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M a n u a 1 e

GEOMETRIA

per il

GINNASIO INFERIORE

del

Dr. Francesco Hočevar,

professore di matematica presso 1’ i. r. Politecnico di Graz.

Seconda edizione rimaneggiata sulla sesta edizione tedesca

da

Franeesco Postet,

I. R. professoi

Con 184 figure iliercal|

Approvato con riv. I. R. dispaccio minis

Legato alla rustica costa C. P50, leg^bd^legantem^'

Vienna.

F. Tempsky, editore,
1902.

145478

Indice.

Pag.

Introduzione.   1

Planimetria.

La retta. 2

II cerchio. A. 5

L’angolo.  8

Le parallele. ...... ...14

II triangolo.  17

L’asse di simmetria dei segmenti rettilinei.23

L’asse di simmetria dell’angolo.25

Congruenza dei triangoli.27

I triangoli particolari . ..32

[1 cerchio. B.34

II quadrilatero. . . . 38

II poligon o.  44

Equivalenza.48

Teoremi sulParea del triangolo rettangolo. 52

Trasformazione e partizione delle figure.53

Longimetria.56

Calcolo delle superficie. 59

Somiglianza.69

Stereomctria.

I piani.77

Posizioni principali di rette e di piani.78

Rette e piani paralleli.19

Rette e piani perpendicolari. 80

Proiezioni, distanze, angoli d’inclinazione.82

Piani vicendevolmente normali.85

L’angolo solido.86

II prisma.88

II cilindro. 96

La piramide e il tronco di piramide.99

II cono e il tronco di cono.104

La sfera ..• • 108

I poliedri regolari.118


Buchdruekerei G. Freylag, Gesellschaft m. b. H., Wien.

Introduzione.

§ I. Forme geometriche. Concetto della geometria. Ogni corpo  ha
diverse proprieta o contrassegni, clie noi percepiamo coi sensi; esso
occupa uno spazio, ha una certa forma ed lina determinata posizione;
si compone di sostanza avente colore e durezza; ha un peso determinato
ecc. Fra queste proprieta differenti dei corpi reali  in geometria non si
ha riguardo che alla forma, alla grandezza  ed alla posizione,  prescindendo
da ogni altra proprieta. In questo modo si giunge al concetto del corpo
geometrico  e si dice:

Un corpo geometrico h uno spazio interamente limitato.

Ogni corpo ha tre estensioni o dimensioni: lunghezza, larghezza
ed altezza  (grossezza, profondita). I limiti del corpo si chiamano
superficie;  ogni superficie ha due dimensioni: lunghezza e larghezza.
I limiti delle superficie si dicono linee ; ogni linea ha una sola dimen-
sione: lunghezza. I limiti delle linee chiamansi punti ; i punti non hanno
estensione alcuna.

Giovi quale esempio un cubo.

Punti, linee, superficie e corpi si chiamano forme geometriche,  e la
dottrina della genesi e delle proprieta delle forme geometriche porta il
nome di geometria.

Le forme geometriche non si percepiscono coi sensi; possono essere
pero rappresentate mediante corpi reali, che diconsi modelli,  come pure
mediante disegni o figure. Costruire  vuol dire disegnare una figura date
alcune parti della stessa. (Problemi geometrici.)

§ 2. Genesi delle forme geometriche mediante il movimento. Un

punto che si muove descrive una linea. Si distinguono linee rette  e
linee curve.  Secondo che il punto descrive una linea retta o curva, si
dice che durante il moto esso mantiene constantemente la propria dire-*
zione,  oppure la camhia di contuno.

Una linea che si muove descrive una superficie,  supposto per6 che
la linea non si muova nella propria direzione, cio che p. e. ha luogo
trattandosi di una retta. Si distinguono superficie piane  e superficie
curve.  In ogni superficie piana si possono condurre linee rette in tutte
le direzioni.

Hočevar -Poste t, Manuale di geometria per il Ginnasio inf. 2. ediz.

1

2

Una superficie clie si muove descrive un covpo,  supposto pero cho
la superficie non si muova uella propria direzione, cio clie p. e. lia luogo
trattandosi di un piano.

§ 3. Divisione della geometria. Secondo che le forme geometricho
giacciono in un piano o no, si chiamano forme piane  o forme della
spazio.

La dottrina della forme piane si dice geometria piana  o plani-
metria;  la dottrina delle forme dello spazio si cliiama geometria della
spazio  o stereometria.

Planimetria.

La retta.

§ 4. Proprieta fondamentali della retta. II concetto, clie possediamo
della retta, ci pone in grado di rispondere facilmente alle seguenti
domande: Quante rette si possono guidare per un punto dato? Quante
rette si possono condurre per due punti? Qual’ b la piti breve di tutte
le linee, che uniscono due punti dati?

Assiomi della retta:  1. Per due punti non si puo condurre

clie una sola  retta. — 2. La retta e la via piu breve fra due punti dati.

Problemi:  ,1. Guidare una retta per un punto dato. — II problema
e indeterminato, perche ad esso corrisponde un numero infinito di
soluzioni.

2. Guidare una retta per due punti dati. — II problema e deter-
minato, perche ad esso corrisponde una sola soluzione.

Per tirare linee rette ci serviamo della riga.

§ 5. Retta illimitata, semilimitata, limitata. La retta, che s’immagina
prolungata alf infinito da ambedue le parti, si cliiama retta illimitata
o raggio;  essa viene segnata mediante una o due lettere collocate vicinn
alla stessa, colle quali viene anche letta, p. e. la retta AB  Fig. 1.

Una retta illimitata viene divisa da lino dei suoi punti in due rette
semilimitate ; una retta semilimitata viene indicata con due lettere scritte
accanto ad essa, la prima delle quali si deve eollocare al suo punto
limite, p. e. la retta semilimitata CA  e CB  Fig. 1. La direzione di una
retta semilimitata, nella quale la si puo immaginare prolungata, viene
indicata con una punta di freccia. Una retta, interamente limitata da
due punti, dicesi retta limitata  o segmento rettilineo ; i punti limiti di-

o

O

cousi anche estremita  della retta o del segmento. Una retta limitata,
viene segnata o con clue lettere scritte alle sne estremita o con
una lettera collocata nel mezzo, p. e. i segmenti DE, FG, a, b
(Fig. 1).

Una retta che passa per due punti e detta retta che unisce gnesti

clue punti;  la retta limitata dai due
cosi DE  (Fig. 1) e la distanza dei

Fig. 1.

punti chiamasi distanza  degli stessi;
punti D  ed E.

C

§ 6. Punto d’intersezicne di due rette. Se due rette AB & CD
(Fig. 2) non hanno comune che un solo punto S,  si dice che s’intersecano
nel punto S , il quale d detto punto d’intersezione  delle rette.

§ 7. Confronto fra rette limitate. Due rette sono eguali,  se possono
venil’ sovrapposte l’una all’altra in modo che coincidano le loro estre¬
mita e quindi anche tutti i loro punti intermedi, come p. e. le rette a
e b  (Fig. 1) e si scrive a = b;  in caso contrario le rette sono disuguali,
come p . e. DE  ed FG,  dove DE  e maggiore di FG  e si scrive o
DE>FG  od FGCDE.

Problema.  Trasportare una retta di data lunghezza, cioe dise-
gnare una retta eguale ad una retta data.

Per confrontare e trasportare le rette ci serviamo del compasso.

§ 8. Operazioni colle rette. Come eoi , a  , b

numeri, cosl anche colle rette possiamo ese-

guire alcune operazioni.' A _ B _ C

1. Addizione.  Se e AB  = a e BC a  b

= b  (Fig. 3), šara A C  la somma  dei seg- -D_ F E

menti a e b,  cioe 6 a-b

A C = a b. Fi S- 3 -

2. Sottrazione.  Se e D E= a  e DF—b,  šaril F Ela,  differenza
dei segmenti a e b,  cioe

FE  = a — b.

l*

4

Jlv-

■iS)

3. Moltiplicazione di un segmento rettilineo per un numero
intero. Se b  dato AB  = a  (Fig. 4) e si fa AB — CD = DE —
E F — F G — G H,  šara C E  il doppio, C F  il triplo, C G  il quadruplo,

CII  il quintuplo di AB,  cio clie
shndichera cosi CE= 2. a, C F
= 3. a, C G =  4. a, C H  =5. a.

4. Partizione o divi-
sione  di un segmento rettilineo
per un numero intero. AB  e la

A

-+-

G

JC

E F
Fig. 4.

meta di C F,  un terzo' di C F,  un quarto di C G,  un quinto di CII,  e
si scrive:

AB-.

2 C E -

\CF-

\CG = \CH.

Dimezzare  una retta limitata vuol dire dividerla in due parti
eguali. Il punto di divisione d detto punto di mezzo  o punto medio
della retta.

5. Misurazione o divisione  di una retta per un’altra retta
limitata. Misurare una retta vuol dire cercare quante volte una retta,
preša quale unita di lunghezza, k  contenuta nella retta data. Il numero
che indica cio dicesi numero esprimente la misura della retta  o pid
brevemente la misura  della retta.

Per misurare le lungliezze adoperiamo il metro (m) per unita, le
parti e i multipli del quale si formano secondo il sistema decimale:

10 m —  1 dkm  (decametro),
100 m = 1 hm  (ettometro),
1000 m =  1 Jon  (cliilometro),
10000 m —  1 um,  (miriametro).
operano aste di-legno o di metallo,

0-1 m —  1 dm  (decimetro),

0'01 w = 1 cw (centimetro),

0’001 m —  1 mm (millimetro),

Per misurare le distanze si ac
come pure corde, catene e simili, sulle quali sono riportate ed suddivise
una o piii unita lineari. Tali apparecchi diconsi canne, corde, catene.
Nel disegnare piani topografici, mappe e simili si adoperano comune-
mente segmenti rettilinei sni quali 1’unita di lunghezza e trasportata in
dimensione minore; tali rette diconsi scale ridotte.

w s . 0  / Z 3  4  s 6 7 S 9 lOrru

Fig. 5.

La fig. 5 mostra una semplice scala a divisione decimale, Funita
della quale rappresenta 1 m, mentre la lungliezza reale di essa dl cm;
percio questa scala e ^ della grandezza naturale.

Quesiti d’esercizio. 1. Date tre rette a, b, c, e  precisamente
b"3> c,  costruire le seguenti espressioni:

a  -p b,  a -p c, b  -p c, a  — b, a  —

c, b  — c, a  -p b  -p c.

5

2. Costruire il doppio, il triplo, il quadruplo, il quintuplo di una retta data.

3. Si provi a dividere una retta data in 3, 4, 5, 6 parti eguali col compasso
o ad occhio.

3 2 13

4. E data una retta a  ; costruire —a, — a,  1 — a, —a,  2'4 a.

J O O  4 :

5. Si misuri una retta col mezzo della scala della Fig. 6.

6. Col mezzo della medesima seala si disegni una retta di una lunghezza data
in della propria grandezza. Supponiamo che la retta sia lunga 7‘3 m,  65 dm,  240 cm.

Il cercliio. A.

§ 9. Genesi del cerchio. Definizioni. Se una retta O A  (Fig. 6) rota
nel piano attorno ad una sua estremita sino a che ritorni novamente
nella sua posizione primitiva, 1’altra sua estremita descrive una linea
curva, che si chiama linea circolare,  e
la retta medesima genera una superficie
limitata dalla linea circolare, detta super¬
ficie circolare.  Dal contesto 6 faeile com-
prendere se per cerchio si voglia inten-
dere la linea circolare o la superficie
circolare. La linea circolare e detta anche
circonferenza  o periferia  della superficie
circolare (del cerchio).

La linea circolare e dunque una
linea chiusa, ciascun punto della quale
dista egualmente da un punto dato, che
si chiama centro  del cerchio (O Fig. 6). Ogni retta, che unisee il centro
del cerchio con un punto della periferia, si chiama raggio;  tutti i raggi
di un cerchio sono eguali: OA — OB — OC;  perchč?

Ogni retta, che unisee due punti della periferia del cerchio, dicesi
corda,  come D E.  Ogni corda, che passa pel centro, si chiama diametro,
come A C.  Tutti i diametri di un cerchio sono eguali, perche il dia¬
metro e doppio del raggio.

Problemi:  L Costruire un cerchio, dati il centro ed un punto

della periferia.

2. Disegnare un 'cerchio intorno ad un punto quale centro con un
dato raggio.

Per disegnare linče circolari ci serviamo del compasso.

§ 10. Posizione vicendevole di un punto e di un cerchio. Un punto,
che non giace nella periferia di un cerchio, puo trovarsi o dentro o fuori
del medesimo. Il punto giace dentro al cerchio se la sua distanza dal
centro e minore del raggio, giace fuori del cerchio se la sua distanza
dal centro e maggiore del raggio.

6

Problema.  Determinare la posizione di un pnnto, clie abbia da
un punto dato una distanza data.

Questo problema e indeterminato, perche v’ba un numero infinito
di punti, che sodisfanno alla condizione enunciata; tutti questi pimti
giacciono nella linea circolare, il cui centro e 11 punto dato e il raggio
la distanza data. Si dice ancbe: Questa linea circolare e il luogo geo-
metrico  di tutti quei punti, la cui distanza dal punto dato e eguale alla
distanza data.

§ II. Cerchi eguali. Due cerchi, che banno raggi eguali, si dicono
eguali  se sovrapposti 1’uno alFaltro ih modo che i centri coincidano,
si coprono ancbe le loro periferie.

Due cerchi di raggio disuguale si dicono disuguali.

Problema.  Si trasporti un cerchio, cioe intorno ad un punto
dato, quale centro, si descriva un cerchio eguale ad un cerchio dato.

§ 12. Secante e tangente. Una retta illimitata, che ha due punti
comuni colla linea circolare, e detta secante,  come FG  (Fig. 7). In che
si distingue dunque la secaute dalla corda?

Una retta, la quale per quanto la si prolunghi non ha che un punto
solo comune colla linea circolare, e detta tangente.  Si dice che essa
tocca  il cerchio, p . e. H T; H e  il punto di contatto.

§ 13. Arco, settore, segmento. Una porzione della periferia del
cerchio e chiamata arco circolare N P  (Fig. 7). Due archi dello stesso
cerchio od di due cerchi eguali, possono, riguardo alla loro grandezza,
esserc confrontati fra loro come due rette.

Due archi, che lianno raggi eguali, si dicono eguali , se sovrapposti
Puno alPaltro si coprono esattamente, altrimenti si dicono disuguali,
Alfinche due archi eguali AB  e C D  (Fig. 8) possano andare a sovrap<

e

Fig. 7.

Fig. 8.

7

porsi 1’uno alFaltro, basta lasciare un arco fermo al suo pošto e spostare
in sb stessa la circonferenza assieme colFaltro arco.

Ogni diametro divide il cercliio in due parti eguali. Ogni altra
corda divide il cerchio in due archi disuguali, p. c. la corda A B  (Fig. 8);
il minore di essi dicesi arco corrispondente alla corda.  La porzione
della superficie circolare limitata da due raggi e da un arco dicesi
settore circolare , come NO P  (Fig. 7); la porzione della superficie cir¬
colare limitata da un arco e dalla rispettiva corda, e detta segmento
circolare  come HJL  e IIJ P  (Fig. 7).

§ 14. Relazioni fra archi e corde. Se facciamo che uno degli arclii
eguali AB q CD  (Fig. 8) vada a coprire 1’altro, i punti A & C  coin-
cideranno coi punti B  e D; percio anche le corde AB  e CD  saranno
eguali, cioe nello stesso cercliio od in cerchi eguali ad
ar c hi eguali corrispondono corde eguali.  Inversamente:
Nello stesso cercliio o in cerchi eguali a corde eguali
corrispondono arclii eguali.

Per mezzo di questo teorema si possono nello stesso cerchio od
in cerchi-eguali prendere archi eguali col trasportare le loro corde ri-
spettive. Archi circolari di raggio eguale si possono, al pari delle rette,
sommare e sottrarre. Un arco circolare puo anche essere moltiplicato
e diviso (misurato) per un nuinero intero o per un arco circolare di
raggio eguale.

Quesiti d’esercizio. 1. Si trasporti un arco.

2. Si costruisca il doppio, il triplo, il quadruplo, il quintuplo di un arco dato.

3. Si provi a dividere un arco dato in 2, 3, 4, 5, 6 parti eguali col compasso
o ad occhio.

§ 15. Partizione della periferia del cerchio. Se si divide la periferia
di un cerchio in 360 arclii eguali, uno di questi si dice grado  (°), piu
esattamente grado circolare.  Le 60. parte di un grado dicesi minuto  (')
la 60. parte del minuto e detta secondo  (").

Dunque un grado lia 60 minuti ('), un
minuto 60 secondi (").

La meta di un cerchio chiamasi semi-
cerchio (FGF  Fig. 9),' la quarta parte
guadrante {FG),  la sesta parte sestante
{EJ ), 1’ottava parte ottante {EH).  —

Quanti gradi ha un semicerchio, un qna-
drante, lin sestante, un ottante?

Q u e s i t i d’ esercizio.  1. Si disegni
ad occhio la quarta parte di un quadrante, la
terza parte di un ottante, la quinta parte di un
sestante.

d

8

2. Quanti gradi ha la quinta parte del quadrante, la quarta parte del sestante ?

3. Quanti gradi ha la nona, la quindicesima parte della periferia?

§ 16. Problemi. 1. Determinare la posizione di un punto, che abbia
una data distanza e  da due punti dati A, B  (Fig. 10). — II punto
cercato deye giacere nella linea circolare, che ha il centro in A  e il
raggio e,  e in pari tempo nella linea circolare, che ha il centro in B
e il raggio anche e;  percio i punti d’intersezione X e Z  delle due
periferie corrispondono al problema proposto. Vi sono sempre due tali
punti?

Quesiti d’esercizio. 1. AB — 3 cm, e — 2 cm. 2. AB  = 4 cm, e = icm.
3. AB  = 36 mm, e =  18 mm.

/1

t?

/

Fig. 10.

B

4-

c

/ \

u

\

Fig. 11.

2. Determinare un punto, che abbia due distanze differenti da due
punti C, D  (Fig. 11), e precisamente sia p  la distanza da C, q  quella da JA.

Quesiti d’esercizio.  1. CD = 5cm, p — 3cm, q=\cm.  2. CD =
3'5 etn, p =  2 cm, g  = 3 cm.  3. CD  = 36 mm, p =  15 mm, q =  21 mm.  4. Sopra una
retta data determinare un punto, che abbia una data distanza da un punto dato e
che sia situato fuori della retta.

L’angolo.

§ 17. Genesi delTangolo. Definizioni. L’angolo b generato da una
retta semilimitata AB  (Fig. 12), che si fa rotare nel piano intorno alla
sua estremita. Per angolo s’intende la porzione del piano deseritta dalla
retta. La prima e 1’ultima posizione della retta mobile {AB, A C)  si
chiamano lati,  Festromita (yl) dicesi vertice  delFangolo.

Un angolo si segna o mediante una lettera
che si pone nella superficie angolare in vici-
nanza del vertice, o mediante una lettera al
vertice preponendovi il segno delFangolo; dun-
que <£; w  oppure A.  Spesse volte per indi-
care un angolo e necessario adoperare tre
lettere, delle quali la prima e 1’ultima stanno
presso ai lati. quella in mezzo sta al vertice;
dunque <)C B A C',  oppure C A B.

Fig. 12.

9

La grandezza di un angolo non dipende gia dalla lunghezza dei
lati, cioe e indifferente che essi sieno pid o meno lunghi; noi li possiamo
sempre immaginare prolungati quanto si voglia (oltre B  e L).

Due angoli sono eguali,  se possono venir sovrapposti in modo clie
i lati di uno coincidano coi lati dell’altro. Altrimenti si dieono disuguali,
come p. e. gli angoli x ed y  (Fig. 20). Come si riconosce mediante
la sovrapposizione di due angoli disuguali quale sia 1’angolo maggiore
e quale il minore  ?

§ 18. Rotazione a sinistra e a destra. Ogni retta semilimitata puo
rotare nel piano intorno alla sua estremita in direzioni opposte. La retta
semilimitata A i? (Fig. 12) puo rotare o verso l  o verso r.  La rotazione
di AB  verso l  dicesi rotazione a sinistra  (rotazione positiva), 1’altra
cliiamasi rotazione a destra  (rotazione negativa), e ci6 perche chi si
trova sul piano orizzontale in A e guarda verso il punto B,  ha l
a sinistra, r  a destra. — Quale rotazione fanno gli indici di un orologio ?

§ 19. Distinzione degli angoli. Due rette che partono da un punto
formano due angoli; il minore di questi dicesi concavo,  il maggiore
convesso.  Nella Fig. 12 1’angolo concavo w  formato dalle rette AB  ed
A C,  e che fu originato dalla rotazione a sinistra di AB  verso A C , e
indicato piu da vicino mediante la freccia curva; al contrario 1’angolo
descritto dalla rotazione a destra di AB  verso AL e un convesso.
Quando in seguito si parlera di un angolo di due rette, s’intendera
sempre il minore, cioe il concavo, a meno
che non venga detto espressamente il
contrario. -—

Un angolo, i cui lati giacciono in P
linea retta in direzione opposta, dicesi
angolo diritto P S Q  (Fig. 13); esso e generato da mezza rotazione della
retta semilimitata. Tutti gli angoli diritti sono fra loro eguali; perche?

L’angolo concavo 6 minore, 1’angolo convesso e maggiore di un
angolo diritto.

La meta di un angolo diritto dicesi angolo retto  (ASB  Fig. 14);
esso e prodotto da un guarto di rotazione di una retta. Tutti gli angoli
retti sono fra loro eguali; perche?

S

Fig. 13.

Q

Un angolo
minore di un retto
si chiama acuto,
un angolo concavo
maggiore di un
retto e detto ottuso.
{C O D  Fig. 15).

£

R

S

Fig. 14.

10

L’angolo descritto da una retta semilimitata in una completa rotazione
dicesi angolo pieno.

L’ angolo retto si segna sovente con II ; percio 1’angolo diritto e =
2 E,  il pieno = 4 E.

Nel disegno pratico per la costruzione meccanica di angoli retti, ci serviamo
dei cosi detti „triangoli“; si dara piu tardi una costruzione geometrica dell’angolo
retto (mediante il compasso e la riga).

§ 20. Differenza delle direzioni fra due rette semilimitate. Posizione
normale ed obliqua. La grandezza di un angolo dipende esclusivamente
dalle direzioni e non gia dalla lunghezza dei suoi lati. Due rette
semilimitate, clie partono da un punto, lianno differenti direzioni-,  1’angolo
concavo, clie esse formano, e la misura della differenza delle loro dire¬
zioni.  Se esse formano un angolo diritto, lianno direzioni opposte.  come
SP ed S Q  (Fig. 13).

Se due rette, clie si tagliano, formano angoli retti, si dice che
s’intersecano ad angolo retto  od anche che Vuna e perpendicolare  o
normale alValtra.  Nella figura 16 CD  e perpendicolare a d A R  od
AB  e perpendicolare a CD.  Cio si scrive nel modo seguente: CD  _L AB

(si legge CD  e per-
G  pendicolare ad AB)

od AB  _L CD.  Da
un punto di una
retta non si puo inal-
zare che una sola
normale alla stessa;
perche?

Si badi di non
scambiare il concetto
„normale o perpendi-
uolare“ col concetto

„verticale o a piombo“. La direzione verticale e data da un filo, il quale 6 fisso
ad un’estremita ed 6 teso da un corpo appeso liberamente all’altra estremita. Esempi
per rette normali e verticali.

J

D

Fig. 16.

Fig. 17.

Se due rette intersecantisi formano angoli acuti ed ottusi, si dice
che una  e obligua alValtra  o che s’intersecano obliguamente,  p. e. BF

e G H  (Fig. 17).

§ 21. Misura angolare. Nello stabilire la misura delPangolo si
parte dalfangolo retto e lo s’immagina diviso in 90 angoli eguali, uno
dei quali si chiama grado  (°), piu esattamente grado angolare,  per
distinguerlo dal grado circolare. La 60. parte di un grado angolare dicesi
minuto angolare  o semplicemente minuto  ('); la 60. parte di un minuto
angolare e detta secondo angolare  o semplicemente secondo  (").

L’angolo retto ha quindi 90°, il diritto 180°, il pieno 360°.

11

Si  .

Q u e s i t i d’eseroizio. Di esprimano in gradi, minuti, secondi:

1. 1000", C 58294", 3. 201600",

4. 2420' 12", 5. 36-45°, 6. 7'36°,

7. 10f°, 8. 492f'.

Si esprimano in gradi e in frazione decimale di grado:

9. 12° 45', 10. 61° 52' 30", 11. 48° 7' 30",

12. 106° 13'12" 13. 28° 6' 45", 14. 94° 0' 10".

Si esprimano in secondi:

15. 360°, 16. 64° 49', 17. 57° 17' 45".

18. Slndichino quali fra i seguenti angoli sono acuti, ottusi, convessi:

135°, 75°, 210°, 36°, 324°, 160°, 270°, 100°.

19. Dati tre angoli x , y, z , espressi in misura angolare, e precisamente x
y> z,  calcolare le seguenti espressioni: x  -f- y, x z, y z , x  — y, x  — z, y  — z,

* -f- V  + *•

P. e. x  = 78° 5' 54", y  = 56° 41' 19", 2  = 45° 12' 47".

20. Calcolare il doppio, il triplo, il quadruplo, il quintuplo di un angolo dato,
p. e. di 22° 36' 48".

21. Calcolare la meta, il terzo, il quarto, il quinto di nn angolo dato, p. e.
di 44° 15'.

22. Quanti gradi importano i seguenti angoli:

Ji, >}*, ajs?

23. Misurare un angolo dato mediante un secondo angolo, p. e.

a)  54" : 12°, b ) 180°: 22° 30', c)  142° : 9° 28'.

24. Quante volte sta nell’angolo pieno 1’angolo di a)  12°, b)  18°, c) 25°, d)  45° ?

25. Calcolare 1’angolo descritto in un dato tempo a ) dall’indice delle ore,
l)  dalPindice dei minuti di un orologio, p. e. in 4 ore e 15 minuti.

§ 22. L’angolo al centro e 1’arco corrispondente. Un angolo, il
vertice del quale coincide col centro di un eercliio, si dice angolo al
centro  (AMB  Fig. 18). L’arco
giacente nella superficie ango¬
lare viene detto arco corrispon¬
dente alVangolo.

Due angoli eguali si pos-
sono sovrapporre 1’uno alFaltro
in modo clie si coprano intera- Fig. 18.

mente; se cio avviene, si copri-

ranno anche gli archi corrispondenti descritti da raggi eguali, cioe nello
stesso cerchio od in cerchi eguali ad angoli al centro
eguali corrispondono archi eguali.  Inversamente: Nello
stesso cerchio o in cerchi eguali ad archi eguali corri¬
spondono angoli al centro eguali.

Per mezzo di questo teorema il trasporto e la partizione di un
angolo si riducono al trasporto ed alla partizione di un arco.

12

Problema.  Trasportare un angolo dato, cioe costruire un angolo
eguale ad un angolo dato. — Sieno AMB  (Fig. 18) P angolo dato ed
N C  un lato delFangolo, clie devesi disegnare. Facendo centro in M
ed N,  si descrivino, con eguale raggio, gli arcbi AB e CD e  s’immagini
guidata la eorda AB  e trasportata nella posizione CD.  — Su che si
basa la costruzione?

Siccome tanto la periferia del cerchio quanto Pangolo pieno vengono
divisi in 360 gradi, cosi ogni angolo ba tanti gradi quanti ne ha Parco
go  corrispondente. Cio si pu6

esprimere con maggiore esa-
tezza cosi: Ogni angolo ha
tanti gradi angolari quanti
sono i gradi circolari conte-
nuti nell’ arco corrispondente.
Per rapportatore s’in-
Q  tende un semicerchio di car-
tone, di ottone e simile, sul
quale e riportata una divi-
sione in gradi (Nella figura 19
la pid piccola porzione del
semicerchio contiene 5 gradi). Esso serve a misurare e a trasportare
angoli di un dato numero di gradi.

Quesiti d’esercizio. 1. Si misuri un angolo dato col mezzo del rapportatore.

2. Si costruisca un angolo dato in misura angolare, p. e. di 54°, 72°, 130°, 215°.

3. Si trasporti un angolo col mezzo del rapportatore.

4. Si disegnino tre angoli, che formino assieme un angolo diritto e si misurino.
Quanto importa la somma delle tre misure?

§ 23. Operazioni con angoli. Se e A OB = x  (Fig. 20) e BOC
= y,  sar& A O C  la somma  degli angoli x  ed y,  cioe A O C = x  -(- y.

Se e inoltre DBF—  x  ed ESF — y,  šara D SE  la differenza  degli
angoli x  ed y,  cioe D SE = x  — y.  Come si ottiene un multiplo  di
un angolo dato?

Per dividere un angolo in un dato numero di parti eguali, si divide
un arco ad esso corrispondente nel numero prescritto di parti eguali e

13

si unisce poscia il vertice coi punti di divisione. — Dimezzare  un angolo,
bissettrice  delFangolo.

Quesiti d’esercizio. 1. Sono dati tre angoli x, y, z,  e precisamente x  >
2 />z;  si costruiscano le seguenti espressioni:

X  + y, x-\-z, y + z, x — y, x — z, y —  z, x-\-y + z.

2. Si costruisea il doppio, il triplo, il quadruplo, il quintuplo di un angolo dato.

B. Si tenti a dividere un angolo dato in 2, 3, 4, 5, 6 parti eguali col eompasso
o ad occhio.

4. Si disegni ad ocdhio un angolo retto (dividendo per meta un angolo diritto).

5. Costruisci i seguenti angoli:

1* t* 1* -1*

6. Si disegni una rosa dei venti e si dieno le normali alle seguenti direzioni:

NE, S S O, ENE.

7. S’indiehino gli angoli fra le seguenti direzioni della rosa dei venti:

NE  ed SE, ENE  ed ESE, OSO  ed E, ENE  ed ONO.

§ 24. Angoli adiacenti. Se si prolunga oltre il vertice un lato di
un angolo, si ottiene un angolo adiacente  ad esso; cosi FSG  (Fig. 17)
e 1’angolo adiacente ali’ <£_ESG  e inversamente. Angoli adiacenti sono
adunque due angoli, che hauno comune un lato e gli altri due giacciono
in linea retta.

La somma di due angoli adiacenti e un angolo diritto
o d == 2 E.  Se uno di due angoli adiacenti disuguali e acuto, l’altro
šara ottuso (Fig. 17); se due angoli adiacenti sono eguali, ognuno e
retto (Fig. 16).

§ 25. Angoli opposti al vertice. Se si prolungano oltre il vertice
aiubidue i lati di un angolo, i prolungamenti formano 1’angolo opposto
al vertice  delFangolo dato; cosi FSH  (Fig. 17) e F angolo opposto al
vertice delFangolo ES G  e inversamente. Angoli opposti al vertice sono
dunque due angoli, nei quali i lati di uno sono i prolungamenti dei lati
delFaltro angolo.

Angoli opposti al vertice sono eguali,  perclič generati
dalla stessa rotazione; imperocche una retta illimitata rotando attorno ad
un punto suo qualunque, descrive due angoli opposti al vertice; p. e.
E F  (Fig. 17) colla rotazione a destra genera i due angoli E S G, FSH,
colla rotazione a sinistra" i due angoli ESH, FSG.

§ 26. Angoli complementari e supplementari. Due angoli, che in-
sieme importano 90°, si dicono complementari  e ciascuno di essi e detto
complemento  delFaltro. Due angoli, che assieme importano 180°, diconsi
supplementari  ed ognuno di essi b  detto supplemento  delFaltro.

Angoli eguali lianno eguali complementi ed eguali supplementi e
inversamente.

(Juesito d’esercizio.  Calcolare a)  il complemento, t)  il supplemento di
un angolo dato, p. e. di 60°, 44° 19', 71° 32' 13".

14

JI

C

D

> .<7

Fig. 21.

Fig. 22.

Le parallele.

§ 27. Definizioni. Due rette in un piano, clie per quanto si prolun-
ghino non s’incontrano mai, si dicono parallele.  Se AB  e CD  (Fig. 21)
sono parallele, si scrive AB  [| CD  (si legge AB  e parallela a CD).  Dne
rette parallele hanno direzioni eguali od opposte; cosi le direzioni di

AB e CD  sono eguali,
al contrario le direzioni di
CD  ed E F  sono opposte.

Due rette in un
piano, clie non sono pa¬
rallele, prolungate con-
venientemente s’incon-
trano in un punto, come
NE  e PQ  (Fig. 22).
Tali rette convergono  verso il loro punto d’intersezione e divergono
palFaltra parte.

Sugli orli della tavola nera, di una parete si cerchino esempi di
due rette parallele e di due rette intersecantisi.

§ 28. Proprieta fondamentali delle parallele. Dal concetto, che ei
siamo formati delle rette parallele, possiamo riconoscere la verita del
teorema seguente:

Per un punto fuori di una retta non si pu6 con dur re
che una sola parallela ad essa  (1. Assioma delle parallele).

Per il punto A  (Fig. 23) non si puh guidare che una sola  retta
parallela alla retta BC,  cioe la. DE;  ogni altra retta che passa per A,
p. e. F G,  non 6 parallela a BC.  Da questo assioma segue:

a)  Due rette
j  parallele ad una

ter za sono fra
loro parallele.
Se e H J  || MN  e
K L  || MN  (Fig. 24),
dev'essere anche
H J  || K L.  Infatti,
se H J  non fosse

parallela a K L,  queste due rette convenientemente prolungate dovreb-
bero incontrarsi in un punto S,  e per questo punto passerebbero due
parallele alla retta MN,  ci6 che e impossibile.

b)  Se due rette sono fra loro parallele ed una viene
intersecata da una terza, questa deve intersecare anche

n

jf


M


Fig. 23.

Fig. 24.

15

L’ a 1 ir a. — Se e D E  [| B C  (Fig. 23), ed F G  interseea la retta D E,
la F G  (leve intersecare anche la BC , altrimenti pel punto d’intersezione
A  passerebbero dne parallele alla retta BG,  cio che non e possibile.

§ 29. Angoli corrispondenti, alterni, conseguenti. Una retta, cbe
interseea due o piu altre rette, e detta trasversale  delle stesse. Due
rette tagliate da una trasversale (Fig. 25 o 26) danno origine ad otto
angoli, di cui quelli che giaeciono fra le rette interseeate diconsi interni
(p, g, r, s),  mentre gll altri sono detti esterni (m, n, v, u).

Un angolo esterno ed uno interno, cbe non hanno il vertice comune
e giaeciono dalla stessa parte della trasversale, diconsi angoli corrispon¬
denti;  p. e. m ed r, n  ed s, p  ed u, g  e v.

Due angoli interni o due esterni, che non hanno il vertice comune
e giaeciono da parti opposte della trasversale, diconsi angoli alterni;
p. e. to- ed u, n e v, p  ed r, g  ed s.

Due angoli interni o due esterni, che giaeciono dalla stessa banda
della trasversale, si dicono conseguenti; p. e. m e v, g  ed r, n ed u, p  ed s.

Si determinino per esercizio angoli corrispondenti, alterni, conseguenti.

§ 30. Teoria delle parallele. Gli angoli formati da due rette
intersecantisi rimangono invariati, se una di esse si
sposta parallelamente a sh stessa  (2. Assioma delle parallele).

Se AB  (Fig. 26) si muove parallelamente a se stessa sino a che
giunga nella posizione CD , sani <3- m = r. n — s, p — u , g  — v,  cioe:
Due angoli corrispondenti sono eguali.  Gli angoli corrispon¬
denti sono disuguali, se le rette AB e  CD non sono parallele (Fig. 25).

Se, nella fig. 26, la retta A B  si muove parallelamente a se stessa,
1’ to  viene al pošto deli’ r  e quindi diventa opposto al vertice
deli’ percio dev’essere =  come pure n  = v, p — r,

q = s,  cioe: Due angoli alterni sono eguali.  Nella Fig. 25
queste eguaglianze non possono aver luogo.

16

Se, nella fig. 26, AB  si muove parallelamente a se stessa sino a
clie giunga nella posizione CD , gli angoli m & v  diventano adiacenti;
percio dev’essere m -f- v  = 2 R ; parimente n u — 2 R, p s —2 R,
q r  = 2 i?, ciož:

Due angoli conseguenti sono supplementari.  Cio non
puo aver luogo, se A B  e CD  non sono parallele (Fig. 25).

Risnlta adunque clie:

a)  Rette parallele formano con ogni trasversale
angoli corrispondenti eguali, angoli alterni eguali ed
angoli conseguenti supplementari.

b)  Se due rette formano con una trasversale angoli
corrispondenti eguali od angoli alterni eguali od angoli
conseguenti supplementari, esse sono parallele.

Problemi. 1. Si conduca per un punto la parallela ad una retta
data. — Si conduca per il punto dato A  (Fig. 27) una retta A D,  clie
intersechi in D  la retta data RC e si faccia 1’ <$iEAD = BDA-
A E b  parallela a BC.  Come si costruirebbe la paržtllela, facendo uso
degli angoli corrispondenti?

Per oostruire meccanicamente le parallele si adoperano i „triangoli K .

2. Si costruiscano due rette intersecantisi, che sieno parallele ai
lati di un angolo dato e si espongano le relazioni esistenti fra i quattro
angoli in tal modo ottenuti e l’angolo dato ( angoli delle parallele).

Quesito d’esercizio. Dato uno degli angoli nella fig. 26 calcolare tutti
gli altri; p. e. a) m = 7o°, b) n  = 114° 17' 38".

3

Ji

-

/\ ,

/ \ /

/ \ /

1 _^

/ n
I

Fig. 27.

J)

Fig. 28.

§ 31. Proprieta delle normali. Applicando alle normali la teoria
delle parallele, risultano i seguenti due teoremi:

a) Due rette perpendicolari ad una terza, sono fra
loro parallele.  Se e CD )_AB  ed EF ±_AB  (Fig. 28), gli angoli
corrispondenti A CD  e C E F  sono eguali; perclie ? Percio le rette CD
ed EF  sono parallele.

b)  Se due rette sono fra loro parallele ed una b  per-
pendicolare ad una terza, lo e anche l’altra.  Infatti, se la

17

retta CD,  normale alla AB,  si sposta parallelamente a se stessa, sino
a che giunga nella posizione E F,  in base al secondo assioma delle
parallele dovra essere E F  _L AB.

II triangolo.

§ 32. Definizioni. Se si uniscono con rette tre punti, clie non
giacciono in linea retta, si ottiene una figura piana, che si cliiama tri¬
angolo (ABC  Fig. 29). I segmenti AB,
punti A, B, C vertici  del triangolo. Ogni
due lati formano un angolo del triangolo.

La somma dei lati dicesi perimetro  e la
porzione del piano limitata da essi dicesi
superjicie  del triangolo.

Ad ogni lato del triangolo si oppone
un angolo, ad ogni angolo si oppone un
lato ( elementi opposti ), come A B  e d <£; C.

I lati del triangolo ABC  si segnano so-
vente mediante le lettere a, b,  c, cosi clie
agli elementi opposti corrispondono lettere eguali. Accanto ad ogni lato
del triangolo giacciono due angoli, che si cliiamano angoli adiacenti  a
quel lato, p. e. al lato AB  o c sono adiacenti gli angoli A  e B.  Ogni
angolo del triangolo e formato da due lati e si chiama angolo racchiuso
da quei lati, mentre questi vengono detti lati racchiudenti,  p. e. A e
1’angolo racchiuso dai lati b  e c.

Un lato qualunque del triangolo, il pid delle volte 1’orizzontale,
viene prešo quale base  e il vertice opposto ad esso quale vertice  dello
stesso. La normale abbassata dal vertice sulla base (o sul prolungamento
di essa) si chiama altezza  del triangolo. Cosi, rispetto al lato A B  quale
base C b  il vertice e CD  1’altezza.

Se si prolunga un lato di un triangolo, il prolungamento forma col
lato attiguo un angolo esterno;  come p. e. d, e, f  nella fig. 32 sono
angoli esterni per distinguerli dagli angoli del triangolo, che appunto
percio diconsi anche angoli interni.  Ogni angolo esterno e un angolo
adiacente ad uno degli angoli interni.

§ 33. Relazioni fra i lati. a)  Dalfassioma che la retta e la via
piti breve fra due punti segue che ogni lato del triangolo, anche il
maggiore, b  minore della somma degli altri due lati, p. e. c < a -)- 6
(Fig. 29). Dunque:

Ogni lato di un triangolo e minore della somma degli
altri due lati.

HoSevar-Postet, Manuale di geometria por il Ginnasio inf. 2. ediz.

A C, BC  si dicono lati,  i
C

2

18

b)  Se nel triangolo ABC  (Fig. 29) ne a  ne l  e maggiore di c,
dev’ essere certamente c > b  — a.  Se si fanno rotare il lato a  intorno

al punto B  verso sinistra e il lato b  intorno
al vertice A  verso destra sino a c h e questi
due lati vadano a sovrapporsi al terzo lato c
(Fig. 30), si vedra che b a  > c — b  e
b>c  — a.  Dunque ogni lato di us
triangolo b  maggiore della diffe-
renza degli altri due lati.

Q ne siti d’e s er cizi o. 1. Si ealcoli il perimetro di un triangolo, di cui sono
dati i tre lati, p. e. a =  8'7 cm, b =  6'5 cm, c  = 4‘8 cm.

2. Dati il perimetro e due lati di un triangolo, calcolare il terzo lato, p. e.
p  = 38’0 cm, a  = 15 6 cm, b —  10'4 cm.

3. Dati due lati di un triangolo, si ealcolino tutti e valori che puo avere il
terzo lato. a) a —  16 cm,  ž = 9 cm; b) b  = a —  1 m.

§ 34. Relazioni fra gli angoli. a )  Se si prolunga il lato AB  del
triangolo ABC  (Fig. 31) oltre al vertice B  e si guida B E  || A C,  ognuno
dei lati AB e, B C  si puo considerare quale trasversale delle parallele
A C  e BE-,  percid dev’essere

<^DBE=BAC = m, <£EBC = ACB=p.

Indicando inoltre con n  1’ <^ABC,  e considerando che gli angoli
m, n, p  col vertice comune in B  formano assieme un angolo diritto,
si avra:

m -J- n -\-p  = 2 R,  ciod:

La somma degli angoli di un triangolo eegualeadue
retti, ovvero  a 180°.

Dalla figura 31 e chiaro che <£. CBD  = m -\-p]  percio:

Ogni angolo esterno di un triangolo b  eguale alla
somma dei due angoli interni ad esso n on adiacenti;  da

cio segue che 1’angolo esterno e
maggiore di ciascuno degli angoli
interni ad esso non adiacenti.

b)  Se si prolungano nel mede-
simo senso tutti i lati del triangolo
-p  (Fig. 32), si ottengono i tre angoli
esterni. Questi formano cogli angoli
interni tre paia di angoli adiacenti
ovvero 67?; togliendo gli angoli interni = 'žil,  risulta che: La somma
degli angoli esterni di un triangolo e eguale a quat-
tro retti:

d  -j -  b  = 4 R.

19

Fig. 32.

Riguardo ai lati si
Un triangolo si dice

X

Quesiti d’esercizio. 1. Dato un angolo di
un triangolo, oaloolare la somma degli altri due.
a) a  = 90°, b) b  = 124°, c) c =  73° 15', d) m  =

G0° 51' 25".

2. Dati due angoli di un triangolo, caleolare
il terzo. a) m  = 78° 18' 11". » = 53° 17' 37"; b)
m  = n  = 62° 15'.

3. Dati due aDgoli esterni di un triangolo,
caleolare gli angoli interni, a) d  =120°, e  = 135°

(Fig. 32); b) e  = 133° 48',/=136° 12'.

§ 35. Distinzione dei triangoli riguardo ai lati.

distinguono triangoli scaleni, isosceli, equilateri.
scaleno,  se ha i tre lati p

disuguali (ABC,  Fig.

29) j isoscele,  se ha due
lati eguali (D E F,  Fig.

33); eguilatero,  se tutti
i lati sono fra loro
eguali ( HJK , Fig. 34).

Nel triangolo isoscele il
lato disuguale DE  di-
cesi comunemente base.

Problemi:  1. Sopra una retta, quale base, si costruisca un tri¬
angolo isoscele. (§ 16, probl. 1.) P. e. DE—  3 cm, DF=EF=kcm.

2.  Si costruisca un triangolo equilatero il cui lato sia di 4 cm.

§ 36. Distinzione dei triangoli riguardo agli angoli. Dal teorema
sulla somma degli angoli di un triangolo segue che ogni triangolo ha
almeno due angoli acuti; il terzo angolo puo essere acuto od anclie
retto od ottuso. Allora

il triangolo d detto C c

rispettivamente acutan-
golo, rettangolo, ottus-
angolo.

Un triangolo si -
dice rettangolo,  se ha J/
un angolo retto (ABC,  Fig. 35. Fig. 36.

Fig. 35). I lati (AB &

BC)  che racehiudono 1’angolo retto (B)  si dicono cateti ; il lato (A C)
opposto alhangolo retto e detto ipotenusa  del triangolo. Per altezza  di
un triangolo rettangolo s’intende in via ordinaria quella che corrisponde
all’ipotenusa come base. — Quanto iinporta la somma degli angoli
adiacenti all’ipotenusa ?


2 *

20

Un triangolo, in cui nessun angolo e retto, si chiama obliquangolo,
e precisamente cicutangolo,  se non ha che soli angoli acnti; ottusangolo,
se ha un angolo ottuso. Come e disposta 1’altezza del triangolo ottus¬
angolo ABC  (Fig. 36) rispetto alla base AB o BC?

Un triangolo, in cui un angolo d eguale alla somma degli altri
due, e rettangolo ; perche ?

Problemi.  1. Si costruisea un triangolo rettangolo isoscele.

2. Si costruisea un triangolo ottusangolo isoscele.

Quesiti d’esercižio. 1. Dato il perimetro (p = 124cro) e la base (6 =
54 cm)  di un triangolo isoscele, calcolare uno dei lati eguali.

2. Dato il perimetro (p = 78 cm)  ed uno dei lati eguali (c = 29 cm)  di un tri¬
angolo isoscele, calcolare la base.

3. Dato un angolo acuto di un triangolo rettangolo, calcolare l’altro angolo
acuto e gli angoli esterni presso l’ipotenusa. a)  36°, b)  19° 9' 30".

4. Se nel triangolo A B C 1’ <£. A  = 74°, 1’ <J B =  57° e se b CD  J _AB,  quanto
importera ciascuno degli angoli ACD  e B CD  ?

5. Se nel triangolo ABC  1’ <t A  = 90°, 1’ <£ B =  47° 18' e se 5 CD  J_ AB,
quanto importera ciascuno degli angoli BAD  e C ADI

§ 37. Relazioni fra gli elementi opposti. a)  E dato il triangolo
isoscele ABC  (Fig. 37);  se lo levo, lo rivolto e lo pongo in modo che
1’angolo C  vada ad occupare di nuovo il suo pošto di prima, i lati C A
e CB  scambieranno il loro pošto ed AB  eadra sopra BA*);  perche?
Percih dev’essere <£; A = B ; cioe:

In n n triangolo a lati eguali si oppongono angoli
eguali.

In base a questo teorema in un triangolo isoscele gli angoli adia-
centi alla base sono eguali, percio devono essere acuti. Nel triangolo

equilatero tutti gli an¬
goli sono eguali; quanti
gradi importa ciascuno ?
Quanti gradi ha l’an-
golo adiacente alFipo-
tenusa di un triangolo
rettangolo isoscele?

b)  E dato il tri¬
angolo ABC  (Fig.38),
nel quale e BC^>AC.
Se lo levo, lo rivolto
e lo pongo in modo che 1’angolo C  ritorni novamente al pošto di prima,
allora 1’angolo m diventa esterno del triangolo (A) B D ; percio m>n,  cioe:

*) Si tagli in cartone un triangolo isoscele, e, collocatolo sulla tavola nera
se ne disegni uno eguale passandovi il gesso lungo i suoi lati; poi si rivolti quel
triangolo di cartone.

21

In ogni triangolo a lati disuguali si oppongono
angoli disuguali, e precisamente al lato maggiore
F a n g o 1 o m a g g i o r e.

I due teoremi ora enunciati intorno alle relazioni clie batino luogo fra
gli elementi opposti del triangolo si possono invertire nel modo seguente:

c)  In ogni triangolo ad angoli eguali si oppongono
lati eguali; imperocelie se i lati fossero disuguali, essi non potreb-
bero opporsi ad angoli eguali. Si mostri Fesattezza di questo teorema
anche rivolgendo il triangolo.

d)  In ogni triangolo ad angolidisugualisioppongono
lati disuguali, e precisamente alFangolo maggiore il lato
maggiore.

Corollari: Nel triajigolo rettangolo 1’ipotenusa e il lato maggiore.
Nel triangolo ottusangolo alFangolo ottuso si oppone il lato maggiore.

-(D

N

/'

/
<7

/ 7 \\
// \\
JL _^

§ 38. Problemi. 1. Costruire un angolo di 60°. — Per risolvere il
problema si costruisca un triangolo equilatero (Fig. 39).

2. Costruire un angolo di 120°. — Si co¬
struisca F angolo adiacente alFangolo di 60°.

3. Dividere un angolo diritto in tre parti /

eguali.

4. Costruire un an¬
golo retto (I. Modo). —

Si costruisca un triangolo
equilatero ABC  (Fig. 40),
si prolunghi il lato BC,

sul prolungamento si faccia Ji'  ^ - g - —*ji

CD — BC  e si unisca
poscia mediante una retta
il punto D  col punto A.  Essendo x  = 60° ed x  = 2 z,  percbe
angolo esterno, šara z  = 30°; percib <^B AD = x-\- z =  90°.

5. Dali’ estremita di una retta inalzare a questa la normale (I. Modo)
— Questo problema ha, lo stesso significato del precedente.

Quesiti d’esercizio. 1. Dato un angolo a)  alla base (p. e. di 34° 18'),
b)  al vertice (p. e. di 90°) di un triangolo isoscele, calcolare gli altri angoli.

2. Dato l’angolo esterno a)  alla base (p. e. di 100°), b)  al vertice (p. e. di
105°) di un triangolo isoscele, calcolare gli altri angoli esterni e gli angoli interni.

3. Nel triangolo ABC  sia A C = B C e <£. C=  38° 28', inoltre .4 D J_ C;
quanto importa ciascuno degli angoli B AD, C ADI

Fig. 40.

§ 39. Distanza di un punto da una retta. Fra il punto A  ed una
retta Al N  (Fig. 41) si pub tirare un numero infinito di rette; fra queste,
ve n’ha una sola che cade perpendicolarmeute alla retta MN  Infatti,

22

se e AB  _|_ MN  e se >1 C  e una retta qualunque, nel triangolo rettangolo
ABC  1’angolo ABC b  retto e 1’angolo ACB  e acuto, quindi AB<^AC
(§ 37, d),  cioe:

La normale e la piu breve fra tutte le rette condotte
daunpuntoad una retta  da ta;  essa si chiama percio distanza
del punto dalla retta.

§ 40. Costruzione della tangente al cerchio. Se dall’estremita A  del
raggio MA  di un cerchio (Fig. 42) s’inalza la perpendicolare TU,  la
MA  šara la piu breve di tutte le rette condotte dal centro M  alla retta
T U ; percio ogni altro punto della retta T U,  ad eccezione del punto A,
giacera fuori del cerchio; quindi la retta TU  ha comune col cerchio un
punto solo, ovvero essa e tangente al cerchio, cioe:

La perpendicolare inalzata dalFestremita del raggio
e tangente al cerchio.

§ 41. L’angolo nel semicerchio. Un angolo, il cui vertice giace
nella periferia di un cerchio ed i cui lati passano per 1’estremita di un
diametro, dicesi angolo nel semicerchio,  p. e. 1’ B A C  (Fig. 43).

Se si tira il raggio MA,  si ottengono due triangoli isosceli A MB
ed A M C,  in cui gli angoli segnati colle stesse lettere sono eguali. Dalla
figura suddetta si rileva che 1’angolo B A C  e eguale alla somma degli
altri due angoli del triangolo ABC,  percio e retto, dunque:

L’angolo nel semicerchio e un retto.

Corollario: Il diametro e la massina corda del cerchio (§ 37, d).

23

Problemi. 1. Costruire un augolo retto (II. Modo). — Si costruisca
un angolo nel semicerchio.

2. Dalla eštremita di ima retta s’inalzi la perpendicolare alla stessa
(II. Modo). — Se MS (Fig. 44) h la retta data ed A  il suo punto
estremo, si scelga un punto M  in modo che un cerchio, descritto intorno
a questo punto con raggio eguale ad A M,  intersecbi la retta data p. e.
nel punto B ; si conduca poscia il diametro SC e si unisca il punto C
col punto A  mediante la retta A  C; questa e la perpendicolare domandata.

B

r>
/

j

k

/ /


M

1 P

Fig. 45.

d

\

^B

L’asse di simiuetria dei segmenti rettilinei.

§ 42. Definizioni, proprieta deliasse di simmetria. Se due punti A
e S, giacciono rispetto alla retta illimitata PQ  (Fig. 45) in modo che
la retta limitata AB  venga dimezzata  dalla PQ,  e sia perpendicolare
a questa, si dice, che i punti A e B sono
simmetrici  rispetto alla retta PQ,  la quale
e chiamata asse di simmetria  della retta
A B.  Cii> vuol dire che, se si rivolta uno
dei due piani, limitati dalla PQ,  intorno
a questa retta, preša quale asse, fino a
che yada a cadere sopra 1’altro piano
semilimitato, i punti A e B  coincideranno.

a)  Ogni punto delFasse di
simmetria dista egualmente dalle
due eštremita della retta.  Infatti
se C h un punto qualunque della retta PQ,  girando il triangolo A M C
attorno a PQ si pub fare che esso vada a coprire il triangolo BMC  e
allora šara A C = BC.  (Si adoperi un modello.)

h)  Ogni punto, che giace fuori delFasse di simmetria,
ha distanze disuguali dalle due eštremita della retta ed
e piti vicino a quella eštremita, la quale si trova conesso
dalla stessa parte delFasse di simmetria.  Infatti, se h e un
punto qualunque, che con A  giace dalla stessa parte di PQ  e sc C e
il punto d’intersezione delle rette BD  e PQ,  šara:

BD = BC + CD  = AC + CD>AD;  perche?
Inversioni: c)Ognipunto, che dista egualmente dalle
eštremita di una retta, giace nel F asse di simmetria della
stessa.

d)  Ogni punto, che ha distanze disuguali dalle estre-
mita di una retta, giace fuori delFasse di simmetria della
stessa.

24

x'c

\

JI \r

, JI

•*<-

-\B_

4 J)

\

Fig. 46.

§ 43. Problemi. 1. Si costruisca 1’asse di simmetria di uua retta
data. — Basta trovare due punti delTasse di simmetria; perche? Percio
dalle due estremita A  e B  della retta data (Fig. 46) si descrivano con

raggio eguale due
archi cbe s’inter-
sechino; la retta che
unisce i punti d’inter-
secazione C e D e
Tasse di simmetria
cercato. (§ 16, 1.)

2. Si dimezzi
una retta data. —
Veggasi il problema
precedente.

3. Si determini un punto cbe sia simmetrico ad un punto dato
rispetto ad una retta data. — Siccome la distanza di un punto qualsi-
voglia P  delTasse dato (Fig. 47) dal punto B,  cbe si cerea, dev’essere
eguale alla distanza di P  dal punto A  dato, cosl B  giacera nell’ arco
circolare, che si descrive centrando in P  con raggio PA ; parimenti B
giacera nelTarco descritto centrando in un altro punto qualunque Q
delTasse con raggio QA.  Percio Tintersezione dei due archi šara il
punto B  cercato.

4. Da un punto di una retta data inalzare una normale alla mede-
sima. — Siano M N  la retta data ed A  il punto dato in essa (Fig. 48).
Partendo da A  si prendano, dali’una e dalTaltra parte sulla retta MN,

Fig. 47.

JI

B

A
Fig. 48.

X

Jl-

X

Fig. 49.

due segmenti eguali AB = AC  e si costruisca Tasse di simmetria della
retta BC.  Essendo A  un punto gia dato di questo asse, non rimane
altro che determinare ancora un altro punto D  dello stesso, il che si
ottiene facendo BD = CD;  allora šara A D  X M N.

5. Da un punto situato fuori di una retta abbassare la perpendicolare
alla medesima. — Sieno MN  la retta data ed A  il punto dato (Fig. 49).

25

Fatto centro in A  si descriva un arco, che intersechi MN  in B  e C,
e si costruisca F asse di siinmetria della retta B C ; allora šara AI)  J_ M N.
Oppure si determini il punto B  (Fig. 47) in modo che sia simmetrico
al punto A  dato, rispetto alla retta data PQ;  allora šara AB ±PQ.

Quesito’d’eseroizio. Sopra una retta, preša quale diametro, si costruisca
un cerchio.

§ 44. II cerchio circoscritto ad
un triangolo. Nel triangolo ABC
(Fig. 50) si costruiscano gli assi di
simmetria DE  ed F G  dei due lati
AB e B C.  II punto d’intersezione
O  degli stessi, siccome giace nelFasse
D E,  dista egualmente da A  e da B,
e siccome giace nelFasse EG,  dista
egualmente da N e da (7; dunque
esso dista egualmente anche da 4 e
da C,  e giace quindi nelFasse di sim¬
metria H J  del terzo lato AC-,  cioe:

I tre assi di simmetria dei 1 a t i d i u n t r i a n g o 1 o s’ i n t e r-
secano in un punto, che dista egualmente dai tre verticil’
Questo punto e il centro di un cerchio, che passa per i tre vertici de.
triangolo dato e che si chiama cerchio circoscritto  al triangolo.

Problema.  Si circoscriva un cerchio ad un triangolo dato. —
Si distinguano tre časi, secondo che il triangolo dato b  acutangolo, ret-
tangolo, ottusangolo.

IPasse di simmetria delFangolo.

§ 45. Definizione. Proprieta delFasse di simmetria. La linea, che
dimezza un angolo, e detta anche asse di simmetria  dello stesso. Cio
vuol dire che se si rivolta Fangolo /1 S C  (Fig. 51), intorno alle bisset-
trice SC,  preša quale
asse, i lati S A  ed j

SB  delFangolo
ASB  coincideranno.

a)  Ciascun g  _

punto delFasse
di simmetria di
un angolo dista
egualmente dai
lati del mede-

Fig. 51.

Fig. 52.

26

simo. Se supponiamo che sia <£ A SC  = BSC, CA  J_ e C B  J _SB
(Fig. 51), possiamo far rotare i suddetti angoli attorno alla retta SC
sino a che 1’uno vada a coprire 1’altro. In tal caso coincideranno non
soltanto i lati S A  ed S B,  ma anche le normali CA  e C B,  perche da
un punto non si pud abbassare che una sola perpendicolare ad una retta
(§ 39); percio C A = C B.  (Si adoperi un modello.)

b)  Ogni punto, che giace fuori delFasse di simmetria
di un angolo, ha distanze disuguali dai lati dello stesso,
ed e precisamente piu vicino a quel lato, che con esso si
trova dalla medesima parte delFasse di simmetria.

Per dimostrare che p. e. pel punto D  (Fig. 52) e B D  > D E,  si
cali da C  (punto d’intersezione delFasse di simmetria colla retta B D)
la C A  perpendicolare a d SE,  e šara:

BD  = BC+CD = AC + CD>DA>DK

Inversioni: c) Ogni punto, che dista egualmente dai
lati di un angolo, giace nelFasse di simmetria del
medesimo.

d)  Ogni punto, che ha distanze disuguali dai_ lati di
un angolo, giace fuori delFasse di simmetria del me¬
desimo.

§ 46. Problemi. 1 . Si costruisca 1’asse di simmetria di un angolo
dato. — Centrando nel vertice S  delFangolo dato (Fig. 53) si descriva
un arco, che intersechi i lati nei punti A  e B ; slmmagini guidata poscia

la corda AB  c se ne co-

J

J)

/

7 x

f/

J

struisca 1’asse di simme¬
tria; si ottiene <ž^ASC
= BSC.  Si dimostri me-
diante sovrapposizione.

2. Si dimezzi un an¬
golo dato. — Ha lo stesso
significato del problema
precedente.

Fig. 54.

3. Si costruisca un angolo di 30°. — Si disegni un angolo di 60°
e lo si dimezzi.

4. Si divida un angolo retto in tre parti eguali. — Sia BAC

(Fig. 54) 1’angolo retto dato; centrando in A  si descriva 1’arco BC,

poi collo stesso raggio centrando in B  1’arco A D  e finalmente in C

Farco A K

5. Si costruisca un angolo di 15°.

6. Si costruisca un angolo di 45°. Si disegni un angolo retto e lo

si dimezzi, oppure si faccia la somma 30° + °.

27

Quesitid’ eseroizio. 1. Costruire i seguenti angoli: a)  150°, b)  165°,
c) 75°, d)  105°.

2. Si divida un angolo diritto a)  in 4, b ) in 6 parti eguali.

3. Si divida un angolo retto a)  in 4, b)  in 6 parti eguali.

4. Si divida un angolo retto in 8 parti eguali.

• 3 15

5. Si costruiscano i seguenti angoli : a ) — R, b)  1— R,  c) — R.

4 o b

§ 47. II cerchio iscritto in un triangolo. Se nel triangolo ABC
(Fig. 55) si costruiscono gli assi di simmetria AMe B M  dei due angoli
A  e B,  questi s’intersecano in un punto M,  il quale dista egualmente
dai tre lati; perche? Dunque il punto
M  giace anche nelFasse di simmetria
del terzo angolo C; eioe:

I tre assi di simmetria de-
gli angoli di un triangolo slnter-
secano in un punto,  clie dista
egualmente dai tre lati.  Questo
punto e il cent.ro di un cerchio, che
tocca i tre lati del triangolo dato e si
dice cerchio iscritto  nel triangolo.

Problema.  Si iscriva un cerchio Fig. 55.

in un triangolo dato.

Congruenza dei triangoli.

§ 48. Definizioni. Due figure possono venire confrontate fra loro
tanto riguardo alla loro forma che alla loro grandezza. Figure, che
hanno eguale forma, ma grandezza
differente, si dicono simili  (CV));
figure, che hanno eguale gran¬
dezza, ma forma differente, si di¬
cono equivalenti  (=), e figure di ^
forma e grandezza eguali, si chia-
mano congruenti  (£^).

Due figure congruenti dif-
feriscono solo riguardo alla loro
posizione: esse possono venir J

sovrapposte in modo che si
coprano perfettamente. La fig. 56
mostra quattro triangoli congruenti, collocati in differenti posizioni.
Per fare che due di quei triangoli si coprano, si deve spostarne
uno parallelamente e, se occorre anche, girarlo nel piano, oppure lo si
dovra levar fuori dal piano e rivoltare. Quali movimenti si deve impri-

C

28

mere al triangolo I, affinche vada a coprire ciascuno dei triangoli II,
III, IV? Si spieglii mediante un modeljo.

Se due figure congruenti vengono sovrapposte, quei lati e quegli
angoli che coincidono si dicono elementi omologhi ; nella fig. 56 essi
vengono segnati colle stesse lettere.

§ 49. Problemi indeterminati intorno al triangolo. I lati e gli angoli
sono i cosi detti elementi perimetrici  del triangolo; essi dipendono
talmente uno dall’altro, che, conoscendone alcuni, si possono determinare
anche gli altri, cioe si puo costruire un triangolo, unendo convenientemente
alcuni elementi dati.

Problemi:  1. Costruire un triangolo, dato a)  un lato, b)  un an-
golo dello stesso. — Problema indeterminato.

2. Costruire un triangolo, dati a)  due lati, b)  un lato ed un angolo
adiacente, c)  un lato e 1’angolo ad esso opposto, d)  due angoli.

Dati due lati a  e b  (Fig. 57) del triangolo, si prenda BC = a
come base, e fatto centro in C  con raggio b  si descriva un arco; siccome
ciaseun punto di questo arco puo riguardarsi quale vertice del triangolo,
cosi il problema proposto b indeterminato, perche coi dati elementi si
puo ottenere un numero infinito di triangoli, i vertici dei quali giaceranno
in una linea circolare ( luogo geometrico  dei vertici). Percio il triangolo
non e determinato da due soli lati.

La fig. 58 corrisponde al caso c),  se sono dati cioe un lato a  e
1’angolo ad esso opposto. Anche questo problema e indeterminato.
Analogamente si puo riconoscere 1’indeterminatezza anche dei problemi
b ) e d).  Si vede dunque che un triangolo non h  determinato da due
soli elementi.

3. Costruire un triangolo, dati tre angoli.

Dal teorema sulla somma degii angoli del triangolo segue che, dati
due angoli, il terzo e gia determinato; percio il problema proposto o
e determinato ad esuberanza,  e cio se la somma degii angoli dati 6
differente da 180° e la costruzione di un triangolo cogli elementi dati
e in tal caso impossibile, oppure e indeterminato  e coincide col problema

29

d)  gia eonsiderato, e ci6 se la somma degli angoli dati 6 = 180°. A
quale condizione devono sodisfare dunque due angoli, affinchš si possa
con essi costruire un triangolo?

Da quanto e stato detto fin qni si conclude che per costruire un
triangolo devono essere dati piit di due elementi e fra questi ci dev’essere
almeno un lato, e cio affinche il problema sia determinato.

§ 50. Prima costruzione del triangolo. Costruire un triangolo, dati
un lato a  e i due angoli ad esso adiacenti m ed n  (Fig. 59).

Si faccia BC — a  e si trasportino su questa retta, preša qnale
lato, gli angoli m ed n.  Ai dati di sopra non corrisponde che un
solo  triangolo, vale a dire se cogli elementi medesimi se ne costruisce
un altro, questo non differira
dal primo che per la posi-
zione.

Da cio segue il :

I. caso di congru-
enza: Due triangoli sono
congruenti, se hanno
rispettivamente eguali un lato e i due angoli ad esso
adiacenti.

Quesiti d’esercizio. 1. a =  G‘2 cm, m  = 72°, n  = 48°.

2. a  = 5'1 cm, m  = 105°, n  = 32°.

3. Si trasporti un triangolo mediante un lato e i due angoli ad esso adiacenti.

§ 51. Seconda costruzione del triangolo. Costruire un triangolo, dati
un lato a,  un angolo adiacente m e 1’angolo opposto n  (Fig. 60).

Si faccia BC — a, CB A — m,  <^C ABD = n,  si guidi CA  || BD.
— Il triangolo e determinato in modo unico dagli elementi dati, cioe
se con essi ne costruisco un
altro, questo non differira dal
primo che per la posizione. Da
cid segue il:

II. caso di congru-
enza: Due triangoli so¬
no congruenti, se hanno
rispettivamente eguali

u n lato, un angolo adiacente e l’a n golo opposto.

I due teoremi precedenti si possono compendiare nel modo seguente: Due
triangoli sono congruenti, se hanno un lato e due angoli omologhi rispetti-
vamente eguali.

Quesiti d’esercizio.  1. a —  4'5 cm, m  = 68°, n  = 60°.

2. a  = 7'0 cm, m =  45°, n  = 100°.

30

§ 52. Terza costruzione del triangolo. Costruire un triangolo, dati
due lati a  e b  e 1’angolo n  da essi racchiuso (Fig. 61).

Si faccia BC = a,  <3C BC A = n  e C A — b.

III. caso di congruenza: Due triangoli sono congru-
cnti, se hanno rispettivamente eguali due lati e Fangolo
da essi racchiuso.

Q u e s i t i d’esercizio. 1. o = 6'7 cm, b —  4'3 cm, n  = 40°.

2. Si trasporti un triangolo mediante due lati e Fangolo da essi racchiuso.

§ 53. Quarta costruzione del triangolo. Costruire un triangolo, dati
due lati a e b e  Fangolo m  opposto al lato maggiore a  (Fig. 62).

Si faccia <^B AC — m, A C — b  e fatto centro in C  con raggio
= a  si descriva un arco, che intersechi in B  Faltro lato delFangolo dato.

IV. caso di congruenza: Due triangoli sono congru-
enti, se hanno rispettivamente eguali due lati e Fangolo
opposto al lato maggiore.

Quesiti d’esercizio.  1. a =  4'7 cm, b =  3‘2 cm, m  = 54°.

2. a  = 7'3 cm, b  = 2'9 cm, m  = 120°.

§ 54. Qmnta costruzione del triangolo. Costruire un triangolo, dati
i tre lati a, b,  c (Fig. 63).

Si faccia BC — a,  e si descrivano due archi centrando in C  e
in B  coi raggi c e b.  A quale condizione devono sodisfare i tre lati,

affinche gli archi s’intersechino ? —
I due triangoli ABC  ed A 1 BC
risultanti sono congruenti. Si ottiene
dunque un solo  triangolo deter-
minato.

Da ci6 segue il:

V. caso di congruenza:
Due triangoli sono congru¬
enti, se hanno tre lati ri¬
spettivamente eguali.


31

Q u e s i t i d’esercizio. 1. a =  6'8 cm, b  = 5'7 cm, c  = 4'6 cm.

2. a —  2'7 cm, b  = 6'4 cm, c  = 5'5 cm.  *

Si trasporti un triangolo mediante i tre lati.

§ 55. Šesta costruzione del triangolo. Costruire un triangolo, dati
due lati a e b e  Fangolo n  opposto al lato minore b  (Fig. 64).

Si faccia ABC  = n, BC — a  e fatto centro in C  si descriva
un arco con raggio b.  Ora possono aver luogo tre differenti časi, secondo
che il lato b  e mag-

giore, eguale o minore
della normale CA,  ab-
bassata da C  sulFaltro
lato delFangolo B.

1.  Se e b<AC,

1’arco suddetto non puo
avere alcun punto co-
mune col lato B A,  e cogli elementi dati non si potra construire in tal
caso alcun triangolo.

2. Se e h  = A C,  1’arco tocca il lato B A,  ed il problema ci da il
triangolo rettangolo ABC.

3. S e b b AC,  1’arco descritto intorno a C  con raggio b  inter-
seca il lato AB  in due punti A 1 , A 2 ;  risultano dunque due triangoli
differenti A, B C,  /1 2  BC,  i quali, siccome contengono gli elementi dati,
sodisfanno al problema proposto.

Secondo clie a un problema corrispondono una, due o piu soluzioni
si dice determinato in modo unico, in due modi  o in piu modi.  I cinque
primi problemi della costruzione del triangolo (§§ 50 sino 54) sono
determinati in modo unico, il sesto e o impossibile o e determinato in
modo unico o in due modi.

0 u e s i t i d’esercizio.  1. a =  5'6 cm, b —  3’6 cm, n —  36°.

2 a —  5'8 cm, b =  5‘4 cm, n -  65°.

§ 56. Cambiamenti degli elementi opposti del triangolo. a)  Se in

un triangolo, rimanendo invariati due lati, cresce Fangolo
da essi racchiuso, cresce ancbe il lato opposto allo stesso.

Nel triangolo ABC  (Fig. 65) si aumenti
Fangolo A  in modo che A C  giunga nella posi- ^
zione A C ,; s’immagini poscia guidata la retta
CC\  e costruitone Fasse di simmetria Al).

Siccome il punto B  giace fuori delFasse di
simmetria e si trova insieme con C  dalla stessa
parte del medesimo, dovrii essere B C\  > B C
t§ 42, b).  Inversamente: Fig. 65.

32

b)  Se in un triangolo, rimanendo invariati due lati,
cresce il terzo lato, cresce anche 1’a n golo ad esso
opposto. Infatti, ad un angolo decrescente, dovrebbe corrispondere
pel teorema precedente, nn lato opposto decrescente; e ad nn angolo
che rimane invariato?

I triangoli particolari.

§ 57. II triangolo isoscele. Sia ^4-8(7 (Fig. 66) un triangolo isoscele
(A C = B C)  e CD  sia Tasse di simmetria deli’angolo al vertice. Se
c’immaginiamo che il triangolo roti attorno alla retta CD , B  coincidera
con A, A  con B ; perche ? Percio C D  šara anche
1’asse di simmetria della base AB,  e come tale
dovra cadere perpendicolarmente alla stessa; cioe:

Nel triangolo isoscele Tasse di sim¬
metria delTangolo al vertice, Tasse di
simmetria della base e 1’altezza coin-
cidono in una stessa retta.

Due figure, le quali come i triangoli ACD
e BCD  rivolgendole attorno ad una retta, vanno
a coprirsi, si dicono simmetriche  rispetto a questa
retta. Ogni figura, che da una retta puo venir divisa in due parti
simmetriche, chiamasi figura simmetria  e la retta dicesi asse di sim¬
metria  o brevemente asse.  Dunque il triangolo isoscele 6 una figura
simmetrica.

Fig. 66.

Quesiti d’esercizio. Si costruisca un triangolo isoscele dati:

1. la base ed un angolo ad essa adiacente, AB = 3 cm, A —  70°;

2. la base e 1’angolo al vertice, AB  = 5cm, (7=90°;

3. uno dei lati eguali e 1’angolo adiacente alla base, AC=6cm , A =  72°•

4. uno dei lati eguali e l’angolo al vertice, BC  =62 mm,  (7=36°;

5. la base ed uno dei lati eguali, AB —  4 cm, A C =  3 cm.

§ 58. II triangolo rettangolo. a)  L/ipotenusa del triangolo
rettangolo e il di a metro del cerchio ad esso circoscritto.
Infatti, se dalTangolo retto A  (Fig. 43) si leva via uno dei due angoli
acuti x,  rimane quale residuo Taltro angolo acuto z; perche? Percio i
triangoli ABM  ed ACM  sono isosceli, quindi MA — MB = MC.

b)  I vertici degli angoli retti di tutti i triangoli
rettangoli che hanno comune 1’ipotenusa giacciono nella
linea circolare, ildiametro della quale e Tipotenusa
stessa  (luogo geometrico dei vertici).

c)  Se, rimanendo costante Tipotenusa di un triangolo
rettangolo, n n cateto aumenta, Taltro dimi n u is c e.

33

JJ

A

Infatti, costruendo 1’asse di simmetria MN della retta CC 1  (Fig. 67),
šara BC 1 ^>BC,  a contarrio A C\  <C A C.
d)  Se un an-

golo di un tria n- \__ C

golo rettangolo  b
di  30°, il cateto
minore b  la meta
delTipotenusa.  Per
dimostrar cio si ri volti
il triangolo ABC  (Fig.

68) intorno alla retta A C  fino a che giunga nella posizione ACD  e
si consideri poscia la figura ABC D.  — Inversamente ?

Q u e s i t i d’ esercizio. Costruire  un triangolo rettangolo
ABC,  dati:

1. un cateto e 1’angolo acuto ad esso adiacente, A C  = 2 cm, A —  60°;

2. un cateto e 1’angolo ad esso opposto, B C —  4 cm, A  = 40°;

3. l’ipotenusa e 1’angolo ad esso adiacente, A B  = 5 cm, B =  35°;

4. I due cateti, A C=  3 cm, B C=Acm\

5.  l’ipotenusa ed un cateto, A B  = 6 cm, B C —  4 cm.

Costruire un triangolo isoscele,  dati:

6. l’altezza (4 cm)  ed un angolo adiacente alla base (76°);

7. 1’altezza (5 cm)  e 1’angolo al vertice (48°);

8. l’altezza (3 cm)  e la base (4 cm);

9. uno dei lati eguali (5'5 cm)  e l’altezza [A cm).

Costruire un triangolo rettangolo isoscele,  dati:

10. un cateto (36 mm );

11. l’ipotenusa (5cm);

12. 1’altezza (3 cm).

Costruire un triangolo rettangolo,  dati:

13. 1’altezza (3'4 cm)  ed- un angolo acuto (36°);

14. 1’altezza (3 cm)  ed un cateto (4 cm).

Si iscriva in un cerchio, il cui raggio 6 di 3 cm, un triangolo rettangolo,

15. che abbia un angolo di 56°,

16. nel quale 1’altezza sia.di 2 cm.

§ 59. II triangolo equilatero. Dal teorema del triangolo isoscele
(§ 57) segue:

a)  Nel triangolo equilatero i tre assi di simmetria
degli angoli coincidono coi tre assi di simmetria dei lati
e colle tre altezze;  essi passano per lo stesso punto, che b  il centro
tanto del cerchio iscritto che del cerchio circoscritto, e si chiama percio
centro del triangolo equilatero.

b)  Le tre altezze dividono il triangolo equilatero ABC  (Fig. 69)
in sei triangoli rettangoli eguali; perchč se ogni due di questi triangoli,
che giacciono uno accanto alfialtro, si girano attorno ad un asse di sim-

Hočevar-Postet, Manuale di geometria per il Ginnasio inf. 2. ediz. 3

34

C

metria, vengono a coprirsi. In uno di questi
triangoli, p. e. A O F,  essendo < 3 'FhlO = 30 n ,

šara OF  = O A ■  percio anche OD —

\-OA  = ±rAD  ed OA  = -AD.

Z O O

c) Nel tria n golo equilatero il rag-
gio del cercliio iseritto e^-, quello del

2

cercliio circoscritto 6  - 5 - dell’altezza.

O

d)  Le altezze del triangolo equilatero sono eguali.
Quesitid’ esercizio. 1. Costruire un triangolo equilatero data l’altezza

(3 cm.)

2.  Come si fa a dimostrare ohe un triangolo isoscele ha due altezze eguali?

3. Che cosa si puo dire circa il centro del cerchio iseritto e quello del cerchio
circoscritto ad un triangolo equilatero?

Il cerchio. B.

§ 60. Retta e cerchio. Una retta puo avere rispetto a un cercliio
tre differenti posizioni, secondo che la sua distanza dal centro dello
stesso 6  minore, eguale o maggiore del raggio (Fig. 70). Nel primo

c or da del cerchio passa pel cen¬
tro dello stesso.  Su questo teorema si basa il modo di trovare il
centro di una linea circolare, che deve passare per punti dati.

Problemi.  1. Costruire un cerchio, che passi per due punti dati.
— Il problema e indeterminato,

2. Costruire un cerchio, che passi per tre punti dati. Questo
problema ha lo stesso significato di quello: Circoscrivere uu cerchio ad
un triangolo dato (§ 44, Fig. 50).

35

3. Cercare il centro di un cerchio o di uit arco circolare dato. —
Si scelgano tre punti sulla circonfereuza del cerchio o sulFarco dato e
si proceda come nel quesito precedente.

b)  Se l’arco corrispondente alla corda e di 60°, come CD  (Fig. 72),
allora il triangolo CDM  b equilatero; perche ? Percio:

La corda del sestante e eguale al raggio.

Q u e s i t i d.’ eseroizio. 1. Costruire un cerchio, che passi per un dato
punto ed abbia un dato raggio (3 cm).

2.  In un cerchio di un dato raggio (4 cm)  si conduca una corda di una data
lunghezza (5 cm).

3. ii’ forse eguale al diametro la corda che si conduce sino alla terza divi-
sione del cerchio ?

4. Quante corde della lunghezza del raggio e succedentesi l’una all’altra si
possono condurre in un cerchio ?

§ 62. Relazioni fra corde e le loro distanze dal centro. a)  Corde
eguali distano egualmente dal centro..

Infatti, se le corde A B  e C D  (Fig. 71) sono eguali, šara sempre
possibile di far rotare uno dei due triangoli A B M, CDM  attorno al

punto M  in modo
gruenza); in tal
caso anclie le
distanze ME  ed
MF  si copriranno,
perche da un punto
non si pub abbas-
sare ad una retta
che una sola nor¬
male; quindi ME
= MF.

che l’uno vada a coprire 1’altro (V. caso di con-

b)  Corde di un cerchio disuguali hanno distanze
disuguali dal centro, e precisamente la corda maggiore
ha la distanza minore.  Difatti, nei due triangoli rettangoli BEM
e C EM  (Fig. 72), essendo le ipotenuse eguali mentre B E  > C F,  dovra
essere MEcMF  (§ 58, c).

Inversioni: c) Corde egualmente distanti dal centro
sono eguali.

d)  Corde di un cerchio, che hanno distanze disuguali
dal centro, sono disuguali, eprecisamente la piti distante
e la corda minore.  Confronta il corollario al § 41.

§ 63. Angolo alla periferia. Un angolo, di cui il vertice e nella
periferia di un cerchio e i lati sono corde, chiamasi angolo alla peri-

3*

36

feria-,  la porzione della cireonferenza compresa dai lati delFangolo si
dice arco corrispondente od arco sul quale insiste Vangolo atta periferia.

L/angolo al semicerchio e parimente un angolo alla periferia.
Qual’e la grandezza deli’arco corrispondente?

Fra un angolo alla periferia e 1’angolo al centro insistente sullo
stesso arco sussiste una relazione semplice nel studiare la quale devesi
distinguere se il centro del cercliio giace in un lato deli’angolo alla
periferia o si trova dentro o fuori delFangolo.

1. Nel triangolo A MB  (Fig. 73) gli angoli segnati con m sono
eguali (perclie ?); percio 1’angolo al centro AMC k,  doppio delFangolo
alla periferia ABC  (§ 34, a)  clie insiste sul medesimo arco.

3

2. II diametro BD  (Fig. 74) divide Fangolo al centro AMC  nelle
parti AMD , DMC  e Fangolo alla periferia ABC  nelle parti m, n.
Siccome Fangolo AMD  e doppio di m e DMC  e doppio di n,  sani
anche AMC  doppio di ABC.

3. Se conduciamo il diametro BD  (Fig. 75), risulta che Fangolo
al centro AMD  e doppio delFangolo alla periferia ABD,  cioe di m-j-n.
Siccome CMD  e doppio di n,  de ve essere anche AMC  doppio di m.

a)  L/angolo alla periferia e la meta delFangolo al
centro corrispondente al medesimo arco.

b)  Tutti gli angoli alla periferia, insistenti sullo
stesso arco o sopra archi eguali, sono eguali.

Quesiti dtesercizio. 1. Si calcoli Fangolo alla periferia che corrisponde
a un arco di -j-, , -g- della periferia.

2.  Come si dimostra col mezzo del teorema a)  che Fangolo al semicerchio 6
un retto ?

3. Si costruiscano in un cerchio dato parecchi angoli alla periferia di 30°
a)  sul medesimo arco, b)  su archi diiferenti.

§ 64. Costruzioni delle tangenti. 1. Costruire la tangente al cerchio,
dato il punto di contatto. — Vedi § 40.

37

2. Da un punto situato fuori di un cerchio
condurre allo stesso le tangenti. — Si unisca
il punto A  dato (Fig. 76) col centro O  del cer¬
chio dato e si descriva sopra la retta A O,
preša quale diametro, una circonferenza, la quale
intersechi quella del cerchio dato nei punti D
ed E. Al)  ed A Ji  sono le tangenti cercate;
perche? — Al problema proposto eorrispon-
dono adunque due soluzioni.

Quesito d’esercizio. Dati un cerchio con raggio r =  2 ' 1 cm  ed un

3

punto la cui distanza dal centro fe a) —  r, b)  2 r, condurre da questo punto le tan¬
genti al cerchio.

§ 65. Posizione reciproca di due cerchi. Cerchi, che hanno lo stesso
centro, si dicono concentrici  (Fig. 77); la superficie limitata da due liuee
circolari concentriche e chiamata anello circolare.  Due
cerchi, che hanno centri differenti, si dicono eccentrici
(Fig. 78—82); la retta illimitata che passa per i centri
di due cerchi eccentrici  si chiama centrale;  il segmento
di quella retta limitato dai dne centri dicesi distanza
dei centri.  In seguito noi segneremo la distanza dei
centri con c, i raggi dei due cerchi con r  ed r„ ed
ammetteremo che sia r^>r v

Fig. 78. Fig. 79. Fig. 80.

Se ora c’immaginiamo che il minore dei due cerchi nella fig. 77 si
muova, esso assumera rispetto al maggiore successivamente cinque posi-
zioni differenti, che sono rappresentate dalla fig. 78 alla fig. 82. Modello!

38

Nella fig. 78 il cerchio minore giace del tutto dentro al maggiore.
Nella fig. 79 i due cerchi si toccano internamente; qui e c = r  — r x ;
dunque nella fig. 78 dev’essere c O— r x .  Si esprima con parole.

Nella fig. 80 i due cerchi s’intersecano e nel triangolo MNC  si
osserva che e r  -(- r x  c  > r  — r x  (§ 33). Si esprima con parole.

Nella fig. 81 i due cerchi si toccano esternamente; qui b  c == r-j-r,.
Nella fig. 82 i due cerchi sono esterni Funo ali’altro; qui chiaramente
si vede che e c^>r -\- r x .  Si esprima con parole.

Q u e s i t i d’ esercizio. Costruire due cerchi, dati (in centimetri) la
distanza dei centri e i raggi:

8. Si determini nei časi precedenti anche con calcolo la posizione vicendevole
dei due cerchi.

9. r  = 5 cm , r x  = 4 cm , quale šara la lunghezza di c affmchh abbia luoge a)  un
contatto esterno, b)  un contatto interno ?

II quadrilatero.

§ 66. Definizioni. Se si uniscono con rette secondo un determinato
ordine quattro punti, tre dei quali non giacciono in linea retta, si ottiene
un quadrilatero {ABCD,  Fig. 83).

Ogni quadrilatero ha quattro vertici,
quattro lati e quattro angoli. Ad ogni lato
si oppone un altro lato, ad ogni vertice e ad
ogni angolo un altro vertice ed un altro an-
golo, p. e. A B  e CD,  A e C.  Una retta,
che congiunge due vertici opposti, dicesi
^ diagonale,  come A C.  II quadrilatero ha due
diagonali.

§ 67. II teorema degli angoli. Ogni diagonale divide il quadrilatero
in due triangoli, i cui angoli assieme formano gli angoli del quadrila-
tero; percid:

La somina degli angoli di un quadrilatero e eguale
a quattro retti, ciod  a 360°.

Perche non si puo conchiudere nel modo seguente: Siccome le due
diagonali dividono il quadrilatero in quattro triangoli, percio la somma
degli angoli del quadrilatero b  eguale a quattro volte due retti, cioe
a 8 BI

39

Un quadrilatero non puo avere piii di un angolo convesso. — In
seguito si considereranno soltanto quadrilateri con soli angoli concavi.
Q u e s i t i d’ esercizio. 1. Si disegni un quadrilatero con un angolo convesso.

2. Quanti angoli acuti e quanti angoli ottusi puo avere un quadrilatero ? Si
disegnino i časi possibili.

Costruire un quadrilatero ABCD,  dati:

3. i quattro lati e un angolo, A B  = 3 cm. B C —  4 cm, C D —  4 cm, D A =
cm, A  = 90° ;

4. i quattro lati ed una diagonale, A B = 5 cm, B  C = 4' o cm, C II = 3 cm,
D A = 6 cm, A C — 4 cm ;

5. tre lati e i due angoli da essi racchiusi, AB = 35 mm, BC=CD = 3cm,
B  = 90°, C=  120°;

6. tre lati e le due diagonali, A B =  4 cm, B C =  5"5 cm, B D =  5 cm, AC =
5 cm, A D =  3 cm.

7. Dati tre angoli di un quadrilatero, calcolare il quarto:

a)  04° 37', 84° 12', 113° 48'; b)  67°, 45°, 36°.

8. Determinare la somma degli angoli esterni di un quadrilatero.

§ 68. Distinzione dei quadrilateri. Un quadrilatero, che ha i lati

opposti paralleli, si chiama parallelogrammo,  come ABCD  (Fig. 84);
AB  || DC,  AD  || BC.

Un quadrilatero, che ha soli due lati opposti paralleli, si dice
trapezio  come ABCD  (Fig. 89); A B  (| D C.

Un quadrilatero, nel quale nessun lato e parallelo ad un altro, d detto
trapezoide  (Fig. 83). Un trapezoide si chiama deltoide,  se ha due paia di
lati attigui eguali, come ABCD  (Fig. 92); AB  = BC  ed A D  = C D.

§ 69. Proprieta del parallelogrammo.

a) Ciascuna diagonale divi d e il
parallelogrammo in due triangoli
congruenti.  I triangoli A B D  e BC  D
(Fig. 84) sono congruenti, p ere h 6 hanno
il lato BD  comune e gli angoli adiacenti j
m ed n  eguali.

b)  1 lati opposti di un
parallelogrammo sono eguali;  AB  = CD,  AD  = BC.  Cio
segue da a).

Inversamente: Unquadrilatero e un parallelogrammo se
ogni due lati opposti sono eguali.  (V. caso di congruenza.)

c)  Gli angoli opposti di un parallelogrammo sono
eguali;  <£ A — C, B  = D.  Ci6 segue da a).

Inversamente: Un quadrilatero <bun parallelogrammo se
ha gli angoli opposti eguali.  Essendo <?£. A = C z B = D,
šara A  -f- B  = 2 R ; percio A D  || BC  (§ 30, b)  ecc.

40

d)  Le diagonali di un parallelogrammo si dividono
a vicenda in due parti eguali. Imperocche se M  e il punto d’inter-
sezione delle due diagonali, si puo fare che i triangoli ABM  e CD M
vadano a coprirsi, facendo coincidere mediante rotazione nel piano AB
con CD  (I. caso di congruenza; AB — CD, <č^ABM = CDM,
<^BAM—DCM)]  allora A M  coincide con CM  e B M  con DM-
percid A M = CM  e B M = D M.

Inversamente: Se in un quadrilatero le diagonali si
intersecano a vicenda in due parti eguali, il quadrilatero
d un parallelogrammo.  (V. caso di congruenza,)

e)  Un quadrilatero, che ha due lati opposti eguali e
paralleli, d un parallelogrammo. Essendo p. e. AB  = DC  ed
AB  || CD,  siccome /\AB  D^C D B  (III. caso di congruenza), percid
šara <^.ADB  = CBD  ed AB  || BC.

Quesiti d’esercizio. Costruire un parallelogrammo ABC D,  dati:

1. due lati attigui e l’angolo da essi racchiuso, A B  = 4 cm, B C —  3 cm,
B  = 110°;

2. due lati attigui ed una diagonale, A B =  4• 5 cm, B C  = 3*6 cm, B D = 5 cm-,

3. le due diagonali e un lato, A C —  6 cm, B D =  5 cm, B C  = 3 cm  ;

4. le due diagonali e 1’angolo da esse racchiuso, A C = 5'2 cm, B D  = 6 '2 cm,
AMB =  115°.

5. Dato un angolo di un parallelogrammo, calcolare gli altri angoli, a)  72°,
b)  118° 19', c)  98° 12' 34".

§ 70. Distanza di due rette parallele. Dal § 69, b)  segue:

a)  Rette parallele comprese fra paraliele sono eguali.

Sia AB  || CD  (Fig. 85); se da due punti qualunque B  ed E  di
una retta si tirano delle normali ali’ altra, questesaranno eguali, BD —
D F ■,  perchd? — Dunque tutti i punti di una retta distano egualmente
dalFaltra retta. Una qualunque di queste normali si chiama distanza
delle rette parallele.  Inversamente:

B

Jt

E

B

b)  Tutti i punti, che dalla mede-
sima parte di una retta, distano egual¬
mente dalla medesima, giaeciono
in una parallela alla retta data  (luogo
geometrico di quei punti).

Ogni lato del parallelogrammo si puo pren-
dere quale base. La distanza della base dal
lato parallelo si chiama altezza-,  p. e. DE e  1’altezza rispetto al lato
AB  prešo quale base (Fig. 84).

Q u e s i t o d’ e s e r c i z i o. Costruire un triangolo rettangolo, date l’ipotenusa
(5 cm)  e l’altezza rispettiva (2 cm).

Fig. 85.

§ 71. Distinzione dei parallelogrammi. Se il parallelogrammo ha un
angolo retto, anche gli altri angoli devono essere retti, ed il parallelo-

41

grammo dicesi rettangolo.  Se due lati contigui sono eguali, anche gli
altri lati devono essere eguali, ed il parallelogrammo e detto eguilatero.

II parallelogrammo rettangolo si dice anche propriamente rettangolo,
l’equilatero rombo.  Un parallelogrammo rettangolo ed equilatero si chiama
guadrato,  l’obliquangolo e non equilatero romboide.

§ 72. II rettangolo. Nel rettangolo (Fig. 86) i triangoli ABC  ed
ABD  sono perfettamente eguali; perche? Quindi le diagonali
AC — BD  sono eguali,  ed essendo eguali anche le loro meta, cosi
il loro punto d’intersezione M  b egualmente distante dai vertici; percio:
Ad ogni rettangolo si pub circoscrivere un cerchio.  E il
rettangolo una figura simmetrica?

Quesiti d’esercizio. Costruire un rettangolo AB CD,  dati:

1. due lati attigui, A B  = 4‘7 cm, B C—  0'32 dm  ;

2. un lato e la diagonale, A D  = 4 cm, AC =3 cm\

3. una diagonale e l’angolo racchiuso dalle diagonali, AC = 5'4cm, BMC=  60°.

Fig. 87.

§ 73. II rombo. Ogni diagonale di un rombo b asse di simmetria
delhaltra: perche i e C (Fig. 87) sono egualmente distanti tanto da B
che da D.  (Modello!) Da cib segue che le diagonali sono vicende-
volmente perpendicolari  e dividono il rombo in quattro triangoli
congruenti.

Ogni diagonale del rombo e anche asse di simmetria dei due angoli
da essa intersecati; perche ? Dunque il punto M  6 egualmente distante
dai lati e percib in ogni rombo si pu6 iscrivere un cerchio.

Quesiti d’esercizio.  Costruire un rombo AB CD,  dati:

1. un lato e un angolo, AB = 3 cm, B =  120°;

2. un lato ed una diagonale, A D  = 4 cm, B D = 3 cm  ;

3. le due diagonali, AC=3cm, BD = 4‘8cm;

4. un angolo e il raggio del cerchio iscritto, A =  60°, r  = 2 cm.

§ 74. II quadrato. Le due diagonali del quadrato  (Fig. 88)
sono eguali e vicendevolmente perpendicolari. Al qua-
drato si pub iscrivere e circoscrivere un cerchio.  Centro
del quadrato. E il quadrato una figura simmetrica?

42

Quesiti d’esercizio. 3. Costruire un quadrato, dati a)  il lato, b)  la
diagonale.

2. In quali parallelogrammi le diagonali sono eguali e in quali sono vicen-
devolmente perpendicolari ?

§ 75. Proprieta del trapezio. Nel trapezio ciascuno dei due la i
paralleli puo riguardarsi quale base;  la distanza degli stessi e Valtezza
del trapezio. La retta, che unisce i punti di mezzo dei due lati non
paralleli, e detta retta media  (EF Fig. 89).

a)  La retta media del tra¬
pezio b  parallela ai lati paral¬
leli dello stesso.

Infatti, essendo A E — ED  e
GH J_ AB,  facendo rotare il triangolo
AEG  intorno al punto E,  lo si puo
collocare sopra il triangolo H ED  cosl
Flg ' 89 ' che lo copra. Quindi GE — EH;

vale a dire G E  e la meta delFaltezza del trapezio. Parimente si dimc-
stra che anche J F b  la meta delFaltezza del trapezio, percio eguale
a GE-  quindi EF\\ AB  || CD  (§ 70, a).

b)  La retta media e eguale alla semisomma dei lati
paralleli.

Difatti, dalla congruenza dei triangoli AEG  e D EH  segue
A G  — D H  = x,  come pure B J  = C K — z.  Ora, se da A B  leviamo
via x e z  ed aggiungiamo queste due rette a CD,  la somma

di AB  e CD  diventa il doppio di E F,  cioe E F — ~{AB  -f -CD).

At

Quesiti  d’ e s e r c i z i o.*) 1. Costruire un tra¬

pezio A B CD,  dati tutti i quattro lati, A B =  6 cm,
B C =  5 cm, C D  = 2 cm, D A  = 3 cm.  Avviamento. Si
eostruisca prima il triangolo B C E  (Fig. 90) con la diffe-
renza dei due lati paralleli e coi due lati non paralleli.

2. Costruire un trapezio, dati tre lati e un angolo:

a) AB =  5'2 cm, B C —  3‘5 cm, C D =  4 cm, B —  70°;

b) B  (7=4 cm, CD =  4 cm, D A =  3 cm, D  = 120°.

3. Costruire un trapezio, dati tre lati ed una diagonale: AB —  5 cm,
B C  = 4'4 cm, CD —  4'4 cm, A C—  G cm.

4.  Costruire un trapezio, dati tre lati e l’altezza h :

a) AB — 4 cm, CD —  3'6 cm, D A = 4'2 cm, h = 3 cm;

b) B C =  3 cm, CD = 2 cm, DA —  3 ‘ 6 cm, h =  2'5 cm.

5. Dati due angoli di un trapezio (i quali non siano adiacenti ad uno dei
lati non paralleli), calcolare gli altri angoli : a) A —  63°, B  = 96° ; b) C —  125° 12' 40",
D  = 87° 34' 28"; c) A  = 76° 26' 34", C  = 85° 23' 17".

*) Nei quesiti seguenti sul trapezio A B C D,  si presuppone che sia sempre
d P II CD.

43

§ 76. II trapezio isoscele. a)  Un trapezio, che ha i lati non paralleli
eguali, dicesi trapezio isoscele.  Nel trapezio isoscele gli angoli
adiacenti ad ognimo dei lati paralleli sono eguali. Se e
C E  || DA  (Fig. 90) e BC  = A D,  dev’ essere anche BC — EC,  dunque
•CjjB = C EB — A.  Siccome gli angoli ADC  e DCB  del trapezio
sono supplementi degli angoli A  e B,  cosi essi sono parimente eguali.

h)  II trapezio isoscele d una figura
simmetrica, e precisamente 1’asse di
simmetria di uno dei lati paralleli e
in pari tempo asse di simmetria del
trapezio. Si dimostri facendo rotare il tra¬
pezio intorno allasse di simmetria del lato

AB.  Modello!

c)  Altrapezioisoscelesipudcirco.
scrivere un cerchio. Infatti, se M  e il punto
d’intersezione degli assi di simmetria dei lati Fig.  91.

AB  e BC  (Fig. 91), šara AM  = BM  = CM

,ed anche = D M,  perche l’asse di simmetria di AB  e in pari tempo
asse di simmetria di CD.

Quesiti d’esercizio. Costruire un trapezio isoscele dati:

1. i due lati paralleli AB = 32mm, D C =32 mm,  e uno dei lati eguali
AD —  44 mm ;

2. i due lati paralleli A B =  5 cm, D C — i cm,  e <£ D  = 100°;

3. i due lati paralleli AB —  4 cm, D C =2'5 cm,  e l’altezza h  = 3 cm;

4. il lato parallelo A B —  5 cm,  uno dei lati non paralleli A D  = 3 ‘6 cm  e
1’angolo C =  120°;

5. il lato parallelo D C—  3 cm,  uno dei lati non paralleli AD — 3'Gcm,  e
l’altezza h  = 2'8 cm.

6. Dato un angolo di un trapezio isoscele, calcolare tutti gli altri angoli:
a)  57° 17' 45", b)  142° 16' 35".

§ 77. Proprieta del deltoide. La diagonale BD  divide il deltoide
ABC D  (Fig. 92) in due triangoli congruenti, che facendoli rotare
attorno a BD  uno va a coprire 1’altro. Percih
il deltoide e una figura simmetria  e la
diagonale (BD)  ne e Tasse di simmetria; essa
dimezza perpendicolarmente l’altra diagonale

AC,  nonche gli angoli B e D  (si mostri col
rivolgere la figura attorno allasse di simme¬
tria). Modello!

Se si costruisce Tasse di simmetria delFan-
golo A,  si ottiene nella BD  un punto M,  che dista
egualmente dai lati del deltoide; percih: In ogni
deltoide si puo iscrivere un cerchio.

B

44

Quesiti d’ e s er ciz io.*) Costruire un deltoide, dati:

1. due lati disuguali ed una diagonale:

a) A B  = 5 cm, A D  = 3 cm, B D  = 7 cm-,

b) A B  = 4 cm, A D = 5'2 cm, A C —  6 cm\

2.  un lato e le due diagonali:

A B  = 4 cm, A C = 3 cm, B D  = 5 cm-,

8. le due diagonali e un angolo :

A C —  3 cm, B D  = 5 cm,  <J D —  75°.

4. Dati due angoli (disuguali) di un deltoide, calcolare tutti gli altri angoli:

a) A =  90°, B  = 60°; b) B =  42° 15' 12", D  = 170° 28' 30".

6. S’inscriva un cerchio in un deltoide.

II poligono.

§ 78. Definizioni. Se si uniscono con rette secondo un determinato
ordine pid di quattro punti, si ottiene un poligono {ABC  D E F,  Fig. 93).

II numero dei vertici di un poligono d eguale a
quello dei lati e degli angoli. Secondo eh e il
numero dei lati d 5, 6, 7 ... n,  il poligono e detto

pentagono, esagono, ettagono .di n lati.

1  ^ In senso lato si computano fra i poligoni
anche il triangolo ed il quadrilatero. In seguito
si considereranno soltanto poligoni con soli an¬
goli concavi.

§ 79. Diagonali. Una retta, che congiunge
due vertici di un poligono, che non si sucee-
dono immediatamente, dicesi diagonale.  Se da un vertice del poligono
si tirano tutte le diagonali possibili, risulta clie a tre vertici non si pos-
sono condurre diagonali, cioe al vertice stesso dal qnale si sono con-
dotte le diagonali e ai vertici attigui; percid: Il numero delle
diagonali che si possono condurre da un vertice d di tre
unita minore del numero dei lati.  [Nel poligono di n  lati
d {n— 3).]

Problema.  Calcolare il numero delle diagonali di un poligono di
n  lati. — P. e. da ogni vertice di un ottagono si possono guidare 5,
percid da tutti gli otto vertici 5.8 = 40 diagonali. Ma ogui diagonale
d stata condotta due volte, ciod tanto dalFuna che dall’altra delle sue
estremita; percid il numero di tutte le diagonali possibili di un ottagono

Fig. 93.

! = 20 . (

Nel poligono di n  lati e

n {n  — 3)
2

■)

Quesito d’esercizio.  Calcolare il numero di tutte le diagonali di un
poligono di 5, 6, 7, 10, 12 lati.

*) Nei quesiti seguenti sul deltoide ABC D,  si presuppone sempre che BD
sia l’asse di simmetria dello stesso.

45

§ 80. II teorema degli angoli. Se si unisce mediante altrettante
rette un punto O, situato nelFinterno del poligono (Fig. 94), con tutti i
vertici, il poligono vi en e scomposto in tanti triangoli quanti sono i lati.
Siccome ora gli angoli dei triangoli, ad ecce-
zione di quelli che giacciono attorno il punto
O,  formano iusieme gli angoli del poligono,
cosi la somma degli angoli di tutti i triangoli
dev’essere di quattro retti maggiore di quella
degli angoli del poligono; percio: La somma
degli angoli di un poligono e eguale
a tante volte due retti quanti sono i
lati meno quattro retti  (nel poligono din
lati 5 2nR  — 4 i?).

Quesiti d’esercizio. 1. Caloolare la somma degli angoli di un poligono
di 5, 6, 7, 8, 10, 12, 16, 24 lati.

2. Nel pentagono ABC D E  e A —  36° 42' 58", B &  2 J volte maggiore di A t
C b  di 13° 44'51" minore di B  e inoltre b D — E.  Si calcolino gli angoli B, C,
D  ed E.

3. La somma degli angoli esterni di un poligono importa quattro retti; perche ?
— (Vedi § 34, b.)

§ 81. II poligono regolare. Simmetria dello stesso. Un poligono, che
ha i lati e gli angoli eguali, dicesi regolare.

a)  L’asse di simmetria d’ogni lato del poligono
regolare b  in pari tempo asse di simmetria del poligono.

Perche, se F M  (Fig. 95) b  Tasse di simmetria del lato A B,  si
pud far rotare il poligono attorno ad F M  in modo che A  coineida
con B ■  allora anche A E  e B C  si copriranno, perche gli angoli A e B
sono eguali ed anche i punti C  ed E  coincideranno, perche i lati sono
eguali ecc.

Quale modello si faccia uso di un esagono regolare, che si possa rivolgere
intorno ad un asse di simmetria di un lato e ad un asse di simmetria di un
angolo.

b)  L’asse di simmetria d’ogni angolo di un poligono
regolare b  in pari tempo asse di simmetria del poligono.

Perche, se A M  (Fig. 95) b  1’asse di simmetria delFangolo A,  si
pu6 rivolgere il poligono attorno a d A M  in modo che A B  coineida
con A E-  allora anche i punti B  ed E  coincideranno, perchd i lati sono
eguali, parimenti BC  coincidera con EI),  perchd gli angoli B  ed E
sono eguali ecc.

Se il poligono ha un numero dispari  di lati, Tasse di simmetria
di ogni lato b  in pari tempo asse di simmetria delFangolo opposto
(Fig. 95). Se il poligono ha un numero pari  di lati, ogni asse di sim-

2 >

46

metria di un angolo 6 asse di simmetria delfangolo opposto ed ogni asse
di simmetria di un lato e asse di simmetria del lato opposto (Fig. 96).

Dunque il numero degli assi di simmetria di un poligono regolare
e uguale al numero dei lati.

Quesito d’esercizio. Quanto imporfa a)  un angolo interno, b)  un an¬
golo esterno di un poligono regolare di 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 16, 24 lati ?

§ 82. II poligono regolare e il cerchio. a)  Ad ogni poligono
regolare si p u o circoscrivere ed iscrivere un cerchio.

L’asse di simmetria F M  del lato A B  (Fig. 95) e 1’asse di simmetria
G M  del lato BC  s’intersecano nel punto M,  che dista egualmente dai
tre vertici A, B, C.  Siccome ora C  ed E  sono punti simmetrici rispetto
ad F M,  šara CM— EM ; siccome ancora A  e D  sono punti simmetrici
rispetto & G Al,  šara A M  = D M.  Dunque M  e il centro di un cerchio,
che passa per tutti i vertici del poligono.

Siccome corde eguali distano egualmente dal centro, cosi F M —
G Al  = HM = .  . .; cioe Al e  il centro di un altro cerchio, che tocea
tutti i lati del poligono. Percio il punto M  e detto anche centro del
poligono regolare.

b)  Se si divide la periferia di un cerchio in parti
eguali, i punti di divisione sono tanto i vertici di un
poligono regolare iscritto, che i punti di contatto dei
lati di un poligono regolare circoscritto.

Se gli archi A B, BC, CD . .  . (Fig. 96) sono eguali, devono
corrispondere ad essi corde eguali, cioe AB — BC = CD =  . . . Noi
possiamo ora far rotare il poligono ABC D  . . . attorno al punto ilf in
modo che il vertice A  coincida con un vertice qualunque, p. e. con
B ■  allora B  cadra su C, C m D  ecc.; dunque tutti gli angoli sono
eguali; quindi ABC D . . .  e un poligono regolare.

Nella suaccennata rotazione la tangente G H  cadra sopra un’altra
tangente, p. e. sopra H J, H J  sopra J K  ecc. La seconda posizione

1 D J{
Fig. 96.


Fig. 95.

47

del poligono GHJK .  . . c o pri ra esattamente la prima; percio esso
avra i lati e gli angoli rispettivamente eguali; quindi GHJK . .  . šara
un poligono regolare.

Problemi.  1. Ad un cercbio dato a)  iscrivere, b ) circoscrivere un
triangolo equilatero.

2. Ad un cerchio dato a)  iscrivere e b)  circoscrivere un quadrato.

3. Ad un cercbio dato a)  iscrivere e b)  circoscrivere un esagono
regolare.

Quesiti d’esercizio. Ad un cerchio dato iscrivere e circoscrivere: 1. un
ottagono regolare, 2. un dodecagono regolare, 3. un pentagono regolare, 4. un deca-
gono regolare. — Nel 3 e 4 caso si tenti di dividere ad occhio la periferia del cerchio
in cinque e rispettivamente in dieci parti eguali.

§ 83. Trasporto di lin poligono. Problema.  Costruire un poligono
congruente ad un poligono dato (trasporto del poligono).

a)  Determinandone i vertici sulla base del V. caso  di
c on  gr  u en  z a. Si faccia (Fig. 97) A 1  B l  — AB-,  fatto centro in
A l  con raggio A C  ed in B 1  con raggio BC,  si deserivino arebi,
cbe s’intersecano in
C 1  ■  nella stessa guisa
si determinino i vertici
D x  K x  ecc. — Si di-
mostri mediante sovrap-
posizione.

b)  Mediante le
coordinate rettan-
golari dei vertici.

Dai vertici del poligono
dato (Fig. 98) si abbassino le normali ad una retta qualunque e si co-
struiscano sopra un altra retta O x  X x  i segmenti 0 1  M x  = OM,O x N 1 =ON

. .  s’inalzino le normali ad O x  X x  e si
D D,

ecc.; poscia dai punti M x , N x
faccia M x  A x  — MA,

\C.

1’ascissa OM  e 1’ordi-

0 M

■ JT P

0, JI,

M P,

_

Fig. 98.

48

nata MA  sono dette coordincite rettangolari  del punto A  rispetto ad
O  quale origine  e ad O X  quale asse delle ascisse.  — Si faccia cenno
delle coordinate sfericlie nel fissare la posizione geografica di un luogo.

Quesiti dlesercizio. Si costruisca un quadrilatero tale clie possa an-
dare a coprire un quadrilatero dato 1. spostandolo semplicemente, 2, rivolgendolo in-
torno ad una retta, p. e. intorno a un lato, 3. imprimendogli mezza rotazione attorno
ad un punto dato, p. e. attorno a un vertice.

4. Si trasporti a)  un parallelogrammo, b)  un pentagono, c)  un esagono.

5. Si costruisca un quadrilatero, date le coordinate dei suoi vertici:

A B C D

ascisse 1, 4, 5, 3 cm

ordinate 1, 0, 4, 5 cm.

6. Costruire un pentagono, date le coordinate dei vertici:

A B C D E

ascisse: 0, 1*4, 4'6, 6’0, 8'0 cto;

ordinate:2‘9, 5 - 6, 5‘0, 4'3, 0 - 9 cm.

Equivalenza.

§ 84. Definizioni. Quella porzione di piano compresa dalle linee,
che limitano una figura (piana), dicesi superficie  della figura (superficie
del triangolo, del cerchio ecc). La grandezza della superficie si chiama
area  della figura. Due figure, che lianno eguale area, si dicono equi-
valenti  o semplicemente eguali  (=); al contrario si dicono disuguali

O o <).

II confronto fra due superficie si basa principalmente sui seguenti
teoremi, che sono evideuti da se:

1. Due figure congruenti sono anche equivalenti.
Da cid segue che p. e. un parallelogrammo vien diviso in due
parti eguali da una diagonale, e parimente un poligono regolare
viene diviso in due parti eguali dalfasse di simmetria di un lato o di
un angolo.

2. Se due figure date si sommano (si collocano una
accanto all’altra) in differenti modi, si ottengono nuove
figure, che sono fra loro sempre equivalenti, ma che non
sono in generale congruenti.  Quante figure di forma differente
e di grandezza eguale si possono ottenere ponendo uno accanto alFaltro,
con due lati eguali, due triangoli rettangoli congruenti?

3. Se da una figura data si sottrae (si leva via) in
differenti modi un’altra figura data, si ottengono nuove
figure, che sono fra loro sempre equivalenti, ma che non
sono in generale congruenti.  Vedi p. e. § 85.

✓

49

Per rettangolo di due rette  s’intende quel rettangolo, i cui lati sono
le rette date. II quadrato costruito sopra una retta quale lato dicesi il
guadrato di guesta retta.

§ 85. II parallelogrammo. Se due parallelogrammi liaimo basi eguali
ed eguali altezze, si possono sovrappore in modo che le basi coinci-
dano e i lati opposti giaceiano in una

retta (Fig. 99). Qui b  il A AFD J) C F E

B EC]  perclie? Se ora dal trapezio

A BED  si sottrae il triangolo AFD,
rimane il parallelogrammo ABEF-,  se
dallo stesso trapezio si sottrae il trian¬
golo BEC,  vale a dire il triangolo AFD
collocato in un’altra posizione, si ottiene

il parallelogrammo ABCD-  percio ABCD  = ABEF.  Si adoperi
un modello in cartone.

Parallelogrammi, che hanno basi eguali ed eguali
altezze, sono equivalenti;  percid:

Ogni parallelogrammo e equivalente ad un rettangolo
di base eguale e di eguale altezza.

Quesitid’esercizio. 1. Si ripetano le considerazioni precedenti, sup-
posto che il punto C  coincida con F,  oppure che F  si trovi fra C e D.

Si diano le ragioni dei seguenti teoremi:

2. L’area di un parallelogrammo rimane invariata, se si fa scorrere un lato
suo qualsivoglia lungo la retta condotta per il lato stesso.

3. Di due parallelogrammi di base eguale e di altezza diseguale, quello e
maggiore che ha 1’altezza maggiore.

4. Di due parallelogrammi di altezza eguale e di base diseguale, quello b mag¬
giore che ha la base maggiore.

§ 86. II triangolo. Il triangolo ABC  (Fig. 100) fe la meta del
parallelogrammo ABDC,  che ha la medesima base e la stessa altezza.

Ogni triangolo b  la meta di un parallelogrammo di
base eguale e di eguale altezza;  percib:

Triangoli, che hanno basi eguali ed eguali altezze,
sono equivalenti.

Hočovar-Postet, Manuale di geometria per il Ginnasio inf. 2. ediz.

4

50

H

D

Quesitid'esercizio. Si dia la ragione dei seguenti teoremi:

1. L’area di un triangolo rimane invariata, se si sposta il suo vertiee lungo
una retta parallela alla base. (Fig. 101.)

2. Di due triangoli di base (altezza) eguale e di altezza (base) diseguale quello
h maggiore ehe ha maggiore altezza (base). (Fig. 102.)

3. Ogni parallelogrammo viene diviso dalle due diagonali in quattro triangoli
equivalenti.

4. Se in un parallelogrammo si tira una diagonale e se per un punto qualsivoglia
della stessa si guidano delle parallele ai lati, queste scompongono il parallelogrammo
in due paia di triangoli congruenti e in due parallelogrammi equivalenti.

5. Dei quattro triangoli, in cui un trapezio e scomposto dalle sue diagonali,
quei due i cui lati sono i lati non paralleli sono equivalenti.

§ 87. II quadrato della somma di due segmenti rettilinei. Se a  e b

sono due segmenti rettilinei e si fa A B  = a,  B C — b,  šara AC  — a  -f- b.

Il quadrato AGDE  costruito sul lato A C  (Fig.
103) si puo dmdere mediante le rette B H  ed
FG  in due quadratii cui lati sono rispettivamente
a e b e  in due rettangoli i cui lati sono a e b.
Da cio segue:

Il quadrato della somma  di  due  seg¬
menti rettilinei si compone del qua-
drato del primo segmento, di due ret¬
tangoli di ambidue i segmenti e del qua-
drato del secondo segmento.

§ 88. II trapezio. Se si divide per meta il lato BC  del trapezio
ABC  D  (Fig. 104) e se pel punto E  di divisione e pel verticie D  si
tira una retta, che incontri in F  il prolungamento
del lato AB,  si ottengono due triangoli congru¬
enti EBF  ed EC D.  Se ora si gira il
triangolo EC D  intorno al punto E  sino a che
arrivi nella posizione EBF , allora il trapezio
ABC  D  si trasforma nel triangolo AFD  di
eguale altezza; la base del triangolo AFD  b  uguale alla somma dei
lati paralleli del trapezio, cio6 A F  = A B B F = A B  -f- CD-,  percio:

Un trapezio b  equivalente ad un triangolo, che ha la
medesima altezza e per base la somma
dei lati paralleli del trapezio.

Quesito  d’eser cizio.  Col mezzo della fig. 89 si
mostri che il trapezio h equivalente ad un rettangolo che
ha eguale altezza e per base la retta media del trapezio.

§ 89. II quadrilatero a diagonali vicendevol-
mente perpendicolari. Nel quadrilatero ABCD
(Fig. 105) sia A C  _L D B.  Si conducano pei suoi

B

Fig. 103.

Fig. 104.

51

vertici le parallele alle diagonali. Cosl yiene circoscritto al quadrilatero
il rettangolo EFGH,  i lati del quale sono rispettivamente eguali alle
diagonali parallele del quadrilatero ABC D.  Essendo ora A CI)  =

\aCGI1,  ed ABC= \~AEFC,  šara anclie ABCJD = ~EFGII.

Un quadrilatero a diagonali vicendevolmente p e r-
pendicolari e la meta di un rettangolo, i lati del quale
sono le due diagonali.

Quesiti d’esercizio. 1. Per quali speoie di quadrilateri vale il teorema
precedente ?

2. Come sona questo teorema applicato al quadrato?

3. Si dimostri che un qnadrilatero e la meta di un parallelogrammo eirco-
scritto, i cui lati sono paralleli alle diagonali del quadrilatero.

§ 90. II poligono regolare ed un suo settore. a)  Se O e il centro
dell’esagono regolare A B C DE F (Fig.  106), e evidente, che ABCDEF
= 6 .ABO.  Se ora sul prolungamento di AB  si trasportano gli altri
lati del poligono, cosicche
H L  sia eguale al peri-
metro dello stesso, šara
HGO = GAO = ABO
= ....;  percio: HLO
= 6. A B O.  Quindi:

ABCDEF = H L O.

Il poligono rego¬
lare e equivalente

ad un triangolo, che ha per base il perimetro del poli¬
gono e per altezza il raggio del cerchio iscritto al poli¬
gono medesimo.

b ) Se si unisce il centro di un poligono regolare con due vertici qualun-

que, si ottengono due settori  dello stesso; tali sono p. e. ABCO  e CDEFAO,
dove ABC  si dice base  del primo e CDEFA base  del secondo settore.

Ogni settore di un poligono regolare e equivalente
ad un triangolo, che ha per base la base del settore e per
altezza il raggio del cerchio iscritto al poligono.

Quesitid’ esercizio.  1. Ogni triangolo b  equivalente ad un altro, che
ha per base il perimetro del primo e per altezza il raggio del cerchio iscritto allo
stesso; .perche?

2. Come sona il teorema corrispondente ad un poligono qualunque circoscritto
al cerchio?

§ 9!. II cerchio ed il settore circolare. Quanto pit grande d il
numero dei lati di un poligono regolare, tanto meno il suo perimetro e
1’area differiscono dal perimetro e dalFarea del cerchio iscritto nello stesso.

4*

52

Questo uumero si puo prendere sempre tale, clie la suddetta differenza,
anche nelle figure disegnate con tutta esattezza, e nei calcoli eseguiti
con ogni precisione, riesca insensibile. Da qui deriva che i due teoremi
precedenti, che furono enunciati per un poligono regolare qualsivoglia e
per un settore dello stesso, si possono applicare al cerchio ed al settore
circolare, e si puo dire:

a)  La superficie circolare 5 equivalente ad un tri-
angolo, che ha per base la periferia del cerchio e per
altezza il raggio  d’ello stesso.

b)  II settore circolare e equivalente ad un triangolo,
che ha per base  1’arco e per altezza il raggio.

Teoremi sulFarea del triangolo rettangolo.

§ 92. Teorema di Pitagora. Se si costruisce un triangolo rettangolo
in modo che un cateto contenga tre segmenti eguali e l’altro cateto ne

contenga quattro, 1’ipotenusa ne conterra
cinque. Si costruiscano poscia su questi
lati i quadrati e si dividano questi in
piccoli quadrati come lo mostra la Fig.
107. Questi quadrati sono eguali e 25
ne contiene il quadrato dellipotenusa,
9 e 16 rispettivamente i quadrati dei
due cateti. Si vede dunque che:

Il quadrato delFipotenusa
b uguale alla somma dei qua-
drati dei due cateti.

Questo teorema, che vale per qual-
sivoglia triangolo rettangolo, si attri-
buisce al filosofo Pitagora  (nato a
Samo verso 1’anno 580 a. C.), e porta
anche il suo nome. Per mo
strare che questo teorema vale
per un triangolo qualunque,
si puo fare la seguente con-
siderazione:

Se a  e b  sono i cateti
e c 5 1’ipotenusa di un trian¬
golo rettangolo, sopra la retta
a  -f- b  si costruiscano due

Fig. 107.

Fig. 108.

Fig. 109.

quadrati e si decomponga il primo corrispondentemente alla Fig. 108,
il secondo corrispondentemente alla Fig. 109. Se ora dal quadrato della
somma a  -f- b  si tolgono quattro triangoli rettangoli congruenti, nel

53

primo caso rimangono i quadrati dei due cateti e nel secondo rimane
il quadrato delFipotenusa. (Modello!)

Dal teorema di Pitagora segue:

II quadrato di un cateto 6 uguale al quadrato del-
1’ipotenusa meno il quadrato delFaltro cateto.

Q u e s i t i d’eseroizio. Costruire un quadrato eguale:

1. alla somma di due quadrati dati,

2. alla somma di tre quadrati dati,

3. al doppio, al triplo, al quadruplo di un quadrato dato,

4. alla differenza di due quadrati dati,

5. alla meta di un quadrato dato.

§ 93. Teorema delFaltezza. Sia ABC  (Fig. 110) un triangolo
rettangolo (1’angolo in C  = 90°). Dal vertice C  si abbassi l’altezza CD;
essa divide il triangolo ABC  nei triangoli ADC  (che indichiamo con I)
e CDB.  Se ora si fa rotare il
triangolo I intorno al punto C fino
a che arrivi nella posizione C E F
e si prolunga EF  sino in G,  si
ottiene il quadrato delFaltezza, cioe
CDGE.  Se si sposta poscia il
triangolo I lungo 1’ipotenusa C F

D

B

HJB  e si prolunga J H  sino in jr ig 110

K,  si ottiene il rettangolo dei due

segmenti delFipotenusa, cioe DBJK. (A D = FE  = B J — D K.)  Il
quadrato CDGE  e il rettangolo DBJK  sono equivalenti, perche ognuno
si compone del pentagono DGFHK  e dei triangoli I e II. (I triangoli
indicati con II hanno la ipotenusa e gli angoli rispettivamente eguali
perche e H C  = BC  — A C  e BF  = BC — AC.)  Da ci6 segue:

Il quadrato delFaltezza di un triangolo rettangolo b
equiyalente al rettangolo dei segmenti delFipotenusa.

Trasformazione e partizione delle figure.

§ 94. Trasformazione delle figure. Trasformare una figura
in uifaltra vuol dire, costruire una figura equivalente
alla data.

1. Problema.  Trasformare un parallelogrammo obbliquangolo in
un rettangolo.

Soluzione. Dalle estremita di un lato s’innalzino le perpendicolari
al lato opposto (§ 85).

2. Problema.  Trasformare un triangolo in un parallelogrammo
a)  di base eguale, b)  di altezza eguale.

54

Soluzione. a)  Sia ABC  (Fig. 111) il triaDgolo dato. Si faccia
AD — DC  e si conducano DF\\AB  e BF^AD] ABFD  e il
parallelogrammo cercato. b)  Analogamente come in a).

3. Problema.  Trasformare uu triangolo in nn altro in modo che
abbia un angolo invariato ed uno dei lati cbe lo racchiudono sia di una
data lunghezza.

Soluzione. Siano A B C  (Fig. 112) il triangolo dato, B A C  1’angolo
che deve rimanere invariato, ed AT) = a  il lato che deve sostituire il
lato AB.  Si gnidi la .CD  e da B  si tracci la BE  parallela a CD ,
che intersechi il prolungamento del lato A C  in E]  si unisca E  con D
mediante una retta e šara A ED  il triangolo cercato. Infatti CDB =
C D E,  percio ACD + CD B = AC D + CD E,  ovvero ABC— AD E.

Quesiti d’esercizio. 1. Trasformare a)  un parallelogrammo, b)  un tri¬
angolo in un altro di base eguale, che abbia un dato angolo come angolo adiacente
alla base (Fig. 113).

2. Trasformare un triangolo in un altro di base eguale a)  isoscele, b)  con
un angolo retto alla baše, c)  con un angolo retto al vertice. Solo quando 1’ultimo
problema puo essere risolto?

3. Trasformare un triangolo in un parallelogrammo rettangolo di base eguale.

4. Trasformare un parallelogrammo in un triangolo a)  di altezza eguale, b)  di
base eguale.

5. Trasformare un triangolo in un altro, che conservi un angolo invariato ed
uno dei lati che lo racchiudono venga sostituito da un lato piu lungo. Se A DE
(Fig. 112) e il triangolo dato e se AB  e la nuova base data, si guidi D C  |[ BE e  si
unisca B  con C  mediante una retta; šara AB C = A D E.

6. Costruire un parallelogrammo equivalente a)  alla somma, b)  alla diflerenza
di due parallelogrammi dati di altezza eguale. Se ABCD  e BEFG  (Fig. 114) sono

A

Fig. 111.

Fig. 112.

Fig. 113.

C

J) K

C HG

F

J

Fig. 114.

J) ~
Fig. 115.

55

i due paral lelogrammi dati di altezza eguale, AEHD  šara la somma ed A J K D  la
differenza degli stessi. BJ — BE, EFI\\AD, JK\\AD.

7.  Oostruire un triangolo equivalente a)  alla somma, b)  alla differenza di due
triangoli dati di base eguale. Se ABC  ed ABD  (Fig. 115) sono i due triangoli dati
di base eguale, ACE  šara la somma ed A C F  la differenza degli stessi. DE\\AB
B F— B E.

8. Trasformare un trapezio a)  in un triangolo (Fig. 104), b)  in un rettangolo
(Fig. 89), c)  in un parallelogrammo obbliquangolo di altezza eguale.

9. Trasformare un deltoide a)  in un rettangolo, b)  in un rombo.

10. Trasformare a)  un rettangolo, b)  un rombo in un deltoide, i cui lati
disuguali racchiudano angoli retti.

4. Problema.  Trasformare un poligono dato in un altro che abbia
un lato di meno.

Soluzione. Nel poligono proposto ABCDEF  (Fig. 116) si guidino la
diagonale BF  ed F G  || D F-  se si uniscono B  eon G  mediante una retta,
si ottiene il poligono cercato ABC D G,  che ha un lato di meno,
e che e equivalente al poligono dato ABCBEF.  Siccome i triangoli
BEF  e BGF  sono equivalenti, cosl sommandoli singolarmente al
poligono A B CD F,  si
ottengono due figure
equiyalenti.

5. Problema.

Trasformare un rettan¬
golo in un quadrato.

Soluzione. Si pro- Fig. 116. Fig. 117.

lunghi il lato A B  (Fig.

117) del rettangolo dato ABC D,  si faccia BE—BC  e sopra la retta
A E.  preša quale diametro, si descriva un semicerchio. Se ora P 1  e il
punto d’intersezione del semicerchio col lato B C,  il quadrato della retta
BF,  cioe BHGF,  corrisponde al problema proposto, perche nel trian¬
golo rettangolo A E F,  il quadrato dellaltezza b equivalente al rettan¬
golo A B CD,  i cui lati sono i segmenti AB  e B E  delFipotenusa.

6. Problema.  Trasformare un poligono in un quadrato.

Soluzione. Si trasformi il poligono dato in un triangolo, questo in
un rettangolo e questo poi in un quadrato.

Quesiti d’esercizio.  11. Trasformare un quadrilatero in un triangolo
in due modi diversi.

12. Trasformare a)  un pentagono, b)  un esagono in un triangolo.

13. Trasformare a)  un triangolo isoscele b)  un triangolo scaleno in un quadrato.

14. Trasformare un quadrilatero qualunque in un quadrato.

§ 95. Partizione delle figure. 1. Problema.  Dividere un triangolo
in n  parti eguali con rette, che passano per uno dei suoi vertici.

56

Soluzione. Si divida un lato del triangolo in n  parti eguali e si
uniscano i pnnti di divisione col vertice opposto mediante altrettante rette.
P. e. n  = 4.

2. Problema.  Dividere un parallelogrammo in n  parti equivalenti
con rette parallele ad un lato.

Soluzione. Si divida un lato in n  parti eguali e da ciascun punto
di divisione si guidino delle parallele ai lati contigui. P. e. n =  8.

Quesitid’esercizio. 1. Dividere un triangolo ad occhio a)  in tre, b)  in
oinque parti eguali con rette, che partono dallo stesso vertice.

2. Dividere un parallelogrammo a)  in due, b)  in sei parti eguali con retta
parallele ad un lato.

3. Dividere un parallelogrammo a)  in due, b)  in quattro, c)  in sei parti eguali
con rette, che partono dallo stesso vertice.

4. Dividere un parallelogrammo in tre parti eguali con rette, che partono dal-
o stesso vertice. — Si scomponga il parallelogrammo prima in sei parti eguali.

5. Dividere un trapezio in n  parti eguali con rette, che passano pei lati
paralleli.

6. Dividere un quadrilatero qualsivoglia in due parti eguali. — Si divida una
diagonale in due parti eguali e si congiunga il punto di divisione coi vertici opposti
alla diagonale.

Longimetria.

§ 96. II perimetro di un poligono. Per calcolare il perimetro di uu
poligono, si sommano (le misure di tutti) i lati. Se tutti i lati sono
eguali, per avere il perimetro (p)  si moltiplica un lato («) per il numero
dei lati (n); p = na.

Quesiti d’esercizio.  1. Calcolare il perimetro a)  di un quadrato, 2. di
un rombo, 3. di un decagono regolare, il cui lato 6 a)  di 2 cm, b)  di 3 * 15 m,
c)  eguale ad a.

4. Calcolare il perimetro di un rettangolo, di cui sono date la base b  e l’al-
tezza h : a)  in generale, b)  per b  = 2'5 cm, h,  = 1 ‘ 5 m.

5. Calcolare la base di un rettangolo, di cui sono dati il perimetro p  e l’al-
tezza h: a)  in generale, b)  per p  = 18 cm, h  = 6 cm.

6. Calcolare l’altezza di un rettangolo dati il perimetro p  e la base b: a)  in
generale, b)  per p =  236 m, b —  86 m.

§ 97. Calcolo della linea circolare. Siccome una linea retta non si
pub portare sopra una curva, cosl invece di determinare la lunghezza di
una linea circolare direttamente, la si determina in via indiretta.

Si misura meccanicamente  la linea circolare, formando con un filo
un cerchio, cbe si tende poscia in linea retta e si misura col diametro
o con una retta qualsivoglia preša quale unita di lunghezza. Per pro-
cedere con maggiore esattezza si avvolge un filo sottile in parecchi giri
attorno ad un cilindro a sezione circolare, e dalla lunghezza del filo gia
misurata e dal numero dei giri ottenuti si calcola la lunghezza di un

57

salo giro, clie poi si divide per la lunghezza del diametro del cilindro.
(Si faccia un esercizio.) Anche questo proeesso non ammette che una
esattezza assai limitata e non ha per la geometria alcuna importanza.

Si misura geometricamente  la linea circolare confrontandola coi
perimetri del poligono iscritto e circoscritto.

Se ad un cereliio s’iscrive un esagono regolare, essendo ogni lato
minore delFareo corrispondente, il perimetro šara minore della periferia
del cerchio. Percih la periferia e maggiore del triplo del
diametro;  p>3d.

Ma se al cerchio si circoscrive un quadrato, la sornma delle por-
zioni dei lati del quadrato concorrenti in un vertice, le quali sono limitate
da due successivi punti di contatto, e maggiore delFareo da esse com-
preso, e quindi anche il perimetro del quadrato e maggiore della periferia
del cerchio. Percio la periferia e minore del quadruplo del
diametro;  jp<4 d.

Quanto maggiore e il numero dei lati dei poligoni regolari, iscritto
e circoscritto, tanto minore h la differenza dei loro perimetri e percio
tanto pid vanno avvicinandosi i valori dei medesimi fra i quali h con-
tenuta la periferia del cerchio. Se p. e. il numero dei lati e di 3072,
si ottiene mediante calcolo, di cui pid tardi si dara ragione. ji  7> 8'141591 d
e p < 3‘141593 Dunque il primo coefficiente del d  e minore ed il

secondo h maggiore di quel numero, che multiplicato per d  da per prodotto
esattamente p.  Percio questo numero e .344159 .. e, se si ritengono soltanto
cinque cifre decimali, e p —  .3'14159 . . X d.

Il numero 3‘14159 . . ., che esprime il rapp‘orto fra la
periferia e il diametro, si chiama numero di Ludolf  (da
Ludolf Van Ceulen, che circa Fanno 1600 lo ha calcolato a 35 cifre
decimali) e per brevita viene comunemente indicato  con  n.
In alcuni časi basta assumere per n  il valore approssimativo 3 1 / 7  (il
rapporto di Archimede), mentre nei calcoli di una certa esattezza si
deve prendere il richiesto numero di decimali dalFeguaglianza n  —
34415926536 . . (Il numero di Ludolf non puo essere espresso esatta¬
mente nh mediante una frazione ordinaria, nh mediante una frazione
decimale tinita, come non lo puo essere p. e. neppure la \/ 2). Da cih
segue che:

a)  Laperiferiadi un cerchio e eguale al prodotto del
diametro o del doppio raggio pel numero di Ludolf. p =
d n, p — ‘2rjt.

b)  Il diametro e eguale alla periferia divisa pel
numero di Ludolf. d—p:7i , r=p:2?r.

58

c)  Le periferie di due cerchi stanno fra loro come i
diametri o come i raggi. p : p±  — d: d x  — r  : r x .

Osservazioni. 1. Nei teoremi preeedenti per „periferia, diametro, raggio “
si possono intendere tanto le dette linee che le loro misure.

2. Nei calcoli numerici della periferia, dato il diametro, o del raggio, data la
periferia ecc., si devono eseguire comunemente eol numero di Ludolf le moltiplicazioni
e le divisioni abbreviate. II riehiesto mimero di cifre decimali dipende dalla natura
del problema, oppure anche dal riflesso, che si deve tener conto di tutte le cifre del
resultato ad eccezione tutt’al piu delPultima. Se p. e. si trova, che il diametro di
un cerchio e eguale a 42 mm  e se nella misurazione e stata trascurata la frazione
di mm,  anche la lunghezza della periferia non puo essere espressa inediante la fra¬
zione di mm.  Perche se il diametro fu prešo circa J di mm  piu piccolo, si trova
che la periferia e piu di 1 mm  piu piccola. In questi časi devesi determinare il
risultato con la maggior possibile esattezza.

Quesitid’esercizio.  1. Data una delle tre grandezze r, d, p  (raggio
diametro e periferia di un cerchio), calcolare le altre due.

a) r  = 1'344m; b) d =  122 m-, c) p  = 42'33 m- d) p =  478'192 km.

2. Quanti km  importa il diametro di un meridiano terrestre, supponendolo un
cerchio di 40000 km  di lunghezza?

3. Calcolare il diametro di un tronco d’albero a sezione circolare, data la
periferia del tronco. P. e. p  = 4’32 mm.

4. Quale deve essere il diametro di un cerchio, affinchfe la sua periferia diventi
quadrupla di quella di un secondo cerchio, il diametro del quale e di 12 cml

5. Quanti giri fa la ruota di un carro del diametro di 64 cm  sopra una via
lun ga 1 km  ?

6. Quale via descrive in un anno la punta dell’indice dei minuti lungo 20 mm
di un orologio-.?

7. Si descriva un cerchio la cui periferia e uguale a)  alla somma, b)  alla
differenza delle periferie di due cerchi dati.

§ 98. Calcolo degli archi. a)  Problema. Calcolare la lmigliezza
di un grado circolare, di un minuto circolare e di un secondo circolare.

Essendo un grado circolare la 360 ma  parte della periferia, šara

. -i • i P d n rn

1 grado circolare = ^ = m = m ;

1 minuto circolare = glfoO = 21^0= JuSo 5

1 secondo circolare = jggfggg = = »()•

b)  Ad angoli al centro eguali eorrispondono nello stesso cerchio
archi eguali. Percio ad un angolo al centro 2, 3, . . n  volte maggiore
corrisponde anche un arco 2, 3, ... n  volte maggiore; quindi:

Archi del medesimo cerchio stanno fra loro come gli
angoli al centro corrisponde n ti.

a  : a l  = a : «,.

59

c) Problema. Calcolare la lunghezza di un arco a, dati il raggio
r  e 1’angolo al centro a (espresso in misura circolare delharco).

Se si confronta 1’arco colla meta della periferia, si trova giusta il
teorema precedente:

T JZ OC

a: m =  a : 180, da eni a  = —

In questa formola 1’angolo a deve essere espresso in gradi (eventual-
mente in frazione di grado).

d) Problema.  Calcolare l’angolo al centro «, dati il raggio r  e
la lunghezza deli’arco a.

DalFultima proporzione si trova a

180 a

T JI

e) Problema.  Calcolare il raggio r,  dati la lunghezza delFarco
a  e l’angolo al centro a.

Dalla stessa proporzione si ottiene r n ■

180« . 180«
-qumcli r  =-.

0C CtJl

Come si vede, dalla proporzione « : m — oc :  180, date due delle
grandezze a,  oc, r, si pub calcolare la terza.

Quesitid’esercizio. 1. Se un grado dell’equatore importa 15 miglia
geografiche, qual’ e il diametro dello stesso?

2. Si calcoli la lunghezza a)  di un grado circolare, b)  di un minuto circolare,
c)  di un secondo circolare in un cerchio, che ha il raggio di 1 m (7 decimali).

3. Se si suppone che la via deseritta dalla terra sia un cerchio col raggio

di 148 '6  milioni di km,  e che la durata di una rivoluzione dalla terra attorno al

sole sia di 365‘25 giorni, si deve calcolare la via, che essa deserive con moto uni¬
forme a)  in un giorno, b)  in un minuto, c)  in un secondo. Si adoperi 1’unith. di
lunghezza adottata di sopra e si eseguiscano le operazioni con la maggior possihile
esattezza. I risultati non sono del tutto esatti, giacchh le supposizioni fatte non
sono che approssimative.

4. Calcolare la lunghezza di un arco di cerchio, la periferia del quale 5 di

32 m,  se la misura circolare dell’arco 6 a)  45°, b)  122° 22', c)  42° 13' 24".

5. Calcolare il raggio di quel cerchio, nel quale l’arco, a cui corrisponde
1’angolo al centro a = 30° 42', e lungo l'421m.

6. Calcolare 1’angolo al centro, al quale corrisponde un arco a =  44 cm,
se il raggio del cerchio 6 di 1$ cm.

7. Calcolare la misura circolare dell’arco, la cui lunghezza e eguale al raggio.

Caleolo delle superlicie.

§ 99. Definizioni. Quale unita  di superficie si prendeun quadrato,
che ha per lato hlinita di lunghezza. Secondo che 1’unita di lunghezza
preša e l m,  1 dm,  1 cm .  ., la superficie del corrispondente quadrato
si chiama un metro quadrato, un decimetra quadraio, un centimetro
quadrato  ecc.

60

Misurare  una data superficie vuol dire ricercare quante volte 1’uirta
sia in essa contenuta. II numero che lo indica esprime la misura  della
superficie proposta. Se p. e. si devono sommare 3 metri quadrati ed \
di metro quadrato per ottenere una figura equivalente ad un dato tri-
angolo, 3‘25 šara la misura del triangolo rispetto al metro quadrato, o
detto piti semplicemente, Varea  del triangolo šara di 3:25 metri quadrati.

Per misurare meccanicamente  l’area di una figura data, si tagliano
in latta (di uniforme grossezza) o in cartone tanto la figura che hlinita,
e, pesandole, ši determina quante volte il peso dell’unita sia contenuto
in quello della figura.

In geometria per calcolare 1’area di una figura, si misurano quelle
rette, quegli angoli ecc. da cui essa dipende. Applicare immediatamente
l’unita di superficie nella figura data, sino a che essa sia pienamente
misurata, il piu delle volte e impossihile.

§ 100. II quadrato. Se si divide eiascun lato del quadrato ABC D
(Fig. 118) in tre parti eguali, le rette che uniscono i punti opposti di
divisione, scompongono il quadrato in 3X3 = 9 qua-
drati congruenti. In generale, se il lato del quadrato
e diviso in a  parti eguali, si ottengono a  X a  —  « 2
quadrati congruenti.

Se ora 1’unita di lungliezza e contenuta a  volte
nel lato del quadrato, a  šara la misura di un lato,
ed il quadrato si comporrii di a  X a = a 2  quadrati,
ognuno eguale all’unita di superficie; percio a 1  e la misura della super¬
ficie del quadrato. Dunque:

La misura della superficie di un quadrato si trova
col moltiplicare la misura di un lato per se stessa,  o piti
brevemente: L’ a r e a di un quadrato si trova colhelevare un
lato alla seconda potenza.

D

B

Fig. 118.

S=a 2 ; a —

Osservazioni.  1. L’espressione delParitmetica „elevare un numero al
quadrato“ proviene da cio, che col moltiplicare un numero per se stesso, si calcola
l’area di un quadrato, il lato del quale ha per misura quel numero.

Dalla formola S = a 2  si puo spiegare il motivo per cui s’indicano 1 metro
quadrato, 1 decimetro quadrato, 1 centimetro quadrato, 1 millimetro quadrato me-
diante 1 m 2 ,  1 dm 2 , 1 cm 2 , 1 mm 2 .

2. 1 cm 2  = 100 mm 2 ; 1 dm 2  = 100 cm 2  = 10000 mm 2 ; 1 m 2  = 100 dm 2  — 10000 cm’
= 1000000 mm 2  ecc.; perche? Nella misurazione di grandi estensioni si prende anale
unita Varo (a)  che equivale a 100 m 2 ; 100 ari 6 un ettaro (ha).

3. Se il lato di un quadrato 6 = 4'23 m  = 423 cm, 1’area šara S  = (423 X 423]
cm 2  = 178929 cm 2  = 17'8929 m 2 . Si ottiene lo stesso risult.ato anche col seguente
calcolo: S=  (4'23 X 4’23) m 2  = 17'8929ra 2 . Come si vede, si ottiene 1’area di un qua-
drato adoperando direttamente la formola S = a 2 ,  anche se a  non e un numero intero.

61

Quesitid’esercizio. 1. Calcolare l’area di un quadrato, il lato del quale
6 a)  10'24m, 6) 3'6m, c) 16 cm. Dovendosi riguardare 10'24 quale un numero
decimale incompleto, si eseguisea la moltiplicazione 10'24X10'24 abbreviata con
la maggior possibile esattezza.

2. L’area di un quadrato e a)  di 3’61m 2 , b)  di 18'49 7iO, c)  di 16'6284m 2 ;
calcolare il lato.

3. Dato il perimetro p  di un quadrato, calcolare l’area S. a) p =  32 cm;
b) p =  2'78 m.

4. Data l’area S  di un quadrato, calcolare il perimetro p.

a) S  = 169 a, b)  5=2‘89m 2 .

5. La cornice di un’immagine di forma quadrata, di cui il lato 6 a  = 62 cm,
e larga 12 cm;  calcolare l’area ed il perimetro esterno della cornice.

§ 101. II rettangolo. Se la base del rettangolo ABC D  (Fig. 119)
e di 6 cm  e 1’altezza di 4 cm., esso si potra scomporre in 4 file, di cui
ciascuna contiene sei cm 2 ; percio l’area del rettangolo šara (6X4) cm 2
= 24 cm 2 . In generale, se nna determinata unita di lunghezza e contenuta

nella base b  volte e nelfialtezza h  volte, cioe se b  „ _^

ed h  sono le misure della base e delFaltezza, il L_i_j_

rettangolo verra scomposto in h  file ciascuna di b  J_1_{_[_I_

quadrati, dunque in tutto in b .h  quadrati, ognuno _ j__ ! __j_ | j
dei qnali b  1’unita di superficie; percio: j I i I !

L’area di un rettangolo b  egnale al A
prodottodellabaseperfialtezza;  S=b.h.

Si dimostri, cbe questa formola vale anche se b  ed h  non sono
numeri interi.

Quesitid’esercizio.  1. Si calcoli 1’area di una tavola nera, di una
lastra di vetro, di un foglio di carta, misurandone i lati.

2. Quante lastre quadrate di pietra, il cui lato 6 di 22 cm, occorreranno per
selciare una piazza rettangolare lunga 25'3 m e larga 9’9ra?

3. Un’area lunga 52'2m, larga 36‘4m' costa 0. 14250 , 6. Quanto vale lm 2 ?

4. In un giardino rettangolare lungo 70 m e largo 45‘5 m trovasi lunghesso
il perimetro una strada larga 1 m. Oltre a cio le meta dei lati piu lunghi sono
congiunte mediante una via larga 0'6m. Quanti ari contiene la parte coltivata del
giardino?

5. Da un quadrato, il cui lato 6 a =  15 cm, si formino diversi rettangoli di
eguale perimetro, aumentandone successivamente la base di 1 cm.  e diminuendone
d’altrettanto la altezza e si confrontino poi le aree delle figure ottenute.

6. Come si. calcola l’altezza h  di un rettangolo, data l’area S e la base 5?
S  = 12 a,  5 = 1 km.

7. Si calcoli la base 5 di un rettangolo, data l’area S  e 1’altezza h. S —  33 cim 2 ,
h— 2 m.

8. Qual’ e il siguificato geometrico dell’equazione (a -f- 5) c  = a c  -f- 5 c, dove
a, b c  sono segmenti rettilinei?

9. Parimente l’equazione (a  — 5) c = a c  — b c.

10. Parimente l’equazione (o-J-5) (c —|— c?) = <2 c -|— a c? -|— 6 c —f— 6 </.

Fig. 119.

62

§ 102. II parallelogrammo obbliquangolo e il triangolo. a)  Ogni
parallelogrammo obbliquangolo pub trasformarsi in un rettangolo di base
eguale e di eguale altezza (§ 85). Se dunque b  ed h  sono le misure
della base e delFaltezza del parallelogrammo e del rettangolo equiva-
lente, in ambidue i časi l’area šaril S=b .h.

L’area di un parallelogrammo e eguale al prodotto
della base per F altezza.

b)  Ogni triangolo e la meta di un parallelogrammo di base eguale
e di eguale altezza; percio:

L/area di un triangolo b eguale alla meta del prodotto
della base per F altezza.

b .

2  ’

Si esprimano con parole le due ultime formole.

Quesiti d’esercizio. 1. Calcolare l’area di un parallelogrammo date la
base b  e 1’altezza Ti

a) b = im,  7i = 0‘5m;  b) b ■=  524 cm, Ti = \Zdm.

2.  Calcolare 1’area di un triangolo, date la base b  e l’altezza Ti.

d) b  = 235 mm, Ti —  172 mm ; b) b  = 5J m, Ti =  4 J m.

3. Date la altezza h  e l’area S  di uu triangolo, calcolare la base b.

a) S =  9424 cm 2 , h —  1'52 m; b) S  = 4*3 m 2 , h  = 1'72 m.

4. Date la base b  e l’area S  di un triangolo, calcolare l’altezza.

a) S = O'7a, b  = 14m;  b) S =  4'08 dm 2 , b —  34 cm.

5. Calcolare l’area di un triangolo rettangolo dati i due cateti a e b.

a) a —  12 cm, b  = 1 dm ; b) a  = 2 ’04 m, b =  1'73 m.

§ 103. II trapezio. a)  Con riguardo al § 88 si ottiene il seguente
teorema:

L’area di un trapezio b eguale al semiprodotto della
somma dei lati paralleli per F altezza.

Se indichiamo dunque con a e b  i lati paralleli e con h  Faltezza
del trapezio, šara:

h

o — • >h a  = {fl  -f- b).  —

S

(a-fb).A a  a-\-b „

-2-’ S  =  - 9 — - h ’ S  = ( a +  J )- V

Siccome poi la semisomma dei lati paralleli e eguale alla retta
media m del trapezio (§ 75), cosl si pub ancbe dire:

L’area di un trapezio e eguale al prodotto della retta
media per Faltezza.  (§ 88, ques.)

S —m .h.

Quesitid’esercizio.  1. Calcolare l’area di un trapezio, dati i lati
paralleli a, b e  Faltezza Ti. a) a —Z m, b — 2m, h = 2 m-, b) a  = 6'2 m, b = 4:'5m,
Ti  = 2'2 m.

2.  Calcolare Faltezza Ti  di un trapezio, dati i lati paralleli a, b e  1’area S.
a  = 6-247 m,  6 = 3*948m, 5 = 275265 cm 2 .

63

3. Calcolare la retta media m  di un trapezio, date 1’alt.ezza h  e 1’area S. h =
6 cm, S =  0'76 dm, 2 .

4. Dati 1’altezza h,  il lato parallelo a,  1’area S  di im trapezio, calcolare il
secondo lato parallelo b. h  = 4 dm, a = S'hm,  15=1 m 2 .

5. Calcolare 1’area di un trapezio isoscele, conoscendone i due lati paralleli
(a  = 8 cm, b =  6 cm)  ed un angolo (a = 45°).

6. Si determinino mediante una scala (Fig. 5) le aree dei trapezi nelle fig.
89 e 91.

§ 104. II quadrilatero a diagonali vicendevolmente perpendicolari.

L/area di lin quadrilatero .a diagonali vicendevolmente
perpendicolari feeguale al semiprodotto delle due diago¬
nali (§ 89).

Quesiti d’esercizio.  1. Calcolare l’area 5 di un quadrato, data la diago¬
nale d. a) d  = 5 cm, b) d = 0'2im.

2.  Data 1’area S  di un quadrato, calcolare la diagonale d. a) S  = 1 m 2 ,
b) S = 2 '89 m 2 .

3. Calcolare 1’area di un rombo, date le diagonali d x  e d 2 .  P. e. d x  = 16 cm,
d 2  = 24 cm.

4. L’area di un deltoide fe = 42 cm 2 ,  una diagonale 6 = 7 cm;  calcolare 1’altra
diagonale.

§ 105. II poligono regolare ed un settore dello stesso. a)  L’ar  e a

di un poligono regolare e eguale al semiprodotto del
per i metro pel raggio del cercliioiscrittoallo stesso (§90, a).

S

p r

b)  L’area di un settore di un poligono regolare e eguale
al semiprodotto della base del settore pel raggio del
cerchio iscritto al poligono (§ 90, b).

Q u e s i t i d’ e s e r c i z i o. Se ad un cerchio, il cui
raggio e = r,  si circoscrive un decagono regolare, si trova
cke il lato di questo 6 = 0'64984r. Si calcolino a)  1’area
del decagono, b)  1’area di un settore, di cui la base e com-
posta di tre lati del decagono.

§ 106. II poligono irregolare. a)  Per calcolare
1’area di un poligono irregolare, lo si scompone in
triangoli e se ne calcolano le aree; la loro somma
šara 1’area del poligono irregolare.

Vol en do calcolare p. e. 1’area del quadrilatero
ABC D  (Fig. 120), si fanno le misurazioni seguenti:

# A C  = 4 dm, B JE  = 3 dm, D F—  1 dm.

64

Si avra

A ABC=  ^-^ = 6^m 2 .

A A CD =  ^-1 = 2 dm 2 .

A

Percio ABC D  = 8 dm 2 .
h)  Se sono datele coordinate dei
vertici del poligono, si opera nel modo
seguente:

OA x  =3, OB 1  = 6, O C t  = 9,
OD 1  =  7 siano le ascisse e -4 X  J. = 3,
^£ = 1, (7, C  = 4, A Z> = 5 le
ordinate dei vertici del poligono ABCD
(Fig. 121) rispetto alhasse OX.

Dalla stessa figura si ottiene:

4 BCD = AA 1 DD 1  + D D 1 C 1  C  — AA 1 B 1 B  — B B 1 C 1 C —
(3 + 5).4 , (5 + 4).2 (3 + 1).3 (1 + 4). 3

-2-+ -2-2 2 - 115 '

L’area del poligono ABCD  contiene dunque ll - 5 unita di super-
ficie. Se ep. e. B 1 B = \cm,  1’area di ABCD  e di 11'5 cm 2 .

Quesitid’esercizio. 1. Si calcoli l’area di un pentagono ABCD E,
avendone misurato le lunghezze dei lati BC, CD, DE e  le loro distanze dal
punto A.

2. Si determini 1’area di un triangolo a)  misurandone la base e 1’altezza,
b)  misurandone le coordinate dei vertici rispetto ad un asse, che giace fuori del
triangolo.

3. Si scelgano su di una carta murale quattro punti importanti, e, consideran-
doli quali vertici di un quadrilatero, se ne calcoli 1’area.

§ 107. II cerchio. a)  L’areadiuncerehio b  eguale al semi-
prodotto della periferia pel raggio (§ 91, a).

2

b)  Siccome e p  = 2 m,  cosl:

2rix . r

S--

2

L’ar e a di un cerchio e eguale al quadrato del raggio
moltiplicato pel namero di Ludolf.

c) Indicando con d  il diametro del cerchio, si avra:

d

d 2

ed S --

d 2 :

(Si esprima con parole.)


d)  Per mi secondo cerchio sussistono le formole:

— r\n — AjJL  ; percio:

S: S x  — r 2 n: r\n  = r 2  : r'f,

S:  =  #ix =dt d *  cio6:

1  4  4  *’

Le aree di due cerchi stanno fra loro come i quadrati
dei raggi o dei diametri.

S  1 / $

e ) Da r 2 ji = S  segue r 2  = —ed r= 1/—(Si  esprima con

71  ' 71

parole.)

Quesitid’esereizio. 1. Calcolare l’area di un cerchio, il cui raggio e

a)  di 12 m, b)  di 1‘3 cm, c)  di 0'236 ra. Si eseguisca con n  la moltiplicazione ab-
breviata a due decimali.

2. In seguito ad una misurazione eseguita si trovo che il raggio di un cerchio
h di 5'623 ra, e si tratta di calcolare l’area di questo cerchio. Siccome 5'623 si
deve riguardare quale un numero decimale incompleto, si devono eseguire le molti-
plicazioni 5'623 X 5*623 X n  con il maggior possibile grado di esattezza.

3. Data la periferia di un cerchio se ne calcoli 1’area. a) p —  1 m,

b) p  =17 cm, c) p  = 60'378 m.

4. Qual’6 la periferia di un cerchio, la cui area e a)  di 1 m 2 , b)  di 3*26 m 2 , c)  = S ?

5. Calcolare il raggio di un cerchio, la cui area e uguale alla somma delle
aree di tre cerchi coi raggi r, = 5 cm, r,  = 7 cm, r 3  —  S cm.  Qui si potrebbero
evitare le operazioni con n.

6. Dato il raggio di un cerchio (r = 1 m),  calcolare il lato del quadrato ad
esso equivalente.

Si costruisca un cerchio eguale

7. alla somma di due cerchi dati,

8. alla somma di tre cerchi dati,

9. al doppio, al triplo, al quadruplo di un cerchio dato,

10. alla differenza di due cerchi dati,

11. alla meta di un cerchio dato.

§ 108. L’anelio circolare. Si trova:

S  = r 2 7i  — r\ ti  = (r 2  — r j) ti,
od anche S  = (r  + r,) (r — r,) n.  (Si esprima con parole.)
Quesitid’ esercizio.  1. Calcolare l’area compresa fra due cerchi con-
centrici, i cui raggi sono r —  57'236 m  ed r 1 , = 32'147 m.

2. Calcolare l’area di un anello circolare, date l’area del cerchio interno (S,
= 42' 18 cm 2 )  e la larghezza dell’anello (l  = 4 cm).

3. Calcolare l’area di un anello circolare, date la periferia del cerchio esterno
(p =  162'7834m) e la larghezza dell’anello (l —  2'56 m).

4. Calcolare il raggio del cerchio esterno, dati il raggio del cerchie interno
(»i = 3 cm)  e l’area dell’anello circolare (S  = 10 era 2 ).

5. Calcolare il raggio di un cerchio equivalente ad un anello circolare
(r, = 1 cim,  r 2  = 6 era).

6. Si trasformi un dato anello circolare in un cerchio.

Hoeevar-Postet, Manuale di geometria per il Ginnasio inf. 2. ediz.

5

66

§ 109. II settore circolare. a)  L’area di un settore circolare
e eguale al semiprodotto d e 11’ar c o (a),  pel raggio (r) (§91, h).

h)  Ad archi eguali corrispondono nello stesso cercliio settori eguali;
percio ad un arco 2, 3 ... n  volte maggiore corrisponde un settore
2, 3 ... n  volte maggiore; quindi:

Settori dello stesso cercliio stanno fra loro come g 1 i
archi  c o r r i s p o n d e n t i.

S . /Si, ——— ct . rz,.

c) Ad angoli al centro eguali corrispondono nello stesso eerchio
anche settori eguali; percio ad un angolo al centro 2, 3 ... n  volte
maggiore corrisponde un settore 2, 3 ... n  volte maggiore; quindi:

Settori dello stesso cercliio stanno fra loro come gli
angoli al centro corrispondenti.

S : /S\  = a : oc 1 .

d)  Siccome la snperficie circolare puo considerarsi quale un settore,
che corrisponde ad un angolo al centro di 360°, cosl dalFultimo teorema
risulta:

S:  r a  ji  = a :  360.

E’ chiaro dunque che conoscendo due delle quattro grandezze: area
del settore, raggio, lunghezza delFarco e misura circolare delfarco
(S, r, a,  a), si possono calcolare le altre due.

Quesiti d’eseroizio. 1. Calcolare l’area di un settore circolare e 1’arco
rispettivo, dati il raggio r = 2'71m  e l’angolo al centro corrispondente a  = 63°,

2. Calcolare 1’area di un settore circolare e l’angolo al centro corrispondente.
dati il raggio r  = 0'944m e la lunghezza deli’arco a =  1'237 m.

3. Calcolare il raggio e l’area di un settore circolare, dati l’angolo al centro
a  = 45° 25' e la lunghezza dell’arco a  = 1 dm.

4. Calcolare il raggio e l’arco di un settore circolare, dati l’angolo al centro
a =  40° e l’area S —  25 dm 2 .

Osservazione.  Per risolvere questi quattro quesiti, fra le formole

S : r 2  n  = a \  360, a  : r n  = a  : 180, si adoperi prima di tutto quella che delle gran¬
dezze r, a, a, S  contiene le due date e quindi si prenda una delle altre due.

5. Qual’ 6 il raggio di un cerchio equivalente ad un
settore, al quale corrisponde il raggio r =  5 dm  e l’angolo al
centro a =  42° ? Si evitino le operazioni con n.

§ 110. II segmento circolare. Il segmento cir¬
colare e eguale alla somma od alla diffe-
renza del settore corrispondente e di un
triangolo, secondo che esso d maggiore  o
m i n o r e del  s e m i c e r c h i o.

Dalla fig. 122  si ottiene:

D

67

Segmento ACJi  = settore AOBC  —  triangolo AOB.

Segmento ADB  = settore AOB D  -f triangolo AOB.

Quesito d’eseroizio. Calcolare l’area di uno dei segmenti limitati dalla
periferia di un cerchio, di cui il raggio r  = 5 cm  e dai lati del quadrato iseritto
(§ 104, quesito 1).

§ III. Applicazioni del teorema di Pitagora. 1. Problema.  Calcolare
un lato di un triangolo rettangolo, dati gli altri due lati.

Indicando con a, b,  c le misure dei due cateti e delFipotenusa,
giusta il teorema di Pitagora si ha:

c 2  = a 2  -f- b 2 ,  da cui:

c == Vo 2  -j- b 2 , a —  Vc 2  — b 2  = V (c -f- b)  (c — b).

L/ipotenusa d eguale alla radice quadrata della
somma dei quadrati dei due cateti.

Un cateto e eguale alla radice quadrata della
differenza del quadrato deli’ ipotenusa e del quadrato
delFaltro cateto.

In questi due teoremi le espressioni, „ipotenusa, cateto“ stanno
per abbreviazione in luogo delle piu lunghe „misura dellipotenusa, misura
del cateto “.

P. e. a  = 3, b  = 4, c = VlT+lli = 5.
b =  5, c = 13, a  = V (13+ 5) (13 — 5) = Vl44 = 12.

2. Problema. Calcolare la diagonale di un quadrato, di cui e dato
il lato.

Indichiamo con d  la (misura della) diagonale e
con a  il (la misura del) lato. Giusta il teorema di Pita¬
gora si otti en e

d  = Va 2 + a 2  V Y^~  = a V5T

P. e. o = 3, d =  3XU414  = 4-242. A

3. Problema. Dato il lato a  di un triangolo equi-
latero (Fig. 123), calcolare Faltezza h  e Farea S.


3 a 2 _ a _-

4 —  2 •

S =

a

~

a

T

f"-

V V 3.
4

P. e. a  = 6 m, Ji  = 3 X l'732m == 5'196m.

^=9X l‘732m 2  = 15-588m 2 .

Quesitid’esercizio.  1. Calcolare l’ipotenusa di un triangolo rettangolo,
dati i due cateti a  e b. a) a — 15 m, b — 8m; p) a  = 21 dm, b =  20 dm\
y) a  = 64'327 m, b  = 46'525 m.

2. Data l’ipotenuza c e dato uno dei cateti di un triangolo rettangolo, calcolare
1’altro cateto. a ) c = 25 cm, a  = 24 cm-, (!) c =  5'89 m, b  = 3'12 m.

5 *

68

3. Una scala a piuoli lunga 8 m b  appoggiata ad una muraglia, ed il suo plode
sul terreno dista dalla stessa di 3'6m. A quale altezza arriva la scala?

4. Calcolare il lato a  di un quadrato, data la diagonale d.

a) d = 4 cm, P) d =  13 m.

5. Calcolare il lato di un quadrato iscritto in un cerchio, di cui il raggio b
di 1 dm.

6. Date le dimensioni a  e b  di un rettangolo, calcolare a)  la diagonale, /3) il
raggio del cerchio circoscritto allo slesso. a =  4 dm, b =  9 cm.

7. Calcolare l’altezza e l’area di un triangolo isoscele, di cui la base e b  ed
un lato e a. a) b =  8 cm, a  = 5 cm; P) b —  2'66 m, a  = 2'05 m.

8. Calcolare 1’altezza h  e l’area S  di un triangolo equilatero, dato il lato a.
a)  a = 12 cm, P) a =  4'12 m.

9. Se r, c, d  indicano rispettivamente il raggio di un cerchio, la corda e la
distanza della stessa dal centro, calcolare ciascuna di queste grandezze, date le altre
due. a) r  = 5 cm, c  = 5 cm; P) r =  3‘24 m, d =  2'18; y) c —  3 dm, d =  3 dm.

10. Calcolare il perimetro e l’area di un rettangolo, di cui la diagonale b = d
e l’angolo acuto racchiuso dalle due diagonali b  di 60°. d =  12 cm.

11. Calcolare l’area di un trapezio isoscele, dati i lati paralleli a e J ed uno
degli altri due lati c. a =  1 • 8 dm, b =  1'2 dm, c = 5 cm.

12. Calcolare il perimetro di un rombo, date le due diagonali d, e d 2 .
d, = 1 ’ 5 m, d 2  = 1 m.

13. Calcolare 1’area dell v esagono regolare iscritto in un cerchio, di cui il
raggio e R.

14. Calcolare il lato di un dodecagono regolare, dato il raggio R  del cerchio
circoscritto. P. e. R — 1 dm.  Se AB  ed A C  (Fig. 124) sono rispettivamente i lati

delFesagono e del dodecagono regolare, si calcoli dapprima
j OD,  poi CD  e nel triangolo rettangolo ACD,  il lato A C.

Si trova A C =  0" 51764 R.

15. Si calcoli il lato di un poligono regolare di 24
lati iscritto in un cerchio, di cui il raggio e R.  Vedi il
quesito precedente.

16. Calcolare il perimetro di un ottagono regolare
iscritto in un cerchio, di cui il raggio e R.  P. e. R =  1 dm.

17. Dati il raggio r di un cerchio ed una corda c,
calcolare la corda che sottende mezzo arco. P. e. r —  6 cm,
c —  4 cm.

18. Dato il lato a  di un triangolo equilatero, calcolare
il raggio a)  del cerchio iscritto, /S) del cerchio circoscritto
allo stesso. P. e. a =  1‘2 dm.  Vedi § 59.

19. Calcolare il lato di un triangolo equilatero, di cui 1’ altezza e = h.

V 3. P. e. h —  5 cm.

_ , «./„ . , ., . 2  h  2  h

Da/i= —V 3 sincava 2h = a  V3, a  = — —-

1  V

3 3

20. Calcolare il lato o di un triangolo equilatero, di cui b  dato a) il raggio r
del cerchio iscritto, /3) il raggio R  del cerchio circoscritto. a) r =  1 m,
p) R — h cm.  Vedi § §9 ed il quesito precedente.

21. Calcolare il perimetro di un triangolo isoscele, di cui sono date la base b
e l’area S.  P. e. b  = 12 mm, S  = 6'5 cm 2 .

22. Calcolare d)  il lato, /3) 1’altezza di un triangolo equilatero, di cui b  date
l’arca S.  P. e. R — Ib cm?.

69

23.  E dato un cerchio, il cui raggio h r =  1 dm;  caloolare di quanto l’area
di questo cerchio e maggiore di quella dell’esagono regolare isoritto e di quanto e
minore di quelia del quadrato circoscritto.

24. Calcolare l’area di un cerchio a)  iscritto, (S)  circoscritto ad uu quadrato,
di cui 1’area e S.  P. e. S  — 10 cm, 2 .

Somiglianza.

§ 112. Definizioni. Secondo clie due figure hanno eguale grandezza
od eguale forma, o grandezza e forma eguali, si dicono rispettivamente
eguivalenti  (==), simili  (cv)) o congruenti  (£^) (§ 48).

II segno cv) deriva dalla lettera iniziale della parola „similis“.
Una pili esatta definizione per la somiglianza di due poligoni (compresi
i triangoli e i quadrilateri) e la seguente:

Due poligoni diconsi simili, se gli angoli di uno sono
rispettivamente eguali agli angoli delFaltro e se i rapporti
di ogni due lati omologhi sono eguali.

Si dicono lati omologhi  quelli
clie uniscono i vertici degli angoli
rispettivamente eguali. Se p. e.
nella fig. 125 sono eguali i se-
guenti angoli: A = A 1 , B = B 1 ,

C --  (7j, D  = />,, lati omologM
sono AB  ed A l  B v  come pure
B C  e B,C\, CD  e C\ B t , DA
e D 1 A l .  Se poi questi lati sodisfamio alle condizioni AB: A l B 1  =
B C : B t  C\  — CD : C 1 D l  = DA: D 1 A 1 ,  i due poligoni sono simili;
si scrive ABC D  cv) A l B 1 C l D 1 .

La condizione, clie i rapporti di ogni due lati omologlii siano
eguali, si pno enunciare in una altra forma ed esprimere matematica-
mente nel modo seguente: Indicando con m il numero, a cui 6 eguale
il rapporto AB:A l B 1 ,  cioe il valore o 1’esponente di questo rapporto,
avremo:

AB : A l B l =m, BC:B 1 G\=m, CD : C 1 D 1  — m . . .  , dunque

AB=m.A 1 B 1 , BC = m. B l C 1 , CD = m.G\D l  ....

Percio si dice clie i lati del primo poligono sono multipli eguali
i ei 'ati omologhi del secondo poligono, oppure clie quelli sono proporzionali
a questi.

Da quanto e stato detto sin qui risulta cliiara 1’esattezza dei teoremi
seguenti:

Due poligoni sono simili, se ciascuno di essi e simile ad un terzo.

Se due poligoni simili hanno due lati omologhi eguali, sono anche
perfettamente eguali.

70

§ 113. Partizione delle rette. Se partendo dal ve rtiče di un
angolo si divide un lato in un dato numero di segmenti
eguali e per i punti di divisione si guidono verso il secondo
lato delle rette fra loro parallele, questo lato riesce diviso
in altrettanti segmenti eguali.

Fig. 126.

Siano (Fig. 126) AB = B C = C D = D E, B F\\CG \\ D H\\ EJ.
Per dimostrare ehe e p. e. G H= AF,  si conduca CK  [| G H.  Essendo
CKHG  un parallelogrammo, šara CK—GII,  ed essendo i triangoli
ABF  e CD K  congruenti, šara CK  || A F]  percio  GH—AF.

1.  Problema. Dividere una retta data in n  parti eguali.

1. Soluzione. Per 1’estremita A  della retta data A E  (Fig. 126) si
tiri un’altra retta e si prendano su di essa a partire da i n segmenti
eguali, si unisca 1’estremita J  con E  mediante la retta E J  e per ciascun
punto di divisione si guidino delle rette parallele a questa. Del resto
basta guidare solo la parallela pel punto II  precedente a J; percbe?

2. Soluzione. Per dividere la retta J. D (Fig. 127) in n  (qui in
clnque) parti eguali, alle due estremita A e B  della stessa si conducano
due rette A M  e BN  parallele e di senso opposto e partendo da A  si
prendano sulla retta AM n  (cinque) segmenti eguali, il cbe si fara ancbe
sulla retta BN  partendo da B.  Le rette, che uniscono C  con L, D  con K  ecc.
dividono AB  in n  parti eguali (§ 69, e).

2. Problema.  Dividere una retta
secondo un dato rapporto numerico.

J*

£ c

Fig. 128.


Soluzione. Per dividere la retta AB  (Fig. 128) nel rapporto di 3 : 4,
la si divida in 3 + 4=7 parti eguali ed il punto estremo C  della terza
pcrzione šara il punto cercato e cio perelič A C  = 3 . A E. C B=  4 . A E]
percio A C : BC — 3 : 4. — La fig. 129 mostra come si possa risolvere
nel modo il piti semplice il problema.

71

Quesiti d’ e s e r c i z i o. Si divida una retta:

1. in a)  3, b)  5, c)  6, d)  10 parti eguali;

2. nel rapporto a)  2 : 3, b)  1 : 4, c)  5 : 2;

3. nel rapporto a) ~ :  -i-, b) 1~  : 2-~, c)  0’6 : 1*5;

4. in tre parti, che stiano nel rapporto di 2 : 3 : 4.

5. E dato un parallelogrammo; oostrnire un altro parallelogrammo di base

eguale e che stia al dato nel rapporto di 3 : 4. — Si badi che due parallelogrammi

di egual base stanno fra loro come le altezze. S : = bh  : J, A, = h  : h,.

6. E dato un triangolo; costruire un altro triangolo di base eguale e che stia
al dato nel rapporto di 5 : 2.

7. E dato un triangolo; costruire un altro triangolo di eguale altezza, che
stia al dato nel rapporto di 2 : 3.

§ 114. Proporzionalita fra segmenti rettilinei. Se in un triangolo
si gnida una retta parallela ad un lato, gli altri due lati
vengono divisi proporzionalmente ed i lati del nuoro tri¬
angolo sono proporzionali ai lati del triangolo dato.

Sia (Fig. 130) DE^AB  ed il lato A C  sia diviso nel punto D
nel rapporto di 2 : 3, cioe A D : D C —  2 : 3. Se ora per i punti di divi-
sione si conducono altrettante rette parallele ad
AB,  anclie il lato B C  viene diviso in cinque
parti eguali, delle quali due spettano alla retta
BE  e tre alla EC-  percid šara B E: EC  =

2:3;  quindi anclie A D : D C = B E: EC,  cioe
i segmenti del lato A C  stanno nello stesso rap¬
porto di quelli del lato BC,  od in altre parole
i lati AC e BC  vengono divisi proporzional¬
mente dalla DE.

Se poi dai punti di divisione del lato AC  si conducono delle
parallele al lato BC , col solo osservare la figura si vede che d
AB:DE=  5:3,  BC: EC =5:  3, CA : CD  = 5:  3. Percid:

AB : DE=BC: EC=CA : CD.

C'~

17


I lati del nuovo triangolo sono proporzionali a quelli del triangolo
dato. Si ottengono gli stessi risultati, anclie se il lato A C  viene diviso
nel punto D  nel rapporto di m: n,  dove m ed n  indicano due numeri
interi qualunque.

Quesitod’esercizio.  Senellafigura 130
AB  —12 cm, BC —  15 cm, A C—  11 cm, AD=  3 cm,
quanto importano i lati del triangoli C D El

1. Problema.  Dividere una retta se-
condo un determinato rapporto di lunghezza.

Per dividere la retta AB  nel rapporto
di CD: DE  (Fig. 131), si trasportino sui

72

lati di im angolo concavo qualunque G A li  i segmenti AF — CD,
F G = D E,  si eongiunga G  con B  mediante la retta GB  e da F  si
conduca FII  j| GB]  con cib la retta AB  viene divisa nel punto H
nel rapporto di CD: D F.

2. Problema. Trovare la quarta proporzionale geometrica rispetto
ai tre segmenti dati a, b,  c.

Sirast portino sui lati di un angolo concavo qualunque (Fig. 182)
i segmenti AB — a, BC=b , A D = c,  si eongiunga mediante una

retta il punto D  col punto B  e
da C  si guidi C E  || DB;  il seg-
mento D E  — x  sodisfa alla con-
dizione a : b — c: x.

8. Problema.  Trovare la
teiza proporzionale geometrica ri¬
spetto a due segmenti dati a e b.
a  : b = b  : x.

Questo problema pub considerarsi quale un caso speciale del
precedcnte.

4. Problema. Trovare la media proporzionale geometrica fra due
rette date a e b.

Siccome il segmento x  domandato deve sodisfare alla condizione
a : x — x :b,  ovvero x %  — ab,  percib si determina il lato x  del quadrato
cbe b equivalente al rettangolo i cui lati sono a e b.  (Vedi § 94, Probl. 5.)

§ 115 . Somiglianza dei triangoli. a) Se in un triangolo si guida
una retta parallela ad un lato, i due triangoli ehe risul-
tano sono  simili.

Se nel triangolo ABC  (Fig. 133) si tira DE\\ AB,  i due triangoli
ABC e D EC  hanno gli augoli rispettivamente eguali e i lati omologbi
proporzionali (§ 114); percib /\ A. B C  co /\ D EC.

b)  Due triangoli sono
simili, se hanno gli angoli
rispettivamente eguali.

Se nei triangoli ABC  ed
A 1 B 1 C l  (Fig. 133) A  = A t ,
B — B,, C — C 1}  essi possono
venir sovrapposti Funo alFaltro in
modo cbe coincidano i lati racchiu-
denti gli angoli eguali C e C, e il lato A l  B , čada nella posizione di
DE  j AB.  Percib in base al teorema precedente i due triangoli
sono simili.

73

Quesitid’esercizio. Costruire un triangolo A 1 B l C 1  simile ad mi
altro ABC:

1. dato il lato A 1 B 1  omologo al lato AB;

2. se il rapporto dei lati omologhi AB: A, B,  e eguale al rapporto numerico 4:3;

3. se il rapporto dei lati omologhi B C : B l C l  6 eguale al rapporto fra due
segmenti dati a  : a ,;

4. se il lato A, B,  omologo al lato 45 e la quarta proporzionale geometrica
rispetto ai lati A B, B C, C A.

5. Costruire ud triangolo con un lato di 4 cm  che sia simile ad un altro ABC,
in cui AB = 6cm, BC=A'5cm, CA  = 5 cm.  Quante soluzioni corrispondono al
ques.ito? Quale e in ciascun caso la lunghezza degli altri
lati del nuovo triangolo?

6. Perche due triangoli equilateri sono simili? Perchh
lo sono due triangoli rettangoli isosceli?

7. Ad un cerchio, il cui raggio b r,  e circoseritto un
esagono regolare; se ne calcoli il lato (Fig. 134). Il
A C OF<\>  A AO E\  percio C F: A E — O F: O E,  da cui si
puo calcolare C F  e quindi anche CD.

8. Ad un cerchio, il cui raggio h r, e circoseritto un
dodecagono regolare; se ne calcoli il lato (§ 111, ques. 14)-

9. Assegnare la lunghezza della retta a b  (Fig. 135), supposto che la retta da
0 ad 1 sia = 1 m.  —: Schiarimento. Dalla fig. 130 e chiaro che i segmenti tirati nel

fD

Fig. 135.

0

1  2

A ABC  parallelamente ad A il sono rispettivamente — A B,  — A B,  ecc. Da una

O o

simile riflessione risulta chiaro 1’uso della scala trasversale  (Fig. 135), la costruzione
della quale appare dalla medesima figura.

c)  L/altezza divide il triangolo rettangolo in due tri¬
angoli simili fra loro e ciascun o simile al triangolo dato.

I triangoli rettangoli ACD e ABC
(Fig. 136) sono simili, perclie lianno C

1’angolo D A C = %  comune e quindi
eguali anclie gli angoli indicati con [i.

Anche i triangoli CDB  ed ABC  sono
simili per analogo motivo. Percio i trian¬
goli ABC, ACD, CBD  sono a due a
due simili, avendo ognuno di essi gli
angoli R. a, fi  ed

74

C

d)  L/altezza b  la media proporzionale geometrica fra
i dne segmenti delfipotenusa.

I lati p  ed h  del triangolo BCD  sono proporzionali ai lati omologlii
h  ed q  del triangolo simile C A D,  cioe:

p:h = h:q,

da cui: h 2 —pq  (Oonfr. § 93).

Quesito d’ esercizio. 10. Calcolare e costruire la media proporzionale
geometrica fra dne rette date. a)  3 cm,  12 cm; b) 2‘5cm,  1 dm.

§ 116. Somiglianza dei
poligoni. Problema.  Sopra
una retta, preša quale lato,
costruire un poligono simile
ad un altro d ato.

Soluzione. Sia ABCDE
(Fig. 137) il poligono dato
e sia s  il lato dato del nuovo
poligono omologo ad A B.

Si conducano le diagonali
AC  ed A D,  si faccia A F=s  e si guidino FG\\BC, GH\\CD,
HJ\\DE.  I poligoni ABCDE  ed AFGHJ lianno gli angoli rispet-
tivamente eguali (perche?) e i lati omologbi proporzionali; imperocche:
/\ABCc^AAFG,  percio: AB : AF= BC: FG = AC: AG,
AACDc^AAGH,  „ AC: AG — CD : GH= AD: AFt,
AADEc^AAHJ,  „ AD:AH=DE-.HJ=AE-.AJ-
quindi A B C D E  c\J A F GII J.  Se ora noi trasportiamo il poligono
AFGHJ  nella posizione A 1 B 1 C 1 D 1 E 1  (§ 83), dovra essere anche
ABCDEcvA^C^E,

Teorema. Poligoni similiTengonoscomposti mediante
diagonali omologbe in triangoli simili.

Nei poligoni simili ABCDE  ed A 1 B 1 C I D 1 E l  (Fig. 137) AC e
A 1 C 1 ,  AD  e A l D 1  sono le diagonali omologbe, perche uniscono i ver-
tici di angoli rispettivamente eguali. Si faccia ora AF = A 1 B l  e si
costruisca, come antecedentemente, il poligono AFGHJ,  il quale sia
simile al poligono ABCDE  e quindi ancbe al poligono A 1 B I C 1 D 1 E 1 .
Ma essendo ancbe AFGHJ^^A 1 B 1 C 1 D l E 1 ,  perche i lati omologlii
A F  ed A 1 B 1  sono eguali (§ 112), šara

A4A c,  afgc^abc,

AA&D^AAGHcvACD,  ecc.

Q u e s i t i d ! esercizio.  1. Costruire nn poligono simile al poligono A B CD E
(Fig. 137), nel quale il lato omologo a B C  sia eguale ad un segmento dato s.

2. Si dimostri che due poligoni regolari di eguale numero di lati sono simili.

75

3. Costruire un poligono simile ad un altro dato (p. e. ad un esagono) in
modo che il rapporto di due lati omologhi sia eguale a)  ad un dato rapporto di
lunghezza, b)  ad un dato rapporto numerico 2 : 3.

4. Sopra una carta topografica costruita nel rapporto di 1 : 1200 la distanza
di due punti e di 82 mm.  Qual’ 6 la distanza dei detti punti d)  in natura, 5) sopra
una seeonda carta costruita nel rapporto di 1 :5000?— Osservazione; Ogni poligono
disegnato sopra una carta, una pianta ecc. 6 simile a quel poligono, che a d esso
corrisponde in natura. II rapporto di ogni due lati omologhi e dato da una
apposita scala.

5. Sopra una carta topografica costruita sulla scala di 1 : 150000 che lunghezza
ha la distanza di lkm?

6. Si ingrandisca il pentagono A 1 B l  C, D 1  E t  (Fig. 137) nel rapporto di 2 : 3.

7. Si disegni un quadrilatero qualunque e lo si dimiunisca nel rapporto di 5 : 3.

§ 117. Rapporti fra i perimetri di due figure simili. Se il rapporto fra
due lati omologhi di due triangoli simili ABC  e d A 1 B 1 C 1  e —m,  cioe
se e AB  = m. A x B ly BC = m. B 1  C \, C A  = m. C 1 A l)  šara A B  -f- B C
-j- C A —  m (A, B x  -j- B x  C x  -f- C\ A x ),  oppure, indicando con p  e p x  i
perimetri dei due triangoli, šara p = mp 1 ,  percih:

p: Pl  = AB : A 1 B 1  = BC : B X C X  = CA: C X A,.

Egualmente si procede per i poligoni; pereio:

I perimetri di due triangoli o di due poligoni simili
stanno fra loro come due lati omologhi.

Quesito d’esercizio.  Sono dati due triangoli simili; i lati di uno sono
a =  i2 cm,  6 = 9 cm, c — 14 cm,  il perimetro dell’altro e p x  =  56 cm;  calcolare i lati
del secondo triangolo.

§ 118. Rapporti fra
le aree di due figure simili.

a)  Se il rapporto fra
due lati omologhi di due
parallelogrammi simili
ABC D  'e A 1 B 1 C 1 D 1  jt
(Fig. 138) 6 = 5:3,  il
parallelogrammo ABC D
si potra scomporre in
5 X 5 = 25 ed il parallelo¬
grammo A 1 B 1 C 1 JD 1  in
3X3 = 9 piccoli pa¬
rallelogrammi, i quali sono ^
tutti fra loro congru-
enti. Se ora indicliiamo

con s  l’area di uno dei triangoli, nei quali i piccoli parallelogrammi
vengono scomposti mediante le diagonali parallele a BI)  ed a B 1 D 1 ,
si trova che A B CD  = 50s, /i, />', C\ J) 1  = 18 s,  dunque  7i /d = 25s,

Fig. 138.

I\A 1 B 1 D 1  = 9 s.

76

Da ci6 segue clie A A b D  : /\ A x B l D l  =25:9.  Per i quadrati
oostruiti sui lati omologhi AB e A i B l  si ottiene oltre a cio la pro-
porzione A B E F : A x  B x  E l  F x  =25:9,  dunque A ABD :  A A, B, J),
= ABEF: A X B X E X F X ,  oppure indicando con S  ed S x  le aree con a
ed a x  i lati dei due triangoli, šara:

S: S x  = a 2  : a x 2 ,  cio5:

Le aree di due triangoli simili stanno fra loro come i
quadrati di due lati omologhi.

Per esercizio si-ripeta la derivaziohe di questo teorema, supposto
che AB : A 1 B l  = m : n,  dove m ed n sono due numeri interi qualunque.
Se il lato a  di un triangolo e 2, 3, 4 ....  m volte maggiore del

triangolo simile, anche l’area S  del
. m 2  volte maggiore dell’area S x  del
šara S — m 2 S x .  Cio vale anche se m

secondo

lato omologo a x  di un
primo triangolo Sara 4, 9, 16 . . .
secondo triangolo; se 6 a — m a x ,
non e un numero intero, come p.
A,B X  5

e. nella fig. 138, dove:

AB=b.

3

= A 1 B l  eABD  = 25.

A,B X D X

9

-( 4 )-

a x b x d x .

b)  Per confroutare le aree di due poligoni simili, si scompongano
questi in triangoli mediante diagonali omologhe.

Se si ammette nella fig. 137, che sia AB = m.A l  B x ,  si avra:
ABC=m 2 . A X B X C X
ACD—m 2 . A 1 C 1 D 1
A D E=  m 2 . A x  D x  E x
ABC D E— m 2 . A X B X C X D X E X ,  da cui:

ABCDE: A x  B x  C x D 1 E i =ABC: A X B X  C\  = TS r : A^B?,  cioe:

Le aree di due poligoni simili stanno fra loro come
i quadrati di due lati omologhi.

Quesiti d’esercizio. 1. Due lati omologhi di due triangoli (poligoni)
simili sono a  = 15 cm, a x  = 12 cm; calcolare l’area del secondo triangolo (poligono),
se quella del primo 6 = 1 dm ! .

2.  Sapendo che se il lato e = 1 cm,

l’area del pentagono regolare e = 1’ 7205 cm 2 ,

„ dell’esagono „ e = 2 - 5981 cm 2 ,

„ „ ottagono „ 6 = 4'8285 cm 2 ;

quale e 1’area in ognuno di questi tre časi, se il lato e di o) 1 m, b ) 23 cm, c)  2 ’15 m?

3. In quale rapporto si deve ingrandire il lato di un poligono, affinche dise-
gnaio in una scala maggiore 1’area si raddoppi?

4. Se 1’ingrandimento lineare di un microscopio e di 80 volte, quale šara
1’ingrandimento in superficie?

5. Sopra una carta topografica disegnata secondo la scala di 1 : 100 1’area di
un triangolo e di l'5423(/m 2 . Quale šara 1’area del corrispondente triangolo simile
a)  in natura, b ) sopra una earla topografica disegnata secondo la scala di 1 : 150?

77

Stereometria.

I piani.

§ 119. Assioma del piano. II concetto, che possediamo della retta e
del piano, ci pone m grado di riconoscere 1’esattezza del segmente teorema:

Una retta, che ha dne punti comuni con un piano, coin-
cide in tutta lasua estensione collo stesso  (assioma del piano).

Tanto qui che in seguito e d’uopo immaginare illimitati non solo
la retta ma anche il piano, purclie non si presupponga espressamente il
contrario. Per rendere anche visibili con modelli e con disegni piani
illimitati, non possiamo evidentemente adoperare che porzioni limitate dei
medesimi.

Sull’ assioma suesposto si basa il metodo di provare un piano col mezzo di
una riga.

§ 120. Determinazione di un piano. Problemi.  Guidare un piano
1. per un punto, 2. per due punti, 3. per una retta, 4. per piu punti
giacenti in una retta. — Problemi indeterminati.

Si renda intuitiva la eostruzione richiesta, ponendo un foglietto piano od una
tavoletta sulFangolo e sullo spigolo del tavolino.

5. Guidare un piano per tre punti non situati in linea retta. Si
conduca il piano per due punti e poi lo si faccia rotare attorno alla retta
che li congiunge, sino a che anche il terzo punto vada a cadere sul piano.

6. Guidare un piano per una retta e per un punto fuori della stessa.
(Probl. 5.)

7. Guidare un piano per due rette intersecantisi AB  e BG.  Il
piano condotto per i puntih, B  e C deve contenere anche le due rette
date. (Perclie?)

8. Guidare un piano per due rette parallele. Supponiamo che il
piano MN  passi per due rette a e b  intersecantisi (Fig. 139) e che la
retta b  roti attorno ad un punto A  in
modo chf il punto d’intersezione D  si
sposti continuamente lungo la retta a.

Con cio la retta b  rimane eonstante-
mente nel piano MN  (perche?) anche
quando b  diventa parallela ad a.  Se Fig. 139.

dunque due rette sono parallele e se

un piano passa per una (a)  di esse e per un punto (il) deli altra (c),
questa deve giacere anche in quel piano.

Da-cio e chiaro che anche nello spazio per un punto non
si p u o c o n d u r r e che una sola parallela a d una retta d a t a.

78

Gli ultimi quattro problemi sono determinati in modo imico, perche
ad ognuno non corrisponde che una sola  soluzione; percio:

Un piano e determinato:

a)  da tre punti non situ ati in linea retta;

b)  da una retta e da un punto situato fuori della stessa;

c)  da due rette intersecantisi;

d)  da due rette parallele.

Quesiti d’eseroizio. 1. Che cosa si potrebbe dire di due piani ai quali
sono comuni tre punti non giacenti in una retta ?

2. Quale vantaggio presenta un sedite a tre piedi rimpetto ad uno a
quattro piedi?

§ 121. Genesi del piano. Un piano pub immaginarsi generator

1. da una retta, che scorre lungo due rette intersecantisi;

2. da una retta, che rotando attorno ad un suo punto, scorre lungo
un’altra retta;

3. da una retta, che scorre lungo una seconda retta parallelamente
a se stessa;

4. da una retta, che scorre lungo due rette parallele.

La retta, che nel suo movimento genera il piano, si chiama retta
generatricej  se questa scorre in pari tempo lungo altre rette, queste
vengono chiamate Unee direttrici,  o in particolare rette direttrici  od
anche semplicemente direttrici  ( direttive ).

Quesiti d’esercizio.  Si cerchi un esempio nella Fig. 139. per ciascuno
dei quattro modi, secondo i quali si genera un piano.

Posizioni principali di rette e di piani.

§ 122. Due rette. Due rette possono avere una rispetto alFaltra tre
posizioni essenzialmente diverse: 1. s’intersecano ; 2. sono vicendevolmente
parallele ; o 3. ne shntersecano, ne sono parallele; in tal caso si dice
che le due rette s’incrociano.

N el due primi časi le rette giacciono nello stesso piano; non pero
nel terzo. Si ottengono due rette incrociantisi, facendo passare un piano
lungo una retta e per un punto fuori della stessa e guidando una se¬
conda retta per questo punto e per un altro che trovasi fuori del piano.

Sugli spigoli di un armadio, della scuola ece. si dieno esempi per ciaseuna
delle tre posizioni essenzialmente diverse di due rette.

§ 123. Due piani. Due piani si dicono paralleli,  se non hanno al-
cun punto comune per quanto possano venire estesi. Se essi hanno dei
punti comuni, questi sono punti di una retta, che si chiama linea dlinter-
sezione  dei due piani, e in questo caso si dice che i piani s’intersecano,
Infatti, se per due punti comuni a due piani guidiamo una retta data,
essa deve giacere in ciascuno di essi e šara quindi la loro linea d’inter •

79

sezione.  Ad eccezione di questa retta, i piani non possono avere comune
alcun altro punto; giacche per una retta e per un punto fuori della
stessa non si pn6 condurre che un solo  piano.

Si cerchino sulle pareti di un armadio, di una stanza ecc. esempi di due piani
paralleli e di due piani intersecantisi.

§ 124. Retta e piano. Una retta ed un piano si dieono paralleli,
se non lianno comune alcun punto per quanto la retta si prolunghi e il
piano si estenda. Se la retta e il piano non sono paralleli e se lianno
comune un solo punto, questo si chiama punto d’intersezione  della retta
col piano od il piede  della retta nel piano e si dice che la retta in-
contra il piano  o che il piano interseca la retta.  Se infine una retta
ha pid di un punto comune con un piano, essa coincide col medesimo
in tutta la sua estensione (§ 119).

Si dieno esempi per le tre suaccennate posizioni di una retta rispetto ad
un piano.

Rette e piani paralleli.

Fig. 140.

§ 125. Due rette. Se due rette intersecantisi si muovono parallela-
mente a se stesse, gli angoli da esse formati rimangono invariati.
Se supponiamo che in un dato piano sia
A B  |J A, B,  (Fig. 140) e che in un altro
piano sia CD  [| C 1 D 1 ,  šara anclie A O C
— A j 0 1  C 1 .  Da cio segue che:

Anclie nello spazio angoli for¬
mati da rette parallele e rivoltej
nello stesso senso sono eguali.

Per angolo di due rette incrociantisi  si
intende d’angolo che si ottiene conducendo per
un punto di una retta una parallela allaltra. In questo senso si dere in-
tendere che 1’angolo A O C  (Fig. 140) e 1’angolo delle rette incrociantisi
AB  e C, D,.

§ 126. Rette e piani, a)  Problema.  Guidare per un punto dato
una retta parallela ad un piano dato.

Si gnidi nel piano dato MN  (Fig. 141) una retta qualunque BC
e pel punto dato A  la D E  || B C;  šara DE  |] MN.  Perche, sela  retta
DE  prolungata sulficientemente incontrasse
il piano M N,  il suo piede dovrebbe eoincidere
tanto col piano M N  che con quello determinato
dalle parallele BC  e DE,  dunque questo piede
sarebbe un punto della linea d’intersezione
BC  dei due piani, e quindi le rette BC & D E
non sarebbero parallele; percio il teorema:

Fig. 141.

80

Se una retta6parallelaadun’altrasituatainunpiano,
e parallela anche al piano stesso.

Quante solnzioni corrispondono al problema dato di sopra?

b)  Se una retta e parallela ad un piano, 6 anche
parallela ad ogni retta nel medesimo, la quale giace con
essa nello stesso piano.

Infatti, se la retta AB h  parallela al piano MN  (Fig. 142) e se
attorno ad A B,  preša quale asse, si fa rotare un altro piano, la linea
d’intersezione dei due piani, in tutte le sue posizioni  CD, C\ D 1 , C 2  D a ...,
rimane parallela ad AB.  Giacche, se p. c. A B c, CD  avessero un punto
comune, questo dovrebbe appartenere anche al piano MN,  e quindi A B
non sarebbe parallela ad MN.

Si cerchino esempi corrispondenti a questo teorema sngli angoli e sulle
pareti della scuola ecc.

Fig. 142. Fig. 143.

§ 127. Due piani. «) Se MN  ed M,  (Fig. 143) sono due piani
paralleli, AB  ed A 1  B l  le rette nelle quali questi piani vengono tagliati
dal piano RS,  queste rette devono essere parallele, perche esse giacciono
nel medesimo piano (BS)  e non s’intersecano. Dunque:

Se due piani paralleli vengono tagliati da un terzo, le
linee d’intersezione devono essere parallele.

Essendo AA 1  \\BB 1  (Fig. 143), il quadrilatero AA 1 BB i  k  un
parallelogrammo, quindi A A l  — BB X .  Percio:

b)  Rette parallele frapposte a piani paralleli sono
eguali.

Rette e piani perpendicolari.

§ 128. Definizione. Teoremi, a ) Se si fa rotare unangolo
retto intorno ad un lato, 1’altro lato de seri ve u n piano.

Infatti, se si porta 1’ang-olo retto B A C  (Fig. 144) nella posizione
BAB e  si fa passare un piano MN  per le rette A C  ed AB,  qualunque
retta, p. e. A D,  che passa per A  dev’ essere perpendicolare ad AB.

81

Per dimostrar cio si conduca la retta C E  in modo che intersechi le rette
A C, A D, A E,  si faccia AB — AB 1  e si uniscano mediante altrettante
rette i punti C, D, E  con B  e con B v  Siccome A C  ed A E  sono assi
di simmetria della retta B B 1 , dev’ essere B C — B L  C, B E — B 1  E,
percid B C EBEl B l  C E.  Questi triangoli si coprono, se si fa rotare
uno di essi intorno a. C E,  preša quale asse, fino a che B  čada su B x -
Allora anche le rette B D  ed B 1  D  coincidono, percid sono eguali, ed
essendo A D  asse di simmetria di BB t ,  šara ADJ_BB 1 .

b)  Se una retta e perpendicolare a
tutte le rette condotte in un piano per il suo
piede, si dice che essa e perpendicolare al
piano  o che la retta  e il piano sono vicende-
volmente perpendicolari.  Dalla dimostrazione
del teorema a)  segue che una retta, la quale
e perpendicolare a due rette condotte in un
piano per il suo piede, e perpendicolare
anche al piano. Se e (Fig. 144) AB_\_AC  e
AB±_AD , dev’ essere AB_\_MN.

Una retta si dice obliqua  a un piano, se
non e ne parallela ne perpendicolare ad esso.

c) Da un punto esterno a un piano non si puo abbassare che u n a
sola  retta perpendicolare a questo. Imperocche se fossero p. e. BA
e BC  (Fig. 144) due rette perpendicolari al piano MN,  esse dovrebhero
essere perpendicolari anche ad A  (7, cio che b  impossibile. Inoltre due
rette normali allo stesso piano non possono avere il piede comune.
Perche ?

d)  Se una retta b  normale ad un piano e si muovono o l’una o
1’altro in modo che si mantengano sempre paralleli a se stessi, la retta
e il piano rimangono sempre vicendevolmente perpendicolari.

Sedi  due rette parallele una e perpendicolare a un
piano, lo deve essere anche  1’altra.

Se di due piani paralleli uno e perpendicolare ad una
retta, lo deve essere anche  1’altro.

Gli inversi a questi teoremi sono:

Rette perpendicolari a un piano sono parallele.

Piani perpendicolari a una retta sono paralleli.

Infatti, se si muove una delle rette normali in modo che si man-
tenga sempre parallela a se stessa fino a che raggiunga un punto comune
con 1’altra normale, le due rette coincideranno.

Quesiti d’eseroizio. 1. Come si chiama un piano normale ad una linea
verticale ?

H.o če var- P os tet, Mamiale di geotnetria per il Ginnasio inf. 2. ediz.

B

Fig. 144.

6

82

2 .  Che cosa fa il muratore per persuadersi se un piano sia orizzontale ?

3. E’ una retta perpendicolare a un piano se e perpendicolare solo ad una
retta condotta nel piano per il suo piede ?

Proiezioni, distanze, angoli d^nclinazione.

§ 129. Proiezioni normali, a)  Per proiezione normale di un punto
sapra un piano  s’intende il piede della perpendicolare abbassata dal
punto al piano. In seguito si fara uso sovente per brevita dellespres-
sione „ proiezione “ invece della „proiezione normale giaeche altre
proiezioni (oblique) non vengono in questo libro considerate.

b)  Per proiezione di una linea sopra un piano  s’intende il com-
plesso delle proiezioni di tutti i punti di questa linea. Per proiettare
dunque una retta AB  (Fig. 145) sul piano MN,  facciamo cbe una retta
CC\,  perpendicolare al piano, si muova

se stessa in modo cbe si mantenga sempre normale al piano. Durante
questo moto la normale deserive un piano, la cui linea d’intersezione
A 1 B 1  col piano MN  e la proiezione cercata. Quindi si puo dire che:

La proiezione di una retta e parimente in generale
una retta; ma se la retta e perpendicolare al piano, la
sua proiezione b  un punto.

c) La proiezione di un segmento rettilineo su di un piano e deter-
minata dalle proiezioni dei suoi punti estremi. Se si confronta un seg¬
mento rettilineo pošto nelle posizioni O A, OB, O C, OB  (Fig. 146)
con le proiezioni dello stesso, risulta il teorema:

Secondo che una retta limitata b  parallela, obliqua,
o normale a un piano, la sua proiezione b  eguale ad essa
minore di essa o e un punto.

Quesitid’esercizio.  1. Che cosa e la proiezione di nn friangolo, in
generale di un poligono su di un piano?

2. Quando una figura ha la proiezione perfettamente eguale a sh stessa V

83

3. Se le rette A C, AC U  A  C 2 , . ., che eongiungono un punto esterno A
(Fig. 147) con vari punti di un piano MN,  sono egnali, anche le loro proiezioni
devono essere eguali. Perchh? Che cosa šara dunque il luogo geometrico dei piedi
C,  C„ C 4  . . . di qnelle rette?

d)  Problema. Da un punto esterno a un piano si abbassi una per-
pendicolare a questo. Si conduca sul piano MN  (Fig. 148) una retta
C\ C 2  e da A  si abbassi la A D  perpendicolare ad essa; si faccia

ji

DC 1  =v D C 2 ,  poi si unisca il punto A  coi punti C\  e C 2  mediante le rette
A C l  e A C 2  ; queste rette sono eguali (perche ?); percid C x  C\  d la corda
del cerchio, il cui centro B  deve essere la proiezione del punto A  sul
piano.

Se si conduce dunque nel piano MN  Tasse di simmetria DE  del
segmento C, C 2 ,  questo asse deve passare per il piede della perpendicolare
domandata. Si faccia dunque A B  _L D E.

r B

§ 130. Distanze. a)  Se AB  (Fig. 147) e una perpendicolare a]
piano MN z C m  punto qualsivoglia di questo; siccome d A B  < A C,  šara:

La perpendicolare a b b a s s a t a da un p u n t o a d u n p i a n o
elapiiibreveditutte le rette che si pOssono condurre
dal punto sino al piano.  Essa dicesi distanza del punto dal piano.

i)  Se una retta e parallela a un piano, tutti m ,
i punti di essa hanno eguali distanze dal piano.

Una di queste distanze dicesi distanza della retta ‘
dal piano parallelo.

c)  Se un piano d parallelo a un altro piano,
tutti i punti del primo distano egualmente dal
secondo piano. Una di queste distanze dicesi di-‘
stanza dei due piani paralleli  (Fig. 149).

Q u e s i t o d’esercizio.  Che cosa e il luogo geometrico di tutti i punti
che a)  distano egualmente da un piano, b ) distano egualmente da due piani paralleli?

/X

B,

X, _

Fig. 149.

§ 131. Angolo d’inclinazione di una retta verso un piano, a)  Per

angolo d’inclinazione di una retta verso un piano  s’intende 1’angolo che
la retta forma con la sua proiezione sul piano. Cosi se d p. e. A B  J_ MN

6 *

84

(Fig. 150), 1’angolo d’inclinazione della retta A C  verso il piano MN  6
1’angolo ACB.

b)  L’angolo d’inclinazione di una retta e il pid piccolo
di tutti gli angoli che essa forma con le rette condotte
n el piano per il suo piede.

Infatti, se si proietta la retta A C  nel piano MN  (Fig. 150) e si
fa rotare la proiezione BC  intorno al punto (7, sino a che, rinianendo
sempre sul piano MN.  giunga p. e. nella posizione B 1  C , chiaramente
si vede che e AC = AC, BC — B 1  C ,
mentre šara /1 C B  <C A CB 1  (§ 56),

perche d AB <i.AB l  (§ 130, a).

c)  Se un piano taglia ima retta, e si spostano o l’uno o l’altra
sempre parallelamente a se stessi, 1’inclinazione della retta verso il
piano rimane inalterata (Fig. 151). Da cio segue che:

Rette parallele formano con un piano intersecante
eguali angoli d’inclinazione.

Piani paralleli formano con una retta che viene da
essi interseeata eguali angoli d’inclinazione.

§ 132. Diedro. Un piano illimitato viene
diviso da una retta illimitata in due piani
semilimitati. Se si fa rotare un piano semili-
mitato intorno alla sua linea limitante, la
porzione di spazio da esso descritta dicesi
angolo diedro  o semplicemente diedro.

La linea d’intersezione AB  (Fig. 152)
dicesi spigolo;  i piani semilimitati BM e  d
AN  vengono detti facce  del diedro. Il diedro
della Fig. 152 si indica con M(AB)N.

Quesitid’ esercizio. 1. Come si puo mostrare mediante un libro, una
porta il modo secondo il quale si genera un diedro?

2. Quanti diedri si ottengono da due piani intersecantisi?

§ 133. Angolo cTinclinazione di due piani, a)  Sia CD ± AB  (Fig. 152),
e si giri il piano B M  sino a che giunga nella posizione B P.  In questa

85

rotazione la retta CD  descrive 1’angolo D C E.  La grandezza di questo
angolo non dipende gi;\ dalla posizione, in cui 6 stato prešo il vertiee
C  sullo spigolo AB.  P. e. se e AM ±_ AB,  dunque anclie AP±_ AB,
šara pure MAP—D  C E-  perche? Questo angolo serve quindi a
misurare il diedro e viene cliiamato angolo d’inclinazione  dei due piani.
Modello !

Per costruire dunque 1’angolo d’inclinazione di due piani, da un
punto qualsivoglia della loro linea d’intersezione si conduca in ognimo
dei due piani una retta perpendicolare ad essa.

Dalla definizione data delFangolo d’inclinazione di due piani e
chiaro che il piano d’inclinazione,  ciož il piano condotto per i
lati delFangolo d’inclinazione e perpendicolare allo spi¬
golo  (§128). Inversamente: Se s’ interseca un diedro mediante
un piano perpendicolare allo spigolo, lasezionež F angolo
d’inclinazione delle due facce del diedro.

h)  Se si sposta il piano MN  (Fig. 143) parallelamente a se stesso
fino a che giunga nella posizione M l  N lt  il suo angolo d’inclinazione
verso il piano ES  rimane invariato.

Piani paralleli formano con qualunque piano inter¬
seca n te eguali angoli d’inclinazfone.

Piani vicendevolmente normali.

§ 134. Definizione. Teoremi, a)  Se 1’angolo d’inelinazione di dne
piani, e un retto, si dice che ognuno di essi e perpendicolare alFaltro
o che i due piani smo vicendevolmente perpendicolari.

b)  Se ES  & un piano perpendicolare ad
MN  (Fig. 153), per una qualunque rotazione
di i?*? intorno alla retta AB,  F angolo d’incli-
nazione DCE  aumenta o diminuisce. Da
cio segue:

Da una retta in un piano non si
pu6 inalzare a questo che un solo
piano normale.

c)  Essendo CE±.AB  e CE\_CD ,
šara C E A. MN  (§ 128). Si dimostri che
p. e. e anclie CD  _L KS;  quindi:

Se due piani sono vicendevolmente perpendicolari,
ogni retta tirata in uno perpendicolarmente alla linea
d’intersezione e normale alFaltro piano.

Problema.  Da un punto dato abbassare un piano normale ad
un piano dato.

86

d) Si abbassi dal punto dato A  (Fig. 154) la A B  perpendicolare al
piano dato MN.  Qualunque piano, come PQ, RS  ecc., guidato per AB
corrisponde al problema, il quale šara percib indeterminato. Per dimostrare
che e p. e. RS±_ MN,  si costruisca 1’angolo d’inclinažione dei due piani.
Ora b AB  J_ BS  nel piano RS-  si tiri ancora BC  J_ BS  nel piano

MN  e šara ABC  1’angolo d’inclinazione
cercato, e precisamente = 90°, essendo
per costruzione A B  J_ M N ; percib:

_ Se per una retta perpendi¬
colare ad un piano si guida
un piano qualsivoglia, questo
riesce perpendicolare al prim  o.
Inversamente:

Fig. 154.

e) Se due piani che s’interse cano sono perpendicolari
ad un terzo, anche la loro linea d’intersezione e perpen¬
dicolare a questo piano.

Sieno dunque PQ  ed RS  i due piani perpendicolari ad MN  ed
AB  la loro linea d’intersezione. Se dal piede B  di questa linea s’in-
nalza una retta perpendicolare al piano MN,  essa deve coincidere con
quella linea. Conduciamo ora per AB  e BQ  un piano; esso dev’essere
perpendicolare a MN,  cioe e lo stesso piano PQ.  Egualmente si pub
dimostrare che il piano che passa per AB  e BS  coincide col piano
RS.  Percib la normale AB e  comune ai due piani; essa d quindi la
loro linea d’in(ersezione.

f) Se di due piani paralleli uno d perpendicolare a un
terzo piano, anche l’altro de v’ essere perpendicolare a
questo piano.

Che cosa si pub dire di due piani, che sono perpendicolari a
un terzo ?

Q u e s i t i d’esercizio. 1. Se di tre piani intersecantisi ognuno e normale
agli altri due, anche ogni loro linea d’intersezione šara perpendicolare alle altre
due linee. Perchh?

2. Se di tre rette intersecantisi ognuna e perpendicolare alle altre due, essa

e perpendicolare al piano che passa per esse. Perchh?

♦

L’angolo solido.

§ 135. Definizioni. Una retta semilimitata, che rimanendo ferma alla
sna estremita, si muove intorno al perimetro di un poligono, genera uno
spazio illimitato da una sola parte, il quale dicesi angolo solido.

La retta mohile dicesi retta generatrice  ed il poligono, intorno
cui la retta scorre, si chiama poligono direttivo.  Il punto fisso (Fig. 155)
e detto vertice;  esso non pub giacere nel piano del poligono. Le super-

87

Fig. 155.

ficie piane descritte della retta rnobile si dicono /accc •  le linee dhntersezione
delle stesse, cio6 O A, OB . .  ., si chiamano spigoli  deli’angolo solido.
Gli angoli formati da due spigoli, p. e. A OB, BOC  diconsi angoli
piani  o facce  delFangolo solido; gli angoli di due facce successive
vengono detti diedri  od angoli  delFangolo
solido.

II numero delle facce di un angolo
solido d uguale a quello degli spigoli, e preci-
samente a quello dei lati o dei vertici del
poligono direttivo. Secondo il numero delle
facce o degli spigoli, 1’angolo solido dicesi
angolo solido triedro  o trilatero , tetraedro  o
quadrilatero  . . . n-latero o di n lati.

Un angolo solido si dice eguilate.ro,  se
ha tutti gli angoli piani o tutte le facce
eguali; si dice eguiangolo,  se ha tutti i diedri eguali; un angolo solido
eqnilatero ed equiangolo si chiama regolare.

Per costruire in cartone modelli stereometrici noi ci serviamo delle
reti.  Una rete e ima figura piana, che si puo tagliar fuori e comporre
poi assieme in modo da ottenere il modello domandato.

Quesiti d’esercizio. Costruire a)  la rete di un triedro con angoli piani
dati, b)  la rete di un triedro equilatero, c) la rete di un angolo solido tetraedro. —
In quali di questi časi l’angolo solido viene completamente determinato mediante la
sua rete? Gli angoli solidi in b)  e c)  sono regolari?

§ 136. Relazioni fra le facce del triedro. a)  Per formare colla rete
un triedro (Fig- 156), si girano una verso l’altra le facce A O B a C O D
attorno agli spigoli OB  ed O C  in modo che gli spigoli O A  ed OD
vadano a coincidere (fuori del piano BOC).  Affinchč ci6 ahbia luogo
dev’essere fi<La-\-y,  anche se (i  h il
maggiore degli angoli piani a, /9, y.

Parimente si trova che e a</9-f- y, ^
y<ia-\~P-

Si provi a costruire un triedro se
e /S == a  -j- y.

b)  Se ^ e il maggiore degli angoli
piani del triedro e si gira la faccia
C O D  attorno allo spigolo O C , sino a
che coincida col piano BOC , allora šara B OD t  =  /J — y
analogamente la faccia A O B,  lo spigolo O A  deve cadere oltre O D x ;
percio a>/3 — y.  (Del resto questa disuguaglianza si potrebbe derivare
anche in via aritmetica della disuguaglianza a  + y  7> p.)  Parimente si
trova y >  /9 — a  e inoltre /9 > a — y,  ovvero /9 > y — a.  Cio prova che:

Se si gira

88

In un triedro ogni angolo piano d minore della somma
e maggiore della differenza degli altri dne.

Quale & il teorema analogo di planimetria?

Se e p. e. a  = G0°, (1 =  70°, dev’essere y  < 60° -(- 70° e y  > 70° — 60°, cioe
10° <Zy  < 130°. Fra quali limiti giace l’angolo, se 6 /S = 9G C , y =  114°?

§ 137. Somma degli angoli piani. Quanto pili grandi diventano gli
angoli piani di un angolo solido tanto piti esso diventa ottuso, e se
finalmente le facce cadono sopra un piano, la somma di tutti gli angoli
piani d eguale a quattro retti; percio:

In ogni angolo solido la somma degli angoli piani d
minore di quattro retti.

Osservazioni.  Si puo pervenire a questo teorema anche mediante il
caloolo. Se p. e. il poligono direttivo 6 ud decagono (piano), la somma dei suoi
angoli e eguale a 16 Ji.  Ora il decagono forma colle facce dell’angolo solido 10
triangoli, la somma degli angoli dei quali b = 20 R.  Fra questi appartengono agli
angoli delle basi piu di 16 R ; giacche ogni due di essi formano col corrispondente
angolo delle decagono un triedro, e percio la loro somma šara maggiore di quella
degli angoli del decagono. Si conchiude che la somma degli angoli piani deve
essere minore di 4 R.

Si potrebbe analogamente dimostrare il teorema, se 1’angolo solido fosse di n  lati.

2. Col mezzo di una rete noi possiamo facilmente persuaderci che il teorema
teste dedotto vale in generale solo per angoli solidi a spigoli sporgenti in fuori,
cioe per diedri concavi. Tuttavia in questo libro non si prenderanno mai in eon-
siderazione che angoli solidi, i quali osservati dall’interno, posseggono anche diedri
convessi; percio il teorema suesposto sarh valevole in tutti i časi.

Quesiti d’esercizio.  1. Qual’ e il massimo valore, che puo avere un
angolo piano di un angolo solido regolare: d)  triedro, i)  tetraedro, e)  di n  lati?

2. Quanti angoli solidi regolari si possono formare con angoli piani a)  di un
triangolo equilatero, 6) di un quadrato, c) di un pentagono regolare, d)  di un esa-
gono regolare?

§ 138. Congruenza degli angoli solidi. Due angoli solidi sono
congruenti,  se collocati uno dentro alUaltro coincidono i loro spigoli e
percio anche le loro facce. Da cid segue che gli angoli piani e diedri
dell’uno, preši nel medesimo ordine, sono eguali agli angoli piani e
rispettivamente agli angoli diedri dell’altro.

Quale altra condizione deve sussistere, affinchč dne angoli solidi
regolari di egual numero di lati sieno fra loro congruenti?

Il prisina.

§ 139. Genesi. a)  Una retta illimitata, che scorre parallelamente a
s6 stessa lungo il perimetro di un poligono, genera uno spazio illimitato
da due parti, che si chiama spazio prismatico.  Nel la fig. 157 si mostrino
la retta generatrice e il poligono direttivo.

La porzione di uno spazio prismatico, compresa fra dne piani paralleli,
si cliiama prisma.

b)  Un prisma viene anche generato, movendo un poligono in modo
che tutti i suoi vertici descrivano rette parallele. Nelle figure 157, 158
e 159 si mostrino il poligono generatore e le linee direttrici.

§ 140. Descrizione. Ogni prisma d un poliedro,  cioe un corpo limi-
tato soltanto da superficie piane. La somma di tutte le superficie, clie
limitano il prisma, si cliiama superficie  dello stesso.

I due poligoni, che a)  risultano praticando nello spazio prismatico
sezioni parallele o che b)  sono la prima e 1’ultima posizione del poli¬
gono generatore, si chiamano basi  del prisma; esse sono poligoni
congruenti in piani paralleli. Tutte le altre superficie, che limitano
il prisma, si chiamano facce laterali  e la loro somma d detta superficie
laterale (manto)  del prisma. Le facce laterali sono parallelogrammi ;
perche ?

Le linee d’intersezione delle facce laterali colle basi, oppure i lati
delle basi, si dicono spigoli  delle basi. Ogni due spigoli delle basi,
che si trovano nella stessa faccia laterale, sono eguali e paralleli;
perclie? — Le intersezioni d’ogni due facce laterali consecutive si
chiamano spigoli laterali.  Tutti gli spigoli laterali di un prisma sono
eguali e paralleli; perclič?

La distanza delle due basi si chiama altezza  del prisma.

Nelle fig. 157—159 si mostrino le basi, le faece laterali, gli spigoli delle basi,
gli spigoli laterali, i vertiei degli angoli solidi e si guidi 1’altezza.

§ 141. Distinzioni e denominazioni. Secondo il numero delle facce

laterali, il prisma si dice trilatero, guadrilatero .di n lati  o

n-latero.

Conforme la disposizione degli spigoli laterali rispetto alle basi,
i prismi possono essere retti  ed obligui.  Un prisma dicesi retto od
obliquo, secondo- che gli spigoli laterali sono perpendicolari od obliqui

90

alle basi. Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli e per-
pendicolari alle basi; gli spigoli laterali sono eguali all’altezza; perche ?

Un prisma, cbe ha tutti gli spigoli egnali, si cbiama eguilatero.
Un prisma retto, le eni basi sono poligoni regolari, dicesi regolare .

Un prisma, che ha per basi parallelo-
grammi, d detto parallelepipedo  ; tutte le
sei superficie, da cui esso e limitato, sono
parallelogrammi. Parallelepipedo retto ed
obliquo.

Un parallelepipedo retto, le cui basi
sono rettangoli, si cliiama parallelepipedo
rettangolo  (Fig. 158); tutte le sei superficie,
da cui esso e limitato, sono rettangoli.

Un parallelepipedo, le cui basi sono
rombi perfettamente eguali, si cbiama rom-
boedro.  Un parallelepipedo limitato da
quadrati d detto dado, cubo  od esaedro.

Q u e s i t i d’esercizio. 1. Si espongano il numero e le speeie delle super¬
ficie limitanti e degli angoli solidi, come pure il numero degli spigoli a)  di un
prisma trilatero ed equilatero, b ) di un parallelepipedo retto, c) di un prisma penti-
latero regolare, d)  di un prisma di n  lati. — Dopo aleuni esercizi fatti coi modelli
e disegni, queste deserizioni possono venir fatte senza una diretta intuizione.

2. Si costruisca la rete a)  di un prisma trilatero regolare, b)  di un parallele¬
pipedo rettangolo, c) di un cubo, d)  di nn prisma esalatero regolare. — La fig. 160
e la rete di un prisma trilatero retto; A B  = B E, C D = C E.  — La fig. 162 e la
rete per la superficie laterale del prisma trilatero obliquo (Fig. 161).

§ 142. Sezioni piane. Ogni sezione parallela alla base del
prisma d un poligono congruente alla base;  perche?

Una sezione normale ad uno spigolo, risulta normale a tutti gli
spigoli, e dicesi sezione normale o trasversale  del prisma (D El' 1  Fig. 161).
In quali prismi la sezione normale e parallela alle basi? Se si guida
un piano per due spigoli laterali non consecutivi, si ottiene una sezione
diagonale,  la quale e sempre un parallelogrammo. In un prisma si
possono ottenere tante sezioni diagonali quante sono le diagonali di
una base.

In un parallelepipedo ogni diagonale di una sezione diagonale d
detta diagonale  del parallelepipedo; essa e la retta, che unisce due
vertici di angoli solidi, che non giacciono nella stessa faccia che
limita il corpo (vertici opposti). Un parallelepipedo ha quattro diagonali.

Problema.  Calcolare la diagonale di un parallelepipedo rettangolo,
date la lunghezza, la larghezza e 1’altezza.

91

Nel triangolo rettangolo BC.D  (Fig. 158) si calcola prima B J)'\
poscia dal triangolo rettangolo /i, B D  si avrii la diagonale cercata.
Si eseguisca il calcolo pev valori speciali delle dimensioni indicate
ed anche in generale, d 2  — a 2  -j- b 2  -f- c 2 .

Q u e sit i d’ esercizio. 1. a  = 1 cm, b — l' 4 cm, c  = 3‘5 cm-, d  = ?

2. Qual’ e la diagonale di un cubo, il eui spigolo 6 a?

a) a —  3 cm, b) a =  i m.

3. Calcolare lo spigolo di un cubo, data la diagonale d.

a)  d = 12 cm, b) d = ‘im.

§ 143. Calcolo della superficie. Se indichiamo con S  la superficie,
con B  l’area della base e con M  la superficie laterale del prisma, šara:

S=2B + M.

La superficie laterale di un prisma retto e equi-
v a lente ad un rettangolo, che ha per base il p e r i metro
della base e per altezza quella del prisma.  M=ph  (Fig. 160).

Nel prisma obliquo (Fig. 161) indicando con l  uno spigolo laterale
con a, b, c, ... i  lati di una sezione normale, šara M — al  -j- bi  -f- cl
-j- . . . = (a  -f- b  + c -f- • • ■) l,  percio :

La superficie laterale di un prisma obliquo e equi-
valente ad un rettangolo, che ha per base il perimetro
di una sezione normale e per altezza lo spigolo laterale
delprisma.

C

La verita di questo teorema risulta anche se si considera la rete
che corrisponde alla superficie laterale del prisma obliquo, trilatero o
di n  lati (Fig. 162).

Q u e s i t i d’e s e r o i z i o. 1. Calcolare la superficie di un cubo dato lo spigolo a.
a) a =  3 dm, b) a —  2'135 m, c) a =  0‘324 m.

2.  Data la diagonale d  di un cubo, calcolare la superficie.

a) d —  16 cm, b) d —  12 '64 m, c) d  = 4'23 m.

3. Lo spigolo di un cubo e di 6 cm ; calcolare la superficie.

4. Data la superficie 5 di un cubo, calcolare uno spigolo.

a)  S = 8-64 m 2 , b) S = 1 m 2 .

92

5. Se la superfieie di un cubo e di 3 dm?,  qual’e uno spigolo e la diagonale?

G. Calcolare «) la diagonale, (!)  la superfieie di un parallelepipedo reitagolo,
date le dimensioni a, b, c  (lunghezza, larghezza, altezza). P. e. a  = l'G m, b =  0'9 m,
c —  0'4 m.

7. Con 1 m?  di latniera si vuol formare un vašo aperto superiormente di forma
di un parallelepipedo rettangolo. Quale šara la sua altezza, se dev’essere lungo
0'5 m  e largo 0‘35 m?

8.  Calcolare la superfieie di un prisma regolare a)  trilatero, (!)  quadrilatero,
y)  esalatero, se lo spigolo della base e = a,  lo spigolo laterale e = l. a) a =  4 dm,
L  = 6 dm-, b) a  = l  = lm.

§ 144. Determinazione del volume- definizioni. La grandezza dello
spazio occupato da un corpo si dice la sua capacita o il suo volume.  Per
unita di volume  si prende un dado, il lato del quale e eguale alFunita
di lunghezza. Seeondo clie 1’nnita che sl sceglie e lm, 1 dm,  l cm
ecc., il volume del dado corrispondente si chiama 1 metro cubo,  1 Jed¬
rn etr o cubo,  1 centimetro cubo  ecc. Determinare la capacita di
un corpo, o misurare il suo volume, vuol dire cercare
quante volte 1’unita di volume e contenuta nel corpo dato.
Questo numero si cbiama misura  del volume dato.

§ 145. Misurazione empirica del volume. a)  Si determina la capacita
di un recipiente vuoto col riempirlo di un liquido, che poscia si versa
in un vašo provveduto di una scala volumetrica.

b)  Per misurare il volume di un corpo solido, si versa in un reci¬
piente, il quale ha la forma di un parallelepipedo rettangolo, una certa
quantita di liquido e s’immerge completainente in esso il corpo dato.
Allora il volume del corpo e eguale al volume del liquido da esso spo-
stato, cioe e eguale al volume del parallelepipedo rettangolo, che ha
per base la sezione interna del vašo e per altezza la distanza delle due
superfieie del liquido prima e dopo 1’immersione.

c)  Se il corpo e uniformemente denso, il numero che esprime
quante volte il peso specifico (s) del corpo (il peso di un’unita di volume)
e contenuto nel suo peso assoluto (P)  esprime anche la misura del vo-

p

lume, V=—.  P. e. lem 3  di ferro fuso pesa 7 '2g.  Per ottenere

dunque il volume, espresso in centimetri cubi, di 1 kr/ =  1000 _</ di ferro
fuso, si divide 1000 per 7’2, cioe V  = 138 - 9 cm 3 .  Si calcoli parimente
il volume di un chilogrammo di mercurio (s = 1 o'59).

Compito della geometria  6 d’insegnare il modo di calcolare il vo¬
lume di un corpo, conoscendo i numeri che esprimono le misure di
quelle rette, superfieie ecc., dalle quali esso dipende. Applicare imme-
diatamente l’unita di volume nello spazio dato, sino a che esso sia
completamente misurato, il pih delle volte 6 impossibile.

93

§ 146. II principio di Cavalieri. Se si collocano sopra un piano MN
''Fig. 163) un parallclepipedo retto ed uno obliquo di base congruente
e di eguale altezza, le due basi superiori giaceranno in un piano
parallelo ad MN,  ed ogni piano, come PQ,  condotto parallelamente ad
MN  tagliera i due parallele-
pipedi in parallelogrammi con-
gruenti; perchh?

I due parallelepipedi hanno
volumi eguali e di cio potremo
persuaderci nel seguente modo:

TagKamo fuori da una lamiera
sottile delle figure congru-
enti ad ABC D  e collochia-
mole in numero conveniente
una sopra l’altra in modo da
formare il primo parallele-
pipedo. Se ora noi spostiamo le piastre cosi che ABC D  venga por-
tata in EFGII  e due serie di vertici si dispongano lungo le rette E E,
ed FF,,  otteniamo il secondo parallelepipedo. (Si possono trascurare le
piccole scabrosita a guisa di scala delle facce laterali inc.linate, giacche
queste riescono tanto piu piccole quanto piu sottile e la lamiera.) Dunque
i due parallelepipedi hanno volu me eguale, che e precisamente quello
del materiale della lamiera adoperata. Possiamo fare una identica
conclusione se confrontiamo altri due corpi, le cui basi non siano
congruenti, ma solo equivalenti. e se, imprimendo ad uno di essi
uno spostamento parallelo, le sezioni ottenute nei due corpi mediante il
piano segante sono equivalenti qualunque ne sia la forma. Allora basta
solo che una piastra del pritno corpo sia sostituita da un’ altra piastra
equivalente, pero di un’ altra forma. Modello!

Due corpi hanno eguale volume, se possono essere
disposti in modo che ogni due sezioni, fatte in entrambi
parallelamente a un piano c o m n n e, sieno  e q u i v a 1 e n t i.
(Principio di Cavalieri.)

Da cio segue che: Pristni di base cquivalente e di eguale
altezza sono equivalenti.

Percih il volume di un prisma qualunque si trova calcolando quello
di un parallelepipedo rettangolo di base equivalente e di eguale altezza.

§ 147. Volume del parallelepipedo rettangolo. La lunghezza di un
parallelepipedo rettangolo sia di a,  la larghezza di b,  l’altezza di c
unita. Mediante sezioni parallele alle basi si pub scomporre il parallele¬
pipedo in c piastre, le cui altezze sono eguali ali’unita di lunghezza.

Fig. 163.

94

Mediante sezioni parallele alle facce laterali ogni piastra si puo scom-
porre in tante nnita di volume quante sono quelle di superficie contenute
nella base. II numero di queste e ab,  percio il volume e V=abc.

II volume di un parallelepipedo rettangolo si trova
col moltiplicare fr a loro (le misure deli a) lnnghezza,
largliezza, altezza.

Nella fig. 164 se b a —  4 cm, 5 = 3 cm,
c = 5 cm,  il volume šara F= 60 cm 3 .

Indicando con B  l’area della base, con
h  Faltezza del parallelepipedo, siccome e
B — ab, h —c,  šara V=Bh.

Essendo il cubo un parallelepipedo ret¬
tangolo equilatero, il suo volume šara V =
a . a . a = a 3 ,  dove a  e lo spigolo dello stesso.

Il volume di un dado o di un
cubo si trova colFelevare alla terza
potenza la m is ur a dello spigolo,  o
piu brevemente colFelevare al cubo
uno spigolo.

Osservazioni. 1. Come si possono spiegare ora le espressioni „il cubo di
un numero“ e le indicazioni 1 m 3 ,  1 dm s ,  1 cm 3  ecc. inveee di un metro cubo, un
decimetro cubo, un centimetro cubo?

2. Col mezzo delPultimo teorema si trova:

1 m 3  =  1000 dm 3  =  1.000.000 cm 3  = 1.000,000.000 mm 3

1 dm 3  = 1.000 cm 3  =  1,000.000 mm 3  ecc.

L’unita di misura di capacita per i liquidi e 1 dm 3  = 11  (litro); 100 l = 1 hi
(ettolitro).

3. Da V = a 3  segue a = \/ V.  Si esprima con parole. — Radiče terza =
radice cubica.

(Juesiti d’ esercizio.  1. Calcolare il volume di un cubo dato lo spigolo a.

a) a =  12 cm, b) a =  0’34 m, c) a  = 1'74 . . . m.

2. Calcolare il volume di un cubo data la diagonale d.

Avviamento. a'

d 3  d V  3 „ ,

= T’ a  =  — F=<r

d 3  V  3
9 '

a) d =  6 cm, b) d =  1 ‘26 m, c) d—  0'369 . .
3. Calcolare il volume di un cubo data la superficie S.

Avviamento.

“ 6, a =

Ve .S'
6  ’

v =

s\Jqs

36 '

a) S  = 54 cm 2 , b) S=\m 3 ,  c )  S = 0'3246m 2 .

4. Quanto pesa un cubo di marmo, cbe ha lo spigolo di 62cm?  (Peso spec.
= 2-84.)

5. Qual’ e lo spigolo di un cubo, il cui volume e = F?

a) V  = 1728 cm 3 , b)  F=5‘237  m 3 .

6. Dato il volume F di un cubo, si calcoli la sua superficie.

a)  F = 9-261 dm 3 , b) V =  1 hi, c)  F= 0'37H m 3 .

95

7. Dato lo spigolo a  di tm cubo, calcolare quello di un cubo doppio a) a  =
1 dm, b) a  = 0 ‘214 m.

8. Un cubo di piombo pesa 1 kg-,  calcolare lo spigolo del cubo (peso specif.
s = 11-35).

9. Si misurino o si stimino ad occhio le dimensioni di un corpo o di uno spazio,
che ha la forma di un parallelepipedo rettangolo (p. e. di una stanza, di un armadio,
della tavola nera ecc.) e se ne calcoli poscia il volume.

10. Quanti ettolitri contiene una cassa lunga 3 m,  larga 2 ra ed alta l'2m?

11. Un modello in legno di un parallelepipedo rettangolo ha il peso P e le
dimensioni a, b,  c; qual’ e il peso specifico del legno? P. e. P = 79'04 <7, a —  52 mm,
b —  38 mm, c —  80 mm.

12. In un recipiente lungo 64 cm  e largo 25 cm,  che ha la forma di un parallele¬
pipedo rettangolo e che e solo in parte riempito d’acqua, si pone una pietra di forma
irregolare, e con cio l’acqua ascende di 35 era e copre la pietra. Qual’ 6 il volume
della pietra?

§ 148. Volume del prisma in generale. Se B  e 1’area della base ed
h  1’altezza di un prisma, il suo volume šara F = B h  e cio perebe
giusta il § 146, esso e eguale al volume di un parallelepipedo rettangolo,
di cui la base 6 B  e l’altezza b h.

Il volume di un prisma sitrovacolmoltiplicarela
misura della superficie della base p er la misura del-
1’altezza  o piu brevemente h  eguale al prodotto deli’ ar e a
della base per 1’altezza.

Per un secondo prisma si trova F x  = B l  \  e quindi:
in generale V: V 1  — B h : B t  h t ;
per B = B lt  V:  F x  = h : \  ;
per h  — h u  V : F, = B : B x .

Si esprimano queste tre proporzioni in forma di teorema.

Se in un prisma 5 B —  2'14 m 2  = 214 dm 2 , h —  0 - 7 m  = 7 dm,  šara V =
(214 X 7) dm 8  = 1‘498 dm 3  = 1'498 ra 3 . Si ottiene lo stesso risultato col seguente
calcolo: V —  (2'14 X 0• 7) ra 8  = l'498ra 3 . In questo modo si puo persuadersi che
la formola V — B h  puo essere direttamente adoperata per qualunque prisma, anche
se B  ed h  non sono numeri interi.

Quesiti d’esercizio.  1. Calcolare il volume di un prisma date la base
B  e 1’altezza h.

a) B =  1 m 2 , h — 4 dm-, b) B = 0'2 m 2 , h  = 1'3 m.

2. Qual’ e 1’altezza di un prisma, di cui la base e di 45 cm 2 , e il volume e
di 1 dm 8 ?

3. Qual’ e la base di un prisma, di cui 1’altezza e h  = 35 cm  e il volume e
V —  45-5 dm 8 ?

4. Calcolare il volume di un prisma trilatero regolare, datilo spigolo della base
a  e 1’altezza h.

a) a =  1 dm, Ji  = 2 '4 dra; b) a = h =  8 cm.

5. Qual’ e lo spigolo della base di un prisma esalatero regolare, se 1’altezza
e di 12cm, e il volume e di 124'7 cm 8 ?

96

6. II tetto di una časa ha la forma di uti prisma trilatero con una faccia
orizzontale lunga 8'im,  larga 5'2 m  e la cui distanza dal comignolo e di 3 m. Quale
e il volume di questo prisma trilatero?

7. La sezione di una muraglia, lunga 42 m ed alta 3'5 m,  ha la forma di un
trapezio coi lati paralleli a  = 1 m, b —  O’64 m. Qual’ e il volume della muraglia,
e quanto e stato pagato 1 ra 3  se per fabbricarla si spesero C.  1024‘59?

8. Un prisma esalatero e regolare, di cui lo spigolo della base e a e 1’altezza
e h,  viene scomposto mediante una sezione diagonale in un prisma trilatero ed in
uno pentilatero. Calcolare le superficie ed i volumi di questi due prismi.

Il cilindro.

§ 149. Genesi. a)  Una retta che scorre parallelamente a se stessa
lungo la periferia di un cercltio genera uno spazio cilindrico  (Fig. 165).
Retta generatrice, cerchio direttivo.

La superficie descritta dalla retta genera-
trice dicesi superficie cilindrico, ■,  la retta O O t ,
P' guidata pel centro del cerchio direttivo parallela¬
mente alla retta generatrice, si chiama asse  della
superficie cilindrica.

Ogni sezione fatta nello spazio cilindrico
mediante un piano parallelo al cerchio direttivo e
un cerchio, il centro del quale (Oj)  6 in pari
tempo il punto, in cui l’asse interseca il piano
segante. Essendo AA 1:  BB t , CCj  . . . le por-
zioni della generatrice comprese dai due piani
paralleli, quando essa si trova in diverse posizioni,
i quadrilateri A O Oj A ,, B O Oj B t , C O Oj C\  ... sono parallelo-
grammi; perclie ? Percio AjOj = AO, B x Oj  = B O, CjOj—CO . . .
ed anche Aj  O, = B x  Oj  = C x  Oj  = . . .

La porzione dello spazio cilindrico, compresa fra due piani seganti
paralleli al piano del cerchio direttivo, chiamasi cilindro  (piu esattamente
cilindro circolare).

b)  Un cilindro viene anche generato, movendo una superficie cir¬
colare parallelamente a se stessa in modo che il suo centro descriva
una retta. Cerchio generatore, retta direttrice od asse.

Fig. 165.

Si ooufronti la genesi del prisma con quella del cilindro.

§ 150. Descrizione. La superficie del cilindro consta dclle due basi ,
che sono cerchi perfettamente eguali in piani paralleli e della superficie
curva laterale, che si chiama superficie convessa (manto).  La retta, che
unisce i centri delle due basi, dicesi asse ; la distanza delle due basi
(Oj P) altezza  del cilindro.

La porzione della retta generatrice compresa fra le due basi e
detta lato  del cilindro. Ogni piano condotto per Tasse interseca la super-

97

ficie convessa in due lati. Tutti i lati e 1’asse del cilindro sono fra loro
eguali e paralleli.

§ 151. Distinzione e denominazicne. Secondo che Tasse d normale
od obliquo alla base, il cilindro si dice retto  od obliquo.

Nel cilindro retto (Fig. 166) Tasse e in pari tempo altezza. Sic-
eome il cilindro retto si puo immaginare generato ancke dalla rotazione
di un rettangolo attorno ad un lato, cosl esso
viene annoverato fra i corpi di rotazione.

Un cilindro retto, nel quale il diametro della
base b eguale alTaltezza, si cbiama cilindro equi-
latero.

§ 152. Sezioni piane. Ogni sezione parallela
alla base e congruente alla stessa; percio essa
e ancbe un cerchio.  Qualunque altra sezione
fhe incontra tutti i tali del cilindro e un 'ellisse.

La figura, che si ottiene intersecando il cilindro mediante un piano,
che passa per Tasse, chiamasi sezione assiale ; essa e sempre un paral-
lelogrammo; perche? Tutte le sezioni assiali del cilindro obliquo (ad
eccezione di una sola) sono parallelogrammi obliquangoli, quelle del
cilindro retto sono rettangoli e quelle del cilindro equilatero sono quadrati.

§ 153. Calcolo della superficie. S=2B-\- M.

Se c’immaginiamo la superficie con¬
vessa di un cilindro retto, tagliata lungo
un lato e svolta sopra un piano, otte-
niamo un rettangolo, che ha per base la
periferia della base del cilindro e per
altezza quella dello stesso (Fig. 167),
percio si avra M—2rnh ; quindi:

S = 2 r 2  n  -j- 2 r n li  =-2 r ji  (r  -j- h).

Siccome nel cilindro equilatero e
h = 2r , cosi /S=6r 2 ji.

In questo stadio d’istruzione no nsi puo
dar regole pel calcolo della superficie convessa
di un cilindro obliquo.

§ 154. Calcolo del volume. Se un cilindro ed un prisma di base equi-
Valente ( B ) e di eguale altezza (h),  posano sullo stesso piano MN,  ogni due
sezioni fatte nei due corpi mediante un piano parallelo ad MN  sono
equivalcnti (= B ); percib i corpi sono equivaleuti, quindi:

Il volume di un cilindro si trova col moltiplicare la
misura della superficie della base per la misura del-
T altezza  o piti brevementc: e eguale al prodotto del Tar ca
della base per 1’altezza.

Ho^evar-Postet, Manuale di georaetria per il Ginnasio inf. 2. ediz. 7

Fig.  167.

98

V  = B h — r 2  n h.

Pel eiliudro equilatero e: V—2r s 7i.

Per un secondo eiliudro e: V 1 =r 1 2 jth 1 '  percio:
in generale V: V 1 =r 2 h:r 1 2 h 1 -,

per h  == /j,, V:V 1 —r i :r 1 2 ,

per r = r x , V:V x  = h\h l .  Si esprima con parole.

Quesiti d’esercizio. 1. Caleolare la superficie e il volume di un cilindro
retto dati il raggio della base r  e l’altezza h.

a) r =  46 mm, Ti  = 76mm;. b) r  = 13 cm, Ti  = 25'7cm; c) r —  0'23m, h  = 4‘25m.

2. Caleolare la superficie e il volume di un cilindro equilatero dato il raggio

della base r.

a) r = Sem, b) r  = 1*2 dm, c) r  = 0’253 ... m.

3. Qual’ e l’altezza di un cilindro retto, di cui sono dati il volume e l’area

della base?

a) V —  78cm 8 , B — 2Qcm 2 ; b) V —  lm 8 , B  = 1*25m*.

4. Date 1’area della base e l’altezza di un cilindro retto, caleolare la super¬
ficie e il volume. B  = 24 cm 2 , h  = 5 cm.

5. Caleolare l’altezza di un cilindro equilatero data la superficie.

a) S =  10m 2 , b) S=  0'188496m 2 .

6. Caleolare il volume di un cilindro equilatero data la superficie.

a)  5= lm 2 , b)  5= 15'26m 2 .

7. Caleolare il raggio della base di un cilindro equilatero se ne e dato il
volume.

a) V =  1 m 8 , b)  F = 235 cm 8 .

8. Caleolare la superficie di un cilindro equilatero se ne e dato il volume.

a)  F =2-4 dm 3 , b)  F = 3478cm 8 .

9. In un cubo trovasi iseritto un cilindro, cioe le basi del cilindro sono cerchi
iseritti nelle due facce opposte del cubo. Come stanno fra loro «) le superficie
P)  i volumi dei due corpi?

10. In un vašo cilindrico si versi dell’acqua, vi si immerga un corpo di forma
irregolare e se ne calcoli il volume, se sono dati il diametro del vašo e la distanza
delle superficie dell’acqua prima e dopo 1’immersione.

11. Caleolare la pressione che esercita sul fondo una colonna verticale cilindrica
di mercurio alta 76cm e della sezione di lem 2 . (Peso sp. 13'59.).

12. Un rettangolo, di cui la base e S e 1’altezza e a,  rota prima attorno a b
e poi attorno ad a.  Come stanno fra loro a)  le superficie, /3)  i volumi dei due corpi
di rotazione?

13. Quale dev’essere il diametro interno di un vašo cilindrico alto 18cm,
perche contenga II?

14. In un sottile tubo cilindrico di vetro si trova una colonnetta di mercurio
lunga 47 mm e che pesa 585 • 5 mg.  Qual’e il diametro interno del cannello, se il
peso specif. del mercurio e 13'59?

15. Un cilindro e circoscritto ad un cubo, cioe le basi del cilindro sono cerchi
circoscritti alle due facce opposte del cubo. Come stanno fra loro a)  le superficie,
/S) i volumi dei due corpi?

16. Ad un prisma trilatero regolare, di cui lo spigolo della base e a e  1’altezza
e Ti,  trovasi circoscritto un cilindro. Qual’e il volume di questo cilindro? a = 42cm,
b —  55 '•m.

99

17. Calcolare la superfieie ed il volume di un tubo cilindrico retto, di cui
sono dati i raggi della periferia esterna ed interna e la lunghezza del tubo.

Arviamento.  5=2  (TJ 2  — r 2 ) ti  -f- 2 7? n h  -j- 2 r ti  h —  2 n  [(TJ 2  — r 2 J -j- TJA
-)- rh]  = 2 ti  [(TJ -j- r) (TJ — r) -f- (TJ -}- r)  /(] = 2 ti  (TJ-f- r)  (TJ—r -)- h).  P. e. TJ = 12cm,
r = 9cm, h = bm.

18. Un pozzo di forma oilindrica della profondita di 6 m  fu circondato da una
muraglia grossa 4 dm  e il cui diametro interno misura ancora 2'2 m.  Si
domanda a quanto ascese la spesa di costruzione, se per estrarre lm* di terreno
si sono spese in media C.  6'4, calcolando l’opera di muratore a C. 13 al m 3 ?

La piramide e il tronco di piramide.

§ !55. Genesi. Descrizione, Se si taglia un angolo solido con un
piano che passi attraverso a tutti gli spigoli, le facce ed il piano segante
limitano un poliedro, clie si cliiama piramide  (Fig. 168). Per questo
motivo 1’angolo solido vien detto anclie
spazio piramidah.

Dalla descrizione del prisma si spiega
senz’altro il significato delle espressioni:

Base, facce laterali, superfieie laterale
(manto), spigoli della base, spigoli laterali
della piramide.

Le facce laterali sono sempre tri-
angoli; gli angoli solidi alla base sono
sempre triedri. Il punto d’intersezione di
tutti gli spigoli laterali si cliiama ver-
tice-,  la normale abbassata dal vertice alla base dicesi altezza  della
piramide.

Fig. 168.

§ 156. Distinzione e denominazione. Secondo il numero degli spigoli

laterali, la piramide si dice trilatera, guadrilatera ... di n lati  o
n-latera.

Secondo la lunghezza degli spigoli laterali si d i s t i n guono piramidi
a spigoli laterali eguali  (dette anclie piramidi rette  od isosceli ) ed a
spigoli laterali disuguali  (dette piramidi oblique o scalene).  Se tutti gli
spigoli laterali di una piramide sono eguali, i vertici della base distano
egualmente dal piede delfaltezza.

Percid la base di una piramide a spigoli laterali eguali d un poli-
gono iseritto in un cerchio, il centro del quale coincide col piede del-
1’altezza. Le facce laterali sono triangoli isosceli.

Una piramide, nella quale gli spigoli laterali sono eguali, si dice
regolare,  se la base e un poligono regolare. In questa piramide le facce
laterali sono triangoli isosceli congruenti e l’angolo solido al vertice

e regolare.

100

Una piramide, che ha tutti gli spigoli eguali, si cinama piramide
eguilatera.  Siccome gli spigoli laterali sono eguali, cosi la base e uu
poligono iscritto in un cerchio, e siccome anclie la base 6 equilatera,
cosi essa e un poligono regolare. Percio ogni piramide equi-
latera e regolare.  Le facce laterali della piramide equilatera sono
triangoli equilateri congruenti. Risulta dunque che le piramidi equilatei e
possono essere soltanto trilatere, quadrilatere e pentilatere; perche?

La piramide trilatera ed equilatera si chiama anehe tetraedro
(Fig. 169); Vottaedro  (Fig. 182) e composto di due piramidi quadrilatere
cd equilatere.

S

§ 157. Sezioni piane. II tronco di piramide, a ) Se si interseca una
piramide con un piano, che passa per due spigoli laterali non consecutivi,
si ottiene una sezione diagonale,  la quale h  un triangolo. Ogni piramide
quadrilatera o di n lati si puo scomporre, con sezioni diagonali, in
piramidi trilatere di eguale altezza.

b)  Ogni sezione parallela alla base di una piramide
b  un poligono simile alla base.  Se ABC . .  . (Fig. 170) b  la
base ed A 1 B 1 C 1  .  . e una sezione ottenuta mediante un piano ad essa
parallelo, šara:

<£ABC= A.B.C,, <£BCA = B 1 C 1 A 1  . .  . (perche?)

Siccome il / \ABSco/S.A 1 B 1 S,  il /\BCSc\3  A^i <7i & ■ ■  •>
cosi si avra S A : S A x  — A B: A 1  B 1  — S B: S B x  = B C: B 1 C 1  = .. .;
dunque

AB: A l B 1  =BC:B l C 1  =AC:A l € 1  = . . .

I due poligoni ABC  ...  e A 1 B l C l  . .  hanno gli angoli rispet-
tivamente eguali e i lati omologhi proporzionali; dunque sono simili.

Se si taglia una piramide con un piano parallelo alla base, si
ottengono due poliedri, cioč il tronco di piramide  e la piramide comple-

101

mentare.  11 tronco di piramide e la porzione della piramide compresa
fra la base e il piano segante parallelo. I poligoni, che giacciono nei
piani paralleli, si ehiamano basi,  e la loro distanza (E 1\) altezza  del
tronco di piramide. Le basi sono poligoni simili, le facce laterali trapezi.

Se la piramide intera ha gli spigoli laterali eguali, li dovranno
avere eguali anche la piramide complementare ed il tronco di piramide.
Se la piramide intera e regolare, anche il tronco corrispondente sarii
regolare.

c)  Si conduca S E  _L ABC  (Fig. 170) e šara il /\±AESc\J 1\ S-
percid S JE: S E 1  = S A : SA 1  — AB : A 1 B 1  dunque anche
A  i? 2 : Aj B 1 2  = S E 2 : S E 1  2 ; ed essendo i poligoni ABC..,  A 1 B l C 1  ...
simili, giusta il § 118 si avra

ABC  . . .: A, B, C\  = TIP  : A^B^

La base di una piramide sta ad una sezione ad essa
parali el a come i q u a d r a td delle loro rispettive distanze
dal ver tiče.

S

S

Quesitid’ esercizio. 1. Sdndichino il numero, le specie delle superficie
limitanti e degli angoli solidi, nonche il immero degli spigoli dei seguenti corpi:
a)  di una piramide trilatera, b)  di una piramide di n  lati, c)  di una piramide
quadrilatera ed equilatera, d)  di una piramide pentilatera a spigoli laterali eguali,
e)  di un tronco di piramide trilatera a spigoli laterali eguali, f)  di un tronco di
piramide di n  lati.

2. Si costruisca la rete a)  di un tetraedro, b)  di una piramide quadrilatera
regolare, c)  di un tronco di piramide trilatera, d)  di un tronco di piramide quadri-
latera regolare. La fig. 171 e la rete di una piramide trilatera; la fig. 172 e la rete
di un tronco di piramide trilatera regolare.

3. Si divida l’altezza Ji  di una piramide, di cui la base e B,  in tre parti eguali
e per i punti di divisione si guidino dei piani seg»nti paralleli alla base e si calcolino
le aree delle due tfezicmi. B = 9 cm 2 .

102

4. In una piramide, di cui la base e B,  l’altezza e h  ed una sezione parallela
alla base e a) — B, b) = ^ B,  a quale distanza dal vertice e stato condotto
il piano segante?

§ 158. Calcolo della superficie. Per la superficie di una piramide
vale la formola: S = B M.

a, k

In una piramide di n  lati regolare e M  = n  dove a  indica lo

spigolo della base e k  llaltezza di una faccia laterale (altezza laterale).
Se ora indiehiamo con p  il perimetro della base, essendo p = na,  šara

M—-—-.  (Si esprima con parole.)

§ 159. Calcolo del volume. a)  Se due piramidi, di base equivalente
(B)  e di eguale altezza (h),  posano sullo stesso piano MN,  ogni due se-
zioni fatte nei due corpi con un piano parallelo ad l/A T sono equivalenti.
Infatti il piano segante deve avere distanze eguali ( x ) dai vertici delle
piramidi; percio le sezioni B,  e B 2  risultano equivalenti dalle propor-
zioni B: B 1  = h 2 : x 2 , B: B 2 =h 2 : x 2 .

Per il teorema di Cavalieri si concbiude cbe:

Piramidi di base equivalente ediegualealtezzasono
equivalenti.

b)  Ogni prisma trilatero si p u 6 scomporre in tre
piramidi  e q u i v a 1 e n t i.

Il prisma trilatero ABCA 1 B i C 1  (Fig. 173) viene scomposto dalla
sezione A, B l  C  nella piramide trilatera A, C 1  C B x  (/) e nella piramide

quadrilatera ABB 1 A 1 C.  Quest’ultima viene
C,  scomposta ancora dalla sezione diagonale
AB,C  nelle piramidi trilatere AA 1 B 1 C(1I)
ed AB B 1 C (III).  Le piramidi 1 & II  sono
equivalenti, perche banno basi congruenti,
cioe A 1 C l C‘^.AA l C  ed altezza comune,
cbe e la normale abbassata dal vertice
comune I?, sul piano A C C, A,.  Ancbe le pira¬
midi II  e III  sono equivalenti, perche banno
basi congruenti, cioe A A x  B , ^ ABB 1

ed altezza comune, che e la normale abbas¬
sata dal vertice comune C  sul piano ABB l A 1 .
Siccome le tre piramidi sono fra loro equivalenti, ognuna šara la terza
parte del prisma trilatero. Se indiehiamo con B  1’area della base ABC
e con h  1’altezza del prisma trilatero, il Suo volume sarii = Bh.  La

Fig. 173.

103

piramide ABCB 1  ha anche la base B  e 1’altezza h,  percio dal suesposto
e chiaro che il suo vohune šara -'3 ; dunque:

O

II vol n m e di una piramide trilatera si trova col mol-
tiplicare la (misura della) superficie della base per la
(misura della) altezza e col dividere il prodotto per 3.

V--

Bh

3

h B

h- B

3V
h  ’

h  =

3F
B  •

c)  Una piramide m-latera, che ha la base B  e l’altezza h,  e per
quanto e stato detto in a),  equivalente ad una piramide trilatera, della
quale la base b B e  1’altezza 6 h.  Per ognuna delle due piramidi

dev’essere quindi V=

O

Il volume di una piramide qualunque e eguale alla
terza parte del prodotto della (misura della) superficie
della base per la (misura della) altezza.

13 Ji

Per una seconda piramide si ha V 1  = 1 1  : percib:

O

in generale V: V 1  — B h : B 1  li l  ;
per h :h 1 , V: V 1  — B:B l -

per B = B 1 , V: V t  — h:  /q. (Si esprima con parole).

Quesiti d’esercizio. 1. Calcolare la superficie e il volume di una pira¬
mide quadrilatera regolare di cui sono dati lo spigolo della base a  e 1’altezza h.
(Si ricorra al Iriangolo rettangolo SEF,  Fig. 168).

a) a = 12cm, h  = 16cm; b) a  = 233 m, h =  149m (Piramide di Cheope).

2. Calcolare la superficie e il volume di una piramide quadrilatera regolare, dati
lo spigolo della base a e lo spigolo laterale I.

a) a —  6 dm, l =  5 dm • b) a — l — \ m.

3. Calcolare la superficie e il volume di un ottaedro dato uno spigolo /.

a) l  = 5 cm, b) l =  0'3G2m.

4. Un ottaedro e iscritto in un cubo, vale a dire i vertici dell’ottaedro coin-
cidorio ooi centri delle facce del cubo. In quale rapporto stanno i volumi dei due corpi?

5. Una piramide, a spigoli laterali eguali, ha per base un rettangolo. Calcolare
la superficie e il volume di questa piramide, se uno degli spigoli laterali e l  = 1 dm,
e le dimensioni della base sono a  = 14 cm, b  = 6 ‘4 cm.

6. Qnanto pesa una piramide di marmo, la cui base e un quadrato, se lo
spigolo della base e di 1*2 m,  1’altezza e di 3 m e se il peso specifico del marmo

e 2-84?

7. In un parallelepipedo rettangolo e iscritta una piramide quadrilatera in
modo che le basi si coprano e il vertice della piramide coincida con uno degli angoli
solidi superiori del parallelepipedo. Date le dimensioni a, b, c  del parallelepipedo,
calcola la superficie e il volume della piramide.

a  = 15 cm, b --- 8 cm, c = 6 cm.

8. Calcolare la superficie e il volume di una piramide trilatera regolare, se sono
dati lo spigolo della base a  e 1’altezza /i.

104

Avviamento. A E±B C  (Fig. 169), AE =  -§V, n E  3  = T  V3 (§ 59) 5

2  6

a) a —  18cm, h =  13cm; b) a = li = \ m.

9. Calcolare la superficie e il volume di una piramide trilatera regolare se sono
dati lo spigolo laterale L  e lo spigolo della base a.

a) a = 17cm, l — 20cm; b) a = l  = lm.

10. Qual’ e uno spigolo del tetraedro, la eui superficie e — S?  P. e.
S = 10 dm 2 .

11. Qual’ e uno spigolo del tetraedro, il cui volume e = V?  P. e. V =  1 m 3 .

12. Calcolare la superficie e il volume di una piramide esalatera regolare, dati
lo spigolo della base a  e 1’altezza h.

a) a — 2cm, h — 8cm; b) a  = h  = 1 dm.

13. Calcolare la superficie e il volume di una piramide esalatera regolare, dati
lo spigolo della base a e lo spigolo laterale I.

§ 160. Genesi, descrizione. Una retta semilimitata, che, rimanendo
ferma alla sua estremita, si muove intorno alla periferia di un cerchio,

tagliano la generatrice, che si trova in differenti posizioni, šara il
ed anche il ^ B O S  c\J A -Bi O l  S.  Da queste
somiglianze risulta A O : A 1  0 1  = OS:  O, S = BO: B x  0 1 ,  da cui
A x  O x  —B 1 0 1 ,  perehe 6  A O = B O.

SE = \fk*+D& = \J*' +

Avviamento. (Fig. 169) A D = ~A E  = -^/ 3 . _ \^l P — (L.

Avviamento. V—  6^- VŠ - - -g- V^ 2  — a 2  = ^- V3 h 2  — a 2 ).

a) a =  12 cm, l = 2 dm; b) l = 2a =  1 m.

Il cono e il troneo di cono.

genera uno spazio coniforme  (Fig. 174).. Eetta
eneratrice, cerchio direttivo. La superficie
descritta dalla retta generatrice dicesi superficie
conica.  La retta tracciata pel punto immobile
(S)  della generatrice e pel centro (O)  del cerchio
direttivo si dice asse  della superficie conica.

'i> j/-  un cerchio, il centro del quale (OJ e in pari
\ tempo il punto in cui l’asse viene intersecato
dal piano segante. Infatti, essendo A  ed 1,,
B  e B x  i punti in cui i due piani paralleli

Ogni sezione fatta nello spazio coniforme
con un piano parallelo al cerchio direttivo e

Fig. 174.

105

La porzione dello spazio eoniforme compresa fra il punto immobile
e il piano del cerchio direttivo, o il piano di una sezione ad esso
parallela, si cliiama cono  (piu esattamente cono circolare).

Si confronti il modo con cui si genera la piramide con quello con cui si
genera il cono.

Dalla descrizione del eilindro e della piramide b senza altro chiaro
il significato delle espressioni: Base, superficie convessa (manto), vertice,
lato, asse, altezza  del cono.

§ 161. Distinzione e denominazione. Secondo ehe 1’asse e normale
od obliquo alla base, il cono chiamasi retto  od obliquo.

Nel cono retto, Tasse e in pari tempo Taltezza (Fig. 175). Tutti
i lati di un cono retto sono fra loro eguali; perche? Siccome il cono
retto si puo immaginare generato anche dalla rota-
zione di un triangolo rettangolo attorno ad un
cateto, cosi esso viene annoverato fra i corpi di
rotazione.

Un cono retto, che ha il diametro della base
eguale al lato, si cliiama cono equilatero.

§ 162. Sezioni piane: il tronco di cono. a)  Se

si taglia un cono con un piano, che passa per
Tasse, la figura che si ottiene si dice sezione assiale ;
essa e sempre un triangolo. Le sezioni assiali
di un cono obliquo sono in generale triangoli
scaleni, quelle di un cono retto sono triangoli
isosceli congruenti, e quelle di un cono equilatero sono triangoli equi-
lateri congruenti.

b)  Ogni sezione parallela alla base di un cono b un
cerchio  (§ 160).

Fig. 175.

Se si taglia un cono con un piano parallelo alla base, si otten-
gono due corpi, cioe il tronco di cono  e il cono complementare.  I cerclii,
che giacciono nei due piani paralleli, si dicono basi  e la loro distanza
(DD l  nella fig. 174) altezza  del tronco di cono. La porzione della
superficie convessa del cono corrispondente a questa altezza, dicesi
superficie convessa  del tronco di cono. 11 tronco di cono dicesi retto
od obliquo,  secondo che 1’intero cono, e percib anche il cono comple¬
mentare, e retto od obliquo. Ogni sezione assiale di un tronco di cono
retto e un trapezio isoscele. Che figure sono le sezioni assiali di un
tronco di cono obliquo?

c)  Essendo nella fig. 174 OS  cv> AA O r  S  e /^DOScsj

l\ D x  0 1  šara

106

A O  : A 1  Oj = O S: O x  S  = D S: I) 1  S,  quindi anclie
: AfiOfi  =

Se indichiamo quindi con B  e B 1  le superfieie della base e della
sezione parallela, avremo

B : B,  =XO" 3 : AfiOfi  = BS*:

La base di un cono sta ad n na sezione parallela come
i quadrati delle loro rispettive distanze dal vertice.

§ 163. Sezioni coniche. Se la generatrice di nna superfieie eonica
d una retta illimitata, la superfieie da essa generata dicesi superfieie
conica completa  (cono doppio). Se si taglia una superfieie eonica me-
diante un piano cbe ne altraversi tutti i lati, la sezione che si ottiene

dicesi ellisse (cerchio,
se il piano segante e
parallelo al cercliio di-
rettivo). Se si conduce
il piano segante pa-
rallelamente ad un lato,
la sezione risultante si
chiama parabola ; ma
se il piano segante e
parallelo a dne lati, si
ottiene e 1 'iperbole  (Fig.
176 e 177). In questo
Fig. 176 Fig 177 ultimo caso il piano

segante incontra en-

trambi le porzioni della superfieie conica completa, ed il piano guidato
pel vertice parallelamente ad esso interseca la superfieie conica in quei
due lati, ai quali il piano delliperbole e parallelo.

Noi possiamo ottenere tutte le specie delle sezioni coniche, facendo
rotare continuamente il piano segante attorno ad un asse parallelo alla base.

Per rendere intuitive le sezioni coniche, si puo adoperare un cono doppio
cavo di vetro, coi vertici riuniti insieme e pieno in parte di un liquido colorato.

S  § 164. Calcolo della superfieie. Per la super-

ficie di ogni cono vale la formola: S—B  -f- M.
Se chmmaginiamo la superfieie convessa di un
cono retto (Fig. 178) tagliata lungo un lato e
svolta sopra un piano, otteniamo un settore cir-
colare (Fig. 179), di cui l’arco e la periferia della
base ed il raggio e il lato del cono; percio

M= 2rjz-^r-  == ml  ed S =?- 2 nlA-rn=rn  (»•-)- 1).
Fig. 178. 2 1  . . /

Per il cono equilatero e l  ==

2 r,  percio S  = 3 r 2  n.

Q u e s i t i d’ esercizio. Dise- M
gna la rete di un tronco di cono retto
(Fig. 179).

§ 165. Calcolo del volume. Se

c’immaginiamo eollocati sopra un
piano MN  un cono ed una pira¬
mide di base equivalente (B)  e di
eguale altezza (h),  risulta che ogni
due sezioni fatte in questi due
corpi con un piano parallelo ad
MN sono  equivalenti (= B ). Dimo-
strazione giusta il § 159, a).  Percio:

Un cono 6 equiralente

Fig. 179.

ad una piramide di base equivalente e di eguale altezza.

T7 . B . h _r 2 jih

V  ^ d _  T"*

Per il cono equilatero 6 h —  V (2 r) 2  — r 2

n  V.3
“3

Per due coni differenti abbiamo

T7- _r 2 nh ir  r x 2 nh x

'  3 ’ Kl —  3 ’

in generale V : V x  = r 2  li:
per h = h 1:  V: V x  = r 2 : r

da cui

r 2  h •
' i 'h  >

, 2 .
i >

per r = r x , V x  : V x  = h : h x . (Si esprima con parole.)
Q u e s i t i d’ e s e r c i z i o. 1. Calcolare la superficie e il volume di un cono
retto, dati il raggio r della base e 1’altezza h.

a) r — G cm, h =  8 era; b) r =  1 cim, h =  13 cm.

2. Calcolare la superficie e il volume di un cono retto, dati il raggio r  della
base e il lato l.

a) r = 2m, l  = 2'9 m ; b) r —  15 cm, l —  32 cm.

3. Calcolare la superficie e il volume di un cono equilatero dato il lato l.

a) l =  1 dm, b) l  = 0'41 m.

4.  Calcolare la superficie e il volume di un cono retto iseritto in un cubo, il
cui spigolo e a.

5. Un triangolo rettangolo, i cui cateti sono a e b,  roia intorno a ciascuno
dei suoi lati. Calcolare le superficie e i volumi dei tre corpi di rotazione. P. e.
u = 3 dm, b = 4 dm.

6. Un cono di legno pesa 1” 378 kg\  il diametro della base e di Ib cm,  1’altezza .
di 2 dm.  Qual’ e il peso specifico del legno ?

7. Data la superficie di un cono equilatero, calcolare 1’altezza. P. e. S =  10 dm 2 .

8.  Dato il volume di un cono equilatero, calcolarne il diametro della base.
P. e. V  = 1 -5 m 3 .

108

9. Volendo trasformare un cilindro in un cono di eguale altezza, in quaie
rapporto staranuo i raggi delle basi dei due corpi?

10. Volendo trasformare un cilindro equilatero in un cono equilatero, il cui
lato e = /, quale šara l’altezza del cilindro ?

11. Calcolare l’altezza e il volume di un cono retto, dati la superficie e il dia-
metro della base. P. e. 6’ = 113'097 cm 2 , d = 8 cm.

12. E’ dato il volume di un cono e si sa che 1’altezza e il triplo del diametro
della base. Si caleoli questo diametro. P. e. V  = 1 dm 3 .

13. Calcolare il volume di un cono retto, di cui sono dati 1’area della base e
il manto. P. e. B —  28’27 cm 2 , M —  94'25 cm 2 .

La sfera.

§ 166. Genesi della superficie sferica. Definizioni. Un semicerchio,
che rota attorno al diametro da cui e limitato, deserive una superficie
sferica.  Lo spazio raccbiuso della superficie sferica si chiama sfera.
La sfera e un corpo di rotazione.

Siccome un punto qualunque del semicerchio non cambia durante
la rotazione la sua distanza dal centro, cosi tutti i punti della super¬
ficie sferica distano egualmente dal centro. Perčič: La superficie
sferica e il luogo geometrico di tutti i punti nello spazio,
che distano egualmente da un punto dato.  Questo punto si
chiama centro  della superficie sferica o della sfera. La retta, che unisce
il centro con un punto della superficie sferica, si chiama raggio.  Tutti
i raggi della sfera sono eguali.  La retta, che unisce due punti
della superficie sferica, dicesi corda  e, se questa passa pel centro, si
chiama diametro  della sfera. Tutti i diametri della sfera sono

eguali e ciascuno e eguale al dia-

_ T’  metro del semicerchio generatore

od al doppio del raggio.

Un punto giace nella superficie sferica,
o dentro o fuori della stessa, secondo che la
sua distanza dal centro e eguale al raggio,
oppure e minore o maggiore dello stesso.

§ 167. Superficie sferica e retta. La
retta, la cui distanza dal centro e maggiore
del raggio della sfera, non ha alcun punto
comune colla superficie sferica. La retta, la
cui distanza dal centro e eguale al raggio, ha
un punto solo  comune colla superficie sferica; mentre tutti gli altri punti
della stessa retta giacciono fuori della sfera; perche? — Questa retta
(T J\,  Fig. 180) si chiama tangente  alla superficie sferica e il punto
B  e detto punto di contatto.

109

La retta, la cui distanza dal centro e minore del raggio, incontra
la superficie sferica in due punti. Corda della sfera.

Problema.  Data la distanza d  del centro da una corda e dato
il raggio r  della sfera, calcolare la lunghezza (c) della corda.

Si trova c =V r 2  — d 2 ; da eui:

a)  Corde, che distano egualmente dal centro, sono
eguali e inversamente.

b)  Corde, che hanno distanze disuguali dal centro,
sono disuguali, e precisamente la piu vicina 6 la corda
maggiore e inversamente.

c) II diametro della sfera e la massima corda.

§ 168. Sfera e piano. II piano, la cui distanza dal centro e maggiore
del raggio della sfera, non ha alcun punto comune colla snperficia
sferica. II piano, la cui distanza dal centro e eguale al raggio, ha u n
punto solo  comune colla superficie sferica. Questo punto si dice punta
di contcitto,  e il piano e detto piano di contatto o tangenziale.  Si ottiene
un piano di contatto, facendo rotare un cerchio assieme ad una sna
tangente (7'2'J attorno al diametro ( BB perpendicolare alla tangente.
Percio:

a)  11 piano tangenziale contiene in sd tutte le tan¬
genti, che si possono condurre alla sfera nel punto di
contatto.

b)  Il piano tangenziale e perpendicolare al raggio
della sfera condotto pel punto di contatto.

Il piano, la cui distanza dal centro b  minore del raggio della sfera,
interseca la superiicie sferica. Ogni sezione piana fatta in una
sfera e un cerchio detto  cerchio della sfera.

Essendo le rette OD , O E .eguali, anche le loro proiezioni

C D, C D . .  . (Fig. ISO) devono essere eguali.

Problema.  Calcolare il raggio g  di un cerchio della sfera, data
la sua distanza d  dal centro e dato il raggio r  della sfera. Si trova
q  = V r 2  — d 2 ,  da cui:

c)  Cerchi, che distano egualmente dal centro, sono
eguali e inversamente.

d)  Cerchi, che hanno distanze disuguali dal centro,
sono disuguali, e precisamente il pili vici no e il cerchio
maggiore e inversamente.

e)  I piu grandi fra tutti i cerchi sono quelli che
passano pel centro della sfera; essi sono eguali fra
loro e si chiamano cerchi massimi  o principali ; un altro

110

cerchio qualunque dicesi cerchio minore  o secondario.  (Cerchi
massimi e secondari sopra un mappamondo.)

Quesiti d’eseroizio. 1. Dati i raggi r  della sfera e g  di un cerchio
secondario, calcolare la distanza di questo cerchio dal centro.

a) r  = 1 dm,  g = 8 cm ; b) r =  13 cm, q  = 6'4 cm.

2.  Date le aree ed S 2  di un cerchio principale e secondario, calcolare. la

distanza del secondo cerchio dal centro. ^Si trova d? —  -th—— —. ) P. e. S x  —  40 cm 2 ,
S 2  = 25 cm 2 .

3. Calcolare il volnme di quel cono, il quale ha per base un cerchio secon¬
dario e il vertice del quale coincide col centro della sfera, se sono dati i raggi della
sfera e del cerchio secondario.

a) r  = 1 m, g =  0 - 6 m  ; b) r  = 6 cm, g  =-5 cm.

§ 169. Figure sulla superficie sferica. a)  Per le estremita di un
diametro si puo condurre un numero infinito di cerclii principali (meri¬
diani terrestri); ma per due altri punti della superficie sferica non si
puo guidare che un solo  cerchio massimo; perche?

Per distanza sferica  di due punti della superficie della sfera s’in-
tende l’arco minore compreso fra questi due punti del cerchio massimo,
che passa per gli stessi. Nella fig. 180 si determini la distanza sferica
dei punti i? ed F, B  ed F, A  e D, B  e B x .  Come si fa per calcolare
la distanza sferica di due punti deH’equatore col mezzo delle longitudini
geografielie, la distanza sferica di due punti di un meridiano col mezzo
delle latitudini geografiche dei detti due punti?

b)  Il diametro della sfera perpendicolare al piano di un cerchio
della stessa dicesi asse ; le sue estremita diconsi poli  di quel cerchio.
S’indicliino Tasse e i poli del cerchio A E D.  Un cerchio massimo e
determinato dai due poli ( B,  di un cerchio secondario e da un terzo

punto F  della superficie sferica. Questo cerchio massimo interseea il
cerchio secondario in due punti (E,  ). Delle distanze sferiche FE

ed FE i  la minore d detta distanza sferica del punto F dal cerchio
della sfera.

Si fissino sul globo terracqueo i poli di un circolo parallelo.
Come si chiama sul globo la distanza sferica di un punto daH’equatore ?

Si dimostri inoltre l’esattezza dei seguenti teoremi:

Tutti i cerchi paralleli della sfera hanno lo stesso
asse e i poli comuni.

Ogni polo di un cerchiodellasferahaegualidistanze
sferiche da tutti i punti dello stesso, che si chiamano
raggi'sferici del cerchio.

Ogni cerchio della sfera ha sulla superficie sferica
due raggi sferici.

111

Ogni polo di un cercliio massimo dista di 90° da tutti
1 punti dello stesso, oppure:  II raggio sferico di un cerchio
massimo importa 90°.

Come si calcola il raggio sferico di un circolo parallelo col mezzo
della latitudine geografica dello stesso?

c)  Per angolo sferico  s’intende l’an-
golo di due cerchi massimi; p. e. ABC
(Fig. 181). Gli arclii BA  e BC  diconsi
lati  e il punto B  dicesi vertice  dell’angolo
sferico. Ogni angolo sferico viene misu-
rato dali’angolo MB N  formato dalle due
tangenti condotte ai cerchi massimi nel
punto in cui s’ intersecano, ovvero, cio che
d lo stesso, dalhangolo d’inclinazione dei
piani dei due cerchi massimi.

d)  Due cerchi massimi dividono la superficie sferica in quattro
parti, che si chiamano fusi sferici,  p. e. B AB l C B.  I due angoli sferici
di un fuso sferico sono fra loro eguali.

e)  Tre cerchi massimi, i cui piani non s’intersechino in una mede-
sima retta, dividono la superficie sferica in otto parti, che si dicono
triangoli sferici,  p. e. ABC.  Gli arclii AB, BC, CA  si dicono lati  e
gli angoli sferici C A B, ABC, BC A angoli  del triangolo sferico ABC.

Queaitid’ eseroizio. 1. Nella Fig. 181 mostra tutti i triangoli sferici.

2. Si cerchino su di un mappamondo angoli, fusi e triangoli sferici.

§ 170. Segmenti sferici, settore sferico. Un piano divide la sfera in
due parti, che si chiamono sezioni sferiche  o segmenti sferici,  dei quali
quello d maggiore che contiene in se il centro della sfera. Se il piano
segante passa pel centro della sfera, esso la scompone in due parti
eguali, che si dicono emisferi.  Il piano segante divide la superficie
della sfera in due calotte sferiche.  La superficie di un segmento sferico
si compone di un cerchio della sfera (base) e di una calotta (manto).
L’ asse di un cerchio della sfera viene da questo diviso in due parti, le
quali sono in pari tempo le altezze dei segmenti sferici e delle calotte
corrispondenti (BC  e B, C  nella fig. 180).

La porzione di una sfera compresa da due piani seganti paralleli
si chiama strato sferico.  La superficie dello stesso si compone di due
cerchi paralleli (basi) e della porzione della superficie della sfera com¬
presa dai due piani seganti paralleli, detta zona sferica  (manto). La
distanza delle basi si chiama altezza  dello strato o della zona sferica.

Un settore circolare di un cerchio massimo (BOD,  fig. 180), che
rota attorno ad uno dei raggi (OB),  da cui b  limitato, descrive un

112

settore sferico.  UDa sezione piana scompone questo corpo in un seg¬
menta sferico ed in un cono. La sua superficie si compone dunque di
una calotta e della superficie convessa di un cono retto.

Quesitid’esercizio. 1. S’indichi la superficie, che produce mediante
rotazione a) un segmento sferico, /?) uno strato sferico.

2. Quali indicazioui geometriche corrispondono ai concetti geografici: zone
fredde, temperate, calde ?

3. Calcolare il raggio g  della base di un segmento sferico data 1’altezza h
dello stesso e dato il raggio r  della sfera.

4. Come si calcola h  dati reg?

§ 171. Calcolo del volume e della superficie. a)  La superficie
di u n d sfera e uguale al quadruplo diquella diuncercliio
massimo.

S  = 4 n r 2 .

La derivazione di questa formola viene ommessa in questo libro.
Per una seconda sfera e S 1  = 4 n r x  2 . Da cui

S: S x  = r 2 : r, 2 . Si esprima con parole.

Osservazione. La sfera non si puo svolgere nel piano; percio una costruzione
esatta della sua rete e impossibile.

b)  Ad una sfera sia ora circoscritto un poliedro di un numero
qualsivoglia di facce B 1 ,  /i 2 . P s  . . . B n ,  cioe ogni faccia del poliedro
tocchi la sfera. Se si scompone il poliedro in piramidi, i cui vertici
coincidano col centro e le cui basi sieno le facce B t , B a , B 3  . . B„,  il
suo volume šara:

V= B,  . -J + B 2  . ^- + .. + B .. y= (A + B 2  + .. + B.) j = S. S

Questa formola vale anche per la sfera; giacche essa differisce
tanto meno dal poliedro circoscritto quanto piu piccole sono le sue facce,
cioe quanto piu grande e il loro numero. In tal caso F e il volume
ed S  d la superficie della sfera; percio il teorema:

La sfera e equivalente ad una piramide, che ha per
base la superficie della sfera e per altezza il raggio.

F=/S'.-^-; ma essendo /S' = 4jrr 2 , šara

O

V —

Per una seconda sfera e V 1

n r'

3

. Percio

F: V 1 =r i :  r l 3 .  Si esprima a parole.

Quesitid’esercizio.  1. Calcolare la superficie e il volume di una sfera
di un dato raggio r.

a) r = lm, b) r =  2‘821 m.

113

2. Calcolare la superficie e il volume di una sfera di un dato diametro d.

a) d —  134 mm, b) d  = 1'2407 m.

3. Calcolare la superficie e il volume di una sfera, di cui e data 1’area di un
cerchio massimo.

a) s  = 1 m 2 , b) s =  14'2976 m 2 .

4. Qual’ e la superficie e il volume della terra, supponendola una sfera perfetta,
la cui periferia di un cerchio massimo e a)  di 40000 Im,  /J) di 5400 miglia geografiche?

5. Quanto pesa una palla di leguo di bosso (peso spec. 0'92) del diametro di 12 cm  ?

6. Quante volte e contenuto il volume della luna in quello della terra, se il
diametro della luna e di 3482 km,  quello della terra e di 12756 ta?

7. Calcolare il raggio e il volume di una sfera, di cui e data la superficie.
P. e. S  =125 cm 2 .

8. Calcolare il raggio e la superficie di una sfera, di cui e dato il volume.
P. e. F = Im*'

9. Sono date due sfere di egual materiale, di cui una ha un peso doppio del-
l’altra. Come stanno fra loro i diametri delle due sfere?

10. VolendcTrappresentare la terra mediante un mappamondo, in quale rapporto
essa viene impiccolita, se il diametro del mappamondo e di 42cm? (V. ques. 6.)

11. Il volume di una sfera e eguale a quello di un cilindro equilatero, di cui
1’altezza e h.  Qual’ e il raggio della sfera? P. e. h =  12 cm.

12. Una sfera viene trasformata in un cubo, di cui lo spigolo e a.  Di quanto ne
viene con cio aumentata la superficie ? P. e. a =  16 cm.

13. Ad un cubo, di cui lo spigolo e a, e  circoscritta- una sfera. Calcolare la
differenza dei due volumi. P. e. a  = 23 cm.

14. Ad un cilindro retto fe, h)  e circoscritta una sfera. Calcolare la superficie
e il volume della stessa. P. e. £> = 4 dm. h =  6 dm.

15. Ad un emisfero e circoscritto un cilindro e nello stesso emisfero e iscritto un
cono retto. Come stanno fra loro i volumi di questi tre corpi? (Teorema d’Archimede.)

16. Un pallone aerostatico di forma sferica col raggio di 10 m  viene riempito
di gas d’illuminazione. Si calcoli la forza ascensiva del pallone, se la densita del
gas e la meta di quella dell’aria, se 1 m*  d’aria pesa 1'293 kg  e se il peso delle parti
compoDenti il pallone (eccettnato il peso del gas cho lo riempie) e di 130 kg.

17. Il diametro esterno di una sfera cava di rame e di 12 cm.  e ia grossezza
delPinvolucro metallico e di 2 mm.  Qual’ 6 il peso della sfera, se il peso specifico
del rame e 8'8?

I poliedri rcgolari.

§ 172. Definizione e teorema. Si dicono poliedri regolari  quelli, di
cui le facce sono poligoni regolari congruenti e gli angoli solidi sono
congruenti e regolari. 1 )

Vi sono soltanto cinque poliedri regolari.

Prendendo per facce del poliedro triangoli eqiiilateri, questi possono
formare soltanto angoli solidi triedri o tetraedri o pentaedri; giacche
la somma degli angoli piani dev’essere minore di quattro retti. Si otten-

‘) Qui la parola „regolare“ viene adoperata in un senso ben diverso a quello
nei §§ 141 e 156.

Hočevar-Postet, Manuale di geometria per il Ginnasio inf. 2. ediz.

8

114

gono dimque tre soli poliedri regolari limitati da tri ari goli equilateri;
essi sono: il tetraedro, Yottaedro  e Y icosaedro.

Prendendo per faece quadrati, questi possono formare soltanto angoli
solidi triedri; pcrcbe? V’ha un solo poliedro regolare limitato da qua-
drati: Vesaedro  (cubo, dado). Prendendo per facce pentagoni regolari,
questi possono formare soltanto angoli solidi triedri; p er che ? V’ha nn solo
poliedro regolare limitato da pentagoni regolari: il dodecaedro.

Per eh e non yi pu6 essere alcun poliedro che abbia per facce sol¬
tanto esagoni od ettagoni ecc. regolari?

3 X 20 — 60 lati dei triangoli concorrono a due a due a formare
uno spigolo; percio l’icosaearo ha 30 spigoli eguali. I 60 angoli dei
20 triangoli formano cinque a cinque un angolo solido; percio l’ico-
saedro ha 12 angoli solidi congruenti. La fig. 183 mostra un icosaedro
e la sua rete.

Il dodecaedro  6 limitato da 12 pentagoni regolari e congruenti.
Quanti spigoli e quanti angoli solidi ha esso? — La fig. 184 mostra
un dodecaedro colla sua rete.

Neirinterno di ogni poliedro regolare v’ h  un punto, che dista
egualmente da tutti i vertici degli angoli ed anche da tutte la facce;
esso e percib il centro tanto della sfera circoscritta che iscritta nel
poliedro e si cliiama centro  del poliedro. Come si trova il centro «) del-
1’esaedro, p)  delFbttaedro ?

§ 173. Descrizione. Noi

ci siamo di gia occupati del
tetraedro,  deli’ ottaedro  e
deli’ esaedro.  La fig. 182
rappresenta un ottaedro colla
sua rete.

Fig. 182.

L’ icosaedro &  detcrmi-
nato da venti triangoli
equilateri congruenti. I

Fig. 183.

115

Se noi prendiamo il centro del poliedro regolare comc vertiee e
le facce quali basi di piramidi, il poliedro potra venir scomposto in tante
piramidi regolari qnante ne sono le facce. Quanti spigoli laterali ha cias-
cuna di queste piramidi?

Quesiti d’esercizio. 1. Calcolare la superficie a)  di un ottaedro, P)  di
un icosaedro, di cui lo spigolo e = a.  P. e. a = 12'7 cm.

2.  Calcolare uno spigolo e il volume di un ottaedro, di cui la superficie e S.
P. e. S  = 40 cm 1 .

3. Calcolare lo spigolo e la superficie di un tetraedro, di cui e dato il volume
V.  P. e. V  = 172 cm s .

4. La' supeificie di un tetraedro, di cui lo spigolo-e a,  e eguale a quella di
un icosaedro. Calcolare lo spigolo di quest’ultimo. P. e. a =  1 dni.

5. Il volume di un ottaedro, di cui lo spigolo e a, e eguale a quello di un
prisma esalatero ed equilatero regolare. Si calcoli lo spigolo di questo corpo. P. e.
a =  12 cm.

6. Il volume di un tetraedro, di cui lo spigolo e a, e eguale a quello di una
sfera; qual’e il diametro della stessa ? P. e. a  = 2 dm.

7. Ad un tetraedro trovasi circoscritto un cono; come stanno i volumi di
questi due corpi ?

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