'.'"4 Li P^Ul. eiL8l.^8'« > liuvilkamilnnx umi ^utiquariut 28LL, Lehröuch der Arithmetik und Algebra nebst einer Aufgaöen-Sammlung für die oberen Claffen der Mittelschulen. Von r>i-. Fran; Ritter von Mornik. Preis broschiert 1 sl. 60 kr., gebunden 1 Kweiundzwclnzigfte unverrärrderte Approbiert mit h. Erlass des k. st. Ministerium» für 13. Februar 1890, Z. 2650. Wien. Druck und Verlag von Carl Gerold'» Sohn. 1890. Das Recht der Übersetzung behält sich der Rersasser vor. Aus den Vorreden zu den früheren Auflagen. Bezüglich der Gliederung des Inhaltes war ich non dem Streben geleitet, die organische Entwicklung des Zahlenbegrisfes und die dadurch bedingte fortschreitende Erweiterung der Operationsbegriffe dem Schüler zu möglichst klarem Bewusst¬ sein zu bringen. Indem naturgemäß zuerst die niederen Rechnungsarten mit absoluten ganzen Zahlen behandelt werden, wird, damit die inversen Opera¬ tionen, die Subtraction und die Division, unter allen Umständen ausgeführt werden können, auf die Nothwendigkeit hingewiesen, die algebraischen, gebrochenen und irrationalen Zahlen in die Rechnung einzuführen. Ebenso eröffnet bei den höheren Rechnungsarten die Radicierung, indem sie in der Reihe der ganzen, gebrochenen und irrationalen algebraischen Zahlen nicht immer aus¬ führbar erscheint, das neue Gebiet der imaginären Zahlen. Jede neue Zahlen¬ form tritt dabei als eine höhere Stufe in der Erweiterung des Zahlengebietes auf, so zwar, dass der auf ihr gewonnene Begriff alle vorhergehenden in sich umfasst. Mit der fortschreitenden Entwicklung des Zahlenbegriffes müssen auch die Begriffe der Operationen allmählich erweitert werden, so dass sie auch auf die neue Zahlenform anwendbar werden und dass stets in der neuen Definition die früheren als besondere Fälle enthalten find. Zugleich muss jedesmal nach¬ gewiesen werden, dass die Lehrsätze, welche für die früheren Zahlen abgeleitet wurden, auch für die neue Zahlenform giltig'sind, wodurch denselben eine immer ausgedehntere Anwendbarkeit gesichert wird.--- Sowie im ganzen, ist auch im einzelnen auf eine organische Gliederung des Stoffes Bedacht genommen worden. Bei jeder neuen Operation wurden zuerst die Verbindungen der neuen Rechnungsform mit sich selbst und mit der entgegengesetzten Operation derselben Stufe, wenn diese schon vorgekommen ist, sodann die Verbindungen der neuen Operation mit den Operationen der niedrigeren Stufen in Untersuchung gezogen. Die einzelnen Lehrsätze wurden dabei so geordnet, dass Zusammengehöriges in natürlicher Aufeinanderfolge zusammengestellt erscheint, und dass die Analogie der gleichartigen Sätze auf den verschiedenen Rechnungsstufen leicht überblickt werden kann. Die Erklärung der irrationalen Zahlen, welche früher der Lehre von den Wurzeln eingefügt war, wurde hier passender schon bei den Verhältnissen incommensurabler Größen, wo die neue Zahlenform zum erstenmale auftritt, ausgenommen. Für diese geänderte Stellung waren einige vorbereitende Sätze über die unendlich großen und die unendlich kleinen Größen, sowie über die IV Grenzen der Veränderlichen erforderlich, welche sich übrigens auch in der Geometrie Vortheilhaft verwerten lassen, um dort die Messung des Kreises und der krummflächigen Körper unter Zugrundelegung des Grenzbegrisses ebenso streng als mittelst der üblichen indirecten Beweise, aber mit weit größerer Kürze zu erledigen. Die imaginären und complexen Zahlen sind bei der Lehre von den Wurzelgrößen nur formal behandelt worden, während die geometrische Dar¬ stellung dieser Zahlen und der algebraischen Operationen mit denselben am Schlüsse des theoretischen Theiles den Gegenstand eines besonderen Anhanges bildet. Die dem Buche beigegebene Ausgaben-Sammlung wurde bedeutend ver¬ mehrt und nach den fortschreitenden Stufen des Unterrichtes systematisch geordnet. Wir besitzen zwar für die allgemeine Arithmetik sehr wertvolle Beispiel-Sammlungen; wenn ich gleichwohl meinem Lehrbuche auch Übungs- Ausgaben beifüge, so geschieht es in der Überzeugung, dass eine Sammlung von Aufgaben, die sich genau an den Stufengang des Lehrbuches anschließt, ganz besonders geeignet erscheint, den Unterricht zu fördern, indem sie dem Schüler die Möglichkeit und die beste Gelegenheit bietet, die erkannten theo¬ retischen Lehren Schritt für Schritt sofort an passenden Beispielen zur Übung und Anwendung zu bringen. Vorwort zur einundzwanzigsten Auflage. Die vorliegende Auflage unterscheidet sich vou den zwei vorhergehenden hauptsächlich nur durch die geänderte Anordnung des Lehrstoffes, welche hier mit genauer Beachtung des neuen Lehrplanes für Gymnasien getroffen wurde und welche mit sehr geringen Ausnahmen auch dem Normal-Lehrplane für Realschulen entspricht. Neu ausgenommen wurde bei den höheren Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen, die vollständige Auflösung der binomischen Gleichungen dritten und vierten Grades, bei den Lebensversicherungs-Rechnungen die Bestimmung der Prämienreserve, und im Anhänge die Lehre von den höheren numerischen Gleichungen. Ferner ist die Moivre'sche Formel auch in ihrer Geltung für das Radicieren aus einer complexen Zahl dargestellt und dabei die Vieldeutigkeit einer Wurzelgröße nachgewiesen worden. Graz, im Juli 1885. Der Verfasser. Inhalts-Verzeichnis. Seite Einleitung. 1 Erster Abschnitt. Addition und Subtraktion. I. Addition mit absoluten ganzen Zahlen. 4 II. Snbtraction mit absoluten ganzen Zahlen. 6 III. Erweiterung des Zahleugebietes durch die Subtraction. H 1. Negative Zahlen.H 2. Addition und Subtraction mit algebraischen ganzen Zahlen.13 Zweiter Abschnitt. Multiplikation und Division. I. Multiplikation mit absoluten ganzen Zahlen. 16 II. Division mit absoluten ganzen Zahlen . .. 21 III. Multiplication und Division mit algebraischen ganzen Zahlen.LK IV. Zahlensysteme. 29 V. Theilbarkeit der Zahlen. 33 VI. Erweiterung des Zahlengebietes durch die Division als Theilung. 44 Gebrochene Zahlen. 44 1. Gemeine Brüche. 45 2. Decimalbrüche . .. 49 VII. Unendlich große und unendlich kleine Zahlen und Grenzwerte der Veränderlichen 58 VIII. Verhältnisse und Proportionen. 61 1. Verhältnisse. 61 2. Erweiterung des Zahlengebietes durch die Division als Messung .... 63 Irrationale Zahlen. 63 3. Proportionen.64 4. Anwendung der Proportionen. 69 Dritter Abschnitt. Gleichungen des ersten Grades.74 I. Gleichungen des ersten Grabes mit einer Unbekannten. 75 II. Gleichungen des ersten Grabes mit mehreren Unbekannten. 77 III. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades.81 VI Vierter Abschnitt. Potenzieren, Radicieren und Logarithmieren. SEc l. Potenzen mit positiven ganzen Exponenten.85 II. Wurzeln mit positiven ganzen Exponenten.88 III. Potenzen und Wurzeln mit negativen und gebrochenen Exponenten.98 IV. Erweiterung des Zahlengebietes durch das Radicieren.101 Imaginäre und complexe Zahlen.101 V. Quadrieren und Cubieren, Ausziehen der Quadrat- und Kubikwurzel.104 VI. Logarithmen.115 Fünfter Abschnitt. Gleichungen des zweiten Grades. 127 I. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten.128 II. Höhere und Exponentialgleichungen, welche sich auf quadratische Gleichungen zurückfiihren lassen.133 III. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten.138 Sechster Abschnitt. Unbestimmte Gleichungen. I. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades.141 II. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades.148 Siebenter Abschnitt. Kcttenbriiche. 151 Achter Abschnitt. Progressionen. 8 I. Arithmetische Progressionen.159 II. Geometrische Progressionen.161 III. Zinseszins- und Rentenrechnung.165 Neunter Abschnitt. Combinationslchre. I. Permutationen, Combinationen und Variationen.171 II. Binomischer Lehrsatz . '.178 III. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung.184 Anhang. I. Höhere numerische Gleichungen.198 II. Geometrische Darstellung der imaginären und der complexen Zahlen.207 Ausgaben-Sammlung. I. Addition und Subtraction. 1. Addition mit absoluten ganzen Zahlen.215 2. Subtraction mit absoluten ganzen Zahlen.215 3. Addition und Subtraction mit algebraischen ganzen Zahlen.217 VII II. Multiplication und Division. Seite 1. Multiplication mit absoluten ganzen Zahlen.217 2. Division mit absoluten ganzen Zahlen.220 3. Multiplication und Division mit algebraischen ganzen Zahlen.223 4. Zahlensysteme. 224 5. Theilbarkeit der Zahlen.225 6. Gebrochene Zahlen.227 7. Verhältnisse und Proportionen mit Anwendungen.235 III. Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten.242 2. Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten.243 3. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades.245 IV. Potenzieren, Radicieren und Logarithmieren. 1. Potenzen mit positiven ganzen Exponenten.254 2. Wurzeln mit positiven ganzen Exponenten.255 3. Potenzen und Wurzeln mit negativen und gebrochenen Exponenten ... 261 4. Imaginäre und complexe Zahlen.263 5. Quadrieren und Cubieren, Ausziehen der Quadrat- und Lubikwurzel . . 265 6. Logarithmen.268 V. Gleichungen des zweiten Grades. 1. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten.271 2. Höhere Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen .... 277 3. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten.279 VI. Unbestimmte Gleichungen. 1. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades.284 2. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades.286 VII. Kettenbrüche.288 VIII. Progressionen. 1. Arithmetische Progressionen. 29V 2. Geometrische Progressionen.293 3. Zinseszins- und Rentenrechnung.296 IX. Combinatiouslehre- 1. Permutationen, Lombinationeu und Variationen.302 2. Potenzen von Binomen.304 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung.304 X. Höhere numerische Gleichungen.308 Einleitung. Z. I. Aedes Object, das aus Theilen derselben Art besteht oder aus solchen bestehend gedacht werden kann, wird Größe genannt. Jede Größe ist einer Vermehrung oder Verminderung fähig. Die Wissenschaft von den Größen heißt Mathematik. Die Menge der in einer Größe enthaltenen gleichartigen Theile nennt man die Quantität der Größe. Um eine Größe in Beziehung auf ihre Quantität zu bestimmen, nimmt man eine bekannte Größe derselben Art als Einheit an und untersucht, wie oft dieselbe in der zu bestimmenden Größe enthalten ist. Der Ausdruck, welcher dieses angibt, heißt Zahl. Insofern eine Größe durch eine Zahl ausgedrückt wird, nennt man sie eine Zahlgröße. Jener Theil der Mathematik, welcher sich mit der Untersuchung der Zahlgrößen beschäftigt, heißt Arithmetik. H. 2. Jede Zahlenbildung beginnt mit dem Setzen der Einheit. Indem man zu der Einheit noch eine Einheit, zu der dadurch gebildeten Zahl wieder eine Einheit und so fort hinzusetzt, erhält man die Reihe der natürlichen Zahlen. Man kann die natürliche Zahlenreihe bildlich darstellen, indem man auf eine gerade Linie von dem Punkte 0 aus nach einer bestimmten Richtung gleiche Strecken aufträgt; die-Endpunkte dieser Strecken versinnlichen die auf einander folgenden Zahlen. 0123456789 Eine solche Linie soll Zahlenlinie heißen. Wir werden später, so wie in dem Gebiete der Zahlen neue Zahlenformen auftreten werden, auch an der Zahlenlinie das angefangene Bild entsprechend vervollständigen. Die Einheit selbst, sowie jede durch wiederholtes Setzen derselben gebildete Zahl wird eine ganze Zahl genannt. Um anzugeben, dass keine Einheit gesetzt sei, bedient man sich des Ausdruckes Null (0). Die Null ist daher als der Ausgangspunkt jeder Zahlenbildung zu betrachten. Moänik, Arithmetik und Algebra. 1 2 In der natürlichen Zahlenreihe entsteht jede Zahl aus der vorher¬ gehenden durch Hinzufügen einer Einheit, und aus der folgenden durch Weg- nehmen einer Einheit. Durch das Hinzufügen, bezüglich Wegnehmen einer Einheit von einer Zahl zur andern fortschreiten, heißt zählen; das erstere Vorwärtszählen, das letztere rückwärtszählen. Jenes kann an der natürlichen Zahlenreihe ohne Ende fortgesetzt werden, dieses nur, bis auch die erste Einheit weggenommen und man zur Null gelangt ist. Z. Z. Zahlen, welche eine bestimmte Menge von Einheiten ausdrücken, heißen besondere Zahlen; sie werden durch Ziffern bezeichnet. Zahlen, welche irgend eine Menge von Einheiten darstellen, heißen allgemeine Zahlen; sie werden durch Buchstaben ausgedrückt. Zahlen, welche erst bestimmt werden sollen und daher noch unbekannt sind, bezeichnet man gewöhnlich mit den letzten Buchstaben des Alphabetes. Je nachdem die Arithmetik nur besondere oder auch allgemeine Zahlen in Betrachtung zieht, heißt sie die besondere oder die allgemeine Arithmetik. H. 4. Wird beim Zählen die Art der Einheit ganz unberücksichtigt gelassen, so heißen die dadurch gebildeten Zahlen reine oder unbcnannte Zahlen; wird aber beim Zählen auch die Art der Einheit ausgedrückt, so ent¬ stehen benannte Zahlen. Man erhält demnach durch a maliges Setzen der unbenannten Einheit die unbenannte Zahl a, durch u maliges Setzen einer benannten Einhsit L die benannte Zahl nL, in welcher L die Benen¬ nung heißt. Z. 5. Zwei Zahlen (überhaupt zwei Größen), welche dieselbe Menge von Einheiten enthalten, heißen einander gleich. Um anzuzcigen, dass a und i> gleich sind, schreibt man n — ll; in diesem Falle ist immer auch d — a. Ein Ausdruck von der Form a — b heißt eine Gleichung; s> — a ist die Umkehrung der Gleichung n — i>. Zwei Zahlen (überhaupt zwei Größen), welche nicht dieselbe Menge von Einheiten enthalten, heißen ungleich, und zwar heißt diejenige, zu der noch etwas hinzugesetzt werden muss, um die andere hervorzubringen, die kleinere, die andere die größere. Dass s, größer als ist, drückt man durch aus; in diesem Falle ist auch tz> kleiner als u, was durch d < a, bezeichnet wird. Ausdrücke von der Form n > oder b < a, nennt man Ungleichungen. Bezeichnen a und s> zwei beliebige Zahlen (oder Größen), so muss ent¬ weder a > i>, oder a, — k>, oder a < i> sein, wofür man auch schreibt -r i>. Z. 6. Von gegebenen Zahlen durch vorgeschriebene Verbindung derselben zu einer andern gesuchten Zahl übergehen und letztere dadurch bestimmen, heißt rechnen. Die Zahl, zu welcher man durch das Rechnen gelangt, heißt das Resultat der Rechnung. Jede Darstellung einer Rechnung in Zeichen heißt eine Formel. Jede Rechenvorschrift, für welche eine besondere Be¬ zeichnung eingesührt ist, heißt eine Operation. 3 In eine Zahlenverbindung an die Stelle der allgemeinen Zahlen (Buch¬ staben) besondere Zahlenwcrte setzen und mit diesen die vorgeschriebenen Rech¬ nungen ausführen, heißt substituieren. Das Zählen ist die einfachste Art des Rechnens; alle anderen Rech¬ nung soperationcn können daraus abgeleitet werden. Das Fortschreiten in der natürlichen Zahlenreihe von einer gegebenen Zahl aus um eine gegebene Zahl von Einheiten heißt die Addition; die Umkehrung dieser Operation die Subtraction. Die Addition gleicher Zahlen heißt Multiplication, und die Umkehrung derselben Division. Die Mul- tiplication gleicher Zahlen führt auf Zahlen höheren Ranges; die Rechnung, durch welche diese gesunden werden, heißt die Potenzierung, aus deren Umkehrung sich die Radicierung (das Wurzelausziehen) und die Loga¬ rithmierung ergeben. Die Gesetze der hier angedeuteten Operationen zu untersuchen, bildet die Hauptaufgabe der Arithmetik. Die Lehre über die Anwendung dieser Gesetze auf die Lösung von Aufgaben, indem man die Beziehungen zwischen den unbekannten und bekannten Zahlen durch Gleichungen ausdrückt und aus diesen die Werte für die unbekannten Zahlen sucht, heißt Algebra. Häufig werden diese Leiden Theile der Mathematik als Ganzes mit dem gemeinschaft¬ lichen Namen allgemeine Arithmetik bezeichnet. H. 7. Die Mathematik stützt ihre Lehren auf gewisse.Sätze, die man unmittelbar als wahr anerkennt, die daher nicht bewiesen zu werden brauchen, aber auch nicht bewiesen werden können. Solche Grundwahrheiten werden Grundsätze (Axiome) genannt. Sätze, deren Richtigkeit erst aus anderen, bereits als wahr anerkannten Sätzen hergeleitet werden muss, heißen Lehrsätze; diese müssen bewiesen werden. Z. 8. Allgemeine mathematische Grundsätze. I. Jede Größe ist sich selbst gleich. 2. Sind zwei Größen einer dritten gleich,- so sind sie auch unter ein¬ ander gleich. 3. Werden mit gleichen Größen gleiche Veränderungen vorgenommen, so erhält man gleiche Größen. 4. Das Ganze ist gleich allen seinen Theilen zusammengenommen. 5. Das Ganze ist größer als ein Theil desselben. Erster Abschnitt. Addition und Subtraktion. I. Addition mit absoluten ganzen Zahlen. Z. S. 1. Au einer Zahl a eine Zahl t> addieren heißt, eine Zahl o suchen, welche so viele Einheiten enthält, als a und 5 zusammen. Man schreibt a -j- 5 — o und nennt a und 5 die Summanden und a -s- k> die Summe; e heißt der Wert der Summe. Um anzuzeigen, dass eine Zahlenform oder Zahlcnverbindung als ein Ganzes, als eine einzige Zahl angesehen werden soll, schließt man dieselbe zwischen Klammern ein. Der Wert der Summe a -s- 5 kann hiernach auch durch den einge¬ klammerten Ausdruck (a Z- b) dargestellt werden. Um die Addition zweier Zahlen a und auszuführen, schreitet man in der Zahlenreihe von a ausgehend um so viele Einheiten vorwärts, als ihrer k enthält; die Zahl, zu der man dadurch gelangt, ist die gesuchte Summe. Folgesatz. Ist ein Summand 0, so ist die Summe dem an¬ dern Summanden gleich. o Z- a — a, a Z- 0 — a, O-j-O — 0. 2. Unter der Summe mehrerer Zahlen versteht man die Summe, welche erhalten wird, indem man zu der Summe der beiden ersten Zahlen die dritte, zu der neuen Summe die vierte Zahl, u. s. w. addiert. Es ist demnach a -s- 5 -s- o — (a -Z k>) -s- o, a/ Z- b -s- o Z- ä — s(a -j- ki) -s- os Z- ä, u. s. f. Z. Iv. Eine Summe, welche entsteht, indem man dieselbe allgemeine Zahl öfters als Summand setzt, wird abgekürzt dadurch bezeichnet, dass man die allgemeine Zahl nur einmal anschreibt und vor dieselbe die Zahl setzt, welche anzeigt, wie vielmal die allgemeine Zahl als Summand vorkommt; z. B. a-s-a-f-a-s-a-s-a — 5a. In dem Ausdrucke 5 a heißt dann a die Hauptgröße und 5 der Coefficient. Der Coefficient kann auch eine allgemeine Zahl sein; z. B. rna — a-s-a-s-a-s-a-s-.. (in mal). o Ausdrücke, welche dieselbe Hauptgröße haben, heißen gleichnamig, z. B. 5a und 6a, 3x und x. Ausdrücke, welche verschiedene Hauptgrößen haben, heißen ungleichnamig, z. B. 3s, und 7st, 5x und 5^. tz. II. Eine Summe bleibt unverändert, wenn man die Sum¬ manden unter einander vertauscht. (Das Commutationsgesetz der Addition.) , v s-stst-sto—s-sto-stst—st-sts-sto — st-sto-sts — ... Denn die Zahl der in den Summanden enthaltenen Einheiten bleibt dieselbe, in welcher Reihenfolge sie auch Vorkommen mögen; es muss daher auch der Wert der Summe derselbe bleiben. Verbindung der Addition mit sich selbst. ß. 12. 1. Zu einer Summe wird eine Zahl addiert, indem man sie zu einem der Summanden addiert., (s -st st) Z- o' — (s -st o) -st st s -st (st -st u). 2. Zu einer Zahl wird eine Summe addiert, indem man die Summanden einzeln addiert. 2- "st e) — (s -st st) -st u — (s -st v) -st st. /Die Richtigkeit dieser zwei Sätze, welche die Associationsgesetze der Addition bilden, folgt unmittelbar aus dem Commntationsgesetze in Z. 11.") Z. 13. Gleichnamige Ausdrücke werden addiert, indem man ihre Coefficienten addiert und die erhaltene Summe als Coefficienten vor die gemeinsame Hauptgröße setzt. nas -st us — (na -st u)s. Beweis, nas — a-sts-sts-st.. (na mal), us — s-sts-sts-st.. (umal), daher nas-stus — a-sts-sts-st. .(na-st ll) mal — (na -st u) a. Z. B. 3s -st 4a (3 -st 4)s 7s. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Addition. Z. 14. 1. Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches. - Ist s —""st und ö — ä, so ist a -st o — st -st ä. Folgt unmittelbar aus ß. 8, 3.^ -v 2. Gleiches zu Ungleichem addiert gibt Ungleiches mit dem¬ selben Ungleichheitszeichen. Ist a > st und o — ä, so ist a -st u > st -st ä. Beweis. Es sei die Zahl, welche man zu st addieren muss, um s zu erhalten, also a — st -st av, so ist nach 1. s-sto — st-strv-stä. Nun ist st Z- n -st ä > st -st ä (Z. 8, 5), folglich auch a -st o > st -st ä. 6 3. Ungleiches zu Ungleichem mit demselben Ungleichheits¬ zeichen addiert gibt Ungleiches mit eben so gestelltem Ungleich¬ heitszeichen. Ist u > st und o > ck, so ist 3 -st L > st -st ä. Beweis. Es sei e — ä -st v, so hat man nach 2. 3-sto>st-stä-st^. Nun ist st -st ä -st v > st -st ä (Z. 8, 5), folglich um so mehr 3 -st cr > st -st ä. II. Suötraction mit absoluten ganzen Zahlen. Z. l». Von einer Zahl 3 eine Zahl st subtrahieren heißt, aus a als der Summe zweier Zahlen und st als dem einen Summanden den andern Summanden o suchen. Man schreibt 3 — st — o und nennt a den Mi¬ nuend, st den Subtrahend und 3 —st die Differenz; o oder auch der eingeklammerte Ausdruck (3— st) heißt der Wert der Differenz (Rest). Eine Differenz ist also ein Ausdruck für diejenige Zahl, zu welcher der Subtrahend addiert den Minuend gibt; oder es ist (3 — st) -st st — 3. Um die Subtraction zweier Zahlen 3 und st ans zuführen, schreitet man in der Zahlenreihe vom Minuend 3 aus um so viele Einheiten zurück, wie der Subtrahend st anzeigt; die Zahl, zu welcher man dadurch gelangt, ist die gesuchte Differenz. Die Subtraction kann an der natürlichen Zahlenreihe nur dann aus- gesührt werden, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist, indem man sonst, weil die natürliche Zahlenreihe rückwärts mit 0 abbricht, vom Mi¬ nuend nicht um so viele Einheiten zurückschreiten könnte, wie der Subtrahend anzeigt. Bei den folgenden Sätzen werden wir daher vorläufig voraussetzen, dass die Subtrahenden der vorkommenden Differenzen nicht größer als ihre Minuenden sind. Z. lk. Aus dem Begriffe der Subtraction ergeben sich nachstehende Folgesätze. 1. Addiert man zu der Differenz zweier Zahlen den Subtrahend, so erhält man den Minuend. (u — st) -st st — 3 ; st -st (a — st) — 3. 2. Subtrahiert man von der Summe zweier Zahlen den einen Summanden, so erhält man den zweiten Summanden. (3 -st st) — 3 — st; (3 -j- st) — st — g,. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man dieselbe Zahl zu ihr addiert und von ihr subtrahiert. 3 — (3 -st st) — st; 3 — (a — st) -st st. 7 Die Addition und die Subtraction sind demnach einander entgegen¬ gesetzt; letztere ist eine inverse Operation der ersteren. In der commu- tativen Eigenschaft der Addition liegt der Grund, dass es zu derselben nur eine inverse Operation gibt; es ist gleichviel, ob der erste oder der zweite Summand gesucht wird, da man beide unter sich vertauschen kann. 4. Ist der Subtrahend dem Minuend gleich, so ist die Differenz gleich Null. s, — a — 0. 5. Ist der Subtrahend 0, so ist die Differenz dem Mi¬ nuend gleich. — 0 — u, 0 — 0 — 0. Verbindung der Subtraction mit sich selbst und mit der Addition. 17. Von einer Summe wird eine Zahl subtrahiert, indem man sie von einem der Summanden subtrahiert. (s, -si st) — 6 — (a — o) -si st — Ä -si (st — e). Beweis, u) Soll (a — o) si- st die richtige Differenz der Zahlen u si- st und o sein, so muss man, wenn man zu ihr den Subtrahend o addiert, den Minuend a si- st erhalten (Z. 15). Nun ist wirklich !(a-o)si-sts -si o^l(a —o) csi -si st G.12,1) a-si st (Z. 16,1), also (n — o) si- st eine richtige Lösung der Aufgabe. 6) Ebenso ist ja si- (st — a)! -si o — g, -si j(st — a) si- a) (H. 12,1) — u -si st (A. 16,1), also ist auch die zweite Form a -si (k — a) der Differenz richtig. Folgesatz. Soll zu einer Zahl eine zweite addiert und eine dritte davon subtrahiert werden, so ist es für das Resultat gleichgiltig, in welcher Reihenfolge man addiert oder subtrahierst Z. 18. Zu einer Differenz wird eine Zahl addiert, indem man sie zu dem Minuend addiert oder von dem Subtrahend subtrahiert. (a — st) si- 6 — (a -si a) — st — a — (st — «). Beweis. Dass (s,— st)si-o —(asi-o)— k> ist, ergibt sich aus Z.17, Folgest Aus der Erklärung einer Differenz (K. 15) lässt sich ferner folgern, dass auch a — (6 — «) — (g. — st) 4- o ist; denn s(u - 6) si- «s -si (st - o) (n - st) so -si (st - o)s (Z. 12, 1) — (u — st) si- st (Z. 16, 1) — u. ß. 19. Von einer Differenz wird eine Zahl subtrahiert, indem man sie von dem Minuend subtrahiert oder zu dem Subtrahend addiert, (u — st) — o — (a — e) — st — a — (st -si o). Beweis. Sowohl (u — e) — st als u — (st si- o) entspricht der in. Z. 15 für die Differenz aufgestellten Erklärung. Denn es ist 8 f(a — o) — los -s- « — ((s, — o) -j- o) — d (K. 18) — s, —d (Z. 16,1); und ebenso sa—(6-4«))-s-n —a—<(64-0)—o) (Z. 18)^a —ko (Z. 16,2). Folgesatz. Sollen von einer Zahl zwei Zahlen subtrahiert werden, so darf man entweder dieselben einzeln in beliebiger Reihenfolge, oder auch sogleich ihre Summe subtrahieren. FO 8- 2V. 1. Bon einer Zahl wird eine Summe subtrahiert, indem man die Summanden einzeln subtrahiert. a — (ib -4 o) — (a — 6) — o — (a — o) — 6. Ergibt sich durch Umkehrung der in 8- 19 bewiesenen Gleichungen. 2. Zu einer Zahl wird eine Differenz addiert, indem man den Minuend addiert und den Subtrahend subtrahiert. a -4 (6 — o) — (a -f- 6) — o — (a — e) -s- 6. Folgt durch Umkehrung der Gleichungen in 8- 17. 3. Von einer Zahl wird eine Differenz subtrahiert, indem man den Minuend subtrahiert und den Subtrahend addiert. a — (i> — o) — (a — io) -s- o — (a -4 o) — 6. Ergibt sich durch Umkehrung aus 8- 18. 8- 2l. 1. Eine Summe bleibt unverändert, wenn man zu dem einen Summanden eine Zahl addiert und von dem andern Summanden dieselbe Zahl subtrahiert. Es ist a 4- 6 - a 4- !(b - o) Z- o) (8- 16, 3) (n -Fo) 4- (d - o) (8- 12, 2); a Z- 6 a -4 l(6 -4 v) — oi (8- 16, 3) (a — c) 4- (b Z- o) (8- 20, 2). 2. Eine Differenz bleibt unverändert, wenn man zu dem Minuend und dem Subtrahend dieselbe Zahl addiert oder von beiden dieselbe Zahl subtrahiert. Es ist a — 6 a — i(s) -s- e) — o) (8.16, 3) (a 4- o) — (i) -4 o) (8- 20, 3); a — d — a — !(b — o) es (8-16, 3) — (a — n) — (6 — o) (8- 20,1). / 8- 22. Gleichnamige Ausdrücke werden subtrahiert, indem 'man die Coefficienten subtrahiert und die erhaltene Differenz als Coefsicienten >vor die gemeinsame Hauptgröße setzt. in a — na — (in — n) a. Beweis, ina a Z- a 4" a 4- ... (in mal) _ -4 s, -s- a 4- . -. (nmal) daher ina — na — a-4a-4n--4-..(m — n)mal — (in — n)a. Z. B. 5a — 2a (5 — 2)a -- 3a. 8. 23. Sollen in einer durch die Zeichen 4- und — vorgeschriebenen Verbindung von Zahlen die dadurch angezeigten Operationen in der Reihen- 9 folge, wie diese Zahlen mit ihren Zeichen von links nach rechts Vorkommen, vollzogen werden, so kann man, ohne der Bestimmtheit dadurch Abbruch zu thun, die Klammern weglassen. Hiernach kann man f(a -st st) -st aj -st ä — s, -st st -st a -st ä, f(a — st) -st oj — ä — a — st -st o — ä, f(n — st) — of — ä — s, — st — o — ä setzen. Ein Zahlenausdruck, welcher mehrere durch Addition und Subtraction verbundene Bcstandtheile enthält, heißt ein mehrgliedriger Ausdruck oder ein Polynom. Die einzelnen Bestandtheile heißen Glieder, und zwar die mit dem Zeichen -st versehenen die additiven, die mit dem Zeichen — versehenen die subtractiven Glieder des Ausdruckes. Das mit keinem Zeichen versehene erste Glied wird als additiv angesehen. Ein zweigliedriger Ausdruck wird insbesondere ein Burom, ein drei¬ gliedriger ein Trinum genannt. Ein Ausdruck, welcher nur ein Glied enthält, heißt ein eingliedriger Ausdruck oder ein Monom. Folgesätze. 1. In einem mehrgliedrigen Ausdrucke ist die Reihenfolge der additiven und subtractiven Glieder ganz will¬ kürlich. Folgt aus Z. 11, Z. 17, Folgest, und 8- 19, Folges. 2. Jeder mehrgliedrige Ausdruck lässt sich in eine Differenz verwandeln, deren Minuend die Summe aller additiven, und deren Subtrahend die Summe aller subtractiven Glieder ist. a, -st st — o -st ä — -s — a -st st -st ä — o — 6 — (a -st st -st ä) — (o -st s) (8. 19, Folgest). 8- LI. 1. Zu einer Zahl wird ein mehrgliedriger Ausdruck addiert, indem man die Glieder desselben einzeln zu der Zahl addiert oder von ihr subtrahiert, je nachdem sie in dem Ausdrucke additiv oder subtractiv Vorkommen. a -st (st — 6 — ä -st s — lh — a -st st — e — ä -st s — F Beweis. a -st (st — o — ä-sts — 1) — u -st -st s) — (a -st ä -st 1)f (8- 23, Folges. 2) — sa -st (st -st s)s — (o -st ä -st 1) (8- 20, 2) a -st st -st 6 — o — ä — 1 (8- 12, 2, und 8- 20, 1) — n-stst — o — ä-sts — 1 (8- 23, Folges. 1). 2. Von einer Zahl wird ein mehrgliedriger Ausdruck sub¬ trahiert, indem man die Glieder desselben einzeln von der Zahl subtrahiert oder zu ihr addiert, je nachdem sie in dem Ausdrucke additiv oder subtractiv vorkommen. u — (st — o — ci -st s — C) — a — st -st 6 -st ci — 6 -st F Der Beweis wird ähnlich, wie bei dem vorhergehenden Satze, geführt. 10 Z. 2s. 1. Jeder mit Klammern eingeschlossene Ausdruck kann ohne Klam¬ mern dargestellt werden, indem man, wenn vor der Klammer das Zeichen -st steht, die Klammern ohne alle weitere Veränderung weglässt, dagegen, wenn vor der Klammer das Zeichen — steht, allen Gliedern, die eingeschlossen waren, die entgegengesetzten Zeichen gibt. Man nennt diese Umformung das Auslösen der Klammern. Z. B. a - s2st st- (3o - 4ck)s -- a — s2st -st 3o — 4äj — a — 2 st — 3o -s- 4ä. 2. Umgekehrt können in jedem mehrgliedrigen Ausdrucke mehrere Glieder in eine Klammer gesetzt werden, indem man, wenn die Klammer nach dem Zeichen -s- beginnt, alle Glieder mit unveränderten Zeichen innerhalb derselben folgen lässt, dagegen, wenn die Klammer nach dem Zeichen — beginnt, jedem der eingeschlossenen Glieder das entgegengesetzte Zeichen gibt. 3. Ein mehrgliedriger Ausdruck, in welchem gleichnamige Zahlen vorkommen, wird auf einen einfacheren Ausdruck re du eiert, indem man zuerst die additiven, dann die subtractiven gleichnamigen Zahlen addiert und die zweite Summe von der ersten subtrahiert. Z. B. 6a — 5a 3a -st 8a -st- 2a — (6a -s- 8a) — (5a -s- 3a -f- 2a) — 14a — 10a — 4a. Verbindung von Gleichungen und Angleichungen durch die Subtraktion. Z. 26. 1. Gleiches von Gleichem subtrahiert gibt Gleiches. Ist a — st und 6 — ck, so ist a — o — st — ä. ... Folgt unmittelbar aus A. 8, 3. l 2. Gleiches von Ungleichem subtrahiert gibt Ungleiches Mit demselben Ungleichheitszeichen. ( Ist a > st und o — ä, so ist a — e st — ck. Beweis. Wäre nicht a — o > st — ä, so müsste a — e < st — ä sein; dann wäre bezüglich auch (a — o) -st a < (st — ä) -st ck (Z. 14, 1 und 2), daher a < st (Z. 16, 1), was gegen die Voraussetzung ist. 3. Ungleiches von Gleichem subtrahiert gibt Ungleiches mit entgegengesetztem Ungleichheitszeichen. Ist a — st und e > ä, so ist a — o < st — ck. Beweis. Wäre a — o > st — ck, so müsste in beiden Fällen (a — o) -st o > (st — ä) -st ä (Z. 14, 2 und 3), daher a > st (8- 16, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. 4. Ungleiches von Ungleichem bei entgegengesetzten Un- /gleichheitszeichen subtrahiert gibt Ungleiches mit dem Ungleich- / heitszeichen des Minuends. 11 Ist a I> ll und o < ä, so ist Ä — o > d — ci. Beweis. Wäre a — e < 6 — ä, so müsste in beiden Fällen (a — o) ff- a < (d — ä) ff- ä (Z. 14. 2 und 3), daher a < ll (8- 16, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. III. Erweiterung des Zaykengeöietes durch die Suötraction. 1. Negative Zahlen. 8- -27. Bisher wurde (8- 15) bei jeder Differenz a. — d die Voraus¬ setzung gemacht, dass der Subtrahend i> nicht größer als der Minuend u ist. Ist b > a, so ist die gesuchte Differenz s, — 6 in der Reihe der natürlichen Zahlen nicht zu finden; die Subtraction ist in diesem Zahlengebiete unmöglich. Soll die Subtraction für ganz beliebige Werte des Minuends und des Sub- trahends möglich gemacht werden, so sind wir genöthigt, unser Zahlengebiet zu erweitern und in dasselbe u — b für den Fall, dass > u ist, als eine neue Zahlenform aufzunehmen. Dieser neuen Zahlenform werden wir eine solche Bedeutung geben, dass die Gesetze, welche bei der Subtraction für die als natürliche Zahlen vorausgesetzten Differenzen entwickelt wurden, auch für die neu eingeführten Zahlen ihre Giltigkeit behalten. (Princip der Er- haltung der Operationsgesetze.) Wendet man auf die Differenz a -- ll, wo b — s. ff- u sei, den Satz in 8- 20, 1, an, so erhält man a — ll — u — (a, ff- u) — (u — u) — n — 0 — u, oder, wenn man die neue Differenz 0 — n durch — n ausdrückt, u — — — n. Die mit dem Vorzeichen — versehene Zahl —n nennt man eine negative Zahl.^ Im Gegensätze zu den negativen Zahlen werden dann die bisherigen Zahlen der natürlichen Zahlenreihe positive Zahlen genannt und als solche mit dem Vorzeichen ff- versehen. Die Bedeutung einer negativen Zahl ergibt sich aus der Gleichung 0 — n — — u, aus welcher nach dem allgemeinen Begriffe einer Differenz (— u) ff- n — 0 folgt (8- 15). Eine negative Zahl —u bedeutet also eine Zahl, welche mit der natürlichen (positiven) Zahl n durch die Addition verbunden 0 gibt. Da sich hiernach die Zahlen ff-n und —u in ihrer Vereinigung durch die Addition gegenseitig aufheben, heißen sie einander entgegengesetzt. Um die positiven und die negativen Zahlen an einer einzigen Zahlen¬ reihe darzustellen, braucht man nur die ursprüngliche Reihe der Zahlen, welche von 0 aus durch das Vorwärtszählen gebildet wurden, so zu erweitern, dass 12 das Zählen im entgegengesetzten Sinne, d. i. das Rückwärtszählen, welches bisher bei 0 seine Grenze sand, nun auch über 0 hinaus, und zwar in den negativen Zahlen fortgesetzt wird. Dadurch entsteht die zweiseitige Zahlenreihe ... —4, —3, —2, —1, -PI, -s-2, -s-3, -s-4, ..., in welcher je zwei vorwärts und rückwärts von 0 gleichweit abstehende Zahlen einander entgegengesetzt sind. Die hier begründete Erweiterung des Zahlengebietes lässt sich ganz ein¬ fach an der Zahlenlinie versinnlichen. —5 —4 —3 —2 —I o -s-1 -j-2 -s-3 -s-4 -s-5 7 O X Um von der Zahl 5 die Zahl 3 zu subtrahieren, schreitet man rechts in der Zahlenlinie von der Stelle 5 um 3 Einheiten zurück; man gelangt zu der Stelle x, und es ist x — 5 — 3 — 2. Ist umgekehrt von der Zahl 3 die größere Zahl 5 zu subtrahieren, so müssten, damit die Subtraction ausgeführt werden könne, links von 0 noch Punkte liegen, zu welchen man dann durch das Fortschreiten nach rückwärts gelangen würde. Verlängert man daher die ursprüngliche Zahlenlinie über den Anfangspunkt 0 hinaus in der entgegengesetzten Richtung, trägt auch hier gleich große Strecken auf und schreitet sodann von 3 aus um 5 Einheiten zurück, so gelangt man zu der Stelle /, und cs ist zr —3—-5; zu derselben Stelle kommt man auch, indem man von 3 aus zuerst um 3, und dann noch um 2 Einheiten zurückschreitet; mithin ist auch — 3 — 3 — 2 — 0 — 2, wofür man — 2 schreibt, folglich 3 — 5 — — 2. Durch dieselbe Schlussweise überzeugt man sich, dass je zwei gleichweit vom Nullpunkte entfernte Stellen der Zahlenlinie durch dieselbe Zahl bezeichnet werden, dass jedoch die Zahlen, welche aus derjenigen Seite, die der ursprüng¬ lichen Richtung entgegengesetzt ist, liegen, das beständige Vorzeichen — haben. Dann muss man aber den Zahlen in der ursprünglichen Richtung der Zahlen¬ linie das Vorzeichen -f- geben; denn schreitet man von 0 in der ursprünglichen Richtung um 2 Einheiten vorwärts, so gelangt man zu der Stelle 0 -P 2 — -s- 2. Z. 28« Die mit Vorzeichen versehenen Zahlen werden relative oder algebraische Zahlen genannt, im Gegensätze zu den Zahlen ohne Vor¬ zeichen, welche absolute Zahlen heißen. Jede algebraische Zahl besteht aus einem Vorzeichen und einem ab¬ soluten Werte. Das Vorzeichen -s- Pflegt man als selbstverständlich dort wegzulassen, wo es ohne Störung des Sinnes und des Zusammenhanges einer Rechnung geschehen kann. Z. 2S.> Größen, wie Bewegung nach vorwärts und nach rückwärts, Steigen und Fallen, Vermögen und Schulden, Höhe über und unter dem Meeresspiegel, Zeiten vor und nach Christi Geburt u. dgl., welche in dem 13 einen und in dem entgegengesetzten Sinne gezählt werden können, so dass gleich¬ viel von beiden Zählungen 0 gibt, heißen entgegengesetzte Größen. In der Mathematik bezeichnet man die eine von zwei entgegengesetzten Größen, gleichviel welche, aber consequent, mit -s-, die andere mit —. Hätte man z. B. die Zeit, wann ein Ereignis 6 stattfand, aus folgender Angabe zu rechnen: a Jahre nach Christo fand ein Ereignis F, statt, st Jahre später ein Ereignis L und o Jahre früher als L das Ereignis 0; so wäre der gesuchte Zeitpunkt x — a -st st — o. Käme nach Einsetzung der Werte für a, st, e ein Resultat —n zum Vorschein, so hieße dies: das Ereignis 6 fand n Jahre vor Christo statt. .Allgemein: Ein negativer Wert — n für eine gesuchte Größe x bedeutet stets, dass die Größe gemessen wird durch n Einheiten, aber in einem Sinne, welcher dem ursprünglich in die Rechnung eingeführten entgegengesetzt ist. 2. Addition und Snbtraction mit algebraischen ganzen Zahlen. Z. 30. Der durch die Aufnahme der negativen Zahlen erweiterte Zahl¬ begriff hat zur Folge, dass auch die Begriffe der Operationen an¬ gemessen erweitert werden müssen, damit sie auch auf algebraische Zahlen anwendbar werden. Zwei algebraische Zahlen addieren heißt diejenige Zahl suchen, welche so viele positive und so viele negative Einheiten enthält, als die beiden Summanden zusammen. Dieser Erklärung gemäß muss die in Z. 9, für die Ausführung der Addition gegebene Vorschrift bei algebraischen/Zahlcn dahin erweitert werden, dass man in der Zahlenreihe vom ersten Summand aus in derjenigen Richtung, welche das Vorzeichen des zweiten Summands angibt, um so viele Einheiten fortschreitet, wie der absolute Wert dieses zweiten Summands anzeigt. Folgesätze. 1. Addition einer positiven Zahl ist Addition des absoluten Wertes derselben; Addition einer negativen Zahl ist Subtraction des absoluten Wertes derselben. Bedeutet st eine absolute Zahl, so ist u-st (-st st) — a -st st, u-st-(—st) — s. — st. 2. Zwei gleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man ihre absoluten Werte addiert und dieser Summe das gemeinsame Vor¬ zeichen gibt. (-st u) -st (-st st) — -st (ä -st st), (— a) -st (— st) — — (u -st st). 3. Zwei ungleich bezeichnete Zahlen werden addiert, indem man den kleineren absoluten Wert von dem größeren subtrahiert und dieser Differenz das Vorzeichen des größeren absoluten Wertes gibt. (-st a) -st (— st) — -st (u — st), oder — — (st — u), (— a) -st (-st st) — — (a — st), oder — -st (st — a). 14 4. Zwei entgegengesetzte Zahlen geben zur Summe Null (heben sich gegenseitig auf). (-si n) -st (- n) 0, (- a) st- (st- n) - 0. Z. 31. Für das Subtrahieren algebraischer Zahlen bleibt die in Z. 15 aufgestellte allgemeine Erklärung unverändert giltig. Es darf nur die dort für die Ausführung der Subtraction gegebene Vorschrift bei algebraischen Zahlen dahin ausgedehnt werden, dass man in der Zahlenreihe vom Minuend aus in derjenigen Richtung, welche der durch das Vorzeichen des Subtrahends ausgedrückten entgegengesetzt ist, um so viele Einheiten sort- schreitet, wie der absolute Wert des Subtrahends anzeigt. Folgesätze. 1. Subtraction einer positiven Zahl ist Snb- traction des absoluten Wertes derselben; Subtraction einer negativen Zahl ist Addition des absoluten Wertes derselben. Bedeutet 5 eine absolute Zahl, so ist u — (st- st) — u — i>, a — (— st) — a -st st. 2. Zwei algebraische Zahlen werden subtrahiert, indem man zum unveränderten Minuend den Subtrahend mit entgegengesetztem Vorzeichen addiert. (st- u) - (st- st) - (st- u) - st -- (-st a) st- (- st) (Z. 30, Folges. 1), (st- ^) - (- st) - (st- u) st- st - (-st n) st- (st- st), (— a.) — (st- st) — (— a) — st — (— u) -st (— st), (— a) — (— st) — (— u) st- st — (— a) (st- st). H. 32. Eine Summe, deren Summanden algebraische Zahlen sind, heißt eine algebraische Summe; z. B. (st- a) -st (- st) -st (- e) st- (st- ä) st- (- 1). Die Differenz je zweier algebraischer Zahlen kann als eine algebraische Summe dargestellt werden (H. 31, Folges. 2). I. .Jeder mehrgliedrige Ausdruck kann in eine algebraische Summe verwandelt werden, indem man die Rechnungszeichen als Vor¬ zeichen betrachtet und dann die Zahlen als Summanden annimmt. u — st — a st- ä — (st- a) st- (— st) st- (— e) -st (st- ä). Folgt aus Z. 30, Folges. 1. 2. Umgekehrt: Jede algebraische Summe kann in einen mehr¬ gliedrigen Ausdruck verwandelt werden, indem man die Additions¬ zeichen und die Klammern weglässt und dann die Vorzeichen als Rechnungs¬ zeichen ansieht. (st- n) st- (— st) -st (— e) st- (st- ä) — n — st — o -st ä. 3. Eine algebraische Summe bleibt unverändert, wenn man die Summanden unter einander vertauscht. Folgt aus 2. und 1. mit Zuziehung des Z. 23, Folges. 1. 15 Z. 33. Man ist übereingekommen, bei algebraischen Summen die Additions¬ zeichen und die Klammern für die einzelnen Summanden wegzulassen. In dieser Form unterscheidet sich eine algebraische Summe von einem mehrgliedrigen Ausdrucke nur dadurch, dass die Rechnungszeichen -st und — des letzteren in der ersteren als Vorzeichen, d. i. die additiven und subtractiven Glieder des letzteren in der ersteren bezüglich als positive und negative Summanden zu betrachten sind. Auf den Wert beider hat diese verschiedene Bedeutung der Zeichen, wie aus Z. 30, Folgesatz 1, erhellet, keinen Einfluss. Daraus folgt mit Rücksicht auf H. 24, 1 und 2: 1. Zu einer Zahl wird eine algebraische Summe addiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit unveränderten Vorzeichen zu der Zahl hinzufügt. 2. Von einer Zahl wird eine algebraische Summe sub¬ trahiert, indem man ihre einzelnen Summanden mit entgegengesetzten Vor¬ zeichen zu der Zahl hinzufügt. Z. 34. Alle für die absoluten Zahlen abgeleiteten Sätze über die Summen und Differenzen lassen sich schließlich auf das Commutationsgesetz der Addition (Z. 11) zurückführen. Dieses Gesetz gilt aber (nach Z. 32, 3) auch für algebraische Zahlen; folglich gelten alle bisher für die abso¬ luten ganzenZahlen erwiesenen Sätze auch für die algebraischen ganzen Zahlen. Zusätze. 1. Die Ungleichheit zweier Zahlen (Z. 5) muss nun dahin erklärt werden, dass von zwei Zahlen diejenige die kleinere ist, zu welcher man eine positive Zahl addieren muss, um die andere zu erhalten. Ist in > n, so ist — in < — n. Ferner ist allgemein -st rn > 0, — in < 0 und — na < -st n. 2. Die vorstehende Erklärung muss man festhalten, wenn die Sätze über die Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Addition und Subtraction (ZZ. 14 und 26) auf algebraische Zahlen ausgedehnt werden sollen. Zweiter Abschnitt. Mnltrpiicntron und DMs'wn. I. Wuttiptication mit absoluten ganzen Zahlen. Z. 35. 1. ^ineZahl a mit einer Zahl st mul tiplici eren heißt, a so vielmal als Summand setzen, als st Einheiten enthält. Man nennt a den MultiIchücwud, st den Multi pli cator und beide Factor en; die Zahl, welche' man durch das Multiplicieren erhält, heißt das P rodu ct. Das Product ist demnach eine Summe gleicher Summanden; der Multiplicand ist einer dieser gleichen Summanden; der Multiplicator zeigt an, wie viele solche Summanden gesetzt werden sollen. Der Multiplicand kann cine benannte Zahl sein; der Multiplicator ist immer eine unbenannte Zahl. Das Product aus dem Multi¬ plicand a und dem Multiplicator st bezeichnet man durch g, X st, oder a. st (d. i. u st mal), oder, wenn beide Factoren allgemeine Zahlen sind, auch bloß durch a st. Das Product zweier ganzer Zahlen wird auch ein Vielfaches des Multiplicands genannt. Z. B. 12 — 4.3; 12 ist das 3fache von 4. Folgesätze, a) Isst der Multiplicand 1, so ist das Product dem Multiplicator gleich. st) Ist der Multiplican d 0, so ist auch das Product 0. a) 1. a — a, st) 0. s, — 0. 2. Unter dem Prod ucte mehrere r Za bien versteht man das Product, welches erhalten wird, indem man das Product der beiden ersten Zahlen mit der dritten, das neue Product mit der vierten Zahl, u. s. w. multipliciert. Hiernach ist u.st.o — (ast).«, X a . st. e. ä — s(ast). os. ä, U. s. w. X 8. 3S. Ein Product, dessen Factoreu einander gleich sind, wird abge¬ kürzt dadurch bezeichnet, dass man nur einen Factor anschreibt nnd ihm rechts oben die Zahl beisetzt, welche anzeigt, wie vielmal derselbe vorkommt; z. B.: u.a.n.n.n — 17 Ein Product gleicher Factoren heißt ei ne Pore n;: die Anzahl der gleichen Factoren heißt der Potenzexponent, auch bloß Exponent, und der Factor, der so vielmal vorkommt, als der Exponent anzeigt, die Basis o der Gruu d- zaHl, In der Potenz welche gelesen wird: „n zur" mten" (Potenz erhoben) oder „a mit m potenziert", ist a die Basis, m der Exponent. Die zweite Potenz ast nennt man insbesondere auch das Quadrat, die dritte s? den Cubus von u. Wenn in einem mehrgliedrigen Ausdrucke mehrere Potenzen derselben Basis vorkommen, so pflegt man wegen der leichteren Übersicht die einzelnen Glieder nach den Potenzexponenten zu ordnen, indem man entweder mit der höchsten Potenz anfängt und dann immer niedrigere Potenzen folgen lässt, oder indem man von der niedrigsten Potenz der gemeinsamen Basis zu immer höheren Potenzen übergeht. Im ersten Falle heißt der Ausdruck nach fal¬ lenden, im zweiten nach steigenden Potenzen der gemeinsamen Basis geordnet. So ist z. B. der Ausdruck x» — 4x^ -st 6x"z^ — 4x^3 -st ^4 nach fallenden Potenzen von x, und zugleich nach steigenden Potenzen swu geordnest / Z. 37. Ein Product bleibt unverändert, wenn man "die Factoren unter einander vertauscht. (Das Commutationsgesetz der Musttiplicatston.) Es sei u mit i> zu multiplicieren. Bildet man st Reihen, deren jede n Einheiten enthält, nämlich 1 -st 1 -st 1 -st 1 -st ... (amal) -P1-st1Z-1-st1-P ... -PI -st 1 1-stl fl- ... / -st. (st mal), so erhält man offenbar gleich viele Einheiten, ob man die Einheiten aller Hori¬ zontalreihen, oder die Einheiten aller Verticalreihen zählt. Im ersten Falle erhält man s, st mal, also a.st, im zweiten st u mal, also st.u. Es ist daher Z,. st — st.L. Der Satz gilt auch für jede beliebige Zahl von Factoren. Da nämlich in dem Producte mehrerer Factoren je zwei auf einander folgende Factoren bei ungeänderter Stellung der übrigen vertauscht werden dürfen, so kann durch wiederholtes Vertauschen zweier solcher Factoren jeder Factor an jede vor¬ geschriebene Stelle gebracht werden. So ist z. B. für drei Factoren n.st.o — a.o.st — e.a.st — e.st.a — st.o.s, st.u.o. Hier wurde vorausgesetzt, dass die Factoren unbenannt sind. Ist der Multiplicand eine benannte Zahl aL, wo L die Benennung bezeichnet, so hat man nlü.st — (ast)iL — (sta)D; allein es ist auch ststi.a — (stu)st), Moönik, Arithmetik und Algebra. 2 18 , Verbindung der Multipliration mit der Addition und Sudtraction. Z. 4S. 1. Eine Summe wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jeden Summanden mit dieser Zahl multipliciert und die Theil- producte addiert. folglich aL.st -ft stL.a (Z. 8, 2). Man darf also auch in diesem Falle die Factorcn verwechseln, sobald dabei die Benennung des Multiplicands auf den früheren Multiplicator, der nun als Multiplicand auftritt, übertragen wird. Z. B.: 8 fl. X 5 -- 5 fl. X 8 40 fl. Folgesatz. Der Voef fici en t-kann als Factor der Hauptgröße, vor welcher er steht, betrachtet werden. 3a — a -ft a -fta — a.3 — 3.a. Zusatz. Damit dem Commutationsgesetze der Multiplication allgemeine Giltigkeit gewahrt bleibe, muss man anch 1. a — a . 1 und 0. a — a. 0 annehmen dürfen. Dadurch erhalten dann auch die Ausdrücke a.1 und a.O, welche nach der im Z. 35 gegebenen Erklärung der Multiplication keinen Sinn haben, ihre ganz bestimmte Bedeutung. Es ist nämlich a.1—l.a —a und a.0 — O.a — 0; d. h. a) Eine Zahl mit 1 multipliciert gibt sich selbst zum Prodncte. (st) Eine Zahl mit 0 multipliciert gibt 0 zum Productc. Verbindung der Multiplication mit sich selbst. l §. 38. 1. Ein Product wird mit einer Zähl multipliciert, indem man einen Factor mit ihr multipliciert. (ast).e — (an), st — a.(ste). 2. Eine Zahl wird mit einem Producte multipliciert, indem man sie mit dem einen Factor, und das erhaltene Product mit dem andern Factor multipliciert. a.ssto) — (ast), o — (an), st. Diese zwei Sätze, weichst, die Associationsgesetze der Multipli¬ cation heißen, folgen unmittelbar aus dem in Z. 37 erwiesenen Commu- talionsgesche.. A/;,..,. Z. 3S. Potenzen derselben Basis werden multipliciert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. a*°. a° — a°> 4- °. ^Beweis. Ä°i.a° — a.a.a (inmal) .a.a.a.... (nrnal) —a.a.a.... (na -ft n) inal — a°i 4- (a -ft st). in — am -ft st in. 19 Beweis, (a 4- b). m — (a -Z d) -s- (a -Z b) -j- (a -j- d) -j- . .(m mal) a -Z a -1" a Z- .. (m mat) Z- li P lo Z" lo -Z .. (romal) (^. 11) — aro -j- lam. 2. Umgekehrt: Zwei Products, welche einen gemeinsamen Factor haben, werden addiert, indem man die Summe der nicht gemeinsamen Factoren mit dem gemeinsamen Factor multipliciert. LM -s- l am — (a -j- la).in. Z. -II. 1. Eine Differenz wird mit einer Zahl multipliciert, indem man den Minuend und den Subtrahend mit dieser Zahl multipliciert und das zweite Product vom ersten subtrahiert. (a —la).na — am — la in. Der Beweis wird ähnlich wie zu Z. 40, 1 geführt. 2. Umgekehrt: Zwei Producte, welche ein en gemeinsamen Factor haben, werden subtrahiert, indem man die Differenz der nicht gemein¬ samen Factoren mit dem gemeinsamen Factor multipliciert. arn — tarn — (a — Ia).rn. Die durch Z. 40, 2 und Z. 41, 2 ausgedrückten Operationen nennt man das Herausheben des gemeinsamen Factors^ 8. 4L./1. Ein^Zahl-wird mit einer SaE-me multipliciert, indem man D mit jedem^SVMWMk^en multipliciert und dre Theuproducte addrert. a.(io -s- n) — am -s- an. Beweis. a.(rn -j- n) — (ro Z- n).a (tz. 37) — Nia -s- na (K. 40, 1) e. — -am -Z an (A^37). 2. EinVZahl wird mit einer Differenz multipliciert, indem man sie mit dem Minuend und dem Subtrahend multipliciert und von den: ersten Products das zweite subtrahiert. a. (in — n) — a in — an. Der Beweis ist dem vorigen analog. Die in den ZZ. 40—-42 angeführten Sätze heißen die Distributions¬ gesetze der Multiplication. Z. -tZ. 1. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einer Zahl multipliciert, indem man jedes Glied desselben mit dieser Zahl multipliciert und den einzelnen Producten die Zeichen der Glieder des Multiplicands gibt. (a — l) — o -f- ä — s).l —al — lob — ol-s- ck l — s l. Folgt aus tz. 40, 1 und ß. 41, 1. 2. Eine Zahl wird mit einem mehrgliedrigen Ausdrucke multipliciert, indem man sie mit jedem Glieds desselben multipliciert und die einzelnen Productc additiv oder subtractiv zusammenstellt, je nachdem sic aus der Multiplication mit additiven oder subtractivcn Gliedern hervorgehen. a.(1> — v — cl-j-ö — l) — al» — ao — aä-Zao — al. Folgt aus Z. 42. 2* 20 3. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird mit einem mehrglie¬ drigen Ausdrucke multipliciert, indem man den ganzen Multiplicand, d. i. jedes Glied desselben, mit jedem Gliede des Multiplicators multipliciert und die einzelnen Producte additiv oder subtractiv zusammenstellt, je nachdem die bezüglichen Factoren gleiche oder verschiedene Rechnungszeichen haben. (a —ll-sio).(cl—-6 —5) — asi —llä -f-osi —as -j-lla— es.— aü-j-llü—ok. Folgt aus I und 2. Z. 44. Bei mehrgliedrigen Ausdrücken, welche nach den Potenzen derselben Basis fortschreiten, erhält man, wenn dieselben gleichartig geordnet sind, durch die Multiplication des Multiplicands mit den einzelnen Gliedern des Multiplicators Theilproducte, welche ebenso geordnet sind. Man schreibt diese Theilproducte, um sie leichter zu reduciercn, so an, dass ihre gleichnamigen Glieder unter einander zu stehen kommen. Z. B.: 4 a" — 3 a — 4 Multiplicand 3 a" — 7 a si- 5 Multiplicator ^12a"—^9wHl2a" — 28a? -si 21 u- si- 28a 4- 20 a" — 15a — 20 12 a" — 37 a^ -f- 29 a" -f- 13 a — 20 Product. Zusatz. Insbesondere erhält man: 1. (a -si ll)" — (a -s- ll),(a si- ll) — a" -s- 2all -j- ll", und 2. (a — ll)" (a - ll> (a — ll) - a" - 2ai> -si ll"; d. h. Das Quadrat der Summe oder der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate dieser Zahlen, bezüglich ver¬ mehrt oder vermindert um das doppelte Product derselben. 3. (a -j- ll) ,(a — ll) — a" — 1?; d. h. Das Product aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz ihrer Quadrate. 4. (a^ — all -f- ll"), (a -s- ll) — s? -si ll'll 5. (a" -si all -s- ll") (a — ll) — a' — ll^. 6. (a^ — a"ll 4- all" — 1?) ja -si- ll) — a" — ll". 7. (a? -j- a"ll -j- all" -si ll^) (a — ll) — a" — ll". Z. 45. Aus den Sätzen der vorhergehenden Paragraphen -lassen sich für die Bestimmung des Productes von irgend zwei Gliedern beliebiger Ausdrücke folgende Regeln zusammcnfassen: 1. Rücksichtlich des Zeichens ist das Product zweier Glieder additiv oder subtractiv zu setzen, je nachdem diese Glieder gleiche oder verschiedene Rechnungszeichen haben. 2. Der Coefficient des Productes zweier Glieder ist das Product ans den Coefficienten dieser Glieder; denn 3a.4ll — 3.a.4.ll — 3.4.a.ll 12all. 21 3. Die Hauptgröße des Productes zweier Glieder erhält man, indem man die Factoren, welche in den Hauptgrößen dieser Glieder vorkommen (in alphabetischer Ordnung) neben einander stellt. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Multiplication. Z. -tli. 1. Gleiches mit Gleichem multipliciert gibt Gleiches. Ist g, — st^ und o — ä, so ist ao — stä (Z. 8, 3). 2. Gleiches mit Ungleichem multipliciert gibt Ungleiches mit demselben Ungleichheitszeichen. Ist L — st und o > ä, so ist uo > stä. Beweis. Es sei o — ä -st rr, so ist (nach 1) uo — st(ci -j- rv), oder ao —stä-ststv (Z. 42, 1). Nun ist stä-j-stv>stci (Z. 8, 5), somit auch uo > st ä. 3. Ungleiches mit Ungleichem bei demselben Ungleichheits¬ zeichen multipliciert gibt Ungleiches mit demselben Ungleich¬ heitszeichen. Ist u > st und o > ä, so ist na > stä. Der Beweis ist unter Zuziehung von 2 und Z. 42,1 dem vorigen ähnlich. II. Zivision mit absoluten ganzen Zahlen. ß. -17. Eine Zahl u durch eine Zahl st dividieren heißt, aus a als dem Producte zweier Zahlen und st als dem einen der Factoren den andern Factor suchen. Man nennt das gegebene Product u den Dividend, den gegebenen Factor st den Divisor, den gesuchten Factor den Quotienten, und bezeichnet den letzteren mit u: st oder Ein Quotient ist also ein Ausdruck für diejenige Zahl, welche mit dem Divisor multipliciert den Dividend gibt; oder es ist <4 1 _ T-.b — u. v Die Division ist, wenn der Multiplicator als Divisor gegeben ist, im Begriffe wesentlich verschieden von der Division, in welcher der Multiplicand als Divisor gegeben ist. Im ersten Falle ist die Division ein Theilen, wobei der Theil gesucht wird, welcher so vielmal genommen, wie der Divisor anzeigt, den Dividend hervorbringt; der Divisor ist in diesem Falle eine unbe¬ nannte Zahl, der Dividend kann auch eine Benennung haben, welche dann auch der Quotient erhält. Z. B. 15 fl. : 3 — 5 fl. Im zweiten Falle ist die Division ein Messen, (Verhältnis), wobei untersucht wird, wie vielmal der Divisor in dem Dividend enthalten ist; ist hier der Dividend benannt, so 22 muss auch der Divisor benannt, und zwar mit dem Dividend gleichnamig sein; der Quotient ist eine unbenannte Zahl. Z. B. 15 fl. : 3 fl. 5. Der Quotient, als reine Zahl betrachtet, ist jedoch bei gleichem Dividend und gleichem Divisor in beiden Fällen derselbe (Z. 37), so dass man bei der Entwicklung der Divisionsgesetze diese beiden Arten der Division nicht weiter zu unterscheiden braucht. Um die Division auszuführen, sucht man entweder in der Zahlen¬ reihe diejenige Zahl auf, welche so vielmal gesetzt, wie der Divisor anzeigt, den Dividend gibt; oder man subtrahiert wiederholt den Divisor zuerst vom Dividend, dann von dem jedesmal erhaltenen Reste so oft als möglich; die Zahl, welche anzcigt, wie vielmal die Subtraction verrichtet werden kann, ist der Quotient. Die Division zweier Zahlen kann an der natürlichen Zahlenreihe nur dann ausgeführt werden, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors (Z. 35,1) ist. Wir werden daher bei den folgenden Sätzen vorläufig voraussetzen, dass die Dividenden der vorkommenden Quotienten Vielfache ihrer Divisoren sind. tz. 48. Folgesätze. 1. Mnltiplicicrt man den Quotienten zweier Zahlen mit dem Divisor, so erhält man den Dividend. (a : ll).ll — a; ll.(a : ll) — a. 2. Dividiert man das Product zweier Zahlen durch den einen Factor, so erhält man den andern Factor. all : a — ll; all : ll — a. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie mit einer Zahl mnltiplicicrt und durch dieselbe Zahl dividiert. a —(all):ll; a— (a:ll).ll. Die Multiplication und die Division sind demnach einander entgegen¬ gesetzt; letztere ist eine inverse Operation der ersteren, und zwar die ein¬ zige, da es wegen der Vertauschbarkeit zweier Factoren gleichgiltig ist, ob der erste Factor oder der zweite gesucht wird. 4. Jede Zahl durch sich selbst dividiert gibt 1 zum Quotienten. a : a — l; denn 1. a — a. 5. Jede Zahl durch 1 dividiertgibtsichselbstzumQuotienten- a: 1 — a; 1:1 — 1. 6. EinQuotient, dessen Dividend Null, und dessen Divisor von Null verschieden ist, ist gleich Null. 0 : a — 0; denn 0. a — 0. 7. Ein Quotient, dessen Dividend von Null verschieden, und dessen Divisor Null ist, ist unmöglich. a : 0 oder ist, wenn a nicht Null ist, unmöglich; denn es gibt keine Zahl, welche mit 0 multipliciert, das Product a gibt. 8. Ein Quotient, dessen Dividend und Divisor Null sind, ist unbestimmt. 23 O : O — a, wo a eine beliebige Zahl bedeutet; denn u.O — 0. Der Ausdruck ist daher ein Symbol der Unbestimmtheit. Verbindung der Division mit sich selbst und mit der Muttipliration. Z. 49. Ein Product wird durch eine Zahl dividiert, indem mqn einen der Factoren durch sie dividiert. ve 6 Beweis, a) Ist der richtige Quotient der Zahlen ust nnd c, so muss er mit dem Divisor o multipliciert, den Dividend ui> geben (Z. 47). Nun ist wirklich (Z. 38, 1) u.d (8- 48, 1). l>) Ebenso ist auch ein richtiger Ausdruck für den Quotienten — : denn e (8.38, 1) -- u.b (8. 48, 1). Folgesatz. Soll eine Zahl mit einer zweiten multipliciert und durch eine dritte dividiert werden, so ist es gleichgiltig, in welcher Reihenfolge man multipliciert und dividiert. 8- 59. Ein Quotient wird mit einer Zahl multipliciert, indem man den Dividend mit ihr multipliciert oder den Divisor durch sie dividiert. , a a e a o d d : 6 Beweis. Dass ist, ergibt sich aus 8- 49, Folges. Aus der Erklärung eines Quotienten (8- 47) lässt sich ferner folgern, dass auch — ^.o ist; denn ^.oj.(b:o)^.jo.(st:o)l (8- 38, 1) - -^-.d (8- 48, 1) - u. 8- 51. Ein Quotient wird durch eine Zahl dividiert, indem man den Dividend durch sie dividiert, oder den Divisor mit ihr multipliciert. Li. . _ a : o a V' 0 — "Qi,— n- Beweis. Beide Formen des Quotienten entsprechen der in 8- 47 auf¬ gestellten Erklärung desselben. Denn es ist 24 -^.o -- (Z. 50) - (Z. 48, 1), und auch ^-° - dä« (s- S0)-^(8. 48, 2). Folgesatz. Soll cine Zahl durch zwei Zahlen dividiert werden, so darf man entweder durch dieselben einzeln in beliebiger Reihenfolge, oder auch sogleich durch ihr Product dividieren. 8- 52. I. Eine Zahl wird durch ein Product dividiert, indem man sie durch den einen Factor, und den erhaltenen Quotienten durch den andern Factor dividiert. <13, 3 -7— — — : o — : v. beb b Ergibt sich durch Umkehrung der in 8- 51 bewiesenen Gleichungen. 2. Eine Zahl wird mit einem Quotienten multipliciert, indem man sie mit dem Dividend multipliciert und durch den Divisor dividiert. d 3d 3 i a.— — — — —. o. 6 6 6 Folgt durch Umkehrung der Gleichungen in 8- 49. 3. Eine Zahl wird durch einen Quotienten dividiert, indem man sie durch den Dividend dividiert und mit dem Divisor multipliciert. K 3 36 3, * -— i »0 —' 7) « 6 d d Ergibt sich durch Umkehrung aus H. 50. 8- 53. I. Ein Product bleibt unverändert, wenn man den einen Factor mit einer Zahl multipliciert und den andern durch dieselbe Zahl dividiert. ab — ao. (b : e) — (a : o). bv. Es ist ab — a . l(b : e) . (H. 48, 3) — ao . (b : cr) (8- 38, 2); ab — a. i(b . a) : (Z. 48, 3) — (a : o) . ba (Z. 52, 2). 2. Ein Quotient bleibt unverändert, wenn man den Divi¬ dend und den Divisor mit derselben Zahl multipliciert oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. 3 3 6 3.1) b d 6 d : 6 * Es ist (§. 48, 3) G. 52, 3); b b e : e bo (8- 48, 3) — (tz. 52, 1). b (b:c).o k:o Die voranstehenden Sätze über die Division ZZ. 49—53 sind ganz analog den Sätzen über die Subtraction ZZ. 17—21. 8- 54. Potenzen derselben Basis werden dividiert, indem man von dem Exponenten des Dividends den Exponenten des Divisors 85 subtrahiert und die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert. Beweis. Damit hier die Division nach Z. 47 ausführbar sei, muss vor¬ ausgesetzt werden, dass u nicht größer als in sei. Man setze na — u -j- rv, oder na — n — v, wo auch rv — 0 sein kanü; dann ist — a? -t-" : . u" : (ß. Z9) — a" (Z. 48, 2) — Zusatz. Nach diesem Satze ist a? Q a? — a? a" : s? — u". Da aber die Ausdrücke a' und nach der im Z. 36 gegebenen Erklä¬ rung einer Potenz keinen Sinn haben, so muss für dieselben, damit der obige Satz auch für die angeführten zwei Fälle Geltung behalte, erst die Bedeutung festgestellt werden. Nach den bisher entwickelten Divisionsgesetzen ist nun gv -i- l — a und a? : 3? — 1; folglich ist kU gleichbedeutend mit a, und gleichbedeutend mit 1. rr) Die erste Potenz einer Zahl ist dieser Zahl selbst gleich. d) Die nullte Potenz einer Zahl ist gleich 1. Verbindung der Division mit der Addition und Subtrartion. Z. 55. 1. Eine Summe wird durch eine Zahl dividiert, indem man jeden Summanden durch sie dividiert und die so erhaltenen Theilquotienten -addiert. 3,-j-d _ a , b .... . -- Beweis. !-j- — — .na -s- — .m (Z.40,1) — 8 -j- i) (Z.48,1). 2. Umgekehrt: Zwei Quotienten mit gleichem Divisor werden addiert, indem man die Summe ihrer Dividenden durch den gemeinsamen Divisor dividiert. Z. 56. 1. Eine Differenz wird durch eine Zahl dividiert, indem man den Minuend und den Subtrahend durch dieselbe dividiert und von dem ersten Quotienten den zweiten subtrahiert. a — d A. b IN IN IN * Beweis. . m . m (Z. 41,1) u — 6 (ß. 48,1). ( IN IN 1 IN IN / / 2. Umgekehrt: Zwei Quotienten mit gleichem Divisor werden subtrahiert, indem man die Differenz ihrer Dividenden durch den gemein¬ samen Divisor dividiert. Z. 57. Ein mehrgliedriger Ausdruck wird durch eine Zahl dividiert, indem man jedes Glied desselben durch diese Zahl dividiert und den einzelnen Quotienten die Rechnungszeichcn der Glieder des Dividends gibt. 26 a, — I) — 6-j-6. — 6 a b 6 , <1 6 IN IN IN IN IN IN * Die Nichtigkeit dieses Satzes ergibt sich aus ß. 55, 1 und 56, 1. Z. 58. Es sei der Quotient wo und L mehrgliedrige, und zwar gleichartig geordnete Ausdrücke bedeuten, zu entwickeln. Da der Dividend das Product aus dem Divisor L und dem Quotienten ist, so ist nach K. 43, 3 und Z. 44 das erste Glied in das Product aus dem ersten Gliede in L und dem ersten Gliede im Quotienten. Man findet daher das erste Glied st und e — ä, so ist Beweis. Wäre nicht so müsste sein; dann wäre be¬ züglich auch (Z. 46, 1 und 2), daher a ä, so ist Beweis. Wäre so müsste in beiden Fällen -o > ä (8- 46, 2 und 3), daher a > st (ß. 48, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. 4. Ungleiches durch Ungleiches mit entgegengesetztem Un¬ gleichheitszeichen dividiert gibt Ungleiches mit dem ersten Un- gleichheitszeichen. Ist n > st und o < ä, so ist Beweis. Wäre so müsste in beiden Fällen (Z.46, 2 und 4), daher a < st (Z. 48, 1) sein, was gegen die Voraussetzung ist. 28 III. Muktipkicatiorr mrd Division mit algebraischen ganzen Zahlen. Z. KI. Ist der Multiplicator eine positive Zahl -j-u, also gleich der absoluten Zahl u, so ergibt sich schon aus der allgemeinen Erklärung der Mul¬ tiplikation in Z. 35: (-j- a).(F u) — (-f- a).u — -F a -s- a -s- a -s-. .(umal) — -F au, und (— a).(-j- u) — a).u — — a — a — a —. .(umal) — — an. Dagegen hat die Multiplication mit einem negativen Multiplicator — n nach der obigen Erklärung keinen Sinn. Damit auch eine solche Multi¬ plication Bedeutung erhalte, darf man nur den durch die Formel a (iu — u) — aiu— au ausgedrückten Satz, der in §. 42, 2 für in > u bewiesen wurde, auch dann als fortbestehend gelten lassen, wenn iu — o wird. Man erhält dann (ch~ a).(— u) — (4- a).(o — u) — a.o — au — o — au— — au, und (— a).(— u) — (— a).(o — u) — — a.o — (— a.u) — o — (— au) — o -s- au — -s- au. Mit einer negativen Zahl multiplicieren heißt demnach, das Entgegengesetzte des Multiplicands mit dem absoluten Werte des Multiplicators multiplicieren. Die voranstehenden Ergebnisse u).(> u) — -s- au, (—a).(-ch-u) — — au, (—a).(—u) —-s-au, (-s-a).(—u) — — au. kann man in den folgenden Satz zusammenfassen: Zwei gleich bezeichnete Factoren geben ein positives, zwei ungleich bezeichnete Factoren geben ein negatives Product. Folgesätze. 1. Das Product zweier algebraischer Zahlen bleibt ungeändert, wenn man dieselben unter einander vertauscht. Es ist ick: a.-s-i) — ab, und -F i>-—a — ba — ai> (Z.36); daher ^a.-s-lo — -s-b.^a. Ebenso folgt a. — i) — — i). a. 2. Das Product von beliebig vielen positiven Zahlen ist positiv. 3. Das Product von lauter negativen Zahlen ist positiv, wenn die Anzahl der Factoren ein Vielfaches von 2 ist, sonst negativ. Z. «2. Für die Division algebraischer Zahlen gilt der Satz: Der Quotient zweier algebraischer Zahlen ist positiv oder negativ, je nachdem dieselben gleiche oder verschiedene Vorzeichen haben. (4- u) - (ch-1>) — -s- H, (— u) : (-s- l)) — — H, (-1- a) : (— i>) — — (— a) : (— d) -s- cp wo h den absoluten Wert des Quotienten darstellt. Semeis. Ist der Dividend (das Product) positiv, so müssen, wie aus Z. 61 folgt, der Divisor und der Quotient (die beiden Factoren) gleich bezeichnet sein; also ist (st- n) : (st- 6) — st- st und (st- n) : (— d) — — st. Ist der Dividend negativ, so müssen Divisor und Quotient verschiedene Vorzeichen haben; also ist (— a) : (st- b) — — st und (— a.) : (— d) — st- st. Z. 63. Alle für die Producte und Quotienten absoluter Zahlen erwiesenen Sätze lassen sich aus den CommutationSgesetzen n st- k — b> st- n (Z. 11) und u.i> — io.a (K. 37), wo a und d absolute ganze Zahlen bedeuten, durch bloße Umformungen herleiten. Da nun diese zwei Gesetze auch für algebraische Zahlen richtig sind (Z. 32, 3 und Z. 61, Folgest 1), so gelten alle für absolute ganze Zahlen bewiesenen Sätze über die Producte und Quotienten auch für algebraische ganze Zahlen. Insbesondere gelten die Sätze über die Multiplication und Division mehr¬ gliedriger Ausdrücke (ZK. 43—45 und 57—59) auch für algebraische Summens nur müssen die additiven und subtractiven Glieder (mit Rücksicht auf K. 33) hier als positive und negative Summanden betrachtet werden. In Beziehung aus die Sätze über die Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen (Z. 46 und 60) gilt die in Z. 34, Zus. 2, gemachte Bemerkung. IV. Zahlensysteme. Zahlensysteme überhaupt Z. 6i. Unter einem Zahlensystem versteht man eine solche Dar¬ stellung der besonderen Zahlen, mittelst welcher nach einem bestimmten Gesetze durch verhältnismäßig wenige Zahlwörter und Zahlzeichen jede beliebig große Zahl ausgedrückt werden kann. Um ein Zahlensystem zu bilden, zählt man in der natürlichen Zahlenreihe nur bis zu einer bestimmten, jedoch 1 überschreitenden Zahl i>, welche man noch unmittelbar auffassen will, und welche die Grundzahl oder Basis des Zahlensystems heißt. Betrachtet man diese als eine neue Einheit und kommt dann beim weiteren Zählen auf eine Zahl, welche diese neue Einheit so vielmal enthält, wie die Basis anzcigt, also auf die Zahl 1>.d — 6", so sieht man diese wieder als eine neue Einheit oder als Einheit der nächst höheren Ordnung an. Gelangt man bei fortgesetztem Zählen zu einer Zahl, welche die höhere Einheit IV so vielmal enthält, wie i> anzeigt, also zu der Zahl IV.d —iV, so wird diese als Einheit einer noch höheren Ord¬ nung angesehen. Durch Fortsetzung dieses Vorganges kann man neue Ein¬ heiten immer höherer Ordnung bilden. 30 Die auf einander folgenden Einheiten 5, i?, k?... erscheinen als Potenzen der Basis P und heißen, den Exponenten derselben gemäß, Einheiten der ersten, zweiten, dritten, .... Ordnung, oder auch des ersten, zweiten, dritten,... Ranges, zum Unterschiede von der ursprünglichen Einheit, die man, weil 1 — b" (Z. 54, Zus.) ist, auch Einheit des nullten Ranges nennen kann. Z. 65. Jede Zahl kann als eine Summe von Theilen darge¬ stellt werden, deren jeder die Einheit eines bestimmten Ranges, versehen mit einem Coefficienten, welcher kleiner als die Basis ist, enthält. Beweis. Ist die höchste Einheit, welche in der ganzen Zahl Pi vor¬ kommt, so kann man Ps — 4- Pi, setzen, wo a» < i> und Pi, <5^ sein muss. Ebenso kann man weiter setzen: Pi, — -P wo Än-l < 5, Pig < k"-*; Pig — -st Pig, Hg < b, Piz < Pst,? — -st P°-i, wo < d, Pin-i < Pia — i — u, 5 -s-wo a,; < i>, Äg < k. Substituiert man nach und nach die Werte von Pi,, Ps^,.. -Pii>-s, Pst-i in Pi, so erhält man Pi — 3,^5° -st -st a-i-oP" -2 -st ... -st -st -st wobei übrigens von den Coefficienten s, ... a,, Lg einige oder auch alle 0 sein können. Dieser Ausdruck ist daher die allgemeine Form für jede beliebige ganze Zahl in dem Zahlensysteme, dessen Basis 5 ist. Um nun in diesem Systeme alle beliebigen ganzen Zahlen zu benennen, genügt es, bloß denjenigen Zahlen, welche kleiner als 5 sind, sowie den auf einander folgenden Potenzen von b besondere Namen zu geben. Um in diesem Systeme alle beliebigen Zahlen schriftlich darzustellen, bedarf es nur besonderer Zeichen (Ziffern) für die Zahlen, welche kleiner als 5 sind, und des Zeichens 0 für das Nichtvorhandensein einer bestimmten Potenz von i>, somit zusammen so vieler Ziffern, wie die Basis b anzeigt. Da man jede ganze Zahl, die größer als 1 ist, als Basis eines Zahlen¬ systems wählen kann, so lassen sich unzählig viele verschiedene Zahlensysteme Herstellen. ' Dekadisches Zahlensystem. Z. 66. Das gegenwärtig allgemein gebräuchliche Zahlensystem^ ist das dekadische, dessen Basis zehn (deka) ist. 31 In diesem drückt man die ersten neun Zahlen, Einer, mit den bekannten Zahlwörtern eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun aus und nennt die Einheit des ersten, zweiten, dritten, vierten, ... Ranges bezüglich einen Zehner, einen Hunderter, einen Tausender, einen Zehntausend er,... Verbindet man mit jenen Zahlwörtern die Benennungen der aufeinander folgenden dekadischen Einheiten, so kann dadurch jede beliebig große Zahl benannt werden. Um die dekadischen Zahlen schriftlich darzustellen, genügen die Ziffern für die ersten neun Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zu denen noch die 0 kommt. Bezeichnet man mit u, 5, o, ... x>, , subtrahiert, der Rest der Divi¬ sion. Es ist also r — n — st<^, und daher a — stg; -st r. 1. Gemeinsames Maß der Zahlen. Z. 71. 1. Jedes gemeinsame Maß zweier oder mehrerer Zahlen ist auch ein Maß ihrer Summe. Beweis. Es sei in ein Maß der Zahlen a, st, o. Setzt man a : na — st : na — st, o : m — 7-, wo «, st, ganze Zahlen bedeuten, so ist n — na«, st — nast, n — und a -s- st -st «. H. 72. Aufgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier Zahlen zu finden. MoLuik, Arithmetik und Algebra. Z Man dividiere die größere der beiden Zahlen durch die kleinere, sodann den Divisor durch den Divisionsrest, den neuen Divisor durch den neuen Rest, u. s. f., bis endlich eine Division ohne Rest aufgeht; der letzte Divisor ist das größte gemeinsame Maß der zwei gegebenen Zahlen. Beweis. Sind a und st, wo a, > st, die zwei gegebenen Zahlen und gibt so hat man, wenn — 0 angenommen wird, Zunächst ist klar, dass man bei fortgesetztem Dividieren endlich auf einen Rest — 0 kommen müsse, weil der jedesmalige Nest eine ganze Zahl und wenigstens um 1 kleiner als der Divisor, welcher der vorhergehende Rest war, sein muss. Ist nun 1-4 — 0, so folgt, wenn man die oben links stehenden Gleichungen von unten anfangend betrachtet, dass ein Maß von n daher (nach Z. 71) auch von dem Vielfachen r„-21)2 Das gesuchte gr. g. Maß ist also -st — der letzte Divisor a -st 5. st- a -st 5 Rest. Z. 73. Aus der im Z. 72 begründeten Kcttendivision zwischen zwei Zahlen ergeben sich nachstehende Folgesätze: 1. Jedes gemeinsame Maß zweier Zahlen ist auch ein Maß des größten gemeinsamen Maßes derselben. Folgt aus dem zweiten Theile des Beweises zn Z. 72. 2. Ist bei der Kettendivision für a und 5 der letzte Divisor gleich 1, so sind a und 5 relative Primzahlen; und umgekehrt. 3. Sind a und 5 relative Primzahlen, so ist das größte gemeinsame Maß von ap und 5 p gleich p. Denn die Kettendivision für a und 5 gibt als letzten Divisor 1; setzt man nun in dieser Kettendivision statt a und 5 die Zahlen ap und 5 p, d. i. multipliciert man jede der in Z. 72 angeführten Gleichungen mit p, so wird der letzte Divisor, also das größte gemeinsame Maß von ax und 5 p, gleich p. Auf analoge Weise lässt sich folgern: 4. Sind a und 5 relative Primzahlen, so ist das größte gemeinsame Maß von ap und 5 auch das größte gemeinsame Maß von p und 5. Von dem Satze 4. macht man häufig bei der Aufsuchung des größten gemeinsamen Maßes zweier allgemeiner Ausdrücke Anwendung, indem man, um die Kettendivision ausführen zu können, einen der beiden Ausdrücke mit einer Zahl multipliciert oder durch eine Zahl dividiert, welche zu dem andern Ausdrucke relativ prim ist. Beispiel. Man suche das gr. g. Maß von 10x2 14x — 12 und 7x° -st 22x -st 16. Damit die Division der beiden Ausdrücke in ganzen Zahlen ausgeführt werden könne, multipliciere man den ersten mit 7, welche Zahl kein Maß des zweiten Ausdruckes ist; man hat dann (70x2-f- 98x — 84) : (7x°-st 22x-st 16) — 10 70x2 -f- 220x -s- 160 — II _ n _ II _> - 122 x — 244. 3* 36 Wird der Rest — 122x — 244 durch die Zahl — 122, welche kein Maß des früheren Divisors ist, dividiert, wodurch man x -j- 2 erhält, so ergibt sich als weitere Rechnung: (7x° st- 22x st- 16) : (x st- 2) 7x st- 8 7 xst st- 14 x st- 8x -l- 16 Das gr. g. Maß ist also x st- 2. -st 8xst-16 0 H. 74. 1. Ein Quotient, welcher mit jeder von zwei rela¬ tiven Primzahlen multipliciert eine ganze Zahl zum Produkte gibt, ist selbst eine ganze Zahl. Beweis. Es seien a und st relative Primzahlen und die Producte (p : : st, oder (p : st) a und (p : st) st ganze Zahlen sind, muss nach 1. auch x: st eine ganze Zahl sein. 4. Ist eine Zahl gegen zwei oder mehrere andere Zahlen eine relative Primzahl, so ist sie es auch gegen das Product derselben. Beweis. Es sei IQ eine relative Primzahl gegen a, st und 6. Wäre asto : m eine ganze Zahl, so müsste nach 3. auch sto : in, und dann aus dem¬ selben Grunde auch a : in eine ganze Zahl sein, was jedoch der Annahme widerspricht. 5. Die Potenzen zweier relativer Primzahlen sind selbst relative Primzahlen. 37 Beweis. Sind n und b relative Primzahlen, so muss nach 4. auch a gegen bb, ferner bl) gegen an, ebenso na gegen bbb, u. s. w., allgemein u" gegen l>° eine relative Primzahl sein. Z. 75. Ausgabe. Das größte gemeinsame Maß mehrerer Zahlen zu finden. Ist das gr. g. Maß der Zahlen n, i>, o und ä zu finden, so suche mau zuerst das gr. g. Maß von n und b, dieses sei m; dann suche man das gr. g. Maß von m und a, dieses sei n; endlich suche man das gr. g. Maß von n und ä, dieses sei p; p ist dann das gr. g. Maß von a, b, o, ä. Beweis. Nach der Voraussetzung enthält na alle gemeinsamen Primfactoren von a und b; n enthält alle gemeinsamen Factoren von m und o, also auch von a, b und o; p endlich enthält alle gemeinsamen Factoren von n und cl, folglich auch von n, b, o und ä; p ist also das gr. g. Maß von n, b, o und ck. Beispiele. 1) Man suche das gr. g. Maß von 1554, 3552 und 5143. 1554 222 3552 2 444 3 0 2 222 5143 23 0 703 37 6 222 ist das gr. g. Maß von 1554 und 3552; 37 ist das gr. g. Maß von 222 und 5143, also auch von 1554, 3552 und 5143. 2) Man suche das gr. g. Maß von 3x° — 2x^ — 5^, 2x? -s- 9x^ -s- 7^ und 2x^ — 2^. Als das gr. g. Maß von — 2x^ — 5^ und 2x? -f- 9x^ -s- 7^ erhält man x -s- Von x -b und 2x° — 2^ ist ferner x -s- das gr. g. Maß, welches daher zugleich das gr. g. Maß der gegebenen drei Ausdrücke ist. 2. Gemeinsames Vielfaches der Zahlen. 8- 76. Ausgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden. Man suche zu den zwei gegebenen Zahlen das gr. g. Maß, dividiere durch dieses eine der beiden Zahlen und multipliciere mit dem Quotienten die andere; das Product ist das gesuchte kleinste gemeinsame Vielfache. Beweis. Es seien a und b die gegebenen Zahlen. Haben diese kein gemeinsames Maß, so ist ihr Product ab selbst zugleich ihr kl. g. Viel¬ faches. Sind aber n und b nicht relative Primzahlen, so sei va ihr gr. g. Maß, und zwar n : in — «, 5 : in — st, wo« und st keinen gemeinsamen Factor mehr enthalten können; man hat dann n — m«, d — inst. Jedes Vielfache von n muss also die Factoren m und «, jedes Vielfache von b muss 38 die Factoren ra und /3, und daher jedes gemeinsame Vielfache von n und 6 die Factoren na, « nnd /3 enthalten; das Product nun, welches nur diese drei Factoren enthält, wird das kleinste g. Vielfache von a und 6 sein. Das kl. g. Vielfache von a und d ist also — — a(6:ni) — rn/3.« — 6 (a: na). Beispiele. 1) Mau suche das kl. g. Vielfache von 648 und 972. 648 972 1 324 ist das gr. g. Maß. O S24 2 648 : 324 -- 2; 972.2 — 1944, oder 972:324 -- 3; 648.3 ^ 1944; kl. g. Vielfaches — 1944. 2) Es soll das kl. g. Vielfache von 9a^x^— 41?^ und 9a^x? — 12a- 6x^2 4- 41)2^4 gründen werden. Das gr. g. Maß dieser Ausdrücke ist 3a?x— 26^. Man hat dann (9^x2 — 12a? dx^ 4. 4i?^) : (Z^x - 26^) — _ 26^; daher ist (9a?x2 —41?^) (3a'x —26^-) — 27g?x3 — 18a^6x^^^ — 12a^i?xz^ 4- 86^^ das gesuchte kl. g. Vielfache. ß. 77. Aufgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache meh¬ rerer Zahlen zu finden. Man suche zuerst das kl. g. Vielfache zweier Zahlen, dann das kl. g. Vielfache des eben gefundenen Vielfachen und der dritten Zahl, und fahre auf diese Art bis zur letzten gegebenen Zahl fort. Das zuletzt gefundene kl. g. Vielfache ist zugleich das kl. g. Vielfache aller gegebenen Zahlen. Beweis analog mit dem Beweise in H. 75. .-- .. h 3. Theilbarkeit dekadischer Zahlen. H. 78. Eine dekadische Zahl 21 ist durch x theilbar, wenn die Summe der Producte aus ihren einzelnen Ziffern und den¬ jenigen Resten, welche aus der Division ihrer dekadischen Ein¬ heiten durch x entstehen, durch x theilbar ist. Beweis. Es sei die dekadische Zahl N -- a -f- 6.10 -j- e.ll? -f- ... -j- K.10" gegeben, in welcher, a, 6, o,...6 die aufeinander folgenden Ziffern von der Rechten gegen die Linke bezeichnen. Dann ist n i . . io . io- , , . io° — — a.-i-b.- 6 o.- i- ... -s-6. — 10 , r, 10- 1 r„ 10n . I'll Ich NUN — — ci; 4- -U-, — —0,4- ... — — 4- so hat man 39 oder ^s , , L.1 4-dr, 4-erz 4- .. 4-kra p- 6g, 4- egz 4- .. -j- 6(in 4--—. Die Zahl Zs ist also durch x> theilbar, wenn die Productensumme 8 — a. 1 -s- 6r^ -i- orz -s- .. -s- irUll durch x theilbar ist.^ -———' """" Ist z. B. zu untersuchen, ob 415702 durch 7 theilbar sei, so findet man für x — 7 nach der Ordnung die Reste 1, r, — 3, rz — 2, rg — 6, r^ — 4, i-g — 5, u. s. w. Mau hat also 415702 ... Zahl, 546231 ... Reste. Da mm 8 2.1 4- 0.3 4- 7.2 4- 5.6 4- 1.4 4- 4.5 70 durch 7 theilbar ist, so ist auch die Zahl 415702 durch 7 theilbar. Besondere Regeln. Z. 7S. 1. Eine dekadische Zal ist durch 2 oder durch 5 theil¬ bar, wenn ihre niedrigste Ziffer bezüglich durch 2 oder 5 theil¬ bar ist. Denn sowohl für p — 2 als für x — 5 wird — r? — .. — 0, also 8 — a. Zusatz. Zahlen, welche durch 2 theilbar sind, heißen gerade, alle übrigen ungerade Zahlen. Die allgemeine Form für die geraden Zahlen ist 2 w, für die ungeraden 2 m 4- 1 oder 2m — 1, wo m irgend eine ganze Zahl sein kann. 2. Eine dekadische Zahl ist durch 4 theilbar, wenn ihre niedrigsten zweiZiffern als Zahl betrachtet durch 4 theilbar sind. Denn für x> — 4 wird r, — 2, i-z — — 0, also 8 — a -j- 2 6. a 4- 26 ist aber (nach Z. 71, 2) durch 4 theilbar, wenn die um 86 ver¬ größerte Zahl a -4 106 durch 4 theilbar ist. 3. Eine dekadische Zahl ist durch 3 oder durch 9 theilbar, wenn ihre Ziffernfumme bezüglich durch 3 oder durch 9 theil¬ bar ist. Denn sowohl für p — 3 als für p — 9 ist r, — i-z — iz — .. — 1, daher 8 — a.4-6 4-v-s- ... 4. Eine dekadische Zahl ist durch 11 theilbar, wenn die Differenz zwischen den Ziffernsummen in den ungeraden und in den geraden Stellen durch 11 theilbar ist. Für p — 11 ist i-z — i-g — rz — - - — 10 und i-z — 14 — .. — 1, also 8 a -s- 106 4- 0 4- lOä 4- s 4- 101 4- ... 40 Die Summe ist aber (nach Z. 71, 1) durch 11 theilbar, wenn die um 11d-j-11ä-s-111-s- .. verminderte Zahl a — l) -ste — st-sts — oder (ast-ost-sst- ..) — (b -st 4 -j- 1 4- ..) durch 11 theilbar ist. 4. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. ß. 8V. JsteineZahl n kleineralsdasQuadrat einerandern Zahl a und ist n mit Ausschluss der Einheit durch keine Zahl unter a theilbar, so ist n eine Primzahl. Beweis. Gesetzt, n sei durch irgend eine Zahl x theilbar, so könnte nur x > a sein. Es sei nun n : x — x, also n — px, wo x eine ganze Zahl bezeichnet; dann wäre auch n : x — x, also n durch x theilbar. Aus n < a?, und x > a folgt aber n : p < a, oder x < a. Es müsste daher unter der obigen Annahme n durch eine Zahl x < a theilbar sein, was gegen die Vor¬ aussetzung ist. n muss also eine Primzahl sein. 8- 81. Aufgabe. Alle Primzahlen bis zu einer gegebenen Grenze zu bestimmen. Man bilde die Quadrate der natürlichen Zahlen, bis das letzte Quadrat die gegebene Grenze überschreitet: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ... Es sind dann Primzahlen diejenigen Zahlen zwischen 1 und 4, welche mit Ausschluss der 1 durch keine Zahl unter 2 theilbar sind, also 1, 2 und 3; ferner diejenigen Zahlen zwischen 4 und 9, die mit Ausschluss der 1 durch keine Zahl unter 3 theilbar sind, also 5 und 7; u. s. w. Die Richtigkeit folgt aus Z. 80. ß. 82. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich, und zwar nur auf eine Art, in lauter Primfactoren zerlegen. Beweis. Jede zusammengesetzte Zahl a muss wenigstens in zwei Factoren zerlegt werden können, wobei der Factor 1 ausgeschlossen bleibt; diese lassen sich, wenn sie zusammengesetzte Zahlen sind, wieder in Factoren zerlegen, die entweder schon Primzahlen oder selbst wieder zusammengesetzte Zahlen sind; wird im letzteren Falle das Zerlegen fortgesetzt, so muss man, da die Factoren immer kleiner werden, endlich lauter Primzahlen als Factoren erhalten. Sind nun m, n, x, h, r die gefundenen Primfactoren, von denen einige auch gleich sein können, so sind dieselben auch die einzigen absoluten Primzahlen, deren Product die Zahl a ist. Denn ließe sich a auch in die Primfactoren s, t, u, v, die von in, n, x, r verschieden sind, zerlegen, so müsste innpHi-— stnv, und daher innp^i-rs — tnv, also durch s 41 Heilbar sein, was jedoch, da absolute Primzahlen auch relativ prim sind, nach H. 74, 4, nicht möglich ist. Z. 83. Aufgabe. Eine zusammengesetzte Zahl in ihre Prim- factorcn zu zerlegen. Man dividiere die gegebene Zahl durch die kleinste Primzahl, durch die sie Heilbar ist, 1 nicht mitgercchnct; den Quotienten dividiere man wieder durch die kleinste Primzahl, durch die er Heilbar ist, die frühere Primzahl nicht ausgenommen, und verfahre so mit jedem folgenden Quotienten, bis man endlich auf einen Quotienten kommt, der selbst eine Primzahl ist. Die nach und nach angewendeten Divisoren und der letzte Quotient sind die Prim- factoren, aus denen die vorgclegte Zahl besteht. Ist z. B. 630 in Primfactoren zu zerlegen, so hat man: also 630 2.315 2.3.105 — 2.3.3.35 — 2.3.3.5.7. Zusatz. Um alleFactoren einer Zahl zu finden, zerlege man dieselbe in ihre Primfactoren, multipliciere mit dem zweiten Primfactor den ersten, dann mit dem dritten Primfactor die vorhergehenden zwei Primfactoren und den erhaltenen zusammengesetzten Factor, und sofort mit jedem folgenden Primfactor alle vor¬ hergehenden Prim- und zusammengesetzten Factoren. Z. B. 210 2 105 3, 35 5, 7 7, 6 10, 15, 30 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210. Z. 84. Aufgabe. Einen allgemeinen Zahlenausdrnck in Factoren zu zerlegen. Bei eingliedrigen Ausdrücken stellen die einzelnen Buchstaben selbst die Primfactoren vor; enthalten sie Pontenzgrößen, so wird die Basis so oft als Factor gesetzt, als der Exponent anzcigt. Z. B. uir.o — a.k.o; 21 a^rox? — 3.7.a.a.ru.x.x. Für die Zerlegung der Polynome in Factoren lassen sich keine allge¬ meinen Regeln geben; es sollen daher hier nur häufiger vorkommende specielle Fälle betrachtet werden. 1. Ein Polynom, dessen alle Glieder ein gemeinsames Maß haben, wird nach Z. 40, 2, und Z. 41, 2, in zwei Factoren zerlegt, indem man das gemein¬ same Maß als den einen Factor heraushebt und als den andern Factor den 42 Quotienten setzt, welcher aus der Division des gegebenen Ausdruckes durch jenes gemeinsame Maß hervorgeht. Z. B.: 1) 3ax — 46x — x (3a — 46), 2) 20x4 — 16x» -f- 12x2 4x2 (5x? — 4x -si 3). 2. Insbesondere folgt aus Z. 44, Zusatz: 1) 3? -si 2 a 6 -f- l? — (a -f- 6) (a -si 6), 2) g.2 — 2a1) si- 1)2 — (a — 1)) (3 — 1)), 3) s? — 62 -f- (a si- 6) (g, — 6); ferner allgemein: 4) g,2-°41 -p- s)2m^I — 1)) (^-> __ ^Sm-1 gSm-S 1)2 —. . -p- 1)2m^ 5) A2M4-I — 1)Sm^-I — — 1;) g-m-1 6 si- a2w-L 62 -si. . -j- 1)2m), 6) 3.2-° — 1)2"> — (3, -j- 6) (a-w-l — A2---2 1, g,2m-8 1)S — 62-N-4), 7) 3?°° __ 1)Sm L (g, ___ 1)) g.Lm-1 -p. g,2m s 1, _p. g,2m-3 1)2 .-si 3. Ein Trinom von der Form x2^mx/^n/2 kann in zwei Factoren häufig dadurch zerlegt werden, dass man den Coefficientcn m des zweiten Gliedes, je nachdem n positiv oder negativ ist, als die Summe oder als die Differenz -zweier Zahlen darstellt, die als Product n geben, und hierauf die gemein¬ samen Factoren heraushebt. Z. B.: 1) x2 -s- 6x -f- 8 — x2 -f- (4 -si 2) x -si 8 — x? -j- 4x -f- 2x -si 8 x (x si- 4) 4- 2 (x 4) (x 4) (x Z- 2). 2) x2—5 x/-si 6/2 —x2— (3 -s- 2) X / -6 6/2 — x2—3 X /— 2 X / -s- 6/2 —sx (x—3/) —2/ (x—3/) —(x—3/) (x—2/). 3) a? -si 3a. — 10 3- -f- (5 — 2) 3. — 10 3? -f- 5a — 2u — 10 3 (a -si 5) — 2 (a Z- 5) (a -si 5) (a — 2). Z. 85. Ausgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier oder mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden. Man zerlege jede der gegebenen Zahlen in ihre Primfactoren und hebe unter diesen diejenigen Factoren heraus, welche in allen Zahlen gemeinsam vorkommen, und zwar jeden so oft, als er in jeder der gegebenen Zahlen enthalten ist; das Product dieser Factoren ist das gesuchte gr. g. Maß. Beweis. Das so gebildete Product ist, da alle Factoren desselben in sämmtlichen gegebenen Zahlen enthalten sind, gewiss ein gemeinsames Maß derselben; es ist aber auch das größte, weil, sobald man noch einen Factor hinzufügen würde, durch dieses Product nicht mehr alle gegebenen Zahlen theilbar wären. Beispiel. Suche das gr. g. Maß von 300 und 420. 300 2.2.3.5.5, gr. g. Maß 2.2.3.S 60. 420 2.2.3.5.7; tz. 86. Ausgabe. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden. 43 Man zerlege alle gegebenen Zahlen in ihre Primfactoren nnd nehme aus diesen alle verschiedenen Factoren, und zwar jeden so oft, als er in irgend einer gegebenen Zahl am öftesten vorkommt; das Product dieser Factoren ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Beweis. Das so gebildete Product ist, da es alle Factoren einer jeden der gegebenen Zahlen enthält, offenbar ein gemeinsames Vielfaches derselben; cs ist aber auch das kleinste g^Vtelfache, weil man keinen jener Factoren weg- lassen darf, ohne dass das Oroduct aufhören würde, durch alle gegebenen Zahlen theilbär zu sein. Beispiel. Man suche das kl. g. Vielfache von 60, 108 und 1050. 60 2.2.3.5, 108 2.2.3.3.3, 1050 — 2.3.5.5.7; kl. g. Vielfaches — 2.2.3.3.3.5.5.7 — 18900. Z. 87. Haben von einer Reihe gegebener Zahlen zwei oder mehrere ein gemeinsames Maß, so kann man, ohne das kl. g. Vielfache zu ändern, anstatt dieser Zahlen ihr gemeinsames Maß nur einmal, und zugleich die Quotienten setzen, welche aus der Division jener Zahlen durch das gemein¬ same Maß hervorgehen (Beweis zu Z. 76). Ist ferner eine der gegebenen Zahlen ein Maß von einer andern größeren, so kann die kleinere Zahl ohne Änderung des kl. g. Vielfachen ganz unberücksichtigt gelassen werden. Hierauf beruht folgendes praktische Verfahren, das kl. g. Viel¬ fache mehrerer Zahlen mittelst Zerlegung in Primfactoren zu finden: Man lasse in der Reihe der gegebenen Zahlen diejenigen weg, welche in anderen größeren ohne Rest enthalten sind, dividiere von den übrigen so viele als möglich durch eine absolute Primzahl und schreibe die Quotienten sowie die nicht theilbaren Zahlen unter die früheren Zahlen. Ebenso verfahre man mit der neuen und jeder etwa folgenden Reihe, bis man zuletzt nur relative Primzahlen erhält. Das Product dieser letzteren und der absoluten Primzahlen, durch welche dividiert wurde, ist das gesuchte kl. g. Vielfache. Beispiel. Man suche das kl. g. Vielfache vou 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50. 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 50 9, 12, 16, 45, 25 2 6, 8, 45, 25 2 3, 4, 45, 25 2 4, 9, 5Z kl. g. Vielfaches 4.9.5.2.2.2.5 7200. 44 VI. Erweiterung des Zaykengevietes durch die Division als Weitung. Gebrochene Zahlen. ß. 88. Bisher wurde (§. 47) bei jedem Quotienten vorausgesetzt, dass der Dividend a ein Vielfaches des Divisors b, dass also a eine der Zahlen b, 2d, 3b, 4b,... ist, weil nur in diesem Falle die Division an der Reihe der ganzen Zahlen ausgeführt werden konnte. Soll die Division für ganz beliebige Werte des Dividends und des Divisors möglich gemacht werden, so ist man genöthigt, für den Fall, wo a kein Vielfaches von d ist, als eine neue Zahlenform in die Arithmetik einzuführen. Man nennt in diesem allgemeinen Sinne, wo a kein Vielfaches von d ist, den Quotienten im Gegensätze zu den bisher betrachteten ganzen Zahlen eine gebrochene Zahl oder einen Bruch; a heißt der Zähler, d der Nenner des Bruches. Die neue Zahlenform wird nun so definiert werden, dass den Gesetzen, welche bei der Division für die als ganze Zahlen vorausgesetzten Quotienten abgeleitet wurden, auch für die Brüche die Giltigkeit gewahrt bleibe. Wendet man auf den Quotienten dem man auch die Form geben kann, den Satz in Z. 49 an, so erhält man k 1 .L 1 V — V — Die Bedeutung des Bruches ergibt sich dann aus dem durch die Gleichung . b — 1 ausgedrückten Begriffe eines Quotienten; d. i. bcdeutet eine Zahl, welche bmal als Summand gesetzt 1 gibt. Theilt man daher eine Einheit in b gleiche Theile, so stellt ein solcher Theil, da er kimal als Summand gesetzt wieder die Einheit gibt, die Zahl vor. Der Bruch — bedeutet dann die Zahl, welche entsteht, indem man die Einheit in b gleiche Theile theilt, und einen solchen Theil a mal als Summand setzt. Brüche sind daher Zahlen, deren Einheit ausdrücklich als ein Theil der ursprünglichen Einheit angegeben ist. Der Nenner zeigt an, in wie viele gleiche Theile die ursprüngliche Einheit getheilt werden soll, damit ein solcher Theil die neue Einheit des Bruches gebe; der Zähler zeigt an, wie vielmal der Bruch die durch den Nenner gegebene Einheit enthält. 45 Um den gebrochenen Zahlen auch in der Zahlenreihe ihre entsprechende Stellung anzuweisen, muss man für einen bestimmten Nenner d die Reihe der ganzen Zahlen in sich dadurch erweitern, dass man den Abstand je zweier auf¬ einander folgenden Zahlen dieses Reihe, d. i. jede ursprüngliche Einheit, durch Einschaltung neuer Zahlen in so viele gleiche Theile theilt, wie der Nenner d anzeigt, und einen solchen Theil als eine neue Einheit annimmt, um mit ihr zu zählen; man erhält dadurch die Zahlenreihe 5 4, 3 2 1 „ , 1 , Xs , 3 . 4 5 v / X' d' v' welche die Zahlenreihe der i> tel genannt wird. Die durch Einschaltung von ^Brüchen ausgefüllte Zahlenreihe heißt die Bruchzahlenreihe für den bezüglichen Nenner. Solche Reihen können durch Zahlenlinien versinnlicht werden. So hat man für die Reihe der Drittel: _ -4 o _ 4-ls_ 4-2 -b. _A_ -U /2 .7. "Z 3 N 3 3 3 3 3 3 ^3!Z3^33 Z. 89. Ein Bruch, welcher kleiner als l, dessen Zähler also kleiner als der Nenner ist, heißt ein echter Bruch, jeder andere ein unechter Bruch. Ein Bruch, dessen Zähler eine dekadische ganze Zähl, und dessen Nenner eine Potenz von 10 ist, wird ein Decimalbruch Mannt; jeder andere Bruch heißt ein gemeiner Bruch. 1. Gemeine Brüche. Allgemeine Sätze. Z. 99. Aus dem Begriffe eines Bruches folgt: 1. Jeder Bruch gibt mit seinem Nenner multipliciert den Zähler zum Producte. 1, — a. b ' v 2. Von zwei Brüchen, die gleiche Nenner haben, ist jener der größere, welcher den größeren Zähler hat. 3. Von zwei Brüchen, die gleiche Zähler haben, ist jener der größere, welcher den kleineren Nenner hat. Z. 91. 1. Jeder unechte Bruch kann in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruche verwandelt werden. Ist a>i>, so ist — a : st — g! -s- -X, wo die größte ganze Zahl, welche in dem Quotienten a : d vorkommt, und r den Divisionsrest, daher , weil i-<1> sein muss, einen echten Bruch vorstellt. Ein Ausdruck von der Form -j- heißt eine gemischte Zahl. 46 2. Jede ganze Zahl kann in der Form eines Bruches mit gegebenem Nenner dargestellt werden, indem man das Product aus der ganzen Zahl und dem gegebenen Nenner als den Zähler des Bruches annimmt. Es ist a (Z. 48, 3). Ein Bruch, dessen Zähler ein Vielfaches des Nenners, der also einer ganzen Zahl gleich ist, heißt ein uneigentlicher Bruch. 3. Ein Bruch bleibt (seinem Werte nach) unverändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliciert oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. (Z. 53, 2). b d n d : n Z. 92. Ausgaben. 1. Einen gegebenen Bruch auf einen gege¬ benen neuen Nenner zu bringen, welcher ein Vielfaches des früheren Nenners ist. Man dividiere den neuen Nenner durch den früheren Nenner und multipliciere mit dem Quotienten den früheren Zähler; das Product ist der gesuchte neue Zähler. Die Richtigkeit der Auflösung folgt aus Z. 91, 3. Um z. B. auf den Nenner kam zu bringen, hat man -i i a ain VM: 0 — w; a.m — anr; alw V- — .—. ' d drn 2. Zwei oder mehrere Brüche auf den kleinsten gemein¬ samen Nenner zu bringen. Man suche das kl. g. Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche, welches zugleich der neue kl. g. Nenner ist, und bringe (nach Aufg. 1) die gegebenen Brüche auf diesen neuen Nenner. Beispiel. Es sollen die Brüche auf den kl. g. Nenner gebracht werden. Das kl. g. Vielfache aller Nenner, somit der kl. g. Nenner, ist 4dc?ä. Man erhält dann k 2 s. d o : m - 48 der umgekehrte Wert 2. Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Zähler durch sie dividiert oder den Nenner mit ihr multipliciert. a a : in -j- : m — —(8. ol). d d din 8- N7. Die Multiplication einer Zahl mi t einem Bruche hat nach der in Z. 35 aufgestellten Erklärung der Multiplication keinen Sinn. Dieselbe muss, damit auch die Multiplication mit einem Bruche Bedeutung erhalte, entsprechend erweitert werden, was mit Rücksicht auf Z. 52, 2, in folgender Weise geschieht: Eine Zahl a mit einem Bruche multiplicieren heißt, den sovielten Theil von a, wie der Nenner n des Bruches anzeigt, sovielmal als Summand setzen, wie der Zähler m des Bruches anzeigt. Aus dieser Erklärung ergeben sich folgende Sätze: 1. Eine Zahl wird mit einem Bruche multipliciert, indem man sic durch den Nenner dividiert und den Quotienten mit dem Zähler multipliciert. IN. a L IN a. — — - - .IN — —. n n n 2. Ein Bruch wird mit einem Bruche multipliciert, indem mau dem Producte der Zähler das Product der Nenner als Nenner gibt. a in /a . — d n b 3. Das Product zweier Brüche bleibt unverändert, wenn man die Factoren unter einander vertauscht. (nach 2). geben, so heißt jede der . m . m (8. 96, 2) (Z. 96, 1). dn bn L IN LIN IN Lb ,o o^7>. IN (tz- - 8- S8. Wenn zwei Zahlen zum Producte 1 umgekehrte oder reciprokc Wert der andern. So ist a . — 1, — 1, daher -- a n in a von Ä, der umgekehrte Wert von 8- NS. Für die Division durch einen Bruch ergibt sich: 1. Eine Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie durch den Zähler dividiert und den Quotienten mit dem Nenner multi¬ pliciert, oder indem man sie mit dem reciproken Werte des Bruches multipliciert. Beweis. Es ist j—- . nH . — u, und auch tu.— ' IN / n , , IN 2. Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man ihn mit dem reciproken Werte desselben multipliciert, oder indem man dem Quotienten der Zähler den Quotienten der Nenner als Nenner gibt. 49 Es ist (nach 1); oder ' b n d m am /a X / ix a:m a:m -7- : —- — t-^- : mj . Q (nach 1) — —7—.n — 1—. dn V.0 / v// d b : n Hiernach ist — : — — a : st, d. h. der Quotient zweier Brüche mit gleichen Nennern ist gleich dem Quotienten ihrer Zähler. H. IW. Ein Bruch, dessen Zähler oder Nenner, oder beide zugleich wieder Brüche sind, heißt ein gebrochener Bruch. Er ist nichts anderes, als eine angezeigtc Division von Brüchen, und kann daher in einen gewöhnlichen Bruch verwandelt werden, indem man diese Division wirklich ausführt. Z. B. a a a . a , a m an. m a.d an m' dm^m * n m^b m ' n Ism* n n tz. ISI. Alle bisher für die ganzen Zahlen erwiesenen Lehr¬ sätze gelten auch für die gebrochenen Zahlen. Denn alle jene Lehrsätze beruhen auf den Commutationsgesetzen a -f- st — st -f- a, und g, . st — st . g,; diese zwei Gesetze aber gelten, wie in Z. 94 und Z. 97, 3 bewiesen wurde, auch für Brüche. 2. Decimalbrüche. Z. IV2. Die allgemeine Form eines Decimalbruches (Z.89) ist wo und m beliebige dekadische ganze Zahlen bezeichnen. Die Decimalbrüche werden ohne Nenner angeschrieben; man braucht nur im Zähler von der Rechten gegen die Linke so viele Ziffern durch einen Punkt, den Decimalpunkt, abzuschneiden, als der Potenz- cxponent von 10 im Nenner Einheiten enthält. Sollten nicht genug Ziffern vorhanden sein, um sie abschneiden zu können, so werden die fehlenden links durch Nullen ersetzt; ebenso ergänzt man auch die Stelle vor dem Decimal- punkte, wenn für dieselbe keine Ziffer übrig bleibt, durch die Null. Z. B. 78-317, — 0-5483, -A- 0-00037. Die Ziffern rechts nach dem Dccimalpunkte werden Decimalen genannt, stellt demnach einen Decimalbruch mit m Decimalen dar. Mocnil, Arithmetik und Algebra. 4 > /Bezeichnet man in dem Decimalbruche welcher 4 Decimalen enthält, die Zahl vor dem Decimalpunkt durch m, und die Decimalzisfern in der Ordnung gegen die Rechte durch «, st, S, so ist m . 10» . 10» Z- st . 10' -ff / . 10 Z- S, daher L m.10«-p-«.l0»^-st.10^-f-7.10-l-ö st 7 S 10« 10« " wl 4" 10 10^ 10» 10«' Es bedeutet also die Zahl, welche links vor dem Decimalpunkte steht, eine ganze Zahl; die erste Decimale bedeutet Zehntel, die zweite Hundertel, die dritte Tausendtel, die vierte Zehntausendtel u. s. w. In einer nach dem dekadischen Zahlensysteme (Z. 66) geschriebenen ganzen Zahl bedeutet jede Ziffer an der nächstfolgenden Stelle gegen die Rechte den lOten Theil von dem, was sie an der vorhergehenden Stelle gilt. Dasselbe Gesetz findet auch bei den Decimalen statt, da ein Zehntel der lOte Theil von einem Einer, ein Hundertel der lOte Theil von einem Zehntel u. s. w. ist- Die Decimalbrüche sind also eine Erweiterung des dekadischen Zahlen¬ systems in der Art, dass die Reihe der dekadischen Zahlenordnungen Tausender, Hunderter, Zehner, Einer nicht mehr mit den Einern abbricht, son¬ dern sich nach demselben Gesetze, indem jede niedrigere Einheit als der zehnte Theil einer Einheit der nächst höheren Ordnung angenommen wird, noch unter die Einer hinab in Zehnteln, Hunderteln, Tausendteln,... fortsetzt. Der Decimalpunkt scheidet die ursprüngliche Reihe der Zahlenordnungen von dieser Fortsetzung. Hiernach ist ...a.lO» -j- Io. 10' -ff u.10 -st N -ff -ff -ff - die allgemeine Form einer Zahl des dekadischen Systems, wo L, a, ff, 6... die Ziffern der Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, ..., und «, st, ... die Ziffern der Zehntel, Hundertel, Tausendtel ... bezeichnen. Folgesätze. 1. Der Wert eines Decimalbruches wird nicht geändert, wenn man den Decimalen rechts beliebig viele Nullen anhängt. 2. Der Wert jeder Decimalzahl ist kleiner als eine Einheit der ihrer höchsten geltenden Ziffer unmittelbar vvrausgehenden höheren Stelle; z. B. 0-00783 Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Decimalbruch. H. 103. Um einen gemeinen Bruch in einen Decimalbruch zu verwandeln, dividiere man den Zähler a, durch den Nenner ff und bringe im Quotienten nach den Ganzen, an deren Stelle bei einem echten Bruche eine Null gesetzt wird, den Decimalpunkt an. Dem sich ergebenden sowie jedem etwa weiter folgenden Reste hänge man eine Null an und setze 51 die Division fort, bis diese endlich ohne Rest aufgeht oder, wenn dieses nicht eintritt, bis man die gewünschte Anzahl Decimalen erhalten hat. Beweis. Es ist L s. . 10m H . 10m : b c-c, IX b" "" ^TlöL "QilM- K' 1). Wenn man nun bei dem oben vorgezeichneten Divisionsverfahren an die betreffenden Reste nach und nach in Nullen anhängt, was dasselbe ist, als wenn man zu dem Zahler a auf einmal m Nullen hinzugefügt hätte, so wird dadurch a mit 10" multipliciert; und indem man dann die im Quotienten a . 10«° : 5 erhaltenen letzten in Ziffern als Decimalen annimmt, wird dieser Quotient durch 10*° dividiert. Z. B. 3-0 : 4 0-75 A W9 : 125--2-632 20 790 0 400 250 0 Zusätze. 1. Damit sich ein gemeiner Bruch in einen Decimalbruch genau verwandeln lasse, muss a. 10'" bei hinreichend großem na durch io Heilbar sein. Dieses ist aber, wenn a und st relative Primzahlen sind, nach Z. 74, 3 nur dann möglich, wenn IO'" durch 5 Heilbar ist, d. h. wenn st keinen von 2 und 5 verschiedenen Factor enthält. In allen Fällen, wo der Nenner 6 entweder die Factoren 2 und 5 gar nicht, oder außer denselben noch andere davon verschiedene Primfactoren enthält, kann der auf die einfachste Form gebrachte Bruch durch keinen endlichen Decimalbruch dargestellt werden.' Es lässt sich jedoch immer nähe¬ rungsweise ein Decimalbruch entwickeln, welcher von dem gegebenen gemeinen um weniger verschieden ist, als jede noch so kleine gegebene Zahl. Denn ist a. IO'" durch st nicht Heilbar, so kann der Quotient als eine gemischte Zahl angesehen werden. Setzt man also L. IOm r >' !.' wo r < st ist, so ist d — 10^ k" d.10^ Da nun r < st, also < 1, so muss fein. Der Unterschied zwischen dem gemeinen Bruche und dem Decimalbruche ist also kleiner als d. i. kleiner als eine Einheit der letzten noch entwickelten Decimalstelle; er lässt sich daher, da m beliebig groß, daher beliebig klein gemacht werden kann, kleiner machen, als jede noch so kleine angebbare Zahl. 4* 52 2. Wird ein Bruch, der sich nicht genau durch einen Decimalbruch dar¬ stellen lässt, nöherungsweise in einen solchen verwandelt, so muss man bei fortgesetzter Division, da der Rest immer kleiner als der Divisor ist, wieder einen von den früheren Resten erhalten, von welchem an sich dann weiter die nämlichen Ziffern im Quotienten und dieselben Reste wie vorher ergeben. Z. B. 18 : 37 - 0-486 486 ... A 56 : 75 - 0-74 666 ... Decimalbrüche, in denen sich eine bestimmte Anzahl von Ziffern in der¬ selben Ordnung wiederholt, nennt man periodische, und die immer wieder¬ kehrende Ziffernfolge die Periode. Bei den periodischen Decimalbrüchcn sind zwei Fälle zu unterscheiden: entweder beginnt die Periode unmittelbar nach dem Decimalpunkte, oder es gehen der Periode noch andere Decimalen voraus. Im ersten Falle heißt der Decimalbruch rein periodisch, im zweiten gemischt periodisch. Man pflegt die Periode nur einmal anzuschreiben, jedoch die erste und letzte Ziffer derselben mit darüber gesetzten Punkten zu bezeichnen. Verwandlung eines Derimalbruches in einen gemeinen Bruch. Z. IV4. 1. Ein endlicher Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man denselben in der Form eines gemeinen Bruches anschreibt und diesen, wenn es angcht, abkürzt. Z. B. 31-325 -31 31 iz 2. Ein rein periodischer Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man als Zähler die Ziffern der Periode und als Nenner eine Zahl setzt, welche mit so vielen 9 geschrieben wird, als die Periode Ziffern hat. Beweis. Drückt man die Ziffern der Periode durch b und ihre Anzahl durch n aus, so ist der gesuchte periodische Decimalbruch — b , b b , b X 1Ö-> 10-ll 4- 10-ll 4- Igla "4 - . . Multipliciert man diesen Ausdruck mit 10°, so erhält man x 10° - 6 4- -- 4- ——l- 4- Subtrahiert man nun den früheren Ausdruck von dem letzten, so folgt x. 10° — x - d, oder (10° — 1) x — b, b und daraus x — Z?B. <>.6-^-4; 15-351 -15^ 15 A. 3. Ein gemischt periodischer Decimalbruch wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, indem man die der Periode vorangehenden Decimalen sammt der Periode als ganze Zahl zusammenstellt, davon die der 53 Z- B. Periode vorangehenden Decimalen, ebenfalls als ganze Zahl betrachtet, sub¬ trahiert und diese Differenz als Zähler, als Nenner aber eine Zahl annimmt, die mit so vielen 9, als die Periode Ziffern enthält, und so vielen rechts folgenden Nullen, als Decimalen der Periode vorangehen, geschrieben ist. Beweis. Es seien d die Ziffern der Periode, n die Anzahl derselben, ferner a die der Periode vorangehenden Decimalen und m ihre Anzahl; dann ist der gesuchte Decimalbruch x.1O" — s, oder und daraus (10° — 1).10'° ' — 215 — 2 —213—71 0'^10 — 99g — Ogg — AZO' — -ff.. -1. b i b . b . Igm > 1O°I-1° "b" ^0ras-2° ' 1gi°^s° > ' ' ' Multipliciert man diesen Ausdruck zuerst mit 10"^°, dann mit 10", so erhält man x.IO"^ -- n.10° -ff ff -ff -ff ff- - - ° d , b i -h_l 10° 102° 10S° > ' ' ' Durch Subtraction der letzten zwei Ausdrücke ergibt sich x.10"^°— x.10"— a.10° ff-ff — a, x.10°> (10° - 1) — (n.10° -ff ff) — a, (s. 10° -ff d) — s. Rechimngsoperationen mit unvollständigen Drcimalbrüchen. Z. ISIS. Indem wir die allgemeinen Vorschriften für das Rechnen mit Dccimalzahlen als bekannt voraussetzen, werden wir hier nur die bei den Rechnungsoperationen mit unvollständigen Decimalbrüchen sich ergebenden Ab¬ kürzungen näher untersuchen. Stellt ein Decimalbruch irgend einen Zahlenwert, der entweder aus der Rechnung selbst oder aus einer angestcllten Messung hervorgegangen ist, nicht völlig genau, sondern bloß näherungsweise dar, so heißt er ein unvollständiger Decimalbruch, im Gegensätze zu einem vollständigen oder geschlossenen, der in seinen Zahlen vollkommen genau ausgedrückt ist. Dass ein Decimalbruch unvollständig ist, wird durch angehängte Punkte angedeutet; z. B. 3-14... Auch ein geschlossener Decimalbruch kann, wenn für einen bestimmten Zweck eine geringere Genauigkeit genügt, zu einem unvollständigen abgekürzt werden, wenn man eine oder mehrere seiner letzten Decimalziffern weglässt. Die Differenz zwischen einem unvollständigen Decimalbruche und dem genauen Zahlenwerte, den er angenähert darstellt, heißt der Fehler des Decimalbruches. In den meisten Fällen ist der Fehler selbst nicht genau bestimmbar; er wird dann dadurch beurtheilt, dass man eine Größe angibt, 54 welche der Fehler nicht erreichen oder wenigstens nicht überschreiten kann. Diese Größe heißt eine Fehlergrenze des genäherten Decimalbruches. In Beziehung auf die Fehlergrenze beim Abkürzen eines Decimalbruches ergibt sich aus dem 2. Folgesatze zu Z. 102 Nachstehendes: 1. Ist die erste weggelassene Ziffer kleiner als 5, so beträgt der Fehler weniger als eine halbe Einheit der letzten noch beibehaltcnen Stelle. 2. Ist die erste weggelassene Ziffer größer als 5, oder 5 mit nach¬ folgenden geltenden Ziffern, so ist der Fehler größer als eine halbe, aber kleiner als eine ganze Einheit der letzten beibehaltenen Stelle. Man kann daher auch in diesem Falle den Fehler des abgekürzten Decimalbruches kleiner als eine halbe Einheit der letzten beizubehaltenden Stelle machen, indem man die Ziffer an dieser Stelle um 1 erhöht (corrigiert). 3. Ist die erste weggelassene Ziffer 5 mit nachfolgenden Nullen, so ist es gleichgiltig, ob man die letzte beibehaltene Ziffer unverändert lässt oder um 1 erhöht; der Fehler ist in beiden Fällen eine halbe Einheit dieser letzten Stelle. Ein unvollständiger Decimalbruch kann daher immer durch einen geschlossenen mstelligen Decimalbruch a so genau dargestellt werden, dass der Fehler eine halbe Einheit der mten Stelle nicht überschreitet, dass also a.. zwischen a —und a ff- liegt. Unter dieser Voraussetzung bedeutet z. B. 5-83.. eine Zahl zwischen 5-825 und 5'835, 5-830.. „ „ „ 5-8295 „ 5'8305. Der Grad der Genauigkeit einer angenäherten Zahl hängt nicht allein von der Fehlergrenze, sondern auch von der Größe der Zahl ab; er wird gewöhnlich durch die Angabe bestimmt, wie oft die doppelte Fehler¬ grenze, d. i. eine Einheit der niedrigsten Stelle der angenäherten Zahl in dieser enthalten ist. Hiernach ist die Genauigkeit der Zahl 9-32.. gleich 9-32 : 0-01 — 932. Von zwei angenäherten Zahlen heißt daher diejenige die genauere, welche in Einheiten ihrer niedrigsten Stelle ausgedrückt eine größere Gesammtzahl dieser Einheiten darstellt. So sind z. B. die Zahlen 5-74.. und 0-574, wiewohl sie nicht ^dieselbe Fehlergrenze haben, gleich genau, da jede 574 Einheiten ihrer niedrigsten Stelle enthält; dagegen ist 6'825.. genauer als 43-9.., da 6825 > 439 ist. Jede vollständige Zahl ist genauer als irgend eine angenäherte. Beim Rechnen mit unvollständigen Decimalbrüchen ist es von Wichtig¬ keit, zu wissen, mit welchem Grade der Zuverlässigkeit das Rechnungsresultat in jedem Falle bestimmt werden könne, woraus sich dann auch umgekehrt folgern lässt, welche Genauigkeit die gegebenen Zahlen haben müssen, damit das Resultat bis zu einer bestimmten Decimalstelle verlässlich gefunden werde. 55 Addition und Subtraction unvollständiger Decimalbrüchc. Z. 106. 1. Da die Summe mehrerer unvollständiger Decimalbrüchc nur in jenen Stellen verlässlich sein kann, welche in jedem Summanden ver¬ bürgt sind, so kürzt man alle Summanden auf gleich viele Dccimalstcllen ab. Die Fehlergrenze der Summe ist dann, da die Fehler aller Summanden möglicher Weise in demselben Sinne wirken können, gleich so vielen halben Einheiten der letzten Stelle, als die Zahl der Summanden angibt. 2. Auch beim Subtrahicren unvollständiger Decimalbrüchc kürzt man dieselben auf so viele Decimalstellen ab, als in jeder der beiden Zahlen ver¬ bürgt sind. Die Fehlergrenze der Differenz beträgt dann eine Einheit der letzten Stelle. Abgekürzte Multiplikation. H. 107. Will man das Product zweier mehrstelliger Decimalzahlen nicht vollständig, sondern nur bis zu einer bestimmten Stelle entwickeln und in die Rechnung keine überflüssigen Zahlen einbeziehcn, so wendet man die abge¬ kürzte Multiplication an. Darunter versteht man folgendes Verfahren: 1. Man setzt die Einer des Multiplicators unter die niedrigste Decimal- stelle des Multiplicands, welche im Prvducte noch angestrebt wird, und schreibt daneben die übrigen Ziffern des Multiplicators in umgekehrter Reihenfolge; dann haben die Producte aus je zwei unter einander stehenden Ziffern gleichen Rang mit der niedrigsten im Producte verlangten Ziffer. 2. Man multipliciert mit jeder Ziffer des umgekehrt geschriebenen Multipli¬ kators die gerade darüber stehende sowie die weiter folgenden höheren Ziffern des Multiplicands und schreibt die dadurch erhaltenen abgekürzten Theilproducte so an, dass ihre niedrigsten Ziffern, da sie von gleichem Range sind, unter¬ einander zu stehen kommen. Um jedoch die niedrigste Ziffer eines jeden Theil- productcs möglichst sicher zu erhalten, multipliciert man bei der Entwicklung desselben zunächst noch die erste im Multiplicand weggelasscne Ziffer und addiert die daraus sich ergebenden Zehner als Corr ectur zu der niedrigsten Ziffer des Theilproductes. 3. Die abgekürzten Theilproducte werden addiert. Die Fehlergrenze des abgekürzten Productes beträgt so viele halbe Ein¬ heiten der niedrigsten Stelle, als die Anzahl der Theilproducte angibt. Man kann aber die Fehlergrenze meist bis auf eine halbe Einheit dieser Stelle herabdrücken, wenn man in jedem Theilproducte nicht die niedrigste verlangte Stelle korrigiert, sondern noch die ihr folgende niedrigere Ziffer möglichst genau entwickelt und die aus der Summe dieser Ziffern sich ergebende Corrcctur erst im Endprodukte berücksichtigt. Es sei z. B. das Product 48'179 X 13'5645 bis auf 3 Decimalstellen zu entwickeln. 56 In a) ist die Multiplication vollständig ausgeführt, in st) abgekürzt auf 3 Decimalstellen mit der Correctur der einzelnen Theilproducte (Fehlergrenze 0-002), in o) abgekürzt mit der Entwicklung der 4ten Decimalstelle und mit entsprechender Correctur des Endproduktes (Fehlergrenze 0-0002). Z. ll>8. Das Product zweier unvollständiger Decimalzahlen kann höchstens mit derjenigen Genauigkeit angegeben werden, welche das Product des minder genauen Factors mit der höchsten Ziffer des andern Factors erhält; dieses Product aber ist in der niedrigsten Stelle unsicher und erst in der vorletzten Stelle bis auf eine halbe Einheit derselben verbürgt. Um daher das Product zweier unvollständiger Decimal¬ zahlen mit erreichbarer Genauigkeit zu bestimmen, nehme man den ungenaueren Factor zum Multiplikand, setze unter seine vorletzte Ziffer die höchste geltende Ziffer des andern Factors, die übrigen Ziffern desselben aber in umgekehrter Ordnung, und multipliciere sodann abgekürzt. Z. B. 1) 2'916.. X 4'378.. 2) 4-517 X 68'63.. ' 8 7 3^ 715 4 11 66 4 2745 s 87 5 34 3 2 20 4 69 2 3 4 8 12-77.. 310-0.. Zur Bestimmung der Fehlergrenze des Produktes zweier un¬ vollständiger Decimalzahlen a.. und st.., deren Fehlergrenzen bezüglich « und st sind, hat man (aUitt) (st U: st) —ast — U-astU-st«U: «st. Die Fehlergrenze ist also, da das Glied «st als gegen die übrigen ver¬ schwindend klein weggelassen werden kann, im ungünstigsten Falle, wo « und st gleichbezeichnet sind, gleich ust -j- st«. Um demnach die Fehlergrenze des Produktes zu erhalten, multipliciert man jeden Factor (in der Praxis gewöhnlich nur dessen höchste Stelle) mit der Fehlergrenze des andern Factors und addiert diese Produkte. 57 Ist der eine Factor a eine vollständige Zahl, also « — 0, so ist die Fehlergrenze des Productes gleich afl. In dem obigen Beispiele 1) ist die Fehlergrenze des Productes — 3 X 0'0005 -s- 4 X 0'0005 — 0'0035; in dem Beispiele 2) ist die Fehlergrenze 5 X 0'005 — 0-025. Abgekürzte Division. Z. IV9. Will man den Quotienten zweier mehrstelliger Decimalzahlen mit Vermeidung jeder überflüssigen Rechnung nur bis zu einer bestimmten Decimalstellc entwickeln, so bedient man sich der abgekürzten Division. Diese ist die Umkehrung der abgekürzten Multiplication und besteht in folgendem Verfahren: 1. Man sucht die erste Ziffer des Quotienten und bestimmt ihren Rang. Aus dem Range dieser Ziffer und aus der Anzahl der im Quotienten ver¬ langten Decimalen ergibt sich, wie viele geltende Ziffern des Quotienten man im ganzen zu bestimmen hat. Man nimmt dann so viele höchste Ziffern des Divisors, als ihrer der Quotient enthalten soll, als ersten Divisor an. 2. Bei jeder folgenden Division lässt man, anstatt zu dem Rest eine neue Ziffer oder eine Null dazu zu setzen, im Divisor rechts eine Ziffer weg, multipliciert jedoch mit jeder neuen Ziffer des Quotienten zunächst die erste im Divisor weggclassene Ziffer und nimmt aus dem Ergebnisse die Correctur für das Product aus dem abgekürzten Divisor und der entsprechenden Ziffer des Quotienten. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis mit der Division durch die erste Ziffer des Divisors die Rechnung abschließt. Es sei z. B. der Quotient 125'083563 : 8'195 bis auf 2 Decimal- stellen zu entwickeln. Z. 119. Der Quotient zweier unvollständiger Decimalzahlen kann nicht genauer sein als die ungenauere dieser Zahlen. Um daher den Quotienten zweier unvollständiger Decimal¬ zahlen mit erreichbarer Genauigkeit zu bestimmen, nimmt man im Dividend und im Divisor nur so viele Stellen in Betracht, als die ungenauere der beiden Zahlen gestattet, und dividiert abgekürzt. Z. B. 58 1) 148-47..-.6-^4,5.. — 23'77.. 2) 17-837..: 5-,2,7M6 3-382.. 23 47 2 014 4 83 432 46 10 1 Sind allgemein a,., und d., zwei unvollständige Decimalbrüche, « die Fehlergrenze des ersten, st die Fehlergrenze des zweiten, so hat man zur Bestimmung der Fehlergrenze des Quotienten den Ausdruck 3 « 3. — Lb 3 st v « 3 st b st d b -b st) t> sb st- ' Im ungünstigsten Falle sind « und st entgegengesetzt bezeichnet; dann ist, wenn man im Nenner st als gegen st verschwindend klein vernachlässiget, die Fehlergrenze gleich ^2 oder . st^ : st. Um daher die Fehlergrenze des Quotienten zu erhalten, multipliciert man in der Praxis den auf seine höchste Stelle abgekürzten Quotienten mit der Fehlergrenze des Divisors, addiert zum Products die Fehlergrenze des Divi- dends und dividiert die Summe durch die höchste Stelle des Divisors. Ist der Dividend u eine vollständige Decimalzahl, also « — 0, so ist die Fehlergrenze des Quotienten st : st. Ist der Divisor st eine vollständige Decimalzahl, also st — 0, so ist « : st die Fehlergrenze des Quotienten. In dem obigen Beispiele 1) ist die Fehlergrenze des Quotienten (20 X 0-0005 -s- 0-005) : 6 — 0'0025; in dem Beispiele 2) ist 0-0005: 5 — 0-0001 die Fehlergrenze. VII. Unendlich große nnd unendlich kleine Größen und Grenzwerte der Veränderlichen. ß. lil. Größen, denen man während einer Rechnung oder Entwicklung einen bestimmten unveränderlichen Wert beilegt, heißen constant, im Gegen¬ sätze zu den veränderlichen oder variablen Größen, welche jeden beliebigen, ihrer Natur angemessenen Wert annehmen können. Eine veränderliche Größe (Zahl), deren absoluter Wert so im Wachsen begriffen ist, dass er größer wird, als jede beliebige absolute Constante, heißt unendlich groß. Man bezeichnet sie durch oo. Eine veränderliche Größe (Zahl), deren absoluter Wert so im Abnehmen begriffen ist, dass er kleiner wird, als jede beliebige absolute Constante, heißt unendlich klein. 59 Lehrsätze. 1. Die Summe einer endlichen Anzahl von unendlich kleinen Summanden ist unendlich klein. Sind v, . unendlich kleine Größen, und ist ihre Anzahl in eine endliche Zahl, so ist auch -st v -st -st .. unendlich klein, d. i. kleiner als jede beliebige Constante o. Denn theilt man o in in beliebige constante Theile «, st, 7, ..., so wird < «, v < st, < 7, ..., also -st n -st -st .. < o. 2. Ein Product, dessen Multiplicand unendlich klein, und dessen Multiplicator eine constante, vonNull verschiedene Zahl ist, ist unendlich klein. Folgt aus 1. 3. Ein Product, dessen Multiplicand constant und von Null verschieden, und dessen Multiplicator unendlich klein ist, ist unendlich klein. Um zu beweisen, dass für ein unendlich kleines n das Product kleiner als eine beliebige Constante 0 wird, darf man nur n < wählen; dann wird < 0. 4. Ein Quotient, dessen Dividend constant und von Null verschieden, und dessen Divisor unendlich groß ist, ist unendlich klein. Um zu beweisen, dass für ein unendlich großes n kleiner als irgend eine Constante 6 wird, wähle man n > dann wird - -< 0. 5. Ein Quotient, dessen Dividend constant und von Null verschieden, und dessen Divisor unendlich klein ist, ist unendlich groß. Der Beweis ist analog dem Beweise zu 4. Z. IIS. Wenn eine veränderliche Größe X bei fortwährendem Zu- oder Abnehmen sich einer constanten Größe ohne dieselbe zu erreichen, so nähert, dass die Differenz zwischen ihnen unendlich klein wird, so heißt der Grenz¬ wert (limss) von X. Diese Beziehung wird ausgedrückt durch lim X Der Grenzwert einer unendlich kleinen Größe ist Null. Jedoch ist Null selbst nicht unendlich klein, da Null nicht veränderlich, sondern constant ist. Zulatz. Aus dem Satze 4, in Z. 111, ergibt sich lina — 0 für n — so. Wird diese Beziehung, wie es häufig geschieht, kürzer durch die Gleichung ausgedrückt, so ist hier unter dem Zeichen 0 nicht die absolute Null, sondern eine unendlich kleine Zahl zu verstehen. 60 In demselben Sinne gebraucht man auch den reciproken Ausdruck welcher in dieser Auffassung mit dem in A. 48, 7 angeführten Satze nicht im Widerspruche steht. Z. 113. Lehrsätze, l. Der Grenzwert einer Summe ist gleich der Summe der Grenzwerte der Summanden. 2. Der Grenzwert eines Productes ist gleich dem Producte der Grenzwerte der Factoren. 3. Der Grenzwert eines Quotienten ist gleich dem Quo¬ tienten des Grenzwertes des Dividends durch den Grenzwert des Divisors. Sind X und L die Grenzwerte zweier zusammengehöriger Veränder¬ lichen X und X, und sind § und u positive und negative Zahlen, die sich der Null nähern, wenn X und X sich den Grenzwerten X und L nähern, so kann man X X -s- und X — L -s- u setzen. Dann ist X si- X X -si Lff- (§ ff- v), XX XL -j- (Xv si- L§ -s- z«), X 8 U «8 v)' Nähern sich nun X und X ihren Grenzwerten X und L, also § und u der Null, so werden (Z. 111, l und 3) -s- v, Xv 4- L^ -s- Zu, Ltz — Xr tz. 114. Sind zwei constante Größen Grenzwerte derselben Veränderlichen, so sind sie einander gleich. Ist X UmX und L — lim X, so ist X L. Denn wäre dem absoluten Werte nach X > L, so müsste dem absoluten Werte nach X > X > L sein. Man theile nun X — L in zwei ungleiche Theile, von denen der kleinere m sei; dann wird X — X < m, X — L < m, daher X — L < 2m, und umsomehr X — L < X — L, was unmöglich ist. Folgesatz. Eine constante Größe ist als Grenzwert einer ver¬ änderlichen Größe vollständig bestimmt. 61 VIII. Werhäktmsse imd Proportionen. 1. Verhältnisse. Zahlcnvcrhältiiisse. K. 115. Unter dem Verhältnisse zweier Zahlen a und d versteht man den Quotienten derselben im Sinne der messenden Division (Z. 47), d. i. die Angabe, wie vielmal b in a enthalten ist. Der Quotient a : i> oder wird als Verhältnis gelesen: s, verhält sich zu io, oder kürzer: a zu l>. Den Dividend a nennt man das Bord erglied, den Divisor 5 das Hinter- glicd des Verhältnisses. Zwei Verhältnisse, welche denselben Zahlenwert haben, sind einander gleich. Das durch Vertauschung der Glieder eines Verhältnisses s, : U entstehende Verhältnis U : a heißt das umgekehrte oder reciproke Verhältnis der Zahlen a und d; im Gegensätze zu demselben wird dann das gerade Verhältnis dieser Zahlen genannt. Aus dem Begriffe eines Verhältnisses folgt: 1. Das Vorderglied eines Verhältnisses ist gleich dem Hintergliede multipliciert mit dem Quotienten (Z. 48, 1). 2. Das Hinterglied eines Verhältnisses ist gleich dem Vordergliede dividiert durch den Quotienten (Z. 48, 2). 3. Ein Verhältnis bleibt (seinem Werte nach) unverändert, wenn man Vorder- und Hinterglied mit derselben Zahl multi¬ pliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert (H. 53, 2). Durch Anwendung des 3. Satzes kann man a) jedes Verhältnis, dessen Glieder Brüche enthalten, mit ganzen Zahlen darstellen; ii>) jedes Verhältnis, dessen Glieder ein gemeinsames Maß haben, durch dieses abkürzen. Z. IIS. Multipliciert man in zwei oder mehreren Verhältnissen alle Vorderglieder und ebenso alle Hintergliedcr mit einander, so bilden die Prodncte ein neues Verhältnis, welches im Gegensätze zu den gegebenen einfachen Verhältnissen ein zusammengesetztes Verhältnis genannt wird. Sind z. B. a : i> o : ä s: 1 einfache Verhältnisse, so ist aos : i)äl ein zusammengesetztes Verhältnis. GröhcnvkrhältnUe. Z. II7. Zwischen zwei Größen kann nur dann ein Verhältnis statt¬ finden, wenn dieselben gleichartig sind. Das Verhältnis zweier gleichartiger 62 Größen ist gleichbedeutend mit dem Verhältnisse zweier unbenannter Zahlen, welche ausdrücken, wie vielmal eine dritte Größe derselben Art als Maß in jeder der beiden Größen enthalten ist. Ausgabe. Das größte gemeinsame Maß zweier gleichartiger Größen zu finden. Man nehme, wenn A und L die gegebenen Größen sind, von der größeren A die kleinere L so oft weg, als es angeht; sodann in gleicher Weise von L den etwa gebliebenen Rest L,,, von diesem Reste wieder den neuen Rest Rz, u. s. w. Kommt man bei einer dieser Messungen auf einen Rest Rn — 0, so ist der letzte nicht verschwindende Rest Rn-i das gr. g. Maß der beiden gegebenen Größen. Die Begründung dieses Verfahrens, das mit dem in Z. 72 angeig ebenen Vorgänge bei der Auffindung des gr. g. Maßes zweier Zahlen übereinstimmt, ist analog mit dem dort geführten Beweise. Hier werden zwar auch, wie bei der Aufsuchung des gr. g. Maßes zweier ganzen Zahlen, die Reste stets kleiner, man muss jedoch nicht immer, wie dort, schließlich einen Rest — 0 erhalten. Wenn man bei dem obigen Verfahren niemals auf einen Rest — 0 kommt, so weit man die Messungen auch fortsetzen würde, so haben die beiden Größen kein gemeinsames Maß. Ein Beispiel zweier solcher Größen bieten die Hypotenuse und die Kathete eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieckes (Geometrie Z. 107). Zwei Größen, welche ein gemeinsames Maß haben, heißen kommen¬ surabel; zwei Größen, welche kein gemeinsames Maß haben, inkommen¬ surabel. A. 118. 1. Das Verhältnis zweier kommensurabler Größen ist entweder eine ganze oder eine gebrochene Zahl. Sind die Größen A und L kommensurabel, und ist ihr gemeinsames Maß in A in mal, in L n mal enthalten, so ist wo^ für den Fall, dass in durch n theilbar ist, eine ganze Zahl, sonst einen Bruch darstellt. 2. Das Verhältnis zweier inkommensurabler Großen kann a) weder eine ganze noch eine gebrochene Zahl sein; cs lässt sich jedoch i>) als Grenzwert eines veränderlichen Bruches mit jedem beliebigen Grade der Genauigkeit bestimmen. n) Sind A und L zwei inkommensurable Größen, so kann weder — rn, noch sein; denn im ersten Falle wäre dann 6 selbst, im zweiten ein gemeinsames Maß von A und L, was gegen die Voraussetzung ist. 6) Theilt man L in n gleiche Theile und nimmt einen solchen Theil wiederholt von A weg, bis der letzte Rest kleiner wird als so hat man, 63 wenn dies nach m maligem Wcgnehmen der Fall ist, > in . — und L. < (m -st 1). ^, folglich nach §. 60, 2 IN IN -f- 1 n ü n In diesem Falle liegt also das Verhältnis zwischen zwei Brüchen und , deren Unterschied wenn man n hinlänglich groß annimmt, beliebig klein gemacht werden kann. Das Verhältnis ist demnach der Grenzwert, dem sich der veränderliche Bruch um so mehr nähert, je größer n wird, also — lira wenn u — so wird. 2. Erweiterung des Zahlengcbietes durch die Division als Messung. Irrationale Zahlen. ß. IIS. Das Messen zweier incommensurabler Größen führt auf Ver¬ hältnisse, die sich durch die bisher betrachteten Zahlen nicht ausdrücken lassen; man ist deshalb genöthigt, den Zahlenbegriff entsprechend zu erweitern. Dieses geschieht durch Einführung der irrationalen Zahlen. Eine irrationale Zahl ist eine Zahl, welche sich weder durch eine ganze noch durch eine gebrochene Zahl, sondern nur als Grenzwert eines veränderlichen Bruches ausdrücken lässt. Die Werte, welche dieser veränder¬ liche Bruch annimmt, indem er sich der Grenze nähert, heißen Näherungs¬ werte der irrationalen Zahl. Im Gegensätze zu den irrationalen Zahlen werden die bisher betrachteten Zahlen, die ganzen und gebrochenen, rationale Zahlen genannt. Hiernach ist (A. 118) das Verhältnis zweier Größen und L, wenn sie commensurabel sind, eine rationale Zahl, dagegen, wenn sie incommen- surabel sind, eine irrationale Zahl. Das Zeichen für die irrationale Zahl ist lim wo n ohne Ende zunimmt und in die größte ganze Zahl angibt, welche für den jedesmaligen Wert von n in dem Quotienten enthalten ist. Die Brüche und sind für irgend einen besonderen Wert von n auf genaue Näherungswerte dieser irrationalen Zahl. Ein periodischer Decimalbruch ist eine rationale Zahl (Z. 104, 2 und 3). Auch die irrationalen Zahlen können durch eine Zahlenlinie versinnlicht werden. Eine unbegrenzte gerade Linie stellt durch die von einem ihrer Punkte, 64 dem Anfangspunkte, zu beiden Seiten gleich weit abstehenden Punkte die Reihe der positiven und negativen ganzen Zahlen dar. Werden zwischen je zwei Punkte dieser Linie beliebig viele ebenfalls gleich weit von einander entfernte Punkte eingeschaltet, so wird durch.diese die Reihe der Brüche mit beliebigen Nennern dargestellt. Je mehrere solche Punkte man cinschaltet, desto näher rücken sie aneinander, bis sie bei einer ins Unendliche fortschreitenden Ein¬ schaltung, wie die irrationalen Zahlen es fordern, in eine stetige Zahlenlinie übergehen. So lange man sich auf die rationalen Zahlen beschränkte, hatte man immer noch nicht alle Punkte der Linie; erst die irrationalen Zahlen in Verbindung mit den rationalen lassen jeden Punkt der Linie als die Versinn- lichung einer Zahl erscheinen. H. irv. Mit irrationalen Zahlen rechnen heißt, mit ihren Näherungswerten rechnen und den Grenzwert suchen, von welchem das Resultat unendlich wenig differiert, wenn die Näherungswerte der irrationalen Zahlen von ihren Grenzwerten selbst unendlich wenig differieren. Da nach dieser Erklärung die Resultate der Rechnungen mit irrationalen Zahlen durch die bezüglichen Nechnungsresultate ihrer Näherungswerte bestimmt werden, diese aber rationale Zahlen sind, so gelten alle für rationale Zahlen erwiesenen allgemeinen Operationsgesetze auch für die irrationalen Zahlen. 3. Proportionen. ß. !LI. Die Gleichstellung zweier gleicher Verhältnisse heißt eine Pro¬ portion. Ist a : b — h und o : ä — y, so ist auch a : — o : ä; dieser Ausdruck ist eine Proportion und wird gelesen: a verhält sich zu d, wie sich o zu ä verhält, oder kürzer: a zu i>, wie o zu ä. Das erste Glied a und das vierte ä nennt man die äußeren, das zweite und das dritte o die inneren Glieder; auch heißen u und o die Vorderglieder, d und ä die Hinterglieder der Proportion. Das vierte Glied insbesondere wird die vierte Proportionale zu den drei ersten Gliedern genannt. Sind in einer Proportion die inneren Glieder gleich, so heißt dieselbe eine stetige Proportion, z. B. a : k> — k : o. Das innere Glied wird die mittlere (geometrische) Proportionale oder das geometrische Mittel zu u und e, und o die dritte stetige Proportionale zu a. und b genannt. Gröhenproportionen. Z. irr. Sind die Glieder einer Proportion lauter unbenannte Zahlen, so heißt dieselbe eine Zahleuproportion, sonst heißt sie eine Größen¬ proportion. Wenn zwei Arten von Größen so von einander abhängen, dass zu einer m fachen Größe der einen Art auch eine m fache Größe der andern Art gehört, so heißen die beiden Arten von Größen gerade proportioniert; z. B. Ware 65 und Preis. Wenn dagegen zu der m fachen Größe der einen Art nur der m te Theil von der Größe der andern Art gehört, so heißen die beiden Arten von Größen verkehrt proportioniert; z. B. die Zahl der Arbeiter und die Arbeitszeit bei gleicher Leistung. Lehrsatz. Sind zwei Arten von Größen für je zwei commen- surable Werte der einen Art gerade oder verkehrt proportioniert, so sind sie es auch für je zwei inkommensurable Werte derselben. Beweis, a) Es seien und zwei Größen der einen Art, L und L" die zugehörigen Größen einer andern von der ersten abhängigen Art, und es sei für den Fall, dass und commensurabel sind, — L : Um zu beweisen, dass die Verhältnisse und L : L' auch daun gleich sein müssen, wenn und incommcnsurabel sind, theilt man in u gleiche Theile, wo n beliebig groß angenommen werden kann, und nimmt einen solchen Theil von L rumal, d. i. so oft weg, als es angeht; dann bleibt, da und incommcnsurabel sind, von noch ein Rest übrig, der jedoch kleiner als — ist; es ist daher n < ^ < (in 1)^/ ri ri - m oder — < n wo der Unterschied zwischen beliebig klein gemacht werden kann. und durch Vergrößerung von n Da und — commensurabel sind, so sind nach der Voraussetzung die zu und gehörigen Größen der zweiten Art L und und muss auch < U < oder - < < ^7- sein, n n ? II n ' Die irrationalen Verhältnisse und sind demnach Grenzwerte des¬ selben veränderlichen Bruches folglich nach tz. 114 einander gleich. b) Ebenso wird der Beweis geführt, wenn die beiden Arten von Größen verkehrt proportioniert sind. In den hier folgenden Untersuchungen können wir uns daher auf Pro¬ portionen beschränken, deren Verhältnisse rational find. Bestehungen unter den Gliedern einer Proportion. A. IL3. In jeder Zahlenproportion ist das Product der äußeren Glieder gleich dem Producte der inneren Glieder. Es sei a : d — v : ä. Multipliciert man die Quotientengleichung mit i>ci, so erhält man , und folglich aä — Ke. Moönik, Arithmetik und Algebra. 5 66 Folgesätze. I. In einer stetigen Zahlenproportion ist das Quadrat der mittleren Proportionale gleich dem Produkte der beiden anderen Glieder. Ist a : 1r — b : e, so ist l? — ao. 2. Jedes äußere Glied einer Zahlenproportion ist gleich dem Producte der beiden inneren Glieder dividiert durch das andere äußere Glied; und jedes innere Glied ist gleich dem Pro¬ ducte der beiden äußeren Glieder dividiert durch das andere innere Glied. Ist a : b — 6 : ä, daher aä — bo, so ist k 6 1 do a ä a ä 3,-1, ä - —, und V — —— 6V a o d Z. >24. Aus zwei gleichen Produkten lässt sich eine Pro¬ portion bilden, indem man die Faktoren des einen Produktes zu äußeren, die Faktoren des andern Produktes zu inneren Gliedern macht. Es sei aä — bo, daher auch be — aä. Dividiert man diese gleichen Ausdrücke folgeweise durch bä, oä, Proportionen: a : b — o : ä, a : o — b : ä, ä : b — o : a, ä : e — b : a, ab und ae, so ergeben sich folgende o : ä — a : b, b : ä — a : e, 6 : a — ä : b, b: a — ä: o. H. >25. Eine Proportion auflösen heißt, aus drei gegebenen Gliedern einer Proportion das noch unbekannte Glied finden. a) Eine Proportion wird aufgelöst, indem man aus dem Ver¬ hältnisse, dessen beide Glieder gegeben sind, den Quotienten sucht und aus diesem und dem gegebenen Gliede des andern Verhältnisses (nach Z. 115, 1 oder 2) das unbekannte Glied bestimmt, f b) Eine Zahlenproportion wird am einfachsten nach Z. 123, Folgest 2, aufgelöst. Aus x : 2 — 15 : 3 findet man a) 15 : 3 — 5, x 2.5 — 10; oder b) x — — 10; daher 10 : 2 — 15 : 3 die vollständige Proportion. Umformung von Proportionen. Z. >26. 1. Jede Zahlenproportion bleibt richtig, wenn man a) die inneren Glieder unter sich, b) die äußeren Glieder unter sich, v) die inneren Glieder mit den äußeren vertauscht. 67 Es sei a : b — e : ä, daher aä — bo. Dann finden nach Z. 124 auch folgende Proportionen statt: a) a : o — b : ä, b) ä: b — o: a, o) b : a — ä : o. Die Umformung o) kann man auch mit jeder Größenproportion, die Umformungen a) und b) nur mit solchen Größenproportionen vornehmen, in denen alle Glieder gleichartig sind. 2. Eine Proportion bleibt richtig, wenn man ein äußeres und ein inneres Glied mit derselben Zahl multipliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. Folgt aus Z. 115, 3, und Z. 126, 1. Durch Anwendung dieses Satzes kann man n) jede Proportion, in welcher Brüche vorkommen, mit ganzen Zahlen darstellen; b) jede Proportion, in welcher ein äußeres und ein inneres Glied ein gemeinsames Maß haben, durch dieses abkürzen. ß. 127. 1. In jeder Proportion verhält sich die Summe oder Differenz der ersten zwei Glieder zum ersten oder zweiten, wie die Summe oder Differenz der letzten zwei Glieder zum dritten oder vierten. Ist a : b — o : ä, a — bh, o — ä, so folgt aus Z. 127, 3 (n -st k -st o) : (m -st n -st x) — n : na ^ll:n — e : x. §. 129. 1. Wenn man in zwei oder mehreren Zahlen¬ proportionen die gleichstelligen Glieder mit einander multi- pliciert, so bilden die Producte wieder eine Proportion. Sind die Proportionen g, : ll — o : ä, in : n — x : r gegeben, so ist aä — llv, 111 — All, mr —nx. Multipliciert man diese Productengleichungen mit einander, so ergibt sich acilllinr — llnAllnx, oder alin. ällr — llAn. ollx, und hieraus nach Z. 124 alin: llAn — ollpi : cillr. Man sagt, die letzte Proportion sei aus den gegebenen zusammengesetzt. 2. Wenn man die gleichstelligen Glieder zweier Zahlen¬ proportionen durch einander dividiert, so bilden die Quotienten wieder eine Proportion. 69 Ist a : b — o : ä und 1: K — Ir : Ir, so hat man aä — de und klr — §d. Dividiert man die erste Producten- gleichung durch die zweite, so erhält man L ä de , sä de tK IL § Ü und hieraus L d v ä t' ' x d ' Ir' Harmonische Proportionen. Z. 13». Drei Zahlen a, d, e bilden eine harmoni.fcksc Proportion, wenn (a — d):(d — o)—a:e ist; d heißt dann die mittlere harmo¬ nische Proportionale oder das harmonische Wittel zwischen a und a. Ausgabe. Zu zwei gegebenen Zahl^ die dritte harmonisch Proportionierte zu finden. Aus (a. — d) : (d — o) — a : o folgt ao — do — ad — S.L, daher i ° 1) g, —- " /2 e — d' «,d , 2) o-,— -., UNd / 2u— d' , 2uo 6/ d — —!—. L -s- e Die dritte Gleichung"'gibt den Satz: Das harmonische Mittel zwischen zwei Zahlen ist gleich dem doppelten Producte derselben dividiert durch ihre Summe. Vergleichung zwischen dem arithmetischen (Z. SS, Zusatz), dem geometrischen (Z. 121 und Z. 123, Folgest i) und dem harmonischen Mittel. 4. Anwendung der Proportionen. Angewandte Aufgaben mit einfachen Verhältnissen. Z. 131. Die Lösung von Proportionsaufgaben, deren Größen in ein¬ fachen Verhältnissen stehen — die sogenannte einfache Regeldctri — beruht aus folgendem Satze, welcher sich unmittelbar aus dem Begriffe der geraden und verkehrten Proportionalität ergibt: Sind zwei Arten von Zahlen gerade oder verkehrt propor¬ tioniert, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der einen Art bezüglich gleich dem geraden oder dem umgekehrten Ver¬ hältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art. Z. 132. Ein Betrag, der sich auf die Zahl 100 bezieht, wird Procent genannt. Bei der Procentrechnung rechnet man entweder von, oder auf, oder in Hundert, je nachdem die Menge, von welcher die Procente bestimmt 70 Werden, mit der Grundzahl 100 selbst, oder mit 100 vermehrt um das Procent, oder mit 100 vermindert um das Procent gleichartig ist. Bezeichnet x das Procent und k den Ertrag von der Menge m, so hat man folgende Proportionen: ») bei der Rechnung von Hundert k : p — m : 100, also 1> — b) „ „ „ auf Hundert d : x — m: (100-^x), „ b e) „ „ „ in Hundert b : x m : (100 —p), „ d — Angewandte Aufgaben mit zusammengesetzten Verhältnissen. H. 133. Die Lösung von Aufgaben, deren Größen in zusammengesetzten Verhältnissen stehen — die sogenannte zusammengesetzte Regcldetri — beruht auf folgendem Satze: Hängt eine Art von Zahlen von mehreren anderen Arten so ab, dass sie mit denselben einzeln genommen theils gerade, theils verkehrt proportioniert ist, so ist das Verhältnis zwischen je zwei Zahlen der ersten Art gleich dem zusammengesetzten Verhältnisse aus den einfachen bezüglich gerade oder umgekehrt genommenen Verhältnissen zwischen den zugehörigen Zahlen jeder andern Art. Beweis. Es sei die Zahl A von den Zahlen L, 0 so abhängig, wie N „ „ „ 1), 6, wo die mit gleichlautenden Buchstaben bezeichneten Zahlen zu derselben Art gehören, und es seien die Zahlen der ersten Art mit den Zahlen der zweiten Art gerade, mit den Zahlen der dritten Art verkehrt proportioniert. Heißt « eine Zahl der ersten Art, welche zu den Zahlen k, 0 gehört, so hat man folgende Reihen zusammenhängender Zahlen: A, L, 6; «, O, 6; a, 1), o. Da die Zahl « aus A entsteht, indem sich L in 0 ändert, und die Zahlen dieser zwei Arten gerade proportioniert sind, so hat man A: « — L : 1). Da ferner a aus « hervorgeht, wenn sich 0 in o verändert, und die Zahlen dieser zwei Arten verkehrt proportioniert sind, so hat man « : g, — e : 0. Durch Multiplicatiou dieser beiden Proportionen ergibt sich A«: a« — Le :1>O, oder A :a — Lo:1>0, in welcher Proportion der oben aufgestellte Satz enthalten ist. 71 Z. B. Wenn 20 Arbeiter, welche täglich 12 Stunden arbeiten, in 5 Wochen einen Damm von 375 Meter Länge zustande bringen; in wie viel Wochen werden 12 Arbeiter, welche täglich 10 Stunden arbeiten, einen eben solchen Damm von 600 Meter vollenden? 20 Arb. 12 St. täglich 5 Woch. 375 Meter Länge 12 „ 10 „ „ x „ 600 „ „ x:5 —20: 12 12: 10 600 : 375_ X: 1 — 16 : 1; daher x — 16 Wochen. Z. 134. Bezeichnet 2 die einfachen Zinsen, welche ein Capital 6 in .1 Jahren zu? Procent gibt, so hat man zur gegenseitigen Bestimmung dieser Größen folgende zusammengesetzte Regeldetri: 100 sl. Cap. in 1 Jahr. I> fl. Zins 2 : D 0 : 100 0 ,, „ „I „ „ _ I also 2 : k — 03 : 100 und 1002 -- Ok>3, aus welcher Formel sich die bekannten Sätze für die Lösung der Aufgaben über die einfache Zinsrechnung herleiten lassen. Die Theilregel. 8- IZ5. Soll eine gegebene Zahl in mehrere Theile, welche sich wie andere gegebene Zahlen verhalten, getheilt werden, so geschieht dieses durch die Theilregel oder Gesellschaftsrechnung. Die Zahlen, durch welche das Verhältnis der Theile ausgedrückt wird, heißen Verhältniszahlen. Ist nur eine Reihe von Verhältniszahlen gegeben, so wird die einfache, sind mehrere Reihen von Verhältniszahlen gegeben, so wird die zusammen¬ gesetzte Theilregel angewendet. Es seien bei der einfachen Theilregel s die zu theilcnde Zahl, a, 6, o und ä die Verhältniszahlen. Werden die gesuchten Theile durch n, x, und 2 bezeichnet, so hat man die fortlaufende Proportion: u:x:^:x — a:i):o:ck, oder u:«, — x:6—^:o — x:ä, daher nach 8- 128 (n-s-x-s-^-s-2):(a-s-i)-s-o-i-ä) — u:u — x : 6 : e — 2 : ä. Da nun u-s-x-s-^-s-2^8 sein muss, so erhält man » , _ 8 , 3 . 8 i A I) 6 -j- (I 3 6 tl Z. !3A. Die zusammengesetzte Theilregel lässt sich auf die einfache zurückführcn. Es sei eine Zahl s mit Bezugnahme auf mehrere Umstände in drei Theile zu theilen, die sich in einer Beziehung wie n : i> : o, in einer zweiten Beziehung wie ä: s : k, und in einer dritten Beziehung wie § : ll : ir ver¬ halten. Heißen x, 2 die noch unbekannten Theile, so muss sich x: nicht nur wie u : i-, sondern auch wie ä : s und wie A : verhalten; es muss also das Verhältnis x : gleich sein dem zusammengesetzten Verhältnisse aus a : b>, <1: s, § : Ir, also dem Verhältnisse : i-sla. Ebenso muss : 2 — dsil : nklr sein. Es besteht demnach die Forderung, die Theile X, 2 so zu bestimmen, dass der Bedingung x : : 2 — : dsla : eklc genüge geleistet werde, was eine Aufgabe der einfachen Theilregel ist. Z. B. Zu einer Unternehmung vereinigen sich drei Personen: gibt 8000 fl. auf 5 Monate, L 4000 fl. auf 6 Monate, 0 2000 fl. auf 8 Monate her. Die Unternehmung wirft einen reinen Gewinn von 460 fl. ab; wie viel davon wird jede der drei Personen erhalten? Die Kettenregel. Z. 137. Wenn die Beziehung zwischen zwei Größen nicht unmittelbar bekannt ist, sondern erst durch eine zusammenhängende Aufstellung bekannter Zwischenbestimmungen gesucht werden muss, so wendet man die Ketten¬ regel an. Es sei folgende Aufgabe zu lösen: Wie viel (x) Einheiten von der Art N betragen a Einheiten von der Art K., wenn a' Einheiten von der Art 6 Einheiten von der Art L, 0 ,, ,, „ ff 0 na ,, ,, „ „ iU betragen? Diese Aufgabe kann kürzer so angeschrieben werden: xN— I wenn — k>L,! kllL-- eO, f' o'O ^inN,j wo X, ra, u', b, ia', 0, e', IN unbenannte Zahlen, und u, 0, U die Artm oder Benennungen derselben vorstellen. 73 Um das gesuchte Resultat zu erhalten, verwandelt man die gegebenen n Einheiten der Art zunächst in (^) Einheiten der Art L, dann die gefundenen Einheiten der Art L in (2) Einheiten der Art 0, und diese endlich in (x) Ein¬ heiten der Art N. Dabei ergeben sich nach den angegebenen Bedingungen folgende Proportionen: : st — a : ast 2:0 — :stst x : m — 2 : ost woraus nach ß. 143, 1 folgt: x: storu — a : a^st'ost und Aus dem in 1) angegebenen Ansätze der Aufgabe und dem in 2) für x erhaltenen Ausdrucke ergibt sich für die Kettenrechnung folgendes praktisches Verfahren: 1. Man schreibe x mit seiner Benennung an und rechts daneben die gegebene Größe, deren Betrag gesucht wird und die daher mit x gleichen Wert hat. Darunter setze man alle Mittelbeziehungen, und zwar fange man jedesmal links mit einer Größe an, welche mit der nächst vorhergehenden rechts von gleicher Art ist; rechts neben jede Größe kommt diejenige Größe, welche mit ihr gleichwertig ist. So wird fortgesahren, bis man rechts eine Größe erhält, die mit x gleichnamig ist. 2. Man dividiere das Product aller rechts stehenden unbenannten Zahlen durch das Product aller links unter x stehenden; der Quotient gibt den gesuchten Wert von x. Z. B. Wenn in England 1 Quarter Weizen 36 Shilling kostet, welches ist der entsprechende Preis für 1 Hektoliter in fl. ö. W.? (11 Quarter — 32 Hekto¬ liter, 20 Shilling — 1 Pfund Sterling, 10 Pfd. Sterl. — 124 fl. ö. W.) x fl. ö. W. 32 Hektol. 1 Quarter 20 Shilling 10 Pfd. Sterl. 1 Hektoliter 11 Quarter 36 Shilling 1 Pfd. Sterl. 124 fl. ö. W. - 11.36.124 32.20.10 — 7-67 fl. ö. W. Dritter Abschnitt. Gleichungen des ersten Grades. Z. I Z8. Die Gleichstellung zweier Zahlenausdrücke, welche gleichen Wert haben, wird eine Gleichung genannt. Z. B. -—- a — a, (x -j- — x^ -s- 4x -s- 4, 5x — 8 — 3x. Die Größen, welche einander gleichgestellt werden, heißen Th eile der Gleichung und können einzeln wieder aus mehreren Gliedern bestehen. In der Gleichung 5x — 8 — 3x ist 5x — 8 der erste, 3x der zweite Theil; der erste Theil besteht aus zwei Gliedern 5x und — 8. Man unterscheidet identische und Bestimmungsgleichungen. Eine Gleichung, in welcher ein Zahlenausdruck sich selbst oder einer bloßen Umformung dieses Ausdruckes gleichgesetzt wird, heißt eine identische Gleichung; z. B. a — a, (x si-2)'^ — x"-si 4x-j-4. Eine identische Gleichung bleibt für jeden beliebigen Wert der darin vorkommcnden allge¬ meinen Zahlen richtig. Jede Formel für eine arithmetische Operation bildet eine identische Gleichung. Eine Gleichung, in welcher der eine Theil nicht durch bloße Umformung aus dem andern hergeleitet werden kann, welche also auch nicht für alle, sondern nur für bestimmte Werte der in ihr enthaltenen unbestimmten Zahlen richtig ist, heißt eine Bestimmungsgleichung, auch bloß Gleichung im engeren Sinne. Z. B. die Gleichung 5x — 8 — 3x ist nur richtig, wenn man für x den Wert 4 setzt. r 0 - L' r. - Die in einer Bestimmungsgleichnng unbestimmt gelassenen Zahlen heißen Unbekannte und werden gewöhnlich durch die letzten Buchstaben x, 2... des Alphabets bezeichnet. Die Bestimmungsgleichungen dienen dazu, aus den durch sie ausgedrückten Beziehungen zwischen den bekannten und unbekannten Zahlen die letzteren zu bestimmen. Die Werte der Unbekannten, welche einer Gleichung genügen, nennt man die Wurzeln der Gleichung; diese Werte bestimmen, heißt die Gleichung auflös en. Die Wurzeln einer Gleichung müssen, statt der Unbekannten in dieselbe substituiert, die Gleichung zu einer identischen machen. Z. 139. Nach der Anzahl der Unbekannten, welche in einer Gleichung vorkommen, unterscheidet man Gleichungen mit einer, mit zwei und mit mehreren Unbekannten. Z. B. 5x —8 — 3x ist eine Gleichung 75 mit einer, 5x — 3^ — 8 eine Gleichung mit zwei, 7x — 3^ — 5s -j- 5 eine Gleichung mit drei Unbekannten. Eine Gleichung, in welcher keine der Unbekannten in einer höheren als der ersten Potenz und auch kein Product mehrerer Unbekannten vorkommt, heißt eine Gleichung des ersten Grades oder eine lineare Gleichung. Eine Gleichung, welche außer den Unbekannten nur besondere Zahlen enthält, heißt eine numerische oder Ziffergleichung; z. B. 4x — 3 — 5. Eine Gleichung, welche außer den Unbekannten auch allgemeine Zahlen enthält, heißt eine Buchstabengleichung; z. B. ax — d — ex ä. I. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. Z. It«. Das Auflösen der Gleichungen des ersten Grades beruht auf dem Grundsätze: Wenn man mit gleichen Größen gleiche Ver¬ änderungen vornimmt, so erhält man wieder gleiche Größen.. Dieser Grundsatz lässt sich durch folgende Sätze näher ausdrücken: 1. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man zu beiden Th eilen derselben eine und dieselbe Zahl addiert, odervon beiden Theilen dieselbe Zahl subtrahiert. Nach diesem Satze kann man jedes Glied des einen Theilcs mit dem entgegengesetzten Vorzeichen in den andern Theil bringen (transponieren), wie auch gleiche Glieder in beiden Theilen weglassen. Z. B. aus x -si a — i> folgt x — 5 — a, „ 3x-s-w —a-s-iu „ 3x —a. 2. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man beide Theile derselben mit derselben Zahl multipliciert. Mit Hilfe dieses Satzes kann man jede Gleichung von den Nennern befreien, insbesondere auch den Coefficienten der Unbekannten, wenn er negativ ist, durch die Multiplication beider Theile mit — l, d. i. durch Veränderung aller Vorzeichen, positiv darstellen. Z. B. aus —wi) — o folgt x — ui) — ao, „ — x — — 5 „ x — 5. 3. Eine Gleichung bleibt richtig, wenn man beide Theile derselben durch dieselbe Zahl dividiert. Hiernach kann man eine Gleichung, deren beide Theile einen gemein¬ samen Fact-vr haben, durch diesen abkürzen, insbesondere auch den Cocffi- cienten der Unbekannten, wenn er von 1 verschieden ist, wegschaffen. Z. B. aus 6x — 4 folgt 3x — 2, 76 Zu dem vorstehenden Satze muss bemerkt werden, dass ein gemeinsamer Factor der Gleichung, welcher die Unbekannte enthält, durch Division nicht ausgeschicden werden darf, weil sonst die transformierte Gleichung nicht mehr alle Wurzeln der gegebenen Gleichung enthielte. Dividiert man z. B. beide Theilc der Gleichung (x — 1) (x — 2) — 3 (x — 1) durch x — 1, so ent¬ hält die neue Gleichung x — 2 — 3 nur die Wurzel 5, während die gegebene Gleichung auch durch die Wurzel 1 befriedigt wird. Z. 14!. Aus den in H. 140 angeführten Sätzen ergibt sich für die Auflösung der Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbe¬ kannten folgendes Verfahren: 1. Enthält die Gleichung Brüche, so werden die Nenner weggeschafft, indem man beide Theile der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Viel¬ fachen aller Nenner multipliciert. (Wegschaffung der Brüche.) 2. Kommen in der Gleichung durch Klammern verbundene Ausdrücke vor, so werden die Klammern durch wirkliche Ausführung der angezeigten Operationen aufgelöst. (Auflösung der Klammern.) 3. Alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, werden in den ersten Thcil der Gleichung gebracht und zusammengezogen; die übrigen Glieder werden in den zweiten Thcil übertragen und ebenfalls reduciert. (Trans¬ ponieren und Reducieren.) 4. Man befreit die Unbekannte von ihrem Coefficienten, indem man beide Theile der Gleichung durch denselben dividiert. (Division durch den Coefficienten der Unbekannten.) Durch diese Transformationen erhält man schließlich als Auslösung x — a, wo x die Unbekannte und a ein nur aus bekannten Zahlen bestehender Ausdruck ist. Eine Gleichung des ersten Grades mit einer Unbekannten hat nur eine Wurzel. Um sich von der Richtigkeit der Auflösung zu überzeugen, darf man nur den gefundenen Wert für die Unbekannte in die gegebene Gleichung sub¬ stituieren und die Ausdrücke auf beiden Seiten auf die einfachste Gestalt bringen. Erhält man beiderseits dasselbe Resultat, d. i. wird die Gleichung zu einer identischen gemacht, so ist die Auflösung richtig. Beispiele. 1) ^^2x —36. Aust.: x — 10x — 180 Probe: — 2.20 — 36 x — 10x - — 180 b - 9x — — 180 4 40 — 36 x 20. 4^4. 77 2) 6(x — 2) — 2 (3x -j- 1) 14 — 4 (2x -1- 3) ßx — 12 — 6x 6x — 6x -j- 8x 8x x 3) nx-j-i) — n^x-j- NX — n^x — k)^ — i) (L - g/)x — - 1) 2 ^14 —8x —12 14 12 -st 12 -st 2 16 2. n , b d 4) 2n — 2nx -st stx — k> stx— 2nx — st —2n (st — 2 n) x — st — 2 n x --- 1. II. Gleichungen des ersten Grades mit zwei oder mehreren Anöekannten. Z. 142. Eine Gleichung mit zwei Unbekannten ist unbestimmt; man kann für die eine Unbekannte jeden beliebigen Wert annehmen und nach Ein¬ setzung desselben durch Auflösung der entstehenden Gleichung einen zugehörigen Wert für die andere Unbekannte finden. Diese Unbestimmtheit hört auf, wenn noch eine zweite Gleichung mit denselben Unbekannten gegeben ist, welche ber¬ eisten und zweiten Gleichung gleichzeitig genügen sollen, indem man dann aus beiden Gleichungen durch Wegschafsung einer Unbekannten eine einzige Gleichung mit nur einer Unbekannten bildet und diese auflöst. Aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine dritte Gleichung her¬ leiten, welche die eine Unbekannte nicht mehr enthält, heißt diese Unbekannte eliminieren. Z. 143. Eliminations-Methoden. 1. Die Comparations-Methode. Man bestimmt den Wert der¬ selben Unbekannten aus beiden Gleichungen, setzt diese Werte einander gleich und löst die dadurch erhaltene Gleichung, welche nur die andere Unbekannte enthält, auf. Sind allgemein die Gleichungen nx -st st/ — o s/x -st st^/ gegeben, so erhält man aus denselben e — ax e — dv V — —7- — , X — - - daher, weil / und x in beiden Gleichungen dieselben Werte haben sollen, o—sx_0' — n'x. e —v' — M)? d M L ' 78 Aus diesen Gleichungen ergibt sich dann b'e — v«, L«, — — s/d^ Lb' —a'b' 2. Die Substitutions-Methode. Man sucht den Wert einer Unbe¬ kannten aus einer Gleichung und substituiert denselben in die andere Gleichung; dadurch erhalt man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, welche dann aufgelöst wird. Beispiel. 6x — 13/ — 48, 2x -st 3/ — 16. Aus der ersten Gleichung folgt x — wird dieser Wert in die zweite Gleichung substituiert, so hat man 2 . -st 3/ — 16, woraus / — 0 folgt. Substituiert man diesen Wert von / in den Ausdruck X —-b—so sludet man X — —Hg-— 8. 3. Die Methode der gleichen Coefficienten. Man verschafft in beiden Gleichungen der zu eliminierenden Unbekannten durch Multiplication aller Glieder mit einem geeigneten Factor gleiche Coefficienten und addiert oder subtrahiert die neuen Gleichungen, je nachdem diese Coefficienten ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben; die dadurch erhaltene Gleichung mit einer Unbekannten wird dann aufgelöst. Beispiel. 4x 4- 19/ — 11, 6x — 5/ — — 17. Um bei x gleiche Coefficienten herbeizuführen, multipliciert man die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 2; man erhält 12x-st57/— 93, I2x_i o ^_34!s ubtr°hrcrt, 67/ — 67, also / — 1. Wird dieser Wert von / in die erste Gleichung substituiert, so erhält man 4x -st 19.1 — 1l, woraus x — — 2 folgt. 4. Die Methode der unbestimmten Coefficienten (Bäzout'sche Methode). Man multipliciert die eine Gleichung mit einer unbestimmten Zahl rn und addiert sie in dieser Gestalt zu der andern Gleichung. Wählt man nun in so, dass der Coefsicient der zu eliminierenden Unbekannten — 0 wird, so kann dann aus der neuen Gleichung die andere Unbekannte gefunden werden. Beispiel. 3 x -st 4/ — 24, 5x — 3/ — II. Multipliciert man die erste Gleichung mit na und addiert sie dann zu der zweiten, so ergibt sich (3IN -st 5)x -st (4rn — 3)/ — 24in -st ll. 79 Um zu eliminieren, setzt man 4m — 3 — 0, also m — dann hat man (3.^-fi5)x^24.^-s-11, woraus x — 4 solgt. Wird x eliminiert, indem man 3m -s- 5 — 0, also m - — setzt, so erhält man — 3. Zusätze, u) Welche von den vier Eliminations-Methoden in jedem besonderen Falle am vortheilhaftesten anzuwcndcn sei, muss aus der Beschaffen¬ heit der Coefsicienten der Unbekannten beurtheilt werden. Gewöhnlich bestimmt man nur den Wert der einen Unbekannten nach einer der angeführten vier Methoden und substituiert dann den gefundenen Wert in eine der gegebenen Gleichungen, woraus sich der Wert für die zweite Unbekannte ergibt. b) Kommen in den gegebenen Gleichungen nur die reciproken Werte der Unbekannten vor, so ist es am einfachsten, diese reciproken Werte selbst als die eigentlichen Unbekannten anzusehen und aus ihnen nachträglich die ursprünglichen Unbekannten zu berechnen. Z. B. 2.3 1-, <> b 2 . --— 13 und-— 4. Setzt man — x^ und — /, so hat man 2x/ -s- 3/^ — 13 und 5x^ — 2^ — 4, und findet x' — 2, — 3, woraus dann x — folgt. Z. 144. Die in Z. 143, 1, aus den allgemeinen Gleichungen ax -s- U/ — 0, a^x -s- 1,^ — erhaltenen Werte wo—bw »0' — wo —ww »0^—Wb lassen ersehen, dass es Fälle gibt, in denen die gegebenen zwei Gleichungen zur Bestimmung der in denselben vorkommcnden zwei Unbekannten nicht geeignet sind. 1. Die Werte von x und sind unbestimmt, wenn al/ — s/U und i/o — bo^ und daher auch — a'o ist, weil dann x — und wird. Dieser Fall tritt immer ein, wenn die eine Gleichung von der andern abhängig ist. Denn setzt man a — a'm, wo dann auch l> — b'm und 0 — o'm wird, so nehmen die gegebenen Gleichungen folgende Form an: a^mx -U k>^m/ — o^m, a^x -fi — oh woraus hervorgeht, dass die erste Gleichung durch bloße Umformung, nämlich durch Multiplication mit rn, aus der zweiten hcrvorgegangen, folglich von dieser abhängig ist. 80 2. Die zwei Gleichungen lassen ferner keine endliche Auflösung zu, wenn in den obigen Ausdrücken für x und der Nenner — 0, die Zähler aber von 0 verschieden sind, wenn also al/ —a'd, dagegen etwa bc/^l/o ist, weil man dann für x einen Wert von der Form erhält, die keinen Sinn hat (Z. 48, 7). Dieser Fall tritt immer ein, wenn die zwei gegebenen Gleichungen einander widerstreiten. Denn setzt man a — s/m, also auch l> — l/w, so nehmen die gegebenen Gleichungen folgende Form an: a/inx -s- i/rn^ — o, a/x -s- — oh woraus — e folgen würde, was jedoch einen Widerspruch enthält, da nach der Voraussetzung l>n st- 4, und daher x — 1. Auf analoge Weise erhält man — 2 und 2 — 3. III. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades. 8- >46 In jeder Aufgabe, mag sie nur einen einzelnen besonderen Fall betreffen oder ganz allgemein gestellt sein, werden gewisse Bedingungen ange¬ geben, denen die zu suchenden Zahlen genügen sollen. Das Geschäft der Algebra bei der Auflösung von Aufgaben ist ein dreifaches: 1. Der Ansatz einer oder mehrerer zusammengehöriger Gleichungen, d. i. die Übertragung der Bedingungen der Aufgabe aus der gewöhnlichen Wortsprache in die algebraische Zeichensprache; 2. die Auflösung der gebildeten Gleichungen; 3. die Discussion oder Deutung des erhaltenen Resultates, welche die verschiedenen möglicherweise eintretenden Fälle und die Bedingungen der Lösbarkeit der Aufgabe zu erörtern hat. Für das An setzen der Gleichungen können keine allgemeinen Regeln gegeben werden; es ist das Werk des Scharfsinnes und kann nur durch viel¬ fältige Übung geläufig gemacht werden. Anfängern kann folgende Regel als einigermaßen leitende Vorschrift dienen: Man betrachte die gegebene Aufgabe vorläufig als aufgelöst und behandle die Unbekannte so, wie cs die Bedingungen der Aufgabe erfordern; dadurch erhält inan für eine und dieselbe Größe zwei verschieden geformte Ausdrücke, welche einander gleichgestellt die verlangte Gleichung geben. Die Discussion ist besonders dann von Wichtigkeit, wenn das Resultat ein allgemeines ist oder eine negative Auflösung enthält. §. 147. Beispiele. 1) Man suche eine Zahl, deren Hälfte und dritter Theil zusammen 25 betragen. Moäuil, Arithmetik und Algebra. , . i , fU ---> h " g 82 Bezeichnet x die gesuchte Zahl, so ist ihre Hälfte und der dritte Theil daher nach der Bedingung der Aufgabe X H lX ff- — 25, woraus x — 30 folgt. 2) Ein Lehrer gab auf die Frage, wie viele Schüler er habe, folgende Antwort: die doppelte Zahl meiner Schüler beträgt um 76-/z mehr als der fünfte Theil derselben. Wie viele Schüler hatte er? Ist x die gesuchte Zahl, so ist 2x das Doppelte und der fünfte Theil derselben; daher 2x -ff 76-/2, folglich x - 42V-. Discusston. Hier erhält man für die Anzahl der Schüler eine gebrochene Zahl, was keinen Sinn hat; die Lösung der Ausgabe, wie diese gestellt wurde, ist daher unmöglich. 3) ist a Jahre, L k Jahre alt; nach wie vielen Jahren wird doppelt so alt sein als L? Nach x Jahren wird ffraff-x, Ldff-x Jahre alt; man hat daher a ff- x — 2 (k> ff- x), und x — a — 2 Io. Diskussion. Ist hier g. < 26, so ist x — — (2d — a), also negativ. Da eine negative Zahl Jahre keinen Sinn hat, so ist in diesem Falle die Auflösung der vorgelegten Aufgabe unmöglich. Würde man aber in der obigen Gleichung — x statt x setzen, so erhielte man s, — x — 2 (Io — x), und x — 2 d — a. Wenn man daher fragen würde: Vor wie viel Jahren war doppelt so alt als L? so gibt die letztere Gleichung dafür die Lösung x — 2d — a, d. h. vor 2d — a Jahren. Die negative Auflösung einer Gleichung des ersten Grades genügt also, wenn man sie positiv nimmt, einer anderen Gleichung, welche aus der ersten durch Änderung der Vorzeichen der Unbekannten gebildet wird, und kann die Auflösung einer Aufgabe enthalten, in welcher die Fragezahl der vorgelegten Aufgabe im entgegengesetzten Sinne genommen wird. 4) Zwei Körper 8? und L" sind auf einer geraden Linie in derselben Richtung mit den Geschwindigkeiten o' und e" in gleichförmiger Bewegung und gehen gleichzeitig bezüglich durch die Punkte 7^/ und von denen um ä Längeneinheiten rückwärts von liegt. Nach wie viel (D) Zeit¬ einheiten werden beide Körper Zusammentreffen? Lff legt in 1 Zeiteinheiten c/ 1 Längeneinheiten zurück, 1 „ o" 1 „ „ . 83 Da zur Zeit des Zusammentreffens der von 1^ zurückgelegte Weg nm ä größer ist als der von L" zurückgelegte, so ist — o" 1 — ä, daher 57. _ — e"' DisrusfllM. a.) So lange c' 7> e", ist 1 positiv und es gibt eine bestimmte Zeit, nach welcher die Körper zusammentreffen. Wenn v" — e", also o' — so wird 1 —die Auflösung ist unmöglich. Ist für diesen Fall auch ä — O, d. h. gehen die Körper gleichzeitig durch den¬ selben Punkt, so wird 1 —die Auflösung ist unbestimmt, d. i. die Körper haben, da sie in jedem Augenblicke zusammen sind, nicht einen, sondern unendlich viele Zeitpunkte des Zusammentreffens. Ist endlich < o", so wird 1 — — „ ,, woraus folgt, dass in diesem Falle die Auflösung der Aufgabe, so wie sie gestellt wurde, unmöglich ist, was auch schon an sich ciuleuchtet, indem sich der Hintere Körper L" langsamer als der vordere L" bewegt, beide also nicht nur nie Zusammentreffen, sondern sich von ein¬ ander immer mehr entfernen. Um übrigens auch dem negativen Werte von 1 eine Deutung zu geben, darf man nur in der gegebenen Aufgabe die Frage im entgegengesetzten Sinne stellen, nämlich: Vor wie viel Zeiteinheiten waren beide Körper zusammengetroffen? Dann gibt der negative Wert von D positiv genommen eine Auflösung der so geänderten Ausgabe und drückt aus, dass die zwei Körper vor Zeiteinheiten zusammengetroffen waren. b) Setzt man — ä für ä, d. i, nimmt man an, dass der Punkt vor¬ wärts von liege, so erhält man D — ; es gelten daher hier die unter u) für L?, gewonnenen Resultate bezüglich von L", o" und umgekehrt. o) Setzt man endlich — o" für <^, d. i. nimmt man an, dass sich der Körper L" gegen 8? in entgegengesetzter Richtung bewege, so wird D — - Wenn ä positiv ist, bedeutet 1' die Zeit, nach welcher die Körper zusammentreffen. Für ä — 0 wird auch 1 — 0, d. i. wenn die zwei Körper gleichzeitig von demselben Punkte abgehen, so sind sie eben zur Zeit des Abganges zusammen. Ist ä negativ, dann wird 1 — — d. i. die beiden Körper waren vor Zeiteinheiten zusammengctrosfen. Wird aus der obigen Grundgleichung nicht 1, sondern eine andere allgemeine Größe bestimmt, so erhält man dadurch die Lösung für eine andere verwandte Aufgabe. Die algebraische Auflösung einer allgemeinen Aufgabe 6* beantwortet daher nicht bloß die unmittelbar gestellte Aufgabe; sie liefert zugleich die Auflösung sür eine ganze Gruppe von verwandten Aufgaben und zeigt den inneren Zusammenhang, in welchem dieselben unter einander stehen. Insbesondere dienen die negativen Werte dazu, um die Beschränkungen auf¬ zuheben, welche in eine Aufgabe gelegt wurden, und um dadurch diese in ihrer Allgemeinheit vollständig zu lösen. 5) Man theile die Zahl 58 in zwei Theile so, dass der eine Theil um 16 kleiner sei als der andere. Bezeichnet man den größeren Theil durch x und den kleineren durch so muss nach den Bedingungen der Aufgabe x Z- — 58 und x — A 16 sein, aus welchen Gleichungen x — 37, — 21 folgt. Diese Aufgabe kann auch mittelst einer einzigen Gleichung mit einer Unbekannten aufgelöst werden. Ist nämlich x der größere Theil, so ist 58 —x der kleinere, und es muss x — 58 — x -s- 16 sein, woraus x — 37, daher 58 — x — 21 folgt. 6) Man hat zwei gleichartige Stoffe; von dem ersten ist der Wert einer Einheit — s,, von dem zweiten — i>. Man soll aus beiden eine Mischung machen, die m Einheiten enthält und von welcher jede Einheit den Wert o hat. Wie viele Einheiten muss man von jedem Stoffe zu dieser Mischung nehmen? Es wird vorausgesetzt, dass der Wert der Mischung gleich ist den Werten der dazu verwendeten Stoffe. Bezeichnet x die Anzahl der Einheiten, welche man von dem ersten Stoffe nehmen muss, und die Anzahl der Einheiten, welche man von dem zweiten Stoffe nehmen muss, so ist x -j- — in und ax-j-6/ — ein, daher Die Aufsuchung des Mischungsverhältnisses der beiden Quantitäten x: zs — (o — d): (a, — o) bildet die sogenannte Alligationsrechnung. Vierter Abschnitt. Hotenzreren, Kudrcieren und Uogunthimerm. I. Potenzen mit positiven ganzen Exponenten. Z. 148. Eine Zahl a zur nten Potenz erheben oder mit n potenzieren heißt, n n mal als Factor setzen (Z. 36). a ist die Grund¬ zahl oder Basis, n der Potenzexponent und das erhaltene Product p die nte Potenz von u. Man schreibt a" — p. Eine Potenz ist demnach ein Product gleicher Factoren. Folgesätze. a) 1° 1. d) 0° 0. Zusatz. Die vorstehende Erklärung hat zunächst nur dann einen Sinn, wenn der Exponent eine ganz positive Zahl und > 1 ist. Das Princip der Erhaltung der Operationsgesetze führt jedoch die Nothwendigkeit herbei, den ursprünglichen Potenzbegriff zu erweitern. Eine solche Erweiterung enthalten schon die im Zusatz zu ß. 54 abgeleiteten Sätze. — a und — 1. se '* Später wird der Potenzbegriff auch auf negative und gebrochene Expo¬ nenten erweitert werden. Verbindung des Potenzierens mit sich selbst. Z. I4S. Die Potenz einer Potenz bleibt unverändert, wenn man die Exponenten unter einander vertauscht. Beweis. Ordnet man die gleichen Factoren der Potenz (n^)" in n Reihen, deren jede den Factor n na mal enthält, nämlich a . a . a,. a.... (in mal) 3.3 » Ä « 3 » « « » (n mal), so erhält man offenbar n na n mal als Factor, mag man die ra Factoren einer Horizontalrcihe nmal, oder die n Factoren einer Verticalreihe rn mal als 86 Factor setzen. Äm ersten Falle erhält man a" umal als Factor, also im zweiten s? m mal als Factor, also (u°)m. Es ist daher Dieser Satz behält, wie leicht zu zeigen ist (Z. 37), seine volle Giltigkeit auch dann, wenn mehr als zwei Poteuzexponenten gegeben sind. 15«. 1. Eine Potenz wird mit einer Zahl potenziert, indem man die Basis mit dem Produkte beider Exponenten potenziert. (u-°)" — Folgt aus dem Beweise in Z. 149. 2. Umgekehrt: Eine Zahl wird mit einem Producte poten¬ ziert, indem man sie mit dem einen Factor, und die erhaltene Potenz mit dem andern Factor potenziert. Verbindung des Potenzierens mit der Multiplikation und Division. Z. 151. 1. Ein Product wird mit einer Zahl potenziert, indem man jeden Factor mit ihr potenziert. (ad)'" — Beweis, (ust)^ — ula.ula.ali.rM. _(namal) — N.N.Ä.N.. (mmal) .5.6.1».1>... (mmal) (Z. 37) — 2. Umgekehrt: Potenzen desselben Exponenten werden multi- pliciert, indem man das Product der Grundzahlen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Z. 152. 1. Ein Quotient (Bruch) wird mit einer Zahl poten¬ ziert, indem man Dividend und Divisor mit ihr potenziert. / Ä _ AM d / diu* Der Beweis ist demjenigen zu Z. 151, 1 analog. 2. Umgekehrt: Potenzen desselben Exponenten werden divi¬ diert, indem man den Quotienten der Grundzahlen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert. Folgesatz. Die Potenz eines auf die einfachste Form gebrachten echten oder unechten Bruches kann nie eine ganze Zahl sein. Folgt aus 1. unter Bciziehung von Z. 74, 5. Z. I5L. 1. Potenzen derselben Basis werden multipliciert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert. Dieser Satz wurde schon in ß. 39 bewiesen. 2. Umgekehrt: Eine Zahl wird mit einer Summe potenziert, indem man sie mit jedem Summanden potenziert und die erhaltenen Potenzen multipliciert. 87 Z. >51. 1. Potenzen derselben Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit einer Zahl potenziert, welche gleich ist dem Exponenten des Dividends weniger dem Exponenten des Divisors. g« : — g,-»-». Die Richtigkeit dieser Gleichung für m > n und in — u wurde in K. 54 bewiesen; die Bedeutung derselben für m < n wird weiter unten (K. 175) besonders untersucht werden. 2. Umgekehrt: Eine Zahl wird mit einer Differenz potenziert, indem man sie mit dem Minuend und mit dem Subtrahend potenziert, und die erste Potenz durch die zweite dividiert. Zusah. Mit Potenzen, welche ungleiche Exponenten und ungleiche Grund¬ zahlen haben, wird die Multiplication und Division auf dieselbe Art wie mit allgemeinen Zahlen überhaupt vorgenommeu. Die in den KK. 151—154 angeführten Sätze bilden die Distributions¬ gesetze des Potenzierens. Das commutative Princip findet bei den Potenzen nicht statt, da a" von ru^ im allgemeinen verschieden ist. Verbindung des Potenzierens mit der Addition und Subtraktion. K. 155. Für das Addieren und Subtrahieren von Potenzen sowie für das Rechnen mit mehrgliedrigen Ausdrücken, in denen Potenzen vorkommen, gelten die bezüglichen, für allgemeine Zahlen überhaupt abgeleiteten Sätze. Eine Zusammenziehung des Resultates kann nur dann stattfinden, wenn die Potenzen sowohl gleiche Grundzahlen als gleiche Exponenten haben. Die auf einander folgenden Potenzen eines Binoms oder Polynoms kann man einfach durch die Multiplication erhalten. Die Entwicklung des Quadrates und des Cubus insbesondere wird in den ZK. 185 und 191 gezeigt, das allgemeine Gesetz der höheren Potenzen in Z. 279 näher untersucht werden. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch die Potenzierung. K. 158. 1. Gleiche Zahlen mit gleichen Zahlen potenziert geben Gleiches. Ist s, — 5, so ist auch a" — 5" (K. 8, 3). Folgesatz. Wenn man alle Glieder einer Proportion mit der¬ selben Zahl potenziert, so erhält man wieder eine Proportion. Ist a : b — o : ck, so muss auch (a : b)"° — (o : ä)A folglich : d" — o« . (H. 152, i) 2. Ungleiche Zahlen mit gleichen positiven Zahlen potenziert geben Ungleiches mit demselben Ungleichheitszeichen. Ist u > b, so ist (K. 46, 3). Folgesatz. Wenn a 1, so ist bezüglich 1. 88 3. Gleiche Zahlen mit ungleichen Zahlen potenziert geben Ungleiches mit demselben oder mit dem entgegengesetzten Ungleichheitszeichen, je nachdem die Basis größer oder kleiner als 1 ist. Ist m > u, so hat man für a > 1, >- a"; für n < 1, s," < a". Folgt aus Z. 97. 4. Ungleiche Zahlen, von denen wenigstens die eine größer als 1 ist, mit ungleichen positiven Zahlen bei demselben Ungleich¬ heitszeichen potenziert, geben Ungleiches mit dem gemeinsamen Ungleichheitszeichen. Ist a > d und zugleich a > 1, ferner m > n, so ist > 6°. Denn nach 3. ist > a", nach 2. a? > d"; daher um so mehr Potenzen mit algebraischer Basis. ß. 157. l. Eine positive Basis gibt mit einer ganzen Zahl potenzirt immer eine positive Potenz. (-j- u)° -F a. 4- a.-s- u. 4- .... nmal — -j- (ß. 61, Folges. 2). 2. Eine negative Basis gibt mit einer geraden ganzen Zahl potenziert eine positive, mit einer ungeraden ganzen Zahl potenziert dagegen eine negative Potenz. (— ^2° — — g..—n.—a.—a... 2nmal -j- (ß. 61, Folges. 3). (— — — a.—a.—a.—n... (2n -F 1)mal — — II. Wurzeln mit positiven ganzen Exponenten. ß. 158. Aus einer Zahl a die nie Wurzel ausziehen, oder die Zahl a durch n radicieren, heißt aus der Potenz u und dem Expo¬ nenten n die Basis suchen. Die gegebene Potenz a heißt der Radicand, oder geradehin die Zahl, der gegebene Exponent n der Wurzelexponent und die gesuchte Basis p die ntc Wurzel aus a. Man schreibt i/u — p. Eine Wurzel ist also ein Ausdruck für diejenige Zahl, welche mit dem Wurzelexponenten potenziert den Radicand gibt; oder es ist — n. Die zweite und die dritte Wurzel einer Zahl nennt man bezüglich Quadratwurzel und Cubikwurzel. ß. 159. Folgesätze. 1. Potenziert man eine Wurzel mit dem Wurzelexponenten, so erhält man den Radicand a. 89 2. Radiciert man eine Potenz durch den Potenzexponenten, so erhält man die Basis — u. 3. Eine Zahl bleibt unverändert, wenn man sie mit einer Zahl potenziert und durch dieselbe Zahl radiciert. u — 's/ (a,)"; a — 0^u)". Hiernach kann jede Zahl in Form einer Wurzel dargestellt werden; z. B. Das Potenzieren und das Nadicieren sind demnach einander entgegen¬ gesetzt; letzteres ist eine inverse Operation der ersteren. 4. Die erste Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl selbst. Da a' — a, so ist j/a — Ä. Für die erste Wurzel wird daher weder der Exponent l, noch das Wurzel¬ zeichen angeschrieben. Bei der zweiten oder Quadratwurzel wird das Wurzel¬ zeichen, aber nicht der Exponent 2 angeschrieben, so dass I/a so viel als 1/ a bedeutet. n n / 5. s/ 1 1. 6. jf/0 -- 0. Rationale und irrationale Wurzeln. Z. tktt. 1. Die nte Wurzel aus einer ganzen/^ahl u ist ent-, weder eine ganze Zahl oder sie ist irrational. Beweis. Man bilde die n ten Potenzen der auseinander folgenden ganzen Zahlen, mit Hinzufügung der Null, nämlich 0", 1°, 2", 3°, ... (x> -st 1)°, ... Es sind nun zwei Fälle möglich. a) Entweder ist a, gleich einer dieser Potenzen, z. B. a — x"; dann ist j/ a — p eine ganze Zahl. i>) Oder a liegt zwischen zwei aufeinander folgenden solchen Potenzen, etwa zwischen und (x>-st 1)°, wo dann s/a zwischen zwei aufeinander folgende ganze Zahlen x und x -st 1 fällt, somit keine ganze Zahl sein kann. Dann lässt sich aber j/ a, auch durch keinen Bruch vollkommen genau dar¬ stellen ; denn wäre s/n, — x> -st -2- — stOlst-lst wo 2 en / > « l" / , e ir-> pv, t p -I , § p -i-i , ...tp-st-I , jp -st - I, ... Weil nun a keiner dieser Potenzen gleich sein kann, so muss es noth- wendig zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgende solche Potenzen fallen, etwa zwischen -j- und sp -i- , wo o < na ist. Dann ist I -i*/- 1 6-^-1 I) -f- — ^/^ Ä <1 V -7- . ' IN ' IN n o 6 -l- 1 liegt also zwischen zwei Brüchen k st- und p st—, deren Differenz ist. Setzt man für 1/a die Zahl x st- so begeht man einen Fehler, der kleiner als ist. Da aber in beliebig groß, daher beliebig klein gemacht werden kann, so lässt sich j/ a als Grenzwert, dem sich der ver¬ änderliche Bruch x st- um so mehr nähert, je größer in wird, mit jeder beliebigen Genauigkeit bestimmen. Es ist j/ a — lira Lk st- wenn ra — oo wird; p-j-und p-j—sind für jeden besonderen Wert von m auf 1 " genaue Näherungswerte von jXu. Ist also die nte Wurzel aus einer ganzen Zahl nicht wieder eine ganze Zahl, so ist sie eine irrationale Zahl (Z. 119). 2. Die nte Wurzel aus einem Bruche ist entweder ein Bruch oder eine irrationale Zahl. Der Beweis wird, indem man zunächst die Reihe der Potenzen / 0 x» / 1 r» / 2 v» / 3 l" / x ru / x -s-1 ' s'V/ ' j b / ' V b", - - - j b'/ ' l b ) - - bildet, analog wie zu 1. geführt. Zusatz. Da wir die folgenden Sätze sämmtlich aus dem allgemeinen Begriffe einer Wurzel, welcher durch die Gleichung (ch^s.)° —a gegeben ist, ableiten werden, so sind dieselben sowohl für rationale als für irrationale Wurzeln giltig. 91 Verbindung des Radirierens mit sich selbst und mit dem Potenzieren. H. 161. Eine Potenz wird durch eine Zahl radiciert, indem man die Basis durch sie radiciert, oder indem man den Potenzexponenten durch den Wurzelexponenten dividiert. n ll 1/ — (s/ a)-» — Beweis, u) Soll (I/n)^ die richtige Wurzel sein, so muss sie mit dem Wurzelexponenten n potenziert den Radicand geben (ß. 158). Wirklich ist l(I/o,)°)-° (ß. 149) o,-" (8- 159, 1). ll) Ebenso ist auch, wenn in durch n theilbar vorausgesetzt wird, s rsi- ) (Z. 150, 1) — a'". Folgesatz. Soll eine Zahl potenziert und radiciert werden, so ist es gleichgiltig, in welcher Reihenfolge man diese Rech¬ nungsoperationen vornimmt. Z. 162. Eine Wurzel wird mit einer Zahl potenziert, indem man den Radicand mit ihr potenziert, oder indem man den Wurzelexponenten durch den Potenzexponentcn dividiert. Beweis. Dass (s/ a)°° 1/(n^) ist, ergibt sich aus 8- 161, Folgcs. Aus der Erklärung einer Wurzel (8- 158) lässt sich ferner folgern, dass auch — (1/a)^ ist, wenn u durch m theilbar vorausgesetzt wird; denn l(s/a)-!^ (Z. 150, 1). a (8- 159, 1). Z. 16Z. Eine Wurzel wird durch eine Zahl radiciert, indem man den Radicand durch sie radiciert, oder indem man die Wurzelexponenten multipliciert. (1-A) 1> (l7a) - s/u. Beweis. Beide Formen der Wurzel entsprechen der in 8- 158 aus¬ gestellten Erklärung derselben. Denn es ist Is/ (s/a))" — s/ lss/'a)"! (8. 162) — 1/a; und auch (s/n)" — s/s, (8- 162) — 1/a. 92 Folgesatz. Soll eine Zahl durch zwei Zahlen radiciert werden, so darf man entweder durch dieselben einzeln in beliebiger Reihenfolge, oder auch sogleich durch ihr Product radicieren. Z. IK1. 1. Eine Zahl wird durch ein Product radiciert, indem man sie durch den einen Factor, und die erhaltene Wurzel durch den andern Factor radiciert. 1/a -- (l/u) - ,7 (1>u). Ergibt sich durch Umkehrung der in Z. 163 bewiesenen Gleichungen. 2. Eine Zahl wird mit einem Quotienten (Bruche) potenziert, indem man sie mit dem Dividend potenziert und durch den Divisor radiciert. a» — j/ (a«>) — Ergibt sich durch Umkehrung der Gleichungen in Z. 161. 3. Eine Zahl wird durch einen Quotienten (Bruch) radiciert, indem man sie durch den Dividend radiciert und mit dem Divisor potenziert. j/u — (l/s,)"' — 1/ (a^). Folgt durch Umkehrung aus tz. 162. Z. IK5. Die Wurzel aus einer Potenz bleibt unverändert, wenn man denWurzel- und den Potenzexponenten mit derselben Zahl multipliciert, oder beide durch dieselbe Zahl dividiert. n w. mx v? Es ist — s? — a"» — j/ (a-->r); 2 2:x — g? -- Zusatz. Nach diesem Satze kann man s,) jede Wurzel in eine andere umsormcn, deren Wurzelexponent ein Vielfaches des gegebenen Wurzelexponenten ist, folglich auch zwei oder mehrere Wurzeln mit einem gemeinsamen Wurzel¬ exponenten darstellen; k) jede Wurzel, in welcher der Wurzel- und der Potenz¬ exponent ein gemeinsames Maß haben, dadurch abkürzen. ü w Sind z. B. die Wurzeln s/o? gegeben, so ist 30 ihr kleinster gemeinsamer Wurzelexponent und man hat 30 3 30 10 30 j/s, j/a'», j/t? — s/k?», j/o' j/c?'. Verbindung des Nadirierens mit der Multiplikation und Division. Z. I6S. 1. Ein Product wird durch eine Zahl radiciert, indem man jeden Factor durch sie radiciert und die erhaltenen Wurzeln multipliciert. 93 j/ (a 6) — s/ n. k. Bcwcis. .s/b)- (j/a)° . (8. 151, 1) a.d (tz. 159, 1), 2. Umgekehrt: Wurzeln desselben Wurzelexponenten werden multipliciert, indem man die gemeinsame Wurzel aus dem Producte der Radicanden auszieht. Sind Wurzeln, welche ungleiche Exponenten haben, zu multiplicieren, so müssen sie zunächst mit einem gemeinsamen Wurzelexponenten dargestellt werden (8- 165, Zusatz). Zusätze, n) Mit Hilfe des ersten Satzes kann man, wenn der Radicand einen Factor enthält, aus dem sich die verlangte Wurzel ausziehcn lässt, diesen Factor vom Wurzelzeichen befreien. Z. B. s/ (a°.1>) -- ^(a?) .^lo -- a^b. 6) Nach dem zweiten Satze kann man mit Beziehung von 8- 159, 3 umgekehrt jeden Factor einer Wurzel unter das Wurzelzeichen bringen, indem man ihn mit dem Wurzelexponenten potenziert und diese Potenz mit dem Radicand multipliciert. Z. B. 8- IK7. 1. EinQuotient (Bruch) wird durch eine Zahl radiciert, indem man Dividend und Divisor durch sie radiciert und die erste Wurzel durch die zweite dividiert. Brwris. ? (8- 152, 1) -- (8. 159, 1). z/dj (^b)° 2. Umgekehrt: Wurzeln desselben Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die gemeinsame Wurzel aus dem Quotienten der Radicanden auszieht. Sind Wurzeln, welche ungleiche Exponenten haben, zu dividieren, so werden sie früher auf einen gemeinsamen Wurzelexponenten gebracht. Folgesatz. Die Wurzel aus einem auf die einfachste Form gebrachten Bruche kann keine ganze Zahl sein. Die Vergleichung der Sätze ZZ. 161—167 über das Radicieren mit den ZZ. 17—21 über die Subtraction und mit den ZH. 49—53, dann 55 und 56 über die Division lässt die Analogie zwischen den inversen Rechnungsarten der ersten, zweiten und dritten Stufe recht deutlich erkennen. 94 Verbindung des Radieierens mit der Addition und Subtraktion. Z. t K8. Die Addition und Subtraktion der Wurzeln, sowie das Rechnen mit mehrgliedrigen Ausdrücken, in denen Wurzeln Vorkommen, wird nach den für allgemeine Zahlen überhaupt aufgestellten Regeln vollzogen. Eine Zusammen¬ ziehung findet statt, wenn die Wurzeln sowohl gleiche Radicanden als gleiche Wurzelexponenten haben. Manchmal können auch Wurzeln mit ungleichen Radi¬ canden, wenn sie denselben Exponenten haben, durch Zerlegen der Radicanden in Factoren (Z. 166, Zusatz a) mit einem gemeinsamen Radicand dargestellt werden. Z. B. j/45s?o — 806 -F 125 ob 's/ Zm - j/ 166/5 o -f- j/25o/Lo ^3as/5^ —46^5^4-5o^5^-(3a-4b Z-5o) ^5^. Wie man aus algebraischen Summen die Quadrat- und Cubikwurzel auszieht, wird in den HZ. 187 und 193 gezeigt werden. Verbindung von Gleichungen und Ungleichungen durch dir Radirierung. Z. ISS. 1. Gleiche Zahlen durch gleiche Zahlen radiciert geben Gleiches. Ist s, 6, so ist j/a j/b (Z. 8, 3). Folgesätze, a) Wenn man alle Glieder einer Proportion durch dieselbe Zahl radiciert, so erhält man wieder eine Proportion. Ist a, : b — o : cl, so ist auch j/ a,: 6 — j^o : ci, oder 1/a : j/b -- s/o : j/ä (Z. 167, 1). b) Die mittlere geometrische Proportionale zwischen zwei Zahlen ist gleich der Quadratwurzel aus dem Produkte dieser Zahlen. Ist a : b — b : o, so ist 1/ — ao (Z. 123, Folgest 1), daher 6 -r- (Z. 169, 1). 2. Ungleiche Zahlen durch gleiche radiciert geben Ungleiches mit demselben Uugleichheitszeichen. Ist a > d, so ist F a > 1/6. Beweis. Wäre j/a, < j/b, so müsste bezüglich nach Z. 156, 1. oder 2. (j/u)^ < (j/b)/ sein, was gegen die Voraussetzung ist. Folgesatz. Ist a 1, so ist bezüglich auch s/s, 1. 3. Gleiche Zahlen durch ungleiche Zahlen radiciert geben Ungleiches, und zwar mit dem entgegengesetzten oder mit dem¬ selben Ungleichheitszeichen, je nachdem der Radicand größer oder kleiner als 1 ist. 95 Ist M > n, so ist für Ä > 1, < s/g.z für a < 1, s/a>^a. Beweis. Wäre für a > 1, > >/a, so wäre bezüglich nach K. 156,1. oder 2. oder während wegen na > n nach H. 156, 3. > a? sein muss. Ebenso wird der Beweis für a < 1 geführt. 4. Ungleiche Zahlen, von denen wenigstens die eine größer als 1 ist, durch ungleiche Zahlen bei entgegengesetztem Ungleich¬ heitszeichen radicicrt geben Ungleiches mit dem Ungleichheits¬ zeichen der Radrcanden. Ist Ä > b und zugleich a > 1, ferner n < na, so ist j/s. > sj/st. Beweis. Nach 3. ist nach 2. ist > s/ st; folglich um so mehr > f/st. Umformung von irrationalen Wurzelausdrücken. Z. l7v. Ausdrücke, in denen irrationale Wurzeln vorkommen, lassen sich manchmal durch entsprechende Umstaltung auf eine Form bringen, die für die Rechnung mehr Bequemlichkeit bietet. Ausgabe. Einen Bruch, dessen Nenner ein irrationales Monom oder Binom ist, ohne Änderung seines Wertes mit einem rationalen Nenner darzustellen. (Rationalmachen des Nenners.) Der vorgelcgte Bruch kann eine der folgenden Formen haben: 2 2 2 st/ PHiTb- 1. Um einen Bruch von der Form —, wobei na>n ist, mit einem s/a" rationalen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner mit s/" Es ist S 5 10 na _ rns/g.2 3^/a _3j/a.s/a^_3^/ab 96 2. Um einen Bruch von der Form oder mit einem rationalen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner mit a 4: j/ ff oder j/a /'ff. Es ist 2 — — 2(L^l/b) — (s 4 I/b) (a 4 /d) — s? — b . _ „. 4 ,/d)_ 2()/^4 /b) /^4/b (/» 4 >/d) (/44/5) kt — d 3 3(5-j- /2) 15 4 3 )/2 5 — /2 5^ — 2^ " 23 ' 15 1/5 4-1/2 5 (s/5 - 1/2). 4 4 4 4 (2 4-,/3) (1/5 —1/3 ) (2 4-1/3) 4/5—1/3) (1/5 4- ,/3) j/5—,/3 2 ' ' einen Bruch von der Form 2 — 2 — x /Ar 4^/ / /A--? 4b: "/ff^ 1/A Ar wo der Kürze halber mn — r, — A und ff'°'i — L gesetzt wird, mit einem rationalen Nenner darzustellen, multipliciere man Zähler und Nenner des letzten Bruches mit dem Polynom . r. r r r r 's/Ar-i P^Li-2/L -s- l/Ir-g.L- 4 ... (4 1)^-2 s/Hr^Z -s- (4: yr-l/s/Lr-I. Man erhält dadurch A 4^ zz als den neuen Nenner. ^Z. B// « 5 5 5 5 " 5 5 „ U ' 1/a — /ff ° ß. 171. Aufgabe. Die Summe oder die Differenz der Qua¬ dratwurzeln aus der Summe und der Differenz zweier Zahlen, von welchen die eine irrational ist, in eine einzige Quadrat¬ wurzel zu verwandeln. Ist j/a 4- 1/ff -U 1/a — 1/ff die gegebene Summe oder Differenz zweier Quadratwurzeln, wobei a als positiv und größer als j/ ff vorausgesetzt wird, so hat man (1/L -ff 1/ ff 4: 1/a — 1/ ff/ — 2 a 4^ 2 ss/k/ — ff, daher, wenn man beiderseits die Quadratwurzel auszieht, s/u 4- j/ >> ^7 f/a — 1/ff — s/2a 4^ 2 s/a- — ff. Diese Umformung lässt sich besonders dann mit Vortheil anwenden, wenn r/ — ff eine vollständige Quadratzahl ist. Z. B. 1/44-1/7 4-1/4—1/7 84-21/M//^^1/8/21/9— s/ 14; 1/64-1/11 — 1/6^-l/il I/12—2s/36//I 1/12-/1/25 ^/2. 24-/3 . 4 4 1/5 4-1/3 3. Um 97 Z. 172. Aufgabe. Die Quadratwurzel aus einem irrationalen Binom in die Summe oder die Differenz zweier Qua dratwurzeln zu verwandeln. Ist a -U f/st die gegebene Quadratwurzel, so hat man, wenn a positiv und a > fstst ist, nach Z. 171 f/a st- fstst st- st a f/st - '!/"Za -st 2 s/^-st»7 f/'a st- ^st — .b - j/2a — 2 st .-st - i>; daher durch Addition und Subtraction dieser Gleichungen f/u-j- l/st -- stst^st^I In- st p '' lst»" —>> L - 1/-/ usti. 7 Die Umformung ist nur dann vortheilhaft, wenn °-st — st eine voll¬ ständige Quadratzahl ist. Z. B. s/l I st-6 ,/2 — liesst l2 st- -- 3 st- fX2. Zusatz. Haben die beiden Glieder des Binoms a st- f/st einen gemein¬ samen irrationalen Factor, so wird derselbe vor der Transformation heraus- gehvben. Z. B. 4 4 4 j/ 3^2-f/l 0-- 1X2. st'3-l/ö^1/2.( ^^^(s/5-1). Z. I7S. Aufgabe. Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte imRadicand vorkommt, von derWurzel zu befreien. (Rational¬ machen der Gleichung.) Man transformiere die Gleichung so, dass in einem Theile die Wurzel allein steht, und potenziere dann beide Theile mit dem Wurzelexponenten. Um eine Gleichung, in welcher die Unbekannte im Radicand vorkommt, aufzulösen, muss dieselbe immer zunächst rational gemacht werden. Beispiele. 1) l/2H'3^-5 (f/"2^st^3)° — 5<- 2x st- 3-^25 2x —25 —3 2x —22 x —11 2) 1 st- 1^4x« — 5^stl^^ 2x ^4x' —5x st-4^ 2x — 1 (f/4x'-bxst-4)^ (2x — 1)' 4xst — 5x st- 4 — 4x° — 4x st- 1 — 5xst-4x — 1 —4 — X — — 3 x — 3 Moenik, Arithmetik und Algebra. 7 98 Wurzeln mit algebraischem Radicand. Z. 174. 1. Jeder geraden Wurzel aus einem positiven Radicand entsprechen zwei gleiche und entgegengesetzte Werte. 2. Jeder ungeraden Wurzel aus einem positiven Radicand entspricht ein positiver Wert. 3. Jeder ungeraden Wurzel aus einem negativen Radicand entspricht ein negativer Wert. Beweis. Nach Z. 157 ist p)?" — -s- a, (-s- — -s- ll, (— r — d, wo a und io die durch Potenzierung sich ergebenden absoluten Zahlenwertc bedeuten. Daraus aber folgt nach Z. 158 2n 2ll-s-1 2nch-I s/ -s- s, — x, s/' st — -s- 75. Der durch die Gleichung a" : a" — ausgedrücktc Lehrsatz für die Division zweier Potenzen derselben Basis (Z. 154, 1) wurde bisher auf den Fall, wo ra > n ist, beschränkt. Ist nun in < n, und zwar ra -s- p — n, so führt die Anwendung der obigen Gleichung aus eine Potenz mit negativem Exponenten; cs ist a"- : g? — a--» : — g,-i>. Damit daher das durch die obige Gleichung ausgesprochene Gesetz allgemeine Geltung habe, ist man genöthigt, auch den Potenzen mit negativen Exponenten eine Bedeutung beizulegcn, durch welche auch sie auf den ursprüng¬ lichen Potcnzbegrisf zurückgeführt werden. Diese Bedeutung ergibt sich sogleich, wenn man den Quotienten, welcher a-r darstellen soll, in einer andern Form entwickelt. Man hat _ L"» _ Ä'N _ l H Lw-Px am. ->i> -a? ' Mithin ist a"» — Eine Potenz mit negativem Exponenten ist demnach der reciprokc Wert derselben Potenz mit positivem Exponenten. Folgesätze, a) Da ist, so ist auch Eine Zahl a zur (—x)ten Potenz erheben heißt daher, den reciproken Wert von a pmal als Factor setzen. 99 k) Aus a-r — folgt a-v. n-r — 1, folglich ist auch ar — . Man kann daher jede Potenz, die im Zähler eines Bruches als Factor vorkommt, als Factor in den Nenner, und umgekehrt, übertragen, wenn man das Vor¬ zeichen des Exponenten in das entgegengesetzte verwandelt. Z. I7K. Mit Rücksicht auf Z. 175 lässt sich die in Z. 102 aufgestellte allgemeine Form eines Decimalbruches .. .o.1(0 -st st. 10° -stn.lO-stL-st-^-st^-st -st . - - auch so darstellen: ...e.10» -st st.10° -st a.10 -st L -st tt.10-r -st §.10-2 ^.io-» -st ..., und sind daher —1, — 2,—3,... bezüglich die Rangexponenten (Z. 67) der ersten, zweiten, dritten,... Dccimalziffcr. Hieraus folgt: 1. Der Rangexponent der höchsten von Null verschiedenen Ziffer eines echten Decimalbruches ist negativ und absolut genommen gleich der Anzahl aller Nullen, welche dieser Ziffer vorangehen, die Null vor dem Decimalpunkte mitgczählt. Z. B. in dem Decimalbruche 0'000783 hat die höchste Ziffer 7 den Rangexponenten — 4. 2. Bedeutet sti einen Decimalbruch, dessen höchste Ziffer den Rang- exponentcn — n hat, also einen echten Decimalbruch, dessen höchste Ziffer au der utcn Decimalstelle steht, so ist N>10-° und N<10-°-i-!. Z. B. 0'00935 > und 0'00935 Z. 177. Alle bisher erwiesenen Lehrsätze von den Potenzen mit positiven Exponenten gelten auch für Potenzen mit nega¬ tiven Exponenten. Um dies an den einzelnen Sätzen zu beweisen, darf man nur die Potenzen mit negativen Exponenten durch die reciproken Werte derselben Potenzen mit positiven Exponenten ausdrücken, dann die angedeuteten Rechnungen durch¬ führen und in den Resultaten, wenn darin Ausdrücke von der Formvor¬ kommen, wieder zu Potenzen mit negativen Exponenten zurückkehren. Z. B. (-st a)-" - -7^-- -- -st s,"" ; (— a) °» — H — -st u ; I aw A—u — _ — . — —— >' * -- s-' -- ust- -- ust- 7" 100 Z. >78. Eine Wurzel mit negativem Wurzelexponenten ist gleich dem reciproken Werte derselben Wurzel mit positivem Wurzelexponenten. Es ist "l/u-r, also Zusatz. Negative Wurzelexponenten pflegt man zu vermeiden, indem mau das Negative in den Potenzexponenten verlegt. 2. Gebrochene Exponenten. tz. 179. Das Radicieren von Potenzen führt nach den in W. 161 und 162 erwiesenen Gleichungen j/ — g? und (s/ s,)'" — f/a für den Fall, dass bezüglich m durch n oder u durch m nicht theilbar ist, auf Potenzen und Wurzeln mit gebrochenen Exponenten. Um die Giltigkeit dieser Regeln von den besonderen Werten der Exponenten m und n unabhängig zu machen, müssen die Begriffe der Potenz und Wurzel so erweitert werden, dass sie auch für gebrochene Exponenten ihre bestimmte Bedeutung erhalten. Aus den obigen Gleichungen ergeben sich nun unmittelbar folgende Erklärungen: 1. Eine Potenz mit gebrochenem Exponenten ist die sovielte Potenz der Grundzahl, als der Zähler anzeigt, radiciert durch den Nenner. -° N g? — j/ (a-°). 2. Eine Wurzel mit gebrochenem Exponenten ist die sovielte Wurzel aus dem Radicand, als der Zähler anzeigt, potenziert mit dem Nenner. st a — (j/u)". Zusatz. Aus j/a, — j/a-" — s? folgt, dass sich jede Wurzel mit gebrochenen Exponenten als eine Potenz mit gebrochenem Exponenten darstellen lässt. Da man deshalb Wurzeln mit Bruchexponenten in die Rechnung gar nicht einzuführen pflegt, so beschränken wir uns hier auf Potenzen mit gebrochenen Exponenten. ß. l8v. Alle bisher erwiesenen allgemeinen Sätze von den Potenzen gelten auch für Potenzen mit gebrochenen Exponenten. 101 Um dieses an den einzelnen Sätzen nachzuwcisen, braucht man nur die Potenzen mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln zu verwandeln, dann die angedeuteten Rechnungen auszuführen und in den Resultaten die Wurzeln wieder in Potenzen mit Bruchexponentcn umzuformen. Z. B. ll -111- w n 4 »4 ll<1 -»4^-llx . 3,4 — . f/s,r — f/ — 3 °4 ; ci / z /- n » n nq !/ P^a-->r — s/ g,°w — a ; u. s. W. Zusatz. Da sich alle Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten darstellen lassen, so ist die Lehre von den Wurzeln schon in den Sätzen von den Potenzen enthalten. Q. IV. Erweiterung des Zahlengebietes durch das Madicieren. Imaginäre und komplexe Zahlen. 2v « Z. I8l. In ß.174 blieb noch der Ausdruck iZ—a zu untersuchen übrig. Da weder eine positive, noch eine negative ganze, gebrochene oder irrationale Zahl, noch auch Null, mit einer geraden Zahl potenziert eine negative 2u Zahl hervorbringen kann, so ist 's/—s. in der stetigen Folge der bisher betrachteten Zahlen nicht zu finden. Man muss jZ — a, als eine neue Zahlen¬ form ansehen und nennt sie eine imaginäre Zahl; im Gegensätze zu ihr bezeichnet man die ganzen, gebrochenen und irrationalen Zahlen mit dem gemeinsamen Namen reelle Zahlen. Nach dem bereits in 8- 27 erwähnten Principe der Erhaltung der Operationsgesetze wird man die neue Zahlenform so definieren, dass die bisher für reelle Zahlen entwickelten Gesetze auch noch für das Rechnen mit den imaginären Zahlen ihre Geltung behalten. Diese Erklärung der neuen Zahlen- 2n form liegt in der Gleichung (jZ — a,)^ — — a. Für n — 1 und a — 1 erhält man jZ — 1 als die einfachste Form einer imaginären Zahl. Auf diese kann schließlich auch jede andere imaginäre Zahl zurückgeführt werden; z. B. jZ—I — jZa.— 1 j/a . sZ^I -- d jZ^/i, wenn b die absolute Quadratwurzel aus a ist. 102 j/— 1 heißt die imaginäre Einheit; sie wird nach Gauß fast allgemein mit dem Buchstaben i bezeichnet. Ihre Definition ist durch die Gleichung i" — — — 1 gegeben. Das Zahlzeichen d s/ — 1 oder i>i, das die Form eines Produktes einer reellen Zahl d mit der imaginären Einheit hat, wird eine rein ima¬ ginäre Zahl genannt. Das Zahlzeichen a -st di, welches die Form einer Summe einer reellen und einer rein imaginären Zahl hat, heißt eine komplexe Zahl; a ist ihr reeller, d i ihr imaginärer Bestandtheil. Zwei complexe Zahlen von der Form a -s- d i und a — di heißen konjugiert. Der Ausdruck a -st di ist die allgemeine Form für alle möglichen Zahlen; er enthält für a — o und d — o die Null, für d — o alle reellen Zahlen, für a — o alle rein imaginären Zahlen, und, wenn a und d von Null verschieden sind, alle komplexen Zahlen. Uber die geometrische Bedeutung der imaginären und komplexen Zahlen enthält der Anhang dieses Lehrbuches eine abgesonderte Untersuchung. Hier sollen nur die wichtigsten formalen Verbindungen dieser Zahlen betrachtet werden. Indem dabei nach dem Princip der Permanenz die Opcrationsgesetze für reelle Zahlen ihre Anwendung finden, rechnet man mit der imaginären Zahl i> i der Form nach so, als wenn das Zahlzeichen i eine reelle Zahl vor¬ stellen würde; nur tritt noch die Bestimmung hinzu, dass überall ? durch — 1 zu ersetzen ist. Rechnungsoperationen mit rein imaginären Zahlen. Z. I8L. Ist eine imaginäre Zahl von der Form — a der Rechnung zu unterziehen, so muss sie früher auf die Form — l — d — 1 — di, wo d — ist, gebracht werden. 1. Addition und Subtraktion. g,i -s- di — (a -s- d)i; ai — di — (a — d)i. Die Summe zweier imaginärer Zahlen ist demnach auch imaginär; ebenso die Differenz zweier ungleicher imaginärer Zahlen. 2. Multiplikation. ai.d — adi, ebenso a.di — adi; ai.di — ad.i^ — ad.— 1 — — ad. Das Product aus einer imaginären und einer reellen Zahl ist ima¬ ginär, das Product zweier imaginärer Zahlen reell. 3. Division. al a . a ai a . ai a b b bi bi? bi b ' 103 Eine imaginäre und eine reelle Zahl geben also einen imaginären, zwei imaginäre Zahlen einen reellen Quotienten. 4. Potenzieren. Man hat i« — 1, ? i-.i — i, i^ i-.i - i° -- -st 1, ? — j4.i — -st i, u. s. w. allgemein st» — -s- 1, st»-i-r — -s- i, i^»4s — — 1, st°-t^ — — i. Feiner ist (a, i)° — a". i". Die Potenz einer rein imaginären Zahl ist demnach reell oder ima¬ ginär, je nachdem die bezügliche Potenz von i reell oder imaginär ist. Nechiiniggoperationen mit komplexen Zahlen. Z. 183. l. Das Gleichscin zweier complexer Zahlen a -st bi —e -st cli kann nur die Bedeutung haben, dass a — e und b — ä ist. Denn sonst wäre (a — o) — (ä — b)i, d. i. eine reelle Zahl gleich einer imaginären was ein Widerspruch ist. 2. Ebenso kmn die Gleichung a -stbi — 0 nur dann stattfinden, wenn sowohl g. — 0 als auch b — 0 ist. H. 184. 1. Die Addition zweier complexer Zahlen a-stbi und a -s- cli erfolgt nach der Gleichung (a -st bst -st (o -st äi) — (a -st o) -st (b -st ä)i. Die Summe zweer complexer Zahlen besteht demnach aus der Summe der reellen und der Summe der imaginären Bestandtheile der beiden Sum¬ manden; sie ist im allgeneinen auch eine complexe Zahl. Reell ist immer die Summe zweier conjugierter Zahlen; denn (a bi) -st (a — bi) — 2a. 2. Die Subtraction zweier complexer Zahlen a -st bi und o -st äi wird bestimmt durch die Gleicmng (a, -st bi) — (o 4 i) — (a, — o) -st sb — ä) i. Zwei complexe Zahlen gbien im allgemeinen eine complexe Zahl zur Differenz. 3. Wird die Multip licatron zweier complexer Zahlen a -st bi und e -st äi formal ausgeführt und dain i° durch — 1 ersetzt, so hat man (a -s- bi) (e -s- cii) — e -st bei -st aäi -st b äi" — (ar — bä) -st (b o -s- a ä) i. Das Product zweier complexer Hahlen ist im allgemeinen auch eine complexe Zahl. Reell ist immer das Promct zweier conjugierter Zahlen; denn (a, -s- bi) (a — bst — -st b^. 104 4. Um zwei complexe Zahlen a -st ki und e -st cki durch einander zu dividieren, darf man nur Dividend und Divisor mit der zu dem Divisor conjugierten Zahl multiplicieren, wodurch man auf eine Division durch einen reellen Divisor geführt wird. L-st dt (s -st bi) (e — äi) ä) -st (b e — Ä.U) i e -st äi (o -st ^0 <» — äi) -st Lv-stbä . b e— aä . " 4- ä- r 4- ä- Der Quotient zweier complexer Zahlen ist auch eine complexe Zahl. Durch das eben angeführte Verfahren kann auch jeder Bruch, dessen Nenner eine complexe Zahl ist, mit einem reellen Nenner dargestellt imd sonach in eine complexe Zahl verwandelt werden. Z. B. 3 4-i — (3 4-i) (2 — 5i) 11 —13i 11 13. 2 4-5i — (2 4-5i) (2^"5i) — 29 —"29° 5. Die Potenz einer complexen Zahl ist im allgemeinen wieder eine complexe Zahl. (a -st l> i)^ — (g, -st st j) (a -st sti) — (a^ — st°) -st 2 nsti) 0 4- Ui)" (a -st sti)°(a -st Ui) (n'' — 3nU°) st- (3s?st — st»)i; u. s. w. 6. Die in M. 171 und 172 für die Quadratwurzeln aus irrationalen Binonien abgeleiteten Formeln gelten, wie aus der Ableitung selbst hervorgeht, auch für die Quadratwurzeln aus complexen Zahlen, und zwar ist hier ihre Anwendung von der dort aufgestellten Bedingung, dass n positiv und größer als f/st sein muss, ganz unabhängig. Z. B. -st 4/l1"i I/2H I?1- i^ j/2 4- 2 j/2i - s/HstM -I- st"'" st (3 f/2 4- (3 st- f/-lZ. V. Quadrieren und Knvieren, Anziehen der Hund rat- und der Kuviluvvezel. 1. Quadrat »nd Quadratwurzel. Z. I8S. Aufgabe. Eine algeoraische Summe zum Quadrat zu erheben. Man entwickle das Quadrat wch folgendem Bildnngsgesetzc: 1. Das erste Glied des gegebmen Ausdruckes gibt sein eigenes Quadrat. 105 2. Jedes folgende Glied gibt zwei Bestandtheile: das doppelte Product aus der Summe aller vorangehenden Glieder mit diesem Gliede, und das eigene Quadrat. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist das gesuchte Quadrat. Beweis. Man hat zunächst (a -st st)^ (a -st st) (a -st st) — a° -st 2ast -st st'st d. i. das Quadrat eines Binoms ist gleich der Summe aus dem Quadrate des ersten Gliedes, dem doppelten Produkte beider Glieder und dem Quadrate des zweiten Gliedes. Ferner ergibt sich für einen dreigliedrigen Ausdruck a -st st -st o, wenn man denselben als Binom ansieht, dessen erstes Glied a -st st, dessen zweites Glied o ist, (a -st st -st o)^ — f(n -st st) -st ost — (a -st stst -st 2 (a -st st) o -st — -st 2ast -st Ist -st 2(a -st st)o -st o". Gilt überhaupt das hier für zwei und für drei Glieder nachgewiesene Gesetz für einen u gliedrigen Ausdruck a-stst-sto-st..-st8K. Aufgabe. Eine dekadische Zahl zum Quadrat zu erheben. Dabei wird folgendes Verfahren angcwendet: 1. Man erhebt die erste Ziffer links zum Quadrate. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bildet man zwei Bestandtheile: das doppelte Product aus der ihr vorangehenden Zahl und dieser Ziffer, und ihr eigenes Quadrat. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander gesetzt, dass jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert. Die Richtigkeit dieses Verfahrens folgt, da sich jede dekadische Zahl als ein nach den Potenzen von 10 geordnetes Polynom darstellen lässt, ans Z. 185. 106 Um z. B. 3417 zum Quadrat zu erheben, hat man 3417- (3000 ff- 400 4- 10 -tz- 7? -- 3000' 4- 2.3000.400 Z- 400' 4- 2.3400.10 4- 10- Z- 2.3410.7 4- 7-; oder, wenn man die Bestandtheile unter einander setzt und entwickelt, sowie mit Berücksichtigung des Stellenwertes die Nullen weglässt, 34172 11675889 Zusätze. 1. Die zwei Bestandtheile, welche die zweite nnd jede folgende Ziffer der gegebenen Zahl im Quadrate liefert, kann man in einen einzigen zusammenfassen, wenn man zu der doppelten vorangehenden Zahl die neue Ziffer hinzuschreibt und die dadurch entstehende Zahl mit dieser neuen Ziffer multipliciert; nur muss bei diesem Vorgänge jedes folgende Product um zwei Stellen weiter rechts hinausgerückt werden; es ist nämlich allgemein (2^..10).x x? (2^.10 Z- x)x. Das frühere Beispiel würde sich bei diesem kürzeren Verfahren so stellen: 34172 32 ... 64.4 ... 681.1 ... 6827.7 ... 89 11 67 58 89 2. Das Quadrat einer dekadischen ganzen Zahl hat ent¬ weder doppelt so viele Ziffern als diese Zahl oder um eine Ziffer weniger. Denn ist uziffrig, also 14 > 10"-', aber < 10", so ist 14'> 1lU"-2, aber <102"; das Quadrat M hgt also mindestens 2u — 1 Ziffern und höchstens 2u Ziffern. Theist man daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Abthcilungen zu zwei Ziffern, wobei die erste Abtheilung links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so hat man im Quadrate so viele Abthcilungen, als die Quadratwurzel Ziffern hat. 3. D" (157) — ist, so erhellet, dass bei einem Decimalbruche das Quadrat auf gleiche Weise wie bei einer dekadischen ganzen Zahl gebildet 107 wird; nur muss man im Quadrate des Zählers doppelt so viele Decimalen abschneiden, als deren der gegebene Decimalbruch enthält. 4. Erhebt man einen unvollständigen Decimalbruch zum Qua¬ drat, so ist (nach Z. 108) die Fehlergrenze des Quadrates gleich dem doppelten Products des Decimalbruches (bezüglich seiner höchsten Stelle) mit dessen Fehlergrenze. So erhält man z. B. 5X68. — 26'71.. mit der Fehlergrenze 2 X 5 X 0-0005 0-005. K. l87. Aufgabe. Aus einer algebraischen Summe die Qua¬ dratwurzel auszuziehen. Aus dem Gesetze (Z. 185), nach welchem die Bestandtheile einer mehr¬ gliedrigen Zahl in ihrem Quadrate zusammengestellt erscheinen, lässt sich für das Ausziehen der Quadratwurzel aus einem geordneten Polynom folgendes Verfahren ableiten: 1. Das erste Glied des geordneten Polynoms ist das Quadrat des ersten Wurzelgliedes. Man findet daher das erste Glied der Wurzel, wenn man aus dem ersten Gliede des Radicands die Quadratwurzel auszieht. Das Quadrat des ersten Wurzelgliedes wird von dem Radicand subtrahiert. 2. Die ersten zwei Glieder des Restes enthalten die Bestandtheile, welche aus dem folgenden Gliede der Wurzel hervorgehen, und zwar ist das erste Glied des Restes das Product aus der doppelten bereits gefundenen Wurzel und aus dem folgenden Gliede der Wurzel. Dividiert inan daher das erste Glied des Restes durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel, so erhält man das folgende Glied der Wurzel. Man bildet nun die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Quadrate gibt, indem man zu dem Doppelten der früheren Wurzel das neue Glied addiert und die Summe mit diesem Gliede multipliciert, und subtrahiert das Product von dem Reste des Polynoms. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest, so ist das gegebene Polynom ein vollständiges Quadrat und die erhaltene Quadrat¬ wurzel rational; bleibt aber ein Rest übrig, so ist die Wurzel irrational. Z. B. 6 X — X—MX^x 25X- x- X 3x — 5 X X6X —X X 6X X 9X : (2X X 3x).3x — 10x? —30xX 25: (2X-s-6x —5) .—5 - 10X —30x X 25 xx- 0 108 Z. 188. Ausgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche ein vollständiges Quadrat ist, die Quadratwurzel auszuziehen. 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen in Abtheilungen von je zwei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur eine Ziffer ent¬ halten kann, suche die größte Zahl, deren Quadrat in der höchsten Abthei- lung enthalten ist, und schreibe sie als erste Ziffer der Wurzel an. Das Quadrat der ersten Wurzelzisfer wird von der höchsten Abtheilung des Radi- cands subtrahiert. 2. Zu dem Reste setze man die folgende Abtheilung des Radicands herab, dividiere die dadurch gebildete Zahl nach Weglassung ihrer letzten Ziffer durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quo¬ tienten als neue Ziffer in die Wurzel und zugleich als Ergänzung zu dem Divisor. Den so ergänzten Divisor multipliciere man mit der neuen Wurzel¬ ziffer und subtrahiere das Product sogleich während des Multiplicicrens von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer. 3. Dieses Verfahren setze man fort, bis alle Abtheilungen des gegebenen Radicands in Rechnung gezogen worden sind. Die Richtigkeit dieses Verfahrens ergibt sich aus Z. 186. Z. B. f/5194,3844 2438 /v 194 : 44 j 18 38 : 483 3 8944 : 4868 s" 0 Zusätze. 1. Da s" folgt, dass man aus einem Decimalbruche die Quadratwurzel nach demselben Verfahren auszieht, wie aus einer ganzen Zahl; nur muss man den Decimalbruch vom Decimal- punkte aus nach rechts und links in Abtheilungen von je zwei Stellen theilen und in der Wurzel den Decimalpunkt setzen, bevor die erste Abtheilung von Decimalen in Rechnung gezogen wird. Z. B. 1/^52-27^56^12-34 52 : 22 8 27 : 243 9856 : 2464 0 2. Um aus einem gemeinen Bruche die Quadratwurzel zu ziehen, zieht man dieselbe aus Zähler und Nenner. 2R ,/144 1/144 „ 12 "O- j/ 529 — /52S 23' ß. 18». Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein vollständiges Quadrat ist, die Quadratwurzel zu ziehen. 109 Ist die ganze Zahl a kein vollständiges Quadrat, so ist j/n nach K. 160 irrational und lässt sich nur näherungsweise bestimmen. Man ziehe dabei aus a auf die in Z. 188 angegebene Weise die Quadratwurzel, bis die letzte Abtheilung in Rechnung gezogen ist, setze dann nach der zuletzt erhaltenen Wurzelziffer den Decimalpunkt und rechne auf dieselbe Art weiter, indem man jedem Reste für die folgende Abtheilung zwei Nullen anhängt. Die Rechnung wird so lange fortgesetzt, bis man die gewünschte Anzahl von Decimalstellen erhalten hat. Beweis. Multipliciert man die ganze Zahl u mit K?", d. h. hängt man derselben in mal zwei Nullen an, und ist d die größte ganze Zahl, welche in n.K?" enthalten ist, also b < j/^IÖ^< k -j- 1, oder d < 10" . j/a < b -j- 1, so ist - - - < 1/n < IO--- IgM ' liegt demnach zwischen den Brüchen und deren Differenz ist; folglich ist der Fehler, den man begeht, wenn s/n — gesetzt wird, kleiner als somit kleiner als eine Einheit der letzten berechneten Decimalstelle. Z. B. j/^50 .--- 18'708.. 250 : 28 2600 : 367 310000 : 37408 10736 Zusätze. 1. Auf gleiche Weise wird auch beim Quadratwurzel-Ausziehen aus einem Decimalbruchc, welcher kein vollständiges Quadrat ist, die Rechnung beliebig weit fortgesetzt, indem inan zunächst in der letzten Abtheilung rechts, wenn sie nur eine Ziffer enthalten sollte, die fehlende durch eine Null ergänzt und dann dem übrig gebliebenen, sowie jedem folgenden Reste zwei Nullen anhängt. Bei periodischen Decimalbrüchen treten selbstverständlich die entsprechenden Ziffern der Periode an die Stelle der anzuhängenden Nullen. 2. Um aus einem gemeinen Bruche, dessen Zähler und Nenner nicht Quadratzahlen sind, die Quadratwurzel auszuziehen, verwandelt man ihn entweder in einen solchen Bruch, dessen Nenner eine Quadratzahl ist, und zieht dann die Wurzel aus Zähler und Nenner; oder man verwandelt den gemeinen Bruch in einen Decimalbruch und zieht dann aus diesem die Quadratwurzel. Z. ISO. Abgekürztes Verfahren beim Ausziehen der Qua¬ dratwurzel. Hat man von der Quadratwurzel einer Zahl nach dem gewöhnlichen Verfahren die ersten rn Ziffern gefunden, so darf 110 man, um noch m — 1 weitere richtige Wurzelziffern zu erhalten, nur den letzten Rest durch die doppelte bereits gefundene Wurzel dividieren. In der Ausführung wird dabei die abgekürzte Division angewendet und im Divisor sogleich die letzte Ziffer weggelassen. Beweis. Bezeichnet a den Radicand und ff die bereits gefundenen ersten in Ziffern der Quadratwurzel, so kann man unbeschadet der Allgemeinheit die ersten inAbtheilungcn in a, und daher auch die inzifferige Zahl ff als Ganze annehmen, weil cs für die Ziffernfolge der Wurzel gleichgiltig ist, nach welcher Abtheilung des Radicands man den Dccimalpunkt setzt; dann werden die weiter folgenden Wurzelzifferu Decimalen vorstellen. Setzt man nun 4/a — ff -ff x, wo x den noch fehlenden Theil der Wurzel ausdrückt, so muss (ff -ff x)? — s,, oder 1? -ff 2ffx -ff x? — s,, daher 2ffx^-a — ff? — x? und x — — 2^- - sein. Wenn nun für x der Quotient wo a — ff? den letzten bei der Wurzelausziehung gebliebenen Rest und 2ff die doppelte bereits gefundene Wurzel bedeutet, gesetzt wird, so ist der Fehler, den man begeht, gleich Aber x < 1 und ff >-10'°-', daher jedenfalls kleiner als woraus folgt, dass der Quotient mindestens in — 1 weitere richtige Wurzel¬ zisfern gibt. Zusätze. 1. Wenn aus einer ganzen Zahl oder einem vollständigen Decimalbruche die Quadratwurzel mit 2in—1 oder 2in geltenden Ziffern zu bestimmen ist, so sucht man bezüglich nur die ersten in oder in -ff I Ziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung, die folgenden aber nach der obigen Vorschrift durch die abgekürzte Division. Hat man z. B. j/ 138 auf 5 Decimalstellcn genau, also im ganzen mit 7 geltenden Ziffern zu bestimmen, so sucht man die ersten 4 Ziffern durch das Radicieren, die letzten 3 durch die abgekürzte Division. Die Rechnung steht: 1/1^38 11 74734.. ' 38 : 21 1700 : 227 11100 : 2344 1724 : 2,3^ 80 10 1 111 2. Dasselbe abgekürzte Verfahren findet insbesondere auch beim Aus¬ ziehen der Quadratwurzel aus einem unvollständigen Deci malbruche statt. Man findet durch dieses Verfahren, wenn der Radicand m geltende Abtheilungen hat, deren jede mit Ausnahme etwa der ersten links zwei Ziffern enthält, in der Wurzel im ungünstigsten Falle 2 in — 1 verlässliche geltende Ziffern. 2. Cubus und Kubikwurzel. Z. lSI. Ausgabe. Eine algebraische Summe zum Cubus zu erheben. Man entwickle den Cubus nach folgendem Gesetze: 1. Das erste Glied des gegebenen Ausdruckes gibt seinen eigenen Cubus. 2. Jedes folgende Glied liefert drei Bestandtheile: das dreifache Quadrat der Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit diesem Glieds, die dreifache Summe aller vorangehenden Glieder multipliciert mit seinem Quadrate, und seinen eigenen Cubus. 3. Die Summe aller so gebildeten Bestandtheile ist der verlangte Cubus. Brmcis. Zunächst ist (u -st d)3 — (s, -st k)? (s, -st b) — (a? -st 2g,st -st b?) (a -st io) — a? -st 3^5 -j- 3ast? -st st'Z d. h. der Cubus eines Binoms ist gleich der Summe aus dem Cubus des ersten Gliedes, dem dreifachen Quadrate des ersten Gliedes multipliciert mit dem zweiten Gliede, dem dreifachen ersten Gliede multipliciert mit dem Quadrate des zweiten Gliedes, und dem Cubus des zweiten Gliedes. Der weitere Gang des Beweises ist ähnlich wie im Z. 185. s- i92. Aufgabe. Eine dekadische Zahl zum Cubus zu erheben. 1. Man erhebe die erste Wurzelziffcr zum Cubus. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bilde man drei Bestandtheile: das Product aus dem drcifacheu Quadrate der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer, das Product aus der dreifachen vorangehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer, und ihren Cubus. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander geschrieben, dass jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addiert. Die Richtigkeit dieses Verfahrens folgt aus Z. 191. Um z. B. den Cubus von 4213 — 4000-st 200 P 10-st 3 zu bestimmen, hat man, wenn die Nullen mit Beachtung des Stellenwertes wcggelassen werden, folgende Rechnung: 112 42 M 4» 3. 4-.2 3. 4 .2- 2» 3. 42^.1 3. 42 .12 12 3.4212.3 3.421 .32 3s 64! 96 48 8 529 1 159 2 26 1 5169 11367 27 74,778,091,597 Zusätze. 1. Der Cubus einer dekadischen ganzen Zahl hat entweder dreimal so viele Ziffern als diese Zahl, oder um zwei Ziffern oder um eine weniger. Beweis analog wie zu Z. 186, Zusatz 2. 2. Da ist, so folgt, dass man bei Decimalbrüchen vom Cubus des Zählers 3 mal so viele Decimalen abschneiden müsse, als deren der gegebene Decimalbruch hat. 3. Erhebt man einen unvollständigen Decimalbruch zum Cubus, so ist (nach K. 108) die Fehlergrenze des Cubus gleich dem dreifachen Pro- ducte aus dem Decimalbruche und dessen Fehlergrenze. Z. ISS. Ausgabe. Aus einer algebraischen Summe die Cubik- wurzel zu ziehen. 1. Man ziehe die Cubikwurzel aus dem ersten Gliede des geordneten Radicands; diese ist das erste Glied der Wurzel. Der Cubus des ersten Wurzel¬ gliedes wird von dem Radicand subtrahiert. 2. Man dividiere das erste Glied des Restes durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel; der Quotient ist das folgende Glied der Wurzel. Man bilde dann die Bestandtheile, welche dieses neue Glied der Wurzel im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat des bereits gefundenen Wurzeltheiles multipliciert mit dem neuen Gliede, das Dreifache des vorhergehenden Wurzeltheiles multipliciert mit dem Quadrate des neuen Gliedes und den Cubus dieses Gliedes, und subtrahiere die Summe dieser drei Bestandtheile von dem früheren Reste des Radicands. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist die Cubikwurzel rational; bleibt ein Rest, so ist sie irrational. Die Ableitung dieses Verfahrens aus H. 191 geschieht auf ähnliche Weise, wie im Z. 187 das Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung aus Polynomen aus K. 185 hergeleitet wurde. 113 Beispiel. s — ß-^s 4, 21^4 — 44^s 4- 63^2 — 54 zr 4- 27j — — 2^ -s- 3 ^^6 - - —n° 4- 21^ä __ 44^3 : 3^4 -6^4-12^ — 8^» -i- 9)^ — 36v»-4-63 v-— 54^4-27 : 3^ — 12^4-12^ 4- 9^ — 36^2 -4 36^2 4- 27^ — 54^4-27 0 Z. IS4. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche ein vollständiger Cubus ist, die Cubikwurzel auszuziehen. 1. Man theile die Zahl von den Einern angefangen gegen die Linke in Abtheilungen von je drei Ziffern, wobei die höchste Abtheilung auch nur zwei oder eine Ziffer haben kann, suche die größte Zahl, deren Cubus in der höchsten Abtheilung vorkommt, und schreibe sie als erste Ziffer in die Cubik¬ wurzel. Den Cubus der ersten Wurzelziffer subtrahiere man von der ersten Abtheilung des Radicands. 2. Zu dem Reste setze man die nachfolgende Abtheilung herab, dividiere dann die dadurch entstandene Zahl mit Weglassung der letzten zwei Ziffern durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wurzel und schreibe den Quotienten als neue Ziffer in die Wurzel. Dann bilde man die Bestand- theile, welche diese neue Wurzelziffer im Cubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl multipliciert mit der neuen Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multipliciert mit dem Quadrate dieser neuen Ziffer und ihren Cubus; schreibe den ersten Bestandtheil unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter gegen die Rechte und subtrahiere die Summe der so angesetzten Bestandtheile von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen zwei Ziffern. 3. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man alle Abtheilungen des Radicands in Rechnung gezogen hat. Die Richtigkeit des Verfahrens beruht auf Z. 192. s Z. B. j/78^9 53^589 — 429 64 149,53 :48...3.4- 3.42.2.. . 96.. 3.4.22.. . 48 2»... 8 4 8 65 5,89 : 5292...3.422 3.422.9.. . 4 7 62 8.. 3.42.92.. . 10206. 9»... 7 29 Moönil, Arithmetik und Algebra. 0 8 114 Zusatz. Wie man beim Ausziehen der Cubikwurzel aus einem Decimal- oder einem gemeinen Bruche zu verfahren habe, ersieht man leicht aus dem für das Quadratwurzel-Ausziehen in ß. 188, Zusatz 1 und 2 angegebenen Verfahren. 8- >Ä5. Aufgabe. Aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein vollständiger Cubus ist, die Cubikwurzel zu ziehen. Ist der Radicand keine dritte Potenz einer ganzen Zahl, so ist die Cubik¬ wurzel irraiional und kann nur näherungsweise berechnet werden. Das dabei anzuwendende Verfahren entspricht demjenigen, das wir in Z. 189 für die Quadratwurzel-Ausziehung aus einer dekadischen ganzen Zahl, welche kein Quadrat ist, angegeben haben; nur müssen hier den einzelnen Resten für jede Abtheilung drei Nullen angehängt werden. Zusatz. Auch bezüglich der Vorschrift für das Ausziehen der Cubikwurzel aus Decimal- oder gemeinen Brüchen, welche nicht vollständige Cubik- zahlen sind, verweisen wir auf die analogen Bemerkungen in Zus. 1 und 2 zu Z. 189. 8- ISK. Abgekürztes Verfahren beim Ausziehen der Cubik¬ wurzel. Wenn man von der Cubikwurzel einer Zahl nach dem gewöhnlichen Verfahren die ersten inZiffern berechnet hat, so erhält man noch m — 1 weitere verlässliche Ziffern, indem man den letzten Rest durch das dreifache Quadrat der bereits gefun¬ denen Wurzel dividiert. Beweis. Es sei n der Radicand und st bezeichne die bereits berechneten ersten m Ziffern der Cubikwurzel, wobei st ohne Änderung der noch fehlenden Wurzelziffern als eine ganze Zahl vorausgesetzt werden darf. 8 Setzt man f/a — st -st x, wo x die weiter folgenden Ziffern der Wurzel bedeutet, so ist (st -st x)b — n, oder stb -st 3st^x -st 3stx? -st x^ — a, daher 31? X — a — stb — 3 st x? — x^, und x — —-— ^-z, wo n — stb der letzte bei der Wurzelausziehung gebliebene Rest, und 3st- das dreifache Quadrat der bisher gefundenen Wurzel ist. Der Fehler, welcher begangen wird, wenn man für x den Quotienten setzt, ist demnach -st wo x < 1 und st > lO^-* ist, so dass bei der Beurtheilung des Fehlers das Glied als gegen verschwindend gar nicht X? 1 in Betracht kommt; ist aber kleiner als also wird x durch dcu _j)8 Quotienten ' auf in — 1 Ziffern genau bestimmt. 115 3 Ist z. B. 1/0-083066534 auf 5 Decimalen genau zu bestimmen, so sucht man die ersten drei Ziffern nach dem gewöhnlichen Verfahren der Cubik- wurzel-Ausziehung, die zwei folgenden durch die abgekürzte Division. Zusatz. Durch das voranstehcnde Verfahren erhält man in der Cubik- wurzel eines unvollständigen Decimalbruches 2m — 1 verlässliche Ziffern, wenn der Radicand m geltende Abtheilungen zu drei Ziffern hat. VI. Logarithmen. 1. Bon den Logarithmen überhaupt. tz. >S7. Eine Zahl u durch eine andere Zahl d logarith¬ mieren heißt, den Potenzexponenten suchen, mit welchem d als Basis potenziert werden muss, um u als Potenz zu geben. Die Zahl d ist die Grundzahl oder Basis, die als Potenz gegebene Zahl a heißt der Logarithmand oder geradezu die Zahl (ldinmsrns), und der gesuchte Potenzexponent der Logarithmus. Ist a — 6°, so ist n der Logarithmus der Zahl s, für die Basis h; man hat dafür die Bezeichnung: Ic>§ N(i>) — n. Werden die Logarithmen durchgängig aus eine bestimmte Basis, z. B. 10, bezogen, so schreibt man statt des letzten Ausdruckes kürzer u — n, wobei die Basis 10 als bekannt vorausgesetzt wird. Dem Potenzieren entsprechen zwei inverse Operationen, das Radiciercn und das Logarithmieren, je nachdem die Basis oder der Exponent gesucht wird, da diese beiden nicht commutiert werden können. Z. iS8. Folgesätze. 1. Potenziert man die Basis mit de.m Lo¬ garithmus, so erhält man den Logarithmand. Ist IoZ Ust,, — n, so ist 6° — g,. 2. Der Logarithmus der Basis in Bezug aus diese Basis selbst ist gleich 1. loK — 1s denn 5' — h. 3. Der Logarithmus von 1 ist für jede Basis gleich 0. Io§ Ist, — 0; denn i/ — i, 4. Für eine positive Basis hat eine negative Zahl keinen reellen Logarithmus. Denn sowohl 6^° als H-» — gibt ein positives Resultat. Z. IS9. Der Inbegriff der Logarithmen der in natürlicher Ordnung aufeinander folgenden Zahlen für eine bestimmte Basis bildet ein logarith¬ misches System. 116 Da durch das Potenzieren einer reellen negativen Zahl nicht alle mög¬ lichen positiven Zahlen erzeugt werden können, jede Potenz von 1 aber wieder 1 ist, so kann nur eine reelle positive und von 1 verschiedene Zahl als Basis eines Logarithinensystems angenommen werden. Im Gebrauche sind nur zwei logarithmische Systeme, nämlich das ge¬ meine oder Brigg'sche für die Basis 10, und das natürliche oder Ne- per'sche für die irrationale Basis 2'718281828..., welche man aus der Summierung der unendlichen Reihe 1 -j- "j" 172 "j- Hz 1.2.3.4 " erhält und gewöhnlich mit dem Buchstaben s bezeichnet. Allgemeine Sähe über die Logarithmen. Z. 2W. 1. Der Logarithmus eines Productes ist gleich der Summe aus den Logarithmen der Factoren. Es sei für die Basis st IoA U — m, IoA 17 — n, loA ist — p, also N — st"y 17 — st", k — ste; dann ist N17ist — stm-!-°-4i>- d. i. IvK 1117ist — IN -st n -st p, oder 1oA Ustik — IvA N -st 1o§ 17 -st loZ ist. Z. B. IvA 6 — IvA 2 -st io§ 3. IvA 30 — IoK 2 -st 3 -st Io§ 5. Sind für eine Basis die Logarithmen aller Primzahlen bekannt, so lassen sich aus denselben durch bloße Addition auch die Logarithmen aller zusammen¬ gesetzten Zahlen ableiten. 2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich dem Logarithmus des Zählers weniger dem Logarithmus des Nenners. Es sei für die Basis st loZ N — m, loZ 17 — n; also N — st-°, 17 — st°; dann ist — st°>-n, folglich loZ — in — n — IOK N — Io§ 17. Z. B. Io§ A -r 29 - 108 31. lass 35-29 Io§ Io§ 3529 — 100. 3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Logarith¬ mus der Basis mustipliciert mit dem Potenzexponenten. 117 Es sei für die Basis st, loZ LI — m, also LI — st>°; dann ist M — und daher IvA M — mp — p> IoA N. Z. B. IoA 8^ — Z IoA 8. Io§ (2a)s — 3 IoA 2a — 3 (Io§ 2 -s- loZ a). los — 2 1o§ x -st 1oZ — 4 (IoA m -s- IoZ n). 4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Logarith¬ mus des Radicands dividiert durch den Wurzelexponenten. Es sei für die Basis st, 1oK LI — m, also N — st"; dann ist x x m I^LI — I/st" — str, daher los I/LI Z. B. los 75 -- 5 . - I°L 3 los — lvA u Nosx — 1oA tz. r»I. 1. Für dieselbe Basis gehören zu gleichen Zahlen auch gleiche Logarithmen; und umgekehrt: zu gleichen Logarithmen gehören auch gleiche Zahlen. Ist 5 die Basis und 5'" — LI, 5° — LI, so muss, wenn LI — LI ist, auch m — n, d. i. IvK LI — IoZ LI sein. (Folgt indirect aus Z. 156, 3.) Ist umgekehrt 1oZ LI — IoZ LI, also m — n, so muss nach tz. 156, 1 auch st" — 5", d. i. LI — LI sein. 2. Für eine Basis, welche größer als 1 ist, gehört zu der größeren Zahl auch ein größerer Logarithmus; und umgekehrt: zu dem größeren Logarithmus gehört auch eine größere Zahl. Ist st" — LI, st" — LI und LI > LI, so muss für st > 1 auch m > n, also lax LI > IoA LI sein. (Folgt indirect aus 1. und aus Z. 156, 3.) Ist umgekehrt Io§ LI > 1o§ H, so folgt eben so aus Z. 156, 3. LI > U . 3. Dieselbe Zahl hat für verschiedene Grundzahlen auch verschiedene Logarithmen. Ist IvA LI(v) — x und Ic>A LI(b) — 1, wo L und st als verschiedene Zahlen vorausgesetzt werden, so ist LI — L? und LI —st«, daher — st«. Wäre nun p — c^, so würde aus Z. 156, 2, indirect folgen, dass auch L — st sei, was jedoch der Voraussetzung widerspricht; die Logarithmen x und H müssen daher von einander verschieden sein. 118 4. Der Logarithmus einer Zahl für irgend eine Basis ist gleich dem Logarithmus derselben Zahl für eine zweite Basis, multipliciert mit dem reciproken Werte des Logarith¬ mus der ersteren in Bezug auf die zweite. Ist —x, also Lv — idi, so erhält man, wenn man in der zweiten Gleichung beiderseits die Logarithmen in Bezug auf eine andere Basis b nimmt, x loA Bst, — 1o§ Pi^;, oder Io§ liso) - — Io§ folglich Io§ -- IoA Sind die Logarithmen der Zahlen für die Basis k bekannt, so kann man aus denselben auch die Logarithmen für jede andere Basis L bestimmen, wenn man die ersteren mit dem beständigen Factor — , d. i. mit dem 10A N(b) reciproken Werte des Logarithmus der neuen Basis in Bezug auf die frühere Basis multipliciert. Die Zahl, mit welcher die Logarithmen eines Systems multipliciert werden müssen, um die Logarithmen eines andern Systems zu erhalten, heißt der Modulus des neuen Systems in Bezug auf das ur¬ sprüngliche. Der Modulus des Brigg'scheu Systems in Bezug auf das natür¬ liche ist 0-4342945... 2. Bon den Brig loschen Logarithmen. K. 2V2. Unter dem Brigg'sehen Logarithmus einer Zahl versteht man den Potenzexponenten, mit dem die Basis 10 potenziert werden muss, um jene Zahl als Potenz zu geben. 1. Die Brigg'schen Logarithmen aller Zahlen, welche groß er als 1 sind, sind positiv-, die Brigg'schen Logarithmen aller positiven Zahlen, welche kleiner als 1 sind, sind negativ.. Beweis. Eine Zahl, welche größer als 1 ist, ist entweder eine dekadische Einheit 10°, wo n eine positive ganze Zahl bezeichnet, oder sie liegt zwischen zwei dekadischen Einheiten 10°-^ und lO°; ihr Logarithmus ist daher bezüglich n oder zwischen n — 1 und n eingeschlossen, also in jedem Falle positiv. Eine positive Zahl, welche kleiner als 1 ist, ist entweder eine dekadische Einheit — 10"°, oder sie liegt zwischen zwei dekadischen Einheiten 10"°-^ und 10"°; ihr Logarithmus ist daher bezüglich — n oder zwischen — n -j- 1 und — n eingeschlossen, also in jedem Falle negativ. 2. Der Brigg'sche Logarithmus einer ganzen oder gebro¬ chenen Zahl, welche eine dekadische Einheit ist, ist eine ganze Zahl. Folgt aus dem Beweise zu 1. 119 3. Der Brigg'sche Logarithmus einer ganzen oder gebro¬ chenen Zahl, welche keine dekadische Einheit ist, ist eine irratio¬ nale Zahl. Beweis, a) Ist keine dekadische Einheit, sondern zwischen zwei auf einander folgenden dekadischen Einheiten 10° und 10°-^ enthalten, wo n eine positive oder negative ganze Zahl oder auch Null bedeutet, so liegt der Loga¬ rithmus von zwischen n und n -f- 1, und ist somit keine ganze Zahl. Er kann aber auch kein Bruch sein. Denn wäre IvA N wo p und — r relative Primzahlen seien, so müsste 10 oder 10^v — M sein. Damit jedoch diese Gleichung möglich sei, müssten 10^» und M aus denselben Prim- factoren bestehen; es dürfte also keine anderen Factoren als 2 und 5, bezüglich und 4, und müsste auch beide in gleicher Anzahl enthalten; dann aber wäre idi selbst eine dekadische Einheit, was der Voraussetzung wider¬ spricht. Es kann demnach N, wenn H keine dekadische Einheit ist, weder durch eine ganze Zahl noch durch einen Bruch genau dargcstellt werden. d) Der Logarithmus von N lässt sich jedoch durch Angabe von Nähe¬ rungswerten, zwischen denen er liegt, mit jedem beliebigen Grade von Genauigkeit annäherungsweise bestimmen. Da idi zwischen 10° und 10°^ ent¬ halten ist, so liegt IoK N zunächst zwischen den Näherungswerten n und n -j- 1; aus diesen aber lassen sich andere immer genauere Näherungswerte ableiten. Liegt nämlich N allgemein zwischen zwei Zahlen n und v, daher (nach tz. 201, 2) Io§ H zwischen IoA n und v, welche letztere bekannt seien, so ist nach Z. 200, 4 auch der Logarithmus von uv, d. i. von der mittleren geometrischen Proportionale zwischen u und v bekannt. Weil nun in¬ zwischen u und v liegt, so muss idl entweder zwischen s/^uv und u, oder zwischen s/uv und v fallen, daher auch io§ N entweder zwischen s/^uv und IoZ u, oder zwischen IoZ s/^uv und ioZ v liegen. In jedem Falle ist also IvA zwischen zwei engere Näherungswerte eingeschlossen als früher, und durch eine wiederholte Anwendung dieser Schlussweisc können die Werte, zwischen welchen IoK liegt, so nahe aneinander gerückt werden als man will. Z. 21)3. Aufgabe. Von einer gegebenen Zahl den Brigg'schen Logarithmus zu berechnen. 1. Eine Auflösung dieser Aufgabe beruht auf dem in ß. 202, 3 unter 1>) gegebenen Beweise, nach welchem der Logarithmus einer Zahl zwischen immer engere Näherungswerte eingeschlossen und dadurch so genau, als man will, berechnet werden kann. 120 Es sei z. B. der Logarithmus von 13 zu berechnen. 13 liegt zwischen 10 und 100, IoK 13 „ „ los 10 — 1 und los 100 — 2; Differenz der Näherungswerte: 2 — 1 — 1. 10.100 — 3l -6227766 a, 1oZ u (los 10 -tz los 100) 1 -5; 13 liegt zwischen 10 und a, los 13 „ „ los 10 — l. und los u — 1'5; Differenz der Näherungswerte: 1-5 — 1 — 0-5. f/lOn 17-7827942 — l>, 1o§ d (lo§ 10 -f- los u) 1'25; 13 liegt zwischen 10 und 6, los 13 „ „ los 10 — 1 und los d — 1'25; Differenz der Näherungswerte: 1-25— 1 — 0'25. Man sieht, dass die Näherungswerte des Logarithmus von 13 immer näher an einander rücken. Durch fortgesetztes Verfahren findet man: ^10 b 13-3352144 o, los o — (los 10-s- loZ d) 1'125; f/^1Ö^ 11-5478201 ä, loZ ä (loAlO-f- 1o§ o) -- 1'0625; s^o cl — 12'4093780 — s, los s — (los o -f- los ä) — 1'09375; ^oo — 12'8639696 — 1, los 1 (los o -f-los e) — 1'109375; s/^o 1 — 13'0974727 — A, IvA A — (Io§ e -f-Io§ 1) — 1'117188; s/'ts^ — 12 -9801960 Ii, los Ii (los 1 los §) l '113281; f/s^ 13-0387024 i, los i (los s ch- los 1'115234; s^ki" 13-0094163 —lr, los lr ^4 (los k ch-los i) ^ 1'114258; — 12-9947978 -.1, los 1 (los 1i -ch los lc) 1'113769; 13'0021049 ---m, los m (1o§ lr -s- los I) 1'114014; f/lH 12-9981507 n, lo§ n (los l -f-los m) — 1-113892; IN o — 13'0002776 — 0, los 0 — (los IN -s- los n) — 1'113953; f/u o — 12'9993640 — p, los l> — (^O8 n -f- los o) — 1'113922; o p — 12'9998207 — cz, los <1 —(los o -s-los x) — 1'113937; o g — 13'0000491 — r, los r — (los o -f- los cz) — 1'113945; f/ g i- — 12'9999348 — s, los s — (los -f-los r) — 1'113941; Da nun 13 zwischen 8 und r, und folglich auch los 13 zwischen los und los r liegt, diese beiden Logarithmen aber in den 5 ersten Decimalstellen übereinstimmen, so ist auf 5 Decimalen genau los 13 — 1'11394. 121 Auf diesem mühsamen Wege berechnete Heinrich Brigg die Logarithmen der Prim¬ zahlen von 1 bis 20000, und von 90000 bis 100000 mit 14 Decimalstellen, und später Adrian Blacq die noch fehlenden der Primzahlen von 20000 bis 90000. 2. Einfacher und kürzer ist der nachstehende Rechnungsvorgang: Man berechnet durch wiederholtes Ausziehen der Quadratwurzel 10°» -1/10 - 3'162278, 10°» — j/IO j/^lO --- f/3-162278 — 1-778279, 8 1 10°-»° 77777 s/10 a777 1/1/10 7777 1/1-778279 7777 1'333521, 16 8 10°-°°» — j/10 ^77 1/1/10 1/1-333521 1-154782, u. s. w., und stellt die Resultate, wie folgt, in eine Tabelle zusammen: Mit Hilfe dieser Tabelle kann nun der Logarithmus jeder Zahl durch bloße Divisionen und eine Addition berechnet werden. Ist z. B. der Logarithmus von 13 zu bestimmen, so dividiere man 13 durch die höchste darin enthaltene ganze Potenz von 10; 13 : 10 1-3. Den Quotienten dividiere man durch die nächstniedrigere, in der Tabelle enthaltene Potenz, den neuen Quotienten wieder durch die nächstniedrigere Potenz, u. s. w. Man erhält 1 - 3 : 10° °-»- 1-3:1-154782 1 -125754, 1-125754 : 10°«»»« 1-125754 : 1-074608 1'047595, 1-047595 : 10°-°»°» — 1-047595 : 1'036633 — 1-010575, 1-010575 : 10° «°°°°° — 1-010575 : 1'009035 1'001526, 1-001526 : 10°°°°^ 1-001526 : 1'001125 1'000400, 1-000400 : 10«°°°'-- 1-000400 : 1'000281 1'000119, 1-000119 : 10°'°«»°» 1-000119 : 1'000070 1-000049, 1-000049 : 10° ««°°» 1-000049 : 1-000035 1-000014, 1-000014 : 10°°°°°°^ 1-000014 : 1-000009 1-000005, ^-000005 : 10°»°°°«« 1-000005 : 1'000004 1-000001. 122 Hieraus ergibt sich 1Z 10?1()0'0L25,10" osrss. 100'015625,100 oossok 100'000488 , 100'000122,100 oooosi, 100'000015,100'000004,100'000002 und durch Addition der Potenzexponcnten von 10 13 M'Es, daher ist auf 5 Decimalen genau IvZ 13 — 1'11384. Zulatz. Noch kürzere Methoden zur Berechnung der Logarithmen bietet die höhere Analysis. Z. 2V4. Da im Brigg'schm Systeme mit Ausnahme der dekadischen Einheiten alle übrigen rationalen Zahlen irrationale Logarithmen haben und diese annäherungsweise durch Dccimalbrüche dargestellt werden, so besteht ein Brig g' scher Logarithmus im allgemeinen aus Ganzen mit angehängten Decimalziffern. Man nennt die im Logarithmus enthaltenen Ganzen die Charakteristik (Kennziffer) des Logarithmus, die angehängten Decimalen die Mantisse desselben. Für positive Zahlen, welche kleiner als 1 sind, ist der Logarithmus, also dessen Charakteristik und Mantisse negativ. Negative Mantissen pflegt man übrigens in der Rechnung zu beseitigen; man führt statt derselben positive Mantissen mit einer negativen Charakteristik ein, indem man den negativen Logarithmus von einer Zahl subtrahiert, die um 1 größer ist als die Charakte¬ ristik, wodurch eine positive Mantisse zum Vorschein kommt, und dann diese um 1 größere Zahl als negative Charakteristik hinter die Mantisse setzt. Z. B. — 2-34 467 — 3 — 2-34 467 — 3 — 0-65 533 — 3. H. 205. Die Charakteristik des Brigg'schen Logarithmus einer dekadischen Zahl ist gleich dem Ra ngexpon en ten der höchsten Ziffer dieser Zahl. Es sei n der Rangexponent der höchsten Ziffer der Zahl u, wobei n eine ganze positive oder negative Zahl oder auch die Null bezeichnen kann; dann ist a > 10° und u < 10°-l-i, dahn IvA u > n und IvK a < n -st 1. Es ist also 1oA a — n -st «, wo « positiv und < 1 oder auch Null ist; folglich ist n die Charakteristik des Logarithmus von a. Folgesätze, u) Die Charakteristik des Logarithmus einer Zahl, welche Ganze enthält, ist positiv und um 1 kleiner als die Anzahl der Stellen, welche die Ganzen einnehmen (Z. 67, Folgest 1). 123 d) Die Charakteristik des Logarithmus eines echten Decimalbruches ist negativ und absolut genommen gleich der Anzahl aller Nullen, welche den geltenden Decimalziffern vorangehen, die Null vor dem Decimalpunkte mit¬ gezählt (Z. 176, 1). Z. 2VK. Wenn man irgend eine Zahl mit einer Potenz von 10 multipliciert oder durch eine Potenz von 10 dividiert, so wird dadurch in ihrem Brigg'schen Logarithmus nur die Cha¬ rakteristik geändert, während die Mantisse dieselbe bleibt. Es ist Io§ (n.10") — IvA g, -s- IvA 10" — IvK n -s- in, — loZ n — IoA 10" — IoK a, — in. Es wird also der Logarithmus von a um die ganze Zahl in im ersten Falle vermehrt, im zweiten vermindert, d. h. er erhält eine andere Charakte¬ ristik, während die Mantisse ungeändert bleibt. So ist z. B. lax 7124 3'85 272; daher IOK 712400 — Io§ 7124 -j- loA 100 — 3'85 272-f-2-r. 5'85 272; IoK 71-24 7124 - Io§ 100 3'85 272—2^ 1'85 272. Folgesatz. Die Mantisse eines Logarithmus hängt bloß von der Ziffernfolge der Zahl ohne Rücksicht auf deren Rang ab. Logarithmentafeln. Z. 2«7. Die Logarithmen aller Zahlen von 1 bis 10000 oder von 1 bis 100000, und zwar erstere auf 5 oder 6, letztere auf 7 Decimalen berechnet, hat man in besonderen Tafeln, welche Logarithmentafeln heißen, zusammen¬ gestellt. Diese enthalten nur die Mantissen der Logarithmen, da die Charakte¬ ristik in jedem Falle nach §. 205 bestimmt werden kann. Mit Hilfe solcher Tafeln findet man durch ein ganz einfaches Verfahren, das in den denselben vorausgeschickten Anleitungen näher angegeben ist, zu jeder Zahl den entsprechenden Logarithmus, und umgekehrt zu jedem gegebenen Logarithmus die zugehörige Zahl^). Z. 208. Rechnungsoperationcn mit den Brigg'schen Loga¬ rithmen. In Beziehung auf die Rechnungsoperationen mit Logarithmen sind im allgemeinen dieselben Regeln zu beobachten, wie für dekadische Zahlen über¬ haupt; nur hat man dabei noch Folgendes zu berücksichtigen: *) Eine ausführliche Belehrung über die Einrichtung und den Gebrauch solcher Tafeln findet man in der Einleitung zu den von mir herausgegebenen fünfstelligen Logarithmentafeln zum Schulgebrauche. Wien, bei Gerold, 1877. 124 1. Erhält man beim Addieren der Logarithmen zwei Charakteristiken, eine positive und eine negative, so werden diese in eine einzige zusammen¬ gezogen. Z. B. 3-10 589 2-56 814 0-21 340 — 2 0-08 105 — 5-96 848 —0-96 848 — // 2. Ist beim Subtrahieren der Minuend kleiner als der Subtrahend, so addiere man, um im Reste eine negative Mantisse zu vermeiden, zu dem Minuend so viele positive Einheiten, dass er größer wird als der Subtrahend, und setze dann auch als Charakteristik des Restes so viele negative Einheiten. Z. B. -s- 3 — 3 1-45 025 3-57 892 0-87^33 — 3. 3. Wird ein Logarithmus mit negativer Charakteristik mit einer Zahl multipli eiert, so muss im Producte die neue negative Charakteristik mit der etwa erhaltenen positiven zusammengezogen werden. Z. B. (0-53 115 — 2) X 5 — 2-65 575 — 10 ^ 0-65 575 — 8. 4. Ist ein Logarithmus mit negativer Charakteristik durch eine Zahl zu dividieren, so muss die negative Charakteristik, wenn sie durch diese Zahl nicht theilbar ist, um so viele Einheiten vergrößert werden, dass sie dadurch theilbar wird; eben so viele Einheiten müssen aber dann auch als Ganze zu der positiven Mantisse gesetzt werden. Z. B. (0-41 509 — 7) : 5 (3'41 50s — 10) : 5 -- 0-68 303 — 2. Z. 2VS. Anwendung der Brigg'schen Logarithmen. Durch die allgemeinen Sätze, die in tz. 200 entwickelt wurden, ist man imstande, die Multiplikation in eine Addition, die Division in eine Sub¬ traktion, das Potenzieren in eine Multiplikation und das Radicieren in eine Division zu verwandeln. Kommen unter den gegebenen Zahlen negative vor, so betrachtet man sie einstweilen als absolute Zahlen, führt damit die Rechnung durch und bestimmt das Vorzeichen nachträglich in dem gefundenen Resultate. 1. Multiplikation der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. Bestimme das Product aus 1-0954, 0'91567, — 3'1571 und 1-00782. 125 Es ist los 1'0954 ^ 0-03 957 los 0-91567 0-96 174 — 1 los 3-1571 — 0'49 928 (n) loZ 1 - 00782 0 - 00 338 los des Productcs — 0-50 397 — los 3'1914; also 1-0954 X 0-91567 X — 3'1571 X 1'00782 — — 3'1914. 2. Division der Zahlen mit Hilfe der Logarithmen. 1) Es soll der Quotient 528 : 737 oder bestimmt werden. -s- 1 — 1 los 528 — 2-72 263 loZ 737 -- 2-86 747_ los — 0'85 516 — 1 — los 0'7164, folglich — 0-7164. 2) Bestimme den Wert des Bruches x — los 3-4156 — 0-53 347 los 4-023 — 0-60455 1-13 802 los 1'2378 — 0-09 265 los 5-87091 — 0-76 871 los x — 0'27 666 — los 1'8909, also x — 1-8909. 3. Potenzierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. 1) Es soll die 20 sie Potenz von 1-025 gesucht werden. los 1'025 — 0-010724 20 los (1'025)2° — 0-214480 — los 1'6386, also (1-025)2°— 1-6386. 2. Bestimme los 329 — 2-51 720 / los 67 — 1-82 607 0-69113 X 1'065 5 601 69113 4146« 3456 los - 0-73605 - los 5'4456 somit — 5-4456. 126 4. Radicierung einer Zahl mit Hilfe der Logarithmen. Es sei die 5te Wurzel aus 10 zu bestimmen. IoA 10 — 1-00 000 5 ' -' ' 2 loZ f/10 0'20000 IvA 1'5849, 5 also ^10 1-5849. Z. 2IV. Auslösung einfacher Exponentialgleichungen. Man unterscheidet algebraische und transcendente Gleichungen; in den ersteren kommt die Unbekannte nur als Basis einer Potenz, in den letzteren unter einer der Formen a", Io§ x, sin x u. dgl. vor. Eine Gleichung von der Form a* — 1> heißt insbesondere eine Exponentialgleichung. Die Auflösung der Exponentialgleichungen beruht auf der Anwendung des Satzes: Sind zwei Zahlen einander gleich, so sind auch ihre in Bezug auf dieselbe Basis genommenen Logarithmen einander gleich. 1. Gleichungen von der Form a* — 5. Nimmt man von beiden Theilen die Logarithmen, so wird der Exponent x in einen Factor verwandelt; man erhalt Io§ — 1o§ 5, oder x IoA a — loZ 5; daher ist IvA d X IoA L Um z. B. die Gleichung 5* — 37 aufzulösen, hat man x IoZ 5 — IoK 37, und somit „ 1^37 — 1-56820 IvA 5 0-69897 2. Gleichungen von der Form f/a — 5. Nimmt man hier beiderseits die Logarithmen, so erhält man ^.loA a — IoA 5, daher IoZ a — x IvA 1>, und So gibt die Gleichung f/2 — 10 den Wert x — — 0-30103. x 7- /si- '"° Fünfter Abschnitt. Gleichungen des zlmrtm Grades. 2) 2x —s/3x^3 — 1^3^ -- 3 — 2x 3x — 9 — 12x -s- 4x? 3x -s- 12x — 4x? — 9 — 4x-4- 15x 9 4x2— 15x — 9. Z. 21 l. Um eine Gleichung anflösen zu können, muss sie zuerst auf eine solche Form gebracht werden, dass die Unbekannte in keinem Gliede als Renner¬ oder als Radicand erscheint, dass alle Glieder, welche die Unbekannte enthalten, in dem ersten Theile der Gleichung nach den fallenden Potenzen derselben auf einander folgen, dass endlich der Coefficient der höchsten Potenz der Unbekannten eine ganze positive Zahl ist. Eine so geformte Gleichung heißt geordnet. Das Ordnen der Gleichungen besteht in den Transformationen, welche nach A. 141 bei der Auflösung der Gleichungen des ersten Grades in An¬ wendung kommen, und wenn die Gleichung irrational ist, in der Wegschasfung der Wurzeln nach Z. 173. Beispiele. 1) x(2x-^3)— - 2x 5x(2x-s-3)—(6—3x)^ 10x lOx? -s- 15x — 6 Z- 3x — 10x lOx^ -f- 15x -s- 3x — lOx — 6 10x2 -s- 8x — 6 5x2 -s- 4x — 3. Bemerkung. Wenn ans einer irrationalen Gleichung die Quadratwurzel durch Erheben zum Quadrate weggeschafft wird, so enthält häufig die neue Gleichung Wurzeln, die der gegebenen nicht angehören. Man hat daher in diesem Falle nachträglich noch zu untersuchen, welche der für die Unbekannte gefundenen Werte die ursprünglich gegebene Gleichung erfüllen. So erhält man in dem Beispiele 2) aus der Gleichung 2x — s^3x — 3 durch Quadrieren die Gleichung 4 x2 — 15 x — — 9, welcher die Werte x — 3 und 5- — genügen; von diesen befriedigt jedoch nur der erste x — 3 die gegebene Gleichung, der Wert x — genügt ihr nicht, gehört dagegen einer andern Gleichung 2x -s- s/Zx — 3 an, aus welcher nach Wegschasfung der Wurzel dieselbe Gleichung 4x2 — l5x — — 9 entsteht, wie aus 2x — s/3x — 3. 128 Z. 212. Der höchste Potenzexponent der Unbekannten in einer geordneten Gleichung bestimmt den Grad derselben. Eine Gleichung, in welcher, nachdem sie geordnet wurde, die höchste Potenz der Unbekannten die zweite ist, heißt eine Gleichung des zweiten Grades oder eine quadratische Gleichung. Ist die höchste Potenz der Unbekannten die dritte, vierte oder eine höhere, so heißt die Gleichung bezüglich vom dritten, vierten oder einem höheren Grade. Wenn in einer Gleichung mehrere Unbekannte vorkommen, so wird der Grad derselben durch die höchste Summe der Potenzexponenten der Unbekannten eines Gliedes in der geordneten Gleichung bestimmt. I. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten. Z. 213. Die allgemeine Form einer geordneten Gleichung des zweiten Grades ist px? -st hx — r, wo p, q, i- beliebige bekannte Zahlen darstellen. a) Wird der Coefficient x von x? gleich 0, so verwandelt sich die qua¬ dratische Gleichung in eine Gleichung des ersten Grades Hx — r und fällt daher hier außer Betracht. U) Wird das von x freie Glied r — 0, so hat man px^ -st Hx — 0, oder x (px -st H) — 0. Da ein Product 0 wird, wenn ein Factor 0 ist, so wird die vorstehende Gleichung befriedigt, wenn man entweder x — 0, oder px -stH — 0, d. i. x — — setzt. Der Gleichung genügen also zwei Werte. Dass hier x durch die Division nicht ausgeschieden werden darf, ist schon in tz. 140, 3, bemerkt worden. o) Ist H — 0, so wird vx^ — r, oder x? — —. Eine solche Gleichung, in welcher die Unbekannte nur in der zweiten Potenz vorkommt, heißt eine reine oder binomische quadratische Gleichung. Allgemein stellt x"> — a eine binomische Gleichung des na ten Grades dar. ä) Sind p, H und r sämmtlich von 0 verschieden, so heißt die Gleichung px? -st Hx — r eine gemischte oder vollständige Gleichung des zweiten Grades. Reine quadratische Gleichungen. Z. 214. Um eine reine quadratische Gleichung x? — st aufzulösen, darf man nur aus beiden Theilen die Quadratwurzel ausziehen; man erhält x - 129 x- -- 15, folglich s x- — — 7, X 2^2 MoLnil, Arithmetik und Algebra. Gemischte quadratische Gleichungen. A. 215. Die allgemeine Form einer geordneten gemischten Gleichung des zweiten Grades ist s Eine reine quadratische Gleichung hat also zwei entgegengesetzte Wurzeln; ist st positiv, so sind diese reell; ist st negativ, so sind sie imaginär. Zu demselben Resultate gelangt man auch, wenn man die gegebene Gleichung auf die Form x? — 1) — 0, oder x? — (st^st)? — 0, oder (x — P^st) (x -f- s/st) — 0 bringt. Diese Gleichung wird befriedigt, wenn man entweder x — s/st — 0, d. i. x — P^st, oder x -s- f/st — 0, d. i. x — — s/st setzt. Beispiele. x- 9^ und wenn man aus beiden Theilen die Quadratwurzel auszieht, px? -s- c^x — r oder, wenn man beide Theile der Gleichung durch p> dividiert, X» -s- -^-x -- p ? Setzt man -2- — a, und — st, so erhält man als Normalform, von der bei der Auflösung immer auszugehen sein wird, x? -s- s, x — st. Um eine in der Normalform gegebene quadratische Gleichung aufzu- löscn, wird man zunächst den ersten Theil zu dem vollständigen Quadrate eines Binoms ergänzen. Betrachtet man x' als das Quadrat des ersten Gliedes, somit x als das erste Glied, ferner ax oder 2.x. als das doppelte Product beider Glieder, so ist das zweite Glied, und es fehlt, damit das Quadrat des Binoms x -s- vollständig werde, noch das Quadrat — ^7. Li? Addiert man daher zu beiden Theilen der Gleichung , so ergibt sich 5,2 5,2 X- -s- g, X -f- — -4- -i- st, oder / » X 2 K 2 130 Hiernach hat auch jede gemischte quadratische Gleichung zwei Wurzeln Dieselben sind reell und ungleich, wenn der Ausdruck — — si d positiv, reell und gleich, wenn dieser Ausdruck Null, complex und conjugiert, wenn derselbe negativ ist. Beispiele. 1) —6x^7 2) x2-j-7x —— 12 3- 9 x- — 6x 4- 3- 7 -s- 9 (x — 3)- -- 16 x — 3 — s/16 x - 3 — -0 4 x — 3 4 x — 7, oder x — — 1. Z. 116. Anstatt zur Auflösung einer gemischten quadratischen Gleichung in jedem besonderen Falle die in Z. 215 durchgeführte vollständige Entwicklung zu wiederholen, kann man die Wurzeln auch sogleich aus der allgemeinen Formel - -- - -i- z/ d ableiten. Dieselbe enthält den Satz: In einer auf die Normalform gebrachten gemischten qua¬ dratischen Gleichung ist die Unbekannte gleich dem halben Coeffi- cienten der ersten Potenz der Unbekannten mit entgegengesetztem Vorzeichen, vermehrt oder vermindert um die Quadratwurzel aus der algebraischen Summe des Quadrates dieses halben Coefficienten und des von der Unbekannten freien Gliedes. Beispiele. 1) x- — 6x — 16. x — 3 U- ^9^-16 — 3^1/25^3^-. 5^ x — 3 -f- 5 — 8, oder x — 3 — 5 — — 2. 2) x- — lOx — — 25. x 5 si/25^25 5 0 — 5. Die Gleichung hat zwei gleiche Wurzeln x — 5. 3) x- — 2x -j- 2 — 0; in der Normalform x? — 2x — — 2. x — Ixtrj/l — 2 — 1U: — 1. 131 Zusah. Sind in der allgemeinen quadratischen Gleichung x- st- ax — b die bekannten Zahlen a und i> irrational, z. B. a, — und b —j/8, so dass die Gleichung die Form x- -st- x — ^8^ annimmt, so erhält man Bei allen Gleichungen dieser Art kommt man auf einen Ausdruck von der Formj/x^j/q. Wie ein solcher Ausdruck bestimmt, d. i. wie aus einem irrationalen Binom die Quadratwurzel ausgezogen wird, ist in Z. 172 gezeigt worden. Bestehungen zwischen den bekannten Zahlen einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln. 8- 217. Jede geordnete quadratische Gleichung erhält, wenn man das von x freie Glied in den ersten Theil überträgt, die Form x- st- ^xst- 8 — 0 und heißt dann auf Null reducicrt. Man nennt in diesem Falle den ersten Theil x-st-^x st-8 das Gleichungstrinom. Ist na eine Wurzel der Gleichung x? st- ^.x st- 8 — 0, so heißt x — m ein Wurzelfactor derselben. 1. Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Glei¬ chung ist durch ihren Wurzelsactvr theilbar. Es ist (x^ -st ^x st- 8) : (x — in) -- x st- (F. st- na) X? — nax — "j- _ n -st m)x 4- 8 st- in)x — st. na — n? _4^_4^_ Rest -- a? st- st^m-st 8. Da na eine Wurzel der vorgelegten Gleichung ist, also für x in das Trinom r? st- 4x st- 8 substituiert, dieses auf Null reduciert, so ist der frühere Rest n? -st st. na -st 8 — 0, und daher (x? st- st.x st- 8) : (x — na) — x -st (st. -st na). 2. Jede quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln. Setzt man in dem obigen Ausdrucke (x? st- st.x st- 8) : (x — na) — x -st (st. -st na) st. -st na — — n, so wird s* 132 (x? -s- ^x -s- 8) : (x — na) — x — u, folglich x? -s- ^x -s- 8 — (x — na) (x — n). Da nun der Ausdruck x? -s- ^.x -j- 8 nicht nur für x — na, sondern auch für x — n in Null übergeht, so ist nicht nur na, sondern auch n eine Wurzel der Gleichung x? -s- ^.x -s- 8 — 0. 3. Die Gleichung x? -s- ^.x -s- L — (x — na) (x -- n) liefert ferner den Satz: Das Gleichungstrinom einer jeden quadratischen Gleichung ist gleich dem Producte ihrer Wurzelfactoren. 4. Aus derselben Gleichung ergibt sich x? -s- ^.x -s- 8 — x? — (na -s- n) X -s- (— na . — n), folglich — — na — n und 8 — — na. — n. Der Coefsicient des zweiten Gliedes ist also gleich der Summe, und das dritte, von der Unbekannten freie Glied dem Producte aus den entgegengesetzt genommenen Wurzeln. Z. 218. Folgerungen: 1. Eine auf Null reducierte quadratische Gleichung kann oft sehr einfach durch Zerlegung des Gleichungstriuoms in zwei binomische Factoren aufgelöst werden. Z. B. 4x- — 23x -s- l5 0. Da 4x- - 23x -s- 15 4x- — 20x — 3x -s- 15 — 4x (x — 5) — 3 (x — 5) — (4x — 3) (x — 5) ist, so wird die gegebene Gleichung befriedigt, wenn man entweder 4x — 3 — 0 oder x — 5 — 0 setzt. Die Gleichung hat also die zwei Wurzeln x — und x — 5. 2. Wenn man in einer auf Null reducicrtcn quadratischen Gleichung das von x freie Glied in zwei Factoren zerlegen kann, welche den Coefficienten von x zur Summe geben, so erhält man durch die Zeichenänderung derselben sofort die beiden Wurzeln der Gleichung. Z. B. An der Gleichung x? — 5x -s- 6 — 0 erkennt man auf den ersten Blick, dass -s- 6 das Product der Zahlen — 2 und — 3 ist, welche — 5 zur Summe geben; die beiden Zahlen entgegengesetzt genommen, nämlich 2 und -s- 3, sind also Wurzeln der vorgclegten Gleichung. 3. Mit Beachtung des Satzes 4. in 8-217 lässt sich aus den Vor¬ zeichen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung auch auf die Vorzeichen ihrer Glieder und umgekehrt aus den Vorzeichen der letzteren auf jene der ersteren schließen. 4. Aus X? -s- 7^x -s- 8 — (x — na) (x — n) ergibt sich: Sind die Wurzeln in und n der Gleichung x^-s-^x-ßL — 0 reell, so wird der Ausdruck x? -s- ^.x -s- 8 für jeden Wert von x, welcher zwischen na und n liegt, negativ, dagegen für jeden Wert von x, welcher größer als die größere, oder kleiner als die kleinere beider Wurzeln ist, positiv. Sind aber die 133 2 Wurzeln der obigen Gleichung imaginär, etwa x-st cst und —ost, so wird x? -st Ax -t- L für jeden reellen Wert von x positiv; denn es ist x? -st Ax -st L — (x — x — cz i) (x — x -st — s, ebenfalls in Wurzeln, von denen aber im allgemeinen mit den bisher gewonnenen Hilfs¬ mitteln bloß die reellen, wenn die Gleichung solche hat, bestimmt werden können. Nur die binomischen Gleichungen des dritten und des vierten Grades lassen sich durch Zurückführung auf quadratische Gleichungen schon hier vollständig auflösen. n) Die allgemeine binomische Gleichung des dritten Grades ist g x? — a oder x? — a — 0. Da x — j/n eine Wurzel dieser Gleichung und (x? — n): (x — j/n) — x? -j- . x -s- s/ a? ist, so folgt x» — n (x — s/a) (x- 4 44 . x 4 3 Es wird demnach —- a --- 0, nicht nur wenn x — I/a — 0, also s s 3 X — 44, sondern auch weun X? 4 . X 4 j/a? — 0 gesetzt wird, ans s welcher Gleichung sich x — ^(— 14 I/ — 3) ergibt. Die Gleichung x^ —a. hat also die drei Wurzeln s s X -- 1/n, X 1 4 1/^3), X -- ^5 (- 1 - r/^3s. Z. B. Der Gleichung x^ — 27 — 0, welche sich auch so darstcllen lässt: (x — 3) (x? 4 3x 4 9) — 0, wird genüge geleistet, wenn man x — 3 — 0, oder wenn man x-43x49 — 0 setzt. Dadurch ergeben sich die drei Wurzelwerte x^3, x -1 4-l^-^3), Io) Die binomische Gleichung des vierten Grades x^—0 oder (x? — 44) (x^ 4- j/u) — 0 wird durch x^ — 44 — 0 und 4 4^a — 0 befriedigt; sie hat somit die Wurzeln X — 4 s/4 und X — 4 1/— j/ a. Z. B. Die Gleichung x^ 4 1 — 0 oder x^ — (4^— 1? — (x^ — 1) (x^ 4 — 1) — 0 hat folgende vier Wurzeln: x - 4 l 4 (1 4 Y und x — 4 — 1 — 4 (1 — 4^— 1). Gleichungen von der Form x^ 4 nx^ — K. 8. 221. Höhere Gleichungen, welche nur zwei Potenzen der Unbekannten von solcher Beschaffenheit enthalten, dass der eine Potenzexponent das Doppelte des andern ist, lassen sich immer auf quadratische zurückführen; man darf nur die niedrigere Potenz durch eine neue Unbekannte ausdrücken. 135 a) Um die Gleichung x^ st- ax^ — k aufzulösen, setze man folglich x^ — 5°; dann hat man ^2 g,^, — ich und daher Wird nun statt v wieder der Wert x"> restituiert, so ist somit, wenn man aus beiden Theilen die mte Wurzel auszieht, * --- f/f- 4 s/ 7 : b>. Z. B. x^ — IZx^ st- 36 0. Setzt man x? —so hat man — 13^ st-36 —0, welche Gleichung 13 , , ^169 13 , 5 -Z- — — 36 , also x — 9 oder — 4 gibt. Man hat daher, da x — s/^ ist, x — s/9 — 3, oder x — P^4 — 2. b) Ist die Gleichung (x2° st- xx° st- st- a(x2° st- px° st- st)"> — d aufzulösen, so setze man (x?" st- xx° st- st)"' — dann ist ^2 st- —6, woraus sich die Werte von / bestimmen lassen. Aus x^ st- px° st- cz — f// oder x^ st- px" — — -st welcher Wert ebenfalls — 0 ist. Jede reciproke Gleichung, welche nicht den fünften Grad übersteigt, lässt sich auf quadratische Gleichungen zurückführen. n) Das Polynom einer reciproken Gleichung des dritten Grades x?-stnx?^nx^1—0 lässt sich in zwei Factoren zerlegen, von denen der eine bezüglich x 1 und der andere das Trinom einer quadratischen Gleichung ist. Vereinigt man z. B. in der Gleichung st- nx? st- nx -st 1 — 0, die Glieder, welche dieselben Coefficienten haben, so erhält man (x? -st, 1) -st nx (x st- 1) --- 0, oder, da x? -st 1 — (x -st 1) lx? — x 4- Ist ist, (x -st 1) (x? — x -st 1 -st nx) — 0. Dieser Gleichung wird genüge geleistet, wenn man entweder x st- 1 — 0 oder x? st- (n — 1) xst- 1 — 0 setzt, wodurch man drei Wurzelwerte erhält. Auf gleiche Weise geschieht die Auflösung der Gleichung x? -st nx? — nx — 1 — 0. 137 d) Es sei die rcciproke Gleichung des vierten Grades st- ax^ st- Kx? st- ax st- 1 — 0, in welcher dieselben Coefficienten gleiche Vorzeichen haben. Dividiert man durch x? und vereinigt dann die Glieder mit denselben Coefficienten, so erhält man (x? st- s- st- k — 0. Setzt man nun x st- so ist x? st- 2 st- also x? st- — 2, folglich durch Substitution in der obigen Gleichung — 2 st- st- b — 0, und -4- — v st- 2. Wird jeder dieser Werte in die Gleichung xst — eingesetzt, so erhält man, da diese Gleichung in Beziehung aus x vom zweiten Grade ist, für jeden Wert von / zwei Werte für x, also im ganzen vier Wurzeln für die vorgelegte Gleichung. a) Das Polynom der rcciproken Gleichung des vierten Grades zst st- nxst — a,x — 1—0, in welchem dieselben Coefficienten entgegengesetzte Vorzeichen haben, lässt sich in zwei Factoren zerlegen, von denen der eine x? — 1, der andere das Trinom einer quadratischen Gleichung ist. Die obige Gleichung lässt sich zunächst so darstellen: (xst — 1) st- ax (x? — 1) — 0. Nun ist x^ — 1 — (x? st- 1) (x? — 1); man hat also (x° — 1) (x- st- 1 st- ax) 0. Setzt man x? — 1 ^0, so erhält man x—^1; setztmanxstst-lst-ax—0, so ergibt sich X —- 2 — - Die Gleichung hat also vier Wurzeln. ä) Jede rcciproke Gleichung des fünften Grades xst st- ax- bx? ax 1 — 0 kann auf zwei Gleichungen zurückgeführt wcrdenj von denen die eine x^l —0, und die andere eine rcciproke Gleichung des vierten Grades ist, in welcher dieselben Coefficienten gleiche Vorzeichen haben. Die erste gibt bezüglich x — — 1 oder x — st- 1, die zweite wird nach b) aufgelöst und gibt vier Wurzeln. Exponentialgleichungen. 8- 223. Diese werden mit Hilfe der Logarithcken aufgelöst. a) Gleichungen von der Form sst* st- ps? — q. 138 Setzt man a* — z., so erhält man -s- also — a*-- -1' und daher los (— st) g, Z. B. 4^ -s- 5.4^ — 36 gibt für 4* — z., -s- 5^ — 36, woraus z. — 4^ 4 und z. 4^ — 9 folgt; somit x — 1. Der andere Wert x — " gibt keine reelle Auflösung. X 2x 6) Gleichungen von der Form f/u 4- p s/a — g. 2x Für s/n — z. wird 4- — 9, folglich z- — j/a 2t: -s- <1, und daher lüA L X 2x 2x Z. B. Aus 5 j/ 64 — 6 s/ 64 —8 erhält man für s/64 — z., „ „ „ , , . 4 . los: 64 6!o^2 „ 9^- - 6z. - 8, daher z. -- 2 oder —1, und X -- 210^2 2wl2 o. Der zweite Wert von x ist nicht reell. III. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Z. 224. Enthält eine quadratische Gleichung mehrere Unbekannte, so lassen sich diese, wie bei den Gleichungen des ersten Grades, nur dann bestimmt angeben, wenn so viele voneinander unabhängige und einander nicht widersprechende Gleichungen vorhanden sind, als Unbekannte bestimmt werden sollen. Dic-Änf- lösung geschieht auch hier nach den in ß. 143 angegebenen Eliminations-Methoden, durch welche man schließlich auf eine einzige Gleichung mit einer Unbekannten kommt. Die Endgleichung übersteigt jedoch häufig den zweiten Grad und kann dann nach den bisher vorgetragenen Lehren nicht gelöst werden. Beispiele. X n nach der Comparationsmethode. Aus diesen zwei Gleichungen folgt: x n z- daher g, — z- — —, ader geordnet V > x z.? — uzl — — 6, woraus sich z. — —d, und somit X — 2p: —l) ergibt. 139 Man könnte hier mit Rücksicht auf Z. 21.7, 4, auch so schließen: Wenn zwischen zwei Größen x nnd die beiden Gleichungen x -st x — L und xx — b gegeben sind, so sind x und die Wurzeln der Gleichung x? — nx -s- b — v. 2s x _ V — 7 1 z z 118 / der Substitutionsmethode. Wird der Ausdruck x — -st- 7, welcher aus der ersten Gleichung folgt, in die zweite substituiert, so hat man -st 7)2 -st- 2^ — 118, oder geordnet z — 23, welcher Gleichung die Wurzeln — 3 und entsprechen. Werden diese Werte von in den Ausdruck x -st 7 substituiert, so erhält man x — 10, oder x —- ! -rx2 - 60 1 z — z — Zg s nach der Methode der gleichen Coefficienten. Durch Addition und Subtraction dieser Gleichungen erhält man 2Z^128f . . Z--64i x^'^8, „ , st daher , f und , . 2^2- 90 st ^2 —. 2c> f — ul: o. §. 22L. Einfacher und sicherer, als nach den gewöhnlichen Eliminations- Methoden, erfolgt in vielen Fällen die Auflösung durch geschickte Verbindung und Zerlegung der gegebenen Gleichungen, und insbesondere durch zweckmäßige Einführung neuer Unbekannten. Man sucht zunächst die Summe, Differenz, das Product oder den Quotienten der Unbekannten, und entwickelt dann erst aus diesen Größen die Werte der Unbekannten selbst. Bei symmetrischen, d. i. solchen Gleichungen, welche unverändert bleiben, wenn in denselben zwei Unbekannte x und / gegen einander vertauscht werden, führt meistens die Substitution — 1 x zum Ziele. Durch Anwendung dieser Vortheilc lassen sich auch einige höhere Gleichungen mit zwei Unbekannten auflösen. Beispiele. 1) Z-st^^u. ^E,x/ -^-b. Multipliciert man die zweite Gleichung mit 2, und verbindet die neue Gleichung mit der ersten durch Addition und durch Subtraction, so erhält man (x -st 1Z2 a -st Zs,, daher x-st/ — — 1^n-st 2b, (x — ^)2 a — 2 b; x — — — 2st ; folglich x — (fZ g,-st2b-stj/a — 2b), — Uw-^-(jZs,-st2b — sZa — 2 b). Dieselben Werte von x und x erhält man auch, wenn man in den gegebenen Gleichungen — tx substituiert. 140 2) X? -s- x^ — Lzr, -si — bx. Bringt man die Gleichungen auf die Form (x -i- L und -^-(x-si^)—k, so erhält man durch Multiplication und Division (x -s- — al, und daher x-sizr — ^sf/g.1, und woraus sich x — --- -- und v — — -—— ergibt. L—-l> 0 s— I) r> Löse die beiden Gleichungen auch durch die Substitution x — tx auf. 3) xzr — a, xs — b, Multipliciert man die ersten zwei Gleichungen mit einander und dividiert das Product durch die dritte, so erhält man rrb , , . »/^ad X- daher X Auf ähnliche Art findet man , ,/-3.0 , 1 /^bo 4) x)r-s-x^ — a, x^ F-— b, X2-si ^2 — 0. - Setzt man xzr — x^, x-i — so hat man x^ -s- — Ä, x^ -si — i), -si 2^ — 6. Daraus folgt , L -si b — e , a-I-e — b , d -si 0, — X' — X)r — — X2 — - " 2 - i 2' — ; dann erhält man, wie in 3), _t- i /"-si (a. -si « —si>) 2(d-s-e — ch ' _ I 4-b — e) (b -s- 0 — ») 2 s» -f- 0 — bf ' _I /' (»-fi e —b) (b -si o — -0 " 2 (L -f- b — 0) Sechster Abschnitt. Unbestimmte Gleichungen. I. Attvestimmte Gleichungen des ersten Grades. H. 22k. Aührt eine Aufgabe auf weniger Gleichungen, als Unbekannte zu bestimmen sind, so kann man durch wiederholtes Eliminieren der Unbekannten immer zuletzt eine einzige Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekannten erhalten. Wird aus dieser Gleichung die eine Unbekannte durch die übrigen ausgedrückt, so kann man für diese letzteren unendlich viele verschiedene Werte setzen, und erhält dann auch für die erste Unbekannte unendlich viele Werte. Eine solche Gleichung ist daher unbestimmt. Häufig wird bei derlei Aufgaben die Zahl der Auflösungen durch die Forderung beschränkt, dass die Werte der Unbekannten ganze, oder ganze und zugleich positive Zahlen sein sollen. In diesem Falle heißt die Aufgabe eine Diophantische. Auslösung in ganzen Zahlen. Z. 227. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades lässt keine Auflösung in ganzen Zahlen zu, wenn die Coefficienten der Unbekannten einen gemeinsamen Factor haben, durch welchen das bekannte Glied nicht thcilbar ist. Beweis. Es sei die auf die einfachste Form gebrachte Gleichung ax -s- — v, wo a, ll, o beliebige ganze Zahlen darstellen. Haben s, und d das gemein¬ same Maß m, durch welches o nicht theilbar ist, so hat man s. , b e - . X -s- — . V — -. A I) Da nun und ganze Zahlen sind, so können nicht zugleich x und ganze Zahlen sein, weil sonst auch x -s- folglich auch eine ganze Zahl wäre, was gegen die Voraussetzung ist. §. 221. Eine Gleichung des ersten Grades mit zwei Unbe¬ kannten, deren Coefficienten relative Primzahlen sind, hat unendlich viele Auflösungen in ganzen Zahlen. 142 Beweis. 1. Die Gleichung ax -s- b/ — o, wo a und b relativ prim sind und a als positiv vorausgesetzt werden kann, lässt immer eine Auflösung in ganzen Zahlen zu. Denn substituiert man in den aus dieser Gleichung folgenden Ausdruck e — bx für nach und nach die a Werte 0, 1, 2, 3,... a— 1 und dividiert die dadurch sich ergebenden a Werte von o — durch a, so müssen die dabei erscheinenden Divisionsreste sammtlich verschieden ausfallen. Sind nämlich na und n zwei von den Zahlen 0, 1, 2... a — 1, und würden a — bin und o — bn durch a dividiert denselben Rest r geben, so dass o — bin — aH-s-r und cr — bn — -s-r wäre, so erhielte man, wenn man beide Gleichungen subtrahiert, b (in — n) — a. (gl —- g), oder Es müsste also b (ra — n) durch a theilbar sein, was nach H. 74, 4, nicht möglich ist, da b und a relative Primzahlen sind, in — n aber kleiner als a ist und also nicht durch a theilbar sein kann. Die Reste, welche übrig bleiben, wenn man jene a Werte von « — b^ durch a dividiert, müssen also alle verschieden sein; es muss daher, da sie zugleich sämmtlich kleiner als a sind, einer unter ihnen gleich Null sein. Es sei nun st der Wert von welcher dem Reste 0 entspricht; dann wird 6 — X — - r- — tt, A wo -r eine ganze Zahl darstcllt. Der vorgelegten Gleichung genügen also die ganzen Zahlen x — — st- 2. Hat aber die Gleichung ax -s- b^ — e eine Auflösung in ganzen Zahlen, so lässt sie deren unendlich viele zu. Denn ist für diese Gleichung x — — st eine Auflösung in ganzen Zahlen, so hat man a« -s- bst — o. Dann ist auch a « — abu st-bst st-abu — o, oder a (« — b u) b (st -s- an) — o. Der gegebenen Gleichung genügen somit allgemein die Werte x—« — bu, — st-s-au, wo n eine willkürliche positive oder negative ganze Zahl bezeichnet. Z. 22S. Ausgabe. Eine unbestimmte Gleichung dses ersten Grades in ganzen Zahlen aufzulösen. 143 I. Auflösung durch Substitution. Man bestimmt aus der Gleichung den Wert derjenigen Unbekannten, deren Coefficient den kleineren Zahlenwert hat, und substituiert darin für die andere Unbekannte nach und nach die Zahlen 0, 1, 2, 3..., bis für eine dieser Substitutionen auch der Wert der ersten Unbekannten eine ganze Zahl wird. Diese Auflösung beruht auf dem Beweise 1. zu Z. 228. Beispiel. Es sei die Gleichung 4x —- 7 — 75. Man erhält daraus 7b-s-7x x — 4 und ist versichert, dass wenn man darin für einen der vier Werte 0, 1, 2, 3 setzt, einer der zugehörigen Werte von x eine ganze Zahl sein wird, so dass man also höchstens vier Versuche zu machen braucht. Man findet für — 3 7S-I-21 96 x — -s-- — — — 24. 4 4 Die vorgelegte Gleichung lässt also die Auflösung x — 24, / — 3 zu, und alle übrigen Auflösungen in ganzen Zahlen sind gegeben durch die Formeln x — 24 -j- 7u, — 3 -j- 4u, wo u eine willkürliche ganze Zahl bedeutet. Man findet daher folgende Auflösungen: für n ist x Das hier angegebene Verfahren kann sehr weitläufig werden, wenn Coefficienten beider Unbekannten große Zahlen sind. die II. Auflösung durch Reduction. (Eulcrfische Methode.) Ganz einfach gestaltet sich die Auflösung, wenn die eine Unbekannte den Coefficienten I hat. Z. B. aus der Gleichung x -si — o folgt x —e —I>^; man kann hier für / jede beliebige ganze Zahl setzen und erhält dann auch für x eine ganze Zahl. Auf diesen Fall lässt sich durch folgendes Verfahren auch jede andere Gleichung ax U: U/ — o zurückführen. Man sucht den Wert für diejenige Unbekannte, welche den kleineren Coefficienten hat, scheidet aus dem gefundenen Quotienten die darin enthaltenen Ganzen aus und setzt den in Bruchform erscheinenden Rest einer neuen Unbekannten gleich. Die so gHildete Hilfsgleichung löst man in Bezug auf die zweite der ursprünglichen Unbekannten auf, behandelt den erhaltenen Quotienten wie den früheren und setzt dieses Verfahren fort, bis man endlich, 144 da die Cvefficientm in den Hilfsgleichungen immer kleiner werden, auf eine Gleichung kommt, in welcher die eine Unbekannte den Coefficienten 1 hat. Wird sodann der Wert für diese Unbekannte nach und nach in die vorher¬ gehenden Gleichungen substituiert, so erhält man zuletzt die Formeln für alle ganzen Werte von x und Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 19x — 8^ — 52 gegeben. Löst man dieselbe nach der Unbekannten welche den kleineren Coeffi¬ cienten hat, auf, so erhält man 19 X — 52 - 8 - - oder, wenn man aus diesem Quotienten die darin enthaltenen Ganzen absondert, Da x und ganze Zahlen sein sollen, so muss auch der in Bruchform erscheinende Ausdruck eine ganze Zahl sein. Setzt man — n>, so hat man — 2x — 6 -fi u, ... 1). Löst man die Hilfsgleichung — u. nach x aus, so erhält man 8u, 4- 4 X — — , oder, wenn man aus diesem Quotienten die Ganzen ausscheidet, x — 2u, -s- 1 -s- Da x und u. ganze Zahlen sein sollen, so muss z auch eine solche sein. Bezeichnet man sie durch u„, so ist X — 2u, si- 1 fi- Uz ... 2). Die Gleichung " ' — u,z gibt nach u, aufgelöst und wenn — uz gesetzt wird, Ul — Uz 4- Uz ... 3). Aus — Uz folgt endlich die Gleichung Uz — 2uz 4- 1 ... 4), in welcher die Unbekannte Uz den Coefficienten 1 hat und für jeden beliebigen ganzen Wert von uz eine ganze Zahl wird. Setzt man nun den Wert von Uz nach und nach in die früheren Gleichungen 3), 2) und 1) ein, so ergibt sich 145 u, — 2ug 4- I -st Nz — 3ng -st 1, X 6 Ng 4" 2 4" 1 -st 2uz 4^ 1 8 Ug 4" 4, — 16uz 4" 8 — 6 4" 3nz -st i. — 19nz -st 8. Die allgemeine Auflösung in ganzen Zahlen ist also gegeben durch die Formeln x — 8u 4- 4, — 19u -4 3, — 10 10 0 — 76 84 4 — 16 4 —187 22 193 Für u — ist x 2. Es sei die Gleichung 11x -st 28z^ — 106 in ganzen Zahlen auf¬ zulösen. 11 x -st 28^ — 106 106 - 2^ 9 gibt x -n wo für u jede beliebige ganze Zahl gesetzt werden kann. 1 42 — 9 — 2^ 4- Ul, — 1 — -st Nz, 1 — du, 1 — 6 u, .1 —11, 6 — - 5 — — Uz 4 - — — Uz -st Uz; 1 — u, . 5 ^3 „ ^2 — 1 O Ug. ^44 Hieraus ergibt sich durch allmähliche Substitution Ui — — 1 -st 5Uz -st Uz — — 1 -st 6Ug, / — 1 -st 1 — 6ug -st 1 — 5ug — 3 — Hu,, x 9 — 6 -st 22Uz — 1 -st 6Uz — 2 -st 28Uz. wo uz jede beliebige ganze Zahl sein kann. Zusah. Die Methode von Lagrange, eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades mit Hilfe der Kettenbrüche in ganzen Zahlen aufzulösen, wird weiter unten (H. 248) angeführt werden. 8- 23V. 1. Um ein System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten in ganzen Zahlen aufzulösen, leitet man aus demselben durch Elimination eine Gleichung mit zwei Unbekannten ab und löst dieselbe nach einer der in Z. 229 angeführten Methoden auf. Substituiert man dann die gefundenen allgemeinen Werte dieser beiden Unbekannten in eine der Glei¬ chungen, welche auch die dritte Unbekannte enthalten, und löst dieselbe als eine zweite unbestimmte Gleichung auf, so ergeben sich zuletzt die zusammen¬ gehörigen Ausdrücke für alle drei Unbekannten. 2. Um eine unbestimmte Gleichung mit mehr als zwei Unbe¬ kannten in ganzen Zahlen aufzulösen, wendet man die in §. 229 unter II. Moenik, Arithmetik und Algebra. 10 146 entwickelte Reductionsmethode an. Man kommt auch hier zuletzt immer auf eine Gleichung, in welcher die eine Unbekannte 1 zum Coefficienten hat, und erhält dann durch gehörige Substitution die allgemeinen Ausdrücke für die Unbekannten der gegebenen Gleichung, in denen jedoch meist mehrere Hilfs- Unbekannte erscheinen. Auslösung in ganzen und positiven Zahlen. Z. 231. Die Gleichung ax-st — o hat eine begrenzte, die Gleichung ax — — o eine unbegrenzte Anzahl von Auf¬ lösungen in ganzen positiven Zahlen. Beweis. 1. Zur Auflösung der Gleichung nx -st — e in ganzen Zahlen hat man die Formeln x — « — stu, — /3 -st au. Sollen nun x und positiv sein, so muss « — llu>0 und O-st an > 0, also u < und u > — 0 Ä sein. Man erhält daher nur für solche ganze Werte von u, welche zwischen den Grenzen und — liegen, ganze und positive Werte von x und 2. Der Gleichung ax — — o genügen die ganzen Werte X — « -st stu, — /1 -st au. Damit x und positiv seien, muss « -st bu > 0 und /Z -st a u > 0, also u > — und u >- - b a sein. Da es unendlich viele ganze Werte von u gibt, welche > —und zugleich > sind, so können auch x und x unendlich viele ganze und positive Werte haben. Z. 232. Ausgabe. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades in ganzen positiven Zahlen aufzulösen. Man stellt zuerst die allgemeine Lösung in ganzen Zahlen auf und beschränkt dann die noch willkürlichen Werte für die Hilfs-Unbekannte so, dass die Ausdrücke für die Unbekannten der gegebenen Gleichung positiv werden. Beispiele. 1) Es soll die Gleichung 13 x-st 19 ^ — 356 in ganzen positiven Zahlen aufgelöst werden. Zur Auflösung in ganzen Zahlen erhält man x —42 —19u, —10-st13u. Damit nun x und positiv seien, muss 42 — 19u > 0, also n < ^, und — 10 -st 13 n > 0, also n > s-H- sein. 147 Für u können daher nur ganze Werte zwischen den Grenzen und somit nur die zwei Werte u — 1 und u — 2 gesetzt werden. Die Gleichung lässt also zwei Auflösungen in ganzen und positiven Zahlen zu: für u — 1 wird x — 23, — 3; „ u — 2 „ x — 4, — 16. 2) Man löse die Gleichung 13x -s- 17^ — 77 in ganzen und positiven Zahlen auf. Die Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt x —2 — 17u, — 3-p-13u. Damit 2 — 17u > 0 und 3 -s- 13u > 0. werde, muss u < und u > — sein. Da man für u nur ganze Zahlen, die Null mitgerechnet, setzen darf, so kann die einzige Substitution u — 0 für x und ganze und positive Werte geben; man erhält dafür x — 2 und — 3. 3) Die Gleichung 7x — 17^ — 50 in ganzen positiven Zahlen auf¬ zulösen. Die ganzen Werte von x und enthalten die Formeln x — 17 u -s- 12 und — 7 u -s- 2, aus denen man sogleich erkennt, dass für u keine negativen Werte, dagegen 0 und alle positiven ganzen Zahlen gesetzt werden dürfen. Die Aufgabe hat unendlich viele Auflösungen; für u — O 1 erhält man x — 12 29 9 2 46 16 3 63 23 4) Der Bruch soll als Summe zweier Brüche dargestellt werden, deren Nenner 7 und 11 sind. Heißen x und die Zähler der gesuchten Brüche, so hat man oder 11x -s- 7^ 230. . < Und u nur die Diese Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst gibt x —5 — 7u, —25-s-11u. Damit 5 — 7u > 0 und 25 -s- 11u > 0 werde, muss u — gesetzt werden. Diesen Bedingungen entsprechen für leches/ u drei Werte 0, — 1, — 2. Man hat daher für u — 0 ... x — 5, „ u — — 1...x—12, „ u — — 2...x —19, Die gesuchten Brüche sind demnach 5 . 25 . 12 . 14 , IS ""d n, oder und 1^, oder utto 1-25; 1-14; 1-- 3. io* 148 II. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades. Z. 233. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten ist Ax? 0. Dabei sind zwei Hauptfälle zu unterscheiden: entweder kommt die eine Unbekannte, z. B. nur in der ersten Potenz, oder es kommen beide Unbekannten in der zweiten Potenz vor. Im ersten Falle erhält man für einen von x abhängigen Ausdruck in rationaler, im zweiten in irrationaler Form. In beiden Fällen genügen der Gleichung unendlich viele Werte von x und die Zahl der Auflösungen wird jedoch gewöhnlich durch die Bedingung beschränkt, dass für quadratische Gleichungen, in denen die eine Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt, x und ganz positive, für Gleichungen dagegen, in denen x und / in der zweiten Potenz vorkommen, dieselben überhaupt ratio¬ nale Zahlen sein sollen. Die Schwierigkeiten bei der Lösung der unbestimmten Gleichungen des zweiten Grades sind ungleich größer und mannigfaltiger, als bei den unbe¬ stimmten Gleichungen des ersten Grades. Hier sollen nur die wichtigeren hieher gehörigen Aufgaben untersucht werden. Z. 231. Ausgabe. Eine quadratische Gleichung mit zwei Un¬ bekannten, von denen die eine nur in der ersten Potenz vor¬ kommt, in ganzen positiven Zahlen aufzulösen. Kommt nur in der ersten Potenz vor, so hat die quadratische Gleichung zwischen x und v die Form Ax? -j-Lx^-j-OxZ-D^-f-iL — 0, wo A, L, 0, v und L als ganze Zahlen, und überdies die Coefficienten der Unbekannten als relative Primzahlen (ß. 228) anzunehmen seien. Löst man die Gleichung nach auf, so folgt — ^X2 — — L — L X -j- v ' oder, wenn man wirklich dividiert, bis der Rest kein x mehr enthält, ein Ausdruck von der Form 7-- mx -f- n > Sind m, n, p Brüche, so erhält man durch Multiplication mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner eine Gleichung von der Form -- bx e -f- Damit nun x und ganze positive Zahlen seien, muss zunächst ä durch Lx -j- v theilbar sein; man zerlegt daher ä in alle seine Factoren, nimmt 149 für x nur solche ganz positive Werte, für welche Lx Z- v ein Factor von ä ist, und wählt dann von diesen Werten selbst nur diejenigen, für welche auch positiv wird. Beispiel. Es sei 2x? -j- 3x^ — 4x — 2^ — 20 — 0 in ganzen posi¬ tiven Zahlen aufzulösen. Man erhält 196 — 2x--fi 4x -f- 20 2 , 8 , -g- — - 3^2 - — — z- X -g- ch- daher 9^ - 6x 8-j- Nun sucht man alle Factoren von 196 (ß. 83, Zusatz) und setzt 3 x — 2 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196, daher x -- 1, s, 2, 3, 5z, 10, 17, 's», 66. In - - 3^x^1172 — sit der Nenner für jeden ganzen positiven Wert von x positiv; damit auch der Zähler positiv werde, darf man für x nur solche ganze positive Werte setzen, welche kleiner als 5 sind. Bon den obigen Werten von x sind demnach nur 1, 2, 3 brauchbar und man findet drei Auflösungen in ganzen positiven Zahlen: x — 1, 2, 3; 7 22, 5, 2. Z. 235. Ausgabe. Eine quadratische Gleichung mit zwei Un¬ bekannten, von denen eine nur in der zweiten Potenz vorkommt, in rationalen Zahlen aufzulösen. Die allgemeine Form einer solchen Gleichung ist — ux? -j- stx -s- o. Die Auflösung soll hier nur für einige einfachere Fälle gezeigt werden. 1. Es sei a — n? ein vollständiges Quadrat. Man setze Vx? -j- si X si- o — m X si- p, also mV -j- 6 x -j- o — mV -f- 2 mxx si- p?, _ 0 woraus x — —-— t> — 2inx folgt, wo p eine beliebige rationale Zahl bedeutet. Hiernach wird iüp2 — ine dv — inp2— nie .. , V — M X -si P — V-- Z- si p — ' — , also rational. b — 2inx b — 2inp ' Ist z. B. — 1/^9x? -s- 5x si- 3, so erhält man X — und wo man für x jede beliebige rationale Zahl, p — ausgenommen, setzen kann. Für x — 1 wird x — 2 und — 7. 150 2. Es sei o — i? ein vollständiges Quadrat. Man setze — f/^ax^st-stx-stust — xx st- n, also ax? -st 4>x -st ust — xV -st 2uxx -st u^, woraus X — —- und V — p X -stQ — --— )— L — p2 -r 1 ' Ä — p- folgst wo p irgend eine rationale Zahl bedeutet. 3. Es lasse sich der Ausdruck ax? -st dx -st o in zwei rationale Factoren zerlegen, was nach Z. 219,2 erfüllt wird, wenn die Gleichung ax^st-bx-sto-. 0 rationale Wurzeln hat. Sind Hx -st r und sx st- t die beiden rationalen Factoren, so setze man f/^(Hx -st r) ^8X ^st t) x (sx -st t), also (, so hat man 3. _ 1 _ 1 r b — — 1, -j- 1 1 u. s. w. gibt. 152 Der hier begründete Rechnungsgang ist übereinstimmend mit der in A. 72 zur Auffindung des größten gemeinsamen Maßes von b und u ange¬ gebenen Kettendivision, woraus folgt, dass man auch hier, wie dort, endlich auf einen Rest — 0 kommen müsse. Wäre in der obigen allgemeinen Ent¬ wicklung z. B. i-, — 0, so hätte man ven endlichen Kettenbruch a d Der gemeine Bruch wird in Bezug auf den erhaltenen Kettenbruch der Erzeugungsbruch genannt. Ist z. B. in einen Kettenbruch zu verwandeln, so hat man folgende Rechnung: Zusatz. Um einen unechten Bruch in einen Kettenbruch zu ver¬ wandeln, stelle man denselben als eine gemischte Zahl dar, verwandle dann den angehängten echten Bruch in einen Kettenbruch und setze diesem noch die erhaltene ganze Zahl voraus. Der Kettenbruch hat in diesem Falle die Form Ä 1 1 ? - - ß. 2Z». Ausgabe. Einen endlichen Kettcnbruch in einen ge¬ meinen Bruch zu verwandeln. Man vereinige das letze Glied des Kettenbruches mit dem Nenner des vorletzten zu einem unechten Bruche und dividiere dadurch den Zähler 1 dieses vorletzten Gliedes; den erhaltenen Bkuch vereinige man wieder mit dem Nenner des vorhergehenden Gliedes und dividiere dadurch den Zähler 1 desselben, und setze dieses Verfahren bis zum ersten Gliede fort. Z. B. i i Man rechnet: ° 8 „1—41. 1 8 -7 z- — -Z7 41 — 41' o n- 41 — 41 ' 128 128' -Z" 41 . .41 — 553. * —.128 "7 128 — 128' 553 — 553' 128 Ein anderes Verfahren, einen Kettenbruch in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, wird weiter unten (8- 241) angegeben werden. 153 Nähcrungsbrüche und ihre Eigenschaften. Z. 21«. Bricht man einen Kettenbruch bei irgend einem Gliede ab und verwandelt den bis dahin reichenden Kettenbruch mit Vernachlässigung der folgenden Glieder in einen gemeinen Bruch, so heißt dieser ein Nähcrungs- bruch des ganzen Kettenbruches, und zwar der erste, zweite, dritte,..., je nachdem man nur das erste, oder die ersten zwei, drei, .... Glieder in Anspruch nimmt. Bezeichnet man für den Kettenbruch die aufeinander folgenden Näherungsbrüche durch . so ist X — r) 'w-m V 4n4-1 ' _ (2-1-1 In 4- All-r ) gll-i-1 4- 2ll-i s (N°-I gl. -s- 14-l-s) 4-^-1' _An —, somit auch st- 'Ir Ir "s" ^2 ^2 lli tolgüch -—-^ <-oder Durch dieselbe Schlussweise ergibt sich ^3 ^3 b ' A2vi—1 R2m—1 K Beweis. Drückt man die nach dem ersten, zweiten, dritten, .... Gliede weggelassenen Theile des Kettenbruches durch x„ x», xz, .... aus, so ist ^___^st . 1 1 1 — d g,st-^ 1. st-H üIIIH- Folgcsatz. Der vollständige Wert eines Kettenbruches liegt immer zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgenden Näherungsbrüchen. Z. 243. 1. Die Differenz zwischen zwei unmittelbar auf¬ einander folgenden Näherungsbrüchen ist gleich einem Bruche, dessen Zähler ^1 und dessen Nenner das Product der Nenner der beiden Näherungsbrüche ist. Beweis. Es ist A»- 1 An All—1 Rn All Rn-1 < -1 —- d, und Rll—1 Rn Rn—1 Rn A» An-j-i An An Hn-^-1 -j- An—1 Rn Rn-^-i Rn Rn Hn-j-i Rn—1 An Rn—1 — An—1 Rn —(An—1 Rn — An Rn—1) Rn (Rn Hn-j-i -j- Rn—1) , Rn Rn-j-i Hiernach ist allgemein der Zähler des Bruches, welcher die Differenz ^drückt, das Entgegengesetzte des Zählers von dem Bruche für die Differenz also für die nächstvorhergehende Differenz. Nun ist dieser Zähler für die erste Differenz, d. i. für _^2 _-st _ ck" , st- q, a< a- -i-1 icka.a- ck-1) n, n? gleich st- 1, demnach für die zweite Differenz — 1, und sofort für die auf¬ einander folgenden Differenzen abwechselnd st- 1 und — 1. 2. Die Differenz zwischen einem Näherungsbruche und dem vollständigen Werte eines Kettenbruches ist absolut genommen kleiner als ein Bruch, dessen Zähler 1 und dessen Nenner das Quadrat des Nenners des Näherungsbruches ist. 156 Da der vollständige Wert des Kettenbruches immer zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgenden Näherungsbrüchcn liegt, so ist der Unterschied absolut genommen kleiner als der Unterschied somit — L 1 Wegen ist nun Au > Aü, und daher auch L 1 Zusatz. Da As < A- < A- < A - < ..., daher i i i st so folgt, dass jeder folgende Näherungsbruch von dem vollständigen Werte des Kettenbruches um weniger verschieden ist, als der vorhergehende, dass sich also die aufeinander folgenden Näherungsbrüche diesem Werte immer mehr nähern, bis der letzte, wenn es einen gibt, mit ihm zusammenfällt. §. 244. Zähler und Nenner eines jeden Näherung sbruches sind relative Primzahlen. Für die Näherungsbrüche und ist (Z. 243, 1) absolut genommen A« - Au-, 1- Wären nun 2^ und Au nicht relative Primzahlen, sondern sic hätten ein gemeinsames Maß w, so wäre in auch ein Maß von A„— 2u Au-i (§. 71) und folglich ein Maß von 1, was nicht möglich ist. Z. 245. Zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgende Näherungsbrüche lässt sich kein Bruch cinschaltcn, dessenNenner nicht größer ist, als der größere Nenner der beiden Näherungs¬ brüche. Gesetzt, es würde der gemeine Bruch zwischen den Näherungsbrüchen und liegen, so müsste absolut genommen k, < oder 1 ? < . _ daher 2° 4 - k^up i sein, was nur möglich ist, wenn der Nenner q > A,^i ist, weil 2u cz — Au x eine von 0 verschiedene ganze Zahl, also > 1 sein soll. Folgesatz. Jeder Näherungsbruch drückt den vollständigen Wert des Kettenbruches genauer aus als jeder andere Bruch, der einen kleineren Nenner hat. 157 Anwendungen der Kcttrnbrüche. Z. 246. Aufgabe. Das Verhältnis zweier großer Zahlen durch kleinere möglichst genau darzustellen. Man verwandelt den Verhältnisqnotienten in einen Kettenbruch und bestimmt dessen Näherungsbrüche; diese drücken den gesuchten Quotienten in den kleinsten Zahlen mit der größten Annäherung an dessen wahren Wert aus. (Z. 245, Folges.) Z. B. Man soll die Verhältniszahl der Peripherie eines Kreises zu dessen Durchmesser, d. i. 3'1415926 durch kleinere Zahlen möglichst genau ausdrücken. — 81415926 — 2 , 1 . 3 1415926 — ivoooooo 7 -st > i i 243-st ... Näherungsbrüche: 3, 7, 15, 1, 243, ... 3 22 333 3L5 86598 1' 106' UZ' 27565' Z. 247. Aufgabe. Eine irrationale Quadratwurzel durch die Näherungswerte eines Kettenbruches zu bestimmen. Es sei f/a zu bestimmen. Man suche die größte darin enthaltene Zahl g 11 1 und setze 1/a — q -st —, wo — s/a — q < 1, daher x^ — > 1 sein muss. Nun suche man wieder die größte in x, — enthaltene ganze Zahl und setze x^ -st 1 , wo < 1 und xz — > 1 sein muss. Setzt man dieses Verfahren fort, und sind die größten in Xz, xz, ... enthaltenen ganzen Zahlen c/, «tZ - -.., so hat man ^-3 Durch die aus dem erhaltenen Kettenbruche hervorgehenden Näherungs¬ werte kann mit jeder beliebigen Schärfe berechnet werden. Ist z. B. 1/14 zu bestimmen, so hat man folgende Rechnung: 1/14 3 1 z/ 14 4- 3 , , 1/14 — 2 1,1 wo — ,/14 g — —z— - 1 -st —4^' 5 V14 2 - c> , 1/14 - 2 — , 1 " ^2"/14 — 2^ 2 —^4- z — 2 ^/14-^2^,^ , /14 — 3 , 1 " — /14 -2 5 — Ir' 5 x, ' 5 /14 -/ 3 , /14 — 3 « , 1 " 6 -st—^6 " — /ü^^Z' welches wieder — — 1 -st 158 Die Näherungswerte sind: „ . 11 15 101 116 333 449 3027 o, gg, 120, 809^^ " so dass die Nenner I, 2, 1, 6 immer wiederkehren. Man hat also 1. . i Setzt man 1/14 3'741656..., so ist der Fehler kleiner als — 65^81 — 0-0000015...; cs ist also 1/14 auf 5 Decimalen genau bestimmt. Z. 248. Ausgabe. Eine unbestimmte Gleichung des ersten Grades mit Hilfe eines Kettenbruches in ganzen Zahlen aufzu¬ lösen. (Lagrange'sche Methode.) Um für die Gleichung g,x^Ud^ —wo u, 6 und o positive Zahlen sind, eine Auflösung in ganzen Zahlen zu erhalten, verwandelt man in einen Kettenbruch und berechnet den vorletzten Näherungswert desselben — Da also — 6p — ^1 (ß. 243, 1), daher auch s.o 81/ Lig/ 72!/ ''' geometrische Progressionen; in der ersten ist 3, in der zweiten der Quotient. 1. In einer geometrischen Progression ist jedes Glied gleich dem Producte aus dem ersten Gliedc und der sovielten Potenz des Quotienten, als der um 1 verminderte Zeiger des Gliedes anzeigt. Beweis. Bezeichnet a„ das u te Glied und c; den Quotienten der Pro¬ gression, so ist 3-1 Äz — Li <^, L4 — Li pff, U. s. W. Der Satz ist also für die Anfangsglieder richtig. Gilt er aber für irgend ein Glied L„, so dass L„ — Li ist, so muss er auch für das nächst¬ folgende Glied gelten; denn Lll^-i — Ln-i — Li — Li " ' -st Wird dann die erste Gleichung von der zweiten subtrahiert, so erhält man czsi> — «n — a-i und folglich — 1 als das Summenglied für die geometrische Progression. Dasselbe lässt sich, da a, — an, also — An st ist, auch so darstellen: g — -—i. <1 — 1 Beispiel. Man bestimme das allgemeine und das Summenglied der Progression 1, 3, 9, 27, 81, 243, ... Hier ist — 1 und y — 3, daher ^1.3°-'^3°-i, So ist z. B. uw ^3»^ 19683, und s«, 29524. Z. 251. Eine ohne Ende fortschreitende Reihe heißt convergent, wenn sich die Summe der ersten u Glieder um so mehr einem bestimmten endlichen Grenzwerte nähert, je größer u wird, und dieser Grenzwert heißt die Summe der unendlichen Reihe. Eine Reihe, in welcher die Summe von u Anfangs¬ gliedern beim unendlichen Wachsen von u über jeden constanten Wert hinaus zunimmt, heißt divergent. Für die geometrische Progression -st -st g,, . ist — L, <4-> —1) — 1, so wird mit dem wachsenden u auch und daher auch über jeden angebbaren Wert hinaus zunehmen. Eine steigende geo¬ metrische Progression ist demnach stets divergent. Ist dagegen i < 1, so nähert sich beim unendlichen Wachsen von u, <1° ohne Ende der Null und s» dem endlichen Grenzwerte welcher daher die Summe der unendlichen Reihe ist. Eine fallende geometrische Progression ist demnach stets convergent. 163 r-l-/ Die interpolierte Progression ist also r-t-I r-stl Llc, ak.j/op ... Ni-s/csst ^->-1' Um z. B. in der Reihe 1, 16, 256, 4096, ...zwischen je zwei Glieder 3 neue Glieder zu interpolieren, setze man, da y — 16 und r — 3 ist, 4 sti — 1/U6 — 2, wodurch man erhält I, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 2L6, 512, 1024, 2048, 469«, ... 11» Z. B. Für die Reihe 1, in welcher a, — 1, ist, hat man s — i , — 2; d. h. je mehrere Glieder der Reihe man addiert, desto mehr nähert sich die Summe der Zahl 2, ohne jedoch je dieselbe wirklich zu erreichen. Eine arithmetische Progression ist, wie man aus der Summenformel si, — st (a, -f- -rch sogleich ersieht, immer divergent. Jeder periodische Decimalbruch kann als eine fallende geometrische Progression dargestellt und als solche summiert, d. i. in einen gemeinen Bruch verwandelt werden. Z. B. "O — ig- "st st- 10° list — 1 — — 89' Z. 25s. Mittelst der beiden von einander unabhängigen Gleichungen ", L, so» — 1) und 8v — von denen die zweite auch durch s« — ersetzt werden kann, lassen sich aus je dreien der fünf Größen a,, cz, n, und durch Elimination die beiden anderen bestimmen. Sind z. B. cs, n 8„ gegeben, so erhält man aus der zweiten Gleichung o __ (i — i) s» — bä4 ^->-1-1) i — 1 1 — 1 (g —1? ' 8° - st- (1 - y - (2° - 1)). Ist <1 < 1 und wird Q — oo, so nähert sich (st ohne Ende der Null, und daher die Summe der unendlichen Reihe dem Grenzwerte ab (1 — i) -st b 61 - — K. 258. Die Reihe der Quadrate der natürlichen Zahlen. Zur Bestimmung der Summe — Ist st- 2^> -st 3? -st.. st- n- bilde man 1-^.. . 1, 2» -- (1 -st 1)^ 1» .st 3.12 _st 3.1 _st st 3» — (2 st- 1)» 2» -st 3.2- -st 3.2 st- 1, 4- -- (3 st- 1)» — 3» -st 3.3- st- 3.3 -st 1, (n st- 1)- —. . . . n- st- 3.N- st- 3.N st- 1. Durch Addition dieser Gleichungen erhältman,dasich 1bst-2--st3--st. .st-n- in beiden Theilen aufhebt, (nst-1)-^3.(1-st-2-st-3-st-.. -stn-)-st3.(1st-2-st3st-..st-ll)st-Lst-1, oder (n st-1)- — 3.8n st- 3 . (n st- 1) st- (n -st 1), woraus sich ergibt s« — v 165 K. 25S. Die Reihe der Cuben der natürlichen Zahlen. Um die Summe Zn — 1^ -f- 2^ -f- 3^ -f- .. -st i? zu bestimmen, ver¬ fährt man in gleicher Weise wie in Z. 258, indem man zuerst l>, 2^, 3^, 4^, .., (n -st l)^ nach der Formel (n -st 1)^ — -st 4 . n^ _st g, i entwickelt und dann die Gleichungen addiert. Man erhält N? (n -P 1)^ Sv — - III. Zinseszins- nud Wentenrechnung. Z. 2kt>. Werden die am Ende einer Zeiteinheit fälligen Zinsen eines Capitals zu diesem hinzugefügt und mit ihm wieder verzinst, so sagt man: das Capital ist aus Zinseszinsen angelegt. Bei den Zinseszinsrechnungen kommt, wie bei der einfachen Zinsrechnung (Z. 134), das Capital, die Zeit, das Procent und der Zins in Betracht. Als Zeiteinheit ist, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt wird, ein Jahr zu verstehen. Ist ein Capital zu angelegt, so wachsen 100 Einheiten des Capitals (Gulden, Mark) in einem Jahre sammt den Zinsen auf 100 -st x an; somit hat 1 Capitalseinheit nach 1 Jahre mit Hinzufügung der Zinsen den Wert — 1 -s- Den Wert 1 -s- zu welchem die Ein¬ heit des Capitals mit Zinsen in 1 Jahre anwächst, nennt man gewöhnlich den Zinsfuß; wir wollen denselben in den nachfolgenden Rechnungen der Kürze halber Tust s bezeichnen. Z. 2 a (s — 1), d. i. r > also r größer als der jährliche Zins des Capitals a, so wird der Endwert dieses Capitals von Jahr zu Jahr kleiner, bis endlich das Capital erschöpft ist. 2) Ein unverzinsliches Capital a ist nach in Jahren, ein unverzinsliches Capital 6 nach n Jahren, wo n > in ist, fällig; in welchem Verhältnisse stehen a) ihre Barwerte, st) ihre Werte nach n Jahren bei dem Zinsfüße s? Der Barwert des Capitals a ist der Barwert des Capitals st ist daher das Verhältnis der Barwerte : k. Nach n Jahren ist der Wert des ersten Capitals a des zweiten st, daher das Verhältnis dieser Werte wie früher, a 8»—°»: st. Zusah. Sollen zu verschiedenen Zeiten fällige Capitalsbeträge mit einander verglichen werden, so muss man sie immer auf denselben Zeitpunkt reducieren. Da aber das Verhältnis ihrer Werte für jeden Zeitpunkt dasselbe ist, so lange ihr Zinsfuß ungeändcrt bleibt, so ist es an sich ganz gleichgiltig, welcher gemeinsame Zeitpunkt für die Vergleichung gewählt wird. Gewöhnlich werden entweder die Barwerte oder die Werte nach Ablauf des gegebenen Zeitraumes berechnet und mit einander in Vergleichung gesetzt. 169 3) Ein Anlehen a soll durch eine am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Rate r in n Jahren getilgt (amortisiert) werden; wie viel muss die Jahresrate r bei dem Zinsfüße s betragen? Der Barwert aller Jahresraten muss dem Schuldcapital gleich sein. rr Jahresraten, jede — r, haben zur Zeit der letzten Zahlung, d. i am Ende des nten Jahres, den Wert ; ihr Barwert ist also 6 — Da 6 — s, sein muss, so hat man oaycr r — . 4) Nach wie viel Jahren sind von einem auf Zinseszinsen zu 5A aus¬ geliehenen Capital von 1060 fl. noch 167'22 sl. übrig, wenn am Ende eines jeden Jahres 80 fl. zurückgezahlt werden? Nach u Jahren. Das Schuldcapital 1060 fl. hat nach n Jahren den Wert 1060.1'05" fl.; die n jährlichen Rückzahlungen ü 80 fl. haben nach v Jahren den Wert fl-; es ist daher 1060.1-05° -f- 167-22, und somit ° - ^77,7.7°" - 20 Jahr-. Rcntrnrcchnung. Z. 2K1. Die Berechnung von Zinseszinsen kommt insbesondere bei der Rentenrechnung vor. Unter einer Rente versteht man einen in festgesetzten gleichen Zeit¬ terminen (meistens am Ende jedes Jahres) zahlbaren Geldbetrag, dessen Bezugsrecht durch eine vorher gezahlte Geldsumme, die Einlage, erworben wird. Die Einlage wird entweder auf einmal oder jährlich entrichtet und heißt daun bezüglich Mise oder Prämie. Die Rente ist gewöhnlich constant; sie kann aber auch nach einem bestimmten Gesetze veränderlich sein. Eine Rente heißt Zeitrentc, wenn die Zahl der Termine, in denen sie gezahlt wird, genau bestimmt ist, Leibrente dagegen, wenn sie bis zum Tode des Empfängers fortdauert. Hier soll nur von Zeitrenten die Rede sein. Aufgaben. 1) Welchen Barwert hat zum Zinsfüße « eine Rente, welche durch n Jahre am Ende eines jeden Jahres in dem gleichen Betrage r fällig ist? n Jahresrenten, jede — r, haben zur Zeit des letzten Bezuges, d. i. am Ende des nten Jahres, den Wert —— ihr Barwert ist also r (s° — 1) s» (s — 1)' 170 2) Welche Prämie muss durch u Jahre am Anfänge eines jeden Jahres zum Zinsfüße o an eine Versicherungsanstalt geleistet werden, damit diese sodann das Capital s auszahle? Die Jahresprämien müssen bis zum Anfänge des uten Jahres zu dem Werte s anwachsen. л Prämien, jede — r, sind zur Zeit der letzten Zahlung, d. i. am Anfänge des uten Jahres, wert; man hat daher — s, und somit r — 3) Jemand will an eine Versicherungsbank durch m Jahre am Anfänge eines jeden Jahres einen bestimmten Betrag a einzahlen, um sich durch die nachfolgenden n Jahre den Bezug einer am Ende eines jeden Jahres zahl- baren Rente r zu sichern; wie viel wird die jährliche Einzahlung bei dem Zins¬ füße s betragen müssen. Der Barwert aller Prämien muss dem Barwerte aller Rentenbezüge gleich sein. м jährliche Prämien, jede — a, haben zur Zeit der letzten Zahlung, d. i. am Anfänge des m ten Jahres, den Wert ihr Barwert ist also L — — 0 SM-l (g — 1)' n Jahresrenten, die am Ende des (m -s- 1)ten Jahres beginnen, und deren jede — r ist, haben zur Zeit des letzten Bezuges, d. i. am Ende des (ra -s- n) ten Jahres, den Wert ihr Barwert ist also rr — («° — 0 (tz - 1)' Da nun — L sein muss, so hat man a(e---l) — r (s° - I) . . r - y «m-l (g — I) (s — 1)' --»-w (sm — 1s Aus der letzten Gleichung kann auch r, na oder u bestimmt werden, wenn die übrigen Größen gegeben sind. 4) Eine Jahresrente r steige jährlich, und zwar n Jahre hindurch in einer arithmetischen Progression mit der Differenz ä; wie groß ist deren Bar¬ wert zum Zinsfüße s? Die am Ende der einzelnen Jahre zu beziehenden Renten sind r, r-st ä, r-st 2 ä,..., r-st (n— 1) ä, und die Summe ihrer Barwcrte k 4. 4. - -st 2^ > ... > ä oder nach Z. 257 k Z- — 1) — n (e — 1)st tzv (tz - 1) ' tzQ (tz - 1)^ l-X / Neunter Abschnitt. C o m b i n »t r o n s I e h r e. I. Permutationen, Kombinationen und Variationen. Z. 265. Gegebene Dinge nach einem bestimmten Gesetze in Gruppen zusammenstellen, heißt kombinier en im weiteren Sinne des Wortes. Die einzelnen Dinge werden Elemente, und die aus ihnen gebildeten Gruppen Complexionen genannt. Zur schriftlichen Darstellung der Combinationen ist es am zweckmäßigsten, die Elemente durch die in natürlicher Ordnung aufeinander folgenden Zahlen, welche Zeiger oder Indices heißen, zu bezeichnen. Diese Zeiger bestimmen die Rangordnung der Elemente, so dass jenes Element das höhere ist, welches einen größeren Zeiger hat. Von zwei Complexionen heißt jene die höhere, in welcher von der Linken aus zuerst ein höheres Element vorkommt; z. B. die Complexion 1342 ist höher als jene 1324. Die niedrigste Com- plexion ist diejenige, in welcher kein höheres Element vor einem niedrigeren steht, in welcher also die Elemente in natürlicher Ordnung aufeinander folgen; und jene die höchste, in welcher kein niedrigeres Element vor einem höheren steht, somit alle Elemente in umgekehrter Ordnung vorkommen. Werden die Elemente, anstatt durch Zeiger, durch Buchstaben bezeichnet, so ist dasjenige Element als ein höheres zu betrachten, welches im Alphabete später vorkommt. Alle Combinationen scheiden sich ihrer Natur nach in Versetzungen und Verbindungen. Bei den Versetzungen fasst man die verschiedene Anordnung der gegebenen Elemente, bei den Verbindungen ihre Aus¬ wahl in bestimmter Anzahl ins Auge. Wird nicht nur auf die Anzahl und Auswahl der Elemente, sondern gleichzeitig auch auf die Anordnung derselben Rücksicht genommen, so kommen Verbindungen und Ver¬ setzungen vereint vor. Hiernach unterscheidet man drei Arten des Combinierens: das Per¬ mutieren, das Combinieren im engeren Sinne, und das Variieren. Bei jeder dieser drei Combinationsarten kommt die wirkliche Bildung der Complexionen und die Zahl derselben in Betracht. 172 1. Permutieren. Z. 266. Permutieren heißt, gegebene Elemente auf jede mögliche Weise versetzen, so jedoch, dass in jeder Complcxion alle Elemente Vorkommen. Die Anzahl aller möglichen Permutationen von n Elementen bezeichnet man durch (Permutationszahl von n), die Anzahl der Permutationen von genannten Elementen, z. B. von a, i>, i>, o durch k (abdo). Bildung der Permutationen. Z. 287. Um von mehreren gegebenen Elementen alle möglichen Permu¬ tationen zu bilden, schreibe man zuerst die niedrigste Complcxion der gegebenen Elemente an, leite aus dieser die nächst höhere, aus dieser wieder die nächst höhere, u. s. w. ab, bis man zur höchsten kommt. Man erhält aber aus jeder schon aufgestellten Complcxion die nächst höhere, indem man, in dieser Complcxion von rechts nach links fortschreitend, das erste Element aufsucht, an dessen Stelle aus den rechts folgenden ein höheres gesetzt werden kann, Elementen gebildet und tritt zu diesen Elementen noch ein neues dazu, so kann dasselbe in jeder der früheren Permutationen den ersten, oder den zweiten,..., oder den (n -j- 1) tes Platz, also n -j- 1 verschiedene Stellungen einnehmen, so dass aus n -s- 1 Elementen (n -st 1) mal so viel Permutationen entstehen, als aus n Elementen. Es ist also k.. (n -st 1). Da nun ein Element nur eine einzige Stellung zulässt, so ist Uz — 1, daher Ur^l.2, stg — 1.2.3, u. s. w.; allgemein 1.2.3.... (n— 1)n; d. h. die Permutationszahl von mehreren verschiedenen Ele¬ menten ist gleich dem Producte der natürlichen Zahlen von 1 bis zu der Zahl, welche die Anzahl der Elemente ausdrückt. 173 Das Product 1.2.3.4.... (u— 1).n wird durch das Symbol n!, zu lesen: „Facultät von n", bezeichnet. Es ist daher -2!, kz--3!,...k»-v!. 2. Wenn unter den gegebenen n Elementen x gleiche vorkommen, so betrachte man diese einstweilen als verschieden; dann ist die Anzahl aller möglichen Permutationen n!. Denkt man sich diese Permutationen so in Abtheilungcn gebracht, dass sich die Permutationen einer Abtheilung bloß durch die gegenseitige Stellung der als verschieden betrachteten p Elemente von einander unterscheiden, während die übrigen Elemente dieselbe Stelle einnehmen, so enthält jede dieser Abtheilungen so viele Permutationen, als man ihrer aus p Elementen bilden kann, also p! Permutationen. Wenn man nun die als verschieden betrachteten Elemente wieder als einander gleich annimmt, so gelten alle p! Complexionen einer Abtheilung nur für eine Permutation; je x! von den n! Permutationen gehen in eine einzige über, und man hat.somit nur ^-s- verschiedene Permutationen. Befinden sich unter den gegebenen n Elementen außer den x gleichen Elementen noch andere gleiche Elemente, so wiederholen sich die Schlüsse in n' gleicher Weise, und ist daher die Anzahl aller verschiedenen Permutationen. 3. Sind unter den gegebenen n Elementen n — Ir einander gleich, und die übrigen Elemente ebenfalls einander gleich, wie z. B. in dem Producte so ist die Pcrmutationszahl derselben n ! 1.2.3.. .(ir — k) (n — k -j- 1).. .(n — 2) (n — 1) n (n — K)! k! — 1.2.3...(n —k).1.2.3 . . . . . L * Dividiert man Zähler und Nenner dieses Bruches durch 1.2.3.. .(n—Ir) und schreibt die dann übrig bleibenden Factoren des Zählers in umgekehrter Ordnung, so hat man n! _ n (n -—1) (n — 2) ... (n— k-j- 1) ch — k) ! Ic! 1.2. 3 . . . k Der letzte Bruch, dessen Zähler ein Product von ir Factoren, die von n beginnend um je 1 abnehmen, und dessen Nenner das Product von Factoren ist, die von 1 beginnend um je 1 wachsen, wird durch das Symbol zu lesen: „n über l<", ausgedrückt. Es ist also I' - 7- ^7- i"). (n — K)! k! Zusatz. Aus folgt für Ir — n, n -j- 1, n 2, ... 174 2. Combinieren. Z. 269. Combinieren im engeren Sinne heißt, gegebene Elemente so mit einander verbinden, dass jede Complexion dieselbe bestimmte Anzahl aus den gegebenen Elementen enthält, wobei jedoch nur solche Complexionen, in welchen nicht dieselben Elemente vorkommen, als verschieden gelten. Je nachdem die Verbindungen je zwei, drei, vier,... Elemente enthalten, nennt man sie Combinationen der zweiten, dritten, vierten, ... Classe, oder auch Amben, Ternen, Quaternen, u. s. w. Die Elc- mente selbst können als Combinationen der ersten Classe angesehen werden und heißen als solche Unionen. Man unterscheidet ferner Combinationen ohne und mit Wieder¬ holungen; bei jenen darf in einer Complexion ein Element nur einmal, bei diesen auch öfter vorkommen. Die Anzahl aller möglichen Combinationen der r ten Classe aus n Ele¬ menten ohne Wiederholungen wird durch 0^, die Anzahl derselben mit Wieder¬ holungen durch bezeichnet. Bildung der Combinationen. Z. 27V. 1. Um aus gegebenen Elementen alle Amben ohne Wieder¬ holungen zu bilden, stelle man jedes Element vor jedes höhere Element. Sind einmal die Combinationen einer bestimmten Classe gebildet, so erhält man aus denselben die Combinationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Complexion, in der lauter höhere Ele¬ mente vorkommen, setzt. So erhält man aus den vier Elementen st, o, ä, s nachfolgende Amben ohne Wiederh. Ternen ohne Wiederh. sto, stä, sts; stoä, stos, stäs; oä, es; oäs; äs; u. s. w. 2. Um aus gegebenen Elementen alle Amben mit Wiederholungen zu bilden, setze man jedes Element vor sich selbst und vor jedes höhere Element. Hat man einmal die Combinationen irgend einer Classe mit Wieder¬ holungen gebildet, so erhält man aus denselben alle Combinationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Complexion, in der keine niedrigeren Elemente Vorkommen, setzt. So geben die vier Elemente a, st, e, ä Amben mit l an, ast, ns, nä; so, sä; Wiederhol, l stst, sto, stä; ää; 175 Temen mit Wiederhol. aaa, aab, aao, aaä, ai>i>, ak>o, abä, aeo, aoä, aäcl; k>k>o, b>i>ä, bov, koä, bää; oea, eoä, eää; äää; u. s. w. Zusatz. Einfacher gestalten sich die Combinationen mit Wiederholungen, wenn man jede Combination als Product auffasst. So geben die Elemente a und b> folgende als Producte betrachtete Combinationen mit Wiederholungen der 2ten Classe: s?, s,k>, lff; „ 3ten „ a?, ^^,2^ ^,g. „ 4ten „ a^b>^, aiff, nten „ a", i>°. Zahl der Combinationcn ohne Wiederholungen. tz. 271. Verbindet man jedes von n gegebenen Elementen mit jedem der übrigen n — 1 Elemente, so erhält man alle Amben, und zwar jede 2mal; z. B. die Ambe ab, indem man a mit b, und indem man b mit a ver¬ bindet. Da sich sonach n (n — 1) paarweise gleiche Amben ergeben, so ist die Anzahl aller verschiedenen Amben von n Elementen z. n l-1 — 1) -/.2 - Hat man überhaupt alle Combinationen der i- ten Classe ohne Wieder¬ holungen von n Elementen und verbindet jede dieser 0^ Combinationen mit jedem der darin nicht vorkommenden n — r Elemente, so enthalten die sich ergebenden O^.ff — r) Verbindungen alle Combinationen der ff -s- 1)ten Classe, und zwar eine jede derselben ff ff- 1)mal, da sie aus jeder der i- ff- 1 Com¬ binationen der vorigen Classe, in denen eines der jetzt in ihr vorkommenden Elemente fehlte, entstanden ist. Die Zahl aller verschiedenen Combinationen der ff ff- l)ten Classe von n Elementen ist daher - 6:." Da nun Os, — " " ' ist, so hat man ,°,«vch n ff^—ff) ff — 2) ff — 3> « . 2 . S . 4 , U. s. W., allgemein - n ff — 1) ff — 2) ... ff — r ff- 2) (n — r ff- I) °"1 . 2 '.3 . . . (r — 1) . r ' 176 oder mit Rücksicht auf die im K. 268, 3 eingeführte Bezeichnung Zahl der Combination en mit Wiederholungen. Z. 272. Sind u Elemente gegeben und verbindet man jedes Element mit sich selbst und noch mit allen n Elementen, auch sich selbst nicht ausgenommen, so geben die erhaltenen n (n -st 1) Verbindungen alle Amben mit Wiederholungen, und zwar jede 2mal. Die Anzahl aller verschiedenen Amben von n Elementen mit Wiederholungen ist also " ck- Sind überhaupt alle Combinationen der rten Classe mit Wiederholungen von n Elementen gebildet und verbindet man jede dieser 07'' Combinationen zuerst mit jedem der r Elemente, welche darin vorkommen, und dann noch mit allen n Elementen, so enthalten die sich ergebenden 07''. (n -st r) Verbin¬ dungen alle Combinationen der (r -st 1) Classe mit Wiederholungen, und zwar jede (r -j- I)mal. Denn enthält eine bestimmte Combination der (r -st 1)ten Classe ein Element a nur einmal, so ist sie aus derjenigen Combination r ter Classe, welche mit ihr sämmtliche Elemente bis auf n gemeinsam hat, einmal entstanden, und zwar eben durch Verbindung mit a. Enthält ferner dieselbe Combination der (r -st 1)ten Classe ein anderes Element 6 1c mal, dann ist sie auch aus derjenigen Combination rter Classe hervorgegangen, welche ihre sämmtlichen Elemente, jedoch st nur (st — 1)mal enthält, und zwar ist sie aus dieser Combination gerade st mal entstanden, (st — 1) mal nämlich, indem man sie mit jedem in ihr vorkommenden st, und einmal, indem man sie mit st als einem der n Elemente verbunden hat. Hieraus geht hervor, dass jede Combination der (r -st 1)ten Classe so oft entstanden ist, als die Zahl ihrer Elemente beträgt, also (r -st 1)mal. Es ist daher n -st r r 1* Da nun 07'2 — ^ 2" - ist, so hat man 07>- folglich 07-^ u. s. w.; allgemein — v (» -st 1) (a -st 2). -(» -st r — 2) (n -j- r — 1) 1 . 2 . S ... (r — 1) . r Schreibt man in dem letzten Bruche die Factoren des Zählers in um¬ gekehrter Ordnung, wodurch der Bruch die Form (11 r — 1) (n -st r — 2). .(n 2) (n -st 1).n 1 7 2 . . 7st — 2)H 1). r annimmt, so kann man denselben nach der im Z. 268, 3 eingeführten Be- 177 zeichnungsweise durch ausdrücken. Es ist daher 3. Variieren. Z. 273. Variieren heißt, gegebene Elemente so miteinander verbinden, dass jede Complexion dieselbe bestimmte Anzahl aus den gegebenen Ele¬ menten enthält, wobei jedoch auch solche Complexionen, in welchen dieselben Elemente in verschiedener Anordnung vorkommen, als verschieden gelten. Variationen sind demnach permutierte Combinationen. Wie die Combinationen, unterscheidet man auch die Variationen in die der ersten, zweiten, dritten,... Classe, ferner in Variationen ohne und mit Wiederholungen. Die Anzahl aller möglichen Variationen der rten Classe aus n Ele¬ menten ohne Wiederholungen wird durch V^, und die Zahl derselben mit Wiederholungen durch bezeichnet. Bildung der Variationen. Z. 274. Die Variationen einer bestimmten Classe erhält man, indem man aus den gegebenen Elementen alle Combinationen derselben Classe bildet und dann von jeder Combination die Permutationen aufstellt. Die Variationen können aber auch unmittelbar gebildet werden. 1. Um aus gegebenen Elementen die Variationen der zweiten Classe ohne Wiederholungen zu bilden, setzt man jedes Element vor jedes der übrigen Elemente. Sind überhaupt die Variationen irgend einer Classe ohne Wiederholungen gebildet, so erhält man aus denselben die Variationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Variation, in welcher dieses Element nicht vorkommt, setzt. So geben die Elemente 1, 2, 3, 4 folgende Variationen ohne Wieder¬ holungen der 2. Classe: der 3. Classe: 12, 13, 14; 123, 124, 132, 134, 142, 143; 21, 23, 24; 213, 214, 231, 234, 241, 243; 31, 32, 34; 312, 314, 321, 324, 341, 342; 41, 42, 43; 412, 413, 421, 423, 431, 432 ; u. s. w. 2. Um aus gegebenen Elementen die Variationen der zweiten Classe mit Wiederholungen zu erhalten, setzt man jedes Element vor jedes Element, auch sich selbst nicht ausgenommen. Moenik, Arithmetik und Algebra. v 12 178 Hat man bereits die Variationen irgend einer Classe mit Wiederholungen dargestellt, so bildet man aus denselben die Variationen der nächst höheren Classe, indem man jedes Element vor jede frühere Variation setzt. Aus den beiden Elementen a und b erhält man folgende Variationen mit Wiederholungen der 2. Classe: der 3. Classe: an, ab; aas,, aal), aba, abb; da, lob; baa, bab, bba, bbb u. s. w. Zahl der Variationen ohne Wiederholungen. §. 275. Die Anzahl der Combinationen der rten Classe aus u Ele¬ menten ohne Wiederholungen ist j ; aus jeder solchen Combination lassen sich durch Permutation der r Elemente r! Variationen der rten Classe ohne Wiederholungen bilden; folglich ist . r! — n (n — 1) (n — 2).. .(u — r -j- 2) (u — r -j- 1). Zahl der Variationen mit Wirderhotungen. Z. 27«. Sind n Elemente gegeben, so gibt jedes derselben n Varia¬ tionen der zweiten Classe mit Wiederholungen, somit ist n^ die Anzahl aller solcher Variationen. Ist überhaupt die Anzahl aller Variationen der r ten Classe mit Wieder¬ holungen von n Elementen bekannt, so ist, da jede solche Variation durch Ver¬ bindung mit allen u Elementen n Variationen der (r -s- 1)ten Classe gibt, Da nun V"'? — r? ist, so hat man V,7^ — i?, folglich — v^, allgemein V7" -- n'. II. Binomischer Lehrsatz. " Z. 277. Unter dem binomischen Lehrsätze versteht man das Gesetz, nach welchem die Potenz eines Binoms in eine Reihe entwickelt wird. Jede Potenz eines Binoms mit einem ganzen positiven Exponenten kann aus dem Producte mehrerer Binome, welche das erste Glied gemeinsam haben, hergeleitet werden, indem man in denselben auch die zweiten Glieder gleichsetzt. So geht das Product (a -s- b) (a o) (a -s- ä) (a -s- s) (a -s- 1), wenn man o — ä — s — 1—b setzt, in die Potenz (a -s- b)^ über. Z. 278. Das Product mehrerer Binome, welche ein Glied gemeinsam haben. 179 Um das Product (a st- st) (a, st- o) (g, -st ä) (a st- s).. . zu entwickeln, multipliciere man zuerst die ersten zwei Binome mit einander, ihr Product mit dem dritten Binom, u. s. w. Man erhält (s, st- st) (a -st o) — s? -st (st st- <;) a st- st e, > st- st) (n -st o) (g, st- ä) —Ast st- (st -st L. , st- st, st> ck -st 6 ä) g, -st stLä, (a -st st) (a -st e) (a -st ä) (a ^st s) — a,^ -st (st -st o st- ä st- s) st-(b6st-stä-ststs-stväst-66-stäs)a^ -st (sto^ck-stst66-ststck6-stock6)Lst-stocks, U. s. W. Das in diesen Producten herrschende Gesetz ist leicht zu ersehen. Das erste Glied eines jeden Produktes ist die sovielte Potenz von a, als Binomial- sactoren gegeben sind; in den folgenden Gliedern nehmen die Exponenten von a in natürlicher Ordnung ab, bis im letzten Gliede a" — 1, d. i. gar kein a erscheint. Der Coefficicnt des ersten Gliedes ist 1, der Coefficicnt des zweiten, dritten, vierten,... Gliedes ist bezüglich die Summe der Combi¬ nationen der ersten, zweiten, dritten,... Classe aus den zweiten Gliedern der Binome, jede dieser Complexionen als ein Product der darin vorkommenden Elemente aufgesasst. Gilt nun dieses Bildungsgesetz für ein Product von n Binomialfactoren s -st st, a st- o,... a st- p, so dass O -st st) (a -st ,st; also > ^st. 8z(st..p) st-1 8.(d..x).stj 8z (st..x) -st 8, (st. .p).st — 8z (st- -st). 12» 180 Ebenso folgt 8g (d..x) -st 8z (d..x).). Endlich ist 8n (d. .p). die Variationen der 2ten Classe mit Wiederholungen zusammengestellt wurden, dass daher (u -s-ta)? gleich der Summe aller Variationen der 2ten Classe mit Wieder¬ holungen aus den Elementen s. und 1> ist, wenn man jede Variation als Pro¬ duct betrachtet; dass ebenso (a 4- 6)^ die Summe aller Variationen der 3ten Classe mit Wiederholungen von a, und i> ist, jede Variation als Product auf¬ gefasst. Da auch die Entwicklung jeder höheren Potenz von a -j- i>, wenn sie auf die angedeutete Weise geschieht, mit dem Bildungsgesctze der Variationen der entsprechenden Classe mit Wiederholungen aus s, und l> in Übereinstimmung bleibt, so folgt, dass allgemein (a -j- l>)" die Summe aller Variationen der nten Classe mit Wiederholungen aus den Elementen u und 6 ist, wenn man jede Variation als Product auffasst. Die Variationen erhält man aber auch, wenn man die Combinationen derselben Classe bildet und diese permutiert. Die Combinationen der nten Classe mit Wiederholungen aus den Elementen a und b, als Producte betrachtet, sind nach Z. 270, Zusatz, a?, s?-* l>, a?-?!?, .. ,, Diese Combinationen müssten permutiert und die dadurch entstehenden Variationen als Producte addiert werden. Da aber alle Variationen, die aus der Permutierung derselben Combination hervorgehen, dieselben Elemente ent¬ halten und somit als Producte betrachtet der Combination selbst gleich sind, so braucht man die Permutationen nicht wirklich zu bilden, sondern wird, um die Summe aller Variationen zu erhalten, jede Combination sogleich mit ihrer Permutationszahl multipliciercn und dann alle diese Producte addieren. Die Permutationszahlen für die oben aufgestellten Combinationen sind nun nach Z. 268, 3, folgeweise c A A- ' Es ergibt sich sonach, wie in K. 279, (a -s- l>)° — -j- -s- 4- ... 4- 4- ... ü" (n - 1) k"' Zusatz. Genau auf dieselbe Art, wie hier die Binomialformel entwickelt wurde, kann auch der polynomische Lehrsatz, d. i. eine Formel für (u-j-d-j-o-s-ä-j- .abgeleitet werden, da diese Potenz der Summe aller Variationen der nten Classe mit Wiederholungen aus den Elementen a, l>, 0, ä,... gleich ist, wenn man jede Variation als Product auffasst. Um daher die nie Potenz eines gegebenen Polynoms zu erhalten, darf man nur aus den Gliedern desselben die Combinationcn der nten Classe mit Wieder- 183 Holungen bilden, jede derselben als Product betrachtet mit der zugehörigen Permutationszahl multiplicieren und die erhaltenen Producte addieren. Z. 281. Beziehungen zwischen den Binomialcoefficienten. 1. Je zwei vom Anfänge und vom Ende gleich weit ab¬ stehende Binomialcoefficienten sind einander gleich. Der (ü st- 1)te Binomialcoefficient vom Anfänge ist /ul u(ll—1)...(u— k-st 2) (u— k -st 1) ' 1.2.(L - 1).k ' Der fir -st 1)te Binomialcoefficient vom Ende ist der (u — L -st- 1)te vom Anfänge, also st » X n(n-1)... (u -st 1) u (u — 1).. .(u — k -st 2) /n -st Ist — 1.2.3... L " " t k / Mittelst dieses Satzes kann man aus den Binomialcoefficienten irgend einer Potenz jene der nächst höheren Potenz durch bloße Addition ableiten. Man erhält dadurch für die aufeinander folgenden Potenzen eines Binoms folgende Coefficienten (Pascal'sches Dreieck): 1 1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 u. s. w. 184 3. Die Summe aus den (k -s- 1)ten Binomialcoe fficienten deckten, (k-s-l)ten, (k-s-2)ten,... bis irten Potenz ist gleich dem (k -s- 2)ten Coefficienten der (n -s- 1)ten Potenz. Aus dem vorhergehenden Satze folgt ^"^r ist /K -t- IV /Ii 4- 2V /K 4- IV s Ic ) — sk 4- l) sL 4- 1? /K 4- 2V /L 4- 3V /Ir 4- 2V 4 Ir /^flc-s-I/ ^4-1/' /i> — IV / » 1 /n — IV 1 Ir s fk 4- 1/ sk 4- 1/' sl-s — sk-chl/ II- 4- 1/' Addiert man diese Gleichungen, so ergibt sich, da sich die Glieder auf der zweiten Seite paarweise aufheben und — 0 ist, die Gleichung st)-estth4-sttff^--est)-strff Z. B. für k 2 ist 4. Die absolute Summe aller Binomialcoefficienten für die nte Potenz ist gleich 2". st)^st)^st)-^^st)-a-^'"--2.. 5. Die algebraische Summe der abwechselnd positiven und negativen Binomialcoefficienten ist gleich Null. st)-st)-«-st)-^-- »'st)-tt-v-°. IH. Klemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die absolute und einfache Wahrscheinlichkeit. Z. 282. Sind unter mehreren gleich möglichen Fällen einige dem Eintreffen eines bestimmten Ereignisses günstig, die übrigen dagegen un¬ günstig, so heißt das Verhältnis der Anzahl jener Fälle, welche dem Ein¬ treffen des Ereignisses günstig sind, zu der Anzahl aller gleich möglichen Fälle die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen dieses Er¬ eignisses. 185 Bezeichnet a die Zahl der einem Ereignisse günstigen und 5 die Zahl der ihm ungünstigen Fälle, so ist, wenn die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen jenes Ereignisses durch ausgedrückt wird, 3, — in Je mehr Fälle dem Eintreffen des Ereignisses günstig sind oder je größer a ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden des Ereignisses; sind alle Fälle günstig, so ist das Stattfinden gewiss und man hat, da i> — 0 ist, als das mathematische Symbol der Gewissheit v -- --- 1. 3, Je weniger günstige Fälle vorkommen, desto geringer wird auch die Wahrscheinlichkeit; ist gar kein Fall günstig, so ist das Eintreffen des Ereig¬ nisses unmöglich, und man hat, da a — 0 ist, für das mathematische Symbol der Unmöglichkeit o n v — ---- — 0. b Im gewöhnlichen Leben heißt ein Ereignis wahrscheinlich, wenn zweifelhaft, wenn v — und unwahrscheinlich, wenn v < ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintreffen werde, heißt die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit. Sie wird durch einen Bruch dargestellt, dessen Zähler die Anzahl aller ungünstigen und der Nenner die Anzahl aller gleich möglichen Fälle ist. Bezeichnet man die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit durch so ist , d . , , , a, -s- d , — Tu daher rv -i- rv' — —— — 1, rr -j- r/ / - L -f- o ' d. h. die Summe der Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses und jener für das Nichteintreffen gibt die Einheit, somit die Gewissheit; was auch ganz natürlich erscheint, da es gewiss ist, dass jenes Ereignis entweder eintreffen oder nicht eintreffen muss. Aus w -f- — 1 folgt — 1 — v. Beispiele. Wirft man zwei Spielwürfel und L, deren sechs Flächen nach der Reihe mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 Punkten oder Augen bezeichnet sind, so sind in Bezug auf die Zahlen, welche aus den oberen Flächen der beiden Würfel zu stehen kommen, folgende 36 Fälle gleich möglich: 186 a) Um die Summe 5 zu werfen, sind 4 Fälle günstig, nämlich 14, 23, 32, 41. Die Wahrscheinlichkeit, mit beiden Würfeln 5 Augen zu werfen, M °ls° - 4-, Dieser Ausdruck, welcher anzeigt, dass in 9 Würfen die Summe 5 einmal geworfen werde, ist jedoch nicht so zu verstehen, als wenn man in den ersten 9 Würfen die Summe 5 gerade einmal werfen müsste; man kann diese Summe vielleicht gar nicht, oder gerade einmal, oder auch mehr als einmal werfen; aber wenn man sehr viele Würfe macht, so wird sich das Verhältnis der Anzahl der Würfe, worin man S wirft, zu der gejammten Anzahl der Würfe um so mehr dem Verhältnisse 1:9 nähern, je länger das Spiel fortgesetzt wird. Der wirkliche Erfolg wird der durch Zahlen ausgedrückten Wahr¬ scheinlichkeit um so näher kommen, je größer die Anzahl der Versuche ist; und in diesem Sinne ist die mathematische Wahrscheinlichkeit stets aufzufassen. b) Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 5 nicht zu werfen, ist 1 — o) Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 3 und 5 zu werfen, ist, da nur zwei Fälle 35 und 53 günstig sind, 4" — ssg - ä) Die Wahrscheinlichkeit, einen Pasch, d. i. zwei gleiche Zahlen zu werfen, rft . Die relative Wahrscheinlichkeit. A. 283. Die bisher betrachtete Wahrscheinlichkeit, wobei nur ein Ereignis an und für sich betrachtet wird, heißt die absolute Wahrscheinlich¬ keit, im Gegensätze zu der relativen, welche sich auf die Vergleichung zweier Ereignisse bezieht. Bei der relativen Wahrscheinlichkeit zieht man unter den möglichen Fällen nur diejenigen in Rechnung, welche entweder dem einen oder dem andern der beiden Ereignisse günstig sind, während alle übrigen Fälle unbeachtet bleiben. Sind für verschiedene Ereignisse s Fälle gleich möglich, und vergleicht man nur die Ereignisse L. und L, deren einem in und dem anderen n Fälle günstig sind, so ist die relative Wahrscheinlichkeit W für das erste Ereignis und die relative Wahrscheinlichkeit IV' für das zweite Ereignis ^4^- Man kann die relativen Wahrscheinlichkeiten auch aus den absoluten her¬ leiten. Es ist nämlich, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse und L beziehungsweise durch v und v' bezeichnet, IN N w s. — 4^ __. s__ IN -j- n IN , n "VV-j-w" IN -4 n IN , n vv -j- 3- ' 8 8'8 Die relative Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist also gleich dem Quotienten aus der absoluten Wahrscheinlichkeit jenes Ereignisses und der Summe der absoluten Wahrschein¬ lichkeiten der beiden Ereignisse. 187 Z. B. In einer Urne sind 4 weiße, 6 blaue und 8 rothe Kugeln. Die absolute Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ist rothe daher die relative Wahrscheinlichkeit, 4 1 eher eine weiße als eine rothe Kugel zu ziehen, , _s_ 8 2 eher eme rothe als eine weiße Kugel zu ziehen, -.-'j-i — n -i- o Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. Z. L84. Beruht die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Berechnung mehrerer einfacher Wahrscheinlichkeiten, so heißt eine solche Wahrscheinlichkeit eine zusammengesetzte. Sie ist zweifacher Art; entweder schließt sich das Eintreffen der einzelnen Ereignisse gegenseitig aus und es kann unter mehreren fraglichen Ereignissen nur eines stattfinden, oder es sollen zwei oder mehrere Ereignisse in Verbindung miteinander gleich¬ zeitig oder nacheinander eintreffen. Z. 285. Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines von mehreren Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen. Ist s die Anzahl aller gleich möglichen Fälle, von denen na dem Ereignisse n dem Ereignisse L, x dem Ereignisse 0,... also na -fi n -fix... für das Ein¬ treffen irgend eines unter den Ereignissen L, 0,... günstig sind, so ist, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse durch rvfi . und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines dieser Ereignisse durch IV bezeichnet, , IN n v < — und 8 8 8 --.-fi.-^P-fi... . gj,er 8 8'8'8' w — rB -fi rv" -fi -fi ..., d. i. die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines von mehreren sich gegenseitig ausschließenden Er¬ eignissen ist gleich der Summe der absoluten Wahrscheinlich¬ keiten der einzelnen Ereignisse. Z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einer Urne, in welcher 6 gelbe, 8 rothe und 10 weiße Kugeln sind, eine farbige Kugel zu ziehen? Die W., eine gelbe Kugel zu ziehen, ist die W., eine rothe Kugel zu ziehen, ist daher die W., eine farbige Kugel zu ziehen, 6 8 —14—7 , 24 24 "" 24 1' 188 Z. 286. Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen meh¬ rerer Ereignisse. Es sei die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen zweier Ereig¬ nisse und 8, von denen dem ersteren na" Fälle günstig und n" Fälle ungünstig, dem letzteren na" Fälle günstig und n" Fälle ungünstig sind. Die absoluten Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse sind — —7— j - 7, — -— - Da nun jeder der m" dem Ereignisse günstigen Fälle mit jedem der na" dem Ereignisse 8 günstigen Fälle zusammen eintreffen kann, so gibt es für das Zusammentreffen beider Ereignisse in" in" günstige Fälle. Die Anzahl aller möglichen Fälle ist (na" -st n") (in" -j- n"), da jeder der na" -st n" bei möglichen Fälle mit jedem der na" -st n" bei 8 möglichen Fälle Zusammentreffen kann. Es ist daher die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Ereignisse L und 8 zusammen eintreffen, ili" w" III" M" , ,, vv — - —- .-— -v vr . -st n") (m" -st n") ir' m" n" Sind ebenso av", av", av"",... die absoluten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse 8, 6,..., so erhält man die Wahr¬ scheinlichkeit für das Zusammentreffen aller dieser Ereignisse — rv" av" av"""..., d. h. die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen mehrerer Ereignisse ist gleich dem Producte aus den absoluten Wahr¬ scheinlichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse. Z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln auf den ersten Wurf die Summe 5, auf den zweiten die Summe 7 zu werfen? Die W., auf den ersten Wurf die Summe 5 zu werfen, ist ; die W., auf den zweiten Wurf die Summe 7 zu werfen, ist daher die W. 4 6 I für das Zusammentreffen dieser beiden Ereignisse Z. 287. Wahrscheinlichkeit für das wiederholte Eintreffen desselben Ereignisses. Ist rv die absolute Wahrscheinlichkeit, dass irgend ein Ereignis eintreffe, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass jenes Ereignis 2-, 3-, 4-,... rmal nach¬ einander eintreffe, ^2 — — rv?, v-g — — rvb, ^4 — -iv . . v — - .rmal — vr*'. 189 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mehreremale nacheinander stattfinde, ist also gleich der sovielten Potenz der Wahrscheinlichkeit für das einmalige Eintreffen, als Wieder¬ holungen stattfinden sollen. Z. B. Wie groß ist die W., mit zwei Würfeln 3 mal nacheinander die Summe 7 zu werfen? — Die W., die Summe 7 einmal zu werfen, ist i-, also die W., die Summe 3 mal nacheinander zu werfen, Wenn ein Ereignis wiederholt stattfinden soll, so tritt zuweilen der Fall ein, dass nach jedem Eintreffen desselben sowohl die Anzahl der möglichen als die der günstigen Falle um 1 kleiner wird. In diesem Falle ist, wenn die Wahrscheinlichkeit für das erste Eintreffen eines solchen Ereignisses ausdrückt, die Wahrscheinlichkeit für das i-malige Wiederholen desselben IN lli — 1 IN — 2 IN — r-j-1 'VV,. .-. . .- !- . 8 8 — 1 8 2 8 — r --j- 1 Z. B. Die W., aus einer Urne, welche 8 weiße und 6 schwarze Kugeln enthält, 4mal nacheinander eine weiße Kugel zu ziehen, wenn jede gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt wird, ist 8 7 6 5 —10 4^ ' H ' "i^ ' ÜD 143' Z. 288. Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Combina¬ tionen zweier Ereignisse. Sind s gleich mögliche Fälle, von denen ull dem Ereignisse und m" dem Ereignisse V günstig sind, so ist, wenn IN^ , . in" — — und — — 8 8 gesetzt wird, die Wahrscheinlichkeit, dass eintrifft . „ nicht eintrifft 1 — iv" „ L eintrifft „ L nicht eintrifft 1 — iv" „ eintrifft, V nicht rv" (1 — iv") „ L. nicht eintrifft, aber L (1 — iv" „ nur oder L eintrifft iv^(1—v")-j-(1—vffv" „ und L beide cintreffen v" „ L und L nicht beide eintrefsen 1 — v' v" „ weder noch L eintrifft (1 — (1 — v") „ von und L wenigstens eines eintrifft, also 7^, oder L, oder auch beide 1 — (1 — (1 — iv") Z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln in zwei Würfen wenigstens einmal 9 Augen zu werfen? 190 Hier ist iv' — und w" — daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit Mathematischer Hoffnungswert. 8- 289. Ist mit dem Eintreffen eines Ereignisses ein bestimmter Gewinn verbunden, so hat derselbe vor dem Eintreffen jenes Ereignisses einen Wert, welcher von dem Grade der Wahrscheinlichkeit abhängt, die für das Stattfinden des Ereignisses vorhanden ist; man nennt diesen Wert den mathematischen Hoffnungswert oder die mathematische Erwartung. Trifft das Ereignis gewiss ein, so darf man auch vor dem Eintreffen desselben den vollen Gewinn erwarten. Sind aber für das Stattfinden des Ereignisses a Fälle günstig und ff Fälle ungünstig, so wird das Ereignis unter n -ff ff Fällen nur in s, Fällen eintreffen und daher auch der Gewinn nicht mit dem vollen Werte, sondern nur mit dem so vielten Theile desselben, als die Wahrscheinlichkeit w, ihn zu erhalten, anzeigt, erwartet werden können. Heißt daher ff der mathe¬ matische Hoffnungswert und Z der anzuhoffende Gewinn, so ist Q — j— 7- . A L -s- d o d. h. der mathematische Hoffnungswert eines Gewinnes ist gleich dem Producte aus dem Gewinne und der Wahrscheinlich¬ keit desselben. Z. B. Jemand setzt auf zwei Nummern einer Zahlcnlotterie, welche 90 Nummern enthält, 1 st. und gewinnt, wenn seine beiden Nummern gezogen werden, 240 fl.; wie groß ist der mathematische Hoffnungswert? Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Nummern einen Ambo zu machen, ist 4005 — 801' daher k — 801'240 801 — 267 fl' Z. 29V. Bei Versicherungen, Wetten und Glücksspielen wird eine be¬ stimmte Summe eingesetzt und dafür im günstigen Falle eine bestimmte Summe gewonnen. Jede rechtmäßige Versicherung, sowie jedes rechtmäßige Glücksspiel beruht aus dem Grundsätze: Der Einsatz muss dem mathematischen Hoffnungswerte des Gewinnes gleich sein. Heißen s' und s" die Einsätze zweier Spieler, welche die Wahrscheinlich¬ keit v' und v" haben, einen Gewinn § zu erhalten, so ist s' — iv' § und s" — iv" daher o' : s" — w' : w", d. h. die Einsätze müssen den Wahrscheinlichkeiten, zu gewinnen, proportioniert sein. Z. B. wettet gegen L, dass er mit zwei Würfeln einen Pasch wirft. Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen, ist für n für L es müssen sich also auch die Einsätze der beiden Spieler, wenn die Wette rechtmäßig sein soll, wie : 5- oder wie 1:5 verhalten, d. h. L muss 5mal so viel setzen, als 191 Wahrscheinlichkeit in Beziehung aus die Lebensdauer des Menschen. Z. SSI. Durch Vergleichung der Sterbelisten, die für zahlreiche Orte und durch viele Jahre hindurch geführt wurden, ist man zu Tabellen gelangt, welche angeben, wie viele von einer bestimmten Anzahl in demselben Jahre gebvrner Menschen in den aufeinander folgenden Jahren noch am Leben sind. Solche Tabellen heißen Sterblichkeits- oder Mortalitätstafcln. Wir theilen nachstehend eine solche Tafel mit. Siißmilch-Baumailn'sche Sterblichkeitstafel. Diese Tabelle, welche sich auf 1000 in demsclbcn J ahre Geb orene besteht, enthält in der ersten mit n überschriebenen Spalte die Altersjahre der Personen, in der zweiten mit bezeichneten die Zahl der im Alter von n Jahren noch Lebenden. Die Differenz zweier Zahlen der Lebenden gibt die Anzahl der in dem bezüglichen Zeiträume Gestorbenen. So sterben z. B. vom 20. bis zum 30. Lebensjahre 491 — 439 — 52 Personen. Die Zahl der im nten Alters¬ jahre Gestorbenen ist gleich a« — a^i. / ß. SSL. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine njährige Person das Alter von n-s-x Jahren erreichen werde, darzustellen. Von Li> im Alter von n Jahren lebenden Personen leben im Alter von n-j-x Jahren noch Personen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine njährige 192 Ledensversichernngsrechnung.^ K. 2«3. Verpflichtet sich eine Versicherungsanstalt, einer Person oder deren Rechtsnachfolgern gegen eine zu entrichtende Geldsumme in einem bestimmten Falle, welcher von dem Leben oder Tode einer oder mehrerer Per¬ sonen abhängt, einen gewissen Capitälsbetrag oder eine bestimmte Leibrente (Z.264) zu zahlen, so heißt der bezügliche Vertrag einLebensversicherungs- vertrag. Bei allen Rechnungen über Lebensversicherungen wird der Grundsatz festgehalten, dass der Barwert der Zahlungen, welche die Versicherungsanstalt von den unter gleichen Bedingungen versicherten Personen zu empfangen hat, gleich sei dem Barwerte der Zahlungen, welche die Anstalt an diese Ver¬ sicherten zu leisten hat. Unter der Reserve (Prämienreserve) eines Versicherten in einem gege¬ benen Zeitpunkte versteht man den Betrag, welcher sich ergibt, wenn man den Barwert der von ihm noch weiterhin zu leistenden Zahlungen von dem Bar¬ werte seiner künftigen Bezüge subtrahiert. Die Reserve gibt den Wert der Versicherungs-Polizze für jenen Zeitpunkt an. Wir beschränken uns hier auf einige besonders wichtige Aufgaben. H. 2S4. Aufgabe. Eine njährige Person will bei einer Ver¬ sicherungsanstalt ein Capital 0 so versichern, dass dieses nach p Jahren, wenn die Person damals noch lebt, an dieselbe aus¬ gezahlt werden soll, dass dagegen, falls die Person während der x Jahre stirbt, die eingezahlte Summe zu Gunsten der Anstalt verfällt; wie groß ist der Betrag N (Mise), welcher an die Anstalt sogleich einzuzahlen ist? (Versicherung auf den Lebensfall). Person das (n-s-pfl te Jahr erreichen werde, ist demnach, da die Anzahl der günstigen und u« die Anzahl aller gleich möglichen Fälle angibt, v — Die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit, dass nämlich eine u jährige Person das (u -s- p) te Jahr nicht erleben werde, ist v' — 1 — Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 24jährige Person das 50ste Jahr erreichen werde? — 0-637. 2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Eheleuten, von denen der Mann 40, die Frau 30 Jahre alt ist, beide das 60 sie Jahr erreichen werden? Die Wahrscheinlichkeit, das 60ste Jahr zu erreichen, ist für den Mann für die Frau daher die zusammengesetzte Wahrscheinlich^ 4V A 30 Beispiel. Wie groß ist der Betrag, den ein Vater bei 5A Zinseszins an eine Versicherungsanstalt einzahlen muss, damit diese seinem lOjährigeu Sohne, wenn er das 24 sie Jahr erreicht, ein Capital von 2000 st. auszahle? N - 2000 . --- - 894-32 fl. Zu diesem Betrage kommt noch ein Verwaltungskostenzuschlag. Wenn der Sohn 20 Jahre alt wird, ist seine Reserve k -- 2000 . - 1578-37 fl. H. 2ÄS. Ausgabe. Wie groß ist der Betrag N, den eine ujährige Person an eine Versicherungsanstalt sogleich ein- zahlcn muss, damit sie, so lange sie lebt, am Ende eines jeden Jahres eine Leibrente L beziehe? (Rentenversicherung.) Moonik, Arithmetik und Algebra. iz 194 Versichern sich Personen vom Alter n unter gleichen Bedingungen, so haben sie N. s,» einzuzahlen. Von diesen Personen leben am Ende des 1., 2., 3.,... Jahres noch ... Die Anstalt hat daher an Renten auszuzahlen L . a,,^, L . a^z, k . ... Die Summe der Barwerte dieser Renten ist °4 s s- s- wobei die Reihe innerhalb der Klammern bis an das Ende der Sterblichkeits¬ tafel fortzusetzen ist. Setzt man die Barwerte der Einnahmen und der Ausgaben der Ver¬ sicherungsanstalt gleich, so ergibt sich U . ö. -st -st -st ...), und daher N — L . --- -st -st 1 oder, wenn man den für L — 1 sich ergebenden Betrag durch bezeichnet, also rn — — -st -st st- ... ^ I) Lll V, S S « / setzt, N — L . r„. Die Reserve für das Alter st der Person ist dann gleich L, — L.i>. Die Berechnung von i-», welches den Barwert der Renteneinheit für das Alter n darstellt und ein Hauptelement der Versicherungsrechnung bildet, gestaltet sich meistens sehr mühsam und weitläufig. Wir geben in der nachfolgenden Tabelle die für 4^ und bereits ausgerechneten Werte von r^- Die Construction einer solchen Tafel geschieht am einfachsten auf fol¬ gende Weise: Nach der Formel 1) ist r^i — -st -p- ... also 1 _ 1. / La-st l , Ln-1-2 , 1 und folglich r, ,,, Z), Man bestimmt nun, z. B. für 4-?^, zuerst und, zwar nach der Formel I) 2.. ^.0-48077 ; Ag^ 1'04 2 1-04 ? sodann nach der Formel 2) r,s 0-94921, Sgz.1-04 3.1-04 hierauf nach derselben Formel i-gz, dann folgeweise rg,, i-g«, u. s. f., was mit Hilfe der Logarithmen leicht auszuführen ist. 195 Varwert einer Renteneinheit nach der Süßmilch-Baumann'schen Sterblichkeitstafel für 4^ und 5A berechnet. Beispiel. Welchen Betrag muss eine 47jährige Person einzahlen, um sich eine Leibrente von 200 fl. zu sichern, die Zinsen zu 4A gerechnet? N -- 200.1-47 --- 200.11-527 ---- 2305'4 fl. 13* 196 ß. 296. Aufgabe. Eine njährige Person will bei einer Anstalt ein Capital 0 versichern, das nach ihrem Tode ihren Erben ausgezahlt werden soll; wie groß ist der Betrag U, den sie sogleich einzuzahlen hat? (Versicherung auf den Todesfall.) Treten der Anstalt an Personen unter gleichen Bedingungen bei, so muss die Summe ihrer Einzahlungen, nämlich gleich sein dem Bar¬ werte aller Capitalien, welche von der Anstalt für die gestorbenen Personen an deren Erben zu zahlen sind. Bon »n Personen leben nach einem Jahre noch die Zahl der Gestorbenen des ersten Jahres ist also u» — Ebenso sterben im 2., 3., ... Jahre - - - Die Anstalt hat also am Ende des 1., 2., 3., ... Jahres an die Erben der Gestorbenen die Capitalsbeträgc 0 . (an Uu^-i), 0 . (ÄN^-I Nn-j-Z), 0 . (a.n^-2 ' zu zahlen. Die Summe der Barwerte aller dieser Zahlungen ist wenn der Ausdruck -P -P . - durch r» ersetzt wird (Z. 295). Somit ist Os 1 — — .Lu I 1 — (o — 1) r» !, daher 0 N . ^1 - (s - 1) r^. Ebenso ist die Reserve für die Person, wenn sie ir Jahre alt ist, L^.^1 - (e-1) r^. Beispiel. Welches Antrittsgeld hat eine 36jährige Person bei 5A Zinsen an eine Versicherungsanstalt zu zahlen, damit nach ihrem Tode ihre Erben eine Summe von 2500 st. erhalten? (1 - 0-05. i-g«) - (1 — 0-05.12-452)^ 898-54 st. Z. 297. Ausgabe. Eine njährige Person will gegen eine am Anfänge jedes Jahres zahlbare Prämie k ein Capital 0 ver¬ sichern, dasbei ihrem Absterben andie Erben ausg ezahlt werden soll; man suche die Beziehung zwischen ? und 0. 197 Nimmt man wieder Lu Personen vom Alter n an, so beträgt die von ihnen gleich beim Eintritte an die Anstalt zu zahlende Prämie zusammen k. s-o- Nach 1, 2,... Jahren leben noch s-n-i-i, Personen; diese zahlen an Prämien k. Nu-m, . Der Barwert aller Prämien ist also x. -- k . (1 fl- r«) (8. 295). Der Barwert aller Leistungen der Anstalt an die Erben der Versicherten ist, wie in der Aufg. tz. 296, a. sl - - 1) r°j. Man hat daher ? . Lll (1 -s- ri>) — . Ln sl — (s — 1) 1-ll), oder k . (1 4- r.) . sl - (o - 1) rnP Die Reserve für das Alter k der Person ist gleich der Differenz der auf diesen Zeitpunkt bezogenen Barwerte der künftigen Bezüge und Prämien, also k^-^.sl-(o-l) riZ-k sl fl-r^j, oder, wenn man für k den Wert aus der früheren Gleichung substituiert und dann den Ausdruck reduciert, 1 -s- ri> Beispiel. Eine 55jährige Person will auf den Todesfall ihren Erben ein Capital von 4000 fl. versichern; welche jährliche Prämie hat sie bei 4A V erzinsung einzuzahlen? 4000 1 — 0'04 4000 1 — 0'04.9'639 yyy.y n N — DÖ4- 1— 1-04- 1-^9 639 —^^0- Für die obige Person wäre nach 10 Jahren die Reserve It 4000.-°^°° 4000 . - 972-3 fl. 10-639 > A uhan g I. Kötzerc numerische Gterchrmgen. ß. 2S8. Die allgemeine Form einer numerischen Gleichung des raten Grades mit einer Unbekannten ist x*° -j- A, -s- Az x°>-^ -s- . . . -s- Am-I X -s- Am — 0, wo die Coefficienten A„ Az, - - - A-- besondere positive oder negative Zahlen bedeuten, einige von ihnen auch Null sein können. Ein von der veränderlichen Zahl x abhängiger Ausdruck wird eine Function von x genannt und durch f (x), k? (x), yo (x), ... bezeichnet. Setzt man daher das Polynom x-° -j- A^ x°>-^ -s- Az x^^ ... -I- A^-i x -j- A^ — k (x), so kann mit Hilfe dieser Bezeichnung die obige Gleichung durch k (x) — 0 dargestellt werden. Allgemeine Sätze über die Gleichungen. ß. 29S. Fundamentalsatz. Jede Gleichung k (x) — x°> A; x"^^ -s- Az -s- . . Z- Am-1 X -j- Am — 0 hat mindestens eine Wurzel. Für diesen Satz gibt es mehrere sehr scharfsinnige Beweise, die jedoch alle die Grenzen dieses Buches überschreiten. Wir werden daher hier den Satz geradezu als wahr annehmen und ihn sodann den weiteren Unter¬ suchungen zugrunde legen. K. 39V. 1. Ist u eine Wurzel der Gleichung k (x) — 0, so ist k (x) durch x — a theilbar. 2. Umgekehrt: Ist k (x) durch x — a theilbar, so ist a eine Wurzel der Gleichung k (x) — 0. Beweis. 1. Es ist Li X—Z- Lz X"--- -j- .. Z- Lm-S X Z- Lm-e -ch oder, wenn xm-1 -s- Lz x°--3 -s- .. -s- 8^,2 X -s- Lm-I — t'i (x) gesetzt wird, 199 - st (x) Z- daher f (x) (x - u) st (x) si- k, wo der Rest L, wenn einer übrig bleibt, x nicht enthalten kann. Substituiert man für x den Wert a, so ergibt sich 1 (a) — ik. Da aber a eine Wurzel der Gleichung 1 (x) — 0 ist, so muss 1 (a) — 0, und also auch k — 0 sein, d. h. 1 (x) ist durch x — a theilbar. x — a heißt ein Wurzelfactor (H. 217) der Gleichung k (x) — 0. 2. Ist f (x) durch x — a theilbar, so muss R — 0, also 1 (x) — (x — u) st (x), mithin 1 (a) — 0 sein, d. h. u ist eine Wurzel der Gleichung f (x) — 0. K. 301. I.DasPolynomjede r auf Null rednciertenGleichung t' (x) — 0 vom inten Grade lässt sich in in Binomialfactoren von der Form x — u zerlegen. 2. Jede Gleichung des raten Grades hat na Wurzeln. Beweis. 1. Es sei eine Wurzel der Gleichung k (x) — 0 vom na ten Grade; nach ß. 300 ist dann k (x) — (x— a^) 1, (x), und st (x) ein Polynom vom (m — 1) ten Grade. Die Gleichung st (x) — 0 hat aber eben¬ falls eine Wurzel n?, folglich ist st (x) — (x — s-g) st (x); die Gleichung st (x) — 0 vom (m — 2) ten Grade hat ebenfalls eine Wurzel ng, folglich ist st (x) — (x — n,) st (x), u. s. w. Schließlich erhält man tst-L (x) — (x — u^-i) st-i (x), wo dann die Gleichung st>_i (x) — 0 vom ersten Grade noch eine Wurzel hat, so dass st>_i (x) — x — wird. Durch allmähliche Sub¬ stitution ergibt sich demnach k (x) — (x — Li) (x — az) (x — ng) ... (x — Nm-i) (x — a,n). 2. Aus dem letzten Ausdrucke folgt, dass k' (x) für jeden der na Werte Lz, s.g, .. Äw-i, Um Null wird, dagegen für keinen andern von diesen verschiedenen Wert a» Null werden kann; d. h. die Gleichung 1" (x) — 0 vom raten Grade hat na Wurzeln, aber auch nicht mehr als na Wurzeln. Die Wurzeln selbst sind entweder reell oder imaginär, und im ersten Falle entweder ganze oder gebrochene oder auch irrationale Zahlen; auch können zwei oder mehrere Wurzeln einander gleich sein. Folgesatz. Wird das Polynom einer auf Null reducierten Gleichung durch einen Wurzelfactor derselben dividiert, so erhält man das Product aller übrigen Wurzelsactoren zum Quotienten. Betrachtet man daher diesen Quo¬ tienten als eine Gleichung, so sind die Wurzeln derselben zugleich Wurzeln der ursprünglichen Gleichung. tz. 3VL. In jeder auf Null reducierten Gleichung ist der Coefficient des ersten Gliedes 1, der Coefficient des zweiten Gliedes gleich der Summe der mit entgegengesetzten Zeichen genommenen Wurzeln, der Coefficient des dritten, vierten, ... Gliedes gleich der Summe der Combinationen zweiter, 200 dritter, ... Classe, das letzte von x freie Glied gleich dem Pro- ducte aller mit entgegengesetzten Zeichen genommenen Wurzeln. Beweis. Sind 8,1, 8g, Az, ... Nm die Wurzeln der Gleichung f (x) — X» -s- 7^I x"--^ -s- 7^2 -s- 7^g x""-^ -s- . . -s- X -si 0, so ist nach Z. 301 1 (x) — (x — 8-i) (x — 8z) (x — Lz) ... (x — 8m). Entwickelt man nun das letzte Product nach dem Bildungsgesetze in Z. 278 in ein Polynom, so ist, da die Coefficienten der gleichnamigen Glieder in beiden Polynomen von k (x) gleich sein müssen, 7^1 — (Li -s- 8 g -fi 8g -s- . . si- 8m), ^2 Az N-Z -s- 8^ Nz -s- 8^ 8^ 's— .. -s- 8m—1 8m, — (8^ 8g 8z si— 8; 8g 8^ .... —s— 8m—2 8m—1 8m), 7^m --- ( l)'^ 8^ 82 8g ... ÄM—1 8m« Folgesatz. Jede Wurzel einer Gleichung ist ein Factor ihres letzten Gliedes. tz. 303. Mechanisches Verfahren zur Bestimmung des Quo- ' f (x) trenten und der Größe 1 (a) für einen beliebigen Wert von 8. Ist l (x) — x" -s- 7^ x°>-^ -s- 7^2 x-°-2 -s- . . . -s-T^m-1 X -s- 7^m, und --- si- 8, x°>-- si- 8g XM-- -4 .. . ^ 8m-2 X -s- 8m-r si- so erhält man nach dem gewöhnlichen Divisionsverfahren — 8 -s- ^1/ 82 8^ -s- 8 -s— ^.g, 8g — 8^ -s- 7^.^ 8^ -s- 7^g 8 -s- ^g, 8m—1 — 8"^^ -f- -s- 7^2 8"^ -j- ... -s- 7^.m-s 8 -f- 7^m—1, 8, — 8-» fi- 7^ -s- L.2 -s- ... -s- 7^.m-e 8 -s- Lm. Der Rest 8 ist, wie man sieht, das Resultat der Substitution x — a in dem gegebenen Polynom 1 (x), also 8 — l (a). Substituiert man den Wert jedes dieser Coefficienten in dem Ausdrucke für den nächstfolgenden, so ergibt sich 85 — A -s- L.1, 8g — (a -s- T^-i) g, -s- — 8z 8, -s- 7s.2, — (u? -F 7^.^ a -s- ^.g) n, -s- 7^.z — 8g a -s- 7^,, 8m—1 — 8^,—2 a -s— —1, 8 — 8m-1 8 -s- T^IN- Es ist also der erste Coefficient des Quotienten gleich dem ersten Coeffi¬ cienten des Dividends (hier 1); jeder folgende, z. B. der k te Coefficient des Quotienten wird erhalten, indem man den vorhergehenden mit a multipliciert und zum Producte den Ir ten Coefficienten des Dividends addiert. 201 Die auf einander folgenden Coefsicienten des Quotienten kann man demnach nach folgendem Schema bilden: also gibt den Quotienten x» -s- 6x- -s- 11x 4- 30 und den Rest k — f (4) — 144, woraus auch folgt, dass 4 keine Wurzel der vorgelegtcn Gleichung ist. Für x — 3 hat man 1 4-2 -13 —14 4-24 -st 3 -st 15 4-6 -24 1 4-5 -st 2 — 8 0; somit ist — x» -st 5x- -s- 2x — 8 und R — k (3) — 0, also 3 eine Wurzel der Gleichung. 8- 3V4. Bringen zwei reelle Werte x — a und x — st in der Function 1 (x) entgegengesetzt bezeichnete Resultate hervor, so muss zwischen a und st mindestens eine reelle Wurzel der Glei¬ chung 5(x) — 0 liegen. Beweis. Es sei s (x) — x°> 4- X"-1 4- ^2 x"-- 4- ... 4- X 4- — 0. Setzt man statt x überall x -st st, wo st sehr klein ist, so ist k (x -st st) — (x 4- st)" 4- (x 4- st)"-^ 4- ... 4- (x 4- st) 4- oder, wenn man diesen Ausdruck entwickelt und nach den steigenden Potenzen von st ordnet, f(x -st st) k (x) 0, st 4- vzst- 4- 0, st» ^ ... und k (x st- st) - k(x) --- 0, st -st Og st» -st Og st» -st ..., woraus folgt, dass für sehr kleine Änderungen st auch 1 (x) sehr wenig zu- oder abnimmt, dass also, wenn x sich stetig ändert, auch f (x) sich stetig ändert. Lässt man daher x alle Zwischenwerte von a und st durchlaufen, so wird auch f (x) stetig aus 1 (a) in 1 (st) übergehen und muss während dieses Überganges, wenn f (a) und k (st) entgegengesetzt bezeichnet sind, mindestens einmal durch Null durchgehen. 202 Zusatz. Sind L (a) und t (t>) entgegengesetzt bezeichnet, so kann, da nach zweimaliger Änderung des Vorzeichens dasselbe ungeändert bleibt, 4 (x) von x —a bis x — b auch 3mal, 5mal, allgemein (2 n-st 1) mal aus dem Positiven ins Negative und umgekehrt übergehen und während dieses Über¬ ganges Null werden; d. i. es können, wenn k (a) und k (st) entgegengesetzte Vorzeichen haben, zwischen a und st auch mehrere reelle Wurzeln der Gleichung t' (x) — 0, jedoch immer nur in ungerader Anzahl, liegen. Z. 305. Sind die Cvefficienten in der Function f (x) ganze Zahlen, so sind alle rationalen Wurzeln der Gleichung k(x) — 0 ebenfalls ganze Zahlen. Wäre die gebrochene Zahl in welcher p und cz relative Primzahlen seien, eine Wurzel der Gleichung f (x) x" -st ä., x^ -st ^2 -st ... -st I X -st — 0, so würde aus (4)"- lÄ"^ - li) wenn man mit multipliciert, -st -r 4- ^2 x-°-2 4- x">-b 4- . . 4- X -st -- 0 gegeben und a eine Wurzel der Gleichung k' (x) — x°> — L, x-ll-1 -z. x°>—s — xM—s 4- .. IjM—I l X 4- (— 1)m — 0, so ist, wenn IQ eine gerade Zahl ist, offenbar 4 (—a) — ist (g,) — 0, und wenn m eine ungerade Zahl ist, 4 (—a) — — ist (a) — 0, also in jedem Falle — a, eine Wurzel der Gleichung f (x) — 0. Durch diesen Satz reducicrt sich die Auflösung einer numerischen Gleichung auf die Bestimmung der positiven Wurzeln. Um nämlich die negativen Wurzeln derselben auszumitteln, darf man nur die Zeichen an den geraden Stellen ändern und die positiven Wurzeln dieser transformierten Gleichung suchen; werden diese entgegengesetzt genommen, so hat man die negativen Wurzeln der ursprünglichen Gleichung. 203 Bestimmung der rationalen Wurzeln. K. 307. Sind in der Gleichung f (x) x° X-°-l Z- ^2 -i- . . . 4- X -P 0 die Coefficienten .. ganze Zahlen, so müssen die Wurzeln, wenn sie rational sind, ebenfalls ganze Zahlen sein (K. 305). In diesem Falle gibt der Satz, dass jede Wurzel einer Gleichung ein Factor ihres letzten Gliedes ist, ein einfaches Mittel an die Hand, die Wurzeln zu bestimmen. Man zerlegt das von x freie Glied in seine Factoren und sucht durch Substitution derselben diejenigen auf, welche die Gleichung auf Null bringen. Bei der Substituierung bedient man sich mit Vortheil des in ß. 303 begründeten mechanischen Verfahrens. Findet man dabei, dass ein Factor a eine Wurzel der Gleichung 1 (x) — 0 ist, so können die weiteren Substitutionen, statt in der gegebenen Gleichung, nach demselben Verfahren sofort in der Quvtientengleichung — 0, welche die übrigen Wurzeln der Gleichung f (x) — 0 enthalten muss, gemacht werden. Es sei z. B. x^ — x^ — 7 x? -s- x -s- 6 — 0. Das von x freie Glied 6 hat die Factoren U: l, 2, U: 3, ^6. Durch Substitution dieser Factoren erhält man Die Wurzeln dieser Gleichung sind also -j- 1, — 1, — 2 und -s- 3, und es entfällt die Prüfung der übrigen Factoren — 3, 6. Wenn das letzte Glied viele Theiler hat, so wird die hier angegebene Untersuchung weitläufig. Zur Abkürzung dieser Rechnung bestehen verschiedene Verfahrungsweisen, deren nähere Betrachtung wir jedoch hier übergehen müssen. Z. 308. Sind in der Gleichung b (x) — x'° -i- x°°-r -j- ^2 4- . . . -s- X -st — 0 die Coefficienten --- oder einige derselben gebrochene Zahlen, so lässt sich dieselbe immer in eine andere Gleichung transformieren, deren Coefficienten ganze Zahlen sind, indem für x überall -st, wo «z das 204 kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner aller gebrochenen Coefficicnten ist, gesetzt und dann mit g'" multipliciert wird. Alle rationalen Wurzeln der transformierten Gleichung find ganze Zahlen und können nach K. 307 gefunden werden; wird jede derselben durch cz dividiert, so erhält man die Wurzeln der gegebenen Gleichung 4 (x) — 0. Bestimmung der irrationalen Wurzeln. Z. 3VS. Sind die Wurzeln einer Gleichung mit ganzen Coefficienten nicht ganze Zahlen, so find sie irrational (Z. 305). Wenn man in der Gleichung die aufeinander folgenden ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3, .. substituiert, so lässt sich nach Z. 304 aus den Vorzeichen der Resultate erkennen, zwischen welchen Zahlen als Näherungswerten die einzelnen positiven irrationalen Wurzeln dieser Gleichung liegen und es handelt sich dann nur darum, aus den gefundenen Näherungswerten die dazwischen liegende Wurzel mit jedem geforderten Grade der Genauigkeit zu berechnen. Die Bestimmung der negativen irrationalen Wurzeln kann auf die Berechnung der positiven Wurzeln zurück¬ geführt werden (K. 306). Für die annäherungsweise Berechnung der irrationalen Wurzeln gibt es verschiedene Methoden, von denen wir hier nur zwei betrachten wollen. Lj. 310. I. Newton'sche Näherungsmethode. Es sei Xl eine Wurzel der Gleichung k (x) — X'" -4- x°^ 4- ^2 x-°-2 -st ... -st ^M-1X 4-^ — 0 und a ein angenäherter Wert dieser Wurzel, so dass x, — a -st st ist. Allgemein ist 4 (x 4- ü) -- (x -st st)" 4- ^1 (x -st st)"-r -st ... 4- (x -st ü) -st - 0, oder, wenn man den Ausdruck nach den Potenzen von ü ordnet, f (x st) k (x) stk, (x) -st isti- (x) 4- (x) -st .. wo kl (x) — mx"-l -st (rn — 1) ^l x"-2 -st.. -st ^W-I ist, und §2 (x), kg (x),.. gleichfalls von st unabhängig sind. Für x — a wird daher k (a 4- ü) -- k (n) Z- stkj (n) Z- st-kg (a) -st ü-kg (a) -st - - - Da a -st st eine Wurzel der Gleichung, also k (a -st st) — 0 werden soll, so ist st so zu bestimmen, dass k (a) -st stk, (n) 4- st'kg (a) st'kg (n) 4- ... -- 0 wird. Ist nun st < 1, so sind ist, Ist, .. noch kleiner; man erhält daher, wenn man die Glieder mit ist, ist, ... vernachlässigt, näherungsweise k (a) -st ü ki (a) — 0, folglich st — — und r st) a 4- le — -e — — a, als einen Näherungswert der Wurzel. 205 Wendet man auf 8l denselben Vorgang an, wie früher auf 8, so erhält man a —a — als einen zweiten noch genaueren Näherungswert; u. s. w. Beispiel.' k (x) — x^ — 4x^ — 7x -s- 4 — 0. Für x — 0 wird k (0) — -s- 4, für x — 1 wird k (1) — — 6, woraus folgt, dass eine Wurzel der Gleichung zwischen 0 und 1 liegt. Da ki (x) — 3x? — 8x — 7 ist, so hat man für die erste Annäherung 8 — 0, k (s,) — -f- 4, (8.) — — 7; 8l — 0 -f- — — 0'0. Für die zweite Annäherung ist 8, -- 0-5, k(8,) — 0-375, (8l) — 8-25; 8g - 0-5 —— 0-45. Für die dritte Annäherung hat man 82 0-45, k(8,) 0-131125, (8z) — 9-9925; 8g - 0-4c> 4- -g7gg25- — 0-463. Für die vierte Annäherung hat man 8g - 0-463, k (8z) -- 0-000776847, (8g) — 10'060893; 0-463 -s-^Z^^O-4630 7721, welcher Näherungswert auf 8 Decimalstellen genau ist. Auf dieselbe Art können wir auch die anderen Wurzeln der Gleichung finden. Einfacher ist es jedoch, sogleich die Quotientengleichung x -o-2o77 2i " 3-53692279 x — 8'63878683 0 zu entwickeln und sodann die quadratische Gleichung aufzulösen. Aus dieser ergeben sich x — 5'1985 2321 und x — — 1'6616 0042 als die beiden anderen Wurzeln der gegebenen Gleichung. ß. SU. H. Die LkKiilL kalsi. Häufig wird auch die folgende Auflösungsmethode, die unter dem Namen der RsKuIu kalsi bekannt ist, Vortheilhaft angewendct. Ist Xl die zu berechnende Wurzel der Gleichung k (x) — 0 und erhält man für zwei Substitutionen 8 und 6 die Resultate k (8) und k (6), so liegen 8 und 6 dem wahren Werte Xl um so näher, je weniger k (8) und k (6) von 0 verschieden sind; es bezeichnen daher x, — 8 — « und Xl — 1i — si die Fehler der Substitutionen, und k (n) und k (6) die Fehler der Resultate. Mit Rücksicht auf ß. 310 ist k (8) — k (x, — «) — k (x,) — «kl (Xl) -j- «2kz (Xl) — v?kz (x,) -f- . . ., k (d) -- k (Xl - K k (Xl) - sik, (X,) fi- si-kz (Xl) - ^kg (x,) ^ . . ., wo k, (Xl), kg (x,), kg (Xl) ... von « und si unabhängig sind. 206 Da k (x,) — 0 ist, so folgt, wenn « und sehr klein sind, annäherungs weise st (a) — — «st, (x,), st (st) — — /?st, (x,), und daher k (») « _ X, — L "^b' d. h. die Fehler der Resultate verhalten sich so wie die Fehler der Substitutionen. Aus diesem näherungsweise richtigen Satze ergibt sich dann bk(»)— »t(b) . (b— L)k(a) X' — k (L) — k (bl' — "N 1 < L) — k (b) als ein genauerer Wert für die gesuchte Wurzel. Nimmt man sodann wieder diesen neuen Wert als die eine Substitution, und je nach dem Resultate derselben entweder einen der früheren Näherungs¬ werte oder auch einen andern entsprechend erscheinenden Wert als die zweite Substitution an, so erhält man nach der letzten Formel einen noch genaueren Wert für x^; u. s. w. Es sei z. B. die Gleichung st (x) — x? — xst -st 5x — 6 — 0 gegeben. Man hat a. 1, k» —1, st — 2, st (st) — -st 8; daher a, — 1 -st 1-1. a, — 1 -1, st (a,) — — 0'329, (zu klein) st, ^1-2, st (st,) -st 0-288; ^2 1-153, st(az) — — 0-031601, (zu klein) stz —1-16, st (st,) -st 0-015296; — 1 -153 -st 0-000221207 —„y 0-046897 1 ' 10i t/, welcher Wert die Wurzel auf 5 Decimalen genau gibt. Die ksKula stalsi lässt sich auch bei transcendenten Gleichungen anwenden. Es sei z. B. die Gleichung x* — 10 aufzulösen. Man erhält daraus x IoA x — 1, daher st (x) — x Ic>K x — 1—0. Da offenbar x > 2 und x < 3 sein muss, so versuchen wir die Substitution 2-5. Für n — 2-5 ergibt sich st (a) — — 0'00515. Daraus folgt, dass 2-5 zu klein ist, jedoch der Wurzel schon sehr nahe kommt; wir nehmen daher 2-51 als zweite Substitution an und erhalten st--2-51, st(st)---st 0-00318; daher nach der ReAnIa stalsi -0--2-5-st 2-50618, welcher Wert auf 5 Decimalen richtig ist. 207 II. Geometrische Anstellung der imaginären und der comp teren Zahlen. t. Geometrische Darstellung der imaginären Zahlen. ß. ZI2. Stellt XX' die unbegrenzte Zahlcnlinie, OX die positive und OX' die negative Richtung dar, so nimmt der Punkt 0 die Stelle der Null ein: alle denkbaren positiven ganzen, gebrochenen und irrationalen Zahlen haben auf O X, ebenso alle negativen Zahlen auf O X' ihre Stelle und sind dort bestimmbar. Eine Erweiterung des Zahlengebietes in der Längenrichtuug der Zahlcnlinie ist nicht möglich, weil dieselbe in dieser Richtung lückenlos bereits durch die reellen Zahlen ausgefüllt wird. Es bleibt daher, um auch die imaginären Zahlen darzustellen, bloß die seitliche Erweiterung übrig, d. i. man muss aus der Z a h l e n l i n i e in die Zahlen ebene hinaustreten. Zieht man durch den Nullpunkt 0 der Zahlenlinie XX' auf diese eine Senkrechte H' nnd beschreibt aus 0 mit dem Halbmesser OX —st einen Kreis, welcher jene Senkrechte in den Punkten L und L' schneidet, so ist nach einem bekannten Satze der Planimetrie sowohl OL als OL' die mittlere Proportionale zwischen den Abschnitten OX und OX' der als Durchmesser angenommenen Strecke XX'. Wird daher OX — -j- st und OX' — — st gesetzt, so hat man OL? — -j- st . — st - — st?, woraus OL — — st? — st j/ — 1 — sti folgt. O L' unterscheidet sich von O L bloß durch die entgegengesetzte Lage, so dass, wenn man OL — -st sti annimmt, ÖL' — — sti gesetzt werden muss. Wenn man nun die Zahlen -j- st und — st durch diejenigen Punkte X und X' der Zahlenlinic XX' repräsentiert, deren Abstände vorn Nullpunkte nach Größe und Richtung durch diese Zahlen angegeben werden, so erscheint es consequent, als Repräsentanten der Zahlen -j-sti und —sti die Punkte L nnd L' anzunchmen. Die imaginären Zahlen finden daher ihre Darstellung auf einer Geraden, welche auf der ursprünglichen Zahlenlinie in deren Null¬ punkte senkrecht steht. In den Zahlenausdrücken -j-st —st.-j-l, -ststi —st.-j-i, — st — st.— 1, —sti —st.— i drückt der absolute Wert st aus, dass jede dieser Zahlen st Einheiten ent- 208 hält; die Zeichen aber, oder im erweiterten Sinne die Richtungsfactoren si- 1, -si i, —1, —i zeigen an, dass die st Einheiten bezüglich in den Richtungen OX, O V, OX', OX' zu zählen sind. Die Gerade XX' nennt man die reelle, die Gerade XV die ima¬ ginäre Zahlenlinie. 2. Geometrische Darstellung der complexen Zahlen. H. ZIZ. Die reelle Zahlenlinie XX' kann als die Abscissenachse und die imaginäre Zahlenlinie XX' als die Ordinatenachse eines rechtwinkligen Coor- dinatensystems betrachtet werden. Legt man durch die beiden Achsen eine Ebene und nimmt die reellen Zahlen a und st einer complexen Zahl a -s- sti als Coordinaten eines Punktes A, und zwar a als Abscisse und st als Ordinate an, so ist dadurch die Lage dieses Punktes in der Ebene unzweideutig bestimmt; umgekehrt entspricht einem Punkte U, dessen Coordinaten a und st gegeben sind, eine einzige complexe Zahl, welche die Abscisse a des Punktes als reellen Bestandtheil und die Ordinate st als reellen Factor des imaginären Bestandtheils enthält. Der Punkt U erscheint sonach als der geo¬ metrische Repräsentant der complexen Zahl a -l- sti. Man gelangt zu diesem Punkte der Zahlenebcne, wenn man vom Nullpunkte auf der reellen Achse die Strecke a, und dann senkrecht darauf die Strecke st aufträgt. Ebenso ergibt sich, dass die complexen Zahlen — a-sisti, — a — sti, -s- u — sti bezüglich durch die Punkte N', N", Xl'" dargestcllt werden. Lässt man a und st alle reellen Zahlenwerte von — oc, bis -j- so stetig durchlaufen, so erhält der Punkt Xl, welcher in der Zahlen ebene die Komplexe Zahl a -s-sti darstellt, alle in dieser Ebene möglichen Lagen. H. ZI 4. Eine besonders wichtige Form nehmen die complexen Zahlen an, wenn zu ihrer Darstellung statt der rechtwinkligen die Polareoordinaten angewendet werden. Ist Xl der Punkt der Zahlenebene, welcher die complexe Zahl asi-sti darstellt, und ist OXl — i- der Abstand desselben vom Coordinatenanfangs- punkte und AOX — P der Winkel, welchen OXl mit Ä der positiven Abscissenachse bildet, so ergibt sich aus z a — r oos g> und st — r sin g- v unmittelbar " " a -s-^sti — r (oos P -f- i sin g>). 209 In dieser Darstellung heißt die complexe Zahl r (oos -st i siu y>) die reducierte Form, r der Modul und P das Argument der complexen Zahl a -st st i. Zur Bestimmung von r und y> dienen die Gleichungen I- — j/ a" -j- v" 608 P — — — 8111 w — — — — wo r stets positiv zu nehmen ist und P zwischen den Grenzen 0 und 2n liegend vorausgesetzt wird. Da r die absolute Länge des Radiusvectors ON und den Winkel desselben mit der reellen Achse angibt und daher durch die complexe Zahl s, -st st i — r (<>08 -st i sin y>) der Radiusvector ON der Länge und der Richtung nach bestimmt ist, so wird zur Darstellung der complexen Zahl statt des Punktes N sehr häufig auch der Radiusvector (0N) angenommen, wobei die Klammern andeuten, dass ON nach Länge und Richtung be¬ trachtet wird. 3. Geometrische Deutung der algebraischen Operationen mit complexen Zahlen. Z. 3 IS. Da die formalen Verbindungen complexer Zahlen, wie aus 183 hervorgeht, im allgemeinen wieder aus complexe Zahlen führen, so lässt sich, wenn man gegebene complexe Zahlen durch Punkte oder Strecken darstellt, auch das Resultat ihrer Verbindung wieder durch einen Punkt oder durch eine Strecke darstellen. Jeder Rechnung mit complexen Zahlen ent¬ spricht hiernach die geometrische Aufgabe, aus gegebenen Punkten oder Strecken einer Ebene nach vorgeschriebenen Gesetzen andere Punkte oder Strecken zu construiercn. Um diese Gesetze festzustellen, werden wir den Definitionen der Rech¬ nungsoperationen eine solche allgemeine Fassung geben, dass dieselben auch für complexe Zahlen anwendbar werden, und dass in ihnen zugleich die bezüglichen für das Rechnen mit reellen Zahlen gegebenen Erklärungen als besondere Fälle enthalten sind. Addition und Subtraktion komplexer Zahlen. Z. 316. Wir definieren die Summe zweier Zahlen allgemein als die Zahl, zu welcher man gelangt, wenn man von dem ersten Summand in derselben Weise fortschreitet, wie man von der Null aus zu dem zweiten Summand gelangt. 1. Es sei zu bestimmen die Summe der complexen Zahlen (s. -st sti) -st ist -st äi). Jst OA^a, AN--st, 00--o, ON^ä, so stellt der Punkt N die complexe Zahl n -st sti und der Punkt stl die complexe Zahl o -st äi dar. M o 6 N ik, Arithmetik und Algebra. 14 210 v e 5 « -5 X Von Null aus gelangt man zu dem zweiten Summand H, indem man auf der reellen Achse die Strecke 00 — o und hierauf parallel zur imagi¬ nären Achse die Strecke OK — ä aufträgt. Man wird daher nach der obigen Erklärung der Addition vom ersten Summand N aus zuerst parallel zur reellen Achse die Strecke Nk -- o und hierauf parallel zur imaginären Achse die Strecke k k — ä auftragen. Der Punkt k, zu dem man dadurch gelangt, stellt die gesuchte Summe dar. Da dieser Punkt, wie man sogleich sieht, die complexe Zahl (a § v) -f- (d -f- ä) i repräsentiert, so hat man (a -j- i) -f- (e -j- ck i) — (a -f- o) -f- (k -f- ä) i. Zwei complexe Zahlen werden demnach addiert, indem man ihre reellen Bestandtheilc für sich, und ihre imaginären Be- standtheile für sich addiert. Dieselbe Regel wurde auch in Z. 183, 1. bei der formalen Behandlung der complexen Zahlen der Addition derselben zugrunde gelegt. 2. Einfacher gestaltet sich die graphische Ausführung der Addition, wenn man als Repräsentanten der complexen Zahlen ihre Radienvcctorcn annimmt. Stellt der Radiusvector (ON) die complexe Zahl a -f- di und (OK) die complexe Zahl e -f- äi dar, so muss man, um ihre Addition auszuführen, von dem ersten Summand (ON), d. i. von dessen Endpunkte N aus in der Richtung und um die Länge des zweiten Summands (OK) fortschreiten, wodurch man zu dem Punkte k gelangt; der Radiusvector (OK) stellt dann die gesuchte Summe dar. Da 011 offenbar die Diagonale eines Parallelogramms ist, das von den Seiten ON und OK gebildet wird, so kann man sagen: Die geometrische Summe zweier complcxer Zahlen ist die vom Nullpunkte ausgehende Diagonale des von ihren Radien- vectoren gebildeten Parallelogramms. ß. 317. Die Subtraction zweier complcxer Zahlen ergibt sich unmittelbar aus der Addition. Stellt der Radiusvector (OK) den Minuend und (OK) den Subtrahend dar, so betrachte man OK als Diagonale und OH als eine Seite eines Parallelogramms; die andere vom Nullpunkte ausgehende Seite (ON) dieses Parallelogramms stellt dann die gesuchte Differenz dar. Multiplication und Division komplexer Zahlen. Z. 318. 1. Das Product zweier Zahlen definieren wir allgemein als die Zahl, welche aus dem Multiplicand in derselben Weise entsteht, wie der Multiplicator aus der positiven reellen Einheit entstanden ist. 211 Es sei a st- bi mit c -s- äi zu multiplicieren. Nehmen wir OK als die positive reelle Einheit an; (ON) stelle den Multiplicand und (Obi) den Multiplicator dar. Der Multiplicator (Obi) ist aus der positiven /ix reellen Einheit OK entstanden, indem man in der Richtung -derselben das e fache dieser Einheit und / dann senkrecht darauf das ä fache derselben Einheit / / ! auftrug. Auf dieselbe Weise ist nun das Product aus dem Multiplicand (ON) zu bilden. Man wird , f in der Richtung des Multiplicands (Obi.) das // ! o fache dieses Multiplicands und dann senkrecht ! darauf das ä fache des Multiplicands auftragen, o S Ft' st" X wodurch man zu dem Punkte k gelangt; der Radius- vector (OK) stellt dann das gesuchte Product dar. Zur Bestimmung der Coordinaten des Punktes k erhält man aus der Ähnlichkeit der Dreiecke OKD und O N.b 0D:a^o:1 und KD:b^o:1; daher OD — ae und kN — bo. Ebenso folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke KKO und Oül^ ktz:b-ä:1 und ktz : u — ä: I; daher kH —bä und KO —aä. Es ist also 0 8 -- OD — ktz -- ao — bä, und K8 — KO st- KD — aä -s- bo, folglich (OK) der Repräsentant der complexen Zahl (ao — bä) st- (aä st- bo)i, und somit (a -b bi) (e äi) — (a o — bä) st- (uä st- bo) i. Hiedurch ist auch die Richtigkeit der in Z. 183, 3. für die Multiplikation complexer Zahlen gegebenen Vorschrift nachgewiesen. 2. Ganz einfach stellt sich die Multiplication zweier complexer Zahlen, wenn dieselben in der reducierten Form gegeben sind. Es sei das Product r, (oos st- i siu yo,). i-z (oos st- i siu Pz) M bestimmen. Man nehme OK — st- 1 an, (ON) stelle den Multiplicand und (Obi) den Multiplicator dar. Der Multiplicator (Obi) ist aus der positiven Einheit OK entstanden, indem man diese in der Zahlenebene um 0 um den Winkel Pz drehte und in dieser Richtung die i-zfache Länge der Einheit auftrug. Man wird daher ebenso auch den Multiplicand (ON) um den Winkel y/z drehen und in der neuen Richtung die r?fache Länge dieses Multiplicands auftragen, wodurch man (OK) als das gesuchte Product erhält. 14* 212 Da nach der Construction zu (0U) der Modul r, iz und das Argument -j- gehört, so hat man Ni (Los -st i sin P,).rz (eos -st i sin y>z) — i-, rz. ieos (y>, -st Pz) -st i «in (y>, -st ^2)!- Das Product zweier complexer Zahlen ist eine cvmplexe Zahl, deren Modul gleich ist dem Producte der Moduln und deren Argu¬ ment gleich ist der Summe der Argumente der Factoren. Aus der voranstehenden Entwicklung folgt, dass die Dreiecke ONR und OLZi ähnlich sind. Zu demselben Resultate, das wir oben auf graphischem Wege abgeleitet haben, gelangt man auch, wenn man die beiden complexen Zahlen nach der für reelle Zahlen geltenden Vorschrift multipliciert und dann ? durch — 1 ersetzt. Man erhält nämlich r, (eos P, -st i sin P,).rz (eos -st i sin y>z) / eos y-, nos y>2 -st i? sin sin y>z ' 2 t-st i (sin LOS Pz-st oos P, sin y>2) — r, rz . loos (y>, -st Pz) -st i «in (V> -st Ps))- K. Zl9. Der Quotient zweier complexer Zahlen r, (eos -st i sin y,,) : 1-2 (eos yo, -st i sin y>z) ergibt sich durch Umkehrung der in ß. 318, 2. gelösten Multiplications- aufgabe. Stellt in der bezüglichen Figur das Product (OU) den Dividend r, (oos P, -st i sin-jp^) und der eine Factor (ON) den Divisor rz (LOS y>2 -st i sin yiz) dar, so gelangt man zu dem Quotienten (0^) als dem andern Factor, indem man ein dem Dreiecke ONK ähnliches Dreieck OLZl so construiert, dass die mit 0N homologe Seite OL der Einheit gleich ist. Dann ergibt sich OL : r, — 1 : rz, daher 01§ — Der Modul des gesuchten Quotienten (ON) ist also das Argument desselben ist LOH — UOK — — yiz- Man hat demnach ^LOS (P, — cpz) -st i sin (y>, — Pz)!. Potensteren und Nadicieren einer complexen Zahl. Z. 3LV. 1. Wir beschränken uns hier auf den Fall, wo der Exponent eine ganze positive Zahl ist, und bilden zunächst ein Product mehrerer com¬ plexer Zahlen. Da das für das Multiplicieren complexer Zahlen der reducierten 213 Form in Z. 318, 2. nachgewiesene Gesetz auch dann, wenn mehr als zwei Factoren vorhanden sind, seine Giltigkeit behält, so hat man r (eos yo -u ; sin (sto8 -st i sin . r" (oos -st i siu " -st . Setzt man nun I- — — r" — ..P — yst — y>" ... und die Anzahl der Factoren — u, so geht die Gleichung in die folgende über: !r (vos st- i sin — r° (eo8 u y, st- i 8in n y>).. .1). Diese Gleichung ist unter dem Namen der Moivre'schen Binomial- formel bekannt; sie enthält den Satz: Die ute Potenz einer complexen Zahl ist wieder eine kom¬ plexe Zahl, deren Modul gleich ist der uten Potenz des Moduls der Basis und deren Argument gleich ist dem ufachen Argumente der Basis. 2. Setzt man in der Gleichung 1) r" — r, und UP — P>, daher r — P^r, und y> — so ergibt sich ^s/r, («08 st- z sin — ri (eo8 P, -st i 8in yst), somit ^r, (ov8 -st i sin y),)^ — s/r, ^ev8 -st i 8in Wird hier y>, durch P, -st 2stn ersetzt, wo st irgend eine ganze Zahl, die 0 mit eingeschlossen, bedeutet, so nimmt die Gleichung, da sin (, -st 2st^-f — oo8 y-i ist, folgende Gestalt an: j/" ^r, (eo8P, -st i sin yo,)^ — ^oo8 — -st i 8in ,2), wodurch die nie Wurzel aus einer complexen Zahl dargestellt wird. Substituiert man für st nach und nach die Zahlen 0, 1, 2, 3,.. .n — 1 so erhält man aus der Gleichung 2), da die Winkel . nicht um 27r, sondern um differieren und daher nie gleichzeitig gleiche Sinus und gleiche Cosinus haben können, n verschiedene Werte. Außer diesen aber kann die obige nte Wurzel keine anderen Werte annehmen. Denn jede für lc gesetzte Zahl, die in der Reihe 0, 1, 2,.. n — 1 nicht enthalten ist, lässt sich durch st — «u -st ff ausdrücken, wo « irgend eine von 0 verschiedene ganze Zahl, ff aber irgend eine Zahl der obigen Reihe bedeutet. Durch diese Sub¬ stitution geht - ^bxr -st 2«rr, welcher Winkel jedoch gleichen 214 Sinus und gleichen Cosinus hat mit dem Winkel der schon einmal durch die Substitution 'u — hervorgebracht wurde. Die ntc Wurzel aus einer complcxen Zahl hat demnach u verschiedene Werte. Folgerungen, a) Setzt man in der Gleichung 2) r, — 1 und P, — 0, so erhält mau . . 2tcir j/ -1.. 1 — oos - 4 I SIU-, woraus hervorgeht, dass 1 u verschiedene Werte hat. Damit einer der¬ selben reell werde, muss siu —— 0 sein, was aber, da ir nicht größer als u — 1 wird, nur für k — 0 oder ll. — stattsinden kann. Der zweite Wert ist für ein ungerades u nicht möglich, f/ 1 hat also, wenn u gerade ist, zwei reelle Werte 4- 1 und — 1, und wenn u ungerade ist, nur einen reellen Wert -s- 1; die übrigen Werte sind imaginär. b) Setzt man in der Gleichung 2) r, — 1 und n, so ergibt sich l/ — 1 — 008 -—— -st I SIU -, welcher Ausdruck u verschiedene Werte liefert. Damit einer derselben reell werde, muss siu — 0 sein, was nur für möglich ist. Von den u Werten ist daher für ein ungerades u ein einziger, nämlich — 1, reell; für ein gerades u find alle Werte imaginär. o) Da s. — s/ a . 1 ist, so folgt mit Rücksicht auf die Vieldeutigkeit von 1, dass der uten Wurzel einer jeden positiven oder negativen Zahl u verschiedene Werte zukommen, welche erhalten werden, indem man die absolute Wurzel mit allen Werten von 1 multipliciert. A u s g a b e n - S a m m l u n g. I. Addition «nd Snvtraction. 1. Addition mit absoluten ganzen Zahlen. 3 m -s- 4m -s- 6 M. 27. 8a 4^ 7 b "n 6o -s- 5 ä 2. 7 m -s- 5 m. 4. l5x -s- 21 x. t>. (4a -s— 7) 4" 2a/^^->^^ 8. /7x 4- 6/) 4- 7 Iv. 15 a 4^ 3i) -s- 9b///^>x-^ II. (2a > 3d 4- 4e) 4- 3 a. ^>/^-12. 's(7p 4- 5-1,^^ 15.'/ 8 4- (6 4- a). IV. 10^ 4- (12x 4- 5^). 17. 7m 4" s3m 4" (2m -4 8n)s./5^,/j8. 3a 4^ s7b -4 (5a, 4- 6)s/4->^ ^--^7 IS. 5p -s- s(7p 4- 8q) 4- 6qs.^/^2V. s15x 4- !5x 4-(7^4-x)!s 4-2^.^^ 21. (2 -d 3) 4- (x 4- 1). 22. (3a 4- 4m) 4- (3o, 4" 2m). 23. s(3a -s- 4b) -s- 2o! 4- l6a 4- (4b -s- 5o)!/^4'- 19x. 5. (x 4- 2) 4- 6. 7. 9. 9s, 4- 6d 4- 7o 4- 's- 3u -s- 5p -s- 6<^ 7L-d5i>4^8o4-6<1 5m 4-6n2p 4- 29. (sa 4- 6b) 4-^16^ Hb) 4- (I3a 4- 20b) (5g. 4^ 6b)/>^^^K- 39. (6x -b 7/^ -j-5 2) -4 (5x4^6^ -j" 7s) (2x 4-)^ 4- 3s) 29. g -b 2b -4 3o 2«. -4 3b -4 0 3s, 4^ b 4- 2o 28. 3m 4- 2n -s- 6p -s- 5h 2. Subtraktion mit absoluten ganzen Zahlen. Verbindung der Subtrartion mit sich selbst und mit der Addition. (88. 17-25.) 1.4 g, — 2 a. 2.4a — 4a. 3. (x 4- 7) — 2. 1- 4. (6p -> 5) — 3p. 216 24. 33. 7d — 3o 2d — 3e 8. 3 m -s- 9m -s- m — 5 m. Iv. (7m — 3a) -1- 2a./7^ 12. f(5 2 — 7) 4- 3 4" 4. /L- s 14. (16^ — 8x) — 8^. 1«. 5a4-7d — 2d — 4a. 14 - Kc> 5. (9ra 2ii) — 6 m. 7. f(3x -4 5) -4 2x) — 4x.^^r^ 4. (a — 2) -d 5 a. 4^ - ^4 ^II^(8x —4^) -j- 7x. IZ. (3a — 4) — 6. IS. f(5x - 2) — 2xf — 3./^ 17. 12 - (4 4- m). — 14. (6x -d 4/) - 21. 6 -4 (a — 4). 2Z. 7 a -j- (3a — 2d). 25. 5v — (82 — 3v). 27. (2 x - 4) — (x - 24. fx — (ra -s- n)f -d fx !^ZV. (5x — 2^) — (x — 2^). t^Zl. (9m — 4a) — (4m — 3n). 32. 5a — 3d 2a — d (3x 4- 2^)/^>^4LV. 5 m — f(2m 4-'3 a) 4- 2m^. ^-L - 22. x 4- (8x — 4a). 15m 4- f(4m — 3) 4- 2). 26. (m 4- rr) — fm — (a — a)f. 28. i a 4^ (8 a — 2) 4^ (9 A — 4). (m 4" p)f 4^ fx — (a 4- 34.17x— 15^ 35. 20ia—27a-4 l2p 8x — 9^ 15m— n-4 12 p 36. (17x-4 I5g — 131- — 118) — (5x — 6g — 7r 4- 37. (5a -4 2d — 3«) — (2 a — 3d 4- 5e) — (a — 2d — 4o),^^^^^ 38. (3x — 5zs — 7^) -4 (?x 4- 4^ — 3^) — (6x — 3^-4 lOsi).Lx^ /^L- 34. 7a — (3e — 6d) — (6a — 3o) — 3d 4- (3a — 80). ' 4». (8m — 5z4 4- f(2^ — 7m) — (^ -1- x))>. 41. (x -4 Zr) — fx — (s, — (^ — w)4. 42. 2x — f(3a 4" 4x) — (4x — 1)f — (x — 2 s, — 2). > 43. (8m — 5x) — (2m — 3n — 4x) -4 f(3x — 2n) — (4in -4 3n)^->-^,-x^^ Berechne die Werte folgender Ausdrücke für a — 4, d — 3: 44. (8a 4- 7K) — (5a — 4d) — (2a — d); oe, -^1. - 45. 8n "4 (7d — 53.) — ((4a — 2a) — ' 4 1 46. 8a 4- (7d — 5a) — !4d — (2a — d)1) , 4^14' 47. (8a4-7d)— (5a —(4b —2a)—d!.a.4^l-.°^7fL^ Bestimme für X — 4x — (3^ -4 2«), V — 2x -4 (4)f —3i?) und 2 — x — (2^ — 4 2).-die Ausdrücke: 48. X 4- (^ — 2);-^.^ 49. X — (^ -4 X — (X — Bestimme folgende Ausdrücke: 51. ^4-w — (6 4-v)!; 52. (L^ (0 — v)(; 53. (L — (6 — v)>; 54. —(8 —(0 —v)i; wenn ^. — 6a — (2d -4 3«), L — 3a -4 (3d — 4e), ^6—2a^—( k 4- e), O — a — (4d — 2o) ist. 217 3. Addition und Subtraktion mit algebraischen ganzen Zahlen. (ZZ. 30-33.) I. (-4 7a) -4 (-4 3 s,). 3. (4- 5n) -4 (.— 5n). S. (-4 2x) - (-s- x). 7. (-4 6 m) — (— 3 m). S. (- 4x) -4 (- 2x) - (- - I«. 8a-4 35 —4o — 3a — 55 -s- 7e a s-45 — 5o 2. (— 6m) -4 (-s- 3m). 4. (—8x)-4 (—2x). 6. (—6a) — (Z-4a). ->r,s^ 8. (—4s) — (—8s). ) > (4" 9x). II. 25x-4 31^— 172 x — 29^ — 192 -2 2x4- 8^4-37 ^ 12. Berechne x — (x — 2) -s- (x — 4) — (x — 6) für x — 4. (x — s) — (x — 4- s) 4- (— X -4- 4- si) — (— X — zr 4- r:). 14. s(a — 5) — 5) — (5 —- a). 15. 5m — s3m — (— n -s- m)s. 16. x -f- s(x — 5) — (7 — x)f. 1'7. x — s(x -4 si) — (— x -4- 2)s. 1^. 2a -4 35 — !2a — s— 2a -s- 35 — !(2a 4- 35) — (2a — 35W. 15. fs(a — 5) -4 (5 — v)1 — io — (ä — s)!) — s— e -s- (ä 4- (— 6 — «)jf. 2«. fbx -4 7^ — j— 6x -4 7^ — ,s(6x 4- 7^) — (6x — 7)') — 6xfts — s6x — 1(6x — 7^) — (6x 4- 7^))4 - II. Multiplikation und Division. 1. Multiplikation mit absoluten ganzen Zahlen Verbindung der Multiplikation mit sich selbst. (88- 38 und 39.) I. a».a5 °! 2. 4. x^.2. 5. 7. a.5x. 3. 16. 2a.45. II. 15. 7a2x.ax^.u^« 14. 16. a.2a.3a. 17. IS. s?5.5s?5-.8a5».^ö m^.m^.m. 3a.5. ) m.6^2. 8x^.7x. 42^.552^. X^.X^.XA-. 26. x«.3x^ 3. x". x°5 xv. 2<>. > 6. 5mn.2. >0^, S. ab.4a^. 0^ 12.2^.47-. e 15. 6m^n^.5m^m. r m, 18. s?. 2 2^.3 2. io v.3x^.^s. Verbindung der Multiplication mit der Addition und Subtraktion. (Z8. 40-45.) 21. (x-4 n).5. 22. (a-4 1)»0. 23. (x-4 5).4 — 2x.rot>ro 24. (3m 4" 2n).5p.1>^4^. (g,-5 -4 a5").a57^°^2k. (6m 4" 5m").2m. 27. am -4 5m.(^l^ 28. 5x-' -4 9x4(^ 2S. 3^ -4 5^». 36. 4a -4 45. (k«-t)u 31. ax- -4 32. (a-4m)x-s (a—m)x. 33. m(5^ — x?) -4 n(5^ — x^)^4.-^<4^4. 6m -4 6n -4 6p. (, 218 35. (a—4) 2. >-3 k. (m — 1).m."4"-v. 37. 8x-4 (7— x).3. 38. (4a — 34).5o^^^39. (2x- — x).3x.t>--)? 49. (ax- — 4z?-).mxz-. 41. am — 4m. 42. a.10"> — 4.10^-r)>°^43. 15az?-— 9az?-. ^^,4- 44. 3x — 3 z?. 45. 7x — 7 z- -4 7^'^^46. ax -4 az? — a. 4-^-1)^. 47. 3a- — a- 4- 54- — 34-.^^4 48. 5x — 5z- 4- 6a — 64. 49. a (3x 2) — Zlz (3x -4 2) -4 2a (3x -I- . Addiere 59. 8mx 4-5uz? 51. 6a^— 9 a--4 12 a- 3mx— 7nz? 4a-— 6a-4- 8a mx — 3uz? —3 a ^-4 4 Subtrahiere l>». - ^5 0) 52. amx 4-4nz?— 092 . . 53. 15x-— 26x- 4- 33x—10 3mx — 2n^ -4 P2^^ ' '^^15x- — 20x- 4^ 25x 54. (x- 4- 3x-z? 4- 3xz?- 4- z?-) — (xb — 3x-z? 4- 3xz?- — z?-). 55. 7xz? — f7z?2 — (3xri — 2xz?) -4 3xz?f — (6z?2 — 2x^). (?r,-»-z)^ 56. 4.(x 4" 57. 5.(u-4 1)-^*^ 58. m.(x'4 5). 59. 6.(m 4^ u) — 5iJ1^69. 3x.(a- -4 4-).rl4»4->4x6I. 12a-.(3x- -4 2z?-).)l».4>'-i!i 62. s,.(k — 1).»4-o^ 63. 4.(x — z?).k--x-1-^ 64. 8.(3 — m). 65. 5.(2 — 2) -4 7.;r.-^ 66. 5m.(ax^ — 4^4^67. 2a-4-.(a-4 — a4-).).^^-u 68^ js?.(3a — 24) — 4-»(2a — 34) 4^ 2a4.(a -4 4)f.4a-4-. 69. Berechne folgende Ausdrücke für m — 20, x — 4, z? 3, 2 — 2: u) m — (x.z? 4- 2); - l, 0) (m — x) 4- 24- n- 4) m — X (z?-4 2); ä) (m— x.z?)-4 79. (x -4 u) (x 4" 4). 71. (x 4- u.) (x — 4). 72. (x — a) (x -4 4).§-°^x»L-x 73. (x — a) (x — 4). 74. (a -4 1) (4 4- 1).«§-»4^^ 75. (m -4 1) (m -f- 2). 7k- (^ 3) (z? - 5).^^,-^-^ 77. (2 - 4) (2 - 6). 78. (5x 4- -3a) (5x -4 4a).'.e>^^°.xtaL79. (a^ -4 4"°) (a° — 4"). 89. (3x- 4" 2z--) (4x- 4- 5z?-)?"^«°^.I. (ux^ — 4z?°) (4x" 4- a^")- 82. (2s.2 4- 342) (5a- — 44-) — (10g4 — 124^). 83. (x 4- 8^- (a 4- 1?.Ä4L^/ 85. (p -4 2)-. 86. (x — ^)4 -<--7^ 87. (a — 1)-. 88. (p — 2)-. 89. (10m 4- n)-.M-^9<4 (2x 4- ^)4 ^"^-^/»1. (x — 2^)-.^/^-^ 92. (3m — 2u)-. 93. (3a- — 44-)-. 94. (5x- — 3^)2.Eyi.^^> 95. (x -4 3)- — 6x. 97. (x 4- a)- 4- (x — a)-. 99. (ax- -4 4z?-)- — 2a4x-z?-. 191. (x 4- 7) (x — z?). ^-7-" 163. (x 4- a) (x — a) -4 a-. oA - 96. (^ - 4)- 4- 8z?. 98. (x 4" a)- — (x — a)-. 199. (a-x — 4-z?)- -4 (a-x -4 192. (a 4- 5) (a — 5). 194. — (z? 4- 2) (z? — 2). 219 105. 107. 10». 110. 111. Il2. (5a — 2b -s- 1).7.F^--/-^^ 113. (2x-j-5^ — 82).4x72. 114. (m -4 2m- — 3m-).5m. IIS. (a- 5a — 9).6a-. N«. (8x7--4 5x-^ 117. (3^ 4- 22- 118. Ns. 120. 122. 124. (15a 4- 9b) (15a — 9b). IOK. (a-^ -4- d°) — b°). (3a- — 2b-) (3a- 4- 2b-). 108. (5x- 4- 3x-^) (5x- - 3 x-7). (mx- -4 n^b) (mx- — 117-) -4 2117- (mx- -4 117b). (3a- 4- 5b-) (3a- — 5b-) — (3a- -4 7b-) (2a- — 4b-). (5x -4 0,) (2x — a) — (4x — 3a) (7x 4- k) 4" (3x — (6x 4" 2a). - — 3x-7). 12x-7-. — 52-4-42).6^-. (4m- — 3m-n -4 2mn- — n-).3m-Q-. (3x- 4- 5x -4- 7).5x — (4x- — 6x — 8).3x. mnx.(10m — 7 n 4- 4x). 121. 3ax.(a- 4^ ^x -4 x-)..?a4»-°4 5a-.(3x- — 8x7 -4 27-). 123. x-.(x- — x- -4 x — 1). 4a-b4(5a-b- — 7a-b- — 5a^b — 7x-v.(2x-^ — 2x7- — 3x2- -j 87-2) 4- x-7-.(14x7 — 2I72). L'' 12«. (a 4-2b-4 3e) (3m-4 2n). 127. (2a a — v). 128. (8^'^4fl5^7). 12». (7'x 4^ 5). 130. (x- 4- x^ 4- 7") (x — 7)4-/7 '3'- (x-,-^ X7 x-^(x 4- 132. (2- — 22 4- 1) (62 4- 3)./-?-^sI33. (67^-4 67 7) (4v — 5^. 134. (2a-b — 3ab- — 4b-) (a — 2b). 135. (16x4 -4 8X-7- -4 7^) (4x- — 7^).^-x4^^^ 13«. (4a^ — 12a-b- -4 9b«) (2a- — 137. (2x4 -4 3x- 4- 4x- 4- 3x 4- 2) (x — 1).^^^x 138. (a- 4- 2ab 4- b-) (a -4 b) 4- (a- — 2ab 4- 5-) (a — b).^<^^-^^ 13». (5x- -4 4x -- 3) (4x -48) — (4x- — 3x — 6) (5x -4 4). >"714/2 x 140. (a^ — a- 4- a- — a 4- 1) (a 4- 1). « i- 141. (a^ -4 a» 4- g,4 4- g, -4 1) (g, - I). 4^'- /4 142. (a- — a- 4- a — 1) (a -4 N- (^- 143. (a- 4- 4- 4- a- 4- a 4- N (s- — 1).4^ 144. (x- — x-7 -4 ^7- — x-7- 4- x-)4 — X7- 4- 7O) (x 4- 7).^ > 145. (x4 -4 x-7 -4 x-7- 4- X7- 4- 7^) (x — 7)- 146. (x- — x^7 4- x-7- — x-7- 4- X7- — 7-) (x 4- 7).^ 147. (x- -4 x-7 X7- 4- 7^ (x - 7)-^ Welche Gesetzmäßigkeit lässt sich in den Multiplicationen 140. bis 147. erkennen? 148. (x-E — x^" -4 x--° — x-°> 4- x'° — 1) (x°> 4- 1)/^ 4/ 14». (x" 4'lf (x (x 4- 3). ISO. (x -j- 3) (x — 2) (x 4- 4). 151. (x 4- a) (x 4- b) (x 4- 0). 152. (x — a) (x — b) (x — v) (x —- ä). -e 220 153. (a -i- d -s- e)-. 155. (7- - 47 4- 4)-. 157. (a 4- d)-. I««. (ax^ — d 72)». 154. (3x — 27 2)2. 156. (ax2 -s- 672 -4 e)2. 158. (a — b)°. 15». (2x 4- 87)-°. 161. (8»2 4. 7K-)». 162. (3x-° — 6x")». 163. (3a» — 4s?1) 4. 63^2 __ 26») (4^ — 3ad 4- 1?). r 164 (5x^ — 2x^ — 3x2 — 2x 4- 7) (6x2 4- 4x — E--I65. (4x2 — 3x2 -4 2x — 1) (7x» — 5x- 4- 3x - ,166. (a2 4- Zg?,) 4- 2^6- 4- d») (a» __ 2^^ 4. 23^2 __ ^). ^467. (2^1) - 3a62 — 414 4. 5) (23-6 — 3a1? 4- 4d» — 5). 168. (ax2 -j- 6x2 4^ ox 4- 6) (mx2 -4 2x2 4. -4 <1). 16». (x^ — 2x2^7^ 4- 2x2-° 72° — 4x-°7»° 4- 47^») (x2-° 4- 2x°>7° 4-272°). 17». (m^ -4 4m» 4- 6ir? 4- 4m 4- 1) (i3^ — 8132 4- 3m — 1). 171. (L 4- 6 4- v) (a — 6 4- v) (s- -4 6 — 0). 172. (3,2 — 2a1> 4- 31)2) (Z^L 4. al) — 2^) (2a» — 34s). 173. (32 — 43 —.g) (^2 — 4g, 4. g) (^s 4. 4g, — g). ,1^4? (4x2 — 3x 4- 2) (3x2 -4 2x — 1) (x2 — 2x — 3). 175. (3? -4 2a1) — 2ao 4-62 — 26o 4- e^) (3? 4- 2a6 4- 2ae -4 62 -4 26o 4- e^)- >, 176. (x2 4- (a 4- 6) x 4- (^-^ -!- 62)s sx2 — (a — 6) x -4 (^ — 62)s. 2. Division mit absoluten ganzen Zahlen. ! Verbindung der Division mit sich selbst und mit der Multiplikation. N (88.49—54.) I. x^ : x2.-k^ 4 ,2. 3^ : 3. 3. 3'"^° : 3". 4. 153 : 5. 5. mx : x. 6. 436.px : 6./^4^ 7. 2a (in — 1) : 3.^-L 8. 5036 : 23.//^ S. 836x7 : 3x. l». 12xb: 3x^. Il.832o:43^^ 12.7327^:37^.^^ 13. 93?1»2x : 3 S,1)X. 14. (x4-7) (x—7): (x— 7) (7 — 2). 15. 283,213274 : 73,41372. 16. 203-°6°xe : 53-°-4 4n-s^x-z 32. (16x272 : 5x) : 87. 33. (2in?x? : 372) : 8327. 221 'n 34. mn.-. 4«. x: — . 43. axv: — . L 35. 15x.^. 3 x 38. 2s?x. -z^-?. 4s^d^ 4l. v: — . .... 44. o 3K. 3x-v.-^-. 3xx 3». 42.^:-^. 45. 6a-M'x:^. 46. 2in (M ->- 1) : .. IN-I 48. 15n?i? : (6n^ : 2nx?). 47. d- ^(5- -t- o-): 49. 4s?K5M: (2n1>b : w). 50. Ld sn M. v INV VP 51. M"M. - .—. N Iv 6aiv 3 L Ziv^x 4ivx A v« - » ^1* v 4. ö * « 25dn 5b Sub^ 55. l(a 4- d) X^ : (a — d) ^2) : : (g, — k) Verbindung der Diviston mit der Addition und Subtraktion. (88. 55-59.) »?. )nx -j- dx) : X. 59. (a^5 -j- nt?) : n,5. ei 3^' 58. (8x 8): 8. 60. (12u?x2 9ax^) : 3ax^. 7 iv , 3 iv .»«» 3 L , 5 a 62. -^- -4- -^. 63.-1- —. v ' 5 v ' v 71. — lv tz^t -N a — b . v ' v * 66. (aM — dm) : M. 68. —10nx^) : 5ax. 7«. ° 4 4 1». 2 X-^-3 , 3x-§-2 Hl > xH ' 67. (inx — nx): x. 69. (8x^3 — 4x^^2^): 4x^^. 5 s ^,^9x 5x m' '4s, 4s.' 7Z ' i' _ » — b ' IL IL ' 7 z — 4x-s-S^ Sx-j-5? X - x X - X X - 7« t2x 3x— 7x , 2X — 3/ x-t-7 x-t-7- l x-)-/ 8l -- 3 4^ — S 2^ -^- 1 2/ -j- 1 77. (45nM — 255rn -j- 35oM) : 5rn. 78. (2u? — -)- 30ad^) : 2a. 79. (5M^x — 4M^x^ —3in^x^) : n^x. 80. (10x^^^2 — 25x^^^2^ — 15x?^2S 5x^^2^) : 5x^2. 81. (6s,M — 125M 5an — lOdn) : (6in 5n). 82. (n^ ->- 2ut> -)- 5^) : (n 5). 83. (x^ — 2x^ : (x — 222 81. (4x- — 9^-) : (2x -j- 3).). 86. (x-" — ^-°) : (x" — ^°). 88. (A« 4- 6«) : (a 4- 6).' S«. (a° — 6«) : (a 4- 6). SL. (a- -> d») : (a 4- 6). 8». (16 a- — 6-) : (4a — d). 87. (81 w« — 16n«) : (9m^ 4- 4n-). 8S. (a« 4- 6«) : (a — 6). SI. (L« — 1)«) : (a — 6). S3. (a- — 6«) : (s, — K). Welche Gesetze herrschen in den Quotienten 88. bis 93.? Wann lässt sich die Summe oder Differenz gleich hoher Potenzen zweier Zahlen durch die Summe oder Differenz dieser Zahlen ohne Rest theilen? 95. (x-°> -7 1) : (x -s- 1). S7. (x-'° — 1) : (x — 1). L», (x-^^ -s- 1) : (x 4- 1). W) (x^i-i — I) : (x — I). . 163. (8lx- — 16^-) : (3x- — 2^-).- S4. (x-"> — z^-^): (x -4 S6. (x-'° — ^2-4 : (x — ^). 5'^98/ (x^^ -4 : (x -4 4M. (x^^^ — ^-"^) . (^ — ^). I«r. (^-n 4- 1) : 0" 4- 1). 194. (14x- —31x4- 15):(2x —3). (l-5. (1 — 2x -4 x- — 6x« -s- 8x«) : (1 — 2x). IS6. (6x4 — 11x- — 9x- -4 19x — 5) : (3x — 1). 197. (3a-x- — a6x^ — 26-^-) : (ax — 6^). 198. (20— 18^6 4- 4 a-6-) : (4a? — 2a6). l«S. (4a» — 16a- 4- 4- 20) : (2a — 5). II«. (x-" -4 x-°>^° — x^^-° ; (x-«° — ^-°). (x.0 _ -^n-41 ^2m4-2 ^2n4 2 ! (x^ IIL. (ill4 — 2m-n- -4 lt4) : (lll- -4 2mir -4 N-). 113. (6a4— 5a» 4 4a- -4 H a — 4) : (2a- — 3a 4- 4). 11^.412x4 — x-^ — 32x-z^- -4 x^- 4- 20^4) : (4x2 -4 x^ — 5)'-). 115. (2 — 7x -4 16x- — 25x- 4- 24x4 — 16x«) : (2 — 3x -4 4x-). 116. (15a4 4- 8a-6 — 41a-6- -4 10a6- 4- 864) : (5a- -4 6a6 — 86-). 117. (63 4 10a-^« — 155a4^4 4. 10a«^- -4 63a«) : (9^4 — 5a-^- — 7a4). 118. (49a« 4- 6a4 — 51a- — 25) : (7 a- — 6a- 4- 3a — 5). IIS. (4x« -4 15x^- -4 lOx-^ — 9^°) : (2x- 4- x-^ -4 4x^- 4- 3^-). I2S. (4 4- 5a — 16a- — 4a- -4 4a4 — 5a« -4 4a«) : (4 — 3a 4- 2a- — a-). - 121. (32 -4 104x -4 100x- 4 26x- — 13x4 4- x«) : (8 -4 12 x -4 6 x- — x-). 122. (27 a« — 33a«6 — 45^6- 4- 71 a-6-— 36a6° -s- 166«) : (9a- — 2a-6 — 5a 6- 4- 46-). 123. ssx- -4 (a -4 5 — e) x- -4 (a6 — ao — 60) x — a6<4 : (x 4- a)) : (x — 0). 124. ((120 - 326x -4 329x- — 146x- 4- 24x4) : (4 — 3x)s :(6 —7x4-2x-). 125. (2 — 7 x 4- 16 x- —17 x- 4-12x4): ((2 - 7 x 4-12 x- — 9x-): (2—3x)). 223 3. Multiplikation und Division mit algebraischen ganzen Zahlen. Multiplikation algebraischer Zahlen. (Z. 61.) l. 7a.(— 4). 4. (—3x).(öx^). 7. (— 6a^).3a-x. 9. a6-7-. (— g?))). II. 7.(-3).(-5). «Z. (— M7). 15. (— 2-)». 18. (— 2 a-). 3 a 6-. 5 a- 6 x. 2«. a°>6^). 8. 19. 12. 14. 1«. (4- 3 8,2)4 19. 4x2^2.(—x7-2-).(—2x-s). 21. 36x-°.(—46-x-°"-).26x-. 2. (— 4x2).23. (— a-).(— 3 a). 5. 7a6.(—6o). 6. (—80,7-).2a-7- 5a-2^.(— 36^2). (— 12ir?x/2).(— 4x2)-)» (— a).(— 6).(— o). (— 5x).(— 5x).(— x). 17. (— 4x7)2. 22. 3ax.(—4a7).s—26x).a6.(—56x). 23. a-x7.(— iux-).n7-.(— 62-).(— 6iux).(— 6117). 24. 2ax.(— 667) — (— 81>x).(— 8.7) -4 (— 3a6).(— 7X7). 25. 8.(- 3) - (- 5).(- 6) - 9.(- 2) 4- (- 7).(- 5). 26. Berechne den Ausdruck x- — 6x — 16 für x — 4-8 und für x — — 2. 27. Welche Form nimmt der Ausdruck ^"rn sich 1) x in — x, 2) x in — x und 7 in — 7, 3) x in — x, 7 in — 7 und 2 in — 2 ver¬ wandelt? 28. (5x — 47).(— 3a). 29. (3a — 56 -4 7).(— 2na). 39. (—3x2-4 3x— 1).(-5x2). 31. (5-4 4a — 3 a-).(- 6a-7). 32. 8x 4-(2x —37).—4. 33. (7a--45-).(—26-)-4 14a-64 i 34 . (6 x- — 5 2-). (— 2x7-2) -4 8x7-. s— s3 2- — 4 x- 2)). 35. (5 — 7x4- 6x-).(— 3x-) -4 (9x- 4- 4x- — x).2x. 36. (a^ — 4a-6 4- 6a-6- — 4a6- 4- 64-(— 2a6). 37. (a-4 6).(—2a 4- 36). 38. (—ax 4-67)-. 39. (a -4 6 — 0) (— a 4- 6 -4 0). / 49. (— x- 4- 2x7 — -4 2x7 -si 7^)- 41. (— 3x -4 57 — 72) (— 7x — 57 -4 32). 42. (a 4- 6 — 0) (a -4 6) -4 (u — 6 -4 o) (u 4- e) -4 (— ^ -41» -4 o) (6 -4 0). 43. (a 4- 6 4- e) (a -4 6 — 0) (a — 6 -4 «) (— a -4 6 -4 o)> Division algebraischerUahlen. (Z. 62.) 44. (—4x):4. 45. 8a6 : (—2a). 46. (— 66x-) : (— 6x). 47. 18a' : (— 6a»). 48. (—12m4:(—4m-). 49. (— 14a^6-) : 2a-6. 59. (— 15x-7-) : 3x7^. 51. 9a6-e-x: (— 3a6-v). 52. (,^- 288a-"4----s) : 9a?°-^6 53. (— 25a">^°6>) : (— 5a°6r-o). . 54/ 32 ^—2-1^-Sr^Sm—II—x . Z ^m-n— 224 .. . X —14 X —10 5(x —2> ... o 55. Berechne 7H " lur x 8. 56. (24g?s/ — 15a^6^) : (— 3a?14). 57. (18s.ra^^ — 27km^ 4- 36o^) : (— 3^). 58. (1 — x^) : (1 — x-°). 59. (1 — a^) : (1 — a). ««. (6x° — 23x3 -(- 24x — 10) : (— 2x 4- 5). «I. (30x^ 4- 2x» — 16x- 4- 10x — 2) : (— 5x^ 4- 3x — 1). H. (27 — 51x — 125x3 — 2x» 4- 30x^) : (— 3 4- 8x 4- 6x3). K3. (1 — 15x 4- 72x3 — 54x3 — 405x^ — 243x3) : (— 1 -4 6x 4- 9x3). 4. Zahlensysteme. (§8. 64-69.) 1. Verwandle in dekadische Zahlen die folgenden Zahlen aus Zahlen¬ systemen mit der neben ihnen angezeigten Grundzahl: a) 211021220 (3); 6) 103223013 (4); 0) 852076 (9); ä) 58329 (12). 2. Verwandle die dekadische Zahl 2897 in eine Zahl a) des Systems (2), 1>) des Systems (5), o) des Systems (6), ä) des Systems (8). 3. Verwandle a) 520613 (7) in eine Zahl des Systems (4); b) 12112012(3). (8); 0) 110100101 (2). „ „ (5). Führe folgende Rechnungsoperationen aus: 4. 240978 4- 97477 -s- 504336 -6 378264 4- 615089 (10). 5. 321402 4- 114324 4- 403122 4- 213440 4- 302113 (5). Mache hier, wie auch in den weiter folgenden Aufgaben, welche nichtdekadische Zahlen enthalten, die Probe, indem du die gegebenen Zahlen in das dekadische Zahlensystem ver¬ wandelst und dann die verlangte Operation ausführst. K. 57016 4- 124560 4- 36425 4- 61433 4- 225347 (8). 7. 2120221 4- 1012112 4- 1221012 4- 2111021 (3). 8. 875421 — 191086 (10). 19. 3122013 - 2033123 (4) 12. 250764.2576 (10). 14. 110101110.101101 (2). Ik. 897715 : 91 (10). 18. 777167 : 1145 (8). 9. 3355770 — 886644 (10). I I. 876543 — 234567 (9). 13. 790475.9184 (10). 15. 2414302.32142 (5). 17. 5606912 : 752 (10). 19. 3365241 : 354 (7). 225 5. Theilbarkeit der Zahlen. Größtes gemeinsames Maß. (ZZ. 72—75.) Suche das gr. g. Maß folgender Zahlen: I. 637 und 4277; 2. 2091 und 1353; 3. 1404 und 8658; 1. 3552 und 5143; 5. 7774 und 3718; 6. 27671 und 21708; 7. 14539 und 25728; 8. 55660 und 66055; S. 39215 und 73997; I». 24955 und 338625; II. 1701, 6426, 10521; 12. 120582, 145530, 167706; 13. 12a- 4- 7s Z- 1 und 6a? -s- 11s -f- 3; 14. x» 49x — 120 und -s- lOx -s- 25; 15. 4m» — 16m» -s- 23in — 20 und 6«? — 7 m — 20; IK. a? — 3n6^ — 36» und s? — 5s6 -4 41?; x» -j- 6x^ Z- 5x» — 12 und x» -f- 4x^ 4- x» — 6; 18. 67» 4- 16/» _ 22/ 4- 40 und 97» — 27/- 4- 35/ — 25; IS. 28n^ 4- 10a» Z- 39u^ 4- 73 4- 15 und 14s» — 373- 4- 15a — 25; 20. 32? — 8 2» 4- 11 2» — 82-43 und 2 2» — 9 2» 4- 9 2 — 7; 21. 15x4 10x»/ 4- 4x»/2 -4 6x/» — 3/4 ^nd 12x» 4- 38x^7 -4 16x/2 — 10/»; 22. 6x» — 4x^ — 11 x» — 3x? — 3x — 1 und 4x4 4- 2x» — 18x? 4- 3x - 5; 23. 6x4 — 5x» — 1, 5x» — 4x — 1 und 2x» — 2; 24. 3^ — 4u» 4-83» — 4s -? 1, ^4 — 2u» 4- lOn ? und 3» — 5n» 4- 113 — 7. Kleinstes gemeinsames Vielfaches. (ZZ. 76 und 77.) Suche das kl. g. Vielfache folgender Zahlen: 25. 874 und 943; 2«. 561 und 1530; 27. 1716 und 2222; 28. 6987 und 8083; 2S. 816, 765, 697; 3V. 259, 3219, 7548; 31. x» — 3x?/ -? 3x/» — /» und 2 (x4 — /»); 32. 3» — 49a — 120 und 32 4- 103 -j- 25; 33. 6x» — 13x2 45x — 25 und x» 4- 2x2 — 20x — 25; 34. a4 4- 3s.» 63? 5a 4- 3 und s.»4-2s?4-2s.4-1; 35. 2s» — — 2s» — 23» — 4s. — 1 und 2s» — 3» — 5s» — 5s? — 3; 36. 21 x» 4^ 20x2 — 3x — 2, 6x» — 11 x2 — 12x-? 5 und 3x» — 10x2 — 9x Z- 4. Moonik, Arithmetik und Algebro. 15 226 Theilbarkeit dekadischer Zahlen. (KZ. 78 und 79.) Durch welche von den Zahlen 2, 3, 4, 5. 6, 9, 10, II, 25, 100, 1000 sind folgende Zahlen theilbar: 37. s) 312; 6) 6225; o) 17280; ä) 71016; s) 948656? 38. s) 720; 5) 6472; e) 76450; ä) 484572; 45. , 114. 840 1824 4096 54' 250' O- E0' 7008' ^4. 15* 228 . 5.12.18, .. 6.12.20.28, . 6.21.24.36.75 4.16727' o) 4.8.16.30' 8.27.50.56.60' „ .391, 637. > ^65^. ->> 2079. x S082 'o- 989' 0) 0) 5304? 7029' 67735' Berechne: x^— 4x "4" 4 4» H x^ _ — 39. - Z — für x — 2. 31. --z — 2 sur x — a. x^ — 4 ' 2 x^ — s aX -s- ' «»2 -s- 6x 16 ^., _ _ H -H x^ 4x^ 3x-s-18 .» — x--i-bx —24 — o. 8x» —22x?-f-51x-36 lur für - 2 und für 7 — 2. 229 «3. s»-^-3s?-j-3s,-j-I — Iff. 8l. Zähler und Nenner des Bruches -^- sollen 1) um in vermehrt, 2) um in vermindert werden;^vie groß ist die Differenz zwischen dem gegebenen und dem jedesmal entstehenden neuen Bruche? 230 »I. 2x— 5/ 6x-45/ 12x4- 4^ 3--c-i- 4l 3^-4/' _-_4 —_- 9«. 4 -4 2 L 2 g 2 s. -4 1 —, x 4- 7 > — 2/ x — / x^ — 2 x / ' 2m — 4 n 1 m — 5 n 3m — 3 n 2 6m — 6 n' x- — (x -4 x)? (x — l)°' »3. L 4" 1 1 L "4 2 L 4- 3 L — 1 ^4 g, 2 I g.— 3' 94. gd Le de ^4-d - rr-s-e d 4- e' 9S. ^4-d — 0 s — d-s-e . d -4 0 — L sd . Le be .. ÜL — 8d . 3» — b L — 4d L-4 öd -4 ^Ih ^7^ 4- ^H^ >ÄÄ 1 ___ L -4 d L — d L^ — d^ L^ -4 2 L d -^4 g« 4- — 1 , 4-1 I —2/ -4 1 ' x - 1 / 4- 1 - l 7' 4- 2^ 4- 1' - L 1 . L^ — L.4-I L4-1.L^4-L4^l- 2 L — 4 ' L 4 1 L^ 4- 1 L — 1 4 L-— I Ld Le . be (3. — e) (b — e) (L — d) (d — 0) (L.—- b) —> e)' L — (d -4 <0 b — 4" 0 — (s. -4 k)' 3, 4- d 4- 6^ -4 Ä > d -4 0^. 193. (4 X -4 4 1) 4- X 4- ^1) ^s- -4 4 4)- -08. ^4 6x — 9^ 1) III iir. 6x^x 4- 2^°' 6/ L X L — : 3x^ — 7x^4^2^^ 5x^-4dx-414 3x — 5 . x — 4 6x 54x^ — (s? — d4 1 OL-x^ — 7LX- 2Z. -4 x 4^ — 4«?x — Lx^ - 2m-43n , 3n>2 — mu — 6r>2 12mn —4^ 18m'--11 — 6nH^' _. — 2x — 3) ?__3X 4-4/ 6x^ — 11x/-4^/^ 2x^ — 7x/4-6/' x 2x^42x/ 4x/ 2x — / 2x/4^^/^ 4x2-41^/ — 3^2' X^/2 ^2 - HS) (HS - ^,S( (^S - ^S) (^s — ^ShS 4 h-'^r — h-) 2g?.—^3gx 2g2 — Zs 231 Multiplikation und Division eines Bruches durch eine ganze Zahl. 96.) '»> - ->>. 4- -— ^.u. in. >> i 4- 4^ a). - l).2x^. 4. -^.12u. V 4x)r , / ^4i? 3n^ ' 2n/ ! 2 4 . I — Z- -^- — 2 12 s . s — g -§- —-^-- — -»-- 4 z . x. IN^ ' IN^ IN ' ^xb x^ X / ,^^»/1. 1 2n V . , <>. 7 /^-^-3,^ 1 IX '2«> i (h-^-^-i).(a-l). 128. il 4- — 2ud^ 4- e^). ' 4ado^ / /2x? 5x^ 3x^ §4'5 -'8 - -^--(4^ - 5x^ 4- ),-). 136. : 2a. 131. ^44 : — 4ux. 132. : 3mv. 3 in 5bo 3in^^ 133. '0"^ 5^2^. izj. : 8<;^. I3L. : 2ud4 , 13 xx 4a^b -I- b- w — n 136. 12L-d° . 138. u6. ? A. -j- 3 b : (1 -4 2 m -4 irr^). i 4 : 4L-iü4 in'n^ / 6a2-s-5ri.d — 6^2 L«, -t » 1 — 4IU — 7 lü^ — 4 Multiplikation und Division durch einen Bruch. 47. Zax.iu — üx 3ax/ 149. 7d 3cl ko«/ 1 ... ükt^x? 4iAL^ 2Livx 6m^^' I0ki°!^' 5b4 ' 3x^ 154. --^-- . ^ '--. X IN - n IN -^- n ,.x. /2 ü -i- 3 x k 2 . < '"^2» —3x1' 153. il ^17.4 1 2b 155. /4-k-' —Sb-X2 X F v 8 , x -^61 8 . x'-o--I SP . s--->^SL .^-56-^555 Xx8^p ',x^F8 -LLI l -58 __ t . /^58 __ -55? i .,81 '-s -x^/ ' v.'-^s gX8 / xx ^xg ,xg/ «*> .^8 . /s^6 ^S V^8 gxs/ . S^H . x6gU M91 —LLl '^'^8 -L», ) : ^8 ILI 7.^ x 7. '^'^81 '^' '8Sl -b 8 V ^x bg ^zbF ^ ^X8 §x6F ^z8 V « . 5- X . Fs -^- , Xtz — X8 —«x 888 t 233 >87 /»2— 2kb 2ktd— < . < 4^— — SHS .» A»— I fl^b—f>- " L» —2L"b1 ' j 11^434 d ^ 2^ 2^ —Z.b'j" 4)) -4- I9K. Bestimme den Bruch (c — x) (i - /) 10.11.12 in Decimalbrüche und berechne die Summe auf 3 Decimalen. 13. Berechne ebenso auf 4 Decimalstellen die Reihe X — -st —- ! -U-1 _ st._ 2 2.4 2.4.6 - 2.4.6.8 2.4.6.8.10 2.4.s.8.10.12' 14. 88-9397 — 51-4823. (2 Dec.) IS. 4'37147 — 1-6392. (3 Dec.) I«. 8-2315 — 3-5678.. 17. 35-79. . — 10-809. , 2.3.4. Hi¬ ld. 0-9156.23-851. (2 Dec.) 2!. 81-2867.0-1234. (3 Dec.) (4 Dec.) (6 Dec.) 18. 3-1415.9-2587. (3 Dec.) 29. 12-0748.1-91345. (4 Dec.) 22. 8-14739.7-10936.2-51446. 23. 1-045.1-045.1-045.1-045. 24. Bestimme auf 4 Decimalstellen x> — (u -st 5 -st v) (rc -st 1> — o) (u — 5 st- o) (1 für u 1-30785, 5 — 2-09122, o --- 2-80116. 25. Berechne die Reihe i i m —i , 1 st-.X - 2 . X- 'in 2 . m^ für ra — 3 und x -- 26. 834 X 2-1335.. 28. 2-955.. X 0-1563.. 3«. 28-1354.. X 7-089.. 32. Gib in den Producten 26. bis 31. die Fehlergrenze an. , (in — 1)(2m— 1) q sm -7- - » - . x^ — — 2. s. rn^ 0-015 auf 7 Decimalstellen. 27. 0-37 X 15-0816.. 2S. 6-04.. X 0-0085.. 31. 0-1956.. X 0.8091.. 1) (2m — 1) (3 m — 1) 34. 986-256 : 127-85. (2 Dec.) 3«. 0-7123 : 43-566. (4 Dec.) 38. 3-1416 : 7-825. (3 Dec.) 46. 0-436861 : 18'547. (4 Dec.) 33. 45-12345 : 3'8265. (3 Dec.) 3S. 13-794 : 28'376. (4 Dec.) 37. 754-06 : 0-649. (2 Dec.) 39. 7-24257 : 19'14. (3 Dec.) 41. 1 Kilogramm — 1-785523 Wiener Pfund; wie viel Kilogramm beträgt 1 Wiener Pfund? (5 Dec.) 5'3145.3-4906 — x 4"' 7-2084.3-7449' ^"-) 3-0^8'2579 ^ec.) 9-461.6-3047' 0-35791.0-46802.0-14235.0-37281 o"4^M^M^476'^^S7^6^SS17^3^ 45. 3-187 : 5'3185.. 47. 53'4428.. : 9'157. 49. 0-3497.. : 4-284.. 51. 0-00869.. : 3'846.. 53. Gib in den Quotienten 45. 46. 912-857 : 0'118.. 48. 71-293.. : 8'8764. 59. 9-2737.. : 0-0856.. 52. 30-2582.. : 0'71356.. bis 52. die Fehlergrenze an. 235 7. Verhältnisse und Proportionen. a) Verhältnisse. (ZA. 115 und 116.) !. Drücke folgende Verhältnisse in ganzen Zahlen aus: a) 8'^8' 16'12' 0)25 -0.20- 3)-"^g.10g, b) 8^ : 2-02; 1) 0-215 : 3/0816; §) (a — 6): 2. Kürze folgende Verhältnisse ab: a) 10 : 24; 6) 72 : 56; o) 120 : 48; ä) ax (n? — n^) : (m -j- n). 3. Drücke folgende Verhältnisse in den kleinsten ganzen Zahlen aus: a)4:6^; 6) 12^:8^; o)^:^; ä) 15^:6^; e) 0-75:0-625; 1)3-208:1-28; 1. Von zwei Körpern legt H in jeder Minute 80 Meter, 96 Meter zurück; wie verhalten sich ihre Geschwindigkeiten? 5. Der Körper legt in a Zeiteinheiten dieselbe Strecke zurück, wie in a' Zeiteinheiten; in welchem Verhältnisse stehen ihre Geschwindigkeiten? 6. Ein Meter verhält sich zu einem Wiener Fuß, wie 174:55; wie ver¬ hält sich ein Decimeter zn einem Wiener Zoll (^ Wiener Fuß)? 7. Welches Verhältnis besteht in Österreich zwischen Gold und Silber, da aus 1 Kilogramm feinen Goldes 172?/g Achtguldcnstücke und aus 1 Kilo¬ gramm feinen Silbers 90 Gulden geprägt werden, wenn man 1 Acht¬ guldenstück zu 8Vio Gulden in Silber annimmt? 8. Wie verhalten sich die Flächen zweier Rechtecke, von denen das eine 28 Meter lang und 15 Meter breit, das andere 25 Meter lang und 16 Meter breit ist? 9. Von zwei Dampfmaschinen kann die eine in a Secunden b Kilogramm 0 Meter hoch, die andere in a' Secunden 6' Kilogramm 0' Meter hoch heben; wie verhalten sich die Leistungskräftc dieser Maschinen? 1i) Proportionen. (ZZ. 123-129.) Löse folgende Proportionen auf: 236 * 2». mit Rücksicht auf Z. 127, 1. t. 18. IS. - ir> — n k» a- — b- / 23. x: (a — x) — — — -- s. t> L — b 24. Führe an der Proportion x : (rn — 2n) — (6 m-fl 8n) : (2 m— 4n). (6a — 5b) : x (12a- — 4ab — 5b-) : (8a- — 'W.b — 3b-). IN- n- IQ -fl L lll- 2 IN n -t- n- . -. - — !— — -— : X. l v- ) . L -l- b s. — b/ b 20a (a -fl b) : 12a — 25 (a- — b-) : 15 (a — b) die in den KZ. 126 und 127 bezeichneten Formänderungen durch. / 25. Wenn a : b — 2 : 3, b:o — 4:9, o:ä — 3:5 und ä : s — 3 : 8 ist, wie verhält sich a : b : o : ä : s? /§«. Gegeben ist a : ä 4 : 3, o : ä 5 : 6, b : o 20 : 9, b : 1 5 : 9; / s : o — 3 : 5; wie verhält sich a : b : e : ck : e : 1 ? , Ein Kilogramm verhält sich zu einem deutschen Pfund wie 2:1, ein deutsches Pfund zu einem Londoner Pfund wie 43 : 39, ein russisches Pfund zu einem Londoner Pfund wie 65:72; wie verhält sich a) das Londoner Pfund, b) das russische Pfund zu einem Kilogramm? e) Anwendung der Proportionen. - ' Angewandte Aufgaben mit einfachen Verhältnissen. (KZ. 131 und 132.) 28. 17 Kilogr. einer Ware kosten 15 fl. 64 kr.; a) wie viel kosten 43 Kilogr.; b) wie viel Kilogr. erhält man für 35 fl. 88 kr.? 2S. Wenn die Luft auf eine Fläche von 1^ Quadratdecimeter einen Druck von 154 Kilogr. ausübt, welcher Luftdruck lastet aus einer Fläche von 1 Quadratmeter? 3V. Ein Land von m Quadratmeilen zählt r Einwohner; a) wie viele Ein¬ wohner kommen bei gleicher relativer Bevölkerung auf n Quadratmeilen; b) auf wie viele Quadratmeilen kommen s Einwohner? 31. Das Vorderrad eines Wagens hat a Meter, das Hinterrad b Meter im Umfange; wie oft hat sich ersteres umgedreht, wenn letzteres m Umläufe gemacht hat? 32. Ein sich gleichförmig bewegender Körper legt in a Secunden b Meter zurück; a) wie viel Meter legt er in t Secunden zurück; b) in wie viel Secunden legt er s Meter zurück? 33. Die Geschwindigkeiten zweier sich bewegender Körper verhalten sich wie o : — 52, o — 65. 37. Das aus Platin angefcrtigte, im Archive zu Paris aufbewahrtc Nstro Prototyps ist bei der Temperatur des schmelzenden Eises nach den neuesten astronomischen Messungen der 10,000,856 sie Theil eines Meri- dianquadrantcn unserer Erde. Bei wie viel Grad der lOOtheiligen Scala würde dieser Meterstab, wie ursprünglich angenommen wurde, genau eine dem lOflOOOOOsten Theile des Erdquadrantcn gleiche Länge haben, wenn der Ausdehnungscoefficient bei Platin für jeden Grad der Temperatnr- ._^srhöhung 0'00000856 ist? / 38. Eine Stadt hat 13750 Einwohner; wie viel sind 12A dieser Bevöl¬ kerung ? 39. Wie viel betragen 3A «) auf Hundert, A von Hundert, ^) in Hun¬ dert u) von 3758 st.? st) von 2908 Mark? o) von 5230'65 Franken? 4V. Jemand kauft eine Ware für a st.; wie theuer muss er dieselbe ver¬ kaufen, um zu gewinnen? 41. Eine Ware wird mit Gewinn für a fl. verkauft; wie viel kostete dieselbe im Einkäufe? 42. Jemand kauft für 3480 fl. Ware, erhält aber bei contanter Bezahlung 3^ Sconto (Nachlass); wie viel beträgt der Sconto, wenn er a) von Hundert, 6) auf Hundert gerechnet wird? 43. Jemand erhält für eine verkaufte Ware nach Abzug von 2A Provision ,— 2174 fl.; wie viel beträgt die Provision? (Rechnung in Hundert.) 44. Ein Staatslos im Nominalwerte von 250 fl. wird im Curse 122'25 (für 100 des Nominalwertes) gekauft; wie viel kostet es? tkü.OJemaud kauft eine Eisenbahn-Actie von 200 fl., welche jährlich 5^ Zinsen trägt, für 186 fl.; zu wie viel A legt er sein Geld an? 46. Ein Capital bringt in t' Jahren 2 fl. Zins; a) wie viel Zins bringt es bei gleichem Procent in t Jahren; d) in wie viel Jahren bringt es fl- Zins? 47. Zu wie viel A muss ein Capital angelegt werden, damit es in t? Jahren ebensoviel Zins bringe, als es in t Jahren zu Zins bringt? 238 Angewandte Aufgaben mit zusammengesetzten Verhältnissen. (W. 133 und 134.) 48. a Kilogramm Garn geben st Meter Leinwand von o Centimeter Breite; «) wie viel Meter Leinwand von o' Centim. Breite geben a' Kilogr. desselben Garns; /1) wie breit wird die Leinwand, wenn aus a' Kilogr. Garn 1/ Meter gefertigt werden; zsi wie viel Kilogr. Garn braucht man, um 1/ Meter Leinwand von o' Centim. Breite zu erhalten? 4S. Aus einer gewissen Quantität Wolle können 16 Stück 108 Centimeter breites Tuch verfertigt werden, wenn das Stück 35 Meter hält. Aus einem Theile der Wolle werden 5 Stück 98 Centimeter breites Tuch ver¬ fertigt, jedes Stück zu 32 Meter; wie viele Stück 1 Meter breites Luch, das Stück zu 28 Meter, können aus dem Reste verfertigt werden? SV. Eine Mühle mahlt auf a Gängen bei st Umdrehungen pr. Minute in o Secunden ä Hektoliter Getreide; auf wie viel Gängen können bei st' Umdrehungen pr. Minute in e' Stunden ä' Hektoliter geliefert werden? 51. Von zwei Rädern, welche ineinander greifen, hat das eine a, das andere st Zähne; wenn nun das erste Rad in s Minuten m Umläufe macht, wie viclmal dreht sich das zweite Rad in t Minuten um? 52. Für^2^/^. werden auf einer Eisenbahn(.1ch./Centner einer Ware 14 Kilo¬ meter weit befördert; a) wie viel Fracht wird Mn zahlen müssen, damit 10^- Ctr. 76 Kilometer weit befördert werden; st) wie viel Ctr. wird die Eisenbahn für 4^ st. 63 Kilometer weit befördern; o)^wic weit i z ' .- werden 17-^ Ctr. für 3^ fl. geführt? 53. 6 Arbeiter vollendeten in 4 Tagen einen Graben, welcher 300 Meter lang, 11^ Decim. breit und 3^ Decim. tief ist. Bei einem zweiten Graben erfordert die Förderung von 5 Cubikmeter ebensoviel Zeit als beim ersten die Förderung von 6 Cubikmeter. In wie viel Tagen vollenden den zweiten Graben 10 Arbeiter, wenn derselbe 280 Meter lang, 8^ Decim. breit und 5 Decim. tief ist? (54) Wie viel Zins bringen 3791 fl. zu 4^ in 3 Jahren? " 55. Wie viel Zins geben a) 1287 fl., st) 3745 fl., o) 839! fl. 34 kr. zu 5^ in «) 2 Jahren, /?) 3^- Jahren, 2 Jahren 4 Monaten 18 Tagen? 56. Wie viel Zins tragen 6 fl. Capital in 1 Tagen zu 6S? 57. Wie viel Zins bringen 3600 fl. Capital in 125 Tagen a) zu 6A, st) zu 4A, e) zu 4^, ä) zu 5^? 239 «r. 63. 64. 58. Eine Staatsschuldverschreibung von 500 fl. wird am 17. August zum Course von 82 eingekanft; wie viel muss man dafür bezahlen, wenn die rückständigen Zinsen (des Nominalwertes) L 4^ seit 1. Mai zu ver¬ güten sind? (L-) In welcher Zeit geben 4844 ft. Capital, zu 4^« angelegt, 744^- fl. Zins? LV. Wie groß muss das Capital sein, welches zu 5^-A in 2^ Jahren 976^ fl. Zins bringt? 61. Zu wie viel A müssen 2424 fl. angelegt werden, damit sic in 3^-Jahren 727^ fl. Zins geben? Wenn o fl. Capital in t Jahren fl. Zins tragen, a) welchen Zins bringen e' fl. Capital in 1/ Jahren; st) welches Capital bringt in t? Jahren fl. Zins; o) in wie viel Jahren bringen o' fl. Capital fl. Zins? Ein Capital o wird nach t Jahren zurückgezahlt; zu welcher Summe (s) ist cs bei x A einfachen Zinsen angewachsen? 100 -i- t n - ' uw ' Ein Capital e, welches nach t Jahren ohne Zinsen fällig ist, soll zu Anfang dieser Zeit ausgczahlt werden; wie viel (st) hat der Schuldner zu entrichten, wenn er wegen der früheren Zahlung pA einfache Zinsen- Vergütung anspricht? Bei der Rechnung a u f Hundert ist b -- v — ,, ,, „ von Hundert „ b — e — Welche Rechnung ist die richtige, welche die bequemere? Kaufleute berechnen den Discont bei Wechseln und den Sconto bei WarenbetrLgen immer von Hundert. Eine Wechselsumme von 2813 fl. 15 kr. wird 2 Monate vor der Ver¬ fallszeit mit 4A disconticrt; s.) wie viel beträgt der Discont; st) wie viel hat der Käufer zu bezahlen? (Aki Wie viel muss man heute gegen 6A ausleihcn, damit man nach 3 Jahren sammt Zinsen 3010^- fl. zurückcrhalte? (Auf Hundert.) (Ksss. Jemand legt zu Anfang eines jeden Jahres ein Capital von 2000 Mark an und setzt dies durch 5 Jahre fort; wie groß ist der gegenwärtige Wert aller Capital-Anlagen bei 5A einfacher Verzinsung? 68. Auf ein bestimmtes Kaufobject bietet 24000 fl. sogleich zahlbar; L 16000 fl. contant und ferner je 3000 fl. nach 1, 2, 3 Jahren unver¬ zinslich zahlbar; 0 17000 fl. contant und ferner je 2000 fl. nach 1^-, 3, 4^- und 6 Jahren unverzinslich zahlbar. Welches ist das vor- theilhafteste Anbot, wenn 6S Zinsenvergütung angenommen wird? 240 KS. Die Capitalien o', e" o"' ... sind bezüglich nach U, t", U", ... Zeit¬ einheiten (Jahren, Monaten,...) unverzinslich zu zahlen. Alle Zahlungen sollen aus einmal geleistet werden. Wann muss die Gesammtsumme 8 — -s- o" -j- c^" -> ... gezahlt werden? Heißt m der mittlere Zahlungstermin und nimmt man einfache Zinsen zu pX an, so ist, je nachdem man auf oder von Hundert rechnet, bezüglich e't' , e"t" , , 100 -f- x t- WO Z- pH 100 pt"' _o_n__-_t- ... 100 xt' 100 -f- p i" 100 -l- p t"' _ e^t' e"t" -f- -f- .. . o' -s- o" -f- e"' -f- ...' Diese Rechnung heißt die Terminrechnung: man wendet dabei gewöhnlich die vom Procent unabhängige Berechnung von Hundert an. 7V. Jemand hat 2000 fl. nach 2H- Monaten, 1500 sl. nach 8 Monaten, 3000 fl. nach 10 Monaten, 2500 fl. nach 1 Jahre 4 Monaten unver¬ zinslich zu zahlen; wann muss die Zahlung geschehen, wenn die Summe aller jener Terminzahlungen auf einmal erlegt werden soll? x' Thcilregcl. (ZK. 135 und 136.) 71. Zu einem Unternehmen gibt 3100 fl., L 3500 fl., 0 4200 fl. her; — wenn nun dabei 324 fl. gewonnen werden, wie viel kommt auf jeden? 72. Es soll die Zahl 3710 in 4 Theile getheilt werden, welche sich zu ein- — ander verhalten, wie die Brüche 73. Vier Gemeinden, von denen 738 fl. 42 kr., L 815 fl., 6 513 fl. 65 kr., I) 618 fl. 83 kr. Steuern zahlt, sollen nach Verhältnis der Steuern zu einer Schulbaulichkeit, deren Kosten sich auf 924 fl. 30 kr. belaufen, beitragen; welcher Beitrag entfällt aus jede Gemeinde? 74. Eine Summe von s fl. ist in drei Theile a, la, o so zu theilcn, dass sich a : 6 — na: u und 1> : o — p : ez verhalte. 7^. Unter drei Personen sind 3960 fl. so zu vertheilen, dass L doppelt so viel als und 0 3 mal so viel als L bekomme; wie viel erhält jeder? 76. Drei Personen sollen 9150 fl. so unter einander theilen, dass so oft 5 fl. als L 3 fl., und 6 so oft 3 fl. als L 4 fl. erhalte; wie viel erhält jede Person? 77. 8 Gulden sind in 4 Theile u, b, o, ä so zu theilcn, dass a : ä —na:u, U : ä — p> : h und o : U — r : 8 sei. 78. Ein österr. Achtguldenstück enthält Gold und Kupfer; wie viel Gold und wie viel Kupfer braucht man, um 1000 Achtguldenstücke zu prägen, da 155 Stücke 1 Kilogramm wiegen? 241 7S. Eine Erbschaft von 18420 fl. soll unter 4 Personen so getheilt werden, 1 1 H dass L. -g-, L 0 und D den Rest erhalte. Bor der Theilung stirbt jedoch K, und die übrigen drei theilen nun auch den Antheil des K. im Verhältnisse ihrer ursprünglichen Antheile unter sich. Wie viel bekommt jeder? 86. Drei Gemeinden erhalten für geleistete Erdarbeiten 750 fl. Aus der Gemeinde arbeiteten 11 Mann durch 10 Tage zu 9 Stunden, aus _Her Gemeinde L 9 Mann durch 9 Tage zu 10 Stunden, aus der Gemeinde 0 15 Mann durch 5 Tage zu 6 Stunden täglich. Welchen Antheil an jener Entlohnung wird jede der drei Gemeinden haben? 81. /V beginnt am Anfänge des Jahres ein Unternehmen mit einem Fonde von 8000 fl.; nach zwei Monaten tritt 8 mit 5000 fl., und noch zwei Monate später auch 0 mit 3000 fl. dazu. Beim Jahresabschlüsse zeigt sich ein Gewinn von 1059 fl.; wie viel bekommt jeder davon? Kettenregel. (Z. 137.) 82. Wie viel Meter sind 2135 russische Fuß, wenn 55 Meter — 175 Wiener Fuß und 82 russische Fuß — 79 Wiener Fuß sind? 8Z. Wie viel Londoner Pfund wiegt 1 Londoner Cubikfuß reines Wasser, da 1 Cubik-Decimeter davon 1 Kilogramm wiegt? (25 Londoner Cubikfuß — 708 Cubik-Decimeter, 86 Londoner Pfund — 39 Kilogr.) 84. Ein österr. Guldcnstück enthält 900 Tausendtheile seinen Silbers; wie viel Gramm wiegt es, wenn 45 Guldcnstücke 500 Gramm feinen Silbers enthalten? 85. Wie viel fl. ö. W. ist ein deutsches Zehnmarkstück wert, da 139^- Zehn¬ markstücke 500 Gramm feinen Goldes, 45 fl. ö. W. 500 Gramm feinen Silbers enthalten, wenn sich dem Werte nach Gold zu Silber wie 15-^: 1 verhält? 86. Welchen Wert in Ducaten hat 1 Achtguldenstück, da 155 Achtgulden¬ stücke 1 Kilogramm 0-9 feinen Goldes und 67 Ducaten 1 cölnische Mark 23^ Karat feinen Goldes enthalten? (1 cölnische Mark 4 24 Karat — 233'87 Gramm.) 87. Ein Wiener Kaufmann bezieht von Hamburg Kaffee zu 78 Pfennig das Hamburger Pfund; wie viel S gewinnt er, wenn die Spesen 50?^ betragen und in Wien das Kilogr. zu 1 fl. 56 kr. verkauft wird? (1 Hamb. Pfund - 0-5 Kilogr., 100 Pfcnn. 1 Mark und 100 Mark — 60 fl.) Man beginnt den Ansatz: x fl. Einnahme geben 100 fl. Ausgabe, wenn u. s. w. Močnik, Arithmetik und Algebra. 16 242 III. Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen des ersten Grades mit einer Unbekannten. (88. 140 und 141.) l. X -s- 3, — 3. a — x — 5. 5. 5x -j- 8 -r- 43. 7 7. a -j-bx — ex — ä. N. 92 — 27^ — 11.) 11. 5 4- (2 x — 15) -- x. 4 2. x — a — 5. 4. ax — Id. «./17 4- 8x ^71 — x. L 8. 3 x — 2a 4-5 — a — 55. s- " 1 / l». 7x 4- 12 — 6x -5 20. L (42) 9 — (5 — 2x) —3x4-1- 'k» 13. 3 (x — 5) -- 4 (10 — 2x). s" 1^. 5 (x — 2) — 2x -- 2 (x — 1). 8 (s. -t- 5) x — 2 a — (a — b) x. / ! 6. a (x — d) — 5 (a — x) — e. 4^ m (x — a) — u (x — 5) — (a 4- 5) x. (M 3 (2x -i- 9) — 9 (4 4- x) -- 3 (5 4- x) — 2 (x 4- 6). (l2. (x 4- a) : (x — a) — 5 : 0. d* (8x — 1) : (4x 4- 2) — (6x — 9) : (3x — 4). A. — 2 a) — (5 — z')^ — 35^ — 4s?. L '4 - / 22. (2 — x) (3 — x) — (4 4- x) (3 4- x). 4' 23. (2 4- 1) — 1) --- 4- 2 4- 1. 24. (2 4- x) (2x 4- 1) -4 (2 — x) (2x — 1) 0. 2Hi x (x — 2a) — (5 — x)? — 35^ — 4a4 2«. (x 4- 2) (x 4- 3) — 4 (x 4- 4) (5 4- x) — 10. (27. i3 (^ — 2) — 5) .5 — 4 (2z^ — 6) — 19. ^28. 5 (x -f 10) — 4 1160 — 3 (3x — 2) 4- 2x! 2 — x. 2S. 5 i3 4- (2x — 7)) — 7 (x 4- 5) 4- 3 3 l4 (3 — x) — x! — 70. 3«. Löse die Gleichung 2 s — n (ai 4- a») nach allen darin vorkommenden allgemeinen Zahlen auf. G. - 4- 3 - 4x. vH- - -4 —72. 4l. -^-5^4" — a. S. d 32. 4- 4- — x 4- 1. 34. g. — 5 — 0. - vx m - NX — - m (»2 4-^0 38. - - -— am. »X n tr. e 243 z? 1 1 1 _ 1 Le — ex bä — äx u)i — u, x — n)i — 6. 77. )i —2x4-3, )1 4- 1 — 4x 4- 3. 75. s, (x -s- ^) — ra, 6 (x — )-) — Q. 78. 4x 4- 3)i 9, 8x —3)i —27. 16* 244 79. 3x — 4^ — 4, 89. 81 4- 6. 3^4 83. 3 x — L -s- 2 d 8«. b 88. 99. 92. 97. (4x 4- 7) : (2x — 7) — 16 : 5, (2x 4-77) : (x 8) - 14 : 5. 95. 41x — 32'707 — 10'42, 5'2x — 367 -4 2'5 — 0. N' — k- Gib das Gesetz an, welches in den für x, und 2 erhaltenen Ausdrücken vorherrscht. 2 ' n 199. 3x — 47 — 6, 2x -4 3? — 26, 97 — 62 — 18. 102. 6x — 47 -4 32 — 28, 4x— 7 — 82— 7, 2x — 87 -4 — 16. v e U2X »2 7 r' '— »2/ »gX 4- 0g7 4- Cz2 — äz. 99.i x-4 37 ^39, ^3x 4-2- ^48, 47 — 3^ — 18. >0I?)3x 4^ 7 4^ 2^ — 13, x -4 27 4- 82 17, (87. ax — 57 — u? -4 5^, 6x -4 64 x / _ 1 3 1 ^x-^-7^2, 1,2 1 -z - X 4- -g- 7 — 4. 1 2 x 4^ 27 — 30, 4- 11. 5^2 28 , 6 — q 2. X äo. -n — x a-l-d " 91,^^ s 2x — u s? x 9 ax — 67 — (a -4 6)^ — X —234^^^, 9«. 5x : 8 (7 -4 5) : 2, 3x: 8 — (7 — 2) : 1. 98. (3x 4- 27 — 4) : (2x 4- 87 — 1) 3 : 2, (x — 27 —3): (2x —87-6) ^2:3. ud d e ne ' (a -4 v) X 4^ (s. — 0) 7 — 2 b 6, (6 — 0) X -4 (6 4- v) 7 — 2ao. -4 2, u 4-b L—b x 7 4ab n — d s-4b — b^' 3x —2/ . 5x —3zi . ^-5-!-g—-x 4-1, 2x —3x . 4x —3x _. 3 2 n m IN - / n - X 1 L — b' Ä — b u4-d^ 7 __ n — b 27 — » d U- 2x-i-b "7" L? — 2, »4^^ " ul> 93. X — 7 (2a -4 6) -4 - (n- 4- by — 2sb (<^ — l>- 1) 82. -4-, 7 ö ' X 1 7-44 85. 2 3x — 7x 2x— A' 245 105. 0-4x -s- 0-5). 4- 0-72 51, 0'3x 4" 0-4^ 4- 0'5^ — 38, 0'2x 4- 0-3), -4 0-42 — 29. 107. 4- 4- -5- 612, 612, 612. IOS. - 1, Ä o e Lx —LL — L 4- e ' b — e a >11. -^- 4- — a,'s / - 'j >17. 3u — 4x4- 2^^ 5, 4 u — 3x — 22 — 4, 2 u 4- — 52—3, — u 4-X 4-2^ 4-32 — 12. 3x — 4^4- 2 — 2. I>8. 2u — 3v 4-4x — 5)-4-62 6, 3u 4- — 5x 4- — 32—3, — u 4-4v^ 4-2x — 5)-4- 2—8, u —X — 4- 2 — 3, u 4- v4- X 4- ^4- 2 — 15. e 3. Anwendung der Gleichungen des ersten Grades. ' (88- 146 und 147.) lllS. Das 3fache und das 4fache einer Zahl beträgt zusammen 196; wie -^groß ist die Zahl? - >SI< '7 ' . 246 120. Von welcher Zahl ist der siebente Thcils um 8 kleiner als der dritte FUs? , ssit , st- ' '' , 121. Wenn man eine Zahl mit 15 multipliciert, zu dem Producte 20 addierst die Summe durch 4 dividiert und von dem Quotienten 14 subtrahierst so erhält man das 3 fache der fraglichen Zahl; welche Zahl ist es?2^-»-'>x ^ 122 Wie heißt die stetige geometrische Proportion, deren drei Glieder um gleichviel größer sind als 1, 3 und 6? 123. Die Zahl a soll in zwei Theile so getheilt werden, dass das m fache des ersten Theiles um ci größer sei als das ufache des zweiten Theiles.^-^'l-")' 124. In welche zwei Theile muss man 60 zerlegen, damit der größere Theist, durch den kleineren dividiert 2 zum Quotienten und 3 zum Reste gebe?"- 12». Eine Zahl a, in solche zwei Theile zu zerlegen, dass deren Quotient der gegebenen Zahl selbst gleich sei. 12S. Welche Zahl muss man vom Zähler und vom Nenner des Bruches subtrahieren, damit der neue Bruch gleich werde? >27.»Welche Zahl muss zum Zähler des Bruches addiert und vom Nenner desselben subtrahiert werden, damit der erhaltene Bruch der reciproke des früheren sei? TM Wenn man zum Zähler und Nenner eines Bruches 7 addiert, so erhält^ er den Wert subtrahiert man vom Zähler und Nenner 2, so erhält^ 7 er den Wert Welches sind Zähler und Nenner des Bruches? FII. Zwei Zahlen werden mit denselben zwei Ziffern geschrieben und ver- halten sich wie 13 : 31; welche Zahlen sind cs, wenn ihre Summe 88 (Y beträgt? ^>77,"s MA Vermehre ich eine zweiziffrige Zahl um das 9 fache ihrer Einer, so er- halte ich 80; vermehre ich sie dagegen um 18, so erscheinen in der Summe ihre Ziffern in umgekehrter Ordnung; wie heißt die zweiziffrige Zahl? 13!. Jemand wird nach 10 Jahren doppelt so alt sein, als er vor 4 Jahren war; wie alt ist er jetzt? Ein Vater ist jetzt 48, sein Sohn 21 Jahre alt; vor wie viel Jahren war der Vater lOmal so alt als sein Sohn? !33. Ein Vater ist 36, sein Sohn 10 Jahre alt; wie viel Jahre muss der Vater noch leben, damit er gerade doppelt so alt werde, als es dann sein Sohn sein wird? 131. ist jetzt mmal so alt und wird nach s, Jahren uinal so alt sein als Welche Beziehung muss zwischen m, n und a stattfinden, damit die Auflösung einen Sinn habe? (K. 147, Beispiel 3.) L; wie alt ist L, wie alt L? 2« 13S. Ein Vater ist gegenwärtig 3mal so alt als sein Sohn; vor 12 Jahren war er 9 mal so alt als der Sohn. Wie alt ist jeder? I3K. Ein Knabe sagt: meine Mutter ist 25 Jahre älter als ich, mein Vater ist 5 Jahre älter als die Mutter, und wir alle zusammen haben 91 Alters¬ jahre. Wie alt ist der Knabe, die Mutter, der Vater? 137. Bei der Theilung einer gewissen Summe erhält 1000 fl. und des Restes, L des neuen Restes und noch 500 fl. darüber, 0 die noch übrigen 2500 fl. Wie groß ist die Summe, wie viel erhält wie viel L? 138. Bei der Theilung einer gewissen Summe erhält a fl. mehr als derselben, L b fl. mehr als des Restes, 0 den neuen Rest, welcher e fl. weniger beträgt als der ganzen Summe. Wie viel erhält jeder? 13S Unter drei Personen wird eine bestimmte Summe so vertheilt, dass L 20 fl. weniger als und 0 20 fl. weniger als L bekommt; die ganze Summe ist um 25 fl. größer als das 4 fache dessen, was 0 bekommt. Wie viel erhält jeder? 14V. Ein Vater schenkt seinem Sohne für jede fehlerfreie Aufgabe 10 Kreuzer; für jede fehlerhafte Aufgabe dagegen muss der Sohn dem Vater 5 kr. zurückzahlen. Bei 20 Aufgaben ergab sich nun, dass dem Sohne von den erhaltenen Geschenken 80 kr. übrig blieben; wie viele Aufgaben hat er ohne Fehler, wie viele fehlerhaft gearbeitet? 441. Jemand dingt einen Gärtner auf einen Monat (30 Tage); er verspricht ihm während dieser Zeit die Kost, und für jeden Tag, an dem er arbeitet, fl.; für jeden Tag, an dem der Gärtner nicht arbeitet, muss dieser . dem Herrn fl. für die Kost bezahlen. Nach einem Monat erhielt der Gärtner 18 fl.; wie viele Tage hat er gearbeitet und wie viele nichtL ^.--- 142. Zwei Arbeiter sollen einen Graben von 435 Meter Länge reinigen; der eine macht täglich 42 Meter, der andere 45 Meter fertig; wann wird die ganze Arbeit fertig sein? 143. Zwei Fässer enthalten 351 Liter Wein; nimmt man aus dem ersten den sechsten und aus dem zweiten den dritten Theil heraus, so bleibt in beiden gleichviel übrig. Wie viel Liter enthält jedes Fass? 144. In jedem von zwei Fässern ist eine gewisse Menge Wein. Gießt man aus dem ersten in das zweite so viel, als schon darin ist; dann aus dem zweiten in das erste so viel, als jetzt darin ist; dann wieder aus dem e, ersten in das zweite so viel, als darin übrig geblieben war, so enthalten ' beide Fässer gleich viel Wein, nämlich 72 Liter. Wie viel Liter enthielt jedes Fass? 145. In einer Gesellschaft waren 2mal so viel Männer als Frauen; nachdem 8 Männer mit ihren Frauen weggiengen, blieben noch 4 mal so viel Männer als Frauen. Wie viel Männer und Frauen waren anfangs da? 146. In einem Landtage, in welchem 64 Abgeordnete stimmten, wurde ein Antrag mit einer Stimmenmehrheit von 10 angenommen. Wie viele stimmten dafür, wie viele dagegen? 147. In einer Fabrik arbeiten Z2_Arbeiter, theits Meister, theils Gesellen; jeder Meister erhält täglich 2 fl.; jeder Geselle nur die Hälfte davon; würde man jedem Meister von seinem Lohne 0-4 fl. abziehen und dafür /5" jedem Gesellen so viel zulegen, so möchte der tägliche Lohn um 12-8 fl. mehr betragen. Wie viele Meister und wie viele Gesellen sind es?^ 148. L und 8 machen eine Wette von 12 fl.; gewinnt so hat er dreimal so viel Geld als 8; verliert er, so hat er nur doppelt so viel als 8. Wie viel Geld hat jeder? I4S. Drei spielen mit einander; im ersten Spiele verliert der erste an jeden der anderen so viel, als jeder von diesen bei sich hatte; im zweiten Spiele verliert der zweite an den ersten und dritten so viel als jeder derselben hat; im dritten Spiele verliert der dritte an den ersten und zweiten so viel als jeder hat; nach geendigtem Spiele hat jeder A4-fl. Wie viel hatte jeder am Anfänge des Spieles? > r - /r. 456. Die Vorderräder eines Wagens haben 35 Decim., die Hinterräder 44 Decim. im Umfange; wenn nun ein Vorderrad von bis 8 387 Umdrehungen mehr gemacht hat als ein Hinterrad, u) wie vielmal hat sich jedes umgedreht, 5) wie viel Meter ist von 8 entfernt? * 5' 151. Jemand verkaufte eine Ware mit 3S Verlust für 1784-8 fl.; wie viel hatte er im Einkäufe dafür gegeben? - ' 152. Ein Kaufmann verkauft den Centner einer Ware für 161 fl. und gewinnt dabei 15^; wie theuer hatte er den Centner eingekauft? "/h 153. Wie groß ist das Capital, das mit Zurechnung von 5^ Zinsen in 4 Jahren auf 2808 fl. anwächst? x - L 154. Wie lange muss ein Capital zu angelegt bleiben, damit die Zinsen 1 des Capitals betragen? 155. Zwei Capitalien sind auf Zinsen angelegt, 4400 fl. L 5A und 5500 fl. ü 44/zA; in welcher Zeit werden sie zusammen 1870 fl. Zinsen gebracht haben? 156. Bon zwei Capitalien, deren Summe 5330 fl. beträgt, ist das erste zu 5^, das zweite zu 4^ angelegt; wie groß ist jedes, wenn das erste doppelt so viel Zins trägt als das zweite? , . 249 157. Für eine nach vier Jahren fällige Schuld bezahlt jemand bar 2400 fl., der Discont beträgt 480 fl.; wie viel A Discont werden jährlich gerechnet? 158. Ein Kaufmann hat zwei Sorten einer Ware, von der einerk^ostet das Kilogr. 60 kr., von der andern 40 kr.; er will von beiden eine Mischung von 80 Kilogr. bereiten, die er zu 45 kr. das Kilogr. verkaufen kann. Wie viel Kilogr. muss er dazu von jeder Sorte nehmen? IM. Ein Weinhändler hat zweierlei Weine, von dem ersten kostet dasHekto- liter 60 fl., von dem zweiten 32 fl.; er will durch Mischung 7 -Hekto¬ liter zu 40 fl. bekommen. Wie viel Hektoliter wird er von jeder Gattung zu der Mischung nehmen müssen? 16V. Wie viel Kupfer (Gehalt —0) muss man mit 26 Kilogr. Silber, das 0'9 sein ist, legieren, um 0'52 feines Silber zu erhalten? 161. Zu 24 Kilogr. 0'8 feinem Silber werden 12 Kilogr. einer andern Silbersorte hinzugesetzt, wodurch die MisMng 0 75 fein wird; welchen Feingehalt hat die zweite Sorte? 162. Jemand hat drei MetaW^cke, deren jedes aus den Metallen 8, 6 besteht. Das erste Stück enthält Non H.a,, von 8 5,, von 0 o, Dekagr.; das zweite Stück enthält von Uz, von 8 5z, von 0 oz Dekagr.; das dritte Stück enthält von von 8 5z, von 6 og Dekagr. Man will nun eine Composition bilden, welche von a Dekagr., von 8 5 Dekagr., von O v Dekagr. enthalten soll. Wie viel Dekagr. muss man dazu von jedem der drei Metallstücke nehmen? Wird a, -s- d, -s- o, — s,, üg 4- bs -j- e? — -z, -4 -i- vg — Sg gesetzt, so erhält man folgende Gleichungen: 163. Von drei Metallstangen enthält die erste 4 Dekagr. Gold, 8 Dekagr. Silber, 12 Dekagr. Kupfer, die zweite 8 „ „ 10 „ „ 2 die dritte 10 „ „ 6 „ „ 14 Aus diesen will man durch Legierung eine Metallstange erhalten, welche 10 Dekagr. Gold, 10 Dekagr. Silber und 11 Dekagr. Kupfer enthält; wie viel Dekagr. muss man von jeder der drei Metallstangen dazu nehmen? 250 l^4i Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die erste Röhre allein in a, durch die zweite allein in 5 Stunden. In welcher Zeit wird der Behälter gefüllt sein, wenn man das Wasser durch beide Röhren zugleich fließen lässt? Man setze die gesuchte Zeit — x und den Kubikinhalt des Behälters ---- v. Die erste Röhre allein füllt in x Stunden die zweite Röhre allein beide Röhren füllen also in x Stunden -f- d. i. den ganzen Behälter — v. Man hat demnach -f- — v; oder -f- — 1, daher x — - Ein Wasserbehälter kann durch drei Röhren gefüllt werden; die erste Röhre allein füllt das Gefäß in 4 Stunden, die zweite Röhre allein in 6 Stunden, die dritte Röhre allein in 12 Stunden. In wie viel Stunden wird der Wasserbehälter gefüllt, wenn man das Wasser durch alle drei Röhren zugleich fließen lässt? 166. Ein Wasserbehälter kann durch drei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die Röhren R, und kz in a, durch L, und L, in st, durch L? und Lz in o Stunden; wie viel Zeit braucht jede Röhre allein dazu, um den Behälter zu füllen? 167. Zu einer Arbeit erbieten sich drei Personen, L und 0; und L würden zusammen die verlangte Arbeit in 18 Tagen liefern können, und 6 zusammen könnten dies in 12 Tagen, und L und 0 zusammen in 9 Tagen. In welcher Zeit kann die Arbeit durch alle drei Personen zusammen geleistet werden? >68. Zwei Körper vom specifischen Gewichte 8^ und 8z sollen so mit einander verbunden werden, dass der entstehende Körper p Kilogr. wiege und das specifische Gewicht 8 habe; wie viel Kilogr. eines jeden Körpers hat man zu nehmen? Da die Summe der absoluten Gewichte der beiden Bestandtheile dem abso¬ luten Gewichte der Verbindung, und ebenso die Summe der Kubikinhalte der Bestandtheile dem Inhalte der Verbindung gleich sein soll, so hat man, wenn die Verbindung x Kilogr. des ersten und / Kilogr. des zweiten Körpers enthält, x -f- — p und -f- und daher 8 — s?) s l-l — Sz) Die Auslösung ist nur möglich, wenn s zwischen s, und gz liegt. 169. Wie groß sind die specifischen Gewichte zweier Körper und L, wenn rr Kilogr. vom ersten und st Kilogr. vom zweiten zusammen das speci¬ fische Gewicht 8, dagegen a, Kilogr. vom ersten und st, Kilogr. vom zweiten zusammen das specifische Gewicht 8, haben? 251 I7V. Eine aus Gold und Silber gemachte Krone des Königs Hicro von Sy- X, racus wog 20 Pfund, unter Wasser getaucht nur 18-^- Pfund; wenn nun Gold im Wasser scheinbar und Silber v°rl seinem Gewichte verliert, wie viel Gold und wie viel Silber war in der Krone? 17!. Ein Pendel, das a Millimeter lang ist, macht bei der Accelcration K in einer Minute n Schwingungen; wie lang muss ein anderes sein, das bei der Accelcration in einer Minute u, Schwingungen machen soll? ' 1,2 ' 172. Das Sccundenpendel hat in Paris eine Länge von 0'99385 Meter; wie lang muss ein Pendel sein, das in Wien in jeder Minute 80 Schwin¬ gungen machen soll, wenn die Accelcration für Paris 9'809, für Wien 9- 808 Meter beträgt? 17Z. Ein Dampfschiff legt in einer Stunde stromaufwärts einen Weg von 10- 2 Kilometer, stromabwärts einen Weg von 17'7 Kilometer zurück; welchen Weg würde das Schiff durch die Kraft der Maschine allein (bei stillstehendem Wasser), welchen Weg durch die Kraft des Stromes allein (bei stillstehender Maschine) in einer Stunde zurücklegen? 171. Zwei Körper L? und L" bewegen sich auf einer geraden Linie in der¬ selben Richtung von den Punkten und gleichförmig mit den Geschwindigkeiten und o". Der Körper L? verlässt den Punkt welcher um ä Längeneinheiten rückwärts von L." liegt, um t Zeit¬ einheiten später, als der Körper L" den Punkt verlässt. Nach wie viel (D) Zeiteinheiten, von dem Abgänge des Körpers L" von an gerechnet, werden beide zusammentreffen? (Bergl. K. 147, 4.) Der Körper L' legt den Weg e' (4 — t), der Körper L" den Weg e" w zurück; die Differenz beider Wege ist die Distanz 6, daher e' (1 — t) — a" 1? — ä und daraus v' — e" ' Diskutiere dieses Resultat a) für positive Werte von ä, t, und e", und für o' E o" ; b>) für ä o; e) für t Z o ; ä) für e" < o. I7S. Behalte die Daten der vorhergehenden Aufgabe und bestimme die Ent¬ fernung (v) des Punktes, in welchem die beiden Körper zusammentreffen, von dem näher gelegenen Punkte — e" 17S. und sind durch eine Eisenbahn verbunden, deren Endpunkte 225 Kilometer' von einander abstehen. Von geht gegen 7^" ein Personenzug ab, der in jeder Stunde 30 Kilometer zurücklegt; zu gleicher 252 Zeit geht von /V" gegen ein Lastenzug ab, der in jeder Stunde 20 Kilometer zurücklegt. Wann begegnen sich die beiden Züge? 177. Vom Orte aus geht des Morgens 5 Uhr eine Locomotive ab, welche in 4-5 Stunden 105 Kilometer zurücklegt. Eine halbe Stunde später wird von L." aus, welcher Ort 52'5 Kilometer hinter L/ liegt, der ersten Locomotive eine zweite nachgesendet, die 105 Kilometer in 3 Stunden fährt. Wann wird die zweite Locomotive die erste einholen? 178. Ein Courier LU geht von nach ein anderer Courier LI" von L." nach LU tritt die Reise um 5 Tage früher an als U", dagegen legt LI" täglich 20 Kilometer mehr zurück als NO Nachdem LI" 240 Kilometer zurückgelegt hatte, trifft er mit LU zusammen und dann brauchte LU noch 4 Tage bis und LI" noch 6 Tage bis Wie viel Kilometer hat jeder täglich zurückgelegt und wie groß ist die Entfernung zwischen und ^."? 179. und sind durch eine 152 Kilometer lange Eisenbahn verbunden. Bon L/ geht um 8 Uhr 30 Min. vormittags ein Zug nach L." ab mit der Geschwindigkeit von 10 Meter per Secunde; an demselben Vormittage um 9 Uhr 15 Min. geht von ein Zug mit der Geschwindigkeit von 9 Meter per Secunde nach ab. Wann und in welcher Entfernung von begegnen sich diese Züge? 18«. Ein Courier soll von aus einem Regimente, das vor 6 Tagen von dort abmarschiert ist und täglich 28 Kilometer vorwärts geht, Ordre bringen. In welcher Entfernung von dem gemeinschaftlichen Abgangsorte wird er dasselbe erreichen, wenn er täglich 84 Kilometer zurücklegt? 181. Von lU geht ein Courier, welcher täglich 14 Meilen zurücklegt, nach zu gleicher Zeit wird von ein Courier, welcher dem ersten nach 5 Tagen begegnen soll, nach abgeschickt. Wie viel Meilen muss der zweite Courier täglich zurücklegen, wenn die Entfernung 150 Meilen beträgt? 182. Um 8 Uhr morgens fährt von nach ein Eilwagen, der jede Stunde 9 Kilometer zurücklegt; 20 Minuten nach 2 Uhr nachmittags verlässt ein Dampfwagen den Ort und langt auf einer neben der Landstraße liegenden Eisenbahn, indem er stündlich 30 Kilometer zurücklegt, zu derselben Zeit in an, zu welcher der Eilwagen in L" ankommt; Wie groß ist die Entfernung zwischen und iL"? 183. Von nach sind 315 Kilometer. Um Mittag geht von ein Eilwagen ab, der 10 Kilometer in der Stunde macht. Um wie viel Stunden früher muss von eine Fahrpost, die in der Stunde nur 6 Kilometer zurücklegt, abgehen, damit sie mit dem Eilwagen gleichzeitig in eintreffe? 253 >- 184. Zwei Körper bewegen sich von den Punkten und deren Entfernung ä Meter beträgt, gegen einander. Fängt der erste t/ Stunden früher an sich zu bewegen, so treffen sie 1' Stunden nach dem Abgänge des zweiten zusammen; fängt der zweite t" Stunden früher an sich zu bewegen, so treffen sie 1?" Stunden nach dem Abgänge des ersten zusammen. Wie viel Meter legt jeder in einer Stunde zurück? 185. Einem Körper L", welcher in jeder Zeiteinheit v" Längeneinheiten zurücklegt, folgt t Zeiteinheiten später von demselben Punkte aus ein zweiter LH welcher in jeder Zeiteinheit o" Längeneinheiten zurücklegt. Nach wie viel (1) Zeiteinheiten, vom Abgänge des Körpers L? an gerechnet, werden beide Körper cl Längeneinheiten von einander ent¬ fernt sein? I8K. Zwei Körper bewegen sich auf der Peripherie eines Kreises, welche p Längeneinheiten beträgt, zu gleicher Zeit von demselben Punkte aus in derselben Richtung mit den Geschwindigkeiten o" und o". Nach wie viel (3?) Zeiteinheiten werden sie wieder zusammen treffen? Nimmt man an, dass der erste Körper den Umfang x in t', der zweite in t" Zeiteinheiten zurücklegt, so ist i? — und e"—und man hat für das weitere Zusammentreffen derselben r °- - 1? x, daher 1? / e—e" t" — 187. Wie viel Zeit verfließt von einem Zusammentreffen der beiden Zeiger seiner Uhr bis zum nächsten Zusammentreffen derselben? 188. Wie viel Minuten nach vier Uhr wird der Minutenzeiger einer Uhr über den Stundenzeiger zu stehen kommen? 189. Es sind 20 Minuten über 12 Uhr; nach wie viel Minuten werden sich beide Zeiger der Uhr decken? IS«. Der Mond vollendet, von der Erde aus gesehen, seinen Umlauf am Himmel in 27-32158 Tagen (tropischer Monat), die Sonne dagegen vollendet ihren scheinbaren Umlauf in 365-24222 Tagen (tropisches Jahr); beide Himmelskörper schreiten durch die Sternbilder des Thier- kreiscs von Westen gegen Osten fort. Geht während dieser Bewegung der Mond vor der Sonne vorbei, so haben wir Neumond. Wie viel Tage verfließen von einem Neumonde bis zum andern (synodischer Monat)? ip- IS I. Auf der Peripherie eines Kreises bewegen sich zwei Körper gleichförmig und in derselben Richtung; der erste beschreibt den Umfang in t Secunden und trifft mit dem zweiten alle 1 Secunden zusammen. Än welcher Zeit vollendet der zweite einen Umlauf? 254 7. d. H, (^-3L -2d)2a-3b, s. t(k?)'?. 6. ((a»)°)». Muttiptication und Division. Potenzierens mit der des rs. 29 28. 32. 2 dx — 3 a ^5 4 39. 54. 53. 5V. 35. 37. (3a».25»)4(4ab)». 6 a">^ : 2 a". 2^x^ 4» 8dx-' - xV / ' X» Potenzen mit positiven ganzen Exponenten, des Potenzierens mit sich sctbst. (H. 149.) tl. (akoä)» 44 (2a»x^)4 17. (5 — o)»^. IV. potenzieren, Kadicieren und Logarithmieren. 1. Verbindung . a". Verbindung (W. 151-154.) > 12 ts. 18. 2». 23. (3u)4. (2a»)4 (5x»^f^ ^»)». (7x)» (3^.(2a^)s. S.b.xb. (x -ch- a)4. (x — a)^. ' t 2bx / 38. (x- — : (x — 7)-°. 19. (a^4-° 21. 25^.44 22. (5 a)». (3 5)4 24. (3x)s.(2^)°.(42)°. '141. (2ax)». 13. (ax")4 IU. 5 a x^ b^x^ 6d^b ' ' 51>^xb' .. /^b-e^S / x. »U. : 3 a». 8s.°x^ 4^°x^^ 3d LV ' ök-L/." / Alll xI>X l> /2ax — 3dx I 3 b (8ai>)«: (25)4 Z (2x^-/(Sx^^)^ . (5x° 255 F-r> Verbindung des Potenzieren? mit der Addition und Subtraetion. (Z. 155.) 59. 3a- -s- 4a- -d 6a-. 60. 5ir^ — 2in^. KI. ax» -s- dx- -s- vx — x» — 2 x? -j- Zx. 62. 4x" — 5x° -d 6x^ — x" — 2x" — 3x^ 63. (2a» -1- 3d»).a-d-. 64. (6x^)^ — 10x»7») : 2x7-. «S. (3a»x- 4- 45-7») (3a»x- — 4d-7»). KK. (x»^ — -s- x^d - x-'' -5 x»''-'") (x^ -5 xp. «7. (x»^° — x-" -s- x-° — x»"-") : (x" — x°). 68. (a» — 5») : (s? -j- -5 ad4 -4- d^). (Aufgaben 163. bis 174 Seite 220, ferner 104. bis 122. Seite 222.) 81. (5a- — 4x-)- ->- (5a- -s- 4x-)-. 82. (ax» -f- t>7»)- — (a x» — 5 7»)-. 83. (a -f- dx -s- ox-)-. 84. (x- — abx -f- a-d-)». 2. Wurzeln mit positiven ganzen Exponenten. 256 22. Wenn I/U2IM — 64 ist, wie groß ist a) 1/262144, b) 1/262144^ 18 ' 'VI o) s/ 262144?" 23. Stelle folgende Wurzeln mit einem gemeinsamen Wurzelexponenten dar: a) s/x und 1/x/ o) s/a' und 1/5°; 24. Kürze folgende Wurzeln ab: 4 6 a) 1/x^; 5) 1/^; 6) 1/x^ und s/^S; s s ä) s/a, s/ 6^ und 1/v^- 18 a) l/a?2; ä) s/x-"^-. Verbindung des Radicierens mit der Multiplikation und Division, (ßß. 166 und 167.) M 3 25. l/x^7 26. 1/9/491 27. 1/27s/>/. 3 3 3 w 28. -^1/5»/». 2S. 1/1/16/81-«. 30. l/l/8°-.27-°. 31. 1/— (x- — 32. l/l/a-l/ll°. Befreie in den folgenden Wurzeln jexie Factoren des Radicands, aus denen sich die Wurzel ziehen lässt, von dem Wurzelzeichen: 33. 1/ a°6. 37. 1/1200. 4 41. 1/80. 45. xl/z?r?. —1/8. s/2. — 1/a.r.l/a^. S S 4 .69 S». 1/a . 1/a. —^tzo. 1/x^ . 1/x l "64: . 1/ a/ I 4 12 -62, 3 1/1? . 5 s/ 5" . 1/1). . o 1/x^'. Bringe in den folgenden Wurzeln den Factor unter das Wurzelzeichen: u /_ S 64. a s/x. 65. 4l/5a. 66. 4x1/x. s r 67. x l/"-^-. 68. -^l/'/ 69. ad l,/' I/ X x K/ 4/ l bl>—: 257 5 7». (a / b) 71. A j/ A. 72. ^2^8. 73. j/ a°j>a<-. 74. " xj/x. 73. ^21/21/2- 9)S.1//5 :1/3. /ni ra 93. l/ ax: 1/a. 96. l/a/l/a^. 5c 9^ ^108 : j/4. 94. l/48x:l/6x. »I. ,». l:^/H 4 6 1*2. 1-a : 1/a. 4 s 195. j/s? : l/a. 1 :1/0-25. s s ^193. 1/a«:1/^. 196. a: 1/a. s 198. 1 // X 199. a — 1^ L 1/a d 31/8 : 21/2. 95. 1/ ab : 1/bx. I19.(x^):l/'^l.^ Verbindung des Radicierens mit der Addition und Subtraktion. (Z. 168.) 3 3 3 m ra I I I. 1/a-j-41/a-,-51/a. 112. a 1/x° — b 1/x°. 8 S 8 113. a / b l/m -4 o — ä l/w. 4^4, 51/a» — 2 1/a' 4- 3 1/a». 115. m 1/a -4 n 1/a -j- 21/a —31/a. 116. a^b —2b>/a —§a1/b 4-8b 1/a — 5b j/a 4 6a^b. Stelle mit gleichen Radicanden dar und reduciere: 117. 1/2-1-1/8-1- 31/ 50. 118. 41/50 4- 2 1/72 4- 1/128. 119. 61/125 — 31/80 4- 21/20. 129. 4 1/2 — 2 1/54 4-1/128. 6 1/12 — 41/27 4- 7 1/48 - 51/75 4- 21/108. Morllik, Arithmetik und Algebra. z? 258 122. l/s? -s- t/^ 4- 1/a. 123. l/a-x 4- 2 l/5»x 4- 3 l/e-^. 3 Z 3 124. 5a k/^12x» - 2xl/27a-x. ^125. 4 1/3x'—2 l/24x 4-1/192^. I2K. 3.1/g? -1- 3 z/'ar^?^ 127. 3 Lj/Ll/L — 2l/r/ 1/-4- 128. 1/4x^^ — 5^1/x^ — x l/4x^ -4- 1725x^. 12». 4 1 H- — 1/9^1- — 2 1/^4- ^x? 4- 130. (x - 7) j/---- 2^H- - ^4/ > x i/^- 131. 1 133. 134. 136. 138. 13». I4V. 141. ^142. 144. >x ^146. ^148. 15«. 152. b Z 3 3 (1/a — 21/5).j/x. 132. (3^2a -j- 4).l/4a-. (2 s/8 — 7 s/18 — 1/50 4- 4 1/72). 1/2. (4-i-3 1/2) (3 — 2 1/2). 135. (8 — 3 j/ 5) (7 4- 211/5). (a 4- j/5) (a — 1/5). 137. 1/3 4- 1/5.1^3 — jb. /^51/2 x . 'l/hc 4- 7)— 1^2 x)-. ^/ 1/^ L 4- X -(- l/a — X. 1/1/ s, -7 X — 1/a, — X. (1/ x -4 >4^ I/2) (1/x 4" 1/)^ — 1^ ir)- (1/a 4I 1) — 1/a 4- 1/5) (1/g. 4- 5 4- 1/^ — 1/ 5). X 4- 1/ X? — i X — 1/ x^ — I , I — / X 8 I/ X 3x4- 4 X /^1?/^/ x-^1/^^4' l 4-1 ' x 7 - ?/ "" ' 3 3 3 3 3 (j/(x ^4? 4- z/(x — 1)- 4-I/x- - i) (>/x 1- I - 1/x- 1)- 4. 4 (3 1/7 4-41/3) (21/7 — 21/3). s s (1/^54-31/ x^) (5 l/u.5 4- 4 j/x^). 4 444 (1/x - 1/» (1/x 4- 1/7) (I/x 4- 1/7). s s _ Z (31/8 — 5 1/20) : 1/2. 149. (l/s?5 — l/75y : l/ad. .2 s s (2 1/54 — 31/2) : 1/2. 151. (6 1/x 4- 8x) : 2 j/x. (l7LX — l/vx 4- 1/L2 — 1/02) : (1/a — 1/0). 153. (L — I.) : ll/L - - 5). 154. (x — )4 : (^x — l/ ^). 155. t/ »/ m — n /-« — /n 259 156. (a-f-f/k/ 158. (5 —2 j/5)2. 16«. (1/5 / f/10 /- 1/15)2. 162. (3xf//— 2/f/x)-. 161. (l/x^1//)-^(!/x-l//)2. 157. (j/s, — 1/5)2. 159. (31/2-1-21/3)2. 161. (1—2 ,/2-j-31/2)2. 163. (l/2x/a —1/'2x —a)-. 165. (1/5 / 1/3)2 — (1/5 —1/3)2 o O/. l/kt. — 5 -5 1/ 1'^a / 1) — f/ a — 5^ - 17«. ^1/,,s - 1^// - 1/' — f/a» — j/a« — / 171. (4a1/k — 35 i/a)2. s 172. (s, — 3 f// 4 f/a)». Umformung von irrationalen Wnr)clausdrlicken. (ZZ. 170—173.) Befreie folgende Brüche von dem irrationalen Nenner: l i q« ' -i-2^/3 f—2-1-1/3 ^-/5' 26«. ^^0 — 1/2 — /3' -> 1/l — -j- I> 1/ 1 — ^2/ /3 1/ 5 r 1/2 -j- 1/3 — 1/5' 260 201. 203. 2 1/5 — 41/10 205. 207. 208. 2ll. 2l1 18/ - s/ ' 41/24-2 1/3 261 Löse folgende irrationale Gleichungen auf: 245. 3^x^1 —4. 246. 4/4x? -4 8x— 11 — 2x4-1. 247. /2x -s- 1 5 4 (/2x 4- 1 — l)- 248. (1) — a s/ x) : (a. — 6 4^x) — a (4^ — 1) : 6 (n? — 1). 24». f/x/ 1 -j-^/x —/ — x. 25«. 251. 1/2-4 2. 252. s 253. 4 — )/^x -4 /4 4^ x. 254. 255. I^a, — x -4 / — x— . I/ Z, — X 1^x->-4 4-/x—1—/4x4-5. l/x -4 / x"4^ f/x -4... — s.. )/x 2n -4 /x -4 u — a. 256. 257. 258. 25». 261. 1/ 8"x - 7 - ^2x -4 3. I/2X-43 x — 2 -r — 4^x^ — — (x — a) ! 1 — , 3 l/"x — 2 9, 1 4. ? Setze Z/x — n, g/). — v. 2 l/'x — 3 I/ — 1. i 6 1/x -4 — ul) (0 -4 ä), 26«. 2 x -4 5 — 3 j/ — 2 — 3, ä j/ x 4- v 4/^ — 0 ä (n -4 3 /x ^4 5 — 4 f/ — 2—5 ' '-°- 15 8 — 1/x — 2 ^-42 4x 4^ / - 1. V-c 1/^ /1 Wurzeln mit algebraischem Radicand. (Z. 174.) 3. Potenzen und Wurzeln mit negativen und gebrochenen Exponenten. Negative Exponenten, (ßß. 175—178.) l. Bestimme die Werte folgender Potenzen: a) 2-4 k) 6-2, e) 4--°, ä) 0-4-4 «) 0-125-4 262 L. Befreie von den negativen Exponenten: a) 2x?^-2, 6) e) N) lallst 4V^-S.X-L' ! 3. Bringe auf die Form von ganzen Zahlen: . 5x . 2 ix—2 , ni^x^ - b) , 12i—td XLt 25x-Sx2' Berechne und stelle die Resultate mit positiven Exponenten dar: ( 29. (nx—-st dx-b -st ex^ -st äx^ -st s).x^. 39. (x^')-" — 2x^"b ') (Zx^)'" -st 2x^" — x^-i). V 31. -st st-b) ^-1). 32. (3n^ — 4a2x--)- — 33. Bestimme die Werte folgender Wurzeln: —n —3 —4 —2 — m a) f^x, 6) ^'27, «) f/^16, ä) f/'Ö^25, s) f/n-»--. - Gebrochene Exponenten. (ZA. 179 und 180.) 46. Verwandle in Wurzeln und berechne: h) 25-, 6) 16>, e) 8-, ^s) 49°'S, y 81«'2s, §) 64", i) 9-i, L) 125-^ I) (^)-r, ä) 32-, Ist Illl", rn) 263 47. Verwandle in Wurzeln mit ganzen Exponenten und berechne: a) X3, d) X8, X p 36, o) XoZx-, 8) H/X 0-4 ä) P9, -0 2 6) X2. Berechne und stelle die Resultate als Wurzeln und Potenzen mit positiven ganzen Exponenten dar: 4. Imaginäre und komplexe Zahlen. (KZ. 181-184.) !. Bringe auf die Form ds/ — 1 — di folgende imaginäre Zahlen: 2. 5. i -s- 3i. A ai — (a— d) i. 5 s/ —2-s-3 s/ —2. IX— 12 -d I/— 7i). 6. X'—4 4-9-j-1X--16. X j/ — 4 — 2 X"" 36 -d sX- 100. 2a X'—x" — 6 X — 4x2. 264 9. 4-i - 4" i- IV. -s-i. — i. II. — i.— i. 12. 5i.3. 13. 4//^^. 4//^/ 14. 4/^2 . — 1/^ 15. a 4/— a . — Iz4/— 5. ^1)6. 4/— ' 4/ — x^. 4"^—x^^. ^17. 4/— 3,4». 4/—. j/ — . 4/ — 4- (4/^ - 4/^d). ,19, (I/- 2 4- 4/^3 - 4/Z/4) (4/— 2 — 4/^3 -4 4/^4). 29-4/—a6:4^4>. 21. 4/—36:4/—4). 22. x : 4/23. 4/ZO : 2 4/^5. 24. 5 4/— 6 : 4/— 3. 25. 4/ — x^ : — x^^. / 26. (4/— L 6 4" 4/ — s,o) : 4/ — a. .'— V?7^ (4/^20 — 4/—M : 4/^5. A - 28. (4 4/^8 — 8 4/^12 4-^ 12 4/—I6) : 4 4/^4. 2Z. i/ 30. i/ ZI. j-s, 32. i>/ 33. (j/Z/Z)/ 34. (-24/-Z)/ 35. (a 4/^d- 36. (3 -4- 2i) 4- (6 4- 5i). 37. (4a 4- bi) (2 a — 3bi). M. (1 — 4/UH 4- (3 - 4/^25) — (2 — 4/—49). 39. (3 4- 2i) (3 — 2 i). 4«. (5 4- 6i) (3 — 4i). 41. (4/ä4-4^^I) (4/g(—4/I^b). 42. (4/2 4- 2 4/^2) (4/2 — 2 4/^2). >43. (x 4-1 / 4/^) (x 4- 1 - 4/^3). 44. (x 4- 1) (x — 1) (x 4- i) (x — i). 45. (a -/ 44) (s- — 5i) (c: 4- äi) (o — äi)« Multipliciert man hier den ersten und zweiten, den dritten und vierten Factor, und daun die Producte mit einander, hierauf ebenso den ersten und dritten, den zweiten und vierten Factor, und dann die erhaltenen Producte, so geben die beiden Endproducte dis merkwürdige Gleichung (L- 4- b-) (e- 4- ä-) 46. (2 —3i)2. 48. (3 — j/- -54. ' 5V "/ 1 b '-' I/Hid s. 1/11^' 52. (—1 ^4/5^1///^ 53. (1 4/^3)^ (1 — ' (ne — b -p 9 5^. 39. /9 m-- — 12ir4iv- 4- 4/. ! 31. /lx-- — 6ux- 4- 1I/x' — 6u// n/. -i 32. /)16in.b 4- 16r/ 4- 4in-- — 16ir>4 — 8m^ 4- 4). 33. /-,16/ — 24/ 4- 25/ — 20/ -4 10--- — 4a 4- 1!. 34. /!9/ — 12/ 4- 10^ — 28)4- 4- 17/ — 87 4- 16). s35. /!25 — 70-1, 4- 139-4 — 236-? 4- 23o/ - 198/ 4- 121-41. 36. /10'16/— 2'4/— 0'16/6-)- 9// 1-2-id / 0'04/!. 37. z /'s 9x° xö 26x^ S3x°- . 2x- 30x , 1 j/ s/ 6/ 3/- 38. -6^x---^x'4-... 39. / / -)- st — 1 -O . 49. s/'a'- l> -- ^/ 1 — Berechne folgende irrationale Wurzeln auf 5 Decimalen: «3. /28. «4. /320. 65. /6584. «6. /3'92. 67. /0'101. 68. /0'07854. 69. /0'123457. 79. /2. 71. /2^/2. 72. /^2^/ /4"//. Bestimme mit Rücksicht auf die Aufg. 38., 39. und 40. init 4 Decimalstellen: 76. /50-x---//^/ l/-- .. 77. /79 -xx/'9H^xxx .. 78. /26. 79. 1/146. 89. /35. 81. /220. 267 Cnbieren. (KK. 191 und 192.) 82. (2x -j- 3^)°. 83. (5g? — 46x°)°. 81. (0-8x- -f- Aussehen der Cubikwurzel. (KZ. 193—196.) 106. 4/"g°x° — 3g^1>x^^° 4- 3at/x2^ — 6°)'°. I«7. 1/(8x« — 36x° 4- 78x^ — 99x° 4- 78x^ — 36x 4- 8,. 1V8. f/ (64x°-144g,xS4-204g,-x^—171g°x° / 102g^x' —36gSx4-8g°!. 3 v 3 3 I«9. 1/ (8g, — 60 j/H) -f- 150 j/g,1? — 1256!. '' 3 S / I^i 6x , 15x^ 10x.s 45x^ , 27x^ 27x^1 IIV. — ___ 4- n - 3 ll!. 1^1 4^ X -- 1 X - 2- X- X- - A x4^ ... z ° b ° I»2. l/^°n^g,^/14-^^.. 113. 1^g°—4d —g^/1—-^^2.. 26? Bestimme mit Rücksicht auf die Aufg. 111-, 112. und 113. in 4 Decimalen: s «39. 1/65 1/4' -st 1 3 3 141. 1/218. 142. 1/130. s s 14«. 1/24 - 1/3" — 3 .. 143. j/ 62. 144. 1/508. 6. Logarithmen. (U. 197-210.) loZ asto. 2. los 6x^2. 3. los 3a (o -st ä). Bestimme den Ausdruck, dessen Logarithmus gleich ist: A los L -s- IvK — los 2. loZa — (los st -s- los 6). 41. 3 1o§ a — 2 los st -st 4 los e. 42. st los a — st los 6 — st los 6. ^3. los a -st los a — (los a -st 1o§ st). ^8 ^S los st -st Io§ o^. 45. 2 IoK (x -— zst — st los (x -st ^) — st 1oZ (x- — x^ -st ^^). 46. x los (los a). 47. x loZ x — los (los x). 269 Berechne auf 5 Decimalstellcn mit Hilfe der Tabelle in Z. 203, 2, die Brigg'schen Logarithmen folgender Zahlen: 48. 37. 4S. 103. SV. 257. LI. 661. 52. 3383. Suche aus den Logarithmentafeln zu folgenden Zahlen die Brigg- Suche zu folgenden Brigg'schen Logarithmen die zugehörigen Zahlen: Berechne mit Hilfe der Logarithmen folgende Ausdrücke: 1-2345.1-3456. 65. 9-68453.0-29758. 1- 025.1-0792.1-05625 . — 1-0751. 0-35679 . 1-0765.1'92234.0-33258. 2- 00415.0-56.0-0741 . 0'09972 . 1'25463. 17-846 7ii I 71 2E- — 1826 9-157' 3-14159' 521347 ' 2-3456.5-2913 413.5124.21358 "769.H2345^' 425.4998.76143' 2-1457.9-1248.1385.31-273 277.10-7285.2-28127125^092 ' (1-05)^. 7tz. (1-045)9. 77. Zi -ss. (42-456)--. 7S. 2-45° '^ °°. / 323117 /54 139X1» 313/ ' 1.55-817/ ' 2035.(0-00876? „ 3-14159«.2-0489°.1-07938» 3164.(0-00592)°' 4-0932«.0-859«.210-895° ' für r 1-06234 und -r — 3'14l59. (3-905)°. 86. 87. (11'716) L / «4. 66. 67. 68. 6S. 72. 74. 75. 78. 8«. 82. 84. 85. 27» 97. 1/^ <.) ^__2-I45, 1) — .3-087, o 3'248. 98. A . 1/30-9. 99. !W. 1/7-13945' 8 S 3 1/4 /6 i / 24-105.58-937 '«>. — l- .' - >"2. 1/340 . j/ - ------ 111/5 1/124 199. 1^10 ./ 1/10. IVI. ^1^0^35-^I/55 33 - Löse folgende Exponentialgleichungen auf: N 9. 5^-/2^-- — 5--. 129. 3^.5^-t — 7X-1 121. 2'.3'-/4'-^ — 5. I2Z. / >27. 1/10 2. ^ß>139. 3'.5r' — 405, 2*. 7-' — 112. 133. — m, AX 136. 1/s, — IU 1/1>, X 7 1/o — u 1/ä. 122. 4096--.0-5 4'^i. Lrs-1 1234/ " 456' x ' 10 r 128. 1/2^»-- — 5. / 129. j/10 ^1/2-57812. 131. a' -f- 1/ ui, ^VI32. 3' -j- 2>' — 63145, 8.-- —6-' —u. / 3--— 2-'— 54953. 131. t ax>^, 135. 2-.5? 2000, tx-8 3-. 6- —2916, r-i- 4^.7---3136. 137. 1/^8-l — m, l/k--^- — u. 27l V. Gleichungen des zweiten Grades. 1. Bundrntifchc Klnchangen mit cinn- Aiweknnntcn.. (Ztz. 211-219.) I. (x -/ 2) (x — 2) 0. 3. x^ — 9. 5. 2x^ — 1—2 — 4x^. 2. (3x 4- O (3x —4) 0. 4. X? -4 4 — 0. 6. 3x^ — 4093 — x? -4 139. 7. (x -> 7) (x — 7) 51. 8. (2x — 3) (2x -4 3) - 7. 9. (9 -4 x) (7 — x) -j- (9 — x) (7 4- x) — 76. 2«. 2^ 2^ X -4 1/ 4 ^2 — x^ X —14 4 s.2 — X? 27. 1/x- -4 a- - 2-, l/x- - 4- x - 1/ X? — d-r 3 3_3 28. z/5 -4 x 4- 1/1/5 — x — ^ 5 1^5. 43. 5x^ 4- 7x — 24. 45. 5x- 4 13x -4 1-7 -- 0. 47. 16x2 — 24x 4- 11 0. 49. x2 — 0'9x — 0'1. 51. X- 1-28x 0-3825. 53. x? — 0-685 — 0'1141. 39. (2x — 5) (3x 4- 8) — 0. 32. x2 — 12x — 35. 34. x? 4- x — 56 — 0. 39^ x2 — 2 x — 15. 38. x2 — 13x — 140. 4V. x2 4- 19x -4 10 0. ^ 42. x2 /- 2x -4 4 — 0. 12x2 — 20x — 3. ' 4«. 18x2 4- 3x 10. 48. x- — 12x 4- 100 0. zy. x-— 6-8x 4-10-92 0. 52. x2 — 0'2392 — 0'81x. 5t. x2 — 8-712x — 7-23726. 272 62. 63. 64. 65. 66. 1. 68. 67. 7«. 71. L 73. 75. 77. 7». 78. 81. 8«. 83. 82 t.^1. j/3x - 2 — 1^4x — 7 — 1.' 84. 85. 86. x (x 4- 21/11) - 61/2. 88. ax — 1) 1/x — e. 99. x — 10 — 2 ^/x^ — 3x 4- 5. 56. 58. 6«. . L L — 2bx g, X - oX — - . -7-7- 57. X" — (a 4" 5) X -4 L, b — 0. 59. (a — b) x^ — bx — a. «I 9 6 2 — 10x 4- 3 "5- 7-X — X. 2x 4- 1 3 x- — 3 x -j-, 9 2 s — (1 x ^4-3-0. 6x —6. 2x — 1 2 k (l-s-b-) x 1 x 1 » -7-x . L — x 2ax L-X a -j- X — X^ ' SS. A- — 1,2. x 4- 18 6 x -j- 6 x — 3' 3x — 4 2 — x -— 40 — —x— x — 4 2 74. -_ X— 1 x-i- ^0 — X b-j-X i) a * b-s-x a — x a d' Setz- — I- X 4- 1 2x — 3 1 X -4 2 3x — 4 5' 2x — a _ x-4 6a . „ 4x 5s 2x 3L-^5b a — b b— x 2 (s. b) a — x L b' x : (x-1-1) (2x > 3) : (3x-1-4). x^ 4- 2x1/5 r-r 21/6. 87. x -/ 7 x — 30. 89. 2x — 3l/^1i 4. x? — 2abx — a^ 4- a^b^ -4 b^. x^ — (a — b) x — a b — 0. m^x^ — m (a —b) x — ab. x 4-— 3. ' x — 2 6x — 5 . 2"x^3 — — 15. (2 L — b) x —b?_ 2 a (a — b> 2a4^i)—x 2a — x' 5 5 42 —b- »-/-d-' 2x " X^4-1' 72. -4 abx a2 4- b-. 92. 1/^a (b -4 x) — a -4 5 — 1/^b (a —- x). »X —s42x4s -1. »1. /7 7/H - - — X. »X ' j/x ' j/d 96. 1^7 x—13—12 --l/5x4- 1- ,-»7. l/2x^4^2 4- ^^4"2^x. 273 Für welche Werte von x werden folgende Ausdrücke positiv, und für 123. 2a -f- 3b 1/2 und 2a — 3b 1/2. 124. 2 -f- j/— 1 und 2 — 1^— 1. Zerlege folgende Trinome in Factoren: Anwendung der quadratischen Gleichungen mit einer Unbekannten. ISN. Welche Zahl gibt mit^ihrer Hälfte multipliciert 162? 14«. Das Product aus dem dritten und vierten Theile einer Zahl beträgt 108; welches ist die Zabl? 141 Welche Zahl muss um ä vermehrt und um ä vermindert werden, damit das Product der beiden neuen Zahlen aAei? 142. Das 12 fache einer Zahl um 45 vermehrt gibt das Quadrat derselben; welches ist die Zahl? 143. Wenn ^man zu einer Zahl 40 addiert und die Summe durch die unge¬ hinderte Zahl dividiert, so ist der Quotient um 2 kleiner als die ursprüng¬ liche Zahl; wie groß ist diese? Mar Nil, Arithmetik und Algebra. 18 274 144: Wenn man eine gewisse Zahl um 5 vermehrt und um 5 vermindert, so ist die Summe der Quadrate der so erhaltenen Zahlen 178; welches ist die Zahl? 145. Welche Zahl gibt zu ihrem reciproken Werte addiert a zur Summe? 146. Suche zwei Zahlen, deren Summe 30 und deren Product 189 ist. 147. Die Zahl 15 in zwei Theile so zu theilen, dass die Summe ihrer Quadrate 113 wird. 148. Die Zahl 15 in zwei Theile zu theilen, deren Quadrate sich wie 4:9 verhalten? 14». Eine Zahl a in zwei Theile so zu zerlegen, dass der eine Theil die mittlere geometrische Proportionale zwischen a und dem andern Theile wird. 156. Eine Strecke von der Länge a in zwei solche Abschnitte zu theilen, dass die Differenz ihrer Quadrate dem Rechtecke derMbschnitte gleich sei. 151. Eine Strecke a in zwei Abschnitte so zu theilen, dass ihr Product p sei? 152. In einem rechtwinkligen Dreiecke, dessen eine Kathede das 6-^ fache der andern ist, beträgt die Hypotenuse 82 Meter; wie groß ist jede der beiden Katheten? 153. Jemand kauft für 117 st. Weizen, und zwar kostet jedes Hektoliter davon um 4 st. weniger als Hektoliter sind; wießviel Hektoliter Weizen hat er gekauft? 154. Jemand kaufte für 400 st. Tuch; hätte das Meter Ist. weniger gekostet, so würde er für jenes Geld 20 Meter mehr erhalten haben. Wie viel Meter hat er gekauft? 155. Wie lautet die Lösung der vorigen Aufgabe, wenn anstatt 400, 1 und 20 die allgemeinen Zahlen a, 1> und 0 gesetzt werden? 156. Die Kosten einer Reise, welche mehrere Personen unternommen, betragen 432 st; da zwei Personen frei gehalten wurden, musste jede der übrigen Personen um 3 st. mehr bezahlen. Wie viel Personen waren? 157. Ein Vater hinterließ seinen Kindern ein Vermögen von 14400 st. zu gleichen Theilen; bald nach seinem Tode starben zwei Kinder, und es erhielt infolge dessen jedes der übrigen Kinder um 1200 st. mehr, als es sonst bekommen hätte. Wie viele Kinder hinterließ der Vater? 158. Ein Mittagessen, bei dem doppelt so viel Herren als Damen speisten, kostete 176 Zehner; jeder Herr zahlte doppelt so viel Zehner, als Herren waren, und jede Dame dreimal so viel Zehner, als Damen waren. Wie viel Herren und wie viel Damen waren da? 15». Ein Baumgarten bildet ein Rechteck, in welchem 560 Bäume in gleichen Entfernungen von einander stehen; eine Reihe nach der Länge enthält 275 8 Bäume mehr als eine Reihe nach der Breite. Wie viele Bäume stehen in jeder Reihe? I 66. Ein Acker von 6936 Quadratmeter Inhalt hat die Gestalt eines Recht¬ eckes, in welchem die Länge um 34 Meter länger ist als die Breite; wie groß ist die Länge und wie groß die Breite? 161. In einem Rechtecke, dessen Länge um n Meter länger ist als die Breite, beträgt die Diagonale ä Meter; wie groß sind die Seiten? 162 Der Umfang eines Rechteckes ist 2u, der Flächeninhalt l>; wie groß sind die Seiten? IK3. Wie groß ist der Halbmesser eines Kreises, wenn die Blaßzahlen des -Flächeninhaltes und des Halbmessers s zur Summe geben? 164. Um welche Strecke muss man den Halbmesser r eines Kreises verlängern, damit die vom Endpunkte der Verlängerung an den Kreis gezogene Tangente die Länge a habe? 165. Jemand leiht 5600 st. zu einem gewissen Zinsfüße aus; von den Zinsen des ersten Jahres verwendet er 152 fl. für sich, den Rest schlägt er zum Capital, welches dann im zweiten Jahre 256-5 fl. Zinsen bringt. Zu wie viel war das Capital ausgeliehen? 166. Jemand erhält von einem Capitale 120 fl. Zinsen und von einem zweiten, welches um 6000 fl. größer ist und 2A mehr einbringt als das erste, 540 fl. Zinsen; wie groß sind die beiden Capitalien? 167. Man lässt einen Stein in einen Brunnen fallen und zählt t Secunden, bis man das Aufschlagen des Steines im Wasser hört. Wie tief ist der Brunnen, wenn die Acceleration A, und die Geschwindigkeit des Schalles a ist? Die Zeit t ist die Summe aus der Zeit r, welche der Stein zum Falle bis in die Tiefe des Brunnens braucht, und aus der Zeit iu welcher der Schall aus der Tiefe des Brunnens in unser Ohr gelangt. Da sowohl die von dem Steine, als die von dem Schalle zuriickgelegte Strecke der Tiefe x des Brunnens gleich ist, so 60 hat man nach den Gesetzen der Physik x ---- und x — daher rl --- und --- -X-. e Es ist somit -s- --- t, woraus man erhält X --- -Q (e -f- xt -f- 2vAts. 2 x 168. Berechne die vorhergehende Aufgabe für t — 3 Secunden, § — 9-81 Meter und e — 332-25 Meter. 16S. Wie viel Zeit braucht ein mit der Geschwindigkeit v senkrecht in die Höhe geworfener Körper, um die Höhe ll zu erreichen? In x Secunden würde der Körper vermöge der ihm ertheilteu Geschwindig- » x^ leit die Höhe ax.erreichen; in derselben Zeit würde der Fallraum desselben 18» 276 betragen, wo § die Acceleration bedeutet. Für die wirklich zurückgelegte Strecke ü hat man demnach die Gleichung 17«. Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit e senkrecht in die Höhe ge¬ worfen, t Sccundcn später wird ein zweiter Körper mit der Geschwin¬ digkeit c' in die Höhe geworfen; nach wie viel Secunden erreicht dieser mit dem ersten die gleiche Höhe? Discufsivn der erhaltenen Gleichung. 171. Zwei Körper L? und L" bewegen sich auf einer geraden Linie gleich¬ förmig und in derselben Richtung zu gleicher Zeit von den Punkten und von denen um ä Längeneinheiten rückwärts von liegt, und kommen beide nach 1 Zeiteinheiten zu dem Punkte L. Dabei braucht der Körper L? zu einer Längeneinheit Zeiteinheiten weniger als L". Wie viel (1)) Längeneinheiten beträgt die Entfernung des Punktes L von ^"? L' braucht;zu seiner Längeneinheit t äH L" dagegen Zeiteinheiten; folglich und v - - -f- nät. Welche Bedeutung haben ün jdieser Gleichung negative Werte von v, ä, t, n? 172. Zwei Punkte bewegen sich gleichförmig mit den Geschwindigkeiten v' und e" auf zwei sich rechtwinklig schneidenden geraden Linien zu dem Schnitt¬ punkte hin. Ihre Entfernungen vom Schnittpunkte sind zu einer gewissen Zeit 6/ und ä". Nach wie viel (t) Zeiteinheiten werden die beiden Punkte die Entfernung ä von einander haben? Nach t Zeiteinheiten ist ^die Entfernung des Punktes L' vom Schnittpunkte — — e' t, „ —°"t; folglich ist nach dem Pythagoräischen Lehrsätze ck? ---- -s- sä" — und daher o* 6'-s-e"ä" (v" -s- o'") — (<^ck" — Diskussion, a) Soll t reell sein, so muss ä? so" -s- o"h > (o^ä" — e"ck^ also <1 > -- - sein. Die kleinste Entfernung, in welche die Punkte kommen I/ a" -s- a" o- z" _(-« z- können, ist demnach «k — —_— . b) Für die Zeit, nach welcher die Punkte diese kleinste Entfernung haben werden, , . . o'ü--f-a»ck" hat man t --- ' 277 e) Sollen die beiden Punkte im Schnittpunkte der zwei Geraden zusammen¬ treffen, so muss ihre kleinste Entfernung ä — o werden, d. i. 6^ <1^ <^ä" — oder — — -n sein, o" ä" 173. Die Entfernung zweier leuchtender Punkte ist ci, die Lichtintensität des ersten a, des zweiten k>. Welcher Punkt in der durch die leuchtenden Punkte gehenden Geraden ist von beiden leuchtenden Punkten gleich stark erleuchtet? Da die Stärke der Beleuchtung mit der Lichtintensität des leuchtenden Punktes gerade, mit dem Quadrate der Entfernung von demselben aber verkehrt proportioniert ist, so hat man, wenn die Entfernung des gesuchten Punktes von dem ersten leuch- . .. n t> ,, , a -I- 'l/ n d lenden Punkte x heißt, x — ä . - — - Diskutiere dieses Resultat. 174. Zwei Himmelskörper, deren Massen sich wie a:k> verhalten, haben die Entfernung ä. In welchem Punkte ihrer Verbindungsstrecke wird ein dritter Körper von beiden gleich stark angezogen? 175. In welcher Entfernung von der Erde würde zwischen dieser und dem 51800 Meilen von ihr entfernten Monde ein Körper schweben bleiben, wenn die Masse des Mondes der Erdmasse beträgt? -- 260. 17 —x? 3. X (x- — 8) -- 8 (1 — x). «. (x- — 4) (x- -s- 4) 240 9. 3x° -- 2187. u — 2. Höhere und Exponentialgleichungen mit einer Unbekannten, welche sich auf quadratische Gleichungen pirncksühren lassen. (8K. 220—223.) d4Löse folgende binomische Gleichungen auf: Sx^ - 11x-^ 35. 4x< 2x- 3 3 3 ' 64' 3x° — 7x- 6. 3 x° -s- 4 , 3 x° — 4 26 3 x'^ — 4 278 25. x^—2(a? -j- i)2)x?-^-48,2b2 — 0. ^M/x —8j/x — 9. "^Z 3 ÄS I/x2 — I)- — Q -I- l/x. 26. X 1/25 — x2 — 12. s 3 28. I/x^ — 3^x2 54. 3V. f/x» 4- ax- 5. 31. (x2 -f- nx)2 -f- 6 (x2 -s- ax) — v. Setze X* -s- ÄX — 32^ (x2 — 3)2 — 7 (x2 — 3) 6 — 0. 33. (2x2 — 3x -)- 1)2 22x2 — 33x -s- 1. 31. x2 — 8x -j- 5 — 2 1/x2 — 8x -f- 40. Setze X* -- 8x --- 35. 2x2 -I- 3 l/x2 — X 4- 1 2x 4- 3. 3«. (2x -j- f/2^/ — (2x -s- l/2^)2 1260. Löse folgende reciproke Gleichungen auf: 37. x» -f- x2 -f- x -f- 1 0. 38. X-« -f- 3x2 — 3x — 1 -- 0 X» -f- 1 1 -- 0. M. X» - -z- / - 1 - 0. II. 2x»3x2 — 3x —2 0. 42. 5x» —21x2 —21x-f-5^ 43. x^ — 2x» -s- 2x2 — 2x -f- 1 — 0. >4< x» - 12x» -j- 29x2 — 12x -f- 1 — 0. 45. x^--8^2-—f- 1 — 0. 46. 2x^ -s- 5x^ — Hx — 2 — 0. / 24x^ — 50x° — 173x2 — 50x -f- 24 — 0. x» — -s- x» — x2 -f- — 1^-0. 49. 36x2 — 15x^ — 29x2 — 29x2 — z^x -s- 36 — 0. Löse folgende Exponentialgleichungen auf: X x-t-1 x-^-2 5«. 1/n 6'. LI. 2-^r 1/5. 52. fs/2 --- 4--". L3. 3.2" --41^9. 2x-1-1 55. 3.4"^2 4,Z^, S7. x'"«" 578. LS. 3"^4sx^s — 1200. /Ll. 6.72" 7. — 301. i«L^^W^15.3"^2. 64. 5 s^3 -f- 3 1/3 — 10. 54. 1/n — L6. 32"— 100 (3"-r — 1). 58. f/^H — 10. 6V. — 1. 62. 3.42x--2x-»-t 5.4""-"^-2 - 3x 6x 65. 13f/10-5f/1O^25. 279 280 x- 4- I- 34. Setze — u^. / 6 4" X)"2 — 30. Setze x 4^ — 34. x (x 2) — a, I (x 4- 4- 2) d, (x 4- 4- 2) — e. 3K X^ — — IN/ x 2 - — L, 5" 38. a- -- 0, -^^1,-^0, X^L ' X-, 4- d)- 0 ZS. X : ^ — )": 2, x 4^ 4- — 26, x^ 4- 4- 24 — 364. 3». x^ -4 4- 2^ — 94, x(^X) ^45, X 4- 4- 2 — 14. 3^-!- 4- 22, I X 7 X -! ' l , 1 — - ^0, r^> -1- -4 -- 42. xr ' ^i! Auflösung: x — I 4: 4V. x : ^ — 2 : u, x 4- u — 13, l7 -4 2 -- 20, ' x- 4- -1- ^2 4- - 425. 41. x^ 4- — a, x.4-x —3. 43. 4- — a, ! Setze x 4- — d. s — 7 -- u- 42. x° — ^2 — a, x —I ^4>- 44. x^ -4 x —I —6. 4S. x-4-^^-97, ^x -1. 47. x° 4-7» 1512, l x^^ 4^ x)^ — 1440. / 48. x? (x 4- ^) — a, (x 4- 6, 46. x -j- — 72, 3 3 ^X -j- 1/> 6. Suche zuerst x -s- dann x)'. 4»4 (x -4 7) (x- 4- ^2) L, ^(x — z^) (x2 — ^2) — 1). 2K. x2 -4 4- X — — a, I (x2 4- ^2) (x — — d. j Setze x? 4- /2 — X - — V. SI. x2 4- ^/x^ -- 9, 1 z^2 4- X r^xx — 18. j Setze — t-x. 281 52. x (x -s- -j- (x -j- 2^) -i- (x -> 87) - d, x (x -st (x ff- 27) (x 87) o. Man erhält x —- fb s4öb^ 4ms und 7" — s/5b^ 4m, wenn 14b^ -7- 144« — in gesetzt wird. 53. x (x -s- 7)2 (x -s- 27) — p, 54. x(x-s-7) (x-s-27) (x 4-87) —p, x- 4. (x 4- 27)2 (x -s- 27)2 - (x -4 - ä. 55. x -4 — ii, 5K. x -s- X72 — 1>, x2 -s- X272 — 0. x2 -s- X272 4^ x2^ — 0. ^2 _ 0 In der Aufgabe 56. erhält man zunächst x/ — — und daun durch Substitution in den beiden Gleichungen und durch weitere Transformationen 4b ° U: -") und 7 --- 2 (l/- v) ° wenn 14H3b^ — «) (3 e — bff — m gesetzt wird. Anwendung der quadratischen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 57. Das Product zweier Zahlen ist 64, ihr Quotient 4; wie heißen die beiden Zahlen? 58. Man suche zwei Zahlen, deren Quadrate 45 zur Summe und 27 zur Differenz geben. 5Ss Die Zahl 18 in zwei Factorcn zu zerlegen, deren Quadrate 27 zur !-^)ifferenz geben. Hhr Zwei Zahlen verhalten sich wie 3:4, die Summe ihrer Quadrate ist 100; welche Zahlen sind es? 84. Der Zähler und der Nenner eines Bruches betragen zusammen 33. Wäre ! der Zähler um 39, und der Nenner um 20 größer, so würde der Bruch j doppelt so groß sein; welches ist der Bruch? KL. Von welchen zwei Zahlen ist das Product um 84 kleiner als die Summe der Quadrate, und um 44 größer als die Differenz der Quadrate? L3. Dividiert man eine zweiziffrige Zahl durch das Product ihrer Ziffern, so erhält man 6; vertauscht man die Ziffern, so ist die so erhaltene Zahl um 9 größer als die gesuchte; wie heißt die Zahl? «4. Der Unterschied der Quadrate zweier Zahlen beträgt 88; vergrößert man die erste Zahl um 2 und die zweite um 3, so beträgt der Unterschied, der Quadrate nur 81; welches sind die beiden Zahlen? KL. Suche zwei Zahlen von der Beschaffenheit, dass ihre Summe, ihr Prv?^t und die Differenz ihrer Quadrate gleich sind. In einem Rechtecke, dessen Flächeninhalt 1 ist, verhält sich die Länge zu der Breite wie in : n; wie groß ist die Länge und wie groß die Breite? 282 07. In einem Rechtecke ist die Diagonale ä und das Verhältnis m:n der Seiten gegeben; wie groß sind die Seiten? S8. Wie groß ist der Umsang eines Rechteckes, dessen Diagonale ck und dessen Flächeninhalt i ist? SS. Die Diagonale eines Rechteckes von bestimmter Länge und Breite ist ä; vergrößert man die Länge um va und die Breite um n, so wird die Diagonale äO Welche Länge und Breite hat das Rechteck? 70. In einem rechtwinkligen Dreiecke wird die Hypotenuse durch ihre Höhe in zwei Abschnitte getheilt; die Hypotenuse ist a, die eine Kathete ist gleich dem nicht anliegenden Hypotenusenabschnitte. Wie groß sind die Katheten? 71. In einem gleichschenkligen Dreiecke ist gegeben die Höhe ll und die Summe s aus der Grundlinie und dem Schenkel; wie groß sind die Seiten??. 7L. 73. Drei Zahlen bilden eine stetige geometrische Proportion; ihre Summe ist 14, die Summe ihrer Quadrate 84; welche Zahlen sind cs? Die Summe dreier Zahlen, die eine stetige Proportion bilden, ist 39, ihr Product 729; welches sind die Zahlens? 74. In einer geometrischen Proportion ist die Summe der äußeren Glieder 18, die Summe der inneren Glieder 17 und die Summe der Quadrate aller lavier Glieder 325; wie heißt die Porportion? 75. Die Summe der vier Glieder einer geometrischen Proportion ist 72, das Product der inneren Glieder 140, die Summe der Quadrate aller vier Glieder 2050; wie heißt die Proportion? 7K. Eine bestimmte Arbeit kann von L. und L ausgeführt werden; allein braucht zu derselben um 2 Tage mehr, L allein um 4^ Tage mehr, als sie beide brauchen würden, wenn sie zusammen arbeiten. Wie viel Tage brauchen beide zusammen zur Vollendung der Arbeit? 77) und L verkauften zusammen 100 Meter einer Ware, und zwar der eine mehr als der andere, aber beide nahmen dennoch dieselbe Geld¬ summe ein; hätte L. so viel Meter gehabt ^als L, so würde er 63 st. dafür eingenommen haben; hätte L so viel Meter als gehabt, so würde er nur 28 st. dafür erhalten haben. Wie viel Meter hat jeder verkauft? 78. Zwei Röhren liefern zusammen in 20 Minuten 540 Liter Wasser; die erste Röhre braucht, um allein diese Quantität Wasser zu liefern, x^>9 Minuten mehr als die zweite. Wie viel Liter liefert jede in 1 Minute? '0/ In einem rechtwinkligen Dreiecke sind die Hypotenuse a und der Flächen¬ inhalt 1 gegeben; bestimme die beiden Katheten. 80. In einem rechtwinkligen Dreiecke sind die Hypotenuse a und die Differenz ä der beiden Katheten gegeben; wie groß ist jede Kathete? 283 81. Alls der Summe 8 der Hypotenuse und der einen Kathete und der Summe s" der Hypotenuse und der andern Kathete die Seiten des recht¬ winkligen Dreieckes zu berechnen. 82. 3n zwei Quadraten ist die Differenz der Diagonalen ck, die Summe der Flächeninhalte 8; wie groß sind die Seiten? 83. Die Diagonale eines Rechteckes ist 85 Meter; verlängert man jede Seite um 2 Meter, so wächst der Flächeninhalt um 230 Quadratmeter; wie groß sind die Seiten? 84. Ein Grundstück von der Form eines Rechteckes ist u Meter lang und i, Meter breit; um wie viel Meter muss die Länge verkleinert und um wie viel Meter die Breite vergrößert werden, damit das Grundstück an Inhalt gleich bleibe, an Umfang aber um a — 2t> Meter kleiner werde? /8». Ein Reisender braucht zu einem Wege von 520 Kilometer 3 Tage mehr als ein anderer, weil dieser täglich 12 Kilometer mehr zurücklegt als der erstere. Wie viel Tage braucht jeder zu dieser Reise? 8L. Von zwei Orten, die 270 Kilometer von einander entfernt sind, gehen gleichzeitig zwei Eisenbahnzüge ab, von denen der eine zu einem Kilo¬ meter 0'5 Minuten mehr braucht als der andere. Wenn sich nun diese Züge 5 Stunden nach ihrer Abfahrt begegnen, wie viel Minuten braucht jeder zu einem Kilometer? 87. Zwei Reisende gehen gleichzeitig, der eine von gegen der andere von gegen ab. Der erste kommt in L" in Stunden, der zweite in in a" Stunden nach ihrer gegenseitigen Begegnung an. Wie ver¬ halten sich ihre Geschwindigkeiten und o"? und 7- Bezeichnet ck die Entfernung der Orte und L", so findet die Begegnung ä nach i— 0' -f- < , o" ä und -7 - Zeiteinheiten statt; bis dahin haben die Reisenden die Wege 6 ä gemacht, sie haben daher bezüglich noch die Wege zurückzulegen und brauchen dazu hat daher -.- 7 ° —— — a' und « (v -s- e"s »»d Zeckemhetten. «j ä _ „ e" so' -s- Man Dividiert man die zweite Gleichung durch die erste, so erhält man folglich -S I/ a" 88. Zwei Punkte bewegen sich gleichförmig auf zwei sich senkrecht durch¬ schneidenden geraden Linien nach dem Schnittpunkte hin, von dem sie die Entfernungen ck' und ä" haben. Nach t Zeiteinheiten haben beide Punkte die kleinste Entfernung ä von einander. Welche Geschwindigkeiten habe« die beiden Punkte? (Siehe Aufg. 172, Seite 276.) 284 VI. Unbestimmte Gleichungen. 1. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades. (ZZ. 227—232.) Löse in ganzen Zahlen auf: 2x — 3). -- 1. 3. 6x 4- 5) — 128. 5. 7x — 13) — 152. 7. 12x Z- 13) 319. 9. 9x — 22) — 5. 8x 5v 111. 15x 4- 14) — 225. ^Ia. 37 x — 22) — 307. 17. 7x -4 17) 408. X 4- ) 4- — 12, 7x 4- 8^ -1 4ri — 73. 21. 5x -4 3) 4- 7 2 — 36. X- 2x -4 3) — 17. 4. 7x 4- 11) — 18. 6. 8x — 11)' — 200. 8. 5x — 7)- --r I. Ik. 7 x — 4) — 5. 12. 18 x — 25) 10. II. 13x 4- 19)- 73. Ik. 23x — 13). 2. 18. 25x — 11). — 20. 2K. x — 4). 4" 13^ — 16, 7 X -4 ). 4- 2 — 45. 22. 8x4- 11) — 20^ — 6. Löse in ganzen positiven Zahlen auf: 37. Suche zwei Zahlen von solcher Beschaffenheit, dass das 8fache der ersten um das 3 fache der zweiten vermehrt 91 zur Summe gibt. ^38. Die Zahl 200 in zwei Theile zu zerlegen, von denen der eine durch 14, der andere durch 23 theilbar ist. 39. Suche zwei um 10 verschiedene Zahlen, deren kleinere durch 21, deren größere durch 34 theilbar ist. 4V. Zerlege die Zahl 300 in zwei Theile so, dass der erste um 1 vermindert durch 9, der zweite um 7 vermehrt durch 11 theilbar sei. Suche eine Zahl, welche durch 7 theilbar ist, aber durch 29 dividiert 13 "zum Reste gibt. 42. Welche ist die allgemeine Form der positiven Zahlen, welche durch 19 dividiert 1, und durch 28 dividiert 3 zum Reste geben? 285 As Welche positive Zahlen geben durch 24 dividiert 18, durch 13 dividiert 1 zum Reste? Welche, zwischen 1000 und 2000 liegende Zahlen lassen sich, wenn sie um 5 größer werden, durch 13, und wenn sie um 5 kleiner werden, durch 17 ohne Rest theilcn? 45. Zerlege den Bruch in zwei Brüche mit den Nennern 5 und 22. 46. Jemand kauft für 90 fl. zweierlei Sorten Tuch; von der einen kostet das Meter 4 fl., von der anderen 3 fl. Wie viel ganze Meter erhält er von jeder Sorte? 47. Jemand kaufte Kaffee und Zucker, zusammen für 48 fl. 15 kr.; 1 Kilogr. Kaffee kostete 1 fl. 55 kr., 1 Kilogr. Zucker 40 kr. Wie viel ganze Kilogr. Kaffee und wi? viel ganze Kilogr. Zucker hat er gek^ufh^ 4H. Der Durchmesser der ÄchtguldeHtsicke beträgt ^I^Hener der Viergulden- stücke 19 Millimeter. Wie viel ZW- und Liergutoenstücke muss man in gerader Linie nebeneinander stellen, damit die Summe der Durchmesser 1 Meter betrage? 4H. Von zwei gezahnten Rädern hat das eine 13, das andere 17 Zähne; beim Beginne der Bewegung greift der erste Zahn des ersten Rades in die erste Zahnlücke des zweiten Rades ein. Nach wie vielen Umdrehungen des ersten Rades wird der Zahn 1 dieses Rades wieder in die Lücke 1 , des zweiten eingreifen? 5«. Welche dreizisfrige Zahlen mit der Ziffernsumme 18 werden, wenn man ihre Ziffern in umgekehrter Ordnung schreibt, um 198 kleiner? 51. Welche Zahlen geben der Reihe nach durch 11, 19, 29 dividiert bezüglich die Reste 5, 12, 4? >- 52. Die Zahl 50 ist in drei Theilc zu zerlegen, die folgeweisc durch 5, 6, 7 theilbar sind. 53. Der Bruch soll in drei Brüche zerlegt werden, deren Nenner I I, 16, 25 sind. 54. Für 30 Personen, Männer, Frauen und Kinder, sind 60 fl. ausgegeben worden. Wenn nun die Ausgabe für einen Mann 4 fl., für eine Frau 2 fl. und für ein Kind 50 kr. beträgt, wie viel waren Männer, wie viel Frauen und wie viel Kinder? 55. Ein Kaufmann smischt drei Gattungen Spiritus, zu 70 A, 64-Ä und 50^, um 561 Liter Spiritus von 60^ zu erhalten. Wie wird die Mischung geschehen, wenn er von jeder einzelnen Gattung nur eine ganze Zahl von Liter verwenden will? 56. Jemand hat Banknoten zu 10 fl. und Staatsnoten zu 5 fl. und 1 fl.; er will mit denselben eine Schuld von 328 fl. bezahlen. Wie viele Noten jeder Sorte wird er zur Zahlung verwenden, wenn die Zahl der Noten 286 zu 10 fl. so groß sein soll als die Zahl der Noten zu 5 sl. und zu 1 fl. zusammen? 57. Bezeichnet X eine Jahreszahl der christlichen Zeitrechnung, so heißt der Rest der Division die goldene Zahl, " " " " der Sonnenzirkel, " " " " die Römerzinszahl für jenes Jahr. Für welche Jahreszahlen ist a) die goldene Zahl 15 und der Sonnenzirkel 9; 5) die goldene Zahl 14 und die Römerzins¬ zahl 3z o) der Sonnenzirkel 10 und die Römerzinszahl 5z ä) die goldene Zahl 5, der Sonnenzirkel 18 und die Römerzinszahl 13? 2. Unbestimmte Gleichungen des zweiten Grades. (88- 234-236.) Löse in ganzen positiven Zahlen auf: l. 5xx — 3x — 168. 3. 3xx — 5x — 16x. 5. 5xx — 2x — 3x — 18. 7. 12x? — xx — 3^ -j- 87 — 0. 9. 3x? — 2xx — x 4- 1 0. II. x^ -j- 3xv — 2x -s- 2v — 8. 2. xx -4 x — — 64. 4. 7xx -4 10x — 136 x. «. x^ -j- x^ — 2x — 3^ — 29. 8. x? — 2xx -4 X — 4. I«. X- —2xx —3x4-5x4-20 —0. 12. 2x^ — 2xx — 4x -s- 3x — 0. Löse in rationalen Zahlen auf: 13. x? — 16x^ 4- 5x4- ?- 15. x^ — 4x? — x 4- 3. 17. x^ 4x- — 5. IN. x? — 5 x? — 7x-j-4. 21. x" — 7x- 4- 9. 2Z. x? — 6x? — 5x — 6. 25. x^ — 1 — x^. 14. x" 25x^ — 39x -4 12. ttz. x? — x? — 4x — 3. 18. x? x- 4- 1. 2«. x- 3x- — 2x -4 1. 22. x^ — 2x^ 4- 3x 4- 4. 24. x^ — 3x^ -4 17 x -s- 10. 2«. x" — 5x^ 4- 42x 4- 16. Gib die Werthe von x an, für welche folgende Ausdrücke rational werden 27. j/x- — 4. 28. l/9x^ —5^4^77 29. s/l6x^ -4 9x —^8. 39. s/2x- 4- x -4 4. ZI. j/3x--4 2x-4 9. 32. — 3x^4 1. 33. s/x- — 1. 34. j/6x- -n 2x —20. 35. 8x^4- 2x — 3'. Löse folgende Gleichungen in rationalen Zahlen auf: 3«. x- —X- — 25. 37. 3x-— 4xx-4 4-1--0. 38. 3x^ — 4xx -4 4- 3x — 7- 39. 4x^ — 4xx -4 6x — 8x — 1. 49. 2x- -4 2xx — X' — 2x 4- 4x 4- 5 0. 287 4l 5x? — 12xv — 4^ — 6x 4^ — 3. 42. 4x2 > 2x^ — — 4)' -s- 12 — 0. 43 7x2 — 6x^-i-)'2_^8x — 2^4-13 — 0. Anwendungen. 44. Zwei ganze positive Zahlen zu finden, deren Summe zu dem Produkte addirt 47 gibt. 45. Von welchen zwei ganzen positiven Zahlen ist das Product um 33 größer als ihre Differenz? 46. Zwei ganze positive Zahlen zu finden, deren Quotient und Summe zu¬ sammen 35 betragen. 47. Suche zwei ganze positive Zahlen, deren Quotient und Differenz gleich sind. 48. Von welchen zwei ganzen Zahlen geben die Quadrate 35 zur Differenz? 4». Welche zweiziffrigc Zahl gibt durch das Product ihrer Ziffern dividiert den Quotienten 5 mit dem Reste 2? 56. Zwei Zahlen von der Beschaffenheit anzugeben, dass die Differenz ihrer Quadrate wieder ein Quadrat sei. 51. Suche die allgemeine Form einer Zahl, welche, wenn man sie entweder um 1 vermehrt oder um 1 vermindert, in beiden Fällen ein Quadrat gibt. Setzt man x -tz t. — s? und x — 1 — -r? — 2 — t>2, — L — p, so folgt n --- p 2^-2 —-— nnd X — 2p 4p2 ferner b — 1/A? — 2 (Vergleiche auch Aufgabe 249, Seite 261.) 52. 53. Die Summe zweier Quadrate a2 Zr in die Summe zweier anderer Quadrate zu verwandeln. k? -s- l>2 — x? -p- v?. Setzt man -s- lt> x) fb — x) — u -s- (r> — x) , 2Lp-i-bp2 — d 2bp — Np? -i- rr >o folgt x — —. - 2 - und x — — - -- , " 1 -s- p" 1 A p Drei Zahlen von solcher Beschaffenheit anzugeben, dass die Summe der Quadrate der beiden ersten dem Quadrate der dritten Zahl gleich sei. X- z,2 2-, va^ — Setzt man für beliebige Werte -f- — (« -p so folgt daraus » — — -r- ^2 uud » -p n — —daher /m* — nAS /ir>^-l- oder, wenn man mit 4n^ multipliciert, — n-)- -p (2m n)- — -s- r?)'. Demnach sind x — oa^ — iA y 2 in n, — m'2 4- rationale Werte von x, /, welche der vorgelegten Aufgabe genügen, mögen für 1» und n was immer für rationale Zahlen gewählt werden. Nimmt man für in und n ganze Zahlen, so erhält man auch für x, /, 2 ganze Zahlen. Diese Aufgabe hat in der Planimetrie ihre Anwendung, um rechtwinklige Dreiecke zu erhalten, deren Seiten commensurabel sind (Pythagoräische Dreiecke). Drücken x und x die Katheten ans, so ist 2 die Hypotenuse, und man hat für IN — 21 X — 3s V — 41 . ---5! 3! L 4! 5s 5 6 6.. 2s 1 3s 2s 4 is 5s.. 5 t2 13 15 8 17 7?21 6 35 14.. 24120 40 12 6vl.. 25s29 41 37 61s.. 54. Vier Zahlen von solcher Beschaffenheit anzugeben, dass die Summe der Quadrate der ersten drei dem Quadrate der vierten Zahl gleich sei. X' 4^ n2. Setzt man s? 4- m2 4- n? — (s 4- p)4 so erhält man -s- n2 - -f- u^ 4- 8 - — nnd 8 4- ? — ; folglich ist 2p 2p /M' 4- u- - n^p-12 l. 2p / ' > V 2p /' oder, wenn man mit 4 p? multipliciert, (m^ -s- — p2/ 4. (2mx)^ -f- (2Np/ — (m^ -j- n^ -f- p^/. Daher ist x — -f- n^ — p'^, — 2 mp, L — 2np und u — m" -s- n^ -f- p^. Diese Aufgabe findet in der Stereometrie ihre Anwendung, um rechtwinklige Parallelepipede zu erhalten, in denen die drei Kanten und die Diagonale commen¬ surabel sind. VII. Kettenörüche. (W. 238-248.) Verwandle folgende Kettenbrüche in gemeine Brüche: 289 Näherungsbrüche. deren Nähe- in Kettenbrüche und bestimme II. ä) 0-8282; e) 2-7041. o) 0'357; 12. 135 328' *00. 137' , 157 b) 972' .. "1. 53' .. 3361 . O' 900 ' Verwandle folgende Brüche rungsbrüche: . 129 164' 999. 13. Gib die ersten fünf Näherungswerte des Decimalbruches 0-65438 und die Fehlergrenze eines jeden derselben an. 14. Verwandle in einen Kettenbruch und weise an den Näherungsbrüchen die in den Ztz. 242 und 243 begründeten Eigenschaften nach. 15. Ein Wiener Pfund hat 0-56006 Kilogramm; welches sind die ersten fünf Näherungswerte dieser Verhältniszahl? 16. Ein Liter ist — 0-70685 Wiener Maß; suche die Näherungswerte. 17. Ein österr. Achtguldenstück enthält 5-80645, ein deutsches Zehnmarkstück 3-58423 Gramm feines Gold; drücke das Verhältnis zwischen diesen beiden Goldmünzen in kleineren Zahlen möglichst genau aus. 18. Der Modische Monat, d. i. die Zeit von einem Neumonde zum andern, hat 29'53059, das tropische Sonncnjahr 365-24222 Tage; bestimme die ersten acht Näherungswerte des Verhältnisses beider Zeiträume. Auf dem sechsten Näherungsbruche welcher ausdrückt, dass 19 Sonnenjahre sehr nahe 235 synodische Monate ausmachen, beruht der Meton'sche Chklus von 19 Jahren, nach deren Verlauf die Mondesphasen wieder nahezu auf die nämlichen Tage des Jahres fallen, sowie die goldene Zahl, welche anzeigt, das wievielte Jahr in diesem Cyklus ein bestimmtes Jahr ist. Berechne mittelst der Kettcnbrüche folgende irrationale Quadratwurzeln auf 5 Decimalen: IS. 1/10. 2». 1/23. 21. 1/47. ' 22. 1/129. 23. 1/61. 24. 1/205. 25. 1/531. 26. 1/2222. Löse mittelst der Kettenbrüche folgende unbestimmte Gleichungen in ganzen Zahlen-auf: 6 MoSnik, Arithmetik und Algebra. 19 290 VIII. Arogressione«. 1. Arithmetische Progressionen. (KZ. 250—252.) Suche das allgemeine und das Summenglied der arithmetischen Reihen: I. 1, 2, 3, 4, 5, 6,.... 2. 2, 4, 6, 8, 10. 12 z. „28, —25, —22, -19,.... 4. 100, 97, 94, 91,.... 5. 100, 92^-, 85, 77^-, 70,.... 6. Wie groß ist die Differenz einer Progression, deren erstes Glied 109, und deren 34stes Glied 10 ist? 7. Mit welcher Zahl sängt eine Progression an, deren Differenz 5, und deren 27stes Glied 139 ist? 8. Eine Progression fängt mit 1 an und steigt nach der Differenz 5; das ! wievielte Glied ist 116? S. Dms erste Glied einer arithmetischen Progression ist 20, die Zahl der Glieder 10, das letzte Glied —16; wie groß ist die Summe? Iv. Wie viele Anfangsglieder einer Progression muss man addieren, um 2808 zur Summe zu erhalten, wenn das erste Glied 2 und die Diffe¬ renz 10 ist? 11. Die Summe einer Progression, deren Differenz 3 und deren letztes Glied 97 ist, beträgt 1612; wie groß ist a) das erste Glied, 6) die Anzahl der Glieder? 12. Leite die allgemeinen Formeln ab, durch welche aus je dreien der Größen Li, ä, n, und Sa (§. 251) die beiden anderen bestimmt werden. Löse folgende Aufgaben: 291 23. Interpoliere in der Reihe 1, 5, 9, 13, 17, 21,... zwischen je zwei Glieder 8 Glieder, so dass wieder eine arithmetische Progression entsteht- 24. Zwischen p und q sollen r Glieder interpoliert werden; wie groß ist das nte dieser Glieder? Ä5. Wie viele Zahlen muss man zwischen 16 und 250 einschalten, damit man eine arithmetische Progression mit der Summe 1995 erhalte? 26. Wie viele durch x> thcilbare Zahlen liegen zwischen 0 und u? Wie viele Zahlen, welche durch 6 thcilbar sind, liegen zwischen 0 und 100? Wie groß ist ihre Summe? 28. Die Zahl 225 soll in mehrere Theilc so getheilt werden, dass jeder folgende um 2 größer als der vorhergehende, und der letzte 29 ist. Wie groß ist der erste Theil und wie groß die Anzahl der Theile? 2g. Eine Summe Geldes wird unter mehrere Personen so vertheilt, dass die erste 80 sl. und jede folgende 4 st. weniger bekommt; die letzte erhält 28 st. Wie viel Personen sind betheilt worden, und wie groß ist die ganze Geldsumme? 3V. Ein Diener war bei einem Herrn 6 Jahre im Dienste und erhielt in jedem folgenden Jahre 12 st. an Lohn mehr als im vorhergehenden, zusammen 900 st. Wie viel erhielt er das erste, wie viel das letzte Jahr? 31. Es ist ein Brunnen von 12 Meter Tiefe zu graben; für das erste Meter .z-ahlt man 4 st. 40 kr., für jedes folgende 40 kr. mehr; wie viel zahlt .man für das letzte Meter, wie viel für den ganzen Brunnen? H2. Gin Körper legt in der ersten Secunde a Meter, in jeder folgenden , ' ck Meter mehr zurück als in der vorhergehenden, a) Wie groß ist der in Secunden zurückgelegte Raum; b) in welcher Zeit legt der Körper 1 s Meter zurück? 3^. Ein frei fallender Körper durchläuft in der ersten Secunde 4-9 Meter, und in jeder folgenden 9'8 Meter mehr als in der vorhergehenden; wie .„Hroß ist der Fallraum der 5ten Secunde, wie groß der Fallraum in 5 Secunden? (Der Widerstand der Luft bleibt unbeachtet.) 31. Eine vertical in die Höhe geschossene Kugel legt iu der ersten Secunde 200 Meter, und in jeder folgenden 9'8 Meter weniger zurück; wie hoch , wird sie steigen und in wie viel Zeit wieder auf die Erde zurückfallen? einen Punkt herum liegen 6 anstoßende Winkel, von denen jeder folgende um 9" 12^ größer ist als der vorhergehende; wie groß sind die einzelnen Winkel? 36. Jemand setzt in die Lotterie auf eine Nummer 20 kr. und, solange cr --4, nicht gewinnt, jedes folgendemal um 20 kr. mehr als das vorhergchendc- mal. Wenn nun der Treffer einer Nummer mit dem 14 fachen Einsätze lv* 292 38. 39. Das dritte Glied einer arithmetischen Reihe ist 5, das siebente 11; wie groß ist das zehnte Glied? Die Summe der ersten 6 Glieder einer arithmetischen Progression ist 17, '' das vierte Glied ist 3; wie heißt die Progression? In einer arithmetischen Progression beträgt die Summe der ersten 5 Glieder 75, die Differenz zwischen dem fünften und zweiten Gliede 18; wie groß ist a) das erste Glied, b) die Differenz? slAsl Vier Zahlen bilden eine arithmetische Progression, deren Differenz 4 ist; ' s das Product der letzten zwei Zahlen beträgt 165; welche Zahlen sind cs? 44. Zwei arithmetische Progressionen haben/gleich viele Glieder, die erste fängt mit 1 an und endet mit 15, die zweite fängt mit 3 an und endet mit 24; wie groß ist die Summe jeder Äeihe? (Die Lösung führt auf eine unbestimmte Gleichung.) 45. In einer arithmetischen Reiht, deren Glieder die Summen der gleich¬ stelligen Glieder zweier arithmetischen Progressionen mit den Anfangs¬ gliedern 2 und 3 sind, ist/das ute Glied 9n — 4. Wie heißen die beiden Progressionen, wenn dje Differenz der zweiten doppelt so groß ist als die Differenz der ersten?^ Die Summe von drei Zahlen, welche eine arithmetische Progression bilden, ist 36, die Summe ihrer Quadrate 482; welche Zahlen sind es? 47. Vier Zahlen bilden eine arithmetische Progression; ihre Summe ist 2, ihr Product 40; welche Zahlen sind es? (Vcrgl. Ausg. 52, Seite 281.) 48. In einer arithmetischen Progression von vier Gliedern ist das Product aller Glieder 880, die Differenz der Quadrate der beiden mittleren Glieder 39; welche Progression ist cs? 49. Zwei Körper bewegen sich gleichzeitig von aus in derselben Richtung; der eine legt in einer Secunde 20 Meter zurück, der andere in der ersten bezahlt wird, bei welchem Spiele würde der Gewinnende sein ganzes, bis dahin eingesetztes Geld zurückerhalten? Eine unverzinsliche Schuld wird in sechs Jahreszahlungen getilgt. Im ersten Jahre bezahlt man 600 st., in jedem folgenden um eine bestimmte Summe mehr; für das sechste Jahr beträgt die Zahlung 850 st.; wie groß ist die ganze Schuld? Ein Capital cr wird nach u Jahren sammt den einfachen Zinsen zu zurückgezahlt; wie viel beträgt Äc Zahlung? Durch u Jahre wird am Anfänge eines jeden Jahres ein Capital e zu auf einfache Zinsen angelegt; zu welchem Werte s sind sämmtliche Anlagen bis zum Schlüsse des uten Jahres angewachsen? 8 6 -j- 2(10 0 293 Secunde 12 Meter und in jeder folgenden 2 Meter mehr als in der vorhergehenden. Nach wie viel Sekunden holt dieser den ersten ein? 2. Geometrische Progressionen. (88- 253-257.) Suche das allgemeine und das Summenglicd der geometrischen Reihen: 1 H 17 1. 5, 15, 45, 135,.... 2. ,6, 4^-, 3^-, 2^,.... Z. 10-5, 2-625, 0-65625 4. 3^—12, 48, —192,.... 5. Wie groß ist das erste Glied einer Progression, deren Quotient 1-^-, deren 7tcs Glied 68^ ist? 6. Wie viele Anfangsglieder der geometrischen Progression I, 3, 9, 27,... muss man addieren, um 3280 zur Summe zu erhalten? 7. Wie groß ist der Quotient einer Progression, deren erstes Glied 2, deren 12tes Glied 4096 ist? 8. Wie groß ist die Summe der ersten 8 Glieder der geometrischen Progression , i? i? s. Bestimme die Summe der Reihe 22 22 , .. —Q. 22. 6 «2 tz« ' ' ' ga —I tzN 10. Leite die allgemeinen Formeln ab, durch welche aus je dreien der Größen und Sa gegeben, so erhält man für g und a»; sind n, und s» gegeben, für a, und -st ... 3. Zinseszins- und Rentenrcchnung- (88. 261-264.) 1. Zu welchem Werte wächst ein Capital von 5800 fl. in 15 Jahren bei 5A Zinseszins an? 2. Jemand legt 5042 fl. in eine Sparcasse, welche die Einlagen zu 4^ und zwar halbjährig verzinset, ein; nach 20 Jahren behebt er das Capital sammt Zins und Zinseszins; wie groß ist die Summe? 297 Z. Wie viel werden 7324 fl. 20 kr. bei 4-^-A Verzinsung nach 23^ Jahren wert sein, wenn man die Zinsen ganzjährig zum Capitale schlägt? 4. Der Bestand eines Waldes wird gegenwärtig auf 42350 Cubikmeter geschätzt; wie groß wird derselbe bei einem jährlichen Zuwachs von 3A nach 10 Jahren sein? 2. Ein Land hat gegenwärtig 548200 Einwohner, wie groß wird die Be¬ völkerung bei einer jährlichen Zunahme von 1-^-A nach 14 Jahren sein? S Ein Capital von 9000 fl. ist nach 10 Jahren unverzinslich fällig; wie groß ist sein Barwert, wenn Zinseszinsen zu 5^ gerechnet werden? 7. Für ein durch 9 Jahre zu 4^ Zinseszins angelegtes Capital erhält man 5234 fl.; wie groß war das ursprüngliche Capital? 8. Eine Stadt zählt gegenwärtig 36230 Einwohner; wie groß war bei einer jährlichen Zunahme von 2^ die Bevölkerung vor 30 Jahren? 9. Ein Waldbestand wird gegenwärtig auf 180000 Cubikmeter veranschlagt; wie stark war derselbe vor 15 Jahren, wenn man aunimmt, dass er sich während dieser Zeit regelmäßig jährlich um 3^ vermehrt hat? 19. Ein Capital von 7537 fl. 80 kr. wächst in 20 Jahren mittelst Zinses¬ zinsen auf 20000 fl. an; zu wie viel A war es verzinset? 11. 3200 fl. sind vor 80 Jahren angelegt worden und während dieser Zeit sammt Zinseszins auf 34059'83 fl. angewachsen; zu wie viel war das Capital angelegt? 12. Wien hatte zu Ende 1869 622927, zu Ende 1880 726105 Einwohner; wie viel H beträgt die jährliche Zunahme der Bevölkerung? I Z. In wie viel Jahren wird ein Capital a bei p A Zinseszins in mal so groß als es ursprünglich war? Hier muss man ss-> — ms. setzen, daher ist n — s 14. In welcher Zeit verdoppelt sich ein Capital zu 5A Zinseszins? 12. In wie viel Zeit wird ein Capital zu 4A Zinseszins a) bei ganz¬ jähriger, b) bei halbjähriger Capitalisierung auf das Dreifache anwachseu? 15. In wie viel Jahren erhöht sich die Bevölkerung eines Ortes bei 1-^-A jährlicher Zunahme von 5200 Einwohnern auf 9433 Einwohner? 17. Von einer Schuld von 10000 fl. werden nach 3 Jahren 2500 fl., nach 6 Jahren 1000 fl. bezahlt; wie groß ist noch die Schuld nach 10 Jahren, wenn 5^ Zinseszinsen gerechnet werden? 18. Ein Capital a wird zum Zinsfüße o verzinst, die Verwaltungskosten betragen vA und werden am Ende jedes Jahres abgerechnet; zu welcher Summe wächst das Capital in n Jahren an? 298 iS. Durch 20 Jahre werden zu Anfang eines jeden Jahres 200 fl. angelegt; zu welchem Werte werden diese Capitalien bei 4A Zinseszins zur-Aeit der-letzten-Äwlsge- angewachsen sein? 2V. Jemand erspart jährlich 280 fl. und legt diese am Ende eines jeden Jahres auf Zinseszinsen an; über welche Summe wird er nach 15 Jahren aus diese Weise verfügen können? 21. Durch n Jahre wird jährlich ein Capital r zum Zinsfüße « angelegt, die Verwaltungskosten betragen jährlich und werden am Ende des - Jahres abgerechnet; zu welcher Summe sind diese Capitalsbeträge zur Zeit der letzten Anlage angewachscu? §^22. Jemand hat durch 12 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres den gleichen Geldbetrag zu 4^ Zinseszinss angelegt, und bezieht dafür nach dieser Zeit 19Z9 fl. 18 kr.; wie groß war die jährliche Einlage? 23. Ein Capital von 12500 fl. ist nach 7 Jahren fällig; es soll durch gleiche, am Anfänge eines jeden der 7, Jahre zahlbare Summen getilgt werden. Wie groß sind die Theilzahluiigen bei 5A Zinseszins? 2-t. Wie hoch müssen die am Enjse eines jeden Jahres zu leistenden Abschlags¬ zahlungen sein, damit eine/nach 10 Jahren unverzinslich fällige Schuld von 8000 Mark getilgt werde, den Zins zu 4S gerechnet? ! 25^, Ein Gutsbesitzer will seine Feldfrüchte im veranschlagten Werte von / 6800 fl. gegen Hagel versichern; wie hoch wird die Assecuranz-Gescllschaft '>/ die jährliche Bersicherpngsprämie bei Zinseszins ansetzen, wenn ,/i angenommen wird, dass der Hagelschlag die Fcldfrüchte jener Gegend / durchschnittlich alle 16 Jahre gänzlich vernichtet? Ein zu 4-^-^ Zinseszins ausstchcüdcs Capital von 5000 fl. wird am KMe. jedes Jahres um 500 fl. vermehrt; wie hoch wird es in 8 Jahren anwachsen? 27. Von einem Walde, dessen jährlicher Zuwachs 2-^-A beträgt, ist der gegenwärtige Bestand 14H678 Cubikmeter; wie groß wird der Bestand > § nach 18 Jahren sein, wenn am Ende eines jeden Jahres 1475 Cubik¬ meter gefällt werden? ^28. Jemand will eine Schuld von 10^100 fl., die zu 5A zu verzinsen ist, in 10 gleichen Jahresraten abtragcn; wie groß wird eine Raten¬ zahlung sein? 2S. Dem Vormunde eines Kindes von 5 Jahren wird eine Summe von 6000 fl. mit der Verpflichtung überwiesen, das Kind bis zum I8ten Jahre zu erziehen; welches ist der Betrag des nachschussweise zahlbar angenommenen jährlichen Erziehungsgeldes, wenn 5^ Zinseszinsen berechnet werden? 299 ZV. Eme Stadt will bei einer Bank ein Anlchen mit der Verpflichtung auf- nehmcn, dasselbe durch einen am Ende jedes Jahres zahlbaren Betrag von 28000 fl. binnen 25 Jahren zu tilgen; welche Summe wird die Bank der Stadt bei 5^ Zinseszins darleihen? 3!. Wie viel bleibt von einer Schuld von 26000 fl. bei 5-« Zinseszins nach 10 Jahren übrig, wenn für Zinsen und Tilgung eines Theilcs der Schuld — jährlich 2000 fl. gezahlt werden? 32. Wie groß ist ein auf Zinseszinsen zu angelegtes Capital, wenn von demselben bei einer am Ende eines jeden Jahres eintrctendcn Ver¬ minderung um 250 fl. nach 15 Jahren noch 1300 fl. übrig sind? 33. Ein Vater hinterlässt seinen 5 Kindern ein Vermögen von 20000 fl., welches zu 5^ Zinseszins angelegt ist; davon beziehen die Kinder am Ende eines jeden Jahres 1500 fl. Wie viel erhält dann jedes der Kinder nach ü Jahren, wenn der Rest des Vermögens zu gleichen Theilen unter sie vertheilt wird? 34. Jemand kauft ein Haus und bezahlt den Kaufschilling dadurch, dass er durch 20 Jahre am Schluffe eines jeden derselben eine Abschlagszahlung von 1200 fl. leistet; wie groß ist der Kaufpreis, wenn jede Abschlags¬ zahlung zugleich 5^ Zinsen für die noch unbezahlte Schuld enthält? 35. Wie viel muss man am Schlüsse eines jeden Jahres zu einem Capitale von 4500 fl. hinzufügen, damit es sich bei 4H Zinseszins in 6 Jahren verdopple? 36. Jemand hat ein Capital von 12532 Mark zu 4-^-A ausstchen und gebraucht davon jährlich 1000 Mark; nach wie viel Jahren wird das Capital erschöpft sein? - 37. Ein Wald, dessen Bestand auf 150000 Cubikmetcr Holz mit einem jähr¬ lichen Zuwachs von 2^ veranschlagt wird, soll innerhalb 12 Jahren abgcstockt werden; wie viel Holz wird man jährlich schlagen, um jedes Jahr gleich viel Holz zu erhalten? 38. Eine Eisenbahn-Gesellschaft macht eine Anleihe von 4 Millionen Gulden zu 5?» und will dieselbe dadurch amortisieren, dass sie jährlich 250000 fl. zur Zinscnzahlung und thcilwcisen Tilgung des Anlehcns verwendet; nach wie viel Jahren wird die Schuld getilgt sein? 39. Jemand ordnet in seinem Testamente an, dass seinem treuen Diener bis zu dessen Tode jährlich 100 fl. ausgezahlt werden. Die Erben werden mit dem Diener einig, ihm dafür auf einmal einen Betrag von 1200 fl. zu zahlen. Wie viel Jahre müsste der Diener noch leben, wenn er von dem Übereinkommen weder Schaden noch Vortheil; haben sollte, die Zinsen zu 5^ gerechnet? 300 4«. Jemand nimmt bei einer Sparcassc ein Capital von 8000 fl. auf, das er durch gleiche Teilzahlungen, die am Ende eines jeden Jahres fällig sind, in 15 Jahren tilgen will; wie groß ist eine Theilzahlung, wenn die Sparcassc verausgabte Gelder mit 5-tz, empfangene dagegen mit 4A Zinseszins in Rechnung bringt? 41. Ein Herr will seinem Diener bei einer Versicherungsanstalt ein nach 11 Jahren zahlbares Capital von 1000 fl. versichern; welchen Betrag muss er an die Anstalt zahlen, wenn dieselbe zu 5^ verzinst? 42. Welchen Barwert hat eine durch 14 Jahre am Ende jedes Jahres mit 420 fl. zu leistende Rente, wenn 4?s Zinsen gerechnet werden? 43. Jemand verkauft eine nachschussweise Jahrcsrcnte von 620 Mark, die er noch durch 10 Jahre zu genießen hat; wie viel wird er dafür erhalten, wenn 4A Zinseszinsen gerechnet werden? 44. Ein Vater will für seinen Sohn, wenn dieser das 24ste Jahr erreicht hat, eine Summe versichern; er zahlt zu diesem Zwecke von der Geburt des Sohnes angefangen bis zu jener Zeit an eine Versicherungsanstalt am Anfänge jedes Jahres 400 fl. Welchen Betrag wird die Anstalt bei 5^ Zinseszins nach 24 Jahren auszuzahlen haben? 45. Jemand will für seinen Sohn bei einer Bank eine Summe von 1000 fl. versichern, welche dieselbe beim Beginne des 15ten Jahres auszahlen soll; welchen jährlichen Betrag muß er am Anfänge eines jeden Jahres bis zu jener Zeit zum Zinsfüße 1'045 leisten? 46. Ein Capital von 20000 fl. soll bei 4^> Zinseszins durch eine jährliche Rente getilgt werden, die vom Ende des ersten Jahres beginnt und 30 Jahre dauert; wie groß muss die Rente sein? 47. Jemand erlegt 12000 fl. zu 4A, und will dafür durch 24 Jahre am Ende jedes derselben eine Rente beziehen; wie groß wird dieselbe sein? 48. Bei einer Anstalt werden 1000 fl. gegen Entrichtung einer jährlichen Prämie von 27 fl. versichert; nach wie viel Jahren ist bei 4-^-^ das versicherte Capital durch Prämien gedeckt? 4S. Ein Capital von 8000 fl. soll durch die nachschussweise jährliche Rente von 801-12 fl. bei 4^ Zins getilgt werden; wie lange muss die Rente gezahlt werden? 50. Wie viele Jahre hat eine nachschussweise Rente zu laufen, die jährlich 600 fl. beträgt und gegenwärtig einen Wert von 10000 fl. hat, die Zinsen zu 5^ gerechnet? 51. Jemand versichert bei einer Anstalt auf den Todesfall 5000 fl. und muss am Anfänge jedes Jahres eine Prämie von 180 fl. zahlen; wenn er 301 nun nach 24 Jahren stirbt, wie groß ist der Gewinn oder Verlust der Anstalt bei 4^ Zinseszins? 52. Wie groß muss die Jahresrente sein, die 10 Jahre hindurch zu zahlen ist, wenn sie einen gleichen gegenwärtigen Wert haben soll mit einer Jahresrentc von 500 st., die 15 Jahre zu laufen hat, die Zinseszinsen zu 4A gerechnet? Jemand hat eine Jahresrente von 1800 Mark aus 30 Jahre zu beziehen; er wünscht aber statt derselben eine größere ans 20 Jahre zu haben; wie groß wird diese bei 4^-A Zins sein? 54. Eine Jahresrente r, die zum Zinsfüße 6 durch u Jahre zu zahlen ist, soll in eine andere r' zum Zinsfüße verwandelt werden; wie viel Jahre wird die neue Rente zu zahlen sein? 5li. Jemand will durch 18 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres eine bestimmte Summe bezahlen, damit nach Verlauf dieser Zeit er selbst oder eine andere Person 10 Jahre hindurch eine am Ende jedes Jahres fällige Jahresrente von 500 st. genieße; wie groß ist die jährlich zu zahlende Summe, wenn 5A gerechnet werden? Hk. Welche Einlage muss man durch 20 Jahre am Anfänge jedes Jahres an eine Versicherungsanstalt machen, um nach Verlauf dieser Zeit bei 4A Verzinsung eine Jahresrcnte von 300 st. durch 12 Jahre zu genießen? 57. Jemand zahlt durch 30 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres 68 fl. in eine Rentenbank, welche zu 4^ verzinst; welche nachfchussweise Rente wird ihm die Bank durch die 7 folgenden Jahre geben? 58. Welche nachschussweise Jahresrente wird man durch 15 Jahre beziehen, wenn man vorher durch 25 Jahre zu Anfang eines jeden Jahres einen Betrag von 125 fl. eingezahlt hat und 5A Zinseszinsen rechnet? 5K. Jemand hält sich noch auf 20 Jahre für arbeitsfähig; wie viel muss kr in dieser Zeit jährlich auf Zinsen ä 4^-^ legen, um nach Ablauf der¬ selben noch 15 Jahre eine Jahresrente von 300 fl. zu genießen.?— ——.. KV. Jemand, der sich noch 15 Jahre für arbeitsfähig hält, spart in dieser Zeit jährlich 250 fl. und legt sie zu 4^, auf Zinsen an; wie lange kann er dafür nach Ablauf jener Zeit eine Jahresrente von 40o fl. ansprechen? KI. Eine Rente, welche im ersten Jahre 400 fl. beträgt und in jedem folgenden Jahre um 50 fl. wächst, wird 10 Jahre hindurch am Ende eines jeden Jahres ausgezahlt; welches ist ihr Barwert, wenn 4-,^-A Zinses¬ zinsen gerechnet werden? K^-l' 302 IX. Komöinationskehre. 1. Permutationen, Combinationcn und Banationen. Permutationen. (KZ. 266—268.) !. Wie viele und welche Permutationen erhält man aus den Buchstaben des Wortes ROLl^? 2. Stelle für die Elemente adoäs lexikographisch die Permutationen dar, die 1) mit a, 2) mit a anfangen. 3. Bilde die Permutationen aus den Elementen aaadi-o. 4. Wie groß ist die Zahl der Permutationen aus a?k-? 5. Wie viele vierziffrige Zahlen gibt cs, deren jede die Ziffern 3, 0, 7, 4 enthält? 6. Wie viele fünfziffrigc Zahlen enthalten die Ziffer 6 2 mal, die Ziffer 3 2 mal und die Ziffer 5 Imal? 7. Wie viele neunziffrige Zahlen lassen sich aus den neun arabischen Ziffern bilden, wenn die Ziffern jeder Zahl ungleich sein sollen? 8. Wie oft können 5) Tischgenossen ihre Plätze am Tische wechseln, bis sie in allen Ordnungen gesessen sind? A. Wie viele verschiedene Stellungen geben 3 weiße, eine blaue und 2 rothc Kugeln? Combinationcii. (ZZ. 269—272.) 10. Bilde für die Elemente alooäa die Amben und Terncn a) ohne Wieder¬ holung, d) mit Wiederholung. 11. Bilde alle Combinationen ohne Wiederholung von den Elementen 123456. 12. Wie viele Amben und Lernen enthalten 6 Elemente a) ohne Wieder¬ holung, d) mit Wiederholung? 13. Wie viele Elemente muss man haben, die mit Wiederholung combiniert für irgend eine Llasse eben so viel Combinationen geben, als 10 Elemente ohne Wiederholung für dieselbe Classe combiniert? 14. Wie viele Unionen, Amben, Lernen, Quaternen und Quinternen geben a) die 90 Nummern der gewöhnlichen Zahlenlotterie, b) die in einer Ziehung herauögehobenen 5 Nummern? I». Welche und wre viele Würfe durchaus ungleicher Felder können niit 2 Würfeln geworfen werden? 16. Wie viele Dreiecke können durch 6 sich schneidende gerade Linien gebildet werden? 17. Wie viele und welche Verbindungen zu drei sind aus den Seiten a, b, o und den Winkeln «, sh eines Dreiecks möglich? 303 18. Welche Arten des Wechsels von je drei der 6 Farben: roth, orange, gelb, grün, blan, violett sind möglich? IS. Auf wie viele Acten lässt sich das Product aboäs in zwei Producte zerlegen, von denen das eine 2, das andere 3 Factoren enthält? 2». Auf wie viele Arten lässt sich a) das Product uboä in Producte von 2 Factoren, d) das Product uloeäsk in Producte von 3 Factoren zerlegen? LI. Auf wie vielerlei Art lassen sich 32 Karten unter 4 Spieler so ver theilen, dass jeder 8 Karten erhält? Variationen. (M. 273—276.) 22. Bilde die Variationen der 2ten Classe ohne Wiederholung von den Ele¬ menten aiooäo. LZ. Bilde die Variationen der 2ten und 3ten Classe mit Wiederholung von den Elementen adv. 24. Stelle die ersten 20 Variationen der 3ten Classe mit Wiederholung von den Elementen ulroä dar. 25. Wie viele Variationen der 2tcn, 3ten, 4ten Classe u) ohne Wiederholung, b) mit Wiederholung geben 10 Elemente? 26. Wie viele dreiziffrige Zahlen gibt es, deren Ziffern von einander ver¬ schieden sind? 27. Wie viele vierziffrige Zahlen sind mittelst der Ziffern 3, 4 und 5 dar¬ stellbar? 28. Wie viele fünfziffrige Zahlen, deren jede mit 5 beginnt, lassen sich aus den Ziffern 1, 5, 9 bilden? 2S. Wie viele verschiedene Würfe sind mit 2 Würfeln möglich? 36. Welche verschiedene Würfe geben bei drei Würfeln 10 zur Summe? 31. Aus wie viele Arten kann man mit 4 Würfeln die Summe 15 werfen? 32. Wie viele Würfe sind mit 3 Würfeln möglich, von denen der eine weiß, der zweite gelb, der dritte roth ist, wenn man annimmt, dass Würfe von gleichviel Augen, aber in verschiedenen Farben als verschieden zu betrachten sind? 33. Ein optischer Telegraph hat 6 Arme, von denen jeder 4 verschiedene Stellungen einnehmen kann; wie viele verschiedene Zeichen kann der Telegraph geben? 34. ES sind 4 Fächer mit 7 verschiedenfarbigen Kugeln zu besetzen, so dass in jedes Fach eine Kugel zu liegen kommt; auf wie vielerlei Art kann dies geschehen? 304 2. Potenzen von Binomen. (8- 279.) 2 23. Gib 2. (x — ^)i°. 5. (a — 2b)«. 8. (x- 4- 27-4. b)°. 2 3^?b) ' 3. (x 4- 3)6. k. (3x 4- 4)7)«. - 2^)«. (x- — 3)«. 4. (2 - a)». 7. (5a — 3b)°. 10. (a 4 b)° (a — b)°. II. (x?-s-3)° Wie heißt a) das sechste Glied der Potenz (5x? 4- 6^4°; / ^46) das achte Glied in (3a — 2)^? 4-3. Bestimme den Coefficientcn von x« in der Entwicklung von (5x st- 3)°; b) von a'° in (3a^ — 2144° — (2a^ — 3144°; 14. st- iV. IS. 14 x — — I X/ an a) das fünfte Glied der Reihe — Äst b) das siebente Glied in st- 4 m 9n^6 3n 4 ni / 24. Wie heißt der Coefficient von x° in 25. (1 -03)» - (1 -f- . 2k. (0-9974 - (1 - ^4 -- - - Bestimme ebenso auf 6 Decimalstellen: 27. (1-0254°; 3K. (0-984»; 33. (4 st-143)°. 3«. (as/b-bl/a)». 3S. (I st-^/II74)°. 28. (1-03542; 29. (1-055)"; 31. (0-9964°; zr. (1-999)1«. 34. (6 - 5 1/2)°. z;. ()/x 4. l.stst«. -7. 4«. (3 — i)°. 41. (1st-2i)°. 42. (a-s-bi)6. 45. (a st- bi)° 43. (l/-4st-l/—2)°. 44. (2st/a — bi)°. (a — bi)°. 4«. (1 st- i s/5)° st- (1 — i 1/5)°. /347421« , /3 — H/2VS (—2—) -st ^—2—) 48. 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Absolute und relative Wahrscheinlichkeit. (ZZ. 282 und 283.) I. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Aufwerfen eines Münzstückes „Bild" zu werfen? 305 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Münzstückc eher „Bild" als „Schrift" zu werfen? 3. In einer Urne sind 15 Kugeln; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, a) eine ungerade Zahl, i>) eine gerade Zahl von Kugeln herauszuziehen? 4. In einer Urne befinden sich 10 weiße und 6 rothe Kugeln; welches ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen? 5. In einer Urne sind 4 weiße, 3 rothe und zwei blaue Kugeln; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter 4 Kugeln eine weiße, zwei rothe und eine blaue zu greifen? 6. Wie groß ist bei einem Spiel von 32 Karten die Wahrscheinlichkeit, и) eine rothe Karte, l>) einen König zu ziehen? 7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit drei Würfeln zwei gleiche Felder (einen Pasch) zu werfen? 8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln 8 Augen zu werfen? S. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfeln auf einen Wurf a) gerade 3, 4 und 6, d) die Summe 6 zu werfen? I«. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln u) eher 7 als 10, к) eher 7 als 5 zu werfen? II. Von 8500 Prioritäts-Obligationen eines Eisenbahnanlehens werden 125 Stück verlost; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Verlosung eines Stückes? ! 2. Die gewöhnliche Zahlenlotterie enthält 90 Nummern, von denen jedesmal 5 herausgezogen werden; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, a) eine genannte Nummer (Extrate) zu treffen, b) mit zwei genannten Nummern einen Ambo zu machen, e) mit drei genannten Nummern einen Terno zu machen? Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. (W. 284—288.) 13. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit 2 Würfeln auf den ersten Wurf einen Pasch, auf den zweiten die Augenzahl 8 werfe? I I. Wie groß ist bei 3 Würfeln die Wahrscheinlichkeit, zuerst die Summe 5, dann die Summe 4 zu werfen? IS. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Würfeln mehr als 9 Augen zu werfen? I K. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel a) in zwei Würfen das erstemal 1, das zweitemal 2 zu werfen, k>) in sechs Würfen das erstemal 1, das zweitemal 2,... das scchstemal 6 zu werfen? 17. In einer Urne befinden sich 8 weiße, 6 rothe, 10 blaue und 5 schwarze Kugeln; welche Wahrscheinlichkeit ist vorhanden, beim Herausziehen zweier Kugeln eher eine weiße und eine blaue, als eine rothe und eine schwarze Kugel zu ziehen? MüLiiik, Arithmetik und Algebra. 20 306 18. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln 3 mal nacheinandriS einen Pasch zu werfen? IS. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit einem Würfel 3mw nacheinander 1 wirft? 20. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten ii den ersten zwei Zügen König und Dame derselben Farbe, jedoch in beließ biger Ordnung zu ziehen? 21. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karier zuerst eine Zehn, darauf, wenn die zuerst gezogene Karte nicht wieder hinzugelegt wird, einen König zu ziehen? 22. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Kartenspiel von 52 Blättern^ 3 mal hintereinander ein Ass zu ziehen? 23. In einer Urne sind 3 weiße, 4 rothe, 5 gelbe und 6 blaue Kugeln wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße, rothe oder gelbe Kugel zu ziehen? 21. In einer Urne befinden sich 4 weiße und 6 rothe Kugeln, in einer zweiten L 6 weiße und 8 rothe Kugeln; wie groß ist die Wahrschein¬ lichkeit, dass man, wenn man aus beiden Urnen zugleich zieht, aus jeder eine weiße Kugel ziehe? 25. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Herausziehcn je einer Nummer aus einer Urne von 90 Nummern das erstemal die Nummer l, das zweitemal die Nummer 90 zu ziehen, u) wenn die zuerst gezogene Nummer wieder in die Urne zurückgelegt wird, 6) wenn das nicht geschieht?^ 26. In einer Urne sind 12 weiße und 9 schwarze Kugeln. Man zieht 8 mal je eine Kugel heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten fünf Ziehungen 5 weiße, und in den späteren drei Ziehungen 3 schwarze Kugeln gezogen werden, a) wenn man nach jeder Ziehung die Kugel in die Urne zurückwirft, i>) wenn das nicht geschieht? Mathematischer Hoffnungswert. (ZZ. 289 und 290.) 27. Jemand kann, wenn er mit zwei Würfeln die Summe 5 wirft, 2 fl. gewinnen; wie groß ist sein mathematischer Hoffnungswert? 28. Wie hoch kann der Einsatz sein, wenn beim Spiel mit zwei Würfeln jeder Pasch 1 fl. gewinnt, andere Würfe aber nicht zählen?, 2S. Zwei Spieler und L kommen mit einander überein, dass derjenige den ganzen Einsatz erhalten solle, welcher zuerst 3 Partien gewinnt; nachdem aber 1, L 2 Partien gewonnen hat, trennen sie sich; in welchem Verhältnisse ist nun der Einsatz zu theilen? 307 nandijtz. Jemand erbietet sich, demjenigen, der aus einer Urne mit 5 weißen, 6 rothen und 7 blauen Kugeln mit einem Griffe 2 weiße, 3 rothe und 3mc> 4 blaue heraushebt, 1 ff. zu geben, wenn er selbst jedesmal 8 Kreuzer erhält, sobald 9 andere Kugeln herausgezogen werden; hat er zu seinem Vortheile oder zu seinem Nachtheile gewettet? beließ- Nach unseren Lvttogesetzen wird a) für den Ambo der 240fache Einsatz, d) für den Terno der 4800 fache Einsatz als Gewinn bezahlt; wie viel A >arter Gewinn hat das Lotto, wenn man von den Verwaltungskosten absieht? nedei . Wahrscheinlichkeit in Byug auf die menschliche Lebensdauer. (Z. 292.) M? groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 20jährige Person a) das 30 sie, b) das 56 sie, o) das 70 sie Jahr erreiche? Nael'33' Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) eine 18 jährige, 6) eine 35- jährige, o) eine 50jährige Person 60 Jahre alt werde? iner^' groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) ein neugebornes Kind, 6) eine . 12-, o) 18-, ä) 36-, s) 55jährige Person nach 20 Jahren nicht mehr . am Leben sei? eder " 35. Ein Mann ist 50, seine Frau 40 Jahre alt. Wie groß ist die Wahr- , . scheinlichkeit, dass nach 20 Jahren n) noch der Mann lebe, 6) noch die d'b Frau lebe, e) noch beide leben; dass ä) schon der Mann todt sei, v) schon die Frau todt sei, 1) schon beide todt seiend dass A) der Mann die Frau, überlebe, ll) die Frau den Mann überlebe, l) wenigstens eines noch lebe, lr) wenigstens eines schon todt sei, I) nur eines noch lebe? ml " — en Lebcnsversicherungsrechuuiig. (§8. 293—297.) 36. Welchen Betrag muss man an eine Versicherungsanstalt für ein 2 jähriges "0 Kind einzahlen, damit dieses nach erreichtem 24 sten Lebensjahre, falls es dann lebt, ein Capital von 3500 fl. erhalte, die Zinsen zu 4A berechnet? 37. Ein 34jähriger Mann zahlt in eine Versicherungsanstalt 1000 fl.; welches Capital wird ihm die Anstalt nach 16 Jahren, falls er noch lebt, l- bei 5^ Verzinsung auszahlen? Wie groß ist seine Reserve nach 10 Jahren? 38. Zwei Eheleute, welche gegenwärtig 30 und 25 Jahre alt sind, wollen ein Capital von 4000 fl. versichern, das ihnen nach 30 Jahren, wenn sie dann noch beide leben, ausgezahlt werden soll; welchen Betrag müssen i sie an die Versicherungsanstalt bei 4^ Zins cinzahlcn? i 3N. Wie groß ist bei 4A Zinseszins der gegenwärtige Wert einer Leibrente, > welche eine 36 jährige Person am Ende eines jeden Jahres im Betrage von 280 fl. zu beziehen hat? 20* 308 46. Eine 56 jährige Person will sich eine jährliche Leibrente von 300 fl. ver¬ sichern; wie viel hat sie bei 4^ Verzinsung an eine Rentenbank sogleich einzuzahlen? Wie groß ist die Reserve nach 8 Jahren? 41. Eine 45jährige Person kaust sich mit einer Einlage von 6000 fl. eine Jahresrente, welche von dem Ende des laufenden Jahres angesangen bis an das Lebensende dauern soll; wie groß ist die Leibrente bei 5A Zinseszins? 42. Ein 60jähriger Diener erhält von seinem Herrn für seine vieljährige treue Dienstleistung ein Abfertigungscapital von 2000 fl.; welche lebens¬ längliche Rente kann er sich bei 4A Zinseszins dafür kaufen? 4Z. Eine njährige Person wünscht nach x Jahren eine Leibrente L, zahlbar am Ende jedes Jahres, zu erhalten; wie groß wird die Einlage N für eine solche auf x Jahre aufgeschobene Leibrente sein? 44. ist 42 Jahre alt und will auf den Todesfall seinen Erben ein Capital von 4800 fl. versichern; welche Einlage muss er zu diesem Zwecke bei 4A Zinseszins bei einer Versicherungsanstalt machen? Wie groß ist dje Reserve nach 12 Jahren? 45. Eine 38 jährige Person zahlt an eine Versicherungsanstalt 1000 fl. ein; welches Capital wird dafür bei 5A Verzinsung nach ihrem Tode die Anstalt an die Erben auszuzahlen haben? 46. Welche Prämie muss eine 32 jährige Person zu Anfang jedes Jahres zahlen, um bei ihrem Ableben den Erben eine Summe von 2000 fl. zu sichern, den Zinseszins zu 4A gerechnet? Wie groß ist die Reserve für diese Person, wenn sie 45 Jahre alt wird? 47. Eine n jährige Person will sich gegen eine am Anfänge jedes Jahres zahlbare Prämie k ein Capital 0 so sichern, dass ihr dieses nach k. Jahren, wenn sie dann noch lebt, ausgezahlt werden soll; welche Beziehung findet zwischen ? und 0 statt? ? . sLil «K (1 -p ra) — e . rug-L—si — 0 . 48. Ein Vater zahlt an eine Versicherungsanstalt zu Anfang jedes Jahres eine Prämie von 300 fl., damit die Anstalt seiner neugebornen Tochter, falls sie das 18 te Jahr erreichen sollte, ein gewisses Capital auszahle; wie groß wird dieses bei 5S Verzinsung ausfallen? X. -Höhere numerische Gleichungen. Bestimme für folgende Gleichungen den Quotienten und das Resultat 1 (u) nach Z. 303: 1. xb — 5x? — 18X -j- 72 —.0 für u 2. 2. x» — 9x- -j- 26 x - 24 .0 für n - 3. 309 3. x.4 -j- 3xb — 39x3 — 47 x 4- 210 — 0 für s, — 4 und a — 5. 4. — 2x^ -f- 5x^ -f- 7x — 93 — 0 für a — 3 und a — — 4. z. — 13Z? 46x3 — 52 x -f- 168 — 0 für a — 3, a — 6 und a — 7. k. x^ -f- 2x3 — 41x3 — 42x 360 — 0 für a — 3, a — 4 und a — — 6. 7. x^ 5 x^ — 5x3 — 25x3 4x 4- 20 — 0 für a — — 3 und a — 4. 8. x« — 6x° — 28x^ — 158x3 — 9x3 — 536x 4- 420 O für a 5 und a — — 5. Suche die rationalen Wurzeln folgender Gleichungen (§8- 307 u. 308): S. x» — 6x3 4- 5x 4- 12 0. 1«. x' — 6x3 4- 11x — 6 --- 0. II. x» — 3x3 iOx 24 0. 12. x» - 39x — 70 0. 13. x^ — 5x3 — —6 — 0. 14. xt 4- 4x3 — x3 — 16x — 12 0. 15. x^ -i- 4x« - 7x3 — 22x 4- 24 0. Ik. x^ — 14x3 4- 59x3 — 94x 4-48—0. 17. x4 — 2x3 — 19x3 4- 68x — 60 0. 18. x° 4- 2x4 — 42^3 — 8x3 4- 257x — 210 --- 0. IS. x4 — H x-4 4 — 0. 2S. x3— x3 4-x — 4 — 0. 21. x3 — 4 x3 — 4 x — 4 — 0. 22. x3 — 44 ^3 4- 44 x — — 0. 23. x^ — 4 — 3^s x3 4- 4 4- 3 — 0. 24. x4 — 4 x3 — x3 -f- X — — 0. Berechne die irrationalen Wurzeln folgender Gleichungen nach der Newton'schen Methode (Z. 310):