Analiza in sinteza mehanizmov Postopki reševanja izbranih primerov Robert Kunc, Simon Krašna Ljubljana, 2024 Analiza in sinteza mehanizmov Postopki reševanja izbranih primerov Robert Kunc, Simon Krašna Ljubljana, 2024 Naslov dela: Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Avtorja: dr. Robert Kunc, dr. Simon Krašna Recenzenti: dr. Nikolaj Mole, dr. Jerman Boris, dr. Marko Kegl Jezikovni pregled: Slobodanka Ivanjić Kostrešević Ilustracije: Robert Kunc, Simon Krašna (razen, kjer je drugače navedeno) Izdala in založila: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, Aškerčeva cesta 6, 1000 Ljubljana Izdaja: 1. elektronska izdaja Leto izida: 2024 Cena: prosto dostopno na repozitoriju Univerze v Ljubljani Naslov: Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov URL: https://repozitorij.uni-lj.si/IzpisGradiva.php?id=161481 Kataložni zapis o publikaciji (CIP) pripravili v Narodni in univerzitetni knjižnici v Ljubljani COBISS.SI-ID 206961411 ISBN 978-961-7187-09-0 (PDF) © Robert Kunc, Simon Krašna in Fakulteta za strojništvo To delo je avtorsko in vse pravice so pridržane v delih ali v celoti. Uporabnik si lahko natisne en (1) izvod dela za izključno lastno uporabo. Prepovedano je tiskanje in kopiranje, prevajanje, uporaba slik ter druga reprodukcija in arhiviranje z uporabo vsakršnih možnih analognih ali digitalnih tehnologij za katerekoli druge namene. Kopiranje oziroma reprodukcija tega dela v celoti ali po delih je dovoljeno v skladu z zakonom izključno s pisnim dovoljenjem nosilcev avtorskih in materialnih pravic. Predgovor Temeljita obravnava mehanizmov je v splošnem zahtevna problematika, kjer je praktično nujna uporaba ustrezne računalniške podpore. Kljub temu so se v zgodovini nauka o mehanizmih razvile učinkovite metode za analizo in sintezo, ki pokrijejo širok spekter mehanizmov v praksi. Zbirka rešenih nalog je nastala z namenom pojasniti potek reševanja nekaterih najpogostejših nalog, kakršne srečamo pri študiju mehanizmov. Teoretično podlago in dodatna pojasnila študentje dobijo na predavanjih ter s samostojno uporabo priporočene literature. Dosedanje pedagoške izkušnje namreč kažejo na primanjkljaj tovrstnega študijskega gradiva v slovenskem prostoru. V prvem delu učbenika so ob dodatni razlagi predstavljeni postopki reševanja izbranih pogostejših problemov s področja mehanizmov, drugi del pa obsega dodatne primere rešenih nalog. V osnovi je delo namenjeno najprej študentom Fakultete za strojništvo in sorodnih študijskih programov. Vendar je primerno tudi kot pripomoček vsem, ki želijo na razmeroma preprost način pristopiti k obravnavi nekaterih temeljnih nalog pri analizi in sintezi mehanizmov. Ljubljana, september 2024 Robert Kunc in Simon Krašna Kazalo Predgovor ........................................................................................................................................................................................... i Kazalo .................................................................................................................................................................................................. ii Kazalo slik ........................................................................................................................................................................................ iii A. Osnove ...................................................................................................................................................................................... 1 Zgled 1: Izračun prostostnih stopenj MacPhersonove obese .......................................................................................... 1 Zgled 2: Izračun prostostnih stopenj Stewartove platforme .......................................................................................... 2 Zgled 3: Parametri delovanja štirizgibnega mehanizma ................................................................................................. 3 B. Kinematika ............................................................................................................................................................................ 6 Zgled 4: Kinematična analiza s pomočjo poligona hitrosti in poligona pospeškov ............................................. 6 Zgled 5: Določanje polov hitrosti za sistem teles ................................................................................................................ 12 Zgled 6: Kinematična analiza s pomočjo polov hitrosti .................................................................................................. 14 Zgled 7: Kinematična analiza s pomočjo polov hitrosti. ................................................................................................. 17 Zgled 8: Sinteza in kinematična analiza štirizgibnega mehanizma ......................................................................... 19 Zgled 9: Konstrukcija poloid v analitični obliki................................................................................................................... 21 Zgled 10: Kinematična analiza s pomočjo polov hitrosti ................................................................................................ 23 Zgled 11: Prijemalna naprava ..................................................................................................................................................... 26 Zgled 12: Gibanje hidravličnega podporja ............................................................................................................................ 28 C. Dinamika ............................................................................................................................................................................. 34 Zgled 13: Analiza dinamike ročičnega mehanizma .......................................................................................................... 34 D. Krivuljni mehanizmi ..................................................................................................................................................... 43 Zgled 14: Določitev kinematičnih diagramov za krivuljni mehanizem ................................................................... 43 Zgled 15: Oblikovanje krivuljnega mehanizma ................................................................................................................... 46 Zgled 16: Potek kontaktne sile pri krivuljnem mehanizmu ........................................................................................... 48 Zgled 17: Odmična zagozda s točkovnim slednikom ........................................................................................................ 53 E. Sinteza ................................................................................................................................................................................... 57 Zgled 18: Sinteza štirizgibnega mehanizma za delovno območje .............................................................................. 57 Zgled 19: Nadaljevanje – sinteza štirizgibnega mehanizma s spremembo vpetja ............................................. 59 Zgled 20: Enostavna tripoložajna sinteza ............................................................................................................................. 62 Zgled 21: Tripoložajna sinteza z znano lego nepomične ročice .................................................................................. 66 Zgled 22: Tripoložajna sinteza z znano lego nepomične ročice .................................................................................. 71 F. Dodatni zgledi ................................................................................................................................................................... 74 Zgled 23: Analiza ročičnega mehanizma ............................................................................................................................... 74 Zgled 23a: Analiza ročičnega mehanizma (stopnja težavnosti 1) ......................................................................................... 74 Zgled 23b: Analiza ročičnega mehanizma (stopnja težavnosti 2) ......................................................................................... 79 Zgled 24a: Analiza večzgibnega mehanizma (stopnja težavnosti 3) ........................................................................ 84 Zgled 24b: Analiza večzgibnega mehanizma ....................................................................................................................... 93 Zgled 25: Analiza ročičnega mehanizma (stopnja težavnosti 4) ................................................................................ 95 Zgled 26: Oblikovanje krivuljnega mehanizma ................................................................................................................... 98 Viri .................................................................................................................................................................................................. 101 Dodatna priporočena literatura ......................................................................................................................................... 101 ii Kazalo slik Slika 1. MacPhersonova obesa; shema (levo); sestavni deli (desno) [1] . ......................................................................................1 Slika 2. Stewartova platforma (levo) [2]; simulator vozil na osnovi Stewartove platforme (desno) [3]. .......................3 Slika 3. Grashofov štirizgibni mehanizem. ...................................................................................................................................................3 Slika 4. Ekstremni vrednosti prenosnega kota za Grashofov mehanizem. ....................................................................................4 Slika 5. Mrtvi legi Grashofovega mehanizma [4]. ......................................................................................................................................5 Slika 6. Štirizgibni mehanizem. .........................................................................................................................................................................6 Slika 7. Smeri komponent vektorjev hitrosti za opazovane točke. ...................................................................................................7 Slika 8. Poligon hitrosti za točko D. .................................................................................................................................................................8 Slika 9. Poligon hitrosti za točko C. ..................................................................................................................................................................9 Slika 10. Poligon pospeškov za točko 𝐷 . .................................................................................................................................................... 11 Slika 11. Sistem medsebojno povezanih teles. ........................................................................................................................................ 12 Slika 12. Primarni poli hitrosti za dani sistem teles. ............................................................................................................................ 13 Slika 13. Vsi trenutni poli hitrosti za dani sistem teles. ...................................................................................................................... 14 Slika 14. Štirizgibni mehanizem. ................................................................................................................................................................... 14 Slika 15. Primarni poli štirizgibnega mehanizma. ................................................................................................................................. 15 Slika 16. Vsi trenutni poli štirizgibnega mehanizma. ........................................................................................................................... 15 Slika 17. Analiza hitrosti ročic s pomočjo trenutnih polov hitrosti. .............................................................................................. 16 Slika 18. Dana lega štirizgibnega mehanizma. ........................................................................................................................................ 17 Slika 19. Uporaba polov za analizo hitrosti za dano lego štirizgibnega mehanizma. ............................................................ 18 Slika 20. Delovno območje ročičnega mehanizma z drsnikom, brez pogonskega podsklopa. .......................................... 19 Slika 21. Ročični mehanizem z dodanim pogonskim podsklopom za delovanje ..................................................................... 20 Slika 22. Toga palica med tlemi in steno. ................................................................................................................................................... 21 Slika 23. Gibanje palice – kotaljenje poloid. ............................................................................................................................................. 23 Slika 24. Mehanizem z dvema drsnikoma. ................................................................................................................................................ 23 Slika 25. Poli hitrosti za dani mehanizem. ................................................................................................................................................ 25 Slika 26: Pnevmatska prijemalna naprava [5]. ....................................................................................................................................... 26 Slika 27. Poli hitrosti za mehanizem prijemalne naprave [5]. ......................................................................................................... 27 Slika 28. Shema hidravličnega podporja [6]. ........................................................................................................................................... 28 Slika 29. Sekcija hidravličnega podporja (levo) [6]; podporje med obratovanjem (desno) [7]. ...................................... 28 Slika 30. Vektorska notacija ročic mehanizma. ....................................................................................................................................... 29 Slika 31. Geometrijski inverziji štirizgibnega mehanizma. ................................................................................................................ 30 Slika 32. Tir točke C na hidravličnem podporju. .................................................................................................................................... 32 Slika 33. Prva mrtva lega (levo); druga mrtva lega(desno)............................................................................................................... 33 Slika 34. Ročični mehanizem z drsnikom. ................................................................................................................................................. 34 Slika 35. Sklenjena vektorska zanka in druga geometrijska inverzija (črtkano) ročičnega mehanizma. .................... 35 Slika 36. Pomični koordinatni sistem na ročici 2, vezni ročici 3 in drsniku 4........................................................................... 36 Slika 37. Razčlenitev mehanizma – sistema teles na posamezna telesa, na katera delujejo sile in momenti. ............ 38 Slika 38. Obremenitve ročice 2. ..................................................................................................................................................................... 39 Slika 39. Obremenitve ročice 3. ..................................................................................................................................................................... 39 Slika 40. Obremenitve na drsniku 4. ............................................................................................................................................................ 40 Slika 41. (levo) lega, hitrost in pospešek drsnika 4; (desno) kotna hitrost in kotni pospešek pogonske ročice 2 in vezne ročice 3 ročičnega mehanizma. ........................................................................................................................................................ 41 Slika 42. Moment na pogonski ročici 2 glede na upoštevano trenje in dodatno obremenitev drsnika, sila trenja med drsnikom in vodilom ter dodatna zunanja sila na drsnik. ....................................................................................................... 42 Slika 43. Krmilni mehanizem ventilov pri motorju z notranjim zgorevanjem [9]. ................................................................. 43 Slika 44. 𝑠𝑣𝑎𝑗 - diagrami; 𝑠 – pomik, 𝑣 – hitrost, 𝑎 – pospešek, 𝑗 – sprememba pospeška. ................................................... 46 Slika 45. 𝑠𝑣𝑎𝑗 - diagrami ; 𝑠 – pomik, 𝑣 – hitrost, 𝑎 – pospešek, 𝑗 – sprememba pospeška. ................................................... 48 Slika 46. Vrtljiva odmična krivulja s ploskim slednikom.................................................................................................................... 49 Slika 47. 𝑠𝑣𝑎𝑗-diagrami; 𝑠 – pomik, 𝑣 – hitrost, 𝑎 – pospešek, 𝑗 – sprememba pospeška. ................................................... 50 iii Slika 48. Teoretična kontaktna sila (neprekinjen kontakt)............................................................................................................... 51 Slika 49. Minimum kontaktne sile (pri pogoju cos 𝜔𝑡 = −1) v odvisnosti od hitrosti obratovanja. .............................. 52 Slika 50. Potek kontaktne sile in momenta na gredi pri kotni hitrosti 𝜔 = 26,46 rads. ...................................................... 53 Slika 51. Odmična zagozda s točkovnim slednikom. ............................................................................................................................ 53 Slika 52. Mejne točke faz gibanja na odmični zagozdi. ........................................................................................................................ 55 Slika 53. Kontura odmične zagozde............................................................................................................................................................. 55 Slika 54. Primerjava pomika slednika za fazo dviga 𝐼𝐼 pri sinusni obliki konture odmične zagozde, 𝑠𝐼𝐼(𝜙2), in pri enostavnem harmoničnem gibanju, 𝑠𝐼𝐼, 𝑒𝑛. ℎ. (𝜙2). ............................................................................................................................ 56 Slika 55. Delovno območje ročice 4. ............................................................................................................................................................ 57 Slika 56. Dodana pogonska in vezna ročica. ............................................................................................................................................. 58 Slika 57. Rešitev za sintezo štirizgibnega mehanizma. ....................................................................................................................... 58 Slika 58. Premik vpetja pogonske ročice. .................................................................................................................................................. 59 Slika 59. Sinteza z upoštevanjem spremenjene lege vpetja ročice 2. ............................................................................................ 60 Slika 60: Sinteza štirizgibnega mehanizma pri predpisanem razmerju trajanja delovnega in povratnega giba, pri čemer so možne različne rešitve glede na izbiro lege vpetja pogonske ročice. ....................................................................... 62 Slika 61. Tri zaporedne lege vezne ročice. ................................................................................................................................................ 62 Slika 62. Določitev vpetij nepomične ročice. ........................................................................................................................................... 63 Slika 63. Dodan pogonski mehanizem. ....................................................................................................................................................... 64 Slika 64. Kontrola rešitve tripoložajne sinteze. ...................................................................................................................................... 65 Slika 65. Različni izvedbi mehanizmov pri dvopoložajni sintezi zagotavljata enako začetno in končno lego ročice BD. ............................................................................................................................................................................................................................... 65 Slika 66. Tri zaporedne lege vezne ročice, predpisana lega nepomične ročice. ....................................................................... 66 Slika 67. Druga zaporedna lega, prenos v inverzijo. ............................................................................................................................. 67 Slika 68. Tretja zaporedna lega, prenos v inverzijo. ............................................................................................................................. 67 Slika 69. Osnovna tripoložajna sinteza za kinematično inverzijo. ................................................................................................. 68 Slika 70. Določitev vpetij vezne ročice B in D oz. B' in D' v prvem zaporednem položaju. .................................................. 68 Slika 71. Želena kinematična inverzija (levo); kontrola delovnega območja (desno). ......................................................... 69 Slika 72. Dodan pogonski mehanizem. ....................................................................................................................................................... 70 Slika 73. Simulacija gibanja mehanizma skozi lege 1–5 [4]. ............................................................................................................. 70 Slika 74. Tri zaporedne lege vezne ročice. ................................................................................................................................................ 71 Slika 75. Prenos zaporednih leg pri izhodiščni kinematični inverziji. .......................................................................................... 72 Slika 76. Enostavna tripoložajna sinteza za določitev izhodiščne kinematične inverzije. .................................................. 72 Slika 77. Želena kinematična inverzija štirizgibnega mehanizma; vezna ročica s točkama 𝐶1′𝐶2′ se v začetnem položaju nahaja znotraj predpisanega prostora. ................................................................................................................................... 73 Slika 78. Podajanje smeri vektorjev. ............................................................................................................................................................ 74 Slika 79. Ročični mehanizem (merilo 1:1). ............................................................................................................................................... 74 Slika 80. Komponente hitrosti za točko 𝐵 in 𝑃 ter poligon hitrosti (merilo 1:1)..................................................................... 75 Slika 81. Analiza hitrosti s pomočjo polov hitrosti (merilo 1:1). .................................................................................................... 76 Slika 82. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝑃 (merilo 1:1), ................................................................................. 78 Slika 83. Ročični mehanizem. ......................................................................................................................................................................... 78 Slika 84. Ročični mehanizem (merilo 1:1). ............................................................................................................................................... 79 Slika 85. Analiza hitrosti s pomočjo polov hitrosti (merilo 1:1). .................................................................................................... 80 Slika 86. Razmerje hitrosti točk 𝑂1 in 𝑂2 (merilo 1:1) . ...................................................................................................................... 81 Slika 87. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke P (merilo 1:1) . .................................................................................. 82 Slika 88. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝑂2 (merilo 1:1) . .............................................................................. 83 Slika 89. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝑂2 (merilo 1:1) . .............................................................................. 83 Slika 90. Mehanizem – Zgled 24a (merilo 1:1). ....................................................................................................................................... 84 Slika 91. Določitev polov hitrosti in prenosnih kotov (merilo 1:1) ................................................................................................ 85 Slika 92. Določitev delovnega območja in mrtvih leg (merilo 1:2); levo: 𝛾 = 0°, desno 𝛽 = 0°. ...................................... 86 Slika 93. Komponente hitrosti za točki 𝐵 in 𝑃 ter poligon hitrosti (merilo 1:2); levo: 𝛾 = 0°, desno 𝛽 = 0°. ........... 88 Slika 94. Analiza hitrosti s pomočjo polov hitrosti (merilo 1:1). .................................................................................................... 89 Slika 95. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝐷 in kotnih pospeškov ročic 3 in 4 (merilo 1:1). ............. 91 iv Slika 96. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝐶 (merilo 1:1). ................................................................................. 91 Slika 97. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝑃 (merilo 1:1). ................................................................................. 92 Slika 98. Mehanizem – Zgled 24b (merilo 1:1). ...................................................................................................................................... 93 Slika 99. Mehanizem – zgled 25 (merilo 1:1)........................................................................................................................................... 95 Slika 100. Poligon hitrosti (merilo 1:1). ..................................................................................................................................................... 96 Slika 101. Poligon pospeškov (merilo 1:1). .............................................................................................................................................. 97 Slika 102. Poligon pospeškov (merilo 2:1). .............................................................................................................................................. 98 Slika 103. »𝑠𝑣𝑎𝑗« diagrami gibanja slednika. ........................................................................................................................................ 100 v vi Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov A. Osnove Zgled 1: Izračun prostostnih stopenj MacPhersonove obese MacPhersonova obesa (slika 1) je najpogosteje uporabljan tip (neodvisne) obese v manjših avtomobilih. Prednost je enostavna, kompaktna in cenena zasnova. Osnovni namen obese je vodenje gibanja kolesa. V splošnem gre pri vzmetenju za 3D mehanizme, pri čemer so poleg togih elementov in blažilnika ter vzmeti lahko vgrajene tudi elastične puše, ki otežijo analizo dinamike vzmetenja. Slika 1. MacPhersonova obesa; shema (levo); sestavni deli (desno) [1] . Sestavni deli (pet teles oz. šest teles vključno s kolesom): • šasija – obravnavana kot nepomično telo, • spodnja nihajna roka, • premnik + cilinder (skupaj eno telo), • krmilni drog, • vzmetna noga s teleskopskim blažilnikom – batnica, • (kolo). Kinematične vezi: • sferična: šasija/blažilnik, • sferična: premnik/spodnja nihajna roka, • sferična: premnik (krmilni vzvod)/krmilni drog, • sferična: šasija/krmilni drog, • rotacijska: šasija/spodnja nihajna roka, • translatorna: premnik/batnica, • (rotacijska: premnik/kolo). Grüblerjeva formula za izračun prostostnih stopenj prostorskih sistemov teles: 𝑚 = 6(𝑛𝑏 − 1) − 5𝑗1 − 4𝑗2 − 3𝑗3 − 4𝑗4 − 5𝑗5, 1 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov kjer je: 𝑚 … število prostostnih stopenj, 𝑛 … število teles, 𝑏 𝑗 … število vezi z eno prostostno stopnjo, 1 𝑗 … število vezi z dvema prostostnima stopnjama, 2 𝑗 … število vezi s tremi prostostnimi stopnjami, 3 𝑗 … število vezi s štirimi prostostnimi stopnjami, 4 𝑗 … število vezi s petimi prostostnimi stopnjami. 5 Po Grüblerjevi formuli za dani primer velja: 𝑛𝑏 = 5, 𝑗1 = 2, 𝑗3 = 4, 𝑚 = 6(𝑛𝑏 − 1) − 5𝑗1 − 4𝑗2 − 3𝑗3 − 4𝑗4 − 5𝑗5 = 6 ∙ (5 − 1) − 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 = 2. MacPhersonova obesa ima skupno dve prostostni stopnji: pomik v vertikalni smeri in obračanje premnika s kolesom pri zasuku volana. Pri modelu na shemi (slika 1) smo privzeli, da je krmilni drog vpet med dve sferični vezi, kar dopušča rotacijo krmilnega droga okoli lastne vzdolžne osi. Dejansko je funkcija droga vzdrževanje konstantne razdalje med obema točkama vpetja, tako da ima obesa pri konstantnem zasuku volana dejansko le eno prostostno stopnjo. Če nadomestimo sferično vez med krmilnim drogom in šasijo (zobato letvijo) z univerzalno vezjo, ki ima dve prostostni stopnji, dobimo po Grüblerjevi formuli eno prostostno stopnjo obese. Konstantna dolžina krmilnega droga, v kolikor le-ta ni vzporeden s spodnjo nihajno roko, tudi povzroča t. i. « bump steer«. Gre za pojav, ko pri nespremenjenem zasuku volana kolo prevozi oviro in s tem opravi vertikalni pomik, obenem pa pride do zasuka kolesa okoli vertikalne osi, podobno kot v zavoju. Do pojava pride, ker krmilni drog in spodnja nihajna roka običajno nista vzporedna. V blažilniku, ki je dejansko sestavljen iz dveh teles – cilindra in batnice, smo privzeli translatorno vez. Pri zasuku volana se preko zobate letve premakne krmilni drog, povezan s krmilnim vzvodom na premniku. Sferična vez na batnici in vpetje vzmeti preprečujeta, da bi pri zasuku premnika s kolesom in vzmetne noge prišlo do dodatnega navijanja vzmeti. Zgled 2: Izračun prostostnih stopenj Stewartove platforme Stewartova platforma ali heksapod se pogosto uporablja pri zahtevnih obdelovalnih strojih za 3D obdelavo in kot osnova simulatorjev vozil, plovil itd. (slika 2). Glavne prednosti Stewartove platforme so velika odzivnost, trdnost, natančnost, razmeroma enostavna konstrukcija in šest prostostnih stopenj, učinkovit pogon, prilagodljiva velikost, medtem ko je glavna slabost majhno delovno območje. Pogon je izveden z linearnimi aktuatorji – hidravličnimi cilindri, vijačnim vretenom ipd. Vsak aktuator je na spodnjo in zgornjo ploščo pritrjen z univerzalno vezjo. S spremembo dolžine aktuatorjev spreminjamo lego in orientacijo zgornje platforme. Možna je tudi izvedba z linearnim motorjem/vijačnim vretenom, vendar je treba v tem primeru eno univerzalno vez nadomestiti s sferično vezjo. 2 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 2. Stewartova platforma (levo) [2]; simulator vozil na osnovi Stewartove platforme (desno) [3]. Število teles, skupno 14: • zgornja platforma, • spodnja platforma, • šest linearnih aktuatorjev: batnica + cilinder. Kinematične vezi: • šest cilindričnih vezi: batnica/cilinder, • šest univerzalnih vezi: cilinder/spodnja platforma, • šest univerzalnih vezi: batnica/zgornja platforma. Po Grüblerjevi formuli za prostorske sisteme velja: 𝑛 =14, 𝑏 𝑗2 = 18, 𝑚 = 6(𝑛𝑏 − 1) − 5𝑗1 − 4𝑗2 − 3𝑗3 − 4𝑗4 − 5𝑗5 = 6 ∙ (14 − 1) − 4 ⋅ 18 = 6. Zgled 3: Parametri delovanja štirizgibnega mehanizma Za dani Grashofov mehanizem (slika 3) ugotovite ekstremno vrednost prenosnega kota, delovno območje in razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba. Kotna hitrost pogonske ročice 2 je konstantna. Dolžine ročic so: 𝑙1 = 0,6 m 𝑙2 = 0,15 m 𝑙3 = 0,7 m 𝑙4 = 0,3 m Slika 3. Grashofov štirizgibni mehanizem. 3 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Rešitev Zaradi izpolnjevanja Grashofovega pogoja lahko ročica 2 opiše polno rotacijo. V kolikor je ročica 2 pogonska, dani mehanizem obratuje kontinuirano. Prenosni kot 𝛾 (ostri kot med vezno in gnano ročico) lahko doseže najmanjšo vrednost v eni od dveh leg, ko sta ročici 1 in 2 kolinearni (slika 4). Pri manjšem prenosnem kotu je manjši tudi moment, ki se z vezne ročice 3 prenaša na gnano ročico 4. Slika 4. Ekstremni vrednosti prenosnega kota za Grashofov mehanizem. Ekstremni vrednosti prenosnega kota določimo po kosinusnem izreku za trikotnik BDE v kolinearnih legah ročic 1 in 2: 𝑙2 + 𝑙2 − (𝑙 (0,7 m + (0,3 m)2 − (0,6 m + 0,15 m)2 𝛾 3 4 1 + 𝑙2)2 1 = arccos [ ] = arccos [ ] = 87,6 °, 2𝑙3𝑙4 2 ⋅ 0,7 m ⋅ 0,3 m 𝑙2 + 𝑙2 − (𝑙 (0,7 m)2 + (0,3 m)2 − (0,6 m − 0,15 m)2 𝛾 3 4 1 − 𝑙2)2 2 = arccos [ ] = arccos [ ] = 26 °. 2𝑙3𝑙4 2 ⋅ 0,7 m ⋅ 0,3 m Delovno območje gnane ročice 4 omejujeta kolinearni legi ročic 2 in 3. To sta obenem tudi legi, kjer delovni gib preide v povratni gib. Trajanje delovnega in povratnega giba določimo s pomočjo kota pogonske ročice 2 v legah 𝐼 in 𝐼𝐼, ko sta pogonska ročica 2 in vezna ročica 3 kolinearni (slika 3), ter kosinusnim izrekom: (𝑙 2 − 𝑙2 (0,15 m + 0,7 m)2 + (0,6 m)2 − (0,3 m)2 𝜙 2 + 𝑙3)2 + 𝑙1 4 2,𝐼 = arccos [ ] = arccos [ ] = 13,3 °, 2𝑙1(𝑙2 + 𝑙3) 2 ⋅ 0,6 m ⋅ (0,15 m + 0,7 m) (𝑙 2 − 𝑙2 𝜙 3 − 𝑙2)2 + 𝑙1 4 2,𝐼𝐼 = arccos [ ] + 180∘, 2𝑙1(𝑙3 − 𝑙2) (0,7 m − 0,15 m)2 + (0,6 m)2 − (0,3 m)2 𝜙2,𝐼𝐼 = arccos [ ] + 180∘ = 209,8°. 2 ⋅ 0,6 m ⋅ (0,7 m − 0,15 m) Pri delovnem ciklu, ki je sestavljen iz delovnega in povratnega giba, je običajno zaželeno, da je povratni gib mehanizma čim hitrejši, saj je s tem hitrejši tudi povratek v začetno lego mehanizma in začetek novega delovnega cikla. Zasuk, ki ga pogonska ročica 2 opravi pri delovnem gibu (dlje trajajoči), je 𝛼 = 𝜙2,𝐼𝐼 − 𝜙2,𝐼 = 209,8° − 13,3° = 196,5°, zasuk pri povratnem gibu pa je 𝛽 = 360∘ − 𝛼 = 360∘ − 196, 5∘ = 163,5°. 4 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov V kolikor je vrtilna hitrost pogonske ročice 2 konstantna, je razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba enako razmerju med zasukom ročice pri delovnem gibu, 𝛼, in zasukom ročice pri povratnem gibu, 𝛽: 𝛼 196, 5∘ 𝑄 = = = 1,20. 𝛽 163,5 ° Če je pogon priključen na nihajno ročico 4, se delovanje mehanizma ustavi, ko se vzpostavi kolinearnost ročic 2 in 3, ne glede na velikost pogonske moči. V tem primeru govorimo o mrtvi legi (slika 5). Slika 5. Mrtvi legi Grashofovega mehanizma [4]. 5 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov B. Kinematika Zgled 4: Kinematična analiza s pomočjo poligona hitrosti in poligona pospeškov S pomočjo poligona hitrosti določite kotne hitrosti ročic za trenutno lego štirizgibnega mehanizma (slika 6). Kotna hitrost pogonske ročice 2 je 𝜔2 = 15 rad/s v protiurni smeri. Določite hitrost točke 𝐶 na vezni ročici mehanizma. Določite normalno in tangencialno komponento pospeška točke C na danem mehanizmu. 𝑙1 = 0,9 m 𝑙2 = 0,3 m 𝑙3 = 0,9 m 𝑙3𝑎 = 0,7 m 𝑙3𝑏 = 0,4 m 𝑙4 = 0,6 m Merilo 1:10 Slika 6. Štirizgibni mehanizem. Rešitev Z analizo hitrosti lahko ugotovimo hitrost opazovane točke v trenutni legi, ki je vedno usmerjena tangentno na tir gibanja. S pomočjo tangente lahko določimo normalo na tir gibanja in s tem premico, na kateri se nahaja središče krivinskega radija. Tiru gibanja lahko v opazovani točki pridružimo spremljajoči trieder, ki omogoča dekompozicijo pospeška na tangencialno in normalno komponento. Ročici 2 lahko pridružimo pomični koordinatni sistem 𝑥2′𝑦2′, npr. z izhodiščem 𝑂2′, ki je hkrati tudi vpetje 𝐴, in podobno za ostale ročice mehanizma (slika 7). Za vsako ročico v koordinatah pomičnega sistema zapišemo krajevne vektorje opazovanih točk: 𝐬′𝐸 𝐵 𝐷 𝐶 𝐷 1 = [𝑙1 0]𝑇, 𝐬′2 = [𝑙2 0]𝑇, 𝐬′3 = [𝑙3 0]𝑇, 𝐬′3 = [𝑙3𝑎cos𝜃3 𝑙3𝑎sin𝜃3]𝑇, 𝐬′4 = [𝑙4 0]𝑇, ki jih lahko izrazimo tudi v nepomičnem sistemu 𝑥𝑦 z izhodiščem 𝑂, če upoštevamo transformacijsko matriko za vsako ročico, npr. za ročico 2: cos𝜙 𝐀 2 −sin𝜙2 2 = [ ], sin𝜙2 cos𝜙2 cos𝜙 𝑙 𝐬𝐵 𝐵 2 −sin𝜙2 2 2 = 𝐀2𝐬′2 = [ ] [ ]. sin𝜙2 cos𝜙2 0 6 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Merilo 1:10 Slika 7. Smeri komponent vektorjev hitrosti za opazovane točke. Ročica 2 rotira okoli točke 𝐴, okoli katere zato kroži druga končna točka 𝐵, katere hitrost znaša: 𝐯𝐵 = 𝐯 𝐵 𝐵, 2 + 𝛚2 × 𝐬2 = 𝐯2 + 𝐯2 𝐯2 = 𝟎, 𝐯𝐵 𝐵 2 = 𝛚2 × 𝐬2 ali v skalarni obliki: 𝑣𝐵 = 𝜔2𝑙2 = 15 rad⁄s ⋅ 0,3 m = 4,5 m⁄s, kjer je 𝐯𝐵 hitrost točke 2 𝐵 glede na izhodišče pomičnega koordinatnega sistema 𝑂2′, ki se giblje s hitrostjo 𝐯 (v tem primeru ima hitrost nič). Hitrost točke 𝐵, je usmerjena pravokotno na 2 𝐵, 𝐯𝐵 = 𝐯2 krajevni vektor 𝐬𝐵. Ročica 3 je povezana z ročico 2 z rotacijsko vezjo v točki 2 𝐵, torej ročica 3 in z njo točka 𝐷 krožita okoli 𝐵, kjer je tudi izhodišče pomičnega koordinatnega sistema ročice 3, 𝑂3′. Relativna hitrost 𝐯𝐷 točke 𝐷. Obenem je 3 𝐷 glede na 𝐵 oz. 𝑂3′ bo zato usmerjena pravokotno na krajevni vektor 𝐬3 hitrost 𝐯𝐷 točke 𝐷 enaka tangencialni hitrosti zaradi kroženja ročice 4 okoli fiksne točke 𝐸, kjer je izhodišče pomičnega koordinatnega sistema ročice 4, 𝑂4′: 𝐯𝐷 = 𝐯 𝐷 𝐷, 4 + 𝛚4 × 𝐬4 = 𝐯4 + 𝐯4 kjer je 𝐯4 = 𝟎, hkrati pa velja: 𝐯𝐷 = 𝐯 𝐷 𝐷. 3 + 𝛚3 × 𝐬3 = 𝐯3 + 𝐯3 Ker je iz predhodnega koraka reševanja znana smer in velikost vektorja hitrosti: 𝐯3 = 𝐯𝐵 7 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov in poznamo smeri vektorjev hitrosti 𝐯𝐷 in 3 𝐯𝐷, lahko njuni velikosti določimo tako, da zapišemo oz. grafično sestavimo poligon hitrosti, v katerega v ustreznem merilu prenesemo smer in velikost 𝐯𝐵 ter upoštevamo smer 𝐯𝐷 in smer 3 𝐯𝐷 (slika 8): 𝐯𝐷 = 𝐯𝐵 + 𝐯𝐷 3 . Slika 8. Poligon hitrosti za točko D. Iz poligona hitrosti za točko 𝐷 grafično dobimo: 𝑣𝐷 3 = 1,924 m/s, 𝑣𝐷 = 3,212 m/s, iz česar lahko izračunamo kotni hitrosti ročic 3 in 4: 𝑣𝐷 1,924 m/s 𝜔 3 3 = = = 2,13 rad/s, 𝑙3 0,9 m 𝑣𝐷 3,212 m/s 𝜔4 = = = 5,35 rad/s, 𝑙4 0,6 m Iz smeri vektorja 𝐯𝐷 je razvidno, da ročica 3 rotira v sourni smeri. 3 Hitrost točke 𝐶 je vsota hitrosti točke 𝐵 in tangencialne hitrosti zaradi kroženja ročice 3, ki je pravokotna na krajevni vektor 𝐬𝐶 (slika 9): 3 𝐯𝐶 = 𝐯𝐵 + 𝛚 𝐶 𝐶. 3 × 𝐬3 = 𝐯3 + 𝐯3 Velikost tangencialne hitrosti je: 𝑣𝐶 3 = 𝜔3𝑙3𝑎 = 2,13 rad/s ⋅ 0,7m = 1,491 m/s, iz poligona hitrosti za točko 𝐶 tako dobimo: 𝑣𝐶 = 3,06 m/s. 8 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 9. Poligon hitrosti za točko C. Iz opravljene analize hitrosti za dano lego je možno direktno določiti razmerje momentov za ročici 2 in 4. Prav tako je predhodno opravljena analiza leg in hitrosti potrebna za analizo pospeškov opazovanih točk mehanizma. Z analizo pospeškov določimo pospešek opazovane točke. Pri tem praviloma izhajamo iz poligona pospeškov, ki ga sestavljajo vektorji relativnega pospeška, komponente zaradi kotnega pospeška in komponente zaradi kotne hitrosti ročice z opazovano točko. Tako določeni pospešek opazovane točke razstavimo s pomočjo spremljajočega triedra na tangencialno in normalno komponento. Slednja nam omogoča določitev krivinskega radija tira gibanja opazovane točke. Pri analizi pospeškov izhajamo iz dekompozicije na normalno in tangencialno komponento: 𝑣2 𝐚 = 𝑣̇𝐭 + 𝐧 = 𝑎 𝜌 𝑡𝐭 + 𝑎𝑛𝐧, s katero lahko določamo hitrosti točk na mehanizmu, medtem ko lahko iz enačbe 𝐚𝑃 = 𝐚 + 𝐚𝑃𝑟𝑒𝑙 + 𝛂 × 𝐬𝑃 + 2𝛚 × 𝐬̇𝑃 + 𝛚 × (𝛚 × 𝐬𝑃) izrazimo kotni pospešek ročic. Zgornja enačba se za togo telo, na katerem je opazovana točka 𝑃 fiksne lege, poenostavi tako, da odpade relativni pospešek 𝐚𝑃 in Coriolisov pospešek 𝑟𝑒𝑙 2𝛚 × 𝐬̇𝑃, ostanejo le pospešek ročice 𝐚, tangencialna komponenta 𝛂 × 𝐬𝑃 in normalna komponenta 𝛚 × (𝛚 × 𝐬𝑃): 𝐚𝑃 = 𝐚 + +𝛂 × 𝐬𝑃 + 𝛚 × (𝛚 × 𝐬𝑃) ali 𝐚𝑃 = 𝐚  +  𝛂 × 𝐬𝑃  − 𝜔2𝐬𝑃. Za dani zgled je vektor pospeška končne točke 𝐵 na ročici 2 enak: 𝐚𝐵 = 𝐚 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 2 + 𝑎𝑡,2𝐭2 + 𝑎𝑛,2𝐧2 . Ročica je toga, oddaljenost opazovane točke 𝐵 od izhodišča 𝑂2′ je konstantna, zato sta relativna 𝐚𝐵 in Coriolisova komponenta 𝐵 enaki nič. Lega izhodišča pomičnega koordinatnega sistema 𝑟𝑒𝑙,2 2𝛚2 × 𝐬̇2 𝑂2′ ročice 2 je fiksna in sovpada z izhodiščem nepomičnega koordinatnega sistema 𝑂, zato je pospešek pomičnega koordinatnega sistema 𝐚 enak nič. Na desni strani enačbe ostaneta tangencialna 𝐵 in 2 𝛂2 × 𝐬2 normalna komponenta 𝛚 𝐵 2 × (𝛚2 × 𝐬2 ). V ravnini se zapis velikosti komponent pospeškov poenostavi. 9 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Ker je kotna hitrost ročice 2 konstantna, 𝜔2 = 15 rad/s, je njen kotni pospešek enak nič, 𝛂2 = 𝟎, prav tako velikost tangencialne komponente pospeška: 𝑎𝐵 𝑡,2 = 𝛼2𝑙2 = 0. Velikost normalne komponente je: (𝑣𝐵)2 𝑎𝐵 2 2 𝑛,2 = = 𝜔 𝑙 𝑙 2 2 = (15 rad/s)2 ⋅ 0,3 m = 67,5 m/s2, 2 smer normalne komponente kaže proti središču radija kroženja. Vektor pospeška v točki 𝐷 na ročici 4 je enak vsoti: 𝐚𝐷 = 𝐚 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷, 4 + 𝑎𝑡,4𝐭4 + 𝑎𝑛,4𝐧4 kjer je velikost normalne komponente: 𝑎𝐷 2 𝑛,4 = 𝜔4 𝑙4 = (5, 35 rad/s)2 ⋅ 0,6 m = 17,17 m/s2, Vektor pospeška izhodišča ročice 4, 𝐚 , je enak nič, velikost tangencialne komponente 𝐷 pa dobimo 4 𝑎𝑡,4 pozneje s pomočjo poligona pospeškov. Vektor pospeška končne točke 𝐷 na ročici 3 je tudi vsota pospeška 𝐚3 = 𝐚𝐵 izhodišča pomičnega koordinatnega sistema ročice 3, 𝑂 𝐷 in normalne komponente 3′ oz. točka 𝐵, ter tangencialne 𝛂3 × 𝐬3 𝛚 𝐷 3 × (𝛚3 × 𝐬3 ) za točko 𝐷: 𝐚𝐷 = 𝐚 𝐷 𝐷 3 + 𝛂3 × 𝐬3 + 𝛚3 × (𝛚3 × 𝐬3 ), kjer lahko izračunamo velikost normalne komponente: 𝑎𝐷 2 𝑛,3 = 𝜔3𝑙3 = (2, 13 rad/s)2 ⋅ 0,9 m = 4,083 m/s2. Ker sta ročici 3 in 4 povezani v točki D, lahko vektor pospeška točke 𝐷 zapišemo hkrati z upoštevanjem gibanja ročic 3 in 4: 𝐚𝐷 = 𝑎𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝑡,4𝐭4 + 𝑎𝑛,4𝐧4 = 𝐚3 + 𝛂3 × 𝐬3 + 𝛚3 × (𝛚3 × 𝐬3 ), 𝑎𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷. 𝑡,4𝐭4 + 𝑎𝑛,4𝐧4 = 𝐚3 + 𝑎𝑡,3𝐭3 + 𝑎𝑛,3𝐧3 Obenem velja, da je vektor pospeška izhodišča pomičnega koordinatnega sistema ročice 3: 𝐚 𝐵 𝐵. 3 = 𝑎𝑛,2𝐧2 Neznani sta ostali še velikosti kotnih pospeškov ročic 3 in 4, 𝛼 in , in velikosti tangencialnih 3 𝛼4 komponent 𝑎𝐷 in 𝐷 . Narišemo poligon pospeškov za točko 𝑡,3 𝑎𝑡,4 𝐷 (slika 10), kjer upoštevamo velikosti in smeri vektorjev znanih pospeškov ter znani smeri tangencialnih komponent, iz katerih nato izračunamo velikosti kotnih pospeškov 𝛼 in . 3 𝛼4 10 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 10. Poligon pospeškov za točko 𝐷 . Normalni pospešek vedno kaže v smeri središča radija kroženja. Iz poligona pospeškov Dobimo naslednja odčitka za velikosti tangencialnih komponent: 𝑎𝐷 𝑡,3 = 55,69 m/s2, 𝑎𝐷 𝑡,4 = 57,07 m/s2, iz katerih lahko izračunamo kotna pospeška 𝑎𝐷 55,69 m/s2 𝛼 𝑡,3 3 = = = 61,9 rad/s2, 𝑙3 0,9 m 𝑎𝐷 57,07 m/s2 𝛼 𝑡,4 4 = = = 95,1 rad/s2. 𝑙4 0,6 m Sedaj lahko določimo še vektor pospeška točke 𝐶: 𝐚𝐶 = 𝐚 𝐶 𝐶 3 + 𝛂3 × 𝐬3 + 𝛚3 × (𝛚3 × 𝐬3 ), 𝐚𝐶 = 𝐚 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 3 + a𝑡,3𝐭3 + a𝑛,3𝐧3, kjer sta velikosti tangencialne in normalne komponente: 𝑎𝐶𝑡,3 = 𝛼3𝑙3𝑎 = 61,9 rad/s ∙ 0,7 m = 43,32 m/s2, 𝑎𝐶 2 𝑛,3 = 𝜔3𝑙3𝑎 = (2,13 rad/s)2 ∙ 0,7 m = 3,18 m/s2. 11 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 5: Določanje polov hitrosti za sistem teles Določite pole hitrosti za dani sistem teles (slika 11). Med telesoma 2 in 3 je možen kontakt s kotaljenjem in zdrsom, medtem ko se telo 5 lahko le kotali po nepomičnem telesu 1. Slika 11. Sistem medsebojno povezanih teles. Rešitev Pol hitrosti je točka v ravnini, 𝑃 , skupna dvema telesoma 𝑖𝑗 𝑖 in 𝑗, v kateri je hitrost obeh teles enaka po smeri in po velikosti. Lega polov se z gibanjem teles v splošnem spreminja. Za ravninski sistem teles z 𝑛 medsebojno povezanimi telesi je skupno število polov, , v splošnem enako številu kombinacij med 𝑏 𝑛𝑃 telesi: 𝑛 𝑛 𝑏(𝑛𝑏 − 1) 𝑃 = . 2 V danem primeru s pet telesi, 𝑛𝑏 = 5, je število polov: 𝑛 5 ∙ (5 − 1) 𝑛 𝑏(𝑛𝑏 − 1) 𝑃 = = 𝑛 = 10. 2 𝑃 = 2 K večji preglednosti pri iskanju polov, katerih število hitro narašča s številom teles, lahko pripomore dodatni grafični pripomoček, in sicer krožec z oštevilčenimi točkami – vozlišči, po eno za vsako telo (slika 11 desno zgoraj). V nadaljevanju s povezavo med dvema vozliščema zabeležimo pol hitrosti skupen vsakemu paru teles, pri čemer je število možnih povezav med vozlišči enako številu polov med telesi, 𝑛 . 𝑃 Najprej določimo primarne pole – rotacijske in translatorne vezi; locirane pole sproti dopolnjujemo v pomožni krožec kot povezave med vozlišči – telesi(slika 12). V primeru, da par teles povezuje rotacijska vez, lega pola sovpada s trenutno lego rotacijske vezi, če par teles povezuje translatorna vez (npr. drsnik v linearnem vodilu), pa leži pol neskončno oddaljen na normali na smer gibanja, ki jo omogoča translatorna vez. Ostale – sekundarne pole določamo s pomočjo Kennedy-Aronholdovega teorema, po katerem vsi trije poli, 𝑃 , in , ki so skupni trem telesom in 𝑖𝑗 𝑃𝑗𝑘 𝑃𝑖𝑘 𝑖, 𝑗 in 𝑘, ležijo na isti premici. Če poznamo lego polov 𝑃𝑖𝑗 𝑃 , preostali pol leži na premici, ki poteka skozi pola . 𝑗𝑘 𝑃𝑖𝑘 𝑃𝑖𝑗𝑃𝑗𝑘 12 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 12. Primarni poli hitrosti za dani sistem teles. Pri določanju pola 𝑃 lahko privzamemo, da v trenutni kontaktni točki med telesoma 2 in 3 pride do 23 medsebojnega pomika vzdolž kontaktnih površin obeh teles. Zato se v trenutni legi telesi 2 in 3 gibljeta, kot da bi bili povezani z drsnikom oz. translatorno vezjo v smeri tangentne premice skozi kontaktno točko na površini obeh teles. V skladu s Kennedy-Arnoholdovim teoremom pol 𝑃 leži na presečišču 23 premic 𝑃 in normale na površino teles 2 in 3 v trenutni kontaktni točki med telesoma (slika 13): 12𝑃13 𝑃 – normala. 23: 𝑃12𝑃13 Z uporabo Kennedy-Aronholdovega teorema lociramo tudi sekundarne pole (Slika 13). 𝑃 leži na 35 presečišču premic 𝑃 in . Pol leži na presečišču premic in . Pol leži na 34𝑃45 𝑃13𝑃15 𝑃14 𝑃13𝑃34 𝑃15𝑃45 𝑃24 presečišču premic 𝑃 in . Pol leži na presečišču premic in (ali tudi premic 12𝑃14 𝑃23𝑃34 𝑃25 𝑃12𝑃15 𝑃23𝑃35 𝑃 in ): 12𝑃15 𝑃24𝑃45 𝑃 , 35: 𝑃34𝑃45 − 𝑃13𝑃15 𝑃 , 14: 𝑃13𝑃34 − 𝑃15𝑃45 𝑃 , 24: 𝑃12𝑃14 − 𝑃23𝑃34 𝑃 . 25: 𝑃12𝑃15 − 𝑃23𝑃35 V pomoč je lahko naslednje opažanje. Vsak pol ima dva indeksa, ki pripadata telesoma, katerima je pol skupen in s tem označuje kombinacijo teles. Trojica teles ima tri pole, posledično tri kombinacije in tri indekse. Ko povezujemo po dva že znana pola, opazimo, da se en indeks ponovi, npr. pri premici 𝑃 34𝑃45 se ponovi indeks 4, manjka pa kombinacija indeksov 35. To pomeni, da bomo na tej premici ugotavljali lego pola 𝑃 . Manjkajočo kombinacijo indeksov 35 lahko opazimo tudi pri premici , zato bo pol 35 𝑃13𝑃15 𝑃 ležal hkrati tudi na tej premici, torej na presečišču premic in . V pomožnem krogu se to 35 𝑃34𝑃45 𝑃13𝑃15 opazi po vzorcu, ki ga linije izrisujejo. Povezavi 34 in 45 ter 13 in 15 tvorijo karo vzorec, pri katerem diagonalna povezava nasprotnih vozlišč 3 in 5 predstavlja manjkajoči pol 𝑃 . Za določitev le-tega torej 35 najprej rabimo omenjeni karo vzorec oz. pole, ki predstavljajo povezave v karo vzorcu. Znani štirje poli zadostujejo, da določimo še drugo diagonalno povezavo oz. pol 𝑃 , in sicer s presečiščem premic 14 𝑃13𝑃34 in 𝑃 . 15𝑃45 13 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 13. Vsi trenutni poli hitrosti za dani sistem teles. Zgled 6: Kinematična analiza s pomočjo polov hitrosti Za štirizgibni mehanizem v dani legi (slika 14) določite trenutne pole hitrosti. Kolikšna je hitrost točke 𝐷, če se ročica 2 vrti v sourni smeri s konstantno kotno hitrostjo 𝜔2 = 2 rad/s? Določite tudi razmerje momentov za ročici 2 in 4. 𝑙1 = 1 m 𝑙2 = 0,5 m 𝑙3 = 0,4 m 𝑙4 = 0,7 m Slika 14. Štirizgibni mehanizem. 14 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Rešitev Za štirizgibni mehanizem je možno določiti skupno šest polov hitrosti, kolikor je različnih parov ročic. Primarni poli so enostavno določljivi, saj se nahajajo v točkah 𝐴, 𝐵, 𝐷, in 𝐸, kjer so ročice paroma povezane z rotacijskimi vezmi in je vektor hitrosti obeh ročic v paru enak po smeri in po velikosti: 𝑃 , 12 𝑃 , , , kar označimo tudi s povezavami med vozlišči – ročicami v pomožnem krožcu (slika 15). 23 𝑃14 𝑃34 Slika 15. Primarni poli štirizgibnega mehanizma. Preostala – sekundarna pola določimo po Kennedy-Aronholdovem teoremu. Pol 𝑃 leži na hkrati na 13 premici 𝑃 in na premici , ki potekata skozi predhodno določena pole, torej na njunem 12𝑃23 𝑃14𝑃34 presečišču, pol 𝑃 pa leži na presečišču premic in , kar vnesemo kot dodatni povezavi tudi 24 𝑃12𝑃14 𝑃23𝑃34 v pomožni krožec (slika 16): 𝑃13: 𝑃12𝑃23 − 𝑃14𝑃34, 𝑃24: 𝑃12𝑃14 − 𝑃23𝑃34. Slika 16. Vsi trenutni poli štirizgibnega mehanizma. 15 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Pri analizi hitrosti izhajamo iz polov hitrosti in zapišemo hitrosti ročic pri kroženju okoli pripadajočega pola hitrosti. Ročica 2 kroži okoli pola 𝑃 , ki je skupen ročicama 1 in 2, zato ima končna točka 12 𝐵 na ročici 2, kjer se nahaja tudi pol 𝑃 , hitrost: 23 𝑣𝐵 = 𝑣𝑃23 = 𝜔 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 2𝑃12𝑃23 = 𝜔2𝑙2 = 2 rad/s ∙ 0,5 m = 1 m/s. Hkrati velja, da je hitrost ročice 4 enaka hitrosti ročice 2 v točki, kjer se v trenutni legi mehanizma nahaja pol hitrosti 𝑃 . V polu je hitrost ročice 2 sorazmerna oddaljenosti od vrtišča v točki 24 𝑃24 𝑃24 𝐴, kjer se nahaja pol 𝑃 , hitrost ročice 4 pa je sorazmerna oddaljenosti 12 𝑃24 od vrtišča v točki B, kjer se nahaja pol 𝑃 (slika 17), zato lahko zapišemo: 14 𝑣𝑃24 = 𝜔 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅, 2𝑃12𝑃24 = 𝜔4𝑃14𝑃24 iz česar dobimo kotno hitrost ročice 4: 𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 0,761 m 𝜔 12𝑃24 4 = 𝜔2 = 2 rad/s ∙ = 0,86 rad/s. 𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 14𝑃24 1,761 m Slika 17. Analiza hitrosti ročic s pomočjo trenutnih polov hitrosti. Hitrost točke 𝐷 na ročici 4, katere smer vrtenja je sourna, je sorazmerna oddaljenosti točke od vrtišča ročice: 𝑣𝐷 = 𝑣𝑃34 = 𝜔 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 4𝑃14𝑃34 = 𝜔4𝑙4 = 0,86 rad/s ∙ 0,7 m = 0,605 m/s. Pri izračunu razmerja momentov v dani legi mehanizma zanemarimo izgube v vezeh mehanizma in privzamemo, da se moč pogona na ročici 2 v celoti prenese preko vezne ročice 3 na gnano ročico 4, pri čemer upoštevamo predhodno določeni kotni hitrosti ročic 2 in 4: 𝑀2ω2 = 𝑀4ω4, in dobimo razmerje momentov: 𝑀4 ω 2 rad/s = 2 = = 2,33, 𝑀2 ω4 0,86 rad/s kar pomeni, da je moment 𝑀 na gnani ročici 4 v dani legi mehanizma 2,33-krat večji od momenta , 4 𝑀2 ki deluje na ročico 2 za pogon mehanizma. 16 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 7: Kinematična analiza s pomočjo polov hitrosti. Za štirizgibni mehanizem v dani legi (slika 18) določite hitrost točke 𝐶 na ročici 4. Določite tudi prenosni kot in prenosno razmerje. Pogonska ročica 2 ima kotno hitrost 𝜔2 = 10 rad/s v protiurni smeri. 𝑙1 = 1,2 m 𝑙2 = 0,3 m 𝑙3 = 1,127 m 𝑙4 = 0,3 m 𝐸𝐶 = 0,3 m Slika 18. Dana lega štirizgibnega mehanizma. Rešitev Za trenutno lego mehanizma določimo pole hitrosti (slika 19). Štirje primarni poli se nahajajo v rotacijskih vezeh, preostala – sekundarna pola pa določimo po Kennedy-Aronholdovem teoremu: 𝑃13: 𝑃12𝑃23 − 𝑃14𝑃34, 𝑃24: 𝑃12𝑃14 − 𝑃23𝑃34. Točka 𝐵 oz. pol 𝑃 , kjer sta povezani ročici 2 in 3, kroži okoli točke , kjer se nahaja vpetje 23 𝐴 oz. pola 𝑃12 ročice 2. Hkrati točka 𝐵 kroži okoli 𝑃 , ki pa v trenutni legi mehanizma leži v neskončnosti in je razdalja 13 𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ hitrosti ročic 2 in 3 enaki, ročica 2 pa kroži s kotno hitrostjo , sledi, da 13𝑃23 → ∞. Ker sta v polu 𝑃23 𝜔2 je kotna hitrost ročice 3, 𝜔 , enaka nič: 3 𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑣𝑃 12𝑃23 23 = 𝜔 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 2𝑃12𝑃23 = 𝜔3𝑃13𝑃23, 𝜔3 = 𝜔2 = 0. 𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 13𝑃23 Enaka relacija velja za hitrost ročic 2 in 4 v polu 𝑃 , iz česar ob upoštevanju grafično določenih razdalj 24 med poli dobimo kotno hitrost ročice 4: 𝑣𝑃24 = 𝜔 , 2𝑃12𝑃24 = 𝜔4𝑃14𝑃24 𝑃 0,257 m 𝜔 12𝑃24 4 = 𝜔2 = 10 rad/s ⋅ = 7,49 rad/s. 𝑃 0,343 m 14𝑃24 17 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 19. Uporaba polov za analizo hitrosti za dano lego štirizgibnega mehanizma. Za hitrost točke C na ročici 4 velja, da je sorazmerna kotni hitrosti 𝜔 in oddaljenosti od vpetja ročice 4 4 – pola 𝑃 : 14 𝑣𝐶 = 𝜔4𝑃14𝐶 = 7,49 rad/s ⋅ 0,3 m = 2,248 m/s. Prenosni kot je po definiciji ostri kot med vezno in gnano ročico, 3 in 4, ter v zgornjem primeru v dani legi znaša 𝛾 = 27,5 °, določen grafično. Razmerje kotnih hitrosti za ročici 2 in 4 določa prenosno razmerje oz. razmerje momentov za dano lego mehanizma: 𝑀izh 𝜔 𝑀 𝜔 10 rad/s = vh , 4 = 2 = = 1,33. 𝑀vh 𝜔izh 𝑀2 𝜔4 7,49 rad/s 18 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 8: Sinteza in kinematična analiza štirizgibnega mehanizma Drsnik 4 ročičnega mehanizma se giblje na predpisanem delovnem območju dolžine 0,5 m (slika 20). Za pogon ročice 2 je predviden dodaten štirizgibni mehanizem (zaenkrat manjkajoč), katerega pogonska ročica naj bi opravljala popolno rotacijo okoli vpetja A s konstantno kotno hitrostjo 10 rad/s v sourni smeri in preko vezne ročice prenašala gibanje do točke 𝐶 na ročici 3 ročičnega mehanizma. Določite dolžino pogonske in vezne ročice dodatnega štirizgibnega mehanizma za pogon ročice 2. S pomočjo polov hitrosti za trenutno lego določite hitrost drsnika 4. Kakšno je razmerje med trajanjem delovnega giba, pri katerem se drsnik pomika navzdol, in trajanjem povratnega giba? Kakšno je v trenutni legi razmerje momentov za pogonski štirizgibni mehanizem? 𝐵𝐷 = 0,6 m 𝐷𝐸 = 1 m 𝐵𝐶 = 0,447 m 𝐶𝐷 = 0,77 m Slika 20. Delovno območje ročičnega mehanizma z drsnikom, brez pogonskega podsklopa. Rešitev V začetnem koraku dodamo pogonski mehanizem, in sicer pogonsko ročico 5 med točkama 𝐴𝐹 in vezno ročico 6 med točkama 𝐹𝐶 (slika 21). Pogonska ročica 5, vezna ročica 6 in nihajoča ročica 2 skupaj z nepomično ročico 1 tvorijo štirizgibni mehanizem 𝐴𝐹𝐶𝐵, ki mora izpolnjevati Grashofov pogoj, tako da je možno kontinuirano obratovanje. Nihajoče gibanje ročice 2 ročičnega mehanizma se dalje prenaša preko vezne ročice 3 na drsnik 4. Glede na dano delovno območje drsnika 4 določimo skrajni legi 𝐼 in 𝐼𝐼 pri zasuku ročice 2, v katerih nastopita kolinearni legi ročic 5 in 6. V skrajni legi 𝐼 sta ročici popolnoma iztegnjeni in za razdalje med točkami, ki jih lahko odmerimo s slike v merilu, velja: 𝐴 ̅ 𝐹 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ 𝐼 + 𝐹𝐼𝐶𝐼 = 𝐴𝐶𝐼 = 𝑙5 + 𝑙6 = 1,194 m, 19 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov v skrajni legi 𝐼𝐼 pa se ročici 5 in 6 delno prekrijeta in velja: 𝐹 ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ 𝐼𝐼𝐶𝐼𝐼 − 𝐴𝐹𝐼𝐼 = 𝐴𝐶𝐼𝐼 = 𝑙6 − 𝑙5 = 0,948 m. S hkratno rešitvijo zgornjih enačb dobimo za dolžino pogonske ročice 5 vrednost 𝑙5 = 0,123 m in za dolžino vezne ročice 6 vrednost 𝑙6 = 1,071 m. Slika 21. Ročični mehanizem z dodanim pogonskim podsklopom za delovanje na predpisanem delovnem območju. Skupni pol ročic 2 in 5 dobimo s pomočjo Kennedy-Aronholdovega teorema: 𝑃 25: 𝑃12𝑃15 − 𝑃26𝑃56 in ga uporabimo za določitev kotne hitrosti nihajoče ročice 2, razdalje med točkami določimo grafično: 𝑃 0,468 m 𝜔 15𝑃25 2 = 𝜔5 = 10 rad/s ⋅ = 3,69 rad/s. 𝑃 1,268 m 12𝑃25 Analogno določimo še skupni pol ročice 2 in drsnika 4: 𝑃24: 𝑃12𝑃14 − 𝑃23𝑃34, tako da je hitrost drsnika 4 v trenutni legi mehanizma: 𝑣4 = 𝜔2𝑃12𝑃24 = 3,69 rad/s ⋅ 0,628 m = 2,317 m/s. 20 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Od kolinearnih leg pogonske in vezne ročice je odvisen kot 𝛿, ki vpliva na razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba: 𝜋 + 𝛿 195 ° 𝑄 = = = 1,18. 𝜋 − 𝛿 165 ° Razmerje momentov za pogonski mehanizem je obratno razmerju kotnih hitrosti ročic 2 in 5: 𝑀2 𝜔 𝑃 1,268 m = 5 = 12𝑃25 = = 2,71. 𝑀5 𝜔2 𝑃 0,468 m 15𝑃25 Zgled 9: Konstrukcija poloid v analitični obliki Palica dolžine 2𝑙 drsi navzdol, hkrati prislonjena ob steno in tla (slika 22). Določiti je treba nepomično in pomično poloido. Slika 22. Toga palica med tlemi in steno. Rešitev Palica v ravnini ima največ tri prostostne stopnje, od katerih zaradi stalnega kontakta s tlemi in steno odvzamemo dve stopnji, zato ostane ena prostostna stopnja, kar izrazimo z enačbama vezi: (𝑖) 𝑟𝐴 𝑥 = 0, (𝑖𝑖) 𝑟𝐵 𝑦 = 0. Pri analizi lege izhajamo iz enačb za lego končnih točk palice: 𝐫𝐴 = 𝐫 + 𝐀𝐬′𝐴, 𝐫𝐵 = 𝐫 + 𝐀𝐬′𝐵, 21 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov kjer sta krajevna vektorja opazovanih točk 𝐴 in 𝐵 v koordinatah pomičnega koordinatnega sistema: 𝑠′𝐴 𝐵 −𝑙 𝑠′ 𝑙 𝐬′𝐴 = [ 𝑥 ], 𝐬′𝐵 = [ 𝑥 ]. 𝑠′𝐴] = [ 0 𝐵] = [0 𝑦 𝑠′𝑦 Lega opazovanih točk v koordinatah nepomičnega koordinatnega sistema je tako: 𝑟𝐴 𝑟 𝐴 𝑥 cos𝜙 −sin𝜙 𝑠′ 𝑟 [ 𝑥 ] + [ ] [ 𝑥 𝑥 − 𝑙 cos𝜙 𝑟𝐴] = [𝑟 sin𝜙 cos𝜙 𝐴] = [𝑟 𝑦 𝑦 𝑠′𝑦 𝑦 − 𝑙 sin𝜙 ], 𝑟𝐵 𝑟 𝐵 𝑥 cos𝜙 −sin𝜙 𝑠′ 𝑟 [ 𝑥 ] + [ ] [ 𝑥 𝑥 + 𝑙 cos𝜙 𝑟𝐵] = [𝑟 𝐵] = [𝑟 𝑦 𝑦 sin𝜙 cos𝜙 𝑠′𝑦 𝑦 + 𝑙 sin𝜙 ], iz česar s pomočjo enačb vezi (𝑖), (𝑖𝑖) izrazimo: 𝑟𝑥 = 𝑙cos𝜙, 𝑟𝑦 = −𝑙sin𝜙, 𝑟𝐴 𝑟 𝐴 𝑥 cos𝜙 −sin𝜙 𝑠′ 0 [ 𝑥 ] + [ ] [ 𝑥 ]. 𝑟𝐴] = [𝑟 sin𝜙 cos𝜙 𝐴] = [−2𝑙 sin𝜙 𝑦 𝑦 𝑠′𝑦 Ker ima v tem primeru palica eno prostostno stopnjo, rabimo eno znano kinematično količino, da določimo lego in orientacijo palice. Predpostavimo, da je znana časovna odvisnost zasuka 𝜙. Izberemo točko A in določimo njeno hitrost z odvajanjem krajevnega vektorja: 𝑣𝐴 0 [ 𝑥 ]. 𝑣𝐴] = [−2𝜔𝑙 cos𝜙 𝑦 Znana je smer hitrosti končnih točk palice, saj se točka 𝐴 giblje v smeri vzdolž stene oz. osi y , točka 𝐵 pa v smeri vzdolž tal oz. osi x . Sedaj imamo vse količine, potrebne za določitev nepomične poloide: 𝑣𝐴 𝐴 𝑦 −2𝜔𝑙 cos𝜙 𝑟𝑃 𝑟𝑥 − − 2𝑙 cos𝜙 [ 𝑥 𝜔 = [ ] = [ ], 𝑟𝑃] = 𝐴 𝜔 𝑦 𝑣 −2𝑙 sin𝜙 𝐴 𝑥 −2𝑙 sin𝜙 [𝑟𝑦 + 𝜔 ] kar ustreza enačbi krožnice s polmerom 2𝑙 in središčem v izhodišču koordinatnega sistema. Predznak komponente v smeri y ni pomemben, saj sta rešitvi kvadratne enačbe krožnice dve in to je ena od njiju. Pomično poloido dobimo s pomočjo predhodno izpeljanega izraza 𝑣𝐴 𝑣𝐴 −2𝜔𝑙 cos𝜙 𝐴 𝑦 𝑥 𝑠′𝑃 𝑠′𝑥 − cos𝜙 + sin𝜙 −𝑙 − cos𝜙 −𝑙 + 2𝑙 cos2𝜙 [ 𝑥 𝜔 𝜔 = [ 𝜔 ] = [ ], 𝑠′𝑃] = 𝑣𝐴 𝐴 −2𝜔𝑙 cos𝜙 −2𝑙 sin𝜙 cos𝜙 𝑦 𝐴 𝑦 𝑣𝑥 sin𝜙 [𝑠′𝑦 + sin𝜙 + cos𝜙 𝜔 𝜔 ] 𝜔 ki ga z adicijskimi izreki za trigonometrične funkcije preoblikujemo: 𝑠′𝑃 −𝑙 + 2𝑙 cos2𝜙 1 − 2 cos2𝜙 𝑙 cos2𝜙 [ 𝑥 ] = −𝑙 [ ] = [ ], 𝑠′𝑃] = [−2𝑙 sin𝜙 cos𝜙 2 sin𝜙 cos𝜙 −𝑙 sin2𝜙 𝑦 kar ustreza krivulji krožnice s polmerom 𝑙. Nepomično in pomično poloido prikazuje slika 23. Gibanje palice med tlemi in steno je ekvivalentno kotaljenju pomične poloide po nepomični. Kinematične inverzije danega primera srečamo v praksi, npr. Oldhamova sklopka ali jarem za pogon vbodne žage. 22 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 23. Gibanje palice – kotaljenje poloid. Zgled 10: Kinematična analiza s pomočjo polov hitrosti Za mehanizem z dvema drsnikoma (slika 24) določite trenutne pole hitrosti. Določite kotne hitrosti ročic in hitrosti točk 𝐷 in 𝐸. 𝐴𝐵 = 0,1 m 𝐵𝐶 = 0,2 m 𝐶𝐸 = 0,35 m 𝐵𝐸 = 0,5 m 𝐶𝐷 = 0,25m 𝜔2 = 30 rad/s Slika 24. Mehanizem z dvema drsnikoma. 23 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Rešitev Nalogo začnemo reševati z iskanjem polov hitrosti, pri čemer se osredotočimo le na pole, relevantne za reševanje naloge (slika 25). Primarni poli so direktno določljivi, saj se nahajajo v rotacijskih in translatornih vezeh: 𝑃 , , , , , , . 12 𝑃23 𝑃35 𝑃56 𝑃16 𝑃34 𝑃14 Sekundarne pole določimo s pomočjo Kennedy-Aronholdovega teorema: 𝑃 , 13: 𝑃12𝑃23 − 𝑃14𝑃34 𝑃 , 36: 𝑃13𝑃16 − 𝑃35𝑃56 𝑃 . 15: 𝑃13𝑃35 − 𝑃16𝑃56 Lego lociranih polov lahko odmerimo grafično z upoštevanjem merila slike. Točka B kroži okoli vpetja ročice 2 in je obenem pol hitrosti ročic 2 in 3, zato za njeno hitrost velja: 𝑃 0,1 m 𝑣𝐵 = 𝜔 12𝑃23 2𝑃12𝑃23 = 𝜔3𝑃13𝑃23 ⇒ 𝜔3 = 𝜔2 = 30 rad/s ⋅ = 3,05 rad/s. 𝑃 0,985 m 13𝑃23 Ob predhodno določeni kotni hitrosti ročice 3 znaša hitrost točke 𝐸 na drsniku 4: 𝑣𝐸 = 𝜔3𝑃13𝑃34 = 3,05 rad/s ⋅ 0,767 m = 2,336 m/s. V točki 𝐶 sta povezani ročica 3 in 5, kjer se nahaja tudi njun skupni pol 𝑃 . Ročica 3 kroži okoli na 35 𝑃15 nepomičnem telesu 1, prav tako ročica 5 kroži okoli pola 𝑃 . Za hitrost v polu in s tem v točki 15 𝑃35 𝐶 velja relacija, na podlagi katere lahko določimo kotno hitrost ročice 5: 𝑃 0,796 m 𝑣𝐶 = 𝜔 13𝑃35 3𝑃13𝑃35 = 𝜔5𝑃15𝑃35 ⇒ 𝜔5 = 𝜔3 = 3,05 rad/s ⋅ = 8,94 rad/s. 𝑃 0,271 m 15𝑃35 Hitrost točke 𝐷, ki je hkrati pol 𝑃 , skupen ročici 5 in drsniku 6, je tako: 56 𝑣𝐷 = 𝜔5𝑃15𝑃56 = 8,94 rad/s ⋅ 0,064 m = 0,574 m/s. 24 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 25. Poli hitrosti za dani mehanizem. 25 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 11: Prijemalna naprava Slika 26 prikazuje pnevmatsko prijemalno napravo. Za trenutno lego določite pole hitrosti (kolesce 2 je podprto z ravnim vodilom). Določite razmerje med silo pnevmatskega cilindra in prijemalno silo v točki 𝐶. Kje je smiselno postaviti mejo delovnega območja? Upoštevajte, da so torne izgube zanemarljive. Slika 26: Pnevmatska prijemalna naprava [5]. Rešitev Prijemalna naprava je namenjena fiksiranju obdelovanca med obdelovalnim postopkom (slika 27). Pnevmatski cilinder preko ročice 3 odmakne prijemalni vzvod 4. Kolesce 2 se opira ob vodilo ohišja 1, pri čemer je kot med ročico 3 in vodilom v ohišju 1 blizu 90° na celotnem delovnem območju cilindra. Kolesce 2 zagotavlja ugodnejše torne razmere, dejansko pa ga lahko obravnavamo kot drsnik. Zaradi bližine kolinearne lege polov 𝑃 , in naprava preko vzvoda 4 doseže veliko prijemalno silo. Pomik 13 𝑃23 𝑃12 kolesca 2 je treba ustaviti pred vzpostavitvijo kolinearne lege polov, saj bi bilo v tem primeru območje delovanja naprave prekinjeno z mrtvo lego. Moč, ki jo v napravo dovajamo s pnevmatskim cilindrom, se ob majhnih tornih izgubah ohranja, zato privzamemo naslednjo relacijo: 𝑃 = 𝐹𝐶𝑣𝐶 = 𝐹 . 2𝑣2 Hitrost prijemalne točke 𝑣 določimo s pomočjo polov hitrosti: 𝐶 𝑃 ̅̅̅̅̅̅ 𝑣𝐶 = 𝜔 ̅̅̅̅̅̅ 14𝐶 4𝑃14𝐶 = 𝑣2 . 𝑃 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 14𝑃24 Razmerje med prijemalno silo 𝐹𝐶 na obdelovancu in silo cilindra 𝐹 dobimo iz razmerja hitrosti cilindra 2 v in točke prijema 𝐶 na vzvodu 4: 2 𝐹𝐶 𝑃 0,512 m = 14𝑃24 = = 2,35. 𝐹2 𝑃 0,218 m 14𝐶 26 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 27. Poli hitrosti za mehanizem prijemalne naprave [5]. Lega pola 𝑃 , skupnega pola kolesca in vzvoda, je zelo občutljiva na nagib ročice 3. Ob bližini navpične 24 lege ročice 3 se pol 𝑃 pomakne navzdol in precej poveča razmerje med prijemalno silo na obdelovancu 24 in silo pnevmatskega cilindra. Območje delovanja je smiselno omejiti tako, da ročica 3 ne preide navpične lege. 27 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 12: Gibanje hidravličnega podporja Dan je vodilni štirizgibni mehanizem hidravlične podporne naprave (sliki 28 in 30). Ročica 2 se giblje s konstantno kotno hitrostjo 𝜔2 (= 𝜙̇2), pri čemer se zgornja platforma na delovnem območju spusti z največje višine ℎ do najmanjše višine . Analizirajte gibanje točke 𝑚𝑎𝑥 ℎ𝑚𝑖𝑛 𝐶 na ročici 3 in določite mrtvi legi mehanizma. 𝑙 1 = 0,674 m 𝑙2 = 1,36 m 𝑙3 = 0,382 m 𝑙4 = 1,31 m 𝑙3𝑎 = 1,4277 m 𝜃3 = 179,4 ° 𝜙1 = −40, 8∘ 𝜙̇2 = −0,1  rad⁄s 𝜙2,𝑚𝑖𝑛 = 26∘ 𝜙2,𝑚𝑎𝑥 = 54∘ Slika 28. Shema hidravličnega podporja [6]. Hidravlično podporje se uporablja za zaščito delovnega prostora pri odkopu premoga (slika 29). Pomik zgornje platforme podporja v navpični smeri je izveden s pomočjo vodilnega štirizgibnega mehanizma ABDE in pogonskih hidravličnih cilindrov, vpetih na mesti 𝐹 in G (slika 28). Slika 29. Sekcija hidravličnega podporja (levo) [6]; podporje med obratovanjem (desno) [7]. Štirizgibni mehanizem v splošnem ne more generirati linearnega gibanja za nobeno točko na vezni ročici. Kljub temu štirizgibni vodilni mehanizem podporja zagotavlja skoraj raven tir točke 𝐶 na delovnem območju z minimalnim stranskim odstopanjem. S tem skoraj vso pogonsko moč koristno porabi za premagovanje bremena v navpični smeri. Gre za inverzni problem dinamike, saj je mehanski sistem vzbujan s pomiki. Najprej je treba opraviti analizo kinematike in nato analizo obremenitev (v tem primeru ni obravnavana). Povezanost ročic izrazimo z enačbo vektorske zanke (slika 30): 𝐥 . 2 + 𝐥3 = 𝐥1 + 𝐥4 28 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Vektorsko obliko razcepimo na komponenti in dobimo sistem dveh skalarnih enačb: (𝑖) 𝑙3cos𝜙3 = 𝑙1cos𝜙1 + 𝑙4cos𝜙4 − 𝑙2cos𝜙2, (𝑖𝑖) 𝑙 . 3sin𝜙3 = 𝑙1sin𝜙1 + 𝑙4sin𝜙4 − 𝑙2sin𝜙2 Slika 30. Vektorska notacija ročic mehanizma. Vhodna količina je zasuk 𝜙 , zato sistem enačb rešujemo za preostala neznana zasuka , . 2 𝜙3 𝜙4 Enačbi (𝑖) in (𝑖𝑖) kvadriramo in seštejemo: (𝑖) 𝑙2 2 2 2 3 cos2𝜙3 = 𝑙1 cos2𝜙1 + 𝑙4 cos2𝜙4 + 𝑙2 cos2𝜙2 +2𝑙1𝑙4cos𝜙1cos𝜙4 − 2𝑙1𝑙2cos𝜙1cos𝜙2 − 2𝑙2𝑙4cos𝜙2cos𝜙4, (𝑖𝑖) 𝑙2 2 2 2 3 sin2𝜙3 = 𝑙1 sin2𝜙1 + 𝑙4 sin2𝜙4 + 𝑙2 sin2𝜙2 +2𝑙1𝑙4sin𝜙1sin𝜙4 − 2𝑙1𝑙2sin𝜙1sin𝜙2 − 2𝑙2𝑙4sin𝜙2sin𝜙4. Vsota kvadriranih enačb (𝑖) in (𝑖𝑖) je: 𝑙2 2 2 2 3 = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙4 +(2𝑙 1𝑙4cos𝜙1 − 2𝑙2𝑙4cos𝜙2)cos𝜙4 +(2𝑙 1𝑙4sin𝜙1 − 2𝑙2𝑙4sin𝜙2)sin𝜙4 −2𝑙1𝑙2cos𝜙1cos𝜙2 − 2𝑙1𝑙2sin𝜙1sin𝜙2. Kvadrirano enačbo vektorske zanke uredimo v pregledno obliko: 𝐴cos𝜙4 + 𝐵sin𝜙4 + 𝐶 = 0, kjer je: 𝐴 = 2𝑙1𝑙4cos𝜙1 − 2𝑙2𝑙4cos𝜙2, 𝐵 = 2𝑙1𝑙4sin𝜙1 − 2𝑙2𝑙4sin𝜙2, 𝐶 = 𝑙2 2 2 2 1 + 𝑙2 + 𝑙4 − 𝑙3 − 2𝑙1𝑙2cos𝜙1cos𝜙2 − 2𝑙1𝑙2sin𝜙1sin𝜙2, pri čemer je kot 𝜙 konstanten in 1 𝜙2 = 𝜙2(𝑡). 29 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Uvedemo substitucijo in uporabimo adicijska izreka: 𝜙 1 − tan2 𝜙4 2tan 4 cos𝜙 2 2 4 = , sin𝜙4 = , 1 + tan2 𝜙4 2 1 + tan2 𝜙4 2 kjer upoštevamo substitucijo 𝜙 𝑘 = tan 4, 2 tako da sledi: 1 − 𝑘2 2𝑘 cos𝜙4 = , sin𝜙 . 1 + 𝑘2 4 = 1 + 𝑘2 S pomočjo substitucije uredimo kvadratno enačbo po spremenljivki 𝑘: 𝐴(1 − 𝑘2) + 2𝐵𝑘 + 𝐶(1 + 𝑘2) = 0, (𝐶 − 𝐴)𝑘2 + 2𝐵𝑘 + (𝐶 + 𝐴) = 0. Kvadratno enačbo rešimo: −𝐵 ± √𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶2 𝑘 = , 𝐶 − 𝐴 iz česar dobimo: 𝜙4 = 2 arctan 𝑘 in iz enačb (𝑖) in (𝑖𝑖): 𝑙 𝜙 1sin𝜙1 + 𝑙4sin𝜙4 − 𝑙2sin𝜙2 3 = arctan . 𝑙1cos𝜙1 + 𝑙4cos𝜙4 − 𝑙2cos𝜙2 Od predznaka ∓ je odvisen način sestavljanja mehanizma oz. izbira ene od dveh geometrijskih inverzij (slika 31). Slika 31. Geometrijski inverziji štirizgibnega mehanizma. Z znano rešitvijo za zasuk ročice 3, 𝜙 , in glede na lego točke 3 𝐶 na ročici 3 dobimo vektor pomikov točke 𝐶: 𝑥𝐶 cos 𝜙 cos(𝜙 [ 2] + 𝑙 3 + 𝜃3)]. 𝑦𝐶] = 𝑙2 [sin 𝜙 3𝑎 [ 2 sin(𝜙3 + 𝜃3) 30 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Za analizo hitrosti odvajamo enačbo vektorske zanke po času in preuredimo zapis: 𝐥̇ 2 + 𝐥̇3 = 𝐥̇1 + 𝐥̇4 −sin𝜙 sin𝜙 −sin𝜙 𝑙 𝜙̇ 𝑙 2 3 4 3sin𝜙3 −𝑙4sin𝜙4 3 2𝜙̇2 [ ] = &𝑙 ] + 𝑙 ] = [ ] [ ]. cos𝜙 3𝜙̇3 [ 4𝜙̇4 [ 2 −cos𝜙3 cos𝜙4 −𝑙3cos𝜙3 𝑙4cos𝜙4 𝜙̇4 Iščemo kotni hitrosti ročic 3 in 4, zato matriko na desni strani obrnemo, pri čemer upoštevamo njeno determinanto: 𝑙 | 3sin𝜙3 −𝑙4sin𝜙4| = 𝑙 −𝑙 3𝑙4(sin𝜙3cos𝜙4 − cos𝜙3sin𝜙4) = 𝑙3𝑙4sin(𝜙3 − 𝜙4) 3cos𝜙3 𝑙4cos𝜙4 in dobimo: 𝜙̇ 𝑙 𝑙 −sin𝜙 [ 3] = 2𝜙̇2 [ 4cos𝜙4 𝑙4sin𝜙4][ 2] 𝜙̇ 𝑙 𝑙 cos𝜙 4 3𝑙4sin(𝜙3 − 𝜙4) 3cos𝜙3 𝑙3sin𝜙3 2 𝑙 −𝑙 = 2𝜙̇2 [ 4cos𝜙4sin𝜙2 + 𝑙4sin𝜙4cos𝜙2 ] 𝑙 −𝑙 3𝑙4 sin(𝜙3 − 𝜙4) 3cos𝜙3sin𝜙2 + 𝑙3sin𝜙3cos𝜙2 𝑙 𝑙 = 2𝜙̇2 [ 4sin(𝜙4 − 𝜙2)]. 𝑙 𝑙 3𝑙4sin(𝜙3 − 𝜙4) 3sin(𝜙3 − 𝜙2) Z odvajanjem vektorja pomikov točke 𝐶 in ob znani rešitvi za kotno hitrost ročice 3, 𝜙̇ , dobimo za 3 hitrost točke 𝐶: 𝑥̇𝐶 −sin 𝜙 −sin(𝜙 [ 2] + 𝑙 3 + 𝜃3)]. 𝑦̇𝐶] = 𝑙2𝜙̇2 [ cos 𝜙 3𝑎𝜙̇3 [ 2 cos(𝜙3 + 𝜃3) Pri analizi pospeškov ponovno odvajamo enačbo vektorske zanke: 𝐥̈ , 2 + 𝐥̈3 = 𝐥̈1 + 𝐥̈4 −sin𝜙 −cos𝜙 sin𝜙 cos𝜙 𝑙 2 2 2 3 2 3 2𝜙̈2 [ ] + 𝑙 [ ] = 𝑙 ] + 𝑙 [ ] cos𝜙 2𝜙̇2 3𝜙̈3 [ 3𝜙̇3 2 −sin𝜙2 −cos𝜙3 sin𝜙3 −sin𝜙 −cos𝜙 +𝑙 4 2 4 4𝜙̈4 [ ] + 𝑙 [ ]. cos𝜙 4𝜙̇4 4 −sin𝜙4 Izpostavimo kotna pospeška ročic 3 in 4 ter zapišemo v zgoščeni obliki: 𝑐 −𝑙 2cos𝜙 2cos𝜙 2cos𝜙 [ 1 2𝜙̈2sin𝜙2 − 𝑙2𝜙̇2 2 − 𝑙3𝜙̇3 3 + 𝑙4𝜙̇4 4 𝑐 ] = [ ] 2 𝑙 2 2 2 2𝜙̈2cos𝜙2 − 𝑙2𝜙̇2 sin𝜙2 − 𝑙3𝜙̇3 sin𝜙3 + 𝑙4𝜙̇4 sin𝜙4 𝑙 𝜙̈ = [ 3sin𝜙3 −𝑙4sin𝜙4][ 3]. −𝑙3cos𝜙3 𝑙4cos𝜙4 𝜙̈4 Determinanta matrike na desni strani je: 𝑙 | 3sin𝜙3 −𝑙4sin𝜙4| = 𝑙 −𝑙 3𝑙4(sin𝜙3cos𝜙4 − cos𝜙3sin𝜙4) = 𝑙3𝑙4sin(𝜙3 − 𝜙4). 3cos𝜙3 𝑙4cos𝜙4 Enačbo obrnemo in eksplicitno izrazimo kotna pospeška na levi strani: 𝜙̈ 1 𝑙 𝑐 [ 3] = [ 4cos𝜙4 𝑙4sin𝜙4][ 1]. 𝜙̈ 𝑙 𝑙 𝑐 4 3𝑙4sin(𝜙3 − 𝜙4) 3cos𝜙3 𝑙3sin𝜙3 2 31 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Pospešek točke 𝐶 dobimo z odvajanjem vektorja hitrosti, pri čemer upoštevamo izpeljano rešitev za kotni pospešek ročice 3, 𝜙̈ : 3 𝑥̈𝐶 −sin 𝜙 −cos 𝜙 −sin(𝜙 −cos(𝜙 [ 2] + 𝑙 2 [ 2] + 𝑙 3 + 𝜃3)] + 𝑙 2 [ 3 + 𝜃3)]. 𝑦̈𝐶] = 𝑙2𝜙̈2 [ cos 𝜙 2𝜙̇2 3𝑎𝜙̈3 [ 3𝑎𝜙̇3 2 −sin 𝜙2 cos(𝜙3 + 𝜃3) − sin(𝜙3 + 𝜃3) Iz zgornje izpeljave izhaja, da je za štirizgibni mehanizem možno rešitev enačbe sklenjene zanke v poiskati simbolični obliki, kar omogoča, da je tudi analiza kinematike za ta pogost tip mehanizma opravljena v simbolični obliki. Slika 32 prikazuje tir točke 𝐶, ki ob pomiku v navpični smeri 0,875 m opravi prečni pomik le približno 0,012 m, kar znaša manj kot 1,5% pomika v navpični smeri. Slika 32. Tir točke C na hidravličnem podporju. Moment dovajamo na pogonsko ročico 2, iz česar zato izhajamo pri določanju mrtvih leg. Še prej preverimo Grashofov pogoj: (𝑠 + 𝑙) ≤ (𝑝 + 𝑞), (𝑙3 + 𝑙2 (= 1,742 m)) ≤ (𝑙1 + 𝑙4 (= 1,984 m)), ki ga mehanizem izpolnjuje. Možna je rotacija ročice 3, ker pa je ročica 1 fiksna, lahko ročici 2 in 4 glede na ročico 1 samo nihata. Mrtvi legi tako nastopita, ko sta ročici 3 in 4 kolinearni, pri čemer se vzpostavi trikotna geometrija mehanizma in nadaljnje gibanje mehanizma ni mogoče, ne glede na velikost momenta na ročici 2. Za kolinearna položaja ročic 3 in 4 lahko zasuk ročice 2 določimo s pomočjo kosinusnega izreka za trikotnik: 1. mrtva lega (Slika 33, levo): 𝑙2 + 𝑙2 − (𝑙 cos(𝜙 2 1 3 + 𝑙4)2 2,𝐼 − 𝜙1) = , 𝜙 2𝑙 2,𝐼 = 66,9∘. 2𝑙1 2. mrtva lega (Slika 33, desno): 𝑙2 + 𝑙2 − (𝑙 cos(𝜙 2 1 4 − 𝑙3)2 2,𝐼𝐼 − 𝜙1) = , 𝜙 2𝑙 2,𝐼𝐼 = 2,7∘. 2𝑙1 32 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 33. Prva mrtva lega (levo); druga mrtva lega(desno). Dodatno lahko izpeljemo še Freudensteinovo enačbo [8]. Predpostavimo primer, da je 𝜙1 = 0. Ta predpostavka ne vpliva na relativno gibanje ročic, saj kot 𝜙 vpliva le na orientacijo celotnega 1 mehanizma v ravnini. Kot predhodno, enačbo sklenjene vektorske zanke razcepimo na komponenti, ki ju kvadriramo in seštejemo. Kvadrirano enačbo vektorske zanke nato zapišemo v obliki, pri kateri izpostavimo faktorje s 𝜙 in , obenem je 2 𝜙4 sin𝜙1 = 0 in cos𝜙1 = 1: 𝑙2 2 2 2 3 = 𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙4 − 2𝑙1𝑙2cos𝜙2 + 2𝑙1𝑙4cos𝜙4 − 2𝑙2𝑙4(cos𝜙2cos𝜙4 + sin𝜙2sin𝜙4), 𝑙2 2 2 2 1 + 𝑙2 + 𝑙4 − 𝑙3 𝑙 𝑙 − 1 cos𝜙 1 cos𝜙 2𝑙 2 + 4 = cos𝜙2cos𝜙4 + sin𝜙2sin𝜙4. 2𝑙4 𝑙4 𝑙2 Nadaljnjo poenostavitev dosežemo z vpeljavo koeficientov 𝑙 𝑙 𝑙2 + 𝑙2 + 𝑙2 − 𝑙2 𝐾 1 1 1 2 4 3 1 = , 𝐾 , 𝐾 𝑙 2 = − 3 = 2 𝑙4 2𝑙2𝑙4 in uporabo adicijskega izreka za razliko kotov, tako da dobimo Freudensteinovo enačbo: 𝐾1cos𝜙4 + 𝐾2cos𝜙2 + 𝐾3 = cos(𝜙2 − 𝜙4). Freudensteinova enačba se uporablja pri sintezi štirizgibnega mehanizma, in sicer za doseganje želene kinematične prenosne funkcije zasukov ročic 2 in 4. Pri tem definiramo tri zaporedne zasuke ročice 2, 𝜙 , in pripadajoče zasuke ročice 4, . Dobimo sistem treh enačb s tremi 2,1, 𝜙2,2, 𝜙2,3 𝜙4,1, 𝜙4,2, 𝜙4,3 neznankami, koeficienti 𝐾 : 1, 𝐾2, 𝐾3 𝐾1cos𝜙4,1 + 𝐾2cos𝜙2,1 + 𝐾3 = cos(𝜙2,1 − 𝜙4,1), 𝐾 1cos𝜙4,2 + 𝐾2cos𝜙2,2 + 𝐾3 = cos(𝜙2,2 − 𝜙4,2), 𝐾1cos𝜙4,3 + 𝐾2cos𝜙2,3 + 𝐾3 = cos(𝜙2,3 − 𝜙4,3). Z rešitvijo sistema enačb za neznanke dobimo razmerja ročic, ki zagotavljajo želeno prenosno funkcijo. Zatem je treba izbrati še eno od dolžin ročic, da lahko določimo dolžine preostalih ročic, ter ustrezno orientacijo nepomične ročice. 33 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov C. Dinamika Zgled 13: Analiza dinamike ročičnega mehanizma Dan je ročični mehanizem s pogonsko ročico 2, vezno ročico 3 in drsnikom 4 (slika 34). Ročici 2 in 3 sta konstantnega prereza, z masama 𝑚 in ter vztrajnostnima momentoma in . Določite pomik, 2 𝑚3 𝐽2 𝐽3 hitrost in pospešek drsnika, če je kotna hitrost 𝜔 ročice 2 konstantna. Pri analizi dinamike upoštevajte 2 tudi vplive dodatne zunanje sile 𝐅𝐷,𝑧𝑢𝑛 na drsnik 4, ekscentričnosti drsnika ( 4 𝑙4 > 0) in trenja 𝜇 med drsnikom in vodilom. Podatki so naslednji: 𝑙2 = 0,2 m 𝑙3 = 0,4 m 𝑙4 = 0 m 𝑚2 = 2 kg 𝑚3 = 2,5 kg 𝑚4 = 2 kg 𝐽2 = 0,0067 kgm2 𝐽3 = 0,033 kgm2 𝑁 = 60  vrt⁄min 𝐹𝐷,𝑧𝑢𝑛 𝐷,𝑧𝑢𝑛 ⁄ 4,𝑥 = −100 N, 𝐹4,𝑦 = 0 N, 3𝜋 2 ≤ 𝜙2 ≤ 2𝜋 𝜇 = 0,3 Slika 34. Ročični mehanizem z drsnikom. Rešitev Naloga podaja problem inverzne dinamike, kjer je sistem vzbujan kinematično, ob znani odvisnosti vhodnega parametra od časa. Mehanizem ima eno prostostno stopnjo, za vhodni parameter izberemo 𝜙2 = 𝜙2(𝑡). Najprej določimo kotno hitrost pogonske ročice 2: 𝑁 [1⁄min] 𝜙̇2 (= 𝜔2) = 2𝜋 = 2𝜋  rad⁄s. 60 s 34 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Za ročični mehanizem (le-ta je modifikacija štirizgibnega mehanizma, pri katerem je gibanje drsnika po premici ekvivalentno gibanju končne točke na vrtljivo vpeti ročici neskončne dolžine) je možno kinematiko ročic in drsnika izraziti analitično. Ročice med vezmi lahko ponazorimo kot vektorje, ki tvorijo sklenjeno vektorsko zanko (slika 35): 𝐥 , 2 + 𝐥3 = 𝐥1 + 𝐥4 ki jo zapišemo kot sistem dveh nelinearnih algebraičnih enačb za v smereh koordinatnih osi 𝑥 in 𝑦 nepomičnega koordinatnega sistema: (𝑖) 𝑙2cos𝜙2 + 𝑙3cos𝜙3 = 𝑙1cos𝜙1 + 𝑙4cos𝜙4, (𝑖𝑖) 𝑙2sin𝜙2 + 𝑙3sin𝜙3 = 𝑙1sin𝜙1 + 𝑙4sin𝜙4, kjer velja 𝜙 , dolžina vektorja je spremenljiva: 1 = 0, 𝜙4 = 𝜋⁄2 𝐥1 𝑙1 = 𝑥𝐷. Slika 35. Sklenjena vektorska zanka in druga geometrijska inverzija (črtkano) ročičnega mehanizma. Iz enačbe (𝑖𝑖) izrazimo zasuk vezne ročice 3: 𝑙 𝑙 sin𝜙 4 − 𝑙2sin𝜙2 4 − 𝑙2sin𝜙2 3 = , 𝜙 𝑙 3 = arcsin 3 𝑙3 ter s pomočjo adicijskega izreka (cos 𝑥2 + sin 𝑥2 = 1) še v enačbi (𝑖): 𝑙 1 cos𝜙 4 − 𝑙2sin𝜙2 2 3 = ±√1 − ( )2 = ± √𝑙 − (𝑙 𝑙 3 4 − 𝑙2sin𝜙2)2, 3 𝑙3 kjer pozitivni in negativni predznak (±) odražata dva različna načina sestave (geometrijski inverziji) ročičnega mehanizma (slika 35). Za dano geometrijsko inverzijo dobimo funkcijo za pomik drsnika v odvisnosti od zasuka 𝜙 pogonske ročice 2: 2 𝑥𝐷(= 𝑙 , 1) = 𝑙2cos𝜙2 + 𝑙3cos𝜙3 𝑥𝐷 = 𝑙 2 2cos𝜙2 + √𝑙3 − (𝑙4 − 𝑙2sin𝜙2)2. V primeru obravnavanega mehanizma je analitična rešitev enačbe sklenjene zanke možna, kar pa ni splošno pravilo. 35 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Z odvajanjem zasuka 𝜙 dobimo še kotno hitrost in kotni pospešek za vezno ročico 3: 3 𝜙̇ 𝜙̇ 2𝑙2cos𝜙2 3 = − , √𝑙23 − (𝑙4 − 𝑙2sin𝜙2)2 𝑙 𝜙̇2𝑙 2 (𝑙 𝜙̈ 2 2 2 2 cos 𝜙2 4 − 𝑙2sin𝜙2) 3 (= 𝛼3) = [−𝜙̈2cos𝜙2 + 𝜙̇2sin𝜙2 + ]. 2 √𝑙2 𝑙 − (𝑙 3 − (𝑙4 − 𝑙2sin𝜙2)2 3 4 − 𝑙2sin𝜙2)2 Glede na predpisano gibanje pogonske ročice 2 je njen kotni pospešek enak nič, 𝜙̈2 (= 𝛼2) = 0. Hitrost drsnika dobimo z odvajanjem enačbe za pomik, ki jo lahko uredimo tudi s pomočjo predhodno izpeljanih izrazov za 𝜙̇ in v odvisnosti od in : 3 sin𝜙3 𝜙2 𝜙̇2 𝑥̇𝐷(= 𝑣𝐷) = −𝑙 2𝜙̇2sin𝜙2 − 𝑙3𝜙̇3sin𝜙3 𝑙 = 𝜙̇ 4 − 𝑙2sin𝜙2 2𝑙2 [−sin𝜙2 + cos𝜙2 ]. √𝑙23 − (𝑙4 − 𝑙2sin𝜙2)2 Pospešek drsnika dobimo z dvakratnim odvajanjem enačbe za pomik, kjer lahko upoštevamo tudi predhodno izpeljane izraze za 𝜙̇ , , in : 3 𝜙̈3 sin𝜙3 cos𝜙3 𝑥̈𝐷(= 𝑎𝐷) = −𝑙 2 2 2𝜙̈2sin𝜙2 − 𝑙2𝜙̇2 cos𝜙2 − 𝑙3𝜙̈3sin𝜙3 − 𝑙3𝜙̇3 cos𝜙3 𝑙 = −𝜙̈ 4 − 𝑙2sin𝜙2 2𝑙2 [sin𝜙2 + cos𝜙2 ] √𝑙23 − (𝑙4 − 𝑙2sin𝜙2)2 𝜙̇2𝑙 − 2 2 [(𝑙 2 4 − 𝑙2sin𝜙2)sin𝜙2 + cos𝜙2√𝑙3 − (𝑙4 − 𝑙2sin𝜙2)2 √𝑙23 − (𝑙4 − 𝑙2sin𝜙2)2 2 𝑙 2cos𝜙 + 2𝑙3 2 ]. 𝑙23 − (𝑙4 − 𝑙2sin𝜙2)2 V nadaljevanju pogonski ročici 2, vezni ročici 3 in drsniku 4 pridružimo pomični koordinatni sistem, katerega izhodišče postavimo v masno središče posameznega telesa ročičnega mehanizma (slika 36). S poznavanjem kinematike pogonske ročice 2, vezne ročice 3 in drsnika 4 lahko določimo pomike, hitrosti in pospeške opazovanih točk na njih, ki jih rabimo pri analizi sil in momentov v mehanizmu. Slika 36. Pomični koordinatni sistem na ročici 2, vezni ročici 3 in drsniku 4. 36 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Krajevni vektorji opazovanih točk 𝐴, 𝐵 in 𝐷 v koordinatah pomičnih koordinatnih sistemov pogonske ročice 2 in vezne ročice 3: −𝑙 ⁄ 𝑙 ⁄ −𝑙 ⁄ 𝑙 ⁄ 𝐬′𝐴 2 2 𝐵 2 2 𝐵 3 2 𝐷 3 2 2 = [ ], 𝐬′ = [ ], 𝐬′ = [ ], 𝐬′ = [ ]. 0 2 0 3 0 3 0 Z upoštevanjem rotacijskih matrik za ročico 2 in ojnico 3, 𝐀 in , dobimo lego opazovanih točk in 2 𝐀3 masnih središč za obe telesi še v koordinatah nepomičnega koordinatnega sistema: 𝑠𝐴 cos𝜙 −𝑙 ⁄ − 𝑙 ⁄ cos𝜙 𝐬𝐴 2,𝑥 𝐴 2 −sin𝜙2 2 2 2 2 2 2 = [ ] = 𝐀 = [ ] [ ] = [ ], 𝑠𝐴 2𝐬′2 sin𝜙 −𝑙 ⁄ sin𝜙 2,𝑦 2 cos𝜙2 0 2 2 2 𝑠𝐵 cos𝜙 𝑙 ⁄ 𝑙 ⁄ cos𝜙 𝐬𝐵 2,𝑥 𝐵 2 −sin𝜙2 2 2 2 2 2 2 = [ ] = 𝐀 = [ ] [ ] = [ ] , 𝑠𝐵 2𝐬′2 sin𝜙 𝑙 ⁄ sin𝜙 2,𝑦 2 cos𝜙2 0 2 2 2 𝑠𝐵 cos𝜙 −𝑙 ⁄ − 𝑙 ⁄ cos𝜙 𝐬𝐵 3,𝑥 𝐵 3 −sin𝜙3 3 2 3 2 3 3 = [ ] = 𝐀 = [ ] [ ] = [ ], 𝑠𝐵 3𝐬′3 sin𝜙 −𝑙 ⁄ sin𝜙 3,𝑦 3 cos𝜙3 0 3 2 3 𝑠𝐷 cos𝜙 𝑙 ⁄ 𝑙 ⁄ cos𝜙 𝐬𝐷 3,𝑥 𝐷 3 −sin𝜙3 3 2 3 2 3 3 = [ ] = 𝐀 = [ ] [ ] = [ ]. 𝑠𝐷 3𝐬′3 sin𝜙 𝑙 ⁄ sin𝜙 3,𝑦 3 cos𝜙3 0 3 2 3 Koordinate pogonske ročice 2, vezne ročice 3 in drsnika 4 (koordinate izhodišč pomičnih koordinatnih sistemov teles 𝑂′ , ′ in ′): 2 𝑂3 𝑂4 𝑥 𝑙 ⁄ cos𝜙 𝐫 2 𝐴 2 2 2 2 = [𝑦 ] = −𝐬2 = [ ], 2 𝑙2⁄2 sin𝜙2 𝑥 ⁄ 𝑙 cos𝜙 𝐫 3 𝐵 𝐵 𝐵 2cos𝜙2 + 𝑙3 2 3 3 = [𝑦 ] = 𝐫2 + 𝐬2 − 𝐬3 = 𝐫𝐵 − 𝐬3 = [ ], 3 𝑙2sin𝜙2 + 𝑙3⁄2 sin𝜙3 𝑥 𝑙 𝐫 4 𝐷 2cos𝜙2 + 𝑙3cos𝜙3 4 = [𝑦 ] = 𝐫3 + 𝐬3 = [ ], 4 𝑙2sin𝜙2 + 𝑙3sin𝜙3 z njihovim odvajanjem pa dobimo hitrost teles: 𝑥̇ −𝑙 ⁄ 𝜙̇ 𝐫̇ 2 2 2 2sin𝜙2 2 = [ ] = [ ], 𝑦̇2 𝑙2⁄2 𝜙̇2cos𝜙2 ⁄ 𝑥̇ −𝑙 𝜙̇ 𝐫̇ 3 2𝜙̇2sin𝜙2 −𝑙3 2 3sin𝜙3 3 = [ ] = [ ], 𝑦̇3 𝑙2𝜙̇2cos𝜙2 +𝑙3⁄2 𝜙̇3cos𝜙3 𝑥̇ −𝑙 𝐫̇ 4 2𝜙̇2sin𝜙2 − 𝑙3𝜙̇3sin𝜙3 4 = [ ] = [ ], 𝑦̇4 𝑙2𝜙̇2cos𝜙2 + 𝑙3𝜙̇3cos𝜙3 in pospešek teles: 𝑥̈ −𝑙 ⁄ (𝜙̈ 2cos𝜙 𝐫̈ 2 2 2 2sin𝜙2 + 𝜙̇2 2) 2 = [ ] = [ ], 𝑦̈ 2 2 𝑙2⁄2 (𝜙̈2cos𝜙2 − 𝜙̇2sin𝜙2) −𝑙 2cos𝜙 ⁄ (𝜙̈ 2cos𝜙 𝑥̈ 𝐫̈ 3 2(𝜙̈2sin𝜙2 + 𝜙̇2 2) −𝑙3 2 3sin𝜙3 + 𝜙̇3 3) 3 = [ ] = [ ], 𝑦̈ 2 2 3 𝑙2(𝜙̈2cos𝜙2 − 𝜙̇2sin𝜙2) +𝑙3⁄2 (𝜙̈3cos𝜙3 − 𝜙̇3sin𝜙3) 𝑥̈ −𝑙 2cos𝜙 2cos𝜙 𝐫̈ 4 2(𝜙̈2sin𝜙2 + 𝜙̇2 2) − 𝑙3(𝜙̈3sin𝜙3 + 𝜙̇3 3) 4 = [ ] = [ ], 𝑦̈ 2 2 4 𝑙2(𝜙̈2cos𝜙2 − 𝜙̇2sin𝜙2) + 𝑙3(𝜙̈3cos𝜙3 − 𝜙̇3sin𝜙3) kjer lahko upoštevamo predhodno izpeljane izraze za zasuk, kotno hitrost in kotni pospešek pogonske ročice 2 in vezne ročice 3 in jih tako analitično izrazimo v odvisnosti od 𝜙 , in . Hkrati lahko pri 2 𝜙̇2 𝜙̈2 poenostavitvi upoštevamo, da je pomik drsnika 4 možen le v vodoravni smeri, zato je 𝑦̇4 = 0 in 𝑦̈4 = 0, prav tako velja tudi 𝑥4 = 𝑥𝐷, 𝑥̇4 = 𝑥̇𝐷 in 𝑥̈4 = 𝑥̈𝐷. 37 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Pri opisu dinamike mehanizma izhajamo iz Newton-Eulerjevih enačb. Na ravninsko telo 𝑖 v točki 𝑗 deluje sila 𝐅𝑗. Lokalni koordinatni sistem telesa se nahaja v masnem središču, krajevni vektor točke 𝑗 je 𝐬𝑗 𝑖 𝑖 oziroma 𝐬′𝑗, ko je izražen v koordinatah lokalnega sistema. 𝑖 Newtonova ravnotežna enačba povezuje sile, ki delujejo na telo, z njegovim gibanjem, ki nastane kot posledica delovanja sil: ∑ 𝐅𝑗 = 𝑚 , 𝑖 𝑖𝐫̈𝑖 𝑗 kjer je 𝐅𝑗 vektor sile, ki deluje v točki 𝑗 na telesu 𝑖, 𝑚 masa telesa 𝑖 in 𝐫̈ vektor pospeška masnega 𝑖 𝑖 𝑖 središča telesa 𝑖. Za posamezno telo lahko vektorsko obliko Newtonove ravnotežne enačbe zapišemo kot sistem dveh skalarnih enačb za komponente sil, ki delujejo v smeri osi 𝑥 in 𝑦 nepomičnega koordinatnega sistema. Eulerjeva ravnotežna enačba ∑ 𝐬𝑗 × 𝐅𝑗 + ∑ 𝐌𝑘 = 𝐉 (= 𝐽 𝑖 𝑖 𝑖 𝑘 𝑖𝝎̇𝑖 𝑖𝜙̈𝑖) 𝑗 opisuje rotacijsko gibanje telesa 𝑖, kjer leva stran enačbe predstavlja rezultirajoči moment okoli masnega središča, na desni strani enačbe pa sta 𝜙̈ kotni pospešek telesa 𝑖 𝑖, ki nastane kot posledica delovanja momentov na telo, in 𝐽 vztrajnostni moment za masno središče telesa. Rezultirajoči moment 𝑖 na levi strani enačbe je sestavljen iz vsote momentov 𝐌𝑘, ki delujejo na telo, in vsote momentov 𝑗 𝑗, 𝑖 𝐬 × 𝐅 𝑖 𝑖 ki se pojavijo kot posledica delovanja sile 𝐅𝑗 v točki 𝑗 izven masnega središča. Eulerjeva ravnotežna 𝑖 enačba je v splošnem vektorska, vendar se v primeru ravninskega gibanja poenostavi v skalarno. Ročični mehanizem – sistem treh gibljivih teles razčlenimo na posamezna toga telesa, na katera delujejo sile in momenti in za vsako telo v obravnavanem mehanizmu zapišemo Newton-Eulerjeve ravnotežne pogoje v obliki treh skalarnih enačb (slika 37). Slika 37. Razčlenitev mehanizma – sistema teles na posamezna telesa, na katera delujejo sile in momenti. 38 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Pogonska ročica 2 (slika 38): 𝐅𝐴,1 𝐵 𝐴,1 𝐵 , 2 + 𝐅2 + 𝑚2𝐠 = 𝐅2 − 𝐅3 + 𝑚2𝐠 = 𝑚2𝐫̈2 𝐌𝐴 𝐴 𝐴,1 𝐵 𝐵 𝐴 𝐴 𝐴,1 𝐵 𝐵 , 2 + 𝐬2 × 𝐅2 + 𝐬2 × 𝐅2 = 𝐌2 + 𝐬2 × 𝐅2 − 𝐬2 × 𝐅3 = 𝐉2𝛚̇2 (1) 𝐹𝐴,1 𝐵 , 2,𝑥 − 𝐹3,𝑥 = 𝑚2𝑥̈2 (2) 𝐹𝐴,1 𝐵 2,𝑦 − 𝐹3,𝑦 = 𝑚2𝑦̈2 + 𝑚2𝑔, (3) 𝑀𝐴 𝐴 𝐴,1 𝐴 𝐴,1 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 . 2 + 𝑠2,𝑥𝐹2,𝑦 − 𝑠2,𝑦𝐹2,𝑥 − 𝑠2,𝑥𝐹3,𝑦 + 𝑠2,𝑦𝐹3,𝑥 = 𝐽2𝜙̈2 Slika 38. Obremenitve ročice 2. Pri tem smo upoštevali, da zaradi zakona o akciji in reakciji velja 𝐹𝐴 𝐵 in 𝐴 𝐵 , zato lahko 2,𝑥 = −𝐹3,𝑥 𝐹2,𝑦 = −𝐹3,𝑦 iz ravnotežnih enačb izločimo 𝐹𝐴 in 𝐴 . 2,𝑥 𝐹2,𝑦 Vezna ročica 3 (slika 39): 𝐅𝐵 𝐷 𝐵 𝐷 , 3 + 𝐅3 + 𝑚3𝐠 = 𝐅3 − 𝐅4 + 𝑚3𝐠 = 𝑚3𝐫̈3 𝐬𝐵 𝐵 𝐷 𝐷 𝐵 𝐵 𝐷 𝐷 , 3 × 𝐅3 + 𝐬3 × 𝐅3 = 𝐬3 × 𝐅3 − 𝐬3 × 𝐅4 = 𝐉3𝛚̇3 (4) 𝐹𝐵 𝐷 , 3,𝑥 − 𝐹4,𝑥 = 𝑚3𝑥̈3 (5) 𝐹𝐵 𝐷 3,𝑦 − 𝐹4,𝑦 = 𝑚3𝑦̈3 + 𝑚3𝑔, (6) 𝑠𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 . 3,𝑥𝐹3,𝑦 − 𝑠3,𝑦𝐹3,𝑥 − 𝑠3,𝑥𝐹4,𝑦 + 𝑠3,𝑦𝐹4,𝑥 = 𝐽3𝜙̈3 Slika 39. Obremenitve ročice 3. Tudi tu dodatno upoštevamo, da velja 𝐹𝐷 𝐷 in 𝐷 𝐷 in s tem izločimo 𝐷 in 𝐷 . 3,𝑥 = −𝐹4,𝑥 𝐹3,𝑦 = −𝐹4,𝑦 𝐹3,𝑥 𝐹3,𝑦 39 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Drsnik 4 (slika 40): 𝐅𝐷 𝐷,1 𝐷,𝑧𝑢𝑛 . 4 + 𝐅4 + 𝐅4 + 𝑚4𝐠 = 𝑚4𝐫̈4 Slika 40. Obremenitve na drsniku 4. Momentna enačba se anulira – ima obe strani enaki nič, saj drsnik v vodilu ne omogoča rotacije, sile, ki na drsnik prijemljejo v točki 𝐷, pa ne povzročajo momenta: (7) 𝐹𝐷 𝐷,1 𝐷,𝑧𝑢𝑛, 4,𝑥 + 𝐹4,𝑥 = 𝑚4𝑥̈4 − 𝐹4,𝑥 oz. z upoštevanjem trenja med drsnikom in vodilom: 𝐹𝐷 𝐷,1 𝐷,𝑧𝑢𝑛, 4,𝑥 ± 𝜇𝐹4,𝑦 = 𝑚4𝑥̈4 − 𝐹4,𝑥 (8) 𝐹𝐷 𝐷,1 𝐷,𝑧𝑢𝑛 4,𝑦 + 𝐹4,𝑦 = 𝑚4𝑦̈4 + 𝑚4𝑔 − 𝐹4,𝑦 . Če upoštevamo trenje med drsnikom in vodilom, sta komponenti sile 𝐅𝐷,1 povezani po naslednji enačbi: 4 𝐹𝐷,1 𝐷,1, 4,𝑥 = ±𝜇𝐹4,𝑦 kjer je 𝜇 koeficient trenja, z ustreznim predznakom pa upoštevamo trenutno smer gibanja drsnika, pri čemer sila trenja na drsnik deluje v smeri nasprotni gibanju drsnika glede na vodilo. Zgornja enačba omogoča, da komponento 𝐹𝐷,1 izločimo iz nabora neznank tako, da jo izrazimo v odvisnosti od sile 𝐷,1, 4,𝑥 𝐹4,𝑦 ki deluje med drsnikom in vodilom v smeri pravokotno na vodilo. Ravnotežne enačbe (1)–(8) za pogonsko ročico 2, vezno ročico 3 in drsnik 4 ročičnega mehanizma zapišemo v matrični obliki kot sistem enačb: 𝐴,1 𝑚 (1) 𝐹2,𝑥 1 0 −1 0 0 0 0 0 2𝑥̈2 𝐹𝐴,1 𝑚 (2) 0 1 0 −1 0 0 0 0 2,𝑦 2𝑦̈2 + 𝑚2𝑔 𝐵 (3) −𝑠𝐴 𝑠𝐴 𝑠𝐵 −𝑠𝐵 0 0 0 1 𝐹 𝐽 3,𝑥 2𝜙̈2 2,𝑦 2,𝑥 2,𝑦 2,𝑥 (4) 𝐹𝐵 𝑚3𝑥̈3 0 0 1 0 −1 0 0 0 3,𝑦 = , (5) 𝑚 0 0 0 1 0 −1 0 0 𝐹𝐷 3𝑦̈3 + 𝑚3𝑔 4,𝑥 (6) 0 0 −𝑠𝐵 𝐵 𝐷 𝐷 𝐽 3,𝑦 𝑠3,𝑥 𝑠3,𝑦 −𝑠3,𝑥 0 0 3𝜙̈3 𝐹𝐷 (7) 4,𝑦 𝐷,𝑧𝑢𝑛 0 0 0 0 1 0 ±𝜇 0 𝑚 𝐷,1 4𝑥̈4 − 𝐹4,𝑥 (8) [ 0 0 0 0 0 1 1 0] 𝐹4,𝑦 𝐷,𝑧𝑢𝑛 [𝑚4𝑦̈4 + 𝑚4𝑔 − 𝐹4,𝑦 ] [ 𝑀𝐴 2 ] pri čemer na osnovi predhodne analize kinematike poznamo elemente matrike na levi, ki odraža geometrijo in povezanost teles v mehanizmu, ter elemente stolpca s pospeški na desni strani, z rešitvijo sistema enačb pa določimo tudi iskane reakcijske obremenitve, 𝐹𝐴,1 𝐴,1 𝐵 𝐵 𝐷 𝐷 𝐷,1 𝐴, za 2,𝑥 , 𝐹2,𝑦 , 𝐹3,𝑥, 𝐹3,𝑦, 𝐹4,𝑥, 𝐹4,𝑦, 𝐹4,𝑦 , 𝑀2 vsak trenutek na opazovanem časovnem intervalu. 40 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 41 prikazuje lego, hitrost in pospešek linearno vodenega drsnika 4 ter kotno hitrost in kotni pospešek pogonske ročice 2 in vezne ročice 3. Pri ročičnem mehanizmu se rotacijsko gibanje pogonske ročice 2 preko vezne ročice 3 pretvori v translatorno gibanje drsnika 4, zato se ob konstantni hitrosti pogonske ročice hitrosti gibanje drsnika ročičnega mehanizma razlikuje od sinusne poteka, predvsem pri hitrosti in pospešku drsnika. Slika 41. (levo) lega, hitrost in pospešek drsnika 4; (desno) kotna hitrost in kotni pospešek pogonske ročice 2 in vezne ročice 3 ročičnega mehanizma. Slika 42 prikazuje moment na pogonski ročici 2, ko drsnik med delovnim ciklom ni obremenjen z dodatno zunanjo silo (𝐹𝐷,𝑧𝑢𝑛 4,𝑥 = 0 N) in ko zunanja sila obremenjuje drsnik v liniji gibanja drsnika pri zasuku pogonske ročice med 270° in 360° (𝐹𝐷,𝑧𝑢𝑛 4,𝑥 = −100 N). Dodatna zunanja obremenitev drsnika sicer vpliva na reakcije v vezeh mehanizma in s tem tudi na potek sile trenja med drsnikom in nepomičnim vodilom, vendar je v obeh primerih vpliv trenja na moment v danem primeru razmeroma majhen. Na primeru ročičnega mehanizma je prikazan pristop z inverzno dinamiko, kjer so znane obremenitve in gibanje elementov mehanizma za opazovani trenutek. Najprej je treba opraviti analizo kinematike, katere rezultat so lege, hitrosti in pospeški za elemente mehanizma in opazovane točke na njih. V našem primeru smo analizo kinematike izvedli popolnoma analitično, na osnovi sklenjene vektorske zanke, vendar pa rešitev nastopi v obliki razmeroma dolgoveznih enačb. Ko imamo znane kinematične razmere, lahko za vsak element mehanizma nastavimo Newton-Eulerjeve ravnotežne pogoje. Z rešitvijo matrične enačbe dobimo reakcije v vezeh za določeno lego mehanizma. 41 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 42. Moment na pogonski ročici 2 glede na upoštevano trenje in dodatno obremenitev drsnika, sila trenja med drsnikom in vodilom ter dodatna zunanja sila na drsnik. Pristop z inverzno dinamiko je v nemalo primerih smotrn, saj je običajno možno opredeliti gibanje mehanizma in s tem kinematične razmere, predvsem pri konstantni hitrosti pogona. Iz geometrije mehanizma je pri različni legah možno učinkovito oceniti lastnosti mehanizma pri prenosu moči in gibanja. Obenem pa je reševanje inverznega problema dinamike dovolj preprosto, vsaj v primeru štirizgibnega mehanizma in njegovih izpeljank. 42 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov D. Krivuljni mehanizmi Zgled 14: Določitev kinematičnih diagramov za krivuljni mehanizem Gibanje ventila batnega motorja (slika 43) naj bo razdeljeno na naslednje faze, glede na zasuk gredi z odmično krivuljo 𝜙: • Faza 𝐼: mirovanje v zaprti legi, 0 ≤ 𝜙 < 𝜋, • Faza 𝐼𝐼: odpiranje (dvig): 𝜋 ≤ 𝜙 < 3𝜋⁄2, • Faza 𝐼𝐼𝐼: zapiranje (spust): 3𝜋⁄2 ≤ 𝜙 < 2𝜋. Odmična krivulja naj zagotavlja cikloidno zakonitost pri odpiranju in zapiranju ventila z največjim translatornim pomikom ℎ = 10 mm. Narišite kinematične diagrame (»𝑠𝑣𝑎𝑗-diagrame«, 𝑠 – pomik, 𝑣 – hitrost, 𝑎 – pospešek, 𝑗 – sprememba pospeška) za celoten delovni cikel, skupaj s fazo mirovanja, ko je ventil zaprt. Pri tem izpeljite pripadajoče enačbe za fazo spusta in fazo dviga. Slika 43. Krmilni mehanizem ventilov pri motorju z notranjim zgorevanjem [9]. Rešitev Splošna oblika cikloidnega gibanja pri dvigu ali spustu slednika izhaja iz sinusnega poteka pospeška: 𝜃 𝑎 = 𝐴1sin2𝜋 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽, 𝛽 ki je v tej obliki zapisan v odvisnosti od relativnega zasuka odmične krivulje 𝜃 in je izražen v enoti [m rad2 ⁄ ]. Faza gibanja se začne pri 𝜃 = 0 in konča pri 𝜃 = 𝛽, kolikor traja faza, izražena z zasukom odmične krivulje. Spremembo pospeška, 𝑗 [m rad3 ⁄ ], dobimo direktno z odvajanjem pospeška po 𝜃: 2𝜋 𝜃 𝑗 = 𝐴1 cos2𝜋 [m rad3 ⁄ ], 𝛽 𝛽 pri čemer ugotovimo, da ima sprememba pospeška 𝑗 pri cikloidnem gibanju končne vrednosti. Za hitrost in pomik slednika je potrebna integracija pospeška z upoštevanjem začetnih pogojev. 43 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Za hitrost, 𝑣 [m⁄rad], dobimo: 𝜃 𝛽 𝜃 𝑣 = ∫ 𝑎𝑑𝑡 = ∫ 𝐴1sin2𝜋 𝑑𝜃 = −𝐴 cos2𝜋 + 𝐴 𝛽 1 2𝜋 𝛽 2 . Upoštevamo začetni pogoj, da na začetku faze spusta (ali dviga) slednik miruje, 𝜃 = 0: 𝑣 = 0. Dobimo: 𝛽 𝜃 𝑣(𝜃 = 0) = −𝐴1 cos2𝜋 + 𝐴 2𝜋 𝛽 2 = 0, tako da za integracijski konstanti velja: 𝛽 𝐴2 = 𝐴1 , 2𝜋 kar upoštevamo v splošnem poteku hitrosti pri cikloidnem gibanju: 𝛽 𝜃 𝑣 = 𝐴1 (1 − cos2𝜋 ). 2𝜋 𝛽 Z nadaljnjo integracijo dobimo še pomik slednika, 𝑠 [m]: 𝛽 𝜃 𝑠 = ∫ 𝑣𝑑𝑡 = ∫ 𝐴1 (1 − cos2𝜋 )𝑑𝜃 2𝜋 𝛽 𝛽 𝛽 𝜃 = 𝐴1 (𝜃 − sin2𝜋 ) + 𝐴 2𝜋 2𝜋 𝛽 3. Za fazo spusta upoštevamo začetna pogoja: (𝑖) 𝜃 = 0: 𝑠 = ℎ ⇒ 𝐴3 = ℎ, (𝑖𝑖) 𝜃 = 𝛽: 𝑠 = 0, 𝛽 2𝜋 𝑠(𝜃 = 𝛽) = 𝐴1 𝛽 + ℎ = 0 ⇒ 𝐴 ℎ 2𝜋 1 = − 𝛽2 in dobimo potek pomika slednika med spustom: 𝜃 1 𝜃 𝑠 = ℎ (1 − + sin2𝜋 ). 𝛽 2𝜋 𝛽 Z upoštevanjem integracijskih konstant in ureditvijo dobimo hitrost za fazo spusta: ℎ 𝜃 𝑣 = − (1 − cos2𝜋 ), 𝛽 𝛽 prav tako pospešek: 2𝜋 𝜃 𝑎 = −ℎ sin2𝜋 𝛽2 𝛽 in spremembo pospeška: 4𝜋2 𝜃 𝑗 = −ℎ cos2𝜋 . 𝛽3 𝛽 Za fazo dviga veljata naslednja začetna pogoja: (𝑖) 𝜃 = 0: 𝑠 = 0 ⇒ 𝐴3 = 0, (𝑖𝑖) 𝜃 = 𝛽: 𝑠 = ℎ, 44 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov 𝛽 2𝜋 𝑠(𝜃 = 𝛽) = 𝐴1 𝛽 − ℎ = 0 ⇒ 𝐴 ℎ. 2𝜋 1 = 𝛽2 Podobno z upoštevanjem začetnih pogojev za fazo dviga dobimo potek pomika slednika: 𝜃 1 𝜃 𝑠(𝜃) = ℎ( − sin2𝜋 ) 𝛽 2𝜋 𝛽 in nato še hitrost: ℎ 𝜃 𝑣(𝜃) = (1 − cos2𝜋 ) 𝛽 𝛽 ter pospešek: 2𝜋 𝜃 𝑎(𝜃) = ℎ sin2𝜋 𝛽2 𝛽 in spremembo pospeška: 4𝜋2 𝜃 𝑗(𝜃) = ℎ cos2𝜋 . 𝛽3 𝛽 Relativni zasuk 𝜃 je v splošnem odvisen od dejanskega zasuka gredi z odmično krivuljo, 𝜃 = 𝜃(𝜙). Ker se odmična krivulja običajno vrti s konstantno kotno hitrostjo 𝜔 [rad⁄s], tako da velja 𝜙(𝑡) = 𝜔𝑡, lahko z vstavitvijo 𝜙(𝑡) namesto 𝜃 v zgornji izpeljavi izrazimo kinematične količine za slednik v odvisnosti od časa, in sicer dobimo ob zaporednem odvajanju pomika 𝑠 za hitrost, pospešek in spremembo pospeška: 𝑣(𝑡) [m⁄s] = 𝜔 ∙ (𝑣(𝜃) [m⁄rad]), 𝑎(𝑡) [m s2 ⁄ ] = 𝜔2 ∙ (𝑎(𝜃) [m rad2 ⁄ ]), 𝑗(𝑡) [m s3 ⁄ ] = 𝜔3 ∙ (𝑗(𝜃) [m rad3 ⁄ ]). Pri izrisu svaj-diagramov za dani primer upoštevamo, da je dejanski zasuk gredi z odmično krivuljo ob začetku faze dviga 𝜙 = 𝛽 , zato velja: 𝐼 𝜃𝐼𝐼 = 𝜙 − 𝛽𝐼 = 𝜙 − 𝜋 in podobno za fazo spusta: 𝜃𝐼𝐼𝐼 = 𝜙 − 𝛽𝐼𝐼 − 𝛽𝐼𝐼 = 𝜙 − 3𝜋⁄2. Slika 44 prikazuje svaj-diagrame za dani primer. Z zapisom kinematičnih količin za slednik v odvisnosti od zasuka odmične krivulje 𝜃 oz. 𝜙 in njihovim prikazom na svaj-diagramih je možno ne glede na hitrost obratovanja enostavno ovrednotiti dinamiko krivuljnega mehanizma ter identificirati morebitne slabosti njegove izvedbe, s tem pa tudi omogočiti ustrezne prilagoditve za izboljšanje delovanja mehanizma. 45 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 44. 𝑠𝑣𝑎𝑗 - diagrami; 𝑠 – pomik, 𝑣 – hitrost, 𝑎 – pospešek, 𝑗 – sprememba pospeška. Odmična krivulja, pri kateri je potek pospeška slednika nezvezen oz. sprememba pospeška nima končne vrednosti, ni primerna za hitro obratovanje. Zgled 15: Oblikovanje krivuljnega mehanizma Dan je krivuljni mehanizem s točkovnim dotikom translatorno vpetega slednika s hodom ℎ = 15 mm in odmično krivuljo, ki se vrti s konstantno kotno hitrostjo. Glede na zasuk odmične krivulje 𝜙 so faze gibanja slednika: • faza 𝐼: mirovanje v spodnji legi, 0 ≤ 𝜙 < 𝜋⁄2, • faza 𝐼𝐼: dvig, 𝜋⁄2 ≤ 𝜙 < 𝜋, • faza 𝐼𝐼𝐼: mirovanje v zgornji legi, 𝜋 ≤ 𝜙 < 3𝜋⁄2, • faza 𝐼𝑉: spust, 3𝜋⁄2 ≤ 𝜙 < 2𝜋. V fazi dviga je predpisano enostavno harmonično gibanje, v fazi spusta pa cikloidno gibanje. Določite obliko odmične krivulje in narišite 𝑠𝑣𝑎𝑗-diagrame gibanja slednika. Rešitev Splošna oblika enostavnega harmoničnega gibanja za pomik slednika pri dvigu, ki pri tem sledi sinusni funkciji, je: ℎ 𝜃 𝑠 = (1 − cos𝜋 ), 2 𝛽 kjer je 𝜃 relativni zasuk odmične krivulje in 𝛽 celoten zasuk odmične krivulje med fazo dviga (trajanje faze). 46 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Z nadaljnjim odvajanjem enačbe za pomik slednika po neodvisni spremenljivki 𝜃 dobimo hitrost: ℎ 𝜋 𝜃 𝑣 = sin𝜋 , 2 𝛽 𝛽 pospešek: ℎ 𝜋 𝜃 𝑎 = ( )2cos𝜋 , 2 𝛽 𝛽 in spremembo pospeška: ℎ 𝜋 3 𝜃 𝑗 = − ( ) sin𝜋 . 2 𝛽 𝛽 Slednik v prvi fazi cikla miruje. Za drugo fazo pri zasuku, kjer upoštevamo trajanje faze 𝛽 in odvisnost 𝐼𝐼 relativnega zasuka 𝜃 od dejanskega zasuka odmične gredi 𝐼𝐼 𝜙: 𝜋 𝜋 𝛽𝐼𝐼 = , 𝜃 , 2 𝐼𝐼 = 𝜙 − 2 je potek dviga slednika in ostalih kinematičnih količin v odvisnosti od zasuka odmične gredi: ℎ 𝜃 ℎ 𝑠 𝐼𝐼 𝐼𝐼 = (1 − cos𝜋 ) = (1 − cos(2𝜙 − 𝜋)), 2 𝛽𝐼𝐼 2 hitrost: 𝑣𝐼𝐼 = ℎsin(2𝜙 − 𝜋), pospešek: 𝑎𝐼𝐼 = 2ℎcos(2𝜙 − 𝜋) in sprememba pospeška: 𝑗𝐼𝐼 = −4ℎsin(2𝜙 − 𝜋). V tretji fazi cikla ponovno nastopi mirovanje, v četrti fazi pa je predpisan spust po cikloidni zakonitosti. Za cikloidno zakonitost pri spustu smo potek kinematičnih količin izpeljali v Zgledu 14, katerega rezultat priredimo za dani primer. Za četrto fazo velja: 𝜋 3𝜋 𝛽𝐼𝑉 = , 𝜃 . 2 𝐼𝑉 = 𝜙 − 2 Z vstavitvijo dejanskega zasuka gredi 𝜙 namesto relativnega zasuka 𝜃 dobimo potek pomika slednika med spustom: 𝜙 1 𝑠𝐼𝑉 = 4ℎ (1 − + sin(4𝜙 − 6𝜋)). 2𝜋 8𝜋 Z upoštevanjem integracijskih konstant in ureditvijo dobimo hitrost za fazo spusta: 2ℎ 𝑣𝐼𝑉(𝜃) = − (1 − cos(4𝜙 − 6𝜋)), 𝜋 prav tako pospešek: 8ℎ 𝑎𝐼𝑉 = − sin(4𝜙 − 6𝜋) 𝜋 47 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov in spremembo pospeška: 32ℎ 𝑗𝐼𝑉 = − cos(4𝜙 − 6𝜋). 𝜋 Potek kinematičnih količin za dani zgled je prikazan na svaj-diagramih (slika 45). Pri enostavnem harmoničnem gibanju v fazi 𝐼𝐼 ob prehodu iz faze 𝐼 (mirovanje spodaj) in ob prehodu v fazo 𝐼𝐼𝐼 (mirovanje zgoraj) potek pospeška nezvezen, zato ima sprememba pospeška neskončno vrednost. Slika 45. 𝑠𝑣𝑎𝑗 - diagrami ; 𝑠 – pomik, 𝑣 – hitrost, 𝑎 – pospešek, 𝑗 – sprememba pospeška. Zgled 16: Potek kontaktne sile pri krivuljnem mehanizmu Translatorno vpeti slednik ploske oblike se v kombinaciji z vrtljivo odmično krivuljo, ki ima obliko ekscentrično vpete krožnice (slika 46), giblje po enostavni harmonični zakonitosti, pri čemer med fazo dviga in fazo spusta ni faze mirovanja slednika. Določite potek kontaktne sile med odmično krivuljo in slednikom, na katerega deluje prednapeta pritisna vzmet. Pri tem je ekscentričnost odmične krivulje (krožnice) 𝑒 = 20 mm, premer osnovnega kroga odmične krivulje 𝑟𝑚𝑖𝑛 = 50 mm, vzmetna konstanta 𝑘 = 500 N/m, masa slednika 𝑚 = 5 kg, sila prednapetja 𝐹𝑝𝑛 = 50 N. Odmična krivulja se vrti s konstantno kotno hitrostjo 𝜔, tako da je njen zasuk 𝜙 = 𝜔𝑡. Kdaj se kontakt med odmično ploskvijo in slednikom prekine pri 𝜔 = 10𝜋 rad/s? Kakšna je najvišja kotna hitrost odmične ploskve, da bo kontakt še neprekinjen? 48 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 46. Vrtljiva odmična krivulja s ploskim slednikom. Rešitev Na podlagi geometrije danega krivuljnega mehanizma (slika 46) lahko za relativni pomik slednika 𝑠 zapišemo: 𝑠 = 𝑒(1 − cos 𝜙), kar ustreza definiciji enostavne harmonične zakonitosti (gl. Zgled 15). Z odvajanjem pomika dobimo še hitrost, pospešek in spremembo pospeška slednika: 𝑣 = 𝑒 sin 𝜙, 𝑎 = 𝑒 cos 𝜙, 𝑗 = −𝑒 sin 𝜙. Pri dani izvedbi odmične krivulje med fazo dviga (0 ≤ 𝜙 < 𝜋) in fazo spusta (𝜋 ≤ 𝜙 < 2𝜋) ni vmesne faze mirovanja, zato je potek pospeška na celotnem vrtljaju odmične krivulje zvezen, sprememba pospeška pa ima končne vrednosti, kot je razvidno s 𝑠𝑣𝑎𝑗-diagramov (Slika 47). Za pravilno delovanje krivuljnih mehanizmov mora biti kontakt med odmičnim in slednim elementom neprekinjen v vsakem trenutku, sicer odmični element ne vzbuja slednika v skladu z želeno zakonitostjo gibanja, prav tako 𝑠𝑣𝑎𝑗-diagrami (Slika 47) veljajo le pri neprekinjenem kontaktu. V splošnem lahko neprekinjen kontakt zagotavljamo s pomočjo pritisne vzmeti ali pa oblikovno, tj. z dvostranskim kontaktom ali konjugiranima krivuljama. 49 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 47. 𝑠𝑣𝑎𝑗-diagrami; 𝑠 – pomik, 𝑣 – hitrost, 𝑎 – pospešek, 𝑗 – sprememba pospeška. V danem primeru pri izračunu kontaktnih razmer med slednikom in odmično krivuljo izhajamo iz Newtonove ravnotežne enačbe: ∑ 𝐹𝑖 = 𝑚𝑎𝑖. 𝑖 Upoštevamo, da na slednik delujejo sila pritisne vzmeti 𝐹𝑣 = −𝑘𝑠, kjer je 𝑠 poves vzmeti oz. pomik slednika, kontaktna sila 𝐹𝑃 v točki 𝑃 in sila prednapetja 𝐹 , ki vplivajo na dinamično ravnotežje pri 𝑝𝑛 gibanju slednika z maso 𝑚: −𝑘𝑠 − 𝐹𝑝𝑛 + 𝐹𝑃 = 𝑚𝑠̈. Glede na predhodno izpeljavo upoštevamo zasuk odmične krivulje pri konstantni kotni hitrosti, 𝜙 = 𝜔𝑡, in za gibanje slednika zapišemo: 𝑠 = 𝑒(1 − cos𝜙) = 𝑒(1 − cos𝜔𝑡), 𝑣 = 𝑠̇ = 𝑒𝜔 sin 𝜔𝑡, 𝑎 = 𝑠̈ = 𝑒𝜔2 cos 𝜔𝑡, 𝑗 = 𝑠⃛ = −𝑒𝜔3 sin 𝜔𝑡. Z upoštevanjem zakonitosti gibanja slednika je kontaktna sila v točki P: 𝐹𝑃 = 𝑚𝑠̈ + 𝑘𝑠 + 𝐹 , 𝑝𝑛 𝐹𝑃 = 𝑚𝑒𝜔2cos𝜔𝑡 + 𝑘𝑒(1 − cos𝜔𝑡) + 𝐹𝑝𝑛 = 𝑒(𝑚𝜔2 − 𝑘)cos𝜔𝑡 + 𝑘𝑒 + 𝐹𝑝𝑛. 50 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Z vstavitvijo danih podatkov za mehanizem dobimo potek kontaktne sile v odvisnosti od časa 𝑡: 𝐹𝑃(𝑡) = 0,02 m ∙ (5 kg ∙ (10𝜋 rad⁄s)2 − 500 N⁄m) ∙ cos(10𝜋 rad⁄s ∙ 𝑡) + 500 N⁄m ⋅ 0,02 m + 50 N = (88,696 ∙ cos(10𝜋 rad⁄s ∙ 𝑡) + 60) N, oz. v odvisnosti od zasuka odmične krivulje 𝜙, ob predpostavki, da je kontakt med slednikom in odmično krivuljo neprekinjen tudi, ko ima 𝐹𝑃 teoretično negativne vrednosti (slika 48): 𝐹𝑃(𝜙) = (88,696 ∙ cos 𝜙 + 60) N. Slika 48. Teoretična kontaktna sila (neprekinjen kontakt). V kolikor slednik sledi odmičnemu elementu, je kontaktna sila med njima večja od nič. V splošnem lahko do prekinitve kontakta med slednim in odmičnim elementom pride zaradi neugodne kombinacije prevelike obratovalne hitrosti, premajhne togosti ali prednapetja pritisne vzmeti, prevelike vztrajnosti slednika in neustrezne zakonitosti gibanja. Pri poteku kontaktne sile, kot ga prikazuje Slika 48, moramo določiti pogoje, pri katerih je kontaktna sila enaka nič: 𝐹𝑃 = 𝑒(𝑚𝜔2 − 𝑘) cos 𝜔𝑡 + 𝑘𝑒 + 𝐹𝑝𝑛 = 0, iz česar izrazimo zasuk odmične krivulje 𝜙 oz. trenutek 𝑡 , pri katerem se kontakt prekine: 𝐹𝑃=0 𝐹𝑃=0 𝑘𝑒 + 𝐹 500 N⁄m ⋅ 0,02 m + 50 N 𝜙 = 𝜔𝑡 = arccos 𝑝𝑛 = arccos 𝐹𝑃=0 𝐹𝑃=0 𝑒(𝑘 − 𝑚𝜔2) 0,02 m ∙ (500 N⁄m − 5 kg ⋅ (10𝜋 rad⁄s)2) = 2,314 rad = 132,6°. Pri zasuku odmične krivulje 𝜙 = 132,6° se kontakt prekine in odmična krivulja ne more več vplivati 𝐹𝑃=0 na gibanje slednika, do ponovne vzpostavitve kontakta pa se slednik ne giblje več v skladu z želeno zakonitostjo. Ob nespremenjeni obliki odmične krivulje in hitrosti obratovanja mehanizma lahko na povečanje kontaktne sile vplivamo s povečanjem togosti pritisne vzmeti in sile prednapetja, vendar se s tem povečajo tudi obremenitve sestavnih delov mehanizma ter potrebna pogonska moč. Po drugi strani lahko z zmanjšanjem mase slednika in z nižjo hitrostjo obratovanja prispevamo k manjši vztrajnosti gibanja slednika, ki tako bolje sledi odmični krivulji. 51 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Sedaj poiščemo največjo kotno hitrost 𝜔, ki jo geometrijskih in masnih parametrih mehanizma še prenese dani mehanizem (slika 49), da se kontakt med slednikom in odmično krivuljo ne prekine, pri čemer mora za kontaktno silo veljati: 𝐹𝑃 = 𝑒(𝑚𝜔2 − 𝑘) cos 𝜔𝑡 + 𝑘𝑒 + 𝐹𝑝𝑛 > 0. V danem primeru bo minimum kontaktne sile nastopil pri cos 𝜔𝑡 = −1 oz. pri 𝜙 = 𝜋, kjer nastopi tudi največji negativni pospešek (slika 47), in bo pri kotni hitrosti 𝜔 znašal: min 𝐹𝑃 = 𝑒(𝑘 − 𝑚𝜔2) + 𝑘𝑒 + 𝐹𝑝𝑛, iz česar poiščemo kritično kotno hitrost: 2𝑘𝑒 + 𝐹 2 ⋅ 500 N⁄m ⋅ 0,02 m + 50 N 𝜔 = √ 𝑝𝑛 = √ = 26,46 rad⁄s, 𝐹𝑃=0 𝑒𝑚 0,02 m ⋅ 5 kg kar za dani mehanizem predstavlja zgornjo mejo dopustnega območja za obratovalno hitrost, pri katerem je zagotovljen kontakt med slednikom in odmično krivuljo (slika 49). Slika 49. Minimum kontaktne sile (pri pogoju cos 𝜔𝑡 = −1) v odvisnosti od hitrosti obratovanja. Na pogonski moment na gredi z odmično krivuljo v odvisnosti od zasuka odmične krivulje 𝜙 vplivata velikost kontaktne sile 𝐹𝑃 in trenutna ekscentričnost kontaktne točke glede na os gredi, 𝑒 sin 𝜙: 𝑀gred = 𝐹𝑃𝑒 sin 𝜙 = [𝑒(𝑚𝜔2 − 𝑘) cos 𝜙 + 𝑘𝑒 + 𝐹𝑝𝑛]𝑒 sin 𝜙 𝑒2 = (𝑚𝜔2 − 𝑘) sin 2𝜙 + 𝑒(𝑘𝑒 + 𝐹 2 𝑝𝑛) sin 𝜙. Za predhodno izračunano kritično kotno hitrost gredi z odmično krivuljo, 𝜔 = 26,46 rad⁄s, in z 𝐹𝑃=0 upoštevanjem danih podatkov dobimo moment na gredi v odvisnosti od zasuka 𝜙: (0,02 m)2 𝑀gred(𝜙) = ∙ (5 kg ∙ (26,46 rad⁄s)2 − 500 N⁄m) sin 2𝜙 2 +0,02 m ∙ (500 N⁄m ∙ 0,02 m + 50 N) sin 𝜙 = (0,6 ∙ sin 2𝜙 + 60 ∙ sin 𝜙) [Nm]. Potek kontaktne sile in momenta na gredi z odmično krivuljo pri kotni hitrosti 𝜔 = 26,46 rad⁄s, pri kateri še ne pride do prekinitve kontakta med slednikom in odmično krivuljo, prikazuje slika 50. 52 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 50. Potek kontaktne sile in momenta na gredi pri kotni hitrosti 𝜔 = 26,46 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 . Zgled 17: Odmična zagozda s točkovnim slednikom Dan je ročični mehanizem (slika 51). Dolžina pogonske ročice 2 je 𝑙2 = 200 mm, kotna hitrost pogonske ročice 2 je konstantna, 𝜔 . Dolžina vezne ročice 3 je 2 = 2𝜋 rad⁄s 𝑙3 = 400 mm. Na drsnik 4 je pritrjena odmična krivulja, ki vodi slednik s točkovnim dotikom, katerega hod je ℎ = 50 mm. Gibanje slednika ima naslednje faze: • faza 𝐼: mirovanje spodaj: 0 ≤ 𝜙 , 2 < 𝜋⁄4 • faza 𝐼𝐼: dvig (spust pri povratnem gibu): 𝜋⁄4 ≤ 𝜙 , 2 < 3𝜋⁄4 • faza 𝐼𝐼𝐼: mirovanje zgoraj: 3𝜋⁄4 ≤ 𝜙2 < 𝜋. Določite obliko odmične krivulje tako, da za obliko zagozde med fazo 𝐼𝐼 uporabite sinusno funkcijo. Slika 51. Odmična zagozda s točkovnim slednikom. 53 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Rešitev Izhodišče nepomičnega koordinatnega sistema s koordinatnima osema 𝑥 in 𝑦 je v točki 𝐴, zaradi lažje obravnave pa je drsniku 4 pridružen lokalni koordinatni sistem z osema 𝑥′ in ter izhodiščem v točki 4 𝑦′4 𝑂′ na začetku odmične zagozde (slika 51). 4 Pomik drsnika dobimo s pomočjo trigonometričnih relacij med pogonsko ročico 2, vezno ročico 3 in smerjo gibanja drsnika 4, pri čemer izhajamo iz 𝑦-koordinate točke 𝐵: 𝑥 2 2 . 4 = 𝑙2cos𝜙2 + √𝑙3 − 𝑙2 sin2𝜙2 Faze gibanja mehanizma so opredeljene z zasukom pogonske ročice 2, od katerega je odvisen translatorni pomik drsnika 4. Z upoštevanjem enačbe za pomik je lega drsnika v mejnih točkah faz, odmerjena glede na nepomični koordinatni sistem: 𝑥 2 2 4(𝜙2 = 0) = 𝑙2 cos 0 + √𝑙3 − 𝑙2 (sin 0)2 = 𝑙2 + 𝑙3 = 600 mm, 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥 2 2 4 (𝜙2 = ) = 𝑙 + √𝑙 − 𝑙 (sin )2 = 515,6 mm, 4 2 cos 4 3 2 4 3𝜋 3𝜋 3𝜋 𝑥 2 2 4 (𝜙2 = ) = 𝑙 + √𝑙 − 𝑙 (sin )2 = 232,7 mm, 4 2 cos 4 3 2 4 𝑥 2 2 4(𝜙2 = 𝜋) = 𝑙2 cos 𝜋 + √𝑙3 − 𝑙2 (sin 𝜋)2 = 𝑙3 − 𝑙2 = 200 mm. Predpisano zakonitost gibanja slednika moramo realizirati z ustreznim oblikovanjem odmične zagozde. Zato je treba mejne točke faz izraziti v lokalnem koordinatnem sistemu odmične zagozde, nato pa med mejnimi točkami oblikovati zagozdo za posamezne faze gibanja 𝐼, 𝐼𝐼 in 𝐼𝐼𝐼. Delovno območje drsnika obsega pomik med dvema skrajnima legama, ki se vzpostavi ob kolinearnosti pogonske in vezne ročice: 𝛥𝑥4,𝑚𝑎𝑥 = 𝑥4(𝜙2 = 0) − 𝑥4(𝜙2 = 𝜋) = 2𝑙2 = 400 mm. Mejne točke faz v lokalnem koordinatnem sistemu drsnika – odmične krivulje (slika 52): 𝑥 ′ 4,𝜙2=0 = 0 mm, 𝜋 𝑥 ′ 𝜋 = 𝑥 ) = 600 mm − 515,6 mm = 84,4 mm, 4,𝜙 4(𝜙2 = 0) − 𝑥4 (𝜙2 = 2=4 4 3𝜋 𝑥 ′ 3𝜋 = 𝑥 ) = 600 mm − 232,7 mm = 367,3 mm, 4,𝜙 4(𝜙2 = 0) − 𝑥4 (𝜙2 = 2= 4 4 𝑥 ′ 4,𝜙2=𝜋 = 𝑥4(𝜙2 = 0) − 𝑥4(𝜙2 = 𝜋) = 600 mm − 200 mm = 400 mm. V fazi dviga (𝐼𝐼) pogonska ročica 2 opravi zasuk med 𝜙 in , pri čemer je slednik v 2 = 𝜋⁄4 𝜙2 = 3𝜋⁄4 stiku z drsnikom (odmično zagozdo) med začetno in končno točko na odmični zagozdi, ki omejujeta fazo 𝐼𝐼 (slika 52): 𝑥 ′ 𝜋 ≤ 𝑥′ , 4,𝜙 4 < 𝑥 ′ 3𝜋 2=4 4,𝜙2= 4 54 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov med katerima ima odmična zagozda zahtevano obliko sinusne funkcije: ℎ 𝑥′4 − 𝑥′4,𝜙 𝑦′ (𝑥′ (1 − cos 2=𝜋 4 ⁄ 𝜋) 4,𝐼𝐼 4) = 2 𝑥′4,𝜙 − 𝑥′ 2=3𝜋⁄4 4,𝜙2=𝜋 4 ⁄ 50 mm 𝑥 ′ = ∙ (1 − cos 4 − 84,4 mm 𝜋), 2 367,3 mm − 84,4 mm za spodnjo (𝐼) in zgornjo (𝐼𝐼𝐼) fazo mirovanja pa je kontura zagozde vodoravna linija: 𝑦 ′ (𝑥′ 𝜋 , 4,𝐼 4) = 0 mm, 0 ≤ 𝑥′4 < 𝑥 ′ 4,𝜙2=4 𝑦 ′ (𝑥′ ≤ 𝑥′ 4,𝐼𝐼𝐼 4) = 50 mm, 𝑥 ′ 3𝜋 4,𝜙 4 < 𝑥 ′ 4,𝜙 2= 2=𝜋 . 4 Slika 52. Mejne točke faz gibanja na odmični zagozdi. Zaradi spremenljive geometrije ročičnega mehanizma pri gibanju drsnik 4 z odmično zagozdo med spodnjo fazo mirovanja (𝐼) opravi drugačen pomik kot med zgornjo fazo mirovanja (𝐼𝐼𝐼). Zato se dolžina konture odmične zagozde v spodnji fazi mirovanja (𝐼) razlikuje od dolžine konture v zgornji fazi mirovanja (III) in sinusna oblika konture za fazo dviga (𝐼𝐼) ni umeščena simetrično med začetno in končno točko na odmični zagozdi (slika 53). Slika 53. Kontura odmične zagozde. 55 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Iz začetne kolinearne lege pogonske in vezne ročice pri 𝜙2 = 0, kjer pomik drsnika doseže največjo vrednost 𝑥4(𝜙2 = 0) = 600 mm, se drsnik 4 pomika v negativni smeri koordinatne osi 𝑥 oz. se pomik 𝑥 zmanjšuje do druge kolinearne lege pri 4 𝜙2 = 𝜋. Relativni pomik drsnika v vodoravni smeri v odvisnosti od zasuka pogonske ročice je: 𝑥 ′ 4(𝜙2) = 𝑥4(𝜙2 = 0) − 𝑥4(𝜙2) = 600 − 𝑥4(𝜙2), kjer je lega drsnika 4 ročičnega mehanizma: 𝑥 2 2 4(𝜙2) = 𝑙2cos𝜙2 + √𝑙3 − 𝑙2 sin2𝜙2 , ki jo vstavimo v predhodno izpeljano enačbo za sinusno obliko odmične zagozde v fazi dviga 𝐼𝐼 in po ureditvi dobimo pomik slednika pri dvigu: ℎ 𝑥′4(𝜙2) − 𝑥′4,𝜙 50 mm 515,6 mm − 𝑥 𝑠 2=𝜋 4 ⁄ 4(𝜙2) 𝐼𝐼(𝜙2) = (1 − cos 𝜋) = ∙ (1 − cos 𝜋). 2 𝑥′4,𝜙 2 282,9 mm 2=3𝜋 4 ⁄ − 𝑥′4,𝜙2=𝜋 4 ⁄ Pomik drsnika z odmično zagozdo v vodoravni smeri, 𝑥4(𝜙2), ni linearno odvisen od zasuka pogonske ročice 2, 𝜙 , oz. se pri konstantni kotni hitrosti ročice spreminja hitrost drsnika. Zato dejansko gibanje 2 slednika malce odstopa od definicije enostavnega harmoničnega gibanja, ki predpostavlja konstantno (translatorno ali kotno) hitrost odmičnega elementa – v tem primeru zagozde, kljub sinusni obliki konture zagozde za fazo dviga. Za doseganje sinusnega gibanja slednika bi bilo treba neenakomerno translatorno hitrost zagozde kompenzirati z dodatno prirejeno obliko odmične krivulje. V skladu z definicijo enostavnega harmoničnega gibanja je pomik slednika pri dvigu, v odvisnosti od zasuka pogonske ročice: ℎ 𝜃 50 mm 𝑠 𝐼𝐼 𝐼𝐼,𝑒𝑛.ℎ.(𝜙2) = (1 − cos 𝜋 ) = ∙ (1 − cos(2𝜙 ⁄ )), 2 𝛽 2 − 𝜋 2 𝐼𝐼 2 kjer smo za dani primer upoštevali zasuk pogonske ročice 2 pri začetku faze dviga, 𝜃 , in 𝐼𝐼 = 𝜙2 − 𝜋⁄4 trajanje faze, 𝛽 . 𝐼𝐼 = 𝜋⁄2 Slika 54 prikazuje primerjavo pomika slednika pri sinusni obliki konture zagozde in pri gibanju po enostavni harmonični zakonitosti. Slika 54. Primerjava pomika slednika za fazo dviga 𝐼𝐼 pri sinusni obliki konture odmične zagozde, 𝑠𝐼𝐼(𝜙2), in pri enostavnem harmoničnem gibanju, 𝑠𝐼𝐼,𝑒𝑛.ℎ.(𝜙2) . 56 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov E. Sinteza Zgled 18: Sinteza štirizgibnega mehanizma za delovno območje Sestavite štirizgibni mehanizem, kjer ima nihajna ročica 4 dolžine 𝑙4 = 0,3 m delovno območje 60°. Vezna ročica 3 naj ima dolžino 𝑙3 = 0,8 m. Čas delovnega giba naj bo enak času povratnega giba, pri čemer se ročica 2 vrti s konstantno kotno hitrostjo 𝜔 v protiurni smeri. Preverite, ali mehanizem 2 izpolnjuje Grashofov kriterij. Rešitev Gre za primer sinteze štirizgibnega mehanizma, ko je podano delovno območje gnane ročice. V splošnem formulacija naloge sinteze mehanizma dopušča širok spekter rešitev. Nekatere količine (mere, vpetja ročic, …), ki niso podane v okviru zahtev, je zato treba izbrati ob upoštevanju različnih dejavnikov, npr. lego fiksne ročice, velikost prostora, ki ga mehanizem zavzema itd. Za skrajno lego 𝐼 velja 𝐴 ̅ 𝐵 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ . 𝐼 + 𝐵𝐼𝐷𝐼 = 𝑙3 + 𝑙2 Za skrajno lego II velja 𝐵 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ . 𝐼𝐼 𝐷𝐼𝐼 − 𝐴𝐵𝐼𝐼 = 𝑙3 − 𝑙2 Enačbi odštejemo in razliko odmerimo s slike (slika 55): (𝐼) − (𝐼𝐼) ⇒ 𝑙2 = 𝛥. Slika 55. Delovno območje ročice 4. V mrtvih legah sta ročici 2 in 3 kolinearni, upoštevamo tudi zahtevo, da delovni in povratni gib trajata enako dolgo oz. je razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba 𝑄 = 1. To pomeni, da daljico 𝐷 ̅̅̅̅̅̅̅ podaljšamo, saj bo na njej ležala točka vpetja 𝐼𝐷𝐼𝐼 𝐴 ročice 2. Dolžino ročice 2 dobimo iz pogoja 60∘ 𝛥 = 𝑙4 sin = 𝑙 2 2 = 0,15 m. 57 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Dolžina ročice 2 je 𝑙2 = 0,15 m. Dolžino nepomične ročice 1 odmerimo grafično ali izračunamo (slika 56): 60° 2 60° 2 𝑙 2 1 = √𝑙3 + (𝑙4 cos ) = √(0,8 m)2 + (0,3 m ⋅ cos ) ≈ 0,841 m. 2 2 Slika 56. Dodana pogonska in vezna ročica. Slika 57. Rešitev za sintezo štirizgibnega mehanizma. V splošnem je treba Grashofov kriterij preveriti, saj lahko glede na zahteve dobimo rešitev, pri kateri gibljivost mehanizma v mejah delovnega območja ni zagotovljena: (𝑠 + 𝑙) ≤ (𝑝 + 𝑞), 𝑠 … dolžina najkrajše ročice, 𝑙 … dolžina najdaljše ročice, (𝑙2 + 𝑙1) ≤ (𝑙3 + 𝑙4), (0,15 m + 0,841 m (= 0,991 m)) ≤ (0,8 m + 0,3 m (= 1,1 m)). Mehanizem na sliki 57 izpolnjuje Grashofov kriterij, zato je gibljiv na celotnem delovnem območju. 58 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 19: Nadaljevanje – sinteza štirizgibnega mehanizma s spremembo vpetja Obstoječi mehanizem (slika 57) modificirajte tako, da premaknete točko vpetja A na višino točke vpetja 𝐸: 𝐴 → 𝐴∗. Pri tem ustrezno prilagodite dolžino ročic 2 (𝑙 ∗) in 3 ( ∗), tako da bo 2 → 𝑙2 𝑙3 → 𝑙3 delovno območje nihajne ročice 4 ostalo nespremenjeno. Kakšno je razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba? Rešitev Gre za nadaljevanje Zgleda 18, pri čemer spremenimo lego ene rotacijske vezi in dolžino ročic 2 in 3. Opazujemo vpliv na razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba. Točko 𝐴 premaknemo po navpičnici na višino točke 𝐸 (slika 58). Delovno območje nihajne ročice 4 se mora ohraniti, zato točki 𝐷 ostaneta na svojem mestu. Dolžini ročic 2 in 3 se morata zato 𝐼, 𝐷𝐼𝐼 spremeniti, pri čemer izhajamo iz kolinearnosti ročic 2 in 3 v skrajnih legah 𝐼 in 𝐼𝐼: 60° 2 𝐼 : 𝐴∗𝐷 ∗ ∗ ∗ 𝐼 = 𝑙2 + 𝑙3 = √(𝑙1 + 𝛥)2 + (𝑙4 cos ) = 2 60° = √(0,8 m + 0,15 m)2 + (0,3 m ⋅ cos )2 ≈ 0,985 m. 2 60° 2 𝐼𝐼 : 𝐴∗𝐷 ∗ ∗ ∗ 𝐼𝐼 = 𝑙3 − 𝑙2 = √(𝑙1 − 𝛥)2 + (𝑙4 cos ) = 2 60° 2 = √(0,8 m − 0,15 m)2 + (0,3 m ⋅ cos ) = 0,7 m. 2 Slika 58. Premik vpetja pogonske ročice. Upoštevali smo dejstvo, ki sledi iz geometrije mehanizma po premiku točke 𝐴: 𝑙∗1 = 0,8 m. 59 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Z upoštevanjem dveh zgornjih pogojev kolinearnosti v legah 𝐼 in 𝐼𝐼, ki tvorita sistem dveh enačb z dvema neznankama, izrazimo iskani dolžini ročic 2 in 3: 𝑙∗ ∗ , ∗ ∗ ∗ ∗ 3 − 𝑙2 = 𝐴∗𝐷𝐼𝐼 𝑙2 + 𝑙3 = 𝐴∗𝐷𝐼 ⇒ 𝑙2 ≈ 0,143 m, 𝑙3 ≈ 0,843 m. Slika 59. Sinteza z upoštevanjem spremenjene lege vpetja ročice 2. Za določitev delovnega in povratnega giba oz. kotov 𝛼∗, 𝛽∗ uvedemo pomožna kota 𝛿∗ ∗ , ki ju 𝐼 , 𝛿𝐼𝐼 izrazimo iz geometrijskih pogojev (slika 59): 60° √3 𝑙4 cos 0,3 m ⋅ 𝛿∗ 2 2 𝐼 = arctan = arctan = 15,3°, 𝑙∗1 + 𝛥 0,8 m + 0,15 m 60° √3 𝑙4 cos 0,3 m ⋅ 𝛿∗ 2 2 𝐼𝐼 = arctan = arctan = 21,8°. 𝑙∗1 − 𝛥 0,8 m − 0,15 m Iz slike 59 sta razvidni naslednji relaciji: 𝛼∗ = 180∘ − 𝛿∗ ∗ 𝐼 + 𝛿𝐼𝐼 = 186,5°, 𝛽∗ = 180∘ − 𝛿∗ ∗ 𝐼𝐼 + 𝛿𝐼 = 360∘ − 𝛼∗ = 173,5°. Razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba za modificirani mehanizem je: 𝛼∗ 186,5° 𝑄∗ = = = 1,08. 𝛽∗ 173,5° Zaradi gibljivosti mehanizma preverimo še Grashofov kriterij: 𝑠 + 𝑙 ≤ 𝑝 + 𝑞, 𝑙∗ ∗ ∗ 2 + 𝑙3 ≤ 𝑙1 + 𝑙4, (0,143 m + 0,843 m(≈ 0,986 m)) ≤ (0,8 m + 0,3 m) (= 1,1 m)), ki je tudi pri modificirani izvedbi izpolnjen. 60 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov V tem primeru smo spremenili geometrijo mehanizma in ugotavljali vpliv spremembe na bistvene parametre delovanja, npr. razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba 𝑄. V kolikor pa je razmerje med trajanjem predpisano, pa moramo najprej določiti razliko kotov 𝛿∗ ∗ in nato izbrati 𝐼𝐼 − 𝛿𝐼 ustrezno lego vpetja pogonske ročice. Za primer, ko je zahtevano razmerje med trajanjem delovnega in povratnega giba 𝑄 =1.25, lahko izrazimo zasuka 𝛼 in 𝛽, ki ju pogonska ročica 2 opravi med delovnim in povratnim gibom in skupaj predstavljata en delovni cikel pri kontinuiranem obratovanju: 𝛼 𝑄 = , 𝛼 + 𝛽 = 360° ⇒ 𝛼 = 200°, 𝛽 = 160° 𝛽 in razlika kotov 𝛿 znaša: 𝐼𝐼 − 𝛿𝐼 𝛿𝐼𝐼 − 𝛿𝐼 = 𝛼 − 180° = 180° − 𝛽 = 20°. Izberemo premico od točke 𝐷 in jo usmerimo približno proti želeni legi točke 𝐼 𝐴, kjer je predvideno vpetje pogonske ročice (slika 60 levo). Nato skozi točko 𝐷 določimo premico pod kotom glede 𝐼𝐼 𝛿𝐼𝐼 − 𝛿𝐼 na prvo premico. Na presečišču premic je točka 𝐴, za dve kolinearni legi pogonske in vezne ročice pa lahko za dani primer (Zgled 18, Zgled 19) grafično ali računsko določimo razdalji 𝐴𝐷𝐼 = 0,274 m in 𝐴𝐷𝐼𝐼 = 0,543 m. Iz dveh pogojev kolineacije izračunamo dolžino pogonske in vezne ročice ter ob upoštevanju dolžine ročice 4 dobimo: 𝑙3 − 𝑙3 = 𝐴𝐷𝐼𝐼, 𝑙2 + 𝑙3 = 𝐴𝐷𝐼 ⇒ 𝑙2 = 0,135 m, 𝑙3 = 0,409 m, dolžina nepomične ročice 1 pa določena grafično ali računsko znaša 𝑙1 = 0,376 m. Preverjanje Grashofovega pogoja kaže, da dobljena rešitev omogoča zasuk pogonske ročice 2 za 360° in s tem kontinuirano obratovanje mehanizma: (𝑠 + 𝑙) ≤ (𝑝 + 𝑞), (𝑙2 + 𝑙3) ≤ (𝑙1 + 𝑙4), (0,135 m + 0,409 m (= 0,544 m)) ≤ (0,376 m + 0,3 m (= 0,676 m)). Povsem možno je, da v prvem koraku rešitev ni najustreznejša, zato postopek iterativno ponovimo, dokler ne pridemo do zadovoljive rešitve. Pri enakih zahtevah glede delovnega območja in razmerja med trajanjem delovnega in povratnega giba lahko z drugačno orientacijo premice skozi 𝐷 na začetku 𝐼 postopka prilagodimo lego vpetja pogonske ročice 𝐴 in s tem vplivamo na dimenzijsko ustreznejšo izvedbo in ugodnejši prenos obremenitev v mehanizmu (slika 60 desno). 61 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 60: Sinteza štirizgibnega mehanizma pri predpisanem razmerju trajanja delovnega in povratnega giba, pri čemer so možne različne rešitve glede na izbiro lege vpetja pogonske ročice. Zgled 20: Enostavna tripoložajna sinteza Dano je gibanje vezne ročice štirizgibnega mehanizma (slika 61). Določite točki vpetja nepomične ročice 𝐴𝐸. Določite tudi gibanje točk 𝐶 , , na vezni ročici. Štirizgibnemu mehanizmu dodajte pogonski 1 𝐶2 mehanizem z razmerjem trajanja med delovnim in povratnim gibom 𝑄 = 1,33. Slika 61. Tri zaporedne lege vezne ročice. 62 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Rešitev Gre za problem enostavne tripoložajne sinteze mehanizma, kjer so podane tri zaporedne lege, skozi katere mora iti vezna ročica pri obratovanju. Pri rešitvi naloge dobimo enolično določeni vpetji na nepomični ročici, 𝐴 in 𝐸. Iščemo štirizgibni mehanizem običajne strukture, uporabljene oznake so prav tako običajne (slika 61). Ker sta točki 𝐵 in 𝐷 končni točki na vezni ročici 3, morata pri gibanju krožiti okoli še nedoločene točke 𝐴 oz. 𝐵. Ob predpisanih treh zaporednih legah vezne ročice lahko središče kroženja A določimo tako, da z daljico povežemo dve zaporedni legi točke 𝐵, ki ležita na isti krožnici, daljico razpolovimo z normalo – bisektorjem in poiščemo presečišče obeh bisektorjev (slika 62). Enako ponovimo pri določanju točke 𝐸. Dobimo geometrijo mehanizma, ki izpolnjuje dane zahteve gibanja vezne ročice skozi tri predpisane položaje. Slika 62. Določitev vpetij nepomične ročice. Običajno sta prva in zadnja lega definirani kot meji delovnega območja. Za dani primer dobimo nihajoč mehanizem, ki direktno ne omogoča kontinuiranega obratovanja. Za pogon zato dodamo nov štirizgibni mehanizem, ki ga določimo po metodah, pojasnjenih v Zgledih 18 in 19. Izhajamo iz razmerja med trajanjem delovnega in povratnega giba, ob znanem delovnem območju. Določimo razliko kotov (v prejšnjem primeru: 𝛿∗ ∗): 𝐼𝐼 − 𝛿𝐼 𝑄 − 1 1,33 − 1 𝛿 = 180∘ = 180∘ ⋅ = 25, 7∘. 𝑄 + 1 1,33 + 1 63 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 63. Dodan pogonski mehanizem. Naj pogonski mehanizem poganja ročico 2 v neki izbrani točki, npr. 𝐷 (slika 63). Izberemo, načeloma 1 poljubno smer premice skozi 𝐷‴ proti točki vpetja 𝐴 pogonske ročice pogonskega mehanizma. V 1 splošnem na izbiro lahko vplivajo različni dejavniki, kot so konstrukcijska izvedljivost povezave med gnanim in pogonskim mehanizmom, velikost potrebnega prostora, prenosne karakteristike pogonskega mehanizma. Od točke 𝐷′ potegnemo premico pod kotom 𝛿 glede na prvo premico skozi 𝐷‴ in poiščemo presečišče. Nato iz pogojev kolineacije izračunamo dolžino pogonske in vezne ročice pogonskega mehanizma: 𝐴 ′′′ ′ 1𝐷1 = 0,602 m, 𝐴1𝐷1 = 0,377 m ⇒ 𝐴1𝐵1 = 0,113 m, 𝐵1𝐷1 = 0,489 m, medtem ko je dolžina nepomične ročice podana z razdaljo 𝐴 ̅ 𝐴 ̅̅̅̅: 1 𝐴 ̅ 𝐴 ̅̅̅̅1 = 0,361 m. Gibanje točk 𝐶 , na vezni ročici je ob upoštevanju popolne togosti preprosto določljivo, saj se 1 𝐶2 medsebojna lega točk na togem telesu ohranja. Točka 𝐶 predstavlja oglišče trikotnika , točka 1 𝐵𝐷𝐶1 𝐶2 pa oglišče trikotnika 𝐵𝐷𝐶 . Oba trikotnika konstruiramo za vsako lego vezne ročice, tako da dobimo 2 gibanje točk 𝐶 in (slika 64). 1 𝐶2 64 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 64. Kontrola rešitve tripoložajne sinteze. Pri štirizgibnem mehanizmu so ročice medsebojno povezane z rotacijskimi vezmi, zato točki vpetja na vezni ročici, kjer sta z vezno ročico povezani preostali gibljivi ročici, pri gibanju mehanizma opišeta krožnici, katerih središči lahko določimo, če poznamo tri zaporedne položaje vezne ročice in s tem točk vpetja na njej. V kolikor namesto treh predpišemo dva zaporedna položaja, npr. začetno in končno lego (Zgled 20, slika 61), lahko želeno gibanje dosežemo s strukturno in dimenzijsko različnimi izvedbami mehanizma: štirizgibno (slika 64), ročično z drsnikom (slika 65 levo) ali z dvema drsnikoma, povezanima z ročico (slika 65 desno). Slika 65. Različni izvedbi mehanizmov pri dvopoložajni sintezi zagotavljata enako začetno in končno lego ročice BD. 65 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 21: Tripoložajna sinteza z znano lego nepomične ročice Na vezni ročici štirizgibnega mehanizma sta dani točki 𝐶 , z medsebojno oddaljenostjo 0,3 m. Znane 1 𝐶2 so tri zaporedne lege točk 𝐶 in na vezni ročici in lega nepomične ročice 1 𝐶2 𝐴𝐸. Določite dolžine preostalih ročic mehanizma (slika 66). Pogon je izveden z dodatnima ročicama, od katerih lahko ena opiše popolno rotacijo, pri čemer znaša razmerje med časom delovnega in povratnega giba 𝑄 = 1. Slika 66. Tri zaporedne lege vezne ročice, predpisana lega nepomične ročice. Rešitev Gre za različico problema s tripoložajno sintezo, pri kateri imamo možnost predpisati lego nepomične ročice. Tipičen problem, ki ga na ta način rešujemo, so omejene gabaritne mere oz. največji prostor, ki ga mehanizem lahko zavzema, čemur prilagodimo tudi lego nepomične ročice. Pri enostavnem postopku tripoložajne sinteze (Zgled 20) namreč končni točki oz. lego nepomične ročice dobimo direktno, vendar takšen mehanizem morda ne izpolnjuje dimenzijskih zahtev. Problem rešujemo s kinematično inverzijo mehanizma, pri kateri najprej uporabimo postopek enostavne tripoložajne sinteze, za dobljeno rešitev – izhodiščno kinematično inverzijo pa nato poiščemo še kinematično inverzijo mehanizma, pri kateri nepomična ročica nahaja v predpisanem položaju. 66 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Za razliko od enostavne tripoložajne sinteze, kjer iščemo položaj nepomične ročice, sta pri sintezi z inverzijo lega in dolžina fiksne ročice znani, nista pa znani legi vpetij dveh gibljivih ročic, ki sta povezani z vezno ročico. Izhodiščno kinematično inverzijo določimo tako, da začasno fiksiramo vezno ročico in obenem sprostimo nepomično ročico. Daljico 𝐶 fiksiramo v prvem predpisanem položaju (oz. v enem 1𝐶2 od treh predpisanih). Prvi zaporedni položaj ročice 𝐴𝐸 se ob tem ne spremeni, ohrani se medsebojna lega točk 𝐶1′𝐶2′ − 𝐴𝐸 oz. 𝐶1′𝐶2′ − 𝐴′𝐸′ (sliki 66 in 67). Za drugi zaporedni položaj prenesemo daljico 𝐶1′′𝐶2′′ v položaj 𝐶1′𝐶2′, pri čemer se ohrani medsebojna lega točk 𝐶1′′𝐶2′′ − 𝐴𝐸 oz. 𝐶1′𝐶2′ − 𝐴′′𝐸′′ (slika 67). Podobno tudi za tretji zaporedni položaj prenesemo daljico 𝐶1′′′𝐶2′′′ v položaj 𝐶1′𝐶2′, pri čemer se ohrani medsebojna lega točk 𝐶1′′′𝐶2′′′ − 𝐴𝐸 oz. 𝐶1′𝐶2′ − 𝐴′′′𝐸′′′ (slika 68). Slika 67. Druga zaporedna lega, prenos v inverzijo. Slika 68. Tretja zaporedna lega, prenos v inverzijo. Sedaj z enostavno tripoložajno sintezo poiščemo vpetji – središči kroženja 𝐵′ in 𝐷′ manjkajočih ročic 2 in 4, ki sta povezani z začasno fiksirano vezno ročico 3 (sliki 69 in 70). Vpetji 𝐵′ in 𝐷′ se v splošnem razlikujeta od danih točk na vezni ročici 𝐶 in . 1 𝐶2 67 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 69. Osnovna tripoložajna sinteza za kinematično inverzijo. Slika 70. Določitev vpetij vezne ročice B in D oz. B' in D' v prvem zaporednem položaju. Za prvi zaporedni položaj izhodiščne kinematične inverzije povežemo končni točki ročic 2 in 4, in sicer 𝐴′𝐵′ ter 𝐸′𝐷′, hkrati pa je vezna ročica 3 (začasno nepomična) določena s končnima točkama 𝐵′𝐷′, pri čemer je potrebna pozornost, da ne pride do napačne povezave, saj pri rešitvi lahko pride do križne geometrije mehanizma (slika 71). 68 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 71. Želena kinematična inverzija (levo); kontrola delovnega območja (desno). Pri izhodiščni kinematični inverziji v prvem zaporednem položaju ponovno fiksiramo ročico 𝐴𝐵 oz. 𝐴′𝐵′ ter sprostimo gibanje ročice 3, ki je z ročicama 2 in 4 povezana v točkah 𝐵𝐷 oz. 𝐵′𝐷′ tako da dobimo želeno kinematično inverzijo mehanizma z nepomično ročico 𝐴𝐵 v predpisanem položaju. Relativno gibanje ročic se pri tem ohrani. Dodamo še gibanje daljice 𝐶 na vezni ročici 1𝐶2 𝐵𝐷 in preverimo celotno območje gibanja, saj lahko pride do pojava mrtvih leg. Sedaj lahko določimo celotno geometrijo mehanizma: 𝑙1 = 0,4 m, 𝑙2 = 1,152 m, 𝑙3 = 0,308 m, 𝑙4 = 0,952 m. Mehanizem ne izpolnjuje Grashofovega pogoja: (𝑠 + 𝑙) ≤ (𝑝 + 𝑞), (𝑙3 + 𝑙2) ≥ (𝑙1 + 𝑙4), (0,308 cm + 1,152 m (= 1,46 m)) ≥ (0,4 m + 0,952 m (= 1,352 m)), zato lahko ročica 2 samo niha na območju, ki zagotavlja gibanje vezne ročice z daljico 𝐶 skozi tri 1𝐶2 predpisane zaporedne položaje. Določimo območje gibanja ročice 2 in obenem preverimo morebitno prisotnost mrtvih leg na želenem delovnem območju mehanizma. V kolikor želimo zagotoviti kontinuirano obratovanje mehanizma, lahko na ročico 2 dodatno povežemo pogonski štirizgibni mehanizem z zahtevanim razmerjem trajanja delovnega in povratnega giba, kjer uporabimo že obravnavani postopek (Zgled 19, Zgled 20). Točko aplikacije pogona 𝐷 na ročici 2 določimo poljubno 1 oz. v skladu s konstrukcijsko ustreznostjo (primer na slikah 72 in 73). Izbira lege povezave pogonskega mehanizma 𝐷 in njegova geometrija vplivata na obremenitve v vezeh in ročicah. 1 69 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 72. Dodan pogonski mehanizem. 1 2 3 4 5 Slika 73. Simulacija gibanja mehanizma skozi lege 1–5 [4]. 70 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 22: Tripoložajna sinteza z znano lego nepomične ročice Dane so tri zaporedne lege daljice 𝐶 na vezni ročici 3 štirizgibnega mehanizma, in sicer začetna ′ ′, 1𝐶2 𝐶1 𝐶2 vmesna 𝐶 ′′ ′′ in končna ′′′ ′′′ (slika 74). Izvedite sintezo štirizgibnega mehanizma, ki bo vodil 1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 daljico 𝐶 skozi dane zaporedne lege. Daljica naj bo del vezne ročice mehanizma, nepomična 1𝐶2 𝐶1𝐶2 ročica 1 pa je dana s predpisanima vpetjema 𝐴 ter 𝐸 (gl. spodaj desno). Ali se v začetni legi štirizgibni mehanizem nahaja znotraj razpoložljivega prostora? Slika 74. Tri zaporedne lege vezne ročice. Rešitev Naloga zahteva reševanje s pomočjo kinematične inverzije, s pomočjo katere določimo dolžine in vpetja ročic štirizgibnega mehanizma, predvidenega za gibanje skozi tri predpisane lege. Vezno ročico skupaj z daljico 𝐶 začasno fiksiramo v prvem predpisani legi ′ ′ (slika 75). Za 1𝐶2 𝐶1 𝐶2 določitev izhodiščne kinematične inverzije začasno sprostimo nepomično ročico 𝐴𝐸, ki v prvi zaporedni legi ostane na svojem mestu, A E  . Drugo zaporedno lego daljice 𝐶 ′′ ′′ glede na predpisano lego ročice 1 𝐶2 𝐴𝐸 prenesemo tako, da lega daljice 𝐶 ′′ ′′ sovpade z lego ′ ′, pri čemer se ročica 1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 𝐴𝐸 premakne v lego 𝐴′′𝐸′′ in se ohrani medsebojna lega točk 𝐶1′′𝐶2′′ − 𝐴𝐸 oz. 𝐶1′𝐶2′ − 𝐴′′𝐸′′. Pri tretji zaporedni legi prenesemo daljico 𝐶 ′′′ ′′′ ponovno na ′ ′, pri čemer se ročica 1 𝐶2 𝐶1 𝐶2 𝐴𝐸 premakne v lego 𝐴′′′𝐸′′′, tako da se ohrani medsebojna lega točk 𝐶1′′′𝐶2′′′ − 𝐴𝐸 oz. 𝐶1′𝐶2′ − 𝐴′′′𝐸′′′. 71 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 75. Prenos zaporednih leg pri izhodiščni kinematični inverziji. Ker sta točki 𝐴 in 𝐸 tudi vpetji ročic 2 in 4, le-ti krožita okoli njiju. Obenem sta ročici 2 in 4 vrtljivo povezani z vezno ročico 3 v točkah 𝐵 in 𝐷, zato tudi pri izhodiščni kinematični inverziji, kjer je začasno sproščeno gibanje ročice 𝐴𝐸, točki 𝐴 in 𝐸 skupaj z ročicama 2 in 4 krožita okoli 𝐵 in 𝐷. Z enostavno tripoložajno sintezo izhodiščne kinematične inverzije sedaj lahko določimo vpetji 𝐵 in 𝐷 vezne (začasno fiksirane) ročice, tako da na presečišču bisektorjev skozi 𝐴′𝐴″ in 𝐴″𝐴‴ dobimo vpetje 𝐵′, s pomočjo bisektorjev skozi 𝐸′𝐸″ in 𝐸″𝐸‴ pa dobimo vpetje 𝐷′ (slika 76). Slika 76. Enostavna tripoložajna sinteza za določitev izhodiščne kinematične inverzije. 72 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Sedaj lahko povežemo vpetji 𝐴′ in 𝐵′ z ročico 2 ter vpetji 𝐸′ in 𝐷′ z ročico 4, s čimer tudi dobimo njuno dolžino, prav tako dolžino vezne ročice 3 med vpetjema 𝐵′𝐷′, ter ponovno fiksiramo ročico 𝐴𝐸 v predpisani legi in hkrati sprostimo gibanje vezne ročice (slika 77). Preverimo morebitne mrtve lege na predpisanem območju gibanja. Za dani primer je razvidno, da se vezna ročica v začetnem položaju 𝐵′𝐷′ skupaj s točkama 𝐶1′𝐶2′, prav tako na vezni ročici, nahaja znotraj razpoložljivega prostora. Slika 77. Želena kinematična inverzija štirizgibnega mehanizma; vezna ročica s točkama 𝐶1′𝐶2′ se v začetnem položaju nahaja znotraj predpisanega prostora. Želeno kinematično inverzijo lahko namesto za začetni predpisani položaj priredimo tudi za vmesni (ali končni). V takšnem primeru dobimo rešitvi za vpetji 𝐵 in 𝐷 za drugo zaporedno lego, 𝐵″𝐷″, zato moramo rešitev – želeno kinematično inverzijo dodatno premakniti v predpisano začetno lego, da preverimo, ali se mehanizem v začetnem položaju nahaja znotraj razpoložljivega prostora. 73 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov F. Dodatni zgledi Dodatni zgledi izpitnih nalog in problemov iz prakse so namenjeni kot pomoč pri samostojnem utrjevanju za preverjanje znanja iz analize in sinteze mehanizmov. Zgled 23: Analiza ročičnega mehanizma Za primer analize kinematike ročičnega mehanizma so izdelane različne naloge s povečevanjem težavnostne stopnje. Uporabili smo sledeči način zapisa smeri vektorjev: 𝒗𝐵 = 40 mm/s ∡45°, kar pomeni, da je vektor v B usmerjen pod kotom 45°, merjeno iz osi X v matematični pozitivni smeri oz. v obratni smeri urinih kazalcev (slika 78). Slika 78. Podajanje smeri vektorjev. Zgled 23a: Analiza ročičnega mehanizma (stopnja težavnosti 1) Za lego mehanizma na sliki (slika 79) s pomočjo poligona hitrosti in polov hitrosti določite hitrost in pospešek točke P (smer in velikost), če se pogonska ročica AB vrti sourno s kotno hitrostjo 1 rad/s. Ugotovite tudi, ali je možno vrtenje pogonske ročice AB za 360° oziroma najdaljšo možno ročico, da je možno polna rotacija (360°) pogonske ročice AB. Podatki: 𝐴𝐵 = 40 mm 𝐵𝑃 = 70 mm 𝜔 = 1 rad/s 𝐴𝐵 Slika 79. Ročični mehanizem (merilo 1:1). 74 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Rešitev a) Pri kinematični analizi hitrosti bo podana rešitev s pomočjo: 1. poligona hitrosti in 2. polov hitrosti. ad 1) S pomočjo poligona hitrosti: Ročica 2 rotira okoli točke A, okoli katere zato kroži druga končna točka B, katere (tangencialna) hitrost znaša: 𝒗𝐵 = 𝒗𝐴 + 𝒗𝐵 𝐵 2 = 𝒗𝐴 + 𝝎2 × 𝒔2 , 𝒗𝐴 = 0 mm/s, 𝒗𝐵 𝐵 2 = 𝝎2 × 𝒔2 = 40 mm/s ∡22°. Hitrost 𝒗𝐵 = 𝒗𝐵 (zato, ker izhodišče pomičnega koordinatnega sistema oziroma točka A miruje) je 2 usmerjena pravokotno na krajevni vektor 𝒔𝐵 in jo prenesemo v poligon hitrosti (slika 80). Ročica 3 je 2 povezana z ročico 2 z rotacijsko kinematično vezjo v točki B, torej lahko rečemo, da ročica 3 in z njo točka P relativno kroži okoli B. Relativna hitrost 𝒗𝐵3(= 𝒗𝐵𝑃𝑃) točke P glede na B bo zato usmerjena pravokotno na krajevni vektor 𝒔𝑃. 3 Merilo hitrosti: 10 mm : 10 mm/s 𝒗𝑃 = 𝒗𝐵 + 𝒗𝑃 𝑃 3 = 𝒗𝐵 + 𝝎3 × 𝒔3 , 𝒗𝑃 𝑃 3 = 𝝎3 × 𝒔3 . Slika 80. Komponente hitrosti za točko 𝐵 in 𝑃 ter poligon hitrosti (merilo 1:1). 75 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Obenem je hitrost 𝒗𝑃 točke P zaradi translatorne podpore točke P vertikalna in iz poligona hitrosti dobimo (slika 80): 𝒗𝑃 = 36,4 mm/s ∡90 °, 𝒗𝑃3 = 42,8 mm/s ∡150°, iz česar lahko izračunamo še kotno hitrost ročice 3 (vrti se sourno): 𝑣 𝑃 𝜔 3 3 = = 0,61  rad⁄s. 𝑙3 ad 2) S pomočjo polov hitrosti: Za trenutno lego mehanizma določimo pole hitrosti (slika 81): trije primarni poli se nahajajo v rotacijskih vezeh, pol hitrosti med drsnikom P14 in oporo pa je zaradi translatorne vezi v neskončnosti. Sekundarna pola pa določimo po Kennedy-Aronholdovem teoremu: 𝑃13: 𝑃12𝑃23 − 𝑃14𝑃34, 𝑃24: 𝑃12𝑃14 − 𝑃23𝑃34. Točka B oz. pol hitrosti, kjer sta povezani ročici 2 in 3, kroži okoli vpetja ročice P12. Ker celotna ročica 3 (točki B in P) kroži okoli pola hitrosti P13, lahko določimo hitrost točke P: 𝑣𝑃23 = 𝜔2𝑃12𝑃23 = 𝜔3𝑃13𝑃23, 𝑃 𝜔 12𝑃23 3 = 𝜔2 , 𝑃13𝑃23 𝑃 𝑣𝑃 13𝑃14 23 = 𝜔2𝑃12𝑃23 = 𝜔3𝑃13𝑃23 → 𝑣𝑃 = 𝑣𝐵 = 36,4 mm/s. 𝑃13𝑃23 Slika 81. Analiza hitrosti s pomočjo polov hitrosti (merilo 1:1). 76 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Hitrost točke P lahko določimo tudi iz pola: 𝑃 𝒗𝑃 = 𝑣𝐵 12𝑃24 = 36,4 mm/s ∡90 °. 𝑃13𝑃24 a) Analiza pospeškov: Analiza določitve pospeškov mehanizma je določena s pomočjo poligona pospeškov. Ročica 2 rotira okoli točke A, okoli katere zato kroži druga končna točka B, katere pospešek znaša: 𝒂𝐵 = 𝒂𝐴 + 𝒂𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,2 + 𝒂𝑇,2. Ker se relativni položaj točke B proti točki A ne spreminja, sta relativni in Coriolisov pospešek enaka 0. Ker točka A miruje in je kotna hitrost ročice 2 konstantna oziroma je kotni pospešek ročice 2 enak 0, lahko zapišemo: Merilo pospeškov: 10 mm : 10 mm/s2 𝒂𝐴 = 𝒂𝐵 𝐵 𝐵 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 𝒂𝑇,2 = 0 mm/s2, 𝒂𝐵 = 𝒂𝐵 2 𝐵 𝑁,2 = −𝜔2 ∙ 𝒔2 = 40 mm/s2 ∡292°. Enačbo za določitev pospeška točke P zapišemo: 𝒂𝑃 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,3 + 𝒂𝑇,3. Ročica 3 je povezana z ročico 2 z rotacijsko kinematično vezjo v točki B, torej lahko rečemo, da ročica 3 in z njo točka P relativno kroži okoli B in iz kotne hitrosti ročice 3 in relativne oddaljenosti točke P do točke B lahko določimo relativni normalni pospešek točke P: 𝒂𝑃 𝑃 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 0 mm/s2, 𝒂𝑃 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝑃 𝑃 𝑁,3 + 𝒂𝑇,3, 𝒂𝑃 2 𝑃 𝑁,3 = −𝜔3 ∙ 𝒔3 = 25,8 mm/s2 ∡60°, 𝒂𝑃𝑇,3 = ∡150° ali  ∡330° (usmerjenost pravokotna na normalni pospešek), 𝒂𝑃 = ∡90°. Iz poligona pospeškov dobimo (slika 82): 𝒂𝑃 = 1,9 mm/s2 ∡90°, 𝒂𝑃𝑇,3 = 32,5 mm/s2 ∡150°, ter lahko izračunamo kotni pospešek ročice 3: 𝒂𝑃 𝜶 𝑇,3 3 = = 0,46 rad/s2 (usmerjenost protiurna). 𝑃𝐵 77 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 82. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝑃 (merilo 1:1), b) Vrtenje pogonske ročice AB za 360°: V splošnem se pogonska ročica 2 (𝐴𝐵) lahko zavrti za 360°, če je ekscentričnost drsnika manjša od razlike med dolžino vezne ročice in dolžino pogonske ročice pri delnem prekritju ročic v kolinearni legi 𝐼𝐼 (slika 83): (𝑙3 − 𝑙2) ≥ 𝑙4. Slika 83. Ročični mehanizem. Za dani primer, kjer je 𝑙2 = 40 mm, 𝑙3 =70 mm in 𝑙4 = 50 mm, velja: (𝑙3 − 𝑙2 = 70 mm − 40 mm) ≤ (𝑙4 = 50 mm), zato pogoj ni izpolnjen, kar pomeni, da pogonske ročice 2 (𝐴𝐵) ni možno zavrteti za 360°. Najdaljšo dolžino pogonske ročice 2, da se izpolni pogoj polne rotacije ročice, določimo kot sledi: 𝑙2 ≤ (𝑙3 − 𝑙1), 𝑙2 ≤ (70 mm − 50 mm = 20 mm). 78 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 23b: Analiza ročičnega mehanizma (stopnja težavnosti 2) Za lego mehanizma na sliki (slika 84) določite hitrost in pospešek točke P (smer in velikost), če linearni aktuator zmanjšuje razdaljo 𝑂1𝑂2 s hitrostjo 10 mm/s in je kotni pospešek ročice AB enak 0. Določite tudi pospešek delovanja linearnega aktuatorja (slika 84). Podatki: 𝐴𝐵 = 40 mm 𝐵𝑃 = 70 mm 𝐴𝑂1 = 𝐵𝑂1 𝐵𝑂2 = 𝑃𝑂2 𝑣𝑂1−𝑂2 𝑟𝑒𝑙 = 10 mm/s 𝛼2 = 0 rad/s2 Slika 84. Ročični mehanizem (merilo 1:1). Rešitev a) Pri kinematični analizi hitrosti s pomočjo metode polov hitrosti Ker je geometrija mehanizma enaka kot v Zgledu 23a, je lega polov enaka (sliki 80 in 85), hitrostne razmere pa so drugačne in zahtevajo novo analizo. Za trenutno lego mehanizma določimo pole hitrosti: trije enostavni poli se nahajajo v rotacijskih vezeh, pol hitrosti med drsnikom P14 in oporo pa je zaradi translatorne vezi v neskončnosti. Preostala pola pa določimo po Kennedy-Aronholdovem teoremu: 𝑃13 : 𝑃12𝑃23 − 𝑃14𝑃34, 𝑃24 : 𝑃12𝑃14 − 𝑃23𝑃34. 79 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 85. Analiza hitrosti s pomočjo polov hitrosti (merilo 1:1). Iz razmerja oddaljenosti točk B oz. pol hitrosti P24 in točke 𝑂1 na ročici 2 glede na pol P12 in hkrati oddaljenosti točk B in 𝑂2 oziroma celotne ročice 3 glede na pol P13 lahko določimo odvisnost relativne hitrosti delovanja aktuatorja na točki 𝑂1 in 𝑂2 na kinematiko mehanizma (sliki 85 in 86): Merilo hitrosti : 10 mm : 10 mm/s2 in merilo pospeškov: 10 mm : 10 mm/s2 𝑣𝑃23 = 𝜔2𝑃12𝑃23 = 𝜔3𝑃13𝑃23, 𝑃 𝑃 𝑣𝑃 12𝑃23 13𝑃23 23 = 𝑣𝑂1 = 𝑣𝑂2 . 𝑃12𝑂1 𝑃13𝑂2 Določitev razmerja hitrosti točk 𝑂1 in 𝑂2 glede na velikost relativne hitrosti med točkama 𝑂1 in 𝑂2 (delovanje aktuatorja) (sliki 85 in 86): 𝑣𝑂1−02 𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑂2 ∙   cos( 29°) − 𝑣𝑂1 ∙ cos( 3°). V razmerje vstavimo odvisnost hitrosti točk 𝑂1 in 𝑂2 glede na razdaljo do polov hitrosti in dobimo kot sledi v nadaljevanju: 𝑣𝑂1−02 𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑂2 ∙   cos( 29°) − 𝑣𝑂1 ∙ cos( 3°), 𝑃 𝑃 𝑣𝑂1−02 12𝑃23 13𝑂2 𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑂1 ∙ cos( 29°) − 𝑣𝑂1 ∙ cos( 3°), 𝑃12𝑂1 𝑃13𝑃23 𝑃 𝑃 𝑣𝑂1−02 12𝑃23 13𝑂2 𝑟𝑒𝑙 = 𝑣𝑂1 ( ∙ cos( 29°) − cos( 3°)), 𝑃12𝑂1 𝑃13𝑃23 80 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov 𝑣𝑂1−02 10 mm/s 𝑣𝑂1 = 𝑟𝑒𝑙 = = 25,9 mm/s, 𝑃 40 51,8 12𝑃23 𝑃13𝑂2 ∙ cos( 29°) − cos( 3°) 20 ∙ ∙   cos( 29°) − cos( 3°) 65,4 𝑃12𝑂1 𝑃13𝑃23 𝑃 𝑃 𝑣𝑂2 = 𝑣𝑂1 12𝑃23 13𝑂2 = 41,0 mm/s. 𝑃12𝑂1 𝑃13𝑃23 Slika 86. Razmerje hitrosti točk 𝑂1 in 𝑂2 (merilo 1:1) . Določimo lahko tudi kotne hitrosti ročic 2 in 3 ter hitrost točk 𝐵 in 𝑃: 𝑣𝐵 𝑣𝑂1 𝜔2 = = = 1,3 rad/s, 𝑙2 𝑃12𝑂1 𝑣𝑂2 𝜔3 = = 0,79 rad/s, 𝑃13𝑂2 𝒗𝐵 = 52,0 mm/s ∡22°, 𝑃 𝑣𝑃 = 𝑣𝐵 13𝑃34 = 47,4 mm/s, 𝑃13𝑃23 𝒗𝑃 = 47,4 mm/s ∡90°. b) Analiza pospeškov Analiza določitve pospeškov mehanizma je določena s pomočjo poligona pospeškov in se popolnoma identično določi kot pri nalogi 1a: 𝒂𝐵 = 𝒂𝐴 + 𝒂𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,2 + 𝒂𝑇,2, 𝒂𝐴 = 𝒂𝐵 𝐵 𝐵 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 𝒂𝑇,2 = 0 mm/s2, 𝒂𝐵 = 𝒂𝐵 2 𝐵 𝑁,2 = −𝜔2 ∙ 𝒔2 = 67,6 mm/s2 ∡292°. Enačbo za določitev pospeška točke P zapišemo: 𝒂𝑃 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,3 + 𝒂𝑇,3, 𝒂𝑃 𝑃 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 0 mm/s2, 𝒂𝑃 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝑃 𝑃 𝑁,3 + 𝒂𝑇,3, 𝒂𝑃 2 𝑃 𝑁,3 = −𝜔3 ∙ 𝒔3 = 43,7 mm/s2 ∡60° 81 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov ter lahko določimo usmerjenost pospeškov: 𝒂𝑃𝑇,3 = ∡150° ali ∡330°, 𝒂𝑃 = ∡90° in iz poligona pospeškov dobimo (slika 87): 𝒂𝑃 = 2,9 mm/s2 ∡90°, 𝒂𝑃𝑇,3 = 55,1 mm/s2 ∡150°, ker lahko izračunamo kotni pospešek ročice 3: 𝒂𝑃 𝜶 𝑇,3 3 = =  0,79 rad/s2. 𝑃𝐵 Slika 87. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke P (merilo 1:1) . Za določitev relativnega pospeška med točkama 𝑂1 in 𝑂2 v smeri delovanja linearnega aktuatorja moramo najprej določiti pospešek točke O2. Enačbo za določitev pospeška točke 𝑂2 zapišemo: 𝒂𝑂2 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝑂2 𝑂2 𝑂2 𝑂2 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,3 + 𝒂𝑇,3, 𝒂𝑂2 𝑂2 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 0 mm/s2, 𝒂𝑂2 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝑂2 𝑂2 𝑁,3 + 𝒂𝑇,3, 𝒂𝑂2 2 𝑂2 𝑁,3 = −𝜔3 ⋅ 𝒔3 = 21,8 mm/s2 ∡60°, 𝒂𝑂2 𝑂2 𝑇,3 = 𝜶3 × 𝒔3 = 27,65 mm/s2 ∡150° in iz poligona pospeškov dobimo (slika 88): 𝒂02 = 32,4 mm/s2 ∡293°. 82 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 88. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝑂2 (merilo 1:1) . Iz pospeška točke 𝑂2 nato preko poligona pospeška določimo relativni pospešek aktuatorja (pospešek med točkama 𝑂1 in 𝑂2 v smeri delovanja aktuatorja) (slika 89): 𝒂𝑂2 = 𝒂𝑂2−01 𝑂2−01 𝑟𝑒𝑙,𝑛 + 𝒂𝑟𝑒𝑙,𝑡 , 𝒂𝑂2−01 𝑟𝑒𝑙,𝑛 = 1,3 mm/s2 ∡205°. Slika 89. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝑂2 (merilo 1:1) . 83 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 24a: Analiza večzgibnega mehanizma (stopnja težavnosti 3) Za lego mehanizma na sliki (slika 90) določite, če je pogonska ročica 2 ( AB): 1. pol hitrosti med ročico 3 ( BD) in ročico 5 ( CP), 2. razmerje momentov med ročico 2 ( AB) in ročico 4 ( DE), 3. ali je možna polna rotacija (za 360°) ene izmed ročic, 4. delovno območje mehanizma in mrtve lege, 5. s pomočjo poligona hitrosti in polov hitrosti določite hitrost in pospešek točke P (smer in velikost), če se pogonska ročica 2 ( AB) vrti sourno s kotno hitrostjo 0,4 rad/s in pojemajoče s kotnim pospeškom 0,5 rad/s2. Podatki: 𝐴𝐵 = 100 mm 𝐴𝐸 = 40 mm 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 𝐶𝑃 = 55 mm 𝜔 = 0,4 rad/s 𝐴𝐵 𝛼 = 0,5 rad/s2 𝐴𝐵 Slika 90. Mehanizem – Zgled 24a (merilo 1:1). Rešitev: Mehanizem lahko obravnavamo, kot da ga sestavlja štirizgibni mehanizem ABDE s točko C na vezni ročici 3, z dodano ročico 5 in drsnikom 6. ad 1) Za določitev pola hitrosti med ročico 3 (𝐵𝐷) in ročico 5 (𝐶𝑃) za trenutno lego mehanizma moramo določiti (slika 91): - šest enostavnih polov se nahaja v rotacijskih vezeh, - pol hitrosti med drsnikom in podlago P16 pa je zaradi translatorne vezi v neskončnosti, 84 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov - da lahko določimo pol P15, moramo pred tem po Kennedy-Aronholdovem teoremu določiti pola P13 in P24: 𝑃13 : 𝑃12𝑃23 − 𝑃14𝑃34, 𝑃24 : 𝑃12𝑃14 − 𝑃23𝑃34, 𝑃15 : 𝑃16𝑃56 − 𝑃13𝑃35. Slika 91. Določitev polov hitrosti in prenosnih kotov (merilo 1:1) ad 2) Razmerje momentov med ročico 2 ( AB) in ročico 4 ( DE) lahko določimo iz: - velikosti prenosnih kotov β in γ: 𝑀4 𝑙 80 mm ⋅ sin( 39°) = 4 sin( 𝛾) = = 0,56, 𝑀2 𝑙2 sin( 𝛽) 100 mm ⋅ sin( 64°) - položaja pola P24: 𝑀4 𝑃 61,2 mm = 14𝑃24 = = 0,56. 𝑀2 𝑃 91,2 mm 12𝑃24 85 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov ad 3) Preverjanje polne rotacije (za 360°) ene izmed ročic – izvedemo na podlagi Grashofovega pogoja: (𝑠 + 𝑙) ≤ (𝑝 + 𝑞), kjer je : 𝑠 = 𝑙3 =  12,15 mm, 𝑙 = 𝑙3 = 100 mm, 𝑝 = 𝑙1 = 40 mm, 𝑞 = 𝑙4 = 80 mm, (𝑠 + 𝑙) ≤ (𝑝 + 𝑞): 112,15 mm ≤ 120 mm, iz česar lahko zaključimo, da je možna polna rotacije ročice 3. ad 4) Določitev delovnega območja mehanizma in mrtvih leg: - Največji in najmanjši kot rotacije ročice 2 (kot ) določimo s pomočjo kosinusovega izreka iz položaja, ko sta ročici 3 in 4 kolinearni (kot 𝛾 = 0°) – to sta mrtvi legi mehanizma (slika 92 levo): 𝑙2 + 𝑙2 − (𝑙 𝛼 1 2 4 + 𝑙3)2 1 = arccos [ ] = 67,2°, 2𝑙1𝑙2 𝑙2 + 𝑙2 − (𝑙 𝛼 1 2 4 − 𝑙3)2 2 = arccos [ ] = 29,0°. 2𝑙1𝑙2 - Največji in najmanjši kot rotacije ročice 4 (kot ) določimo iz položaja, ko sta ročici 2 in ročici 3 kolinearni (kot 𝛽 = 0°) (slika 92 desno): 𝑙2 + 𝑙2 − (𝑙 𝜙 1 4 2 − 𝑙3)2 1 = arccos [ ] = 87,5°, 2𝑙1𝑙4 𝑙2 + 𝑙2 − (𝑙 𝜙 1 4 2 − 𝑙3)2 2 = arccos [ ] = 135,7°. 2𝑙1𝑙4 Slika 92. Določitev delovnega območja in mrtvih leg (merilo 1:2); levo: 𝛾 = 0°, desno 𝛽 = 0°. 86 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov ad 5) S pomočjo poligona hitrosti in polov hitrosti določite hitrost točke P in nato tudi pospešek točke P (smer in velikost), če se pogonska ročica 2 ( AB) vrti sourno s kotno hitrostjo 0,4 rad/s in pojemajoče s kotnim pospeškom 0,5 rad/s2: - Določitev hitrosti s pomočjo poligona hitrosti (slika 93): Ročica 2 rotira okoli točke 𝐴, okoli katere zato kroži druga končna točka 𝐵, katere (tangencialna) hitrost znaša: Merilo hitrosti : 10 mm : 10 mm/s2 in merilo pospeškov: 10 mm : 10 mm/s2 𝒗𝐵 = 𝒗𝐴 + 𝒗𝐵 𝐵 2 = 𝒗𝐴 + 𝝎2 × 𝒔2 , 𝒗𝐴 = 0 mm/s, 𝒗𝐵 = 𝒗𝐵 𝐵 2 = 𝝎2 × 𝒔2 = 40 mm/s ∡125°. Hitrost 𝒗𝐵 = 𝒗𝐵 (zato ker izhodišče pomičnega koordinatnega sistema oziroma točka 2 𝐴 miruje) je usmerjena pravokotno na krajevni vektor 𝒔𝐵 in jo prenesemo v poligon hitrosti (slika 93). Ročica 2 3 je povezana z ročico 2 z rotacijsko kinematično vezjo v točki B, torej lahko rečemo, da ročica 3 in z njo točka D relativno kroži okoli B. Hkrati pa tudi točka D relativno kroži okoli točke E: 𝒗𝐷 = 𝒗𝐵 + 𝒗𝐷 𝐷 2 = 𝒗𝐵 + 𝝎3 × 𝒔3 , 𝒗𝐷 = 𝒗𝐸 + 𝒗𝐷 𝐷 4 = 𝝎4 × 𝒔4 , 𝒗𝐸 = 0 mm/s, 𝒗𝐵 = 𝒗𝐵 𝐵 2 = 𝝎2 × 𝒔2 = 40 mm/s ∡125°, iz poligona hitrosti nato dobimo: 𝒗𝐷 = 57,0 mm/s ∡150°, 𝒗𝐷 3 = 26,7 mm/s ∡189°, 𝒗𝐶 = 47,4 mm/s ∡140°, iz česar lahko izračunamo še kotno hitrosti ročice 3 in 4: 𝑣 𝐷 𝜔 3 3 = = 2,2 rad/s, 𝑙3 𝒗𝐷 𝜔4 = = 0,71 rad/s. 𝑙3 Točka C leži na polovici dolžine ročice 3 in zato lahko iz poligona hitrosti določimo: 𝒗𝐶 = 47,4 mm/s ∡189°. Iz vektorja hitrosti točke C ter smeri relativne hitrosti vrtenja točke P okoli točke C (usmerjena pravokotno na krajevni vektor 𝒔𝑃) ter smeri vektorja hitrosti točke P kreiramo poligon hitrosti in 5 dobimo: 𝒗𝑃 = 53,1 mm/s ∡165°, 𝒗𝑃5 = 22,7 mm/s ∡228°, 𝒗𝑃 𝜔 5 5 = = 0,41 rad/s. 𝑙5 87 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 93. Komponente hitrosti za točki 𝐵 in 𝑃 ter poligon hitrosti (merilo 1:2); levo: 𝛾 = 0°, desno 𝛽 = 0°. - Določitev hitrosti s pomočjo polov hitrosti (slika 94): Točka B oz. pol P 23, kjer sta povezani ročici 2 in 3, kroži okoli vpetja ročice P 12. Hkrati točke B, D in C oziroma celotna ročica 3 krožijo okoli P 13, lahko določimo hitrost točk D in C: 𝒗𝐵 = 𝝎 𝐵 2 × 𝒔2 = 40 mm/s ∡125°, 𝑃 𝒗𝐷 = 𝒗𝐵 13𝑃34 = 57,0 mm/s ∡150°, 𝑃13𝑃23 88 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov 𝑃 𝒗𝐶 = 𝒗𝐵 13𝑃35 = 47,4 mm/s ∡140°. 𝑃13𝑃23 Hitrost točke 𝑃 lahko določimo iz pola 𝑃15: 𝑃 𝒗𝑃 = 𝒗𝐶 15𝑃56 = 53,1 mm/s ∡165°. 𝑃15𝑃35 Izračunamo lahko še kotne hitrosti ročic 3, 4 in 5: 𝑣𝐵 𝜔3 = = 2,2 rad/s (sourno vrtenje). 𝑃13𝑃23 𝑣𝐷 𝜔4 = = 0,71 rad/s (sourno vrtenje). 𝑃14𝑃34 𝑣𝑃 𝜔5 = = 0,41 rad/s (sourno vrtenje). 𝑃15𝑃56 Slika 94. Analiza hitrosti s pomočjo polov hitrosti (merilo 1:1). 89 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov - Določitev pospeška točke P (smer in velikost), če se pogonska ročica 2 ( AB) vrti sourno s kotno hitrostjo 0,4 rad/s in pojemajoče s kotnim pospeškom 0,5 rad/s2 Analiza določitve pospeškov mehanizma je določena s pomočjo poligona pospeškov. Ročica 2 rotira okoli točke 𝐴, okoli katere zato kroži druga končna točka 𝐵, katere pospešek znaša: 𝒂𝐵 = 𝒂𝐴 + 𝒂𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,2 + 𝒂𝑇,2. Ker se relativni položaj točke B proti točki A ne spreminja, sta relativni in Coriolisov pospešek enaka 0. Ker točka A miruje, lahko zapišemo: 𝒂𝐴 = 𝒂𝐵 𝐵 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 0 mm/s2, 𝒂𝐵 2 𝐵 𝑁,2 = −𝜔2 ∙ 𝒔2 = 16 mm/s2 ∡35°, 𝒂𝐵 𝐴 𝑇,2 = 𝛼2 × 𝒔2 = 50 mm/s2 ∡305 °. Enačbo za določitev pospeška točke D zapišemo: 𝒂𝐷 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝐷 𝐷 𝐷 𝐷 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,3 + 𝒂𝑇,3. Ročica 3 je povezana z ročico 2 z rotacijsko kinematično vezjo v točki B, torej lahko rečemo, da ročica 3 in z njo točka D relativno kroži okoli B in hkrati okoli točke E. Iz kotne hitrosti ročice 3 in 4 in relativne oddaljenosti točke D do točk B in E lahko izračunamo relativno normalna pospeška točke D pri rotaciji okoli točke B in okoli točke E: 𝒂𝐷 𝐷 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 0 mm/s2 𝒂𝐷 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝐷 𝐷 𝑁,3 + 𝒂𝑇,3 𝒂𝐷 2 𝐷 𝑁,3 = −𝜔3 ∙ 𝒔3 = 58,8 mm/s2 ∡99° 𝒂𝐷𝑇,3 = ∡9° ali  ∡189° (usmerjenost vektorja) 𝒂𝐷 2 𝐷 𝑁,4 = −𝜔3 ∙ 𝒔3 = 40,6 mm/s2 ∡60° 𝒂𝐷𝑇,4 = ∡150° ali  ∡330° (usmerjenost vektorja) Iz poligona pospeškov dobimo (slika 95): 𝒂𝐷𝑇,3 = 2,6 mm/s2 ∡9° 𝒂𝐷𝑇,4 = 16,9 mm/s2 ∡330°, lahko izračunamo kotni pospešek ročic 3 in 4: 𝒂𝐷 𝜶 𝑇,3 3 = =  0,21 rad/s2 (usmerjenost sourna), 𝐵𝐷 𝒂𝐷 𝜶 𝑇,4 4 = =  0,21 rad/s2 (usmerjenost sourna). 𝐸𝐷 90 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 95. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝐷 in kotnih pospeškov ročic 3 in 4 (merilo 1:1). Določiti je treba še pospešek točke C: 𝒂𝐶 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝐶 𝑇 𝑁,3 + 𝒂𝑇,3 𝒂𝐶 2 𝐶 𝑁,3 = −𝜔3 ⋅ 𝒔3 = 27,7 mm/s2 ∡99° 𝒂𝐶 𝐶 𝑇,3 = 𝛼3 × 𝒔3 = 1,28 mm/s2 ∡9° in iz poligona pospeškov dobimo (slika 96): 𝒂𝐶 = 38,9 mm/s2 ∡354° Slika 96. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝐶 (merilo 1:1). 91 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Enačbo za določitev pospeška točke P zapišemo: 𝒂𝑃 = 𝒂𝐶 + 𝒂𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,5 + 𝒂𝑇,5. Ročica 5 je povezana z ročico 3 z rotacijsko kinematično vezjo v točki C, torej lahko rečemo, da ročica 5 in z njo točka P relativno kroži okoli C. Hkrati je zaradi translatorne podpore znana smer pospeška točke P. Iz kotne hitrosti ročice 5 in relativne oddaljenosti točke P do točke C lahko določimo relativni normalni pospešek točke P in iz poligona hitrosti dobimo: 𝒂𝑃 𝑃 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 0 mm/s2 𝒂𝑃 = 𝒂𝐵 + 𝒂𝑃 𝑃 𝑁,5 + 𝒂𝑇,5 𝒂𝑃 2 𝑃 𝑁,5 = −𝜔5 ∙ 𝒔5 = 9,48 mm/s2 ∡138° 𝒂𝑃𝑇,5 = ∡48° ali ∡228° (usmerjenost vektorja) 𝒂𝑃 = ∡165° ali ∡345° (usmerjenost vektorja). Iz poligona pospeškov dobimo (slika 97): 𝒂𝑃𝑇,3 = 17,0 mm/s2 ∡228 ° 𝒂𝑃 = 11,7 mm/s2 ∡345°, ker lahko izračunamo tudi kotni pospešek ročice 3: 𝒂𝑃 𝜶 𝑇,5 5 = =  0,31 rad/s2 (usmerjenost sourna). 𝐶𝑃 Slika 97. Poligon pospeškov za določitev pospeška točke 𝑃 (merilo 1:1). 92 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 24b: Analiza večzgibnega mehanizma Za lego mehanizma na sliki (slika 98), če je pogonska ročica 3 ( BD), določite hitrost in pospešek točke P (smer in velikost). Pogonska ročica 3 ( BD) se vrti relativno glede na ročico 2 okoli točke B sourno s konstantno kotno hitrostjo 1,0 rad/s. Podatki: 𝐴𝐵 = 100 mm 𝐴𝐸 = 40 mm 𝐵𝐷 = 80 mm 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 𝐶𝑃 = 55 mm 𝜔 = 1,0 rad/s 𝐵𝐷 𝛼 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝐵𝐷 Slika 98. Mehanizem – Zgled 24b (merilo 1:1). Rešitev Za določitev absolutnih hitrosti ročic mehanizma glede na podano relativno kotno hitrost ročice 3 proti ročici 2 je treba za dani položaj mehanizma določiti razmerje absolutnih kotnih hitrosti ročice 3 proti ročici 2 (prikazan postopek je podan na podlagi lokacije polov hitrosti): Merilo hitrosti : 10 mm : 10 mm/s2 in merilo pospeškov: 10 mm : 10 mm/s2 𝝎3−2 = 𝝎3 + 𝝎2 = 1 rad/s (usmerjenost sourna), 𝒗𝐵 = 𝝎 𝑃12𝑃23 𝑃13𝑃23 2 × 𝒔 = 𝝎 , 2 3 × 𝒔2 (𝝎3−2 + 𝝎3) × 𝒔𝑃12𝑃23 = 𝝎3 × 𝒔𝑃13𝑃23, 𝜔 𝑃12𝑃23 𝑃12𝑃23 3 = 𝜔3−2 ⋅ 𝑠 = 𝜔 − 𝑠𝑃13𝑃23), 2 3 (𝑠2 93 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov 𝜔 𝑃12𝑃23 𝜔 3−2 ⋅ 𝑠2 3 = = 1,22 rad/s, 𝑠𝑃12𝑃23 − 𝑠𝑃13𝑃23 2 𝜔2 = 0,22 rad/s. Določitev hitrosti točk B, D, C in P ter kotnih hitrosti ročic 4 in 5 lahko sedaj izvedemo po postopku, opisanem v Zgledu 24a pod točko 5. Rezultati so navedeni spodaj. 𝒗𝐵 = 22 mm/s ∡125°, 𝒗𝐷 = 31,3 mm/s ∡150°, 𝒗𝐶 = 26,1 mm/s ∡140°, 𝒗𝑃 = 29,3 mm/s ∡165°, 𝜔4 = 0,33 rad/s, 𝜔5 = 0,23 rad/s, 𝛼2 = 0,28 rad/s2, 𝛼3 = 0,37 rad/s2, 𝛼4 = 0,23 rad/s2, 𝛼5 = 0,09 rad/s2, 𝒂5 = 2,5 mm/s2 ∡345 °. 94 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Zgled 25: Analiza ročičnega mehanizma (stopnja težavnosti 4) Za lego mehanizma na sliki (slika 99), če je pogonska ročica 2 ( AB), določite hitrost in pospešek točke P (smer in velikost). Pogonska ročica 2 ( AB) se vrti sourno s konstantno kotno hitrostjo 1,0 rad/s. Podatki: 𝐴𝐵 = 40 mm 𝐴𝐷 = 100 mm 𝐷𝐶 = 150 mm 𝐶𝑃 = 40 mm 𝜔 = 1,0 rad/s 𝐴𝐵 𝛼 = 0,0 rad/s2 𝐴𝐵 Slika 99. Mehanizem – zgled 25 (merilo 1:1). Rešitev: Ročica 2 rotira okoli točke A, okoli katere zato kroži druga končna točka B, katere (tangencialna) hitrost znaša: Merilo hitrosti : 10 mm : 10 mm/s2 in merilo pospeškov: 10 mm : 10 mm/s2 𝒗𝐵 = 𝒗𝐴 + 𝒗𝐵 𝐵 2 = 𝒗𝐴 + 𝝎2 × 𝒔2 , 95 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov 𝒗𝐴 = 0 mm/s, 𝒗𝐵 = 𝒗𝐵 𝐵 2 = 𝝎2 × 𝒔2 = 40 mm/s ∡235,5°. S pomočjo poligona hitrosti (slika 100) določimo še hitrost ročice 4 na lokaciji točke B. Ker sta ročici 2 in 4 povezani preko drsnika, je med točkama B 2 in B 4 relativna hitrost: 𝒗𝐵4 = 𝒗𝐵2 + 𝒗𝐵4−𝐵2 𝑟𝑒𝑙 , 𝒗𝐵4 = 30,5 mm/s ∡195°, 𝒗𝐵4−𝐵2 𝑟𝑒𝑙 = 25,9 mm/s ∡105°. Slika 100. Poligon hitrosti (merilo 1:1). Izračunamo lahko še kotno hitrost ročice 4 in hitrost točke C: 𝑣𝐵4 𝑃 𝜔 24𝑃12 4 = = 0,24 rad/s, 𝐷𝐵 𝑃24𝑃14 𝒗𝐶 = 𝝎 𝐶 4 × 𝒔4 = 36,0 mm/s ∡195°. Izračunamo še poligon hitrosti za določitev hitrosti točke P: 𝒗𝑃 = 𝒗𝐶 + 𝒗𝑃5, 𝒗𝑃 = 37,3 mm/s ∡180°, 𝒗𝑃5 = 9,4 mm/s ∡97,3°, 𝑣𝑃 𝜔 5 5 = = 0,24 rad/s. 𝐶𝑃 Enačbo za določitev pospeška točke B lahko zapišemo: 𝒂𝑃 = 𝒂𝐶 + 𝒂𝑃 𝑃 𝑃 𝑃 𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,5 + 𝒂𝑇,5. Zaradi konstantne hitrosti rotacije ročice 2 in toge povezave med točkama A in B lahko zapišemo: 𝒂𝐵2 𝐵2 𝐵2 𝑟𝑒𝑙 = 𝒂𝑐𝑜𝑟 = 𝒂𝑇,3 = 0 mm/s2, 𝒂𝐵2 = 𝒂𝐵2 2 𝐵2 𝑁,2 = −𝜔2 ∙ 𝒔2 = 40,0 mm/s2 ∡145,5°. 96 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Če izhajamo iz točke D, pa lahko enačbo za določitev pospeška točke 𝐵2 zapišemo: 𝒂𝐵2 = 𝒂𝐵2 𝐵2−𝐵4 𝐵2−𝐵4 𝐵4 𝐵4 𝑁,2 = 𝒂𝐷 + 𝒂𝑟𝑒𝑙 + 𝒂𝑐𝑜𝑟 + 𝒂𝑁,4 + 𝒂𝑇,4, 𝒂𝐷 = 0 mm/s2, 𝒂𝐵4 2 𝐵4 𝑁,4 = −𝜔4 ⋅ 𝒔4 = 7,32 mm/s2 ∡105°, 𝒂𝐵2−𝐵4 𝐵2−𝐵4 𝑐𝑜𝑟 = 2𝝎4 × 𝒗𝑟𝑒𝑙 = 12,43 mm/s2 ∡195°, 𝒂𝐵4 𝐵4 𝑇,4 = 𝛼2 × 𝒔4 =. . . ? ∡ 15° ali 195°. Iz poligona pospeškov lahko določimo (slika 101): 𝒂𝐵4 𝑇,4 = 13,5 mm/s2 ∡195° 𝒂𝐵2−𝐵4 𝑟𝑒𝑙 = 23,2 mm/s2 ∡115° in 𝒂𝐵4 𝛼 𝑇,4 4 = = 0,11 rad/s2. 𝐷𝐵4 Slika 101. Poligon pospeškov (merilo 1:1). Upoštevamo pospešek točke C: 𝒂𝐶 = 18,1 mm/s2 ∡166° in poligon pospeškov za določitev pospeška točke P (slika 102): 𝒂𝑃 = 𝒂𝐶 + 𝒂𝑃 𝑃 𝑁,5 + 𝒂𝑇,5, 𝒂𝑃 2 𝑃 𝑁,5 = −𝜔5 ⋅ 𝒔5 = 2,3 mm/s2 ∡7,3° ter dobimo: 𝒂𝑃𝑡,5 = 4,6 mm/s2 ∡277,3°, 𝒂𝑃 = 14,7 mm/s2 ∡0°. 97 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 102. Poligon pospeškov (merilo 2:1). Zgled 26: Oblikovanje krivuljnega mehanizma Za krivuljni mehanizem s točkovnim dotikom slednika določite maksimalni hod slednika za dano fazo in kinematične (»𝑠𝑣𝑎𝑗«) diagrame gibanja slednika dane faze pri naslednjih pogojih: 2𝜋ℎ 𝜃 - potek pospeška: 𝑎 = (sin 2 𝜋 ) , 𝜃 … parameter, 𝛽 … trajanje faze 𝛽2 𝛽 3𝜋 - faza: 𝜋/4 ≤ 𝜙 < , 4 - vrtilna hitrost odmične krivulje:  = 20 rad/s, - največji dovoljeni pospešek slednika: a max = 40 m/s2, - hitrost na začetku in koncu faze je enaka 0 m/s in - položaj slednika na začetku enak 0 m. Rešitev Za podano fazo velja: 𝜋 𝜋 𝛽 = , 𝜃 = 𝜙 − 2 4 in enačbo poteka pospeška lahko zapišemo: 2𝜋ℎ 𝜃 8ℎ 𝑎 = (sin 2 𝜋 ) 𝜔2 = (sin 4 𝜃)𝜔2. 𝜋2 𝜋 𝜋 4 2 Iz največjega dovoljenega pospeška slednika lahko določimo maksimalni hod slednika: 𝑎𝜋 ℎ = , 8 (sin 4 𝜃) 𝜔2 𝑎 𝜋 𝜋 ℎ max 𝜋 max = → 𝜃~   𝑜𝑧.  𝜙~ . 8(𝑠in 4 𝜃)𝜔2 4 2 Dobimo: 𝑎 ℎ max 𝜋 max = = 0,0393 m. 8𝜔2 Določitev »𝑠𝑣𝑎𝑗« diagramov oz. poteka poti, hitrosti, pospeška in spremembe pospeška: - pospešek: 8ℎ 8ℎ 𝜋 𝑎(𝜃) = (sin 𝜃)𝜔2 oz.   𝑎(𝜙) = (sin( 𝜙 − )) 𝜔2, 𝜋 𝜋 4 98 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov - sprememba pospeška: 8𝜋2ℎ 𝜃 32ℎ 𝜋 𝑗(𝜙) = 𝑎̇ = (cos 2 𝜋 ) 𝜔3 = (cos 4 (𝜙 − )) 𝜔3, 𝛽3 𝛽 𝜋 4 𝜋 32ℎ 𝑗max (𝜙 = ) = 𝜔3 = 3202,5 m/s3, 2 𝜋 - hitrost: 2𝜋ℎ 𝜃 𝑣(𝜃) = ∫ 𝑎(𝜃) ⋅ 𝑑𝜃 = ∫ (sin 2 𝜋 ) ⋅ 𝑑𝜃, 𝛽2 𝛽 ℎ ℎ 𝑣(𝜃) = − (cos 4 𝜃) + 𝐴 (cos 4 𝜃) + 𝐴 𝛽 1 = − 𝛽 1, 2ℎ 𝜋 𝑣(𝜙) = − (cos 4 (𝜙 − )) + 𝐴 𝜋 4 1. Začetni pogoji in določitev konstant: 𝜋 𝑣 (𝜙 = ) = 0  m⁄s, 4 𝜋 2ℎ 2ℎ 𝑣 (𝜙 = ) = − (cos( 0)) + 𝐴 . 4 𝜋 1 = 0 ⇒ 𝐴1 = 𝜋 Dobimo funkcijo hitrosti: 2ℎ 𝜋 𝑣(𝜙) = [1 − (cos 4 (𝜙 − ))] 𝜔, 𝜋 4 𝜋 2 ⋅ 39,3 m 𝑣max (𝜙 = ) = [1 + 1] = 1,0 m/s, 2 𝜋 - pomik: ℎ 𝜃 𝑠(𝜃) = ∫ 𝑣(𝜃) ⋅ 𝑑𝜃 = ∫ (1 − cos 2 𝜋 ) ⋅ 𝑑𝜃, 𝛽 𝛽 ℎ 𝛽 𝜃 𝑠(𝜃) = (𝜃 − sin 2 𝜋 ) + 𝐴 𝛽 2𝜋 𝛽 2, 2ℎ 1 𝑠(𝜃) = (𝜃 − sin 4 𝜃) + 𝐴 𝜋 4 2. Začetni pogoji in določitev konstant: 𝜋 𝑠 (𝜙 = ) = 0 m, 4 𝜋 2ℎ 𝜋 1 𝑠(𝜙 = ) = ((𝜙 − ) − sin( 𝜋)) + 𝐴 4 𝜋 4 4 2 = 0 ⇒ 𝐴2 = 0. Dobimo funkcijo pomika: 2ℎ 𝜋 1 𝜋 𝑠(𝜙) = ((𝜙 − ) − sin 4 (𝜙 − )), 𝜋 4 4 4 3𝜋 2ℎ 𝜋 𝑠max (𝜙 = ) = (( ) − 0) = 0,0393 m. 4 𝜋 2 99 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Slika 103 prikazuje potek pomika, hitrosti, pospeška in spremembe pospeška (»𝑠𝑣𝑎𝑗« diagram) gibanja slednika za dano fazo. Slika 103. »𝑠𝑣𝑎𝑗« diagrami gibanja slednika. 100 Analiza in sinteza mehanizmov – postopki reševanja izbranih primerov Viri [1] http://auto.howstuffworks.com/car-suspension4.htm (25.03.2016). [2] www.hexapod.fr (14.09.2012). [3] http://www.carsim.com/products/ds/images/8-DOF-system.JPG (14.09.2012) . [4] ADAMS/View 2021, MSC Software Corporation 2021, ZDA [5] Hesse S.: Clamping with compressed air and vacuum. Blue Digest on Automation, Fest AG & Co, 2001. [6] Prebil I., Krašna S., Ciglarič I.: Synthesis of four-bar mechanism in a hydraulic support using a global optimization algorithm. Struct. multidiscipl. optim. (Print), 2002, letn. 24, št. 3, str. 246-251. [7] http://www.rlv.si/si/imagelib/zoom/default/Fotogalerija/2010/Novi%20odkop/DSC_5875c.jp g (25.03.2016). [8] Uicker J.J., Pennock G.R., Shigley J.E.: Theory of machines and mechanisms, 3. izdaja, 2003, Oxford University Press. [9] A. Rivola, M. Troncossi, G. Dalpiaz, A. Carlini: Elastodynamic analysis of the desmodromic valve train of a racing motorbike engine by means of a combined lumped/finite element model. Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 21, Issue 2, February 2007, Pages 735–760. Dodatna priporočena literatura • Norton R.L.: Design of Machinery; 6. izdaja, McGraw-Hill, ZDA, 2020. • Norton R.L.: Cam Design and Manufacturing Handbook, (Volume 1); 2. izdaja, Industrial Press, Inc., ZDA, 2009. • Rothbart H.A.: Cam Design Handbook; 1. izdaja, McGraw Hill, ZDA, 2003. • Sclater N.: Mechanisms and Mechanical Devices; 5. izdaja, McGraw Hill, ZDA, 2011. • Hartenberg R., Danavit J.: Kinematic Synthesis of Linkages. New York: McGraw-Hill, 1964. 101