Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017194 MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI MINLP OPTIMIZATION OF A COMPOSITE I BEAM FLOOR SYSTEM doc. dr. Tomaž Žula, univ. dipl. inž. grad. tomaz.zula@um.si prof. dr. Stojan Kravanja, univ. dipl. inž. grad. stojan.kravanja@um.si Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo ZNANSTVENI ČLANEK UDK 519.853:624.016 Povzetek l V prispevku predstavljamo stroškovno optimiranje sovprežnega stropnega sistema. Konstrukcija je sestavljena iz armiranobetonske plošče in jeklenih I- nosilcev. Optimiranje je izvedeno z mešanim celoštevilskim nelinearnim programiranjem (MINLP). Razvit je bil optimizacijski model, kjer je podrobna namenska funkcija lastnih izdelavnih stroškov podvržena pogojem iz statike konstrukcije in dimenzioniranja. Pogoji dimenzioniranja so definirani v skladu z Evrokodom 4. Za reševanje nekonveksnega, nelin- earnega in kombiniranega diskretnozveznega optimizacijskega problema sovprežnega stropnega sistema smo uporabili modificirani algoritem zunanje aproksimacije s spros- titvijo enačb (Modified OA/ER). Poleg izračunanih minimalnih lastnih izdelavnih stroškov konstrukcije so bile dobljene še optimalna trdnost materiala betona in jekla ter dimenzije prečnega prereza stropnega sistema. Na koncu članka je predstavljen računski primer optimizacije sovprežnega stropnega sistema. Ključne besede: sovprežne konstrukcije, stroškovno optimiranje, optimiranje standard- nih materialov, optimiranje diskretnih dimenzij, mešano celoštevilsko nelinearno pro- gramiranje, MINLP Summary l This paper presents the cost optimization of a composite I beam floor system, designed to be made from a reinforced concrete slab and steel I sections. The optimization was performed by using the mixed-integer non-linear programming (MINLP) approach. An accurate economic objective function of the self-manufacturing costs was developed and subjected to design, resistance and deflection (in)equality constraints. Dimensioning constraints were defined in accordance with Eurocode 4. The Modified Outer-Approximation/Equality-Relaxation (OA/ER) algorithm was applied for the solution of non-convex, non-linear combined discrete-continuous optimization problem of the composite structure. The optimal result includes the minimal produced costs of the structure, the optimal concrete and steel strengths, and dimensions of the structure. A numerical example of the optimization of a composite I beam floor system is presented at the end of this paper. Key words: Composite structures, Cost optimization, Standard material optimization, Discrete sizing optimization, Mixed-integer non-linear programming, MINLP Tomaž Žula, Stojan Kravanja•MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017 195 MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI•Tomaž Žula, Stojan Kravanja Sovprežni stropni sistemi, sestavljeni iz betona in jeklenih I-nosilcev, predstavljajo stroškovno učinkovito vrsto konstrukcijskih elementov v gradbeništvu. Zato je njihova uporaba postala zelo priljubljena konstrukcijska rešitev med arhitekti in inženirji. Posledično je optimizacija sovprežnih konstrukcij priljubljeno področje tudi med raziskovalci. Zaradi znatnega napredka računalništva in računalniške strojne opreme je bilo razvitih in uporabljenih več učinkovitih metod in al- goritmov za izračun optimalnih sovprežnih konstrukcij. Adeli in Kim [Adeli, 2001] sta za optimizacijo sovprežnih plošč uporabila algo- ritem nevronske dinamike (neural dynamics). Kravanja in Šilih [Kravanja, 2003], Klanšek in Kravanja ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]) so za raziskavo konkurenčnosti različnih sovprežni stropnih sistemov upo- rabili metodo nelinearnega programiranja (NLP). V nadaljevanju so našteti raziskovalci za optimalno obliko sovprežnih konstrukcij uporabili različne algoritme. Kaveh in Ahanga- ran [Kaveh, 2012] sta uporabila algoritem družbenega harmonijskega iskanja (social harmony search), Poitras idr. [Poitras, 2011] roj delcev (particle swarm optimization), Se- 1•UVOD 2•SOVPREŽNI STROPNI SISTEM nouci in Al-Ansari [Senouci, 2009] pa genet- ski algoritem (genetic algorithm). V prispevku predstavljamo stroškovno op- timiranje sovprežnega stropnega sistema. Optimiranje konstrukcije je izvedeno z metodo mešanega celoštevilskega nelin- earnega programiranja (MINLP). MINLP je kombinirana diskretnozvezna metoda opti- miranja, pri kateri se sočasno izvaja dis- kretno optimiranje materiala (trdnostnega razreda), diskretno optimiranje standardnih dimenzij (standardnih jeklenih prerezov nos- ilcev in armaturnih mrež), zaokroženih di- menzij (debeline armiranobetonske plošče) in optimiranje zveznih parametrov (stroškov, mase). Kombinirani diskretnozvezni optimizacijski problem sovprežne konstrukcije MINLP je obsežen, nekonveksen in nelinearen. Opti- miranje zato poteka v treh korakih. V prvem koraku se izvede generacija mehanske su- perstrukture različnih alternativ materiala, standardnih dimenzij in zaokroženih dimenzij. Drugi korak obsega razvoj modelne formula- cije MINLP. Zadnji korak pa predstavlja rešitev definiranega optimizacijskega problema MINLP. Optimiranje konstrukcije je izvedeno z modificiranim algoritmom zunanje aprok- simacije s sprostitvijo enačb (Modified OA/ ER-algoritem), ([Kravanja Z., 1994], [Kravanja S., 1998a], [Kravanja S., 1998b]). Uporabimo dvofazno MINLP-strategijo, kjer opravimo opti- miranje v dveh zaporednih fazah, kar pospeši konvergenco OA/ER-algoritma oz. omogoči izračun rezultata. Namen optimiranja je določiti minimalne last- ne izdelavne stroške sovprežnega stropnega sistema. Namenska stroškovna funkcija je podvržena pogojnim (ne)enačbam, poznanim iz analize in dimenzioniranja sovprežnih kon- strukcij. Pogoji dimenzioniranja so definirani v skladu s standardi Evrokod (Evrokod 1, Evrokod 2, Evrokod 3 in Evrokod 4), pri čemer so zadovoljeni vsi pogoji za mejno stanje nos- ilnosti in mejno stanje uporabnosti. Sovprežni stropni sistem sestavljajo armiranobetonska plošča in jekleni I- nosilci, ki so lahko varjeni I-prerezi, stand- ardni vročevaljani IPE-prerezi ali stand- ardni vročevaljani HEA-prerezi. Odpornost sovprežnega sistema je odvisna tudi od lege nevtralne osi, ki lahko leži v armiranobeton- ski plošči, v zgornji pasnici I-prereza in v stojini I-prereza. Ker na ta način obstaja več možnosti odpornosti sovprežnega prereza, smo razvili različne optimizacijske modele v kombinaciji med I-prerezi in legami nevtralnih osi. Sovprežni stropni sistem je statično obrav- navan kot prostoležeči sovprežni nosilni sis- tem, glej sliko 1. Obravnavana konstrukcija je sestavljena iz množice sovprežnih nosilcev z medsebojnimi vodoravnimi razmiki e. Vsak sovprežni nosilec je nadalje sestavljen iz sodelujoče širine betonske plošče beff in enega jeklenega dvojno simetričnega I-prereza. Armiranobetonska plošča in jekleni nosilec sta medsebojno povezana preko valjčnih moznik- ov, ki so privarjeni na zgornjo pasnico I-nosilca in zabetonirani v ploščo, slika 2. Pri tem so zadoščeni vsi pogoji polne sovprežnosti. Med betoniranjem so nosilci podprti z vmesnimi podporami tako, da se po strditvi betona lastna in spremenljiva obtežba v celoti pren- eseta na sovprežni prerez. Dimenzioniranje je izvedeno v skladu z evrop- skimi standardi Evrokod ([Evrokod 1, 2002], [Evrokod 2, 2004], [Evrokod 3, 2005], [Ev- rokod 4, 2004]), pri čemer so zadovoljeni Slika 1• Sovprežni stropni sistem. vsi pogoji mejnih stanj nosilnosti (MSN) in uporabnosti (MSU). Sovprežni I-nosilci so dimenzionirani v skladu s standardom Ev- rokod 4 [Evrokod 4, 2004], po katerem so upoštevane še dodatne zahteve za jekleni del prereza v skladu s standardom Evrokod 3 [Evrokod 3, 2005], za armiranobetonsko ploščo pa dodatne zahteve po standardu Evrokod 2 [Evrokod 2, 2004]. Obtežbe na sovprežnih nosilcih so kombinirane v skladu s standardom Evrokod 1 [Evrokod 1, 2002]. Po MSN so zadoščeni vsi pogoji na plastično upogibno nosilnost sovprežnega prereza, strižno nosilnost sovprežnega prereza, lokalno izbočenje stojine nosilca zaradi striga, strižno Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017196 odpornost moznikov (strig in bočni pritisk na beton) in plastično upogibno nosilnost armiranobetonske plošče. Armiranobeton- ska plošča je dimenzionirana kot kontinuirna plošča, nosilna v eni smeri. Pri dimenzion- iranju sovprežnega stropnega sistema smo upoštevali, da nevtralna os lahko leži v betonu, v zgornji pasnici I-prereza ali v stojini I-prereza. Pri MSU so navpični upogibki sovprežnih nosilcev računani po elastični metodi z upoštevanjem lezenja in krčenja betona pod vplivom stalne obtežbe. Pri tem največji upo- gibki zaradi stalnih obtežb in spremenljivih obtežb niso presegli predpisanih mejnih navpičnih upogibkov. Prav tako smo kontro- lirali končne navpične upogibke in razpoke armiranobetonske plošče ter jih omejili z mejnimi vrednostmi. Slika 2• Prečni prerez sovprežnega stropnega sistema z I-nosilci. 3•OPTIMIZACIJSKI MODEL COMBOPT Ker je optimizacijski problem sovprežnega stropnega sistema nelinearen, nekonveksen in diskretnozvezen, smo za reševanje optimizaci- je uporabili mešano celoštevilsko nelinearno programiranje MINLP. 3.1 Splošna modelna formulacija MINLP Splošni nelinearni, nekonveksni in kombini- rani diskretnozvezni optimizacijski problem (MINLP) lahko zapišemo v obliki: pri čemer je x vektor zveznih spremenljivk, definiran na definicijskem območju X, in y je vektor diskretnih binarnih spremenljivk, ki lahko zavzamejo vrednost 0–1. Vsakemu alternativnemu konstrukcijskemu elementu superstrukture je dodeljena binarna spremen- ljivka y. Element je izbran, kadar je izračunana pripadajoča binarna spremenljivka ena (y=1), in iz superstrukture izločen, kadar je izračunana binarna spremenljivka nič (y=0). Funkcija f(x) je namenska funkcija, h(x) je množica pogojnih enačb, g(x) pa je množica pogojnih neenačb. Vse funkcije f(x), h(x) in g(x) so nelinearne, zvezne in zvezno odv- edljive. Dodan je tudi sistem linearnih enačb in neenačb By + Cx ≤ b, ki vsebuje tako zvezne kot diskretne spremenljivke. Stroškovna na- menska funkcija z vsebuje stalne izdelavne stroške z linearnim izrazom cTy in dimenzi- jsko odvisne stroške, zapisane v nelinearnem izrazu f(x). 3.2 Optimizacijski modeli Za optimizacijo sovprežnega stropnega sis- tema z I-nosilci smo razvili 18 različnih MINLP optimizacijskih modelov COMBOPT (COMpos- ite Beam OPTimization). Modeli omogočajo različne optimalne rešitve, ki jih dobimo s kombinacijo med: • 3 različnimi I-prerezi sovprežnega stro- pnega sistema: • jekleni varjeni I-prerez • standardni IPE-prerez • standardni HEA-prerez • 3 različnimi legami nevtralnih osi: • v betonski plošči • v zgornji pasnici jeklenega I-prereza • v stojini jeklenega I-prereza • 2 različnima legama težiščnih osi ideal- iziranega sovprežnega prereza: • v betonski plošči • v jeklenem I-nosilcu. Optimizacijske modele sovprežnega stro- pnega sistema smo zapisali v višjem alge- brajskem modelnem jeziku GAMS (General Algebraic Modeling System) [Brooke, 1988]. Vsak model vsebuje stroškovno namensko funkcijo, pogojne (ne)enačbe, celoštevilske in mešane celoštevilske pogojne (ne)enačbe, vhodne podatke (konstante) in spremenljivke, glej sliko 3. 3.3 Stroškovna namenska funkcija V optimizacijskem programu COMBOPT je definirana namenska funkcija lastnih izde- lavnih stroškov, ki predstavlja obsežni sistem stroškovnih postavk, zapisanih v obliki nelin- earnih funkcij, ki so jih razvili Klanšek in Kra- vanja ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]) ter Žula idr. [Žula, 2016]. Pri tem namenska funkcija obsega stroške materiala, energije in dela, ki so potrebni za izdelavo obravna- vanega sovprežnega stropnega sistema. Na- menska funkcija je podana v naslednji obliki: min: Cost={CM,s+CM,c+CM,r+CM,sc+CM,e+CM,ac,fp,tc+CM,f +CM,c,ng+CM,c,oxy+CP,c,gm+CP,w+CP,sw +CP,v+CL,c,oxy-ng+CL,g+CL,p,a,t+CL,w+CL,sw +CL,spp+CL,f+CL,r+CL,c+CL,v+CL,cc}/(e∙L) (1) kjer spremenljivka Cost (€/m2) predstavl- ja lastne izdelavne stroške na enoto upor- abne površine sovprežnega stropnega sis- tema; CM..., CP... in CL... označujejo posamezne stroškovne postavke materiala, električne en- ergije in dela, izračunane v €, glej preglednico 1; L (m) je razpon sovprežnega stropnega sistema in e (m) je medsebojna razdalja dveh sosednjih I-nosilcev. Stroški materiala so: konstrukcijsko jeklo CM,s, beton CM,c, rebrasta mrežna armatura CM,r, valjčni mozniki CM,sc, ele- ktrode CM,e, antikorozijska barva, protipožarna barva in barva končnega premaza CM,ac,fp,tc, prefabricirane opažne plošče CM,f, naravni plin CM,c,ng in kisik CM,c,oxy. Stroški električne energije so: proces brušenja robov pločevin CP,gm, pro- Tomaž Žula, Stojan Kravanja•MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017 197 Slika 3• Struktura programa COMBOPT. PROGRAM COMBOPT za optimiranje sovprežnega stropnega sistema Stroškovna namenska funkcija: min  xyc fz  T pri pogojih:   0xh    0xg  bCxBy  izračun notranjih statičnih količin Pogojne (ne)enačbe mejnega stanja nosilnosti: - plastična upogibna odpornost sovprežnega sistema - odpornost proti strigu - strižna odpornost moznikov - odpornost armiranobetonske plošče proti upogibnemu momentu izračun deformacij Pogojne (ne)enačbe mejnega stanja uporabnosti: - kontrola navpičnih upogibkov sovprežnega sistema - kontrola navpičnih upogibkov armiranobetonske plošče - kontrola razpok armiranobetonske plošče Logične pogojne (ne)enačbe diskretnih materialov: - izračun standardnega materiala (trdnost betona in jekla) Logične pogojne (ne)enačbe standardnih dimenzij: - izračun standardnih prerezov - varjenih prerezov Logične pogojne (ne)enačbe zaokroženih dimenzij: - izračun debeline armiranobetonske plošče Vhodni podatki (konstante): - razpon, obtežba, faktorji varnosti, elastični modul, cene materialov, električne energije itd. Zvezne spremenljivke: x  X - Neodvisne: višina profila, meja plastičnosti jekla, tlačna trdnost betona, razdalja med nosilci itd. - Odvisne: geometrijske karakteristike prereza, lastna teža, nosilnost, upogibki itd. Binarne spremenljivke: y  Y - za izračun standardnega materiala, varjenih prerezov, jeklenih profilov, armaturnih mrež in debeline armiranobetonske plošče Slika 3: Struktura programa COMBOPT. MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI•Tomaž Žula, Stojan Kravanja Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017198 cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za 8 mm debelo jekleno pločevino: cS =1,25 €/kg cM,s = cS ∙ ( a1 ∙ fy2 + a2 ∙ t2+ a3 ∙ fy ∙ t + a4 ∙ fy + a5 ∙ t + a6) (€/kg); a1 = –3,7313 × 10-4; a2 = -1,7170 × 10-2; a3 = -4,9858 × 10-4 a4 = 2,8962 × 10-2 a5 = 1,2934 × 10-1 a6 = 4,4147 × 10-1 fy (kN/cm2)*; t (cm) debelina pločevine cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za standardni prerez IPE 80: cS =1,25 €/kg cM,s = cS ∙ ( a1 ∙ fy2 + a2 ∙ h2+ a3 ∙ fy ∙ h + a4 ∙ fy + a5 ∙ h + a6) (€/kg); a1 = 1,8783 × 10-4; a2 = 3,0707 × 10-4; a3 = 1,6530 × 10-5 a4 = -3,3288 × 10-3 a5 = -1,3915 × 10-2 a6 = 1,0630 × 100 fy (kN/cm2)*; h (cm) višina profila cM,s Cena konstrukcijskega jekla S 235 za standardni prerez HEA 100: cS =1,25 €/kg cM,s = cS ∙ ( a1 ∙ fy2 + a2 ∙ h2+ a3 ∙ fy ∙ h + a4 ∙ fy + a5 ∙ h + a6) (€/kg); a1 = 2,1982 × 10-4; a2 = 6,2266 × 10-5; a3 = 4,1031 × 10-5 a4 = -5,3682 × 10-3 a5 = 4,9888 × 10-4 a6 = 9,8361 × 10-1 fy (kN/cm2)*; h (cm) višina profila cM,c Cena betona C 20/25: cC = 85,00 €/m3 cM,c = cC ∙ (k1 ∙ fck2 + k2 ∙ fck + k3) (€/kg); k1 = –3.2220 × 10-2; k2 = 4.0571 × 10-1; k3 = 1.8829 × 10-1 fck (kN/cm2)** CM,f Materialni strošek prefabriciranih opažnih plošč: CM,f = cM,f ∙ 1/nuc ∙ Acs cM,f cena prefabriciranih opažnih plošč; cM,f = 30,00 nuc število ciklov uporabe opažnih plošč, od 10 do 100; nuc =30 Acs površina opaža na sovprežni nosilec; Acs = e ∙ L (m2) €/m2 cM,r Cena armaturnega jekla S 400 0,70 €/kg cM,sc Cena valjčnih moznikov 0,50 €/moznik cM,e Cena elektrod 1,70 €/kg cM,ac Cena antikorozijskega zaščitnega premaza 0,85 €/m2 cM,fp Cena protipožarnega zaščitnega premaza R 30 9,00 €/m2 cM,tc Cena končnega zaščitnega premaza 0,65 €/m2 cM,ng Cena naravnega plina 0,50 €/m3 cM,oxy Cena kisika 1,60 €/m3 cP Cena električne energije 0,10 €/kWh cL Stroškovna urna postavka delavca 20,00 €/h ces obločnega varjenja pločevin CP,w, proces obločnega varjenja valjčnih moznikov CP,sw in proces vibriranja betona CP,v. Stroški dela zajemajo: plinsko rezanje jeklenih pločevin s tehnologijo kisik-naravni plin CL,c,oxy-ng, brušenje robov pločevin CL,g, priprava, sestavljanje in pritrjevanje elementov za varjenje CL,p,a,t, ročno obločno varjenje CL,SMAW, polavtomat- sko obločno varjenje valjčnih moznikov CL,sw, peskanje pločevine in nanos antikorozijskega, protipožarnega in končnega premaza CL,spp, montaža, niveliranje, demontaža in čiščenje opažnega sistema CL,f, rezanje, postavitev in vezanje mrežne armature CL,r, betoniran- je plošče CL,c, konsolidacija betona CL,v in nega betona CL,cc. Podrobno je stroškovna namenska funkcija predstavljena v člankih Klanška in Kravanje ([Klanšek, 2006a], [Klanšek, 2006b]), Kravanje s sodelavci [Kravanja, 2017] in Žule s sodelavci [Žula, 2016]. 3.4 Pogojne (ne)enačbe Namenska funkcija lastnih izdelavnih stroškov je podvržena pogojem analize in dimenzioniranja obravnavane sovprežne konstrukcije. Pogojne (ne)enačbe dimenzi- oniranja sovprežnega stropnega sistema so definirane skladno s standardom Evrokod 4. Razdeljene so v dve skupini: pogojne (ne) enačbe mejnega stanja nosilnosti (MSN) in pogojne (ne)enačbe mejnega stanja uporab- nosti (MSU). V nadaljevanju so prikazane le nekatere pomembnejše pogojne (ne)enačbe, glej preglednico 2. Enačbi (2)–(3) obravnavata odpornost sovprežnega prereza proti upogibnemu mo- mentu, kjer Med,cb predstavlja projektni upo- gibni moment, Mpl,Rd.cb pa označuje plastično odpornost sovprežnega prereza na upogibni moment. Enačbe (4a)–(6a) podrobneje obrav- navajo plastično odpornost sovprežnega pre- reza proti upogibnemu momentu, ko leži nev- tralna os v betonski plošči, slika 4a, enačbe (4b)–(6b) predstavljajo plastično odpornost sovprežnega prereza proti upogibnemu mo- mentu, ko leži nevtralna os v zgornji pas- nici jeklenega I-prereza, slika 4b, medtem ko enačbe (4c)–(6c) definirajo plastično odpor- nost sovprežnega prereza proti upogibnemu momentu, ko leži nevtralna os v stojini jekle- nega I-prereza, slika 4c. Drugi členi v (ne) enačbah so: qed,cb je projektna zvezna obtežba, γg je delni faktor za stalno obtežbo, γq je delni faktor za spremenljivo obtežbo, g je stalna obtežba, q je spremenljiva obtežba, Aa je prečni prerez jeklenega profila, h je višina jeklenega profila, fy je napetost tečenja, fck je *napetost tečenja jekla, **tlačna trdnost betona Preglednica 1•Stroškovni parametri materiala, energije in dela v optimizacijskem modelu COMBOPT Slika 4• Lege plastičnih nevtralnih osi. karakteristična tlačna trdnost betona, γa je del- ni varnostni faktor za jeklo, γc je delni varnostni faktor za beton, be sodelujoča širina betonske pasnice na vsaki strani stojine, d je debelina armiranobetonske plošče, xp je oddaljenost nevtralne osi od zgornjega roba sovprežnega prereza: za nevtralno os v armiranobetonski plošči enačba (6a), za nevtralno os v zgornji pasnici I-prereza enačba (6b) in za nevtralno os v stojini I-prereza (6c). Odpornost sovprežnega prereza proti strigu opisujejo enačbe od (7) do (9), kjer je upoštevana nevarnost lokalnega izbočenja zaradi striga. VEd,cb predstavlja projektno strižno silo, Vb,Rd,cb je projektna strižna odpor- nost z upoštevanjem lokalnega izbočenja stojine, χv je zmanjševalni koeficient strižnega izbočenja, tf je debelina pasnice, tw je debe- lina stojine in γM1 je delni faktor odpornosti elementov. Enačbe (10)–(12) predstavljajo strižno odpor- nost moznikov. Vl je vzdolžna strižna sila, nsc je število moznikov, Prd je projektna strižna nosilnost moznika, α je koeficient, odvisen Tomaž Žula, Stojan Kravanja•MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017 199 Preglednica 2•Pogojne (ne)enačbe (MSN) in (MSU) v optimizacijskem modelu COMBOPT Mejno stanje nosilnosti (MSN) - odpornost proti upogibnemu momentu sovprežnega stropnega sistema z I-nosilci: MEd,cb ≤ Mpl,Rd,cb (2) MEd,cb = qEd,cb ∙L2 / 8 kjer je qEd,cb = (γg ∙ g + γq ∙q ∙ e) (3) kadar plastična nevtralna os leži v betonski plošči (glej sliko 4a): (Aa ∙ fy ∙ γc) / (0.85 ∙ fck ∙ γa) ≤ 2 ∙ be ∙ d (4a) Mpl,Rd,cb = [ h / 2 + d – (Aa ∙ fy ∙ γc) / (4 ∙ be ∙ 0.85 ∙ fck ∙ γa) ] ∙ Aa ∙ fy / γa (5a) xp = (Aa ∙ fy ∙ γc) / (2 ∙ 0.85 ∙ fck ∙ γa ∙ be ∙ γa) (6a) kadar plastična nevtralna os leži v zgornji pasnici I-nosilca (glej sliko 4b): 2 ∙ be ∙ d < (Aa ∙ fy ∙ γc) / (0.85 ∙ fck ∙ γa) ≤ 2 ∙ be ∙ d + 2 ∙ (fy ∙ γc) / (0.85 ∙ fck ∙ γa) ∙ bf ∙ tf (4b) Mpl,Rd,cb = [Aa ∙ (h / 2 + d / 2) – bf ∙ xp ∙ (xp – d)] ∙ fy / γa (5b) xp = d + tf + Aa / (2 ∙ tw) – (0.85 ∙ fck ∙ γa ∙ be ∙ d) / (tw ∙ fy ∙ γc) – tf ∙ bf / tw (6b) kadar plastična nevtralna os leži v stojini I-nosilca (glej sliko 4c): (fy ∙ γc) / (0.85 ∙ fck ∙ γa) ∙( Aa – 2 ∙ tf ∙ tw) > 2 ∙ be ∙ d (4c) Mpl,Rd,cb = [Aa ∙ (h / 2 + d / 2) – tf ∙ bf ∙ (d + tf ) – tw ∙(xp – tf – d) ∙ (xp – tf)] ∙ fy / γa (5c) xp = d + tf + Aa / (2 ∙ bf) – (0.85 ∙ fck ∙ γa ∙ be ∙ d) / (bf ∙ fy ∙ γc) (6c) - odpornost prosti strižni sili sovprežnega stropnega sistema z I-nosilci VEd,cb ≤ Vb,Rd,cb (7) VEd,cb = qEd,cb ∙ L / 2 kjer je qEd,cb = (γg ∙ g + γq ∙ q ∙ e) (8) Vb,Rd,cb = (χv ∙fy ∙ (h – 2 ∙ tf) ∙ tw) / (3½ ∙ γM1) (9) - strižna odpornost moznikov Vl ≤ ½ ∙ nsc ∙ PRd (10) Vl = min { Aa ∙ fy / γa; 2 ∙ be ∙ 0.85 ∙ fck / γc } (11) PRd = min { 0.29 ∙ α ∙ dsc2 ∙ (fck ∙ Ecm)½ / γv; 0.8 ∙ fu ∙ π ∙ dsc2 / (4 ∙ γv) } (12) - odpornost armiranobetonske plošče proti upogibnemu momentu MEd,cs ≤ Mult,cs (13) MEd,cs = qEd,cs ∙ e2 / 16 kjer je qEd,cs = (γg ∙ ρc ∙ bcu ∙ d + γq ∙ q ∙ bcu) (14) Mult,cs = 0.48 ∙0.85 ∙ fck ∙ bcu ∙ xpc2 / γc + As ∙ bcu ∙(d – c – xpc) ∙ fya / γs (15) Mejno stanje uporabnosti (MSU) - kontrola navpičnega upogibka sovprežnega stropnega sistema z I-nosilci δ2 ≤ L / 300 (16) δ2 = 5 ∙q ∙ e ∙ L4 / (384∙ Ea ∙Ii) (17) δmax ≤ L / 250 (18) δmax = δ2 + δcr + δsh (19) δcr = 5 ∙q ∙ e ∙ L4 / (384∙ Ea ∙Icr) (20) δsh =Msh ∙ L2 / (8∙ Ea ∙Ish) (21) - kontrola navpičnega upogibka betonske plošče med I-nosilci δ ≤ L / 250 (22) δ =ζ ∙ δII + (1 – ζ) ∙ δI (23) ζ = 1 – 0.5 ∙ (σsr / σs) (24) δII = k ∙ [ ρc ∙ bcu ∙ d∙ e4 / (Ec,eff ∙ Ic) + q ∙ bcu ∙ e4 / (Ecm ∙ Ic) ] (25) δI = k ∙ [ ρc ∙ bcu ∙ d∙ e4 / (Ec,eff ∙ Iu) + q ∙ bcu ∙ e4 / (Ecm ∙ Iu) ] (26) od vitkosti moznika, dsc je premer valjčnega moznika, Ecm je sekantni modul elastičnosti betona, fu natezna trdnost jekla, π je Ludolfovo število in γv je delni faktor za projektno strižno nosilnost moznika. Obravnavane enačbe (13)–(15) določajo odpornost armiranobetonske plošče proti upogibnemu momentu, kjer MEd,cs in Mult,cs označujeta projektni upogibni moment in plastično upogibno odpornost prereza armiranobetonske plošče. ρc je prostorninska teža betona, bcu je enotska širina betonske plošče (1m), c je debelina krovnega sloja betona, xpc je oddaljenost nevtralne osi od zgornjega roba betonske plošče, fya je meja plastičnosti armature, γs je delni varnostni faktor za armaturno jeklo. Pogojne (ne)enačbe mejnega stanja upor- abnosti so definirane z enačbami (16)–(26). Navpični upogibki sovprežnega nosilca so preverjeni z enačbami (16)–(21), kjer je δ2 up- ogibek sovprežnega nosilca zaradi spremen- ljive obtežbe, δmax je upogibek sovprežnega nosilca zaradi celotne obtežbe, δcr je upogibek sovprežnega nosilca zaradi lezenja betona in δsh je upogibek sovprežnega nosilca zara- di krčenja betona. Msh je upogibni moment zaradi krčenja betona, Ea je elastični modul konstrukcijskega jekla, Ii je idealiziran vztra- jnostni moment sovprežnega prereza, Icr je idealiziran vztrajnostni moment zaradi krčenja betona in Ish je idealiziran vztrajnostni moment sovprežnega prereza zaradi lezenja betona. Pogoji za navpični upogibek armiranobeton- ske plošče so prikazani v enačbah (22)– (26), kjer je δ upogibek armiranobetonske plošče zaradi celotne obtežbe, δI je upo- gibek armiranobetonske plošče zaradi ce- lotne obtežbe pri upoštevanju nerazpokanega prereza in δII je upogibek armiranobetonske plošče zaradi celotne obtežbe pri upoštevanju razpokanega prereza. ζ je koeficient porazdel- itve, σsr je napetost v natezni armaturi razpo- kanega prereza pri obtežnih pogojih nastanka prvih razpok, σs je napetost v natezni arma- turi pri razpokanem prerezu, Ec,eff je učinkoviti modul elastičnosti betona, Ecm je sekantni modul elastičnosti betona, Iu je vztrajnostni moment nerazpokane betonske plošče širine 1m, Ic je vztrajnostni moment razpokane be- tonske plošče širine 1 m. 3.5 Logične pogojne (ne)enačbe Mešane linearne omejitve Pye+M(dmat) ≤ m definirajo diskretne materiale dmat. Posamezni diskretni material dmat (trdnost betona, na- petost tečenja jekla) je definiran kot skalarni produkt med vektorjem i, i∈I, diskretnimi številskimi vrednostmi alternativ materiala q={q1, q2, q3,..., qi} in vektorjem pridruženih bi- narnih spremenljivk ymat={ymat1, ymat2,..., ymati}, enačba (27). Izračunana je natanko ena vred- nost standardnega materiala, ker je vsota bi- narnih spremenljivk enaka 1, glej enačbo (28); ∑ ∈ = Ii matiimat yqd (27) 1=∑ ∈Ii matiy (28) Mešani linearni pogoji Py+N(dst) ≤ n definirajo standardne dimenzije dst. Posamezna stand- ardna dimenzija dst (jekleni I-profil, debeline pločevin) je definirana kot skalarni produkt med vektorjem k, k∈K, alternativ standard- nih dimenzij q={q1, q2, q3,..., qk}, in vektorjem pridruženih binarnih spremenljivk yst={yst1, yst2, yst3,..., ystk}, glej enačbo (29). Samo ena diskret- na vrednost je lahko izbrana za posamezno standardno dimenzijo, ker je vsota vrednosti binarnih spremenljivk enaka 1, enačba (30). MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI•Tomaž Žula, Stojan Kravanja Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017200 ∑ ∈ = Kk stkkst yqd (29) 1=∑ ∈Kk stky (30) Mešani linearni pogoji Py+K(drd) ≤ k definirajo zaokrožene dimenzije drd. Posa- mezna zaokrožena dimenzija drd (debelina armiranobetonske plošče) je določena kot skalarni produkt med vektorjem m, m∈M, alternativ zaokroženih dimenzij q={q1, q2, q3,..., qm}, in vektorjem pridruženih binarnih spre- menljivk yrd={yrd1, yrd2, yrd3,..., yrdm}, glej enačbo (31). Samo ena diskretna vrednost je izbrana za posamezno zaokroženo dimenzijo, saj vsota vrednosti binarnih spremenljivk znaša 1, enačba (32). ∑ ∈ = Mm rdmmrd yqd (31) 1=∑ ∈Mm rdmy (32) Diskretno MINLP-optimiranje sovprežnega stropnega sistema je izvedeno z modificiranim algoritmom zunanje aproksimacije s spros- titvijo enačb (Modified OA/ER), Kravanja in Grossmann [Kravanja Z., 1994]. Modificirani OA/ER-algoritem izmenično rešuje zaporedje optimizacijskih podproblemov nelinearnega programiranja (NLP) in glavnih problemov mešanega celoštevilskega linearnega pro- gramiranja (MILP), glej sliko 5. Reševanje posameznega NLP-podproblema predstavlja optimiranje zveznih parametrov sovprežnega stropnega sistema pri držanih, standard- nih materialih, standardnih dimenzijah in zaokroženih dimenzijah (pri držanih 0–1 bi- narnih spremenljivk, izračunanih v prejšnjem MILP) in daje trenutno zgornjo mejo namen- ski funkciji, ki jo minimiramo. Rešitev posa- meznega glavnega problema MILP pomeni spodnjo mejo namenski funkciji. MILP vsebuje globalno linearno aproksimacijo superstruk- turnih alternativ in identificira nove standardne materiale, nove standardne dimenzije in nove zaokrožene dimenzije (nove 0–1 spremen- ljivke), tako da spodnja meja ne preseže najboljše zgornje meje. Izmenično reševanje zaporedja NLP-podproblemov in glavnih problemov MILP se pri konveksnih problemih ustavi, ko napovedana spodnja meja preseže najboljšo zgornjo mejo. Nekonveksni problemi so izračunani, kadar se vrednost NLP-pod- problemov več ne izboljšuje. OA/ER-algoritem zagotavlja za konveksne in kvazikonveksne 4•MINLP-OPTIMIRANJE 5•RAČUNSKI PRIMER Slika 5•Koraki OA/ER-algoritma. optimizacijske probleme rešitev globalnega optimuma. Pri obsežnih nekonveksnih in nelinearnih MINLP-problemih z velikim številom diskretnih odločitev je v splošnem zelo težko doseči optimalno rešitev. Zato uporabimo dvofazno MINLP-strategijo, kjer opravimo optimiranje v dveh zaporednih fazah, kar pospeši konver- genco OA/ER-algoritma oz. omogoči izračun rezultata: • Iskanje optimalne rešitve sovprežnega stropnega sistema se začne s prvim NLP- jem, kjer so vse spremenljivke zvezne (tudi standardni material, standardne dimenzije in zaokrožene dimenzije). Do- bljeni rezultat predstavlja prvo dobro začetno točko za nadaljnje diskretno optimiranje. • Ko je optimalni rezultat zveznih spremen- ljivk dosežen, se v drugi fazi standardni materiali, standardne in zaokrožene di- menzije vzpostavijo v izračun. Sočasno diskretno optimiranje stroškov, stand- ardnih materialov, standardnih in zaokroženih dimenzij se nadaljuje, vse dokler ni dosežen optimalen rezultat. Čeprav so pri uporabi povezane dvofazne MIN- LP-strategije binarne spremenljivke definirane v enem samem nizu, so v prvi fazi deaktivirane. Binarne spremenljivke alternativ standardnih materialov, standardnih in zaokroženih dimen- zij tedaj začasno deaktiviramo (postavimo na vrednost nič). Te binarne spremenljivke aktivi- ramo v drugi fazi. Isto velja za logične pogojne (ne)enačbe diskretnih spremenljivk materialov, standardnih in zaokroženih dimenzij. Te so v prvi fazi izključene iz modela, v drugi fazi pa vključene v optimiranje. Inicializacijo vhod- nih podatkov in spremenljivk izvedemo samo enkrat na začetku. Omenjena povezana dvo- fazna strategija zagotavlja rešitev globalnega optimuma za konveksne in kvazikonveksne optimizacijske probleme. V računskem primeru predstavljamo sočasno optimiranje stroškov, standardnih materialov, standardnih dimenzij in zaokroženih dimenzij prostoležečega sovprežnega stropnega sis- tema. Obravnavani sovprežni stropni sistem ima razpon 15 m in je obtežen z lastno težo in enakomerno zvezno spremenljivo obtežbo 4 kN/m2, glej sliko 6. Sovprežni stropni sis- tem sestavlja armiranobetonska plošča, ki je preko valjčnih moznikov povezana z jeklenimi I-nosilci. Premer valjčnih moznikov je 19 mm. Za optimizacijo sovprežnega stropnega siste- ma smo razvili 18 različnih MINLP optimizaci- jskih modelov COMBOPT. V prispevku pred- stavljamo optimizacijo plastične odpornosti sovprežega stropnega sistema za varjene I-prereze, standradne IPE- in standardne HEA- prereze s tremi različnimi legami nevtralnih osi: a) v armiranobetonski plošči, b) v zgornji pasnici jeklenega I-prereza in c) v stojini jekle- nega I-prereza. Namen optimiranja je pridobiti optimalni trd- nostni razred betona, optimalno konstrukcijsko jeklo, standardne prereze jeklenih I-nosilcev, standardne prereze armaturnih mrež, raz- mik med I-nosilci in debelino armiranobeton- ske plošče pri minimalnih lastnih izdelavnih stroških konstrukcije. Tomaž Žula, Stojan Kravanja•MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017 201 V primeru varjenih jeklenih I-prerezov su- perstrukturo sovprežnega stropnega sistema predstavlja množica različnih materialnih/di- menzijskih alternativ, dobljenih s kombinacijo: • 3 različna (mfy) konstrukcijska jekla (S 235, S 275, S 355), mfy∈Mfy, Mfy={1, 2, 3}; • 7 različnih (mck) trdnostnih razredov betona (C20/25, C25/30, C30/37, C35/45, C40/50, C45/55, C50/60), mck∈Mck, Mck={1, 2, 3,..., 7}; • 9 različnih (stf) jeklenih standardnih de- belin pločevin za pasnico (od 8 do 40 mm), stf∈Stf, Stf={1, 2, 3,..., 9}; • 9 različnih (stw) jeklenih standardnih de- belin pločevin za stojino (od 8 do 40 mm), stw∈Stw, Stw={1, 2, 3,..., 9}; • 25 različnih (smreža) standardnih arma- turnih mrež za armiranobetonsko ploščo (od R188 do 5xR524), smreža∈Smreža, Smreža={1, 2, 3,..., 25} in • 27 možnosti (rd) zaokroženih dimenzij debeline armiranobetonske plošče na okrogli centimeter (od 4 do 30 cm), rd∈Rd, Rd={1, 2, 3,..., 27}. V tem primeru je število definiranih diskretnih binarnih spremenljivk mfy+mck+stf+stw+smesh+rd = 3+7+9+9+25+27 = 80, medtem ko su- perstruktura vsebuje mfy∙mck∙stf∙stw∙smesh∙rd = 3∙7∙9∙9∙25∙27 = 1,1481∙106 možnih rešitev diskretnih spremenljivk. Za sovprežni stropni sistem, sestavljen iz varjenih I-prerezov, je bil uporabljen MINLP op- timizacijski model COMBOPT. Model vsebuje podrobno stroškovno namensko funkcijo, ki zajema lastne izdelavne stroške konstrukcije (stroške materiala, energije in stroške dela). Optimiranje je bilo izvedeno s programskim paketom MIPSYN ([Kravanja S., 2003], [Kra- vanja Z., 2010]), ki je bil izpeljan iz programa PROSYN [Kravanja Z., 1994]. Reševanje MIN- LP-problema sovprežnega stropnega sistema je bilo izvedeno z dvofaznim optimiranjem in z modificiranim OA/ER-algoritmom zu- nanje aproksimacije s sprostitvijo enačb. Za reševanje NLP-podproblemov je bil uporabljen program GAMS/CONOPT2 [Drudd, 1994] (splošna metoda reduciranih gradientov), za reševanje glavnih problemov MILP pa GAMS/ Cplex 7.0 [Cplex, 2016] (metoda vejanja in omejevanja). Najboljši rezultat sovprežnega stropnega sis- tema iz varjenih I-prerezov je dobljen, ko leži nevtralna os v armiranobetonski plošči, glej preglednico 3. Optimalni lastni izdelavni stroški znašajo 69,20 € na m2 površine stropnega sistema. Poleg optimalnih lastnih izdelavnih stroškov so pridobljeni še optimalni trdnostni razred betona C 20/25, optimalni Slika 6•Obravnavani sovprežni stropni sistem. Nevtralna os leži v: a) armiranobetonski plošči, b) zgornji pasnici jeklenega prereza c) stojini jeklenega prereza. Preglednica 3•Optimalni rezultati sovprežnega stropnega sistema z I-nosilcisistem. trdnostni razred konstrukcijskega jekla S 355, optimalna medsebojna razdalja med nosilci 4,105 m, optimalna višina jeklenega I-prereza 787 mm, debelina stojine 8 mm, širina pasnic 120 mm, debelina pasnic 8 mm, optimalna debelina armiranobetonske plošče 17 cm in optimalna armaturna mreža R257. Optimalni rezultati so prikazani na sliki 7. Iz preglednice 3 je razvidno, da so optimalni stroški, ko je lega nevtralne osi v zgornji pasnici jeklenega I-prereza, za 14 % višji, in ko je lega nevtralne osi v stojini I-prereza, za 25 % višji kot pri nev- tralni osi v armiranobetonski plošči. Naslednji primer opisuje suprestrukturo sovprežnega stropnega sistema, sestavljen- ega iz jeklenih standardnih IPE-prerezov: • 3 različna (mfy) konstrukcijska jekla (S 235, S 275, S 355), mfy∈Mfy, Mfy={1, 2, 3}; a) b) c) opis vrednosti Varjeni I-prerez 69,20 78,63 86,28 cena (€/m2) 17 C20/25 9 C20/25 8 C20/25 d (cm) beton (MPa) 787/8 653/8 624/10 hw (mm) / tw (mm) 120/8 120/8 120/8 bf (mm) / tf (mm) 4,105 S355 2,433 S355 2,420 S355 e (m) jeklo (MPa) IPE 90,24 97,21 113,27 cena (€/m2) 10 C50/60 13 C20/25 7 C20/25 d (cm) beton (MPa) 550 S235 550 S355 500 S355 IPE jeklo (MPa) 3,459 3,200 2,061 e (m) HEA 104,01 113,88 148,97 cena (€/m2) 12 C50/60 12 C20/25 6 C20/25 d (cm) beton (MPa) 500 S235 500 S235 400 S275 HEA jeklo (MPa) 4,059 3,421 1,788 e (m) • 7 različnih (mck) trdnostnih razredov betona (C20/25, C25/30, C30/37, C35/45, C40/50, C45/55, C50/60), mck∈Mck, Mck={1, 2, 3,..., 7}; • 18 različnih (sIPE) jeklenih standardnih IPE-prerezov (od IPE 80 do IPE 600), sIPE∈SIPE, SIPE={1, 2, 3,..., 18}; • 25 različnih (smreža) standardnih arma- turnih mrež za armiranobetonsko ploščo (od R188 do 5xR524), smreža∈Smreža, Smreža={1, 2, 3,..., 25} in • 27 možnosti (rd) zaokroženih dimenzij debeline armiranobetonske plošče na okrogli centimeter (od 4 do 30 cm), rd∈Rd, Rd={1, 2, 3,..., 27}. V tem primeru je število definiranih diskretnih binarnih spremenljivk mfy+mck+sIPE+smesh+rd = 3+7+18+25+27 = 80, medtem ko superstruk- Slika 7•Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz varjenih I-prerezov. MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI•Tomaž Žula, Stojan Kravanja Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema suprestrukturo sovprežnega stropnega  3 različna (   7 različnih (  h = 787 mm e = 4105 mm d = 170 mm C 20/25 t w = 8 mm t f = 8 mm b f = 120 mm t w = 8 mm t f = 8 mm R257 S 355 S 355 R257 b f = 120 mm Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017202 tura vsebuje mfy∙mck∙sIPE∙smesh∙rd = 3∙7∙18∙25∙27 = 2,5515∙105 možnih rešitev diskretnih spre- menljivk. Za optimiranje je bil uporabljen MINLP optimizacijski model COMBOPT. Model vsebuje podrobno stroškovno namensko funkcijo, glej enačbo (1). Pri optimizaciji stropnega sistema, sestavljen- ega iz IPE-profilov, je dobljen najboljši rezultat, ko je lega nevtralne osi v armiranobeton- ski plošči, glej preglednico 3. Optimalni lastni izdelavni stroški so 90,24 € na m2 površine stropnega sistema. Najboljši rezultat še vsebu- je: optimalni trdnostni razred betona C 50/60, optimalni trdnostni razred konstrukcijskega jekla S 235, optimalno medsebojno razdaljo med nosilci 3,459 m, optimalni prerez IPE 550, optimalno debelino armiranobetonske plošče 10 cm in optimalno armaturno mrežo R257, glej sliko 8. V primerjavi z lego nevtralne osi v armiranobetonski plošči so lastni izde- lavni stroški višji za 8 %, ko je lega nevtralne osi v zgornji pasnici IPE-profila, in za 25 %, ko je lega nevtralne osi v stojini IPE-profila. Superstruktura sovprežnega stropnega sis- tema, ki ga sestavljajo jekleni standardni HEA-profili, pa se razlikuje od superstruk- ture IPE-prerezov po mešanem izboru (sHEA) standardnih HEA-prerezov (od HEA 100 do HEA 1000), sHEA∈SHEA, SHEA={1, 2, 3,..., 24}. Število definiranih diskretnih binarnih spremenljivk je tako mfy+mck+sHEA+smesh+rd = 3+7+24+25+27 = 86. Superstruktura vs- ebuje mfy∙mck∙sHEA∙smesh∙rd = 3∙7∙24∙25∙27 = 3,4020∙105 možnih rešitev diskretnih spre- menljivk. Uporabljen je bil MINLP optimizacijski model COMBOPT sovprežnega stropnega sis- tema s standardnimi HEA-prerezi. Definirana je podrobna stroškovna namenska funkcija. Tudi pri optimizaciji sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz HEA-prerezov, je Slika 8•Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz IPE-prerezov. Slika 9•Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz HEA-prerezov. dobljen najboljši rezultati, ko nevtralna os leži v armiranobetonski plošči, glej preglednico 3. Optimalni rezultati so lastni izdelavni stroški 104,01 €/m2, trdnostni razred betona C 50/60, trdnostni razred konstrukcijskega jekla S 235, medsebojna razdalja med nosilci 4,059 m, prerez HEA 500, debelina armiranobetonske plošče 12 cm in armaturna mreža R335, glej sliko 9. Dobljeni rezultat daje za 50 % višje stroške v primerjavi z varjenimi I-prerezi, kar je najcenejši sovprežni stropni sistem. Sovprežni stropni sistem, sestavljen iz HEA-profilov in lege nevtralne osi v armiranobetosnki plošči je cenejši za 9 %, ko je lega nevtralne osi v zgornji pasnici HEA-profila, in za 43 %, ko je lega nevtralne osi v stojini HEA-profila. Iz prikazanih primerov je razvidno, da je najcenejši sovprežni stropni sistem sestav- ljen iz varjenih I-prerezov, sledi mu stropni sistem, sestavljen iz IPE-profilov, medtem ko je najdražji sovprežni stropni sistem ses- tavljen iz HEA-profilov. Podrobna analiza konkurenčnosti sovprežnih stropnih sistemov, sestavljenih iz I-nosilcev, je predstavljena v članku Kravanje idr. [Kravanja S., 2017], kjer je ugotovljeno, da so varjeni profili optimalni pri razponih, večjih od 11 m. Pri stroškovni op- timizaciji obravnavanih sovprežnih konstrukcij smo pokazali, da lega nevtralnih osi vpliva na ceno. Izkazalo se je, da je cena sovprežne konstrukcije najnižja, ko je lega nevtralne osi v armiranobetonski plošči. 6•SKLEP V članku smo predstavili stroškovno opti- miranje sovprežnega stropnega sistema, sestavljenega iz armiranobetonske plošče in jeklenih I-nosilcev. Optimiranje je bilo izvedeno z mešanim celoštevilskim nelin- earnim programiranjem (MINLP). Razvili smo različne optimizacijske modele za ugotavl- janje konkurenčnosti sovprežnih stropnih sis- temov, sestavljenih iz jeklenih nosilcev z var- jenimi I-prerezi, standardnimi vročevaljanimi IPE- in HEA-prerezi. Optimizacijski modeli obravnavajo plastično upogibno odpornost sovprežnega prereza in tri različne lege nevtralnih osi: v armiranobetonski plošči, zgornji pasnici jeklenega I-prereza in sto- jini jeklenega I-prereza. Na koncu prispevka smo z računskimi primeri pokazali, da je z MINLP mogoče izračunati optimalni di- zajn stroškovno najugodnejšega sovprežnega stropnega sistema za podana razpon in obtežbo. Tomaž Žula, Stojan Kravanja•MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema suprestrukturo sovprežnega stropnega  3 različna (   7 različnih (  h = 490 mm e = 4059 mm d = 120 mm C 50/60 R335 S 235 R335 HEA 500 S 235 HEA 500 Optimalni prerez sovprežnega stropnega sistema suprestrukturo sovprežnega stropnega  3 različna (   7 različnih (  h = 550 mm d = 100 mm S 235 IPE 550 S 235 IPE 550 C 50/60 R257 R257 e = 3459 mm Gradbeni vestnik • letnik 66 • avgust 2017 203 7•LITERATURA Adeli, H., Kim, H., Cost optimization of welded of composite floors using neural dynamics model, Commun Numer. Methods Eng., 17(11), 771–787, 2001. Brooke A., Kendrick D. and Meeraus A., GAMS - A User's Guide, Scientific Press, Redwood City, CA, 1988. CPLEX User Notes, ILOG inc, 2016. Drudd, A.S., CONOPT – A Large-Scale GRG Code, ORSA J. Comput., 6(2), 207–216, 1994. Eurocode 1, Actions on structures, European Committee for Standardization, Brussels, 2002. Eurocode 2, Design of concrete structures, European Committee for Standardization, Brussels, 2004. Eurocode 3, Design of steel structures, European Committee for Standardization, Brussels, 2005. Eurocode 4, Design of composite steel and concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, European Committee for Stand- ardization, Brussels, 2004. Kaveh A., Ahangaran M., Discrete Cost Optimization of Composite Floor System Using Social Harmony Search Model, Applied Soft Computing, No. 1, 12, 372–381, 2012. Klanšek, U., Kravanja, S., Cost estimation, optimization and competitiveness of different composite floor systems, Part 1: Self-manufacturing cost estimation of composite and steel structures, J Construct Steel Res., 62(5), 434–448, 2006a. Klanšek, U., Kravanja, S., Cost estimation, optimization and competitiveness of different composite floor systems, Part 2: Optimization based competitiveness between the composite I beams, channel-section and hollow-section trusses, J Construct Steel Res., 62(5), 449–462, 2006b. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B. S., The MINLP optimization approach to structural synthesis. Part I: A general view on simultaneous topology and parameter optimization, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 43(2), 263–292, 1998a. Kravanja, S., Kravanja, Z., Bedenik, B. S., The MINLP optimization approach to structural synthesis. Part II: Simultaneous topology, parameter and standard dimension optimization by the use of the Linked two-phase MINLP strategy, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 43(2), 293–328, 1998b. Kravanja, S., Soršak, A., Kravanja, Z., Efficient multilevel MINLP strategies for solving large combinatorial problems in engineering, Optimization and engineering, 4(1), 97–151, 2003. Kravanja, S., Šilih, S., Optimization based comparison between composite I beams and composite trusses, J Construct Steel Res., 59(5), 609–625, 2003. Kravanja, S., Žula, T., Klanšek, U., Multi-parametric MINLP optimization study of a composite I beam floor system, Engineering structures, 130, 316–335, 2017. Kravanja, Z., Grossmann, I. E., New Developments and Capabilities in PROSYN, An Automated Topology and Parameter Process Synthesizer, Com puters & Chemical Engineering, 18(11-12), 1097–1114, 1994. Kravanja, Z., Challenges in sustainable integrated process synthesis and the capabilities of an MINLP process synthesizer MipSyn, Comput. chem. eng., 3 4(11), 1831–1848, 2010. Poitras, G., Lefrançois, G., Cormier, G., Optimization of steel floor systems using particle swarm optimization, J Construct Steel Res., 67(8), 1225–1231, 2011. Senouci A. B., Al-Ansari M.S., Cost optimization of composite beams using genetic algorithms, Advances in Engineering Software, 40, 1112–1118, 2009. Žula, T., Kravanja, S., Klanšek, U., MINLP optimization of a composite I beam floor system, Steel and composite structures, 22(5), 1163–1192, 2016. MINLP-OPTIMIRANJE SOVPREŽNEGA STROPNEGA SISTEMA Z I-NOSILCI•Tomaž Žula, Stojan Kravanja