i i “1502-Bakula-Presek” — 2010/8/25 — 10:28 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 30 (2002/2003) Številka 1 Strani 37–40 Robert Bakula in Aleksandar Jurišić: PRESEK, SALAMA IN SINUS Ključne besede: zanimivosti, razvedrilo, matematika, vaja. Elektronska verzija: http://www.presek.si/30/1502-Bakula-Jurisic.pdf c© 2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. I Zanimivosti - Razvedrilo PRESEK, SALAMA IN SINUS V naravi srečujemo različne geometrijske oblike, ko pa jih zagleclamo na tabli pri matematiki ali fiziki , jih včasih ne prepoznamo ali nas celo prestrašijo. To so na svoj i koži občutili t udi antični matem atiki, ko so žele li doka za ti kakšno n avide z oči tno geom etr ij sko r esnico . V t em sestavk u bo mo pokazali , kje vse srečamo sinusoido. Premice in ravnine si dobro pr edstavljamo. Kaj pa kr ivulj e? Kr ožni- co, elipso, parab olo in hip erbolo (tako imenovan e kri vulje drugega reda) lahko najclemo na stožcu (vs i možni pr eseki plašča stožca z ravnino) in jih zato imenujemo stožnice. Kje pa najdemo kotne oziroma trigonometrične funkcije? Že samo ime pove, da so povezan e s koti in s trikotniki. Z njimi jih definiramo (slika 1), lahko pa se t udi vprašamo, kje v naravi naletimo na njihove grafe. y sinfo + (a) (b) Slika 1. (a) Defin iciji funkcij s in us in kosinus . V ravn ini n a r išem o enotsko kr ožnico J( s središčem O v izhodišču koordin a tneg a sistema. Iz točke X = (1, O) se v smeri, naspro t ni g ibanj u urinega ka za lca , p oda na pot p o kro žni ci K točka T . Ko im a za seboj "preho jen" lo k dol žine cl' (t a krat kot <1- X O T m er i cl' ra d ia nov ) , im a točka T koor di na t o x ena ko co s cl' in koordinato y ena ko sin Cl' . Fu nkcija s inus je pozi t ivna v prvem in drugem kvadrantu , fu n kc ij a kosi nus pa v prvem in četrtem . Obe fu n kciji s t a perioclični s per iod o 21r (t j. 36 0° ) . (b) Iz P it agorovega izreka s led i zveza s in 2 cl' + cos 2 cl' = 1, še lažj e pa se prepričamo o velj avnosti zve ze cos a = s in (cl' + 1r/2) . Iskanje sinusoide Ker beremo Presek , bomo sinusoido našli s pomočjo pr eseka . Na valj z radij em 1 navijemo papir. Primer je črevo , ki obj ema sa lamo. (Saj veste, to je ti sti nadl ežni "papir", ki ga mo ramo odstra nit i, kad ar želimo nar ezati sa lamo , ali pa se ga znebit i po rezanju, če t ega nismo storili pr ej .) Velja: Zanimivosti - Razvedrilo I Če prerežemo salam o (valj zradijem 1) z ravn im nožem pod kotom 45° glede na os valja in razvijemo črevo (papir), dobimo sinusoido (sliki 2(b) in 2(c)). Prepričajmo se, da je res tako. Vzemimo pravokotni presek po- končnega valja (slika 2(a)) . To je enotski kro g; njegovo središče označimo z S (slika 3(a)) . ~ / " / '-..---------- --~ ---- \ -, ----- \ / -, .........._--- . /------ - - _.--.-- (a) (b) (c) Slika 2. Sinusoida na va lj u . V našem primeru smo papir dvakra t ov ili okoli va lja . Na sliki 3(a) je AB pr emer kroga, obarvan paje presek valja z ravnino, ki seka enotski krog vzdolž dalj ice AB pod kotom 45° . Po tej ravnini je med rezanj em drsel nož . Presek je seveda elipsa (pa naj je videti še tako okrogla) , a tega pravzaprav ne bomo nikjer uporabili. Iz točke A se podaj mo na sprehod po robu izbran ega enotskega kroga. Za t isti del, ko leži pot pod elipso, bomo pokazali, da smo od točke navpično nad nami oddaljeni natanko za sinus poti, ki smo jo že preho dili. Na enotski kro žnici izb erimo tako točko C , da bo kot