vseh ravneh izobraževanja. Rezultati raziskave, ki smo jo leta 2008 izvedli med ravnatelji slovenskih osnovnih šol (Vehovec, 2012), kažejo, da delo z nadarjenimi učenci na šolah poteka večinoma brez težav, največ težav ravnatelji zaznavajo pri izvajanju postopka identifikacije nadarjenih učencev, pri učiteljevi usposobljenosti za delo z nadarjenimi učenci in s časovno umestitvijo dela z nadarjenimi učenci v urnik. Delo z nadarjenimi učenci je kot prednostna naloga opredeljena v letnem delovnem načrtu šole, največ ur je namenjenih naravoslovnim in matematičnim vsebinam. Matematična nadarjenost Pri matematični nadarjenosti gre za vpliv večih splošnih kognitivnih delovanj, kot so sposobnost povzemanja konkretnih problemov, sposobnost posploševanja, fleksibilnost, reverzibilnost operacij, jasno razmišljanje in strateško sklepanje odločitev (Wieczerkowski, 2000). Ruski psiholog Krutetski (Wieczerkowski, 2000) je zgradbo matematičnih sposobnosti razčlenil na tri dele, ki so medsebojno tesno povezani: - sprejemanje matematičnih informacij, - obdelava matematičnih informacij, - pomnjenje matematičnih informacij. Kieswetter (Wieczerkowski, 2000) trdi, da je bistvo matematičnega razmišljanja sistematična organizacija razumevanja in ugotovitev. Pri tem ločimo štiri korake: - določitev problema, - osredotočenje na matematično vprašanje s premislekom in določitev korakov, ki so potrebni za rešitev, - kreativno in s pomočjo izvirnih postopkov priti do novih izrazov, matematičnih formulacij, dokazov in potekov reševanja, ki se na široko uporabljajo, - vzpostavitev mreže med že postavljenimi povezavami. Vse te značilnosti je za doseganje višjega razmišljanja potrebno dopolniti tudi z metakognitivnimi procesi, ki vsebujejo pozornost na lastno razumevanje obravnavane teme, organizacijo lastne pozornosti, organiziranje dostopnih virov in preverjanje lastnega napredka. Metakognicija omogoča zavestno razmišljanje o sebi, zato zahteva tudi zelo specifične povratne informacije s strani učiteljev in pogovore z ostalimi učenci o metodah reševanja in razlikah med postopki. Delo z matematično nadarjenimi učenci v Evropi in širše Raziskave o nadarjenih (Avstrija 2006, Madžarska 2011), kažejo, da večina držav evropskih držav in članic OECD namenja nadarjenim učencem posebno skrb, čeprav za take učence ni uporabljena enotna terminologija in delo z njimi ni povsod zakonsko določeno. Večina držav uporablja kombinacijo integracije teh učencev v šoli in oblikovanju različnih ločenih skupin nadarjenih učencev za izvenšolske dejavnosti. Pri integraciji nadarjenih učencev v redno izobraževanje je poseben poudarek na diferenciaciji in individualizaciji dela v okviru pouka. Večina držav, ki so na konferenci aprila 2011 v Budimpešti predstavljale modele dela z nadarjenimi učenci, so predstavile primere dobre prakse, ki temeljijo na naravoslovno-matematičnih vsebinah (v International Horizons of Talent Support, 2011): - Finska (matematični program Päivölä Folk High School); internatski način šolanja za srednješolce traja dve leti. Šolanje in izpolnjevanje obveznosti od dijakov zahteva visok vložek, vendar dijaki glede na svoje sposobnosti in visoko motivacijo to zmorejo. Poudarek pri izobraževanju je na matematiki, fiziki, naravoslovju in informacijski tehnologiji. - Španija: ESTALMAT (Estfmulo del Talento Matematico), poseben pomen zaradi spodbujanja matematične nadarjenosti, saj je matematika v Španiji po tradiciji med najmanj priljubljenimi predmeti. Cilj programa je zgodnje odkrivanje matematično nadarjenih otrok, program nima elitistične vloge, temveč je namenjen predvsem prepoznavanju in ohranjanju matematičnih sposobnosti. Delo poteka večinoma ob sobotah, program traja dve leti, starost učencev je od 12 do 13 let. - V publikaciji so predstavljeni še matematično - tehnični programi za nadarjene učence iz Izraela, Singapurja in Bostona. V Izraelu je pogosta »pull-out« (vzporedno izobraževanje) metoda. Nadarjeni učenci se vsaj enkrat tedensko namesto rednega pouka udeležijo različnih delavnic ali tečajev, ki jih vodijo visoko kvalificirani strokovnjaki. V Singapurju je najpomembnejši program za delo z nadarjenimi Gifted Education Program (GIP). Identifikacija nadarjenih otrok poteka v 3. razredu, testirani so vsi učenci, če se starši s testiranjem strinjajo. Delo z nadarjenimi učenci je umeščeno v redno šolsko delo, poteka zelo sistematično. Leta 2004 je Bostonski muzej znanosti (Boston Museum of Science) ustanovil »National Center for Technological Literacy« s ciljem, da se nadarjeni učenci v čim večjem številu odločajo za tehniške in naravoslovne študije. Centri delujejo v vseh ameriških državah in ponujajo izvenšolske programe za delo z nadarjenimi učenci. Program nudi ravnateljem in učiteljem pomoč pri vključevanju naravoslovnih in tehniško/tehnoloških vsebin v redni kurikul javnega izobraževanja, omogoča predstavitve dobrih praks, povezave med učitelji, nudi učbenike, priročnike za učence in učitelje, delovne zvezke, učne načrte, učne pripomočke, igre, ki temeljijo na uporabi tehnike v vsakdanjem življenju. Delo z matematično nadarjenimi učenci v Sloveniji Delo z nadarjenimi učenci je ena od prednostnih nalog šole, v Sloveniji poteka delo z nadarjenimi večinoma pred ali po pouku, manj pogosto so za nadarjene organizirani dnevi dejavnost ali tabori, šole le redko uporabljajo »pull out« metodo. Najpogosteje izvajane vsebine za nadarjene učence v slovenskih osnovnih šolah so matematično-naravoslovne (Vehovec, 2012). Pri izbiri vsebin za delo z nadarjenimi učenci je učitelj avtonomen, vsebine naj bi bile zanimive in inovativne, naloge pa sestavljene tako, da kar najbolj spodbujajo učenčevo aktivnost. Poleg nalog, ki so namenjene individualnemu reševanju, je potrebno pripraviti tudi naloge, ki spodbujajo projektno delo, medsebojno sodelovanje in timsko delo. Predlog vsebin za delo z nadarjenimi učenci: - reševanje logičnih nalog, - metode hitrega računanja, - matematične igre (igre z lego kockami, strategije družabnih iger, matematika in šah, igre s kocko in koščkom žice, sestavljanje z vžigalicami ...), - matematika in umetnost (origami, zlati rez ...), - zabavna matematika, - Sudoku, KenKen, Kakuro, matematične križanke, - kombinatorika, - enotski ulomki, - sestavljanje in razstavljanje likov, - sestavljanje modelov (sistem Jovo, Polydron, zZometool), - tlakovanje površin z nestandardnimi enotami. Večina nadarjenih učencev se udeležuje tekmovanj iz znanja (Vehovec, 2012), ki jih je prav na matematičnem področju veliko: Vegovo tekmovanje, tekmovanje iz logike, tekmovanje iz razvedrilne matematike, Genius Logicus. Zaključek Matematična nadarjenost vključuje posebne načine gledanja na poskuse reševanja in na samo reševanje matematičnih problemov, zato je potrebno pri oblikovanju programa dela za nadarjene in pri evalvaciji reševanja nalog upoštevati naslednje značilnosti: - pot do rešitve ni določena vnaprej (razmišljanje učencev je nealgoritmično, zapleteno, samosvoje), - pogosto je več različnih, mnogovrstnih rešitev, - zahteva presojo s strani učenca, na določeni stopnji se mora učenec odločiti med različnimi poteki reševanja na podlagi izkušenj ali intuicije, - razmišljanje vključuje različne kriterije, - zahteva lastno reguliranje. Pomembno je navajanje učencev na metakognitivne procese, pozornost na lastno razumevanje obravnavane teme, organizacijo lastne pozornosti, organiziranje dostopnih virov in preverjanje lastnega napredka. Viri 1. Urednik Krek, J. (1995): Bela knjiga o vzgoji in izobraževanju v RS. Ministrstvo za šolstvo in šport, Ljubljana. 2. Bela knjiga o vzgoji in izobraževanju v RS (2011): http://www.belaknjiga2011.si/pdf/bela knjiga 2011.pdf (16. 10. 2011) 3. Bezic, T. (2006): Operacionalizacija Koncepta odkrivanje in delo z nadarjenimi učenci v devetletni osnovni šoli. V Bezič, T. (ur.). Odkrivanje nadarjenih učencev in vzgojno-izobraževalno delo z njimi. Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Ljubljana, str. 20-43. 4. Bezic, T. (2006): Svetovanje nadarjenim učencem. V Bezič, T. (ur.). Odkrivanje nadarjenih učencev in vzgojno-izobraževalno delo z njimi. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana, str. 83-90. 5. Györi, J. G. ed. (2011): International Horizons of Talent Support, I. Magyar Tehetsegsegitö Szervezetek Szövetsege. Hungary. 6. Koncept (1999). Odkrivanje in delo z nadarjenimi učenci v devetletni osnovni šoli. Strokovni svet Republike Slovenije za splošno izobraževanje: http://www.mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/pageuploads/podrocje/os/devetletka/program d rugo/Odkrivanje in delo z nadarjenimi ucenci.pdf (27. 3. 2004) 7. Pavlekovic, M. (2009): Matematika i nadareni učenici. Element d.o.o., Zagreb. 8. Specific educational measures to promote all forms of giftedness in Europe. http://www.indire.it/lucabas/lkmw file/eurydice///Specific measures giftedness EN.pdf (15. 9. 2009) 9. Vehovec, M. (2012): Evalvacija dela z nadarjenimi učenci - teze za magistrsko delo. 10. Wieczerkowski W., Cropley J. A., Prado T. M. (2000): Nurturing Talents/Gifts in Matematics. V International Handbook of Giftedness and Talent, Elsevier Science, New York. 11. Žagar, D. (1999): Nadarjeni učenci v devetletni osnovni šoli. Psihološka obzorja, 8 (4), str. 45-53. DELO Z NADARJENIMI UČENCI V 2.TRIADI OSNOVNE ŠOLE Working with Gifted Children in the Second Triad of Primary School dr. Lucija Željko, OŠ Sostro lucija.zeljko@guest.arnes.si Povzetek Namen prispevka je predstaviti praktične izkušnje z delom z nadarjenimi učenci od 4. do 6. razreda na področju matematike. Delo z nadarjenimi učenci na tej starostni stopnji zahteva od učitelja predvsem prilagoditev metod in vsebin poučevanja. Učencem je všeč, če jim matematiko prikažemo na zanimiv in njihovim sposobnostim prilagojen način. Zelo radi raziskujejo o matematiki s pomočjo računalnika, pri vsebinah pa so zanje zanimive tiste, ki jih lahko povežejo z vsakdanjim življenjem. Ključne besede: matematika, nadarjeni, druga triada, raziskovanje. Abstract The aim of the article is to present practical experience of working with gifted children in the field of mathematics from grade 4 to grade 6 of primary school. First of all teachers have to adapt methods and topics of teaching when working with gifted children at this age. Pupils like if mathematics is presented to them in an interesting way and adapted to their abilities. They like to explore mathematics with computers and they are interested in topics which are connected to everyday life. Key words: mathematics, gifted children, second three years of schooling, researching. Uvod Ko iščemo primerne metode in vsebine za delo z nadarjenimi učenci pri matematiki, se moramo vprašati, kdo so nadarjeni učenci in kakšne so njihove značilnosti. Le tako jim lahko prilagodimo pouk (redni ali dodatni), da kar najbolje razvijamo njihove sposobnosti. Seveda moramo imeti kot učitelji razvite določene spretnosti za delo z nadarjenimi, saj je vpliv učitelja na učenčev razvoj lahko zelo velik. Značilnosti nadarjenih učencev Da je učenec nadarjen na matematičnem področju, običajno opazimo po naslednjih značilnostih (Ferbežer in Kukanja, 2008): • dobro razvite miselno-logične sposobnosti, • zmožnost reševanja neobičajne in kompleksne računske naloge, • hitrejše napredovanje od vrstnikov in odlične ocene na matematičnem področju, • doseganje visokih rezultatov na testih inteligentnosti in zunajnivojskih matematičnih testih (npr. tekmovanjih). Ni nujno, da ima učenec nadpovprečno rezultate pri vseh zgoraj naštetih možnostih, da ga spoznamo za nadarjenega na matematičnem področju. Nadarjeni učenci na istem področju so si kljub izraženemu enakemu interesu lahko zelo različni. Torrance (1981, po George 1997) je nanizal nekaj značilnosti, ki jih lahko ima nadarjen otrok: • Ima polno idej, ki jih zna med seboj povezovati. • Rad počne stvari drugače kot ostali. • Vedno pripoveduje drugim o svojih odkritjih in zamislih. • Ima smisel za humor. • Raje se druži s starejšimi otroki ali odraslimi. • Ima dobro razvit občutek za pravičnost in poštenost. • Je trmast. • Določenih dejavnosti se noče udeleževati. • Ne spoštuje določenih načel olike. • Ne kaže zanimanja za podrobnosti. • Je zahteven, čustven, občutljiv. Niti dva nadarjena učenca nista enaka. Uspeh nadarjenega otroka je v veliki meri odvisen tudi od družinskega in družbenega okolja (Ferbežer in Kukanja, 2008). Z nekaterimi nadarjenimi je s stališča učitelja lahko delati, spet z drugimi izredno težko. Pri tem je pomembno tudi, kakšne sposobnosti ima učitelj nadarjenega učenca. Kompetence učiteljev za delo z nadarjenimi Ferbežer (2008) poudarja pozitivne kompetence, ki bi jih moral imeti učitelj nadarjenega učenca: • Upoštevanje nadarjenih kot osebnosti. • Spodbujanje k višjim dosežkom. • Navajanje na samostojno, sistematično delo. • Usmerjanje v iskanje informacij. • Omogočanje razumevanja drugih učencev. • Omogočanje razvoja radovednosti. Po drugi strani lahko učitelj zavira razvoj nadarjenega učenca z nekaterimi negativnimi kompetencami (Ferbežer, 2008): • Nezanimiv pouk. • Zadrževanje učenca pri njegovem napredku. • Nezaupanje učitelja v učenčeve sposobnosti. • Nagrajevanje učenja na pamet. • Netoleranca do odstopanja od običajnega mišljenja. • Nasilno uveljavljanje avtoritete. Ko so nadarjene učence vprašali, kakšne lastnosti naj bi imel njihov učitelj, so izpostavili naslednje (Vialle, 2000, po Ferbežer, 2008): • razumevanje in podpora, • pospeševanje učnega dela, • izzivalne učne naloge, • smisel za humor, • ustvarjalnost in radovednost. Večina ni poudarjala nadarjenosti učitelja, temveč zanimivo in dobro organizirano pedagoško delo. Torej za uspešno delo z nadarjenimi učenci ni potrebno vrhunsko znanje nekega področja (npr. matematike), ampak predvsem spodbujanje učenčeve radovednosti in ustvarjanje učnega okolja s primernimi izzivi. Delo z nadarjenimi v drugi triadi Z nadarjenimi učenci na matematičnem področju v drugi triadi se srečujem že nekaj let. Z njimi sem delala v 4. razredu pri uri za nadarjene izven pouka, v 5. razredu v času njihovega rednega pouka matematike (1 uro na teden - 'pull out') in v 6. razredu pri rednem in dodatnem pouku. Učenci se udeležujejo teh ur glede na svoje zanimanje za matematiko (razen rednega pouka matematike v 6. razredu), tudi če niso bili evidentirani kot nadarjeni na tem področju. Občasno se kateri od nadarjenih na matematičnem področju teh ur ne želi udeleževati. Reševanje matematičnih problemov Pri urah za nadarjene učence in pri rednih urah matematike sem nadarjenim učencem velikokrat pripravila različne problemske naloge. Zanimive problemske naloge sem našla na primer v knjigi Matematične uganke (Kordemski, 1991). Izbrala sem naslednja dva primera: 1. Čokolada stane 1 € in še polovico svoje cene. Koliko stane čokolada? Odgovor: 2 € (druga polovica cene je 1 € in zato je celotna cena 2 €). Veliko učencev je odgovorilo da stane čokolada 1,5 €, ker so računali polovico od 1 €. Pri problemskih nalogah je nujno, da se z učenci pogovorimo o njihovih rešitvah, naj so pravilne ali napačne. Pomembno je mišljenje, ki jih je privedlo do njihove rešitve. 2. Mož mora prepeljati volka, kozo in nekaj zelja čez reko. • V njegovem čolnu je dovolj prostora le zanj in še bodisi za volka, bodisi za kozo ali pa za zelje. • Če s seboj vzame zelje, bo volk pojedel kozo. • Če vzame volka, bo koza pojedla zelje. • Koza in zelje sta varna pred svojima sovražnikoma le, če je mož zraven. Vseeno mož uspešno prepelje volka, kozo in zelje čez reko. Kako? S tem problemom so imeli učenci kar nekaj težav zato, ker niso upoštevali vseh pogojev v nalogi. Nekaj težav so imeli tudi s sistematičnostjo zapisa oziroma risanja. Predlagala sem jim, naj moža označijo npr. z M, kozo s K ter vožnjo v eno smer s ^ in v drugo smer Večinoma so prišli do pravilne rešitve. Rešitev: Najprej mora mož prepeljati kozo čez reko, nato se vrne po volka in ko volka odloži na drugem bregu, vzame v čoln kozo. Nato na drugem bregu pobere zelje in odloži kozo. Ko odloži zelje pri volku, se vrne po kozo in jo prepelje na drugi breg. Projektne, seminarske in raziskovalne naloge Projektne, seminarske in raziskovalne naloge je z učenci druge triade vsekakor težje delati kot z učenci tretje triade. Učenci so mlajši in imajo zato manj znanja matematike ter so manj vešči dela z računalnikom in z literaturo. Vendar, če jih z raziskovalnim delom seznanimo že v drugi triadi, jim prikažemo način dela, ki jim bo lahko pomagal pri razvijanju interesov v nadaljnem šolanju. Prav tako lahko pri tem načinu dela spoznavajo povezanost matematike z vsakdanjim življenjem in drugimi naravoslovnimi ter družboslovnimi področji. Nekatere vsebine, ki sem jih preizkusila z učenci druge triade: 1. Origami (projektna naloga, 4. razred) Z zgibanjem papirja lahko prikažemo pravokotnice in vzporednice. Lahko naredimo tudi kocko (Slika 1) ali kakšno drugo zanimivo telo. Slika 1: Kocke Seveda lahko zgibamo tudi različne živali ali rastilne (npr. rože). Učenci so najprej zgibali navaden bel pisarniški papir, iz katerega je bilo treba še izrezati kvadrate. Ko so bili že bolj vešči origamija, so dobili pravi barvni origami papir, ki je že v obliki kvadrata in je tanjši ter ga je zato lažje zgibati. Ko so dobili pravi origami papir, so imeli veliko večjo motivacijo za delo, kot ko so zgibali navaden pisarniški papir. 2. Koledarji (raziskovalna naloga, 4. razred) Idejo za to raziskovalno nalogo sem dobila v knjigi 101 mathematical projects: a resource book (Bolt in Hobbs, 2005). Koledarji so zanimivi za raziskovanje učencev v drugi triadi, saj ne zahtevajo veliko matematičnega znanja (zgolj osnovnih računskih operacij). Poleg tega učenci lahko vidijo povezanost z drugimi področji (npr. zgodovino in astronomijo). Na začetku sem učencem prinesla nekaj koledarjev in jih spodbudila, da poskušajo poiskati vprašanja, ki jih zanimajo v zvezi s koledarji. Izmed veliko predlogov smo skupaj izbrali nekaj vprašanj, na katere so potem iskali odgovore. - Koliko je prestopnih let v obdobju 400 let? (Samo 97. Prestopno leto nastopi vsake 4 leta, prestopno stoletje pa le, če je letnica deljiva s 400.) - Ali so koledarji vsako leto drugačni? Koliko različnih koledarjev obstaja? (Koledarji se ponavljajo, saj obstaja le 14 različnih koledarjev.) - Kako se spreminja dan v tednu, ko praznujemo rojstni dan v različnih letih? Če imamo rojstni dan v januarju ali februarju: • Npr. leta 2011 na torek, naslednje leto (2012) na sredo (tudi če je leto prestopno) - premik za 1 dan. • Leto po prestopnem letu (2013) - premik za 2 dni (iz srede na petek). Če imamo rojstni dan od marca do decembra: • Npr. leta 2010 rojstni dan na torek, naslednje leto (2011) na sredo (če leto ni prestopno) - premik za 1 dan. • Npr. leta 2011 na sredo, naslednje leto, ki je prestopno (2012) na petek -premik za 2 dni. - Ali enake praznike v različnih državah praznujejo na isti dan? (V različnih državah isti praznik praznujejo ljudje po različnih koledarjih. Pri nas praznujemo božič 25. decembra, v Rusiji pa šele 7. januarja). Podatke so iskali tudi po internetu, kar jim je bilo zelo všeč. Največ težav so imeli pri ugotavljanju in zapisu pravila za spreminjanje dneva v tednu, ko imajo rojstni dan. Poleg tega so si izdelali tudi vsak svoj koledar (dobili so natisnjen koledar za posamezen mesec, zraven so narisali, kar so želeli). 3. Fibonaccijeva števila (seminarska naloga, 5. razred) Fibonaccijeva števila sestavljajo zaporedje števil, kjer je vsako naslednje število v zaporedju vsota prejšnjih dveh: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Fibonaccijeva števila niso zgolj suhoparno zaporedje, ampak se pojavljajo tudi v naravi (pri razmnoževanju čebel, razporeditvi listov na drevesu, številu spiral pri semenih sončnice ...) in so zato za učence še posebej zanimiva. Fibonaccijeva števila najdemo v mnogih matematičnih problemih. Predstavila bom dva izmed primerov, ki so jih reševali učenci v okviru seminarske naloge (vir: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles.html). • Problem stolov v vrsti: Imamo dvorano, kjer je v vrsti lahko poljubno mnogo stolov. V dvorani je lahko 1, 2, 3, 4, 5 ... ljudi, ki se lahko posedejo na različne načine. Ne dovolimo pa, da bi ena poleg druge sedeli dve ženski (da ne bi začeli klepetati). Torej lahko sedita skupaj dva moška ali moški (M) in ženska (Ž). Koliko je vseh možnih razporeditev ljudi v dvorani pri določenem številu ljudi? Pri enem stolu sta 2 možni razporeditvi (M ali Ž), pri dveh 3 razporeditve (MM, MŽ ali ŽM), pri treh stolih jih je že 5 (MMM, MŽM, ŽMŽ, MMŽ, ŽMM) ... Za število možnih razporeditev dobimo Fibonaccijeva števila. Pri tej nalogi so imeli težave pri enem človeku v dvorani - ali obstaja 1 ali 2 možnosti. Problem je bila tudi sistematičnost zapisa, zato sem jim predlagala zapis v tabeli. • Problem drobiža za parkiranje: Imamo kovance za 1 € in 2 €, s katerimi plačujemo parkirnino na parkirnem avtomatu. Ura parkiranja stane 1 €. Na koliko različnih načinov lahko mečemo kovance v parkirni avtomat, če imamo različno število ur parkiranja (ceno)? Zaporedji plačevanja 1 € 2 € in 2 € 1 € štejemo za različni. Število različnih možnosti pri eni uri parkiranja je 1, pri dveh sta 2, pri treh so 3 (1€ 1€ 1€ , 2 € 1 €, 1€ 2 €), pri štirih jih je že 5 ... Zopet dobimo Fibonaccijeva števila. Ker so najprej reševali problem stolov v vrsti, jim sistematičnost zapisa ni več delala težav. Komentirali so le smiselnost naloge - saj je vseeno, v kakšnem vrstnem redu mečeš kovance, vsota je enaka. 4. Vzorci (raziskovalna naloga, 6. razred) Tudi vzorci so zanimivi za raziskovanje, saj jih najdemo na vsakem koraku. Vzorce najdemo v naravi (zelenjava, drevoredi, snežinke, čebelnjak), v gradbeništvu (strešniki na strehi, opečnat zid, tlakovci ...), v umetnosti (slike, mozaiki, glasba ...), in seveda tudi v matematiki. Zanimivo branje s tega področja tudi za učence je knjiga z naslovom Kakšne oblike je snežinka? (Stewart, 2003). Vzorci so povezani z različnimi simetrijami, tlakovanjem ravnine, zaporedji ... Za vzorce je značilno ponavljanje nekega motiva, slike. Primer vzorca, ki so ga učenci raziskovali, so bila trikotniška števila. Najprej so vzorec narisali in šteli število pik na vsaki sliki, nato pa so zapisali še splošno enačbo. Največ težav so imeli z zapisom splošne enačbe. Slika 2: Trikotniška števila 1. slika 2. slika 3. slika 4. slika n-ta slika Število pik 1 3 6 10 n ■ (n + 1) 2 Tabela 1: Trikotniška števila 5. Čarobna matematika (raziskovalna naloga, 6. razred) V tej raziskovalni nalogi je bil poudarek na iskanju zanimivih računskih postopkov, trikov s števili, kartami ... Primer zanimivega računskega postopka je hitro množenje s 5. • Sodo število množimo s 5, tako da razpolovimo število, ki ga množimo s 5 in za njim zapišemo števko nič. Poglejmo si primer množenja 5 • 6. Razpolovimo 6 in dobimo 3, dopišemo 0, torej je rezultat 30. • Liho število množimo s 5, tako da odštejemo 1 od števila, ki ga množimo s 5, potem ga razpolovimo in nato dopišemo namesto 0 števko 5. Primer takega množenja 5 • 9. Najprej izračunamo razliko 9 - 1 = 8, razpolovimo 8 in dobimo 4, nato dodamo števko 5 in dobimo rezultat 45. Zakaj deluje? Množenje s številom 5 je enako kot deljenje z 2 (razpolavljanje števila) in množenje z 10 (dodajanje 0 na koncu) skupaj. To deluje tudi za liha števila, ne samo soda, če upoštevamo, da je polovica lihega števila decimalno število. Npr. pri računanju 5 • 9 razpolovimo 9 in dobimo 9 : 2 = 4,5. Nato nastalo število množimo z 10 in dobimo 4,5 • 10 = 45. Takšne naloge so za učence zelo zanimive, ker jim predstavljajo matematiko na drugačen 'čaroben' način. Zanimve ideje ponujata tudi knjigi Izzivi za mlade matematike (Kmetič in Frobisher, 1996) in Matematična delavnica 7 (Felda in dr., 2005). Uporaba računalnika V današnjem času so učenci navdušeni nad računalniki in menim, da jim je potrebno matematiko predstaviti tudi preko računalnika. Učencem 5. razreda sem predstavila spletno stran http://si.lefo.net/, kjer se učenci lahko preizkusijo v hitrem računanju. Na začetku so se preizkusili v računanju z naravnimi števili, nato pa so odkrili tudi decimalna števila. Eden od učencev je postavil vprašanje, kako se sešteva in odšteva decimalna števila. Ker je učenca to zanimalo, sem mu razložila in z zanimanjem so prisluhnili tudi drugi. Čeprav je to snov 6.razreda se mi zdi smiselno, da se nadarjenim učencem predstavi snov, ki jih zanima, tudi če ni v rednem učnem programu. Učencem 5. razreda sem predstavila tudi program Geogebra, s katerim so poskušali narisati vzporednice, pravokotnice, kvadrat, pravokotnik. To jim je dobro uspelo. Nato so program raziskovali sami in začeli risati večkotnike, kroge, kote. Ob tem so me spraševali, kar jih je zanimalo o geometriji. Na koncu so izrazili zadovoljstvo nad takšnim načinom dela, pri katerem ni bilo točno določeno, kaj morajo narediti in so lahko sami raziskovali. Zaključek Delo z nadarjenimi v drugi triadi je za učitelja po eni strani zahtevno, saj je znanje matematike pri učencih omejeno na naravna števila. Vendar lahko s primernimi metodami in vsebinami tudi na tej stopnji prikažemo matematiko kot zanimivo vedo, povezano z vsakdanjim življenjem in drugimi področji. Namen članka je bil prikazati drugačne primere dela z nadarjenimi na tej razvojni stopnji in spodbuditi učitelje, da bi svojim nadarjenim učencem ponudili kaj več kot le pripravo na tekmovanja. Vsekakor je vsebin in metod za delo z nadarjenimi še veliko. Viri 1. Bolt, B. in Hobbs, D. (2005): 101 mathematical projects; a resource book. Cambridge University Press, Cambridge. 2. Felda, D. in dr. (2005): Matematična delavnica 7. DZS, Ljubljana. 3. Ferbežer, I. (2008): Kompetence učiteljev in vzgojiteljev v izobraževanju nadarjenih učencev - drugi del. Didakta, 18, 24-27. 4. Ferbežer, I. in Kukanja, M. (2008): Svetovanje nadarjenim učencem. ZRSŠ, Ljubljana. 5. George, D. (1997): Nadarjeni otrok kot izziv. Ljubljana, ZRSŠ. 6. Kmetič, S. in Frobisher, L. (1996): Izzivi za mlade matematike. Založba obzorja, Maribor. 7. Kordemski, B. A. (1991): Matematične uganke. DZS, Ljubljana. 8. Stewart, I. (2003): Kakšne oblike je snežinka? Didakta, Radovljica. 9. http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles.html (30. 5. 2012). 10. http://si.lefo.net/ (5. 7. 2012). RAZISKAVA OBLIK DIFERENCIACIJE PRI POUKU MATEMATIKE V 8. IN 9. RAZREDU DEVETLETNE OSNOVNE ŠOLE Research on Types of Differentiation at Mathematics Lessons in Grade 8 and 9 Helena Skok Schlegel, OŠ Dobrovo helena.skok@guest.arnes.si Povzetek V 9-letni osnovni šoli je postala zunanja diferenciacija v 8. in 9. razredu pri pouku matematike obvezna, in sicer z edino možno obliko, nivojskim poukom. Nivojski pouk v homogenih učnih skupinah je predstavljal ukrep za odpravljanje ovir pri doseganju boljših učnih dosežkov, ki izhajajo iz osebnih značilnosti učenca in okolja. Nivojski pouk kot sistemski ukrep je bil leta 2006 opuščen, hkrati pa je bilo šolam prepuščeno, da pouk organizirajo tako, da bo zagotavljal čim učinkovitejše doseganje učnih ciljev z možnostjo izbire organizacije pouka med razporeditvijo učencev v heterogene učne skupine, hkratnim poučevanjem dveh učiteljev v skupini, nivojskim poukom ter kombinacijo oblik diferenciacije. Namen raziskave oblik diferenciacije pri pouku matematike je predstaviti delež posameznih oblik v šolskem letu 2011/2012 po slovenskih osnovnih šolah ter predstaviti interpretacije in refleksije učiteljev matematike, udeleženih v raziskovalnem procesu, o vplivih doslej preizkušenih oblik. Glavna raziskovalna metoda je bila analiza rezultatov vprašalnika. Predstavljena je analiza preizkušenih oblik diferenciacije glede na mnenje učiteljev matematike o vplivih na učenje, samopodobo in motivacijo. Podane so ugotovitve, povezane z načini razvrščanja učencev, ter ugotovitev, da je trenutno glede izbire oblik diferenciacije na prvem mestu oblika z razporeditvijo učencev v heterogene učne skupine. Ključne besede: diferenciacija, učinki, učenje, motivacija. Abstract External differentiation at mathematics lessons in grades 8 and 9 namely with the only possible form of ability grouping has become obligatory in nine-year primary school in Slovenia. Ability grouping in homogeneous learning groups represented a measure for the reduction of barriers in achieving better learning outcomes dependent on the learner's personal characteristics and the environment. Ability grouping as a systemic measure was abandoned in 2006, but it was left to schools to organize lessons so that they provide the most efficient way to achieve learning objectives; with a possibility to choose the organizations of their tuition from arranging students in the heterogeneous learning groups, the simultaneous teaching of the two teachers in the group, ability grouping, to combining forms of differentiation. The purpose of the research about the forms of differentiation in mathematics is to present the contribution of the individual form in the school year 2011/2012 in Slovenian primary schools and to reveal interpretations and reflections about the impact of the tested forms by mathematics teachers involved in the research process. The main research method is based on a questionnaire analysis. It contains analyses of already tested types of differentiation on how they affect learning, self-esteem and motivation according to the mathematics teachers' opinions. Findings about the ways of grouping students are presented alongside the fact that for the time being, grouping students into heterogeneous groups is in the first place. Key words: differentiation, effects, learning, motivation. Uvod V 8. in 9. razredu se po pravilniku (veljavnem od 17. 6. 2006) o izvajanju diferenciacije pri pouku v osnovni šoli pri predmetih slovenščina, matematika in tuji jezik pouk lahko organizira: - z razporeditvijo učencev istega razreda v heterogene učne skupine, - s hkratnim poučevanjem dveh učiteljev v oddelku pri vseh ali posameznih urah pouka, - kot nivojski pouk v homogenih učnih skupinah na treh ravneh zahtevnosti, ki so opredeljene s cilji oziroma standardi znanja v učnih načrtih (zunanja diferenciacija), - kot kombinacija oblik diferenciacije iz prejšnjih alinej. Pri vseh oblikah diferenciacije v 8. in 9. razredu imajo učenci možnost dosegati vse cilje oziroma standarde znanja, ki so opredeljeni v učnih načrtih. Te oblike pouka predstavljajo mehanizme za odpravljanje ovir pri doseganju boljših učnih dosežkov (Krek, 1995). Ovire pa izhajajo iz osebnostnih lastnosti otrok in socialnega okolja (Lesar, 2009). Začetki izvajanja diferenciacije segajo v obdobje uvajanja devetletne osnovne šole in pomenijo sistemski ukrep v obliki nivojskega pouka. Na podlagi 40. člena Zakona o osnovni šoli (Uradni list RS, št. 12/96 in 33/97) je minister za šolstvo in šport izdal Pravilnik o podrobnejših pogojih za organizacijo nivojskega pouka v 9-letni osnovni šoli. Ta pravilnik je določal postopek pri odločanju za ravni zahtevnosti ter načine za oblikovanje učnih skupin za izvedbo nivojskega pouka v 9-letni osnovni šoli. Namen nivojskega pouka v homogenih učnih skupinah je bil opredeljen kot utrjevanje in ponavljanje oziroma poglabljanje in razširjanje učne snovi. Nivojski pouk v 8. in 9. razredu se izvaja v homogenih učnih skupinah in poteka na eni od treh ravni zahtevnosti, ki so opredeljene s cilji oziroma standardi znanja v učnih načrtih. Učna skupina za izvedbo nivojskega pouka je oblika združevanja učencev različnih oddelkov istega razreda. Učenec se za raven zahtevnosti pri nivojskem pouku odloči po posvetovanju z učitelji, šolsko svetovalno službo in starši. Odločitev o izbiri ravni zahtevnosti za naslednje šolsko leto učenec najkasneje do zaključka pouka sporoči na obrazcu, predpisanem s pravilnikom, ki ureja dokumentacijo v devetletni osnovni šoli. Učenec lahko v prvem mesecu pouka v 8. in 9. razredu in ob zaključku ocenjevalnih obdobij po posvetovanju s starši, učitelji in šolsko svetovalno službo spremeni raven zahtevnosti. Starši s podpisom potrdijo, da so seznanjeni z odločitvijo učenca o spremembi ravni zahtevnosti. Izvajanje diferenciacije pri pouku matematike v 8. in 9. razredu osnovne šole Namen raziskave oblik diferenciacije pri pouku matematike v 8. in 9. razredu je predstaviti delež posameznih oblik v šolskem letu 2011/2012 po slovenskih osnovnih šolah ter predstaviti interpretacije in refleksije učiteljev matematike, udeleženih v raziskovalnem procesu, o vplivih doslej preizkušenih oblik. Tako bomo dobili vpogled v to, kaj nam trenutno pomeni dobra praksa na tem področju. Raziskava oblik diferenciacije pri pouku matematike v 8. in 9. razredu je nastala na podlagi dveh raziskovalnih metod. V teoretičnem delu sem kot metodo uporabila sistematično analizo obravnavane tematike, v praktičnem delu pa je bila glavna metoda vprašalnik. Analiziranih je bilo 52 vprašalnikov, ki so jih izpolnili učitelji matematike. Informacije v zvezi z izbrano obliko diferenciacije pri pouku matematike na posamezni osnovni šoli v tekočem šolskem letu pa so bile zbrane tudi s pomočjo odgovorov ravnateljev prek elektronske pošte ter pregledovanjem letnih delovnih načrtov in publikacij osnovnih šol, objavljenih na spletu. Izbrala sem 120 osnovnih šol, enakomerno geografsko razporejenih po Sloveniji. Če šola ni imela objavljene oblike diferenciacije v tekočem šolskem letu na spletni strani, sem se odločila za pridobitev informacije s pomočjo elektronske pošte ravnatelju. Na ta način je bilo zbranih 120 informacij v zvezi z izbrano obliko diferenciacije. V pomoč mi je bila spletna stran Ministrstva za izobraževanje, znanost, kulturo in šport, ki ima objavljen seznam osnovnih šol v Sloveniji s posameznimi elektronskimi ter URL naslovi. Anketo so izpolnjevali učitelji matematike ter s tem prispevali svoje interpretacije in refleksije, ki temeljijo na izkušnjah. Raziskava vsebuje analizo preizkušenih oblik diferenciacije glede na mnenje učiteljev o vplivih na učenje, motivacijo in samopodobo. Pozitivne in negativne posledice nivojskega pouka so občutili tako učenci kot učitelji. Analiza odgovorov učiteljev matematike na vprašanje, ali nivojski pouk povečuje možnosti za učenje in učne dosežke ter poveča kakovost poučevanja, je prikazana v tabeli 1. DA NE I. nivo 34 (65,4 %) 18 (34,6 %) II. nivo 18 (34,6 %) 34 (65,4 %) III. nivo 46 (88,5 %) 6 (11,5 %) Tabela 1: Mnenja učiteljev o pozitivnih vplivih nivojskega pouka na učenje in učne dosežke Analiza odgovorov učiteljev matematike na vprašanje, ali nivojski pouk krepi samopodobo učencev in njihove občutke sposobnosti, je prikazana v tabeli 2. DA NE I. nivo 28 (53,8 %) 24 (46,2 %) II. nivo 11 (21,2 %) 41 (78,8 %) III. nivo 44 (84,6 %) 8 (15,4 %) Tabela 2: Mnenja učiteljev o pozitivnih vplivih nivojskega pouka na samopodobo učencev Analiza odgovorov učiteljev matematike na vprašanje, ali nivojski pouk poveča pričakovanja in motivacijo učencev, je prikazana v tabeli 3. DA NE I. nivo 28 (53,8 %) 24 (46, 2 %) II. nivo 14 (26,9 %) 38 (73,1 %) III. nivo 42 (80,8 %) 10 (19,2 %) Tabela 3: Mnenja učiteljev o pozitivnih vplivih nivojskega pouka na motivacijo učencev Analiza odgovorov učiteljev matematike na vprašanje, ali so bili v skupini z nižjimi dosežki pogosto člani ranljivih skupin (npr. učenci s posebnimi potrebami, migranti, učenci z vedenjskimi težavami ...) je prikazana v tabeli 4. DA 34 (65,4 %) NE 18 (34,6 %) Tabela 4: Prisotnost članov ranljivih skupin v I. nivoju Spoznanja in mnenja učiteljev matematike o primernosti nivojskega pouka, ki izhajajo iz obdobja, ko je bil nivojski pouk edina možna oblika organizacije pouka matematike v 8. in 9. razredu (1999-2006) so naslednja: - ključno vlogo pri razvrščanju v nivojske skupine bi moral imeti tim matematikov, ker se precej učencev nekritično razvrsti v višji nivo, saj imajo starši velik vpliv na odločitve otrok in se z učiteljem ne strinjajo (redki učenci so bili dovolj motivirani, da so nadoknadili primanjkljaj). S tem se je namen nivojskega pouka izgubil. Nekateri učitelji so opisali takšne nivoje kot »pesek v oči«. Učenci, ki so upoštevali mnenje učitelja glede razvrščanja, so imeli praviloma dober odnos do dela in tudi dobre rezultate; - poučevanje v I. in III. nivoju je bilo bolj individualizirano zaradi manj številčnih skupin ter se je posledično enostavneje izvajalo različne dejavnosti in uporabljalo različne pristope in metode dela; - v III. nivojski skupini so učenci hitreje napredovali, vendar so bila prisotna nekritična velika pričakovanja glede ocenjevanja, pogosto so učenci pričakovali višje ocene bolj zaradi nivoja kot zaradi znanja; - v III. nivoju je poučevanje zelo učinkovito, če je skupina znotraj homogena. Ti učenci so pripravljeni več časa posvetiti matematičnim vsebinam in raziskovanju znotraj predmeta, matematične zakonitosti skušajo odkrivati samostojno, učijo se strategij reševanja težjih problemov, poudarek je na izražanju matematičnih vsebin v ustni in pisni obliki, uporabljajo simbolne zapise iz srednješolskih učnih načrtov, rešujejo tudi naloge za pripravo na tekmovanje. Takšnih ciljev ne moremo doseči v običajnem oddelku; - najtežje je poučevati v drugem nivoju, saj je velikokrat razkorak med tem, koliko so učenci zmožni in koliko časa so pripravljeni posvetiti matematičnim vsebinam, prevelik; - v I. nivojski skupini so poleg učno manj uspešnih učencev bili tudi učenci z vedenjskimi in drugimi težavami, zato uspeh kljub bolj individualiziranemu delu ni bil zagotovljen niti dosežen v skladu s pričakovanji. Če je v I. nivoju večina učencev z vedenjskimi težavami, je učenje v taki skupini zelo oteženo in ne koristi nobenemu učencu. Če so vključeni učenci z nižjimi sposobnostmi, vendar brez izrazitih vedenjskih težav, jim učitelj lahko veliko pomaga, da dosegajo minimalne standarde znanja; - II. nivojska skupina je zaradi vpliva odločanja učencev in staršev zelo nehomogena; - odzivi učencev v II. nivojski skupini so medli ter dinamika nivoja neustrezna; - učencem II. nivoja manjka primerjava s tistimi, ki so boljši in obratno; - v II. in I. nivoju so učitelji pogrešali učence, ki bi bili bolj aktivni in s svojim zanimanjem »potegnili« delo v razredu; - za velike šole, kjer so se oblikovale skupine s 16 oz. 18 učenci I. nivoja, se je ta oblika organizacije pouka pokazala za zelo neposrečeno zamisel; - oblikovale so se tudi skupine učencev I. nivoja, ki so bile izrazito nezainteresirane za delo, za pisanje domačih prilagojenih nalog kljub uporabi različnih metod motivacije; - učenci III. nivoja so se sčasoma začeli obnašati, kot da učitelja ne potrebujejo. Kljub dokazovanju, na pozitiven način, da potrebujejo razlago, niso poslušali razlage, »saj oni vse že znajo«. Pisna in ustna ocenjevanja znanja pa so pokazala ravno nasprotno. Učitelji niso uspeli pritegniti njihove pozornosti; - v III. nivoju so učitelji opazili oblikovanje neke vrste »elitizma«; - poučevanje v III. nivoju je bilo na začetku zelo napeto. Učenci so bili drug do drugega zajedljivi, na vsakem koraku so se želeli dokazovati. Potreben je bil čas, da se je delo umirilo in postalo ustvarjalno. Proti koncu šolskega leta pa je bilo vse težje, učenci so postali apatični, nič več jih ni pritegnilo; - nekateri učitelji so prišli do spoznanja, da nima smisla organizirati nivojskega pouka na treh zahtevnostnih ravneh ter so se odločili za kombinacijo III. nivoja ter heterogene skupine I. in II. nivoja; - po drugi strani pa so učitelji opazili, da so se v združenem I. in II. nivoju učenci, ki so bili sposobni več, zadovoljili z manj; - če je skupina I. nivoja majhna, se učenci in učitelj dobro počutijo, saj se učitelj lažje vsakemu posveti; - prav tako v manjši skupini pridobijo učenci III. nivoja na samostojnosti in strategiji reševanja problemskih nalog; - najmanj pridobijo učenci II. nivoja, ker je običajno najbolj številčen; - če je bila skupina manjša, so se učenci, ki so si jih vrstniki »privoščili«, bolje počutili, bolj so prišli do izraza, bili so bolj sproščeni in so si upali sodelovati ter s tem pridobili na samozavesti; - učenci v I. nivoju lahko dobijo lažni občutek, da veliko znajo, ker se ne morejo primerjati z ostalimi. Verjetno so ravno negativne posledice nivojskega pouka botrovale spremembam pravilnika o izvajanju diferenciacije pri pouku v osnovni šoli v letu 2006 (velja od 17. 6. 2006). Nivojski pouk kot sistemski ukrep je bil opuščen, šolam pa je bilo prepuščeno, da pouk organizirajo tako, da bo zagotavljal čim učinkovitejše doseganje učnih ciljev z možnostjo izbire organizacije pouka med razporeditvijo učencev v heterogene učne skupine, hkratnim poučevanjem 2 učiteljev v skupini, nivojskim poukom ter kombinacijo oblik diferenciacije. Tabela 5 ter Slika 1 predstavljata ta delež posameznih oblik organizacije pouka matematike v 8. razredu v šolskem letu 2011/2012 glede na vzorec 120 slovenskih osnovnih šol. Oblika organizacije pouka matematike v 8. razredu Heterogene učne skupine Nivojski pouk Kombinacija oblik diferenciacije Hkratno poučevanje dveh učiteljev v oddelku Število šol 69 47 3 1 Delež (%) 57,5 39,2 2,5 0,8 Tabela 5: Delež posameznih oblik organizacije pouka matematike v 8. razredu v šolskem letu 2011/2012 □ heterogene skupine ■ nivojski pouk □ kombinacija oblik dife renciacije □ dva učitelja v oddelku Slika 1: Delež posameznih oblik organizacije pouka matematike v 8. razredu v šolskem letu 2011/2012 V nadaljevanju sledi predstavitev mnenj učiteljev o razvrščanju učencev v heterogene skupine ter nivojske skupine glede na zapisana mnenja v anketi Mnenja učiteljev, ki so v tekočem šolskem letu izbrali organizacijo pouka v obliki heterogenih skupin v 8. in 9. razredu pri pouku matematike, glede na: a) Učenje in učne dosežke učencev - dosežki niso slabši od dosežkov v nivojskih skupinah; - primerjajo svoje znanje z znanjem vrstnikov, ki so najboljši, in tistih, ki imajo težave, kar vpliva na pozitiven odnos do učenja; - učitelj lahko bolj spremlja napredek učencev, ker so skupine enako številčne. b) Vpliv na samopodobo - je naravno okolje; - samopodoba pri učencih z učnimi težavami je boljša; - ustvarja se prijetno sodelovalno vzdušje, kar pozitivno vpliva na samopodobo učencev; - učenci niso »izločeni«, ker se izvaja notranja diferenciacija. c) Vpliv vrstnikov - več sodelovanja v skupini, omogočena je pomoč (npr. ko je bil več časa odsoten učenec I. nivoja, ni bilo učenca, ki bi mu lahko posodil dovolj dobre zapiske); - vpliv vrstnikov je pozitiven, če lahko ustrezno delimo posameznike in ločimo moteče učence, ali negativen, če le-to ni mogoče; - najboljše učence spodbuja, da ohranijo vodilno vlogo v skupini, ostale pa, da jih poskušajo doseči; - manj izpostavljenosti; - manjša heterogena skupina - veliko več medvrstniške pomoči kot v okviru celega razreda. d) Drugo - lažje delo, več vaj, več utrjevanja, večja preglednost; - manjše število učencev v skupini omogoča boljšo komunikacijo in aktivnost učencev. Mnenje učiteljev, ki so v tekočem šolskem letu izbrali organizacijo pouka v obliki nivojskih skupin v 8. in 9. razredu pri pouku matematike, glede na: a) Učenje in učne dosežke učencev - če je skupina znotraj homogena in v njej prevladuje zdrava tekmovalnost, je poučevanje zelo učinkovito. Ne sme biti preveč učencev, ki so to raven izbrali zaradi ambicij staršev; - izjemno učinkovita oblika za motivacijo učencev glede na njihovo predznanje in znanje; - učitelj lahko z učenci z nižjimi dosežki dela počasneje in več utrjuje, z boljšimi pa lahko širi in poglablja znanje; - v kombinaciji I. in II. nivoja zadovoljiv učinek, v III. nivoju v redu. b) Vpliv na samopodobo - opaža se, da se učenci redko odločajo za I. nivo, ker jih je sram, kar bi posledično negativno vplivalo na samopodobo. Največ se jih odloča za II. nivo, nekateri pa se precenijo in gredo v III. nivo. c) Vpliv vrstnikov - nivoji vzpodbujajo elitizem. Učenci to povedo tako: »Če si v III. nivoju, si nekaj več, če si v I., ne znaš nič.«; - če je delež vedenjsko problematičnih v I. nivoju velik, je vpliv lahko zelo negativen. d) Drugo - nivoje učenci pogosto izbirajo tudi po tem, kam bo šel njihov najboljši prijatelj oziroma kateri učitelj bo poučeval v posameznem nivoju. Zaključek V tej raziskavi so podane ugotovitve, ki so povezane z načini razvrščanja učencev v zvezi z organizacijo pouka matematike v 8. in 9. razredu. Izkazalo se je, da je zunanja diferenciacija, pri kateri so učenci razporejeni v skupine na osnovi dosežkov med trinajstim in petnajstim letom, lahko zelo občutljivo področje, ki ni primerno za vsa ko šolo, še manj pa za vsako generacijo. Prakso na tem področju nam v tem šolskem letu pomeni organizacija pouka matematike z razporeditvijo učencev istega razreda v heterogene učne skupine (57,5 %) ter na drugem mestu nivojski pouk v homogenih učnih skupinah na treh ravneh zahtevnosti, ki so opredeljene s cilji oziroma standardi znanja v učnih načrtih (39,2 %). Majhne učne skupine, notranja diferenciacija ter pozitiven vpliv vrstnikov predstavljajo pomembne dejavnike za izboljšanje učnih dosežkov učencev in samopodobe. Vpliv vrstnikov je pozitiven, če lahko ustrezno delimo posameznike in ločimo moteče učence, ali negativen, če le-to ni mogoče. Raziskava je pokazala, da imajo heterogene skupine in nivojski pouk v praksi zelo različne posledice. Tega se moramo zavedati vsi, ki se ukvarjamo z izobraževanjem. Za celovitejši pogled na problematiko potrebujemo nadaljnje raziskave, v katerih bi bili udeleženi dijaki, ki bi podali mnenja glede vplivov nivojskega pouka, razporeditve učencev v heterogene skupine ter drugih oblik organizacije pouka, ki so jih preizkusili v osnovnošolskem izobraževanju. Viri 1. Krek, J. (1995): Bela knjiga o vzgoji in izobraževanju v Republiki Sloveniji. Ministrstvo za šolstvo in šport, Ljubljana. 2. Pravilnik o podrobnejših pogojih za organizacijo nivojskega pouka v 9-letni osnovni šoli (Uradni list RS, št. 12/96 in 33/97). 3. Pravilnik o izvajanju diferenciacije pri pouku v osnovni šoli (Uradni list RS, št. 63/06). 4. Lesar, I. (2009): Ali formalne rešitve na področju šolanja marginaliziranih omogočajo uresničevanje ideje inkluzije? Sodobna pedagogika, No. 1, str. 334-348. 5. http://arhiv.acs.si/publikacije/Analiza dobrih praks v evropskih solskih sistemih.pdf (18. 02. 2012). 6. https://krka1.mss.edus.si/registriweb/Seznam1.aspx?Seznam=... (18. 02. 2012). 7. http://.sodobna-pedagogika.net/index.php?option=com_content&task=view&id=92... (18. 02. 2012). DIFERENCIACIJA PRI POUKU MATEMATIKE Differentiation at Mathematics Lessons Boris Černilec, Zavod za gluhe in naglušne Ljubljana boris.cernilec@gmail.com Povzetek Na začetku prejšnjega desetletja je bila izvedena prenova osnovnošolskega izobraževanja. Pouk po prenovi je problemsko naravnan, poudarja aktivno vlogo učencev in temelji na logičnem razmišljanju. Regulacija za izvajanje pouka matematike v 8. in 9. razredu pa omogoča delo v manjših skupinah in tudi nivojski pouk. Ugotovitve, predstavljene v prispevku, so rezultat raziskave, v kateri sem primerjal znanje matematičnih vsebin pri učencih, ki so obiskovali devetletno osnovno šolo, z znanjem matematičnih vsebin pri učencih, ki so obiskovali osemletno osnovno šolo. V devetletni osnovni šoli so bili učenci pri pouku matematike celo šolsko leto razdeljeni v tri nivojske skupine, v osemletni osnovni šoli pouk matematike ni potekal v manjših skupinah. V raziskavi je uporabljena metoda empiričnega raziskovanja in dopolnjena s kvalitativno metodologijo pedagoškega raziskovanja. Kvantitativni podatki so zbrani s pomočjo testov znanja in vprašalnika, kvalitativni pa z analizo priprav na pouk in z opazovanjem pouka. Rezultati raziskave kažejo, da delitev učencev pri pouku matematike na nivojske skupine daje možnosti za izboljšanje matematičnega znanja. Na uspešnost učencev in njihovo boljše znanje pa vpliva tudi njihova pozitivna naravnanost do nivojskega pouka, izbirnost pri izbiri ravni zahtevnosti, socialni stiki ter povezanost z vrstniki matičnega oddelka. Ključne besede: nivojski pouk, cilji in standardi, pristopi poučevanja, znanje matematike. Abstract The reform of primary school carried out at the beginning of the last decade is based on an active role of students, problem-oriented teaching and logical thinking. Regulation for the implementation of mathematics lessons in grade 8 and 9 enables working in small groups and ability grouping. The findings presented here are the result of research in which the mathematical content knowledge of students who attended nine-year primary school is compared with the knowledge of students who attended eight-year primary schools. The nine-year primary school students were divided into three ability groups at mathematics lessons throughout the school year. I used empirical research method supplemented with a qualitative methodology of pedagogical research in my research. Quantitative data was collected through questionnaires and knowledge tests. Qualitative data was collected by analysis of lesson preparation and classroom observation. The research results show, that the dividing students into ability groups at mathematics lessons proved to be successful as they provide students opportunities to improve their mathematical knowledge. Student performance is also influenced by their positive attitude to ability grouping, possible selectivity when choosing the group level and social contacts and connections with their classmates. Key words: ability grouping, goals and standards, teaching approaches, mathematical knowledge. Uvod Cilji pouka matematike se dopolnjujejo s procesnimi znanji oziroma z znanji, naravnanimi k iskanju poti in strategij reševanja problemov. Poudarjena je aktivna vloga učencev pri usvajanju znanja z upoštevanjem njihovih idej v procesu odkrivanja in raziskovanja. Učitelji se morajo prilagoditi potrebam in zahtevam splošnih in specifičnih ciljev interdisciplinarno zastavljenega pouka matematike. Pouk morajo problemsko naravnati, pri načrtovanju, izvedbi in ocenjevanju pa upoštevati ključne dejavnike, ki vplivajo na učno uspešnost. Zaradi individualnih razlik med učenci, predvsem pa zato, da bi bolje prilagodili pouk njihovim sposobnostim, učence razvrščamo v manjše skupine, učence grupiramo. Mnenja, katera oblika je najprimernejša, so različna. Kot najpogostejši argument v prid grupiranja se navaja racionalnejša poraba časa pri organizaciji in uravnavanju učnega procesa oziroma več neposrednega poučevanja, ki vključuje: odgovarjanje na vprašanja učencev z jasno razlago, poslušanje učencev in odzivanje na njihove odgovore, lažje spremljanje napredka posameznika znotraj skupine ter odzivanje na potrebe posameznega učenca. Rezultate različnih študij strnemo v ugotovitev, da je grupiranje učencev učinkovito le, če so metode poučevanja in učno gradivo prilagojeni potrebam učencev (Slavin, 1990). Zgolj enostavno razvrščanje učencev v manjše skupine brez ustreznih prilagoditev ni učinkovito (Dupriez, 2010). Učni načrt uvaja sozvočje med reševanjem problemov in učenčevo pripravljenostjo, da postavlja vprašanja in išče odgovore, s tem pa razvija in oblikuje svoje umske sposobnosti, pristno razumevanje ter usvajanje matematičnih konceptov in pojmov (Cotič, 2000). Pouk naj bo interaktiven proces, ki spodbuja soočanje stališč in izmenjavo mnenj. Učencem je dana priložnost, da uporabijo znanje, spretnosti in veščine v realnih situacijah. Poudarek je na individualizaciji kot tudi na sodelovalnem učenju. Veliko časa se namenja razvijanju samopodobe, samozavesti, ustvarjalne kritike in samokritike. Učenje je problemsko in izkušenjsko naravnano (Mutic, 2001). Z uvedbo devetletne osnovne šole smo v Sloveniji uvedli tri oblike diferenciacije (Strmčnik, 2005). Predvsem delna zunanja diferenciacija v osmem in devetem razredu je v slovenskem šolskem prostoru odprla polemike o njeni uspešnosti oziroma smiselnosti uvedbe. Raziskava o uspešnosti nivojskega pouka Cilj raziskave je s kavzalno eksperimentalno metodo ugotoviti, ali lahko z ustreznimi pristopi novega koncepta poučevanja matematike in z novim konceptom organizacije pouka matematike v 8. in 9. razredu učenci izboljšajo znanje matematičnih vsebin in konceptov. Raziskovalne hipoteze Splošna raziskovalna hipoteza je, da učenci osmega razreda devetletne osnovne šole, pri katerih se pouk matematike izvaja v nivojskih skupinah, uspešneje rešujejo matematične naloge kot učenci, deležni klasičnega pouka matematike v sedmem razredu osemletne osnovne šole. V raziskavi so postavljene tudi specifične raziskovalne hipoteze: Hipotezi, ki se nanašata na razlike med eksperimentalno in kontrolno skupino pri odvisnih spremenljivkah na koncu eksperimenta: H1: Eksperimentalna skupina bo uspešneje kot kontrolna skupina reševala matematične naloge. H2: V odnosu do matematike ne bo pomembnih razlik med eksperimentalno in kontrolno skupino. Hipoteza, ki se nanaša na stališče učencev eksperimentalne skupine do nivojskega pouka na koncu eksperimenta: H3: Učenci eksperimentalne skupine bodo imeli pozitivno stališče do nivojskega pouka. Osnovna raziskovalna metoda in raziskovalni pristop V raziskavi je metoda empiričnega raziskovanja dopolnjena s kvalitativno metodologijo pedagoškega raziskovanja. Uporabljen je pedagoški proces, ker je primeren pri proučevanju novosti, ki se vnašajo v pouk. Kvantitativno smo zbrali podatke s testoma znanja in vprašalnikoma o odnosu do matematike in nivojskega pouka. Kvalitativno pa smo zbrali podatke s sprotnimi razgovori med raziskovalcem in učitelji, z analizo priprav na pouk in s prisotnostjo raziskovalca pri urah pouka. Model eksperimenta Model eksperimenta je enofaktorski, s šolskimi oddelki kot primerjalnimi skupinami z dvema modalitetama. Za primerjalne skupine so vzeti obstoječi oddelki. Eksperimentalna skupina (v nadaljevanju ES) je bila deležna popolne eksperimentalne obravnave, ki je vključevala: delitev učencev na nivojske skupine, delo po novih učnih načrtih, procesno-didaktični pristop poučevanja. Kontrolna skupina (v nadaljevanju KS) je delala po programu osemletne osnovne šole in z razporeditvijo učencev v oddelke. V raziskavo je bilo vključenih 126 učencev, ki sedmo leto obiskujejo osnovno šolo, in sicer je 63 učencev vključenih v eksperimentalno skupino, 63 pa v kontrolno skupino. Spremenljivke Neodvisne spremenljivke Neodvisna spremenljivka je eksperimentalni dejavnik. Odvisne spremenljivke Z odvisnimi spremenljivkami smo preverjali znanje učencev ter njihov odnos do matematike. Razdeljene so v dve skupini: Kognitivne spremenljivke Dosežki učencev pri matematičnih vsebinah. Afektivne spremenljivke Odnos učencev do matematike in interes zanjo. Kontrolne spremenljivke Učenčev uspeh pri matematiki, slovenščini in splošni učni uspeh ter socialno ekonomski status učenčeve družine. Učencem v eksperimentalni skupini smo postavili še vprašanja, s katerim so izrazili svoje mnenje o nivojskem pouku. Uporabljene statistične tehnike Za ugotavljanje razlik v znanju matematičnih vsebin smo uporabili t-preizkus. Tako začetnemu kot končnemu testu znanja smo določili merske značilnosti: objektivnost, diskriminativnost, zanesljivost in veljavnost. Z x2 - preizkusom smo preizkusili statistično pomembne razlike v odnosu do matematike med skupinama na začetku in koncu eksperimenta. Z analizo kovariance smo odpravili vpliv različnih začetnih položajev obeh skupin. Z metodami deskriptivne statistike smo preverili hipotezo, da imajo učenci eksperimentalne skupine pozitivno stališče do nivojskega pouka. Rezultati in interpretacija Osnovne značilnosti vzorca glede na nekatere kontrolne spremenljivke Iz študij Mednarodne raziskave trendov v znanju matematike TIMSS (Japelj-Pavešic, 2008) obstaja obilo dokazov, da so dosežki učencev v matematiki povezani z osebnimi dejavniki učenca: njegovim domačim okoljem, njegovimi dejavnostmi in odnosom do učenja. Želeli smo preveriti, ali se kontrolna in eksperimentalna skupina razlikujeta glede na nekatere kontrolne spremenljivke na začetku pouka. Kontrolne spremenljivke smo razdelili v dva sklopa. Prvi sklop je dal informacijo o socialno ekonomskem statusu družine, iz katere otrok prihaja, drugi sklop je zajemal podatke o ocenah. Pri socialno ekonomskem statusu učenčeve družine smo se osredotočili na: doseženo izobrazbo staršev, možnost domače rabe osebnega računalnika, ali ima učenec svojo pisalno mizo in število knjig doma. Pokazali smo, da so razlike med kontrolno in eksperimentalno skupino statistično nepomembne. V drugem sklopu sta nas zanimali oceni pri matematiki in slovenščini ter splošni učni uspeh. Statistično pomembna je samo razlika v oceni pri slovenščini, vendar ni raziskav, ki bi potrdile, da obstaja povezava med oceno pri slovenščini in uspešnostjo reševanja matematičnih nalog. Analiza razlik v znanju matematike v začetnem stanju Na začetku eksperimenta so opazne in statistično pomembne razlike v znanju nekaterih matematičnih vsebin (večkotniki, množenje in deljenje racionalnih števil in odnosi med spremenljivkami). Predpostavljamo, da lahko pripišemo te statistično pomembne razlike v znanju med KS in ES različnosti koncepta matematičnega poučevanja med obema skupinama. Učenci ES so delali po programu devetletne osnovne šole že v sedmem razredu, deležni so bili pouka v manjših skupinah fleksibilne diferenciacije, učitelji matematike so spremenili koncept matematičnega poučevanja. V osemletni osnovni šoli je prevladoval matematični koncept, ki gradi na transferu spretnosti in znanja. Tak pouk temelji na uveljavljanju znanja, ne glede na to, če so dosežene miselne zveze, da učenec razume učno snov in jo zna uporabiti. Analiza razlik v afektivnih spremenljivkah v začetnem stanju Pri večini odgovorov prvih štirih sklopov so mnenja učencev precej podobna, tako da med skupinama ni statistično pomembnih razlik. Zadnji sklop so sestavljale trditve, za katere so učenci mnenje označili na osnovi tristopenjske lestvice: - Učitelj nam pokaže, kako rešujemo matematične probleme. - Prepisujemo snov s table. - Pišemo kontrolne naloge ali teste. - Sami rešujemo naloge iz knjig ali delovnih zvezkov. - V skupini rešujemo obsežne naloge. - Delamo v dvojicah ali manjših skupinah. - Pri reševanju matematičnih problemov si pomagamo s stvarmi iz vsakdanjega življenja. - Učitelj nam da domačo nalogo. - Z domačo nalogo lahko začnemo pri pouku. - Učitelj pregleduje domačo nalogo. - Drug drugemu pregledujemo domačo nalogo. - Pogovarjamo se o rešitvah domačih nalog. Na osnovi izračunanih x2 vrednosti in njihovih ravni statistične pomembnosti ugotovimo, da se učenci kontrolne in eksperimentalne skupine statistično pomembno razlikujejo v devetih spremenljivkah. Sklepamo, da se koncepta matematičnega pouka v ES in KS med seboj razlikujeta že na samem začetku eksperimenta. Analiza razlik v matematičnem znanju in v afektivnih spremenljivkah v končnem stanju Na koncu raziskave smo učence obeh skupin zopet anketirali o njihovem odnosu do matematike. Med skupinama ni statistično pomembnih razlik. Za učence obeh skupin je pomembno, da so dobri tako v matematiki, naravoslovju, jeziku in športu, obenem pa morajo imeti tudi zadosti časa za zabavo. Zanimivo je, da nekaj več kot polovica učencev meni, da je matematika njihovo močno področje, le okoli 10 % učencev pa meni, da matematika ni njihovo močno področje. Na vprašanje »Kako rad imaš matematiko?« je 70 % učencev ES odgovorilo, da imajo radi matematiko, obenem pa 57 % učencev KS nima rado matematike. Zelo pozitiven odnos do matematike učencev ES zagotovo pomeni, da se učitelji v devetletni osnovni šoli zavedajo, da mora biti tudi matematični pouk enovit proces, v katerem ni moč zaobiti ciljev, ki se nanašajo tudi na učenčevo čustveno razsežnost. Učitelji to naredijo laže in kvalitetneje v manjših, homogenih skupinah, ki jih omogoča nivojski pouk. Pri pouku matematike je pomembno, da učenci spoznajo in se ozavestijo, da matematično znanje ni stvar naključja ali posebnega daru, temveč plod večletnega dela, predhodnega znanja, refleksije, vztrajnosti in delavnosti. Razlike pri pouku matematike, ki so jih učenci opazili sami, so statistično pomembne pri sedmih spremenljivkah. Prav razlike v teh spremenljivkah kažejo, da je pouk matematike v osemletni osnovni šoli naravnan na memoriranje formul in postopkov, na učenje matematičnih dejstev, pri reševanju matematičnih problemov pa je pozornost naravnana na poučevanje, kako rešiti določen tip problema. Učenci samo usvajajo resnice in končna dejstva in delajo individualno s poudarkom na iskanju rezultata naloge. Učitelj med uro nekaj časa zapolni z reševanjem nalog v smislu kvantitete, zato je pouk bolj podoben treningu. Podobna je tudi funkcija pregleda domače naloge med poukom. Delitev učencev ES v homogene skupine omogoča učiteljem, da lahko uveljavijo nov koncept poučevanja matematike. Kljub homogenosti nivojskih skupin je v ES več individualizacije pouka. Delo v dvojicah ali manjših skupinah je pogosto, pouk matematike je usmerjen tudi v reševanje zahtevnejših, obsežnejših, strukturiranih nalog in problemov na višjih taksonomskih ravneh, kjer so pomembni tudi procesi in pristopi reševanja. Učenec mora razumeti problemsko situacijo, samostojno postaviti vprašanje, izbrati strategijo reševanja, utemeljiti ugotovitve in rešitve ter interpretirati rezultat. Temu smislu je namenjen tudi čas za pregled domače naloge v dvojicah med sošolcema. Kljub različni organizaciji pouka in različnemu konceptu poučevanja lahko zaključimo, da v odnosu do matematike ni velikih razlik med KS in ES. Analiza razlik v znanju matematike v končnem stanju Končni test je obravnaval temo Pitagorov izrek. Naloge smo razdelili glede na tri različne standarde znanja. Sklop Skupina n Aritmetična sredina M Standardni odklon SD Standardna napaka aritmetične sredine SE Minimalni standardi znanja Kontrolna 63 15,444 5,241 0,660 Eksperimentalna 63 19,825 4,517 0,569 Temeljni standardi znanja Kontrolna 63 8,667 4,479 0,564 Eksperimentalna 63 11,508 4,990 0,629 Zahtevnejši standardi znanja Kontrolna 63 6,540 5,171 0,651 Eksperimentalna 63 10,302 5,953 0,750 Tabela 1: Analiza razlik v znanju pri temi Pitagorov izrek Če primerjamo dosežek učencev med skupinami, ugotovimo, da je bila ES uspešnejša pri reševanju nalog, saj je razlika v znanju statistično pomembna, ne glede na standarde znanja. Za objektivno analizo dobljenih rezultatov smo v obdelavo podatkov vključili analizo kovariance. Vrednosti rezultatov v začetnem stanju namreč lahko različno popačijo rezultate v končnem stanju. Z analizo kovariance pa rezultate obeh skupin v končnem stanju izenačimo in s tem izničimo začetne razlike med skupinama. Vir variacije Vsota kvadratov Stopnje prostosti Srednji kvadrirani odklon F Raven statistične pomembnosti p Sospremenljivka Začetni test 14914,0 1 14914,0 224,78 0,0000 Skupini (ES in KS) 1171,48 1 1171,48 17,66 0,0001 Ostanek 8160,96 123 66,3493 Skupaj 26875,4 125 Tabela 2: Analiza kovariance Vpliv kovariable (ocena začetnega testa) je statistično značilen (p = < 0,05). Ob upoštevanju kovariable obstajajo statistično pomembne razlike (p = 0,00) po obravnavanjih, torej obstajajo razlike med kontrolno in eksperimentalno skupino v znanju matematike ob koncu raziskave. Analiza stališč učencev eksperimentalne skupine do nivojskega pouka Predpostavili smo, da bodo učenci eksperimentalne skupine imeli pozitivno stališče do nivojskega pouka. Postavili smo jim vprašanja o izbiri ravni zahtevnosti, zahtevnosti dela v nivojskih skupinah, o zadovoljstvu učencev z učnim uspehom, socialnih odnosih med učenci in o mnenju o nivojskem pouku. Učenec lahko zamenja raven zahtevnosti med šolskim letom, vendar učenci te možnosti skoraj ne izkoristijo, saj so v večini zadovoljni z izbiro. Učenci, ki niso zadovoljni (5 %), so pojasnili razloge za nezadovoljstvo s trditvami: učitelj slabo razloži snov; ker gre prehitro, nisem imel dobrih ocen; zaradi treningov veliko manjkam; ne dojamem celotne snovi, pa mi je ocena padla. Večini učencev se zdi zahtevnost nivojskega pouka primerna (86 %). Da je večina učencev izbrala primerno raven zahtevnosti, potrjuje podatek, da zelo malo učencev potrebuje inštrukcije pri matematiki. Učenci skorajda nimajo negativnih ocen. Učenci so uspeli obdržati prijateljske odnose tako v matičnih oddelkih kot tudi oblikovati dobre medsebojne odnose v nivojskih skupinah. Nivojski pouk ne deluje negativno na socialno življenje učencev v matičnem oddelku. Med predlogi učencev, kaj bi pri nivojskem pouku spremenili, so najpogostejši naslednji: radi bi boljšo razlago, nivojski pouk bi ukinili, kriterije ocenjevanja bi spremenili, radi bi bili z ostalimi učenci svojega oddelka. Omenjeni predlogi in pripombe kažejo, da je zadovoljstvo odvisno tudi ali predvsem od učitelja in njegove vloge pri poučevanju. Tudi Aylett (v Žagar, 2004) ugotavlja podobno: zadovoljstvo je odvisno od tega, koliko npr. učitelj s pohvalami pri učencih spodbuja njihova občutja lastne vrednosti, kako dobro se pripravi na pouk in koliko povratnih informacij daje učencem med uro matematike. Splošno mnenje učencev o nivojskem pouku je pozitivno, saj tako meni okoli 90 % vseh učencev. Zaključek Na podlagi vseh dobljenih rezultatov in njihovi analizi zaključimo: - Eksperimentalna skupina je uspešneje kot kontrolna skupina reševala matematične naloge. - V odnosu do matematike ni pomembnih razlik med eksperimentalno in kontrolno skupino. - Učenci eksperimentalne skupine imajo pozitivno stališče do nivojskega pouka. Rezultati raziskave kažejo, da delitev učencev pri pouku matematike na nivojske skupine daje možnosti za izboljšanje matematičnega znanja. Hkratno z uvedbo nivojskega pouka so se spremenili tudi učni načrti ter procesno-didaktični pristopi učenja in poučevanja matematike, kar skupaj s poukom v manjših homogenih skupinah vpliva na znanje matematike v osnovni šoli. Viri 1. Cotič, M. (1998): Uvajanje vsebin iz statistike in verjetnosti ter razširitev pojma matematičnega problema pri razrednem pouku matematike. Doktorsko delo. Filozofska fakulteta, Ljubljana. 2. Cotič, M. (2000): Prenova pouka matematike v prvem triletju devetletne osnovne šole. V: Medved-Udovič, V. (ur.), 25 let Enote v Kopru. Pedagoška fakulteta, Ljubljana, str. 28-31. 3. Dupriez, V. (2010): Methods of grouping Learners at school. UNESCO, Pariz. 4. Japelj-Pavešic, B. (2008): Matematični dosežki Slovenije v raziskavi TIMSS 2007. Pedagoški inštitut, Ljubljana. 5. Mutic, S. (2001): Konstruktivizem pri pouku matematike na razredni stopnji.Sodobna pedagogika, Vol. 52, No. 4, str. 179-182. 6. Slavin, R. E. (1987): Ability grouping and student achievement in elementary schools: a best-evidence synthesis. Review of educational research, 57, 293-336. 7. Slavin, R. E. (1990): Achievement Effects of Ability Grouping in Elementary and Secondary Schools: A Best-Evidence Synthesis. Review of Educational Research, 60,3. 8. Strmčnik, F. (2005): Učna diferenciacija in individualizacija v osnovni šoli (poudarek na delni zunanji diferenciaciji). Vzgoja in izobraževanje, Vol. 36, No. 2/3, str. 5-9. 9. Žagar, D. (2004): Nivojski pouk v devetletni osnovni šoli. Šolsko polje, Vol. 15, No. 5/6, str. 29-51. 10. Žakelj, A. (2005): Procesno-didaktični pristop in razumevanje matematičnih pojmov v osnovni šoli. Doktorsko delo. Filozofska fakulteta, Ljubljana. NIVOJSKI POUK MATEMATIKE V 1., 2. IN 3. LETNIKU GIMNAZIJE Ability Grouping at Mathematics in Grade 1, 2 and 3 of Grammar School Sonja Ivančič, ŠC Srečka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola sonja.ivancic@guest.arnes.si Povzetek Že več let učitelji v naši šoli opažamo, da se na gimnazijo vpisujejo dijaki z zelo različnim predznanjem, različnimi sposobnostmi, motivacijo za delo, različnimi učnimi slogi ter iz različnih socialnih okolij. Vse to zelo vpliva na delo in napredovanje dijakov ter seveda na delo učiteljev. Da bi v čim večji meri pouk prilagodili različnim učnim potrebam dijakov, smo v šolskem letu 2010/2011 v gimnazijskem programu v Šolskem centru Srečka Kosovela Sežana, Gimnazija in ekonomska šola, začeli izvajati projekt Posodobitev kurikularnega procesa v osnovnih šolah in gimnazijah - Preverjanje nekaterih elementov gimnazijskega programa s poskusom, ki ga vodi Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Eden od elementov poskusa, ki ga izvajamo, je izbirnost nivojev pri matematiki. Dijaki, ki so vključeni v poskus, se pri eni uri matematike od štirih na teden delijo na dva nivoja, osnovni in višji nivo. V prispevku so predstavljene bistvene značilnosti poteka poskusa in moje izkušnje s poučevanjem v takem oddelku: kako dijaki izbirajo nivoje, katere cilje smo si zadali in kako jih uresničujemo, katere oblike in metode dela uporabljam, kako preverjamo in ocenjujemo znanje, mnenja dijakov o nivojskem pouku in načrti za naprej. Analiza anketnega vprašalnika, ki so ga izpolnjevali dijaki drugih letnikov, vključenih v poskus pri matematiki, je pokazala, da so dijaki s takim načinom dela zadovoljni in da želijo z njim nadaljevati. Ključne besede: fleksibilna učna diferenciacija, nivojski pouk, motivacija, odgovornost za lastno znanje, spodbudno učno okolje. Abstract Teachers of our school have observed for years that pupils who enter the Grammar School come from different social background, have different prior knowledge, abilities, motivation and learning styles. All the mentioned factors affect the pupils' work, their progress, as well as the teachers' work. In order to adjust the school programmes to different pupils' learning needs, a new project was introducend by Grammar School and School of Economics at Srečka Kosovela Sežana School Center in the school year 2010/2011, called the Updating of Curriculum in primary and secondary schools led by the National Education Institute of the Republic of Slovenia. One of its basic elements of the experiment was a possibility of choosing levels in Mathematics. Students taking part in the project have three lessons out of four together while they are devided into two ability groups ( basic and higher level) in the fourth lesson The contribution presents the essential characteristics of the project work and my work experience with the mentioned class: the way pupils choose between the levels, the aims to be achieved, which teaching strategies or work methods are used, the way of examination and assessment, the pupils' opinions about the ability grouping and plans for the future. The analysis of the the second year students' answers to the questionaire show that the pupils are satisfied with such kind of work and they wish to continue with it in future too. Key words: flexible differentiation, levels, motivation, responsibility for their own knowledge, stimulating learning environment. Uvod Eden največjih izzivov pri mojem učiteljskem delu je, kako se odzivati na vedno raznovrstnejše potrebe dijakov in kako jim zagotoviti spodbudno učno okolje, v katerem bo lahko vsak dijak razvijal in pokazal največ, kar zmore, in bodo tudi učno šibkejši dijaki uspešni. Rezultati raziskave gimnazijskega programa so pokazali (Bela knjiga, 2011), da je večanje deleža generacije, vpisane v gimnazijski program, vodilo v heterogenost vpisanih dijakov, kar je mogoče razumeti kot pomemben argument za spremembe. Te lahko zmanjšujejo slabosti, ki jih prinašajo razlike med vpisanimi v gimnazije, in so (posredno) argument za uvedbo pouka na različnih ravneh znanja. Individualizacija in notranja diferenciacija sta potrebni, a ne zadoščata. Vsaj del osnovnošolcev pozna pouk na različnih zahtevnostnih ravneh že iz osnovne šole, navajeni pa so tudi drugačnih razmer dela, saj je v osnovni šoli povprečno število učencev v oddelku občutno manjše kot v gimnaziji. Pri matematiki kot enem od temeljnih predmetov že v osnovni šoli prihaja postopoma do razlik v znanju, zaradi katerih je v gimnaziji smiselno vpeljati pouk na dveh ravneh in tako najboljšim dijakom omogočiti, da v večji meri uresničijo svoje sposobnosti, učno šibkejšim pa omogočiti, da nadoknadijo primanjkljaj znanja (Bela knjiga, 2011). Različne šole, ki so se priključile k izvajanju poskusa Izvajanje ravni zahtevnosti v poskusu, so izbrale različne oblike nivojskega pouka. Na naši šoli smo izbrali fleksibilno učno diferenciacijo in individualizacijo. Z nivojskim poukom smo na naši šoli začeli z vsemi dijaki, ki so bili v šolskem letu 2010/2011 vpisani v prvi letnik gimnazije. V šolskem letu 2011/2012 smo v nivojski pouk dodatno vključili še vse dijake, ki so bili to leto vpisani v prvi letnik gimnazije. Projekt poteka dve leti in se bo z izvajanjem ravni zahtevnosti nadaljeval še eno leto. Tako sta v šolskem letu 2011/2012 v nivojski pouk vključena prvi in drugi letnik gimnazije, ki bosta s takim poukom nadaljevala tudi v šolskem letu 2012/2013. V projektu sodelujem od vsega začetka in v šolskem letu 2011/2012 poučujem en oddelek drugega letnika gimnazije. V svojem prispevku opisujem bistvene značilnosti poteka poskusa z dijaki, ki so vključeni v poskus od začetka, rezultate, ki smo jih dosegli, in svoje izkušnje s poučevanjem v takem oddelku. Opredelitev učne diferenciacije in individualizacije Diferenciacija pouka pomeni spreminjanje učnega tempa, ravni zahtevnosti in načina poučevanja, tako da jih prilagajamo individualnim potrebam učencev, njihovim učnim slogom in interesom (Heacox, 2009: 5). Učitelj kot usmerjevalec diferenciranega pouka ima naslednje naloge (Heacox, 2009: 10): • Učitelj občasno posameznim učencem ali skupini učencev odredi določeno, posebej njihovim potrebam in interesom prilagojeno dejavnost ali nalogo. • Učitelj uporablja različne oblike organiziranja učencev v učnem procesu. Lahko dela s celim razredom, učenci lahko delajo individualno, v dvojicah ali skupinah. • Učitelj prilagaja čas različnim potrebam učencev. Tistim, ki potrebujejo več razlage, ponavljanja in utrjevanja, bo namenil več časa za te učne dejavnosti, ostalim učen cem pa bo namenil več časa za zahtevnejše naloge. Po Strmčniku (Strmčnik, 1987: 12) je učna diferenciacija pretežno organizacijski ukrep, s katerim šola demokratično usmerja učence po določenih razlikah v občasne ali stalne homogene in heterogene učne skupine, da bi jim mogla pouk in učenje bolje prilagoditi. Učnih ciljev, vsebin, metod ipd. ne diferenciramo, ne ločujemo, marveč prej selektivno modificiramo in prilagajamo določenim učnim skupinam. Učence z različnimi zmožnostmi, zanimanji in potrebami kratkotrajno in demokratično ločujemo zato, da bi se skupaj z individualizacijo lažje spodbudil optimalni razvoj vsakega posameznika. Strmčnik (Strmčnik, 1987: 13) opredeljuje učno individualizacijo kot didaktično načelo, ki od učitelja zahteva, da odkriva, spoštuje in razvija utemeljene individualne razlike med učenci, da poučevanje prilagodi individualnim vzgojnim in učnim posebnostim, potrebam, željam in nagnjenjem posameznega učenca ter se mu omogoči kar se da samostojno učno delo. Vendar se učitelj ne sme slepo podrejati trenutnim ali le navideznim učnim nezmožnostim učenca, ker to ne bi bilo v prid njegovemu razvoju. Pomembna vloga učitelja je, da omogoči učni in razvojni napredek učenca, zato mora biti učna zahtevnost nekoliko nad učenčevimi trenutnimi zmožnostmi, ki bi jih aktiviral ob pomoči učitelja in s tem napredoval. Ko govorimo o učni diferenciaciji in individualizaciji, ne moremo mimo šolske selekcije. Bistvo le-te je običajno prisilno izbiranje in delitev učencev na podlagi določenih kriterijev. Če je selekcioniranje usklajeno z interesi in voljo učencev, ni konfliktno in je v zadovoljstvo vseh, ki so v tako izbiranje in ločevanje vključeni (Strmčnik, 1987: 15). Sistemi učne diferenciacije in individualizacije Poznamo tri sisteme učne diferenciacije in individualizacije: notranjo, zunanjo in fleksibilno učno diferenciacijo in individualizacijo (Strmčnik, 1987: 155). Ker na naši šoli izvajamo fleksibilno učno diferenciacijo, model sukcesivnega kombiniranja temeljnega in nivojskega učnega dela, bom podrobneje predstavila samo to. Fleksibilna učna diferenciacija in individualizacija S pojmom fleksibilna učna diferenciacija in individualizacija označujemo vse diferenciacijske in individualizacijske modele, ki obstajajo med zunanjo storilnostno in notranjo didaktično diferenciacijo. Zanje so značilni prepletanje heterogenih in homogenih, večjih in manjših učnih skupin, temeljnega in nivojskega pouka ter delna organizacijska, prostorska in časovna ločenost učnih skupin. Večji del pouka poteka v heterogenih učnih skupinah, kjer so deležni vsi učenci določenega razreda temeljnega znanja in sposobnosti, drugi del pouka pa poteka v bolj homogenih, težavnostno različno zahtevnih skupin (Strmčnik, 1987: 233). Poznamo več modelov fleksibilne diferenciacije in individualizacije (Strmčnik, 1987): sukcesivno kombiniranje temeljnega in nivojskega pouka, ki ga v naši praksi največkrat poenostavljeno poimenujemo nivojski pouk, timski pouk oziroma Team Teaching, diferenciacija ANKER, individualno načrtovan pouk, projektno učno delo, programirani in računalniški pouk, šole brez razredov, izbirna učna diferenciacija in individualizacija, interesne vzgojno-izobraževalne dejavnosti, dopolnilni pouk, dodatni pouk, šolska akceleracija. Sukcesivno kombiniranje temeljnega in nivojskega učnega dela Za ta model je značilno, da je učna vsebina predmeta razdeljena na temeljni in na nivojski del. Pouk poteka izmenično v heterogenih in homogenih učnih skupinah. V heterogenih skupinah si pridobivajo vsi učenci ne glede na učne zmožnosti in lastnosti skupno temeljno znanje določene učne vsebine. Takemu pouku sta namenjeni do dve tretjini skupnega učnega časa. Po predvidenem obdobju skupnega pouka razdeli učitelj učence na podlagi testnih rezultatov, upoštevajoč tudi njihove želje in interese, v dve ali več homogenih nivojskih učnih skupin. Šibkejši učenci pridobljeno znanje utrjujejo in dopolnjujejo, v učno najzahtevnejši skupini pa učno snov poglabljajo in razširjajo. Bolj kot za informativno širjenje znanja gre pri nivojskem pouku za razvijanje višjih kognitivnih sposobnosti in lastnosti (Strmčnik, 1987: 235). Poznamo dve organizacijski varianti sukcesivnega kombiniranja temeljnega in nivojskega pouka (Strmčnik, 1993: 107): znotrajoddelčno in medoddelčno učno diferenciacijo in individualizacijo. Mnogi učitelji govorijo o prednostih znotrajoddelčne učne diferenciacije, ki so (Benedičič, 2008: 15): učitelj dobro pozna svoje učence, lažje kombinira temeljni in nivojski pouk, ker je on edini izvajalec, sestavljanje nivojskih skupin je bolj zanesljivo, prehodi so enostavnejši, zato pogostejši, ocenjevanje je naravnejše. Ocena je globalno znanje učenca, ki ga lažje oceni en sam učitelj. Prednosti fleksibilne diferenciacije so (Strmčnik, 1987: 234): temeljne učne zahtevnosti so deležni vsi učenci, s čimer je zagotovljena večja učna pravičnost, homogene učne skupine so kratkotrajnejše, kriteriji grupiranja učencev so široki, med skupinami različne zahtevnosti je večja prehodnost, spodbujanje šibkejših učencev je bolj načrtno in zagotovljena je večja učna uspešnost učencev. Slabosti fleksibilne diferenciacije so (Strmčnik, 1987: 234): ne more povsem preprečiti stabiliziranja nivojskih učnih skupin, težko se usklajuje temeljna in dodatna učna zahtevnost, vezana je na zahteve in pogoje, ki le delno ustrezajo individualnim zmožnostim in položajem učencev, je organizacijsko zapletena, za učitelje pa veliko bolj obremenjujoča, ker se težko prilagajajo različno zahtevnim učnim skupinam, kriteriji ločevanja so nezanesljivi in učenci višjih socialnih slojev se pogosteje uvrščajo v višje skupine kakor učenci nižjih slojev. Nivojski pouk v praksi Opis izvajanja poskusa Ravnatelj nas je v začetku šolskega leta 2010/2011 podrobneje seznanil s potekom izvajanja projekta Posodobitev kurikularnega procesa na osnovnih šolah in gimnazijah -Izvajanje ravni zahtevnosti v poskusu pri matematiki, ki se je začel izvajati v drugi polovici šolskega leta 2010/2011. V prvi polovici šolskega leta so se dogajale intenzivne priprave na nivojski pouk. Projekt smo predstavili staršem in dijakom ter jih temeljito seznanili z nameni nivojske diferenciacije in s kriteriji razvrščanja. Vsi starši so se strinjali, da njihovi otroci lahko sodelujejo v omenjenem poskusu. Pri izbiri modela nivojskega pouka smo se opirali na teoretska izhodišča in izbrali fleksibilno učno diferenciacijo in individualizacijo, model sukcesivnega kombiniranja temeljnega in nivojskega pouka. Strmčnik (Strmčnik, 1987) ugotavlja, da je model sukcesivnega kombiniranja temeljnega in nivojskega pouka primeren in zelo uporaben v slovenskih šolah, ter predlaga, da bi ga bilo potrebno uvesti vsaj pri pouku matematike in tujega jezika. Pri treh učnih urah so dijaki v heterogeni skupini (v matičnem oddelku), pri eni učni uri pa se razdelijo v dve manjši, bolj homogeni skupini. V poskus sta bila vključena oba gimnazijska oddelka prvega letnika. Vsak oddelek poučuje drug učitelj. Po tehtnem razmisleku in pogovorih z osnovnošolskimi učitelji matematike, ki so že imeli izkušnje z nivojskim poukom, sva se učitelja, ki poučujeva v omenjenih oddelkih, odločila, da v istem oddelku oba nivoja poučuje isti učitelj. Pri odločitvi so bili v ospredju naslednji razlogi: učitelj, ki že poučuje v razredu tri ure, dijake bolje pozna in razume, kakšne so razlike med njimi, njihovimi interesi, učnimi slogi, nagnjenji, pripravljenostjo na delo in motiviranostjo. Dobro poznavanje dijakov pa je temeljnega pomena za uspešno diferenciranje pouka. Pri načrtovanju diferenciranega pouka nam zelo pomaga naše poznavanja trenutne ravni znanja dijakov. Do tega pridemo s pozornim poslušanjem in opazovanjem dijakov pri frontalnem pouku in pri njihovem individualnem delu. Taka neformalna preverjanja nam lahko pomagajo prepoznati splošne potrebe za pripravo diferenciranih dejavnosti (Heacox, 2009). Ker imamo celosten pogled na dijakovo znanje in delo v razredu, lažje ocenimo in dijaku svetujemo, kdaj je primeren trenutek za menjavo nivoja. Lažje je tudi ocenjevanje dijakovega znanja. Ocena predstavlja globalno znanje učenca, lažje ga oceni en sam učitelj. Nezanemarljivo pa je bilo tudi dejstvo, da sva se oba učitelja prvič srečala z nivojskim poukom in nisva vedela, kaj vse naju čaka na novi poti, vključno z dodatnim delom. Če vsak učitelj poučuje v svojem oddelku oba nivoja, ni potrebno neprestano usklajevanje glede dela pri nivojskih urah. Lažje je tudi kombiniranje temeljnega in nivojskega pouka. Izbiranje nivojev in prehajanje med nivoji Dijaki so razporejeni v dva nivoja, osnovni in višji nivo. V vsaki nivojski skupini je približno polovica celotnega oddelka. Ta številka nekoliko niha, ker dijaki lahko med letom prehajajo med nivoji. Pred razvrščanjem dijakov v nivojski skupini v šolskem letu 2010/2011 smo staršem in dijakom temeljito predstavili namen nivojske diferenciacije. Poudarili smo, da je glavni kriterij razvrščanja dijakovo predznanje oz. učni uspeh pri matematiki v prvem ocenjevalnem obdobju, pomembno vlogo pa igrajo tudi dijakove želje in interesi. Potem so se dijaki razvrstili v nivojski skupini. Večina dijakov se je razvrstila tako, kot bi jih jaz. Pri enem dijaku sem imela pomisleke in bi ga glede na učni uspeh razvrstila v osnovni nivo. Po pogovoru z dijakom sem ugotovila, da je zelo zavzet za delo v skupini za višji nivo, in ker njegovo znanje vseeno ni bilo tako slabo, sem se strinjala z njegovo izbiro višjega nivoja. Ta dijak je še vedno v skupini za višji nivo in dosega povprečne rezultate. Dijaki lahko tudi med letom prehajajo med nivojskima skupinama. Glavni kriterij prehoda je dijakova uspešnost (oz. neuspešnost) pri pouku. Pri tem se upoštevajo ocene, ki jih je dijak dobil pri pisnem in ustnem ocenjevanju znanja, in učiteljeva opažanja o napredku (oz. nazadovanju) dijaka. V prvem letniku so trije dijaki prešli iz višjega nivoja v osnovni nivo in en dijak iz osnovnega nivoja v višji nivo. V drugem letniku, torej v šolskem letu 2011/2012, so dijaki nadaljevali v isti nivojski skupini, v kateri so končali prvi letnik. V drugem letniku sta dva dijaka zamenjala nivojski skupini. Eden iz višjega v osnovni nivo ter eden iz osnovnega v višji nivo. Namen oz. cilji poskusa Z nivojskim poukom želimo v prvem letniku pri dijakih z nekoliko manjšim predznanjem pospešiti prilagajanje na gimnazijsko zahtevnost, pri dijakih z nekoliko višjim znanjem pa razviti matematične sposobnosti na višjem nivoju in poglobiti znanje. V višjih letnikih želimo pri dijakih na osnovni ravni doseči dobro temeljno znanje in postopno poglabljanje znanja, na višji ravni pa omogočiti tistim dijakom, ki to zmorejo in želijo, doseganje odličnosti znanja. To pomeni, da znajo uporabiti znanje v novih situacijah, da znajo kombinirati več pravil in pojmov pri soočanju z novo situacijo, da so samoiniciativni pri iskanju in reševanju matematičnih problemov iz vsakdanjega življenja, da izdelajo zahtevnejšo raziskovalno nalogo in da pri nivojskih urah obravnavamo tudi izbirne vsebine iz učnega načrta za gimnazijo. Prav doseganje odličnosti znanja je vse večji problem na gimnazijah, saj se je delež dijaške populacije samo v zadnjem desetletju povečal za približno 14 % (Bela knjiga, 2011). Pri vseh dijakih želimo doseči večjo odgovornost za njihovo lastno znanje in motiviranost za šolsko delo, kar naj bi bila posledica možnosti izbire nivojev. Ker imamo v razredu dijake z zelo različnimi učnimi potrebami, učnimi slogi in motiviranostjo, želimo z nivojskim poukom doseči tudi več osebnega in individualnega svetovanja ter pomoči dijakom. Za doseganje teh ciljev smo izbrali naslednje kazalnike: manj negativnih ocen, več prav dobrih in odličnih ocen, zadovoljnejši dijaki, uspeh na maturi, večje število dijakov, ki se odločijo za višji nivo na maturi. Opredelili smo tudi zbiranje podatkov: spremljanje učnega uspeha dijakov pri matematiki in števila dijakov, ki se odločijo za višji nivo na maturi, ter na koncu vsakega šolskega leta anketni vprašalnik za dijake. Razlike med ravnema zahtevnosti, preverjanje ter ocenjevanje znanja Tri ure na teden z vsemi dijaki obravnavamo vse vsebine splošnih in posebnih znanj po veljavnem učnem načrtu za gimnazijo. Pouka ne diferenciramo glede vsebin. Četrto uro se dijaki razdelijo v dva nivoja. Ta ura je namenjena predvsem utrjevanju in poglabljanju znanja. V osnovnem nivoju je poudarek predvsem na temeljnih znanjih, veliko je vaj nižjih taksonomskih stopenj in manj problemskega znanja, vendar le-to ni izključeno. Vsebino, ki je bila obravnavana pri skupnih urah, je velikokrat potrebno še enkrat razložiti. V višjem nivoju je poudarek na poglabljanju znanja, samostojnem učenju oz. vodenem odkrivanju. Dijaki rešujejo več nalog višjih taksonomskih stopenj, razvijajo kompleksna proceduralna znanja in problemska znanja. Nekajkrat na leto dobijo dijaki različnih nivojskih skupin različno domačo nalogo za daljše obdobje, nekajkrat pa vsak od dijakov dobi različno domačo nalogo, vendar iz iste učne vsebine. Te domače naloge pregledam, zato se morajo dijaki posebej potruditi, da jih rešijo, ker jih ne morejo kar prepisati od sošolcev, kar se na žalost velikokrat dogaja. Pri reševanju takih domačih nalog se veliko naučijo. Z vsakim dijakom posebej analiziram njegove napake. Tovrstne domače naloge so pri dijakih kar dobro sprejete. Pri preverjanju znanja dobijo dijaki enake naloge na obeh nivojih, vendar jih rešujejo vsak v svojem tempu in v skladu s svojimi sposobnostmi. Pri preverjanju znanja je veliko pogovora med učiteljem in dijakom. Pri ocenjevanju znanja ne delam razlik glede na nivo. Pri pisnem ocenjevanju znanja dobijo vsi dijaki enake teste. Na obeh nivojih lahko dijaki dosežejo ocene od nezadostne do odlične. Tudi pri ustnem ocenjevanju znanja ni razlik. Primeri nalog, ki smo jih reševali pri nivojski uri pri obravnavanju učne vsebine Uporaba kvadratne funkcije - ekstremalni problemi Vse spodaj predstavljene naloge so iz knjige (Brilej in drugi, 2005: 31). Osnovni nivo • Med vsemi pravokotniki z danim obsegom o poišči tistega, ki ima največjo ploščino. • Imamo 24 m dolgo žično ograjo. Z njo bi radi ogradili vrt v obliki pravokotnika ob dolgem ravnem zidu, tako da bi bila ploščina vrta največja. Kolikšne so mere vrta in kolikšna je njegova ploščina? • Katera točka na premici y = x + 2 je najbližja koordinatnemu izhodišču? • Vsota dolžin katet pravokotnega trikotnika je 25 cm. Določi dolžini katet tako, da bo hipotenuza najkrajša. Višji nivo • Imamo 24 m dolgo žično ograjo. Z njo bi radi ogradili vrt v obliki pravokotnika ob dolgem ravnem zidu, tako da bi bila ploščina vrta največja. Kolikšne so mere vrta in kolikšna je njegova ploščina? • Katera točka na paraboli y = x2 - 1 je najbližja točki A (o,^)? • Iz 28 dm dolge žice želimo narediti žična modela kvadrata in pravokotnika z osnovnico, ki bo trikrat daljša od višine. Pri izdelavi modelov porabimo vso žico. Koliko morajo meriti stranice obeh likov, da bo vsota ploščin kvadrata in pravokotnika najmanjša? • V krog s premerom 8 cm včrtaj trapez, ki ima za eno osnovnico premer kroga. Kolikšen je največji možni obseg trapeza? Doseganje učnih ciljev, razvijanje kompetenc in učne oblike ter metode dela V učnem načrtu za matematiko v gimnaziji so med drugim zapisani splošni cilji in kompetence pouka matematike. Ena od matematičnih kompetenc, ki naj bi jo razvijali, je uporaba informacijsko-komunikacijske tehnologije. Kvalitetno doseganje te kompetence je na naši šoli delno ovirano zaradi pomanjkanja informacijsko-komunikacijske tehnologije, če ne želimo vsega dela preložiti na domače delo dijakov. Na šoli imamo namreč dve računalniški učilnici, ki sta ves čas zasedeni, in mobilno računalniško učilnico z 12 prenosnimi računalniki. Pri 32 dijakih v razredu je delo z 12 majhnimi prenosnimi računalniki zelo omejeno in ne prinaša želenih rezultatov. To sem do sedaj reševala tako, da sem si pri poučevanju pomagala z demonstriranjem. Na računalniku sem uporabljala različne računalniške programe in sliko projicirala na interaktivno tablo. Večina tabelnih slik je bila interaktivnih zaradi interaktivne table. Dijaki so s pomočjo usmerjenega opazovanja in tudi individualnega raziskovanja na interaktivni tabli razvijali nove matematične pojme, posploševali in reševali naloge. Ta način dela so dijaki zelo pohvalili, ker veliko pripomore k boljšemu razumevanju obravnavane snovi. Učenje je namreč učinkovito, če novosti spoznamo s čim več čutili (Tomic, 1999). Z nivojskim poukom pa so se mi odprle dodatne možnosti poučevanja z uporabo informacijsko-komunikacijske tehnologije. Zaradi manjših skupin so lahko dijaki samostojno ali v paru delali na prenosnih računalnikih. Pri delu so uporabljali različne računalniške programe, s pomočjo katerih so usvajali nove pojme, modelirali, preiskovali in reševali različne probleme. S takim delom smo vsi zelo zadovoljni in bomo z njim tudi nadaljevali. Seveda bom pri pouku še vedno uporabljala demonstracijsko metodo. Poleg matematične kompetence lahko učitelji matematike z ustreznimi načini dela spodbujamo še razvoj drugih kompetenc. Prednost nivojskega pouka vidim pri razvijanju učenja učenja (načrtovanje lastnih aktivnosti, odgovornost za lastno znanje, samostojno učenje, delovne navade), samoiniciativnosti in podjetnosti (ustvarjalnost, dajanje pobud), razvijanju osebnostnih kvalitet (medsebojne vrednote, socialnost, obvladovanje čustev) in razvijanju pozitivne samopodobe. Za doseganje ciljev in kompetenc pouka matematike pri nivojskem pouku kombiniram različne oblike in metode dela. Glede na obravnavano učno enoto izbiram med naslednjimi oblikami dela, ki so se izkazale za učinkovite: delo z učnimi listi, posvetovanje v skupini, pogovor, individualno delo, delo z računalnikom, delo v parih, ponovne, drugačne razlage - individualizacija. Poudarek je predvsem na aktivni vlogi dijaka. Najpogostejše učne metode, ki jih uporabljam, so vodeno učenje, vodeno odkrivanje, demonstracijska metoda in reševanje problemov kot posebna učna metoda (Strmčnik, 1992). Navajam primere nalog, ki so jih dijaki reševali pri nivojski uri z uporabo matematičnega programa Graph. Naloge so reševali v parih. Osnovni nivo Razišči vpliv koeficientov kvadratne funkcije / (x) = ax2 + bx + c, a ^ 0 na obliko in lego grafa kvadratne funkcije v pravokotnem koordinatnem sistemu. Najprej obravnavaj primer, ko je Zapiši pogoje za koeficiente kvadratne funkcije, da bo funkcija soda. Zapiši primer take funkcije. Pri reševanju vseh nalog si pomagaj s programom Graph. Višji nivo Razišči vpliv koeficientov kvadratne funkcije / (x) = ax2 + b x + c, a ^ 0 na obliko in lego grafa kvadratne funkcije v pravokotnem koordinatnem sistemu. Zapiši pogoje za koeficiente kvadratne funkcije, da bo funkcija soda. Zapiši primer take funkcije. Zapiši pogoje za koeficiente kvadratne funkcije, da bo zaloga vrednosti funkcije interval ( - oo, 0 ] . Pri reševanju vseh nalog si pomagaj s programom Graph. Izkušnje dijakov z nivojskim poukom - analiza anketnega vprašalnika Ob koncu šolskega leta sem dijake z anketnim vprašalnikom povprašala o njihovih izkušnjah z nivojskim poukom. Anketiranje sem izvedla junija 2011 in maja 2012. V nadaljevanju so predstavljeni rezultati za leto 2012. Odgovori dijakov osnovne ravni zahtevnosti Sodelovalo je 16 dijakov. Vsi dijaki so odgovorili, da so zelo zadovoljni z organizacijo nivojskega pouka. Več kot 80 % dijakov je mnenja, da se pri nivojskih urah veliko naučijo. Eden od dijakov razmišlja o menjavi nivoja. Kar 90 % jih je odgovorilo, da pri nivojskih urah srednje do zelo radi sodelujejo. Vsi so odgovorili, da jim nivojske ure pomagajo, da bolje razumejo snov. Skoraj 80 % jih je mnenja, da njihove ideje pridejo bolj do izraza. Skoraj vsi razen enega pri uri vprašajo, če česa ne razumejo. Menijo, da jim učitelj nameni več pozornosti in da delitev koristi večini dijakov. Na vprašanje, ali želijo nadaljevati z nivojskim poukom, so vsi razen enega odgovorili, da želijo. Povprašala sem jih tudi po njihovih predlogih za naslednje šolsko leto. Večina jih je s takim delom zadovoljna, dva dijaka sta predlagala še več uporabe računalnika, en dijak pa več preverjanj znanj. Pri dobrih straneh nivojskega pouka so posebej izpostavili veliko vaj, ponovno razlago obravnavane snovi, če je potrebno, manjše število dijakov v skupini, torej več možnosti za sodelovanje, in homogenost skupine, kjer si upajo vprašati. Samo trije dijaki so omenili slabe strani: razbijanje matičnega razreda, dijaki osnovnega nivoja nimajo istega znanja kot dijaki višjega nivoja. Odgovori dijakov višje ravni zahtevnosti Sodelovalo je 14 dijakov. Vsi dijaki so odgovorili, da so zelo zadovoljni z organizacijo nivojskega pouka. Skoraj 80 % dijakov je mnenja, da se pri nivojskih urah veliko naučijo. Trije dijaki razmišljajo o menjavi nivoja. Več kot 90 % jih je odgovorilo, da pri nivojskih urah srednje do zelo radi sodelujejo. Vsi so odgovorili, da jim nivojske ure pomagajo, da bolje razumejo snov. Skoraj 80 % jih je mnenja, da njihove ideje pridejo bolj do izraza. Trije dijaki so mnenja, da njihove ideje sploh ne pridejo do izraza. Ker je bila anketa anonimna, predvidevam, da so to slabši dijaki. Ti so običajno počasnejši in jih zato z idejami prehitijo boljši dijaki. Skoraj vsi razen enega vprašajo, če česa ne razumejo. Menijo, da jim učitelj nameni več pozornosti in da delitev koristi večini dijakov. Na vprašanje, ali želijo nadaljevati z nivojskim poukom, so vsi razen enega odgovorili, da želijo. Z delom pri nivojskih urah so zadovoljni, saj želijo, da tako ostane tudi v prihodnje, in niso imel i nobenih predlogov. Pri dobrih straneh nivojskega pouka so posebej izpostavili, da v višjem nivoju nadgrajujejo znanje in se ne dolgočasijo z osnovnimi primeri, da je veliko vaj ter da je pouk individualiziran z dodatno razlago posameznikom. Pri slabih straneh sta dva dijaka menila, da ima včasih višji nivo več nalog, da se razbija matični razred ter da v osnovnem nivoju nimajo istega znanja kot v višjem. Primerjava rezultatov anketnih vprašalnikov (junij 2011 in maj 2012) pokaže, da so bili dijaki v letošnjem šolskem letu (2011/2012) bolj zadovoljni z nivojskim poukom kot lansko šolsko leto (2010/2011). Temu pripisujem tudi dejstvo, da prvo leto nisem imela izkušenj z nivojskim poukom. Zaključek Na dosežke in izkazano znanje vpliva vrsta dejavnikov: načini učenja in poučevanja, zahtevnost vsebin, motiviranost in sposobnost dijakov, populacija, socialno okolje in drugo. Z doseženim znanjem dijakov v prvih dveh letnikih smo zadovoljni in ugotavljamo, da uspešno uresničujemo zastavljene cilje glede učnega uspeha dijakov. Imamo malo negativnih ocen (2 %) in sorazmerno veliko prav dobrih in odličnih ocen (16 % prav dobrih in 23 % odličnih). Ker pa nimamo kontrolne skupine dijakov, ne moremo z gotovostjo trditi, do kolikšne mere je na to vplival nivojski pouk oz. sposobnost dijakov nasploh. Zelo dobro nam je tudi uspelo uresničiti cilj, da naj bo pri poučevanju več osebnega, individualnega svetovanja in pomoči dijakom. To so potrdili dijaki z anketnim vprašalnikom. Zadnji cilj, ki smo si ga zadali, je večja odgovornost dijakov za lastno znanje. Opažam, da je ta cilj bolj dosežen pri dijakih, ki obiskujejo višji nivo, in tistih dijakih, ki si želijo priti v višji nivo. Z nivojskim poukom bomo nadaljevali tudi v tretjem letniku. Posebno pozornost bom namenila temu, da bo vsak dijak čim večkrat dobil priložnost, da se upošteva njegova ideja pri reševanju matematičnih problemov, ter da se še poveča odgovornost dijakov za njihovo lastno znanje. Ker je pozitiven odnos do nivojskega pouka pri vseh vpletenih straneh, pri dijakih, starših in učitelju, sem prepričana, da uspeh ne bo izostal. Moje izkušnje z nivojskim poukom so pozitivne, veliko sem pridobila pri strokovnem razvoju in osebni rasti. Leta 2014 se projekt zaključi. Želim si, da bi nivojski pouk čim prej vpeljali v vse slovenske gimnazije. Viri 1. http://www.belaknjiga2011.si/pdf/bela knjiga 2011.pdf (10. 5. 2012). 2. Brilej, R. in drugi (2005): OMEGA 2: elementarne funkcije, kompleksna števila: zbirka nalog za matematiko v 2. letniku gimnazijskega izobraževanja. Ataja, Ljubljana. 3. Heacox, D. (2009): Diferenciacija za uspeh vseh: predlogi za uspešno delo z učenci različnih zmožnosti: preizkušeni nasveti in zamisli za učinkovito poučevanje. Rokus Klett, Ljubljana. 4. http://www.pedagogika-andragogika.com/files/diplome/2008-Benedicic-Simona.pdf (5. 5. 2012). 5. Strmčnik, F. (1987): Sodobna šola v luči učne diferenciacije in individualizacije. Zveza organizacij za tehnično kulturo Slovenije s pomočjo Izobraževalne skupnosti Slovenije, Ljubljana. 6. Strmčnik, F. (1992): Problemski pouk v teoriji in praksi. Didakta, Radovljica. 7. Strmčnik, F. (1993): Učna diferenciacija in individualizacija v naši osnovni šoli. Zavod Republike Slovenije za šolstvo in šport, Ljubljana. 8. Tomic, A. (1999): Izbrana poglavja iz didaktike. Center za pedagoško izobraževanje Filozofske fakultete, Ljubljana. 9. Žakelj, A. (2003): Kako poučevati matematiko: teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 10. Žakelj, A. (2003): Nivojski pouk matematike v gimnaziji - 4. Letnik. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 11. Žakelj, A. in drugi (2008): Učni načrt. Matematika: gimnazija: splošna, klasična in strokovna gimnazija: obvezni predmet in matura (560 ur). Ministrstvo za šolstvo in šport: Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. NAČINI REŠEVANJA BESEDILNIH NALOG Methods of Solving Textual Tasks Lea Bole3, Sara Kalaveshi4, Katja Vodlan5, Vilma Moderc6, OŠ Valentina Vodnika Ljubljana lea.bole@gmail.com, sarakalaveshi@hotmail.com, katy.drsalka@hotmail.com, vilma.moderc@siol.net Povzetek Besedilne naloge običajno rešujemo tako, da poiščemo znane in neznane količine in jih povežemo z enačbo. Te metode se načrtno lotevamo pri pouku matematike v 9. razredu OŠ. Učenci pa besedilne naloge rešujejo že prej. Ker večina učencev enačb še ne zna nastaviti, do rešitve najpogosteje pridejo s poskušanjem. Za raziskovalno nalogo smo se odločile, ker nas je zanimalo, kaj je ključno za uspešno rešeno besedilno nalogo in ali obstaja povezava med načinom reševanja problema in učnim uspehom pri matematiki. V analizo načinov reševanja besedilnih nalog smo vključile 128 učencev osmega in 292 učencev devetega razreda iz petnajstih osnovnih šol. Pri raziskavi smo prišle do ugotovitev, da vrstni red nalog vpliva na uspešnost reševanja, da na uspešnost reševanja vplivata bralna in matematična pismenost, da so učenci brez teoretičnega znanja matematike bolj iznajdljivi in izvirni pri reševanju nalog, večinoma pa so prav tako uspešni kot tisti, ki nalogo poskušajo rešiti z nastavljanjem enačbe, da so glede uspešnosti boljši reševalci učenci, torej fantje, in da so bili v raziskavo zajeti učenci šol zunaj Ljubljane boljši reševalci kot učenci ljubljanskih OŠ. Ključne besede: besedilne naloge, branje z razumevanjem, matematična pismenost, strategije reševanja, matematično znanje. Abstract Mathematical textual tasks are offen solved by identifying known and unknown quantities and finding logical connections between them. This method is systematically presented in grade 9 of primary school. Pupils encounter textual tasks already in earlier grades. Since most of the pupils do not know how to set equations, the most commonly used strategy is random trying. The presented research work was done due to our wish to discover, what the fundamental key for successfully solved textual tasks is and the correlation between the solving approach and learner's mathematics marks. There are 128 grade 8 and 292 grade 9 pupils from 15 different primary schools included in this research. The conclusions of the research are: the success in solving tasks depends on the order the tasks given, on pupils' reading and mathematical literacy; pupils with lower theoretical mathematical knowledge are more ingenious and creative in solving problems, but mostly they are as successful as the ones who try to solve the puzzle by setting up the equation; boys are more successful in doing this and pupils from the schools outside Ljubljana city solved problems more successfully than those in Ljubljana. Key words: word problems, reading understanding, mathematical literacy, solving strategies, mathematical knowledge. 3 Mlada raziskovalka 4 Mlada raziskovalka 5 Mlada raziskovalka 6 Mentorica mladih raziskovalk Uvod Besedilne naloge so področje, ki ga raziskovalci že leta zaznavajo kot problematično (Japelj Pavešič, 2011). Učenec se reševanja besedilne naloge pri matematiki lahko loti na način, v katerega ga učitelj usmeri. Predpostavljamo, da učenci, ki predpisanega načina ne poznajo, lahko kljub temu nalogo uspešno rešijo. Lotile smo se tudi raziskovanja povezave med oceno iz matematike in številom pravilno rešenih nalog ter sposobnostjo branja z razumevanjem. Pri sestavljanju nalog smo si pomagale z različno literaturo (Brilej, 2000; Dolinar, 2005: 125, Dornik, 2005: 42, 45, 53, 72, 83, 90; Hernja, 1999: 516, Jagodnik, 2007: 202). Postavile smo hipotezo, da lahko učenci ne glede na zaključno oceno iz matematike pridejo do rešitve besedilne naloge. Predpostavile smo, da se učenci med seboj razlikujejo po postopkih reševanja in da učenci z višjo zaključno oceno iz matematike pogosteje izbirajo algebrske načine reševanja. Pri preverjanju veljavnosti hipotez smo si pomagale z besedilnimi nalogami, ki pri reševanju od učenca zahtevajo različne stopnje znanja glede na zahtevnost učnih ciljev, ki jih naloge zajemajo. Pri tem smo se opirale na didaktično literaturo, ki je dostopna v slovenskem šolskem prostoru (RutarIlc, 2003; Jagodnik 2007; Žakelj in Ivanuš Grmek, 2010). Izbrane naloge smo razporedile takole: Lažja naloga: Helena, Joži, Anja in Marko so kupili komplet srečk 3 x 3. Razmerje med njihovimi deleži pri plačilu tega kompleta je bilo 3 : 2 : 4 : 1. Ker je bila izžrebana ena srečka iz tega kompleta, so prejeli 2000 €. Denar so si razdelili v istem razmerju, kot so bili njihovi deleži pri plačilu srečk. Koliko je prejela Anja? Najlažja naloga: Križevec je eden naših največjih pajkov. Doseže tudi do dva centimetra velikosti. Koliko ima oči, koliko pipalk, koliko členastih nog in koliko bradavic, če ima dvakrat več oči kot pipalk in dvakrat več členastih nog kot pipalk ter dve bradavici manj kot oči? Skupaj ima 26 delov. Lahka naloga: Na mizi je v petih kupih enako število kart. Če iz teh kart naredimo samo tri enako velike kupe, šteje posamezni kup 10 kart več kot prejšnji. Koliko kart je na mizi? Srednje težka naloga: Samo je odšel za tri tedne na počitnice. Odločil se je, da bo polovico denarja, ki ga je vzel s sabo, porabil prvi teden, drugi in tretji teden pa bo porabil preostanek, vsak teden enako. Ker so bile cene v kraju, kjer je počitnikoval Samo, zelo visoke, je v prvem tednu porabil za tretjino več denarja, kot je načrtoval. Zato je v drugem tednu varčeval in porabil tretjino manj denarja, kot je načrtoval. Koliki del denarja, ki ga je za tritedenske počitnice namenil Samo, mu je ostalo za tretji teden? Zahtevna naloga: Gregor se je za maraton pripravljal sedem tednov, vsak teden je šel teč trikrat. Vsak naslednji teden je pretekel 6 km več kot prejšnji teden. Vsak teden je dvakrat tekel enako razdaljo, tretjič v tednu pa 5 km krajšo. Koliko kilometrov je pretekel na zadnjem teku pred maratonom, če je skupaj pretekel 280 km? Načine reševanja petih različnih besedilnih nalog s področja matematike smo obdelale pri 138 učencih osmega razreda in 292 učencih devetega razreda v šolskem letu 2011/12. V anketo je bilo skupaj vključenih 430 učencev. Najprej je raziskava potekala med osmošolci in devetošolci iz večine ljubljanskih šol, ki spadajo v študijsko skupino za matematiko s sedežem v OŠ Dravlje. Te šole so bile: OŠ Franca Rozmana Staneta, OŠ Koseze, OŠ Miška Kranjca, OŠ Riharda Jakopiča, OŠ Šentvid, OŠ Šmartno pod Šmarno goro, OŠ Vižmarje Brod, OŠ Medvode, OŠ Pirniče, OŠ Preska, OŠ Simona Jenka Smlednik, OŠ Vodice in OŠ Valentina Vodnika. Učenci omenjenih šol so sestavljali prvi nabor. Vsebinsko enak anketni vprašalnik s spremenjenim vrstnim redom besedilnih nalog so nam nato vrnili še iz OŠ Frana Kranjca Celje, OŠ Črnomelj, OŠ Idrija in OŠ Center iz Novega mesta -izpolnjevali so ga učenci drugega nabora. Raziskava Uspešnost reševanja posamezne naloge glede na vrstni red nalog Naloge je najprej reševalo 107 osmošolcev in 238 devetošolcev - v naši raziskavi učenci prvega nabora. Njihove rezultate smo predstavile na spodnjih grafih. 100% 90%-80%-70%-60%-50%-40%-30%-20%-10% 0% 1. naloga 2. naloga 3. naloga 4. naloga 5. naloga □ nedokončana naloga □ naloga ni rešena □ napačno rešena naloga □ pravilno rešena naloga Graf 1: 1. nabor: 8. razred. Kako so reševali? 100%-90%-80%- ^ 70%- ^ 60%- ^ 50%- ^ 40%-30% 20% 10% nni jštj ü □ nedokončana naloga □ naloga nI rešena □ napačno rešena naloga □ pravilno rešena naloga — S 1. naloga 2. naloga 3. naloga 4. naloga 5. r Graf 2: 1. nabor: 9. razred. Kako so reševali? Peta naloga je bila pri učencih prvega nabora slabo rešena. Pravilno jo je rešilo malo učencev, veliko učencev pa se te naloge sploh ni lotilo. Zato nas je zanimalo, ali je naloga prezahtevna. V ta namen smo spremenile vrstni red nalog in izbrale druge kraje bivanja učencev. V raziskavi so to učenci t. i. drugega nabora. Zaradi večje preglednosti predstavljamo še tabelo o razporejenosti nalog obeh naborov. 26 28 11 12 15 17 35 26 91 27 10 39 108 50 24 93 171 68 149 97 61 94 46 78 0% 1. nabor nalog 2. nabor nalog 1. naloga —> 4. naloga 2. naloga —> 5. naloga 3. naloga —> 3. naloga 4. naloga —> 2. naloga 5. naloga —> 1. naloga Tabela 1: Razporejenost nalog prvega in drugega nabora. Naloge drugega nabora je reševalo 31 osmošolcev in 54 devetošolcev. Prišle smo do rezultatov oziroma ugotovitev, ki so predstavljeni na dveh grafih: 100%-90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20%-10% 0% □ nedokončana naloga □ naloga ni rešena □ napačno rešena naloga □ pravilno rešena naloga / 1. naloga 2. naloga 3. naloga 4. naloga 5. naloga 100% n 90% Fi / 7 9 — 7 7 a 80% / 13 13 11 <0 C (0 70% / 16 / H 03 60% □ nedokončana naloga (U 2 45 £L 45 >N ,, ® 44 O O 43 46,9 51,4 □ moški spol □ ženski spol 1. naloga 2. naloga 3. naloga 4. naloga 5. naloga Graf 7: Delež pravilnih odgovorov glede na spol S pomočjo izračuna smo prišle do ugotovitve, da je bilo v naši raziskavi pri reševanju uspešnih 50,3 odstotka učencev in 49,7 odstotka učenk. Naše predvidevanje se je izkazalo za pravilno. Načini reševanja nalog in zaključna ocena Najprej nas je zanimalo, kateri način reševanja pri posamezni nalogi so pri obeh naborih skupaj najpogosteje izbrali osmošolci in katerega devetošolci. Zbirnik je predstavljen v spodnjih dveh tabelah. 1. naloga 2. naloga 3. naloga 4. naloga 5. naloga reševanje z deleži in odstotki zapis direktnega odgovora grafično -aritmetični način reševanja grafično -aritmetični način reševanja reševanje s poskušanjem v povezavi z zapisi računov Tabela 4: Najpogostejši način reševanja osmošolcev 80 ~ 70 u 70 60 60 E 50 T3 50 O 40 B 40 30 30 20 "R 20 0 C 10 — 54 53,1 m 53 52 51,5 50,9 50,8 U 51 > 50 O 8,6 O 49 - — O ra 48 47 1. naloga 2. naloga 3. naloga 4. naloga 5. naloga reševanje z zapisom razmerja oziroma sorazmerja reševanje z zapisom enačbe reševanje z zapisom enačbe reševanje z zapisom enačbe ter reševanje z grafično -aritmetično metodo reševanje z zapisom enačbe Tabela 5: Najpogostejši način reševanja devetošolcev Nato smo preverjale, ali je uspešno rešena naloga povezana tudi s številčno oceno iz matematike. V ta namen je v uvodnem delu anketnega vprašalnika vsak učenec zapisal svoji oceni iz matematike v zadnjih dveh razredih. Tabeli v nadaljevanju prikazujeta povezavo med zaključnimi ocenami iz matematike in izbiro načina reševanja posamezne naloge. osmošolci devet tošolci 1. naloga: odl (5), db (3), odl (5), db (3), pdb (4) zd (2) pdb (4) zd (2) opisni način 5 1 4 0 grafično-aritmetični način 1 0 0 0 algebrski način 57 5 161 37 direkten odgovor ali poskušanje 11 1 5 7 2. naloga: odl (5), db (3), odl (5), db (3), pdb (4) zd (2) pdb (4) zd (2) opisni način 9 0 5 2 grafično-aritmetični način 1 0 0 0 algebrski način 5 1 125 20 direkten odgovor ali poskušanje 67 7 13 19 3. naloga: odl (5), db (3), odl (5), db (3), pdb (4) zd (2) pdb (4) zd (2) opisni način 2 1 4 0 grafično-aritmetični način 14 1 6 2 algebrski način 35 0 74 10 direkten odgovor ali poskušanje 8 0 5 3 4. naloga: odl (5), db (3), odl (5), db (3), pdb (4) zd (2) pdb (4) zd (2) opisni način 4 0 1 0 grafično-aritmetični način 6 2 2 0 algebrski način 74 10 28 1 direkten odgovor ali poskušanje 5 3 4 1 5. naloga: odl (5), db (3), odl (5), db (3), pdb (4) zd (2) pdb (4) zd (2) opisni način 0 0 2 0 grafično-aritmetični način 1 0 0 0 algebrski način 8 1 20 0 direkten odgovor ali poskušanje 1 0 0 0 Tabela 6: Načini reševanja v povezavi z učnim uspehom Diskusija O besedilnih nalogah je v slovenskem šolskem prostoru zapisanega že precej (npr. Rutar Ilc, 2003; Jagodnik, 2007; Žakelj in Ivanuš Grmek, 2010). V naši raziskavi je bila najbolje rešena besedilna naloga, ki po taksonomskih stopnjah spada med najlažje naloge. Povzele smo taksonomijo, ki jo uporablja raziskava TImSs (Japelj Pavešič, 2011). Najslabše pa so učenci reševali besedilno nalogo, ki po taksonomiji spada med zahtevnejše naloge. Ugotavljamo, da devetošolci težijo k zapisu enačbe in če jim ta ne uspe, nalogo izpustijo. Osmošolci so bolj iznajdljivi in ustvarjalni ter neobremenjeni z zapisom enačbe. Iščejo svojo pot in v večini primerov rešitev najdejo. Glede uspešnosti so boljši reševalci fantje osmega razreda. Pri devetošolcih so več nalog uspešno rešila dekleta. Če odmislimo razred, ki ga reševalec obiskuje, potem so boljši reševalci fantje. To so pokazali pri prvi, drugi, tretji in peti nalogi. V splošnem so dekleta bolje reševala le četrto nalogo. Učenci se med seboj razlikujejo po postopkih, ki jih uporabljajo na poti do rešitve. Med osmošolci so se reševanja z enačbo, ne glede na zaključno oceno iz matematike, lotili učenci le pri prvi nalogi. Pri drugih nalogah so tak način reševanja v večini primerov ohranili le odličnjaki. Drugi učenci so, če so nalogo že rešili, izbirali opisni način reševanja, grafično-aritmetični način reševanja oziroma so do rešitve prišli s poskušanjem. Pri devetošolcih algebrski način reševanja izstopa pri vseh nalogah. Posluževali so se ga vsi učenci, ne glede na zaključno oceno iz matematike. Ugotavljamo, da se z obravnavo enačb in besedilnih nalog v devetem razredu zatre iznajdljivost pri samosvojih načinih reševanja besedilnih nalog. Ugotavljamo, da so učenci brez teoretičnega znanja bolj iznajdljivi in izvirni pri reševanju nalog, večinoma pa prav tako uspešni kot tisti, ki naloge poskušajo rešiti z nastavljanjem enačb. Uspešnost reševanja je vezana tudi na vrstni red nalog. Z njim je usmerjena pozornost in učenec se naloge loti, čeprav je zahtevnejša. Poskus, ki smo ga izvedle, je pokazal, da učencem koncentracija pade. Ob omejitvi reševanja na eno šolsko uro je marsikomu tudi zmanjkalo časa. To, da naloge učenec ni rešil pravilno ali se je celo ni lotil, ne pomeni nujno, da je ne bi znal rešiti. Uspešnost reševanja je povezana tudi z zaključno oceno iz matematike. To smo opazile ne le pri izbiri zahtevnejšega načina reševanja, ampak tudi pri tem, da je manj kot desetina osmošolcev z dobro ali zadostno oceno iz matematike uspela rešiti posamezno nalogo. Pri devetošolcih je bilo takih učencev približno ena petina, a le pri prvi nalogi, ki je za devetošolce tipično šolska. Pri pregledu pravilnih rešitev smo ugotovile, da je bila uspešnost reševanja povezana tudi z dolžino in zahtevnostjo besedila. Pri preprostejši besedilni nalogi so si učenci lahko ustvarili predstavo o vsebini naloge, prav tako niso imeli težav pri preprostejši nalogi z večjim številom povedi. Obe nalogi sta bili uspešno rešeni v več kot dveh tretjinah primerov. Največ težav z razumevanjem prebranega besedila je bilo pri vsebinsko zahtevnejši nalogi, čeprav besedila ni bilo veliko, saj je nalogo uspešno rešilo nekaj manj kot ena desetina reševalcev. Napačni odgovori besedilne naloge kažejo na to, da reševalec ali ne zna matematične vsebine, ki jo naloga zahteva, ali pa ne zna prebrati besedila naloge in ga razumeti. Tako kot bralna pismenost je pri reševanju besedilnih nalog pomembna tudi matematična pismenost. Obe vrsti pismenosti z učenci rasteta (Japelj Pavešič, 2011). Pokazalo se je, da so bili v raziskavo zajeti učenci osnovnih šol zunaj Ljubljane boljši reševalci kot učenci ljubljanskih osnovnih šol. Poleg uspešnosti so se izkazali tudi v izvirnosti načinov reševanja besedilnih nalog, sistematičnosti pri zapisu poteka reševanja ter urejenosti izdelka, ki so ga oddali. V raziskavi o vplivu socialnega okolja na rezultate NPZ (Žakelj in Ivanuš Grmek, 2010:105-106) smo zasledile povezavo med uspešnostjo učencev in okoljem, iz katerega izhajajo. Zanimivo bi bilo raziskati socialno-kulturno okolje učencev ljubljanskih osnovnih šol v primerjavi z učenci osnovnih šol zunaj Ljubljane. Zaključek Ugotovitev, do katerih smo prišle, smo vesele. Veselja ne prinašajo le rezultati raziskave, v katero smo zajele 430 sošolcev in vrstnikov po vsej Sloveniji, ki so nam pokazali, na kakšne načine se lotevajo reševanja matematičnih besedilnih nalog. Veselje prinaša spoznanje, da smo bile sposobne združiti moči in sposobnosti, zagristi v obsežno delo in vztrajati toliko časa, da so bile vse prispele kuverte z nalogami obdelane, zbirniki narejeni in ugotovitve zapisane. Ob zaključku bi rade sporočile temeljno spoznanje, do katerega smo prišle: dobro bomo reševali besedilne naloge, če bomo besedilo prebrali z razumevanjem in si predstavljali to, kar smo prebrali. Le tako bomo zmogli na svoj način poiskati pot do odgovora. Bistrejši si bo najpogosteje pomagal z enačbami, drugi bo z risanjem, sklepanjem ali poskušanjem prišel do rešitve problema. A če nikakor ne bo šlo, se bomo povezali med seboj in si pomagali. V povezanosti in slogi je moč. Viri 1. Brilej, R. (2000): Vzorci preizkusov znanja iz matematike ob zaključku osnovne šole. Ataja, Ljubljana. 2. Dolinar, G. Felda, D., Željko, M. (2005): Evropski matematični kenguru 2002-2004. Algebra, DMFA - ZALOŽNIŠTVO, Ljubljana. 3. Turk, M., Vehovec, M., Smolej, T., Dornik, M., (2005): Kocka 9: Učbenik za 9. razred osnovne šole. Modrijan, Ljubljana. 4. Hernja, S. (1999): Igraje skozi matematiko 7: delovni zvezek, III. del. Rokus, Ljubljana. 5. Rutar Ilc, Z. (2003): Pristopi k poučevanju, preverjanju in ocenjevanju znanja. ZRSŠ, Ljubljana. 6. Jagodnik, A. (2007): Reševanje matematičnih nalog med slovenskimi osnovnošolci v raziskavi TIMSS 2007. Pedagoški inštitut, Ljubljana. 7. Žakelj, A. Ivanuš Grmek, M. (2010): Povezanost rezultatov pri NPZ s socialno-kulturnim okoljem učencev, poukom in domačimi nalogami. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. UPORABA KONCEPTA SIMETRIJE PRI REŠEVANJU PROBLEMOV IN ODKRIVANJU NOVEGA ZNANJA Use of the Symmetry Concept to Problem Solving and Knowledge Acquisition Alojz Grahor, Škofijska gimnazija Vipava alojz.grahor@guest.arnes.si Povzetek V prispevku obravnavamo uporabo koncepta simetrije pri reševanju problemov in pri odkrivanju novega znanja. Prikazanih je nekaj primerov reševanja matematičnih problemov. Pri nekaterih prikazanih primerih (reševanje sistemov) nam uporaba koncepta simetrije pomaga učinkovito in hitreje rešiti problem, kot bi ga po običajni poti, pri drugih prikazanih primerih (geometrijske naloge) pa je uporaba principa simetrije ključ, ki nam pomaga pri odkrivanju poti do rešitve. V drugem delu se ukvarjamo s prehodom iz nesimetrične v simetrično formulo oziroma zvezo. Zveze med koti in stranicami v pravokotnem trikotniku (kotne funkcije) niso simetrične glede na stranice in kote. Kotne funkcije zapišemo v simetrični obliki in s pomočjo programa dinamične geometrije preiskujemo njihovo pravilnost v poljubnem trikotniku. Tako »odkrijemo« sinusni izrek. Poseben primer uporabe koncepta simetrije je sklepanje po analogiji. Na ta način posplošimo Pitagorov izrek iz dvorazsežnega v trirazsežni prostor. Postavljeno hipotezo dokažemo računsko in s pomočjo programa dinamične geometrije. Z obravnavanimi primeri pokažemo, da je uporaba simetrije učinkovita pri reševanju problemov in pri odkrivanju novega znanja. Zato sodi zmožnost uporabe koncepta simetrije v novih učnih situacijah med problemska znanja. Ključne besede: simetrija, preiskovanje, dinamična geometrija, problemska znanja, sinusni izrek. Abstract The paper deals with the use of the concept of symmetry principle for problem solving and knowledge acquisition. Several examples of mathematical problem solving are presented. In some examples (system solving) the use of the symmetry principle helps us solve the problem faster and more efficiently in comparison with the usual procedure. While in other examples (geometry exercises) the symmetry principle is the key that helps us to discover the path towards a solution. The second part of the paper deals with the shift from an asymmetrical formula or relation to a symmetrical formula or relation. The relations between the angles and the sides in a right-angled triangle (trigonometric function) are not symmetrical in terms of sides and angles. Trigonometric functions are expressed in a symmetrical form and we explore their regularity in a random triangle with the help of dynamic geometry programme. In this way we discover the law of sines. A special case of the symmetry principle application is analogical inference. In this way the Pythagorean Theorem is applied from a two-dimensional to a three-dimensional space. The established hypothesis is proven algebraically and with the help of the dynamic geometry programme. The discussed examples demonstrate that the symmetry principle application is an efficient tool that can be used in problem solving and knowledge acquisition, and as such, forms part of problem-solving knowledge. Key words: symmetry, investigation, dynamic geometry, knowledge acquisition, law of sines. Uvod Definicija (Leikin, 2000): Simetrija je trojica (S, I, M), ki sestoji iz objekta S, specifičnih lastnosti I danega objekta S in transformacije M, ki zadošča naslednjima dvema lastnostma: (i) Objekt S pripada definicijskemu območju transformacije M. (ii) Delovanje transformacije M na objekt S ne spremeni lastnosti I objekta S. Definicija pokriva vse vrste simetrij, tako geometrijsko, algebrsko kot simetrijo v dokazih (Leikin, 2000). Pri običajnih problemih so lastnosti objektov opisane z enačbami, podatki, formulami, geometrijskimi lastnostmi ..., transformacije pa so najpogosteje permutacije. Primer simetrije je Heronova formula za ploščino trikotnika, ki je neobčutljiva za vse permutacije stranic a, b, c S = s (s - a)(s - b)(s - c), 5 a + b + c 2 Kosinusni izrek je tudi primer simetrije, saj je trojica formul a2 = b2 + c2 -2bccosa, b2 = a2 + c2 -2accosß, c2 = a2 + b2 -2abcosy neobčutljiva za vse permutacije parov stranica - kot: (a,a), (b,ß), (c,y). V članku bomo predstavili nekaj matematičnih problemov, ki jih lahko rešimo po ustaljeni poti. Cilj pa je pokazati, kako simetrijo v podatkih ali zvezah izkoristimo za rešitev predstavljenih problemov. Koncept simetrije se izkaže kot učinkovito orodje za reševanje matematičnih problemov. Poleg tega bomo pokazali primer, ko formulo (ali zvezo), ki nima lastnosti simetrije, spremenimo v veljavno simetrično zvezo. Primer bo pokazal, da nas to razmišljanje (uporaba koncepta simetrije) lahko pripelje do novega znanja. Nazadnje se bomo ustavili pri sklepanju z analogijo, ki je posebna vrsta abstraktne simetrije. S primerom bomo pokazali, kako s pomočjo sklepanja z analogijo pridemo do novega znanja. Reševanje matematičnih problemov z uporabo koncepta simetrije Oglejmo si nekaj matematičnih problemov, pri katerih opazimo simetrijo v podatkih, formulah ali enačbah in to s pridom izkoristimo za rešitev problema ali pa za iskanje poti do rešitve. Prvi problem Naj bo 2x + 5y = 48 ter 5x + 2y = -13. Poiščite vrednost izraza 2012x + 2012y. (Prirejeno po [Rusczyk]). Rešitev: Problem seveda lahko rešimo po običajni poti: rešimo sistem ter vstavimo izračunana x in y v iskani izraz. Če pa opazimo, da je iskani izraz simetričen (neobčutljiv za permutacije x in y), nam to da idejo, da poiščemo simetrijo še kje. Če seštejemo obe dani enačbi, dobimo 7x + 7y = 35 oziroma x + y = 5. Tako je 2012x + 2012y = 2012( x + y) = 2012 • 5 = 10060. Drugi problem Ploskve kvadra (Prirejeno po [Rusczyk]). op o Ploskve kvadra merijo 70 cm2, 56 cm2 in 45 cm2. Izračunajte prostornino kvadra. ab = 70, ac = 56, bc = 45. T/ _ , Rešitev: Zapišimo Prostornina kvadra je v = abc. Opazimo popolno simetričnost glede permutacij osnovnih robov kvadra (a b, c). Če zmnožimo prve tri enačbe, dobimo a 2b 2c2 = 70 • 56 • 45, od koder sledi abc = V70 ■56 ■45 = 420. v = 420cm3. Tretji problem Konstruirajte trikotnik, če je podan njegov obseg ter kota a in ß (Polya, 1985). Rešitev: Ker je ob = a + b + c in ker so podani vsi trije koti, opazimo simetrijo v podatkih, saj permutacije parov (a,a), (b,ß), (c,/) ohranjajo vse zveze. Od tod ideja, da načrt konstrukcije zasnujemo na osnovi simetrije (Slika 1). Slika 1 Ugotovimo, da sta trikotnika ACA1A ter AB^B enakokraka. Kratek račun pokaže, da je a ß ZCAjA = — in ZCBjB = . Konstruiramo torej lahko trikotnik AABC ter s simetralama stranic CA in CB poiščemo lego točk a in B. Četrti problem Znotraj ostrega kota je podana točka P. Na krakih kota poiščite točki A in B tako, da bo obseg trikotnika aabp najmanjši (Leikin, 2000). Rešitev: Situacija je prikazana na Sliki 2. Prezrcalimo točko P preko krakov s in t. Zrcalni točki označimo s q ter r (glej Sliko 3). Naj bo A1 g s in B1 g t. Ker je | A1P |=| AQ | in | B.P |=| BR je obseg trikotnika AA^P enak | QA | +1 \BX | +1 BR |. Naj bosta točki a in b presečišči krakov s in t z daljico QR . Tedaj za vsako točko A1 g s, A1 * A in B g t, B * B velja | QA | +1 AB | +1 BR | > | QA | +1 AB | +1 BR i Torej sta točki a in B takšni, da ima trikotnik aabp najmanjši obseg. •Q Slika 3 Peti problem Danemu ostrokotnemu trikotniku ABC včrtajte trikotnik pqr z najmanjšim obsegom (Leikin, 2000). Rešitev: Situacija je prikazana na Sliki 4. Dokaz je zahtevnejši kot pri prejšnjem problemu. Uporabimo rezultat četrtega problema in druge lastnosti simetrije. Podroben dokaz z uporabo koncepta simetrije je v (Leikin, 2000: 800-801), ki je dostopen na svetovnem spletu (glej vire). Rezultat pa je zelo zanimiv (Slika 5). Oglišča iskanega trikotnika pqr so nožišča višin danega trikotnika ABC. Slika 5 Odkrivajmo s simetrijo Veliko matematičnih zvez ni simetričnih. To velja na primer za kotne funkcije v pravokotnem trikotniku, saj že sam objekt (to je pravokotni trikotnik) ni simetričen (saj parov stranica - kot ne moremo poljubno permutirati, ker je en kot vedno pravi kot, nasprotna stranica pa vedno najdaljša). Pa poskusimo iz nesimetričnih zvez tvoriti simetrične zveze. Seveda se moramo odpovedati pravokotnemu trikotniku (tako dobimo vse pare stranica - kot enakovredne). Prav tako bomo iz nesimetričnih zvez - kotnih funkcij tangens in sinus - tvorili simetrične zveze, takšne, ki bodo ohranjale obliko formule pri vseh permutacijah spremenljivk. Ideja je nekoliko nenavadna, vendar bomo veljavnost nove formule najprej preizkusili z enim izmed programov dinamične geometrije. Tu smo uporabili program Geogebra. Poglejmo, ali se bo koncept simetrije izkazal. Glede oznak izhajamo iz standardno označenega pravokotnega trikotnika AABC (glej Sliko 7). Tedaj iz a , , .„ tan a a a zveze tana = — tvorimo simetrično zvezo -= —, iz zveze sina = — sestavimo b tan ß b c sina =a. S programom dinamične geometrije posebej prikažemo vrednost razmerja sin y c stranic, posebej vrednost razmerja kotnih funkcij. Ob premikanju oglišč opazimo, da je razmerje sinusov enako razmerju stranic, razmerje tangensov pa ne (glej Sliko 6). Slika 6 Uporaba koncepta simetrije nas je tako pripeljala do hipoteze, da velja v poljubnem sina a a c trikotniku zveza —— = —. Odtod neposredno sledi, da je —— = ——. Enako dobimo sin y c sina sin y tudi —— = , oziroma a = b = , kar potrdimo s formalnim računskim rt ' ' n ' 1 sin ß sin y sina sin ß sin y dokazom. Rešite še naslednje naloge: sin a a 1. Pokažite, da v pravokotnem trikotniku velja zveza -= —. S pomočjo koncepta sin ß b simetrije zapišite še ostale zveze med stranicami in koti v pravokotnem trikotniku. Seveda lahko veljavnost opisanih zvez v pravokotnem trikotniku preizkusite in dokažete njihovo veljavnost v poljubnem trikotniku (kot zgoraj). 2. Dokažite, da v pravokotnem trikotniku velja tan a a tan ß b2 simetrije zvezo posplošite in se prepričajte, ali velja ali ne. cos a b a = —r. S pomočjo koncepta 3. Dokažite, da v pravokotnem trikotniku velja cos ß simetrije zvezo posplošite. Ali je posplošitev resnična? = —. S pomočjo koncepta 2 Sklepanje po analogiji Analogija je pomembna vrsta abstraktne simetrije. Pravimo, da je par (A,B) analogen paru (C,D) takrat, ko je odnos med A in B enak odnosu med C in D oziroma preprosteje A je proti B tako kot je C proti D. Oglejmo si primer sklepanja po analogiji. Vzemimo krožnico v dvorazsežnem prostoru in se vprašajmo po analognem objektu v trirazsežnem prostoru: krožnica : dvorazsežni prostor =_: trirazsežni prostor. Rešitev je seveda sfera. Obakrat gre za množico točk, ki so za dani polmer R oddaljene od dane točke S. Kaj pa je analogija krožnici v enorazsežnem prostoru? Za konec si oglejmo analogijo Pitagorovega izreka v trirazsežnem prostoru. Pojdimo po vrsti in analogijo razvijajmo postopoma. Pitagorov izrek : dvorazsežni prostor = »Pitagorov izrek« : trirazsežni prostor a2 + b2 = c2 : dvorazsežni prostor = »Pitagorov izrek« : trirazsežni prostor dve pravokotni stranici : R2 = tri pravokotne stranice : R3 vsota kvadratov dolžin stranic : R2 = vsota kvadratov ploščin mejnih ploskev : R3. Pitagorov izrek v pravokotnem trikotniku v ravnini (Slika 7) povezuje kvadrate dolžin stranic: Vsota kvadratov dolžin stranic, ki se stikata v stičišču pravokotnic, je enaka kvadratu dolžine stranice, ki leži nasproti stičišča pravokotnic: Pri piramidi na Sliki 8 se stranski robovi a,b,c stikajo v vrhu V in so paroma pravokotni. Prav tako so paroma pravokotne ploskve, ki jih določajo pari robov a,b in c. Imenujemo jo pravokotna tristrana piramida, dobimo pa jo na primer tako, da poševno odsekamo vogal kvadra. Posplošitev Pitagorovega izreka v trirazsežnem prostoru se glasi: Vsota kvadratov ploščin tistih ploskev, ki imajo vrh v stičišču pravokotnih robov, je enaka kvadratu ploščine ploskve, določene s tistimi stranicami stranskih ploskev, ki ležijo nasproti stičišča pravokotnic. (SABV )2 + (SACV )2 + (SBCV )2 = (SABC )2 »Dokaz A«: S pomočjo programa dinamične geometrije (na primer Geogebre) narišemo mrežo tristrane pravokotne piramide, izračunamo ploščine mejnih ploskev in preverimo, da velja gornja zveza. Dokaz B: Ker so robovi a, b, c paroma pravokotni, so ploščine stranskih ploskev enake ab =0£tprV = — SVAB 2 , SVAC 2 ' SVBC 2 . Stranice osnovne ploskve trikotnika ABC so d = Va2 + b2 , e = Vb2 + c2 in f = Va2 + c2 . Po Heronovi formuli S = ^J s(s - d )(s - e)(s - f), kjer je s = d + e + f dobimo (po nekoliko 2/2,722, 22 a b + b c + a c , ., __ ., -, kar pomeni, da smo Pitagorov izrek v daljšem izračunu) SABC = ^ trirazsežnem prostoru dokazali (Kobal, 2010). q.e.d. Dokaz C: Obravnavano telo postavimo tako, da je vrh V v izhodišču trirazsežnega koordinatnega sistema, robovi, ki so paroma pravokotni, pa naj ležijo na koordinatnih oseh (slika 8). Krajevni vektorji točk A, B in C v R3 so rA=(a, 0,0), rB=(0,b,0) in rc =(0, 0, c). Naj bo vektor AB = rB -r. =(-a, b, 0), vektor AC pa AC = rc -r. =(-a, 0, c). Izračunajmo ploščino trikotnika ABC. Ker je absolutna vrednost vektorskega produkta x x y enaka ploščini paralelograma, ki ga določata vektorja x in y, je S^ = 11 AB x AC |=11 (-a,b,0) x (-a,0,c) |= 11 (bc,ac,ab) |= ^(bc)2 + (ac)2 + (ab)2 . q.e.d. Zastavimo si še dve raziskovalni vprašanji: 1. V pravokotnem trikotniku velja Evklidov izrek. Kaj je analogija tega izreka v trirazsežnem prostoru? Kaj pa dokaz? 2. Formuliraj (po analogiji) Pitagorov izrek v štirirazsežnem prostoru. Zaključek Pokazali smo, da ima koncept simetrije posebno vlogo pri reševanju problemov. Tako lahko zatrdimo, da je koncept simetrije odličen pripomoček pri reševanju nekaterih matematičnih problemov in pri zastavljanju novih problemov ter sodi med veščine v okviru problemskih znanj. Mogoče je ta pomen še najlepše opisal G. Polya, ko je dejal: »Vsaka simetrija, ki jo opazimo pri podatkih ali pogojih, se zrcali v rešitvi problema« (Leikin, 2000). Spodbujam učitelje in dijake, da koncept simetrije vključijo (če ga še niso) v svoj nabor veščin pri reševanju matematičnih problemov in odkrivanju novega znanja. Viri 1. Kobal, L. (2010): Posplošitev Pitagorovega izreka v trirazsežnem in štirirazsežnem prostoru, raziskovalna naloga. Škofijska gimnazija Vipava, Vipava. 2. Leikin, R.; Berman, A. and Zaslavsky, O. (2000): Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., Vol. 31, No. 6, 799-809. Dostopno na 3. http://cimm.ucr.ac.cr/resoluciondeproblemas/PDFs/Leikin,R.%20Berman,A.%20%20Zaslav sky,%200.%20Applications%20...pdf (8. 9. 2011). 4. Levi, M. 2009: The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems. Princeton University Press, Princeton. 5. Polya, G. (1985): Kako rešujemo matematične probleme. Društvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, Ljubljana. 6. Rusczyk, R.: Art of Problem Solving, Using Symmetry. Dostopno na: 7. http://www.artofproblemsolving.com/blog/27 (15. 9. 2011). PROBLEMSKE NALOGE IN OPISNO OCENJEVANJE Problem Solving Tasks and Descriptive Assessment Simona Pustavrh, ŠC Novo mesto, Srednja elektro šola in tehniška gimnazija simona.pustavrh@guest.arnes.si Povzetek Pri pouku matematike s problemskimi nalogami pri dijakih razvijamo matematično znanje, prenosljivo tudi na druga področja. Dijake postavljamo pred nove izzive, ki vplivajo na njihov kognitivni razvoj. V prispevku predstavljeno vpeljevanje in ocenjevanje problemskih nalog v gimnazijski program je nastalo v sodelovanju Predmetne razvojne skupine za matematiko in mentorskih učiteljev za predmetno področje matematike na ZRSŠ. Za ocenjevanje smo pripravili in preizkusili opisne kriterije. Kljub temu, da smo se osredotočili na gimnazijski program, so metode prenosljive na vse stopnje izobraževanja. Ključne besede: problemske naloge, opisni kriteriji. Abstract Mathematical problem solving tasks help students to develop a broader mathematical knowledge transferable to other fields too. Students are faced with new challenges that affect their cognitive development. The paper presents the introduction and assessment of problem solving tasks in the Grammar school programme, created by mentor teachers for the subject area of mathematics in the National Education Institute of the Republic of Slovenia. We prepared and tested a descriptive criterion for their assessment which is a novelty in our area. Despite the fact that we focused on the Grammar school programme the methods are transferable to all levels of education. Keywords: problem solving tasks, descriptive criterion. Uvod Mentorski učitelji v okviru Zavoda Republike Slovenije za šolstvo za predmetno področje matematike v gimnaziji smo si zadali nalogo, da raziščemo problemske naloge pri matematiki in pripravimo kriterije za njihovo ocenjevanje. Amalija Žakelj (2003) je povzela problemske situacije kot »situacije, ki so za učenca nove in niso vnaprej pričakovane, spodbujajo razvoj matematičnega razmišljanja: ustvarjalno, kritično, analitično in sistemsko mišljenje. Vplivajo na kognitivni razvoj učenca, saj zaradi svoje raznolikosti spodbujajo ter omogočajo boljše izgrajevanje konceptnih predstav, povezovanje in uporabo znanja, omogočajo uvid v osmišljanje matematičnih vsebin, motivirajo zlasti nadarjene učence, nudijo priložnost matematiziranja, reflektiranja matematičnih znanj in modeliranja. Različni pristopi reševanja in rešitve, do katerih pridejo učenci, učitelju omogočajo vpogled v raven in kakovost doseženega znanja, učenci pa se pri tem učijo različnih strategij reševanja problemov, procesnih znanj, ki so prenosljiva tudi na druga področja in so sočasno tudi pogoj za medpredmetno povezovanje.« Problemske naloge tako zajemajo širok spekter znanj in spretnosti, ki naj bi jih usvojili dijaki pri matematiki. Že sam posodobljen učni načrt za matematiko za gimnazijo (Predmetna skupina, 2008) narekuje razvijanje različnih strategij reševanja problemov v matematičnih kontekstih in realističnih situacijah. Za ocenjevanje problemskih nalog je smiselno uporabiti opisni kriterij, s katerim ocenimo, ali so dijaki razvili sposobnosti za razumevanje problema, opredelitev spremenljivk in zvez med njimi. Ocenimo lahko, ali so dijaki problem ustrezno predstavili in rešili ter ali so rešitev ustrezno interpretirali, utemeljili in kritično ovrednotili. Glede na različne taksonomske lestvice lahko pripravimo različne opisne kriterije ocenjevanja (Žakelj, 2003, 113-124). Ocenjevanje problemskih nalog Mentorski učitelji za matematiko smo leta 2010 pripravili priročnik za učitelje matematike (Žakelj, 2010), v katerem smo se osredotočili predvsem na modeliranje in statistiko. Pripravili smo teoretično ozadje, veliko različnih primerov, jih opremili s pripravo na pouk, evalvacijo in dodali učne liste za dijake. Vsebino priročnika smo predstavljali na seminarjih za učitelje. Kljub številnim primerom nalog se v priročniku nismo posvetili njihovemu ocenjevanju. Sama sem predstavila na seminarjih primer modeliranja s sinusno funkcijo, in sicer primer o povprečni mesečni temperaturi v Novem mestu (Pustavrh, 2010: 158-162). Naloga je obsežna. Dijaki uporabljajo splet za pridobivanje informacij, tehnologijo za modeliranje in odgovarjajo na različna vprašanja. Veliko učiteljem je bila naloga všeč in so jo želeli preskusiti tudi s svojimi dijaki. Učitelje je zanimalo tudi, kako takšno nalogo ocenim. Tu je nastopilo nekaj zadrege. Moj odgovor je bil, da ne ocenjujem. Dijaki nalogo rešijo, pregledamo pravilnost rešitev, ocene pa ne dobijo, ker ne vem, kako bi ocenila njihovo znanje. Ne gre le za preverjanje pravilnosti rešitev, oceniti je potrebno tudi uporabljene strategije, obrazložitev in utemeljitev rešitve, kritično presojo rezultatov. Poleg nalog z modeliranjem smo z dijaki reševali tudi druge kompleksne naloge, vendar nobene nisem ocenila. Čutila sem, da nimam znanja ne izkušenj, da bi to izvedla. Brez tega pa si nisem upala ocenjevati. Tako smo se v zadnjem šolskem letu mentorski učitelji dogovorili, da skupaj izberemo in pripravimo problemsko nalogo ter jo preskusimo v razredu. To je bila znana naloga o prepogibanju papirja. Naloga Vzemi list papirja pravokotne oblike. Prepogni ga na polovico in postopek nadaljuj. Koliko plasti dobiš po štirih prepogibanjih? Koliko po sedmih? Koliko po dvajsetih? Odgovori na vprašanja: 1. Če bi lahko papir prepognili 10-krat, bi bilo število plasti enako_. 2. Če je število plasti 32, potem smo papir prepognili_. 3. Izračunaj število prepogibanj pri 128 plasteh papirja. 4. Ali je mogoče dobiti po opisnem postopku 50 plasti? Odgovor utemelji. 5. Opiši, kako bi lahko dobili 60 plasti papirja. Realno situacijo opiši matematično. Odgovori še na naslednja vprašanja: 1. Ponazori prepogibanje papirja s funkcijo. Kaj sta spremenljivki? 2. Ali je funkcijska zveza smiselna za poljubno vrednost spremenljivke, ki pomeni število_? 3. Ali je definicijsko območje funkcije odvisno od velikosti papirja? Razloži. 4. Ali je definicijsko območje odvisno od debeline papirja? Obrazloži. 5. Kaj se zgodi, če papirja ne prepogibamo, ampak režemo in ga prelagamo na isti kup? 6. Kaj lahko ugotovite, če štetje plasti nadomestimo z merjenjem debeline dobljenih plasti? 7. Zakaj so koristni matematični opisi realnih situacij? Naloga je primerna za vse letnike. Sama sem jo v šoli preskusila v prvem in v četrtem letniku gimnazije. V prvem letniku le sklop prvih petih vprašanj, v četrtem pa vse. Dijaki so nalogo hitro rešili, prvi letniki so imeli več težav. Manjkale so obrazložitve in postopki. Ker je naloga lahka, so jo reševali tudi na pamet. Mentorski učitelji smo na naslednjem srečanju proučili možnost ocenjevanja pripravljene naloge. Uporabili smo opisni kriterij (Kmetič, 2010: 99-101). Ocenili smo ga kot zelo dobrodošlega, saj smo z njim ocenili širše zanje dijakov. Zaradi večje preglednosti smo kriterije preoblikovali v tabelarično obliko (Tabela 1). VREDNOTENJE 2 1 0 A. Se loti problema. Dober poskus. Nekaj poskusov. Sploh ne poskusi reševati. B. Problem razume. Problem popolnoma razume. Ne razume dela problema. Problema sploh ne razume. C. Izbere in uporabi strategijo reševanja. Izbere pravilno strategijo, ki bi lahko pripeljala do pravilne rešitve, če jo učenec uporabi brez napak ali z manjšimi napakami. Izbere delno pravilno strategijo, ki izhaja iz delno pravilne interpretacije problema ali izbere ustrezno strategijo in jo slabo uporabi. Ni poskusov ali uporabi popolnoma neustrezno strategijo. D. Poišče odgovor. Pravilen odgovor, naveden, pravilno opisan, označen. Napaka pri prepisu podatkov ali računska napaka, delni odgovor ali napačno označen odgovor. Ni odgovora, neuspešen pri podajanju odgovora ali napačen odgovor, ki izhaja iz neustrezne strategije. E. Razloži. Razlaga je jasna in povezana. Nepopolna razlaga ali pa je razlagi težko slediti. Razlage ni ali pa je nepovezana in neurejena. Tabela 1: Opisni kriterij Ocenjevanje po pripravljenem opisnem kriteriju poteka tako, da dijaku dodelimo ustrezno število točk po vsakem kriteriju in točke zapišemo v obliki urejene šesterice, npr. (2, 2, 1, 2, 0, 0). Tako vedno vemo, kaj točke pomenijo. Točke lahko nato seštejemo in določimo oceno glede na meje za ocene. Nato smo se dogovorili za naslednji primer o jablanah in iglavcih, ki ga je predhodno v razredu preskusila že Simona Vreš. Naloga je bila uporabljena v raziskavi PISA leta 2003 (© OECD 2003 "Uporabljeno z dovoljenjem OECD"), vendar smo jo za naše potrebe nekoliko priredili. Naloga Kmet je posadil jablane v kvadratni razporeditvi. Da bi zaščitil drevesa proti vetru, je okrog celega sadovnjaka posadil iglavce. Spodaj je risba, na kateri lahko vidiš razporeditev jablan in iglavcev za katerokoli število vrst jablan (n): Slika 1: Razporeditev jablan in iglavcev 1. vprašanje Poišči formuli, s katerima lahko izračunaš število jablan in število iglavcev za poljubno število vrst jablan (n). 2. vprašanje Število jablan in iglavcev pri razporeditvi, ki je opisana zgoraj, lahko izračunaš s pomočjo dveh formul: • število jablan = • število iglavcev = kjer je n število vrst jablan. Obstaja vrednost spremenljivke n, pri kateri je število jablan enako številu iglavcev. Poišči to vrednost in zapiši, kako si to izračunal. 3. vprašanje Recimo, da hoče kmet posaditi veliko večji sadovnjak z drevesi v veliko vrstah. Če kmet povečuje sadovnjak, kaj se hitreje veča: število jablan ali število iglavcev? Razloži, kako si prišel do odgovora. Sama sem nalogo preskusila z dijaki v tretjem letniku gimnazije. Veliko dijakov je nalogo rešilo na pamet, nekateri pa niso napisali ničesar. Nekaj dijakov je uporabilo različne strategije, najpogostejša je bilo tabeliranje. Opazila sem, da je nekaj dobrih dijakov imelo velike težave pri reševanju in nasprotno je nekaj slabih dijakov nalogo reševalo dobro. Kljub pripravljenemu opisnemu kriteriju za ocenjevanje je nastopilo nekaj težav. Kako se lotiti ocenjevanja po pripravljenem opisnem kriteriju? Vsako vprašanje posebej ali nalogo kot celoto? Nekateri mentorski učitelji so nalogo ocenili kot celoto, drugi po podvprašanjih. Ugotovili smo, da smo imeli pri ocenjevanju nekaj težav prav vsi. Z opisnim kriterijem in z našim delom je bilo očitno še vedno nekaj narobe. Opazili smo tudi, da je zadnje vprašanje dvoumno. Ugotovili smo, da je bil opisni kriterij preveč splošen. Vsaka problemska naloga zase je specifična. Pri nalogah lahko ocenjujemo po vseh kriterijih iz opisnega kriterija, pri nekaterih nalogah pa le nekatere. Glavna ugotovitev je bila, da je potrebno za vsako nalogo izdelati svoj opisni kriterij in ga prilagoditi nalogi. Če je naloga strukturirana, je potrebno sestaviti ustrezen opisni kriterij glede na to, ali bomo ocenjevali vsak del naloge posebej ali nalogo kot celoto. Mentorski učitelji smo nadaljevali s svojim raziskovanjem. Sama sem se odločila, da poskusim z več nalogami iz geometrije v tretjem letniku gimnazije. Za prispevek sem izbrala problemsko nalogo z valjem. NALOGA Razišči pokončne valje, ki imajo vsoto premera osnovne ploskve in višine enako 18 cm. Opiši, kako se spreminjajo prostornine valjev glede na pogoj. Kateri med valji ima največjo prostornino? Najprej poskusi rešitev napovedati. Izračunaj prostornino tega valja. Ali lahko poiščeš natančen rezultat? Opiši strategijo reševanja in obrazloži rezultat. Kaj sem pričakovala? Dijaki zapišejo zvezo med premerom (ali polmerom) in višino valja ter formulo za prostornino valja. Narišejo tudi skico valja. Dijaki z manj znanja bodo raziskovali s tabeliranjem tako, da si bodo izbirali različne vrednosti polmera ali višine in izračunali prostornino. Iz izračunov bodo poskušali razbrati, približno kolikšna naj bosta polmer in višina. Nekateri bodo morda razmišljali s pomočjo skic. Dijaki z več znanja bodo iz zveze med višino in premerom izrazili na primer višino in jo vstavili v formulo za prostornino. Dobili bodo zvezo med prostornino in polmerom. Maksimum funkcije bodo morda zopet iskali s tabeliranjem, boljši dijaki pa bodo prepoznali funkcijsko zvezo in poskušali narisati graf polinoma ter s pomočjo grafa in tabeliranja poskušali poiskati približno rešitev. Dijaki niso imeli na voljo tehnologije, sicer bi maksimum lahko poiskali tudi z IKT. Kako na podlagi pričakovanj izdelati opisni kriterij? Najprej sem pripravila nalogo, jo rešila, poskušala predvideti strategijo reševanja dijakov in oblikovala opisni kriterij. Kriterij sem prilagodila nalogi tako, da sem zapisala konkretna pričakovanja do dijakov. Po ocenjevanju sem ugotovila, da je bil pomanjkljiv, zato sem ga dopolnila in oblikovala boljši opisni kriterij (Tabela 2). Vrednotenje 2 1 0 A. Se loti problema. Nariše valj in ugotovi, da bo nalogo reševal s pomočjo zveze med višino in premerom. Zapiše pravilno zvezo med višino in premerom (ali polmerom). Nariše valj in ugotovi, da bo nalogo reševal s pomočjo zveze med višino in premerom valja, vendar zvezo zapiše napačno (npr. zamenja premer in polmer). Sploh ne poskusi reševati ali nariše napačno telo. B. Problem razume. Ugotovi, da imajo pri različnih polmerih (in s tem določenih višin) valji različne prostornine. Morda skicira več valjev z različnimi polmeri in Ugotovi, da imajo pri različnih polmerih (in s tem določenih višin) valji različne prostornine. Morda skicira več Problema sploh ne razume. Nariše valj, vendar ne opazi, da imajo valji pri različnih polmerih višinami in ugotovi, da imajo različne prostornine. Napove rezultat (četudi napačen). valjev z različnimi polmeri in višinami in ugotovi, da imajo različne prostornine. Ne napove rezultata. in višinah različne prostornine in te ugotovitve tudi ne zapiše. Ne napove rezultata. C. Izbere in uporabi strategijo reševanja. Izbere pravilno strategijo za iskanje valja z največjo prostornino. Pravilno zapiše formulo za prostornino valja in vstavi zvezo med polmerom in višino. Iz funkcijske zveze nariše graf in na njem poišče približno rešitev ali pa poišče rešitev le s tabeliranjem. Za tabeliranje izbira smiselne vrednosti (na primer za polmer med 0 in 5) in poišče približno rešitev. Izbere pravilno strategijo. Zapiše formulo za prostornino valja. Tabeliranje uporabi le za nekaj vrednosti polmera. Morda poskusi narisati graf, vendar le iz tabeliranih vrednosti. Določi višino (četudi iz napačno zapisane zveze med polmerom in višino) in prostornino (četudi napačna formula), vendar ne vidi, kako bi prišel do rešitve. Ne razmišlja o definicijskem območju, zato računa prostornino tudi pri vrednostih npr. polmera večjih od 5. Ni poskusov ali napačno zapiše formulo za prostornino valja. Morda izračuna prostornino le pri eni vrednosti polmera in višine. Ne uporabi niti tabeliranja niti grafa. D. Poišče odgovor. S pomočjo tabeliranja in/ali grafa poišče približen odgovor. Izračuna polmer, višino in prostornino valja. Iz tabeliranih vrednosti poišče vrednosti polmera in višine, vendar se je pri računanju zmotil. V odgovoru poda morda le vrednost polmera ali le višine. Ne izračuna prostornine ali pa se zmoti. Ni odgovora ali pa je napačna rešitev, ki izhaja iz napačne strategije. E. Razloži. Razloži, kako je prišel do odgovora (tabeliranje, pomoč z grafom). Utemelji, zakaj ni mogel izračunati natančnega rezultata. Nepopolna razlaga ali razlagi je težko slediti. Razlage ni ali pa je nepovezana in neurejena. Tabela 2: Opisni kriterij za nalogo z valjem v tretjem letniku Nalogo lahko uporabimo tudi v četrtem letniku za motivacijo tik pred vpeljavo odvoda in napovemo, da se bomo naučili poiskati natančno rešitev takšnih nalog, ali tik pred obravnavo ekstremov. Lahko pa jo rešujemo po obravnavi ekstremov. V zadnjem primeru bi v besedilu naloge izpustili navodilo, naj poiščejo približek, opisni kriterij pa bi preoblikovali. V Tabeli 3 navajam primer preoblikovanega kriterija, ki ga še nisem preskusila v praksi. Vrednotenje 2 1 0 A. Se loti problema. Nariše valj in ugotovi, da bo nalogo reševal s pomočjo zveze med višino in premerom. Zapiše zvezo med višino in premerom (ali polmerom). Nariše valj in ugotovi, da bo nalogo reševal s pomočjo zveze med višino in premerom valja, vendar zvezo zapiše napačno (npr. zamenja premer in polmer). Sploh ne poskusi reševati ali nariše napačno telo. B. Problem razume. Ugotovi, da imajo pri različnih polmerih (in s tem določenih višin) valji različne prostornine. Morda skicira več valjev z različnimi polmeri in višinami in ugotovi, da imajo različne prostornine. Napove rezultat (četudi napačen). Ugotovi, da imajo pri različnih polmerih (in s tem določenih višin) valji različne prostornine. Morda skicira več valjev z različnimi polmeri in višinami in ugotovi, da imajo različne prostornine. Ne napove rezultata. Problema sploh ne razume. Nariše valj, vendar ne opazi, da imajo valji pri različnih polmerih in višinah različne prostornine in te ugotovitve tudi ne zapiše. Ne napove rezultata. C. Izbere in uporabi strategijo reševanja Izbere pravilno strategijo za iskanje valja z največjo prostornino. Pravilno zapiše formulo za prostornino valja in vstavi zvezo med polmerom in višino. Izraz za prostornino odvaja in odvod izenači z 0. Izbere pravilno strategijo z odvodom, vendar napačno izrazi prostornino s polmerom (ali z višino). Rešitev išče le s tabeliranjem, morda si pomaga z grafom. Določi višino (četudi iz napačno zapisne zveze med polmerom in višino) in prostornino (četudi napačna formula), vendar ne vidi, kako bi prišel do rešitve. Ni poskusov ali napačno zapiše formulo za prostornino valja. Morda izračuna prostornino le pri eni vrednosti polmera in višine. Ne uporabi niti tabeliranja niti grafa. Ne vidi, da bi lahko uporabil odvod. D. Poišče odgovor. Reši enačbo in izračuna polmer, višino in prostornino. Iz tabeliranih vrednosti poišče približno rešitev vrednosti polmera in višine. V odgovoru poda morda le vrednost polmera ali le višine. Ne izračuna prostornine ali pa se zmoti. Ni odgovora ali pa je napačna rešitev, ki izhaja iz napačne strategije. E. Razloži. Razloži, kako je prišel do odgovora. Nepopolna razlaga ali razlagi je težko slediti. Razlage ni ali pa je nepovezana in neurejena. Tabela 3: Opisni kriterij za nalogo z valjem v četrtem letniku Evalvacija Problemske naloge sem z dijaki reševala že večkrat. Ugotovila sem, da je težko sestaviti takšno nalogo, še težje pa jo je oceniti. Dijaki so naloge radi reševali, vendar so bili sprva pogosto razočarani, ker jih niso uspeli rešiti ali so jih rešili napačno. Ugotovila sem, da imajo tudi dijaki premalo izkušenj. Ko sem naloge izvedla večkrat in pripravila opisni kriterij, sem bila bolj zadovoljna. Tudi dijaki so s tem pridobili nekaj izkušenj. Pri reševanju so pogosteje uporabili ustrezne strategije (tabeliranje, graf) in predstavili rešitev. Ob koncu reševanja naloge sem dijake poprosila, naj napišejo svoje mnenje o problemskih nalogah. Njihova mnenja sem strnila v nekaj trditev: • Takšna naloga mi je zelo všeč, saj lahko razmišljam po svoje. Vem pa, da je težja za ocenjevanje in da na ocenjevanje verjetno vpliva tudi subjektivnost učitelja. • Za reševanje takšnih nalog potrebujemo več vaje in izkušenj, ki jih še nimamo. • Naloga mi ni všeč. • Takšne naloge so v redu in tudi ne. Če imaš dan, ko si razpoložen za razmišljanje, imaš ideje, sicer ne. • Ni mi všeč, ker ne znam. • Naloge niso lahke. Kdor ne zna razmišljati, jih ne bo rešil. • Da, takšne naloge so mi všeč, ker razvijamo mišljenje. Zaključek Prve izkušnje s sestavljanjem in z ocenjevanjem problemskih nalog so bile zelo dobrodošle. Ugotovili smo, da so opisni kriteriji ustrezen način ocenjevanja problemskih nalog, le prilagoditi jih moramo vsaki nalogi posebej. Pomembno je, da v opisnem kriteriju za vsako nalogo posebej zapišemo pričakovanja, ki jih imamo do dijakov. Zelo pregledno je, če opisni kriterij oblikujemo v tabelo. Kljub nekaj izkušnjam smo mentorski učitelji še vedno v fazi uvajanja in preverjanja novega načina dela v razredu. Še vedno izpopolnjujemo lastno znanje in preizkušamo naloge v razredu. S svojim delom bomo nadaljevali, izkušnje in ugotovitve bomo na primerih predstavili v novem priročniku za učitelje. Viri 1. PISA 2003 - Program mednarodne primerjave dosežkov učencev. Dostopno na http://193.2.222.157/UserFilesUpload/file/raziskovalna dejavnost/PISA/PISA2009/Naloge i z matematicne pismenosti in probl nal%202003.pdf (19. 6. 2012). 2. Predmetna komisija (2008): Učni načrt. Matematika: gimnazija : splošna, klasična in strokovna gimnazija. Ministrstvo za šolstvo in šport , Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. Dostopno na http://portal.mss.edus.si/msswww/programi2011/programi/media/pdf/un gimnazija/un mate matika gimn.pdf (19. 6. 2012). 3. Kmetič, S. (2010): Razvoj in spremljanje procesa modeliranja. V Žakelj, A. et. al. Posodobitev pouka v gimnazijski praksi - Matematika. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana, str. 90-102. 4. Pustavrh, S. (2010): Modeliranje s sinusno funkcijo. V Žakelj, A. et. al. Posodobitev pouka v gimnazijski praksi - Matematika. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana, str. 158-162. 5. Rutar Ilc, Z. (2004): Pristopi k poučevanju, preverjanju in ocenjevanju znanja. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 6. Žakelj, A. et. al. (2010): Posodobitev pouka v gimnazijski praksi - Matematika. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. "TODAY CHAMPIONS IN MATH, TOMORROW IN EQUAL CHANCES": A SHORT OVERVIEW OF STRENGTHS AND WEAKNESSES OF FLEMISH EDUCATION "Danes prvaki v matematiki, jutri z enakimi možnostmi": kratka predstavitev močnih in šibkih točk izobraževanja matematike v Belgiji Adriaan Herremans, University of Antwerp adriaan.herremans@ua.ac.be Abstract In international PISA tests, the Flemish region is always situated in the top performers of Europe, especially for mathematics. Nevertheless it seems that we are doing not so well with regards to equal chances. The social background you are born in is strongly related with the outcome of your educational career. Flemish mathematics inspection noticed that in the beginning of the secondary education, a lot of pupils do not reach the minimal curricula any more. This lead to the Monard comity (2009), that worked out a new plan for the beginning of secondary education system. We discuss the main guiding lines of this comity since the practical changes will only start in September 2013. One of the main ideas is that children have to choose too early: now at the start of secondary school they make an important choice with regard to the level of their secondary education. In the new curriculum this will be postponed until the age of 14. The first two years of secondary school will become a broad education in order to get a taste of all possibilities. This should deal with two major drawbacks of today's educational system: pupils choose the wrong study level and a great number of pupils leave school without a diploma. Keywords: Flemish educational system, learning outcomes, reform of educational system, cascade phenomena, PISA results, teacher training. Introduction The quote in the title was the title of the policy report of the Flemish minister of education after the elections in 2004 (see [14]). The report was based on the results of PISA 2003. Since that date the main efforts in Flanders focuses on equal chances, and this will result in an important reform of the beginning of secondary education (see § 5.2). We describe shortly the current Flemish education system, analyse its strengths and weaknesses and describe what the new situation is expected to be. Most data and statistics can be found on the website of the Flemish ministry of Education [23] (mainly in Dutch) and of the OECD PISA tests [21]. The Flemish educational system: short overview of the current situation In Flanders, there is compulsory education from the age of 6 until the age of 18. This is roughly divided into two major parts: primary education (age 6-12) and secondary education (age 13-18). In reality almost all children go to nursery school starting from the age of 2,5 (Eurydice 2012). In primary school, there is only one curriculum for all pupils. A week consists of 28 hours of teaching7 with 6 hours of math in every year (before 1998, this was 8 hours a week of 7 A 'teaching hour' in Flanders is in fact 50 minutes. math). Pupils spend (almost) all their time with the same heterogeneous group and one teacher who teaches all the subjects. At the end of every year the teacher advices whether a pupil can pass to the next year or not, nevertheless parents have the right to ignore this advice. At the start of secondary school, a pupil chooses one of the four main types: general education, technical education, education in arts and vocational education. Within these four types there exist a lot of options, all of them with their own curricula. From now on, every subject in school has its specialized teacher. Also the pupils in the class room can change. A week consists of 32-36 hours, including 2-4 hours of math in the first two years. This can increase to 6 hours a week (or even 8 in some schools) or decreases to 0 depending on the options you choose later on. Every year the team of all teachers of a pupil decides whether he can pass to the next year (certificate A), whether he can pass to the next year but ruling out some options (certificate B, e.g. rule out all options containing Latin because of a deficit in the courses of Latin) or whether the pupil can not pass to the next year (certificate C). Strengths Learning outcomes. In international tests as in PISA, Flanders scores very well, especially for mathematics. In Europe we are always in the top group when we look at the learning outcomes, only Finland performs better. Also within our country, the Flemish region scores significantly better than the other regions. We include two typical graphics of the PISA results for mathematics to illustrate this. This difference is noticed in all PISA tests and not only for mathematics, but also for the other tests on reading and science, although the difference for science with other countries is less conclusive. What one can see in the statistics is that Flanders has a large group of top performers. Two explanations are that we spent a lot of teaching hours on mathematics and that we choose different levels of education at an early age (at 12). We have a high percentage of 85% of pupils who leave secondary education with a diploma. This is the OECD standard. Percentage of students at each level of proficiency on the Mathematics scale Level 6 Level 3 Below Level 1 .. Ill Tables 1 and 2: Results from the PISA 2006 test on mathematics (see [21]) Accessibility. Education is financially very accessible. There is a maximum of money a school can ask for in primary education (60 €/year) and there is no entrance fee during compulsory education. Also entrance fees at higher education level are quite reasonable comparing with surrounding countries (ca. 500 €/year) and a diploma of secondary education gives you unlimited access to higher education. So one can state with absolute certainty that higher education is the best investment for your future (income) in Belgium. Compulsory education until 18. As mentioned in § 2, we have compulsory education from the age of 6 until the age of 18, although from the age of 16 you can choose in vocational education to be part-time in school and do part-time an internship supervised by the school. In reality every child of 3 years old, is in nursery education. There is a curriculum for nursery education in order to prepare every child for the start of primary education. In fact, you have to proof that you have been for at least one year on a regularly basis in nursery education before you can start in primary school. Otherwise you have to do a test that concerns mainly language-related subjects. Teachers. Teachers are very well educated. Until twenty years ago, you had to be in the top of your class in general secondary education in order to be granted access in the special schools for teacher training. In this way a lot of very skilled young people were able to start a career as a teacher. It was often a chance to climb up in social status. Teachers are very committed (McKenzie et al. 2004, § 109): they are supervising and evaluating the educational career of their pupils. Every decision with regards to stimulate pupils or to let pupils pass to the next year is taken by the whole team of teachers, all aware of the pupil's history. Next to that we have in all schools CLB (Pupils Guidance Centres), so we can conclude there is a lot of attention to the needs of every individual pupil. Teachers are paid well, compared to most surrounding countries; although research points out that the workload is also higher (McKenzie et al. 2004, § 107-108). Teachers with a bachelor's degree are all paid the same regardless whether they teach in nursery, primary or secondary education. Teachers with a university degree get paid a little more. The salary rises a little with every two year of work experience. One concludes that the start salary is quite high but on the average teachers with a university degree earn less than people in Flanders with a comparable diploma. Tradition & politics. Flanders does spend a lot of money to education: around 9 billion euro every year (this is 40% of the whole budget of the Flanders' region). We have a great tradition of freedom and autonomy in (good) education. In absolute numbers we have one teacher for every 8 pupils. Except for the minimal curricula imposed by the government, every person can start a school with its own methodology and parents have the freedom to choose the school where they send their children to. Schools are free to appoint the teachers they prefer and are responsible for the educational career and diploma of their pupils. As a little country surrounded by big neighbours most of the pupils speak four languages: Dutch, French, English and German. Therefore most of the people are open to neighbouring cultures. Moreover the capital of Europe, Brussels, lies in the heart of the country, so there are a lot of expats living in Flanders. Weaknesses and challenges Variation in learning outcomes. Next to the fact that Flemish pupils performed extremely well in math, the results of PISA 2000-2003 were interpreted, certainly in the media, in a negative way. Flanders' pupils had a big variation in results and the socioeconomic status was very determining. Politicians concluded that Flanders was world champion in social inequality with regards to the educational outcome. Nevertheless this statement needs some comments: when one looks at the results, the mean of pupils in every option of vocational education in the PISA results is still above 400, the mean in every option in technical education lies above 500 and almost all options in general education have a mean score above 560 (De Meyer et al. 2002). The conclusion should be that almost everyone in secondary education performs well. Also the fact that pupils in special secondary education8 were included in the test, together with the large group op top performers, explains the huge variation of the scores in PISA tests. It should also be denoted that in PISA 2009, the variation of the results was not as high as before because of two effects: the weakest performers did score better results while the mean of the results is in steady decline. Although 85% of the pupils have a diploma of secondary education is the OECD standard, this percentage has not increased in the last ten years. On the contrary, it has decreased in the last ten years from 88% in 2002 to 85% today. Although the aim of the last two ministers of Education to increase this percentage to 92,5% and despite a lot of measures and flexibilities in order to support weak pupils, still 15% of the pupils leave education without diploma. This group finds it very difficult to get a decent job. In fact, since there is compulsory education until the age of 18, a lot of these pupils are tired of school and just go to school until the day of their 18th birthday without positive intentions. Cascade syndrome. Some pupils suffer from the waterfall/cascade syndrome. People still consider the different types of secondary education as different levels and most of the time, parents make their pupils start as high as possible. So a lot of pupils start in general or technical secondary education (88%) while vocational can only attract 12% in the first year of secondary education. In the last two years of secondary school, these percentages are 36% (general), 33% (technical), 2% (arts) and 29% vocational (Vlaamse Overheid 2011). So a lot of pupils were forced in secondary education to drop down. Often these pupils get low confidence in school and have problems with motivation. Delay. We have a great number of pupils who have a delay in their educational career. Almost one fifth of all pupils have at least one year delay at the end of primary education, 8 Pupils with very demanding special needs, such as mental or physical disabilities such that normal education is not considered to be useful, can profit from specialized education in special schools. at the end of secondary education this has increased to 35%. Nevertheless there is a big difference in the type of secondary education: at the end of their secondary career about 10% of pupils in general education have a delay. This is 40% for pupils in technical education and up to 60% in vocational education (Van Petegem, Schuermans, 2005). It is clearly an effect due to the cascade syndrome. Attracting teachers. The advantage of having well educated and skilled teachers becomes more difficult every year: our teacher training is not at university level (except for teachers in the last two years of secondary school) and teacher training is open for everybody. Often it is chosen as a second choice nowadays, because it is a job with a great job certainty (McKenzie et al. 2004, § 140). Nevertheless we see that young people, who become teachers today, have a smaller cognitive background than ten or twenty years ago. It is no exception that in teacher training students have problems solving the difficult exercises they have to teach to their pupils, certainly for mathematics or have problems talking in French, which is the second language. Often they have a background in technical or vocational secondary education and suffered from bad experiences with mathematics themselves. For most of them, the six hours a week of mathematics is not their favourite six hours: pupils feel this and there cognitive competences for math are decreasing every year by year. There is a steady decline in PISA results for math pupils in general, technical and vocational education, only the pupils in specialized secondary education score better. So one of the main challenges of the next years will be: how can we attract skilled pupils to the teacher training. And for those who have finished the teacher training, how can we motivate them to become (and stay) a good teacher? E.g. in upper secondary education, most teachers of mathematics do not have a degree in mathematics: they studied engineering, economics, biology, geography. It is very difficult for them to transfer the joy of their subject to the pupils. The reason is simple: there are not enough mathematicians. Mathematicians often choose job with a better salary in financial or ICT companies. Responsibility of schools/teachers. The tradition of freedom and autonomy (see § 3.5), starts to show its disadvantages. This has to do with the diminishing authority and knowledge of the teachers but also with the new way of funding schools (see § 5.1). Lots of teachers and schools are giving diplomas with greater ease in order to avoid problems with parents (by law suits) and in the belief that later on this problem will be fixed. Therefore a lot of pupils have problems at the start of the year, since they have not the competences they should have. Next to that, a teacher's job is assessed mainly by the marks from his students. According to a lot of school's direction, this is the only 'objective measurement' of how well you are teaching. It is no surprise that teachers who give good grades to their pupils score better points in their students' assessments. The result is that teachers tend to focus on supporting pupils' development and neglect assessing pupils' competences, although they are responsible for both (Bulterman-Bos 2004, chapter 3-4). No national tests. A problem which reinforces the one in § 4.5 is the fact that there are no national tests whatsoever. Therefore it is impossible to get a comparison between pupils in different schools. So pupils who get the same diploma of two different schools can have a lot of different competence levels. This is most noticed in transition between primary and secondary and between secondary and higher education. Although according to diplomas and history, pupils are situated in homogeneous groups, it is often the case that in the first year these groups are quite heterogeneous. Therefore a lot of pupils loose one year in order to get in the right level of education (see § 4.3). Language. Belgium, especially as the centre of Europe, has become a migration country. Since Dutch is not a widely spread language, a lot of pupils does not speak Dutch at home. Mainly in the large cities this becomes a difficult situation: e.g. in Antwerp over 60% of pupils in primary education are non-native Dutch speakers (Baillieul et al. 2011). There are schools where almost all students are immigrants and where the results in educational assessments are much worse than on average in Flanders. Today, immigrant pupils are placed in a school simply according to their age without specific training for the language. Actions taken by the government and plans for the future Actions in 2004-2012. Since 2004, the Flemish minister of Education has given a lot of attention to equal chances (GOK) since the PISA 2003 results (Vlaamse regering, Vandenbroucke F. 2004; Vlaamse regering, Smet P. 2009). This resulted in a new system of funding schools. Instead of getting money (or better: teacher hours) proportional with the number of pupils, the socioeconomic status of pupils was taken into account. Pupils whose parents' income is low or who do not speak Dutch at home, get extra hours. The difference between pupils can go up to a factor 3. Schools with many of these GOK-pupils have much more teachers for the same amount of pupils. Another new system, mainly for higher education, is the principle that funding of schools depends on the outcome of their pupils: the school only gets funding for every pupil that passes. This starts from the second year: so when a teacher decides to grade a pupil below 50%, the school will not get any funding for this pupil (proportional with the number of credits for that subject). The philosophy is: once you have passed the first year, the school should provide enough guidance in order to pass every subject in every year. As mentioned in § 4.1, these action have not increased the number of students getting a diploma in secondary education. On the contrary, level of competences of students are dropping. Most probably, since pupils adjust their study behaviour to the demands of the school which have clearly dropped. As a result, pupils are doing less effort to their studies and even more pupils as before, end up without diploma. The minister is introducing inclusive education: he plans to get rid of the special secondary education for most pupils who are in there now. He wants every pupil to follow regular secondary education. Plan Monard for the future. Inspection teams of mathematics noticed that at the end of primary school the success rate for certain competences of the curriculum was between 60 and 80% (see table 3). On the contrary, after two years of secondary education, this drops for similar competences in math to 30%. In tables 3 and 4, one can verify the big differences between the curricula for numbers in primary school and for numbers/algebra after two years of secondary education. In table 5 the results are further divided into subgroups of pupils according to the type of secondary education they choose: 'general education 1' are all pupils in options in general education with Latin in the curriculum, 'general education 2' are all pupils in options in general education without Latin in the curriculum. Vocational education was not tested by this math inspection. Percentage of pupils attaining the minimal curricula (at the end of primary education) 0 20 40 60 80 100 Mental calculations Algoritmic calculations Definitions and symbols Number value W "5 Ratios D SFractions and comma numbers Multiples and divisors Functions Percentages Table 3: Extract from the 2009 math inspection in primary education (Vlaamse overheid 2010b) 1 1 1 5 165 17 184 | 88 I7i | 64 60 60 59 1 1 1 Table 4: Extract from the 2009 math inspection in secondary education (Vlaamse overheid 2010a) General General Technical Domain Subject education i (with Latin) education 2 (without Latin) education Numbers Understanding 93 78 53 Operations 57 30 7 Algebra Polynomials 58 29 7 Algebraization 82 58 37 Ratios 70 59 27 Data Data 78 58 30 Geometry Definitions 92 68 45 Calculations 67 48 24 Constructions 87 69 42 Spatial geometry 97 95 84 Table 5: Extract from the 2009 math inspection in secondary education (Vlaamse overheid 2010a) Since similar statistics occurred in tests on other subjects, the politicians decided it was necessary to reform the beginning of the secondary education. In 2009 a group of 15 experts worked out a framework for a major reform of secondary education, called the comity Monard. The discussion is still going on, the new situation will start in September 2013. The main ideas of the comity can be summarized into four major actions: 1. The four types of secondary education will disappear in order to get rid of the cascade phenomena. The first two years of secondary education will be broad and classes will be heterogeneous with one curriculum for every pupil (26 hours a week). There will be four domains of interest: health and society; administration and economics; engineering and science; art, culture and languages (although in the latest texts this last domain is split into two different domains).In the first year every pupil will get acquainted with every subject. There will be 4 hours a week dedicated to this. In the second year he will have to choose two of them and get a deeper acquaintance. Finally at the start of the third year of secondary school, so at the age of 14, he will make his definitive choice, although there will remain possibilities to switch. 2. In order to deal with the great number of pupils who get a delay in their educational career, there will be no longer the possibility of certificates B or C (see § 2) in the first two year of secondary education. 3. Introduction of two hours a week of differentiation in secondary education. This will give the possibility for weak pupils to work on the subjects they encounter problems with and for the bright pupils to get two hours of extra curriculum. 4. Instead of changing the teacher every hour, like nowadays in secondary education, the reform intends to have larger blocks with the same teacher and class. This should make the transition from primary to secondary education easier for the pupils and increase their wellbeing. Since these plans will change the teacher's job, there is also a discussion about the teacher's education schools. Today, there is a bachelor to become a primary school teacher who has to teach every subject, and a bachelor for secondary teachers where one has to choose two subjects to specialize in. In future plans, this might become - a bachelor for teachers in the first four years of primary school to teach every subject - a bachelor for teachers of pupils of age 10-14 (so the last two years of primary education, together with the first two of secondary), to teach all subjects in one interest domain - a bachelor (or master?) for teachers of pupils of age 14-18 where one has to choose one or two specific subjects to specialize in. Comments on the reform plans It is clear that the plan of the Monard comity get their ideas from the situation in the Netherlands and in comprehensive education (Herremans 2010). Since the concrete situation is still not clear, the comments are general remarks and questions by the people working in schools. Only two hours of differentiation. Is two differentiation hours a week really enough to both challenge good pupils and remediate the weak? Furthermore, the options that are now attracting the best pupils, i.e. options with Latin (see table 5), will almost have to disappear. Latin can only be given in the two differentiation hours. With regards to mathematics: two hours a week will be the new standard, if you want more than this (like the four hours nowadays in general education) this will also be in the two differentiation hours. Heterogeneous classes for two more years. It is noticed in the last two years of primary school that there is a big difference between the competences of the pupils, certainly with regards to mathematics and the second language. Is it hence useful to keep these different pupils together for these subjects for two more years (Feys et al. 2009)? The Monard comity defend the heterogeneous classes, and point to Finland as the example. Nevertheless in countries where comprehensive education is the standard, pupils work until the age of 15 mostly around general subjects, while students in technical and vocational education in Flanders nowadays have already a lot of practical skills and experience at the age of 15. On the other hand, tests in PIRLS and TIMSS (see [22]) point out that the Flanders is not at all performing exceptionally well and seems not to have a large group of top performers. This is different than in PISA tests, suggesting that the first two years of secondary education are very effective. Meanwhile, table 3 suggests that more pupils reach the curriculum at the age of the PIRLS and TIMSS tests. Situation in the Netherlands. The latest important reform of secondary education in the Netherlands was not successful. The comity Dijsselbloem (Goetheer, van der Vlugt 2008) reported on the drawbacks. One of the main comments was that the reform was inspired and influenced by pedagogical people and publishers, not by teachers. Nevertheless, the Flemish minister wants to introduce a reform very similar to the Netherlands (Herremans 2010). It is also hard to explain why Flanders wants to mimic the Dutch educational system, since in almost all international tests Flemish education scores better than Dutch education. Equal chances. The conclusion that today's education in Flanders is not good for equal chances is not confirmed by everyone. E.g. in (Hofman et al., 2004) the conclusion is that Flanders has a fairly equity-providing education system. There is discussion about the interpretation of the statistics, but it seems that the inequality is not situated mainly in the beginning of secondary education. At the end of primary school, inequalities are detected in a similar way (Van Damme 2010). People involved in schools suggest that the minister should make more work of dealing with language problems in primary education instead of changing secondary education. Real change? Will this reform change a lot? For every interest domain there will remain the choice between the options 'preparing for higher education' and 'preparing for the labour market'. This is very similar to the difference in the today system between general and vocational education. The four types of education will disappear, but will the perception of the parents and the labour market change equally: e.g. will options with tend to the general education (such as Latin or math-science) be considered as really the same level as options which tend to technical or vocational education such as construction or hairdressing? Decreasing teachers' involvement. Teachers are suspicious of the fact that certificates B and C will disappear. They consider it as a very useful tool to point pupils in the right direction. They fear that their involvement will decrease and that learning outcomes will drop if there are no means to redirect or stop pupils that do not meet the minimal curricula. Their criticism can summarized by the concern that "equal chances for everyone" does not mean "equal outcome for everyone". Failure of a previous similar reform (VSO). In 1970-1989 a renewed secondary education system (VSO) was introduced, and in fact imposed to many schools, without success. This VSO system also tended to heterogeneous classes and comprehensive methodology. Nevertheless parents started to send their children to schools which applied the 'old' education system since the results were better in that schools. Both the strong and weak pupils suffered from the renewed education system. Teachers in the VSO system stated to follow the textbooks since the curriculum was formulated in a vague manner (Feys et al. 2010). Teachers who witnessed VSO system refer to the plans of Monard as VSO-2, as to denote their concern that these plans are going in the same direction as the VSO system. Furthermore the belief that learning should be exclusively 'activating, interdisciplinary and competence-based' as in the plan Monard, is not general accepted (e.g. Young 2008, Furedi 2009). Conclusion Although Flemish education performs very well in international tests with regards to learning outcomes, the politicians struggle with the observation (or believe) that the socioeconomic status has a great correlation with the outcome. The last ten years, there were great attention and investments in order to deal with this observation. Nevertheless, there are no big differences in nowadays statistics when compared to 10 years ago although learning outcomes seems to decrease. In 2013, the start of secondary education will have a major reform: the four different types, often regarded as different levels, in secondary education will disappear, there will be a one curriculum for every pupil and classes will become heterogeneous until the age of 14. The focus of the politicians on equal chances with the outcome funding is a concern for a lot of schools. Since schools and teachers still have a great autonomy, the success of the reform will also depend to a great extend of their actions. References 1. Baillieul M., Bastiaens K., Göransson C., Hoop P., Mahieu P. [edit.], Treep O., Vanhoof J. [edit.], Van Praet M., Wellens B. (2011): Local evidence-based policy and practice in education: a survey on data brokerage and networking in four medium sized European cities: report on peer reviewing by cities including a practical toolkit. 131 p., available on http://www.comparelocaleducation.eu/ 2. Bulterman-Bos J. (2004): Teaching Diverse Learners: A Practice-Based Perspective. ISBN 9061965233; Ph.D. Thesis Free University Amsterdam, 224 p. 3. De Meyer I., De Vos H. and Van De Poele L. (2002): Worldwide Learning at Age 15: First Results from PISA 2000. Department of Education, University of Ghent and Flemish Ministry of Education, Ghent, 28 p., available on [21]. 4. Eurydice (2012) Key data on Education in Europe 2012, Eurostat, European Commission, ISBN 9292012427, available on http://eacea.ec.europa.eu/education/eurydice/ 5. Feys R., Hullebus M., Van Biervliet N. (2009): Plan-Monard: comprehensieve hervorming & ontplooiingsmodel: kansen, talenten & centen verkwanselen. Onderwijskrant 151, p. 14-24. 6. Feys R., Hullebus M., Gybels N. (2010): Verdrongen, maar leerrijke VSO-geschiedenis & VSO-kritiek. Onderwijskrant 152, p. 25-34. 7. Furedi F. (2010): Wasted: Why Education Isn't Educating. Continuum Publishing, ISBN 1441122100, 256 p. 8. Goetheer G., van der Vlugt J. (2008): Tijd voor onderwijs, Eindrapport van de commissie Dijsselbloem in vogelvlucht, Sdu Uitgevers, ISBN 9012127874, 88 p. 9. Herremans A. (2010): Een kijkje over de grenzen heen: een vergelijk van het wiskundeonderwijs in Nederland en Vlaanderen. Wiskunde & Onderwijs nr. 142, p.136-146. 10. Hofman R. H., Hofman W. H. A., Grey J. M. and Daly P. (2004): Institutional context of Education Systems in Europe. A cross-country comparison on quality and equity. Kluwer Academic Publishers, ISBN 1402027443, 211 p. 11. McKenzie P., Emery H., Santiago P., Sliwka A. (2004): Attracting, Developing and Retaining Effective Teachers, Country Note: The Flemish Community of Belgium. Report of OECD, available on [21]. 12. Van Damme, J. (2010): Hervorming van ons secundair onderwijs. Bedenkingen van een onderzoeker bij de voorstellen van de commissie Monard. Tijdschrift voor Onderwijsrecht en Onderwijsbeleid (3), p. 246-255. 13. Van Petegem P., Schuermans G., Zittenblijven in Vlaanderen, Impuls 36, nr. 1, p. 3-12. 14. Vlaamse regering, Vandenbroucke F. (2004): Vandaag kampioen in wiskunde, morgen ook in gelijke kansen, Beleidsnota 2004-2009, available on [23]. 15. Vlaamse regering, Smet P. (2009): Samen grenzen verleggen voor elk talent, Beleidsnota 2009-2014, available on [23]. 16. Vlaamse overheid (2010a): Peiling wiskunde in de eerste graad secundair onderwijs (A-stroom), available on [23]. 17. Vlaamse overheid (2010b): Tweede peiling wiskunde in het basisonderwijs, available on [23]. 18. Vlaamse overheid (2010c): Leesvaardigheid van 15-jarigen in Vlaanderen, De eerste resultaten van PISA 2009. available on [23]. 19. Vlaamse overheid (2011): Statistisch jaarboek van het Vlaams onderwijs 2010-2011, available on [23]. 20. Young M. (2008): Bringing Knowledge Back In, Routledge, ISBN 0415321212, 247 p. 21. http://www.pisa.oecd.org/ (22. 07. 2012), website of OECD Programme for International Student Assessment. 22. http://timss.bc.edu/ (22. 07. 2012), website concerning TIMSS and PIRLS tests. 23. http://www.ond.vlaanderen.be/ (22. 07. 2012), website of the Flemish ministry of Education, partially in English. STRAH PRED OCENJEVANJEM, KAJ JE ŽE TO? UVAJANJE FORMATIVNEGA SPREMLJANJA IN SPREMINJANJE POUČEVANJA Fear of Assessment - a Thing Long Forgotten Introduction of Formative Assessment Altering of Teaching Methods Mateja Peršolja, OŠ Preserje pri Radomljah mateja.persolja@guest.arnes.si Povzetek Pred dobrim letom je profesorica didaktike matematike na kongresu matematikov povedala, da se morajo prihodnje študentke razrednega pouka najprej otresti strahu pred matematiko in neuspešnostjo, da lahko uspešno študirajo. Tudi ugotovitve mednarodnih raziskav TIMSS kažejo zaskrbljujočo sliko o priljubljenosti matematike. Med letoma 1995 in 2007 se je delež devetletnikov, ki ne marajo matematike, povečal za 220 %. V teh letih se je tudi podvojil delež trinajstletnikov, ki ne marajo matematike. Odnos, ki ga razvijejo šolarji do učenja in do znanja, je ključen za njihovo uspešnost v šoli, pa tudi za njihovo voljo in veselje do učenja in znanja v prihodnosti. Ta odnos pomembno vpliva na njihovo osebno uspešnost v življenju, posledično pa tudi na uspešnost Slovenije pri uresničevanju ključnih državnih ciljev, kot sta spodbujanje vseživljenjskega učenja in razvoj družbe znanja (Musek Lešnik, 2011). "Ocenjevanje ima zelo velik vzvratni učinek na različne ravni izobraževanja, s tem pa tudi izjemen vpliv na izobraževanje in karierno usodo udeležencev izobraževanja," je povedal Zdenko Medveš na Pedagoško-andragoških dnevih v letu 2012. Prispevek predstavlja ugotovitve na področju raziskovanja oblik spremljanja učenčevega napredka in ocenjevanja znanja. Govorimo o spremljanju za učenje (namesto spremljanju učenja) in o formativnem spremljanju znanja. Ključne besede: formativno spremljanje, ocenjevanje znanja, didaktika matematike, samoregulacija. Abstract About a year ago, a professor of didactic of mathematics stated at the Congress of Mathematicians, that in future the students studying for elementary school teacshers should, in the first place, overcome their fear of mathematics and failure in it, in order to become successful students. In addition, the results of international surveys of TIMSS show an alarming picture of mathematics unpopularity. From 1995 to 2007, the number of nine-year-olds who disliked mathematics increased by 220%. In the same years, the number of thirteen-year-olds who disliked mathematics doubled. Pupils attitude towards learning and knowledge is of key importance for their success in school, and also for their future learning behaviours. This attitude has a considerable impact on their personal success, and consequently, on the success of Slovenia at realization of its key goals, such as encouraging lifelong learning and the development of a knowledge society. (Musek Lešnik, 2011). Grading has a considerable retroactive impact on different levels of education, and at the same time, a significant influence on education and career destinies of participants in education', said Zdenko Medveš at Pedagogical and Andragogical Days in 2012. My article presents the results of the research.focused on observation of students' progress and alternative methods of assessing their knowledge. The word is about assessment for learning (instead of learning assessment) and about formative assessment. Key words: formative assessment, assessment of learning, didactic of mathematics, self-regulation. Uvod V uvodu bom predstavila nekaj teoretičnih izhodišč, ki jih v nadaljevanju podprem s primeri izvajanja v razredu. Pred slabimi desetimi leti, ko sem prvič vstopila v razred in začela poučevati, sem naletela na težavo, da nimam orodja, s pomočjo katerega bi vplivala na učenje, delo in posledično znanje učencev. Poleg tega sem si želela ohraniti dobre odnose z učenci. Priložnost za svoje učenje in razvoj sem našla v inovacijskih projektih Zavoda za šolstvo (ZRSŠ), učenju, študiju, samoregulaciji in raziskovanju ter začela spreminjati svojo dotedanjo prakso in opuščati neučinkovite vzorce. Odnosi, vzdušje in delo v razredu so se v letih mojega raziskovanja zelo spremenili. Pogled na učenje in poučevanje se je odprl in pridobil drugo dimenzijo. V njej je veliko več ustvarjanja (učitelja in učencev). Po tej poti še hodim, imam vizijo in vedno nove cilje. Članek predstavlja trenutno stanje in do sedaj prehojeno pot. Prvotni cilji razvoja so bili namenjeni izboljšanju odnosov z učenci ter izboljšanju dela in učenja v razredu. Strah pred matematiko in strah pred ocenjevanjem mi je uspelo »pregnati« s spremembo načina spremljanja otrokovega učenja in znanja oz. ocenjevanja. Vzporedno ob tem se je spreminjalo tudi moje poučevanje, pogled na učenje in odnosi z učenci. Kaj je formativno spremljanje? V zadnjih letih se v tujini uveljavlja spremljanje za učenje (assessment for learning) namesto spremljanje učenja (assessment of learning) in formativno spremljanje znanja. Spremljanje za učenje je osredinjeno na učenca in se ukvarja s tem, kako spremljati napredek in znanje otroka, da ga bomo s tem spodbudili k delu in učenju. Za razliko od spremljanja učenja, ki se le ukvarja s tem, kako »meriti« naučeno oz. pridobljeno znanje. Delo učenca in njegova motivacija sta pri spremljanju učenja drugotnega pomena. Spremljanje za učenje ima za posledico izboljšano delo in motivacijo učenca. Formativno spremljanje (preglednica 1) nima ene same opredelitve. Povzela bom opredelitev Komljančeve, ki pravi, da je formativno spremljanje procesa učenja pedagoški dialog za soglasno skupno učiteljevo in učenčevo spremljanje, nadzorovanje in usmerjanje razvoja učenja posameznika, da bi izboljšali učni učinek v procesu učenja in da bi bila sodba o vrednosti naučenega ob koncu učenja čim bolj ustrezna. Napake in vrzeli v učenju se odpravljajo z organizacijo in izvajanjem poučevanja, ki aktualno oskrbuje z navodili in viri za učenje. Zahteva se diferenciacija in individualizacija učenja (Komljanc, 2008a: 14) oz. osebni pristop. Black in Wiliam (1998) sta dokazala, da formativne strategije ocenjevanja dejansko dvignejo raven dosežkov, še zlasti pri šibkejših učencih. Prednost formativnega spremljanja oz. spremljanja za učenje, v katerega sama vključujem tudi samoregulacijo učenja, sem zaznala kot potrebo za delo v razredu. Zlasti takrat, ko nisem uspela več imeti »nadzora« in pregleda nad delom učencev in ko sem želela sprotno (ne občasno) delo učencev. Zaznala sem potrebo po zbiranju podatkov o učenčevem delu in učenju, s čemer bi jim lahko zagotavljala sprotno povratno informacijo v obliki navodil za izboljšanje znanja, ne le ocene. Potrebovala sem informacijo, ki »hrani« in spodbuja k napredku, ki ne jemlje motivacije. Kot pravi Komljančeva: ocena ni pozitivna povratna informacija, ker ne odstranjuje vrzeli v znanju, ampak le zazna napake v izdelku. Ocena izdelka (npr. pisnega preizkusa) ne vsebuje pomembnih podatkov razvoja učenja in predstavljanja naučenega, ampak le odgovore na vprašanja v preizkusu (Komljanc, 2008b: 11). Tvoja močna predznanja/Kaj znaš? Tvoja šibka predznanja/ Kaj bi se rad naučil? Vsebina učenja/Kaj? Cilji. Proces učenja/Kako bi se rad učil? Delovna zbirka dosežkov/Kaj že znaš? Kaj je v tvoji mapi? Predstavitvena zbirka dosežkov/ Oceni svoje delo. Preglednica 1: Primer vprašalnika za samoevalvacijo učenca ali učenca in učitelja (Komljanc, 2007) Vse izdelke učencev (različne oblike izkazovanja znanja, avtentične, projektne in raziskovalne naloge, predstavitve naučenega) in oblike izražanja znanja lahko hranimo v portfoliu. Na tak način spremljamo ne le znanje učenca, temveč tudi razvoj vsebin in metod učenja. Za to pa je potrebna interakcija, komunikacija in dialog učitelja in učenca. Empirična analiza (Komljanc, 2004) je pokazala, da je pedagoška komunikacija v naših šolah pogosto enosmerna. Učitelji pogosto izbirajo frontalno obliko pouka. Skrbijo jih učni cilji oz. standardi v učnih načrtih. Redkeje sledijo potrebam otrok. Če ne sledimo potrebam otrok in imamo sistem »uravnilovke« (vsi istočasno, enako in po možnosti na enak način) ter standardov, se najmanj ena tretjina otrok v razredu dolgočasi, ena tretjina pa jih zaostaja. Ob takem načinu dela v šolah se nekateri učenci počutijo nesposobni, čeprav se samo ne morejo prilagoditi sistemu ali pa bi potrebovali drugačen ritem dela. Hardway ponuja rešitev v spremembi sistema, ki ne podpira kapitalističnega sistema. V smislu, če ni dober material, ki ne dosega standardov, naj gre v ponovno obdelavo (v šolskem žargonu ponavlja razred, ponavlja test, popravni izpit) dokler ne bo ustrezal predpisanim standardom. Taka družba selekcionira in razslojuje. Danes pa potrebujemo drugačno družbo, ki bo znala živeti v tem svetu in bo inovativna ter ustvarjalna. V sistemu, kot ga imamo, je procesno ocenjevanje (Komljanc, 2008c: 13) ena izmed možnosti za regulacijo preverjanja znanja v skladu s potrebami posameznega učenca. S takim načinom spremljanja znanja učenec pridobi moč in sposobnost vplivanja na lastno učenje in delo ter gradi odgovornost, ki je v današnji družbi še kako pomembna. Učenec lahko pokaže, kaj se je naučil, kako razume cilje učenja in ne čaka, da to odkrije njegov učitelj. Raziskave, izvedene v Avstraliji, kažejo, da ima največji učinek na odgovornost samoocenjevanje. Clarkova pri samopresoji celo izpostavlja celostno izboljšanje samopodobe (Clarke, 2001: 44). Raziskava McDonalda in Bauda (2003) je z eksperimentom pokazala, da je eden od možnih načinov vključitev samoocenjevanja med cilje učnega načrta. Tako postavimo temelje za razvijanje vseživljenjskih zmožnosti, na katere se bodo učenci lahko opirali po končanem šolanju. Vrednost formativnega spremljanja je v omogočanju učnih priložnosti za samostojno delo in učenje. Formativno spremljanje s predstavitvami naučenega spodbuja preseganje pričakovanih dosežkov in standardov znanja. Tega se zaveda vedno več učiteljev in šol, ki se vključujejo v mrežo za razvoj didaktike ocenjevanja znanja (ZRSŠ). Spremljanje za učenje in formativno spremljanje pri pouku a. Predstavitev mojega načina dela ob začetku leta (za kaj se zavzemam, kaj podpiram, česa ne) Spoznavanju učencev in povezovanju sledi načrtovanje dolgoročnih ciljev (za življenje) in kratkoročnih (šola, cilji za tekoče leto) ter njihovih ciljev za matematiko. Z organiziranim sodelovalnim učenjem in ustrezno razporeditvijo prostora postanemo z učenci sodelavci in sooblikovalci ure. Učijo se eden od drugega in eden drugemu so spremljevalci na poti do znanja, ki drug drugemu dajejo kakovostno povratno informacijo in podporo. b. Razporeditev v razredu Učenci sedijo v skupinah, saj samo takšna razporeditev omogoča sodelovanje, pomoč drug drugemu, razpravo in aktivno učenje. Na začetku sedijo kakor želijo, saj mi je pomembno, da se v skupini počutijo varne in si zaupajo. Kasneje tvorimo skupine na različne načine, glede na cilj ure. Občasno oblikujemo tudi pare - učenec, ki se je nekaj že naučil, pomaga učencu, ki nečesa še ne zna. Drugič izberemo združevanje glede na močna ali šibka področja ter prilagodimo delo glede na predznanje in cilje posameznika. Ob različnih oblikah tvorjenja skupin spoznavam učenca, njegovo delo, komunikacijo, osebnost, močna in šibka področja. Na tak način ga hitro spoznam in lažje vključujem v različne oblike dela med letom. Spoznam ga celostno, ne le z matematičnega vidika, kar mi omogoča lažje iskanje močnih področij, ki so pomembna za razvoj in napredek. c. Diagnostika (postavljanje vprašanj) Diagnostika predznanja (primer Slika 1) je namenjena ugotavljanju predznanja posameznika. Meni omogoča, da lažje načrtujem proces učenja za razred in posameznika in se lažje orientiram, kje in kako začeti učenje. Če namreč startam pri tem, kar učenci že znajo, se bodo dolgočasili in si s tem že ustvarim razmere za nered, vzgojne težave. Podobno je, če začnem s ciljem, za katerega učenci nimajo ustreznega predznanja. Slika 1: Diagnostika predznanja iz izdelka učenca, ki kaže nerazumevanje ulomkov ob začetku 7. razreda U Diagnostika omogoča ugotavljanje začetnega stanja in primerjavo s končnim stanjem ter na tak način z napredkom, ki ga je naredil učenec. Ni namenjeno ocenjevanju, zato testi in razna preverjanja nikakor niso primerna za diagnosticiranje. A diagnostika ni pomembna samo za učitelja, še pomembnejša je za učenca, saj si ob diagnostični aktivnosti učen ec sam zastavi (ali posvoji) cilje. Ti so zapisani z besedami učencev, so vmesni, ni nujno, da so taki kot v učnem načrtu. Ko imamo cilje, se lahko lotimo učenja. d. Samopresoja ob nalogah - cilji Ko imajo otroci pred sabo cilj, lažje presojajo, ali ga dosegajo ali ne. Za cilj si znajo poiskati primerne naloge in si znajo organizirati učenje. Ob delu in učenju v šoli spoznavajo raven zahtevnosti nalog oz. taksonomske ravni. Na tak način se učijo učiti. Tako se lažje zavedajo, kaj že znajo, česa ne, in si znajo poiskati naloge v različnih virih. Po končanem delu si naloge preverijo z rešitvami ali sošolci med seboj v skupini (peer-assessment). Pri matematiki lahko uporabimo tudi žepno računalo. Tako ga res osmišljeno uvajamo (kot učni pripomoček) in niso potrebne posebne ure za učenje uporabe žepnega računala. Vprašanja in nejasnosti učenci razčistijo med seboj ali z učiteljem. Včasih si po takem izkazovanju znanja, povratni informaciji in samopresoji vzamemo čas za izboljševanje znanja in se razporedimo v skupine glede na interes. Tudi v razredih, kjer so najživahnejši učenci in so za učitelja pravi izziv, so take ure mirne in delovne. Motivacija za delo je drugačna, saj je učenje osmišljeno in prilagojeno interesu in nivoju znanja posameznika. Zelo koristno je, ko tudi iz preverjanj znanj, ki jih občasno sestavim, odstranim točke, točkovnik, odstotke, ocene ter k vsaki nalogi napišem cilj. Take oblike dela imajo še eno pozitivno stran. Učenci iščejo, kaj bi še lahko znali bolje in se naučili, ne pa točk. Onemogočeno je tudi medsebojno tekmovanje. Iščejo poti do znanja. Ob koncu učenci napišejo samopresojo (Slika 2 in Slika 3), ki je prilagojena glede na fazo procesa učenja. Vprašanja so lahko: Kaj znam? Kaj bom še izboljšal? Kako? Kdo mi bo pomagal? Kasneje ta vprašanja niso več potrebna, ker znajo učenci samopresojo pisati že sami. Slika 2: Primer samopresoje učenke o znanju računanja z decimalkami e. Zahtevnost nalog - prepoznavanje taksonomskih ravni Z učenci lahko sestavljamo naloge in preverjanja. Zavedajo se, da so naloge različnih težavnosti in naloge, ki preverjajo različne taksonomske ravni. Izkazalo se je, da se uspešnejši učenci tega bolj zavedajo. Znajo si poiskati ali celo sestaviti take naloge. Ko skupaj zapisujemo cilje, ob katerih si potem poiščejo ali sestavijo naloge, se pogovorimo tudi o tem. Zanima nas, katera so tista osnovna znanja, ki jih potrebujemo, če se želimo 1 6 lotiti reševanja nekega matematičnega problema (lahko delamo ob konkretnem primeru). Ko si znamo odgovoriti, da je npr. to seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje decimalnih števil, potem temu rečemo, da so to minimalni pričakovani dosežki, ki jih potrebujemo, da bomo reševali zahtevnejše matematične probleme. Prepoznavamo in iščemo različno zahtevne naloge, izzive, številske izraze, ipd. Postopoma se naučijo, da ni pomembna le količina računov ali nalog, ki kažejo na doseganje istega cilja. f » Kako ocenjujefl izgled tvojega izdelka? katere infonnacije «i razbral iz popravljenega izdelka, ko ti ga je učiteljica vrnila? Kje, kako Ii bodo koristile? Mer. Kako £ boš z njimi pomagal? Kaj bo» naredil? Vjd. rflJliS^ns. Menil, da je izkazano zndhje te na taki ravni, kol s pričakoval? ^oJJlj- M*- /yt. -^Cr^j j ju' A~ Š&U.,' i-* Zakajf^o/ zakaj ni? Utemelji. . r ' S 3 V^oJvtf /r^rdu it LA^ oMe^af. Kaj n le ielil c/boljiali oziroma, kako bot poglobil in nadgradil tvoje znanje? Slika 3: Primer samopresoje učenca o njegovem izdelku (izkazanem znanju o računanju z ulomki) f. Oblikovanje kriterijev za ocenjevanje i. Na vzorčnih primerih Kriterije za ocenjevanje znanja lahko oblikujemo na podlagi vzorčnih izdelkov, ki jih otroci izdelajo pri pouku ali doma. Te primere si skupaj ogledamo. Poiščemo, kaj je v izdelkih dobrega in kaj so najpomembnejše »sestavine« naloge, brez katerih naloga ni pregledna, matematično pravilna ... Pozorni smo na to, da iščemo, kaj je v izdelkih dobrega in kaj bi lahko še izboljšali. Slabe stvari nam pri delu jemljejo energijo in motivacijo za delo. Ob taki analizi nastaja na tabli plakat s kriteriji odlične naloge. Na podlagi tega kriterija lahko samopresojamo nadaljnje izdelke, jih izboljšujemo ali celo ocenjujemo. ii. Glede na standarde znanja in taksonomske ravni Z učenci pregledujemo in presojamo zahtevnost nalog (kot je opisano v poglavju 2.e.) in cilj, ki ga posamezna naloga preverja. Opredelimo, kaj so minimalna znanja, ki jih bomo ocenili z oceno zadostno (2) oz. največ dobro (3). Kateri cilji, dosežki, naloge se zdijo kompleksnejši in zahtevnejši, ki jih bomo ocenili s prav dobro (4) oz. odlično (5). Učitelj je pri tem pozoren tudi na standarde znanja. S pomočjo standardov in t. i. opisnikov oblikujemo kriterije za ocenjevanje. Ti kriteriji so napisani z besednjakom učencev, da jih učenci razumejo. Če jih razumejo, tudi vedo, katere stvari se bodo še učili in kaj lahko še naredijo za izboljšanje znanja. Tako se tudi doma lažje lotijo načrtovanja in učenja. Če ostaja ocenjevanje le v rokah učitelja, se učenec počuti nemočen pri vplivanju na oceno. Ne ve, kaj se lahko še nauči in ne ve, kako izboljšati znanje in oceno. Tako ocenjevanje pogosteje čuti kot nepravično, počuti se nemočen in nezadovoljen. Večina učencev je ob samopresojah zelo realna in še strožja do sebe kot učitelj. g. Povratno informiranje (peer assessment) s sodelovalnimi oblikami učenja in pripravo Učenci so vključeni v oblikovanje kriterijev in ocenjevanje znanja. To pomeni, da morajo imeti priložnosti in možnosti, da znanje pokažejo. Pri tem lahko izbirajo obliko, čas in način. Namen je, da pokažejo najboljše znanje, kar ga lahko. Učitelji jih prepogosto omejujemo z »našimi« oblikami izražanja znanja (pisni testi, ustno spraševanje, plakati, kakšna matematična preiskava). Učenci so kreativni in nam pokažejo znanje še na drugačne načine, če jim le omogočimo. Pri tem kar se da izkoristimo medsebojno delo in pomoč učencev. h. Povratna informacija učitelja in govorilne ure za učence Poleg medsebojnega informiranja o znanju in napredku je pomembna tudi povratna informacija učitelja. Ta mora biti taka, da mu omogoča napredek, zato je pomembno, da je sprotna in pravočasna. Odkrila sem, da so komentarji, kot so: »Ponovi!«, »Vadi!« neustrezni in učencem jemljejo motivacijo. Vedno pogosteje uporabljam navodila ali napotke za delo npr.: »Poglej si v učbeniku na str. xy razlago o....«, »Prosi sošolca x, da ti razloži ali pomaga pri...« ali konkretna razlaga oz. zapis v obliki napotka po korakih. Velikokrat so te povratne informacije tudi ustne, ob vrnjenem izdelku v obliki pomoči, razlage učitelja ali pomoči nekoga od sošolcev. Če učenec potrebuje več časa za razumevanje, pride na govorilno uro k učitelju po pouku ali se dobi s sošolcem. Govorilne ure za učence uporabljam namesto dopolnilnega pouka. Na te ure pridejo učenci prostovoljno, z vprašanji in željami, kje potrebujejo mojo pomoč. Ure so zelo dobro obiskane. Na voljo sem jim tudi štirikrat tedensko. Na leto se nabere tudi do sto ur. Če sem pri dopolnilnem pouku imela težave z obiskom ter prosila učence, naj pridejo, sedaj s tem ni več težav. Na govorilne ure prihajajo tudi uspešnejši učenci, ki si želijo poglobiti znanje, ali taki, ki so moji pomočniki in pomagajo sošolcem. i. Izboljševanje znanja Če želimo, da se učenec nauči, da bo bolje znal, mu moramo dati tudi priložnost za izboljšanje znanja in priložnost, da pridobljeno znanje tudi pokaže. Ne zdi se mi smiselno, da to znanje pokaže v obliki ponovnega pisnega preizkusa, saj ni pomembno, da ponovno izkazuje znanje, ki ga je že pokazal. Bolje je, da se posvetimo znanju, ki ga je pridobil in izboljšal. Na tak način učenci ne izkoriščajo sistema poskušanja, če jim bo morda (brez učenja) prihodnjič uspelo doseči višjo oceno, ker bo učitelj v testu preverjal nekaj, kar bolje znajo. V primeru, da znanje ocenimo, učni proces zaustavimo, saj se po ocenjevanju učenje in delo učenca zaustavi. Če ga ocenimo npr. z oceno dobro, pomeni, da delo ni dokončano in v tem primeru učencu damo čas, da se nauči. Dokler lahko, ga počakamo, nudimo pomoč in podporo. Žal je pogosto tako, da je potrebno ob konferenci ali ob koncu leta oceno zapisati, učenec pa bi potreboval več časa, da bi neko znanje usvojil. Na tak način mu preprečujemo, da bi optimalno napredoval in mu onemogočamo napredek. Zato je na mestu vprašanje, ali je postavljanje standardov za posamezen razred smiselno? Ali bi lahko tako organizirali pouk in delo, da bi vsak učenec napredoval s svojim tempom in ne puščal nedokončanega dela? j. Domače naloge Če omogočamo učencu vključenost v načrtovanje dela, tempo napredovanja, mu moramo omogočiti tudi načrtovanje domačega dela. Ker v šoli napreduje vsak s svojim tempom in vsak doseže neko stopnjo razumevanja in znanja, potem je smiselno, da v skladu s svojim tempom dela in razumevanja načrtuje tudi svoje domače delo. Če je nekdo naredil precej nalog v šoli in dosegel nek cilj, bo doma raziskoval ali delal naloge na zahtevnejši ravni, medtem, ko bo nekdo drug delal še na razumevanju, utrjevanju ... Torej je domača naloga načrt vsakega posameznika. k. Portfolio Med učnim procesom nastajajo različni izdelki oz. različne oblike, preko katerih učenec izkazuje znanje. Vse te izdelke zbiramo v portfoliu, v katerem so tudi samopresoje, načrti za izboljšanje znanja ... Težimo k temu, da je ta zbirka informacij o učenčevem znanju čim bolj bogata, pestra, da učenec izrazi znanje na različne načine. Portfolio nam omogoča spremljanje učenčevega dela, učenja, napredka. Ko učitelj in učenec presodita, da je bil dosežen (v danem času in prostoru) optimalen napredek, se lahko odločimo za sumativno povzemanje in ocenjevanje znanja. l. Kako se spreminjajo priprave učitelja Spreminjanje načina poučevanja in učenja kažejo tudi spremenjene priprave in moje razmišljanje ob pisanju priprav. Pred uporabo formativnega spremljanja so bile priprave orientirane na matematično vsebino. V pripravah so v glavnem matematične definicije in primeri, ki sem jih pisala, razlagala v razredu. Orientacija priprave in dejavnosti je bila pretežno na učitelju. Pregled po pripravah starejšega datuma kaže, da so bili učenci pretežno pasivni opazovalci, občasno reševalci nalog, po zgledih ali primerih. V pripravah novejšega datuma je razvidno, da se orientacija razmišljanja, pisanja in dela prenaša na učenca. Ob pisanju priprav razmišljam, kaj bo delal učenec, kako se bodo razlage in napredek prilagajali učencu, vedno pogosteje je v pripravah tudi premislek o prilagajanju tempa ali dela posamezniku. Metoda spremljanja in raziskovanja Svoj napredek raziskujem in spremljam že osmo leto. Pri raziskovanju uporabljam metodo akcijskega raziskovanja. Informacije beležim na različne načine: ankete za starše, ankete za učence, dnevnik zapisov, snemanje, refleksije ob posnetkih s konzulentko ZRSŠ, v razvojni skupini, s kritično prijateljico. Uporabljam triangulacijo. Vsako leto so podatki pridobljeni s strani staršev, učencev, drugih učiteljev, ki so hospitirali v razredu, reflektirali z menoj v paru ali skupini ter ob posnetkih. Podatke pridobim preko anket oz. vprašalnikov, metode razgovora oz. intervjuja. Primere dobre prakse in dnevniške zapise sem nekaj časa objavljala na spletni strani http://sites.google.com/site/formativnospremljanieznanja/. Nekaj začetnih let raziskovanja sem vodila podroben portfolio o lastnem delu in raziskovanju (članki, razmišljanja, povzetki razgovorov, doživljanje poučevanja, cilji po akcijskih krogih). Zdaj hranim le pomembnejše dokaze o lastnem razvoju in napredku, ankete in analize, pišem članke in vodim delavnice in predavam ter s tem predstavljam svoje delo in razvoj ter razvoj skupine na šoli, ki se ukvarja z razvojem didaktike ocenjevanja znanja po celi vertikali. Zaključek Pri svojem delu najpogosteje trčim na omejitve, postavljene s sistemom javnega šolstva (normativi, standardi, organizacija pouka, razredi, ocene, čas). Prihodnost učenja in dela vidim v bolj odprtem sistemu, ki bo posameznikom, ki si želimo, znamo in zmoremo delati drugače, omogočil, da izboljšujemo in optimiziramo svoje delo v korist učencev. Želim si, da se spremembe sistema vpeljujejo od spodaj navzgor in ne obratno (s posledično povečanim nadzorom in represijo). Želim si odprte poti pri delu, ob tem pa tudi odgovornost, ki gre z roko v roki s strokovno avtonomnostjo učitelja. Potem se ne bomo več počutili kot naši učenci, ki jih pri učenju omejujemo s prostorom in časom, silimo, vlečemo in jih potiskamo naprej, čeprav gredo nekateri preko svojih sposobnosti, nekateri pa s polovičnim in površnim delom dosegajo cilje šolanja (a bi jih lahko presegli). Oboje učimo neodgovornega ravnanja, a hkrati od družbe pričakujemo odgovo rne posameznike z visoko etiko in moralo. Viri 1. Black, P., Wiliam, D. (1998): Inside the black box. King's College Press, London. 2. Clarke, S. (2001): Unlockong Formative Assessment. Hoder & Stoughton, London. 3. Hardaway, R. (1995): America Goes to School, Law, Reform and Crisis in Public Education, https://sites.google.com/site/iradavidsocol/home/educational-history (18. 5. 2012). 4. Komljanc, N. (2004): Vrednost povratne informacije v procesu ocenjevanja. Doktorska disertacija, Filozofska fakulteta, Ljubljana. 5. Komljanc, N. (2007): Računalniški program za spremljanje znanja, gradivo za šole, vključene v razvojno aplikativni projekt Razvoj didaktike ocenjevanja znanja. 6. Komljanc, N. (2008a, b, c): Razvoj didaktike ocenjevanja znanja. V Didaktika ocenjevanja znanja. Zbornik prispevkov. ZRSŠ, Ljubljana, str. 8-23. 7. McDonald, B., Boud. D. (2003): The impact of selfassessment training on performance in external examinations. Assessment in education, Vol.10, No.2, str. 209-220. 8. Munns, G., Woodward, H. (2006): Student engagement and student selfassessment. The real framework. Assessment in education, Vol.13, No.2, str 193-213. 9. Musek Lešnik, K. (2011): Siva knjiga o osnovni šoli v Republiki Sloveniji. IPSOS, Ljubljana. MATEMATIKA KOT DEL KULTURE ČLOVEKA Mathematics as a Part of Human Culture Olga Arnuš, Darka Hvastija, Gimnazija Bežigrad Ljubljana olga.arnus@gimb.org, dhvastija@gmail.com Povzetek Matematiko naj bi dijakom v šoli predstavili ne samo kot šolski predmet, ampak tudi kot del splošne izobrazbe in kulture človeka. Tako lahko z nekaterimi matematičnimi koncepti dijake seznanimo tudi preko filmov, kot so npr. PI, Enigma in Skrivnost iz Kellsa. Iz posameznih odlomkov nekaterih sodobnih romanov in Vojne in mir bomo videli, kako so moderni pisatelji in Tolstoj izrazili svoje ideje s pomočjo lepote matematike. Ključne besede: matematika, literatura, film. Abstract Mathematics should be presented to students not only as a school subject but also as a part of general education and culture. Some mathematical concepts could be explained to students also through films, like for example PI, Enigma and Secrets from Kells. Examples, how Tolstoy and especially some modern writers use the beauty of mathematics to express their ideas, will be shown. Key words: mathematics, literature, film. Uvod Znanje, ki se je skozi stoletja razdrobilo na različna področja, se danes ponovno povezuje. To se kaže v raznih raziskovalnih projektih, kognitivna znanost na primer pokriva filozofijo, psihologijo, medicino, računalništvo in tudi matematiko oziroma logiko. Povezujeta se tudi umetnost in znanost. Matematika je bila ves čas povezana z likovno umetnostjo. V začetku 20. stoletja so tudi glasbo poskusili ustvarjati na matematičnih osnovah. Arnold Schönberg je na primer pri komponiranju uporabljal posebno metodo imenovano dodekafonija, ki temelji na matematičnih transformacijah. V zadnjih letih pa matematiko pogosto srečamo tudi v literaturi in filmu. Mnogi dijaki bodo matematiko rabili pri svojem študiju in kasnejšem delu, vsem dijakom pa naj bi matematika pomenila del splošne izobrazbe, ki jim bo v povezavi z drugimi področji človeškega vedenja bogatila življenje. Matematično izobražen človek bo lahko razumel, da križ na Dalijevi sliki Corpus Hypercubicus (Slika 1) predstavlja mrežo štiridimenzionalne kocke. Krivuljo na razbitem ogledalu (Slika 2) v filmu PI režiserja Darrena Aronofskega srečamo v vsaki knjigi o kaosu. Avtor je s podvojitvami (bifurkacijami) na krivulji verjetno hotel prikazati razdvojeno psihično stanje glavnega junaka. Slika 1: Salvador Dali: Crucifiction (Vir 12) Slika 2: Darren Aronofsky: Pi (Vir 13) V ljubljanski uprizoritvi drame Arkadija avtorja Toma Stopparda je scenograf na odru uporabil Kochove snežinke in Mandelbrotovo množico. Gledalec, ki pozna osnove teorije kaosa, bo razumel, da je scenarist s tem podprl temo, ki jo dramsko delo obravnava. Nemški slikar Robert Bosch pri ustvarjanju svojih slik (Slika 3) uporablja teorijo grafov (problem trgovskega potnika). Slika 3: Robert Bosch: Marylin (Vir 16) V prispevku se bomo omejili na primere povezovanja matematike z literaturo in filmom pri pouku. To povezovanje ima več namenov: - je dobra motivacija za učenje matematike, tudi za tiste dijake, ki matematike ne marajo kot šolski predmet, - pouk popestrimo in ga razgibamo, - dijake navajamo na kritično razmišljanje, saj so včasih matematični koncepti uporabljeni nepravilno, površno ali pa nerelevantno. Matematika in literatura V moderni literaturi pisatelji pogosto uporabljajo matematične prispodobe ali utrinke, s katerimi želijo izraziti svoje ideje, kakšno primerjavo ali pokazati glavnega junaka v drugi luči. Pri obravnavi posameznih matematičnih vsebin damo dijakom kot zanimivost prebrati ustrezne odlomke iz knjig in jih nato skupaj komentiramo. S tem dodamo snovi tudi čustveni vidik, kar je za pomnjenje zelo pomembno. Na primerih nepravilnih matematičnih vsebin pa lahko razvijamo kritično mišljenje. V naslednjem delu prispevka si bomo pogledali nekaj primerov pojavljanja matematike v literaturi. Zadnji Fermatov problem Glavna junakinja popularne kriminalne trilogije Millennium švedskega pisatelja Stiega Larssona vedno znova razglablja o tem, kakšen »čudovit dokaz« bi lahko imel Fermat v mislih. Pri tem ni želela pokukati v rešitve in je zato preskočila odlomek, kjer je bila predstavljena rešitev Andrewa Wilesa. Pisatelj razloži zgodovino zadnjega Fermatovega problema, vendar se pri tem omeji le na n = 3. Ta problem omenja tudi Tom Stoppard v drami Arkadija, v kateri glavno junakinjo, ki je sicer stara šele 13 let, zaposlijo z dokazovanjem tega izreka. Kasneje se junakinja ukvarja s kaosom. Slava Fermatovega izreka je segla celo na Broadway, kjer so uprizorili muzikal z naslovom The last Fermat theorem. Nastopali so Pitagora, Fermat in Wiles. Refren, ki se ponavlja skozi muzikal, je: Mathematics is a young man's job. Fibonaccijevo zaporedje Fibonaccijevo zaporedje in z njim povezan zlati rez sta umetnikom zelo pri srcu. Uporabo Fibonaccijevega zaporedja lahko pogosto zasledimo tako na slikah in skulpturah v galerijah moderne umetnosti kot tudi v literaturi. V knjigi Grobnica sodobna in zelo brana pisateljica Kate Mosse omenja pojavljanje tega zaporedja v naravi pa tudi v glasbi. V knjigi piše o Debussyju, ki se je poigraval z njim v zvočni pesnitvi La Mer. Prvi stavek ima 55 taktov in je razdeljen na pet delov s po 21, 8 in 5 takti. Fibonaccijevo zaporedje in zlati rez sta rdeča nit skozi knjigo Da Vincijeva šifra. V Louvru so pod sliko Mone Lise ob truplu umorjenega kustosa, ki se je ukvarjal s tajnimi šiframi, našli skrivnostno šifro: 13-3-2-21-1-1-8-5. Glavna junakinja je prepoznala števila iz Fibonaccijevega zaporedja. Skrivnost slike Mone Lise je povezana z zlatim rezom in pentagramom. Na straneh 104 in 105 pisatelj razpravlja o številu O. Med drugim omeni, da je število čebel deljeno s številom trotov v čebelnjaku enako O, kar pa ni res. Praštevila in praštevila dvojčki Lepota praštevil je navdihnila mnoge umetnike. Maturanti so pri angleščini spoznali poseben odnos, ki ga ima glavni junak knjige Nenavadni primer ali kdo je umoril psa, do praštevil. Leta 2008 je bila najbolj brana knjiga v Italiji Samotnost praštevil pisatelja Paola Giordana. Zgodba govori o dveh mladih ljudeh, ki sta jih zaznamovali težki življenjski izkušnji. Živita osamljeno in kot prispodobo za to pisatelj vzame praštevila dvojčke. Dvojčka se tesno oklepata drug drugega, sta si blizu, pa ne dovolj, da bi se stikala. V odlomku na strani 135 pisatelj definira praštevila in glavni junak jih dojema kot nezaupljiva, samotna števila, ki so se med naravna števila ujela kot v ogrlico nanizani biseri. Popolna števila Števila, pri katerih je vsota vseh deliteljev, razen števila samega, enaka številu, imenujemo popolna števila. Ta števila so zanimala že Evklida. Euler je dokazal, da je vsako sodo perfektno število oblike 2n(2n+1 -1), če je 2n+1 -1 praštevilo. Do sedaj še niso uspeli najti lihega popolnega števila, niti dokazati, da liho popolno število ne obstaja. O tem premišljuje tudi glavna junakinja v knjigi Dekle z zmajskim tatujem. V odlomku na strani 27 pa lahko vidimo, da pisatelj ali prevajalec ni znal kaj dosti matematike. Prijateljska števila Dve števili sta prijateljski, če je vsota deliteljev enega števila (brez števila samega) enaka drugemu številu. Pitagora je zelo cenil prijateljski števili 220 in 284. Ti dve števili omenja japonska pisateljica Yoko Ogawa v knjigi Darilo števil. Subtilna zgodba govori o profesorju matematike, ki je imel nesrečo in se po njej ni mogel ničesar več zapomniti za dalj kot 80 minut. Imel je težave v socialnih stikih in šele ko je ugotovil, da njegova gospodinja rojena na 2. 20. (20. februarja), sam pa je imel na uri vgravirano številko 284, je lahko vzpostavil stik z njo. Goldbachova domneva Znamenita, še nedokazana trditev, da se da vsako sodo število vsaj na en način zapisati kot vsota dveh praštevil, je temelj duhovite knjige Stric Petros in Goldbachova domneva. O enem največjih matematikov vseh časov Gaussu je nemški pisatelj Daniel Kehlmann napisal knjigo Izmera sveta. To je imenitno branje, ki humoristično pokaže Gaussa kot človeka in matematika. V odlomku si pogledamo zgodbo o tem, kako je Gauss v šoli seštel števila od 1 do 100 in njegovo namišljeno srečanje s Kantom, kjer mu je hotel predstaviti svoje misli o neevklidski geometriji. Tolstoj v Vojni in miru v prvem poglavju tretjega dela razpravlja o Zenonovem paradoksu, o geometrijskih postopicah, diferencialu zgodovine in umetnosti integriranja. Na odlomku iz knjige Socialna inteligenca pa si lahko pogledamo primer slabega poznavanja matematike. Matematika in film Film je pri večini dijakov popularna oblika umetnosti, zato je smiselno ta medij uporabiti za to, da matematiko približamo dijakom in jo populariziramo. To je mogoče narediti s predvajanjem kratkih odlomkov iz filmov ali pa preko celostne medpredmetne obravnave filmov v okviru projektnih dni. Na spletni strani »tsm resources« (Vir 11 ali preko gesel TSM Resources, Mathematics Links, Math in the Movies) najdemo preko 150 filmov, kjer se matematika pojavlja na različnih težavnostnih stopnjah. Stran ponuja kratek opis te matematike, omogočen je tudi dostop do predvajanja odlomka. V prispevku se bomo omejili na tri filme, ki jih lahko povežemo z matematičnimi vsebinami. Enigma (Michael Apted, 2001) Igrani film prikazuje dogajanje med drugo svetovno vojno. Osebe so izmišljene, vendar glavni junak v mnogih potezah predstavlja Alana Turinga. Z dijaki lahko delamo naslednje teme: - Seznanimo jih z delom Alana Turinga, velikega logika, matematika in kriptografa. To je še posebej aktualno v letu 2012, ki je v znanstvenih krogih Turingovo leto. Alan Turing je danes zelo cenjen tudi v filozofskih krogih. - Pogledamo v zgodovino kriptografije in poudarimo pomen matematike pri tej dejavnosti v zadnjih desetletjih. - Če čas dopušča, obravnavamo kongruence in RSA šifriranje z javnim in zasebnim ključem, kjer imajo kongruence in velika praštevila pomembno vlogo. To temo lahko posamezni dijaki obdelajo tudi v obliki referata. Film smo gledali in obravnavali v okviru dveh projektnih dnevov s skupino dijakov drugega letnika. Obravnava filma je bila izvedena medpredmetno v povezavi z zgodovino. Vprašanja, ki jih film ponuja za kritično razmišljanje, so: kdo si lahko lasti dosežke znanstvenikov, v kolikšni meri je znanje močnejše od orožja? Obstaja tudi igrani biografski film o Alanu Turingu (Breaking the Code, Herbert Wise, 1996), ki si ga lahko dijaki ogledajo doma (Vir 17). PI (Darren Aronofsky, 1998) Tudi ta film smo obdelali s skupino drugošolcev v okviru projekta Filmska vzgoja v povezavi matematike s psihologijo. Film ponuja bogato paleto matematičnih vsebin. V njihovo obravnavo lahko učinkovito vključimo uporabo tehnologije, pojav nekaterih matematičnih konceptov v filmu lahko tudi kritično ovrednotimo. Teme, ki smo jih obravnavali: - Število n: Kje se pojavlja, kako ga računamo? V delavnici so dijaki računali približke števila n s poligoni, ki so včrtani krogu. - Zlati rez: Kako je definiran, kje se pojavlja, pomen v umetnosti, izračun razmerja, konstrukcije. Od sposobnosti skupine je odvisno, koliko dela opravijo samostojno. Če dijaki sami ne opazijo matematične napake v filmu, jih na to opozorimo. - Fibonaccijeva števila so popularna tema. Z dijaki obdelamo definicijo, preletimo nekatere lastnosti, in raziščemo, kje se pojavljajo v naravi. - Moebiusov trak (Slika 4) se pojavi v filmu le za hip, a ga je smiselno vključiti v obravnavo, saj ga umetniki pogosto uporabljajo kot simbol neskončnosti. V delavnici dijaki naredijo iz papirja Moebiusov trak, opazujejo njegove lastnosti (koliko je ploskev), raziščejo, kaj se zgodi, ko trak vzdolžno prerežejo, in skušajo izpeljati posplošitve (več zasukov). - V uvodnem delu filma PI srečamo različne krivulje, na primer krivulji na Sliki 5 (tu sta narisani s programom Autograph). Dijaki z uporabo tehnologije raziskujejo različne zapise enačb za krivulje, spoznajo polarni in parametrični zapis, rišejo krivulje v različnih koordinatnih sistemih in s tem spoznavajo tudi možnosti, ki jih nudi tehnologija. Seznanijo se s primeri parametrično zapisanih krivulj v fiziki (vodoravni in poševni met, cikloida). - Kaos je osnovna tema filma PI. Z dijaki spoznavamo osnove teorije kaosa (iskanje reda v neredu). V filmu se pojavi krivulja bifurkacij (v razbitem ogledalu na Sliki 2), ki je povezana z logistično enačbo x„+1 = Axn (1 - ). Z uporabo tehnologije (na primer program Excel) opazujemo, kaj se dogaja, če spreminjamo vrednost parametra A. Slika 4: Moebiusov trak (Vir 14) Slika 5: Krivulji v filmu Pi: r=cos(7p)+3, r=co s(3^/8) Z drugošolci obravnavamo temo bolj poljudno in informativno. V tretjem ali četrtem letniku pa lahko sliko iz filma in logistično enačbo vzamemo za izhodišče, ko pri zaporedjih obravnavamo konvergenco zaporedja in pojem stekališča. Enačba, ki predstavlja logistični zakon, se pojavlja tudi v knjigi Marka Haddona Skrivnostni primer ali kdo je umoril psa. To je delo, ki je bilo nekaj let obvezno čtivo za maturo iz angleščine (Vir 5). Ta film so izbrali dijaki, ki jih matematika zanima. Zato so z velikim zanimanjem sodelovali pri obravnavi tem. Ker je film PI umetniški, ne pa dokumentaren, matematika ni povsem korektno obravnavana. Tako naletimo na napake, tu in tam pa film zaide celo v numerologijo in misticizem. V pogovoru z dijaki kritično analiziramo tudi ta aspekt filma. Skrivnost iz Kellsa (Tomm Moore, Nora Twomey, 2009) Gre za likovno čudovit risani film, ki na videz nima nič opraviti z matematiko. Vendar se v filmu ves čas pojavlja simetrija, ki je zagotovo matematični pojem, poleg tega srečamo razne vzorce in keltske ornamente (Slika 6), ki jih lahko klasificiramo z matematičnimi orodji. Slika 6: Ornament iz filma Skrivnost iz Kellsa (Vir 15) Tudi ta film je bil vključen v projekt Filmska vzgoja in obdelan v povezavi s predmeti matematika, zgodovina, likovna umetnost in psihologija. Teme in aktivnosti v okviru matematike: - Z dijaki smo raziskali matematično klasifikacijo vzorcev in ornamentov. - Definirali smo pojem grupe, za utrjevanje definicije smo preverili preproste primere številskih grup, dijaki so ugotavljali grupe simetrij likov in vzorcev, primerjali so simetrije keltskih in arabskih ornamentov. - Informativno smo si ogledali uporabo matematike pri ustvarjanju animiranih filmov (računalniška vektorska animacija, fraktalna geometrija za animacijo pokrajin). Dijaki so kritično razmišljali o tem, kako se v vseh kulturah kaže potreba po oblikovanju lepega. Lepoto pogosto predstavljajo pravilne geometrijske oblike, vzorci in simetrije. Kratke odlomke ali slike iz filma lahko uporabimo pri rednem pouku, ko obravnavamo toge premike in simetrije. Zaključek Dosedanje povezovanje matematike z literaturo in filmom je bilo pri dijakih dobro sprejeto, celo pri tistih, ki sicer za matematiko ne kažejo posebnega zanimanja. Dijaki so sprejemali tudi teme, ki jih v sedanjih učnih načrtih ni več (aksiomi grupe, polarni in parametrični zapis krivulj). Tako lahko vsaj delno izpolnimo nekatere cilje izobraževanja: ohranjati radovednost, pozitiven odnos do predmeta (znanja) in oblikovati široko izobražene osebnosti, ki jim bo znanje pomenilo ne samo pomoč pri delu, temveč tudi užitek. Viri 1. Brown, D. (2006): Da Vincijeva šifra. Mladinska knjiga. 2. Doxiades, A. (2009): Stric Petros in Goldbachova domneva. Modrijan. 3. Giordano, P. (2011): Samotnost praštevil Mladinska knjiga, str. 135-137. 4. Goleman, D. (2010): Socialna inteligenca, str. 63, Mladinska knjiga. 5. Haddon, M. (2004): The Curious Incident of the Dog in the Dark Night. Vintage, London. 6. Kehlmann, D. (2007): Izmera sveta, str. 50-51, 86-87. Modrijan. 7. Larsson, S. (2011): Dekle z zmajevim tatujem, str. 28-30. Prešernova družba. 8. Singh, S. (2008): Knjiga šifer. Učila International, Tržič. 9. Tolstoj, L. N. (1987): Vojna in mir, III.del, str. 289-290, Sto romanov. 10. Več avtorjev (2012): Film v razredu. Gimnazija Bežigrad, Ljubljana. 11. http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/index.html (3. 6. 2012). 12. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/sl/0/09/Dali Crucifixion hypercube.jpg (3. 6. 2012). 13. http://www.google.si/url?q=http://bertauski.blogspot.com/2011/04/looking-for-redlights.html&ust=1346405177631881&usg=AFQjCNES HCi5Qt2mk9zqVNGpvs0- JCBg (10. 7. 2012). 14. http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius strip (10. 7. 2012). 15. http://www.youtube.com/watch?v=lw2 HZTuQBE (10. 7. 2012). 16. http://www.oberlin.edu/math/faculty/bosch/tspart-page.html (4. 6. 2012). 17. http://www.youtube.com/watch?v=S23yie-779k (10. 7. 2012). UMEŠČANJE ŠOLSKE MATEMATIKE V KULTURNI KONTEKST UČENCEV Placing School Mathematics into the Students' Cultural Context Polona Mlinar, OŠ Ivana Tavčarja Gorenja vas polona.mlinar@gmail.com Povzetek Kako oblikovati naloge pri matematiki, da bi pritegnile otroke, je pogosto vprašanje učiteljev, ki se z dano problematiko srečujemo. Vse prevečkrat so naloge, ki jih učenci rešujejo pri pouku, iz sveta odraslih ali pa so nesmiselne. Moj namen je bil matematiko povezati z učenčevim kulturnim okoljem in jo tako približati njegovim izkušnjam. Želela sem, da jo naredim čim bolj zanimivo in učence na ta način motiviram za delo. Naloge, povezane s kulturnim okoljem, ki jih želim predstaviti, lahko uporabimo na več načinov: 1. Obnovitev zgodbe; naloge stojijo samostojno in se zgolj nanašajo na zgodbo. 2. Podatki za naloge so podani v zgodbi. 3. Bolj kompleksno podajanje podatkov, in sicer učenci morajo podatke poiskati tudi kje drugje oziroma so v nalogi prikriti, težje razpoznavni. Učenci naloge rešujejo samostojno. Ker zgodbo poznajo, se jim naloge zdijo zanimive in jih rešujejo z večjo delovno vnemo. Ključne besede: matematika, kulturni kontekst, preverjanje, medpredmetno povezovanje. Abstract How to create mathematical tasks to be interesting for children is a frequent question asked by teachers dealing with this problem. Far too often, the tasks that children solve in the classroom are taken either from the world of adults or have no sense. My intention was to connect mathematics with the children's cultural environment, in order to bring it closer to their personal experience. I wanted to make mathematics as interesting as possible and thus motivate them to study it. Tasks, connected with the cultural environment that I want to present, can be used in several ways: 1. Retelling a story, the tasks stand independently and they just refer to it. 2. Data for the tasks is given as a story. 3. A more complex way of giving data; children must either find data also elsewhere or data is concealed or more difficult to discern. Students solve the tasks independently. Being familiar with the story they find the tasks interesting and solve them with more entusiasm. Key words: mathematics, cultural context, verification, interdisciplinary connection. Uvod Neredko se srečam z učenci in dijaki, ki jim je matematika kot predmet odveč. Učijo se, kako rešiti naloge brez kakršnega koli razumevanja. Tudi če se jim trudiš razložiti ozadje naloge, jih največkrat to ne zanima, saj razumevanja za pozitivno oceno ne bo potreboval. Sveta okoli nas pa si ne znamo več predstavljati brez matematike, saj, kot pravi Devide (1979), matematiko potrebujemo pri vsakem pomembnejšem dejanju, npr. pri arhitekturi, organizaciji podjetja, ekonomskem načrtovanju, pri analizi rezultatov, pri uporabi novih računalniško usmerjenih tehnologij ... Na eni strani imamo torej vse hitrejši razvoj tehnologije, ki temelji tudi na matematičnem znanju, na drugi strani pa matematiko v šoli, ki učence uči procedur in zakonitosti. V veliko primerih pa se zgodi tudi, da znanja ne znajo uporabiti v konkretni življenjski situaciji. V tem primeru gre za viden razkorak med otrokovim doživljanjem sveta in šolsko matematiko, ki tega ne upošteva. Pri poučevanju matematike učitelji lahko upoštevamo tudi kulturno okolje učencev in ga vnašamo v učni prostor. V svojem prispevku bi rada predstavila nekatere vzroke razkoraka in nekaj zamisli, kako bi s pomočjo mladinske literature omilili ta razkorak. Prispevek je nastal v okviru podiplomskega izobraževanja na Pedagoški fakulteti smer Poučevanje na razredni stopnji pod mentorstvom dr. Zlatana Magajne. Odmaknjenost šolske matematike od kulturnega sveta otrok Neskladij, s katerimi se srečujemo učitelji pri poučevanju v šolah in jih navajata avtorja Borba (1990) in Bishop (1997) v svojih delih, je več. Borba (1990) navaja formuliranje nalog, ki niso povezane z življenjskim svetom otrok. Bishop (1997) pa se omeji na tehnično naravnan kurikulum, saj poučevanje matematike temelji na poučevanju procedur, metod, pravil in algoritmov. Brezosebno učenje predstavlja še en razkorak med otrokom in šolsko matematiko, saj se učenec uči matematiko, ne da bi pri tem aktivno vzpostavljal oseben pogled na naučeno snov. Uporaba učbenikov pa učitelje preveč usmerja in jim narekuje način poučevanja. Matematika kot del kulture Vsaka kulturna skupina ima svoje običaje in navade ter zgodovinsko preteklost. Tako si v vsaki izmed teh skupin oblikujejo svojo matematiko, s pomočjo katere učinkoviteje rešujejo probleme. Matematika, ki jo razvijamo z uporabo primerov iz kulturnega okolja učencev, je bolj učinkovita. Učenci delajo z večjim zanimanjem in tak način poučevanja pripomore k boljši učinkovitosti kot primeri iz učbenikov, ki niso vedno v okviru kulturnega okolja. Zato matematike, ki je osnovana na kulturnih idejah neke skupine, ne smemo razumeti kot drugorazredno matematiko, ampak drugačno izražanje matematičnih idej. Učenje matematike kot družbeni proces Uporaba matematike kot družbeni proces v izobraževanju posledično povzroči, da različne kulturne skupine razvijajo različen proces izobraževanja in ne moremo govoriti več o enotnem procesu. Učiteljev izobraževalni pristop mora temeljiti na vpeljavi kulture v pouk in pomembno je, da razmisli o problemu, ki ga želi v razredu izpostaviti. Problem, ki ga bodo obravnavali, lahko temelji na situaciji, ki dajejo smiselni pomen njihovemu življenju. Naloge nato rešujejo učenci v dialogu z učiteljem in s tem pospešujejo razvoj kritičnega mišljenja, s čimer se izognemo obravnavi izmišljenih problemov. Pri reševanju problema je učenec aktivno vključen in izzvan s strani učitelja, da predstavi svoj način iskanja rešitev. Tak dialog učencem okrepi njihovo sociokulturno razmišljanje. Odnos med učiteljem in učenci naj ne bo v hierarhiji, ampak naj dovoljuje demokratično izražanje ter pripomore k razvoju kritičnega mišljenja učencev. Matematika, ki se oblikuje v neki kulturni skupini, je del njihovega življenja in je formulirana na podlagi njihovih običajev, vedenj in vrednotenj. Razvija se na podlagi problemske situacije iz njihovega življenja, osnovane spontano, s strani članov skupine. Ni nujno, da se ta situacija avtomatsko prenaša tudi v druge kulturne skupine, kot to lahko storimo pri šolski matematiki. Še vedno se lahko zgodi, da učitelj problem, tudi če je osnovan na ideji učencev in je iz njihovega kulturnega sveta, vsiljuje učencem. V tem primeru je problem ravno tako izmišljen, kot se to mnogokrat zgodi pri tipični šolski matematiki. To pa nas pripelje do sklepa, da se v razredu ne moremo izogniti izmišljenim in včasih nerealnim problemom. Vpletanje kulturnega okolja pri poučevanju matematike v šoli lahko učencem veliko pripomore k boljšemu razumevanju snovi. Vendar pa bo potrebno mnogo časa, da se situacija po šolah spremeni, saj zgolj zamenjava ene snovi z drugo ne prinese želenega uspeha. Preučiti bi morali različne situacije in s tem pripomoči, da matematika ne bi bila več moreča, vsemogočna sfera znanja, ki se ljudem pogosto zdi nedosegljiva (Borba,1990). Bratovščina Sinjega galeba pri matematiki Hotela sem se oddaljiti od klasičnega načina poučevanja in sklenila vpeljati nekaj novosti pri poučevanju. Usmerila sem se na učence šestega razreda. Moj namen je bil, da matematiko povežem z njihovim kulturnim okoljem, da jo učencem približam in naredim čim bolj zanimivo ter jih na ta način motiviram za delo. Menila sem, da če povežem matematične naloge z zgodbo, ki jo poznajo in jim je domača, po vrhu vsega pa je še pustolovska, jih bo delo samo zanimalo. Tako sem zbrala knjige, ki jih berejo na naši osnovni šoli za domače branje, in jih prebrala. Na koncu sem se odločila, da za svoje nadaljnje delo uporabim Bratovščino Sinjega galeba, katere avtor je Tone Seliškar. Naloge lahko uporabimo na več različnih načinov. Eden izmed njih je, da ob obnovi zgodbe naloge stojijo samostojno in se zgolj nanašajo na zgodbo. Drugi način je, da so podatki za naloge podani v zgodbi. Tretji možni način je bolj kompleksno podajanje podatkov. Učenci si jih morajo priskrbeti tudi kje drugje oziroma so bolj zapleteno postavljeni v nalogi. V nadaljevanju predstavljam drugi način podajanja nalog. Na Galebjem otoku je bila majhna ribiška vasica, kjer so se vsi možje ukvarjali z ribolovom. Vsak je imel svojo ladjico, s katero je domov prinašal skromen zaslužek. Nekega dne pa se je na otoku pojavil mož z vzdevkom Brazilec, ki je menil, da bi s skupnimi močmi in večjo ladjo ulovili več in s tem tudi več zaslužili. Ribiči so ga z zanimanjem poslušali in se posvetovali vso dolgo zimo, na koncu pa so le zbrali denar. Trije sosedje so dali po 10000 €, očetje (Juretov, Perov in Franjev) vsak po 15000 €, Just je prispeval 20000 €, Mihaelov oče je prodal svojo barko, za katero je dobil 30000 €, in prav vse je vložil v novo jadrnico, Brazilec pa je dodal še 20000 €. Z vsem tem denarjem se je odpravil po novo ribiško ladjo. Na žalost pa je bil Brazilec kvartopirec in je zaigral njihov težko prihranjeni denar. Vsega osramočenega so pregnali z otoka, na kate rem je mož pustil ženo in otroka. Žena mu je zaradi žalosti kmalu umrla, sin, ki mu je bilo ime Ivo, pa je odraščal sam. Hodil je v šolo, ki je bila v 5 km oddaljeni vasi, se igral s prijatelji, s katerimi je rad plaval do svetilnika in nazaj. Čez zimo pa ga je k sebi vzel stari Just. Tako so minevala leta. Ivo je zrasel v postavnega mladeniča, Brazilec pa se je staral. Nekega večera je v zaliv priplula majhna in že precej podrta barka. Na njej je bil Brazilec, ves slaboten in bolan. Komaj je prisopihal v svojo že na pol podrto bajtico, v kateri je spal Ivo. Ves prestrašen je Ivo stekel po starega Justa, ta pa je v neznancu spoznal Brazilca. Videlo se mu je, da je prišel domov samo umret. Brazilec je Ivu zapustil barčico, ki je potrebovala temeljito obnovo, ampak bila pa je le njegova. Pri obnovi so mu pomagali tudi prijatelji, in sicer Peter, Jure, Mihael, Pero, Franjo in deklica Mileva. Potrebno je bilo zakrpati jadro z luknjo pravokotne oblike, ki je merila 23 cm v dolžino in 14 cm v širino, jo prepleskati, premazati s smolo ... Imeli so polno dela, le denarja jim je primanjkovalo, saj je samo barva stala 800 €, zato so se odločili poprijeti za delo v kamnolomu. V kamnolomu je za celodnevno delo vsak izmed njih dobil po 30 €. Fantje so s košarami, katerih ploščina dna je merila 12 dm2, visoka je bila 30 cm, odnašali težko kamenje. Zaradi težkega dela so skupaj zmogli nesti 30 košar na dan. Mileva pa je v bližnji potok hodila po vodo za fante, saj je sonce močno pripekalo. Kmalu so zaslužili dovolj denarja in vrnili so se k popravilu barke. Ribiči na otoku pa niso mogli pozabiti, kako je Brazilec pred leti pognal vse njihove prihranke, zato so jezni sklenili odvzeti Ivu barko in jo prodati ter si tako zagotoviti vsaj nekaj denarja. Ko so fantje videli, da njihovega Sinjega galeba ni več v zalivu, so ostrmeli, nato pa naredili načrt, kako si ga bodo prilastili nazaj. Stražil ga je pijanec Barbo, ostali ribiči pa so bili na delu. Njega res ni bilo težko zvezati in odvzeti Galeba. Tako so še isti večer pripravili 2 soda z vodo, vsak je držal 21 l, 3 kg kruha, 5 zavitkov prepečenca ter nekaj slanine, in se odpravili na morje, da se pred starimi ribiči pobahajo s svojo barko. Toda na morju jih je zajel vihar in nemočno so čakali na konec in si želeli, da se čim prej konča. Morje jim je tisto noč vzelo zaloge vode. Neurje jih je zaneslo na otok, kjer so trdo pristali. Otrok je bil skalnat. V upanju, da je na njem voda, sta ga Ivo in Mihael šla raziskovat. Ivo je ocenil, da otok meri približno 500 metrov v dolžino in 200 metrov v širino ter da je na otoku samo skalovje. Še naprej sta raziskovala in prišla do votline, v kateri se je slišala voda. Toda ko sta se spustila vanjo, sta naletela na skladišče zabojev, v katerih so bile puške, razstrelivo, alkoholne pijače in cigarete. Takoj sta videla, da gre za tihotapsko skladišče, saj je od morja do votline vodil skoraj neopazen prehod, skozi katerega so tihotapci vozili zaboje. Preštela sta jih. Bilo je 6 zabojev orožja, 3 alkoholnih pijač, 2 razstreliva in 5 tobaka. Fantje so sklenili, da bi natovorili nekaj blaga in ga predali oblastem in si s tem pridobili nagrado. Izdelali so načrt in se naslednji dan odpravili do votline. Ko pa so nalagali tovor, jih je presenetila motorna jadrnica, na kateri so bili tihotapci. Fante so zajeli kot talce in jih zaprli na ladji. Tihotapci so sklenili, da morajo po robo, medtem pa bo eden izmed njih stražil fante. Toda fantje so medtem že skovali načrt, kako se bodo rešili. Ivo je udaril moža, ki je stražil, ostali pa so ga zvezali in tako zajeli ladjo. Odpluli so ter pustili tihotapce za seboj. Izkazalo se je, da je tihotapec, z imenom Ante, prav prijazen človek. Ta Ante je bil namreč tisti tihotapec, ki je pred leti ogoljufal Ivovega očeta. Sklenil je, da bo popravil krivico, ki jo je zagrešil. Zbral bo vse prihranke, ki si jih je nabral v sedmih letih in dal popraviti ladjo. S fanti se je spoprijateljil. Jadrnico so predelali v ribiško ladjo in naučil jih je upravljati z njo. Mihael je skrbel za motor, Jure je postal ladijski kuhar, Franjo in Pero sta skrbela za čistočo na njej, Peter je spretno krmilil, Ivo pa se je učil poveljevati, kot mora to znati pravi kapitan. Ante jih je naučil vse v zvezi z ribolovom in upravljanjem ladje. Naenkrat so lahko nalovili veliko količino rib. Ribolov je izgledal natanko tako, kot si je to zamislil Ivov oče. Sedaj pa je sin izpolnil njegove sanje. Ko so bili fantje vešči vsega dela na jadrnici, so se odločili, da gredo domov, na svoj otok, saj so domače že pošteno pogrešali. Doma pa so tako ali tako menili, da so tisto viharno noč utonili in da jih ne bo več. Ko so prispeli v domačo luko, ribiči niso mogli verjeti, da je to res. Ivo pa je že pletel misli, kako bo s svojo jadrnico hodil na ribolov skupaj s svojimi prijatelji, kjer bo na krovu prostor za vse, ki bi hoteli delati. Nič več ne bo revščine, otroci bodo imeli hrano in obleko, kruha bo dovolj za vse. 1. Ivo je hodil skupaj s prijatelji tudi v šolo. Kolikšno pot je Ivo prehodil vsak teden, na poti v šolo in domov? 2. Ko so ribiči kupovali novo jadrnico, so zbrali vse svoje prihranke. Koliko denarja so zbrali? o 3. Fantje so, da bi zaslužili denar, delali v kamnolomu. Približno koliko m3 kamnov so prenesli vsak dan? 4. Jadro je bilo treba zakrpati. Platno in sukanec so kupili. Koliko centimetrov sukanca so porabili? Da zašiješ 10 cm, potrebuješ 11 cm sukanca. Upoštevaj tudi nekaj cm odpada. 5. Koliko dni so morali fantje delati v kamnolomu, da so zaslužili za barvo? 6. Na barko so vzeli tudi zalogo vode. Koliko l vode na dan je bilo v povprečju namenjeno za vsakega izmed otrok, če je bilo predvideno, da bodo pluli tri dni? 7. Sinji galeb je po viharju zaneslo na otok. Približno koliko km2 po Ivovi oceni meri otok, če predpostavimo da je otok pravokotne oblike? 8. Na obhodu po otoku sta Ivo in Mihael prišla do votline z zaboji. Koliko bi zaslužili tihotapci, če bi zaboj orožja prodali po 3000 €, alkohol po 2000 €, razstrelivo po 4000 €, tobak pa po polovični ceni alkohola. 9. Ante je s prisluženim denarjem fantom dal ladjo preurediti v ribiško. Koliko je Ante v povprečju na leto privarčeval, če je popravilo stalo 17920 €? 10. Če bi imel možnost sodelovati pri šolskem dramskem krožku, kjer bi se učili uprizoriti Bratovščino Sinjega galeba, kateri lik bi si izbral-a? Zaključek Kako matematiko čim bolj približati učencem, da jim postane smiselna, je verjetno vprašanje vsakega izmed nas, ki se ukvarjamo s poučevanjem. Učenci bi mogoče na matematiko gledali popolnoma drugače, če bi bile naloge, ki jih rešujejo, iz njihovega kulturnega okolja, ne pa tako kot v naših primerih, ko jih že v nižjih razredih sprašujemo o lovcih, delavcih, študentih. Ko tak učenec pride v višji razred, kjer procedure, zakonitosti in metode pridejo še bolj v ospredje, je napaka največkrat nepopravljiva. S prispevkom sem želela prikazati, kako bi omilili te težave s tem, da bi matematiko približali kulturnemu svetu otrok. Seveda za nekatere to ne predstavlja nikakršne težave, saj na žalost raje neprestano tarnajo, kako učenci ne znajo več razmišljati, kot pa da bi sami za to kaj naredili. Seveda pa vse krivde ne moremo prenesti na učitelja, saj je tukaj tudi nacionalni kurikulum, ki dovolj strogo načrtuje naš pouk in učitelju pusti le malo manevrskega prostora za lastne ideje. Predstavila sem naloge za šesti razred. Z njimi sem se zgolj približala kulturnemu svetu otrok in mogoče vzbudila zanimanje za reševanje. Želela sem tudi zmanjšati razkorak med otrokovim svetom in šolsko matematiko s tem, da so naloge povezane z njim poznano zgodbo, in se znebila brezosebne matematike. Zgodba naj bi učencem vzbudila zanimanje za reševanje, saj vsebuje podatke, katere mora učenec razbrati iz naloge. Pri formuliranju nalog sem pazila, da so bile naloge smiselno oblikovane in življenjske. Še vedno sem bila jaz kot učiteljica postavljena v vlogo iskanja problemov in ne učenci sami. Učencem sem z nalogami vzbudila željo po reševanju. Kot sem že omenila v prispevku, so bile naloge oblikovane na treh stopnjah, zato so lahko učenci reševali njihovemu znanju primerne naloge. Učno šibkejši učenci so reševali samostojne naloge, ki so se zgolj nanašale na zgodbo. Npr. Ivo je hodil skupaj s prijatelji tudi v šolo. Vsak dan so v eno smer prehodili 5 km. Kolikšno pot je Ivo prehodil vsak teden, ko je šel v šolo in domov? Učno boljši učenci pa so dobili še dodatne izzive, ki so jih rešili z uporabo dodatne literature. Npr. Otok, na katerem so pristali, je bil oddaljen od Galebjega otoka 4 navtične milje. Koliko km so bili oddaljeni od Galebjega otoka? Naloge so reševali z večjo delovno vnemo. Seveda so bili tudi učenci, ki so na naloge gledali kot na ostale in so reševali po ustaljenih metodah. Viri 1. Berk, J. in drugi (2006): Skrivnosti števil in oblik 6. Rokus, Ljubljana. 2. Bishop, A. J. (1997): Mathematical enculturation: a cultural perspective on mathematic seducation. Kluwer academic publishers, Dordrecht, Holland. 3. Borba, M. C. (1990): Ethnomathematics and Education. For the Learning of Mathematics. Vol. 10, No. 1, str. 39-43. 4. Devide, V. (1979): Matematika skozi kulture in epohe, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Ljubljana. 5. Magajna, Z. (2004): Vloga konteksta pri učenju matematike. V: 1. mednarodni znanstveni sestanek Vpliv sodobnih znanstvenih dosežkov na zgodnje učenje. Univerza na Primorskem, Pedagoška fakulteta, Koper. 6. Seliškar, T. (1974): Bratovščina Sinjega galeba. Mladinska knjiga, Ljubljana. 7. Strnad, M., Štuklek, M. (2007): Stičišče 6. Debora, Ljubljana. 8. Žakelj, A. (2003): Kako poučevati matematiko. Teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 9. http://www.nottingham.ac.uk/csme/meas/plenaries/bishop.html (4. 5. 2012). 10. http://homepages.rpi.edu/~eglash/isgem.dir/texts.dir/mesquita.htm (4. 5. 2012). VPELJEVANJE KOMPETENCE UČENJE UČENJA V POUK Introducing Learning to Learn Competence into Lessons Darja Delač Felda, Gimnazija Kočevje darjadf@gmail.com Povzetek V prenovljenih učnih načrtih srednjega izobraževanja je opredeljenih deset splošnih kompetenc vseživljenjskega učenja. Med njimi ima prav posebno mesto kompetenca učenje učenja, ki je prepoznana kot ena temeljnih kompetenc vseživljenjskega učenja. Na spremembe se mora odzvati tudi šola in poskrbeti, da z različnimi programi opremi dijake z znanji za razvoj ključnih procesov samostojnega učenja. V prispevku so predstavljena večletna prizadevanja razvijanja različnih strategij za samostojno učenje matematike. Prikazani so tudi izsledki krajše raziskave vpliva pilotnega projekta razvijanja učnih strategij pri skoraj vseh predmetih v prvem letniku gimnazije. Ključne besede: matematika, kompetenca učenje učenja. Abstract In the renewed curricula of the secondary education ten general lifelong learning competencies are defined. Among them the learning to learn competence has a very special position and it is known as one of the basic lifelong learning competence. Schools also have to react to the changes and provide different programmes that enable students to be equipped with the skills to develop the key processes of the autonomous learning. In the paper, perennial efforts to develop several strategies of the autonomous mathematics learning are introduced. Also some results, of a short research on the effect of a pilot project about the development of learning strategies at almost all teaching subjects of the grade 1 grammar school, are presented. Key words: mathematics, learning to learn competence. Uvod Svet, v katerem živimo, se nenehno in hitro spreminja. Znanja, ki smo jih usvojili v času svojega šolanja, moramo nenehno nadgrajevati, pojavljajo se nove vsebine in nova vedenja, zato moramo biti v stalni pripravljenosti, da se vedno znova učimo, novosti sprejemamo in se navajamo na vse spremembe okrog nas. Strokovnjaki, ki se ukvarjajo z napredkom in razvojem znanosti ter znanjem za 21. stoletje, ocenjujejo, da je zato u čenje učenja ena ključnih življenjskih spretnosti in je temelj vseživljenjskega učenja. Nekateri to spretnost imenujejo tudi veščina, kompetenca, sposobnost. Razvijanje kompetence učenje učenja je zato spodbudilo veliko zanimanja in raziskovanja v akademsko-znanstvenih in pedagoških krogih v tujini in pri nas, manj pa se s tem področjem ukvarjajo praktiki, ki v šolah poučujejo. Prenovljeni programi poklicnega in strokovnega izobraževanja opredeljujejo deset splošnih kompetenc, medtem ko gimnazijski program povzema osem kompetenc vseživljenjskega učenja. Tako morajo učitelji v prenovljenih programih te kompetence prepoznati v učnih ciljih ter jih v procesu poučevanja načrtovati, vzpodbujati in vključevati. Učenje učenja, ki je prepoznana kot ena ključnih kompetenc vseživljenjskega učenja, vsebuje znanja o učenju, o učnih strategijah in o izgradnji odnosa do učenja. Tako naj bi dijakinje in dijaki spoznali uspešne in racionalne načine pridobivanja znanja, spoznali nabor učnih strategij iskanja, zbiranja in vrednotenja informacij ter reševanja problemov, najpomembnejše pa je, da se dijakinje in dijaki naučijo prevzemati odgovornost za lastno učenje. Na spremembe se zato mora odzvati tudi šola in poskrbeti, da z različnimi programi opremi dijake z znanji za razvoj ključnih procesov samostojnega učenja, kot so: postavljanje ciljev, uravnavanje potrebnega časa za izvedbo zastavljenih nalog, poznavanje in uporaba splošnih ter predmetno specifičnih učnih strategij, učinkovita samoevalvacija lastnega znanja in procesa učenja, iskanje pomoči in informacij, razvijanje pomembne motivacijske prepričanosti v lastne zmožnosti in ohranjanje interesa za izvedbo zastavljene učne naloge. Uvajanje kompetence učenje učenja v pouk Dosedanje izkušnje kažejo, da je uvajanje kompetence učenje učenja v pouk zelo težko delo. Učitelji pogrešajo več specialnega znanja o učenju učenja, ne poznajo različnih učnih strategij, težko prestopijo prag med poučevanjem in učenjem, težko se vživijo v vlogo učencev in preprosto ne vedo, kako bi se direktnega poučevanja učnih strategij sploh lotili. Sicer poznajo nekaj učnih strategij, ki so jih za lastne potrebe razvili v času lastnega šolanja, toda niso toliko prepričani vanje, da bi jih z dijakinjami in dijaki sploh delili. Poleg tega pa je še vedno zelo prisotno prepričanje, da učenje učenja ni učiteljeva naloga, ali pa, da se učenje učenja v času šolanja razvija kar samo od sebe, v času učnega procesa. Na Gimnaziji Kočevje smo kompetenco učenje učenja začeli razvijati pred skoraj desetimi leti pri različnih predmetih v okviru šolskega internega projekta Razvijanje učnih strategij, ki ga je vodila šolska psihologinja Jasna Vesel. Že prvo leto izvajanja projekta smo tako pri pouku matematike razvijali strategijo pisanja zapiskov, povzetkov in izpiskov na tako imenovanih učnih karticah. Z njimi smo tako pri učenju pomagali marsikateremu posamezniku, ki ni znal določiti bistvenih informacij in si jih urediti v pregledne in kratke zapiske. V naslednjih letih smo izdelane strategije dopolnjevali in razvijali nove. Pripravili smo strategijo reševanja problemov z metodo korakov in ključnih vprašanj. Vzporedno s projektom Razvijanje učnih strategij pa so nastali tudi tečaji Učenje učenja za 1. letnike gimnazijskega programa, ki jih je v okviru obveznega dela izbirnih vsebin prav tako vodila šolska psihologinja Jasna Vesel. Iz leta v leto smo opažali, da se v prvi letnik gimnazijskega programa vsako leto vpiše vse več dijakinj in dijakov, ki se preprosto ne znajo učiti in niso kos količini snovi, ki jo je treba predelati ter se jo tudi ustrezno naučiti. Da bi lahko z razvojem kompetence učenje učenja začeli že v prvem letniku, smo za celo generacijo pripravili pilotni projekt Spodbujanje kompetence učenje učenja kot kroskurikularni cilj (2009/2010), v katerega smo vključili učitelje devetih različnih predmetov prvega letnika gimnazije in se posvetili razvoju in poučevanju bralnih strategij. Zakaj smo izbrali bralne učne strategije? Učne strategije v srednji šoli so praviloma bralne strategije (Pečjak, Gradišar, 2002), saj je učenje skoraj pri vseh predmetih praviloma učenje z razumevanjem in verbalno učenje, ki zahteva: - dobro bralno spretnost, samostojno učenje iz izpiskov, zapiskov in učbenikov, - kombiniranje različnih pisnih virov: učbenikov, delovnih zvezkov, vaj, drugih virov, - poznavanje in spretno uporabo različnih učnih strategij za učenje iz tekstnih gradiv in predmetno specifičnih strategij. Kot izhodiščno bralno učno strategijo smo privzeli PV3P, ki je sicer ena najbolj znanih učnih strategij (Pečjak, Gradišar, 2002) in so nekateri učitelji imeli s poučevanjem te strategije že konkretne izkušnje. Preostali učitelji so imeli možnost, da znotraj te strategije poiščejo še kakšno drugo varianto, predvsem takšno, ki bi najbolje ustrezala predmetu, ki ga poučujejo, in učbeniku, ki ga pri predmetu uporabljajo. Da pa bi poleg splošnih vtisov in odgovorov na evalvacijske vprašalnike dobili tudi rezultate raziskovalne metode, smo za raziskovalna vprašanja pripravili tudi ustrezne vprašalnike. Akcijsko raziskovanje Pilotni projekt smo raziskovalno zasnovali. V projekt smo vključili dijake prvega letnika gimnazijskega programa. V eksperimentalno skupino (ES) je bilo vključenih 32 dijakinj in dijakov, v kontrolno skupino (KS) pa 30 dijakinj in dijakov. Postavili smo naslednjo raziskovalno hipotezo: Eksperimentalna skupina bo pogosteje uporabljala izbrane splošne ali predmetno specifične učne strategije za samostojno učenje iz učbenikov in strokovnih gradiv pri različnih predmetih. Za ugotavljanje veljavnosti hipoteze smo uporabili vprašalnik Uporaba bralnih učnih strategij (Vesel, 2009). V članku predstavljamo analizo rezultatov obdelave tega vprašalnika. Zbrane podatke smo obdelali s programom za statistične obdelave SPSS 16.0. Raziskava je potekala šest mesecev. Vprašalnik Uporaba bralnih učnih strategij, s katerim smo posneli začetno in končno stanje, smo za namen raziskave izdelali sodelujoči v projektu. Zanesljivost vprašalnika smo ugotavljali z izračunom Cronbachovega koeficienta a, ki je v našem primeru znašal 0,868. Ker je bila njegova vrednost večja kot 0,8, smo zaključili, da je lestvica dovolj zanesljiva. Obdelava vprašalnika pred začetkom in na koncu projekta je pokazala, da se eksperimentalna in kontrolna skupina statistično glede razlik v pogostosti uporabe izbranih splošnih ali predmetno specifičnih učnih strategij nista pomembno razlikovali. Obe skupini sta se pred začetkom projekta glede uporabe bralnih učnih strategij zelo visoko ocenili (več kot 60 % točk), kontrolna skupina celo za 3,7 % točk več kot eksperimentalna. Zanimivo pa je, da se je ob drugem merjenju pogostost uporabe učnih strategij pri obeh skupinah zmanjšala: pri eksperimentalni skupini za 5,9 % točk, pri kontrolni skupini pa celo za 12,6 % točk. Na rezultate upada pri obeh skupinah so lahko vplivala naslednja dejstva: ob prihodu v srednjo šolo so dijaki polni samozaupanja o tem, kako obvladajo učenje in bralne učne strategije, ob koncu leta pa ugotovijo, da teh strategij v resnici ne obvladajo, vprašalnik lahko meri načine učenja, ki jih dijakinje in dijaki v resnici sploh ne uporabljajo in se jim predstavljene strategije ne zdijo uporabne, drugo merjenje je bilo izvedeno prepozno, tik pred koncem pouka. Kljub vsemu pa je očitno, da je upad pogostosti uporabe v eksperimentalni skupini neprimerno manjši, kar je lahko posledica izvajanja projekta. Za ugotavljanje razlik v pogostosti uporabe izbranih bralnih učnih strategij med dijakinjami in dijaki eksperimentalne in kontrolne skupine na začetku in koncu eksperimenta smo uporabili tudi t-preizkus. Ta preizkus je pokazal, da v eksperimentalni skupini med prvim in drugim merjenjem ni statistično pomembnih razlik, medtem ko so v kontrolni skupini pomembne statistične razlike. Zaključek Z raziskavo smo nedvomno potrdili vpliv poučevanja bralnih učnih strategij, ki smo si jih zastavili v projektu, na uporabo le-teh pri samostojnem učenju iz učbenikov. Eksperimentalna skupina je pogosteje uporabljala izbrane splošne ali predmetno specifične učne strategije za samostojno učenje iz učbenikov in strokovnih gradiv pri različnih predmetih. S tem smo dokazali, da so dijakinje in dijaki, katerim so bile bralne učne strategije predstavljene pri pouku in uporabljene v praksi, o učenju učenja razmišljali pozitivno in skupaj z učitelji posameznih predmetov razmišljali o lastnem učenju. Evalvacije mnenj dijakov kažejo širok nabor idej in vprašanj o samostojnem učenju, o katerih so razpravljali z učitelji. Prikazane učne strategije so doživljali večinoma kot koristne in uporabne za učenje v srednji šoli. Poleg osnovne bralne učne strategije PV3P so se seznanili še z veliko različnimi ostalimi specifičnimi učnimi strategijami. Med potekom projekta so učitelji velikokrat zaznali, da se učno uspešnejše dijakinje in dijaki zavedajo nekaterih prvin samostojnega učenja in že uporabljajo nekatere strategije. Lahko sklepamo, da so strategije odkrili ob samostojnem učenju v času šolanja v osnovni šoli. Hkrati pa je bilo tudi opaziti, da je veliko dijakinj in dijakov šele ob tem projektu začelo resno razmišljati o lastnem učenju. Poudariti je potrebno, da se morajo učitelji za poučevanje učnih strategij dodatno usposobiti. V času izvajanja projekta smo v sicer ozkem krogu učiteljev ugotovili, da se problema kompetenc učenje učenja niso zavedali, ker niti v času priprave na poklic niti v času opravljanja poklica tega problema niso zaznali, niti niso bili z njim seznanjeni. Zelo pomembno pa je tudi to, da začnejo učitelji razumeti izvore učnih težav, se začnejo zanimati zanje in doumejo, da gre ob nastalih učnih težavah lahko tudi za neizoblikovano kompetenco učenje učenja ob vstopu v srednjo šolo. Viri 1. Ažman T. (2009): Učenje učenja - kako učiti in se naučiti spretnosti vseživljenjskega učenja. Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. 2. Gaber, S. [et al] (2006): Zakaj Finci letijo dlje? Pedagoška fakulteta, Ljubljana. 3. Kožuh, B., Vogrinc, J. (2011): Obdelava podatkov. Znanstvena založba Filozofske fakultete, Ljubljana. 4. Pečjak, S., Gradišar, A. (2002): Bralne učne strategije. Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. 5. Peklaj, C. (2000): Samoregulativni mehanizmi pri učenju, Sodobna pedagogika, Vol. 51, No. 3, str. 136-149. MATEMATIKA IN EKONOMIJA Z ROKO V ROKI Mathematics and Economics Hand in Hand Karmen Virc, Mojca Plut, Ekonomska šola Novo mesto karmen.virc@gmail.com, mojca.plut@guest.arnes.si Povzetek Timsko poučevanje je eden izmed načinov dela, ki ga v slovenskih šolah spodbujamo zadnjih nekaj let. S prenovo gimnazije je tudi v naši šoli ta način dela zaživel. Uporabljamo predvsem model poučevanja, kjer sta oba učitelja istočasno v razredu. Dijaki so tak način dela dobro sprejeli, pa tudi učni rezultati so se izboljšali. V primerih najinega sodelovanja je ekonomija nosilni predmet, matematika pa podporni. Ključne besede: cenovna elastičnost povpraševanja, dohodek, koeficient cenovne elastičnosti povpraševanja, timsko poučevanje. Abstract Team teaching is a way of teaching that has been encouraged in Slovenian schools in the last few years. It has come to life with the renewal of the Gimnazija programme at our school. We mostly use the model of teaching where both teachers are at the same time in the classroom. Students have accepted well this way of teaching and learning results have improved. In the presented case of team teaching the base subject is economics while mathematics is the supporting subject. Key words: the coefficient of price elasticity in demand and income, price elasticity - of demand, team teaching. Uvod Ker imava ekonomistka in matematičarka podobna stališča in prepričanja o poučevanju, že več let sodelujeva. Prenova gimnazije pa naju je spodbudila, da to počneva še bolj načrtno. Ekonomija je na naši šoli obvezen izbirni maturitetni predmet. Za dijake, ki se izobražujejo v tem programu, v vsakem letniku timsko obravnavava eno učno temo. V drugem letniku se tako lotiva teme Cenovna elastičnost povpraševanja. Glavni motiv za najino sodelovanje je dejstvo, da tudi pri ekonomiji večkrat uporabljamo matematiko. Da bi pri obeh predmetih uporabljali iste termine in iste postopke, če gre za iste vsebine, se nama je zdelo timsko poučevanje zelo smiselno. Ekonomistka tako pokriva ožjo strokovno vsebino, matematičarka pa izpeljave, izračune in interpretacijo izračunov. V primerih najinega sodelovanja tako matematika nudi podporo stroki - ekonomiji. Načrtovanje timskega poučevanja Da delo v razredu dobro steče, je zelo pomembno načrtovanje. To nama vzame precej časa. V procesu načrtovanja si vedno odgovoriva na vprašanja: Katere cilje želiva, da bi dosegli najini dijaki? Kako bova vedeli, ali so prišli na cilj oz. do kam so na poti do cilja prišli? Kako bomo tja skupaj prispeli? Že odgovori na ta vprašanja narekujejo pot in dejavnosti, ki jih izvajava v razredu. Največkrat za obravnavanje določene vsebine načrtujeva strnjeno dve šolski uri. To nama omogoča, da s pravim tempom in z vsemi potrebnimi koraki obdelava vsebino. Obravnava cenovne elastičnosti povpraševanja Da matematičarka upraviči svojo prisotnost pri uri ekonomije, na začetku z dijaki ponovi temeljne pojme odstotnega računa. V razgovoru in ob enostavnih primerih se pogovorimo o tem, kaj je procent, kaj koeficient, kako koeficient interpretiramo in kako zvišamo oziroma znižamo neko vrednost. Spomnimo se tudi oznake za spremembo in izračuna povprečne vrednosti. Ekonomistka z dijaki vodi razgovor o obravnavani snovi v predhodnih urah (povpraševanje) in napove, da se bomo ukvarjali z merilom, ki nam pove, v kakšni meri se spreminja obseg povpraševanja zaradi spremembe cene. Definira tudi to merilo koeficient cenovne elastičnosti povpraševanja kot količnik med odstotno spremembo obsega povpraševanja in odstotno spremembo cene dobrine: ^ = ■ Po definiciji koeficienta cenovne elastičnosti povpraševanja se matematik z dijaki loti izračuna koeficienta elastičnosti povpraševanja na intervalu med začetno in končno točko. Pri tem izhajamo iz krivulje povpraševanja (kaže, kako sta med sabo odvisni količina - Q in cena - P), ki jo dijaki poznajo že od prej. Količina je odvisna spremenljivka (od cene), a jo ekonomisti postavijo na abscisno os. Ker to dijakom ne predstavljala nobenih težav, se s tem ne ukvarjava veliko. Q, Qc Slika 1: Krivulja povpraševanja P - začetna cena, Q - začetna količina, p - končna cena, Q - končna količina Dijakom pojasniva, da ekonomisti izračunajo odstotno spremembo obsega povpraševanja in spremembe cene glede na povprečno ceno Pp (oz. količino Qp) s sredine intervala med točkama A in B. Matematik sledi definiciji cenovne elastičnosti in izpelje obrazca za izračun cenovne elastičnosti med točkama A in B. Pri tem dijake spodbuja, da pokažejo svoje znanj e v računanju z dvojnimi ulomki. Na ta način pridemo do dveh obrazcev. Obrazci so suhoparna zadeva, zato dijakom takoj postreževa s praktičnim primerom, ki ga vzameva kar iz učbenika za ekonomijo: Proučujemo trg bencina. Ob ceni 1,045 € za liter super bencina so vozniki pokupili v tednu dni 4100 ton bencina. V ceni bencina je 40 centov trošarine, ki se med drugim porabi za gradnjo avtocest. Država je za financiranje gradnje avtocest, kjer ji kronično primanjkuje denarja, zvišala ceno bencina na 1,155 € za liter in vseh dodatnih 11 centov pri litru namenila v sklad za avtoceste. Vozniki so zmanjšali nakup na 3900 ton bencina. a. Izračunaj točno vrednost koeficienta cenovne elastičnosti povpraševanja po bencinu. b. Kaj nam koeficient cenovne elastičnosti pove? Razloži! Reševanja naloge se lotimo sistematično. Najprej uredimo podatke: začetna cena P0 končna cena P sprememba cene AP = P - p P + P v T~\ 1 0 ~ 1 1 povprečna cena Pp = 1 začetni obseg povpraševanja Q0 končni obseg povpraševanja Q sprememba obsega povpraševanja AQ = Q - Qo povprečni obseg povpraševanja G Qo + Qi Qp 2 Nato po izpeljanem obrazcu izračunamo koeficient cenovne elastičnosti: AQ Pp AP Qp n = -0,5 Pogovorimo se o predznaku koeficienta, kar dijakom ne dela težav. Veliko energije pa porabiva, da odgovorimo na vprašanje, kaj nam koeficient cenovne elastičnosti pove. Tega smo matematiki vajeni, saj je interpretacija rezultata za dijake trd oreh. Sledi bolj dinamičen del. Dijakom razdeliva naloge, ki jih rešujejo v dvojicah. Naloge so raznovrstne, opremljene pa so s štirimi vrstami znakov. Računanje jim ne dela težav, dijaki se držijo zgleda, ki ga rešimo skupaj. Primer naloge: Turistična agencija Oscar Travelers organizira izlete v eksotične dele sveta. V lanskem letu so organizirali po ceni 3000 evrov izlet v Peru in treking v deželo Majev in Inkov. Za njihovo ponudbo se je odločilo 240 turistov. V letošnjem letu so se povečali stroški letalskega prevoza in agencija je morala podražiti svojo ponudbo na 3400 evrov. V celem letu se jim je obseg povpraševanja zmanjšal za 40 turistov v to deželo. Izračunaj koeficient cenovne elastičnosti povpraševanja! Ali je rezultat smiselen? Zakaj? Medtem ko dijaki rešujejo naloge, na steno v učilnici nalepiva znake, s katerimi so označeni tudi lističi z nalogami. Dijaki po končanem reševanju pridejo k svojemu znaku in primerjajo rezultate. Ekonomistka nato z dijaki vodi debato o izračunani vrednosti koeficienta in vrsti dobrine, pri kateri se je to zgodilo. Dijaki hitro ugotovijo, da se potrošniki na spremembe cene pri vseh dobrinah ne odzivamo enako in je tako koeficient cenovne elastičnosti zelo različen. Glede na velikost koeficienta cenovne elastičnosti v debati ugotovijo, da obstaja več vrst povpraševanja, od togega do absolutno elastičnega. Odzive kupcev na spremembe cene ekonomistka še s krivuljami povpraševanja in z dijaki ugotovi, da je krivulja povpraševanja pri neelastičnem povpraševanju strma in pri elastičnem bolj položna, koeficient cenovne elastičnosti pa pri neelastičnem povpraševanju blizu 0, pri elastičnem pa manjši od -1. Pika na i Za zaključek pred dijake postaviva še izziv: Kako je dohodek proizvajalcev odvisen od cenovne elastičnosti povpraševanja? Kaj se dogaja z dohodkom pri neelastičnem in kaj pri elastičnem povpraševanju, če proizvajalec ceno zviša oz. zniža? Dejstvo, da se dohodek izračuna kot produkt med ceno enote (P) in količino prodanih enot(Q), je dijakom dobro znano (D = P x Q). Pogledamo geometrijsko razlago tega dejstva. Dijaki hitro povedo, da je dohodek številsko enak ploščini pravokotnika, omejenega z absciso in ordinato točke na krivulji povpraševanja. Q Slika 2: Geometrijski prikaz dohodka Za tem se ukvarjamo z vprašanjem, kaj se dogaja z dohodkom pri neelastičnem in kaj pri elastičnem povpraševanju, če proizvajalec ceno zviša. Izhajamo seveda iz krivulj povpraševanja in dejstva, da lahko dohodek ocenimo tudi geometrijsko. Dijaki na diagramih označijo izgubljeni in dodatni del dohodka zaradi zvišanja cene. Zaključek je ponavadi za dijake na dlani: pri neelastičnem povpraševanju dvig cene povzroči povečanje dohodka, pri elastičnem pa izgubo dela dohodka. Dijaki samostojno razmislijo še, kako je s spremembo dohodka zaradi znižanja cene pri neelastičnem in kako pri elastičnem povpraševanju. Slika 3: Sprememba dohodka ob dvigu cene pri Slika 4: Sprememba dohodka od dvigu cene pri neelastičnem povpraševanju elastičnem povpraševanju Zaključek Da lahko sodelujeva matematičarka in ekonomistka, mora seveda najprej matematičarka usvojiti potrebna ekonomska znanja, kar je bil izziv. Pri vseh dosedanjih izvedbah sva bili obe zelo zadovoljni. Kar pa je najbolj pomembno, dijaki so tak način poučevanja dobro sprejeli in povedali, da na tak način lažje usvojijo predvidene standarde znanja. Med samimi izvedbami sva se zelo dobro počutili, ker sva se dobro dopolnjevali, ure so bile dinamične. Zato, da se dijaki lahko čim bolj vključujejo v debate, vedno pripraviva gradivo za dijake v obliki učnih listov. Na svoji koži sva preverili, da drži, kar pravi Svetlana Makarovič: »Dva nista dvakrat po en sam«. Viri 1. Glas, M. (2003): Ekonomija 2. Temelji mikroekonomije. ZRSŠ. 2. Fortič, H. (2004): Temelji ekonomije, učbenik. DZS. 3. Fortič, H. (2004): Temelji ekonomije, delovni zvezek. DZS. UČITELJ STROKOVNO TEORETIČNIH PREDMETOV HKRATI UČITELJ MATEMATIKE Teacher of Professional Theoretical Subjects at the same Time Mathematics Teacher too Andrej Oberwalder Zupanc, Srednja šola Domžale, Poklicna in strokovna šola andrej.oberwalder@guest.arnes.si Povzetek Prispevek opisuje pogled na poučevanje matematike v srednjem poklicnem izobraževanju, kot ga vidi učitelj strokovno teoretičnih predmetov, ki poučuje matematiko. Prispevek predstavi prednosti in slabosti, če matematiko v srednjem poklicnem izobraževanju poučuje strokovnjak s poklicnega področja. Predstavi primer povezovanja znanj, ki ga lahko izvaja učitelj strokovno teoretičnih predmetov, ki je hkrati učitelj matematike. Ključne besede: poučevanje matematike, srednje poklicno izobraževanje, povezovanje znanj. Abstract The article describes the view of teaching mathematics in vocational secondary education through the eyes of a teacher of professional theoretical subjects, who as well teaches mathematics. It describes the advantages and disadvantages if this subject is taught by an expert from the occupational field in vocational secondary education. The article presents an example of using knowledge from both fields (mathematics and professional theoretical subjects) when the teacher is qualified to teach both subjects involved. Key words: teaching mathematics, vocational secondary education, knowledge connection. Uvod Matematika v srednjem poklicnem izobraževanju je tema, ki so jo obravnavali različni strokovnjaki v zadnjih desetih letih. Začetek intenzivnega dela na tem področju sega v leto 2001. Takrat se je na Zavodu za šolstvu oblikovala skupina, ki je obravnavala pouk matematike v srednjih poklicnih šolah. Kasneje je bilo napisanih veliko strokovnih člankov v reviji Matematika v šoli ter v reviji Vzgoja in izobraževanje. Bilo je precej razprav na posvetih Zavoda za šolstvo in Centra za poklicno izobraževanje ter na študijskih skupinah predmetnega področja. Skupna ugotovitev je bila, da je matematika v poklicnem šolstvu doživela veliko sprememb zaradi spremenjenih zahtev v poklicih, lažje dostopne tehnologije, ki je uporabo matematike zakrila, in ne nazadnje zaradi spremenjene strukture vpisa dijakov v srednje poklicno izobraževanje. Zaradi te ugotovitve se je pripravil spremenjen katalog znanj, ki je v večji meri upošteval nastale spremembe. Cilj vseh teh dejavnosti je bil pomagati dijakom srednjega poklicnega izobraževanja pri doseganju večje matematične kompetentnosti v poklicu. Vsi so se trudili na nek način združiti matematiko in primere iz poklicne prakse. Učitelji matematike so se za dosego tega cilja morali povezovati z učitelji strokovno teoretičnih predmetov. Ob tem se mi je zastavilo vprašanje, ali ni učinkoviteje, da to delo opravi ena oseba. Matematika v srednjih poklicnih šolah Srednje poklicno izobraževanje se je znašlo s spremembo strukture vpisa osnovnošolcev v težavnem položaju glede učiteljev strokovno teoretičnih predmetov. Z zmanjševanjem števila vpisanih učencev in posledično manjšim številom oddelkov se je zmanjšala tudi potreba po učiteljih strokovno teoretičnih predmetov. Nekatere šole so ob tem uvedle nove programe: gimnazijske programe in programe srednjega strokovnega izobraževanja. Učitelji matematike so v teh novih programih dobili potrebno število ur pedagoške delovne obveznosti. Ure matematike v srednjem poklicnem izobraževanju pa so lahko prevzeli tudi učitelji strokovno teoretičnih predmetov. V pravilniku o izobrazbi učiteljev in drugih strokovnih delavcev v poklicnem in strokovnem izobraževanju je v 4. členu, 3.odstavku določeno: »Učitelj matematike v izobraževalnih programih srednjega poklicnega izobraževanja je lahko tudi, kdor ima izobrazbo, pridobljeno po študijskih programih za pridobitev izobrazbe druge stopnje oziroma raven izobrazbe, pridobljene po študijskih programih, ki v skladu z zakonom ustreza izobrazbi druge stopnje, izpolnjuje pogoje o izobrazbi za strokovnoteoretični predmet oziroma drugo programsko enoto v izobraževalnem programu, v katerem poučuje, ima znanja za učitelja matematike, ki so določena v posebnem delu izobraževalnega programa, in je imel v študijskem programu najmanj 150 ur matematike.« Torej pravilnik določa, da lahko matematiko v programu strojništva poučuje univerzitetni diplomirani inženir strojništva, v programu gradbeništva lahko poučuje matematiko univerzitetni diplomirani inženir gradbeništva in tako naprej. Vprašanje, ki se zastavlja ob tej točki pravilnika, pa je: kako učitelj strokovno teoretičnih predmetov funkcionira v vlogi učitelja matematike in kaj to pomeni za dijake? Ob branju in analiziranju dosedanjih strokovnih člankov sem ugotovil, da so jih pisali predvsem matematiki. Njihova ugotovitev je dokaj enotna: za poučevanje matematike v srednjem poklicnem šolstvu je primeren samo učitelj matematike s pogoji iz prvega odstavka pravilnika o izobrazbi učiteljev in drugih strokovnih delavcev v poklicnem in strokovnem izobraževanju. Učitelji strokovno teoretičnih predmetov naj rajši poučujejo strokovne predmete na svojem področju. Hkrati pa večina avtorjev prikaže rešitve za izboljšanje pouka matematike v tesnem sodelovanju učitelja matematike in učitelja strokovno teoretičnih predmetov. Ob tem navajajo primere uspešnega sodelovanja in prikažejo konkretne primere obravnavane snovi ter naloge, ki so pospremljene s primeri iz poklicne prakse dijakov (Sambolic Beganovic, 2008). Ob takih primerih sem ugotovil, da sta za uspešno izvedbo takih prilagoditev pouka potrebna najmanj dva zelo kompatibilna učitelja. Logičen sklep je, da se takšni primeri dobre prakse ne morejo pripraviti in izvajati tam, kjer en učitelj ni pripravljen sodelovati. Izkušnje iz pedagoške prakse nam povedo, da je zaradi najrazličnejših razlogov lahko zelo pogosto tako. V tem primeru na žalost še tako velika pripravljenost na izboljšave pouka enega učitelja ne pomaga dosti. Če predpostavimo morebitne težave pri sodelovalnem delu več učiteljev, se nam ponuja preprosta rešitev: najbolj učinkovita pot za uresničevanje zastavljenih smernic iz kataloga znanja bi bila nedvomno, da združimo prej omenjena učitelja ali učitelje v eno osebo. Možnosti sta dve: ali matematik ali strokovnjak na poklicnem področju, za katerega se izobražujejo dijaki na srednjem poklicnem izobraževanju. Ad 1: učitelj matematike Vsekakor je učitelj matematike s pridobljeno matematično izobrazbo bolj usposobljen za poučevanje matematike. Vendar pa ima težave pri povezovanju matematike s primeri iz poklicne smeri. Če želi izvajati pouk matematike, kot ga priporoča katalog znanj, se mora nujno povezovati z učitelji strokovno teoretičnih predmetov. Navedeno je že bilo, kakšne so težave pri tem. Poleg tega se vsa poklicna področja zaradi novih tehnologij izdelave, novih materialov, novih postopkov montaže in tako naprej zelo hitro spreminjajo. Lahko rečem, da so nekateri primeri dobre prakse izpred desetih let danes že zastareli. Spremljanje vseh teh novosti in uvajanje k pouku matematike je za matematika zelo težko, lahko rečem kar nemogoče. Dijaki težko načenjajo vprašanja glede povezovanja matematike in poklicne prakse, saj le te učitelj matematik ne pozna. Ad 2: učitelj strokovno teoretičnih predmetov s pogoji iz pravilnika Učitelj z ustrezno strokovno univerzitetno izobrazbo ima nedvomno med študijem manj ur matematike. Posledično je za poučevanje matematike manj usposobljen. Vendar menim, da je odveč bojazen, da bi matematika pri takem učitelju zapadla v »vajeniški pristop poučevanja matematike« kot to imenujejo nekateri avtorji (Magajna, 2006). Pri svojem delu lahko prav vsa poglavja obdela s sistematičnim matematičnim pristopom in potrebnimi abstrakcijami. Po drugi strani pa ima neposreden vpogled v poklicno dogajanje, saj je to del njegove strokovne usposobljenosti. Na večini šol tak učitelj poleg matematike uči še en del strokovnih predmetov s svojega področja. Tam lahko neposredno vidi, kje imajo dijaki težave pri implementaciji matematike v primere iz stroke. Potrebne poudarke lahko takoj prenese k uram matematike. Poleg tega mu je nedvomno lažje poiskati ustrezne primere iz prakse in jih uvesti k pouku matematike. Lahko rečem, da je za neuporabo poučevanja matematike v skladu s priporočili iz kataloga znanj odgovoren samo sam. Veliko vlogo ima v takem primeru aktiv matematikov na šoli, ki lahko nudi vso potrebno matematično podporo kolegu pri njegovem delu. Za učitelja je takšna deljena delovna obveznost sicer dodatna obremenitev, saj mora spremljati študijske skupine, pedagoške novosti, strokovno literaturo ... na dveh različnih področjih. Obstaja nevarnost, da tak učitelj eno področje zanemari, saj mu je spremljanje enega področja dovolj velika obremenitev. Za dijake pa je ta možnost prijaznejša, saj imajo večjo možnost za povezovanje znanj iz strokovnih predmetov in matematike. Učitelj jim lahko takoj navaja primere iz poklicne prakse, ker jih dobro pozna. Primer povezovanja znanj Iz svoje dosedanje prakse poučevanja matematike in strokovnih predmetov v programih strojništva bom predstavil primer za povezovanje specifičnega strokovnega znanja na področju strojništva in matematike, ki ga uporabljam pri obravnavanju obsega in ploščine kroga. Matematika ima za izračun obsega kroga že dolgo znano rešitev: o = 2nr. Njeno uporabo prikažem pri avtoserviserjih na njim znanem primeru označevanja dimenzij pnevmatik, npr.: 225/50R17 (Fischer, 2011). Slika 1 nam prikaže primer, ki ga obravnavamo. Želimo izračunati zunanji premer in kotalni obseg pnevmatike. Ob tem specifičnem strokovnem primeru najprej ponovijo, kar že znajo: 225 mm je širina pnevmatike, 50 je razmerje višine pnevmatike in njene širine, izraženo v odstotkih, R17 je dimenzija platišča, izražena v colah oziroma inčih. Slika 1: platišče s pnevmatiko - kotalni obseg (foto in obdelava avtor, 2011) v Vpn Pri uporabi primera imam pripravljeno zgornjo fotografijo. Kasneje pa narišemo še skico kroga s potrebnimi merami. Dijaki na ta način lažje povežejo realen predmet z matematičnim pojmom kroga. Najprej izračunamo dimenzijo platišča v mm: dpl = 17 * 25,4 mm = 431,8 mm. Ob tem izračunu se dijaki še spomnijo, kje vse se uporabljajo cole oziroma inči, ki sicer ni dovoljena enota po mednarodnem merskem sistemu. Sledi izračun višine pnevmatike v mm: vpn = 431,8 mm* 50 % = 112,50 mm. Ob tem računu se dijaki spomnijo na uporabo procentov (1. letnik). Zunanji premer pnevmatike: dpn = dpl + 2* vpn = 656,80 mm Polmer pnevmatike: rpn = dpn/2 = 328,4 mm Sedaj sledi kotalni obseg: o = 2nrpn = 2062,35 mm Dijaki zadnji izračun dojamejo kot logično nadaljevanje prej opravljenega dela. Ni jim vsiljen, ampak takoj razumejo njegovo uporabnost pri njihovi poklicni usmeritvi. V nadaljevanju preizkusimo še, kako vpliva pomanjšanje platišča in zvišanje pnevmatike na kotalni obseg. Proizvajalec ima za isto vozilo homologirano tudi dimenzijo 215/60R16. Ko ponovimo preračun, dobimo kotalni obseg 2086,22 mm. Vključimo še malo fizike in povežemo kotalni obseg, vrtljaje kolesa in opravljeno pot vozila: izračunajmo, kakšno pot naredi vozilo, če se kolo zavrti 50.000 krat: - večje platišče, nižja pnevmatika: 2,06235 m * 50.000 = 103.117 m oziroma 103,117 km. - manjše platišče, višja pnevmatika: 2,086622 m * 50.000 = 104.331 m oziroma 104,331 km. Ob teh dveh rezultatih spet ponovimo uporabo procentnega računa: izračunaj, za koliko procentov je večja opravljena pot z manjšim platiščem/višjo gumo (1,18 %). Za konec sledi še domača naloga: - Poglej oznako pnevmatik pri vašem domačem vozilu in izračunaj kotalni obseg. - Na spletnih straneh poišči manjše platišče z višjo pnevmatiko, ki je primerna za vaše vozilo. S tem jih hkrati vzpodbudim za uporabo IKT v povezavi z matematiko. - Izračunaj kotalni obseg in izračunaj razliko v odstotkih. Lahko rečem, da je to ena izmed domačih nalog, ki jo naredijo praktično vsi dijaki. Na istem primeru pnevmatike uporabimo še ploščino kroga oziroma kolobarja: izračunati želimo, koliko cm2 gume, ki se vidi sstrani, moramo premazati s tekočino za pnevmatike. Slika 2 nam prikazuje, kaj želimo izračunati. Slika 2: Platišče s pnevmatiko - ploščina kolobarja (foto in obdelava avtor, 2011) Tudi pri tem primeru uporabljam zgornjo sliko, tako da lahko na realnem predmetu uporabimo znano rešitev za ploščino kroga: Sz = n * rpn2 In na koncu ploščina kolobarja: Spn = Sz - Sn Postopek ponovimo za višjo gumo. Na koncu izračunamo, koliko odstotkov več moramo namazati višjo gumo glede na nižjo. S tem primerom sem želel pokazati, da je dijakom za motivacijo za matematiko potrebno pokazati njeno uporabnost pri primerih in predmetih, ki jih poznajo iz njihove poklicne prakse. Zaključek Če želimo upoštevati priporočila, ki jih vsebuje Katalog znanja za matematiko za izvajanje pouka matematike v srednjem poklicnem izobraževanju, ugotovimo, da jih učitelj matematike z matematično izobrazbo ne more izvajati sam. Nujno se mora povezovati z učitelji strokovno teoretičnih predmetov in tudi z učitelji praktičnega pouka. Če zaradi kateregakoli vzroka tak sodelovalni tim ne funkcionira ali se sploh ne vzpostavi, se matematika zelo težko povezuje s poklicnim področjem. Navedeni primer nam pokaže, da brez ustreznega strokovnega znanja iz smeri poklica ne moremo pripraviti primerov, ki bi jih uporabljali pri matematiki. Ena od možnih rešitev je torej, da matematiko poučuje učitelj, ki je strokovnjak na poklicnem področju in seveda izpolnjuje kadrovske pogoje iz pravilnika. Pokaže se tudi, da prav vsak poklic potrebuje svoje primere povezovanja matematike in poklicne prakse. To nam pokaže navedeni primer, ki je zelo uporaben pri avtoserviserjih, ne pa tudi pri drugih poklicih. Pomembna je tudi uporaba fotografij predmetov, ki se potem abstrahirajo v matematične pojme. Če je učilnica opremljena s projektorjem, to ne predstavlja posebne težave. Viri 1. Magajna, Z. (2006): Razvoj pouka matematike v poklicnih in srednjih strokovnih šolah. Matematika v šoli, Vol. 12, No. 3-4, str. 144-164. 2. Marčic, N. (2006): Povezovanje matematičnih in drugih znanj pri pouku matematike v poklicnih šolah. Matematika v šoli, Vol. 12, No. 3-4, str. 186-206. 3. Sambolic Beganovic, A (2008): Matematika ni k'r neki. Vzgoja in izobraževanje, Vol. XXXIX, No. 1, str. 59-67. 4. Fischer, R. (2011): Motorno vozilo. Tehniška založba Slovenije, Ljubljana. 5. Katalog znanja za matematiko v programih srednjega poklicnega izobraževanja. Določil Strokovni svet RS za splošno izobraževanje na 99. seji 15. 2. 2007 http://portal.mss.edus.si/msswww/programi2010/programi/SPI/KZ-IK/SPI KZ MAT 213.pdf (20. 5. 2012). 6. Pravilnik o izobrazbi učiteljev in drugih strokovnih delavcev v poklicnem in strokovnem izobraževanju. Uradni list RS, št. 48/2011 z dne 24. 6. 2011. UČENICI ISTRAŽUJU POVIJEST MATEMATIKE Students Research the History of Mathematics Željka Zoric, Prirodoslovno matematički fakultet, Sveučilište u Splitu zzoric@pmfst.hr Sažetak Razvijanje interesa za matematiku jedno je od važnih načela nastave matematike. Matematika slovi kao težak predmet jer od učenika zahtijeva kontinuirani rad u koji je potrebno uložiti dosta vremena, truda i napora. Ako učenici pokazuju interes za predmet, onda mnoge teškoce nestaju i učenje postaje jednostavnije i uspješnije. Jedan su od načina budenja interesa u nastavi matematike, koji se rijetko koristi, historicizmi. Historicizam je proučavanje odredenog pitanja pretežno s povijesne strane i isticanje i naglašavanje povijesnih činjenica medu svim ostalim. Učenici obično nemaju ni najosnovniju predodžbu o razvoju matematike, o njezinoj staroj i bogatoj povijesti. Smatraju da je matematika uvijek bila takva kakva je sad. U njezinoj povijesti ima mnogo interesantnih tema koje bi učenici mogli istraživati. Ovdje cemo navesti nekoliko ideja kako proučavanjem povijesti matematike pobuditi interes i motivirati učenike za njezino učenje. Ključne riječi: načelo interesa, historicizmi, povijest matematike, motivacija. Abstract Developing interest in mathematics is one of important principles in teaching mathematics. Mathematics has a reputation of a difficult school subject, since it requires students' continuous work and investment in terms of time and effort. If students show interest in this subject, many difficulties vanish and learning becomes simpler and more successful. One of the ways to awaken students' interest at the mathematics lessons, which is rarely used, is historicism. Historicism is studying of a certain issue mainly from the historic point of view and emphasising of historic facts among all other facts. Students usually lack the most basic notion of the development of mathematics, of its ancient roots and rich history. They think, that mathematics has always been, as it is now. There are many interesting topics from the history of mathematics which students could research. Using history of mathematics we wish to awaken students' interest and motivate them to study mathematics. In this paper we are going to elaborate several ideas how to awaken the students' interest in learning mathematics by studying its history. Key words: interest principle, historicism, mathematics history, motivation. Uvod Osnovni cilj nastave matematike ne smije biti samo puko usvajanje gradiva propisanog planom i programom ili stjecanje znanja koja se temelje samo na nizu pravila, formula i umijeca rješavanja jednostavnih ili standardnih zadataka. Danas se pred nastavu matematike kao prioritetni problem postavlja: problem razvoja stvaralačkog mišljenja i stvaralačkih sposobnosti učenika. Kao prvu mogucnost za rješavanje ovog problema, suvremena metodika nastave matematike nalazi u načelima nastave. Načela su temeljne ideje i smjernice na osnovu kojih se priprema i izvodi nastava. Sva su načela jednako važna jer izražavaju bitna polazišta nastave matematike i zato ih trebamo podjednako uvažavati i primjenjivati u nastavi. Ona su usko povezana pa nije rijedak slučaj da se ostvarivanjem jednog načela ostvaruje i neko drugo. Osnovna značajka svakog načela sadržana je u njegovom nazivu i ona je nastavnicima matematike uglavnom jasna. To su načela primjerenosti, zornosti, interesa, sistematičnosti i postupnosti, problemnosti i druga. Što se dogada kad se povrijedi neko načelo nastave matematike? Tada je zbog uske povezanosti svih načela sigurno povrijedeno i neko drugo načelo. Vec povreda jednog načela čini nastavu matematike neprimjerenom, a posljedice mogu biti teške, od otežanog poučavanja i prenošenja znanja učenicima do njihovog nerazumijevanja obradivanih matematičkih sadržaja. (Kurnik, 2002) Razvijanje interesa za matematiku jedno je od važnih načela nastave matematike. Matematika se ubraja u teže nastavne predmete, iako matematičari i ne misle tako. Smatraju je teškom jer od učenika zahtijeva kontinuirani rad u koji je potrebno uložiti dosta vremena, truda i napora. Učenici nisu uvijek spremni tako raditi pa im svladavanje matematičkih sadržaja zadaje dosta teškoca. Medutim, ako učenici pokazuju interes prema predmetu, ako matematiku uče sa zadovoljstvom, tada mnoge teškoce nestaju pa nastava matematike i proces učenja postaju uspješniji, vrijeme učenja brže prolazi, a matematički sadržaji lakše se usvajaju. Nastavnik mora pronaci načine budenja i njegovanja interesa za učenje matematike. Pri tome ce se pojaviti mnoštvo problema: opsežan nastavni program i mali broj sati za njegovu realizaciju, problemi prijelaza iz osnovne u srednju školu, oslanjanje na rad najboljih učenika u razredu dok su ostali pasivni i šutljivi, nezainteresiranost učenika za rad i učenje i napetost pri provjeravanju znanja. Uvodenjem novih oblika rada u nastavu matematike možemo promijeniti predrasude o matematici kao o teškom predmetu koji nije za svakoga. Izbor takvih novih oblika rada velik je, a zajedničko im je to da nema prisile, kažnjavanja, ocjenjivanja, a radna atmosfera drugačija je od uobičajene. Neki od novih oblika rada su: matematička križaljka, zabavna matematika, izrada modela geometrijskih tijela, izrada panoa, projekti, matematičke igre, kvizovi, matematika na računalu i dr. U bogatoj povijesti matematike možemo pronaci još jedan od načina budenja interesa kod učenika. To su priče o velikim matematičkim otkricima, o povijesnom razvoju matematičkih ideja, o velikim matematičarima, anegdote i crtice iz njihovih života, izreke o matematici i matematičarima te matematičke zanimljivosti. Budenje interesa pomocu povijesti matematike Dok sam radila kao srednjoškolski nastavnik često sam učenicima dijelila zadatke koji su uključivali istraživanje i proučavanje povijesti matematike ili života nekog velikog matematičara kojeg smo spomenuli na nastavi. Tek sada kada radim na fakultetu i predajem povijest matematike, vidim da u povijesti matematike ima toliko zanimljivih tema, problema, zadataka, ali i osebujnih matematičara o kojima nisam znala ništa. Otkad sam saznala da cu predavati taj kolegij, mučilo me jedno pitanje: Kako sažeti preko 5000 godina razvoja matematike i matematičke misli u samo 30 sati koliko ih taj kolegij ima na raspolaganju? A kad sam počela proučavati literaturu i materiju koju trebam predavati, pojavilo se još jedno pitanje: Što ce moji studenti znati i moci napraviti s gradivom ovog kolegija u buducem poslu? Kolegij Povijest matematike u Splitu slušaju studenti nastavničkih profila pa sam se odlučila za kompromisno rješenje: prijeci cijelu povije st matematike s naglaskom na školsko gradivo. Pripremajuci se za nastavu, shvatila sam da je povijest matematike divno sredstvo za motiviranje učenika. Učenici obično nemaju ni najosnovniju predodžbu o razvoju matematike, o njezinoj staroj i bogatoj povijesti. Smatraju da je matematika uvijek bila takva kakva je sad. Osim koristi za učenike, uporaba povijesti u nastavi pogoduje i nastavnicima. Oni time dobivaju mnoštvo zanimljivih i zabavnih primjera kojima ce oživiti nastavu. Problemi kojima su se nekada bavili matematičari mogu približiti i razjasniti neki dio gradiva. Činjenica da je za razvoj neke znanstvene discipline bilo potrebno mnoštvo ideja, od kojih su neke dobre, a neke ne, pomaže učenicima i nastavnicima da se nose s promašajima i pogreškama. Ako se ne boje pogriješiti, učenike cemo na ovaj način navesti da postavljaju pitanja, da razmišljaju o svom znanju i traže još. U svakom slučaju, proučavanje povijesti matematike pomaže u razvoju ideja i boljem razumijevanju materije. Životopisi velikih matematičara - seminarski rad Često sam znala učenicima dati za zadatak da istraže život i djelo nekog matematičara koji je imao značajne doprinose u znanosti, ali i u školskoj matematici. U udžbenicima mogu se pronaci kratki zapisi o matematičarima, no sasvim je drugačiji osjecaj i odnos učenika prema matematičarima koje su samostalno istražili i otkrili da su bili ljudi od krvi i mesa, sa svim svojim vrlinama i manama te vrlo specifičnim načinom razmišljanja. Učenici bi napisali seminarski rad o zadanom matematičaru, izradili bi plakat koji bi nam uljepšavao učionicu i prezentirali svoj rad kolegama u razredu. Na kraju svake školske godine prisjetili bismo se svih matematičara koje smo proučavali i birali smo matematičara koji je na njih ostavio najjači dojam kao čovjek i kao znanstavenik. Ovo su neki od matematičara s kojima smo se bavili: Tales, Pitagora, Euklid, Arhimed, Viete, Descartes, Napier, Briggs, Cavalieri, de Fermat, Pascal, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Dirichlet, Horner, Diofant. Postoji cijeli niz matematičara čiji je doprinos školskoj matematici manji i koji se u njoj rijetko spominju, ali radi potpunosti navest cemo i njih: Heron, Cardano, Tartaglia, Lobačevski, Getaldič, Hamilton, Apolonije, Papus, Boškovič, Goldbach, Jacob Bernoulli, Dedekind, Cantor, Weierstrass, de Moivre, Venn, de Morgan,d'Alambert, Bayes, Fibonacci, Cauchy. Projektni zadatak Osim pisanja seminarskih radova učenicima bih zadala projektni zadatak u kojem su trebali istražiti povijest neke ideje ili životopis poznate ličnosti, a uz to i riješiti zadani problem ili zadatak. Ovo su neki od projektnih zadataka koje sam provela sa svojim učenicima/ M. C. Escher i podjela ravnine, Talesov poučak u mom gradu, Zlatni rez, Kako su računale stare civilizacije? i dr. Ovakvim načinom rada pokazala sam učenicima da je matematika živa i da ima primjenu u stvarnom životu. Učenicima je ovakav način rada bio zanimljiv i poticajan, razvijali su komunikacijske i socijalne vještine, a u pozadini svega nalazila se matematika koja ih je povezala i izvan škole. Povijesni projekt Da sam danas u školi, pokušala bih izboriti se za projekt koji bi trajao cijelu školsku godinu u sklopu kojeg bi se proučavala povijest velikih matematičkih otkrica, kako je izgledala matematika ili tko su bili matematičari u nekom povijesnom razdoblju ili državi. Ovakav bi se projekt mogao proširiti i na druge predmete čime bismo ostvarili korelaciju medu predmetima i usustavili znanja. Završetak projekta bio bi Projektni dan u kojem bi učenici, koji su u njemu sudjelovali, prezentirali kolegama, nastavnicima, roditeljima i svima koje to zanima što su napravili, što su naučili i otkrili o zadanoj temi. Djeca su vrlo kreativna što kod ovakvog oblika rada može rezultirati nevjerojatnim plakatima, radovima, predavanjima, predstavama i drugim načinima realizacije. Mašta nema granica. Kod projekta djeci treba prepustiti vodstvo i dati im da donose odluke o sadržaju, podjeli rada te načinima prezentacije. Nastavnik je ovdje u ulozi podrške i kontrole kvalitete i korektnosti napravljenog. Anegdote i mudre izreke Sve ovo bili su prijedlozi u kojima su zainteresirani učenici istraživali matematičke sadržaje u svoje slobodno vrijeme i izvan škole. Možemo li povijest matematike uklopiti u redovnu nastavu? Možemo koristeci se mudrim izrekama i anegdotama o matematici i matematičarima. Citirane u pravom trenutku, one ce pozitivno utjecati na razvoj pravilnog stava učenika prema vrijednosti i važnosti matematike. (Kurnik, 2002: 57) Evo nekoliko takvih misli: „Bilo je mnogo više mašte u Arhimedovoj glavi negoli u Homerovoj." (Voltaire) „Zanemarivanje matematike šteti svakom znanju." (Bacon) „Napretkom i usavršavanjem matematike uvjetovano je blagostanje države." (Napoleon) Povijesni zadaci kao motivacijski primjeri Stari matematički problemi i zadaci te postupci rješavanja u kojima pratimo originalan proces razmišljanja od osnovne ideje do dokaza može unaprijediti nastavu i način poučavanja, a učenicima prenijeti osjecaj neprekidnosti i kontinuiteta matematike. Pr. 1: Rješavanje kvadratne jednadžbe nadopunjavanjem do potpunog kvadrata Prvi veliki arapski matematičar Al - Khwarizmi (Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, cca 780.-850.) bavio se algebrom, geometrijom i astronomijom. U svom glavnom djelu „Hisab al-jabr w'al muqabalah", što u prijevodu znači „Kratka knjiga o popunjavanju i redukciji", bavi se rješavanjem kvardatnih jednadžbi. Ovo je jedan primjer takvog rješavanja. Riješimo jednadžbu: x2 + 6x = 16. x2 + 6 x + = 16 + 9 (x + 3)2 = 25 x + 3 = 5 x=2 x2 3x 3x X2 3x 3x 9 Slika 1: Nadopuna do kvadrata Interesantno je to da se i danas koristimo ovom idejom kod izvoda formule za rješavanje kvadratne jednadžbe pa ovo može biti zgodan motivacijski primjer za tu nastavnu temu. U današnje vrijeme, mi bismo ovu jednadžbu riješili na sličan način, ali dobili bismo dva rješenja. Kako to da su u to vrijeme imali samo jedno rješenje? Povijesno gledano, do tog vremena negativni brojevi nisu bili priznati i kada bi se god pojavio negativan broj, matematičari onog doba učinili bi sve da se taj negativni broj pretvori u pozitivan. Starogrčka matematika poznavala je algebarske metode rješavanja linearnih i kvadratnih jednadžbi, samo ih je izražavala u geometrijskom obliku (geometrijska algebra). Zbog te geometrijske interpretacije algebarskih postupaka i rješenja, koristili su se samo pozitivni brojevi. Današnje rješenje izgledalo bi ovako (Figurativni brojevi - dokazi bez riječi): *2 + 6x = 16 x2 + 6 x + - I = 16 + 9 2 (x + 3)2 = 25 x + 3 = 5 x + 3 = -5 Pitagora i pitagorejci vjerovali su da brojevi vladaju svemirom pa je jasno da su se u svom djelovanju bavili različitim klasama brojeva. Jedna takva klasa su firurativni brojevi, u koje spadaju trokutasti i kvadratni brojevi. Trokutasti brojevi su brojevi koje geometrijski možemo prikazati točkama u obliku jednakostraničnih trokuta (sl. 2) , pri čemu je broj točaka jednak tom broju. To su na primjer brojevi 1, 3, 6, 10, ... • • • • • • • • • • • ••• • • • • 13 6 10 Slika 2: Trokutasti brojevi Za trokutaste brojeve vrijedi formula9 ^ = 1 + 2 + 3 +... + n = n(n +1), a dokaz se lako vidi iz geometrijskog prikaza. o • • • • o o • • • o o o • • o o o o • 9 Zbroj prvih n prirodnih brojeva vežemo uz anegdotu o školskim danima velikog K. F. Gaussa, pa zbog toga postupak rješavanja (dokaza) zovemo Gaussova dosjetka. Kvadratni brojevi su brojevi koje geometrijski možemo prikazati točkama u obliku kvadrata, pri čemu je broj točaka jednak tom broju. To su npr. brojevi 1, 4, 9, 16, 25, ... Iz geometrijskog se prikaza (sl. 3) lako može uočiti da za kvadratne brojeve vrijedi sljedeca formula Kn = 1 + 3 +... + (2n -1) = n2. o o o • • o o ooo o •••• o o o o o o Slika 3: Kvadratni brojevi Kao što se vidi, figurativni brojevi predstavljaju konačne sume prirodnih brojeva što je kao tema jako zgodno u dodatnoj nastavi matematike za osnovnu školu, a u srednjoj školi konačne sume rade se u sklopu Principa matematičke indukcije. Zaključak Korištenje povijesti matematike u nastavi ne znači da ce učenici preko noci poboljšati svoj uspjeh iz matematike, ali može pomoci da učenje matematike postane smisleno i zanimljivo iskustvo, a samo učenje jednostavnije i lakše. Možda nece postati bolji matematičari, ali obogatit cemo im opcu kulturu, pokazati da je matematika živa, primjenjiva i prisutna u svakodnevnom životu. U povijesti matematike mnoštvo je tema i osebujnih matematičara koji bi mogli pridonijeti njenoj popularizaciji. Potrebno je samo malo dobre volje i mašte. Literatura 1. Bruckler, F.M. (2007. i 2010): Povijest matematike 1 i 2. Sveučilište J. J. Strossmayara u Osijeku. 2. Bruckler, F.M.: Using history for popularization od mathematics. 3. Burton (2007): The history of mathematics: An introduction. 6th edition, McGraw-Hill. 4. Gleizer, G. I. (2003): Povijest matematike za školu. Školske novine i HMD, Zagreb.. 5. Katz, V. (2000): Using history to teach mathematics: An international perspective. The Mathematical Association of America. 6. Kurnik, Z. (2002) 7. Kurnik, Z. (2002) 8. Kurnik, Z. (2002) 9. Kurnik, Z. (2003) Historicizam. Matematika i škola 17, 52-58. Načelo znanstvenosti. Matematika i škola 13, 102-106. Načelo problemnosti. Matematika i škola 14, 148-152. Grupni rad. Matematika i škola 22, 52-57. 10. Pelle, B. (2004):Tako poučavamo matematiku. Školske novine i HMD, Zagreb. MINI PREISKAVA V PODALJŠANEM BIVANJU Mini Investigation of Extended Stay at School Irena Kutoš, OŠ Tišina irena.kutos@gmail.com Povzetek Kot članica tima medpredmetne razvojne skupine za naravoslovje in matematiko si prizadevam, da bi bil pouk na razredni stopnji čim bolj problemsko usmerjen. V šolskem letu 2011/2012 sem bila učiteljica podaljšanega bivanja. Delo v podaljšanem bivanju se precej razlikuje od dela pri pouku. Kljub temu nam nudi veliko priložnosti za raziskovanje, reševanje življenjskih problemov in medpredmetno povezovanje. Zato sem z učenci 2. razreda izvedla mini preiskavo, ki se je nanašala na upoštevanje pravil kulturnega vedenja pri kosilu. Zastavili smo si naslednje problemsko vprašanje: Kako uspešni smo pri upoštevanju pravil kulturnega vedenja pri kosilu? Preiskavo smo zaključili po 14 urah. Učenci so bili pri pouku zelo aktivni in motivirani za delo. Problemsko vprašanje, ki smo si ga zastavili, smo s pomočjo mini preiskave uspešno rešili. Ključne besede: preiskava, črtični prikaz/zapis, stolpični prikaz, figurni prikaz, slikovni prikaz. Abstract As a member of multidisciplinary team for the development of science and mathematics, I strive to incorporate problem-oriented lessons at elementary level. In school year 2011/2012 I was a teacher of a group of students at extended staying. Working in an extended stay group is quite different from a work in the classroom. Nevertheless, it gives us great opportunities to explore, to solve life problems and for cross-curricular integration. For that reason I have made a mini research with the pupils in the second class related to the question how pupils consider the rules of behaviour at lunch. We set the following question: How good are we with regard to the rules of behaviour at lunch? The research was completed in 14 hours. Pupils were very active and motivated for work. The problem question was successfully solved with the help of our mini-research. Key words: investigation, tally marks, bar chart, pictograms. Uvod Primer opisuje izvedbo mini preiskave v podaljšanem bivanju, v katero sem želela vključiti problemski pouk in medpredmetno povezovanje. Poleg tega pa sem želela, da učenci znanje o obdelavi podatkov uporabijo v konkretni življenjski situaciji. Učenci so imeli priložnost utrditi in nadgraditi svoje znanje, ki so ga pridobili pri pouku v okviru različnih predmetov. Cilji mini preiskave Matematika Učenci: • Načrtujejo mini preiskavo in zbirajo podatke. • Podatke beležijo s črtičnim prikazom in berejo črtični prikaz. • Podatke uredijo v preglednici in berejo preglednico. • Podatke pregledno predstavijo s figurnim prikazom, prikazom s stolpci in slikovnim prikazom. • Problem analizirajo in ga sistematično rešijo. Slovenščina Učenci: • Berejo v nadaljevanjih. • Pripovedujejo o vsebini besedila, izražajo svoje mnenje o besedilu. Spoznavanje okolja Učenci: • Naštejejo pravila kulturnega obnašanja doma in v šoli. • Razumejo pomen pravil. Likovna vzgoja Učenci: • Rišejo po spominu in domišljiji ter se izražajo z risbo. Opis izvedbe mini preiskave Izhodišče - predstavitev problemske situacije, zaznava problema, razčlenitev problema Z učenci smo obiskali šolsko knjižnico in poiskali knjige o bontonu, nato pa so tudi doma poiskali knjige z omenjeno vsebino in jih prinesli v šolo. Veliko časa smo namenili branju knjig (brali smo v nadaljevanjih) in pogovoru o vsebini. Učenci so pripovedovali in razpravljali o vsebini, kritično razmišljali o pravilih, se do njih opredeljevali ter pojasnjevali in utemeljevali svoja mnenja. Problemsko vprašanje Skupaj z učenci smo oblikovali naslednje problemsko vprašanje: Na kakšen način bi lahko raziskali, kako uspešno upoštevamo pravila kulturnega vedenja pri kosilu? Razčlenitev problema Z učenci smo ponovili znanje o bontonu. Posebno pozornost smo namenili pravilom kulturnega vedenja pri kosilu in izbrali 5 pravil, na katera so bili učenci pri preiskavi bolj pozorni. Izdelali so tudi plakat, na katerega so zapisali vseh 5 izbranih pravil in jih podkrepili z ilustracijo. Izbrana pravila • Pred kosilom si umijem roke. • Kuharici se zahvalim za hrano. • Pred kosilom si zaželimo dober tek. • Med kosilom mirno sedim in ne govorim s polnimi usti. • Po jedi pospravim in pobrišem mizico. Vpeljava Učence sem spodbudila, da so razmislili in predlagali, na kakšen način bi lahko ugotovili, kako uspešni so pri upoštevanju pravil kulturnega vedenja med kosilom. Po razpravi smo skupaj oblikovali načrt dela (Slika 1). Slika 1: Načrt za reševanje problema Oblikovanje hipotez Sledilo je oblikovanje hipotez. Dogovorili smo se, da bomo naše hipoteze označili z zvezdico (Slika 2). Velika zvezdica - pravilo, ki ga bomo najbolj upoštevali. Majhna zvezdica - pravilo, ki ga bomo najmanj upoštevali. Vprašanje za učence je bilo naslednje: kaj menite, katero od izbranih pravil bomo najbolj upoštevali in katero najmanj? Hipoteze učencev so bile naslednje: • Najbolj se bomo držali 5. pravila - Po kosilu pospravim in pobrišem mizico. Pojasnilo učencev: Zato, ker nas učiteljica na to vedno opozori. Od mizic gremo šele takrat, ko so pospravljene. • Najmanj se bomo držali 2. pravila - Kuharici se zahvalimo za hrano. Pojasnilo učencev: Na to pravilo nismo navajeni, zato bomo nanj večkrat pozabili. Zbiranje in beleženje podatkov Natančno smo se dogovorili, kako bomo zbirali in beležili podatke. Dobro smo se seznanili s črtičnim prikazom. Učence sem opozorila na 5. črtico, ki mora biti narisana čez 4 črtice. Vsak učenec je narisal črtico zase, če se je dosledno držal zapisanega pravila. Opazovanje in beleženje je trajalo 3 dni. Urejanje podatkov v preglednici in branje preglednice Vsak učenec je dobil svojo preglednico. Na podlagi črtičnega prikaza, ki je nastajal 3 dni (Slika 3), so učenci podatke bolj pregledno uredili v svoje preglednice (Slika 4). Po končanem samostojnem delu smo zapise pregledali in nato podatke vpisali v večjo preglednico, ki smo jo pripeli na tablo (Slika 5). Veliko časa smo namenili branju te preglednice. Slika 5: Skupna preglednica Predstavitev podatkov s konkretnim materialom in s slikovnim prikazom Učence sem razdelila v skupine. Vsaka skupina je dobila konkretni material (link kocke, lego kocke, perlice), s pomočjo katerega so nazorno predstavili dobljene podatke (Slike 6, 7, 8). Podatke pa so prikazali tudi s pomočjo slikovnega prikaza, z barvanjem pravokotnikov na učnem listu (Slika 9). Slike 6, 7 in 8: Prikaz podatkov s konkretnim materialom. Slika 9: Slikovni prikaz podatkov Rešitev problemskega vprašanja, vrednotenje rezultatov, evalvacija dela Na koncu smo pregledali naše rezultate in odgovorili na problemsko vprašanje. • Najbolj smo se držali 1. pravila: pred kosilom si umijemo roke. • Najmanj smo se držali 4. pravila: med kosilom mirno sedim in ne govorim s polnimi usti. Učenci so ugotovili, da bodo morali biti še bolj pozorni na bonton med kosilom. Posebno pozornost bomo namenili 4. pravilu. Sledila je še evalvacija dela. Najbolj zanimiv jim je bil črtični prikaz. Ugotavljali so, da so se 1. in 2. dan večkrat zmotili pri beleženju, 3. dan pa jim je že šlo delo dobro od rok. Največ težav so imeli pri nizanju perlic, ki so jim večkrat spolzele z vrvice. Ugotavljali so tudi, da morajo biti bolj pozorni pri štetju, saj so se večkrat zmotili. Zaključek Cilji, ki smo si jih zastavili, so bili uspešno realizirani. Delo v podaljšanem bivanju je bilo zanimivo in pestro, učenci pa so svoje znanje uporabili v novi situaciji - pri reševanju življenjskega problema. V okviru mini preiskave smo se tudi medpredmetno povezovali. Vsebina in cilji so se povezovali s projektom »Otroci berejo otrokom«, ki smo ga to leto izvajali v podaljšanem bivanju. Sama vsebina se je navezovala tudi na projekt »Kulturna šola«. Viri 1. Cotič, M. (1999): Obdelava podatkov pri pouku matematike 1 - 5, Teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Zavod republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 2. Petrovič, J. (2004): Brez dlake na jeziku. Bonton. Družina Krumpak, k. d. 3. Mate, M. (1984): Hopla, oprostite. Mladinska knjiga. 4. Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika (2011). Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana,. Dosegljivo na spletnem naslovu: http://www.mizks.gov.si/fileadmin/mizks.gov.si/pageuploads/podrocje/os/prenovljeni_UN/U N_matematika.pdf, (citirano 2. 7. 2012). UPORABA ODPADNE EMBALAŽE PRI MATEMATIKI Using old Packaging Material at Mathematics Lessons Petra Peterka, OŠ Jurija Vege Moravče petra.peterka@guest.arnes.si Povzetek Pri pouku matematike se že vrsto let uporabljajo žični in magnetni modeli. V vsakdanjem življenju nas obdajajo predmeti različnih geometrijskih oblik, zato lahko izhajamo iz izkušenj s temi predmeti tudi pri matematiki. Predvidevala sem, da uporaba modelov iz vsakdanjega življenja učence spodbudi k učinkovitejšemu učenju ter pripomore k boljšemu pomnjenju. Pri učni uri sem uporabila odpadno embalažo različnih oblik. Učenci so si te modele ogledali, jih premerili, uporabili predhodno znanje ter izračunali zahtevane količine. To so nadgradili s sestavljanjem različnih teles in oblikovanjem svojih nalog odprtega, polodprtega in zaprtega tipa. S pomočjo tipa in vida so model občutili ter pri učenju prepletali prepoznavanje, razumevanje in uporabo. Preko odpadne embalaže so utrdili, izboljšali in razširili znanje o geometrijskih telesih. Ključne besede: modeli geometrijskih teles, merjenje, medpredmetno povezovanje, odpadna embalaža. Abstract Different wire and magnetic models have been used at mathematics lessons for several years now. Objects of different geometrical shapes surround us in our everyday life, so our experience connected to these objects can be used at mathematics lessons too. The hypothesis, which I formed, was that objects in the pupils' everyday lives encourage them to learn and memorise more effectively. I introduced different types of old packaging material at one of the maths lessons. The pupils first had to examine and measure the models and then use their already existing knowledge to calculate the required quantities. They continued with producing different shapes of models and creating mathematical tasks of open, semi-open and closed type. With the use of the two senses touch and sight, they could physically feel the model and combined recognition, understanding and general use in their learning process. With the help of old packaging material, they improved and broadened their knowledge of geometrical models. Key words: models of geometric solids, measuring, cross-curricular approach, old packaging material. Uvod Iskala sem pot, ki bi pripeljala do miselne aktivnosti učencev. Želela sem uvesti nekaj novosti v učno uro. Upala sem, da bom pritegnila učence, jih spodbudila k samostojnemu aktivnemu delu. Možgani so po naravi nagnjeni k novostim, ki jim namenjajo več pozornosti (Ginnis, 2004: 22). Hkrati naj bi učenci dobili potrditev, da zmorejo. Ob konkretnih modelih geometrijskih teles bi uporabili teoretično znanje ter ga povezali še z drugimi vrstami znanj. Kot pravi pregovor Kar naredim, si zapomnim. Takšno znanje je trdnejše in kvalitetnejše. Ponotranjeno razumevanje je tisto učenje, ki nas mora zanimati. Cilj ure je bil ločevati površino geometrijskih teles od prostornine ter izračunati ti dve količini za dano telo. Z učenci sem zbirala odpadno embalažo različnih oblik. Slika 1: Odpadna embalaža Vsak posameznik ima svoje izkušnje z embalažo. Morda so jo zlagali v nakupovalne vrečke, v police hladilnika, pretresali snovi iz ene v drugo obliko embalaže. Učenci za močne kosti pijejo mleko, ki je običajno v embalaži v obliki štiristrane prizme, ter se mažejo s kremo, ki je v valjasti posodi. Hkrati se srečujejo z merskimi enotami, npr: 1 liter mleka, 300 mililitrov kreme. Nove situacije naj bi priklicale pretekle izkušnje, ki jih možgani povežejo z novimi podatki. Uporaba odpadne embalaže Spodaj opisano strategijo dela sem uporabila po obravnavi nove učne snovi o površini in prostornini prizem in valjev. Učna ura je potekala s sprotnim vodenjem in spremljanjem učencev. Učenci so bili razporejeni v pare. Strinjam se z mislijo: če učenec dela sam, bo bodisi zmogel napisati odgovore na vprašanja ali pa ne, vendar mu to ne bo pomagalo, da bi si tako dobro zapomnil informacije, kot če bi delal skupaj s sošolcem. Če njegov sošolec dosega boljše rezultate kot sam, mu ta lahko pojasni zadeve, ki jih sam ne razume - in to lahko stori kot učitelj ter v jeziku, ki ga lahko razume (Beadle, 2011:116) . Učenci v paru sodelujejo in si pomagajo. Uporabili smo zbrano odpadno embalažo v obliki prizem in valjev. Pri vsaki zastavljeni nalogi sem učencem povedala, v kolikšnem času pričakujem opravljeno nalogo. To se mi zdi pomembno, saj tako določimo nek ritem dela. Opazovanje, merjenje in izračun - Učenec oz. vsak par dobi odpadno embalažo, ki predstavlja geometrijsko telo. - Preko opazovanja - štetja oglišč, robov poimenuje dano telo. Loči osnovni rob od stranskega, si ogleda osnovno ploskev. - Premisli, kaj mora izmeriti za izračun površine in prostornine telesa. - Izmeri potrebne podatke. - Učenec uporabi obrazec za izračun ter zapiše površino in prostornino. Rezultat zapiše s primerno enoto in na eno decimalno mesto natančno. Učencem so v pomoč pripravljena pisna navodila. Poimenuj telo._ Nariši njegovo skico._ Premisli, katere podatke potrebuješ za izračun prostornine telesa. Zapiši, kaj boš izmeril._ Izmeri in zapiši podatke._ Zapiši obrazec za prostornino tega telesa._ Vstavi podatke in izračunaj vrednost prostornine. Ne pozabi pripisati merske enote._ Podobno sledijo navodila za površino telesa. Ko par opravi svojo nalogo, preveri rešitev pri učitelju. Nato imajo učenci možnost sestavljanja različnih geometrijskih teles z danimi pripomočki. Slika 2: Pripomočki Učenci bodo prvo nalogo opravili različno hitro in potrebno je zapolniti vrzel do naslednje skupne naloge. Medpredmetno povezovanje Ko vsi učenci zaključijo s tem delom, se pogovorimo o zaokroževanju decimalnih števil ter smiselnosti pisanja decimalk. Prav tako ustno ponovimo merske enote za površino in prostornino. To izvedemo tako, da učenec pove svoj rezultat, sošolec ga ponovi z drugo mersko enoto. Nato preidemo h konkretiziranju izračunanega v smislu, koliko decilitrov vode bi lahko nalili v dano telo, če bi bilo vaza, ter najmanj koliko kvadratnih decimetrov okrasnega papirja bi porabili za zavijanje tega telesa, če bi notri shranili darilo. Problem je potrebno povezati z mersko količino ter pravilno uporabiti merske enote. Učenec se sreča z zaprtim problemom pri matematiki: podatki so znani, rezultat je en sam. Kar pa je tudi vsakdanji izziv v življenju. Preko zanimivih nalog so učenci animirani, da določene vrednosti izračunajo, saj le po občutku zelo težko določijo površino ali prostornino nekega telesa. Nadgradnja doseženega: sestavljeno telo. Učenec sestavi novo telo z dvema embalažama. Slika 3: Primer sestavljenega telesa Naloga je polodprtega tipa, kar pomeni, da imamo nekaj izhodiščnih podatkov, a zaradi nedoločnosti nadaljevanja, so rešitve različne. Modeli so enaki, a njihova postavitev je različna. To pripelje do različnih rezultatov, ki pa so kljub temu znotraj nekega velikostnega reda. Od postavitve bo odvisna površina novonastalega telesa. Učenec z dotikom površine ali očesnim stikom telesa presodi, katere ploskve upošteva pri skupni površini. Kadar je vključenih več čutil, sprejemamo podatke prek več različnih kanalov. Tako učenec celostno dojame površino geometrijskega telesa. Sestavi sam Učenci so pred novim izzivom - sestaviti svojo nalogo. Vsak učenec oz. par sestavi uporabno nalogo o prostornini ali površini telesa. Tu se pokaže lastna angažiranost in izvirnost. Izhajati morajo iz življenjske situacije, v nalogi morajo nastopati obravnavana geometrijska telesa. Lahko se poigrajo tudi z merskimi enotami. V pomoč jim je učbenik. Drug drugega obogatijo s svojimi idejami. Npr: Mivko pretreseš iz polne kocke z robom 2 dm v pravilno štiristrano prizmo z osnovnim robom 5 cm. Kako visoko bo segala mivka? Cev s premerom 6 cm in dolžino 3 m moramo prebarvati. Koliko bomo plačali za barvo, če je pripravljena v 1,5 l posodah s ceno 3,35 €? Zbrane naloge uporabimo za domačo nalogo ali pa za katero od prihodnjih ur. Zaključek Učenci so pri takšni izvedbi pouka bolj zbrani, zavzeti za reševanje problemov kot običajno. Najbolj primerna je izvedba blok ure, lahko pa se to vključi v dan dejavnosti. Izkušnje kažejo, da je znanje učencev o merskih količinah šibko. Vedno več časa otroci preživijo pred računalniki v navideznem svetu. Malokrat imajo priliko prijeti v roke merski trak in kaj izmeriti. Tako je tudi igra z embalažo dodatna stimulacija možganom za tvorjenje novih povezav, hkrati pa dodatek pri ohranjanju spomina. Vzbudilo se je njihovo zanimanje, saj niso vedeli, kakšna bo naslednja naloga. Ni bilo negodovanja. Videti je bilo, da se veselijo izzivov. Pri nadaljnjih urah so učenci zanesljivo računali osnovne geometrijske naloge. Reševanja težjih sestavljenih nalog pa so se lotili z večjim veseljem in manjšim strahom. To mi daje potrditev, da je bila strategija dela pravilna. Učimo se, kadar možgani sami konstruirajo pomen in prihajajo do svojih sklepov (Ginnis, 2004: 17) . Potrebno je menjati ritem dela ter aktivnosti. Na ta način so učenci bolj delavni kot sicer pri pouku. Pomembno je, da teoretično znanje povežemo z življenjskimi situacijami. Vse to zahteva tudi od učitelja veliko razmisleka za pripravo takšnih učnih ur oz. različnih aktivnosti. Vsekakor se je vredno truditi, saj so takšne ure učinkovite. Viri 1. Ščuka V. (2007): Šolar na poti do sebe. Didakta, Radovljica. 2. Ginnis, P. (2004): Učitelj - sam svoj mojster. Rokus, Ljubljana. 3. Clandfield. L. (2010): Premagovanje težav v razredu. Rokus Klett, Ljubljana. 4. Jerenc S., Repolusk S., Lipovec A. (2011): Medpredmetno načrtovanje vsebin pri pouku matematike v srednjih šolah. Matematika v šoli, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. 5. Beadle P.(2011): Kako učiti. Tehniška založba Slovenije, Ljubljana. MATEMATIKA ZA ŽIVLJENJE Mathematics for Life Tatjana Ilovar, OŠ Preserje pri Radomljah tatjana.ilovar@guest.arnes.si Povzetek Razlike v predznanju učencev so zaradi različnih okolj, v katerih učenci živijo, vse večje, predvsem zaradi različnega dostopa do informacij. Posameznik lahko ogromno informacij in znanj pridobi sam, če so mu le-te dostopne. Nekateri učenci zmorejo in znajo na ta način nova znanja hitro uporabiti in posledično v šoli hitreje napredujejo pri usvajanju znanja. Učenci, ki pa tega ne zmorejo, težje in veliko počasneje sledijo šolskemu delu ter zato pogosteje doživljajo neuspeh. Ti so vse bolj obremenjeni z ocenami, ki so večkrat izvor njihovega občutka manjvrednosti. Če učitelji na to nismo pozorni, lahko šola danes vse bolj postaja prostor, kjer se učenci nenehno dokazujejo in tekmujejo drug z drugim. To lahko preprečimo s prilagojenimi načini dela. Sama se trudim, da učence ne le izobražujem za ocene, temveč jih tudi vzgajam in izobražujem za življenje. Poleg konvencionalnih metod dela se rada poslužujem projektnega dela, ki mi omogoča več svobode. Učne teme skušam povezati tudi z umetniškim izražanjem, zato pri matematiki učenci izdelujejo izdelke. V prispevku predstavljam proces izdelave metulja z origami tehniko kot zaključek učnega sklopa o preslikavah in razpravljam o prednostih takšnega načina dela. Ključne besede: matematika, celostni razvoj, izdelek, učni stil, merila ocenjevanja, znanje, interaktivni način poučevanja. Abstract The differences in the knowledge of pupils are bigger and bigger due to the environment where the pupils live. This is so mainly because of the different access to the information. Individuals can acquire much information and knowledge by themselves, if they are at his disposal. Some pupils know how, and are able to quickly use the recently gained knowledge, which makes them progress quicker at gaining knowledge at school. However, pupils who cannot do that, follow the school work with more difficulties and much slower, which is followed by the lack of success. Those pupils are putting more and more importance to the marks, which is often the source of their sense of inferiority. If teachers are not aware of this fact, the school today can increasingly become a place where pupils are constantly proving themselves and competing with each other. This can be prevented with adjusted and improved ways of teaching. I am trying to not only educate pupils for the marks, but also educate and train them for life. In addition to conventional methods of work, I like to implement the project work in the teaching process which allows me more freedom. I try to connect mathematical topics even with artistic expression and, together with children, make products at mathematics lessons. In the article I present the process of making an origami butterfly as a completion of the learning set of transformations and I discuss the advantages of this teaching method. Keywords: mathematics, integrated development, artistic product, learning style, assessment criteria, knowledge, interactive way of teaching. Uvod Tehnologija, ki je v današnjem času dosegla neverjeten napredek, omogoča posamezniku, da lahko ogromno informacij in znanj pridobi sam. V šolo prihajajo učenci iz zelo različnih okolij z različnim dostopom do informacij, kar vodi k temu, da so razlike v predznanju učencev vse večje. Učenci, ki zmorejo in znajo nova znanja hitro uporabiti, se lahko intelektualno hitreje razvijajo, kar jim omogoča, da hitreje napredujejo. Učenci, ki pa tega ne zmorejo, težje in veliko počasneje sledijo šolskemu delu ter zato pogosteje doživljajo neuspeh. Vse bolj so obremenjeni z oceno, saj je le-ta pomembna za nadaljevanje šolanja, kot je na primer vpis na želeno srednjo šolo ali gimnazijo. Poleg tega jim ocena, ki po njihovih kriterijih ni dovolj dobra, vzbuja občutek manjvrednosti, kar posledično zmanjšuje njihovo samopodobo. Če učitelji na to nismo pozorni, lahko šola začne postajati prostor, kjer se učenci nenehno dokazujejo in tekmujejo drug z drugim. Želja staršev in nas strokovnjakov je, da bi bila šola varen prostor, kjer bi v ustrezno zahtevnem okolju vzgajali odgovorne posameznike, ki bi imeli željo in veselje do učenja ter bi jim znanje postalo vrednota. Kot že dalj časa opozarjajo strokovnjaki, klasični pouk te naloge ne more zadovoljivo uresničevati. Pomembno je, da se učitelji tega zavedamo in iščemo nove načine in metode dela, ki bodo učencem omogočale celostni razvoj. Učencu omogočiti celovit in optimalen osebnostni razvoj Poučujem matematiko, ki pri večini učencev ni priljubljena, zato se moram stalno truditi, da jih k učenju pritegnem. Izkustveno sem ugotovila, da snov učencem postane veliko bolj zanimiva, če učne ure povežem s praktičnimi primeri iz vsakdanjega življenja. Vedno bolj se mi zdi pomembno, da učenci nalogo naredijo oziroma rešijo z veseljem, da jo znajo in želijo predstaviti drugim ter da naučeno lahko uporabijo v vsakdanjem življenju. Poleg tega se trudim tudi metode poučevanja in oblike dela prilagoditi sodobnim trendom, kot sta interaktivnost in samostojno raziskovanje. Stremim k temu, da nova znanja in načini pridobivanja le-teh učencem predstavljajo zanimivost, pestrost in poučnost. Hkrati poučevanje prilagodim različnim kognitivnim značilnostim in učnim stilom učencev, pri čemer gre predvsem za vizualni, avditivni in kinestetični stil. Učenci abstraktna znanja lažje usvojijo, če jih lahko povežejo s konkretnim primerom ali izdelkom v praksi. Ko učenec samostojno ustvarja izdelek, na konkretnem primeru spoznava teorijo naučenega, njena pravila in zakonitosti spoznava ter se uči z vsemi svojimi čutili. Zagovarjam mnenje, da je učenje trajno takrat, ko skušamo povezati neposredno izkušnjo (doživljaj), opazovanje (percepcijo), spoznavanje (kognicijo) in ravnanje (akcijo) v neločljivo celoto, kar posamezniku omogoča celostni razvoj. Znanstveno je dokazano, da se človek stvari lažje spomni in jih bolje ohrani v spominu, če uporabi več čutil: »Človek si zapomni 20 % tega, kar prebere, 30 % tega, kar sliši, 40 %, kar vidi, kar 50 %, kar pove, 60 % ob aktivnem vključevanju in 90 %, kadar združi vse omenjeno« (Collin R., 1993). To učencem omogočim prek samostojnega raziskovanja z ustvarjanjem. Učenje in poučevanje prek izkušenj omogoča, da se ne omejujem zgolj na posredovanje abstraktnega znanja pojmov in zakonitosti, temveč v učenje vpletam izkušnje udeležencev. Zavedam se, da z večjo raznolikostjo vzgojno izobraževalnih procesov lažje zadovoljim potrebe različnih učencev (osebnosti). Ta način dela pa mi omogoča mnogo več kot samo spodbujanje učenja matematike in lažje razumevanje naučenega. Poleg učenja matematike lahko na tak način vsakemu učencu omogočim tudi celovit in optimalen osebnostni razvoj. Učenec, na primer, spoznava interdisciplinarno povezavo matematike z ostalimi šolskimi predmeti. Še več, učenec se uči usvojeno znanje prenesti v vsakdanje življenje in ga tudi uporabiti. Tako naučeno dobi smisel in učenca motivira ter ga spodbudi k nadaljnjemu delu in raziskovanju na različnih področjih. Učenec se pri interaktivnem načinu poučevanja uči komunikacije z ostalimi, sprejemanja in podajanja mnenja, prilagajanja ipd. Z načinom dela, ki ga zgoraj opisujem, omogočam učencem raznolikost oblik vzgoje in izobraževanja. Kombinacija frontalnega in interaktivnega načina poučevanja omogoča učencem, da del frontalnega poučevanja, ki je nujen in se mu pri matematiki težko ognem, sprejemajo brez odpora in jim postane zanimiv, saj prek tega dobijo koristne informacije za nadaljnje delo. Pri svojem delu v razredu se trudim za dober dialog in profesionalnost. Otroke se trudim razumeti in z njimi vzpostavljam empatičen odnos. Pouk je v tem procesu zanimiv, učenci pa postajajo vedno bolj samostojni in si med seboj pomagajo. Prednosti kombinacije različnih metod in oblik dela Zgoraj opisan način dela uporabljam za obravnavanje učnih tem pri matematiki, kjer poskušam matematične teme povezati z umetniškim izražanjem. Z učenci pri pouku izdelujemo izdelke. Delujem v smer zmanjševanja števila testov in spodbujam oblike vrednotenja, ki omogočajo kakovostno učenje, kot so projektno učno delo, formativno spremljanje in ocenjevanje znanja, mape dosežkov, inovativne predstavitve učencev itd. Na ta način se trudim učence ne le razvrščati, temveč jih naučim učiti se in vrednotiti svoje dosežke. Učenci namreč veliko lažje vrednotijo svoje matematično znanje prek umetniškega izdelka kot zgolj prek postopka reševanja matematične naloge. Napaka ali površnost je pri konkretnem končnem izdelku mnogo bolj razumljiva za učenca kot pri samem zapisu matematičnega postopka. Še več, rezultat nenatančno izdelanega izdelka je manj estetski izdelek, rezultat nenatančno rešene naloge pa je napačno rešena naloga. Nenatančnost pri praktičnem izdelku učencu omogoča motivacijo za izboljšanje le-tega in lažjo samoevalvacijo, medtem ko pri matematični nalogi napačen rezultat pogosto povzroči slabo samopodobo in padec motivacije za nadaljnje delo. Tako delo tako torej spodbuja razvoj posameznikovih potencialov in učitelju omogoča, da namesto klasičnih oblik ocenjevanja upošteva kakovostnejša merila. Kljub sprejetemu učnemu načrtu je poti, kako le-tega realizirati, več. Glede na cilj, ki si ga zastavim, svobodno izberem smiselno in najustreznejšo pot, saj se pri določenih temah interaktivni način poučevanja ne zdi najbolj primeren. Pri tem upoštevam tudi ideje in predloge učencev in način dela prilagodim tako, da bodo rezultati najbolj optimalni in v zadovoljstvo vseh ter hkrati v skladu s kurikulumom. Izdelava metulja z origami tehniko kot primer dobre prakse Znanje o preslikavah in simetriji so učenci utrdili, nadgradili ter prenesli iz teorije v prakso z izdelkom metulja z origami tehniko. Vsak učenec je oblikoval svojega metulja (Slika 1). Slika 1: Končni izdelek metulja iz papirja Sodelovanje med otroki je pri interaktivnem delu zelo pomembno, saj se na ta način učenci drug od drugega na zabaven način hitreje in bolj trajno učijo. Pri tem je zelo pomembno, da je učitelj pozoren ne samo na način dela, temveč tudi na okolje, torej ureditev učilnice. Učenci pri mojih urah matematike delajo v skupinah, ki jih največkrat lahko oblikujejo sami, kar jim da občutek varnosti, obenem pa niso individualno izpostavljeni pred ostalimi, kar velikokrat povzroča tremo in nelagodje ter vpliva na samopodobo učenca. Klopi v mojem razredu so razporejene v skupine tako, da ni nihče s hrbtom obrnjen proti tabli, saj moram marsikdaj tudi frontalno podati informacije (Slika 2). Slika 2: Razporeditev klopi v razredu Pomemben del takšnega načina poučevanja je skupna priprava v obliki diskusije. Preden smo začeli z izdelavo metulja, smo se pogovorili o tem, kaj o preslikavah in simetriji že znamo, kaj želimo še izvedeti in kje vse jih v vsakdanjem življenju prepoznamo oziroma jih lahko uporabimo. Za ponovitev snovi sem uporabila metodo okrogle mize. Učenci, ki so sedeli za isto mizo, so vsi skupaj dobili prazen list papirja. Postavljala sem vprašanja, povezana s temo, učenci pa so na vprašanja odgovarjali tako, da so učenci drug drugega dopolnjevali ter skupaj poskušali najti čim bolj pravilen odgovor. Ko so učenci zapisali svoje odgovore, sem določila nekoga, ki je skupne odgovore za njihovo mizo prebral, ostali pa so poslušali. Če odgovori drugih niso bili enaki prebranim, smo se vsi skupaj pogovorili o razlikah v odgovorih. Podala sem navodila in razdelila delovne liste ter material za izdelavo metulja (Slika 3). Z zrcaljenjem preko premice je moral vsak učenec narisati metuljevi krili, pri čemer večina ni imela težav pri zrcaljenju. Nekateri so celo ugotovili, da je točka, kjer se krili stikata, tudi točka, preko katere se eno krilo prezrcali v drugega. Slika 3: Delovni list Krili so nato po mojih navodilih z origami tehniko zgibali iz papirja in ob tem prepoznavali in utrjevali zrcaljenje preko premice, ki jo je na papirju ponazarjal pregib (Slika 4). Izdelek so prilepili na delovni list in metulju narisali tipalki. Učenci so bili pri delu natančni, opazovali so drug drugega in si pomagali z nasveti ter brez strahu pristopili tudi k meni, če so kjer koli potrebovali mojo pomoč. Tako je izdelek vsem uspelo dokončati. Tak način dela je bolj sproščen, učenci pa so veliko manj obremenjeni z iskanjem pomoči, ki pri tem načinu dela ni tako izrazita in opazna (Slika 5). Slika 5: Individualna pomoč pri izpolnjevanju delovnega lista Na svoj izdelek so bili učenci zelo ponosni, saj je rezultat njihovih idej in ustvarjalnosti. Spoznali so, da svoje znanje matematike lahko utrdijo prek lastnega raziskovanja in na ta način ozaveščajo njegovo vrednost v vsakdanjem življenju. Med njimi je bilo opaziti visoko stopnjo organizacije, predvsem v njihovem načinu razmišljanja, v vzdušju, v katerem so delali, ter v njihovem obnašanju, saj so spoštovali drug drugega in skupne dogovore. Učenci so ob tem načinu dela spoznali uporabnost matematike in pridobili znanja in spretnosti, ki jim bodo koristili v vsakdanjem življenju. Spoznali so, kako z uporabo znanja o zrcaljenju in simetriji lahko lažje in hitreje rišejo ter izdelujejo izdelke, ki so osno ali središčno simetrični, in obenem na konkretnem primeru videli ter doživeli zrcaljenje in simetrijo. Ugotovili so, da se znanje o preslikavah in simetriji povezuje z matematiko, likovno umetnostjo in arhitekturo ter gradbeništvom. Tak način dela torej služi tudi kot možnost razmišljanja o poklicni usmerjenosti učencev. Učenci so prav tako razvijali socialne veščine in osebnostne lastnosti, saj so se morali prilagajati, biti natančni in potrpežljivi ter drug drugemu pomagati z nasveti ali razlago. Nenehno so morali biti pozorni na medsebojne odnose, kar je za človeka pomembno v vsakdanjem življenju. Tisti, ki so imeli čas, so lahko razvijali svojo inovativnost in izdelali več različnih metuljev. Izdelek so vložili v svojo mapo učnih dosežkov. Učenci namreč svoje izdelke shranjujejo v mapah, kar jim omogoča, da svoje znanje, delo in napredek samostojno spremljajo in vrednotijo v skladu s kriteriji, ki jih pred izdelavo izdelka določimo skupaj. Kriteriji, kot so na primer izdelava in natančnost izdelka, estetski izgled ter sodelovanje z drugimi, so oblikovani v sodelovanju z učenci. Rezultat skupnega oblikovanja kriterijev je veliko večje razumevanje le-teh ter posledično tudi večje upoštevanje teh kriterijev. Če si učenci pravila igre postavijo sami, se jih tudi veliko raje držijo kot takrat, ko so jim le-ta vnaprej podana. Jaz kot moderatorka pri takem načinu dela poskrbim za širino okvirjev, ki so smiselni glede na nalogo. Kaj o načinu dela menijo učenci? Ob zaključku našega dela sem učence prosila, da mi povedo, kaj jim je bilo pri takšnem načinu dela všeč in kaj ne. Lahko rečem, da so bili enotni pri tem, ko so izrazili, da jim je tak način dela všeč, ker so: • na zanimiv način ponovili snov, • na konkretnem primeru uporabili naučeno, • si med seboj lahko pomagali, • se lahko med seboj posvetovali, • se ob delu zabavali, • se lahko prosto gibali po prostoru. Kritik ni bilo, so pa predlagali, da bi imeli več takih ur pri matematiki, ker so pri delu bolj sproščeni, sodelujejo in si med seboj pomagajo. Zaključek Z izbranimi metodami in oblikami dela učencem poleg nadgradnje znanja omogočam učenje preko lastnih izkušenj in spodbujam ter razvijam njihovo ustvarjalnost. Na ta način jim približam pomen in uporabno vrednost matematike v vsakdanjem življenju. Način dela, ki ga uporabljam, mi omogoča, da klasične oblike ocenjevanja nadgradim s kakovostnejšimi merili, kot je ocenjevanje na osnovi učenčevih dosežkov (izdelka). To poveča kakovost in trajnost pridobljenega znanja ter vpliva na izboljšanje učenčeve samopodobe. Učenci se ob tem tudi učijo, kako čim bolj aktivno in kvalitetno izrabiti prosti čas in graditi dobre medsebojne odnose. Težave, ki se včasih ob takem načinu dela pojavijo, so predvsem plod dejstva, da učenci to obliko učenja zelo hitro spremenijo v zabavo, saj gre za malo manj formalno obliko učenja. Težko je natančno reči, zakaj učenci v šoli tako zelo pogrešajo zabavo, dejstvo pa je, da zaradi (pre)resnosti našega šolskega sistema v šoli izkusijo premalo zabave, kar želijo ob prvi priložnosti kompenzirati. Vloga učitelja kot moderatorja je pri vzdušju v razredu izjemnega pomena, saj mora znati ustrezno zaznati in presoditi meje otroške razigranosti, ki je za razvoj otroka nujno potrebna. Pri tem me vodi misel Billa Wattersona, priznanega ameriškega ustvarjalca stripov: Najboljši način za reševanje problemov je sprostitev uma. Viri 1. Collin, R., Goll, L. (1993): Umetnost učenja. Tangram, Ljubljana. 2. Ilovar, T. (2011): Projektno učno delo kot orodje za izboljšanje kakovosti vzgoje in izobraževanja. Dejavnosti v šoli - kvaliteta ali kvantiteta? str. 107-111. 3. Komljanc, N. (2004): Vloga povratne informacije v učnem procesu. Sodobna pedagogika, str. 140-152. 4. Žolnir N.: Sodobne smernice pri ocenjevanju v šolah. Delo, 17. 05. 2010. Dostopno prek http://www.delo.si/clanek/106569 (15. 06. 2012). LASTNOSTI VEČKOTNIKOV Characteristics of Polygons Nataša Olenik, OŠ Antona Žnideršiča Ilirska Bistrica natasa.olenik@guest.arnes.si Povzetek V osnovni šoli Antona Žnideršiča smo že drugo leto zapored v 8. razredu opravili tehnični dan na temo večkotniki in merjenje. Tako smo pri učencih osvežili znanje o večkotnikih, ki so jih spoznali že v 7. razredu, in to nadgradili s poznavanjem lastnosti večkotnikov od petkotnika do osemkotnika. Pri tem smo uporabili prirejeno geo ploščo z osmimi žebljički. Na njej smo s pomočjo elastik sestavljali različne trikotnike, štirikotnike, petkotnike ... Določali smo število stranic, število oglišč, število diagonal iz enega oglišča, število vseh diagonal, število notranjih kotov, vsoto notranjih kotov, velikost notranjega kota ter velikost središčnega kota pri različnih večkotnikih. Pri pravilnih likih smo se osredotočili na velikost središčnega kota in na velikost posameznega notranjega kota. Pri tem smo uporabili različne barve elastik, saj so nekateri učenci s pomočjo različnih barv (vidni tipi) prej zaznali in ugotovili lastnosti nekega večkotnika. Za zaključek smo z učenci sestavili še osemkrako zvezdo (oktagram). Ključne besede: večkotnik, lastnosti večkotnikov, geo plošča, oktagram. Abstract Anton Žnideršič Primary School has organised a technical day on polygons and measuring for grade 8 students for the second year in a row. Students refreshed their knowledge on polygons, which they had became familiar with already in grade 7 and upgraded it by learning characteristics of polygons from pentagons to octagons. They used a geo board with eight pins. It helped students to form different triangles, tetragons, pentagons ... by using elastics. Students tested and proved the number of sides, corners, and the number of diagonals from one corner, their total number, the number of interior angles, the sum of interior angles, the size of interior corner, the size of interior and central angle at different polygons. We concentrated on the size of central angle and the size of individual interior angle when dealing with the regular shapes. We used different colours of elastics, as some students (visual types) perceived and identified characteristics of a specific polygon sooner with the help of colours. For conclusion students created an eight-sided star polygon (octagram). Keywords: polygon, characteristics of polygons, geo board, octagram. Uvod Na začetku šolskega leta 2011/2012 smo v 8. razredu izpeljali tehnični dan na temo lastnosti večkotnikov. V aktivu učiteljev matematike smo se dogovorili, da namenimo nekaj ur tehničnemu dnevu, na katerem smo ponovili vse lastnosti trikotnikov in štirikotnikov, ki so jih učenci spoznali v že v 7. razredu, in da učenci svoje znanje o lastnostih večkotnikov nadgradijo s pomočjo prirejene geo plošče. Naš cilj je bil, da pridobijo znanja na osnovi praktičnega dela. Opis prirejene geo plošče Geo ploščo smo priredili tako, da smo v leseni podstavek zabili le 8 žebljičkov, ki predstavljajo oglišča pravilnega osemkotnika. Tako prirejena geo plošča omogoča, da z učenci raziskujemo na zanje malo drugačen način, tako da naloge, ki jih zastavljamo, postanejo učencem izziv. Poleg prirejene geo plošče smo uporabili tudi elastike različnih barv, s katerimi smo na eni geo plošči prikazali različne like (glej Sliko 1). Trikotniki Tehnični dan je potekal 5 šolskih ur. V prvi uri so učenci v dvojicah s pomočjo plošče ugotovili, katere vrste trikotnikov lahko oblikujejo glede na stranice in katere glede na notranje kote. Ob pogovoru, razlagi in utemeljevanju so učenci ponovili lastnosti trikotnikov. Ugotovili so, da lahko s pomočjo elastik oblikujemo enakokraki trikotnik (Slika 2), raznostranični trikotnik (Slika 3), ostrokotni trikotnik (Slika 2), topokotni trikotnik (Slika 3) ter pravokotni trikotnik (Slika 4). Ugotovili so, da edino enakostraničnega trikotnika ni mogoče oblikovati, tako da so njegova oglišča v ogliščih pravilnega osemkotnika. Ugotavljali in utemeljevali so tudi, zakaj se ga ne da. Ena izmed utemeljitev je, da meri v enakostraničnem trikotniku posamezen notranji kot 60°, v pravilnem osemkotniku pa 135° in se ga ne da s povezovanjem različnih žebljičkov oblikovati tako, da bi nastal kot 60°. Slika 2 Slika 3 Slika 4 Učenci so se nato razporedili v skupine in s pomočjo plastificiranih trikotnikov merili dolžine stranic za izračun obsega in ploščine. Ploščino so najprej dobili tako, da so lik tlakovali s kvadratki s ploščino 1 cm2, nato pa so svojo meritev preverili z izračunom ter rezultata primerjali med seboj. Uro so zaključili z oblikovanjem Carrollovega (Slika 5) in Vennovega prikaza (Slika 6). V prikaz so vstavljali že pripravljene trikotnike (Slika 7) ter jih razporejali glede na lastnosti ter tako oblikovali plakat. TRIKOTNIK RA/NOSTHANI0N! f-NAKOKRAKI fnakomtramčni OSTROKOTNI PRAVOKOTNI TOPOKOTNI Slika 5: Razvrstitev trikotnikov glede na stranice in glede na kote Slika 6: Razvrstitev trikotnikov glede na to, da imajo vsaj dve stranici skladni in da je trikotnik ostrokotni Slika 7: Trikotniki Štirikotniki Na podoben način so učenci ugotavljali lastnosti štirikotnikov. S pomočjo elastik so oblikovali štirikotnike in ugotavljali, katere se da oblikovati tako, da so njegova oglišča v ogliščih pravilnega osemkotnika in katere ne. Oblikovali so kvadrat (Slika 8), pravokotnik (Slika 9), trapez (Slika 10), deltoid (Slika 11). Ponovno so se osredotočili na štirikotnike, ki jih ni bilo mogoče oblikovati. Tak lik je romb. Sicer so nato v razgovoru utemeljevali, da je kvadrat tudi romb, torej se da oblikovati tudi romb. Slika 8 Slika 9 Slika 10 Slika 11 Različnim oblikam pripravljenih in plastificiranih štirikotnikov so nato izmerili dolžine stranic ter izračunali obseg in ploščino. Ploščino so najprej določili tako, da so ploskev tlakovali s kvadratom s ploščino 1 cm2. Primerjali so izračunano ploščino s ploščino, ki so jo dobili s tlakovanjem. Glede na lastnosti štirikotnikov so izdelali tabelo (Slika 12); (Senekovič, Gazvoda, 2008, 120). štinkctfmkj brez vzporednih «tnuitc StmkiKiiib z enim puram Wfwccdnili Hlnuiic Simkotmki z ch emo parama v?f■ je _ geometrijsko telo, (Ustrezno izberi: okroglo ali oglato.) >■ ima _ osnovn_ plosk_ ( _ ), (Koliko?) (Kaj je lahko osnovna ploskev?) >■ plašč sestavlja _. (Kateri liki sestavljajo plašč?) PRAVILNA PIRAMIDA: _ (Kdaj je piramida pravilna?) ENAKOROBA PIRAMIDA: _ (Kaj je značilno za enakorobo piramido?) OSNOVNI POJMI V PIRAMIDI (Na sliki vse označi in ob puščicah opiši z besedami.) Slika 2: 1. učni list - osnovni pojmi v piramidi Po predstavitvi rešitev s prvega učnega lista (Slika 2) s strani učencev je sledila naslednja aktivnost. Vsak učenec je na drugem učnem listu prejel slike enajstih narisanih piramid (Slika 3). Slika 3: 2. učni list - slike piramid Piramide (Slika 3) so morali izrezati in si sami postaviti kriterij, po katerem so jih razvrstili v skupine glede na njihove lastnosti. Večina učencev je razvrstila enajst piramid v štiri skupine glede na osnovne ploskve (3-, 4-, 5- in 6-strane piramide). Nekaj učencev pa je te piramide razvrstilo v tri skupine glede na dolžino robov (raznorobe, pravilne in enakorobe piramide). Svojo razvrstitev so predstavili in utemeljili. Nato so izrezane piramide prilepili na ustrezno mesto v primerjalni matriki na tretjem učnem listu (Tabela 2) in jih ustrezno poimenovali. VRSTE PIRAM UD OSNOVNA PLOSKEV PLAŠČ MREŽA (en primer) slika ime Tabela 2: 3. učni list - vrste piramid Izpolnili so še preostali del tretjega učnega lista (Tabela 2). K ustrezni piramidi (3-, 4-, 5- in 6-strani) v primerjalni matriki so s pomočjo opazovanja različnih piramid na tabličnih računalnikih morali zapisati, kateri liki sestavljajo osnovno ploskev in kateri ter koliko likov sestavlja plašč. Učenci so predstavili dobljene rezultate. Pri risanju mrež so si spet pomagali s programom na tabličnih računalnikih, ki razgrne telesa v njihove mreže. Vsak tandem učencev je poiskal in narisal na četrti učni list (Tabela 3) čim več različnih mrež, ki jih je našel pri odpiranju določene piramide. Vsak tandem je raziskoval drugo vrsto piramide (3-, 4-, 5- ali 6-strana raznoroba, pravilna in enakoroba piramida). NARIŠI RAZLIČNE MREŽE 4-STRANE PIRAMIDE raznorobe pravilne enakorobe Tabela 3: 4. učni list - mreže 4-(3-, 5- ali 6-)stranih piramid Učenci so bili zelo motivirani za delo. Vsi so vse aktivnosti uspešno opravili. Na koncu so po tandemih predstavili različne mreže (Tabela 3), ki so jih našli, in si prav tako tudi dopolnili tretji učni list (Tabela 2) s preostalimi rezultati sošolcev (vsak si je narisal vsaj en primer mreže za vsako piramido). Program kot pomoč pri reševanju raziskovalnih problemov Pri dodatnem pouku iz matematike v devetem razredu smo eno učno uro raziskovali mreže geometrijskih teles, med njimi tudi nekatera Platonska telesa. Učenci so na učnem listu (Tabela 4) dobili štiri različna telesa in njihove delne mreže. S pomočjo programa, ki razgrne telo v njegovo mrežo, so morali dopolniti že narisane pomanjkljive mreže na čim več različnih načinov. Zrcalne in drugače obrnjene mreže so upoštevali kot enake. IME DOPOLNI DELNE MREŽE TELES NA RAZLIČNE NAČINE TELESA pravilna petstrana piramida P /P P... enakoroba šeststrana prizma <>> oktaeder dodekaeder Tabela 4: Učni list - delne mreže teles Pri delu so bili zelo motivirani. Našli so precej različnih mrež pri posameznih telesih in jih predstavili. Primerjali smo število mrež, ki so jih učenci našli pri posameznih telesih, s številom ploskev, številom robov ... Spodbujala sem jih, naj si še sami zastavijo kakšno vprašanje v zvezi z geometrijskimi telesi (Platonskimi telesi), njihovimi mrežami, mejnimi ploskvami, številom oglišč, robov ... in skušajo nato poiskati odgovore na zastavljena vprašanja. Pri pouku matematike v sedmem razredu so učenci po obravnavanem sklopu trikotniki in štirikotniki na piramidah, prizmah in Platonskih telesih raziskovali s pomočjo programa na tabličnih računalnikih, kateri liki sestavljajo mejne ploskve posameznih teles. Like so morali prepoznati in opisati njihove lastnosti. Zanimalo nas je tudi, koliko je vseh mejnih ploskev pri posameznem telesu. Učenci so najprej ocenili in nato še s pomočjo programa na tabličnem računalniku prešteli število mejnih ploskev. Zaključek Interaktivni program, s katerim razgrnemo telesa v njihove mreže in štejemo ploskve na telesih, lahko uporabimo pri pouku matematike v osnovni šoli od 6. do 9. razreda v skladu z učnim načrtom. V prispevku sem pod točko štiri navedla nekaj preizkušenih primerov uporabe programa na tabličnem računalniku pri pouku matematike v okviru učne vsebine geometrijska telesa. Učenci so v šestem razredu s pomočjo programa na tabličnih računalnikih iskali različne mreže kocke. V sedmem razredu so raziskovali in opisovali like, ki sestavljajo mejne ploskve teles, ter šteli mejne ploskve. V devetem razredu so s pomočjo programa na tabličnih računalnikih iskali različne mreže piramid. Pri dodatnem pouku matematike v devetem razredu smo poleg piramid in prizem delali tudi s Platonskimi telesi. Učenci so samostojno raziskovali različne matematične probleme, povezane z geometrijskimi telesi ob programu na tabličnih računalnikih. S pomočjo teh aktivnosti so si predvsem razvijali sposobnosti prostorske predstavljivosti in sposobnosti logičnega razmišljanja ter sklepanja. Učenci od 6. do 9. razreda so program pri pouku matematike uspešno uporabljali. Bili so zelo zavzeti in motivirani za delo. Takšen način dela je bil med učenci zelo dobro sprejet. Izrazili so željo, da bi se pri pouku matematike večkrat učili s pomočjo programov na tabličnih računalnikih. Pri preverjanju znanja sem ugotovila, da so si učenci izboljšali prostorske predstave. Program bomo v prihodnosti nadgradili z možnostjo shranjevanja najdenih mrež in sestavljanja teles iz mrež, ki si jih učenec nariše sam s pomočjo prej definiranih likov. Viri 1. Berk, J. in drugi (2004): Skrivnosti števil in oblik 8. Založba Rokus, Ljubljana. 2. Berk, J. in drugi (2005): Skrivnosti števil in oblik 9. Založba Rokus, Ljubljana. 3. http://www.mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/pageuploads/podrocje/os/prenovljeni UN/UN matematika.pdf (10. 04. 2012). 4. http://www2.arnes.si/~sopmcesn/pravilni veckotniki.html (25. 04. 2012). 5. http://developer.android.com (01. 03. 2012). SMISELNOST UPORABE LASTNEGA E-GRADIVA PRI OBRAVNAVI NOVE SNOVI PRI MATEMATIKI V OŠ The Aim of Using Teachers' own e-learning Materials for Introducing New Topics in Elementary School Mathematics Jože Tratar, Katja Končina, OŠ dr. Pavla Lunačka Šentrupert joze.tratar@guest.arnes.si, katja.koncina@siol.net Povzetek Z odprtokodnim programom smo izdelali e-gradivo in ga preizkusili v razredu. Učence smo razdelili v dve skupini. Poskusili smo ugotoviti, ali učenci lažje in bolje usvojijo znanje s klasičnim (tiskanim) gradivom ali z e-gradivom. Vsaka skupina je obravnavala snov na oba načina. Po samostojnem učenju so učenci izpolnili anketo in pisali kratko preverjanje znanja. Ključne besede: e-gradivo, samostojno učenje, matematika. Abstract We have developed e-learning contents with open source software and tested them in the classroom. The students were divided into two groups. We tried to find out, whether it is easier for them to acquire knowledge through traditional (printed) materials or through the e-learning contents. In each group the subject matter was treated in both mentioned ways. After independent learning the students filled out a questionnaire and took a short assessment test. Keywords: e-learning content, independent learning, mathematics. Uvod Na naši šoli smo se odločili, da raziščemo smiselnost uporabe e-gradiv pri učenju nove snovi. Za primerjavo smo pripravili učno uro s samostojnim učenjem nove snovi z učnimi listi in s samostojnim učenjem z uporabo e-gradiva. Učence 7. razreda smo razdelili v dve naključni skupini. Z obema skupinama učencev smo izvedli obe obliki učne ure. Pri pouku matematike moramo učence usposobiti za uporabo tehnologije pri srečevanju z matematičnimi problemi, ob tem pa se učenci posredno usposabljajo tudi za uporabo tehnologije v vsakdanjem življenju. IKT omogoča in podpira različne pristope k poučevanju in učenju. Glede na dosedanje izkušnje smo sklepali, da je uporaba IKT pri učencih priljubljena. Pri pouku matematike lahko izkoristimo zanimanje učencev za uporabo IKT. Zanimalo nas je, ali samostojna uporaba e-gradiva prispeva k boljšemu razumevanju obravnavane snovi. Po našem mnenju so e-gradiva zelo dober pripomoček za utrjevanje in preverjanje znanja. Večkrat uporabimo e-gradiva za nazornejšo razlago nove snovi pri frontalni obliki pouka. O smiselnosti uporabe e-gradiva pri samostojnem učenju nove snovi pa smo bili v dvomih. Samostojna obravnava nove snovi pri matematiki v OŠ Pri pouku matematike v 7. razredu smo pri obravnavi obsegov in ploščin likov izvedli drugačni uri. Učenci so samostojno obravnavali novo učno snov. Prva skupina učencev je obravnavala obseg in ploščino paralelograma s pomočjo učnih listov in modela. Druga skupina učencev je obravnavala obseg in ploščino trikotnika s pomočjo e-gradiva. Naslednjo uro sta se skupini učencev zamenjali. V 7. razredu je 24 učencev. Ena učenka je bila odsotna. Učenci so bili presenečeni nad obliko učne ure. Večino šolskih ur poteka obravnava nove učne snovi frontalno, z učiteljevim vodenjem. S samostojnim delom večinoma utrjujemo in preverjamo že obravnavano učno snov. Priprava gradiva Učni listi Učne liste smo pripravili za obravnavanje nove učne snovi Obseg in ploščina paralelograma. S pomočjo učnega lista so učenci postopoma usvajali vse predvidene učne cilje izvedene ure. Pripravljen učni list ima vse elemente učne ure: ponovitev, motivacija, razlaga, raziskovanje, utrjevanje, ponovitev, preverjanje znanja. Učni list smo naredili v urejevalniku besedil MS Word 2010. Del učnega lista je viden na sliki (Slika 1). Slika 1: Učni list Obseg in ploščina paralelograma E-gradivo Pripravili smo e-gradivo za obravnavo nove učne snovi Obsegi in ploščine trikotnikov. Na internetu je veliko različnih e-gradiv, kjer si učne snovi sledijo po vnaprej določenem vrstnem redu. Pogosto se zgodi, da je v takšnih gradivih kakšna naloga, ki je naši učenci še ne znajo rešiti. Odločili smo se, da sestavimo e-gradivo, ki bo namenjeno našim učencem, z njihovim predznanjem. Pri sestavi e-gradiva smo upoštevali vse elemente učne ure: ponovitev, motivacija, razlaga, raziskovanje, utrjevanje, ponovitev, preverjanje znanja. Pri pripravi e-gradiva smo upoštevali predpisane učne cilje. E-gradivo smo izdelali v brezplačnem orodju eXeCute 1.0. Orodje omogoča vključevanje besedila, slik, animacij in različnih nalog. Orodje so nadgradili v projektu E-šolstvo s pomočjo študentov Fakultete za naravoslovje in matematiko, Univerze v Mariboru. Animacije smo izdelali z odprtokodnim programom dinamične geometrije Geogebra in jih vključili v e-gradivo. Gradivo smo vključili v šolsko spletno učilnico. Del e-gradiva je prikazan na sliki (Slika 2). Povzetek s^ Povzetek OCMg vnatottflksaA Müntes M inv 0*2 «•( Slika 2: Zaslonska slika e-gradiva Obravnava nove snovi Obravnava nove snovi z učnimi listi Na začetku učne ure smo učence vprašali, ali bi znali sami poiskati pravilo za izračun obsega in ploščine paralelograma. Na tablo smo obesili model paralelograma z označenima stranicama in višinama na stranici. Večina učencev je takoj ugotovila pravilo za obseg. Pri pravilu za ploščino je večina učencev želela pomnožiti dolžini obeh stranic. Po krajši diskusiji so sledila navodila za izpolnjevanje učnih listov. Učenci so potrebovali poleg pisala in ravnila tudi škarjice in lepilo. Izpolnjevanje učnih listov je potekalo individualno, učenci naj bi samostojno prišli do končnih ugotovitev. Učni list smo sestavili tako, da učenec najprej reši 1. nalogo in nato postopoma nadaljuje z vsako naslednjo nalogo. Učno manj uspešni učenci se niso znali lotiti nalog. Preskakovali so naloge, iskali pomoč pri sošolcih in učitelju. Potrebovali so dodatna pojasnila in dodatno razlago na modelu paralelograma na tabli. Učno uspešni učenci so postopoma reševali naloge in večinoma izpolnili cel učni list. Nekaj težav so imeli pri 3. nalogi, kjer je naloga zahtevala razrez paralelograma po višini na stranico b. Ker višina ni bila narisana po črtah na listu, so imeli učenci težave s predstavo. Na koncu učne ure smo prebrali ugotovitve in pregledali rešene naloge. Učno manj uspešnim učencem taka oblika ure ni odgovarjala in si je v prihodnosti ne želijo ponoviti. Njihov učni list je bil pomanjkljivo izpolnjen, naloge za utrjevanje snovi pa niso rešili. Večini učno uspešnih učencev je bila učna ura všeč. Učni list so izpolnili in rešili vse naloge za utrjevanje. Obravnava nove snovi z e-gradivi Učna ura je potekala v multimedijski učilnici. Vsak učenec je uporabljal svoj računalnik z dostopom do interneta. Na začetku ure smo učence seznanili s potekom učne ure. Opisali smo jim pot do spletne učilnice in e-gradiva. Pojasnili smo jim, da bo obravnava nove snovi potekala samostojno z e-gradivom in da morajo na koncu ure v zvezek prepisati povzetek snovi. Nastopila je prva težava, saj je nekaj učencev pozabilo svoje geslo za vstop v spletno učilnico. Dodelili smo jim nova gesla in delo se je lahko pričelo. Učenci so z zanimanjem pričeli z delom. Že po nekaj minutah sta se izoblikovala dva pristopa k delu. Večinoma učno manj uspešni učenci in učenci s pomanjkanjem koncentracije niso prebrali navodil in celega besedila, zato niso znali rešiti nalog. Naloge izbirnega tipa so reševali z ugibanjem. Pri nalogah, kjer se pod gumbom skriva rešitev, so najprej pogledali rešitev, šele nato navodilo naloge. Igrali so se z animacijami, ne da bi prebrali navodilo. Z obravnavo snovi so hitro zaključili, nato niso znali rešiti nalog. Iskali so pomoč pri učitelju in sošolcih. Učno uspešnejši učenci so e-gradivo pregledovali počasi in postopno. Računske naloge so reševali v zvezek, delali so pomožne račune. Animacije so uporabljali v povezavi z obravnavano snovjo. Če niso znali rešiti naloge, so še enkrat pregledali snov. Po pregledu in reševanju e-gradiva so si učenci v zvezek prepisali povzetek snovi. E-anketa - mnenje učencev Učenci so po izvedenih urah izpolnili e-anketo o samostojnem obravnavanju učne snovi. Najprej so učenci izpolnili splošni del (Slika 3) in odgovorili na vprašanje, ali imajo doma računalnik in ali ga uporabljajo za učenje. Ugotovili smo, da ima večina učencev doma računalnik (91 %) in da ga v večini uporabljajo tudi za učenje (87 %). __ V kateri skupini si pri matematiki? 43% 2. skupina [15]-- 65% ^r 35% ^-1. skupina [8] Slika 3: Rezultati ankete - splošni del Na drugi sklop vprašanj so odgovarjali le učenci, ki uporabljajo računalnik tudi za učenje. 39 % učencev uporablja računalnik za dodatno razlago nove učne snovi. Za utrjevanje učne snovi uporablja računalnik 65 % učencev. Tretji sklop ankete so sestavljala vprašanja o uporabi e-gradiva za samostojno učenje. Večini učencev so bile najbolj všeč animacije. Všeč jim je bilo delo z računalniki, samostojno delo ... Branje povzetkov jim ni bilo všeč. Večini je bilo tako delo všeč, kar kažejo tudi diagrami na sliki (Slika 4). 91 % učencev bi tako uro ponovila in 74 % učencev bi se na ta način učilo doma. Večina učencev bi potrebovala dodatno razlago. Ustreza jim reševanje nalog, manj pa sama obravnava nove snovi. Kakšno se ti zdi e-gradivo. ki smo ga uporabili pri uri matematike? Kakšno se ti zdi samostojno učenje z e-gradivom? ril 12 3 4 5 ni všeč zelo všeč Slika 4: Rezultati ankete o e-gradivu Iz odgovorov v četrtem sklopu vprašanj o samostojnem učenju s pomočjo učnih listov je razvidno, da je bilo učencem najbolj všeč rezanje in lepljenje, najmanj pa reševanje nalog. Take učne ure ne bi ponovilo 52 % učencev. To je razvidno z diagramov (Slika 5). Učenci so pogrešali dodatno razlago, bilo je preveč nalog, snov ni bila dobro predelana. Nekaterim učencem je samostojno delo odgovarjalo, saj so se tako veliko naučili. Učno uro z uporabo učnih listov bi rad por ovil. Ne [12]-1 52% 48% □a [11] Slika 5: Rezultati ankete o učnih listih Na koncu e-ankete so učenci primerjali obe uri. Bolj jim je bila všeč učna ura z e-gradivi (91 %). 74 % učencev je prepričanih, da so se več naučili z rabo e-gradiv. Pri primerjavi izvedb učnih ur so zapisali, da jim je ljubše delo z računalnikom, snov je prikazana na zanimivejši način, več je snovi in nalog, veliko so se naučili. Na zadnje vprašanje, ali imajo raje »klasično« uro pouka, pa je 70 % učencev odgovorilo nikalno. Preverjanje znanja Učenci so po samostojni obravnavi nove učne snovi pisali preverjanje znanja. Poudariti moramo, da snov še ni bila utrjena, saj samostojnemu učenju ni sledila ura ponavljanja in utrjevanja, kar bi bilo običajno. Zanimala nas je primerjava znanja, pridobljenega izključno s samostojnim učenjem. Preverjanje znanja je sestavljalo pet nalog. Cilje iz obsega in ploščine trikotnika smo preverjali z 1., 3. c), in 5. nalogo. Cilje iz obsega in ploščine paralelograma smo preverjali z 2., 3. a), 3. b) in 4. nalogo. Oglejmo si naloge in analizirajmo rezultate. Obsegi in ploščine trikotnikov 1. naloga (Slika 6) Cilj: izračunati ploščino trikotnika (celoštevilski merski podatki) Minimalni standard znanja 1 Poveži trikotnike in njihove ploščine 1 on ■ A K ^Bk J 2 cm2 8 cm2 lOcm2 5 cm2 15cm2 Slika 6: 1. naloga preverjanja znanja Več kot polovica učencev je nalogo rešila pravilno. Učenci so povprečno usvojili 73 % točk. 3. c) naloga (Slika 7) Cilj: izračunati obseg in ploščino trikotnika (celoštevilski merski podatki) Minimalni standard znanja 3. Izračunaj ploščino in obseg danih paralelogramov ter trikotnika Podatki so v cm Slika 7: 3. c) naloga preverjanja znanja Velika večina učencev je pravilno izračunala obseg. Približno 38 % učencev je pravilno izračunalo ploščino trikotnika. Nekateri učenci so naredili napako pri zapisu enot. Učenci so dosegli povprečno 50 % točk. 5. naloga (Slika 8) Cilj: računati obseg trikotnika z uporabo obrazcev, poznati trikotnike glede na stranice 5 Obseg enakokrakega trikotnika meri 25 dm. Osnovnica meri 90 cm Koliko merita Slika 8: 5. naloga preverjanja Tretjina učencev je nalogo rešila pravilno, ostali so imeli težave. Povprečno so usvojili 41 % točk. Obsegi in ploščine paralelogramov 2. naloga (Slika 9) Cilj: prepoznati ploščinsko enake like Minimalni standard znanja 2 Poveži ploščinsko enake paralelograme in pravokotnike <•> A ■ 1.ILMF J A B C C N 2 4 5 Slika 9: 2. naloga preverjanja znanja Večina učencev je nalogo rešila pravilno. Povprečno so usvojili 82 % točk. 3. naloga (Slika 10) Cilj: izračunati obseg in ploščino paralelograma (celoštevilski merski podatki) Minimalni standard znanja 3 Izračunaj ploščino in obseg danih paralelogramov ter trikotnika Slika 10: 3. naloga preverjanja znanja Učenci so večinoma pravilno izračunali obseg paralelograma, pri ploščini je bilo več napak. Bolje so rešili prvi primer (53 %) kot drugi (48 %). 4. naloga (Slika 11) Cilj: izračunati obseg in ploščino paralelograma in pravokotnika 4 Steno pravokotne oblike z dolžino 4 m in višino 3 metre smo prepleskali Endel smo obarvali zeleno, drug del pa rumeno (glej sliko) a) Koliko kvadratnih metrov smo prepleskali? b) Koliko kvadratnih metrov stene smo prepleskali z rumeno barvo? c) Koliko kvadratnih metrov stene smo prepleskali z zeleno barvo? Slika 11:4. naloga preverjanja znanja Učenci so povprečno dosegli 54 % točk. Večina je pravilno izračunala ploščino pravokotnika. Primerjava usvojenega znanja Primerjava dosežkov pri nalogah iz različnih snovi je otežena. Po naših izkušnjah je izračun ploščine trikotnika težja naloga kot izračun ploščine paralelograma. Učenci so pri nalogah iz obsega in ploščine trikotnika povprečno dosegli 57 % točk, pri nalogah iz obsega in ploščine paralelograma so povprečno dosegli 63 % točk. Razlika med odstotkoma ni velika. Sklepamo lahko, da sta obe obliki samostojnega učenja - glede usvojenega znanja - enakovredni. Zaključek V prispevku smo predstavili primerjavo dveh načinov za samostojno obravnavo nove učne snovi pri pouku matematike. Že med učnima urama smo opazili razlike med učenci. Učenci, ki so uspešni pri klasični obliki pouka, so brez večjih težav usvojili predvidene cilje. Manj uspešni učenci so imeli težave. Učnega lista niso dokončali, niso razumeli navodila, potrebovali so pomoč. Pri uporabi e-gradiva so slednji naloge reševali s poskušanjem, pomanjkljivo prebrali navodila, niso uporabljali zvezka za pomožne račune in naloge. Anketa med učenci je pokazala, da jim je ljubši pouk z uporabo e-gradiva. Preverjanje znanja je pokazalo, da ni bistvenih razlik v usvojenem znanju. Informacijsko-komunikacijska tehnologija je sredstvo za razvoj matematičnih pojmov, sredstvo za ustvarjanje, simuliranje in modeliranje realnih ali učnih situacij, je tudi učni pripomoček ali komunikacijsko sredstvo. Uporaba e-gradiv ali učnih listov pri obravnavi nove snovi je lahko popestritev pouka, vendar ne nadomesti učitelja. Učenci potrebujejo dodatno razlago in predvsem spodbudo. Viri 1. Kelenc, A., Kos T., Kern, M., Pesek, I. (2011): eXeCute - avtorsko orodje za izdelavo e-gradiv. Mednarodna konferenca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT, SIRIKT 2011, Kranjska Gora, 13.-16. april 2011. Arnes, Ljubljana, str. 1123-1125. 2. Lokar, M. (2009): E-učna gradiva - kakšna in kako. Mednarodna konferenca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT, SIRIKT 2009. Arnes, Ljubljana, str. 641-649. 3. Prnaver, K., Pesek, I. in Repolusk, S. (2009): Izdelava in uporaba dinamičnih nalog pri pouku matematike. Mednarodna konferenca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT, SIRIKT 2009, Kranjska Gora, 15.-18. april 2009. Arnes, Ljubljana, str. 344-349. 4. Učni načrt, Program osnovna šola, Matematika (2011). Ministrstvo RS za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. ŠTIRIKOTNIKI - PROBLEMSKI POUK GEOMETRIJE Z UPORABO E-GRADIV Quadrilaterals - Problem Based Teaching of Geometry with the Use of e-materials Andreja Klančar, OŠ Lucija andreja.klancar@gmail.com Povzetek V prispevku je predstavljena uporaba e-gradiv pri problemskem pouku geometrije in vpliv uporabe le-teh na usvajanje geometrijskih pojmov in konceptov ter na razumevanje in razvoj miselnih strategij za reševanje geometrijskih problemov. V teoretičnem delu je predstavljen pouk geometrije v sedmem razredu osnovne šole t er pomen uporabe procesno-didaktičnega pristopa poučevanja in učenja matematike skozi reševanje problemov. V sedmem razredu postaja geometrija abstraktna, zato je potrebno pri poučevanju in izbiri dejavnosti nameniti posebno pozornost prehodu s konkretno -izkustvene ravni razumevanja na simbolno raven razumevanja. Grafične ponazoritve geometrijskih pojmov z uporabo IKT, ki so v primerjavi s klasičnimi geometrijskimi konstrukcijami veliko bolj reprezentativne, in različne dejavnosti z uporabo e-gradiv omogočajo enostavnejši prehod h geometrijski simboliki. V empiričnem delu so predstavljeni izsledki raziskave, v kateri so učenci sedmega razreda preko različnih problemskih situacij spoznavali štirikotnike in njihove lastnosti. Izhodiščne dejavnosti temeljijo na uporabi konkretnih didaktičnih pripomočkov, nato je postopno v dejavnosti vključena uporaba različnih e-gradiv. Na osnovi raziskave je zaključeno, da uporaba e-gradiv pri pouku geometrije pripomore k aktivnejšemu usvajanju geometrijskih pojmov in konceptov. Miselne dejavnosti, ki jih omenjena gradiva spodbudijo, omogočajo lažje razumevanje in razvoj miselnih strategij za reševanje geometrijskih problemov. Reševanje le-teh tako poteka hitreje, hkrati pa vizualizacija rešitev omogoča boljše pomnjenje. Ključne besede: geometrija, geometrijski problemi, štirikotniki, e-gradiva, IKT. Abstract This article presents the use of e-learning materials for problem based teaching of geometry and the influence of their use on learning geometric terms and concepts, and on the understanding and development of mental strategies to solve geometric problems. The theoretical part presents geometry lessons in grade 7 of primary school and the importance of using a process-didactic approach for teaching and learning mathematics trough problem solving. Geometry in grade 7 becomes abstract and therefore it is necessary to pay particular attention to the transition from the concrete-experiential level of understanding to the symbolic level, when teaching and choosing activities. Graphical representations of geometric concepts using ICT, which are much more representative, compared to classical geometric constructions, and different activities, with the use of e-materials, enable an easier transition to geometrical symbolism. The empirical part presents the results of a research in which pupils in grade 7 learned about quadrilaterals and their characteristics through different problem situations. Baseline activities are based on the use of concrete didactic accessories, followed by a gradual introduction of different e-materials. On the basis of the research it can be concluded that the use of e-materials for teaching geometry contributes to a more active acquisition of geometric terms and concepts. Mental activities which are encouraged by the above mentioned materials enable an easier understanding and development of mental strategies for solving geometrical problems. The solving of such problems occurs faster, and at the same time the visualisation of solutions enables a better memorisation. Key words: geometry, geometrical problems, quadrilaterals, e-materials, ICT. Uvod Področje geometrije je eno pomembnejših področij matematike. Temelji predvsem na opazovanju in razvijanju prostorskih predstav ter posledično oblikovanju geometrijskega modela realne situacije. V sedmem razredu postaja geometrija abstraktna, zato je potrebno pri poučevanju in izbiri dejavnosti nameniti posebno pozornost prehodu s konkretno-izkustvene ravni razumevanja na simbolno raven razumevanja, katere pomen poudarja Bruner (1966), ki opisuje otrokov razvoj mišljenja in reševanja problemov v treh fazah (enaktivna, ikonična in simbolična faza). Pomembno je torej, da začne učenec graditi znanje najprej z manipulacijo konkretnih objektov ter postopoma preide na abstraktnejše pojme in geometrijsko simboliko, kar je poudarjeno tudi v didaktičnih priporočilih učnega načrta pri obravnavi geometrije v tretjem vzgojno-izobraževalnem obdobju (Žakelj, 2011). Pri tem je potrebno učencu v fazi oblikovanja geometrijskih pojmov ponuditi različna didaktična sredstva (Nickson, 2004), med katera sodijo tudi IKT in e-gradiva. Različni pristopi poučevanja geometrije z uporabo IKT in e-gradiv ter različne metode dela, ki vključujejo raziskovalne dejavnosti in učenje z odkrivanjem, omogočajo razvijanje miselnih strategij in veščin, ki učencem omogočajo neposredno uporabo usvojenih znanj pri reševanju problemov v novih problemskih situacijah. Različna e-gradiva in programi dinamične geometrije, ki jih uporabljamo pri reševanju geometrijskih problemov, učencem omogočajo naraven prehod skozi prve tri stopnje geometrijskega mišljenja, ki sta jih v svoji teoriji razložila zakonca van Hiele (1986): vizualizacijo problema, analizo problema in napovedovanje rešitev, medtem ko zahteva običajno reševanje geometrijskih nalog od učencev že na začetku formalno dedukcijo. V fazi izgradnje znanja poudarjata pomen uporabe e-gradiv in didaktičnih programov Dubinsky (1998, po Krantz, 1998) in Bass (2006, po Descamps, 2006), pri čemer izpostavljata predvsem možnost hitrega, natančnega in kompleksnega izvajanja matematičnih procesov, oblikovanje nazornih predstav geometrijskih objektov ter drugih matematičnih pojmov. Empirični del Namen raziskave Namen raziskave je vpeljati model pouka geometrije z uporabo IKT (računalnik, interaktivna tabla, didaktični programi) in e-gradiv (gradiva za i-tablo, elektronska gradiva iz spletnih učnih okolij) ter proučiti vpliv le-teh na aktivnejše usvajanje geometrijskih pojmov in konceptov ter razvoj miselnih strategij za reševanje geometrijskih problemov. V raziskavi smo uporabili procesno-didaktični pristop učenja in poučevanja matematike s problemskimi situacijami. Procesno didaktični pristop upošteva, da imajo izkustveno učenje, dialog ter različne oblike sodelovanja pomembno vlogo pri konstrukciji znanja. Spodbuja razvoj problemskih znanj, kjer je poudarek na procesih oziroma razvoju strategij reševanja, utemeljevanju, preverjanju rešitev, predstavitvi rezultatov in na izmenjavi mnenj (Žakelj, 2003). Z raziskavo smo omenjeni model pouka preizkusili v učni praksi. Dobljeni rezultati bodo pripomogli k izboljšanju pouka matematike ter k aktivnejšemu usvajanju geometrijskih pojmov in konceptov ter razvoju miselnih strategij za reševanje geometrijskih problemov. Raziskovalne hipoteze H1: Med eksperimentalno skupino in kontrolno skupino bodo opazne razlike v poznavanju in razumevanju osnovnih geometrijskih pojmov. H2: Med eksperimentalno skupino in kontrolno skupino bodo opazne razlike v uporabi proceduralnih znanj. H3: Med eksperimentalno skupino in kontrolno skupino bodo opazne razlike pri reševanju enostavnih in zahtevnejših geometrijskih problemov. Pri preizkusu hipotez se bomo ravnali po pravilu, da je največje dopustno tveganje za zavrnitev hipotez 5 % napaka. Raziskovalna metodologija Osnovna raziskovalna metoda in raziskovalni pristop Za preverjanje veljavnosti hipotez smo uporabili eksperimentalno metodo pedagoškega raziskovanja. Za primerjalni skupini sta bila uporabljena obstoječa oddelka sedmega razreda izbrane obalne osnovne šole. Pred eksperimentom ni bila opravljena izenačitev oddelkov do slučajnostnih razlik. Skupino učencev, ki je bila deležna eksperimentalnega faktorja, smo poimenovali eksperimentalna skupina (ES). Skupina, ki ni bila deležna eksperimentalnega faktorja, je tvorila kontrolno skupino (KS). ES je bila deležna poučevanja po modelu poučevanja matematike s problemskimi situacijami iz geometrije, z uporabo IKT in e-gradiv. Vzorec eksperimenta V eksperimentu je sodelovalo 46 učencev 7. razreda izbrane obalne osnovne šole. 23 učencev je bilo vključenih v ES, 23 učencev pa v KS. Spremenljivke Neodvisne spremenljivke Neodvisna spremenljivka je eksperimentalni dejavnik. Odvisne spremenljivke Dosežki učencev pri geometriji na različnih ravneh znanja po Gagnejevi taksonomiji: • dosežki pri poznavanju in razumevanju geometrijskih pojmov, • dosežki pri uporabi rutinskih procedur, • dosežki pri uporabi kompleksnejših procedur, • dosežki pri reševanju enostavnih in zahtevnejših problemov. Potek raziskave in zbiranje podatkov Začetno in končno znanje iz matematičnih vsebin (geometrije) je bilo med učenci ES in KS preverjeno z začetnim in končnim testom znanja. Testa znanja smo za potrebe raziskave oblikovali sami in jima določili najpomembnejše merske značilnosti: veljavnost, objektivnost, zanesljivost in občutljivost. Naloge v obeh testih smo oblikovali v skladu z Gagnejevo taksonomijo, veljavnim učnim načrtom in cilji, opredeljenimi za pouk matematike v 7. razredu. Začetni test je vseboval 8, končni pa 9 nalog. Oba testa so učenci reševali eno šolsko uro. Rezultate smo analizirali kvantitativno. Za ugotavljanje razlik v znanju matematike na vseh ravneh znanja med učenci ES in KS na začetku in koncu eksperimenta smo uporabili Levenov test homogenosti varianc in t-preizkus. Opis dejavnosti eksperimentalne skupine Pri pouku geometrije smo v ES uvedli problemski pouk z uporabo IKT in e-gradiv. Učenci so preko različnih problemskih situacij spoznavali štirikotnike in njihove lastnosti. Izhodiščne dejavnosti so temeljile na uporabi konkretnih didaktičnih pripomočkov, nato smo postopno v dejavnosti vključili uporabo IKT in e-gradiva. Zanimalo nas je, kakšno znanje dosežejo učenci, deležni problemskega pouka z uporabo IKT in e-gradiv, v primerjavi z učenci, ki so deležni tradicionalnega poučevanja geometrije. Omenjeni model pouka smo uporabili pri temi štirikotniki, in sicer pri vsebinah: • opis, poimenovanje in delitev štirikotnikov, • koti v štirikotniku, • načrtovanje štirikotnikov, • ploščinsko enaki liki, • paralelogram in njegove lastnosti, • načrtovanje paralelogramov, • obseg in ploščina paralelogramov. Obravnavi in utrjevanju omenjenih vsebin je bilo namenjenih deset ur pouka, od tega sta bili dve uri namenjeni samostojnemu raziskovanju v računalniški učilnici, ostale ure so se izvajale v učilnici z interaktivno tablo. Poleg omenjenih ur pouka sta bili dve uri namenjeni začetnemu in končnemu testu znanja. Med urami pouka so dejavnosti potekale v treh korakih: Preverjanje predznanja učencev Pri preverjanju predznanja smo uporabljali interaktivno tablo. Pri nekaterih urah so učenci reševali različne naloge, namenjene priklicu usvojenih znanj. Pri ostalih urah smo predznanje preverjali ob pregledu gradiv in povzetkov prejšnjih ur. Poudarek je bil na vizualizaciji geometrijskih pojmov, saj le-ta omogoča lažji priklic usvojenega znanja. Ob koncu ponovitve so v manjših skupinah reševali problemsko nalogo, povezano s posamezno vsebino(Slika 1). Z. N Al OCA ct ri —r«*'"« «*u« i »0 o w i Vm (Onn tfaijm M rm 'I' fnm patcte *t»i*»tr« 9*^tM 'Wna InnMt m ' HM 4*r*«i tMtt w — DMAI 1 UrtiotinnTn^^KfCmnta1 t iter nfj. on* ob«« «*' Slika 1: Primer problemske naloge Obravnava nove snovi Pri obravnavi je bil poudarjen prehod s konkretno-izkustvene ravni razumevanja na simbolno raven razumevanja. Učenci so na začetku raziskovanja uporabljali konkretna didaktična gradiva (papir, geoploščo, vrvico ...), za obravnavo zahtevnejših pojmov ter izpeljavo obrazcev pa so imeli pripravljena e-gradiva, ki so bila namenjena samostojnemu raziskovanju. Naloga učitelja je bila usmerjanje učencev in sprotno ustno preverjanje razumevanja. Utrjevanje snovi Po zaključeni obravnavi so učenci uspeli rešiti 2 ali 3 naloge, namenjene usvajanju pojmov in procedur. Ura, ki je sledila, ja bila namenjena reševanju problemskih nalog. Kot primer navajamo dejavnosti pri obravnavi ploščine paralelograma. Na računalnikih v računalniški učilnici so imeli učenci pripravljene e-prosojnice, ki so učence vodile skozi obravnavo snovi. Učenci so bili razdeljeni v pare. Najprej so na list papirja načrtali paralelogram in ga s pomočjo razrezovanja spremenili v pravokotnik in ga prilepili v zvezek, kjer so sproti oblikovali povzetke. S pomočjo e-gradiva so izpeljali obrazec za ploščino paralelograma. Nato so reševali naloge, namenjene utrjevanju proceduralnih znanj. V naslednji uri so na interaktivni tabli naredili povzetek snovi (Slika 2) ter pregledali rešitve nalog, ki so jih učenci dokončali za domačo nalogo. Uro so nadaljevali z reševanjem problemskih nalog. PLOŠČINA PARALU.Ot.HAMA hnjmlognu* uvTrvme axnit in go r "nem»!)««* prectoottoj v »»wofcetwlr » Zap i mlr«i«A iibnaMi za raiufitnj« pivlf«» pnmWto7*wna XlMlELOWU* — —► KMVOKOTNX« Slika 2: Povzetek snovi Utrjevanju snovi pred končnim preverjanjem znanja sta bili ob koncu obravnave vsebin namenjeni dve šolski uri. Posamezni učenci so reševali različne interaktivne naloge na interaktivni tabli, ostali učenci so ob tem izpolnjevali učne liste. Problemske naloge so učenci reševali v trojicah in rešitve predstavili celotnemu razredu. Končno preverjanje znanja je bilo izvedeno v pisni obliki. Rezultati in interpretacija Pred začetkom eksperimenta je bila opravljena analiza razlik v uspešnosti reševanja geometrijskih problemov s primerjavo aritmetičnih sredin in s t-testom. Analiza rezultatov je pokazala, da ni statistično pomembnih razlik med ES in KS na nobeni od taksonomskih ravni znanja, kar pomeni, da ni večjih razlik v znanju geometrijskih vsebin med ES in KS. Analiza razlik v znanju geometrije na vseh štirih taksonomskih ravneh znanja med učenci ES in KS ob koncu eksperimenta V preglednici (Tabela 1) so zajete aritmetične sredine in standardni odkloni končnega testa znanja na štirih taksonomskih ravneh znanja: poznavanje in razumevanje geometrijskih pojmov (I.), uporaba rutinskih procedur (II.), uporaba kompleksnejših procedur (III.) in reševanje enostavnih in zahtevnejših problemov (IV.) ter skupni dosežek med učenci ES in KS. Dosežki učencev na začetnem testu znanja Raven znanja Skupina N Aritmetična sredina Standardni odklon Dosežki v % i ES 22 10,59 2,32 55,43 % i. KS 23 9,13 2,24 56,74 % n ES 22 6,27 1,93 73,26 % ii. KS 23 5,09 2,25 60,87 % m ES 22 0,95 0,79 45,65 % iii. KS 23 0,43 0,79 21,74 % IV. ES 22 3,27 2,64 39,86 % KS 23 1,70 1,96 20,65 % Skupaj ES 22 21,36 5,38 52,13 % KS 23 15,96 4,61 43,30 % Tabela 1: Osnovni statistični podatki končnega testa iz geometrije na štirih ravneh znanja in skupni dosežek učencev ES in KS Razlike v rezultatih spremenljivk (Tabela 1) med ES in KS pokažejo, da je bila ES pri reševanju geometrijskih nalog uspešnejša od KS. Največje so razlike pri kompleksnejših proceduralnih znanjih ter pri problemskih znanjih. S t-preizkusom (Tabela 2) smo preverili, ali so te razlike med ES in KS statistično pomembne. Raven znanja t Prostostne stopnje Raven statistične pomembnosti Razlika sredin Standardna napaka I. 2,146 43 0,038 1,460 0,681 II. 1,891 43 0,065 1,186 0,627 III. 2,216 43 0,032 0,520 0,235 IV. 2,281 43 0,028 1,577 0,692 Skupaj 3,628 43 0,001 5,407 1,490 Tabela 2: Prikaz razlik na vseh taksonomskih ravneh znanja Gagnejeve lestvice med ES in KS (t- preizkus) v končnem testu Analiza rezultatov t-preizkusa (tabela 2) in tudi rezultatov primerjave aritmetičnih sredin (tabela 1) kaže, da se skupini statistično pomembno razlikujeta na I., III. in IV. taksonomski ravni znanja in sicer v prid ES. Na podlagi dobljenih rezultatov in njihove analize lahko potrdimo prvo specifično hipotezo: Med eksperimentalno skupino in kontrolno skupino bodo opazne razlike v poznavanju in razumevanju osnovnih geometrijskih pojmov. Rezultati so pokazali, da učenci, ki so bili deležni problemskega pouka z uporabo IKT in e-gradiv, bolje razumejo geometrijske pojme o štirikotnikih ter poznajo lastnosti le-teh. Iz tabele osnovnih statističnih parametrov (tabela 1) in t-preizkusa (tabela 2) razberemo, da je ES uspešneje reševala tudi naloge II. taksonomske ravni, vendar razlika med ES in KS ni statistično pomembna. Pri tradicionalnem pouku geometrije je poučevanje in učenje pogosto usmerjeno v uporabo postopkov, ki jih učenci izvajajo pogosto brez razumevanja pojmov in postopkov samih. Podatki in analize kažejo statistično pomembne razlike med ES in KS (v prid ES) pri reševanju nalog, kjer je potrebno uporabiti zahtevnejše postopke, saj ti postopki zahtevajo določeno raven razumevanja. Na podlagi dobljenih rezultatov in njihove analize torej ovržemo drugo specifično hipotezo: Med eksperimentalno skupino in kontrolno skupino bodo opazne razlike v uporabi proceduralnih znanj. Iz tabele osnovnih statističnih parametrov (Tabela 1) in t-preizkusa (Tabela 2) razberemo, da je ES uspešneje reševala naloge IV. taksonomske ravni. Razlike so statistično pomembne, v prid ES, ki je bila v primerjavi s KS uspešnejša za nekaj več kot 19 %. Tako lahko na podlagi rezultatov in analiz potrdimo tretjo specifično hipotezo: Med eksperimentalno skupino in kontrolno skupino bodo opazne razlike pri reševanju enostavnih in zahtevnejših geometrijskih problemov. Primeri nalog končnega preverjanja znanja, kjer so bili učenci ES uspešnejši od učencev KS Naloga 1 Nariši kvadrat, katerega polmer včrtanega kroga meri 2 cm. Naloga 2 Paralelogram s podatki b = 12 cm, vb = 3 cm ima enako ploščino kot kvadrat. Kaj lahko poveš o ploščini kvadrata? Izračunaj obseg tega kvadrata. Naloga 3 Šolsko igrišče ima obliko paralelograma s stranico 50 m in višino na to stranico 15 m. o o Koliko m2 zavzemajo ostala tri igrišča, če igrišče za odbojko zavzema 135 m2? Koliko m2 zavzema eno od igrišč, če so vsa tri igrišča enake velikosti? Pri navedenih nalogah je bila ES uspešnejša pri reševanju nalog enostavnih in zahtevnejših postopkov (načrtovanje kvadrata s podanim polmerom očrtane krožnice, računanje ploščine paralelograma) ter pri reševanju problemov (ploščin paralelograma, računanje obsega kvadrata, računanje površine igrišč), KS pa je bila uspešnejša pri usvajanju pojmov. Uspeh pri omenjenih nalogah med ES in KS se giblje med 7 % in 18 %, v prid ES. Zaključek Na podlagi vseh dobljenih rezultatov in njihove analize lahko zaključimo, da je model problemsko zastavljenega pouka geometrije z uporabo IKT in e-gradiv uspešen, saj so učenci, deležni tega modela pouka, pri reševanju geometrijskih nalog uspešnejši kot učenci, deležni klasičnega transmisijskega pouka. Tako lahko sklepamo, da z ustreznim pristopom poučevanja in učenja geometrije ter z uporabo IKT in e-gradiv pripomoremo k aktivnejšemu usvajanju geometrijskih pojmov in konceptov. Miselne dejavnosti, ki jih omenjena gradiva spodbudijo, omogočajo lažje razumevanje in razvoj miselnih strategij za reševanje geometrijskih problemov. Reševanje le-teh tako poteka hitreje, hkrati pa vizualizacija rešitev omogoča boljše pomnjenje, kar pomembno vpliva tudi na trajnost usvojenega znanja. Iz navedenega sklepamo, da bo naš model pouka geometrije pripomogel k uporabi IKT pri pouku geometrije. Učenci bodo lažje vizualizirali geometrijske pojme in koncepte, kar jim bo omogočilo, da izgradijo pravilne predstave geometrijskih pojmov ter razvijejo miselne strategije za reševanje geometrijskih problemov. 1. Blažič M., Ivanuš Grmek, M., Kramar, M., Strmčnik, F. (2003): Didaktika. Visokošolsko središče, Inštitut za raziskovalno in razvojno delo, Novo mesto. 2. Bruner, J. (1966): Toward a theory of instruction. The Belknap press of Harvard University press, Cambridge. 3. Cotič, M. (2009): Razvijanje elementarne statistične pismenosti na začetku šolanja. Pedagoška obzorja 24/2. 78-96. 4. Descamps S. X., Bass, H., Evia, G. B., Seiler, R., Sepälä, M. (2006): E-LearningMathematics. Dostopno na: https://www.mumie.net/wp/assets/ICM06-LearningMathematics.pdf (25. 4. 2012). 5. Dogan, M., i?el, Ruklye (2011): The role of Dynamic geometry software in proces of learning: Geogebra example about triangles. International Journal of Human Sciences. 8/1. Dostopno na: http://insanbilimleri.com/en/ (25. 4. 2012). 6. Krantz, S. G. (1998). How to Teach Mathematics, SecondEdition. AMS, Providence, RhodeIsland. 7. Nickson, M., (2004): Teaching and learning Mathematics 2nd edition: A guide to recent research and its applications. Continuum, London. 8. Van Hiele, P. M., (1986): StructureandInsight: A theory of Mathematics Education. Academic Press, Inc., London. 9. Žakelj, A. (2003): Kako poučevati matematiko: teoretična zasnova modela in njegov didaktična izpeljava. Zavod Republike Slovenije za šolstvo, Ljubljana. 10. Žakelj, A. idr. (2011): Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. Ministrstvo za šolstvo in šport, Zavod RS za šolstvo, Ljubljana. Dostopno na: http://www.mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/pageuploads/podrocje/os/devetletka/predmeti obv ezni/ Matematika obvezni.pdf (25. 4. 2012). PREVERJANJE ZNANJA PRI MATEMATIKI Z UPORABO PROGRAMA MICROSOFT MOUSE MISCHIEF Assessing Knowledge at Mathematics with the Use of Microsoft Mouse Mischief Programme Antonija Miklavčič - Jenič, Dejan Žnideršič, OŠ Dolenjske Toplice antonija.jenic@guest.arnes.si, dejan.znidersic@guest.arnes.si Povzetek Učitelji vložijo veliko truda v pripravo kvalitetnih učnih gradiv. Tudi med učno uro intenzivno spremljajo odziv vsakega učenca (še posebej učenca z učni težavami). Velik je tudi poudarek preverjanja znanja v začetku ure, med njo in ob koncu učne ure, ponavljanju učne snovi ter v izgrajevanju celotne sheme pojmov. V veliko pomoč so nam učni listi in sodobna informacijsko-komunikacijska tehnologija (interaktivne table, glasovalne naprave), s katerimi lahko sproti preverjamo njihovo znanje. Kaj pa, če nimamo niti table niti glasovalnih naprav? Zelo uporaben je brezplačen Microsoftov programček Mouse Mischief, ki omogoča vsakemu učencu aktivno vlogo znotraj učnega procesa. Učitelj pripravi naloge, ki jih učenci rešujejo, hkrati pa takoj dobijo povratno informacijo. Naloge rešujejo kot posamezniki ali v skupini. Pouk je zanimiv, učenci so aktivni in motivirani za delo. Učitelj ima pregled nad delom vseh učencev. Učenci se lahko preizkusijo tudi v aktivni vlogi priprave vaj, saj lahko sami pripravijo predloge in jih naložijo v spletno učilnico. V prispevku bova opisala, kako se je uporaba tega programa obnesla kot didaktični pripomoček pri preverjanju znanja, njegovo namestitev, uporabo ter prednosti in slabosti. Ključne besede: aktivna vloga učenca, preverjanje, Mouse Mischief, povratna informacija. Abstract Teachers put a lot of effort in preparing quality study material. Even during the lesson they intensely observe the response of each and every individual pupil, (especially a pupil with learning disabilities). There is a considerable emphasis on assessing the knowledge at the beginning, during and after the lesson, revising the subject matter and shaping the whole picture of concepts. Hand-outs for pupils are also of big help, as it is the modern information communication technology (interactive whiteboards, voting devices), which help us to regularly asses their knowledge. But what if there are neither whiteboards nor voting devices present? Mouse Mischief, a Free Microsoft programme, is very useful, as it enables every pupil to have an active role within the learning process. The teacher prepares the assignments and when solved, an immediately feedback is given to pupils. They finish the assignments either as individuals or as a group. Lessons are dynamic; pupils are active and motivated for work throuout the lesson. Teachers have overview of the whole classroom. Pupils can also have an active role, as they can try out the programme themselves, they can prepare their own source material and upload it into the virtual classrom. The article describes how effective the use of this programme as a didactic accessory at assessing knowledge proved to be, how to setup and use it, as well as the pros and cons of its use. Key words: pupil's active role, knowledge testing, Mouse Mischief, feedback. Uvod Pri pouku matematike je preverjanje znanja vedno prisotno, tako na začetku ure, med uro in tudi ob koncu ure. Ker želim pri pouku učence čimbolj motivirati, miselno in aktivno vključiti v pouk, uporabljam različno IKT, pokazati pa jim želim, da ne potrebujejo vedno dragih naprav za dosego svojih ciljev. Tehnologija ni edini odgovor ... ampak le-ta odpira nekatere izjemne priložnosti, da se razširi poučevanje in razširijo učni stili. Močan vpliv imajo igre, veliko Web2 orodij in različna programska oprema (Rylands, Neil, 2012: 110). Ugotavlja se, da uporaba IKT opreme lahko povečuje interakcijo pri pouku in omogoča prenos težišča pouka na individualizacijo in diferenciacijo, nad - in/ali medpredmetnost, preverjanje, utrjevanje in na dejavnosti ter odnos do pouka. Zavedati se moramo, da šola ni izoliran prostor, učitelji si ne moremo dovoliti, da nas tehnologija vodi in nas v nekaj sili, pač pa jo mi smiselno vpeljujemo in jo izrabljamo za namene pouka - doseganje ciljev in razvijanje različnih kompetenc (Sambolic, Šavli, Vičič, 2012: 117). Pomembno je, da dobro poznamo IKT opremo, da znamo kritično vrednotiti njeno uporabo, predvsem pa jo didaktično osmisliti. Z uporabo ne smemo pretiravati, saj ne smemo zanemariti spretnosti, ki jih pridobijo učenci tudi na drugačen način. Orodij, ki nam omogočajo preverjanje znanja, je veliko. Najbolj razširjeni so učni listi z nalogami. Le-ti so zelo učinkoviti. Pri preverjanju lahko uporabimo različna spletna okolja (Moodle, Wims), ki so prilagojena predvsem reševanju nalog pri matematiki. Uporabljamo glasovalne naprave interaktivnih tabel ali drugih proizvajalcev. V raziskavah je potrjeno, da učitelji, ki poučujejo na bolje opremljenih šolah in se dodatno strokovno izpopolnjujejo ter imajo podporo vodstva šole, pogosteje uporabljajo različno IKT (Bizjak, 2010: 5). Še vedno pa je učitelj tisti, ki se bo sam odločil, koliko, kdaj in katero IKT bo uporabil, kajti zavedati se mora, da tudi sodobna IKT oprema sama po sebi ne more podati dovolj znanja. Microsoft Mouse Mischief Pri urah matematike sem uporabila program Miscrosoft Mouse Mischief, ki omogoča preverjanje znanja učencev, tako da vsak uporablja svojo miško. Pouk je potekal v učilnici z računalnikom, i-tablo (lahko tudi platnom) in projektorjem. Program sem preizkusila v 6., 7. in osmem razredu v 1. nivojski skupini. Pri začetnih urah sva bila prisotna dva učitelja: matematik in računalničar. Vpeljava tehnologije v pouk matematike Najprej sem pripravila preverjanje za učence osmega razreda 1. nivojske skupine. To skupino sem izbrala zato, ker šteje le 10 učencev. Njihovo delo doma je neredno, nad matematiko pa niso preveč navdušeni. Izbrala sem učno temo Krog in deli kroga. Namen uporabe programčka je bil, da si učenci zapomnijo učno snov, da je ura prijetna, preveriti znanje vsakega posameznika in vsakemu posamezniku podati povratno informacijo o njegovem znanju. Pred pričetkom dela je že prišlo do problema, saj šola nima brezžičnih mišk, ki so najenostavnejše za uporabo. Dogovor z učenci je bil, da prinesejo svoje, vendar jih je bilo premalo. Ker šola na področju IKT tesno sodeluje z dvema podjetjema, sem ju poprosila za donacijo mišk. Obe podjetji sta se pozitivno odzvali na prošnjo in šoli podarili vsaka po 5 mišk. Dobili smo 10 mišk. Instalacija programa in priprava opreme Program Mouse Mischief se nahaja na Microsoftovi spletni strani http://www.microsoft.com/multipoint/mouse-mischief/en-gb/download.aspx. Je brezplačen. I £ »..i»< »m.» gth.1 -—------ Slika 1: Spletna stran s programom Po instalaciji odpremo Microsoftov program PowerPoint. V orodni vrstici se pojavi nov ukaz Multiple-Mouse, s klikom nanj pa se odpre orodna vrstica programčka oziroma dodatka. V razredu sem pripravila potrebno strojno opremo. Na usb vhode sem priključila miške in jih aktivirala. Slika 2: Oprema Slika 3: Razporeditev opreme Pri razporejanju opreme je potrebno paziti na primerno razdaljo usb vhodov in mišk, predvsem pa na razporeditev žic zaradi varnosti. Priprava preverjanja v Microsoftovem programu PowerPoint Preverjanje pripravimo v programu PowerPoint. Na gumbu New Slide (Nova prosojnica) dodajamo prosojnice. Uporabimo lahko vse predloge, ki so znotraj programa ali pa izdelamo svojo. Med urejanjem prosojnic so nam na voljo vsi dodatni ukazi programa PowerPoint. Slike, besedilo in ostale elemente urejamo z običajnim orodjem znotraj programa. Slika 4: Vrstica programa Dodatki, ki nam omogočajo pripravo preverjanja, so predvsem ukazi za izdelavo vprašanj in pripravo povratne informacije učencem o pravilno rešeni nalogi. Pripravljamo lahko le določen tip nalog. Program omogoča vprašanja izbirnega tipa. Vnesemo lahko več različnih odgovorov in pri tem tudi določimo pravilni odgovor, ki pa je lahko le eden. Pripravimo lahko tudi vprašanja tipa da ali ne. Odgovori da in ne so v angleškem jeziku kot Yes/No. Besede lahko prevedemo v matrici predstavitve. Označiti moramo pravilni odgovor. To storimo tako, da kliknemo Assign Answer in izberemo pravilni odgovor. arm-w~»-v r Slika 5: Orodna vrstica v PowerPointu Poleg vprašanj lahko pripravimo tudi nalogo, kjer učenci rišejo ali pišejo. Pisanje in risanje je mišljeno le z miško, zato moramo paziti, kakšno nalogo jim zastavimo. V programu tudi ni omogočeno kakršnokoli uporabljanje ravnil ali risanje posameznih oblik, omogočena pa je uporaba večjega števila barv in radirke. Radirka in barvne črte so precej tanke in jih ni mogoče nastavljati po širini. Pri takšnih nalogah ni mogoče pripraviti povratne informacije. Bodimo pozorni na shranjevanje datoteke. Končano preverjanje preizkusimo s klikom na gumb Play Shide Show ali klasično zaženemo začetek diaprojekcije. V slednjem primeru nas program opozori na dodatek. Delo s programom pri pouku Preverjanje je potekalo po obravnavani učni uri, ni pa zamenjalo klasičnega pisnega preverjanja, ki so ga učenci pisali naslednjo uro. Dežurni učenec v skupini je sošolcem razdelil miške. Ob zagonu preverjanja se dodatek zaganja kar nekaj sekund. Pojavi se temno okno, v katerem moramo izbrati miško, s katero upravlja učitelj. To naredimo tako, da premaknemo miškin kazalček na oranžno polje in pritisnemo tipko Enter. Program nas povpraša še po miškah, s katerimi upravljajo učenci. Z vsako priklopljeno miško (gledamo zgornji desni kot na prosojnici, ki prikazuje število priklopljenih mišk) se premaknemo na oranžno polje in pritisnemo Enter. Vsaka učenčeva miška se pojavi kot nova slikica. Po slikicah si učenci zapomnijo, s katero miško upravljajo in tako nadzorujejo svoje delo. Slika 6: Registracija mišk Učenci lahko rešujejo naloge individualno, vsak posamezno, ali pa v skupini. Glede na to izbere učitelj ukaz Individual mode ali Team mode. Na prosojnicah, kjer ni zastavljenih vprašanj, ni vidnih mišk učencev, vidna je le miška učitelja (oranžna puščica), s katero lahko upravlja orodno vrstico, ki se pojavi ob prehodu miške čez spodnji rob prosojnice. Orodna vrstica ima le nekaj ukazov. To so: puščica naprej, osvežitev, vklop časovne omejitve (ura), tipka pavza, ki onemogoči delovanje mišk učencev in puščica naprej ter prikaz pravilnih odgovorov. Slika 7: Delo s programom Na prosojnicah, ki vsebujejo vprašanja, so miške učencev omogočene. Učenci odgovarjajo na vprašanja s klikanjem na odgovore. Ko odgovori zadnji učenec, se prikaže povratna informacija o pravilnosti odgovora in tudi kdo od učencev je prvi pravilno odgovoril. Ob koncu preverjanja ni skupnega pregleda o pravilnosti odgovorov pri posameznem učencu. Uvodne prosojnice so bile namenjene spoznavanju programske opreme in preizkusu delovanja mišk. V prvih minutah smo imeli probleme, saj se miške niso hotele odzivati. Ugotovili smo, da je dobro, da niso preveč oddaljene od usb vhodov. Učitelj premika prosojnice, učenci pa odgovarjajo na zastavljena vprašanja. Učenci so bili motivirani za reševanje nalog, vsak je hotel odgovoriti prvi in tudi pravilno. Ker je bil to 1. nivo, so lahko obrazce pogledali na kartončke ali pa v zvezke oziroma učbenike. Nekateri učenci so se kar preveč razživeli pri delu z miško. Sama aplikacija ne omogoča matematičnega računanja, zato so pri reševanju nalog uporabljali zvezek, v katerega so reševali naloge. Reševanje v zvezek jim ni bilo všeč. O napačnih odgovorih smo se sproti pogovorili. Večina vprašanj je bila tipa da, ne ali pa izbirnega. Določene naloge so omogočale učencu pisanje na prosojnici. V takšnih primerih smo se dogovorili za barve, tako da so učenci lahko spremljali svoje odgovore. Ob koncu učne ure smo analizirali preverjanje in učno uro. Učencem je bila uporaba takšne aplikacije všeč, med samim reševanjem nalog pa so uživali, kajti preverjanje so jemali kot igro. Čas jim je hitro minil, med uro pa so bili fizično in miselno aktivni. Najbolj všeč jim je bila takojšnja povratna informacija in podatek, kdo je prvi pravilno odgovoril. Podobno preverjanje sem izvedla tudi v 6. razredu, kjer je 20 učencev. Imeli smo premalo mišk, zato so učenci reševali naloge v skupinah z eno miško. Vsaka skupina je izbrala vodjo, ki je lahko odgovoril na vprašanje po predhodnem sodelovanju z vsemi člani skupine. Tudi šestošolci so pozabili na čas. V 7. razredu pa smo se poigrali s skupinskim načinom delovanja. 10 učencev se je razdelilo v 3 skupine. Ob zagonu aplikacije so se člani skupin registrirali z izborom skupine. Zaradi tega so imeli vsi člani ene skupine enako sliko miške. Katera je njihova, so vedeli le s premikanjem svoje miške. Številka na skupini je prikazovala število članov. Pri odgovarjanju na vprašanja so morali delovati kot skupina in se predhodno dogovarjati. Vsi člani ene skupine so morali enako odgovoriti na vprašanje. Če se to ni zgodilo, so se odgovori izničili, učenci pa so morali ponovno odgovarjati. ODO ÖÖÖ A 0Q0 Slika 8: Skupinsko delo Prednosti programa Učencem je bilo takšen način preverjanja všeč, še posebno zato, ker so bili vsi aktivni. Če delamo z i-tablo, je aktiven le en učenec, drugi pa opazujejo. Program je brezplačen, hitro ga namestimo, učenci dobijo takojšnjo povratno informacijo. Slabosti Pri takšnem načinu preverjanja smo omejeni na določen tip vprašanj, kar se dogaja skoraj pri vseh preverjanjih z različno IKT opremo. Črte pri pisanju bi bile lahko za malenkost debelejše. Ko več učencev piše na tablo, nastane malo zmešnjave. Tudi radirka je zelo majhna in se je ne da spreminjati. Najverjetneje je tudi problem dobiti večje število brezžičnih mišk. Učenci so pozabili na učenje, se prelevili v majhne otroke in se z miškami igrali. Priporočam, da ob prvi uporabi nekaj prosojnic namenite spoznavanju programa. Ob reševanju nalog smo imeli tudi zvezke, v katere so pisali naloge, jih izračunali in nato rešitev označili na tabli. Seveda takšno delo ne more potekati brez večjega zaslona, i-table ali platna s projektorjem. Sam program je primeren za preverjanje znanja ob uvajanju nove učne snovi - začetno preverjanje, med samo učno uro oz. ob koncu učne ure. Z njim pa lahko preverimo tudi določena znanja ob koncu poglavja. S takšnim preverjanjem težko preverimo višje ravni znanja. Preverjanje, ki ga dobijo učenci na listu, je drugačno in zahteva več učenčevega truda in dela. Vsako kratko preverjanje je dobrodošlo, zato smo se z učenci sedmega razreda, ki so zelo ustvarjalni in tudi IKT usmerjeni, dogovorili za izdelavo kratkih preverjanj na temo Ploščine in obsegi likov. Le-te so oddali v spletno učilnico. Učenci jih lahko uporabljajo za samopreverjanje znanja doma. Zaključek Živimo v času, ko IKT prihaja v vse elemente našega dela in prostega časa. Tudi v šolah je nepogrešljiva. IKT niso samo dragi računalniki, i-table, projektorji ... veliko programske opreme je tudi brezplačne. Preverjanje učencev lahko izvedemo na različne načine, ki pogojujejo veliko ali malo računalniškega znanja tako učencev kot učiteljev. Zavedati se moramo, da še vedno vsi učitelji in vsi učenci ne uporabljajo IKT tehnologije pri svoje delu in je tudi ne obvladajo. Microsoft Mouse Mischief je PowerPointov dodatek, ki nam omogoča enostavno uporabo več mišk. Tako spremljamo vsakega učenca. Če mišk nimamo, lahko prinesejo učenci tudi svoje. Preprosta računalniška miška je postala didaktični pripomoček, ki je učencem omogočil individualno delo na računalniku. Tako je bil aktiven vsak učenec v razredu, učitelj pa jih je spremljal. Poleg matematičnih znanj so se naučili biti strpni drug do drugega, počakati na vrstni red, poleg tega pa so razvijali tudi skupinski način dela, hkrati pa pridobivali znanja na področju IKT pismenosti. Dobili so takojšnjo povratno informacijo, hkrati pa so spoznali, da z voljo in rednim delom pridobivajo nova znanja. Cilji učne ure in tudi cilji, ki sem si jih zastavila pri uporabi Microsoft Mouse Mischief, so bili doseženi. Učenci 6. in 7. razredov pa so se preizkusili tudi v sestavljanju nalog, s katerimi smo želeli pomagati učno šibkejšim učencem. Za dobro in utrjeno znanje pa je potrebno reševati tudi naloge v delovnih zvezkih, učbenikih, zbirkah vaj ... Viri 1. http://www.ediplome.fm-kp.si/Bizjak Blanka 20110125.pdf (5. 4. 2012). 2. www.zrss.si/...za.../matematika/uporaba žakelj,%20primčič.doc (5. 4. 2012). 3. http://www.microsoft.com/multipoint/mouse-mischief/en-us/lessons.aspx (5. 4. 2012). 4. http://www.microsoft.com/en-us/download/confirmation.aspx?id=9962 (5. 4. 2012). 5. Rylands, T., Neil S. (2012): IKT za navdih: dvig ravni ustvarjalnosti pri otrocih vseh starosti in sposobnosti. Sirikt 2012, Mednarodna multikonferenca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT (zbornik vseh prispevkov). Miška, d. o. o., Ljubljana. 6. Sambolic, Šavli, Vičič. (2012): IKT za navdih: dvig ravni ustvarjalnosti pri otrocih vseh starosti in sposobnosti. Sirikt 2012, Mednarodna multikonferenca Splet izobraževanja in raziskovanja z IKT (zbornik vseh prispevkov). Miška, d.o.o., Ljubljana. E(KO)-FRAJER.SI E(co)-dude.si Katarina Tadic, OŠ Davorina Jenka, Cerklje na Gorenjskem katarina.tadic@guest.arnes.si Povzetek Prispevek predstavlja obdelavo podatkov z aktivnimi učnimi oblikami v šestem razredu in nato nadgradi vsebino v sedmem razredu. Z učiteljico naravoslovja sva sestavili anketni vprašalnik na temo trajnostnega razvoja. Učenci so vprašalnik rešili skupaj s starši. V petih šolskih urah so se naučili statistične obdelave pridobljenih podatkov s programom Excel (zbiranje, urejanje, obdelava), prenesti tabele in grafikone v program Word, zapisati interpretacijo rezultatov ter vse skupaj predstaviti sošolcem. Ključne besede: IKT, obdelava podatkov, trajnostni razvoj, medpredmetne povezave. Abstract This article presents data handling using active learning methods, which was carried out in grade 6 and upgraded in grade 7. Together with our science teacher I drew up a questionnaire on sustainable development. Pupils and their parents answered the prepared questionnaire. In five school lessons the pupils then learnt how to statistically process the acquired data using Excel (collecting, editing, processing), transfer charts and graphs into Word, write the interpretation of the results and present it all to their peers. Key words: ICT, data handling, sustainable development, cross-curricular links Uvod Kako narediti uro zanimivo? Kako motivirati učence? Kako pripraviti mlade za življenje? Kako jih usposobiti za vseživljenjsko učenje? Kakšne veščine in znanja bodo potrebovali v prihodnosti? Kako jih naučiti učiti se? To so le nekatera izmed mnogih vprašanj, s katerimi se učitelji srečujemo vsak dan. Odgovore na ta vprašanja iščemo vsak dan. Eden izmed odgovorov je medpredmetno povezovanje, uporaba IKT ter aktivne učne oblike. Namen prispevka je predstaviti primer dobre prakse na podlagi izvedenega tehniškega dneva na temo Obdelava podatkov v 6. in 7. razredu, ki temelji na uporabi IKT in s tem aktivnih učnih oblikah. Tako obliko (tehniški dan) sem izbrala zaradi lažje organizacije dejavnosti in da so bile posamezne etape (od preštevanja pridobljenih podatkov preko obdelave do interpretacije in na koncu evalvacije) čim bolj povezane. Tehniški dan za 6. razred Kot je zapisano v uvodu, gre za medpredmetno povezavo, ki povezuje matematično in naravoslovno področje, znotraj pa se skrivajo še mnoga druga področja. Zaradi obsežnosti tematike sva se z učiteljico naravoslovja odločili za tehniški dan. Izvedba tehniškega dneva ni bila v veliki meri odvisna od predhodnega znanja predmetnih vsebin, izkušenj ter spretnosti učencev pri delu z IKT. Na šoli so trije oddelki šestega razreda, dva oddelka po 26 učencev in en oddelek po 25 učencev. Delo je potekalo v parih (en par, en računalnik). Cilji tehniškega dneva: - naredijo tabelo in grafikon (stolpčni) z uporabo Excela, - berejo podatke iz tabele in grafikona, - interpretirajo tabele in grafikone, - povečujejo obseg trajnostnega in uporabnega znanja. Potek tehniškega dneva 1. UVODNA NALOGA Za uvod in seznanitev s postopki za obdelavo podatkov v programu Excel smo frontalno rešili kratko nalogo, s katero so učenci spoznali, kako narediti in oblikovati tabelo in stolpčni diagram (Slika 1). A 1 »al 5 o lil u 13 U 14 Slika 1: Uvodna naloga za spoznavanje z oblikovanjem tabele in stolpčnega diagrama Ker je delo potekalo v parih, je vsak učenec v paru rešil svojo uvodno nalogo. Rešitev v Excelu sta potem prekopirala v Word, tam oblikovala vprašanje, na katerega je bil odgovor tabela in stolpčni diagram, in zapisala komentar (Slika 2). Kolk o aekic n koliko dečkov je v 6 a razredu7 L*** ti | tfcUu-v 14 13 6. a 13 I ■ ■ tW*l ■ dmirf i i |1rr se«od»i oVac r po b no£in prapavaf- k efcafu Era od «ok>® b fh w»smc Dpov i« oorr,f»ocio t*J»h. to nct&of t> so©*-oiö k na«o*e '»s^.rrsrc« bcrr-oitrai rocoatap vprataWko jede »am S* vnctr«iJcriva»_>«-noia vok) OOTOC *ou> deteo.« joocyj vd*Me* o,' oc * CT t; dcdcfn et oo 12cm at oo 16 cm • Nlan«ma »>oc«a AJi ma-.-cda Kia'iucu-jl 5 AI» jocot4o*e «ordne fax*"« cet »; dP D V M eiefcrtnenooave W^p» uccob>iaie tOoootteaeiei-rnSnegaomietot al det bi ne 10 Mittete v pretepen" letina Wo*e*ito(in0£»d*lenc ocKttrof at t>; tevma 8) mo^rct '•a ksklari roč r ttanai e! *spio*no firooJta bi urino C,' wnefctapün xt ar* c n _ 'snu r. vede* 1 irTMsfeti^oHkonooavot o! bo b» '« O', (n,"»»'« raorr*-'«» r pene «a 10 bt ^ ko ro oaere** okro £! okno imoii p'xc'q ce>' Oer o! »>e »oCite 7 rokiro te^p^-ava poka v vol«* otvolrih Ofotfonh* o,1 pod 20 'C b! rne-oÄ^CT.SS'C c; med21"C*22«C * C 1} f-nHro r* vai» o,1 ««no fe ©*T)n»rO c fivomero O «ovimiro e »«nvan"-© 00» t| on^o:_ 14 r.c^.*=4cr=«T3 Wdi« uivs*» I o 1 krat na tedan bi 2-3 krcri ro •»a*-e, ro riamr, 0 ««ac aer-e r»ko» Id CKOtnciyoe^oro'rorot 01 da bi ne e) tffotih 14 Keike voda na etabe porabi ne dcr< tgoioocirietvi Ol 00'MI bi set >50*33001 ol od 300 do 4& I dl vač te* 4S01 Slika 3: Anketa Slika 4: Anketa Vsak par učencev je dobil v obdelavo dve vprašanji. Vprašanja od 1 do 24 so bila zaprtega tipa in zato lažja za obdelavo. Ta vprašanja so dobili z računalnikom manj spretni učenci in tudi tisti s šibkejšim znanjem. Vprašanja od številke 25 do 28, vprašanja odprtega tipa, težja za obdelavo, so dobili spretnejši in nadarjeni učenci. S tem je bila zagotovljena tudi notranja diferenciacija. Vsak par je najprej nalogo, torej štetje odgovorov in oblikovanje tabele, rešil klasično s svinčnikom in papirjem, nato pa še z računalnikom. 3. OBLIKOVANJE V WORDU (interpretacija tabele in stolpčnega diagrama) Vsako tabelo in pripadajoči stolpčni diagram so učenci oblikovali v svojem dokumentu. Pripisali so tudi komentar. 4. EVALVACIJA Zadnjo, peto šolsko uro tehniškega dneva smo imeli evalvacijo. Vsak učenec je samostojno predstavil obdelano vprašanje (Slika 5) ostalim učencem v razredu. V predstavitvi je združil ugotovitve, sklepe in izdelke obeh učencev. Slika 5: Različno oblikovani izdelki učencev Po končani predstavitvi pa sva evalvacijo opravili tudi učiteljici. Vsak učenec je moral odgovoriti na dve vprašanji in odgovore tudi zapisati: - Naštej vsaj pet lastnosti, ki bi jih moral imeti EKOFRAJER oz. EKOFRAJERKA? - Po korakih zapiši obdelavo podatkov (od zbiranja podatkov do komentarja). Na ta način sva tudi preverili doseganje zastavljenih ciljev. Tehniški dan za 7. razred je nadgradnja tehniškega dneva iz šestega razreda. Še vedno sta bila medpredmetno povezana matematika in naravoslovje. Poseben poudarek je bil na računanju deležev v odstotkih. Cilji tehniškega dneva: - naredijo tabelo in grafikon (stolpčni, črtni, tortni) z uporabo Excela, - računajo odstotke, - berejo podatke iz tabele in grafikona, - komentirajo tabele in grafikone, - povečujejo obseg trajnostnega in uporabnega znanja. Potek tehniškega dneva: 1. UVODNA NALOGA Za uvod in ponovitev s postopki za obdelavo podatkov v programu Excel smo frontalno rešili kratko nalogo, s katero so učenci spoznali, kako narediti in oblikovati tabelo in stolpčni, tortni in črtni diagram. 2. OBDELAVA PODATKOV (učni list) Učenci so delali v parih, po dva učenca za enim računalnikom. Najprej so na računalniku poiskali spletno stran Statističnega urada Slovenije. Dobili so učne liste z nalogami, ki so vsebovale pridobitev različnih podatkov s te strani. Primeri nalog z učnega lista 1. Poišči internetno stran Statistični urad Slovenije: OKOLJE IN NARAVNI VIRI- OKOLJE in poišči ter izpiši naslednje podatke: a) Sodelujoči v čistilni akciji OČISTIMO SLOVENIJO 2012 Slovenija Delež v % prebivalci sodelujoči b) Nastali odpadki po vrstah Slovenija 2003-2008 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Komunalni odpadki [t] Nevarni komunalni odpadki [t] Za koliko % se je količina komunalnih odpadkov povečala v letu 2008 glede na leto 2007? c) Poraba načrpane vode v različne namene v Sloveniji v letu 2010 o Poraba vode v m3 Delež v % Skupaj Po zaključku dela so se učenci lotili dela z računalnikom. Tokrat je delo potekalo samo v programu Excel. Za nalogo, ki so jo dobili, pa so morali narisati ustrezno tabelo in razmisliti ter izbrati primeren diagram (stolpčni, tortni, črtni). 3. EVALVACIJA Zadnjo, peto šolsko uro tehniškega dneva smo imeli evalvacijo. Vsak učenec je s pomočjo LCD-projektorja predstavil obdelano vprašanje ostalim učencem v razredu (Slika 6). i x»>, *»n *»■>. km MMI MMMli ktUSU/I__ —MUMI industrijski odpadki od teg* nevarni odpadki naurv ------- mor ...... / M —— MU -TT-— UUHM «uo ran uu III) M» lOOm 1-1_I_I_I_I_I_I_I_I_I Epidaurun (modern Eptdauros, Greece) Cavea w MB m orchestra width 24 65 m. capacity ti 750-14 700; ca 300-340 BC Plan (T M after Getfcan) Slika 1™: Načrt gledališča v Epidauru Z dijaki si ogledamo sliko antičnega gledališča, jo komentiramo in jih povabimo, da si izberejo sedež, ki jim bo po njihovem mnenju omogočal optimalen pogled na središče dogajanja. Dijake usmerimo v razmišljanje, kaj vse je pomembno, ko si izbiramo sedež. Povabimo jih k raziskovanju, ki jim bo pomagalo poiskati najboljši sedež. Vodeno odkrivanje - raziskovanje Navodila za vodeno odkrivanje so lahko podana ustno ali pisno. Prednost ustnega usmerjanja je v tem, da jih dijaki dobivajo po korakih, v vsakem trenutku samo tisto, kar potrebujejo. Učitelj situacijo ves čas nadzira in navodila sproti prilagaja. Prednost napisanega je, da si dijak, ki potrebuje več časa, lahko navodilo večkrat prebere in ima na listu pripravljene sheme in tabele, kamor ugotovitve vpisuje. 12 http://www.whitman.edu/theatre/theatretour/epidaurus/images/large%20images/epidaurus.plan.ipg Odločila sem se za pisna navodila. Dijakom sem pripravila delovni list, na katerem so bila zapisana vsa potrebna navodila, pripravljene tabele za zapis ugotovitev in osnovni ukazi, ki jih pri uporabi programa dinamične geometrije dijaki potrebujejo. Prva naloga na delovnem listu je namenjena »ogrevanju« dijakov. Dijaki konstruirajo krožnico z danim polmerom, poljuben središčni in obodni kot in krožni lok, ki pripada danemu kotu. Vse objekte tudi izmerijo oziroma odčitajo njihove velikosti v algebrskem oknu ter jih izpišejo zraven imena objekta na risalni površini in na delovnem listu. S tem dijaki ponovijo korake konstrukcije, ki jih bodo pri samostojnem raziskovanju potrebovali. Druga naloga je namenjena vodenemu raziskovanju. Dijaki z vodenimi aktivnostmi (premikanjem točk in zapisovanjem vrednosti v tabelo) iščejo zvezo med središčnim in obodnim kotom nad istim lokom, primerjajo velikosti obodnih kotov nad istim lokom in raziščejo še situacijo v primeru kolinearnih točk. NALOGA 2 1. Konstruiraj naslednje objekte: • krožnico s središčem S in polmerom 5 cm in na njej točke A, B in V, • središčni kot a = 4 AS B (nariši tudi krake kota), • obodni kot ß = 4 A VB (nariši tudi krake kota), • krožni lok I = AB, ki leži v notranjosti obeh narisanih kotov. 2. Velikosti obeh narisanih kotov in dolžino krožnega loka odčitaj v algebrskem oknu, jih izpiši zraven imena objekta na risalni površini in prepiši v spodnjo tabelo. a (v°) ß(v°) l V naslednjih aktivnostih boš raziskal zvezo med središčnim in obodnim kotom nad istim lokom tako, da boš premikal posamezne točke in vrednosti zapisoval v tabelo. Navodila za tabeliranje vrednosti v Geogebri najdeš na koncu delovnega lista. 3. Razišči zvezo med obodnim in središčnim kotom nad istim lokom tako, da premikaš točko A po krožnici in vrednosti a in ß zapisuješ v tabelo. Nekaj jih prepiši v spodnjo tabelo. a (v°) ß(v°) 4. Razišči zvezo med obodnim in središčnim kotom nad istim lokom tako, da premikaš točko B po krožnici in vrednosti a in ß zapisuješ v tabelo. Nekaj jih prepiši v spodnjo tabelo. a (v°) ß(v°) 5. Razišči zvezo med obodnimi koti nad istim lokom tako, da premikaš točko V po krožnici in vrednosti a in ß zapisuješ v tabelo. Nekaj jih prepiši v spodnjo tabelo. a (v°) ß0>°) 6. Razišči situacijo v primeru, da so točke A, S in B kolinearne (s premikanjem točk razišči kot v polkrogu). a (v°) ß(v°) REZULTATI RAZISKOVANJA V NALOGI 2: • Dobro poglej vrednosti, zapisane v prvih dveh tabelah, in poskušaj ugotoviti, kaj velja za velikost središčnega in obodnega kota nad istim lokom. • Dobro poglej vrednosti, zapisane v tretji tabeli, in poskušaj ugotoviti, kaj velja za velikost vseh obodnih kotov nad istim lokom. • Dobro poglej vrednosti, zapisane v četrti tabeli, in poskušaj ugotoviti, kaj velja za kot v polkrogu. Delovni list 1: Del delovnega lista, ki je namenjen samostojnemu raziskovanju Cilj ure je, da vsi dijaki samostojno pridejo do naslednjih ugotovitev in jih tudi zapišejo: • velikost središčnega kota je enaka dvakratni velikosti obodnega kota nad istim lokom, • vsi obodni koti nad istim lokom so skladni, • kot v polkrogu meri 900. Dijaki so pri delu različno hitri in različno uspešni, zato sta na delovnem listu dodani dve nalogi kot primer uporabe. Boljši in hitrejši dijaki se spopadejo tudi s tema nalogama. Šibkejši dijaki rabijo več časa, potrebujejo več spodbude in usmerjanja s strani učitelja in za njih ti dve nalogi naslednjo šolsko uro skupaj razložimo in rešimo na tablo. Zaključek učne ure Zelo pomemben del vodenega pouka je, da ob koncu učne ure skupaj z dijaki oblikujemo vse pomembne ugotovitve in od dijakov zahtevamo, da jih zapišejo v zvezek. O ugotovitvah se z dijaki pogovorimo in jih, če je le možno, preverimo na konkretnem primeru. Skupaj z dijaki pregledamo zapisane rezultate raziskovanja v nalogi 2 na delovnem listu, oblikujemo smiselne trditve, ki jih dijaki zapišejo v zvezek. Zopet se vrnemo na načrt grškega gledališča in poskušamo poiskati najboljši sedež. Smiselno je, da si pripravimo sliko, na kateri je narisan vsaj en zorni kot. Če je samostojno raziskovanje uspelo, bodo vsi dijaki odgovorili, da so si izbrali najboljši sedež. Programi dinamične geometrije nam omogočajo, da jim to s kratko animacijo tudi prikažemo. Slika 2: Izbira sedeža v gledališču v Epidavru Učno uro zaključimo z navodili za domačo nalogo. Sketchpad ali Geogebra Dijaki lahko pri raziskovanju uspešno uporabijo tako Sketchpad kot Geogebro. Učitelj prilagodi učni list programu, ki ga bo uporabil. Oba programa sta didaktično primerna, je pa med njima vendarle nekaj razlik. • Zagotovo ni nepomembno dejstvo, da je Geogebra odprtokodni program, ki ga enostavno snamemo s spleta, med tem ko je Sketchpad plačljivi program. • Sketchpad učitelju nudi možnost izdelave dobrega didaktičnega gradiva, saj je lahko neke vrste Power Point. Tako lahko dijaku pripravimo zelo lepo predlogo, kamor rešuje naloge (vsako na svoj list), hkrati pa ima učitelj pripravljeno predstavitev. Geogebra nam tega ne omogoča. • Konstrukcija nekaterih objektov (krožnica z danim polmerom, kot, krožni lok) je v Geogebri enostavna, saj jo izvedemo z uporabo orodja direktno iz orodne vrstice. Pri Sketchpadu si moramo pomagati do iste konstrukcije z več pomožnimi objekti in manevri. • Prednost Geogebre je tudi v tem, da nam omogoča več prikazov hkrati, saj si lahko zaslon razdelimo na več delov, katerih velikost si po potrebi prilagajamo: algebrsko okno, risalno površino in tabelo. Program nam ob konstrukciji objekt tudi izmeri in meritev lahko takoj preberemo v algebrskem oknu. Zelo enostavno ime in velikost objekta izpišemo zraven objekta na risalni površini. Pri Sketchpadu moramo objekte posebej meriti. Tudi za poimenovanje nekaterih objektov v Sketchpadu moramo biti malo bolj vešči. Zagotovo bi Geogebro uporabili, kadar sama konstrukcija ni cilj obravnavane snovi, ampak iz nje nekaj izpeljemo. Če pa je cilj učne ure konstrukcija nekega objekta, je didaktično najbrž primernejši Sketchpad, saj od dijakov zahteva, da izvedejo vse korake konstrukcije tako, kot bi jih v zvezek narisali s šestilom in ravnilom. Seveda lahko isto dosežemo z Geogebro, če od dijakov zahtevamo, da pri konstrukcijah ne uporabijo vgrajenih ukazov (npr. simetrala daljica, simetrala kota, kot z dano velikostjo ... ). Glede na to, da je bistvo opisane učne ure, da dijaki poiščejo zvezo med obodnim in središčnim kotom nad istim lokom in ne načrtovanje objektov, je v mojem primeru za dijake Geogebra enostavnejša za uporabo. Zaradi tega razloga sem uro izvedla z Geogebro. Refleksija izvedene učne ure Učno uro sem izvedla v sklopu Geometrija v ravnini po definiciji obodnega in središčnega kota. Dijaki so pred tem že nekaj ur samostojno raziskovali z Geogebro. Pri delu so uporabljali vsak svoj prenosni računalnik. Opremljenost šole nam to omogoča, saj imamo na šoli poleg dveh računalniških učilnic še mobilno učilnico. Mobilna učilnica pomeni 20 prenosnih računalnikov, ki jih lahko selimo iz učilnice v učilnico. Refleksija ure je pokazala predvsem dve stvari: • Za kvalitetno izvedbo sta potrebni dve šolski uri. • Pri določenih nalogah na delovnem listu je potrebno zapisati natančnejša navodila. Že v uvodnem delu učne ure smo porabili precej časa pri komentiranju načrta gledališča v Epidavru in izbiri »najboljšega« sedeža. Dijaki so si z zanimanjem ogledali načrt in si izbrali sedež, s katerega bodo po njihovem mnenju imeli najboljši pogled na center dogajanja. Večina dijakov si je kot najboljši sedež izbrala sedež v sredini, ker je tam najboljši razgled na vse strani in je najvišje od vseh ponujenih. Eden izmed dijakov bi si izbral prvi ali zadnji sedež v vrsti, ker sta ta dva najmanj oddaljena od odra. Dijaki so nato samostojno delali po navodilih na delovnem listu. Pokazalo se je sledeče: • Šibkejši dijaki so potrebovali pomoč pri načrtovanju objektov in jih je bilo potrebno usmerjati. Nekaj dijakov je imelo težave pri načrtovanju krožnega loka, ki leži v notranjosti obodnega kota. V Geogebri načrtamo obodni kot z vgrajenim ukazom tako, da označimo središče krožnice in dve točki. Ker je pri središčnem kotu središče krožnice sovpadalo z vrhom kota, so tudi pri obodnem kotu izbrali za središče kar vrh kota. Zato sem jih v tem delu vodila, da so vsi pravilno načrtali začetno sliko. • S premikanjem posameznih točk niso imeli težav. Prve štiri preglednice na delovnem listu so hitro izpolnili. Ustavilo pa se je pri izpolnjevanju pete in šeste preglednice. Ker se je velikost obeh kotov s premikanjem točk A in B spreminjala, so očitno pričakovali, da se bo velikost spreminjala tudi s premikanjem vrha V obodnega kota. Na nek način so se situacije ustrašili in začeli spraševati, kje v konstrukciji imajo napako, da je velikost kota neodvisna od lege točke V. Razvila se je debata, kaj to pomeni, ali smo lahko to pričakovali in kakšna je povezava z našo postavljeno problemsko nalogo. Eden izmed dijakov (dijak nima ocene 5, ampak 3) je takoj začutil povezavo in me izzval, kaj bomo pa sedaj, ko problema nismo rešili. Še vedno smo v dilemi, kateri sedež naj si izberemo, saj iz vseh vidimo oder pod enakim kotom. Zopet se je razvila debata, ki jo je prekinil zvonec. Ker na urniku nismo imeli blok ure, sem dijake prosila, naj delo končajo doma. Dijaki so si doma naložili Geogebro že, ko smo začeli z geometrijo. Tako so doma izpolnili šesto preglednico in zapisali zaključke. • Naslednjo uro matematike smo debato nadaljevali in pregledali njihove ugotovitve. Pokazalo se je, da so vsi ugotovili, da je središčni kot enak dvakratni velikosti obodnega kota nad istim lokom, da so vsi obodni koti nad istim lokom skladni, niso pa prišli do Talesovega izreka. Iz zapisanih podatkov v šesti preglednici so zaključili podobno kot pri peti preglednici in sicer, da so vsi koti v polkrogu enaki. Zato bi bilo smiselno vprašanje, ki se nanaša na šesto preglednico, razširiti in zapisati, koliko meri kot v polkrogu. • Kljub temu da so dijaki zapisovali ugotovitve na delovni list, smo zaključke oblikovali skupaj. Vztrajala sem, da si eno sliko prerišejo v zvezek in zraven zapišejo zaključke. Po mojem mnenju je to smiselno, saj dijaki delovne liste zelo radi založijo in ob pripravi na test nanje pozabijo. Kot primer uporabe smo skupaj rešili še nalogi 3 in 4 z delovnega lista. Dijaki so nalogi reševali v zvezek. Razgovor z dijaki je pokazal, da so motivirani za tako obliko dela. Dijaki so bili pri uri ves čas aktivni, kar je tudi eden izmed ciljev pri takem načinu pouka. Zagotovo bom uro ponovila v naslednjem šolskem letu. Glede na zapisano refleksijo si bom za izvedbo vzela dve šolski uri in bom ustrezno dopolnila delovni list. Zaključek Dijaki so bili uvedeni v obravnavo učne snovi s konkretno življenjsko situacijo, ki je pokazala uporabnost matematike v vsakdanjem življenju. Namesto po klasični poti s kredo na tablo so do zveze med središčnim in obodnim kotom prišli sami s konstrukcijo dinamične slike. Po navodilih so s premikanjem objektov raziskali odnose med posameznimi količinami in se na ta način prepričali o veljavnosti trditev. Tako izpeljana učna ura omogoča dijakom samostojno odkrivanje in raziskovanje z didaktično smiselno uporabo IKT. Od učencev zahteva aktivno delo, zaradi česar jih učni proces bolj pritegne in so veliko bolj motivirani za delo Pri sami izvedbi ure se lahko medpredmetno povežemo s profesorjem zgodovine ali slovenščine in uvodni del učnega procesa prevzame eden od njiju. Seveda v tem primeru potrebujemo za izvedbo vsaj dve šolski uri. Dijaki lahko podatke o antičnem gledališču poiščejo tudi samostojno na spletu in pripravijo kratek referat za uvod. Vodeno raziskovanje je pomemben del učnega procesa, saj dijake usmerja k razmišljanju. Dodana vrednost izvedene učne ure je tudi dosežena aktivnost vseh dijakov. Ker smo na šoli dobro opremljeni, je vsak dijak pri delu uporabljal svoj prenosni računalnik. To je pri takem načinu pouka bistveno. Ustna refleksija dijakov je pokazala zadovoljstvo in visoko motivacijo za tak način pouka. Seveda pa tako izpeljana učna ura od učitelja zahteva veliko več vloženega dela, priprave na uro in napora ob sami izvedbi. Je pa ob zadovoljstvu dijakov njegov trud prav gotovo poplačan. Viri 1. Žakelj, A., Bon Klanjšček, M., Jerman, M., Kmetič, S., Repoluk, S., Ruter, A. (2008): Učni načrt. Matematika: Gimnazija. ZRSŠ, Ljubljana. 2. Žakelj, A., Pustavrh, S., Repoluk, S. ... (2010): Posodobitve pouka v gimnazijski praksi. Matematika. ZRSŠ, Ljubljana. 3. http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=QJ:L:2006:394:0010:0018:SL:PDF (9. 6. 2012). 4. http://www.whitman.edu/theatre/theatretour/epidaurus/images/large%20images/epidaurus.p lan.jpg (9. 6. 2012). VIZUALIZACIJA I RAZINA APSTRAKCIJE Visualisation and Level of Abstraction Petar Mladinic, 5. gimnazija u Zagrebu, Hrvatska petar.mladinic@zg.t-com.hr Sažetak U članku se razmatraju primjeri kojima se ilustrira ideja da se snižavanjem razine apstrakcije matematičkih pojmova uspješno mogu poučavati različita područja i sadržaji matematike na nižim razinama poučavanja tj. u osnovnoj i/ili srednjoj školi, a koja se poučava na srednjoškolskoj ili fakultetskoj razini. Snižavanje razine apstrakcije i vizualizacija pojmova uspješno se realizira uporabom sofwarea The Geometer's Sketchpad. Dinamična svojstva ovog softwarea omogucuju učenicima upoznati i naučiti elemente znanstveno-istraživačkog rada u matematici. Ključne riječi: apstrakcije, vizualizacija, 2D geometrija, 3D geometrija, analitička geometrija, nacrtna geometrija, diferencijalna geometrija. Abstract The paper discusses examples which illustrate the idea that by lowering the abstraction level of mathematical concepts various content areas and mathematics at lower levels can be successfully taught, e.g. teaching in elementary and / or high school, which is taught at secondary or university level. Lowering the level of abstraction and visualization concepts can be successfully implemented using the software The Geometer's Sketchpad. The dynamic properties of the software allow students to know and learn the elements of scientific research in mathematics. Key words: abstraction, visualisation, 2D geometry, 3D geometry, analytical geometry, descriptive geometry, differential geometry. Uvod Poznati matematičar i pedagog George Polya (1887. - 1985.) u knjizi Matematičko otkriče, HMD, Zagreb 2003. (koju je napisao 60-ih godina prošlog stoljeca) razmatra, izmedu ostalog, i znanstveno-istraživački rad na razini srednje škole. On piše: ...Poučavanje matematike u srednjoj školi mora sadržavati upoznavanje učenika (naravno, u razumnim g ranicama) sa svim stranama matematičke djelatnosti. (str. 319.) ... dobar učitelj, birajuči odgovarajuče zadatke i izlažuči ih na odgovarajuči način, može čak i prosječnom učeniku dati nešto što je vrlo blisko samostalnom istraživanju. (str. 319.) ... Promatranje može dovesti do otkriča. Činjenica koja se regularno ponavlja ima cilj otkriti neku shemu ili zakon. (str. 331.) ... Promatranje može poslužiti kao odskočna daska za poopčenje i stvaranje pretpostavki, no ono još nije dokaz. (str. 331.) ... Ne zanemarujte analogije - one mogu dovesti do otkriča novih činjenica. (str. 331.) ... [Ovakav rad može] učenicima koristiti u tri smisla: Prvo, ... kod učenika [može] razvijati osječaj za matematiku jer ... otkriva mogučnosti za samostalan stvaralački rad. (str. 332.) Drugo, ... (može pobuditi interes večeg broja učenika)... ne samo [za] matematiku, nego i [za] druge znanosti. (str. 332.) Trece, oni otkrivaju učenicima jedan jako važan aspekt matematike, a koji se rijetko spominje: matematička su pitanja ... tijesno povezana s drugim prirodnim, eksperimentalnim znanostima... (str. 333.) U drugoj polovini prošlog stoljeca Frederique Papy (1921. - 2005.) zastupa i realizira ideju da se snižavanjem apstrakcije matematičkih pojmova može poučavati matematika mladim uzrastima od uobičajenim u školovanju tj. u osnovnoj i srednjoj školi se može poučavati matematika koja se poučava na fakultetu. Prekrasan je primjer takvog poučavanja objavljen u knjizi Dijete i grafovi, Školska knjiga, Zagreb 1972 koja je prevedena na veliki broj svjetskih jezika. Ilustracije radi, navodim dva primjera snižavanja apstrakcije koje su osmislili Frederique i George Papy. Primjer 1. U knjižici Taximetrix, Hachette, Paris 1973, koja je namijenjena „djeci od 10 do 100 godina", uvode djecu u svijet euklidske i pseudoeuklidske metrike i geometrije. Na slici su taksikružnica (kvadrat) (v. sl. 1.) i euklidska kružnica (kružnica) (v.sl.1). Djeci su ti pojmovi približeni pričom o taksiju u gradu s vodoravnim i na njih okomitim ulicama te pričom o golubu (str. 28. - 33). Slika 1: Kružnice Pojam simetrale tj. skupa točaka koje su jednako udaljene od dviju točaka, djeca vrlo lako prihvate i zadane probleme lako i uspješno riješe u „točkastoj" ravnini. Na slici 2. vide se dva različita slučaja simetrale (str. 37. i str. 40.). Jednom je to simetrala izmedu točaka m i d, a drugi put izmedu točaka r i s (v. sl. 2.). Slika 2: Simetrale Primjer 2. Papy u Microcomputer, IVAC, Bruxelles 1968 modelira binarno-dekadski zapis brojeva i računanje pomoču 2x2 kvadratnih tablica/ploča i žetona koji se crtaju/stavljaju na njih. Broj 1 zapisan/prikazan je kao |Q kao L—I—ili I—'—, broj 8 kao , broj 2 kao ili O o S Mi [O 0 O O , broj 3 kao , broj 4 Broj 26 prikazan je kao a 333 kao Zadatak 1. Koji je broj zapisan kao a ? Zadatak 2. Kako treba prikazati broj 2012? U hrvatskom Nacionalnom okvirnom kurikulumu (NOK-u) piše u Primjena tehnologije da ce učenici moči: • istraživati i analizirati matematičke ideje, eksperimentirati s njima, te provjeravati pretpostavke • pomoču džepnih računala i raznovrsnih računalnih programa, naročito programa dinamične geometrije i programa za izradu proračunskih tablica, • racionalno i učinkovito rabiti džepno računalo za računanje i tehnologiju za prikupljanje, organiziranje, prikazivanje, prezentiranje i razmjenu podataka i informacija, za rješavanje problema i modeliranje, te u situacijama kojima su u središtu interesa matematičke ideje (u svrhu rasterečivanja od računanja i grafičkog prikazivanja), a u Obliku i prostoru da ce moči: • rabiti koordinatne zapise točke, pravca i kružnice, te primijeniti koordinatnu geometriju za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika, • prikazati vektore u ravnini, zbrajati ih, množiti skalarom, te primijeniti vektore i operacije s njima za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika, • prepoznati, opisati i primijeniti sukladnost i sličnost geometrijskih oblika, • skicirati, opisati i interpretirati ravninske prikaze prostornih oblika, • rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka, • prepoznati ravninske i prostorne oblike i njihova svojstva u svakodnevnom okolišu i umjetnosti, te ih upotrijebiti za opis i analizu svijeta oko sebe. Dinamična geometrija i dinamična algebra Software Dinamične geometrije i Dinamične algebre13 The Geometer's Sketchpad (inačice GSP4.07HR, GSP4.07 SLO i GSP5.03 HR) omogučuje nam u današnjoj nastavi, na svim razinama poučavanja i učenja (od prvog razreda osnovne škole do viših godina fakulteta), ostvariti spomenute ideje/zahtjeve. Ilustrirat čemo mogučnosti nastave u dva područja koja se poučavaju tek na kasnijim godinama studija, a mogu se lako i uspješno istraživati i otkrivati u srednjoj i osnovnoj školi. (Više primjera od ovdje spomenutih može se nači u ogromnom broju radova objavljenim širom svijeta. Ovdje ističem nekoliko posebno relevantnih adresa: http://www.dynamicgeometry.com, http://sketchexchange.keypress.com/browse/ te http://www.proven.hr/radovi/ ) Elementarne kompleksne funkcije studiraju se na višim godinama fakulteta u kolegiju Kompleksna analiza. Kompleksni brojevi i operacije s njima upoznaju se u 2., 3. i 4. razredu srednje škole. Elementarne realne funkcije upoznaju se u školovanju prije fakulteta. Uporabom pojma lokusa ili transformacije vrlo se lako poopčava pojam elementarne realne funkcije, istražuju svojstva elementarnih kompleksnih funkcija i vizualizira ih se analogno vizualizaciji realnih funkcija. Dobiva se mogučnost uvida u probleme kompleksnih funkcija kao i njihova primjena. Na slici 3. hrvatski je grb preslikan kompleksnim sinusom f(z)=z, a kvadratna mreža 32x32 kompleksnom kvadratnom funkcijom f(z)=azA2+bz+c, a,b,ce€, c^0. 13 Dinamična geometrija i Dinamična algebra nazivi su koji su zašticeni patentnim pravima autora GSP-a i ne bi se smjeli uporabljivati uz druge software nego samo za The Geometer's Sketchpad. Slika 3: Hrvatski grb i kvadratna mreža preslikani kompleksnim funkcijama U fileu Elementarne kompleksne funkcije na adresi http://sketchexchange.kevpress.com/browse/topic/advanced-topic omoguceno je istraživanje i otkrivanje svojstava tih funkcija kao i njihova vizualizacija pomocu tzv. reljefnih ploha. Slika 4. ilustrira istraživanje i vizualizaciju reljefnih ploha dviju fompleksnih funkcija: kvadratne funkcije f(z)=zA2 i funkcije f(z)=sin(z). Slika 4.: Reljefne plohe funkcija f[z)=zA2 i f(z)=sin(z) U fileima Surfaces.gsp i Surfaces - second part.gsp (na istoj adresi) proširen je pojam funkcije jedne varijable na funkciju dvije varijable. U vizualizaciji su povezani ravninska geometrija, 3D geometrija, analitička geometrija, nacrtna geometrija, diferencijalna geometrija tj. algebra s geometrijom. Istraživanje i otkrivanje svojstava funkcija istraživanjem njihovih dinamičnih geometrijskih prikaza je vrlo jednostavno i efikasno. Poopcavanjem ravninskih krivulja i pojma funkcije uporabom analogija „kreiraju" se mnoge (za učenike) nove hipoteze činjenica. Njihova dinamična vizualizacija i istraživanje daje dovoljno uvjerljivih argumanata za njihovo prihvacanje ili odbacivanje. Evo nekoliko slika ploha iz spomenutih fileova kao ilustracija velikih istraživačkih mogucnosti i otkrivanja algebarskih svojstava funkcija proučavanjem njihovih geometrijskih vizualizacija. Posebice, ovakvim se načinom graf funkcije jedne varijable može interpretirati kao presjek definirane plohe i neke ravnine. Hyperbolic paraboloid r = 6,72 f = 0,16 radians fTLink to Home| Cylindrical surface z Slika 5.: Hiperbolički paraboloid i eliptična cilindrična ploha 11 The rotation axis y - 0,62 ■ xv VIP,J x - -0,08 a -1,28 b -1,35 c - 0,26 n - 2 p - 1 11 Show PlaneXYl The Lame surface 11 Link to Hornel The Lame surface Superegg IXY viewl y - -0,51~^ | XZ view x - 0,56 ■YZ *wl a - 1,17 c - 0,21 m - g p - m • z II Show Plane XY| U" o Slika 6.: Dvije Lameove plohe Examples of surfaces z z 3 1 0 b x x Slika 7.: Dvije plohe definirane funkcijom sinus U realizaciji ovih vizualizacija uporabljena je temeljna ideja da se elementu/skupu/objektu po nekom pravilu (algebarski ili konstruktivno-geometrijski definiranom) pridruži drugi element/skup/objekt. Dakle, realizirana je jedna od temeljnih ideja matematike - preslikavanje. Rezultat preslikavanja kao i svaka promjena na zaslonu su vidljivi u svakom trenutku. Uporabom pojma lokusa i familije krivulja može se vizualizirati transformiranje, primjerice, kvadrata/poligona u krug (v. sl.8.), sinusoide u kosinusoidu (v.sl.9.), bilo kojeg pravca u ravnini u parabolu (ili u graf bilo koje funkcije) (v. sl.10.). D' Slika 8.: Transformiranje kvadrata u krug f(x) = sin(x) g(x) = cos(x) Slika 9: Transformiranje sinusoide u kosinusoidu Ovakva ideja u skladu je i s nastavnim planom i programa u večini drugih zemalja. Primjerice, utjecajni NCTM Standardi to jezgrovito sažimaju u sljedečim odgovarajučim standardima za nastavne programe algebre i geometrije od vrtiča do 4. razreda srednje škole (http://standards.nctm.org/document/chapter3/alg.htm http: //standards.nctm.org/document/chapter3/geom.htm ): Sažeto bi se moglo reči, nakon čitanja ova dva poglavlja NCTM Standarda, da suvremeno poučavanje mora realizirati sljedeče zahtjeve. Učenici bi trebali biti uključeni tako da u: a) algebri - koriste matematičke modele za prikazivanje i razumijevanje kvantitativnih odnosa; b) geometriji - koristeči vizualizaciju, prostorno zaključivanje i geometrijsko modeliranje za rješavanje problema. Poznati metodičar s University of Pennsylvania i dizajner edukacijskog sotwarea Geometer's Sketchpad Scott Steketee u članku [6] smatra da svi učenici u algebri moraju imati priliku za stvaranje i manipuliranje geometrijskim funkcijama . Vizualizacijom algebarskih funkcija učenici imaju mogučnost mijenjati svoje varijable, izravno i kontinuirano, kreirati svoju matematiku, učiti o domeni, slici domene (kodomeni), familijama funkcija, komponiranju itd. Na taj način mogu koristiti različite reprezentacije apstraktnih pojmova, uzbudljivo i zabavno pronalaziti sliku procesuirane aplikacije i stjecati iskustvo povezanosti algebre i geometrije. Prijedlog ili zadatak Na kraju ove skice, predlažem da se vizualizira komponiranje osnih simetrija. Učenici trebaju otkriti da se kao rezultat komponiranja uvijek dobiva jedna od izometrija ravnine (translacija, rotacija, centralna simetrija). Istraživanje se vodi prema otkrivanju veza izmedu medusobnih položaja osi osne simetrije i dobivene/otkrivene izometrije. „Nadogradnja" takvom istraživanju vodi prema otkriču strukture grupe. Retoričko je pitanje može li se to u osnovnoj i /ili srednjoj školi učiniti? Zaključak Pametnom uporabom „pametne tehnologije" (poštujuči savjete i ideje naših prethodnika i suvremenika) omogučeno nam je u osnovnoškolskoj i srednjoškolskoj matematici realizirati osuvremenjivanje i sadržaja i metoda učenja i poučavanja. Dinamičnom vizualizacijom i snižavanjem razine apstrakcije matematičkih pojmova otvaraju se neslučene mogučnosti upoznavanja i prihvačanja matematike kao svakodnevnog i močnog alata na svim razinama i područjima učenja i poučavanja. Literatura 1. Papy, F. (1972): Dijete i grafovi, Školska knjiga, Zagreb. 2. Papy, F., Papy, G. (1973): Taximetrix, Hachette, Paris. 3. Papy, G. (1979): Le Minicomputer de Papy, NICO 25, Bruxelles. 4. Polya, G. (1981): Mathematical Discovery, John Wiley & Sons, New York. 5. ***** (2000): Standardi za nastavu matematike, HMD i 5. Gimnazija, Zagreb. 6. Steketee, S., Scher D. (2011) A geometric Path to the Concept of Function, Mathematics Teaching in The Middle School, Vol.17, No. 1, August 2011, str. 48-55 7. http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2685/nacionalni kurikulum/ 8. www.dynamicgeometry.com 9. http://sketchexchange.keypress.com/browse/ 10. http://www.proven.hr/radovi 11. http://sketchexchangekeypress.com/browse/topic/advanced-topic 12. http://standards.nctmorg/document/chapter3/alg.htm (1.6.2012) 13. http://standards.nctmorg/document/chapter3/geom.htm (1.6.2012) 14. http://www.matematika.hr/ download/repository/Matematika-NQK-15102009-po domenama.pdf UPORABA IKT PRI UČNEM SKLOPU MERILA ZA SREDINO IN RAZPRŠENOST V 9. RAZREDU OSNOVNE ŠOLE The Implementation of ICT into the Mathematics Theme 'The Means and Dispersion in Grade 9 of Primary School' Tina Balantič, OŠ Šmartno v Tuhinju tina.balantic@kks-kamnik.si Povzetek Razvoj informacijsko-komunikacijske tehnologije ima v današnjem času pomembno vlogo pri spreminjanju načina poučevanja matematike. Učitelj ima priložnost, da uporabi IKT v fazi motivacije, kot pripomoček pri razlagi snovi ali pri utrjevanju in ocenjevanju znanja. Učitelj mora spremembam slediti, jih kritično ovrednotiti in smiselno umestiti v svoje poučevanje. Znanje uporabe IKT je pri učencih zelo različno in osnovna šola bi jim morala nuditi priložnost, da usvojijo osnove oz. da nadgrajujejo znanje. V prispevku je predstavljen primer prakse, ko pri matematiki učimo učence osnovnega uporabljanja programa za delo s preglednicami Excel, tako da ob tem nadgrajujejo matematična znanja učnih sklopov Merila za sredino in razpršenost ter Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami. Pri takšnem načinu dela je učenec v aktivni vlogi, kar je temelj interaktivnega poučevanja. Ključne besede: informacijsko-komunikacijska tehnologija, interaktivni pouk, merila za sredino in razpršenost. Abstract The development of ICT has an important role in our everyday teaching. The teacher has got an opportunity to use ICT to foster pupils' motivation, as a mean for explaining certain topics, for revising or assessing knowledge. It is important for the teacher to follow the current tendencies, to imply the new facilities and knowledge into everyday teaching and to review critically all the novelties. The pupils' ICT skills differ from pupil to pupil, so the school should provide opportunity to each pupil to gain some basic and even advanced knowledge of ICT use. In my case, I would like to present an example of good practice of the mathematics teacher implying the ICT into the mathematics lesson by working with excel tables. It deals with the case of upgrading the knowledge of 'The criteria for the centre and dispersion' and mathematics problems and real life situation problems. In such cases, pupils actively cooperate during the lesson which is the basis for interactive teaching. Key words: ICT, interactive teaching, example of good practice, The criteria for the center and dispersion. Uvod V času, ko se računalništvo in druga informacijsko-komunikacijska tehnologija razvijajo z zelo veliko hitrostjo, je nujno potrebno, da se učitelj nenehno doizobražuje, spremlja novosti in premišljeno uvaja spremembe v načrtovanje pouka. Spremembam je potrebno slediti, a kot poudarjajo avtorice članka Ali je za interaktiven pouk res nujna tehnologija? (Sambolič Beganovič: 2011), samo uporaba sodobne tehnologije še ne pomeni spremenjene paradigme poučevanja, če ni domišljena in osmišljena. Zato mora učitelj svoje delo nenehno samoevalvirati. Šola, na kateri poučujem, je vključena v projekt samoevalvacije. Zaznali smo, da bi morali bolj poudariti uporabo IKT-ja in s tem doseči manjša odstopanja v znanju učencev, saj je njihovo znanje o uporabi računalnika zelo različno. Pripravili smo akcijski načrt in natančno določili cilje, kaj naj bi učenci v določenem razredu dosegli. Pri matematiki redno uporabljamo programe, ki so na voljo, za nazornejše poučevanje. Da pa se učenci naučijo te programe uporabljati, morajo z njimi sami delati. Tako dosežemo, da znotraj matematičnih vsebin usvajajo zastavljene IKT-cilje. V prispevku bom predstavila, kako pri matematiki učimo učence uporabljati program za delo s preglednicami Excel, tako da ob tem nadgrajujejo matematična znanja. Načrtovanje dejavnosti Pri vsakem učnem procesu, klasičnem ali spletnem, je, kot pravi Reboljeva (2008), pomembno načrtovanje pouka. Pri klasičnem pouku učitelj pripravlja cilje in vsebine okvirno, saj ima zaradi stalne prisotnosti možnost odpraviti pomanjkljivosti v izobraževanju. Pri e-izobraževanju pa te možnosti nima, zato to zahteva zelo premišljeno, strokovno pretehtano programiranje pouka, saj mora učitelj natančno predvideti, kako bo učenje potekalo. Pri svojem poučevanju poskušam izrabiti čimveč ugodnosti, ki jih IKT-tehnologija nudi. Razlaga snovi je pri takem delu za učence zanimivejša in so za delo bolj motivirani, hkrati pa tudi nazornejša. Prednosti IKT-tehnologije lahko izkoristimo tudi pri samostojnem delu učencev in s tem dosegamo interaktivnost. Kot primer prakse bom predstavila dejavnosti, potek, naloge in opažanja dveh izvedenih sklopov dejavnosti. Prvi sklop je namenjen temu, da se učenci v okviru vodenega dela seznanijo s programom Excel in se ga naučijo uporabljati. Drugi sklop je namenjen samostojnem delu učencev. Uporabiti morajo znanja, pridobljena v prvem sklopu, in jih povezati z matematičnim znanjem, pridobljenim v 9. razredu pri učnem sklopu Merila za sredino in razpršenost v povezavi s sklopom Matematični problemi in problemi z življenjskimi situacijami. Dejavnosti so bile izvedene v obeh 9. razredih, v katerih je skupaj 40 učencev. 1. sklop dejavnosti: Uporaba IKT-tehnologije - Merila za sredino in razpršenost Učenci pri uri izvajajo naslednje dejavnosti: • Vnesejo podatke v program za delo s preglednicami. • Prilagajajo delovna okna glede na potrebe (širina stolpca, višina vrstice, vstavljanje dodatnih stolpcev ...). • Vstavljajo in uporabljajo smiselne formule in funkcije za rešitev določenega problema. • Vstavljajo in urejajo ustrezne grafikone. • Usvajajo učinkovite strategije za uporabo programa za delo s preglednicami pri svojem delu. • Določijo aritmetično sredino, modus in mediano za dane podatke. • Rešujejo zaprte matematične probleme in probleme z življenjskimi situacijami. Potek dela Učenci s pomočjo zapisanih navodil na učnem listu in dodatnih navodil učiteljice v programu Excel 1. nalogo rešijo frontalno, 2. pa samostojno. Pri tem uporabljajo vse zgoraj zapisane dejavnosti. 1. naloga Katjuša je zbirala denar, da si kupi nov prenosni računalnik, ki stane 600 €. V januarju, marcu, maju in septembru je dobila po 30 € žepnine od mame. Od babice dobi dvakrat v letu žepnino 40 €, in sicer junija in decembra. Za rojstni dan, ki ga je imela v aprilu, je dobila 18 €. Februarja je dobila 60 €, oktobra 70 € in novembra 20 €. V juliju in avgustu je med počitnicami sosedi pomagala pri zalivanju rož in vrta in tako vsak mesec zaslužila po 35 €. 1. V tabelo pregledno zapiši zneske, ki jih je dobila Katjuša vsak mesec. 2. Izračunaj Katjušino letno žepnino. Vstavi formulo za izračun vsote. 3. Izračunaj povprečno mesečno žepnino. V preglednico vstavi ustrezno formulo oz. funkcijo za izračun aritmetično sredine. 4. Poišči podatek, ki se pojavlja najpogosteje. V preglednico vstavi ustrezno formulo oz. funkcijo za izračun. 5. Poišči podatek, ki je na sredini po velikosti urejenih podatkov. V preglednico vstavi ustrezno formulo oz. funkcijo za izračun. 6. Nariši stolpčni diagram. Opažanja Pri vnašanju podatkov v Excel, prilagajanju višine in širine stolpca ter vstavljanju manjkajočih vrstic učenci niso imeli težav. Prav tako so samostojno vstavili grafikon. Tisti del naloge, pri katerem je bilo za reševanje potrebno vstavljati formulo oz. funkcijo za vsoto, aritmetično sredino, mediano in modus, so učenci reševali po navodilih učiteljice, saj so se z računanjem modusa in mediane s pomočjo programa Excel srečali prvič. Pri svojem delu niso potrebovali individualne pomoči. Zbiranf danarj* m**ci !ine»e»vC pnoar I_10 j '♦»km«« 1 W mv9t._ IÖI J 1IO 1 MH ht/4 1 Hi, ] n 1 »efrtamferr 1 *0\ ■MiplW 70! novrmtM« j ji •tottmhci 1 "SI «fcu<»J COO JOO 1*0 >00 to n .J znesek v C i ■ 1 I ■ ■ 1 . ■ //// Slika 1: Primer rešene 1. naloge 2. naloga To nalogo učenci rešujejo samostojno in pri tem uporabljajo enake dejavnosti kot pri reševanju prve naloge. Na kmetiji imajo 6 konjev, 12 krav in 5 ovc. Zapisovali so si, koliko sena porabijo v enem tednu za hranjenje živali. V ponedeljek so porabili 301 kg sena, v torek 315 kg, v sredo 287 kg, v četrtek 315 kg, v petek 332 kg, v soboto 296 kg in v nedeljo 303 kg. 1. Pregledno zapiši količine porabljenega sena v tabelo. 2. Izračunaj, koliko sena so porabili v tem tednu. Vstavi formulo za izračun vsote. 3. Izračunaj, koliko sena so povprečno porabili na dan. V preglednico vstavi ustrezno formulo oz. funkcijo za izračun aritmetično sredine. 4. Poišči podatek, ki se pojavlja najpogosteje. V preglednico vstavi ustrezno formulo oz. funkcijo za izračun. 5. Poišči podatek, ki je na sredini po velikosti urejenih podatkov. V preglednico vstavi ustrezno formulo oz. funkcijo za izračun. 6. Nariši stolpčni diagram. Opažanja Dva učenca sta bila pri reševanju občutno počasnejša od ostalih, potrebovala sta tudi pomoč učiteljice. Vsi ostali učenci so nalogo reševali popolnoma samostojno, brez kakršnihkoli težav. Do konca ure so obe nalogi uspešno rešili skoraj vsi učenci. Nalogo so oddali v spletni učilnici. Nekaj učencev je doma nalogo še pregledalo in dokončalo ter ponovno oddalo v spletni učilnici. Vsi so jo rešili pravilno, razlika je bila opazna le pri oblikovni predstavitvi rezultatov - nekateri so uporabljali različne pisave, barve, obrobe tabel ... drugi so se zadovoljili le s preprosto ponazoritvijo podatkov, kar lahko vidimo na spodnjih dveh rešenih primerih. Poraba sena lllllll Slika 2 in 3: Primera rešene 2. naloge 2. sklop dejavnosti: Uporaba IKT-tehnologije - Merila za sredino in razpršenost Učenci pri uri izvajajo naslednje dejavnosti: • Vnesejo podatke v program za delo s preglednicami. • Prilagajajo delovna okno glede na potrebe (širina stolpca, višina vrstice, vstavljanje dodatnih stolpcev ...). • Vstavljajo in uporabljajo smiselne formule in funkcije za rešitev določenega problema. • Vstavljajo in urejajo ustrezne grafikone. • Usvajajo učinkovite strategije za uporabo programa za delo s preglednicami pri svojem delu. • Določijo aritmetično sredino, modus in mediano za dane podatke. • Smiselno določijo srednjo vrednost glede na vrsto podatkov. • Kritično primerjajo srednje vrednosti. • Določijo in grafično ponazorijo »medčetrtinski« (interkvartilni) razmik. • Rešujejo odprte matematične probleme in probleme z življenjskimi situacijami. Potek dela Učenci rešujejo naloge samostojno na že pripravljene Excelove delovne liste in pri tem izvajajo vse zgoraj zapisane dejavnosti. Ponujenih jim je več nalog različnih težavnosti. Vsak si izbere svojo nalogo, jo reši in odda v spletni učilnici. Primeri nalog: 1. V Kopru so dvanajst zaporednih dni merili temperaturo ozračja na glavni plaži. Izmerjene temperature so bile: 34 °C , 29 °C, 25 °C, 28 °C, 21 °C, 29 °C, 30 °C, 27 °C, 29 °C, 33 °C, 32 °C, 25 °C. Izmerjene temperature ustrezno predstavi z uporabo srednjih vrednosti in grafičnih prikazov. 2. V ljubljanski porodnišnici so tehtali novorojenčke. Stehtali so 5 dečkov in 5 deklic ter dobili podatke: 2030 g, 2850 g, 2930 g, 3050 g, 3050 g, 3130 g, 3300 g, 3540g, 3780 g, 4100 g. Dane mase dojenčkov smiselno predstavi z uporabo srednjih vrednosti in grafičnih prikazov. 3. Diagram prikazuje starosti Špele, Ane, Maruše, Žane in Lare. Špela in Žana sta sestri, Kaj lahko poveš o starosti deklet? Podatke ustrezno predstavi s pomočjo srednjih vrednosti in grafičnih prikazov ter jih kritično ovrednoti. ostala dekleta pa so njune sestrične. starost deklet 20 15 10 5 0 starost deklice 4. V mizarski delavnici so trije delavci nažagali letvice za izdelavo okvirjev za slike v osmih urah. Dolžine nažaganih letvic so prikazane v tabeli: Dolžina (cm) 17 28 30 42 Frekvenca 12 30 18 24 Kaj vse lahko razbereš iz tabele? Ugotovitve smiselno predstavi s pomočjo srednjih vrednosti in grafičnih prikazov ter jih kritično ovrednoti. Opažanja Samo sedem učencev je reševanje pričelo s tretjo nalogo. Do konca ure sta dva izmed njih rešila prve tri naloge, dva pa vse štiri. Ostali učenci so naloge reševali po vrsti, začeli so s prvo. Vsi so do konca ure rešili prvi dve nalogi, nekateri so začeli reševati tudi tretjo nalogo. Učenci so naloge oddali v spletni učilnici, kar se je izkazalo kot zelo dobro, saj so delo lahko dokončali doma. Oddane naloge sem pregledala in jim zapisala povratno informacijo. Učenci, ki so najbolje rešili naloge, so svoje izdelke predstavili tudi sošolcem. Pri prvih dveh nalogah je reševanje potekalo brez večjih težav, rešitve nalog je večina učencev ustrezno predstavila, kar lahko vidimo na spodnjih slikah. Slika 4: Primer rešene 1. naloge Slika 5: Primer rešene 2. naloge Tretjo nalogo je v celoti rešila približno polovica učencev, tretjina se je sploh ni lotila, ostali pa so jo rešili delno. Največ težav so imeli pri kritičnem vrednotenju izbranih srednjih vrednosti. Slika 6: Primer rešene 3. naloge Četrta naloga je bila zahtevna, podatke je bilo potrebno razbrati iz preglednice. Rešilo jo je 6 učencev. Približno tretjina učencev naloge ni začela niti reševati, saj so imeli težave pri določanju srednjih vrednosti, ker so bili podatki predstavljeni v tabeli. Ostali pa so jo rešili delno. Tako kot pri tretji nalogi so imeli tudi tu največ težav pri kritičnem vrednotenju izbranih srednjih vrednosti. Slika 7: Primer rešene 4. naloge Po obeh izvedenih sklopih lahko zaključim, da so bili učenci motivirani za delo, hitro so usvojili potrebne postopke za reševanje nalog. Seveda pa bi bilo za to, da bi učenci postopke utrdili in jih uporabili pri samostojnem reševanju nalog, potrebno večkratno izvajanje tovrstnih dejavnosti. Učenci so tudi izrazili željo po pogostejšem izvajanju takšnih ur. Zastavljeni IKT-cilji so bili v celoti doseženi. Zaključek Informacijsko-komunikacijska tehnologija nam nudi veliko prednosti, ki jih lahko pri poučevanju s pridom izkoristimo. Povečuje motivacijo učencev za delo in je v pomoč učitelju pri poučevanju. Predmeti v osnovni šoli, povezani z uporabo IKT-tehnologije, so le izbirni predmeti in jih ne obiskujejo vsi učenci. Znanje uporabe računalnika je pri učencih zelo različno in zdi se mi zelo pomembno, da jih v osnovni šoli opremimo vsaj z osnovnim znanjem. Zato lahko učitelji v okviru obveznih predmetov poskrbimo, da učenci ta osnovna znanja pridobijo. V članku sem opisala konkreten primer dobre prakse, kako lahko pri pouku matematike učence naučimo uporabe programa za delo s preglednicami Excel. Učenci so bili za delo zelo motivirani, zastavljene matematične cilje so usvojili sproti z usvajanjem IKT-ciljev. Bili so v aktivni vlogi, kar zvišuje trajnost usvojenega znanja. S takšnim delom bom nadaljevala tudi v prihodnosti. S svojim člankom sem želela učitelje spodbuditi, da bi se v okviru svojih predmetov kar najbolj trudili za to, da bi učenci pridobili čim več znanja o uporabi IKT-tehnologije, konkretni primer pa predstavlja eno od strategij, kako lahko to dosežemo. Viri 1. Brečko, B. N., Vehovar, V. (2008): Informacijsko-komunikacijska tehnologija pri poučevanju in učenju v slovenskih šolah. Pedagoški inštitut, Ljubljana. 2. Cotič, T. (2010): Uporaba računalnika v tretji triadi osnovne šole: diplomsko delo. Pedagoška fakulteta, Ljubljana. 3. Rebolj, V. (2008): E-izobraževanja skozi očala pedagogike in didaktike. Didakta, Ljubljana. 4. Sambolič Beganovič, A., Vičič-Krabonja, M., Šavli, V. (2011): Ali je za interaktiven pouk res nujna tehnologija? V: Bilten i-naprave in i-pouk, 2011 številka 2011/6 , str. 5, 6. 5. Strnad, M. (2010): Presečišče 9, matematika za 9. razred devetletne OŠ. DZS, Ljubljana. 6. http://www.mss.gov.si/fileadmin/mss.gov.si/pageuploads/podrocje/os/devetletka/predmeti o bvezni/Matematika obvezni.pdf. PRIMERI UPORABE IKT PRI POUKU IN REŠEVANJU TER RAZISKOVANJU REALNIH PROBLEMOV Examples of ICT Use in School and Investigation of Real Life Problems Ivan Bauman, Konservatorij za glasbo in balet Maribor ivan.bauman@konservatorij-maribor.si Povzetek Prispevek vsebuje nekaj primerov uporabe IKT (programov Graph in Excel) pri pouku matematike v srednji šoli. To so večinoma tudi primeri reševanja in raziskovanja matematičnih in realnih problemov ter medpredmetnega povezovanja. Ključne besede: IKT, primeri uporabe, realni problemi. Abstract The article gives some examples of ICT use ( Graph and Excel) in mathematics lessons. These are also examples of solving and investigating the mathematical and real life problems in crosscurricular teaching. Key words: IKT, examples of use, true-to-life problems. Uvod Poleg frontalnega poučevanja z razlago želim pri svojem pouku vključevati tudi druge oblike: izkustveno učenje, učenje z odkrivanjem, matematično modeliranje, učenje s pomočjo informacijsko-komunikacijske tehnologije (IKT) ... V prispevku predstavljam nekaj primerov uporabe IKT pri pouku matematike v srednji šoli. Učitelje s tem želim spodbuditi, da tudi sami pripravijo podobna gradiva za pouk matematike. Učinkovitost tovrstnih gradiv pa ni odvisna le od vsebine, ampak predvsem od predhodne motivacije in s tem aktivnosti dijakov. Gradiva uporabimo takrat in tam, kjer je to smiselno. Delo je lažje in uspešnejše, če so dijaki tovrstnih aktivnosti vajeni. Uporaba programa GRAPH Uvodna motivacija za obravnavo nove funkcije ali pa prepoznavanje že znanih funkcij v fazi ponavljanja in utrjevanja Dijakom je predstavljena naloga ali primer iz vsakdanjega življenja. Njihova naloga je raziskati medsebojno odvisnost količin, ki nastopajo v primeru, in se nekako dokopati do funkcijskega predpisa. V program GRAPH vstavijo zaporedje točk, ki ustreza danemu primeru. Nato s pomočjo programa poiščejo funkcijo, ki se danim točkam najbolje prilega. Izbirajo med šestimi vgrajenimi funkcijami, lahko pa izbirajo tudi med sedmimi lastnimi. Po potrebi lahko definiramo nove lastne funkcije. Cilj: Dijaki spoznajo/prepoznajo funkcijo in rešijo nalogo s pomočjo tehnologije. Učna oblika: Samostojno delo, delo v dvojicah Učni pripomočki/učno okolje: Računalnik s programom GRAPH v računalniški učilnici ali doma. Potrebno predznanje: osnove uporabe programa Graph. 1. PRIMER (1. letnik, linearna funkcija) Voziček se giblje enakomerno s hitrostjo 4 m/s. Opazovati ga začnemo, ko pelje skozi izhodišče opazovalnega (koordinatnega) sistema. a) Kako daleč stran od izhodišča je po 1 s, 2 s, 5 s in 10 sekundah? Razmisli, katera količina (spremenljivka) je za dani primer odvisna in katera neodvisna. b) Podatke zapiši s programom GRAPH kot zaporedje točk v obliki tabele (v meniju Funkcija izberi Vstavi zaporedje točk). Izberi primerno merilo za koordinatni osi, da bodo točke vidne v koordinatnem sistemu (meni Uredi/Osi). c) V meniju Funkcija izberi Vstavi trendno črto in poišči funkcijo, ki se danim točkam najbolje prilega. Izpiši pripadajoči funkcijski predpis. Kako imenujemo to funkcijo? d) S katerima oznakama bi moral zamenjati x in f(x), da bi dobil običajne oznake za dane fizikalne količine? e) Dodatne naloge: Voziček se po desetih sekundah v trenutku ustavi, nato 4 sekunde miruje, nato pa se s hitrostjo 3 m/s začne gibati nazaj proti izhodišču. Ko spet doseže izhodišče, ga nehamo opazovati. Izriši graf za lego vozička od začetka do konca opazovanja. Po kolikšnem času je voziček spet v izhodišču? Kdaj je voziček 20 metrov od izhodišča? Kolikšno pot prevozi od začetka do konca opazovanja. Zapiši funkcijski predpis za lego vozička v odvisnosti od časa za celoten čas opazovanja. Graf poskušaj narisati s programom GRAPH. 2. PRIMER (2. letnik, kvadratna funkcija) Miha bi rad tlakoval dovozno pot od glavne ceste do hiše. Dolžina poti je štirikrat večja od širine. a) Koliko kvadratnih metrov tlakovcev potrebuje, če v dolžino tlakuje 4 m (8m, 10 m, 12 m, 14 m, 20 m) poti. Rezultate zapiši s programom GRAPH kot zaporedje točk v obliki tabele. b) Poišči funkcijo, ki se danim točkam najbolje prilega. Izpiši pripadajoči funkcijski predpis. Kako imenujemo dano funkcijo? c) S katerima oznakama bi moral zamenjati x in f(x), da bi dobil običajne oznake za dane fizikalne količine? d) Pri kateri vrednosti je površina številsko štirikrat večja od dolžine? Namig: Poišči presečišče ustreznih grafov. 3. PRIMER (2. letnik, potenčna funkcija (f(x) = x"1)) Cena najetja avtobusa za enodnevno ekskurzijo na relaciji Maribor-Portorož je 420 EUR. a) Koliko mora za prevoz plačati vsak od dijakov, če je v razredu skupaj 12 (15, 18, 20, 24, 25, 30 ali 32) dijakov. Rezultate zapiši s programom GRAPH kot zaporedje točk v obliki tabele. b) Poišči funkcijo, ki se danim točkam najbolje prilega. Izpiši pripadajoči funkcijski predpis. Kako imenujemo to funkcijo? Kako se imenuje njen graf? c) Pri kolikšnem številu dijakov bi stroški posameznika znašali manj kot 10 EUR? Ali je na to mogoče odgovoriti s pomočjo grafa? Odgovor utemelji. Ali je realno, da bi stroški posameznika znašali manj kot 4 EUR? Odgovor utemelji. d) Za katera števila je definirana tvoja naloga oz. funkcija? Zapiši definicijsko območje. Ali je smiselno povezati točke na grafu? Odgovor utemelji. e) Dijaki morajo poleg prevoza plačati tudi stroške prehrane (vsak 16,50 EUR). Zapiši strošek posameznika v odvisnosti od števila udeležencev ekskurzije. Kako bi ta dodatni strošek vplival na izris grafa iz naloge a)? 4. PRIMER (2. letnik, eksponentna funkcija (f(x) = ax;a>1)) Ameba (enoceličar) se po približno enem dnevu rasti deli na dva dela (nastaneta dve amebi. Po enem dnevu sta ti dve amebi dovolj veliki za naslednjo delitev. a) Izpolni preostanek spodnje tabele (tabela 1): število dni 0 1 2 3 4 5 število ameb 1 2 Tabela 1 Tabelo zapiši še s programom GRAPH kot zaporedje točk. b) Poišči funkcijo, ki se danim točkam najbolje prilega. Izpiši pripadajoči funkcijski predpis. Kako imenujemo to funkcijo? c) Koliko je ameb po 14 dneh? Po koliko dneh imamo več kot milijon ameb? d) Na spletu poišči podatek, kako velika je ameba. Poskusi izračunati, koliko dni bi bilo potrebnih za razmnoževanje, da bi s potomci začetne amebe prekrili celotno zemeljsko površje. Zakaj se to vendarle ne bo zgodilo? 5. PRIMER (2. letnik, eksponentna funkcija (f(x) = ax;a<1); 4. letnik, geometrijsko zaporedje) Za fosfor P velja, da povprečno v enem mesecu razpade % vseh jeder (razpadejo v 32S), ki jih imamo na začetku opazovanja. Od preostale četrtine fosforjevih jeder jih % razpade v naslednjem mesecu itd. a) Recimo, da imamo na začetku opazovanja 128.000 jeder. Izpolni preostanek spodnje tabele (tabela 2): število mesecev 0 1 število preostalih fosforjevih jeder 28 000 32 000 Tabela 2 Tabelo zapiši še s programom GRAPH kot zaporedje. POMEMBNO: izberi primerno merilo za koordinatni osi, da bodo točke vidne v koordinatnem sistemu. b) Poišči funkcijo, ki se danim točkam najbolje prilega. Izpiši pripadajoči funkcijski predpis. Kako imenujemo to funkcijo? c) Po kolikih mesecih imamo manj kot 1000 jeder. 6. PRIMER (4. letnik, geometrijsko zaporedje, geometrijska vrsta) Miha ima dve jabolki. Sreča prijatelja in mu da eno jabolko. Drugo jabolko poje. Prijatelj sreča prijatelja in mu da polovico svojega jabolka (preostanek poje). Ta prijatelj sreča naslednjega in mu da polovico od tega, kar je prejel (preostanek poje). Ta naslednji prijatelj sreča naslednjega prijatelja in mu da polovico od tega, kar je prejel ... a) Izpolni preostanek spodnje tabele (tabela 3): število srečanj od začetka zgodbe 1 2 3 4 5 6 količina zaužitih jabolk posameznika 1 1/2 Tabela 3 Tabelo zapiši še s programom GRAPH kot zaporedje točk (količina zaužitega jabolka posameznika v odvisnosti od števila srečanj). b) Poišči krivuljo, ki se danim točkam najbolje prilega. Izpiši pripadajoči funkcijski predpis. Kako imenujemo dano funkcijo? Ali je naša naloga definirana le za naravna števila? Ali smemo povezati točke? c) Zapiši obrazec, po katerem bi lahko izračunal količino zaužitega jabolka v odvisnosti od števila srečanj. Koliko jabolka zaužije posameznik po 10 srečanju? d) Recimo, da bi jabolko lahko neskončnokrat delili in prijateljev nikoli ne bi zmanjkalo. Kolikšna je vsota vseh delčkov, ki bi jo zaužilo to neskončno število prijateljev? Če navodila delno spremenimo in dopolnimo, so gornji primeri primerni tudi kot krajša seminarska ali domača naloga. Domače in seminarske naloge dijakov Dijaki lahko za nalogo s pomočjo programa GRAPH doma raziščejo določene lastnosti, zakonitosti ... in napišejo poročilo oz. seminarsko nalogo. Cilj: Dijaki raziščejo določen problem in rešijo nalogo s pomočjo tehnologije. Učna oblika: Samostojno delo. Učni pripomočki: Računalnik s programom GRAPH. Potrebno predznanje: Osnove uporabe programa Graph. 1. NALOGA (1. letnik, linearna funkcija): Razišči skupino (družino) premic, podano z enačbo y = a(x-3) -2. Izberi si 10 različnih vrednosti za a in nariši 10 pripadajočih premic v isti koordinatni sistem. Vsako od premic nariši z drugo barvo. Za risanje uporabi računalnik in program GRAPH. Do programa dostopaš na http://www.padowan.dk. Odgovori na vprašanja in reši naloge: • Kaj imajo skupnega vse premice in v čem se razlikujejo? • Od česa je odvisna strmina »tvojih« premic? • Izračunaj, kolikšno vrednost bi si moral izbrati za a, da bi premica sekala x os pri -7? Rešitev preveri z risanjem. • Izračunaj, kolikšno vrednost bi si moral izbrati za a, da bi premica sekala y os pri 9? Rešitev preveri z risanjem. • Zapiši enačbo družine premic, ki poteka skozi točko ^(1,-3). Rešitev preveri z risanjem. • Zapiši enačbo družine premic, ki seka ordinatno os pri 4. Preveri z risanjem. • Kakšno enačbo ima družina premic, ki seka abscisno os pri -2? Preveri z risanjem. 2. NALOGA (2. letnik, kvadratna funkcija): Razišči skupino (družino) parabol, podano z enačbo y = ax2 + a( x -1) +1. Izberi si 8 različnih vrednosti za a in nariši 8 pripadajočih parabol v isti koordinatni sistem. Vsako od parabol nariši z drugo barvo. Za risanje uporabi program GRAPH. Odgovori na vprašanja in reši naloge: • Kaj je skupno vsem parabolam in v čem se parabole razlikujejo? • Izračunaj, kolikšno vrednost bi si moral izbrati za a, da bi parabola sekala x os pri -2? Rešitev preveri z risanjem. • Izračunaj, kolikšno vrednost bi si moral izbrati za a, da bi parabola imela teme v T(-0.5, 4)? Rešitev preveri z risanjem. • Zapiši enačbo parabole iz iste družine, ki poteka skozi točko ^(1, -5). Preveri! • Kakšno enačbo ima družina premic, ki seka ordinatno os pri 4? Preveri z risanjem. • Kakšno enačbo ima družina premic, ki seka abscisno os pri -2? Preveri z risanjem. 3. NALOGA (2. letnik, eksponentna funkcija (f(x) = ax;a<1); 4. letnik, geometrijsko zaporedje): S prijateljem želita prepleskati steno v sobi. Prvi dan prepleskata 2/5 stene, vsak naslednji dan pa 2/5 prepleskanega deleža prejšnjega dne. Odgovori na vprašanja in reši naloge: • Količino prepleskane stene za vsak dan vnesi v ustrezno tabelo (vsaj za prvih 6 dni). • Tabelo uporabi za risanje Vstavi novo zaporedje točk v programu Graph. • V meniju Funkcija izberi Vstavi trendno črto in med predlaganimi poišči funkcijo, ki se danim točkam najbolje prilega. Izpiši pripadajoči funkcijski predpis (količina prepleskane stene na dan n). • Natančno izračunaj, kolikšen delež celotne stene bosta prebarvala 5. dan! • Izračunaj, kateri dan bosta prebarvala 1,024 % stene? • Z matematičnim modelom predstavi pleskanje stene (količino skupno prepleskane stene po n dneh). • Kolikšen del stene je prepleskan po 8 dneh? Delež izrazi na tisočinko odsotka natančno. • V koliko dneh je prepleskane 66,394 % stene? • Ali bo stena kdaj v celoti prepleskana? Svojo trditev utemelji! Uporaba programa Excel Program Excel je pri pouku najpogosteje uporabljen predvsem pri statistiki (računanje statističnih parametrov, izris diagramov ...), pa tudi za računanje in tabeliranje funkcijskih vrednosti. Slednje bom posredoval na dveh primerih. Cilj: Dijaki rešijo nalogo s pomočjo informacijske tehnologije. Učna oblika: Samostojno delo, delo v dvojicah. Učni pripomočki/učno okolje: Računalnik s programom Excel v računalniški učilnici ali doma. Potrebno predznanje: Osnove uporabe programa Excel. 1. PRIMER (4. letnik, zaporedja) Fibonaccijeva naloga iz 13. stoletja: Par zajčkov je po enem mesecu ploden. Po dveh mesecih in vsak mesec pozneje ta par in pari potomcev spravljajo na svet po en par zajčkov različnega spola. Koliko parov zajčkov je na svetu po posameznih mesecih? Rešitev naloge je znano Fibonaccijevega zaporedje: 1, 1, 2, 3, 5, 8 ... a) V tabelo zapišite prve tri člene Fibonaccijevega zaporedja. b) Ostale člene izračunajte s pomočjo (rekurzivne) formule an+2 = an+an+i. c) Izračunajte 35. člen zaporedja. d) Po koliko mesecih bo več kot 3,5 milijard parov zajčkov? Je to mogoče? Kaj pri obrazcu ni bilo upoštevano? e) Izračunajte vsoto prvih 45 členov zaporedja. f) Zapišite zaporedje delnih vsot zaporedja. Kaj opazite? 2. PRIMER (3. letnik, ploščina in obseg n-kotnika, krog) a) Izračunajte obseg in ploščino pravilnih n-kotnikov, ki so včrtani (očrtani) krogu s polmerom r = 1 za n je 3, 4, 5, 6, 99, 100 in jih primerjajte z dejanskim obsegom kroga. b) Obseg katerega n-kotnika se ujema z obsegom kroga na 3 decimalna mesta? c) Narišite razsevni diagram za izračunane obsege in ploščine n-kotnikov. NAVODILO Najprej iz enačbe a2 = 2r2(1 - cos(2n/n)) izračunajte stranico a in nato še obseg o = na. Izraz za ploščino izpeljite sami. Refleksija in evalvacija Na šoli nimamo računalniške učilnice, zato so dijaki primere in naloge reševali doma. Nekateri dijaki se na začetku niso najbolje znašli, vendar so večino težav reševali kar sami oziroma so iskali pomoč pri dijakih, ki niso imeli težav. Glede na komentarje ocenjujem, da 2/3 dijakov nižjih letnikov nalog ni rešila popolnoma samostojno. V višjih letnikih, ki so že navajeni na takšno obliko dela, je delež samostojnih dijakov večji. Ugotovil sem, da so nekatera vprašanja zahtevnejša in primerna le za boljše dijake. Priporočam, da z dijaki nižjih letnikov naloge rešujejo pri pouku v računalniški učilnici, kjer jih usmerjamo, jim pomagamo, odpravljamo tehnične težave ... Dijaki so imeli največ težav s 3. nalogo (izračun količine skupno prepleskane stene) in 2. primerom Excela (vpis in kopiranje formul). Ugotovil sem, da sem pri primerih uporabe programa Graph napravil neumnost. Z navodili pri nalogah sem v pouk vnesel novo tipsko nalogo, ki se rešuje po standardnih korakih. To pomanjkljivost lahko rešimo, če navodilo malce spremenimo in dijaki sami poiščejo funkcijo na analitičen način (izpustimo Vstavi trendno črto ... izpiši pripadajoči funkcijski predpis). S programom Graph dijaki niso imeli težav, več težav jim je povzročal Excel. Težavam se lahko v veliki meri izognemo, če učitelja informatike prosimo, da dijake seznani z nekaterimi funkcijami tega programa. Dijaki so se večinoma pozitivno odzvali na tovrstne naloge. Razmišljam, da bi jih uvedel v vseh letnikih in pri več poglavjih (tudi brez uporabe IKT). Opravljene naloge (oddana in pravilno rešena poročila) bi lahko bila tudi pogoj za pozitivno oceno (minimalni standard), kar pa moramo predvideti v letni pripravi in potrditi v aktivu in s tem na začetku leta seznaniti dijake. Vse navedene primere in naloge lahko prvič uporabimo šele v 4. letniku, pri pripravi na maturo, ko ponavljamo funkcije iz nižjih letnikov. V tem primeru so dijaki že bolj samostojni, imajo več znanja in poznajo več matematičnih orodij. Prav tako ne poznajo že skoraj vnaprej odgovora na vprašanje, na katero funkcijo se naloga nanaša. Ne glede na odzive dijakov menim, da so tovrstne naloge potrebne. Poleg samostojnosti lahko povečamo še kreativnost dijakov, če naloge spremenimo v naloge bolj »odprtega« tipa, z manj natančnimi navodili in vprašanji. Lahko bi dijakom npr. dali nalogo, da sami poiščejo kak primer podobnega realnega problema, ga opišejo s funkcijo in si postavijo smiselna vprašanja. Zaključek Informacijsko komunikacijska tehnologija je v vsakdanjem življenju in tudi v šoli vse pogostejša. Učiteljem lahko zelo pomaga, da je pouk zanimivejši, nazornejši in učinkovitejši, a le če tehnologijo uporabljamo na pravilen način in v pravem trenutku. Potrebno je dobro poznavanje tehnologije in skrbna priprava gradiv. Dijake moramo za tovrstno delo ustrezno usposobiti, da bodo tehnologijo znali uporabljati. Pred začetkom dela poskušajmo dijake motivirati tako, da nalogo predstavimo v obliki problema ali pa jo vključimo v kakšno zgodbo. S predstavljenimi gradivi želim učitelje spodbuditi, da sami razvijajo gradiva, ki jih bodo uporabljali pri pouku, saj samostojno pripravljena gradiva najlažje uporabimo v praksi. 1. Pavlič G., Rugelj M., Šparovec J., Kavka, D. (Modrijan, 2008): Linea. 2. Pavlič G., Rugelj M., Šparovec J., Kavka, D. (Modrijan, 2005): Planum. 3. Pavlič G., Rugelj M., Šparovec J., Kavka, D. (Modrijan, 2005): Spatium. 4. Pavlič G., Rugelj M., Šparovec J., Kavka, D. (Modrijan, 2004): Tempus. 5. Več avtorjev (ZRSŠ, 2010): Posodobitve pouka v gimnazijski praksi MATEMATIKA. POVEZAVA UČNE POTI IN IKT Linking a Natural Learning Path with ICT Ema Maver, OŠ Fram ema.maver@guest.arnes.si Povzetek V prispevku prikažemo, kako smo pri pouku matematike uspešno povezali delo na učni poti s poukom v razredu in s sodobno tehnologijo. V 8. razredu ponovimo s pomočjo različnih nalog in s predstavitvijo na interaktivni tabli osnovne pojme o krogu in delih kroga. Naslednjo uro dobijo učenci ustrezne pripomočke in učne liste in se odpravijo po učni poti, kjer merijo in določajo obseg kroga. Po navodilih iščejo primerna drevesa oz. okrogle predmete, ki jim merijo premere, obsege in dolžine krožnih lokov. Računajo ploščino kroga in njegovih delov. Vsako količino najprej ocenijo. Svoje matematično znanje povezujejo z znanjem in ugotovitvami drugih predmetov. Naslednjo uro učenci skupaj oblikujejo primerno predstavitev v »preziju« - o svojih prispevkih v skupno predstavitev razmislijo doma. Ključne besede: učna pot, interaktivna tabla, merjenje in ocenitev, obseg kroga, predstavitev v »preziju«. Abstract In this paper we show how classroom work, modern technology and natural learning path in could be successfully linked with Mathematics lessons. In the eighth grade basic concepts of circle and its parts are revised first with the help of different kinds of exercises and the interactive whiteboard. During the next lesson pupils are given appropriate tools and handouts that guide them through the chosen natural learning path where they do all the measuring and determining circumference of a circle. They look for appropriate trees or round objects on the path and according to the given instructions they measure their diameters, circumferences and lengths of their circular arcs. They calculate square dimension of a circle and its parts. Each quantity is estimated first and next they connect their mathematical knowledge with the knowledge gained in other school subjects. During the next lesson a "Prezi" presentation is prepared jointly by all pupils. At home pupils think over their own contributions to the common presentation. Key words: natural learning path, interactive whiteboard, measurement and estimation, circumference of a circle, "Prezi" presentation. Uvod V Framu imamo od začetka šolskega leta 2011/12 tri učne poti: geografsko, zgodovinsko in naravoslovno. Za raziskovanje matematičnih pojmov smo uporabili geografsko učno pot, ki vodi od šole ob Framskem potoku do gasilskega doma. Od tam se pot vzpne do kapelice Sv. Neže, kjer je naravna razgledna ploščad. Pred pripravo delovnega lista smo si natančno ogledali vse tri učne poti. Sproti smo skušali sestavljati primerne naloge o krogu in krožnici. Največ zamisli se nam je utrnilo prav na geografski učni poti, zato smo se odločili zanjo. Znanje o krogu in krožnici, ki smo ga pridobili pri urah pouka v učilnici, smo želeli preizkusiti še na terenu, kjer se morajo učenci znajti z merilnimi napravami, dobro opazovati in tako kot sicer logično sklepati. Večino dela smo opravili v »blok« uri v okviru tehniškega dne, ki je bil naravoslovno usmerjen. Sodelovali sva dve učiteljici (polovico učencev je vodila učiteljica Vesna Lešnik). Opravljeno delo sva učiteljici tudi ovrednotili. Po opravljeni nalogi smo po vrnjenih delovnih listih izdelali še prezi. Že v učnem načrtu (v didaktičnih priporočilih) je zapisano, da naj bo ocenjevanje znanja raznoliko, da imajo učenci več priložnosti za izkazovanje svojega znanja. Preverjanje in ocenjevanje naj bi potekalo po vsakem sklopu. Obojemu smo na učni poti tudi zadostili. Zagotovljena je bila drugačna možnost ocenjevanja in tovrstno ocenjevanje sva izvedli po končanem sklopu - pred tem je bilo znanje o krogu in krožnici že preverjeno in dopolnjeno. Cilji matematičnega dela tehniškega dne: V okviru tehniškega dne smo želeli, da učenci svoje znanje o krogu in krožnici preizkusijo še na praktičnih primerih, ki jih vidimo v vsakdanjem življenju in v naravi. Načrtovali smo naslednje dejavnosti učencev: • s pomočjo modelov in predstavitve na i-tabli ponovijo osnovne pojme o krogu in krožnici, • prinesejo potrebne pripomočke, da lahko izvajajo merjenje, • z merjenjem pridejo do podatkov za reševanje delovnih listov, • iščejo primere krogov, merijo polmer, ocenijo, nato pa računajo obseg in ploščino teh krogov ali delov kroga, • zapišejo refleksijo o ustvarjanju na učni poti, • pomagajo pri predstavitvi (lahko tudi samostojna predstavitev učencev); in dejavnosti učitelja: • pripravi ustrezne naloge in predstavitve za ponovitev pojmov o krogu in krožnici, • na terenu izbere primerne predmete, na katerih je mogoče najti pojme o krogu in krožnici, • na učni poti spremlja delo učencev in jim daje namige, če je to potrebno, • pregleda rešene naloge in jih ovrednoti, • pomaga sestaviti prezi (najprej prikaže osnove uporabe prezij-a), • skupaj z otroki napravi ustrezen povzetek. Potek dela v razredu in na učni poti 1. del: Učence 8. razreda smo dan pred tehniškim dnevom obvestili o dejavnosti na terenu. Priporočili smo jim, kaj naj prinesejo: merilni trak, pisala, mapo ... Na dan dejavnosti smo imeli najprej skupno uro, preverili smo pripomočke, ponovili osnovne pojme o krogu in krožnici z interaktivnimi nalogami in s primeri na spletu. Primeri interaktivnih nalog, ki smo jih izvedli: a) Interaktivna kocka, izdelana na interaktivni tabli - Smart. Prikazana je na Sliki 1. Učenec klikne na kocko, izbere drugega učenca, ki opiše sliko ali pojem na kocki. Slika 1: Interaktivna kocka b) Iskanje parov na interaktivni tabli. Učenec išče par, izbere dve polji; če sta par, se ploščici izbrišeta in učenec lahko še enkrat izbira, sicer nadaljuje naslednji učenec. Pokriti pari so vidni na Sliki 2. m- BBEBG EiBiiiii Slika 2: Izbira parov - spomin c) Preletimo pojme o krogu in krožnici, da nam bo lažje pri delu. Pomagamo si s spletno stranjo: http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2002/dira/bracko/index.htm. Učenci si ogledujejo slike in besedilo v skupinah in komentirajo. 2. del: Z učenci se odpravimo iz šole - tu v skupinah opravljajo delo po pripravljenih delovnih listih. Delovni listje prikazan na sliki 3. Matematična učna pot 1) Na dvorišču pred našo šolo raste lipa. Izračunaj, kolikšen je polmer lipe na višini 1 m. (NAMIG: na višini 1 111 izmeri obseg Upe) Reševanje: 2) Kateri lik opaziš na igrišču pod košarkaškim košem?_ Na koliko delov je razdeljen?_Tak del imenujemo Izračunaj površino enega dela._ Črtkana črta predstavlja . Izračunaj dolžino črtkane črte. 3) Ob robu igrišča je nekaj odtočnih jaškov za vodo z režami. Ali bi v odtočni jašek lahko padel plošček za hokej?_ Podatki za hokejski plošček: • premer 7.62 cm • debelina 2.54 cm • teža: od 156 g do 170 g Reševanje: http: wn-n.promo-wholesale.coroVpfilesTrod p Action-Lim-Official-Xhl-Hockev- Pnck -0090"2f6SS.jpg Pot bomo nadaljevali po učni poti do kapele Sv. Neže. 4) Skiciraj obliko okna na kapeli. Na skici okno razdeli na pravokotnik in polkrog. Izračunaj obseg m ploščino tega lika Potrebne podatke določi s pomočjo meritev NAMIG: Izmeri dolžino in širino enega gradnika, ki predstavlja obrobo okenske odprtine Slika 3: Delovni list za učence (skrčen) 3. del: Razgovor z učenci in zapis refleksije. Po opravljenem praktičnem delu smo se vrnili v učilnico, kjer smo opravili povzetek in razmislili o primerni predstavitvi v preziju. Vsak učenec je na koncu oddane naloge zapisal, kako je doživljal to vrsto dela. Skupaj sestavimo preži o krogu in krožnici in našem delu, kot prikazuje Slika 4. Slika 4: Prezi o krogu, skupinsko delo Naloge sva z učiteljico tudi ovrednotili in ocenili vsakemu učencu posebej, čeprav so delali v skupini. Na oceno je vplival vložek vsakega učenca v skupini. Ocenjevali sva po kriterijih, ki so zapisani v naslednji tabeli, Slika 5. Ta ocena predstavlja eno od ocen, ki je pridobljena drugače, torej ne s pisno nalogo ali z ustnim spraševanjem. Vsako leto pripravimo kakšno raziskavo (v 6. in 7. razredu v okviru obdelave podatkov), predstavitve učencev (v 8. razredu), sestavimo in izvedemo anketo (v 9. razredu), letos pa smo lahko dodali za pridobitev ocene na drugačen način še delo na učni poti. KRITERIJI, PRAGOVI IN OPISI ZA PREVERJANJE IN OCENJEVANJE ZNANJA PRI MATEMATIKI Ema Min er, I 'esna Lešnik 1. VREDNOTENJE DELA NA UČNI POTI Pri urah matematike v 6., 7., 8. in 9.r izvedemo UČNO POT. učenci dobijo naloge, seznanimo jih s kriteriji in nalogo oddajo na listih učitelj jo oceni v 7 dneh - pri tem upošteva naslednje kriterije: 1. Učenec prinese potrebne pripomočke (kot je naročeno) i 1 t 2. Zbiranje podatkov na terenu - zagnanost, spretnost. - Učenec je spreten pri merjenju, natančen, ni mu vseeno, kako bo opravil meritev ...1t, - Takoj se loti dela. upošteva navodila, ne zavlačuje, je sodelovalen, ne prepisuje od sošolcev, ampak sam konstruktivno opravi svoj del naloge ...1t. 2 t 3. Uporaba ustreznih postopkov reševanja problemov, vnos podatkov: - Učenec (skupina) ve, kateri matematični problem se skriva v posamezni nalogi, poišče ali izmen potrebne podatke, količine, jih pravilno vstavi v nalogo ...po 1t za vsako zastavljeno nalogo. 4 t 4. Ustreznost odgovorov na zastavljena vprašanja ob podanem problemu ... po 11 za 2 pravilna odgovora 2 t 5. Sodelovanje pri povzetku, izgled delovnega lista, zapisana refleksija. 1t skupaj možnih točk 10 t Možno je pridobiti tudi po 1/3 ali po 1 točko. Skupaj 10 točk. Kriterij: 0%-30% Nezadostno (1) 31%-59% Zadostno (2) 60%-79% Dobro (3) 80%-89% Prav dobro (4) 90%-100% Odlično (5) Slika 5: List s kriteriji za ocenjevanje Za zadostno oceno je potrebno zbrati manj točk kot pri ustnem ali pisnem ocenjevanju znanja; za to smo se odločili zaradi spodbude učencem, ki imajo velike težave pri matematiki in težje pridobijo pozitivno oceno. Kriterije smo določili po tehtnem premisleku in po nekajletnih izkušnjah z vrednotenjem na drug način opravljenih nalog pri pouku matematike. Pri vrednotenju smo upoštevali, če so učenci prinesli pripomočke, ki smo jih naročili, in sledili ostalim pravočasno danim navodilom - to smo preverili že pred odhodom na teren. V kriterije smo vključili zagnanost za delo, spretnost pri meritvah, pripravljenost na konstruktivno pomoč in sodelovanje z drugimi učenci v skupini. Osrednji del vrednotenja so vsebinski cilji: učenec prepozna problem, ki se skriva v nalogi, išče in meri potrebne podatke in uporabi pravilno mersko enoto za vsako količino. Podatke vnese v nalogo in uporabi ustrezni računski postopek. Učenec lahko uporabi žepno računalo. Učenec je lahko prejel po pol točke za vsak pravilni odgovor. Pomembnejša sta nam bila tokrat pot in način reševanja kot sam odgovor. Učenec je lahko dobil točko še za sodelovanje pri povzetku, ki smo ga opravili v razredu -v to točko je sodila tudi zapisana refleksija o takem načinu dela. Zaključek Takšno delo je zanimivo za učitelja in učence. Učenci so delali z veliko vnemo. V resnici smo dodali še nekatere naloge, med njimi je bila ena tudi zabavna. Učenci so se v oddanih refleksijah na koncu svojih delovnih listov izrekli izredno pohvalno o tovrstnem delu. Ker imamo možnost dela v naravi, bomo v bodoče večkrat šli po učnih poteh, in to v vseh razredih. Res pa je, da lažje sestavimo naloge za delo na terenu iz geometrije kot iz aritmetike, še težje iz algebre. Prihodnjič bo vsaka skupina sestavila svoj prezi (če bo tovrstna oblika predstavitve še aktualna). Viri 1. Arsenijevic, M. (2006): Model učne poti na primeru parka Rafut. Diplomsko delo, spletni naslov: 2. http://kt.ijs.si/markodebeljak/Supervisons/Mojca Ars/DIPLOMA%20Mojca%20Arsenijevic% 20MODEL%20UCNE%20POTI.pdf (15. 4. 2012) 3. Lešnik, V., Sodelovanje in fotografiji za delovni list. 4. www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2002/dira/nina/osnove.html. (15. 4. 2012) 5. www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2002/dira/jagodnik/html/uvod1.html. (15. 4. 2012) 6. www.pedagoska-obzorja.si/revija/Vsebine/povzetki/po08-2.html. (15. 4. 2012) 7. http://www.mizks.gov.si/fileadmin/mizks.gov.si/pageuploads/podrocje/os/prenovljeni UN/U N matematika.pdf. (15. 4. 2012) LINEARNA FUNKCIJA IN UPORNOST VODNIKOV Linear Function and Resistance of Conductors Martina Omerzel, ŠC Celje, Srednja šola za kemijo, elektrotehniko in računalništvo martina.omerzel@gmail.com Povzetek V šolah je motivacija velik problem, saj dijaki večkrat vprašajo, kje bodo obravnavane vsebine potrebovali (problem osmišljanja vsebin). V prispevku je predstavljena ena izmed učnih ur, katero sva pripravila s sodelavcem, ki poučuje modul izdelava osnovnih vezij, in sicer uporabo linearne funkcije za prikaz odvisnosti med upornostjo vodnikov od temperature. V razredu sva hkrati poučevala učitelj matematike in učitelj strokovnih predmetov. Prva polovica ure je bila namenjena linearni funkciji, predstavljeni s pomočjo Geogebre in interaktivne table, druga polovica ure je bila namenjena modulu izdelava osnovnih vezij in preverjanju v praksi. Dijaki so na ta način spoznali uporabnost linearne funkcije in tako lažje razumeli upornost vodnikov ter delali na interaktivni tabli in z Geogebro, kar je bila še dodatna motivacija. Ključne besede: motivacija, timsko delo, IKT, praktična uporabnost. Abstract Motivating students for learning is a major problem in our schools, as students often ask where certain learning contents could be useful. The article presents one of the lessons, prepared in collaboration with a teacher colleague, who teaches a module of construction basic circuits, namely with using linear function to temperature-dependant resistance of a conductor. We were both active as teachers in the classroom - me as a mathematics teacher and he as a teacher of technical subjects. The first half of the lesson dealt with linear function, presented with the help of Geogebra and interactive whiteboard. The second half was devoted to module of construction basic circuits and verification in practice. Students learnt about usefulness of linear function and therefore understood the resistance of conductors more easily. Working with interactive whiteboard and Geogebra was an additional motivation for students. Keywords: motivation, team work, ICT, practical application. Uvod V srednjem tehniškem in poklicnem izobraževanju je dijake težko motivirati, da bi sledili pouku. Dijaki sprašujejo, kako bodo določene matematične vsebine uporabljali in če jim navedem samo nekaj primerov praktične uporabe, ni dovolj. Najbolje je, če lahko matematične vsebine prenesemo v strokovne predmete. To so razlogi, da se učitelji poskušamo povezovati in teorijo čim prej prenesti v prakso. Predstavila bom primer učne ure, katere cilj je bil znati uporabiti linearno funkcijo pri modulu izdelava osnovnih vezij, ki je v učnem načrtu predvidena proti koncu 1. letnika (smer elektrotehnik). Dijaki so že poznali linearno funkcijo, zato smo jo samo ponovili. Linearna funkcija Graf linearne funkcije V isti koordinatni sistem smo narisali /(x) = x g(x) = 2x 1 t(x) = -X y 9