Filozofski vestnik Letnik/Volume XXIII • Številka/Number 1 • 2002 • 7-24 M A T E M A T I Č N I S T R U K T U R A L I Z E M K O T Z V R S T P L A T O N I Z M A * BOJAN BORSTNER I Strukturalizem je zvrst platonizma Resnik: »Trdim, da v matematiki n imamo predmetov z 'notranjo' kompozic i jo u r e j e n o v strukturo, ampak i m a m o le strukture. Matematični objekti, to so bitnosti, k i j i h naše matematične konstante in kvantifikatorji označujejo, so brezstrukturne točke ali položaji v strukturah. Kot položaji v strukturi nimajo identitete ali p o d o b e , ki bi bile zunaj strukturne.« (Resnik 1981, 530) 1. Matematični strukturalizem1 kot zvrst platonizma se odlikuje p o tem, da poudarja pr imarno v logo vzorcev (patterns) v pojasnjevanju, kaj j e matematika, kar l epo ilustrira primer s števili. Zagovorniki strukturalizma trdijo, da so števila to, kar so, na osnovi relacijskih lastnosti, ki so m e d njimi (ki veljajo med njimi). Notranje so brez oblik {featureless). Števila imajo samo tiste lastnosti, ki izhajajo - so posledica — iz odnosov (relacij) med naravnimi števili, ki j ih konstitutirajo kot abstraktne predmete. Naravna števila so abstraktna - noben konkreten objekt ne m o r e biti notranje brezobl ičen na ta način. Tisto, kar j e osrednje za aritmetiko j e , d a j e vzorec (lahko bi dejali tudi struktura) sekvence naravnih števil (natural numbers sequence) — vzorec w sekvence. * Prvo verzijo tega teksta sem predstavil na kolokviju »Filozofija in matematika«, ki ga je organiziral Filozofski inštitut ZRC SAZU 28. in 29. oktobra 1999 v Ljubljani. Sedanja verzija je plod mnogih pogovorov s kolegi Valentinom Kalanom, Nenadom Miščevičem in Borisom Vezjakom, kateri pa za napake in zmote v tekstu nikakor niso (so)odgovorni. 1 Izhodiščne opredelitve temeljijo na delih M. Resnika in S. Shapira : Resnik: »Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference«, Nous 15(1981), 529-550; »Mathematics as a Science of Patterns: Epistemology«, Nous 16 (1982), 95-105; »Mathematics from a Structuralist Point of View«, Revue Internationale de Philosophie 42 (1988), 400-424. Shapiro: »Mathematics and Reality«, Philosophy and. Science 50 (1983), 523-548; »Structure and Ontology« Philosophical Topics 17 (1989), 145-171. 7 BOJAN BORSTNF.R 1.1 T a vzorec j e lahko upr imer jen s ko lekc i j o ( zb i rko ) k o n k r e t n i h predmetov — to j e konkretna w sekvenca. Vzorec sam j e ravno tisto, kar imajo vse te posamezne w sekvence, kot w sekvence, skupnega - to j e d o l o č e n a urejenost (oblikovanost, aranžma), k i j e pr isotne v vseh. T a ure jenost j e abstraktna w sekvenca in njeni elementi so pozic i je , k i j ih lahko »zavzamejo« posamezni konkretni predmeti.2 1.2 Posamezne pozicije (ki so breztelesne) so sama naravna števila - primer: naravno število 5 j e peta pozici ja v abstraktni w sekvenci; pri tem 5 nima drugih lastnosti kot te, d a j e peta pozici ja (torej natančno ta pozici ja) in da ni neka druga pozicija v vzorcu. Konkretni predmet i predpostavl jajo to p o z i c i j o , k o se k o n k r e t n i p r e d m e t i p o j a v l j a j o k o t č l a n i d o l o č e n e g a (primernega) a r a n ž m a j a - d o l o č e n e urejenosti. Abstraktna w s e k v e n c a j e torej upr imer jena z zbirko (ko lekc i jo ) konkre tn ih p r e d m e t o v , s o č a s n o pa j e primerno trditi, da je naravno število 5 upr imei jeno s konkretnim predmetom. 3 1.21 Shapiro eksplicitno zatrdi, d a j e abstraktna w sekvenca univerzalija (1983, 536 - 3 8 ) . »En način za d o j e m a n j e p o s a m e z n e g a vzorca j e ta, da p r o u č i m o zbirko (ali zbirke) predmetov, ki so urejeni na d o l o č e n način in da ignoriramo predmete, ki niso v o d n o s u d o te ureditve.« (Shapiro 1983, 535) ,4 1.3 V preučevanju vzorca (urejenosti, aranžmaja) m o r a m o zanemariti lastnosti, k i j ih imajo konkretni predmeti - na ta način n a m ostanejo zgolj 2 To spominja na tezo, ki jo je zagovarjal Dretske v članku »Laws of Nature«, Philosophy of Science, 44(1977), ko pravi, da imajo zakonodajna, izvršna in sodna oblast vsaka svojo nalogo in moč. Te naloge in moči so določene z množico zakonov, ki po svoji naravi niso nujni. Vendar pa, ker so ti zakoni sprejeti, se mora predsednik ZDA o določenih vprašanjih posvetovati s kongresom, sodniki Vrhovnega sodišča ne morejo proglasiti vojne, člani Kongresa morajo biti periodično voljeni. »Legalni kodeks vzpostavi množico odnosov med različnimi oblikami oblasti in ta množica odnosov (med abstraktnimi oblikami) vtisnejo zakonske omejitve posameznikom, ki zasedajo te pozicije - omejitve, ki so izražene s takimi modalnimi izrazi kot sta »ne sme« in »mora«. So nekatere stvari, kiji posamezniki (in zbirke posameznikov - kot je Senat) smejo in ne smejo storiti.« (264-5) 3 Problem je v tem, da ni najbolj jasno, kaj naj bi bil ta konkretni predmet - ali je konkretni predmet zgolj pozicija v abstraktni w sekvenci? - kaj torej ostane? 4 To spominja na Richarda Dedekinda: »Če v proučevanju enostavnega neskončnega sistema N, kije urejen s transformacijo f, povsem zanemarimo posebni značaj elementov in ohranimi njihovo razlikovalnost ter upoštevamo le njihove medsebojne odnose, ki so določeni s f, potem so ti elementi imenovani naravna števila ali vrstilna števila ali enostavno števila ... » (Dedekind 1963; sekcija VI, definicija 73) V tem kontekstu je zanimiv še naslednji Dedekindov pristavek: »S sklicevanjem na to osvobajanje elementov vsakršne druge vsebine (abstrakcija) smo upravičeni v imenovanju števil za kreacije človeškega duha. Odnosi ali zakoni, ki so izpeljani v celoti iz pogojev a, b, g, d v (71) in so zato vedno enaki v vseh enostavnih neskončnih urejenih sistemih, ne glede na to, kakšna imena so lahko dana posameznim elementom (primerjaj 134), tvorijo prve predmete znanosti o številih ali aritmetike.« (ibid.) 8 M A T E M A T I Č N I STRUKTURALIZEM KOT ZVRST PLATONIZMA tiste lastnosti, ki so povezane s samo pozici jo v vzorcu - torej tisto, kar bi lahko označili kot breztelesno konfiguraci jo . 1.31 Problem: ali j e ta konfiguracija konfiguracija nečesa (zdrav razum bi o b i č a j n o opredel i l tako pozic i jo kot konfiguraci jo ničesa (of nothing)? Je - j e k o n f i g u r a c i j a p razn ih mest in vsebuje , j e sestavljena iz iz n j ihov ih konf igurac i j sk ih o d n o s o v (relaci j ) . Tore j , i m a m o vzorec (konf iguraci jo , aranžma) , ki »vsebuje« prazna mesta - pozicije, ker smo odvzeli konkretne objekte.5 1.32 Prazna mesta so univerzalije, ki pa niso enostavne, ampak so kompleksne relacijske lastnosti. Težava pa j e v tem, da so ta prazna mesta » ro jena« s p r e d m e t o m takrat, k o predmet pripada zbirki, ki »nosi«, » ima« univerzalijo - to j e abstraktno w sekvenco. 1.33 Pomislek: strukturalisti govorijo o naravnih številih k o t o nenasičenih univerzalijah (Shapiro ) , vendar pa tudi kot o abstraktnih predmetih.0 T o pa p o m e n i , da so o z n a č e n i (denote) z individualnimi konstantami in ne s predikativnimi izrazi: (i) konkretni predmet i so elementi konkretne w sekvence. Konkretna w sekvenca je zbirka konkretnih predmetov urejenih na d o l o č e n način. (ii) Abstraktna w sekvenca je zbirka abstraktnih predmetov (naravnih števil na pr imer) urejenih na d o l o č e n način. (iii) Abstraktna w sekvenca je struktura, vzorec katerekoli w sekvence. (iv) Abstraktna w sekvenca je sama že w sekvenca. Tore j , abstraktna w sekvencaje že sama struktura, vzorec, ki j o »ima« - j e torej instanca, pr imerek sama sebe. 1.4 Strukturalizem tako vsebuje sled platonizma, saj j e tu na delu samopredikacija (self-predication), ki j o lahko najdemo v Platonovem Parmenidu. V bistvu pa j e to p r o b l e m tretjega človeka . 1.41 Samopredikaci jo lahko def iniramo na naslednji način: Če so številni posamezniki p o d o b n i g lede na to, da imajo skupno dano lastnost, po tem j e ta 5 Ideja o praznih mestih kot luknjah je nekaj, kar lahko povežemo z dvema kratkima klasično dialoško zastavljenima razpravama Davida in Stephanie Lewis (1970, 1996), kjer poskušata opredeliti, kako je možno odsotnost nečesa (v našem primeru konkretne w- sekvence) pojasniti kot pojav nečesa, kar je po svoji naravi povsem drugo, čeprav brez prvega ne more obstajati. Luknja, kot praznina v stvari, je nekaj le, če dopustimo obstoj nematerialnih bitnosti (in abstraktna w-sekvenca je ravno to). Drugače bi morali luknjo opredeliti s pomočjo aranžmaja materialnih bitnosti (v ohlapni obliki lahko rečemo: superveniirajo na materialnih bitnostih), kar pa bi pomenilo, da v ontološkem smislu s tem nismo pridobili ničesar novega, saj so supervenientne bitnosti oblika »ontološkega zastonjskega kosila«. Abstraktna w-sekvenca je tako nekaj, če in samo če ni materialna. ''Primerjaj kako Dedekind definira, kaj je stvar-a thing: »Odtod naprej bomo razumeli s stvarjo vsak predmet naših misli.« (Ibid.., sekcija I, def. 1) 9 BOJAN BORSTNF.R lastnost sama podobna posameznikom (individuals) v tem pog ledu in velja sama zase. »Strukturalisti zagovarjajo ... da j e predmet aritmetike posamezna abstraktna struktura, vzorec, ki j e skupen katerikoli n e s k o n č n i zbirki posameznih predmetov, ki ima relacijo naslednik z enkratnim izvirnim predmetom in zadovoljuje (drugoredni) zakon indukcije.« (Shapiro 1989, 146) II Zgodovinska lekcija 2. Tretji človek - ali kako se Platon ulovi v zanko. Sokrat obnovi Zenonovo pozicijo: »Če biva mnoštvo bivajočih stvari (polla esti ta onta), potem bi morale biti slednje o b e n e m p o d o b n e (homoia) in n e p o d o b n e (anhomoia), kar pa j e nemogoče . Kajti nepodobne stvari ne more jo biti p o d o b n e , pa tudi p o d o b n e ne morejo biti nepodobne . Če j e torej nemogoče , da bi n e p o d o b n e stvari bile p o d o b n e in p o d o b n e nepodobne , j e nemogoče tudi, da biva mnoštvo.« (Parmenid 127e) 2.1 Zenonovo pozicijo lahko predstavimo v obliki naslednjega argumenta: (Z) (i) Če biva mnoštvo bivajočih stvari, potem bi morale biti hkrati podobne in nepodobne . (ii) Nemogoče je , da bi bile hkrati p o d o b n e in n e p o d o b n e . (iii) Nemogoče j e , da biva mnoštvo (da bi bivajoče bilo m n o g o ) . 2.2 Kar je posebej zanimivo pri tem argumentu, j e dejstvo, da Sokrat pripiše Zenonu, da ne zagovarja zgolj Parmenidove pozicije o »Enem«, ampak razvije še komplementaren argument za »Ne Mnoštvo«. 2.21 Zato poskuša odgovoriti Zenonu tako, da: (i) bi bile platonske forme imune na Zenonov prigovor; (ii) poskuša pokazati, da je Zenonova pozicija glede participacije in imeti delež na nekaj, kar ni problematično za partikularije/posamezne stvari. Proces imunizacije poskuša utemeljiti Sokrat na dejstvu, da ne obstaja nikakršen smisel za 'je', po katerem f o rma je karkoli. Forma zgolj j e identična sama sebi (samoidentična). Podobnost in nepodobnos t ter e n o in mnoštvo (mnogo ) so nasprotja (opposites), vendar j e vsaka o d n j i h / f o r m l o čeno in nedeljivo kar je. Forme niso m n o g o / m n o š t v o . (129d3-e2) . 2.22 č e po Sokratu uporabimo Zenonovo pozici jo za stvari, ki so vidne, potem ni nikakršne škode, saj so le te stvari lahko hkrati p o d o b n e in nepodobne, eno in mnogo, . . . , ne da bi s tem prišli v kontradikcijo. Posamezna 1 0 M A T E M A T I Č N I STRUKTURALIZEM KOT ZVRST PLATONIZMA stvar ' je ' p o d o b n a in n e p o d o b n a le glede (zaradi) tega, ker ima del (metechein) Podobnos t i in N e p o d o b n o s t i . 2.221 V Sokratovem pr imeru to pomeni , da ( on ) lahko ima del 'Enega ' (je en č lovek) in hkrati M n o g e g a / M n o š t v a (je del človeka) - tako je Sokrat e n o in m n o g o s »participaci jo« in »deležem na«. Posameznik ni nekaj na sebi in tako ne m o r e veljati Z e n o n o v a omejitev za imet i . (129d2-6) T a k o j e za Sokrata povsem m o ž n o , da j e ' p o d o b e n in n e p o d o b e n tako, d a j e udeležen n a / v različnih f o rmah. Kar pa, seveda, ne velja za Forme same, ki so, kar so, same na sebi. ' 2.3 Parmenidovo prvo vprašanje: »Se ti zdi, da biva enakost8 sama l o č e n o o d enakosti, k i j e prisotna v nas, pa tudi Eno in Mnoštvo ter vse, kar si pravkar slišal pri Z e n o n u « ( 1 3 0 d 3 - 5 ) 2.31 Gre torej za o d n o s e m e d formami (F), tistim, kar j e de leženo v posamezni stvari ( imanentna lastnost) (f) in pa tistim, ki se udeležuje (x) - participira na F, vendar tako, d a j e deležen f. 2.4 Parmenidovo d r u g o vprašanje - ali j e Pravičnost (Lepo , D o b r o in druge p o d o b n e ideje) l o čena o d pravičnosti 'v' nas? Sokratov o d g o v o r na o b e vprašanji j e : da. 2.5 Parmenidovo tretje vprašanje: »Predpostavljaš tudi idejo človeka, ki j e l o čena o d nas in o d vseh ljudi, ki so takšni kot mi, torej neko idejo samo človeka, ogn ja ali vode?« ( 1 3 0 c l - 2 ) 2.51 Tretje vprašanje se razlikuje o d prvih dveh, ker se v prvih dveh sprašuje p o tem: ali obstaja (je) neka F, k i j e ločena o d f, ki j o ima x. V tretjem vprašanju pa: ali j e neka f o r m a F, k i j e ločena o d posameznika x. Sokratov o d g o v o r j e zadrega / aporia. 2.52 T r e b a bi bi lo vprašanje ustrezno preoblikovati in s tem ponuditi Sokratu vsaj nekakšen i zhod iz zagate. Platon poskuša opredeliti 'x je f ' - Sokrat j e č lovek - kar p o m e n i , da ne uporabl jamo v tem primeru Človek / Forma, ampak č l o v e k / i m a n e n t n o potezo / lastnost v Sokratu. 2.521 Prob lem 'je' v tem kontekstu j e naslednji: (i) ' je ' zahteva, da o b a x in f poimenujeta isto stvar. Tako pr idemo d o neke (vrste) identitete in že smo v Zenonov ih /Parmenidov ih zagatah. (ii) ' je ' v tem kontekstu interpretiramo skladno s pozic i jo iz Fajdona - x ' ima ' f, p o t e m d o b i m o , da x ima delež f f o rme F same.9 7 Na tem mestu je treba opozoriti na izvrstno interpretatcijo Aristotelovega razumevanja tega problema, ki j o je razvil Vezjak v (2001). 8 Zakaj je tu prevod za homoiotes enakost in ne podobnost, kotje bilo prej? Iz teksta ni razvidno, da bi Platon spremenil intenco, torej bi bilo bolje, če bi se ohranila podobnost, saj pomenski premik v prevodu nakazuje razliko, ki jo v izvirniku ni. '•' Metechein kaže ravno na to. 1 1 BOJAN BORSTNF.R 2.53 VFajcLonupravi Platon, d a j e Lepota lepa( kath auto-sama), m e d t e m ko j e Micka lepa in nelepa hkrati. ' F j e F (ali f ? ) ' se torej interpretira kot ' F j e »Kaj j e biti F /ka jstvo« ' 2.531 Lepota sama (Kalon kath auto) j e tisto, kar j e biti lep — j e sama esenca lepote. Micka p a j e lepa stvar, kar p o m e n i , d a j e de ležen posameznik , ki ima delež na Lepoti sami. 2.54 T o b o m o uporabili v pr imeru Parmenidovega tretjega vprašanja. V z e m i m o ' B o j a n j e posameznik /posamezni č lovek' ter ' B o j a n j e č lovek ( f ) ' . Za drugi stavek n imamo težav s tistim , kar Platon p o n u j a v Fajdonu - ' je ' kot ' ima delež - j e udeležen ' . 2.541 V primeru 'človek' nekako ne funkcionira. 'Bo jan ' j e ude ležen na 'posameznem človeku' , deluje pa v nekaterih drugih primerih - modrost , podobnos t , plešavost, . . . . 2.542 Neproblematično se nam zdi to v pr imeru 'Bojan ima plešo ' , vendar pa nismo pripravljeni sprejeti drugega pr imera 'Bojan ima človeka' , ker je prob lem v tem, da tretje vprašanje sprašuje p o f o rmi človek, k i j e neke vrste vrstilna forma, saj j e to forma tistega - č lovek - ki j e v nas. 2.6 Tako pr idemo d o Problema tretjega človeka ( T M A ) : (i) Če j e x l (posamezni) č lovek g lede na to, d a j e de ležen ( ima del1") človeka, potem mora x l imeti v sebi del (posamezni č lovek) v sebi. (ii) T o d a izgleda da x l , če naj b o posameznik, m o r a biti (posamezni ) človek. (iii) Če to velja in če človek sam j e č lovek v p o m e n u [Kaj j e biti č lovek] , po tem j e ta oblika deleženja (imeti del ) takšna, da zahteva tre^ega č loveka (delež človeka samega).11 Parmenides 1 3 2 a l - b 2 Parmenid: Mislim, da boš v naslednjem zatrjeval, da biva vsaka ideja kot ena [h en hekaston eidos oiesthei einai]. Ko imaš m n o g o stvari, ki j ih imaš za velike, po tem se ti zdi, da v vsaki izmed njih vidiš neko e n o in enako idejo , iz česar sklepaš, d a j e [to] veliko eno. Sokrat: Res j e , kar praviš. Parmenid: T o d a če zdaj z dušo opazuješ veliko samo (auto to mega) in ostale velike stvari (halla ta megala) skupaj, ali se ne b o pokazalo spet n e k o e n o veliko, in ali ni to [veliko] nu jno za vse skupaj, da se kažejo kot velike? Sokrat: Tako izgleda. 10 Del v tem kontekstu ne pomeni mereološkega dela, ampak je del pojmovan kot metafizični gradnik. Več o tem v Borstner 1999. 11 Potrebnoje omeniti, da v 132a Platon prvič uporabi idea. Do sedaj je uporabljal izraz eidos. Pojavi pase še v povezavi z »Ce z dušo opazuješ« - to je tisti »pogled« - ideja namreč - ki duši omogoči opazovanje. 1 2 M A T E M A T I Č N I STRUKTURALIZEM KOT ZVRST PLATONIZMA Parmenid: Tore j se b o pojavila še neka druga ideja velikosti zraven velikosti same in stvari, ki so na njej udeležene , in spet še naslednja nad vsemi temi, zaradi katere so vse te velike; vsaka o d idej zate ne bo več bila eno , temveč n e s k o n č n o mnoštvo (apeira to plethos) ,12 2.7 T a o d l o m e k b o m o razgradili z Vlastosovo13 p o m o č j o v naslednje korake: (i) Ce d o l o č e n a množica stvari deli dano potezo, potem obstaja edinstvena Forma, ki korespondira (ustreza) tej potezi; vsaka o d teh stvari ima to potezo z de ležnost jo na tej Formi. Iz tega in iz predpostavke da: (ia) a, b in c so F, izpelje: ( ib) Obstaja edinstvena Forma (ki jo lahko i m e n u j e m o F-stvo), ki korespondira potezi f, in a in b in c so F s participacijo na (v) F-stvu. (ii) Če so a, b, c in F-stvo F, po tem obstaja edinstvena f o rma (ki j o lahko i m e n u j e m o F-stvo I ) , ki korespondira F, vendar ni identična z F-stvo; ter so a, b, c in F-stvo F s participacijo na (v) F-stvu I. 2.71 T o j e m o ž n o le o b sprejetju še dveh tez: S a m o p r e d i k a c i j a (SP) Forma , s part ic ipaci jo na kateri imajo stvari d o l o č e n o po tezo , m o r a sama imeti to potezo. Neidentiteta (NI) Ce ima nekaj dano potezo s participajo na (v) Formi, p o t e m to n e m o r e biti ident i čno s to Formo. 2.72 T a k o vidimo, da p r i d e m o do posledice koraka (ii) in hkrati s tem d o zanikanja koraka (i).14 2.73 Težavo lahko razrešimo tako, da: ali zanikamo/zavržemo korak (i) ali SP ali NI. 2.731 C o r n f o r d (1936) zagovarja tezo, da lahko govor imo o »deležu«, ki naj bi ga participirajoči posameznik imel takrat, ko j e deležen forme (»having shares of a form«) tako, da ga označ imo kot imanentno po tezo (»imamanent character«). Te imanentne poteze so posameznosti (individuals) in niso skupne p o t e z e (shared charecters) - niso tisto, kar si naj bi različni posameznik i / 12 Ta oblika TMA je podobna tistemu, kar razvije Aristotel v Meta. 990b, za razliko od tistega, ki ga predstavi v SE 178b37—179al. 1:1 G. Vlastos »Plato's Third Man Argument: Text and Logic«, Philosophical Quarterly, 1969, kije v bistvu reformulacija njegovega argumenta iz leta 1954. 14 Vezjak (2001, str. 36-38) poskuša zagotoviti še drugačno interpretacijo Vlastosove reformulacije Platonove pozicije s pomočjo predloga G. Finove, kjer se zdi, da se Platon, če je konsistenten v sprejemanju premis (eno čez mnogo; samopredikacija; neidentiteta), ne more izogniti regresu, ki ga imamo v vseh tradicionalnih zapisih Argumenta o tretjem človeku. 1 3 BOJAN BORSTNF.R posameznosti delile. Tako j e vFajdonu toplota v tem ognju ( imanentna poteza) nekaj drugega kot toplota v o n e m ognju.1 5 2.74 V tem trenutku se zastavlja naslednje vprašanje: Kako f o r m a j e lahko eno (posamezna)? Zato j e p o t r e b n o še enkrat premisliti, zakaj Vlastos he hekaston eidos oisthai einai (tako kot C o r n f o r d ) bere kot »there exists one Form in each case« in ne kot »each Form to be one«, kot lahko b e r e m o tudi v slovenskem prevodu. 2.741 Najprej poskušajmo odgovorit i v okviru teze (SP). Ve l iko [auto to mega] kot idea mora biti vrsta stvari, ki j o lahko vidiš / opaziš z dušo hkrati z drugimi velikimi (stvarmi), [primerjaj 132a5-8] Tore j ne gre toliko za p r o b l e m (SP), ampak za to, d a j e idea po jmovana ( lahko) kot tisto, kar se pokaže , kar se pojavi. Zato ni jasno, v čem bi naj bila tu prisotna tista nekonsistentnost, o kateri govori Vlastos. 2.75 Parmenides 132a-b2 se da predstaviti tudi k o t : (a) x l , x2, .... vsi imajo de lež F1 =def . obstaja (there is) d o l o č e n a p o s a m e z n a / e n a ideja (kar se kaže), namreč F l , k i j e v vseh (ali o vseh) x-ih. (b) x l , x2 , . . . in Fl so vsi fs (c ) ker so vsi fs, mora biti (obstajati) tuše druga ideja (tisto, kar se kaže) , F2, k i j e v (ali o ) x l , x2 , . . . in o (ali v ) F l . (d) In tako d o F3 (in naprej) . 2.751 (a) opravi tisto, kar pri Vlastosu ( i ) , (ia) in ( ib ) ; (b ) tisto, kar (ii) . T o d a (b ) ne zahteva (SP), kot to trdi Vlastos. 2.752 V bistvu pri Vlastosu argument pade, če ni zraven (SP). Zahteva pa le, da x l , x2, ... imajo Fl in da participirajoči posamezniki in f o r m a so vsi (skupaj) fs. (c) vključuje (NI) - zahteva d r u g o ide jo za x l , x2, ... ter Fl - F2.. 2.753 Pomanjkljivost Vlastosove interpretacije j e v tem, da zahteva vpeljavo (c) koraka, kar pomeni , da nastopi dvo jno deleženje - enkrat v fs potezi; drugič v (na) formi.Tekst pa zahteva le, da so začetne velike stvari in ideja, k i j e v (ali o ) njih, vse konstruirane kot velike z d r u g o ( n o v o ) idejo , k i j e v (ali o ) njih. 2.754 Nekonsistenca, k i j e tu na d e l u j e v tem, da se trdi: 15 »Če me recimo vprašaš, kaj mora biti v telesu, da bo toplo, ti ne bom odgovoril po gotovo pravilnem, vendar vse prej kot učenem vzorcu, da toplota, temveč na drug, v skladu z najino diskusijo tankoumnejši način, da ogenj.« (Fajdon 105b-c) Torej bi lahko to interpretirali na način, daje nekaj toplo na sebi (toplost) F. Tisto, kar pa ima delež F, bi lahko bilo imenovano f - če je neka stvar participirala na Toploti, potem je ta (stvar) topla, vendar v pomenu (posamezno) toplo - ogenj - posameznost, partikularija. V posamezni stvarje imanentna poteza, kijo označi Platon kot ogenj in za katero velja, daje topla (da za njo lahko uporabimo ustrezno ime). Če to posplošimo, potem vidimo, da v primeru, ko imamo dve stvari, ki imata v sebi ogenj, je toplota v prvem ognju imanentna poteza, kije lastna le njej, in je toplota ognja v drugi stvari znova imanentna poteza, kije lastna tej, drugi, stvari. 1 4 M A T E M A T I Č N I STRUKTURALIZEM KOT ZVRST PLATONIZMA (i) d a j e imeti delež d o l o č e n e f orme imeti d o l o č e n o idejo (tisto, kar se kaže — izgled?) . (ii) da ima neka ideja (izgled?) ravno tako lahko delež forme, čeprav n ima deleža sama sebe (NI) . (iii) d a j e f o r m a e n a / p o s a m e z n a . 2.8 Osnova za Prob lem tretjega človeka (TMA) (vsaj za Aristotela) sta: (NI) (neidentiteta) Kar se predicira (izreka) j e vedno nekaj različnega (drugačnega ) o d subjekta, kateremu se predicira. (SP) (samopredikaci ja) Kar se predicira, j e samo subjekt temu istemu predikatu. 2.81 Aristotel trdi, da obstaja kategorialna razlika m e d Človek in Velikost (univerzalije, k i j ih vpeljeta č lovek in velikost). Razlika j e v tem, da naj bi le v pr imeru Človek veljalo, da je definici ja uporabna za vsako partikularijo/ posameznost , na katero se predikat' človek' aplicira. 2.82 č e to drži, p o t e m bi za n e p o p o l n e predikate, kot j e velikost, ne prišli v situacijo neskončnega regresa in bi ne bilo težav, če bi Platon zagovarjal tezo da Velikost sama ima velikost. 2.83 I m a m o besedo 'č lovek' in zanima nas njena uporaba na posamezne ljudi. T o stor imo s p o m o č j o univerzalije X in predikacijske relacije R in sicer tako, da se ne le beseda 'č lovek' nanaša na X , ampak tudi, da se resnično nanaša na partikularijo č če j e ta partikularija v odnosu R d o te univerzalije X. T o bi upravičilo tezo, da se univerzalija Človek uporablja za vse posamezne ljudi (je predikabilna vsem, se o vseh izreka). D o sem se Platon in Aristotel strinjata.11' 2.831 Razlika pa nastopi, ko Platon trdi, da tisto, kar j e skupno vsem partikularijam v prediciranju, je nekaj, karje logično ločljivo o d teh partikularij. 2.832 Za Aristotela pa ta možnost nujno vodi v TMA, ker bi potem F o r m a / Ideja morala biti posamezni tode ti in ne bi bila esencialno predikabilna o čemerko l i , ampak le sebi. 2.8321 Aristotelova tezaje : (i) definici ja l o čene Forme se ne more uporabljati za (na) partikularije, ki na njej participirajo (so deležni) . ( i ) T a k o tore j ta ( l o č e n a ) Forma ni e senc ia lno pred ikab i lna tem partikularijam. (i) Ločenos t Forme j e povezana s predstavo, da j e participacija na Formah akcidentalna (ne je ampak ima). lr' Primerjaj še Vezjakove ugotovitve o problemu odnosaštevilo-ideja pri Platonu v Fajdonu (2000, str. 39) v kontekstu Aristotelovega pojmovanja matematičnih bitnosti kot vmesnih stvari. 1 5 BOJAN BORSTNF.R (i) Č e j e Forma Človek ločena, po tem so posamezni ljudje akc idenčno in ne esencialno ljudje. T o pa je za Aristotela nesprejemljivo. 2.84 Aristotel trdi, da TMA predpostavlja Eno čez M n o g o ( O M ) ; (OM) Č e j e vsak član množice objektov človek, po tem j e tu tak(šen) X da: (i) X j e (posamezni) človek (ii) X j e ločen (iii) X j e predikabilen vsem članom te množice Interpretacija: ker j e vsak član množice (zaznanih) ljudi človek, izhaja iz (OM) , da j e tu tak(šen) X, da X j e ločen človek, k i je predikabilen (se izreka) množici (zaznavnih ) ljudi. 2.841 Platon bi sprejel, d a j e izraz 'človek' tak, da se nanaša na vsakega (zaznanega — iz mesa in kosti) človeka zaradi dejstva, da se ta ločen človek predicira vsakemu od njih. 2.85 Tako pridemo še do (NI) v kontekstu TMA: (NI) č e j e tisto, kar j e predikabilno vsakemu o d članov množice , l o čeno (ločljivo), potem j e različno o d vsakega člana. Če j e nekaj (neka bitnost — entiteta, vendar ne n u j n o v p o m e n u Aristotelove ousia) l očeno (in nič ni l o čeno o d sebe) , potem j e to tode ti in torej atomon. Atomon (verjetno bi bilo najbolje reči individualija? - posameznost -partikularija) j e akcidenčno predicirana vsemu (razen sebi), čemer se lahko predicira. Taka bitnost ne more biti član m n o ž i c e bitnosti, katerim se akcidenčno predicira - mora biti različna o d njih. 2.851 Predhodne ugotovitve lahko strnemo v naslednjo tezo: Iz ( O M ) , (NI) in premise, d a j e vsak član množice ljudi človek, izhaja obstoj ločenega človeka, ki j e akcidenčno prediciran in različen o d vsakega posameznega človeka. T o pa j e že začetek neskončnega regresa, saj lahko formiramo novo množico, ki ima za člane Formo in množ ico ljudi. 2.9 Aristotel o TMA v SE 178b37-179al l : Toda obstaja še dokaz, d a j e »tretji človek« o b človeku in posameznih ljudeh. Kajti niti »človek« in tudi noben splošen pripis ne označujeta neko tole, temveč do ločeno kvaliteto, odnosnost na do ločen način ali kaj podobnega . Podobno j e tudi v primeru Koriska in izobraženega Koriska vprašanje: sta isto ali različno? Kajti eden označuje neko tole, drugi kvaliteto, a tako, da ta ni ločena. Vendar tretjega človeka ne naredi ločenost, temveč pripustitev, d a j e neko tole. Kajti »človek« ne bo neko tole istočasno s tem, ko je Kalija. Prav tako ničesar ne izboljšamo, če imenujemo ločeno stvar za kvaliteto in ne neko tole, saj bo to še zmerom ena stvar, dodana mnoštvu, tako kot je bil »človek«. Tore j j e jasno, da ne smemo dovoliti splošnega pripisa mnog im stvarem kot nečesa, 1 6 M A T E M A T I Č N I STRUKTURALIZEM KOT ZVRST PLATONIZMA kar j e neko tole, temveč m o r a m o reči, da označuje le kvaliteto, odnosnost , kvantiteto in p o d o b n e stvari. 2.91 Aristotel tu (tako kot v Metafizika Z) predpostavlja osnovne, bazične indiv idual i je /posameznost i = bitnosti.17 Hkrati zanika, da bi skupni termin označeval tode ti. Argument za to temelji na Aristotelovem ne povsem natančno d o l o č e n e m po jmovanju pros hen v primeru bivajočega v različnih akcidenčnih kategorijah, ki samo posredno označujejo posamezno bitje (tode ti) kot bitnost (onsia). Aristotel potrebuje oba —skupne (npr. človek) in posamezne termine (Koriskos). Naj b o posamezni termin prvi človek in skupni termin drugi človek. Aristotel zanika, da bi bil skupni termin poseben posameznik/partikularija. Če to drži, p o t e m seveda ni potreben še tretji človek, ki se naj bi prediciral o b e m a . Za Aristotela torej obstja le prvi človek, medtem ko j e drugi č l o v e k - skupni termin - le poseben/s l ikov i t način izražanja, govorjenja o funkciji, vlogi skupnega termina.TMA se pojavi takrat, ko se pomeša funkcija skupnega termina s funkc i j o p o s a m e z n e g a termina - torej takrat, ko se človek ali kultiviran (učen , m o d e r , ...) j eml j e kot tode ti. 2.92 V Metafiziki 1038b34-1039a3 Artistotel to še d o d a t n o potrdi, ko v seriji a rgumentov pravi, da univerzalija (to katholou) ne m o r e biti ousia v p o m e n u tode ti: »Tistim pa, ki tedaj p o z o r n o razmišljajo iz teh izhodišč se zasveti, da nič i z m e d o b č e pr isostvujoč ih stvari ni bitnost (ousia) in da izmed skupno izrečenega ne označuje neko d o l o č e n o bitje (tode ti), temveč d o l o č e n o takšnost (toionde). Če ne bi bi lo tako, bi izhajale tako m n o g e druge težave kakor tudi tretji človek.«1 8 III Poskus rešitve 3. E n o čez M n o g o =def. (i) Če j e dana zbirka F-ov, p o t e m obstaja forma O , v kateri F-i participirajo. (ii) Pri tem pa j e p o m e m b n o to, da Eno čez M n o g o (Forma) ni e n o M n o g e g a (Teza o neidentiteti - NI) , ker izraža tudi svoj (Eno) korespondenčni značaj (Teza o samopredikaci j i D SP). (iii) Ker ' ni e n o Mnogega, k i je povezovalo izvorne F-e z O, ampak O' sama izraža (uprimerja) F. Tako imamo že tretje M n o g o , kjer imajo vsi skupno F. (vi) Torej j e tu še Forma O " nad njimi. In tako naprej . 3.1 Primer: imamo neko partikularijo a; a ima lastnost F ( lahko r e č e m o tudi a j e F); »Zakaj j e a F?« Zato, ker a participira v (na) . 3.2 Vlastos1" opiše to na primeru vprašanja, zakaj j e ta figura (lik) kvadrat: »Naše vprašanje ni: »Kaj dela ta kredin zapis?«, niti »Kaj dela ta kredin zapis kvadrat?«, temveč »Kaj naredi to kvadrat?«, kar bi v tem okviru lahko p o m e n i l o le: Zakaj razvrstimo to kot kvadrat in ne kot lik neke druge obl ike?« Naše vprašanje j e odgovor j eno takrat, ko p o k a ž e m o , da s e j e za kredin zapis primerilo - ne kako, niti zakaj seje primerilo, da ima obl iko, ki ustreza log ičnim p o g o j e m za 'biti kvadrat'.« (147) Če d e l n o formaliziramo Vlastosovo trditev, p o t e m d o b i m o : 3.21 (1) F(x) <-> x e <£> V tem zapisuje participacija označena kot članstvo. Vendar pa ni j a sno , zakaj v tem dvojnem pogojniku (biconditionat) sploh p o t r e b u j e m o F o r m o . Vlastosova ideja je: x j e F, ker x zadovol juje def inic i jo o F. »Zakaj j e ta lik kvadrat?« »Zato, ker ima štiri enake stranice in štiri prave kote. Če bi imel le štiri enake stranice, p o t e m ga to ne bi n a r e d i l o za kvadrat, a m p a k za romb. « (146 ) (2) F(x) Def (x ) Na ta način Forma čudežno izgine. »Logična funkcija metafizičnih bitnosti j e tisto, kar opravi pojasnjevalno delo . ... Ko želim vedeti, kaj naredi ta lik kvadrat in ne peterokotnik, j e tisto, kar odgovor i na m o j e vprašanje .. . l og ična vsebina definicije. T o j e tisto, kar odlikuje f o r m o , Kvadrat, m e d vsemi drugimi Formami in kar i zomor fno razlikuje vsak kvadrat v našem svetu o d instanc vseh drugih likov.« (148) 3.3 Prigovor Vlastosu: Na ta n a č i n j e Definici ja tista, ki razlikuje F o r m o o d drugih Form, razlikuje kvadrate o d nekvadratov i z o m o r f n o in sočasno. T o j e nominalistična interpretacija, saj j e o d g o v o r na vprašanji: Zakaj j e x F? in Kaj j e x-ovo F-stvo? tako Definicija. Ne p o t r e b u j e m o sklicevanja na f o r m o , kar p a j e proti Platonovi intenci. I!l »Reasons and Causes in the Phaedo«, in Vlastos (ed.) Plato P. Metaphysics and Epistemology, str. 147. 1 8 M A T E M A T I Č N I STRUKTURALIZEM KOT ZVRST PLATONIZMA 3.31 Če smo korektni (platonisti), potem j e možno (2) interpretirati le kot: (i) dvojni pogojnik ne more sam zagotoviti pojasnitve. ali (ii) x ustreza (zadosti) Definiciji, ker x j e F, namesto da trdimo: x j e F, ker x zadosti Definiciji. 3.32 Platon jeml je Definici jo kot tisto, ki opredeli esenco O. Vzemimo, d a j e <]>, kar j e , zato, ker zadovoljuje (zadosti) Def. Tako dob imo F(O) - k a r j e instanca Samopredikaci je . Kakšno vlogo ima to v odnosu d o izvornega vprašanja: Zakaj j e x F? 3.321 ' x j e F, ker x participirav (na) O . ' Participacija pomeni podobnost (sličnost) glede na d o l o č e n o lastnost F. Če imamo Formo O in P^ označuje lastnost povezave (podobnosti) z Formo, potem je odgovor na vprašanje »Zakaj j e x F?« tak: x j e F, ker j e x p o d o b e n O glede na lastnost P 0 (torej zato, ker x participira v / n a Formi) . Uporabimo Še enkrat Samopredikacijo P^/O) in ker j e P^ = F, j e v x podobnost i® glede P^ že vključeno, d a x j e F. Vprašanje samo je : zakaj Forma sama j e F. Na tem nivoju pa bi bilo dobro vpeljati Def: F(O) , ker D e f ( O ) . Na ta način smo ohranili p o m e m b n o vlogo Def, ne da bi j o interpretirali nominalistično, ker Forma odigra še vedno odloči lno vlogo v pojasnjevanju tega, da x j e F. 3.4 Problem te intepretacije j e v tem, da sta ' O j e F' in ' x j e F' pojasnjeni na dva različna načina: Če j e Kvadrat kvadratast in če j e kvadrat kvadratast, potem bi morali imeti eno interpretacijo, zakaj j e nekaj kvadrat. Po zgornji interpretaciji pa dob imo : Forme so to, kar so, zato, ker zadostijo definicijam; medtem ko so posamezne stvari to, kar so, zato, ker participirajo v /na formah. O j e F j e na ta način v bistvu nepojasnjena . 3.41 Nepojasnljivost lahko odpravimo, če dopustimo, da O participirav/ na sebi sami. T o pa pomeni : če so posamezni x F zato, ker participirajo v / n a , kar pa j e m o ž n o le zato, ker j e O sama F, potem b o p o analogiji O F s participacijo v / n a sebi sami samo zato, ker j e sama že F. Tako se znajdemo v krogu. 3.42 č e pa sprejmemo možnost dveh pojasnitev, potem sama teza o podobnost i propade - s tem pa tudi izvorna Platonova pozicija. 3.5 Če želimo odgovoriti, zakaj j e x F in naš ontološki (metafizični) aparat temelji na ideji o participaciji - x participira v / n a (je uprimerjen skozi podobnost ) F in na F (O) , potem bi bilo bolje, če bi najprej pojasnili: (a) zakaj F() ne da bi vključevali O- jevo s a m o p r e d i k a c i j o ali samouprimerjanje (samoinstanciacijo) skozi podobnost. (b) da obstaja metafizično nujna zveza med x j e F in O je F. 1 9 BOJAN BORSTNF.R Strukturalistom, ki prisegajo na samopredikacijo2 0 , ne preostane drugega, kot da ali prekršijo (a) ali pa izgubijo abstraktni vzorec v celoti , ko poskušajo pojasniti da x j e F. IV Odnos platonizma do matematičnega strukturalizma (ali se lahko iz zgodovine kaj naučimo) 4. Analogija. Vlastos sprašuje: Zakaj j e ta lik kvadrat? ; Mi sprašujemo strukturalista: Zakaj j e ta zbirka w sekvenca? 4.1 Uvodne teze: (i) strukturalizma ne zanima m o ž n a pojasnjevalna funkci ja abstraktnih vzorcev (ii) strukturalista zanima, kaj dela p o s a m e z n o matemat ično izjavo za resnično (neresenično) . (iii) abstraktni vzorci niso postavljeni kot nove bitnosti, ki naj zagotovi jo o b m o č j e matematičnih referenc. (iv) abstraktne strukture/vzorci naj zagotovi jo pojasnitev, zakaj j e w sekvenca eno . 4.2 Primer za (iv): imamo abstraktno w sekvenco in (platonsko) vprašanje j e - kaj dela abstraktno w sekvenco za w sekvenco? O d g o v o r bi bil: tisto, kar dela katerokoli w sekvenco za w sekvenco =def. ima pravo strukturo. Pri tem ne s m e m o spregledati tihe predpostavke v strukturalistovi pozici j i : Prava struktura j e abstraktna w sekvenca. Tore j , prava struktura j e tisti operativni p o j e m , ki ga strukturalist uporablja. T a k o j e le ta o d g o v o r n a za sp lošno koncepc i j o kot tudi za tisto, za kar j e uporabl jena. Ali drugače : kaj je torej tisto ( v / n a tej zbirki), zaradi cesarje ta zbirka w sekvenca? O d g o v o r m o r a biti d o l o č e n a značilnost/lastnost - »Struktura«. O d g o v o r j e m o ž n o interpretirati na nominalistični in strukturalistični način. 4.3 (Nominal izem): Posamezna w sekvenca: (i) ima prvi e lement (ii) vsak o d njenih elementov ima edinstvenega (unique) naslednika (iii) vsak element, razen prvega, ima edinstvenega (unique) p r e d h o d n i k a (iv) različni elementi imajo različne naslednike (v) vsaka podzbirka ima vsaj en e l ement Tisto, kar j o dela za w sekvenco j e Definicija, če u p o r a b i m o terminolog i jo iz T M A in OM. Imamo dve w sekvenci; skupno j i m a j e , da ima vsaka prvi 2" Če so številni posamezniki podobni glede na to, da imajo skupno dano lastnost, potem je ta lastnost sama podobna posameznikom ( individuals) v tem pogledu — velja sama zase. 2 0 M A T E M A T I Č N I STRUKTURALIZEM KOT ZVRST PLATONIZMA e l e m e n t T o r e j , vsaka konkretna w sekvenca zadovol ju je Def. Ne p o t r e b u j e m o neke Forme (univerzali je) , ki bi j o vsaka w sekvenca, ki zadovoljuje Def, uprimerjala. 4.4 (Strukturalizem) (i) Konkretna w sekvenca j e podobna drugi konkretni w sekvenci v tem, da o b e uprimerjata abstraktno w sekvenco in to j e tisto, kar obe dela za w sekvenci. (ii) Uprimeriti w sekvenco pomeni biti j i podoben v do ločenem pogledu (lastnosti, značilnosti ) . Relevantna lastnost v našem primeru j e »biti w sekvenca« - ta lastnost velja tudi za abstraktno w sekvenco. (iii) Konkretni w sekvenci skupno z abstraktno w sekvenco konstituirata novo M n o g o , ker j e skladno z načelom Eno čez Mnogo, tukaj Eno, k i j e čez njih. (iv) T o novo E n o j e na podlagi samopredikacije tudi w sekvenca. Torej , imamo TMA. 4.41 Platonske premise: (i) Eno čez M n o g o — o b dani zbirki w sekvenc obstaja Eno čez njih. (ii) (Neidentiteta) - Eno čez Mnogo ni eno Mnogega. (iii) (Samopredikacija) — Eno čez zbirko wsekvence, kot zbirko w sekvenc, j e sama w sekvenca. Platonske premise vsebujejo le to, da obstaja (daje) vsaj ena abstraktna w sekvenca. 4.42 Resnik zanika, da bi obstajalo dejstvo (Jact ofthe matter) o tem ali sta dve w sekvenci enaki - zanika tezo OM. Zato se nujno pojavi vprašanje, kako lahko v tem primeru zagovarjamo realistično pozicijo, ki ravno temelji na tem, d a j e v različnih stvareh (posameznih w sekvencah), nekaj, kar j e Eno v vseh, če naj bi bilo to, kar j e eno nedoločlj ivo - ni fact of matter. 4.43 Ali j e nujno, da strukturalist sprejme obe drugi premisi? Verjetno bi moral zanikati (ii) (Neidentiteto). Vendar j e pri tem bistveno, da Resnikovo zanikanje principa individuacije (da ne obstaja kriterij za določanje, kaj j e tisto Eno) ne izključuje dejstva, da Mnogo w sekvenc vključuje tudi abstraktno w sekvenco (pri tem samo število le teh ni p o m e m b n o - tudi dejstvo, da j ih j e le 1 ne spremeni pozici je) . 4.44 Tako nam ostaja še vedno staro vprašanje: Zakaj j e abstraktna w sekvenca w sekvenca? Zaradi strukture. Toda struktura j e že sama abstraktna w sekvenca — znova smo pri problemu (vprašanju) samopredikacije. 4.45 Platonski odmev: (a) Abstraktna w sekvenca naj bo O. Potem j e konkretna w sekvenca x p o d o b n a <1> glede na lastnost P 0 Toda pri tem ne smemo pozabiti, d a j e ta lastnost ravno lastnost biti w sekvenca. P^ (O) - torej x j e F. 2 1 BOJAN BORSTNF.R (b) Sedaj se znova pojavi vprašanje: zakaj j e F? Zato, ker participira v / na 3>. T o bi lahko bil zadovoljiv odgovor , vendar le v primeru, če se dopusti, da vključuje, da j e O F skupno s premiso, da P^/O) in da P 0 = F. Res pa j e , da obe dodatni premisi vsebujeta, da <5 j e F. Na ta način j e jasno, da O-jeva samopredikacija ne dodaja ničesar - d a j e pojasnjevalno prazna. 4.5 Sklep: ko se strukturalist vpraša, zakaj j e abstraktna w sekvenca w sekvenca, potem ne more enostavno odgovoriti: zaradi strukture (abstraktnega vzorca). Ta odgovor ima dve interpretaciji: nominalistično in platonistično. Pri prvi j e vpeljava abstraktne w sekvence o b Definiciji enostavno nepotrebna. Če pa imamo platonistično varianto, potem imamo naslednji odgovor : ker uprimerja abstraktno w sekvenco, ker uprimerja sama sebe. T o d a s tem ne dodamo ničesar k dejstvu, da abstraktna w sekvenca dejansko j e w sekvenca. ( P ^ O ) in d a P 0 = F) ne moreta biti uporabljena v pojasnjevanju tega de jstva- strukturalist tako ostane brez pojasnitve. V Možen izhod 5. Morda bi lahko bila rešitev težav, s katerimi se srečujejo strukturalisti, tisto, kar v kritiki Vlastosa ugotavlja (najprej) Sellars (»Vlastos and 'The Third Man'«, Philosophical Review 64 (1955) 405-37) in nato še Colin Strang (»Plato and the TMA« Proceedings of the Aristotelian Society, Supp. Vol. 37 (1963), 146— 64) V kontekstu vprašanja, zakaj j e abstraktna w sekvenca w sekvenca, obstaja tipični odgovor: Določena (ta) w sekvenca j e ravno (nedo ločena) abstraktna w sekvenca in to j e vse. 5.1 Strang odgovarja na tako pozici jo tako, da pokaže, da v primeru (NI) (Eno čez Mnogo ni eno Mnogega) takrat, ko sprejmemo, da j e potrebno pojasniti, zakaj j e konkretna w sekvenca w sekvenca, ni nikaršnega dodatnega razloga, ki nas bi opravičeval, da ne bi zahtevali tudi pojasnitve, zakaj j e abstraktna w sekvenca w sekvenca. V obeh primerih gre za to, da se odgovori : »Zakaj x j e F?« Jasno je , da abstraktna w sekvencaje w sekvenca v pomenu , da j e ničesar ne dela te (posamezne) w sekvence. Toda to ni konec pojasnjevanja - abstraktna w sekvencaje w sekvenca - razen v primeru, če sprejmemo, d a j e to nepojasnljivo dejstvo (brutum factum) sveta. Drugače nujno zapademo v različne oblike kvazi nominalističnih interpretacij, ki pa j ih zagovorniki matematičnega strukturalizma kot zvrsti ante rem realizma ne more jo sprejeti. 5.2 Shapiro j e zato v (2000) reformuliral svojo izvorno pozici jo tako, da pravi: »S stališča ante rem pozicije struktura naravnega števila sama uprimerja strukturo naravnega števila. ... Ideja j e , da so mesta strukture naravnih števil, 2 2 M A T E M A T I Č N I STRUKTURALIZEM KOT ZVRST PLATONIZMA proučevana s pozic i je mesta-so-predmeti, lahko organizirana v sistem in ta sistem u p r i m e r j a strukturo naravnega števila (katerega mesta so sedaj opazovana s perspektive mesta-so-službe ( p o d o b n o kot pri Dretskemu - B. B . ) ) . Struktura naravnega števila, kot sistem mest, uprimerja sama sebe, kot to stori vsaka struktura.« ( 269 -70 ) . 6. I zhod , k i j e tu ponu jen , ni nekaj novega in morda bi zato lahko našo anal izo zaključil i s vprašanjem: Ali ne bi b i lo bo l je , če bi matematični strukturalisti namesto ante rem (platonskega) sprejeli in res (aristotetelovski) realizem?21 Literatura Aristotel, The Complete Works of Aristotle, J. Barnes (ed.) Princeton: PUP. 1984. Aristotel, Metafizika, (prevedel Valentin Kalan). Ljubljana: Založba ZRC. 1999. Beneceraf f , P. »Mathematical Truth«. V Beneceraff , P. in H. Putnam (ed.) Philosophy of Mathematics. Cambridge: CUP. 1984. Borstner, B. » Vzročnost - očrt realistične teorije«. Filoz. vestn., 20 (1999), št. 3, 107-124. Borstner, B. »Aristotelov ontološki kvadrat i univerzalije«. Filoz. istraž., 19 (1999) , sv. 3, 417 -431 . C o r n f o r d , F. M. Plato and Parmenides: L o n d o n : RKP. 1936. 21 Sedaj moramo opozoriti še na en problem, ki pa je v ospredju sodobnih analiz matematičnega realizma in ki ga bi lahko opredelili kot pomislek o združljivosti vzročne teorije spoznanja in matematičnega realizma (piatonizma). Uporabili bomo Beneceraffov argument iz (»Mathematical Truth«, v Beneceraff and Putnam 1983): 1. Nekatere matematične izjave morajo biti spoznane neposredno, kar pomeni, da niso izpeljane iz drugih stavkov. 2. Katerikoli plauzibilen pristop k neposrednemu spoznanju mora ustrezno povezati osnove, kijih spoznavajoči ima glede izjave, s pogoji, po katerih je izjava resnična. 3. V primeru realistične interpretacije matematičnih izjav to pomeni, da moramo ustrezno povezati našo vednost o tem, daje npr. 3 + 2 = 5 s tem, daje 3 + 2 = 5. 4. Toda naši razlogi za vednost, daje npr. 3 + 2 = 5 temeljijo na našem imetju določene izkušnje. 5. Matematični objekti so vzročno inertni. 6. Tako nimajo nikakršne vloge pri tem, da dobimo takšno izkušnjo. 7. Tako torej naši razlogi za neposredno spoznanje matematičnih izjav ne morejo biti povezani s spogoji, po katerih so resnične. Matematični realizem naj bi impliciral tezo: Če že obstajajo matematični objekti, potem so nespoznavni. Zakaj? Ker enostavno platonizem in vzročna teorija spoznanja (causal theory of knowledge) nista združljiva (ali eno ali drugo). S tem pa se celotno prizadevanje matematičnih strukturalistov pokaže v povsem novi podobi, ki pa j o v tem prispevku ne moremo osvetliti. 2 3 BOJAN BORSTNF.R Dretske, F. I. »Laws of Nature«, Philosophy of Science, 44 (1977), 248-268. Lewis, D. in S. »Holes«, Australasian Journal of Philosophy, 48 (1970), 206-12. Lewis, D. in S. »Casati and Varzi on holes«, The Philosophical Review, 105 (1996), 77-79. Platon, Poslednji dnevi Sokrata, (prevedel Anton Sovre). Ljubljana: SM. 1988. Platon, Parmenid. (prevedel Boris Vezjak). Ljubljana: Založba ZRC. 2001. Platon, The Complete Works of Plato. Hamilton, E. in H. Cairns (eds.) Princeton: PUP 1961. Resnik, M. »Mathematics as a Science o f Patterns: Onto logy and Reference« , Nous 15(1981), 529—550. Resnik, M. »Mathematics as a Science o f Patterns: Epistemology«, Nous 16 (1982), 95-105. Resnik, M. »Mathematics f r o m a Structuralist Po int o f V i e w « , Revue Internationale de Philosophie 42 (1988), 400-424. Resnik, M. Mathematics as a Science of Patterns. Oxford : OUP. 1997. Sellars, W. S. »Vlastos and 'The Third Man'», Philosophical Revieu) 64, (1955) , 405-37. Sellars, W. S. »Vlastos and 'The Third Man': A Rejoinder« , v Sellars. W. S. Philosophical Perspectives. Atascaredo, California: Ridgeview. 1977. Shapiro, S. »Mathematics and Reality«, Philosophy and SciencebO (1983), 5 2 3 - 54. Shapiro, S. »Structure and Ontology« Philosophical Topics 17 (1989), 145-171. Shapiro, S. Philosophy of Mathematics. Oxford: OUP. 1997. Shapiro, S. Thinking about Mathematics. Oxford : OUP. 2000. Strang, C. »Plato and the Third Man«, Proceedings of the Aristotelian Society, Supp. Volume 37, (1963), 147-64. Vezjak, B. »Aristotelovi matematični predmeti kot 'vmesne stvari'». Filoz. vestn. 21 (2000), št. 1, 2 7 - 4 4 . Vezjak, B. »Argumentacija o 'Tretjem Človeku' v spisu Peri Ideon« . Analiza, 5 (2001), 1 -2 ,27 -48 . Vlastos, G. »The Third Man Argument in Parmenides«, Philosophical Review 63, 1 9 5 4 , 3 1 9 - 4 9 . Vlastos, G. »Plato's Third Man Argument: Text and Logic« , Philosophical Quarterly, 1969, 289-301. Vlastos, G. »Reasons and Causes in the Phaedo« , v Vlastos, G. Platonic Studies. Princeton: PUP. 1981. 2 4