JET 41 JET Volume 14 (2021) p.p. 41-55 Issue 1, April 2021 Type of article 1.01 www.fe.um.si/en/jet.html COMPARISON OF CAVITATION MODELS FOR THE PREDICTION OF CAVITATION AROUND A HYDROFOIL PRIMERJAVA KAVITACIJSKIH MODELOV ZA NUMERIČNO NAPOVED KAVITACIJE NA HIDRODINAMIČNEM PROFILU Marko Pezdevšek R , Ignacijo Biluš, Gorazd Hren Keywords: Hydrofoil, cavitation, Ansys CFX Abstract In this paper, four different cavitation models were compared for predicting cavitation around a hy - drofoil. A blocked structured mesh was created in ICEM CFD. Steady-state 2D simulations were per - formed in Ansys CFX. For all cases, the SST turbulence model with Reboud’s correction was used. For Zwart and Schnerr cavitation models, the recommended values were used for the empirical co- efficients. For the full cavitation model and Kunz cavitation model, values for the empirical coeffici- ents were determined as the recommended values did not provide satisfactory results. For the full cavitation model, the effect of non-condensable gases was neglected. For all the above-mentioned cavitation models, the pressure coefficient distribution was compared to experimental results from the literature. Povzetek V prispevku je narejena primerjava med štirimi kavitacijskimi modeli pri numerični napovedi kavita- cije na hidrodinamičnem profilu. V ICEM CFD je bila izdelana blokovna strukturirana mreža. V Ansys CFX so se izvedle 2D stacionarne simulacije. Za vse simulacije je bil uporabljen SST turbulentni model s korekcijo, ki jo je uvedel Reboud. Za kavitacijska modela Zwart in Schnerr smo uporabili privzete vrednosti empirični koeficientov. Za full cavitation model in Kunzov kavitacijski model smo vrednosti R Corresponding author: Marko Pezdevšek, University of Maribor, Faculty of Energy Technology, Hočevarjev trg 1, 8270 Krško, E-mail address: marko.pezdevsek@um.si 42 JET JET Vol. 14 (2021) Issue 4 Marko Pezdevšek, Ignacijo Biluš, Gorazd Hren 2  M ar ko Pezd evšek,  I gna ci jo B ilu š, Go ra zd Hren  JET Vol. 14 (2021)     Issue 1  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    koeficientov določili sami, saj privzete vrednosti niso dale zadovoljivih rezultatov. Za vse štiri  zgoraj  omenjene  kavitacijske  modele  smo  primerjali  porazdelitev  tlačnega  koeficienta  z  eksperimentalnimi rezultati iz literature.    1 INTRODUCTION Cavitation is a phenomenon that occurs when a combination of low local static pressure and high  velocities leads to pressures lower than the vapour pressure. Vapour structures occur in locations  where the local pressure is below the vapour pressure.   In some areas, cavitation can be beneficial, for example, in the medical field to remove kidney  stones, but in engineering applications such as turbines, pump, and rudders, it is an undesirable  effect. Cavitation may cause deterioration in performance, vibrations, and noise. Cavitation  erosion occurs when the cavities collapse near the surface of a blade. Cavitation erosion is usually  combined with other before mentioned unwanted cavitation effects.  The development of cavitation in liquids can take different patterns. Typical types of cavitation  have been classified based on their physical appearance. Some typical cavitation types are  presented in Figure 1 and include bubble cavitation, sheet cavitation, vortex cavitation and cloud  cavitation.    F i g ure  1:  T y pi c al  cavitation  types,  up per  left  travelling b ub bl e  cavitation ,  u pper  right  le adin g  edge  sh eet  cavity, l o we r  left  vortex  cavitation a nd  lower  right  cloud  cavit a tion, [1 ] .  To reduce the cost of maintenance and improve the overall performance of a turbine, propellers,  pumps or similar machinery, understanding and predicting cavitation and its effects is crucial.    JET 43 Comparison of cavitation models for the prediction of cavitation around a hydrofoil   Co mp ar i s on of  c avita tio n mo de l s f o r t he p red ic tio n of  ca v ita tio n  ar ou n d a  hy dr of oi l  3       ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    2 GEOMETRY AND MESH The hydrofoil geometry was obtained from  [ 2 ] . As seen in Figure 2, the chord length of the  hydrofoil is 152.4 mm, and the angle of attack is 1 °. The size of the domain also shown in Figure  2 is four chord lengths before, six chord lengths after and 2.5 chord length below and above the  hydrofoil.    F i g u r e  2:  M ode l  dimen sions.  For the hydrofoil domain, a blocked structured mesh was created in ICEM CFD. The final mesh  consisted of approximately 76,500 elements. The maximum dimensionless value y+ is below 1, as  shown in Figure 3.     F i g u r e  3:  Dime nsionless  y+  values  on th e  hyd r ofoil  surf ace.  44 JET JET Vol. 14 (2021) Issue 4 Marko Pezdevšek, Ignacijo Biluš, Gorazd Hren 4  M ar ko Pezdevšek,  I gna ci jo B ilu š, Go ra zd Hren  JET Vol. 14 (2021)     Issue 1  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    The upper image in Figure 4 shows the surface mesh of the model. The middle image shows a  magnified  cut‐out  section  of  the  domain,  which  shows  the  mesh  distribution  around  the  hydrofoil. The bottom image in Figure 4 is a cut out magnified section of the middle image, where  mesh distribution near the hydrofoil surface is visible.  Figure  4:  Surf a c e  mesh  of t he  hydro foil  do ma in ( up pe r  image),  cut‐ out  m agnified  section  of  the  upper  image  (middle se ct io n) a nd  cut‐ out  magnified  sect ion  of t he  middle  image  (low e r  image ).          JET 45 Comparison of cavitation models for the prediction of cavitation around a hydrofoil   Co mp ar i s on of  c avita tio n mo de l s f o r t he p red ic tio n of  ca v ita tio n  ar ou n d a  hy dr of oi l  5       ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    3 GOVERNING EQUATIONS, CAVITATION MODELS In CFX, the homogenous mixture flow is governed by the following set of equations, phases are  considered incompressible and share the same velocity field U:  Continuity equation:    ∇�𝑼𝑼�𝑚𝑚 � � 1 𝜌𝜌 � � 1 𝜌𝜌 � �  (3.1)  Where:  𝑼𝑼  – time‐averaged mixture velocity [m/s],  𝑚𝑚 �  – interphase mass transfer rate due to cavitation [kg/m³s],  𝜌𝜌 �  – vapour density [kg/m³],  𝜌𝜌 �  – liquid density [kg/m³].  Momentum equation for the liquid vapour mixture:    𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝑼𝑼 � 𝜕𝜕𝜕𝜕 �∇� � 𝜌𝜌𝑼𝑼𝑼𝑼 � � � ∇𝑃𝑃 � ∇ � � �𝜇𝜇�𝜇𝜇 � �� ∇𝑼𝑼 � � ∇𝑼𝑼 � � � �  (3.2)  Where:  𝜌𝜌  – density of the water‐vapour mixture [kg/m³],  𝑃𝑃  – time averaged pressure [Pa],  𝜇𝜇  – dynamic viscosity of the water‐vapour mixture [kg/m s],  𝜇𝜇 �  – turbulent viscosity [kg/m s].  Volume fraction equation for the liquid phase.    𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 �∇� � 𝜕𝜕 𝑼𝑼 � � 𝑚𝑚 � 𝜌𝜌 �   (3.3)  Where:  𝜕𝜕  – water volume fraction [/].  The water volume fraction and vapour volume fraction are defined as:    γ � liquid volume total volume ; �� vapour volume total volume   (3.4)  The relation between the water and vapour fraction can be expressed as:    γ ��� 1  (3.5)  The water‐vapour mixture density can be defined as:    𝜌𝜌 � 𝜕𝜕𝜌𝜌 � � �1 �𝜕𝜕 � 𝜌𝜌 �   (3.6)  The water‐vapour mixture dynamic viscosity is defined as:    𝜇𝜇 � 𝜕𝜕𝜇𝜇 � � �1 �𝜕𝜕 � 𝜇𝜇 �   (3.7)  46 JET JET Vol. 14 (2021) Issue 4 Marko Pezdevšek, Ignacijo Biluš, Gorazd Hren 6  M ar ko Pezd evšek,  I gna ci jo B ilu š, Go ra zd Hren  JET Vol. 14 (2021)     Issue 1  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐         3.1 Turbulence model Two‐equation turbulence models are very widely used, as they offer good compromises between  numerical effort and computational accuracy. In the models, the velocity and length scale are  solved using separate transport equations. The  k‐ε and  k‐ω two‐equation models use the gradient  diffusion hypothesis to relate the Reynolds stresses to the mean velocity gradients and the  turbulent viscosity. The turbulent viscosity is modelled as the product of a turbulent velocity and  turbulent length scale.  The turbulence velocity scale is computed from the turbulent kinetic energy, which is provided  from the solution of its transport equation. The turbulent length scale is estimated from two  properties of the turbulence field, usually the turbulent kinetic energy and its dissipation rate.  The dissipation rate of the turbulent kinetic energy is provided from the solution of its transport  equation.    3.1.1 The Shear Stress Transport (SST) Model The SST turbulence model was proposed by Menter,  [3 ], and is a blend between the k‐ω model  for the region near the surface and  k‐ε model for the outer region. The model consists of a  transformation of the k‐ε model to a  k‐ω formulation. This is achieved by the use of a blending  function  F1.  F1 is equal to one near the surface and decreases to a value of zero outside the  boundary layer. [1]  The turbulent kinetic energy  k is defined by:    𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌 � 𝜕𝜕𝜕𝜕 � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � �𝜌𝜌 � � 𝜌𝜌� � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ��𝜇𝜇 � 𝜇𝜇 � 𝜎𝜎 � � 𝜕𝜕𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ��𝑃𝑃 � �𝛽𝛽 � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 � 𝑃𝑃 ��   (3.8)  Where:  𝑃𝑃 �  – production rate turbulence,  𝜌𝜌  – turbulent kinetic energy [m 2 /s 2 ],  𝑃𝑃 ��  – buoyancy production term.  The specific dissipation rate ω is obtained:    𝜕𝜕 � 𝜌𝜌𝜌𝜌 � 𝜕𝜕𝜕𝜕 � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � �𝜌𝜌 � � 𝜌𝜌� � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ��𝜇𝜇 � 𝜇𝜇 � 𝜎𝜎 � � 𝜕𝜕𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕 � ��� 𝜌𝜌 𝜌𝜌 𝑃𝑃 � � 𝛽𝛽𝜌𝜌 𝜌𝜌 � �𝑃𝑃 ��   (3.9)  Where:  𝜌𝜌  – specific dissipation rate [s ‐1 ],  𝑃𝑃 ��  – buoyancy term.  The model constants are:  𝛽𝛽 � � 0.0 9,  �� 5/9,  𝛽𝛽� 0.075,  𝜎𝜎 � � 2,  𝜎𝜎 � � 2.  JET 47 Comparison of cavitation models for the prediction of cavitation around a hydrofoil   Co mp ar i s on of  c avita tio n mo de l s f o r t he p red ic tio n of  ca v ita tio n  ar ou n d a  hy dr of oi l  7       ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    If we use  𝛷𝛷 � ,  𝛷𝛷 �  and  𝛷𝛷 �  to represent the terms in the  k‐ε,  k‐ω and SST model then the coefficients  of the SST model are a linear combination of the corresponding coefficients of the underlying  models [1]:    𝛷𝛷 � �𝑆𝑆 � 𝛷𝛷 � � � 1 �𝑆𝑆 � � 𝛷𝛷 �   (3.10)  The turbulent viscosity is modified to account for the transport of the turbulent shear stress. The  turbulent viscosity is defined as:    𝜇𝜇 � � 𝑎𝑎 � 𝑘𝑘 𝜌𝜌 max � 𝑎𝑎 � 𝜔𝜔 , 𝑆𝑆𝑆𝑆 � �   (3.11)  Where:  𝑆𝑆  – strain rate magnitude [s ‐1 ],  𝑎𝑎 �  – constant (0.31),  𝑆𝑆 �  – second blending function.    3.1.2 Reboud’s correction Two‐equation  turbulence  models  were  developed  for  single  phase  flows;  they  tend  to  overestimate the turbulent viscosity in the region of transition between vapour and liquid phase  and damp the unsteadiness of the cavitating regime, [1 ] .  Rebound,  [ 4 ], proposed a modification of the  k‐ε turbulence model by reducing the turbulent  viscosity in order to take into account the suggested two‐phase flow effects on the turbulent  structures,  [1 ] . The density in the turbulent viscosity equation is now replaced with a density  function and is written as:    𝑓𝑓 � 𝜌𝜌 ��𝜌𝜌 � � � 𝜌𝜌 � �𝜌𝜌 � � � � 𝜌𝜌 � �𝜌𝜌 � � � � �   (3.12)  Where:  𝜌𝜌 �  – mixture density [kg/m 3 ],  𝑛𝑛  – constant (10).    3.2 Cavitation models The specific interphase mass transfer rate m ̇ was modelled using an appropriate cavitation  model. We assume that the specific mass transfer rate is positive if directed from vapour to liquid.    3.2.1 Zwart The Zwart cavitation model was developed by Zwart et al. [5]. The model is based on the  multiphase flow equations, with mass transfer due to cavitation appearing as source‐and‐sink  terms in the liquid and vapour continuity equations. The mass transfer rate is derived from a  simplified Rayleigh‐Plesset model, [5 ] .  48 JET JET Vol. 14 (2021) Issue 4 Marko Pezdevšek, Ignacijo Biluš, Gorazd Hren 8  M ar ko Pezd evšek,  I gna ci jo B ilu š, Go ra zd Hren  JET Vol. 14 (2021)     Issue 1  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐      𝑚𝑚 � � ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝐹𝐹 ��� 3 𝑟𝑟 ��� � 1 �𝛼𝛼 � 𝜌𝜌 � 𝑅𝑅 � � 2 3 𝑃𝑃 � �𝑃𝑃 𝜌𝜌 � if 𝑃𝑃�𝑃𝑃 � 𝐹𝐹 ���� 3𝛼𝛼 𝜌𝜌 � 𝑅𝑅 � � 2 3 𝑃𝑃�𝑃𝑃 � 𝜌𝜌 � if 𝑃𝑃�𝑃𝑃 �   (3.13)  Where:  𝑟𝑟 ���  – nucleation site volume fraction [m],  𝑅𝑅 �  – bubble radius [m],  𝑃𝑃 �  – vapour pressure [Pa],  𝐹𝐹 ���  – evaporation coefficient [/],  𝐹𝐹 ����  – condensation coefficient [/].  The  recommended  values  for  the  two  coefficients  are  𝐹𝐹 ��� � 50  and  𝐹𝐹 ���� � 0.01.  The  recommended values for the nucleation site volume fraction and bubble radius are  𝑟𝑟 ��� � 5 ∙ 10 ��  and  𝑅𝑅 � � 10 �� .    3.2.2 Schnerr Schnerr and Sauer,  [6 ], assumed that the vapour structure is filled with spherical bubbles, which  are governed by the simplified Rayleigh Plesset equation. The mass transfer rate in the Schnerr  and Sauer model is proportional to  𝛼𝛼 � 1 �𝛼𝛼 �. Moreover, the function  � � � � � 𝛼𝛼 � 1 �𝛼𝛼 �  has the  interesting property that it approaches zero when 𝛼𝛼� 0 and 𝛼𝛼� 1 and reaches the maximum  in between, [1] .     𝑚𝑚 � � ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝐹𝐹 ��� 𝜌𝜌 � 𝜌𝜌 � 𝜌𝜌 𝛼𝛼 � 1 �𝛼𝛼 � 3 𝑅𝑅 � � 2 3 𝑃𝑃 � �𝑃𝑃 𝜌𝜌 � if 𝑃𝑃�𝑃𝑃 � 𝐹𝐹 ���� 𝜌𝜌 � 𝜌𝜌 � 𝜌𝜌 𝛼𝛼 � 1 �𝛼𝛼 � 3 𝑅𝑅 � � 2 3 𝑃𝑃�𝑃𝑃 � 𝜌𝜌 � if 𝑃𝑃�𝑃𝑃 �   (3.14)  Where:  𝑅𝑅 �  – bubble radius [m],  𝐹𝐹 ���  – evaporation coefficient [/],  𝐹𝐹 ����  – condensation coefficient [/].    𝑅𝑅 � �� 𝛼𝛼 1 �𝛼𝛼 3 4 𝜋𝜋𝜋𝜋 � � �   (3.15)  Where:  𝜋𝜋  – bubble number density [/],  The  recommended  values  for  the  two  coefficients  are  𝐹𝐹 ��� � 1  and  𝐹𝐹 ���� � 0.2.  The  recommended values for the bubble number density is 𝜋𝜋� 10 �� .    JET 49 Comparison of cavitation models for the prediction of cavitation around a hydrofoil   Co mp ar i s on of  c avita tio n mo de l s f o r t he p red ic tio n of  ca v ita tio n  ar ou n d a  hy dr of oi l  9       ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    3.2.3 Full cavitation model The full cavitation model (FCM) was developed by Singhal et al. [7]. The bubble dynamics equation  is referred to as a “reduced bubble dynamics formulation” and is derived from the generalized  Rayleigh‐Plesset equation. It assumes that in most engineering situations, there are plenty of  nuclei for the inception of cavitation. The primary focus is on the proper account of bubble growth  and collapse, [7 ] .    𝑚𝑚 � � ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝐶𝐶 � √ 𝑘𝑘 𝑇𝑇 𝜌𝜌 � 𝜌𝜌 � � 2 3 𝑃𝑃 � �𝑃𝑃 𝜌𝜌 � �1 � 𝑓𝑓 � � 𝑓𝑓 � � if 𝑃𝑃�𝑃𝑃 � 𝐶𝐶 � √ 𝑘𝑘 𝑇𝑇 𝜌𝜌 � 𝜌𝜌 � � 2 3 𝑃𝑃�𝑃𝑃 � 𝜌𝜌 � 𝑓𝑓 � if 𝑃𝑃�𝑃𝑃 �   (3.16)  Where:  𝑓𝑓 �  – vapour mass fraction [/],  𝑓𝑓 �  – gas mass fraction [/],  𝑇𝑇  – surface tension [N/m],  𝑃𝑃 �  – vapour pressure [Pa],  𝐶𝐶 �  – empirical coefficient [m/s],  𝐶𝐶 �  – empirical coefficient [m/s].  Singhal et al.,  [ 8 ] ,  reported a numerical model using a probability density function approach for  accounting for the effects of turbulent pressure fluctuations. The local values of the turbulence  pressure fluctuations were defined as:    𝑃𝑃 � �� �� � 0.39 𝜌𝜌𝑘𝑘   (3.17)  In  [ 8 ], computations of time‐averaged phase‐change rates by the integration of instantaneous  rates in conjunction with the assumed probability density function for pressure variation with  time  were  presented.  By  raising  the  phase  change  threshold  pressure  value,  Singhal,  [ 7 ],  proposed a simplified term:    𝑃𝑃 � � �𝑃𝑃 ��� � 𝑃𝑃 � ��� � 2 �   (3.18)  where:  𝑃𝑃 ���  – saturation pressure [Pa],    The recommended values for the two empirical calibration coefficients are  𝐶𝐶 � � 0.02 and  𝐶𝐶 � � 0.01.     3.2.4 Kunz The Kunz cavitation model is a heuristic model based on work by Merkle et al.,  [ 9 ]. The source  term is subdivided into a term related to vaporization and a term related to condensation. The  transformation of liquid to vapour is calculated as proportional to the amount by which the  50 JET JET Vol. 14 (2021) Issue 4 Marko Pezdevšek, Ignacijo Biluš, Gorazd Hren 10  M ar ko Pezd evšek,  I gna ci jo B ilu š, Go ra zd Hren  JET Vol. 14 (2021)     Issue 1  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    pressure is below the vapour pressure. For the transformation of vapour to liquid, a simplified  form of the Ginzburg‐Landau potential is employed,  [10].    𝑚𝑚 � � ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝐶𝐶 ���� 𝜌𝜌 � � 𝛾𝛾 � �𝛾𝛾 � � 𝑡𝑡 � 𝐶𝐶 � �� � 𝜌𝜌 � 𝛾𝛾 min � 0, ��� � � � 1 2 𝜌𝜌 � 𝑈𝑈 � � �𝑡𝑡 �   (3.19)  where:  𝐶𝐶 ��� �  – empirical coefficient [/],  𝐶𝐶 � �� �   – empirical coefficient [/],  𝑈𝑈 �   – free stream velocity [m/s],  𝑡𝑡 �   – mean flow time scale [s].  The mean flow time scale is defined as:    𝑡𝑡 � �𝐿𝐿 / 𝑈𝑈 �   (3.20)  where:  𝐿𝐿  – characteristic length scale [m].  The recommended values for the two empirical coefficients are  𝐶𝐶 ���� � 100 and  𝐶𝐶 � �� � � 100.     4 BOUNDARY CONDITIONS AND SIMULATION SETTINGS For this problem, the following boundary conditions were applied (shown in Figure 5):   ‐ The left surface was specified as an inlet, where a normal velocity of 16.91 m/s was  defined.  ‐ The right surface was defined as an outlet, where a static pressure of 51,957 Pa was  defined.  ‐ The top and bottom surfaces were defined as a free‐slip wall.  ‐ The symmetry boundary condition was applied for the side surfaces.  ‐ The hydrofoil surface was defined as a no‐slip wall.  JET 51 Comparison of cavitation models for the prediction of cavitation around a hydrofoil   Co mp ar i s on of  c avita tio n mo de ls for t he pr e di ct i on of  ca v ita tio n  a ro und a  hy dr of oi l  11       ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐      Figure  5:  Bo un dary  co ndition s.  The cavitation number is a non‐dimensional parameter for cavitating flow and is defined as:     �� 𝑝𝑝 ��� �𝑝𝑝 � 0.5 𝜌𝜌 � 𝑈𝑈 ��� �   (4.1)  The cavitation number for this case is calculated to 0.34.  For all four selected cavitation models, steady‐state 2D simulations were performed in Ansys CFX.  For all cases, the average RMS residuals were set at 10^‐6, and the SST turbulence model with  Reboud’s correction was used. For Zwart and Schnerr cavitation models, the recommended  values were used for the empirical coefficients. For the FCM cavitation model, we have neglected  the effect of non‐condensable gases. The two empirical coefficients were set at  𝐶𝐶 � � 1 and  𝐶𝐶 � � 1. For the Kunz cavitation model, the two empirical coefficients were set at  𝐶𝐶 �� �� � 65,000 and  𝐶𝐶 ���� � 1800. The empirical coefficients used for this study are presented in Table 1.  Table  1:  E m p i r i c a l  coefficient  values fo r  cavitation  models us e d  in  this  s tud y .  Cavitation model  Coefficient values  Zwart  𝐹𝐹 ��� � 50,  𝐹𝐹 ���� � 0.01  Schnerr  𝐹𝐹 ��� � 1,  𝐹𝐹 ���� � 0.2  FCM  𝐶𝐶 � � 1,  𝐶𝐶 � � 1  Kunz  𝐶𝐶 �� �� � 65,000,  𝐶𝐶 ���� � 1800    5 RESULTS Figure 6 shows the distribution of the pressure coefficient along the hydrofoil surface for all four  selected cavitation models. The pressure coefficient is compared to the experimental results from  the literature,  [2]. In general, all cavitation models show good agreement with experimental  results at x/c values below 0.7. Above 0.7, the FCM and Zwart cavitation models show the best  agreement, while the Kunz cavitation model deviates the most.  Outlet  Inlet  No slip wall  Free slip wall  52 JET JET Vol. 14 (2021) Issue 4 Marko Pezdevšek, Ignacijo Biluš, Gorazd Hren 12  M ar ko Pezd evšek,  I gna ci jo B ilu š, Go ra zd Hren  JET Vol. 14 (2021)     Issue 1  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐      F i g u r e  6:  Pr essure  coefficient  distribution.  The cavitation for the Schnerr model starts at x/c=0.2; for the FCM and Kunz model, it starts at  approximately x/c=0.3. For the Zwart model, the cavitation starts at x/c=0.4. Vapour volume  fraction distribution for all cavitation models is seen in Figure 7.    F i g u r e  7:  Vap o ur  volum e  frac tion  distrib u tion.  Figure 8 shows the vapour volume fraction for all cavitation models. The Zwart and FCM models  predicted cavitation in a very similar manner, which is also evident from the pressure coefficient  distribution. For the Schnerr cavitation model, the values for the vapour volume fraction are  higher compared to the other three models.   ‐0,4 ‐0,3 ‐0,2 ‐0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Cp [/] x/c [/] Exp. Zwart Schnerr FCM Kunz 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Volume vapour fraction [/] x/c [/] Zwart Schnerr FCM Kunz JET 53 Comparison of cavitation models for the prediction of cavitation around a hydrofoil   Co mp ar i s on of  c avita tio n mo de ls for t he pr e di ct i on of  ca v ita tio n  a ro und a  hy dr of oi l  13       ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐      Figure  8:  V o l u m e  vapo ur  fr a c tion  for  the  four  selected  cav i tation  mo de ls .      6 CONCLUSION Steady‐state 2D simulations were performed for a hydrofoil with a chord length of 152.4 mm and  an angle of attack of 1 °. A velocity of 16.91 m/s was defined, the cavitation number was  calculated to 0.34. For all cases, the SST turbulence model with Reboud’s correction was used.  For Zwart and Schnerr cavitation models, the recommended values were used for the empirical  coefficients; the results for the pressure coefficient for both models show good agreement with  experimental results. For the FCM cavitation model, we have neglected the effect of non‐ condensable gases. In this study, the two empirical coefficients were set at  𝐶𝐶 � � 1 and  𝐶𝐶 � � 1.  With the set coefficients, the results for the pressure coefficient were in good agreement with  the experimental results. For the Kunz cavitation model, the two empirical coefficients were set  at  𝐶𝐶 �� �� � 65, 000 and  𝐶𝐶 ��� � � 1800. With the set coefficients, the results for the pressure  coefficient were in good agreement with the experimental results but compared to other models;  the Kunz cavitation model deviates the most. From the results given, it seems that the selected  cavitation models in this study can offer similar levels of accuracy, although we should note that  with the FCM and Kunz model, the recommended values for the empirical coefficients did not  provide satisfactory results.        Zwart  FCM  Schnerr  Kunz  54 JET JET Vol. 14 (2021) Issue 4 Marko Pezdevšek, Ignacijo Biluš, Gorazd Hren 14  M ar ko Pezd evšek,  I gna ci jo B ilu š, Go ra zd Hren  JET Vol. 14 (2021)     Issue 1  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    References [1]   D. Ziru LI: Assessment of Cavitation Erosion with a Multiphase Reynolds‐Averaged  Navier‐Stokes Method, Wuhan University of Technology, Wuhan, P.R. China, 2012.  [2]   ANSYS, Inc.: ANSYS CFX tutorials, 2016  [3]   F.  R.  Menter:  Two‐Equation  Eddy‐Viscosity  Turbulence  Models  for  Engineering  Applications, AIAA Journal, Volume 32, No. 8, August 1994.  [4]   J. L. Reboud, B. Stutz, O. Coutier‐Delgosha: Two phase flow structure of cavitation:  experiment and modeling of unsteady effects, Proceedings of the 3 rd  International  Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998.  [5]   P. J. Zwart, A. G. Gerber, T. Belamri: A Two‐Phase Flow Model for Predicting Cavitation  Dynamics, ICMF 2004 International Conference on Multiphase Flow, Yokohama, Japan,  2004  [6]   G. H. Schnerr: Physical and Numerical Modeling of Unsteady Cavitation Dynamics, ICMF‐ 2001, 4th International Conference on Multiphase Flow, New Orleans, USA, 2001  [7]   A. K. Singhal, H. Li, Y. Jiang: Mathematical Basis and Validation of the Full Cavitation  Model, Journal of Fluids Engineering, 2002  [8]   A. K. Singhal, N. Vaidya, A. D. Leonard: Multi‐Dimensional Simulation of Cavitating Flows  Using a PDF Model for Phase Change, ASME FED Meeting, Vancouver, Canada, 1997.  [9]   C. L. Merkle, J. Feng, P. Buelow: Computational modelling of the dynamics of sheet  cavitation, Proceedings of 3rd International Symposium on Cavitation, Grenoble, France,  1998.  [10]   R. F. Kunz, D. A. Boger, D. R. Stinebring, T. S. Chyczewski, J. W. Lindau, H. J. Gibeling, S.  Venkateswaran, T. R. Govindan: Preconditioned Navier‐Stokes Method for Two‐Phase  Flows with Application to Cavitation Prediction, Computers & Fluids 29, 2000.    Nomenclature (Symbols)  (Symbol meaning)  𝑼𝑼   time‐averaged mixture velocity  𝒎𝒎 �   interphase mass transfer rate due to cavitation  𝝆𝝆 𝐯𝐯   vapour density  𝝆𝝆 𝐥𝐥   liquid density  𝝆𝝆   density of the water‐vapour mixture  𝑷𝑷   time‐averaged pressure  𝝁𝝁   dynamic viscosity of the water‐vapour mixture  𝝁𝝁 𝒕𝒕   turbulent viscosity  𝜸𝜸   water volume fraction  14  M ar ko Pezd evšek,  I gna ci jo B ilu š, Go ra zd Hren  JET Vol. 14 (2021)     Issue 1  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    References [1]   D. Ziru LI: Assessment of Cavitation Erosion with a Multiphase Reynolds‐Averaged  Navier‐Stokes Method, Wuhan University of Technology, Wuhan, P.R. China, 2012.  [2]   ANSYS, Inc.: ANSYS CFX tutorials, 2016  [3]   F.  R.  Menter:  Two‐Equation  Eddy‐Viscosity  Turbulence  Models  for  Engineering  Applications, AIAA Journal, Volume 32, No. 8, August 1994.  [4]   J. L. Reboud, B. Stutz, O. Coutier‐Delgosha: Two phase flow structure of cavitation:  experiment and modeling of unsteady effects, Proceedings of the 3 rd  International  Symposium on Cavitation, Grenoble, France, 1998.  [5]   P. J. Zwart, A. G. Gerber, T. Belamri: A Two‐Phase Flow Model for Predicting Cavitation  Dynamics, ICMF 2004 International Conference on Multiphase Flow, Yokohama, Japan,  2004  [6]   G. H. Schnerr: Physical and Numerical Modeling of Unsteady Cavitation Dynamics, ICMF‐ 2001, 4th International Conference on Multiphase Flow, New Orleans, USA, 2001  [7]   A. K. Singhal, H. Li, Y. Jiang: Mathematical Basis and Validation of the Full Cavitation  Model, Journal of Fluids Engineering, 2002  [8]   A. K. Singhal, N. Vaidya, A. D. Leonard: Multi‐Dimensional Simulation of Cavitating Flows  Using a PDF Model for Phase Change, ASME FED Meeting, Vancouver, Canada, 1997.  [9]   C. L. Merkle, J. Feng, P. Buelow: Computational modelling of the dynamics of sheet  cavitation, Proceedings of 3rd International Symposium on Cavitation, Grenoble, France,  1998.  [10]   R. F. Kunz, D. A. Boger, D. R. Stinebring, T. S. Chyczewski, J. W. Lindau, H. J. Gibeling, S.  Venkateswaran, T. R. Govindan: Preconditioned Navier‐Stokes Method for Two‐Phase  Flows with Application to Cavitation Prediction, Computers & Fluids 29, 2000.    Nomenclature (Symbols)  (Symbol meaning)  𝑼𝑼   time‐averaged mixture velocity  𝒎𝒎 �   interphase mass transfer rate due to cavitation  𝝆𝝆 𝐯𝐯   vapour density  𝝆𝝆 𝐥𝐥   liquid density  𝝆𝝆   density of the water‐vapour mixture  𝑷𝑷   time‐averaged pressure  𝝁𝝁   dynamic viscosity of the water‐vapour mixture  𝝁𝝁 𝒕𝒕   turbulent viscosity  𝜸𝜸   water volume fraction  JET 55 Comparison of cavitation models for the prediction of cavitation around a hydrofoil   Co mp ar i s on of  c avita tio n mo de l s f o r t he p red ic tio n of  ca v ita tio n  ar ou n d a  hy dr of oi l  15       ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐    𝑷𝑷 𝒌𝒌   production rate turbulence  𝒌𝒌   turbulent kinetic energy  𝑷𝑷 𝒌𝒌𝒌𝒌   buoyancy production term  𝝎𝝎   specific dissipation rate  𝑷𝑷 𝝎𝝎𝒌𝒌   buoyancy term  𝑺𝑺   strain rate magnitude  𝑭𝑭 𝟐𝟐   second blending function  𝝆𝝆 𝒎𝒎   mixture density  𝒓𝒓 𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏   nucleation site volume fraction  𝑹𝑹 𝑩𝑩   bubble radius  𝑷𝑷 𝒗𝒗   vapour pressure  𝑭𝑭 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗   evaporation coefficient  𝑭𝑭 𝒏𝒏𝒄𝒄𝒏𝒏𝒄𝒄   condensation coefficient  𝑹𝑹 𝑩𝑩   bubble radius  𝒏𝒏   bubble number density  𝒇𝒇 𝒗𝒗   vapour mass fraction  𝒇𝒇 𝒈𝒈   gas mass fraction  𝑻𝑻   surface tension  𝑷𝑷 𝒗𝒗   vapour pressure  𝑪𝑪 𝒆𝒆   empirical coefficient  𝑪𝑪 𝒏𝒏   empirical coefficient  𝑷𝑷 ′ 𝒕𝒕𝒏𝒏𝒓𝒓𝒌𝒌   local values of the turbulence pressure fluctuations  𝑷𝑷 𝒔𝒔𝒗𝒗𝒕𝒕   saturation pressure  𝑪𝑪 𝒗𝒗 𝒓𝒓𝒄𝒄𝒄𝒄   empirical coefficient  𝑪𝑪 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒔𝒔𝒕𝒕     empirical coefficient  𝑼𝑼 �     free stream velocity  𝒕𝒕 ∞     mean flow time scale  𝑳𝑳   characteristic length scale  𝝈𝝈   cavitation number