. NARAVNAKONVEKCIJAVVODORAVNEMVALJU ALE ˇ S MOHORI ˇ C Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani PACS: 47.55.P- Prispevek opisuje preprost model naravne konvekcije v valjasti geometriji. Reˇ sevanja sklopljenegasistemadiferencialnihenaˇ cb, ki opisujejogibanjeintoplotnetokovetekoˇ cine, se lotimo s Fourierjevo metodo in obdrˇ zimo ˇ cim manj ˇ clenov. Reˇ sitve poenostavljenega sistema v faznem prostoru teˇ zijo k Lorenzovemu atraktorju, ˇ ce je temperaturni gradient dovoljvelik. Reˇ sitve, kijihpoiˇ sˇ cemonumeriˇ cno, dajoobˇ cutekzatemperaturnegradiente, velikosti tokov in ˇ casovno skalo, na kateri pride do sprememb. NATURAL CONVECTION IN A HORIZONTAL CYLINDER The article describes a basic model of natural convection in cylindrical geometry. We solvethecoupledsystemofdynamicalandthermodynamicalequationsdescribingaliquid by truncating the Fourier series. The solutions of the simplified system tend toward the Lorenz attractor in phase space for large enough temperature gradients. The numerical solutions offer an insight into the order of temperature gradient, flow, and characteristic time, typical for convection in a closed container. Uvod Do prenosa toplote lahko pride na tri naˇ cine: s prevajanjem, sevanjem in konvekcijo. Pri konvekciji toploto prenaˇ sa tok tekoˇ cine. Tekoˇ cina toploto prejme v delu z viˇ sjo temperaturo, se pretoˇ ci v del z niˇ zjo temperaturo in tam toploto odda. Konvekcijaje prisilna,ˇ ce tok tekoˇ cinepoganjajoˇ crpalke. Tako hladimo procesor v raˇ cunalniku. Ko se procesor zaradi obremenitve preveˇ c segreje, se vkljuˇ ci ventilator in poˇ zene tok hladnega zraka ˇ cez rebra hladilnika nad procesorjem. Tok v tekoˇ cini lahko poˇ zene tudi vzgon, ˇ ce se gostota tekoˇ cine pri segrevanju dovolj spremeni. V tem primeru poganja tok gravitacija. V brezteˇ znostnem prostoru do konvekcije ne pride. To lepo opazimo na plamenu sveˇ ce, ki se na Zemlji zaradi navpiˇ cnega toka vroˇ cega zraka razpotegne v obliko kaplje, v brezteˇ znem prostoru pa ostane okrogel, ker ni dotoka sveˇ zega zraka (slika 1). Naravna konvekcija je torej masni tok tekoˇ cine v gravitacijskem polju, kjerjezaraditemperaturnegagradientagostotatekoˇ cinepridnumanjˇ sakot 134 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju Slika 1. Plamen sveˇ ce na levi in plamen v brezteˇ znem prostoru na desni. V brezteˇ znem prostoru ni naravne konvekcije in plamen je okrogel terˇ sibek, saj ni dotoka sveˇ zega zraka s kisikom. Vir: NASA. pri vrhu in vzgon poˇ zene masni tok. Konvekcija je v sploˇ snem tok z zaple- tenogeometrijoindinamiko. Tatoklahkopostaneturbulentenzzapletenim ˇ casovnim potekom. Najlaˇ zje reˇ sitve poiˇ sˇ cemo z modelsko analizo. Primer kaˇ ze slika 2, ki prikaˇ ze konvekcijo v ˇ zarnici. Dinamiko konvekcije opiˇ sejo Navier-Stokesova enaˇ cba, kontinuitetna enaˇ cba ter enaˇ cba toplotnega pre- vajanja. Sistem enaˇ cb v prvem pribliˇ zku poenostavimo na Lorenzov sistem enaˇ cb, ki opiˇ sejo Lorenzov oscilator. Oscilatorju v faznem prostoru ustreza fraktalni Lorenzov atraktor [1]. Sistem enaˇ cb nastopa tudi pri obravnavi konvekcijskih tokov v atmosferi [3]. Konvekcijski tok je pri dovolj velikih temperaturnih razlikah kaotiˇ cen. Ena od najboljˇ sih metod, s katero lahko spremljamo spreminjanje hitrosti, je slikanje z jedrsko magnetno resona- nanco. Gibanje lahko opazimo na slikah, s katerimi merimo porazdelitve difuzijske konstante. Kot primer si bomo ogledali konvekcijo vode v vodo- ravnem valju, ki ga pri vrhu oboda hladi izparevanje alkohola [7]. Naravna konvekcija Gibanje tekoˇ cine opiˇ semo v okviru hidrodinamike. Tekoˇ cino obravnavamo zvezno - ˇ se tako majhen del sestavlja veliko ˇ stevilo molekul. Tekoˇ cino opi- ˇ semo s trenutnim hitrostnim, tlaˇ cnim ter gostotnim poljem. Preostale koli- ˇ cine lahko izraˇ cunamo z enaˇ cbami stanja. Pogoj za nastanek konvekcije je 134–143 135 Aleš Mohoriˇ c Slika2. Konvekcijavˇ zarnici, kjertokplinovpoˇ zenekovinskaˇ ziˇ cka, segretazelektriˇ cnim tokom, ter prisilna konvekcija v fenu. Sliki sta narejeni z raˇ cunalniˇ sko simulacijo. Vir: COMSOL Inc. in 121 Designs Pty Ltd. dovolj velik temperaturni gradient [2]: dT dz =− g T β c p , (1) ki za vodo pomeni naraˇ sˇ canje temperature za 1 K z vsakim metrom glo- bine. V enaˇ cbi nastopajo gravitacijski pospeˇ sek g, absolutna temperatura T, specifiˇ cna toplota pri konstantnem tlaku c p ter koeficient prostornin- skega temperaturnega raztezkaβ. Gostota tekoˇ cine se ne spreminja, ko del prostornine v ˇ casovni enoti zapusti toliko tekoˇ cine, kot jo vanjo pride. To izrazimo s kontinuitetno enaˇ cbo: ∂ρ ∂t +∇·(ρv) = 0. (2) Drugi Newtonov zakon poda pospeˇ sek elementa tekoˇ cine a =F/m: ∂v ∂t +(v·∇)v =f− ∇p ρ +ν∇ 2 v. (3) V pospeˇ sku na levi strani upoˇ stevamo popolni odvod hitrosti po ˇ casu, saj tekoˇ cino opiˇ semo s hitrostnim poljem. Na desni so na enoto mase prera- ˇ cunane zunanja sila f, sila zaradi krajevno odvisnega tlaka ter sila zaradi viskoznosti tekoˇ cine. Pri tem sta ν = η/ρ kinematiˇ cna in η dinamiˇ cna vi- skoznost. Tlak, ki je povsod enak, ne povzroˇ ci toka tekoˇ cine. ˇ Ce je poleg 136 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju tlaka edina zunanja sila teˇ za, zamenjamo f z gravitacijskim pospeˇ skom g. Enaˇ cba velja za nestisljivo tekoˇ cino v pribliˇ zku majhne hitrosti in njenega gradienta. Robni pogoj za mirujoˇ ce stene zahteva v(r)| rob = 0. Stanje tekoˇ cine se ireverzibilnospreminja zaradi notranjega trenja in to- plotnega prevajanja. Sprememba temperature elementa tekoˇ cine v Boussi- nesq-ovem pribliˇ zku [5] sledi iz energijskega zakona ∂T ∂t +v·∇T =χ∇ 2 T. (4) Tu je χ toplotna prevodnost. V pribliˇ zku zanemarimo toploto, ki nastaja pri notranjem trenju med plastmi tekoˇ cine, vpliv tlaka na gostoto in tempe- raturno odvisnost vseh snovnih lastnosti (viskoznosti, toplotne prevodnosti, specifiˇ cnetoplote...) razengostote. Pribliˇ zekdobroveljaza poˇ casnetokove, majhne hitrostne gradiente in majhno temperaturno razliko med vrhom in dnom posode. Konvekcijski tok zaˇ cne teˇ ci, ko temperaturni gradient preseˇ ze omenjeno mejo. Pri dovolj nizkih temperaturnih gradientih je tok laminaren in sta- cionaren. Pri viˇ sjih pa tok postane turbulenten. ˇ Stevilo, s katerim ka- rakteriziramo reˇ zim konvekcije, sestavimo iz dveh brezdimenzijskih ˇ stevil: Prandtlovega ˇ stevila, ki je razmerje viskoznega prenosa gibalne koliˇ cine in prenosa toplote, Pr = ν χ , in Grashofovega ˇ stevila, ki je razmerje vzgona in viskozne sile, Gr = gβl 3 ΔT ν 2 . Pri tem je l tipiˇ cna razseˇ znost posode, v kateri je tekoˇ cina, ΔT je razlika temperatur med dnom in vrhom posode. Gra- shofovoˇ stevilo pove tudi, kako uˇ cinkovit je prenos toplote s konvekcijo. Pri majhnih vrednostih Gr naravna konvekcija k prenosu toplote ne prispeva pomembno. Meje med laminarnim in turbulentnim gibanjem pri naravni konvekciji ne doloˇ camo z Reynoldsovimˇ stevilom kot pri toku, saj ni tipiˇ cne hitrosti, temveˇ c z Grashofovimˇ stevilom - gibanje je turbulentno pri velikih Gr (∼ 50000) - ali pa s produktom Grashofovega in Prandtlovega ˇ stevila, kot bo razloˇ zeno kasneje. Vnadaljevanjusioglejmonaravnokonvekcijovneskonˇ cnodolgemvodo- ravnem valju z negativnim temperaturnim gradientom v navpiˇ cni smeri: T(r =R,ϕ,t) =T 0 + 1 2 ΔT  1− r·n R  . (5) n je enotski vektor v navpiˇ cni smeri (glej sliko 3). V Boussinesqovem pribliˇ zku ρ(r) =ρ 0 (1−β[T(r)−T 0 ]) (6) 134–143 137 Aleš Mohoriˇ c Slika 3. Neskonˇ cno dolg valj s polmerom R leˇ zi v temperaturnem polju z linearnim gradientom. Temperatura na dnu valja je ΔT viˇ sja kot na vrhu. Prikazana je smer gravitacijskega polja (g) in enotski vektor v navpiˇ cni smeri (n). Kot ϕ merimo od vrha valja v nasprotni smeri urnega kazalca. se kontinuitetna enaˇ cba poenostavi v ∇·v = 0. ˇ Ce je gibanje tekoˇ cine dvodimenzionalno, to enaˇ cbo avtomatiˇ cno izpolnimo, ˇ ce hitrost zapiˇ semo s funkcijo toka ψ, ki jo v cilindriˇ cni geometriji, ko ni gibanja vzdolˇ z osi z, vpeljemo z v r =− 1 r ∂ψ(r,ϕ) ∂ϕ , v ϕ = ∂ψ(r,ϕ) ∂r . (7) Krivuljeψ =konst. so tokovnice. Temperaturno polje v tekoˇ cini zapiˇ semo kot vsoto linearnega gradienta (5) in majhnega popravka θ(r,ϕ,t): T(r,ϕ,t) =T 0 + 1 2 ΔT  1− r·n R  +θ(r,ϕ,t). (8) Hitrostno in temperaturno polje v enaˇ cbah (3) in (4) nadomestimo z nastavki (7) in (8), se z rotorjem enaˇ cbe (3) znebimo ˇ clena s tlakom in dobimo enaˇ cbi: ∂θ ∂t =− 1 r ∂(ψ,θ) ∂(r,ϕ) + ΔT 2R  − ∂ψ ∂r sinϕ− 1 r ∂ψ ∂ϕ cosϕ  +χ∇ 2 θ, (9) ∂∇ 2 ψ ∂t =− 1 r ∂(ψ,∇ 2 ψ) ∂(r,ϕ) +ν∇ 2 ∇ 2 ψ  +gβ  − ∂θ ∂r sinϕ− 1 r ∂θ ∂ϕ cosϕ  (10) in ∂(a,b) ∂(r,ϕ) = ∂a ∂r ∂b ∂ϕ − ∂a ∂ϕ ∂b ∂r . 138 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju Robni pogoji za θ sledijo iz predpostavk, da je ta koliˇ cina na robu valja s polmerom R enaka niˇ c in da je v notranjosti valja omejena. Simetrijski razlogi narekujejo sodost v kotu. Robne pogoje za funkcijo toka dobimo iz robnih pogojev za hitrost: ψ(ϕ) =−ψ(ϕ), ψ(rmaxsteps], kjer zgmeja in maxsteps predstavljata normiran ˇ cas, do katerega iˇ sˇ cemo reˇ sitev, ter ˇ stevilo iteracij pri numeriˇ cnem reˇ sevanju. Kontrolni parameter Ra bistveno vpliva na tip reˇ sitve. Pri majhnih vrednostihRa lastne konvekcije ni oziroma hitro zamre. Z viˇ sanjem tempe- raturne razlike se konvekcijski tok ustali pri stalni vrednosti, nato se v toku pojavijo stabilne oscilacije, ki pri dovolj velikih Ra pridejo v kaotiˇ cne in reˇ sitev enaˇ cb je ˇ cudni atraktor. V prostoru vseh treh parametrov (faznem prostoru) opiˇ se reˇ sitev sistema enaˇ cb krivuljo, ki ne konvergira k doloˇ ceni 140 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju Slika 4. Lorenzov atraktor kaˇ ze razvoj nelinearnega dinamiˇ cnega sistema v faznem pro- storu vseh spremenljivk; dveh komponent temperaturnega popravka ter funkcije toka. vrednosti, ampak se suˇ ce okoli dela faznega prostora, ki mu lahko reˇ cemo ˇ cudni atraktor. Primer take reˇ sitve za Ra = 350000 kaˇ ze slika 4. Na meritve difuzije z magnetno resonanco [7] vpliva le hitrost, ki je podana s spremenljivko a 11 . V primeru, da konvekcijo vzbudimo in potem temperaturo na zgornjem in spodnjem robu izenaˇ cimo (r = 0), ostane v prvem pribliˇ zku: ∂a 11 /∂t =−ν  ξ 11 R  2 a 11 . (17) Konvekcijski tok eksponentno pojema. Relaksacijski ˇ cas za vodo v valju premera 10 cm pri 20 o C s σ = 6.3, χ = 1.4×10 −7 m 2 /s, ν = 9×10 −7 m 2 /s inβ = 2.2×10 −4 /K je pribliˇ zno 150 s. ˇ Ce je zunanji temperaturni gradient stalen,sehitrostlahkokaotiˇ cnospreminja,ˇ cetemperaturnigradientpreseˇ ze mejno vrednost. Spremenljivki a 11 = 1 ustreza na sredini valja hitrost v = 1×10 −6 m/s,spremenljivkiτ = 1paustrezaˇ cast = 3.5×10 4 s. Topomeni, da so konvekcijski tokovi kljub kaotiˇ cnosti lahko zelo poˇ casni in se poˇ casi spreminjajo. Razvoj nestabilnosti in prehod v kaotiˇ cno gibanje nazorno kaˇ ze slika 5. Za male vrednosti Ra je tekoˇ cina v mehanskem ravnovesju in konvekcije ni (slika 5 a), nato se pojavi stabilen konvekcijski tok pri Ra > 2.5×10 4 (slika 5 b). ˇ Sele pri veˇ cjih temperaturnih razlikah (Ra = 3.1×10 5 , slika 5 c) postane konvekcija kaotiˇ cna vendar s stabilno periodo. Kogar zanima veˇ c o nastanku nestabilnosti, mu priporoˇ cam [6]. 134–143 141 Aleš Mohoriˇ c Slika 5. Spreminjanje hitrosti konvekcije s kontrolnim parametrom - temperaturno raz- liko. Za majhne vrednosti Ra je tekoˇ cina v mehanskem ravnovesju in konvekcije ni (a), nato se pojavi stabilen konvekcijski tok pri Ra > 2.5×10 4 (b). ˇ Sele pri veˇ cjih tempe- raturnih razlikah (Ra = 3.1×10 5 ) postane konvekcija nestacionarna (c) in konˇ cno (pri Ra∼ 10 6 ) kaotiˇ cna, vendar s stabilno periodo (d). Konvekcija in NMR Pri slikanju z jedrsko magnetno resonanco (NMR) dobimo sliko sestavljeno iz slikovnih elementov. Pri najbolj obiˇ cajnem naˇ cinu slikanja z NMR je signal slikovnega elementa odvisen od ˇ stevila vodikovih jeder v elementu, strukture elementa (vrste tkiva in podobno, kar vpliva na relaksacijskiˇ cas), tehnike slikanja in gibljivosti molekul v elementu [8]. Gibljivost pomeni, kako hitro in kako nakljuˇ cno se gibljejo molekule. Nakljuˇ cno gibanje mole- kul, ko molekula nakljuˇ cno spreminja svojo smer, imenujemo difuzija. Ure- jeno gibanje molekul imenujemo tok. Difuzijo opazimo v vseh tekoˇ cinah in je povezana z viskoznostjo. Bolj ko je tekoˇ cina viskozna, ˇ sibkejˇ sa je difu- zija in poˇ casneje se molekule razbeˇ zijo po prostoru. Tok molekul ne vpliva na velikost signala slikovnega elementa, razen ˇ ce se tok v ˇ casu, ko signal zajemamo, veˇ ckrat nakljuˇ cno spremeni. Do tega pride pri kaotiˇ cni naravni konvekciji. Fluktuacije hitrosti se na sliki pokaˇ zejo kot predel s ˇ sibkejˇ sim 142 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 4 Naravna konvekcija v vodoravnem valju signalom. Tako smo pri meritvah difuzije v zemeljskem magnetnem polju dobili levi del slike 6, ˇ ceprav bi priˇ cakovali le bel krog, ko ni konvekcije. Iz geometrije in dinamike konvekcijskega toka, kot sta bili predstavljeni v prejˇ snjem poglavju, lahko naredimo napoved, ki jo kaˇ ze desni del slike 6. Dobro se ujema z meritvami za enako temperaturno razliko, kot smo jo pri poskusu izmerili s termoˇ clenom. Slika6. Levo: izmerjenaporazdelitevdifuzijskekonstantezjedrskomagnetnoresonanco. Na sliki so izrazitetemne proge, ki jih pri tekoˇ cinibrezkonvekcijeni. Nadesnije napoved modela iz poglavja o naravni konvekciji za temperaturno razliko nekaj stotin kelvina, ki se dobro ujema z meritvijo. LITERATURA [1] H.G. Schuster, Deterministic Chaos: an introduction, VCH, Weinheim, 1988. [2] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Pergamon, Oxford, 1987). [3] E. N. Lorenz, Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci.20, 130-41 (1963). [4] B.Saltzman,Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem,J.Atmos. Sci.19, 329-41 (1962). [5] J. Boussinesq, Theorie Analytique de la Chaleur2, 172, Gauther-Villars, Paris (1903). [6] C. Sparrow, The Lorenz Equations, Bifurkations, Chaos, and Strange Attractors (Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1982). [7] A. Mohoriˇ c, J. Stepiˇ snik, M. Kos, and G. Planinˇ siˇ c, Self-diffusion imaging by spin echo in earth’s magnetic field, J. Magn. Reson.136, 22-26 (1999). [8] P. T. Callaghan, Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy (Oxford Uni- versity Press, Oxford, 1991). 134–143 143