Boetij Temelji glasbe BOETIJ_TXT2013_01.indd 1 28.11.2013 12:19:37 Zbirka HISTORIA SCIENTIAE Urednik zbirke Matjaž Vesel Anicij Manlij Severin Boetij TEMELJI GLASBE Anicius Manlius Severinus Boethius DE INSTITUTIONE MUSICA Prevod, opombe in spremna študija Jurij Snoj Recenzenta Darja Koter in Leon Stefanija Oblikovna zasnova Mateja Goršič Prelom Brane Vidmar Založnik Založba ZRC, ZRC SAZU Za založnika Oto Luthar Tisk Cicero Begunje, d.o.o. Naklada 300 izvodov Knjiga je izšla s podporo Javne agencije za raziskovlno dejavnost RS. CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 78.01"17" BOETHIUS, Anicius Manlius Severinus De institutione musica = Temelji glasbe / Anicius Manlius Severinus Boethius = Anicij Manlij Severin Boetij ; prevod, opombe in spremna študija Jurij Snoj. - Ljubljana : Založba ZRC, ZRC SAZU, 2013. - (Zbirka Historia scientiae) ISBN 978-961-254-659-5 270334720 © 2013, Založba ZRC, ZRC SAZU Digitalna različica (pdf) je pod pogoji licence CC BY-NC-ND 4.0 prosto dostopna: https://doi.org/10.3986/9789612546595 BOETIJ_TXT2013_01.indd 2 28.11.2013 12:19:37 Anicius Manlius Severinus Boethius De institutione musica Anicij Manlij Severin Boetij Temelji glasbe Prevod, opombe in spremna študija Jurij Snoj Ljubljana 2013 BOETIJ_TXT2013_01.indd 3 28.11.2013 12:19:37 Conspectus Librorum Anicius Manlius Severinus Boethius: De institutione musica ......................8 Capitula ........................................................................................................ 10 Liber primus ................................................................................................ 18 Liber secundus .............................................................................................80 Liber tertius ............................................................................................... 136 Liber quartus.............................................................................................. 180 Liber quintus ..............................................................................................244 BOETIJ_TXT2013_01.indd 4 28.11.2013 12:19:37 Kazalo Predgovor .......................................................................................................6 Anicij Manlij Severin Boetij: Temelji glasbe ................................................9 Poglavja ........................................................................................................ 11 Prva knjiga ................................................................................................... 19 Druga knjiga ................................................................................................ 81 Tretja knjiga ............................................................................................... 137 Četrta knjiga .............................................................................................. 181 Peta knjiga .................................................................................................. 245 Opombe ...................................................................................................... 273 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe ...................................................... 285 O ureditvi latinskega besedila in prevodu ................................................. 325 Pojmovnik Boetijeve glasbene teorije ....................................................... 329 Literatura ................................................................................................... 337 BOETIJ_TXT2013_01.indd 5 28.11.2013 12:19:37 Glasbenoteoretični traktat De institutione musica je nastal kmalu po letu 500. Napisal ga je Anicius Manlius Severinus Boethius, mladi rimski inte- lektualec, prežet z dosežki grškega duha in zazrt v ambiciozen program, da bi zbral in si usvojil vse, kar so dognali grški filozofi. Tako je nastalo eno pomembnih besedil evropske kulturne zgodovine; delo, ob katerem se je na srednjeveških univerzah stoletja ostril razum bodočih intelektualcev, vseh, nikakor ne le glasbenih, in ki je bilo več kot tisočletje začetek in izvir vsake- ga razpravljanja o glasbi. Boetijev traktat je mogoče gledati z različnih zornih kotov. Po svojem namenu je urejena kompilacija: avtor je hotel v njem zbrati, kar so o pojavu zvočnega in glasbenozvočnega dognali pred njim, pri čemer je svoje latinske ekscerpte iz grških razprav preurejal, preubesedoval in jim dodajal lastne komentarje. Če traktat gledamo z ozirom na odnos do predmeta razprave, je to Boetijevo delo znanstveno besedilo s področja kvadrivialnih disciplin: do vednosti o glasbi poskuša priti z racionalnim razmišljanjem, in sicer tistim, ki mu je pravilnost številčnega izračuna zadnji in neizpodbitni dokaz resnič- nosti. Če pa gledamo Boetijevo razpravo zgodovinsko, se kaže kot (ozek) most med grško antiko in latinskim srednjim vekom. Latinsko govorečemu in mislečemu zahodu je Boetij posredoval, kar so o zvoku in glasbi dognali Predgovor BOETIJ_TXT2013_01.indd 6 28.11.2013 12:19:37 grški filozofi. Kar je prevzel v svoj traktat, je postalo izhodišče evropske glasbene teorije. Boetijeve misli in izpeljave so doživele od karolinškega časa dalje neštevilne preubeseditve, razlage in komentarje, in kot celota je Boetijeva razprava vzpostavila osnovni kanon glasbenoteoretičnih toposov. S tem, ko je posredovala antični tonski sistem, pa je Boetijeva razprava po- stavila tudi osnovno normo, po kateri ali ob kateri se je oblikoval tonski sistem evropske glasbe. Če se vprašamo s širšega glasboslovnega zornega kota, o čem govori Boetijevo besedilo, si moramo uzavestiti: glasba, domala vsa, temelji na tem ali onem tonskem sistemu; tj. na sistemu na določeni način povezanih in medsebojno funkcijsko strukturiranih tonov. V Boetijevi misli je tonski sis- tem ontološko pred samo glasbo, in Boetijeva raziskava je zato usmerjena prav vanj. Na vsakem koraku njegovega razpravljanja je prisotna zavest, da obstoji za čutu sluha dostopno glasbeno zvočnostjo z njenimi učinki ozadje, ki ni dostopno čutu sluha, pač pa ga lahko preiskuje le misleči in po Boetiju tudi nezmotljivi duh. Pričujoči komentirani prevod se usmerja v vsebino Boetijevega spisa. Zamišljen in izpeljan je tako, da ob predhodnem poznavanju teorije inter- valov omogoča seznanitev z izhodišči evropske glasbe in refleksije o njej. BOETIJ_TXT2013_01.indd 7 28.11.2013 12:19:37 Anicius Manlius Severinus Boethius De institutione musica BOETIJ_TXT2013_01.indd 8 28.11.2013 12:19:37 Anicij Manlij Severin Boetij Temelji glasbe BOETIJ_TXT2013_01.indd 9 28.11.2013 12:19:37 10 Liber primus .............................................................................................................................18 I. Proemium. Musicam naturaliter nobis esse coniunctam et mores vel honestare vel evertere ......................................................................................................18 II. Tres esse musicas; in quo de vi musicae .............................................................................26 III. De vocibus ac de musicae elementis ..................................................................................28 IIII. De speciebus inaequalitatis ..............................................................................................30 V. Quae inaequalitatis species consonantiis deputentur .........................................................32 VI. Cur multiplicitas et superparticularitas consonantiis deputentur .....................................34 VII. Quae proportiones quibus consonantiis musicis aptentur ...............................................36 VIII. Quid sit sonus, quid intervallum, quid consonantia .......................................................36 VIIII. Non omne iudicium dandum esse sensibus sed amplius rationi esse credendum; in quo de sensuum fallacia ..........................................................................36 X. Quemadmodum Pythagoras proportiones consonantiarum investigaverit ........................38 XI. Quibus modis variae a Pythagora proportiones consonantiarum perpensae sint ............40 XII. De divisione vocum earumque explanatione ...................................................................42 XIII. Quod infinitatem vocum humana natura finiverit ..........................................................42 XIIII. Quis modus sit audiendi.................................................................................................42 XV. De ordine theorematum, id est speculationum .................................................................44 XVI. De consonantiis proportionum et tono et semitonio ......................................................44 XVII. In quibus primis numeris semitonium constet ..............................................................46 XVIII. Diatessaron a diapente tono distare .............................................................................48 XVIIII. Diapason quinque tonis et duobus semitoniis iungi ..................................................48 XX. De additionibus chordarum earumque nominibus ..........................................................50 XXI. De generibus cantilenae ..................................................................................................58 XXII. De ordine chordarum nominibusque in tribus generibus .............................................62 XXIII. Quae sint inter voces in singulis generibus proportiones ...........................................66 XXIIII. Quid sit synaphe ..........................................................................................................66 XXV. Quid sit diazeuxis ..........................................................................................................68 XXVI. Quibus nominibus nervos appellaverit Albinus ..........................................................70 XXVII. Qui nervi quibus sideribus comparentur ....................................................................70 XXVIII. Quae sit natura consonantiarum ...............................................................................70 XXVIIII. Ubi consonantiae repperiantur ................................................................................72 XXX. Quemadmodum Plato dicat fieri consonantiam ............................................................72 XXXI. Quid contra Platonem Nicomachus sentiat ..................................................................74 XXXII. Quae consonantia quam merito praecedat .................................................................74 XXXIII. Quo sint modo accipienda, quae dicta sunt ..............................................................74 XXXIIII. Quid sit musicus .......................................................................................................76 Capitula BOETIJ_TXT2013_01.indd 10 28.11.2013 12:19:37 11 Poglavja Prva knjiga ................................................................................................................................19 1. Predgovor. Glasba je naravno povezana z nami. Človeški značaj bodisi plemeniti bodisi izprija ....................................................................................................19 2. Trije rodovi glasbe. O njeni moči .........................................................................................27 3. O tonih in elementih glasbe ..................................................................................................29 4. Vrste neenakosti ...................................................................................................................31 5. Katere zvrsti neenakosti se prištevajo h konsonancam .......................................................33 6. Zakaj se množinskost in superpartikularnost prištevata h konsonancam ..........................35 7. Katera razmerja se prilagajajo katerim konsonancam .........................................................37 8. Kaj je ton, kaj interval, kaj konsonanca ...............................................................................37 9. Presoja se ne sme v celoti zanesti na čute; bolj je treba verjeti razumu. O varljivosti čutov ............................................................................................................37 10. Kako je Pitagora raziskal razmerja konsonanc ..................................................................39 11. Na katere načine je Pitagora izmerjal konsonančna razmerja ...........................................41 12. Vrste glasov in njihova razlaga ..........................................................................................43 13. Neomejenost glasu zamejuje človeška narava ...................................................................43 14. Kako se sliši ........................................................................................................................43 15. O vrstnem redu razpravnih vsebin .....................................................................................45 16. O sozvočjih in njihovih razmerjih, o tonu in poltonu ........................................................45 17. V katerih najmanjših številih obstoji polton ......................................................................47 18. Kvarta je za en ton oddaljena od kvinte .............................................................................49 19. Oktava je zveza petih tonov in dveh poltonov ...................................................................49 20. O dodajanju strun in njihovih imenih ................................................................................51 21. O rodovih melodij ...............................................................................................................59 22. O zaporedju strun v treh rodovih in o njihovih imenih ....................................................63 23. Katera razmerja med toni so v posameznih rodovih .........................................................67 24. Kaj je synaphé ....................................................................................................................67 25. Kaj je diázeuxis ..................................................................................................................69 26. Kako je strune poimenoval Albin ......................................................................................71 27. S katerimi planeti se vzporejajo strune ..............................................................................71 28. Kaj je narava konsonanc .....................................................................................................71 29. Kje se konsonance najdevajo ..............................................................................................73 30. Kaj pravi o nastanku konsonanc Platon .............................................................................73 31. Kaj v nasprotju s Platonom dojema Nikomah ....................................................................75 32. Katera konsonanca je po svoji odličnosti pred katero .......................................................75 33. Kako je treba razumeti doslej povedano ............................................................................75 34. Kaj pomeni biti muzik ........................................................................................................77 BOETIJ_TXT2013_01.indd 11 28.11.2013 12:19:37 12 Liber secundus ..........................................................................................................................80 I. Proemium ..............................................................................................................................80 II. Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit ................................................................80 III. De differentiis quantitatis et quae cui sit disciplinae deputata .........................................80 IIII. De relativae quantitatis differentiis ..................................................................................82 V. Cur multiplicitas ceteris antecellat ......................................................................................84 VI. Quid sint quadrati numeri, deque his speculatio ...............................................................86 VII. Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere eiusque demonstratio ........................88 VIII. Regulae quotlibet continuas proportiones superparticulares inveniendi ......................90 VIIII. De proportione numerorum, qui ab aliis metiuntur ......................................................94 X. Qui ex multiplicibus et superparticularibus multiplicatis fiant ..........................................98 XI. Qui superparticulares quos multiplices efficiant ...............................................................98 XII. De arithmetica geometrica armonica medietate ............................................................100 XIII. De continuis medietatibus et disiunctis ........................................................................102 XIIII. Cur ita appellatae sint digestae superius medietates...................................................102 XV. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerint medietates ............................102 XVI. De armonica medietate et de ea uberior speculatio......................................................108 XVII. Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates vicissim locentur ....... 110 XVIII. De consonantiarum merito vel modo secundum Nicomachum ................................ 110 XVIIII. De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi ...................................... 112 XX. Sententia Nicomachi, quae quibus consonantiis opponantur ........................................ 114 XXI. Quid oporteat praemitti ut diapason in multiplici genere demonstretur ..................... 116 XXII. Demonstratio per inpossibile diapason in multiplici genere esse .............................. 118 XXIII. Demonstratio diapente, diatessaron et tonum in superparticulari esse .................... 118 XXIIII. Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus esse ..........122 XXV. Diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia esse, tonum in sesquioctava .....122 XXVI. Diapason ac diapente in tripla proportione esse, in quadrupla bis diapason ............124 XXVII. Diatessaron ac diapason non esse secundum Pythagoricos consonantias ..............124 XXVIII. De semitonio, in quibus minimis numeris constet .................................................126 XXVIIII. Demonstrationes non esse CCXLIII ad CCLVI toni medietatem ........................128 XXX. De maiore parte toni, in quibus minimis numeris constet .........................................130 XXXI. Quibus proportionibus diapente ac diapason constent et quoniam diapason sex tonis non constet .......................................................................................132 Liber tertius ............................................................................................................................136 I. Adversum Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem dividi in aequa non posse atque ideo nec tonum ...........................................................136 II. Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis toni dimidium non relinqui ...............140 III. Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio non constare integro nec diapason tonis sex .......................142 IIII. Diapason consonantiam a sex tonis commate excedi et qui sit minimus commatis numerus .........................................................................................................144 V. Quemadmodum Philolaus tonum dividat ..........................................................................146 VI. Tonum ex duobus semitoniis et commate constare .........................................................148 VII. Demonstratio tonum duobus semitoniis commate distare ............................................148 VIII. De minoribus semitonio intervallis ..............................................................................148 BOETIJ_TXT2013_01.indd 12 28.11.2013 12:19:37 13 Druga knjiga .............................................................................................................................81 1. Predgovor ..............................................................................................................................81 2. Kaj je Pitagora osnoval kot filozofijo ...................................................................................81 3. O razlikah med količinami in katerim disciplinam so dodeljene ........................................81 4. O vrstah količinskih razmerij...............................................................................................83 5. Zakaj je množinski rod odličnejši od drugih .......................................................................85 6. Kaj so kvadratna števila. Vpogled vanje .............................................................................87 7. Vsaka neenakost izvira iz enakosti. Dokaz tega ..................................................................89 8. Pravila, po katerih se iščejo zaporedna superpartikularna razmerja ..................................91 9. O razmerjih med števili, ki jih merijo druga števila ............................................................95 10. Kaj nastane z množenjem množinskih in kaj z množenjem superpartikularnih razmerij ............................................................................................99 11. Katera superpartikularna razmerja tvorijo katera množinska razmerja ...........................99 12. O aritmetični, geometrični in harmonični sredini ........................................................... 101 13. O strnjenih in prekinjenih sredinah .................................................................................103 14. Zakaj se zgoraj obravnavane sredine tako imenujejo ......................................................103 15. Kako izhajajo zgoraj omenjene sredine iz enakosti .........................................................103 16. O harmonični sredini. Obširnejši vpogled vanjo ............................................................109 17. Kako se med dva termina postavljajo zgoraj omenjene sredine ...................................... 111 18. O vrednosti in redu konsonanc po Nikomahu.................................................................. 111 19. O Evbulidovem in Hipasovem pojmovanju zaporedja konsonanc................................... 113 20. Nikomahov nauk o tem, katere konsonance so nasproti katerim konsonancam ............ 115 21. Kaj je treba vnaprej povedati za dokaz, da je oktava v množinskem rodu ..................... 117 22. Dokaz na osnovi nemožnega, da je oktava v množinskem rodu ..................................... 119 23. Dokaz, da so kvinta, kvarta in sekunda v superpartikularnem rodu .............................. 119 24. Dokaz, da sta kvinta in kvarta v največjih superpartikularnih razmerjih ......................123 25. Kvarta je v štiritretjinskem, kvinta v tripolovinskem, ton (velika sekunda) v devetosminskem razmerju ..........................................................................123 26. Oktava s kvinto je v trojnem, dvojna oktava v četvernem razmerju ..............................125 27. Oktava s kvarto po mnenju pitagorejcev ni konsonanca .................................................125 28. O poltonu. V katerih najmanjših številih obstoji .............................................................127 29. Dokazi, da razmerje 243 nasproti 256 ni polovica tona ..................................................129 30. O večjem delu tona: v katerih najmanjših številih obstoji ............................................... 131 31. V katerih razmerjih obstojita oktava in kvinta. Oktava ne sestoji iz šestih tonov ..........133 Tretja knjiga ............................................................................................................................137 1. Dokaz proti Aristoksenu, da se superpartikularnega razmerja ne da razdeliti na dve enaki razmerji, in zato tudi ne tona .....................................................137 2. Ob odstranitvi dveh tonov (velikih sekund) od štiritretjinskega razmerja ne ostane polovica tona .................................................................................................. 141 3. Dokazi proti Aristoksenu, da kvarta ne sestoji iz dveh tonov in točnega poltona, niti oktava ne iz šestih tonov ........................................................................... 143 4. Šest tonov presega oktavo za eno komo. Kaj je najmanjše število kome .......................... 145 5. Kako deli ton Filolaj ........................................................................................................... 147 6. Ton sestoji iz dveh malih poltonov in kome .......................................................................149 7. Dokaz, da je ton od dveh malih poltonov oddaljen za komo .............................................149 8. O intervalih, manjših od malega poltona ...........................................................................149 BOETIJ_TXT2013_01.indd 13 28.11.2013 12:19:37 14 VIIII. De toni partibus per consonantias sumendis ...............................................................150 X. Regula semitonii sumendi .................................................................................................156 XI. Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi non posse, eiusque reprehensio ........................................................................................................160 XII. In qua numerorum proportione sit comma et quoniam in ea, quae maior sit quam LXXV ad LXXIIII minor quam LXXIIII ad LXXIII .........................162 XIII. Quod semitonium minus maius quidem sit quam XX ad XVIIII minus vero quam XVIIIIS ad XVIIIS ...........................................................................168 XIIII. Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus minus vero quattuor ...... 170 XV. Apotomen maiorem esse quam quattuor commata minorem quam quinque, tonum maiorem quam VIII minorem quam VIIII .........................................172 XVI. Superius dictorum per numeros demonstratio ............................................................. 174 Liber quartus ..........................................................................................................................180 I. Vocum differentias in quantitate consistere .......................................................................180 II. Diversae de intervallis speculationes ................................................................................182 III. Musicarum notarum per graecas ac latinas litteras nuncupatio .....................................190 IV. Musicarum notarum per voces convenientes dispositio in tribus generibus ..................192 V. Monochordi regularis partitio in genere diatonico ...........................................................194 VI. Monochordi netarum hyperboleon per tria genera partitio.............................................198 VII. Ratio superius digestae descriptionis .............................................................................202 VIII. Monochordi netarum diezeugmenon per tria genera partitio ......................................206 VIIII. Monochordi netarum synemmenon per tria genera partitio .......................................208 X. Monochordi meson per tria genera partitio ......................................................................212 XI. Monochordi hypaton per tria genera partitio et totius dispositio descriptionis ............. 216 XII. Ratio superius dispositae descriptionis ..........................................................................220 XIII. De stantibus vocibus et mobilibus ................................................................................222 XIIII. De consonantiarum speciebus .....................................................................................224 XV. De modorum exordiis, in quo dispositio notarum per singulos modos ac voces ..........230 XVI. Descriptio continens modorum ordinem ac differentias .............................................232 XVII. Ratio superius dispositae modorum descriptionis ......................................................234 XVIII. Quemadmodum indubitanter musicae consonantiae aure diiudicari possint ...........242 Liber quintus ...........................................................................................................................244 I. Proemium ............................................................................................................................244 II. De vi armonicae et quae sint eius instrumenta iudicii et quonam usque sensibus oporteat credi ...................................................................................................244 III. Quid sit armonica regula vel quam intentionem armonicae Pythagorei vel Aristoxenus vel Ptolomaeus esse dixerunt ..............................................................248 IV. In quo Aristoxenus vel Pythagorici vel Ptolomaeus gravitatem atque acumen constare posuerint ............................................................................................250 V. De sonorum differentiis Ptolomaei sententia ....................................................................250 VI. Quae voces armoniae sint aptae ......................................................................................250 VII. Quem numerum proportionum Pythagorici statuant.....................................................252 VIII. Quod reprehendat Ptolomaeus Pythagoricos in numero proportionum ......................254 VIIII. Demonstratio secundum Ptolomaeum diapason et diatessaron consonantiam esse . .254 X. Quae sit proprietas diapason consonantiae .......................................................................256 BOETIJ_TXT2013_01.indd 14 28.11.2013 12:19:37 15 9. O določanju delov tona s pomočjo konsonanc ................................................................... 151 10. Pravilo za določitev malega poltona .................................................................................157 11. Arhitov dokaz, da se superpartikularnega razmerja ne da deliti na enaki polovici, in kritika tega dokaza ..................................................................................... 161 12. V katerem številčnem razmerju je koma: v večjem kot 75 nasproti 74 in manjšem kot 74 nasproti 73 ...........................................................................................163 13. Da je mali polton sicer večji kot 20 nasproti 19, vendar manjši kot 19+1/2 nasproti 18+1/2 ...................................................................................................169 14. Mali polton je sicer večji od treh kom, vendar manjši od štirih ...................................... 171 15. Apotomé je večja od štirih in manjša od petih kom, ton je večji od osem in manjši od devet kom .................................................................................................. 173 16. Številčni dokazi zgornjih trditev ...................................................................................... 175 Četrta knjiga ........................................................................................................................... 181 1. Razlike med toni so količinske ........................................................................................... 181 2. Različna opažanja o razmerjih ...........................................................................................183 3. Poimenovanje tonov z grškimi in latinskimi črkami ......................................................... 191 4. Razporeditev glasbenih znakov in imen tonov treh rodov ................................................193 5. Delitev diatoničnega rodu na oštevilčenem monokordu....................................................195 6. Delitev strun tetrakorda hyperboleon na monokordu v tri rodove ....................................199 7. Razlaga zgornjega ponazorila ............................................................................................203 8. Delitev strun tetrakorda diezeugmenon v tri rodove .........................................................207 9. Delitev strun tetrakorda synemmenon v tri rodove ...........................................................209 10. Delitev tetrakorda meson v tri rodove .............................................................................. 213 11. Delitev tetrakorda hypaton v tri rodove na monokordu in ponazorilo celotnega opisa .. 217 12. Red zgornjega ponazorila .................................................................................................221 13. O stalnih in premičnih tonih ............................................................................................223 14. O zvrsteh sozvočij ............................................................................................................225 15. O izhodiščih modusov in razpored glasbenih znakov po modusih in tonih ...................231 16. Prikaz reda modusov in njihovih razlik ...........................................................................233 17. Smisel zgoraj podanega prikaza modusov .......................................................................235 18. Kako je mogoče s sluhom nedvoumno presojati glasbene konsonance ..........................243 Peta knjiga...............................................................................................................................245 1. Predgovor ............................................................................................................................245 2. O pomenu nauka o harmoniji, kaj so orodja njegove presoje in kako daleč se sme zaupati čutom ............................................................................................245 3. Kaj je harmonsko ravnilo ali kaj so pitagorejci, Aristoksen in Ptolemaj dejali, da je smisel harmonije ........................................................................................249 4. V čem sta po Aristoksenu, pitagorejcih in Ptolemaju utemeljeni nižina in višina ...........251 5. Ptolemajev nauk o razlikah med toni .................................................................................251 6. Kateri toni spadajo k harmonskemu nauku .......................................................................251 7. Katero število postavljajo pitagorejci kot osnovno število razmerij .................................253 8. Kako Ptolemaj glede številčnih razmerij zavrača pitagorejce ..........................................255 9. Ptolemajev dokaz, da je oktava s kvarto konsonanca ........................................................255 10. Kaj je lastnost sozvočja oktave.........................................................................................257 BOETIJ_TXT2013_01.indd 15 28.11.2013 12:19:38 16 XI. Quibus modis Ptolomaeus consonantias statuat .............................................................256 XII. Quae sint aequisonae, quae consonae, quae emmelis ...................................................258 XIII. Quemadmodum Aristoxenus intervalla consideret ......................................................260 XIIII. Descriptio octachordi, qua ostenditur diapason minorem esse sex tonis ...................260 XV. Diatessaron consonantiam tetrachordo contineri ...........................................................262 XVI. Quomodo Aristoxenus vel tonum dividat vel genera eiusque divisionis dispositio ....262 XVII. Quomodo Archytas tetrachorda dividat eorumque descriptio ...................................266 XVIII. Quemadmodum Ptolomaeus et Aristoxeni et Archytae tetrachordorum divisionem reprehendat .......................................................................268 XVIIII. Quemadmodum Ptolomaeus tetrachordorum divisionem fieri dicat oportere ........270 XX. Quemadmodum ex aequalitate fiat inaequalitas proportionum XXI. Quemadmodum Ptolomaeus dividat diatessaron in duas partes XXII. Quae sint genera spissa, quae minime, et his quomodo sint proportiones aptandae et enarmonii divisio Ptolomaei XXIII. Chromatis mollis divisio Ptolomaei XXIIII. Chromatis incitati divisio Ptolomaei XXV. Dispositio spissorum generum Ptolomaei cum numeris et proportionibus XXVI. Diatonici mollis divisio Ptolomaei XXVII. Diatonici incitati Ptolomaei divisio XXVIII. Diatonici toniaei Ptolomaei divisio XXVIIII. Dispositio divisorum generum cum numeris et proportionibus XXX. Diatonici aequalis Ptolomaei divisio BOETIJ_TXT2013_01.indd 16 28.11.2013 12:19:38 17 11. Kako je utemeljeval konsonance Ptolemaj .......................................................................257 12. Kateri toni so enakozvočni, kateri konsonančni, kateri melodični .................................259 13. Kako je intervale pojmoval Aristoksen ............................................................................261 14. Opis osmerostrunja, s katerim je mogoče pokazati, da je oktava manjša od šestih tonov................................................................................................................261 15. Sozvočje kvarte je zaobseženo v tetrakordu ....................................................................263 16. Kako Aristoksen deli ton, kako rodove. Prikaz njegove delitve .....................................263 17. Kako deli tetrakorde Arhitas in njihov prikaz..................................................................267 18. Kako Ptolemaj graja tako Aristoksenovo kot Arhitovo deljenje tetrakordov .................269 19. Kaj pravi Ptolemaj o tem, kako mora biti narejena delitev tetrakordov ..........................271 Neohranjena poglavja pete knjige 20. Kako nastanejo iz enakosti razmerja neenakosti 21. Kako deli Ptolemaj kvarto na dva dela 22. Kateri rodovi so gosti, kateri ne, in kako morajo biti razporejena njihova razmerja. Ptolemajeva delitev enharmonskega rodu 23. Ptolemajeva delitev mehko-kromatičnega rodu 24. Ptolemajeva delitev ostro-kromatičnega rodu 25. Razpored Ptolemajevih gostih rodov s številčnimi razmerji 26. Ptolemajeva delitev mehko-diatoničnega rodu 27. Ptolemajeva delitev ostro-diatoničnega rodu 28. Ptolemajeva delitev tonično-diatoničnega rodu 29. Razporeditev razdeljenih rodov s številčnimi razmerji 30. Ptolemajeva delitev enakomerno-diatoničnega rodu BOETIJ_TXT2013_01.indd 17 28.11.2013 12:19:38 18 I. Proemium. Musicam naturaliter nobis esse coniunctam et mores vel honestare vel evertere 1.1| Omnium quidem perceptio sensuum ita sponte ac naturaliter quibusdam vi- ventibus adest, ut sine his animal non possit intellegi. Sed non aeque eorun- dem cognitio ac firma perceptio animi investigatione colligitur. Inlaboratum est enim quod sensum percipiendis sensibilibus rebus adhibemus; quae vero sit ipsorum sensuum, secundum quos agimus, natura, quae rerum sensibi- lium proprietas, id non obvium neque cuilibet explicabile potest, nisi quem conveniens investigatio veritatis contemplatione direxerit. 1.2| Adest enim cunctis mortalibus visus, qui utrum venientibus ad visum figu- ris, an ad sensibilia radiis emissis efficiatur, inter doctos quidem dubitabile est, vulgum vero ipsa quoque dubitatio praeterit. Rursus cum quis trian- gulum respicit vel quadratum, facile id quod oculis intuetur agnoscit, sed qaenam quadrati vel trianguli sit natura, a mathematico necesse est petat. 1.3| Idem quoque de ceteris sensibilibus dici potest, maximeque de arbitrio au- rium, quarum vis ita sonos captat, ut non modo de his iudicium capiat dif- ferentiasque cognoscat, verum etiam delectetur saepius, si dulces coaptique modi sint, angatur vero, si dissipati atque incohaerentes feriant sensum. 1.4| Unde fit ut, cum sint quattuor matheseos disciplinae, ceterae quidem in in- vestigatione veritatis laborent, musica vero non modo speculationi verum etiam moralitati coniuncta sit. Nihil est enim tam proprium humanitatis, quam remitti dulcibus modis, adstringi contrariis, idque non sese in singulis vel studiis vel aetatibus tenet, verum per cuncta diffunditur studia et infan- tes ac iuvenes nec non etiam senes ita naturaliter affectu quodam spontaneo modis musicis adiunguntur, ut nulla omnino sit aetas, quae a cantilenae dul- cis delectatione seiuncta sit. Hinc etiam internosci potest, quod non frustra a Platone dictum sit, mundi animam musica convenientia fuisse coniunctam. Cum enim eo, quod in nobis est iunctum convenienterque coaptatum, illud Liber primus BOETIJ_TXT2013_01.indd 18 28.11.2013 12:19:38 19 Prva knjiga 1. Predgovor. Glasba je naravno povezana z nami. Človeški značaj bodisi plemeniti bodisi izprija 1.1| Za žive stvari je zaznavanje s čuti tako naravno in samodejno, da si živega bitja brez čutov ni mogoče predstavljati. A čutno spoznavanje se ne sklada z zane- sljivim pogledom raziskujočega duha. Občutek, ki ga dobimo ob zaznavanju, je sicer neposreden; a kako delujejo čutila, po katerih se ravnamo, in kaj so la - stnosti zaznavanih stvari, ni samo po sebi razvidno. Tega niti ne more razložiti vsakdo, pač pa le tisti, ki ga vodi razmišljajoče raziskovanje resničnosti. 1.2| Vsa umrljiva bitja imajo sposobnost vida. A učenjaki dvomijo, ali se z vidom zaznava tako, da prihajajo pred oči podobe, ali pa tako, da se na predmete poši- ljajo žarki. Vendar se navadni ljudje za ta dvom ne menijo. Podobno je, ko kdo opazuje trikotnik ali kvadrat: kaj ima pred sabo, sprevidi takoj, a kaj je narava trikotnika ali kvadrata, o tem se bo moral poučiti pri matematiku. 1.3| Isto je mogoče reči o drugih zaznavah in še posebej o sodbah sluha. Sluh nima le zmožnosti, da zvoke presoja, da prepoznava razlike med njimi, pač pa se ob glasbi, ki je prijetna in usklajena, veseli, če pa udarja nanj raztresena in neskladna, se ob njej neprijetno vznemirja. 1.4| Zato je glasba – ena od štirih znanstvenih disciplin – povezana tako z razi- skovalnim motrenjem kot tudi z nravnostjo, medtem ko se ostale tri trudijo le raziskovati resničnost. Nič ni namreč tako človeško, kot prepustiti se sladkim melodijam in biti vznejevoljen ob njim nasprotnim. To se ne dogaja le ob do- ločenih okoliščinah ali pa v določenih življenjskih obdobjih, pač pa se razteza na vse priložnosti, in tako otroci kot mladostniki, pa tudi starci, so po naravi – po nekem samodejnem nagnjenju – navezani na glasbo. Tako ni nobenega ži- vljenjskega obdobja, ki ne bi poznalo veselja, ki ga vzbuja sladki napev. V tem smislu je tudi mogoče razumeti, kar ni zaman trdil Platon, da je bila namreč duša sveta ustvarjena kot glasbeno skladje. Ko namreč s tistim, kar je v nas usklajeno povezano in spojeno, sprejemamo tisto, kar je primerno in usklajeno BOETIJ_TXT2013_01.indd 19 28.11.2013 12:19:38 20 Boethius, De institutione musica 20 excipimus, quod in sonis apte convenienterque coniunctum est, eoque delec - tamur, nos quoque ipsos eadem similitudine compactos esse cognoscimus. Amica est enim similitudo, dissimilitudo odiosa atque contraria. 1.5| Hinc etiam morum quoque maximae permutationes fiunt. Lascivus quippe animus vel ipse lascivioribus delectatur modis vel saepe eosdem audiens emollitur ac frangitur. Rursus asperior mens vel incitatioribus gaudet vel incitatioribus asperatur. Hinc est quod modi etiam musici gentium vocabulo designati sunt, ut lydius modus et phrygius. Quo enim quasi una quaeque gens gaudet, eodem modus ipse vocabulo nuncupatur. Gaudet vero gens mo - dis morum similitudine; neque enim fieri potest, ut mollia duris, dura mol- lioribus adnectantur aut gaudeant, sed amorem delectationemque, ut dictum est, similitudo conciliat. Unde Plato etiam maxime cavendum existimat, ne de bene morata musica aliquid permutetur. Negat enim esse ullam tantam morum in re publica labem quam paulatim de pudenti ac modesta musica invertere. Statim enim idem quoque audientium animos pati paulatimque di - scedere nullumque honesti ac recti retinere vestigium, si vel per lasciviores modos inverecundum aliquid, vel per asperiores ferox atque immane menti- bus illabatur. 1.6| Nulla enim magis ad animum disciplinis via quam auribus patet. Cum ergo per eas rythmi modique ad animum usque descenderint, dubitari non potest, quin aequo modo mentem atque ipsa sunt afficiant atque conforment. Id vero etiam intellegi in gentibus potest. Nam quae asperiores sunt, Getarum du- rioribus delectantur modis, quae vero mansuetae, mediocribus; quanquam id hoc tempore paene nullum est. Quod vero lascivum ac molle est genus humanum, id totum scenicis ac theatralibus modis tenetur. Fuit vero pudens ac modesta musica, dum simplicioribus organis ageretur. Ubi vero varie per - mixteque tractata est, amisit gravitatis atque virtutis modum et paene in turpitudinem prolapsa minimum antiquam speciem servat. Unde Plato prae- cipit minime oportere pueros ad omnes modos erudiri sed potius ad valentes ac simplices. Atque hic maxime retinendum est illud, quod si quomodo per parvissimas mutationes hinc aliquid permutaretur, recens quidem minime sentiri, post vero magnam facere differentiam et per aures ad animum usque delabi. Idcirco magnam esse custodiam rei publicae Plato arbitratur musi- cam optime moratam pudenterque coniunctam, ita ut sit modesta ac simplex et mascula nec effeminata nec fera nec varia. 1.7| Quod Lacedaemonii maxima ope servavere, dum apud eos Thaletas Cre- tensis Gortynius magno pretio adcitus pueros disciplina musicae artis im- BOETIJ_TXT2013_01.indd 20 28.11.2013 12:19:38 21 Prva knjiga spojeno v zvokih, 1 in ko občutimo ob tem ugodje, spoznavamo, da smo sami ustvarjeni na podoben način. Podobnost se namreč povezuje z ugodjem, med- tem ko je nepodobnost odbijajoča in nasprotna. 1.5| Od tod izvirajo tudi velike razlike v značaju. Nasladi predana duša se ob nasla - dnih melodijah sama radosti in ob njihovem pogostem poslušanju se mehkuži in razkraja. Nasprotno se trši duh veseli spodbudnih melodij, ob katerih se utrjuje. Zato se modusi imenujejo po ljudstvih, kot npr. lidijski modus in frigij- ski modus. Vsak modus se imenuje po ljudstvu, ki je na neki način povezano z njim. Ljudstvom ustrezajo namreč modusi z ozirom na podobnost v značaju, saj ni možno, da bi se tisto, kar je mehko, z ugodjem povezovalo s trdim, kar je trdo, pa z mehkim. Kot je bilo rečeno, je podobnost tista, ki vodi k druženju in ugodju. Zato Platon meni, da se je treba kar najbolj izogibati temu, da bi se v zvezi z dobro uravnano glasbo kaj spreminjalo. Trdi namreč, da ni v družbi nobenega tako velikega nravstvenega padca, kot je odmik od skromne in spo- dobne glasbe. Če preko opolzkih melodij vdira v notranjost poslušalcev kaj ne- spoštljivega ali pa preko raskavih kaj divjega in strašnega, poslušalci v duhu to čutijo; začenjajo se spreminjati in slednjič lahko opustijo sleherno sled poštenja in pravičnosti. 1.6| Učenju ni nobena pot tako odprta kot preko sluha. Ko prodirajo preko sluha ritmi in melodije v človeško notranjost, nedvomno vplivajo na duha in ga oblikujejo takšnega, kakršni so sami. To je mogoče opazovati pri različnih ljudstvih. Tistim, ki so bolj divja, ustrezajo trde melodije Getov, krotkejšim pa bolj umirjene, čeprav v današnjem času tega skorajda ni mogoče videti. 2 Rod pa, ki je uživaški in mehkužen, je popolnoma prevzet od scenske in gledališke glasbe. Dokler se je glasba igrala na preprostih glasbilih, je bila zadržana in skromna. Ko pa se je začela obravnavati kot nekaj raznolikega in mešanega, je izgubila krepost in resnost; opustila je svojo starodavno po- dobo in padla je skoraj do ravni sramotnega. Zato Platon določa, da se otrok ne sme vzgajati ob vsakršni glasbi, pač pa le ob preprosti in čvrsti. Pri tem je treba kar najbolj upoštevati naslednje: če se v glasbi kaj spremeni, tudi če zelo malo, se sprva komaj čuti; ko pa preko sluha prodre prav v človeško no- tranjost, povzroči velike spremembe. Zato Platon sodi, da je dobro uravnana in z občutkom skrbno pripravljena glasba močan varuh družbe; taka, ki je skromna, preprosta, moška, ki ni ne pomehkužena, ne divja in ne nestanovi- tna. 1.7| Takšno so z veliko skrbnostjo ohranjali Špartanci, dokler je njihove otroke uvajal v umetnost glasbe Taleta iz Gortine na Kreti, ki so ga privabili za vi- BOETIJ_TXT2013_01.indd 21 28.11.2013 12:19:38 22 Boethius, De institutione musica 22 bueret. Fuit enim id antiquis in more diuque permansit. Quoniam vero eis Timotheus Milesius super eas, quas ante reppererat, unum addidit nervum ac multipliciorem musicam fecit, exigere de Laconica consultumque de eo factum est, quod, quoniam insigne est Spartiatarum lingua, C litteram in P vertentium, ipsum de eo consultum isdem verbis Graecis apposui: 1.8| ΕΠΕΙΔΗ ΤΙΜΟΘΕΟΡ Ο ΜΙΛΕΣΙΟΡ ΠΑΡΑΓΙΝΟΜΕΝΟΡ ΕΤΤΑΝ ΑΜΕΤΕ- ΡΑΝ ΠΟΛΙΝ, ΤΑΝ ΠΑΛΑΙΑΝ ΜΩΑΝ ΑΤΙΜΑΣΔΕ ΚΑΙ ΤΑΝ ΔΙΑ ΤΑΝ ΕΠΤΑ ΧΟΡΔΑΝ ΚΙΘΑΡΙΖΙΝ ΑΠΟΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΡ, ΠΟΛΥΦΩΝΙΑΝ ΕΙΣΑΓΩΝ ΛΥ - ΜΑΙΝΕΤΑΙ ΤΑΡ ΑΚΟΑΡ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΔΙΑ ΤΕ ΤΑΡ ΠΟΛΥΧΟΡΔΙΑΡ ΚΑΙ ΤΑΡ ΚΕΝΟΤΑΤΟΡ ΤΩ ΜΕΛΕΟΡ, ΑΓΕΝΝΗ ΚΑΙ ΠΟΙΚΙΛΑΝ ΑΝΤΙ ΑΠΛΟΡ ΚΑΙ ΤΕΤΑΓΜΕΝΑΡ ΑΜΦΙΕΝΝΥΤΑΙ ΤΑΝ ΜΩΑΝ ΕΠΙ ΧΡΩΜΑΤΟΡ ΣΥΝΕΙΣΤΑ- ΜΕΝΟΡ ΤΑΝ ΤΩ ΜΕΛΙΟΡ ΔΙΑΣΚΕΥΑΝ ΑΝΤΙ ΤΑΡ ΕΝΑΡΜΟΝΙΩ ΠΟΤΤΑΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΝ ΑΜΟΙΒΑΝ, ΠΑΡΑΚΛΗΘΕΙΣ ΔΕ ΚΑΙ ΕΝ ΤΟΝ ΑΓΩΝΑ ΤΑΡ ΕΛΕΥΣΙΝΙΑΡ ΔΑΜΑΤΡΟΡ ΑΠΡΕΠΗ ΔΙΕΣΚΕΥΑΣΑΤΟ ΤΑΝ ΤΩ ΜΥΘΩ ΔΙΑΣ- ΚΕΥΑΝ ΤΑΝ ΤΑΡ ΣΕΜΕΛΑΡ ΩΔΙΝΑΡ ΟΥΚ ΕΝΔΙΚΑ ΤΩΡ ΝΕΩΡ ΔΙΔΑΚΚΗ; ΔΕΔΟΧΘΑΙ ΦΑ ΠΕΡΙ ΤΟΥΤΩΝ ΤΩΡ ΒΑΣΙΛΕΑΡ ΚΑΙ ΤΩΡ ΕΦΟΡΩΡ ΜΕΜΨΑΤ - ΤΑΙ ΤΙΜΟΘΕΟΝ: ΕΠΑΝΑΓΚΑΖΑΙ ΔΕ ΚΑΙ ΤΑΝ ΕΝΔΕΚΑ ΧΟΡΔΑΝ ΕΚΤΑ- ΜΩΝ ΓΑΡ ΤΑΡ ΠΕΡΙΤΤΑΡ ΥΠΟΛΙΠΟΜΕΝΩΝ ΤΑΡ ΕΠΤΑ. ΟΠΩΡ ΕΚΑΣΤΩΡ ΤΟ ΤΑΡ ΠΟΛΙΟΡ ΒΑΡΟΡ ΟΡΩΝ ΕΥΛΑΒΗΤΑΙ ΕΤΤΑΝ ΣΠΑΡΤΑΝ ΕΠΙΦΕΡΗΝ ΤΙ ΤΩΝ ΜΗ ΚΑΛΩΝ ΕΟΝΤΩΝ ΜΗ ΠΟΤΕ ΤΑΡΑΡΕΤΑΙ ΚΛΕΟΡ ΑΓΟΝΩΝ. 1.9| Quod consultum id scilicet continet, idcirco Timotheo Milesio Spartiatas succensuisse, quod multiplicem musicam reddens puerorum animis, quos acceperat erudiendos, officeret et a virtutis modestia praepediret, et quod ar- moniam, quam modestam susceperat, in genus chromaticum, quod mollius est, invertisset. Tanta igitur apud eos fuit musicae diligentia, ut eam animos quoque obtinere arbitrarentur. 1.10| Vulgatum quippe est, quam saepe iracundias cantilena represserit, quam multa vel in corporum vel in animorum affectionibus miranda perfecerit. Cui enim est illud ignotum, quod Pythagoras ebrium adulescentem Tauromenitanum sub phrygii modi sono incitatum spondeo succinente reddiderit mitiorem et sui compotem? Nam cum scortum in rivalis domo esset clausum atque ille fu- rens domum vellet amburere, cumque Pythagoras stellarum cursus, ut ei mos, nocturnus inspiceret, ubi intellexit, sono phrygii modi incitatum multis amico - rum monitionibus a facinore noluisse desistere, mutari modum praecepit atque ita furentis animum adulescentis ad statum mentis pacatissimae temperavit. Quod scilicet Marcus Tullius commemorat in eo libro, quem de consiliis suis composuit, aliter quidem, sed hoc modo: »Sed ut aliqua similitudine adduc- BOETIJ_TXT2013_01.indd 22 28.11.2013 12:19:38 23 23 Prva knjiga soko ceno. Pri starih je bila namreč dolgo v navadi takšna glasba. Ker pa je Timotej iz Mileta obstoječim strunam dodal še eno in napravil glasbo tako bolj raznovrstno, so ga izgnali iz Šparte. O tem so sklicali posvet 3 in sklep tega posveta, ki je zanimiv zaradi špartanskega narečja – tu se črka S zamenjuje s P, 4 prilagam zato kar v grščini: 1.8| Timotej iz Mileta, ki je prišel v naše mesto, prezira staro glasbo; zavrača igranje na sedemstrunsko kitaro; z uvajanjem mnogih novih tonov kvari sluh mladine; z mnogostrunjem in novotarijami odeva glasbo, ki bi morala biti preprosta in urejena, s ceneno našarjenostjo; melodije snuje v kromatičnem namesto v enharmonskem rodu in spreminja antistrofe; povabljen na elevzin- ske agone, posvečene Demetri, je napisal neprimerno pesem, saj o porodnih krčih, ki jih je imela Semela, mladine ni prav poučil. Zato se sprejema sklep: Oba kralja in efori grajajo Timoteja; pozivajo ga, da opusti nepotrebnih enajst strun in da ostane pri sedmih. Tako se bo vsakdo, ko bo videl resnost našega mesta, odvrnil od namere, da bi v Šparto uvajal kar koli slabega in kvaril ugled agonov. 5 1.9| Ta sklep pravi: Špartanci so se zato razjezili na Timoteja iz Mileta, ker je otrokom, ki jih je prevzel v uk, posredoval mnogolično glasbo; s tem jih je oviral in že vnaprej odvračal od vrle skromnosti; tudi zato, ker je preprosto harmonijo, kakršno je prejel, obrnil v kromatični rod, ki je mehkejši. Špar- tanci so pripisovali glasbi tolikšen pomen, da so menili, da obvladuje celo človeško duševnost. 1.10| Splošno je znano, kako pogosto je ustrezni napev pomiril jezo in koliko ne- verjetnih reči je uspelo z ustreznim napevom doseči tako glede telesa kot duše. Kdo še ni slišal, kako je Pitagora nekega pijanega mladeniča iz Tav- romenija, 6 ki je bil razdražen z zvoki frigijskega modusa, pomiril s petjem v spondeju in ga pripravil tako do samoobvladanja? Medtem ko je Pitago- ra ponoči, kot je imel navado, opazoval tek zvezd, je mladenič, ves divji, ker je bilo neko dekle v hiši njegovega tekmeca, hotel hišo zažgati. Ko je Pitagora izvedel, da mladenič, razdražen z zvoki frigijskega modusa, kljub pregovarjanju prijateljev noče odstopiti od svoje zločinske namere, je ukazal spremeniti modus. S tem je razpoloženje razjarjenega mladeniča uravnal v kar najbolj spravljivo stanje. To omenja v knjigi svojih nasvetov 7 Mark Tulij Ciceron, sicer malo drugače: »Naj spodbujen z neko podobnostjo ob veliko postavim majhno: Ko so pijani mladeniči, razdraženi, kot se pogosto dogaja, še z zvoki tibije, razbili vrata neke spodobne žene, je Pitagora, kot pravijo, ukazal igralki na tibijo, naj zaigra nekaj v spondeju. Ko je to naredila, se je BOETIJ_TXT2013_01.indd 23 28.11.2013 12:19:38 24 Boethius, De institutione musica 24 tus maximis minima conferam, ut cum vinolenti adulescentes tibiarum etiam cantu, ut fit, instincti mulieris pudicae fores frangerent, admonuisse tibicinam ut spondeum caneret Pythagoras dicitur. Quod cum illa fecisset, tarditate mo- dorum et gravitate canentis illorum furentem petulantiam consedisse.« 1.11| Sed ut similia breviter exempla conquiram, Terpander atque Arion Methy- mneus Lesbios atque Iones gravissimis morbis cantus eripuere praesidio. Ismenias vero Thebanus Boeotiorum pluribus, quos ischiadici doloris tor- menta vexabant, modis fertur cunctas abstersisse molestias. Sed et Empe- docles, cum eius hospitem quidam gladio furibundus invaderet, quod eius ille patrem accusatione damnasset, inflexisse modum dicitur canendi itaque adulescentis iracundiam tamperasse. 1.12| In tantum vero priscae philosophiae studiis vis musicae artis innotuit, ut Pythagorici, cum diurnas in somno resolverent curas, quibusdam cantile- nis uterentur, ut eis lenis et quietus sopor inreperet. Itaque experrecti aliis quibusdam modis stuporem somni confusionemque purgabant, id nimirum scientes quod tota nostrae animae corporisque compago musica coaptatione coniuncta sit. Nam ut sese corporis affectus habet, ita etiam pulsus cordis motibus incitantur, quod scilicet Democritus Hippocrati medico tradidisse fertur, cum eum quasi insanum cunctis Democriti civibus id opinantibus in custodia medendi causa viseret. 1.13| Sed quorsum istaec? Quia non potest dubitari, quin nostrae animae et cor- poris status eisdem quodammodo proportionibus videatur esse compositus, quibus armonicas modulationes posterior disputatio coniungi copularique monstrabit. Inde est enim, quod infantes quoque cantilena dulcis oblectat, aliquid vero asperum atque inmite ab audiendi voluptate suspendit. Nimi- rum id etiam omnis aetas patitur omnisque sexus; quae licet suis actibus distributa sint, una tamen musicae delectatione coniuncta sint. 1.14| Quid enim fit, cum in fletibus luctus ipsos modulantur dolentes? Quod ma- xime muliebre est, ut cum cantico quodam dulcior fiat causa deflendi. Id vero etiam fuit antiquis in more, ut cantus tibiae luctibus praeiret. Testis est Papinius Statius hoc versu: »Cornu grave mugit adunco Tibia, cui teneros suetum producere manes.« 1.15| Et qui suaviter canere non potest, sibi tamen aliquid canit, non quod eum aliqua voluptate id quod canit afficiat, sed quod quandam insitam dulce- dinem ex animo proferentes, quoquo modo proferant, delectantur. Nonne BOETIJ_TXT2013_01.indd 24 28.11.2013 12:19:38 25 25 Prva knjiga zaradi počasnosti melodije in igralkine resnosti njihova podivjana objestnost pomirila.« 1.11| Naj kratko navedem podobne primere: Terpander in Arion iz Metimne sta Lez- bočane in Jonce ob pomoči petja ozdravljala najhujših bolezni. Poroča se, da je Ismenia iz Teb mnogim Boečanom, ki so jih mučile bolečine išiasa, z napevi odstranil vse neprijetnosti. A tudi za Empedoklesa se govori, kako je spreme- nil način svojega petja in pomiril s tem jezo nekega mladeniča, ki je z mečem napadel njegovega gosta, besen, ker je ta tožil mladeničevega očeta. 1.12| Stari filozofiji je bila moč glasbe dobro znana. Ko so se pitagorejci odpravljali utapljat dnevne skrbi v spanju, so si pomagali s posebnimi napevi; tako naj bi vase priklicali lahek in miren sen. Ko pa so se prebudili, so z nekaterimi dru- gimi napevi očiščevali otrplost in zmedenost, ki ju prinaša spanec. Vedeli so namreč, da je celotni ustroj naše duše in našega telesa povezan s tistimi med- sebojnimi uravnavami, ki obstojijo v glasbi. Kakršno je namreč razpoloženje telesa, takšni so udarci srca. 8 Poroča se, da je zdravniku Hipokratu to povedal Demokrit, ko ga je Hipokrat obiskal, da bi ga zastraženega in po mnenju nje- govih someščanov blaznega zdravil. 1.13| A zakaj vse to? Zato, ker ni dvoma, da je celota naše duše in našega telesa ustrojena v razmerjih, za katera bo kasnejša razprava pokazala, da se družijo in spajajo po njih tudi toni dobro usklajenih melodij. Od tod izhaja, da prijeten napev veseli že otroke, kaj trdega in brezčutnega pa jemlje veselje do poslu- šanja. To izkušajo ljudje vseh življenjskih obdobij in obeh spolov. Življenjska obdobja moških in žensk se po opravilih sicer razlikujejo, veselje do glasbe pa jim je skupno. 1.14| Kaj se dogaja, ko žalujoči v solzah pojejo o svojih bolečinah? Za ženske je še zlasti značilno, da si s pesmijo lajšajo vzrok žalovanja. Tudi stari so imeli navado, da je bilo na čelu žalnega sprevoda igranje tibije. Priča tega je pesnik Papinij Stacij, in sicer s temle verzom: »Zamolklo se skozi ukrivljeni rog oglaša tibija, ki spremlja nežne mane.« 9 1.15| Tudi če kdo ne zna lepo peti, si vendarle poje. Ne zato, ker bi mu vzbujalo na- slado to, kar poje, pač pa zato, ker se ljudje veselijo vrojene slasti do izražanja, ne glede na to, kakšno je to izražanje. Ali ni znano, da podžigajo zvoki tub vojake v boj? Če pa je možno koga iz mirnega duševnega stanja spraviti v bes BOETIJ_TXT2013_01.indd 25 28.11.2013 12:19:38 26 Boethius, De institutione musica 26 illud etiam manifestum est, in bellum pugnantium animos tubarum carmine accendi? Quod si verisimile est, ab animi pacato statu quemquam ad furo- rem atque iracundiam posse proferri, non est dubium quod conturbatae men- tis iracundiam vel nimiam cupiditatem modestior modus possit adstringere. Quid? quod, cum aliquis cantilenam libentius auribus atque animo capit, ad illud etiam non sponte convertitur, ut motum quoque aliquem similem audi- tae cantilenae corpus effingat; et quod omnino aliquod melos auditum sibi memor animus ipse decerpat? ut ex his omnibus perspicue nec dubitanter ap- pareat, ita nobis musicam naturaliter esse coniunctam, ut ea ne si velimus qui- dem carere possimus. Quocirca intendenda vis mentis est, ut id, quod natura est insitum, scientia quoque possit conprehensum teneri. Sicut enim in visu quoque non sufficit eruditis colores formasque conspicere, nisi etiam quae sit horum proprietas investigaverint, sic non sufficit cantilenis musicis delectari, nisi etiam quali inter se coniunctae sint vocum proportione discatur. II. Tres esse musicas; in quo de vi musicae 2.1| Principio igitur de musica disserenti illud interim dicendum videtur, quot musicae genera ab eius studiosis conprehensa esse noverimus. Sunt autem tria. Et prima quidem mundana est, secunda vero humana, tertia, quae in quibusdam constituta est instrumentis, ut in cithara vel tibiis ceterisque, quae cantilenae famulantur. 2.2| Et primum ea, quae est mundana, in his maxime perspicienda est, quae in ipso caelo vel compage elementorum vel temporum varietate visuntur. Qui enim fieri potest, ut tam velox caeli machina tacito silentique cursu moveatur? Etsi ad nostras aures sonus ille non pervenit, quod multis fieri de causis necesse est, non poterit tamen motus tam velocissimus ita magnorum corporum nullos omnino sonos ciere, cum praesertim tanta sint stellarum cursus coaptatione coniuncti, ut nihil aeque compaginatum, nihil ita commissum possit intellegi. Namque alii excelsiores alii inferiores feruntur, atque ita omnes aequali inci- tatione volvuntur, ut per dispares inaequalitates ratus cursuum ordo ducatur. Unde non potest ab hac caelesti vertigine ratus ordo modulationis absistere. 2.3| Iam vero quattuor elementorum diversitates contrariasque potentias nisi qua- edam armonia coniungeret, qui fieri posset, ut in unum corpus ac machinam convenirent? Sed haec omnis diversitas ita et temporum varietatem parit et fructuum, ut tamen unum anni corpus efficiat. Unde si quid horum, quae tan - BOETIJ_TXT2013_01.indd 26 28.11.2013 12:19:38 27 27 Prva knjiga in jezo, je gotovo res tudi to, da lahko preprosta umirjena melodija omeji jezo ali pa čezmerno poželjivost zmedenega duha. Kako si je mogoče razložiti, da se kdo, ki s sluhom in duhom voljno sprejme kako melodijo, samodejno preda temu, da s svojim telesom oblikuje gibanje, podobno poslušani melodiji; ali pa to, da duh sprejme melodijo, ki jo sliši, tako, da si jo zapomni? Iz vsega tega je razločno in brez dvoma razvidno, da je glasba tako naravno povezana z nami, da tudi če bi hoteli, ne bi mogli brez nje. Vendar je ob tem treba uporabiti zmožnost duha, da zmore vse, kar je vrojeno po naravi, zaobjeti tudi z véde- njem. Kot učenjakom ne zadostuje, da bi z vidom zgolj razpoznavali barve in oblike, ne da bi raziskovali, kaj so njihove lastnosti, tako ne zadostuje, da bi nam melodije zgolj ugajale, ne da bi se skušali poučiti, po katerih razmerjih se povezujejo njihovi toni. 2. Trije rodovi glasbe. O njeni moči 2.1| Za začetek je treba razpravljalcu o glasbi povedati, koliko rodov glasbe, kot so jih pojmovali njeni raziskovalci, poznamo. Obstoje namreč trije rodovi glasbe. Prvi rod je glasba svetovja, drugi glasba človeškega bitja, tretji pa glasba, ki ima svoj izvor v glasbilih, kot so kitara, tibija in druga, ki služijo igranju nape - vov. 2.2| Najprej o glasbi svetovja: Prepoznati jo je mogoče zlasti v tistem, kar se vidi na nebu, kar pri mešanju elementov in kar v menjavi letnih časov. Ali je mo- žno, da bi bil tek tako naglo gibajočega se nebesnega ustroja tih in neslišen? Čeprav ta zvok iz mnogih nujnih razlogov ne doseže naših ušes, ni možno, da tako hitro gibanje tako ogromnih teles ne bi vzbujalo nobenih zvokov; še posebej, ker so poti zvezd tako popolno souravnane, da ni mogoče najti ni- česar, kar bi bilo enako pravilno povezano in sestavljeno. Nekatere zvezde se gibljejo više, druge niže, a vse njihove krogotoke poganja enak vzgib, tako da se preko neenakosti in različnosti uresničuje premišljeni red nebesnih poti. Ni mogoče, da v tem nebesnem vrtenju ne bi bilo premišljeno členjenega reda. 2.3| Pa tudi raznolikost in nasprotujoče si moči štirih elementov: Kako je mogo- če, da bi se usklajevali v eno telo in en ustroj, če jih ne bi združevala neka harmonija? Raznolikost povzroča menjave letnih časov, poraja raznovrstne sadeže in oblikuje s tem zaokroženo leto. Če bi zatorej v duhu odmislili kaj od tistega, kar vzdržuje tolikšno raznolikost, bi vse propadlo in nič soglasne- BOETIJ_TXT2013_01.indd 27 28.11.2013 12:19:38 28 Boethius, De institutione musica 28 tam varietatem rebus ministrant, animo et cogitatione decerpas, cuncta pere- ant nec ut ita dicam quicquam consonum servent. Et sicut in gravibus chordis is vocis est modus, ut non ad taciturnitatem gravitas usque descendat, atque in acutis ille custoditur acuminis modus, ne nervi nimium tensi vocis tenui- tate rumpantur, sed totum sibi sit consentaneum atque conveniens: ita etiam in mundi musica pervidemus nihil ita esse nimium posse, ut alterum propria nimietate dissolvat. Verum quicquid illud est, aut suos affert fructus aut aliis auxiliatur ut afferant. Nam quod constringit hiems, ver laxat, torret aestas, maturat autumnus, temporaque vicissim vel ipsa suos afferunt fructus vel aliis ut afferant subministrant; de quibus posterius studiosius disputandum est. 2.4| Humanam vero musicam quisquis in sese ipsum descendit intelligit. Quid est enim quod illam incorpoream rationis vivacitatem corpori misceat, nisi quaedam coaptatio et veluti gravium leviumque vocum quasi unam con- sonantiam efficiens temperatio? Quid est aliud quod ipsius inter se partes animae coniungat, quae, ut Aristoteli placet, ex rationabili inrationabilique coniuncta est? Quid vero, quod corporis elementa permiscet, aut partes sibi- met rata coaptatione contineat? Sed de hac quoque posterius dicam. 2.5| Tertia est musica, quae in quibusdam consistere dicitur instrumentis. Haec vero administratur aut intentione ut nervis, aut spiritu ut tibiis, vel his, quae ad aquam moventur, aut percussione quadam, ut in his, quae in concava quaedam aerea feriuntur, atque inde diversi efficiuntur soni. De hac igitur instrumentorum musica primo hoc opere disputandum videtur. Sed proemii satis est. Nunc de ipsis musicae elementis est disserendum. III. De vocibus ac de musicae elementis 3.1| Consonantia, quae omnem musicae modulationem regit, praeter sonum fieri non potest, sonus vero praeter quendam pulsum percussionemque non red- ditur, pulsus vero atque percussio nullo modo esse potest, nisi praecesserit motus. Si enim cuncta sint inmobilia, non poterit alterum alteri concurrere, ut alterum inpellatur ab altero, sed cunctis stantibus motuque carentibus nul - lum fieri necesse est sonum. Idcirco definitur sonus percussio aeris indisso- luta usque ad auditum. 3.2| Motuum vero alii sunt velociores, alii tardiores, eorundemque motuum alii rariores sunt alii spissiores. Nam si quis in continuum motum respiciat, ibi aut velocitatem aut tarditatem necesse est conprehendat, sin vero quis mo- BOETIJ_TXT2013_01.indd 28 28.11.2013 12:19:38 29 29 Prva knjiga ga, da tako rečem, se ne bi ohranilo. A kot pri nizko zvenečih strunah nižanje nikoli ne sestopi v tišino in kot je pri visoko zvenečih treba paziti, da preveč napete strune zaradi tankosti glasu ne bi popokale, pač pa da ostaja celota souravnana in usklajena, tako vidimo tudi v glasbi svetovja: nič ne more biti tako prekomerno, da bi s svojo prekomernostjo ukinjalo drugo. Kar koli že je, daje svoje sadove ali pa pomaga drugim, da jih dajejo. Kar namreč otrdi zima, zrahlja pomlad, izsuši poletje in naredi zrelo jesen. Ponavljajoči se le- tni časi prinašajo bodisi lastne sadove ali pa pomagajo drugim, da jih lahko prinašajo. O tem bomo globlje razpravljali kasneje. 10 2.4| Glasbo človeškega bitja pa lahko razume vsakdo, ki se potopi vase. Kaj je, kar spaja netelesno umsko živahnost s telesom, če ne neke vrste soprilagodi- tev ali uravnava, ki kot da tvori neke vrste soglasje nizkih in visokih glasov? Kaj drugega bi lahko povezovalo dele duše, ki je, kot pravi Aristotel, sesta- vljena iz razumskega in nerazumskega? Kaj druži sestavine telesa, kaj ob premišljeni medsebojni souravnavi vsebuje njegove dele? Tudi o tej glasbi bom govoril kasneje. 11 2.5| Tretji rod glasbe je tisti, ki obstoji v glasbilih. Uresničuje se bodisi z napeto- stjo, kot pri strunah, bodisi s sapo, kot pri tibiji ali glasbilih, ki se poganjajo z vodo, ali pa z udarjanjem, kot pri tistih glasbilih, pri katerih se tolče na kako ukrivljeno pločevino, s čimer se proizvajajo različni zvoki. Zdi se, da moramo v tem delu razpravljati najprej o tej glasbi (glasbil). Dovolj je bilo predgovora. Obravnavajmo zdaj same glasbene sestavine. 3. O tonih in elementih glasbe 3.1| Sozvočje, ki obvladuje vso glasbo, ni možno brez tona; ton ne more nastajati brez določenega utripanja in udarjanja; utripanje in udarjanje pa nikakor nista možni, če ni pred tem gibanja. Če bi bilo vse negibno, se stvari ne bi zadevale in ne bi udarjale druga ob drugo, in ker bi vse negibno mirovalo, nujno ne bi bilo nobenega zvoka. Zvok se tako določi kot udarjanje zraka, ki brez prekini - tve dosega sluh. 3.2| Nekatera gibanja so hitrejša, druga počasnejša, nekatera živahnejša, druga bolj lagodna. Če namreč kdo opazuje premočrtno gibanje, nujno vidi, da je bodisi hitro ali pa počasno; če pa kdo maha z roko, dela to bodisi s pogostejšimi ali redkejšimi gibljaji. Pri počasnem in lagodnem gibanju se zaradi počasnosti in lagodnosti udarjanja tvorijo nizki toni, hitra in živahna gibanja pa dajejo BOETIJ_TXT2013_01.indd 29 28.11.2013 12:19:38 30 Boethius, De institutione musica 30 veat manum aut frequenti eam motu movebit aut raro. Et si tardus quidem fuerit ac rarior motus, graves necesse est sonos effici ipsa tarditate et raritate pellendi. Sin vero sint motus celeres ac spissi, acutos necesse est reddi sonos. Idcirco enim idem nervus, si intendatur amplius, acutum sonat, si remitta- tur, grave. Quando enim tensior est, velociorem pulsum reddit celeriusque revertitur et frequentius ac spissius aerem ferit. Qui vero laxior est, solutos ac tardos pulsus effert rarosque ipsa inbecillitate feriendi, nec diutius tremit. 3.3| Neque enim quotiens chorda pellitur, unus edi tantum putandus est sonus aut unam in his esse percussionem, sed totiens aer feritur, quotiens eum chor- da tremebunda percusserit. Sed quoniam iunctae sunt velocitates sonorum, nulla intercapedo sentitur auribus et unus sonus sensum pellit vel gravis vel acutus, quamvis uterque ex pluribus constet, gravis quidem ex tardioribus et rarioribus acutus vero ex celeribus ac spissis: velut si conum, quem turbi- nem vocant, quis diligenter extornet eique unam virgulam coloris rubri vel alterius ducat, et eum qua potest celeritate convertat, tunc totus conus rubro colore videtur infectus, non quo totus ita sit, sed quod partes puras rubrae virgae velocitas conprehendat et apparere non sinat. Sed de his posterius. 3.4| Igitur quoniam acutae voces spissioribus et velocioribus motibus incitantur, graves vero tardioribus ac raris, liquet additione quadam motuum ex gravi- tate acumen intendi, detractione vero motuum laxari ex acumine gravitatem. Ex pluribus enim motibus acumen quam gravitas constat. In quibus autem pluralitas differentiam facit, ea necesse est in quadam numerositate con- sistere. Omnis vero paucitas ad pluralitatem ita sese habet, ut numerus ad numerum comparatus. Eorum vero, quae secundum numerum conferuntur, partim sibi sunt aequalia partim inaequalia. Quocirca soni quoque partim sunt aequales, partim vero sunt inaequalitate distantes. Sed in his vocibus, quae nulla inaequalitate discordant, nulla omnino consonantia est. Est enim consonantia dissimilium inter se vocum in unum redacta concordia. IIII. De speciebus inaequalitatis 4.1| Quae vero sunt inaequalia, quinque inter se modis inaequalitatis momenta cu- stodiunt. Aut enim alterum ab altero multiplicitate transcenditur, aut singulis partibus aut pluribus aut multiplicitate et parte aut multiplicitate et partibus. 4.2| Et primum quidem inaequalitatis genus multiplex appellatur. Est vero multi - plex, ubi maior numerus minorem numerum habet in se totum vel bis vel ter vel BOETIJ_TXT2013_01.indd 30 28.11.2013 12:19:38 31 31 Prva knjiga visoke tone. Zato zveni ista struna, če je bolj napeta, visoko, če pa se napetost popusti, zveni nizko. Če je namreč bolj napeta, bije hitreje, hitreje se giblje sem ter tja in bolj pogosto in strnjeno udarja zrak. Ohlapna struna pa daje zaradi slabotnosti utripanja razpuščene, počasne in redke udarce, in niti se ne trese dolgo časa. 3.3| Vendar naj se ne misli, da nastane, kadar koli se zabrenka struna, en sam zvok ali da je v njem en sam udarec. Zrak je tolikokrat udarjen, kolikorkrat ga tre- soča se struna zadene. Ker pa so zvoki zaradi hitrosti pojavljanja med seboj povezani, uho ne zazna presledkov med njimi. Tako udarja na sluh en sam ton, bodisi nizek bodisi visok, čeprav sestoji vsak iz mnogih zvokov: nizek iz počasnejših in manj pogostih, visok pa iz hitrejših in bolj pogostih. Podobno je pri stožcu, ki se imenuje turbina. Če ga skrbno obdelamo, nanesemo nanj črto rdeče ali kake druge barve in ga kar najhitreje vrtimo, se bo zdel ves rdečkast; ne zato, ker bi bil res tak, pač pa zato, ker zavzame rdeča črta zaradi hitrosti pojavljanja tudi nepobarvane dele stožca in ne pusti, da bi se videli. A o tem kasneje. 12 3.4| Visoki toni se vzbujajo torej z bolj pogostimi in hitrejšimi gibljaji, nizki pa s počasnejšimi in manj pogostimi. Ob tem je razumljivo, da se z dodajanjem gibljajev nižina napenja v višino, z njihovim krčenjem pa se višina rahlja v nižino. Višina sestoji namreč iz več gibljajev kot nižina. A stvari, ki se raz- likujejo po množini, obstojijo v določeni številnosti. Vse maloštevilno je na- mreč v razmerju do mnogoštevilnega kot eno število v primerjavi z drugim. Med stvarmi, ki se zvajajo na števila, so nekatere enake, druge neenake. Tako so tudi nekateri toni enaki, drugi pa so kot neenaki oddaljeni drugi od druge- ga. Med tistimi toni, ki se zaradi odsotnosti vsake enakosti ne skladajo, 13 ni sozvočja. Sozvočje je namreč na eno zvedena složnost medsebojno različnih tonov. 4. Vrste neenakosti 4.1| Pri stvareh, ki so neenake, obstoji njihova neenakost na pet medsebojno raz- ličnih načinov: ali je eno preseženo z drugim po mnogokratnosti; ali le z enim delom; ali z več kot enim delom; ali po mnogokratnosti in z enim delom; ali pa po mnogokratnosti in z več kot enim delom. 4.2| Prvi rod neenakosti se imenuje množinski. Pri množinskem rodu vsebuje ve- čje število celotno manjše število dvakrat, trikrat, štirikrat in tako naprej, pri BOETIJ_TXT2013_01.indd 31 28.11.2013 12:19:38 32 Boethius, De institutione musica 32 quater ac deinceps, nihilque deest, nihil exuberat. Appellaturque vel duplum vel triplum vel quadruplum atque ad hunc ordinem in infinita progreditur. 4.3| Secundum vero inaequalitatis genus est, quod appellatur superparticulare, id est cum maior numerus minorem numerum habet in se totum et unam eius aliquam partem eamque vel dimidiam, ut tres duorum, et vocatur sesqual- tera proportio, vel tertiam, ut quattour ad tres, et vocatur sesquitertia, atque ad hunc modum etiam posterioribus numeris pars aliqua a maioribus super minores numeros continetur. 4.4| Tertium vero genus inaequalitatis est, quotiens maior numerus totum intra se minorem continet et eius aliquantas insuper partes. Et si duas quidem supra continet, vocabitur proportio superbipartiens, ut sunt quinque ad tres, sin vero tres super continet, vocabitur supertripartiens, ut sunt septem ad quattuor, et in ceteris quidem eadem esse similitudo potest. 4.5| Quartum vero est inaequalitatis genus, quod ex multiplici et superparticulari coniungitur, cum scilicet maior numerus habet in se minorem numerum vel bis vel ter vel quotienslibet atque eius unam aliquam partem, et si eum bis habet et eius dimidiam partem, vocabitur duplex supersesqualter, ut sunt quinque ad duo; sin vero bis minor continebitur et eius tertia pars, vocabitur duplex supersesquitertius, ut sunt septem ad tres. Sin vero tertio continebi- tur et eius dimidia pars, vocabitur triplex supersesqualter, ut sunt septem ad duo, atque ad eundem modum in ceteris et multiplicitatis et superparticula - ritatis vocabula variantur. 4.6| Quintum est genus inaequalitatis, quod appellatur multiplex superpartiens, quando maior numerus minorem numerum habet in se totum plus quam se- mel et eius plus quam unam aliquam partem. Et si bis maior numerus minorem numerum continebit, duasque eius insuper partes, vocabitur duplex superbi- partiens, ut sunt tres ad octo, et rursus triplex superbipartiens, ut sunt tres et XI. Ac de his idcirco nunc strictim ac breviter explicamus, quoniam in libris, quos de arithmetica institutione conscripsimus, diligentius enodavimus. V. Quae inaequalitatis species consonantiis deputentur 5.1| Ex his igitur inaequalitatis generibus postrema duo, quoniam ex superiori- bus sunt mixta, relinquantur, de tribus vero prioribus speculatio facienda est. Obtinere igitur maiorem ad consonantias potestatem videtur multiplex, conse- quentem autem superparticularis. Superpartiens vero ab armoniae concinen- tia separatur, ut quibusdam praeter Plolemaeum videtur. BOETIJ_TXT2013_01.indd 32 28.11.2013 12:19:38 33 33 Prva knjiga čemer nič ne manjka in nič ne ostaja. Označuje se z izrazi dvojno, trojno, če- tverno in po tem redu v neskončnost. 4.3| Drugi rod neenakosti je tisti, ki se imenuje superpartikularni. Tu vsebuje večje število celotno manjše število, poleg tega pa še en del njega: tako polovico, kot 3/2, kar se imenuje tripolovinsko razmerje, ali pa tretjino, kot 4/3, kar se ime- nuje štiritretjinsko razmerje. Tako ima tudi pri nadaljnjih številih večje število dani del več kot manjše. 14 4.4| Pri tretjem rodu neenakosti vsebuje večje število celotno manjše število, poleg tega pa še nekaj njegovih delov. Če vsebuje dva dela več kot manjše število, se razmerje imenuje superbipartientno, kot je 5/3; če vsebuje tri dele več kot manjše število, se razmerje imenuje supertripartientno, kot je 7/4. Podobno je tudi pri drugih številih. 4.5| Četrti rod neenakosti združuje množinski in superpartikularni rod: večje šte- vilo vsebuje namreč manjše število dvakrat ali trikrat ali kolikorkrat koli, po- leg tega pa še en njegov del. Če vsebuje večje število manjše število dvakrat, poleg tega pa še njegovo polovico, se razmerje imenuje dvojno polovinsko, kot je 5/2; če vsebuje večje število manjše število dvakrat, poleg tega pa še njegovo tretjino, se razmerje imenuje dvojno tretjinsko, kot je 7/3. Če pa bo v večjem številu manjše vsebovano trikrat, poleg tega pa še njegova polovica, se bo razmerje imenovalo trojno polovinsko, kot je 7/2. Tako se tudi v nadaljnjih primerih ustrezno prilagajata izraza za množinskost in superpartikularnost. 4.6| Peti rod neenakosti se imenuje množinski superpartientni. Tu vsebuje večje število celotno manjše število več kot enkrat, poleg tega pa še več kot en njegov del. Če bo večje število vsebovalo manjše število dvakrat, poleg tega pa še dva njegova dela, se bo razmerje imenovalo dvojno superbipartientno, kot je 8/3; nadalje je tu trojno superbipartientno razmerje, kot je 11/3. O teh stvareh raz- pravljamo tu zgolj kratko in strnjeno, saj smo jih natančneje razložili v knjigah, ki smo jih spisali o temeljih aritmetike. 15 5. Katere zvrsti neenakosti se prištevajo h konsonancam 5.1| Zadnja dva rodova neenakosti sta križanca predhodnih, zato se zanemarita. Pač pa je treba preučiti prve tri. Zdi se, da ima največjo konsonančno moč množinski rod, za njim pa superpartikularni. Kot mislijo nekateri, a ne Ptole- maj, se superpartientni rod izključuje iz glasbene konsonančnosti. BOETIJ_TXT2013_01.indd 33 28.11.2013 12:19:38 34 Boethius, De institutione musica 34 VI. Cur multiplicitas et superparticularitas consonantiis deputentur 6.1| Ea namque probantur coaptationi consentanea, quae sunt natura simplicia. Et quoniam gravitas et acumen in quantitate consistunt, ea maxime videbun- tur servare naturam concinentiae, quae discretae proprietatem quantitatis poterunt custodire. Nam cum sit alia quidem discreta quantitas, alia vero continua, ea quae discreta est in minimo quidem finita est, sed in infini- tum per maiora procedit. Namque in ea minima unitas eademque finita est, in infinitum vero modus pluralitatis augetur, ut numerus, qui, cum a finita incipiat unitate, crescendi non habet finem. Rursus quae est continua, tota quidem finita est, sed per infinita minuitur. Linea enim, quae continua est, in infinita semper partitione dividitur, cum sit eius summa vel pedalis vel quae- cunque alia definita mensura. Quocirca numerus semper in infinita crescit, continua vero quantitas in infinita minuitur. 6.2| Multiplicitas igitur, quoniam finem crescendi non habet, numeri maxime servat naturam. Superparticularitas autem, quoniam in infinitum minorem minuit, proprietatem servat continuae quantitatis. Minuit autem minorem, cum semper eum continet et eius vel dimidiam partem vel tertiam vel quar- tam vel quintam. Nam semper pars a maiore numero denominata ipsa de- crescit. Nam cum tertia a tribus denominata sit, quarta vero a quattuor, cum quattuor tres superent, quarta potius quam tertia minutior invenitur. 6.3| Superpartiens vero iam quodam modo a simplicitate discedit; duas enim vel tres vel quattuor habet insuper partes et a simplicitate discedens exuberat ad quandam partium pluralitatem. 6.4| Rursus multiplicitas omnis in integritate se continet. Nam duplum bis ha- bet totum minorem, triplum item tertio continet totum minorem atque ad eundem modum cetera. Superparticularitas vero nihil integrum servat, sed vel dimidio superat, vel tertia vel quarta vel quinta; sed tamen divisionem singulis ac simplicibus partibus operatur. Superpartiens autem inaequalitas nec servat integrum nec singulas adimit partes, atque idcirco secundum Py- thagoricos minime musicis consonantiis adhibetur. Ptolemaeus tamen etiam hanc proportionem inter consonantias ponit, ut posterius ostendam. BOETIJ_TXT2013_01.indd 34 28.11.2013 12:19:38 35 35 Prva knjiga 6. Zakaj se množinskost in superpartikularnost prištevata h konsonancam 6.1| Za stvari, ki so po naravi preproste, se izkaže, da se zlahka prilagajajo druga drugi. Višina in nižina obstojita kot količini; narava soglasja pa se najlaže ure - sničuje pri tistih stvareh, ki pripadajo ločljivim količinam. Količine so namreč ali ločljive ali strnjene. Ločljiva količina je zamejena z najmanjšim, preko ve- čjega pa prodira v neskončnost. Njena najmanjša enota je končna, množenje le-te pa se lahko razteza v neskončnost. Tako je pri številih, ki se začnejo z zamejenim številom 1, v svojem naraščanju pa nimajo konca. Drugačna je str- njena količina, ki je zamejena kot celota, vendar se lahko v neskončnost deli. Premica, ki je strnjena, se deli v neskončnost, pa naj bo njena dolžina čevelj ali katera koli druga določena mera. Medtem ko števila rastejo v neskončnost, se strnjene količine v neskončnost delijo. 16 6.2| Množinskost torej, ki pri naraščanju ne pozna meje, najbolje ohranja naravo števil. 17 S uperpartikularn ost pa o hran j a lastn ost strn j enih k o li čin, s tem, k o se manjše število manjša v neskončnost: 18 pri superpartikularnosti je zmeraj zaobseženo manjše število, poleg njega samega pa še ali njegova polovica ali tretjina ali četrtina ali njegova petina. Delček, ki ga določa večje število, je namreč zmeraj manjši. 19 Tretjina je poimenovana po številu 3, četrtina po 4. Ker pa je 4 več kot 3, je četrtina manj kot tretjina. 6.3| Superpartientni rod pa se nekako oddaljuje od preprostosti. Tu sta prisotna dva presežna dela, trije ali štirje. S tem se ta rod odmika od preprostosti in vse bolj se razrašča v nekakšno raznoliko množinskost. 6.4| Če se vrnemo k množinskemu rodu, obstoji ta v celosti: Dvojno vsebuje dva- krat celotno manjše število, podobno vsebuje trojno celotno manjše število tri- krat, in tako tudi nadaljnja množinska razmerja. Pri superpartikularnosti ni nič celega, pač pa prekaša večje število manjše ali za polovico ali za tretjino ali za četrtino ali za petino. Vendar poteka deljenje tu preko posameznih enojnih delov. 20 Superpartientni rod neenakosti pa niti ne ohranja celosti niti se pri njem ne odvzemajo posamezni enojni deli, 21 zaradi česar po mnenju pitagorej- cev ne sodi h glasbeni konsonančnosti. A kot bom pokazal kasneje, je Ptolemaj tudi to vrsto razmerij štel h konsonancam. 22 BOETIJ_TXT2013_01.indd 35 28.11.2013 12:19:38 36 Boethius, De institutione musica 36 VII. Quae proportiones quibus consonantiis musicis aptentur 7.1| Illud tamen esse cognitum debet, quod omnis musicae consonantiae aut in duplici aut in triplici aut in quadrupla aut in sesqualtera aut in sesquitertia proportione consistant; et vocabitur quidem, quae in numeris sesquitertia, dia- tessaron in sonis, quae in numeris sesqualtera, diapente appellatur in vocibus, quae vero in proportionibus dupla est, diapason in consonantiis, tripla vero diapente ac diapason, quarta autem bis diapason. Et nunc quidem universaliter atque indiscrete dictum sit, posterius vero omnis ratio proportionum lucebit. VIII. Quid sit sonus, quid intervallum, quid consonantia 8.1| Sonus igitur est vocis casus emmeles, id est aptus melo, in unam intensio- nem. Sonum vero non generalem nunc volumus definire, sed eum, qui grae- ce dicitur phthongos, dictus a similitudine loquendi, id est φθέγγεσθαι. 8.2| Intervallum vero est soni acuti gravisque distantia. 8.3| Consonantia est acuti soni gravisque mixtura suaviter uniformiterque auri- bus accidens. 8.4| Dissonantia vero est duorum sonorum sibimet permixtorum ad aurem ve- niens aspera atque iniucunda percussio. Nam dum sibimet misceri nolunt et quodammodo integer uterque nititur pervenire, cumque alter alteri officit, ad sensum insuaviter uterque transmittitur. VIIII. Non omne iudicium dandum esse sensibus sed amplius rationi esse credendum; in quo de sensuum fallacia 9.1| Sed de his ita proponimus, ut non omne iudicium sensibus demus, quamquam a sensu aurium huiusce artis sumatur omne principium. Nam si nullus esset auditus, nulla omnino disputatio de vocibus extitisset. Sed principium quo- dam modo et quasi admonitionis vicem tenet auditus, postrema vero per- fectio agnitionisque vis in ratione consistit, quae certis regulis sese tenens nunquam ullo errore prolabitur. 9.2| Nam quid diutius dicendum est de errore sensuum, quando nec omnibus ea - dem sentiendi vis nec eidem homini semper aequalis est? Frustra autem vario iudicio quisquam committet, quod veraciter affectet inquirere. Idcirco Pytha - BOETIJ_TXT2013_01.indd 36 28.11.2013 12:19:38 37 37 Prva knjiga 7. Katera razmerja se prilagajajo katerim konsonancam 7.1| Vedeti je treba, da obstojijo vse glasbene konsonance v razmerjih: 2/1, 3/1, 4/1, 3/2 in 4/3. Konsonanca, ki je po številu štiritretjinska, se imenuje kvarta; tista, ki je po številu tripolovinska, se imenuje kvinta; tista, ki je po razmerju dvojna, je kot konsonanca oktava; v trojnem razmerju je oktava s kvinto, v četvernem pa dvojna oktava. Tu naj bo to povedano le na splošno in brez po- drobnosti; celotni nauk o razmerjih bo pojasnjen kasneje. 8. Kaj je ton, kaj interval, kaj konsonanca 8.1| Ton je enota melodičnega glasu. To pomeni, da je primeren za nastop v me- lodiji in da ima eno določeno višino. Tu ne nameravamo definirati zvoka 23 nasploh, pač pa le tistega, ki se v grščini imenuje phthongos, in sicer po izrazu za govorjenje φθέγγεσθαι. 8.2| Interval je razkorak med višjim in nižjim tonom. 8.3| Konsonanca je takšen spoj višjega in nižjega tona, ki pade v uho blag in enovit. 8.4| Disonanca pa je trdo in neprijetno udarjanje dveh spojenih tonov, ki pride do ušes. Ker se tona nočeta spajati in ker hoče vsak od njiju na neki način sam priti do ušesa, drugi drugega ovirata; tako se vsak od njiju posreduje sluhu na neblagi način. 9. Presoja se ne sme v celoti zanesti na čute; bolj je treba verjeti razumu. O varljivosti čutov 9.1| O teh stvareh menimo takole: čeprav ima znanost o glasbi svoj začetek v sluhu, se presoja ne sme zanašati le na čute. Če ne bi bilo sluha, ne bi prišlo do raz- pravljanja o glasovih. A sluh je pri tem le začetek, ki ima to vlogo, da na nekaj opozarja, medtem ko sta dokončna popolnost in moč spoznanja v razumu. Ta upošteva določena pravila in zato nikoli ne zapade v zmoto. 9.2| A kako naj še bolj posvarimo pred zmotljivostjo čutov, saj čutno dojemanje niti ni pri vseh ljudeh enako močno, niti en sam človek ne dojema s čuti zmeraj na enak način. Nekaj, kar je resnično možno raziskati, bo kdo po nepotrebnem podvrgel poljubni sodbi čutov. V tem smislu hodijo pitagorejci nekakšno sre- dnjo pot. Sodbe namreč ne prepuščajo le sluhu, in vendar raziskujejo nekatere BOETIJ_TXT2013_01.indd 37 28.11.2013 12:19:38 38 Boethius, De institutione musica 38 gorici medio quodam feruntur itinere. Nam nec omne iudicium dedunt auribus et quaedam tamen ab eis non nisi auribus explorantur. Ipsas enim consonantias aure metiuntur, quibus vero inter se distantiis consonantiae differant, id iam non auribus, quarum sunt obtusa iudicia, sed regulis rationique permittunt, ut quasi oboediens quidam famulusque sit sensus, iudex vero atque imperans ratio. 9.3| Nam licet omnium paene artium atque ipsius vitae momenta sensuum oc- casione producta sint, nullum tamen in his iudicium certum, nulla veri est conprehensio, si arbitrium rationis abscedat. Ipse enim sensus aeque maxi- mis minimisque corrumpitur. Nam neque minima sentire propter ipsorum sensibilium parvitatem potest, et maioribus saepe confunditur, ut in vocibus, quas si minimae sint, difficilius captat auditus, si sint maximae, ipsius soni- tus intentione surdescit. X. Quemadmodum Pythagoras proportiones consonantiarum investigaverit 10.1| Haec igitur maxime causa fuit, cur relicto aurium iudicio Pythagoras ad regularum momenta migraverit, qui nullis humanis auribus credens, quae partim natura, partim etiam extrinsecus accidentibus permutantur, partim ipsis variantur aetatibus, nullis etiam deditus instrumentis, penes quae saepe multa varietas atque inconstantia nasceretur, dum nunc quidem si nervos velis aspicere vel aer umidior pulsus obtunderet vel siccior excitaret vel ma- gnitudo chordae graviorem redderet sonum vel acumen subtilior tenuaret vel alio quodam modo statum prioris constantiae permutaret, et cum idem esset in ceteris instrumentis, omnia haec inconsulta minimaeque aestimans fidei diuque aestuans inquirebat, quanam ratione firmiter et constanter consonan- tiarum momenta perdisceret. 10.2| Cum interea divino quodam nutu praeteriens fabrorum officinas pulsos mal - leos exaudit ex diversis sonis unam quodam modo concinentiam personare. Ita igitur ad id, quod diu inquirebat, adtonitus accessit ad opus diuque con- siderans arbitratus est diversitatem sonorum ferientium vires efficere, atque ut id apertius conliqueret, mutare inter se malleos imperavit. Sed sonorum proprietas non in hominum lacertis haerebat, sed mutatos malleos comitaba- tur. Ubi id igitur animadvertit, malleorum pondus examinat, et cum quinque essent forte mallei, dupli reperti sunt pondere, qui sibi secundum diapason consonantiam respondebant. Eundem etiam, qui duplus esset alio, sesquiter- BOETIJ_TXT2013_01.indd 38 28.11.2013 12:19:39 39 39 Prva knjiga stvari le s sluhom. Kaj so konsonance, presojajo sicer s sluhom, a po katerih medsebojnih razmakih se konsonance ločujejo, tega ne prepuščajo sluhu in njegovim ohlapnim sodbam, pač pa pravilom in razumu; čut je tako kot poslu - šen služabnik, razum pa kot dokončni razsodnik. 9.3| Čeprav so danosti domala vseh znanosti in celo danosti življenja posredova- ne 24 preko čutov, čuti vendar ne omogočajo zanesljive sodbe; in če manjka kot končni razsodnik razum, čuti ne zajamejo resnice. Varljivi so tako v zvezi z zelo majhnimi kot tudi v zvezi z zelo velikimi stvarmi. Medtem ko majhnih stvari čuti zaradi njihove neznatnosti ne morejo zaznati, velike stvari čute po- gosto zbegajo. Tako je pri glasovih: če so prešibki, jih sluh le stežka zazna; če pa so zelo močni, sluh prav zaradi njihove sile obnemore. 10. Kako je Pitagora raziskal razmerja konsonanc 10.1| Glavni razlog, zakaj je Pitagora zavrnil sodbe sluha in se zatekel k tehtnosti pravil, je bil, da ni verjel človeškim ušesom. Ta se spreminjajo: delno po naravi, delno po zunanjih okoliščinah, delno pa tudi hkrati z življenjskimi obdobji. Tudi na glasbila se ni zanesel, saj prihaja pri njih pogosto do mno- goštevilnih odstopanj in nestanovitnosti. Če opazuješ strune, lahko vidiš, kako vlažen zrak zdaj razostri njihove tresljaje, kako jih suh zrak spet spod - buja, kako večja debelina strune ton niža, medtem ko ga manjša debelina viša ali pa kako lastnost strune še drugače vpliva na ton. Ker je tako tudi pri drugih glasbilih, je Pitagora menil, da je vse to ugotavljanje nezmožno dati zanesljiv svet in zato nevredno zaupanja. Tako je dolgo časa vneto iskal način, po katerem bi zanesljivo in zagotovo spoznal bistvena določila konsonanc. 10.2| V tem je po nekem božanskem namigu šel mimo kovačnice in slišal, kako da- jejo različno zveneča kladiva ob skupnem udarjanju en sam, nekako soglasen zven. Osupel ob tej zaznavi se je torej lotil naloge, ki ga je že dolgo zaposlo- vala. Po dolgem razmišljanju je presodil, da je vzrok za raznolikost zvenov različna moč udarjajočih kovačev. Da bi se to jasneje pokazalo, je kovačem zaukazal, naj si izmenjajo kladiva. Vendar lastnosti zvenov niso bile v mišicah mož; ostale so v izmenjanih kladivih. Ko je to zapazil, je preiskal težo kladiv, ki jih je bilo slučajno pet. Za tisti dve, ki sta si odgovarjali v konsonanci oktave, se je izkazalo, da sta si po teži v dvojnem razmerju. Za kladivo, ki je imelo dvojno težo, je dognal, da je v štiritretjinskem razmerju do nekega drugega BOETIJ_TXT2013_01.indd 39 28.11.2013 12:19:39 40 Boethius, De institutione musica 40 tium alterius conprehendit, ad quem scilicet diatessaron sonabat. Ad alium vero quendam, qui eidem diapente consonantia iungebatur, eundem superio- ris duplum repperit esse sesqualterum. Duo vero hi, ad quos superior duplex sesquitertius et sesqualter esse probatus est, ad se invicem sesquioctavam proportionem perpensi sunt custodire. Quintus vero est reiectus, qui cunctis erat inconsonans. 10.3| Cum igitur ante Pythagoram consonantiae musicae partim diapason par- tim diapente partim diatessaron, quae est consonantia minima, vocarentur, primus Pythagoras hoc modo repperit, qua proportione sibimet haec sono- rum concordia iungeretur. Et ut sit clarius quod dictum est, sint verbi gra- tia malleorum quattuor pondera, quae subter scriptis numeris contineantur: XII, VIIII, VIII, VI. Hi igitur mallei, qui XII et VI ponderibus vergebant, diapason in duplo concinentiam personabant. Malleus vero XII ponderum ad malleum VIIII et malleus VIII ponderum ad malleum VI ponderum se- cundum epitritam proportionem diatessaron consonantia iungebatur. VIIII. vero ponderum ad VI. et XII. ad VIII. diapente consonantiam permiscebant. VIIII. vero ad VIII. in sesquioctava proportione resonabant tonum. XI. Quibus modis variae a Pythagora proportiones consonantiarum perpensae sint 11.1| Hinc igitur domum reversus varia examinatione perpendit, an in his propor- tionibus ratio symphoniarum tota consisteret. Nunc quidem aequa pondera nervis aptans eorumque consonantias aure diiudicans, nunc vero in longitu- dine calamorum duplicitatem medietatemque restituens ceterasque propor- tiones aptans integerrimam fidem diversa experientia capiebat. Saepe etiam pro mensurarum modo cyathos aequorum ponderum acetabulis inmittens; saepe ipsa quoque acetabula diversis formata ponderibus virga vel aerea ferreave percutiens nihil sese diversum invenisse laetatus est. Hinc etiam ductus longitudinem crassitudinemque chordarum ut examinaret adgressus est. Itaque invenit regulam, de qua posterius loquemur, quae ex re vocabu- lum sumpsit, non quod regula sit lignea, per quam magnitudines chordarum sonumque metimur, sed quod regula quaedam sit huiusmodi inspectio fixa firmaque, ut nullum inquirentem dubio fallat indicio. BOETIJ_TXT2013_01.indd 40 28.11.2013 12:19:39 41 41 Prva knjiga kladiva, nasproti kateremu je zvenelo v kvarti. Nadalje je kladivo z dvojno težo zvenelo do nekega spet drugega kladiva v sozvočju kvinte, in izkazalo se je, da je do njega v tripolovinskem razmerju. Tisti dve kladivi, do katerih je bilo kladivo, dvojno po teži, v štiritretjinskem oz. tripolovinskem razmerju, pa sta bili pretehtani v devetosminskem medsebojnem razmerju. Peto kladivo ni bilo skladno z nobenim drugim in je bilo zato izločeno. 10.3| Glasbene konsonance so se tudi pred Pitagoro imenovale oktava, kvinta, kvar- ta – ta je najmanjša, vendar je bil Pitagora prvi, ki je na prikazani način odkril, katera razmerja obstojijo med složno spojenimi toni. Da bi bilo to bolj razu- mljivo, naj bodo teže kladiv izrecno navedene in zaobjete naj bodo v tehle šte- vilih: 12 : 9 : 8 : 6. Kladivi, ki sta imeli 12 in 6 težnostnih enot, sta v dvojnem razmerju zveneli v sozvočju oktave. Kladivo z 12 težnostnimi enotami se je s kladivom z 9 enotami po štiritretjinskem razmjeru spajalo v konsonanci kvar- te, enako tudi kladivo z 8 enotami s kladivom s 6 enotami. Kladivo z 9 enotami se je s kladivom s 6 enotami družilo v konsonanci kvinte, tako tudi kladivo z 12 enotami s kladivom z 8 enotami. 9 enot do 8 enot pa je v devetosminskem razmerju zvenelo kot ton (velika sekunda). 25 11. Na katere načine je Pitagora izmerjal konsonančna razmerja 11.1| Ko se je vrnil domov, je z raznimi postopki preizkušal, ali je v teh razmerjih ves smisel konsonanc. Zdaj je uteži, enake omenjenim, pripenjal na strune in s sluhom je presojal nastala sozvočja; zdaj spet je dvojnost in polovičnost vzpo- stavil na trstenih piščalih, na katere je prenašal še druga razmerja, in preko različnih poskusov je prišel do zanesljivega védenja. Večkrat je meril tako, da je v posode za kis nalival enako težke čaše tekočine; večkrat je na posode za kis, napolnjene z različno težko količino tekočine, udarjal z medeno ali železno paličico, a zadovoljen ni odkril nič drugega. Spodbujen s tem je začel preiskovati tudi dolžine in debeline strun. Tako je iznašel ravnilo, o katerem bomo govorili kasneje, in ki se imenuje tako po svojem namenu: ravnilo se ne imenuje zato, ker bi bilo leseno ravnilo, s katerim merimo dolžino strun in njihov ton, pač pa zato, ker je kot nekakšno pravilo, 26 ki omogoča trden in za- nesljiv vpogled, tako da nobenega raziskovalca ne vara z dvoumnim izkazom. BOETIJ_TXT2013_01.indd 41 28.11.2013 12:19:39 42 Boethius, De institutione musica 42 XII. De divisione vocum earumque explanatione 12.1| Sed de his hactenus. Nunc vocum differentias colligamus. Omnis vox aut συνεχής est, quae continua, aut διαστηματική , quae dicitur cum intervallo suspensa. 12.2| Et continua quidem est, qua loquentes vel prosam orationem legentes verba percurrimus. Festinat enim tunc vox non haerere in acutis et gravibus sonis, sed quam velocissime verba percurrere, expediendisque sensibus exprimen- disque sermonibus continuae vocis impetus operatur. 12.3| Διαστηματική autem est ea, quam canendo suspendimus, in qua non potius sermonibus sed modulis inservimus, estque vox ipsa tardior et per modulan - das varietates quoddam faciens intrvallum, non taciturnitatis sed suspensae ac tardae potius cantilenae. 12.4| His, ut Albinus autumat, additur tertia differentia, quae medias voces possit includere, cum scilicet heroum poema legimus neque continuo cursu, ut pro- sam, neque suspenso segniorique modo vocis, ut canticum. XIII. Quod infinitatem vocum humana natura finiverit 13.1| Sed quae continua vox est et ea rursus, qua decurrimus cantilenam, natura- liter quidem infinitae sunt. Consideratione enim accepta nullus modus vel evolvendis sermonibus fit vel acuminibus adtollendis gravitatibusque laxan- dis, sed utrisque natura humana fecit proprium finem. Continuae enim voci terminum humanus spiritus facit, ultra quem nulla ratione valet excedere. Tantum enim unusquisque loquitur continue, quantum naturalis spiritus si - nat. Rursus διαστηματικῇ voci natura hominum terminum facit, quae acu- tam eorum vocem gravemque determinat. Tantum enim unusquisque vel acumen valet extollere, vel deprimere gravitatem, quantum vocis eius natu- ralis patitur modus. XIIII. Quis modus sit audiendi 14.1| Nunc quis modus audiendi sit, disseramus. Tale enim quiddam fieri con- suevit in vocibus, quale cum [in] paludibus vel quietis aquis iactum eminus mergitur saxum. Prius enim in parvissimum orbem undam colligit, deinde maioribus orbibus undarum globos spargit, atque eo usque dum defatiga- BOETIJ_TXT2013_01.indd 42 28.11.2013 12:19:39 43 43 Prva knjiga 12. Vrste glasov in njihova razlaga 12.1| Toliko o tem. Zdaj pa navedimo vrste glasov. 27 Glas je bodisi συνεχής, strnje- no drseči, bodisi διαστηματική, diastematični, ki poteka preko intervalov. 12.2| Drseči glas je tisti, s katerim tečemo preko besed, bodisi da govorimo ali pa beremo prozno besedilo. Tu se glas ne ustavlja na posamičnih visokih ali niz- kih tonih, pač pa hiti preko besed, kolikor more. Lastnosti drsečega glasu se ravnajo po smislu, ki naj bi se razvil, po vsebini, ki naj bi se izrazila. 12.3| Diastematični glas pa je tisti, pri katerem puščamo, ko pojemo, da toni ležijo, kjer ne sledimo toliko besedam kot melodiji; glas sam poteka počasneje in skladno z melodično raznolikostjo sestoji iz intervalov; s tem ni mišljen inter- val kot prekinitev s tišino, pač pa interval v počasi potekajočem napevu. 12.4| Kot trdi Albinus, je ob teh dveh še tretja vrsta glasu, ki je sredi med prvima dvema: pesmi o junakih ne beremo niti strnjeno drseče kot prozo, niti jih ne podajamo v smislu glasu, ki sestoji iz počasnejših, dlje ležečih tonov, kot peti spev. 13. Neomejenost glasu zamejuje človeška narava 13.1| Tako strnjeno drseči glas kot tisti, s katerim prepojemo napev, sta po naravi neomejena. Po splošno sprejetem prepričanju ni mere, ki bi omejevala bodisi razvijajoči se govor bodisi prodiranje glasu v višino ali pa padanje v nižino. Vendar je obojemu postavila svojo mejo človeška narava. Strnjeni glas zame- juje dihanje, ki ga glas na noben način ne more zaobiti. Človek lahko namreč strnjeno govori le toliko, kolikor mu dopušča naravni dih. A tudi diastema- tičnemu glasu postavlja človeška narava mejo, saj ga zamejuje tako v smeri navzgor kot v smeri navzdol. Človek se lahko le toliko povzpne v višino ali pa se spusti v nižino, kolikor dopuščajo to naravne zmožnosti njegovega glasu. 14. Kako se sliši 14.1| Zdaj pa razpravljajmo o tem, kako se sliši. Z zvokom se dogaja nekaj podobne- ga kot v primeru, ko pade v močvirje ali stoječo vodo od daleč vržen kamen. Ta oblikuje sprva val v obliki majhnega kroga, kasneje pa razprši večje kroge valov. To traja vse dotlej, dokler se gibanje, utrujeno zaradi nenehnega vzbu- BOETIJ_TXT2013_01.indd 43 28.11.2013 12:19:39 44 Boethius, De institutione musica 44 tus motus ab eliciendis fluctibus conquiescat. Semperque posterior et maior undula pulsu debiliore diffunditur. Quod si quid sit, quod crescentes undas possit offendere, statim motus ille revertitur et quasi ad centrum, unde pro- fectus fuerat, eisdem undulis rotundatur. 14.2| Ita igitur cum aer pulsus fecerit sonum, pellit alium proximum et quodam- modo rotundum fluctum aeris ciet, itaque diffunditur et omnium circum stantium simul ferit auditum. Atque illi est obscurior vox, qui longius stete- rit, quoniam ad eum debilior pulsi aeris unda pervenit. XV. De ordine theorematum, id est speculationum 15.1| His igitur ita propositis dicendum videtur, quot generibus omnis cantilena texatur, de quibus armonicae inventionis disciplina considerat. Sunt autem haec: diatonum, chroma, armonia. De quibus ita demum explicandum est, si prius de tetrachordis disseremus et quemadmodum auctus nervorum nu- merus, quo nunc pluralitatis est, usque pervenerit. Id autem fiet, si prius commemoremus, quibus proportionibus symphoniae musicae misceantur. XVI. De consonantiis proportionum et tono et semitonio 16.1| Nam si vox voce duplo sit acuta vel gravis, diapason consonantia fiet, si vox voce sesqualtera proportione sit vel sesquitertia vel sesquioctava acutior graviorque, diapente vel diatessaron vel tonum consonantiam reddet; item si diapason ut duo et quattuor et diapente ut sex et quattour coniungantur, tri- plam, quae est diapason et diapente, efficient symphoniam; quod si bis dia- pason fiant, ut II ad IIII et IIII ad VIII, quadrupla fiet consonantia, quae est bis diapason; quod si sesqualtera et sesquitertia, id est diapente et diatessa- ron, ut II ad III et III ad IIII coniungantur, dupla, diapason nimirum, nasci - tur concinentia. Quattuor enim ad III sesquitertiam obtinent proportionem, tres vero ad binarium sesqualtera conlatione iunguntur; et idem quaternari- us ad binarium appositus dupla ei comparatione copulatur, sed sesquitertia diatessaron, sesqualtera proportio diapente consonantiam creat, dupla vero diapason efficit symphoniam. Diatessaron igitur ac diapente unam diapason concinentiam iungunt. 16.2| Rursus tonus in aequa dividi non potest, cur autem, posterius liquebit; nunc hoc tantum nosse sufficiat, quod nunquam tonus in gemina aequa dividitur. BOETIJ_TXT2013_01.indd 44 28.11.2013 12:19:39 45 45 Prva knjiga janja valov, ne umiri. Pri tem se kasnejši in večji valovi širijo z vse šibkejšo močjo. Če pa se rastočim valovom stavi kaj v bran, se gibanje z istim krožnim valovanjem obrne proti središču, iz katerega je izšlo. 14.2| Tako je tudi, ko udarjeni zrak povzroči zvok: Udarjeni del zraka udari nasle- dnji bližnji del zraka, kar na neki način izzove okrogel zračni val. Ta se razširja in udarja na sluh vseh, ki so v bližini. A za tistega, ki je bolj oddaljen, je zvok manj razločen, saj ga doseže šibkejši val udarjenega zraka. 15. O vrstnem redu razpravnih vsebin 15.1| Sedaj, ko so nekatere stvari že predstavljene, je treba povedati, koliko rodov obstoji v glasbi; z njimi se načrtno ukvarja nauk o harmoniji. Rodovi so tile: diatonični, kromatični, enharmonski. Razložili jih bomo šele potem, ko bomo razpravljali o tetrakordih in o tem, kako je naraščajoče število strun doseglo zdajšnjo množino. To pa se bo zgodilo potem, ko bomo navedli, po katerih razmerjih se spajajo glasbena sozvočja. 16. O sozvočjih in njihovih razmerjih, o tonu in poltonu 16.1| Če je ton od drugega tona dvakrat višji ali nižji, nastane konsonanca oktave. Če je ton od drugega tona višji ali nižji v tripolovinskem razmerju, dá sozvočje kvinte, če v štiritretjinskem, sozvočje kvarte, če v devetosminskem, sozvočje tona (velike sekunde). Če se nadalje povežeta oktava – kot 2 nasproti 4 – ter kvinta – kot 6 nasproti 4, dasta konsonanco v trojnem razmerju, kar je oktava s kvinto. Če se povežeta dve oktavi – kot 2 nasproti 4 in 4 nasproti 8, nastane konsonanca v četvernem razmerju, kar je dvojna oktava. Če pa se povežeta tri- polovinsko in štiritretjinsko razmerje, se pravi kvinta in kvarta – kot 2 nasproti 3 in 3 nasproti 4, bo izšla konsonanca v dvojnem razmerju, in sicer oktava. 4 vzdržuje do 3 štiritretjinsko razmerje, 3 in 2 pa se povezujeta v tripolovin- ski sklop. Nadalje se število 4, postavljeno nasproti številu 2, povezuje z njim v dvojnem razmerju. Štiritretjinsko razmerje proizvede konsonanco kvarte, tripolovinsko konsonanco kvinte, dvojno razmerje pa povzroči konsonanco oktave. Kvarta in kvinta povezujeta torej eno sozvočje oktave. 16.2| A tona (velike sekunde) ni mogoče razdeliti na dva enaka dela. Zakaj je tako, se bo pojasnilo kasneje. 28 Za zdaj naj zadostuje le to, da vemo, da se ton nikoli BOETIJ_TXT2013_01.indd 45 28.11.2013 12:19:39 46 Boethius, De institutione musica 46 Atque ut id facillime conprobetur, sit sesquioctava proportio VIII et VIIII. Horum nullus naturaliter medius numerus incidet. Hos igitur binario multi- plicemus, fiuntque bis VIII XVI, bis VIIII XVIII. Inter XVI autem ac XVIII unus numerus naturaliter intercidit, qui est scilicet XVII. Qui disponantur in ordinem XVI, XVII, XVIII. Igitur XVI ac XVIII collati sesquioctavam retinent proportionem atque idcirco tonum. Sed hanc proportionem XVII nu- merus medius non in aequalia partitur. Comparatus enim ad XVI habet in se totum XVI et eius sextam decimam partem, scilicet unitatem. Si vero ad eum, id est ad XVII, tertius XVIII numerus comparetur, habet eum totum et eius septimam decimam partem; non igitur isdem partibus et minorem superat et a maiore superatur. Et est minor pars septima decima, maior sexta decima. Sed utraque semitonia nuncupantur, non quod omnino semitonia ex aequo sint media, sed quod semum dici solet, quod ad integritatem usque non pervenit. Sed inter haec unum maius semitonium nuncupatur, aliud minus. XVII. In quibus primis numeris semitonium constet 17.1| Quod vero sit integrum semitonium aut quibus primis numeris constet, nunc evidentius explicabo. Id enim, quod de divisione toni dictum est, non ad hoc pertinet, ut semitoniorum modos voluerimus ostendere, sed ad id potius, quod tonum in gemina aequa diceremus non posse disiungi. 17.2| Diatessaron quae est consonantia vocum quidem est quattuor, intervallorum trium; constat autem ex duobus tonis et integro semitonio. Sit enim subiec- ta descriptio: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI. Si igitur CXCII numerus CCLVI comparetur, sesquitertia proportio fiet ac diatessaron concinentiam resonabit. Sed si CCXVI ad CXCII comparemus, sesquioctava proportio est. Est enim eorum differentia XXIIII, quae est octava pars de centum XC duo- bus. Est igitur tonus. Rursus CCXLIII si CCXVI comparetur, erit altera se - squioctava proportio. Nam eorum differentia XXVII pars ducentorum XVI probatur octava. Restat comparatio ducentorum LVI ad CCXLIII, quorum differentia est XIII, qui octies facti medietatem ducentorum XL trium non videntur inplere. Non est igitur semitonium, sed minus a semitonio. Tunc enim integrum esse semitonium iure putaretur, si eorum differentia, quae est XIII, facta octies medietatem ducentorum XL trium numerorum potu- isset aequare; estque verum semitonium minus ducentorum quadraginta trium ad CCLVI comparatio. BOETIJ_TXT2013_01.indd 46 28.11.2013 12:19:39 47 47 Prva knjiga ne deli v enaka dvojčka. To se najlaže dokaže tako: Vzamemo devetosminsko razmerje 9 : 8. Med ti dve števili ne pade naravno nobeno srednje število. Po- množimo navedeni števili z 2 : 2 x 8 = 16, 2 x 9 = 18. Naravno pade med 16 in 18 eno število, in sicer 17. Postavimo ta števila v vrsto: 16, 17, 18. Postavljeni drugo nasproti drugemu obdržita števili 16 in 18 devetosminsko razmerje in zato tudi razmerje tona (velike sekunde). A tega razmerja srednje število 17 ne deli na dva enaka dela. Če ga primerjamo s 16, ima v sebi celotno število 16 in še njegovo šestnajstino, se pravi število 1. Če pa se z njim, se pravi s 17, primer - ja tretje število 18, vidimo, da vsebuje število 17 v celoti in še njegovo sedem- najstino. Število 17 ne presega torej manjšega števila z istim delom, s katerim je v večjem številu samo preseženo: sedemnajstina je manjši del, šestnajstina večji. Vendar se oba ta dva dela tona imenujeta polton; ne zato, ker bi bila enaki polovici, ampak zato, ker se s »semum« označuje tisto, kar ne doseže celosti. Pač pa se eden od njiju imenuje veliki polton, drugi pa mali polton. 17. V katerih najmanjših številih obstoji polton 17.1| Zdaj bom jasneje razložil, kaj je dejanski polton 29 in v katerih najmanjših šte- vilih obstoji. 30 Kar je bilo namreč že povedano o deljenju tona (velike sekun - de), ni imelo namena prikazati vrste poltona; povedati smo hoteli le to, da tona ni mogoče razstaviti v enaka dvojčka. 17.2| Konsonanca kvarte ima sicer štiri tone, a le tri intervale; sestoji iz dveh tonov (velikih sekund) in enega dejanskega poltona. 31 Podajmo naslednje ponazorilo: 192, 216, 243, 256. Če se število 192 primerja s številom 256, se pokaže štiri- tretjinsko razmerje, ki zveni v konsonanci kvarte. Če primerjamo število 216 s 192, je med njima devetosminsko razmerje. Razlika med tema dvema števi- loma je namreč 24, kar je osmina 192. To je torej ton (velika sekunda). Če se nadalje primerja 243 z 216, sta tudi tu dve števili v devetosminskem razmerju, kajti njuna razlika 27 se izkaže kot osmina 216. Ostane še primerjava števila 256 s številom 243. Njuna razlika je 13; to število, pomnoženo z 8, očitno ne doseže polovice števila 243. Med številoma 256 in 243 torej ni polton, pač pa manj kot polton. Točni polton bi bil le v primeru, da bi bila razlika med obema številoma, ki je 13, pomnožena z 8, enaka polovici števila 243. Razmerje 243 nasproti 256 je torej res mali polton. 32 BOETIJ_TXT2013_01.indd 47 28.11.2013 12:19:39 48 Boethius, De institutione musica 48 XVIII. Diatessaron a diapente tono distare 18.1| Rursus diapente consonantia vocum quidem est quinque, intervallorum quat- tuor, trium tonorum et minore semitonio. Ponatur enim idem numerus CXCII et eius sesqualter sumatur, qui ad eum diapente faciat consonantiam. Sit igi- tur numerus CCLXXXVIII. Igitur horum et superius deprehensorum CXCII ponantur in medio numeri hi: CCXVI, CCXLIII, CCLVI, et sit hoc modo formata descriptio: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI, CCLXXXVIII. In superiori igitur descriptione CXCII et CCLVI duos tonos et semitonium con- tinere monstrati sunt. Restat igitur comparatio ducentorum quinquaginta VI ad CCLXXXVIII, quae est sesquioctava, id est tonus, eorumque differentia est XXXII, quae est octava pars ducentorum quinquaginta atque sex. Itaque monstrata est diapente consonantia ex tribus tonis semitonioque consistere. Sed dudum diatessaron consonantia a centum XC duobus numeris usque ad CCLVI venerat. Nunc vero diapente ab eisdem CXC duobus numeris usque ad CCLXXXVIII distenditur. Superatur igitur diatessaron consonantia a diapen- te ea proportione, quae inter CCLVI et CCLXXXVIII numeros continetur, ac est hic tonus. Diatessaron igitur symphonia a diapente tono transcenditur. XVIIII. Diapason quinque tonis et duobus semitoniis iungi 19.1| Diapason consonantia constat ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae tamen unum non inpleant tonum. Quoniam enim monstratum est, diapason ex diatessaron et diapente consistere, diatessaron vero probata est ex duobus tonis semitonioque constare, diapente ex tribus tonis ac semitonio, simul iuncta efficiunt quinque tonos. Sed quoniam duo illa semitonia non erant integrae medietates, eorum coniunctio ad plenum usque non pervenit, sed medietatem quidem superat, ab integritate relinquitur. Estque diapason se- cundum hanc rationem ex quinque tonis et duobus semitoniis, quae sicut ad integrum tonum non aspirant, ita ultra integrum semitonium prodeunt. 19.2| Sed quae horum ratio sit, vel quemadmodum ipsae consonantiae musicae repperiantur, postea liquidius explanabitur. Interea praesenti disputationi sub mediocri intellegentia credulitas adhibenda est; tunc vero firma omnis fides sumenda est, cum propria unum quodque demonstratione claruerit. His igi- tur ita dispositis paulisper de nervis citharae ac de eorum nominibus, quoque modo sint additae disseramus, quaeque eorum causa sit nominum. His enim primitus ad notitiam venientibus facile erit scientia quae sequuntur amplecti. BOETIJ_TXT2013_01.indd 48 28.11.2013 12:19:39 49 49 Prva knjiga 18. Kvarta je za en ton oddaljena od kvinte 18.1| Nadalje ima konsonanca kvinte sicer pet tonov, vendar le štiri intervale: tri tone (velike sekunde) in en mali polton. Postavimo isto število 192; priložimo mu njegovo tripolovinsko število, ki daje z njim konsonanco kvinte. To število je 288. Med ti dve postavimo števila 216, 243, 254 in naredimo takšno pona- zorilo: 192, 216, 243, 256, 288. V prejšnjem ponazorilu je bilo prikazano, da vsebuje razmerje med številoma 192 in 256 dva tona (veliki sekundi) in polton. Ostane torej še primerjava števila 256 33 z 288, in ta je devetosminska, kar je ton (velika sekunda). Razlika med tema dvema številoma je namreč 32, kar je ena osmina 256. S tem je dokazano, da sestoji konsonanca kvinte iz treh tonov (velike sekunde) in poltona. Pravkar smo prikazali, da sega konsonanca kvarte od števila 192 do števila 256, zdaj pa se od istega števila 192 do števila 288 razteza kvinta. Konsonanca kvarte je torej presežena s kvinto z razmerjem, ki je med številoma 256 in 288, to pa je ton (velika sekunda). Kvinta presega torej konsonanco kvarte za en ton. 19. Oktava je zveza petih tonov in dveh poltonov 19.1| Konsonanca oktave sestoji iz pet tonov (velikih sekund) in dveh poltonov, ki pa ne zapolnjujeta enega tona (velike sekunde). Kot je bilo prikazano, sestoji oktava iz kvarte in kvinte; za kvarto se je izkazalo, da sestoji iz dveh tonov in poltona, za kvinto pa, da sestoji iz treh tonov in poltona. Kvarta in kvinta skupaj dasta pet tonov (velikih sekund). A ker poltona nista točni polovici, njuna povezava ne doseže celote; preseže sicer polovico, a do celote ji še nekaj manjka. Sledeč temu premisleku je oktava iz petih tonov in dveh polto- nov, ki kot sicer ne zadostujeta za celi ton, pa vendar presegata točno polovico tona. 19.2| Kaj je smisel vsega tega in po kateri poti je mogoče priti do glasbenih sozvočij, bo bolj jasno razloženo kasneje. Za zdaj je treba temu razpravljanju ob pribli- žnem razumevanju pač zaupati; trdno prepričanje bo mogoče pridobiti šele potem, ko bo z ustreznimi prikazi razjasnjena vsaka posamična stvar. Po teh razlagah razpravljajmo nekoliko o strunah kitare: o njihovih imenih, o tem, kako so se pridodajale in zakaj se tako imenujejo. Ko bo to znano, bo zlahka možno zaobjeti tudi ostalo. BOETIJ_TXT2013_01.indd 49 28.11.2013 12:19:39 50 Boethius, De institutione musica 50 XX. De additionibus chordarum earumque nominibus 20.1| Simplicem principio fuisse musicam Nicomachus refert adeo, ut quattuor nervis constaret, idque usque ad Orpheum duravit, ut primus quidem ner- vus et quartus diapason consonantiam resonarent, medii vero ad se invicem atque ad extremos diapente ac diatessaron, nihil vero in eis esset inconso- num, ad imitationem scilicet musicae mundanae, quae ex quattuor constat elementis. Cuius quadrichordi Mercurius dicitur inventor. 20.2| Quintam vero chordam post Toroebus Aetyis filius adiunxit, qui fuit Lydorum rex. Hyagnis vero Phryx sextum his apposuit nervum. Sed septimus nervus a Terpandro Lesbio adiunctus est secundum septem scilicet planetarum simili- tudinem. Inque his quae gravissima quidem erat, vocata est hypate quasi ma- ior atque honorabilior, unde Iovem etiam hypaton vocant. Consulem quoque eodem nuncupant nomine propter excellentiam dignitatis. Eaque Saturno est adtributa propter tarditatem motus et gravitatem soni. Parhypate vero secunda quasi iuxta hypaten posita et collocata. Lichanos tertia idcirco, quoniam licha- nos digitus dicitur, quem nos indicem vocamus. Graecus a lingendo lichanon appellat. Et quoniam in canendo ad eam chordam, quae erat tertia ab hypate index digitus, qui est lichanos, inveniebatur, idcirco ipsa quoque lichanos ap- pellata est. Quarta dicitur mese, quoniam inter VII semper est media. Quinta est paramese, quasi iuxta mediam conlocata. Septima autem dicitur nete, qua- si neate id est inferior, inter quam neten et paramesen sexta quae est, vocatur paranete, quasi iuxta neten locata. Paramese vero, quoniam tertia est a nete, eodem quoque vocabulo trite nuncupatur, ut sit descriptio haec: 20.3| His octavam Samius Lycaon adiunxit atque inter paramesen, quae etiam trite dicitur, et paraneten nervum medium coaptavit, ut ipse tertius esset a nete, et paramese quidem vocata est sola, quae post mediam collocabatur. Hypate Parhypate Lichanos Mese Paramese vel trite Paranete Nete BOETIJ_TXT2013_01.indd 50 28.11.2013 12:19:39 51 51 Prva knjiga 20. O dodajanju strun in njihovih imenih 20.1| Nikomah poroča, da je bila glasba prvotno tako preprosta, da je poznala le štiri strune. Tako je bilo vse do Orfeja. Prva in četrta struna sta zveneli v oktavi, srednji dve pa sta druga do druge in do obeh krajnih zveneli v kvinti in kvarti. 34 Med temi strunami ni bilo nič neblagoglasnega; zamišljene so bile kot posnetek glasbe svetovja, ki sestoji iz štirih elementov. Za iznajditelja tega četverostrunja velja Merkur. 20.2| Kasneje je Torojb, Atisov sin, 35 ki je bil lidijski kralj, dodal peto struno. Frigi- jec Hiagnis pa je tem dodal šesto. Sedmo struno je slednjič pripel Terpander z Lesbosa, in sicer po zgledu sedmih planetov. Tista, ki je bila med temi struna - mi najnižja, se je imenovala hypate, kar pomeni velika in pomembna. (Zato se hypatos imenuje tudi Jupiter, zaradi vzvišenosti svojih časti pa enako tudi kon- zul.) Ta struna se pripisuje Saturnu, in sicer zaradi počasnega gibanja in nizke- ga tona. Druga struna je bila parhypate, imenovana tako kot »postavljena in nameščena ob hypate«. Tretja je bila lichanos; zato, ker se lichanos imenuje prst, ki ga mi imenujeno kazalec. Grki imenujejo ta prst lichanos po izrazu za lizanje. Ker je bil pri igranju ob struni, tretji za hypate, kazalec, ki se imenuje lichanos, se je lichanos imenovala tudi ta struna. Četrti struni se reče mese, ker je med sedmimi zmeraj srednja. Peta je paramese, imenovana tako kot »name- ščena poleg srednje«. Sedma se imenuje nete, tj. neate, kar pomeni »nizka«. Šesta, ki je med nete in paramese, se kot »nameščena ob nete« imenuje para- nete. Ker pa je paramese tretja od nete, se imenuje tudi trite. 36 Ponazoritev teh strun 37 je torej tale: 20.3| Tem strunam je Likaon s Samosa dodal osmo. Prilagodil jo je sredi med pa- ramese, ki se imenuje tudi trite, in paranete. Tako je bila zdaj ta tretja od nete. Struna za srednjo struno se je imenovala odslej le paramese. S tem, ko je bila e hypate parhypate lichanos a mese paramese ali trite paranete d nete BOETIJ_TXT2013_01.indd 51 28.11.2013 12:19:39 52 Boethius, De institutione musica 52 Trites vero nomen perdidit postea quam inter eam atque paraneten tertius a nete locatus est nervus, qui digne trites nomen exciperet, ut sit octachordum secundum Lycaonis additionem hoc: 20.4| In superioribus igitur duabus dispositionibus eptachordi et octachordi epta - chordum quidem dicitur synemmenon, quod est coniunctum, octachordum vero diezeugmenon, quod est disiunctum. In eptachordo enim est unum te- trachordum: hypate, parhypate, lichanos, mese, aliud vero: mese, paramese, paranete, nete, dum mesen nervum secundo numeramus. Atque ideo duo tetrachorda per mesen coniunguntur. In octachordo vero quoniam octo sunt chordae superiores quattuor, idest hypate, parhypate, lichanos, mese unum tetrachordum explent. Ab hoc vero disiunctum atque integrum inchoat a pa- ramese progrediturque per triten et paraneten et finitur ad neten. Et est di- siunctio, quae vocatur diazeuxis, tonusque est distantia meses et parameses. Hic igitur mese tantum quidem nomen obtinuit. Non est media positione, quia in octachordo duae quidem semper mediae repperiuntur, sed una media non potest inveniri. 20.5| Prophrastus autem Periotes ad graviorem partem unam addiditi chordam, ut faceret totum enneachordum. Quae quoniam super hypaten est addita hyperhypate est nuncupata. Quae prius quidem, dum novem chordarum tantum esset cithara, hyperhypate vocabatur. Nunc autem lichanos hypaton dicitur aliis superadditis, in quo ordine atque instructione, quoniam ad indi- cem digitum venit, lichanos appellata est. Sed hoc posterius apparebit, nunc vero ordo sese enneachordi sic habet: [Vide p. 54.] 20.6| Histaeus vero Colophonius decimam in graviorem partem coaptavit chor- dam, Timotheus vero Milesius undecimam, quae quoniam super hypaten atque parhypaten sunt additae, hypate quidem hypaton vocatae sunt quasi Hypate Parhypate Lichanos Mese Paramese Trite Paranete Nete BOETIJ_TXT2013_01.indd 52 28.11.2013 12:19:39 53 53 Prva knjiga med njo in paranete nameščena od nete navzdol tretja struna, je ime trite izgu- bila. Tretja struna pa je po pravici dobila ime trite. Po Likaonovem dodatku je bilo osmerostrunje torej tako: 20.4| V zgornjih dveh razporeditvah sedmerostrunja in osmerostrunja se sedmero- strunje imenuje synemmenon, kar pomeni »povezano«, osmerostrunje pa di- ezeugmenon, kar je »razdruženo«. Pri sedmerostrunju obsega prvi tetrakord: hypate, parhypate, lichanos, mese, drugi pa: mese, paramese, paranete, nete. Tu štejemo struno mese dvakrat, kar pomeni, da se oba tetrakorda stikata v mese. Drugače je pri osmerostrunju, kjer imamo osem strun. Prve štiri, tj. hypate, parhypate, lichanos in mese zapolnjujejo prvi tetrakord. Drugi, ki je od tega tetrakorda ločen in tako samostojen, se začenja s paramese in sega preko trite in paranete do nete, kjer se konča. Tu je torej razdružitev, ki se imenuje diázeuxis, in to je razkorak enega tona (velike sekunde) med mese in parame- se. Struna mese je tu srednja le po imenu, ne pa po svojem položaju, saj sta v osmerostrunju zmeraj dve srednji struni; takšne, ki bi bila edina srednja, pa v osmerostrunju ni. 20.5| Profrast iz Pierije pa je spodaj dodal še eno struno in naredil tako célo deve- terostrunje. Ker je bila ta struna onstran hypate, se je imenovala hyperhypate, vendar le toliko časa, dokler je imela kitara le devet strun. Ker pa so bile ka- sneje dodane še druge, se ta struna zdaj imenuje lichanos hypaton; v novem zaporedju in načinu igre je bila namreč pri kazalcu in zato je bila poimenovana lichanos. To se bo pojasnilo kasneje. Nastalo deveterostrunsko zaporedje je tako: [Glej str. 55.] 20.6| Histaj iz Kolofona je v smeri navzdol prilagodil ostalim strunam deseto, Ti- motej iz Mileta enajsto. Ker sta bili ti nameščeni onstran hypate in parhypate, sta bili poimenovani kot hypate hypaton, kar pomeni največji med največjimi e hypate parhypate lichanos a mese h paramese trite paranete e nete BOETIJ_TXT2013_01.indd 53 28.11.2013 12:19:40 54 Boethius, De institutione musica 54 maximae magnarum aut gravissimae gravium aut excellentes excellentium. Sed vocata est prima inter XI hypate hypaton, secunda vero parhypate hypa- ton, quoniam iuxta hypaten hypaton collocata est. Tertia quae dudum in en- neachordo hyperhypate vocabatur, lichanos hypaton est nuncupata. Quarta vero hypate antiquum tenuit nomen, quinta parhypate, sexta lichanos, anti- quum scilict habens vocabulum, septima mese, octava paramese, nona trite, decima paranete, undecima nete. 20.7| Est igitur unum tetrachordum: hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate; aliud vero: hypate, parhypate, lichanos, mese. Et haec qui- dem coniuncta sunt. Tertium vero est: paramese, trite, paranete, nete. Sed quoniam inter superius tetrachordum, quod est hypate hypaton, parhypa- te hypaton, lichanos hypaton, hypate, et inter infimum, quod est paramese, trite, paranete, nete, fit positione medium tetrachordum, quod est hypate, parhypate, lichanos, mese, totum hoc medium tetrachordum meson voca- tum est, quasi mediarum, vocaturque cum additamento hoc: hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. Quoniam vero inter hoc meson te- trachordum et inferius, quod est netarum, disiunctio est, meses scilicet et parameses, inferius omne tetrachordum disiunctarum id est diezeugmenon vocatum est cum additamento scilicet hoc: paramese diezeugmenon, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon, nete diezeugmenon, ut sit descrip- tio hoc modo: [Vide p. 56, supra.] 20.8| Est igitur hic inter paramesen ac mesen disiunctio atque ideo diezeugmenon tetrachordum hoc vocatum est. Quod si paramese auferatur et sit mese, trite, paranete, nete, tunc coniuncta, id est synemmena erunt tria tetrachorda voca- biturque ultimum tetrachordum synemmenon hoc modo: [Vide p. 56, infra.] Hyperhypate Hypate Parhypate Lichanos Mese Paramese Trite Paranete Nete BOETIJ_TXT2013_01.indd 54 28.11.2013 12:19:40 55 55 Prva knjiga ali najnižji med nizkimi ali izstopajoči med izstopajočimi. Prva od teh enajstih strun se je imenovala hypate hypaton, druga parhypate hypaton, zato, ker je bila nameščena poleg hypate hypaton. Tretja, ki se je v devetorostrunju doslej imenovala hyperhypate, je bila preimenovana v lichanos hypaton. Četrta je zadržala staro ime hypate, peta parhypate, šesta lichanos, kar je njeno staro ime, sedma mese, osma paramese, deveta trite, deseta paranete, enajsta nete. 20.7| Prvi tetrakord je torej: hypate hypaton, parhypate hypaton, lichanos hypaton, hypate. Drugi tetrakord je: hypate, parhypate, lichanos, mese. Ta dva tetra- korda sta spojena. 38 Tretji tetrakord je: paramese, trite, paranete, nete. A ker je tetrakord, ki obsega hypate, parhypate, lichanos in mese, po svojem položaju sredi med zgornjim tetrakordom, 39 ki obsega hypate hypaton, parhypate hypa- ton, lichanos hypaton in hypate, in najnižjim tetrakordom, ki obsega paramese, trite, paranete in nete, se je poimenoval meson, kar pomeni tetrakord srednjih strun. Njegove strune se označujejo s tem dodatkom: hypate meson, parhypa- te meson, lichanos meson, mese. Ker pa je med tem tetrakordom meson in spodnjim tetrakordom najnižjih strun razdružitev, namreč tista med mese in paramese, se je celotni spodnji tetrakord poimenoval tetrakord razdruženih, tj. diezeugmenon. S tem dodatkom so njegove strune: paramese diezeugmenon, trite diezeugmenon, paranete diezeugmenon, nete diezeugmenon. Prikaz tega je tale: [Gl. str. 57, zgoraj.] 20.8| Tu je torej med paramese in mese razdružitev, zaradi česar se ta tetrakord ime- nuje diezeugmenon. Če pa se paramese odstrani in je zaporedje strun mese, trite, paranete, nete, nastanejo trije povezani tetrakordi, to je »synemmena«, in zadnji se imenuje synemmenon. Takole: [Gl. str. 57, spodaj.] hyperhypate e hypate parhypate lichanos a mese h paramese trite paranete e nete BOETIJ_TXT2013_01.indd 55 28.11.2013 12:19:40 56 Boethius, De institutione musica 56 20.9| Sed quoniam in hac vel superiore endecachordi dispositione mese, quae propter mediam collocationem ita vocata est, nete proxima accedit et longe ab hypatis ultimis distat nec proprium retinet locum, aliud unum tetrachor- dum adiunctum est super neten diezeugmenon, quae quoniam supervade- bant acumine netas superius collocatas, omne illud tetrachordum hyperbo- leon vocatum est hoc modo: [Vide p. 58.] 20.10| Sed quoniam rursus mese non erat loco media sed magis hypatis accedebat, Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese diezeugmenon Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese synemmenon Trite synemmenon Paranete synemmenon Nete synemmenon BOETIJ_TXT2013_01.indd 56 28.11.2013 12:19:40 57 57 Prva knjiga 20.9| Ker pa je bila v tej kakor tudi v poprejšnji enajsterostrunski razporeditvi stru- na mese, ki se imenuje tako zaradi svojega središčnega mesta, zelo blizu nete, precej oddaljena pa od zadnjih strun tetrakorda hypaton, tako da ni imela svo- jega pravega mesta, je bil onstran nete diezeugmenon pripet še en tetrakord. Ker so njegove strune po višini presegale tiste, ki so bile že poprej nameščene kot skrajne, se je ta tetrakord poimenoval hyperboleon. Takole: [Gl. str. 59.] 20.10| Toda mese še zmeraj ni bila srednja, pač pa se je nagibala k spodnjim strunam. h hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton e hypate meson parhypate meson lichanos meson a mese h paramese diezeugmenon trite diezeugmenon paranete diezeugmenon e nete diezeugmenon h hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton e hypate meson parhypate meson lichanos meson a mese synemmenon trite synemmenon paranete synemmenon d nete synemmenon BOETIJ_TXT2013_01.indd 57 28.11.2013 12:19:40 58 Boethius, De institutione musica 58 idcirco super hypatas hypaton addita est una chorda, quae dicitur proslam- banomenos – ab aliquibus autem prosmelodos dicitur – tonum integrum di- stans ab ea, quae est hypate hypaton. Et ipsa quidem, id est proslambanome- nos a mese octava est, resonans cum ea diapason symphoniam. Eademque ad lichanon hypaton resonat diatessaron, ad quartam scilicet; quae lichanos hypaton ad mesen resonat diapente symphoniam, et est ab ea quinta. Rursus mese a paramese distat tonum, quae eadem mese ad neten diezeugmenon quintam facit diapente consonantiam. Quae nete diezeugmenon ad neten hyperboleon quartam facit diatessaron consonantiam. Et proslambanome- nos ad neten hyperboleon reddit bis diapason consonantiam. [Vide p. 60.] XXI. De generibus cantilenae 21.1| His igitur expeditis dicendum de generibus melorum. Sunt autem tria: diato- num, chroma, enarmonium. Et diatonum quidem aliquanto durius et natura- lius, chroma vero iam quasi ab illa naturali intentione discedens et in mollius decidens, enarmonium vero optime atque apte coniunctum. 21.2| Cum sint igitur quinque tetrachorda: hypaton, meson, synemmenon, die- Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon Nete hyperboleon BOETIJ_TXT2013_01.indd 58 28.11.2013 12:19:40 59 59 Prva knjiga Zato je bila onstran največjih v tetrakordu hypaton dodana še ena struna, ki se imenuje proslambanomenos, nekateri pa ji pravijo prosmelodos. Ta je od hypate hypaton oddaljena za en celi ton. Ista struna, tj. proslambanomenos, je od mese navzdol osma in sozveni z njo v konsonanci oktave. V odnosu do lichanos hypa - ton, se pravi do četrte, zveni v kvarti; lichanos hypaton pa zveni v odnosu do mese v kvinti, saj je peta od nje. Mese je od paramese oddaljena za ton (veliko sekundo), v razmerju do nete diezeugmenon, ki je peta od nje, pa daje konsonan - co kvinte. Nete diezeugmenon daje v razmerju do nete hyperboleon, ki je četrta od nje, konsonanco kvarte. Proslambanomenos pa oddaja v razmerju do nete hyperbolean konsonanco dvojne oktave. [Gl. str. 61.] 21. O rodovih melodij 21.1| Po teh razlagah je treba spregovoriti o rodovih melodij. Rodovi so trije: di- atonični, kromatični, enharmonski. Diatonični je naravni in nekoliko trši; kromatični odstopa od naravne razporeditve tonov in se prepušča mehkobi; enharmonski je najbolj strnjeno povezan. 40 21.2| Tetrakordov je pet: hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyperbole- h hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton e hypate meson parhypate meson lichanos meson a mese h paramese trite diezeugmenon paranete diezeugmenon e nete diezeugmenon trite hyperboleon paranete hyperboleon a nete hyperboleon BOETIJ_TXT2013_01.indd 59 28.11.2013 12:19:41 60 Boethius, De institutione musica 60 zeugmenon, hyperboleon, in his omnibus secundum diatonum cantilenae procedit vox per semitonium, tonum et tonum in uno tetrachordo, rursus in alio [per] semitonium tonum ac tonum ac deinceps; ideoque vocatur diato- num, quasi quod per tonum ac per tonum progrediatur. 21.3| Chroma autem, quod dicitur color, quasi iam ab huiusmodi intentione pri- ma mutatio, cantatur per semitonium, semitonium et tria semitonia. Totum enim diatessaron consonantia duorum tonorum est ac semitonii, sed non ple- ni. Tractum est autem hoc vocabulum, ut diceretur chroma, a superficiebus, quae cum permutantur, in alium transeunt colorem. 21.4| Enarmonium vero quod est, magis coaptatum est, quod cantatur in omnibus tetrachordis per diesin et diesin et ditonum – diesis autem est semitonii di- midium –; ut sit trium generum descriptio per omnia tetrachorda discurrens hoc modo: Proslambanomenos vel prosmelodos Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon Nete hyperboleon BOETIJ_TXT2013_01.indd 60 28.11.2013 12:19:41 61 61 Prva knjiga on. V vsakem od teh se v diatoničnem rodu giblje glas napeva preko poltona, tona (velike sekunde) in tona; tako v enem tetrakordu, v drugem spet preko poltona, tona, tona in tako naprej. Diatonični se ta rod imenuje zato, ker se vzpenja glas v njem preko tona in tona. 41 21.3| Kromatični rod – »chroma« pomeni barva – je prva sprememba prikazane razporeditve tonov. Tu se poje preko poltona, poltona in treh poltonov. 42 Kon- sonanca kvarte obsega namreč dva tona (veliki sekundi) in polton, vendar ne točni. Izraz kromatični je bil za ta rod prevzet zaradi podobnosti s površinami stvari; ko se te spremenijo, preidejo namreč v drugo barvo. 21.4| Enharmonski rod je bolj strnjeno povezan, saj se v vseh tetrakordih poje v njem preko diesis, diesis in dvotona 43 – diesis je namreč polovica poltona. Po- nazorilo treh rodov, ki velja za vse tetrakorde, je torej takšno: A proslambanomenos ali prosmelodos h hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton e hypate meson parhypate meson lichanos meson a mese h paramese trite diezeugmenon paranete diezeugmenon e nete diezeugmenon trite hyperboleon paranete hyperboleon a nete hyperboleon BOETIJ_TXT2013_01.indd 61 28.11.2013 12:19:41 62 Boethius, De institutione musica 62 XXII. De ordine chordarum nominibusque in tribus generibus 22.1| Nunc igitur ordo chordarum disponendus est omnium, quae per tria genera variantur vel in constanti ordine disponuntur. 22.2| Prima est igitur proslambanomenos, quae eadem dicitur prosmelodos, se- cunda hypate hypaton, tertia parhypate hypaton. Quarta vero universaliter quidem lichanos appellatur, sed si in diatono genere aptetur, dicitur lichanos hypaton diatonos, si vero in chromate, dicitur diatonos chromatice vel licha- nos hypaton chromatice, si autem in enarmonio, dicitur lichanos hypaton enarmonios vel diatonos hypaton enarmonios. 22.3| Post hanc vocatur hypate meson, dehinc parhypate meson, atque hinc licha- nos meson, simpliciter in diatono quidem genere diatonos meson, in chroma- te lichanos meson chromatice vel diatonos meson chromatice, in enarmonio diatonos meson enarmonios vel lichanos meson enarmonios. Has sequitur mese. semi- tonio tono tono Diatonum s T T semi- tonio semi- tonio tribus semitoniis Chromaticum s s s s s diesi diesi ditono T T Enarmonium d d D BOETIJ_TXT2013_01.indd 62 28.11.2013 12:19:41 63 63 Prva knjiga 22. O zaporedju strun v treh rodovih in o njihovih imenih 22.1| Zdaj naj bodo po vrsti razporejene vse strune; nekatere od teh se ločijo z ozi- rom na rod, medtem ko je razporeditev drugih stalna. 22.2| Prva struna je proslambanomenos, 44 ki se imenuje tudi prosmelodos, druga hypate hypaton, tretja parhypate hypaton. Četrta se s splošnim imenom ozna- čuje sicer kot lichanos; a če je uglašena v diatoničnem rodu, se imenuje diato- nična lichanos hypaton, če v kromatičnem, kromatični diaton 45 ali pa kromatič- na lichanos hypaton, če pa je uglašena v enharmonskem rodu, se imenuje en- harmonska lichanos hypaton ali pa enharmonski diaton v tetrakordu hypaton. 46 22.3| Struna, ki pride na vrsto za to, se imenuje hypate meson, naslednja parhypate meson; od tod dalje je lichanos meson, ki se v diatoničnem rodu imenuje pre- prosto diaton v tetrakordu meson, v kromatičnem kromatična lichanos meson ali pa kromatični diaton v tetrakordu meson, v enharmonskem rodu pa enhar - monski diaton v tetrakordu meson ali pa enharmonska lichanos meson. Tem strunam sledi mese. diesis diesis dvoton Enharmonski rod polton ton ton Diatonični rod polton polton trije poltoni Kromatični rod BOETIJ_TXT2013_01.indd 63 28.11.2013 12:19:41 64 Boethius, De institutione musica 64 22.4| Post hanc sunt duo tetrachorda partim synemmenon partim diezegmenon. Et synemmenon est, quod post mesen ponitur, id est trite synemmenon; dehinc lichanos synemmenon, eadem in diatono diatonos synemmenon, in chromate vero vel diatonos synemmenon chromatice vel lichanos synemmenon chromatice, in enarmonio vero vel diatonos synemmenon enarmonios vel lichanos synemmenon enarmonios. Post has nete synem - menon. 22.5| Si vero mese nervo non sit synemmenon tetrachordum adiunctum, sed sit diezeugmenon, est post mesen paramese; dehinc trite diezeugmenon, inde lichanos diezeugmenon, quae in diatono diatonos diezeugmenon, in chro- mate tum diatonos diezeugmenon chromatice tum lichanos diezeugmenon chromatice, in enarmonio vero tum diatonos diezeugmenon enarmonios, tum lichanos diezeugmenon enarmonios. Eadem vero dicitur et paranete cum additione vel diatoni vel chromatis vel enarmonii. 22.6| Super has nete diezeugmenon, trite hyperboleon, et quae est paranete hyper- boleon, eadem in diatono diatonos hyperboleon, in chromate vero chromati- ce hyperboleon, in enarmonio vero enarmonios hyperboleon. Harum ultima ea est, quae est nete hyperboleon. 22.7| Et sit descriptio eiusmodi, ut trium generum contineat dispositionem. In qui- bus et similitudinem nominum et differentiam pernotabis; ut si nervi similes in omnibus cum eis, qui sunt dissimiles, colligantur, fiant simul omnes octo et viginti. Hoc autem monstrat subiecta descriptio. Diatonici Chromatis Enarmonii Proslambanomenos Proslambanomenos Proslambanomenos Hypate hypaton Hypate hypaton Hypate hypaton Parhypate hypaton Parhypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton diatonos Lichanos hypaton chromatice Lichanos hypaton enarmonios Hypate meson Hapyte meson Hapyte meson Parhypate meson Parhypate meson Parhypate meson Lichanos meson diatonos Lichanos meson chromatice Lichanos meson enarmonios Mese Mese Mese Trite synemmenon Trite synemmenon Trite synemmenon Paranete synemmenon diatonos Paranete synemmenon chromatice Paranete synemmenon enarmonios Nete synemmenon Nete synemmenon Nete synemmenon Paramese Paramese Paramese Trite diezeugmenon Trite diezeugmenon Trite diezeugmenon BOETIJ_TXT2013_01.indd 64 28.11.2013 12:19:41 65 65 Prva knjiga 22.4| Za njo sta dva tetrakorda, synemmenon in diezeugmenon. Synemmenon je tisti, ki je postavljen za mese. Vsebuje trite synemmenon, za tem lichanos synemmenon; v diatoničnem rodu se ta imenuje diaton v tetrakordu synem- menon, v kromatičnem kromatični diaton v tetrakordu synemmenon ali pa kromatična lichanos synemmenon, v enharmonskem pa ali enharmonski dia- ton v tetrakordu synemmenon ali pa enharmonska lichanos synemmenon. Za temi strunami je nete synemmenon. 22.5| Če pa se na struno mese ne navezuje tetrakord synemmenon, pač pa diezeu- gmenon, je za mese paramese; nadalje je trite diezeugmenon, nato lichanos diezeugmenon, ki je v diatoničnem rodu diaton v tetrakordu diezeugmenon; v kromatičnem se imenuje včasih kromatični diaton v tetrakordu diezeugmenon, včasih pa kromatična lichanos diezeugmenon, v enharmonskem rodu pa vča- sih enharmonski diaton v tetrakordu diezeugmenon, včasih pa enharmonska lichanos diezeugmenon. Tej struni se reče tudi paranete z dodatki diatonična, kromatična ali enharmonska. 22.6| Nad temi so: nete diezeugmenon, trite hyperboleon; struna paranete hyperbo- leon je v diatoničnem rodu diaton v tetrakordu hyperboleon, v kromatičnem kromatični diaton v tetrakordu hyperboleon, v enharmonskem pa enharmon- ski diaton v tetrakordu hyperboleon. Zadnja od vseh je nete hyperboleon. 22.7| Ponazorilo tega naj vsebuje delitev na tri rodove. V rodovih boš zapazil tako podobnosti med imeni kot razlike. Če pa se seštejejo enake in neenake strune vseh rodov, je vseh skupaj 28. 47 To kaže sledeče ponazorilo. Diatonični rod Kromatični rod Enharmonski rod proslambanomenos proslambanomenos proslambanomenos hypate hypaton hypate hypaton hypate hypaton parhypate hypaton parhypate hypaton parhypate hypaton diatonična lichanos hypaton kromatična lichanos hypaton enharmonska lichanos hypaton hypate meson hypate meson hypate meson parhypate meson parhypate meson parhypate meson diatonična lichanos meson kromatična lichanos meson enharmonska lichanos meson mese mese mese trite synemmenon trite synemmenon trite synemmenon diatonična paranete synemmenon kromatična paranete synemmenon enharmonska paranete synemmenon nete synemmenon nete synemmenon nete synemmenon paramese paramese paramese trite diezeugmenon trite diezeugmenon trite diezeugmenon BOETIJ_TXT2013_01.indd 65 28.11.2013 12:19:42 66 Boethius, De institutione musica 66 Diatonici Chromatis Enarmonii Paranete diezeugmenon diatonos Paranete diezeugmenon chromatice Paranete diezeugmenon enarmonios Nete diezeugmenon Nete diezeugmenon Nete diezeugmenon Trite hyperboleon Trite hyperboleon Trite hyperboleon Paranete hyperboleon diatonos Paranete hyperboleon chromatice Paranete hyperboleon enarmonios Nete hyperboleon Nete hyperboleon Nete hyperboleon XXIII. Quae sint inter voces in singulis generibus proportiones 23.1| Hoc igitur modo per singula tetrachorda in generum proprietates facta parti- tio est, ut omnia quidem diatonici generis quinque tetrachorda duobus tonis ac semitonio partiremur. Diciturque in hoc genere tonus incompositus idcir- co, quoniam integer ponitur nec aliquod ei intervallum aliud iungitur, sed in singulis intervallis integri sunt toni. 23.2| In chromate vero semitonio ac semitonio incompositoque triemitonio posita divisio est. Idcirco autem incompositum hoc triemitonium appellamus, quo- niam in uno collocatum est intervallo. Potest enim appellari triemitonium in diatono genere semitonium ac tonus, sed non est incompositum; duobus enim id perficitur intervallis. 23.3| Et in enarmonio genere idem est. Constat enim ex diesi et diesi et ditono incomposito, quod scilicet propter eandem causam incompositum nuncupa- mus quoniam in uno conlocatum est intervallo. XXIIII. Quid sit synaphe 24.1| Sed in his ita dispositis constitutisque tetrachordis synaphe est, quam co- niunctionem dicere Latina significatione possumus, quotiens duo tetrachor- da unius medietas termini continuat atque coniungit, ut in hoc tetrachordo: [Vide p. 68, supra.] 24.2| Hic igitur est unum tetrachordum: hypate, parhypate, lichanos, hypate me- son, aliud vero: hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. In utrisque igitur tetrachordis hypate meson adnumerata est, superiorisque tetrachordi ea est acutissima, posterioris vero gravissima, estque ista co- niunctio una eademque chorda, ut hypate meson duo tetrachorda coniungens BOETIJ_TXT2013_01.indd 66 28.11.2013 12:19:42 67 67 Prva knjiga Diatonični rod Kromatični rod Enharmonski rod diatonična paranete diezeugmenon kromatična paranete diezeugmenon enharmonska paranete diezeugmenon nete diezeugmenon nete diezeugmenon nete diezeugmenon trite hyperboleon trite hyperboleon trite hyperboleon diatonična paranete hyperboleon kromatična paranete hyperboleon enharmonska paranete hyperboleon nete hyperboleon nete hyperboleon nete hyperboleon 23. Katera razmerja med toni so v posameznih rodovih 23.1| Delitev tetrakordov, po kateri se ločujejo lastnosti rodov, je izpeljana takole: Vseh pet tetrakordov diatoničnega rodu delimo v dva tona (veliki sekundi) in polton. Ton (velika sekunda) je v tem rodu nesestavljeni ton, saj se postavlja cel; ne pridodaja se mu noben drug interval, tako da so ustrezni razmaki za- polnjeni s celimi toni. 23.2| Kromatični rod se deli v polton, polton in nesestavljeni poldrugi ton. Poldrugi ton imenujemo nesestavljeni zato, ker je postavljen v en razmak. Tudi v diato- ničnem rodu bi bilo mogoče imenovati polton in ton poldrugi ton, toda tam ne bi bil nesestavljen, saj bi obsegal dva razmaka. 23.3| V enharmonskem rodu je podobno kot v kromatičnem. Sestoji namreč iz die- sis, diesis in nesestavljenega dvotona. Tega označujemo kot nesestavljenega iz istega razloga, ker je nameščen v en sam razmak. 24. Kaj je synaphé 24.1| V tako oblikovanih in razpostavljenih tetrakordih je synaphé, ki jo z latinskim izrazom lahko poimenujemo coniunctio, spoj. Spoj nastane, ko ena sama sre- diščna točka brez vrzeli poveže dva tetrakorda. Tako je v tem tetrakordu: [Gl. str. 69, zgoraj.] 24.2| Tu je prvi tetrakord: hypate, parhypate, lichanos, hypate meson, drugi pa: hypate meson, parhypate meson, lichanos meson, mese. Hypate meson se torej šteje v obeh tetrakordih; v prvem tetrakordu je najvišja struna, v sledečem pa najnižja. Spoj predstavlja ena struna, kot veže v zgornjem ponazorilu hypate meson dva tetrakorda: hypaton in meson. Synaphé, kar pomeni spoj, je torej BOETIJ_TXT2013_01.indd 67 28.11.2013 12:19:42 68 Boethius, De institutione musica 68 eadem hypaton ac meson tetrachorda in superiore descriptione iunxit. Est igitur synaphe, quae coniunctio dicitur, duorum tetrachordorum vox media, superioris quidem acutissima, posterioris vero gravissima. XXV. Quid sit diazeuxis 25.1| Diazeuxis vero appellatur, quae disiunctio dici potest, quotiens duo tetrachor- da toni medietate separantur, ut in his duobus tetrachordis. Duo igitur esse tetrachorda evidenter apparet, quandoquidem octo sunt chordae. Sed diazeuxis est, id est disiunctio, inter mesen ac paramesen, quae inter se pleno differunt tono. 25.2| De quibus evidentius explicabitur, cum unumquodque studiosius expla- nandum posterioir tractatus adsumpserit. Sed diligentius intuenti quinque, non amplius, tetrachorda repperiuntur: hypaton, meson, synemmenon, die- zeugmenon, hyperboleon. Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese Paramese Trite diezeugmenon Paranete diezeugmenon Nete diezeugmenon Hypate hypaton Parhypate hypaton Lichanos hypaton Hypate meson Parhypate meson Lichanos meson Mese BOETIJ_TXT2013_01.indd 68 28.11.2013 12:19:42 69 69 Prva knjiga srednji ton dveh tetrakordov, ki je v prvem tetrakordu najvišji, v drugem pa najnižji. 25. Kaj je diázeuxis 25.1| Diázeuxis, ki se ji lahko reče razločitev, se imenuje takšna ločitev dveh tetra- kordov, da je sredi med njima ton (velika sekunda), kot je pri teh dveh tetrakor - dih: Ker je strun osem, sta tu očitno dva tetrakorda. Diázeuxis, tj. ločitev, pa nasto- pi med mese in paramese, ki sta si oddaljeni za en cel ton (veliko sekundo). 25.2| Te stvari bodo razločneje razložene potem, ko bo kasnejša razprava bolj po- globljeno pojasnila vsako posameznost. Kdor pa natančno opazuje, ne bo našel več kot pet tetrakordov: hypaton, meson, synemmenon, diezeugmenon, hyper- boleon. h hypate hypaton parhypate hypaton lichanos hypaton e hypate meson parhypate meson lichanos meson a mese e hypate meson parhypate meson lichanos meson a mese h paramese trite diezeugmenon paranete diezeugmenon e nete diezeugmenon BOETIJ_TXT2013_01.indd 69 28.11.2013 12:19:42 70 Boethius, De institutione musica 70 XXVI. Quibus nominibus nervos appellaverit Albinus 26.1| Albinus autem earum nomina Latina oratione ita interpretatus est, ut hypa- tas principales vocaret, mesas medias, synemmenas coniunctas, diezeugme- nas disiunctas, hyperboleas excellentes. Sed nobis in alieno opere non erit inmorandum. XXVII. Qui nervi quibus sideribus comparentur 27.1| Illud tantum interim de superioribus tetrachordis addendum videtur, quod ab hypate meson usque ad neten quasi quoddam ordinis distinctionisque ca- elestis exemplar est. Namque hypate meson Saturno est adtributa, parhypa- te vero Ioviali circulo consimilis est. Lichanon meson Marti tradidere. Sol mesen obtinuit. Triten synemmenon Venus habet, paraneten synemmenon Mercurius regit. Nete autem lunaris circuli tenet exemplum. 27.2| Sed Marcus Tullius contrarium ordinem facit. Nam in sexto libro de re publi- ca sic ait: Et natura fert, ut extrema ex altera parte graviter, ex altera autem acute sonent. Quam ob causam summus ille caeli stellifer cursus, cuius con- versio est concitatior, acuto et excitato movetur sono, gravissimo autem hic lunaris atque infimus. Nam terra nona inmobilis manens, una sede semper haeret. Hic igitur Tullius Terram quasi silentium ponit, scilicet inmobilem. Post hanc qui proximus a silentio est, dat Lunae gravissimum sonum, ut sit Luna proslambanomenos, Mercurius hypate hypaton. Venus parhypate hypaton, Sol lichanos hypaton, Mars hypate meson, Juppiter parhypate me- son, Saturnus lichanos meson, Caelum ultimum mese. 27.3| Quae vero sint harum inmobiles, quae vero in totum mobiles, quae autem in - ter inmobiles mobilesque consistant, cum de monochordi regularis divisione tractavero, erit locus aptior explicandi. XXVIII. Quae sit natura consonantiarum 28.1| Consonantiam vero licet aurium quoque sensus diiudicet, tamen ratio per- pendit. Quotiens enim duo nervi uno graviore intenduntur simulque pulsi reddunt permixtum quodammodo et suavem sonum, duaeque voces in unum quasi coniunctae coalescunt; tunc fit ea, quae dicitur consonantia. Cum vero simul pulsis sibi quisque ire cupit nec permiscent ad aurem suavem atque unum ex duobus compositum sonum, tunc est, quae dicitur dissonantia. BOETIJ_TXT2013_01.indd 70 28.11.2013 12:19:42 71 71 Prva knjiga 26. Kako je strune poimenoval Albin 26.1| Albin je imena strun prevedel v latinščino. Tiste iz tetrakorda hypaton je ime- noval »principales« (začetne, glavne), iz tetrakorda meson »mediae« (srednje), iz tetrakorda synemmenon »coniunctae« (povezane), iz tetrakorda diezeu- gmenon »disiunctae« (razdružene), iz tetrakorda hyperboleon »excellentes« (izstopajoče, skrajne). Vendar se pri tej tuji razpravi ne bomo mudili. 27. S katerimi planeti se vzporejajo strune 27.1| Zgornji obravnavi tetrakordov je treba dodati, da je zaporedje od hypate meson do nete nekakšna podoba nebesnega reda in njegove odličnosti. Hypate meson se namreč pripisuje Saturnu; parhypate je podobna Jupitrovi krožnici; lichanos meson so prisodili Marsu; Sonce je dobilo mese; trite synemmenon ima Vene- ra; paranete synemmenon vodi Markur; nete pa je podoba lunarne krožnice. 27.2| Vendar ima Mark Tulij obrnjen red, saj takole pravi v šesti knjigi svoje Drža- ve: »Narava je uredila, da zvenijo skrajnosti na eni strani nizko, na drugi pa visoko. Zato se najvišja zvezdonosa pot, katere vrtenje je bolj razgibano, giblje z visokim in vznemirjenim glasom, lunarna pot, ki je najnižja, pa z najnižjim. Edino zemlja, deveto nebesno telo, visi negibna zmeraj na istem mestu.« 48 Tulij je negibno Zemljo postavil torej kot tišino. Za njo je najnižji ton, ki je najbliže tišini, dal Luni, tako da je Luna proslambanomenos, Merkur hypate hypaton, Venera parhypate hypaton, Sonce lichanos hypaton, Mars hypate meson, Jupi- ter parhypate meson, Saturn lichanos meson, Zadnje nebo pa mese. 27.3| Ko bom obravnaval delitev na oštevilčenem monokordu, bo primernejša prilo- žnost, da razložim, katere od teh strun so povsem nepremične, katere povsem premične, katere pa vmes med premičnimi in nepremičnimi. 49 28. Kaj je narava konsonanc 28.1| Čeprav razsoja o konsonanci čut sluha, jo natančno pretehta razum. Kadar se dve različno visoki struni napneta tako, da dasta - hkrati zatreseni - na neki način spojen in blagoglasen zvok, se oba tona kot povezana zlijeta v eno; tedaj nastane tisto, čemur pravimo konsonanca. Kadar pa hodi vsaka od dveh hkrati zatresenih strun svojo pot, tako da se v ušesu ne spojita v en sam blagoglasen zvok, sestavljen sicer iz dveh tonov, tedaj nastane tisto, čemur pravimo diso- nanca. BOETIJ_TXT2013_01.indd 71 28.11.2013 12:19:42 72 Boethius, De institutione musica 72 XXVIIII. Ubi consonantiae repperiantur 29.1| In his autem comparationibus gravitatis atque acuminis has consonantias necesse est inveniri, quae sibi commensurate sunt, id est quae notam possunt communem habere mensuram, ut in multiplicibus duplum quod est illa pars metitur, quae inter duos est terminos differentia, ut inter duo et quattor bina- rius utrosque metitur; inter duos atque sex, quae tripla est, binarius utrosque metitur; inter novem atque octo eadem unitas est, quae utrosque metiatur. Rursus in superparticularibus, si sesqualtera sit proportio, ut quattour ad sex, binarius est, qui utrosque metiatur, quae scilicet utrorumque est dif- ferentia. Quod si sesquitertia sit proportio, ut si octo senario comparentur, idem binarius utrosque metitur. 29.2| Id vero non evenit in ceteris generibus inaequalitatum, quae supra retulimus, ut in superpartiente. Nam si quinarium ad ternarium comparemus, binarius, qui eorum est differentia, neutrum metitur. Nam semel ternario comparatus minor est, duplicatus excedit. Item bis quinario comparatus minor est, tertio vero supergreditur. Atque idcirco hoc primum inaequalitatis genus a conso- nantiae natura disiungitur. 29.3| Amplius: quod in his, quae consonantias formant, multa similia sunt, in illis vero minime, id probatur hoc modo: Namque duplum nihil est aliud nisi bis simplum, triplum nihil aliud nisi tertio simplum, quadruplum vero idem est quod quarto simplum, sesqualterum bis medietas, sesquitertium ter pars tertia, quod haud facile in ceteris inaequalitatum generibus invenitur. XXX. Quemadmodum Plato dicat fieri consonantiam 30.1| Plato autem hoc modo fieri in aure consonantiam dicit. Necesse est, inquit, velociorem quidem esse acutiorem sonum. Hic igitur cum gravem praeces- serit, in aurem celer ingreditur, offensaque extrema eiusdem corporis parte quasi pulsus iterato motu revertitur. Sed iam segnior nec ita celeri ut pri- mo impetu emissus cucurrit, quocirca gravior quoque. Cum igitur iam gra- vior rediens nunc primum venienti gravi sono similis occurrit, miscetur ei unamque ut ait consonantiam miscet. BOETIJ_TXT2013_01.indd 72 28.11.2013 12:19:42 73 73 Prva knjiga 29. Kje se konsonance najdevajo 29.1| Ob primerjavah nizkih in visokih tonov je kot konsonance mogoče prepo- znati tista razmerja, ki imajo znano skupno mero. Dvojno razmerje, ki spada med množinska razmerja, premerja tako razlika obeh števil: med 2 in 4 je razlika 2, in ta premerja obe števili. 50 Med 2 in 6 je trojno razmerje, in obe števili premerja 2. Med 8 in 9 je 1 in prav ta premerja obe števili. Tudi pri nadaljnjih superpartikularnih razmerjih, če vzamemo tripolovinsko razmerje kot 4 v odnosu do 6, je število 2 tisto, ki premerja obe števili, to pa je njuna razlika; in pri štiritretjinskem razmerju, kot ko se primerja 8 s 6, premerja obe števili isto število 2. 29.2| Pri drugih zgoraj predstavljenih rodovih neenakosti pa ni tako, npr. pri super- partientnem. Če namreč primerjamo 5 s 3, število 2, ki je njuna razlika, ne premerja nobenega od obeh števil: enojno število 2 je v primerjavi s 3 manjše, podvojeno pa število 3 preseže. Če pa nadalje podvojeno število 2 primerja- mo s 5, je manjše, potrojeno ga pa prekorači. Prav zato je ta rod neenakosti prvi, ki z naravo konsonančnosti nima zveze. 29.3| Še več. Da je pri tistih razmerjih, ki tvorijo konsonance, mnogo sorodnega, pri drugih pa ne, se vidi takole: Dvojno ni nič drugega kot dvakrat enojno, trojno nič drugega kot trikrat enojno, četverno pa je isto kot štirikrat enojno; tripolovinsko je dve polovici, štiritretjinsko tri tretjine. 51 Tega v ostalih rodo- vih neenakosti ni mogoče najti. 30. Kaj pravi o nastanku konsonanc Platon 30.1| Platon trdi, da nastajajo konsonance v ušesu na tale način: Nujno je, pravi, da je višji ton hitrejši. Ta torej prehiti nizkega, dospe v uho prvi, zadene ob zunanji del njegovega telesa in se odbit z vnovičnim sunkom obrne. Vendar je zdaj počasnejši in nima tako živahnega napona, kot ko je bil sprožen pr- vič, zaradi česar je nižji. Ko torej znižan in podoben šele zdaj prišedšemu nizkemu tonu trči obenj, se z njim pomeša in, kot pravi Platon, spoji v eno konsonanco. 52 BOETIJ_TXT2013_01.indd 73 28.11.2013 12:19:42 74 Boethius, De institutione musica 74 XXXI. Quid contra Platonem Nicomachus sentiat 31.1| Sed id Nicomachus non arbitratur veraciter dictum neque enim similium esse consonantiam sed dissimilium potius in unam eandemque concordiam venientium. Gravem vero gravi si misceatur, nullam facere consonantiam, quoniam hanc canendi concordiam similitudo non efficit, sed dissimilitudo, quae, cum distet in singulis vocibus copulatur in mixtis. 31.2| Sed hinc potius Nicomachus fieri consonantiam putat: Non, inquit, unus tan- tum pulsus est, qui simplicem modum emittat vocis, sed semel percussus nervus saepius aerem pellens multas efficit voces. Sed quia haec velocitas est percussionis, ut sonus sonum quodammodo conprehendat, distantia non sentitur et quasi una vox auribus venit. Si igitur percussiones gravium so- norum commensurabiles sint percussionibus acutorum sonorum, ut in his proportionibus, quas supra retulimus, non est dubium, quin ipsa commensu- ratio sibimet misceatur unamque vocum efficiat consonantiam. XXXII. Quae consonantia quam merito praecedat 32.1| Sed inter omnes quas retulimus consonantias habendum iudicium est, ut in aure, ita quoque in ratione, quam earum meliorem oporteat arbitrari. Eodem namque modo auris afficitur sonis vel oculus aspectu, quo animi iudicium numeris vel continua quantitate. 32.2| Proposito enim numero vel linea nihil est facilius quam eius duplum oculo vel animo contueri. Item post dupli iudicium sequitur dimidii, post dimidii tripli, post tripli partis tertiae. Ideoque quoniam facilior est dupli descrip- tio, optimam Nicomachus putat diapason consonantiam, post hanc diapente, quae medium tenet, hinc diapente ac diapason, quae triplum, ceteraque se- cundum eundem modum formamque diiudicat. Non vero eodem modo hoc Ptolomaeus, cuius omnem sententiam posterius explicabo. XXXIII. Quo sint modo accipienda, quae dicta sunt 33.1| Omnia tamen quae dehinc diligentius expedienda sunt, summatim nunc ac breviter adtemptamus, ut interim in superficie quadam haec animum lectoris assuefaciant, qui ad interiorem scientiam posteriore tractatione de- BOETIJ_TXT2013_01.indd 74 28.11.2013 12:19:42 75 75 Prva knjiga 31. Kaj v nasprotju s Platonom dojema Nikomah 31.1| A Nikomah sodi, da to ni res, in da konsonanca ne nastane ob srečanju dveh enakih, pač pa ob zlitju dveh različnih tonov v eno samo sozvočje: Če se ni- zek ton pomeša z nizkim, ne stvorita konsonance, ker glasbenega sozvočja ne povzroča enakost, pač pa neenakost. Ta se v enem samem glasu uresničuje zaporedno, v spoju več glasov pa sočasno. 31.2| Nikomah meni, da je izvor konsonanc verjetneje ta: Enega samega tona, pra- vi, ne odpošlje en sam udarec, pač pa enkrat zatresena struna na gosto udarja zrak in naredi tako mnogo glasov. Ker pa je hitrost udarjanja tako velika, da en zvok na neki način že zajema naslednjega, se presledki ne čutijo in vse to pride do ušes kot en sam ton. Če so torej udarci nizkega tona somerni z udarci visokega tona, skladno z zgoraj predstavljenimi razmerji, bo nedvomno prav ta somernost medsebojnega spoja iz dveh tonov stvorila eno samo konsonan- co. 32. Katera konsonanca je po svoji odličnosti pred katero 32.1| Presoditi je treba, tako z ušesi kot z razumom, katere od vseh navedenih kon- sonanc je treba imeti za boljše. Kot se namreč uho navdaja z zvokom in oko s pogledom, temelji sodba duha na motrenju števil in strnjenih količin. 53 32.2| Če imamo pred sabo število ali črto, ni nič lažjega kot zamisliti si ju podvojeni, bodisi z očesom ali pa v duhu. Po sodbi o dvojnosti sledi sodba o polovičnosti, po tej sodba o trojnosti, po tej sodba o tretjinskosti. Ker pa si je najlaže predsta- vljati dvojnost, je Nikomah menil, da je najpopolnejša konsonanca oktava; za njo je kvinta, ki vzdržuje polovico, 54 nadalje kvinta z oktavo, ki predstavljata trojnost; tudi nadaljnje konsonance je presojal na enak način in po enakem postopku. Ni pa tako delal Ptolemaj, katerega nauk bom v celoti razoložil ka- sneje. 33. Kako je treba razumeti doslej povedano 33.1| Do zdaj smo se na kratko in povzemalno lotevali stvari, ki jih bo treba v nada - ljevanju podrobneje razložiti. Bralčev duh se je tako navadil na zunanjo povr- šino znanosti, v katere notranjost se bo poglobil v nadaljnji razpravi. Ravnali BOETIJ_TXT2013_01.indd 75 28.11.2013 12:19:42 76 Boethius, De institutione musica 76 scendet. Nunc vero quod erat Pythagoricis in more, ut, cum quid a magistro Pythagora diceretur, hinc nullus rationem petere audebat, sed eis erat ratio docentis auctoritas, idque fiebat, quamdiu discentis animus firmiore doctri - na roboratus ipse earundem rerum rationem nullo etiam docente repperiret: ita etiam nunc lectoris fidei quae proponimus commendamus, ut arbitretur diapason in dupla, diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia, dia- pente ac diapason in triplici, bis diapason in quadrupla proportione consi- stere. 33.2| Post vero et ratio diligentius explicabitur et quibus modis aurium quoque iudicio consonantiae musicae colligantur, ceteraque omnia, quae superi- us dicta sunt, amplior tractatus edisseret, ut tonum sesquioctavam facere proportionem eumque in duo aequa dividi non posse, sicut nullam eiusdem generis proportionem, id est superparticularis; diatessaron etiam consonan- tiam duobus tonis semitonioque consistere; semitonia vero esse duo, maius ac minus; diapente autem tribus tonis ac minore semitonio contineri; diapa- son autem quinque tonis ac duobus minoribus semitoniis expleri, neque ad sex tonos ullo modo pervenire. Haec omnia posterius et numerorum ratione et aurium iudicio conprobabo. Atque haec hactenus. XXXIIII. Quid sit musicus 34.1| Nunc illud est intuendum, quod omnis ars omnisque etiam disciplina hono- rabiliorem naturaliter habeat rationem quam artificium, quod manu atque opere exercetur artificis. Multo enim est maius atque auctius scire, quod quisque faciat, quam ipsum illud efficere, quod sciat; etenim artificium cor - porale quasi serviens famulatur, ratio vero quasi domina imperat. Et nisi manus secundum id, quod ratio sancit, efficiat, frustra sit. Quanto igitur pra- eclarior est scientia musicae in cognitione rationis quam in opere efficiendi atque actu! Tantum scilicet, quantum corpus mente superatur; quod scili- cet rationis expers servitio degit. Illa vero imperat atque ad rectum deducit. Quod nisi eius pareatur imperio, expers opus rationis titubabit. 34.2| Unde fit, ut speculatio rationis operandi actu non egeat, manuum vero ope - ra nulla sint, nisi ratione ducantur. Iam vero quanta sit gloria meritumque rationis, hinc intellegi potest, quod ceteri ut ita dicam corporales artifices non ex disciplina sed ex ipsis potius instrumentis cepere vocabula. Nam ci - tharoedus ex cithara, auloedus ex tibia, ceterique suorum instrumentorum BOETIJ_TXT2013_01.indd 76 28.11.2013 12:19:42 77 77 Prva knjiga smo tako, kot je bila navada pri pitagorejcih: Ko je učitelj Pitagora kaj rekel, si ni nihče drznil vprašati za utemeljitev; utemeljitev je bila učiteljeva veličina. Tako je bilo, dokler ni učenčev duh, utrjen z zanesljivejšim znanjem, sam, ne da bi ga kdo učil, odkril utemeljitev. Tudi mi zdaj tako priporočamo, kar smo predstavili, bralčevi veri; verjame naj, da obstoji oktava v dvojnem razmerju, kvinta v tripolovinskem, kvarta v štiritretjinskem, oktava s kvinto v trojnem, dvojna oktava v četvernem. 33.2| Utemeljitve za vse to bodo natančneje razložene kasneje, kot bo prikazano tudi to, na kateri način se konsonance presojajo po sodbi sluha. Enako bodo v obsežnejši razpravi razgrnjene ostale zgoraj prikazane stvari: da nastane ton (velika sekunda) z devetosminskim razmerjem, da se ga ne da razdeliti na dva enaka dela, tako kot nobeno razmerje v tem rodu, se pravi superpartikular- nem; da sestoji kvarta, ki je tudi konsonanca, iz dveh tonov (velikih sekund) in poltona; da sta poltona dva: veliki in mali; da je kvinta zaobsežena s tremi toni (velikimi sekundami) in malim poltonom; da je oktava zapolnjena s petimi toni in dvema malima poltonoma in da nikakor ne doseže šest tonov (velikih sekund). Vse te stvari bom kasneje dokazal tako s številčnimi izračuni kot na osnovi slušne sodbe. Toliko za zdaj. 34. Kaj pomeni biti muzik 34.1| Zavedati se je treba, da ima vsaka znanost in tudi vsak nauk že po naravi vrednejši smisel kot pa rokodelstvo, ki ga s prizadevno roko izvaja obrtnik. Veliko več in pomembnejše je imeti vedenje o tistem, kar kdo dela, kot pa po tistem, kar kdo ve, nekaj izdelovati. Telesno rokodelstvo je kot služabnik, ki uboga, razum pa kot gospodar, ki ukazuje. In če roka ne dela skladno s tem, k čemur jo zavezuje razum, je vse zaman. Koliko odličnejša je umetnost glasbe v spoznavanju zakonitosti kot pa v postopku izdelovanja in v zvočnem uresni- čevanju! Toliko, kolikor je duh nad telesom, ki brez razuma živi le služabniško življenje. Ukazuje razum in on vodi k pravemu. Če pa se ne sledi njegovemu vodstvu, je delo, nastalo brez udeležbe razuma, na opotekajočih se nogah. 34.2| Zato razumsko raziskovanje ne pogreša dejanskega izdelovanja, medtem ko izdelki rok niso nič, če jih ne vodi razum. Kako velik ugled in kako velike za- sluge ima razum, je razvidno že iz tega, da izrazi za telesne glasbene umetni- ke, če jih tako imenujem, niso povzeti po njihovi umetnosti, pač pa po njihovih glasbilih. Kitarod se imenuje namreč po kitari, avlod po avlosu in tudi drugi se BOETIJ_TXT2013_01.indd 77 28.11.2013 12:19:42 78 Boethius, De institutione musica 78 vocabulis nuncupantur. Is vero est musicus, qui ratione perpensa canendi scientiam non servitio operis sed imperio speculationis adsumpsit. 34.3| Quod scilicet in aedificiorum bellorumque opere videmus, in contraria sci- licet nuncupatione vocabuli. Eorum namque nominibus vel aedificia inscri- buntur vel ducuntur triumphi, quorum imperio ac ratione instituta sunt, non quorum opere servitioque perfecta. 34.4| Tria igitur genera sunt, quae circa artem musicam versantur. Unum genus est, quod instrumentis agitur, aliud fingit carmina, tertium, quod instrumen- torum opus carmenque diiudicat. 34.5| Sed illud quidem, quod in instrumentis positum est ibique totam operam consumit, ut sunt citharoedi quique organo ceterisque musicae instrumen- tis artificium probant, a musicae scientiae intellectu seiuncti sunt, quoniam famulantur, ut dictum est: nec quicquam afferunt rationis, sed sunt totius speculationis expertes. 34.6| Secundum vero musicam agentium genus poetarum est, quod non potius speculatione ac ratione, quam naturali quodam instinctu fertur ad carmen. Atque idcirco hoc quoque genus a musica segregandum est. 34.7| Tertium est, quod iudicandi peritiam sumit, ut rythmos cantilenasque to- tumque carmen possit perpendere. Quod scilicet quoniam totum in ratione ac speculatione positum est, hoc proprie musicae deputabitur, isque est mu- sicus, cui adest facultas secundum speculationem rationemve propositam ac musicae convenientem de modis ac rythmis deque generibus cantilenarum ac de permixtionibus ac de omnibus, de quibus posterius explicandum est, ac de poetarum carminibus iudicandi. Explicit de musica id est armonica institutione liber primus. BOETIJ_TXT2013_01.indd 78 28.11.2013 12:19:42 79 79 Prva knjiga imenujejo po izrazih za svoja glasbila. A muzik je tisti, ki si glasbene umetno- sti ne prisvoji kot služabniško opravilo, pač pa tako, da jo preko razumskega pretehtavanja obvladuje s svojim miselnim pogledom. 34.3| Na svojski način vidimo to tudi pri gradnji stavb in pri vojskovanju. Na zgrad - be se vpisujejo imena tistih ljudi, po katerih zamisli in vodstvu so bile po- stavljene, ne pa onih, ki so jih s služabniškim delom zgradili, in praznovanja zmag se imenujejo po imenih tistih ljudi, ki so v bitkah poveljevali, ne pa onih, ki so jih s služabniškim delom izvojevali. 34.4| Tri vrste dejavnosti so povezane z glasbeno umetnostjo: Prva je igranje na glasbila, druga snovanje pesmi, tretja pa presojanje tako igranja na glasbila kot samih pesmi. 34.5| Vrsti, ki obstoji le v igranju na glasbila in pri kateri je vse opravljeno z igra- njem, pripadajo kitarodi in tisti, ki uresničujejo svojo umetnost na orglah in drugih glasbilih. Vsi ti so brez razumevanja glasbe, saj so le služabniški izva- jalci – kot je bilo omenjeno. Pri svojem delu ne rabijo razuma in so popolnoma brez globljega uvida. 34.6| Druga vrsta glasbenikov so pesniki. Teh k pesnjenju ne ženeta toliko globlji uvid in razmislek, kot pa neko naravno nagnjenje. Tako je treba tudi to vrsto ločiti od glasbe. 34.7| Tretja vrsta glasbene dejavnosti je zmožnost presojanja. Po tej je možno pre- tehtavati ritme, melodije in pesmi kot celote. Ta dejavnost je v celoti le v raz- mišljanju in v preiskujočem gledanju in zato je ta zares lastna glasbi. Pravi mu - zik je torej tisti, ki ima zmožnost, da skladno z globokim uvidom in ustreznim razumevanjem, prilagojenim glasbi, razsoja o modusih, ritmih, zvrsteh pesmi, o križanju vsega tega, o vsem, kar bo treba razložiti v nadaljevanju, in o delih pesnikov. Konec prve knjige o glasbi, tj. o temeljih harmonije. BOETIJ_TXT2013_01.indd 79 28.11.2013 12:19:42 80 80 I. Proemium 1.1| Superius volumen cuncta digessit, quae nunc diligentius demonstranda esse proposui. Itaque priusquam ad ea veniam, quae propriis rationibus perdo- cenda sunt, pauca praemittam, quibus elucubratior animus auditoris ad ea quae dicenda sunt accipienda perveniat. II. Quid Pythagoras esse philosophiam constituerit 2.1| Primus omnium Pythagoras sapientiae studium philosophiam nuncupavit, quam scilicet eius rei notitiam ac disciplinam ponebat, quae proprie vereque esse diceretur. Esse autem illa putabat, quae nec intentione crescerent, nec deminutione decrescerent nec ullis accidentibus mutarentur. Haec autem esse formas magnitudines qualitates habitudines ceteraque quae per se spe- culata inmutabilia sunt, iuncta vero corporibus permutantur et multimodis variationibus mutabilis rei cognatione vertuntur. III. De differentiis quantitatis et quae cui sit disciplinae deputata 3.1| Omnis vero quantitas secundum Pythagoram vel continua vel discreta est. Sed quae continua est, magnitudo appellatur, quae discreta est, multitudo. Quorum haec est diversa et contraria paene proprietas. 3.2| Multitudo enim a finita inchoans quantitate crescens in infinita progreditur, ut nullus crescendi finis occurrat; estque ad minimum terminata, intermi- nabilis ad maius, eiusque principium unitas est, qua minus nihil est. Crescit vero per numeros atque in infinita protenditur nec ullus numerus, quominus crescat, terminum facit. Liber secundus BOETIJ_TXT2013_01.indd 80 28.11.2013 12:19:43 81 81 1. Predgovor 1.1| V prejšnji knjigi je bilo obravnavano vse tisto, kar sem se namenil podrobneje prikazati. A preden preidem k stvarem, ki jih je treba razložiti z ustreznimi izpeljavami, naj naredim kratek predgovor; tako bo poslušalčev razsvetljeni duh laže našel pot do razumevanja tistega, kar je treba povedati. 2. Kaj je Pitagora osnoval kot filozofijo 2.1| Pitagora je bil prvi, ki je prizadevanje za vednost imenoval filozofija. Določil jo je kot poznavanje in nauk o tistih stvareh, za katere je mogoče reči, da po svojem bistvu resnično so. Menil je, da so to stvari, ki se niti ne večajo in raste- jo, niti se ne manjšajo in upadajo: stvari, ki se sploh zaradi nobenih slučajnosti ne spreminjajo. To so oblike, velikost, lastnosti, drže in druge podobne stvari. Če tovrstne stvari gledamo same po sebi, so nespremenljive, če pa so prisotne v telesih, so zmeraj nekoliko drugačne: združene s spremenljivimi stvarmi se kot mnogovrstne različice stalno menjajo in obračajo. 3. O razlikah med količinami in katerim disciplinam so dodeljene 3.1| Vsaka količina je po Pitagori bodisi strnjena bodisi ločljiva. Strnjene količine se imenujejo velikosti, ločljive pa množine. Slednje so drugačne od prvih in imajo njim skorajda nasprotne lastnosti. 55 3.2| Množine se namreč začenjajo z določeno količino, iz katere rastejo in iz katere se vzpenjajo v neskončnost, tako da se jim v naraščanju ne postavlja nobena omejitev. V smeri proti najmanjšemu so zamejene, v smeri proti večjemu pa neomejene; njihov začetek predstavlja število 1, od katerega ni nič manjšega. Druga knjiga BOETIJ_TXT2013_01.indd 81 28.11.2013 12:19:43 82 Boethius, De institutione musica 82 3.3| Sed magnitudo finitam rursus suae mensurae recipit quantitatem, sed in in- finita decrescit. Nam si sit pedalis linea vel cuiuslibet alterius modi, potest in duo aequa dividi, eiusque medietas in medietatem secari eiusque rursus medietas in aliam medietatem, ut nunquam ullus secandi magnitudinem ter- minus fiat. 3.4| Ita magnitudo, quantum ad maiorem modum, terminata est, fit vero, cum decrescere coeperit, infinita. At contra numerus quantum ad minorem mo- dum finitus est, infinitus autem incipit esse, cum crescit. Cum igitur haec ita sint infinita, tamen quasi de rebus finitis philosophia pertractat, inque rebus infinitis repperit aliquid terminatum, de quo iure posset acumen propriae speculationis adhibere. 3.5| Namque magnitudinis alia sunt inmobilia, ut quadratum vel triangulum vel circulus, alia vero mobilia, ut sphera mundi et quicquid in eo rata celeritate convertitur. Discretae vero quantitatis alia sunt per se, ut tres vel quattuor vel ceteri numeri, alia vero ad aliquid, ut duplum, triplum aliaque quae ex comparatione nascuntur. Sed inmobilis magnitudinis geometria specula- tionem tenet, mobilis vero scientiam astronomia persequitur, per se vero discretae quantitatis arithmetica auctor est, ad aliquid vero relatae musica probatur obtinere peritiam. IIII. De relativae quantitatis differentiis 4.1| Ac de ea quidem quantitate discreta, quae per se est, in arithmeticis suffi- cienter diximus. Relatae vero ad aliquid quantitatis simplicia quidem genera sunt tria, unum quidem multiplex, aliud vero superparticulare, tertium su- perpartiens. Cum vero multiplex superparticulari superpartientique misce- tur, fiunt aliae ex his duae, id est multiplex superparticularis et multiplex superpartiens. 4.2| Horum igitur omnium talis est regula: Si unitatem cunctis in naturali nu- mero volueris comparare, ratus multiplicis ordo texetur. Duo enim ad unum duplus est, tres ad eundem triplus, quattuor quadruplus et in ceteris eodem modo, ut subiecta descriptio docet. I I I I I I II III IIII V VI VII 4.3| Si vero superparticularem proportionem quaeras, naturalem sibi compara numerum detracta scilicet unitate, ut tres duobus – sesqualter enim est – BOETIJ_TXT2013_01.indd 82 28.11.2013 12:19:43 83 83 Druga knjiga Rastejo s števili, raztezajo se v neskončnost in nobeno število jim v rasti ne postavlja meje. 3.3| Tudi velikosti imajo na začetku merjenja določeno količino, a ta se v neskonč- nost manjša. Če meri namreč premica en čevelj ali pa če je katere koli druge mere, jo je možno razdeliti na dva enaka dela; njeno polovico je mogoče razce- piti na polovico in to polovico v nadaljnjo polovico, tako da razcepljanju dane velikosti ni konca. 3.4| Velikosti so tako v smeri proti večjemu omejene, v upadanju pa nimajo meja. Nasprotno so števila omejena v smeri proti manjšemu, ko pa rastejo, so ne- skončna. A čeprav so stvari na prikazani način neomejene, jih filozofija 56 obravnava kot končne: v neomejenih stvareh poišče nekaj končnega in določe- nega, kamor lahko dejansko usmeri svoj ostri pogled. 3.5| Med velikostmi so nekatere negibne: kvadrat, trikotnik, krog, druge pa giblji- ve: vesoljska krogla in kar se v vesolju z ustrezno hitrostjo vrti. Med ločljivi- mi količinami so nekatere samostojne: 3 ali 4 in druga števila, druge pa so v medsebojnih odnosih: dvojno, trojno in drugo, kar se pokaže ob primerjavah. 57 Negibne velikosti opazuje geometrija, astronomija pa si prizadeva za znanje o gibljivih; aritmetiki pripada vedenje o ločljivih količinah samih po sebi, za muziko pa velja, da obsega vednost o količinah v medsebojnih odnosih. 4. O vrstah količinskih razmerij 4.1| Ločljive količine, ki obstojijo same zase, smo zadostno obravnavali v Arit- metiki. Količine pa, ki so v medsebojnih razmerjih, so treh osnovnih rodov: prvi je množinski rod, drugi superpartikularni, tretji superpartientni. Ker pa se množinski rod druži s superpartikularnim in superpartientnim, imamo še dva rodova: množinski superpartikularni in množinski superpartientni. 4.2| Pravila teh rodov so: Če postavljaš število 1 ob naravna števila, nastane ure- jeno zaporedje množinskih razmerij. 2 je v namreč v razmerju do 1 dvojno, 3 v razmerju do 1 trojno, 4 četverno; enako je pri nadaljnjih številih, kot uči spodnje ponazorilo. 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 4.3| Če pa iščeš superpartikularnao razmerje, primerjaj naravno število s samim seboj, le da mu odvzameš število 1. 3 primerjaj z 2 – to je tripolovinsko raz- BOETIJ_TXT2013_01.indd 83 28.11.2013 12:19:43 84 Boethius, De institutione musica 84 quattuor tribus, qui sesquitertius est, quinarium quaternario, qui sesqui- quartus est, et in ceteris eodem modo, quod monstrat subiecta descriptio. 4.4| Superpartientes autem tali modo repperies. Disponas naturalem numerum a ternario scilicet inchoantem. Si unum igitur intermiseris, superbipartientem effici pernotabis; quod si duo, supertripartientem; quod si tres, superquadri - partientem, idemque in ceteris. 4.5| Ad hunc vero ordinem spectans et compositas ex multiplici et superparticu- lari vel multiplici et superpartienti proportiones lector diligens speculabitur. Sed de his tamen omnibus in arithmeticis expeditius dictum est. V. Cur multiplicitas ceteris antecellat 5.1| Sed in his illud est considerandum, quod multiplex inaequalitatis genus longe duobus reliquis videtur antiquius. Naturalis enim numeri dispositio in multiplicibus unitati, quae prima est comparatur, superparticularis vero non unitatis comparatione perficitur, sed ipsorum, qui post unitatem sunt dispositi, numerorum, ut ternarii ad binarium, quaternarii ad ternarium et in ceteris ad hunc modum. Superpartientium vero longe retro formatio est, quae nec continuis numeris comparatur, sed intermissis, nec semper aequali intermissione, sed nunc quidem una, nunc vero duabus, nunc vero tribus, nunc quattuor, atque ita in infinita succrescit. Amplius: multiplicitas ab uni- tate incipit, superparticularitas a binario, superpartiens proportio a ternario initium capit. Sed de his hactenus. II III IV V VI VII sesqualter sesquiquartus sesquisextus sesquitertius sesquiquintus III IV V VI VII VIII VIIII superbipartiens superquadripartiens supertripartiens BOETIJ_TXT2013_01.indd 84 28.11.2013 12:19:43 85 85 Druga knjiga merje, 4 s 3, kar je štiritretjinsko razmerje, 5 s 4, kar je petčetrtinsko. Enako je v nadaljevanju, kar kaže spodnje ponazorilo. 4.4| Do superpartientnih razmerij prideš pa na tale način: Izberi naravno število od 3 dalje. Če primerjaš z njim število, ki ga dobiš tako, da preskočiš eno število, nastane superbipartientno razmerje; če primerjaš z njim število, ki ga dobiš tako, da preskočiš dve števili, nastane supertripartientno, če pa preskočiš tri števila, nastane superkvadripartientno razmerje. Tako je tudi v nadaljevanju. 58 4.5| Ko bo marljivi bralec opazoval ta red, bo sprevidel tudi rod razmerij, sesta- vljenih iz množinskega in superpartikularnega razmerja, ter rod razmerij iz množinskega in superpartientnega razmerja. A o vseh teh rečeh se obširneje govori v Aritmetiki. 5. Zakaj je množinski rod odličnejši od drugih 5.1| Pri tem vprašanju je treba upoštevati, da je množinski rod neenakosti mnogo prvotnejši od ostalih dveh. Pri množinskem rodu se namreč naravna razpore- ditev števil primerja z 1, ki je prvo število. Superpartikularni rod pa ne nastane s primerjavo z 1, pač pa z medsebojno primerjavo tistih števil, ki so razporeje- na za 1, kot 3 nasproti 2, 4 nasproti 3 in na ta način tudi pri nadaljnjih številih. Čisto drugačno pa je tvorjenje superpartientnih razmerij, saj ta ne nastajajo s primerjavo sosednjih zaporednih števil, pač pa izbranih s presledki, a niti ne z zmeraj enakimi presledki, pač pa je zdaj izpuščeno eno število, zdaj dve, zdaj pač tri, zdaj štiri, kar narašča v neskončnost. Še več: množinskost se začne z 2 3 4 5 6 7 tripolovinsko petčetrtinsko sedemšestinsko štiritretjinsko šestpetinsko 3 4 5 6 7 8 9 superbipartientno superkvadripartientno supertripartientno BOETIJ_TXT2013_01.indd 85 28.11.2013 12:19:43 86 Boethius, De institutione musica 86 5.2| Nunc quaedam, quae quasi axiomata Graeci vocant, praemittere oportebit, quae tunc demum, quo spectare videantur, intellegemus, cum de uniuscuiu- sque rei demonstratione tractabimus. VI. Quid sint quadrati numeri, deque his speculatio 6.1| Quadratus numerus est, qui gemina demensione in aequa concreverit, ut bis duo, ter tres, quater quattuor, quinquies V, sexiens VI, quorum est ista descriptio: II III IIII V VI VII VIII VIIII X IIII VIIII XVI XXV XXXVI XLVIIII LXIIII LXXXI C 6.2| Superius igitur dispositus numerus naturalis est latus quadratorum inferius descriptorum. Continui enim naturaliter sunt quadrati, qui sese in subiecto ordine consequuntur, ut IIII, VIIII, XVI et ceteri. 6.3| Si igitur continuum quadratum minorem a continuo quadrato maiore su- stulero, quod relinquitur, tantum erit, quantum est, quod ab utrorumque quadratorum lateribus iungitur. Ut si quattuor auferam novenario, V sunt reliqui, qui ex duobus et tribus, qui sunt utrorumque quadratorum latera, co - niunguntur. Item novenarium aufero de eo, qui sedecim numeris adscriptus est, septem sunt reliqui, qui scilicet ex ternario quaternarioque coniunctus est, qui praedictorum quadratorum latera sunt; idemque est in ceteris. 6.4| Quod si non sint continui quadrati, sed unus inter eos transmissus sit, fit eius quod relinquitur mediatas id, quod ex utriusque lateribus efficitur. Ut si quaternarium de sedecim quadrato auferam XII relinquuntur. Quorum XII medietas est is numerus, qui ex utrorumque lateribus convenit. Sunt autem utrorumque latera duo et quattuor, quae senarium iuncta perficiunt. Atque in ceteris idem modus est. 6.5| Sin vero duo intermittantur, tertia pars erit eius quod relinquitur id, quod utrorumque latera coniungunt. Ut si quattuor de XXV auferam intermissis duobus quadratis, reliqui XXI sunt. Eorum vero latera sunt duo et quinque, qui efficiunt septem, qui sunt pars tertia numeri XXI. 6.6| Atque haec est regula, ut, si tres intermissi sint, pars quarta sit id, quod ex utrorumque lateribus efficitur, eius, quod subtracto minore a maiore relin- quitur; sin quattuor transmittantur, quinta, atque uno plus vocabulo numeri partes venient, quam fit intermissio numerorum. BOETIJ_TXT2013_01.indd 86 28.11.2013 12:19:43 87 87 Druga knjiga 1, superpartikularnost z 2, superpartientno razmerje pa ima svoj začetek v številu 3. Toliko o tem. 5.2| Zdaj bo potrebno vpeljati nekaj aksiomov, kot jih imenujejo Grki. Kaj je njihov namen, bomo razumeli šele potem, ko bomo obravnavali vsako posamično stvar. 6. Kaj so kvadratna števila. Vpogled vanje 6.1| Kvadratno število je tisto, ki nastane kot enakomerna zrast dvojnega merjenja, kot npr. 2 krat 2, 3 krat 3, 4 krat 4, 5 krat 5, 6 krat 6. Ponazorilo kvadratnih števil je tole: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 9 16 25 36 49 64 81 100 6.2| V zgornji vrsti navedena naravna števila so stranice spodaj zapisanih kva- dratnih števil. Števila, ki si sledijo v spodnji vrsti, so pa zaporedje naravnih kvadratnih števil: 4, 9, 16 in druga. 6.3| Če v tem zaporedju manjše kvadratno število odštejemo od naslednjega ve- čjega, ostane toliko, kolikor znaša seštevek stranic obeh kvadratnih števil: Če odštejem 4 od 9, ostane 5, kar je seštevek števil 2 in 3, ki sta stranici obeh kva- dratnih števil. Podobno lahko številu 16 odvzamem 9; ostane 7, kar je seštevek števil 3 in 4, ki sta stranici imenovanih kvadratnih števil. Tako je tudi v drugih primerih. 6.4| Če pa kvadratni števili nista zaporedni, pač pa je eno med njima izpuščeno, je polovica njune razlike tisto, kar nastane s seštevkom njunih stranic: Če od kvadratnega števila 16 odštejem 4, ostane 12. Polovica tega števila je število, ki nastane iz stranic obeh kvadratnih števil. Stranici sta 2 in 4, ki sešteti izpol- nita 6. Enako je tudi pri drugih številih. 6.5| Če pa se med dvema kvadratnima številoma izpustita dve števili, bo tretjina razlike obeh kvadratnih števil enaka seštevku njunih stranic. Če na primer izpustim dve števili in od 25 odštejem 4, ostane 21. Stranici obeh kvadratnih števil sta 2 in 5, ki sešteti dasta 7, kar je tretjina števila 21. 6.6| Pravilo je takšno: če so izpuščena tri števila, bo seštevek obeh stranic četrtina razlike obeh kvadratnih števil; če so izpuščena štiri števila, petina. Ta del bo zmeraj poimenovan s številom, ki je za število 1 večje od števila izpuščenih kvadratnih števil. BOETIJ_TXT2013_01.indd 87 28.11.2013 12:19:43 88 Boethius, De institutione musica 88 VII. Omnem inaequalitatem ex aequalitate procedere eiusque demonstratio 7.1| Est autem, quemadmodum unitas pluralitatis numerique principium, ita aequalitas proportionum. Tribus enim praeceptis, ut in arithmetica dictum est, multiplices proportiones ex aequalitate producimus, ex conversis vero multiplicibus superparticulares habitudines procreamus. Item ex conversis superparticularibus superpartientes comparationes efficimus. 7.2| Ponantur enim tres unitates vel tres binarii vel tres ternarii vel quilibet aequi termini et sit primus primo aequus in sequenti scilicet ordine constitutus, secundus vero primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis ac tertio. Ita enim numero progresso fit duplex, multiplicitatis prima proportio, ut de- scriptio monet: I I I I II IIII Nam unitas in secundo ordine constituta aequa est primae unitati in supe- riore loco dispositae. Item binarius aequus est primae unitati ac secundae unitati; item quaternarius aequus est unitati primae ac duabus unitatibus secundis atque unitati tertiae, et est I, II, IIII, dupla proportio. Quod si de his idem feceris, tripla comparatio procreabitur, ac de tripla quadrupla; de quadrupla quincupla, ac deinceps talis currit habitudinum procreatio. 7.3| Rursus isdem tribus praeceptis superparticulares fient, ut uno probemus exemplo. Convertamus nunc et priorem maiorem numerum disponamus IIII, II, I. Ponatur igitur primus primo aequus, id est IIII, secundus primo scilicet et secundo, id est VI, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est VIIII, quibus dispositis sesqualtera notatur esse proportio. IIII II I IIII VI VIIII Atque id si de triplis fiat, sesquitertia, si de quadruplis, sesquiquarta, con- similibusque in alterutra parte vocabulis proportionalitas ex multiplicitate nascetur. 7.4| Ex superparticularitate vero conversa ducitur superpartiens habitudo. Di- sponatur enim conversim sesqualtera comparatio VIIII, VI, IIII. Ponatur igitur primus primo aequus, id est VIIII, secundus primo ac secundo, id est XV, tertius primo, duobus secundis et tertio, id est XXV. Ac disponantur in ordinem hoc modo: BOETIJ_TXT2013_01.indd 88 28.11.2013 12:19:43 89 89 Druga knjiga 7. Vsaka neenakost izvira iz enakosti. Dokaz tega 7.1| Kot je število 1 začetek množin in števil, je enakost začetek razmerij. V Arit- metiki je bilo prikazano tridelno pravilo, 59 po katerem izpeljujemo iz enako - sti množinska razmerja, iz množinskih v obrnjenem redu superpartikularne odnose, in slednjič iz superpartikularnih v obrnjenem redu superpartientne primerjave. 7.2| Postavimo tri števila 1 ali tri števila 2 ali tri števila 3 ali tri katera koli ena- ka števila. V spodnji vrsti naj bo prvo število določeno kot enako prvemu v zgornji vrsti; drugo naj bo enako prvemu in drugemu skupaj, tretje pa enako prvemu, dvema drugima in tretjemu. Tako nastane v zaporedju spodnjih števil dvojno razmerje, prvo med množinskimi, kot kaže ponazorilo: 1 1 1 1 2 4 Število 1, določeno v drugi vrsti, je namreč enako številu 1, postavljenemu na prvo mesto zgoraj. Nadalje je število 2 enako prvemu in drugemu številu 1; število 4 pa je enako prvemu številu 1, dvema drugima in tretjemu. Tako nastane zaporedje 1, 2, 4, ki ustreza dvojnemu razmerju. Če pa narediš s temi števili isto, bo nastalo trojno razmerje, 60 iz trojnega četverno, 61 iz četvernega peterno, in tudi nadalje poteka tvorjenje odnosov tako. 7.3| Po istem tridelnem pravilu nastajajo nadalje tudi superpartikularna razmerja, kar naj pokažemo na enem primeru. Obrnimo zdaj zaporedje in postavimo na začetek večja števila: 4, 2, 1. V spodnji vrsti naj bo prvo število enako prvemu v zgornji vrsti, tj. 4, drugo enako prvemu in drugemu, tj. 6, tretje pa naj bo ena - ko prvemu, dvema drugima in tretjemu, tj. 9. Pokaže se, da ustreza dobljeno zaporedje tripolovinskemu razmerju. 4 2 1 4 6 9 Če pa neredimo isto s števili v trojnem zaporedju, bo nastalo štiritretjinsko razmerje, 62 če s števili v četvernem razmerju, petčetrtinsko. 63 Iz vsakega mno- žinskega razmerja bo nastalo po tem postopku superpartikularno razmerje s podobnim poimenovanjem. 7.4| Superpartientni odnosi pa se izpeljujejo iz obrnjenih superpartikularnih za- poredij. Naj se tripolovinsko zaporedje razpostavi v obrnjenem vrstnem redu: 9, 6, 4. Prvo število naj bo enako prvemu številu, tj. 9, drugo enako prvemu in drugemu, tj. 15, tretje pa naj bo enako prvemu, dvema drugima in tretjemu, tj. 25. Vsa ta števila naj se takole razpostavijo v vrsto: BOETIJ_TXT2013_01.indd 89 28.11.2013 12:19:43 90 Boethius, De institutione musica 90 VIIII VI IIII VIIII XV XXV 7.5| Superbipartiens igitur ex conversis sesqualteris habitudo producta est. Quod si quis ad hanc speculationem diligens scrutator accedat, ex sesquitertiis conversis supertripartientem producit ceterisque similibus vocabulis adae- quatis cunctas ex superparticularitate superpartientes species procreari mi - rabitur. Ex non conversis autem superparticularibus, sed ita, ut ex multiplici procreati sunt, manentibus necesse est multiplices superparticulares creari. Ex manentibus vero superpartientibus ita, ut ex superparticularibus prodie- runt, non alii nisi multiplices superpartientes procreabuntur. Ac de his qui- dem hactenus; diligentius enim in arithmeticis libris de hac comparatione est disputatum. VIII. Regulae quotlibet continuas proportiones superparticulares inveniendi 8.1| Saepe autem accidit, ut tres vel quattuor vel quotlibet aequas superparticu- larium proportiones de musica disputator inquirat. Sed ne id casu atque in- scitia facientes error ullus difficultatis inpediat, hac regula quotlibet aequas proportiones ex multiplicitate ducemus. Unusquisque multiplex ab unitate scilicet computatus tot superparticulares habitudines praecedit suae scilicet in contrariam partem denominationis, quotus ipse ab unitate discesserit, hoc modo ut duplex sesqualteras antecedat, triplex sesquitertias, quadruplex se- squiquartas, ac deinceps in hunc modum. 8.2| Sit igitur duplorum terminorum subiecta descriptio. I II IIII VIII XVI III VI XII XXIIII VIIII XVIII XXXVI XXVII LIIII LXXXI In superiore igitur descriptione binarius primus multiplex unum ad se ter- narium habet, qui possit facere sesqualteram proportionem. Ternarius vero non habet, qui ei possit esse sesqualter, quoniam medietate deficit. Rursus quaternarius secundus est duplex. Hic duos sesqualteros antecedit, senarium et novenarium, qui medietate caret; atque idcirco nullus ei in habitudine sesqualtera comparatur. Et in ceteris idem est. BOETIJ_TXT2013_01.indd 90 28.11.2013 12:19:43 91 91 Druga knjiga 9 6 4 9 15 25 7.5| Superbipartientno razmerje 64 se izpelje torej iz obrnjenega tripolovinskega zaporedja. Če se bo vztrajni raziskovalec pogljabljal v to teorijo, bo iz obr- njenega štiritretjinskega zaporedja izpeljal supertripartientno razmerje 65 in z začudenjem bo ugotovil, da se iz superpartikularnih razmerij izpeljujejo vsa nadaljnja superpartientna razmerja s sorodnimi, ustrezno prilagojenimi imeni. Iz neobrnjene superpartikularne vrste, kakršna je bila izpeljana iz množinske vrste, se pa nujno tvorijo množinska superpartikularna razmerja. 66 Iz super- partientne vrste, kakršna je izšla iz superpartikularne, pa ne bodo nastala dru- ga kot množinska superpartientna razmerja. 67 Toliko o tem; podrobneje se o teh primerjavah razpravlja namreč v Aritmetiki. 8. Pravila, po katerih se iščejo zaporedna superpartikularna razmerja 8.1| Pogosto se zgodi, da razpravljalec o glasbi išče tri, štiri ali kolikor koli enakih superpartikularnih razmerij. Da bi nas pri tem ne ovirala kaka težka zmota, ko bi to delali na slepo srečo ali brez znanja, je tu pravilo, po katerem se iz danega števila izpeljujejo enaka razmerja. Vsako mnogokratno število od 1 dalje je izvor toliko enakih superpartikularnih razmerij, imenovanih v nasprotnem smislu po njem, 68 za kolikor mest je oddaljeno od 1. 69 Mnogokratniki števila 2 so tako izvor tripolovinskih razmerij, mnogokratniki števila 3 izvor štiritretjinskih razmerij, mnogokratniki števila 4 izvor petčetrtinskih razmerij in po tem redu dalje. 8.2| Postavimo torej ponazorilo mnogokratnikov števila 2. 1 2 4 8 16 3 6 12 24 9 18 36 27 54 81 V zgornjem ponazorilu ima prvo mnogokratno število 2 ob sebi le eno takšno število, ki tvori z njim tripolovinsko razmerje, in to je število 3. Število 3 pa nima števila, ki bi bilo z njim v tripolovinskem razmerju, saj ga ni mogoče razpoloviti. Drugo dvojno število je 4. To stoji pred dvema tripolovinskima številoma, 6 in 9. Slednjega ni mogoče razpoloviti; zato se v tripolovinskem razmerju ne primerja s številom 9 nobeno naslednje število. Enako je v nada- ljevanju. BOETIJ_TXT2013_01.indd 91 28.11.2013 12:19:43 92 Boethius, De institutione musica 92 8.3| Tripli vero eodem modo sesquitertios creant. Sit enim similis in triplo de- scriptio: I III VIIII XXVII LXXXI IIII XII XXXVI CVIII XVI XLVIII CXLIIII LXIIII CXCII CCLVI In superiore igitur descriptione sesquitertias proportiones ita natas vide- mus, ut primus triplex unum sesquitertium antecedat, secundus duos, ter- tius tres, semperque pars tertia in ultimo numero naturali quodam fine claudatur. Quod si quadruplum statueris, eodem modo sesquiquartos in- venies, si quincuplum sesquiquintos ac deinceps. Singuli denominatione multiplices tot superparticulares praecedunt, quoto loco ipsi ab unitate di- scesserint. 8.4| Unam vero tantum quadrupli dispositionem ponemus, ut in ea, sicut in cete- ris, lector diligens acumen mentis exerceat. I IIII XVI LXIIII CCLVI V XX LXXX CCCXX XXV C CCCC CXXV D DCXXV 8.5| Haec igitur speculatio ad hanc utilitatem videtur inventa, ut, quotienscunque quattuor vel V vel quotlibet sesqualteros vel sesquitertios vel sesquiocta- vos vel quotlibet alias proportiones quis investigare voluerit, nullo errore labatur; utque non ei numero primo tales proportiones quaerat aptare, qui, quanti sunt propositi, tot praecedere et post se habere non possit, sed dispo- nat potius multiplices videatque quantos superparticulares requirit, eumque multiplicem respiciat, qui eo loco ab unitate recesserit; ut in superioribus descriptionibus si tres sesqualteros fortasse quaesierit, ut non a quaternario ingrediatur investigationem – hic enim, quoniam secundus est duplus, duos tantum praecedit, tertiumque ei aptare non poterit – sed ut ab octonario me- dietates temptet apponere. Hic enim, quoniam tertius est, tres, quas quaerit, sesqualteras proportiones efficiet. Et in ceteris eodem modo. 8.6| Est etiam alia augendi proportiones via hoc modo. Radices proportionum di- cuntur in eisdem comparationibus minimae proportiones. Disponatur enim numerus naturalis unitate multiplicatus: II, III, IIII, V, VI, VII. Minimae igitur proportiones sunt sesqualtera III ad II, sesquitertia IIII ad III, sesqui- quarta V ad IIII, et deinceps in infinitum, et quaecunque se proportiones BOETIJ_TXT2013_01.indd 92 28.11.2013 12:19:44 93 93 Druga knjiga 8.3| Na enak način izhajajo iz mnogokratnikov števila 3 štiritretjinska razmerja. Naj bo podano podobno ponazorilo mnogokratnikov števila 3: 1 3 9 27 81 4 12 36 108 16 48 144 64 192 256 V zgornjem ponazorilu vidimo, da nastajajo štiritretjinska razmerja tako, da stoji prvi mnogokratnik števila 3 pred enim štiritretjinskim razmerjem, drugi pred dvema, tretji pred tremi. Pri tem je tista tretjina, ki določa vsako šti- ritretjinsko razmerje, kot po nekakšni naravni omejitvi zaobjeta v zadnjem številu. Če bi pa razpostavil mnogokratnike števila 4, bi na enak način prišel do petčetrtinskih razmerij, če mnogokratnike števila 5, do šestpetinskih in tako naprej. Posamezna istovrstna mnogokratna števila stojijo torej pred toliko superpartikularnimi razmerji, za kolikor mest so sama oddaljena od števila 1. 8.4| Postavili bomo le še razporeditev mnogokratnikov števila 4, da bo zavzeti bra- lec na njej, kot tudi na drugih, bistril ostrino svojega razuma. 1 4 16 64 256 5 20 80 320 25 100 400 125 500 625 8.5| Zdi se, da je bil ta postopek iznajden s tem uporabnim namenom, da bi tisti, ki bi kdaj koli hotel poiskati štiri, pet ali kolikor koli tripolovinskih, štiritre- tjinskih, devetosminskih ali katerih koli drugih razmerij, nikoli ne zapadel v zmoto; da bi določenega števila enakih razmerij ne skušal iskati pri tistemu začetnemu številu, ki ne more stati pred oz. ne more imeti za sabo toliko enakih razmerij, kolikor si jih je zamislil; pač pa da bi razporedil mnogokratnike in določil tistega, ki bi bil od števila 1 oddaljen za toliko mest, kolikor superpar - tikularnih rezmerij bi želel poiskati. Kot sledi iz zgornjih ponazoril, naj tisti, ki išče tri tripolovinska števila, ne začne svojega iskanja pri številu 4. Ker je to drugo kvadratno število, stoji le pred dvema tripolovinskima številoma, tako da mu tretjega ne bo mogel ustrezno prilagoditi; pač pa naj poskuša prištevati polovice začenši s številom 8. Ker je to tretje kvadratno število, bodo iz njega izšla tri tripolovinska razmerja, kolikor jih išče. Tudi v drugih primerih je tako. 8.6| Obstoji pa še en način, kako se išče večje število enakih razmerij: Z najmanj- šimi števili izraženo razmerje se imenuje osnovno razmerje. Razporedimo s prištevanjem števila 1 70 vrsto naravnih števil: 2, 3, 4, 5, 6, 7. Osnovna razmerja BOETIJ_TXT2013_01.indd 93 28.11.2013 12:19:44 94 Boethius, De institutione musica 94 unitate praecesserint. Propositum igitur sit, duas sesqualteras proportiones continua comparatione producere. Sumo radicem sesqualteram eamque dispono: II et III. Multiplico igitur binarium per binarium, fiunt IIII. Item ternarius per binarium crescat; erunt VI. Rursus ternarium in semet ipsum ducemus; fiunt VIIII. Qui disponantur hoc modo: II III IIII VI VIIII Inveniemus igitur duas propositas sesqualteras proportiones VI ad IIII et VIIII ad VI. 8.7| Sit nunc propositum tres invenire. Dispono eosdem numeros, quos supra in exquirendis duabus sesqualteris habitudinibus proposueram, ipsasque se- squalteras proportiones. Multiplico binario quaternarium, fiunt VIII, rursus senarium binario, fiunt XII, rursus novenarium binario, fiunt XVIII, rursus novenarium ternario, fiunt XXVII. Disponantur igitur hoc modo: II III IIII VI VIIII VIII XII XVIII XXVII 8.8| Atque hic modus erit in ceteris. Ut si sesquitertias proportiones velis exten- dere, ponas sesquitertiorum radices, quae sunt quaternarius atque ternarius ad se invicem comparati. Atque ad hunc modum multiplices. Quodsi se- squiquartas sesquiquartorum dispones radices, eademque multiplicatione sesquiquartos quotlibet extendas. Quantum autem nobis hae considerationes prosint, sequens ordo monstrabit. VIIII. De proportione numerorum, qui ab aliis metiuntur 9.1| Si duos numeros eorum differentia integre fuerit permensa, in eadem sunt proportione numeri, quos sua differentia mensa est, in qua erunt propor- tione etiam hi numeri, secundum quos eos sua mensa est differentia. Sint enim numeri L, LV. Hi igitur ad se invicem sesquidecima habitudine com- parantur, et est eorum differentia quinarius, qui scilicet est pars decima numeri L. Hic igitur metietur quidem L numerum decies LV vero undecies. Secundum X igitur atque XI numeros LV et L propria differentia, id est quinarius permetietur, et sunt XI ad X sesquidecima comparatione com- positi. In eadem igitur sunt proportione numeri, quos propria differentia BOETIJ_TXT2013_01.indd 94 28.11.2013 12:19:44 95 95 Druga knjiga so: tripolovinsko 3 : 2, štiritretjinsko 4 : 3, petčetrtinsko 5 : 4 in tako dalje v neskončnost katero koli nadaljnje razmerje, ki je za število 1 naprej od prej- šnjega. Zadajmo si nalogo, določiti dve drugo na drugo navezani tripolovinski razmerji. Vzamem okrajšano dvotretjinsko razmerje in ga razpostavim: 2 in 3. Pomnožim 2 z 2, dobim 4; preko števila 2 naj naraste tudi število 3: dobim 6. Nadalje bomo število 3 pomnožili samo s seboj: dobimo 9. Vse to naj se razpo- stavi takole: 2 3 4 6 9 Tu najdemo dve iskani dvotretjinski razmerji: 6 proti 4 in 9 proti 6. 8.7| Zadajmo si zdaj nalogo, poiskati tri dvotretjinska razmerja. Razporedim isti dve števili, ki sem ju ob iskanju dveh tripolovinskih razmerij razgrnil zgoraj, in ista tripolovinska razmerja. 4 pomnožim z 2, dobim 8, nadalje 6 z 2, dobim 12, nadalje 9 z 2, dobim 18, nadalje pomnožim 9 s 3, dobim 27. Vse to naj bo razporejeno takole: 2 3 4 6 9 8 12 18 27 8.8| Temu načinu sledijo tudi drugi primeri: Če hočeš razprostreti štiritretjinska razmerja, postavi osnovno štiritretjinsko razmerje, ki ga predstavljata med sabo primerjani števili 4 in 3. Množi ju na prikazani način. 71 Če pa želiš ime- ti petčetrtinska razmerja, boš postavil okrajšano petčetrtinsko razmerje in z enakim množenjem boš lahko razprostrl poljubno število petčetrtinskih raz- merij. 72 Koliko nam koristijo ti premisleki, se bo pokazalo v nadaljevanju. 9. O razmerjih med števili, ki jih merijo druga števila 9.1| Če razlika med dvema številoma premerja obe števili tako, da nič ne ostane, sta števili, ki ju premerja njuna medsebojna razlika, v istem razmerju kot tisti dve števili, preko katerih ju premerja njuna medsebojna razlika. Vzemimo šte- vili 50 in 55. Ti dve števili sta po medsebojni primerjavi v enajstdesetinskem razmerju. Njuna razlika je 5, ki je deseti del števila 50. Število 5 bo torej pre- merilo število 50 desetkrat, število 55 pa enajstkrat. Razlika med številoma 50 in 55, tj. število 5, bo torej premerila števili 50 in 55 preko števil 10 in 11. Števili 10 in 11 pa sta drug do drugega v enajstdesetinskem razmerju. Torej: BOETIJ_TXT2013_01.indd 95 28.11.2013 12:19:44 96 Boethius, De institutione musica 96 integre permensa est, in qua sunt hi, secundum quos eos propria differentia permensa est. 9.2| Quod si qua differentia numerorum ita eos numeros, quorum est differentia, metiatur, ut eandem mensuram numerorum pluralitas excedat idemque in utrisque sit excessus et sit deminutior differentiae mensura, quam est plura- litas numerorum, maiorem obtinebunt proportionem ad se invicem numeri, si eis illud, quod relinquitur post mensionem, retractum sit, quam fuerunt integri, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri duo LIII et LVIII. Hos igitur quinarius, qui est eorum differentia, metiatur. Metitur igitur LIII numerum quinarius decies usque ad L relinquit vero ternarium. Rursus LVIII numerum metitur idem undecies usque ad LV atque in eo ite- rum ternarium derelinquit. Auferatur igitur ex utrisque ternarius, fiunt L et LV, qui disponantur hoc modo: LIII LVIII L LV In hoc igitur manifestum est, maioris esse proportionis inter se L et LV quam LIII ad LVIII. In minoribus enim numeris maior semper proportio repperitur; quod paulo posterius demonstrabimus. 9.3| Sin vero illa differentiae permensio numerorum multitudinem supervadat eademque utrosque numeri pluralitate praetereat, minore erunt proportione numeri superius mensi cum additione eius summae, qua utrosque metiens supervadit, quam fuerunt ante, cum eos propria differentia metiebatur. Sint enim numeri XLVIII et LIII. Horum quinarius differentia est. Metiatur igi- tur XLVIII numerum quinarius decies, fiunt L. Supervadit igitur L numerus XLVIII numerum binario. Idem LIII undecies metiatur, fiunt LV qui eisdem rursus duobus LIII numerum supervadit. Addatur utrisque binarius et dispo- nantur hoc modo: XLVIII LIII L LV Minore igitur sunt proportione L ad LV comparati cum additione scilicet binarii, quo differentia eos metiens supervadit, quam XLVIII et LIII numeri, quos eadem quinarii differentia mensa est. 9.4| Maiores vero et minores proportiones hoc modo intelleguntur. Dimidia pars maior est quam tertia, tertia pars maior est quam quarta, quarta pars maior est quam quinta, ac deinceps eodem modo. Unde fit, ut sesqualtera proportio maior sit sesquitertia et sesquitertia sesquiquartam vincat. Atque idem in ceteris. Hinc evenit, ut in numeris minoribus maior semper videatur pro- BOETIJ_TXT2013_01.indd 96 28.11.2013 12:19:44 97 97 Druga knjiga kateri koli dve števili, ki ju lastna razlika premerja brez ostanka, sta v istem razmerju kot tisti dve števili, preko katerih ju premerja njuna lastna razlika. 9.2| Če pa razlika med dvema številoma na tak način premerja števili, katerih raz- lika je, da obe števili presegata mero, s katero sta premerjeni, in sicer tako, da je presežek v obeh številih enak in je razlika med obema številoma kot mera premajhna, da bi ustrezno pomnožena dosegla obe merjeni števili, bo v pri- meru, da obema številoma odvzamemo tisto, kar ob premerjanju ostane, njuno medsebojno razmerje večje, kot če ostaneta celi, kakršni je prvič premerjala njuna lastna razlika. Vzemimo števili 53 in 58. Premerja naj ju število 5, ki je njuna razlika. Število 5 meri torej število 53 do števila 50 desetkrat, ostanek je število 3. Število 58 pa premeri isto število 5 do 55 enajstkrat, ponovno pa je ostanek število 3. Obema številoma naj se odvzame 3 in dobimo števili 50 in 55. Vsa ta števila naj se takole razpostavijo: 53 58 50 55 Jasno je, da sta števili 50 in 55 v večjem medsebojnem razmerju kot 53 naspro- ti 58. Pri manjših številih je namreč razmerje zmeraj večje. To bomo dokazali malo kasneje. 73 9.3| Če pa takšno premerjanje z razliko dveh števil prekorači njuno velikost in seže preko obeh premerjanih števil za enako veliko število, bosta števili s prištetjem tiste množine, za katero je merilo prekoračilo obe števili, v manjšem razmerju kot z lastno razliko prvotno merjeni števili. Vzemimo števili 48 in 53. Razlika med njima je 5. Naj število 5 premeri število 48 desetkrat, dobimo 50. Število 50 prekorači torej število 48 za 2. Isto število 5 naj premeri število 53 enajst- krat. Dobimo 55, ki ponovno prekorači število 53 za isto število 2. Obema prvotnima številoma 48 in 53 dodajmo 2 in vsa ta števila naj se razpostavijo takole: 48 53 50 55 Števili 50 in 55, ki vključujeta razliko 2, za katero je merilo preseglo obe pre- merjani števili, sta medsebojno primerjani v manjšem razmerju kot z lastno razliko 5 prvotno merjeni števili 48 in 53. 9.4| Kaj so večja in kaj manjša razmerja, se razumeva takole: Polovica je več kot tretjina, tretjina več kot četrtina, četrtina več kot petina itd. Tako je tudi tri- polovinsko razmerje več kot štiritretjinsko, ki prekaša petčetrtinsko. Enako je tudi v nadaljevanju. Od tod izhaja, da je pri superpartikularnih razmerjih z manjšimi števili izraženo zmeraj večje razmerje. To je mogoče ponazoriti z BOETIJ_TXT2013_01.indd 97 28.11.2013 12:19:44 98 Boethius, De institutione musica 98 portio superparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali. Disponatur enim numerus naturalis I, II, III, IIII, V. Binarius igitur ad uni- tatem duplus est, ternarius ad binarium sesqualter est, quaternarius vero ad ternarium sesquitertius. Maiores vero sunt numeri ternarius et quaternarius, minores ternarius et binarius et unitas. In maioribus igitur minor et in mi- noribus maior proportio continetur. Hinc apparet, quodsi aliquibus nume- ris proportionem continentibus superparticularem aequa pluralitas addatur, maiorem esse proportionem ante aequae pluralitatis augmentum, quam po- stea quam eis pluralitas aequa sit addita. X. Qui ex multiplicibus et superparticularibus multiplicatis fiant 10.1| Illud etiam praemittendum videtur, quod paulo post demonstrabitur, si mul- tiplex intervallum binario fuerit multiplicatum, id etiam, quod ex illa mul- tiplicatione nascetur, multiplex esse; quodsi id, quod ex tali multiplicatione procreatum sit, non fuerit multiplex, tunc illud non esse multiplex, quod bi - nario fuerit multiplicatum. 10.2| Item si superparticularis proportio binario multiplicetur, id quod fit, neque superparticulare esse neque multiplex. Quod si id, quod ex tali multiplica- tione nascetur, neque multiplex est neque superparticulare, tunc illud, quod binario multiplicatum est, vel superparticularis vel alterius generis, non vero multiplicis. XI. Qui superparticulares quos multiplices efficiant 11.1| His illud addendum est, duos primos superparticulares primam efficere multi - plicem proportionem. Ut si sesqualter et sesquitertius coniungantur, duplicem creant. Sint enim numeri II, III, IIII. Ternarius ad binarium sesqualter, IIII ad III sesquitertius, IIII ad II duplus. Rursus primus multiplex primo additus superparticulari secundum multiplicem creat. Sint enim numeri II, IIII, VI. Quattuor namque ad II duplex est, primus scilicet multiplex, sex ad IIII se- squalter est, qui est primus superparticularis, VI ad II triplus, qui secundus est multiplex. Quodsi triplum sesquitertio addas, quadruplus efficietur, si quadru - plum sesquiquarto quincuplus, atque in hunc modum iunctis proportionibus multiplicium ac superparticularium in infinitum multiplices procreantur. BOETIJ_TXT2013_01.indd 98 28.11.2013 12:19:44 99 99 Druga knjiga vrsto naravnih števil. Razpostavimo tale naravna števila: 1, 2, 3, 4, 5. 2 je na- sproti 1 dvojno, 3 nasproti 2 tripolovinsko, 4 nasproti 3 štiritretjinsko. Pri tem sta 3 in 4 večji števili, 3, 2 in 1 so pa manjša števila. Med večjimi števili so torej manjša razmerja, med manjšimi pa večja. Iz tega je razvidno: če se katerima koli številoma v superpartikularnem razmerju prišteje isto število, je razmerje pred prištevkom večje kot po njem. 10. Kaj nastane z množenjem množinskih in kaj z množenjem superpartikularnih razmerij 10.1| Vnaprej naj bo povedano, kar bo malo kasneje sicer dokazano: 74 Če se mno- žinsko razmerje dvakratno množi, 75 bo tudi tisto, kar iz tega množenja nasta - ne, množinsko. Če pa tisto, kar z dvakratnim množenjem nastane, ni množin- sko, tedaj tudi ono, kar je bilo dvakratno množeno, ni množinsko. 10.2| Če se nadalje superpartikularno razmerje dvakratno množi, ni tisto, kar na - stane, niti superpartikularno niti množinsko. Če pa tisto, kar z dvakratnim množenjem nastane, ni niti množinsko niti superpartikularno, je ono, kar je bilo dvakratno množeno, bodisi superpartikularno bodisi kakega drugega rodu, vendar ne množinskega. 11. Katera superpartikularna razmerja tvorijo katera množinska razmerja 11.1| Temu je treba dodati, da tvorita prvi dve superpartikularni razmerji prvo množinsko razmerje: Če se tripolovinsko število poveže s štiritretjinskim, nastane dvojno razmerje. Vzemimo števila 2, 3, 4. 3 je nasproti 2 tripolovin- sko, 4 nasproti 3 štiritretjinsko, 4 nasproti 2 pa dvojno. Nadalje tvori prvo množinsko razmerje, povezano s prvim superpartikularnim razmerjem, dru- go množinsko razmerje. Vzemimo števila 2, 4, 6. 4 je nasproti 2 dvojno, kar je prvo množinsko razmerje, 6 je nasproti 4 tripolovinsko, kar je prvo super- partikularno razmerje, 6 je pa nasproti 2 trojno, kar je drugo množinsko raz- merje. Če pa povežeš trojno s štiritretjinskim, nastane četverno, 76 če četverno s petčetrtinskim, peterno. 77 Tako se z druženjem množinskih in superparti - kularnih razmerij v neskončnost tvorijo množinska razmerja. BOETIJ_TXT2013_01.indd 99 28.11.2013 12:19:44 100 Boethius, De institutione musica 100 XII. De arithmetica geometrica armonica medietate 12.1| Quoniam vero de proportionibus quae erant interim tractanda praediximus, nunc de medietatibus est dicendum. Proportio enim est duorum terminorum ad se quaedam comparatio. Terminos autem voco numerorum summas. Pro- portionalitas est aequarum proportionum collectio. Proportionalitas vero in tribus terminis minimis constat. Cum enim primus ad secundum terminum eandem retinet proportionem, quam secundus ad terium, dicitur haec pro- portionalitas, estque inter III terminos medius, qui secundus. 12.2| Has igitur proportiones medii termini coniungentis trina partitio est. Aut enim aequa est differentia minoris termini ad medium et medii ad maxi- mum, sed non aequa proportio, ut in his numeris I, II, III. Inter I quippe ac II et inter II ac III tantum unitas differentiam tenet; non est autem aequa pro- portio; II quippe ad I dupli sunt, III ad II sesqualter. Aut est aequa in utrisque proportio non vero aequalibus differentiis constituta, ut in his numeris I, II, IIII. Nam II ad I ita sunt dupli, quemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumque binarius, inter binarium atque unitatem unitas differentiam facit. Est vero tertium medietatis genus, quod neque ei- sdem proportionibus neque eisdem differentiis constat, sed quemadmodum se habet maximus terminus ad minimum, ita sese habet maiorum termi- norum differentia ad minorum differentiam terminorum, ut in his numeris III, IIII, VI. Nam VI ad III duplus est, inter VI vero et IIII binarius interest, inter quaternarium vero ac ternarium unitas. Sed binarius comparatus ad unitatem rursus duplus est. Ergo ut est maximus terminus ad minimum, ita maiorum differentia ad minorum differentiam terminorum. Vocatur igitur illa medietas, in qua aequae sunt differentiae, arithmetica, illa vero, in qua aequae proportiones, geometrica, illa autem, quam tertiam descripsimus, ar- monica. Quarum haec subiciamus exempla: Arithmetica Geometrica Armonica I II III I II IIII III IIII VI 12.3| Non vero ignoramus esse alias quoque proportionum medietates, quas qui- dem in arithmeticis diximus. Sed ad praesentem tractatum hae sunt interim necessariae. Sed inter has tres medietates proportionalitas quidem proprie et maxime geometrica nuncupatur idcirco, quoniam aequis proportionibus tota contexitur. Sed tamen eodem utemur promiscue vocabulo proportionalitates etiam ceteras nuncupantes. BOETIJ_TXT2013_01.indd 100 28.11.2013 12:19:44 101 101 Druga knjiga 12. O aritmetični, geometrični in harmonični sredini 12.1| Ker smo o razmerjih povedali vse potrebno, je treba zdaj spregovoriti o sre- dinah. Razmerje je neke vrste medsebojna primarjava dveh terminov. Ter- mine imenujem vsote števil. Proporcionalnost je zaporedje enakih razmerij, ki obstoji v najmanj treh terminih. Proporcionalnost je to, da je prvi termin v enakem razmerju do drugega kot drugi do tretjega, pri čemer je med tremi termini srednji tisti, ki je drugi. 12.2| Srednji termin, ki povezuje torej obe razmerji, je lahko treh vrst. Med naj- manjšim in srednjim terminom ter med srednjim in največjim je namreč lahko enaka razlika, ne pa isto razmerje, kot je pri številih 1, 2, 3. Tako med 1 in 2 kot med 2 in 3 je razlika 1. Razmerje pa ni isto: 2 je do 1 v dvojnem razmerju, 3 do 2 pa v tripolovinskem. S tremi termini sta nadalje lahko po- dani dve enaki razmerji, ki se pa ne vzpostavljata ob enakih razlikah, kot je pri številih 1, 2, 4. 2 je namreč nasproti 1 prav tako dvojno kot 4 nasproti 2. Vendar je med 4 in 2 razlika 2, med 2 in 1 pa 1. Je pa tudi tretja zvrst sredin, ki ne obstoji niti v enakih razmerjih niti v enakih razlikah, pač pa v tem, da je razmerje med največjim in najmanjšim terminom táko kot razmerje med razliko obeh večjih terminov in razliko obeh manjših. Tako je pri številih 3, 4, 6. 6 je v razmerju do 3 dvojno; razlika med 6 in 4 je 2, med 4 in 3 pa 1; a 2 je v primerjavi z 1 ponovno dvojno. Kot je torej največji termin do najmanj- šega, tako je razlika med obema večjima terminoma do razlike med obema manjšima. Tista sredina, pri kateri sta enaki razliki, se imenuje aritmetična sredina, tista, pri kateri sta enaki razmerji, geometrična sredina, tista, ki smo jo opisali tretjo, pa harmonična sredina. Zanje naj navedemo tele spo- dnje primere: Aritmetična Geometrična Harmonična 1 : 2 : 3 1 : 2 : 4 3 : 4 : 6 12.3| Vemo, da obstojijo med razmerji še drugačne sredine, o katerih smo govorili v Aritmetiki. A za pričujočo razpravo so za zdaj potrebne te. Od teh treh sre- din se geometrična najustrezneje imenuje proporcionalnost, zato, ker sestoji iz enakih razmerij. Vendar bomo ta izraz uporabljali prosto in imenovali propor- cionalnosti tudi druga sosledja razmerij. BOETIJ_TXT2013_01.indd 101 28.11.2013 12:19:44 102 Boethius, De institutione musica 102 XIII. De continuis medietatibus et disiunctis 13.1| Sed in his alia continua est proportionalitas alia disiuncta. Continua quidem ut superius disposuimus; unus enim idemque numerus medius nunc quidem maiori subponitur, nunc vero minori praeponitur. Quotiens vero duo sunt me- dii, tunc disiuncta proportionalitas nuncupatur, ut in geometrica hoc modo: I, II, III, VI. Nam ut est binarius ad unitatem, ita senarius ad ternarium; et voca - tur haec disiuncta proportionalitas. Unde intellegi potest, continuam quidem proportionalitatem in tribus minimam terminis inveniri, disiunctam vero in quattuor. Potest autem in quattuor et in pluribus continua esse proportiona- litas, si quidem hoc modo sit: I, II, IIII, VIII, XVI. Sed hic non erunt duae proportiones, sed plures, semperque una minus, quam sunt termini constituti. XIIII. Cur ita appellatae sint digestae superius medietates 14.1| Idcirco autem una earum medietas arithmetica nuncupatur, quod inter ter- minos secundum numerum aequa est differentia. Geometrica vero secun- da dicitur, quod similis est qualitas proportionis. Armonica autem vocatur, quoniam est ita coaptata, ut in differentiis ac terminis aequalitas proportio- num consideretur. Ac de his quidem diligentius in arithmeticis disputatum est, nunc vero, ut commemoremus tantum, ista percurrimus. XV. Quemadmodum ab aequalitate supradictae processerint medietates 15.1| Sed paulisper quemadmodum istae proportionalitates ab aequalitate procre- entur dicendum est. Praedictum est enim, quod in numero valet unitas, idem in proportionibus aequalitatem valere, et sicut numeri caput est unitas, ita proportionum aequalitatem esse principium. 15.2| Quocirca hoc modo arithmetica medietas ab aequalitate nascetur. Positis enim tribus aequis terminis hi duo modi sunt, quibus haec proportionalitas produ- catur. Ponatur enim primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo secundo ac tertio. Quod hoc monastratur exemplo. Sint unitates tres. Ponatur igitur primus primo aequus, id est unus, secundus primo ac secundo, id est II, tertius primo secundo ac tertio, id est III eritque dispositio haec: BOETIJ_TXT2013_01.indd 102 28.11.2013 12:19:44 103 103 Druga knjiga 13. O strnjenih in prekinjenih sredinah 13.1| Katere koli vrste proporcionalnost je bodisi strnjena bodisi prekinjena. Str- njena je takšna, kot v zgoraj navedenih primerih: eno in isto srednje število se zdaj postavlja pod večje, zdaj nad manjše. Kadar pa sta dve srednji števili, tedaj se proporcionalnost imenuje prekinjena, kot v geometrični proporcio- nalnosti takole: 1 : 2 : 3 : 6. Kot je namreč 2 do 1, tako je 6 do 3. Takšna pro- porcionalnost se imenuje prekinjena. Od tod je mogoče razumeti, da obstoji najmanjša strnjena proporcionalnost v treh terminih, najmanjša prekinjena pa v štirih. Vendar pa lahko obstoji strnjena proporcionalnost tudi v štirih ali več terminih, če je namreč takšna: 1 : 2 : 4 : 8 : 16. A tu nista le dve razmerji, pač pa jih bo več, zmeraj pa eno manj, kot je postavljenih terminov. 14. Zakaj se zgoraj obravnavane sredine tako imenujejo 14.1| Prva med njimi se zato imenuje aritmetična sredina, ker je med termini ena- ka številčna razlika. Drugi se zato reče geometrična, ker obstoji ob sorodnih razmerjih. Harmonična pa se tako imenuje zato, ker je tako soprilagojena, da je enakost razmerij upoštevana tako pri razlikah med termini kot pri samih terminih. A o tem se podrobneje razpravlja v Aritmetiki; tu smo to preleteli le v obliki omembe. 15. Kako izhajajo zgoraj omenjene sredine iz enakosti 15.1| Nekaj malega je treba povedati o tem, kako izhajajo proporcionalnosti iz ena- kosti. Prej je bilo namreč rečeno, da ima pri razmerjih enakost isto veljavo kot pri številih število 1, in kot je na začetku števil število 1, je začetek razmerij enakost. 15.2| Aritmetična sredina nastane iz enakosti takole. Če postavimo tri enake ter- mine, se aritmetična proporcionalnost izpelje na ta dva načina: Prvi termin naj bo enak prvemu, drugi prvemu in drugemu, tretji prvemu, drugemu in tretjemu. Prikažimo to s sledečim primerom. Naj bodo tri števila 1. Kot prvi termin naj se torej postavi enak prvemu, tj. 1, kot drugi enak prvemu in dru- gemu, tj. 2, kot tretji pa enak prvemu, drugemu in tretjemu, tj. 3. Razporedi- tev je tako tale: BOETIJ_TXT2013_01.indd 103 28.11.2013 12:19:44 104 Boethius, De institutione musica 104 I I I I II III Rursus sint III binarii in aequalitate constituti II, II, II. Ponatur primus pri - mo aequus, id est II, secundus primo et secundo, id est IIII, tertius primo secundo et tertio, id est VI; et erit dispositio haec: II II II II IIII VI Rursus idem de ternario: III III III III VI VIIII Sed in his hoc speculandum est, quod si unitas fuerit ad aequalitatis prin- cipium constituta, unitas etiam erit in differentiis numerorum, ipsi vero numeri inter se nullum intermittunt. Sin vero binarius teneat aequalitatem, binarius est differentia et unus inter terminos semper numerus intermittitur. Sin vero ternarius, idem differentia est, inter numeros vero duo naturaliter constituti intermittuntur, ac deinceps ad hunc modum. 15.3| Est etiam alia proportionalitatem arithmeticam procreandi via. Ponantur enim tres aequi termini, constituanturque primus primo ac secundo aequus, secundus primo ac duobus secundis, tertius primo, duobus secundis et tertio. Ut sint tres unitates. Sit primus primo ac secundo aequus, id est II, secundus vero primo ac duobus secundis, id est III, tertius autem primo, duobus se- cundis et tertio, id est IIII. I I I II III IIII Hic igitur terminorum differentiam unitas tenet. Inter binarium enim et uni- tatem atque inter ternarium ac binarium unitas interest. Nullus vero natura- lis numerus intermittitur. Post unitatem enim mox binarius est, ac post bi- narium ternarius naturaliter constitutus. Idem rursus in binario fiat, sintque tres binarii et sit primus primo ac secundo aequus, id est quaternarius, se- cundus vero primo et duobus secundis, id est senarius, tertius autem primo, duobus secundis et tertio, id est octonarius. II II II IIII VI VIII Hic quoque binarius tenet differentiam terminorum uno inter eos natura- liter intermisso. Nam inter IIII ac VI quinarius naturaliter, inter VI atque VIII septenarius collocatur. Quod si ternarius aequalitatis principium sit, fiet ternarius differentia uno minus semper numeris intermissis. Atque idem BOETIJ_TXT2013_01.indd 104 28.11.2013 12:19:44 105 105 Druga knjiga 1 1 1 1 2 3 Nadalje naj bodo kot enaka določena tri števila 2. Kot prvi termin naj se po- stavi enak prvemu, tj. 2, kot drugi enak prvemu in drugemu, tj. 4, kot tretji pa enak prvemu, drugemu in tretjemu, tj. 6. Razporeditev je tako tale: 2 2 2 2 4 6 Ponovno isto s številom 3: 3 3 3 3 6 9 V vseh teh primerih je mogoče videti tole: Če je za tri enaka števila določeno število 1, je 1 tudi razlika med števili, tako da med njimi samimi ni nobeno izpuščeno. Če so tri enaka števila 2, je razlika število 2 in med termini se eno število izpušča. Če pa so tri števila 3, je razlika to število in med števili se izpuščata dve naravno določeni števili. Tako je tudi nadalje. 15.3| Je pa še druga pot, po kateri se izpelje aritmetična proporcionalnost. Postavi - mo tri enake termine. Prvi termin naj se določi kot enak prvemu in drugemu, drugi kot enak prvemu in dvema drugima, tretji pa kot enak prvemu, dvema drugima in tretjemu. Za primer vzemimo tri števila 1. Naj bo prvi termin enak prvemu in drugemu, tj. 2, drugi prvemu in dvema drugima, tj. 3, tretji pa prve - mu, dvema drugima in tretjemu, tj. 4. 1 1 1 2 3 4 Tu vzdržuje razliko med termini število 1. Med 2 in 1 ter med 3 in 2 je namreč 1. Nobeno naravno število se ne izpušča: za 1 je takoj 2 in za 2 je kot naravno določeno število 3. Isto pa naredimo zdaj s številom 2. Naj bodo tri števila 2 in naj bo prvi termin enak prvemu in drugemu, tj. 4, drugi prvemu in dvema drugima, tj. 6, tretji pa prvemu, dvema drugima in tretjemu, tj. 8. 2 2 2 4 6 8 Tu vzdržuje razliko med termini število 2, tako da se med njimi izpušča eno naravno število. Med 4 in 6 je namreč po naravi postavljeno število 5, med 6 in 8 pa 7. Če pa so na začetku tri števila 3, bo razlika med termini 3, in zmeraj bo izpuščeno eno število manj, kot je razlika med termini. Isto je mogoče videti pri številu 4 in pri številu 5. Tisto, o čemer pa tu zaradi strnjenosti ne govori- mo, bo marljivi bralec, sledeč tem pravilom, odkril sam. BOETIJ_TXT2013_01.indd 105 28.11.2013 12:19:44 106 Boethius, De institutione musica 106 et in quaternario quinarioque perspicitur. Et quae nos propter brevitatem tacemus, isdem regulis ex semet ipso diligens lector inveniet. 15.4| Geometrica vero proportionalitas tunc quemadmodum inveniri ab aequali- tate possit ostendimus, quando, quemadmodum ab aequalitate omnis inae- qualitas profluat, monstrabamus. Nisi tamen fastidium est, nunc quoque breviter repetendum est. Constitutis enim tribus aequis terminis ponatur primus primo aequus, secundus primo ac secundo, tertius primo, duobus secundis et tertio. Idemque fiat continue. Atque ita ex aequalitate geometrica proportionalitas principium sumat. Sed de harum proportionum proprieta- tibus perquam diligentissime in arithmeticis diximus. Quod si ad haec illis instructus lector accedet, nullo dubitationis errore turbabitur. 15.5| Armonica vero medietas, de qua nunc paulo latius tractandum est, hac ra- tione procreatur. Constituatur enim, si quidem duplices curamus effingere tribus aequis terminis positis primus primo ac duobus secundis aequalis, se - cundus duobus primis et duobus secundis, tertius semel primo, bis secundo et ter tertio. Atque hoc modo sint unitates: I I I Constituatur igitur primus primo ac duobus secundis aequalis, id est ternari - us, secundus vero duobus primis et duobus secundis, id est IIII., tertius vero primo, duobus secundis et tribus tertiis, id est VI. Et si in binariis aequalitas constituatur vel in ternariis eadem ratio medietatis apparet, duplo a se termi- nis differentiisque distantibus, ut subiectae descriptiones monent. I I I III IIII VI II II II VI VIII XII III III III VIIII XII XVIII Quodsi facienda est in extremitatibus tripla proportio tribus aequis terminis constitutis primus quidem faciendus est ex primo ac secundo, secundus vero ex primo ac duobus secundis, tertius autem ex primo, duobus secundis ac tribus tertiis, ut est subiecta descriptio: I I I II III VI II II II IIII VI XII III III III VI VIIII XVIII BOETIJ_TXT2013_01.indd 106 28.11.2013 12:19:44 107 107 Druga knjiga 15.4| Kako se iz enakih terminov izpelje geometrična proporcionalnost, smo pred- stavili, ko smo pokazali, kako izhaja vsaka neenakost iz enakosti. 78 Če ne vzbuja dolgočasja, naj se na kratko ponovi. Po določitvi treh enakih terminov naj se postavi prvi kot enak prvemu, drugi kot enak prvemu in drugemu, tretji pa kot enak prvemu, dvema drugima in tretjemu. Isto naj bo tudi v nadaljnjih primerih in tako naj ima vsaka geometrična proporcionalnost svoj začetek v enakosti. O lastnostih vseh teh razmerij smo zelo podrobno razpravljali v Arit- metiki. Če se bo tam poučeni bralec vrnil k tem vprašanjem, ga ne bo begala več nobena dvomna zmota. 15.5| Harmonična sredina, o kateri bo treba zdaj malo obširneje razpravljati, se tvori s sledečo izpeljavo: Če jo nameravamo narediti z dvojnim razmerjem, naj se po postavitvi treh enakih terminov določi prvi kot enak prvemu in dvema drugi- ma, drugi kot enak dvema prvima in dvema drugima, tretji pa kot enak enkrat prvemu, dvakrat drugemu in trikrat tretjemu. Postavimo tri števila 1: 1 1 1 Prvi termin naj bo torej določen kot enak prvemu in dvema drugima, tj. 3, dru- gi kot enak dvema prvima in dvema drugima, tj. 4, tretji pa kot enak prvemu, dvema drugima in trem tretjim, tj. 6. Vseeno je, ali se določijo tri enaka števila 2 ali 3: zmeraj se bo pokazala ista sredina in tako razliki med termini kot oba krajna termina bosta v dvojnem razmerju, kot kažejo spodnja ponazorila. 1 1 1 3 4 6 2 2 2 6 8 12 3 3 3 9 12 18 Če pa naj bo med obema krajnima terminoma trojno razmerje, se mora po do- ločitvi treh enakih terminov prvi izvesti iz prvega in drugega, drugi iz prvega in dveh drugih, tretji pa iz prvega, dveh drugih in treh tretjih, kot v spodnjem onazorilu: 1 1 1 2 3 6 2 2 2 4 6 12 3 3 3 6 9 18 BOETIJ_TXT2013_01.indd 107 28.11.2013 12:19:44 108 Boethius, De institutione musica 108 XVI. De armonica medietate et de ea uberior speculatio 16.1| Sed ingressi armonicam disputationem, quae de ea diligentius dici possunt, tacite praetereunda esse non arbitror. Conlocetur igitur armonica proportio- nalitas inque ea descriptione superiore ordine terminorum inter se differen- tiae disponantur. differentiae I II III IIII VI termini Videsne igitur, ut IIII ad III diatessaron consonantiam prodant, VI ad IIII diapente concordent, VI vero ad III diapason misceant symphoniam ipsae- que earum differentiae rursus eandem statuant consonantiam? Binarius enim ad unitatem duplus est, in diapason consonantia constitutus. Quodsi se extremitates multiplicent itemque medius sui multiplicitate succrescat, comparati numeri toni habitudinem concordiamque servabunt. Ter enim VI efficiunt XVIII, quater IIII fiunt XVI. Sed XVIII numerus XVI minoris parte octava transcendit. Rursus minimus terminus, si se ipse multiplicet, efficiet VIIII. Quod si maior terminus sui multiplicatione concrescat, efficiet XXXVI, qui sibimet comparati quadruplam, id est bis diapason concinen- tiam servant. 16.2| Quod si haec diligentius inspiciamus, haec erit omnis vel differentiarum vel terminorum in se invicem multiplicatio. Minimus enim terminus medio multiplicetur, fient igitur XII. Item minimus terminus maximo multiplice- tur, fient XVIII. Medius vero terminus maximi numerositate augeatur, fient XXIIII. Rursus minimus terminus se ipso concrescat, fient VIIII; eodemque modo medius, fient XVI. Senarius vero, qui est maximus, si se ipse multipli- cet, XXXVI reddet. Haec igitur in ordinem disponantur: XXXVI XXIIII XVIII XVI XII VIIII Sunt igitur diatessaron consonantiam resonantes XXIIII ad XVIII et XII ad VIIII, diapente vero XVIII ad XII et XXIIII ad XVI et XXXVI ad XXIIII, tripla autem, quae est diapason et diapente XXXVI ad XII, quadrupla vero, quae est bis diapason XXXVI ad VIIII, epogdous vero, qui tonus est, XVIII ad XVI comparatione servatur. BOETIJ_TXT2013_01.indd 108 28.11.2013 12:19:44 109 109 Druga knjiga 16. O harmonični sredini. Obširnejši vpogled vanjo 16.1| Lotevamo se razprave o harmonični sredini in ne mislim zamolčati tistega, kar se da v zvezi z njo podrobneje razložiti. Postavimo harmonično proporcio- nalnost in v ponazorilu naj se v zgornji vrsti navedeta medsebojni razliki med termini. razliki 1 2 3 4 6 termini Ali ne vidiš, kako daje razmerje 4 do 3 konsonanco kvarte, kako soglašata 6 in 4 kot kvinta, kako se 6 in 3 spajata kot sozvočje oktave, in kako diferenci teh terminov ponovno vzpostavljata konsonanco oktave? Število 2 je namreč nasproti 1 dvojno in osnovano je kot konsonanca oktave. Če pa se oba krajna termina zmnožita in če naraste srednji tako, da se pomnoži sam s seboj, bosta imeli nastali števili v medsebojni primerjavi sozvočje in razmerje tona (velike sekunde). 3-krat 6 je namreč 18, 4-krat 4 je 16; število 18 pa presega manjše število 16 za eno osmino slednjega. Nadalje nastane iz najmanjšega termina, če se pomnoži s seboj, 9; če pa preko množenja s seboj naraste največji termin, nastane 36, in ti dve števili imata v medsebojni primerjavi štirikratno sozvo- čje, kar je dvojna oktava. 16.2| Če vse to podrobneje pregledamo, je vse le množenje: bodisi množenje razlik ali pa medsebojno množenje terminov. Pomnožimo najmanjši termin s sre- dnjim, nastane 12. Pomnožimo nadalje najmanjši termin z največjim, nasta- ne 18. Povečajmo srednji termin z množino največjega, nastane 24. Nadalje naj najmanjši termin naraste preko samega sebe, nastane 9; če se isto zgodi s srednjim, nastane 16. Če pa največje število 6 množi samo sebe, nastane 36. Razporedimo vsa ta števila v eno vrsto: 36 24 18 16 12 9 V konsonanci kvarte zvenijo: 24 do 18 in 12 do 9; v kvinti 18 do 12, 24 do 16 in 36 do 24; trojno razmerje, kar je oktava s kvinto, je med 36 in 12, četverno, kar sta dve oktavi, med 36 in 9; devetosminsko razmerje, kar je ton (velika sekunda), pa je v primerjavi 18 nasproti 16. BOETIJ_TXT2013_01.indd 109 28.11.2013 12:19:44 110 Boethius, De institutione musica 110 XVII. Quemadmodum inter duos terminos supradictae medietates vicissim locentur 17.1| Solent autem duo termini dari proponique, ut inter eos nunc quidem arith- meticam, nunc vero geometricam, nun armonicam medietatem ponamus. De quibus in arithmeticis quoque diximus. Id tamen ipsum nunc etiam breviter explicemus. Si arithmetica medietas quaeritur, datorum terminorum videnda est differentia eaque dividenda ac minori termino adicienda. Sint enim X et XL altrinsecus termini constituti horumque medietas secundum arithmeticam proportionalitatem quaeratur. Differentiam prius utrorumque respicio, quae est XXX. Hanc divido, fiunt XV. Hanc minori termino, id est denario appono, fiunt XXV. Si igitur hic inter XL ac X medius conlocetur, fit arithmetica pro - portionalitas hoc modo: X, XXV, XL. 17.2| Item inter eosdem terminos medietatem geometricam conlocemus. Extre- mos propria numerositate multiplico, ut X in XL, fiunt CCCC. Horum tetra- gonale latus adsumo, fiunt XX. Vicies enim XX efficiunt CCCC. Hos igitur XX medios inter X ac XL si conlocem, fit geometrica medietas subiecta descriptione formata: X, XX, XL. 17.3| Si vero armonicam medietatem quaeramus, sibimet ipsis copulamus extre- mos, ut X et XL; fiunt L. Eorum differentiam, quae est XXX in minorem terminum multiplicamus, scilicet in denarium, ut fiant decies XXX qui sunt CCC. Hos secundum L partimur; fiunt VI. Quos cum minori termino addide- rimus, redduntur XVI. Hunc igitur numerum si inter X ac XL medium conlo- cemus armonica proportionalitas expeditur: X, XVI, XL. XVIII. De consonantiarum merito vel modo secundum Nicomachum 18.1| Sed de his hactenus. Nunc illud videtur addendum, quemadmodum Pythagorici probent consonantias musicas in praedictis proportionibus inveniri. In qua re scilicet eis Ptolomaeus non videtur adsensus, de quo paulo posterius dicemus. 18.2| Haec enim ponenda est maxime esse prima suavisque consonantia, cuius pro - prietatem sensus apertior conprehendit. Quale est enim unumquodque per se - met ipsum, tale etiam deprehenditur sensu. Si igitur cunctis notior est ea con - sonantia, quae in duplicitate consistit, non est dubium, primam esse omnium diapason consonantiam meritoque excellere, quoniam cognitione praecedat. Reliquae vero hunc necessario secundum Pythagoricos ordinem tenent, quem BOETIJ_TXT2013_01.indd 110 28.11.2013 12:19:44 111 111 Druga knjiga 17. Kako se med dva termina postavljajo zgoraj omenjene sredine 17.1| Včasih sta dana dva termina in mednju je treba postaviti bodisi aritmetično, geometrično ali pa harmonično sredino. O tem smo sicer govorili v Aritmeti- ki, a isto naj kratko razložimo tudi tu. Če iščemo aritmetično sredino, je treba določiti razliko med danima terminoma, jo razpoloviti in dobljeno polovico prišteti manjšemu terminu. Vzemimo drugega nasproti drugemu termina 10 in 40 in določimo njuno sredino po aritmetični proporcionalnosti. Najprej po- iščemo razliko med njima, ki je 30. Razpolovimo jo, dobimo 15. To dodamo manjšemu terminu, se pravi 10, in dobimo 25. Če se torej to število postavi sredi med 10 in 40, nastane aritmetična proporcionalnost: 10 : 25 : 40. 17.2| Nadalje namestimo med ista dva termina geometrično sredino. Zmnožim oba krajna termina: 10-krat 40 je 400. Temu številu poiščem njegov kvadratni ko- ren, dobim 20. 20-krat 20 je namreč 400. Če namestim to število sredi med 10 in 40, nastane geometrična sredina, kot je oblikovana v sledečen ponazorilu: 10 : 20 : 40. 17.3| Če pa iščemo harmonično sredino, seštejmo drugega z drugim oba krajna termina 10 in 40; dobimo 50. Njuno razliko, ki je 30, pomnožimo z manjšim terminom, se pravi z 10: 10-krat 30 je 300. To delimo s 50, dobimo 6, kar prištejemo manjšemu terminu. Dobimo 16, in če to število namestimo sredi med 10 in 40, se pokaže harmonična proporcionalnost: 10 : 16 : 40. 18. O vrednosti in redu konsonanc po Nikomahu 18.1| Toliko o tem. Zdaj pa dodajmo, kako so skušali pitagorejci v omenjenih raz- merjih iskati konsonance. Glede tega se Ptolemaj sicer ni strinjal z njimi, o čemer bomo spregovorili malo kasneje. 18.2| Kot prvo in najprijetnejšo konsonanco je treba določiti tisto, katere značil- nosti čuti najlaže zaznajo. Kakršno je namreč kar koli samo po sebi, takšno zajamejo tudi čuti. Če je torej med vsemi konsonancami najrazpoznavnejša tista, ki obstoji v dvojnem razmerju, ni dvoma, da je med vsemi prva konso- nanca oktave; ker je po razpoznavnosti pred drugimi, je po pravici na prvem mestu. Ostale konsonance pa se po pitagorejcih nujno drže reda, ki nastane z večanjem množinskih in manjšanjem superpartikularnih razmerij. Prika- zano je bilo, da je množinska neenakost prvobitnejša od superpartikularnih razmerij. 79 Razpostavimo tako vrsto naravnih števil od 1 do 4: 1, 2, 3, 4. Šte- BOETIJ_TXT2013_01.indd 111 28.11.2013 12:19:44 112 Boethius, De institutione musica 112 dederint multiplicitatis augmenta et superparticularis habitudinis detrimenta. Monstratum quippe est, quod multiplex inaequalitas superparticulares propor- tiones meriti antiquitate transcendat. Quocirca naturalis numerus ab unitate usque ad quaternarium disponatur: I, II, III, IIII. Igitur uni binarius comparatus proportionem duplicem facit et reddit diapason consonantiam eam, quae est maxima et simplicitate notissima. Si vero unitati ternarius comparetur, diapa - son ac diapente concordiam personabit. Quaternarius vero unitati comparatus quadruplam tenet bis scilicet diapason efficiens symphoniam. Quod si terna - rius binario comparetur, diapente, si vero quaternarius ternario, diatessaron concinentiam supplet. Isque est horum ordo cunctis ad se invicem comparatis. Namque comparatio restat. Si quaternarium binario comparemus, cadet in du - plicem proportionem, quam tenebat ad unitatem binarius comparatus. 18.3| Itaque maxime distant soni in bis diapason, cum a se quadrupla intervalli de- mensione discedunt. Minimum vero inter se esse consonantes videntur soni, cum acutior graviorem tertia gravioris parte transcendit. Ac stat deinceps con- cinentiarum modus, qui neque ultra quadruplam possit extendi, neque intra partem tertiam coartari. Et secundum Nicomachum quidem hic consonantia- rum est ordo, ut sit prima diapason, secunda diapason et diapente, tertia bis diapason, quarta diapente, quinta diatessaron. XVIIII. De ordine consonantiarum sententia Eubulidis et Hippasi 19.1| Sed Eubulides atque Hippasus alium consonantiarum ordinem ponunt. Aiunt enim multiplicitatis augmenta superparticularitatis deminutione rato ordine respondere. Itaque non posse esse duplum praeter dimidium, nec tri- plum praeter tertiam partem. Quoniam igitur sit duplum, ex eo diapason consonantiam reddi, quoniam vero sit dimidium, ex eo quasi contrariam di- visionem sesqualteram, id est diapente, effici proportionem. Quibus mixtis, scilicet diapason ac diapente, triplicem procreari, quae utramque contineat symphoniam. Sed rursus triplici partem tertiam contraria divisione partiri, ex qua rursus diatessaron symphonia nascetur. Triplicem vero atque sesqui- tertium iunctos quadruplam comparationem proportionis efficere. Unde fit, ut ex diapason ac diapente, quae est una consonantia, et diatessaron una concinentia coniungatur, quae in quadruplo consistens bis diapason nomen accepit. Secundum hos quoque hic ordo est: diapason, diapente, diapason ac diapente, diatessaron, bis diapason. BOETIJ_TXT2013_01.indd 112 28.11.2013 12:19:44 113 113 Druga knjiga vilo 2 je v primerjavi z 1 v dvojnem razmerju in daje konsonanco oktave, ki je med vsemi najbolj konsonančna in v svoji preprostosti najbolj razpoznavna; če se 1 primerja s 3, bo število 3 zazvenelo v sozvočju oktave s kvinto; 4 vzdržuje v primerjavi z 1 četvorno razmerje in tvori sozvočje dvojne oktave; če se 3 primerja z 2, zapolni sozvočje kvinte, če 4 s 3, pa sozvočje kvarte. S tem je vrsta medsebojnih primerjav med štirimi števili izčrpana, kajti pri- merjava 4 nasproti 2, ki še preostaja, pade v dvojno razmerje, kot ga ima 2 v primerjavi z 1. 18.3| Najbolj oddaljena sta si tako tona v dvojni oktavi, kjer se razhajata za štirikra - tno premeritev medsebojnega razmaka. V najmanjšem razmaku pa sozvenita tona, od katerih presega višji nižjega za tretjino nižjega. Razvrstitev sozvočij je torej postavljena tako, da je ni mogoče niti širiti preko četvernega razmerja niti krčiti pod eno tretjino. Po Nikomahu je tako red konsonanc ta, da je prva oktava, druga oktava s kvinto, tretja dvojna oktava, četrta kvinta, peta kvar- ta. 19. O Evbulidovem in Hipasovem pojmovanju zaporedja konsonanc 19.1| A Evbulid in Hipas 80 postavljata drugačno zaporedje konsonanc. Trdita na - mreč, da večanje množinskih razmerij smiselno odgovarja manjšanju su- perpartikularnih. Dvojno tako ni možno brez polovičnega, trojno ne brez tretjinskega. Ker torej obstoji dvojno, nastane po njem konsonanca oktave, ker pa obstoji polovično, se polovičnemu nasproti postavlja tripolovinsko razmerje, kar je kvinta. 81 Če se združi oboje, oktava namreč in kvinta, na- stane trojno sozvočje, ki vsebuje obe prejšnji sozvočji. 82 A tudi nasproti troj- nemu se postavlja tretjina, 83 iz katere nastane sozvočje kvarte. Trojno in štiritretjinsko pa združeni dasta četverno razmerje: 84 Oktava s kvinto, kar je ena konsonanca, se tako poveže s kvarto v eno sozvočje, ki obstoji v četver- nem razmerju in se imenuje dvojna oktava. Po Evbulidu in Hipasu je torej zaporedje konsonanc takšno: oktava, kvinta, oktava s kvinto, kvarta, dvojna oktava. BOETIJ_TXT2013_01.indd 113 28.11.2013 12:19:45 114 Boethius, De institutione musica 114 XX. Sententia Nicomachi, quae quibus consonantiis opponantur 20.1| Sed Nicomachus non eandem esse eis arbitratur contrariam positionem, sed potius ut unitas in arithmeticis crementi erat deminutionisque principium, ita etiam diapason symphoniam reliquarum esse principium, illas vero sibi in contraria divisione posse constitui. Id vero facilius erit cognitu, si prius pervideatur in numeris. Constituatur igitur unitas, duaeque ab ea partes fluant, una multiplicis alia divisionis, sitque haec formula: Et ad hunc modum ad infinita progressio est. Binarius enim unitatis duplus est; contraria vero eius pars eiusdem dimidium unitatis ostendit; tres triplus et contraria pars tertia; quattuor quadruplus parsque contraria quarta; atque ita crescendi et decrescendi in simplici est unitate principium. 20.2| Idem igitur nunc ad consonantias convertamus. Erit igitur diapason quidem, quae dupla est, supremi loco principii, quae vero reliquae sunt, in contraria divisione hoc modo: sesqualter quidem triplo, sesquitertius vero quadruplo; quod tali argumentatione probabitur. Idem enim primus est sesqualter, qui primus triplus, scilicet principalis unitatis. Nam ternarius idem primus triplus est, si unitati, idem primus sesqualter, si binario comparetur. Rursus idem ter - narius eius differentiae, quam ad binarium facit, cuius naturaliter positus pro- batur esse sesqualter, triplus est. Cum igitur iure sesqualter triplici opponatur, diapente consonantia diapente ac diapason consonantiae rationabiliter putatur opponi. Rursus quadruplus sesquitertii contrariam divisionem tenet. Nam qui est primus quadruplus idem rursus primus sesquitertius invenitur hoc modo. Quaternarius quippe primus est quadruplus, si unitati, primus sesquitertius, si ternario comparetur. Rursus eius differentiae, quam inter se ac ternarium te- net, ipse fit quadruplus. Unde fit, ut sesquitertia proportio, quae est diatessa - ron, quadruplae proportioni, quae est bis diapason, in contrarium dividatur. Dupla vero quoniam nullam habet oppositam proportionem nec ullius ipsa I Dimidium Pars tertia Pars quarta Pars quinta II. Duplum III. Triplum IIII. Quadruplum V. Quinquuplum BOETIJ_TXT2013_01.indd 114 28.11.2013 12:19:45 115 115 Druga knjiga 20. Nikomahov nauk o tem, katere konsonance so nasproti katerim konsonancam 20.1| Toda Nikomah meni, da nasprotni položaj ni to, za kar sta ga imela Evbulid in Hipas. Kot je v aritmetiki število 1 začetek naraščanja in manjšanja, tako je tudi sozvočje oktave bolj kot kaj drugega izhodišče ostalih sozvočij, ki jih je mogoče postavljati drugo nasproti drugemu. To se bo laže razumelo, če se prikaže najprej s števili. Vzemimo število 1, iz katerega naj potekata dva pre- dela: predel množenja in predel deljenja. Naredimo takšno risbo: Po tej poti se gre v neskončno. Število 2 je dvojno v razmerju do 1; a dvojnosti nasprotni predel risbe pokaže polovico istega števila 1. Število 3 je trojno in trojnemu nasprotna je tretjina. 4 je četvorno in nasprotna je četrtina. Tako je v številu 1 začetek naraščanja in upadanja. 85 20.2| Zdaj pa prenesimo to na konsonance. Oktava, ki je v dvojnem razmerju, bo na najvišjem začetnem mestu, ostale konsonance se bodo pa druga nasproti drugi razvrstile tako, da bo tripolovinsko nasprotno trojnemu, štiritretjinsko nasproti četvernemu. Pravilnost takšne razporeditve se dokaže s tole utemelji- tvijo: Prvo tripolovinsko število je isto kot prvo trojno število začetnega števila 1. Število 3 je namreč prvo trojno število, če se primerja s številom 1, in prvo tripolovinsko, če se primerja s številom 2. Prav tako pa je število 3 trojno do razlike, ki ga loči od števila 2, 86 do katerega je po naravnem položaju nedvo- mno v tripolovinskem razmerju. Ker se torej tripolovinsko pravilno postavlja nasproti trojnemu, je konsonanca kvinte utemeljeno postavljena nasproti kon- sonanci oktave s kvinto. Nadalje se nasproti četvernemu postavlja štiritretjin- sko. Prvo četverno število je namreč mogoče imeti tudi za prvo štiritretjinsko število: Če se primerja s številom 1, je število 4 prvo četverno število, če pa s 3, je prvo štiritretjinsko. Ponovno je število 4 četverno tudi do tiste razlike, ki jo vzdržuje med seboj in številom 3. Štiritretjinsko razmerje, kar je kvarta, se mora tako postaviti nasproti četvernemu razmerju, kar je dvojna oktava. 1 polovica tretjina četrtina petina 2 dvojno 3 trojno 4 četverno 5 peterno BOETIJ_TXT2013_01.indd 115 28.11.2013 12:19:45 116 Boethius, De institutione musica 116 sesqualtera est, aut exstat numerus, cui possit binarius, qui primus est duplus, superparticulari proportione coniungi, talem formam contrariae proportionis excedit. Atque idcirco secundum Nicomachum diapason consonantiarum principium teneat hoc modo: Sed quamvis ita sese habeat, inquit, melius tamen omnes multiplices propor- tiones consonantiarum praecedere, superparticularitates sequi, sicut paulo ante descripsimus. 20.3| Cum igitur sit consonantia duarum vocum rata permixtio, sonus vero mo- dulatae vocis casus una intentione productus, sitque idem minima particula modulationis, omnis vero sonus constet in pulsu, pulsus vero omnis ex motu sit cumque motuum alii sint aequales, alii vero inaequales, inaequalium vero alii sint multo inaequales, alii vero minus, alii vero mediocriter inaequales: ex aequalitate quidem nascitur sonorum aequalitas, ex inaequalitate vero ea, qua secundum mediocritatem distantiae inaequales sunt, manifestae pri- maeque ac simpliciores eveniunt proportiones, quae sunt scilicet multiplicis ac superparticularis, dupli, tripli, quadrupli, sesqualteri atque sesquitertii consonantiae. Ex his vero quae in reliquis proportionibus vel multimodis vel non ita claris vel longe omnino a se distantibus inaequalitates fiunt, disso- nantiae existunt, nulla autem sonorum concordia procreatur. XXI. Quid oporteat praemitti ut diapason in multiplici genere demonstretur 21.1| Hoc igitur ita distincto demonstrabitur diapason consonantia, quae cuncta- rum optima est, in multiplici inaequalitatis genere et in duplicitatis habitu- dine repperiri. Ac primum quidem illud demonstrandum, quemadmodum in multiplicitatis genere diapason consonantia possit agnosci. Praecurrendum est igitur ad breve quiddam, quo prius cognito facilior demonstratio fiat. 21.2| Ab omni superparticulari si continuam ei superparticularem quis auferat proportionem, quae est scilicet minor, id quod relinquitur minus est eius medietate, quae detracta est, proportionis. Ut in sesqualtera ac sesquitertia. Diapason Diapente diapason Bis diapason Diapente Duplum Diatessaron plum BOETIJ_TXT2013_01.indd 116 28.11.2013 12:19:45 117 117 Druga knjiga Dvojno pa nima nobenega nasprotnega razmerja; do nobenega števila ni v tri- polovinskemu razmerju niti ne obstoji število, do katerega bi bilo število 2, ki je prvo dvojno število, v superpartikularnem razmerju, zaradi česar izpade iz vrste nasprotnih razmerij. Zato je oktava po Nikomahu na čelu vseh konso- nanc, takole: A čeprav je tako, Nikomah vendarle meni, da je bolje postaviti na prvo me- sto vsa množinska konsonančna razmerja, na drugo pa superpartikularna, kot smo opisali malo prej. 87 20.3| Konsonanca je pretehtan spoj dveh tonov, ton pa je najmanjša sestavina čle- njenega glasu, ki nastane z enim samim naponom; tak je najmanjši delček melodije. Vsak ton obstoji v utripanju, vsako utripanje pa ima izvor v gibanju. Nekatera gibanja so enaka, druga so neenaka; med neenakimi so si nekatera zelo različna, druga manj, nekatera pa so si zmerno različna. Iz enakosti v gi- banju nastane enakost tonov. Iz tiste vrste neenakosti, pri kateri so razlike sre - dnje velike, nastajajo očitna, osnovna in enostavna razmerja, ki so konsonance v množinskem in superpartikularnem razmerju: v dvojnem, trojnem, četver- nem, tripolovinskem in štiritretjinskem superpartikularnem razmerju. Iz tistih vrst neenakosti, ki obstojijo v drugih razmerjih, bodisi mnogonačinovnih, ne tako jasnih ali takih, pri katerih so razlike zelo velike, nastajajo disonance; iz teh vrst neenakosti ne nastane nobeno tonsko sozvočje. 21. Kaj je treba vnaprej povedati za dokaz, da je oktava v množinskem rodu 21.1| Ko bo pojasnjeno to, bo mogoče dokazati, da je konsonanca oktave, ki je med vsemi najočitnejša, v množinskem rodu neenakosti in v dvojnem razmerju. A najprej je treba pokazati, kako je mogoče prepoznati, da pripada množinskemu rodu. Na kratko moramo torej preleteti tisto, kar nam bo olajšalo dokaz. 21.2| Če od katerega koli superpartikularnega razmerja odvzame kdo njemu sledeče superpartikularno razmerje, ki je seveda manjše, je ostanek manjši od polo- vice tistega razmerja, ki je bilo odvzeto. Tako je na primeru tripolovinskega oktava oktava s kvinto dvojna oktava kvinta Duplum kvarta BOETIJ_TXT2013_01.indd 117 28.11.2013 12:19:45 118 Boethius, De institutione musica 118 Quoniam sesqualtera maior est, sesquitertiam de sesqualtera detrahamus; relinquitur sesquioctava proportio, quae duplicata non efficit integram se- squitertiam proportionem, sed ea distantia minor est, quae in semitonio rep- peritur. Quodsi duplicata sesquioctava comparatio non est integra sesquiter- tia, simplex sesquioctava non est sesquitertiae proportionis plena medietas. Quodsi sesquiquartum sesquitertio auferas, id, quod relinquitur, medietatem sesquiquarti non efficit. Idemque in ceteris. XXII. Demonstratio per inpossibile diapason in multiplici genere esse 22.1| Age nunc ad diapason consonantiam redeamus. Quod si ea non est in mul- tiplici genere inaequalitatis, cadet in superparticulare inaequalitatis genus. Sit igitur superparticularis proportio diapason consonantia. Auferatur ab ea continua consonantia, id est diapente, relinquitur diatessaron. Bis igitur dia- tessaron minus est uno diapente et ipsum diatessaron non inplet diapente consonantiae medietatem, quod est inpossibile. Monstrabitur enim bis dia- tessaron tono ac semitonio consonantiam diapente transcendere. Quocirca ne diapason quidem in superparticulari inaequalitatis genere poni potest. XXIII. Demonstratio diapente, diatessaron et tonum in superparticulari esse 23.1| Restat igitur, ut diapente ac diatessaron et tonum in superparticularitate po- nenda esse monstremus. Nam etsi id in prima quoque probatione ea, qua diapason in superparticulari genere non esse ponendam monstravimus, id quoque quodam rationis modo perclaruit, singillatim tamen de eo ac diligen- tius pertractemus. 23.2| Nam si in superparticulari quis has habitudines ponendas esse non dixerit, in multiplici genere fatebitur conlocandas. Nam in superpartienti vel ceteris mixtis cur poni non possint, superius ut arbitror explanatum est. Ponantur igitur, si fieri potest, in multiplici genere. Et quoniam diatessaron conso- nantia minor est, diapente maior, diatessaron duplici diapente vero triplici proportioni multiplicitatis aptetur. Verisimile enim est, ut est consonantia diatessaron consonantiae diapente continua, ita si diatessaron in duplici statuatur, diapente in continua duplicis poni, id est triplici. Tonus autem, BOETIJ_TXT2013_01.indd 118 28.11.2013 12:19:45 119 119 Druga knjiga in štiritretjinskega razmerja. Ker je tripolovinsko razmerje večje, odvzame- mo štiritretjinsko razmerje tripolovinskemu razmerju; ostane devetosminsko razmerje, ki podvojeno ne da popolnega štiritretjinskega razmerja. Podvojeno devetosminsko razmerje je od štiritretjinskega manjše za razkorak, ki ga naj- demo v poltonu. 88 Če pa podvojeno devetosminsko razmerje ni celo štiritre- tjinsko razmerje, devetosminsko razmerje ni popolna polovica štiritretjinske- ga razmerja. Če nadalje štiritretjinskemu odvzameš petčetrtinsko, ostanek ne doseže polovice petčetrtinskega. Tako je tudi v drugih primerih. 22. Dokaz na osnovi nemožnega, da je oktava v množinskem rodu 22.1| A vrnimo se h konsonanci oktave. Če ta ni v množinskem rodu neenakosti, bo zapadla superpartikularnemu. Vzemimo torej, da je oktava superpartikularno razmerje. Odvzame naj se ji naslednja konsonanca, tj. kvinta, ostane kvarta. Dve kvarti naj bi bili torej manj kot ena kvinta in sama kvarta naj bi ne na- polnila polovico konsonance kvinte, kar je nemogoče. Izkaže se namreč, da presegata dve kvarti konsonanco kvinte za ton (veliko sekundo) in polton. 89 Oktave tako ni mogoče postaviti v superpartikularni rod neenakosti. 23. Dokaz, da so kvinta, kvarta in sekunda v superpartikularnem rodu 23.1| Ostane dokaz, da sodijo kvinta, kvarta in ton (velika sekunda) k superparti- kularnosti. Čeprav smo pokazali to že v zgornjem dokazu, tistem, po katerem oktave ni mogoče postaviti v superpartikularni rod, in je bilo to na neki način utemeljeno in pojasnjeno že tam, 90 razpravljajmo o tem zdaj posamično in bolj natančno. 23.2| Če kdo trdi, da ta razmerja ne spadajo v superpartikularni rod, bo moral pri- znati, da jih je treba po staviti v množinskega. Zakaj jih ni mogoče prisoditi su - perpartientnemu ali kateremu od mešanih rodov, je bilo, kot menim, razloženo poprej. 91 Vzemimo, da spadajo ta razmerja, če je možno, v množinski rod. Ker je konsonanca kvarte manjša, kvinte večja, naj se kvarta prisodi dvojnemu, kvinta pa trojnemu množinskemu razmerju. Gotovo je, da konsonanca kvarte neposredno sledi konsonanci kvinte; tako mora biti konsonanca kvinte, če se kvarta določi kot dvojno razmerje, postavljena v razmerje, ki neposredno sledi BOETIJ_TXT2013_01.indd 119 28.11.2013 12:19:45 120 Boethius, De institutione musica 120 quoniam in habitudinibus musicis post diatessaron locatur, nimirum in ea proportione ponatur, quae est minor duplici. Haec autem in multiplicitatis genere non potest inveniri. 23.3| Restat igitur, ut in superparticularitatis habitudinem cadat. Sit igitur prima id est sesqualtera toni proportio. Nam si duplicem auferamus triplici, quod relinquitur sesqualter est. Quodsi diatessaron quidem duplex est, diapente vero triplum sublatoque diatessaron a diapente tonus fit reliquus, nullo modo dubitari potest, quin tonus in sesqualtera debeat proportione constitui. Sed duae sesqualterae proportiones duplicem vincunt, quemadmodum ex arith- meticis instructus sibi potest quisque colligere. Duo igitur toni diatessaron superabunt, quod est inconveniens. Diatessaron enim duos tonos semitonii spatio transcendit. Non igitur fieri potest, ut diapente ac diatessaron in su- perparticulari inaequalitatis genere non conlocentur. 23.4| Quod si quis tonum quoque in multiplici genere esse perscribat, quoniam quidem tonus minor quam diatessaron, diatessaron vero minus est quam dia- pente, diapente quidem ponatur in quadrupla, diatessaron in tripla, tonus in duplici. Sed diapente constat ex diatessaron et tono, quadruplum igitur se- cundum hanc rationem constabit ex triplo ac duplo, quod fieri nequit. Rursus statuatur diatessaron quidem in triplici et diapente in quadruplo. Si igitur au- feramus triplum a quadruplo sesquitertius relinquetur. Rursus si diatessaron diapente consonantiae subtrahas, fit reliquus tonus. Tonus igitur secundum hanc rationem in sesquitertia proportione constabit. Sed tres sesquitertii uno triplici fiunt minores, tres igitur toni unum diatessaron nulla ratione supple- bunt, quod est falsissimum. Duo enim toni ac semitonium minus diatessaron consonantiam supplent. Ex his igitur demonstratur diatessaron consonan- tiam non esse multiplicem. 23.5| Dico autem quoniam nec diapente consonantia in multiplici genere poterit collocari. Nam si in eo statuatur, quoniam est ei minor continua, id est diates- saron, non locabitur diapente in multiplici minimo, id est in duplici, scilicet ut sit locus, quo diatessaron consonantia possit aptari. Sed diatessaron conso- nantia multiplicis generis non est, quocirca nec diapente in maiore habitudine multiplicis quam est dupla, quae minima est, aptari potest. Sit igitur diapente in minima, scilicet dupla. Diatessaron vero, quae minor est, in multiplici qui- dem aptari non potest – non est enim quicquam minus a duplici – sit igitur sesqualtera, tonus vero sesquitertia; in continua enim proportione locabitur. Sed duo sesquitertii ampliores sunt uno sesqualtero. Duo igitur toni unam diatessaron consonantiam vincent, quod nulla ratione continget. Ex his igitur BOETIJ_TXT2013_01.indd 120 28.11.2013 12:19:45 121 121 Druga knjiga dvojnemu, to pa je trojno. Ker pa je ton (velika sekunda) v vrsti glasbenih raz- merij nameščen za kvarto, naj bo postavljen v tisto razmerje, ki je manjše od dvojnega. A takšnega v množinskem rodu ni. 23.3| Ostane torej, da pade v superpartikularna razmerja, in vzemimo, da je razmer- je tona (velike sekunde) prvo superpartikularno razmerje, tj. tripolovinsko. 92 Če se trojno deli z dvojnim, nastane tripolovinsko. Če pripada torej kvarta dvojnemu razmerju, kvinta pa trojnemu, in če ob odvzetju kvarte od kvinte ostane ton (velika sekunda), ni nobenega dvoma, da ga je treba postaviti v tripolovinsko razmerje. A dve tripolovinski razmerji sta več kot dvojno, kar si lahko vsakdo, ki se je poučil iz Aritmetike, izračuna sam. Dva tona (veliki sekundi) bosta torej presegla kvarto, kar je nesmisel, saj je kvarta za pol tona večja od dveh celih tonov. Tako ni možno, da kvinta in kvarta ne bi bili priso- jeni superpartikularnemu rodu neenakosti. 93 23.4| Morda pa bo hotel pripisati kdo ton (veliko sekundo) množinskem rodu. Ker je ton manjši od kvarte, kvarta pa manjša od kvinte, bi bila lahko kvinta posta- vljena v četverno razmerje, kvarta v trojno, ton pa v dvojno razmerje. A kvinta sestoji iz kvarte in tona, in po tem sklepanju bi četverno moralo sestajati iz trojnega in dvojnega, kar ni res. Ponovno postavimo kvarto v trojno, kvinto pa v četverno razmerje. Če četverno delimo s trojnim, nastane štiritretjinsko, in če konsonanci kvinte odvzameš kvarto, ostane ton (velika sekunda). Po tem sklepanju bi bil torej ton v štiritretjinskem razmerju. Vendar so tri štiritretjin- ska razmerja manj kot eno trojno razmerje; 94 trije toni (velike sekunde ) tako nikakor ne bi zapolnili ene kvarte, kar je popolnoma napačno. Konsonanca kvarte je namreč zapolnjena z dvema tonoma in malim poltonom. S tem je dokazano, da kvarta ne spada v množinski rod. 23.5| Trdim pa, da niti konsonanca kvinte ne more biti umeščena v množinski rod. Če bi se vendarle prisodila množinskem rodu, se ne bi pripisala najmanjšemu množinskemu razmerju, tj. dvojnemu, ko pa obstoji kvinti neposredno sledeča manjša konsonanca, kvarta, za katero bi bilo treba pustiti prostor, kamor bi jo bilo mogoče umestiti. Vendar pa konsonanca kvarte ne spada v množinski rod, in zato tudi kvinte ni mogoče pripisati večjemu množinskemu razmerju kot je dvojno, ki je najmanše. Vzemimo torej, da je kvinta v najmanjšem mno- žinskem razmerju, dvojnem; kvarta, ki je manjša od kvinte, in ki je ni mogoče umestiti med množinska razmerja, saj od dvojnega razmerja ni manjšega, naj bo tako v tripolovinskem, ton (velika sekunda) pa v štiritretjinskem razmerju – postaviti ga je treba namreč v naslednje manjše razmerje. A dve štiritretjin- ski razmerji sta več kot eno tripolovinsko. 95 Dva tona (veliki sekundi) bi torej BOETIJ_TXT2013_01.indd 121 28.11.2013 12:19:45 122 Boethius, De institutione musica 122 approbatur, diapente ac diatessaron in multiplici genere collocari non posse. Quocirca in superparticulari inaequalitatis genere iure ponentur. XXIIII. Demonstratio diapente et diatessaron in maximis superparticularibus esse 24.1| Illud quoque addendum est necessario, quoniam si diapente ac diatessaron superparticulares proportiones tenent, in maximis superparticularibus pro- portionibus collocantur. Sunt autem maximae sesqualtera et sesquitertia. Hoc vero approbatur hoc modo. Nam si in minoribus proportionibus quam sesqualtera vel sesquitertia diapente ac diatessaron consonantiae collocen- tur, non est dubium, quin, sicut aliae quaelibet proportiones superparticu- lares praeter sesqualteram ac sesquitertiam iunctae non efficiunt unum du- plum, ita diapente ac diatessaron unum diapason nulla ratione concludent. Quoniam enim diapason in duplici proportione esse monstratum est, duplex vero proportio ex sesqualtero sesquitertioque componitur, diapason vero ex diatessaron ac diapente copulatur, non est dubium, quin, si totum diapason in duplici statuamus, diapente et diatessaron in sesqualtera sesquitertiaque proportione sint locandae. Aliter enim non poterunt diapason iunctae per- ficere, quae consonantia in duplici proportione consistit, nisi in his duabus proportionibus steterint, sesqualtera scilicet ac sesquitertia. Aliae enim pro- portiones superparticulares hanc nulla ratione coniungent. XXV. Diapente in sesqualtera, diatessaron in sesquitertia esse, tonum in sesquioctava 25.1| Dico autem, quoniam proprie diapente in sesqualtera, diatessaron in sesqui- tertia proportione consistit. Quoniam enim inter utrasque proportiones, se- squalteram scilicet et sesquitertiam, sesqualtera maior est et sesquitertia mi- nor, quoniamque in consonantiis diapente maior, diatessaron minor, apparet maiorem proportionem maiori, minorem vero minori esse consonantiae ap- tandum. Erit igitur diapente quidem in sesqualtera, diatessaron vero in pro - portione sesquitertia collocanda. Quod si diatessaron a diapente consonantia subtrahamus, relinquitur spatium, quod dicitur tonus. Sesquitertium vero si proportioni sesqualterae minuamus, relinquitur sesquioctava proportio. Quo fit, ut tonus in sesquioctava debeat comparatione constitui. BOETIJ_TXT2013_01.indd 122 28.11.2013 12:19:45 123 123 Druga knjiga presegla konsonanco kvarte, kar se nikakor ne more zgoditi. Ta sklepanja po- trjujejo, da kvinte in kvarte ni mogoče umestiti v množinski rod in tako bosta pravilno postavljeni v superpartikularni rod neenakosti. 24. Dokaz, da sta kvinta in kvarta v največjih superpartikularnih razmerjih 24.1| Tole je potrebno dodati: Če pripadata kvinta in kvarta superpartikularnim razmerjem, sta nameščeni v največji dve superpartikularni razmerji, ki sta tripolovinsko in štiritretjinsko. To se dokaže takole: Če bi bili konsonanca kvinte in konsonanca kvarte nameščeni v manjša razmerja, kot sta tripolo- vinsko in štiritretjinsko, nikakor ne bi sklenili ene oktave, saj razen tripo- lovinskega in štiritretjinskega nobeni drugi dve superpartikularni razmerji skupaj ne zneseta enega dvojnega razmerja. Prikazano je bilo, da je oktava v dvojnem razmerju; to je sestavljeno iz tripolovinskega in štiritretjinske- ga, oktava pa je spoj kvarte in kvinte. Tako ne more biti dvoma, da morata biti kvinta in kvarta ob določitvi oktave kot dvojnega razmerja umeščeni v tripolovinsko in štiritretjinsko razmerje. Kvinta in kvarta združeni lahko izpolnita konsonanco oktave, ki obstoji v dvojnem razmerju, le v primeru, da sta v teh dveh razmerjih, se pravi v tripolovinskem in štiritretjinskem. Nobeni drugi dve superpartikularni razmerji se namreč ne spajata v dvojno razmerje. 25. Kvarta je v štiritretjinskem, kvinta v tripolovinskem, ton (velika sekunda) v devetosminskem razmerju 25.1| Trdim torej, da obstoji kvinta v tripolovinskem, kvarta pa v štiritretjinskem razmerju. Ker je od obeh razmerj, tripolovinskega namreč in štiritretjinske- ga, tripolovinsko večje, štiritretjinsko manjše, od obeh konsonanc pa kvin- ta večja, kvarta manjša, je treba večje razmerje pripisati večji konsonanci, manjše pa manjši. Kvinto bo torej treba umestiti v tripolovinsko, kvarto pa v štiritretjinsko razmerje. Če pa konsonanci kvinte odvzamemo kvarto, ostane prostor, ki se imenuje ton (velika sekunda), in če tripolovinskemu razmerju odvzamemo štiritretjinsko, ostane devetosminsko razmerje. Ton mora biti postavljen tako v devetosminsko razmerje. BOETIJ_TXT2013_01.indd 123 28.11.2013 12:19:45 124 Boethius, De institutione musica 124 XXVI. Diapason ac diapente in tripla proportione esse, in quadrupla bis diapason 26.1| Sed quoniam demonstratum est, diapason quidem duplam, diapente vero sesqualteram, iunctas vero duplam ac sesqualteram triplicem proportionem creare, ex his etiam illud apparet, diapente ac diapason in triplici proportio- ne constitui. Sed si quis triplici proportioni sesquitertiam habitudinem iun- gat, quadruplam facit. Igitur si diapente ac diapason consonantiis diatessa- ron symphonia iungatur, fit quadruplum spatium vocum, quod bis diapason supra esse monstravimus. XXVII. Diatessaron ac diapason non esse secundum Pythagoricos consonantias 27.1| Sed in his illud diligens lector agnoscat, quod consonantiae consonantiis superpositae alias quasdam consonantias effecerunt. Nam diapente ac dia- tessaron iunctae diapason, ut dictum est, creant. Huic vero, id est diapason, rursus si diapente symphonia iungatur, fit consonantia, quae ex utrisque vo- cabulis nuncupatur, diapason scilicet ac diapente. Cui si diatessaron addatur, fit bis diapason, quae quadruplam proportionem tenet. 27.2| Quid igitur, si diatessaron ac diapason consonantias iungamus, ullamne se- cundum Pythagoricos efficient consonantiam? Minime. Mox enim in super - partiens inaequalitatis genus cadit, nec servat vel multiplicitatis ordinem vel superparticularitatis simplicitatem. Age enim, statuantur numeri, quibus id facilius approbemus. Sit enim ternarius, cuius sit senarius duplus, scilicet in diapason consistens proportione. Huic aptetur sesquitertia, quam diatessaron esse praediximus, ut octonarius. Is enim ad senarium diatessaron proportio- nem tenet. Qui octonarius ad ternarium comparatus habet eum bis, sed, ne sit multiplex, habet etiam eius aliquas partes neque eas simplices. Duabus enim eum supervenit unitatibus, quae sunt duae tertiae partes ternarii, quem pri- mum terminum minimumque locavimus. Sint igitur termini hi III, VI, VIII. 27.3| Illud quoque, quod inter duas sibi continuas consonantias cadit. Etenim ne- que duplum est integrum, ut diapason consonantiam prodat, neque triplum, ut diapason ac diapente efficiat symphoniam. Cui si tonus addatur, mox triplum modum proportionis efficiet. Quoniam enim diapason ac diapente sibimet iunctae efficiunt triplum, diatessaron vero et tonus diapente conso- nantiam iungunt, si diapason consonantiae addatur diatessaron, inconsonum BOETIJ_TXT2013_01.indd 124 28.11.2013 12:19:45 125 125 Druga knjiga 26. Oktava s kvinto je v trojnem, dvojna oktava v četvernem razmerju 26.1| Ker je bilo dokazano, da je oktava v dvojnem, kvinta pa v tripolovinskem razmerju, in ker dvojno in tripolovinsko združeni tvorita trojno razmerje, je očitno, da je oktava s kvinto v trojnem razmerju. Če pa trojno razmerje povežemo s štiritretjinskim, naredimo četverno razmerje. Če se torej na kon- sonanco kvinte in na konsonanco oktave naveže sozvočje kvarte, nastane šti- rikratni tonski razmak, za katerega smo zgoraj pokazali, da je dvojna oktava. 27. Oktava s kvarto po mnenju pitagorejcev ni konsonanca 27.1| Pozorni bralec bo zapazil, da tvorijo konsonance, naložene na konsonance, v nekaterih primerih druge konsonance. Kot je bilo namreč povedano, tvorita kvinta in kvarta oktavo. Če se na to, tj. na oktavo, ponovno naveže kvinta, nastane konsonanca, ki nosi ime po obeh konsonancah, se pravi oktava s kvinto. Če se tej doda kvarta, nastane dvojna oktava, ki vzdržuje štirikratno razmerje. 27.2| Kaj pa, če združimo kvarto in oktavo, ali bosta ti dve konsonanci po mnenju pitagorejcev tudi tvorili konsonanco? Niti najmanj ne. Nastalo pade namreč v superpartientni rod neenakosti, ki ne kaže niti urejenosti, kot jo ima mno- žinskost, niti preprostosti, kot jo ima superpartikularnost. Vzemimo števila, s katerimi bomo to dokazali, in sicer število 3, katerega dvojno je število 6, ki je s številom 3 v razmerju oktave. Na to naj se naveže štiritretjinsko število, za katerega smo dejali, da je kvarta, in to je število 8, ki vzdržuje do števila 6 razmerje kvarte. Isto število 8, primerjano s številom 3, vsebuje slednje število dvakrat, vendar ni njegov mnogokratnik, saj ima še nekaj njegovih delov, niti ne samo enega. Prekaša ga še za število 2, kar sta dve tretjini števila 3, ki smo ga postavili kot prvi in najmanjši termin. Postavimo torej termine: 3, 6, 8. 27.3| Tisto, kar nastane iz obeh zaporednih konsonanc, 96 niti ni neokrnjeno dvoj- no, da bi dalo konsonanco oktave, niti trojno, da bi tvorilo sozvočje oktave s kvinto. A če se doda ton (velika sekunda), nastane trojno razmerje, saj tvorita oktava in kvinta medsebojno združeni trojno razmerje, kvarta in ton (veli- ka sekunda) se povezujeta pa v konsonanco kvinte. Če se torej konsonan- ci oktave doda kvarta, nastane nekaj nesozvočnega, saj si med dvojnim in BOETIJ_TXT2013_01.indd 125 28.11.2013 12:19:45 126 Boethius, De institutione musica 126 fit, quoniam inter duplicem ac triplicem nulla potest naturaliter proportio multiplicitatis intellegi. Quod si ei adicio tonum, fiet diapason diatessaron et tonus, quod nihil distabit, utrum diapason ac diapente sit. Diatessaron enim et tonus diapente constituunt. Sit enim diapason quidem III et VI, diatessa- ron VI et VIII tonus VIII et VIIII diapente VI et VIIII diapason ac diapente III ad VIIII. Erit igitur sic tripla proportio: III, VI, VIII, VIIII. 27.4| Sed quamquam de his multa Nicomachus, nos tamen, qua potuimus brevi- tate partim ea ipsa, quae Pythagorici affirmant, promentes, partim ex isdem quaedam consequentia argumentantes probavimus, si diatessaron consonan- tiae diapason addatur, consonantiam ex his coniungi non posse. Quid vero de his sentiat Ptolomaeus, posterius apponam. Sed de his hactenus. Nunc de semitoniis considerandum est. XXVIII. De semitonio, in quibus minimis numeris constet 28.1| Videntur enim semitonia nuncupata, non quod vere tonorum sint medietates, sed quod sint non integri toni, huiusque spatii, quod nunc quidem semitonium nuncupamus, apud antiquiores autem limma vel diesis vocabatur, hic modus est. Cum enim ex sesquitertia proportione, quae diatessaron est, duae se- squioctavae habitudines, quae toni sunt, auferuntur, relinquitur spatium, quod semitonium nuncupatur. Quaeramus igitur duos tonos continua dispositione descriptos. Sed quoniam hi, ut dictum est, in sesquioctava proportione consi- stunt, duasque sesquioctavas proportiones continuas adhibere non possumus, nisi multiplex ille, a quo hae derivari possint, repperiatur, sit unitas prima eiu- sque octonarius octuplus primus. Ab hoc igitur unum sesquioctavum potero derivare. Sed quia duos quaerimus, fiant octies octo atque ex eo LXIIII expli - centur. Erit igitur hic secundus octuplus, a quo possumus duas sesquioctavas proportiones educere. Namque octo, quae est octava pars LVIIII unitatum, eisdem additi totam summam LXII perficiunt. His vero si sua octava similiter apponatur, qui est novenarius, LXXXI reddunt. Eruntque duo hi toni continui principali dispositione conscripti: LXIIII, LXXII, LXXXI. 28.2| Nunc igitur LXIIII unitatum sesquitertium conquiramus. Sed quoniam LXIIII probantur partem tertiam non habere, si omnes hi numeri ternario multiplicentur, mox eis pars tertia contingit et omnes in eadem proportione durabunt, qua fuerunt, antequam his ternarius multiplicator accederet. Fiant igitur ter LXIIII, id est CXCII. Horum tertia LXIIII eisdem addita CCLVI BOETIJ_TXT2013_01.indd 126 28.11.2013 12:19:45 127 127 Druga knjiga trojnim ni mogoče misliti nobenega naravnega množinskega razmerja. A s priključitvijo tona (velike sekunde) nastane oktava s kvarto in tonom (veliko sekundo), kar ni prav nič drugega kot oktava s kvinto: kvarta in ton tvorita namreč kvinto. Oktava je torej v številih 3 in 6, kvarta v številih 6 in 8, ton v številih 8 in 9, kvinta v številih 6 in 9, oktava s kvinto pa v razmerju 3 do 9. Vse skupaj je v trojnem razmerju, takole: 3 : 6 : 8 : 9. 27.4| Drugače kot Nikomah, ki široko razpravlja o tem, smo tu na kar najkrajši način dokazali, da se konsonanca kvarte in njej dodana oktava ne moreta po- vezati v konsonanco. Pri tem smo delno navajali tisto, kar trdijo pitagorejci, delno pa smo izpeljevali nekatere posledice njihovih trditev. Kaj pa o tem misli Ptolemaj, bom dodal kasneje. 97 Toliko o tem. Zdaj je treba razmisliti o poltonih. 28. O poltonu. V katerih najmanjših številih obstoji 28.1| Poltona se ne imenujeta tako zato, ker bi bila zares polovici tona (velike se- kunde), pač pa zato, ker nista cela tona. Prostor, ki ga imenujemo polton in ki so ga stari imenovali limma ali pa diesis, dobimo na tale način: Ko se od štiritretjinskega razmerja, kar je kvarta, odvzameta dve devetosminski raz- merji, kar sta dva tona (veliki sekundi), ostane prostor, ki se imenuje polton. Poiščimo torej dva zaporedna tona (veliki sekundi) v zaporedni razporedi- tvi števil. Kot je bilo povedano, obstoji ton v devetosminskem razmerju, a dve zaporedni devetosminski razmerji lahko določimo le, če se poišče tisti mnogokratnik, iz katerega ju je mogoče izpeljati. Vzemimo torej število 1 in njegov osemkratnik kot prvo osmerno število. Iz tega bom lahko izpeljal eno devetosminsko razmerje. A ker iščemo dve, vzemimo 8-krat 8, kar je 64. To je torej drugo osmerno število, iz katerega lahko izpeljemo dve devetosmin- ski razmerji. Število 8, ki je osmi del števila 64, tvori skupaj s številom 64 vsoto 72. Če se temu številu na podoben način doda njegova osmina, ki je 9, dobimo 81. V prvi možni razporeditvi bosta dva zaporedna tona zapisana torej s števili 64, 72, 81. 28.2| Zdaj pa poiščimo številu 64 štiritretjinsko število. Ker se izkaže, da 64 nima tretjine, naj se vsa ta števila pomnožijo s 3; tako bodo imela tretjino in ostala v istih razmerjih, kot so bila, preden je pristopilo k njim število 3 kot množi- telj. Pomnožimo torej 64 s 3, dobimo 192. Prištetje tretjine tega števila, tj. 64, njemu samemu da 256. S tem smo dobili štiritretjinsko razmerje, ki vzdržuje BOETIJ_TXT2013_01.indd 127 28.11.2013 12:19:45 128 Boethius, De institutione musica 128 reddet. Erit igitur haec sesquitertia proportio, diatessaron consonantiam tenens. Nunc igitur duas sesquioctavas proportiones ad CXCII, duobus se numeris continentes, rato ordine collocemus. Fiant igitur ter LXXII, id est CCXVI; rursus ter LXXXI, qui sunt CCXLIII. Qui inter duos suprascriptos terminos collocentur hoc modo: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI. In hac igitur dispositione proportionum primus numerus ad postremum diatessaron constituit consonantiam, idem vero primus ad secundum et secundus ad ter- tium geminos continuant tonos. Constat igitur spatium, quod relinquitur, ex CCXLIII ad CCLVI, in quibus minimis semitonii forma consistit. XXVIIII. Demonstrationes non esse CCXLIII ad CCLVI toni medietatem 29.1| Approbo igitur CCXLIII ad CCLVI distantiam non esse integram toni medii demensionem. Etenim ducentorum XL trium et ducentorum LVI differentia XIII tantum unitatibus continetur, qui XIII minus quidem quam minoris octavam decimam, plus vero quam nonam decimam obtinent partem. Si enim octo decies XIII ducas, efficies CCXXXIIII, qui CCXLIII nullo modo aequabunt, si decies novies multiplices, supervadent, cum oporteat omne semitonium, si tamen integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam partem ac septimam decimam collocari, quod posterius demonstrabitur. 29.2| Nunc illud liquebit, talem semitonii distantiam sibimet geminatam unum toni spatium non posse conplere. Age enim, ut sese CCLVI ad CCXLIII ha- bent, tales duas sibimet continuas proportiones secundum superius descrip- tam regulam disponamus. CC enim et L et VI in semet ipsos multiplicemus et sit maximus terminus LX V.DXXXVI. Item CCXLIII propria numerosi- tate concrescant et sit minimus terminus LVIIII.XLVIIII. Rursus CCLVI ad CCXLIII multitudine concrescant. Erit igitur numerus LXII.CCVIII. Hic igitur medius collocetur hoc modo: LX V.DXXXVI LXII.CCVIII LVIIII.XLVIIII In eadem igitur sunt proportione CCLVI et CCXLIII, in qua LX V.DXXXVI ad LXII.CCVIII. Et item LXII.CCVIII. ad LVIIII.XLVIIII. Sed maximus eo- rum terminus, qui est LX V.DXXXVI, ad minimum, qui est LVIIII.XLVIIII, unum integrum non efficiet tonum. Quodsi primi ad secundum proportio, quae est aequa secundi ad tertium proportioni, integri esse semitonii probare - tur, duo dimidia iuncta unum necessario efficerent tonum. Nunc autem cum non sit extremorum terminorum sesquioctava proportio, manifestum est haec duo spatia proprie tonorum dimidia non videri. Quicquid enim cuiuscunque BOETIJ_TXT2013_01.indd 128 28.11.2013 12:19:46 129 129 Druga knjiga konsonanco kvarte. Zdaj pa namestimo po premišljenem redu ob število 192 dve devetosminski razmerji, zaobseženi v dveh ustreznih številih. Pomnoži- mo 72 s 3, dobimo 216; nadalje pomnožimo 81 s 3, dobimo 243. Namestimo ti dve števili med zgoraj podana termina takole: 192, 216, 243, 256. V tej razporeditvi razmerij je s prvim in zadnjim številom določena konsonanca kvarte; z istim prvim številom v razmerju do drugega in z drugim v razmerju do tretjega si sledita dva zaporedna tona (veliki sekundi). Prostor, ki ostane, je torej med številoma 243 in 256; to sta najmanjši števili, v katerih obstoji polton. 29. Dokazi, da razmerje 243 nasproti 256 ni polovica tona 29.1| Dokazujem torej, da razkorak med 243 in 256 ne premeri točne polovice tona (velike sekunde). Razlika med 243 in 256 je zaobsežena v številu 13. To število je manj kot ena osemnajstina manjšega števila 243, a več kot njegova devetnaj- stina. Če namreč 18-krat postaviš 13, dobiš 234, kar se nikakor ne izenačuje z 243; če pa isto število množiš z 19, ga dobljeno prekaša. 98 A vsak polton, če naj bi obsegal točno polovico tona, bi moral biti nameščen med eno šestnajstino in eno sedemnajstino, kot bo prikazano kasneje. 99 29.2| Zdaj pa pojasnimo, da s podvojitvijo prikazanega poltonskega razmaka ni mo- goče napolniti prostora enega tona (velike sekunde). Razpostavimo torej po zgoraj opisanem pravilu drugega za drugim dve takšni razmerji, kot je razmer- je 243 nasproti 256. Pomnožimo 256 s samim seboj in 65536 naj bo največji termin. Nadalje naj število 243 naraste preko lastne številnosti 100 in najmanjši termin naj bo 59049. Ponovno naj 256 naraste preko množine števila 243 in dobili bomo število 62208. To število naj se postavi v sredino, takole: 65536 62208 59049 256 in 243 sta v istem razmerju kot 65536 in 62208, in nadalje v istem razmer - ju kot 62208 in 59049. A največji od teh terminov, ki je 65536, v razmerju do najmanjšega, ki je 59049, ne tvori celega tona. Če bi bilo razmerje med prvim in drugim številom, ki je enako razmerju med drugim in tretjim, točni polton, bi obe polovici skupaj nujno tvorili ton (veliko sekundo). Ker pa oba zunanja termina nista v devetosminskem razmerju, je očitno, da ta dva razmaka nista pravi polovici tona. Ko se namreč kar koli, kar je polovica česa, podvoji, stvori tisto, česar polovica je. Če tega ne more doseči, je delec, ki se podvaja, manj kot polovica, če pa celoto preseže in prekorači, je več kot polovica. Dokaže pa BOETIJ_TXT2013_01.indd 129 28.11.2013 12:19:46 130 Boethius, De institutione musica 130 est dimidium, id si duplicetur, illud efficit, cuius dicitur esse dimidium. Si vero illud inplere non possit, geminata particula minus est parte dimidia, si vero superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia. Praeterea probabuntur autem LX V.DXXXVI non facere sesquioctavam proportionem, si LVIIII.XLVIIII unitatibus comparentur, si octava pars LVIIII.XLVIIII eisdem secundum eas, quae in arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quae quoniam in integris numeris non consistit, idcirco eandem octavam partem relinquimus lectorum diligentiae computandam. Liquet igitur eam proportionem, quae in CCLVI et CCXLIII est constituta, non esse integrum dimidium toni. Quocirca id, quod vere semitonium nuncupatur, pars toni minor est quam dimidia. XXX. De maiore parte toni, in quibus minimis numeris constet 30.1| Reliqua igitur pars, quae maior est, apotome nuncupatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio. Id enim natura fert, ut, quotiens aliquid secatur, ita ut non aequis partibus dividatur, quanto minor pars dimidio minor est, tanto maior pars eademque auctior dimidium vincat. Quantum igitur semi- tonium minus integro dimidio toni minus est, tantum apotome toni integrum superat dimidium. Et quoniam docuimus semitonium in CCLVI et CCXLIII principaliter stare, nunc ea, quae apotome dicitur, in quibus possit minimis constare numeris approbemus. Si igitur CCXLIII partem recipere octavam possent, cum ad eum sesquioctavus numerus compararetur, tunc CCLVI ha- bitudo ad sesquioctavam summam minimi numeri comparata apotomen ne- cessaria ratione monstraret. Nunc vero quoniam ei pars octava deesse mon- stratur, utrique numeri octies fiant. Et ex CCXLIII quidem octies multiplicatis fit numerus M.DCCCCXLIIII. Quibus si propria conferatur octava, qui sunt CCXLIII, fient II.CLXXXVII. Rursus CCLVI per octonarium crescant; fient igitur II.XLVIII. Atque hic suprascriptorum terminorum in medio collocetur: M.DCCCCXLIIII II.XLVIII II.CLXXXVII Tertius igitur terminus ad primum toni retinet proportionem, secundus vero ad primum semitonii minoris, apotomes vero tertius ad secundum. Atque in eisdem primis apotomes videtur constare proportio, cum semitonii in CCLVI et CCXLIII minimis numeris spatium contineatur. Idcirco autem M.DCCCCXLIIII et II.XLVIII in eadem proportione sunt, qua CCXLIII ad CCLVI, quoniam CCLVI et CCXLIII octonario multiplicati sunt. Si enim unus numerus duos quoslibet numeros multiplicet, qui ex ea multiplicatione nascuntur in eadem erunt propor - tione, qua fuerint hi numeri, quos prior numerus multiplicavit. BOETIJ_TXT2013_01.indd 130 28.11.2013 12:19:46 131 131 Druga knjiga se lahko, da število 65536 v primerjavi s številom 59049 ni v devetosminskem razmerju, in sicer tako, da se osmina števila 59049, sledeč pravilom, obrazlo- ženim v Aritmetiki, doda istemu številu 59049. A ta osmina ni v celih številih in zato jo prepuščamo v izračun marljivosti bralcev. Očitno je torej, da razmer- je, ki obstoji med 256 in 243, ni točna polovica tona. Kar se imenuje polton, je tako v resnici od polovice manjši del tona. 30. O večjem delu tona: v katerih najmanjših številih obstoji 30.1| Preostali večji del tona (velike sekunde) označujejo Grki kot apotomé, mi pa bi mu lahko rekli odtržek. Kadar koli se kaj preseka tako, da se razdeli na dva neenaka dela, večji in obsežnejši del po naravi za toliko preseže polovico, za kolikor je manjši del manjši od nje. Za kolikor je torej mali polton manjši od točne polovice tona, za toliko jo apotomé prekaša. Povedali smo, da obstoji polton v najmanjših številih 256 in 243; zdaj pa pokažimo, v katerih naj- manjših števili lahko obstoji tisto, kar se imenuje apotomé. Če bi se število 243 lahko povečalo za lastno osmino, tako da bi se z njim lahko primerjalo število, ki bi bilo do njega v devetosminskem razmerju, tedaj bi število 256 v primerjavi z devetosminsko vsoto 101 manjšega števila 243 po nujnosti skle- panja pokazalo apotomé. A ker število 243 nima osmine, naj se obe števili pomnožita z 8. Iz osemkrat pomnoženega števila 243 dobimo število 1944 in če se temu številu doda lastna osmina, kar je 243, dobimo 2187. Nadalje naj se preko števila 8 poveča tudi število 256. 102 Dobimo 2048 in to število naj se postavi sredi med obe poprej navedeni števili: 1944 2048 2187 Tretji termin vzdržuje do prvega razmerje tona (velike sekunde), drugi do pr- vega razmerje malega poltona, razmerje apotomé pa tretji termin do drugega. Apotomé obstoji tako v teh dveh najmanjših številih, medtem ko je poltonski prostor zaobsežen v najmanjših številih 256 in 243. Števili 1944 in 2048 sta zato v istem razmerju kot 243 in 256, ker sta nastali z množitvijo obeh sle- dnjih števil z 8. Če namreč eno in isto število množi kateri koli dve števili, sta števili, ki nastaneta iz tega množenja, v istem razmerju, kot množeni števili. BOETIJ_TXT2013_01.indd 131 28.11.2013 12:19:46 132 Boethius, De institutione musica 132 XXXI. Quibus proportionibus diapente ac diapason constent et quoniam diapason sex tonis non constet 31.1| Sed quoniam de diatessaron consonantia latius diximus, brevius et paene pu- ris numeris de diapason ac diapente consonantiis disseramus. Diapente enim constat ex tribus tonis ac semitonio, id est ex diatessaron et tono. Disponan- tur enim numeri, quos superior descriptio conprehendit: CXCII, CCXVI, CCXLIII, CCLVI. In hac igitur dispositione primus terminus ad secundum et secundus ad tertium tonorum retinent proportiones, sed tertius ad quartum semitonii minoris, ut supra monstratum est. Si igitur CCLVI octava eisdem, quorum octava est, apponatur, fient CCLXXXVIII qui CXCII comparati se- squalterum spatium proportionis efficiunt. Quocirca tres quidem toni sunt, si primus ad secundum, secundus ad tertium, quintus conferatur ad quartum. Semitonium vero minus tertii ad quartum terminum comparatio tenet. 31.2| Quodsi diatessaron quidem duorum tonorum est ac semitonii minoris, diapente vero trium tonorum ac semitonii minoris, iunctae vero diatessaron ac diapente unum diapason videntur efficere: erunt V toni et duo spatia semitoniorum mi - nora, quae unum tonum non videantur inplere. Non est igitur diapason conso - nantia constans sex tonis, ut Aristoxenus arbitratur. Quod in numeris quoque dispositum evidenter apparet. Sex enim toni in ordinem disponantur, scilicet in sesquioctavis proportionibus constituti. Sex vero sesquioctavae proportiones a sexto octuplo procreantur. Disponantur igitur sex octupli hoc modo: I VIII LXIIII DXII IIII.XCVI XXXII.DCCLXVIII CCLXII.CXLIIII Ab hoc igitur ultimo numero sex toni in sesquioctava proportione constituti lo - centur hoc modo, dispositis primum octuplis terminis, ut octavae terminorum partes ipsorum terminorum lateribus adiungantur. Sit autem descriptio talis: Sesquioctavae Partes octavae CCLXII.CXLIIII XXXII.DCCLXVIII CCXCIIII.DCCCCXII XXXVI.DCCC.LXIIII CCCXXXI.DCCLXXVI XLI.CCCCLXXII CCCLXXIII.CCXLVIII XLVI.DCLVI CCCCXVIIII.DCCCCIIII LII.CCCCLXXXVIII CCCCLXXII.CCCXCII LVIIII.XLVIIII DXXXI.CCCCXLI Huius igitur dispositionis haec ratio est. Continuus enim versus, qui limes dicitur, octuplos numeros tenet. A sexto vero octuplo sesquioctavae pro- portiones ducuntur. Ubi vero octavas partes scripsimus, octave sunt eorum numerorum partes quibus adiacent. Quae si eisdem, quibus adiacent, appo- BOETIJ_TXT2013_01.indd 132 28.11.2013 12:19:46 133 133 Druga knjiga 31. V katerih razmerjih obstojita oktava in kvinta. Oktava ne sestoji iz šestih tonov 31.1| Ker smo o konsonanci kvarte na široko govorili, razpravljajmo o konsonancah oktave in kvinte bolj na kratko in omejimo se pri tem domala na čista števila. Kvinta sestoji iz treh tonov (velikih sekund) in poltona, to je iz kvarte in tona (velike sekunde). Razpostavimo števila, navedena v prejšnjem ponazorilu: 103 192, 216, 243, 256. V tej razporeditvi vzdržujeta prvi termin do drugega in drugi do tretjega razmerje tona (velike sekunde), tretji do četrtega pa razmerje malega poltona, kot je bilo prikazano zgoraj. Če se torej ena osmina števila 256 doda številu, katerega osmina je, dobimo 288, in to število tvori v primerjavi s 192 razmak v tripolovinskem razmerju. Tu so torej trije toni (veliki sekun- di), 104 ki jih pokaže primerjava prvega termina z drugim, drugega s tretjim in petega s četrtim, medtem ko vzdržuje tretji termin do četrtega mali polton. 31.2| Če je kvarta iz dveh tonov (velikih sekund) in malega poltona, kvinta iz treh tonov in malega poltona, in če kvarta in kvinta združeni tvorita oktavo, je vse to pet tonov in dva mala poltonska razmaka, ki pa ne zapolnjujeta enega tona (velike sekunde). Konsonanca oktave torej ne sestoji iz šestih tonov, kot sodi Aristoksen. To je razločno razvidno tudi iz razporeditve ustreznih števil. Razpostavimo v eno vrsto šest z devetosminskim razmerjem določenih tonov (velikih sekund). Šest devetosminskih razmerij je mogoče izpeljati iz šestega osmernega števila. 105 Razpostavi naj se torej šest osmernih števil, takole: 1 8 64 512 4096 32768 262144 Od zadnjega števila dalje naj se namesti šest z devetosminskim razmerjem določenih tonov (velikih sekund). To naj bo ponazorjeno tako, da bodo na eni strani podpisani osemkratni termini, 106 ob vsakem pa naj bo na drugi strani podana njegova osmina: 107 Devetosminska vrsta Osmine 262144 32768 294912 36864 331776 41472 373248 46656 419904 52488 472392 59049 531441 Smisel te razporeditve je tale: Vrstica, ki se imenuje »pot«, 108 vsebuje zapored- je osmernih števil. Devetosminska razmerja se izpeljujejo iz šestega osmerne- ga števila. Osmine, kjer smo jih zapisali, so osmine tistih števil, ob katerih so BOETIJ_TXT2013_01.indd 133 28.11.2013 12:19:46 134 Boethius, De institutione musica 134 nantur, posteriores numeros creant. Ut in primo qui est CCLXII.CXLIIII, huius octava XXXII.DCCLXVIII. Hi sibimet si coniungantur, posteriorem efficiunt numerum, qui est CCXCIIII.DCCCCXII. Idemque in ceteris in- venitur. Si igitur ultimus numerus, qui est DXXXI.CCCCXLI duplus esset prioris numeri, qui est CCLXII.CXLIIII, recte diapason sex tonis constare videretur. Nunc autem si minimi numeri, id est prioris, duplicem conquira- mus, minor erit eo numero, qui est maximus ac supremus. Nam CCLXII. CXLIIII numeri duplus est, qui ad eum scilicet diapason consonantiam te- net, DXXIIII.CCLXXXVIII. Hic igitur minor est eo numero, qui sextum retinet tonum, eo scilicet, qui est DXXXI.CCCCXLI. Minor est igitur dia- pason consonantia sex tonis. Atque id, quod sex toni diapason consonan- tiam supervadunt, voco comma, quod constat in minimis numeris DXXIIII. CCLXXXVIII et DXXXI.CCCCXLI. 31.3| Sed de his, quid Aristoxenus sentiat, qui auribus dedit omne iudicium, alias commemorabo. Nunc voluminis seriem fastidii vitator adstringam. Explicit de musica id est armonica institutione liber secundus. BOETIJ_TXT2013_01.indd 134 28.11.2013 12:19:46 135 135 Druga knjiga navedene. Če se prištevajo številom, ob katerih ležijo, tvorijo naslednja števila. Osmina prvega števila 262144 je tako 32768. Če se ti dve števili povežeta, tvorita naslednje število, ki je 294912. Tako je tudi v nadaljevanju. Če bi bilo torej zadnje število, ki je 531441, dvojno začetnemu številu, ki je 262144, bi bila trditev, da sestoji oktava iz šestih tonov (velikih sekund), pravilna. A če poiščemo najmanjšemu številu, se pravi začetnemu, dvojno število, je to manj- še od največjega in zadnjega števila. Številu 262144 dvojno število, ki vzdržuje z njim konsonanco oktave, je namreč število 524288, ki je manjše od števila 531441, ki vzpostavlja šesti ton (veliko sekundo). Konsonanca oktave je torej manjša od šestih tonov. A to, s čimer šest tonov prekorači konsonanco oktave, imenujem koma, ki obstoji v najmanjših številih 524288 in 531441. 31.3| Kaj je o tem menil Aristoksen, ki je razsojanje o vsem prepuščal sluhu, bom povedal drugje. 109 Zdaj pa bom, da se izognem utrujanju bralca, prekinil zapo- redje teh strani. Konec druge knjige o glasbi, tj. o temeljih harmonije. BOETIJ_TXT2013_01.indd 135 28.11.2013 12:19:46 136 136 I. Adversum Aristoxenum demonstratio superparticularem proportionem dividi in aequa non posse atque ideo nec tonum 1.1| Superiore volumine demonstratum est diatessaron consonantiam ex duobus tonis ac semitonio, diapente vero ex tribus ac semitonio copulari, sed ea semi- tonia dimidium toni integrum non posse perficere, si singillatim considerata tractentur, atque ideo diapason ad sex tonos nullo modo pervenire. Sed quo- niam Aristoxenus musicus, iudicio aurium cuncta permittens, haec semitonia non arbitratur esse secundum Pythagoricos contractiora dimidio, sed, sicut semitonia dicuntur, ita esse dimidietates tonorum, de eisdem rursus paulisper est disputandum demonstrandumque prius nullam superparticularem habitu- dinem noto numero posse dividi integra medietate. Inter duos enim numeros superparticularem proportionem continentes, sive illi sint principales, quo- rum est unitas differentia, sive posteriores, nullus ita poterit medius numerus collocari, ut, quam minimus proportionem tenet ad medium, eam medius te- neat ad extremum, scilicet ut in geometrica proportione. Sed aut differentias aequas facere potest, ut sit aequalitas secundum arithmeticam medietatem, aut armonicam inter eosdem terminos medius numerus collocatus faciet me- dietatem aut quamlibet aliam, quarum in arithmeticis fecimus mentionem. Quod si id demonstrabitur, ne illud quidem constare poterit, sesquioctavam proportionem, quae tonus est, in dimidia posse discerni, quandoquidem se- squioctava omnis in superparticulari inaequalitatis genere consistit. 1.2| Id vero melius inductione monstrabitur. Nam si per singulas proportiones consideratione deducta, scilicet superparticulares, nulla prorsus occurrit, quae interposito medio termino aequis proportionibus dividatur, non est du- bium, quod superparticularis comparatio non possit in aequa partiri. 1.3| Quodsi videtur auribus consonum aliquid canere, cum cuilibet voci duos tonos ac semitonium integrum distans vocula comparetur, id non esse consonum na - Liber tertius BOETIJ_TXT2013_01.indd 136 28.11.2013 12:19:46 137 137 1. Dokaz proti Aristoksenu, da se superpartikularnega razmerja ne da razdeliti na dve enaki razmerji, in zato tudi ne tona 1.1| V prejšnji knjigi je bilo prikazano, da je konsonanca kvarte spoj dveh tonov (velikih sekund) in poltona, kvinta pa spoj treh tonov in poltona; a ta polton, če se jemlje sam zase, ne zapolni točne polovice tona, in zato tudi oktava nikakor ne more doseči šest tonov. Ker pa je Aristoksen, muzik, ki je vse prepuščal sodbi sluha, menil, da ta polton ni ožji od polovice tona, kot menijo pitagorejci, pač pa, da je, tako kot se imenuje, v resnici polovica tona, je treba ponovno na kratko razpravljati o njem. In sicer je treba najprej dokazati, da se nobeno superpartikularno razmerje s poznanimi števili ne da razdeliti na dve povsem enaki polovici: Med dve števili, ki predstavljata superpartikularno razmerje, bodisi da je prvotno, tako da je razlika med obema številoma 1, bodisi razšir - jeno, srednjega števila ni mogoče namestiti tako, da bi bilo razmerje manjše- ga števila do srednjega enako razmerju srednjega do krajnega, kot je to pri geometričnem zaporedju. Pri superpartikularnih razmerjih je srednje število od obeh krajnih oddaljeno lahko bodisi za enako razliko, tako da nastane za- poredje z aritmetično sredino, bodisi lahko med ista termina postavimo tudi tako število, ki bo tvorilo harmonično sredino ali pa katero drugo od sredin, ki smo jih omenili v Aritmetiki. Če to dokažemo, potem tudi trditev, da se devetosminsko razmerje, ki je ton (velika sekunda), lahko razdeli na polovico, ne bo mogla obveljati, saj pripada vsako devetosminsko razmerje superparti- kularnemu rodu neenakosti. 1.2| To bomo najlaže dokazali z induktivnim sklepanjem. Če namreč natančno pregledamo posamična superpartikularna razmerja, ni med njimi nobenega takega, ki bi se z vstavitvijo srednjega števila razdelilo na dve enaki razmerji; tako ne more biti dvoma, da se superpartikularna primerjava ne da razdeliti na dva enaka dela. 110 1.3| Sluhu se sicer lahko dozdeva, da je takrat, ko se primerjata dva tona, ki sta si Tretja knjiga BOETIJ_TXT2013_01.indd 137 28.11.2013 12:19:46 138 Boethius, De institutione musica 138 tura monstratur; sed quoniam sensus omnis, quae minima sunt, conprehendere nequeat, idcirco hanc differentiam, quae ultra consonum procedit, sensum au - rium non posse distinguere, fore autem ut deprehendatur, si frequentissime talis particula per eosdem crescat errores. Nam quod in minimo haud sane cernitur compositum coniunctumque, cum iam magnum esse coeperit, pervidetur. 1.4| A qua igitur proportione est ordiendum? An compendium dabimus quaestioni, si ab eo, de quo quaeritur, ordiamur? Id vero est, tonus in duo possit aequa par - tiri necne. Nunc igitur de tono est pertractandum et quemadmodum non possit in duo aequa dividi demonstrandum est. Quam demonstrationem si quis ad reliquas superparticulares comparationes transferat, similiter demonstrabitur superparticularem in aequa noto atque integro numero separari non posse. 1.5| Primi igitur tonum continentes numeri sunt VIII atque VIIII. Sed quoniam se isti ita naturaliter consequuntur, ut medius inter eos numerus non sit, eo- sdem binario, quo scilicet minimo possum, multiplico. Fiunt igitur XVI atque XVIII. Inter hos vero naturalis numerus cadit, qui est XVII. Igitur XVIII ad XVI tonus est, sed XVIII ad XVII comparatus, habet eum totum et eius sep- timam decimam partem. Septima decima vero pars minor est sexta decima naturaliter, maior est igitur proportio, quae sub XVI ac XVII numeris con- tinetur, quam ea, quae sub XVII ac XVIII. Qui disponantur hoc modo, et sit XVI A, XVII C, XVIII B. Medietas igitur integra toni inter C ac B nullo modo cadet. Minor est enim CB proportio CA proportione. Ad maiorem igi - tur partem medietas rata ponenda est. Sit vero medietas D. Quoniam igitur DB quidem proportio, quod est dimidium toni, maior est CB proportione, quae est minor pars toni, AC autem proportio, quae est maior pars toni, AD proportione maior est, quod est dimidium toni, est autem AC proportio sesquisextadecima, CB autem sesquiseptimadecima: non est dubium, quin integra medietas inter sesquisextamdecimam ac sesquiseptimamdecimam cadat. Sed hoc integro nu - mero nullo modo poterit inveniri. [Vide p. 140.] 1.6| Quoniam vero ad XVI numerum XVII numerus comparatus supersesqui- sextamdecimam obtinet proportionem, si eiusdem XVII numeri sextamde- cimam requiramus, erit unitas atque unitatis pars sextadecima. Hanc si ei- dem XVII numero coniungamus, fient XVIII et pars sextadecima. Si igitur XVIII et pars sextadecima XVI numero comparetur, recte toni mensuram videatur excedere, cum ad eum solus XVIII numerus sesquioctavam custo- diat proportionem. Unde fit, ut, quoniam supersesquisextadecima proportio tonum bis aucta transcendit, non sit integrum toni dimidium. Quicquid enim bis ductum transcendit aliquid, id ultra dimidium illius esse videbitur, quod BOETIJ_TXT2013_01.indd 138 28.11.2013 12:19:46 139 139 Tretja knjiga oddaljena za dva tona (veliki sekundi) in točni polton, 111 zapeto nekaj konso- nančnega; vendar se izkaže, da to po naravi ni konsonančno. A ker tistega, kar je zelo majhno, čuti ne morejo zaznati, sluh ne razloči razlike, s katero je v tem primeru presežena konsonanca; zaznal pa bi jo, če bi preko pomnožitve istega presežka ustrezni delček narasel. Kar se namreč v majhnem ne zapazi, postane očitno potem, ko se s sestavljanjem in povezovanjem poveča. 1.4| S katerim razmerjem bi bilo treba začeti? Ali si ne bi skrajšali poti, če bi začeli kar s tistim, o čemer se razpravlja? To pa je vprašanje, ali je ton (veliko sekundo) mogoče razdeliti na dva enaka dela ali ne. Razpravljati je treba torej o tonu in dokazati je treba, da ga ni mogoče razdeliti na dva enaka dela. Če pa bomo dokaz prenesli na katero koli drugo superpartikularno razmerje, se bo samo potrdilo, da se ga z znanimi in celimi števili ne da razdeliti na dva enaka dela. 1.5| Prvi dve števili, ki obsegata ton (veliko sekundo), sta 8 in 9. A ker si po na- ravi sledita tako, da med njima ni srednjega števila, ju pomnožim s kar naj- manjšim možnim številom 2. Tako dobim števili 16 in 18. Med tema dvema številoma obstoji naravno število 17. 18 je torej v razmerju do 16 ton. Toda 18 ima v primerjavi s 17 celo število 17 in še njegovo sedemnajstino. 1/17 pa je po naravi manjša od 1/16; tako je razmerje, ki ga predstavljata števili 16 in 17, večje od tistega, ki ga predstavljata števili 17 in 18. Razpostavimo vsa ta šte- vila, in naj bo 16 število A, 17 število C, 18 število B. Med C in B nikakor ne bo točna polovica tona, saj je razmerje CB manjše od razmerja CA. Natančno sredino – označena naj bo z D – bo treba torej postaviti v večji del. Ker je to - rej razmerje DB, ki predstavlja točno polovica tona, večje od razmerja CB, ki je manjši del tona, razmerje AC, ki je večji del tona, pa večje od razmerja AD, ki je točna polovica tona, in ker je razmerje AC sedemnajstšestnajstinsko, CB pa osemnajstsedemnajstinsko, bo točna sredina tona med 17/16 in 18/17. A te med naravnimi števili nikakor ni mogoče najti. [Gl. str. 141.] 1.6| Število 17 je v primerjavi s številom 16 v sedemnajstšestnajstinskem razmerju. Če iščemo število, ki bi bilo v istem razmerju do števila 17, ga mora preseči za 1 in 1/16 števila 1. Če prištejemo to številu 17, dobimo 18+1/16. 112 Če se torej 18+1/16 primerja s 16, se pokaže, da presega mero tona, saj ima do števila 16 devetosminsko razmerje le število 18. Iz tega izhaja, da sedemnajstšestnajstin- sko razmerje ni natančna polovica tona, saj je njegova podvojitev več kot ton. Kar koli namreč podvojeno nekaj presega, je očitno preko polovice tistega, kar presega. Sedemnajstšestnajstinsko razmerje tako ni polovica tona. Zato tudi nobeno drugo od sedemnajstšestnajstinskega večje razmerje ne bo moglo biti BOETIJ_TXT2013_01.indd 139 28.11.2013 12:19:46 140 Boethius, De institutione musica 140 transcendit. Quocirca supersesquisextadecima non erit toni dimidium. Ac per hoc nec ulla alia maior sesquisextadecima proportione toni poterit esse dimidium, cum ipsa sesquisextadecima integro toni dimidio sit maior. 1.7| Sed quoniam sesquisextamdecimam proportionem continua sequitur se- squiseptimadecima, videamus, an ea tonum bis multiplicata non inpleat. XVII igitur numeri sesquiseptimamdecimam partem tenet terminus XVIII. In eadem igitur proportione si ad XVIII numerum alium comparemus, erit XVIIII et septimadecima pars. Quod si ad XVII terminum in sesquiocta- va proportione positum numerum comparemus, fient XVIIII et octava pars. Maior vero est pars octava parte septimadecima, maior igitur est proportio numerorum XVII ac XVIIII et octava quam ea, quae in XVII ac XVIIII et parte septimadecima continetur, quae sunt scilicet bis sesquiseptimaedeci- mae proportiones. Duae igitur sesquiseptimae decimae unum tonum non vi- dentur inplere. Non est igitur sesquiseptimadecima toni dimidium, quoniam quae duplicata non inplent integrum, non tenent dimidium. Semper enim dimidium duplicatum ei, cuius est dimidium, coaequatur. II. Ex sesquitertia proportione sublatis duobus tonis toni dimidium non relinqui 2.1| Iam vero si eos numeros disponamus, qui de sesquitertia proportione duobus tonis retractis relinquuntur, in his considerare possumus, utrum ea propor- tio, quae post duos tonos relinquitur, integri loco semitonii censeatur. Quod si ita repertum sit, illud quoque est conprobatum, diatessaron consonantiam duobus tonis atque integro semitonio copulari. Erat igitur superius primus supersesquisextadecima supersesquiseptimadecima semitonium semitonium tonus XVI A XVII C XVIII B D BOETIJ_TXT2013_01.indd 140 28.11.2013 12:19:46 141 141 Tretja knjiga polovica tona, ko pa je sedemnajstšestnajstinsko razmerje že samo večje od njegove natančne polovice. 1.7| Ker pa sedemnajstšestnajstinskemu razmerju neposredno sledi osemnajstse- demnajstinsko, poglejmo, ali ne bi morda podvojitev tega razmerja zapolni- la celi ton. Do števila 17 je v osemnajstsedemnajstinskem razmerju število 18. V istem osemnajstsedemnajstinskem razmerju je do števila 18 število 19+1/17. 113 Če pa želimo s številom 17 primerjati število, ki bi bilo do njega v devetosminskem razmerju, je to število 19+1/8. 114 A 1/8 je več kot 1/17; tako je razmerje 17 : (19+1/8) večje od tistega, ki je med številoma 17 in 19+1/17 in predstavlja dve osemnajstsedemnajstinski razmerji. Dve osemnajstsedem- najstinski razmerji očitno ne zapolnita enega tona. Osemnajstsedemnajstin- sko razmerje torej ni polovica tona, saj kar podvojeno ne zapolni celote, ne obsega polovice. Podvojitev polovice se namreč zmeraj izenačuje s tistim, česar polovica je. 2. Ob odstranitvi dveh tonov (velikih sekund) od štiritretjinskega razmerja ne ostane polovica tona 2.1| Če razpostavimo števili, ki ostaneta, ko se štiritretjinskemu razmerju od- vzameta dva tona, lahko preudarimo, ali naj se po odstranitvi dveh tonov preostalo razmerje razume kot točni polton. Če se bo izkazalo, da je tako, bo dokazano tudi to, da je konsonanca kvarte povezava dveh tonov (veli- kih sekund) in točnega poltona. Zgoraj smo imeli najmanjše število 192; do 17/16 18/17 polton polton ton 16 A 17 C 18 B D BOETIJ_TXT2013_01.indd 141 28.11.2013 12:19:46 142 Boethius, De institutione musica 142 terminus CXCII; ad hunc sesquitertiam proportionem tenebant CCLVI. Sed ad primum terminum CCXVI faciunt tonum, ad CCXVI rursus CCXLIII toni obtinent locum. Est igitur quod relinquitur ex tota diatessaron propor- tione ea scilicet habitudo, quae in CCXLIII et CCLVI unitatibus constat. Haec igitur si probatur integri toni esse dimidium, dubitari non potest, dia- tessaron ex duobus tonis semitonioque consistere. 2.2| Quoniam igitur demonstratum est, toni dimidium inter sesquisextamdeci- mam et sesquiseptimamdecimam proportionem locari, ab hac comparatione etiam haec proportio metienda est. Ne enim longius progrediamur, sumo ex CCXLIII octavamdecimam partem. Ea fit XIIIS. Hanc si eisdem apposuero, fiunt CCLVIS. Apparet igitur minorem esse proportionem CCLVI ad CCXLIII sesquioctavadecima habitudine. Quod si dimidius tonus minor quidem est se- squisextadecima, maior vero sesquiseptimadecima proportione, sesquiocta- vadecima vero minor est sesquiseptimadecima habitudine, ducentorum vero LVI ad CCXLIII comparatio, quae scilicet relinquitur ex diatessaron duobus retractis tonis, minor est sesquioctavadecima: non est dubium, quin haec duo - rum numerorum proportio semitonio longissime deminutior sit. III. Adversum Aristoxenum demonstrationes diatessaron consonantiam ex duobus tonis et semitonio non constare integro nec diapason tonis sex 3.1| Quodsi, ut ait Aristoxenus diatessaron consonantia ex duobus tonis semitonio- que coniungitur, duae diatessaron consonantiae necessario V tonos efficient et diapente ac diatessaron iunctae, sicut unum diapason iungunt, ita sex tonis continua proportione coaequantur. Et quoniam paulo ante sex disposuimus tonos, quorum minimus erat numerus CCLXII.CXLIIII, ad hunc vero ultimus in sexto collocabatur tono numerus DXXXI.CCCCXLI, quintum vero retine- bant tonum CCCCLXXII et CCCXCII: disponantur hoc modo: CCLXII.CXLIIII DXXXI.CCCCXLI CCLXII.CXLIIII CCCCLXXII.CCCXCII toni sex toni quinque BOETIJ_TXT2013_01.indd 142 28.11.2013 12:19:46 143 143 Tretja knjiga tega števila vzdržuje štiritretjinsko razmerje število 256. V razmerju do 192 predstavlja ton število 216, do tega pa zavzema prostor tona število 243. Kar ostane torej od celotnega razmerja kvarte, je razmerje, ki obstoji med 243 in 256. Če se izkaže, da je to razmerje polovica celega tona, ne more biti dvoma, da sestoji kvarta iz dveh tonov in enega poltona. 2.2| Ker smo dokazali, da je polovica tona med 17/16 in 18/17, je treba razmerje 256 : 243 premeriti s tema dvema razmerjema. Ne bodimo predolgi. Vza- mem 1/18 števila 243, kar je 13,5. To prištejem številu 243 in dobim 256,5. Razmerje 256 : 243 je torej očitno manjše od 19/18. 115 Če pa je polovica tona manjša od 17/16 in večja od 18/17, 19/18 manjše od 18/17, razmerje 256 : 243, ki ostane potem, ko kvarti odvzamemo dva tona, pa manjše od 19/18, ne more biti dvoma, da je razmerje 256 : 243 mnogo manjše od poltona. 3. Dokazi proti Aristoksenu, da kvarta ne sestoji iz dveh tonov in točnega poltona, niti oktava ne iz šestih tonov 3.1| Če je konsonanca kvarte, kot trdi Aristoksen, zveza dveh tonov (velikih se- kund) in poltona, bosta dve konsonanci kvarte nujno dali pet tonov, in kot se kvarta in kvinta združeni povezujeta oktavo, se bosta tako izenačili z zapored - jem šestih tonskih razmerij. Malo poprej smo razpostavili šest tonov (velikih sekund); najnižjega je predstavljalo število 262144; v razmerju do tega je bilo na mestu šestega tona kot zadnje postavljeno število 531441, peti ton pa je predstavljalo število 472392. Razpostavimo ta števila takole: 262144 531441 262144 472392 šest tonov pet tonov BOETIJ_TXT2013_01.indd 143 28.11.2013 12:19:47 144 Boethius, De institutione musica 144 3.2| Nunc igitur de minoribus numeris, id est quinque tonis loquamur. Si ergo diatessaron duobus tonis ac semitonio, bis vero diatessaron quinque con- sisteret tonis, cum ex CCLXII.CXLIIII diatessaron intenderem cumque de CCCCLXXII.CCCXCII aliud diatessaron remitterem, idem inter utramque intentionem remissionemve numerus inveniretur. Id autem fit hoc modo. A numero, qui est CCLXII.CXLIIII diatessaron intendo, id est sesquitertium, qui fit in CCCXLVIIII.DXXVSS. Rursus de CCCCLXXII.CCCXCII nume- ris remitto sesquitertiam proportionem, quae fit in CCCLIIII.CCXCIIII. Has igitur proportiones disponamus hoc modo, et sit primus quidem numerus A, secundus vero B, tertius C quartus D. A CCLXII.CXLIIII B CCCXLVIIII.DXXVSS C CCCLIIII.CCXCIIII D CCCCLXXII.CCCXCII Quoniam igitur A terminus ad D terminum V remotus est tonis, quoniamque diatessaron in duobus tonis ac semitonio iungitur, ut Aristoxenus arbitratur, unumque diatessaron inter A atque B, aliud vero inter C atque D positum est, B et C terminos non oportet esse diversos, sed unos atque eosdem, ut integre V toni ex duabus diatessaron consonantiis constare viderentur. Nunc vero, quoniam est differentia IIII.DCCLXVIIISS; arguitur diatessaron minime tonis duobus ac semitonio coniungi. IIII. Diapason consonantiam a sex tonis commate excedi et qui sit minimus commatis numerus 4.1| Sed hanc si quaerimus in integris numeris differentiam collocare, quoniam in ea parte, quae est SS, pars tertia si addatur plenam efficit unitatem – quae pars tertia eiusdem SS dimidium est – si totius differentiae dimidium eidem adiecero, quod est II. CCCLXXXIIIISS, fit omnis summa VII.CLIII, quae du- dum commatis proportionem tenebat. Comma enim est, quo sex toni superant diapason consonantiam, quae in primis VII.CLIII unitatibus continetur. Ut igitur differentiae dimidium proprium adiecimus, ut in VII.CLIII excresce- ret, ita etiam cunctis A, B, C, D terminis medietates proprias adiungamus et eadem erit in omnibus quae supra proportio. Fietque eadem inter V tonos ac bis diatessaron differentia, quae est inter sex tonos ac diapason consonantiam differentia, scilicet VII.CLIII unitates, unde colligitur, V tonos bis diatessaron et VI tonos unum diapason tantum commate superare, quod in primis VII. CLIII unitatibus invenitur. Id autem patefaciet subiecta descriptio. BOETIJ_TXT2013_01.indd 144 28.11.2013 12:19:47 145 145 Tretja knjiga 3.2| Govorimo najprej o manjših številih, se pravi o petih tonih (velikih se- kundah). Če sestoji kvarta iz dveh tonov in poltona, dve kvarti pa iz petih tonov, bi se moralo ob določitvi zgornje kvarte številu 262144 in spodnje kvarte številu 472392 pokazati isto število. Postopek se izvede takole: številu 262144 določim zgornjo kvarto, se pravi njegovo štiritretjinsko število, ki je 349525+1/3. 116 Nadalje določim številu 472392 štiritretjinsko število v smeri navzdol, ki je 354294. 117 Razporedimo vsa ta razmerja in naj bo prvo število A, drugo B, tretje C, četrto D, takole: A 262144 B 349525+1/3 C 354294 D 472392 Ker je torej A oddaljen od D za pet tonov (velikih sekund) in ker naj bi kvarta po Aristoksenu povezovala 2 tona in polton, bi ob dejstvu, da predstavljata A in B eno kvarto, drugo kvarto pa C in D, B in C ne bi smela biti različna, pač pa bi morala sovpadati v istem številu. Tako bi bilo očitno, da obsega 5 tonov natančno dve konsonanci kvarte. Ker pa je tu razlika 4768+2/3, lahko sklenemo, da kvarta nikakor ni zveza dveh tonov in poltona. 4. Šest tonov presega oktavo za eno komo. Kaj je najmanjše število kome 4.1| Poskušajmo določiti razliko med šestimi toni (velikimi sekundami) in oktavo s celimi števili. Če se 2/3 doda 1/3, nastane polno število 1, pri čemer je 1/3 polovica 2/3. Z ozirom na to dodam zgoraj dobljeni razliki njeno polovico, ki je 2384+1/3, in dobim vsoto 7153. Ta izraža razmerje kome. 118 Koma je namreč ti - sto, s čimer šest tonov preseže konsonanco oktave, in prvo število, ki jo izraža, je 7153. Kot smo torej zgoraj dobljeni razliki dodali njeno lastno polovico, da je narasla na 7153, tako dodajmo tudi terminom A, B, C in D lastne polovice, in med njimi se bodo ohranila ista medsebojna razmerja. Izkaže se, da je med petimi toni in dvema kvartama ista razlika kot med šestimi toni in konsonanco oktave, namreč 7153. 119 Iz tega je mogoče zaključiti, da presega pet tonov dve kvarti in šest tonov eno oktavo le za eno komo, ki jo je mogoče določiti najprej v številu 7153. Vse to pojasnjuje priloženo ponazorilo. 120 BOETIJ_TXT2013_01.indd 145 28.11.2013 12:19:47 146 Boethius, De institutione musica 146 A B C D CCLXII.CXLIIII CCCXLVIIII.DXXVS CCCLIIII.CCXCIIII CCCCLXXII. CCCXCII Superiorum numerorum dimidia CXXXI.LXXII CLXXIIII.DCCLXIISS CLXXVII.CXLVII CCXXXVI.CXCVI Priores numeri cum dimidiis suis CCCXCIII.CCXVI DXXIIII.CCLXXXVIII DXXXI.CCCCXLI DCCVIII.DLXXXVIII Differentia mediorum VII.CLIII Toni sex Duplum DXXXI.CCCCXLI CCLXII.CXLIIII DXXIIII.CCLXXXVIII Differentia extremorum VII.CLIII V. Quemadmodum Philolaus tonum dividat 5.1| Philolaus vero Pythagoricus alio modo tonum dividere temptavit, statuens scilicet primordium toni ab eo numero, qui primus cybum a primo inpari, quod maxime apud Pythagoricos honorabile fuit, efficeret. Nam cum ternarius numerus primus sit inpar, tres tertio atque id ter si duxeris XXVII necessario exsurgent, qui ad XXIIII numerum tono distat, eandem ternarii differentiam servans. Ternarius enim XXIIII summae octava pars est, quae eisdem addita primum a ternario cybum XX ac VII reddit. Ex hoc igitur duas Philolaus ef - ficit partes, unam quae dimidio sit maior, eamque apotomen vocat, reliquam, quae dimidio sit minor, eamque rursus diesin dicit, quam posteri semitonium minus appellavere; harum vero differentiam comma. 5.2| Ac primum diesin in XIII unitatibus constare arbitratur eo, quod haec inter CCLVI et CCXLIII pervisa sit differentia, quodque idem numerus, id est XIII, ex novenario, ternario atque unitate consistat, quae unitas puncti obti- neat locum, ternarius vero primae inparis lineae, novenarius primi inparis quadrati. Ex his igitur causis cum XIII diesin ponat, quod semitonium nun- cupatur, reliquam XXVII numeri partem, quae XIIII unitatibus continetur, apotomen esse constituit. Sed quoniam inter XIII et XIIII unitas differen- tiam facit, unitatem loco commatis censet esse ponendam. Totum vero to- num in XXVII unitatibus locat eo, quod inter CCXVI ac CCXLIII, qui inter se distant tono, XXVII sit differentia. BOETIJ_TXT2013_01.indd 146 28.11.2013 12:19:47 147 147 Tretja knjiga A B C D 262144 349525 + 1/3 354294 472392 polovice zgornjih števil 131072 174762 + 2/3 177147 236196 zgornja števila s svojimi polovicami 393216 524288 531441 708588 razlika med srednjima številoma 7153 šest tonov dvojno 531441 262144 524288 razlika med zunanjima številoma 7153 5. Kako deli ton Filolaj 5.1| Vendar je skušal pitagorejec Filolaj ton (veliko sekundo) deliti drugače. Osnovo tona je izpeljal iz tistega števila, ki predstavlja prvi kub prvega ne- parnega števila. To je bilo pri pitagorejcih v posebnih časteh. 121 Prvo neparno število je 3; če vzameš 3 krat 3 in vse to trikrat, dobiš 27. To število je za ton (veliko sekundo) oddaljeno od števila 24, 122 ki se od števila 27 loči za razliko istega števila 3. Število 3 je namreč osmina vsote 24, in če se ta osmina doda številu 24, nastane prvi kub števila 3, število 27. Tako določeni ton deli Filolaj na dva dela: eden od teh naj bi bil večji od polovice, in tega imenuje apotomé; preostali naj bi bil manjši od polovice; pravi mu diesis, kasnejši razpravljalci pa so ga poimenovali mali polton. Razliko med njima imenuje koma. 5.2| Za diesis meni Filolaj najprej to, da obstoji v številu 13, ker je to število raz- lika med 256 in 243, pa tudi zato, ker je število 13 sestavljeno iz 9, 3 in 1. Od teh števil predstavlja 1 točko, 3 prvo neparno črto, 9 pa prvi neparni kvadrat. 123 Ker postavlja iz teh razlogov število 13 kot diesis, kar se imenuje polton, določa preostali del števila 27, ki ga obsega število 14, kot apotomé. Ker pa je med 13 in 14 razlika 1, Filolaj sodi, da je treba število 1 določiti kot komo. Celi ton pa postavlja v število 27 zato, ker je to število razlika med števili 216 in 243, ki sta si oddaljeni za en ton (veliko sekundo). 124 BOETIJ_TXT2013_01.indd 147 28.11.2013 12:19:47 148 Boethius, De institutione musica 148 VI. Tonum ex duobus semitoniis et commate constare 6.1| Ex quibus facile apparet, tonum duobus semitoniis minoribus et commate constare. Nam si totus tonus ex apotome constat ac semitonio, semitonium vero ab apotome differt commate, nihil est aliud apotome nisi semitonium minus et comma. Si igitur duo semitonia minora de tono quis auferat, comma fit reliquum. VII. Demonstratio tonum duobus semitoniis commate distare 7.1| Idem vero hoc quoque probabitur modo. Nam si diapason V tonis ac duo- bus minoribus semitoniis continetur, superantque VI toni diapason conso- nantiam uno commate, non est dubium, quin tonis quinis ab utroque spatio sublatis fiant reliqua ex diapason quidem duo semitonia minora, de sex vero tonis tonus. Atque hic tonus haec duo semitonia, quae relinquuntur, vincet commate. Quod si duobus eisdem semitoniis comma reponatur, aequabunt tonum. Constat igitur unum tonum duobus semitoniis minoribus et comma- te, quod in VII.CLIII primis unitatibus invenitur aequari. VIII. De minoribus semitonio intervallis 8.1| Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus definitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium, quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabus die- sibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis, diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris. 8.2| Ex quibus illud colligitur: quoniam tonus quidem dividitur principaliter in semitonium minus atque apotomen, dividitur etiam in duo semitonia et com- ma; quo fit, ut dividatur in quattuor diaschismata et comma. Integrum vero dimidium toni, quod est semitonium, constat ex duobus diaschismatibus, quod est unum semitonium minus, et schismate, quod est dimidium comma- tis. Quoniam enim totus tonus ex duobus semitoniis minoribus et commate coniunctus est, si quis id integre dividere velit, faciet unum semitonium mi- nus commatisque dimidium. Sed unum semitonium minus dividitur in duo diaschismata, dimidium vero commatis unum schisma. Recte igitur dictum est, integre dimidium tonum in duo diaschismata atque unum schisma pos- se partiri, quo fit, ut integrum semitonium minore semitonio uno schismate BOETIJ_TXT2013_01.indd 148 28.11.2013 12:19:47 149 149 Tretja knjiga 6. Ton sestoji iz dveh malih poltonov in kome 6.1| Iz tega je z lahkoto razvidno, da sestoji ton (velika sekunda) iz dveh malih pol - tonov in kome. Če sestoji namreč celi ton iz apotomé in malega poltona, ki se od apotomé razlikuje za komo, ni apotomé nič drugega kot mali polton s komo. Če torej odvzame kdo tonu dva mala poltona, ostane koma. 7. Dokaz, da je ton od dveh malih poltonov oddaljen za komo 7.1| To se dokaže takole: Če je oktava zaobsežena s petimi toni (velikimi sekun - dami) in z dvema malima poltonoma, in če šest tonov presega konsonanco oktave za eno komo, je gotovo, da ostaneta ob odstranitvi petih tonov od oktave dva mala poltona, ob odstranitvi petih tonov od šestih tonov pa en ton. Ta pa presega preostala mala poltona za eno komo. A če tema dvema polto- noma vrnemo komo, se bosta izenačila s tonom. Jasno je torej, da je ton enak dvema malima poltonoma in komi, ki jo je mogoče določiti najprej v številu 7153. 8. O intervalih, manjših od malega poltona 8.1| Te in od teh še manjše prostore zajema Filolaj v tele določitve: Diesis, pravi, je prostor, za katerega je štiritretjinsko razmerje večje od dveh tonov (velikih sekund). Koma je prostor, za katerega je devetosminsko razmerje večje od dveh diesis, tj. od dveh malih poltonov. Shizma je polovica kome, diashizma pa polovica diesis, tj. malega poltona. 8.2| Iz tega je mogoče sklepati: Ton (velika sekunda) se deli najprej na mali polton in apotomé, a deli se tudi na dva mala poltona in komo; tako se deli na štiri diashizme in komo. Točna polovica tona, pravi polton, pa sestoji iz dveh dia- shizem, kar je mali polton, in shizme, kar je polovica kome. Celi ton je zveza dveh malih poltonov in kome, in če ga kdo natančno razpolovi, bo dobil mali polton in polovico kome. A mali polton se deli v dve diashizmi, polovica kome pa je ena shizma. Trditev, da obsega točna polovica tona dve diashizmi in eno shizmo, je torej pravilna. To pomeni, da se točna polovica tona za eno shizmo razlikuje od malega poltona. Apotomé pa se od malega poltona BOETIJ_TXT2013_01.indd 149 28.11.2013 12:19:47 150 Boethius, De institutione musica 150 differre videatur. Apotome autem a minore semitonio duobus schismatibus differt; differt enim commate. Sed duo schismata unum perficiunt comma. VIIII. De toni partibus per consonantias sumendis 9.1| Sed de his hactenus. Nunc vero illud videtur esse dicendum, quemadmodum per consonantias musicas imperata possimus spatia nunc extendere nunc vero remittere. Id autem lineariter fiat, lineaeque, quas describimus, vocis accipiantur loco. Sed iam sese ratio ipsa demonstret. 9.2| Sit propositum toni spatium per consonantiam sumere in acutum scilicet atque gravem. Sit sonus B; ab hoc intendo alium sonum, qui diapente spatio ab eo, quod est B, distet ad eum, qui est C. Ab hoc remitto diatessaron con- sonantiam ad id, quod est D et quoniam inter diapente ac diatessaron tonus differentiam facit DB spatium tonus repertus est. 9.3| Ad gravem vero partem ita modulabimur tonum. Ab eo, quod est B, diates- saron intendo ad F et ab F diapente remitto ad K. Erit igitur KB tonus. Ani- madvertet igitur diligens lector ad DB quidem ad acutam partem effectum tonum, ad KB autem ad gravem. [Vide p. 152, supra.] 9.4| Sit propositum minorem toni partem per consonantiam sumere in acutam partem atque gravem. Minor vero toni pars est spatium, quo duos tonos dia- tessaron consonantia transcendit. Sit enim sonus A. Intendo ab A diatessa- ron ad B. Rursus intendo a B diatessaron ad C. Et ab C remitto diapente ad D. Tonus est igitur BD. Rursus a D intendo diatessaron ad E. Remitto iterum ab E diapente ad F. Tonus est igitur DF. Duo igitur sunt toni BD, DF. Et erat C D B diapente diatessaron tonus BOETIJ_TXT2013_01.indd 150 28.11.2013 12:19:47 151 151 Tretja knjiga razlikuje za dve shizmi, razlikuje se namreč za komo, ki jo zapolnjujeta dve shizmi. 9. O določanju delov tona s pomočjo konsonanc 9.1| Toliko o teh stvareh. Zdaj pa je treba spregovoriti o tem, kako določamo po- ljubne intervale s pomočjo glasbenih konsonanc, bodisi v smeri navzgor bodisi v smeri navzdol. Prikažimo to s črtami, ki naj se razumejo kot toni. A naj se smisel pokaže sam. 9.2| Zadajmo si nalogo, določiti preko konsonanc prostor tona (velike sekunde), in sicer v smeri navzgor in v smeri navzdol. Naj bo dani ton B; od tega določim v smeri navzgor drugi ton, ki naj bo za kvinto oddaljen od B, in ta naj bo C. Od tega določim v smeri navzdol konsonanco kvarte, ki naj bo D. Ker je razlika med kvinto in kvarto en ton (velika sekunda), predstavlja prostor DB ton. 9.3| V smeri navzdol bomo ton določili takole: Od B do F določim kvarto v smeri navzgor; od F do K določim kvinto v smeri navzdol. KB je torej ton (velika sekunda). Pozorni bralec bo opazil, da leži ton DB više, ton KB pa niže. 125 [Gl. str. 153, zgoraj.] 9.4| Zadajmo si nalogo, določiti s pomočjo konsonanc manjši del tona, tako v smeri navzgor kot v smeri navzdol. Manjši del tona je razmak, za katerega konso- nanca kvarte preseže dva tona (veliki sekundi). Naj bo dani ton A; od A do B določim kvarto v smeri navzgor. Ponovno določim kvarto navzgor od B do C. Od C do D določim kvinto v smeri navzdol. BD je torej ton (velika sekunda). Nadalje določim od D do E kvarto v smeri navzgor in spet določim od E do F C D B kvinta kvarta ton BOETIJ_TXT2013_01.indd 151 28.11.2013 12:19:47 152 Boethius, De institutione musica 152 BA integrum diatessaron; erit igitur FA minor toni pars, quod semitonium nuncupatur. 9.5| Ad graviorem vero partem hoc modo. Sit sonus A. Intendo duos tonos per consonantiam ad G, diatessaron vero ab G remitto ad K. Erit igitur KA mi- nor semitonii pars, quod oportebat efficere. [Vide p. 154, supra.] 9.6| Si tribus tonis diatessaron auferamus, apotome fit reliqua. Sint enim tres toni AB, BC, CD. Ab his auferatur AE diatessaron. Erit igitur EC semitonium minus, apotome igitur est ED. [Vide p. 154, descriptionem mediam.] 9.7| Hanc igitur apotomen, si sit commodum, sic sumemus. Ac primum quidem ad acutum. Intendo tres tonos ab A eos, qui sunt AB et ab eo, quod est B ad C dia- tessaron consonantiam remitto et fit CA apotome reliqua. [Vide p. 154, infra.] K B F diapente diatessaron tonus C B D diapente diapente diatessaron diatessaron diatessaron E F A BOETIJ_TXT2013_01.indd 152 28.11.2013 12:19:47 153 153 Tretja knjiga kvinto v smeri navzdol. DF je torej ton. Tako imamo dva tona: BD in DF, BA je pa popolna kvarta. FA bo torej manjši del tona, ki se imenuje mali polton. K B F kvinta kvarta ton C B D kvinta kvinta kvarta kvarta kvarta E F A 9.5| V smeri navzdol pa takole: Naj bo dani ton A. V smeri navzgor določim preko konsonanc do G dva tona (veliki sekundi), 126 od G do K pa določim kvarto navzdol. KA bo torej mali polton, ki ga je bilo potrebno poiskati. [Gl. str. 155, zgoraj.] 9.6| Če trem tonom (velikim sekundam) odvzamemo kvarto, ostane apotomé. Vze- mimo tri tone AB, BC, CD. Tem se odvzame kvarta AE. EC bo torej mali polton, ED pa apotomé. 127 [Gl. str. 155, sredi.] 9.7| Prikladneje bomo apotomé zajeli takole, in sicer najprej v smeri navzgor: Od A določim tri tone (velike sekunde) v smeri navzgor. Ti so AB, in od tona B do C določim v smeri navzdol konsonanco kvarte. Ostane apotomé CA. [Gl. str. 155, spodaj.] BOETIJ_TXT2013_01.indd 153 28.11.2013 12:19:47 154 Boethius, De institutione musica 154 K A G diatessaron tonus tonus A B C diatessaron tonus E D tonus tonus apotome s B C A diatessaron tres toni apotome BOETIJ_TXT2013_01.indd 154 28.11.2013 12:19:48 155 155 Tretja knjiga K A G kvarta ton ton A B C kvarta ton E D ton ton apotomé m p B C A kvarta trije toni apotomé BOETIJ_TXT2013_01.indd 155 28.11.2013 12:19:48 156 Boethius, De institutione musica 156 9.8| Quod si idem spatium ad gravem sonum velimus efficere, fit hoc modo: Sit sonus A. Intendo semitonium minus, id quod est AD, remitto ab D tonum eum, qui est DE. Erit igitur AE ea, quam requirimus, apotome. 9.9| Sit propositum ad acutam partem comma sumere. Sit sonus A. Intendo apo- tomen AB, remitto semitonium minus BC. Et quoniam semitonium minus apotome minus est commate, comma erit CA. 9.10| Rursus ad gravem partem hoc modo. Intendo ab A sono semitonium minus, id quod est AD, ab D vero remitto apotomen, id quod est DE. Erit igitur comma EA. [Vide p. 158, supra.] X. Regula semitonii sumendi 10.1| Oportet vero has omnes consonantias rite esse animo atque auribus notas. Frustra enim haec ratione et scientia colliguntur, nisi fuerint usu atque exer- E A D tonus apotome semitonium B C A semitonium coma apotome BOETIJ_TXT2013_01.indd 156 28.11.2013 12:19:48 157 157 Tretja knjiga 9.8| Če pa hočemo isti razmak poiskati v smeri navzdol, je to možno na tale način: Naj bo dani ton A. V smeri navzgor določim mali polton AD. Od D določim v smeri navzdol ton (veliko sekundo) DE. AE bo torej apotomé, ki jo iščemo. 9.9| Zadajmo si nalogo, zajeti komo v smeri navzgor. Naj bo dani ton A. V smeri navzgor določim apotomé AB; v smeri navzdol določim mali polton BC. Ker je mali polton manjši od apotomé za komo, bo CA koma. 9.10| V smeri navzdol komo določimo takole: Od tona A določim v smeri navzgor mali polton AD, od D pa določim v smeri navzdol apotomé DE. Koma bo torej EA. [Gl. str. 159, zgoraj.] 10. Pravilo za določitev malega poltona 10.1| Konsonance je treba poznati tako z duhom kot s sluhom. Kot razumska ve- dnost se vse to nabira zaman, če ne postane z vajo in rabo kar najbolj domače. E A D ton apotomé mp B C A mp koma apotomé BOETIJ_TXT2013_01.indd 157 28.11.2013 12:19:48 158 Boethius, De institutione musica 158 citatione notissima. Ut vero id, quod institutione musicae adorsi sumus, non mox auribus, quod iam provectorum in musica est, sed ratione interim cen- seatur, unum dabimus exemplum inveniendi spatii, quod videtur esse paulo difficilius, scilicet semitonii minoris, ut in utramque partem, acutam scilicet atque gravem rato possit ordine repperiri. E A D comma semitonium apotome B diapente diatessaron diatessaron diatessaron A a C K N F H D L M E diapente s s s s G 10.2| Sit diatessaron AB. Oportet igitur circa AB consonantiam minus semito- nium ad graviorem partem acutioremque deducere. Intendo igitur BC dia- tessaron. Remitto rursus diapente CD. Erit igitur tonus BD. Diatessaron enim consonantia a diapente consonantia tono superatur, et CB spatium DC spatio BD spatio transcenditur. Rursus intendo diatessaron DE, remitto au- tem diapente EF. Tonus est igitur DF. Sed et BD tonus erat. Semitonium igitur minus est AF, quod subtractis duobus tonis FD BD ab AB diatessaron spatio relinquitur. 10.3| Rursus remitto diatessaron AG, intendo diapente GH. Erit igitur AH tonus. Sed erat AF semitonium, erit igitur FH apotome. Rursus remitto diatessaron HK, intendo diapente KL. Tonus igitur est HL. Erat autem tonus HA, semi- BOETIJ_TXT2013_01.indd 158 28.11.2013 12:19:49 159 159 Tretja knjiga Vendar se stvari, ki se jih lotevamo v prikazu temeljev glasbe, ne presojajo takoj s sluhom – to zmorejo le tisti, ki so v glasbi že nekoliko napredovali, pač pa predhodno z razumom. V ponazorilo tega dajmo malo težji primer, in sicer, kako se določi prostor malega poltona. Po premišljenem postopku ga bo tako mogoče poiskati v obe smeri, navzgor in navzdol. E A D koma mp apotomé B kvinta kvarta kvarta kvarta A a C K N F H D L M E kvinta m p m p m p m p G 10.2| Vzemimo kvarto AB, in na obeh straneh AB naj se določi mali polton, tako v smeri navzgor kot navzdol. Določim kvarto v smeri navzgor BC. Nadalje določim kvinto v smeri navzdol CD. BD je torej ton (velika sekunda); konsonanca kvinte presega namreč konsonanco kvarte za en ton, in razmak CD prekorači razmak CB za razmak BD. Ponovno dolo - čim v smeri navzgor kvarto DE in v smeri navzdol kvinto EF. DF je torej ton (velika sekunda). A tudi BD je ton. AF je tako mali polton, ki ostane od razmaka kvarte AB potem, ko se ji odvzameta dva tona, FD in DB. 10.3| Ponovno določim kvarto AG v smeri navzdol in kvinto GH v smeri navzgor. AH je torej ton (velika sekunda). Ker pa se je AF izkazal za mali polton, je FH apotomé. Zopet določim kvarto HK navzdol in BOETIJ_TXT2013_01.indd 159 28.11.2013 12:19:49 160 Boethius, De institutione musica 160 tonium igitur minus est LB. Sed erat tonus DB, erit igitur LD apotome. Rur- sus intendo diatessaron FM, semitonium igitur est BM. Remitto diatessaron LN, semitonium igitur est NA. 10.4| Per consonantiam igitur sumpta sunt circa AB diatessaron duo semitonia, BM quidem ad acutum, NA vero ad gravem partem, totumque MN minus est quam diapente; constat enim ex V semitoniis et apotome geminata, ex duobus igitur tonis et tribus semitoniis minoribus. Et quoniam duo semito- nia unum tonum inplere nequeunt, sed relinquitur comma, totum MN spa- tium minus est spatio diapente consonantiae uno commate, quod facillime diligens lector intelleget. 10.5| Sed quoniam paululum de commatis ratione praediximus, non est defugien- dum et in quali proportione idem ipsum comma contineatur ostendere – est enim comma, quod ultimum conprehendere possit auditus – dicendumque est semitonium minus ac semitonium maius quantis singillatim commatibus constare videantur, ipse quoque tonus quantis rursus commatibus coniunga- tur. Ac primum hinc conveniens sumatur initium. XI. Demonstratio Archytae superparticularem in aequa dividi non posse, eiusque reprehensio 11.1| Superparticularis proportio scindi in aequa medio proportionaliter interposi- to numero non potest. Id vero posterius firmiter demonstrabitur. Quam enim demonstrationem ponit Archytas, nimium fluxa est. Haec vero est huiusmo- di. Sit, inquit, superparticularis proportio A, B, sumo in eadem proportione minimos C, DE. Quoniam igitur sunt minimi in eadem proportione C, DE et sunt superparticulares, DE numerus C numerum parte una sua eiusque tran- scendit. Sit haec D. Dico, quoniam D non erit numerus, sed unitas. Si enim est numerus D et pars est eius, qui est DE metitur D numerus DE numerum; quocirca et E numerum metietur, quo fit, ut C quoque metiatur. Utrumque igitur C et DE numeros metietur D numerus, quod est inpossibile. Qui enim sunt minimi in eadem proportione quibuslibet aliis numeris, hi primi ad se invicem sunt, et solam differentiam retinent unitatem. Unitas igitur est D. Igitur DE numerus C numerum unitate transcendit. Quocirca nullus incidit medius numerus, qui eam proportionem aequaliter scindat. Quo fit, ut nec inter eos, qui eandem his proportionem tenent, medius possit numerus col- locari, qui eandem proportionem aequaliter scindat. BOETIJ_TXT2013_01.indd 160 28.11.2013 12:19:49 161 161 Tretja knjiga kvinto KL v smeri navzgor. HL je torej ton (velika sekunda). Ker pa se je tudi HA izkazal za ton, je LB mali polton. A tudi DB se je izkazal za ton in zato je LD apotomé. Ponovno določim kvarto FM navzgor in BM je mali polton. Določim kvarto LN navzdol in mali polton je NA. Na obeh straneh kvarte AB smo torej s pomočjo konsonanc določili dva mala poltona: BM v smeri navzgor, NA pa v smeri navzdol. 128 10.4| A celotni MN je manj kot kvinta. Sestoji namreč iz pet malih poltonov in pod - vojene apotomé, se pravi iz dveh tonov (velikih sekund) in treh malih poltonov. Ker pa dva mala poltona ne zapolnjujeta enega tona, saj ju do tona loči razlika kome, je celotni razmak MN za eno komo manjši od razmaka konsonance kvinte, 129 kar bo razumni bralec zlahka dojel. 10.5| V zvezi s komo smo povedali le nekaj malega, vendar ne sme biti izpuščeno, katero razmerje jo zajema – koma je namreč tisto, kar se zadnje še lahko zazna s sluhom. Prav tako je treba povedati, iz koliko posamičnih kom sestojita mali in veliki polton, kot tudi koliko kom je povezanih v tonu (veliki sekundi). A najprej podajmo primerno izhodišče. 11. Arhitov dokaz, da se superpartikularnega razmerja ne da deliti na enaki polovici, in kritika tega dokaza 11.1| Superpartikularnega razmerja se ne da razdeliti tako, da bi ga srednje število delilo na dve enaki razmerji. To bo kasneje neizpodbitno dokazano. Dokaz, ki ga postavlja Arhitas, je namreč preveč nezanesljiv. Je pa takšen: Vzemimo, pravi, superpartikularno razmerje A nasproti B; najmanjši možni števili v tem razmerju naj bosta C in (D + E). C in (D + E) sta najmanjši števili superparti - kularnega razmerja A nasproti B in število (D + E) presega število C za del, ki pripada tako številu (D + E) kot tudi številu C. Naj bo ta del D. Trdim, da D ni drugo število kot število 1. 130 Če bi bilo število D večje od 1, bi kot del števila (D + E) premerjalo število (D + E); 131 tako bi premerjalo tudi število E, iz česar izhaja, da bi premerjalo tudi število C. Število D bi premerjalo torej obe števili, C in (D + E), kar je nemogoče: 132 najmanjši dve števili danega superpartikular- nega razmerja, izrazljivega sicer tudi z drugimi števili, sta namreč zaporedni in razlikujeta se le za število 1. D je torej število 1 in število (D + E) presega število C za 1. To pomeni, da ni srednjega števila, ki bi to razmerje razcepilo na dve enaki razmerji, in tako tudi med kateri koli drugi dve števili, ki predsta - vljata temu enako razmerje, ni mogoče namestiti takšnega srednjega števila, ki bi ga somerno delilo. BOETIJ_TXT2013_01.indd 161 28.11.2013 12:19:49 162 Boethius, De institutione musica 162 11.2| Et secundum Archytae quidem rationem idcirco in superparticulari nullus medius terminus cadit, qui aequaliter dividat proportionem, quoniam minimi in eadem proportione sola differunt unitate, quasi vero non etiam in multiplici proportione minimi eandem unitatis differentiam sortiantur, cum plures vide- amus esse multiplices praeter eos, qui in radicibus collocati sunt, inter quos medius terminus scindens aequaliter eandem proportionem possit aptari. Sed haec, qui arithmeticos nostros diligenter inspexerit, facilius intellegit. Adden- dum vero est, id ita evenire, ut Archytas putat, in sola superparticulari propor - tione; non autem universaliter est dicendum. Nunc ad sequentia convertamur. XII. In qua numerorum proportione sit comma et quoniam in ea, quae maior sit quam LXXV ad LXXIIII minor quam LXXIIII ad LXXIII 12.1| Primum igitur dico, quoniam hi numeri, qui comma continent, maiorem inter se retinent proportionem, quam LXXV ad LXXIIII minorem quam LXXIIII ad LXXIII. Id vero ita demonstrabitur. Ac primo quidem illud reminiscen- dum est, quod VI toni diapason commate transcendunt. Sit igitur A quidem CCLXII.CXLIIII, B autem diapason ad eum continens consonantiam, in du- plici scilicet constitutam, DXXIIII.CCLXXXVIII, C vero sex tonis ab A nu - mero discedat, et sit DXXXI.CCCCXLI, quae omnia ex secundi voluminis tonorum dispositione sunt colligenda. Inter B igitur atque C commatis pro- portio continetur. Aufero igitur B numerum de numero C, relinquitur D in VII.CLIII unitatibus collocatus, qui D numerus minor quidem est, quam ut sit septuagesima tertia pars B numeri, maior vero quam ut eiusdem septuagesi- ma quarta sit. Nam si eundem D numerum, qui est VII.CLIII septuagies ter multiplicem, fit mihi E numerus in DXXII.CLXVIIII unitatibus constitutus; si eum septuagies quater multiplicem, fit F numerus DXXVIIII.CCCXXII quo- rum quidem E, qui per LXXIII auctus est, minor est B numero, F autem, qui per LXXIIII, maior est B numero. Recte igitur dictum est, D eius, quod est B minorem quidem esse, quam septuagesimam tertiam partem, maiorem vero quam septuagesimam quartam. Quocirca et C numerus B numerum minore quidem parte eius, quod est B eundem B superat quam septuagesima tertia, C D E BOETIJ_TXT2013_01.indd 162 28.11.2013 12:19:49 163 163 Tretja knjiga 11.2| Po Arhitovem dokazu pri superpartikularnih razmerjih zato ni srednjega ter- mina, takšnega, ki bi superpartikularna razmerja somerno delil, ker je pri njih, kolikor so izražena z najmanjšimi števili, razlika med obema številoma le število 1 – kot da pri enem od množinskih razmerij, izraženem z najmanjši - ma številoma, razlika med njima ne bi bila 1. 133 Res pa lahko vidimo številna množinska razmerja, poleg tistih, ki so izražena z najmanjšimi števili, ki jim je možno srednji termin prilagoditi tako, da se razmerje enakomerno deli. 134 Kdor je pozorno preučeval našo Aritmetiko, 135 to z lahkoto razume. Dodati je torej treba, da Arhitovo mnenje, po katerem je tako le pri superpartikularnih razmerjih, ni veljavno brez izjeme. 136 Vrnimo se zdaj k nadaljevanju prejšnje razprave. 12. V katerem številčnem razmerju je koma: v večjem kot 75 nasproti 74 in manjšem kot 74 nasproti 73 12.1| Najprej bom razložil, da sta števili, ki obsegata komo, v medsebojnem raz- merju, ki je večje od 75 nasproti 74 in manjše od 74 nasproti 73. To se bo dokazalo takole: Spomnimo se, da šest tonov (velikih sekund) za eno komo presega oktavo. Vzemimo število A 262144, število B 524288, ki naj v raz- merju do A obsega konsonanco oktave, utemeljene v dvojnem razmerju, in število C 531441, ki naj bo od A oddaljeno za 6 tonov. Vse to je mogoče razbrati iz prikaza razporeditve tonov v drugi knjigi. 137 Med B in C je torej razmerje kome. Številu C odvzamem število B, ostane število D 7153. Število D je premajhno, da bi bilo 1/73 števila B, vendar preveliko, da bi bilo 1/74 njega. Če namreč število D, ki je 7153, pomnožim s 73, nastane število E 522169. Če pa ga pomnožim s 74, nastane število F 529322. Od teh števil je E, ki je zmnožek s številom 73, manjše od števila B, F, ki je zmnožek s šte- vilom 74, pa večje. Trditev, da je število D manjše od 1/73 števila B, vendar večje od njegove 1/74, je torej pravilna. Zato tudi število C presega število B za tisti del števila B, ki je manjši od njegove 1/73, vendar večji od njegove 1/74. Razmerje števila C do števila B je torej večje kot 75 nasproti 74, vendar manjše od 74 nasproti 73. V prvem od teh dveh razmerij je namreč enota 1/74 manjšega števila, v drugem pa 1/73. 138 C D E BOETIJ_TXT2013_01.indd 163 28.11.2013 12:19:49 164 Boethius, De institutione musica 164 maiore vero quam septuagesima quarta. Eius igitur, quod est C, proportio ad id, quod est B, maior quidem est quam LXXV ad LXXIIII minor vero quam LXXIIII ad LXXIII. Nam in priore unitas septuagesima quarta est minoris, in posteriore vero eadem unitas septuagesima tertia. A B C D E F CCLXII.CXLIIII DXXIIII. CCLXXXVIII DXXXI. CCCCXLI VII.CLIII DXXII.CLXVIIII DXXVIIII. CCCXXII 12.2| Idem aliter explicandum, illo prius praesumpto, quod, si cui proportioni propria numerorum differentia aequaliter augeatur, minor inter eos, qui post additio - nem fiunt, proportio continebitur, quam inter priores, qui ante additionem ullam quadam proportione distabant, ut sex et quattuor, si utrisque differentia sua, id est binarius, apponatur, fient VIII et VI, sed inter VI et IIII sesqualtera, inter VIII et VI sesquitertia proportio continetur; minor vero est proportio sesqui - tertia sesqualtera proportione. Hoc igitur ita praedicto disponantur superiores numeri, qui proportionem commatis continebant, id est DXXXI.CCCCXLI et sit A. Sit etiam B DXXIIII.CCLXXXVIII. Horum differentia sit C VII.CLIII. C igitur numerus maiorem numerum, qui est A septuagies quinquies metiatur. Si ergo C numerum septuagies quinquies multiplicem, fiet mihi D numerus, qui est DXXXVI.CCCCLXXV. Igitur D numerus eum, qui est A, numero eo, qui est E, antecedit, id est V .XXXIIII. Rursus C numerus eum, qui est B, metiatur septua - gies quater, multipliceturque. Fiet igitur numerus F DXXVIIII.CCCXXII, qui F eo, qui est B, maior est eodem E numero, qui est V.XXXIIII. Ergo D numerus eum, qui est A, transcendit E numero, B autem numerus ab eo, qui est F, vincitur eodem E numero. Si igitur E numerum A numero apponamus, fiet D, si vero B numero eundem E apponamus, fiet F. Sed D numerus septuagies quinquies auc - tus est, per C scilicet multiplicatum, F autem septuagies quater multiplicato C crevit. Obtinent igitur inter se proportionem D atque F, quam habent LXXV ad LXXIIII. Sed D atque F sunt A atque B uno eis addito E. Maiorem igitur necesse est proportionem contineri inter A atque B quam inter D atque F. Namque A atque B numeris uno E addito effecti sunt D atque F. Minor igitur proportio est inter D atque F quam inter A atque B. Sed inter D atque F eadem proportio est, quae inter LXXV et LXXIIII. Inter A igitur atque B maior proportio est quam inter LXXV et LXXIIII. At A atque B comma continent; maior igitur proportio est commatis quam LXXV ad LXXIIII. A B C D E F DXXXI. CCCCXLI DXXIIII. CCLXXXVIII VII.CLIII DXXXVI. CCCCLXXV V.XXXIIII DXXVIIII. CCCXXII BOETIJ_TXT2013_01.indd 164 28.11.2013 12:19:49 165 165 Tretja knjiga A B C D E F 262144 524288 531441 7153 522169 529322 12.2| Pravkar povedano naj bo razloženo še drugače, ob tejle predhodni pred- postavki: 139 Če se številoma kakega razmerja enakomerno prišteje njuna lastna razlika, je razmerje med številoma, ki vključujeta razliko, manjše od razmerja med številoma brez nje. Tako je npr. s številoma 6 in 4; če se jima doda lastna razlika, tj. število 2, dobimo števili 8 in 6; toda 6 in 4 sta v tripolovinskem razmerju, 8 in 6 pa v štiritretjinskem, pri čemer je štiri- tretjinsko razmerje manjše od tripolovinskega. Po tej razlagi razpostavimo zgornja števila, ki vsebujejo razmerje kome: A 531441, B 524288 in njuna razlika C 7153. 140 Naj število C 75-krat premeri večje število A. 141 Če število C pomnožim s 75, dobim število D 536475, ki prekaša število A za število E 5034. Nadalje naj število C 74-krat premeri število B. Pomnožim število C s 74 in dobim število F 529322, ki je od števila B večje za isto število E 5034. Število D presega torej število A za število E, število B pa je preseženo s številom F za isto število E. Če dodamo številu A število E, nastane D, če pa isto število E dodamo številu B, nastane F. Toda število D je 75-kratni zmno- žek števila C, F pa nastane s 74-kratno množitvijo istega števila C. D in F sta torej v istem razmerju kot 75 in 74. Toda D in F sta A in B s prištevkom istega števila E. Nujno je torej, da je med A in B večje razmerje kot med D in F, saj nastaneta D in F s prištevkom števila E številoma A in B. Med D in F je torej manjše razmerje kot med A in B. A med D in F je razmerje 75 nasproti 74, A in B pa obsegata komo, katere razmerje je torej večje kot 75 nasproti 74. 142 A B C D (C x 75) E F (C x 74) 531441 524288 7153 536475 5034 529322 BOETIJ_TXT2013_01.indd 165 28.11.2013 12:19:49 166 Boethius, De institutione musica 166 12.3| Quoniam igitur ostendimus commatis proportionem maiorem esse quam eam, quam LXXV continent ad LXXIIII comparati, nunc ostendendum est, que- madmodum minorem inter se proportionem contineant numeri spatium com- matis continentes quam LXXIIII ad LXXIII comparati. Id vero monstrabitur hoc modo. Reminiscendum prius est, quid secundo volumine dixerimus, cum de mensura differentiae loquebamur. Si enim ex qualibet proportione differen- tiam eorum numerorum, qui eam continent, auferamus, hi, qui relinquuntur, maiorem obtinebunt proportionem his numeris, qui erant ante differentiae de- minutionem. Sint enim VIII et VI. Ab his propriam aufero differentiam, id est II, fiunt VI et IIII. Sed in superioribus sesquitertia, in hac sesqualtera proportio continetur. Maior vero est sesqualtera proportio sesquitertia proportione. Sint igitur eidem A atque B, qui sunt superius descripti, quorumque differentia C. Multiplico differentiam C numeri septuagies quater, fit mihi numerus F scili - cet DXXVIIII.CCCXXII, qui A numero comparatus vincitur numero G, sci- licet II.CXVIIII. Rursus idem C multiplicetur septuagies ter; efficient nume- rum K id est DXXII.CLXVIIII, qui comparatus B numero vincitur eodem G eisdem II.CXVIIII. Sublato igitur G de numeris A atque B effecti sunt F atque K. Minorem igitur proportionem retinebunt A atque B quam F atque K. Sed F atque K eam retinent proportionem, quam LXXIIII ad LXXIII. His enim multiplicato C effecti sunt. Minor est igitur proportio A atque B numerorum comma continentium, quam LXXIIII ad LXXIII. Sed paulo ante monstratum est, eandem commatis proportionem maiorem esse quam LXXV ad LXXIIII. Monstrati sunt igitur numeri, qui comma continent, maiorem quidem inter se habere proportionem quam LXXV ad LXXIIII, minorem vero quam LXXIIII ad LXXIII, quod oportebat ostendere. A B C F K G DXXXI. CCCCXLI DXXIIII. CCLXXXVIII VII.CLIII DXXVIIII. CCCXXII DXXII. CLXVIIII II.CXVIIII BOETIJ_TXT2013_01.indd 166 28.11.2013 12:19:49 167 167 Tretja knjiga 12.3| Prikazali smo, da je razmerje kome večje od razmerja, ki ga zajemata števili 75 nasproti 74. Zdaj pa prikažimo, kako vsebujeta števili, ki obsegata prostor kome, razmerje, ki je manjše od razmerja 74 nasproti 73. To se bo prikazalo na ta način: Prikličimo si v spomin, kar smo dejali v drugi knjigi, ko smo govorili o razliki med dvema številoma kot njuni meri. 143 Če namreč števi- loma katerega koli razmerja odvzamemo njuno razliko, bosta nastali števili zajemali večje razmerje kot števili pred odvzetjem njune lastne razlike. Naj bosta izbrani števili 8 in 6. Odvzamem jima lastno razliko 2 in nastaneta števili 6 in 4. A v prvih dveh številih je zaobseženo štiritretjinsko razmerje, v drugih dveh pa tripolovinsko, ki je večje od štiritretjinskega. Vzemimo torej isti, zgoraj navedeni števili A in B ter njuno razliko C. Razliko C po- množim s 74 in dobim število F 529322; to število je v primerjavi s številom A preseženo za število G 2119. Nadalje naj bo isto število C pomnoženo s 73. Nastane število K 522169, ki je v primerjavi s številom B preseženo za isto število G 2119. Če odvzamemo namreč številoma A in B število G, nastaneta F in K. Števili A in B bosta imeli torej manjše razmerje kot F in K. Toda F in K imata isto razmerje kot 74 nasproti 73, saj sta nastali z množitvijo teh dveh števil s C. Razmerje med številoma A in B, ki obsega komo, je torej manjše od razmerja 74 nasproti 73. A malo poprej je bilo prikazano, da je isto razmerje kome večje od razmerja 75 nasproti 74. S tem smo dokazali, da imata števili, ki obsegata komo, razmerje, ki je sicer večje od razmerja 75 nasproti 74, vendar pa manjše od razmerja 74 nasproti 73, kar je bilo treba dokazati. A B C F (C x 74) K (C x 73) G 531441 524288 7153 529322 522169 2119 BOETIJ_TXT2013_01.indd 167 28.11.2013 12:19:49 168 Boethius, De institutione musica 168 XIII. Quod semitonium minus maius quidem sit quam XX ad XVIIII minus vero quam XVIIIIS ad XVIIIS 13.1| Quod si ad semitonium minus talis speculatio convertatur, eius quoque pro- portionem facillime repperiemus, quae constat inter CCLVI et CCXLIII. Sit igitur CCLVI A, CCXLIII B. Horum differentia XIII C. Dico, quoniam A ad B minorem retinet proportionem, quam XVIIIIS ad XVIIIS. Metiatur enim C id, quod est A, decies novies semis, id est multiplicetur C decies novies semis, fiunt CCLIIIS, quod sit D, qui scilicet comparatus ad A eodem A duobus se - misque transcenditur; sitque haec differentia F scilicet IIS. Rursus eadem C differentia B numerum metiatur octies decies semis id est multiplicetur octies decies semis, fient CCXLS, quod sit E. Igitur E comparatus ad B eodem F transcenditur, id est duobus semis. D igitur ab eo, quod est A, et rursus E ab eo, quod est B, eadem F differentia sunt minores. Subtracto igitur F ab eo, quod est A atque B, facti sunt D atque E; maiorem igitur tenent proportionem inter se D atque E quam A atque B. Sed D atque E eandem proportionem inter se retinent, quam XVIIIIS ad XVIIIS. A igitur ad B minorem retinet propor - tionem quam XVIIIIS ad XVIIIS quod oportebat ostendere. A B C D E F CCLVI CCXLIII XIII CCLIIIS CCXLS IIS 13.2| Videtur tamen eadem proportio CCLVI ad CCXLIII maior esse ab ea, quam continent XX et XVIIII. Sint enim A, B, C idem, qui superius descripti sunt. Metiatur igitur C differentia A terminum vicies, fient CCLX, qui sint D. Qui comparati ad id, quod est A, eundem quaternario transcendunt. Hic sit F. Rur - sus idem C metiatur B decies novies, fient CCXLVII. Hic sit E. Qui comparati ad B eodem F transcendunt. D igitur numerus A numerum et E numerus nu - merum B eodem F transcendunt. Adiecto igitur F his, qui sunt A atque B, facti sunt D atque E. Maior igitur est proportio eorum, qui sunt A atque B quam eorum, qui sunt D atque E. Sed D atque E vicies ac decies novies multiplicatus C numerus efficit. Maior igitur est proportio eorum, qui sunt A atque B, qui scilicet semitonium continent, quam ea, quae est XX ad XVIIII. A B C D E F CCLVI CCXLIII XIII CCLX CCXLVII IIII 13.3| Demonstratum igitur est semitonium minus maiorem quidem habere pro- portionem quam XX ad XVIIII minorem vero quam XVIIIIS ad XVIIIS. Nunc idem minus semitonium commati comparemus, quod est ultimum au- ditui subiacens ultimaque proportio. BOETIJ_TXT2013_01.indd 168 28.11.2013 12:19:49 169 169 Tretja knjiga 13. Da je mali polton sicer večji kot 20 nasproti 19, vendar manjši kot 19+1/2 nasproti 18+1/2 13.1| Če se tovrstna preiskava prenese na mali polton, bomo zlahka določili njegovo razmerje, ki je enako razmerju med številioma 256 nasproti 243. Naj bo 256 A, 243 B, njuna razlika 13 pa C. Trdim, da vzdržuje A do B manjše razmerje, kot je 19+1/2 nasproti 18+1/2. Naj C premeri A 19+1/2-krat, se pravi, naj bo C po- množen z 19+1/2. Dobim D 253+1/2, ki je v primerjavi z A presežen za 2+1/2. Razlika 2+1/2 naj bo F. Nadalje naj razlika C premeri število B 18+1/2-krat, to je, pomnožena naj bo z 18+1/2. Dobim E 240+1/2, ki je v primerjavi z B pre- sežen za isto število F 2+1/2. D in E sta torej manjša od A in B za isto razliko F: če namreč odštejemo F od A in B, dobimo D in E. D in E imata tako večje medsebojno razmerje kot A in B. Toda D in E vzdržujeta isto medsebojno razmerje kot 19+1/2 nasproti 18+1/2. A ima torej nasproti B manjše razmerje, kot je 19+1/2 nasproti 18+1/2, kar je bilo treba dokazati. A B C D E F 256 243 13 253+1/2 240+1/2 2+1/2 13.2| Vendar pa je razmerje 256 nasproti 243 večje od tistega, ki ga predstavljata števili 20 nasproti 19. Vzemimo ista števila A, B in C, kot so bila prikazana zgoraj. Naj premeri razlika C število A 20-krat. 144 Nastane 260, kar naj bo D. Če primerjamo D z A, ga preseže za 4 in to število naj bo F. Nadalje naj isto število C premeri število B 19-krat. Nastalo bo število 247. To število naj bo E, ki presega število B za isto število F. Števili D in E presegata torej števili A in B za isto število F, saj nastaneta s prištetjem števila F. Razmerje med številoma A in B je tako večje kot razmerje med številoma D in E. Toda števili D in E sta nastali z 20-kratno in 19-kratno množitvijo števila C. Razmerje A nasproti B, ki obsega polton, je torej večje, kot je razmerje števila 20 nasproti 19. A B C D (C x 20) E (C x 19) F 256 243 13 260 247 4 13.3| Dokazali smo torej, da ima mali polton sicer večje razmerje kot je 20 nasproti 19, vendar manjše kot je 19+1/2 nasproti 18+1/2. Zdaj pa primerjajmo isti mali polton s komo, ki je nekaj najbolj skrajnega, kar je še dostopno sluhu, in zato tudi najbolj skrajno razmerje. BOETIJ_TXT2013_01.indd 169 28.11.2013 12:19:49 170 Boethius, De institutione musica 170 XIIII. Semitonium minus maius quidem esse tribus commatibus minus vero quattuor 14.1| Igitur demonstrandum proponimus semitonium minus maius quidem esse commatibus tribus, minus vero quattuor, quod hinc facillime possis agnosce- re: Sint tres numeri ita dispositi, ut inter se proportionem contineant diapason et eam, quae dicitur sex tonorum. Sit enim A CCLXII.CXLIIII. Intendantur igitur ad B quidem quinque toni continui et sit B CCCCLXXII.CCCXCII; ad C autem diapason consonantia referatur, et sit C DXXIIII.CCLXXXVIII; ad D autem sex toni intendantur, sitque D DXXXI.CCCCXLI. His ita positis et constitutis manifestum est inter C atque D comma constitui, eorumque diffe - rentiam esse VII.CLIII. Id autem sit K. [Vide p. 172.] 14.2| Remittantur igitur duo toni ab eo, quod est B, ad id, quod est E, et sit E CCCLXXIII.CCXLVIII. Rursus ab eo, quod est E, intendo diatessaron, quod est F CCCCXCVII.DCLXIIII. Quoniam igitur inter E atque B duo sunt toni, inter E atque F diatessaron, inter B igitur atque F minus semitonium repperitur. Sublatis enim de diatessaron consonantia duobus tonis fit reliquum semitonium minus, quod in primis numeris constare praedixi CCLI et CCXLIII. Quos eo- sdem numeros, si millies nongenties quadragies quaterque multiplices, B atque F numeros explicabis. Quos necesse est eandem proportionem superius dictis numeris continere, qui uno atque eodem numero, id est M.DCCCCXLIIII pa- riter multiplicati creverunt. 14.3| Item ab eo, quod est F, intendo diatessaron, scilicet ad G et sit G DCLXIII.DLII. Rursus ab eodem G remitto ad P duos tonos et sit P DXXIIII.CCLXXXVIII. Quod P necesse est ut eundem sonum quem C numerus exhibeat; ad aequalita - tem namque eius tali ratione progressus est. Etenim ea, quae est AC diapason consonantia, quae constat V tonis ac duobus semitoniis minoribus, ab VI tonis commate superatur. Ab eodem igitur A termino numerus P V tonis ac semi - toniis duobus recessit hoc modo. Ab eo, quod est A, usque ad id, quod est B, V nimirum colliguntur toni. Ab eo autem, quod est B, usque ad id, quod est F, minus esse semitonium pernotatur. F vero atque P idem rursus semitonium minus includunt. A igitur usque ad P V tonos ac duo semitonia minora produ - xit. Iure igitur P atque C eisdem numeris conscribuntur. Sed quoniam inter F atque C semitonium minus est, videamus ecqua sit eorum differentia, ut eam commati comparemus. Est autem eorum differentia XXVI.DCXXIIII et sit hoc M. Igitur K commatis differentia est, M autem semitonii minoris. Si igitur K numerum tertio auxerimus, fiet numerus XXI.CCCCLVIIII et sit hoc L. Si vero quater eundem numerum K multiplicare volueris, fient XXVIII .DCXII et sit hic N. Igitur M maior quidem est ab L, idem autem M minor est ab N. Sed N quater aucto commate succrevit, L autem tertio, M vero semitonii minoris obtinet differentiam. Iure igitur dictum est, minus semitonium minus quidem esse, quam IIII commata, maius vero quam tria. BOETIJ_TXT2013_01.indd 170 28.11.2013 12:19:49 171 171 Tretja knjiga 14. Mali polton je sicer večji od treh kom, vendar manjši od štirih 14.1| Dokazati nameravamo, da je mali polton sicer večji od treh kom, vendar manj- ši od štirih. To bomo najlaže prepoznali takole: Vzemimo tri tako razporejena števila, da bodo vsebovala razmerje oktave in razmerje šestih tonov (velikih sekund). Vzemimo A 262144. Do B naj se torej določi v smeri navzgor pet zaporednih tonov (velikih sekund) in B naj bo 472392; do C naj se naveže kon - sonanca oktave, in naj bo C 524288; do D naj se v smeri navzgor določi šest tonov in D naj bo 531441. Ob tej postavitvi in določitvi je jasno, da je koma med C in D in da je razlika med C in D 7153, kar naj bo K. [Gl. str. 173.] 14.2| Od B naj se v smeri navzdol odmerita do E dva tona (veliki sekundi), in E naj bo 373248. Nadalje navežem na E kvarto v smeri navzgor, kar je F 497664. Ker sta med B in E dva tona, med E in F pa kvarta, je med B in F mali polton. Ko se namreč konsonanci kvarte odvzameta dva tona, ostane mali polton, za katerega sem rekel, da obstoji v najmanjših številih 256 in 243. Če ti dve števili množiš s 1944, prideš do števil B in F, za kateri je nujno, da obsegata enako razmerje kot števili 256 in 243, saj sta obe zrasli kot zmnožka z istim številom 1944. 14.3| Nadalje odmerim od F do G v smeri navzgor kvarto, in naj bo G 663552. Od istega G nadalje odmerim v smeri navzdol do P dva tona (veliki sekundi), in naj bo P 524288. Za P je nujno, da predstavlja isti ton kot število C. Enakost s tonom C doseže ton P po tejle poti: Konsonanco oktave AC, ki sestoji iz petih tonov (velikih sekund) in dveh malih poltonov, presega šest tonov za eno komo. 145 Od števila A je število P oddaljeno za pet tonov in dva poltona, in sicer takole: Od A do B je očitno pet tonov. Od B do F je mogoče prepo- znati mali polton. Ponovno vključujeta mali polton tudi F in P. A prinaša torej do P pet tonov in dva mala poltona. P in C sta tako pravilno podana z istim številom. 146 A ker je med F in C mali polton, poglejmo, kaj je njuna razlika, da bi jo lahko primerjali s komo. Njuna razlika je 26624, in to naj bo M. K je torej razlika kome, M pa malega poltona. Če število K trikratno povečamo, nastane 21459, in to naj bo L. Če pa bi hotel isto število K štirikratno pomno- žiti, nastane 28612, in to naj bo N. M je torej večji od L in manjši od N. Pri tem je število N zraslo s štirikratnim povečanjem kome, L s trikratnim, M pa zajema razliko malega poltona. Trditev, da je mali polton manjši od štirih kom, vendar pa večji od treh, je torej pravilna. 147 BOETIJ_TXT2013_01.indd 171 28.11.2013 12:19:50 172 Boethius, De institutione musica 172 XV. Apotomen maiorem esse quam quattuor commata minorem quam quinque, tonum maiorem quam VIII minorem quam VIIII 15.1| Eadem hac ratione et semitonium maius, quod apotomen dici supra retu- limus, quot commatum sit, possumus invenire hoc modo: Sit A CCLXII. CXLIIII, quinque vero ab eo distans tonis sit B CCCCLXXII.CCCXCII, sex vero distans tonis ab eo, quod est A, sit D scilicet DXXXI.CCCCXLI. Inter B igitur atque D tonus est, B vero ab eo, quod est C, distet semitonium minus et sit C CCCCXCVII.DCLXIIII. Relinquitur ergo inter C atque D apotome proportio. Nam cum sit tonus BD, ex eo si auferas BC semitonium minus, CD relinquitur maius, quod apotomen esse supra retulimus. Inter D igitur atque C est differentia XXXIII.DCCLXXVII. Hic autem sit E. Sed erat commatis differentia VII.CLIII. Hic sit F. Si igitur F, id quod est comma, quinquies multiplicem, fient mihi XXXV .DCCLXV et sit hoc G. Si vero idem F quater multiplicem, fit K numerus, qui est XXVIII.DCXII. G igitur ab eo, quod est E, maius est, K minus. Sed G quinquies auctum est comma, K vero quater. Est autem apotomes differentia E. Iure igitur dictum est apotomen minorem quidem esse quam quinque commata, maiorem vero quam quattuor. 15.2| Ex hoc igitur conprobatur tonum maiorem quidem esse, quam sunt VIII com- mata, minorem vero quam VIIII. Nam si minus semitonium maius quidem est A CCLXII. CXLIIII B CCCCLXXII. CCCXCII C DXXIIII. CCLXXXVIII D DXXXI. CCCCXLI VI toni V toni diapason E CCCLXXIII. CCXLVIII F CCCCXCVII. DCLXIIII P DXXIIII. CCLXXXVIII G DCLXIII. DLII diatessaron diatessaron K VII. CLIII L XXI. CCCCLVIIII M XXVI. DCXXIIII N XXVIII. DCXII BOETIJ_TXT2013_01.indd 172 28.11.2013 12:19:50 173 173 Tretja knjiga 15. Apotomé je večja od štirih in manjša od petih kom, ton je večji od osem in manjši od devet kom 15.1| Tudi za veliki polton, za katerega smo zgoraj navedli, da se imenuje apotomé, lahko po istem postopku ugotovimo, koliko kom vsebuje, takole: Vzemimo A 262144, pet tonov (velikih sekund) od njega B 472392, šest tonov od A pa D 531441. Med B in D je torej ton (velika sekunda), B pa naj bo od C oddaljen za mali polton, in naj bo C 497664. Med C in D ostane tako razmerje apotomé. Ker je namreč BD ton (velika sekunda), ostane, če mu odvzameš mali polton BC, veliki polton CD, za katerega smo zgoraj navedli, da je apotomé. Med D in C je razlika 33777. To naj bo E. A razlika kome je 7153 in to naj bo F. Če F, kar je koma, petkratno pomnožim, nastane 35765, in to naj bo G. Če pa isti F pomnožim štirikratno, nastane K 28612. G je torej večji od E, K pa manjši od E. Pri tem je G petkratno povečana koma, K štirikratno, razlika apotomé pa je E. Trditev, da je apotomé sicer manjša od petih kom, vendar večja od štirih, je torej pravilna. 15.2| Iz tega je mogoče dokazati, da je ton (velika sekunda) sicer večji od osmih kom, vendar pa manjši od devetih. Če je namreč mali polton večji od treh kom, vendar manjši od štirih, apotomé pa večja od štirih kom, vendar manjša od petih, bo zveza obojega, malega in velikega poltona, ki je apotomé, sicer 262144 A 3 7 3 2 4 8 E 5 t 2 t 4 7 2 3 9 2 B 4 8 mp 6 t 497664 F mp 524288 PC k 4 531441 D 2 t 663552 G K = D – C = 7153 L = K x 3 = 21459 M = C – F = 26624 N = K x 4 = 28612 BOETIJ_TXT2013_01.indd 173 28.11.2013 12:19:50 174 Boethius, De institutione musica 174 quam tria commata, minus vero quam IIII, apotome autem maior quidem est quam IIII commata, minor vero quam V, iunctum semitonium minus semito- nio maiori, quod est apotome, erit omne maius quidem VIII commatibus, mi- nus vero VIIII. Sed apotome atque semitonium minus unum efficiunt tonum. Tonus igitur maior quidem est VIII commatibus, minor vero VIIII. XVI. Superius dictorum per numeros demonstratio 16.1| Sed quamquam per hanc ratiocinationem demonstratum sit, quemadmodum tonus commatibus comparetur, non est tamen quasi segnibus delassandum, quominus per se hanc contra commata comparationem retinere tonus ipse monstretur. Sit igitur A quidem CCLXII.CXLIIII, B autem V ab eo distans tonis CCCCLXXII.CCCXCII, C vero diapason ad id, quod est A, continens symphoniam scilicet in numeris DXXIIII.CCLXXXVIII, D autem ab eo, quod est A VI totos differens tonos DXXXI.CCCCXLI. D igitur ab eo, quod est C, distat commate sexti toni ab diapason scilicet consonantia. Id autem sit E VII.CLIII. D autem ab eo, quod est B tono integerrimo distat, VI scili- cet toni quinque tonis. Id autem sit F LVIIII.XLVIIII. Si igitur E novies au- xero, fiet mihi H LXIIII.CCCLXXVII; sin vero octies, fient LVII.CCXXIIII. Id sit G. Sed H quidem F numero comparatus superat, G vero superatur, et est F toni differentia, H autem novies multiplicatum comma, G vero octies. Demonstratus igitur est tonus minor quidem VIIII esse commatibus, eisdem vero VIII commatibus maior. A CCLXII. CXLIIII B CCCCLXXII. CCCXCII C CCCCXCVII. DCLXIIII D DXXXI. CCCCXLI VI toni V toni semit. m. K XXVIII. DCXII E XXXIII. DCCLXXVII G XXXV. DCCLXV F VII. CLIII BOETIJ_TXT2013_01.indd 174 28.11.2013 12:19:50 175 175 Tretja knjiga 16. Številčni dokazi zgornjih trditev 16.1| Čeprav je bil s pravkaršnjo izpeljavo prikazan odnos med tonom (veliko se- kundo) in komami, ne smemo nedejavno prezreti, kako omogoča ton sam po sebi primerjavo nasproti komam. Vzemimo torej A 262144; B, oddaljen od A za 5 tonov (velikih sekund), naj bo 472392, C, ki naj bo do A v sozvočju oktave, naj bo 524288, D 531441 pa naj se od A loči za šest celih tonov. D je torej od C, se pravi od sozvočja oktave, oddaljen za komo šestega tona (velike sekunde), ki naj bo E 7153. 149 Od B pa je D oddaljen za celi ton, enako kot je šest tonov oddaljeno od petih. To naj bo F 59049. 150 Če torej E devetkrat po- večam, dobim H 64377, če pa osemkrat, nastane 57224, kar naj bo G. Ob pri - merjavi se pokaže, da H presega F, G pa je presežen s F. Pri tem je F razlika tona (velike sekunde), H deveterno pomnožena koma, G pa osmerno. S tem je dokazano, da je ton (velika sekunda) sicer manjši od devetih kom, vendar pa večji od osmih. večja od osem kom, vendar pa manjša od devetih. A apotomé in mali polton tvorita ton, ki je tako večji od osmih kom, vendar pa manjši od devetih. 148 262144 A 5 t 472392 B mp 6 t 4 9 7 6 6 4 C 1 t a p . 531441 D F = 7153 (razlika kome) K = F x 4 = 28612 E = D – C = 33777 (razl. apotomé) G = F x 5 = 35765 BOETIJ_TXT2013_01.indd 175 28.11.2013 12:19:50 176 Boethius, De institutione musica 176 16.2| Ita his praemissis licet maius semitonium minore semitonio commate distare monstratum sit, tamen idem quoque per se et per subiectos numeros tali ratione probabitur. Sit A numerus CCCCXCVII.DCLXIIII, ab eo vero minus semito- nium distans sit B numerus, qui iam supra quoque descriptus est DXXIIII. CCLXXXVIII. Apotomen vero distet ab eo, quod est A, is numerus, qui colligi - tur unitatibus DXXXI.CCCCXLI. Et sit hic C. Quoniam igitur AB minus semi - tonium AC maius, differentia eius, quod est B, ab eo, quod est C, perquirenda est. Ea est VII.CLIII. Id sit D. Sed hic numerus dudum comma monstrabat. Inter maius igitur semitonium ac minus comma differentiam facit. 16.3| Rursus demonstrandum propono tonum duobus semitoniis minoribus solo commate esse maiorem. Sit A numerus CCCCLXXII.CCCXCII ab hoc in- tendatur tonus DXXXI.CCCCXLI et sit hoc D. Ab eo vero, quod est A, in- tendatur semitonium minus, quod est B, ac sit B CCCCXCVII.DCLXIIII. Item ab eo, quod est B semitonium aliud intendatur minus, quod est C, et sit C DXXIIII.CCLXXXVIII. Quoniam igitur AD tonus est, AC vero duo con- A CCCCXCVII. DCLXIIII B DXXIIII. CCLXXXVIII C DXXXI. CCCCXLI D VII. CLIII apotome semiton. A CCLXII. CXLIIII B CCCCLXXII. CCCXCII C DXXIIII. CCLXXXVIII D DXXXI. CCCCXLI VI toni V toni diapason E VII. CLIII G LVII. CCXXIIII F LVIIII. XLVIIII H LXIIII. CCCLXXVII BOETIJ_TXT2013_01.indd 176 28.11.2013 12:19:50 177 177 Tretja knjiga 16.3| Nadalje nameravam dokazati, da je ton (velika sekunda) le za eno komo večji od dveh malih poltonov. Vzemimo število A 472392. Od tega števila naj se v smeri navzgor določi ton (velika sekunda), število D 531441. Nadalje naj se od A v smeri navzgor določi mali polton B 497664 in od tega v smeri navzgor še en mali polton C 524288. Ker je torej AD ton, AC pa obsega dva mala poltona, poglejmo, kaj je razlika med številoma C in D. Ta razlika, namreč E, je 7153. 16.2| V predhodnih razlagah je že bilo prikazano, da je veliki polton oddaljen od malega poltona za eno komo; kljub temu naj se to sámo potrdi še s spodaj na - vedenimi števili, in sicer s tole izpeljavo: Vzemimo A 497664; od tega naj bo za mali polton oddaljeno število B, ki je bilo že zgoraj določeno kot 524288. Kot apotomé pa naj bo odmerjeno od A število C 531441. Ker je torej AB mali polton, AC pa veliki, je treba poiskati razliko med B in C. Ta je D 7153, kar je število, ki nam ponazarja komo. Razlika med velikim in malim poltonom je torej res koma. 497664 A mp 524288 B apotomé 531441 C D = C – B = 7153 262144 A 5 t 4 7 2 3 9 2 B 8 6 t 524288 C 531441 D E = D – C = 7153 G = E x 8 = 57224 F = D – B = 59049 H = E x 9 = 64377 BOETIJ_TXT2013_01.indd 177 28.11.2013 12:19:51 178 Boethius, De institutione musica 178 tinet minora semitonia, videamus ecqua sit differentia inter C atque D nume- ros constituta. Est autem, E scilicet, unitatum VII.CLIII. Demonstratum est igitur, tonum duobus semitoniis minoribus commate esse maiorem. 16.4| Sed quoniam iam omnia, quae probanda promisimus propria ratione mon- strata sunt, nunc quod superest musicae institutioni regularis monochordi est facienda partitio. Quam rem quoniam longior tractatus extendit, in po- sterioris commentarii disputationem censuimus transferendam. A CCCCLXXII. CCCXCII B CCCCXCVII. DCLXIIII C DXXIIII. CCLXXXVIII D DXXXI. CCCCXLI tonus semiton. E VII. CLIII semiton. BOETIJ_TXT2013_01.indd 178 28.11.2013 12:19:51 179 179 Tretja knjiga S tem je dokazano, da je ton (velika sekunda) za eno komo večji od dveh malih poltonov. 16.4| Vse, kar smo obljubili dokazati, je bilo prikazano z ustreznimi izpelja- vami, in preiti je treba k tistemu, kar je od temeljev glasbe še preostalo: izpeljati je treba delitev oštevilčenega monokorda. 151 O tej stvari govori daljše besedilo in zato sodimo, da jo je treba prenesti v razpravo nasle- dnje knjige. 472392 A mp 4 9 7 6 6 4 B mp ton 524288 C 531441 D E = D – C = 7153 BOETIJ_TXT2013_01.indd 179 28.11.2013 12:19:51 180 180 I. Vocum differentias in quantitate consistere 1.1| Etsi omnia, quae demonstranda erant, superioris libri tractatione digessi- mus, non paenitet tamen rursus eadem breviter memoriae recolligenda pra- estare cum quadam diversitate tractatus, ut his rursus ad memoriam redeun- tibus ad regulae divisionem quo tota tendit intetio, veniamus. 1.2| Si foret rerum omnium quies, nullus auditum sonus feriret, id autem fieret, quoniam cessantibus motibus cunctis nullum inter se res pulsum cierent. Ut igitur sit vox, pulsu est opus. Sed ut sit pulsus, motus necesse est antecedat. Ut ergo sit vox, motum esse necesse est. 1.3| Sed omnis motus habet in se tum velocitatem tum etiam tarditatem. Si igitur sit tardus inpellendo motus gravior redditur sonus. Nam ut tarditas proxi- ma stationi est, ita gravitas contigua taciturnitati. Velox vero motus acutam voculam praestat. Praeterea quae gravis est intentione, crescit ad medium, quae vero acuta, remissione decrescit ad medium. Unde fit, ut omnis sonus quasi ex quibusdam partibus compositus esse videatur. 1.4| Omnis autem partium coniunctio quadam proportione committitur. Sono- rum igitur coniunctio proportionibus constituta est. Proportiones autem principaliter in numeris considerantur. Proportio vero simplex numerorum vel in multiplicibus vel in superparticularibus vel in superpartientibus inve- nitur. Secundum multiplices vero proportiones vel superparticulares con- sonae vel dissonae voces exaudiuntur. Consonae quidem sunt, quae simul pulsae suavem permixtumque inter se coniungunt sonum. Dissonae vero, quae simul pulsae non reddunt suavem neque permixtum sonum. His igitur ita praedictis de proportionibus pauca dicamus. Liber quartus BOETIJ_TXT2013_01.indd 180 28.11.2013 12:19:51 181 181 1. Razlike med toni so količinske 1.1| Vse, kar je bilo treba dokazati, smo razgrnili v razpravi predhodne knjige; kljub temu ne bo zaman, če to z nekoliko drugačnimi besedami kratko pono- vimo in prikličemo v spomin. Tako bomo z osveženim spominom prišli do delitve monokorda, kar je naš glavni namen. 1.2| Če bi vse stvari mirovale, ne bi noben zvok udarjal na sluh. Tako bi bilo zato, ker bi ob prenehanju vsakega gibanja med medsebojno povezanimi stvarmi ne bilo nobenega izvora utripanja. Da nastane zvok, je potrebno utripanje; da pa nastane utripanje, je nujno, da je poprej gibanje. Za nastanek zvoka je torej nujno gibanje. 1.3| Vsako gibanje je zdaj hitro zdaj počasno. Če je gibanje s svojimi udarci po- časno, nastane nižji zvok. Kot je namreč počasnost blizu mirovanju, tako je nizkost zvoka sosednja tišini. Hitro gibanje pa daje visok glas. Nizek glas z dvigovanjem raste proti sredini, visok pa z nižanjem proti sredini upada. Tako se vsak glas dozdeva kot sestavljen iz več delov. 1.4| Vsaka povezava različnih delov nastane po določenem razmerju in tudi pove- zava tonov ima svoj temelj v razmerjih. Razmerja pa se opazujejo predvsem na številih. Enostavna razmerja med števili so bodisi množinska, superpartiku- larna ali pa superpartientna. Po množinskih ali superpartikularnih razmerjih nastajajo v sluhu konsonančna ali disonančna sozvočja. Konsonančna so tista, kjer se dva sočasno udarjajoča tona družita v blagoglasen in medsebojno ubran zvok. Disonančna pa so tista, kjer dva sočasno udarjajoča tona ne dajeta blago- glasnega in medsebojno ubranega zvoka. Po tem uvodu povejmo nekaj malega o razmerjih. Četrta knjiga BOETIJ_TXT2013_01.indd 181 28.11.2013 12:19:51 182 Boethius, De institutione musica 182 II. Diversae de intervallis speculationes 2.1| Si intervallum multiplex binario multiplicetur, id quod fit ex hac multiplicatio - ne, intervallum multiplex erit. Sit multiplex intervallum BC et B multiplex eius, quod est C et fiat, ut est C ad B, ita B ad D. Quoniam igitur B multiplex est eius, quod est C, metitur C terminus id, quod est B, vel bis vel tertio vel deinceps. At est ut C ad B ita B ad D. Metitur igitur B terminus id, quod est D. Quocirca etiam C terminus id, quod est D, metietur; multiplex est igitur D eius, quod est C, et est DC intervallum effectum ex composito bis copulatoque sibimet et per binarium multiplicato BC intervallo. In numeris quoque idem probatur. Sit enim B ad C duplum, ut binarius ad unitatem et fiat, ut C ad B ita B ad D. Erit igitur D quater - narius. Multiplex est autem B ad C id est binarius ad unitatem, multiplex igitur est D quaternarius ad C unitatem. Est enim quadruplus quaternarius unitatis et binario multiplicata medietas, quod est intervallum BC. IIII II I D B C 2.2| Si intervallum binario multiplicatum multiplex effecerit intervallum, ipsum quoque multiplex erit. Sit intervallum BC et fiat ut C ad B ita B ad D et D sit ad C multiplex. Dico, quia B eius quod est C multiplex est. Quoniam enim D eius quod est C multiplex est, metitur C id, quod est D. Ostensum vero est, quoniam, si sint proportionaliter numeri et prior naturaliter fuerit ultimo comparatus, si primum ultimus fuerit mensus, metietur et medium. C igitur metietur id, quod est B. Multiplex est igitur B eius, quod est C. Id rursus ex numeris. Sit C unitas D vero ex duplicata proportione BC sit quaternarius et est multiplex eius, quod est C. Est enim quadruplus. Quoniam igitur hic quadruplus ex duplicata BC pro - portione generatur, BC proportio dimidum eius erit. Igitur BC proportio dupla est. Sed duplum multiplex est. Erit igitur BC proportio multiplex. D B C IIII II I 2.3| Superparticularis intervalli medius numerus neque unus neque plures pro- portionaliter intervenient. Sit enim BC proportio superparticularis et in ea- dem proportione minimi sint DF et G. Quoniam DF et G minimi sunt in eadem proportione, sunt eiusdem proportionis primi. Quocirca sola eos uni- tas metietur. Auferatur igitur G ab DF et relinquatur D. Hic est igitur utro- rumque mensura communis. Haec igitur erit unitas. Quocirca nullus inter FD atque G incidet numerus, qui sit ab FD quidem minor, maior vero ab G. Sola enim interest unitas. Quanti vero in superparticularibus proportionibus BOETIJ_TXT2013_01.indd 182 28.11.2013 12:19:51 183 183 Četrta knjiga 2. Različna opažanja o razmerjih 2.1| Če se množinsko razmerje množi z 2, 152 je tisto, kar nastane iz tega množenja, množinsko razmerje. Vzemimo množinsko razmerje BC; B naj bo mnogo- kratnik C, in kot je C do B, tako naj bo B do D. Ker je torej B mnogokratnik C, premerja število C število B bodisi dvakrat, bodisi trikrat itd. A kot je C do B, je B do D. Število B premerja torej D in tako bo tudi število C premerjalo D. D je torej mnogokratnik števila C in razmerje DC nastane kot dvakra- tno sestavljeno, dvakrat medsebojno povezano, preko števila 2 pomnoženo razmerje BC. To je mogoče preizkusiti s števili. Naj bo B do C v dvojnem razmerju, kot je 2 do 1, in kot je C do B naj bo B do D. D bo torej število 4. B je v razmerju do C mnogokratnik: 2 nasproti 1. Mnogokratnik je tudi število D do števila C: število 4 je namreč početverjenje števila 1 in podvojitev lastne polovice, ki jo predstavlja razmerje BC. 4 2 1 D B C 2.2| Če nastane ob množenju danega razmerja z 2 153 množinsko razmerje, je tudi dano razmerje množinsko. Vzemimo razmerje BC, in kot je C do B, naj bo B do D, pri čemer naj bo D mnogokratnik C. Trdim, da je tudi B mnogokratnik C. 154 Ker je D mnogokratnik C, premerja število C število D. Prikazano pa je bilo: Ko v somerni vrsti števil 155 primerjamo prvo in zadnje, je takó, da če prvo število premerja zadnje, 156 premerja tudi srednje število. Število C bo torej premerjalo B in B bo mnogokratnik števila C. Ponovno s števili: Naj bo C 1, D pa naj bo podvojeno razmerje BC 157 in število 4. To število je mnogokratnik števila C, saj je njegovo početverjenje. Ker nastane s podvojitvijo razmerja BC, je razmerje BC njegova polovica. 158 BC je torej dvojno razmerje. Dvojno razmerje pa je množinsko. Razmerje BC je torej množinsko razmerje. D B C 4 2 1 2.3| Pri superpartikularnem razmerju ni niti enega somerno postavljenega sre- dnjega števila niti jih ni več. 159 Vzemimo superpartikularno razmerje BC in v najmanjših možnih številih naj to razmerje podajata DF in G. Ker sta DF in G najmanjši števili, sta prvi v razmerju BC in zato ju premerja le število 1. Če torej številu DF odvzamemo G, ostane D. To število je skupna mera obeh števil, DF in G, in je 1. Med DF in G ni tako nobenega števila, ki bi bilo manj- še od DF, vendar večje od G, saj je med njima le število 1. A kolikor somerno postavljenih števil je med najmanjšima, dano superpartikularno razmerje iz- BOETIJ_TXT2013_01.indd 183 28.11.2013 12:19:51 184 Boethius, De institutione musica 184 proportionaliter inter eiusdem proportionis minimos intercident, tot etiam inter cetoros eiusdem proportionis intercident. Sed nullus inter FD atque G minimos eiusdem proportionis intervenire potest; nullus igitur inter B atque C proportionaliter cadet. Et in numeris. Sit quaelibet superparticularis proportio, ut sesqualtera. Hi vero sint X et XV. In eadem vero proportione minimi II et III. Aufero de tribus binarium, fit reliqua unitas, eademque utrosque metitur. Nullus erit igitur inter binarium ternariumque numerus, qui sit binario maior, minor vero ternario. Alioquin unitas dividetur, quod est inconveniens. Quare ne inter X quidem atque XV quisquam invenietur numerus, qui talem ad X obtineat proportionem, qualem ad eum tenent XV. D I B C DF G XV X III II 2.4| Si intervallum non multiplex binario multiplicetur, nec multiplex est, nec superparticulare. Sit enim intervallum non multiplex BC et fiat, ut C ad B sic B ad D. Dico, quoniam D eius, quod est C neque multiplex est, neque superparticularis. Sit enim, si fieri potest, primum D eius, quod est C mul - tiplex. Et quoniam cognitum est, si intervallum binario multiplicatum sit et multiplex intervallum creatum, id quod multiplicatum est bis intervallum esse multiplex, erit igitur BC multiplex. Sed non est positum, non igitur erit D eius, quod est C, multiplex. Nec vero superparticulare. Nam superparticu - laris proportionis medius proportionaliter terminus nullus intervenit. Inter D vero et C est proportionaliter terminus constitutus, id est B. Nam ut est C ad B ita B ad D. Inpossibile igitur erit, D eius quod est C vel multiplicem esse vel superparticularem, quod oportebat ostendere. Et in numeris. Sit non multiplex intervallum VI ad IIII fiatque ut sunt IIII ad VI ita VI ad alium quemlibet numerum. Hic erit igitur novenarius, qui quaternarii neque multi- plex neque superparticularis est. D B C VIIII VI IIII 2.5| Si intervallum binario multiplicetur atque id, quod ex ea multiplicatione cre- abitur, multiplex non sit, ipsum quoque non erit multiplex. Sit enim interval - lum BC fiatque, ut C ad B ita B ad D et non sit D eius quod est C multiplex. Dico, quoniam nec B eius, quod est C, erit multiplex. Si enim est, et D eius quod est C multiplex est. At non est. Non erit igitur B eius, quod est C, mul- tiplex. BOETIJ_TXT2013_01.indd 184 28.11.2013 12:19:51 185 185 Četrta knjiga ražajočima številoma, toliko jih je tudi med drugimi, isto superpartikularno razmerje izražajočimi števili. Ker pa med najmanši števili razmerja DF in G ne more priti nobeno število, se tudi med B in C ne bo našlo nobeno somerno število. In še v številih: Vzemimo poljubno superpartikularno razmerje, kot je tripolovinsko 10 nasproti 15. Najmanjši števili v tem razmerju sta 2 in 3. Številu 3 odvzamem 2, ostane 1, ki premerja obe števili. Med 2 in 3 ni torej nobenega števila, ki bi bilo večje od 2, vendar manjše od 3, razen če bi se število 2 delilo, kar pa ne bi bilo dosledno. Tako se tudi med 10 in 15 ne bo našlo nobeno število, ki bi bilo do števila 10 v takem razmerju, kakršnega bi do njega imelo število 15. D 1 B C DF G 15 10 3 2 2.4| Če se razmerje, ki ni množinsko, množi z 2, 160 nastane razmerje, ki ni niti množinsko niti superpartikularno. Vzemimo nemnožinsko razmerje BC, in kot je C do B, naj bo B do D. Trdim, da D ni niti mnogokratnik števila C niti njegovo superpartikularno število. Preizkusimo najprej možnost, da bi bil D mnogokratnik C. Že je bilo ugotovljeno: Če se dano razmerje množi z 2 161 in če nastane ob tem množinsko razmerje, je razmerje, ki je bilo množeno z 2, tudi samo množinsko. BC bi moralo biti torej množinsko razmerje, vendar ni bilo določeno kot množinsko. Tudi D tako ne bo mnogokratnik C. Vendar pa D tudi ne bo superpartikularno število števila C. Pri superpartikularnih raz- merjih namreč ni somerno postavljenega srednjega števila, med D in C pa je somerno postavljeno srednje število B. Kot je namreč C do B, tako je B do D. Nemogoče je torej, da bi bilo število D bodisi mnogokratnik števila C bodisi njegovo superpartikularno število, kar je bilo potrebno dokazati. In še s števili: Vzemimo nemnožinsko razmerje 6 nasproti 4, in kot je 4 nasproti 6, tako naj bo 6 do nekega drugega števila. To število je 9, ki ni niti mnogokratnik števila 4 niti njegovo superpartikularno število. D B C 9 6 4 2.5| Če se razmerje množi z 2 162 in če tisto, kar s tem množenjem nastane, ni mno- žinsko razmerje, tudi razmerje, ki se množi z 2, ni množinsko. 163 Vzemimo razmerje BC, in kot je C do B, naj bo B do D, in D naj ne bo mnogokratnik C. Trdim, da tudi B ni mnogokratnik C. Če pa je, je tudi D mnogokratnik C. A ni. Tako tudi B ne bo mnogokratnik C. BOETIJ_TXT2013_01.indd 185 28.11.2013 12:19:51 186 Boethius, De institutione musica 186 2.6| Duplex intervallum ex duobus maximis superparticularibus coniungitur, se- squaltero et sesquitertio. Sit enim A quidem eius, quod est B, sesqualter, B vero eius, quod est C, sesquitertius. Dico, quoniam A eius, quod est C duplex est. Quoniam igitur sesqualter est A eius, quod est B, igitur A habet in se totum B eiusque dimidium. Duo igitur A aequi sunt tribus B. Rursus quoniam B eius, quod est C sesquitertius est, B igitur habet C et eius tertiam partem. Tres igitur B aequi sunt ad quattuor C. Tres autem B aequi erant duobus A. Duo igitur A aequi sunt ad quattuor C. Unus igitur A aequus est duobus C. Duplex erit igitur A eius, quod est C. Et in numeris. Sit enim sesqualter XII ad VIII sesquitertius vero VIII ad VI; ergo XII ad VI duplices sunt. 2.7| Ex duplici intervallo atque sesqualtero triplex nascitur intervallum. Sit enim A eius, quod est B, duplex, B autem eius, quod est C, sesqualter. Dico quo- niam A eius, quod est C triplex est. Nam quoniam A eius, quod est B, duplex est, A igitur aequus est duobus B. Rursus quoniam B eius, quod est C, se- squalter est, B igitur habet in se totum C et eius dimidiam partem. Duo igitur B aequi sunt tribus C. Sed duo B aequi erant uni A. Et unus igitur A aequus est tribus C. Igitur A uno C triplex est. Et in numeris. Sit duplex quidem se- narius ternario, sesqualter vero ternarius binario, senarius igitur triplex est binario. 2.8| Si sesqualtero intervallo sesquitertium demptum fuerit intervallum, erit quod relinquitur sesquioctavum. Sit enim A quidem eius quod est B, sesqualter, at vero C eius, quod est B, sesquitertius. Dico quoniam A eius, quod est C, sesquioctavus est. Quoniam enim A eius, quod est B, sesqualter est, A igitur duplus A B C XII VIII VI sesqualter sesquitertius triplus A B C VI III II duplus sesqualter BOETIJ_TXT2013_01.indd 186 28.11.2013 12:19:51 187 187 Četrta knjiga 2.6| Dvojno razmerje je zveza prvih dveh največjih superpartikularnih razmerij, tripolovinskega in štiritretjinskega. Vzemimo A, ki naj bo tripolovinsko šte - vilo števila B, in B, ki naj bo štiritretjinsko število števila C. Trdim, da je število A dvakratnik števila C. Ker je A tripolovinsko število števila B, vse- buje celotno število B in še njegovo polovico: 2 A je enako 3 B. Ker pa je nadalje B štiritretjinsko število števila C, vsebuje celotno število C in še nje- govo tretjino: 3 B je enako 4 C. Vendar je 3 B enako tudi 2 A. 2 A je tako enako 4 C, in A je enako 2 C. A je torej dvakratnik C. In še v številih: Naj bo tripolovinsko razmerje 12 nasproti 8, štiritretjinsko pa 8 nasproti 6; 12 je torej v razmerju do 6 dvojno. 2.7| Iz dvojnega in tripolovinskega razmerja nastane trojno razmerje. Vzemimo A, ki naj bo dvakratnik B, B pa naj bo tri polovice C. Trdim, da je A trikra- tnik C. Ker je namreč A dvakratnik B, je enak dvema B. Ker pa je nadalje B tri polovice C, vsebuje celotni C in še njegovo polovico. 2 B je torej enako 3 C. A 2 B je enako tudi 1 A. A je enako 3 C, in je torej trikratnik C. In še v številkah: Vzemimo dvojno razmerje 6 nasproti 3, tripolovinsko pa naj bo 3 nasproti 2. 6 je trikratnik števila 2. 2.8| Če se tripolovinskemu razmerju odvzame štiritretjinsko, ostane devetosmin- sko razmerje. Vzemimo A, ki naj bo 3/2 B, C pa naj bo 4/3 B. Trdim, da je A 9/8 C. Ker je A 3/2 B, vsebuje celotni B in še njegovo polovico: 8 A je enako 12 B. Ker je nadalje C 4/3 B, vsebuje celotni B in še njegovo tretjino: 9 C je 12 A 12 tripolovinsko štiritretjinsko B 8 C 6 dvakratno A 6 dvojno tripolovinsko B 3 C 2 trikratno BOETIJ_TXT2013_01.indd 187 28.11.2013 12:19:52 188 Boethius, De institutione musica 188 habet in se B et eius dimidiam partem. Octo igitur A aequi sunt ad duodecim B. Rursus quoniam C eius, quod est B, sesquitertius est, C igitur habet in se B et tartiam eius partem. Novem igitur C aequi sunt ad duodecim B. Duodecim autem B aequi erant ad octo A. Et octo igitur A aequi sunt ad novem C. Igitur A aequus est ei, quod est C, et octave eius parti. A igitur eius, quod est C, sesquioctavus est. Et in numeris. Sesqualterum quidem intervallum sit nove- narius ad senarium, sesquitertium vero octonarius ad senarium. Novem igitur ad octo sesquioctava proportio est. 2.9| Sex proportiones sesquioctavae maiores sunt uno duplici intervallo. Sit enim quidam numerus A, huius autem sit sesquioctavus B, huius autem se- squioctavus C, huius autem sesquioctavus D et huius sesquioctavus F eiu- sque sesquioctavus G atque huius sesquioctavus K. Id autem fiat secundum descriptum in arithmetica modum. Et sint numeri A, B, C, D, F, G, K. Et sit A CCLXII.CXLIIII, huius autem sesquioctavus, qui est B, CCXCIIII. DCCCCXII, huius autem sesquioctavus, qui est C, CCCXXXI.DCCLXXVI, huius autem sesquioctavus, qui est D, CCCLXXIII. CCXLVIII, huius autem sesquioctavus, qui est F, CCCCXVIIII.DCCCCIIII, huius autem sesquiocta- vus, qui est G, CCCCLXXII.CCCXCII, huius autem sesquioctavus, qui est K, DXXXI.CCCCXLI. Et sunt DXXXI.CCCCXLI, quod est K, plus quam duplices a ducentis LX duobus milibus CXLIIII, quod est A. Sex igitur se- squioctavae proportiones ampliores sunt uno duplici intervallo. A CCLXII.CXLIIII B CCXCIIII.DCCCCXII C CCCXXXI.DCCLXXVI D CCCLXXIII. CCXLVIII F CCCCXVIIII.DCCCCIIII G CCCCLXXII.CCCXCII K DXXXI.CCCCXLI A C B VIIII VIII VI sesqualter sesquitertius sesquioctavus BOETIJ_TXT2013_01.indd 188 28.11.2013 12:19:52 189 189 Četrta knjiga B. 12 B pa je enako tudi 8 A. 8 A je tako enako 9 C. A je torej enak C in 1/8 C in je tako 9/8 C. In še v številkah: tripolovinsko razmerje naj bo 9 nasproti 6, štiritretjinsko pa 8 nasproti 6. 9 nasproti 8 je devetosminsko razmerje. 2.9| Šest devetosminskih razmerij je več kot dvojno razmerje. Vzemimo poljub- no število A; devetosminsko število temu naj bo B, devetosminsko število temu pa C; devetosminsko število temu naj bo D, devetosminsko število temu F, devetosminsko število temu G in devetosminsko število temu naj bo K. Vse to naj sledi načinu, opisanemu v Aritmetiki. Vzemimo števila A, B, C, D, F, G, K. A naj bo 262144; devetosminsko število temu B 294912; deve- tosminsko število temu C 331776; devetosminsko število temu D 373248; de- vetosminsko število temu F 419904, devetosminsko število temu G 472392 in devetosminsko število temu K 531441. 531441, kar je K, pa je več kot dvakrat A, ki je 262144. Šest devetosminskih razmerij ima torej večji obseg kot dvojno razmerje. A 262144 B 294912 C 331776 D 373248 F 419904 G 472392 K 531441 A 9 tripolovinsko štiritretjinsko C 8 B 6 devetosminsko BOETIJ_TXT2013_01.indd 189 28.11.2013 12:19:52 190 Boethius, De institutione musica 190 III. Musicarum notarum per graecas ac latinas litteras nuncupatio 3.1| Restat nunc quoniam sumus nervum secundum praedictas consonantias per regulam divisuri, quoniamque necessarios sonos tribus generibus cantilenae exhibebit ista partitio, musicas interim notas apponere, ut, cum divisam li- neam isdem notulis signaverimu; quod unicuique nomen sit, facillime pos- sit agnosci. Veteres enim musici propter conpendium scriptionis, ne integra semper nomina necesse esset apponere, excogitavere notulas quasdam, quibus nervorum vocabula notarentur, easque per genera modosque divisere, simul etiam hac brevitate captantes, ut, si quando melos aliquod musicus voluisset adscribere super versum rythmica metri compositione distentum, has sono- rum notulas adscriberet, ita miro modo repperientes, ut non tantum carminum verba, quae litteris explicarentur, sed melos quoque ipsum, quod his notulis signaretur, in memoriam posteritatemque duraret. 3.2| Sed ex his omnibus modis unum interim lydium eiusque notulas per tria ge- nera disponamus, in reliquis modis idem facere in tempus aliud differentes. Sane si quando dispositionem notarum Graecarum litterarum nuncupatione descripsero, lector nulla novitate turbetur. Graecis enim litteris in quamlibet partem nunc inminutis, nunc etiam inflexis tota haec notarum descriptio con - stituta est. Nos vero cavemus aliquid ab antiquitatis auctoritate transvertere. Erunt igitur priores ac superiores notulae dictionis, id est verborum, secundae vero atque inferiores percussionis. 3.3| Proslambanomenos, qui adquisitus dici potest, zeta non integrum et tau ia- cens, hypate hypaton, quae est principalis principalium, gamma conversum et gamma rectum, parhypate hypaton, idest subprincipalis principalium, beta non integrum et gamma supinum, hypaton enarmonios, quae est principa- lium enarmonios, alpha supinum et gamma conversum retro habens virgu- lam, hypaton chromatice, quae est principalium chromatica, alpha supinum habens lineam et gamma conversum duas habens lineas, hypaton diatonos, quae est principalium extenta, phi graecum et digammon, hypate meson, quae est principalis mediarum sigma et sigma, parhypate meson, quae est subprin- cipalis mediarum, rho et sigma supinum, meson enarmonios, quae est media- rum enarmonios, pi graecum et sigma conversum, meson chromatice, quae est mediarum chromatica, pi graecum habens virgulam et sigma conversum per medium habens virgulam, meson diatonos, quae est mediarum extenta, my graecum et pi graecum deductum, mese, quae est media, iota et lambda iacens, trite synemmenon, quae est tertia coniunctarum theta et lambda supi- num, synemmenon enarmonios, quae est coniunctarum enarmonios, eta grae- BOETIJ_TXT2013_01.indd 190 28.11.2013 12:19:52 191 191 Četrta knjiga 3. Poimenovanje tonov z grškimi in latinskimi črkami 3.1| V kratkem bomo s prikazanimi konsonancami sledeč pravilom delili struno in ta delitev bo določila tone, ki nastopajo v treh rodovih melodij. Preostaja nam, da podama glasbene znake. Ko bomo razdeljeno črto označevali s temi znaki, bo tako zlahka mogoče prepoznati, kaj kateri pomeni. Stari muziki so si zaradi lažjega zapisovanje, da ne bi bilo potrebno zmeraj navajati celotnih imen tonov, zamislili namreč nekakšne znake, s katerimi naj bi bila označena imena strun, in te znake so ločili z ozirom na rodove in moduse. S tem okraj- šanjem so hkrati omogočili, da se je glasbenik, če je nad verz, potekajoč v ritmično oblikovanem metrumu, želel zapisati melodijo, poslužil teh znakov. Tako so iznašli nekaj čudovitega: ne samo besedila pesmi, ki se razvijajo preko črk, tudi sama melodija, ki je bila označena s temi znaki, se je mogla ohraniti v spominu kasnejših rodov. 3.2| Toda izberimo izmed modusov najprej enega, lidijskega, in razprostrimo po treh rodovih njegove znake; za ostale moduse bomo to naredili kasneje. Ko bom razporeditev znakov opisoval z izrazi za grške črke, naj ta posebnost bralca ne bega. Temeljijo namreč na grških črkah, ki so zdaj v kakem delu nepopolne, včasih pa še obrnjene. Pri tem se bomo varovali, da ne bi česa, kar ima starodavni ugled in veljavo, spremenili. Prvi, zgornji znaki so namenjeni govorjenju, se pravi besedilu, drugi, spodnji pa igranju. 164 3.3| Proslambanomenos, 165 ki bi se prevedeno lahko imenovala »privzeta stru- na«, se zapisuje kot nepopolna zeta in kot ležeči tau; hypate hypaton, »prva med prvimi«, se zapisuje kot zasukana gama in kot prav postavljena gama; parhypate hypaton, »ki je poleg prve med prvimi«, je nepopolna beta in nav- zdol obrnjena gama; hypaton enarmonios, »enharmonska med prvimi«, je navzdol obrnjena alfa in zasukana gama, ki ima zadaj črtico; hypaton chro- matice, »kromatična med prvimi«, je navzdol obrnjena alfa s črto in zasu- kana gama, ki ima dve črti; hypaton diatonos, »diatonična med prvimi«, je grški fi in digama; 166 hypate meson, »prva med srednjimi«, je obakrat sigma; parhypate meson, »ki je poleg prve med srednjimi«, je ro in navzdol obrnje- na sigma; meson enarmonios, »enharmonska med srednjimi«, je grški pi in obrnjena sigma; meson chromatice, »kromatična med srednjimi«, je grški pi s črtico in obrnjena sigma, ki ima na sredi črtico; meson diatonos, »diato- nična med srednjimi«, je grški mi in popačeni grški pi; mese, »srednja stru- na«, je jota in ležeča lambda; trite synemmenon, »tretja med spojenimi«, je teta in navzdol obrnjena lambda; synemmenon enarmonios, »enharmonska BOETIJ_TXT2013_01.indd 191 28.11.2013 12:19:52 192 Boethius, De institutione musica 192 cum et lambda iacens conversum per medium habens virgulam, synemmenon chromatice, quae est coniunctarum chromatica, eta graecum habens virgulam et lambda conversum habens virgulam, synemmenon diatonos, quae est co- niunctarum extenta, gamma et ny, nete synemmenon, quae est ultima coniun- ctarum ω quadratum supinum et zeta, paramesos, quae est submedia, zeta et pi graecum iacens, trite diezeugmenon, quae est tertia divisarum, e quadratum et pi graecum supinum, diezeugmenon enarmonios, quae est divisarum enarmo- nios, delta et pi graecum iacens conversum, diezeugmenon chromatice, quae est divisarum chromatica, delta habens virgulam et pi graecum iacens conver - sum habens lineam angularem, diezeugmenon diatonos, quae est divisarum diatonos, ω quadratum supinum et zeta, nete diezeugmenon, quae est ultima divisarum, phi iacens et ny inversum deductum, trite hyperboleon, quae est tertia excellentium y deorsum respiciens dextrum et semialpha sinistrum sur - sum respiciens, hyperboleon enarmonios, quae est excellentium enarmonios, tau supinum et semialpha dextrum supinum, hyperboleon chromatice, quae est excellentium chromatica, tau supinum habens lineam et semialpha dex - trum supinum habens retro lineam, hyperboleon diatonos, quae est excellen- tium extenta, my graecum habens acutam et pi deductum habens acutam, nete hyperboleon iota habens acutam et lambda iacens habens acutam. IV. Musicarum notarum per voces convenientes dispositio in tribus generibus 𝈒 𝈩 Proslambanomenos 𝈕 Γ Hypate hypaton 𝈖 𝈪 Parhypate hypaton 𝈗 𝈫 Lichanos hypaton enarmonios 𝈗- 𝈫- Lichanos hypaton chromatice Φ 𝈓 Lichanos hypaton diatonos C C Hypate meson Ρ 𝈱 Parhypate meson Π 𐤢 Lichanos meson enarmonios Π- 𐤢- Lichanos meson chromatice Μ 𝈳 Lichanos meson diatonos Ι 𝈶 Mese Θ V Trite synemmenon Η 𝈷 Paranete synemmenon enarmonios Η- 𝈷- Paranete synemmenon chromatice BOETIJ_TXT2013_01.indd 192 28.11.2013 12:19:52 193 193 Četrta knjiga med spojenimi«, je grška eta in ležeča obrnjena lambda, ki ima sredi črtico; synemmenon chromatice, »kromatična med spojenimi«, je grška eta s črtico in obrnjena lambda s črtico; 167 synemmenon diatonos, »diatonična med spo- jenimi«, je gama in ni; nete synemmenon, »zadnja med spojenimi«, je ogla- ta, navzdol obrnjena omega in zeta; paramese, »ki je poleg srednje«, je zeta in ležeči grški pi; trite diezeugmenon, »tretja med razdruženimi«, je oglati e in grški, navzdol obrnjeni pi; diezeugmenon enarmonios, »enharmonska med razdruženimi«, je delta in obrnjeni ležeči pi; diezeugmenon chromatice, »kromatična med razdruženimi«, je delta s črtico in grški obrnjeni ležeči pi, ki ima iz kota v kot črtico; diezeugmenon diatonos, »diatonična med raz- druženimi«, je oglata, navzdol obrnjena omega in zeta; nete diezeugmenon, »zadnja med razdruženimi«, je ležeči fi in zasukani popačeni ni; trite hyper- boleon, »tretja med izstopajočimi«, je y, ki gleda desno navzdol in leva po- lovica alfe, ki gleda navzgor; hyperboleon enarmonios, »enharmonska med izstopajočimi«, je navzdol obrnjeni tau in desna polovica alfe, obrnjena nav- zdol; hyperboleon chromatice, »kromatična med izstopajočimi«, je navzdol obrnjeni tau s črtico in desna polovica alfe, obrnjena navzdol, ki ima zadaj črtico; hyperboleon diatonos, »diatonična med izstopajočimi«, je grški mi z ostrivcem in popačeni pi z ostrivcem; nete hyperboleon je jota z ostrivcem in ležeča lambda z ostrivcem. 168 4. Razporeditev glasbenih znakov in imen tonov treh rodov 𝈒 𝈩 proslambanomenos 𝈕 Γ hypate hypaton 𝈖 𝈪 parhypate hypaton 𝈗 𝈫 lichanos hypaton enarmonios 𝈗- 𝈫- lichanos hypaton chromatice Φ 𝈓 lichanos hypaton diatonos C C hypate meson Ρ 𝈱 parhypate meson Π 𐤢 lichanos meson enarmonios Π- 𐤢- lichanos meson chromatice Μ 𝈳 lichanos meson diatonos Ι 𝈶 mese Θ V trite synemmenon Η 𝈷 paranete synemmenon enarmonios Η- 𝈷- paranete synemmenon chromatice BOETIJ_TXT2013_01.indd 193 28.11.2013 12:19:52 194 Boethius, De institutione musica 194 Γ Ν Paranete synemmenon diatonos 𝈀 Ζ Nete synemmenon Z 𝈸 Paramesos Ε 𝈈 Trite diezeugmenon Δ 𝈹 Paranete diezeugmenon enarmonios Δ- 𝈹- Paranete diezeugmenon chromatice 𝈀 Z Paranete diezeugmenon diatonos 𝈚 𝈿 Nete diezeugmenon 𝈛 𝉀 Trite hyperboleon 𝈜 𝉁 Paranete hyperboleon enarmonios 𝈜- 𝉁- Paranete hyperboleon chromatice Μ ʹ 𝈳ʹ Paranete hyperboleon diatonos Ιʹ 𝈶ʹ Nete hyperboleon V. Monochordi regularis partitio in genere diatonico 5.1| Sed iam tempus est, ad regularis monochordi divisionem venire. De qua re illud est praedicendum, quod, sive in mensura nervi, sive in numeris atque eorum proportione statuatur describenda divisio, maius spatium chordae et maior nu - meri multitudo sonos graviores efficiet. At si fuerit nervi longitudo contractior et in numeris non multa pluralitas, acutiores voces edi necesse est. Atque ex hac comparatione, quantum unaquaeque fuerit vel longior vel plurium numerorum aliaque vel contractior vel paucioribus signata numeris, tanto vel gravior vel acu - tior invenitur. Nec lectorem res illa conturbet, quod intendentes saepe spatia proportionum numero maiore signavimus, remittentes vero minore, cum inten - tio acumen faciat, remissio gravitatem. Illic enim proportionum tantum spatia signabamus, nihil de gravitatis aut acuminis proprietate laborantes, atque ideo et in acumen maioribus numeris intendimus et minoribus in gravitatem saepe remisimus. Hic vero ubi chordarum spatia sonosque metiemur, naturam rerum sequi necesse est, maiorique longitudini chordarum, ex qua gravitas existit, am - pliores, minori vero, ex qua vocis acumen nascitur, dare breviores. 5.2| Sit chorda intensa AB. Huic aequa sit regula, quae propositis partitionibus dividatur, ut ea regula chordae apposita eaedem divisiones in nervi longitu- dine signentur, quas antea signaveramus in regula. Nos vero nunc ita dividi- mus, quasi ipsam chordam et non regulam partiamur. 5.3| Dividatur igitur AB in quattuor partes per tria puncta, quae sunt C, D, E. Erit igitur tota quidem AB dupla ab his, quae sunt DB, AD, singillatim vero AD, DB duplae sunt ab his, quae sunt AC, CD, DE, EB. Erit igitur AB quidem BOETIJ_TXT2013_01.indd 194 28.11.2013 12:19:52 195 195 Četrta knjiga Γ Ν paranete synemmenon diatonos 𝈀 Ζ nete synemmenon Z 𝈸 paramese Ε 𝈈 trite diezeugmenon Δ 𝈹 paranete diezeugmenon enarmonios Δ- 𝈹- paranete diezeugmenon chromatice 𝈀 Z paranete diezeugmenon diatonos 𝈚 𝈿 nete diezeugmenon 𝈛 𝉀 trite hyperboleon 𝈜 𝉁 paranete hyperboleon enarmonios 𝈜- 𝉁- paranete hyperboleon chromatice Μ ʹ 𝈳ʹ paranete hyperboleon diatonos Ιʹ 𝈶ʹ nete hyperboleon 5. Delitev diatoničnega rodu na oštevilčenem monokordu 5.1| Čas je, da se lotimo delitve na oštevilčenem monokordu. O tej stvari je treba vnaprej povedati tole: bodisi da se nameravana delitev opravi z merjenjem strune bodisi s števili in številčnimi razmerji, zmeraj bodo daljši deli strune oz. večja števila ustrezala nižjim tonom; če pa bodo deli strune krajši in šte- vila manjša, je nujno, da bodo označevala višje tone. In prav iz primerjave, za koliko je katera struna daljša oz. označena z večjim številom, druga pa krajša oz. označena z manjšim številom, bo razvidno, za koliko je nižja ali pa višja. Bralca naj ne bega, da smo razmake v razmerjih pri visokih tonih doslej pogosto označevali z večjimi števili, pri nizkih tonih pa z manjšimi, saj vodi višanje navzgor, nižanje pa navzdol. Označevali smo namreč le razmake v razmerjih. Glede pravih lastnosti višine in nižine se nismo spraševali in zato smo v višino težili z večjimi števili, v nižino pa smo se pogosto spuščali z manjšimi. A tu, kjer bomo merili razdalje na struni in same tone, je nujno, da sledimo naravi stvari; obsežnejše dolžine strune, iz katerih izhajajo nižji toni, bomo označevali z večjimi števili, manjše dolžine, ki porajajo višje tone, pa z manjšimi. 5.2| Vzemimo napeto struno AB in enako dolgo ravnilo, ki naj bo oštevilčeno z ozirom na nameravano delitev strune. Tako bodo ob postavitvi ravnila k struni vzdolž strune določene tiste dolžine, ki smo jih poprej označili na ravnilu. Vendar postopajmo zdaj, kot da delimo samo struno, in ne ravnilo. 5.3| Naj bo struna AB razdeljena s tremi točkami, C, D in E, na štiri odseke. Celo - tna dolžina strune AB naj bo dvojna v razmerju do DB in AD, dolžini DB in BOETIJ_TXT2013_01.indd 195 28.11.2013 12:19:52 196 Boethius, De institutione musica 196 gravissima id est proslambanomenos, DB autem mese. Est enim dimidia totius et sicut AB ab ea, quae est DB, dupla est spatio, ita DB ab ea, quae est AB, dupla est acumine. Nam, ut superius dictum est, spatii et acuminis sem- per ordo conversus est. Nam tanto est chorda maior in acumine, quanto fue- rit minor in spatio. Quocirca erit et EB nete hyperboleon, quoniam EB eius, quae est DB, dimidia quidem est in quantitate, dupla vero est in acumine. Rursus quoniam eadem EB eius, quae est AB, quarta pars est in spatio, qua- drupla erit ab eadem in acumine. Erit igitur, ut dictum est, nete hyperboleon dupla in acumine ab ea, quae est mese, mese autem dupla in acumine ab ea, quae est proslambanomenos. Nete vero hyperboleon quadrupla in acumine ab ea, quae est proslambanomenos. Consonabit igitur proslambanomenos ad mesen diapason, mese ad neten hyperboleon diapason, proslambanomenos ad neten hyperboleon bis diapason. 5.4| Rursus quoniam aequae partes sunt AC, CD, DE, EB, est autem AB quattuor earundem partium, CB autem trium, AB igitur sesquitertia est ab ea, quae est CB. Rursus quoniam trium est aequalium partium, CB, sed DB duarum, erit igitur CB sesqualtera eius quae est DB. Rursus quoniam CB est trium partium aequalium, qualis est una EB, tripla igitur est CB ab ea, quae est EB. Erit igi - tur CB lichanos hypaton diatonos consonabitque proslambanomenos quidem ad lichanon hypaton diatonon consonantiam diatessaron, eadem vero lichanos hypaton diatonos consonabit ad mesen consonantiam diapente, eademque li- chanos diatonos consonabit ad neten hyperboleon diapason et diapente. 5.5| Rursus si de tota AB nonam partem auferam eam, quae est AF, erunt partes VIII FB. Erit igitur FB hypate hypaton, ad quam sesquioctavam contineat proportionem AB, id est proslambanomenos, in musica vero tonon. Superior descriptio inferiora signa quae continet eius sunt descriptionis, ubi chordis notulas apposuimus, quoniam earum nomina longum fuit adscribere. 5.6| Item si AB tribus incisionibus partiamur, erit pars tertia AG; duae igitur eiusdem erunt GB. Consonabit igitur AB proslambanomenos ad GB, quae est hypate meson, diapente consonantiam in proportione sesqualtera constitutam, CB autem ad GB erit sesquioctava et continebit tonum, idque ordine cadit. Nam lichanos hypaton diatonos, id est CB ad eam, quae est hypate meson, id A F C D E Γ ʹ B BOETIJ_TXT2013_01.indd 196 28.11.2013 12:19:52 197 197 Četrta knjiga AD pa naj bosta dvojni v razmerju do AC, CD, DE in EB. Struna AB bo dala torej najnižji ton, tj. proslambanomenos, DB mese. DB je namreč polovica cele strune, in kot je struna AB v primerjavi z DB po dolžini dvojna, tako je odsek DB v primerjavi z AB dvojne višine. Poprej je bilo namreč povedano, da je razmerje med dolžino strune in njeno višino obrnjeno: struna je toliko višja po tonu, kolikor je krajša po dolžini. Zato bo EB nete hyperboleon: odsek EB je po obsegu sicer polovica DB, po višini pa je v primeri z DB dvojen. Ker pa je nadalje isti odsek EB po dolžini ena četrtina AB, je po višini v primeri z AB štirikraten. Kot je bilo torej rečeno, je nete hyperboleon po višini v primeri z mese dvojna, mese pa je po višini dvojna v primeri s proslambanomenos. Nete hyperboleon je tako po višini v primeri s proslambanomenos štirikratna. Od proslambanomenos do mese bo zvenela torej oktava, od mese do nete hyperbo- leon oktava, od proslambanomenos do nete hyperboleon pa bo zvenela dvojna oktava. 5.4| Ker so odseki AC, CD, DE in EB enaki in ker obsega od teh odsekov AB štiri, CB pa tri odseke, je AB v štiritretjinskem razmerju do CB. Ker je nadalje CB iz treh enakih delov, DB pa iz dveh, je CB v tripolovinskem razmerju do DB. In ker je CB iz treh enakih delov, katerih eden je EB, je CB v trojnem razmerju do EB. CB je tako diatonična lichanos hypaton in proslambanomenos zveni z diatonično lichanos hypaton v konsonanci kvarte; ista diatonična lichanos hypaton pa zveni do mese v konsonanci kvinte, do nete hyperboleon pa v ok - tavi s kvinto. 5.5| Če nadalje celotni struni odvzamem devetino AF, vsebuje FB osem delov. FB je torej hypate hypaton, do katerega je AB, proslambanomenos, v devetosmin- skem razmerju, kar je v glasbi razmerje tona (velike sekunde). V zgornjem ponazorilu so spodnji znaki vzeti iz ponazorila, v katerem smo ob strune postavili glasbene znake. 169 Navajanje celih imen strun bi bilo namreč predolgo. 5.6| Če nadalje delimo AB na tri odseke, je AG ena tretjina, GB pa bosta dve tre- tjini. Proslambanomenos AB bo zvenel torej do GB, kar je hypate meson, v konsonanci kvinte, ki je utemeljena v tripolovinskem razmerju, CB pa bo do GB v devetosminskem razmerju. Nastal bo ton (velika sekunda), ki ustreza za- A F C D E Γ ʹ B BOETIJ_TXT2013_01.indd 197 28.11.2013 12:19:53 198 Boethius, De institutione musica 198 est GB, continet tonum. Rursus AB quidem proslambanomenos ad CB licha- non hypaton diatonon habet consonantiam diatessaron, AB autem proslamba- nomenos ad GB hypaten meson habet consonantiam diapente. Item CB ad DB, id est lichanos hypaton diatonos ad mesen, habet consonantiam diapente. GB autem ad DB, id est hypate meson ad mesen, habet consonantiam diatessaron. Lichanos autem hypaton, id est CB ad hypaten meson comparata, id est GB, distabit tono. 5.7| Si autem eius, quae est CB, quartam partem sumpsero, erit CK. Igitur CB ad KB obtinebit sesquitertiam proportionem. KB autem ab ea, quae est DB, se- squioctava proportione distabit. Erit igitur KB quidem diatonos meson et erit CB id est lichanos hypaton diatonos ad KB id est diatonon meson diatessaron continens consonantiam. Rursus si eius quae est DB nonam partem sumpsero, erit mihi DL. Igitur LB erit paramese. Si autem eius, quae est DB, quartam partem sumpsero, erit DM. Igitur MB erit nete synemmenon. Si autem eius, quae est DB, tertiam partem sumpsero, erit DN. Igitur NB erit nete diezeu- gmenon. Si autem KB in duas partes aequas fuerit divisa, erit KX eritque XB paranete hyperboleon. VI. Monochordi netarum hyperboleon per tria genera partitio 6.1| Nunc igitur diatonici generis descriptio facta est in eo scilicet modo, qui est simplicior ac princeps, quem lydium nuncupamus. De quibus modis nunc dis - serendum non est. Ut vero per tria genera currat mixta descriptio et in omnibus propria numerorum pluralitas apponatur, ad conservandas scilicet proportio- nes vel tonorum atque dieseon, excogitatus est numerus, qui haec omnia possit explere, ut maximus quidem ad proslambanomenon describatur, qui sit VIIII. CCXVI, minimus vero II.CCCIIII, reliquorum vero sonorum proportiones in horum medietate texentur. Sane ab inferiore procedimus omniumque nomina A C G K B D L M N X BOETIJ_TXT2013_01.indd 198 28.11.2013 12:19:53 199 199 Četrta knjiga poredju: diatonična lichanos hypaton, se pravi CB, vzdržuje namreč do hypa- te meson, se pravi GB, ton. Pri tem je proslambanomenos AB do diatonične lichanos hypaton CB v razmerju sozvočja kvarte, do GB hypate meson pa v razmerju sozvočja kvinte; CB diatonična lichanos hypaton je do mese DB v razmerju kvinte, GB hypate meson pa je do mese DB v sozvočju kvarte; slednjič je lichanos hypaton CB od hypate meson GB oddaljena za ton (veliko sekundo). 5.7| Če vzamem eno četrtino CB, nastane CK. CB vzdržuje torej do KB štiritre- tjinsko razmerje, KB pa bo od DB oddaljen za devetosminsko razmerje. KB bo torej diatonična lichanos meson in CB, tj. diatonična lichanos hypaton, bo do KB, tj. do diatonične lichanos meson, obsegala sozvočje kvarte. Če nadalje DB odvzamem devetino, nastane DL, kar je paramese; če DB odvzamem četr- tino, nastane DM, kar je nete synemmenon; če DB odvzamem tretjino, nastane DN, kar je nete diezeugmenon; če pa se KB razdeli na dva enaka dela, nastane KX in XB bo paranete hyperboleon. 170 6. Delitev strun tetrakorda hyperboleon na monokordu v tri rodove 6.1| Opisali 171 smo diatonični rod, in sicer v prvem in razmeroma preprostem mo- dusu, ki ga imenujemo lidijski. Vendar zdaj ne bomo razpravljali o modusih. Da bi bil možen hkratni prikaz vseh treh rodov in da bi se toni vseh rodov mogli izraziti z ustreznimi števili, tako da bi se obdržala prava razmerja med toni in med diesis, je bilo izračunano število, ki zajema vse tone. Za proslam- banomenos je bilo tako kot največje določeno število 9216, kot najmanjše pa število 2304; razmerja med ostalimi toni se bodo razvrstila med tema dvema številoma. Razumljivo je, da bomo začeli s spodnjim tonom. Vse strune bomo v nadaljevanju prikazali ne le z imeni, pač pa tudi s črkami, ki jih bomo dodali A C G K B D L M N X BOETIJ_TXT2013_01.indd 199 28.11.2013 12:19:53 200 Boethius, De institutione musica 200 chordarum non solum nominibus, verum etiam appositis litteris demonstra- mus, sed ita, ut, quoniam trium generum est facienda partitio nervorumque modus litterarum numerum excedit, ubi defecerint litterae, easdem rursus ge- minamus hoc modo, ut, quando ad Z fuerit usque perventum, ita describimus reliquos nervos, bis A, id est AA et bis B, id est BB et bis C, id est CC. 6.2| Sit igitur primus quidem numerus maximusque, qui proslambanomeni obti- neat locum, VIIII.CCXVI sitque totius chordae modus ab eo, quod est A, usque ad id, quod est LL. Hanc id est A proslambanomenon VIIII.CCXVI divido dimidiam ad O, ut sit tota A dupla ab ea, quae est O. Item O, sit dupla ab ea, quae est LL. Erit igitur A quidem proslambanomenos, O autem mese, et LL nete hyperboleon. Habebit igitur A quidem VIIII.CCXVI, O vero ho- rum dimidium, id est IIII.DCVIII, ut mese ad proslambanomenon diapason consonantia conveniat, ea vero, quae est LL, dimidium meses; ut sit pro- slambanomenos ab ea, quae est nete hyperboleon, quadrupla et bis diapason ad eam consonet symphoniam, sitque LL II.CCCIIII. 6.3| Si igitur ex II.CCCIIII octavam abstulero partem, id est CCLXXXVIII ei- sdemque adiecero, fient mihi II.DXCII eritque KK II.DXCII, quae est paranete hyperboleon ad neten hyperboleon obtinens distantiam tonum. Rursus eius, quae est KK id est II.DXCII aufero octavam, quae est CCCXXIIII eamque eis, quorum est octava, subiungo eruntque II.DCCCCXVI fietque mihi FF trite hyperboleon diatonos in diatonico scilicet genere II.DCCCCXVI, to- num quidem distans ab ea, quae est paranete hyperboleon diatonos, ditonum vero ab ea, quae est nete hyperboleon. Eadem vero FF erit in chromatico ge- nere trite hyperboleon chromatica, in enarmonio vero paranete hyperboleon enarmonios, quod facilius agnoscetur cur eveniat, cum trium generum tria prima tetrachorda a nete hyperboleon inchoantia descripserimus. 6.4| Quoniam vero si a sesquitertia proportione duas sesquioctavas abstulero, relinquetur mihi semitonium minus, sumo tertiam eius, quae est LL, id est nete hyperboleon; sunt DCCLXVIII. Hos eisdem adicio, fient mihi III. LXXII, quorum est DD nete diezeugmenon continens ad triten hyperboleon A O LL VIIII.CCXVI IIII.DCVIII II.CCCIIII BOETIJ_TXT2013_01.indd 200 28.11.2013 12:19:53 201 201 Četrta knjiga imenom. Ker pa mora delitev zajeti tri rodove in ker število strun presega šte- vilo črk, bomo črke, ko bodo pošle, podvajali. Ko bomo tako prišli do Z, bomo preostale strune označevali takole: dvakrat A, se pravi AA, dvakrat B, se pravi BB, dvakrat C, se pravi CC. 6.2| Prvo in največje število, ki predstavlja proslambanomenos, je torej 9216, in celotna struna naj sega od A do LL. 172 Struno proslambanomenos A 9216 delim z O na polovico; celotna struna A bo torej v razmerju do O dvojna. Nadalje naj bo O dvojna do LL. A bo proslambanomenos, O mese, LL nete hyperboleon. A bo 9216, O polovica tega, tj. 4608, tako da bo struni mese nasproti proslamba- nomenos pripadlo sozvočje oktave, LL pa polovica mese. Proslambanomenos bo tako v razmerju do nete hyperboleon četverna in z njo bo zvenela v sozvo- čju dvojne oktave. LL bo 2304. 6.3| Če odvzamem številu 2304 eno osmino, kar je 288, in jo prištejem istemu šte- vilu, dobim 2592. To je KK 2592, paranete hyperboleon, ki vzdržuje do nete hyperboleon razkorak tona (velike sekunde). Nadalje odvzamem struni KK, se pravi številu 2592, eno osmino, kar je 324, in jo priključim številu, katere- ga osmina je. Nastane 2916 in dobim FF, diatonično trite hyperboleon, ki je v diatoničnem rodu 2916 in je od diatonične paranete hyperboleon oddaljena za en ton (veliko sekundo), od nete hyperboleon pa za dvoton. 173 Ista struna FF 174 bo v kromatičnem rodu kromatična trite hyperboleon, v enharmonskem pa enharmonska paranete hyperboleon. Zakaj je tako, bo zlahka razvidno, ko bomo opisali vse tri rodove tetrakorda, ki se začenja z nete hyperboleon. 6.4| Če se štiritretjinskemu razmerju odvzameta dve devetosminski razmerji, ostane mali polton. Ker je tako, določim eno tretjino števila LL, ki predstavlja nete hyperboleon. 175 Ta je 768. To prištejem istemu številu, dobim 3072, kar je DD nete diezeugmenon. 176 Ta obsega do trite hyperboleon mali polton: Ker vsebuje namreč nete diezeugmenon do nete hyperboleon sozvočje kvarte, diatonična trite hyperboleon pa je od nete hyperboleon oddaljena za dvoton, ostane med nete diezeugmenon in trite hyperboleon prostor malega polto- na. 177 A O LL 9216 4608 2304 BOETIJ_TXT2013_01.indd 201 28.11.2013 12:19:53 202 Boethius, De institutione musica 202 semitonium minus. Nam quoniam nete diezeugmenon ad neten hyperboleon diatessaron continet consonantiam, trite autem hyperboleon diatonos a nete hyperboleon ditonum distat relinquitur spatium, quod est inter neten diezeu- gmenon et triten hyperboleon, semitonii minoris. 6.5| Quoniam igitur tetrachordum hyperboleon diatonici generis explevimus, nunc chromatici et enarmonii tetrachorda supplenda sunt hoc modo. Quo- niam enim paranete hyperboleon ad neten hyperboleon in diatonico quidem genere tono distat, in chromatico vero tribus semitoniis, in enarmonio vero duobus tonis, si distantiam paranetes hyperboleon et netes hyperboleon dia- tonici generis sumpserimus eiusque dimidium paranete hyperboleon, quae est diatonici generis, apponamus, habebimus numerum tribus semitoni- is ab hyperboleon nete distantem; et erit haec in chromatico genere para- nete hyperboleon. Aufero igitur de II.DXCII, id est paranete hyperboleon diatonici gneris, II.CCCIIII, id est neten hyperboleon, relinquuntur mihi CCLXXXVIII. Hos divido, erunt CXLIIII. Eosdem II.DXCII adiungo, fient II.DCCXXXVI HH. Haec erit paranete hyperboleon chromatica. 6.6| Rursus quoniam trite hyperboleon vel diatonica vel chromatica duos tonos distat a nete hyperboleon et in enarmonio genere paranete hyperboleon duo- bus tonis distat ab ea, quae est nete hyperboleon, eadem erit in enarmo- nio genere paranete hyperboleon, quae est in diatonico vel chromatico trite hyperboleon. Sed quoniam trite hyperboleon diatonici generis et chromatici ad neten diezeugmenon minus semitonium servant, constat autem tetra- chordum enarmonii generis ex duobus integris tonis et diesi ac diesi, quae sunt dimidia spatia semitonii minoris, distantiam eam, quae est inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enarmonion sumo. Sed quoniam nete diezeugmenon est III.LXXII paranete autem hyperboleon enarmonios II.DCCCCXVI horum distantia erit CLVI. Horum sumo dimidiam partem, qui sunt LXXVIII. Hos adicio II.DCCCCXVI, fient II.DCCCCXCIIII. Haec erit EE trite hyperboleon enarmonios. 6.7| Descriptum est igitur secundum tria genera tetrachordum, quod est hyper- boleon, cuius formam subter adiecimus. [Vide, p. 204.] VII. Ratio superius digestae descriptionis 7.1| Tria igitur tetrachorda tali nobis ratione descripta sunt. Tetrachordum enim omne diatessaron resonat consonantiam. Igitur nete hyperboleon et nete die- zeugmenon in tribus generibus, id est vel in diatono vel in chromate vel in BOETIJ_TXT2013_01.indd 202 28.11.2013 12:19:53 203 203 Četrta knjiga 6.5| Izpeljali smo torej tetrakord hyperboleon v diatoničnem rodu, in zdaj mora- mo zapolniti še kromatični in enharmonični tetrakord: V diatoničnem rodu je paranete hyperboleon oddaljena za en ton (veliko sekundo) od nete hyper- boleon, v kromatičnem za tri poltone, v enharmoničnem pa za dva tona. Če vzamemo torej razdaljo med paranete hyperboleon in nete hyperboleon v diatoničnem rodu in prištejemo njeno polovico diatonični paranete hyper- boleon, dobimo število, ki je za tri poltone oddaljeno od nete hyperboleon. To bo paranete hyperboleon v kromatičnem rodu. Številu 2592, tj. paranete hyperboleon v diatoničnem rodu, odvzamem torej 2304, tj. nete hyperboleon, in ostane mi 288. To razpolovim, dobim 144, in priključim 2592. Dobim 2736 HH. To bo kromatična paranete hyperboleon. 6.6| Ker pa sta nadalje diatonična in kromatična trite hyperboleon za dva tona (veliki sekundi) oddaljeni od nete hyperboleon, in ker je paranete hyperbole- on v enharmonskem rodu tudi za dva tona oddaljena od nete hyperboleon, je paranete hyperboleon v enharmonskem rodu ista struna kot trite hiperboleon v diatoničnem in kromatičnem rodu. Diatonična in kromatična trite hyper- boleon vzdržujeta do nete diezeugmenon mali polton; drugače je v enhar- monskem tetrakordu, ki sestoji iz dvotona dveh tonov (dveh velikih sekund) in iz dveh diesis, ki sta vsaka polovični prostor malega poltona. Ker je tako, vzamem razliko med nete diezeugmenon in enharmonsko paranete hyperbo- leon. Nete diezeugmenon je 3072, enharmonska paranete hyperboleon 2916, njuna razlika pa 156. Določim njeno polovico, ki je 78, in jo prištejem 2916. Dobim 2994, kar je EE, enharmonska trite hyperboleon. 6.7| Opisali smo torej vse tri rodove tetrakorda hyperboleon. Spodaj podajamo njegovo podobo. [Gl. str. 205.] 7. Razlaga zgornjega ponazorila 7.1| Tetrakorde 178 smo ponazorili takole: V sak tetrakord zveni v sozvočju kvarte. V vseh treh rodovih, se pravi v diatoničnem, kromatičnem in enharmonskem, je od nete hyperboleon do nete diezeugmenon sozvočje kvarte, ki sestoji iz dveh tonov (velikih sekund) in enega malega poltona. Ta prostor je bil v zgoraj opisanih tetrakordih takole razdeljen v tri rodove: V diatoničnem rodu, ki je prvi, vzdržuje paranete hyperboleon, tj. 2592, do nete hyperboleon, tj. 2304, razdaljo tona (velike sekunde), kar smo označili s takim znakom: t. 179 Nadalje vzdržuje trite hyperboleon diatoničnega roda, kar je 2916, do paranete hyper- BOETIJ_TXT2013_01.indd 203 28.11.2013 12:19:53 204 Boethius, De institutione musica 204 enarmonio, diatessaron continet symphoniam. Datessaron autem consonan- tia constat duobus tonis et semitonio minore. Id hoc modo per tria genera in suprascriptis tetrachordis divisum est. In diatonico enim genere, quod est primum, paranete hyperboleon, id est II.DXCII, ad neten hyperboleon, id est II.CCCIIII obtinet distantiam tonum, quod tali notula inscripsimus T. Rursus trite hyperboleon diatonici generis, quae est II. DCCCCXVI ad paraneten hyperboleon diatonici generis, quae est II.DXCII, rursus obtinet differentiam tonum, quam simili notula insignavimus T. Nete autem diezeu- gmenon ad triten hyperboleon, id est III.LXXII ad II.DCCCCXVI semito- nium refert, quod tali notula signavimus s. Et est hoc totum spatium netes diezeugmenon et netes hyperboleon duorum tonorum ac semitonii. 7.2| Sed idem duo toni ac semitonium in chromatico genere hac ratione divisi sunt. Secundum enim genus, quod est chromaticum, hoc modo descriptum est. Paranete enim chromatice hyperboleon, quae est II.DCCXXXVI, ad ne- ten hyperboleon, quae est II.CCCIIII, comparata continet spatium parane- tes hyperboleon diatonici generis ad neten hyperboleon, qui est unus tonus, id est duo semitonia, maius ac minus, et divisum rursus spatium paranetes hyperboleon diatonici et netes hyperboleon. Ita enim factum est, qui est di- midius tonus, sed non integre, quia, ut supra uberrime monstratum est, non potest tonus in duo aequa partiri. Consignavimus igitur hoc spatium trium semitoniorum, id est toni ac semitonii hoc modo s s s. 7.3| Rursus paranete hyperboleon chromatica ad triten hyperboleon retinet par- FF DD EE LL KK HH nete hyperboleon II.CCCIIII T paranete hyperboleon diatonos II.DXCII T trite hyperboleon diatonos II.DCCCCXVI nete diezeugmenon III.LXXII s paranete hyperboleon chr. II.DCCXXXVI trite hyp. chrom. paranete hyp. en. trite hyp. en. II.DCCCC XCIIII s s s s s d d T T BOETIJ_TXT2013_01.indd 204 28.11.2013 12:19:53 205 205 Četrta knjiga boleon diatoničnega roda, kar je 2592, ponovno razliko tona, ki smo jo ozna- čili s podobnim znakom t. Nete diezeugmenon 3072 pa podaja v razmerju do trite hyperboleon 2916 polton, ki smo ga označili s takim znakcem: p. 180 Celotni prostor med nete diezeugmenon in nete hyperboleon obsega tako dva tona in en polton. 7.2| A isti prostor dveh tonov in poltona je v kromatičnem rodu razdeljen na način, ki smo ga ponazorili takole: Kromatična paranete hyperboleon 2736 obsega v primerjavi z nete hyperboleon 2304 prostor od diatonične paranete hyperboleon do nete hyperboleon, kar je en ton (velika sekunda), tj. dva poltona, veliki in mali, in še del tega istega prostora. Ta del je polovica tona, vendar ne točna, saj smo zgoraj obširno dokazovali, da tona ni mogoče raz- deliti na dva enaka dela. Dobljeni prostor treh poltonov, tj. tona in poltona, smo označili takole: p p p. 7.3| Nadalje vzdržuje kromatična paranete hyperboleon do kromatične trite hyper- boleon del tona, tj. tisti polton, ki je ostal od dveh tonov, ki ju obsegata dia- tonična trite hyperboleon in nete hyperboleon. Če pa odštejemo štiri poltone, ostane od celotnega tetrakorda poltonski prostor, in ta je med nete diezeugme- non in trite hyperboleon. Tudi kromatični tetrakord sestoji torej iz dveh tonov (velikih sekund) in poltona, le da je razdeljen tako, da ima v enem razmaku tri FF DD EE LL KK HH nete hyperboleon 2304 t diatonična paranete hyperboleon 2592 t diatonična trite hyperboleon 2916 nete diezeugmenon 3072 p kromatična paranete hyperboleon 2736 krom. trite hyp. enh. paranete hyperb. enh. trite hyperb. 2994 p p p p p d d t t BOETIJ_TXT2013_01.indd 205 28.11.2013 12:19:54 206 Boethius, De institutione musica 206 tem toni, id est semitonium, quod reliquum fuit ex duobus tonis, qui conti- nentur inter triten hyperboleon diatonicam et neten hyperboleon. Subtractis vero quattuor semitoniis, reliquum ex toto tetrachordo spatium semitonii est, quod continetur inter neten diezeugmenon et triten hyperboleon. Con- stat igitur et hoc tetrachordum ex duobus tonis ac semitonio, divisum in uno quidem spatio tribus semitoniis, in duobus autem spatiis duobus semitoniis. Tria vero spatia nervis quattuor continentur. 7.4| In enarmonio vero genere summa est id pernoscendi facilitas. Ab ea enim, quae est nete hyperboleon, id est II.CCCIIII, paranete hyperboleon enarmonios, id est II.DCCCCXVI duos tonos integros distat, quos hoc modo notavimus T T. Re - linquitur igitur ex totius tetrachordi duobus tonis ac semitonio unum quidem se - mitonium, quod continetur inter neten diezeugmenon et paraneten hyperboleon enarmonion, quod scilicet divisimus in duas diesis, trite hyperboleon enarmonio media interiecta, spatiumque dieseos hoc modo signavimus d. 7.5| Ita igitur nobis hyperboleon tetrachordum descriptum est. Quo peracto ad die - zeugmenon tetrachordum veniamus, nec inmorandum est isdem commemora - tionibus in ceteris, cum ab hac descriptione etiam in aliis sumi possit exemplum. VIII. Monochordi netarum diezeugmenon per tria genera partitio 8.1| Netes igitur diezeugmenon, quae est III.LXXII, si dimidium sumam, erunt I.DXXXVI, qui eisdem additi fiunt IIII.DCVIII, quae est mese, quam O litte- ra designavimus. Quod si eiusdem netes diezeugmenon, id est DD, scilicet III. LXXII, auferam tertiam partem, erunt I.XXIIII, qui eisdem coniuncti facient IIII.XCVI, quae vocabitur paramese, X littera subnotata. Nete igitur diezeu - gmenon, id est III.LXXII ad mesen id est IIII.DCVIII, quoniam in sesqualte- ra comparatione consistit, diapente consonabit symphoniam. Eadem vero nete diezeugmenon id est III.LXXII ad paramesen, id est IIII.XCVI, quae ad eam in sesquitertia proportione composita est, diatessaron retinet consonantiam. Si igitur ab ea, quae est nete diezeugmenon III.LXXII octavam auferam partem, id est CCCLXXXIIII eisque adiciam, fient III.CCCCLVI. Eritque haec paranete diezeugmenon diatonos CC litteris pernotata, ad neten diezeugmenon obtinens tonum. Ab hac vero si octavam auferam partem, id est de III.CCCCLVI quae est CCCCXXXII eosque eidem adiungam, erunt III.DCCCLXXXVIII. Eritque ea Y trite diezeugmenon diatonos. Sed quoniam nete diezeugmenon ad parame - sen sesquitertiam obtinebat proportionem, trite autem diezeugmenon diatonos a nete diezeugmenon duos tonos abest, continebitur inter triten diezeugmenon et paramesen semitonium minus. Diatonicum igitur genus in hoc quoque tetra- BOETIJ_TXT2013_01.indd 206 28.11.2013 12:19:54 207 207 Četrta knjiga poltone, v drugih dveh pa skupaj dva poltona. Štiri strune oklepajo namreč tri prostore. 7.4| V enharmonskem rodu je razporeditev strun zelo lahko prepoznavna. Od nete hyperboleon 2304 je enharmonska paranete hyperboleon 2916 oddaljena za dva cela tona (veliki sekundi), ki smo ju označili takole: t t. Od dveh tonov in poltona celotnega tetrakorda ostane torej samo še en polton, ki je med nete diezeugmenon in enharmonsko paranete hyperboleon. Tega smo s tem, da smo na sredo vstavili enharmonsko trite hyperboleon, razdelili v dve diesis, prostor diesis pa smo označili takole: d. 181 7.5| Opisali smo torej tetrakord hyperboleon, in tako gremo lahko k tetrakordu die- zeugmenon. Pravkaršnji opis more služiti tudi kot primer za druge tetrakorde, tako se nam pri drugih ne bo treba zamujati z istimi razlagami. 8. Delitev strun tetrakorda diezeugmenon v tri rodove 8.1| Če odvzamem nete diezeugmenon, kar je 3072, eno polovico, dobim 1536; ko to prištejem istemu številu, dobim 4608, kar je mese, ki smo jo označili s črko O. Če isti nete diezeugmenon, se pravi DD 3072, odvzamem tretji- no, dobim 1024; ko to povežem z istim številom, dobim 4096, kar se ime- nuje paramese in je označeno s črko X. Ker je nete diezeugmenon 3072 v tripolovinskem razmerju do mese 4608, 182 zv eni z n j o v s o zv oč j u kvin te . Ista nete diezeugmenon 3072 je v primeri s paramese 4096 sestavljena po štiritretjinskem razmerju in vzdržuje do nje sozvočje kvarte. Če nete die- zeugmenon 3072 odvzamem eno osmino, kar je 384, in jo prištejem istemu številu, dobim 3456. To bo diatonična paranete diezeugmenon, označena s črkama CC, ki obsega do nete diezeugmenon en ton (veliko sekundo). Če pa odvzamem osmi del te, se pravi osmi del 3456, kar je 432, in dodam para- nete diezeugmenon, dobim 3888. To bo Y, diatonična trite diezeugmenon. Ker pa vzdržuje nete diezeugmenon do paramese štiritretjinsko razmerje, diatonična trite diezeugmenon pa je od nete diezeugmenon oddaljena za dva tona (veliki sekundi), bo med trite diezeugmenon in paramese mali polton. Tudi v tem tetrakordu in pentakordu smo torej izpeljali diatonični rod, in sicer tako, da obsega tetrakord, ki je od nete diezeugmenon do paramese, sozvočje kvarte, medtem ko pentakord, ki je od nete diezeugmenon do mese, obsega sozvočje kvinte. BOETIJ_TXT2013_01.indd 207 28.11.2013 12:19:54 208 Boethius, De institutione musica 208 chordo ac pentachordo ita expletum est, ut tetrachordi quidem eius, quod est ne - tes diezeugmenon ad paramesen, diatessaron consonantia sit, pentachordi vero eius, quod est netes diezeugmenon ad mesen, diapente sit consonantia. 8.2| Enarmonium vero atque chromaticum genus hac ratione texemus. Sumo distan - tiam netes et paranetes diezeugmenon diatoni, id est III .LXXII et III.CCCCLVI, est eorum differentia CCCLXXXIIII. Hanc divido; erunt CXCII. Hanc si sumam et ei, quae est paranete diezeugmenon diatonos, adiungam, id est III.CCCCLVI, fient III.DCXLVIII. Haec erit paranete diezeugmenon chromatica BB geminatis litteris adnotata, distans a nete diezeugmenon tono et semitonio, id est tribus semitoniis, continens ad triten diezeugmenon dudum quidem diatonicam, nunc vero chromaticam, id est III.DCCCLXXXVIII, semitonium reliquum ab eo tono, quod divisum est inter paraneten diatonon diezeugmenon et triten diatonon diezeugmenon. Et fit aliud reliquum ex tetrachordo semitonium inter triten die - zeugmenon chromaticam et paramesen, quod scilicet ex diatessaron consonantia relinquitur ea, quae est inter neten diezeugmenon et paramesen subtractis duobus tonis, quos nete diezeugmenon et trite diezeugmenon chromatica continebant. 8.3| Quae autem in diatonico genere trite diezeugmenon diatonica est, in chromatico autem trite diezeugmenon chromatica, ea in enarmonio genere paranete diezeu - gmenon enarmonios dicitur – integros enim duos tonos distat ab ea, quae est nete diezeugmenon – et notatur AA. Et inter neten diezeugmenon et paraneten enarmonion diezeugmenon nulla interest chorda atque ideo paranetes vocabu - lo nuncupatur. Semitonium vero, quod est inter paraneten enarmonion diezeu - gmenon et paramesen, id est inter AA et X hac ratione partimur, ut fiant duae diesis. Sumo differentiam paranetes enarmonii diezeugmenon et parameses, id est III.DCCCLXXXVIII et IIII.XCVI. Ea est CCVIII. Hanc divido; fient CIIII. Hos appono III.DCCCLXXXVIII, fient III.DCCCCXCII. Ea erit trite diezeu- gmenon enarmonios Z littera pernotata. Huius igitur tetrachordi per tria genera descriptionem subter adieci superiusque dispositum hyperboleon tetrachordon adgregavi, uti esset utrorumque una descriptio et paulatim iuncta dispositionis totius forma consurgeret. [Vide p. 210.] VIIII. Monochordi netarum synemmenon per tria genera partitio 9.1| Duo quidem tetrachorda, quae sibimet quidem coniuncta sunt, a mese vero disiuncta, trium generum superior descriptio quemadmodum locarentur ostendit. Nunc ad illud tetrachordum veniendum est, quod synemmenon vo- catur, quod iunctum est ei, quae est mese. 9.2| Quoniam enim inter neten diezeugmenon et mesen diapente consonantiam BOETIJ_TXT2013_01.indd 208 28.11.2013 12:19:54 209 209 Četrta knjiga 8.2| Enharmonski in kromatični rod bomo sestavili po temle postopku: Vzamem razliko med nete diezeugmenon in diatonično paranete diezeugmenon, tj. med 3072 in 3456. Razlika med tema dvema številoma je 384. To razpolovim in dobim 192. Če to prištejem diatonični paranete diezeugmenon, se pravi 3456, dobim 3648. To bo kromatična paranete diezeugmenon, označena s podvoje- nima črkama BB, ki je od nete diezeugmenon oddaljena za ton in polton, tj. za tri poltone. Do trite diezeugmenon, poprej diatonične, zdaj pa kromatične, tj. do 3888, obsega kromatična paranete diezeugmenon polton, ki je ostal od raz- polovljenega tona med diatonično paranete diezeugmenon in diatonično trite diezeugmenon. Slednjič ostane od celotnega tetrakorda še en polton, tisti med kromatično trite diezeugmenon in paramese. Ta je preostanek sozvočja med nete diezeugmenon in paramese, potem ko sta ji bila odvzeta dva tona, ki ju obsegata nete diezeugmenon in kromatična trite diezeugmenon. 8.3| Struna, ki je v diatoničnem rodu diatonična trite diezeugmenon, v kro- matičnem pa kromatična trite diezeugmenon, se v enharmonskem rodu imenuje enharmonska paranete diezeugmenon. Od nete diezeugmenon je oddaljena za dva cela tona in označena je z AA. Med nete diezeugmenon in enharmonsko paranete diezeugmenon ni nobene strune in zato se ta ime - nuje paranete. Polton, ki je med enharmonsko paranete diezeugmenon in paramese, tj. med AA in X, delimo tako, da nastaneta dve diesis: vzamem razliko med enharmonsko paranete diezeugmenon in paramese, se pravi med 3888 in 4096. Ta je 208. To razpolovim, dobim 104; to prištejem 3888, dobim 3992. To bo enharmonska trite diezeugmenon, označena s črko Z. Spodaj dodajam prikaz vseh treh rodov tega tetrakorda, ki mu pridružujem zgoraj razloženi tetrakord hyperboleon. Tako sta oba tetrakorda zajeta v enem prikazu, in postopoma bo nastala sklenjena podoba celotne razpore- ditve tonov. 183 [Gl. str. 211.] 9. Delitev strun tetrakorda synemmenon v tri rodove 9.1| Prikazali smo, kako so v treh rodovih nameščene strune dveh tetrakordov, ki sta med sabo povezana, vendar pa ločena od mese. Zdaj moramo preiti k tiste- mu tetrakordu, ki je spojen z mese in se imenuje synemmenon. 9.2| Dejali smo, da je med nete diezeugmenon in mese sozvočje kvinte, kvinta pa sestoji iz treh tonov (velikih sekund) in enega poltona. V tem pentakordu so trije toni: eden od nete diezeugmenon do diatonične paranete diezeugmenon, BOETIJ_TXT2013_01.indd 209 28.11.2013 12:19:54 210 Boethius, De institutione musica 210 esse praediximus, est autem diapente consonantia trium tonorum ac semi- tonii, tres vero toni sunt in hoc pentachordo, quorum unus quidem netes diezeugmenon ad paraneten diezeugmenon diatonon, alter vero paranetes diezeugmenon diatoni ad triten diezeugmenon diatonon, tertius autem pa- rameses ad mesen, reliquumque semitonium trites diezeugmenon diatoni ad paramesen, quoniamque netes diezeugmenon et parameses tetrachordum ab ea, quae est mese eo tono disiunctum est, quod est inter paramesen ac me- sen: si ex eo pentachordo, quod est a nete diezeugmenon ad mesen, unum abstulerimus tonum, eum scilicet, qui continetur inter neten diezeugmenon et paraneten diezeugmenon diatonon, poterimus aliud tetrachordon ad me- sen iungere, ut fiat synemmenon, quod est coniunctum, hoc modo. 9.3| Quoniam paranetes diezeugmenon diatoni, quae est CC, numerus est III. CCCCLVI, horum tertia eisdem addita faciet mesen. Hic ergo numerus in diezeugmenon tetrachordo CC litteris adnotatus tono distabat a nete die- zeugmenon in genere diatonico et paranete diezeugmenon diatonos vocabatur. In synemmenon autem tetrachordo, id est coniunctarum, sit nete synemmenon in tribus generibus constituta, V littera pernotata et ab ea octava pars auferatur, quae est CCCCXXXII eisque adnotatur, fient III.DCCCLXXXVIII, quae est paranete synemmenon diatonos, quae T littera insignitur. Huius pars sumatur octava, quae est CCCCLXXXVI. Haec summa si eisdem, quorum octava est, adgregetur, fient IIII.CCCLXXIIII, quae est trite synemmenon diatonos, id est Q. Sed quoniam nete synemmenon ad mesen, id est III.CCCCLVI ad IIII. DCVIII sesquitertiam obtinet proportionem, quae est diatessaron, trite autem synemmenon ad neten synemmenon, id est IIII.CCCLXXIIII ad III.CCCCLVI duorum tonorum obtinet proportionem, relinquitur trites synemmenon diatoni DD CC X Y BB AA p Z nete diezeugmenon 3072 t t diatonična trite diezeug. 3888 paramese 4096 krom. trite diez. kr. paran. diez. 3648 enh. par. diez. enh. trite d. 3992 d d t t p p p p t t t p mese 4608 O diat. paranete diezeug. 3456 BOETIJ_TXT2013_01.indd 210 28.11.2013 12:19:54 211 211 Četrta knjiga drugi od diatonične paranete diezeugmenon do diatonične trite diezeugme- non, tretji od paramese do mese; poleg tega je tu še preostali polton, in sicer med diatonično trite diezeugmenon in paramese. Tetrakord od nete diezeu- gmenon do paramese je od mese ločen s tistim tonom (veliko sekundo), ki je med paramese in mese. Če pa pentakordu, ki sega od nete diezeugmenon do mese, vzamemo en ton, tistega, ki ga obsegata nete diezeugmenon in diato- nična paranete diezeugmenon, lahko navežemo na mese drugi tetrakord, tak, da bo »synemmenon«, kar pomeni povezan, in sicer takole: 9.3| Število diatonične paranete diezeugmenon, označene s CC, je 3456, in če se tretjina tega števila doda njemu samemu, nastane mese. Število 3456 je bilo v prikazu tetrakorda diezeugmenon označeno s črkama CC; v tetrakordu die- zeugmenon je za en ton (veliko sekundo) oddaljeno od nete diezeugmenon in imenuje se paranete diezeugmenon. V tetrakordu synemmenon, kar pomeni »spojenih strun«, pa naj bo paranete diezeugmenon nete synemmenon vseh treh rodov, označena s črko V. Odvzame naj se ji ena osmina, kar je 432, in ta naj se doda njenemu številu. Dobimo 3888, kar je diatonična paranete synemmenon, označena s črko T. Vzame naj se osmina te, kar je 486. Če se ta vsota pridruži tistemu, česar osmina je, dobimo 4374, kar je diatonična trite synemmenon, se pravi Q. Nete synemmenon 3456 vzdržuje do mese 4608 štiritretjinsko razmerje, kar je kvarta; trite synemmenon 4374 pa vzdržuje do nete synemmenon 3456 razmerje dveh tonov (dveh velikih sekund); ker je tako, ostane med diatonično trite synemmenon in mese razmerje poltona. Ta tetrakord je tako spojen z mese, zaradi česar se imenuje »synemmenon«, DD CC X Y BB AA p Z nete diezeugmenon 3072 t t diatonična trite diezeug. 3888 paramese 4096 krom. trite diez. kr. paran. diez. 3648 enh. par. diez. enh. trite d. 3992 d d t t p p p p t t t p mese 4608 O diat. paranete diezeug. 3456 BOETIJ_TXT2013_01.indd 211 28.11.2013 12:19:54 212 Boethius, De institutione musica 212 ad mesen proportio semitonii et coniunctum est hoc tetrachordum cum mese atque ideo synemmenon quasi continuum et coniunctum vocatur. Et diatonici quidem generis hoc modo est facta proportio. 9.4| Chromatici vero talis divisio est. Sumo netes synemmenon et paranetes synemmenon diatoni, id est III.CCCCLVI et III.DCCCLXXXVIII differen- tiam. Ea est CCCCXXXII. Hanc divido, ut semitonium fiat; fiunt CCXVI. Hanc adicio ad III.DCCCLXXXVIII, ut tria semitonia fiant, erunt IIII.CIIII, quae est paranete synemmenon chromatica, cui littera S superapposita est. Ab hac igitur, id est paranete synemmenon chromatica ad triten synemme- non prius quidem diatonicam nunc vero chromaticam semitonium est, a qua synemmenon chromatica usque ad mesen aliud semitonium repperitur. 9.5| Sed quoniam a nete synemmenon usque ad triten synemmenon diatonon vel chromaticam duo toni sunt, quae est in diatonico vel chromatico generibus tri- te synemmenon diatonos vel chromatica, eadem in genere enarmonio paranete synemmenon enarmonios est, habens summam IIII.CCCLXXIIII et sit R. A qua usque ad mesen semitonium est. Hoc partior in duas diesis hoc modo. Sumo differentiam paranetes synemmenon enarmonii et meses, id est IIII. CCCLXXIIII et IIII.DCVIII. Ea est CCXXXIIII. Hanc divido, fient CXVII. Hanc adicio paranete synemmenon enarmonio, id est IIII.CCCLXXIIII, fient IIII.CCCCXCI, quae P littera pernotetur et sit ea trite synemmenon enarmo- nios. Eritque semitonium, quod continetur inter paraneten synemmenon enar- monion et mesen, id est inter IIII.CCCLXXIIII et IIII.DCVIII, divisum per triten synemmenon enarmonion, eam scilicet, quae est IIII.CCCCXCI. Quo- circa huius quoque tetrachordi expedita est ratio. Nunc autem facienda est descriptio iuncta tamen cum ceteris, id est hyperboleon ac diezeugmenon, ut paulatim fiat dispositionis rata progressio. [Vide p. 214.] X. Monochordi meson per tria genera partitio 10.1| Ex his igitur, quae praedicta sunt, in ceteris non arbitror diutius esse labo- randum; ad horum enim exemplar etiam reliqua tetrachorda meson atque hypaton texenda sunt. 10.2| Ac primum quidem diatonici generis meson tetrachordon hoc ordine descri- bemus. Meses enim, quae est O IIII.DCVIII sumo tertiam partem. Ea est I.DXXXVI. Hanc eidem copulo, fient VI .CXLIII. Ea sit H hypate meson, dia- tessaron ad mesen continens consonantiam. Haec duobus tonis ac semitonio ita dividitur. Sumo enim meses, id est IIII.DCVIII octavam partem, quae est BOETIJ_TXT2013_01.indd 212 28.11.2013 12:19:54 213 213 Četrta knjiga kar pomeni neprekinjen in spojen. S tem smo izpeljali razpored razmerij v diatoničnem rodu. 9.4| Delitev kromatičnega rodu pa je takšna: Vzamem razliko med nete synem- menon in diatonično paranete synemmenon, tj. razliko med 3456 in 3888. Ta je 432. Razpolovim jo, da nastane polton. Dobim 216. To prištejem 3888, da nastanejo trije poltoni. Dobim 4104, kar je kromatična paranete synemmenon, ki ji je nadpisana črka S. Od te, se pravi kromatične paranete synemmenon, je do trite synemmenon, prej diatonične, zdaj pa kromatične, polton, in od kro- matične trite synemmenon je do mese še en polton. 9.5| Ker pa sta od nete synemmenon do trite synemmenon, bodisi diatonične bo- disi kromatične, dva tona (dve veliki sekundi), je struna, ki je v diatonič- nem in kromatičnem rodu diatonična oz. kromatična trite synemmenon, v enharmonskem rodu enharmonska paranete synemmenon. Pripada ji vsota 4374 in označena naj bo z R. Od te do mese je polton. Tega delim v dve diesis takole: Vzamem razliko med enharmonsko paranete synemmenon in mese, tj. razliko med 4374 in 4608. Ta je 234. To razpolovim, dobim 117, kar prištejem enharmonski paranete synemmenon, tj. 4374. Dobim 4491. To je enharmonska trite synemmenon in označena naj bo s črko P. Polton, ki je med enharmonsko paranete synemmenon in mese, tj. med 4374 in 4608, je tako razdeljen z enharmonsko trite synemmenon 4491. S tem smo razložili delitev tega tetrakorda. Zdaj pa naredimo ponazorilo, ki bo vključevalo tudi poprejšnja dva tetrakorda, tj. hyperboleon in diezeugmenon. 184 Nameravana razporeditev strun se postopoma širi. [Gl. str. 215.] 10. Delitev tetrakorda meson v tri rodove 10.1| Če bomo upoštevali, kar je bilo povedano doslej, se v nadaljevanju, menim, ne bomo preveč trudili. Preostala dva tetrakorda, meson in hypaton, morata biti namreč urejena po vzoru doslejšnjih. 10.2| Najprej bomo določili tetrakord meson v diatoničnem rodu, in sicer po temle redu: Mese, ki je O 4608, vzamem eno tretjino. Ta tretjina je 1536. Združim jo z mese in dobim 6144. To naj bo H hypate meson, ki vzdržuje do mese so- zvočje kvarte. Ta kvarta se deli v dva tona (veliki sekundi) in polton takole: Mese 4608 določim eno osmino, kar je 576. Spojim jo z mese, dobim 5184. To je diatonična lichanos meson M. Zdaj določim eno osmino te. Je 648. To dodam istemu številu, dobim 5832. To naj bo I, diatonična parhypate meson, BOETIJ_TXT2013_01.indd 213 28.11.2013 12:19:54 214 Boethius, De institutione musica 214 DLXXVI. Hanc eidem iungo, fient V .CLXXXIIII. Ea est lichanos meson dia- tonos, id est M. Cuius iterum pars sumatur octava. Ea est DCXLVIII. Hanc eisdem adiungo, fient V.DCCCXXXII. Ea sit I parhypate meson diatonos, to- num obtinens ad lichanon meson diatonon, duobus autem tonis distans a mese. Relinquitur igitur semitonium inter hypaten meson diatonon et parhypaten meson diatonon constitutum, id est inter VI.CXLIIII et V .DCCCXXXII. 10.3| Idem vero tetrachordum meses atque hypates meson in chromatico genere tali ratione partimur. Sumo meses differentiam ad lichanon meson diatonon, id est IIII.DCVIII ad V.CLXXXIIII. Ea est DLXXVI. Hanc dimidiam partior, fiunt CCLXXXVIII. Eandem adicio numero maiori, id est V.CLXXXIIII fiunt V.CCCCLXXII quae sit N lichanos meson chromatice. Relinquuntur igitur duo semitonia, unum inter lichanon meson chromaticen et parhypa- ten meson chromaticen, id est inter V.CCCCLXXII et V.DCCCXXXII et aliud inter parhypaten meson chromaticen et hypaten meson, id est inter V.DCCCXXXII et VI.CXLIIII. 10.4| Enarmonium vero genus hoc modo dividimus. Quoniam ea, quae erat parhypate meson diatonos, vel ea, quae erat parhypate meson chromatice, duos tonos dista - bat a mese obtinens numerum V .DCCCXXXII, ea in enarmonio genere erit li- chanos meson enarmonios, L littera pernotata, duos nihilominus ad mesen obti - nens tonos. Reliquum igitur semitonium, quod est inter lichanon meson enarmo - O Q T V P R paraneta syn. diat. III.DCCCLXXXVIII trite synemmenon diatonos IIII.CCCLXXIIII paranete syn. chromatice IIII.CIIII trite syn. chromatice paranete synemm. en. trite syn. en. IIII.CCCC XCI d d s s s s s T T T T s S mese IIII.DCVIII nete synemmenon III.CCCCLVI BOETIJ_TXT2013_01.indd 214 28.11.2013 12:19:54 215 215 Četrta knjiga ki vzdržuje do diatonične lichanos meson ton (veliko sekundo), od mese pa je oddaljena za dva tona. Ostane torej polton, ki je med diatonično hypate meson in diatonično parhypate meson, tj. med 6144 in 5832. 10.3| Isti tetrakord od mese do hypate meson delimo v kromatičnem rodu po temle postopku: Vzamem razliko med mese in diatonično lichanos meson, tj. med 4608 in 5184. Ta je 576. Razpolovim jo, dobim 288. To polovico dodam večje - mu številu, tj. 5184, in dobim 5472, kar naj bo N, kromatična lichanos meson. Ostaneta torej dva poltona, eden med kromatično lichanos meson in kromatič- no parhypate meson, tj. med 5472 in 5832, drugi pa med kromatično parhypate meson in hypate meson, tj. med 5832 in 6144. 10.4| Enharmonski rod pa delimo takole: Ker sta diatonična parhypate meson in kromatična parhypate meson, ki obsegata število 5832, za dva tona (veliki sekundi) oddaljeni od mese, bo ista struna v enharmonskem rodu enhar- monska lichanos meson; označena s črko L vzdržuje do mese dva tona tudi ta. Preostali polton, ki je med enharmonsko lichanos meson in hypate me- son, tj. med 5832 in 6144, delimo v dve diesis na ta način: Vzamem razliko med 5832 in 6144, ki je 312. Razpolovim jo, dobim 156. To prištejem 5832 in dobim 5988. To naj bo K, enharmonska parhypate meson. Tako sta tu dve diesis: med enharmonsko lichanos meson in enharmonsko parhypate meson, O t t Q T V P R mese 4608 nete synemmenon 3456 diatonična paranete synemmenon 3888 diatonična trite synemmenon 4374 krom. paranete synemmenon 4104 krom. trite synemmenon enh. paranete synemm. enh. trite syn. 4491 d d p p p p p t S p t BOETIJ_TXT2013_01.indd 215 28.11.2013 12:19:55 216 Boethius, De institutione musica 216 XI. Monochordi hypaton per tria genera partitio et totius dispositio descriptionis 11.1| Nunc ergo hypaton tetrachordon per tria genera dividendum est. Sumo hypates me - son, id est VI.CXLIIII dimidiam partem, quae fit III.LXXII. Hanc eidem si adiecero, fient VIIII.CCXVI, quae est proslambanomenos ad hypaten meson diapente con - sonantiam servans. Eiusdem autem hypates meson, id est VI.CXLIIII, si auferam tertiam partem, quae est II.XLIIII eidemque adiecero, fient VIII.CXCII et haec est B hypate hypaton. Igitur hypates meson ad proslambanomenon diapente est con - sonantia, ad hypaten hypaton vero diatessaron. Ab hac igitur hypate meson, id est nion et hypaten meson, id est inter V . DCCCXXXII et VI.CXLIIII, in duas die- sis hoc modo dividimus. Aufero differentiam V .DCCCXXXII ad VI.CXLIIII ea est CCCXII. Hanc dimidiam partior, fient CLVI. Hoc ad V .DCCCXXXII iungo, fient V .DCCCCLXXXVIII. Et haec sit K parhypate meson enarmonios. Duae vero sunt diesis inter lichanon meson enarmonion et parhypaten meson enar - monion, id est inter V .DCCCXXXII et V .DCCCCLXXXVIII et inter parhypa- ten meson enarmonion et hypaten meson, id est inter V .DCCCCLXXXVIII et VI.CXLIIII. Divisum est igitur meson tetrachordum, quod ita in descriptione ponatur, ut superius descriptis tetrachordis adgregetur. M I N K H L T T T T s s s s s s d d lichanos meson diatonos V.CLXXXIIII parhypate meson diatonos V.DCCCXXXII hypate meson VI.CXLIIII lichanos meson chromatice V.CCCCLXXII parhypate meson chromatice lichanos meson en. parh. m. en. V.DCCCC LXXXVIII mese IIII.DCVIII O BOETIJ_TXT2013_01.indd 216 28.11.2013 12:19:55 217 217 Četrta knjiga 11. Delitev tetrakorda hypaton v tri rodove na monokordu in ponazorilo celotnega opisa 11.1| Zdaj je treba v tri rodove razdeliti tetrakord hypaton. Hypate meson 6144 od- vzamem polovico, kar je 3072. Če jo prištejem hypate meson, dobim 9216, kar je proslambanomenos, ki vzdržuje do hypate meson sozvočje kvinte. Če isti hypate meson 6144 odvzamem tretjino, kar je 2048, in jo prištejem hypate meson, dobim 8192, in to je B, hypate hypaton. Od hypate meson do proslambanomenos je torej sozvočje kvinte, do hypate hypaton pa sozvočje kvarte. Hypate meson 6144 naj se odvzame osmina, kar je 768. Če jo prište- tj. med 5832 in 5988, in med enharmonsko parhypate meson in hypate me- son, tj. med 5988 in 6144. Razdelili smo torej tetrakord meson. Prikazan naj bo tako, da se bo pridružil poprejšnjim tetrakordom. 185 O M I N K H L mese 4608 t t t t p p p p p p d d diatonična lichanos meson 5184 diatonična parhypate meson 5832 hypate meson 6144 kromatična lichanos meson 5472 kromatična parhypate meson enh. lichanos meson enh. parh. meson 5988 BOETIJ_TXT2013_01.indd 217 28.11.2013 12:19:55 218 Boethius, De institutione musica 218 VI.CXLIIII pars auferatur octava, erit DCCLXVIII. Hanc eisdem si quis adiungat, fient VI.DCCCCXII, quae est E lichanos hypaton diatonos ad hypaten meson toni obtinens proportionem. Rursus de VI.DCCCCXII pars auferatur octava. Ea est DCCCLXIIII. Haec si eidem copuletur, fient VII.DCCLXXVI, quae est C parhypa- te hypaton diatonos ad lichanon hypaton diatonon toni, ad hypaten meson duorum tonorum distantiam servans. Relinquitur igitur semitonium inter parhypaten hypa - ton diatonon et hypaten hypaton, id est inter VII.DCCLXXVI et VIII.CXCII. Et dia- tonici quidem generis hypaton tale tetrachordum est, chromaticum vero tali ratione dividimus. 11.2| Sumo enim differentiam hypates meson et eius, quae est lichanos hypaton diatonos, id est VI.CXLIIII et VI.DCCCCXII. Ea est DCCLXVIII. Hanc dimidiam partior, ut duo efficiam semitonia, fient CCCLXXXIIII. Hanc adicio VI.DCCCCXII, ut tria semitonia fiant; erunt VII.CCXCVI. Haec erit F lichanos hypaton chromatice ab ea, quae est hypate meson, tribus semitoniis distans. Relinquuntur ergo duo semitonia, unum quidem inter lichanon hypaton chromaticen et parhypaten hypaton chromati - cen, id est inter VII.CCXCVI et VII.DCCLXXVI, aliud vero inter parhypaten hypa - ton chromaticen et hypaten hypaton, id est inter VII .DCCLXXVI et VIII.CXCII. 11.3| Restat enarmonium genus, cuius ad superius exemplar talis divisio est. Quoniam enim parhypate hypaton diatonos vel parhypate hypaton chromatice, quae VII. DCCLXXVI unitatibus insignita est, duobus tonis distat ab ea, quae est hypate me - son, eadem erit in genere enarmonio lichanos hypaton enarmonios, quae ab hypate meson duobus integris differat tonis. Restat igitur ex diatessaron consonantia se - mitonium, quod est inter lichanon hypaton enarmonion et hypaten hypaton, id est inter VII.DCCLXXVI et VIII.CXCII. Hoc in duas diesis ita dividimus. Sumo diffe - rentiam eius, quae est lichanos hypaton enarmonios, et hypates hypaton, id est VII. DCCLXXVI et VIII.CXCII. Ea est CCCCXVI. Huius dimidiam sumo, sunt CCVIII. Hanc adicio VII.DCCLXXVI, fient VII.DCCCCLXXXIIII quae sit D parhypate hypaton enarmonios. Sunt igitur duae diesis, una quidem, quae inter lichanon hypa - ton enarmonion et parhypaten hypaton enarmonion, id est inter VII .DCCLXXVI et VII.DCCCCLXXXIIII, altera vero, quae est inter parhypaten hypaton enarmonion et hypaten hypaton, id est inter VII.DCCCCLXXXIIII et VIII.CXCII. Tonus vero ultimus inter proslambanomenon et hypaten hypaton, id est inter VIIII.CCXVI et VIII.CXCII continetur. Divisum est igitur hypaton tetrachordum secundum tria ge - nera, diatonicum, chromaticum, enarmonion. [Vide p. 220, supra.] Quod si superio - ribus tetrachordis hyperboleon, diezeugmenon, synemmenon, meson adiungatur, fit integra perfectaque descriptio divisi per omnia [tria genera] monochordi regularis. [Vide p. 220, infra. ] BOETIJ_TXT2013_01.indd 218 28.11.2013 12:19:55 219 219 Četrta knjiga jemo isti hypate meson, dobimo 6912, kar je E, diatonična lichanos hypaton, ki vzdržuje do hypate meson razmerje tona (velike sekunde). Nadalje naj se osmina odvzame številu 6912. Je 864. Če se ta združi z istim številom, dobimo 7776, kar je C, diatonična parhypate hypaton, ki vzdržuje do dia- tonične lichanos hypaton razdaljo tona, do hypate meson pa razdaljo dveh tonov. Ostane polton med diatonično parhypate hypaton in hypate hypaton, tj. med 7776 in 8192. V diatoničnem rodu je torej tetrakord hypaton tak, v kromatičnem rodu pa ga delimo po naslednjem postopku: 11.2| Vzamem razliko med diatonično hypate meson in diatonično lichanos hypa- ton, tj. med 6144 in 6912. To je 768. Razpolovim jo in naredim tako dva poltona. Dobim 384; to prištejem 6912, da nastanejo trije poltoni, in dobim 7296. To bo F, kromatična lichanos hypaton, ki je od hypate meson oddalje- na za tri poltone. Ostaneta torej dva poltona, eden med kromatično lichanos hypaton in kromatično parhypate hypaton, tj. med 7296 in 7776, drugi pa med kromatično parhypate hypaton in hypate hypaton, tj. med 7776 in 8192. 11.3| Preostane še enharmonski rod, katerega delitev je po zgornjem zgledu ta- kšna: Ker sta diatonična parhypate hypaton in kromatična parhypate hypa- ton, označeni s številom 7776, za dva tona (dve veliki sekundi) oddaljeni od hypate meson, bo ta struna v enharmonskem rodu enharmonska lichanos hypaton, ki se od hypate meson prav tako loči za dva cela tona. Od sozvočja kvarte ostane torej polton, ki je med enharmonsko lichanos hypaton in hypa- te hypaton, tj. med 7776 in 8192. Tega delimo v dve diesis takole: Vzamem razliko med enharmonsko lichanos hypaton in hypate hypaton, tj. med 7776 in 8192. Ta je 416. Vzamem njeno polovico, kar je 208. To prištejem 7776, dobim 7984, kar naj bo D, enharmonska parhypate hypaton. Tu sta torej dve diesis: ena je med enharmonsko lichanos hypaton in enharmonsko parhypa- te hypaton, tj. med 7776 in 7984, druga pa med enharmonsko parhypate hypaton in hypate hypaton, tj. med 7984 in 8192. Zadnji ton (velika sekunda) leži med proslambanomenos in hypate hypaton, tj. med 9216 in 8192. Tako smo razdelili tetrakord hypaton v tri rodove, diatonični, kromatični in en- harmonski. [Gl. str. 211, zgoraj.] Če ga priključimo zgornjim tetrakordom: hyperboleon, diezeugmenon, synemmenon, meson, dobimo celotno in po- polno ponazoritev na tri rodove razdeljenega oštevilčenega monokorda. [Gl. str. 211, spodaj.] BOETIJ_TXT2013_01.indd 219 28.11.2013 12:19:55 220 Boethius, De institutione musica 220 XII. Ratio superius dispositae descriptionis 12.1| In superiore igitur forma obtinet quidem consonantiam diapason proslam- banomenos ad mesen, mese vero ad neten hyperboleon, bis autem diapason proslambanomenos ad neten hyperboleon; diatessaron autem consonantiam servant hypate hypaton ad hypaten meson, hypate meson ad mesen, mese ad neten synemmenon, paramese ad neten diezeugmenon, nete diezeugmenon H F D E C B A T T T T T T T s s s s s s d d hypate meson VI.CXLIII I lichanos hypaton diatonos VI.DCCCCXII parhypate hypaton diatonos VII.DCCLXXVI hypate hypaton VIII.CXCII proslambanomenos VIIII.CCXVI lichanos hypaton chr. VII.CCXCVI parhypate hypaton chr. lichanos hypaton enarmonios p. h. en. VII.DCC CCLXXX IIII FF DD CC O X Y BB Z AA E E Q T V S M LL KK I N H HH K L F D E C B A P R BOETIJ_TXT2013_01.indd 220 28.11.2013 12:19:55 221 221 Četrta knjiga 12. Red zgornjega ponazorila 12.1| V zgornjem ponazorilu vzdržujeta proslambanomenos do mese in mese do nete hyperboleon sozvočje oktave, proslambanomenos do nete hyperboleon pa sozvočje dvojne oktave. Sozvočje kvarte je od hypate hypaton do hypate me- son, od hypate meson do mese, od mese do nete synemmenon, od paramese do nete diezeugmenon, od nete diezeugmenon do nete hyperboleon; s temi kon- H F D E C B A t t t t t t t p p p p p p d d hypate meson 6144 diatonična lichanos hypaton 6912 diatonična parhypate hypaton 7776 hypate hypaton 8192 proslambanomenos 9216 kromatična lichanos hypaton 7296 krom. parhypate hypaton enh. lichanos hypaton enh. parh. h. 7984 FF DD CC O X Y BB Z AA E E Q T V S M LL KK I N H HH K L F D E C B A P R BOETIJ_TXT2013_01.indd 221 28.11.2013 12:19:56 222 Boethius, De institutione musica 222 ad neten hyperboleon, atque hoc ita, ut in his consonantiis integra tetrachorda numeremus. Atque ut clarius omnis in hac forma respiciatur ordo nervorum secundum tria tenera, V tantum notantur esse tetrachorda: primum atque gra- vissimum hypaton, cuius est princeps hypate hypaton, ultima hypate meson, secundum vero meson, cuius est princeps hypate meson, extrema vero mese, tertium synemmenon, cuius est princeps mese, finalis nete synemmenon, quartum diezeugmenon, cuius est prima paramesos, nete vero diezeugmenon extrema, quintum vero est hyperboleon, cuius est quidem princeps nete die- zeugmenon, ad neten vero hyperboleon terminatur extremam. XIII. De stantibus vocibus et mobilibus 13.1| Harum vero omnium vocum partim sunt in totum inmobiles, partim in totum mobiles, partim vero nec in totum inmobiles nec in totum mobiles sonant. In totum inmobiles sunt proslambanomenos, hypate hypaton, hypa- te meson, mese, nete synemmenon, paramesos, nete diezeugmenon, nete hyperboleon idcirco, quoniam in omnibus tribus generibus eaedem sunt, nec loca nec nomina permutantes sive pentachorda sive tetrachorda contineant: pentachorda quidem, ut proslambanomenos ad hypaten meson et mese ad neten diezeugmenon, tetrachorda vero, ut hypate hypaton ad hypaten meson et hypate meson ad mesen. 13.2| Mobiles vero sunt, quae secundum singula genera permutantur hoc modo, ut paranete et lichanos diatonici et chromatici, trite et parhypate enarmo- nii. Alia est enim paranete hyperboleon diatonos, alia paranete hyperboleon chromatica, alia trite enarmonios. Diversae sunt etiam paranete diezeugme- non diatonos atque chromatica, nec est eadem quae in generibus ceteris tri- te diezeugmenon enarmonios. Neque eaedem sunt paranete synemmenon diatonos et chromatica et trite synemmenon enarmonios his, quae sunt in reliquis generibus trite. Distant etiam lichanos meson diatonos et lichanos meson chromatice, et parhypate meson enarmonios nulli aliorum generum parhypate similis invenitur. Nec eosdem locos ac numeros servant lichanos hypaton diatonos et lichanos hypaton chromatice. Nam parhypate hypaton enarmonios aliorum generum parhypatis repperitur esse dissimilis. 13.3| Non in totum vero inmobiles aut mobiles sunt, quae in duobus quidem generi- bus manent, id est chromatico et diatonico, sed in enarmonio permutantur. Id autem sic consideratur. Trite hyperboleon diatonos et trite hyperboleon chro- BOETIJ_TXT2013_01.indd 222 28.11.2013 12:19:56 223 223 Četrta knjiga sonancami štejemo obenem tudi popolne tetrakorde. A da bi se jasneje spre- videl celokupni red v tri rodove razporejenih strun, je v zgornjem ponazorilu označeno pet tetrakordov: prvi in najnižji je hypaton, katerega začetna struna je hypate hypaton, zadnja pa hypate meson; drugi tetrakord je meson, katerega začetna struna je hypate meson, skrajna pa mese; tretji je synemmenon, kate- rega začetna struna je mese, končna pa nete synemmenon; četrti tetrakord je diezeugmenon, katerega prva struna je paramese, skrajna pa nete diezeugme- non; peti je hyperboleon, katerega začetna struna je nete diezeugmenon, konča pa se z zadnjo struno nete hyperboleon. 13. O stalnih in premičnih tonih 13.1| Med prikazanimi toni 186 so nekateri povsem nepremični, nekateri povsem pre- mični, nekateri pa ne zvenijo niti ne zmeraj enako niti ne zmeraj različno. Pov- sem nepremični so proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, paramese, nete diezeugmenon, nete hyperboleon. Ti so v vseh treh rodovih enaki in ne menjajo ne mest ne imen, bodisi da vzpostavlja- jo pentakorde ali pa tetrakorde: pentakorde kot proslambanomenos do hypate meson in mese do nete diezeugmenon, tetrakorde pa kot hypate hypaton do hypate meson in hypate meson do mese. 13.2| Premični so tisti toni, ki se menjajo z ozirom na rod, tako kot paranete in li- chanos v diatoničnem in kromatičnem rodu ter trite in parhypate v enharmon- skem. 187 Diatonična paranete hyperboleon, kromatična paranete hyperboleon in enharmonska trite hyperboleon so različni toni. Različni sta tudi diatonična in kromatična paranete diezeugmenon, in enharmonska trite diezeugmenon ni ista kot v ostalih dveh rodovih. Niti nista enaki diatonična in kromatična paranete synemmenon, in enharmonska trite synemmenon je različna od trite ostalih dveh rodov. Nadalje se razlikujeta diatonična in kromatična lichanos meson, in enharmonska parhypate meson ni enaka nobeni parhypate ostalih dveh rodov. Niti nimata istih mest in števil diatonična in kromatična lichanos hypaton; podobno se za za enharmonsko parhypate hypaton lahko ugotovi, da je različna od parhypate ostalih dveh rodov. 13.3| Ne popolnoma nepremični oz. ne popolnoma premični so tisti toni, ki ostajajo v dveh rodovih, v diatoničnem in kromatičnem, enaki, v enharmonskem so pa drugačni. 188 S tem je mišljeno tole: Diatonična trite hyperboleon je v zgornjem ponazorilu na istem mestu kot kromatična trite hyperboleon in obe imata šte- BOETIJ_TXT2013_01.indd 223 28.11.2013 12:19:56 224 Boethius, De institutione musica 224 matice eadem in superiore forma descripta est isdem numeris II.DCCCCXVI. At vero cum enarmonium genus aspicimus, triten aliam repperimus, id est II.DCCCCXCIIII. Quae igitur vox duobus fuit generibus communis, eadem in tertio permutata est. Idem est in diezeugmenon tetrachordo. Nam trite die- zeugmenon diatonos et trite diezeugmenon chromatica eaedem sunt sibique consentiunt, trite autem diezeugmenon enarmonios a superioribus distat. In synemmenis etiam idem est. Trite enim synemmenon diatonos et trite synem- menon chromatice eaedem sunt, sed trite synemmenon enarmonios est diver- sa. Item parhypate meson diatonos et parhypate meson chromatica eaedem notantur, sed in enarmonio genere, sicut superius trite, ita hic parhypatae iuxta hapatas meson quidem inveniuntur, vi autem ac soni acumine diversae sunt ceteris. Rursus parhypate hypaton diatonos et parhypate hypaton chromatica eadem est, sed non eadem est, cum in enarmonio genere quaeritur. 13.4| Sed ut harum non plena mutabilitas clarius conliquescat, ad hyperboleon te- trachordon redeamus. In hoc igitur, quae in diatonico atque chromatico genere trite hyperboleon est, eadem mutatur in enarmonio et fit paranete. Item quae trite diezeugmenon vel in diatonico vel chromatico genere vocabatur, paranete in enarmonio dicitur. Quae trite synemmenon in chromatico vel diatonico fuit, in enarmonio in paraneten transit. Quae vero parhypate meson in chromati- co vel diatonico visebatur, eadem lichanos meson in enarmonio repperitur; quae autem parhypate hypaton vel in diatonico vel in chromatico dicebatur, lichanos hypaton in enarmonio nuncupatur. Sunt igitur inmobiles quidem pro - slambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, pa- ramesos, nete diezeugmenon, nete hyperboleon; mobiles vero, quas lichanus vel paranetas vel diatonicas vel chromaticas vel enarmonius vocamus; non in totum mobiles aut inmobiles, quas parhypatas, tritas in diatono vel chromate, lichanus autem vel paranetas in enarmonio genere dicimus. XIIII. De consonantiarum speciebus 14.1| Nunc de speciebus primarum consonantiarum tractandum est. Primae autem consonantiae sunt diapason, diapente, diatessaron. Species autem est quaedam positio propriam habens formam secundum unumquodque genus in uniuscu- iusque proportionis consonantiam facientis terminis constituta; ut in diatoni- co genere. Nam si diezeugmenon tetrachordum inter hyperboleon tetrachor- dum mesenque ponamus, subtracto scilicet synemmenon tetrachordo, erunt XV nervi. At si ab his proslambanomenos detrahatur, erunt XIIII. Hi ergo BOETIJ_TXT2013_01.indd 224 28.11.2013 12:19:56 225 225 Četrta knjiga vilo 2916. Če pa pogledamo enharmonski rod, najdemo drugo trite, tj. 2994. Ton, ki je torej skupen dvema rodovoma, je v tretjem rodu spremenjen. Isto je v tetrakordu diezeugmenon. Diatonična in kromatična trite diezeugmenon sta enaki in se ujemata, enharmonska trite diezeugmenon pa se od njiju loči. Pri strunah tetrakorda synemmenon je tudi tako. Diatonična in kromatična trite synemmenon sta namreč enaki, a enharmonska trite synemmenon je raz- lična. Nadalje lahko prepoznamo, da sta enaki tudi diatonična in kromatična parhypate meson, a v enharmonskem rodu je tako kot poprej s strunami trite; strune parhypate meson so sicer ob struni hypate meson, vendar so po tonski višini in smislu različne. Diatonična in kromatična parhypate hypaton sta po- novno enaki, če pa pogledamo enharmonsko parhypate hypaton, vidimo, da je različna. 13.4| Da bi še razločneje prikazali delno premičnost, se vrnimo k tetrakordu hyperboleon. Ton, ki je v diatoničnem in kromatičnem rodu tega tetrakorda trite hyperboleon, se v enharmonskem menja v paranete. 189 Nadalje je ton, ki se v diatoničnem in kromatičnem rodu imenuje trite diezeugmenon, v enharmonskem rodu paranete. Tisti, ki je v kromatičnem in diatoničnem rodu trite synemmenon, preide v enharmonskem v paranete. Ton pa, ki ga v diatoničnem in kromatičnem rodu prepoznamo kot parhypate meson, je v enharmonskem rodu lichanos meson. Slednjič se tisti, ki mu v diatoničnem in kromatičnem rodu pravimo parhypate hypaton, imenuje v enharmonskem rodu lichanos hypaton. Nepremični toni so torej proslambanomenos, hypate hypaton, hypate meson, mese, nete synemmenon, paramese, nete diezeu- gmenon in nete hyperboleon; premični so lichanos in paranete neglede na rod, bodisi da je ta diatonični, kromatični ali enharmonski; ne povsem pre- mični oz. ne povsem nepremični pa so tisti, ki jih v diatoničnem in kroma- tičnem rodu imenujemo parhypate ali trite, v enharmonskem pa lichanos ali paranete. 14. O zvrsteh sozvočij 14.1| Zdaj moramo razpravljati o zvrsteh osnovnih sozvočij. 190 Osnovna sozvočja so oktava, kvinta, kvarta. Zvrst je določena postavitev tonov, ki ima lastno obliko, odvisno od rodu, in obstoji znotraj zunanjih terminov katerega koli konsonančnega razmerja. Vzemimo diatonični rod. Če se odločimo, da bomo imeli med mese in tetrakordom hyperboleon tetrakord diezeugmenon, tj. da BOETIJ_TXT2013_01.indd 225 28.11.2013 12:19:56 226 Boethius, De institutione musica 226 disponantur hoc modo. Sit A hypate hypaton, B parhypate hypaton, C hypaton lichanos, D hypate meson, E parhypate meson, F lichanos meson, G mese, H paramese, I trite diezeugmenon, K paranete diezeugmenon, L nete diezeugme- non, M trite hyperboleon, N paranete hyperboleon, O nete hyperboleon. 14.2| Ab hypate igitur ad paramesen diapason consonantia est, ab eadem vero pa- ramese ad hypaten meson diapente, a mese vero ad hypaten meson diatessa- ron. Erit igitur diapason quidem octo chordarum, diatessaron vero quattuor, diapente autem quinque. Ac per hoc habebit diatessaron quidem species tres, diapente autem species quattuor, diapason vero species septem; semperque una minus species erit, quam fuerint voces. 14.3| Ut enim a mese ceteras ordiamur, diatessaron consonantiae species sunt tres hoc modo. Una quidem species erit ab G ad D, secunda vero ab F ad C, tertia ab E ad B et huc usque diatessaron species progrediuntur idcirco, quia huc usque species binos continent nervos eiusdem diatessaron, ut GD quidem eos, qui sunt E, F, et FC eos, qui sunt E, D, et EB eos, qui sunt C, D. Si vero his adiecero diatessaron DA diversa erit ab ea, quae est GD; unum enim solum GD consonantiae nervum continebit, id est D solum. Excessit igitur GD consonantiam. Atque ideo diatessaron tres species habere perhibetur. Et in ceteris quidem consonantiis idem est. 14.4| Diapente autem quattuor species erunt hoc modo. Una quidem ab eo, quod est H, ad D, alia vero ab eo, quod est G, ad C, alia ab eo, quod est F, ad B, alia autem ab eo, quod est E, ad A. 14.5| Diapason vero consonantiae septem erunt species hoc modo. Prima ab eo, quod est O, ad G, secunda ab eo, quod est N, ad F, tertia ab eo, quod est M, ad E, quarta ab eo, quod est L, ad D, quinta ab eo, quod est K, ad C, sexta ab eo, quod est I, ad B, septima ab eo, quod est H, ad A. 14.6| Liquet igitur ex his, quae dicta sunt, diatessaron consonantiam semel tantum inmobilibus ac statutis vocibus contineri. Nam si ab hypate hypaton incipiam, erit AD, id est ab hypate hypaton in meson hypaten, ea, quae est in hoc ordi - ne prima. Nam ceterae non statutis vocibus terminantur, ut BE, CF. Nam et parhypate hypaton et parhypate meson et lichanos hypaton et lichanos meson mobiles esse monstratae sunt. Quod si rursus ab hypate meson diatessaron consonantiam inchoemus, erit species diatessaron statutis vocibus terminata DG ea, quae est prima, id est ab hypate meson in mesen, reliquae minime, ut EH et FI. Nam parhypate meson et lichanos meson et trite diezeugmenon non probantur inmobiles. Rursus si eandem diatessaron paramese suscipiat ordiendam, erit quae statutis coerceatur sonis diatessaron species HL, id est BOETIJ_TXT2013_01.indd 226 28.11.2013 12:19:56 227 227 Četrta knjiga izpustimo tetrakord synemmenon, imamo 15 strun. Če odstranimo proslam- banomenos, jih je 14 in te naj bodo razpostavljene takole: hypate hypaton naj bo A, parhypate hypaton B, lichanos hypaton C, hypate meson D, parhypate meson E, lichanos meson F, mese G, paramese H, trite diezeugmenon I, pa- ranete diezeugmenon K, nete diezeugmenon L, trite hyperboleon M, paranete hyperboleon N, nete hyperboleon O. 14.2| Od hypate hypaton do paramese je sozvočje oktave, od iste paramese do hypate meson je kvinta, od mese do hypate meson pa kvarta. Oktava ima torej osem strun, kvarta štiri, kvinta pa pet, in zato bo imela kvarta tri zvr- sti, kvinta štiri, oktava pa sedem. Možnih zvrsti je zmeraj za eno manj kot tonov. 14.3| Razporejajmo zvrsti začenši z mese. Zvrsti kvarte so tri: prva zvrst je od G do D, druga od F do C, tretja od E do B. Različne zvrsti kvarte segajo do sem, in sicer zato, ker vsebujejo zvrsti kvarte do sem po dve struni prve zvrsti GD: GD vsebuje E in D, FC vsebuje E in D in EB vsebuje E in D. 191 Če bi omenjenim zvrstem priključili še kvarto DA, bi imela ta le malo skupnega z GD; ker vsebuje eno samo struno sozvočja GD, kvarta DA iz sozvočja GD izstopa. Kvarta ima tako le tri zvrsti. Pri drugih konsonancah je podobno. 14.4| Kvinta ima štiri zvrsti: prva je od H do D, druga od G do C, spet druga od F do B in slednja od E do A. 192 14.5| Sozvočje oktave ima sedem zvrsti: prva od O do G, druga od N do F, tretja od M do E, četrta od L do D, peta od K do C, šesta od I do B, sedma od H do A. 14.6| Iz povedanega je razvidno, da nastopa med nepremičnimi, stalnimi toni le ena zvrst kvarte. 193 Če začnem s hypate hypaton, je ta zvrst AD, tj. od hypa - te hypaton do hypate meson, in to je tista, ki je po naši razvrstitvi prva. 194 Naslednji dve zvrsti kvarte, BE in CF, namreč nista zamejeni s stalnimi toni, saj je bilo prikazano, da so parhypate hypaton, parhypate meson, li- chanos hypaton in lichanos meson premični toni. Če nadalje postavljamo sozvočje kvarte od hypate meson navzgor, je z nepremičnima tonoma DG zamejena spet prva zvrst kvarte, ki sega od hypate meson do mese. Ostali dve zvrsti, EH 195 in FI, sta drugačni; parhypate meson, lichanos meson in trite diezeugmenon namreč niso nepremični toni. Če pa postavljamo kvarte od paramese navzgor, bo s stalnima tonoma HL ponovno zamejena prva zvrst kvarte, segajoča od paramese do nete diezeugmenon. Ostali dve zvr- sti, IM in KN, sta zamejeni namreč s premičnimi toni, saj smo za trite die- BOETIJ_TXT2013_01.indd 227 28.11.2013 12:19:56 228 Boethius, De institutione musica 228 a paramese in neten diezeugmenon, quae est prima. Nam ceterae, quae sunt IM et KN mobilibus terminantur sonis. Nam trite diezeugmenon et paranete diezeugmenon et trite hyperboleon mobiles voces esse praediximus. 14.7| Item diapente consonantia duas tantummodo species tenet, quae statutis vo- cibus includuntur. Ut si ab hypate meson ordiamur, una quidem est DH id est ab hypate meson in paramesen ea, quae est prima, altera vero GL, id est a mese in neten diezeugmenon. Haec vero est quarta. Reliquae vero, id est EI FK minime statutis vocibus clausae sunt. Nam parhypate et lichane et trite et paranete instabiles approbantur. Similis autem ratio erit, si a nete diezeu- gmenon in graviorem partem, id est ad mesen consonantiae huius species considerentur. Eisdem enim inmobilibus vocibus, quae superius dictae sunt, continebuntur. Sive autem ab hypate meson seu a mese seu a paramese sive etiam a nete hyperboleon consonantias ad graviorem partem ducamus, dua- rum, quae statutis vocibus coerceantur, non poterit esse destructio. 14.8| Diapason vero consonantiae, sive ab hypate hypaton in paramesen, sive a nete hyperboleon in mesen ordo sumatur, tres tantummodo species obtinebit, quae inmobilibus vocibus coerceantur. Nam ab hypate hypaton ordientibus una est AH ea, quae est prima, ab hypate hypaton in paramesen, altera DL ea, quae est quarta, ab hypate meson in neten diezeugmenon, dehinc GO – haec est septima – id est a mese in neten hyperboleon. Reliquarum vero specierum voces extimae nullo modo constitutae sunt. Nam parhypate et lichane et trite et paranete, ut supra quoque dictum est, non sunt inmobiles. Similiter autem et per easdem voces, si ab hyperboleon nete ordiamur, specierum ordo contexi- tur. Quorum omnium intellegentiam subiecta descriptio faciet esse notiorem. A Hypate hypaton B Parhypate hypaton C Lichanos hypaton D Hypate meson E Parhypate meson F Lichanos meson G Mese H Paramese I Trite diezeugmenon K Paranete diezeugmenon L Nete diezeugmenon M Trite hyperboleon N Paranete hyperboleon O Nete hyperboleon BOETIJ_TXT2013_01.indd 228 28.11.2013 12:19:56 229 229 Četrta knjiga zeugmenon, paranete diezeugmenon in trite hyperboleon poprej dejali, da so premični toni. 14.7| Nadalje sta med stalnimi toni le dve različni zvrsti kvinte. Začeti moramo s hypate meson in prva je DH, tj. od hypate meson do paramese, ki je tudi v naši razporeditvi prva. 196 Druga je GL, tj. od mese do nete diezeugmenon, ki je v naši razporeditvi četrta. 197 Ostalih dveh zvrsti kvinte, EI in FK, pa ne oklepajo stalni toni, saj so parhypate, lichanos, trite in paranete nestalni toni. Do iste- ga bomo prišli, če preiščemo zvrsti kvinte od nete diezeugmenon navzdol do mese: našli jih bomo med istimi nepremičnimi toni kot tiste, ki so bile pravkar imenovane. Bodisi da določamo kvintne zvrsti od hypate meson in mese nav- zgor bodisi od paramese ali celo od nete hyperboleon navzdol: zmeraj se bo izkazalo, da sta le dve takšni, ki ju oklepajo stalni toni. 14.8| Sozvočje oktave ima le tri takšne zvrsti, ki jih oklepajo nepremični toni, bo- disi da izberemo smer od hypate hypaton proti paramese navzgor ali pa od nete hyperboleon proti mese navzdol. Če začnemo s hypate hypaton, je ena od teh zvrsti AH, od hypate hypaton do paramese, in ta je prva; 198 druga je DL, od hypate meson do nete diezeugmenon, in ta je četrta; slednja je GO, ki je sedma, in sega od mese do nete hyperboleon. Pri ostalih oktavnih zvrsteh pa krajni toni nikakor niso stalni. Kot je bilo namreč povedano zgoraj, toni parhypate, lichanos, trite in paranete niso nepremični. Isto bi se se pokazalo, če bi šli preko tonov začenši z nete hyperboleon. Priloženo ponazorilo bo omo- gočilo boljše razumevanje vsega tega. 199 A hypate hypaton H B parhypate hypaton premični c C lichanos hypaton premični d D hypate meson e E parhypate meson premični f F lichanos meson premični g G mese a H paramese h I trite diezeugmenon premični c' K paranete diezeugmenon premični d' L nete diezeugmenon e' M trite hyperboleon premični f' N paranete hyperboleon premični g' O nete hyperboleon a' BOETIJ_TXT2013_01.indd 229 28.11.2013 12:19:56 230 Boethius, De institutione musica 230 XV. De modorum exordiis, in quo dispositio notarum per singulos modos ac voces 15.1| Ex diapason igitur consonantiae speciebus existunt, qui appellantur modi, quos eosdem tropos vel tonos nominant. Sunt autem tropi constitutiones in totis vocum ordinibus vel gravitate vel acumine differentes. Constitutio vero est plenum veluti modulationis corpus ex consonantiarum coniunctione con- sistens quale est vel diapason vel diapason et diatessaron vel bis diapason. 15.2| Est enim diapason constitutio a proslambenomeno in mesen ceteris quae sunt mediae vocibus adnumeratis, vel a mese rursus in neten hyperboleon cum vocibus interiectis, vel ab hypate meson in neten diezeugmenon cum his, quas extremae voces medias claudunt. Synemmenon vero constitutio ea est, quae a proslambanomeno in neten synemmenon cum his, quae mediae interiectae sunt, constat. Bis diapason autem a proslambanomeno in neten hyperboleon cum his, quae in medio sunt interpositae, consideratur. 15.3| Has igitur constitutiones si quis totas faciat acutiores, vel in gravius totas remittat secundum supradictas diapason consonantiae species, efficiet mo- dos VII, quorum nomina sunt haec: hypodorius, hypophrygius, hypolydius, dorius, phrygius, lydius mixolydius. 15.4| Horum vero sic ordo procedit. Sit in diatonico genere vocum ordo disposi- tus a proslambanomeno in neten hyperboleon atque hic sit hypodorius mo- dus. Si quis igitur proslambanomenon in acumen intendat tono hypatenque hypaton eodem tono adtenuet ceterasque omnes tono faciat acutiores, acu- tior totus ordo proveniet, quam fuit priusquam toni susciperet intentionem. Erit igitur tota constitutio acutior effecta hypophrygius modus. Quod si in hypophrygio toni rursus intentionem voces acceperint, hypolydii modulatio nascetur. At si hypolydium quis semitonio intendat, dorium faciet. 15.5| Et in aliis quidem similis est in acumen intentionemque processus, quorum non ut intellegentia solum ratio conprehendatur, verum oculis quoque forma possit agnosci, ab antiquis tradita musicis descriptio subponenda est. Sed quoniam per singulos modos a veteribus musicis unaquaeque vox diversis notulis insignita est, descriptio prius notularum videtur esse ponenda, ut his primum per se cognitis in modorum descriptione facilis possit esse dispec- tio. BOETIJ_TXT2013_01.indd 230 28.11.2013 12:19:56 231 231 Četrta knjiga 15. O izhodiščih modusov in razpored glasbenih znakov po modusih in tonih 15.1| Iz oktavnih zvrsti nastanejo tako imenovani modusi, ki jih imenujejo tudi tro- pusi ali tonusi. Tropusi so postavitve sistema; razlikujejo se le po tem, da je celotno zaporedje tonov postavljeno više ali niže. Sistem pa je popolna celota glasbenih tonov, ki obstoji bodisi znotraj sozvočja oktave, oktave s kvarto ali znotraj sozvočja dvojne oktave. 15.2| Oktavni sistem sega od proslambanomenos do mese, vštevši vse vmesne tone, ali od mese do nete hyperboleon z vmes ležečimi toni, ali pa od hypate meson do nete diezeugmenon z vsemi vmesnimi toni, ki jih oklepata oba krajna. Sis- tem synemmenon obstoji od proslambanomenos do nete synemmenon, vključ- no z vsemi tistimi toni, ki ležijo vmes. Sistem dvojne oktave pa se razumeva od proslambanomenos do nete hyperboleon, vključno z vsemi vmes postavlje- nimi toni. 15.3| Če postavljamo torej celotne sisteme više ali niže, in sicer po zgoraj omenjenih oktavnih zvrsteh, 200 dobimo sedem modusov, katerih imena so tale: hipodor- ski, hipofrigijski, hipolidijski, dorski, frigijski, lidijski, miksolidijski. 15.4| Njihovo zaporedje ima tale red: Vzemimo vrsto tonov od proslambanomenos do nete hyperboleon v diatoničnem rodu, in to naj bo hipodorski modus. Če se proslambanomenos poviša za en ton (veliko sekundo), če se za isti ton zviša hypate hypaton in če postanejo vsi ostali toni za ton višji (za veliko sekundo), bo tudi celotna vrsta višja, kot je bila. Celotni povišani sistem bo hipofrigijski. Če se toni hipofrigijskega modusa ponovno povišajo za en ton (veliko sekun- do), bo nastal hipolidijski modus. Če pa se hipolidijski modus poviša za polton, bo nastal dorski. 15.5| Tudi nadaljnji modusi se na podoben način vzpenjajo navzgor. A da bi smisel vsega tega ne bil dostopen le razumski predstavi, pač pa da bi vse to bilo v obliki podobe mogoče prepoznati tudi z vidom, podajmo ponazorilo, ki ga posredujejo stari muziki. Ti so vsak ton vsakega modusa označili z drugačnim znakcem, in zato je treba podati najprej podobe znakov. Seznanjenost z njimi samimi po sebi bo olajšala njihovo prepoznavanje in ločevanje v ponazorilu modusov. BOETIJ_TXT2013_01.indd 231 28.11.2013 12:19:56 232 Boethius, De institutione musica 232 XVI. Descriptio continens modorum ordinem ac differentias Hypermixolydius Mixolydius vel Hyperdorius Lydius Phrygius Dorius Hypolydius Hypophrygius Hypodorius Ω 𝈬 𝈔 𝈅 𝈒 𝈩 𝈏 Ε 𝈋 𝈤 𝈉 Η 𝈆 𝈡 𝈃 𝈟 Proslambanomenos Φ 𝈓 Ω 𝈬 𝈕 Γ 𝈒 𝈩 𝈏 Ε 𝈌 𝈥 𝈉 Η 𝈆 𝈡 Hypate hypaton Υ 𝈯 Ψ 𝈭 𝈖 𝈪 𝈓 𝈜 𝈐 𝈧 V 𝈦 𝈊 𝈣 𝈇 𝈢 Parhypate hypaton Π 𐤢 Τ 𝈰 Φ 𝈓 Ω 𝈬 𝈔 𝈅 𝈒 𝈩 𝈏 Ε 𝈋 𝈤 Lichanos hypaton Μ 𝈳 Π 𐤢 C C Φ 𝈓 Ω 𝈬 𝈕 Γ 𝈒 𝈩 𝈏 Ε Hypate meson Λ 𝈴 Ο Κ Ρ 𝈱 Υ 𝈯 Ψ 𝈭 𝈖 𝈪 𝈓 𝈜 𝈐 𝈧 Parhypate meson Η 𝈷 Κ 𝈵 Μ 𝈳 Π 𐤢 Τ 𝈰 Φ 𝈓 Ω 𝈬 𝈔 𝈅 Lichanos meson Γ Ν Η 𝈷 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Π 𐤢 C C Φ 𝈓 Ω 𝈬 Mese Β 𝈺 Ζ 𝈸 Θ V Λ 𝈴 Ο Κ Ρ 𝈱 Υ 𝈯 Ψ 𝈭 Trite synemmenon 𝈙 𝈽 Α 𝈻 Γ Ν Η 𝈷 Κ 𝈵 Μ 𝈳 Π 𐤢 Τ 𝈰 Paranete synemmenon 𝈜 𝉁 𝈙 𝈽 𝈀 Ζ Γ Ν Η 𝈷 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Π 𐤢 Nete synemmenon 𝈀 Z Γ Ν Z 𝈸 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Ο Κ C C Φ 𝈓 Paramese 𝈘 𝈾 Β 𝈺 Ε 𝈈 Θ V Λ 𝈴 Ξ 𝈎 Ρ 𝈱 Υ 𝈯 Trite diezeugmenon 𝈜 𝉁 𝈙 𝈽 𝈀 Z Γ Ν Η 𝈷 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Π 𐤢 Paranete diezeugmenon Μʹ 𝈳ʹ 𝈜 𝉁 𝈚 𝈿 𝈀 Z Γ Ν Z 𝈸 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Nete diezeugmenon Λʹ 𝈴ʹ Οʹ Κʹ 𝈛 𝉀 𝈘 𝈾 Β 𝈺 Ε 𝈈 Θ V Λ 𝈴 Trite hyperboleon Ηʹ 𝈷ʹ Κʹ 𝈵ʹ Μ ʹ 𝈳ʹ 𝈜 𝉁 𝈙 𝈽 𝈀 Z Γ Ν Η 𝈷 Paranete hyperboleon Γʹ Νʹ Ηʹ 𝈷ʹ Ιʹ 𝈶ʹ Μʹ 𝈳ʹ 𝈜 𝉁 𝈚 𝈿 𝈀 Z Γ Ν Nete hyperboleon BOETIJ_TXT2013_01.indd 232 28.11.2013 12:19:56 233 233 Četrta knjiga 16. Prikaz reda modusov in njihovih razlik hipermiksolidijki miksolidijski ali hiperdorski lidijski frigijski dorski hipolidijski hipofrigijski hipodorski proslambanomenos Ω 𝈬 𝈔 𝈅 𝈒 𝈩 𝈏 Ε 𝈋 𝈤 𝈉 Η 𝈆 𝈡 𝈃 𝈟 hypate hypaton Φ 𝈓 Ω 𝈬 𝈕 Γ 𝈒 𝈩 𝈏 Ε 𝈌 𝈥 𝈉 Η 𝈆 𝈡 parhypate hypaton Υ 𝈯 Ψ 𝈭 𝈖 𝈪 𝈓 𝈜 𝈐 𝈧 V 𝈦 𝈊 𝈣 𝈇 𝈢 lichanos hypaton Π 𐤢 Τ 𝈰 Φ 𝈓 Ω 𝈬 𝈔 𝈅 𝈒 𝈩 𝈏 Ε 𝈋 𝈤 hypate meson Μ 𝈳 Π 𐤢 C C Φ 𝈓 Ω 𝈬 𝈕 Γ 𝈒 𝈩 𝈏 Ε parhypate meson Λ 𝈴 Ο Κ Ρ 𝈱 Υ 𝈯 Ψ 𝈭 𝈖 𝈪 𝈓 𝈜 𝈐 𝈧 lichanos meson Η 𝈷 Κ 𝈵 Μ 𝈳 Π 𐤢 Τ 𝈰 Φ 𝈓 Ω 𝈬 𝈔 𝈅 mese Γ Ν Η 𝈷 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Π 𐤢 C C Φ 𝈓 Ω 𝈬 trite synemmenon Β 𝈺 Ζ 𝈸 Θ V Λ 𝈴 Ο Κ Ρ 𝈱 Υ 𝈯 Ψ 𝈭 paranete synemmenon 𝈙 𝈽 Α 𝈻 Γ Ν Η 𝈷 Κ 𝈵 Μ 𝈳 Π 𐤢 Τ 𝈰 nete synemmenon 𝈜 𝉁 𝈙 𝈽 𝈀 Ζ Γ Ν Η 𝈷 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Π 𐤢 paramese 𝈀 Z Γ Ν Z 𝈸 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Ο Κ C C Φ 𝈓 trite diezeugmenon 𝈘 𝈾 Β 𝈺 Ε 𝈈 Θ V Λ 𝈴 Ξ 𝈎 Ρ 𝈱 Υ 𝈯 paranete diezeugmenon 𝈜 𝉁 𝈙 𝈽 𝈀 Z Γ Ν Η 𝈷 Ι 𝈶 Μ 𝈳 Π 𐤢 nete diezeugmenon Μʹ 𝈳ʹ 𝈜 𝉁 𝈚 𝈿 𝈀 Z Γ Ν Z 𝈸 Ι 𝈶 Μ 𝈳 trite hyperboleon Λʹ 𝈴ʹ Οʹ Κʹ 𝈛 𝉀 𝈘 𝈾 Β 𝈺 Ε 𝈈 Θ V Λ 𝈴 paranete hyperboleon Ηʹ 𝈷ʹ Κʹ 𝈵ʹ Μ ʹ 𝈳ʹ 𝈜 𝉁 𝈙 𝈽 𝈀 Z Γ Ν Η 𝈷 nete hyperboleon Γʹ Νʹ Ηʹ 𝈷ʹ Ιʹ 𝈶ʹ Μʹ 𝈳ʹ 𝈜 𝉁 𝈚 𝈿 𝈀 Z Γ Ν BOETIJ_TXT2013_01.indd 233 28.11.2013 12:19:56 234 Boethius, De institutione musica 234 16.1| Superior igitur descriptio chordarum nomina tenet adscripta, notulas vero iuxta positas et quae cuiuscunque sit modi sive lydii sive phrygii sive dorii, vocabulorum signat adiectio. Sed quoniam hos modos diximus in speciebus diapason consonantiae repperiri, age eosdem in diatonico tantum genere de- scribamus, ut, qui eorum ordo sit, sub aspectum cadens intellegentiam non moretur. [Vide p. 236]. XVII. Ratio superius dispositae modorum descriptionis 17.1| Septem quidem esse praediximus modos, sed nihil videatur incongruum, quod octavus super adnexus est. Huius enim adiectionis rationem paulo po- sterius eloquemur. Nunc illud est considerandum, quod hae paginulae, quas inter se rectus linearum ordo distinguit, aliae quidem habent notulas musicas, aliae vero minime veluti in eo modo, qui inscribitur hypermixolydius, prima quidem paginula Ω, tertia Φ litteris adnotatur, secunda notulis vacat. In hac igitur intercapedine notularum tonus interesse monstratur. Quod vero Φ ter- tiae atque Υ quartae paginae notam non paginula dividit, sed versus recto or- dine deductus, semitonium eas differre pronuntiat. Quod probatur hoc modo. Nam si Ω proslambanomenos est, Φ hypate hypaton, Υ parhypate hypaton, necesse est inter proslambanomenon, quod est Ω et inter hypaten hypaton, quod est Φ, toni esse distantiam, inter hypaten autem hypaton, quod est Φ et parhypaten hypaton, quod est Υ , semitonii differentiam contineri. Itaque hoc regulariter in cunctis est considerandum, ut, si vocum notulas integra pagina disgregaverit, toni inter eas sciamus esse distantiam, sin versus notulas ac non pagina distinguet, semitonii non ignoremus esse distantiam. 17.2| His igitur ita praemissis si duo ordines in bis diapason consonantia constituti sibi invicem comparentur, ut, qui ordo sit gravior, possit agnosci, si proslam- banomenos proslambanomeno fuerit gravior, vel quaelibet alia vox eiusdem loci voce gravior pernotetur, in eodem scilicet genere constituta, totum quo- que necesse est odrinem esse graviorem. Tamen id melius sumetur a media, quae est mese. Duorum enim ordinum bis diapason consonantium, cuius mese fuerit gravior, eiusdem totus quoque ordo gravior erit. Nam ceterae singulae singulis comparatae, graviores nihilo minus inveniuntur. Itaque si media ab alia media tono aut acutior videatur aut gravior, omnes quoque ner- vi si in eodem genere sint, singuli singulis sibimet comparati tono acutiores aut graviores esse videbuntur. BOETIJ_TXT2013_01.indd 234 28.11.2013 12:19:56 235 235 Četrta knjiga 16.1| V zgornjem prikazu strun so zapisana njihova imena, vzporedno z imeni so postavljeni znaki, dodani izrazi pa označujejo, kateri znak pripada kateremu modusu: ali lidijskemu, frigijskemu ali dorskemu. Dejali smo, da je moduse mogoče najti v oktavnih zvrsteh. Prikažimo jih, in sicer le v diatoničnem rodu; ko bo njihov red prepoznan z vidom, tudi za razum ne bo več ovir. 201 [Gl. str. 237.] 17. Smisel zgoraj podanega prikaza modusov 17.1| Dejali smo, da je modusov sedem, vendar je prikladno, da se jim pridruži še osmi. O smislu te pridružitve bomo spregovorili malo kasneje. 202 Zdaj mora- mo razložiti pomen prostorčkov, ki jih ločujejo navpične črte. Nekateri od teh imajo vpisane notne znake, drugi ne. V hipermiksolidijskem modusu je npr. prvi prostorček označen kot Ω, tretji kot Φ, drugi pa je prazen. Takšen izpad znaka kaže, da je vmes ton (velika sekunda); to, da med znakoma Φ v tretjem in Υ v četrtem prostoru ni praznega prostorčka, pač pa le pokončna črtica, pa govori, da ju loči polton. Pravilnost tega je mogoče obrazložiti takole: Ω je proslambanomenos, Φ hypate hypaton, Υ pa parhypate hypaton, in zato je nujno, da je med proslambanomenos Ω in hypate hypaton Φ razmak tona (velike sekunde), med hypate hypaton Φ in parhypate hypaton Υ pa razlika enega poltona. To je kot pravilo treba upoštevati povsod. Če ločuje torej zna- ke za tone prazen prostor, vemo, da je med njimi razkorak enega tona (velike sekunde), če pa znakov ne loči prostor, pač pa črtica, ne bomo spregledali, da je tam poltonski razmak. 17.2| Po tej predhodni obrazložitvi se vprašajmo: kako je ob medsebojni primerjavi dveh, v sozvočju dvojne oktave utemeljenih tonskih vrst mogoče prepoznati, katera je nižja? Če je proslambanomenos ene vrste nižja od proslambanome- nos druge vrste ali če se kateri koli drugi ton prepozna kot nižji od istomestne- ga tona v drugi vrsti, ki pa mora pripadati istemu rodu, je nujno, da je celotna vrsta nižja. Vendar se to bolje presoja z ozirom na srednjo struno, ki je mese. Od dveh vrst v obsegu konsonance dvojne oktave je tista, katere mese je nižja, tudi v celoti nižja; ostale posamične strune se bodo namreč v primerjavi z ustreznimi drugimi posamičnimi strunami izkazale za prav toliko nižje. Če je tako srednja struna od druge srednje strune višja ali nižja za en ton (veliko sekundo), bodo vse strune, če so v istem rodu, v medsebojni primerjavi višje ali nižje za en ton. BOETIJ_TXT2013_01.indd 235 28.11.2013 12:19:56 236 Boethius, De institutione musica 236 Hypermixolydius Ω 𝈬 Φ 𝈓 Υ 𝈯 Π 𐤢 Μ 𝈳 Λ 𝈴 Η 𝈷 Γ M Ν Β 𝈺 𝈙 𝈽 𝈜 𝉁 Μʹ 𝈳ʹ Λʹ 𝈴ʹ Ηʹ 𝈷ʹ Γʹ Νʹ 𝈀 Z 𝈘 𝈾 𝈜 𝉁 Mixolydius vel Hyperdorius 𝈔 𝈅 Ω 𝈬 Ψ 𝈭 Τ 𝈰 Π 𐤢 Ο Κ Κ 𝈵 Η M 𝈷 Ζ 𝈸 Α 𝈻 𝈙 𝈽 𝈜 𝉁 Οʹ Κʹ Κʹ 𝈵ʹ Ηʹ 𝈷ʹ Γ Ν Β 𝈺 𝈙 𝈽 Lydius 𝈒 𝈩 𝈕 Γ 𝈖 𝈪 Φ 𝈓 C C Ρ 𝈱 Μ 𝈳 Ι M 𝈶 Θ V Γ Ν 𝈀 Ζ 𝈚 𝈿 𝈛 𝉀 Μ ʹ 𝈳ʹ Ιʹ 𝈶ʹ Z 𝈸 Ε 𝈈 𝈀 Z Phrygius 𝈏 Ε 𝈒 𝈩 𝈓 𝈜 Ω 𝈬 Φ 𝈓 Υ 𝈯 Π 𐤢 Μ M 𝈳 Λ 𝈴 Η 𝈷 Γ Ν 𝈀 Z 𝈘 𝈾 𝈜 𝉁 Μʹ 𝈳ʹ Ι 𝈶 Θ V Γ Ν 𝈋 𝈤 𝈏 Ε 𝈐 𝈧 𝈔 𝈅 Ω 𝈬 Ψ 𝈭 Τ 𝈰 Π M 𐤢 Ο Κ Κ 𝈵 Η 𝈷 Γ Ν Β 𝈺 𝈙 𝈽 𝈜 𝉁 Dorius Μ 𝈳 Λ 𝈴 Η 𝈷 𝈉 Η 𝈌 𝈥 V 𝈦 𝈒 𝈩 𝈕 Γ 𝈖 𝈪 Φ 𝈓 C M C Ρ 𝈱 Μ 𝈳 Ι 𝈶 Z 𝈸 Ε 𝈈 𝈀 Z 𝈚 𝈿 Hypolydius Ο Κ Ξ 𝈎 Ι 𝈶 𝈆 𝈡 𝈉 Η 𝈊 𝈣 𝈏 Ε 𝈒 𝈩 𝈓 𝈜 Ω 𝈬 Φ M 𝈓 Υ 𝈯 Π 𐤢 Μ 𝈳 Ι 𝈶 Θ V Γ Ν 𝈀 Z Hypophrygius C C Ρ 𝈱 Μ 𝈳 𝈃 𝈟 𝈆 𝈡 𝈇 𝈢 𝈋 𝈤 𝈏 Ε 𝈐 𝈧 𝈔 𝈅 Ω M 𝈬 Ψ 𝈭 Τ 𝈰 Π 𐤢 Μ 𝈳 Λ 𝈴 Η 𝈷 Γ Ν Hypodorius Φ 𝈓 Υ 𝈯 Π 𐤢 BOETIJ_TXT2013_01.indd 236 28.11.2013 12:19:57 237 237 Četrta knjiga [f] hipermiksolidijski Ω 𝈬 Φ 𝈓 Υ 𝈯 Π 𐤢 Μ 𝈳 Λ 𝈴 Η 𝈷 Γ M Ν Β 𝈺 𝈙 𝈽 𝈜 𝉁 Μʹ 𝈳ʹ Λʹ 𝈴ʹ Ηʹ 𝈷ʹ Γʹ Νʹ 𝈀 Z 𝈘 𝈾 𝈜 𝉁 [es] miksolidijski ali hiperdorski 𝈔 𝈅 Ω 𝈬 Ψ 𝈭 Τ 𝈰 Π 𐤢 Ο Κ Κ 𝈵 Η M 𝈷 Ζ 𝈸 Α 𝈻 𝈙 𝈽 𝈜 𝉁 Οʹ Κʹ Κʹ 𝈵ʹ Ηʹ 𝈷ʹ Γ Ν Β 𝈺 𝈙 𝈽 [d] lidijski 𝈒 𝈩 𝈕 Γ 𝈖 𝈪 Φ 𝈓 C C Ρ 𝈱 Μ 𝈳 Ι M 𝈶 Θ V Γ Ν 𝈀 Ζ 𝈚 𝈿 𝈛 𝉀 Μ ʹ 𝈳ʹ Ιʹ 𝈶ʹ Z 𝈸 Ε 𝈈 𝈀 Z [c] frigijski 𝈏 Ε 𝈒 𝈩 𝈓 𝈜 Ω 𝈬 Φ 𝈓 Υ 𝈯 Π 𐤢 Μ M 𝈳 Λ 𝈴 Η 𝈷 Γ Ν 𝈀 Z 𝈘 𝈾 𝈜 𝉁 Μʹ 𝈳ʹ Ι 𝈶 Θ V Γ Ν 𝈋 𝈤 𝈏 Ε 𝈐 𝈧 𝈔 𝈅 Ω 𝈬 Ψ 𝈭 Τ 𝈰 Π M 𐤢 Ο Κ Κ 𝈵 Η 𝈷 Γ Ν Β 𝈺 𝈙 𝈽 𝈜 𝉁 [B] dorski Μ 𝈳 Λ 𝈴 Η 𝈷 𝈉 Η 𝈌 𝈥 V 𝈦 𝈒 𝈩 𝈕 Γ 𝈖 𝈪 Φ 𝈓 C M C Ρ 𝈱 Μ 𝈳 Ι 𝈶 Z 𝈸 Ε 𝈈 𝈀 Z 𝈚 𝈿 [A] hipolidijski Ο Κ Ξ 𝈎 Ι 𝈶 𝈆 𝈡 𝈉 Η 𝈊 𝈣 𝈏 Ε 𝈒 𝈩 𝈓 𝈜 Ω 𝈬 Φ M 𝈓 Υ 𝈯 Π 𐤢 Μ 𝈳 Ι 𝈶 Θ V Γ Ν 𝈀 Z [G] hipofrigijski C C Ρ 𝈱 Μ 𝈳 𝈃 𝈟 𝈆 𝈡 𝈇 𝈢 𝈋 𝈤 𝈏 Ε 𝈐 𝈧 𝈔 𝈅 Ω M 𝈬 Ψ 𝈭 Τ 𝈰 Π 𐤢 Μ 𝈳 Λ 𝈴 Η 𝈷 Γ Ν [F] hipodorski Φ 𝈓 Υ 𝈯 Π 𐤢 BOETIJ_TXT2013_01.indd 237 28.11.2013 12:19:57 238 Boethius, De institutione musica 238 17.3| Quattuor autem mediis si prima ad quartam diatessaron distantiam servet, prima vero a secunda tono differat, secunda vero a tertia eodem differat tono, tertia ad quartam semitonii faciet differentiam hoc modo. Sint quattuor mediae A B C D et A ei, quae est D, comparata servet ad eam sesquitertiam proportionem, quae est diatessaron, item, A a B distet tono, B a C distet tono. Relinquitur, ut C ad D semitonii distantiam servet. Et si quinque sint mediae, eodem modo. Si enim prima a quinta sesqualtera destiterit proportione, primaque a secunda, ac secunda a tertia tertiaque a quarta singulis destiterint tonis, quarta ad quintam semitonii faciet differentiam. 17.4| Item quaecunque mediae aliorum modorum proslambanomenis accedunt, hae graviores modos operantur, quaecunque netis, illae acutiores efficiunt. Quoniam igitur in superiore pagina descriptis modis partem sinistram legen- tis primi proslambanomeni tenent, dextera vero legentis extremis clauditur netis, erit omnibus quidem acutior modus, qui inscribitur hypermixolydius, omnibus vero gravior is, qui hypodorius. 17.5| Nos vero a gravissimo, id est hypodorio inchoantes ceteros quam inter se ha- beant differentiam designabimus. Namque in hypodorio modo mese, quae est Ω, ab ea mese, quae est in modo hypophrygio, tono distat. Quod in hoc facile perspicietur, si quis ad mesen hypophrygii, quae est Φ, eiusdem hypophrygii Ω comparet, quae est hypodorii quidem mese, in hypophrygio autem lichanos meson. Nam Φ atque Ω tono differunt, quod pagina interiecta demonstrat. Item mese hypolydii ab ea, quae est mese hypophrygii, toni differentiam facit. Namque C quae est mese hypolydii tono distat a Φ , quae est in hypolydio qui- dem lichanos meson, in hypophrygio autem mese. Item mese hypolydii, quae est C, ab ea, quae est mese dorii, semitonio distat. Quod hinc poterit agnosci, quoniam ordinem sursum prodeuntem eius meses, quae est hypolydii atque eum ordinem in sursum prodeuntem eius meses, quae est dorii, unus versicu- lus non pagina distinguit. Quo fit ut mese hypodorii ab ea mese, quae est dorii, C B A D diatessaron BOETIJ_TXT2013_01.indd 238 28.11.2013 12:19:57 239 239 Četrta knjiga 17.3| V primeru, da je od štirih srednjih strun 203 med prvo in četrto razkorak kvarte, med prvo in drugo razlika tona (velike sekunde) in med drugo in tretjo prav tako, bo med tretjo in četrto poltonska razlika. S primerom: Vzemimo štiri srednje strune: A, B, C, D, in A naj bo v primerjavi z D v štiritretjinskem raz- merju, kar je kvarta; nadalje naj bo A oddaljena od B za ton (veliko sekundo), in B naj bo oddaljena od C za ton. Preostane, da je med C in D poltonski raz - mak. Enako je v primeru petih srednjih strun. Če je namreč prva v tripolovinskem razmerju oddaljena od pete, in če so si prva, druga, tretja in četrta vsaksebi za en ton (veliko sekundo), bo med četrto in peto poltonska razlika. 17.4| Tiste srednje strune, ki so bliže strunam proslambanomenos drugih modusov, pripadajo nižjim modusom, tiste, ki so bliže strunam nete, pa višjim. Na zgor - nji strani so v prikazu modusov levo s strani bralca začetne strune, imenovane proslambanomenos, na desni s strani bralca pa se prikaz zaključuje z zadnjimi strunami, imenovanimi nete. Tako bo najvišji od vseh tisti modus, ki je vpisan kot hipermiksolidijski, najnižji pa tisti, ki je vpisan kot hipodorski. 17.5| Začenši z najnižjim modusom, tj. hipodorskim, bomo določili razlike med modusi. V hipodorskem modusu je mese, označena kot Ω, za en ton (veli- ko sekundo) oddaljena od mese hipofrigijskega modusa. To se najlaže pre- veri tako, da se hipofrigijska mese, ki je Φ, primerja z Ω v hipofrigijskem modusu; Ω, ki je v hipodorskem modusu mese, je namreč v hipofrigijskem lichanos meson. Vmesni prostor med Φ in Ω kaže, da se hipodorska in hi- pofrigijska mese razločujeta za ton (veliko sekundo). Nadalje se hipolidijska mese razlikuje za ton od hipofrigijske. C, ki je hipolidijska mese, je namreč za ton oddaljen od Φ, ki je v hipolidijskem modusu lichanos meson, v hipofri- gijskem pa mese. Nadalje je hipolidijska mese, ki je C, za pol tona oddaljena od dorske mese. To je mogoče prepoznati iz tega, da sta navpična stolpca, v katerih sta hipolidijska mese in dorska mese, razločena s črtico, ne pa s pro- C B A D kvarta BOETIJ_TXT2013_01.indd 239 28.11.2013 12:19:57 240 Boethius, De institutione musica 240 integra diatessaron consonantia distet. Idque probatur hoc modo. Nam quae est mese Ω in hypodorio, eadem est Ω in dorio hypate meson, ab ea, quae est mese in quovis modo vel genere diatessaron consonantia differens. Item mese dorii, quae est Π, ab ea mese, quae est phrygii, id est Μ, distat tono. Nam quae est mese in dorio Π, eadem in phrygio lichanos meson. Rursus mese phrygii, quae est Μ, ab ea mese, quae est lydii, id est Ι, distat tono. Nam quae in phrygio est Μ mese, in lydio est lichanos meson. Rursus mese lydii modi, id est Ι, ab ea mese, quae est mixolydii, id est Η, semitonio distat. Etenim is ordo, qui rectus lydii continet mesen, ei ordini, qui rectus mixolydii mesen habet, comparatus non paginula sed versu disiungitur. Ea quoque mese, quae est mixolydii, id est Η, ad eam mesen, quae est hypermixolydii, id est Γ , toni differentiam facit idcirco, quoniam Η, quae in mixolydio mese est, eadem in hypermixolydio lichanos meson. Unde fit, ut mese dorii ab ea mese, quae est mixolydii, diates - saron consonantiam distet. Id probatur hoc modo. Nam mese, quae est dorii, id est Π, eadem est mixolidii, id est Π, hypate meson, quae ad cuiuslibet modi mesen diatessaron consonantiam servat. Item mese dorii, id est Π, ad eam me- sen, quae est hypermixolydii, quae est Γ diapente consonantiam servat. Ea enim mese, quae est dorii, id est Π, in ordine hypermixolydii lichanos hypaton est. Lichanos autem hypaton ad mesen in diatonico genere, in quolibet modo si comparetur, diapente consonantiam distat. 17.6| Cur autem octavus modus, qui est hypermixolydius, adiectus sit, hinc patet. Sit bis diapason consonantia haec: Diapason igitur consonantiam servat A ad id, quod est H. Octo enim vocibus continetur. Primum igitur diximus esse speciem diapason eam, quae est AH, secundam vero BI tertiam CK quartam DL quintam EM sextam FN septi- mam GO. Relinquitur igitur extra HP, quae ut totus ordo inpleretur, adiecta est. Atque hic est octavus modus, quem Ptolomaeus superadnexuit. A B C D E F G H I K L M N O P BOETIJ_TXT2013_01.indd 240 28.11.2013 12:19:57 241 241 Četrta knjiga storom. Posledica vsega tega je, da je hipodorska mese oddaljena od dorske mese za konsonanco kvarte. To se lahko prikaže takole: hipodorska mese Ω je v dorskem modusu hypate meson Ω; hypate meson pa se v katerem koli modusu katerega koli rodu razločuje od mese za konsonanco kvarte. Nadalje je dorska mese, ki je Π, oddaljena od frigijske, ki je Μ, za en ton. Struna, ki je v dorskem modusu mese, je namreč v frigijskem lichanos meson. Ponovno je frigijska mese, ki je Μ, oddaljena od lidijske, tj. Ι, za en ton. Struna, ki je namreč v frigijskem modusu mese Μ, je v lidijskem lichanos meson. Nadalje je mese lidijskega modusa Ι oddaljena za polton od miksolidijske mese, tj. Η. Če namreč primerjamo pokončni stolpec, ki vsebuje lidijsko mese, s tistim, v katerem je miksolidijska mese, vidimo, da je ločen od njega s črtico, ne pa s prostorčkom. Slednjič se miksolidijska mese Η od hipermiksolidijske mese Γ razlikuje za ton: zato, ker je Η, ki je v miksolidijskem modusu mese, v hipermiksolidijskem lichanos meson. Posledica vsega tega je, da je dorska mese oddaljena od miksolidijske za konsonanco kvarte, kar se prikaže takole: dorska mese Π je v miksolidijskem modusu Π hypate meson; hypate meson pa je v katerem koli modusu do mese v konsonanci kvarte. Spet pa je dorska mese Π do hipermiksolidijske mese Γ v konsonanci kvinte. Dorska mese Π je namreč v hipermiksolidijski vrsti lichanos hypaton; lichanos hypaton pa je v diatoničnem rodu katerega koli modusa oddaljen od mese za konsonanco kvinte. 17.6| Zakaj je bil dodan osmi, hipermiksolidijski modus, je razvidno iz sledečega: Vzemimo sozvočje dvojne oktave. 204 A je do H v konsonanci oktave, saj obsega oktava osem tonov. Dejali smo, da je prva oktavna zvrst AH, 205 druga BI, tretja CK, četrta DL, peta EM, šesta FN, sedma GO. Zunaj teh ostaja torej HP, ki je bila dodana, da bi bila zapolnjena celotna vrsta. To je osmi modus, ki ga je Ptolemaj dodal na vrh. A B C D E F G H I K L M N O P BOETIJ_TXT2013_01.indd 241 28.11.2013 12:19:57 242 Boethius, De institutione musica 242 XVIII. Quemadmodum indubitanter musicae consonantiae aure diiudicari possint 18.1| Ut vero indubitanter consonantiarum ratio colligatur, tali brevissimo ac sim- plici effici poterit instrumento. Sit regula diligenter extensa AD. Cui duo semispheria, quas magadas Graeci vocant, insuper apponantur ita, ut ab ea, quae est E curvatura, ad id quod est B deducta linea rectos circum se angulos efficiat. Item ab ea, quae est F curvatura, ad id quod est C punctum deduc- ta linea rectos circum se angulos reddat. Sint vero hae aequaliter undique perpolitae et ad eosdem usus sint eisdem aliae aequales paratae. Super has intendatur nervus aequalis undique is, qui est AEFD. 18.2| Si igitur diatessaron consonantiam, qualis sit, repperire voluero, hoc modo faciam. Ab E puncto, quo nervus semispherium tangit, usque ad F punctum, quo rursus ab alia parte nervus semispherio iungitur, divido spatium, quod est EF, partibus septem et ad partem quattuor septimarum appono punctum, quod est K. Est igitur EK ad eam, quae est KF sesquitertia. Si igitur ad K aequum superioribus semispheriis apposuero, atque alterutra vicissim EK et KF plectro adhibito pellantur, diatessaron distantia consonabit, sin vero simul utrasque percussero, diatessaron consonantiam nosco. 18.3| Quod si diapente efficere volumus, quinque partibus totam divido ac tres uni portioni, duas vero reliquae dabo atque ita posito semispherio secundum superius dictum modum consonantias dissonantiasque perpendo. 18.4| Item si diapason consonantiam temptare voluero, totam tribus partibus seco atque in unam duasque distribuens easdem simul vel alterutram pulsans, quid consonet vel quid dissonet utraque, cognosco. 18.5| Tripla vero, quae ex permixtis consonantiis nascitur, ita redditur, ut, si totam quattuor partium divisionibus partiamur, atque in tres et unam tota nervi prolixitas dividatur, itaque semispherium tribus appositum triplae propor- tionis dissonantiam et consonantiam reddat. Explicit de musica id est armonica institutione liber quartus. E K F A C D B BOETIJ_TXT2013_01.indd 242 28.11.2013 12:19:58 243 243 Četrta knjiga 18. Kako je mogoče s sluhom nedvoumno presojati glasbene konsonance 18.1| Zakonitosti konsonanc je mogoče nedvoumno spoznati z naslednjo preprosto in nezahtevno pripravo. Skrbno postavimo ravnilo AD. Nanj naj se namestita dva polkroga, kakršnim Grki pravijo magadis, in sicer tako, da bo imela črta od vrha krožnice E do B na obeh straneh pravi kot. Tudi črta od vrha krožnice F do točke C naj ima na obeh straneh pravi kot. Polkroga naj bosta povsod enakomerno obrušena, in za isti namen, kot ga imata ta dva, naj se pripravi še nekaj polkrogov, podobnih tema dvema. Preko polkrogov naj se napne povsod enakomerna struna, od A, preko E, F do D. 18.2| Če želim torej spoznati, kakšna je konsonanca kvarte, ravnam takole: Razdaljo od točke E, kjer se struna dotika polkroga, do točke F, kjer se struna na dru- gi strani spet stika s polkrogom, razdaljo EF torej razdelim na sedem delov, in pri štirih sedminah določim točko K. EK je torej do KF v štiritretjinskem razmerju. Če postavim na točko K zgornjima polkrogoma enak polkrog, in če s trzalico zatresem drugega za drugim dela EK in KF, bo zvenela razdalja kvarte. Če pa hkrati udarim na oba dela strune, spoznam, kako konsonanca kvarte sozveni. 18.3| Če želim narediti kvinto, razdelim celotno struno na pet delov; tri dele določim eni strani, dva drugi, in s postavitvijo polkroga na podoben način kot zgoraj lahko pretehtavam sočasno ali zaporedno zveneče sozvočje kvinte. 18.4| Če želim nadalje preizkusiti sozvočje oktave, cepim celoto na tri dele, ki jih razporedim na enega in dva dela; udarjaje na oba dela, bodisi sočasno bodisi zaporedno, lahko spoznam, kako se spajata v sozvočje in kako zvenita drugi nasproti drugemu. 18.5| Trojno konsonanco, 206 ki je spoj drugih konsonanc, dobimo tako, da razdelimo celotno struno na štiri dele; za tem celotno dolžino strune razstavimo na tri dele in enega. Postavitev polkroga na konec tretjega dela bo dala konsonanco v trojnem razmerju, bodisi zaporedno bodisi sočasno. Konec četrte knjige o glasbi, tj. o temeljih harmonije. E K F A C D B BOETIJ_TXT2013_01.indd 243 28.11.2013 12:19:58 244 244 I. Proemium 1.1| Post monochordi regularis divisionem adicienda esse arbitror ea, in quibus veteres musicae doctores sententiae diversitate discordant, habendumque de omnibus subtile iudicium. Atque id, quod proposito deest operi, mediocris doctrinae dispensatione supplendum est. Potest enim alia quoque esse di- visio, in qua non unus tantummodo nervus adsumitur, qui positis propor- tionibus dividatur, verum octo, atque huiusmodi fiat cithara, ut in pluribus et quanti necessarii sint nervi tota proportionum ratio quasi oculis subiecta cernatur. II. De vi armonicae et quae sint eius instrumenta iudicii et quonam usque sensibus oporteat credi 2.1| Sed de his paulo post loquemur. Nunc dicendum est, quae sit vis armonicae, de qua tractare instituentes quattuor inplevimus libros. Naturam vero eius vimque exprimendam in huius quinti voluminis seriem distulimus. 2.2| Armonica est facultas differentias acutorum et gravium sonorum sensu ac ratione perpendens. Sensus enim ac ratio quasi quaedam facultatis armoni - cae instrumenta sunt. Sensus namque confusum quiddam ac proxime tale, quale est illud, quod sentit, advertit. Ratio vero diiudicat integritatem atque imas persequitur differentias. Itaque sensus invenit quidem confusa ac pro- xima veritati, accipit vero ratione integritatem. Ratio vero ipsa quidem in- venit integritatem, accipit vero confusam ac proximam veri similitudinem. Namque sensus nihil concipit integritatis, sed usque ad proximum venit, ra- tio vero diiudicat. 2.3| Velut si quis manu circulum scribat; fortasse eum vere circulum oculus esse arbitretur, ratio vero nullo modo esse id quod simulatur intellegit. Hoc Liber quintus BOETIJ_TXT2013_01.indd 244 28.11.2013 12:19:58 245 245 1. Predgovor 1.1| Prikazu delitve oštevilčenega monokorda je treba dodati še nekaj stvari, glede katerih se stari razpravljalci o glasbi v raznolikosti svojih sodb razhajajo; o teh si je treba ustvariti tankočutno sodbo. Pričujoče delo naj bo tako dopolnjeno s tistim ne posebno obsežnim delom nauka, ki še manjka, in ta naj bo ustrezno razporejen. Možna je npr. drugačna delitev, pri kateri nimamo ene strune, ki se deli z določanjem razmerij, pač pa jih imamo osem, kot na kitari. Tako se zakonitost razmerij v celoti, kot da je postavljena pred oči, vidi na toliko stru- nah, kolikor jih je potrebno. 2. O pomenu nauka o harmoniji, kaj so orodja njegove presoje in kako daleč se sme zaupati čutom 2.1| O teh stvareh bomo govorili malo kasneje. Zdaj je treba spregovoriti o tem, kaj je pomen nauka o harmoniji, o katerem smo se namenili razpravljati in o katerem smo napolnili doslej že štiri knjige. Razpravo o naravi in pomenu harmonije smo prihranili za ta knjižni zvitek, ki je v zaporedju peti. 2.2| Nauk o harmoniji je zmožnost čutnega in razumskega pretehtavanja razlik med visokimi in nizkimi toni. Čuti in razum so namreč neke vrste orodja zmo- žnosti harmonskega nauka. Medtem ko je čutna zaznava nekaj nejasnega, kar je le približno takšno, kot tisto, kar se zaznava, je razumska presoja popolna in dožene lahko tudi najbolj skrite razlike. Čuti nejasno zaznavajo nekaj, kar je le podobno resnici, a do popolne celote se pride šele z razumom. Nasprotno do- seže lahko razum popolno spoznanje, a kar mu posredujejo čuti, je le nejasna in približna podoba resničnosti. Čuti namreč stvari ne zajemajo v njihovi po- polnosti; zmeraj pridejo le do približka, dokončna razsoja pa pripada razumu. 2.3| Za primer vzemimo, da kdo z roko nariše krog. Morda bo oko presodilo, da Peta knjiga BOETIJ_TXT2013_01.indd 245 28.11.2013 12:19:58 246 Boethius, De institutione musica 246 vero idcirco est, quoniam sensus circa materiam vertitur, speciesque in ea conprehendit, quae ita sunt fluvidae atque inperfectae nec determinatae atque ad unguem expolitae, sicut est ipsa materia. Quare sensum quoque confusio sequitur, mentem vero atque rationem quoniam materia non mo- ratur, species, quas pervidet, praeter subiecti communionem intuetur, atque ideo eam integritas comitatur ac veritas, potiusque, quod in sensu aut pecca- tur aut minus est, aut emendat aut conplet. 2.4| Fortasse autem id, quod sensus non integre sed confuse atque a veritate mi- nus quasi quidam incallidus aestimator agnoscit, in singulis minus habe- at errati, collecta vero multiplicantur in summam atque idcirco maximam faciunt differentiam. Nam si duas voculas tonum sensus distare arbitretur neque distent, rursusque ab una earum tonum distare putet tertiam, neque sit integra ac vera toni distantia, item tertiae quartaeque toni sensus diffe- rentiam putet, atque in eadem quoque erret, neque sit differentia toni, ab hac etiam quarta quintam distare semitonium putet, neque vere atque integre aestimet; in singulis fortasse minus videatur erratum, quod vero in primo tono sensus reliquit atque id, quod in secundo et tertio atque in quarto semi - tonio peccatum est, in unum congregatum atque collectum efficiet, ut prima vox ad quintam vocem diapente non contineat consonantiam, quod oporte- bat fieri, si tres tonos ac semitonium sensus integre iudicasset. Quod igitur in singulis tonis minus pervidebatur, id collectum in consonantia evidenter apparuit. 2.5| Atque ut pervideatur, sensum quidem confusa colligere, nullo modo autem ad integritatem rationis ascendere, sic consideremus. Datae enim lineae ma- iorem minoremve aliam repperire, nihil est difficile sensui. Proposita vero mensura, ut tanto maiorem tantove minorem repperiat, id non faciet sensus prima conceptio, sed sollers rationis inventio. Vel si rursus datam lineam propositum sit vel duplicare vel dimidiam secare, id fortasse, licet paulo dif- ficilius quam confuse maiorem minoremve repperire, poterit tamen sensus inventione constitui. Si vero imperetur, ut propositae lineae tripla ponatur vel ab ea pars tertia recidatur vel quadrupla constituatur vel pars quarta rese- cetur, nonne inpossibile sit sensui, nisi integritas rationis accedat? Hoc ideo, quia per processus quidem rationi locus adcrescit, deficit sensui. Si enim oc- tavam partem propositae lineae auferre aliquis imperetur, vel eiusdem octu- plam dare cogatur, totius quidem dimidiam sumere conpellitur dimidiaeque dimidietatem, ut sit quarta, quartaeque dimidium, ut sit octava; rursusque totius duplam duplaeque duplam, ut sit quadrupla, quadruplaeque duplam, BOETIJ_TXT2013_01.indd 246 28.11.2013 12:19:58 247 247 Peta knjiga je narisani krog pravi, a razum nikakor ne bo sprejel, da je nekaj to, kar se dozdeva. Čuti so vezani na snovno, v čemer prepoznavajo oblike, ki so tako nestalne, nepopolne, nedoločene in tako nenatančno zglajene, kot snov sama; zato je čutno spoznavanje povezano z nejasnostjo. Duha in razuma pa ne ovira snov; oblike, ki jih uvidi, opazuje brez povezave s snovno podstavo; zato ga spremljata popolnost in resnica, in kar je na čutni zaznavi zmotno ali pomanj- kljivo, duh sam popravi in dopolni. 2.4| Nepopolno, nejasno in z ozirom na resnico pomanjkljivo čutno spoznavanje, kakršno je spoznavanje nebistrega presojevalca, ima v posamičnem primeru morda le malo zmotnega; a večje število napak se poveže v množino, ki prive- de do ogromne razlike. Če namreč sluh presoja, da sta si dva tona oddaljena za ton (veliko sekundo), vendar si nista, in nadalje meni, da je tretji ton oddaljen od enega od teh za ton, vendar tu ne bi bilo popolne in prave tonske razdalje, in če čut sluha nadalje sodi, da je tudi med tretjim in četrtim tonom tonska razlika, pa bi se motil tudi v tem in je ne bi bilo, za peti ton pa bi menil, da je od tega, četrtega oddaljen za polton, pri tem pa ne bi ocenjeval pravilno in popolno, bi se v posamičnih primerih zdelo morda le malo napačnega; a kar je čut sluha opustil pri prvem tonu (veliki sekundi), kar pri drugem, tretjem, in kar je bilo pogrešeno pri četrtem poltonu, vse to združeno in zbrano povzroči, da prvi in peti ton ne obsegata sozvočja kvinte, do katere bi moralo priti, če bi čut sluha popolno presodil tri tone in polton. Kar se torej pri posamičnih tonih (velikih sekundah) komaj zazna, se zbrano v večjem sozvočju jasno pokaže. 2.5| Kako nejasno dojemajo čuti in kako na noben način ne morejo doseči popolno- sti razuma, premislimo še takole: Vidu ni težko določiti črte, ki je od dane črte bodisi daljša ali krajša. Če pa postavimo mero in je treba določiti za toliko in toliko daljšo ali krajšo črto, čut vida s svojo prosto zaznavo tega ne bo zmogel; pač pa bo do tega prišel bistro iznajdljivi razum. Če si zadamo nalogo, da je treba dano črto bodisi podvojiti ali pa razpoloviti, se bo to še dalo narediti s prostim očesom, čeprav malo teže, kot če se določa le približno krajša ali dalj- ša črta. A če bi bilo treba ob dano črto postaviti trikrat daljšo ali če bi ji bilo treba odvzeti eno tretjino, ali pa če bi ji bilo treba določiti štirikratno ali pa ji odsekati eno četrtino, bi vid to še zmogel, ne da bi mu pomagal nezmotljivi ra- zum? Tu lahko vidimo, kako se ob zmanjševanju vloge čutov postopoma veča vloga razuma. Če bi bilo torej komu naloženo, da dani črti odvzame osmino, ali pa bi bil prisiljen narediti osemkrat večjo, bi moral najprej vzeti njeno po- lovico, potem polovico polovice, da bi nastala četrtina, za tem pa polovico četrtine, da bi nastala osmina; oz. bi moral črto podvojiti, za tem že podvojeno BOETIJ_TXT2013_01.indd 247 28.11.2013 12:19:58 248 Boethius, De institutione musica 248 ut sit octupla. Itaque in tanta rerum numerositate nihil efficit sensus, cuius omne iudicium subitum atque in superficie positum integritatem perfectio- nemque non explicat. Idcirco non est aurium sensui dandum omne iudicium, sed exhibenda est etiam ratio, quae errantem sensum regat ac temperet, qua labens sensus deficiensque veluti baculo innitatur. 2.6| Nam ut singulae artes habent instumenta quaedam, quibus partim confuse aliquid informent, ut acisculum, partim vero, quod est integrum, deprehen- dant, ut circinum, ita enim armonica vis habet duas iudicii partes, unam quidem huiusmodi, per quam sensu conprehendit subiectarum differentias vocum, aliam vero, per quam ipsarum differentiarum integrum modum mensuramque considerat. III. Quid sit armonica regula vel quam intentionem armonicae Pythagorei vel Aristoxenus vel Ptolomaeus esse dixerunt 3.1| Huiusmodi igitur instrumentum, in quo rationis adhibito modo sonorum dif- ferentiae perquiruntur, vocatur armonica regula. In qua re multa doctorum sententiae discordia fuit. Quidam enim, qui Pythagoricis disciplinis maxime crediderunt, hanc intentionem armonicae esse dicebant, ut cuncta rationi consentanea sequerentur. Sensum enim dare quaedam quodammodo semina cognitionis rationem vero perficere. 3.2| Aristoxenus vero e contrario rationem quidem comitem ac secundariam esse dicebat, cuncta vero sensus iudicio terminari et ad eius modulationem con- sensumque esse tendendum. 3.3| A Ptolomaeo autem alio quodam modo armonicae definitur intentio, ea sci- licet, ut nihil auribus rationique possit esse contrarium. Id enim secundum Ptolomaeum armonicus videtur intendere, ut id, quod sensus indicat, ratio quoque perpendat, et ita ratio proportiones inveniat, ut ne sensus reclamet, duorum horum concordia omnis armonici intentio misceatur. Atque in eo maxime Aristoxenum ac Pythagoricos reprehendit, quod Aristoxenus nihil rationi sed tantum sensibus credit, Pythagoricos autem, quia minimum sen- sibus, plurimum tamen proportionibus rationis invigilent. BOETIJ_TXT2013_01.indd 248 28.11.2013 12:19:58 249 249 Peta knjiga podvojiti, da bi bila četverna, in podvojiti še četverno, da bi bila osmerna. Pri tolikšni številnosti so čuti nemočni, saj njihova hitra in površinska sodba ne zajame celote v vseh njenih potankostih. Čutu sluha se zato ne sme prepustiti končna sodba; opreti se je treba na razum, ki naj tavajoči čut sluha vodi in uravnava, in kadar se čut sluha opoteka ali pa mu zmanjka moči, naj se kot na palico opre na razum. 2.6| Kot imajo posamezne dejavnosti po eni strani priprave, s katerimi se kaj obli- kuje le približno – taka je npr. sekirica, pa tudi priprave, s katerimi se kaj natančno določi – tako je npr. šestilo, 207 tako pozna tudi nauk o harmoniji dve vrsti presojanja; po eni se razlike med toni dojemajo s sluhom, po drugi pa se natančno določata mera in način medtonskih razlik. 3. Kaj je harmonsko ravnilo ali kaj so pitagorejci, Aristoksen in Ptolemaj dejali, da je smisel harmonije 3.1| Harmonsko ravnilo je orodje, s katerim se ob sodelovanju razuma raziskujejo razlike med toni. 208 Glede tega je v izjavah učenjakov veliko nesoglasij. Neka- teri, ki so povsem verjeli v nauk pitagorejcev, so trdili, da je smisel nauka o harmoniji ta, da se vse razloži v soglasju z razumom; čuti naj bi po njihovem mnenju posredovali le nekakšna semena spoznanja, do katerega pa pride v resnici le razum. 3.2| Povsem nasprotno je Aristoksen trdil, da je razum le nekaj spremljevalnega in drugotnega, da je sodba sluha dokončna. Nauk o harmoniji morajo usmerjati čuti in težiti mora k temu, da je v skladu z njimi. 3.3| Spet drugače je smisel harmonskega nauka določal Ptolemaj. Menil je, da si sluh in razum ne moreta biti nasprotna. Po Ptolemaju teži harmonik k temu, da to, kar nakazujejo čuti, pretehta z razumom; razum pa naj si zamišlja takšna razmerja, da jih čut sluha ne bo zavrnil. Harmonik si mora prizadevati, da se bo soglasno spajalo oboje. Ptolemaj je Aristoksenu očital zlasti to, da ne ver - jame razumu, pač pa le čutom, pitagorejcem pa, da premalo upoštevajo čute, razmerja, ki so dostopna le razumu, pa preveč. BOETIJ_TXT2013_01.indd 249 28.11.2013 12:19:58 250 Boethius, De institutione musica 250 IV. In quo Aristoxenus vel Pythagorici vel Ptolomaeus gravitatem atque acumen constare posuerint 4.1| Quoniam vero sonum esse omnes consentiunt aeris percussionem, gravitatis atque acuminis differentiam diversa ratione ponebant Aristoxenum secuti et Pythagorici. Aristoxenus quippe sonorum differentias secundum gravi- tatem atque acumen arbitrabatur in qualitate consistere. Pythagorici vero in quantitate ponebant. Ptolomaeus autem Pythagoricis propior videtur idcirco, quoniam ipse quoque gravitatem atque acumen non in qualitate putat sed in quantitate constitui; etenim spissiora ac subtiliora corpora acumen, rario- ra et vastiora edere gravitatem, ut nihil nunc de intentionis relaxationisque modo dicatur; quamquam etiam, cum relaxatur aliquid, quasi fit rarius atque crassius, cum vero intenditur, spissius redditur subtiliusque tenuatur. V. De sonorum differentiis Ptolomaei sententia 5.1| His igitur ita expeditis differentias sonorum Ptolomaeus dividit hoc modo. Vo - cum aliae sunt unisonae, aliae minime. Unisonae sunt, quarum sonus unus est vel in gravi vel in acuto; non unisonae vero, quando est alia gravior, alia acutior. Harum partim ita sunt, ut earum inter se differentia communi fine iungatur. Non enim discreta est, sed a gravi in acutum ita deducitur, ut continua videatur. Aliae vero sunt non unisonae, quarum differentia silentio interveniente distinguitur. 5.2| Ut vero voces communi fine iungantur, fit hoc modo. Sicut enim cum in nubibus arcus aspicitur ita colores sibimet sunt proximi, ut non sit certus finis, cum alter ab altero disgregatur, sed ita verbi gratia a rubro discedit ad pallidum, ut per continuam mutationem in sequentem vertatur colorem nullo medio certoque interveniente, qui utrosque distinguat, ita etiam fieri solet in vocibus, ut si quis percutiat nervum eumque, dum percutit, torqueat, evenit ut in principio pulsus gravior sit, dum torquetur vero, vox illa tenuetur continuique fiant gravis vocis sonitus et acutae. VI. Quae voces armoniae sint aptae 6.1| Cum igitur non unisonarum vocum aliae sint continuae, aliae disgregatae, continuaeque quidem tales sunt, ut inter se earum differentia communi fine BOETIJ_TXT2013_01.indd 250 28.11.2013 12:19:58 251 251 Peta knjiga 4. V čem sta po Aristoksenu, pitagorejcih in Ptolemaju utemeljeni nižina in višina 4.1| Vsi se strinjajo, da je zvok udarjanje zraka; vendar pa utemeljujejo Aristokse- novi somišljeniki razliko med višino in nižino drugače kot pitagorejci. Aristo- ksen je menil, da obstojijo višinske razlike med toni v kakovosti, medtem ko so jih pitagorejci postavljali v kolikost. Zdi se, da je Ptolemaj bliže pitagorejcem, saj tudi on meni, da nižina in višina nista utemeljeni v kakovosti, pač pa v kolikosti. Gostejša in tanjša telesa dajejo namreč višje glasove, redkejša in obsežnejša pa nižje. Zdaj ne bomo govorili o načinih višanja in nižanja, čeprav je tako, da postaja ob popuščanju stvar redkejša in debelejša, ob napenjanju pa gostejša, finejša in tanjša. 5. Ptolemajev nauk o razlikah med toni 5.1| Po teh razlagah lahko preidemo k vprašanju, kako razvršča razlike med toni Ptolemaj. Po njem so nekateri toni istozvočni, drugi ne. 209 Istozvočni so tisti, ki imajo isti ton, bodisi da je ta visok bodisi nizek. Neistozvočni so tisti toni, od katerih je eden nižji, drugi višji. Med temi so nekateri taki, da se njihove medsebojne razlike spajajo v skupnih točkah. 210 Razlike med toni tako niso razvidne in toni se na tak način raztezajo od nižine proti višini, da se doz- devajo strnjeni. 211 Drugi neistozvočni toni so taki, da so med dvema tonoma izpuščeni vsi vmesni toni. 212 5.2| Da se toni spajajo v skupnih točkah, se dogaja takole: Ko se v oblakih pojavi mavrični lok, so si barve druga nasproti drugi tako blizu, da med njimi ni meja, ki bi jih ločevale. Rdeča prehaja na primer na tak način v bledo barvo, da se barva neprekinjeno menjava in obrača v naslednjo, ne da bi bila med dvema barvama kaka določena barva, ki bi ju ločila. Tako je tudi pri tonih: Ko kdo brenka struno in jo hkrati z brenkanjem privija, je tresenje sprva nizko, ko pa se struna privija, se glas viša in nizki toni nepretrgoma prehajajo v visoke. 6. Kateri toni spadajo k harmonskemu nauku 6.1| Med neistozvočnimi toni 213 so torej nekateri nepretrgano povezani, drugi lo- čeni; nepretrgano povezani so tisti, katerih medsebojne razlike se spajajo v BOETIJ_TXT2013_01.indd 251 28.11.2013 12:19:58 252 Boethius, De institutione musica 252 iungatur, nec habeat locum designatum vox acuta gravisque, quem teneant. Discretae vero habent proprios locos veluti colores inpermixti, quorum dif - ferentia visitur suo quodam loco constituta. 6.2| Continuae quidem non aequisonae voces ab armonica facultate separantur. Sunt enim sibi ipsis dissimiles nec unum aliquid personantes. Discretae vero voces armonicae subiciuntur arti. Potest enim distantium sibique dissimi- lium vocum differentia deprehendi, in quibus, qui iuncti efficere melos pos- sunt, ἐμμελεῖς dicuntur, ἐκμελεῖς autem, quibus iunctis melos effici non potest. VII. Quem numerum proportionum Pythagorici statuant 7.1| Consonae autem vocantur, quae copulatae mixtos suavesque efficiunt sonos, dissonae vero, quae minime. Et hoc quidem est Ptolomaei de sonorum dif- ferentia iudicium. Nunc autem quid a ceteris in consonantiarum positione destiterit dicendum videtur. 7.2| Pythagorici enim consonantias diapente ac diatessaron simplices arbitran- tur atque ex his unam diapason consonantiam iungunt. Esse etiam diapente ac diapason et bis diapason, illam tripli, hanc quadrupli. Diapason vero ac diatessaron consonantiam esse non aestimant idcirco, quoniam non in su- perparticulari vel multiplici cadit comparatione, sed in multiplici superpar- tiente. Est enim haec proportio vocum ut octo ad tres. Si quis enim horum in medio quattuor ponat, efficiet terminos hos VIII, IIII, III. Quorum octo ad quattuor diapason efficiunt consonantiam, quattuor ad tres diatessaron. Octo vero ad tres in multiplici superpartiente constituitur. Quae autem sit multi- plex superpartiens comparatio, ex arithmeticis libris cognoscendum est, et ex his, quae secundo huius institutionis libro digessimus. 7.3| Pythagorici autem consonantias in multiplicibus ac superparticularibus po- nunt, sicut eodem libro secundo quartoque praedictum est, a superpartien- tibus vero ac multiplicibus superpartientibus consonantias separant. Qui- bus autem modis diapason quidem duplici, diatessaron vero sesquitertio ac diapente sesqualtero coniungant Pythagorici, ex secundo huius institutionis musicae libro et quarto petendum est. BOETIJ_TXT2013_01.indd 252 28.11.2013 12:19:58 253 253 Peta knjiga skupnih točkah, tako da glas, visok ali nizek, nima določenega mesta, na kate- rem bi obstal. Ločeni toni pa imajo svoja lastna mesta, kot čiste, nepomešane barve, katerih značilnosti so točno določene in jih je mogoče prepoznati. 6.2| Nepretrgano povezani neistozvočni toni 214 so nauku o harmoniji tuji. Razliku- jejo se sami od sebe in ne zvenijo kot nekaj določnega. V območje ukvarjanja s harmonijo sodijo tako le ločeni toni. Med medsebojno oddaljenimi in medse- bojno različnimi toni je namreč možno določiti razliko. Od teh tonov so tisti, ki se lahko družijo v melodijo, melodični, nemelodični pa oni, z druženjem katerih ni mogoče tvoriti melodij. 215 7. Katero število postavljajo pitagorejci kot osnovno število razmerij 7.1| Konsonančni toni so tisti, ki se spajajo v prijetna sozvočja, disonančni pa oni, pri katerih se to ne dogaja. A to je Ptolemajeva sodba o razlikah med toni. Spregovoriti pa moramo o tem, koliko se Ptolemajeva sodba glede konsonanc razlikuje od drugih. 7.2| Pitagorejci imajo namreč za osnovni konsonanci kvarto in kvinto, in ti dve povezujejo v oktavo. Obstojita pa tudi oktava s kvinto v trojnem razmerju in dvojna oktava v četvernem. Oktave s kvarto pa pitagorejci ne pojmujejo kot konsonanco, zato ker ni niti v superpartikularnem niti v množinskem razmer- ju, pač pa v množinsko-superpartientnem. To tonsko razmerje je namreč 8 proti 3. Če med ti dve števili postavimo število 4, nastane zaporedje števil 8, 4, 3. Od teh števil tvorita 8 in 4 oktavo, 4 in 3 pa kvarto, pri čemer spada razmerje 8 nasproti 3 med množinsko-superpartientna razmerja. Kaj je množinsko-su- perpartientna primerjava, se je mogoče poučiti iz knjig Aritmetike, pa tudi iz tistega, kar smo razvili v drugi knjigi tukajšnjih razpravljanj. 216 7.3| Kot je bilo predstavljeno v pravkar omenjeni drugi in četrti knjigi, postavljajo pitagorejci konsonance v množinska in superpartikularna razmerja, ne pove- zujejo pa jih s superpartientnimi in množinsko-superpartientnimi. Kako pa povezujejo oktavo z dvojnim razmerjem, kvarto s štiritretjinskim in kvinto s tripolovinskim, je mogoče poiskati v drugi in četrti knjigi tukajšnjega razpra- vljanja. 217 BOETIJ_TXT2013_01.indd 253 28.11.2013 12:19:58 254 Boethius, De institutione musica 254 VIII. Quod reprehendat Ptolomaeus Pythagoricos in numero proportionum 8.1| Reprehendit autem Pythagoricos Ptolomaeus totamque eam, quam praedic- tis libris exposuimus, demonstrationem pluribus modis, in quo totum illud etiam, quod diatessaron ac diapente sesqualtero et sesquitertio coniungunt, reliquis vero superparticularibus, cum eiusdem sint generis, nullas omnino applicent consonantias. VIIII. Demonstratio secundum Ptolomaeum diapason et diatessaron consonantiam esse 9.1| Probat autem ex diapason ac diatessaron quandam fieri symphoniam hoc modo, quoniam diapason consonantia talem vocis efficit coniunctionem, ut unus atque idem nervus esse videatur, idque Pythagorici quoque consen- tiunt. Quocirca si qua ei consonantia fuerit addita, integra inviolataque ser- vatur. Ita enim diapason consonantiae additur tamquam uni nervo. 9.2| Sit igitur diapason consonantia, quae contineatur inter hypaten meson et neten diezeugmenon. Utraque haec ita sibi consentit atque coniungitur sono, ut una vox, quasi unius nervi non quasi duorum mixta pellat auditum. Quamcunque igitur huic diapason consonantiae consonantiam iunxerimus, servatur integra, quia ita iungitur, tamquam uni voculae ac nervo. Si igitur hypate meson et nete diezeugmenon duae in acutum diatessaron fuerint iunctae, sicut iungitur nete quidem diezeugmenon ea, quae est nete hyperboleon, hypate autem meson ea, quae est mese: utraque ad utramque consonabit et mese ad neten diezeu- gmenon et eadem mese ad hypaten meson, item nete hyperboleon ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson. Item si ad graviorem partem utriusque diatessaron consonantiae relaxentur, erit ad meson quidem hypaten diates- saron retinens consonantiam hypate hypaton, ad neten autem diezeugmenon paramese, consonabitque et hypate hypaton, ad hypaten meson et ad neten die- zeugmenon et paramese ad neten diezeugmenon et ad hypaten meson, sed eo modo, ut gravior quae est ad sibi quidem proximam diatessaron retineat con- sonantiam, ad ulteriorem vero diatessaron ac diapason, ut hypate hypaton ad hypaten meson diatessaron, ad neten diezeugmenon diatessaron ad diapason. Item nete hyperboleon quae est acutior ad sibi proximam neten diezeugmenon diatessaron consonantiam, ad hypaten meson diatessaron ac diapason. BOETIJ_TXT2013_01.indd 254 28.11.2013 12:19:58 255 255 Peta knjiga 8. Kako Ptolemaj glede številčnih razmerij zavrača pitagorejce 8.1| Ptolemaj na več načinov zavrača pitagorejce in vse tisto dokazovanje, ki smo ga razvili v omenjenih dveh knjigah. Zavrača tudi to, da pitagorejci, medtem ko povezujejo kvarto in kvinto s štiritretjinskim in tripolovinskim razmerjem, drugim superpartikularnim razmerjem ne pripisujejo nobene konsonančnosti, čeprav spadajo v isti rod. 9. Ptolemajev dokaz, da je oktava s kvarto konsonanca 9.1| Da nastane iz oktave in kvarte konsonančno sozvočje, dokazuje Ptolemaj ta- kole: Sozvočje oktave je takšen tonski spoj, da se dozdeva, kot da bi zvenela ena sama struna, s čimer se strinjajo tudi pitagorejci. Če se zatorej oktavi doda kaka druga konsonanca, se v celoti in neokrnjeno ohrani; oktavi je namreč dodana tako, kot da bi bila slednja en sam ton. 9.2| Vzemimo konsonanco oktave, ki je med hypate meson in nete diezeugme- non. Obe ti dve struni si soglašata in zvočno se tako povezujeta, da udarja na sluh en sam zvok, kot glas ene same strune, in ne spoj dveh. Katero koli dru- go konsonanco navežemo torej na to sozvočje oktave, bo ostala neokrnjena, saj se bo navezala nanjo kot na en sam zvok in eno samo struno. Če se torej na struni hypate meson in nete diezeugmenon navežeta v smeri navzgor dve kvarti, tako da se na nete diezeugmenon naveže nete hyperboleon, na hypate meson pa mese, bo vsaka od obeh navezanih strun do ostalih dveh v konso- nančnem razmerju: tako mese do nete diezeugmenon in do hypate meson kot nete hyperboleon do nete diezeugmenon in do hypate meson. Če pa se nadalje od obeh omenjenih strun spustita dve kvarti v smeri navzdol, bo do hypa- te meson vzdrževala sozvočje kvarte hypate hypaton, do nete diezeugmenon pa paramese. Hypate hypaton bo v konsonančnem razmerju tako do hypate meson kot do nete diezeugmenon, in paramese bo v konsonančnem razmerju tako do nete diezeugmenon kot do hypate meson. Pri tem bo vzdrževala nižja struna do sebi bližnje sozvočje kvarte, do bolj oddaljene pa sozvočje oktave s kvarto: tako hypate hypaton do hypate meson kvarto, do nete diezeugmenon pa oktavo s kvarto; podobno bo nete hyperboleon, ki je višja, vzdrževala do sebi bližnje nete diezeugmenon konsonanco kvarte, do hypate meson pa okta- vo s kvarto. BOETIJ_TXT2013_01.indd 255 28.11.2013 12:19:58 256 Boethius, De institutione musica 256 X. Quae sit proprietas diapason consonantiae 10.1| Hoc vero idcirco evenire contendit, quoniam diapason paene una vocula est talisque consonantia est, ut unum quodammodo effingat sonum, et sicut denario numero qui fuerit additus intra eum positus integer inviolatusque servatur, cum in ceteris id ita minime eveniat, ita etiam in hac consonantia. Nam si duo tribus adicias, quinque continuo reddis et numeri species inmu- tata est, si vero eosdem denario addas, duodecim feceris et binarius iunctus denario conservatus est. Item ternarius ceterique eodem modo. 10.2| Ita igitur symphonia diapason quamcunque aliam susceperit, consonantiam servat nec inmutat nec ex consona dissonam reddit. Nam sicut diapente sym- phonia iuncta diapason consonantiae in tripla scilicet proportione diapason ac diapente consonantiam servat, ita etiam diatessaron cum sit consonan- tia iuncta cum diapason, aliam consonantiam reddit et fit secundum Ptolo- maeum alterius consonantiae additio eius, quae est diapason ac diatessaron in multiplici superpartiente constituta, estque ea proportio dupla superbipar - tiens ut octo ad tres. Habent enim ternarium octo bis duasque eius partes id est duas unitates. XI. Quibus modis Ptolomaeus consonantias statuat 11.1| Et de Pythagoricorum quidem opinione Ptolomaeus ita diiudicat. Quibus vero modis ipse consonantiarum proportiones numerosque vestiget, hinc or- diendum est. 11.2| Voces, inquit, inter se vel unisonae sunt vel non unisonae. Non unisonarum autem vocum aliae quidem sunt aequisonae, aliae consonae, aliae emmelis, aliae dissonae, aliae ekmelis. Et unisonae quidem sunt, quae unum atque eundem singillatim pulsae reddunt sonum, aequisonae vero, quae simul pul - sae unum ex duobus atque simplicem quodammodo efficiunt sonum, ut est diapason eaque duplicata, quae est bis diapason. Consonae autem sunt, quae compositum permixtumque, suavem tamen, efficiunt sonum, ut diapente ac diatessaron. Emmelis autem sunt, quaecunque consonae quidem non sunt, possunt aptari tamen recte ad melos, ut sunt hae, quae consonantias iungunt. Dissonae vero sunt, quae non permiscent sonos atque insuaviter feriunt sen - sum; ekmelis vero, quae non recipiuntur in consonantiarum coniunctione, de quibus paulo posterius in divisione tetrachordorum dicemus. BOETIJ_TXT2013_01.indd 256 28.11.2013 12:19:58 257 257 Peta knjiga 10. Kaj je lastnost sozvočja oktave 10.1| Do tega pride zato, ker je oktava tako rekoč en sam glas in takšno sozvočje, da daje na neki način en sam ton. Kot se število, ki se prišteje številu 10, ohrani sredi novega števila polno in nepoškodovano, medtem ko se pri dru- gih številih to nikakor ne dogaja, tako je tudi pri sozvočju oktave. Če namreč prišteješ številu 3 število 2, dobiš neposredno 5 in vrsta števila se spremeni. Če pa isto število 2 prišteješ številu 10, dobiš 12, in navezano na število 10 se število 2 ohrani. Enako je s številom 3 in z drugimi števili. 10.2| Tudi s konsonančnim sozvočjem oktave je tako: katero koli drugo konsonan- co sprejme, jo ohrani in je niti ne spremeni niti je iz konsonančne ne napravi disonančno. Kot vzdržuje konsonanca kvinte, združena s konsonanco oktave, konsonanco oktave s kvinto, ki je v trojnem razmerju, tako dasta konsonanco tudi združeni kvarta, ki je konsonanca, in oktava. Po Ptolemaju nastane s tem nova konsonanca, oktava s kvarto, ki je utemeljena v množinsko-superparti- entnem razmerju. To razmerje je dvojno-superbipartientno, kot je 8 nasproti 3. Število 8 ima namreč dvakrat število 3 in še 2 njegova dela, se pravi še število 2. 11. Kako je utemeljeval konsonance Ptolemaj 11.1| Tako je Ptolemaj sodil o mnenju pitagorejcev. Vendar je treba razpravo o njem začeti s tem, kako je sam raziskoval razmerja sozvočij in njihova števi- la. 11.2| Toni, pravi, so medsebojno bodisi istozvočni ali pa neistozvočni. 218 Med ne- istozvočnimi toni so nekateri enakozvočni, nekateri konsonančni, nekateri melodični, nekateri disonančni in nekateri nemelodični. Istozvočna tona do- bimo, ko dasta dve posamično zatrzani struni en in isti ton, enakozvočna pa, ko dasta dve hkrati zatrzani struni en sam, na neki način enovit zvok, ki je iz dveh tonov, kot je oktava ali podvojena oktava, tj. dvojna oktava. Konso- nančni toni so tisti, ki dajejo sestavljen, spojen, vendar prijeten zvok, kot sta kvinta in kvarta. Melodični toni niso konsonančni, vendar so primerni za me- lodije; iz sozvočij melodičnih tonov so sestavljene konsonance. 219 Disonančni toni so tisti, ki se ne družijo in ki neprijetno udarjajo na sluh. 220 Nemelodični pa so tisti, ki se ne spajajo v konsonance in o katerih bomo govorili malo kasneje pri delitvi tetrakordov. 221 BOETIJ_TXT2013_01.indd 257 28.11.2013 12:19:58 258 Boethius, De institutione musica 258 11.3| Quoniam igitur univocis quidem comparationibus proximae sunt aequivo- cae, necesse est, ut aequis numeris ea numerorum inaequalitas adiungatur, quae est proxima aequis. Est autem iuxta aequalitatem numerorum ea, quae est dupla. Nam et prima multiplicitatis species est et maior numerus, cum minorem supervenit, aequo eum ipsi minori transcendit, ut duo unum uno transgrediuntur, qui eidem unitati aequalis est. Iure igitur duplex proportio aequisonis aptatur, id est diapason, bis diapason vero bis duplici, id est qua- druplo. 11.4| Quae autem proportiones dividunt duplicem proportionem primae ac maxi- mae his aptandae sunt consonantiis, quae dividunt diapason aequisonantiam. Unde fit, ut diapente quidem sesqualterae, diatessaron vero sesquitertiae comparationi copulentur. Iunctae vero consonae cum aequisonis alias effi- ciunt consonantias, ut diapente ac diapason in triplo diatessaron ac diapason in ea proportione, quae est octo ad tres. Emmelis autem sunt, quae diapente ac diatessaron dividunt, ut tonus ceteraeque proportiones, de quibus paulo posterius in divisione tetrachordorum loquemur, simplices earum scilicet partes. XII. Quae sint aequisonae, quae consonae, quae emmelis 12.1| Igitur aequisonae quidem sunt diapason ac bis diapason, quoniam earum temperamento mixturaque unus ac simplex quodammodo efficitur sonus. Consonae autem sunt primae quidem in superparticularibus sesqualtera et sesquitertia, id est diapente ac diatessaron; et diapason ac diapente et dia- pason ac diatessaron. Hae sunt compositae atque coniunctae ex aequisonis et consonantibus. Emmelis autem sunt reliqui, qui inter has poni possunt, ut inter diatessaron ac diapente differentia tonus, iungunturque quodammodo aequisonae quidem consonantibus, ut diapason ex diatessaron ac diapente, consonae autem ex his, qui emmelis soni vocantur, ut eadem diapente et diatessaron tonis ceterisque posterius dicendis proportionibus. 12.2| Sed quonam modo quidem horum omnium proportio colligi possit, ex eo loco sumendum est, quem quarto volumine in fine descripsimus, ubi nervus super semispheria tendebatur. Ibi enim deprehenditur aequisonatio diapason ac bis diapason et consonantiae simplices diapente ac diatessaron et conso- nantiae compositae diapason ac diapente et diapason ac diatessaron et qui sunt emmelis soni, ut in toni differentia consistentes. BOETIJ_TXT2013_01.indd 258 28.11.2013 12:19:58 259 259 Peta knjiga 11.3| Razmerjem med istozvočnimi toni so najbližja razmerja med enakozvočnimi, in nujno je, da sledi enakosti med števili tista številčna neenakost, ki je najbliž- ja enakosti. Enakosti pa je najbližja neenakost dvojnega razmerja. Dvojno je namreč prva zvrst množinskosti in pri dvojnosti večje število preseže manjše število za število, ki je enako prav temu manjšemu številu. Število 2 tako pre- seže število 1 za število 1, ki je enako preseženemu številu. Dvojno razmerje se torej po pravici prisoja enakozvočnim tonom, tj. oktavi; dvojna oktava pa ustreza dvakrat dvojnemu, tj. četvernemu razmerju. 11.4| Razmerja, ki kot prva in največja delijo dvojno razmerje, je treba pripisati tistim konsonancam, ki delijo konsonanco oktave. Tako se kvinta povezuje s tripolovinskim, kvarta pa s štiritretjinskim razmerjem. Združene z enako- zvočnimi toni pa tvorijo konsonance druge konsonance, kot oktavo s kvinto v trojnem razmerju ali pa oktavo s kvarto v razmerju 8 nasproti 3. Melodični toni so tisti, katerih sozvočja delijo kvinto in kvarto, 222 kot ton (velika sekun- da) in druga razmerja, o katerih bomo govorili malo kasneje pri delitvi tetra- korda; so namreč enostavni deli teh konsonanc. 12. Kateri toni so enakozvočni, kateri konsonančni, kateri melodični 12.1| Enakozvočni sta oktava in dvojna oktava, 223 saj nastane z njunim uravnanim spojem na neki način en sam preprost zvok. Konsonančna sozvočja so prva med superpartikularnimi razmerji: tripolovinsko in štiritretinsko razmerje, tj. kvinta in kvarta, pa tudi oktava s kvinto in oktava s kvarto. Slednji dve sta sestavljeni in spojeni iz enakozvočnih in konsonančnih sozvočij. Ostali toni so melodični; 224 sozvočja teh tonov so sestavine konsonanc, 225 kot ton (velika se- kunda), ki je razlika med kvinto in kvarto. Enakozvočni toni so nekakšni spoji konsonanc, kot je oktava iz kvarte in kvinte; konsonance pa so spoji sozvočij melodičnih tonov, kot sta kvinta in kvarta iz tonov (velikih sekund) in drugih razmerij, o katerih bo treba spregovoriti v nadaljevanju. 12.2| A kako je mogoče priti do vseh teh tonskih razmerij, se lahko povzame iz tistega mesta ob koncu četrtega zvitka, kjer smo opisali, kako se struna napne preko polkrogov. 226 Tam je mogoče prepoznati enakozvočni oktavo in dvojno oktavo, preproste konsonance, kvinto in kvarto, sestavljene konsonance, okta- vo s kvinto in oktavo s kvarto, pa tudi sozvočja melodičnih tonov, ki obstojijo kot tonska razlika. 227 BOETIJ_TXT2013_01.indd 259 28.11.2013 12:19:58 260 Boethius, De institutione musica 260 XIII. Quemadmodum Aristoxenus intervalla consideret 13.1| Quid vero de his Aristoxenus sentiat, breviter aperiendum est. Ille enim quoniam minime tractatum rationi constituit, sed aurium iudicio permittit, idcirco voces ipsas nullis numeris notat, ut earum colligat proportiones, sed earum in medio differentiam sumit, ut speculationem non in ipsis vocibus, sed in eo, quod inter se differunt, collocet, nimis inprovide, qui differentiam se scire arbitretur earum vocum, quarum nullam magnitudinem mensuram- ve constituat. Hic igitur et diatessaron consonantiam duorum tonorum ac semitonii esse proponit, et diapente trium tonorum ac semitonii et diapason sex tonorum, quod fieri non posse superioribus voluminibus demonstratum est. XIIII. Descriptio octachordi, qua ostenditur diapason minorem esse sex tonis 14.1| Docet autem Ptolomaeus per cuiusdam octachordi divisionem diapason in- tra sex tonos cadere hoc modo. 14.2| Intendantur enim octo chordae, id est A, B, C, D, E, F, G, H, fiatque se- squioctava AK eius, quae est BL, et BL eius, quae est CM, et CM eius, quae est DN, et DN eius, quae est EX, et EX eius, quae est FO, et FO eius, quae est GP. Erunt igitur sex toni. Rursus H dividatur nervus medius ad R. Erit igitur AK dupla ab eo, quod est HR. Pulsae igitur simul AK, HR diapason aequisonantiam consonabunt. Si vero aliquis GP percutiat, semper erit pau- lo acutior, quam est HR ac per hoc transcendunt sex toni diapason conso- nantiam. Si enim AK et GP diapason pulsati resonarent, tonorum sex esset diapason consonantia. Si vero his non consonantibus AK et HR diapason consonarent, et HR acutior esset quam GP, diapason consonantia sex tonos excederet. Nunc vero, quia consonantibus AK et HR eadem HR ab ea, quae est GP, gravior invenitur, non potest, quin sex toni diapason consonantiam excedant. Atque ita sensu quoque potest colligi, diapason consonantiam in- tra sex tonos cadere. Sic igitur Aristoxeni error sine dubitatione convincitur. BOETIJ_TXT2013_01.indd 260 28.11.2013 12:19:58 261 261 Peta knjiga 13. Kako je intervale pojmoval Aristoksen 13.1| Kratko je treba pokazati, kako sodi o teh stvareh Aristoksen, ki razprave ne podreja razumu, pač pa jo prepušča sodbi sluha. Prav zato samih tonov ne označuje s števili, da bi določal tako njihova medsebojna razmerja, pač pa jemlje njihove sredinske razlike. S tem svojega opazovanja ne usmerja v same tone, pač pa v to, koliko se medsebojno razlikujejo. 228 To je zelo neprevidno, da namreč kdo meni, da pozna razlike med tistimi toni, za katere ni določil ne velikosti ne mere. 229 P o Aristoksenu sestoji tako konsonanca kvarte iz dveh tonov (velikih sekund) in enega poltona, kvinta iz treh tonov in enega poltona, in oktava iz šestih tonov. Da to ni možno, je bilo dokazano v poprejšnjih zvit- kih. 230 14. Opis osmerostrunja, s katerim je mogoče pokazati, da je oktava manjša od šestih tonov 14.1| Da je oktava znotraj obsega šestih tonov (velikih sekund), uči Ptolemaj z deli- tvijo nekakšnega osmerostrunja: 14.2| Napne naj se osem strun: A, B, C, D, E, F, G, H. AK naj bo 9/8 BL, BL 9/8 CM, CM 9/8 DN, DN 9/8 EX, EX 9/8 FO in FO 9/8 GP. Tu je torej šest tonov (velikih sekund). Nadalje naj se struna H v točki R odmeri tako, da bo AK v primerjavi s HR dvojna. S hkratnim zatrzanjem AK in HR se bo oglasilo torej enakozvočje oktave. A struna GP je malenkost višja od HR, in šest tonov (veli - kih sekund) za toliko presega sozvočje oktave. Če bi zatrzani struni AK in GP sozazveneli v oktavi, bi obsegalo sozvočje oktave šest tonov; če bi bila glede na to, da se AK in GP ne ujemata, in da zvenita AK in HR v oktavi, HR višja od GP, bi sozvočje oktave presegalo šest tonov. Ker pa se AK in HR ujemata in ker je slednja nižja od GP, ne more biti drugače, kot da šest tonov presega sozvočje oktave. Tako se lahko tudi s sluhom dožene, da leži oktava znotraj obsega šestih tonov. S tem se je torej možno dokončno prepričati o Aristokse- novi zmoti. BOETIJ_TXT2013_01.indd 261 28.11.2013 12:19:58 262 Boethius, De institutione musica 262 XV. Diatessaron consonantiam tetrachordo contineri 15.1| Nunc de tetrachordorum divisione dicendum. Etenim diatessaron consonan- tia quattuor efficitur nervis, idcirco etiam diatessaron nuncupatur. Ut igitur duobus nervis, altrinsecus positis ac diatessaron symphoniam consonanti- bus fiat tetrachordon duos necesse est statui in medio nervos, qui ad se invi- cem atque ad extremos tres proportiones efficiant. XVI. Quomodo Aristoxenus vel tonum dividat vel genera eiusque divisionis dispositio 16.1| Hoc igitur diatessaron Aristoxenus per genera tali ratione partitur. Dividit enim tonum in duas partes atque id semitonium vocat. Dividit in tres, cuius tertiam vocat diesin chromatis mollis. Dividit in quattuor, cuius quartam cum propria medietate, id est cum octava totius toni appellat diesin chromatis hemiolii. 16.2| Cum igitur haec ita sint cumque generum divisio secundum eum sit duplex, unum quidem genus est mollius, aliud vero incitatius. Et mollius quidem est enarmonium, incitatius vero diatonicum. Inter haec vero consistit chroma- ticum incitatione mollitieque participans. Fiunt igitur secundum hunc ordi- K L M N X O R P D C B A H G F E BOETIJ_TXT2013_01.indd 262 28.11.2013 12:19:59 263 263 Peta knjiga 15. Sozvočje kvarte je zaobseženo v tetrakordu 15.1| Zdaj je treba spregovoriti o delitvi tetrakorda. Sozvočje kvarte nastane s šti- rimi strunami in zato se tudi imenuje »preko štirih«. 231 Da nastane tetrakord, se morata namestiti druga nasproti drugi dve struni, ki sozvenita v sozvočju kvarte; za tem je treba mednju postaviti še dve struni. Vsaka od teh je do druge in do obeh krajnih v treh različnih razmerjih. 16. Kako Aristoksen deli ton, kako rodove. Prikaz njegove delitve 16.1| Aristoksen deli kvarto v rodove po temle postopku: Ton (veliko sekundo) raz- deli na dva dela in dobljeno imenuje polton. Razdeli ga na tri dele in njegovo tretjino imenuje mehko-kromatična diesis. Razdeli ga na štiri dele; četrtino tona s polovico četrtine, se pravi z osmino celega tona, imenuje hemiolsko- -kromatična diesis. 16.2| Ob tem je po Aristoksenu delitev rodov dvojna: rodovi so mehki ali ostri. Mehki je enharmonski rod, ostri pa diatonični. Med tema dvema rodovoma je kromatični rod, ki je deležen tako mehkobe kot ostrine. Skladno s to delitvijo obstoji šest mešanih različic rodov: ena enharmonska, tri kromatične, in sicer K L M N X O R P D C B A H G F E BOETIJ_TXT2013_01.indd 263 28.11.2013 12:19:59 264 Boethius, De institutione musica 264 nem differentiae permixtorum generum sex, una quidem enarmonii, tres au- tem chromatici, id est chromatici mollis et chromatici hemiolii et chromatici toniaei, duae vero reliquae diatonici mollis atque incitati. Quorum omnium talis secundum Aristoxenum divisio est. 16.3| Quoniam enim quarta pars toni diesis enarmonios nuncupari praedicta est, quoniamque Aristoxenus non voces ipsas inter se comparat, sed differen- tiam vocum intervallumque metitur, est secundum eum tonus XII unitatum. Huius igitur erit pars quarta diesis enarmonios III. Quoniam vero ex duobus tonis ac semitonio diatessaron consonantia iungitur, erit tota diatessaron ex bis XII ac VI unitatibus constituta. Sed quoniam saepe fit, ut, si usque ad octavas velimus deducere partes, non in integros numeros, sed in aliquas particulas incurramus, idcirco facienda quidem est tota diatessaron LX at vero XXIIII tonus, semitonium XII, pars quarta, quae diesis enarmonios dicitur, VI, octava autem III. Iuncta vero octava cum quarta, VI scilicet cum tribus, ut faciat diesin chromatis hemiolii, erunt VIIII. 16.4| His igitur ita constitutis tria genera, enarmonium, chromaticum, diatoni- cum, has Aristoxeno videntur habere proprietates, ut alia eorum dicantur spissa, alia minime. Spissa sunt, quorum duae graviores proportiones unam eam, quae ad acutum apposita est, magnitudine non vincunt; non spissa vero, quorum duae proportiones unam reliquam poterunt superare. 16.5| Est autem enarmonium et chromaticum spissum, diatonicum vero non spissum. Itaque enarmonium secundum Aristoxenum dividitur sic VI, VI, XLVIII, ut inter gravem nervum ac prope gravem sit quarta pars toni, quae dicitur diesis enarmonios, cum sit tonus XXIIII unitatibus constitutus. Item secundum intervallum inter secundum a gravi nervo ad tertium sit eadem quarta pars toni VI. Reliqui vero, qui restant ex LX, qui totius proportio- nis sunt, inter tertium a gravi nervo atque acutissimum quartum ponuntur XLVIII. Et duae proportiones ad gravem positae, id est VI et VI, unam reli- quam ad acutum locatam, id est XLVIII non vincunt. 16.6| Chromatis vero mollis hanc facit divisionem VIII, VIII, XLIIII, ut VIII atque VIII sint tertiae partes tonorum. Est enim tonus, ut dictum est, XXIIII unitatum et dicitur toni pars tertia diesis chromatis mollis. 16.7| Item chromatis hemiolii diatessaron ita partitur VIIII, VIIII, XLII. Est enim diesis chromatis hemiolii pars octava toni cum quarta, id est ex XXIIII VI cum tribus. 16.8| Item chromatis toniaei talis secundum Aristoxenum partitio est. XII, XII, XXXVI scilicet ut in duobus intervallis singula semitonia constituat, et BOETIJ_TXT2013_01.indd 264 28.11.2013 12:19:59 265 265 Peta knjiga mehko-kromatična, hemiolsko-kromatična in tonično-kromatična, preostali dve pa sta mehko-diatonična in ostro-diatonična. Delitev vseh teh različic je po Aristoksenu takšna: 16.3| Kot je bilo rečeno, se četrtina tona imenuje enharmonska diesis; 232 ker pa Ari- stoksen ne primerja tonov, pač pa meri razlike in razmake med njimi, ima ton (velika sekunda) po njem 12 enot. Četrtina tona, ki je enharmonska diesis, ob - sega 3 enote, sozvočje kvarte, ki je spoj dveh tonov in enega poltona, pa sestoji torej iz dvakrat 12 in 6 enot. Ko hočemo kaj deliti na osmine, se pogosto do- gaja, da ne moremo postopati s celimi števili, pač pa zapademo v delce števil; zato je treba kvarto pojmovati kot sestavljeno iz 60 delov, ton (veliko sekundo) iz 24, polton iz 12, četrtino tona, ki je enharmonska diesis, iz 6, osmino tona pa iz 3 delov. Povezava osmine tona z njegovo četrtino, 6 enot s 3, ki da hemi - olsko-kromatično diesis, znaša 9 enot. 16.4| Na osnovi teh temeljev se je Aristoksenu zdelo, da imajo trije rodovi, enhar - monski, kromatični in diatonični, takšne lastnosti, da se morajo nekateri ime- novati gosti rodovi, drugi pa negosti rodovi. Gosti so tisti, pri katerih spodnji dve razmerji po velikosti ne presežeta razmerja, ki je postavljeno na vrh, ne- gosti pa so tisti rodovi, pri katerih spodnji dve razmerji presegata preostalo razmerje. 233 16.5| Enharmonski in kromatični rod sta torej gosta, diatonični pa je negosti. En- harmonski rod se po Aristoksenu deli takole: 6 enot, 6 enot, 48 enot. Med spodnjo struno in njej bližnjo je tu četrtina tona, ki se imenuje enharmonska diesis – ton sestoji namreč iz 24 enot. Nadalje je drugi razmak od strune, ki sledi najnižji, do tretje strune prav tako četrtina tona, ki je iz 6 enot. Ostalih 48 enot, kolikor jih ostaja od 60 enot, ki zapolnjujejo celotno razmerje kvarte, je postavljeno med tretjo struno, šteto od najnižje, in najvišjo, tj. četrto. Dve spo- dnji razmerji, ki znašata dvakrat 6 enot, pa ne presegata preostalega zgornjega razmerja, ki obsega 48 enot. 16.6| Mehko-kromatični rod deli Aristoksen takole: 8 enot, 8 enot, 44 enot, pri čemer predstavlja vsako število 8 eno tretjino tona. Kot je bilo rečeno, ima ton (velika sekunda) 24 enot, tretjina tona pa se imenuje mehko-kromatična diesis. 16.7| Nadalje deli hemiolsko-kromatično kvarto takole: 9 enot, 9 enot, 42 enot. He- miolsko-kromatična diesis obsega namreč osmino in četrtino tona, kar pomeni od 24 enot 6 enot in še 3 enote. 16.8| Nadalje je po Aristoksenu delitev tonično-kromatičnegta rodu tale: 12 enot, 12 enot, 36 enot. V dva razmaka postavlja dva posamična poltona, kar preostane, BOETIJ_TXT2013_01.indd 265 28.11.2013 12:19:59 266 Boethius, De institutione musica 266 quod est reliquum in ultimo. Atque in his omnibus duae proportiones, quae graviori nervo sunt proximae, reliquam, quae ad acutum posita est, minime magnitudine superant. Sunt enim, ut dictum est, spissorum generum. Spissa quippe genera sunt enarmonium atque chromaticum. 16.9| Diatonica vero divisio ipsa quoque est duplex. Et mollis quidem diatonici divisio est hoc modo XII, XVIII, XXX, ut XII semitonium sit, X et VIII semitonium et quarta pars toni, XXX vero quod reliquum est. Quorum X et VIII atque XII efficiunt XXX nec superantur ab ea parte, quae reliqua est. 16.10| Item diatonici incitati talis partitio est, ut semitonium ac duos habeat inte- gros tonos, idest XII, XXIIII XXIIII, ex quibus XXIIII et XII, id est XXXVI non superantur a reliqua parte, quae ad acutum est, sed potius vincunt. Est igitur secundum Aristoxenum tetrachordorum praedicta partitio, quae su- biecta descriptione monstrabitur. Enarmonii Chromatici mollis Chromatici hemiolii XLVIII XLIIII XLII VI VIII VIIII VI VIII VIIII LX LX LX Chromatici toniaei Diatonici mollis Diatonici incitati XXXVI XXX XXIIII XII XVIII XXIIII XII XII XII LX LX LX XVII. Quomodo Archytas tetrachorda dividat eorumque descriptio 17.1| Archytas vero cuncta ratione constituens non modo sensum aurium in pri- mis consonantiis observare neglexit, verum etiam maxime in tetrachordo- rum divisione rationem secutus est, sed ita, ut neque eam, quam quaerebat, efficaciter expediret, neque sensui proposita ab eo ratio consentiret. 17.2| Ille enim tria genera esse arbitratur, enarmonium, diatonicum, chromati- cum, in quibus eosdem gravissimos statuit atque acutissimos sonos, in om- nibus quidem generibus gravissimos sonos faciens II.XVI, acutissimos vero M.DXII. Inter hos in tribus generibus nervum gravissimo proximum collo- cat eum scilicet, qui sit I.DCCCCXLIIII, ut ad eum II.XVI sesquivicesimam septimam obtineant proportionem. 17.3| Post hunc vero infra acutum nervum, tertium vero a gravissimo, eum col- BOETIJ_TXT2013_01.indd 266 28.11.2013 12:19:59 267 267 Peta knjiga pa v zadnji razmak. V vseh teh tetrakordih razmerji, ki sta bliže spodnji struni, po velikosti nikakor ne presegata preostalo razmerje ob visoki struni. Spadajo namreč, kot je bilo omenjeno, h gostima rodovoma; gosta rodova sta tako en- harmonski in kromatični. 16.9| Tudi diatonična delitev je dvojna, in mehko-diatonična delitev je tale: 12 enot, 18 enot, 30 enot. 12 enot je polton, 18 enot je polton in četrtina tona, 30 enot pa je ostanek. 18 in 12 enot znaša 30 enot, ki tako niso presežene s tistim delom, ki preostane. 16.10| Nadalje je delitev ostro-diatoničnega rodu takšna, da obsega polton in dva cela tona, se pravi 12 enot, 24 enot in 24 enot. 24 in 12 enot, tj. 36 enot ni preseženo s preostalim delom, ki je pri visoki struni, pač pa ga prekaša. Delitev tetrakor - dov, kot jo podaja Aristoksen, je prikazana v sledečem ponazorilu. Enharmonski Mehko-kromatični Hemiolsko-kromatični 48 44 42 6 8 9 6 8 9 60 60 60 Tonično-kromatični Mehko-diatonični Ostro-diatonični 36 30 24 12 18 24 12 12 12 60 60 60 17. Kako deli tetrakorde Arhitas in njihov prikaz 17.1| Arhitas je vse utemeljeval z razumom, in tako ni zanemarjal čuta sluha le pri opazovanju osnovnih konsonanc; še zlasti je sledil razumu pri delitvi tetrakor - dov. Vendar pri tem svojih razumskih razlag niti ni prepričljivo izpeljal tako, kot je želel, niti niso njegove razumske razlage soglašale s čuti. 17.2| Arhitas sodi, da obstojijo trije rodovi: enharmonski, diatonični, kromatični, in v vseh treh postavlja isti najnižji in isti najvišji ton. Kot najnižji ton določa 2016, kot najvišjega pa 1512. Med ta dva tona namešča poleg najnižjega tona v vseh treh rodovih isto struno, in sicer 1944. Ta je do strune 2016 v razmerju 28 proti 27. 17.3| Za tem namesti v enharmonskem rodu pod najvišjo struno kot tretjo od najniž- je struno 1890. Struna 1944 se povezuje s to struno v razmerju 36 proti 35. Ista BOETIJ_TXT2013_01.indd 267 28.11.2013 12:19:59 268 Boethius, De institutione musica 268 XVIII. Quemadmodum Ptolomaeus et Aristoxeni et Archytae tetrachordorum divisionem reprehendat 18.1| Sed utrasque tetrachordorum divisiones Ptolomaeus ita reprehendit. Ar- chytae quidem primo, quoniam secundus ab acutissimo nervus in chromati- co genere, id est I.DCCXCII ita est collocatus, ut nec ad acutissimum I.DXII nec ad proximum graviori I.DCCCCXLIIII ullam superparticularem efficiat proportionem, cum Archytas tantum superparticularibus comparationibus habuerit dignitatem, ut eas etiam in consonantiarum ratione susceperit. Dehinc, quod primam a gravissimo nervo proportionem in chromatico qui- dem maiorem sensus esse deprehendat, quam fecerit Archytas. Hic namque locat in enarmonio genere, qui sit I.DCCCXC, ad quem I.DCCCCXLIIII sesquitricesima quinta proportione iungantur. Idemque I.DCCCXC ad acu- tissimum, id est I.DXII in sesquiquarta proportione sit constitutus. 17.4| Item in diatonico genere tertium quidem a gravissimo nervo, secundum vero ab acutissimo, eum ponit, qui sit I.DCCI, ad quos I.DCCCCXLIIII se- squiseptima proportione coniuncti sint, ipsi autem I.DCCI ad acutissimum I.DXII sesquioctava. 17.5| In chromatico vero genere tertium a gravissimo et secundum ab acutissi- mo eum ponit, qui ad I.DCCI, qui est secundus in diatonico genere eam obtineat proportionem, quam obtinent CCLVI ad CCXLIII. Hic autem est I.DCCXCII qui est secundus ab acutissimo appositus. Habetque proportio- nem secundus ab acutissimo in diatonico genere, id est I.DCCI ad secundum ab acutissimo in chromatico genere, id est I.DCCXCII eam, quam habent CCXLIII ad CCLVI. Eorumque tetrachordorum secundum Archytae sen- tentiam divisorum formam monstrat subiecta descriptio. M.DXII M.DCCC XC M.DCCCCX LIIII II.XVI M.DXII M.DCCI M.DCCCCX LIIII II.XVI M.DXII M.DCCXCII M.DCCCCX LIIII II.XVI Enarmonium Diatonicum Chromaticum BOETIJ_TXT2013_01.indd 268 28.11.2013 12:19:59 269 269 Peta knjiga struna 1890 pa je v razmerju do najvišje, tj. 1512, utemeljena v petčetrtinskem razmerju. 17.4| Nadalje postavlja v diatoničnem rodu kot tretjo od najnižje strune in drugo od najvišje struno 1701. S to je struna 1944 povezana v razmerju 8 proti 7, sama struna 1701 pa je do najvišje 1512 v devetosminskem razmerju. 17.5| V kromatičnem rodu pa postavlja kot tretjo od najnižje strune in drugo od naj- višje struno, ki vzdržuje do strune 1701, druge v diatoničnem rodu, razmerje, kot je 256 do 243. Ta struna, ki je druga za najvišjo, je 1792. Struna 1701, ki je v diatoničnem rodu druga za najvišjo, ima tako do druge za najvišjo v kro- matičnem rodu, ki je 1792, razmerje, kot je 243 do 256. Obliko tetrakordov, razdeljenih po Arhitovem izreku, kaže spodnje ponazorilo. 1512 1890 1944 2016 1512 1701 1944 2016 1512 1792 1944 2016 enharmonski diatonični kromatični 18. Kako Ptolemaj graja tako Aristoksenovo kot Arhitovo deljenje tetrakordov 18.1| Vendar Ptolemaj takole graja obojno deljenje tetrakordov: Arhitu najprej oči - ta, da je v kromatičnem rodu druga struna za najvišjo, tj. 1792, postavljena tako, da ni v superpartikularnem razmerju niti do najvišje 1512 niti do bližnje nižje 1944. Arhitas je namreč tako cenil superpartikularne primerjave, da jih je jemal kot osnovo konsonanc. Nadalje mu očita, da je sluh vajen, da je prvo razmerje po najnižji struni v kromatičnem rodu večje, kot je po Arhitu. Arhitas je v kromatičnem rodu oddaljil namreč drugo struno 1944 od prve 2016 v razmerju 28 proti 27, medtem ko bi po ustaljeni razdelitvi kromatič- BOETIJ_TXT2013_01.indd 269 28.11.2013 12:19:59 270 Boethius, De institutione musica 270 in chromatico genere I.DCCCCXLIIII ad II.XVI disatare fecit sesquivice- simam septimam proportionem, cum secundum consuetam chromatici ge- neris modulationem sesquivicesima prima esse debuerit. Item enarmonii generis ea proportio, quam prima a gravissimo secundum Archytae retinet divisionem, talis est, ut longe minor esse debeat, quam in ceteris generibus invenitur. Hic autem aequam eam ceteris generibus statuit, dum primas a gravi proportiones in tribus generibus sesquivicesimas septimas ponit. 18.2| Aristoxenum vero culpat, quoniam in chromate molli et chromate hemiolio tales posuerit primas secundasque a gravi nervo proportiones, quae a se mini- mo et quantum sensus non possit internoscere distarent. Est quippe proportio prima in chromatis mollis divisione secundum Aristoxenum VIII, at in chro- mate hemiolio VIIII. Sed VIII ad VIIII unitatis differentia distant. Est autem totus tonus XXIIII unitatibus secundum positionem, quorum unitas vicesima quarta est. Primae igitur a gravi inter se proportiones chromatis mollis et chro- matis hemiolii vicesima quarta parte toni distant, quod propter brevitatem dif- ferentiae nullo modo sentit auditus. Idem etiam Aristoxenum reprehendit, cur diatonici generis duas tantum fecerit divisiones, ut in mollem incitatumque divideret, cum possint aliae quoque diatonici generis species inveniri. XVIIII. Quemadmodum Ptolomaeus tetrachordorum divisionem fieri dicat oportere 19.1| Ptolomaeus enim tetrachorda diversa ratione partitur, illud in principio sta- tuens, ut inter duos altrinsecus sonos tales voculae aptentur, quae se su- perparticularibus proportionibus excedant, inaequalibus tamen, quoniam superparticularis proportio non potest in aequa dividi; dehinc ut omnis comparatio, quae fit ad eum nervum, qui est gravissimus in tribus minor sit ceteris, quae acutis vocibus coniunguntur. Sed in his ea, quae spissa nomi- namus, talia esse debent, ut duae proportiones, quae gravitati sunt proximae, minores sint ea proportione, quae relinquitur ad acutum. In non spissis vero ut in diatonicis generibus nusquam una. BOETIJ_TXT2013_01.indd 270 28.11.2013 12:19:59 271 271 Peta knjiga nega rodu moralo biti to razmerje 22 proti 21. Nadalje bi moralo biti v Arhi - tovem enharmonskem rodu razmerje, ki po najnižji struni prvo vzpostavlja deljenje, 234 mnogo manjše kot v drugih rodovih. Arhitas ga namreč določa enakega drugim rodovom, saj postavlja v vseh treh rodovih po najnižji struni prvo razmerje kot 28 proti 27. 18.2| Aristoksena pa obtožuje, da je postavil v mehko-kromatični in hemiolsko- -kromatični različici od najnižje strune navzgor takšni prvi dve razmerji, ki sta si kar najmanj različni, tako malo, da ju čut sluha ne more ločiti. Po Aristoksenu je namreč v mehko-kromatični delitvi prvo razmerje 8, v he- miolsko-kromatični pa 9. A števili 8 in 9 sta si narazen za razliko števila 1. Celotni ton pa sestoji v Aristoksenovi postavitvi iz 24 enot, od katerih je ena 1/24 tona. Prvi dve spodnji razmerji mehko-kromatične različice se od prvih dveh spodnjih razmerij hemiolsko-kromatične različice medsebojno razliku- jeta torej za 1/24 tona, in zaradi majhnosti sluh te razlike nikakor ne more zaznati. Ptolemaj graja Aristoksena tudi zato, ker ima v diatoničnem rodu le dve delitvi, mehko in ostro, saj bi bilo mogoče določiti še druge vrste diato- ničnega rodu. 19. Kaj pravi Ptolemaj o tem, kako mora biti narejena delitev tetrakordov 19.1| Ptolemaj deli tetrakorde po drugačnem postopku. Izhaja iz določila, da se mo- rajo med dva nasproti stoječa tona 235 umeščati takšni toni, ki izhajajo iz super - partikularnih razmerij, 236 čeprav so ta nesomerna, ko jih pač ni mogoče deliti v dve enaki razmerji. Nadalje določa, da mora biti v tetrakordu od treh sosednjih razmerij spodnje najmanjše. V tetrakordih, ki jih imenujemo gosti, morata biti spodnji dve razmerji skupaj manjši od preostalega zgornjega. V negostih tetra- kordih, kot so oni v diatoničnem rodu, pa ne sme biti nobeno razmerje večje od ostalih dveh. 237 BOETIJ_TXT2013_01.indd 271 28.11.2013 12:19:59 BOETIJ_TXT2013_01.indd 272 28.11.2013 12:19:59 273 273 1 Friedlein navaja »quod in senis«, kar bi nedvomno morali biti »quod in sonis«. 2 Misel, da opisanega pojava ni, se po Bowerjevem mnenju ne nanaša nujno na Boetijev čas in prostor, saj je bila stalni topos glasbenoteoretičnega razpravljanja. Bower 1989, str. 3, op. 11. (Popolni navedki v opombah citiranih del so v seznamu literature.) 3 Friedlein navaja »consultum de eo factum«; »consultumque« je prevzeto iz njegovega kritičnega aparata. 4 Namesto sigme je ro. 5 Grško besedilo tega sklepa, kot se je ohranilo preko srednjeveških rokopisov, je zelo nezanesljivo. Tu je prevzeto po Bowerjevi izdaji, Bower 1989, str. 4–5. Pisano je v dorskem dialektu; pri prevajanju je bil v pomoč angleški prevod, ki ga je leta 1821 izdelal škof Thomas Burgess in je objavljen v Bowerjevi izdaji, str. 188. 6 Tauromenium je zdaj Taormina na Siciliji. 7 De consiliis suis. To Ciceronovo delo ni ohranjeno. 8 Latinski stavek ni jasen. Morda se misli, da srce udarja skladno s celotnim stanjem telesa, morda pa je nejasno izražena misel, da je telesno stanje odvisno od duševnega, kar se vidi npr. pri bitju srca, ki je ob vznemirjenju hitrejše. 9 Z nežnimi mani je mišljen pokop mladeniča. 10 Te obljubljene razprave v nadaljevanju ni. 11 Tudi to se v nadaljevanju ne omenja več. 12 Gl. I, 31, IV, 1. Na teh mestih je pojav le omenjen, ne pa natančneje obravnavan. 13 Friedlein navaja »nulla inaequalitate«. Pravilneje se zdi »nulla aequalitate«; tako je tudi prevedeno. 14 Večje število ima zmeraj en del več kot manjše, tj. zmeraj je za 1 večje od manjšega. 15 Boetij ima v mislih svojo razpravo De institutione arithmetica. 16 Boetijeva misel je ta: Če vzamemo za abstrakcijo količin števila, so količine dveh vrst. Prva vrsta so količine, ki jih izraža naraščajoča vrsta naravnih števil, začenši z 1. Ta vrsta je zamejena navzdol (s številom 1), navzgor pa se razteza v neskončnost. Tovrstne količine sestojijo iz posameznih najmanjših enot, ki si jih lahko predstavljamo kot ločene pike (od ene do njihovega neskončnega števila), zato se imenujejo ločljive, »diskretne« količine. Druga vrsta so količine, ki jih izražajo ulomki 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 itd. Ta vrsta je omejena v smeri navzgor (1/1), v smeri navzdol pa sega v neskončnost. Drugače kot pri ločljivih količinah tu ni najmanjše enote (ta bi bila 1/∞); teh količin si torej ni mogoče predstavljati v obliki seštevka določenega števila najmanjših enot, pač pa kot strnjene, »kontinuirane« premice, ki se z deljenjem manjšajo v neskončnost. Množinski ulomki (1/1, 2/1, 3/1 itd.) spadajo v vrsto ločljivih količin, superpartikularni (3/2, 4/3, 5/4 itd.) pa v vrsto strnjenih. Ker pa je vrsta ločljivih količin nekako naravnejša, so tudi množinski ulomki naravnejši in bolj preprosti. Od tod sklep, da so tista sozvočja, ki jih izražajo množinski ulomki, popolnejša od onih, ki jih izražajo superpartikularni. – O ločljivih in strnjenih količinah se razpravlja tudi v II, 3. Opombe BOETIJ_TXT2013_01.indd 273 28.11.2013 12:19:59 274 Boethius, De institutione musica 274 17 Boetij hoče reči, da imajo množinska razmerja lastnosti ločljivih količin. 18 To pomeni: večji imenovalec označuje manjši del celote. 19 To pomeni: v 3/2 je z zgornjim številom označen presežek za 1/2, v 4/3 za 1/3, v 5/4 za 1/4 itd. 20 Tj. zgornje število je zmeraj za 1 večje od spodnjega. 21 To pomeni: zgornje število niti ni mnogokratnik spodnjega, niti ga ne prekaša za en sam del. 22 Gl. V, 7–9, kjer se razpravlja o tem, da je oktava s kvarto (množinsko superpartientno razmerje 8/3) konsonanca. 23 Tako kot za ton na začetku odstavka uporablja Boetij tudi tu izraz »sonus«, ki ima očitno širok pomenski obseg. 24 Tu je uporabljen izraz »produco«, 'proizvajam'. Ali čuti po Boetiju zgolj posredujejo ali pa tudi proizvajajo, je lahko predmet filozofske raziskave. 25 Za interval velike sekunde (zmeraj v razmerju 9 : 8) uporablja Boetij dosledno izraz »tonus«, 'ton'. Ta pomen ima samostalnik ton, ki pomeni sicer zvok določene višine, tudi v slovenščini. Prevodno ubesediljenje največkrat onemogoča natančno ločevanje z uporabo ustreznih terminoloških izrazov; zato je v primerih, ko bi lahko prišlo do dvoma, kaj je mišljeno, ton kot interval v oklepaju dodatno opredeljen kot velika sekunda. 26 Boetij tu izrablja dva pomena besede »regula«, ki pomeni tako 'ravnilo' kot 'pravilo'. Mišljen je monokord, instrument, ki sestoji iz strune, napete nad oštevilčenim ravnilom. Z njim je bilo mogoče meriti različno dolge dele strune in tako ugotavljati razmerja med toni različnih intervalov. 27 Boetij govori sicer le o »glasu«, vendar je očitno, da ima v mislih dva načina človeškega oglašanja: govorjenje in petje. 28 Gl. III, 1–2. 29 Boetij uporablja tu izraz »integrum semitonium«, kar bi moralo pomeniti 'popolni', 'neokrnjeni' ali celo 'točni polton'. Bower meni, da je s tem mišljen tisti polton, ki je sestavina čiste kvarte in o katerem se v nadaljevanju tudi v resnici razpravlja (ki pa ni točna polovica tona). Bower 1989, str. 27, op. 89. Morda uporablja Boetij izraz »integrum« kot metonimijo, ker se s tem poltonom zapolni cela, popolna kvarta. Izraz je še zlasti problematičen zato, ker ga Boetij v nadaljevanju odstavka rabi tudi za točno polovico tona. 30 Najmanjša števila so osnovni ulomki. 31 Friedlein ima na tem mestu »et non integro semitonio«; Bower meni, da je pravilno »et integro semitonio«, kot je podano tudi tu. Gl. Bower 1989, str. 27, op. 91. 32 Ta mali polton je manjši od poltona 18 : 17, ki ga je Boetij ob koncu prejšnjega poglavja določil kot mali polton. – Zadnji del Boetijevega preračunavanja je težko razumljiv. Pomagati si je mogoče s temle premislekom: Če vzamemo število 243 kot spodnji termin tona (v razmerju 9 : 8 ), predstavlja njegov zgornji termin število 273,375 ((243 : 8) x 9 = 273,375). Aritmetična sredina med 243 in 273,375 je 258,1875, tj. število, ki je tako od 243 kot od 273,375 oddaljeno za 15,1875. 15,1875 pa je 1/8 števila 121,5, kar je polovica števila 243. Ker je torej število 256 manjše od aritmetične sredine 258,1875 (ta bi predstavljala polovico tona, katerega spodnji termin bi bil 243), je razmerje 256 : 243 manjše od poltona. 33 Friedlein ima na tem mestu »ducentorum ad CCLXXXVIII«, kar je napaka, ki je tu odpravljena. 34 V tem stavku je majhna nedoslednost: med srednjima strunama je bila velika sekunda (ton). 35 Friedlein ima: »Coroebus Atyis filius«; popravek sledi Bowerjevi opombi, Bower 1989, str. 31, op. 101. 36 Z izjemo enega (»lichanos«) so vsi izrazi za strune grški pridevniki ali števniki ženskega spola, ob katerih si je treba misliti odnosnico struna, ki je tudi v grščini ženskega spola. 37 Kot je razvidno iz nadaljevanja, to sedmerostrunje ni širitev prej opisanega četverostrunja, saj je z njim zapolnjen prostor male septime. – Da bi si bilo lažje predstavljati intervalna BOETIJ_TXT2013_01.indd 274 28.11.2013 12:19:59 275 275 Opombe razmerja med strunami, so v ponazorilih nekaterim strunam dodana današnja imena tonov (kar pa ne implicira njihove dejanske višine). 38 Spojena sta s skupno struno hypate meson. 39 Tu in v nadaljevanju se z ozirom na tonsko višino nižji tetrakord označuje kot zgornji, oni, ki je glede na višino tonov najvišji, pa najnižji, spodnji. Ti izrazi ne izhajajo iz različnega občutka za to, kaj je v glasbi visoko in kaj je nizko, pač pa iz strokovnega izrazja kitarodov: strune, ki so zvenele nižje, so bili dlje, više od igralca, strune, ki so zvenele višje, pa so bile z njegovega stališča niže. 40 Natančni smisel Boetijevih besed ni razviden; verjetno je mišljeno le to, da so v tem rodu trije toni tesno drug ob drugem, gl. nadaljevanje. 41 Ta Boetijeva razlaga temelji na tem, da pomeni grški predlog »diá« med drugim tudi 'skozi', 'preko'. 42 To pomeni preko intervala, ki obsega tri poltone. 43 Tj. interval, ki obsega dve veliki sekundi. 44 Imena strun, kot so navedena v besedilu, se ne skladajo povsem z njihovimi imeni v ponazorilu ob koncu poglavja. Slednja so ustaljena in splošno poznana, medtem ko so nekatera od tistih, ki so navedena v besedilu, nenavadna. 45 Izraz »diatonos« je tu in na ustreznih mestih v nadaljevanju tega poglavja samostalnik ženskega spola, ki označuje tretjo struno tetrakorda (od spodaj navzgor) ne oziraje se na njegov rod. 'Diaton' je torej lahko diatonični, kromatični ali enharmonski. Izraza diatonični in diaton imata sicer isti koren, vendar pa različna pomena. Poimenovanje tretje strune z izrazom »diatonos« je nenavadno in tudi Boetij ga navaja le tu. 46 V izrazu »diatonos hypaton enarmonios« je »hypaton« nujno pridevnik v rodilniku množine k neizrečeni odnosnici strune ('strun hypaton', od koder v prevodu tetrakord hypaton). Podobno je tudi v nadaljevanju tega poglavja. 47 V celotnem sistemu je 28 različnih imen in 28 različnih tonov. Vendar pa isto ime ne pomeni zmeraj istega tona: 1. Iz poglavja 21 je razvidno, da je druga struna tetrakorda v diatoničnem rodu res enaka drugi struni tetrakorda v kromatičnem rodu, vendar pa različna od druge strune enharmonskega tetrakorda. Kljub temu ima druga struna tetrakorda le eno ime. To se sklada z grškim notacijskim sistemom, ki pri drugem tonu tetrakorda ne ločuje rodov. 2. Druga struna diatoničnega roda je po višini enaka tretji struni enharmonskega roda; ker pa imata ti dve struni različni funkciji, nosita tudi različni imeni. 48 Marcus Tullius Cicero, De re publica, 6, 18. 49 Gl. IV, 13. 50 To, da premerja obe števili, pomeni, da je njun največji deljitelj. 51 To mesto ni razumljivo: tripolovinsko sestoji iz treh polovic, štiritretjinsko iz štirih tretjin. Morda Boetij misli reči, da sta polovici osnova za tripolovinsko razmerje in da so tretjine osnova za štiritretjinsko. 52 Platon, Timaeus, 80. 53 O ločljivih in strnjenih količinah gl. I, 6; Boetij ima v mislih računanje s celimi števili in računanje z ulomki. 54 Kvinta vzdržuje polovico v tem smislu, da je v razmerju 3/2 števec večji od imenovalca za njegovo polovico. 55 Prim. I, 6.1. 56 V smislu zgornje razlage (2.1) je treba filozofijo tu razumeti kot prizadevanje za vednost. 57 Trditev, da sodijo številčna razmerja med ločljive količine, ni povsem v skladu s trditvami v I, 6.2, kjer Boetij pravi, da ohranjajo naravo ločljivih količin le množinska razmerja, medtem ko spadajo superpartikularna k strnjenim količinam. Iz tukajšnje razprave izhaja, da sodijo vsa številčna razmerja k ločljivim količinam, le da so ločljive količine postavljene v razmerjih druga nasproti drugi. Kot takšne so torej predmet muzike. BOETIJ_TXT2013_01.indd 275 28.11.2013 12:19:59 276 Boethius, De institutione musica 276 58 Pri superpartientnih razmerjih je števec za 2, 3, 4 itd. večji od imenovalca. 59 Iz besedila je razvidno, da je s »tridelnim pravilom« mišljen tridelni postopek, kot je opisan v nadaljevanju. 60 S številkami: 1 : (1 + 2) : (1 + 2 x 2 + 4) = 1 : 3 : 9. 61 S številkami: 1 : ( 1 + 3) : (1 + 2 x 3 + 9) = 1 : 4 : 16. 62 V obrnjenem trojnem razmerju so števila 9 : 3 : 1. Opisani postopek je tale: 9 : (9 + 3) : (9 + 2 x 3 + 1) = 9 : 12 : 16 → 4 : 3. 63 V obrnjenem četvernem razmerju so števila: 16 : 4 : 1. Opisani postopek je tale: 16 : (16 + 4) : (16 + 2 x 4 + 1) = 16 : 20 : 25 → 5 : 4. 64 Superbipartientna so tista razmerja, pri katerih je števec za 2 večji od imenovalca. Števila 9 : 15 : 25 so v superbipartientnem razmerju (5 : 3). 65 Supertripartientna so razmerja, pri katerih je števec za 3 večji od imenovalca. Mišljen je tale izračun: 16 : 12 : 9 → 16 : (16 + 12) : (16 + 2 x 12 + 9) = 16 : 28 : 49 → 7 : 4. 66 Mišljen je izračun: 4 : 6 : 9 → 4 : (4 + 6) : (4 + 2 x 6 + 9) = 4 : 10 : 25 → 5 : 2 (= 4/2 + 1/2). 67 Mišljen je izračun: 9 : 15 : 25 → 9 : (9 + 15) : (9 + 2 x 15 + 25) = 9 : 24 : 64 → 8 : 3 (= 6/3 + 2/3). 68 Kaj to pomeni, je razloženo v naslednjem stavku: iz mnogokratnikov števila 2 izhajajo tripolovinska razmerja, iz mnogokratnikov števila 3 štiritretjinska itd. 69 Kot je razvidno iz sledečega ponazorila, je število 2 takoj za številom 1 in tako mu sledi le eno tripolovinsko razmerje. Število 4 je, šteto od 1, na drugem mestu in zato mu sledita dve tripolovinski razmerji; število 8 je na tretjem mestu in pod njim so tri tripolovinska razmerja. 70 Friedlein ima na tem mestu »numerus naturalis unitate mulctatus«. Rokopisi, na katerih temelji njegova izdaja, navajajo tudi »multatus«, »privatus« in »multiplicatus«, kar je prevzeto v to izdajo. 71 To pomeni: števili 3 in 4 je treba najprej množiti s 3, število 4 pa še s 4: 3 4 9 12 16 72 Števili 4 in 5 je treba zdaj množiti s 4, število 5 pa še s 5: 4 5 16 20 25 73 Gl. II, 9.4. 74 Gl. IV, 2.2. 75 Iz konteksta je razvidno, da Boetijev izraz »binario multiplicari«, kot ga uporablja v tem poglavju, ne pomeni »množiti s številom 2«, pač pa množiti število s samim seboj, tj. kvadrirati. 76 3/1 x 4/3 = 4. 77 4/1 x 5/4 = 5. 78 Gl. II, 7.2. 79 Gl. II, 5.1. 80 Eubulides in Hippasus sta bila zgodnja pitagorejca. Njuna dela niso ohranjena. Gl. Bower 1989, str. 73–74 (op. 50, 51). 81 Ni jasno, kaj natančno Boetij misli z izrazom »contraria divisio«, »nasprotna delitev«, ki se pojavlja v tem odstavku, pa tudi v II, 20.2. Strogo vzeto Boetij pravi, da nastanejo 3/2 kot »nasprotna delitev« 1/2. Ta formulacija bi lahko implicirala določeni računski postopek, po katerem bi se iz ulomkov 1/2, 1/3, 1/4 itd. izpeljevala superpartikularna razmerja 3/2, 4/3, 5/4 itd. A če je mišljeno to, Boetij vendarle ni natančen: drugi naslednji stavek, ki je sicer skrajno nejasen, nakazuje, da se po »nasprotni delitvi« izpeljuje iz trojnega razmerja BOETIJ_TXT2013_01.indd 276 28.11.2013 12:20:00 277 277 Opombe 1/3 (namesto da bi se iz 1/3 izpeljalo razmerje 4/3, kar bi bilo dosledno). V prevodu se torej »contraria divisio« razumeva le kot nasprotna postavitev; tako tudi v II, 20.2. 82 2/1 x 3/2 = 3/1. 83 Gl. op. 81. 84 3/1 x 4/3 = 4/1. 85 To pojmovanje števila 1 se sklada s pojmovanjem ločljivih in strnjenih količin, gl. I, 6.1. 86 To pomeni: število 3 je trojno do razlike 3 – 2, kar je 1. 87 Gl. II, 18.3. 88 S številkami: 3/2 : 4/ 3 = 9/8; 9/8 x 9/8 = 81/64; 4/3 : 81/64 = 256/243. 89 S številkami: 2/1 : 3/2 = 4/3; 4/3 x 4/3 = 16/9; 16/9 > 3/2. 90 Gl. II, 22.1. 91 Gl. I, 6.3–6.4. 92 Tok tega dokazovanja ni povsem neoporečen, saj ton (velika sekunda) ni kvarti sledeči interval. 93 Strogo vzeto, ta sklep ni nujen, pač pa je komentar nesmiselnosti osnovne postavke (tj. da kvinta, kvarta in velika sekunda ne spadajo k superpartikularnim razmerjem). 94 4/3 x 4/3 x 4/3 = 56/27 < 3. 95 4/3 x 4/3 = 16/9 > 3/2. 96 V latinskem besedilu je prvi stavek odstavka očitno nepopoln ali pokvarjen, vendar je smisel razviden iz nadaljevanja. 97 Gl. V, 9–10. 98 19 x 13 = 247 > 243. – Boetij s tem izračunom dokaže, da je razmerje 256 : 243 večje od razmerja 20 : 19 in manjše od razmerja 19 : 18. 99 Gl. III, 1. Prim. I, 17.2. 100 Mišljeno je kvadriranje. 101 Z izrazom »devetosminska vsota« je mišljeno: 243/8 x 9. 102 Mišljeno je množenje. 103 Gl. II, 28.2. 104 Primerja se zaporedje: 192, 216, 243, 256, 288. 105 »Osmerna števila« so potence števila 8. Šesto osmerno število je tako 8 6 . 106 Strogo vzeto niso osmerokratniki, pač pa števila v devetosminskem razmerju. 107 Vsako naslednje število v levem stolpcu je seštevek obeh števil prejšnje vrstice. 108 S tem je mišljena prejšnja razporeditev potenc števila 8. Terminološke rabe izraza »limes«, 'pot', 'meja', ni bilo mogoče pojasniti. 109 Gl. III, 3, V, 14. 110 9/8 = 17/16 x 18/17; √9/8 = 3/√8. 111 Tj. za dve veliki sekundi 9 : 8 in eno malo sekundo, ki bi bila natančna polovica velike sekunde 9 : 8. 112 17 : 16 = (18 + 1/16) : 17. 113 18 : 17 = (19+1/17) : 18. 114 9 : 8 = (19+1/8) : 17. 115 256/243 < 256,5/243. 116 262144/3 x 4 = 349525+1/3. 117 472392 : 4/3 = 354294. 118 (4768+2/3) : 2 = 2384+1/3; 2384+1/3 + 4768+2/3 = 7153. Strogo vzeto to število samo po sebi še ne izraža kome; izraža jo šele v sklopu sledečih izračunov. – Da bi lahko ostali v območju celih števil, bodo v nadaljevanju vsa števila pomnožena s 3/2. 119 Boetij hoče reči: če primerjamo razmerji, od katerih izraža prvo dve kvarti (4 : 3), drugo pa pet tonov (9 : 8), in sicer s celimi števili, je razlika med obema števcema 7153. Isto razliko BOETIJ_TXT2013_01.indd 277 28.11.2013 12:20:00 278 Boethius, De institutione musica 278 med števcema dobimo, če primerjamo razmerji, od katerih izraža prvo oktavo (2 : 1), drugo pa šest zaporednih tonov (9 : 8). Števila šestih zaporednih tonov je Boetij razvil v II, 31.2. 120 524288 + 7153 = 531441; 262144 x 2 = 524288; 524288 + 7153 = 531441. 121 Strogo vzeto stavek pravi, da je bil v posebnih časteh opisani postopek (tj. kubiranje števila 3); verjetno pa Boetij hoče reči, da je bilo v posebnih časteh število 3. 122 27 : 24 = 9 : 8. 123 Na kaj se nanašajo ti pojmi, iz samega Boetijevega besedila ni razvidno. 124 Tovrstno preračunavanje ni v skladu z utemeljenostjo Boetijevega razpravljanja o intervalih. 125 To velja ob predpostavki, da je B obakrat isti ton. 126 »Preko konsonanc« pomeni: od tona A navzgor kvinto, zatem navzdol kvarto, in od slednje ponovno nazvgor kvinto in navzdol kvarto do G. 127 To sklepanje se sklada z Boetijevimi prejšnji izračuni: kot je bilo prikazano v II, 30.1, je apotomé razmerje 2187 : 2048, mali polton pa 256 : 243. Če se razmerje apotomé pomnoži z razmerjem čiste kvarte 4 : 3, pridemo do razmerja 729 : 512, kar so trije zaporedni toni (9 : 8) 3 . – V nadaljnjih skicah je mali polton označen kot mp, ton kot t, koma kot k, apotomé kot ap. 128 Boetij ni izpeljal le mala poltona na obeh zunanjih straneh kvarte AB (tj. BM in NA), pač pa tudi mala poltona na obeh notranjih straneh (tj. AF in BL), kot je bilo obljubljeno na začetku poglavja. 129 Kvinta sestoji iz treh tonov (tj. treh malih poltonov in treh apotomé) in malega poltona. 130 Boetij pojmovno loči število 1 od ostalih števil. Število 1 zanj ni število, pač pa »unitas«, 'enota', medtem ko so ostala števila »numeri«. V tem smislu Boetij pravi: »Trdim, da D ne bo število, pač pa enota.« 131 Da D premerja število (D + E) pomeni, da je slednje deljivo z D. 132 Prepričljivost te izpeljave iz samega Boetijevega besedila ni razvidna. 133 Boetijev stavek oporeka občni veljavnosti izjave (pripisane tu Arhitu), da pri množinskih razmerjih razlika med termini ni 1; Boetij ima verjetno v mislih razmerje 2 : 1, ki je množinsko in pri katerem je razlika med obema terminoma prav 1. 134 Mišljeni so primeri kvadratov: 4/1 = 2/1 x 2/1. 135 Friedlein ima tu »aritheticos numeros«; po Bowerju 1989, str. 105, op. 24, je pravilno »arithmeticos nostros«, kot je popravljeno v pričujoči izdaji. 136 Ta stavek je preveden skladno s smislom celotnega odstavka, ki opozarja, da je razlika med obema terminoma 1 tudi pri najmanjšem množinskem razmerju (2 : 1). Friedleinova redakcija nakazuje sicer drugi smisel: »Dodati je treba, da je tako, kot meni Arhitas, le pri superpartikularnih razmerjih; splošne veljave nima.« Če se mesto razume tako, se nanaša na v prejšnjem odstavku prikazano zakonitost superpartikularnih razmerij, in sicer, da jih ni mogoče deliti v enaka razmerja (tj. da nimajo kvadratnega korena). 137 Gl. II, 31. 138 V razmerju 75/74 se štejejo štiriinsedemdesetine, v razmerju 74/73 pa triinsedemdesetine. 139 Prim. II, 9.3. 140 Boetij uporablja tu druge črkovne oznake kot v predhodnem odstavku; A predstavlja šest tonov (velikih sekund), B oktavo, C pa je razlika med njima. 141 Boetij bo število C množil s 75 in dobljeni zmnožek primerjal s številom A. 142 Vse to se s številkami prikaže takole: A/B = koma; A – B = C; C x 75 = D; C x 74 = F; D/F = 75/74; D = A + E; F = B + E; A/B > D/F; koma > 75/74. 143 Prim. II, 9.2. 144 To pomeni: število C naj bo pomnoženo z 20 in zmnožek naj se primerja s številom A. 145 Ni videti, da bi bil ta stavek nujni del napovedanega dokazovanja, da sta P in C nujno isto število. 146 Boetij je obrazložil, da je ton C oktava tona A, ni pa prikazal, zakaj je P kot ton, ki je za BOETIJ_TXT2013_01.indd 278 28.11.2013 12:20:00 279 279 Opombe dva tona (veliki sekundi) nižji od G, prav tako oktava tona A. Ta del obrazložitve je mogoče rekonstruirati iz njegovega opisa vzpostavitve v skici prikazanih razmerij. 147 Boetij tu postopa z intervali kot s količinami, ki se seštevajo in odštevajo (mali polton je širši od treh in ožji od štirih kom), kar ni v skladu z njegovim siceršnjim obravnavanjem intervalov kot razmerij. Skladno s svojimi izhodišči bi moral na neki način dokazati, da je razmerje malega poltona večje od razmerja kome na tretjo potenco in manjše od razmerja kome na četrto potenco: (531441/524288) 3 < 256/243 < (531441/524288) 4 . Tudi v naslednjih poglavjih tako postopa. 148 Ta sklep sam po sebi ni nujen in ne bi veljal, če bi bila apotomé bliže številu K, mali polton pa bliže L; vendar sta razliki malega poltona in apotomé bliže obema večjima zmnožkoma. 149 Kot je povedano tudi v nadaljevanju, je E razlika med D in C, se pravi med terminoma, ki predstavljata 6 tonov (velikih sekund) in oktavo. 150 F je razlika med D in B. 151 »Monochordum regulare« je monokord, opremljen z ravnilom, tj. številčnico, ki je omogočala merjenje strune in določevanje intervalov. Boetij uporablja izraz metonimično, saj ima v mislih vzpostavitev tonskega sistema. 152 Besedilo sicer izrecno pravi, naj se množi z 2 (»binario multiplicari«), a kar je opisano v nadaljevanju, je kvadriranje (na drugo potenco). 153 Tudi tu je iz nadaljevanja razvidno, da je mišljeno kvadriranje. 154 To pomeni, da je izhodiščno razmerje BC množinsko. 155 Mišljeno je geometrično zaporedje, kjer so med števili enaka razmerja. 156 Friedlein ima tu »si primum ultimus fuerit mensus«; pravilneje se zdi »si primus ulti - mum ...«; besedilo je prevedeno v tem smislu. 157 Mišljen je kvadrat razmerja BC. 158 S podvojitvijo je mišljeno kvadriranje, polovica pa je kvadratni koren. 159 Išče se število, ki bi dano superpartikularno razmerje delilo na dve enaki razmerji, tj. išče se kvadratni koren superpartikularnega razmerja. 160 Tudi tu je v resnici mišljeno kvadriranje. 161 Mišljeno je kvadriranje. 162 Ponovno je iz nadaljevanja razvidno, da je mišljeno kvadriranje. 163 To sklepanje je obrnitev sklepanja v 2.1. 164 Tj. v zgornji vrsti so znaki grške vokalne notacije, v spodnji pa istopomenski znaki grške instrumentalne notacije. 165 V Boetijevem besedilu in Friedleinovi izdaji so v odstavku 3.3 poleg opisov podani tudi sami znaki. Tu in v vzporednem latinskem besedilu so izpuščeni, prisotni pa so v tabeli naslednjega poglavja, kot tudi v poglavju IV, 16. Friedleinova izdaja glede notnih znakov ni zanesljiva; zato so v pričujoči izdaji in prevodu (tako na tem kot tudi na vseh nadaljnjih mestih) podani standardno veljavni znaki grške notacije, kot jih navaja Pöhlmann 1970, str. 144, in ti so razporejeni tako, kot v Bowerjevem prevodu, Bower 1989, str. 155 in 156. Za znake grške notacije je bil uporabljen spletno dostopni font aegean. V tem fontu so nekateri znaki grafično nekoliko drugačni kot pri Pöhlmannu, nekateri pa so v drugačnih pozicijah. (V predzadnji oktavi so hi, psi in omega ob g' pri Pöhlmannu obrnjeni navzdol, v omenjenem fontu pa ležijo; Pöhlmannova ležeča iota pri c je v fontu poševna.) Ker so v pričujoči izdaji prikazani standardni znaki, se Boetijevi opisi v 3.3 v nekaj primerih ne ujemajo z ustreznimi oblikami v sledeči tabeli. Grška notacija ne razlikuje med enharmonskimi in kromatičnimi toni, v Boetijevem opisu (v odstavku 3.3 in v sledeči tabeli) pa so znaki za kromatične tone drugačni od onih za enharmonske (v nadaljevanju Boetij navaja le še znake diatoničnega rodu). V pričujoči izdaji je razlika med enharmonskimi in kromatičnimi znaki nakazana tako, da imajo slednji dodatno črtico (ne glede na Boetijeve opise). Pri reševanju problemov v zvezi z znaki grške notacije je sodeloval Klemen Grabnar, BOETIJ_TXT2013_01.indd 279 28.11.2013 12:20:00 280 Boethius, De institutione musica 280 asistent na Muzikološkem inštitutu ZRC SAZU. – Boetij podaja v 3.3 z latinskimi črkami zapisana grška imena tonov, ki jih za tem prevaja v latinščino. Slovnično so grška imena tonov, kot so podana tu, sestavljena iz imena za struno in imena za tetrakord. Imena strun so pridevniki ali števniki ženskega spola – misliti si je treba izpadlo odnosnico »struna«. Imena tetrakordov so pridevniki in deležniki v rodilniku ženskega spola – misliti si je treba izpadlo odnosnico »strun«; »hypate hypaton« je torej 'prva (struna) prvih (strun)', če pristanemo na Boetijev prevod, po katerem je »hypate« 'prva'. Tudi oznake za rod, ki jim pripadajo strune (»enarmonios«, »chromatice«, »diatonos«) so pridevniki ž. spola ('enharmonska', 'kromatična', 'diatonična'). – Izrazi, s katerimi so opisani notacijski znaki (tj. grške črke), so razumljeni in prevajani takole: iacens: ležeč; supinus: obrnjen navzdol; conversus: obrnjen; inversus: zasukan; non integer: nepopoln; deductus: popačen; rectus: prav postavljen. 166 »Digama«, 'dvojna gama', je bila nekdanja črka grške abecede. 167 Ta opis (tj. »obrnjena lambda s črtico«) se v bistvu ne loči od opisa znaka za predhodni ton (tj. »ležeča obrnjena lambda, ki ima sredi črtico«) in Friedlein v resnici podaja obakrat isti znak. Po Bowerjevem mnenju je to mesto Boetijevega traktata napačno; gl. Bower 1989, str. 125, op. 27. V Bowerjevi izdaji je razlika med obema znakoma ta, da obrnjena ležeča lambda prvič nima črtice. 168 Nekateri toni oz. strune so v 3. poglavju poimenovane drugače kot v sledeči tabeli, vendar pa v pojmovnem smislu med variantnimi poimenovanji ni razlik. 169 Gl. IV, 4. 170 Prvi stavek naslednjega poglavja nakazuje, da naj bi bili v 5. poglavju izpeljani vsi toni diatoničnega rodu; temu ni tako, saj manjkajo vse strune parhypate in trite, v tetrakordu synemmenon pa še struna paranete. Bower domneva, da je zadnji del 5. poglavja, v katerem naj bi bili izpeljani ti toni, izgubljen. Gl. Bower 1989, str 130, op. 46. 171 V naslovu tega poglavja kot tudi v naslovu poglavij 8 in 9, ki obravnavata tetrakorda diezeugmenon in synemmenon, označuje Boetij strune vsakokratnega tetrakorda z izrazom »netae«; to je latinska množina grškega pridevnika »néte«, ki označuje le najvišjo struno v omenjenih treh tetrakordih. Raba je najbrž metonimična: z izrazom za najvišjo struno so poimenovane vse strune skupaj. 172 Boetijeva ubeseditev je ohlapna: struna naj bi bila po svojem »načinu« od A do LL. Če je točka LL dve oktavi višja od A, je točka LL na 3/4 celotne strune, in ne na njenem koncu. Tudi v nadaljevanju si je treba z Boetijevimi črkami misliti dele strune od točke, označene s črko, do konca, ki leži, kot omenjeno, onstran točke LL. 173 Tj. dve veliki sekundi. 174 Tj. ista po svoji realni višini (izraženi z ustreznim številom). 175 S tem bo določen za kvarto nižji ton od LL. 176 3072 : 2304 = 4 : 3. 177 Tako dobljeni mali polton je v resnici v razmerju 256/243. (3072 : 2916 = 256 : 243) 178 Strogo vzeto to niso tetrakordi, pač pa trije različni rodovi istega tetrakorda. 179 V Friedleinovi izdaji ima T nad sabo mali o. 180 V Friedleinovi izdaji je ta znak T, ki ima nad sabo mali s. 181 Friedlein podaja znak, ki je podoben mali grški delti. 182 Strogo vzeto je ravno obratno: mese je v tripolovinskem razmerju do nete diezeugmenon, slednja pa je do mese v dvotretjinskem razmerju. Tudi v nadaljevanju so tovrstne zamenjave. 183 Sledeče ponazorilo, kot si ga je zamislil Boetij, vključuje oba tetrakorda; tudi v nadaljnjih ponazorilih je prikaz vsakega na novo opisanega tetrakorda priključen prejšnjim, tako da so ponazorila zmeraj obsežnejša. V pričujoči izdaji je vselej prikazan le opisani tetrakord, opisu zadnjega tetrakorda pa je dodan shematski in poenostavljeni prikaz celotnega sistema (str. 221). BOETIJ_TXT2013_01.indd 280 28.11.2013 12:20:00 281 281 Opombe 184 Gl. op. 183. 185 Gl. op. 183. 186 Boetij uporablja na tem mestu izraz »vox«, 'glas', ki se nanaša tako na višino tonov znotraj različnih rodov tetrakorda kot na njihove funkcije. 187 »Premični toni« so funkcije tistih tonov, ki se pojavljajo le v enem rodu: ton, ki je v diatoničnem rodu paranete oz. lichanos (se pravi drugi v tetrakordu od zgoraj navzdol), se ne pojavi v nobenem drugem rodu; enako je s kromatično paranete oz. lichanos in z enharmonsko trite oz. parhypate. 188 Mišljeni sta različni funkciji tona, ki je skupen vsem trem rodovom, vendar ima v enharmonskem rodu drugačno funkcijo kot v diatoničnem in kromatičnem: v diatoničnem in kromatičnem rodu je tretji ton tetrakorda (od zgoraj navzdol) isti tako po funkciji kot po višini; prav ta ton nastopa tudi v enharmonskem rodu, vendar v drugi funkciji (je drugi od zgoraj navzdol). Boetij izpostavlja oba vidika; v tem odstavku poudarja, da je funkcija trite oz. parhypate zasedena z dvema različnima tonoma (v enharmonskem rodu je v tej funkciji drugi ton kot v diatoničnem in kromatičnem); v naslednjem odstavku pa se usmerja na dejstvo, da se ton, ki je v diatoničnem in kromatičnem rodu trite oz. parhypate, v enharmonskem rodu pojavlja kot paranete oz. lichanos. 189 Strogo vzeto se ne menja ton, pač pa njegova funkcija: ton, ki je v diatoničnem in kromatičnem genusu trite, je v enharmonskem paranete. 190 Zvrsti, »species«, so različne razporeditve tonov in poltonov znotraj danega intervala: oktave, kvinte, kvarte. Zvrsti kvarte (ali kvartne zvrsti) se tako ločijo z ozirom na to, med katerima dvema od štirih tonov je polton. 191 Srednjeveški kopisti očitno niso razumeli Boetijevega argumenta in zato navaja tudi Friedleinova izdaja napačne črke, ki so tu popravljene. Gl. Bower 1989, str. 149, op. 72. Kvartne zvrsti so nujno različne, če so njihovi začetni toni znotraj izhodiščne kvarte. 192 Tu je velika napaka: tona EA obsegata interval zmanjšane kvinte. Boetij je očitno hotel, da so kvintne zvrsti razporejene tako, da se v vsaki naslednji kvinti polton premakne za eno stopnjo navzgor, vendar ga je to pripeljalo do napake. 193 Tista, pri kateri je polton spodaj. – V tem in nadaljnjih odstavkih se Boetij ukvarja z vprašanjem, katere od kvartnih, kvintnih in oktavnih zvrsti obstojijo znotraj stalnih, nepremičnih tonov sistema, kot jih je definiral v predhodnem poglavju. 194 V odstavku 14.3 je kot prva kvartna zvrst prikazana tista, ki ima polton spodaj (GD). 195 Ponovno napaka: EH je zvečana kvarta. 196 To, da je prva, se nanaša na prikaz v 14.4, kjer je med kvintnimi zvrstmi prva tista, ki ima polton spodaj. 197 Gl. 14.4. 198 Na tem mestu šteje Boetij oktavne zvrsti po obratnem redu kot v 14.5; tista, ki je tam prva, je tu sedma in obratno. 199 V skrajnem desnem stolpcu so zaradi boljše predstave navedena sodobna imena tonov, s katerimi bi bilo mogoče določiti intervalna razmerja sistema v diatoničnem rodu. (To seveda ne pomeni, da je bil Boetijev sistem zamišljen na realni višini navedenih tonov.) 200 Kot je razvidno iz nadaljevanja, je s tem mišljeno, da se sistemi prestavljajo više ali niže po tistem razporedu tonov (velikih sekund) in poltonov, ki obstoji v samem dvooktavnem sistemu, znotraj katerega so različne oktavne zvrsti. 201 V tabeli so zaradi boljše orientacije ob imenih modusov današnja imena njihovih najnižjih tonov (proslambanomenos), in sicer skladno s tem, kako se običajno razumevajo in prevajajo znaki grške notacije. Grški modusi pojmovno sicer niso molske lestvice, a v različici s tetrakordom diezeugmenon si jih praktično lahko predstavljamo kot dvooktavne molske lestvice (hipodorski modus kot dvooktavni f-mol, hipofrigijski kot dvooktavni g-mol itd.). 202 Gl. 17.6. BOETIJ_TXT2013_01.indd 281 28.11.2013 12:20:00 282 Boethius, De institutione musica 282 203 Izraz »srednja struna« pomeni tu mese. Boetij primerja štiri postavitve celotnega sistema (moduse) v okviru kvarte. 204 Niti iz ponazorila niti iz sledečega besedila niso razvidna razmerja med toni, tj. kje so toni (velike sekunde) in kje poltoni. Kljub temu je razvidno, da predstavljajo črke celotni dvooktavni sistem s struno proslambanomenos A. 205 V 14.5, kjer je le 14 tonov (brez proslambanomenos), šteje Boetij oktavne zvrsti od zgoraj navzdol: prva je OG, sedma AH. 206 Tj. oktava s kvinto. 207 Primerjata se dve pripravi, od katerih je delo s prvo prepuščeno približni presoji, medtem ko je druga takšna, da omogoča skrajno točnost. Kaj natančno je »asciculum«, 'sekirica', ni bilo mogoče dognati. 208 Boetij ima v mislih oštevilčeni monokord, ki omogoča natančno merjenje intervalov in je zato primerljiv s šestilom, omenjenim v prejšnjem poglavju. Kot natančnemu orodju pripada monokordu druga od dveh vrst presojanja, predstavljenih na koncu prejšnjega poglavja. Vendar pa se nadaljevanje poglavja usmerja k vprašanju, ki je bolj kot z monokordom povezano z vprašanjem razmerja med čutnim in razumskim. 209 Čeprav govori o tonih, ima Boetij v mislih njihove povezave, tj. intervale. Dva »istozvočna tona« sta unisono. 210 Boetij ima v mislih glissando. Z »razliko« je tu mišljen vmesni prostor med dvema sosednjima tonoma, ki ga pri glissandu ni. 211 Strogo razumljeno pravi besedilo, da se razlika razteza od nižine do višine, tako da se dozdeva strnjena. 212 Boetij pravi, da je med dvema različnima tonoma »tišina«, kar pomeni izpust vmesnih tonov. 213 Boetij ni natančen pri razlikovanju pomenov besed »sonus«, 'ton', in »vox«, 'glas'. Kar imenuje v 5.1 »sonus«, 'ton', je tu »vox«, glas. 214 Tj. glissando. 215 Tudi tu so mišljene zveze med toni, tj. intervali. »Melodični toni« so tako intervali, preko katerih se lahko giblje melodija. 216 Gl. II, 4.4, tudi I, 4.6. 217 Gl. II, 21–25, IV, 2.6. 218 Kot v poglavju V, 5 in V, 6 se tudi v poglavjih V, 11 in V, 12, uporabljata izraza »vox«, 'glas' in »sonus«, 'ton'. Logično moramo v V, 11 »vox« razumeti kot 'ton', vendar govori Boetij o intervalih (ki jih sestavljajo toni). 219 Melodični toni so v melodiji zaporedno nastopajoči intervali (oz. toni teh intervalov), ki so predvsem sekunde, terce. Strogo vzeto Boetij pravi, da se melodični toni spajajo v konsonance, a logično so to intervali, ki jih tvorijo melodični toni. Boetij ima v mislih dejstvo, da so konsonance (oktava, kvinta, kvarta) sestavljene iz manjših intervalov, tonov in poltonov (velikih in malih sekund), tj. njegovih melodičnih tonov. Gl. tudi 11.4 in 12.1. 220 Disonančni toni so disonančni intervali oz. toni disonančnih intervalov. Disonančni toni so neprijetni kot taki (tj. kot sestavni toni disonanc). 221 Nemelodični toni so različni mikrointervali (oz. njihovi toni), ki nastopajo v tetrakordih, predstavljenih v poglavjih V, 16 in 17. Ko jih Boetij v teh dveh poglavjih navaja, ne pove, da so to nemelodični toni. Medtem ko se melodični intervali (sekunde, terce) spajajo v konsonance (kvarta, kvinta, oktava), se s spajanjem nemelodičnih intevalov vsaj na neposredni način ne da priti do konsonanc. 222 Boetij se tu izogne odnosnici: »Melodični so tisti, ki delijo …« O pomenu tega gl. op. 219. 223 Boetij se v naslovu tega poglavja kot tudi v samem besedilu izogne odnosnici (»vox« ali »sonus«) in uporablja le še pridevnike (enakozvočni, konsonančni itd.). 224 Boetij se izogne odnosnici, a moški spol pridevnika melodični nakazuje, da je odnosnica BOETIJ_TXT2013_01.indd 282 28.11.2013 12:20:00 283 283 Opombe »sonus« (in ne »vox«, 'glas'), ki se kasneje ob pridevniku melodični tudi dejansko pojavi. Še zmeraj se govori o intervalih in toni so tu sestavine v melodiji zaporedno nastopajočih intervalov. 225 Boetij pravi, da se melodični (kot omenjeno, uporabi izraz melodični tu brez odnosnice) lahko stavljajo med (ali v) konsonance. Glede na sobesedilo to ne more pomeniti drugega, kot da so sozvočja zaporednih tonov melodij (tj. sekunde, terce) sestavni deli konsonanc (kvarte, kvinte, oktave). 226 Gl. IV, 18. 227 Boetij misli na to, da se kvinta loči od kvarte za en ton (veliko sekundo). Za melodične intervale (kot jih pojmuje) pogosto navaja ta primer. 228 To pomeni: Aristoksen se ne usmerja v interval kot razmerje. Interval razume kot razpon, razmak med dvema tonoma. Tako razumljene razmake ima za količine, ki jih sešteva, odšteva in določa razlike med njimi, tudi »sredinske«, kar pomeni, da jih razpolavlja na dva enaka dela. 229 Boetij sicer zavrača Aristoksenovo seštevanje in odštevanje intervalov, vendar tudi sam zapada tej zmoti: kromatične in enharmonične tone tetrakordov določa prav po tem spornem postopku. Gl. IV, 6.6, 6.7 in ustrezna mesta v nadaljevanju. 230 Gl. II, 31.1, III, 4. 231 Grško: »dià tessáron«, 'skozi štiri'. 232 Gl. I, 21.4, IV. 6.6. 233 Boetij tu uporablja pojem »razmerje«, kar se ne sklada s tistim, kar je pravkar povedal o Aristoksenu, da namreč ne primerja tonov (gl. V, 16.3). Pravilno bi bilo treba reči, da vsota enot spodnjih dveh delov tetrakorda ne preseže števila enot v zgornjem. Tudi v nadaljevanju je v istem smislu še večkrat uporabljena beseda razmerje. 234 Friedlein ima »quam prima ... retinet divisionem«; zdi se, da bi bilo pravilneje »quae prima ... retinet divisionem«. 235 Mišljena sta zunanja tona tetrakorda v intervalu kvarte. 236 To pomeni, da morajo biti razmerja med sosednjimi strunami v tetrakordu superpartikularna. 237 Zadnji del Boetijevega traktata manjka in tudi zadnji stavek ni popoln. U. Pizzani ga je rekonstruiral takole: »In non spissis vero ut in diatonicis generibus nusquam una proportio reliquis duabus maior aptari potest.« Temu sledi prevod. Gl. Marzi 1990, str. 73. BOETIJ_TXT2013_01.indd 283 28.11.2013 12:20:00 BOETIJ_TXT2013_01.indd 284 28.11.2013 12:20:00 285 Anicius Manlius Severinus Boethius in njegovo življensko okolje Več kot o Boetiju samem govorijo razpravljalci o njegovem življenju o političnih, cerkvenih in kulturnih razmerah njegovega časa ali pa o njego- vih bolje poznanih sodobnikih. Vedenje o Boetijevem življenju je res pičlo. Katerega leta natančno se je rodil, ni znano. 1 O času njegovega rojstva je mogoče zgolj okvirno sklepati na osnovi nekaterih drugih dejstev: Ko je bil leta 525 ali 526 usmrčen, ni bil star; njegova dela so bila znana že pred letom 507; ko sta bila njegova sinova leta 522 konzula, sta bila še zelo mlada. Z ozirom na ta dejstva je bil zelo verjetno rojen kmalu po letu 480. Tudi kraja njegovega rojstva se ne da z gotovostjo določiti. Možno je, da je bil to Rim. Boetijeva družina je pripadala najvišjemu družbenemu sloju, sloju rimskih senatorjev. Njegov oče je bil med drugim leta 487 konzul. Boetijevo življenje je potekalo v značilnih zgodovinskih in kulturnih razmerah. Nekaj let pred njegovim rojstvom je v Italiji prevzel oblast barbar Odoakar (476); s tem je bilo konec zahodne polovice Rimskega cesarstva in po konvencionalno določeni meji je to začetek srednjega veka. Vendar pa to dejstvo ni prineslo nenadnega preustroja družbe. Rimski senat je še nadalje obstajal in senatorji so še naprej obdržali svoj položaj in sodelovali z novim vladarjem. Tako je bilo tudi po letu 493, ko je po zmagi nad Odoakarjem prišel kot kralj Italije na oblast Vzhodni Got Teodorik, ki je imel svoj dvor v Ravenni, tako kot že prej tudi rimski cesarji. Na ključna mesta v državni upravi, vključno s konzulatom, so prihajali predvsem ljudje iz senatorskih vrst. Konzulat, vsaj uradno najvišja državna funkcija, je obstajal tudi pod barbarskimi vladarji in na vsakem državnem dokumentu je bilo napisano, v letu katerih dveh konzulov je bil izdan. Latinsko prebivalstvo Italije je bilo v Boetijevem času krščansko, vključ- 1 Sledeči prikaz Boetijevih življenskih okoliščin temelji na dveh razpravah: Chadwick 1981, str. 1–68 in Matthews 1981. Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe BOETIJ_TXT2013_01.indd 285 28.11.2013 12:20:00 286 Boethius, De institutione musica no z najvišjimi sloji, in tudi Boetijeva družina je bila krščanska. Rimski škof je – z izjemo obdobja Akacijevega razkola, imenovanega tako po bi- zantinskem patriarhu Akaciju (gl. nadaljevanje) – veljal za prvega v cerkvi, kar pomeni, da je Rim kljub propadu cesarstva še nadalje obdržal pomen svetovnega središča. Stara uradna rimska religija v družbi skorajda ni bila več prisotna. Pač pa se je ohranjal spomin na veliko rimsko preteklost in antično kulturo. Mnogi rimski aristokrati so se posvečali študiju rimske zgo - dovine in antičnih grških in latinskih tekstov, literarnih, znanstvenih in fi- lozofskih. V nasprotju s tem je bil kralj Teodorik po narodnosti Zahodni Got in po veroizpovedi arijanec. Šolal se je v Bizancu in govoreč sicer gotščino je obvladal grščino najbrž bolje kot latinščino. Zdi se, da si je prizadeval, da bi Goti v Italiji obdržali svojo narodnostno in versko identiteto, vendar to nikakor ni pomenilo sovražnosti nasproti latinsko govorečim (nearijanskim) kristjanom. Ko je Teodorik leta 500 obiskal Rim (v zvezi s sporom glede no- vega papeža, gl. nadaljevanje), je v cerkvi sv. Petra počastil apostolov grob; njegova mati Ereliviva je prestopila k rimskemu krščanstvu in si nadela ime Evzebija. Zdi se, da so Rimljani oz. latinsko govoreči (nearijanski) krščanski prebivalci Italije videli v njem človeka, ki ne le dopušča, pač pa celo ohranja njihovo identiteto. Teodorikovo sicer samostojno kraljestvo je živelo v senci politične moči vzhodne polovice Rimskega cesarstva, ki so jo predstavljali bizantinski cesarji (Zenon, Anastazij I., Justin). Ti niso bili ravnodušni do dogajanja v Italiji in prizadevali so si, da bi tudi nekdanja zahodna polovica cesarstva prešla pod njihovo oblast. V tem smislu so se preko bizantinskih poslancev v Ravenni in Teodorikovih poslancev v Bizancu pletla politična dogovarjanja med italijanskim kraljestvom in vzhodnim delom Rimskega cesarstva. Boetijev oče je umrl, ko je bil Boetij še deček. Po očetovi smrti je prišel v družino vplivnega Symmachusa (Quintus Aurelius Memmius Symma chus), ki je tudi pripadal sloju krščanskih senatorjev in bil leta 485 konzul. Sym- machus ni bil le človek velikega družbenega vpliva, pač pa tudi intelektu- alec. Sam je napisal sicer izgubljeno zgodovino Rima v sedmih knjigah in gramatik Priscian mu je posvetil tri svoja dela. Mladi Boetij se je tako znašel v okolju z močnim političnim vplivom in visoko kulturo. Tu je imel najboljše možnosti za intelektualni razvoj in družbeni uspeh. Sam je zmeraj globoko spoštoval Symmachusa in ko je odrasel, se je poročil z eno od njegovih hče- ra, Rusticiano. Symmachusu je posvetil tudi svojo knjigo o aritmetiki. Za mladega rimskega intelektualca Boetijevega časa ne bi bilo nenava- BOETIJ_TXT2013_01.indd 286 28.11.2013 12:20:00 287 287 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe dno, da bi odšel na študij v Atene, kjer je še zmeraj obstajala Platonova Akademija, ali pa v Aleksandrijo, mesti, kjer se je razvijala novoplatonistič - na filozofija. Ne da se dokazati, da bi bil Boetij kdaj koli bodisi v Atenah ali pa v Aleksandriji; vsekakor pa je res, da je kot intelektualec sledil prav tistemu, kar se je študiralo na omenjenih šolah: aritmetika po Nikomahu iz Gerase, glasba po istem Nikomahu in Klavdiju Ptolemaju, geometrija po Ev- klidu, astronomija po Ptolemaju, Aristotelov Organon in Platonova teološko obarvana metafizika. Čeprav se ne da podpreti z izrecnimi dokazi, je zelo verjetno, da je Boetijev spis o glasbi nastal kmalu po letu 500, v času, ko se je njegov avtor kot intelektualec še oblikoval. Boetij si je že zelo mlad pridobil ugled in pritegnil Teodorikovo pozor- nost. Preko pisma, ki ga je spisal Aurelius Cassiodorus, v tistem času visok uradnik na Teodorikovem dvoru, ga je Teodorik prosil, da bi za burgundske - ga kralja izdelal sončno uro in vodni časomer (za dni brez sonca). Izročitev teh predmetov burgundskemu kralju, ki je bil Teodorikov svak, je imela ne- dvomno določeni politični vidik. (Danes se dvomi, da bi bil Boetij tehnično sposoben izdelovati takšne naprave.) Podobno je bil Boetij naprošen, da za frankovskega vladarja Klodvika poišče glasbenika. In ker je Boetij slovel kot aritmetik, ga je Teodorik naprosil, da izračuna vrednostno razmerje med dvema vrstama denarja; kralj je namreč izplačal svoje dvorne vojake v de- narju (valuti), za katerega so ti menili, da njegova vrednost ni pravilno pre- računana. Kot zunanje priznanje je Boetij leta 507 dobil naziv »patricius«. Leta 510 je bil okoli tridesetletni Boetij izbran za konzula, kar pomeni, da je bil nedvomno v samem družbenem vrhu. Kot konzul je bil gotovo po- znan tudi na bizantinskem dvoru. Sam poroča, 2 kako je v tem letu posegal v odločitve in med drugim predlagal, da se spričo lakote hrana ne prodaja pod ceno, ker bi to uničilo kmete. Teodorik je bil očaran nad Boetijevim argu- mentiranjem in odločil je skladno z njegovim predlogom. Čas Boetijeve mladosti je bil zaznamovan s ti. Akacijevim razkolom (484–519) med rimsko cerkvijo, tj. cerkvijo v nekdanjem zahodnem delu ce- sarstva, in cerkvami v njegovem vzhodnem delu. Teološko je bil vzrok spora različno pojmovanje Kristusove narave: ali je ta le ena, kot so trdili monofi- zitisti, ali pa so glede tega vprašanja veljavni pogledi kalcedonskega koncila iz leta 451 in pismo papeža Leona I. iz leta 449, po katerem ima Kristus dve naravi, združeni v eni osebi. Spor je imel tudi politično razsežnost, ki se je izrazila v vprašanju primata rimskega škofa (papeža). V Rimu so se raz- 2 De consolatione philosophiae I, 4. BOETIJ_TXT2013_01.indd 287 28.11.2013 12:20:00 288 Boethius, De institutione musica 288 mere zaostrile leta 498, ko sta bila po smrti papeža Anastazija II. izvoljena dva papeža: probizantinski Lovrenc (Laurentius) in antibizantinski Simah (Symmachus). Nasprotovanja med pristaši enega in drugega so v naslednjih letih večkrat privedla do uličnih nemirov. Zdi se, da razlog za nemire niso bila le razhajanja glede odnosa papeža do bizantinskega patriarha; v njih so se odražali nasprotujoči si interesi rimskih senatorjev, rimske duhovščine, različna pojmovanja kompetenc pri odločanju o cerkvenih zadevah, pomi- sleki o Simahovem zasebnem življenju, zlasti pa Teodorikova politika do Bizanca. Spor se je končal leta 506, ko je kralj Teodorik določil, da mora rimski senat prepustiti papežu Simahu pravico nad vsemi rimskimi cerkva- mi, tudi tistimi, ki so bile v rokah Lovrenčevih pristašev. S tem je bil Simah dokončno priznan za papeža. Boetij nikjer ne omenja, kateremu od obeh hkrati izvoljenih papežev daje prednost, čeprav je glede tega moral imeti določeno stališče. Kljub temu je bil na svojski način udeležen v sporih. To je razvidno iz zadnjega od njego - vih petih teoloških traktatov, ki je po času nastanka najstarejši in je moral biti napisan prav v zvezi s prikazanim dogajanjem. V njem Boetij zagovarja stališče kalcedonskega koncila nasproti monofizitizmu, kot ga je zastopal Eutyches, in nasproti nestorijanskemu difizitizmu, ki ga je zagovarjal bizan- tinski škof Nestorius (1. pol. 5. stol.). Zdi se, da je rimska stran potrebovala razpravo, ki naj bi z ustreznimi utemeljitvami zgladila nesoglasja, ki so bila, kot že omenjeno, povezana tudi z vprašanjem avtoritete in primata rimskega škofa. Traktat, kot tudi nekateri drugi, je posvečen diakonu Janezu. Za to osebo se zelo verjetno skriva eden od sedmih rimskih mestnih diakonov, ki je bil udeležen v sporu med papežema Lovrencem in Simahom. Bil je izobražen človek; ohranjeno je njegovo pismo, v katerem odgovarja na vpra - šanja o liturgiji v mestu Rim in ki priča o njegovem zanimanju za logična vprašanja. V petem teološkem traktatu Boetij samega sebe označuje kot Ja- nezovega sina; nedvomno je imel diakon Janez v Boetijevem intelektualnem življenju pomembno vlogo. Kot je bilo že omenjeno, si je bizantinski cesar prizadeval, da bi ponov- no vzpostavil oblast nad zahodnim delom cesarstva, se pravi, da bi celotno cesarstvo, kot je obstajalo pred razcepom na vzhodno in zahodno polovico, podvrgel svojemu žezlu. Cerkveni razkol med Rimom in Bizancem je bil huda ovira za dosego tega cilja. Vendar pa bi politična združitev vzhoda in zahoda pomenila konec Teodorikovega kraljestva v Italiji; zato Teodoriko- va politika ni podpirala poravnave cerkvenega razkola. Do te poravnave je BOETIJ_TXT2013_01.indd 288 28.11.2013 12:20:00 289 289 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe vendarle prišlo, in sicer po smrti bizantinskega cesarja Anastazija I. Leta 518 ga je nasledil Justin, ki je skupaj s cerkvenimi dostojanstveniki že leta 519 dosegel poravnavo in med drugim priznal tudi primat rimskega papeža. Združitev cerkva je implicirala, da je cesar Justin tudi zaščitnik papeža in rimske cerkve, bolj kot arijanski kralj Teodorik. V luči teh razmer je treba gledati nadaljnji potek Boetijevega življenja. Leta 522 sta bila Boetijeva sinova Boetij in Simah (Boethius, Symmachus) imenovana za konzula in Boetij je imel ob tej priložnosti panegirik v kralje- vo čast. Govor ni ohranjen, vendar je moral biti razširjen in poznan, saj ga je Cassiodorus poznal. 1. septembra istega leta 522 je Boetij postal magister officiorum Teodorikovega dvora v Ravenni, kar bi opisno morda lahko pre- vedli kot vodja vseh dvornih opravil in kar je bila najbrž najpomembnejša funkcija na dvoru. Boetij je bil zdaj v vsakdanjem stiku s kraljem in bil je kraljevo oko in uho: Vedel je za vse, kar se dogaja; videl je vse dokumente, ki naj bi jih kralj pregledal, in vse poslance, ki jih je kralj sprejel; skrbel je, da so se kraljeve odločitve uresničevale; imel je dostop do vseh podatkov; nad- ziral je druge uslužbence; sodeloval je pri imenovanju provincialnih upravi- teljev. Kot je opisal v De consolatione philosophiae, je hotel delovati dobro in v smislu Platonovih pogledov je razumel sebe kot filozofa v vodstvu države. A Teodorikov dvor ni bil prost ne korupcije ne zahrbtnega intrigiranja. Na njem je bilo mnogo nevarnih ljudi, ki jih Boetij sam označuje kot »dvorni psi«. Napačno bi bilo misliti, da so bili to Goti; bili so predvsem Rimljani. Boetij je tako zavrnil sodelovanje z Decoratusom, ki je imel visok položaj na dvoru, pomagal pa je svojemu senatorskemu prijatelju Pavlinu, katerega imetje so že napadli »dvorni psi«. 3 Na svojem visokem položaju je bil Boetij le kako leto, morda leto in pol. Jeseni 523 ali na začetku leta 524 je bil namreč obdolžen izdaje. Dvorni uradnik Ciprian (Cyprianus) je obtožil senatorja Albina, da si dopisuje s kro- gi okoli cesarja Justina, in sicer v smislu zarotništva proti Teodorikovemu kraljestvu. Albin je bil v svoji mladosti konzul (493); kasneje, pod papežem Hormizdom (Hormisdas je leta 514 nasledil umrlega Simaha) je bil udeležen v pogovorih za premostitev cerkvenega razkola med Rimom in Bizancem. Poroča se, da sta z ženo na svojem posestvu blizu Rima zgradila cerkev, posvečeno sv. Petru, in prosila papeža Simaha, da jo posveti. Teodorik je bil pripravljen verjeti, da je obtožba proti senatorju Albinu resnična, in Albin je 3 O dvoru, svojem položaju na njem in dogodkih, ki so privedli do njegove obsodbe, razmišlja Boetij v De consolatione philosophiae I, 4. BOETIJ_TXT2013_01.indd 289 28.11.2013 12:20:00 290 Boethius, De institutione musica 290 bil prepoznan za krivega brez možnosti priziva. Boetij je bil pretresen nad potekom zadeve; postavil se je na Albinovo stran, prepričan, da niti Albin niti senat nista imela nelojalnih navez. Poroča se, da je izjavil: »Ciprianova obtožba je lažna. A če je Albin storil to, potem smo to skupaj storili tudi jaz in celotni senat. Neresnično je, moj gospod kralj.« Za tem je Ciprian razširil svojo obtožbo še na Boetija. Tako je bil obdolžen tudi ta, in sicer, kot pravi sam, trojega: da je poskušal skriti dokaze Albinove nezvestobe kralju, da je sam pisal pisma, v katerih je izražal upanje, da se bo Rim osvobodil got - skega gospostva, in slednjič, da se je ukvarjal s pogansko filozofijo in črno magijo, ki naj bi mu pomagala pri uresničevanju političnih ciljev. Težo slednje obtožbe, obtožbe ukvarjanja s črno magijo, je treba ra- zumeti v njenem zgodovinskem kontekstu. Leta 519 se je na nebu pojavil komet, ki so ga videli tako na vzhodu kot na zahodu. Pojav kometa se je v antiki razumeval kot napoved dinastičnih sprememb ali pa kot napoved bližajoče se katastrofe. Na vzhodu so omenjeni komet razumeli kot izraz božjega nasprotovanja pravkar sklenjeni cerkveni poravnavi, v Ravenni pa kot slabo napoved za prihodnost kraljestva. Teodorik se je res lahko bal za njegovo usodo. Leta 522 mu je umrl zet Eutharic Cillica, Zahodni Got, ki se je leta 515 poročil z njegovo hčerko Amalasuintho. Njun sin je bil ob očetovi (Cillicovi) smrti star šele sedem let. Ta dogodek je moral v že ostarelem Teodoriku vzbuditi skrb za nasledstvo in podžgati sum, da se rimski sena- torji skrivno dogovarjajo z Bizancem o nadaljnji usodi Italije. Povezovanje s temnimi silami, proti katerim se niti ni mogoče boriti z vojsko (kot proti kateremu koli človeškemu delovanju), je bilo v prikazanih razmerah težka obtožba. V tej zvezi naj bo omenjeno, da zgodovinskih kazalcev, da bi se Boetij ukvarjal z magijo, ni. Res pa je, da se v svojih spisih nekajkrat do- takne vprašanja vplivov nebesnih teles na živa bitja in človeka. Nakazano povezavo implicirajo tudi nekatera poglavja Boetijeve razprave o glasbi (I, 1–2, I, 27). Ciprianovo obtožbo so podprli še njegov brat Opilio, Opiliev tast Bazilij in neki Gaudentius, ki je bil poslovno povezan z Opiliem. Vsi ti ljudje so imeli črne madeže: Bazilij, ki je bil nekaj pred tem v kraljevi službi, nato pa odpuščen, je potreboval denar za poplačilo dolgov. Opilio in Gaudentius sta bila prijeta in zaprta zaradi goljufij in Teodorik ju je kaznoval z izgonom. Zatekla sta se v eno od ravenskih cerkva, a Teodorik je odredil: če ne odideta do določenega dne, bosta ožigosana z znamenjem na čelu nasilno izgnana. Možno je, da so imenovani trije možje v podpori obtožbi iskali možnost, BOETIJ_TXT2013_01.indd 290 28.11.2013 12:20:00 291 291 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe da bi se pred Teodorikom oprali. Znano je, da sta imela Opilio in Ciprian kasneje res uspešni karieri: Opilio se omenja kot steber cerkve; Ciprian, ki je govoril gotsko enako dobro kot latinsko in katerega otroci so se igrali skupaj z gotskimi otroki, je še nadalje užival Teodorikovo zaupanje; postal je dvorni zakladničar, še kasneje pa magister officiorum, to, kar je bil Boetij. Boetij je zanikal obtožbo, da bi pisal pisma z nelojalno vsebino, za oči- tek, da naj bi se ukvarjal z magijo, pa je menil, da je vreden prezira. Kljub temu si v prikazanih okoliščinah ni težko predstavljati, da je Teodorik po- dvomil v Boetijevo zvestobo in da ga je sum, da mu je najbližji človek pri- krival obstoj skrivnega dopisovanja, močno vznemiril. Boetij je bil prijet in skupaj z Albinom sta bila nekaj časa zaprta v veronskem baptisteriju. Sled za Albinom se izgubi, Boetij pa je bil premeščen v Pavio (lat. Ticinum). V enem od virov je navedeno, da naj bi bil zaprt »in agro Calventiano«, kar je morda pavijska četrt »Borgo Calvenzano«. Prišlo je do procesa, v katerem je, kot je zahteval postopek, sodeloval rimski senat. Boetij ni bil poklican, da bi se zagovarjal, in senat, za katerega je Boetij zmeraj zatrjeval, da nima zahrbtnih navez, je v njegovi odsotnosti v Rimu izrekel smrtno obsodbo. Od nje se je distanciral le Boetijev tast, senator Symmachus. Zdi se, da je skušal Teodorik z Albinovim in Boetijevim primerom posvariti senatorje pred ka- kršnim koli povezovanjem z Bizancem. Boetijeva ječa ni mogla biti najstrašnejša temnica, gotovo pa tudi ni bila zgolj hišni pripor. Vsekakor je v njej lahko pisal, in tako je v pavijski ječi, v pričakovanju izvršitve smrtne obsodbe, nastalo njegovo najznamenitejše delo De consolatione pilosophiae. Tega dela ni mogel napisati hitro, kar po- meni, da je bil v ječi daljši čas. O tem, zakaj je bil v ječi tako dolgo, je možno le ugibati. Morda Teodorik vendarle ni bil prepričan o njegovi krivdi; morda je skušal iz Boetija izvleči še kaj več v zvezi s senatorskimi povezavami z Bizancem; morda je bilo Boetijevo življenje predmet kakih pogajanj. Sle- dnjič je bil Boetij v pavijski ječi usmrčen. Za ta dogodek navajajo kronisti različna leta od 523 do 526. Najverjetneje se je to zgodilo leta 525. Nekaj za tem je bil usmrčen tudi Boetijev tast Symmachus. Boetij se je v srednjem veku na številnih mestih častil kot svetnik muče- nec. Njegov kult je obstajal vsaj od 8. stol. dalje in močan je bil zlasti v kraju njegove mučeniške smrti, v Pavii. Kult je bil s strani cerkve potrjen leta 1883. Kot svetnik je Boetij sv. Severin Boetij z godom 23. oktobra. 4 4 Boethius, New Advent. BOETIJ_TXT2013_01.indd 291 28.11.2013 12:20:00 292 Boethius, De institutione musica 292 Boetijeva kvadrivialna dela Boetijeva dela pripadajo štirim razločno oddeljenim, čeprav medsebojno povezanim skupinam: kvadrivialne znanosti, logika, teologija, filozofija. S področja kvadrivialnih znanosti sta njegova razprava o aritmetiki in glasbi; prva je prevod aritmetike Nikomaha iz Gerase, druga pa je nastala na osnovi več virov (gl. nadaljevanje). Boetiju se je pripisovala tudi neka razprava o geometriji, za katero se je izkazalo, da ni njegova. Njegovi logični spisi so po eni strani komentarji k Aristotelovim in Porfirijevim delom, po drugi nje- gove izvirne razprave. Poleg tega sodijo sem tudi njegovi prevodi nekaterih Aristotelovih del. Petero teoloških traktatov obravnava izrecno vprašanja krščanske teologije. 5 Slednjič je tu njegovo zadnje in najznamenitejše delo, O tolažbi filozofije, ki je prav toliko literarno kot teološko in moralnofilo- zofsko. 6 Med spisi posameznih skupin sicer ni pogojnih povezav (v tem smislu, da bi bilo za razumevanje dela O tolažbi filozofije treba poznati njegovo Aritmetiko ali Temelje glasbe), a v širšem smislu se prikazane štiri skupine vendarle smiselno navezujejo druga na drugo. Na začetku so kvadrivialna znanja, tj. tista področja, ki jim je osnova aritmetika; na to se navezuje filo- zofska logika; teološki traktati sicer niso neposredno povezani z logičnimi spisi, vendar je avtorjevo ukvarjanje z logiko nedvomno vplivalo na tok nje- govih teoloških izpeljav. Slednjič Boetijevo delo O tolažbi filozofije ne bi bila takšno, kot je, če se njen avtor ne bi ukvarjal z vsem navedenim. Pogled na Boetijev opus kot celoto daje vtis, da si je avtor načrtno prizadeval, da bi v svojem jeziku, latinščini, podal celotno filozofsko znanje (v širokem po- menu besede), vključno z njegovimi kvadrivialnimi osnovami. To se sklada z njegovo izrecno izraženo, čeprav ne tudi izpeljano namero, da bo prevedel v latinščino vsa Platonova in Aristotelova dela in jih tudi ustrezno komen- tiral. 7 Boetijeva razprava o glasbi sodi v kvadrivij. Kot je dobro znano, sta predstavljala trivij in kvadrivij »septem artes liberales«, 'sedmero svobodnih znanosti' (opisno: 'sedmero področij svobodnega raziskovalnega védenja'), 5 Njihovo dvojezično, latinsko – slovensko izdajo s spremno študijo je objavil Vesel 1999. 6 Ob sestavljanju seznama Boetijevih del se je izkazalo, da nimajo ustaljenih naslovov, po katerih bi bila takoj nedvoumno razpoznavna. Seznam je tako lahko le informativni. Slovenski naslovi teoloških traktatov so povzeti po Vesel 1999, kjer so na str. XXV–XXVI navedene tudi izdaje Boetijevih del. 7 Vesel 1999, str. IX. BOETIJ_TXT2013_01.indd 292 28.11.2013 12:20:00 293 293 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe ki so bile v srednjem veku standardizirana osnova vsake izobrazbe in vsake- ga intelektualnega dela. Trivij (gramatika, dialektika ali logika, retorika) je temeljil na logiki jezika, kvadrivij (aritmetika, geometrija, muzika, astrono- mija) na logiki števil. Sedmero znanosti ima svojo dolgo, v antiko segajočo zgodovino; ne le, da je imelo vsako od navedenih področij lastni zgodovin- Boetijeva dela Kvadrivij De institutione arithmetica De institutione musica Logika Prevodi v latinščino Aristotel: Categoriae Aristotel: De interpretatione Aristotel: De sophisticis elenchis Aristotel: Topica Aristotel: Analytica priora Aristotel: Analytica posteriora (izgubjeno) Porfirij: Isagoge (uvod v Aristotelove Kategorije) Komentarji Porfirij: Isagoge (uvod v Aristotelove Kategorije) Aristotel: De interpretatione (dva komentarja) Aristotel: Categoriae Aristotel: Topica (izgubljeno) Ciceron: Topica Izvirna dela De divisione De differentiis topicis De sylogismo categorico De sylogismo hypothetico Teologija Quomodo Trinitas unus Deus ac non tres Dii Kako je Trojica en Bog, in ne trije Bogovi Utrum Pater et Filius et Spiritus sanctus de divinitate substantialiter praedicentur Ali se Oče, Sin in Sveti duh božanskosti predicirajo substancialno Quomodo substantiae in eo quod sint bonae sint cum non sint substantialia bona Kako so substance, kolikor so, dobre, čeprav niso substancialne dobrote De fide catholica O katoliški veri Contra Eutychen et Nestorium Proti Eutihu in Nestoriju Filozofija De consolatione philosophiae BOETIJ_TXT2013_01.indd 293 28.11.2013 12:20:00 294 Boethius, De institutione musica 294 ski razvoj; tudi pojmovanje zaokrožene celote, skupinjenje v trivij in kva- drivij, pojmovanje trivija in kvadrivija z ustreznimi poimenovanji ima svojo dolgo zgodovino. Če se omejimo na Boetijev čas in okolje, lahko vidimo, da je sedmero znanosti dejansko že obstajalo kot celota, čeprav zavest o njih še ni bila standardizirana, kot tudi ni bilo standardizirano njihovo poimeno- vanje. V prvi polovici 5. stol., nekaj desetletij pred Boetijem, je Martianus Capella v Kartagini, ki so ji kmalu za tem zavladali Vandali, spisal delo De nuptiis Mercurii et Philologiae; to nenavadno, na pol v verzih in na pol v prozi pisano delo že predstavlja vseh sedem znanosti; glasba oz. harmonija je v zadnji, IX. knjigi. Boetij je bil menda prvi, ki je uporabil izraz kvadrivij, kar pomeni, da je imel kvadrivialne znanosti za zaokroženo skupino. Kako je določil vsako od njih in kako je razumeval njihov pomen v sklopu celotnega filozofskega znanja, je najbolje razvidno iz retorično izdelanega odlomka prvega poglav- ja njegove Aritmetike: 8 »Horum ergo illam multitudinem, quae per se est, arithmetica speculatur integritas, illam vero, quae ad aliquid, musici modulaminis temperamen- ta pernoscunt, inmobilis vero magnitudinis geometria notitiam pollicetur, mobilis vero scientiam astronomicae disciplinae peritia vendicat. Quibus quattuor partibus si careat inquisitor, verum invenire non possit, ac sine hac quidem speculatione veritatis nulli recte sapiendum est. ... Hoc igitur illud quadrivium est, quo his viandum sit, quibus excellentior animus a nobiscum procreatis sensibus ad intellegentiae certiora perducitur.« 'Od teh stvari opazuje aritmetika v svoji celovitosti množine same po sebi; tiste množine pa, ki so v medsebojnih razmerjih, se spoznavajo preko uravnanih melodij; znanje o negibljivih velikostih obljublja geometrija, vé- denje o gibljivih pa si lasti veščina astronomske znanosti. Raziskovalec, ki je brez teh štirih področij, ne more poiskati resnice in brez tovrstnega uvida v resničnost ne more nihče nič prav vedeti. … To je torej tisto štiripotje, po katerem morajo potovati oni, katerih vzvišeni duh stremi stran od čutov, zraslih skupaj z nami, k zanesljivejšemu razumevanju.' Očitno si je Boetij predstavljal, da se brez kvadrivialnega znanja ni mo- goče ukvarjati s filozofskimi vprašanji. Njegovi razpravi o glasbi in arit- metiki sta tako trdno zasidrani v temelje njegovih filozofskih premislekov. 8 Besedilo je vzeto iz Friedleinove izdaje Boetijeve Aritmetike. BOETIJ_TXT2013_01.indd 294 28.11.2013 12:20:00 295 295 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe Viri Boetijeve razprave o glasbi Ker podaja snov ene od kvadrivialnih znanosti, je Boetijev traktat o glas- bi bolj ali manj kritično predelana kompilacija. To zastavlja vprašanje virov, iz katerih je Boetij črpal vsebino svojega dela. Nedvomno temelji V. knjiga Boetijevega traktata na I. knjigi Harmonike Klavdija Ptolemaja (2. stol. po Kr.). 9 Iz ohranjenih naslovov izgubljenih poglavij V. knjige je razvidno, da je tudi nadalje sledil I. knjigi Ptolemajevega dela. 10 Boetijeva V. knjiga si- cer ni prevod, pač pa prosto povzemanje z izpusti in okrajšavami, pa tudi z razširitvami in dodatki, ki jih v Ptolemajevem besedilu ni. Vsekakor se je Boetij držal tega, da je vsebina V. knjige bolj ali manj skladna z vsebino predhodnih knjig; izpuščal je zlasti tisto, kar ne bi bilo uglašeno s celoto. 11 Težje je odgovoriti na vprašanje, kaj je imel Boetij za osnovo prvih štirih knjig. Prevladalo je mnenje, da so bile prve tri knjige napisane na osnovi izgubljenega Uvoda v glasbo Nikomaha iz Gerase, matematika, glasbene- ga teoretika in filozofa s konca 1. in začetka 2. stol. po Kr. 12 Boetijeva De institutione arithmetica je kritično predelani prevod Arithmetikè eisagogé, 'Uvoda v aritmetiko' istega avtorja. A glavni razlog za navedeno domnevo je, da je Nikomah avtor krajšega Harmonikòn encheirídion, 'Harmonskega priročnika', v katerem obljublja, da bo napisal daljšo razpravo o glasbi; pri tem navaja vsebinske sklope načrtovanega spisa. Ti pa se ujemajo z ustrezni- mi poglavji prvih treh Boetijevih knjig. 13 Ker Nikomahova razprava z izjemo nekaj drobcev ni ohranjena, ni možno presojati, v kolikšni meri mu je Boetij sledil. A če je postopal tako kot v V. knjigi, je svobodno preubesedoval, širil in krčil. V tej zvezi je treba omeniti, da so v Boetijevi I. knjigi omenjeni latinski avtorji (pesnik Statius, Albinus, Ciceron), česar v Nikomahovi raz - pravi najbrž ni bilo. Problem predstavlja IV. knjiga. V tej prvi dve poglavji povzemata grški traktat, znan kot Sectio canonis, ki se je pripisoval Evklidu; 14 teorija modu- sov / tonusov spominja na Ptolemaja; poznavanje znakov grške notacije pa je moral Boetij prevzeti po drugih, neugotovljivih virih. Z ozirom na to je pre- 9 O njem gl. Barker 1989 II, str. 270–275. V navedenem delu je tudi angleški prevod Ptolemajeve Harmonike. 10 Bower 1989, str. XXVI; Caldwell 1981, str. 140. 11 Bower 1989, str. XXVI, XXVIII–XXIX; Caldwell 1981, str. 140–141. 12 O njem gl. Barker 1989 II, str. 245–247. V navedenem delu je tudi prevod Nikomahovega priročnika. – Antična Gerasa je zdaj Jerash v Jordaniji. 13 Bower 1989, str. XXVI–XXVII; Caldwell 1981, str. 139–140. 14 Angleški prevod te razprave je dostopen v Barker 1989 II. BOETIJ_TXT2013_01.indd 295 28.11.2013 12:20:00 296 Boethius, De institutione musica 296 vladalo mnenje, da je IV. knjiga kompilacija na osnovi več različnih virov. 15 Ne glede na to je IV . knjiga smiselno nadaljevanje prvih treh knjig in s teo - rijo tonskega sistema (in modusov / tonusov) njihova vsebinska dopolnitev. Obstojijo tudi drugačna mnenja. C. Bower sodi, da je tudi Boetijeva IV. knjiga pisana v Nikomahovem duhu, in postavlja domnevo, da je na osnovi izgubljenega Nikomahovega traktata nastala tudi ta; kompilacija, kot jo vidi- mo v IV. knjigi, torej ni Boetijevo, pač pa Nikomahovo delo. 16 To je Bowerja pripeljalo k domnevi, da si je Boetij celoto zamislil v sedmih knjigah: prve štiri naj bi bile povzetek Nikomahovega Uvoda v glasbo, zadnje tri pa pov- zetek Ptolemajevih Temeljev harmonike (ki obsegajo tri knjige). 17 Nasprotno temu J. Caldwell meni, da sta v Nikomahovem duhu pisani predvsem II. in III. knjiga Boetijevega traktata. Če je bilo Nikomahovo delo o glasbi po- dobno njegovemu delu o aritmetiki, sta po Nikomahu nastali le omenjeni dve knjigi. V. knjiga sledi Ptolemaju, medtem ko naj bi bil pri pisanju I. in IV. Boetij razmeroma samostojen. 18 Sodbe o Boetijevih virih in o tem, do kolikšne mere jim je sledil in do kolikšne je bil samostojen, ne morejo biti dokončne. Prav zato, ker je Boetijeva razprava po svoji vsebini kompilacija, ker podaja vedenje o glasbi, kot se je oblikovalo pred njim, ni v njej skorajda nobenih povezav z glasbo Boetijevega okolja. (Edino mesto, ki bi ga bilo mogoče razlagati v tem smislu, je težko razumljivi stavek v I, 1.6, gl. op. 2 na str. 273.) Boetijev traktat je ohranjen v več kot 150 srednjeveških prepisih, med katerimi so tudi nekateri nepopolni. Najstarejši izvirajo iz 9. stol., kar po- meni, da je med nastankom traktata in prvimi ohranjenimi prepisi praznina več kot treh stoletij. Boetijevo besedilo je zahtevno in na nekaterih mestih samo po sebi (brez poznavanja njegovih predlog) težko razumljivo. Za sre- 15 Bower 1989, str. XXVII, str. 115, op. 1. 16 Bower 1989, str. XXVII–XXVIII. 17 Bower 1989, str. XXXVII–XXXVIII. 18 Caldwell 1981, str. 141–142. Boetijevi viri I. knjiga Nikomah iz Gerase, Uvod v glasbo II. knjiga III. knjiga IV . knjiga Sectio canonis, Klavdij Ptolemaj … V . knjiga Klavdij Ptolemaj, Harmonika I BOETIJ_TXT2013_01.indd 296 28.11.2013 12:20:01 297 297 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe dnjeveške skriptorje je bilo trd oreh in natančni študij ohranjenih prepisov kaže težave, ki so jih imeli z njim. V nekaterih prepisih so razlagalne glose, besedilo je mestoma preubesedeno, in sicer z namenom, da bi bilo bolj ra- zumljivo, nekatera posamična mesta pa so bila očitno oblikovana na osnovi primerjanja dveh rokopisnih predlog. 19 Boetijeva dela so bila prvič natisnje- na v letih 1491–2 in ta izdaja vsebuje tudi razpravo o glasbi. 20 Ta je vključena tudi v izdajo Boetijevih del, ki jo je oskrbel Heinrich Glarean. 21 Ker so najstarejši ohranjeni prepisi Boetijevega traktata o glasbi šele iz 9. stol., se pravo življenje tega dela začenja šele takrat. Nekatera mesta Boeti- jeve razprave so bila slabo, tudi napačno razumljena, mnoga so bila svojsko interpretirana. Kljub temu, da ni bil zmeraj prav razumljen – ali pa morda zlasti zaradi tega, je Boetijev traktat vzbujal zanimanje in buril ustvarjalno domišljijo. 22 Ureditev traktata De institutione musica Boetijevo besedilo je kompilativnega značaja, zato so posamezni vsebin- ski sklopi obravnavani na različnih mestih. Kljub temu ima vsaka od petero knjig svoje značilnosti. I. knjiga predstavlja uvod, in sicer v tem smislu, da podaja osnove celotnega nauka oz. posameznih vsebinskih sklopov, vendar brez obširnejših razlag in mestoma celo brez utemeljitev. II. knjiga je posve- čena aritmetiki in iz nje izhajajoči teoriji intervalov. Nekatera aritmetična poglavja niti nimajo prave zveze s teorijo intervalov. III. knjiga je v celoti posvečena fenomenu tona (velike sekunde) in njegovi anatomiji. Vrhunec in zaključek Boetijevega razpravljanja predstavlja IV. knjiga, v kateri so na osnovi predhodnih spoznanj predstavljeni tonski sistem in modusi / tonusi. S tem je glavni namen dela izpeljan in V. knjiga daje vtis, da posreduje raz - lična dopolnila že predstavljeni vsebini. 19 Bower 1989, str. XXXVIII–XXXIX; Bower, Boethius. 20 Opera, Benetke, Johannes in Gregorius de Gregoriis, 1491–2 (dve knjigi). Gl. spletno stran British Library. Incunabula. Short Title Catalogue. – To izdajo je imela knjižnica ljubljanskega frančiškanskega samostana. Zdaj je v knjižnici frančiškanskega samostana v Novem mestu. Gl. Gspan 1957, št. 126. 21 Opera quae extant omnia, Basel 1546. Ta izdaja Boetijeve razprave o glasbi je bila prevzeta v Patrologia Latina 63. 22 Atkinson 2009, str. 76 in dalje. BOETIJ_TXT2013_01.indd 297 28.11.2013 12:20:01 298 Boethius, De institutione musica 298 I. knjiga 1.1–2 spoznavoslovna vprašanja: čuti in razum 1.3–15 glasba v življenju človeka in družbe: učinki glasbe 2 glasba kot vidik resničnosti 3 fizika zvoka: osnove teorija intervalov: aritmetično ozadje 4 vrste razmerij (ulomkov) 5 zveza med vrstami razmerij in intervali 6 ločljive in strnjene količine: zveza z vrstami razmerij 7 razmerja v konsonancah (uvod) 8 definicije osnovnih pojmov 9 spoznavoslovna vprašanja: čuti in razum 10–11 teorija intervalov: preizkusi: Pitagorovi preizkusi in odkritja tipologija zvoka 12–13 tipi zvokov in njihove naravne omejitve 14 fizika zvoka: vzporeditev zvoka z valovanjem 15 načrt nadaljnje razprave teorija intervalov: aritmetično ozadje 16 razmerja osnovnih intervalov, tona se ne da deliti na dva enaka intervala 17 razmerje malega poltona 18 ton (velika sekunda) kot razkorak med kvarto in kvinto 19 oktava kot povezava petih tonov in dveh malih poltonov tonski sistem 20 zgodovina nastajanja 21 rodovi 22 imena tonov 23 intervali v rodovih 24 synaphe 25 diazeuxis 26 Albinova imena 27 vzporejanje s planeti teorija intervalov: konsonance in disonance 28 konsonance in disonance, kot jih dojemajo čuti 29 skupna mera kot kriterij konsonančnosti 30 Platonova razlaga konsonančnosti 31 fizika zvoka: Nikomahova razlaga konsonančnosti v povezavi z gibanjem 32 vrednostna razporeditev konsonanc: Nikomahova razporeditev (uvod) 33 pogled na doslejšnjo razpravo 34 spoznavoslovna vprašanja: kdo je muzik BOETIJ_TXT2013_01.indd 298 28.11.2013 12:20:01 299 299 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe II. knjiga 1 predgovor 2 Pitagorov pogled na filozofijo aritmetika 3 strnjene in ločljive količine kot predmet kvadrivialnih znanosti 4 trije osnovni rodovi razmerij (ulomkov) 5 vrednostna razporeditev vrst razmerij 6 kvadratna števila 7 izpeljava vrst razmerij iz enakosti 8 zaporedja superpartikularnih razmerij 9 postopki z razliko med številoma danega razmerja 10 kvadriranje množinskih in superpartikularnih razmerij 11 superpartikularna razmerja, katerih zmnožki so množinska razmerja 12 aritmetična, geometrična in harmonična sredina 13 strnjene in prekinjene sredine 14 razlaga imen treh sredin 15 izpeljava sredin iz enakih števil 16 harmonična sredina 17 določevanje sredine med dvema terminoma teorija intervalov: vrednostna razporeditev konsonanc 18 vrednostni red konsonanc po Nikomahu 19 vrednostni red konsonanc po Evbulidu in Hipasu 20 vrednostni red konsonanc po Nikomahu 21 aritmetika: deljenje superpart. razmerja z naslednjim superpart. razmerjem teorija intervalov: dokazi 22 da je oktava v množinskem rodu 23 da so kvinta, kvarta in velika sekunda v superpartikularnem rodu 24 da sta kvinta in kvarta v nejvečjih superpartikularnih razmerjih 25 da je kvarta v štiritretjinskem, kvinta v tripolov., ton v devetosm. razmerju 26 da je oktava s kvinto v trojnem, dvojna oktava v četvernem razmerju 27 konsonance in disonance: oktava s kvarto ni konsonanca teorija intervalov: anatomija tona 28 razmerje malega poltona 29 mali polton ni polovica tona 30 razmerje apotome 31 razmerje kvinte, razmerje oktave, oktava ne sestoji iz šest tonov BOETIJ_TXT2013_01.indd 299 28.11.2013 12:20:01 300 Boethius, De institutione musica 300 III. knjiga teorija intervalov: anatomija tona 1 superpartik. razmerij (in tona) ni mogoče deliti na dve enaki razmerji 2 ob odstranitvi dveh tonov od kvarte ne ostane polovica tona 3 kvarta ni iz dveh tonov in točnega poltona, oktave ne iz šestih tonov 4 razmerje kome 5 delitev tona po Filolaju 6 ton je iz dveh malih poltonov in kome 7 ton presega dva mala poltona za komo 8 intervali, manjši od poltona po Filolaju 9 določevanje tona in njegovih delov s kombiniranjem konsonanc 10 določevanje malega poltona s kombiniranjem konsonanc 11 Arhitov dokaz, da se superpartik. razmerja ne da deliti na enaka dela 12 velikost kome 13 velikost malega poltona 14 mali polton in koma: primerjava 15 apotome in koma, ton in koma: primerjava 16 številčni prikaz prejšnjih trditev IV . knjiga 1 kratka obnovitev osnov po I, 3–5 2 aritmetika: zakonitosti množinskih in superpartikularnih razmerij tonski sistem 3–4 notacija: notacijski znaki lidijskega modusa / tonusa 5 tetrakordalna delitev sistema, diatonični rod 6–7 tetrakord hyperboleon 8 tetrakord diezeugmenon 9 tetrakord synemmenon 10 tetrakord meson 11 tetrakord hypaton 12 pregled celotnega sistema 13 stalni in premični toni 14 zvrsti sozvočij 15 modusi / tonusi 16 notacija: notacijski znaki vseh modusov / tonusov 17 razmerja med modusi / tonusi, osmi modus / tonus 18 teorija intervalov: preizkusi: slušna ponazoritev konsonanc V . knjiga 1 namen V . knjige spoznavoslovna vprašanja 2 čuti in razum 3 pitagorejsko gledanje, Aristoksenovo, Ptolemajevo BOETIJ_TXT2013_01.indd 300 28.11.2013 12:20:01 301 301 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe fizika zvoka in njegova tipologija 4 v čem sta višina in nižina zvoka 5 tipi zvokov po Ptolemaju: osnovna delitev 6 tipi zvokov po Ptolemaju: izločitev glissanda teorija intervalov: konsonance in disonance 7 pitagorejsko določilo konsonančnosti 8 Ptolemajeva kritika pitagorejskega pojmovanja konsonančnosti 9–10 Ptolemajevo gledanje na oktavo (dokaz, da je okt. s kvarto konsonanca) tipologija zvoka 11.1–2 določitve 11.3–4 teorija intervalov: konsonance in disonance: Ptolemajeva določitev 12 določitve teorija intervalov 13 aritmetično ozadje: Aristoksenovo pojmovanje intervalov 14 preizkusi: preizkus, da je oktava manj kot šest tonov tonski sistem 15 tetrakord: splošno 16.1 teorija intervalov: anatomija tona: Aristoksenova delitev tona 16.2–10 Aristoksenova delitev tetrakorda 17 Arhitova delitev tetrakorda 18 Ptolemajeva kritika 19 Ptolemajeva delitev tetrakorda Povzetek vsebine Boetijev traktat ne daje vtisa, da bi bil v potankosti premišljeno in uskla- jeno delo: Nekatere stvari so povedane dvakrat, včasih tudi z vsebinskimi različicami, in za nekatere se zdi, da niso predstavljene dovolj razločno; po- samezni vsebinski sklopi se pojavljajo na različnih mestih; čeprav ima vsaka od petih knjig svoje značilnosti, si njihova poglavja ne sledijo zmeraj na naj- bolj smiseln način; tok medsebojno povezanih izpeljav je včasih prekinjen z vrivki; v besedilu so poglavja, ki nimajo prave zveze s celoto in bi bila lahko tudi izpuščena; slednjič je za sodobnega bralca moteče, da so nekatere vsebinske sestavine zgolj navedene, ne da bi bile vzpostavljene ustrezne po- vezave, kar pomeni, da jih mora bralec iskati sam. Vse to je najbrž posledica dejstva, da je traktat nastal kot kompilacija na osnovi različnih virov, da je njegov avtor ob pisanju sam spoznaval predstavljeno tvarino, pri čemer je moral za posamezne pojme in teoreme iskati primerne latinske izraze. Za lažje razumevanje Boetijeve razprave in za lažje umeščanje posameznih BOETIJ_TXT2013_01.indd 301 28.11.2013 12:20:01 302 Boethius, De institutione musica 302 vsebinskih sklopov v celoto se zdi smiselno podati glavni vsebinski tok trak- tata, in sicer ne oziraje se na Boetijev dejanski razpored. 23 Cilj Boetijevega traktata je predstavitev in utemeljitev tonskega sistema. A da bi ga bilo mogoče utemeljiti, je predhodno potrebna razprava o inter- valih. V Boetijevem pogledu so intervali razmerja, ki jih je nedvoumno in točno možno izraziti le s števili (ulomki); osnova teorije intervalov je torej aritmetika oz. teorija ulomkov. Tako pridemo do treh vsebinskih sklopov traktata, ki se navezujejo drugi na drugega: teorija ulomkov – teorija inter- valov – tonski sistem. Vendar ima izenačitev intervalov (tj. glasbe) in razme- rij med števili globlje ozadje. Je logična posledica Boetijevega razumevanja zvoka in posledično glasbe: V resničnosti, vključujoči zvok in glasbo, vlada - jo razmerja; razmerja so vidik resničnosti, ki se odraža in manifestira tudi v sluhu dostopnem zvoku in glasbi. Razmerja so točno izrazljiva le s števili in takšna so v jedru vse resničnosti, vključno z glasbo. Glasba je potemta- kem svojevrstni, sluhu dostopni vidik resničnosti (ali njegov slišni izraz) in povezavo med resničnostjo sploh in glasbo razkrivajo raziskave sluhu do- stopnega zvoka. Z izrazom, ki ga Boetij ne uporablja, bi to lahko imenovali fizika zvoka. Tako pridemo do nadaljnjih dveh medsebojno povezanih vse- binskih sklopov traktata: glasba kot vidik resničnosti (na kar se navezuje mesto glasbe v življenju človeka in družbe) – fizika zvoka oz. vez med širšo resničnostjo in zvokom (glasbo). Fizika zvoka se nadaljuje v njegovo tipolo- gijo. Ker pa so zvoki nekaj, kar dojemamo s čuti (sluhom), medtem ko je bi- stvo intervalov kot razmerij (in posledično tudi glasbe) dostopno le razumu, se porajajo spoznavoslovna vprašanja, kako raziskovati resničnost sploh in kako raziskovati glasbo. Celotni traktat obsega torej naslednjih šest vsebinskih sklopov, ki se ne glede na Boetijeve dejanske razporeditve vsebinsko smiselno navezujejo drugi na drugega: • Glasba kot vidik resničnosti, glasba v življenju človeka in družbe • Spoznavoslovna vprašanja: raziskovanje glasbe • Fizika zvoka (vez med resničnostjo in glasbo) in njegova tipologija • Aritmetika kot osnova teorije intervalov • Teorija intervalov: aritmetika tonskih razmerij • Tonski sistem in modusi / tonusi 23 Branje Boetijevega besedila je še zlasti težavno zato, ker tone sistema Boetij poimenuje le z grškimi izrazi; bralcu priporočamo, da si dobro uzavesti grški tonski sistem in tabelo na str. 318. BOETIJ_TXT2013_01.indd 302 28.11.2013 12:20:01 303 303 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe Glasba kot vidik resničnosti Izraz »musica«, 'glasba', ima pri Boetiju tri medsebojno povezane pome- ne: V najširšem smislu pomeni vidik resničnosti, tisti vidik, po katerem je vse v medsebojnih razmerjih. Nadalje pomeni svet slušno zaznavnih poja- vov, ki vključuje tudi igranje in petje. Kot je bilo omenjeno, je glasba v tem smislu sluhu dostopni izraz pravkar navedenega vidika resničnosti, po ka- terem je vse v medsebojnih razmerjih. Slednjič pomeni »musica« tudi kva- drivialno disciplino, znanost, ki se ukvarja, kot pravi sam Boetij (II, 3.5), z razmerji med števili, s čimer zajema tako glasbo kot vidik resničnosti kot njegov sluhu dostopni izraz. Zdi se, da Boetij ni ločeval med predmetom in znanostjo o njem; v njegovi misli glasba kot znanost popolnoma zaobjame in izčrpa svoj predmet, s čimer ga tudi preseže. Prav zato njegov »muzik« ni tisti, ki poje, igra, snuje pesmi, pač pa tisti, ki ima o vsem tem popolno in nezmotljivo védenje (I, 34). V drugem poglavju (I, 2), ki je najznamenitejši del traktata, podaja Boetij podobo glasbe kot tistega vidika resničnosti, po katerem je vse v pravilnih medsebojnih razmerjih: snovni svet (vesolje, vključno z Zemljo in njeno ne- živo in živo naravo), človeško bitje (deli telesa, telo in njegova duševnost) in svet zvoka in glasbe. Prav zato, ker je vse troje preko glasbe kot vidika resničnosti povezano v eno, je razumljivo, da ima glasba kot zvočna po- javnost tako močan vpliv na človeka, bodisi posameznika ali pa družbo (I, 1.13). Boetij kompilativno navaja vrsto znanih primerov o učinkih glasbe (I, 1.4–15), vendar jih niti ne komentira niti ne razlaga. Kljub drugačni obljubi (I, 2.3, I, 2.4) so vprašanja o tem, kaj je glasba in kako vpliva na človeka, obravnavana le v I, 1–2; v nadaljevanju razprave se Boetij posveti le glasbi kot zvočni pojavnosti. Spoznavoslovna vprašanja Boetij se na več mestih dotakne vprašanja, kako priti do resnice o glas- benih pojavih (I, 1.1–3, I, 9, I, 28.1, I, 32.1, V, 2–3, V, 13.1, V, 17.1), vendar obširneje tega vprašanja nikjer ne obravnava. Vprašanje je v njegovem be- sedilu skrčeno na dilemo, ali zaupati čutu sluha ali razumu. Njegov odgovor je, da so čuti nezanesljivi in nevredni zaupanja, kar pomeni, da se je treba zanesti na nezmotljivi razum (V, 2.2). Za ponazorilo svoje dileme daje pri- BOETIJ_TXT2013_01.indd 303 28.11.2013 12:20:01 304 Boethius, De institutione musica 304 mer (V, 2.5), ki ga lahko razumemo takole: Razum nezmotljivo vidi, da sta dve polovici celota, da so štiri četrtine celota itd., medtem ko se s prostim očesom dane premice ne da razdeliti na dve točni polovici in še manj na štiri točne četrtine. To pomeni, da daje Boetij absolutno prednost razumskemu sklepanju, ki je zanj nezmotljivo in ki edino lahko privede do resnice. Na področju glasbe so za Boetija razumska sklepanja aritmetične izpe- ljave (oz. spoznavanje aritmetičnih danosti), ki so torej resničnejše od tiste- ga, kar bi sodili na osnovi slušnih zaznav. Primer, ki ga v tej zvezi navaja, je, da tona (velike sekunde) ni mogoče deliti na dva točno enaka poltona (III, 1). Čutu sluha bi se morda zdelo, da je med dva tona, ki sta si narazen za veliko sekundo, možno postaviti ton, ki bi tvoril s spodnjim tonom povsem enak interval kot z zgornjim; a razum pove, da to ni možno, saj razmerje 9/8 (v Boetijevi aritmetiki) ne more imeti kvadratnega korena. Pomenljivo je, da je za Boetija ta aritmetična danost brez kakršnega koli nadaljnjega eksperi- mentiranja s toni dokončni dokaz resničnosti trditve, da tona ni mogoče deli- ti na dva enaka dela. Torej: Raziskovanje glasbe je predvsem raziskovanje in odkrivanje aritmetičnih danosti, ki je tudi edino neokrnjeno in nezmotljivo spoznavanje resničnosti. Na osnovi navedenega primera bi bilo mogoče soditi, da za Boetija med svetom čutom dostopnih pojavov in svetom aritmetičnih danosti ni pove- zave, vendar ni tako. Traktat skrito implicira misel, ki jo Boetij navaja po Ptolemaju (V, 3.3): Čuti ne morejo posredovati česa takega, kar bi bilo v popolnem nasprotju z razumom; čuti bolj ali manj jasno nakazujejo resnico, do katere se v njeni popolnosti dokončno prikoplje le razum. To pomeni: Za čutu sluha dostopnimi pojavi se skriva svet aritmetike, ki je, obstoji v vsem, kar je dostopno čutom. To se sklada z Boetijevim pojmovanjem glas- be: Glasba je vidik resničnosti, tisti, po katerem so vse stvari v medsebojnih razmerjih; ta so izrazljiva le s števili, ki so dostopna samo razumu. Od vseobsegajoče resničnosti k zvoku: fizika zvoka in njegova tipologija V jedru gibajočega se snovnega sveta kot tudi v jedru človeškega bitja so razmerja, in razmerja obstojijo tudi v glasbi. Vse troje – snovni svet, člo- veško bitje, glasba – je torej povezano v eno in zato je možno razmišljati o načinu, kako se to »eno« manifestira v zvoku in glasbi, oz. kako se vidi, da BOETIJ_TXT2013_01.indd 304 28.11.2013 12:20:01 305 305 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe je glasba eno z vsem ostalim. Ta vprašanja razkriva vpogled v fiziko zvoka. Poglavja o fiziki in tipologiji zvoka v Boetijevem besedilu sicer niso nepo- sredno povezana z opisom glasbe svetovja, vendar si povezave med enim in drugim ni težko predstavljati. Poglavja o fiziki in tipologiji zvoka osnove: gibanje – zvok – s števili izrazljivo razmerje I, 3, IV , 1 Nikomahova razlaga konsonančnosti v povezavi z gibanjem I, 31 v čem sta višina in nižina V , 4 vzporeditev zvoka z valovanjem I, 14 tipi zvokov in njihova naravna omejitev I, 12–13 tipi zvokov po Ptolemaju: osnovna delitev V , 5 tipi zvokov po Ptolemaju: izkločitev glissanda V , 6 tipi zvokov po Ptolemaju: določitve V , 11.1–2, V , 12 Izvor vsakega zvoka je gibanje (I, 3, IV, 1): Če bi vse stvari mirovale, bi vladala popolna tišina. Kakršno je gibanje, takšni so tudi ob gibanju nastali zvoki: Enakost dveh gibanj vodi k enakosti dveh zvokov; ob neenakem gi- banju pa nastajajo neenaki zvoki in njihova neenakost je natančno takšna, kot je neenakost gibanj, ki jih poraja. To pomeni: vzrok, da sta dva tona v danem razmerju, je v tem, da sta v istem razmerju tudi gibanji, ki ju pora- jata (I, 31.2). Prav v tem spoznanju je mogoče prepoznati spojenost glasbe gibajočega se svetovja na eni strani in sluhu dostopne glasbe glasbil na drugi strani. In ker so razmerja – tudi razmerja med gibanji, ki porajajo zvoke oz. glasbo – točno in nedvoumno izrazljiva le s števili, so skrito in abstraktno jedro vsega prav s števili izražena razmerja. Čeprav se Boetijevo besedilo zaveda raznovrstnosti zvočnih pojavov, se ukvarja le s toni določenih višin in z razmerji med njimi. Razlog za to je, da je glasba Boetijevega časa oz. časa njegovih virov sestajala le iz teh, pa tudi to, da so bili za Boetija in njegove vire razumsko določljivi in s tem razumsko preverljivi le toni razločnih višin. Iz tonov sestoječi zvočni po- javi so v Boetijevem besedilu sledeč Ptolemaju razvrščeni takole (V, 5–6, V, 11–12): na eni strani je unisono (istozvočni toni oz. istozvočni zvok, ki sestoji iz dveh ali več enako visokih tonov), na drugi pa neistozvočni zvoki, ki sestojijo iz različnih tonov. Neistozvočni zvoki se delijo v dve veliki sku- pini: glissando, kjer toni različnih višin drsno prehajajo drugi v drugega, in intervali s točno določenimi razmerji. (Zelo podobno razlikovanje je podano BOETIJ_TXT2013_01.indd 305 28.11.2013 12:20:01 306 Boethius, De institutione musica 306 tudi v I, 12). Intervali so: enakozvočni intervali, konsonance, melodični in- tervali, disonance in nemelodični intervali. Enakozvočni intervali so oktave. Konsonance so kvarta, kvinta, oktava s kvinto, oktava s kvarto. 24 Disonance so na tem mestu določene le kot intervali, ki neprijetno udarjajo na sluh (V, 11.2). Slednjič so med intervali še melodični in nemelodični. Kaj so eni in kaj drugi, iz Boetijevega besedila niti ni jasno razvidno. Melodični intervali naj bi nastopali v melodijah, kar pomeni, da so tisti od kvarte manjši intervali, ki se pojavljajo kot zaporedni intervali melodij. Za nemelodične intervale izvemo le to, da se ne spajajo v konsonance (V, 11.2) in da niso primerni za melodije (V, 6.2). To pomeni, da so tako majhni, da spoj dveh nemelodičnih intervalov ne doseže najmanše konsonance kvarte. Zakaj ti intervali, ki se v nadaljevanju razprave navajajo kot sestavni deli raznih tetrakordov (V, 16–19), niso primerni za melodije, ni razvidno. Tipologija iz tonov sestavljenih zvokov po Ptolemaju istozvočni (unisono) neistozvočni glissando intervali enakozvočni (oktave) konsonance melodični disonance nemelodični Teorija intervalov Od vseh teh zvokov Boetijevo besedilo obravnava le tiste, ki naj bi bili primerni za glasbo. To so toni določenih višin, ki tvorijo intervale, izrazljive kot razmerja med števili. Glissando je zavrnjen (V, 6.2), in sicer zato, ker je neulovljiv in ker ga ni mogoče določiti in izraziti s števili. V Boetijevi misli so toni količine (I, 6.1, V, 4.1), izrazljive s števili, intervali (spoji dveh tonov) pa razmerja, izrazljiva kot razmerja med števili, tj. kot ulomki (I, 3.4). Kot razmerja se intervali množijo in delijo; ker niso količine, jih ni mogoče se- števati in odštevati. To gledanje je v Boetijevem besedilu ves čas implicitno 24 Oktava in dvojna oktava sta po Ptolemaju enakozvočna intervala, zato pri konsonancah nista omenjena. Boetij ju sicer obravnava v sklopu konsonanc (gl. nadaljevanje). Kar zadeva oktavo s kvarto, navaja Boetij tako pitagorejsko mnenje, po katerem ta interval ni konsonanca (V, 7.2), kot Ptolemajovo zavrnitev tega mnenja (V, 9). BOETIJ_TXT2013_01.indd 306 28.11.2013 12:20:01 307 307 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe prisotno in njegov avtor se kritično distancira od Aristoksenovega sešteva- nja in odštevanja posameznih enakih delov tona (III, 1, V, 13). 25 Nobenega intervala se ne da izraziti drugače kot s števili, in s števili je kateri koli interval tudi nedvoumno določen. Posledica tega je, da Boetij ne vidi razlike med številčnimi razmerji in intervali in da si glasbo zares predstavlja kot uzvočena števila. Tako je razumljivo, da se njegova teorija intervalov pre- kriva s teorijo ulomkov, oz. da je teorija ulomkov, le da je aplicirana na tone. Za razumevanje Boetijeve teorije intervalov je nujno poznavanje stare delitve ulomkov (I, 4), po kateri so ulomki treh osnovnih in dveh izpeljanih vrst: 1. množinski ulomki, pri katerih je imenovalec 1 (2/1, 3/1, 4/1 itd.); 2. superpartikularni ulomki, kjer je števec za 1 večji od imenovalca (3/2, 4/3, 5/4 itd.); 3. superpartientni ulomki, kjer je števec večji od imenovalca za več kot 1 (5/3, 7/4, 8/5 itd.). Iz teh treh zvrsti sta izpeljani še dve kombinira- ni: 4. množinsko superpartikularni so ulomki, kjer je števec mnogokratnik imenovalca s prištetjem števila 1 (5/2; 5 = (2 x 2) + 1); 5. pri množinsko su- perpartientnih ulomkih pa je števec mnogokratnik imenovalca s prištetjem števila, ki je večje od 1 (11/4; 11 = (2 x 4) + 3). Celotna Boetijeva teorija intervalov temelji na določitvi oktave, kvinte in kvarte (I, 7, I, 16, I, 18). Oktava je prvi množinski ulomek 2 : 1, kvinta in kvarta pa sta prva dva superpartikularna ulomka 3 : 2 in 4 : 3. Kvinta in kvarta združeni dasta oktavo (3/2 x 4/3 = 2/1). Ker so navedeni trije ulomki najosnovnejši in prvi v neskončnem zaporedju ulomkov, so tudi navedene konsonance prvi in osnovni temelji glasbe. Iz njih so izpeljani drugi inter- vali: oktava s kvinto je 3 : 1 (2/1 x 3/2 = 3/1), dvojna oktava 4 : 1 (2/1 x 2/1 = 4/1), oktava s kvarto pa 8 : 3 (2/1 x 4/3 = 8/3), kar je množinsko superpar- tientni ulomek (8 = (2 x 3) + 2). Če se kvinti odvzame kvarta, ostane velika skunda (3/2 : 4/3 = 9/8), ki je v Boetijevem traktatu zmeraj le razmerje 9 : 8. Pravkar navedeni intervali so domala vsi od velike sekunde večji intervali, ki jih besedilo omenja. Terc, sekst in septim Boetij skorajda ne pozna: Ne- kajkrat je omenjen dvoton, »ditonos« (I, 21.4, I, 23.3, IV, 6.3–4, IV, 6.6), kar je velika terca 81/64 iz dveh velikih sekund (9/8 x 9/8 = 81/64), ki nastopa v enharmonskem rodu; mala terca je kot zgornji interval tetrakorda kromatič- nega rodu izrecno poimenovana le enkrat (I, 23.2); ko pa Boetij v opisu sis- tema (IV, 6–11) natančno določa kromatične tetrakorde, je mala terca zmeraj 25 Aristoksenova razprava o harmonični teoriji je v angleškem prevodu dostopna v Barker 1989 II. O njem in njegovem delu gl. str. 119–125 navedenega dela. BOETIJ_TXT2013_01.indd 307 28.11.2013 12:20:01 308 Boethius, De institutione musica 308 označena le kot sestav treh poltonov. (To pomeni, da njegova delitev sistema v IV. knjigi ni usklajena z vsebino I, 23.2.) Pač pa se Boetijevo besedilo nadrobno ukvarja s cepitvijo velike sekun- de, tona, in cela vrsta poglavij je posvečena anatomiji tona, tj. vprašanju, iz katerih intervalov sestoji ton. Na začetku vsega tega razpravljanja je spo- znanje, da se nobenega superpartikularnega ulomka ne da razdeliti na dva popolnoma enaka dela (tj. nobenemu superpartikularnemu ulomku se ne da določiti kvadratnega korena). Boetij na več mestih dokazuje to matematič- no danost (I, 16, III, 1, III, 11) in bralec ima vtis, da ga je nasprotje med neizpodbitnostjo in iracionalnostjo te danosti kot misleca vznemirjalo. Ker superpartikularni ulomki nimajo kvadratnega korena, zato ulomka 9/8, ki predstavlja ton (veliko sekundo), v Boetijevi misli nikakor ni mogoče razce- piti na dva popolnoma enaka ulomka. To pomeni, da tona (velike sekunde) ni mogoče razdeliti na dva popolnoma enaka poltona. Od dveh poltonov, ki zapolnjujeta razmerje 9 : 8, bo torej eden zmeraj nekoliko širši od drugega. Do osnovnega poltona pride Boetijeva razprava z nadaljevanjem doslej- šnjih izpeljav (I, 17, II, 28): Če se čisti kvarti odvzameta dva tona, ostane polton v razmerju 256 : 243 (4/3 : 9/8 : 9/8 = 256/243). Kot pokaže izračun (II, 29, III, 13), je ta polton precej manjši od iracionalne točne polovice tona, zaradi česar ga Boetij imenuje mali polton: (256/243) 2 < 9/8 Do istega malega poltona je mogoče priti tako, da se kvinti odvzamejo trije toni (I, 18): 3/2 : (9/8) 3 = 256/243 Ker sta kvinta in kvarta združeni oktava, sestoji torej ta iz petih tonov in dveh malih poltonov (I, 19): (9/8) 5 x (256/243) 2 = 2/1 Če je mali polton 256/243 manjši od točne polovice tona, je preostali del tona nujno večji od njegove polovice (II, 30). Ta interval, druga, večja polovica tona, je apotomé v razmerju 2187/2048 (9/8 : 256/243 = 2187/2048). Razlika med malim poltonom in apotomé je koma (III, 4): BOETIJ_TXT2013_01.indd 308 28.11.2013 12:20:01 309 309 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe 2187/2048 : 256/243 = 531441/524288 Ista koma je tudi razlika, za katero šest tonov v razmerju 9 : 8 presega oktavo (II, 31). Če namreč šestim tonom odbijemo komo, dobimo oktavo: (9/8) 6 : 531441/524288 = 2/1 S tem so postavljeni temelji Boetijeve teorije intervalov. Poudariti je tre- ba, da so prikazana razmerja v Boetijevem pogledu utemeljena v nezmotlji- vem razumu, takšna pa so edino možna in tudi nujna. Poglavja o intervalih aritmetično ozadje vrste razmerij (ulomkov) I, 4 zveza med vrstami razmerij in intervali I, 5 ločljive in strnjene količine: zveza z vrstami razmerij I, 6 razmerja v konsonancah (uvod) I, 7 razmerja osnovnih intervalov, tona ni mogoče deliti na dva enaka intervala I, 16 razmerje malega poltona I, 17 ton kot razkorak med kvarto in kvinto I, 18 oktava kot povezava petih tonov in dveh malih poltonov I, 19 Aristoksenovo pojmovanje intervalov V , 13 konsonance in disonance konsonance in disonance, kot jih dojemajo čuti I, 28 skupna mera kot kriterij konsonančnosti I, 29 Platonova razlaga konsonančnosti I, 30 Nikomahova razlaga konsonančnosti v povezavi z gibanjem I, 31 pitagorejsko določilo konsonančnosti V , 7 oktava s kvarto po mnenju pitagorejcev ni konsonanca II, 27 Ptolemajeva kritika pitagorejskega pojmovanja konsonančnosti V , 8 Ptolemajevo gledanje na oktavo (dokaz, da je okt. s kvarto konsonanca) V , 9–10 Ptolemajeva določitev konsonanc V , 11.3–4 vrednostna razporeditev konsonanc Nikomahova razporeditev konsonanc (uvod) I, 32 vrednostni red konsonanc po Nikomahu II, 18 vrednostni red konsonanc po Evbulidu in Hipasu II, 19 vrednostni red konsonanc po Nikomahu II, 20 dokazi da je oktava v množinskem rodu II, 22 da so kvinta, kvarta in velika sekunda v superpartikularnem rodu II, 23 BOETIJ_TXT2013_01.indd 309 28.11.2013 12:20:01 310 Boethius, De institutione musica 310 da sta kvinta in kvarta v največjih superpartikularnih razmerjih II, 24 da je kvarta v štiritretj., kvinta v tripolov., ton v devetosm. razmerju II, 25 da je oktava s kvinto v trojnem, dvojna oktava v četvernem razmerju II, 26 anatomija tona razmerje malega poltona II, 28 mali polton ni polovica tona II, 29 razmerje apotome II, 30 razmerje kvinte, razmerje oktave, oktava ne sestoji iz šestih tonov II, 31 superpart. razmerja (in tona) se ne da deliti na dve enaki razmerji III, 1 ob odstranitvi dveh tonov od kvarte ne ostane polovica tona III, 2 kvarta ni iz dveh tonov in točnega poltona, oktava ne iz šestih tonov III, 3 razmerje kome III, 4 delitev tona po Filolaju III, 5 ton je iz dveh malih poltonov in kome III, 6 ton presega dva mala poltona za komo III, 7 intervali, manjši od poltona po Filolaju III, 8 določevanje tona in njegovih delov s kombiniranjem konsonanc III, 9 določevanje malega poltona s kombiniranjem konsonanc III, 10 Arhitov dokaz, da se superpart. razmerja ne da deliti na enaka dela III, 11 velikost kome III, 12 velikost malega poltona III, 13 mali polton in koma: primerjava III, 14 apotome in koma, ton in koma: primerjava III, 15 številčni prikaz prejšnjih trditev III, 16 Aristoksenova delitev tona V , 16.1 preizkusi Pitagorovi preizkusi in odkritja I, 10–11 slušna ponazoritev konsonanc IV , 18 preizkus, da je oktava manj kot šest tonov V , 14 Vendar pa Boetijeva razprava o intervalih ne ostaja zgolj pri določanju njihovih razmerij. Intervale prepoznava kot konsonance in disonance; kon- sonance razvršča glede na stopnjo konsonančnosti in določiti skuša logiko njihovih medsebojnih odnosov. Večkrat je v traktatu navedena sodba sluha, po kateri so konsonance prijetne, disonance pa neprijetne (I, 8.3, I, 21.1, IV, 1.4, V, 7.1, V, 11.2). Razlog za to se išče v razmerjih: Po eni od razlag (I, 29) so konsonančni intervali tisti, katerih razmerja imajo skupno mero (tj. števec in imenovalec sta deljiva z istim številom). Ta razlaga ni najbolj prepričljivo izpeljana. Boetij se zateka k sestavljenim ulomkom (6 : 4 namesto 3 : 2) in slednjič navede kot konsonanco tudi veliko sekundo v razmerju 9 : 8, kjer je skupni deljitelj 1. Po drugih razlagah (Nikomahovi v I, 31, pitagorejski v V, BOETIJ_TXT2013_01.indd 310 28.11.2013 12:20:01 311 311 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe 7 in Ptolemajevi v V, 11.3–4) je vzrok konsonančnosti v vrsti razmerja, ki ga predstavljata hkrati zveneča tona. Razprava o tem, katera so ta razmerja, se prekriva z razpravo o vrednostni razporeditvi konsonanc glede na stopnjo konsonančnosti. Boetijevo besedilo navaja tri različne razporeditve konsonanc, ki so vse utemeljene v teoriji ulomkov. (V bistvu so razvrstitve ulomkov, ki jih je treba razumeti kot intervale). Po prvi od teh (II, 18) so množinski ulomki pred superpartikularnimi in tako je vrednostni red sozvočij tale: oktava (2 : 1), ok - tava s kvinto (3 : 1), dvojna oktava (4 : 1), kvinta (3 : 2), kvarta (4 : 3). Po dru - gi razvrstitvi (II, 19) so množinski ulomki vzporedni superpartikularnim; ulomku 2/1 odgovarja ulomek 1/2, iz katerega se po nekem nejasnem postop- ku izpelje ulomek 3/2; pomnožitev teh dveh ulomkov da ulomek 3/1, nasproti kateremu je 1/3, iz katere se (po istem nejasnem postopku) izpelje ulomek 4/3. Pomnožitev slednjih dveh ulomkov da 4/1. Razporeditev konsonanc je po tem gledanju takšna: oktava – kvinta, oktava s kvinto – kvarta, dvojna ok- tava. 26 Tudi pri tretji razporeditvi intervalov (II, 20) se išče vzporednost med množinskimi in superpartikularnimi ulomki, le da je ta razumljena drugače: ulomku 3/1 ustreza 3/2, ulomku 4/1 ustreza 4/3, medtem ko ulomku 2/1 ne ustreza noben ulomek. Iz tega izhaja naslednja vrednostna razporeditev kon- sonanc: oktava, oktava s kvinto – kvinta, dvojna oktava – kvarta. Na to razpravo se navezuje vprašanje, ali je oktava s kvarto konsonan- ca. Ta interval ni niti množinsko niti superpartikularno razmerje, pač pa zapleteno množinsko superpartientno razmerje (2/1 x 4/3 = 8/3; 8 = (2 x 3) + 2), zaradi česar ga pitagorejska tradicija po Boetiju ni štela h konsonan- cam (II, 27, V, 7). Temu nasproti podaja Boetij Ptolemajevo razumevanje oktave (V, 9–10) kot osnovnega in izhodiščnega intervala (sestoječega iz dveh enakozvočnih tonov): Oktava je med konsonancami edina, ki se z dru- gimi konsonancami in sama s sabo druži na tak način, da nastalo ne izgubi konsonančnosti. Spoj dveh kvart je disonančen, tako tudi spoj dveh kvint, a spoj dveh oktav je konsonanca dvojne oktave. Prištetje oktave kateremu koli intervalu ne okrne njegove konsonančnosti in če je kvarta konsonanca, je konsonanca tudi oktava s kvarto. Značilno je, da se tovrstna razmotrivanja o razporedu intervalov oz. kon- sonanc ustavijo pri kvarti. Kljub obširnemu razpravljanju o superpartiku- larnih ulomkih ni v traktatu niti enkrat omenjeno kvarti sledeče superpar- 26 Ta razporeditev je nakazana že v I, 32, kjer je pripisana Nikomahu, in ne Evbulidu in Hipasu, kot v II, 19. BOETIJ_TXT2013_01.indd 311 28.11.2013 12:20:01 312 Boethius, De institutione musica 312 tikularno razmerje 5/4, in prav tako ni omenjeno v njem tudi nobeno drugo superpartikularno razmerje vse do velike sekunde 9/8. Eden od razlogov za to je, da bi velika terca 5/4 v celotni sistem prinesla zmedo, saj se ne bi uje- mala z Boetijevem dvotonom v razmerju 81/64 (9/8 x 9/8 = 81/64). Razmotrivanja o tem, kako naj bodo intervali razporejeni, kaj je njihov vrednostni red, se s stališča novodobne glasbene teorije ne zdijo pomembna; še zlasti nesmiselno se zdi vprašanje, ali je oktava s kvarto (v primerjavi s kvarto) konsonanca. A Boetij oz. v njegovem delu povzeti filozofi so imeli do stvari drugačen odnos; razumljivo je, da so se jim navedena vprašanja porajala in da so iskali razumsko utemeljene odgovore nanje. Boetijevo be- sedilo ne daje občutka, da je v njem dognana končna resnica o intervalih (niti da takšna resnica sploh obstoji); daje pa prepričljiv občutek, da se je ta resnica iskala. Na osnovi prikazane teorije intervalov so razložljive vse Boetijeve iz- peljave in dokazi, domala vse, kar je v traktatu povedano o intervalih. Vse- binskih sestavin, ki se ne skladajo s prikazanim pojmovanjem, je malo in izhajajo iz tistega (Aristoksenovega) razumevanja intervalov, po katerem so intervali količine, ki jih je mogoče seštevati in odštevati. Takšna je Aristo- ksenova delitev tona (V, 16), ki naj bi se delil na dva enaka poltona, na tri enake mehko-kromatične diesis, na štiri enake enharmonske diesis in na osem enakih osmin, katerih ena je skupaj s četrtino tona triosminska hemi- olsko-kromatična diesis. Podobno je s Filolajevo 27 delitvijo tona (III, 8), ki se v osnovi sicer, ujema z Boetijevo (ton sestoji iz malega poltona, ki ga Filolaj imenuje diesis, in apotome, ki je za komo večja od malega poltona), v nadaljevanju pa sledi Aristoksenovemu pojmovanju intervalov: mali polton se namreč po Filolaju deli na dva enaka dela (na dve diashizmi), koma pa na dve enaki shizmi, kar pomeni da sta dve diashizmi in shizma točna polovica tona, ki po Boe- tijevem siceršnjem razumevanju intervalov sploh ne more obstajati. – Tudi Filolajevo določevanje intervalnih razmerij (III, 8) ni videti v skladu s sicer- šnjo teorijo intervalov Boetijevega traktata. Kolikor je brez upoštevanja kon- teksta antičnih matematičnih smeri mogoče presoditi, je bliže numerološki spekulaciji kot pa utemeljeni teoriji. Slednjič je napako, zaradi katere se ves čas spotika ob Aristoksena, zagrešil Boetij tudi sam, in sicer ob primerjavi kome z malim poltonom, 27 Filolaj (Philolaus, 2. pol. 5. stol. pr. Kr.), Sokratov sodobnik in Demokritov učitelj, je bil pitagorejski filozof. Gl. Levin, Philolaus. Ohranjeni fragmenti njegovih del so v angleškem jeziku dostopni v Barker 1989 II, str. 36–38. BOETIJ_TXT2013_01.indd 312 28.11.2013 12:20:01 313 313 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe apotome in tonom (III, 14–16). Boetij postavlja zaporedje števil, katerih medsebojna razmerja predstavljajo skladno z njegovim pojmovanjem vrsto intervalov, med katerimi so tudi mali polton, apotome, koma in ton (velika sekunda). Števila so preračunana tako, da je razmerje kome zajeto z naj- manjšima možnima celima številoma (kot osnovni ulomek). V nadaljevanju razprave jemlje Boetij razlike med števili, s katerimi je določeno vsako od razmerij, kot njihova absolutna določila, spregledujoč, da je interval raz- merje, ki ni določeno z razliko med števcem in imenovalcem (ki je pri istem razmerju lahko tudi različna). Njegova »razlika kome« je razlika med štev- cem in imenovalcem osnovnega ulomka, ki izraža razmerje kome (531441 – 524288 = 7153); s to razliko premerja razliko med terminoma, s katerima je izraženo najbližje razmerje malega poltona (524288 – 497664 = 26624), pri čemer noče videti, da ta razlika ni absolutno določilo malega poltona, saj se loči od razlike med terminoma, s katerima je v njegovem zaporedju določen naslednji mali polton (497664 – 472392 = 25272). Podobno premerja z razliko kome razliko med številoma, ki predstavljata razmerje apotome (531441 – 497664 = 33777), in na osnovi dobljenih primerjav presoja, koliko kom obsega ton (velika sekunda). To pomeni, da postopa na teh mestih z intervali kot količinami, ki se seštevajo in odštevajo (tri kome so manj kot mali polton, štiri so več itd.), kar je v nasprotju z njegovimi pojmovanjem intervalov kot razmerij. Razmerja med tonom, apotome, malim poltonom in komo Razmerje malega poltona Razmerje apotome Razmerje tona 472392 497664 : 472392 = 256 : 243 524288 : 497664 = 256 : 243 531441 : 472392 = 9 : 8 497664 531441 : 497664 = 2187 : 2048 524288 531441 Kot je bilo omenjeno (op. 147 na str. 279), bi moral Boetij, če naj bi bil dosleden, dokazati, da je razmerje kome na tretjo potenco manj kot razmer- je malega poltona, razmerje kome na četrto potenco pa več kot razmerje malega poltona; da je razmerje kome na četrto potenco manj kot razmerje apotome, na peto potenco pa več; in slednjič, da je razmerje kome na osmo potenco manj kot razmerje tona, na deveto potenco pa več kot razmerje tona: (531441 : 524288) 3 < (256 : 243) < (531441 : 524288) 4 BOETIJ_TXT2013_01.indd 313 28.11.2013 12:20:01 314 Boethius, De institutione musica 314 (531441 : 524288) 4 < (2187 : 2048) < (531441 : 524288) 5 (531441 : 524288) 8 < (9 : 8) < (531441 : 524288) 9 Vendar pa prikazana nedoslednost ne zamaje siceršnje Boetijeve teorije intervalov, ki ostaja usklajena, utemeljena in prepoznavna. Tonski sistem Teorija intervalov je v Boetijevem traktatu nujna osnova za razumevanje tistega, kar je imel za glavno vsebinsko sestavino razprave: tonski sistem. Osrednji del IV. knjige (IV, 5–12) je tako posvečen tonskemu sistemu. Ven- dar pa je v Boetijevem traktatu tonski sistem le opisan in eksaktno določen; drugače kot pri njegovi teoriji intervalov, za katero je jasno, da je nujno ta- kšna, Boetij ne pokaže, da je tonski sistem nujno tak, kot ga prikazuje. Stro- go vzeto je tako med njegovo teorijo intervalov in njegovim opisom tonskega sistema vsebinska vrzel: bralec sicer lahko razume logiko tonskega sistema, ne vidi pa njene nujnosti. Utemeljitev sistema je do neka mere razvidna le iz zgodovinskega opisa njegovega nastajanja (I, 20), kjer so mestoma navedeni vzroki, zakaj je bila dodana katera struna. Poglavja o tonskem sistemu in tetrakordih zgodovina nastajanja I, 20 rodovi I, 21 intervali v rodovih I, 23 synaphé I, 24 diázeuxis I, 25 imena tonov, Albinova imena I, 22, I, 26 vzporejanje s planeti I, 27 notacija: notacijski znaki lidijskega modusa / tonusa IV , 3–4 notacija: notacijski znaki vseh modusov / tonusov IV , 16 tetrakordalna delitev sistema, pregled celote IV , 5 pregled celotnega sistema IV , 12 diatonični rod IV , 5 tetrakord hyperboleon IV , 6, IV , 7 tetrakord diezeugmenon IV , 8 tetrakord synemmenon IV , 9 tetrakord meson IV , 10 BOETIJ_TXT2013_01.indd 314 28.11.2013 12:20:01 315 315 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe tetrakord hypaton IV , 11 stalni in premični toni IV , 13 tetrakord: splošno V , 15 Aristoksenova delitev tetrakorda V , 16.2–10 Arhitova delitev tetrakorda V , 17 Ptolemajeva kritika V , 18 Ptolemajeva delitev tetrakorda V , 19 Zaradi lažjega razumevanja naj bo na tem mestu grški tonski sistem kratko predstavljen. Grška glasbena teorija je poznala pravzaprav dva ton - ska sistema, veliki popolni sistem in mali popolni sistem. Vsak je obstajal v treh rodovih: diatoničnem, kromatičnem in enharmonskem. Oglejmo si najprej veliki popolni sistem v diatoničnem rodu in zaradi lažje predstave si ga zamislimo na tonu A. Kot je razvidno iz spodnje predstavitve, obsega dve oktavi in sestoji iz štirih tetrakordov. Tetrakord je zveza štirih tonov v obsegu čiste kvarte; medtem ko sta zunanja dva tetrakorda nespremenljiva (tj. zmeraj sta v razmerju čiste kvarte), se notranja dva spreminjata glede na rod (diatonični, kromatični, enharmonski). V diatoničnem rodu je zapored- je med toni takšno, da je med spodnjima tonoma tetrakorda polton, ki mu sledita dve veliki sekundi. Najnižji ton sistema je zunaj tetrakordov in prvi tetrakord se začenja veliko sekundo nad njim. Spodnja dva tetrakorda in zgornja dva tetrakorda (oktavo više) se stikata v istem tonu (e oz. e'): zgornji ton spodnjega tetrakorda je tako hkrati spodnji ton zgornjega. Ta spoj se imenuje synaphé (I, 24). Drugače od tega je med obema srednjima tetrakor- doma (sredi sistema) velika sekunda (a–h); tetrakorda sta razdružena in ta razdružitev se imenuje diázeuxis (I, 25). A H-c-d-e e-f-g-a h-c'-d'-e' e'-f'-g'-a' Mali popolni sistem sestoji iz začetnega tona zunaj tetrakordalne razpo- reditve in treh spojenih tetrakordov, kar pomeni, da obsega oktavo s kvarto: A H-c-d-e e-f-g-a a-b-c'-d' Kot je bilo omenjeno, obstoji sistem v treh rodovih (I, 21, I, 23). V kro- matičnem rodu so toni tetrakordov razporejeni tako, da nastane zaporedje: polton, polton, mala terca. Veliki popolni sistem in mali popolni sistem ima - ta v kromatičnem rodu tole obliko: BOETIJ_TXT2013_01.indd 315 28.11.2013 12:20:02 316 Boethius, De institutione musica 316 A H-c-des-e e-f-ges-a h-c'-des'-e' e'-f'-ges'-a' A H-c-des-e e-f-ges-a a-b-ces'-d' V enharmonskem rodu je razpored intervalov znotraj tetrakordov tale: četrtina tona, četrtina tona, velika terca. Za četrtino tona uporablja Boetij izraz díesis; ta ima v grščini več pomenov, a nobeden od teh ni nedvoumno povezan z lastnostmi četrttonskega intervala. V enharmonskem rodu imata veliki in mali popolni sistem tole obliko: 28 A H-c*-c-e e-f*-f-a h-c'*-c'-e' e'-f'*-f'-a' A H-c*-c-e e-f*-f-a a-b*-b-d' Enarmónios pomeni 'tisti, ki je v harmoniji', ki je torej harmoničen; chro- matikós je 'barvit', diátonos pa je bodisi 'napet' ali pa 'takšen, ki poteka preko tonov'. Ni razvidno, zakaj naj bi bil ravno enharmonski rod harmoničen, zakaj kromatični barvit in tudi Boetijeva razlaga izraza kromatični je nena- vadna in neprepričljiva (I, 21.3). V Boetijevi predstavitvi sta oba sistema združena v enega samega, ki vključuje tako pet tetrakordov. Na srednji ton (v naši predstavitvi a) se nave - zujeta torej po eni strani dva od srednjega tona ločena, vendar medsebojno spojena tetrakorda (h–e' in e'–a'), po drugi pa je srednji ton (a) izhodišče še enega tetrakorda (a–d'). Vsak tetrakord in vsak ton grškega tonskega sistema ima svoje ime (I, 21.2, I, 22). Ta imena se ne prevajajo. Boetij sicer navaja Albinove 29 prevode imen tetrakordov (I, 26), vendar jih ne uporablja; imen tetrakordov in tonov ni prevajal v latinščino (razen v IV, 3.3), pustil jih je v grščini. Kljub temu naj bodo orientacijsko nakazani njihovi pomeni. 30 Če jih razumemo brez izpustov, so imena za tetrakorde samostalniške zveze z desnim prilastkom v 28 Zvezdica nakazuje znižanje za četrtino tona (diesis). 29 Albinus, ki ga Boetij omenja v I, 12.4 in I, 26, je bil latinsko pišoči avtor; njegova dela o glasbi, geometriji in logiki niso ohranjena. Gl. Bower 1989, str. 20, op. 79. 30 V IV, 3.3 so imena tonov prevedena v slovenščino sledeč Boetijevim latinskim prevodom; v tukajšnji tabeli pa sledi prevod pomenu grških izrazov. Prav zaradi tega se tu navedene prevedenke ne pokrivajo povsem z onimi v IV, 3.3. – V izrazu za zadnji tetrakord, »hyperbolaíon«, je grški dvoglasnik »ai« prešel v latinski dvoglasnik »ae«, ta pa v »e«; Boetijevo besedilo ima tako pravopisno enačico »hyperboleon«, ki je bila takšna prevzeta tudi v slovenščino. BOETIJ_TXT2013_01.indd 316 28.11.2013 12:20:02 317 317 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe rodilniku množine. Samostalnik je (pogosto izpuščena) beseda »tetrakord«, ki ji sledi določilo, katerih tonov oz. strun tetrakord je. To določilo je v ro- dilniku množine ženskega spola; sestoji namreč iz (pogosto izpuščene) od- nosnice »strune« (oz. »strun«), ki je tudi v grščini ženskega spola, in pridev- nika ali deležnika, s katerim so strune določene: »tetrakord najvišjih strun«, »tetrakord srednjih strun« itd. Spodnji ton oz. struna sistema (v naši predstavitvi A) se imenuje pros- lambanomenos, srednja mese (a), struna veliko sekundo nad njo (v naši pred- stavitvi h) pa paramese. Ta imena so pridevniki ženskega spola, saj si je ob njih treba misliti odnosnico »struna«. Proslambanómenos pomeni 'priklju- čena ali privzeta struna', in sicer zato, ker je zunaj tetrakordalne razdeli- tve. Mése je 'srednja', saj je v resnici sredi sistema, paramése pa je 'tista, ki je poleg srednje'. Ostala imena tonov oz. strun so dvodelne besedne zveze. Slovnično so pridevniki ali števniki ženskega spola, ob katerih si je treba misliti izpuščeno odnosnico »struna«. Pridevniku oz. števniku, s katerim je določena struna, sledi določilo tetrakorda, kot je bilo pravkar opisano: »naj- višja najvišjih« (tj. »najvišja struna v tetrakordu najvišjih strun«), »struna ob najvišji srednjih« (tj. »struna, ki je ob najvišji struni v tetrakordu srednjih strun«) itd. Imena strun oz tonov ostajajo enaka ne glede na rod, vendar se po potrebi imenu tona doda ustrezni pridevnik: »enharmonska parhypate hypaton«, »kromatična lichanos meson« itd. (IV, 3–4). 31 Boetijev traktat ne ostaja le pri približnih besednih določitvah interva- lov; vse tone tonskega sistema poda s števili, in z razmerji med njimi so eksaktno določeni vsi v tonskem sistemu obstoječi intervali (IV, 5–12). Da bi bilo vsa razmerja, tudi četrttonska, možno podati s celimi števili, je v traktatu izračunano dovolj veliko število: 9216 (IV, 6.1). Predstavljamo si ga lahko kot struno z 9216 deli, in vsako nadaljnje število je tista točka na tako zamišljeni struni, na kateri zveni ustrezni ton. Celotna struna z 9216 deli zveni torej kot proslambanomenos sistema (v naši predstavitvi A); na polovi- ci strune je mese (a, 4608); na polovici preostale polovice nete hyperboleon (a', 2304); na 8/9 celotne strune je za veliko sekundo višji ton hypate hypa- ton (H, 8192), na polovici tako skrajšane strune paramese (h, 4096). Na 3/4 hypate hypaton (H, 8192) je čisto kvarto višji ton hypate meson (e, 6144), na 3/4 tega števila mese (a, 4608). Po tem načinu so določeni tudi vsi nadaljnji zunanji toni tetrakordov, ki so zmeraj v medsebojnem razmerju 4 : 3. 31 Grški tonski sistem je bil zamišljen abstraktno, tj na nobeni realni višini. Sodobna imena tonov v levem stolpcu na str. 318, s katerimi je možno ponazoriti sestav sistema, so dodana zgolj zaradi lažjega razumevanja. BOETIJ_TXT2013_01.indd 317 28.11.2013 12:20:02 318 Boethius, De institutione musica 318 Ko Boetij izračunava ostale, notranje, premične tone tetrakordov, pri vsakem uporablja isti postopek. To pomeni, da so vsi tetrakordi danega rodu v njegovem sistemu popolnoma enaki. Določimo razmerja v Boetijevih te- trakordih na primeru tetrakorda hyperboleon, ki je kot najvišji izražen z naj- manjšimi števili (gl. ponazorilo na str. 205). Boetijev traktat pozna le veliko sekundo v razmerju 9 : 8; v diatoničnem rodu sta torej obe veliki sekundi v tem razmerju, kar z ozirom na to, da je čista kvarta v razmerju 4 : 3, pomeni, da predstavlja polton Boetijevega diatoničnega rodu razmerje 256 : 243. Dvooktavni sistem: imena tetrakordov in tonov Ton Ime tetrakorda (gr. in slov.) Ime tona (grško) Ime tona (slovensko) A proslambanómenos priključena (struna) H tetráchordon hypáton chordôn tetrakord najvišjih strun hypáte hypáton najvišja (v tetr.) najvišjih (strun) c parhypáte hypáton struna ob najvišji (v tetr.) … d líchanos hypáton struna, ki se igra s kazalcem … e hypáte méson najvišja (v tetr.) srednjih (strun) tetráchordon méson chordôn tetrakord srednjih strun f parhypáte méson struna ob najvišji (v tetr.) … g líchanos méson struna, ki se igra s kazalcem … a mése srednja (struna) tetráchordon synemménon chordôn tetrakord spojenih strun b tríte synemménon tretja (v tetr.) spojenih (strun) c' paranéte synemménon struna ob zadnji (v tetr.) … d' néte synemménon zadnja (v tetr.) spojenih (strun) h tetráchordon diezeugménon chordôn tetrakord razdruženih strun paramése struna ob srednji c' tríte diezeugménon tretja (v tetr.) razdruženih (strun) d' paranéte diezeugménon struna ob zadnji (v tetr.) … e' néte diezeugménon zadnja (v tetr.) razdruženih (strun) tetráchordon hyperbolaíon chordôn tetrakord dodanih strun f' tríte hyperbolaíon tretja (v tetr.) dodanih (strun) g' paranéte hyperbolaíon struna ob zadnji (v tetr.) … a' néte hyperbolaíon zadnja (v tetr.) dodanih (strun) BOETIJ_TXT2013_01.indd 318 28.11.2013 12:20:02 319 319 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe Ta polton je bil v traktatu izračunan že prej (I, 17); niso pa bili izraču- nani intervali Boetijevega kromatičnega in enharmonskega rodu. Ker je v kromatičnem rodu drugi ton isti kot v diatoničnem rodu, je spodnji polton Boetijevega kromatičnega rodu enak poltonu diatoničnega rodu (256 : 243). Naslednji polton Boetijevega kromatičnega rodu (oz. tretji ton kromatičnega tetrakorda, ki je za malo terco oddaljen od zgornjega) je določen po temle postopku: izračuna se polovica razlike med terminoma zgornjih dveh tonov diatoničnega rodu (a' 2304 in g' 2592) in prišteje se terminu nižjega tona (g' 2592, ki je za veliko sekundo oddaljen od zgornjega). Dobljeni termin pred- stavlja tretji ton kromatičnega rodu (ges'): 2592 – 2304 = 288 288 : 2 = 144 2592 + 144 = 2736 Če preračunamo razmerja med tako določenimi termini, vidimo, da je spodnji polton kromatičnega rodu (kot že omenjeno) v razmerju 256 : 243, naslednji polton pa v razmerju 2916 : 2736, kar je 81 : 76; mala terca je po- temtakem v razmerju 2736 : 2304, kar je 19 : 16. 9:8 9:8 256:243 81:64 Boetijev diatonični tetrakord 81:76 19:16 256:243 81:64 64:57 Boetijev kromatični tetrakord BOETIJ_TXT2013_01.indd 319 28.11.2013 12:20:02 320 Boethius, De institutione musica 320 Postopek določevanja tretjega tona kromatičnega rodu je v Boetijevem besedilu le izpeljan; nikjer ni niti komentiran niti ni nikjer obrazloženo, čemu je tak. Poskušajmo premisliti njegov smisel. Če bi se polovica razlike med terminoma zgornjih dveh tonov diatoničnega rodu (a' 2304 in g' 2592) prištela terminu zgornjega tona diatoničnega rodu (a' 2304), bi se določil vmesni ton (as' 2448); bil bi na aritmetični sredini med obema terminoma, zaradi česar bi bilo razmerje med manjšima številoma večje kot razmerje med večjima številoma; spodnji polton (g'-as') bi bil torej manjši od zgor- njega (as'-a'): 2592 – 2304 = 288 288 : 2 = 144 2304 + 144 = 2448 2448 : 2304 = 17 : 16 2592 : 2448 = 18 : 17 (17 : 16) > (18 : 17) Vendar pa je polovica razlike med obema zgornjima terminoma (a' 2304 in g' 2592) prišteta spodnjemu terminu (2592). Spodnja velika sekunda dia- toničnega rodu (f'-g') se s tem razdeli drugače, kot bi se zgornja (g'-a'), in si- cer tako, da je zdaj spodnji polton (f'-ges') večji, zgornji (ges'-g') manjši. Zdi se, da je smisel Boetijevega postopka ta, da je preko njega določen ustrezno širok polton f'-ges': 2916 (f') : 2736 (ges') = 81 : 76 2736 (ges') : 2592 (g') = 19 : 18 (81 : 76) > (19 : 18) Preizkusimo še možnost, da bi se polton med f' in g' določil z aritmetično sredino. Aritmetična sredina med f' 2916 in g' 2592 je 2754: 2916 – 2592 = 324 324 : 2 = 162 2592 + 162 = 2754 Ges' bi bil potemtakem določen s terminom 2754. Ker so v aritmetičnem zaporedju razmerja med manjšimi števili večja, med večjimi pa manjša, bi bil BOETIJ_TXT2013_01.indd 320 28.11.2013 12:20:02 321 321 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe tako določeni polton f'-ges' manjši od poltona ges'-g'. Bil bi v razmerju 2916 : 2754, kar je 18 : 17, medtem ko bi bil zgornji polton tako razpolovljene velike sekunde f'-g' v razmerju 2754 : 2592, kar je 17 : 16. Ta polton, 18 : 17, bi bil sicer večji od spodnjega poltona kromatičnega rodu (256 : 243), vendar pa še vedno manjši od Boetijevega drugega poltona kromatičnega rodu (81 : 76). Od vseh teh poltonov je torej po Boetijevem postopku izračunani polton največji: (256 : 243) < (19 : 18) < (18 : 17) < (17 : 16) < (81 : 76) Očitno je bil razlog za Boetijev postopek prav to, da je z njim določen do- volj širok polton: tolikšen, da se velika sekunda med prvim in tretjim tonom njegovega kromatičnega rodu močno približa razmerju 9 : 8: (256 : 243) x (81 : 76) = (64 : 57) = (512 : 456) (9 : 8) = (513 : 456) Če bi Boetij na enak način določal drugi ton enharmonskega rodu, bi moral poiskati razliko med drugim in tretjim tonom kromatičnega rodu (f' in ges'), jo razpoloviti in dobljeno prišteti spodnjemu terminu (f'). A tokrat ne postopa tako, pač pa ubere pot določevanja aritmetične sredine med ter- minoma e' in f': 3072 (e')– 2916 (f') = 156 156 : 2 = 78 2916 + 78 = 2994 (f*) S tem se mala sekunda e'-f' razdeli na dva neenaka četrttona, na dve diesis, od katerih je spodnja (izražena z večjima številoma) manjša, zgornja (izražena z manjšima številoma) pa večja: 81:64 512:499 499:486 256:243 Boetijev enharmonski tetrakord BOETIJ_TXT2013_01.indd 321 28.11.2013 12:20:02 322 Boethius, De institutione musica 322 Tudi tega postopka Boetij ne utemeljuje in njegov smisel lahko išče bra- lec sam. Ob vseh teh preračunavanjih intervalov si je treba uzavestiti, da njihov smisel ni bil le glasbeni, tj. primerna uglasitev glasbil; bolj kot to je v njih treba gledati iskanje logike tonskega sistema in poskus njegove razum- ske utemeljitve. Razprava o tonskem sistemu se zaključi z določevanjem, kateri toni sistema so stalni in kateri premični (IV, 13). Stalni, nepremični toni siste- ma so spodnji ton (proslambanomenos), ki je zunaj tetrakordalne delitve, in vsi zunanji toni tetrakordov. Ti so v vseh rodovih enaki in delujejo kot pilastri arhitekture celotnega sistema. Nasproti tem tonom se notranji toni tetrakordov menjajo, premikajo z ozirom na rod. Drugi ton enharmonskega tetrakorda je prisoten le v tem rodu in isto je mogoče reči za tretji ton tetra- korda kromatičnega in tretji ton tetrakorda diatoničnega rodu. Slednjič so v tonskem sistemu toni, ki sicer ne spreminjajo višine, vendar imajo v različ- nih rodovih različne funkcije: vsi trije rodovi imajo ton, ki je malo sekundo nad spodnjim tonom, vendar je ta v diatoničnem in kromatičnem rodu drugi ton tetrakorda (trite oz. parhypate), v enharmonskem pa tretji (paranete oz. lichanos). Z razpravo o stalnih in premičnih tonih Boetij dokazuje, kako si skuša uzavestiti vsak možni vidik tonskega sistema. Zvrsti in modusi / tonusi Čeprav pozna Boetijev tonski sistem tri rodove, se nadaljnja razprava omejuje le na diatonični rod. Prikaz zvrsti in modusov izhaja torej iz tonske- ga sistema v diatoničnem rodu. Poglavja o zvrsteh in modusih / tonusih zvrsti sozvočij IV , 14 modusi / tonusi IV , 15 razmerja med modusi / tonusi, osmi modus / tonus IV , 17 Zvrsti danega intervala (IV, 14) so razporeditve tonov in poltonov znotraj njegovega obsega, in sicer kot obstojijo v tonskem sistemu v diatoničnem rodu. Kvarta ima tri možne zvrsti: polton je lahko spodaj (e-f-g-a), sredi (d-e-f-g) ali pa zgoraj (c-d-e-f). Kvinta jih ima štiri: polton je lahko spodaj (e-f-g-a-h), na drugem mestu (d-e-f-g-a), na tretjem (c-d-e-f-g) ali pa zgoraj BOETIJ_TXT2013_01.indd 322 28.11.2013 12:20:02 323 323 Boetijevo pojmovanje temeljev glasbe (f-g-a-h-c'). Podobno ima oktava sedem možnih zvrsti. Besedilo vidi zakoni - tost, po kateri je zvrsti zmeraj za eno manj kot tonov (IV, 14.2). Nadalje se traktat usmerja k vprašanju, koliko zvrsti kvarte, kvinte in oktave obstoji med stalnimi toni sistema (IV, 16.6–14.8). Če si zamislimo dvooktavni sistem v diatoničnem rodu na tonu A in pregledamo v njem vse tiste kvarte, ki obstojijo med stalnimi toni (tj. med zunanjimi toni tetrakor- dov), vidimo, da oklepajo zmeraj le eno zvrst, in sicer tisto, pri kateri je polton spodaj (H-c-d-e, e-f-g-a, a-b-c'-d', h-c'-d'-e', e'-f'-g'-a'). Če na podoben način preiščemo kvinte, ki obstojijo med stalnimi toni, vidimo, da oklepa- jo dve različni zvrsti (A-H-c-d-e, e-f-g-a-h in oktavo više). Slednjič je med stalnimi toni sistema možno najti tri različne zvrsti oktave (A-a, H-h, e-e'). Čeprav besedilo tega ne sporoča izrecno, se zdi, da se išče zakonitost med številom tonov danega intervala in številom zvrsti, ki obstojijo med stalnimi toni sistema: kvarta ima le eno zvrst, kvinta dve, oktava tri. Tovrstna razmi- šljanja z glasbo nimajo prave povezave, vsaj na prvi pogled ne. Vendar je ra- zumljivo, da skuša Boetijev preiskujoči duh prodreti tudi v najbolj skrite vi- dike tonskega sistema, da bi ga tako miselno čim popolneje zajel in obvladal. Na razpravo o zvrsteh se navezuje razprava o modusih (IV, 15–17), ki bi jih z ozirom na ustaljeni pomen besede modus pravilneje poimenovali tonusi. Modusi Boetijevega traktata namreč niso oktavne lestvice z različni- mi razporeditvami tonov in poltonov (tj. oktavne zvrsti), pač pa postavitve tonskega sistema, ki je sam po sebi zamišljen abstraktno, na realne višine. Zveza med oktavnimi zvrstmi in modusi / tonusi je v traktatu le nakazana (IV, 15.1, 15.3). Celotni dvooktavni sistem se namreč postavlja više ali niže po zaporedju tonov in poltonov, kot obstoji v sistemu samem. Pravzaprav se postavlja više ali niže po tonih in poltonih ene od oktavnih zvrsti, in sicer tiste na g (če si dvooktavni sistem zamislimo na tonu A). Zaporedje, po ka- terem se dvooktavni sistem postavlja više, je namreč: ton, ton, polton, ton, ton, polton, ton (kar ustreza zaporedju g-a-h-c'-d'-e'-f'-g'). Modusi / tonusi imajo svoja imena: srednji trije so dorski, frigijski in lidijski; modusi kvar- to pod njimi imajo predpono hipo-, zgornja dva modusa, ki sta kvarto nad dorskim in frigijskim modusom, pa imata predpono hiper- (gl. ponazorilo na str. 233). Najvišji modus je oktavo više od najnižjega in tako nepotreben; vendar traktat vztraja, da je celotni sistem modusov zaključen in popoln šele s priključitvijo osmega modusa (IV, 17.6). Za Boetija oz. za njegove vire so bili modusi / tonusi zelo verjetno posta - vitve dvooktavnega sistema na realne višine, kot so v glasbeni praksi obsta- BOETIJ_TXT2013_01.indd 323 28.11.2013 12:20:02 324 Boethius, De institutione musica 324 jale, bile poznane in uzaveščene. Katere so bile te višine, ni znano, saj fizika Boetijevega traktata (in njegovih virov) ni premogla sredstva, s katerim bi bila absolutno določena katera koli višina. Za sodobni pogled je tako sistem modusov / tonusov z ozirom na dejanske višine – kljub temu, da so višinske razlike med njimi jasno določene, še zmeraj le relativen. V. knjiga se zaključi s poglavji, v katerih so predstavljeni Aristokseno- vi, Arhitovi 32 in Ptolemajevi tetrakordi oz. njihovi rodovi (V, 15–19). Zveza med temi poglavji in celoto na prvi pogled ni razvidna, vendar spadajo k obravnavi tonskega sistema. Ob vsaki od podanih delitev si je treba namreč predstavljati celotni dvooktavni sistem z enako razporeditvijo notranjih to- nov vseh petih tetrakordov, kot jo ima opisani tetrakord. Navedena poglavja podajajo tako sistem z drugačnimi razporeditvami premičnih tonov, kot so one v IV. knjigi. Aristoksenovi rodovi (V, 16) izhajajo iz njegove enakomerne delitve tona vse do ene osmine. Različno od njega si je Arhitas prizadeval, da bi bila razmerja med štirimi toni v vseh treh rodovih čim bolj usklajena. Če povza- memo in dopolnimo Boetijeve navedbe (V, 17), imajo Arhitovi tetrakordi tale notranja razmerja: 33 Razmerja v Arhitovih treh rodovih tetrakorda Diatonični Kromatični Enharmonski 9 : 8 32 : 27 5 : 4 8 : 7 243 : 224 36 : 35 28 : 27 28 : 27 28 : 27 Ker so vse te delitve v Boetijevem besedilu navedene iztrgano iz njihovih kontekstov, jim je težko videti smisel. Ne glede na to, ali so odraz katere kdaj koli resnično obstoječe glasbe ali ne, so poskusi, kako utemeljeno določiti razmerja v tonskem sistemu. Zadnji del Boetijeve razprave, kjer so bili predstavljeni Ptolemajevi te- trakordi, je izgubljen (gl. seznam poglavij na str. 17). 32 Arhitas iz Tarenta (Archytas, 1. pol. 4. stol. pr. Kr.), Platonov prijatelj in morda Filolajev učenec, je bil matematik in glasbeni teoretik. Gl. Barbera, Archytas. Boetij navaja tudi njegov dokaz, da superpartikularna razmerja nimajo kvadratnega korena (III, 11). Ohranjeni Arhitovi fragmenti so v angleškem prevodu dostopni v Barker 1989 II, str. 39–42; na str. 46–49 navedenega dela je obravnavan njegov tonski sistem. 33 V spodnji vrsti je razmerje med prvo in drugo struno, v srednji med drugo in tretjo, v zgornji pa med tretjo in četrto. BOETIJ_TXT2013_01.indd 324 28.11.2013 12:20:02 325 Latinsko besedilo pričujoče izdaje je doslej edina sodobna kritična redakcija Boetijeve razprave o glasbi, ki jo je leta 1867 izdal Godefredus Friedlein. Friedlein je Boetijevo besedilo redigiral zlasti na osnovi sedmih južnonemških rokopisov. Kot je bilo opaženo, 1 si je prizadeval napraviti raz- pravo čim bolj razumljivo, tudi pri aritmetičnih izračunih, in v tem smislu je dajal prednost mlajšim in razumljivejšim besedilnim enačicam pred starej- šimi, ki naj bi bile načeloma sicer bliže izvirniku. Vsekakor je Friedleinova redakcija smiselna in uporabna. Mestoma se sicer zdi, da bi morala biti ločila z ozirom na smisel besedila postavljena drugače, in glede številnih členkov se včasih zastavlja vprašanje, ali niso le dodatki srednjeveških kopistov. Tudi pravopisno se Friedleinova izdaja v nekaterih posameznostih ne drži stan- darda. Tako se glas n ne asimilira, in v tej izdaji beremo inlaboratus namesto illaboratus, conlatio namesto collatio, nunquam namesto numquam, quae- cunque itd.; dosledno piše sesqualter namesto sesquialter. Pričujoča izdaja latinskega besedila ne posega niti v Friedleinov pravopis niti ne v njegovo sintakso, pač pa ima nekaj drugih izboljšav in posodobitev. Posamična redka mesta so bila vsebinsko popravljena, in sicer skladno s predlogi angleškega prevajalca C. Bowerja. Nekateri od popravkov so ome- njeni v ustreznih opombah k slovenskemu besedilu, nekateri manjši pa so nekomentirani. V Friedleinovi redakciji je pred vsako številko in za njo pika. Te pike so bile odstranjene, kar je na nekaj maloštevilnih mestih narekovalo postavitev drugega ločila, vejice, ki je v Friedleinovi redakciji ni. Tudi pike za naslovi poglavij so bile opuščene. V rimskih številkah imajo v Friedleino- vi redakciji tisočice nadpisano črto, v pričujoči izdaji pa so tisočice iz tehnič - nih razlogov podčrtane. Friedleinova redakcija skorajda nima odstavkovne členitve. Zaradi lažjega razumevanja, preglednosti, pa tudi zaradi možnosti sklicevanja je v pričujoči izdaji besedilo znotraj poglavij deljeno na odstav- 1 Bower 1989, str. XXXIX. O ureditvi latinskega besedila in prevodu BOETIJ_TXT2013_01.indd 325 28.11.2013 12:20:02 326 Boethius, De institutione musica ke. Odstavkovna delitev, ki se mestoma zgleduje pri angleškem prevodu, sledi vsebini. Vsak odstavek je tako v slovenskem kot latinskem besedilu označen z dvema številkama, od katerih pomeni prva poglavje, druga pa mesto odstavka znotraj njega. Pri sklicevanju so knjige označene z rimski- mi številkami; npr. oznaka IV, 1.4 pomeni četrti odstavek prvega poglavja četrte knjige. Grafični prikazi so bili narejeni na novo. Težko je presoditi, če sploh mogoče, kako jih je oblikoval Boetij sam. Z ozirom na to, da je pri njih pomembnejši smisel kot pa zunanji (likovni) izgled, je razumljivo, da se pre- vodi glede oblike grafičnih prikazov močno razlikujejo. V pričujoči izdaji so grafični prikazi narejeni po Friedleinovih, vendar so mestoma nekoliko prilagojeni – zlasti zaradi boljše preglednosti, pa tudi možnosti uporabljene- ga risalnega orodja. V primerih, ko se je zdelo, da bi bilo prikaz možno še bolj razumljivo oblikovati, je bilo to narejeno v slovenskem besedilu. Jezik Boetijeve razprave, sicer knjižna klasična latinščina, ima nekaj značilnosti, ki povzročajo prevajalske težave. Prva od teh je, da je jezik pre- obložen s členki in vezniki (quidem, vero, enim autem, sed, igitur, item, quoniam itd.). Na mnogih mestih imajo te besedice zgolj retorično funkcijo, in sicer največkrat navezovalno (z njimi se stavki navezujejo drugi na dru- gega), pri čemer je pomen teh členkov mestoma celo v nasprotju s smislom stavka. Tako »sed« na začetku stavka ne uvaja zmeraj nečesa protivnega, »igitur« ne nečesa posledičnega, »quoniam« ne uvaja zmeraj razloga. Tudi sicer so v Boetijevem besedilu primeri, ko se sintaktični odnosi (vzročnost, posledičnost, pogojnost ipd.) ne skladajo z odnosi v razlagani vsebini, ali pa so takšni, kakršni so, bolj zaradi retoričnega sloga razprave kot pa zaradi vsebine. Poudariti je treba: slovenski prevod, ki si prizadeva biti razumljiv, ni prevod Boetijevih ubeseditev v razpravi o glasbi, pač pa je prevod vsebine te razprave, ki je izražena sicer preko določenih Boetijevih ubeseditev. To pomeni, da se izogiba tistim preubeseditvam, ki bi po nepotrebnem otež- kočale razumevanje že sicer zelo zahtevnega besedila, in tistim, ki bi bile zavajajoče in v nasprotju s smislom. Drugo težavo predstavljajo Boetijeve pogoste zlasti metonimične pomen- ske zamenjave. Tako pride npr. do vprašanja, ali je z uporabljenim izrazom mišljen zvok ali pa morda zvok določene višine, torej ton; ali ima v mislih razmerje ali interval kot konkretizirano razmerje; ali je govor o tonu kot se - stavini intervala ali pa o intervalu kot celoti; ali misli intervale nasploh ali pa le konsonance itd. (gl. pomene posameznih ključnih izrazov v Pojmovniku BOETIJ_TXT2013_01.indd 326 28.11.2013 12:20:02 327 Boetijeve glasbene teorije). Strogo gledano so tovrstne uporabe izrazov za nekaj, kar je na neki način samo povezano z njihovimi pomeni, terminološka ohlapnost in nenatančnost. Ta ima svoj izvor zelo verjetno v tem, da se je Boetij ob snovanju svoje razprave učil, spoznaval in iskal ustrezno latinsko izrazje. Slovenski prevod skuša zmeraj imenovati tisto, kar je z ozirom na sosledje dejansko mišljeno. Ker naj bi bil prevod razumljiv in berljiv, se ne trudi iskati natančnih slovenskih ustreznic za Boetijeve nenatančne ubesedi- tve sicer jasno razvidnih misli. Boetijeve lastne ubeseditve pa so kritičnemu bralcu dostopne v latinskem delu te izdaje. O ureditvi latinskega besedila in prevajanju BOETIJ_TXT2013_01.indd 327 28.11.2013 12:20:02 BOETIJ_TXT2013_01.indd 328 28.11.2013 12:20:02 329 Oblikoslovni navedki pri latinskih izrazih so orientacijski in niso slovarsko dosledni; manjkajo zlasti pri besednih zvazah in nekaterih grških izrazih, katerih pregibanju se je Boetij izogibal. Pravopisna oblika latinskih besed je poenotena in standardizi- rana. Mesto, kje v besedilu se izraz pojavi, je navedeno bodisi kot ilustracija ali pa v primeru, ko je raba redka in neregularna. Izrazi, ki se z istimi pomeni standardno pojavljajo skozi celotno besedilo, nimajo navedenih pojavitev. Obstoji konkordanca Boetijevega traktata: Bernhard 1979; prim. tudi Lexicon. Glasba harmonija kot usklajen in uravnan spoj harmonia, ae, ž (I, 2.3) glasba kot resničnost musica, ae, ž harmonia, ae, ž (I, 1.9, V , 6) harmonica ars, ž (V , 6.2) glasba kot kvadrivialna disciplina musica, ae, ž harmonica, ae, ž, V , 2.1 glasbeni musicus 3 harmonicus 3 glasba svetovja musica mundana, ž glasba človeškega bitja musica humana, ž glasba glasbil musica in instrumentis constituta melodija sama po sebi melos, sr melodija kot nekaj členjenega modulatio, onis, ž (I, 3.1) harmonica modulatio, ž (I, 1.13) modulata vox, ž (II, 20.3) melodija kot zaokrožena celota cantilena, ae, ž melodija s poudarkom na značaju modus, i, m (I, 1.3–4) pesem, predvsem peta carmen, inis, sr ( III, 3.1) canticum, i, sr (I, 1.14) peti, igrati cano 3 snovanje melodij harmonica inventio, ž (I, 15.1) snovati melodije carmina fingo 3 (I, 34.4) pesnik (hkrati tudi snovalec melodij) poeta, ae, m muzik, glasbenik (ki razumeva nauk) musicus, i, m harmonicus, i, m, (V , 3.3) Pojmovnik Boetijeve glasbene teorije BOETIJ_TXT2013_01.indd 329 28.11.2013 12:20:02 330 Boethius, De institutione musica razsojati o glasbi iudico 1 (I, 34.7) perpendo 3 (I, 34.7) Zaznavanje zaznava perceptio, onis, ž (I, 1.1) čut sensus, us, m sluh auditus, us, m razum ratio, onis, ž Značaj glasbe nasladen lascivus 3 (I, 1.5) trd durus 3 (I, 1.6) umirjen mediocris 2 (I, 1.6) raztresen dissipatus 3 (I, 1.3) neskladen incohaerens (I, 1.3) prijeten dulcis 2 (I, 1.3) usklajen coaptus 3 (I, 1.3) zadržan pudens (I, 1.6) skromen modestus 3 (I, 1.6) sladko (način petja) suaviter (I, 1.15) veselje, ugodje (ob glasbi) delectatio, onis, ž (I, 1.4) resnost, vzvišenost (lastnost glasbe) gravitas, atis, ž (I, 1.6) veseliti se (ob glasbi) delector 1 (I, 1.3) razveseljevati (z glasbo) oblecto 1 (I, 1.13) biti neprijetno vznemirjen (ob glasbi) angor 3 (I, 1.3) sladek, prijeten (kot lastnost konsonance) suavis 2 (I, 28.1) sladko, prijetno (kot način dojemanja konsonanc) suaviter (I, 8.3) neprijetno (kot način dojemanje disonanc) insuaviter (I, 8.4) Glasbila glasbilo instrumentum, i, sr organum, i, sr (I, 1.6) tuba tuba, ae, ž rog cornu, us, sr tibija tibia, ae, ž kitara cithara, ae, ž orgle organum, i, sr, (I, 34.5) quae ad aquam moventur (I, 2.5) igralka na tibijo tibicina, ae, ž kitarod citharoedus, i, m avlod auloedus, i, m tolčenje, udarjanje (na glasbilo) percussio, onis, ž (I, 2.5) sapa (kot sredstvo proizvajanja tonov) spiritus, us, m (I, 2.5) BOETIJ_TXT2013_01.indd 330 28.11.2013 12:20:02 331 struna chorda, ae, ž nervus, i, m zatrzati (struno) pello 3 (I, 3.3) pulso 1 (IV , 18.4, V , 14.2) napeti (struno) intendo 3 spustiti (struno) remitto 3 spuščen (struna) laxus 3 (I, 3.2) napet (struna) tensus 3 (I, 3.2) Zvok, ton utripanje (kot način nastajanja zvoka) pulsus, us, ž zveneti sono 1 zvok (splošno) sonitus, us, m (I, 9.3) zvok (glasbila) sonus, i, m (I, 1.10) glas (kot zaporedje različnih tonov) vox, ocis, ž (I, 12.1) ton sonus, i, m (I, 3.2, I, 8.1) vox, ocis, ž (I, 16.1) visok acutus 3 nizek gravis 2 visoko (prisl.) acutum (I, 3.2) nizko (prisl.) grave (I, 3.2) višina acumen, inis, sr nižina gravitas, atis, ž drseči glas (glissando) vox continua, ž glas, ki poteka preko zaporednih intervalov vox intervallo suspensa, ž vox disgregata, ž Intervali interval proportio, onis, ž (II, 19.1, III, 15.1) vocum proportio, ž (I, 1.15) comparatio, onis, ž (V , 19.1) spatium, i, sr (II, 23.3, II, 25.1, III, 8.1) distantia, ae, ž (IV , 17.1) intervallum, i, sr (I, 8.2) consonantia, ae, ž (I, 3.1, I, 16.1) vox, ocis, ž (IV , 1.4) sonus, i, m (I, 28.1, IV , 1.4) symphonia, ae, ž (I, 11.1) zveneti hkrati z drugim tonom consono 1 (IV , 18.4) zveneti zaporedno za drugim tonom dissono 1 (IV , 18.4) sočasni interval consonantia, ae, ž (IV , 18.5) zaporedni interval dissonantia, ae, ž (IV , 18.5) konsonanca (konsonančni interval) consonantia, ae, ž symphonia, ae, ž harmonia, ae, ž (I, 5.1) concordia, ae, ž (II, 18.2) concinentia, ae, ž (I, 16.1) Pojmovnik Boetijeve glasbene teorije BOETIJ_TXT2013_01.indd 331 28.11.2013 12:20:02 332 Boethius, De institutione musica zveneti konsonančno consono 1 (IV , 5.3) konsonančen (lastnost intervala) consonus 3 skladnost, sozvočnost (kot lastnost konsonanc) concordia, ae, ž concinentia, ae, ž (I, 5.1) disonanca (disonančni interval) dissonantia, ae, ž disonančen (lastnost intervala) dissonus 3 nekonsonančen inconsonus 3 (II, 27.3) biti v disonančnem odnosu discordo 1 (I, 3.4) inconsono 1 (I, 10.2) istozvočni (toni, intervali) unisonus 3 univocus 3 (V , 11.3) aequisonus 3 (V , 6.2) enakozvočni (toni, intervali) aequisonus 3 (V , 11.2) enakozvočnost (v oktavah) aequisonantia, ae, ž (V , 11.4) aequisonatio, onis, ž (V , 12.2) melodični (toni, intervali) emmeles (v mn. emmelis) nemelodični (toni, intervali) ekmeles (v mn. ekmelis) oktava diapason kvinta diapente kvarta diatessaron oktava s kvarto diapason ac/et diatessaron oktava s kvinto diapente et/ac diapason diapason et/ac diapente dvojna oktava bis diapason dvoton (velika terca) ditonus, i, m poldrugi ton (mala terca) triemitonium, i, sr (I, 23.2) ton (velika sekunda) tonus, i, m nesestavljeni interval (ki se ne pojmuje kot sestav več manjših intervalov) incompositus 3 (I, 23.2) mali polton (256:243) semitonium, i, sr semitonium minus, sr diesis, ž (po Filolaju) limma, sr (II, 28.1) veliki polton (apotome) apotome, ž semitonium maius, sr koma (razlika med dvema poltonoma in veliko sekundo) comma, atis, sr enharmonska diesis (po Boetiju) diesis, ž (IV , 7.4) diesis enarmonios, ž (V , 16.3) shizma, polovica kome (Filolaj) schisma, sr polovica malega poltona (Filolaj) diaschisma, sr polton (Aristoksen) semitonium, i, sr mehko-kromatična diesis (Aristoksen) diesis chromatis mollis BOETIJ_TXT2013_01.indd 332 28.11.2013 12:20:03 333 hemiolsko-kromatična diesis (Aristoksen) diesis chromatis hemiolii Sistemi delitev na monokordu regularis divisio, ž partitio, onis, ž oštevilčeni monokord monochordum regulare, sr regula, ae, ž (IV , 1.1) ravnilo, ravnilo na monokordu, pravilo regula, ae, ž zveza štirih tonov, štiristrunje quadrichordum, i, sr (I, 20.1) pentakord, peterostrunje pentachordum, i, sr (IV , 8.1) heptakord, sedmerostrunje heptachordum, i, sr (I, 20.4) oktakord, osmerostrunje octachordum, i, sr (I, 20.3, I, 20.4) eneakord, deveterostrunje enneachordum, i, sr ( I, 20.5) oktavni sistem diapason constitutio, ž mali popolni sistem (oktava s kvarto) synemmenon constitutio, ž veliki popolni sistem (dvooktavni) bis diapason constitutio, ž zaporedje tonov znotraj dvojne oktave ordo, inis, m (IV , 17.2) tetrakord tetrachordum, i, n povezan, spojen v istem tonu (za tetrakord v odnosu do drugega tetrakorda) synemmenon razdružen z vel. sekundo (za tetrakord v odnosu do drugega tetrakorda) diezeugmenon razdružitev diazeuxis, ž spoj synaphe, ž imena tetrakordov hypaton meson synemmenon diezeugmenon hyperboleon imena tonov nete hyperboleon paranete hyperboleon trite hyperboleon nete diezeugmenon paranete diezeugmenon trite diezeugmenon paramese paramesos (IV , 3.3) nete synemmenon paranete synemmenon trite synemmenon mese Pojmovnik Boetijeve glasbene teorije BOETIJ_TXT2013_01.indd 333 28.11.2013 12:20:03 334 Boethius, De institutione musica imena tonov lichanos meson parhypate meson hypate meson lichanos hypaton hyperhypate (I, 20.5) parhypate hypaton hypate hypaton proslambanomenos prosmelodos (I, 20.10) premični ton mobilis vox, ž nepremični ton immobilis vox, ž rod genus, eris, sr diatonični diatonus / diatonos diatonični rod genus diatonum, sr diatonum, sr genus diatonicum, sr (I, 23.1) kromatični chromaticus 3 kromatični rod genus chromaticum, sr chroma, atis, sr (I, 15.1) enharmonski enarmonios enharmonski rod harmonia, ae, ž (I, 15.1) genus enarmonium, sr mehki rod (Aristoksen) genus mollius, sr ostri rod (Aristoksen) genus incitatius, sr mehko-diatonični rod (Aristoksen) molle diatonicum, sr ostro-diatonični rod (Aristoksen) diatonicum incitatum, sr mehko-kromatični rod (Aristoksen) chroma molle, sr hemiolsko-kromatični rod (Aristoksen) chroma hemiolium, sr tonično-kromatični rod (Aristoksen) chroma toniaeum, sr gosti (rod) spissus 3 negosti (rod) non spissus 3 Tonusi / modusi zvrsti sozvočij species, erum, ž, mn zvrsti kvarte species diatessaron zvrsti kvinte species diapente zvrsti oktave species diapason tonus / modus modus, i, m tonus, i, m tropus, i, m modulatio, onis, ž (IV , 15.4) hipodorski modus (modus) hypodorius, ii, m hipofrigijski modus (modus) hypophrygius, ii, m hipolidijski modus (modus) hypolydius, ii, m BOETIJ_TXT2013_01.indd 334 28.11.2013 12:20:03 335 dorski (modus) dorius, ii, m frigijski (modus) phrygius, ii, m lidijski (modus) lydius, ii, m miksolidijski (modus) myxolydius, ii, m (modus) hyperdorius, ii, m hipermiksolidijski (modus) hypermixolydius, ii, m Notacija glasbeni znaki notae musicae, ž, mn notulae musicae, ž, mn Ritem ritem rhythmus, i, m počasnost tarditas, atis, ž (I, 1.10) spondej spondeus, i, m (I, 1.10) Pojmovnik Boetijeve glasbene teorije BOETIJ_TXT2013_01.indd 335 28.11.2013 12:20:03 BOETIJ_TXT2013_01.indd 336 28.11.2013 12:20:03 337 Navedenke Atkinson 2009 Atkinson, Charles M., The Critical Nexus. Tone-System, Mode, and Notation in Ear- ly Medieval Music, Oxford, Oxford University Press, 2009. Barbera, Archytas Barbera André, Archytas, Grove Music Online. Barker 1989 II Barker, Andrew, Greek Musical Writings II. Harmonic and Acoustic Theory, Cam- bridge, Cambridge University Press, 1989. Bernhard 1979 Michael Bernhard, Wortkonkordanz zu Anicius Manlius Severinus Boethius De in- stitutione musica, München, Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1979 (Veröffentlichungen der Musikhistorischen Kommision 4). Boethius, New Advent (splet). Bower 1989 Anicius Manlius Severinus Boethius, Fundamentals of Music, prevod, uvod in opombe Calvin M. Bower, New Haven, London, Yale University Press, 1989. Bower, Boethius Bower, Calvin M., Boethius, Grove Music Online. British Library. Incunabula. Short Title Catalogue (splet). Caldwell 1981 Caldwell, John, The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica, Boethius. His Life, Thought and Influence, ur. Margaret Gibson, Oxford, Basil Blackwell, 1981, str. 135–154. Chadwick 1981 Chadwick, Henry, Boethius. The Consolation of Music, Logic, Theology and Philo- sophy, Oxford, Clarendon Press, 1981. Literatura BOETIJ_TXT2013_01.indd 337 28.11.2013 12:20:03 338 Boethius, De institutione musica Friedlein Anicii Manlii Torquati Severini Boetii De institutione arithmetica libri duo, De in- stitutione musica libri quinque, accedit Geometria quae fertur Boetii, ur. Go- dofredus Friedlein, Leipzig, B. G. Teubner, 1867. Gspan 1957 Gspan, Alfonz, Badalić, Josip, Inkunabule v Sloveniji, Ljubljana, SAZU, 1957. Levin, Philolaus Levin, Flora R., Philolaus, Grove Music Online. Lexicon Lexicon Musicum Latinum medii aevi. Wörterbuch der lateinischen Musiktermino- logie des Mittelalters bis zum Ausgang des 15. Jahrhunderts, ur. Michael Bern- hard, München, Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1992 –. Marzi 1990 An. M. T. Severini Boethii De institutione musica, uvod, prevod in opombe Giovanni Marzi, Rim, Istituto italiano per la storia della musica, 1990. Matthews 1981 Matthews, John, Anicius Manlius Severinus Boethius, Boethius. His Life, Thought and Influence, ur. Margaret Gibson, Oxford, Basil Blackwell, 1981, str. 15–43. Patrologia Latina 63 De institutione musica, Patrologia Latina 63, ur. J.-P. Migne, Pariz 1847, stolpci 1167–1300. Pöhlmann 1970 Pöhlmann, Egert, Denkmäler altgriechischer Musik, Nürnberg, Hans Carl, 1970. Vesel 1999 Anicius Manlius Severinus Boethius, Opuscula sacra / Anicij Manlij Severin Boetij, Filozofsko-teološki traktati, prevod in spremna beseda Matjaž Vesel, Ljubljana, Založba ZRC, 1999 (Philosophica, series classica). Izdaje, prevodi Boetijevega traktata o glasbi De Musica libri quinque, Patrologia Latina 63, ur. J.-P. Migne, Pariz 1847, stolpci 1167–1300. Anicii Manlii Torquati Severini Boetii De institutione arithmetica libri duo, De in- stitutione musica libri quinque, accedit Geometria quae fertur Boetii, ur. Go- dofredus Friedlein, Leipzig, B. G. Teubner, 1867. Des Anicius Manlius Severinus Boetius fünf Bücher über Musik, prev. Oscar Paul, Leipzig 1872 (reprint Hildesheim, New York 1973). Anicius Manlius Severinus Boethius, Fundamentals of Music, prevod, uvod in opombe Calvin M. Bower, New Haven, London, Yale University Press, 1989. BOETIJ_TXT2013_01.indd 338 28.11.2013 12:20:03 339 An. M. T. Severini Boethii De institutione musica, uvod, prevod in opombe Giovanni Marzi, Rim, Istituto italiano per la storia della musica, 1990. Boèce, Traité de la musique, uvod, prevod in opombe Christian Meyer, Brepols 2005. Konkordanca Michael Bernhard, Wortkonkordanz zu Anicius Manlius Severinus Boethius De in- stitutione musica, München, Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1979 (Veröffentlichungen der Musikhistorischen Kommision 4). Boetij v slovenščini Anicius Manlius Severinus Boethius, Opuscula sacra / Anicij Manlij Severin Boetij, Filozofsko-teološki traktati, prevod in spremna beseda Matjaž Vesel, Ljubljana, Založba ZRC, 1999 (Philosophica, series classica). Anicius Manlius Severinus Boethius, Philosophiae consolatio / Anicij Manlij Severin Boetij, Tolažba filozofije, prevod in uvodna beseda Gorazd Kocijančič, Ljubljana, Narodna in univerzitetna knjižnica, 2012. Boetij splošno Boèce ou la chaîne des savoirs, Actes du colloque international de la Fondation Sin- ger-Polignac, Paris, 8–12 juin 1999, ur. Alain Galonnier, Louvain, Pariz, Dudley, Peeters, 2003 (Philosophes médiévaux, 44). Boethius. His Life, Thought and Influence, ur. Margaret Gibson, Oxford, Basil Blackwell, 1981. Chadwick, Henry, Boethius. The Consolation of Music, Logic, Theology and Philo- sophy, Oxford, Clarendon Press, 1981. Boethius and the Liberal Arts. A Collection of Essays, ur. Michael Masi, Bern, Las Vegas, Lang, 1981. Matthews, John, Anicius Manlius Severinus Boethius, Boethius. His Life, Thought and Influence, ur. Margaret Gibson, Oxford, Basil Blackwell, 1981, str. 15–43. Viri Boetijevega traktata o glasbi Pizzani, Ubaldo, Studi sulle fonti del 'De Institutione Musica' di Boezio, Sacris eru - diri 16 (1965), str. 5–164. Bower, Calvin M., Boethius and Nicomachus: An Essay Concerning the Sources of De Institutione Musica, Vivarium 16 (1978), str. 1–45. Kárpáti, András, Translation or Compilation? Contributions to the Analysis of Sources of Boethius' De institutione musica, Studia musicologica 29/1–4 (1987), str. 5–33. Vidiki Boetijeve glasbene teorije Schrade, Leo, Die Stellung der Musik in der Philosophie des Boethius als Grundlage Literatura BOETIJ_TXT2013_01.indd 339 28.11.2013 12:20:03 340 Boethius, De institutione musica der ontologischen Musikerziehung, Archiv für Geschichte der Philosophie 41 (1932), str. 368–400 (ponatis: Schrade, Leo, De scientia musicae studia atque orationes, Bern, Stuttgart, P. Haupt, 1967, str. 76–112). Kunz, P. Lucas, Die Tonartenlehre des Boethius, Kirchenmusikalisches Jahrbuch 31–33 (1936–1938), str. 5–24. Bragard, Roger, Boethiana. Études sur le 'De institutione musica' de Boèce, Hom- mage à Charles van den Borren: Mélanges, Antwerpen, N. V. de Nederlandsche Boekhandel, 1945, str. 84–139. Schrade, Leo, Music in the Philosophy of Boethius, Musical Quarterly 33/2 (1947), str. 188–200. Potiron, Henri, La notation grecque et Boèce, Rim 1951. Turrell, Frances Berry, The 'De Musica' of Boethius. Its Place in the History of Music Theory, Los Angeles, The University of Southern California Press, 1958. Fellerer, Karl Gustav, Die Musica in den Artes liberales, Artes liberales. Von der antiken Bildung zur Wissenschaft des Mittelalters, ur. Josef Koch, Leiden, E. J. Brill, 1959, str. 33–49 (Studien und Texte zur Geistesgeschichte des Mittelalters 5). Potiron, Henri, Boèce, théoricien de la musique grecque, Pariz, Bloud & Gay, 1961. Lipmann, Edward Arthur, The Place of Music in the Liberal Arts, Aspects of Me- dieval and Renaissance Music. A Birthday Offering to Gustave Reese, ur. Jan LaRue, New York, Norton, 1966, str. 545–559 (repr. New York, Pendragon, 1978). Dehnert, Edmund John, Music as a Liberal Art in Augustine and Boethius, Arts li- béraux et philosophie au Moyen Âge, Actes du Quatrième Congrès International de Philosophie Médiévale, Université de Montréal, 27 août – 2 septembre 1967, Montréal, Institut d'Études Médiévales, Pariz, Librairie Philosophique J. Vrin, 1969, str. 987–991. Chamberlain, David S., Philosophy of Music in the Consolatio of Boethius, Specu- lum. A Journal of Medieval Studies 45/1 (1970), str. 80–97. Edminston, Jean, Boethius on Pythagorean Music, The Music Review 35/3–4 (1974), str. 179–184. Massera, Giuseppe, Severino Boezio e la scienza armonica tra l'antichità e il Medio Evo, Parma, Studium Parmense, 1976. Barbera, André, Interpreting an Arithmetical Error in Boethius's De institutione musica (III, 14–16), Archives internationales d'histoires des sciences 31/106 (1981), str. 26–41. Caldwell, John, The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica, Boethius. His Life, Thought and Influence, ur. Margaret Gibson, Oxford, Basil Blackwell, 1981, str. 135–154. Bower, Calvin M., The Modes of Boethius, The Journal of Musicology 3/3 (1984), str. 252–263. Sudak, Bogusław, Problematyka filozoficzna w poglądach Boecjusza na muzykę, Zesnau 24 (1985), str. 41–67. Sudak, Bogusław, Praktyczny aspekt boecjańskiej koncepcji muzyki, Zesnau 25 (1986), str. 211–233. Sudak, Bogusław, Matematyczny aspekt boecjańskiej koncepcji muzyki, Muzyka 31/1 (1986), str. 35–50. BOETIJ_TXT2013_01.indd 340 28.11.2013 12:20:03 341 Illmer, Detlef, Die Zahlenlehre des Boethius, Geschichte der Musiktheorie 3, Re- zeption des antiken Fachs im Mittelalter, ur. Frieder Zaminer, Darmstadt, Wis - senschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, 1990, str. 219–252. Mitsakis, Laurent, Enquête sur un vrai-faux décret: le traité des Lacédémoniens contre Timothée de Milet cité par Boèce dans le De institutione musica, I, 1, Boèce ou la chaîne des savoirs, Actes du colloque international de la Fondati- on Singer-Polignac, Paris, 8–12 juin 1999, ur. Alain Galonnier, Louvain, Pariz, Dudley, Peeters, 2003 (Philosophes médiévaux, 44), str. 279–299. Pizzani, Ubaldo, Du rapport entre le De musica de S. Augustin et le De institutione musica de Boèce, Boèce ou la chaîne des savoirs, Actes du colloque internati- onal de la Fondation Singer-Polignac, Paris, 8–12 juin 1999, ur. Alain Galon- nier, Louvain, Pariz, Dudley, Peeters, 2003 (Philosophes médiévaux, 44), str. 357–377. Harmon, Roger, Die Rezeption griechischer Musiktheorie im römischen Reich II. Boethius, Cassiodorus, Isidor von Sevilla, Geschichte der Musiktheorie 2, Vom Mythos zur Fachdisziplin, Antike und Byzanz, ur. Thomas Ertelt, Heinz von Lo- esch, Frieder Zaminer, Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darm- stadt, 2006, str. 385–504. Srednjeveški prepisi Boetijevega traktata o glasbi Masi, Michael, Manuscripts Containing the De musica of Boethius, Manuscripta 15 (1971), str. 89. Bower, Calvin, M., Boethius's De institutione musica: A Handlist of Manuscripts, Scriptorium 42 (1988), str. 205–251. Razumevanje Boetijevevega traktata o glasbi v srednjem veku Obertello, Lucas, Boezio, le scienze del quadrivio e la cultura mediovale, Atti dell'Accademia ligure di scienze e lettere 28 (1971), str. 152–170. Duchez, Marie-Elisabeth, Jean Scot Erigène Premier Lecteur de 'De Institutione Musica' de Boèce?, Eriugena. Studien zu seinen Quellen, Vorträge des III. In- ternationalen Eriugena-Colloquiums, Freiburg im Breisgau, 27–30 August 1979, Heidelberg, Winter, 1980, str. 182–187. Bower, Calvin M., The Role of the De Institutione Musica in the Speculative Tradi- tion of Western Musical Thought, Boethius and the Liberal Arts. A Collection of Essays, ur. Michael Masi, Bern, Las Vegas, Lang, 1981, 157–174. White, Alison, Boethius in the Medieval Quadrivium, Boethius. His Life, Thought and Influence, ur. Margaret Gibson, Oxford, Basil Blackwell, 1981, str. 162–205. Bernhard, Michael, Glosses on Boethius' De institutione musica, South Bend 1987 (1990), str. 136–149. Bernhard, Michael, Überlieferung und Fortleben der antiken lateinischen Musikthe- orie im Mittelalter, Geschichte der Musiktheorie 3, Rezeption des antiken Fachs im Mittelalter, ur. Frieder Zaminer, Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesell- schaft Darmstadt, 1990, str. 7–35. Caldwell, John, The Concept of Musical Judgement in Late Antiquity, The Second Sense. Studies in Hearing and Musical Judgement from Antiquity to the Seven- Literatura BOETIJ_TXT2013_01.indd 341 28.11.2013 12:20:03 342 Boethius, De institutione musica teenth Century, ur. Charles Burnett, Michael Fend, Penelope M. Gouk, London, University of London, Warburg Institute, 1991, str. 161–168 (Warburg Institute Surveys and Texts 22). Sachs, Klaus-Jürgen, Boethius and the Judgement of the Ears: A Hidden Chal- lenge in Medieval and Renaissance Music Theory, The Second Sense. Studies in Hearing and Musical Judgement from Antiquity to the Seventeenth Century, ur. Charles Burnett, Michael Fend, Penelope M. Gouk, London, University of London, Warburg Institute, 1991, str. 169–198 (Warburg Institute Surveys and Texts 22). Erickson, Raymond, Eriugena, Boethius, and the Neoplatonism of Musica and Sco- lica enchiriadis, Musical Humanism and its Legacy. Essays in Honor of Claude V. Palisca, ur. Nancy Kovaleff Baker, Barbara Russano Hanning, New York, Pendragon Press, 1992, str. 53–78. Bernhard, Michael, Bower, Calvin M., Glossa maior in Institutionem Musicam Boethii 1–4, München, Bayerische Akademie der Wissenschaften, 1993–2011 (Veröffentlichungen der Musikhistorischen Kommision 9–12). Palisca, Claude V., Studies in the History of Italian Music and Music Theory, Ox- ford, Clarendon Press, 1994 (pogl. Boethius in the Renaissance). Sudak, Bogusław, Tradycja boecjańska w poglądach akustyczno-harmonicznych Jerzego Libana z Legnicy, Muzyka 40/4 (1995), str. 43–46. Bower, Calvin M., Die Wechselwirkung von philosophia, mathematica und musica in der karolingischen Rezeption der 'Institutio musica' von Boethius, Cologne 1998 (1998), str. 163–183. Hochadel, Matthias, Zur Rezeption der 'Institutio musica' von Boethius an der spät- mittelalterlichen Universität, Cologne 1998 (1998), str. 187–206. Huglo, Michel, Grundlagen und Ansätze der mittelalterlichen Musiktheorie von der Spätantike bis zur Ottonischen Zeit, Geschichte der Musiktheorie 4, Die Lehre vom einstimmigen liturgischen Gesang, ur. Thomas Ertelt, Frieder Zaminer, Darmstadt, Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, 2000, str. 17–102. Hochadel, Matthias, Commentum Oxoniense in musicam Boethii. Eine Quelle zur Musiktheorie an der spätmittelalterlichen Universität, München, Bayerische Akademie der Wissenschaften, 2002 (Veröffentlichungen der Musikhistori- schen Kommision 16). Rausch, Alexander, Der Boethius-Kommentar in der Handschrift St. Florian XI 282, Studien zur Musikwissenschaft. Beihefte der Denkmäler der Tonkunst in Österreich 48 (2002), str. 7–83. Bernhard, Michael, Die Rezeption der Institutio musica des Boethius im frühen Mittelalter, Boèce ou la chaîne des savoirs, Actes du colloque international de la Fondation Singer-Polignac, Paris, 8–12 juin 1999, ur. Alain Galonnier, Louvain, Pariz, Dudley, Peeters, 2003 (Philosophes médiévaux, 44), str. 601–612. Meyer, Christian, Lectures et lecteurs du De institutione musica de Boèce au XIIIe siècle, Boèce ou la chaîne des savoirs, Actes du colloque international de la Fondation Singer-Polignac, Paris, 8–12 juin 1999, ur. Alain Galonnier, Louvain, Pariz, Dudley, Peeters, 2003 (Philosophes médiévaux, 44), str. 665–677. Atkinson, Charles M., The Critical Nexus. Tone-System, Mode, and Notation in Early Medieval Music, Oxford, Oxford University Press, 2009 (poglavji The Heritage of Antiquity in The Reception of Ancient Texts in the Carolingian Era). BOETIJ_TXT2013_01.indd 342 28.11.2013 12:20:03