t A m* MOONIKS GEOMETRISCHE ANSCHAUUNGSLEHEE FtJR UNTER-GYMNASIEN. BEARBEITET VON JOHANN SPIELMANN, K K. BEGIEBUNGSBAT, DIREKTOR DEE STAATSREALSCIIULE IM IV. HEZ. IN WIEN. I. ABTEILUNG (FUR Dl E I. UND II. KLASSE). MIT 114 FIGUREN. 27., WESENTLICI1 UNVERANDERTE AUFLAGE. MIT K. If. MINISTERIALEELASZ VOM. 8. MARŽ 1904, Z. 7692, AI.LGEMEIN ZULASSIG EllKLART. PREIS: GEIIEPTET 1 K, GEliUNDEN 1 K 50 h WIEN. VERLAG VON F. TEMPSKY. 1904. Bemerkung. Bei der Herausgabe der 26. und 27. Auflage solite den Instruktionen vom Jahre 1900 Recbnung getragen werden, ohne die 25. Auflage, wclche mit Ausschlufl aller vorausgegangenen approbiert worden war, neuerdiugs unbrauchbar zu machen. Flir den gleichzeitigen Gebrauch beider Auflagen in derselben Klasse scbien Ubereinstimmung in den Paragraphen und Figurennummern notwendig. Daher konnten die niebt mehr zum Lehrstoffe gehbrigen Teile, die tibrigens unbedeutend sind, nicht ausgeschieden werden, sie wurden aber durch kleinen Druck er- kenntlich gemacht. §. 116 und §. 125 ge boren in die 3. Klasse. Die Aufgaben 7 und 8 in §. 139 wurden hinzugeftigt. Ubersetzungsrecht vorbehalten. Druck von Rudolf M. Rohrtr in Briinn. Inhalts - V erzeichnis, Grundvorstellungen der Raumgebilde. Selte 1. Betrachtung des Wurfels. 1 2. Betrachtung des Zylinders. 2 3. Zusammenhang der Korper, Fiachen, Linien und Punkte. 2 4. Einteilung der Linien, Fiachen und Korper. 3 5. Geometrie. 4 Die Pianimetrie. I. (ierado Linien. 1. Unbegrenzte gerade Linien, Strahlen und Strecken. 4 2. Lange der Strecken .... 5 3. Messen der Strecken... 6 II. Kreislinio. 1. Entstehung des KreiBes und Erklarungen. 8 2. Messen der Kreisbogen ... 12 III. Winkel. 1. Entstehung und Bezeichnung der Winkel.12 2. GroBe der Winkel. 13 3. Gestreckte, hohle und erhabene Winkel.14 4. Rechte, spitze und stumpfe Winkel.15 5. Messen der Winkel.16 6. Neben- und Scheitelwinkel.19 IV. Parullele Linien. 1. Parallele und nicht parallele Gerade.20 2. Gegenwinkel, Wechselwinkel und Anwinkel.21 3. Winkel, deren Schenkel parallel oder zueinander normal sind .... 24 V. Dreieeke. 1. Erklarungen.25 2. Seiten des Dreieckes. .26 3. Winkel des Dreieckes.27 4. Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreieckes . 29 5. Die symmetrische Lage.32 6. Iionstruktionsaufgaben.35 1 * IV VI. Kongruenz der Dreiecke und Eigenschaften der besonderen Arten derselben. S eite 1. Konstruktion der Dreiecke und Kongruenz derselben.38 2. Eigenschaften des gleichsohenkligen, rechtwinkligen und gleiehseitigen Dreieekes.45 a) Das gleiohschenklige Dreieck.45 b) Das rechtwinklige Dreieck.45 c) Das gleichseitige Dreieck.46 VII. Itesondere Eigenschaften des Kroisos. 1. Sehnen und Bogen. 47 2. Peripheriewinkel. 50 3. Tangenten. . 51 4. Lage der Kreise gegeneinander . ..53 VIII. Vierecko. 1. Bestandstiicke des Viereckes.55 2. Sehnen- und Tangentenvierecke. 56 3. Allgemeine Eigenschaften der Parallelogramme.57 4. Das Rechteck, der Rhombus und das Quadrat .. 59 5. Das Trapez, das Deltoid und die Parallelen im Dreiecke ...... 60 6. Kongruenz der Vierecke . 63 7. Konstruktionsaufgaben. . ° 63 IX. Vieleeke. 1. Bestandstiicke des Vieleckes. 69 2. Regelmafiige Vieleeke.70 3. Kongruenz und Symmetrie der Vieleeke.73 4. Konstruktionsaufgaben.74 Grandvorstelliiiigen der Raiimgebilde. 1. Betraelitung des WfirMs.*) §. 1. Der Wlirfel (Fig. 1) nimmt einen Raum ein, der von alleu Seiten begrenzt ist. Ein von allen Seiten begrenzter Raum heifit ein K or p er. Der Wiirfel ist ein Korper. Der Wiirfel ist nach drei Hauptrichtnngen Fig. l. ausgedehnt; von r e c h t s nach 1 i n k s, von v o r n e nach hinten, von unten nach ob en. Die Ausdehnnng von rechts nach links heifit gewohnlich Lange, die von vorne nach hinten Breite und die von nnten nach oben Hohe. Jeder Korper hat drei Hauptaus- dehnungen: Lange, Breite und Hohe (Tiefe, Dicke). Nenne verschiedene Korper und weise an ihnen die drei Ausdehnungen nach! (Das Buch, das Lineal, der Kasten, das Schulzimmer u. s. w.) §. 2. Der Wttrfel wird von sechs Flachen hegrenzt. Diese sind: die untere, obere, vordere, hintere, rechte und linke Flache. Die Grenzflachen des Wllrfels sind ebene Flachen. Gib die Grenzflachen des Schulzimmers, eines Buches, eines Kastens, der Schultafel an I Jede Flache des Wtirfels ist nach z w e i Hauptrichturigen ausgedehnt, z. B. die vordere Flache von rechts nach links und von nnten nach oben. Eine Flache hat nur zwei Hauptausdehnungen: Lange und Breite (Hohe). Alle Grenzflachen eines Korpers zusammen nennt man die Ober- flache desselben. §. 3. Jede Flache des Wiirfels wird von vier Kanten oder Kantenlinien begrenzt. Eine Kantenlinie entsteht da, wo zwei Flachen zusammentreffen. Am Wtirfel kommen im ganzen 12 Kanten vor. Die Kanten des Wtxrfels sind gerade Linien. Jede Kantenlinie des Wiirfels ist nur nach ein er Richtung aus¬ gedehnt, in die Lange. Eine Linie hat nur eine Ausdehnung, die Lange. *) Der betrachtete Wurfel (aus Holz, Pappe oder Blech) ruht auf einem Tische oder Gestelle so, dafl eine Flache des Wurfels dem Auge des Schiilers zu- gewendet ist. 2 Alle Grenzlinien einer Flache zusammen nennt man den Umfang derselben. §. 4. Jede Kantenlinie des Wtirfels wird von zwei Eckpunkten begrenzt. Ein Eckpunkt entsteht da, wo drei Flachen zusammentreffen. Der Wtirfel hat im ganzen 8 Eckpunkte. Die Eckpunkte des Wtirfels sind nach keiner Richtung ausge- debnt; sie sind weder lang noch breit noch dick. Ein Punkt hat keine Ausdehnung. In ahnlicher Weise kann auch die Betraehtung a) des geraden, dreiseitigen Prismas, h) des Tetraeders vorgenommen werden. 2. Betraehtung des Zylinders. Fig. 2. §. 5. Der Zy lin d er (Fig. 2) nimmt einen allseitig begrenzten Raum ein, er ist ein Kbrper. Er ist nach drei Richtungen ausge- dehnt, in die Lange, Breite and Hohe; die Lange and die Breite sind gleich grofi. Der Zylinder wird von dreiFlachen begrenzt. Zwei derselben sind ebene Flachen, die dritte ist eine k rum m e Flache. In jeder der beiden ehenen Flachen gibt es einen Punkt, welcher von allen Punkten des Umfanges gleich weit entfernt ist. Eine solche Flache heifit Kreisflache. Der Zylinder hat nur zwei K ant e n. Diese sind die krummen Linien, welehe die beiden Kreisflachen begrenzen; sie heifien Kreislinien. Eckpunkte kommen am Zylinder nicht vor. In gleicher Weise kann noch die Betraehtung a) des geraden Kegels, b) der Kugel vorgenommen werden. 3. Zusammenhang der Kbrper, FlSclien, Linien und Punkte. §. 6. Ein nach allen Seiten begrenzter Raum heifit ein Korper. Jeder Kbrper dehnt sich nach drei Hauptrichtungen aus, namlich in die Lange, Breite und Hohe (Tiefe oder Dicke). Die Grenzen der Kbrper heifien Flachen. Eine Flache hat nur zwei Hauptausdehnungen, Lange und Breite. Die Grenzen der Flachen heifien Linien. Eine Lini e hat nur eine Ausdehnung, die Lange. 3 Die Grenzen der Linien heifien Punkte. Der Punkt ist weder lang noch breit noch dick, er hat keine Ausdehnung. Korper, Flachen, Linien nnd Punkte nennt man Raumgebilde. Die Korper, Flachen nnd Linien sind im Ranme ausgedebnt und heifien deshalb auch Raumgrofien. Sie werden durch Figuren dargestellt. Der Punkt hat keine Ausdehnung und ist daher keine RaumgrbBe. §. 7. Die Raumgebilde konnen durch Bewegung erzeugt werden. Wenn sich ein Punkt im Raume fortbewegt, so ist der von ihm zuriickgelegte Weg eine Lini e. Bewegt sich eine Lini e im Raume in einer andern Richtung als in der ihrer Verlangerung fort, so entsteht eine Flache. Bewegt sich eine Flache in einer andern Richtung als in der ihrer Erweiterung fort, so entsteht ein Korper. 4. Einteilung der Linien, Flachen und Korper. §. 8. Man unterscheidet gerade, gebrochene und krumme Linien. Die gerade Linie ist aus der Anschauung bekannt. Eine Linie, welche aus geraden Linien besteht, selbst aber keine gerade Linie ist, heifit eine gebrochene Linie. Eine Linie, von welcher kein Teil eine gerade Linie ist, lici (It eine krumme Linie oder eine Kurve. Je nachdem ein Punkt durch seine Bewegung eine gerade oder eine krumme Linie erzeugt, sagt man, er bewege sich in derselben oder nach verschiedener Richtung. §. 9. Die Flachen teilt man in ebene und krumme ein. Eine Flache, in welcher sich nach allen Richtungen gerade Linien ziehen lassen, heifit eine ebene Flache oder eine Ebene; z. B. die Flache eines Wiirfels, die Wand eines Zimmers. Eine Flache, in vvelcher nicht nach allen Richtungen gerade Linien gezogen werden konnen, heifit eine krumme oder gekrUmmte Flache; z. B. die Seitenflache eines Zylinders, auf der man nur nach einer einzigen Richtung, die Flache einer Kugel, auf der man nach gar keiner Richtung gerade Linien ziehen kann. §. 10. Die Korper teilt man in eckige und runde ein. Ein Korper, welcher von lauter Ebenen begrenzt ist, heifit ein eckiger (ebenflachiger) Korper, z. B. ein Wlirfel, ein Kasten. Ein Korper, welcher nicht von lauter Ebenen begrenzt ist, wird ein r u n d e r (krummflachiger) Korper genannt, z. B. ein Zylinder, welcher von zwei ebenen und einer krummen Flache, eine Kugel, welche von einer einzigen krummen Flache begrenzt wird. 4 5. Geometrie. §. 11. Die Lehre von den Raumgebilden lieifit Geometrie. Sie zerfallt in zwei Hauptteile: Die Planimetrie and die Stereometrie. Die Planimetrie ist die Lelire von den Eigen- schaften derjenigen Raumgebilde, welche in einer und derselben Ebene liegen; die Stereometrie aber handelt von denjenigen Raumgebilden, die sieh nicht in einer einzigen Ebene liegend vorstellen lassen, sondern sich anch nocb im Raume aufierlialb ausdehnen. Die Planimetrie. I. Gerade Linien. 1. Unbegrenzte geradc Linien, Stralilen und Strecken. §. 12. 1. Durch einen Punkt lassen sich unzahlig viele Gerade in allen moglichen Lagen ziehen. Ist noch ein zvveiter Punkt ge- geben, so wird es unter allen friiberen Lagen der Geraden nur eine einzige geben, in welcher die Gerade durck beide Punkte gebt. D n r c h zwei Pnnktc ist eine Gerade vollkominen bestimmt. (Grundsatz von der Geraden.) Ein Grundsatz ist ein Satz, dessen Richtigkeit ohne Beweis einzusehon ist. 2. Zwei voneinander verschiedene Gerade konnen nur einen ge- meinsamen Punkt haben. Man sagt: sie schneiden einander in diesem Punkte, und nennt ibn ihren Schnittpunkt. Zum geometrischen Zeichnen gerader Linien bedient man sich des Lineals. Bestimme zwei Punkte und verbinde sie aus freierHand durch eine GeradeI Bestimme drei Punkte, welehe nicht in gerader Linie liegen, und ziehe durch je zwei eine Gerade! — Wie viel Gerade sind da moglich? §. 13. Eine unbegrenzte Gerade heidt ein Strahi; er wird durch jeden in ihm liegenden Punkt in zwei Teile geleilt, deren jeder sich nur nach einer Richtung unbegrenzt ausdehnt. Eine durch einen Punkt halbbegrenzte Gerade heillt ein Halb str ah 1. Eine durch zwei Punkte ganzbegrenzte Gerade heillt Strecke; die beiden Grenzpunkte nennt man ihre Endpunkte. Ein Punkt wird dadurch bezeichnet, dah man zu dem ihn ver- sinnlichenden Tupfen einen Buchstaben oder eine Ziffer setzt; z. B. der Punkt A, der Punkt 1. Um eine Strecke zu bezeichnen, setzt man an jeden der End¬ punkte des sie versinnlichenden Striches einen Buchstaben oder eine 5 Ziffer und spricht diese atis; z. B. die Strecke A B. Ein Halbstrahl wird durch den Grenzpunkt und einen zweiten in ihm liegenden Punkt bezeicknet. 2. LSnge der Strecken. §. 14. In Beziehung auf die Lange kbunen zwei Strecken gleich oder unglcich sein. Zwei Strecken sind gleicli, wenn sie Fig. 3. sich zur Deckung bringen lassen, wie j __, B AB und CD (Fig. 3). Man schreibt r> _ A B — CD. Ist die Deckung aber nicht inbglich, wie bei M N und P Q (Fig. 4), so sind die Strecken ungleich; es ist MN die grofiere, PQ die kleinere der beiden Strecken; denn legt man P Q auf M N, so zeigt es sich, Fig. 4. dati PQ nur ein Teil von MN ist. Man __ iN schreibt M N > P Q und PQ <; M N. t t p |__^ D Die Strecke zwischen zwei Punkten ist die kiirzeste Linie zwischen denselben; sie bestimmt die Entfernung oder den Abstand derselben. §. 15. Mit Strecken kann man dieselben Rechnungsope- rationen vornehmen wie mit Zahlcn. Verlangert man die Strecke A B (Fig. 5) um die Strecke B C, so ist die Strecke A. C so grofi als die Strecken A B und B C zu- sammengenommen, oder es ist A C die g S um m e der Strecken AB und BC; also AC = AB-\~B C. A' - ~+ - 'C Umgekehrt ist die Strecke A B der Unterschied zwischen den Strecken A C und B C, namlich AB = A C—C B. Aufgaben. 1. Zeichne zwei ungleiche Strecken und bestimme sowohl die Summe als den Unterschied derselben! 2. In welche Lage mufi man zwei Strecken bringen, um sie durch Kon- struktion addiercn, und in welche, um sie subtrahieren zu konnen? §. 10. Tragt man auf eine Gerade (Fig. 6) die gleichen Strecken A B, B C, C D,.. .KL auf, so ist Fig. 6. A B C D E F G H / K 1 AC 2mal so grofi als AB, AD 3mal,... AL lOmal so grofi als AB ; man erhalt also dadurch das 2-, 3-, 4-,..., lOfache der Strecke 6 A B. Man schreibt A C = 2 A B, A D — 3 A B,..AL — 10 A B: ferner AE=2AC, A L = 5 A C, AL = 2 A F. Umgekehrt ist AB die Halfte von AC, das Drittel von AD, A C der 4te T ei 1 von A E, der lOte T ei 1 von A L ; oder AB = u AB AD , AB AE , AB AL , . , . „ AG . A J g , ■.^ -l-’ ^ i i &uch ist A C —g , AE — g ■ In diesen Fallen wurde eine Strecke durch eine Zahl dividiert; diese Division ist eine Teilung; der Quotient ist eine Strecke. Aufgaben. 1. Welche Strecke ist in Fig. 6 gleich: a) der Summe B J) -f- D G ? b) dem Unterschiede A E—A D? c) dem 3fachen der Strecke A C -f- C Dl d) dem 4fachen der Strecke A D — D d 2. Zeiehne eine Strecke, welche 2-, 3-, 4mal so grofi ist als eine gegebene Strecke! 3. Zeiehne eine Strecke, welche J, J, J einer gegebenen Strecke ist! 4. Zeiehne vier Strecken, von denen die zweite das Doppelte der ersten, die dritte das Dreifache der ersten, die vierte das Vierfache der ersten ist! 5. Zeiehne vier Strecken so, dafi die nachstfolgende immer die Halfte der vorhergehenden ist! 6. Zeiehne mehrere Strecken und teile sie nach dem Augenmafie in 2, 4, 8, 3, 6, 12, 5, 10, 7, 9 gleiohe Teile! Die Anweisung liber die geometrische Teilung (d. i. mit Lineal und Zirkel) der Strecken wird weiter unten folgen. 3. Messen der Strecken. §. 17. Die Grofi e eines Gegenstandes bestimmen, beifit denselben messen. Um eine Rautngrblie zu messen, mufi man irgend eine Raumgrofie derselben Art als Einbeit annehmen und untersucben, wie oft diese als Einbeit angenommene Grobe in der andern enthalten ist. Jede Grobe kann nur durch eine Grobe derselben Art, daber eine Linie nur durch eine Linie gemessen werden. Um also eine Strecke zu messen, d. i. um ilire Lange zu bestimmen, nimmt man irgend eine bekannte Strecke alsEinheit des Langenmabes an und untersucht, wie oft sie in der zu messenden Strecke enthalten ist. Die Zahl, welche dieses an- gibt, heibt die Mabzahl der Strecke. Die Einheit des Langenmabes der osterreichisch-ungarischen Monarchie ist das Meter. Das Meter (m) wird in lODezimeter (dm) k 10 Zentimeter (cm) a 10 Millimeter (mm) eingeteilt. 1000 Meter sind 1 Kilometer (km), 10000 Meter sind 1 M v riameter (/um). 7 Will man eine Strecke, z. B. eine nach der Lange des Zimmers gezogene Gerade, mit dem Meter messen, so untersucht man, wie oft ein Meter auf die Strecke gelegt werden kann. LafSt sich z. B. das Meter darauf genau 8mal auftragen, so ist die Lange dieser Strecke 8mal so grofi als die Lange eines Meters und man sagt: die Strecke mifit 8 Meter oder sie ist 8 Meter lang; 8 ist die Mafizahl der Strecke in Beziehung auf das Meter als Langeneinheit. Man kann aber auch untersuchen, wie oft eine beliebige Strecke in einer andern entlralten ist, z. B. in Fig. 6 A C in AL-, diese Unter- suchung fiihrt auf die Division AL: AC — 5. Diese Division heifit eine Messung; bei derselben ist auch der Divisor eine Strecke, der Quotient hingegen eine unbenannte Zahl. Aufgaben. 1. Von zwei Strecken ist die eine 12 m 5 dm 6 cm, die andere 7 m S dm 9 cm lang; wie grofi ist die Summe beider? 2. Wenn (Pig. 5) AB = 6'63 m, BO = 3'26 m ist, wie grofi ist AC? 3. Von zwei Latten mifit die langere 2 m 3 dm, die kiirzere 1 m 9 dm; wie grofi ist ibr Langenunterschied? 4. Wenn von zwei Latten die kleinere 2 m 18 cm mifit und der Unterschied beider 0'29 m betragt, wie lang ist die grofiere Latte und wie grofi die Summe beider? 5. Eine Strecke ist 7 m 4 dm 11 cm lang und eine andere 5mal so lang; wie lang ist die letztere? 6. Ein Balken von 4 m 3 dm 2 cm Lange soli in vier gleiche Stiicke ge- schnitten werden; wie lang wird jedes Stuck sein? 7. Von einer Strafie, welche 9 km 348 m lang werden soli, ist der seebste Teil fertig; wie viel bleibt noch zu bauen ubrig? 8. Von zwei Strecken ist die eine 30 m 2 dm 4 cm, die zweite 4 m 3 dm 2 cm lang; wie oft ist die zweite in der ersten enthalten? §. 18. Zum wirklichen Messen langerer Linien gebraucht man die Meterstabe oder eine Mefischnur oder die Mefikette. Zum Messen kleinerer Langen bedient man sich der Mafistabe; diese sind Štabe aus Holz oder Metali, auf welchen die Lange einer oder mehrerer Langeneinheiten nebst den Unterteilungen aufgetragen ist. Fig. 7 stellt die Lange eines Dezimeters mit dessen Einteilung in Zentimeter und Millimeter dar. Fig. 7. Aufgaben. 1. Bestimme durck Messung folgende Langenausdehnungen: a) die Lange und Breite der Schultafel; 6) die Breite und Hohe der Turen und Fenster; c) die Lange, Breite und Hohe des Schulzimmers 1 Vor dem wirklichen Ausmessen ist zur Ubung des Augenmafies die zu messende Lange jedesmal friiher abzuschatzen. 8 2. Ziehe eine Strecke, gib durch Abschatzung nach dem Augenmafis ihre Lange in cm und mm an und priife das Resultat mit Hilfe des obigen Mafistabes! 3. Zeichne zwei ungleiehe Strecken und bestimme ebenso ihre Lange 1 4. Zeichne mit Hilfe des Mafistabes eine Strecke von a ) 7 cm, b) 3 cm 5 mm, c) 63 mm ! 5. Zeichne eine Strecke von 4 cm 7 mm und verlangere sie um 2 cm 1 mm\ 6. Zeichne eine Strecke von 58 mm und verkiirze sie um 29 mm ! 7. Zeichne eine Strecke von 1 cm 6 mm und dann das 2-, 3-, 4-, 5-fache derselben! 8. Zeichne eine Strecke von 6 cm und dann die Halfte, den dritten, vierten, fiinften Teil derselben! §. 19 . Will man eine in der Natur gemessene Strecke auf dem Papiere zeichnen, so geschieht dieses gewdhnlich nicht in der waliren Grolle, sondern in einem kleineren, verjtingten Malte. Es wird nam- lich angenommen, dafi eine bestimmte Lange, z. B. 1 cm, auf dem Papiere eine bestimmte Lange, z. B. 1 m oder 20 m, in der Wirklich- keit vorstellen soli. Ein Mafistab, auf welchem die in der Wirklichkeit tiblichen Liingen- mafie verklcinert aufgetragen sind, ličiti t, ein verjlingter M aB s tab, im Gegensatze zu einem naturlichen Mailstabe, auf welcbem die Langeneinheit in ihrer wahren Grofe aufgetragen wird. Aufgaben. 1. Einen Mafistab von 3 m, dem man auch Dezimeter entnehmen kanu, in der Verjungung 1 m — 3 cm naturlicher Grofie zu zeichnen. Zeichne (Fig. 8) eine Gerade, trage darauf 3 cm naturlicher Grofie 8mal auf und teile dann den ersten Teil links in 10 gleiche Teile! Fig. 8. JO B der geometrische Ort aller Punkte, die von B den Ab¬ stand CD haben, ist der aus B mit dem Halbmesser CD beschriebene Kreis; der Punkt, welcher beide Bedingungen erfiillt, mufi sich auf beiden Kreislinien befinden, er mufi also dort liegen, wo die beiden Kreislinien einander schneiden. Da nun die beiden Kreislinien einander in zwei Punkten M und N schneiden, so gibt es im allgemeinen zwei verschieden® Punkte, welche der Aufgabe geniigen. C- Fig. 11. -J) 12 Ist C D gleich der Halfte der Strecke A B, so erhalt man nur einen einzigen Punkt, welcher in der Mitte von A B liegt; ist CD kleiner als die Halfte von A B, so erhalt man gar keinen Punkt. Eine bestimmte Aufgabe heifit ein-, zwei-, n-deutig bestimmt, je nachdem sie eine, zwei oder n versehiedene Auflosungen hat. Die vor- liegende Aufgabe ist also entweder ein- oder zweideutig bestimmt oder unmoglich. 4. Einen Punkt zu bestimmen, welcher von zwei ge- gebenen Punkten versehiedene gegebene Abstiinde hat. Die Auflosung ist derjenigen der Aufgabe 3 analog. 2. Messen der Itreisbogen. §. 24. Um einen Kreisbogen im Vergleich zum ganzen Umfang zu messen, nimmt man einen Grad, d. i. den 360sten Teil des Kreis- umfanges, als Einheit des B o g e n m a fi c s an und untersucht, wie oft diese Einheit in dem zu messenden Bogen enthalten ist. Um auch kleinere Bogen messen zu konnen, wird ein Grad in 60 M i n u t e n und eine Minute in 60 Sekunden eingeteilt. Die Grade, Minuten und Sekunden eines Bogens bezeichnet man durch °, ', z. B.: 52 Grade 41 Minuten 12 Sekunden = 52° 41' 12". Aufgaben. 1. Wie viele Grade kommen auf den Halbkreis, wie viele auf den Quadranten, Sestanten, Oktanten? 2. Wie viele Grade enthalt der 3te, 5te, 9te, lOte Teil des Kreisumfanges ? 3. Der wievielte Teil des Kreisumfanges ist ein Bogen von 10°, 20°, 30°, 36°, 40°, 60°, 90°, 120°? III. W i n k e I. 1. Entstehung und Bezeichnung der Winkel. §. 25. Wenn von einem Punkte A (Fig. 12) zwei Halbstrahlen AB und A C gezogen werden, so weichen sie in ihren Richtungen von- einander ab. Die Grofic der Abweichung der Richtungen zvveier Halb¬ strahlen, die einen gemeinsamen Grenzpunkt haben, heifit einW i n k e 1 (<£). Einen Winkel kann man sich auch dadurch entstanden denken, dati sich ein Halbstrahl AB in einer Ebene um den Grenzpunkt A dreht und dadurch in eine zweite Lage A C gelangt; dieGrofieder D r e h u n g gibt den Winkel an. Zur Versinnlichung dieser Entstehungsweise des Winkels kann ein Zirkel beniitzt werden. Die beiden Halbstrahlen A B und A C, welche den Winkel biklen, nennt man die Schenkel und den Punkt M, in vveleliem sie zu- sammentreffen, den Scheitel des Winkels. Fig. 12. 13 Man bezeichnet einen Winkel entweder durch den Buchstaben am Scheitel oder durch einen kleinen Buchstaben, den man nahe an den Scheitel zwischen die beiden Schenkel setzt, oder durch drei Buch¬ staben, von denen zuerst der Buchstabe an dem einen Schenkel, dann der Buchstabe am Scheitel und zuletzt der Buchstabe an dem andern Schenkel genannt und geschrieben wird. Der Winkel in Fig. 12 heibt ent- weder der Winkel A oder der Winkel n oder der Winkel BAC oder C A B. Oft wird der zwischen den Schenkeln li e gen de Teil der Ebene als Winkel bezeichnet. 2. Grofic der Wlnkel. §. 26. D i e G r b d e e i n e s W i n k e 1 s hangt nicht von der Lange der Schenkel, sondern blob von der Grobe der Drehung ab, welche er- forderlich ist, um den einen Schenkel in die Lage des andern zu bringen. Zwei Winkel sind gleich, wenn zur Entstehung beider dieselbe Drehung erforderlich ist. Werden zwei gleiche Winkel so tibereinander gelegt, dati ihre Scheitel zusammenfallen und dab ein Schenkel des einen auf einen Schenkel des andern zu liegen kommt, so miissen auch die zweiten Schenkel aufeinander fallen; die Winkel decken also einander. Zwei Winkel sind u n gleich, wenn zur Entstehung beider nicht dieselbe Drehung erforderlich ist. Welcher von zwei ungleichen Winkeln ist der grobere, welcher der kleinere? Wie ttberzeugt man sich durch das Aufeinanderlegen zweier ungleicher Winkel, welcher von ihnen der grobere und welcher der kleinere ist? Die zwei Halbstrahlen der Fig. 12 bilden zwei Winkel, namlich m und n • ohne besondere Hervorhebung ist immer, wenn von dem Winkel zweier Halbstrahlen gesprochen vvird, der kleinere derselben gemeint. §. 27. Mit Winkeln kann man dieselben Rechnungsoperationen vornehmen wie mit Zalilen. Dreht man (Fig. 13) den Schenkel A C des Win- kels BAC um den Scheitel A von A B weg, bis er in die Lage A D kommt, so entsteht der Winkel B A D, welcher so grob ist als die beiden Winkel BAC und C A D zusammengenommen; der Winkel BAD ist also die S um m e der beiden Winkel BAC und C A D, also BAD = <£ B A C + <£ CAD. Wird der Schenkel AJD des Winkels BAD um denWinkel DAC gedreht, so dab er in die Lage A C kommt, so bleibt noch der Winkel BAC ilbrig, welcher also die Differenz der beiden Winkel BAD und CAD ist; somit <£ B A C = < B A D — <£ D A C. Modnik-Spielmann, Geoin. Anschauungalehre. I. Abfc. Fig. 13. 2 14 Welche Lage miissen der Scheitel und die Schenkel zweier Wmkel liabeu, um die Sramne und welche Lage, um ihre Differenz durch die Konstruktion zu er- halten ? §. 28. Sind die Winkel AOB, BOC, C O D, D O E, EOF 14) einander gleich, so ist AOC 2mal so grofi als AOB , AO D 3mal so grofi, <$L A O E 4mal, <£ A O F 5mal so grofi als A O B- man schreibt AO C = 2 <£ AOB, <£ A O D = 3 <£ AOB, < AO E = 4 <£ AOB, < AO V = 5 < AOB. Umgekehrt ist der Winkel A 0 B die H alf te von AOC, der d r i 11 e T e i 1 von A O D, der vierte Teil von AO E und der fiinfte Teil von A O F ; man schreibt <£ A O B <£ A O C — | <£; A O = 1 <£ AOE= i < AOF. Jede dieser Divisionen ist eine Teilung. Die Division mit Winkeln kann auch eine M e s s u n g sein, wenn untersucht wird, wie oft ein Winkel in einem zweiten entlialten ist; z. B. AB ist, so ist umsomehr B C > A B — A C. Da A B A C > B C ist und die Ungleichung bestehen bleibt, wenn man auf beiden Seiten dasselbe subtrahiert, so ist auch AB > BC — A C, und AC> B C — AB. Jede Seite eines Dreieckes ist also grbller als die Dif- ferenz der beiden B andern. Fig. 34. n C M 27 Mit Rticksicht auf die Lange der Seiten kann es dreierlei Dreiecke geben: gleichseitige (Fig- 34, I), in denen alle drei Seiten gleich sind; g 1 e i c li s c li e n k 1 i g e (Fig. 34, II), in denen nur zwei Seiten gleicli sind; und n n gleichseitige (Fig. 34, III), in denen k e in e Seite einer andern gleich ist. Zeichne a) ein gleicliseitiges, b) ein gleichschenkliges, c) ein ungleichseitiges Dreieckl (§. 23.) §. 49. Ein Dreieck kann man sich liber jeder Seite errichtet denken; diese Seite heifit dann die Grundlinie. Der Eckpunkt, welcher der Grundlinie gegentiberliegt, wird der Scheitel, und die Normale, welche man vom Scheitel auf die Grundlinie fallt, die H o li e des Drei- eckes genannt. Stellt man sich das Dreieck ABC (Fig. 35) liber der Seite AB errichtet vor, so ist AB die Grundlinie, C der Scheitel und die Normale CD die Hohe. Im gleichschenkligen Dreiecke wird immer die von den beiden andern verschiedene Seite als Grundlinie angenommen; die zwei gleichen Seiten heifien Schenkel des Dreieckes. Nenne in Figur 34, II die Grundlinie, den Scheitel und die Schenkel! Fig. 35. Aufgaben. 1. Die Seiten eines Dreieckes sind 8 m 4 dm 3 cm, 7 m 5 dm 2 cm, 6 m 8 drn 5 cm; wie grofi ist der Umfang? 2. Die Basis eines gleichschenkligen Dreieckes ist 3 m 8 dm 5 cm, ein Schenkel ist 4 m 9 dm 7 cm; wie grofi ist der Umfang? Welche Beziehung ist zwischen einem Schenkel und der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes? 3. Eine Seite eines gleichseitigen Dreieckes ist 4 m 7 cm 8 mm ; wie grofi ist sein Umfang? 4. Der Umfang eines Dreieckes ist 19 m 7 dm 9 cm, zwei Seiten desselben sind 5 m 4 dm 7 cm, 7 m B dm 8 cm-, wie grofi ist die dritte Seite? 5. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreieckes ist 34 m 9 cm; die Grund¬ linie desselben ist 8 m 3 dm 5 cm; wie grofi ist ein Schenkel? 6. Zwei Seiten eines Dreieckes sind 5 m 8 dm 3 cm und 8 m 7 dm 8 cm; zwischen welchen Grenzen mufi die dritte Seite liegen? 3. Winkel des Dreieckes. §. 50. Zieht man durch C die Gerade DE parallel mit AB (Fig. 36), so ist der Winkel m gleich to' und der Fig. 36. Winkel n gleich n', denn beide Paare sindWechsel- o --jEj—- -e winkel bei Parallelen. Die Summe der drei Winkel 7’ r \ to, n, r ist daher so grofi als die Summe der Winkel / \ to', r, n '; diese betragt aber 180°. / \ A h, - 28 In jedem Dreiecke ist daher die Summe der drei inneren Winkel gleick zwei Rechten oder 180°. §. 51. Aus diesem wichtigen Lehrsatze folgt: a) Die Summe zweier Dreieckswinkel mufi stets kleiner als 2 R sein. Ilonnen in einem Dreiecke zwei rechte Winkel oder zwei stumpfe Winkel oder ein rechter und ein stumpfer Winkel vorkommen? In jedem Dreiecke miissen daher wenigstens zwei Winkel spitz sein. h) Sind in einem Dreiecke zweiWinkel bekannt, so findet man den dritten, indem man die Summe der zwei be- kannten Winkel von 180° subtrahiert. c) Sind zwei Winkel eines Dreieckes gleich zweien Winkeln eines andern Dreieckes, so ist aucli der dritteWinkel des er sten Dreieckes gleicb dem dritten Winkel des zweiten Dreieckes. d) Ist in einem Dreiecke ein Winkel ein Recbter, so ist die Summe der beiden anderen Winkel gleicb einem Rechten. Ist daher der eine derselben bekannt, so kann man aucli den andern finden. Nach der Grofi e der Winkel unterscheidet man spitzwink- lige Dreiecke (Fig. 37, I), in denen alle drei Winkel spitz sind; rechtwinklige (Fig. 37, II), in denen ein recbter und zwei spitze Winkel vorkommen; und stumpfwinklige (Fig. 37, III), welche einen stumpfen und zwei spitze Winkel ent- balten. Im recbtwinkligen Drei¬ ecke heifit die Seite B C, welcbe dem rechten Winkel gegenuber- liegt, die IIypotenuse; die beiden andern Seiten AB und A C, welche den rechten Winkel einschliefien, beifien Kat h e ten. Aufgaben. 1. Zwei Winkel eines Dreieckes sind: a) 37° und 71°; d) 15° 32' 18" und 62° 50' 57"; b) 82° „ 48°; e) 64° 47' 83" „ 77° 18' 41"; c) 50° 48' „ 17° 39'; /) 108° 5' 29" „ 38° 43' 31"; wie grofi ist der dritte Winkel? 2. Der eine spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreieckes ist a) 63°, b) 37°, c) 27° 15', d) 58° 12' 48"; wie grofi ist der andere? 3. In welchem Dreieck ist a ) die Summe, b) die Differenz zweier Winkel gleich dem dritten? 29 4. In einem rechtwmkligen Dreiecke ist ein spitzer Winkel 65°; wie groC sind die AVinkel derjenigen Dreiecke, in welche es durch die Hohe auf die Hy- potenuse zerschnitten wird? §. 52. Addiert man (Fig. 38) zu dem Winkel n den AuBenwinkel to', so erhalt man 180°, da n und to' Nebenwinkel sind; dieselbe Summe erhalt man anch, wenn zu n die beiden Winkel m und r addiert werden. Es mufi daher der 38 - Aufienwinkel m' ebenso grofi sein als die c Winkel m und r zusammengenommen. Daraus /r'\ folgt: / Ein Aufienwinkel eines Drei- / \ eckesist g 1 e i c li der Summe der beiden m_ n\m' D ibmnichtanliegendeninnerenWinkel. ^ ® Ein Aufienwinkel ist daher stets grofier als ein innerer, ihm nicht anliegender Winkel. Aufgaben. 1. Wie groO ist ein AuOenwinkel eines Dreieckes, wenn die beiden inneren, ihm nicht anliegenden Winkel 38° 35' 28" und 69° 18' 46" betragen? 2. Ein AuBenvvinkel eines Dreieckes ist 86° und einer der inneren, ihm nicht anliegenden Winkel 57" 48'; wie grofi ist jeder der beiden andern Winkel des Dreieckes ? 3. An einem reehtwinkligen Dreiecke betragt der eine Au3enwinkel an der Hypotenuse a) 106°, b ) 118° 50', c) 141° 37' 42"; vie grofi ist der zweite AuCen- winkel an der Hypotenuse? 4. Wenn man an jedem Eckpunkte eines Dreieckes einen AuJ3enwinkel ent- stehen lafit, wie grofi ist dann die Summe dieser AuGemvinkel? §. 53. Wird in einem stumpfwinkligen Dreiecke ABC (Fig. 39) eine der Seiten, welche den stumpfen Winkel bilden, als Grundlinie an- genommen, z. B. AB, so kann die von dem Scheitel auf die Grundlinie gezogene Normale nicht inner- halb des Dreieckes fallen, weil man sonst ein Dreieek mit einem stumpfen und einem rechten Winkel erhielte, was nicht moglich ist; die Hbhe CD wird also aufierhalb des Dreieckes liegen, und es mufi die Grund¬ linie AB liber A hinaus verlangert werden. Zeichne ein spitzwinkliges, ein stumpfwinkliges und ein rechtwinkliges Drei- eck und die darin moglichen Hohen, und gib dann alle Falle in Bezug auf die Lage der Hohe an! 4. Bezieliungen zwischen den Seiten und den Winkeln eines Dreieckes. §. 54. 1. Es sei in dem Dreiecke ABC (Fig. 40) die Seite AC = BC. Močnik-Spielmann, G-eom. Ansohauungslehre. I. Abt. 3 30 Stellt man sicb das Dreieck ABC nock einmal, und zwar urnge- wendet als A‘ B' C' vor, so kann man das letztere so auf das erstere legen, da H die Winkel C und C' einander decken; dann Mit der Punkt B‘ auf A, der Punkt A' auf B, die Seite B‘ A' auf ABj es ist deshalb der Winkel B‘ = A-, B ' ist aber = B, also ist auch B — A. Hieraus folgt: Gleichen Seiten eines •A* B B' l "^'Dreieckes liegen gleicke Winkel gegentiber. 2. Ist umgekehrt in dem Dreiecke ABC der Winkel B — A, so kann man die Seite B 1 A' mit der Seite AB zur Deckung bringeu und zeigen, dali die Seite A C — BC sein mufi; d. h.: Gleicben Winkeln eines Dreieckes liegen gleicbe Seiten gegentiber. Aus dem ersten Satze folgt: a) In einem gleicbschenkligen Dreiecke sind die Winkel an der Grundlinie einander gleicb. b) In einem gleichseitigen Dreiecke sind alle drei Winkel einander gleicb. Auf gab en. 1. Wie grofi ist jeder Winkel eines gleichseitigen Dreieckes? 2. Wie grofi ist jeder Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkligen Drei¬ eckes, wenn der Winkel am Scheitel ein rechter ist? 3. Der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes ist a) 23° 35', b ) 65° 10' 36", c) 118° 48' 29"; wie grofi ist ein Winkel an der Grundlinie? 4. Wie grofi ist der Winkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes, wenn ein Winkel an der Grundlinie a) 15° 12', b) 48° 5' 49", c) 73° 41' 17" be¬ tragt ? 5. Der Aufienwinkel am Scheitel eines gleichschenkligen Dreieckes betragt a) 82° 13' 55", b) 130° 51' 10", c) 136° 17' 32"; wie grofi ist jeder Winkel des Dreieckes? In welcher Beziehung steht der Auflenwinkel am Scheitel eines gleich¬ schenkligen Dreieckes zu dem Winkel an der Grundlinie? 6. Der Aufienwinkel, gebildet durch die Verlangerung der Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, betragt a) 120° 53' 37", b) 144° 31' 29", c) 151° 47' 23"; wie grofi ist jeder Dreieckswinkel? 7. In einem gleichschenkligen Dreiecke ist der Winkel am Scheitel 36°; zu zeigen, dafi dasselbe durch die Halbierungslinie eines Winkels an der Grundlinie in zwei gleichschenklige Dreiecke zerschnitten wird. 8. Weshalb ist die Halbierungslinie des Aufienwinkels am Scheitel eines gleich¬ schenkligen Dreieckes mit der Grundlinie desselben parallel? §. 55. Ist (Fig. 41) AB — A D, also das Dreieck A B D gleich- schenklig, so sind die Winkel m und n an der Grundlinie einander Fig. 40. 31 gleich. Verlangert man A D big zn dem Punkte C und zieht BC, so wird der Winkel ABC grofi er als m, der Winkel ACB dagegen nm ebensoviel kleiner als n, da der dritte Dreiecks- winkel A ungeandert geblieben ist. In dem Drei- eeke ABC ist demnach die Seite A C > A B und zugleich der Winkel AB C > ACB. Daraus folgt: 1. Dergrofieren Seite eines Drei- eckes liegt ein grijfierer Winkel gegen- ilber; und umgekehrt: 2. Dem grofieren Winkel eines Dreieckes liegt eine g ril 13 er e Seite gegenliber. In einem rechtwinkligen Dreiecke ist die Hypotenuse, in einem stumpfwinkligen Dreiecke die dem stumpfen Winkel gegen- tiberliegende Seite die grofite Seite. Aufgaben. 1. 'Wenn in einem Dreiecke <£ A = 72°, <£ B — 55° ist, welche Seite des- selben ist die grofite? 2. Wenn in einem Dreiecke die Seiten 75 cm, 48 cm, 90 cm sind, welcker Winkel ist der grofite, welcher der kleinste? 3. Ist es moglich, daC in einem Dreiecke mit zwei Seiten von 76 mm und 98 mm Lange der ersten ein Wiukel von 95° gegeniiberliegt? Fig. 42. A §. 56. Zieht man von einem Punkte A (Fig. 42) zu einer Ge- raden BC die Normale A D und zugleich mehrere schiefe Strecken A E, A F, A G, so entstehen die recht- winkligen Dreiecke A D E, A D F, A D G, in denen die Kathete A D ktirzer ist als jede der Hypotenusen A E, A F, AG. Daraus folgt: Die Normale ist die kiirzeste Strecke, die von einem Punkte zu eincrgeradenLiniegezogentverden k an n. Die Normale gibt den A b s t a n d eines Punkte« von einer Geraden an. §. 57. Es sei (Fig. 43) B C J_ O A. Jede von O m B C gezogene schiefe Strecke OD ist langer als die Normale OA\ also liegt der Punkt D auBcrhalb der Kreislinie. Die Gerade B C hat somit nur den Punkt A mit der Kreislinie gemeinschaftlich, alle andern Punkte liegen aufierhalb des Kreises. Die imEndpunkte eines Halbmessers zu diesem normale Gerade ist also eine Tangente des Kreises. Fig. 43. 3 * 32 Die Normale A O gibt den Abstand der Tangente vom Mittel- punkte an (Zentralabstand). Eine Gerade ist eine Sekante oder eine Tangente oder liegt aufierhalb eines Kreises, je nacbdem ihr Zentral¬ abstand kleiner als der Radius, demsclben gleich oder grofier als der- selbe ist. Fig. 44. Fig. 45. §. 58. Verbindet man einen Punkt C (Fig. 44) im Umfang eines Kreises mit den Endpunkten eines Durchmessers, so heifit der von diesen Verbindungslinien eingeschlossene Winkel A CB ein Winkel im Halbkreise. Jeder Winkel im Halbkreise ist ein rechter. Die Winkel a, ebenso die Win- kel b sind als Winkel an der Grundliuie eines gleichschenk- ligen Dreieckes gleich; nnn ist 2 a -)- 2 b — 180° als Winkelsumme des Drei¬ eckes ACB, daher a -f- b, d. i. <)C ACB —- 90°. Aufgabe. In dem einen Endpunkte B (Fig. 45) einer Geraden AB auf diese die Senk- rechte zu errichten. Man wab)e O znm Mittelpunkte eines Kreises mit dem Radius OB-, dieser sehneidet AB in (7; zieht man die Gerade C O bis D, verbindet D mit B, so ist DB _J_ AB. (Winkel im Halbkreise.) 5. Die symmetrische Lage. §. 59. ZweiPunkte liegen symmetriscli in Beziehnng auf eine Gerade, wenn die Strecke, welche sie verbindet, zu dieser Geraden normal ist und durch sie halbiert wird; die Gerade selbst beidt die Symmetrieachse oder S y m m e t r a 1 e. Ist (Fig. 46) CI) normal m AB und AD = BJD, so liegen die Punkte A und B symmetrisch in Beziekung auf die Gerade CD, welcke die Symmetrale ist. Zwei ebene Gebilde liegen sym- metrischinBeziehungaufeineGerade, wenn jedem Punkte des einen Gebildes ein sym- metrisch liegender Punkt des andern Gebildes entspricht. Von zwei symmetrisch liegenden B Gebilden, wie ADC und BDC, kann jedes durch Drehung um die Symmetrale CD um 180° mit dem andern zur Deckung gebracht werden. 33 Ein ebenes Gebilde ABC heifit, symmetrisch, wenn es sich clurcb eine Gerade (die Symmetrale) in zwei symmetrisch liegende Teile teilen lS-Bt. So ist der Krci,s ein symmetrisches Gebilde; jeder Durchmesser desselben ist eine Syinmetrale (Symmetrieacbse). §. 60. Jede Strecke ist ein syminetrisches Gebilde. Die Sym- nietrale einer Strecke ist die in ihrer Mitte z u ihr e r- riehtete Normale. Es sei CD (Fig. 47) die Symmetrale der Strecke AB, also AC = BC und CD ±AB. Zieht man zu irgendeinem Punkte M dieser Fig. 47. Symmetrale die Strecken A M und B M und dreht das recbtwinklige Dreieck A CM um die Symmetrale CM um 180°, so kommt es mit dem Dreiecke BCM zur Deckung, daher ist. A M = B M, d. h. der Punkt M ist yon den Punkten A und B gleich weit ent- j fernt. Jeder auBerlialb der Symmetrale liegende Punkt N bat dagegen von A und B ungleiche Abstande; der Winkel ABN ist grdil er als ABM , also aucli groller als der dem letzteren gleicbe Winkel BAN • folglich ist im A B N auch die Seite A N > B N. Daraus folgt: a) Jeder Punkt der Streckensymmetrale h at von den beiden Endpunkten der Strecke gleiche, jeder andere Punkt ungleiche Abstande; und umgekehrt: b) Hat ein Punkt von den Endpunkten einer Strecke gleiche Abstande, so liegt er in der S y m met rale der Strecke, sonst auBerhalb derselben. Diesen Satz kann man auch so ausdrticken: Der geometrische Ort (§. 23, 2) aller Punkte, welche von zwei gegebenen Punkten gleiche Abstande haben, ist die Symmetrale der Verbindungsstrecke der beiden Punkte. §. 61. Es sei in dem Dreiecke ABC (Fig. 48) D O die Symmetrale der Seite A B und F O die Symmetrale der Seite A C. Dann ist der Schnittpunkt O der beiden Symmetralen von A und B, A und C, somit auch von B und C gleich weit entfernt. Hat aber der Punkt O von B und C gleiche Abstande, so muli er auch in der Symmetrale der Seite BC liegen. Die drei Seitensymmetralen eines Dreieckes schneiden also einander in demselben Punkte, der von den drei Eckpunkten gleiche Abstande hat. 34 Beschreibt man aus dem gemeinschaftlichen Schnittpunkte O der drei Seitensymmetralen mit dem Halbmesser O A einen Kreis, so g e lit er durch alle drei Eckpunkte des Dreieckes. Ein solclier Kreis heifit dem Dreiecke umgeschrieben. JedemDreiecke lfifit sichalso ein Kreis umscbreiben. Fig. 49. §. 62. Jeder Winkel ist ein symmetrisclies Gebildc. Die Sym- metrale eines Winkels ist die Ilalbierungslinie desselben. Es sei CD (Fig. 49) die Symmetrale des Winkels ACB, also Winkel ACD = BCD. Fallt man von irgend einem Punkte M dieser Symmetrale auf die Schenkel des Winkels ACB die Normalen M P nnd MQ und drebt das rechtwinklige Dreieck M PC 'D um die Symmetrale CD um 180°, so fallt C B in die Richtung von CA, MP mufi auf MQ fallen, weil von einem Punkte (M) auf eine A Gerade (CA) nur eine Normale moglich ist; daber ist MP = MQ, d. h. der Punkt ilf ist von den Schenkeln des Winkels ACB gleich weit entfernt. Jeder aufierhalb der Symmetrale liegende Punkt N hat dagegen von den Schenkeln des Winkels ACB ungleiche Abstande N P und NR. Denn zieht man NQ, so ist NP — NM -j- MP — NM -j- MQ y> NQj nun ist NQ > Normale NR (§. 56), daher ist umsomebr N P > N P. Q R Iiieraus folgt: Jeder Punkt der Winkelsymmetrale hat von den beiden Schenkeln des Winkels gleiche, jeder andere Punkt zwischen beiden Schenkeln ungleiche Abstande; und umgekehrt: Hat ein Punkt innerhalb der Schenkel eines Winkels von diesen gleiche Abstande, so liegt er in der Symme- trale des Winkels, sonst aufierhalb derselben. Uieser Satz kann auch so ausgedrtickt werden: Der geometrische Ort aller Punkte, welche innerhalb der Schenkel eines gegebenen Winkels liegen und von diesen gleiche Abstande haben, ist die Symmetrale des Winkels. §. 63. Es sei in dem Dreiecke ABC (Fig. 50) A O die Symmetrale des Winkels BAC und C O die Sym- mctrale des Winkels A CB. Dann ist der Schnittpunkt O der beiden Sym- Fig. 60. 6 35 metralen von den Schenkeln AB und A C, A C und BC, somit auch von AB und BC gleich weit entfernt. Hat aber der Punkt O von den Schenkeln AB und BC gleiche Abstande, so mufi er auch in der Symmetrale des Winkels ABC liegen. Die drei Winkelsymmetralen eines Dreieekes schnei- den also einander in demselben Punkte, der von den drei Seiten gleiche Abstande hat. Beschreibt man aus dem gemeinschaftlichen Schnittpunkte O der drei Winkelsymmetralen mit dem Abstande OD als Halbmesser einen Kreis, so sind die Dreiecksseiten Tangenten dieses Kreises (§. 57), d. h. der Kreis bertihrt alle drei Seiten des Dreieekes. Ein solcher Kreis heifit dem Dreiecke eingeschrieben. JedemDreiecke laflt sich also ein Kreis einschreiben. 6. Konstruktionsaufgaben. §. 64. 1. Die Symmetrale einer gegebenen Strecke AB (Fig. 51) zu konstruieren. Bestimmt man (nach §. 23, 3) zwei Punkte C und D so, dafi jeder derselben von den End- punkten A und B der gegebenen Strecke gleiche Abstande hat, so ist die Gerade CD die Sym- metrale der Strecke A B (§. 60 b). Um daher die Symmetrale einer Strecke zu konstruieren, beschreibe man aus ihren Endpunkten mit demselben Halbmesser nach oben und unten Kreisbogen, welche einander in zwei Punkten schneiden, und ziehe durcli diese Punkte die Gerade. Dieselbe Konstruktion liefert auch die Losung filr die Aufgaben: Die Symmetrale zweier gegebener Punkte zu kon¬ struieren. Eine gegebene Strecke zu halbieren. 2. Ziehe mehrere Strecken und teile jede, zuerst nach dem Augen- mafie und dann geometrisch, in zwei gleiche Teile! 3. Teile eine Strecke in 4, in 8 gleiche Teile! 4. Halbiere jede Seite eines Dreieekes und ziehe von jeder Mitte die Strecke zu dem gegeniiberliegenden Eckpunkte (die Mittellinie)! In wie vielen Punkten schneiden einander die drei Mittellinien ? 5. Zeichne ein beliebiges Dreieck und konstruiere den ihm um- geschriebenen Kreis (§. 61)! Vo liegt der Mittelpunkt des umge- schriebenen Kreises a) fttr das spitzwinklige, b) ftir das rechtwinklige, c) flir das stumpfwinklige Dreieck? Fig. 51. $ E \/ D 36 §. 65. 1. Die Symmetrale eines gegebenen Winkels BAC (Fig. 52) zu konstruieren. Bestimmt man auf den Schenkeln zwei Punkte M und N, welche vom Scheitel A gleich tv e it abstehen, und dann in der Winkelfiache den Punkt D so, dab er von M und N ebensoweit abstebt, so ist die Gerade A D die Symmetrale der Strecke MN, folglich ist sie auch, wie man sicb durck Deckung tiberzeugen kaun, die Symmetrale des Winkels BAC. Konstruktion: Um die Symmetrale eines Winkels zu erhalten, beschreibe man aus dem Scheitel einen Bogen, welcher die beiden Scbenkel scbneidet; aus den Scbnittpunkten beschreibe man mit demselben Halb- messer zwei Bogen, die sich in einem Punkte schneiden, und ziehe durch diesen letzten Punkt und durch den Scheitel des Winkels die Gerade. Die vorstehende Aufgabe ist iibereinstimmend mit der Aufgabe: Einen gegebenen Winkel zu halbieren. 2. Teile einen Winkel in 4, in 8 gleiche Teile! 3. Zeichne ein beliebiges Dreieck und konstruiere den ihm ein- geschriebenen Kreis (§. 63)! §. 66. 1. Zu einer gegebenen Geraden AH (Fig. 53) von einem au der ihrliegendenPunkteUdieNormalezuziehen. Bestimmt man auf der Geraden zwei Punkte M und A 7 , welche von dem gegebenen Fig. 53. C A MC' E N- N D Punkte C gleich weit abstehen, und kon- struiert zu MN die Symmetrale CD, so stelit diese zu AB normal. -g Man hat daher folgende Au bosim g: Um von einem Punkte auilerhalb einer Geraden auf diese die Normale zu fallen, beschreibe man aus jenem Punkte mit einem hinlanglich groben Halbmesser einen Bogen, vvelclier die Gerade in zwei Punkten schneidet; aus diesen beschreibe man vvieder mit demselben Halbmesser zwei Bogen und ver- binde ihren Schnittpunkt mit dem gegebenen Punkte durch eine Gerade; diese ist die verlangte Normale. Durch dieselbe Konstruktion wird auch folgende Aufgabe gelost: Zu einem gegebenen Punkte in Beziehung auf eine gegebene Gerade den symmetrisch liegenden Punkt zu konstruieren. 37 2. Ziehe von jedem Eckpunkte eines Dreieckes die Normale zu der gegenllberliegenden Seite — die H 6 h e! — In wie vielen Punkten schneiden einander die drei Holien? Die Konstrukti on ist a) flir ein spitz- winkliges, b) flir ein rechtwinkliges, c) fttr ein stumpfwinkliges Dreieck auszuflihren. §. 67. 1. Zu einer gegebenen Geraden AB (Fig. 54) in einem ge¬ gebenen Punkte C derselben die Normale zu errichten. Auflbsung. Man bestimme in der Geraden zwei Punkte M und N so, dafl CM = C N ist, und konstruiere ihre Sym- metrale C1), indem man zu diesem Ende aus M und N mit demselben Halbmesser zwei Kreisbogen beschreibt, die einander in D schneiden. 2. Im Endpunkte A (Fig. 55) einer Strecke AB zu dieser die Normale zu errichten. Auflbsung a): §. 58. Auflosung b): Man besckreibe aus A mit einem beliebigen Halbmesser einen Bogen, welcher AB in JD schneidet; mit demselben Halbmesser durehschneide man aus D den frtiheren Kreisbogen in E und beschreibe aus E einen neuen Bogen, welcker von der durch D und E gezogenen Geraden in F geschnitten wird. Zieht man nun A F, so ist diese zu AB normal. Die Richtigkeit dieses Verfahrens ist leiclit einzusehen. Vermoge der Konstruktion ist das Dreieck ADE gleichseitig und das Dreieck A E F gleichschenklig. Im /\ A D E ist daher jeder der drei Winkel a = 60°; im /\AFE ist jeder der zwei gleichen Winkel b an der Grundlinie die Hiilfte des Aufienvviukels a, also b — 30°. Mithin ist Winkel BAF= a + b = 60°+ 30° = 90°, und daher AF± AB. §. 68. Geometrische Konstruktion bestimmter Winkel. 1. Einen Winkel von a) 60°, b) 30° zu konstruieren. a) Zeichne ein gleichseitig.es Dreieck ! b) Konstruiere einen Winkel von 60° und halbiere denselben! 2. Einen Winkel von a) 120°, b) von 150° zu konstruieren. a) Konstruiere einen Winkel von 60° und zu diesem den Nebenwinkel! b) Durch Konstruktion des Nebenwinkels von 30°. 3. Einen Winkel von a) 15°, b) 165° zu konstruieren. 4. Einen Winkel von a) 90°, b) 45° zu konstruieren. Fig. 55. Fig. 54. I) X B M 38 a) Durch Konstruktion zweier zueinander normaler Geraden (nach §. 58 oder §. 66, oder durch Summierung der Winkel von 60° und 30°, wie in Fig. 55.) b) Durch Iialbierung des Winkels von 90°. 5. Einen Winkel von 75° zu konstruieren. Man konstruiert wie in Fig. 55 den Winkel von 90° und halbiert dann den Winkel EAF oder summiert die Winkel von 45° und 30°. 6. Einen Winkel von a) 105°, b) 135° zu konstruieren. Als Nebenwinkel von a) 75°, b) 45°. 7. Einen rechten Winkel in drei gleiche Teile zu teilen. Beschreibe liber dem einen Schenkel ein gleichseitiges Dreieck AJDE (Fig. 55) und halbiere dann den Winkel D A El 8. Einen rechten Winkel in 6, 8 gleiche Teile zu teilen. 9. Einen gestreckten Winkel in 3, 4, 6, 8 gleiche Teile zu teilen. §.69. Durch einen Punkt C (Fig. 56) aufierhalb einer gegebenen Geraden AB zu dieser dieParallele zu zielien. a) Man falle von C die Normale CD m AB und errichte in C m CD die Normale C F] dann ~~g sind C F und AB zu CD normal, daher zuein¬ ander parallel. b) Man ziehe durch C (Fig. 57) eine Gerade, welche die gegebene Gerade AB in D schneidet, und konstruiere zu dem Winkel CD B im Punkte C einen gleichen Gegenwinkel P C O,] dann ist CQ\\AB. Man konnte im Punkte C auch zu dem Win- kel CD A einen gleichen Wecliselwinkel DCQ kon¬ struieren, wodurch man ebenfalls C'Q || AB er h hit. Fig. c _ 56. -F Ji J) Fig. 57. VI. Kongruenz der Dreiecke und Eigenschaften der besonderen Arten derselben. 1. Konstruktion der Dreiecke und Kongruenz derselben. §. 70. Zwei Dreiecke heifien kongruent, wenn sie dieselbe Grofic und dieselbe Gestalt haben, so dah sie aufeinander gelegt zur Deckung kommen. Damit dieses moglich sei, mtissen in beiden Dreiecken alle sechs Be- standstticke, die drei Seiten und die drei Winkel, paarweise gleich sein. 39 In kongruenten Dreiecken liegen gleichen Seiten gleiche Winkel und gleichen Winkeln gleiche Seiten gegeniiber. Da durch die GrbBe gewisser Seiten und Winkel eines Dreieckes auch die GrbBe der andern, z. B. durch die GrbBe zweier Winkel die GrbBe des dritten Winkels hestimmt ist, so kann man aus der Gleich- heit von weniger als sechs Bestandstiicken in zwei Dreiecken auf ihre Kongruenz schliefien. Um zu sehen, wie viele und welche Bestandstiicke in zwei Drei¬ ecken paarweise gleich sein miissen, damit die Dreiecke kongruent seien, braucht man nur zu untersuchen, wie viele und welche Stiicke erforder- lich sind, um mit denselben ein Dreieck von bestimmter Grobe und Gestalt konstruieren zu kbnnen, weil dann alle Dreiecke, welche in diesen Stiicken libereinstimmen, kongruent sein miissen. 1. Ist nur ein Bestandsttick, ein Winkel oder eine Seite, gegebcn, so lassen sich unzahlig viele verschiedene Dreiecke konstruieren, die alle jenes Sttick enthalten. Durch ein Bestandsttick ist also die GrbBe und Gestalt eines Dreieckes nicht hestimmt. 2. Auch mit zwei Bestandstiicken: mit zwei Winkeln, mit einer Seite und einem anliegenden Winkel, mit einer Seite und dem gegen- fiberliegenden Winkel, oder mit zwei Seiten kbnnen unzahlig viele ver¬ schiedene Dreiecke konstruiert vverden. Durch z w e i Bestandstiicke ist also ein Dreieck nicht hestimmt. 3. Sind d r e i Bestandstiicke des Dreieckes gegeben, so kbnnen es sein: a) alle drei Winkel; h) eine Seite und zwei Winkel (die beiden anliegenden oder ein anliegender und der gegenliberliegende Winkel); c) zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel; d) zwei Seiten und ein gegeniiberliegender Winkel; e) alle drei Seiten. Da durch zwei Winkel eines Dreieckes auch der dritte Winkel bestimmt ist, mit zwei Winkeln sicli aber kein bestimmtes Dreieck kon¬ struieren laBt, so wird auch durch drei Winkel ein Dreieck nicht be¬ stimmt. Der erste der angefiihrten flinf Falle liefert also keine bestimmte Konstruktion. Es bleiben demnach nur die letzten vier Falle zu untersuchen tibrig. §. 71. Ein Dreieck zu konstruieren, wenn eine Seite und zwei Winkel gegeben sind. Die Konstruktion ist nur moglieh, wenn die Summe der beiden Winkel kleiner ist als 180°. Die zwei Winkel sind entweder die der gegebenen Seite anliegenden oder ein ihr anliegender und der ihr gegenliberliegende Winkel. 40 a) Es sei (Fig. 58) c die gegebene Seite und die Winkel von 58° und 47° die ihr anliegenden Winkel. Man ziehe A B = c; dadurcli sind zwei Eckpunkte des Dreieekes, A und B, bestimmt. Tragt man in A einen Winkel von 58 0 und in B einen Winkel von 47 0 auf, so geben die Geraden A C und B C, welcke mit der Seite AB diese Winkel bilden, die Richtungen der zweiten und der dritten Seite des Dreieekes an; der dritte Eekpunkt C kann daher nur in dem Scbnittpunkte dieser Geraden iiegen. Man erbalt also aus den gegebenen drei Stttcken nur ein Dreieck ABC. Fig. 58. Konstruiert man ruit denselben drei Stiicken ein zweites Dreieck A'B 1 C", so mufi dieses mit ABC gleiche GrotJe und dieselbe Gestalt liaben; wenn man daher eines dieser Dreiecke mit den gleichen Stttcken auf das andere legt, so mttssen beide einander decken; sie sind also kongruent. Daraus folgt: 1. Durch eine Seite und die beiden ihr anliegenden Winkel wird ein Dreieck eindeutig bestimmt. 2. (I. Kongruenzsatz.) Sind in zwei Dreiecken eine Seite und die beiden ihr anliegenden Winkel paarvveise gleich, so sind die Dreiecke kongruent. ( WSW ,.) b) Sind von einem Dreiecke eine Seite, ein anliegender und der gegentiberliegende Winkel gegeben, so ist dadurcli auch der dritte Winkel bestimmt; dami sind aber eine Seite und die beiden anliegenden Winkel bekannt. Dieser Fali lalit sicli also auf den frttheren a) zurttck- ftthren und man kann allgemein sagen: Durch eine Seite und zwei Winkel wird ein Dreieck eindeutig bestimmt. Da rechtvvinklige Dreiecke immer den rechten Winkel gleich haben, so gilt auch der Satz: Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie 1. die Hypotenuse und einen spitzen Winkel, 2. eine Kathete und einen gleich Iiegen d en spitzen Winkel paar- weise gleich haben. Aufgab en. 1. Konstruiere ein Dreieck mit der Seite 2 cm 9 mm und den anliegenden Winkeln 60° und 45° 1 41 2. Konstruiere ein Dreieck, in \velchem der Sait« 35 mm die Winkel 60° und 75° anliegen, und beschreibe in dasselbe einen Kreis! 3. Konstx - uiere ein Dreieck, in welchem eine Seite 27 mm, ein anliegender Winkel 45° und der gegeniiberliegende Winkel 75° betragt! 4. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, wenn gegeben sind: a) eine Kathete (25 mm) und der anliegende spitze Winkel (30°); b) eine Katbete (3 cm) und der gegeniiberliegende Wiukel (75°); c) die Hypotenuse (4 cm) und ein anliegender Winkel (55°)! 5. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck, wenn gegeben sind: a) die Grundlinie (28 mm) und ein anliegender Winkel (75°); b) die Grundlinie (3 cm) und der gegeniiberliegende Winkel (150°); c) der Scbenkel (26 mm) und ein Winkel (30°) an der Grundlinie 1 6. Ein gleichscbenkliges, rechtvvinkliges Dreieck zu konstruieren, wenn die Hypotenuse (35 mm) gegeben ist. §. 72. EinDreieck zukonstruieren, wenn zweiSeiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind. Es seien c und b (Fig. 59) Fig g9 die zwei gegebenen Seiten und P der von ihnen eingeschlossene 1 -r— - zuerst einen Winkel A — 47°, trage dann auf dessen Schenkeln die gegebenen Seiten c und b auf. Dadureh ist die Lage der Eckpunkte B und C , daher auch die dritte Seite bestimmt. Man erhalt nur ein Dreieck ABC. Wann ist die Konstruktion nur moglich ? Zeichnet man mit denselben drei Stttcken ein zvreites Dreieck, so mufi dieses mit ABC in der Grofi e und in der Gestalt vollkommen iibereinstimmen. Daraus folgt: 1. Durch zwei Seiten und den von ihnen eingeschlos- senen Winkel wird ein Dreieck eindeutig bestimmt. 2. (II. Kongruenzsatz.) Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel paarweise g 1 e i c h, so sind die D r e i e c k e k o n g r u e n t. (SWS). Zwei rechtwinklige Dreiecke sind demnach kongruent, wenn sie die heiden Katheten paarweise gleich haben. Aufgaben. 1. Konstruiere ein Dreieck mit den Seiten 2 cm und 3 cm, welche einen Winkel von 60° einschlieBen! 2. Zwei Strecken botragen 27 mm und 32 mm\ zeichne mit denselben ein Dreieck, in welchem der von ihnen eingeschlossene Winkel 45° betragt! zu beschreiben, zeichne man Winkel gleich 47°. Um mit diesen drei Stticken ein Dreieck 42 3. Konstruiere ein Dreieck, in welehem die Seiten 28 mm und 30 mm den Winkel 75° emschlieJieii, und beschreibe um dasselbe einen Kreis! 4. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck, wenn dessen Schenkel (38 mm) und der Winkel am Scheitel (150°) gegeben sind! 5. Konstruiere ein reclitwinkliges Dreieck, dessen Katheten 2 cm 2 mm und 2 cm 6 mm sind! 6. Konstruiere ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck, dessen Kathete 2 cm betragt 1 §. 73. EinDreieck zu konstruier en, wenn zweiSeiten und der einer dieser Seiten gegentiberliegende Winkel gegeben sind. Der gegebene Winkel kann der grofieren oder der kleineren der beiden Seiten gegeniiberliegen. a) Es seien (Fig. 60) a und b die beiden gegebenen Seiten, und zwar sei a > b ; der der grdil oren Seite gegeniiberliegende Wiukel in dem zweiten Schenkel AB liegen und von dem Eckpunkte C den Abstand a haben, er mufi also zugleich in der Kreislinie sich befinden, welche aus C mit dem Halbmesser a beschrieben wird; er liegt daher in dem Durchschnitte dieser Kreislinie mit dem Schenkel AB. Die Kreislinie schneidet den Schenkel A B in zwei Punkten B und B\ und man erhalt somit zwei Dreiecke ABC und AB'C. Von diesen ent- halt jedoch nur das erste Dreieck ABC die gegebenen drei Stiicke; das zweite A B' C bat zwar auch die zwei gegebenen Seiten, aber nicht den gegebenen Winkel, sondern dessen Nebenwinkel, und genligt daher der Aufgabe nicht. Wann ist die Aufgabe moglich? Konstruiert man mit denselben drei Stlicken noch ein zweites Dreieck, so mufi dieses mit ABC gleiclie Grofie und dieselbe Gestalt haben. Daraus folgt: 1. Durch zwei Seiten und den der grofieren dieser Seiten gegentiberliegenden W in k el ist ein Dreieck eindeutig bestimmt. 43 2. (III. Kongruenzsatz.) Sind in zwei Dreiecken zwei Seiten und der der grofieren dieser Seiten g e g e n- tiberliegende Winkel paarweise gleich, so sind die Dreiecke kongrnent. (SsW.) Da in einem rechtwinkligen Dreiecke die Hypotenuse die grofi te Seite und der ihr gegentiberliegende rechte Winkel immer bekannt ist, so kann man auch sagen: ZweirechtwinkligeDreieckesindkongruent, wennsie die Hypotenuse undeineKatketepaarweise gleicbbaben. Aufgaben. 1. Koustruiere ein Dreieck, worin die Seiten 2 cm und 3 cm 5 mm vorkommen und der zweiten Seite ein Wmkel von 75° gegeniiberliegt! 2. Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, wenn die Hypotenuse 25 mm und eine Kathete 2 cm ist! b) Es seien (Fig. 61) a und b die zwei gegebenen Seiten, und zwar a < b, und der Winkel, welcber der kleineren Seite gegen- tiberliegt, sei 42°. Durch das gleiche Verfahren Fig- 61. wie oben unter a) erhalt man zwei i-Q-, Seite gegentiberliegenden Winkel ist also im allgemeinen ein Dreieck nur zweideutig bestimmt; es kann daher aus der Gleichheit dieser Stticke auf die Kongruenz der Dreiecke nicht geschlossen werden. Damit der aus C mit der kleineren Seite a beschriebene Bogen den Schenkel A B in zwei Punkten B und B‘ scbneide, mufi a grofier sein als die zur dritten Seite gehorige Hbhe. Ist die kleinere Seite a gleich dieser Hohe, so fallen die beiden Schnittpunkte B und B' in einen einzigen zusammen, d. i. der Kreisbogen bertihrt die dritte Seite, und man erhalt ein rechtwinkliges Dreieck. Ist endlich a kleiner als die Hohe, so entsteht kein Dreieck. Welche Eigenschaft mufi der gegebene Winkel haben? §. 74. Ein Dreieck zu konstruieren, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Die Konstruktion ist nur moglich, wenn die dritte Seite kleiner als die Summe und grofier als die Differenz der beiden ersten Seiten ist; die ersten zwei Seiten konnen willktirlich gewahlt werden. Es seien (Fig. 62) a, b, c die Langen der drei Seiten. Tragt man die Strecke AB — c auf, so sind dadurch zwei Eckpunkte des Drei- Dreiecke ABC und A B‘ C, welche h beide die gegebenen drei Stticke enthalten, aber in der Grofie und Gestalt verschieden sind. Durch zwei Seiten und den der kleineren 44 eckes, A imd B, bestimmt. Der dritte Eckpunkt wird nach §. 23, 4 gefunden. Man erhalt zwei Punkte C und C, dalier zwei Dreiecke ABC und ABC', welche die gegebenen drei Seiten haben. Diese zwei Dreiecke haben jedoch dieselbe Grobe und Gestalt, da, wenn das Dreieck ABC um die Seite Fig. 62. so sind die Dreiecke kon AB umgewendet und auf das Dreieck ABC gelegt wird, beide Dreiecke einander decken; denn AB ist die Symmetrale von C C". Zeichnet man mit denselben drei Stiicken a, b und c noch ein zweites Dreieck, so muli dieses mit dem frtikeren ABC gleiche Grobe und Gestalt haben. Daraus folgt: 1. Durch drei Seiten ist ein Dreieck eindeutig bestimmt. 2. (1Y. Kongruenzsatz.) Sind ji Seiten paarweise gleieh, ruent. ( SSS). Aufgaben. 1. Konstruiere mit (len Seiten 38 mm, 30 mm, 41 mm ein Dreieck; ebenso ein zweites mit den Seiten 4 cm, 3 cm 6 mm, 3 cm 1 mm 1 2. Konstruiere mit den Strecken 38 mm, 31 mm und 27 mm ein Dreieck und dann a) den ihm eingescbriebenen, b) den ihm umgeschriebenen Kreis ! 3. Zeichne ein gleicbschenkliges Dreieck, wenn die Grundlinie 24 mm und ein Schenkel 29 mm ist 1 4. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 28 mm\ §. 75. Ein Dreieck zu tibertragen. Um diese Konstruktion auszufithren, bat man aus drei Stiicken des gegebenen Dreieckes, welche dasselbe eindeutig bestimmen, das neue Dreieck zu konstruieren. Am einfachsten ist die Konstruktion mittelst der drei Seiten. Man tragt also auf einer Geraden zuerst eine Seite des gegebenen Dreieckes auf und beschreibt aus ihren Endpunkten mit den beiden andern Seiten Kreis- bogen, welche einander schneiden; der Durchscbnitt ist der dritte Eckpunkt des gesuchten Dreieckes. §. 76. Drelit man die Schenkel eines Winkels ABC (Fig. 63), obne deren Lange zu andern, von- einander, so wird dadureh nicbt nur der Winkel ^ griiber, sondern es entfernen sicb aucb die Endpunkte der beiden Schenkel weiter voneinander. Zieht man daher A C und A D, so haben die Dreiecke ABC und ABD zwei Seiten paameise Fig. 63. 45 gleich, namlich AB = AB und BC=BD\ dagegen ist die dritte Seite A D im A A B D grd d er als die dritte Seite A C im A ABC. Zugleich ist der der Seite A D gegentiberliegende Winkel ABD im A ABD grcder als der der Seite A C gegentiberliegende Winkel ABC im C. Daraus folgt: 1. Sind in zwei Dreiecken zweiSeiten paarweise gleich, dievonihneneingeschlossenenWinkel aber ungleich, soliegtdemgrofierendieserWinkelaucheinegrofiere Seite gegeniiber. 2. Sind in zwei Dreiecken zweiSeiten paarweise gleich, die d rittenSeiten aber ungleich, soliegt der gr oder en dieser Seiten auch ein gr oder er Winkel gegeniiher. 2. Eigcnschaften des gleicksclienkligen, rechtwinkligen und gleichseitigen Dreieekes. a) Das gleichschenklige Dreieck. §. 77. Es sei (Fig. 64) AC — BC, also das Dreieck ABC gleichschenklig; die Symmetrale der Grundlinie mud durch C gehen. (§. 60, b.) Dreht man das A B C D um C D um 180°, so deckt es A C D. Folglich ist c — d. Daraus folgt: IneinemgleichsckenkligenDreiecke fallen die Symmetrale der Grundlinie, die Symmetrale des Winkels am Sclieitel und die Hdhe in eine Gerade zusammen. Jedes gleichschenklige Dreieck ist daher ein symmetrisches Gebilde; se in e Symmetrieachse ist die Hohe. b) Das rechtwinklige Dreieck. §. 78. 1. Der geometrische Ort fiir die Scheitel aller rechtwinkligen Dreiecke, welche dieselbe Hvpotenuse haben, ist der liber dieser Hypote- nuse als Durchmesser konstruierte Kreis. §. 58. 2. In dem rechtwinkligen Dreiecke ABC (Fig. 65) sei <)C a = 30°, dann ist c = 60°. Dreht man das Dreieck ABC um A B als Achse um 180°, so erhalt man das Dreieck ABD , welches mit ABC das Dreieck AC D bildet; in diesem ist jeder Winkel 60°. A CD ist daher gleichseitig, also CD = 2 BC — AC, also BC = | AC. Močnik-Spielmann, G-eom. Anschauungslehre. I. Abt. Fig. 65. A Fig. 64. c 4 46 Ist daher Winkel 30°, so der Halfte der in einem rechtwinkligen Dreiecke ein ist die gegeniiberliegende Kat h e te gleich Hypotenuse. c) Das gleichseitige Dreieck. Fig. 66. C §. 79. Es sei A B C (Fig. 66) ein gleichseitiges Dreieck; A D, B E und C F seien dessen drei Hohen. Aus §. 77 ergibt sich: 1. In einem gleicbseitigen Dreiecke ist jede H b h e zugleich eineSeiten- und eine Winkelsymmetrale. 2. In einem gleicbseitigen Drei¬ ecke g e h e n die drei S e i t e n s y m m e t r a 1 e n, die drei Winkelsymmetralen und die drei Hohen durch denselben Punkt, weleher der Mittelpunkt des einge- scbriebenen und des umgescliriebenen Kreises ist. 3. Das gleichseitige Dreieck ist ein symmetrisches Gebilde; jede seiner drei Hohen ist eine Symmetrieachse des Dreieckes. Da in dem reclitwinkligen Dreiecke A F O der Winkel F AO — 30° ist, so ist nacli §. 78 O A = 2 O F j aber O A = O C, daher ist auch O C — 2 O Fj wird also die Hohe C F in drei gleiclie Teile geteilt, so enthalt O F einen und O C zwei solche Teile. Hieraus ergibt sich: Der Halbmesser des einem gleicbseitigen Dreiecke eingeschriebenen Kreises betragt ein Drittel, der Halb¬ messer des umgeschriebenen Kreises zwei Drittel der Hohe. Aufgab en. •J. Ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, wenn die Grundlinie (32 mm) und die Hohe (22 mm) gegeben sind. 2,. Ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, wenn die Hohe (35 mm) gegeben ist. JK Was ist der geometrische Ort fur die Scheitel aller gleichschenkligen Drei¬ ecke uber derselben Grundlinie? 4. Zu zeigen, daC der von der Basis eines gleichschenkligen Dreieckes und der Hohe auf einen Schenkel gebildete Winkel dem halben Scheitelwinkel des Drei¬ eckes gleich ist. 5. Zu zeigen, dafi in jedem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecke die Ilohe auf die Hypotenuse halb so groC ist als diese. Der Durchmesser eines Kreises ist 4 cm\ demselben ein rechtfflinkliges Dreieck einzuschreiben, wenn eine Kathete desselben 15 mm ist. 47 7. Die Hohe eines gleichseitigen Dreieckes ist a) 2 dm 7 cm 6 mm, b) 8f clm\ die Eadien des eingeschriebenen und umgeschriebeiien Ifreises zu bereohnen. 8. Ein gleiohseitiges Dreieek aus der Hohe (30 mm) zu konstruieren. VII. Besondere Eigenschaften des Kreises. (Hier wird die Wiederholung der §§. 20, 21 und 22 vorausgeschickt.) 1. Selmen und Bogen. §. 80. Es sei die Sehne AB = CD (Fig. 67); dann sind die Dreiecke A B O und C DO kongruent (S S S.), daher miissen auch ikre gleichliegenden Hoken O G und O H gleick sein; diese Iioken stellen aber die Abstande der gleichen Selmen A B und CD vom Mittelpunkte dar. Man kanu daraus folgern: Gleiche Sehnen eines Kreises k aken vom Mittelpunkte gleiche Abstande. (Umkehrung.) Sehnen eines Kreises, welche vom Mittelpunkte gleiche Ah- s t a n d e ha k e n, sind ein and er gleich. §. 81. Dreht sich von dem festen Halbmesser O A (Fig. 68) um den Punkt O ein zweiter Halbmesser so hinweg, dah er nach und nack in die Lagen O C, O D, O E, . . . kommt, so werden die Endpunkte dieser bciden Halbmesser umsomehr voneinander abstehen, je grbi!er der von ihnen begrenzte Bogen wird; es wird also von den Sehnen A C, A D, A E, . . . jede folgende grofi er sein als die vor- kergehende. Zugleich nahern sich die einzelnen Selmen umsomehr dem Mittelpunkte, je grofier sie werden. Kommt endlich der zweite Halbmesser in die Lage O B, so gekt die Seline durch den Mittelpunkt, wird also zu einem Durchmesser und erreicht ihre grb Ute Lange. Aus dieser Betrachtung ergeben sich folgende Satze: a) Zu einem grbfieren Bogen eines Kreises gehort auch eine grofiere Sehne. b ) Der Durchmesser ist grofier als jede andere Sehne. c) Ungleiche Sehnen eines Kreises haben vom Mittel¬ punkte ungleiche Abstande, und zwar kat die grofiere Sehne den kleineren Abstand. 4 * Fig. 68. Fig. 67. 48 d) Sehnen eines Kreises, die vom Mittelpunkte ungleiche Abstande babe n, sindu n gleich, u n d z w a r ist diejenige die grbfiere, welclie naher am Mittelpunkte liegt. §! 82. Die Endpunkte einer jeden Sehne (Fig. 69) haben vom Mittelpunkte des Kreises den gleichen Abstand. Daraus folgt: 1. Die Symmetrale einer jeden Sehne geht dur eh den Mittelpunkt des Kreises. 2. Parallele Sehnen haben dieselbe Symmetra,le. (Achsiale Symmetrie des Kreises.) 3. Die Symmetrale einer Sehne ist z u- gleich die Sy m met rale des zugehdrigen Zentriwinkels und des zugehdrigen B o g e n s. §. 83. Die Sehne des Sextanten kann als die Grundlinie eines gleichschenkligen Dreieckes, dessen Schenkel Halbmesser des Kreises sind, betrachtet werden. In diesem Dreiecke betragt der Zentriwinkel am Scheitel den sechsten Teil eines vollen Winkels, d. i. 60°; es ist daher auch jeder Winkel an der Grundlinie gleich 60° und somit das Dreieck gleichseitig, folglich die Sehne gleich dem Halbmesser. Die Sehne eines Sextanten ist also dem Halbmesser des Kreises gleich. Fig. 69. n Fig. 70. E Aufgaben. §. 84. 1. Durch drei Punkte A, B, C (Fig. 70), \velche nicht in einer geraden Linie liegen, einen Kreis zu beschreiben. Man ziehe die Streoken A B und C B , welche Sehnen des gesuchten Kreises sind, und konstruiere zu denselben die Symmetralen D E und F G. Da jede dieser Symmetralen nach §. 82 durch den Mittelpunkt des Kreises gehen mufi, so liegt dieser in dem Schnittpunkte O der beiden Symmetralen und O A ist der Halbmesser des verlangten Kreises. Durch drei nicht in einer geraden Linie lie- gende Punkte ist ein Kreis vollkommen bestimmt. 2. Den Mittelpunkt eines Kreises oder Kreis- bogens zu finden. Man zieht zwei Sehnensymmetralen, die einander schneiden. 3. Einen Kreis zu konstruieren, wenn der Halbmesser und zwei Punkte des Umfanges gegeben sind. 4. Einen Kreis zu beschreiben, dessen Mittelpunkt in einer gegebenen Ge¬ raden liegt und dessen Peripherie durch zwei gegebene Punkte geht. §. 85. Einen Kreisbogen zu halbieren. Man besehreibe aus den Endpunkten des Bogens mit demaelben Halbmesser Kreisbogen, welche einander in einem Punkte schneiden, und 49 verbinde den Scbnittpunkt mit dem Mittelpunkte des Kreises durch eine Gerade; diese halbiert den gegebenen Bogen. §. 86. DiePeripherieeinesKreisesinmehrere gleicbe Teile zu teilen. Um die Peripherie eines Kreises in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile zu teilen, darf man nur ebenso viele gleicbe Winkel um den Mittelpunkt herum konstruieren. Die Grdile eines solehen Winkels findet man, indem man die Summe aller Zentriwinkel, niimlich 360°, durcb die Zabl der gleichen Winkel dividiert. Man braucht dann nur einen Zentriwinkel in dieser Grobe wirklich zu zeichnen und die durch seine Scbenkel bestimmte Sehne im Kreise herumzutragen (§. 22). Besondere FSlle: 1. Die Peripherie eines Kreises in 2 gleiche Teile zu teilen. Man ziehe einen Durchmesser. 2. Die Peripherie eines Kreises in 4 gleiche Teile zu teilen. Man ziehe zwei aufeinander normale Durchmesser. Durch Halbierung der Bogen. erhalt man dann 8, 16 gleiche Teile. 3. Die Peripherie eines Kreises in 6 gleiche Teile zu teilen. Man trage den Halbmesser als Sehne im Kreise herum (§. 83). Nimmt man zwei solche Bogen fiir einen einzigen, so wird die Peripherie in 3 gleiche Teile geteilt. Durch Halbierung der Bogen erhalt man 12, 24 gleiche Teile. 4. Die Peripherie eines Kreises in' 5 gleiche Teile zu teilen. Man konstruiere mit Hilfe des Transporteurs einen Zentriwinkel von o< r >0 — — 72° und trage die durch seine Schenkel bestimmte Sehne im Kreise herum. Durch Halbierung der Bogen erhalt man dann 10—20 gleiche Teile. Ohne Hilfe des Transporteurs kann man die Teilung der Peripherie in gleiche Teile naherungsweise durch das nachstehende, unter dem Namen der Renaldi’schen Konstruktion bekannte Verfahren ausfuhren: Man ziehe (Fig. 71) den Durchmesser A B, beschreibe um A und B mit AB als Halbmesser Kreisbogen, welche einander in C und D schneiden, teile den Durchmesser in so A viele gleiche Teile, als der Kreis Teile erhalten soli, z. B. in 7 gleiche Teile, und ziehe durch C und D und durch die geraden Teilungspunkte 2, 4, 6 des Durchmessers die Strecken C E, C F, C G, D H, D J, D K, bis sie die Peripherie des Kreises auf der hohlen Seite treffen; die Punkte A, E, F, G, H, ./, K sind dann die verlangten Teilungspunkte der Kreislinie. Fig. 71. 50 2. Peripheriewinkel. §. 87. Ein Winkel A C D (Fig. 72), dessen Sclieitel in der Peri¬ pherie eines Kreises liegt und dessen Schenkel Sehnen desselben sind, heifit ein Peripheriewinkel. Sovrohl von den Zentri- als von den Peripherie- winkeln sagt man: sie stehen auf dem Bo ge n anf, welcher zwischen ihren Schenkeln liegt. Nenne alle Peripheriewinkel in der Fig. 72! Auf welchem Bogen steht ein jeder dieser Winkel auf? Liegen die Schenkel eines Peripheriewinkels in einem Kreisabschnitte, -welcher grofier oder kleinerals der Halb- kreis ist, so heifit derselbe beziiglich ein Winkel im groBeren oder kleineren Kreisabschnitte; ACD ist ein Winkel im grofieren, AED ein Winkel im kleineren Kreisabschnitte. §. 88. Wenn ein Zentri- und ein Peripheriewinkel auf demselben Bogen aufstehen, so liegt entweder a) der Scheitel des Zentriwinkels auf einem Schenkel des Peripherie- winkels (Fig. 73), b) oder der Scheitel des Zentriwinkels liegt innerhalb der Schenkel des Peripheriewinkels (Fig. 74), c) oder er liegt aufierhalb des Peripheriewinkels (Fig. 75). In jedem dieser drei Falle findet zwischen der GroBe des Peri- pheriewinkels und des Zentriwinkels dasselbe Verhaltnis statt. a) Der Winkel m (Fig. 73) ist der Auflenwinkel des gleichschenkligen Dreieckes BOC am Scheitel, daher ist a — \ m. b) Der zweite Fali (Fig. 74) lafit sich auf den ersten zurtickfuhren. Zieht man namlich den Durchmesser C D, so ist a die Halfte von m, b die Halfte von «; daher ist auch die Summe von a und b, d. i. der Winkel A C B halb so grofi als die Summe von m und n, d. i. halb so grofi als der Winkel A O B. Fig. 72. Fig. 73. Fig. 74. Fig. 75. a) der Winkel B C D die Halfte von BO D und ACD die Halfte 51 von A O D, folglich auch der Unterschied zwischen BC D und A C D, d. i. der Winkel A CB halb so grofi als der Unterschied zwischen BO D nnd A O D, d. i. halb so grofi als der Winkel A O B. Jeder Peripheriewinkel eines Kreises ist also gleich dein halben Zentriwinkel auf gleichem Bogen; er hat mitliin die Halfte des zugehbrigen Bogens zum Mafi. §. 89. Aus dem vorhergehenden Satze folgt: a) Peripheriewinkel, welche auf demselben Bogen auf- stehen, sind einander gleich; denn jeder von ihnen hat die Halfte eines und desselben Bogens zum Mafi. b) Jeder W i n k e 1 im Halbkreise ist ein r ec h ter; denn er hat die Halfte des Halbkreises zum Mafi (§. 58). c) Ein Winkel im groGeren Kreisabschnitte ist ein spitzer; denn er steht iiber einem Bogen auf, welcher kleiner ist als der Halbkreis. d) Ein Winkel im kleineren Kreisabschnitte ist ein stumpfer; denn er steht uber einem Bogen auf, welcher groGer ist als der Halbkreis. e) Die Summe der Winkel im groGeren und im kleineren Ab- scbnitte liber derselben Sehne ist gleich zwei rechten; denn sie hat die Halfte der Peripherie zum MaG. Die hier angefiihrten fiinf Satze sind durch Zeichnungen zu veranschaulichen. §. 90 . Aufgaben. 1. Ein Zentrivnnkel eines Kreises sei a) 64°, b) 87° 45', c) 128° 13' 50", d) 56y°; wie groG ist der Peripheriewinkel liber demselben Bogen? 2. Ein Peripheriewinkel eines Kreises sei a) 56°, b) 41° 37', c) 108° 12' 12", d) 64f°; wie groG ist der Zentriwinkel iiber demselben Bogen? 3. Der uber einer Sehne im groGeren Abschnitte errichtete Peripheriewinkel ist a) 25°, b ) 49° 55', c) 86° 5' 39", d) 72f°; wie groG ist der Peripheriewinkel iiber derselben Sehne im kleineren Abschnitte? 4. Wie groG ist ein Peripheriewinkel eines Kreises, wenn der zugehorige Zentriwinkel uber f der Peripherie aufsteht? 5. Von demselben Punkte auf der Peripherie eines Kreises werden zwei Sehnen gezogen, welche Bogen von 130J° und 70f° abschneiden; welchen Winkel bilden diese Sehnen? 6. Von demselben Punkte auf der Peripherie eines Kreises werden drei Sehnen gezogen. Die erste und dritte schneiden Bogen von 102|° und 76f° ab; der Bogen zwischen der ersten und mittleren Sehne miGt 38$°; wie groG ist der Winkel zwischen der mittleren und der dritten Sehne? 3. Tangcnten. §. 91. 1. Die Normale im Endpunkte eines Halbmessers ist eine Tangente des Kreises. (Fig. 76.) Von diesem Satze, dessen Riehtigkeit schon im §. 57 nachgewiesen wurde, gelten auch die Umkehrungen: 2. Die Normale aus dem Mittelpunkte eines Kreises zu der Tangente geht durch den Berlihrungspunkt. 52 3. Errichtet man im Ber gen te auf diesedie Normale, s < punkt des Kreises. Fig. 76. Fig. 77. iibrungspunkte einer Tan- igekt sie durck denMittel- D a r a u s f o 1 g t: D e r geometri sebe Ort ftir die Mittelpunkte a 11 e r K r e i s e, welche eine Gerade in einem gegebenen Punkte b e r ti h r e n, i s t d i e i n d i e s e m Punkte auf die gegebene Gerade errichtete Nor¬ male. §. 92. Zieht man (Fig. 77) den Halbmesser O A und errichtet in A die Nor¬ male B C zu O A, so ist B C eine Tangente des Kreises. Zieht man die Sehne AJD, ver- langert A O bis E und zieht D E, so ist in dem zur Sehne A D gehorigen grofieren Abschnitte das A AJDE bei D recht\vinklig; b und m sind Komplemente zu dem- selben Winkel a, also m = b ... 1) Zieht man in dem zur Sehne A D gehorigen kleineren Abschnitte zu einem beliebigen Punkte F die Geraden A F und D F, so betragen die Winkel c und b als Winkel in dem groCeren und kleineren Abschnitte iiber derselben Sehne A D zusammen zwei Rechte (§. 89, e), also c-f-6 = 2 R- es ist aber auch n -f- m = 2 JR ; folglich n -f- m = c -j- 6. Da nun m — b ist, so ist auch n = c ... 2). Zieht man also durch einen Punkt der Kreislinie eine Tan¬ gente und eine Sehne, so ist 1. der von derTangente und der Sehne gebildete spitze Winkel gleich dem Winkel im grofieren Kreis- abschnitte und 2. der von der Tangente und der Sehne gebil¬ dete stumpfe Winkel gleich dem "VVinkel im kleineren Kreis- abschnitte. §. 93. Aufgaben. 1. Durch einen Punkt A in der Peripherie eines Kreises an diesen die Tangente zu ziehen. (Fig. 76.) Man ziehe den Halbmesser A O und errichte in A B C J_ A O ; dann ist B C die verlangte Tangente (§. 57). 2. Aus einem gegebenen Mittelpunkte einen Kreis zu beschreiben, vzelcher eine gegebene Gerade beriihrt. 3. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu konstruieren, -welcher eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte derselben beriihrt. 4. Einen Kreis zu beschreiben, welcher eine gegebene Gerade in einem ge¬ gebenen Punkte derselben beriihrt und durch einen Punkt aufierhalb dieser Geraden geht. 5. An einen gegebenen Kreis eine Tangente zu ziehen, welche mit einer ge¬ gebenen Geraden parallel ist. §. 94. Von einem aufierbalb eines Kreises liegenden Punkte A (Fig. 78) eine Tangente an diesen Kreis zu zieben. 53 Man zielie die Gerade A O und beschreibe iiber derselben als Durchmesser einen Kreis, welcher den gegebenen in M und M‘ schneidet. Der Winkel A M O ist als Winkel im Halb- kreise ein rechter, daher A M eine Tangente des gegebenen Kreises. Da auch AM‘0 ein rechter Winkel ist, so ist auch A M‘ eine Tangente desselben Kreises. Aus einem au(Seri)alb des Kreises liegenden Punkte lassen sich also an denselben zwei Tangenten ziehen. Aus der Kongruenz der Dreiecke A O M und A O M' (Ss W. ) geht ferner hervor: a) Die beiden Tangenten A M und A M' s in d einander gleich. b) Wenn zwei Tangenten eines Kreises einander schneiden und man ver- bindet ihren Durchschnittspunkt mit dem Mittelpunkte durch eine Gerade, so halbiert diese den Winkel, den die Tangenten bilden, ferner den von den Radien zu den Bertikrungspunkten einge- schlossenen Winkel und den zugehijrigen Bogen. §. 95. 1. liber einer gegebenen Strecke AB (Fig. 79) als Sebne einen Kreis zu besohreiben, in welchem alle Peripheriewinkel einem gegebenen Winkel m gleieh sind. Man trage auf dem einen Schenkel des Winkels m. vom Seheitel A aus die gegebene Streoke AB auf, halbiere sie in D und ziehe D E _|_ A B und A F A C A, so ist der Durch¬ schnittspunkt O der Normalen D E und A F der Mittelpunkt und O A der Halbmesser des Kreises, in dessen groBerem Abschnitte A G B jeder Peripheriewinkel, z. B. A G B, dem gegebenen Winkel m gleich ist. Denn A C ist eine Tangente und A B eine Sehne dieses Kreises, daher A G B = m. Wie wird die Auflosung lauten, wenn der gegebene Winkel ein stumpfer ist? 2. Beschreibe iiber einer gegebenen Strecke als Sehne einen Kreisabschnitt, in welchem jeder Peripheriewinkel a) 90°, b) 45°, c) 135°, d) 60°, e) 120°, /) 30°, g) 105° betragt! 3. Beschreibe mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreisabschnitt, in welchem alle Peripheriewinkel die in Aufg. 2 angegebene Grofie haben! 4. Lage der Kreise gegeneinauder. §. 96. Die Lage zweier Kreise gegeneinauder hangt von der Lage ihrer Mittelpunkte und von der Grofi e ihrer Halbmesser ab. Zwei Kreise (Fig. 80), welche einen gemeinschaftlichen Mittel¬ punkt haben, heifien konzentrische Kreise. Die zwischen den Peripherien zweier konzentrischer Kreise liegende ebene Flache heiflt Kreisring. Fig. 79. Fig. 78. 54 Fig. 80. Zwei Kreise, weiclie keinen gemeinschaftlichen Mittelpunkt haben, heifien exzentrische Kreise. Die durch die Mittelpuukte zweier exzen- trischer Kreise gelegte unbegrenzte Gerade heifit Zentrale, der Abstand der beiden Mittelpuukte der Zentralabstand. Da die Zentrale einen Durcb- messer eines jeden der beiden Kreise entbalt, so ist sie die Symmetrieachse derselben. §. 97. Zwei exzentriscbe Kreise kbnnen einander entweder berbhren oder schneiden, oder es ist k eines von beiden der Fali. 1. Zwei Kreise berbhren einander, wenn ihre Umfangenur einen Punkt gemeinschaftlicb haben. Die Beruhrung gescbieht von innen (Fig. 81), wenn sonst der eine Kreis innerbalb des andem liegt, oder von a u fi e n (Fig. Fig. 81. Fig. 82. 82), wenn die Kreise sonst aufierhalb einander liegcn. Aus der Symmetrie folgt, dafi der Be- rtibrungspunkt in der Zentrale liegen mufi. Bei der inneren Be- rtihrung zweier Kreise ist der Zentralabstand O 0‘ gleich der Differenz der Halbmesser O A — 0‘A ; bei der iiufteren Berbbrung ist er gleich der Summe der Halbmesser O A -f- O'A. Hieraus folgt aucb: a) Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Kreis in einem gegebenen Punkte desselben beruhren, ist die durcb diesen Punkt und den Mittelpunkt des ge¬ gebenen Kreises gehende Gerade; Der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kreise, welche einen gegebenen Halbmesser haben und einen gegebenen Kreis berbhren, ist ein mit diesem konzentrischer Kreis, dessen Halb¬ messer gleich ist der Summe oder der Differenz der beiden gegebenen V Fig. 83. Halbmesser, je nachdem die Berbhrung von aulien oder von innen stattfindet. 2. Zwei Kreise schneiden einander, wenn ibre Peripherien (Fig. 83) zwei Punkte gemeinschaftlich haben. Da in einem Dreiecke jede Seite zwischen der Summe und der Differenz der beiden andern 55 liegt, so ist R -\-r>00‘> R — r. Sclmeiden einander also zwei Kreise, so ist der Zentralabstand kleiner als die Summe, aber grbfler als die Differenz der beiden Radien. 3. Von zwei exzentrischen Kreisen, welche einander weder be- r ti hren noch schneiden, kann der kleinere innerhalb oder aufierbalb des grofieren liegen. Der Zentralabstand ist im ersten Falle kleiner als die Difierenz, im zweiten Falle groller als die Summe der Halbmesser. §. 98. Aufgaben. 1. Zwei Kreise zu konstruieren und ihre Lage zu bestimmen, wenn der Zen¬ tralabstand und die Halbmesser folgende Werte baben: 2. Zeichne zwei Kreise, deren .jeder 18 mm zum Halbmesser bat und die einander von aufien beriibren! 3. Beschreibe mit den Halbmessern 35 mm und 20 mm zwei Kreise, die einander von innen beriibren! 4. Zeichne mit dem Halbmesser 25 mm einen Kreis und dann zwei andere Kreise, welche den ersten schneiden und einander im Mittelpunkte desselben beriihren! 5. Einen Kreis zu konstruieren, welcher einen gegebenen Kreis in einem ge- gebenen Punkte desselben beriihrt und durch einen auCerhalb des Kreises liegenden Punkt gebt. (Geom. Orter §. 97, 1. a und §. 82.) 6. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zn beschreiben, welcher a) einen gegebenen Kreis beriihrt und durch einen Punkt aufierhalb desselben geht (Geom. Orter §. 97, 1. b und §. 23, 2); b) zwei einander schneidende Kreise beriihrt. (Geom. Ort §. 97, 1. b.) Vili. Vierecke. 1. Bestandstiicke des Viercekes. §. 90. Eme von vier Streckcn begrenzte ebene Figur wird ein Viereck genannt. Jedes Viereck A B CD (Fig. 84) hat vier Seiten, 84 - ^ vier Winkel und vier Eckpunkte. Die Summe aller j Seiten des Viereckes heiBt dessen Umfang. Eine Strecke A C, welcbe zwei gegeniiber- liegende Eckpunkte des Viereckes verbindet, beifit Diagonale. In wie viel Dreiecke wird das Viereck durch eine Diagonale zerlegt? Wie viel Diagonalen konnen in einem Vierecke gezogen werden? 56 '■ §. 100. Zielit man in dem Vierecke ABC D (Fig. 84) die Dia¬ gonale A C , so wird dadurch das Viereck in zvvei Dreiecke zerlegt und es betragen die vier Winkel des Viereckes genau so viel als die sechs Wmkel der zwei Dreiecke zusammengenommen; die Winkel der beiden Dreiecke betragen nun 4 R. Daraus folgt: Die Summe aller Winkel eines Viereckes ist gleich vier Rechten oder 360°. Wenn in einem Vierecke alle vier Winkel gleich sind, wie grofi ist jeder derselben? Wie viele spitze, rechte, stumpfe oder erbabene Winkel kann ein Viereck enthalten? Aufgabe. In einem Vierecke ist <£ el = § R, = | R, fl (f » 3. Ziekt man in dem Trapeze ABC D (Fig. 93) durck die Mitte E eines der beiden Sckenkel die Parallele EB zu den beiden Parallelseiten und durch E auck die Parallele zu A D, so ist A BEG^CEH (WSW.), daher EG — EH = \GBI und BG = C H. Da EH— F D und G E = A B) so ist auck F D — A F= \AD. Ferner ist: A B == A G + B G = FE+ B G, und D C—D H ■— C H— FE — B G, daher durck Additiou A B J) (7=2 B'E oder FE AB-+-DC 2 61 Man kat dalier folgenden Satz: Zielit m and ur eh dieMitte eines der heiden Schenkel eines Trapezes die Parallele zu den Parallelseiten, so halbiert diese auch den anderen Schenkel und ist gleich der halben Summe der beiden Parallelseiten. Die Strecke FE keifit die Mittellinie des Trapezes. Aufgabe. In einem Trapeze ist die Mittellinie 29| cm, eine der beiden Parallelseiten 22£ cm-, \vie grofi ist die zweite der Parallelseiten? §. 114. Zieht man in dem Trapeze ABC D (Fig. 94) CE\\DA, so zerfilllt dasselbe in ein Parallelogramm A EC D und in ein Dreieck ECB, welches letztere die zwei Schenkel und die Differenz der Parallel¬ seiten des Trapezes zu Seiten hat. Ist in dem Trapeze ABC D die Seite Fig. 94. AD=B C, so ist das Dreieck EBC gleich- sJienklig, daher ist IVinkel B — C EB — A. Dann sind auch die IVinkel BCD und ADC als Supplemente zu den gleichen Winkeln B und A gleich. Ein Trapez, in welchem die Schenkel einander gleich sind, heilit gleichschenklig. Dasselbe hat folgende Eigenschaften: 1. In einem gleichschenkligen Trapeze sind die Winkel an jeder der zwei Parallelseiten einander gleich; und umgekehrt: Sind in einem Trapeze dieWinkel an einer der beiden Parallelseiten einander gleich, so ist das Trapez gleich¬ schenklig. 2. Die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes sind einander gleich. Folgt aus der Kongruenz der Dreiecke ABC und BAB. 3. Das gleichschenklige Trapez ist symmetrisch; seine Achse ist die Symmetrale einer Parallelseite. (Beweis durch Umvrenden; vgl. §. 110, 2.) 4. Um jedes gleichschenkligeTrapez kan n ein Kreis beschrieben werden. Der Mittelpunkt desselben ist der Durck- schnittspunkt der Symmetralen zweier anstoflender Seiten. Man vergleiche die Abstande dieses Punktes von den Eckpunkten. (§• 60 a.) Aufgabe. Wie viele Winkel a) eines Trapezes, b ) eines gleichschenkligen Trapezes miissen bekannt sein, um die andern berechnen zu konnen? Mocnik-Spielraanu, Geom. Anschauungslehre. I. Abt. 5 62 §. 115. Ein Trapezoid, da,s zwei Paare gleicher anstoilender Seiten hat, heidt ein D e 11 o i d. Ist (Fig. 95) AC = B C und A D — B D, so ist A C B D ein Deltoid; dasselbe besteht ans zwei gleichschenkligen Dreiecken, deren gemeinsame Grundlinie die Diagonale AB ist. Besondere Eigenschaften: 1. Die Diagonalen einesDeltoids si n d zueinander normal. Da AC=BC und A D = B D, so ist CD die Symmetrale von AB, somit zn ihr normal. 2. Das Deltoid ist symmetrisch; seine Symmetrieaclise ist die Diagonale, welche die Ecken miteinander verbindet, an welcben die gleichen Seiten einander scbneiden. 3. In jedes Deltoid kann ein Kreis beschrieben werden. Der Mittelpunkt desselben ist der Durcbschnittspunkt der Diagonale C D und der Symmetrale des Winkels A oder B ; denn derselbe bat von allen vier Seiten des Del- toides den gleieben Abstand. Aufgab]en. 1. Die Winkel eines Deltoides, welche die Symmetrale desselben durcbscbneidet, sind 74§° nnd 106f°; wie groB sind die beiden andern? 2 . <£ A (Fig. 95) = 120° 34' 35", <£ C = 87° 45' 46"; die Winkel B und D zu berechnen. Es sei in dem Dreiecke ABC (Fig. 96) die Seite A C . B. vier gleicbe Teile geteilt, also C D = D E— E F — F A, und man ziebe D G, EH und F J samtlich parallel mit der Seite A B ; dann laBt sick be- weisen, daO dadurch aueh C B in vier gleiche Teile geteilt wird. — Man ziehe die Geraden G K, H L und J M parallel zu A C. Da Parallele zwischen Parallelen gleich sind, so ist G K— D E, HL —E F und J M = F A. Nach der Voraus- setzung sind die Strecken CD, DE, E F und F A gleich, daker miissen auch die Strecken C D, G K, H L und J M gleich sein; in den Dreiecken CD G, G Kil, HLJ und JMB sind tiberdies die Winkel a, b, c und d als Gegenvvinkel zwiscken Parallelen gleich, ferner die Winkel e,f, g und h gleich, da ihre Schenkel parallel und nach derselben Seite gerichtet sind. Die genannten vier Dreiecke haben also eine Seite mit den beiden anliegenden Winkeln gleich, sind folglich kongruent; den gleichen Winkeln e, /, g und h liegen m §. 116 . mekrere z. Fig. 96. 63 in diesen Dreiecken die Seiten C G, G H, H J und JB gegeniiber; also ist C G = G H= HJ=JB. Die dritte Seite CB ist somit wirklicli in vier glciclie Teile geteilt worden. Wenn also in einem Dreiecke eine Seite in mehrere glgiche Teile geteilt wird und man zieht d ur c h j eden Teilungspunkt die Parallele zn einer zweiten Seite, so wird dadurch aucli die dritte Seite in ebenso viele unter- einander gleicbe Teile geteilt. 6. Kongruenz der Viereeke. §. 117. Zwei Viereeke sind kongruent, wenn in denselben alle vier Seiten und alle vier Winkel nacli der Ordnung paarweise gleich sind. Aus dieser Erkliirung folgt: 1. Zwei Parallelogramme sind kongruent, wenn in denselben zwei Seiten und der eingescblossene IVinkel paarweise gleich sind. 2. Zwei Recbtecke sind kongruent, wenn in denselben zwei anstodende Seiten paarweise gleich sind. 3. Zwei Quadrate sind kongruent, wenn sie eine Seite gleich haben. Um drei Eckpunkte zu bestimmen, sind drei voneinander unab- hangige Bestimmungsstiicke notwendig; zur Bestimmung des vierten Eckpunktes sind nocli zwei weitere Stiicke erforderlich. Ein Viereck ist demnach im allgemeinen durch fiinf voneinander unabhangige Stiicke bestimmt. 7. Konstruktionsaufgaben. Fig. 97. §. 118. 1. Mit der gegebenen Seite a (Fig. 97) ein Qua- drat zu b eschreiben. Man konstruiere einen rechten IVinkel A. schneide an den Schenkeln A B — A D = a ab und beschreibe aus B und D mit dem Halbmesser a Kreisbogen, welche einander in G schneiden. Zieht man B C und C D, so ist ABC D das verlangte Quadrat. 2. Zeichne ein Quadrat, dessen Seite 34 mm ist, und konstruiere a) den ihm eingeschriebenen, b) den ihm umgeschriebenen Kreis! 3. Konstruiere ein Quadrat, dessen Umfang 1 dm ist! 4. Zeichne ein Quadrat, welches mit einem gegebenen Rechtecke gleich en Umfang hat! 5 * 64 5. Ein Quadrat zu konstruieren, wenn dessen Diagonale (36 mm) gegeben ist. Durch welche und wie viele Bestandstlicke wird ein Quadrat bestimmt ? D Fig. 98. a §. 119. 1. Ein Rechteck zu konstruieren, wenn zwei anstodende Seiten a und b (Fig. 98) gegeben sind. Man zeicbne einen rechten Winkel A, mache AB = a, AD = b und beschreibe aus B mit dem Halbmesser b und aus D mit dem Halb- messer a Bogen; der Scbnittpunkt C ist der vierte Eckpunkt des gesucbten Recbteckes. 2. Konstruiere ein Rechteck mit den Seiten 26 mm und 38 mm und beschreibe um dasselbe A B einen Kreis! G 3. Zeichne ein Rechteck, wenn eine Seite (22 mm) und die Dia¬ gonale (31 mm) gegeben sind! 4. Zeichne ein Rechteck, in welchem die Diagonale 32 mm betragt und die beiden Diagonalen einen Winkel von 60° bilden! 5. Ein Rechteck aus einer Seite und dem Radius des umgeschriebenen Kreises zu konstruieren (24 mm, 18 mm). Wie viele Bestandstlicke bestimmen ein Rechteck? §. 120. 1. Ein Parallelogramm zu zeichnen, wenn zwei Seiten a und b und der von ihnen eingeschlossene Winkel, z. B. 62°, gegeben sind. (Fig. 99.) Man konstruiere den Winkel A — 62°, mache p AB — a , AD — b und be¬ schreibe aus B und D mit den Halbmessern b und a Bogen, welche einander in C schneiden; ABC D ist das gesuchte Parallelogramm. 2. Einen Rhombus zu konstruieren, wenn die beiden Diagonalen (44 mm, 32 mm) gegeben sind, und ihm dann einen Kreis einzuschreiben. 3. Es soli ein Rhombus konstruiert werden, wenn gegeben sind: a) die Seite und ein Winkel (34 mm, 30°); b) die Seite und eine Diagonale (24 mm, 32 mm); c) die beiden Diagonalen (18 mm, 28 mm); d) die Hohe und ein Winkel (28 mm, 70°). (Geometrischer Ort §. 104); 65 e) der Radius des eingeschriebenen Kreises und ein Winkel (15 mm, 65°); f) eine Diagonale und ein Winkel. (Die gegebene Diagonale kann durch den Scheitel des gegebenen Winkels gehen oder nicbt.) 4. Zeichne ein Rkomboid, wenn gegeben sind: a ) zwei Seiten (25 mm und 33 mm) und der von ihnen ein- gescblossene Winkel 60°; b) zwei anstoBende Seiten und die durch ihren Schnittpunkt gekende Diagonale (22 mm, 29 mm, 35 mm); c) die beiden Diagonalen und eine Seite (31 mm, 34 mm, 25 mm); d) die beiden Diagonalen und der von ihnen eingeschlossene Winkel (36 mm, 43 mm, 60°)! Durch wie viele Stiicke wird a) ein Rhombus, b) ein Rhomboid bestimmt ? §. 121 . 1. Ein Dreieck zu konstruieren, wenn gegeben sind: a) zwei Seiten und die zur dritten Seite gehorige Hohe (38 mm, 45 mm, 30 mm)', b) zwei Seiten und die zur ersten Seite gehorige Hohe (42 mm, 36 mm, 28 mm). Aufgabe a) gibt zwei verschiedene Auflosungen. Aufgabe b) hat ebenfalls im allgemeinen zwei Auflosungen; wann ist die Aufgabe ein- deutig, wann unlosbar? 2. Ein gleickschenkliges Dreieck zu konstruieren, wenn ein Schenkel (36 mm) und die Hohe (28 mm) gegeben sind. 3. Ein gleickschenkliges Dreieck zu konstruieren, wenn die Hohe und der IVinkel an der Basis gegeben sind. (30 mm, 70°.) 4. Ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, wenn die Hypo- tenuse (50 mm) und die Hohe (20 mm) auf dieselbe gegeben sind. Wann ist die Aufgabe nur moglich? 5. Ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, wenn eine Kathete und die Hohe auf die Hypotenuse gegeben sind (25 mm, 18 mm). 6. Ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, wenn ein spitzer Winkel und die Hohe auf die Hypotenuse bekannt sind (40°, 25 mm). 7. Ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, wenn die Hohe auf die Hypoteuuse und einer der Abschnitte derselben gegeben sind (24 mm, 16 mm). 66 8. Mit einem gegebenen Halbmesser einen Kreis zu konstruieren, welcker a) eine gegebene Gerade beriihrt urni durcb einen aufierbalb derselben liegenden Punkt gebt (Geometriscbe Orter §. 104 und §. 23, 2); b) zwei einander scbneideude Gerade beriihrt (Geometriscbe Orter §§. 62 und 104); c) einen gegebenen Kreis und eine auberhalb desselben liegende Gerade beriihrt (Geometrische Orter §§. 97, 1. b und 104). §. 122. 1. Ein Trapez zu konstruieren, wenn eine Parallelseite a , die beiden Schenkel b und c und der von a und b eingeschlossene Winkel (78°) gegeben sind. (Fig. 100.) Man konstruiere einen IVinkel A — 78°, mache A B = a, A D — b. Durcb D ziehe man die Parallele mit A B und beschreibe aus B mit dem Halbmesser c einen Kreisbogen, welcher jene Parallele in C schneidet. Zieht man nun B C, so erhalt man das Trapez ABC B, welches die vier gegebenen Stiicke enthalt. Da aber der aus B bescbriebene Kreis¬ bogen die Parallele D C noch in einem zweitc-n Punkte C' schneidct, so gibt es auch noch ein zweites Trapez A B C‘ D, welches dieselben vier Stticke enthalt. Die Aufgabe laflt also im allgemeinen zwei Auflosungen zu. Wann erhalt man nur ein, wann gar kein Trapez? Sind unter den Bestimmungsstucken die beiden Parallelseiten gegeben, so wird die Konstruktion mit Hilfe eines Dreieckes, dessen Grundlinie gleich der Difierenz der Parallelseiten ist, ausgefiikrt; die beiden andern Seiten sind die Schenkel des Trapezes. (Siehe Fig. 94.) 2. Konstruiere ein Trapez, in welchem die Parallelseiten 38 mm und 32 mm vorkommen und einer der beiden Schenkel 27 mm ist und mit der ersteren Parallelseite den Winkel von 60° bildet! 3. Zeichne ein Trapez, wenn gegeben sind: a) die Parallelseiten und die Schenkel (42 mm, 30 mm, 36 mm, 28 -mm ); b) die zwei Parallelseiten und die der ersten anliegenden Winkel (45 mm, 28 mm, 45°, 60°); c) die zwei Parallelseiten, ein Winkel a n denselben und die Hohe (40 mm, 32 mm, 60°, 26 mm); 67 d) die zwei Parallelseiten, ein Winkel an denselben und einer der beiden Schenkel (42 mm, 29 mm, 75°, 33 mm); e) die zwei Schenkel, eine Parallelseite und die Hohe (34 mm, 42 mm, 48 mm, 27 mm)! 4. Konstruiere ein g' 1 e i c h s c h e n k 1 i g e s Trapez, von welchetu die Parallelseiten (36 mm, 32 mm) und der Schenkel (28 mm) gegeben sind, und beschreibe um dasselbe einen Kreis! 5. Konstruiere ein gleichsckenkliges Trapez, wenn gegeben sind: a) die Parallelseiten und die Hohe (38 mm, 3 cm, 26 mm); b) die Parallelseiten und ein Winkel (32 mm, 24 mm, 120°); c) der Schenkel, die Diagonale und die Hohe (36 mm, 46 mm, 28 mm)! Durch wie viele Stiicke wird a) ein Trapez iiberhaupt, b) ein gleichschenkliges Trapez bestimmt? §. 123. 1. Ein D el to id, von welchem zwei Seiten und die Symmetrale (30 mm, 36 mm, 45 mm) gegeben sind, zu konstruieren und in dasselbe einen Kreis zu beschreiben. 2. Ein Deltoid zu konstruieren, wenn gegeben sind: a) zwei Seiten und die von der Symmetrale geschnittene Diagonale (42 mm, 31 mm, 37 mm); b) die beiden Diagonalen und eine Seite (45 mm, 28 mm, 32 mm). 3. Ein Viereck zu konstruieren, wenn gegeben sind: a) alle vier Seiten und ein Winkel (25 mm, 30 mm, 35 mm. 20 mm, 70°); b) alle vier Seiten und eine Diagonale (20 mm, 24 mm, 30 mm, 36 mm, 28 mm) j c) drei Seiten und die beiden eingeschlossenen Winkel (18 mm, 24 mm, 20 mm, 60°, 80°); d) drei Seiten und die beiden Diagonalen (20 mm, 25 mm, 34 mm, 28 mm, 40 mm). §. 124. Ein Vier¬ eck zu konrstruieren, w e 1 c h e s mit einem gegebenen Vierecke ABC D (Fig. 101) kon- gruent ist. Zieht man die Diago- ^ nale B D, konstruiert das Dreieck EFH£^/\ABD und liber F H das Dreieck FGH£±2 /\BCF>, so ist das Viereck EFC H^AB CD. Es ist iibrigens 68 nicht notig', die Diagonale B D wirklich zn ziehen; man braucht nur die Eckpunkte E, F, G, H des neuen Viereckes entsprechend zu be- stimmen, was auf folgende Art geschiekt: Man maclie EF= A B, beschreibe aus E und F mit den Halb- messern A D und B D Bogen, welclie einander in II schneiden; ferner be¬ schreibe man aus F und H mit den Halbmessern B C und D C Bogen, welche einander in G schneiden, und zieke EH, IIG und G F. §. 125 . Eine gegebene Strecke AB (Fig. 102) in meh- rere, z. B. in fiinf, gleiche Teile zu teilen. Man ziekt durck den einen Endpunkt A unter einem beliebigen Winkel einen Strahi A X, tragt darauf f 11 n f gleiehe Strecken von beliebiger Grofic his C auf und verbindet C mit dem zweiten End- punkte B. Dadurch erhalt man ein Drei- eck A C B, in weleliem die Seite A C in fiinf gleiche Teile geteilt ist; damit gleiche Teile geteilt werde, braucht man nur durch jeden Teilungspunkt von A C die Parallele zu C B zu ziehen. Teile eine Streoke in 3, 6, 7, 9, 10, 12 gleiche Teile! §. 126 . Hier kann auch die folgende Aufgabe gelost werden. An zw ei gegebene Ki*eise eine gemeinsame Tangente zu ziehen. Es seien O und o die Mittelpunkte, O A und o a die Halbmesser der zwei Kreise. a) Man beschreibe (Fig. 103) aus O mit einem Halb¬ ih messer OB, welcher gleich ist der Differenz O A—o a der gegebenen Halbmesser, einen Kreis und ziehe an denselben von o die Tangenten o B und oB‘. Verlangert man dann die Halbmesser OB und OB' bis zum Durchschnitte mit dem gegebenen Kreise in C und C‘ und zieht o c || O C und o c' || O C, so sind die Geraden Ca und C c' zwei gemeinsame, und z\var die auberen Tangenten der beiden gegebenen Kreise. Denn das Viereck BCco ist, da die Seiten BC und o c gleich und parallel sind, ein Parallelogramm (§. 106); da in diesem ein Winkel C Bo ein rechter ist, so sind es auch die andern; also ist BCc — R und ocC — R, also C c eine gemein¬ same Tangente der zwei Kreise. Ebenso folgt, dad auch C'c' eine Tangente der beiden Kreise ist. b) Man beschreibe (Fig. 104) aus O mit einem Halbmesser OD, welcher gleich ist der Summe O A -f- o a, einen Kreis und ziehe an denselben von o die Tangenten o D und oD\ Zieht man dann die Halbmesser OD und OD\ vrelche den ge- Fig. 102. X auch die Seite A B in fiinf 69 gebenen Kreis O in £ und E' schneiden, ferner oe || O .Bund o e' |j O E', so sind die Geraden E e und E'e' ebenfalls zwei ge- meinsame, und zwar die inneren Tan- genten der beiden gegebenen Kreise. Die Richtigkeit dieser Losung lafit sich ebenso wie die der fruheren unter a) erweisen. Sowobl die aufieren als aucb die inneren Tangenten zweier Kreise schneiden einander in einem Punkte der Zentrale. Fig. 104. IX. VieSacke. 1. Bestandstiicke des Vieleckes. §. 137. Jede von mehreren Strecken begrenzte ebene Figur wird ein Vieleck oder Polygon genannt. Ein Vieleck hat die gleiche Anzahl Seiten, Winkel und Eckpunkte; jede Seite hat zwei anliegende Winkel, jeder Winkel zwei ibn ein- scblieilende Seiten. Je nacbdem ein Vieleck drei, vier, ftinf, sechs, .... Seiten hat, heillt es ein D r e i e c k, Vi e r e c k, F tt n f e c k, S e c b s e c k u. s. w. Eine Strecke, welcke zwei Eckpunkte verbindet, die nicht in der- selben Seite liegen, heiBt Diagonale. Aufgaben. 1. Kann in einem Dreieoke eine Diagonale gezogen werdeu? 2. Wie viele Diagonalen konnen von einem Eckpunkte in einem Vier-, Fiinf- Sechs-, Sieben-, Acbt-, Neun-, Zehneeke gezogen werden? In wie viele Dreiecke wird dadurcb jedes der genannten Vielecke zerlegt? Die Anzabl der Diagonalen, die in einem Vielecke von einem Eckpunkte aus gezogen werden konnen, ist immer um 3 kleiner als die Anzahl der Seiten; und die Anzahl der Dreiecke, in welche dadurch das Vieleck zerlegt \vird, ist um 2 kleiner als die Seitenanzahl. Will man die Zahl aller Diagonalen eines Vieleckes berechnen, so hat man die Zahl der Diagonalen, die von einem Eckpunkte aus moglich sind, mit der Zahl der Eckpunkte zu multiplizieren und das Produkt, da jede Diagonale zweimal gerechnet wurde, durch zwei zu dividieren. 3. Wie grofi ist die Zahl aller Diagonalen a) in einem Achtecke, b) in einem Zwolfecke? 4. In einem Polygon gehen von einem Eckpunkte 7 Diagonalen aus. Wie grofi ist die Zahl aller Diagonalen des Polygons? §. 138. Die IViukel eines Polygons konnen spitz, recbt, stumpf und selbst aucb erhaben sein. 70 Zeichne ein Polygon, in welchem alle diese Arten von Winkeln vorkommen! Es sollen im folgenden mir Polygone mit holilen Winkeln betrachtet werden. Die Summe aller Wiukel eines Polygons ist gleich so vielmal ztvei Redit en, als das Polygon Seiten kat, we- niger vier Rechten. Zielit man von einem Punkte O innerkalb des Polygons ABC D E F (Fig. 105) zu allen Eckpunkten gerade Linien, so erhalt man so viele Dreiecke, als das Polygon Seiten kat; die Winkel eines solchen Drei- eekes ketragen zwei Reckte, daker die Winkel aller Dreiecke so viel¬ mal z w e i Reckte, als das Polygon Seiten hat. Unter lng ' 10u> diesen Winkeln der Dreiecke kommen nun alle Viel- eckswinkel vor, aber tikerdies auch noch die Winkel um den Punkt O kerum, die nickt Vieleckswinkel sind und zusammen vier Reckte ketragen. Um daker die Summe der Vielecksivinkel zu erhalten, mufi man von der Winkelsumme aller Dreiecke nock vier Reckte suktrakieren. Wie grob ist die Summe aller Winkel eines Fiinfeckes, eines Seohs-, Siebeu-, Acht-, Neun-, Zekn-, Zw51feokes? Aufgabe. Derselbe Satz zu beweisen durch Zerlegung des Polygons in Dreiecke durch Diagonalen, die von einem Eckpunkte aus gezogen -vverden. 2. ltegelmaBige Vielecke. §. 129. Ein Vieleck, in welckem alle Seiten gleick sind, heifit gleickseitig; ein Vieleck, in welckem alle Winkel gleick sind, gleickivinklig; ein Vieleck, in welckem alle Seiten und alle IVinkel gleick sind, regelmailig. Da in einem regelmailigen Polygon alle Winkel gleick sind, so ist es leickt, die Grobe eines derselben zu finden; man darf nur die Summe aller IVinkel sucken und dieselbe durch die Auzakl der IVinkel dividieren. Es hetragt z. B. jeder IVinkel 540° des regelmabigen Fiinfeckes —— = 108°, O 7‘>0° „ „ Seckseckes —= 120° u. s. w. Aufgab en. 1. Wie viele VVinkel eines unregelmabigen Polygons miissen bekannt sein, um die andern durcli Rechnung bestimmen zu konnen? 2. Von den “VVinkeln des Fiinfeckes ABCDE ist A = 28J°; jeder der 3 folgenden ist doppelt so grob als der vorhergekende. Wie grob ist der 5. Winkol? 71 §. 130. Es sei das Polygon ABC D E F (Fig. 106) regelmaliig, also AB — BC=CD = ... und A — B — C— ... Iialbiert man zwei Winkel A und B, die an derselben Seite liegen, so entsteht ein gleicbscbenkliges Dreieck A B O. Zieht man von dem Scbeitel O desselben zu den tlbrigen Eckpunkten die Strecken O C, OD , O E, ... so wird dadurch das Polygon in lauter kongruente, gleickschenklige Dreiecke geteilt; denn wendet man das erste Dreieck AB O um die Seite O B um, so deckt es das Dreieck BCO: es muli namlich wegen d = c A B in die Richtung von B C fallen und wegen BC — AB der Punkt A auf C\ dieses kann ebenso mit dem nacbsten zur Deckung gebracht werden, u. s. f. Die Strecken O A, OB, O C, . . . sind also einander gleich. Da kongruente Dreiecke in Rezug auf die gleichen Seiten auch gleiclie Hohen haben, so sind die von O auf die Seiten gefallten Nor¬ malen O G, OH, OJ,... einander gleich. Daraus folgt: 1. Iialbiert man in einemregelmaliigen Polygon zwei aufeinander folgende Umfangswinkel und verbindet den Schnittpunkt der Halbierungslinien mit den tibrigen Eck¬ punkten des Polygons durch Strecken, so wird dadurch das P o 1 y g o n i n 1 a u t e r k o n g r u e n t e, g 1 e i c h s c k e n k 1 i g e D r e i- ecke geteilt. Sind in einem Polygon diese Dreiecke gleichseitig? 2. In jedem regelmafiigen Polygon gibt es einen Punkt, der von allen Eckpunkten und auch von allen Seiten gleich weit absteht. Dieser Punkt heilit der Mitteipunkt des regelmaOigen Polygons. Man findet ihn, indem man zwei aufeinander folgende Vieleckswiukel halbiert. Autgabe. Wie groC iat die Seitenzalil eines regelmaCigen Polygons, wenn ein Winkel desselben 140° ist? §. 131 . Ein Vieleck, dessen Eckpunkte in der Peripherie eines Kreises liegen, dessen Seiten also Sehnen des Kreises sind, lieiiit dem Kreise eingeschrieben und der Kreis heilit dem Vielecke umgcsohrieben. Ein einem Kreise eingescliriebenes Vieleck wird auch ein Se h ne n vieleck genannt. Fig. 106. 72 Fig. 107. Ein Vieleck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind, heifit dem Kreise umgeschrieben und der Kreis lieiBt dem Vielecke ein- geschrieben. Ein einem Kreise umgeschriebenes Vieleck wird anch ein Tangentenvieleck genannt. RegelmSBige Sehnen- und Tangentenrielecke. §. 132. Jedem regelmaBigen Vielecke laBt sich ein Kreis a) umschreiben, b) einschreiben. Es sei ABC D JE F (Fig. 107) ein regel- madiges Vieleck. Halbiert man zwei Winkel, z. B. A und B, so ist der Sclmittpunkt O der Halbierungslinien von allen Eckpunkten und ebenso von allen Seiten gleich weit entfernt. a) Bescbreibt man dah er aus dem Mittel- punkte O mit dem Halbmesser A O eine Kreis- linie, so mufi dieselbe durcb alle Eckpunkte A, B, C, D, F,\ F gehen und ist somit dem Vielecke umgeschrieben. b) Sind O G, OH, OJ, O F, .... die gleichen Abstande des Mittelpunktes O von den Seiten des Vieleckes, und beschreibt man aus O mit dem Halbmesser O G einen Kreis, so mufi dieser durch die Punkte G, H, J, K, ... gehen, und da die Seiten des Vieleckes Tan- genten des Kreises sind, so ist dieser dem Vielecke eingeschrieben. §. 133. Wird diePeripherie einesKreises in mehrere gleiche Teile geteilt, so sind die Teilungspunkte a) die Eckpunkte eines eingeschriebenen und b) die Be¬ rtih rungspun k te eines umgeschrieben en, regelmaBigen Es sei (Fig. 108) die aus O mit dem Halb¬ messer O A besckriebene Kreislinie in mehrere gleiche Teile geteilt. a) Zieht man durch die Teilungspunkte die Sehnen A B, B C, C D, D E . . und dreht das dadurch entstehende, dem Kreise einge- ^ schriebene Vieleck ABC D E . . um den Mittel- punkt O, bis jeder Teilungspunkt den nachst- folgenden deckt, so deckt aucli jede Seite des A B Vieleckes die folgende Seite und jeder Winkel den G folgenden Winkel; das Vieleck ist also regelmaBig. b) Errichtet man in den Teilungspunkten A, B, C, D, . .. auf die zu denselben gezogenen Halbmesser Normale, so erlialt man das 73 dem Kreise umgeschriebene Vieleck GHJKL ... Dieses Vieleck ist regelmallig; denn drelit man dasselbe um den Mittelpunkt, bis jeder Teilungspunkt mit dem nachstfolgenden zusammenfallt, so deckt auch jeder Halbmesser den folgenden, daher auch jede Tangente die folgende, und somit auch jeder Winkel des Vieleckes den folgenden. Fig. 109. 3. Kongruenz und Symmetrie der Vielecke. §. 134. Zwei Vielecke sind kongruent, wenn sie alle Seiten und alle Winkel nacb der Ordnung paarweise gleich baben. Z wei Vielecke ABCDEF und A' B' C' D‘ E‘ F (Fig. 109), welche aus gleich vielen, der Ordnung nacb kongruenten Dreiecken z u s a m m e n g e- setzt sind, sind selbst kongruent. Denn legt man beide Viel¬ ecke so aufeinander, daB zwei gleicbliegende Dreiecke auf-' einander fallen, z. B. ABC auf A' B' C‘, so wird auch das zweite Paar Dreiecke sich decken, folglicb auch das dritte Paar, ...; daher decken einander auch die ganzen Vielecke, d. i. sie sind kongruent. Zur Bestimmung von drei Eckpunkten sind drei Bestimmungs- stticke erforderlicb; um jeden neuen Eckpunkt zu erbalten, braucht man zwei weitere, voneinander unabhangige Bestimmungsstiicke. Die Anzabl der zur Konstruktion eines Polygons notwendigen unabhangigen Be- stimmungsstiicke ist also um drei kleiner als die doppelte Anzabl der Eckpunkte. Ein regelmalliges Vieleck von gegebener Seitenanzalil ist durch die Seite oder durcb den Halbmesser des ein- oder des umge- schriebenen Kreises bestimmt. §. 135. Zieht man in dem Vielecke ABC E E F (Fig. 110) von den Eckpunkten zu A B die Normalen C c, D d, E e, Ff, und vvendet das Vieleck als eine feste Verbindung um A B als Achse um, so liegt das Vieleck ABC'D'E‘F\ welches man dadurcb erhalt, in Beziehung auf die Gerade A B zu dem gegebenen Vielecke sym me tri s c h und das ganze Vieleck A F E D C B C‘ D' E' F ist in Be- ziebung auf die Symmetrale AB ein s y m m e t r i s c h e s G e b i 1 d e (§. 59). Fig. 110. A 74 Zwei symmetrisch liegende ebene Gebilde sind immcr anch kon- gruent; ilire gleichen Bestandstiickc folgen jedoch in entgegengesetzter Ordnung aufeinander. §. 188. Beziiglich der Symmetrie der regelmaBigen Polygone gelten folgende Satze: 1. Sowohl jede Seitensymmetrale als jede IVinkel- sy m met rale eines r e g e 1 m a 8 i g e n Vieleckes ist eine S y m- metrieachse desselben (Fig. 106). Von der Richtigkeit iiberzeugt man sich dnrch Umivendung um die beziigliche Symmetrale. 2. Ein regelmafiiges Vieleck bat so viele Symmetrie- aclisen, als es Seiten hat. Ist die Seitenanzahl des Vieleckes gerade, so haben immer je zwei gegentiberliegende Seiten und je zwei gegeniiberliegende Winkel dieselbe Symmetrale. Ist dagegen die Seitenanzahl uugerade, so fallen immer eine Seiten- und eine Winkeisymmetrale zusammen. §. 137. 1. Seiten b, c, 4. K on s t r u k ti o n s auf g ab en. Ein Fiinfeck zn k on s trni er en. wenn die d und die von diesen eingeschlossenen Fig. 111. D W i n k e 1 132°, 120° und 86° gegeben sind. Man mache (Fig. 111) AB = a, trage in B den Winkel 132° auf; auf dem neuen Schenkel schneide man BC—b ab, trage in C den Winkel 120° auf; mache ferner C D= c, zeichne in D den Winkel 86° und schneide D E= d ab. Zieht man nun A E, so ist ABC D E das verlangte Fiinfeck. 2. Zeichne ein Sechseck, in welchem die Seiten 22 mm, 37 mm, 18 mm, 25 mm, 40 mm nach der Ordnung die Winkel 120°, 105°, 140°, 135° einschliefien! §. 138. 1. Ein Vieleck zu iibertragen. a) Durch Bestimmung der Eckpunkte mittels der Konstruktion von Dreiecken. Denkt man sich das gegebene Vieleck AB C D E F (Fig. 112) durch Diagonalen in Dreiecke zerlegt und das GIIJ ABC, iiber G J das A GJK^ACD, iiber G K das A GKL^ADE und iiber G L das A C L M A; A E F konstruiert, so ist das Vieleck 75 G H J K L M IN) A B C D E F. Man braucht iibrigens nicht diese Drei- ecke wirklich zu zeicbnen, es geniigt, ihre Eckpunkte G, H, J, K , L , M zu bestimmen. Zu diesem En de macht man G H— A B, beschreibt aus G und Ii mit den Plalbmessern A C und B C Bogen, durch deren Durchscbnitt man den Punkt J erhiilt; dann be¬ schreibt man aus G und J mit den Halbmessern A D und CD Bogen, weleke einander in K sckneiden, u. s. w. b) Durch die Koordi¬ naten der Eckpunkte. Zieht man in einer Ebene von einem bestimmten Punkte A (Fig. 113) einen Halbstrahl A X und von irgend einem Punkte M zu diesem Halb- strahle die Normale M P, so heifit das durch dieselbe abgeschnittene Stuek A P des Halbstrahles die Abszisse, die Normale M P selbst aber die Ordinate und beide zusammen die Koordinaten eines Punktes M. Der Halbstrahl A X heifit die Ab- szissenlinie, der Punkt A der A n f a n g s p u n k t. Wenn der Anfangspunkt A und die Richtung der Abszissenlinie A X gegeben sind, so ist die Lage eines jeden Punktes M vollkommen bestimmt, wenn dessen Koordinaten A P und M P bekannt sind; denn man braucht nur von A aus auf der Abszissenlinie schneiden, welches der Abszisse A P gleicli ist Normale zu errichten und die Fig. 113. M X ein Sttick abzu- dann im Punkte P die Ordinate P M darauf aufzutragen; der Endpunkt ist der gesuckte Punkt M. Um mittels der Koordinaten ein Ge- bild e ABC D E... (Fig. 114) zu tiber- tragen, nehme man in demselben irgend eine Gerade A E als Abszissenlinie und A als Anfangspunkt derselben an und ziehe von allen Eckpunkten Normale zu der Abszissenlinie. Sodann ziehe man die neue Abszissenlinie a e, trage auf ihr in der Ordnung alle Abszissen von a bis k, l, m, n, .. . auf, errichte in diesen Punkten Normale und trage auf ihnen die entsprechenden Ordinaten von k bis b, von l bis i , von m bis c, . . . auf; dadurch ist die Lage aller Eckpunkte des mit A B C D E . kongruenten Vieleckes bestimmt. 76 2. Ein Vieleck zu konstruieren, das zu einem gege¬ benen Vielecke in Beziehung auf eine gegebene Symme- trale symmetrisch ist. (§. 135.) §. 139 . 1. Um ein regelmaBiges a) Dreieck, b) Viereck, c) Secks- eck einen Kreis zu besckreibeu. (§. 132.) 2. In ein regelmaBiges a ) Dreieck, b ) Viereck, c) Seckseck einen Kreis zu bescbreiben. (§. 132.) 3. Einem gegebenen Kreise a) ein gleichseitiges Dreieck, b ) ein regelmaBiges Seckseck ein- und umzusclireiben. (§. 133.) 4. Einem gegebenen Kreise a ) ein Quadrat, b) ein regelmaBiges Achteck ein- und umzuschreiben. 5. Einem gegebenen Kreise mit Hilfe des Transporteurs ein regel¬ maBiges a ) Fiinfeck, b) Zekneck ein- und umzuschreiben. 6. In einen Kreis ist ein regelmaBiges Vieleck beschrieben; man besekreibe in demselben ein solekes von doppolt so viel Seiten. 7. Die Koordinaten der Eckpunkte des Fiinfeckes A B CD E siud: A (3, 12), B (10, 4), C (18, 1), D (24, 3), E (36, 15). Das Ftinfeck zu konstruieren. 8. Zu einem gegebenen Vieleck ein kongruentes zu zeichnen a) durck parallele Versckiebung, b) durch Konstruktion eines symmetrisch liegenden, wenn die Symmetrieackse gegeben ist, c) durck eine lialbe Umdrekung um einen gegebenen Punkt. Je zwei Punkte der durck die Konstruktion c) erhaltenen Polygone haben eine soleke Lage, daB die Verbindungslinie derselben durck den Umdrehungspunkt kalbiert wird. Zwei soleke Punkte und daher aucli die Polygone liegen zentrisek- syinmetriscli in Bezug auf diesen Punkt. In welcher Ordnung folgen die gleicken Stričke zweier zentrisck-symmetriscker Figuren auf- einander? Wann ist eine Figur zentrisch-symmetrisch? (Beispiel.) §. 140 . 4. Uber ein er gegebenen Strecke ein regel¬ maBiges Vieleck zukonstruieren. Bei der Losung dieser Aufgabe kommt es nur darauf an, die GroBe des Kreises zu finden, welchem das verlangte Vieleck einge- sekrieben ersckeint. Zu diesem Ende berechne man zuerst die GroBe eines Vieleckswinkels, zieke eine Strecke, rvelche der gegebenen Seite gleick ist, und trage in jedem Endpunkte den halben Vieleckswinkel auf. Aus dem Scknittpunkte der beiden neuen Sckenkel besekreibe man nun durck die Endpunkte der Strecke einen Kreis und trage in demselben die gegebene Seite als Sehne kerum. 2. Zeickne eine Strecke von 2 cm Lange und konstruiere liber derselben ein regelmaBiges a) Fiinfeck, b) Seckseck, c) Achteck, d) Zekneck, e) Zrvolfeck! 3CllS- iinen ) ein Biges egel- man nnd : lfeck n a) riscli lalbe 1 die I die srird. scli- nung auf- ■i) gel- , die ing-e- rrofie Seite inkel reibe >-e in iiber teck,